Conjuntos Numéricos

Números

1. NÚMEROS A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y sirva de apoyo para futuras unidades. A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias.

La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia. La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura al tura de 61 metros sobre el nivel del mar en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km 2 , con una costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del Departamento Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población población es de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia - Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos atracti vos turísticos es el parque eólico, emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo de 30 pies (10 mts.).

Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.

Página

1

Curso de Apoyo en Matemática

1.1. Números Naturales A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos dichos números. números . N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.

Los números naturales también sirven para ordenar. Así, decimos que la Tierra es el tercer planeta a partir del Sol, que ésta es la primer unidad del Módulo del Ingreso, etc.

Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos, si a , b ∈ N entonces Observemos que... 1 -1 = 0 1 - 2 = -1 3–1=2

a+b∈N

a . b ∈ N.

y

Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números naturales es un número natural. Así,

∉N ∉N ∈N

si a , b ∈ N y b < a entonces

a - b ∈ N.

Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue:

1

2

3

Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo conjunto que denotamos con N0

=

∪ {0}.

N

0

1

2

3

Observemos que... w w

a ∈ N si y sólo si - a ∈ N

= ∅, es decir, no existe un número que pertenezca al conjunto N y al conjunto Nsimultáneamente. Recordemos que el símbolo ∅ denota al “conjunto vacío”. N

∩ N-

Por otro ot ro lado, la do, si reemplazamos reempla zamos cada cad a elemento eleme nto del del conjunto de los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1 escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo, obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con N

-

= {-1 {-1 , -2 , -3 , -4 - 4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N }

Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta:

-3

-2

-1

0

1

2

3

El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección.

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2

Números

1.2. Números Enteros N

Definimos al conjunto de los números enteros como Z = N ∪ {0} ∪ N.

Z

De inmediato resulta que todo número natural es un número entero.

Para pensar…. ü

¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos odo s los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?

Puede serle útil representar en la recta numérica los números números indicados y analizar allí la situación.

ü

¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?.

ü

¿Cuántos enteros enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre - 3 y 7 ?. ¿Qué puede afirmars afir marsee sobre so bre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?. Observemos que... -2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z

w

b ∈ Z implica - b ∈ Z

4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z

w

a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z

w

a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z, pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior resulta a + (- b) ∈ Z .

w

a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z

4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9

4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20

∈Z

∈Z

¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el puerto local? Retoma la lectura del artículo al principio principio de esta u nidad.

Recuerda que... 1 pie = 30 cm. Observemos que...

7 : 2 = 3,5 ∉ Z

no siempre la división de dos números enteros es un número entero

Página

3


7 2 1 3

a b r q

A l g or or i t m o d e l a división |2|= 2 |-2 | = 2

Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero.

Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que b = a . q + r

con 0 ≤ r <  a

Recordemos que…

|a| denota al “valor absoluto” del número a. En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad. Ejemplos:

El resto de la división entre dos n úmeros enteros enteros nunca puede ser negativo.

Divisibilidad

a)

Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39, pues 84 = 45 . 1 + 39

b)

Para b = 84, a = - 45 resultan resultan q = - 1, r = 39, pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39

c)

Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6, pues - 84 = 45 . (- 2) + 6

d)

Para b = - 84, a = - 45 resultan resultan q = 2, r = 6, pues - 84 = (- 45) . 2 + 6

Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que a es divisor de b ).

Ejemplos: 6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = r = 0 y así 2 divide a 6 12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = r = 2 y así 5 no divide a 12

2 , 11 , 463 son nú meros primos primos

Página

4

a)

2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3

b)

5 no no divide a 12 pues no existe ningún entero que multiplicado por 5 dé 12.

Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro divisores: 1, -1, a y - a.

Números

M á x i m o co m ú n divisor

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es es el producto de los factores primos comunes, con el menor exponente. Se denota denot a mcd ( a a , b).

Ejemplo: Si a = 72 y b = 84 resulta 72 36 18 9 3 1

Recordemos Recordemos que... para realizar realizar la descomp descomp osición osic ión de un número en factores primos comenzamos dividiendo, de ser pos ible, ible, por los números primos 2, 3, 5, 7, 11, … hasta obtener el número 1. La segunda columna obtenida presenta la descomposición del del número en factores primos.

2 2 2 3 3

72 = 23 . 32

84 42 21 7 1

2 2 3 7

84 = 22 . 3 .

mcd (72 , 84) = 2 2 . 3 = 12, o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.

M í n i m o com ú n múltiplo

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. Se denota mcm ( a a , b) Ejemplo:

72

2

84

36 18 9 3 1

2 2 3 3

42 21 7 1

2 2 3 7

Tomando los números del ejemplo anterior resulta mcm (72 , 84) = 2 3 . 32 . 7 = 504 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.

3

2

72 = 2 3

2

84 = 2 3 7

Actividades de Aprendizaje 1) a) b) c) d)

Efectuar las siguientes operaciones: 5 - (-2) (-2) + (-8) : (-4) – 5 7 - (-3) - (-8) (-8) : (-8) + (-3) : (-1) 6 : (-2) + (-7) (- 7) . (-15) : (-3) 2 2 2 - 4 : 8 + 25

Ejercicios complementarios e) 42 : 2 - 1 - 8 2 : 2 – 1 f) 32 : 2 - 1 - 3 2 : 2 g) 3-1 . 3 - 3 0 + 1 - 25 Página

5


2)

El número número - 15 es menor que 3, es decir, - 15 < 3 .

a) ¿Es (-15)2 menor que 32?

b) ¿Es (-15) 3 menor que 33 ?

3)

El número número - 12 es menor que - 3, es decir - 12 < - 3 . a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) (- 3) . 6 ? b) ¿Es (-12 ) . (-6) (- 6) menor que

(-3) (- 3) . (-6) ?

4)

Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F). Dar un contraejemplo en caso de ser falso. a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z. c) Si 2 z ∈ Z

entonces

z ∈ Z.

d) Si z2 = 1

z ∈ Z.

entonces

5) a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados? b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos?

6)

Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?.

7)

Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16

y que x es positivo.

a) Cuál es el signo de de cada uno de los productos siguientes: siguientes: § x . y . x . y § § §

(-1) x . y x . x . y

( - x )( - y )( - x )

b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: § ( - 1 ) ( - x ) y = §

x y x y : ( - 4 ) =

§

x y = - 2 x y

§

x y x y : 4 =

§

x y = 3 x y

8)

p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p según corresponda: a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q

c) - p ..... – q

d) p . a ..... q . a

≤ q.

Completar con

, siendo a

≥

≤

o

≥

0

9) a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, hallar a y b. b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el el resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número a?

Página

6

Números

10) a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14. b) Hallar el máximo común divisor entre entre 544 y 1492. 1492.

11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno. a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo? b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo?

12) En el país ABC las l as elecciones presidencial pr esidenciales es son cada 6 años, las de gober gobernador nadores es son cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.

13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente. a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres simultáneamente, en un número entero de días?. b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.

14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) c) e)

∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 ∀ a ∈ Z, a + 0 = a

b) d)

a , b ∈ Z, a + b ∈ Z, es decir, “Para “Para cada par d e números enteros a y b, su suma a + b es un número entero. ” w

w

∀

N, z ∈ Z, es decir, “Todo ∀ z ∈ N, z

número natural z natural z,, es un número entero”. w (-a) = 0, ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) es decir, “Para todo número entero a , existe el número entero (-a (- a ), llamado (-a) = 0 ” opuesto de a tal que a + (-a w

∃ b ∈ Z, b + 0 = 0 ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1

Sean

a , b

∈

Z

,

a

≠

0.

∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q + Recorda r el r con 0 ≤ r < a . (Recordar

Recordemos que... El símbolo ∀ se lee “para todo”, así, ∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a continuación se verifica “para todos los números enteros” El símbolo ∃ se lee “existe”, así, para simbolizar que ∃ a ∈ Z se utiliza para la propiedad propiedad que a parece a continuación se verifica “al menos para algún número número entero”

Algoritmo de la división)

Página

7


1.3. Números Racionales “ a dividido b” a : b se lee “a

Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Ejemplo: 1:2=

1 2

∉Z.

Llamamos número racional a todo número que se puede Pueden usar los racionales, por ejemplo, ejemplo, para indicar la quinta parte de x de x como

e xpresar como fracción ≠ 0. Con Con

x

m

5

racionales.

Q

n

donde n y m son enteros y

m

denotamos la totalidad de los números

Observemos que...

Z

Q

w

w

m ∈ Todo número entero es racional, pues si m ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q . escribimos m = 1 1 ∈ Q pero 1 ∉ Z. La recíproca es falsa, por ejemplo, 2 2

Z

Si u , v ∈ Q entonces: La suma, la diferencia y el producto de dos números racionales es un número racional.

El inverso de cualquier número racional no nulo es un número racional.

w

u+v∈Q

w

u- v∈Q

w

u. v∈Q

w

Si u ≠ 0 entonces

1 u

∈Q

Recordemos Recordemos que... no existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás, ni tampoco uno que sea mayor o igual que cualquier otro entero. Además, no podemos encontrar un número entero entre dos enteros consecutivos, pero sí podemos hallar una cantidad finita de enteros entre dos números enteros no consecutivos.

Página

8

Para pensar…. ü

¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?

ü

Hallar un número racional entre

número racional entre

7

y

8

2 3

y

3 7

. Hallar un

. ¿Puede hallarse más de un 3 3 número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.

Números

Los números racionales se expresan en diferentes formas.

Ejemplo: El número racional tres cuartos puede expresarse como: 3 4

=

-3 -4

=

6 8

=

9 12

=

forma fraccionaria

75

= 0,75 = 0,750 = ....

100

forma decimal

Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.

Ejemplos: Ejemplos: 1 2 1 3 86 11 29 6

= 0,5

es decimal decimal exacto )

= 0,333..... = 0,3

período 3

∩ = 7,81818181... = 7, 81

período 81

)

= 4,83333... = 4,83

período 3

Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:

Parte entera

5

4 ,

Parte decimal

8

)

3

Parte periódica Parte no periódica

A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria.

Página

9


FORMA DECIMAL

EJEMPLO

Exactas

En el numerad or aparece la p arte decimal, decimal, y en el denominador tenemo tenemo s el 1 seguido de tantos ceros como cifras cifras d ecimales tengo.

75

0,75 =

100

∩

Puras s a c i d ó i r e P

OBSERVACIÓN

En el numerador aparece la parte periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números números 9 como cifras tiene el período.

25

0,2525... = 0, 25 =

99

∩

En el numerador aparece la diferencia entre la parte decimal y la parte decimal no periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.

0,75454…= 0,7 54 =

Mixtas

=

754 - 7

=

990

747 990

Más ejemplos :

FORMA DECIMAL

EJEMPLO 0,015 =

Exactas 2,23 =

15 1000 223 100 3

)

s a r u P s a c i d ó i r e P

0,333... = 0,3 =

9

∩ 1,282828... = 1, 28 = 1 + )

0,8333... = 0,83 = s a t x i M

83 - 8 90

28 99

99

90

12,75454... = 12,7 54 = 12 + )

127

75

=

∩

5,12444... = 5,124 = 5 +

=

754 - 7

990 124 - 12 900

= 12 +

747

=

12627

990 990 112 4612 = 5+ = 900 900

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 15) Calcular: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a)

5 9

Página

 3 + 1   + 10 .   1 - 3    4 2  3  2 5 

- -

10

d)

5 1 4 3 1 ⋅   -   - ⋅   -   8  3 2  11  4 5  3

Números

3 2 4 4 1 3 3 : - ⋅ + - : 5 3 5 3 3 4 7  2 - 7 - 5 + 1   :   - 4 + 2 - 1   c)  +  3 2 6 4   3 3 6 

b)

+ - 7 - 5 + 1 :   - 4   + 2 - 1 3 2 6 4  3  3 6 2

e)

16) Escribir en forma decimal y fraccionaria: a) 5 décimos

b) 5 centésimos

c) 123 centésimos

d) 82 milésimos milésimos

17) a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. 11

18) Dadas las fracciones

y

12

12 13

b) ¿De qué número es 850 el 52%?.

?. ¿Cuál es mayor?

19) Expresar en forma fraccionaria y resolver: a)

(1 ,2 + 1 ,8) 2 1 ,5

-

6

b)

2

(1 ,5 - 0 ,3) - 0 ,24

  

2 2 1    0 ,09 + + 0 ,7  -  0 ,7 -  2   5 

1

3 2

4 + 0,3 - 1,5 .(0,19 - 0,3 ) )

c) 0 ,09 : 0 ,3 - 0 ,12 : 0 ,3 - 0 ,05 . 2 + 0 ,5 . 3 ,3 - 0 ,1 )

)

20) En un colegio,

)

1 3

)

d)

- 0 ,25

)

)

)

(0,32 - 0,2 1) )

)

de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más

elegida?

21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el más rápido?

22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán después?

23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 litros de agua después de helarse?.

24) Una aleación está compuesta por

24

de cobre,

29 kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.

4 29

de estaño y

1 29

de cinc. ¿Cuántos

25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta.

26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma

2 5

. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del

cordel?. Página 11


27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los

9 20

de la edad de su padre y Carlos los

2 5

.

¿Cuál es el mayor?.

28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a concurrir 1 hora antes del inicio inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió asisti ó la mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?

1.4 Números Reales

π

El número aparece al calcular la longitud de una circunferencia circunferencia y el área de un círculo. El número e se presenta en procesos de crecimiento crecimiento de una p oblación animal o vegetal, y en problemas de desintegración desintegración radiactiva. Seguramente habrás visto en el tendido de cables eléctricos que los cables entre un poste y otro determinan determinan una curva en cuya ecuación también está presente el número e.

A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales . Es decir, un número irracional expresado en forma decimal no es exacto ni periódico.

Ejemplos: a) 0,1234567891011... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales. b)

indica que se esto representa una aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.

Otro número irracional irracional muy famoso,

1+ 5 2 llamado el número de oro, se obtiene si realizas, por ejemplo, el cociente entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A4 que comúnmente se utilizan en fotocopiadora, o realizando el mismo cálculo cálculo con los lados de una tarjeta de crédito.

π ≅ 3,141592654 El símbolo ≅

c) e ≅ 2,71 Representa una aproximación del número irracional e. Al efectuar cálculos en los que intervienen los números irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅ 2,718 o bien e ≅ 2,71828.

¿No te parece curioso?

Q N

Página

12

R

Z

Números irracionales

La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales.

Números

Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos recta llamamos recta real .

No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.

Ejemplos:

Observemos que... no existe un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los demás. Además, entre dos números reales dados cualesquiera existen infinitos números racionales, e infinitos números irracionales. irracionales.

La represe representac ntación ión de los números números

2 ; - 3 ; 0,2 ; -

5 4

y 2

es la que sigue:

−5 4

-3 -2

2

0.2 -1

0

1

2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional. a)

3

b) 0,494949...

c) 3,75

d) 0,141144111444...

e) 3,2222...

f) 0,437537537...

g) 0,101001000100001...

h)

5

7

30) Escribir: a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2 b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2 c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2

31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: a) 3,2222........ 3,2222.... ....

b) 0,101001000100001......... 0,101001000100001 .........

c) 0.43753753......... 0.43753753..... ....

d) 0,12112111211112.......... 0,12112111211112. .........

32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla: Página 13


Número

7

10

7 -2,08

1,1212212221... 1,1212212221...

25

-2,2424...

−4

6

−8 2

Natural Entero Racional Irracional Real

33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. a) Todo número real es racional.

b) Todo número natural es entero.

c) Todo número entero es racional.

d) Todo número real es irracional.

34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada: a) -5 d)

b) 5

d)

1 3

c) -

3 7

e) 2,5

Observemos que...

al efectuar las representaciones de estos números, los mismos están ordenados en la recta numérica. Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos.

1.4.1. Orden en R a ≤ b se lee: a es menor o igual que b

Siempre podemos comparar dos números reales cualesquiera. cualesquiera.

Si en R definimos la relación de orden que indicamos observamos que:

Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de las siguientes situaciones: a < b ; b < a ; a = b

Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.

Página

14

“≤ ”

Números

Además se satisfacen las siguientes propiedades: w ∀ a , b ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c

⇔-3+1<4+1

-3<4

-3<4 y 2>0⇒-3.2<4.2

w

- 3 < 4 y- 2 < 0 ⇒ - 3 . (- 2) > 4 . (-2)

w

∀ a , b, c ∈ R, ∀ a , b, c ∈ R,

a0⇒a.c < b.c a
c<0

y

⇒

a.c > b.c

El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si” El símbolo ⇒ se lee “implica”

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 35) Completar con > ó < según corresponda:

b)

5 2

>

7 3

1

1

>0

⇒

-2.

y - 1 <0

⇒

5

⇔

1,4 + 0,01 ...... ......

⇒

- 7 . -

a) - 2 < 0 y

c) 1,4 <

4

2

d) - 7 < - 6 y -

1 2

<0

2

4

..... 0 .

. (- 1) .....

 

1 

 2 

7 3

1 4 . (- 1) 2 + 0,01

 

..... (- 6) .  -

1 



2 

36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda: correspo nda: a

b

a ........b

8

2

8>2

-6

-10

-4

8

0

4

37) Si

a y b son reales positivos y además es falsa?. Justificar dando un contraejemplo.

a) a b > 0 d)

1 b+a

>0

a ....... b 2 2 8 2 > 2 2

a< b

b) b2 > a

a(-3) ........b(-3)

8 (-3) < 2 (-3)

y b > 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones

c)

1 a−b

>0

e) b + a > 1

38) Escribir un número comprendido entre los siguientes: a)

1 3

y

2 5

b) 1,4142 y 1,4143 Página 15


c)

2 y

3

d)

π

y

355 113

1.4.2 Potenciación y Radicación Radicación en R

Recordemos que...

Potenciación

a . a . a .... a

a n =

14243

n veces

donde a es un número real al que denominaremos base y n es un número natural que llamaremos exponente. Ejemplo:

  − 2   4 =  − 2  .  − 2  .  − 2  .  − 2  =          3   3   3   3   3  E x t e n si si ó n d e l a definición d e pp o t e n c i a c i ó n a ex e xxpp o n en e n t e s e n t e r o s

16 81

Por convención se tiene, para a ≠ 0 que a0

=1

y

a - n =

1 a

n

Ejemplo: 5-3 =

1 53

=

1 125

Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:

2

3

5

2 .2 =2

3

3

0

2 :2 =2 =1

-5 3

(3 ) = 3

(2 . 5)

-2

-2

=2

-15

-2

-2

16

x . x

-2

4

-2

x : x

-2 -1

( x x )

-2

5

-2

(2 : 5) = 2 : 5 Página

4

2 3

= x

2

= x

6

= x

( x x . y ) = x y

2 3

3

Producto de potencias con la misma base.

am . an = am+n

•

am : an = am

Cociente de potencias con la misma base.

2

3

•

6

( x x : y ) = x : y

6

-n

•

Potencia de una potencia.

(am )n = am .m

•

Potencia de un producto.

(a . b)n = an . bn

•

Potencia de un cociente.

(a : b)n = an : bn

Números

Definimos = b si b n = a donde: n es un número natural. n a se lee raíz n-ésima de a . Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. n

R a d i c a c i ó n n

a

Observemos que ... 3

para que la definición tenga sentido,

- 27 = -3 pues (-3)3 = - 27 4 81 = 3 pues 34 = 81

No tiene sentido considerar - 4 en el conjunto R, dado que no existe un número real tal que elevado al cuadrado nos dé por resultado - 4. 1 5

si n es impar, a puede ser cualquier número real,

w

si n es par, a debe ser un número real positivo.

La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia

= 65

6

w

1

7 3

7

3

=

n

33

a

=

an

.

Además p

1 n

5 = 52

a p

=

an

si a ≥ 0 .

Observemos que... Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente:

(- 3) 4

(-3)4/2 =

pero

(- 3)4/2 = ((- 3)1/2 )4 =

(

-3

)4

no tiene sentido en el conjunto R.

También se satisfacen las siguientes propiedades: 2 <3

-

3 2

< -

⇒

2 3

2-1 > 3-1 ⇒

1 3

>2 3

−1 −1 3  2    ⇒   >  −   2   3  ⇒

− 2>− 3 3

w

a>0 , b>0 y a
⇒

a -1 > b -1

w

a<0 , b<0 y a
⇒

a -1 > b -1

2

Página 17


El siguiente siguie nte cuadro resume las l as propiedades que verifican v erifican las l as operaciones de suma, producto, product o, potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste.

PROPIEDADES OPERACIONES Suma 1. Asociativa

Producto

N

a + (b + c) = (a + b) + c

2. Conmutativa

a+b = b+a

3. Elemento neutro

0

4. Elemento opuesto de a

-a

5. Asociativa

(a . b) . c = a . (b . c)

6. Conmutativa

a.b = b.a

7. Elemento neutro

1

8. Elemento inverso de a

(a ≠ 0)

× × × × × × × × × × × ×

1

Q

× × × × × × ×

R

× × × × × × ×

× ×

a

Suma-Producto

9. Distributiva

a . (b + c) = a . b + a . c

Potencias

1. Producto de potencias con la misma base

am . an = am+n

2. Cociente de potencias con la misma base

am : an = am

3. Potencia de una potencia

(am )n = am .m

4. Potencia de un producto

(a . b)n = an . bn

5. Potencia de un cociente

(a : b)n = an : bn

Raíces

Z

× × × ×

-n

1. Producto de radicales con el mismo índice

n

a

.

n

b =

n

a .b

2. Cociente de radicales con el mismo índice

n

a

:

n

b =

n

a :b

3. Raíz de una raíz

m n

a

4. Potencia de un radical

(n

)m = n

a

=

× × × × × × × ×

n.m

am

a

× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × × × × × × × × × ×

Observaciones :

•

En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún número natural posee elemento opuesto. • Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo. • Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan sentido.

En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R es un cuerpo , y está ordenado por la relación de orden ≤ .

Página

18

Números

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 39) Calcular las siguientes potencias: E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS

a)

b)

c) 2-2 e) (- 3)2

  1   −1  10 

−3

  1   0  5 

3

  - 2    5 

g)

d) (- 3)-2 f) 105

  3    2 

h)

i) - 125 k) - 12325

j) (- 1)25 l) (0,1)-2

40) Calcular las siguientes expresiones: E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS

a) x 2 . x 5 c) x 5 : x 5

b) (- x )2 . x 5 d) x -3 : x -6

e) (- x )2 . (- x )5 g) x 3 : x 4

f) (- x )3 : ((- x )5 h) (- x )3 : x 5

41) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa

am = m a ?. Justificar.

42) Escribir como radicales los siguientes números: 21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3

43) Expresar como potencia fraccionaria 1

a)

b)

x

x : 3 x

c)

54

c)

x ⋅ 3 x ⋅ x 2 5

d)

1 5

x

44) Simplificar, si es posible: 4

a)

32

8

b)

9

27

d)

32

d)

5

1024

45) Extraer factores del radicando r adicando:: a)

8

b)

18

c)

50

46) Calcular usando propiedades: COMPLEMENTAR IOS E JERCICIOS COMPLEMENTAR

a) c)

3

e)

2 ⋅ 32

b)

3⋅3 9

d)

2 : 3 32

f)

3

15 : 3

g)

8: 3 2

i)

3: 4

k)

3

2 ⋅ 15

h)

2 :3 5

j)

2 ⋅ 8 0 ,5

l)

3

32 : 3 2 8:4 2

3

9 :6 3

47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones: a)

2 + 8 + 18 - 32

b)

c)

24 - 5 6 + 486

d)

e) 3

2 9

-5

2 9

- 5 50

+2 3

5 + 45 + 180 - 80 3

3

54 - 16

2 25 Página 19


48) Simplificar las siguientes expresiones: -

2⋅ 2 ⋅ 2

a)

1

  1 . 5 25   3  5 

3

b) 5 . 5 :

c)

( 6⋅

4

1

)

: 18 2

x

+

12

3

2

(2 )

3 -2

1

d)

- 100 2 3

e)

10 : 0 ,001

    3 ⋅  3 2   

1 10 2 2

3

1

( ) ⋅ 33

49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar: 3

a)

b)

3- 2

1

c)

3- 2

2 2 2

+

d)

5

y

x - y

50) Resolver a)

161 / 4 ⋅ 27 1 / 3

  8 − 3⋅9  −   1       − ( 3a )  2 2 / 3

c)

b)

4 1 / 2

3 / 2

1

0

     

− 27 − 1 −   1    11 

64 2 / 3

1 / 3 1

−2

donde a ≠ 0

51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado con dos decimales.

52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con tres decimales.

53) El área de un cuadrado mide 50 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?.

54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales exactos.

55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105, 420.

56) Indicar el error cometido: 4 - 10 = 9 - 15 25 25 4 -10 + = 9 - 15 + 4 4 Página

20

Números

2

2 –2.2.

2 5   +   = 32 – 2 . 3 . 2  2    2 - 5   2 =   3 - 5   2  2   2 

5

2-

5

=3-

5 2

+

  5   2  2 

5

2 2 2 = 3

57) Sean

a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo. E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS

a) a.0 = 0 f) a + (-b + c) = a - b + c b) (- a)(-b) = -(ab) g) a - (b + c) = a - b + c a a a h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0 b c b c = + , siendo + ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0 c) b+c b c i) ∀ a ∈ R, (a-1 )-1 = a , donde a ≠ 0 j) el cociente entre un número a y su opuesto b+c b c = + , siendo a ≠ 0 d) es igual a (-1), (- 1), donde a ≠ 0 a a a k) a (-b) = ab e) a (b - c) = ab - ac l) - (-a) = a

1.5 Números Complejos No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real. Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es - 4. Es decir, no existe a ∈ R tal que a2 = -4.

−

El nombre de i a 1 surgió en 1777, y se debe al matemático Euler. Hasta entonces se trabajaba con expresiones tales como − 4 , manipulándolas manipulándolas del mismo modo que a l os números números reales.

Re(2 – 3i 3i ) = 2 Im(2 – 3i 3i) = -3

La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i 2 = -1, también se suele escribir − 1 en lugar de i . A los números de la forma a + b i donde a y b son reales se les llama números complejos. Al conjunto formado por dichos números se lo denota C.

En un número complejo a + b i, con a, b ∈ R, a se llama con a = Re( a parte real y se la denota con a + b i), y b se llama parte imaginaria y se la denota con b = Im( a a + b i).

Página 21


Observemos que... para el número complejo a + b i , w

No es cierto que la parte imaginaria de 2 + 4i 4i sea 4i 4 i, sino que Im(2 + 4i 4i) = 4.

Ejemplos: Los siguientes son complejos conjugados: a) 3 + 2 i

y

3 -2i

b) - 5 +

3 i y-5-

w

w

si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es decir, es imaginario puro. b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por si tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el conjunto C de los números complejos. la parte imaginaria está conformada solamente por b.

A dos números complejos se les llama conjugados si tienen la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias.

3 I

Observemos que... en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora, las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del radicando.

Ejemplos: a)

-4 =

4 . (-1)

=

4

-1

= 2i

4

b)

(− 3) 2 = (− 3)4 = 9

c)

( − 3 )4 = ( 3 ⋅ i )4 = ( 3 )4 ⋅ i 4 = 9 ⋅ 1 = 9

Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más adelante: x 2 + 1 = 0 x 2 + 4 = 0 x 2 - 6 x + 13 = 0 x 2 + 5 x + 11 = 0

Página

22

Números

Representación de 5 + 3 i

El número complejo

y 5 +3i

3 2 1

x 0 1 2 3 4 5

Representación de 5 + 3 i y su conjugado 5 – 3 i y 3

5 +3i

2

a+bi se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas (a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real , y el de las imaginario. De esta forma, a cada número ordenadas, eje imaginario. complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un número complejo.

Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento

→ orientado que llamamos vector y representamos por OP . Así Así pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. y

1 0 -1

1

2 3 4

5

P(a, b)

x

-2 -3

b 5 -3i

0

a

x

1.5.1 Operaciones en C

Suma y Resta

La suma y resta de números complejos se realiza sumando o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí respectivamente. Ejemplos: Ahora resolveremos algunas operaciones:

Re(2+3i Re(2+3i ) = Re(8 – 5i 5i ) = Re((2 + 3 i) + (8 - 5i 5i )) =

2 8 10

Im(2 + 3i 3i ) = Im(8 – 5i 5i ) = Im((2 + 3 i) + (8 – 5i 5i )) =

3 -5 -2

a) (2 + 3 i) + (8 - 5i) (2 + 3 i) + (8 - 5 i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i = 10 - 2 i

b) (2 + 3 i) - (8 - 5i) (2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i

Página 23


Producto

El producto de dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva dist ributiva del producto respecto res pecto de la suma 2 y recordando que i = -1.

División

La división de dos números complejos se realiza multiplicando dividendo y divisor por el complejo conjugado del divisor.

Ejemplo: 20 + 30 i

Resolveremos: 20 + 30 i

Multiplico dividendo y divisor por el complejo conjugado del denominador.

3+ i

El complejo conjugado de 3 + i es 3 – i .

=

=

3+ i

(20 + 30 i ) . (3 - i ) (3 + i ) . (3 - i ) 90 + 70 i 10

=

60 + 90 i - 20 i - 30 i 2 9 -i 2

= 9+7i

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica: a) b) c) d)

(1 − 2i )+   + 5i   + (− 7i) − (− 2) 3

 2    2 + 1 i   ⋅ (− 5 + 4i )  3 2  3 + 4i 2−i − 16 + − 25 − 1 +

e) f) g)

(− 1 + i) + (3 − 2i ) ⋅ (1 + 3i ) 1 − 4i 2−i 1 3 i

+

− (1 − i )(2 + i) 1+i 3−i

49

59) Calcular Recordemos Recordemos que... Cuadrado de un binomio

(a - b )2 = a2 - 2ab 2ab + b 2 3

Cubo de un binomio

3

2

2

(a + b) = a + 3a 3a b + 3a 3a b + b

3

(a - b )3 = a 3 - 3a 3a 2 b + 3a 3a b 2 - b 3

Página

24

+ 3(- 2 + 4i) 2 - 5(  (1 - i ) (- 2 + i )  Im    3 - 2i 

Re 2 (1 - i )3 a) Re

(a + b )2 = a2 + 2ab 2ab + b 2

b)

3 - 2)

2

Números

60) Sabemos que

i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2 .i = - i, y también se tiene que Teniendo esto en cuenta, calcular i5 , i6 , i7 , i8 , i26 , i32 , i45 .

i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1.

61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12 i. 62) Representar en un mismo gráfico los números complejos

z1 = 2 + 3i Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1 , z2 y z1 + z2 .

y z2 = 5 – 2i.

63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de z + z y z. z . 64) Calcular Re a) Re

 3 + 4i + (−2 + i)2   5 − 2i   

 − 8i  c) Im    (−4 + 2i)2 

Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3 } b) Re

 d) Im ( 

7i

3  2   7 − 8i   

) 

3

   

Página 25

Conjuntos Numéricos

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