Contoh Soal dan pembahasan tentang Bangun datar Segi Empat kaktri ono Add Comment kelas 7, 7, Matematika Jumat, 16 Agustus 2013 Contoh soal dan pembahasan tentang bangun datar segi empat berupa persegi dan persegipanjang. Luas, keliling serta hubungan panjang dan lebar sisi-sisi. Soal No. 1 Perhatikan gambar persegipanjang ABCD berikut!
Tentukan: a) Luas persegipanjang b) Keliling persegipanjang Pembahasan Persegipanjang ABCD panjang p = 6 cm lebar l = 4 cm
a) Luas persegipanjang L=p×l 2 L = 6 cm × 4 cm = 24 cm b) Keliling persegipanjang K = 2× (p + l) K = 2× (6 cm + 4 cm) = 2 x 10 cm = 20 cm Soal No.2 Pak Subur memiliki sebidang kebun berbentuk persegipanjang dengan luas 2 hektar. Jika lebar kebun adalah 125 m, tentukan panjang kebun pak Subur tersebut! Pembahasan Kebun berbentuk persegipanjang 2 L = 2 hektare = 20000 m l = 125 m p =....
p = L : l p = 20000 : 125 p = 160 m
Soal No. 3 Selembar kain bentuk persegipanjang memiliki ukuran perbandingan panjang dan lebar adalah 3 2 : 2. Jika luas penampang kain adalah 54 m tentukan panjang dan lebar kain tersebut! Pembahasan Misalkan panjangnya adalah 3x dan lebarnya adalah 2x
Luas = p x l 54 = (3x)(2x) 2 54 = 6x 2 x = 54/6 2 x = 9
x = √9 x=3
Sehingga panjang = 3x = 3(3) = 9 meter lebar = 2x = 2(3) = 6 meter Soal No. 4 Sebuah persegi memiliki sisi sepanjang 6 cm. Tentuk an luas dan keliling persegi tersebut! Pembahasan Persegi s = 6 cm L =.... K = ....
L=sxs 2 L = 6 x 6 = 36 cm K=4xs 2 K = 4 x 6 = 24 cm Soal No. 5 Perhatikan gambar berikut! Lukisan berbentuk persegi panjang berukuran 40 cm x 50 cm dipasang pada bingkai berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 cm!
Tentukan luas daerah yang tidak tertutup gambar! Pembahasan 2 Luas Bingkai = 60 x 60 = 3600 cm
2
Luas Lukisan = 40 x 50 = 2000 cm 2 Luas area yang tidak tertutup lukisan = 3600 - 2000 = 1600 cm
Belajar Matematika Jumat, 22 November 2013 CONTOH SOAL CERITA BANGUN DATAR DAN PEMBAHASANNYA Contoh 1 Pak Sambera memagar kebunnya yang berbentuk trapezium. Jarak antara dua pagar yang sejajar adalah 61 m. jika jumlah panjang kebun yang dipagar sejajar 190 m, tentukan luas kebun Pak Sambera jawab : Misalkan jarak antar dua pagar uang sejajar adalah tinggi trapezium (t=61cm) dan jumlah panjang kebun yang dipagar sejajar adalah jumlah dua sisi yang sejajar pada trapezium (a+b=190 m). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut Luas kebun Pak Sambera adalah Jadi, luas kebun Pak Sambera adalah 5.795 m
2
Contoh 2 Dikamar Indra terdapat hiasan dinding yang berbentuk belahketupat. Panjang masing-masing 22 cm dan 18 cm. berapakah luas hiasan dinding tersebut ? Penyelesaian Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar Dari gambar dapat kita ketahui bahwa : d1 = 18 cm, d2 = 22 cm Luas hiasan dinding di kamar Indra adalah :
Jadi, luas hiasan diinding dikamar indra adalah 198 cm Contoh 3
2
diagonalnya
Mustar membua t laying-layang dari seutas benang, selembar kertas, dan dua batang bamboo tipis yang panjangnya 90 cm dan 1 m. berapa meter persegi sekurang-kurangnya kertas uang diperlukan untuk membuat laying-layang tersebut ? Penyelesaian Perhatikan gambar berikut :
Dari gambar dapat kita ketahui bahwa AC bisa kita sebut sebagai d 1 = 90 cm, sedangkan BD kita sebut sebagai d2 = 1 m atau 100 cm. Luas layang-layang mustar adalah :
Jadi luas kertas yang dibutuhkan Mustar untuk membuat layang-layang adalah 45 m
2
Contoh 4 Penampang sebuah pulpen berbentuk lingkaran dengan diameter 7 mm. berapa desimeter kelilingnya ? Penyelesaian Perhatikan gambar berikut:
Dengan demikian luas penampang pena tesebut adalah : Jadi luas penampang pena tersebut adalah : 0,385 dm
2
Geometri, berasal dari bahasa Yunani, geo artinya bumi dan metria artinya pengukuran. Sehingga secara harfiah, geometri berarti ilmu pengukuran bumi. Pengertian tersebut muncul, karena pada awal penemuannya, geometri sebagian besar dimulai dari masalah praktis berupa pengukuran segala sesuatu yang ada di bumi untuk keperluan pertanian pada jaman itu (Babylonia dan Mesir Kuno). Pada perkembangan selanjutnya, geometri tidak hanya menyangkut pengukuran dan sifat keruangan bumi, tetapi berkembang pada obyek-obyek yang bersifat abstrak, seperti titik, ruas garis, garis, segi banyak, bidang banyak dan lain-lain. 1. Segi Banyak (Poligon)
a. Segitiga Segitiga adalah gabungan ketiga ruas garis hubung dua-dua titik dari tiga titik yang tidak segaris. Berdasarkan konsep tersebut, jelas bahwa segitiga hanya berupa gabungan tiga ruas garis, yang berarti hanya berupa titik-titik pada batas (keliling) saja dan tidak termasuk daerah dalamnya. Segitiga beserta daerah dalamnya disebut daerah segitiga. Oleh karena itu, segitiga tidak mempunyai luas, yang dipunyai segitiga hanyalah panjang (keliling) saja. Sedangkan luas dimiliki oleh daerah segitiga. Gambar (a) menunjukkan segitiga ABC, sedangkan Gambar (b) menunjukkan daerah segitiga ABC. Teorema berikut memberikan kriteria kapan gabungan tiga ruas garis membentuk segitiga dan kapan tidak. Teorema 1. (Ketidaksamaan Segitiga) Jumlah panjang sebarang dua sisi sebuah segitiga lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga. Sebagai contoh, diberikan tiga buah ruas garis masing-masing berukuran 4 cm, 7 cm, dan 5 cm. Ketiga ruas tersebut apabila digabung-gabung dapat membentuk sebuah segitiga. Sedangkan, tiga buah ruas garis masing-masing berukuran 4 cm, 7 cm, dan 2 cm, jika digabung-gabung tidak mungkin akan membentuk sebuah segitiga. Sebab 4 + 2 tidak lebih dari 7, seperti disyaratkan Teorema 1. Teorema 2. Jumlah ukuran sudut-sudut dalam segitiga adalah. Teorema 3 (Teorema Pythagoras) Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. Jika dalam sebuah segitiga siku-siku, a dan b masing-masing menyatakan panjang sisi siku-sikunya dan c menyatakan panjang sisi miringnya, maka berlaku c2 = a2+ b2 Contoh 1 Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 18 cm, BC = 15 cm dan AC = 12 cm. Tentukan tinggi segitiga dari titik C ke sisi AB. Pembahasan: Perhatikan Gambar tersebut di atas, berdasarkan Teorema Pythagoras pada ² = 12² – p², dan pada DBC berlaku hubungan t² = 15 – (18 – p)². Berdasarkan kedua persamaan tersebut diperoleh: 12 – p = 15²– (18 – p)² 144 p² = 225 (324 36p + p²) – – – p² = 225 324 + 36p p² 144 – – – 144 –99 = + 36p = 36p p = 6,75 243 Selanjutnya p disubstitusikan ke t² = 12² – p² diperoleh: – – 45,5625 t² = 12² – p² = 144 6,75² = 144 = 98,4375. Sehingga diperoleh t = √98,4375 = 9,92. Jadi tinggi segitiga dari titik C ke sisi AB adalah 9,92 cm. 2.
Segiempat
Segi empat adalah gabungan empat ruas garis yang menghubungkan empat titik, dengan tiga-tiga titik tidak segaris, dan mempunyai sifat-sifat :
Tidak ada ruas garis yang berpotongan, kecuali di titik-titik ujungnya. Setiap titik merupakan titik ujung tepat dari dua ruas garis.
Jenis-jenis segiempat yaitu jajar genjang, belah ketupat, persegi panjang, persegi (bujur sangkar), trapesium dan layang-layang. 1). Jajar Genjang Jajar genjang adalah segiempat dengan sifat kedua pasang sisi berhadapan saling sejajar. Berdasarkan pengertian jajar genjang, dapat diturunkan sifat –sifat jajar genjang seperti dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 4 a). Dalam sebuah jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan kongruen (sama panjang);b). Dalam sebuah jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan kongruen (sama besar);c). Dalam sebuah jajar genjang, diagonal-diagonalnya berpotongan di tengah-tengah. Tidak semua segiempat berbentuk jajar genjang. Bagaiman ciri-ciri (kriteria) segiempat yang merupakan jajar genjang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 5 a). Suatu segiempat disebut jajar genjang, jika sisi-sisi yang berhadapan kongruen;b). Suatu segiempat disebut jajar genjang, jika sudut-sudut yang berhadapan kongruen;c). Suatu segiempat disebut jajar genjang, jika diagonal-diagonalnya berpotongan di tengah-tengah; 2). Belah Ketupat Belah ketupat adalah jajar genjang dengan sifat dua sisi yang berturutan kongruen (sama panjang) atau belah ketupat adalah segiempat dengan sifat kedua pasang sisi berhadapan saling sejajar, dan dua sisi yang berturutan kongruen (sama panjang). Berdasarkan pengertiannya jelas bahwa belah ketupat merupakan jajar genjang, tetapi tidak sebalinya. Oleh karena itu sifat-sifat yang berlaku pada jajar genjang juga berlaku pada belah ketupat. Berdasarkan pengertian belah ketupat diperoleh sifat –sifat belah ketupat yang selengkapnya dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 6
Dalam sebuah belah ketupat, keempat sisi-sisinya kongruen; Dalam sebuah belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan kongruen; Dalam sebuah belah ketupat, diagonal-diagonalnya berpotongan di tengahtengah; Dalam sebuah belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut menjadi dua bagian yang kongruen; Dalam sebuah belah ketupat, diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus satu dengan yang lain;
Bagaiman ciri-ciri (kriteria) segiempat yang merupakan belah ketupat dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 7
Jika dalam suatu jajar genjang diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut menjadi dua bagian yang kongruen, maka jajar genjang tersebut adalah belah ketupat. Jika dalam suatu jajar genjang diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus satu dengan yang lain, maka jajar genjang tersebut adalah belah ketupat.
3). Persegi Panjang Persegi panjang adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya siku-siku, yang ekuivalen dengan persegi panjang adalah segiempat dengan sifat kedua pasang sisi berhadapan saling sejajar dan salah satu sudutnya siku-siku. Berdasarkan pengertian persegi panjang diperoleh sifat –sifat persegi panjang yang selengkapnya dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 8
Dalam sebuah persegi panjang, keempat sudutnya siku-siku. Dalam sebuah persegi panjang, sisi-sisi yang berhadapan kongruen. Dalam sebuah persegi panjang, diagonal-diagonalnya berpotongan di tengahtengah. Dalam sebuah persegi panjang, diagonal-diagonalnya sama panjang.
Bagaiman ciri-ciri (kriteria) segiempat yang merupakan persegi panjang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 9 Jika dalam suatu segiempat sisi-sisi berhadapannya sejajar dan diagonal-diagonalnya sama panjang, maka segiempat tersebut adalah persegi panjang. 4). Persegi Persegi adalah persegi panjang yang dua sisi berturutannya sama panjang, yang ekuivalen dengan persegi adalah segiempat dengan sifat kedua pasang sisi berhadapan saling sejajar, salah satu sudutnya siku-siku dan dua sisi yang berturutan sama panjang. Berdasarkan pengertian persegi diperoleh sifat –sifat persegi yang selengkapnya dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 10
Dalam sebuah persegi, keempat sisinya kongruen. Dalam sebuah persegi, keempat sudut siku-siku. Dalam sebuah persegi, diagonal-diagonalnya berpotongan di tengah-tengah. Dalam sebuah persegi, diagonal-diagonalnya sama panjang. Dalam sebuah persegi, diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya. Dalam sebuah persegi, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut menjadi dua bagian yang kongruen, dan masing-masing berukuran 45°.
5). Trapesium Trapesium adalah segi empat yang tepat sepasang sisi berhadapan saling sejajar, sedangkan pasangan sisi yang lain tidak sejajar. Berdasarkan pengertian tersebut jelas
bahwa
jajargenjang
bukanlah
kejadian
khusus
dari
trapesium.
Dalam suatu trapesium, sisi-sisi yang sejajar disebut sisi-sisi alas. Sedangkan sisi-sisi yang tidak sejajar disebut kaki-kaki trapesium. Trapesium tidak mempunyai sifat khusus. Jenis-jenis trapesium yaitu 1) trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang kedua kakinya sama panjang, 2) trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang salah satu sudutnya sikusiku, dan 3) trapesium sebarang, yaitu trapesium yang keempat sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang. Teorema 11
Dalam trapesium sama kaki, sudut-sudut alasnya kongruen. Dalam trapesium sama kaki, diagonal-diagonalnya kongruen.
Sedangkan layang-layang adalah segiempat yang sepasang sisi berdekatan kongruen dan sepasang sisi berdekatan lain yang sisi-sisinya berbeda dengan sisi-sisi pada pasangan pertama juga kongruen. Sifat –sifat layang-layang yaitu:
Diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus. Salah satu diagonalnya dipotong menjadi dua bagian sama panjang oleh diagonal yang lain.
2. Luas Daerah Segi Banyak a. Pengukuran Luas Daerah 1) Daerah Segi-n dan Luas Satuan Banyak orang yang tidak dapat membedakan antara segi-n dan daerah segi-n, padahal kedua istilah itu menyatakan konsep yang berbeda. Daerah segi –n adalah himpunan titik-titik pada segi–n beserta titik-titik di daerah dalamnya. Untuk membedakan, segi– n dan daerah segi–n, diberikan contoh persegi panjang dan daerah persegi panjang sebagai berikut. Gambar (a). menyatakan persegi panjang sedangkan Gambar (b). menyatakan daerah persegi panjang. Perlu diperhatikan bahwa persegi panjang tidak mempunyai ukuran luas, ukuran yang dimiliki persegi panjang adalah panjang persegi panjang, yang disebut keliling persegi panjang, Sedangkan daerah persegi panjang, ukuran yang dimiliki adalah luas. Mengukur luas suatu daerah berarti membandingkan besar suatu daerah dengan daerah lain yang digunakan sebagai patokan. Luas daerah yang digunakan sebagai patokan ada yang standar dan ada yang tidak standar. Luas daerah yang digunakan sebagai patokan disebut sebagai luas satuan. Luas satuan adalah luas daerah persegi yang panjang sisisisinya satu satuan panjang. b. Luas Daerah Persegi Panjang Luas daerah persegi panjang adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke
dalam daerah persegi panjang tersebut. Berdasarkan pengertian tersebut dapat disusun Teorema berikut. Teorema 12 Luas daerah persegi panjang sama dengan hasil kali panjang alas dengan tinggi persegi panjang tersebut. Jika luas daerah persegi panjang dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang alas dengan p (satuan panjang) dan lebarnya dengan l (satuan panjang), maka L = p x l. Contoh 2 Sebuah plat baja berbentuk persegi panjang dipanaskan sehingga mengalami pemuaian. Jika pertambahan muai panjang dan lebarnya masing-masing 5% dari ukuran semula, tentukan persentase pertambahan luas plat baja tersebut terhadap luas mula-mula. Pembahasan: Misal panjang pesegi panjang mula-mula p (satuan panjang) dan lebar t (satuan panjang). Panjang persegi panjang setelah dipanaskan = p + 2 x 0,05 p = 1,1 p, sedangkan lebar persegi panjang setelah dipanaskan = t + 2 x 0,05 t = 1,1 t. Luas plat baja mula-mula = p x t = pt (satuan luas). Luas plat baja setelah dipanaskan = 1,1 p x 1,1 t = 1,21 pt (satuan luas). Pertambahan luas = 1,21 pt – pt = 0,21 pt (satuan luas). Persentase pertambahan luas plat baja = 0,21 pt / pt x 100% = 21 %. c. Luas Daerah Persegi Luas daerah persegi adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke dalam daerah persegi tersebut. Berdasarkan luas daerah persegi panjang diturunkan luas daerah persegi seperti dinyatakan dalam Teorema berikut. Teorema 13 Luas daerah persegi sama dengan kuadrat panjang sisi persegi tersebut. Jika luas daerah persegi dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang sisi-sisinya dengan s (satuan panjang), maka L = s² d. Luas Daerah Jajar Genjang Luas daerah jajar genjang adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke dalam daerah jajar genjang tersebut. Berdasarkan luas daerah persegi panjang, dapat diturunkan rumus luas daerah jajar genjang seperti dinyatakan dalam Teorema berikut. Teorema 14 Luas daerah jajar genjang sama dengan hasil kali panjang alas dengan tinggi jajar sebut. Jika luas daerah jajar genjang dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang alas dengan p (satuan panjang) dan tingginya dengan t (satuan panjang), maka L=pxt e. Luas Daerah Belah Ketupat Luas daerah belah ketupat adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke dalam daerah belah ketupat tersebut. Rumus luas daerah belah ketupat dapat diturunkan dari rumus luas daerah persegi panjang seperti dinyatakan dalam Teorema berikut. Teorema 15 Luas daerah belah ketupat sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonal belah ketupat tersebut. Jika luas daerah belah ketupat dinyatakan dengan L (satuan
luas), panjang diagonal-diagonalnya dengan (satuan panjang) dan (satuan panjang), maka L = 1/2 x d1 x d2 . Contoh 3 Luas daerah suatu belah ketupat sama dengan 150 cm². Perbandingan panjang diagonal-diagonalnya adalah 3 : 4, tentukan panjang diagonal-diagonal belah ketupat tersebut. Pembahasan : d1 x d2 = 3 : 4 4d1 = 3 d2 d1 = ¾ d2 d1 x d1 x d2 d2 L = 150 = 2 2 d2 = 300 d1 x d2 x d2= 300 ¾ = 300 x 4/3 =400 d2 ² = 20 d2 √ 400 d1 = ¾ d2 = ¾ x 20 = 15 Jadi panjang diagonal-diagonal belah ketupat tersebut adalah 15 cm dan 20 cm. f. Luas Daerah Layang-layang Luas daerah layang-layang adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke dalam daerah layang-layang tersebut. Rumus luas daerah layang-layang dapat diturunkan dari rumus luas daerah persegi panjang seperti dinyatakan dalam Teorema berikut. Teorema 16 Luas daerah layang-layang sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonal layang-layang tersebut. Jika luas daerah layang-layang dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang diagonal-diagonalnya dengan d1 (satuan panjang) dan d2 (satuan panjang), maka L = ½ x d1 x d2. g. Luas Daerah Trapesium Luas daerah trapesium adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke dalam daerah trapesium tersebut. Berdasarkan luas daerah persegi panjang, dapat diturunkan rumus luas daerah trapesium seperti dinyatakan dalam Teorema berikut. Teorema 17 Luas daerah trapesium sama dengan setengah hasil kali jumlah panjang sisi sejajar dengan tinggi trapesium tersebut. Jika luas daerah trapesium dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang sisi-sisi sejajar masing-masing dengan a (satuan panjang) dan b (satuan panjang) serta tingginya dengan t (satuan panjang), maka L =½ (a + b) x t h. Luas Daerah Segitiga Luas daerah segitiga adalah banyaknya luas satuan yang dapat dimasukkan ke dalam daerah segitiga tersebut. Berdasarkan luas daerah persegi panjang, dapat diturunkan rumus luas daerah segitiga seperti dinyatakan dalam Teorema berikut. Teorema 18
Luas daerah segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang alas dengan tinggi segitiga tersebut. Jika luas daerah segitiga dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang alas dengan a (satuan panjang) dan tingginya dengan t (satuan panjang), maka L =½ x ax t Contoh 4 Perhatikan gambar di bawah ini Diketahui ABCD persegi panjang dengan panjang AB = 24 cm, dan BC = 10 cm. Titiktitik E, F, G dan H secara berturut-turut merupakan titik tengah sisi-sisi AB, BC, CD ada AD, sedangkan I dan J secara berturut-turut merupakan titik tengah ruas garis HE dan HG. Tentukan luas daerah yang diarsir. Pembahasan : Mudah untuk ditunjukkan bahwa AEH ≅ HGD ≅ GFC ≅ EBF, akibatnya diperoleh HG = GF = FE = EH. Hal ini berarti bahwa segiempat HEFG merupakan belah ketupat, dengan diagonal-diagonal HF = 24 cm dan EG = 10 cm. Karena I dan J masing-masing titik tegah HE dan HG, oleh karena itu diperoleh HI = HJ. Dengan Teorema yang sama, dapat ditunjukkan bahwa IEF ≅ JFG, akibatnya diperoleh IF = JF. Dengan hasil ini dapat disimpulkan bahwa segiempat IFJH merupakan suatu layang-layang, dengan diagonal-diagonal HF = 24 cm dan IJ = 5 cm. Luas daerah yang diarsir = Luas daerah belah ketupat HEFG – Luas daerah layanglayang HIFJ. HF HF 24 x 24 x x x 10 5 EG - IJ = 2 Jadi
2 luas
2 daerah
2 yang
diarsir
= 120 =
– 60 60
=
60 cm².
3. Bidang Banyak dan Daerah Bidang Banyak. Perlu diperhatikan bahwa berdasarkan definisi bidang banyak, yang dimaksud dengan bidang banyak hanyalah permukaannya saja tidak termasuk daerah dalamnya. Bidang banyak beserta daerah dalamnya disebut daerah bidang banyak (bidang banyak pejal atau bidang banyak solid). Bidang banyak tidak mempunyai ukuran volume, ukuran yang dimiliki bidang banyak adalah luas daerah, yang disebut luas permukaan bidang banyak. Sedangkan daerah bidang banyak, disamping mempunyai luas, juga mempunyai volume. Mengukur volume suatu daerah bidang banyak berarti membandingkan besar suatu daerah bidang banyak dengan daerah bidang banyak lain yang digunakan sebagai patokan. Volume daerah bidang banyak yang digunakan sebagai patokan (standar) disebut sebagai volumne satuan. Volume satuan adalah volume daerah kubus yang panjang rusuk-rusuknya satu satuan
panjang. a. Volume dan Luas Permukaan Balok Volume daerah balok, atau disingkat volume balok, adalah banyaknya volume satuan yang dapat dimasukkan ke dalam balok tersebut hingga penuh dan balok tersebut berubah menjadi daerah balok. Berdasarkan pengertian tersebut dapat disusun Teorema berikut. Teorema 19 Volume balok sama dengan jumlahan dari hasil kali panjang dan lebar, hasil kali panjang dan tinggi, dan hasil kali lebar dan tinggi. Jika volume balok dinyatakan dengan V (satuan volume), panjang balok p (satuan panjang), lebar balok l (satuan panjang) dan tinggi balok t (satuan panjang), maka/span> V = p x l x t Luas permukaan balok adalah jumlah seluruh luas daerah sisi-sisi balok. Untuk menentukan luas permukaan balok, akan lebih mudah jika balok dipotong- potong sepanjang rusuk-rusuknya dan dihamparkan pada bidang datar untuk mendapatkan jaring-jaring balok seperti nampak pada gambar di bawah ini.
Berdasarkan gambar di atas, nampak bahwa balok mempunyai enam sisi, yang terdiri dari tiga pasang daerah persegi panjang yang kongruen Teorema 20 Jika luas permukaan balok dinyatakan dengan L (satuan luas), panjang balok p (satuan panjang), lebar balok l (satuan panjang) dan tinggi balok t (satuan panjang), maka L = 3( pl + pt + lt ) b. Volume dan Luas Permukaan Kubus Volume daerah kubus, atau disingkat volume kubus, adalah banyaknya volume satuan yang dapat dimasukkan ke dalam kubus tersebut hingga penuh dan kubus tersebut berubah menjadi daerah kubus. Berdasarkan pengertian tersebut dapat disusun Teorema berikut. Teorema 21 Volume kubus sama dengan hasil kali panjang rusuk-rusuknya. Jika volume kubus dinyatakan dengan V (satuan volume), panjang rusuk-rusuknya r (satuan panjang), maka V = r x r x r = r³ Luas permukaan kubus adalah jumlah seluruh luas daerah sisi-sisi kubus. Untuk menentukan luas permukaan kubus, akan lebih mudah jika kubus dipotong-potong sepanjang rusuk-rusuknya dan dihamparkan pada bidang datar untuk mendapatkan jaring-jaring kubus seperti nampak pada gambar di bawah ini: Karena kubus mempunyai enam sisi yang berbentuk daerah-daerah persegi kongruen, maka diperoleh rumus sebagai berikut.
Teorema 22 Jika luas permukaan kubus dinyatakan dengan L (satuan luas), dan panjang rusukrusuknya r (satuan panjang), maka L = 6 x r x r = 6r² c. Volume dan Luas Permukaan Prisma Volume daerah prisma, atau disingkat volume prisma, adalah banyaknya volume satuan yang dapat dimasukkan ke dalam prisma tersebut hingga penuh dan tersebut tersebut berubah menjadi daerah prisma. Prisma banyak jenisnya tergantung bentuk (jenis) alasnya. Pada hakikatnya cara menentukan rumus volume prisma dengan menggunakan pendekatan volume balok atau volume kubus. Volume prisma dinyatakan dengan formula sebagai berikut. Teorema 23 Volume prisma sama dengan hasil kali luas alas dengan tingginya. Jika volume prisma dinyatakan dengan V (satuan volume), luas alasnya L a (satuan luas) dan tingginya t (satuan panjang), maka V = La x t Luas permukaan prisma adalah jumlah seluruh luas daerah sisi-sisi prisma. Untuk menentukan luas permukaan prisma akan lebih mudah jika prisma dipotong-potong sepanjang rusuk-rusuknya dan dihamparkan pada bidang datar untuk mendapatkan jaring-jaring prisma. Jaring-jaring prisma terdiri dari tiga bagian, yaitu dua sisi alas (beberapa literatur menyebut sisi alas dan sisi atas) yang bentuknya berupa daerah segi banyak (poligon) dan sisi samping yang bentuknya berupa daerah persegi panjang. Beberapa jaring-jaring prisma nampak seperti pada gambar di bawah ini:
Luas permukaan prisma ditentukan dengan rumus sebagai berikut. Teorema 24 Jika luas permukaan prisma dinyatakan dengan L (satuan luas), luas alasnya dengan L a(satuan luas), keliling alas dengan K (satuan panjang) dan tingginya dengan t (satuan panjang), maka L = 2L a+ K t d. Volume dan Luas Permukaan Limas Volume daerah limas, atau disingkat volume limas, adalah banyaknya volume satuan yang dapat dimasukkan ke dalam limas tersebut hingga penuh dan prisma tersebut berubah menjadi daerah limas. Sama seperti prisma, jenis limas tergantung bentuk (jenis) alasnya. Pada hakikatnya cara menentukan rumus volume limas dengan menggunakan pendekatan volume balok atau volume kubus. Volume limas dinyatakan dengan formula sebagai berikut. Teorema 25
Volume limas sama dengan sepertiga hasil kali luas alas dengan tingginya. Jika volume limas dinyatakan dengan V (satuan volume), luas alasnya La (satuan luas) dan tingginya t (satuan panjang), maka V = 1/3x La x t Luas permukaan limas adalah jumlah seluruh luas daerah sisi-sisi limas. Jenis limas tergantung bentuk (jenis) alasnya, oleh karena itu jaring-jaring limas juga tergantung jenis limasnya Beberapa jaring-jaring prisma nampak seperti pada gambar di bawah ini: Teorema 26 Jika Luas permukaan limas ditentukan dengan rumus sebagai berikut. luas permukaan limas dinyatakan dengan L (satuan luas), luas alasnya dengan La(satuan luas), keliling alas dengan K (satuan panjang) dan tinggi segitiga sisi samping dengan (satuan panjang) t s, maka L = 2La+ ½Kts e. Volume dan Luas Permukaan Tabung Volume daerah tabung, atau disingkat volume tabung, adalah banyaknya volume satuan yang dapat dimasukkan ke dalam tabung tersebut hingga penuh dan tabung tersebut berubah menjadi daerah tabung. Volume tabung dinyatakan dengan formula sebagai berikut. Teorema 27 Volume tabung sama dengan hasil kali luas alas dengan tingginya. Jika volume tabung dinyatakan dengan V (satuan volume), jari-jari lingkaran alas r (satuan panjang) dan tingginya t (satuan panjang), maka V =πr2t Luas permukaan tabung adalah jumlah seluruh luas daerah sisi-sisi tabung.. Jaring-jaring prisma terdiri dari tiga bagian, yaitu dua sisi alas (beberapa literatur menyebut sisi alas dan sisi atas) yang berbentuk daerah lingkaran dan sisi samping yang berbentuk daerah persegi panjang. Jaring-jaring tabung nampak seperti pada gambar di bawah ini.
Luas permukaan tabung ditentukan dengan rumus sebagai berikut. Teorema 28 Jika luas permukaan tabung dinyatakan dengan L (satuan luas), jari-jari alasnya dengan r (satuan panjang) dan tingginya dengan t (satuan panjang), maka L = 2πr2+ 2πrt = 2πr(r + t). f. Volume dan Luas Permukaan Kerucut Volume daerah kerucut, atau disingkat volume kerucut, adalah banyaknya volume satuan yang dapat dimasukkan ke dalam kerucut tersebut hingga penuh dan kerucut tersebut berubah menjadi daerah kerucut. Volume kerucut dinyatakan dengan formula sebagai berikut.
Teorema 29 Volume kerucut sama dengan sepertiga hasil kali luas alas dengan tingginya. Jika volume kerucut dinyatakan dengan V (satuan volume), jari-jari lingkaran alas r (satuan panjang) dan tingginya t (satuan panjang), maka V = 1/3 r2t. Luas permukaan kerucut adalah jumlah seluruh luas daerah sisi-sisi kerucut. Jaring jaring kerucut terdiri dari dua bagian, yaitu dua sisi alas yang berbentuk daerah lingkaran dan sisi samping yang berbentuk daerah selimut kerucut. Jaring-jaring kerucut nampak seperti pada gambar di bawah ini. Luas permukaan kerucut ditentukan dengan rumus sebagai berikut: Teorema 30 Jika luas permukaan kerucut dinyatakan dengan L (satuan luas), jari-jari alasnya dengan r (satuan panjang) dan panjang apotema kerucut dengan t (satuan panjang), L = pr2+ prs = pr(r + s).
Soal UN matematika dan cara pengerjaannnya Posted on October 10, 2012 by kyufangirl
PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP TA 2011/2012 (Paket A64)
1. Hasil dari 17 − (3 × (−8)) adalah …. A. 49 B. 41 C. – 7 D. – 41 Soal ini menguji kemampuan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi tambah, kurang, kali atau bagi pada bilangan bulat
Alternatif cara penyelesaian: Operasi perkalian dan pembagian mempunyai hirarki yang lebih tinggi dibandingkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Bilangan yang ada dalam tanda kurung, diprioritaskan untuk dikerjakan terlebih dahulu, sebelum dioperasikan dengan bilangan lain yang ada di luar tanda kurung. Soal ini dapat diselesaikan dengan mudah sebagai berikut:
17 − (3 × (−8)) = 17 − (−24) = 17 + 24 = 41 Jadi diperoleh hasil sama dengan 41. (B) 2. Hasil dari 2⅕ : 1⅕-1 ¼ adalah….. A. 1 5/7 B. 1/30 C. 7/12 D. 5/12 Alternatif cara penyelesaian: Operasi perkalian dan pembagian mempunyai hirarki yang lebih tinggi dibandingkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Soal ini dapat diselesaikan dengan mudah sebagai berikut: 2⅕ : 1⅕-1 ¼ = 11/5 : 6/5 – 5/4 =11/5 X 5/6 – 5/4 =11/6 – 5/4 =7/12 Jadi diperoleh hasil sama dengan 7/12 (C)
3. Uang Wati berbanding uang Dini 1: 3. Jika selisih uang Wati dan Dini Rp120.000,00
jumlah uang mereka adalah … A. Rp160.000,00 B. Rp180.000,00 C. Rp240.000,00 D. Rp360.000,00 Alternatif cara penyelesaian: Perbandingan dua besaran merupakan suatu pecahan dalam bentuk sederhana yaitu bentuk A/B
atau A: B, dengan A,B merupakan bilangan asli, a ≠ b. Dari soal diketahui perbandingan uang Wati dan uang Dini adalah1: 3 dan selisih uang Wati dan Dini adalah Rp120.000,00.
Selisih perbandingan uang Wati dan uang Dini adalah 3 − 1 = 2 Jumlah perbandingan uang Wati dan uang Dini adalah 3 + 1 = 2 Jumlah uang Wati dan uang Dini adalah 4/2× 120.000 = 240.000 Jadi jumlah uang mereka adalah Rp240.000,00. (C) 4. Hasil dari 36
3. 2 adalah…. A. 24 B. 54 C. 108
D. 216 Alternatif cara penyelesaian: 3
2 2
3
Dengan menggunakan sifat dalam bilangan berpangkat yaitu bentuk. 36 /2 =(6 ) /3=6 =216
3
Jadi hasil dari 36 /2 = adalah 216 (D)
5. Hasil dari√3 × √8adalah …. A. 2√6 B. 3√6 C. 4√3 D. 4√6 Alternatif cara penyelesaian: Dengan menggunakan sifat pada bilangan bentuk akar yaitu 1. 2.
√A X √B = √AB √A/B = √A/B
3 × √8 = √24 = √4 × √6 = 2 √6 Sehingga hasil dari √3 × √8 = 2√6 (A) 6. Kakak menabung di bank sebesar Rp800.000,00 dengan suku bunga tunggal 9% setahun. Tabungan kakak saat diambil sebesar Rp920.000,00. Lama menabung adalah
…. A. 18 bulan B. 20 bulan C. 22 bulan
D. 24 bulanAlternatif cara penyelesaian: Ada dua jenis bunga yaitu a. Bunga tunggal, jika yang mendapat bunga hanya modalnya saja sedangkan bunganya tidak berbunga lagi b. Bunga majemuk, jika yang mendapat bunga tidak hanya modaln ya saja tetapi bunganya juga akan berbunga lagi Dari soal diketahui bahwa besarnya modal adalah Rp800.000,00 dan bunga dalam setahun adalah 9% = 9% × 800000 = 72000 Bunga dalam setahun sebesar Rp72.000,00 Sehingga bunga dalam satu bulan sebesar
72000
/12 =6000
Bunga dalam satu bulan sebesar Rp6.000,00 Jika kakak mengambil tabungan sebesar Rp920.000,00 maka selisih tabungan kakak
dengan modal sebesar 920000 − 800000 = 120000 Jadi pada saat kakak mengambil tabungan sebesar Rp920.000,00 lama menabung kakak adalah
72000
/6000 = 20 BULAN.
(B)
7. Dua suku berikutnya dari barisan3, 4, 6, 9, … adalah … A. 13, 18 B. 13, 17 C. 12, 26 D. 12, 15 Alternatif cara penyelesaian: Dari soal diketahui barisan bilangan
yaitu 3, 4, 6, 9 ,…, … kemudian dicari dua suku
berikutnya. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu selisih dua suku seperti berikut. Sehingga dua suku berikutnya adalah 9 + 4 = 13dan 13 + 5 = 18. Jadi dua suku berikutnya adalah 13, 18. (B) 8. Suatu barisan aritmetika diketahui 6 = 18dan 10 = 30. Jumlah 16 suku pertama dari
barisan tersebut adalah … A. 896 B. 512 C. 448 D. 408 Alternatif cara penyelesaian: Diketahui U6 = 18 dan U10 = 30 Karena sudah diketahui merupakan barisan aritmetika Un=un− 1 + b Misal u1 =a U2 = a+b U3 =u2 + b = a+b+b= a+2b U6
= a + 5b = 18….(1)
U10 = a+ 9b = 30 … … (2) Dari persamaan (1) dan (2) dengan menggunakan eliminasi diperoleh nilai = 3. Karena b = 3 maka a + 9b = 30 a + 27 = 30 a=3
u16 = a + 15b = 3+15 × 3 = 3 + 45 = 48 sn = 1/2n(u1 +u2) Dengan demikian S16 =1/2× 16 × (u1 + u16) =1/2× 16 × (3 + 48) = 408 Jadi, jumlah 16 suku pertama dari barisan tersebut adalah 408 (D) 9. Dalam setiap 20 menit amuba membelah diri menjadi dua. Jika mula-mula ada 50
amuba, selama 2 jam banyaknya amuba adalah … A. 1.600 B. 2.000 C. 3.200 D. 6.400 Alternatif cara penyelesaian: Dari soal diketahui bahwa 1 = 50dan dalam setiap 20 menit amuba membelah diri menjadi 2. Sehingga dalam 120 menit atau 2 jam, banyaknya amuba adalah 3200. Atau dengan menggunakan barisan geometri u1= 50
R=u2/u1=u3/u2=…=un/un-1=2 r adalah rasio dua suku berurutan
Dalam waktu 2 jam atau 120 menit, berarti diperlukan 120/20= 6 langkah, untuk mendapatkan banyaknya amuba. Jadi selama 20 menit diperoleh
u7=u1.rn-1
= 50 ∙ 26 = 3200 (C) 2
2
10. Pemfaktoran dari 81a – 16b
adalah …
A. (3a− 4b)(27a + 4b) B. (3a+ 4b)(27a – 4b) C. (9a – 4b)(9a + 4b) D. (9a – 4b)(9a – 4b) Alternatif cara penyelesaian: Karena kedua suku merupakan bentuk kuadrat, maka dengan menggunakan 2
2
2 2
pemfaktoran selisih dua kuadrat diperoleh 81a – 16b = 9 a 2
(9a)
− 42 b2
− (4b)2
(9a – 4b)(9a + 4b) (C)
11. Himpunan penyelesaian dari −7p + 8 < 3p − 22, untuk p bilangan bulat adalah … A. {… , −6, −5, −4} B. {… ,0,1, 2} C. {−2, −1, 0,… } D. {4, 5, 6, … } Alternatif cara penyelesaian
−7p+ 8 < 3p − 22 −7p+ 8 – 3p − 8 < 3p − 22 – 3p − 8 −10p < −30
-p<-3
3− > p Karena p bilangan bulat, maka nilai p yang bersesuaian adalah {4, 5, 6, … } (D) 12. Jumlah tiga bilangan ganjil berurutan adalah 63. Jumlah bilangan terbesar dan terkecil
dari bilangan tersebut adalah … A. 38 B. 42 C. 46 D. 54 Alternatif cara penyelesaian: Tiga bilangan ganjil berurutan yaitu 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 Jumlah tiga bilangan ganjil berurutan adalah 63 (2n+ 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 63 6n + 9 = 63 6n = 54 n= 9 Bilangan terbesar adalah 2n + 5, bilangan terkecil adalah 2n + 1
2n + 1 + 2n+ 5 = 4 + 6 =4×9+6 = 42 Jadi jumlah bilangan terbesar dan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah 42. (B)
13. Ada 40 peserta yang ikut lomba. Lomba baca puisi diikuti oleh 23 orang, lomba baca puisi dan menulis cerpen diikuti 12 orang. Banyak peserta yang mengikuti
lombamenulis cerpen adalah … A. 12 orang B. 28 orang C. 29 orang D. 35 orang Alternatif cara penyelesaian: Kita dapat menyelesaikan soal ini dengan membuat gambar berupa diagram Venn kemudian menyusun persamaan dari informasi yang diketahui. Untuk menyelesaikan permasalahan terkait himpunan diawali dengan menghitung banyaknya elemen yang mendukung himpunan tersebut. Pada soal diketahui jumlah seluruh peserta lomba 40 orang, 23 orang mengikuti lomba baca puisi dan 12 orang mengikuti lomba baca puisi dan menulis cerpen. Berdasarkan infromasi tersebut, dapat diketahui bahwa peserta yang mengikuti lomba baca puisi saja sebanyak
23 − 12 = 11 peserta.Karena jumlah seluruh peserta 40 orang, sedangkan 23 peserta sudah terdaftar mengikuti lomba, sehingga sisanya 17 orang merupakan peserta untuk lomba menulis cerpen saja. Dari informasi yang diketahui di atas, maka dapat di buat diagram Venn. Dan dari diagram Venn di atas dapat diketahui bahwa banyaknya peserta yang mengikuti lomba menulis cerpen adalah 29 orang. (C)
14. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = px +q. Jika f(3) = −10 dan f(−2) = 0,
maka f (−7)adalah … A. -18 B. -10 C. 10 D. 18 Alternatif cara penyelesaian: Diketahui: F(x)= px+q
Karena f(3) = −10 maka −10 = 3p+ …..(i) Karena f(−2) = 0 maka 0 = −2p +
….. (ii)
Dari (i) dan (ii) dengan metoda eliminasi diperoleh p = −2 dan q = −4. Dengan demikian nilai dari f(−7) dapat diperoleh sebagai berikut: f (-7) = −7p+q
−7(−2) + (−4) 10 (C)
15. Diketahui rumus fungsi f(x) = −2x + 5. Nilai f(−4) adalah … A. −13 B. −3 C. 3 D. 13 Alternatif cara penyelesaian:
Nilai f(−4) dapat langsung dihitung dengan cara mensubstitusikan x = −4 ke dalam
rumus fungsi f(x) = −2x + 5 sebagai berikut: f(−4) = −2(−4) + 5 = 13
Jadi nilai f(−4) adalah 13 (D)
16. Gradien garis dengan persamaan 4 − 6 = 24 adalah … A. 3/2 B. 2/3 C. -2/3 D. -3/2 Alternatif cara penyelesaian: Persamaan garis 4x – 6y = 24 terlebih dahulu dinyatakan dalam bentuk eksplisit :sebagai berikut y=mx + c sebagai berikut:
4x – 6y = 24
−6y= −4x+ 24 Y= 2/3x-4 Dengan demikian gradien garis dengan persamaan 4x – 6y = 24 adalah 2/3 (B) 17. Keliling suatu persegipanjang 28 cm. Jika panjangnya 2 cm lebih dari lebarnya, luas
persegipanjang tersebut adalah … A. 28 cm2 B. 30 cm2 C. 48 cm2 D. 56 cm2
Alternatif cara penyelesaian: Diketahui keliling persegipanjang 28 cm. Misalkan lebar persegipanjang , maka panjang persegipanjang
= + 2.
Keliling = 2(p+ l) 28 =2((l + 2)+l) 28 = 2(2l + 2) 28 = 4l + 4 l=6 Karena p = l + 2, maka p = 6 + 2 = 8. Luas persegipanjang dapat dihitung sebagai berikut: p × l = Luas =8×6 = 48 Dengan demikian luas persegipanjang tersebut adalah 48 cm2. (C)
18. Diketahui luas belahketupat 240 cm2 dan panjang salah satu diagonalnya 30 cm. Keliling belahketupat tersebut adalah… A. 60 cm B. 68 cm C. 80 cm D. 120 cm Alternatif cara penyelesaian:
Diketahui luas belah ketupat adalah 240 cm2 Misal AC = 30cm, maka AO = OC = 15 cm Luas ABCD = 1/2 X AC X BD 240 = 1/3 X 30 X BD BD = 16 Dengan demikian BO= OD = 8 cm Keliling ABCD= AB+BC+CD+DA Karena AB= BC=CD=DA ,maka keliling ABCD adalah 2
2
2
Pada segitiga ABO berlaku AB = OA +BO sehingga 2
2
2
AB = 15 + 8 = 225 + 64 = 289
Diperoleh AB= ±17. Karena terkait dengan konteks panjang, maka AB= −17 tidak digunakan, sehingga
= 17.
Keliling ABCD= 4 × 17 = 68. Jadi keliling belahketupat adalah 68 cm. (B) 19. Perhatikan gambar persegi PQRS dan persegipanjang KLMN Panjang PQ = 12 cm, LM = 5 cm, dan KL= 10 cm. Luas daerah yang 2
tidak diarsir 156 cm A. 19 cm2 B. 24 cm2
, luas daerah yang diarsir adalah…
C. 38 cm2 D. 48 cm2 Alternatif cara penyelesaian: Dari gambar jelas bahwa daerah yang diarsir terletak pada persegi PQRSdan sekaligus terletak pada persegipanjang KLMN Sehingga luas daerah yang diarsir akan terhitung dua kali. Dengan demikian untuk menghitung luas daerah yang tidak diarsir, digunakan cara sebagai berikut: Luas tidak arsir = luas pqrs+ luas klmn− 2 × Luasarsir
156 = PQ × RS + KL × MN − 2 × Luasarsir 156 = 12 × 12 + 10 × 5 − 2 × Luasarsir Luasarsir = 19 2
Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 19 cm (A)
20. Di atas sebidang tanah berbentuk persegipanjang dengan ukuran 15 m × 6 makan dibuat pagar di sekelilingnya. Untuk kekuatan pagar, setiap jarak 3 m ditanam tiang
pancang. Banyak tiang pancang yang ditanam adalah … A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 Alternatif cara penyelesaian: Diketahui bidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran 15 m × 6 m. Keliling bidang tanah = 2(p + l)
= 2(15 + 6) = 42 Karena jarak antar tiang pancang adalah 3 m, maka banyak tiang pancang yang ditanam adalah 42/3 = 14. (c) 21. Perhatikan gambar berikut Besar sudut nomor 1 adalah 95°, dan besar sudut nomor 2 adalah 110°. Besar
sudut nomor 3 adalah … A. 5° B. 15° C. 25° D. 35° Alternatif cara penyelesaian: Dari soal diketahui bahwa nomor 1 adalah 95°, dan besar sudut nomor 2 adalah 110°. Sudut nomor 4 bertolak belakang dengan sudut nomor 1 sehingga besarnya juga 95°. Sudut nomor 5 sehadap dengan sudut nomor 4 sehingga besarnya juga 95°. Sudut nomor 6 adalah pelurus dari sudut nomor 2 sehingga dapat diketahui besarnya 70°. Sudut nomor 3, 5, dan 6 adalah sudut pembentuk segitiga yang jumlah besar sudutnya 180° sehingga: sudut nomor 3 + sudut nomor 5 + sudut nomor 6 = 180° sudut nomor 3 + 95° + 70° = 180°
sudut nomor 3 = 15° Jadi besar sudut nomor 3 adalah 15° (B) 22. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dengan pusat P dan Q adalah 15 cm, jarak
=
17 cm, dan jari-jari lingkaran
=
2 cm. Jika jari-jari
lingkaran P kurang dari jari-jari lingkaran Q, maka panjang jari-jari lingkaran Q adalah
… A. 30 cm B. 16 cm C. 10 cm D. 6 cm Alternatif cara penyelesaian: Diketahui AB = 15 cm AP = 2 cm PQ = 17 cm PQ > BQ Akan dihitung panjangBQ Dengan bantuan garis PC diperoleh BC = 2 cm. Perhatikan bahwa AB= PC dan BQ = BC + CQ Untuk memperoleh panjang BQ terlebih dulu dicari panjang CQ sebagai berikut. 2
2
2
Pada segitiga PCQ berlaku CQ PQ PC Sehingga,
2
2
CQ = 17
− 152
= 289 − 225 = 64 Diperoleh CQ = ±8. Karena terkait dengan konteks panjang, maka
CQ= −8 tidak
digunakan, sehingga CQ = 8. Sehingga BQ = BC+ CQ= 2 + 8 = 10. Dengan demikian panjang jari-jari lingkaran Q adalah 10 cm. (C)
23. Persamaan garis melalui titik(2,−3)dan sejajar garis 2 − 3 + 5 = 0 adalah … A. 3X+ 2y = 13 B. 3x – 2y = 13 C. 2x+ 3y = 13
D. 2x− 3y = 13 Alternatif cara penyelesaian: Persamaan garis 2x – 3y + 5 = 0 terlebih dahulu dinyatakan dalam bentuk eksplisit :sebagai berikut c + mx = y 2x – 3y + 5 = 0
−3y= −2x− 5 Y =2/3x +5/3 Sehingga dapat diketahui gradien garis 2x – 3y + 5 = 0 adalah 2/3 Karena garis yang melalui titik
(2, −3) sejajar dengan garis 2 − 3 + 5 = 0 maka
gradien kedua garis tersebut sama yaitu 2/3 Men ggunakan rumus persamaan garis melalui titik (y−y1)= m(x – x1) (x1,y1) yaitu maka:
y− y1 = m(x – x1 ) y-(-3) = 2/3 ( x – 2 ) y + 3 = 2/3x – 4/3
3y + 9 = 2x – 4 2x – 3y = 13 Dengan demikian persamaan garis yang dimaksud adalah 2x− 3y= 13 (D) 24. Volume kerucut yang panjang diameter alasnya 10 cm dan tinggi
18 cm adalah …
(∏ = 3,14) A. 1.413,0 cm3 B. 942,0 cm3 C. 706,5 cm3 D. 471,0 cm3 Alternatif cara penyelesaian: Diketahui diameter alas 10 cm sehingga jari-jarinya ½ x 10 yaitu 5cm
Volume kerucut : 1/3 x∏x r x r x t = 1/3 x 3,14 x 5 x 5 x 18 = 471 3
Sehingga volume kerucut tersebut adalah 471,0 cm (D)
25. Sebuah tongkat panjangnya 2 m mempunyai panjang bayangan 75 cm. Pada saat yang sama panjang bayangan sebuah menara TV 15 m. Tinggi menara TV tersebut adalah … A. 40 m B. 45 m C. 48 m D. 60 m Alternatif cara penyelesaian: Persoalan di atas merupakan persoalan perbandingan senilai.
Tongkat Menara TV
Ukuran sebenarnya 2m a
Panjang bayangan 75 cm = 0,75 m 15 m
a= 15/0,75 x 2 = 40 Jadi tinggi menara TV adalah 40 m. (A) 26. Data nilai ulangan matematika beberapa siswa sebagai berikut: 64, 67, 55, 71, 62, 67,
71, 67, 55. Modus dari data tersebut adalah …. A. 62 B. 64 C. 67 D. 71 Alternatif cara penyelesaian: Modus adalah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi atau nilai dari data yang sering muncul. Modus dilambangkan dengan Mo. Dari soal yang ada untuk nilai 55 muncul dua kali, nilai 62 dan 64 muncul sekali, nilai 67 muncul tiga kali dan nilai 71 muncul dua kali. Jadi modus dari data nilai ulangan matematika dari soal yang ada adalah 67.25 Atau dapat juga dibuat tabel frekuensi telebih dahulu seperti berikut ini Nilai Ulangan Matematika 55 62 64 67 71 jumlah
Frekuensi 2 1 1 3 1 8
