COMPENSACIÓN DE CIRCUITOS DE NIVELACIÓN DE PRECISIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS Pérez Nieto, S. Hernández Saucedo F. R. Profesores-Investigadores del Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo. Km 38.5, carretera México-Texcoco. Chapingo, Edo de México. Tel (595) 4-32-22. E-mail:
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1. INTRODUCCIÓN 1.1. Consideraciones generales El establecimiento de un Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo (SPLCA), comprende dos etapas, una en la que se define la posición de los Puntos de Control y Apoyo (PCA) en planta mediante los llamados Procedimientos Topográficos de Planimetría, y la otra en la que se determina su elevación o cota siguiendo un Procedimiento Topográfico de Altimetría, mediante la operación de Nivelación o Control Vertical (Pérez, 1995). Ambas etapas deben comprobarse y compensarse antes de efectuar otros cálculos con la información obtenida con ellas. Los Procedimientos Topográficos de Planimetría comúnmente empleados en trabajos topográficos ordinarios son: el de Poligonales (Abiertas o Cerradas), Cuadrícula Rectangular, Triangulación y Trilateración. Independientemente, de cual de estos procedimientos se emplee para la definición de los PCA en planta, su nivelación invariablemente se hace por Nivelación Diferencial. Con el uso actual de instrumentos topográficos modernos, tales como teodolitos, medidores electrónicos de distancias (MED), estaciones totales, niveles automáticos, de precisión y de rayo láser, y los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS), entre otros, las mediciones tanto lineales como angulares y, como consecuencia, el posicionamiento de puntos, pueden hacerse con altas precisiones. No obstante, los errores siempre están presentes y el trabajo de comprobación y distribución de los mismos debe realizarse ineludiblemente. En tales casos deben emplearse preferentemente metodologías acordes a dichas precisiones. En el presente trabajo se sistematiza y generaliza una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados. La metodología se describe para el caso general en que se compensan n circuitos de manera simultánea y al final se expone un ejemplo en el que se aplica dicha metodología para la compensación simultánea de tres circuitos. 1.2. Comprobación y compensación ordinaria Desde el punto de vista de su comprobación y compensación, en la nivelación se pueden tener uno de dos casos; el primero se presenta cuando se debe determinar la elevación de un PCA a partir de otro de elevación conocida, en cuyo caso, la comprobación puede realizarse haciendo el trabajo en campo por los métodos de "ida y vuelta", "doble altura de aparato" o "doble punto de liga"; en cualquier caso, se tiene de hecho un doble recorrido, por lo que la compensación se hace asignando la mitad del error a cada uno. El otro caso se presenta cuando debe determinarse la cota de varios
puntos intermedios localizados entre dos de cota conocida; en tal caso, la comprobación se hace calculando la diferencia entre la cota de llegada y la previamente conocida para el punto final, y la distribución del error se hace proporcionalmente a los desniveles, a las distancias horizontales o al número de puntos de liga entre cada par consecutivo de PCA en el recorrido. (Pérez, 1995) Aunque los resultados obtenidos de la compensación dependen del criterio de proporcionalidad elegido, éstos son adecuados para los trabajos que no requieren de altas precisiones. Con la aplicación de la teoría de mínimos cuadrados, por otra parte, se garantiza que las correcciones obtenidas sean las mínimas y más probables. 1.3. Circuitos de nivelación Moffit y Bouchard (1982) y Wolf y Brinker (1994), coinciden en definir como un Circuito de Nivelación al Trabajo Topográfico de Nivelación en el que se parte de un PCA o de un Banco de Nivel (BN) de cota conocida, se determina la cota a una serie de PCA o BN intermedios y se regresa al punto de partida o se llega a otro de cota conocida para comprobar. Cuando se regresa al punto de partida se habla de un circuito cerrado, en tanto que cuando se llega a otro distinto se tiene un circuito abierto. En los circuitos abiertos, los PCA de cota conocida pueden ser parte de un SPLCA mayor o estar previamente posicionados con GPS, por ejemplo. En cualquiera de los cuatro Procedimientos Topográficos de Planimetría, se pueden definir circuitos para la nivelación de los PCA; así por ejemplo, los PCA establecidos mediante una Poligonal Cerrada o sobre un cuadro principal de Cuadrícula Rectangular se pueden nivelar como circuitos cerrados y los PCA establecidos con una Poligonal Abierta o sobre el trazo de cuadros secundarios en una Cuadrícula Rectangular se nivelan como circuitos abiertos. Por otra parte, los PCA establecidos con Triangulación o Trilateración se pueden nivelar como circuitos cerrados o abiertos o bien, con una combinación de ellos. 1.4 Mínimos cuadrados La teoría de mínimos cuadrados establece que los valores más probables de los errores accidentales que ocurren en cualquier tipo de mediciones, son aquellos que hacen mínima la suma de sus cuadrados; por lo cual, partiendo del supuesto de que en un trabajo de nivelación dado se han eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones o errores gruesos, esta teoría puede aplicarse para el cálculo de las correcciones que se le deben asignar a los desniveles. (Kissam, 1976) 2. OBJETIVO Desarrollar de manera sistematizada una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados y generalizarla, de modo que sea aplicable a los PCA establecidos por cualquier Procedimiento Topográfico de Planimetría y que posibilite la elaboración de un programa de computadora para la realización de los cálculos.
3. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA 3.1. Aplicabilidad e información necesaria La metodología es aplicable a cualesquiera circuitos abiertos y/o cerrados o bien a una combinación de ellos, ya que es posible la compensación simultánea de n circuitos. La distribución del error se hace con base en la condición que impone la teoría de mínimos cuadrados, e involucrando una ponderación que puede calcularse proporcional a la distancia horizontal o al desnivel entre los PCA o BN consecutivos sobre el circuito de nivelación. Cuando los PCA que conforman el circuito se establecen mediante Poligonales, Triangulación o Trilateración, puede emplearse cualquiera de los criterios para el cálculo del factor de ponderación, dado que tanto las distancias como los desniveles resultan heterogéneos; en tanto que en el caso en que los PCA sean establecidos por Cuadrícula Rectangular (tanto en los cuadros principales como en los secundarios), se deben emplear los desniveles para el cálculo de dicho factor, debido a que las distancias entre PCA resultan muy similares y no sería, por ello, conveniente su empleo. Evidentemente, cuando se emplea la distancia para el cálculo del factor de ponderación, ésta ha de ser la correspondiente al recorrido de nivelación, misma que puede determinarse con la fórmula de estadia simple, si se hace el trabajo de nivelación en campo por el método de los tres hilos, (Hernández y Pérez, 1996). 3.2. Sistematización de la información y obtención de las ecuaciones de condición Primeramente debe hacerse un esquema de conjunto de los n circuitos a compensar simultáneamente, señalando en él, la ubicación de los PCA y un sentido definido para cada circuito de nivelación (indicado con flechas que conectan los PCA), tal como se ilustra en la figura 1 para la compensación simultánea de los circuitos "El Olivar", "San Pedro" y "Xaltepa".
Figura 1. Esquematización de los circuitos de nivelación "El Olivar", "San Pedro"y "Xaltepa", para su compensación simultánea por mínimos cuadrados. (Pérez, 1989)
En un cuadro se registran los desniveles observados DOk calculados a partir de los datos de campo, asignándoles signo positivo si el terreno sube en el sentido del circuito de nivelación o negativo en el caso contrario; se registran, asimismo cuando sea el caso, las distancias horizontales Lk, para cada tramo de los circuitos. El subíndice k, denota el número consecutivo de tramos en todo el sistema de circuitos. El factor de ponderación fk para cada tramo se obtiene de la expresión (1), si se emplean los desniveles para su cálculo o de la expresión (2) si se emplean las distancias para tal fin. En ambas expresiones m, es el número total de tramos en el sistema, de modo que el numerador de la expresión (1) es el promedio de los valores absolutos de los desniveles y el de la expresión (2) es el correspondiente para las distancias horizontales entre tramos. m
fk =
1 m
(1)
m
fk =
1 m (2)
Partiendo del PCA de cota conocida o del BN de partida para cada circuito, el error de nivelación para el i-ésimo circuito ENi, se calcula siguiendo el sentido horario con la expresión (3), en la que mi es el número de tramos involucrados en el circuito i y DOij es el desnivel correspondiente al j-ésimo tramo del circuito i. mi
ENi =
(3)
Es importante aquí hacer notar que se usa una doble notación para la denominación de los desniveles DO (y después para las correcciones C y los desniveles compensados DC) de los tramos del sistema, una con un sólo subíndice k y otra binomial, con los subíndices i y j. Ello se debe a que, en un primer momento, los tramos se designan en orden progresivo de 1 a m en el sistema, denotados por el subíndice k, considerando que cada uno se midió una sola vez en el trabajo de campo; sin embargo, dado que para fines de comprobación los circuitos deben cerrarse, algunos tramos resultan comunes a dos circuitos contiguos (como los tramos, 1, 2 y 3 los son a los circuitos "El Olivar" y "San Pedro" y los tramos 15 y 16 a los circuitos "San Pedro" y "Xaltepa" en la figura 1), lo que implica, por un lado, que los desniveles deben asociarse al circuito (denotado por i) al que se involucran, dentro del que se denotan por el subíndice j; y por otro, que puedan tener sentidos diferentes y, como consecuencia, signos distintos según el circuito en el que se consideren; por lo tanto, debe tenerse clara la asociación entre el k-ésimo tramo del sistema y el j-ésimo tramo del circuito i. Por lo anterior, es necesario además asignar lo que denominaremos como Signo de Circuito (Sij) a cada tramo en todos los circuitos, con base en la siguiente convención: partiendo del PCA de cota conocida o del BN en cada circuito, y siguiendo el sentido horario, se asigna signo positivo a los
tramos en que éste coincida con el sentido del recorrido de nivelación y signo negativo a los tramos en que ello no ocurra. Denotando por Cij a la corrección correspondiente al desnivel del j-ésimo tramo del circuito i, se establece para cada circuito una ecuación de condición de la forma siguiente: mi
ENi +
(4)
El signo aquí considerado para las correcciones Cij, debe ser el Signo de Circuito correspondiente. Es evidente que el número de ecuaciones de condición del tipo (4), es igual al número n de circuitos de nivelación en el sistema. Por otra parte, de la teoría de mínimos cuadrados, se tiene que la suma de los cuadrados de los errores Ek debe ser un mínimo; lo que matemáticamente y en términos de las correcciones Ck se expresa por la ecuación (5), en la cual se denota a las correcciones C con el subíndice k, pues corresponden a las que se definen para cada tramo, independientemente del circuito al que pertenezcan. m
(5)
3.3. Obtención de la función a optimizar De lo expresado en el inciso anterior, es claro que se tienen n+1 ecuaciones para un total de m incógnitas Ck, por lo que en principio el sistema es insoluble; sin embargo, debido a que en realidad, se tiene un problema de optimización de la función (5) sujeta a las restricciones impuestas por las n ecuaciones de condición del tipo (4), tal situación se puede resolver aplicando la Técnica de Multiplicadores de Lagrange, la cual permite transformar un problema de máximos y mínimos con restricciones, a otro de máximos y mínimos libres (sin restricciones), correlacionando las variables originales con otras variables intermedias (que son precisamente los Multiplicadores de Lagrange), para finalmente obtener un sistema de igual número de ecuaciones normales que de incógnitas (los multiplicadores de Lagrange), que puede resolverse por cualquier método conocido; (Hernández y Pérez, 1996 y Protter y Morrey, 1969). Esta técnica, aplicada al problema que se discute, consiste en los siguientes pasos: a)
Cada una de las n ecuaciones de condición del tipo (4), se multiplican por un multiplicador de Lagrange λi, con lo que se obtienen n ecuaciones de la forma: λ
b)
Cada Ck en la
(6) expresión
(5), se multiplica por su respectivo factor de ponderación
fk obteniéndose la función F fk,Ck, siguiente:
F c)
Se obtiene la función Ufk,λi,Ck a minimizar formada por la suma de la funcion Ffk,Ck (7) y las n ecuaciones (6), es decir: U
d)
(7)
λ
λ
(8)
Derivando la función Ufk,λi,Ck, con respecto a cada corrección Ck, se obtienen m ecuaciones de correlación, una para cada Ck en términos de los multiplicadores de Lagrange λi; esto es: Ck = Cλi
(9)
e)
Sustituyendo las ecuaciones de correlación (9), en las ecuaciones de condición originales (4), resulta un sistema de n ecuaciones normales de primer grado con n incógnitas que son los n multiplicadores de Lagrange λi, cuya solución arroja sus valores.
f)
De la sustitución de los valores de los λi en las ecuaciones correspondientes, se obtienen los valores de la correcciones Ck.
g)
Los valores de las correcciones (Cij) asociadas a cada circuito difieren solamente en signo respecto a la Ck correspondiente y se obtiene de multiplicar el Ck y el Signo de Circuito (Sij) respectivo, asignado al principio del trabajo de compensación; matemáticamente: Cij = Sij×Ck
de correlación
(10)
Debe ser claro que el número de correcciones Cij será mayor al número de correcciones Ck en el número de tramos comunes en el sistema, es decir que, Cij = CCk; más aún, Ci,j = Ck y Ci+1,j = -Ck si los circuitos i e i+1 son contiguos. h) Por supuesto, los desniveles compensados en cada circuito DCij, resultan de la suma de desnivel observado (DOij) y la corrección correspondiente; expresión (11). DCij = DOij + Cij
(11)
4. EJEMPLO DE APLICACIÓN La metodología expuesta en el presente trabajo ha sido validada con su aplicación a la compensación de diversos circuitos de nivelación; en particular en la nivelación de todos los PCA establecidos por Triangulación de Precisión para el levantamiento 178 ha de los terrenos de la Universidad Autónoma Chapingo, en Chapingo, México (Pérez, 1989). Como ejemplo, se aplica en
seguida a la compensación simultánea de los circuitos de nivelación "El Olivar" (circuito 1), "San Pedro" (circuito 2) y "Xaltepa" (circuito 3), generados en el levantamiento referido, y esquematizado en la figura 1 (n = 3). El circuito 1, se niveló partiendo del BN y regresando al mismo, de modo que es un circuito cerrado; la nivelación del circuito 2, partió del PCA F y se llegó al BN; por último, el circuito 3, se niveló partiendo del PCA P y se llegó al mismo BN. El trabajo se realizó con el nivel de precisión WILD N3, que permite lecturas de nivelación con aproximación hasta la quinta cifra decimal de metro y por el Método de los Tres Hilos para el conocimiento de las distancias horizontales. En la figura, las flechas que unen los PCA indican el sentido del circuito de nivelación. El sistema tiene un total de m = 23 tramos; el número de tramos del circuito 1 es m1 = 9; para el circuito 2 es m2 = 10; y para el circuito 3 es m3 = 9. En el cuadro 1, se exponen los datos y el valor del factor de ponderación. En la columna 1 se denomina a los tramos según los PCA entre los que se localizan en el sistema y de acuerdo al valor del subíndice k; en la columna 2, se registran los desniveles observados para cada tramo como resultado de la nivelación (DOk); la columna 3 se ocupa para designar las correcciones en el sistema (Ck), en la columna 4, se anotan las longitudes Lk de los tramos y, en la columna 5, se tabulan los factores de ponderación fk, calculados con la expresión (2). De acuerdo con la convención establecida para la asignación del Signo de Circuito, se tiene que las correcciones (Ck) para todos los tramos del circuito 1 tendrán signo negativo (S1j = - para j = 1, 2, ..., 9); análogamente, para el circuito 2, S2j = + para j = 1, 2,...,10; en tanto que para el circuito 3, S3j = para j = 1 y 2 y S3j = + para j = 3,4,...,9. De la ecuación (3), el error de nivelación para los circuitos 1, 2 y 3 respectivamente son: EN1 = -0.03373 m; EN2 = +0.01003; y EN3 = +0.01832. De lo anterior, las ecuaciones de condición en términos de las Ck para los circuitos 1, 2 y 3, respectivamente, son: - 0.03373 - C9 - C8 - C7 - C6 - C5 - C4 - C3 - C2 - C1 = 0 +0.01003 + C1 + C2 + C3 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 + C15 + C16= 0 +0.01886 - C16 - C15 + C17 + C18 + C19 + C20 + C21 + C22 + C23 = 0
(12) (13) (14)
y la función Ffk,Ck (7), para el ejemplo es como sigue: F fk,Ck = 1.41387C12 + 1.78088C22 + 0.90371C32 + 0.96170C42 + 0.63398C52 + 0.97677C62 + 1.27042C72 + 2.29999C82 + 1.16491C92 + 1.13677C102 + 0.85692C112 + 1.56549C122 + 1.62084C132 + 0.70566C142 + 1.33494C152 + 0.77537C162 + 1.09293C172 + 0.48551C182 + 1.40338C192 + 1.12566C202 + 1.28590C212 + 1.08332C222 + 0.53516C232 = mínimo. (15)
Cuadro 1. Desniveles observados, distancias medidas y factores de ponderación para todos los tramos del sistema (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
TRAMOS
DESNIV. OBSERV. DOk
CORRECCIONES Ck
LONGITUD Lk
FACTOR DE PONDERAC. fk
POR PCA
k
(m)
(m)
(adim.)
BN - H
1
+8.00225
C1
187.40
1.41387
H-G
2
+3.39053
C2
148.78
1.78088
G-F
3
+6.17651
C3
293.19
0.90371
F-E
4
+2.48410
C4
275.51
0.96170
E-D
5
-11.51430
C5
417.93
0.63398
D-C
6
-12.11648
C6
271.26
0.97677
C-B
7
- 2.68721
C7
208.56
1.27042
B-A
8
+1.87271
C8
115.20
2.29999
A - BN
9
+4.42562
C9
227.45
1.16491
F-T
10
- 0.64426
C10
233.08
1.13677
T-S
11
- 5.03969
C11
309.20
0.85692
S-R
12
+1.97295
C12
169.25
1.56549
R-Q
13
- 5.58121
C13
163.47
1.62084
Q-P
14
+1.26874
C14
375.50
0.70562
P-O
15
- 8.41731
C15
198.48
1.33494
O - BN
16
- 1.11848
C16
341.72
0.77537
P-N
17
- 9.77214
C17
242.43
1.09293
N-M
18
- 5.76817
C18
545.73
0.48551
M-L
19
- 2.62274
C19
188.80
1.40338
L-K
20
+0.69498
C20
235.38
1.12566
K-J
21
- 0.03763
C21
206.05
1.28590
J-I
22
- 0.04356
C22
244.58
1.08332
I - BN
23
+8.03233
C23
495.10
0.53516
Multiplicando por los multiplicadores de Lagrange -2λ1, +2λ2 y -2λ3, las ecuaciones de condición (12), (13) y (14), respectivamente y luego, sumándolas con la función Ffk,Ck (15), se obtiene la función Ufk,λi,Ck, que se debe optimizar: Ufk,λi,Ck =1.41387C12 + 1.78088C22 + 0.90371C32 + 0.96170C42 + 0.63398C52 +
0.97677C62 + 1.27042C72 + 2.29999C82 + 1.16491C92 + 1.13677C102 + 0.85692C112 + 1.56549C122 + 1.62084C132 + 0.70562C142 + 1.33494C152 + 0.77537C 162 + 1.09293C 172 + 0.48551C182 + 1.40338C192 + 1.12566C202 + 1.28590C212 + 1.08332C222 + 0.53516C232 + 0.06746λ1 + 2λ1C9 + 2λ1C8 + 2λ1C7 + 2λ1C6 + 2λ1C5 + 2λ1C4 + 2λ1C3 + 2λ1C2 + 2λ1C1 + 0.02006λ2 + 2λ2C1 + 2λ2C2 + 2λ2C3 + 2λ2C10 + 2λ2C11 + 2λ2C12 + 2λ2C13 + 2λ2C14 + 2λ2C15 + 2λ2C16 - 0.03772λ3 + 2λ3C16 + 2λ 3C 15 - 2λ 3C 17 - 2λ 3C 18 - 2λ 3C 19 - 2λ 3C 20 - λ 3C 21 - 2λ3C22 - 2λ3C 23 = mínimo (16) Derivando (16) con respecto a cada Cij, y despejándolas de las expresiones que se obtienen, resultan las siguientes 23 ecuaciones de correlación: C1 = -0.70728(λ2 + λ1) C2 = -0.56152(λ2 + λ1) C3 = -1.10655(λ2 + λ1) C4 = -1.03983λ1 C5 = -1.57734λ1 C6 = -1.02378λ1 C7 = -0.78714λ1 C8 = -0.43478λ1 C9 = -0.85844λ1 C10 = -0.87969λ2 C11 = -1.16697λ2 C12 = -0.63878λ2
(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28)
C13 = -0.61696λ2 C14 = -1.41719λ2 C15 = -0.74910(λ2 + λ3) C16 = -1.28971(λ2 + λ3) C17 = 0.91497λ3 C18 = 2.05969λ3 C19 = 0.71257λ3 C20 = 0.88837λ3 C21 = 0.77767λ3 C22 = 0.92309λ3 C23 = 1.86860λ3
(29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39)
Sustituyendo ahora las ecuaciones de correlación anteriores en las ecuaciones de condición (12), (13) y (14), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales: 8.09666λ1 + 2.37535λ2 - 2.37535λ1 - 9.13375λ2 - 2.03881λ3 + 2.03881λ2 + 10.18377λ3
= + 0.03373 = - 0.01003 = - 0.01886
(40) (41) (42)
cuya solución simultánea proporciona los valores de los multiplicadores de Lagrange, para ser: λ1 = 0.004023030, λ2 = 0.000487040 y λ3 = - 0.001949470. Sustituyendo estos valores, en las ecuaciones de correlación correspondientes, se obtienen los valores de las correcciones Ck mostrados en la columna 2 del cuadro 2. Los valores de las correcciones para cada circuito Cij, resultan de aplicar la expresión (10) y se consignan en la columna (3) del mismo cuadro. Con los valores de Ck, las ecuaciones de condición (12), (13) y (14) se satisfacen sin error, lo que se muestra en el último renglón del cuadro 2.
Cuadro 2. Valores de circuito Cij
las correcciones para todos los tramos del sistema C k y para cada
(1)
(2)
TRAMO k
CORRECCION Ck
1
(3) CORRECCIONES POR CIRCUITO Cij CIRCUITO 1 C1i
CIRCUITO 2 C2j
- 0.00319
+ 0.00319
- 0.00319
2
- 0.00253
+ 0.00253
- 0.00253
3
- 0.00499
+ 0.00499
- 0.00499
4
- 0.00418
+ 0.00418
5
- 0.00635
+ 0.00635
6
- 0.00412
+ 0.00412
7
- 0.00317
+ 0.00317
8
- 0.00175
+ 0.00175
9
- 0.00345
+ 0.00345
10
- 0.00043
- 0.00043
11
- 0.00057
- 0.00057
12
- 0.00031
- 0.00031
13
- 0.00030
- 0.00030
14
- 0.00069
- 0.00069
15
+ 0.00110
+ 0.00110
- 0.00110
16
+ 0.00189
+ 0.00189
- 0.00189
17
- 0.00178
- 0.00178
18
- 0.00402
- 0.00402
19
- 0.00139
- 0.00139
20
- 0.00173
- 0.00173
21
- 0.00152
- 0.00152
22
- 0.00180
- 0.00180
- 0.00364
- 0.00364
23
CIRCUITO 3 C3j
mi
ENi COMPROBACIÓN
+ 0.03373
- 0.01003
- 0.01887
- 0.03373 0.00000
+ 0.01003 0.00000
+ 0.01886 0.00001
Aplicando las correcciones obtenidas para cada desnivel asociadas a cada circuito, se obtienen los
desniveles corregidos HCij aplicando la expresión (11). Para el ejemplo, esto se hace para los ciscuitos 1, 2 y 3 en los cuadros 3, 4 y 5 respectivamente, en los que además se calculan las cotas corregidas de los PCA. Nótese en estos cálculos que tanto los desniveles corregidas, como las cotas corregidas se calculan siguiendo el sentido horario, que es el que se siguió para el cálculo del error de nivelación. Cuadro 3. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 1 AEl Olivar@ EST.
BN A B C D E F G H
P.V.
TRAMO (1j)
BN A B C D E F G H BN SUMAS
9 8 7 6 5 4 3 2 1
DO1j
-4.42562 -1.87271 +2.68721 +12.11648 +11.51430 -2.48410 -6.17651 -3.39053 -8.00225 -0.03373
C1j
+0.00345 +0.00175 +0.00317 +0.00412 +0.00635 +0.00418 +0.00499 +0.00253 +0.00319 +0.03373
DC1j
-4.42217 -1.87096 +2.69038 +12.12060 +11.52065 -2.47992 -6.17152 -3.38800 -7.99906 0.00000
ZC1j 100.00000 95.57783 93.70687 96.39725 108.51785 120.03850 117.55858 111.38706 107.99906 100.00000
Cuadro 4. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 2 ASan Pedro@ EST.
BN H G F T S R Q P O
P.V.
TRAMO (2j)
BN H G F T S R Q P O BN SUMAS
1 2 3 10 11 12 13 14 15 16
DO2j
+8.00225 +3.39053 +6.17651 -0.64426 -5.03969 +1.97295 -5.58121 +1.26874 -8.41731 -1.11848 +0.01003
C2j
-0.00319 -0.00253 -0.00499 -0.00043 -0.00057 -0.00031 -0.00030 -0.00069 +0.00110 +0.00189 -0.01002
DC2j
+7.99906 +3.38800 +6.17152 -0.64469 -5.04026 +1.97264 -5.58151 +1.26805 -8.41621 -1.11659 +0.00001
ZC2j 100.00000 107.99906 111.38706 117.55858 116.91389 111.87363 113.84627 108.26476 109.53281 101.11660 100.00001
A diferencia del circuito 2, que se parte del BN, para el cáclculo de desniveles y de cotas corregidas, y se regresa al mismo para mostrar el cierre, (lo cual no es necesario), enseguida se calculan desniveles y cotas corregidas para el circuito 3, partiendo del PCA P que fue de donde se inició el trabajo de nivelación, y cerrando en el BN, para verificar el cierre. Por supuesto que esto implica que no se puede mostrar en las sumas, que el error es igual a la suma de las correcciones con signo contrario. Cuadro 5. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 3 AXaltepa@ EST.
P.V.
P N M L K J I
P N M L K J I BN
TRAMO (3j) 17 18 19 20 21 22 23
DO3j
-9.77214 -5.76817 -2.62274 +0.69498 -0.03763 -0.04356 +8.03233
C3j
-0.00178 -0.00402 -0.00139 -0.00173 -0.00152 -0.00180 -0.00364
DC3j
-9.77392 -5.77219 -2.62413 +0.69325 -0.03915 -0.04536 +8.02869
ZC3j 109.53280 99.75889 93.98669 91.36257 92.05582 92.01667 91.97131 100.00000
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Como conclusión general del presente trabajo se puede referir que, la teoría de mínimos cuadrados con sus ventajas intrínsecas, puede aplicarse a la compensación de Puntos de Control y Apoyo en trabajos de nivelación topográfica, si los recorridos se manejan como circuitos, lo cual es particularmente recomendable para trabajos de alta precisión y con la ventaja adicional de poder compensar n circuitos simultáneamente; además, la metodología aquí generalizada es aplicable independientemente del Procedimiento Topográfico que se emplee para el establecimiento en planta del Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo. La sistematización y generalización de la metodología presentada, posibilita la elaboración de un programa de computadora que agilice la realización de los cálculos, lo cual es muy recomendable, pues su ejecución manual es muy laboriosa; esta tarea será motivo en un trabajo próximo es esta temática.
6. LITERATURA CITADA. Hernández Saucedo, F. R. y Pérez Nieto, S. 1996. Triangulación de Precisión y su compensación Planialtimétrica por Mínimos Cuadrados. Dirección de Difusión Cultural de la Universidad Autónoma Chapingo. En prensa. Chapingo, Méx. Kissam, C.E. P. 1976. Topografía para Ingenieros. Primera edic. Ed. McGraw-Hill de México S. A. de C. V. México, D. F. Moffitt, F. H. y Bouchard, H. 1982. Surveying. Seventh Edition. Harpper & Row Publishers. New York, U.S.A. Pérez Nieto, S. 1989. Información básica para la planeación del riego en el Campo Experimental de la Universidad Autónoma Chapingo; Tesis profesional. Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México. Pérez Nieto, S. 1995. Topografía Aplicada. Primera edición. Departamento de Suelos de la Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México. Protter, M. H. y Morrey, C. 1969. Análisis Matemático, Modern Mathematical Editión Bilingua. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México, D. F.
Analysis.
Wolf, P. R. y Brinker, R. C. 1994. Elementary Surveying. Ninth edition. HarpperCollins College Publishers. New York, U.S.A.
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