Conjuntos Laura Dávalos
Concepto Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros de un conjunto ±
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Representación El identificador del conjunto se representa representa po una letra del alfabeto en mayúsculas Los elementos del conjunto por minúsculas, números o ambos Los elementos se muestran entre llaves { } separados por comas
Representación de un conjunto El conjunto B tiene como elementos las letras de la palabra mandarina B ={ m,a,n,d,a,r,i,n,a} ={m,a,n,d,r,i} ={n,r,a,i,m,d} Se pueden eliminar los repetidos y el orden no importa
Pertenencia Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto C si se verifica que el elemento está dentro del conjunto xC Si el elemento x no pertenece al conjunto C xC
A={1,3,5,7,9} 3 A pero 6 A
Notación abstracta Se usa cuando no es posible o resulta inconveniente listar los elementos del conjunto A={x | P(x)} A es el conjunto de las x, tal que cumple con la condición P(x)
Sea B el conjunto que tiene como elementos a todas las palabras del idioma español que inician con la letra E B={x|x es una palabra del idioma español que comienza con e} Sea C el conjunto que tiene a todos los números reales comprendidos entre 2 y 3 C={x|x es un número real entre 2 y 3}
Conjuntos definidos N Conjunto de los números naturales N={0,1,2,3,}
Z+ Conjunto de los números enteros no negativos Z+={1,2,3,}
Z Conjunto de los números enteros Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3,}
Q Conjunto de números racionales Q={a/b | a,b Z; b 0}
R Conjunto de los números reales
U = conjunto universo Ø = conjunto vacío
Subconjuntos Si todos los elementos de A también son elementos de B, se dice que A es subconjunto de B, o que A está contenido en B A
B
Si A no es subconjunto de B A
B
A ! {x | x
Z ;10 e x e 100}
B ! {2,3,5,11,12,15, 21,30, 45,82} C ! {12,15,45} Todo
C
B
C
A
B
A
A
B
A
C
B
C
conjunto A es subconjunto de sí mismo El conjunto vacío es subconjunto de todos y de sí mismo Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto universo U
Conjunto Potencia Si A es un conjunto entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se llama potencia de A y se indica como P(A) A ! {a, b, c} P ( A) ! {
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
n 2 El número de subconjuntos de A está dado por
Donde n es el número de elementos de A
Ejercicios 1 1. ¿cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos? a) b) c) d)
A={x|x es una letra de la palabra hola} B={x|x es un dígito del número 103836} C={x|x Z+; x-4 3} D={x|x es un dígito válido en el sistema hexadecimal} e) E={x|x Z; es divisible entre 3; -4
B={x|x Z+;5>x-2} C={x|x es una letra de la palabra America diferente de vocal} D={x|x Z+; xes múltiplo de 7; x <100;x es impar}
Diagrama de Venn
A C
B
Operaciones
con conjuntos
Union (A U B) La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B
B
A AUB
Unión Sean los conjuntos: A={1,2,3,6,7,8} B={x|x Z+; x12; x es par} La unión de los conjuntos sería: A U B ={1,2,3,4,6,7,8,9,10,12}
Leyes para la unión Ley conmutativa
A U B= B U A
Ley de idempotencia A U A = A y A=B AUU=U
Intersección
La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A yB A B ! {x | x A; x B}
A
B
Intersección
A={1,2,3,6,7,8} B={x|x Z+; x12; x es par} Aplicando la intersección se tiene: A
B ! {2,6,8}
Leyes para la intersección Si A y B son conjuntos disjuntos (no tienen elementos comunes) entonces A B ! Si A=B entonces También
y
A
B! A
A
7! A
A
!
A! A
Ley Distributiva B
A
C ! A
B
A
C
U
U B
C
B
C
A
B
A
C
B
C
U
U
B
C
A
B
A
B
C
A
A
A
C
A
B
A
C
Complemento El complemento de un conjunto A se denota A y es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto A A' ! { x x
7; x
A} U
A A
Sean los conjuntos U={x|x Z}
A={1,3,5,8}
A ! {x | x
Z ; x
{1,3,5,8}}
A ! {x | x
Z ; x { 1; x {
3; x { 5; x { 8}
Propiedades del complemento
A'' ! A A
A' ! 7
A
A' !
7' !
'! 7
Ejercicios
Operaciones
con conjuntos
Ley de Morgan
A A
B ' ! A' B ' ! A'
B ' B'
Todas
las operaciones se pueden extender a más de dos conjuntos. Por ejemplo:
A A
B B
C ' ! A' C ' ! A'
B'
C '
B'
C '
Difrencia (A-B) La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B A B ! {x | x
A; x
B}
A ! {1,2,3,4,7,9,10} B ! {3,4,5,6,7,8} A B ! {1,2,9,10} A
B
B A ! {5,6,8}
Diferencia simétrica Todo
A
B
lo que está en A que no está en B y también todo lo que está en B y no está en A
x
B ! {x
A
A; x
B o x
B; x
A
A ! {1,2,3,4,7,9,10} B ! {3, 4,5,6,7,8} A B ! {1,2,9,10} A
B
A
B ! {1,2,5,6,8,9,10}
}
Leyes