DISEÑO POR FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO. Profes: Luis Ignacio Espino Márquez y Gabriel Octavio Gallo Ortiz La flexión representa el estado límite de servicio que generalmente rige las dimensiones de las vigas de concreto reforzado. Usualmente, las dimensiones provenientes del diseño por flexión se someten a revisión por cortante u otras acciones estructurales. A continuación se describirán los aspectos fundamentales de este tipo de diseño estructural. Según la Mecánica de materiales, la flexión es el estado interno de esfuerzos cuya acción genera en una sección del elemento flexionado un par de fuerzas M (Figura 1) cuya intensidad puede establecerse a partir de las condiciones de equilibrio en vigas isostáticas o de las condiciones de equilibrio y compatibilidad de desplazamientos en el caso de vigas estáticamente indeterminadas. Siendo la magnitud de este par de fuerzas una constante de la sección, es posible modificar el valor de las fuerzas componentes C y T alterando la distancia entre ellas. En la Figura 1 se ilustra el anterior concepto observando que si aumentamos la distancia Z, la magnitud de las fuerzas componentes del par disminuye en la misma proporción, de acuerdo a la expresión: (1)
Figura 1. FLEXIÓN EN VIGAS DE CONCRETO REFORZADO. Analizando la expresión (1) encontramos la razón de que las vigas de concreto reforzado en la práctica se dispongan con su dimensión de mayor magnitud (peralte) vertical. Dispuesta la viga de este modo, los esfuerzos de tensión serán absorbidos por el acero de refuerzo y los de compresión por el concreto. Sin tal refuerzo, durante el fenómeno de flexión se presentarían los agrietamientos que se muestran en la figura 2.
Figura 2. AGRIETAMIENTO DEBIDO A LA FLEXIÓN Criterio básico de diseño por flexión. El diseño por flexión debe cumplir la condición reglamentaria (RCDF'93) la cual establece que la resistencia a flexión de una sección de concreto reforzado debe tener una magnitud que exceda o cuando menos sea igual a la del momento último producido por las cargas, es decir: MR ≥MU
(2)
En la expresión anterior MR es el momento resistente de la sección y MU es el momento último de la viga, equivalente al momento flexionante máximo M producido por las cargas de servicio multiplicado por el factor de carga Fc. En el diseño, es común emplear esta expresión en forma de igualdad para obtener máxima economía en el empleo de los materiales. Para un factor de carga Fc=1.4 , lo anterior equivale a decir que se diseña para que la estructura alcance su resistencia con cargas 40% mayores que la de servicio: MR = Mu (3) El momento último MU de la sección depende de las condiciones de carga, que podemos representar como w y de la longitud L de la viga, es decir: MU = f( w, L)
(4)
Las expresiones que cuantifican el momento máximo se pueden encontrar en la mecánica de sólidos. Determinación de la resistencia a la flexión MR. Puede demostrarse que el momento resistente depende solamente de las propiedades geométricas de la sección (As, b y d) y de las propiedades mecánicas de los materiales empleados (f’c y fy), es decir: MR = f( As, b, d, f’c , fy)
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Recordemos que se define como resistencia a la flexión al máximo momento flexionante que es capaz de soportar una sección de concreto reforzado. Para la determinación de la resistencia de una sección de concreto reforzado, es necesario establecer un mecanismo teórico basado en hipótesis simplificatorias
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que describa aproximadamente el fenómeno real. En este caso, tal mecanismo es empleado por el Reglamento de construcciones del D.F. En la figura 3 se establecen las características geométricas de la sección y propiedades mecánicas de los materiales que intervienen en la magnitud de la resistencia.
Figura 3. Propiedades de la sección que intervienen en la resistencia. En la figura 4 se puede apreciar que la obtención del momento resistente de la sección implica tomar la intensidad del par de fuerzas internas que equilibran el sistema; para ello, es necesario establecer la posición del centroide del diagrama de esfuerzos de compresión y además su volumen. El proceso mencionado puede resultar demasiado complicado, pues además implica disponer de la curva esfuerzo-deformación unitaria del concreto utilizado. Para simplificar el problema se propusieron diversas formas del diagrama de esfuerzos de compresión de modo que se facilitara tanto la ubicación del centroide como la cuantificación del volumen.
FIGURA 4. DIAGRAMA DE ESFUERZOS EN UNA SECCIÓN CUANDO ÉSTA ALCANZA SU RESISTENCIA La simplificación que tuvo éxito se debe a Whitney, el cual propuso la sustitución del diagrama original por uno de forma rectangular. Las dimensiones relativas de éste diagrama fueron establecidas a partir de pruebas de laboratorio en las cuales se obtuvieron tales dimensiones en base a la igualación del momento experimental con el momento producto de la hipótesis simplificatoria. En la Figura 5 puede observarse la configuración de los diagramas de 3
esfuerzos hipotéticos (según Whitney) en concreto y acero cuando la sección alcanza su resistencia. Se puede apreciar que el establecimiento del centroide y el volumen del diagrama de compresión es simple, facilitando así la cuantificación del momento resistente de la sección.
Figura 5. DIAGRAMAS HIPOTÉTICOS DE ESFUERZOS. Límites en el área de acero. Las Normas Técnicas Complementarias establecen que la sección debe alcanzar su resistencia en forma dúctil, es decir, con grandes deflexiones que permitan al usuario detectar la inminencia de la falla. Para ello, se obliga al diseñador a limitar el área de acero tanto inferior como superiormente: As min ≤ As ≤ As max
En donde: (6)
As max =
bd
(7)
La expresión (7) es aplicable a vigas que no deben resistir fuerzas sísmicas. En caso contrario, el coeficiente mostrado equivale a 0.75 Para vigas que cumplen las ecuaciones 6 y 7 se pueden aplicar las siguientes expresiones para la obtención del momento resistente MR: MR = FR f"c bd2 q( 1-0.5q)
(8) 4
MR = FR As fy d (1-0.5q)
(9)
Donde: MR = Momento resistente de una sección FR = Factor de resistencia para flexión= 0.9 f ''c= Esfuerzo uniforme en la hipótesis de Whitney (kg/cm2) b,d = Base y peralte efectivo de la sección (cm) q=
y la cuantía de acero p=
donde: pb= También en este caso es obvio que la cuantía mínima de acero es calculada, partiendo de la expresión (2.1) NTC como: pmin= 0.7 En la tabla 1 se indican los valores de cuantías máxima y mínima para diversas combinaciones de resistencias de acero y concreto. Expresión alternativa. También se puede calcular el momento resistente simplificando la expresión (9). En la práctica es común el considerar el brazo del par d(1-0.5q) equivalente a un producto Jd donde J es una constante menor que la unidad que cambia su valor en función de la cuantía empleada pero que puede ser estimada como un valor cercano a 0.9. En este texto consideraremos J = 0.89 para evitar que se confunda con el factor de reducción de resistencia, cuyo valor, como sabemos, es FR=0.9 De este modo: MR = FR As fy j d (10)
Tipos de problemas del diseño a flexión. 5
En la práctica, existen tres tipos de problema: A) Problemas de revisión. En estos problemas se verifica que el momento resistente MR de la sección es mayor o cuando menos igual al momento último MU B) Problemas de dimensionamiento. En estos problemas solamente se conoce el momento último que se desea resistir y las propiedades mecánicas de los materiales (f’c y fy). Las incógnitas son las propiedades geométricas b, d y AS. C) Problemas de armado. En este tipo de problemas se conoce el momento último MR, las propiedades mecánicas de los materiales (f’c y fy) y las dimensiones b y d . Solamente se tiene como incógnita el área de acero As. En los ejemplos siguientes se explica el procedimiento aplicado para resolver cada tipo de problema. EJEMPLOS. 1) Ejemplo de revisión por flexión de vigas de concreto reforzado.Verificar que la sección transversal resiste el momento último Mu de la viga isostática mostrada.
Resistencia nominal del concreto f*c = 0.8 x 300 = 240 kg/cm2 Esfuerzo uniforme equivalente f’’ c = 0.85 x f*c = 204 kg/cm2 A) Análisis estructural de la viga:
Momento último:
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B) Cálculo de resistencia de viga. Verificación de que el área de acero esté dentro de los límites reglamentarios. Para ello aplicamos las expresiones reglamentarias:
=15.73 cm2
As max =
Como el área de acero de la viga de este ejemplo está comprendida entre los límites reglamentarios: (ok) Puede calcularse la resistencia de la viga aplicando las expresiones (8) y (9). A continuación calculamos la resistencia a flexión de la sección: MR = FR As fy d (1-0.5q) = 0.9 x 5.08 x 4200 x 36 (1 - 0.5 x 0.145)= 641168 kg-cm Donde: q= También:
MR = 6411 kg-m
Como 6411> 5670 kg-m, podemos concluir que el momento resistente excede al momento último máximo de la viga. NOTA: El momento resistente MRpudo haberse calculado con la expresión simplificada (10), obteniéndose para este ejemplo un error de solamente 3%.
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2) Ejemplo de dimensionamiento por flexión de vigas de concreto reforzado: Obtener el ancho b y el peralte efectivo d, y el área de acero para resistir el momento último de la viga resuelta anteriormente.
A) Análisis estructural de viga.- Para este análisis tomamos los resultados del ejemplo anterior, es decir: Mu = 5760 kg-m B) Dimensionamiento de sección.- Como solo disponemos de una ecuación, debemos proponer la magnitud de dos parámetros de ésta que nos permitan conocer la magnitud del tercero. Por ejemplo, es común proponer el ancho b (usualmente en múltiplos de 5 cm, por razones de cimbrado) y la cuantía. En cuanto a ésta última, se puede proponer una cuantía cercana a la mínima si se desea una sección con poco acero o cercana a la máxima si se desea una sección de dimensiones b y d reducidas.
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