COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO
Se estudiará en las siguientes semanas de clases, el comportamiento y la resistencia última de elementos sujetos a flexión. Entiéndase el término de Resistencia Última como el estado límite definido por la máxima resis esisttenci encia, a, es deci decirr cuan cuando do las las secc seccio ion nes está están n pró próxima ximass a la falla alla..
•
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuer fuerzza cort cortan antte.
•
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multip multiplic lican ando do por el facto factorr corre correspo spond ndie ient ntee de Φ=0,9.
•
Se estudiará en las siguientes semanas de clases, el comportamiento y la resistencia última de elementos sujetos a flexión. Entiéndase el término de Resistencia Última como el estado límite definido por la máxima resis esisttenci encia, a, es deci decirr cuan cuando do las las secc seccio ion nes está están n pró próxima ximass a la falla alla..
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Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuer fuerzza cort cortan antte.
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Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multip multiplic lican ando do por el facto factorr corre correspo spond ndie ient ntee de Φ=0,9.
•
Comportamiento de una viga de concreto concreto armado bajo momento creciente. •
•
•
•
Suponiendo que una viga de concreto reforzado se somete a una carga creciente, creciente, esta sección pasará por diferentes diferentes etapas. etapas. A saber: Esfuerzos elásticos y sección no fisurada
Esfuerzos elásticos y sección fisurada Estado de rotura
Gráfica carga-deflexión de un elemento, con porcentaje
•
Bajo cargas pequeñas, cuando los esfuerzos de tensión son menores que el módulo de rotura, todo el concreto resulta efectivo para resistir los esfuerzos de compresión a un lado y de tensión al otro costado del eje neutro. fc Tensión en el concreto εc
εs Def. Def. unitaria
fs
Tensión en el acero.
Tensiones
Etapa Etapa del concr concret eto o no agrie agrietad tado. o. •
•
•
En esta etapa, el acero y el concreto trabajan en conjunto. Tomando esfuerzos que no sobrepasan el valor aproximado de 0,1f ´c. Se considera que toda la sección es efectiva, un material homogéneo y linealmente elástico. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección.
•
•
•
Cuando la carga es aumentada un poco más, pronto se alcanza la resistencia a la tensión del concreto y en esta etapa se desarrollan grie grieta tass de te tens nsió ión. n. La deformación unitaria del concreto a tracció ción llega a su límit mite, aprox. 0.00015. El mom momento cuand ando comienzan a formars arse las grietas, es decir, cuando los esfuerzo de tensión en la parte inferior de la viga son iguales al mód módulo de rotura, se denomina Momen mento de Agrietamiento.
= ℎ−
= 2 ′ Donde: It= Iner Inerci ciaa de la secc secció ión n tran transf sfor orma mada da.. f r= módulo módulo de ruptu rupturra.
El momento real es mayor que el momento de agrietamiento.
Concreto Agrietado.
•
El eje neutro de la sección es desplazado hacia arriba.
•
Al agrietarse la viga, el concreto no puede resistir esfuerzos de tensión, debe resistirlos entonces el acero. Esta etapa continuará mientras los esfuerzos de compresión en las fibras superiores sean menores a aprox. La mitad de la resistencia a la compresión del concreto, f ´c, y mientras el esfuerzo en el acero sea menor que su limite
•
•
La carga sigue creciendo, resultando en esfuerzos de compresión mayores que 0,5f ´c, por lo tanto las grietas de tensión se desplazan aún más hacia arriba, igual que el eje neutro.
•
Al desplazarse hacia arriba el eje neutro de la sección, disminuye la sección resistente de concreto, pero como Cc es, por equilibrio, igual a = que permanece constante, debe entonces aumentar grandemente sus esfuerzos para compensar la pérdida de altura de la zona comprimida (recordar que el producto del área del diagrama de los esfuerzos de compresión por el ancho de la zona comprimida proporciona la fuerza Cc.
•
Cuando la deformación en la fibra más comprimida llega a su máximo valor de 0.003, entonces sobreviene el colapso de la sección por aplastamiento del concreto. Cuando ocurre la falla, el concreto en esta región se aplasta.
•
•
Las secciones planas permanecen planas después de la aplicación de cargas Se asume que el acero esta perfectamente adherido al concreto − =
Bajo cargas de servicio, es decir dentro el rango elástico
Aumentando la carga
En estado de ultima resistencia c
a
c h
0.85 f’c
f’c
Eje Neutro
d
cc
= 1c
cc
(d – a/2) T
= As f s
T=
As f s
s
b Sección transversal de viga
Diagrama de Deformación Unitaria
Esfuerzos reales En la sección
Esfuerzos equivalente
•
•
•
La deformación unitaria es directamente proporcional a la distancia desde el eje neutro = 0.003 La tension en el acero •
•
•
•
T= f y As >
Se desprecia la capacidad a tensión del concreto La relación entre los esfuerzos en el concreto y la deformación unitaria NO es lineal Se utiliza una distribución rectangular equivalente para la distribución de esfuerzos del concreto ∅ ≥ •
•
•
•
•
Distribución rectangular equivalente para la distribución de esfuerzos del concreto 1 = 0.85 f’c ≤ 280 kg/cm2
A medida que f’c aumenta 1 disminuye un 5%, es decir cada 70 kg/m2 que incrementa f’c 1 = (1.05 - f’c /1400 ) ≤ 0.85 pero ≥ 0.65
0.85 f’c
f’c a
c
cc
Eje Neutro
h
= 1c
C = 0.85f’c1c b c
d (d – a/2) T
= As f s
T
= As f s
s
b Sección transversal
Diagrama de
Esfuerzos reales
Esfuerzos
•
•
•
Se presenta cuando una viga tiene menos acero que la requerida para crear una condición balanceada. Es una falla por fluencia del acero, y se presenta cuando el acero a tracción ha llegado primero a su estado de fluencia antes de que el hormigón inicie su aplastamiento en el extremo comprimido. En el elemento se producen grandes deformaciones, las grietas crecen disminuyendo la zona de compresión, hasta que se produce el aplastamiento del hormigón (falla secundaria) y, finalmente el colapso. Es decir, la falla ocurre cuando:
> > Donde: es el valor de la deformación para el cual se inicia la fluencia del acero
•
•
•
Se presenta cuando una viga tiene más acero que la requerida para crear una condición balanceada. Es una falla por aplastamiento del hormigón, debido a que primero se inicia el aplastamiento del hormigón (se presenta cuando al incrementar las cargas se alcanza la capacidad de compresión del hormigón) antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción. Es decir, la falla ocurre cuando:
< <
•
•
•
Sucede cuando existe suficiente cantidad de acero para colocar el eje neutro en una ubicación donde el esfuerzo de fluencia del acero y la máxima deformación del hormigón de 0,003 existan al mismo tiempo. Es un estado idealizado en el cual la falla se produce simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del hormigón. Es decir, la falla ocurre cuando:
= =
En conclusión: Falla a tracción •
•
Si < → C < Cb y >
→ =
.
Falla a compresión •
Si > → C > Cb y <
→
. .
− 1 = 0
Falla balanceada •
Si = → C = Cb → =
. . +
1
Perfiles de deformación en la resistencia a flexión de una sección. Park y Paulay, pág. 70 Ing. Miguel Sambrano.
Una especificación es un conjunto de reglas que tienen por objeto obtener una estructura segura y estable en el tiempo. Los “Requisitos de Reglamento para el Concreto Estructural” del Instituto Americano del Concreto (ACI 318) consideran dos filosofías: •
“Diseño por Esfuerzos Permisibles” – ASD (Allowable Stress Desing)
•
“Diseño por Resistencia Ultima – USD (Ultimate Strength Desing).
Los estados límites se dividen en 2 categorías: Resistencia y Servicio.
1) El primer estado se asocia a la máxima resistencia para los requerimientos estructurales al que va a estar sometida la estructura. 2) El segundo estado se asocia con la funcionalidad de la estructura (deformaciones). Diseño por Resistencia Ultima USD, se resume en: Ø Rn Donde: Ø Rn Ø Rn i Qi
i
Q i
: Factor de reducción de resistencia : Resistencia nominal o teórica : Resistencia de diseño del elemento o sistema estructural : Factor de amplificación de carga : Tipo de carga considerado
i Qi : Requerimiento o solicitud estructural esperado La expresión: i Qi, en realidad precisa las combinaciones de carga que pueden interactuar sobre un sistema estructural de acuerdo a las consideraciones adoptadas por el
Fórmula USD
Combinación de Carga
9-1
1.4(D + F)
9-2 9-3 9-4
1.2(D+F+T) + 1.6(L+H) + 0.5 (S ó Lr ó R) 1.2 D + 1.6 (L r ó S ó R) + (0.8 W ó 1.0 L) 1.2 D + 1.6 W + 1.0 L + 0.5 (L r ó S ó R)
•
9-5 9-6
1.2 D + 1.0 E + 1.0 L + 0.2S 0.9 D + 1.6 W + 1.6 H
•
9-7
0.9 D + 1.0 E + 1.6 H
•
•
•
•
•
D: Carga muerta, L: Carga viva interior, Lr: Carga viva en techo, T: Carga debida a las variaciones de temperatura, S: Carga de nieve, R: Carga por lluvia en techos planos cuando falla desagüe, W: Carga de viento, E: Carga de sismo, F: Carga debido al peso y presión de fluidos, H: Carga debida al peso y presión de suelos. Por efecto del diseño estructural debe considerarse la combinación de cargas que genere el mayor resultado (mayor requerimiento estructural), teniendo presente que la resistencia de diseño sea igual o mayor que dicho requerimiento.
Hipótesis para determinar la resistencia nominal a flexión El
concreto no podrá desarrollar una fuerza de comprensión mayor a la de su
resistencia f´c. El
concreto tiene un resistencia a la tracción muy pequeña y que se agrieta
aproximadamente cuando esta alcanza un 10% de su resistencia f´c , por lo que se omite en los cálculos de análisis y diseño y se asume que el acero toma toda la fuerza total en tracción. La
relación esfuerzo-deformación del concreto se considera lineal sólo hasta
aproximadamente el 50% de su resistencia.
Prevalece la hipótesis de Bernoulli en la que las secciones planas antes de la flexión permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la flexión.
La deformación
unitaria del concreto en la rotura es: cu = 0.003
La distribución real de los esfuerzos en la sección tiene una forma parabólica. Whitney propuso que esta forma real sea asumida como un bloque rectangular cuyas características se muestran en la figura. El valor de 1 es 0.85 si la resistencia del concreto f´c es menor que 280 kg/cm2. Si este no es el caso, 1 disminuirá en 0.05 por cada incremento de 70 kg/cm2 en la resistencia del concreto, no siendo su valor menor a 0.65.
β1 0.85
0.05 f´c 280 70
El código ACI ha adoptado como un valor límite de seguridad una deformación unitaria máxima del concreto de 0.003, para el cual el concreto falla. c = 0.003
Si hacemos el equilibrio en la sección tenemos lo siguiente: Cc = T 0.85′ =
a
A s f s 0.85 f'c b
De lo anterior, se concibe tres tipos de falla, en una sección de viga simplemente reforzada. 1. Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el extremo comprimido; o sea cuando en la falla s > y donde y es el valor de la
deformación para el cual se inicia la fluencia del acero. 2. Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla ocurre que
3.
Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción, es decir cuando en la falla s < y. c
a
c h
0.85 f’c
f’c
Eje Neutro
d
cc
= 1c
cc
(d – a/2) T=
As f s
T
= As f s
s
b Sección transversal de viga
Diagrama de Deformación Unitaria
Esfuerzos reales En la sección
Esfuerzos equivalente
CUANTÍA DEL ACERO EN TRACCIÓN: Definimos como cuantía del acero en tracción (ρ):
As bd
Y, se define como cuantía mecánica o índice de refuerzo a: ωρ
f y f'c
CONDICIÓN DE FALLA BALANCEADA: Determinaremos el valor de la cuantía para la cual la sección se encuentra en la falla balanceada, por lo que existirá un valor de As, a, c para el estado balanceado.
De la figura tenemos: Donde cb: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en comprensión en una sección con cuantía balanceada. cb 0.003 0.003 c = 0.003 Cb ( d) d 0.003 y 0.003 y cb
Conocemos que el valor del módulo de elasticidad del acero es: Es = 2 x 1 06, entonces:
Eje Neutro d
y Diagrama de Deformación Unitaria
y
f y
f y
2 x 106 Efectuando el reemplazo tenemos :
cb
Es
6000 6000 f y
( d )
ab 1 * cb
Haciendo el equilibrio, Cc = T, y despejando As tenemos: ρ b β1 0.85
f'c f
f
6000
6000
De la figura tenemos:
u=
b c h
0.003
0.85 f’c a
Eje Neutro
d
a/2
= 1c
Cc =0.85 f’c
T=
Sección transversal de viga
Por semejanza de triángulos: c
0.003
d 0.003 t
Del equilibrio de fuerzas horizontales =
0.85 = ρ
t
Deformaciones Unitaria
As f y
Distribución rectangular equivalente de esfuerzos
= 0.85
=
Fuerza de compresión en el hormigón
Fuerza de tracción en el acero
=
ba
0.85
= ρ
Al remplazar
a 1 * c
1 = 0.85
despejando ρ tenemos
= 0.85
se obtiene
sustituimos
c
0.003
d 0.003
t
para obtener
0.003 = 0.85 0.003 1
Cuantía máxima útil de tracción, ρt ACI 318-05 10.3.4 t 0.005 0.90 sustituyendo para encontrar la cuantía máxima útil
0.003 = 0.85 1 0.003 0.005
resolviendo
3 = 0.85 1 8
Cuantía máxima, ρmax ACI 318-05 10.3.5 t , max 0.004 0.812 sustituyendo para encontrar la cuantía máxima útil
0.003 = 0.85 1 0.003 0.004
resolviendo
3 = 0.85 1 7
ANÁLISIS DE SECCIONES DE VIGA CON FALLA DÚCTIL: Partiendo de nuestra expresión de equilibrio tenemos: Cc = T, donde f s = f y 0.85 f’c b a = As f y Tomando momentos respecto a un eje que pasa por el centroide del acero tenemos:
Mn = As f y (d - a/2) Mu = Mn = As f y (d - a/2) Donde es el factor de resistencia que para vigas su valor es 0.9.
DISEÑO POR FLEXIÓN: Para el diseño por flexión debemos saber que el tipo de falla deseable es la falla dúctil con la cual la sección ha desarrollado grandes deformaciones. El Código ACI da los límites de cuantía para el diseño: • Cuantía Máxima:
máx = 0.75 b
Para zona sísmica se tomará como cuantía máxima el valor de 0.5 b • Cuantía Mínima:
Se tomará el valor mayor de las dos siguientes expresiones: ρmin
14 f y
Donde f’c y f y están en kg/cm2
ρmin 0.8
f'c f y
•
Dimensionamiento de una viga:
Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el cual dimensionaremos la sección:
Sabemos: A s f y f y 1 f'c d * f'c 2 0.85 * f'c b
Mu φ ρ bd
Luego: Mu = Mn = As fy (d - a/2) a
A s f y 0.85 f' cb
; ω
ρ f y
f'c
Finalmente: Mu = bd2 f’c (1 - 0.59 ) Esta última expresión es la expresión de dimensionamiento, donde los valores desconocidos son “b” y “d”, los cuales el diseñador escogerá apropiadamente
•
Cálculo del Acero:
a. Proceso Iterativo: Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuará simplemente haciendo una iteración entre las siguientes dos expresiones: As a
Mu
f y (d a / 2) A s f y
0.85 f'c b
Se sugiere como primera aproximación que “a” sea igual a “d/5”. b. Calculando la cuantía mecánica, usando la expresión:
Mu = f’c bd2 (1 - 0.59 ) Hallamos , luego: f' c f y
A
bd ; 0 9
•
ANÁLISIS DE SECCIONES SOBRE REFORZADAS :
S<
Y
Aunque no es de nuestro interés las secciones de viga sobre reforzadas, presentamos en esta sección el análisis para fines académicos. s (d - c) (d - c) s 0.003 c c c
De la figura tenemos: c = 0.003
Sabemos que: f s = Es s = 2 x 1 06 s
c Eje Neutro
Efectuando el reemplazo tenemos: d
s Diagrama de Deformación Unitaria
f s 6000
f s 6
( 1 d - a) a
f y (kg / cm 2 )
( 1 d - a) f y (t / cm 2 ) a
0.85 f’cb a = As f s ’ reemplazando f s:
0.85 f’cba2 = 6As 1d - 6 As a
Ordenando los términos tenemos: 0.85 f’cba2 + 6As a - 6 As 1d = 0
Donde f’c esta en t/cm2, si resolvemos la ecuación cuadrática obtenemos el valor de “a” con el cual obtenemos el valor del momento último resistente. Mu = As f s (d - a/2)
•
APLICACIÓN Nº 01:
Para la sección de la viga que se muestra, calcular el momento nominal con f y = 4200 kg/cm2, considerando 3 casos: a) f’c = 210 kg/cm2
b) f’c = 350 kg/cm2
y
c) f’c = 630 kg/cm2. 3/8
40.0
As = 41’’
Donde :
v d h r n e 2
30.0
Cálculo de la cuantía de la sección d = 40 (4 + 0 95 + 2 54/2) = 33 78 cm
ρ
As 4 * 5.07 0.020 bd 30 * 33.78
f' además : ρ b β1 * 0.85 c f y
6000 6000 f y
a) f'c 210 kg/cm 2 , f y 4200 kg/cm 2
ρ b 0.85 * 0.85 *
210 6000 0.0213 * 4200 6000 4200
Tenemos ρ ρ b por tanto : Sección sub - reforzada Luego : M n A s f y (d a/2);
a
a
A s f y 0.85 f'c b 20.28 * 4.2 15.91cm. 0.85 * 0.21* 30
Mn 20.28 * 4.2 * (0.338 0.159/2) Mn 22.0 t m
Requisitos de Cuantía ρ máx 0.75 ρ b 0.0159
ρ mín 0.8
ρ mín
14 f y
f'c f y
0.8
14 4200
210 4200
0.0028
0.0033
ρ ρ mín Conforme ρ ρ máx No Conforme.
De acuerdo al ACI el Diseño No es Conforme.
b) f'c 350 kg/cm 2 , f y 4200 kg/cm 2 ρb
0.80 * 0.85 *
ρb
0.0333
Tenemos
350 6000 * 4200 6000 4200
ρ 0.020 ρb por tanto : SUB - REFORZADA
Luego : a
A s f y 0.85 f 'c b
;
Mn A s f y (d a / 2)
a
20.28 * 4.2 9.54 cm 0.85 * 0.35 * 30
Mn 20.28 * 4.2 * (0.338 0.0954 / 2) M
24 73 t
Requisitos de Cuantía ρmáx
0.75 ρb 0.0250
ρmín
0.8
ρmín
f'c f y
0.8
350 0.00356 4200
14 14 0.0033 f y 4200
ρ 0.020 ρmín Conforme ρ 0.020 ρmáx Conforme.
De acuerdo al ACI el Diseño es Conforme.
Puede usarse para la condición subreforzada la expresión: Mn = bd2 f’c (1 – 0.59 ) Donde,
ρ
f y f'c
0.020 *
4200 350
0.24
Mn = 0.30 * 33.78 2 * 0.35 * 0.24 * (1 - 0.59 * 0.24) = 24.7 t-m c) f’c = 630 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2 1 = 0.60 ρb
0.60 * 0.85 *
630 6000 * 4200 6000 4200
b = 0.045 Tenemos = 0.020 < b por tanto: SUB-REFORZADA
Requisitos de Cuantía
Luego :
a
A s f y 0.85 f ' c b
;Mn A s f y (d a / 2)
0.75 ρb 0.0338
ρmín
0.8
ρmín
20.28 * 4.2 a 5.30 cm 0.85 * 0.63 * 30
ρmáx
f'c f y
0.8
630 0.00478 4200
Mn 20.28 * 4.2 * ( 0.338 0.053 / 2)
Mn 26.53 t
14 14 0.0033 f y 4200
m ρ 0.020 ρmín Conforme ρ 0.020 ρmáx Conforme
De acuerdo al ACI el Diseño es Conforme.
Discusión de resultados : f`c = 210 kg/cm2;
Mn = 22.0 t-m
Mn = Mno
f`c = 350 kg/cm2;
Mn = 24.73 t-m
Mn = 1.12 Mno
f`c = 630 kg/cm2;
Mn = 26.53 t-m
Mn = 1.21 Mno
Conclusión: La calidad del concreto no influye en forma significativa en el valor del momento nominal.
Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en figura, con f’c = 280 kg/cm2 determine si la sección de viga está sobreforzada o subreforzada, y si satisface los requerimientos del código ACI 318 para cuantías máximas y mínimas para: a) f y = 4200 kg/cm2 y b) f y = 2800 kg/cm2
3/8
50.0 As = 61’’ e
rn 25.0
Solución: a) f'c 280 kg/cm 2 , f y
4200kg/cm 2
f'c 6000 ρ b β1 0.85 f y 6000 f y
280 6000 0.0283 ρ b 0.85 * 0.85 * * 4200 6000 4200 A s 6 1* 6 * 5.07 30.42 cm 2
r n Recubrimiento; para el problema : 4cm. e Diámetro del estribo 3/8 0.95 cm.
Diámetro de la varilla.
d 50 4 0.95 2.54 2.54/2
41.24cm. A ρ s bd
30.42 25* 41.24
0.0295
Se tiene que ρ ρ b por tanto : Sobrerefor zado(falla frágil).
Requisitos de Cuantía ρmá x
0.75 ρb 0.0212
ρmí n
0.8
ρmí n
f'c f y
0.8
280 0.0032 4200
14 14 0.0033 f y 4200
ρ ρmí n Conforme ρ ρmá x No cumple
No cumple con los requerimientos de cuantía del ACI (" Diseño No Conforme").
b) f'c 280 kg/cm2 , f y 2800 kg/cm2
Requisitos de Cuantía
f'c 6000 ρb β10.85 0.0493 f y 6000 f y
ρ máx
β1 0.85;
0.75 ρ b 0.0369
ρ mín
0.8
ρ mín
A ρ s 0.0295 bd Tenemos ρ ρb portanto :
f'c f y
0.8
280 4200
14 14 0.005 f y 2800
Sección subreforza do (Falla Dúctil) ρ ρ máx
No Conforme
ρ ρ mín Conforme
0.0048
Para la sección de la viga que se muestra en la figura determine el momento nominal, indicando el tipo de falla. 3/8
f’c = 280 kg/cm2;
f y = 4200 kg/cm2 y
50.0
Solución: ρb
1 0.85
f 'c f y
6000 6000 f y
As = 6Nº 8 25.0
1 0.85 para f 'c 280 kg / cm2 ρb
0.85 * 0.85 *
280 6000 * 0.0283 4200 6000 4200
As = 61’’ = 6 * 5.07 = 30.42 cm2 d = 5 0 – (4 + 0.95 +2.54 +2.54/2) = 41.24 cm ρ
A s bd
30.42 25 * 41.24
c = 0.003
0.0295 c Eje Neutro
Se tiene > b , por lo tanto:
Sección Sobre Reforzada (falla frágil).
d
Del diagrama de deformaciones unitarias:
d c 0.003 d c s s c c c f s E s s 2 x 10 3 t / cm 2 s f y (t / cm 2 ) f s 6
1
d a a
f
y
(t / cm 2 )
s
•
Haciendo el equilibrio Cc = T, tenemos:
•
0.85 f’c b a = As f s , reemplazando f s:
•
0.85 f’c ba2 = 6As 1 d – 6 As a
•
•
Ordenando los términos tenemos: 0.85 f’c ba2 + 6As a – 6As b1d = 0
•
0.85 * 0.28 * 25a2 + 6 * 30.42a – 6 * 30.42 * 0.85 * 41.24 = 0
•
Resolviendo: a = 20.86cm f s 6
(0.85* 41.24 20.86) 20.86
4.08t / cm 2 f y 4.2 t / cm2
•
Luego: Mn = As f s (d – a/2)
•
Mn = 30.42 * 4.08 (0.4124 -0.2086 / 2) = 38.24 t-m
Diseñar la viga en voladizo que se muestra en la figura. Para el dimensionamiento de la sección rectangular considere una cuantía no mayor de 0.5 b se conoce WD = 1.84 t/m, WL = 0.75 t/m, b = 0.40 m, f’c = 350, fy = 2800 kg/cm2. Solución:
wu
a) proceso Iterativo : Wu 1.2 *1.84 1.6 * 0.75 3.41t / m
M u 3.41*
3.52 2
f 'c
20.89 t m
0.0580 ρ b 1 * 0.85 f y 6000 f y ρ 0.5 ρ b
6000
0.0290 ρ
f y f'
0.2318
3.5 m
M u f 'c bd 2 (1 0.59 ) 20.89 *105 0.9 * 350 * 40d 2 * 0.2318 (1 0.59 * 0.2318) d 2 828.56 d 28.78 cm h 28.78 4 0.95 2.86 / 2 35.16 cm Usar : h 40 cm d 33.62 cm M u 20.89 *105 27.40 cm 2 A s f y (d a / 2) 0.9 * 2800 (0.9 * 33.62)
a
A s f y 0.85 f 'c b
2
27.40 * 2.8 0.85 * 0.35 * 40
6.45 cm