Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
CONTRAINTES
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
Il faut utiliser le tenseur des contraintes
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction
t
Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes
F
Contraintes normale et tangentielle
Ω
ΩA
Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
Efforts de cohésion dans ΩA (dus à la déformation) Densité volumique de forces F
Efforts de Ω sur ΩA (provoquant la déformation) Densité surfacique de forces t
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base
C(t)
Théorème de l’action et de la réaction
t Ω
Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes
P
Signification physique des contraintes
F
ΩA
Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume
x
Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
F dv = t ds ΩA ∂ΩA F∧x dv = t ∧x ds ΩA ∂ΩA
F = div(σ) t = σ.n σ = σ t
Tenseur des contraintes Vecteur contrainte Le tenseur des contraintes est symétrique
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte
n
Différents tenseurs des contraintes
t df
Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
t = lim
ds -> 0
df ds
Le vecteur contrainte n ’es ’estt pas forc forcém émen entt porté par la normale à cette surface.
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
df = σ.ds
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base
Cauchy (eulérien, symétrique)
Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé
Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)
Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments
Piola-Lagrange
vecteur
contraintes
surface
Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Contrainte normale
Contrainte tangentielle
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte
σn n
t
Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle
σt
Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume
b
ds
Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
σn = t . n = σij ni n j
σt = t . b = σij bi n j ou
σt b = t - σn n
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général
n
Tenseur des contraintes Hypothèses de base
∂ΩT
Théorème de l’action et de la réaction
T
Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes
∂Ω
Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre
Ω
Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
Vecteur contrainte T connu sur la partie ∂ΩT de ∂Ω
t=T
σ.n = T
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CONTRAINTES
Dans un repère orthonormé (Oxyz) :
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte
0 n 0 1
σzz
Différents tenseurs des contraintes
σyz
σxz
Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle
t
σzy
σzx
Conditions aux limites en pression
σyy
Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces
σxx
σyx
σxy
Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan
σxx σxy σxz
Résumé
σ=
σyx σyy σyz σzx σzy σzz
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CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base
Ω
Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes
ΩA
Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
actions sur ΩA par le milieu extérieur
- vec vecteu teurr contrai contrainte nte t - for forces ces de volu volume me fv
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
ργ γ γ Ω Ω ∂Ω
CONTRAINTES
Cadre général
Tenseur des contraintes
Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
σ ργ γ γ ∧ Ω
équilibre des forces
σ σ ) Ω
symétrie du tenseur des contraintes
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction
σ = σt
Dans Da ns le le repè repère re « pr prin incip cipal al » :
Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé
σI σ= 0 0
Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
Contraintes principales
0
0
σII 0 0
σIII
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CONTRAINTES
Cadre général
contrainte moyenne :
Tenseur des contraintes
σ11 σ12 σ13
Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes
σ = σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33
Signification physique des contraintes
σ tr σ
Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé
déviateur des contraintes :
Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
S=
σ11 - σm
σ12
σ13
σ21
σ22 - σm
σ23
σ31
σ32
σ33 - σm
symétrique de trace nulle
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes
contra con traint intee équiva équivalen lente te de von Mis Mises es :
Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes
σ=
3 Sij Sij 2
Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé
contrainte contr ainte équiva équivalente lente de de Tresca Tresca :
Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
σ = Sup(|σI -σII|, |σII -σIII|, |σI -σIII|)
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CONTRAINTES
Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé
Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t) équations d’équilibre : σij,j + fvi = ργ i conditions aux limites : σ . n = T sur ∂ΩT
