TEORIA DE CONJUNTOS. 3RO. MEDIO ELECTIVO.
1.
Sea A = { 1, 2, 4,a,b,c}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso: a) 2 ∈ A ; b) 3 ∈ A ; c) c ∈ / A ; d) ∈ A ; e) ∈ / A ; f ) a ∈ A .
2.
Sea A = { x/x es un número real y x < 6 }. Responda si lo siguiente es verdadero o falso: a) 3 ∈ A ; b) 6 ∈ A ; c) 5 ∈ / A ; d) 8 ∈ / A ; e) −8 ∈ A ; f ) 3, 4 ∈ / A .
3.
x/P (x)}, donde P ( P (x) es una propiedad que los elementos Escr Escrib iba a el conj conjun unto to en la form forma a { x/P ( del conjunto tienen en común: a) {2, 4, 6, 8, 10}; b) {a,e,o,i,u}; c) {1, 4, 9, 16 16,, 25 25,, 36}; d) {−2, −1, 0, 1, 2}.
4.
Dado Dadoss los los conj conjun unto toss U = {− 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {− 2, 1, 3, 5}, B = {− 1, 0, 3, 4} determine cada una de las siguientes relaciones: a) A ∩ B ; b) A ∩ B ; c) A ∪ B ; d) A ∪ B ; e) A ∩ B ; f ) A ∩ B.
5.
Dem Demuest uestre re lo sigu siguie ien nte: te: a) A ⊆ A ∪ B ; b) A ∩ B ⊆ A ; c) A − A = ; d) A − B = A ∩ B ; e) A − (A − B ) ⊆ B ; f ) Si C ⊆ A y C ⊆ B , entonces C ⊆ A ∪ B ; g) Si A ⊆ C y B ⊆ C , entonces A ∪ B ⊆ C .
6.
Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es igual a A? a) {4, 1, 2, 3, 5}; b) {2, 3, 4}; c) {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 2 d) {x/x es un entero y x ≤ 25 }; e) {x/x es un entero positivo y x ≤ 5 }; f ) {x/x es un número racional positivo y x ≤ 5 }.
7.
¿Cuál ¿Cuál de los siguie siguient ntes es conjun conjuntos tos es vacío? acío? a) {x/x es un número real y x 2 − 1 = 0}; b) {x/x es un número real y x 2 + 1 = 0}; c) {x/x es un número real y x 2 = − 9}; d) {x/x es un número real y x = x = 2x + 1 }; e) {x/x es un número real y x = x = x x − 1}.
8.
9.
Si A = { 1, 2}, encuentre P ( P (A).
Sea A = { 1, 2, 5, 8, 11}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso: a) {5, 1} ⊆ A; b) {8, 1} ∈ A; c) {1, 6} A; d) {1, 8, 2, 11 11,, 5} A; e) ⊆ A ; f ) {2} ⊆ A ; g) {3} ∈ / A ; h) A ⊆ {11 11,, 2, 5, 1, 8, 4}. INSTITUTO NACIONAL
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Sea A = { x/x es un entero y x 2 < 16 }. Responda si lo siguiente es verdadero o falso: a) {0, 1, 2, 3} ⊆ A ; b) ⊆ A; c) {−3, −2, −1} ⊆ A; d) A ⊆ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}; e) {x/x es un entero y | x| < 4 } ⊆ A . . 11. Sea A = { 1, 2, 3, ..., 15}: a) ¿Cuántos subconjuntos de A contienen todos los enteros impares de A? b) ¿Cuántos subconjuntos de A contienen exactamente tres enteros impares? c) ¿Cuántos subconjuntos de A de ocho elementos contienen exactamente tres enteros impares? 10.
12.
Demuestre que A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A .
13.
Dados. los conjuntos
U = { a,b,c,d,e,f,g,h,k },
A = { a,b,c,g },
C = { a,c,f },
B = { d,e,f,g }
D = { f,h,k}.
Obtenga:
a) b) c) d) e) f) g)
A ∪ B; B ∪ C ; A ∩ C ; B ∩ D; A − B; A; A ∆ B ;
h) i) j) k) l) m) n)
A ∆ C ; A ∪ D; B ∪ D; C ∩ D; A ∩ (B ∪ C ); B − C ; C − B ;
o) B ; p) C ∆ D ; q) A ∪ B ; r) A ∩ B ∩ C ; s) A ∩ D; t) (A ∪ B) ∩ C ; u) A ∪ B ∪ C ;
v) A ∩ B ; w) C ∪ D; x) C ∪ D; y) C ∩ D; z) C ∩ .
14.
En una encuesta hecha a 120 personas se encontró que a 71 personas les gusta escuchar música clásica, a 80 personas les gusta escuchar música nacional, y que a 42 de ellas les gustaba ambos tipos de música: a) ¿A cuántas personas, de las encuestadas, les gusta la música clásica, pero no la música nacional? b) A cuántas personas no les gusta ninguna de las dos? Resp: a) 29 personas; b) 11 personas.
15.
En un zoológico hay 80 animales de 11 meses de nacidos. A tal edad se les enseñan dos aspectos: ambientación y a cambio de alimentación. Hay 40 animales ambientándose, 30 cambiando su alimentación y 20 aprendiendo ambas cosas: a) Cuántos animales se ambientan, pero no cambian su alimentación? b) Cuántos cambian su alimentacion, sin cambiar su ambiente? c) Cuántos animales cambian su alimentación o su ambiente?
Resp: a) 20 animales se ambientan sin cambiar su alimentación; b) 10 cambian su alimentación sin cambiar su ambientación; c) 50 animales cambian su alimentaci;on o su ambiente.
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En un grupo de 90 alimentos, 36 productos contienen azúcar, 32 tienen ácido cítrico y 32 conservador; 6 productos contienen a la vez, azúcar, ácido cítrico y conservador; 12 contienen ácido cítrico y azúcar, 10 contienen conservador y azúcar, y finalmente 8 contienen ácido cítrico y conservador:
16.
En un grupo de 90 alimentos, 36 productos contienen azúcar, 32 tienen ácido cítrico y 32 conservador; 6 productos contienen a la vez, azúcar, ácido cítrico y conservador; 12 contienen ácido cítrico y azúcar, 10 contienen conservador y azúcar, y finalmente 8 contienen ácido cítrico y conservador: a) ¿Cuántos productos contienen exclusivamente ácido cítrico? b) ¿Cuántos sólo azúcar? c) ¿Cuántos contienen sólo conservador? d) ¿Cuántos de los productos contienen ácido cítrico y conservador, pero no azúcar? e) ¿Cuántos productos no contienen ninguna de las sustancias mencionadas? Resp: a) 18; b) 20; c) 20; d) 2; e) 14.
17.
En un restaurant de 900 comidas servidas durante cierto día laboral se obtuvo la siguiente información: 370 incluyeron filete de pescado; 290 incluyeron carne asada; 214 incluyeron tinga de pollo 30 incluyeron filete y carne asada; 40 incluyeron filete y tinga; 20 incluyeron carne asada y tinga; 20 incluyeron filete, carne asada y tinga. a) ¿Cuántas comidas llevaron exclusivamente filete? b) ¿Cuántas comidas llevaron exclusivamente carne asada? c) ¿Cuántas no llevaron ninguno de los tres? d) ¿Cuántas llevaron filete o carne asada, pero no tinga? Resp: a) 320 comidas llevaron sólo filete; b) 260 tienen sólo carne asada; c) 96 comidas llevaron ninguno de los tres; d) 590 comidas que llevaron filete o carne asada, pero no tinga.
18.
En una encuesta a 40 personas sobre sus deportes olímpicos preferidos, se encontró que a 20 les gusta la gimnasia, a 20 la natación y a 12 el ciclismo. A 5 de estas personas les gustan simultáneamente los tres deportes, a 8 la gimnassia y la natación, a 7 la gimnassia y el ciclismo, y a 6 la natación y el ciclismo: a) ¿A cuántas personas les gusta la natación y el ciclismo pero, no la gimnassia? b) ¿A cuántas les gusta la gimnassia o el ciclismo, pero no la natación? c) ¿A cuántas les gusta uno o dos de estos deportes, pero no los tres conjuntamente? Resp: a) 1; b) 16; c) 31.
19.
Se interrogó a 300 jóvenes acerca de la adicción al tabaco, alcohol, drogas o alguna combinación de éstas. Se encontró que 122 lo eran al alcohol, 212 al tabaco y 97 a las drogas, 67 eran adictos tanto al alcohol como al tabaco, 50 al alcohol y a las drogas, 44 al tabaco y a las drogas, y solamente 7 lo eran a los tres tipos: a) ¿Cuántos son adictos al alcohol pero no al tabaco? b) ¿Cuántos son adictos al alcohol y las drogas, pero no al tabaco? c) ¿Cuántos son adictos al tabaco o a las drogas, pero no al alcohol? Resp: a) 11 jóvenes; b) 24 jóvenes; c) 64 jóvenes. INSTITUTO NACIONAL
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20.
En una encuesta aplicada a 260 estudiantes de preparatoria se obtuvieron los siguientes datos: 64 toman un curso de matemáticas 94 toman un curso de computación 58 toman un curso de administración 28 toman cursos de matemáticas y administración 26 toman cursos de matemáticas y computación 22 toman cursos de administración y computación 14 toman los tres cursos. a) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta no toman ninguno de los tres cursos? b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta toman sólo el curso de computación?
21.
Una encuesta aplicada a 500 televidentes produce la siguiente información: 285 ven programas cómicos 195 ven programas deportivos 115 ven programas culturales 45 ven programas cómicos 70 ven programas deportivos 50 ven programas culturales 50 no ven ningún programa. a) ¿Cuántos entrevistados ven los tres tipos de programas? b) ¿Cuántos entrevistados ven sólo uno de los tres?
22.
¿Cuándo es A − B = B − A? Explique.
23.
Sean
U = { 1, 2, 3,..., 9, 10},
A = { 1, 2, 3, 4, 5},
C = { 1, 2, 3, 5, 7},
B = { 1, 2, 4, 8},
D = { 2, 4, 6, 8}.
Determine las relaciones:
a) (A ∪ B) ∩ C ; b) A ∪ (B ∩ C ); c) C ∪ D;
d) C ∩ D; e) (A ∪ B) − C ; f ) A ∪ (B − C );
g) (B − C ) − D; h) B − (C − D); i) (A ∪ B) − (C ∩ D).
24.
En cada parte, encuentre el conjunto con el menor número de elementos posible, que contenga a los conjuntos dados como subconjuntos: a) {a,b,c}, {a,d,e,f }, {b,c,e,g}; b) {1, 2}, {1, 3}, ; c) {1, a}, {2, b}.
25.
Dados los conjuntos U = R, A = {x/x es una solución de x2 − 1 = 0}, B = {−1, 4}. Obtenga: a) A; b) B ; c) A ∪ B ; d) A ∩ B .
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26.
Dados los conjuntos
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = { 1, 2, 4, 6, 8},
C = { x/x es un número entero y x 2 ≤ 16 },
B = { 2, 4, 5, 9} D = { 7, 8}.
Obtenga:
a) A − B ; b) B − A; c) A; d) A ∆ B ; e) A ∪ D; f ) B ∪ C ; 27.
g) A ∩ D; h) B ∩ C ; i) C − D; j) C ; k) C ∆ D ; l) B ∆ C ;
m) n) o) p) q) r)
A ∪ B ∪ C ; B ∪ C ∪ D; A ∩ B ∩ C ; A ∪ A; A ∪ A; A ∩ A;
s) t) u) v) w) x)
A ∪ B; A ∩ B; A ∩ (B ∪ C ); (A ∪ B) ∩ D; B ∩ C ∩ D; A ∩ (C ∪ D).
Dados los conjuntos U = { a,b,c,d,e,f,g,h}, A = { a,c,f,g }, B = { a, e}, C = { b, h}. Obtenga:
a) b) c)
d) A ∩ B ; e) C ; f) A − B ;
A; B; A ∪ B;
g) A ∩ B ; h) B ∪ C ; i) A ∪ A;
j) C ∩ C ; k) A ∆ B ; l) B ∆ C .
28.
Suponga que A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(U ) = 100. Encuentre el número de elementos en cada una de las regiones básicas del diagrama de Venn si: a) n(A) = 40, n(B) = 70 y n(A ∩ B) = 20; b) n(A) = 30, n(B) = 60 y n(A ∪ B) = 85; c) n(A) = 35, n(A ∩ B) = 5 y n(A ∪ B) = 32; d) n(B − A) = 20, n(B) = 30 y n(A ∪ B). .
29.
Una encuesta de 1.000 personas mayores de 40 años reveló que 312 fumaban, 80 tenían cáncer y 660 ni fumaban ni tenían cáncer. Dibuje un diagrama de Venn para responder estas preguntas: a) ¿Cuántas personas de las encuestadas fumaban y tenían cáncer?; b) ¿Qué porcentaje de fumadores tenían cáncer? c) ¿Puede la encuesta indicar que fumar produce cáncer?
30.
Considere los siguientes conjuntos:
A = { 2, 4, 5, 7},
B = { x/x ∈
C = { x/x ∈
2
Z y x es
un cuadrado perfecto}
D = {− 1, −2, 0}. ¿Cuáles pares de conjuntos son disjuntos? . 31. Se dan los conjuntos A, B y C . Con ayuda de las operaciones de unión e intersección escriba un conjunto que conste de los elementos pertenecientes: a) A los tres conjuntos; b) Por lo menos a dos de dichos conjuntos; c) Por lo menos a un conjunto. Z y x
= 4},
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32.
33.
Suponga que A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(U ) = 100. Encuentre el número de elementos en cada una de las regiones básicas del diagrama de Venn si: a) n(A) = 40, n(B) = 70 y n(A ∩ B) = 20; b) n(A) = 30, n(B) = 60 y n(A ∪ B) = 85; c) n(A) = 35, n(A ∩ B) = 5 y n(A ∪ B) = 32; d) n(B − A) = 20, n(B) = 30 y n(A ∪ B) = 47. . Dados los conjuntos
U = {− 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
A = {−2, 1, 3, 5},
Determine cada una de las siguientes relaciones: a) A ∩ B ; b) A ∩ B ; c) A ∩ B ; d) 34.
35. 36.
37.
e)
A ∪ B;
f)
A ∪ B.
Verifique que |A ∪ B | = | A| + |B | − |A ∩ B | dados los conjuntos: a) A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 3, 5, 6, 8}; b) A = { a,b,c,d,e,f }, B = { a,c,f,g,h,i,r }; c) A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 5, 6, 7, 8, 9}; d) A = { x/x es un número entero positivo < 8 }; B = { x/x es un número entero tal que 2 ≤ x ≤ 5 }; e) A = { a,b,c,d,e}, B = { f,g,r,s,t,u}; f ) A = { x/x es un número entero positivo y x 2 ≤ 16 }, B = { x/x es un número entero negativo y x 2 ≤ 25}. Si A y B son conjuntos disjuntos tales que |A ∪ B | = | A|, ¿qué se puede decir de B ? Calcule la diferencia simétrica A ∆ B si: a) A = { 1, 3, 4, 6, 9} y B = { 1, 2, 3, 7}; c) A = { 1, 3, 4, 6, 9} y B = { 3, 6, 9}.
b) A = { 1, 3, 4, 6, 9} y B = { 2, 5};
Determine A − B :
a) b) c)
A = { 1, 3, 5, 7}, B = { 5, 9, 11, 13}; A = {− 1, 0, 1, 4, 6, 7, 9, 11}, B = { 2, 4, 6, 8, 10}; A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 6, 8, 10, 12};
d) A = { 4, 6, 8},
38.
A ∩ B;
B = {− 1, 0, 3, 4}.
B = { 2, 4, 6, 8, 10}.
Una encuesta de 200 obreras mayores de 30 años revela que 60 tienen grado preuniversitario, 80 ganan más de $ 4.000 al año y 30 tienen grado preuniversitario y ganan más de $ 4.000 al año. Dibuje un diagrama de Venn para responder estas preguntas: a) ¿Cuántas mujeres ni tienen grado preuniversitario ni ganan más de $ 4.000 al año? b) ¿Qué porcentaje de las mujeres que tienen grado preuniversitario ganan más de $ 4.000 al año? c) Indican los resultados de la encuesta que las mujeres con grado preuniversitario tienen mayores probabilidades de mejorar sus ingresos? INSTITUTO NACIONAL
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39.
Una encuesta de 1.000 personas mayores de 40 años reveló que 312 fumaban, 80 tenían cáncer y 660 ni fumaban ni tenían cáncer. Dibuje un diagrama de Venn para responder estas preguntas: a) ¿Cuántas personas de las encuestadas fumaban y tenían cáncer? b) ¿Qué porcentaje de fumadores tenían cáncer? c) ¿Puede la encuesta indicar que fumar produce cáncer?
40.
Considere los conjuntos A = { (x, y) ∈ R2 /2x − y = 4}; Encuentre lo siguiente: a)
41.
B = { (x, y) ∈ R2 /x + 3y = 9};
A ∩ B;
b)
A ∩ C ;
C = { (x, y) ∈ R2 /y = 2x}.
c) B ∩ C ;
d)
A ∪ C .
Demuestre las siguientes proposiciones. Supóngase un universo U : a) Si A ⊆ B , C ⊆ D , entonces A ∩ C ⊆ B ∩ D y A ∪ C ⊆ B ∪ D; b) A ⊆ B si, y sólo si, A ∩ B = ; c) A ⊆ B si, y sólo si, A ∪ B = U .
Demuestre que la igualdad A − (B − C ) = (A − B) ∪ C es cierta cuando y sólo cuando A ⊃ C . . 43. Demuestre las igualdades: a) A − (A − B) = A ∪ B ; d) (A − B) ∩ C = (A ∩ C ) − (B ∩ C ); b) A ∪ (B − C ) ⊃ (A ∪ B) − C ; e) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B); c) (A − B) − C = A − (B ∪ C ); f) (A ∪ C ) − B ⊂ (A − B) ∪ C . 42.
44. 45.
46.
Demuestre que la inclusión A − B ⊂ C es cierta cuando y sólo cuando A ⊂ B ∪ C . Determine en qué razón (X ⊂ Y, X ⊃ Y, X = Y ) se encuentran los conjuntos X e Y si: a) X = A ∪ (B − C ), Y = (A ∪ B) − (A ∪ C ); b) X = (A ∩ B) − C, Y = (A − C ) ∩ (B − C ); c) X = A − (B ∪ C ), Y = (A − B) ∪ (A − C ). Sean
A = { x ∈ N/2 < x ≤ 6},
B = { x ∈ N/1 < x < 4 },
¿De qué elementos constan los conjuntos: a) B ∪ C ; b) A ∩ B ∩ C ; c) A ∪ B ∪ C ;
C = { x ∈ N/x2 − 4 = 0}. d)
(A ∩ B) ∪ (B ∪ C ).
47.
Los conjuntos A y B están compuestos, respectivamente, de los elementos a = 4n + 2, b = 3n, n ∈ N. Hallar A ∩ B . .
48.
Suponga que el conjunto A contiene n elementos, el conjunto B , m elementos y la intersección A ∩ B , k elementos. Hallar el número de elementos de A ∩ B . .
49.
Sea que A ⊂ N y cada elemento de A es un número múltiplo bien a 2, o bien a 3, o bien a 5. Hallar el número de elementos del conjunto A si entre ellos tenemos: 70 números múltiplos a 2; 60 números múltiplos a 3; 80 números múltiplos a 5; 32 números múltiplos a 6; 35 números múltiplos a 10; 38 números múltiplos a 15; 20 números múltiplos a 30. . INSTITUTO NACIONAL
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50.
Considere los siguientes conjuntos:
A = { 2, 4, 5, 7},
B = { x/x ∈ Z y x es un cuadrado perfecto},
C = { x/x ∈ Zyx2 = 4},
D = {−1, −2, 0}.
¿Cuáles pares de conjuntos son disjuntos? . 51.
Se dan los conjuntos A, B y C . Con ayuda de las operaciones de unión e intersección escriba un conjunto que conste de los elementos pertenecientes: a) A los tres conjuntos; b) Por lo menos a dos de dichos conjuntos; c) Por lo menos a un conjunto.
52.
¿Si A ∪ B = A ∪ C , deberá ser B = C ? Explique.
53.
¿Si A ∩ B = A ∩ C , deberá ser B = C ? Explique.
54.
Demostrar que:
a) b) c)
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = ; (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = U ; A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).
55.
Demuestre que las igualdades A ∪ B = B y A ∩ B = A son ciertas cuando y sólo cuando A ⊂ B .
56.
Demuestre que el resultado es siempre cierto o bien dé un ejemplo específico para demostrar que no lo es: a) Si A ∩ X = B ∩ X , entonces A = B ; b) Si A ∪ X = B ∪ X , entonces A = B ; c) Si A − B = C − B , entonces A = C ; d) Si A − B = A − C , entonces A = C ; e) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∪ B).
57.
Determine si la relación es o no correcta:
a) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) = [(A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )] ∩ [(A ∩ B) ∪ D]; b) A ∩ (B ∪ C ) = A ∪ (B ∩ C ); c) (A ∩ B ∩ C ) ∪ D = [(A ∩ B) ∪ D] ∩ [(A ∩ B) ∪ C ]; d) A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
58.
Sean A y B subconjuntos tomados al azar del conjunto U . Demuestre las igualdades: a) A − B = A ∪ B ; b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B ; c) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A ∪ B .
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59.
Para los conjuntos A, B , C ⊆ U , y mediante diagramas de Venn, analice la veracidad o falsedad de las siguientes relaciones:
a) A ∆ (B ∩ C ) = (A ∆ B) ∩ (A ∆ C ); c) A ∆ (B ∪ C ) = (A ∆ B) ∪ (A ∆ C ); e) A − (B ∪ C ) = (A − B) ∩ (A − C ); g) A ∆ (B ∆ C ) = (A ∆ B) ∆ C . 60.
b) A ∩ (B ∆ C ) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C ); d) A ∪ (B ∆ C ) = (A ∪ B) ∆ (A ∪ C ); f ) A − (B ∩ C ) = (A − B) ∪ (A − C );
Sea A ⊂ U , B ⊂ U . Hallar el conjunto X ⊂ U verdaderas y cuáles falsas. Para las falsas, proporcione un ejemplo en el que la afirmación no se cumpla:
a) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ C para todo conjunto A, B , C ; b) A ∪ B ⊆ A ∩ B implica que A = B ; c) (A ∩ ) ∪ B = B para todo conjunto A, B ; d) A ∩ ( ∪ B) = A siempre que A ⊆ B ; e) A ∩ B = A ∪ B para todo conjunto A, B .
61.
Hallar los subconjuntos A y B del conjunto U si se sabe que para todo conjunto X ⊂ U es cierta la igualdad X ∩ A = X ∪ B .
62.
A ∪ B = U equivale a A ⊂ B y a A ⊃ B . Igualmente, A ∩ B = equivale a A ⊃ B y a A ⊂ B . Demostrar que A ⊂ B , es equivalente a A ∩ B = y a A ∪ B = U . Igualmente A ⊃ B , equivale a A ∩ B = y a A ∪ B = U . En particular, resulta B ⊂ X ⊂ A si y sólo si (X ∩ A) ∪ (B ∩ X ) = o (X ∪ A) ∩ (B ∪ X ) = U .
63.
Demuestre las siguientes relaciones:
a) Si A = B y B = C , entonces A = C ; b) Si A = B , entonces A ∩ X = B ∩ X ; c) Si A = B , entonces A ∪ X = B ∪ X ; d) Si A = B , entonces A = B ; e) Si A ⊂ B , entonces A ∪ B = B ; 64.
65.
f ) Si A ⊂ B , entonces A ∩ B = A ; g) Si A ⊂ B , entonces B ⊂ A ; h) Si A ⊂ B , entonces A − B = ; i) Si A ∩ B = , entonces B − A = B .
Demuestre que la igualdad A − (B − C ) = (A − B) ∪ C es cierta cuando y sólo cuando A ⊃ C . . Para cualquier conjunto A, ¿qué es A ∆ A ?¿qué es A ∆ ?
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. 66.
Utilizando las leyes de la teoría de conjuntos, simplifique las siguientes relaciones:
a) A ∪ B ∪ (A ∩ B ∩ C ); b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ B); 67.
(A − B) ∪ (A ∩ B); A ∩ (B − A).
Demuestre las igualdades:
a) A − (A − B) = A ∩ B ; b) (A − B) − C = A − (B ∪ C ); 68.
c) d)
c) d)
(A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B); (A − B) ∩ C = (A ∩ C ) − (B ∩ C ).
Demuestre lo siguiente:
a) A ∩ (B ∆ C ) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C ); b) A ∆ B ⊆ (A ∆ C ) ∪ (B ∆ C ); c) (A ∩ B ∩ C ) = A ∪ B ∪ C ; d) A ∩ B ⊆ A y A ⊆ A ∪ B para todo conjunto A, B ; e) Si A ⊆ B y A ⊆ C , entonces A ⊆ B ∩ C ; f) Si A ⊆ C y B ⊆ C , entonces A ∪ B ⊆ C ; g) A ⊆ B si y sólo si B ⊆ A ; h) A ⊆ B si y sólo si A ∪ B = B . 69.
Demuestre o refute lo siguiente: a) A ∩ B = A ∩ C implica B = C ; b) A ∪ B = A ∪ C implica B = C ; c) A ∩ B = A ∩ C y A ∪ B = A ∪ C implica B = C ; d) A ∪ B ⊆ A ∩ B implica A = B ; e) A ∆ B = A ∆ C implica B = C.
70.
Demuestre que el complemento relativo no es conmutativo; es decir, A − B = B − A no siempre es verdadero.
71.
Demuestre que el complemento relativo no es asociativo; es decir, (A − B) − C = A − (B − C ) no siempre es verdadero.
72.
Demuestre que (A − B) − C ⊆ A − (B − C ) para todo conjunto A, B , C .
73.
Demuestre las inclusiones:
a) A ∪ (B − C ) ⊃ (A ∪ B) − C ;
INSTITUTO NACIONAL
b) (A ∪ C ) − B ⊂ (A − B) ∪ C .
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Prof. Carlos H. Estay Fuentes.