Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
7 de diciemb diciembre re de 2017
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = x = x + + 2y 2 y − 4, − 2, xy˙ =(0)−=x0,0 +, 4y4yy(0) = 0. 0.
Respuesta:
Resolvemos el sistema diferencial lineal asociado al problema:
x˙ = x = x + + 2y 2 y − 4, y˙ =
−x + 4y 4 y − 2.
Comenzamo Comenzamoss con (LH) asociado, asociado, que dicho de paso es (LHC), (LHC), escrito escrito matricialm matricialment entee
x˙ 1 2 x y
=
−1
4
y
λ − 1 ⇒ p (λ) = 1 A
= λ − 5λ + 6 = (λ ( λ − 3)(λ 3)(λ − 2) λ − 4 1
2
Familia generadora: e3t , e2t , planteamos como soluci´on on general de (LHC), remplazamos en la segunda ecuaci´on on para obtener relaciones entre las constantes
{
= c 11 e3t + c12 e2t , x = c y = c = c 21 e3t + c22 e2t
}
3t
2t
2c e , e + 2c ⇒ −y˙ =x +3c4y 4y = (−c + 4c 4c 21
22
11
3t 21 )e
+ ( c12 + 4c 4 c22 )e2t .
−
⇒c
= c 11 = c 1 , 21 = c
2c22 = c = c 12 = 2c2 .
La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociado es on x = c = c 1 e3t + 2c 2c2 e2t , 3t y = c = c 1 e + c2 e2t Ahora hallamos hallamos una soluci´ on particular por tanteo, planteamos x = on x = α α,, y = β = β . Derivamos y reemplazamos:
= x + x + 2y 2y − 4, y − 2,0 = α + α + 2β 2β − 4, y0˙ == −−αx + + 4y44β 4β − 2,
⇒ α = 2,
β = = 1
La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on (L) es
x = c = c 1 e3t + 2c 2c2 e2t + 2, 2, 3t 2t y = c = c 1 e + c2 e + 1 Con la soluci´on on general podemos halla los valores de las constantes c1 y c2 , reemplazando las condiciones inicia ini ciales les en ´esta. esta . x(0) = c = c 1 + 2c 2 c2 + 2 = 0, 0, c1 = 0, c2 = 1 y(0) = c = c 1 + c + c2 + 1 = 0
⇒
−
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es: on x = y = De donde y (ln (ln 2) =
2t
−2e + 2,2, −e + 1 2t
−4 + 1 = −3.
on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
x y + xy − y = −4, yy(1)(1)==5,51.1,. 2
Respuesta:
Resolvemos primero la ecuaci´on on (L) del problema diferencial. Comenzamos con la (LH) asociada x2 y + xy
− y = 0,
y = x es una soluci´on on no nula, buscamos otra soluci´on on linealmente independiente planteando y = c(x)x. Derivamos y Derivamos y = c x + c + c,, y = c x + 2c 2c , reemplazamos
x2 (c x + 2c 2c ) + x + x((c x + c + c))
3
+ 3x 3x2 c = 0
− cx = cx = 0 ⇒ x c
⇒c
=
− x3 c.
Reducimos el orden con z con z = c = c , lo que da
z =
− x1 z ⇒ z = e = e
3 ln x
−
=
1 x3
⇒ c
=
1 x3
⇒ c = − 21x
2
Soluci´ on on encontrada y encontrada y = x = x 21x , de donde SF = x, 1/x . La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on (L) la obtenemos por tanteo, salta a la vista que y = 4 es una soluci´on on particular. Por lo tanto, la soluci´ on on general de la ecuaci´on on linal del problema es −
{
2
}
y = c = c 1 x +
c 2 + 4. 4. x
Hallamos los valores de las constantes c constantes c 1 y c 2 reemplazando reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general: y (1) = c = c 1 + c + c1 + 4 = 5, 5, y (1) = c = c 1 c2 = 1
c1 = 1,
⇒
−
c2 = 0.
La soluci´ soluci´ on on del problema es y = x = x + + 4, de donde y (2) = 6 .
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
yy + (y ( y )2
− 2yy
=0
Respuesta:
Reducimos Reducimos el orden de la ecuaci´ ecuaci´on on diferencial, planteando y planteando y (x) = u( u(y), derivando y reemplazando se obtiene,
yuu + u2
− 2yu = yu = 0, ⇒ u(yu
+ u
− 2y) = 0 ⇒ u = 0 o y u + u − 2y = 0.
y = u = u = 0, da como soluci´on on general y general y = c = c.. La otra ecuaci´on on obtenida es la ecuaci´on on lineal
u =
− y1 + 2 ⇒ u = ce = ce
−
ln y
+ y = y =
c c + y + y 2 + y = y = . y y
Reemplazamos y obtenemos la ecuaci´on on de tipo separable c + y + y 2 y = y
2y ⇒ c + y + y
2
y =2
2
⇒ ln(c ln(c + y + y ) = 2x + d + d ⇒ y
Por consiguiente y2 = c 1 e2x + c2
2
2
= e 2x+d + c
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Examen Final de C´ alculo alculo III
7 de diciemb diciembre re de 2017
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
g
3.
e
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = x = x + + 2y 2 y − 4, − 2, xy˙ =(0)−=x0,0 +, 4y4yy(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 1, 1, d) y (ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 3, 3, e) y (ln (ln 2) = 0, 0,
−
c) y (ln (ln 2) = f) y (ln (ln 2) =
−6, −3,
on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
x y + xy − y = −4, yy(1)(1)==5,51.1,. 2
Respuesta:
a) y (2) = 0, 0, d) y (2) = 8, 8, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = e) y (2) =
−3, −4,
c) y (2) = 3, 3, f) y (2) = 3, 3,
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
yy + (y ( y )2
− 2yy
=0
Respuesta:
a) y = c = c 2 ec x , d) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. 1
−
b) y 2 = c 1 e2x + c2 , e) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x
− 1) + c + c , 2
c) y = 3ln x + c + c1 ex + c2 , f) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 ,
√
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
g
3.
d
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = x = x + + 2y 2 y − 4, − 2, xy˙ =(0)−=x0,0 +, 4y4yy(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 3, 3, d) y (ln (ln 2) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = e) y (ln (ln 2) =
−6, −3,
c) y(ln (ln 2) = 1, f) y(ln (ln 2) = 1, 1,
−
on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
x y + xy − y = −4, yy(1)(1)==5,51.1,. 2
Respuesta:
a) y (2) = 3, d) y (2) = 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
− −
b) y (2) = 3, 3, e) y (2) = 3, 3,
c) y(2) = 8, 8, f) y(2) = 0, 0,
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
yy + (y ( y )2
− 2yy
=0
Respuesta:
a) y 2 = c 1 e2x + c2 , d) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x 1) + c + c2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
b) y = 3ln x + c + c1 ex + c2 , e) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 ,
√
c) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , c x f ) y = c = c 2 e ,
−
1
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7 de diciemb diciembre re de 2017
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
g
3.
c
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = x = x + + 2y 2 y − 4, − 2, xy˙ =(0)−=x0,0 +, 4y4yy(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 6, d) y (ln (ln 2) = 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 1, e) y (ln (ln 2) = 1, 1,
− −
−
c) y (ln (ln 2) = 0, 0, f) y (ln (ln 2) = 3, 3,
on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
x y + xy − y = −4, yy(1)(1)==5,51.1,. 2
Respuesta:
a) y (2) = 3, 3, d) y (2) = 3, 3, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 8, 8, e) y (2) = 0, 0,
c) y (2) = f) y (2) =
−4, −3,
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
yy + (y ( y )2
− 2yy
=0
Respuesta:
a) y = 3 lnx ln x + c + c1 ex + c2 , d) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
√
b) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , c x e) y = c = c 2 e ,
−
1
c) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x 2 2x f) y = c 1 e + c2 ,
− 1) + c + c , 2
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
7 de diciemb diciembre re de 2017
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
g
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (35 puntos ) Determinar el valor de y (ln2), sabiendo que y es soluci´
x˙ = x = x + + 2y 2 y − 4, − 2, xy˙ =(0)−=x0,0 +, 4y4yy(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 1, d) y (ln (ln 2) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 0, 0, e) y (ln (ln 2) = 3, 3,
−
c) y (ln (ln 2) = f) y (ln (ln 2) =
−3, −6,
on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos ) Hallar el valor de y (2), sabiendo que y es la soluci´
x y + xy − y = −4, yy(1)(1)==5,51.1,. 2
Respuesta:
a) y (2) = 8, 8, d) y (2) = 0, 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = e) y (2) =
−4, −3,
c) y (2) = 3, 3, f) y (2) = 3, 3,
on general de la ecuaci´ on 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
yy + (y ( y )2
− 2yy
=0
Respuesta:
a) y = 21 x2 c1 ln(x ln(x2 + c1 ) + c + c2 , c x d) y = c = c 2 e , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
1
b) c21 y = c = c 1 x + ln(c ln(c1 x 2 2x e) y = c 1 e + c2 ,
− 1) + c + c , 2
√
c) y = c = c 1 ln(x ln(x + 1 + x + x2 ) + c + c2 , x f) y = 3ln x + c + c1 e + c2 ,
