Corsi di Geotecnica 1, Geotecnica 2 e Meccanica delle terre e delle rocce. esercizzi svolti

Corsi di Geotecnica 1, Geotecnica 2 e Meccanica delle terre e delle rocce.

Esercizi d’esame risolti

Ing. Lucia Simeoni http://www.ing.unitn.it/~simeonil/Esercizi.html

6. Problemi al collasso: carico limite di fondazioni e stabilità di muri di sostegno

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 2 (19 febbraio 2003) Con riferimento alla fondazione nastriforme di figura si determini il valore del carico ammissibile Q. Si assuma un valore del peso specifico del calcestruzzo γcls = 25 kN/m3 ed i seguenti valori delle caratteristiche fisiche e meccaniche della sabbia: γ = 19 kN/m3, c’ = 0 e φ' = 37°. Per i coefficienti di carico limite e per quelli correttivi per inclinazione del carico e del piano di campagna si consideri: N q = 42.92 N γ = 66.19, ξqi = (1 – H’/V’)2, ξγi = (1 – H’/V’)3, essendo V ed H le componenti verticale ed orizzontale del carico Q, e ξqg = ξγg = (1 – tan α)2, dove α è l’inclinazione del piano campagna. Si suggerisce di assumere in prima approssimazione una inclinazione del carico efficace applicato alla base della fondazione pari a quella del carico esterno Q.

Q


ESERCIZIO 2 (15 gennaio 2004) Si deve costruire un plinto di fondazione con base quadrata di lato pari a 200 cm. Il terreno di fondazione è una argilla limosa. Il cui comportamento a rottura è ben rappresentato dai seguenti parametri: cu=30 kPa; c’=5 kPa e ϕ’=26°

(Nγ= 0; Nq=1; Nc=5,14) (Nγ= 12,54; Nq=11,85; Nc=22,25)

La falda coincide con il piano di campagna. Sulla base del plinto agiscono un carico verticale N=200 kN e un momento (parallelo a uno dei lati della base) M=50 kNm.

N=200 M=50 Ar illa illa limo limosa sa 200 cm

Con riferimento alle condizioni a breve termine si determini: 1. il carico limite: Qlim=…………………kN 2. il carico ammissibile: Qamm=…………………kN 3. il coefficiente di sicurezza η per rottura a carico limite:

η=…………………… I coefficienti correttivi per la forma della fondazione sono: sγ = 1-0,4B/L; sq = 1+B/L tgϕ sc = 1+B/L Nq/Nc


ESERCIZIO 2 (21 giugno 2004) Si deve costruire un plinto di fondazione con base circolare su cui agisce una forza P di 300 kN. Il terreno di fondazione è una argilla consistente, il cui comportamento a rottura in condizioni non drenate è ben descritto dal valore c u=80 kPa; la forza P è inclinata di 30° rispetto alla verticale (vedi figura).

30° P

D

Con riferimento alle condizioni di breve termine e assumendo un coefficiente di sicurezza pari a 3, si determini: 4. la dimensione minima del diametro D di fondazione:

I coefficienti correttivi per la forma della fondazione sono: sc = 1+ Nq/Nc I coefficienti correttivi per l’inclinazione del carico sono: con A=area della base della fondazione; ic = 1-(3 T)/(2Ac u Nc) T=componente orizzontale della forza P.


D=…………………..m

ESERCIZIO 2 (16 febbraio 2005) Si esegua la verifica a carico limite, a lungo termine, della fondazione nastriforme riportata in figura. La forza verticale N vale 500 kN/m, la forza orizzontale T vale 30 kN/m. Si assuma un coefficiente di sicurezza, espresso in termini di pressione netta, η =3. η =3. TERRENO: γ= 20 kN/m3 c’= 0 kPa Φ’=35° Nc=46,12 Nq=33,30 Nγ=48,03

T

cls: γ= 25 kN/m3 ACQUA: γ= 10 kN/m3

I coefficienti correttivi per un terreno incoerente dovuti all’inclinazione del carico valgono:

ξq=(1-tgδ)m;

ξγ=(1-tgδ)m+1;

m=(2+B/L)/(1+B/L);

tgδ=F’h/F’v

Innanzitutto dobbiamo calcolare i valori delle forze efficaci che agiscono sul piano di fondazione. Il peso proprio della fondazione W vale:

W = 25 ⋅ ( 2,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5) = 37,5 kN/m

N

La risultante U della pressione interstiziale vale:

U = 10 ⋅ 0,5 ⋅ 2,5 = 12,5 kN/m La forza V’ verticale efficace, che agisce sul piano di fondazione, vale:

M

V' = N

T

+ W - U = 500 + 37,5 - 12,5 = 525 kN/m

La presenza della forza orizzontale T produce un momento M alla base della fondazione e, quindi, un’eccentricità e e rende il carico inclinato di δ rispetto alla verticale. Il momento M vale:

W

U

M = T ⋅ (0,5 + 0,5) = 30 ⋅ 1 = 30 kN/m L’eccentricità e vale:

e=

M V'

=

30 525

= 0,06 m

L’inclinazione del carico, espressa con la tg δ, δ, vale:

tg δ =

T V'

=

30 525

= 0,06

A questo punto possiamo calcolare il valore corretto della base B’ per tener conto dell’eccentricità ed i valori dei coefficienti correttivi ξγ e ξq:

B' = (B − 2e) = 2,38 m Essendo la fondazione nastriforme, l’esponente m che compare nei coefficienti correttivi vale 2. I coefficienti correttivi Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

diventano:

ξγ = (1 − tg δ ) 3

= (1 − 0,06) 3 = 0,83

e

ξq = (1 − tg δ ) 2

= (1 − 0,06) 2 = 0,88

Il valore della pressione limite q’ lim è quindi dato da: ' q lim

=

1 2

B' γ' Nγ Nγ ξγ + q' Nq ξq =

1 2

⋅ 2,38 ⋅ 10 ⋅ 48,03 ⋅ 0,83 + 5 ⋅ 33,30 ⋅ 0,88 = 620,91 kPa/m

in cui, dal momento che il piano di fondazione si colloca sotto la falda, γ’ e q’ sono stati calcolati come:

γ' = γ - γ w

= 20 - 10 = 10 kN/m3

q' = (γ - γ w ) ⋅ 0,5 = 10 ⋅ 0,5 = 5 kPa/m

Il valore della pressione ammissibile q’ amm è dato da:

q

' amm

=

' (q lim - q' )

η

+ q' =

(620,91 - 5) 3

+ 5 = 210,30 kPa/m

e il carico ammissibile Q’ amm è dato da: ' Q amm

' = q amm ⋅ B ' = 210,30 ⋅ 2,38 = 500,52 kN/m < V'


La fondazione non è verificata al carico limite

ESERCIZIO 3 (30 giugno 2003) Si determini la lunghezza L del palo infisso di calcestruzzo riportato in figura affinché possa essere sottoposto ad un tiro T=100 kPa. Si eseguano i calcoli nelle due ipotesi: a) resistenza laterale nell’argilla espressa in condizioni non drenate; b) resistenza laterale nell’argilla espressa in condizioni drenate. Le pressioni interstiziali al di sopra del piano di falda sono nulle.

Sabbia

Sabbia

Argilla


Sabbia: γS = 19 kN/m3 c'=0 φ' = 35° k S =1,8 µ=tanδ’=0,493

Argilla: γA = 20 kN/m3 α=0,8 cu=30 kPa c'=0 φ' = 25° k A =1-senφ' µ=tanφ'

ESERCIZIO 3 (5 settembre 2003) Su un terreno di argilla si deve realizzare una palificata secondo lo schema di figura. I pali sono infissi, con diametro di 40 cm, di calcestruzzo prefabbricato e peso di volume unitario γ=25 kN/m3. L’argilla possiede un peso di volume unitario γ=20 kN/m3 e una resistenza al taglio non drenata c u pari a 70 kPa; l’adesione palo-terreno è c α=35 kPa. Sulla base della platea di fondazione agiscono le forze N=300 √3 kN, T= 100 kN e M=300 √3 kNm. Nell’ipotesi che i pali reagiscano soltanto a sforzo normale ed assumendo un valore del coefficiente di sicurezza pari a 2,5, si determinino le lunghezze L 1, L2 e L3 dei pali.


M

N T

° L3 L1

L2

ESERCIZIO 3 (14 aprile 2003) Con riferimento al muro di sostegno di figura si eseguano le verifiche a ribaltamento e a traslazione sul piano di fondazione nelle condizioni a lungo termine. Sabbia: γS = 19 kN/m3 φ' = 35°. Muro: γCSL = 25 kN/m3

Sabbia

Argil rgilla la (imp (imper erme meab abil ile) e)


Attrito muro-argilla: δ = 20°.

ESERCIZIO 2 (14 luglio 2003) Si deve realizzare un muro di sostegno di altezza H=5 m e base B per sostenere uno scavo in argilla satura. A tergo del muro sarà applicato un carico distribuito q=50 kPa, mentre a valle è presente un invaso d’acqua di altezza pari a 1 m; il piano di fondazione del muro viene posto a contatto con lo strato di sabbia sottostante. Con riferimento alla geometria riportata in figura, ai parametri geotecnici riportati a fianco e alle condizioni di breve termine, si determini: - la dimensione B della base del muro affinché sia verificata la traslazione sul piano di posa; - la verifica a ribaltamento; - la verifica di carico limite dell’insieme terreno-fondazione. Si assuma: - permeabilità della sabbia molto maggiore della permeabilità dell’argilla; - possibilità di piogge persistenti; - peso di volume del manufatto pari a 25 kN/m 3; - resistenza al taglio sul piano di fondazione espressa mediante l’angolo d’attrito δ=20°; - coefficienti correttivi per inclinazione del carico:

iγ

iq

  T = 1 −   N + B ⋅ L ⋅ c′ ⋅ cot Φ′ 

( m +1)

  T = 1 −   N + B ⋅ L ⋅ c ′ ⋅ cot Φ ′ 

m=

2+ 1+

B

L ; B L

m

Sabbia: γ = 20 kN/m3 c'=0 φ' = 32° Nc=35.49 Nγ=30.22 Nq=23.18

q=50 kPa

Argilla

Argilla: γA = 20 kN/m3 cu=50 kPa

B Sabbia


ESERCITAZIONE n. 2

(16 dicembre 2003)

Si deve realizzare un muro di sostegno di calcestruzzo per sostenere uno scavo di altezza pari a 4,5 m. La geometria del muro e la stratigrafia del terreno è riportata in figura. q = 20 kPa

A sabbia

B argilla

C

D

La stratigrafia del terreno a tergo del muro è:

profondità (m) 0-1,5 1,5-3,0 >3

Terreno Sabbia Argilla Limo con sabbia

3

Peso di volume γ volume γ (kN/m ) 17.0 20.0 18.0

Grado di saturazione S 0 1 0

Il peso dell’unità di volume del calcestruzzo è γ è γ = 25 kN/m3 e la falda coincide con il piano di posa del muro. Sul terreno a tergo del muro è applicato un carico q = 20 kPa uniformemente distribuito e infinitamente esteso. L’acqua possiede un peso dell’unità di volume γ volume γw = 10 kN/m3. In mezzeria a ciascun strato del terreno posto a tergo del muro è stato prelevato un campione su cui sono state eseguite prove di taglio diretto e, per l’argilla, anche prove di compressione triassiale UU (non consolidate e non drenate). I risultati di tali prove sono:

profondità (m) 0,75 2,25 3,75

Terreno Sabbia Argilla Limo con sabbia

profondità (m)

2,25

Terreno

Argilla

Prova di taglio diretto c’ (kPa) Φ' (°) 0 30 7 20 5 32 Prova di compressione triassiale UU σ3 (kPa) σ1 - σ3 (kPa) 100 42 200 38 300 40

Il coefficiente di attrito terreno/muro sul piano di posa del muro può essere espresso mediante un angolo di attrito δ=3/4 Φ’. Si determini la dimensione della base B del muro, in modo tale che, a BREVE TERMINE, il coefficiente di sicurezza allo scorrimento sul piano di posa sia maggiore o uguale a 1,3. Si risolva l’esercizio rispondendo alle domande di seguito elencate, riportando i passaggi fondamentali con la notazione letterale, i valori numerici ed eventuali commenti. Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 2 (16 luglio 2004) Si esegua la verifica a ribaltamento per il muro di sostegno riportato in figura. Si esegua la verifica con riferimento alle condizioni di lungo termine.

ARGILLA: 3 γ= 20 kN/m c'= 0 kPa Φ'= 25° ARGILLA

SABBIA: γ= 20 kN/m3 c'= 0 kPa Φ'= 32°

cls


SABBIA

5. coefficiente di sicurezza al ribaltamento ηr :


ηr =…………………..

ESERCIZIO 2 (1 settembre 2004) Si eseguano le verifiche a traslazione sul piano di posa e a ribaltamento del muro di sostegno riportato in figura. Si eseguano le verifiche nelle condizioni di breve termine.

ARGILLA: γ= 20 kN/m3 cu= 15 kPa INTERFACCIA TERRENOFONDAZIONE: τ=cα== 35 kPa ARGILLA

cls: γcls= 25 kN/m3

cls

ACQUA: γw= 10 kN/m3

A breve termine lo sforzo orizzontale totale riferito alle condizioni di spinta attiva è dato da:

σ h

= σ v − 2cu

kPa

Definita z la coordinata con origine coincidente con il piano di campagna, il valore dello sforzo verticale totale è espresso da:

σ v

= γ ⋅ z + γ w ⋅ hw = 20 ⋅ z + 10 ⋅ 0,5 = 20 ⋅ z + 5 kPa

Lo sforzo orizzontale diventa:

σ h

= γ ⋅ z + γ w ⋅ hw − 2cu = 20 ⋅ z + 5 − 2 ⋅ 15 = 20 ⋅ z − 25 kPa

Lo sforzo orizzontale nel terreno non può essere negativo; ne segue che per profondità z ≤2,5 m si forma una fessura. Per la presenza di acqua in superficie la fessura si riempie d'acqua e la sua profondità aumenta fintantoché lo sforzo orizzontale eguaglia la pressione dell'acqua e coincide con la condizione di spinta attiva, come ben rappresentato nel piano di Mohr:


τ

cu

σ σ h=γ w z

σ h=γ w z= σ v-2cu

σ v=γ z+5 z+5

La profondità z w della fessura vale:

= γ ⋅ z w + γ w ⋅ hw − 2cu = γ w ⋅ ( z w + hw ) 20 ⋅ z w − 25 = 10 ⋅ ( z w + 0,5) z w = 3 m σ h

Fino alla profondità di 3 m lo sforzo totale orizzontale è fornito dalla pressione dell'acqua nella fessura, per profondità maggiori è pari al valore della spinta attiva. I valori degli sforzi sono riportati nello schema della pagina successiva.

= 0 kPa u B = γ w ⋅ ( z w + hw ) = 10 ⋅ 3,5 = 35 kPa σ hC = 20 ⋅ z C − 25 = 20 ⋅ 4 − 25 = 55 kPa u A

La verifica a traslazione è definita dal rapporto:

η t =

T

∑F

h

in cui T è la forza resistente agente sul piano di posa della fondazione e F h sono le forze orizzontali agenti sul muro. Nella verifica a breve termine, tutti i carichi sono carichi totali. La forza resistente T è fornita dall'adesione ca integrata sulla base del muro:

T

= cα ⋅ B = 35 ⋅ 2,5 = 87,5 kN / m

Le forze orizzontali F h agenti sul muro sono date da: - spinta dell'acqua nella fessura, a tergo del muro; - spinta attiva, a tergo del muro.


Con riferimento alla nomenclatura riportata nello schema tali forze sono:

0

A

z

W1 Sw

35 Sa2

B

3

Wt

Sa1 C

55

O

W2

Sw =

1

=

1

35 ⋅ 3,5 = 61,25 kN / m 2 Sa1 = 35 ⋅ 1 = 35 kN / m Sa 2

∑F

h

(55 − 35) ⋅ 1 = 10

2

kN / m

=Sw + Sa1 + Sa 2 = 106,25 kN / m

Il coefficiente di sicurezza allo scorrimento sul piano di posa diventa:

η t =

T

∑

Fh

=

87,5 106,25

= 0,82 < 1,3

Il coefficiente di sicurezza è inferiore a 1,3, come richiesto dal D.M. del 1988. Il muro non è pertanto verificato allo scorrimento sul piano di posa. Per la verifica a ribaltamento si valutano i momenti ribaltanti e stabilizzanti rispetto al punto O. Forza [kN/m] Sw=61,25 Sa1=35 Sa2=10 Wt=2·(0,5·10+3·20)=130 W1=0,5·3,5·25=43,75 W2=2,5·1·25=62,5

braccio [m] 1+1/3·3,5=2,17 1/2·1=0,5 1/3·1=0,33 0,5+1/2·2=1,5 1/2·0,5=0,25 1/2·2,5=1,25

Momento stabilizzante [kN·m/m]

Momento ribaltante [kN·m/m] 132,71 17,50 3,33

195,00 10,94 78,13 284,07

Il coefficiente di sicurezza al ribaltamento diventa:

η r =

Ms M r

=

284,07 153,54

= 1,85 > 1,5

Il coefficiente di sicurezza è maggiore di 1,5, come richiesto dal D.M. del 1988. Il muro è pertanto verificato al ribaltamento.


153,54

ESERCIZIO 2 (18 gennaio 2005) Si esegua la verifica a traslazione sul piano di posa del muro di sostegno riportato in figura. Si esegua la verifica con riferimento alle condizioni di breve termine, tenendo conto del riempimento con acqua di eventuali fessure che si potrebbero formare sulla superficie.

q=90 kPa

ARGILLA: γ= 20 kN/m3 cu= 55 kPa INTERFACCIA TERRENOFONDAZIONE: τ=cα=30 kPa

ARGILLA

cls


A breve termine lo sforzo orizzontale totale riferito alle condizioni di spinta attiva è dato da: σ h

= σ v − 2cu kPa

Il valore dello sforzo verticale totale è espresso da:

σ v

= γ ⋅ z + q kPa

in cui γ è γ è il peso dell’unità di volume dell'argilla. Lo sforzo orizzontale diventa: σ h

= γ ⋅ z + q − 2cu = 20 ⋅ z + 90 − 2 ⋅ 55 = 20 ⋅ z − 20 kPa

Lo sforzo orizzontale nel terreno non può essere negativo; ne segue che per profondità z ≤1 m si forma una fessura. Se la fessura si riempie d'acqua la sua profondità aumenta fintantoché lo sforzo orizzontale eguaglia la pressione dell'acqua e coincide con la condizione di spinta attiva, come ben rappresentato nel piano di Mohr:


τ

cu

σ σ h=γ w z

σ v=γ z+q z+q

σ h=γ w z= σ v-2cu

La profondità z w della fessura vale:

= γ ⋅ z w + q − 2cu = γ w ⋅ z w 20 ⋅ z w − 20 = 10 ⋅ z w z w = 2 m σ h

La verifica a traslazione è definita dal rapporto: η t =

T

∑F

h

in cui T è la forza resistente agente sul piano di posa della fondazione e Fh sono le forze orizzontali agenti sul muro. Nella verifica a breve termine, tutti i carichi sono carichi totali. La forza resistente T è fornita dall'adesione ca integrata sulla base del muro:

T = cα ⋅ B = 30 ⋅ 3 = 90

kN / m

Le forze orizzontali F h agenti sul muro sono date da: - spinta dell'acqua nella fessura e spinta attiva, a tergo del muro; - spinta dell'acqua, a valle del muro. Con riferimento alla nomenclatura riportata in figura tali forze sono:

= 0 kPa u B = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 2 = 20 kPa σ hC = 20 ⋅ z C − 20 = 20 ⋅ 4 − 20 = 60 kPa u D = 0 kPa u E = γ w ⋅ z E = 10 ⋅ 1,5 = 15 kPa u A

0 Sw1

20 Sa

60


A

D B C

0 Sw2

E

15

Sw1

=

1

=

1

( 20 + 60) ⋅ 2 = 80

Sw 2

=

Sa

∑F

2

h

2

20 ⋅ 2 2

1 2

= 40 kN / m

15 ⋅ 1,52

kN / m

= 16,88 kN / m

=Sw1 + Sa - Sw 2 = 88,75

Il coefficiente di sicurezza allo scorrimento sul piano di posa diventa: η t =

T

∑F

h

=

90 88,75

= 1,01 < 1,2

Il coefficiente di sicurezza è inferiore a 1,3, come richiesto dal D.M. 11 marzo 1988. il muro non è pertanto verificato allo scorrimento sul piano di posa.


ESERCIZIO 2 (1 settembre 2005) Con riferimento allo schema di figura si eseguano le verifiche di stabilità dell’opera di sostegno alla traslazione sul piano di posa e al ribaltamento. Si consideri la sabbia ovunque completamente satura (S=1) e, per la valutazione della spinta passiva a valle dell’opera, con resistenza nulla.

1

OPERA DI SOSTEGNO: γ= 25 kN/m3

2

1

ACQUA: γ= 10 kN/m3 2

1

SABBIA: γ= 20 kN/m3 c’= 0 kPa Φ’=30°

2 INTERFACCIA OPERA-TERRENO Parete verticale: δ=0

Per eseguire le verifiche di stabilità dell’opera di sostegno si assume che il terreno raggiunga le condizioni di rottura per spinta attiva, a tergo del muro, e per spinta passiva a valle.

z

w

Si valuta innanzitutto la distribuzione degli sforzi verticali totali. Definite z e w le coordinate verticali, positive verso il basso, a tergo dell’opera e a valle dell’opera, come riportato in figura, gli sforzi verticali totali sono dati da:

= γ z = 20 z [kPa ] σ v = γ w 1 + γ w = 10 + 20w σ v

[kPa ]

e valgono:


0

10

σ

σ

60

30

Per il calcolo delle pressioni interstiziali si nota che tra monte e valle non vi è alcuna differenza di carico idraulico; la distribuzione delle pressioni interstiziali è pertanto di tipo idrostatico ed è data da:

u = γ w ( z − 1) = 10 z − 10 [kPa ] u = γ w w = 20 w [kPa ] I valori delle pressioni interstiziali sono:

-10 Up

10

20

u

u 20

10 20

20 Ub

Per effetto della risalita capillare nella sabbia completamente satura, le pressioni interstiziali sopra la falda a tergo dell’opera sono negative. Sul paramento inclinato del muro agiscono pressioni interstiziali positive, ortogonali al paramento stesso, di risultante U p pari a:

U p

=

1 2

10 ⋅ 2

=5

2

[kN / m ]

e componenti orizzontale U h e verticale Uv pari a 5 kN/m. Alla base dell’opera agisce una spinta idraulica U b pari:

U b

= 20 ⋅ 3 = 60

[kN / m]

Gli sforzi verticali efficaci sono dati da:

σ ' σ 'v = σ v

−u

e valgono:

10

0

σ' 40

σ' 10

I valori degli sforzi orizzontali a tergo del muro si riferiscono alle condizioni di spinta attiva e sono dati da: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

σ 'h = k a ⋅ σ 'v −2c' k a

= k a ⋅ σ 'v

[ kPa ]

in cui:

k a

ϕ '  30  1  = tg 2   45 −  = tg 2  45 −  = 2  2  3  

I valori degli sforzi orizzontali a valle del muro si riferiscono alle condizioni di spinta passiva in un terreno a resistenza nulla. Essi sono dati da:

σ 'h = k p ⋅ σ 'v +2c' k p

= k p ⋅ σ 'v [kPa ]

in cui:

k p

ϕ '  0   = tg 2   45 −  = tg 2  45 −  = 1 2  2   

Gli sforzi orizzontali totali sono dati da:

σ h

= σ 'h +u

I valori degli sforzi orizzontali efficaci e totali sono riportati in figura:

10/

-20/3

0

σ'

10

σ

σ'

40/

10

σ

40/ 30

Gli sforzi orizzontali totali a tergo del muro non possono essere negativi, perciò si crea una fessura fintantochè si ha:

σ h

= σ 'h +u = k a ⋅ σ 'v +u = k a ⋅ [γ z − γ w ( z − 1)] + γ w ( z − 1) ≤ 0

Da cui si ricava che la profondità z f della fessura vale 0,5 m. Gli sforzi orizzontali totali e tutte le forze risultanti sono: 0

W1

W2 U

10

Sa

S

40/

1

30

W3

S

2

U Per eseguire le verifiche a traslazione sul piano di posa e a ribaltamento si calcolano i valori delle forze e dei loro bracci rispetto al polo O. Nella tabella che segue le forze sono state considerate positive se rivolte verso il basso o verso monte; i momenti sono positivi se stabilizzanti. Fv [kN/m] Fh [kN/m] M [kNm/m] Braccio [m]

W1

= 25 × (1 × 3) = 75

W 2 = 25 × W3

1 2

(1 × 2) = 50

= 25 × (1 × 2 ) = 50


b1 = 2 +

1 2

×1 =

5

375

2

2

4

2 200

3 1

3

3

= ×2 =1

50

b 2

= ×2 =

b 3

2

1

1

5

3 1

3 3

3

2 1

2 1 

Uv

=5

b v

= ×1 =

Ub

= −60

bb

= ×3=

b a

5 = ×  3 −  = 3  2  6

= 1 + ×1 =

1

100

2

3

=− ×

Sa

1  125 ×  3 −  = − 3  2 

4

3

3

3

b h

S p1

= 10 × 1 = 10

b p1

= ×1 =

S p 2

= × (30 − 10) × 1 = 10

b p 2

= ×1 =

1

1

2 1

2 1

10

3

3

3

La verifica al ribaltamento è data da:

η rib

=

M st M rib

=

275,8 124,7

= 2,2 > 1,5

La verifica a traslazione sul piano di posa è data da:

η t =

T

∑F

h

=

(∑ F' )⋅ tg δ (W + W + W + U − U ) ⋅ tg ϕ 69,3 = = = 4,2 > 1,3 ( ) F S U S S 16 , 7 + + ∑ v

1

h

2

a

v

3

h

p1

b

p 2

In cui si è assunto δ =ϕ per ϕ per l’ipotesi che la superficie di scivolamento si colloca nel terreno. L’opera risulta verificata sia a ribaltamento che a scorrimento sul piano di posa.


625

1

=5

2

−

18 20

Uh

1

-90

5

ESERCIZIO 1 (23 dicembre 2005)

Con riferimento al muro di sostegno riportato in figura e avente una base molto inferiore alla lunghezza, esegui le verifiche al carico limite dell’insieme fondazione-terreno nei casi: BT: a breve termine; LT: a lungo termine, assumendo la falda in quiete e che l’argilla sia ovunque completamente satura. Esegui le verifiche rispondendo alle domande di seguito elencate, riportando ipassaggi fondamentali con la notazione letterale. Assumi un coefficiente di sicurezza pari a 2 ed utilizza i coefficienti correttivi per l’inclinazione del carico riportati nella tabella. Nel caso in cui il terreno si fessuri, esegui la verifica BT ipotizzando la fessura piena d’acqua (condizione più sfavorevole) e la verifica LT ipotizzando la fessura vuota (condizione più probabile in condizioni stazionarie). 1

3m

Argilla A1 γ=20 kN/m3 cu=100 kPa c’ =0 =0 kPa ϕ ’ ’ =27° =27°

1

Argilla A2 γ=20 kN/m3 cu=140 kPa c’ =5 =5 kPa ’ =27° ϕ ’ =27°

3 Argilla A1

1

Calcestruzzo γ=25 kN/m3

1 Acqua γ=10 kN/m3 Argilla A2

Tipo di terreno Incoerente (c = 0, ϕ ≠ 0) Coesivo (c ≠ 0, ϕ = 0) Dotato di attrito e coesione (c ≠ 0, ϕ ≠ 0)

m=

2+ 1+

tg δ =

iq

ic

iγ

m (1 − tg δ δ )

-

m +1 (1 − tg δ δ )

  H 1 −  + ϕ V c ctg  

mH

1−

1 m

iq

−

cNc 1 − iq

N c tg ϕ

-

  H 1 −  + ϕ V c ctg  

m +1

B L con B con B=base =base della fondazione; L fondazione; L=lunghezza =lunghezza della fondazione. B

L H V

con H =carico =carico lineare orizzontale applicato sul piano di fondazione; V = carico lineare verticale applicato sul piano di

fondazione.


Caso BT: quali sono le forze V, H e H e il momento M applicati M applicati sul piano di fondazione?

1.

W1

Wt V

Sa

Wu

U2 H

W2

U1

Per la valutazione delle forze agenti sul p iano di fondazione si fa riferimento allo schema riportato sopra. A breve termine gli sforzi orizzontali σ h devono esser calcolati in termini di sforzi totali:

σ h

= σ a = σ v − 2cu = γ z − 2cu = 20 z − 2 ⋅ 100

Si ottiene che lo sforzo orizzontale agente sul piano verticale passante per il b ordo interno della base del muro è <0. Si forma pertanto una fessura che a breve termine può riempirsi completamente d’acqua. E’ probabile, infatti, che la permeabilità dell’argilla più profonda (A2) sia confrontabile con la permeabilità dell’argilla più superficiale (A1), (A1), garantendo le condizioni non drenate. Sul piano verticale la spinta attiva S a è nulla e agisce la spinta idrostatica dell’acquaU dell’acqua U 2:

1

= ⋅ 10 ⋅ 52 = 125 kN / m

U 2

2

A valle del muro agiscono le spinte idrostatiche orizzontaleU orizzontale U 2 e verticale W u dell’acqua:

1

U 1

= ⋅ 10 ⋅ 22 = 20 kN / m

W u

= 10 ⋅ 12 = 10 kN / m

2

I pesi del muro e del terreno sono:

W t = 20 ⋅ 4 ⋅ 3 = 240 kN / m W 1 = 25 ⋅ 4 ⋅ 1 = 100

kN / m

W 1 = 25 ⋅ 1 ⋅ 5 = 125 kN / m Le forze V , H e H e il momento M agenti M agenti sul pian odi fondazione valgono:

V = W 1 + W 2 H = U 2

+ W t + W u = 475 kN / m

− U 1 = 105 kN / m

M = W 1 ⋅ 1 + W u ⋅ 2 − W t ⋅ 1 + U 2 ⋅ 2.

5 3

2

− U 1 ⋅ = 75 kN / m ⋅ m 3

Caso BT: quali sono i valori di qlim, qamm ed è soddisfatta la verifica a carico limite?

Nella verifica di carico limite si considera il meccanismo di rottura più sfavorevole, ovvero quello che può avvenire a valle del muro. Il carico limite in condizioni non drenate di una fondazione nastriforme con carico inclinato è espresso dalla relazione:

qlim

= (2 + π ) cu ic + q iq

in cui ic e iq sono i coefficienti dovuti all’inclinazione del carico che, per un terreno coesivo, sono dati da:

ic

= 1−

iq

=1

mH cNc

= 1−

2 ⋅ 105 140 ⋅ (2 + π )

= 0.71


Il carico q agente sul piano di posa è dato dal peso dell’acqua:

q = 10 ⋅ 2 = 20 qlim

kPa / m

= (2 + π ) 140 ⋅ 0.71 + 20 ⋅ 1 = 529.7 kPa / m

La pressione ammissibile qamm è data da:

qamm

=

qlim F s

=

529.7 2

= 264.8 kPa / m

L’eccentricità dei carichi agenti sul piano di fondazione vale:

e=

M V

= 0.16 m

per cui la base ridotta della fondazione è:

B* = B − 2e = 4.68

m

e il carico ammissibile applicabile sulla fondazione è dato da:

Qamm

= qamm ⋅ B* = 264.8 ⋅ 4.68 = 1239 kN / m > 475 kN / m

Il muro è verificato al carico limite della fondazione. 3.

H’ e il momento M’ applicati M’ applicati sul piano di fondazione? Caso LT: quali sono le forze V’, H’ e

V’ M’

W1

Wt

H’

Sa

Wu

U2 W2

U1

U b A lungo termini gli sforzi orizzontali σ h devono esser calcolati in termini di sforzi efficaci:

σ h

= u + σ a′ = u + k a σ v′

Nell’ipotesi che la falda sia in quiete e che l’argilla sia ovunque completamente satura, la distribuzione delle pressioni interstiziali deve essere di tipo idrostatico secondo l’espressione:

u = γ w ( z − 3) = 10 ( z − 3 ) kPa / m Gli sforzi verticali totali ed efficaci sono:

= γ z = 20 z σ v′ = γ z − u = 20 z − 10 ( z − 3) = 10 z + 30 kPa / m σ v

Il coefficiente di spinta attiva vale:

k a

ϕ ′  = tg 2   45 −  = 0.38 2  

Gli sforzi orizzontali σ h valgono: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

= 10 ( z − 3) + 0.38 (10 z + 30) = 13.8 z − 18.6

σ h

Anche in questo caso si forma una fessura. A lungo termine non è probabile che la fessura rimanga piena d’acqua, perciò si considera la fessura vuota. La sua altezza z altezza z f vale:

− 18.6 = 0 → z f = 1.35 m

13.8 z f

u -30

σ v

’ h 11.3 σ ’

’ v 30 σ ’

σ h 1.35

20

100

1

50.0

50 ⋅ (5 − 1.35) = 91.25 kN / m

S a

=

U b

= 20 ⋅ 5 = 100 kN / m

2

30.0

80

V ′ = W 1 + W 2 H ′ = S a

+ W t + W u − U b = 375 kN / m

− U 1 = 71.25 kN / m

M ′ = W 1 ⋅ 1 + W u ⋅ 2 − W t ⋅ 1 + S a 4.

1

2

3

3

⋅ (5 − 1.35) − U 1 ⋅ = −22.3 kN / m ⋅ m

Caso LT: quali sono i valori di q’ lim lim, q’ amm amm ed è soddisfatta la verifica a carico limite? (Assumi N c=23.94, N q=13.20, N γ γ=14.47)

Il carico limite a lungo termine (condizioni drenate) di una fondazione nastriforme con carico inclinato è espresso dalla relazione:

′ qlim

= c N c ic + q′ N q iq +

1 2

γ * B * N γ iγ

in cui ic, iq e iγ sono i coefficienti dovuti all’inclinazione del carico che, per un terreno dotato di attrito e coesione, sono dati d a: m

2

    71.25 H  = 1 −  = 0.95 iq = 1 − ϕ 375 5 27 + + V c ctg ctg     1 − iq 1 − 0.95 = 0.95 − = 0.94 ic = iq − N c tg ϕ

  H  iγ = 1 − ϕ + V c ctg  

23.94 tg 27

m +1

3

  71.25  = 0.92 = 1 − 375 5 27 + ctg  


e=

M ′ V ′

= 0.06 m


B* = B − 2e = 4.88

m

La falda si colloca sopra al piano di fondazione, perciò γ * vale:

γ *

= 10 kN / m 3


q’ è nulla. La pressione limite q’ lim e la pressione q’ è lim è data da:

′ qlim


1 2

γ * B * N γ iγ

Il carico limite Q’ lim lim è dato da:

′ Qlim

′ ⋅ B* = 437.3 ⋅ 4.88 = 2134 kN / m = qlim

Il coefficiente di sicurezza è:

F s

=

′ Qlim V '

=

2134 375

1

= 5 ⋅ 23.94 ⋅ 0.94 + ⋅ 10 ⋅ 4.88 ⋅ 14.47 ⋅ 0.92 = 437.3 kPa / m

= 5.7 > 2

Il muro è verificato al carico limite della fondazione.


2

ESERCIZIO 1. (23 dicembre 2005)

Con riferimento al muro di sostegno riportato in figura e avente una base molto inferiore alla lunghezza, esegui le verifiche al carico limite dell’insieme fondazione-terreno nei casi: BT: a breve termine; LT: a lungo termine, assumendo la falda in quiete e che l’argilla sia ovunque completamente satura. Esegui le verifiche rispondendo alle domande di seguito elencate, riportando ipassaggi fondamentali con la notazione letterale. Assumi un coefficiente di sicurezza pari a 2 ed utilizza i coefficienti correttivi per l’inclinazione del carico riportati nella tabella. Nel caso in cui il terreno si fessuri, esegui la verifica BT ipotizzando la fessura piena d’acqua (condizione più sfavorevole) e la verifica LT ipotizzando la fessura vuota (condizione più probabile in condizioni stazionarie). 1

3m

Argilla A1 γ=20 kN/m3 cu=100 kPa c’ =0 =0 kPa ϕ ’ ’ =27° =27°

1

Argilla A2 γ=20 kN/m3 cu=140 kPa c’ =5 =5 kPa ’ =27° ϕ ’ =27°

3 Argilla A1

1

Calcestruzzo γ=25 kN/m3

1 Acqua γ=10 kN/m3 Argilla A2

Tipo di terreno Incoerente (c = 0, ϕ ≠ 0) Coesivo (c ≠ 0, ϕ = 0) Dotato di attrito e coesione (c ≠ 0, ϕ ≠ 0)

m=

2+ 1+

tg δ =

iq

ic

iγ

m δ ) (1 − tg δ

-

m +1 δ ) (1 − tg δ

  H 1 −  ϕ + V c ctg  

mH

1−

1 m

iq

−

cNc 1 − iq

N c tg ϕ

-

  H 1 −  ϕ + V c ctg  

m +1

B L con B con B=base =base della fondazione; L fondazione; L=lunghezza =lunghezza della fondazione. B

L H V

con H =carico =carico lineare orizzontale applicato sul piano di fondazione; V = carico lineare verticale applicato sul piano di

fondazione.


Caso BT: quali sono le forze V, H e H e il momento M applicati M applicati sul piano di fondazione?

5.

W1

Wt V

Sa

Wu

U2 H

W2

U1

Per la valutazione delle forze agenti sul p iano di fondazione si fa riferimento allo schema riportato sopra. A breve termine gli sforzi orizzontali σ h devono esser calcolati in termini di sforzi totali:

σ h

= σ a = σ v − 2cu = γ z − 2cu = 20 z − 2 ⋅ 100

Si ottiene che lo sforzo orizzontale agente sul piano verticale passante per il b ordo interno della base del muro è <0. Si forma pertanto una fessura che a breve termine può riempirsi completamente d’acqua. E’ probabile, infatti, che la permeabilità dell’argilla più profonda (A2) sia confrontabile con la permeabilità dell’argilla più superficiale (A1), (A1), garantendo le condizioni non drenate. Sul piano verticale la spinta attiva S a è nulla e agisce la spinta idrostatica dell’acquaU dell’acqua U 2:

1

= ⋅ 10 ⋅ 52 = 125 kN / m

U 2

2

A valle del muro agiscono le spinte idrostatiche orizzontaleU orizzontale U 2 e verticale W u dell’acqua:

1

U 1

= ⋅ 10 ⋅ 22 = 20 kN / m

W u

= 10 ⋅ 12 = 10 kN / m

2

I pesi del muro e del terreno sono:

W t = 20 ⋅ 4 ⋅ 3 = 240 kN / m W 1 = 25 ⋅ 4 ⋅ 1 = 100

kN / m

W 1 = 25 ⋅ 1 ⋅ 5 = 125 kN / m Le forze V , H e H e il momento M agenti M agenti sul piano di fondazione valgono:

V = W 1 + W 2 H = U 2

+ W t + W u = 475 kN / m

− U 1 = 105 kN / m

M = W 1 ⋅ 1 + W u ⋅ 2 − W t ⋅ 1 + U 2 ⋅ 6.

5 3

2

− U 1 ⋅ = 75 kN / m ⋅ m 3

Caso BT: quali sono i valori di qlim, qamm ed è soddisfatta la verifica a carico limite?

Nella verifica di carico limite si considera il meccanismo di rottura più sfavorevole, ovvero quello che può avvenire a valle del muro. Il carico limite in condizioni non drenate di una fondazione nastriforme con carico inclinato è espresso dalla relazione:

qlim

= (2 + π ) cu ic + q iq

in cui ic e iq sono i coefficienti dovuti all’inclinazione del carico che, per un terreno coesivo, sono dati da:

ic

= 1−

iq

=1

mH cNc

= 1−

2 ⋅ 105 140 ⋅ (2 + π )

= 0.71


Il carico q agente sul piano di posa è dato dal peso dell’acqua:

q = 10 ⋅ 2 = 20 qlim

kPa / m

= (2 + π ) 140 ⋅ 0.71 + 20 ⋅ 1 = 529.7 kPa / m

La pressione ammissibile qamm è data da:

qamm

=

qlim F s

=

529.7 2

= 264.8 kPa / m


e=

M V

= 0.16 m


B* = B − 2e = 4.68

m

e il carico ammissibile applicabile sulla fondazione è dato da:

Qamm

= qamm ⋅ B* = 264.8 ⋅ 4.68 = 1239 kN / m > 475 kN / m

Il muro è verificato al carico limite della fondazione. 7.

H’ e il momento M’ applicati M’ applicati sul piano di fondazione? Caso LT: quali sono le forze V’, H’ e

V’ M’

W1

Wt

H’

Sa

Wu

U2 W2

U1

U b A lungo termini gli sforzi orizzontali σ h devono esser calcolati in termini di sforzi efficaci:

σ h

= u + σ a′ = u + k a σ v′

Nell’ipotesi che la falda sia in quiete e che l’argilla sia ovunque completamente satura, la distribuzione delle pressioni interstiziali deve essere di tipo idrostatico secondo l’espressione:

u = γ w ( z − 3) = 10 ( z − 3 ) kPa / m Gli sforzi verticali totali ed efficaci sono:

= γ z = 20 z σ v′ = γ z − u = 20 z − 10 ( z − 3) = 10 z + 30 kPa / m σ v

Il coefficiente di spinta attiva vale:

k a

ϕ ′  = tg 2   45 −  = 0.38 2  

Gli sforzi orizzontali σ h valgono: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

= 10 ( z − 3) + 0.38 (10 z + 30) = 13.8 z − 18.6

σ h

Anche in questo caso si forma una fessura. A lungo termine non è probabile che la fessura rimanga piena d’acqua, perciò si considera la fessura vuota. La sua altezza z altezza z f vale:

− 18.6 = 0 → z f = 1.35 m

13.8 z f

u -30

σ v

’ h 11.3 σ ’

’ v 30 σ ’

σ h 1.35

20

100

1

50.0

50 ⋅ (5 − 1.35) = 91.25 kN / m

S a

=

U b

= 20 ⋅ 5 = 100 kN / m

2

30.0

80

V ′ = W 1 + W 2 H ′ = S a

+ W t + W u − U b = 375 kN / m

− U 1 = 71.25 kN / m

M ′ = W 1 ⋅ 1 + W u ⋅ 2 − W t ⋅ 1 + S a 8.

1

2

3

3

⋅ (5 − 1.35) − U 1 ⋅ = −22.3 kN / m ⋅ m

Caso LT: quali sono i valori di q’ lim lim, q’ amm amm ed è soddisfatta la verifica a carico limite? (Assumi N c=23.94, N q=13.20, N γ γ=14.47)

Il carico limite a lungo termine (condizioni drenate) di una fondazione nastriforme con carico inclinato è espresso dalla relazione:

′ qlim


1 2

γ * B * N γ iγ

in cui ic, iq e iγ sono i coefficienti dovuti all’inclinazione del carico che, per un terreno dotato di attrito e coesione, sono dati d a: m

2

    71.25 H  = 1 −  = 0.95 iq = 1 − ϕ 375 5 27 + + V c ctg ctg     1 − iq 1 − 0.95 = 0.95 − = 0.94 ic = iq − N c tg ϕ

  H  iγ = 1 − ϕ + V c ctg  

23.94 tg 27

m +1

3

  71.25  = 0.92 = 1 − 375 5 27 + ctg  


e=

M ′ V ′

= 0.06 m


B* = B − 2e = 4.88

m

La falda si colloca sopra al piano di fondazione, perciò γ * vale:

γ *

= 10 kN / m 3

e la pressione q’ è q’ è nulla. La pressione limite q’ lim lim è data da: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

′ qlim


1 2

γ * B * N γ iγ

Il carico limite Q’ lim lim è dato da:

′ Qlim

′ ⋅ B* = 437.3 ⋅ 4.88 = 2134 kN / m = qlim

Il coefficiente di sicurezza è:

F s

=

′ Qlim V '

=

2134 375

1

= 5 ⋅ 23.94 ⋅ 0.94 + ⋅ 10 ⋅ 4.88 ⋅ 14.47 ⋅ 0.92 = 437.3 kPa / m

= 5.7 > 2

Il muro è verificato al carico limite della fondazione.


2

Corsi di Geotecnica 1, Geotecnica 2 e Meccanica delle terre e delle rocce. esercizzi svolti

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