Compendio Cálculo Estructural II

COMPENDIO de Cálculo Estructural para ingeniería mecánica y aeronáutica Julio Massa, Juan Giró y Alejandro Giudici

Marzo de 2017

PRÓLOGO Este compendio cubre diecisiete capítulos para los cursos de Cálculo Estructural Avanzado para estudiantes de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Aeronáutica de la Universidad Nacional de Córdoba. Este material didáctico está orientado al diseño y análisis de estructuras que habitualmente son proyectadas por Ingenieros Mecánicos ó Aeronáuticos y se divide en tres partes: 1. Mecánica del sólido continuo, 2. Estabilidad del equilibrio y 3. Estructuras y componentes. Los estudiantes de Ingeniería Mecánica omiten el Capítulo 11, mientras que los alumnos de Ingeniería Aeronáutica omiten los últimos tres capítulos Los conceptos teóricos se complementan con ejercicios resueltos al final de cada capítulo. Marzo de 2017

Julio MASSA, Juan GIRÓ y Alejandro GIUDICI

ÍNDICE Capítulo 1

Ecuaciones fundamentales ..............................................................

Capítulo 2

Criterios de falla para tensiones combinadas ................................. 29

Capítulo 3

Cilindros con elevada presión ......................................................... 51

Capítulo 4

Teoría de placas ............................................................................. 73

Capítulo 5

Teoría de segundo orden para elementos prismáticos .................... 95

Capítulo 6

Cargas críticas de placas ................................................................. 117

Capítulo 7

Pandeo de cilindros ......................................................................... 133

Capítulo 8

Pandeo local de elementos compuestos .......................................... 151

Capítulo 9

Vigas curvas ................................................................................... 161

1

Capítulo 10 Vigas de pared delgada ................................................................... 177 Capítulo 11 Vigas compuestas y estructuras a recubrimiento resistente ............ 209 Capítulo 12 Método de los elementos finitos ..................................................... 233 Capítulo 13 Falla por fatiga ................................................................................ 277 Capítulo 14 Mecánica de fracturas ..................................................................... 313 Capítulo 15 Cañerías .......................................................................................... 325 Capítulo 16 Estructuras metálicas: Torres ......................................................... 363 Capítulo 17 Recipientes de presión .................................................................... 387

BIBLIOGRAFÍA General x Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, Budynas y Nisbett , 9º Ed., McGraw-Hill, 2012. x Diseño de Elementos de Máquinas, 4ta Edición, Robert L. Mott, Pearson Education, 2006. x Diseño de Elementos de Máquinas, 4ta Edición, Vigil M. Faires, Limusa, 1998. x Diseño de Máquinas, Hall, Holowenko y Lauglin, Series Schaum, McGraw-Hill, 1990. x Advanced Mechanics of Materials, Arthur Boresi and Richard Schmidt, John Wiley & Sons, 2006. x Failure of Materials in Mechanical Design, 2º Ed., Jack A. Collins, John Wiley & Sons, 1993. x Advanced Mechanics of Materials, Cook and Young, McMillan Publising Co. 2º Ed., 1998. x Mechanical Behavior of Materials, Dowling, Norman E., Pearson Education, 2013. x Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th Ed., Warren Young, Richard Budynas and Ali Sadegh, McGraw Hill Companies, 2012. x Fundamentals of Machine Component Design, 5º Ed., Juvinall y Marshek, John Wiley, 2011.

Capítulos 1 y 2

Ecuaciones Fundamentales y Criterios de falla

x Introducción a la Teoría de la Elasticidad, 3ª Edición, Luis A. Godoy, Carlos A. Prato y Fernando G. Flores, Universitas, 2009.

Capítulos 5, 6, 7 y 8

Estabilidad del Equilibrio

x Buckling of Bars, Plates and Shells, Don Brush and Bo Almroth, McGraw Hill Companies, 1975. x Buckling of Bars, Plates and Shells, Robert Millard Jones, Bull Ridge Publishing, 2006.

Capítulo 12

Método de los elementos finitos

x El Método de los Elementos Finitos, Volumen 1: Formulación Básica, 4ta Edición, Zienkiewicz O., Taylor, R., Zhu J., McGraw-Hill, 2012. x El Método de los Elementos Finitos, Volumen 2: Mecánica de Sólidos, 4ta Edición, Zienkiewicz O., Taylor, R., McGraw-Hill, 2010. x Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Análisis Estático Lineal, Eugenio Oñate, CIMNE, 1995. Referencias históricas del Capítulo 12 x Energy Theorems and Structural Analysis, Argyris, J. and Kelsey S.; New York Press, 1955 (originalmente publicado en una serie de artículos en Aircraft Engineering, 1954 a 1955). x Elementary Matrices and Some Applications to Dynamics & Differential Equations”, Frazer, R., Duncan W. and Collar A.; Cambridge University Press, 1st Ed. 1938, 7th printing 1963. x Die Berechnung der Drehschwingungen, Holzer, H.; Berlin: Springer-Verlag, 1921. x A Structural Analysis Program for Static and Dynamic Response of Nonlinear Systems, Bathe, K., Wilson, E. and Iding, R.; Structural Engineering Laboratory, University of California, Berkeley, 1974. x The Finite Element Method in Structural and Solid Mechanics, Zienkiewicz O. and Cheung, Y.; McGraw Hill, London, 1967 y 1994. x Integrated Theory of Finite Element Methods, Robinson, J.; John Wiley & Sons, 1973

x The Finite Element Method, Rockey K., Evans H., Griffiths D. and Nethercot D., Ed. Granada, 1975 x Matrix Methods in Elastomechanics, Pestel, E. and Leckie, F.; McGraw-Hill, 1963. x Theory of Matrix Structural Analysis, Przemieniecki, J.; McGraw-Hill, 1968. x Backus, J. et al.; “The FORTRAN automatic coding System”, Proceeding. Western Joint Computer Conference, Los Angeles, California, 1956. x McHenry, D.; “A lattice analogy for the solution of plane stress problems”, Journal of Inst. Civil Engineering, 21, 59-82, 1943. x Myklestad, N.; “A new method of calculating natural modes of uncoupled bending vibration of airplane wings and other types of beams”, Journal of Aeronautical Sciences, April, 1944. x Turner, M.; “The direct stiffness method of structural analysis”, Structural and Materials Panel Paper, AGARD Meeting, Aachen, Germany, 1959. x Wilson E.; “SAP: A general structural analysis program”, SESM Report 70-20, Dept. of Civil Engineering, University of California, Berkeley, 1970. x Duncan,W. and Collar, A.; “Method for the solution of oscillations problems by matrices”, Phil. Mag. Series 7, 17, pp. 865, 1934. x Duncan, W and Collar, A.; “Matrices applied to the motions of damped systems”, Phil. Mag., Series 7, 19, pp. 197, 1935.

Capítulo 13

Falla por fatiga

x Budynas y Nisbett, Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, 9º Ed., McGraw-Hill, 2012. x Juvinall y Marshek, Fundamentals of Machine Component Design, 5º Ed., John Wiley, 2011. x Collins, Failure of Materials in Mechanical Design, 2º Ed., John Wiley & Sons, 1993. x Hall, Holowenko y Lauglin, Diseño de Máquinas, Series Schaum, McGraw-Hill, 1990. x Boresi y Schmidt, Advanced Mechanics of Materials, 6o Ed., John Wiley & Sons, 2003.

Capítulo 14

Mecánica de fracturas

x Fracture and Fatigue Control in Structures, 3º Ed., Applications of Fracture Mechanics - 3rd Edition, John Barsom and Stanley Rolfe, ASTM, 1999. x Comportamiento de un gasoducto con fisuras, J.C. Massa y A. J. Giudici, Revista Internacional de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil, vol. 9(1-2), pp. 143 -162, Año 2009. Descargar: http://academic.uprm.edu/laccei/index.php/RIDNAIC/article/viewFile/205/192 x Análisis de falla por fractura en gasoductos, José Stuardi, Leonardo Cocco, Guillermo Chiappero y Alejandro Giudici, Mecánica Computacional, vol. 32, pp. 1671-1686, 2013. Descargar: http://www.cimec.org.ar/ojs/index.php/mc/article/viewFile/4447/4377

Capítulo 15

Cañerías

x ASME/ANSI B31.1 Power Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.3 Process Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.8 Gas Transmission and Distribution Piping Systems, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x R. K. Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press, 1969. x Hayrettin Kardestuncer, Introducción al Análisis Estructural con Matrices, Mc Graw – Hill, 1975.

x John Robinson, Integraded Theory of Element Finite Methods, John Wiley & Sons, 1973. x SST Systems Inc., http://www.caepipe.com/, 2016. x Intergraph CADWorx & Analysis Solutions, http://www.coade.com/products/caesarii, 2016. x Bentley Systems, Incorporated, https://www.bentley.com/en/products/product-line/pipe-stress-andvessel-analysis-software/autopipe, 2016. x Pipingh Handbook, Mohinder L. Nayyar, 7th Edition, McGraw-Hill. 2000.

Capítulo 16

Estructuras metálicas: Torres

x ASME/ANSI B31.1 Power Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.3 Process Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.8 Gas Transmission and Distribution Piping Systems, American Society of Mechanical Engineers, 2014.

Capítulo 17

Recipientes de presión

x Pressure Vessel Handbook – Eugene Megyesy - Pressure Vessel Handbook Publishing, 14º Ed., 2008. x Pressure Vessel Design Manual, Dennis R. Moss and Michael M. Basic, Elsevier (ButterworthHeinemann), 2013. x Pressure Vessel Design Handbook, 2º Ed., Henry Bednar, Krieger Publishing Company, 1991. x Theory and Design of Pressure Vessels, John F. Harvey, Van Nostrand Reinhold Company, 1985. x ASME Boiler and Pressure Vessel Code (BPVC), Section II – Materials, American Society of Mechanical Engineers, 2015. x ASME Boiler and Pressure Vessel Code (BPVC), Section VIII - Rules for Construction of Pressure Vessels, American Society of Mechanical Engineers, 2015. x CIRSOC 102, Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre las Construcciones, INTI; 2005. x CIRSOC 103, Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes, INTI; 2013.

Capítulo 1

ECUACIONES FUNDAMENTALES 1 INTRODUCCIÓN La mecánica de los medios continuos estudia los sólidos y los fluidos desde un punto de vista macroscópico basado en la mecánica clásica. Este capítulo está dedicado únicamente al estudio de sólidos. A tal fin se definen los desplazamientos y las fuerzas como vectores y las deformaciones y tensiones como tensores. Esas variables están esquematizadas en la Figura 1. Campos geométricos Campos vectoriales Campos tensoriales

Campos elásticos

u

f

Desplazamientos

Fuerzas

Deformaciones

Tensiones

Figura 1: Campos asociados a un problema elástico

Existen relaciones que permiten relacionar entre sí dichos campos ( ver Figura 2 ). Ellas son: i) relaciones cinemáticas entre deformaciones y desplazamientos, ii) relaciones constitutivas entre tensiones y deformaciones, que dependen del material, y iii) ecuaciones de equilibrio que relacionan fuerzas con tensiones.

u

f

Cinemáticas

Equilibrio

= (u)

f = f () Constitutivas

= ()

Figura 2: Relaciones entre los diferentes campos asociados a un problema elástico

Ejemplo: Para ilustrar los conceptos mencionados se considera la barra traccionada de la Figura 3.

Figura 3: Ejemplo simple de una barra en tracción

1. Ecuación cinemática

H

u / L ( Problema geométrico ).

2. Ecuación de equilibrio

F

VA

( Fuerzas y tensiones ).

3. Ecuación constitutiva

V

HE

( Depende del material ).

EA u ……..…. (1) L que es una ecuación de equilibrio en función del desplazamiento que corresponde al método de la rigidez. A es el área de la sección, L es el largo de la barra, u es el alargamiento y E es el módulo de Young del material de la barra. Empleando estas ecuaciones se llega a ……………....………......…. F

Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

1

Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017

2 ANÁLISIS DE TENSIONES 2.1 Vector tensión Se considera un cuerpo tridimensional para el cual interesa conocer las tensiones asociadas a un punto P de un plano. Dicho plano queda definido por la dirección normal Q . Notación: un tilde debajo de una variable significa que es un vector.

Figura 4: Tensión en un punto de una sección plana

De acuerdo con el principio de tensión cuando el área tiende a cero (ver figura 4 ) el cociente entre la carga ' Fv y el área ' A tiende a un valor definido V v . ( Recordar que realizamos un análisis macroscópico). El vector de tensión V v varía de punto a punto y también depende de la dirección Q . 'F dFv (2) lim v Vv A ' o 0 'A dA Como, en general, V v no coincide en dirección con el versor Q , se puede descomponer en una componente de tensión normal al plano V vv y otra componente de tensión cortante V vs contenida en el plano según se muestra en la Figura 5.

Vv

V vv V vs

V vv v V vs s

(3)

Figura 5: Descomposición del vector de tensión en una tensión normal y otra cortante

2.2 Tensor de tensiones Para estudiar el estado tensional en un punto de un cuerpo tridimensional se comienza definiendo una terna cartesiana t 1 , t 2 , t 3 (versores) y las tensiones V i asociadas a las caras de un cubo elemental cuyas caras coinciden con los planos coordenados (ver Figura 6 ).

Figura 6: Tensiones asociadas a las caras del cubo elemental en coordenadas cartesianas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

2


Cada vector de tensión V i ( Figura 6-a ) puede descomponerse en las tres direcciones cartesianas dando origen a las llamadas componentes cartesianas de tensión V ij , ( Figura 6-b) donde el primer índice indica el plano al cual se asocia la tensión y el segundo la dirección de la componente. Notar que cuando los índices son iguales se trata de tensiones normales y cuando son distintos de tensiones de corte. V 1 V 11 t 1 V 12 t 2 V 13 t 3 (4) V 2 V 21 t 1 V 22 t 2 V 23 t 3 V 3 V 31 t 1 V 32 t 2 V 33 t 3 Para abreviar la notación se utiliza notación indicial donde índices repetidos en un mismo término indican sumatoria.

Vi

V ij t j

(5)

El índice “i ” se llama índice libre, mientras que el índice repetido “ j ” indica una sumatoria para los posibles valores de j = 1, 2, 3. Más adelante se demuestra formalmente que ij son las componentes de un tensor cartesiano de segundo orden que en lo sucesivo llamaremos tensor de tensiones ij.

2.3 Relación entre el vector de tensión y el tensor de tensiones Se puede demostrar que cuando es conocido el tensor de tensiones en un punto se puede determinar el vector de tensión correspondiente a cualquier dirección arbitraria definida por un versor Q . Para ello basta considerar el equilibrio entre las fuerzas actuantes en las caras de un tetraedro elemental como se muestra en la Figura 7.

Figura 7: Fuerzas actuantes sobre las caras del tetraedro de Cauchy

V v dAv V 1 dA1 V 2 dA2 V 3 dA3 o bien en notación indicial:

(6)

0

V v dAv V i dAi

0 donde, aunque no lo hacemos aquí, se puede demostrar que: dAi vi dAv reemplazando y simplificando: V v vi V i 0 por lo tanto: V v Sustituyendo (5) en (9) y despejando se llega a:

Vv

V ij vi t j

(7) (8)

vi V i

(9)

(10)

Esta ecuación conocida como fórmula de Cauchy muestra que el tensor de tensiones ij define completamente el estado tensional en un punto ya que a partir de ese tensor se puede determinar el vector tensión V v asociado a cualquier plano definido por su dirección (versor ) Q . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

3


Desarrollando (10) se tiene:

Vv

(V 1 j v1 V 2 j v2 V 3 j v3 ) t j (11) (V 11 v1 V 21 v2 V 31 v3 ) t 1 (V 12 v1 V 22 v2 V 32 v3 ) t 2 (V 13 v1 V 23 v2 V 33 v3 ) t 3 Aquí resulta obvia la conveniencia de usar notación indicial ya que (10) es más compacta.

Para hallar la componente normal del vector de tensión basta proyectar V v sobre la dirección Q (12) V vv V v v (V i m vi t m ) (v j t j ) recordando que los versores son ortonormales:

° 0... si... j z m ® °¯ 1... si... j m

tj tm

(13)

se tiene:

V vv

V i j vi v j

(14)

Para hallar la componente tangencial V vs se usa el teorema de Pitágoras ( Figura 5) y se tiene:

V v V vQ 2

V vs

2

(15)

2.4 Reciprocidad de las tensiones tangenciales El equilibrio de momentos alrededor del eje x1 en el cubo infinitesimal de la Figura 6-b, implica que: (V 23 dx1 dx3 ) dx2 (V 32 dx1 dx2 ) dx3 0 (16) y en consecuencia:

V 23

V 32

(17)

similarmente tomando momentos con respecto a los otros ejes se llega a la condición de reciprocidad:

V ij

V ji

(18)

que permite afirmar que el tensor de tensiones es simétrico.

2.5 Cambio de coordenadas Interesa saber cómo se transforman las componentes del vector de tensión V v y las componentes del tensor de tensiones V ij cuando se efectúa un cambio de coordenadas (ver Figura 8 ). Para el nuevo sistema utilizamos el índice prima.

ª t1 « «t 2 « «t ¬ 3

º » » » » ¼

ª O11 O12 « « O 21 O 22 « «O ¬ 31 O 32

O13 º ª t c1 º » « »

O 23 » < « t c2 »

» « » O 33 »¼ «¬ t c3 »¼

(19)

donde ij es la proyección del versor t i sobre el versor t cj En notación indicial (19) se escribe:

tm

Figura 8: Cambio de coordenadas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

4

O m n t cn

(20)


El vector de tensión puede expresarse en el sistema sin prima:

Vv

Vm t m

(21)

Vv

V nc t cn

(22)

o bien en el sistema prima como:

y teniendo en cuenta (20) se puede escribir (21) como:

Vv

Comparando (22) con (23) se tiene:

V nc

Omn V m

V m O m n t cn

(23)

n 1, 2,3 m 1, 2,3

(24)

La ecuación (24) muestra como se transforman las componentes del vector de tensión. Cada término contiene un solo coseno director mn, siendo ésta la característica de la transformación de un tensor de primer orden ( o sea un vector). Teniendo presente que la matriz de rotación tiene por inversa a su transpuesta, matricialmente se tiene t O t c , t c O T t . Indicialmente t cn Omn t m , llevando esto a (22) y comparando con (21) se muestra que:

Vm

O mn V nc

n 1, 2,3 m 1, 2,3

(25)

Mediante un razonamiento similar se puede ver como se transforman las componentes de tensión V ij . Expresando la componente normal V vv , que es un invariante, en ambos sistemas de referencia, según (14) se tiene:

V vv

V ij vi v j

V vv

V Acm Q Ac Q mc

(sistema sin prima )

(26)

(sistema prima )

(27)

Teniendo en cuenta (20) se puede escribir (26) como:

V vv

V ij (O iA Q Ac ) (O j m Q mc )

(28)

igualando los segundos miembros de (27) y (28), pasando todo al primer miembro y sacando factor común se tiene:

( V Ac m O iA O j m V ij ) Q Ac Q mc

(29)

0

Expresión que debe ser válida para cualquier dirección vc de modo que debe anularse el paréntesis, resultando:

V Ac m

O iA O j m V ij

(30)

En efecto, basta tomar vc (1,0,0) en (29) para demostrar que (30) se cumple para V 11c . c . Posteriormente eligiendo Tomando Q c ( 0, 1, 0) se demuestra que se cumple para V 22 Q c ( 2 / 2, 2 / 2, 0) y teniendo en cuenta lo anterior se demuestra que (30) es válida para V 12c . Similarmente se demuestra que (30) es válida para los restantes valores de “ A ” y “ m ”. La ecuación (30) muestra que V ij es un tensor de segundo orden. Recordar que lo que define el carácter tensorial de una variable es su ley de transformación; “ si en la ley de transformación hay dos cosenos directores en cada término estamos en presencia de un tensor de segundo orden ”


5


2.6 Direcciones principales de tensión Anteriormente se vio ( Figura 5 ) que para cualquier dirección v arbitraria queda definida una tensión normal V vv y una tensión de corte V vs . Definiremos como direcciones principales ( si existen ) a aquellas direcciones para las cuales las tensiones cortantes son nulas.

V vs

0

v es una dirección principal

(31)

Esas direcciones principales resultan muy importantes porque según se demuestra más adelante tienen asociadas tensiones normales máximas (o mínimas) que se denominan tensiones principales.

0 se cumple cuando V v coincide con v , es decir: Vv V v donde V es un escalar. Reemplazando V v según la fórmula de Cauchy (10) y siendo v (V ij vi V v j ) t j 0 V ij vi V v j 0 porque para que se anule el vector deben anularse las tres componentes. La condición V v s

(32)

vj t j (33)

Desarrollando (33) se obtiene un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las componentes de la dirección principal v v1 , v2 , v3 V 21 V 31 º ª v1 º ª 0 º ª V 11 V « » « » « » (34) V 22 V V 32 » < « v2 » « 0 » « V 12 « » « » « » «¬ V 13 V 23 V 33 V »¼ «¬ v3 »¼ «¬ 0 »¼ Para obtener una solución no trivial, y en consecuencia una dirección principal, debe anularse el determinante de la matriz de coeficientes.

V 3 I1 V 2 I 2 V I 3

(35)

0

donde:

I1

V ii

I2

1 2

( V ii V jj V ij V ji )

I3

det (V ij )

(36)

son tres valores: I1 , I 2 , I 3 que no dependen del sistema de coordenadas elegido, denominados invariantes de tensión. Desarrollando resulta:

I1

V 11 V 22 V 33

( traza de la matriz )

(37)

I2

V 11 V 22 V 22 V 33 V 33 V 11 ( V 122 V 232 V 132 )

(38)

Resolviendo (35) se encuentran las tres raíces que resultan reales y si además son distintas corresponden a tres direcciones mutuamente ortogonales. Esto se puede adelantar basándose en conocimientos de álgebra lineal. Supondremos que las tensiones principales distintas están ordenadas por tamaño:

V (1) ! V (2) ! V (3)

Tensiones principales:

(39)

Si se utilizan las direcciones principales correspondientes a esas tres tensiones principales distintas como sistema coordenado, el tensor de tensiones resulta diagonal.

V ij


ª V (1) « « 0 « « 0 ¬

0

V (2) 0

6

0 º » 0 » » V (3) »¼

(40)


Teniendo en cuenta (40) y (14) podemos escribir la tensión normal asociada a una dirección arbitraria v (v1 , v2 , v3 ) cuyas componentes están referidas a ejes principales como: (41) V vv V (1) (Q 1 ) 2 V (2) (Q 2 ) 2 V (3) (Q 3 ) 2 Teniendo en cuenta (39) y recordando que el módulo del versor v es unitario: 2 2 2 (Q 1 ) (Q 2 ) (Q 3 ) 1

(42)

se observa que el máximo valor de (41) corresponde a:

v1

v2

1;

v3

0;

V vv máx

0

V (1)

(43)

Notar que haciendo v (1, 0, 0) en el sistema coordenado usado en (40) se obtiene la dirección principal v 1 . Similarmente se puede demostrar que el valor mínimo para la tensión normal se obtiene de (41) cuando v ( 0, 0,1) y resulta:

V vv mín

V (3)

(44)

Es posible demostrar, aunque no lo hacemos aquí, que la máxima tensión de corte es:

V vs máx

1 2

(V (1) V (3) )

(45)

2.6.1 Caso particular donde una de las tensiones principales es nula Frecuentemente se anula alguna de las columnas del tensor de tensiones ( y la correspondiente fila por simetría). En tal caso, bosquejar el círculo de Mohr (como se indica en la Figura 9), ayuda a “recordar” las expresiones para las tensiones máximas (1), (3) y máx dadas en las ecuaciones (48). Pero hay que tener presente que el círculo de Mohr de la izquierda de la Figura 9 no es suficiente, ya que deben considerarse tres círculos de Mohr (no hay que olvidar a la tensión normal nula):

Figura 9: Círculos de Mohr para el caso de tensión plana

Ejemplos:

V ij

ª VD « « W « 0 ¬

A

W

0º » 0» 0 »¼

VE 0

;

2

V máx

V (1)

V mín

V (3)


0 0 0

W º

» 0 » V E »¼

(46)

2

VD V E

V vs ( máx )

V ij

;

ª VD « « 0 « W ¬

W máx

R

§ VD V E · 2 ¨ ¸ W 2 © ¹

^ A R , 0 ` el menor entre ^ A R , 0 ` 1 (V V ) (1) (3) 2

(47)

el mayor entre

7

(48)


2.6.2 Círculo de Mohr Un caso muy frecuente de transformación de coordenadas ( Sección 2.5 ) es la rotación de un sistema alrededor de uno de los tres ejes. Consideramos una rotación antihoraria alrededor de eje “z” como se indica en la Figura 10. Las componentes del tensor de tensiones en el sistema nuevo ( prima ) se pueden obtener a partir de las componentes en el sistema viejo (sin prima) considerando condiciones de equilibrio según (19), donde debemos recordar que las componentes de m n son las componentes del sistema viejo en el sistema nuevo.

Ox

( cos T , sen T , 0 )

Oy

( sen T , cos T , 0 )

Oz

( 0, 0, 1 )

(49)

Figura 10: Rotación del sistema de coordenadas alrededor del eje z

ªV xc º « » «V cy » « » «¬W xyc »¼

ª cos 2 T « « sen 2 T « «¬ sen T cos T

sen 2 T

2 sen T cos T

cos 2 T sen T cos T

º ªV x º » « » 2 sen T cos T » < «V y » » « » cos 2 T sen 2 T »¼ «¬W xy »¼

(50)

(50) también puede expresarse en función del ángulo doble (2 )

V xc

A B cos 2T W xy sen 2T

V cy

A B cos 2T W xy sen 2T

A

W xyc

B sen 2T W xy cos 2T

B

donde

Vx Vy (51)

2 Vx V y 2

Estas tres ecuaciones se pueden representar en un círculo de Mohr como se indica en la Figura 11. Se ubican en el eje de las abscisas las tensiones V x y V y ( V x t V y ). Importante: W xy es positivo si al actuar en la cara perpendicular a “x” tiene el sentido positivo del eje “y”. Regla: W xy positivo hacia abajo

A R

Vx Vy

B

2

Vx V y 2

2 B 2 W xy

radio

V xc

A R cos E ;

V máx

A R

W xyc

R sen E ;

V mín

A R

V cy

A (V xc A) ;

W máx

R

(52)

Figura 11: Cambio de tensiones normales y cortantes por una rotación alrededor del eje z

2.6.3 Caso general ( tridimensional ) Se debe calcular I1, I2 e I3, resolver la ecuación (35) y luego calcular los máximos según (43), (44) y (45). Generalmente no es importante determinar las direcciones principales (vectores propios ), pero si es necesario hacerlo se puede resolver el sistema (34) para cada uno de los valores propios (1), (2) y (3). Se sugiere al lector deducir (48) empleando (35) y (36). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

8


2.7 Ecuaciones diferenciales de equilibrio Se desea encontrar la relación de equilibrio entre las fuerzas másicas en un punto y la variación de las tensiones que se originan en las proximidades de ese punto. Estudiaremos el equilibrio del cubo elemental de la Figura 12 que es similar al de la Figura 6 .

Figura 12: Equilibrio del cubo elemental

Considerando el equilibrio de fuerzas (vectorial ) en las caras y en el volumen se tiene:

§ wV 3 · § wV 1 · § wV 2 · ¨ dx1 ¸ dx2 dx3 ¨ dx2 ¸ dx1 dx3 ¨ dx3 ¸ dx1 dx2 F dx1 dx2 dx3 © wx1 ¹ © wx2 ¹ © wx3 ¹

0

Simplificando y considerando componentes según la dirección “ j ” se tiene: wV 1 j wV 2 j wV 3 j Fj 0 wx1 wx2 wx3

(53)

(54)

que puede escribirse en notación indicial como:

wV ij wxi

Fj

0

(55)

Notar que se trata de tres ecuaciones (una para cada uno de los posibles valores del índice “j ” ) de cuatro términos cada una. Suponiendo conocidas las fuerzas másicas Fj ( x1 , x2 , x3 ) asociadas al volumen, y reconociendo la simetría del tensor de tensiones quedan aún seis incógnitas (componentes del tensor de tensiones) por lo que el sistema (55) es estáticamente indeterminado.

2.8 Condiciones de borde de tensión En el contorno del cuerpo también se debe cumplir equilibrio de fuerzas ( ver Figura 13). Por ello el vector de tensión asociado a la dirección normal a la superficie en cada punto es exactamente igual a la tensión producida por la fuerza distribuida sobre la superficie que llamaremos f . (56) Vv { f reemplazando V v según (9) (57) vi V i f Figura 13: Condiciones de borde de tensión

De la última ecuación vectorial se pasa a sus componentes usando (5) llegando a:

V ij v j

fi

(58)

Conclusión: Las componentes del tensor de tensiones son tales que equilibran las fuerzas másicas en el interior del cuerpo según (55) y satisfacen la condición (58) en el contorno. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

9


Notar que (58) debe cumplirse aún en aquellos puntos en que f { 0. Más aún, en el caso en que f1 , f 2 y f 3 son todas nulas, la ecuación (58) no implica que todas las componentes de V ij sean nulas. En el caso de un cilindro cargado axialmente como se indica en la Figura 14, si se considera un elemento próximo a la cara lateral se observa que no hay tensión normal ni cortante asociada a la cara lateral pero si hay tensión normal en el sentido vertical. Un argumento similar puede hacerse para (55); la ausencia de fuerzas másicas (caso en que F1 0, F2 0, F3 0 ) en las proximidades (infinitesimales ) de un punto no implica que las tensiones permanecen constantes en las proximidades de ese punto.

Figura 14

Los razonamientos anteriores concuerdan con el hecho de que no es posible hallar las tensiones en un punto basándose solamente en las fuerzas (másicas o de superficie) que actúan en dicho punto.

3 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES 3.1 Alargamiento específico de una fibra Se considera una fibra AB de longitud infinitesimal que antes de la deformación tenía dirección O ( versor ). Después de la deformación la fibra AB ocupa la posición AcBc y su longitud cambió de dr a dR . Denotamos u al desplazamiento del punto A. Para el punto B infinitamente próximo a A el desplazamiento es u du. Todo eso se indica en la Figura 15. r xi t i o dr dxi t i ½ dxi ° °¾ O (59) ® i dr °¯además dr dr O dr Oi t i °¿ Nos proponemos relacionar el alargamiento específico longitudinal de la fibra definida por O con los desplaza mientos del punto A :

EO

dR dr dr

dR 1 dr

(60)

Figura 15: Deformación de una fibra en la dirección

La longitud inicial es el módulo del vector dr :

dx12 dx22 dx32

dr

dr

de donde: Similarmente:

dR

2

2

dxi dxi

(dxi dui ) (dxi dui ) 2

dxi dxi

(61) (62)

dxi dxi dxi dui dui dxi dui dui

(63)

2

(64) dR dr dxi dui dx j du j dum dum Notar que se puede cambiar el índice repetido dentro de cualquier término sin cambiar el valor de la sumatoria que dicho índice repetido está indicando.

o también:

Por propiedad de diferenciales se tiene:

dui

wui wu wu dx1 i dx2 i dx3 wx1 wx2 wx3


10

wui dxm wxm

(65)


entonces (64) puede escribirse como: 2

dR dr

2

§ wu · · § wu j · § wu · § wu dxi ¸ dx j ¨ m dxi ¸ ¨ m dx j ¸ ¨¨ i dx j ¸¸ dxi ¨ ¨ ¸ © wxi ¹ © wxi ¹ © wx j © wx j ¹ ¹

(66)

§ wui wu j wum wum · ¨¨ ¸ dxi dx j wxi wx j ¸¹ © wx j wxi

(67)

o bien: 2

dR dr

2

A continuación se definen las componentes de deformación ij como:

1 2

J ij

§ wui wu j wum wum · ¨¨ ¸ x x w w wxi wx j ¸¹ j i ©

(68)

Entonces (67) puede escribirse como: 2

dR dr

2

2J ij dxi dx j

(69)

dxi dx j dr dr

(70)

dividiendo por ( dr dr ) se tiene: 2

dR 2 1 dr

2 J ij

y teniendo en cuenta (59) resulta: 2

dR 1 2 J ij Oi O j 2 dr Finalmente reemplazando en (60) se llega a:

EO

1 2 J ij O i O j

(71)

1

(72)

De (69) y (68) se deduce que los alargamientos específicos están relacionados con las derivadas de los desplazamientos.

3.2 Distorsión angular Al deformarse, las fibras además de alargarse ( o acortarse) giran produciendo variaciones en el ángulo ( ) formado por dos fibras ( y ) concurrentes en un punto (ver Figura 16). Resulta particularmente útil conocer la variación del ángulo entre fibras que antes de la deformación formaban un ángulo de 90° porque esa distorsión angular está asociada a tensiones cortantes. Se puede demostrar (no lo hacemos aquí) que el cambio de ángulo IOP entre dos fibras ( y ) a 90° (distorsión angular) está relacionado con las componentes de deformación J ij : Cambio de ángulo:

sen IOP

2 J ij O i P j 1 2 J ij O i O j

1 2 J ij P i P j

(73)

Figura 16: Variación del ángulo entre dos fibras concurrentes en un punto


11


3.3 Tensor de deformaciones Según se observa en (72) y (73) las llamadas componentes de deformación J ij permiten calcular las deformaciones longitudinales y angulares en un punto de un sólido deformado. Dichas componentes definen completamente el estado de deformación en un punto. Interesa conocer como se transforman las J ij cuando se cambia el sistema coordenado. Para ello escribimos el invariante definido en (69). 2

2

(74) dR dr 2 J ij dxi dx j Teniendo en cuenta que la diferencia de los cuadrados de las longitudes antes y después de la deformación no depende del sistema de referencia empleado, se puede emplear un nuevo sistema que denotaremos con el superíndice prima, y escribir: (75) dR dr 2 J Acm dxAc dxmc Recordando como se transforman las componentes de un vector, ver (24), podemos escribir (74) como: 2 2 (76) dR dr 2 J ij (O iA dxAc ) (O j m dxmc ) Restando miembro a miembro (76) de (75) se obtiene: (J Acm O iA O j m J ij ) dxAc dxmc 0 y como dxc es arbitrario el paréntesis debe ser nulo: 2

2

J Ac m

O iA O j m J ij

(77)

Esto demuestra el carácter tensorial de las componentes de deformación ij ya que figuran dos cosenos directores en cada término y ésa es una característica de los tensores de segundo orden.

En (78) se define formalmente al tensor de deformaciones no lineal de Lagrange, ver (68).

1 2

J ij

§ wui wu j wum wum · ¨¨ ¸ wxi wx j ¸¹ © wx j wxi

(78)

Notar que si se intercambian los subíndices “i ”, “j ” en (78) se obtiene el mismo resultado. Por lo tanto el tensor de deformaciones resulta ser simétrico

J ij

J ji

(79)

Notar además que J ij es una función no lineal de las derivadas de los desplazamientos debido al término que contiene el producto:

wum wum wui wx j

(3 términos )

(80)

Hay que destacar que en (78) sólo intervienen variables geométricas por lo que se trata de una ecuación del tipo cinemática.

3.4 Interpretación física del tensor de deformaciones ij Si en (72) se hace coincidir a con alguno de los ejes de referencia, digamos el eje xi , se tiene i = 1 y j = 0 para , y resulta:

Ei

1 2 J ii 1

(81)

Ei 12 Ei2

(82)

Despejando se obtiene:

J ii

Notar que las componentes de la diagonal del tensor de deformaciones dependen de una manera no lineal de las deformaciones específicas longitudinales en las direcciones de los ejes coordenados. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

12


Si en (73) se hace coincidir con el eje coordenado xi y se hace coincidir con el eje coordenado xj se obtiene: 2J i j (83) sen I ij 1 2 J ii 1 2 J jj donde considerando (81) se puede escribir:

2J i j

sen I ij

(84)

(1 Ei ) (1 E j )

y despejando se tiene:

J ij

1 (1 E ) (1 E ) sen I i j ij 2

iz j

(85)

Esta ecuación muestra que las componentes fuera de la diagonal del tensor de deformaciones dependen de una manera no lineal (debido a la función seno) de la distorsión angular Iij que sufren las fibras orientadas según dos ejes coordenados. Notar que la incidencia de las Ei en los términos fuera de la diagonal es pequeña porque Ei 1 y lo mismo ocurre con Ej.

Caso de pequeñas deformaciones En este caso se tiene Ei2 Ei 1 , entonces:

sen Ii j # Iij

(86)

considerando (82) y (85) se tiene:

ª E1 « J ij # « 12 I12 « « 1I ¬ 2 13

1 2

1 2

I12

1 2

I13 º

E2

1 2

I 23

I 23

E3

» » » » ¼

(87)

donde se observa que en el caso de pequeñas deformaciones el tensor de deformaciones tiene un sentido físico preciso.

3.5 Tensor lineal de deformaciones ij En la definición del tensor no lineal de deformaciones (78) el término

1 wum 2 wxi

wum wx j

(88)

representa un giro que generalmente puede despreciarse. Además, por lo general, las deformaciones son pequeñas y resulta

§ wu ¨¨ i © wx j

2

· wui ¸¸ wx j ¹

(89)

Podemos entonces definir el tensor lineal de deformaciones H ij como:

H ij

1 §¨ wui wu j 2 ¨ wx j wxi ©

· ¸¸ ¹

(90)

expresión mucho más simple que la correspondiente a ij en la ecuación (78) y que se utiliza en la mayoría de los casos. Notar que (90) es válida para pequeñas deformaciones y pequeños giros. Hay que remarcar que en el caso de pandeo resulta imprescindible utilizar el tensor no lineal de Lagrange ij dado en (78). Las distintas teorías se pueden resumir en el siguiente cuadro. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

13


Cuadro resumen de las deformaciones según las distintas hipótesis

Tensor de deformaciones

Grandes deformaciones y grandes giros

§ · 1 ¨ wui wu j wum wum ¸ 2 ¨ wx wxi wx j ¸¹ © j wxi

J ij

Deformación específica Ei

Ei

Distorsión angular Iij

Iij

Pequeñas defor. grandes giros

1 2J ii 1

ª º 2 J ij arcoseno « » «¬ 1 Ei (1 E j ) »¼

Pequeñas defor. pequeños giros

H ij

J ij

§

·

1 ¨ wui wu j ¸ 2 ¨ wx ¸ © j wxi ¹

Ei | J ii

Ei | H ii

Iij | 2J ij

Iij | 2 H ij

4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS 4.1 Modelos de comportamiento de un material En las secciones anteriores se presentaron las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones cinemáticas. Para definir completamente el problema deben especificarse, además, las características del material. Estas características en su forma más general se definen por ecuaciones que relacionan las tensiones con las deformaciones:

f1 (V ij )

f 2 (J ij )

(91)

Los materiales empleados en ingeniería presentan gran diversidad en cuanto a su comportamiento, el cual depende de su estado tensional y las variaciones en el tiempo. Para poder solucionar el problema se admiten modelos ( idealizaciones ) definidos por las funciones f1 (V ij ) y f 2 (J ij ) que aproximen a los resultados experimentales ( ensayos ) en el rango de tensiones y el tipo de variación que corresponda. Se ha desarrollado una variedad de modelos para cubrir la mayoría de los casos de interés práctico. Algunos son muy complejos y permiten estudiar problemas de plasticidad, fractura, creep, etc. En este curso por razones de tiempo limitamos nuestra atención al caso más simple correspondiente al material linealmente elástico e isótropo. Este modelo a pesar de su sencillez permite estudiar muchos problemas de interés práctico.

4.2 Materiales linealmente elásticos Para el caso linealmente elástico unidimensional en el sentido x1 se utiliza la conocida ley de Hooke, como se muestra en la Figura 17: V 11 E H11 (92) donde E es el módulo de elasticidad longitudinal del material. Esta idealización es una buena aproximación para muchos materiales. Para el caso de deformaciones de corte en una dimensión se tiene: (93) V 12 G 2 H12 Figura 17: Ley de Hooke

donde G es el módulo de elasticidad transversal. Notar que el factor 2 se origina en la definición de H12 , ver (87) y (128).

Para el caso tridimensional de tensiones resulta necesario relacionar el tensor de tensiones con el tensor de deformaciones mediante una relación del tipo:

V ij

Cij k Al J k A

(94)-a

V ij

Cij k Al H k A

(94)-b

(94)

donde Cijk A es un tensor de cuarto orden llamado tensor de elasticidad que contiene 81 componentes de elasticidad. En muchos casos por simplicidad se reemplaza a J k A por H k A Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

14


El carácter tensorial de Cij k A se puede demostrar escribiendo (95) en el sistema prima y luego reemplazando V cpq según (30) y H stc según (77). Dado que V ij y H k A son ambos simétricos requieren solo seis componentes distintas cada uno. Para relacionar las seis componentes de tensión con las seis componentes de deformación bastan 36 componentes distintas. (95) V i Cij H j i, j 1, 2,.....,6 donde

V 1 V 11

V 2 V 22

V 3 V 33

V 4 V 12

V 5 V 13

V 6 V 23

H1 H11

H2

H 3 H 33

H4

H 5 H13

H6

H 22

H12

(96)

H 23

Para el caso general, si además existe una función para la energía de deformación se necesitan sólo 21 constantes distintas porque se puede demostrar que Cij es simétrico. Para el caso de materiales anisótropos que presentan algún tipo de simetría el número de constantes distintas se reduce. Tipo de simetría

diagonal

tetragonal

octogonal

13

7

5

Constantes independientes

Notar que un sólido posee simetría n-gonal si el sistema prima se obtiene por una rotación de valor 2S /n y resulta Cijk A C cpqAm

4.3 Caso de material elástico lineal e isótropo Un material es isótropo cuando posee las mismas propiedades en cualquier dirección. En este caso se puede demostrar que el número de constantes independientes requerido se reduce a sólo dos. Es común que el ingeniero utilice: E = Módulo de elasticidad o módulo de Young. = Módulo de Poisson. Recordar que para el ensayo simple de tracción ( ver esquema en la Figura 18 ) se tiene:

Vy

EHy

;

Hx

Q H y

( acero: Q | 0,3 )

(97)

El material elástico lineal e isótropo puede definirse también a través de las llamadas constantes de Lamé y . Por supuesto esas constantes están relacionadas con las constantes E y Q ya que hay sólo dos constantes independientes. Las relaciones son:

O Figura 18

EQ 1 Q 1 2Q

P

E 2 1 Q

G

P 3O 2P OP

E

Q

O 2O P

(98)

Notar que la segunda constante de Lamé es el módulo de elasticidad transversal G.

Se puede demostrar que la relación (94)-b en el caso elástico lineal e isótropo se reduce a:

V ij

y también:

H ij

donde G ij es el delta de Kronecker


E ª Q º Hi j H kk G i j » « 1 Q ¬ 1 2Q ¼

(99)

1 Q Q Vij V kk G i j E E

(100)

G ij

15

1 ® ¯0

cuando i

j

cuando i z j

(101)


En el caso de variación de temperatura debe agregarse, al segundo miembro de (99), el término: E (102) D 'T G ij 1 2Q Se propone como ejercicio para el lector desarrollar las ecuaciones (99) y (100) y reducirlas a su forma más sencilla posible. La solución, que incluye el cambio de temperatura, está en el anexo al final del capítulo en las ecuaciones (128) hasta (132) que son las que se utilizan en los problemas del práctico.

5 MÉTODOS GENERALES DE LA ELASTICIDAD LINEAL 5.1 Ecuaciones generales En elasticidad se trata con fuerzas, tensiones, deformaciones y desplazamientos. Las tensiones describen fuerzas en el interior de un cuerpo; las deformaciones se refieren a distorsiones locales y los desplazamientos a movimientos de los puntos. Estas variables están relacionadas entre sí a través de ecuaciones de distinto tipo como se muestra en las secciones anteriores: a) Ecuaciones de equilibrio: son relaciones entre las tensiones y: i ) las fuerzas por unidad de volumen F dadas en (55) o bien ii) fuerzas distribuidas en el contorno f dadas en (58):

wV ij son de origen físico.

wxi

Fi

V ij Q i

0

fj

(103)

b) Ecuaciones cinemáticas: relacionan deformaciones con desplazamientos. Para el caso de pequeñas deformaciones y giros, en (90) se definió,

H ij que es de tipo geométrico.

1 2

§ wui wu j ¨¨ x w wxi j ©

· ¸¸ ¹

(104)

c) Ecuaciones constitutivas: Relacionan tensiones con deformaciones. Para el material elástico, lineal e isótropo según (99) y (102) se tiene,

º E ª Q E H k k G ij » D 'T G ij «H ij 1 Q ¬ 1 2Q ¼ 1 2Q que tiene origen experimental.

V ij

(105)

Dado un cierto problema se tienen 15 incógnitas, a saber: 3 componentes de desplazamiento, 6 componentes de tensión y 6 componentes de deformación. Por otra parte, se cuenta con 3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones cinemáticas y 6 ecuaciones constitutivas. Según como se sustituyan las ecuaciones unas en otras se tienen dos grandes métodos: el de rigidez y el de las fuerzas. Los problemas de elasticidad generalmente tienen las fuerzas másicas en el interior del cuerpo como datos y en el contorno se tienen dos zonas: una donde se conocen las fuerzas de superficie (nulas o no) y otra donde se conocen los desplazamientos (generalmente nulos ). Cuando se usa el método de la rigidez se resuelven primero los desplazamientos y cuando se usa el método de las fuerzas se calculan primero las tensiones.

5.2 Método de los desplazamientos - Ecuaciones de Lamé ( Método de la rigidez ) Comenzamos escribiendo las ecuaciones constitutivas (99) utilizando las constantes de Lamé (98):

V ij

2 P H ij O H mm G ij

(106)

A continuación sustituimos en las ecuaciones de equilibrio (103) ó (55)

w (2 P H ij O H mm G ij ) F j wxi

0

(107)

y en estas tres ecuaciones de equilibrio sustituimos las deformaciones empleando las ecuaciones Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

16


cinemáticas (104):

§ wu wu j w ª « 2 P 12 ¨¨ i wxi ¬« wxi © wx j

P

o bien:

w 2u j wxi2 w 2u j

P

· § wu wu ¸¸ G ij O 12 ¨ m m wxm © wxm ¹

w 2ui w 2 um G ij O Fj wxi wx j wxi wxm

·º ¸ » Fj ¹ ¼»

0

0

(108)

(109)

w 2ui w 2 um (110) Fj 0 O wxi2 wxi wx j wx j wxm ya que debido al G ij sólo subsiste el término en que “ i = j ”. En el segundo término podemos cambiar en índice repetido “i” y llamarlo por ejemplo “m” sin que altere el resultado de la sumatoria indicada por el índice repetido. Entonces las ecuaciones de Lamé son:

P

entonces:

P

w 2u j wxi wxi

P

P O

w § wum · ¨ ¸ Fj wx j © wxm ¹

0

i 1, 2,3 m 1, 2,3

(111)

Notar que hay dos sumatorias indicadas por los índices repetidos. El vector desplazamiento que satisface (111) en el interior del cuerpo y que también satisface las ecuaciones de desplazamientos y/o fuerzas en el contorno es la solución del problema. Las ecuaciones (111) son tres ecuaciones de equilibrio que una vez resueltas permiten hallar las deformaciones H ij ( usando las cinemáticas) y luego a partir de las ij se pueden hallar las ij ( usando las constitutivas ).

6 TEOREMAS ENERGÉTICOS 6.1 Identidad fundamental La expresión:

³

§ wu wu j · wV i j V i j 12 ¨ i dV { ³ Q j V i j ui dS ³ ui dV ¸ ¨ ¸ V S V © wx j

wxi ¹

wx j

(112)

es una identidad que se verifica a condición de que V ij V ji . La identidad se verifica independientemente de los valores V ij y ui estén o no relacionadas entre sí. Para demostrar (112) basta reordenar el primer miembro y aplicar el teorema de Green que establece que la divergencia en el volumen es igual al f lujo a través del contorno. Esta identidad es importante porque según sea el significado asignado a las variables tensiones y desplazamientos se obtienen los diferentes teoremas de trabajos virtuales.

6.2 Ecuación de trabajos virtuales Definimos como desplazamiento virtual G ui a cualquier desplazamiento posible compatible con las condiciones de borde y al cual puede asociársele un tensor de deformaciones virtuales.

1 §¨ wG ui wG u j ·¸ 2 ¨ wx j wxi ¸¹ © En el interior del volumen, la ecuación de trabajos virtuales establece que:

GH ij

³

V

V ij GH i j dV

³S

f

f i G ui dS ³ Fi G ui dV V

(113)

(114)

cuya interpretación física es la siguiente: El trabajo virtual interno es igual a la suma del trabajo virtual de las fuerzas de superficie más el trabajo virtual de las fuerzas de volumen. En esencia, (114) establece la igualdad entre el trabajo virtual interno y externo. Notar que del contorno “S” sólo se considera la parte “Sf ” donde las fuerzas de superficie fi son conocidas, ya que donde las fuerzas (reacciones ) son desconocidas, es decir en los apoyos, los desplazamientos virtuales son nulos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

17


Resulta simple demostrar que la ecuación de trabajos virtuales garantiza que se cumple equilibrio tanto en el interior del volumen como en la superficie de contorno “Sf ”. Partimos de la ecuación (112) que rescribimos como: wV i j (115) ³ V V ij GH i j dV ³ S Q j V i j G ui dS ³ V G ui wx j dV igualando el segundo miembro de (115) al segundo miembro de (114)

³ Q j V ij G ui dS ³ S

V

G ui

wV ij wx j

³

dV

S

fi G ui dS ³ Fi G ui dV

(116)

V

y reordenando términos

wV

ij ³ ( wx j F ) G ui dV ³ (Q j V ij fi ) V

S

G ui dS

(117)

Esta ecuación debe cumplirse para cualquier desplazamiento virtual G ui . Podemos suponer que dejamos fijo G ui 0 en “S ” mientras variamos G ui en V , entonces (117) se cumplirá sólo si

wV i j wx j

Fi

0

en V

(118)

Por lo tanto el primer miembro es nulo para cualquier G ui . La única forma de que se anule el segundo miembro para cada uno de los infinitos G ui z 0 posibles en S es que

v j V i j fi

0

en S

(119)

quedando demostrado que al cumplirse la ecuación de trabajos virtuales se satisface el equilibrio.

6.3 Teorema de trabajos virtuales De acuerdo con lo anterior se puede enunciar: “Para que un sistema de tensiones, fuerzas de volumen y fuerzas de superficie estén en equilibrio es necesario y suficiente que se cumpla la ecuación de trabajos virtuales para cualquier desplazamiento virtual ”. Notar que no se utilizaron las ecuaciones constitutivas y por lo tanto la ecuación de trabajos virtuales vale para cualquier material (incluso para materiales no lineales). El teorema se puede emplear de varias maneras. La más útil consiste en expresar las tensiones en función de los desplazamientos reales, empleando las ecuaciones constitutivas y cinemáticas. En ese caso (114) resulta una condición suficiente para que se cumpla equilibrio en función de los desplazamientos reales. Nota: de una manera similar, es posible establecer un teorema de trabajos virtuales complementarios. La ecuación de trabajos virtuales complementarios garantiza que se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad.

6.4 Energía interna de deformación Como se indica en la Figura 19, se define la energía por unidad de volumen o densidad de energía W tal que:

dW

V i j dH i j

;

V ij

dW dHi j

(120)

Figura 19: Energía interna de deformación Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

18


La función W es tal que al derivarla con respecto al tensor de deformaciones se obtiene el tensor de tensiones; de manera que la existencia de W implica la existencia de una ecuación constitutiva. Para un sólido linealmente elástico resulta:

W

1 2

Hi j V i j

(121)

(9 términos )

Si además de ser linealmente elástico, el material es isótropo se tiene la ecuación constitutiva (106) o bien (99). Sustituyendo en (121) se tiene:

W

1 H (2 P H O G H ) ij i j mm 2 ij

(122)

de donde:

W

P H i j H i j 12 O H j j H m m

material lineal, elástico e isótropo

(123)

Notar que W es una función cuadrática en las deformaciones. Como además sólo contiene cuadrados es definida positiva, vale decir, H ij 0 W 0 y si H ij z 0 W ! 0 . Notar que en el caso de variación de temperatura a la tensión dada por (106) o bien (99) debe adicionársele el término (102).

E D 't 1 2Q

O (1 Q ) D 't Q

o bien

(124)

Si en (122) se reemplazan las deformaciones por las derivadas de los desplazamientos utilizando para ello las ecuaciones cinemáticas (90) se obtiene: 2

P § wui

wu j · O wum wul ¨¨ ¸¸ 4 © wx j wxi ¹ 2 wxm wxl

W

(125)

6.5 Energía potencial total Se define la energía potencial total de un cuerpo elástico, , como la suma de la energía interna de deformación más la suma de la energía potencial de las fuerzas exteriores. W dV ³ F u dV ³ f u dS (126) V S S es un funcional escalar porque la variable es una función. También depende del material a través de W definida según (123) o (125).

S

³

x

x

V

Partiendo de un desarrollo de Taylor para el funcional S puede demostrarse que si se anula la primera variación de S se satisface la ecuación (114) de trabajos virtuales (T.V.) y queda garantizado entonces el equilibrio.

GS

0

Se satisface la ecuación de T.V.

Se cumple equilibrio

(127)

6.6 Teorema de mínima energía potencial total El teorema de mínima energía potencial total establece que: “De todos los posibles desplazamientos u que cumplen con las condiciones geométricas de contorno, aquel que hace mínimo a S corresponde a un estado de equilibrio estable”. Es posible demostrar que la condición GS Lamé, ver (111).

0 es equivalente a integrar las ecuaciones de

Nota: También es posible definir el funcional S , denominado energía potencial complementaria; y haciendo GS 0 se puede garantizar que se cumplen las ecuaciones de compatibilidad. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

19


ANEXO DEL CAPÍTULO 1 Ecuaciones constitutivas para materiales elásticos, lineales e isótropos Tensiones en función de las deformaciones (99)

V 11

E ªH 1 Q Q Q 1 1 2Q ¬ 11

E D 't 1 2Q

V 12

E H12 1 Q

G 2H12

V 22

E ªH 22 1 Q Q H11 H 33 ¼º D 't ¬ 1 2Q 1 Q 1 2Q

V 13

E H13 1 Q

G 2H13

V 33

E ªH 33 1 Q Q H11 H 22 ¼º D 't ¬ 1 2Q 1 Q 1 2Q

V 23

E H 23 1 Q

G 2H 23

H 22 H 33 ¼º

E

E

(128)

Para obtener más exactitud en (128) se puede reemplazar a H k A por J k A . Deformaciones en función de las tensiones (100)

H11

1 ªV 11 Q V 22 V 33 º¼ D 't E¬

H12

1 Q V 12 E

V 12

H 22

1 ªV 22 Q V 11 V 33 º¼ D 't E¬

H13

1 Q V 13 E

V 13

H 33

1 ªV 33 Q V 11 V 22 º¼ D 't E¬

H 23

1 Q V 23 E

2G 2G

(129)

V 23 2G

Estado plano de tensiones: 33 = 0 V 33

0

H 33

Q 1 Q D 't H11 H 22 1 Q 1 Q

(130)

reemplazando (130) en las tensiones (128) se tiene:

V 11

E ªH11 Q H 22 1 Q D 't ¼º 1 Q 2 ¬

V 22

E ªH 22 Q H11 1 Q D 't ¼º 1 Q 2 ¬

V 12

E H12 1 Q

(131)

G 2 H12

Las relaciones inversas resultan:

H11

1 (V 11 Q V 22 ) D 't E

H 22

1 (V 22 Q V 11 ) D 't E

H12

1 Q V 12 E


20

(132)


PRÁCTICO

Ecuaciones Fundamentales

Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].

1. Demostrar el carácter tensorial de las componentes de tensión V

ij

partiendo de la fórmula de

Cauchy.

2. Escribir en forma desarrollada las siguientes ecuaciones: a) VQQ (14)

c (30) b) V 13

c) (55) y (58) para j = 3

d) EO (72)

e) J 11 y J 22 (68)

f ) H11 y H12 (90)

3. Explicar cómo se demuestra la simetría en los siguientes casos: a) Tensor de tensiones.

b) Tensor de deformaciones.

4. En un punto interior de un sólido se ha computado el tensor de tensiones V i j (en kg/cm 2 ) resultando :

Vij

Se pide:

ª 820 « « « simet ¬

240 680

º » 0 » 200 »¼ 0

a) Determinar la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante en el punto considerado. b) Determinar la tensión normal VQQ y la tensión cortante VQ s asociadas a un plano vertical bisectriz del primer octante.

c del tensor c) Usando el resultado 2-b, encontrar la componente V 13 de tensiones referido al nuevo sistema que se obtiene rotando un ángulo en sentido antihorario alrededor del eje x3.

D

arctg (4/3)

d) Hallar (matricialmente) el tensor de tensiones en el nuevo sistema definido en 4-c y comentar el resultado.

5. Para un sólido cilíndrico, de 1 cm de radio, sometido a torsión se conocen los desplazamientos: u1

x1 (1 cos ax3 ) x2 sen ax3

u2

x2 (1 cos ax3 ) x1 sen ax3

u3

12 a 2 ( x12 x22 ) x3

Material: Q

0,3

E

2100000 kg / cm 2

siendo a 0,001

Vf

2800 kg / cm 2

Se pide: a) Calcular H ij en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor calcular V ijA . b) Calcular J ij en A y con ese valor calcular V ijA . c) Calcular H ij en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor calcular V ijB . d) Calcular J ij en B y con ese valor calcular V ijB . e) Comparar los resultados obtenidos en a), b), c) y d). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

21


6. Escribir en forma desarrollada las ecuaciones (111) y (123). 7. Dado el siguiente estado de tensión plana: ¿se puede anticipar que H 33 es nulo ?

V ij

Si no es nulo calcular su valor. Nota: V i j está dado en [ kg/cm 2 ] y el material es acero.

8. Dado el siguiente estado de deformación plana: ¿se puede anticipar que V 33 es nulo?

H ij

Si no es nulo calcular su valor. Nota: el material es acero.

ª 1000 « « « ¬ simet

400 250

0,0003 ª 0,0010 « 0,0004 « « ¬ simet

0 º » 0 » » 0 ¼

0 º » 0 » » 0 ¼

9. Determinar el estado tensional y las deformaciones en el interior del cilindro confinado del croquis. Material aluminio E = 750000 kg/cm2

G = 275000 kg/cm2

Ignorar el rozamiento en las paredes.

10. Mediante 3 extensómetros eléctricos adheridos a la superficie libre plana de un sólido como se muestra en el croquis de la derecha se midieron las siguientes deformaciones:

H11

0,0001

H 22

0,0002

EO

0,0004

0,2 = 4000 kg/cm2

= 0,3

Material acero: E = 2100000 kg/cm2

Calcular la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante. Ayuda: 1) Por ser superficie libre V 33

0.

2) Una vez conocidas las tensiones usar el círculo de Mohr.

11. Los desplazamientos de la cuña de la figura son: u1

0

u2

0,0005 x3

u3

0,001 x3

[cm]

Se pide: a) Hallar las fuerzas de volumen F = [ F1, F2, F3 ] necesarias para mantener el estado deformado. b) Hallar la fuerza de superficie f Nota: 1) Material acero:

[ f1 , f 2 , f 3 ] en las caras.

E = 2100000 kg/cm2

2) F y f son densidades: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

0,2 = 3200 kg/cm2

= 0,3

Fi en [ kg/cm3] y fi en [ kg/cm2 ]

22


SOLUCIÓN del PRÁCTICO

Ecuaciones Fundamentales


1

Demostración del carácter tensorial del tensor de tensiones: Ec. (25)

Ec. (10)

Ec. (20)

(V ij O ir O js ) Q rc tsc en el sistema sin prima VQ V rsc Q rc t cs en el sistema prima. Igualando y reordenando se tiene: ( V rsc V ij O ir O js ) Q rc tscs 0 ( V rsc V ij O ir O js ) Q rc 0 s ya que el vector nulo tiene todas las componentes nulas. Además Q c es arbitrario. Si Q c = (1, 0, 0 ) el paréntesis debe anularse para r = 1 Si Q c = (0, 1, 0 ) el paréntesis debe anularse para r = 2 Si Q c = ( 0, 0, 1 ) el paréntesis debe anularse para r = 3 En consecuencia el paréntesis se anula para todo ‘s’ y para todo ‘r’, por lo tanto:

VQ

V ij ( O ir Q rc ) ( O js tsc )

V ij Q i t j

V rsc

2

Forma desarrollada de varias ecuaciones dadas en notación indicial.

a)

Ec. (14)

VQQ

b)

Ec. (30)

V11Q1Q1 V12Q1Q 2 V13Q1Q 3 + V 21Q 2Q 1 V 22Q 2Q 2 V 23Q 2Q 3 V 31Q 3Q 1 V 32Q 3Q 2 V 33Q 3Q 3

V i j Q iQ j

Por simetría V i j

c V 13

V ji

V ij O ir O js

V 1 j Q 1Q j V 2 j Q 2Q j V 3 j Q 3Q j

VQQ

o

O iA O j 3 V ij

V 11Q 12 V 22Q 22 V 33Q 32 2V 12Q 1Q 2 2V 13Q 1Q 3 2V 23Q 2Q 3

O11 (O13 V 11 O 23 V 12 O 33 V 13 ) +O 21 (O13 V 21 O 23 V 22 O 33 V 23 ) O31 (O13 V 31 O 23 V 32 O 33 V 33 )

c)

Ec. (55)

wV i 3 F3 wxi

Ec. (58) V i 3 Q i

f3

0

wV 13 wV 23 wV 33 F3 wx1 wx2 wx3

V 13 Q 1 V 23 Q 2 V 33 Q 3

0

f3

Por similitud con el resultado 2 a) reemplazamos por 1

d)

Ec. (72) EO

ª1 2 V 11 O 21 V 22 O 22 V 33 O 32 2V 12 O1O 2 2V 13 O1O 3 2V 23 O 2 O 3 º 2 1 ¬ ¼ 2 2 2 wu1 1 ª§ wu1 · § wu2 · § wu3 · º «¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ » wx1 2 «© wx1 ¹ © wx1 ¹ © wx1 ¹ » ¬ ¼ 1 ¨§ wu1 wu2 wu1 wu1 wu2 wu2 wu3 wu3 ¸· 2 ¨ wx2 wx wx1 wx2 wx1 wx2 wx1 wx2 ¸¹ 1 ©

Ec. (68)

J 11

Ec. (68)

J 12

f)

Ec. (90)

H11

3

Demostración de la simetría del tensor de tensiones y del tensor de deformaciones.

a)

Ec. (18)

La simetría del tensor de tensiones se demuestra planteando equilibrio de momentos en un cubo infinitesimal.

b)

Ec. (78)

La simetría del tensor de deformaciones se demuestra por simple inspección de la ecuación de definición de dicho tensor.

e)

1 § wu1 wu1 · 2 ¨© wx1 wx1 ¸¹


wu1 wx1

H12

23

1 § wu1 wu2 · 2 ¨© wx2 wx1 ¸¹


4

Conociendo el tensor de tensiones en un punto (dato) se determinan las tensiones asociadas a un plano y se efectúa una transformación del tensor de tensiones.

a) Cálculo de la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante en el punto considerado. Ec. (37)

I1

820 680 – 200

Ec. (38)

I2

820 x 680 680 x (–200) (–200) x 820 – (2402 – 02 – 02 )

200000

820 x 680 x (–200) – [(–240) x (–240) x (–200)] –100000000

Ec. (36) I 3 Ec. (35)

1300

det = V 3 1300 V 2 200000 V 100000000 0 V (1)

1000 V (2)

500 V (3)

200

Máxima tensión normal:

Ec. (43)

V máx V (1) 1000 ....................................... V máx

1000 kg / cm 2

Máxima tensión de corte:

Ec. (45)

W máx

1 (V V ) 1 >1000 (200) @ ( 3) 2 (1) 2

600 kg / cm 2

W máx

b) Tensión normal VQQ y tensión cortante VQ s en el plano vertical bisectriz del primer octante. Q

sen45 , o

Problema 2-a

VQQ

Ec. (11) VQ

VQ

cos 45o , 0

0,7071,

820 x ( 0,7071)2 680 x 0,70712 0 200 x (–240) x ( 0,7071) x 0,7071 0 0

990

[820 x 0, 70712 240 x 0, 7071 0] t1 > 240 x (0, 7071) 680 x 0, 7071 0@ t 2 > 0 0 0@ t 3

749,53 t1 311,13 t 2 0 t 3

Ec. (15)

0,7071, 0

VQ s

(992,5)2 (990)2

VQ

70 .................

2

2

(749,53) (311,13) 0

VQQ

2

992,5

VQ s

990 kg / cm 2

70 kg / cm 2

c del tensor de tensiones referido a un nuevo sistema coordenado. c) Componente V 13 = 53,13º sen = 0,8 cos = 0,6

Problema 2-

V 13c

0,6 x 0 0 0 0,8

x

x1c

x2c

x3c

x1

0,6

0,8

0

x2

0,8

0,6

0

x3

0

0

1

0 0 0 0 x 0 0 0

V 13c

0 ...................

0

d) Tensor de tensiones en un nuevo sistema coordenado Ec. (30)

V Ac m

O i A O j m V ij

O A

T

El cómputo se puede organizar matricialmente:

i

Vij

Ojm

( )A j

V Ac m

820

240

0

0,6

0,8

0

240

680

0

0,8

0,6

0

0

0

200

0

0

1

0,6

0,8

0

300

400

0

500

0

0

0,8

0,6

0

800

600

0

0

1000

0

0

0

1

0

0

200

0

0

200

Comentario: Todas las tensiones de corte se anulan en el nuevo sistema de referencia, lo que implica que los nuevos ejes son direcciones principales. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

24


5

En este ejemplo se muestra que el tensor lineal de deformaciones ij resulta inapropiado para describir estados de deformación donde los giros son grandes, aún en los casos donde las deformaciones son pequeñas.

El cilindro está empotrado en la parte inferior (x3 = 0), allí en el punto B, ij resulta adecuado, mientras que en el extremo superior (punto A) que ha girado (100 a) = 0,1 radianes = 5,7 grados, ij resulta totalmente inapropiado. Por otra parte ij da el resultado correcto en ambos extremos (puntos A y B ). Derivadas parciales:

wu1 wx1 wu1 wx2 wu1 wx3


cos ax3 1

sen ax3 x1 a sen ax3 x2 a cos ax3


sen ax3

cos ax3 1 x2 a sen ax3 x1 a cos ax3

a 2 x1 x3

a 2 x2 x3 1 a 2 ( x12 x22 ) 2

Componentes del tensor lineal de deformaciones:

H11

wu1 wx1

cos ax3 1

H12

1 § wu1 wu2 · ¸ 2 ¨ wx © 2 wx1 ¹

0

H 22

wu2 wx2

cos ax3 1

H13

1 § wu1 wu3 · ¸ 2 ¨ wx © 3 wx1 ¹

12 a x1 sen ax3 x2 cos ax3 a x1 x3

H 33

wu3 wx3

12 a 2 ( x12 x22 )

H 23

1 § wu2 wu3 · ¸ 2 ¨ wx © 3 wx2 ¹

12 a x2 sen ax3 x1 cos ax3 a x2 x3

Derivadas en el punto A



0,00499583

0,09983342 0,00009983


0,09983342

0,00499583 0,00099500

0,00000100

0 0,00000050

a) Se calcula H ij en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor se calcula V ijA . 0 ª 49958 « 107 « 49958 « ¬ sim

Ec. (90)

H ij A

Ec. (128) 504 º » 4975 » V ij A » 5 ¼

0 0 ª 20176 º « » 804 » [kg / cm 2 ] 20176 « « » 12107 ¼ ¬ sim

b) Se calcula J ij en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor se calcula V ijA . ª « 7 10 « « ¬

Ec. (78)

J ij A

0

0 0

sim


5

Ec. (128) º » 5000 » V ij A » 0 ¼

25

ª 0 « « « ¬ sim

0 0

º » 807,69 » [kg / cm 2 ] » 0 ¼ 0


Derivadas en el punto B

wu1 / wx1

0

wu2 / wx1

0

wu3 / wx1

0

wu1 / wx2

0

wu2 / wx2

0

wu3 / wx2

0

wu1 / wx3

0

wu2 / wx3

0,001

wu3 / wx3

0,0000005

c) Se calcula H ij en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor se calcula V ijB . Ec. (90)

H ijB

ª 0 « « « sim ¬

º » 0,0005 » 0,0000005 »¼

0

Ec. (128)

0

0

V ijA

0 ª 0,61 « 0,81 « « sim ¬

º » 807,69 » [kg / cm 2 ] 1, 41 »¼ 0

d) Se calcula J ij en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor se calcula V ijB . Ec. (78)

J ijB

ª 0 « « «¬ sim

0 0

0 0,0005 0

º » » »¼

Ec. (128)

V ij A

ª 0 « « «¬ sim

0 0

0 807,69 0

º » [kg / cm 2 ] » »¼

e) Comparación de los resultados obtenidos en a), b), c) y d). En el punto inferior ( punto B ) donde no hay giros, los resultados c) son correctos. En el punto superior ( punto A ) debido a que el giro es “grande” los resultados a) son totalmente incorrectos. Sabemos que en el caso de torsión de un cilindro no hay tensiones normales en el sentido radial del cilindro, pero empleando H i j de la parte a) obtenemos: A

Ec. (128)

V 11

2100000 > 4,996 x 0,7 0,3 x ( 4,996 0,0005) @ x103 1,3 x 0,4

que es 7 veces el valor de fluencia ( V f

20176 kg / cm 2

2800 kg / cm 2 ).

Notar que la tensión de corte máxima tiene un valor razonable, 807,7 kg/cm 2, que es un 58 % del valor de la tensión de corte en fluencia ( f 2800 / 2 ).

6

Forma desarrollada de las ecuaciones (111) y (123). Forma desarrollada de las ecuaciones de Lamé (111): Ec. (111)

§ w 2u j

P¨ ¨

2 © wx1

w 2u j wx22

w 2u j · § wu wu wu · P O ¨ 1 2 3 ¸ Fj 2 ¸ wx3 ¸¹ © wx1 wx2 wx3 ¹

j 1, 2,3

0

Forma desarrollada de la ecuación (123) para la energía interna de deformación: Ec. (123) W

7

P H112 H 222 H 332 2 H122 2 H132 2 H 232

O 2

H11 H 22 H 33

No se puede anticipar que 33 es nula. Se determina la deformación 33: Ec. (129) H 33

1 ª0 0,3 x 1000 250 º¼ 2100000 ¬

0,000107

V ij

2

ª 1000 400 « 250 « simet ¬

La Ec. (129) se usó asumiendo que estamos en el período elástico lineal ........ H 33

8

No se puede anticipar que 33 es nula. Se determina la tensión 33: Ec. (128)

V 33

2100000

ª0 0,3 x 0,001 0,0004 º¼ 727 1,3 x 0, 4 ¬

ª0,0010

H ij «

« simet ¬

0º 0» 0 »¼

0,000107

0,0003 0 º 0,0004 0 » 0 »¼

La Ec. (128) se usó asumiendo que estamos en el período elástico lineal ......... V 33 727 kg / cm 2 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

26


9

Determinación del estado tensional en un cilindro confinado. Datos: V 33

H11 0

1500 kg / cm 2

H12

por simetría

H 23

H 22

0

H 31

0

Ec. (98)

G

E 2 (1 Q )

Ec. (128)

V 33

1500

Ec. (128)

V 11

750000 x ª 0 0,364 x 0 0,001169 ¼ º .................. V 11 1,364 x 0, 273 ¬

857 kg / cm 2

Ec. (128)

V 22

750000 x ª 0 0,364 x 0 0,001169 º ¼ .................. V 22 1,364 x 0, 273 ¬

857 kg / cm 2

ª 857 « « «¬ simet

V ij

E 1 2G

Q

750000 1 2 x 275000

0,3636

750000 x ªH 33 0,636 0,364 0 0 º ¼ 1,364 x 0, 273 ¬

0 857

0 º 0 » [ kg / cm 2 ] » 1500 »¼

ª 0 « « «¬ simet

H ij

H 33

0 0

0,001169

0 º » 0 » 0,001169 »¼

Notar que V 12 V 23 V 13 0 y que H12 H 23 H13 0 pero de todas maneras hay tensiones cortantes en otras direcciones. Notar que la máxima tensión cortante resulta: Ec. (45)

W máx

1 > 857 (1500) @ 2

1 (V V ) ( 3) 2 (1)

321 kg / cm 2

10 Cálculo de la máxima tensión normal y cortante usando mediciones. El versor a 45 con el eje x es...... O o

EO 1

se despeja:

Ec. (72)

(0,0004 1)2 1 2

2

0,7071; 1

2

0,7071; 0

J ij O i O j

0,0001 x 0,70712 0,0002 x 0,70712 0 2 H12 x 0,7071 x 0,7071 0 0

2100000 0,00055 1,3

Despejando:

H12

Ec. (128) V 33

2100000 x ªH 33 0, 7 0,3 0, 0001 0, 0002 º ¼ 1,3 x 0, 4 ¬

0,00055

o

Ec. (128)

W12

0 ............ H 33

889 kg / cm 2 0,0001286

V 11

2100000 1,3 x 0, 4

0, 7 0,3 x 0, 0002 0, 0001286 º¼ ...... V 11

369, 23 kg / cm 2

V 22

2100000 x ª 0, 0002 x 0, 7 0,3 x 0, 0001 0, 0001286 º ¼ ....... V 22 1,3 x 0, 4 ¬

530,77 kg / cm 2

xª ¬ 0, 0001 x

A

> 369, 23 (530,77)@ / 2

450

Ec. (52) B

> 369, 23 ( 530,77)@ / 2

80,77

Ec. (52)

Ec. (52) W máx

R

Ec. (52) V 1

450 893

443 kg / cm 2

Ec. (52) V 2

450 893

1343 kg / cm 2

V máx

80,77 2 8892

1343 kg / cm 2


W máx

893 kg / cm 2

893 kg / cm 2

27


11 Conociendo los desplazamientos se calculan las fuerzas en el volumen y en las caras de una cuña. Se utiliza el siguiente esquema:

u derivando o H

constitutivas o V

derivando o F y f

Se usa la Ec. (90) para las deformaciones y la Ec. (128) para las tensiones:

H11

wu1 wx1

0

H 33

H 22

wu2 wx2

0

H12

H13 H 32

1 § wu1 wu3 · 0 2 ¨© wx3 wx1 ¸¹ 1 § wu2 wu3 · 0,00025 2 ¨© wx3 wx2 ¸¹

0,3 x 0 0,001 º¼

1211

V 12

2100000

V 22

x ª 0 x 0,7 0,3 x 0 0,001 º ¼ 1,3 x 0, 4 ¬

1211

V 13

2100000

V 33

2100000

V 23

2100000

V 11

2100000

wu3 0,001 wx3 1 § wu1 wu2 · 0 2 ¨© wx2 wx1 ¸¹

1,3 x 0, 4

xª ¬0 x 0,7

2100000

1,3 x 0, 4

x ª ¬ 0,0001 x 0,7

0,3 x 0 0 º¼

2827

1 0,3

x0

1 0,3 1 0,3

x0

0 0

x 0,00025

404

a) Determinación de las fuerzas de volumen F = [ F1, F2, F3 ]

Cuando las tensiones son constantes las fuerzas de volumen son nulas. A modo de ejemplo se desarrolla (54) para el caso j = 1: Ec. (54)

wV 11 wV 21 wV 31 F1 wx1 wx2 wx3

0

F1

0

por lo tanto:

F1

0

F2

0

F3

0

b) Cálculo de las fuerzas de superficie f = [ f1, f2, f3 ] actuando sobre las caras de la cuña.

Para calcular las fuerzas externas sobre las caras se comienza determinando los versores normales a las caras y posteriormente se usa la ecuación (58):

Vij vj

Ec. (58)

Qj

fi

El cómputo se puede organizar matricialmente

V ij

1 0 1 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0,6 0 0,8

fi

0

0

0

1211

0

0

727

f1

0

404

0

1211

404

323

f2

0

404

404

0

404

2827

–2262

f3


28


Capítulo 2

CRITERIOS DE FALLA PARA TENSIONES COMBINADAS 1 INTRODUCCIÓN En los casos de estados de tensión estática uniaxial resulta muy sencillo predecir la condición de falla o dimensionar la pieza de modo de evitar la falla. Para ello se utilizan los resultados de un ensayo de tracción obtenidos de la curva de tensión - deformación. Cuando el estado tensional es bidimensional o tridimensional la predicción de la falla ya no resulta tan simple. Se requeriría una variedad de ensayos donde cada una de las componentes de tensión se debería hacer variar en todo su rango de posibles valores y además tener en cuenta todas las combinaciones posibles entre las distintas componentes. Esos complejos ensayos resultan prohibitivos desde el punto de vista económico y aún imposibles desde el punto de vista físico para muchas de las posibles combinaciones de tensiones. Ante un problema tan complejo resulta justificado que se propongan teorías aproximadas que relacionan el comportamiento de una cierta “variable” en el caso complejo con el comportamiento de esa misma variable en un caso simple y verificable experimentalmente. El ensayo simple que se utiliza habitualmente como referencia es el ensayo de tracción. La característica común de los diferentes criterios de falla para tensiones combinadas es predecir la falla cuando el valor de cierta variable física predeterminada, alcanza en el estado multiaxial un valor igual al que dicha variable alcanza en el momento de la falla en un ensayo de tracción con el mismo material. Se han desarrollado docenas de criterios, algunos más exitosos que otros, que se pueden agrupar de la siguiente manera: 1) 2) 3) 4) 5)

Criterios basados en las tensiones. Criterios basados en las deformaciones específicas. Criterios basados en la energía de deformación. Criterios basados en la estructura de la materia. Criterios empíricos.

No existe ningún criterio que pueda aplicarse con éxito a todos los materiales. En realidad cada material daría origen a su propia teoría de falla. Los materiales isótropos pueden clasificarse en dúctiles y frágiles: Los materiales dúctiles se adaptan muy bien a ciertos criterios, mientras que los materiales frágiles se adaptan a criterios diferentes. En este capítulo sólo se presentan los cuatro criterios que se utilizan con mayor frecuencia: de la máxima tensión normal, de la máxima tensión de corte, de la energía de distorsión y de Mohr.

2 CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN NORMAL ( CRITERIO DE RANKINE ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la tensión principal máxima alcanza un valor igual a la tensión normal máxima en el momento de la falla en un ensayo uniaxial ( tracción o compresión ) usando una probeta del mismo material. Considerando tensiones principales V 1 t V 2 t V 3 este criterio predice la falla cuando:

V1 t V t

o cuando

V3 d Vc

(1)

donde V t es la tensión de falla en tracción mientras que V c es la tensión de falla en compresión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

29


Las tensiones de falla que se adoptan ( V t y V c ) dependen del modo de falla elegido ( fluencia, rotura, límite de proporcionalidad, etc.) y del comportamiento del material. Este criterio sólo considera la máxima tensión principal sin tener en cuenta para nada a las restantes tensiones principales. Es un criterio muy pobre a los efectos de predecir el inicio de la fluencia. Para el caso de presión hidrostática ( V 1 V 2 V 3 ), este criterio predice la falla cuando V 1 V c , pero esta afirmación no se verifica experimentalmente para ningún material. Por el contrario, aún para altísimas tensiones hidrostáticas no se verifica ninguna plastificación. El criterio de Rankine no debe ser utilizada para materiales dúctiles. El criterio de la máxima tensión normal se adapta muy bien en el caso de fundición, existiendo muchos resultados experimentales que lo confirman. El criterio de Rankine es tal vez el mejor criterio para materiales frágiles.

3 CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE ( CRITERIO DE TRESCA ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la tensión de corte máxima alcanza un valor igual a la tensión de corte máxima en el momento de falla en el ensayo de tracción usando una probeta del mismo material. Considerando las tensiones principales V 1 t V 2 t V 3 se puede obtener la máxima tensión cortante según la ecuación (45) del Capítulo 1:

W máx Para el caso de tracción simple V 2

1 2

(V 1 V 3 )

0 y V3

Wf

(2)

0 y en el momento de falla se verifica que 1V 2 f

(3)

De las dos últimas expresiones se deduce que el criterio de la máxima tensión cortante predice la falla cuando (4) W máx t 12 V f V1 V 3 t V f El criterio de Tresca es satisfactorio para materiales dúctiles. En realidad existe otro criterio, el de la energía de distorsión, que concuerda mejor con los resultados experimentales que el criterio de corte máximo en el caso de tensiones combinadas. Al aplicar el criterio de Tresca al caso de compresión/tracción hidrostática ( 1 = 2 = 3) a tensiones superiores a f , este criterio no predice falla lo que se ve corroborado por los experimentos. A modo de ejemplo se puede verificar que el criterio de la máxima tensión cortante (4) no predice falla para el estado: 1 = 9 f , 2 = 8,5 f , 3 = 8,01 f . Notar que si 1 y 3 son de igual signo existen casos que no producen falla donde 1 > f ; por ejemplo, cuando 1 = 1,1 f , 2 = 0,9 f y 3 = 0,2 f , el criterio (4) no predice falla. Notar también que si 1 y 3 son de distinto signo pueden darse casos de falla aun cuando las tres tensiones principales sean bastante inferiores a f ; por ejemplo, cuando 1 = 0,6 f , 2 = 0,2 f , 3 = – 0,5 f , el criterio de la máxima tensión cortante (4) predice falla ( lo cual es correcto).

4 CRITERIO DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN ( CRITERIO DE VON MISES ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la energía de distorsión por unidad de volumen alcanza el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen en el momento de falla en el ensayo de tracción usando una probeta del mismo material. El criterio de Von Mises se desarrolló como una mejora respecto a otro criterio, debido a Beltrami, que predice la falla basada en la energía total de deformación y que no es satisfactorio. Expresando la energía interna de deformación, ecuación (121) del Capítulo 1, para un sólido linealmente elástico e isótropo en función de las tensiones principales y restando la energía asociada al cambio de volumen ( la deducción está en el Anexo 2 al final de este capítulo), se tiene: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

30


1 Q [V 1 V 2 2 V 2 V 3 2 V 3 V 1 2 ] 6E donde Wd es la energía (densidad ) de distorsión y V 1 , V 2 , V 3 son tensiones principales. Wd

(5)

Para el ensayo de tracción se tiene ( 1 = f ) y ( 2 = 3 = 0 ) y la energía de distorsión resulta

Wd

1 Q (2 V 2f ) 6E

(6)

Por lo tanto el criterio de la energía de distorsión predice la falla si:

V 1 V 2

2

V 2 V 3 V 3 V 1 t 2V 2f 2

2

(7)

De todos los criterios referidos a materiales dúctiles, el criterio de la energía de distorsión es el que mejor se aproxima a los resultados experimentales. Más aún, a pesar de haberse deducido en el rango elástico mantiene validez en el campo plástico. Notar que si el criterio (7) de Von Mises predice que un estado ( 1, 2, 3 ) está en la zona segura, todo otro estado ( 1 2+ 3+ ! " #!!"""" principales, "$!*"<$ @ $*<"!#! $*!""$"
5 COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS DE FALLA Adoptando un sistema de referencia tridimensional cartesiano se pueden graficar las tensiones adimensionales V i /V f ( i 1, 2, 3 ) y encontrar una superficie de falla tal que todos los estados de tensión combinada que corresponden a los puntos de la superficie no producirán falla. Para el criterio de Rankine resulta un cubo, para el criterio de Tresca un prisma hexagonal y para el criterio de Von Mises un cilindro. El eje del cilindro pasa por los puntos donde 1 = 2 = 3 y las secciones para V 3 /V f cte son elipses a 45 grados como la que se muestra en la Figura 1-c para el caso 3 = 0. El eje del prisma hexagonal de Tresca coincide con el eje del cilindro de Von Mises. A modo de ejemplo el lector puede verificar que el criterio (7) no predice falla al ser aplicado al siguiente estado: 1 = 5 f , 2 = 4,5 f , 3 = 4,01 f . Notar que el criterio (4) tampoco predice falla.

5.1 Caso de tensión plana Todo lo anterior es más fácil de visualizar en el caso de tensión plana donde una de las tensiones principales es nula, En esta subsección se denota con V 1 y V 2 a las tensiones principales no nulas: a) Criterio de la máxima tensión normal: Sin distinguir cual es la mayor entre V 1 y V 2 , la zona segura y las líneas de falla según (1) corresponden a:

࿽V 1 /V f ࿽ d 1 y ࿽V 2 /V f ࿽ d 1

(8)

cuya representación gráfica es un cuadrado ( ver Figura 1 ). b) Criterio de la máxima tensión de corte: Hay que distinguir dos casos según el signo de V 1 y V 2 (ver Figura 1 ): b-1) V 1 y V 2 de igual signo, entonces el máximo corte se obtiene relacionando la mayor entre V 1 y V 2 con V 3 0. Según (4) la zona segura y las líneas de falla resultan:

V1 ! V 2

࿽V 1 /V f 0 ࿽ d 1

V 1 /V f

r 1 rectas verticales.

V 2 ! V1

࿽V 2 /V f 0 ࿽ d 1

V 2 /V f

r 1 rectas horizontales.

(9)

b-2) V 1 y V 2 de distinto signo, según (4) la zona segura y las líneas de falla resultan:

࿽V 1/V f V 2 /V f ࿽ d 1

V 1/V f V 2 /V f

r1

(10)

y se obtienen dos rectas ascendentes a 45 q con ordenada al origen igual a r1 . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

31


c) Criterio de la energía de distorsión: Haciendo V 3

0 en (7) y desarrollando se tiene: 2

V V V1 V 2 d V 2 1

2 2

2 f

2

§ V1 · § V 2 · V V ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ 1 2 Vf Vf © Vf ¹ © Vf ¹

1

(11)

esto define la zona segura contenida por la línea de falla que es una elipse con ejes a 45o como se observa en la Figura 1-c. Los resultados a), b) y c) para tensiones principales V 1 y V 2 (siendo V 3 como sigue:

0 ) pueden graficarse

Máxima tensión normal Máxima tensión de corte Energía de distorsión Rankine Tresca Von Mises Figura 1: Zona segura y líneas de falla en el caso de tensión plana según distintos criterios de falla

5.2 Resultados experimentales que avalan a los distintos criterios A continuación en la Figura 2 se muestran los resultados de cuidadosos ensayos realizados por varios investigadores con distintos materiales para estados planos. Los puntos están situados en el 1o y 4o cuadrante. Notar que por la simple vía de intercambiar la denominación V 1 y V 2 todos los puntos experimentales pueden simetrizarse respecto a la diagonal del 1o cuadrante. Notar que no se presentan ensayos en el 3o cuadrante porque el caso de ambas tensiones ( V 1 y V 2 ) de compresión es un caso de poca importancia en ingeniería mecánica. Materiales dúctiles

Materiales frágiles

Figura 2: Resultados de ensayos para estados planos realizados con distintos tipos de materiales a) Falla de materiales dúctiles. b) Falla de materiales frágiles


32


6 CRITERIO DE FALLA DE MOHR El criterio propuesto por Otto Mohr en 1900 es una extensión del criterio de la máxima tensión de corte y se basa en una interpretación de los círculos de Mohr para estados tridimensionales. El mayor éxito de este criterio es predecir la falla de materiales que tienen tensiones de falla distintas según se trate de tracción o compresión. Antes de presentar el criterio de falla de Mohr conviene recordar la propiedad de los círculos de Mohr. Se puede demostrar que si V 1 ! V 2 ! V 3 son tensiones principales, y se grafican los tres círculos de Mohr como se muestra en la Figura 3, sólo son posibles estados cuya tensión de corte es tal que cae en la zona sombreada ( ver el Anexo 3 al final de este capítulo ).

Figura 3: Construcción de tres círculos de Mohr a partir de las tensiones principales 1 > 2 > 3

Para una línea vertical NC que corresponde a planos que tienen igual tensión normal ON la tensión de corte resultará siempre W d NC . Por ello Mohr afirmó que el círculo mayor es suficiente para determinar la condición de falla (sin importar el valor de V 2 ). Considerando un material que presente diferente comportamiento según se trate de tracción o compresión, se realiza un ensayo de tracción, uno de compresión y otro de corte puro por torsión. Después se trazan tres círculos y una “curva envolvente” como se muestra en la Figura 4.

Figura 4: Curva envolvente de los círculos de Mohr para tracción, compresión y corte

Al hacerlo estamos definiendo una zona de falla fuera de la envolvente. Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando el mayor círculo de Mohr asociado a un punto crítico desde el punto de vista tensional es tangente o excede los límites de la envolvente de falla correspondiente a los tres ensayos; tracción, compresión y torsión, usando probetas del mismo material. Como la envolvente de falla no está definida en forma precisa, por simplicidad, se trazan sólo los círculos de Mohr correspondientes a los ensayos de tracción y compresión y se utiliza una recta tangente a los dos círculos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

33


Caso de tensión plana 3 = 0 1) Material dúctil 1-a) Caso V t V c : el gráfico de la zona segura del criterio de Mohr coincide con el criterio del corte máximo, notar la similitud entre la Figura 1-b y la Figura 5-a. 1-b) Caso V c z V t : la zona segura corresponde a la Figura 5-b y sobre ella se determinar el CS.

1er cuadrante Cs

mayor (V 1 , V 2 ) /V t

3er cuadrante Cs

mayor V 1 , V 2 / V c

(12)

En el 4to cuadrante la zona segura y el coeficiente de seguridad, Cs están dados en (13).

Zona segura:

V V1 2 1 Vt Vc

Coeficiente de seguridad: Cs

§ V1 V 2 ¨¨ Vc © Vt

· ¸¸ ¹

-1

(13)

La deducción de la ecuación (13) se puede consultar en el Anexo 4 al final del capítulo. La fórmula para el 2do cuadrante se obtiene simetrizando (13) respecto a la bisectriz del 1er cuadrante.

2do cuadrante: V 1 0 y V 2 ! 0

o

Cs

§ V1 V · 2 ¸¸ ¨¨ Vt ¹ © Vc

-1

(14)

Figura 5: Zona segura en el caso de tensión plana para distintos materiales

2) Material frágil La Figura 5-c corresponde a una modificación empírica para el caso de materiales frágiles con

V c z V t , conocida como Criterio de Mohr Modificado ( ver punto c del Anexo 4 de este capítulo). Notar que si V c o V t el criterio de Mohr modificado coincide con el criterio de Rankine.

7 EVALUACIÓN DE LAS DISTINTOS CRITERIOS DE FALLA Confrontando los resultados experimentales producidos a lo largo del tiempo para distintos materiales con las predicciones de los distintos criterios, (considerando aún otros no presentadas aquí por ser menos exitosos ) se pueden extraer las siguientes conclusiones: 1) Para materiales isótropos que fallan por fractura frágil, el mejor criterio es el de la máxima tensión normal (Rankine ). 2) Para materiales frágiles cuya resistencia en compresión difiere significativamente de su resistencia en tracción, el mejor criterio es el de Mohr modificado. 3) Para materiales isótropos dúctiles el mejor criterio es el de la máxima energía de distorsión, siendo el criterio de corte máximo casi tan bueno como el anterior. 4) Para materiales dúctiles donde V c z V t , el mejor criterio es el de Mohr. Nota: Se pueden considerar como materiales dúctiles a aquellos cuyo alargamiento es superior al 5% (medido sobre 2 pulgadas de longitud de probeta que contiene la zona de rotura). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

34


8 COEFICIENTE DE SEGURIDAD Se define como coeficiente de seguridad Cs al valor por el cual hay que multiplicar a las cargas para que la variable característica del criterio de falla adoptado alcance el valor de falla en el punto más crítico de la pieza. En la mayoría de los casos tratamos problemas lineales donde las tensiones son proporcionales a las cargas. En tales casos Cs se puede calcular dividiendo la tensión de falla por la tensión de trabajo. En el caso de tensión plana se puede interpretar Cs de una manera gráfica sencilla como se indica en la Figura 6.

Figura 6: Interpretación gráfica del Cs en el caso de tensión plana para distintos criterios de falla

Una vez determinadas las tensiones principales V 1 y V 2 se ubica el punto P. El coeficiente OPc , por lo tanto de seguridad es tal que Cs OP

OPc

Cs

(15)

OP

8.1 Criterio de la máxima tensión normal De (1) se tiene: Cs V 1 V f . Hay que distinguir 3 casos: a) Tensiones principales positivas

V1 ! V 2 ! V 3

Cs

V t / V1

(16)-a

b) Tensiones principales negativas

V1 ! V 2 ! V 3

Cs

Vc / V3

(16)-b

c) Tensiones de distinto signo

V1 ! V 2 ! V 3

Cs

menor V t /V 1 ; V c /V 3

(16)-c

8.2 Criterio de la máxima tensión cortante Según (4) en el punto más crítico de la pieza debe verificarse:

Vf V1 V 3 2 donde se ha tenido en cuenta que las tensiones principales son V 1 ! V 2 ! V 3 . Cs W máx

Vf

Cs

(17)

Tensión plana En el caso de tensión plana pueden calcularse dos tensiones principales mediante el círculo de Mohr. Tener presente que la restante tensión principal es nula. No debe confundirse la tensión de corte máxima W máx de la Figura 8 con el radio R del círculo de Mohr de la Figura 7.

V

ª V x W xy « Vy « « ¬

0º » 0» 0 »¼ Figura 7: Círculo de Mohr en el caso de tensión plana


35


Una vez calculadas las tensiones principales (V xc , V cy , 0) se pueden construir tres círculos de Mohr. Esto se demuestra formalmente en el punto referido al círculo de Mohr, en el Anexo 3 de este capítulo. Recordando la ecuación (47) y (48) del Capítulo 1 escribimos:

A

V xc

Vx V y 2

V yc

A R

2

§V x V y · 2 ¨ ¸ W xy 2 © ¹

R

;

V zc V z

A R

(18)

0 m No olvidar

(19)

Pueden darse cuatro situaciones según el signo de A y la relación de tamaños entre |A | y R.

Figura 8: Cuatro casos posibles para los círculos de Mohr

Resumiendo los resultados mostrados en la Figura 8 se tienen sólo dos resultados distintos.

Cs

A R ° donde: W máx ® 2 °R ¯

Vf 2W máx

cuando

A !R

cuando

A dR

(20)

8.3 Criterio de la energía de distorsión Según (7) en el punto crítico se verifica que:

Cs V 1 Cs V 2

Cs V 2 Cs V 3 Cs V 3 Cs V 1 2

2

2V 2f

(21)

Vf

Cs

de donde:

2

(22)

1 ª V V V V V V º 3 2 2 3 1 ¼ 2¬ 1 2

2

2

El cálculo de las tensiones principales puede evitarse usando directamente las componentes del tensor de tensiones.

Cs

Vf

(23)

(V x V y V z ) (V x V y V y V z V z V x ) 3 (W xy W yz W zx ) 2

2

2

2

2

2

que es una expresión sumamente útil porque no requiere ningún cálculo previo. Tensión plana Particularizando (23) al caso de tensión plana ( V z

Cs


W zx W zy

Vf 2 V x2 V y2 V x V y 3 W xy

36

0 ) se tiene: (24)


9 TENSIÓN EFECTIVA Observando (17), (20), (22), (23) y (24) se concluye que para los criterios de Tresca y Von Mises puede escribirse

Vf

Cs

(25)

V

donde V es una tensión ficticia que se denomina tensión efectiva (o tensión de comparación). Esta tensión ficticia resulta muy útil y puede además utilizarse de la siguiente manera:

V d V adm

(26)

9.1 Caso tridimensional ( Tensor lleno) Deben calcularse las tensiones principales V 1 ! V 2 ! V 3 Corte máximo: de (17):

V

Energía de distorsión: de (22):

V

V1 V 3 1 2

(27)

[V1 V 2 2 V 2 V 3 2 V 3 V1 2 ]

(28)

Según (23), se pueden usar directamente las componentes del tensor de tensiones 2 2 (V x2 V y2 V z2 ) (V x V y V y V z V z V x ) 3 (W xy W yz W z2x )

V

(29)

9.2 Caso plano (una fila nula en el tensor de tensión ) ª V x W xy «W Vy « yx 0 ¬« 0

0 0 0

º » » ¼»

(30)

Es un caso particular de gran importancia que se da en la mayoría de los casos prácticos. Corte máximo: de (18) y (20):

A

Vx V y 2

2

§ Vx V y · 2 ¨ ¸ W xy 2 © ¹

R

V

o

V

Energía de distorsión: de (24):

° A R cuando ® cuando °¯ 2 R

A !R A dR

2 V x2 V y2 V xV y 3 W xy

(31)

(32)

es una fórmula muy útil porque no requiere ningún cálculo previo.

9.3 Caso intermedio ( dos tensiones de corte nulas en el tensor de tensiones ) ª V x W xy «W Vy « xy 0 0 ¬«

0 º 0 » » V z ¼»

(33)

Corte máximo: Caso muy simple de resolver : se calculan las tensiones principales según (18).

A

2

Vx V y

§ V x V y · 2 ¨ ¸ W xy 2 © ¹

R

2

V

o

V xc

A R

V cy

mayor ^ A R ; V z ` menor ^ A R ; V z `

A R

V zc V z (34)

Energía de distorsión: Particularizando (29) se tiene:

V

(V x2 V y2 V z2 ) ( V x V y V y V z V z V x ) 3 W xy2


37

(35)


10 COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN CASOS NO LINEALES En los casos lineales la gráfica carga vs. tensión es una línea recta ( Figura 9 ) y el Cs puede definirse en forma indistinta como: Coeficiente de seguridad en tensiones

Cs

V falla V

(36)

Coeficiente de seguridad en cargas

Cs

Carga última Carga aplicada

(37)

Figura 9: Relación lineal entre cargas y tensiones

Cuando la relación entre la tensión y la carga no es lineal como en las Figuras 10 y 11 los coeficientes definidos en (36) y (37) dan resultados diferentes, lo que induce a confusión.

10.1 Caso donde la tensión efectiva V crece más rápido que la carga En el caso de la Figura 10 se tiene:

Cs cargas Cs tensión

(38)

Notar que en este caso

Cs cargas

1,83

Cs tensión

2, 24

y en la aproximación lineal es

Cs lineal

2,71

Figura 10: Caso donde la tensión crece más rápido que la carga

10.2 Caso en que la tensión efectiva V crece más lento que la carga En el caso de la Figura 11 se tiene:

Cs cargas ! Cs tensión

(39)

Notar que en este caso Cs cargas 3,70

Cs tensión

3,00

y en la aproximación lineal es

Cs lineal

2,75

Figura 11: Caso donde la tensión crece más lentamente que la carga

Comentarios 1) En el caso de la Figura 10, el cálculo lineal aproximado da resultados inseguros. Eso debe evitarse. 2) En el caso de la Figura 11, el cálculo lineal da resultados del lado de la seguridad. Conclusiones: a) En los casos lineales se usa indistintamente (36) o (37), ya que :..... Cs cargas

Cs tensión .

b) En los casos no lineales se aconseja usar (37) o sea Cs cargas . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

38


ANEXOS DEL CAPÍTULO 2 Anexo 1:

Deformaciones volumétricas y distorsivas

El tensor lineal de deformaciones H i j en el sistema de ejes principales resulta diagonal:

ª H1 « « 0 « 0 ¬

H ij

0

H2 0

0 º » 0 » H 3 »¼

(40)

Teniendo en cuenta el sentido físico del tensor de deformaciones resulta fácil calcular el cambio de volumen de un cubo infinitesimal de lados dx1, dx2 y dx3 orientados según ejes principales: 'V

V f Vi

ª¬1 H1 dx1 1 H 2 dx2 1 H 3 dx3 º¼

dx1 dx2 dx3

(41)

Notar que la fibra que medía dx1 antes de la deformación, mide (dx1 H1 dx1 ) después de la deformación. Efectuando el producto y despreciando los términos cuadráticos en H , frente a los términos lineales, ya que H 1 resulta:

'V

1 H1 H 2 H 3 dV dV

H1 H 2 H 3 dV

(42)

lo que demuestra que la traza del tensor de deformaciones ( que es un invariante frente a los cambios de coordenadas) mide el cambio de volumen. El tensor de deformaciones se puede descomponer de la siguiente forma:

ª H1 « «0 « «¬ 0

0

H2 0

0 º » 0 » » H 3 »¼

ª Hm « « 0 « «¬ 0

0

Hm 0

Hm

donde

0 º ª H1 H m » « 0 » « 0 » « H m »¼ «¬ 0 1 3

0

H2 Hm 0

º » 0 » » H 3 H m »¼ 0

H1 H 2 H 3

En notación abreviada (43) se reescribe como:

(43)

(44)

H

Hv Hd

(45)

Notar que el cambio de volumen asociado a H d (igual a la traza de H d ) es nulo por la definición de H m . Por la misma razón el cambio de volumen asociado a H v resulta igual al cambio de volumen asociado a H . Esto justifica la siguiente denominación:

H v = tensor de deformaciones volumétricas. H d = tensor de deformaciones distorsivas (sin cambio de volumen). En el caso de materiales isótropos las direcciones principales de tensión coinciden con las direcciones principales de deformación lo que permite descomponer al tensor de tensiones de una manera similar a (43) en un tensor de tensiones hidrostáticas y un tensor de tensiones distorsivas.

Anexo 2:

Energía de distorsión

La energía interna de deformación por unidad de volumen W, ver ecuación (121) del Capítulo 1, puede expresarse en el sistema de ejes principales como:

W

1 2

V 1 H 1 V 2 H 2 V 3 H 3

(46)

donde se ha supuesto material lineal, isótropo. Recordar que V 1 , V 2 , V 3 son tensiones principales y que las tensiones de corte son nulas cuando el tensor de tensiones está referido direcciones principales. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

39


Las ecuaciones constitutivas (128) del Capítulo 1 particularizadas para el caso de tensiones principales resultan

H1

1 ªV 1 Q V 2 V 3 º¼ E ¬

1 ªV 2 Q V 1 V 3 º¼ E ¬

H2

H3

1 ªV 3 Q V 1 V 2 º¼ E ¬

(47)

Sustituyendo las (47) en la (46) resulta:

W

1 ªV 12 V 22 V 32 2 Q V 1 V 2 V 2 V 3 V 3 V 1 º¼ 2E ¬

(48)

que puede particularizarse para el caso de tensión hidrostática V h :

1 ª¬3 1 2Q V h2 º¼ 2E

Wh

(49)

si ahora hacemos:

V1 V 2 V 3

Vh

(50)

3

y reemplazamos en (49) obtenemos la energía asociada al cambio de volumen como:

1 1 2Q 2E 3

Wh

V 1 V 2 V 3

2

(51)

Finalmente obtenemos la energía de distorsión Wd , restando la energía asociada al cambio de volumen Wh dada por (51) de la energía total dada por (48) Wd

W Wh

(52)

Reemplazando (51) y (48) en (52), desarrollando el cuadrado del trinomio y reagrupando términos se llega a (53), que justifica a (5)

Wd

Anexo 3:

1 Q 6E

ª V 1 V 2 2 V 2 V 3 2 V 3 V 1 2 º ¬ ¼

(53)

Círculos de Mohr

Empleando un sistema de direcciones principales, podemos expresar la tensión normal asociada a un plano arbitrario definido por el versor v (v1 , v2 , v3 ) aplicando (14) del Capítulo 1: 2 (54) V vv V 1 v1 V 2 v22 V 3 v32 Para ese mismo plano arbitrario podemos escribir el cuadrado del módulo de la tensión, V v empleando la ecuación (15) del Capítulo 1: 2

Vv

V vv2 V vs2

pero, según (11) del Capítulo 1, para el sistema de ejes principales:

Vv

Vv

2

(55)

V 1 v1 t 1 V 2 v2 t 2 V 3 v3 t 3

(56)

(V 1 v1 )2 (V 2 v2 )2 (V 3 v3 )2

(57)

sustituyendo (57) en (55) se tiene:

V vv2 V vs2 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

V 12 v12 V 22 v22 V 32 v32

40

(58)


Además por ser v un versor v12 v22 v32

(59)

1

Dadas un par de tensiones V vv y V vs arbitrarias puede encontrarse la dirección v para la cual ocurren dichas tensiones resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (54), (58) y (59) donde las incógnitas son v12 , v22 , v32 . Hallando la solución en forma genérica se tiene:

v12

V vs2 V vv V 2 V vv V 3 t 0 V 1 V 2 V 1 V 3

V vs2 V vv V 2 V vv V 3 t 0

v22

V vs2 V vv V 3 V vv V 1 t 0 V 2 V 3 V 2 V 1

V vs2 V vv V 3 V vv V 1 d 0

v32

V vs2 V vv V 1 V vv V 2 t 0 V 3 V1 V 3 V 2

V vs2 V vv V 1 V vv V 2 t 0

(60)

Notando que vi2 es siempre positivo y que además V 1 ! V 2 ! V 3 . Estas desigualdades pueden escribirse como: 2

§ V V3 · t ¨ 2 ¸ 2 © ¹

V V3 · § V vs ¨ V vv 1 ¸ 2 © ¹

2

§ V1 V 3 · ¨ ¸ 2 © ¹

2

V1 V 2 ·

2

§ V V2 · t ¨ 1 ¸ 2 © ¹

2

V V3 · § V vs ¨ V vv 2 ¸ 2 © ¹ 2

d

2

§

V vs2 ¨ V vv ©

2

¸ ¹

2

(61)

donde el primer miembro es el cuadrado de la distancia al centro del círculo y el segundo miembro es el cuadrado del radio del círculo. Para que un par de componentes V vv , V vs representen el estado de tensión para un cierto plano definido por v , deberán cumplir con (61) y por lo tanto encontrarse en la zona sombreada del gráfico de los círculos de Mohr de la Figura 12.

Figura 12: Zona de los posibles estados tensionales en un punto


41


Anexo 4:

Coeficiente de seguridad en el criterio de Mohr

a) Material dúctil donde ct En este caso el criterio de Mohr coincide con el criterio de corte máximo y se utiliza (17).

Cs

Vf

(62)

V1 V 3

Tensión plana Es muy frecuente que una de las tensiones principales sea nula. En estos casos de tensión plana, al emplear (17) considerando solamente 1 y 2 es común cometer el error de olvidarse, que una de las tensiones principales es nula. Pueden darse tres casos que se indican en la Figura 13 donde se utilizan tensiones principales:

Figura 13: Tres casos posibles de tensión plana

Es obvio que si se utiliza un sólo círculo de Mohr basado en las tensiones no nulas 1 y 2 se cometerá un error en los casos 1 y 3 de la Figura 13. b) Material dúctil donde c t Según se propone en la Figura 14 se trazan los círculos de Mohr para los ensayos de tracción y compresión. A partir de las tensiones principales (1) > (2) > (3) se traza el mayor círculo de Mohr usando (1) y (3) y a partir del centro del círculo se traza una perpendicular a la envolvente de falla determinando los puntos P y Pc ( Figura 14 ). Entonces:

Cs donde: AP (V (1) V (3) ) /2

APc

R1 V t / 2

APc

A (V (1) V (3) ) /2

R2 ( R2 R1 )

R2

(63)

AP

R2 A R2 R1

Vc / 2

siendo V (1) ! V (2) ! V (3) tensiones principales Figura 14: Coeficiente de seguridad para material dúctil donde t c

Hay que notar que (63) se reduce a (62) cuando V c

Vt .

Tensión plana Cuando una tensión principal es nula, se calculan las otras tensiones principales I > II y se calcula el coeficiente de seguridad Cs considerando tres zonas. Recordar que V c es negativa. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

42


V I ! 0 y V II ! 0

ambas positivas

o

Cs

Vt VI § V I V II · ¨ ¸ © Vt Vc ¹

distinto signo

V I ! 0 y V II 0

o

Cs

ambas negativas

V I 0 y V II 0

o

Cs

(64) 1

Vc V II

(65) (66)

donde hay que tener presente que V c es negativa y que I > II . El coeficiente de seguridad dado en (65) se deduce a continuación utilizando la Figura 15 que corresponde al 4º cuadrante de la Figura 5-b.

Figura 15: Deducción del coeficiente de seguridad del criterio de Mohr en el 4º cuadrante

Por semejanza de triángulos:

Cs

PcR ° ® °¯ OR

OPc

PcR

OR

OP

V2

V1

PcR

V t OR Vt

V 2 Cs

(67)

V 1 Cs

y también por semejanza de triángulos:

Vc

(68)

Reemplazando (67) en (68) y despejando se obtiene (65) que coincide con (13). El coeficiente en el 2o cuadrante se obtiene simetrizando respecto a la diagonal del 1o cuadrante. c) Material frágil donde ct En el caso de un material frágil donde la resistencia en compresión XcXes mayor que la resistencia a tracción t se usa el criterio de Mohr modificado. Se utiliza la Figura 5-c y se consideran sólo las tensiones (1) y (3) y se ignora el valor de (2). Por tratarse de un material frágil sólo interesan las tensiones máximas.

donde:

)1

Vt V (1)

V (1) ! 0 y V (3) d V (1)

o

Cs

Vt V (1)

(69)

V (1) ! 0 y V (3) ! V (1)

o

Cs

menor ^ )1 , ) 3 `

(70)

V (1) d 0 y V (3) 0

o

Cs

Vc V (3)

(71)

y

)3

Vc V (3) V (1) V c / V t 1


43

(72)


Tensión plana: Cuando una tensión principal es nula, se calculan las otras dos tensiones principales I > II y se calcula el coeficiente de seguridad observando la Figura 5-c que corresponde al criterio de Mohr modificado, también relacionado con el criterio de Rankine. Para determinar el coeficiente de seguridad hay que distinguir tres zonas.

V I ! 0 y V II V I

o

Cs

Vt / VI

(73)

V I ! 0 y V II ! V I

o

Cs

V c / ª¬V II V I (1 V c /V t ) º¼

(74)

V I 0 y V II 0

o

Cs

V c / V II

(75)

donde hay que tener presente que V c es negativa y que I > II .

Anexo 5:

Tensión efectiva V ( Resumen )

Resumen de los valores de la tensión de comparación V que depende del material y de las tensiones. \"!" ""

V en el caso general

Material

D Ú Vc Vt C T I L Vc ! Vt

Cs

1 [(V (1) 2

Vt

F R Á G I Vc ! Vt L

D

Vt Vc

Criterio o de falla N

V x2 V y2 V xV y 3W xy2

Energía de distorsión

1

Corte máximo

2

R A m A! R °° ® R AD ( R A) m A R ° m A R °¯D R A

Mohr

3

R A

Máxima tensión normal

4

R A m A!0 °° ® R A (1 2D ) m R A0 ° m A d R °¯D R A

Mohr modificado

5

° R A ® °¯2 R

V (1) V (3) [V (1) V (3) ] 1 D

2 1 D [V (1) V (3) ] / V t

el mayor de

^

V (1) ; V (3)

(76)

V en tensión plana

V (2) ) 2 (V (2) V (3) ) 2 (V (3) V (1) ) 2 ]

Deducida de la ecuación (63) Vc

Vt V

`

V (1) m V (1) ! 0 V (3) d V (1) °° ®mayor ^V (1) ; )` m V (1) ! 0 V (3) ! V (1) ° m V (1) d 0 V (3) 0 °¯D V (3) donde ) D V (3) (1 D ) V (1)

m

A !R

m

A dR

V x , V y , W xy

V ij m tensor lleno tensiones principales V (1) ! V (2) ! V (3)

A

Vx Vy 2

V z W xy W yz

0

2

R

2 §Vx Vy · ¨ ¸ W xy 2 ¹ ©

t = tensión de falla en tracción. c = tensión de falla en compresión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

44


PRÁCTICO

Criterios de Falla


1. En una sección rectangular de 3 cm x 2 cm de una estructura tridimensional se han calculado los esfuerzos indicados en el croquis. Se pide calcular el coeficiente de seguridad a fluencia en los siguientes casos: a) Material acero 1020: f = 2800 kg/cm2. b) Material fundición maleable: t = 2500 kg/cm2 c ^_`0 kg/cm2.

2. En una sección de un tubo se han calculado los esfuerzos indicados en el croquis adjunto. Diámetro exterior 8 cm y espesor 0,4 cm. Calcular el coeficiente de seguridad para los dos materiales del problema 1.

3. Dimensionar el eje horizontal de acero del croquis calculando el diámetro externo con un coeficiente de seguridad a fluencia dato: PH = 300 kg

f = 2600 kg/cm2

PV = 600 kg

CS t 1,8

a) eje macizo. b) eje hueco de espesor 0,5 cm.

4. Una cañería de 30 cm de diámetro externo lleva agua a presión p = 8 kg/cm2 y está apoyada cada 600 cm. Se pide:

a) Hallar el coeficiente de seguridad CS a fluencia sabiendo que el material es acero:

f = 3400 kg/cm2

peso = 0,00785 kg/cm3 b) Determinar el valor de la presión pf que produce falla por fluencia. Nota: Debido a la continuidad de los tramos suponer tramos biempotrados.

5. Calcular la tensión efectiva en el caso de un eje circular macizo sometido a flexión y torsión. Comparar los resultados de los distintos criterios (Rankine, Tresca y Von Mises).

6. Para los 4 materiales dados, calcular el C para cada uno de los 3 estados tensionales que se listan S

a continuación. Usar la tabla resumen del Anexo 5 en la página anterior y comparar con otras fórmulas para el CS. En todos los casos las unidades son [cm] y [kg]. Materiales 1 Dúctil 2 3 Frágil 4

t 2500 2500 2500 2500

c –2500 –3570 –2500 –5000


Tensiones

x

y

xy

x = xz = yz

1 2

1000 300

200 –500

300 300

0 0

3

–200

–1000

300

0

45



Criterios de Falla


1 Cálculo del coeficiente de seguridad de una sección rectangular. N o VN

Tensión normal:

600 / 6

100

Las tensiones de corte de Jourasky tienen variación parabólica y máx ocurre en el centro de los lados:

Q2 o W 2 máx

1,5 x Q2 / A 1,5 x 320 / 6 80

Q3 o W 3máx

1,5 x Q3 / A 1,5 x 240 / 6 60

Tensiones por flexión

bh 2 /6 3 x 22 /6 2

W3

W2

M3 o V3

M 3 / W3

1600 / 2

800

M2 o V3

M 2 / W2

1500 / 3

500

2 x 32 /6 3

Para las tensiones por torsión se usan las fórmulas del caso 6 del Anexo del Capítulo 10: x a /b 2 / 3 CW

T CW b a 2

W 3 W máx (W 2 /W 3 )

W2

1 / 3 0, 225 x 0,1 x 2

1093 0, 2278 x 3 x 22

0, 2278

400

(0,74 x3 0,74 x 4 ) 0,89

(W 2 /W 3 )W máx

0,89 x 400

356

Para encontrar el punto crítico se calculan las tensiones en 8 puntos ( puntos A hasta H ) Material y criterio

ACERO Ec. (24) Criterio de Von Mises

Tensiones

VA VC VE VG

100 800 500 200 100 800 500 1400 100 800 500 400 100 800 500 1200

V B ® ¯W B

100 500 600

°V D ® °¯W D

100 800 900

°V F ® °¯W F

100 500 400

°V H ® °¯W H

100 800 700

CSC

FUNDICIÓN MALEABLE Criterio de Mohr

2800 /1400 2

80 356 436

60 400 340

CS D

2800

2,6

9002 3 x 3402

60 400 460

Coeficiente de seguridad Punto crítico Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

2800 7002 3 x 4602 CS = 2 punto C

46

3200 / (1400) 2, 29

CSG

2500 /1200 2,08

V D 450 r 4502 3402 V D 1 114 V D 2 1014 CS D

80 356 276

CS H

CSC

2,64

§ 114 1014 · ¨ ¸ © 2500 3200 ¹

1

2,76

V H 350 r 3502 4602 V H 1 928 V H 2 228 CS H

§ 928 228 · ¨ ¸ © 2500 3200 ¹ CS = 2,08 punto G

1

2, 26


2 Cálculo del coeficiente de seguridad de una sección tubular. Área:

A

S (D2 d 2 ) / 4

S (82 7, 22 ) / 4

S (D d )

S (8 7, 2 )

64 D / 2

64 x 4

4

Módulo: W

4

4

9,55

4

17, 29

Para la torsión se usa 2W 99002 141602

M

VN

200 / 9,55

VM

17278 / 17, 29

WT

17278

20,9

11060 / (2 x 17, 29) V Punto A ® ¯W

Tubo: Espesor 0,4 cm Diámetro exterior 8 cm

999,3 319,8

999,3 20,9 319,8

999,3 20,9 V Punto B ® ¯ W 319,8

978, 4

1020, 2

a) Acero: Criterio de la energía de distorsión. Punto crítico: Punto B ............................ Ec. (24)

2800 /

CsA

978, 42 3 x 319,82

2800 / 1020, 22 3 x 319,82

CsB

2, 49

CsB

b) Fundición maleable: Criterio del corte máximo. Punto crítico: Punto A ................... en A: A V / 2 489, 2

R

489, 22 319,82

A V / 2 510,1

R

510,1 2 319,8 2

en B

Ec. (65)

CsA

§ 1073,7 95,3 · ¨ ¸ 3200 ¹ © 2500

584,5 V I 602,1

VI

-1

CsB

2,18

A R 1073,7 A R 92,0

§ 92,0 1112, 2 · ¨ ¸ 3200 ¹ © 2500

2, 41

CsA

V II V II

2, 41

2,18

A R 95,3 A R 1112,2

-1

2,60

3 Dimensionado de un eje solicitado a flexión y torsión (cálculo del diámetro) con un C

S

{ 1,8.

Esfuerzos en el punto crítico ( punto B) Momento flector máximo:... M Momento torsor:.................... T Hay que satisfacer el requisito Ec. (24) 1,8

d 2600

/

108002 18002 600 x 15

300 x 30

10949 9000

CS t 1,8 : 2

2

§ 9000 · § 10949 · 3 ¸ .......................................... Wreq t 9,30 cm ¨ ¸ 3 ¨ W W 2 © ¹ © ¹


47


a)

Sección llena

S D3

Módulo resistente: W

b)

Wreq t 9,30 ........................................ D t 4,56 cm

32

Sección hueca de espesor 0,5 cm

b-1) Cálculo aproximado: considerando sección de pared delgada, el módulo resistente aproximado Waprox se calcula con la fórmula de la última columna del Anexo del Capítulo 8:

Waprox

t S rm2

Wreq t 9,30 o

rm t 2, 433 o

D t 2 rm t ........... D t 5,37 cm

No se obtiene una buena aproximación porque el espesor no es muy pequeño, para ese diámetro, se puede verificar que el coeficiente de seguridad es 1,65 y no 1,8.

b-2) Cálculo exacto: Wexacto

S [ D 4 ( D 2 x 0,5)4 ] 64 x D / 2

por tanteos

Wreq t 9,30 o D t 5,577 ..... D t 5,58 cm

Se puede verificar que la sección hueca reduce el peso del eje a la mitad.

4 Cálculo del coeficiente de seguridad a f luencia Cs y del valor de la presión pf que produce falla por fluencia en una cañería de 30 cm de diámetro exterior y 0,5 cm de espesor, que lleva agua a presión. Tubo: Área S (30 29 ) / 4 46,34

Peso A

AU

46,34 x 0,0078 0,3614

Agua: Área S 292 / 4 660,5

Peso A

AU

660,5 x 0,001 0,6605

2

Carga q

2

0,3614 0,6605 1,022

Módulo W

S (304 294 ) 64 x 15

336,15

Tensión longitudinal V A debida a la flexión del tubo

q A2 12

M

1,022 x 6002 12

30660 o V A

M W

30660 336,15

91, 2

Tensión circunferencial V c causada por la presión interior ( p = 8 kg/cm2)

2V c e A

°V pd A o ® c °¯ V c

pd 29 p 2e 29 x 8 232

El punto crítico está en la parte inferior de los apoyos donde la tensión longitudinal ( V A tiene distinto signo que la tensión circunferencial ( V c 232 ).

91, 2 )

a) Cálculo del coeficiente de seguridad CS : Ec. (24)

CS

3400 (91, 2) 232 ( 91, 2) x 240 2

.................................................. CS 11,8

2

b) Cálculo de presión pf que produce la falla ( CS = 1 ) : Ec. (24)

3400

1

(91, 2) (29 p f ) (91, 2) (29 p f ) 2

2

p 2f 3,145 p f 13736 0 p f 115, 6 kg /cm2

Notar que p f z CS p (117,2 z 11,8 x 8 94,4 ) ya que se incrementó la presión mientras el peso propio ( tubo más agua) permaneció sin cambio. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

48


5 Cálculo de la tensión efectiva en el caso de un eje circular macizo sometido a flexión y torsión usando distintos criterios (Rankine, Tresca y Von Mises) para comparar los resultados.

Ec. (18)

A

Ec. (18)

R

V 2 2

§ V · 2 ¨ ¸ W © 2 ¹

Por lo tanto R > A

I

Propiedades:

A2 W 2 ! A

A R

S d4 64

S d4

JR

W

32 M W

Tensión normal por flexión...... V

32

Tensión cortante por torsión.... W

2

2

§1 · 2 ¨ V ¸ W ©2 ¹

Ec. (18) R

S d3

§1 M · § T · ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 W ¹ © 2W ¹

2

1 2W

T 2W

M 2 T2

a. Criterio de la máxima tensión normal: Ec. (16)-c y (25) V

*

V (1)

A R

M 1 2W 2 W

M 2 T 2 ...... V *

1 2W

(M

M 2 T2

)

b. Criterio de la máxima tensión de corte: Ec. (31)

A R o V*

2 R .................................................. V *

1 W

M 2 T2

1 W

M 2 0,75 T 2

c. Criterio de la energía de distorsión: 2

2

Ec.(32)

V*

V 2 3W 2

§ T · § M · * ¸ ............... V ¨ ¸ 3 ¨ ©W ¹ © 2W ¹

Tabla resumen: Valores de * según el criterio utilizado y el tipo de solicitación Solicitación

T=0 Flexión pura

M=0 Torsión pura

Rankine ( máxima tensión normal )

M/W

0,500 M/W

Tresca-Guest ( máxima tensión de corte )

M/W

1,000 M/W

Von Mises (energía de distorsión)

M/W

0,866 M/W

Criterio

Conclusiones: 1) En el caso de f lexión pura los tres criterios son concordantes. 2) En el caso de torsión pura los tres criterios dan resultados diferentes. Aceptando que los ejes se fabrican con materiales dúctiles para los cuales se adecúa mejor el criterio de la energía de distorsión, podemos concluir que el criterio del corte máximo dará resultados conservativos mientras que el criterio de la máxima tensión normal dará resultados inadecuados y lo que es peor, inseguros. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

49


6

Para hacer comparaciones se calcula de varias maneras el coeficiente de seguridad, para 3 estados tensionales y para 4 materiales distintos.

Primero se calculan los valores de A y R que definen el círculo de Mohr y con ellos se calculan las dos tensiones principales no nulas. Los resultados se resumen en la siguiente tabla donde figuran: i) las tensiones no nulas dato (x, y, xy), ii) los valores característicos para trazar el círculo de Mohr (A y R), iii) las tres tensiones principales ((1), (2), (3)) y iv) las dos tensiones principales no nulas para ser usadas en las ecuaciones (64), (65), (66), (73), (74) y (75) que se dan en las dos últimas columnas. Estado tensional 1 2 3

Datos

Círculo de Mohr

Tensiones principales

Otras tensiones (64)-(66), (73)-(75)

Vx

Vy

W xy

A

R

V (1)

V (2)

V (3)

VI

V II

1000 300 –200

200 –500 –1000

300 300 300

600 –100 –600

500 500 500

1100 400 0

100 0 –100

0 – 600 –1100

1100 400 –100

100 – 600 –1100

Para cada uno de los 15 casos considerados (3 estados tensionales y 5 criterios de falla) se calculó el CS de tres maneras distintas. En la columna (4) se consideraron las fórmulas para la tensión efectiva en el caso general de un tensor lleno dadas en el Anexo 5 y con esa tensión efectiva se calculó el CS indicado en la columna (5). De manera similar pero considerando el caso particular de tensión plana se obtuvieron los resultados reportados en las columnas (6) y (7). Existe total concordancia entre los resultados de las columnas (5) y (7) excepto en el caso del material 2. Para ese material las diferencias en promedio son menores al 10 % y se deben a que en el caso de tensor lleno se adopta el criterio de la Figura 14 que no concuerda con lo propuesto en la Figura 5-b para el caso de tensión plana. En la columna (9) se muestra el CS calculado con: i ) las ecuaciones (16), (17) y (24) dadas en el punto 8 del Capítulo 2 para materiales con igual resistencia en tracción y compresión y ii ) las fórmulas dadas en el Anexo 4 del Capítulo 2 para materiales donde XcX~t. Notar que hay total concordancia entre los resultados mostrados en las columnas (7) y (9). Eso se debe a que las fórmulas utilizadas tienen un origen común. En un caso se calcula directamente el CS y en otro a partir de la tensión efectiva V * .

Material (1)

Fórmulas del Anexo 5 del Capítulo 2 Caso general Tensión plana V* V* CS CS

Criterio de falla

Estado tensional

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1054 872 1054 1100 1000 1100 1001 840 877 1100 600 1100 1100 500 550

2,37 2,87 2,37 2,27 2,50 2,27 2,50 2,98 2,85 2,27 4,17 2,27 2,27 5,00 4,54

1054 872 1054 1100 1000 1100 1100 820 770 1100 600 1100 1100 500 550

1 Von Mises 1 2 Tresca 2

3 Mohr

3

4 Rankine

4

5 Mohr modificado


50

Otras fórmulas para el coef. de seguridad Ecuación

CS

(7)

(8)

(9)

2,37 2,87 2,37 2,27 2,50 2,27 2,27 3,05 3,25 2,27 4,17 2,27 2,27 5,00 4,54

(24) (24) (24) (17) (17) (17) (64) (65) (66) (16) (16) (16) (73) (74) (75)

2,37 2,87 2,37 2,27 2,50 2,27 2,27 3,05 3,25 2,27 4,17 2,27 2,27 5,00 4,54


Capítulo 3

CILINDROS CON ELEVADA PRESIÓN 1 INTRODUCCIÓN Existen numerosos problemas de interés práctico que presentan simetría respecto a un eje y pueden analizarse ventajosamente utilizando coordenadas cilíndricas. Problemas de este tipo son frecuentes en ingeniería, lo que justifica, de por sí, su estudio. Además, tratar el problema de cilindros de pared gruesa es una oportunidad para utilizar las ecuaciones fundamentales de la elasticidad y ganar experiencia en el manejo de las mismas. La teoría de la elasticidad provee las ecuaciones básicas para cada problema, pero sólo en unas pocas excepciones es posible encontrar la solución exacta en forma analítica. Lo habitual es usar métodos numéricos aproximados, generalmente el método de elementos finitos. En el caso de cilindros gruesos debido a la simetría geométrica, cuando se dan ciertas condiciones de simetría de las cargas, por ejemplo presión interior, es posible encontrar la solución exacta en forma de expresiones analíticas que describen las tensiones y los desplazamientos en todos los puntos en función de sus coordenadas.

2 ECUACIONES DE LA ELASTICIDAD EN COORDENADAS CILÍNDRICAS En esta sección se plantean las ecuaciones básicas que son necesarias para estudiar cilindros gruesos: 2.1) ecuaciones cinemáticas; 2.2) ecuaciones de equilibrio y 2.3) ecuaciones constitutivas. En la Figura 1 se muestra el sistema de coordenadas cilíndricas (r, , z) adoptado, también se indican los desplazamientos (u,v,w) asociados a esas coordenadas. Figura 1: Sistema de coordenadas cilíndricas

2.1 Ecuaciones de equilibrio Para formular las ecuaciones de equilibrio se hace un planteo similar al desarrollado en la Sección 2.7 del Capítulo 1. Aquí se trabaja con un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas como el mostrado en la Figura 2.

Figura 2: Elemento de volumen en coordenadas cilíndricas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

51


Si se compara la Figura 2 de la página anterior con la Figura 12 del Capítulo 1 se observan varias diferencias. Primero las tensiones r y (r + r) actúan sobre caras de áreas diferentes y segundo, las tensiones y ( + ) actúan sobre caras que no son paralelas. Es muy común que un estudiante, en su primer intento por plantear las ecuaciones de equilibrio, olvide considerar alguno de esos nuevos “ingredientes” y en consecuencia “pierda” algunos términos en las ecuaciones. Cada uno de los seis vectores de tensión asociados a las caras del elemento de la Figura 2 puede descomponerse en sus tres componentes cilíndricas como se muestra en la Figura 3, donde además se indican las componentes de la fuerza másica por unidad de volumen, F.

Figura 3: Tensiones actuando en las caras de un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas

A modo de ejemplo, observando la Figura 4, se plantea el equilibrio de fuerzas en dirección “r ”:

Caras r o

wV rr · § dr ¸ r dr dT dz V rr r dT dz ¨ V rr wr © ¹

Caras T o

ª wV T r wV TT dT · § · dT º § dT ¨ V TT dT ¸ ¨ V T r V TT ¸ dr dz «V T r » dr dz 2 ¹ wT wT © © ¹ 2 ¼ ¬

Caras z o

(1)

wV zr · ª§ ª§ º § º dr · dr · V zr «¨ r dz ¸ «¨ r ¸ dT dr » ¨ V zr ¸ dT dr » w 2 z 2 ¹ ¹ ¹ ¬© ¬© ¼ © ¼

dr · § Volumen o Fr ¨ r ¸ dT dr dz 2 ¹ © Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

0

52


Figura 4: Planteo del equilibrio en la dirección r

Efectuando productos, simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior se tiene:

wV rr 1 wV rT wV rz V rr V TT Fr r wT r wr wz

(2)

0

Planteando el equilibrio según z y según se obtienen otras dos ecuaciones que unidas a la anterior constituyen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en coordenadas cilíndricas.

wV rr 1 wV rT wV rz V rr V TT Fr wr wz r wT r

0

wV rT 1 wV TT wV T z 2V rT FT wr wz r wT r

0

wV rz 1 wV T z wV zz V rz Fz wr wz r wT r

0

(3)

2.2 Ecuaciones cinemáticas Por simplicidad se comienza trabajando en el plano en coordenadas polares y considerando pequeños desplazamientos y giros. Para deducir físicamente las deformaciones específicas r y se usa la Figura 5.

Figura 5: Desplazamientos en coordenadas polares

Fibra AC

Largo inicial = AC

dr

Largo final = AcC c

dr (u

wu wr

dr ) u

Deformación específica

Hr

AcC c AC

dr

AC


wu wr

dr dr

dr

53

o

Hr

wu wr

dr

wu dr wr

(4)

(5)


Fibra AB

r dT

Largo inicial = AB

Largo final

AcBc

r u dT (v

wv

dT ) v

wT

(6)

Deformación específica

HT

u dT (dv / dT ) dT r dT

AcBc AB AB

HT

o

u 1 wv r r wT

(7)

Para deducirla el valor de la distorsión angular H T r se usa la Figura 6

Figura 6: Desplazamientos y giros en coordenadas polares

Giro de la fibra AC

D

D 2 D1

donde: D1

Giro de la fibra AB

E

v r

y

D2

dv / dr dr dr

du / dT dT

(8)

(9)

r dT

Cambio de ángulo entre las fibras AC y AB

IT r

D 2 D1 E

o HT r

1I 2 Tr

§ wv

v

1

H T r = 12 ¨ r r © wr

o

wu · ¸ wT ¹

(10)

Agregando la coordenada z y trabajando de manera similar se pueden encontrar las restantes componentes del tensor de deformaciones lineal en coordenadas cilíndricas. Notar que este enfoque, que en un principio parece más simple que el planteo del Capítulo 1 debido a su contenido físico, se torna un tanto engorroso. Por ello resulta fácil cometer errores y olvidar uno o varios términos durante la deducción. A continuación se resumen las relaciones cinemáticas lineales (los desplazamientos se indican en la Figura 7):

Figura 7: Cubo elemental

H rr

wu wr

H rT

1 ª wv 1 wu v º » 2 « wr r wT r¼ ¬

H TT

1 wv u r wT r

HT z

1 ª 1 ww wv º » 2 « r wT wz ¼ ¬

H zz

ww wz

H rz

1 ª wu ww º 2 «¬ wz wr »¼

(11)

Notar que el coeficiente 1/2 se utilizó para que el tensor de deformaciones lineales sea simétrico. Esto se logra colocando la mitad del cambio del ángulo en cada lado de la diagonal.


54


2.3 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas (128) y (129) desarrolladas en el Capítulo 1, para sólidos linealmente elásticos e isótropos, mantienen su validez porque las direcciones r, , y z son mutuamente ortogonales. Por ejemplo para i = j = r, podemos desarrollar y reordenar a la ecuación (128) del Capítulo 1 :

V rr

E 1 Q

1 Q 1 2Q

[ H rr

Q 1 Q

(H TT H zz )]

(12)

Similarmente haciendo i = j = r y t = 0 en la ecuación (129) de Capítulo 1, se obtiene:

1 ªV rr Q V TT V zz º¼ E ¬

H rr

(13)

3 CILINDRO DE PARED GRUESA SOMETIDO A PRESIÓN Se estudia el cilindro mostrado en la Figura 8, de radio interior a y de radio exterior b, para determinar la distribución de tensiones dentro del espesor del cilindro sometido a presión interna pi y externa pe y a una tensión axial uniforme, o.

Figura 8: Cilindro grueso con cargas axilsimétricas

Esta configuración provee un modelo aplicable a muchos casos de interés práctico como ser: cilindros de presión, submarinos, cañones, prensas hidráulicas, recipientes para reactores nucleares, etc. El problema puede resolverse utilizando las tres ecuaciones de equilibrio (3), las seis ecuaciones cinemáticas (11) y las seis ecuaciones constitutivas, ecuación (128) del Capítulo 1, que son del tipo (12) o sus inversas (13). Además deben considerarse las condiciones de borde del problema. El planteo del problema se ve notablemente simplificado por la simetría radial de las cargas. Basados en la simetría se puede anticipar que los desplazamientos en el sentido son nulos y que todas la tensiones y deformaciones son independientes de También se hace la hipótesis tentativa de que la tensión z es uniforme y en consecuencia todas las tensiones y deformaciones son independientes de z. Con estas hipótesis el problema se reduce notablemente ya que las tensiones y deformaciones de corte se anulan en todos los puntos. La ecuación (2) se reduce a:

r

wV r Vr Vt wr

(14)

0

donde = 0 ( , z = o = cte., y las tensiones y deformaciones de corte son nulas. Además, denotamos t = ( tensión tangencial ) ; r = rr ( tensión radial ) . Las relaciones cinemáticas (11) se reducen a:

Hr

wu ; wr


Ht

u ; r

55

Hz

ww wz

(15)


Las ecuaciones constitutivas del tipo (12) son:

donde: E *

Vr

E * [H r

Vt

E* [ H t

Vz

E * [H z

Q

(H t H z )]

(16)

(H r H z )]

(17)

( H t H r )]

(18)

1 Q

Q 1 Q

Q 1 Q

E 1 Q

1 Q 1 2Q

Sustituyendo las relaciones cinemáticas (15) en las constitutivas (16) y (17) y reemplazando esas tensiones en la ecuación de equilibrio (14), esta última queda en función de los desplazamientos:

d 2u 1 du u 2 2 dr r dr r

0

(19)

cuya solución general es de la forma:

Ar

u

B

(20) r Para determinar las constantes se procede de la siguiente manera: se reemplaza (20) en (16) y se imponen las condiciones de borde:

Vr

pi

r a

Vr

,

r b

pe

(21)

de las (21) se despejan las constantes A y B .

1 Q E

Vr

^ pi [(b / r ) 2 1] pe [(b / a) 2 (b / r ) 2 ] ` / [(b / a) 2 1]

pi a 2 pe b 2

B

1 Q E

a 2b 2 pi pe

A

(22) b2 a 2 b2 a 2 Conocido u se lo reemplaza en las ecuaciones cinemáticas (15), las que a su vez son llevadas a las ecuaciones constitutivas (16) y (17) y se obtiene

Vt

^ p [(b / r )

2

i

;

1] pe [(b / a) 2 (b / r ) 2 ] ` / [(b / a) 2 1]

Hz

Vo E

pi a 2 pe b 2

2Q E

b2 a 2

(23) (24) (25)

La ecuación (25) muestra que z es independiente de la posición dentro del cilindro y que depende de la tensión axial o y de las presiones pi y pe a través del coeficiente de Poisson. Las ecuaciones (23) y (24) muestran que las tensiones transversales t y r varían con r y son función lineal de las presiones, siendo en cambio, independientes de la tensión axial.

3.1 Cilindro con presión interior: pe = 0 Haciendo pe = 0 en (23) y (24) se llega a :

Vt

pi

Vr

pi

a2 b2 a 2

a2 b2 a 2

§ b2 · 1 ¨ ¸ r2 ¹ ©

(26)

§ b2 · 1 ¨ ¸ r2 ¹ ©

(27)

Estas ecuaciones muestran que V t ! V r y que en ambos casos la tensión es máxima en r = a. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

56


En la Figura 9 se presentan dos casos de cilindros con presión interior de mucho interés práctico, uno referido a actuadores mediante un pistón y el otro a recipientes cerrados.

Figura 9: Dos casos de interés práctico

En el cilindro del actuador de la Figura 9-a la tensión z es nula

Vz

caso a) cilindro actuador

0

(28)

En el recipiente de presión de la Figura 9-b en zonas alejadas de los extremos se tiene

Vz

caso b) recipiente de presión

a2 b2 a 2

pi

(29)

además: caso a)

Vr r

caso b)

Vt

a

r a

pi

a2 [1 (b / a)2 ] b2 a 2

donde [1 (b / a) 2 ] 0

(30)

pi

a2 [1 (b / a)2 ] b2 a 2

donde [1 (b / a) 2 ] ! 2

(31)

En conclusión, en ambos casos t máx es mayor que z y r máx es menor que z ; por lo tanto la condición de diseño está dada por t máx , o bien por la máxima tensión de corte W máx 12 (V t V r ) que ocurre en r a. La variación de t , se muestra esquemáticamente en la Figura 10-a.

a)

b)

Figura 10: Tensiones tangenciales t en el espesor del cilindro y máxima tensión cortante máx en r = a

Las máximas tensiones resultan:

Vr

V r( r

a)

V tmáx

V t (r

a)

W máx

1 2

máx

pi

(32)

pi (b 2 a 2 ) / (b 2 a 2 )

(33)

(V t V r )( r

a)

pi b 2 / (b 2 a 2 )

(34)

Notar que W máx ! pi . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

57


3.2 Cilindro con presión exterior: pi = 0 Haciendo pi = 0 en (23) y (24) se llega a:

Vt

pe

§ b2 a2 · 1 ¨ ¸ b2 a 2 © r2 ¹

(35)

Vr

pe

§ b2 a2 · 1 ¨ ¸ b2 a 2 © r2 ¹

(36)

Estas ecuaciones muestran que ambas tensiones son de compresión y que V t ! V r

4 ZUNCHADO La Figura 11, basada en la ecuación (34), muestra que cuando el valor de b/a es mayor que 2, aumentar b casi no ayuda a bajar las tensiones máximas. Por ello, en el caso de grandes presiones se recurre al zunchado. El zunchado es un proceso constructivo, que consiste en montar dos cilindros tales que el diámetro interno del mayor es menor que el diámetro externo del menor. Se fabrican con una interferencia y para permitir el montaje se enfría el cilindro interior y/o se calienta el cilindro exterior. Otra aplicación del zunchado es el montaje forzado de poleas o ruedas dentadas sobre ejes.

Figura 11: Tensión tangencial máxima en función del espesor del cilindro

Después del montaje la temperatura se hace uniforme y los cilindros se ejercen una presión de zunchado pz que es externa para el cilindro interior, cuyo radio externo disminuye 1 mientras que para el cilindro exterior es presión interior y su radio interno aumenta 2. Por compatibilidad se tiene:

G1 G 2

G

G

dato

(37)

Los valores de 1 y 2 se pueden determinar a partir de la solución de la ecuación (19) calculando adecuadamente las constantes A y En el cilindro interior, haciendo z = 0 , r (r=a) = 0 y r (r=b) = – pz " u1 En el cilindro exterior, haciendo z = 0 , r (r=b) = – pz y r (r=c) = ` "u2 donde a y b son los radios del cilindro interior y b y c los radios del cilindro exterior. Reemplazando para r = b se tiene:

|u

1(r b)

| u

2(r b)

G

(38)

Notar que si se considera rozamiento nulo = 0 y además z = 0, eso implica que el cilindro interior se alarga libremente por el efecto de Poisson ( 1 ~0) y el exterior se acorta libremente ( 2 ~0). Desarrollando (38) se llega a: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

58


· b pz § c 2 b 2 · b pz § b 2 a 2 Q Q 2 ¸ ¨ 2 ¨ 2 1¸ 2 2 E1 © b a E2 © c b ¹ ¹

G

(39)

La ecuación (39) permite despejar la presión de zunchado pz. En el caso frecuente, donde ambos cilindros son del mismo material, o tienen igual módulo de Poisson, se tiene;

pz

EG

b2 a 2 c2 b2 c2 a2 2 b3

(40)

Conocido el valor de la presión de zunchado pz se calculan los valores de las tensiones en el cilindro exterior considerando presión interior pi = pz usando (26) y (27) haciendo a = b y b = c. Para el cilindro interior se considera presión exterior pe = pz y se usa (35) y (36). Si el cilindro zunchado es sometido posteriormente a presión interior se producen tensiones iguales a las que corresponden a un cilindro único de radios a y c, que deben superponerse a las tensiones de zunchado como se indica en la Figura 12.

Figura 12: Diagramas de tensiones en un cilindro zunchado

Wa

Una situación conveniente se logra cuando

Wb

(41)

5 AUTOZUNCHADO POR TENSIONES RESIDUALES Se puede lograr un efecto similar al zunchado aplicando una alta presión interior que produzca la fluencia del material y al quitarse deje tensiones residuales tangenciales, de compresión en la zona interna del cilindro y de tracción en la zona externa. La fluencia en la zona interna, según (34), se inicia cuando: 1 V V r 2 t

Wf

(42)

La presión que inicia la fluencia también puede despejarse usando (34).

pf


Wf

b2 a 2 b2

59

(43)


Figura 13: Diagrama elastoplástico de deformaciones

Suponiendo que el material se comporta perfectamente plástico como se indica en la Figura 13, la ecuación (42) se verifica en todos los puntos de la zona plastificada y puede reemplazarse en la ecuación de equilibrio (14), que es independiente del estado elástico o plástico, llegando a:

wV r wr

2W f

1

(44)

r

que puede ser integrada obteniendo:

Vr

2W f ln r c

(45)

La ecuación (45) es válida en toda la zona plastificada. Suponiendo plastificado todo el espesor se puede calcular la constante “c” a partir de la condición de borde r (r=b) = 0 llegándose a: r (46) V r 2W f ln b Haciendo r = a en (46) se determina la presión pp que produce la plastificación total. Considerando que f f /2 (Tresca) y además teniendo en cuenta que ln ba ln ab se tiene:

pp

2W f ln

a b

pp

V f ln

b a

(47)

Reemplazando (46) en (42) permite despejar el valor de la tensión tangencial en el campo plástico:

Vt

r · § 2W f ¨1 ln ¸ b¹ ©

(48)

Al quitar la presión interior pp el material se recupera elásticamente según se indica en la Figura 12 y deben restarse las tensiones que produciría la presión pp actuando en el campo elástico. A fin de visualizar conceptualmente el fenómeno se grafican las tensiones correspondientes al caso b/a = 2. En la Figura 14-a se muestra que la plastificación se inicia cuando se cumple (42). Durante la plastificación aumenta la presión interior y por consiguiente la tensión radial r mientras que la tensión tangencial se modifica de modo que en todos los puntos se cumpla (42). Notar que en general t aumenta, pero en la zona interior las deformaciones plásticas son considerables y t disminuye al ceder el material, esto se observa en la Figura 14-b.

Figura 14: Diagrama de tensiones de autozunchado Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

60


En la Figura 14-c se grafican las tensiones elásticas que deben restarse y finalmente en la Figura 14-d se muestran las tensiones residuales resultantes. Notar que después del autozunchado el cilindro se ha “endurecido” por la deformación plástica y se comportará elásticamente hasta que la presión interna alcance el valor de pp dado en (47). Normalmente no se provoca la plastificación de todo el espesor porque resulta “peligroso” ya que se estaría trabajando muy próximo a la rotura. La teoría también se puede desarrollar para plastificación parcial del espesor, conceptualmente hay poco cambio con respecto a lo ya explicado. Resumiendo las ventajas del autozunchado son : Se aumenta notablemente la resistencia en el campo elástico y por lo !! "! ! # $!&# '+ Según se observa en la Figura 15 la resistencia a fluencia de un cilindro común se hace constante para relaciones b/a > 3 y no se gana casi nada con aumentar el radio externo. Mientras que si se considera el campo plástico la resistencia a rotura aumenta continuamente a medida que se incrementa el radio exterior. Las ventajas del autozunchado son notables en el caso de cilindros de pared muy gruesa.

Figura 15: Inicio de la fluencia y finalización de la plastificación función de b/a

La curva inferior de la Figura 15 se obtiene de (43) y la superior de (47). Se puede observar que para b/a = 2 , la presión pp casi duplica el valor de pf ( pp / pf = 1,39 /`5 ). Para un cilindro de pared delgada, por ejemplo b/a= 1,05 resulta ( pp / pf ) 1,05 y la ventaja es por lo tanto insignificante.

6 CRITERIOS DE DISEÑO Hasta aquí se han desarrollado “fórmulas” para obtener los valores de las tensiones tangenciales y radiales suponiendo que son conocidas las presiones actuantes y la geometría del cilindro. Sin embargo, el interés práctico reside en dimensionar cilindros con un coeficiente de seguridad para la condición crítica que se define como falla. Resta, por lo tanto, relacionar las fórmulas ya desarrolladas con una teoría de falla adecuada. Siempre resulta posible efectuar un predimensionado y en una etapa posterior verificar que las máximas tensiones resultantes no superen el valor que se considera admisible de acuerdo con un coeficiente de seguridad, Cs, prefijado. Ese procedimiento es válido y además es muy utilizado en cálculo estructural. Sin embargo, siempre que sea posible se prefiere utilizar una fórmula que provea directamente las dimensiones óptimas ( mínimas ) que garanticen un Cs requerido prefijado de antemano. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

61


6.1 Diseño de un cilindro grueso de material dúctil Se desea encontrar el espesor (o diámetro exterior ) de un cilindro sometido a presión interior, pi , cuyo diámetro interno está prefijado por la función que el cilindro debe cumplir. 6.1.1 Teoría de la máxima tensión cortante Suponiendo que z es tal que r < z < t , el diseño se basa en la máxima tensión de corte que ocurre para r = a y cuyo valor está dado por (34). pi (49) W max 2 1 a / b Siendo el material dúctil se puede utilizar la teoría de la máxima tensión cortante haciendo : Cs pi (50) 2 Vf Cs V Cs 2W ( max ) 2 1 a /b lo que permite despejar el radio exterior :

b

1

a

válida para V r V z V t

1 2 Cs pi /V f

(51)

Notar que existe solución sólo si el radicando es positivo y en tal caso.

1 2

Limitación

Cs pi

Vf

! 0

pi 0,5

Vf Cs

(52)

6.1.2 Teoría de la energía de distorsión Al utilizar la teoría de la energía de distorsión se debe considerar el valor de la tensión axial z . Caso z = 0 En el caso del actuador de la Figura 9-a donde z = 0, se emplea la ecuación (24) del Capítulo 2:

V 2f V 12 V 22 V 1V 2

Cs2 donde:

según (32)

V1

Vr r

pi

según (33)

V2

Vt r

pi

a

a

b2 a 2 b2 a 2

Operando algebraicamente y haciendo (Cs pi /V f )

D

§ Cs pi ¨¨ © Vf

· ¸¸ ¹

(53)

2

o

b

2

D se llega a:

1 D 4 3D

a

1 3D

(54)

Notar que solo existe solución si los dos radicandos de (54) son positivos y para ello es suficiente que:

1 3D ! 0

Limitación

pi 0,577

Vf

Cs

(55)

Caso z originado en la presión interior pi En el caso del recipiente de la Figura 9-b donde z ~`"$! la ecuación (22) del Capítulo 2.

Cs2

2V 2f

V 1 V 2

2

V 2 V 3 V 3 V 1 2

2

(56)

donde 1 y 2 están dados por (32) y (33) como en el caso anterior mientras que: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

62


V3 V z

según (29)

pi

1

b/ a

2

(57)

1

Reemplazando 1, 2 y 3 en (56), definiendo D igual que en el caso anterior y denotando 2 x = (b/a) , se puede despejar x en función de D . Esto permite finalmente despejar b:

D

C p s

i

/V f

2

o

x

1 r 3D 1 3D b

de donde:

o

1

x

1

3D

o b

a

1 1

Vf

a

3D

(58)

(59)

V f 3 Cs pi

Notar que existe solución sólo si el radicando es positivo

V f 3 Cs pi ! 0

pi 0,577

Vf

(60) Cs La ecuación (54) requiere espesores mayores que la (59); la diferencia en el espesor nunca supera el 15 % y ello ocurre cuando las presiones son pequeñas. Por otra parte el rango de validez de (54) es el mismo que tiene (59).

6.2 Diseño utilizando Cs a rotura Al diseñar un recipiente de presión cilíndrico es conveniente definir como condición de falla a la fluencia. No obstante resulta de sumo interés contar con una fórmula para calcular la máxima presión interior que puede resistir el cilindro al momento de producirse el “estallido”' del mismo.

Figura 16: Gráfico tensión vs. deformación

La presión de estallido, que denotaremos pE se puede obtener suponiendo que el estallido ocurre cuando todo el material del cilindro alcanza la tensión de corte de rotura R. En tal caso basta reemplazar f por R en la fórmula (47) que da la presión de plastificación: a (61) pE 2W R ln b Como en general R no es conocido se aproxima R R /2 (ver Figura 16) y además teniendo en cuenta que ln ba ln ba se tiene :

pE

V R ln

b

(62)

a

Svensson propuso afectar a la fórmula de un coeficiente empírico K que tiene en cuenta el endurecimiento por deformación: m

K

1 § 2, 72 · ¨ ¸ 4 m 0,908 © m ¹ (63)-a

pE

K V R ln

b a (63)-b

(63)

Esta fórmula da predicciones en perfecta concordancia con los ensayos de rotura de cilindros Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

63


por estallido. El coeficiente K es generalmente próximo a la unidad lo que muestra la validez de (62), la que puede utilizarse en caso de no conocer el valor de m. Para aceros de bajo y medio contenido de carbono resulta:

0, 4 (1 V f /V R )

m

(64)

Notar que para un acero típico f /R ` m 0,16 y en consecuencia - 1,016. La ecuación (62) puede emplearse de dos maneras: 1. Una vez dimensionado el cilindro usando la fluencia como condición de falla se calcula el CsE a estallido para tener información adicional : CsE pE / pi

(65)

2. En casos donde la deformación producida durante la plastificación no torna inoperable al cilindro, se puede dimensionar considerando al estallido como condición de falla. La utilización de (63) y (65) permite despejar el radio exterior

b

a e

§ CsE pi · ¨¨ K V ¸¸ R ¹ ©

(66)

Naturalmente, el CsE usado en (66) debe ser bastante mayor que el utilizado en las fórmulas de diseño a f luencia (51), (54) y (59). Siendo que la presión pE está relacionada con R , ver (62), podría denominarse simplemente presión de rotura del cilindro. Se prefiere el término estallido porque el mismo induce en el proyectista tendencia a ser precavido. En casos donde la presión interna es producida por un gas comprimido, la rotura ( reventón ) resulta generalmente catastrófica pudiendo provocar pérdidas de vidas humanas. Hay que tener presente que (66), a diferencia de las anteriores reglas de diseño, siempre provee una solución sin importar cuán grande sea la presión interior pi. En el caso de un cilindro hidráulico como el de la Figura 9-a la deformación excesiva por fluencia es una condición de falla y por lo tanto (66) no puede emplearse para el diseño. En ese caso si es posible emplear (65) como se indica en el ítem 1 a fin de tener una idea del grado de seguridad a rotura.

6.3 Diseño de un zunchado óptimo Para el caso de muy altas presiones, las fórmulas (51), (54) y (59) fallan si no se cumplen las restricciones (52), (55) y (60). También puede ocurrir que el espesor calculado con esas fórmulas resulte demasiado grande, en esos casos se puede recurrir al zunchado, fenómeno tratado en la Sección 4. A continuación se resuelve el siguiente problema: conocido el radio interno “a” y la presión interior “pi ” determinar los radios “b” y “c”, y también la interferencia “ ” de manera eficiente garantizando que ningún punto del cilindro compuesto supere la tensión admisible. El problema puede resolverse por tanteos, como lo sugieren muchos autores, pero preferimos hallar un criterio de diseño que cumpla dos requisitos: 1) Que provea directamente el resultado ( valores “b”, “c” y “ ” sin tanteos). 2) Que el diseño sea óptimo ( que economice material ).

6.3.1 Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de la máxima tensión de corte Para optimizar el cilindro zunchado en este apartado se emplea la teoría del corte máxima que se adapta bien a los materiales dúctiles y permite un tratamiento matemático relativamente sencillo. La relación entre la presión interna y las tensiones en el cilindro zunchado es no lineal porque deben #! 0 #0 0 1#3 4 ### 0 #6 se aplica el coeficiente de seguridad a la presión interior definiendo:

ps

Presión mayorada


64

Cs pi

(67)


En la Figura 17 se ha repetido el gráfico de la Figura 12 indicando los valores de las tensiones obtenidos utilizando las ecuaciones (26), (27), (35) y (36).

Figura 17: a) Tensiones en un cilindro zunchado, b) zunchado óptimo

Las máximas tensiones cortantes en cada cilindro se obtienen valuandolas 1 W máx V t V r 2 en el radio interno de cada cilindro, de modo que la tensión efectiva de Tresca resulta:

(68)

2 b 2 c2 a2 (69) V p ps ps z ° a b2 a 2 c2 a2 °

V Vt Vr ® a 2 (c 2 b 2 ) a 2 (c 2 b 2 ) c2 b2 ° V p p ps p z s z (70) °¯ b c2 b2 b 2 (c 2 a 2 ) b 2 (c 2 a 2 ) Debemos determinar tres valores ( b, c y p) por lo tanto podemos fijar arbitrariamente tres condiciones que aseguren un diseño óptimo para un dado Cs , proponemos:

V a V b V m V m V m min (mínimo)

(71)

V m min

(73)

Vf

(72)

La ecuación (71) asegura igual tensión efectiva máxima en ambos cilindros. Reemplazando (69) y (70) en (71) se obtiene la relación entre la presión de zunchado y la presión interior mayorada:

c 2 (b 2 a 2 ) b 2 (c 2 b 2 )

(c 2 b 2 ) (b 2 a 2 )

pz

c 2 (b 2 a 2 ) b 2 (c 2 a 2 )

ps

(74)

Reemplazando (74) en (69) y considerando (71) se obtiene V m :

2 c 2b 2

V m

ps b 2 (c 2 b 2 ) c 2 (b 2 a 2 ) 2 Para satisfacer (72) igualamos a cero la derivada de V m respecto a b . wV m b2 a c 0 2 wb Reemplazando (76) en (75) y luego reemplazando en (73) se obtiene:

V m

c p (c a ) s


c

65

a V f / (V f ps )

(75)

(76)

(77)


Reemplazando (76) en (74) podemos despejar la presión de zunchado pz. Llevando ésta a (40) y teniendo en cuenta (76) se determina la interferencia en el radio :

ps ( c a ) / [ 2 ( c a ) ]

pz

G

b ps / E

(78)

Resumiendo se tiene: Criterio de zunchado óptimo de tres pasos basado en la teoría de corte máximo: 1) Se calcula el radio externo c según (77). 2) Se calcula el radio medio b según (76). 3) Se calcula la interferencia en el radio medio según (78). Teniendo en cuenta (77) se observa que la solución existe sólo si “c” es positivo y finito, y en ese caso el denominador debe ser positivo.

ps o V f

V f ps ! 0

cof

pi V f / Cs

(79)

Comparando (79) con (52) vemos que el zunchado duplica el rango de tensiones posibles

6.3.2 Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de energía de distorsión Se puede aplicar el mismo procedimiento del apartado anterior utilizando tensiones efectivas de Von Mises pero el desarrollo es bastante más engorroso. Una simplificación muy importante se logra aceptando a priori que (76) mantiene vigencia. Esto da resultados para el radio exterior “c” que difieren del óptimo absoluto, que se puede lograr por tanteos en tres variables (c, b, pz ), en bastante menos del 1% en todo el rango de tensiones. Adoptamos b/a = c/b como en (76) y definimos radios, presiones y tensiones adimensionales:

c

c ; a

b ; a

b

p

ps

Cs pi

Vf

Vf

además consideramos que V z

V ta

;

pz

pz

Vf

;

V Vf

V

b a

c b b

c

(80)

0 . Remplazando en los valores de la Figura 17, se tiene

c 1 2c p pz 2 c 1 c 1 2

V ra

p

(81)

§ c 1 · (82) p pz ¸ ¨ 2 © c 1 ¹ La tensión efectiva de Von Mises para el estado plano está dada por la ecuación (35) del Capítulo 2 con W xy 0, V x V t , V y V r . Además V t ! 0 y V r 0.

V tb

c 1 c 1 p pz 2 c 1 c 1

(V )2

V rb

(V t )2 (V r )2 V t V r

(83)

La presión óptima de zunchado es la que iguala la tensión efectiva en r

pz

Dp

donde D

3c

2

1

6 c 4 6 c 3 3c 2 1

/ c

a y r 2

1

b. (84)

llevando este valor óptimo a (83) en r = a e igualando la tensión efectiva adimensional a la unidad se puede calcular la presión interior admisible:

p d c 2 1 /

3 c 4 D c 1 [4D c 2 c 1 6 c 3 2c ] 1

(85)

Notar que (84) y (85) resultan óptimos exactos para b c . Para determinar el radio c partiendo de pi = dato debe procederse por tanteos utilizando (85) donde está determinado por (84). Para evitar los tanteos puede utilizarse la siguiente fórmula aproximada con un error menor que 0,5%:

c

^ ª¬ 4 p 9,6 p 0,5¼º p

2

20

G

finalmente la interferencia de zunchado es

` / 20 19 p 2 b pz (c a ) / [ E (c a )]

Datos: a, pi , Cs E y V f . Secuencia: (80) p (86) c


66

(86)

(80) b

(87)

(84) pz (87) G


6.3.3 Criterio de zunchado óptimo para materiales frágiles Para el caso de materiales frágiles puede desarrollarse un procedimiento totalmente análogo a los anteriores utilizando la tensión efectiva de Rankine. Ese desarrollo se deja como ejercicio para el lector y los resultados se encuentran en el cuadro resumen de la Sección 7.2 para zunchado óptimo. Es importante destacar que al utilizar aceros aleados tratados térmicamente se tiene un f elevado, además siempre: c (88) 2, 41 a Esto está lejos de ser una panacea y, en general, debe evitarse el uso de materiales frágiles en el caso de presiones elevadas porque no tienen resistencia adicional por plastificación. Recordar que para materiales dúctiles cuando el espesor adimensional (b/a) >>1 la resistencia a estallido es varias veces superior a la resistencia a f luencia y esto provee un coeficiente de seguridad adicional a favor del calculista/diseñador. Nota: de las ecuaciones podría inferirse que pi(máx) = 3 f pero éste valor tan elevado no puede lograrse porque está limitado por la tensión radial en r a.

y como siempre en r

a

o

V ra d V f

V ra

o

pi

V ra d 1 p máx

(89)

1

(90)

6.3.4 Criterio de zunchado óptimo para tres tubos A continuación se resumen los resultados para el zunchado óptimo de tres tubos de material dúctil.

b

xa ;

donde

siendo

x

c

xa ;

d

x 1,5 a

1 ° Fx 1 2 p / 3 .............. p d 0,951 ® ° F > 1 /(1 p ) @ 1/ 3 ........0,951 p d 1 ¯ x CS pi

p

Vf

la presión adimensional

(91) (92)

(93)

Presión de zunchado

pb

· x 1 § x3 p 1 ¸ V f ............................ p d 0,951 F ° b ¨ 3 2¹ x © x 1 ° ® ° F x 1 V ......................................................0,951 p d 1 f °¯ b 2 x

(94)

pc

ª x 1 § 1 º x · Fc « p ¸ V f » .............................0 p 1 ¨2 3 x 1 ¹ ¬ x © ¼

(95)

Interferencia en el radio 2b Gb > ( x 1) pb x pc @ E ( x 1)

Gc

2c > ( x 1) pc pb @ E ( x 1)

(96)

Los coeficientes Fx , Fb y Fc dependen del criterio utilizado. En el criterio de Tresca son todos iguales a la unidad mientras que en el criterio de Von Mises son menores que uno: Coeficiente

Tresca

Von Mises

Fx

1

1 – 0, 2387 p 2 0,08535

(97)

Fb

1

0,76 0,116 p 2 0,064 p 3

(98)

Fc

1

0,755 0,1933 p 3

(99)


67


7 RESUMEN DE FÓRMULAS 7.1 Cilindro grueso con elevada presión interior Tensión Teoría Material de falla longitudinal V z Frágil Rankine

Tresca

Radio necesario función de la presión

pmáx

Vz V f

p

b 2 1 b 2 1

b

1 p 1 p

1

(100)

Vr V z Vt

p

b 2 1 2b 2

b

1 1 2 p

0,5

(101)

b

1 p 4 3 p2 1 3 p2

Vz

Dúctil

Presión admisible función del radio

b 2 1

p

0

3b 4 1

Von Mises

2

V z por presión

b 1

p

3b

1

b

2

b : radio exterior adimensional ................... b

b/a

p : presión interior adimensional ................ p

ps / V f

0,577 (102)

0,577 (103)

1 3 p

donde b es el radio exterior

(104)

Cs pi / V f

(105)

V z : tensión longitudinal

7.2 Zunchado óptimo Mat.

Teoría de falla

Presión admisible función del radio

Radio necesario función de la presión

p D D2 E

3 c 1 c 1 2 2 c 1 2 2 E [ 3 c 1 4] / c 1 p

Tresca

p

1 p 2 1 p 3 p

c

Rankine D Frágil

c cmáx

c 2 1

Von Mises

c 3 c M 1

donde : c cmáx

13,0486

M

E (4 c E 6 c 2 2)

E

(3 c 2 1 Z ) / c 1

Z

pz

I p 2 20

c

donde:

I

c 1 2 c 1

p

pz

20 19 p

3

Dúctil

2, 4142

p o1 c o f

pmáx

p (c 2 1) c 2 1 2 c ( c 1)

pz

1 / (1 p )

c

c 1 c

Presión de zunchado

p

4 p 9,6 p 0,5

1

(107)

1

(108)

E

c 1

E

( 3c 2 1 Z ) / c 1

Z

6 c 2 c 2 c 0,5 1

b : radio intermedio adimensional ............... b

b/a

se adopta b

c : radio exterior adimensional .................... c

c/a

c es el radio exterior

p : presión interior adimensional ................. p

ps / V f

pz : presión de zunchado adimensional ....... pz

pz / V f

68

(106)

donde:

6 c 2 c 2 c 0,5 1


1

Cs pi / V f

c

(109) (110) (111) (112)


PRÁCTICO

Cilindros con Elevada Presión


1. El cilindro de una prensa tiene un radio interior de 5 cm y debe soportar una presión p = 110 kg/cm . 2

i

Calcular el diámetro exterior con un coeficiente de seguridad Cs = 3 para un acero f = 3300 kg/cm2. a) Emplear la teoría del corte máximo. b) Emplear la teoría de la energía de distorsión. c) Calcular la diferencia porcentual entre los espesores determinados en a) y en b).

2. Suponiendo que el cilindro del problema anterior debe soportar una muy alta presión p = 582 kg/cm : 2

i

a) Verificar que la teoría del corte máximo indica que no hay solución para Cs = 3. b) Verificar que la teoría de la energía de distorsión provee solución para Cs = 3. c) Determinar el coeficiente de seguridad Cs según la teoría del corte máximo si se adopta como solución el radio externo calculado en la parte b).

3. Siendo la tensión de rotura

R

= 5100 kg/cm2, calcular la presión de estallido pE del cilindro diseñado en:

a) Parte b) del Problema 1. b) Parte b) del Problema 2. En ambos casos calcular el coeficiente de seguridad a estallido CsE y compararlo con el coeficiente de seguridad a fluencia Cs =3 utilizado anteriormente.

4. Con los mismos datos de los problemas 1, 2 y 3 (a = 5 cm, C

= 3 y f = 3300 kg/cm2 ) diseñar un cilindro zunchado usando el criterio de Tresca para una presión interior muy alta pi = 700 kg/cm2. s

a) Calcular los radios b y c y la interferencia . b) Graficar esquemáticamente las tensiones radiales y tangenciales en función del radio calculando únicamente los valores en r = a, b y c debidos a: i) zunchado

ii) presión interna

iii ) estado superpuesto.

c) Calcular el 78 mínimo para efectuar el zunchado.

5. Resolver el problema anterior utilizando el criterio de Von Mises y comparar el volumen de material necesario en cada caso.

6. Se colocó un extensómetro eléctrico (strain gage) en el sentido longitudinal de un cilindro sometido a presión interior para medir la deformación específica z. Suponiendo conocidos , E, a, b y z hallar una fórmula para determinar la presión interior en función de la deformación específica z medida. NOTA: La solución se deja como ejercicio para el lector.................... pi Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

69

H z E [ (b / a) 2 1] /(1 2Q )


SOLUCIÓN del PRÁCTICO Cilindros con Elevada Presión Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].

1

Determinación del diámetro exterior del cilindro de una prensa donde a = 5 , Cs = 3 y pi = 110. a) Teoría del corte máximo 1 Ec. (51) b a 1 2 Cs pi / V f

5

b) Teoría de la energía de distorsión

Ec. (54)

Ec. (54)

5,59 ..................... Ie 11,18

1 2 x 3 x 110 / 3300

1 D ( 4 3D ) 1 3D

b a

1

D

0,01 x 4 3 x 0,01

1

5

( Cs pi / V f )2 ( 3 x110 / 3300 )2 0,01 5,56 .................. Ie 11,12

1 3 x 0,01

c) Diferencia porcentual entre los espesores (5,59 5) (5,56 5) diferencia 5, 4 ................................................. diferencia 5, 4 % x 100 (5,56 5) Notar que se requiere un 11 % más de material porque el volumen depende del radio al cuadrado !

2

Se resuelve el problema anterior donde a = 5 , Cs = 3 para una presión elevada pi = 582. a) Teoría del corte máximo. No provee solución porque Ec.(52)

1 2

Cs pi

Vf

! 0

pi máx

0,5

b) Teoría de la energía de distorsión. Ec. (54)

1 D 4 3D

b a

0,5x

Cs

Ec. (54)

D

3300 3

máx

582 ! pi máx 550

550 ............. pi

(Cs pi / V f ) 2

(3 x582 / 3300) 2

0, 28 x 4 3 x 0, 28

1

5

1 3D

Vf

pi ! pi

0, 28

17, 413 .............. Ie

1 3 x 0, 28

34,83

c) Cálculo del Cs del espesor calculado en b) mediante la teoría del corte máximo Ec. (50)

3

Cs

Vf

1 a / b

2

Vf

2 pi

1 5 / 17, 413

2

2 x 582

2,601 ............................................ Cs

2,6

Determinación de la presión de estallido y el coeficiente de seguridad a estallido en dos casos. Ec. (64)

Acero al carbono

Ec. (63)-a

K

1 4 m 0,908

0, 4 (1 V f /V R )

m

e m

1 4 x 0,141 0,908

m

0, 4 (1 3300 / 5100) 0,141 ...... m x

2,72 0,141

a) Datos del problema 1 parte b) b = 5,56 y pi = 110 b 5,56 Ec.(63)-b pE 1,03 x 5100 x ln 556,7 ..... K V R ln a 5

0,141

Ec.(65)

0,141

1,03 ............... K

C sE

b) Datos del problema 2 parte b) b = 17,41 y pi = 582 b 17, 41 Ec.(63)-b pE K V R ln 1,03 x 5100 x ln 6554 ....... Ec.(65) CsE a 5

1,03

pE pi

556,7 110

5,06

pE pi

6550 582

11, 25

pi [kg/cm2] pE [kg/cm2] Cs a fluencia Cs a estallido

TABLA RESUMEN

b [cm]

a) Datos problema 1 parte b)

5,56

110

557

3

5,1

b) Datos problema 2 parte b)

17,41

582

6554

3

11,2

CONCLUSIÓN: El coeficiente de seguridad a estallido (rotura) es bastante mayor que el coeficiente de seguridad a fluencia, especialmente en el caso b) donde el espesor es grande. Esto juega a favor del proyectista y de la seguridad. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

70


4

Diseño de un cilindro zunchado para una presión interior elevada ( pi = 700) con el criterio de Tresca. a) Cálculo de los radios b y c y de la interferencia

a V f / (V f ps )

c

Radio externo .......

Ec. (77)

Radio intermedio ..

Ec. (76) b

Interferencia .........

Ec. (78)

2

G

o

ac

b ps / E

b

5x 3300 / (3300 3 x 700) ......... c 13,75 cm 5 x13,75

8, 29 ......................... b

8, 29 x ( 3 x 700) / 2100000 ............. G

8, 29 cm

0,00829 cm

El problema de zunchado óptimo está totalmente resuelto. A continuación se grafican las tensiones para visualizar el estado tensional asociado a ps Cs pi 3 x 700 2100 . b) Gráfico esquemático de las tensiones radiales y tangenciales ca 13,75 5 Presión de zunchado. Ec. (78) pz x 2100 490 ps 2c a 2 x 13,75 5

p

490 kg / cm 2

i) Tensiones por zunchado El cilindro interno recibe la presión de zunchado como presión externa pe = 490, las tensiones se calculan con (35) y (36)...... pe b 2 /(b 2 a 2 ) 490 x 8, 292 /(8, 292 52 ) 770 Ec. (35) Ec. (36)

>V t @r a >V r @ r a

770 x [1 (5 / 5) 2 ] 1540 .................. >V t @r 0 ........................................................... >V r @ r

b b

770 x [1 (5 / 8, 29) 2 ] 1050 770 x [1 (5 / 8, 29) 2 ]

490

El cilindro externo recibe la presión de zunchado como presión interior pi = 490, las tensiones se calculan con (26) y (27).... pi b 2 / (c 2 b 2 ) 490 x 8, 292 /(13,752 8, 292 ) 280 Ec. (26)

>V t @ r

b

280 x ª¬1 (13,75 / 8, 29) 2 º¼ 1050 ....... >V t @ r

Ec. (27)

>V r @ r

b

280 x ª¬1 (13,75 / 8, 29) 2 º¼

ii) Tensiones por presión interior.

280 x ª¬1 (13,75 / 13,75) 2 º¼ 560

c

490 ........ >V r @ r

c

0

Presión interior en el cilindro zunchado ps

3 x 700 2100

Las tensiones se calculan como en un cilindro único de radios a y c usando las ecuaciones (26) y (27).......... ps a 2 /(c 2 a 2 ) 3 x 700 x 52 /(13,752 52 ) 320 Ec. (26)

>V t @ r

Ec. (27)

>V r @ r

320 x [1 (13,75 / 5) 2 ] 2740 .. >V t @ r

a a

2100 ............... >V r @ r

b

b

320 x [1 (8, 29 / 5) 2 ] 1200 .. >V t @ r

320 x [1 (13,75 / 8, 29) 2 ] 560 ................ >V r @ r

c) Cálculo del mínimo para efectuar el zunchado. G 0,00829 Salto térmico: H 8 D '8 11 x 10 6 x '8 ; H b 8, 29 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

c

71

640 c

0

0,001 ; H 8 ! H .... '8 ! 90,9 o 9 Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017

5

Diseño del cilindro zunchado del problema anterior con el criterio de Von Mises y cálculo del ahorro de material. Notación: el trazo sobre una variable indica valor adimensional. a) Cálculo de los radios b y c y de la interferencia Presión interior adimensional .... Ec. (80) y (111) p Cs pi / V f Radio externo adimensional...

p

0,636363

^ [(4 p 9,6) p 0,5] p

c

Ec. (86) y (108)

Radio externo..... Ec. (80) ....... c c a Radio intermedio adimensional Radio intermedio

Presión de zunchado: (datos p Ec. (84) y (108)

pz

p (3 c 2 1

Ec. (80) y (112)

pz

pz / V f

Interferencia entre los cilindros

G

0,63636

20 ` / (20 19 p ) ..... c

2, 27328

2, 27328 x 5 .................................................... c 11,37 cm

1,50774 ................. b

1,50774

b b a 1,50774 x 5 .................................................. b

7,54 cm

Ec. (109)

Ec. (80) y (109)

2

3 x 700 / 3300 ........ p

b

c

0,63636 y c

2,27328

2, 27328 )

6 c 4 6 c 3 3c 2 1 pz

pz V f

Ec. (87)

G

) / (c 2 1) .....................

pz

0,119084

0,119084 x 3300 392,98 ............ pz

393 kg / cm 2

2 b pz (c 1) / [ E ( c 1)]

2 x 7,54 x 393 x (11,37 5) / [2100000 x (11,37 5)] .......................................... G

0,00725 cm

b) Gráfico esquemático de las tensiones radiales y tangenciales i) Tensiones por zunchado: El cilindro interno recibe la presión de zunchado como presión externa pe = 393 y las tensiones se calculan con (35) y (36). El cilindro externo recibe la presión de zunchado como presión interior pi = 393 y las tensiones se calculan con (26) y (27). ii) Tensiones por presión interior: El cilindro zunchado resiste presión interior ps 3 x 700 2100 . Las tensiones se calculan como en un cilindro único de radios a y c con las ecuaciones (26) y (27). A continuación se presenta el gráfico de las tensiones, los cálculos son similares a los del problema anterior y se dejan para el lector.

c) mínimo para efectuar el zunchado

7,54 ; G

b

0,00725 ....................... '8 ! 88 o 9

d) Ahorro de material respecto del diseño de Tresca del Problema 4 Volumen Tresca = S (13,752 52 ) A 515, 42 x A . Volumen Von Mises = S (11,37 2 52 ) A 327,6 x A Ahorro

100 x (515, 42 x A 327,6 x A ) / (515, 42 x A ) ................................................. Ahorro 36, 4 %


72


Capítulo 4

TEORÍA DE PLACAS 1 INTRODUCCIÓN Se considera como lámina al sólido tridimensional donde una de las dimensiones, el espesor, es mucho menor que las otras. Se pueden considerar dos casos: láminas planas, que llamaremos placas, y láminas curvas que llamaremos cáscaras. Para las placas adoptamos un sistema de referencia cartesiano ortogonal que sitúa los ejes x1 y x2 en coincidencia con el plano medio de la placa de espesor h y el eje x3 perpendicular a dicho plano y hacia abajo como se indica en la Figura 1.

Figura 1: Ejes coordenados ubicados sobre el plano medio de la placa

Los puntos ubicados sobre el plano medio quedan definidos por las coordenadas x1 y x2.

P x1 , x2

(1)

Los puntos fuera del plano medio se denotan con un asterisco y están relacionados con el punto del plano medio ubicado sobre la normal a través de la coordenada x3:

P ( P, x3 )

(2)

Las fuerzas másicas, Fi, (fuerzas por unidad de volumen) se integran en el espesor resultando fuerzas por unidad de superficie, pi, que se suman a las fuerzas de borde. pi

³

x3 h / 2 x3 h / 2

Fi dx3

;

i

1, 2,3

(3)

2 RELACIONES CINEMÁTICAS Para reducir el problema tridimensional a un problema de dos dimensiones es necesario hacer varias hipótesis simplificativas. 1) Los desplazamientos son pequeños:

u1 1 h

u2 1 h

u3 1 h

(4)

Esta hipótesis permite utilizar el tensor lineal de deformaciones H ij . 2) Las condiciones geométricas de contorno permiten desplazamientos en el plano medio de la placa. Las hipótesis 1 y 2 permiten desacoplar el problema de la placa en su plano del problema de la flexión. 3) Las fibras rectas y normales al plano medio de la placa permanecen rectas y normales al plano medio deformado y no cambian de longitud. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

73


Figura 2: Tramo de placa y su posición deformada donde se indican los desplazamientos

Según se puede observar en la Figura 2 los desplazamientos membranales de un punto genérico P * están relacionados con los desplazamientos membranales del punto P ubicado sobre el plano medio:

ui

ui x3 E i

i 1, 2

(5)

Ei

wu3 wxi

i 1, 2

(6)

donde por definición:

Además se supone que:

u3

u3

(7)

La hipótesis 3 se debe a Kirchhoff y es similar a la hipótesis de Navier para vigas en flexión. En conclusión los desplazamientos son:

u1

u1 x3

wu3 wx1

;

u2

u2 x3

wu3 wx2

;

u3

u3

(8)

Estos desplazamientos se utilizan para determinar el tensor lineal de deformaciones:

H ij

1 § wui wu j ¨¨ 2 wx j wxi ©

· ¸¸ ¹

(9)

Teniendo en cuenta que los desplazamientos del plano medio u1, u2 y u3 son sólo funciones de x1 y x2 se tiene:

H ij

ª wu1 w 2u3 x « 3 wx12 « wx1 « « « « simetría « « «¬

2 1 § wu1 wu2 · x w u3 ¸ 3 2 ¨ wx wx1wx2 © 2 wx1 ¹

0

w 2u3 wu2 x3 wx2 wx22

0 0

º » » » » » » » » »¼

(10)

La hipótesis de Kirchhoff implica que las deformaciones por corte trasversal a la placa son

0 ), como se observa en (10). Esta aparente contradicción puede subsanarse como nulas ( H13 H 23 en la teoría de vigas calculando los esfuerzos de corte a partir de las ecuaciones de equilibrio. Esto último implica usar (20) y (21) como definición de los esfuerzos de corte . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

74


Definiendo las curvaturas ij como:

F11

w 2u3 w x12

F 22

w 2u3 w x22

F12

w 2u3 w x1 w x2

(11)

podemos reducir las ecuaciones cinemáticas (10) a sólo tres ecuaciones:

H ij

H ij x3 F ij

;

i

1, 2

(12)

donde ij es el tensor lineal de deformaciones para puntos del plano medio.

3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO Se hace una hipótesis adicional referida a las tensiones, que permite reducir el problema:

V 33

(13)

0

Esta hipótesis es coherente con el hecho de suponer que los desplazamientos u3* son constantes en el espesor según (8) y con la integración de las fuerzas másicas en el espesor según (3) para el

0 pero debemos caso i = 3. Sin embargo existiría cierta contradicción con (10) según la cual H 33 recordar que en lo sucesivo consideraremos sólo las relaciones cinemáticas (12) que no contienen tal limitación. La ecuación (13) hace imposible distinguir si la carga de borde actúa por arriba o por debajo de la placa, de todas maneras este hecho no tiene mayor importancia, como tampoco lo tiene en la teoría de vigas.

3.1 Esfuerzos resultantes En la teoría de vigas en flexión se determina el esfuerzo axial en una sección dada, integrando las fuerzas debidas a las tensiones normales a lo largo de toda el área de la sección. De igual manera se determina el momento flector como un efecto integrado del momento de las fuerzas asociadas a las mismas tensiones normales. De manera similar en la teoría de placas se definen los esfuerzos resultantes por unidad de longitud integrando las fuerzas y los momentos actuantes a lo largo del espesor de la placa. Fuerzas por unidad de longitud o N ij

³

Momentos por unidad de longitud o M ij

³

donde:

³

x3

³

x3 h / 2 x3 h / 2

V ij dx3

(14)

V ij x3 dx3

(15)

x3

x3

(16)

Notar que ij es función de x1, x2 y x3 y por lo tanto al integrar según x3 se obtienen los esfuerzos Nij y Mij que son sólo funciones de x1, y x2. Teniendo en cuenta la simetría del tensor ij solo quedan seis Nij distintos. Recordando que según (13) 33= 0 se reducen a sólo cinco. Dos de ellos son fuerzas normales, N11 y N22 y los tres restantes son fuerzas cortantes: N12, N13 y N23 . Además, debido a la simetría de ij, los momentos (15) se reducen a seis; como 33 = 0 se elimina M 33 y como el brazo de palanca x3 es nulo para 13 y 23 se eliminan M13 y M23. Los momentos son entonces tres: dos momentos f lectores, M11 y M22 y un momento torsor M12. Resulta conveniente definir como momento flector positivo al que tracciona las fibras inferiores, coincidiendo así con el sentido positivo adoptado para los giros (los giros son positivos cuando el vector que los representa tiene el sentido positivo de los ejes). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

75


Figura 3: Relación entre los momentos torsores M12 y M21

A fin de mantener la convención anterior y además respetar la reciprocidad (ver Figura 3), para los momentos torsores adoptamos: M 12

³ V 12 x3 dx3 x3

;

M 21

M 12

(17)

En resumen los ocho esfuerzos resultantes se pueden agrupar, como se indica a continuación, según el efecto que producen en la placa, en esfuerzos membranales y flexionales. Dibujamos solamente el plano medio. ( Notar que h >> dx1 y que h >> dx2 ). 3.1.1 Esfuerzos membranales Considerando en la Figura 4 equilibrio según x1 y x2 y simplificando se tiene:

wN11 wN12 p1 wx1 wx2

0

(18)

wN 22 wN12 p2 wx2 wx1

0

(19)

donde se consideró N21 = N12, p3 = 0 y i 3 = 0.

Figura 4: Esfuerzos membranales actuando sobre el plano medio de un elemento infinitesimal de placa


76


3.1.2 Esfuerzos flexionales Observando la Figura 5, considerando equilibrio de momentos con respecto a x1 y x2, equilibrio de fuerzas según x3, despreciando infinitésimos de orden superior y simplificando se obtiene:

wM 11 wM 21 N13 wx1 wx2

0

(20)

wM 21 wM 22 N 23 wx1 wx2

0

(21)

wN13 wN 23 p3 wx1 wx2

0

(22)

donde se consideró M12 ^M21, p1 = 0 y p2 = 0.

Figura 5: Esfuerzos flexionales actuando sobre el elemento infinitesimal de placa

4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS Si se utiliza material elástico, lineal, isótropo y homogéneo podemos utilizar la ecuación (131) del Capítulo 1. Considerando 33 = 0 dado en (13) puede despejarse 33 en función de 11 y 22 y ser sustituido en las expresiones para 11 y 22, lo que permite escribir:

V 33

0 H 33

Q (H11 H 22 ) 1 Q

° V 11 ° ° ® V 22 ° ° ° V 12 ¯

E (H11 v H 22 ) 1 Q 2 E (H 22 v H11 ) 1 Q 2 E H12 1 Q

(23)

Las ecuaciones (23) son válidas para un punto P * de la placa y pueden integrarse a lo largo del espesor. En el primer miembro según la definición (14) se obtiene una fuerza por unidad de longitud Nij . En el segundo miembro considerando las ecuaciones cinemáticas (12) se tienen integrales del tipo

(24) ³ H ij dx3 H ij ³ dx3 Fij ³ x3 dx3 x3


x3

77

x3


4.1 Estado membranal Teniendo en cuenta que en el estado membranal (estado plano), u3 { 0 y considerando la definición de las curvaturas (11) resulta:

F ij

i 1, 2

0 ;

(25)

Teniendo en cuenta (14), (24) y (25), se pueden integrar las ecuaciones constitutivas (23) llegando a: N11 C H11 Q H 22

N 22

C H 22 Q H11

N12

C 1 Q H12

(26)

que es la versión integrada de las ecuaciones constitutivas para el estado plano caracterizado por (25), donde: Eh (27) C 1 Q 2 es la rigidez membranal por unidad de longitud, que es el equivalente al AE de las vigas.

4.2 Estado flexional Teniendo en cuenta que el estado membranal se trata en forma independiente podemos considerar al estado flexional como caracterizado por:

H ij

i, j 1, 2

0 ;

(28)

Si en ambos miembros de las ecuaciones constitutivas (23) se multiplica por x3 y se integra en el espesor h de la placa se obtiene lo siguiente: 1) En los primeros miembros según (15) se obtienen los momentos resultantes por unidad de longitud M i j i, j 1, 2 . 2) Considerando (12), en el segundo miembro se obtienen integrales del tipo:

³

x H i j dx3

x3 3

H i j ³ x3 dx3 F ij ³ x32 dx3 x3

x3

(29)

según (28) ij = 0 por lo tanto (29) queda:

³

x3

x3 H i j dx3

Fi j

x33 3

h/2

h/ 2

h3 Fi j 12

(30)

Teniendo en cuenta (15) y (30) pueden integrarse las ecuaciones constitutivas (23) llegando a:

M 11

D F11 Q F 22

M 22

D F 22 Q F11

M 21

D 1 Q F12

(31)

que es la versión integrada de las ecuaciones constitutivas para el estado flexional caracterizado por (28), donde: E h3 D (32) 12 (1 Q 2 ) es la rigidez f lexional de la placa por unidad de longitud, que es el equivalente al EI de las vigas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

78


5 FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL MÉTODO DE RIGIDEZ Sustituyendo las ecuaciones cinemáticas en las ecuaciones constitutivas y reemplazando luego el resultado en las ecuaciones de equilibrio se obtienen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos.

5.1 Estado membranal: ij = 0 Haciendo ij = 0 en las ecuaciones cinemáticas (12) y recordando la definición del tensor lineal de deformaciones resulta: 1 § wui wu j · (33) H i j H i j ¨ ¸ 2 ¨© w x j w xi ¸¹ Reemplazando (33) en (26) y luego reemplazando las fuerzas resultantes Nij (i,j = 1, 2) en las ecuaciones de equilibrio (18) y (19), resultan dos ecuaciones en derivadas parciales:

w 2u1 w 2 u2 w 2u1 · p1 1 Q § w 2 u2 Q ¨ ¸ 2 © w x1 w x2 w x22 ¹ C w x12 w x1 w x2

0

(34)

w 2 u2 w 2u1 w 2u2 · p2 1 Q § w 2u1 Q ¨ ¸ 2 © w x1 w x2 w x12 ¹ C w x22 w x1 w x2

0

(35)

La formulación del problema debe completarse dando las condicionas de borde. Sea, por ejemplo, el caso de la Figura 6. Para el borde libre x1 = a empleando (26) se tiene:

x1

N ° 11 ° a ® ° ° N12 ¯

0

0

o o

ª wu1 Q wu2 º w x2 »¼ «¬ w x1 x1 ª wu1 wu2 º ¬« w x2 w x1 »¼ x1

0 a

x2 0 a

>u1 @x 2 °° 0 ® ° °¯ >u2 @x2

0

0 (36)

0

0

mientras que en x2 = 0 la placa está impedida de desplazarse en el plano. Se sugiere al lector completar las condiciones de borde (36).

Figura 6: Ejemplo de condiciones de borde en un estado membranal de una placa rectangular

Encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (31) que cumpla las condicionas de borde del tipo (36) resulta casi imposible aún en un caso aparentemente simple como el de la Figura 6. La solución existe pero no somos capaces de encontrar su representación analítica. En general, se encuentran soluciones aproximadas por vía numérica utilizando técnicas tales como diferencias finitas o elementos finitos. Más adelante, en el Capítulo 12, se desarrolla en detalle el método de elementos finitos para estados planos de modo que no nos ocupamos de ese tema en el presente capítulo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

79


5.2 Estado flexional: ij 0 Despejando los esfuerzos cortantes en (20) y (21), derivando respecto de x1 en (20) y respecto de x2 en (21) se obtiene:

wN13 w x1

w 2 M 11 w 2 M 21 w x12 w x1 w x2

(37)

wN 23 w x2

w 2 M 21 w 2 M 22 w x1 w x2 w x22

(38)

Reemplazando (37) y (38) en (22) se tiene:

w 2 M 11 w 2 M 12 w 2 M 22 p3 2 wx12 wx1 wx2 wx22

0

(39)

Reemplazando en (31) las curvaturas según su definición (11) y luego reemplazando en (39) se obtiene una ecuación diferencial en derivadas parciales de 4º orden:

w 4u3 w 4u3 w 4u3 2 w x14 w x12 w x22 w x24

p3 D

(40)

que es la ecuación diferencial de la placa en flexión derivada por primera vez por Navier en 1820. Utilizando la notación del operador bilaplaciano, 4u3 , se pone en evidencia la similitud con la ecuación diferencial para vigas: w4 y q p3 < 4 (41) ! 4u3 wx EI D La formulación del problema debe completarse fijando las condiciones de borde. Por ejemplo sea el caso de la Figura 7.

Figura 7: Ejemplo de condiciones de borde de un estado flexional de una placa rectangular

1) Bordes empotrados: no hay desplazamiento transversal ni giro. x1

x2

0

0

o

o

>u3 @x

1

>u3 @x

2

0

0

0

0

ª wu3 º « » ¬ w x1 ¼ x1

0

ª wu3 º « » ¬ w x2 ¼ x2

0

0

(42)

0

(43)

2) Borde apoyado: no hay desplazamiento transversal y se anula el momento f lector por unidad de longitud M11. Según (31) y (11) se tiene:

> M 11 @x

1

a

ª¬ D F11 Q F 22 º¼ x 1


a

ª§ w 2u3 w 2u3 · º Q D «¨ ¸» 2 w x22 ¹ ¼ x ¬© w x1 1

80

0

(44)

a


La ecuación (44) puede independizarse del material. A lo largo del apoyo u3 a, x2 { 0 u3

o

0

ª w 2u3 º « 2 » ¬ w x2 ¼ x1

ª w 2u º entonces (44) queda « 23 » ¬ w x1 ¼ x1

0 a

0

(45)

a

Resumiendo, para el borde apoyado x1 = a, según (44) y (45) se tiene:

a >u3 @ x

x1

1

a

ª w 2u3 w 2u3 º « 2 » w x22 ¼ x ¬ w x1

0

1

(46)

0 a

3) Borde libre: son nulos los esfuerzos resultantes

x2

b M 22

M 21

0

0

N 23

(47)

0

Estas tres condiciones no pueden ser independientes porque al ser la ecuación diferencial de 4º orden permite imponer solo dos condiciones en cada extremo. Esta situación se resuelve definiendo el “corte efectivo” que relaciona el momento torsor M21 con el corte N23. Teniendo en cuenta el principio de Saint Venant se pueden reemplazar los momentos torsores infinitesimales por cuplas, también infinitesimales como se indica en la Figura 8.

Figura 8: Reemplazo de momentos torsores infinitesimales por cuplas infinitesimales

Según se observa en la Figura 8-b se puede definir un corte equivalente al momento torsor N 23

y con él definir el corte efectivo N 23 efectivo :

x2

b N 23

wM 21 w x1

o

N 23 efectivo

ª wM 21 º « N 23 » w x1 ¼ x ¬ 2

(48) b

Recordando que los esfuerzos cortantes se calculan a partir de los momentos en la ecuación de equilibrio, puede reescribirse (48) considerando (21), (31) y (11) como:

N 23 efectivo

§ wM 21 wM 22 · wM 21 ¨ ¸ w x2 ¹ w x1 © w x1

2

wM 21 wM 22 w x2 x1

ª w 3u3 w 3u3 º D « 2 Q » w x12 w x2 w x23 ¼ ¬

(49)

La condición M22 = 0 conduce a una condición similar a (42) y (43) para el borde apoyado. En resumen considerando (49), (42) y (43) se tiene para el borde libre: x2

b

o

ª w 3u3 w 3u3 º ( 2 Q ) « 3 » w x12 w x2 ¼ x ¬ w x2

2

0 b

ª w 2u3 w 2u3 º « 2 » w x22 ¼ x ¬ w x1

2

0

(50)

b

La solución de la ecuación diferencial de la placa en flexión (40) que satisface las condicionas de borde del tipo descripto en (42), (43), (46) y (50) resulta imposible de lograr en forma analítica aún en casos aparentemente sencillos en cuanto a la carga p3 y a las condiciones de borde. En general se obtienen soluciones numéricas aproximadas mediante técnicas tales como diferencias finitas o elementos finitos. No obstante, como se ve en la sección siguiente, existen algunos casos particulares, pero de mucha aplicación práctica para los cuales la solución se conoce en forma exacta o casi exacta y se encuentra tabulada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

81


6 SOLUCIONES TABULADAS Para los casos prácticos más frecuentes se dispone de resultados tabulados. Existen fórmulas aproximadas para estimar las tensiones máximas y los desplazamientos máximos para diversas condiciones de apoyo y de cargas, para placas de espesor constante de forma circular, anular, elíptica, rectangular, etc., tanto para pequeñas como para grandes deformaciones. A modo de ejemplo, se puede mencionar el manual “ROARK’s Formulas for Stress and Strain” donde se han tabulado soluciones para una diversidad de situaciones de las placas. En esta sección se presentan fórmulas aproximadas para casos de interés práctico referidos a: 6.1 placas circulares, rectangulares y elípticas con carga distribuida uniforme; 6.2 placas circulares cargadas en el centro; 6.3 placas anulares con distintos tipos de apoyo y de cargas; 6.4 cargas de colapso.

6.1 Placas con carga transversal uniformemente repartida q = cte. En esta subsección se presentan fórmulas para placas circulares, elípticas y rectangulares con carga uniformemente repartida para el caso de pequeños desplazamientos (6.1.1: teoría lineal) y también para para el caso de grandes desplazamientos (6.1.2: teoría no lineal). A continuación se establecen consideraciones de diseño para el caso lineal (6.1.3) y el no lineal (6.1.4). 6.1.1 Pequeños desplazamientos ( wmáx < 0,5 h ) - Caso lineal En este caso el efecto membranal es despreciable y se utilizan las siguientes fórmulas:

q §c· G ¨ ¸ E ©h¹

wmáx h

V donde:

tensión máxima.

§c·

4

(51)

2

Eq¨ ¸ ©h¹

(52)

h espesor de la placa.

c lado menor de la placa.

q carga transversal uniforme por unidad de área.

módulo de Poisson.

wmáx desplazamiento transversal máximo de la placa.

E módulo de elasticidad.

Los coeficientes y para ser usados en (51) y (52) se obtienen de la Tabla 1 en la página siguiente y de la Tabla 6 al final del capítulo para el caso = 0,3; en esas tablas se encuentran tabulados los valores de o , 1/ c y 1/ e que permiten calcular , c y e : ^ 2 )/o se usa en (51) para determinar el desplazamiento transversal máximo. c se usa en (52) para hallar la tensión en el centro de la placa. e se usa en (52) para hallar la tensión en el centro del borde empotrado. Las mayores tensiones ocurren en el borde empotrado donde se utiliza e. a) En el caso de materiales dúctiles se puede admitir cierta plastificación localizada en el empotramiento y diseñar utilizando en la ecuación (52) un p promedio:

Ep

1 2

Ec Ee

(53)

b) En el caso de materiales frágiles debe utilizarse siempre e . c) En el caso de carga repetida (fatiga ) debe utilizarse siempre e . Para grandes deformaciones (w máx > 0,5 h ) los valores dados por (51) y (52) son demasiado conservativos, por ello resulta conveniente encarar un análisis no lineal como se ve más adelante. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

82


6,37 + 5,91 + 8,63 4

Error! Reference source not found.

Tabla 1: Pequeñas deflexiones: wmáx < 0,5 h


83


6.1.2 Grandes desplazamientos (w máx > 0,5 h ) - Caso no lineal Cuando se producen grandes deflexiones la placa desarrolla su capacidad de resistir membranalmente (como los cables). La placa aumenta su rigidez al poder equilibrar la carga en parte por tracción (además de la f lexión ). El problema es altamente no lineal.

Figura 9: Tensión máxima en la placa en función del desplazamiento máximo

Figura 10: Carga soportada por la placa en función del desplazamiento máximo

Figura 11: Tensión máxima en la placa en función de la carga creciente

Una buena aproximación para calcular la tensión adimensional V en función del desplazamiento máximo adimensional w se logra agregando un término cuadrático. Ver la Figura 9 y la ecuación (56). Para la calcular la carga adimensional q en función del desplazamiento máximo adimensional w conviene agregar un término cúbico. Ver la Figura 10 y la ecuación (55). En la Figura 11 se observa que el aumento porcentual de la tensión es menor que el aumento porcentual de la carga q. Cuando el desplazamiento se hace grande la placa se hace más rígida y más resistente. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

84


Definiendo variables adimensionales se pueden usar fórmulas aproximadas relativamente simples:

w

w h

q § c · ¨ ¸ E © h ¹

q

4

V § c ·

V

2

(54)

¨ ¸ E © h ¹

q

K1 w K 2 ( w)

V

K 3 w K 4 ( w)

3

(55)

2

(56)

Los coeficientes K1, K2, K3 y K 4, se presentan en la Tabla 2 para 7 casos. La Tabla 3 tiene 12 casos particularizados para el módulo de Poisson = 0,3. En los casos de apoyos empotrados se dan dos pares valores para K3 y para K4 que permiten calcular la tensión en el centro y en borde empotrado, en este último caso se indican con un asterisco. Notar que (51) puede escribirse como : 1 (57) w q

G

Además, multiplicando ambos miembros de (52) por ( c/h )2/E y luego reemplazando q por el valor dado en (57) se tiene :

E (58) w G En consecuencia existe correspondencia entre los valores (, ) de la Tabla 1 para pequeñas deflexiones y los valores ( K1, K 3 ) de la Tabla 2 para grandes deflexiones: 1 E K1 ; K3 (59) G G Hay que tener presente que las ecuaciones no lineales propuestas (55) y (56) son aproximaciones algo burdas, pero una mejor aproximación requeriría varios términos de orden superior (desarrollo de McLaurin). Para evitar inconsistencias K1 K 4 w ! w0 siendo w0 (60) (55) y (56) sólo deben usarse cuando: K 2 K3 V

Esas aproximaciones relativamente simples (cuadrática y cúbica) permiten despejar la solución de una manera sencilla: x Si el dato es la carga q se resuelve la ecuación cúbica (55) haciendo qoq o T

q o S 2K2

[ K1 /(3K 2 )] 3 T 2 o w ( S T )1/3 ( S T )1/3 o V o ( w, V )

(61)

Para obtener buenos resultados, S y T deben calcularse con muchas cifras significativas. x Si el dato es la tensión (por ejemplo adm ) se resuelve la ecuación cuadrática (56) haciendo ( K3 ) 4 K 4 V K3 2

V

o

V

o

w

2K4

o

w ow

q

q oq

(62)

6.1.3 Consideraciones de diseño usando la teoría lineal Se tienen dos ecuaciones y cinco variables principales (c, h, , q y w ) . w q E q (c / h ) 2 (52) V (51) G (c / h ) 4 h E Siempre es posible despejar dos de las variables cuando se conocen las tres restantes. El problema más frecuente en diseño es calcular el espesor h cuando c y q son datos y se dan los valores máximos admisibles para las tensiones y los desplazamientos:

V d V adm Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

w d wadm

85

(63)


reemplazando estos valores en (51) y (52) permite despejar dos valores para el espesor 1/3

4

2

§ G q c4 · Eq §c· E q ¨ ¸ V adm h ! h2 c ¨ ¸ V adm ©h¹ © wadm E ¹ y debe adoptarse el mayor espesor entre h1 y h2 porque satisface las dos ecuaciones. q §c· w G ¨ ¸ adm h ! h1 E ©h¹ h

(64)

6.1.4 Consideraciones de diseño usando la teoría no lineal La Figura 12 (similar a la Figura 11) muestra la relación no lineal entre la carga q y la tensión . Notar que en este caso no lineal el coeficiente de seguridad en tensiones es menor que el coeficiente de seguridad en cargas, o sea: ( Cs )V ( Cs ) q .

Figura 12: Distintas maneras de calcular el coeficiente de seguridad (en cargas o en tensiones )

Para estar del lado seguro se puede utilizar (Cs) = falla / , o definir una adm. Para calcular el espesor h en función de los datos habituales c, q, adm y wadm se procede por tanteos. Datos:

c, q, adm y wadm

Proponemos: hi

Calculamos:

qi o wi o V i o ( wi ,V i )

Controlamos que: V i V adm y wi wadm

Debemos repetir hasta satisfacer (63). Notar la importancia de la expresión explícita (61) que provee directamente la solución de la ecuación (55). Conviene hacer una tabla del tipo (65): h

q

T

( S T )1/3 ( S T )1/3

S

V

w

wmáx

V

(65)

Debe destacarse que generalmente la diferencia <>8 parece insignificante, pero debe calcularse con cuidado porque su raíz cúbica puede ser importante. El cálculo no lineal es necesario cuando se debe calcular el espesor para una carga pequeña menor que qL :

qL

G (V adm ) 2 2 w0 E E

(V adm ) K2 K3 K 4 E

2

(66)

La carga pequeña qL se dedujo haciendo wmáx = ( w0 h ) en (51) y adm en (52) lo que permite eliminar el tamaño característico “c”, luego se usaron (59) y (60). La ecuación (66) muestra que la carga pequeña q < qL que requiere análisis no lineal no depende del tamaño de la placa pero si depende de la forma y del tipo de apoyo. METODOLOGÍA DE CÁLCULO

x El hecho de que la carga sea menor que qL no justifica comenzar el cálculo del espesor necesario utilizando de entrada la teoría no lineal; la carga qL es sólo un valor de referencia. x Es recomendable comenzar siempre empleando la teoría lineal porque es más simple. x Si al emplear la teoría lineal se encuentra que w ! w0 , los valores obtenidos son igualmente útiles ya que están del lado de la seguridad y además sirven como referencia si se decide realizar un posterior análisis no lineal. x Si el cálculo no lineal es necesario, es recomendable adoptar de entrada el espesor mínimo que estamos dispuestos a utilizar por razones de fabricación y manipuleo y luego usar (65). Todo lo anterior se puede observar en detalle en el gráfico final del problema 5 en la página 94. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

86


Tabla 2 Grandes deflexiones w > w0


87

siendo w0 = K 1 K 4 / K 2 K 3


Tabla 3 Grandes deflexiones w > w0 = K 1 K 4 / K 2 K 3


88

Caso = 0,3


6.2 Placa circular con presión en una pequeña zona central ( r0 / r < ½ )

Tabla 4: Placa circular con carga en el centro r0 < r /2 0,33 h r0 0,5 r si r0 0,33 h

o

o usar r0

Bordes empotrados

S r02 q

0,33 h

máx en el centro

wmáx

r02 · 3P § r Q Q 1 (1 ) (1 ) ln ¨ ¸ 2S h 2 © 4r2 ¹ r0 3 (1 Q ) P § r r02 · ¨ ln + ¸ 2S h 2 © r0 4 r 2 ¹

3 (1 Q ) (3+Q ) P r 2 4S E h3

Placa circular Bordes apoyados

P

3 (1 Q 2 ) P r 2 4S E h3

6.3 Placa anular con distintos apoyos y cargas

Tabla 5: Placa anular a: radio de la placa ro: radio del orificio

V máx

K1

q a2 h2

wmáx

K2

q a4 E h3

V máx

K1

P h2

wmáx

K2

P a2 E h3

Los coeficientes K1 y K2 se interpolan en función de x para 0,1 < x < 0,9 Caso

K1

x

r0 / a

K2

1

3,3 4,37 x 4,54 x 2 18,36 x3 12,75 x 4

0,52 1, 4 x 2, 46 x 2 0,54 x 3

2

10 34 x 56, 4 x 2 48,5 x 3 16,1 x 4

1 3, 26 x 9,57 x 2 5,31 x 3

3

8 29,76 x 48, 44 x 2 40, 46 x3 13,78 x 4

1 2, 2 x 1,15 x 2 5, 26 x 3 2,91 x 4

4

2,06 1,97 x 2,56 x 2 2, 48 x3

0,92 2,56 x 2, 25 x 2 0,61 x 3

5

6 21,6 x 31,6 x 2 22, 4 x 3 6, 4 x 4

0,54 1,98 x 2, 43 x 2 1 x 3

6

2,5 9,88 x 18, 44 x 2 17,17 x 3 6,11 x 4

0, 236 0,764 x 0,83 x 2 0,3 x 3

7

2,6 1,8 x 1, 25 x 2 0, 45 x 3

0, 43 3, 23 x 7,39 x 2 3,73 x 3

8

2,86 6,86 x 6,87 x 2 3,53 x 3 0,657 x 4

0,63 1,57 x 0,74 x 2 0,75 x 3 0,55 x 4

9

4 21,3 x 48, 26 x 2 48,67 x 3 17,71 x 4

0, 274 0,156 x 2,35 x 2 3,12 x3 1, 2 x 4

10

0,76 0,09 x 0,89 x 2 1,73 x 3 1,77 x 4

0,19 0, 246 x 2,1 x 2 2,7 x 3 1,036 x 4


89


6.4 Carga de colapso para materiales dúctiles Resulta útil poder determinar un coeficiente de seguridad a colapso de una placa. La carga de colapso se puede expresar de manera similar a (52):

J V f h /c

qc

donde: J

2

(67)

6 para una placa circular apoyada. ° ® 11, 26 para una placa circular empotrada. ° 1,3 para una placa rectangular apoyada D ¯ 1, 42 4,06 D

c /A d 1

qc resulta superior al valor provisto por (52) en el orden del 80 %. La máxima carga concentrada, P , actuando en cualquier punto de una placa de cualquier forma y tamaño y cualquier condición de apoyo puede estimarse como:

Pc

1 S h2 V f 2

(68)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabla 6: Pequeñas deflexiones: wmáx < 0,5 h ( módulo de Poisson = 0,3 )

Forma

lado menor lado mayor

D

Relación de lados

Apoyo

Caso

1/

1/c

1/e

Articulado

1

23

3,232

////

Empotrado

2

93,77

8,205

5,333

Articulado

3

7 + 6,5 + 9,5

Empotrado

4

35,2 + 58,6

Articulado

5

7 + 15,7

Empotrado

6

35,2 ( 1 + 4 )

Cortos apoyados Largos empotrados

7

35,2 + 10,8

Cortos empotrados Largos apoyados

3

3

4

1,332 + 1,9

4 + 4,2

////

3

1,33 + 2,2

4

2,2

2 + 3,33 3 2,8

////

4

4

2(1+ )

4(1+ )

4+

5

2 + 0,4

5

3,2

8


7 + 41

90

3,5

X` _1 3

Y ` _

1,33 + 1,1

3,6


PRÁCTICO

Teoría de Placas


1. Un recipiente circular de 240 cm de diámetro y 100 cm de altura está lleno de agua. El fondo está apoyado en el perímetro y en un círculo central de 40 cm de diámetro.

adm = 1200

E = 2100000

^`_

Calcular el espesor del fondo y la carga sobre el apoyo central.

2. Estimar la tensión máxima en el fondo circular del croquis cuando la brida de salida es forzada a subir 0,2 cm durante el montaje con el tanque vacío.

f = 2400

^`_ E = 2100000

h=1

h1 = 0,4

3. Una escotilla elíptica de 0,516 cm de espesor debe soportar una presión de 300 cm de agua. Considerar bordes apoyados sin restricción axial.

f = 2400

adm ^``^`_ E = 2100000

a) Determinar (CS ) c a presión de colapso. b) Determinar (CS ) a tensión de fluencia. b) Verificar si wmáx < c/100. (c = lado menor)

4. Para disminuir la

en una placa cuadrada se le coloca una viga central de apoyo, resultando dos tramos rectangulares. máx

a) ¿ En qué porcentaje disminuye la tensión máxima máx si el espesor de la placa se mantiene ?

b) ¿ En qué porcentaje se puede disminuir el espesor determinado por la tensión admisible ? Considerar el caso apoyado y el empotrado, admitiendo y no admitiendo plastificación.

5. Se deben fabricar tanques cilíndricos de 45 cm de diámetro y diversas alturas H. Graficar la relación entre el espesor mínimo requerido (h) y la presión (q) en el fondo plano del tanque lleno de agua para H ``cm. Material: adm = 1200

E = 2100000

= 0,3

Considerar bordes apoyados sin restricción axial. Restricciones:

a) El desplazamiento máximo debe ser menor a 0,45 cm. b) La tensión máxima debe ser menor que la tensión admisible. c) Por razones de fabricación y manipuleo considerar hmín = 0,2 cm. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

91



Teoría de Placas


1 Cálculo del espesor del fondo y la carga sobre el apoyo central en un recipiente circular con agua. Resolvemos por el método de las fuerzas quitando el apoyo central q U h 0,001 x 100 0,1 a) Considerando bordes apoyados Sin apoyo central: Caso 1 Tabla 6 G 0,04348 E 0,3094

qc 4 0,1 x 2404 6,8693 x 0,04348 3 3 Eh 2100000 h h3 Desplazamiento 1 en el centro debido a la carga unitaria actuando sola en la zona central: 3(1 Q ) (3+Q ) P r 2 3 x 0,7 x 3,3 x 1 x 1202 0,0037815 Tabla 4 G 1 3 3 4S E h 4 x S x 2100000 x h h3 Ec. (51)

G0

G

Ecuación de compatibilidad: G 0 X G 1

6,8693 / h3 X 0,0037815 / h3

0

0 o

X

1817 kg

Notar que la reacción en el apoyo central es independiente del espesor de la placa. La superposición de las tensiones de distinto signo X y q no puede superar a adm . Ec. (52)

q V q

0,3094 x 0,1 x (240 / h)

Tabla 4

X V X

r02 · r 3P § ln 1 (1 ) (1 ) Q Q ¨ ¸ r0 2S h 2 © 4 r2 ¹

V X V q d V adm

2

1782 / h

2

3 x1817 § 120 202 · ln 1 1,3 0,7 x x x ¨ ¸ 2 S h2 © 20 4 x 1202 ¹

2884 h2

2884 / h 1782 / h d 1200 ................ h t 0,96 cm

o

2

2

b) Considerando bordes empotrados G

1 / 93,77

0,01066

G0

1,685 / h3

E

1 / 8, 205

0,1219

X

1131

G1

Vq

0,00149 / h3

VX

702 / h 2

1263 / h 2 ......... h t 0,68 cm

c) Considerando una situación intermedia entre los casos a) y b) Promediando los resultados a) y b) se tiene ...............................

X

1474 kg .......... h t 0,82 cm

Comparación: Calculamos el espesor ignorando el apoyo central y considerando bordes apoyados: Ec. (64)

ht c

E q / V adm

240 x

0,3094 x 0,1 / 1200

1, 22 .........

50 % más que en el caso c)

2 Estimación de la tensión máxima en un fondo circular por un defecto de montaje.

E h3 wmáx K2 a2

P

V máx

K 1P / h2

Tabla 5 wmáx

K 2 P a 2 / ( E h3 ) despejando P:

2100000 x 13 x 0, 2 ............... P K 2 x 502

K 1 (168 / K 2 ) / (1)2 ..... V máx

168 / K 2 168 K1 / K 2

Se consideran varias condiciones de apoyo aplicables a esta problema: x = ro /a = 10/50 = 0,2 Perímetro apoyado apoyado empotrado

Centro apoyado empotrado apoyado

Caso 1 8 9

K1 2,37 1,74 1,31

K2 0,706 0,351 0,234

P 238 479 718

máx 557 833 940

Como las distintas condiciones de apoyo consideradas son casos ideales, se puede asumir que el caso real corresponde a una situación intermedia y se puede estimar que: ................... 600 V máx 900 Si se quiere estar del lado de la seguridad se puede suponer que ..................................... V máx Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

92

940


3 Verificación de la seguridad de una escotilla elíptica y su desplazamiento máximo. Uh

q

Carga de 3 metros de agua:

0,001 x 300

0,3

D c /A 48 / 80 0,6 o K1 7 6,5 x 0,6 9,5 x (0,6)4 12,13 4 2 x (0,6) 4 4,26 ; K 3 5,27 1,84 x (0,6) 2 5,93 ; K 4 1,18

Tabla 3, Caso 5:

K2

a) Coeficiente de seguridad a colapso

J 1,42 4,06 x (0,6) 1,3 3,51

Ec. (67)

CS

C

(se estima con la fórmula para rectángulos)

qC / q

0,9735 / 0,3

qC

J V f h /c

2

3,51 x 2400 x (0,516 / 48) 2

3, 24 .........................................................................

CS

0,9735 C

3, 24

b) Coeficiente de seguridad a fluencia Ec. (66)

K 2 (V adm ) 2 K3 K 4 E

qL

Secuencia (61)

w

§ 48 · 0,3 x¨ ¸ 2100000 © 0,516 ¹

q

Ec. (54)

4, 26 x 1200 2 0, 42 q 0,3 qL 0, 42 Cálculo no lineal 5,93 x 1,18 x 2100000 q o S [ K1 / (3K 2 )] 3 T 2 o w ( S T )1/3 ( S T )1/3 o V o V qoq o T 2K2

(2,815)1/3 (0,3038)1/3

4

10,697

0,74

o

Ec. (56)

10,697 2 x 4, 26

T

V

1, 2555

o

5,93 x 0,74 1,18 x (0,74)2

Vf 2400 § 0,516 · ........ 5,03 x 2100000 x ¨ ¸ 1221 CS f 1221 V © 48 ¹ c) Control del desplazamiento máximo wmáx w h 0,74 x 0,516 0,38 ½° ¾ ........................................................ wmáx wadm wadm c / 100 48 / 100 0, 48°¿ 2

Ec. (54)

V

S

1,5593

5,03

CS

f

1,96

VERIFICA

d) Comparación con el cálculo lineal ( Tabla 6 caso 3 ) Ec. (51) wmáx G qc 4 / ( Eh3 ) 0, 08247 x 0,3x 484 / (2100000 x 0,5163 ) 0, 46 20 % superior al real Ec. (52)

V máx

E q c2 / h2

0,5135 x 0,3 x 482 / 0,5162 1333

9 % superior al real, V máx

1221

4 Incidencia de agregar un travesaño.

Notación: c = cuadrado r = rectángulo. La relación entre los lados menores (c) es: cr = cc /2 Ec. (52)

Vc Vr

E c q (cc / hc )2 ½°

¾ E r q (cr / hr )2 °¿

o Vr /Vc

hr

hc

Vr

V c o h r / hc

E r / (4 E c ) E r / (4 E c )

Los valores de para placa cuadrada y rectangular se pueden obtener en la Tabla 6 para = 0,3: TABLA 6 (pág. 90) Caso5 Caso 6

Apoyado Empotrado

Placa Cuadrada = cc /[ = 1 Centro c Borde e Promedio p 0,283 --------0,125 0,250 0,188

Placa rectangular = cr /[ 0,5 Centro c Borde e Promedio p 0,607 --------0,235 0,470 0,353

Disminución de la tensión máxima o del espesor requerido debido al agregado del travesaño: Valores fijos

Valor que disminuye

Bordes Apoyados

Bordes empotrados Sin Plastificación Con plastificación

q, c, h

Disminución % en máxima

46,4

53,0

53,0

q, c, adm

Disminución % en hrequerido

26,8

31,5

31,5

Conclusión: Al agregar el travesaño la tensión máxima en la placa se reduce alrededor de un 50 %, o bien se puede usar una placa con un espesor menor (disminuye alrededor de un 30 % ) . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

93


5 Cálculo del espesor requerido para un fondo plano circular en función de la carga. Cálculo lineal:

Tabla 6 caso 1

Cálculo no lineal: Tabla 3 caso 1 Ec. (66)

qL

K 2 (V adm ) K3 K 4 E

2

G 1 / 23 0,04348

E 1 / 3, 232 0,3094

K1

K3

K2

23

6

7,11

K 4 1,18

2

6 x (1200) 7,11 x 1,18 x 2100000

0,49

a) Cálculo lineal cuando q > 0,49 Ec. (51)

wmáx h

G

Ec. (52)

V máx

E q c / h q2

q 4 c / h q1 E 2

E wadm

(h1 )3

Gc V adm (h )2 E c2 2 4

2100000 x 0, 45 (h1 )3 4 0,04348 x (45) 1200 (h 2 )2 .... 0,3094 x 452

q1

5,300 (h1 )3

q2 1,915 (h 2 ) 2

b) Cálculo no lineal cuando q < 0,49 3 dato wadm = 0,45 w1 wadm / h1 0,45/h1 Ec. (55) q 1 23 x (0,45 /h1 ) 6 x (0,45/h1 ) Ec. (54) q1 q1 E (h1/c) 4 0,512 q1 (h1 ) 4 ................................................ q1 5,3 (h1 )3 0, 28 h1 dato adm = 1200, usamos la secuencia propuesta en (62):

Ec. (62)

Ec. (54)

V adm o V V 1,157 / (h 2 )

V adm c 2 o w E h2 2

w2

( K3 )2 4 K 4 V K3 2K4

9, 08 0,98 /(h 2 ) 3, 01


2

94

o q

Ec. (55) y (54)

K1 w K 2 ( w)3 o q

q E (h/c)4

q2 0,512 x ¬ª 23 w 2 6 ( w 2 ) 3 ¼º (h 2 )4


Capítulo 5

TEORÍA DE SEGUNDO ORDEN PARA ELEMENTOS PRISMÁTICOS 1 INTRODUCCIÓN En un curso anterior de Análisis Estructural se dedujo la matriz de rigidez considerando el equilibrio en el sistema indeformado. Allí se formularon las matrices para pórticos y emparrillados planos suponiendo desacoplado el efecto de emparrillado plano del efecto de pórtico plano y además ambos efectos se consideraron desacoplados del efecto axial. Esa formulación que generalmente se denomina teoría de 1er orden permite plantear y resolver de una manera relativamente sencilla los problemas lineales y por ello se la utiliza en la mayoría de los casos. La limitación más seria de la teoría de 1er orden es que no permite considerar grandes deformaciones y tampoco permite estudiar el fenómeno de la estabilidad del equilibrio. Cuando se aplica la teoría de 2do orden, se deben plantear las ecuaciones de equilibrio en el sistema deformado. En el caso de una barra prismática bajo la acción de una carga axial deben plantearse tres ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos. Dos de ellas están asociadas a direcciones perpendiculares al eje de la barra (ejes principales de inercia ) y la restante al giro de cada sección alrededor del eje longitudinal de la barra. Esas tres ecuaciones diferenciales están ‘acopladas’ por lo deben resolverse simultáneamente. En el contexto de la teoría de 2do orden, un pórtico plano (estructura plana con cargas contenidas en su plano) debe considerarse como un problema espacial. Es conocido que si una barra en compresión “pandea” lo hace según la dirección que tiene asociada menor momento de inercia, y podría ser la dirección perpendicular al plano del pórtico. Un elemento prismático sometido a una carga axial de compresión (con o sin carga de f lexión) como el mostrado en la Figura 1 se denomina ‘viga-columna’.

Figura 1: Esquema de una viga-columna

Es importante notar que al considerar el equilibrio en la barra deformada (en el plano y fuera del plano) se acoplan los efectos axiales, flexionales y torsionales. Es obvio que en la parte central de la viga deformada hay una contribución de la carga axial al momento flector, según el plano del dibujo (Figura 1). Cuando la barra tiene desplazamientos horizontales, la carga axial también contribuye al momento flector según el plano perpendicular. No es tan obvio, aunque es igualmente cierto, que en ese caso la reacción de apoyo vertical produce una contribución al momento torsor en la parte central de la viga-columna.

2 ECUACIONES

DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA DE PÓRTICO PLANO EN EL SISTEMA DEFORMADO

Cuando las cargas axiales son importantes hay un acoplamiento significativo entre las cargas axiales y el efecto de la f lexión aún para pequeños desplazamientos transversales. Para poder considerar esa situación y además poder calcular las cargas críticas de pandeo resulta imprescindible plantear las ecuaciones diferenciales de la elástica en el sistema deformado. A continuación se considera el caso de la barra de pórtico plano mostrada en la Figura 2. Se trata de una barra prismática simétrica respecto al plano (x1, x3 ) bajo la acción de cargas compresivas P y momentos M 1 y M 2 actuado en los extremos. Las cargas P actúan en el centro de gravedad de la sección y los momentos deforman a la viga en el plano vertical ( x1, x3 ). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

95


Figura 2: Barra de un pórtico plano

Como vamos a plantear el equilibrio en el sistema deformado, tenemos en cuenta que la barra puede flexionarse en el plano ( x1, x3 ) y también en el plano transversal ( x1, x2 ), y además torsionarse alrededor del eje x1. Las ecuaciones diferenciales son las habituales para flexión y torsión:

E I x2

d 2u3 dx12

M x*2

(1)

E I x3

d 2 u2 dx12

M x*3

(2)

d M x*1

d 4I d 2I E Iw 4 G J R dx1 dx12

(3)

dx1

donde los asteriscos, *, significan que los momentos están referidos a ejes locales ubicados en el sistema deformado, según se indica en la Figura 3. La ecuación (1) corresponde a la flexión en el plano de las cargas (recordar que la Figura 2 corresponde a un pórtico en el plano x1, x3 ). La ecuación (2) corresponde a la flexión en un plano transversal al plano de las cargas. La ecuación (3) es la ecuación diferencial de equilibrio correspondiente a la torsión (ver la Sección 6 del Capítulo 10 referido a vigas de pared delgada); en el primer miembro hay un primer término asociado a la restricción al alabeo libre y un segundo término asociado a las tensiones de corte de Saint Venant. Las reacciones verticales R 1 y R 2 según la dirección del eje x3 se originan en los momentos M 1 y M 2 actuantes en los extremos de la barra mostrada en la Figura 3:

R1

( M 2 M1 ) / L

R2

( M1 M 2 ) / L

(4)

Estas reacciones junto a los momentos de extremo M 1 y M 2 producen un momento f lector

M x2

M 1 R 1 x1

(5)

que provoca deformaciones de flexión contenidas en el plano vertical (x1, x3). Debido a la deformación en el plano horizontal aparece un momento torsor M x1 (de segundo orden ) causado por las reacciones verticales: (6) M x 1 R1 u2

a) vista según eje x1

b) vista según eje -- x2

c) vista según eje x3

Figura 3: Tres vistas mostrando la barra en el sistema deformado Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

96


La contribución de los momentos M x1 y M x2 a los momentos asterisco resulta du M x*1 M x1 cos (x1 x1* ) M x2 cos (x2 x1* ) M x1 M x2 2 dx1 § · du M x*2 M x1 cos (x1 x2* ) M x2 cos (x2 x2* ) M x1 ¨ 2 ¸ M x2 © dx1 ¹ § du · M x*3 M x1 cos (x1 x3* ) M x2 cos (x2 x3* ) M x1 ¨ 3 ¸ M x2 I © dx1 ¹

(7)

Notar que M x2 >> M x1, porque M x1 está originado sólo en las pequeñas deflexiones laterales. Por ello, se puede despreciar el producto de M x1 por un pequeño giro frente a M x2. La contribución de la carga axial P a los momentos asterisco resulta dM x* 1 I d 2I P o M x*2 P u3 M x*3 d x1 A d x12 donde A es el área de la sección mientras que Io = Ix2+ Ix3 .

P u2

(8)

Sumando las contribuciones (7) y (8) y utilizando (5) se tiene d M x* 1 I o d 2I d 2 u2 P (M 1 R1 x1 ) d x1 dx12 A dx12 M x*2 M 1 R1 x1 Pu3

(9)

( M 1 R1 x1 ) I Pu2

*

M x3

Reemplazando R1 por el valor dado en (4) y llevando (9) a (1), (2) y (3) se obtiene un sistema de ecuaciones “desacoplado”

d 2u3 M M1 Pu3 2 x1 M 1 2 dx1 L

0

(10)

§ M M1 · d 2 u2 Pu2 ¨ 2 x1 M 1 ¸ I 2 dx1 L © ¹

0

(11)

E I x2 E I x3

2 I o · d 2I ª d 4I § § M 2 M 1 · º d u2 G J P M x 0 (12) 1 1 R ¨ ¸ ¨ ¸ « » 2 dx14 © A ¹ dx12 ¬ L © ¹ ¼ dx1 Notar que u3 y su derivada sólo aparece en la ecuación (10), por lo tanto podemos resolver esa ecuación en forma independiente de las otras dos.

EI w

Si suponemos, como ocurre en muchos casos, que los esfuerzos predominantes están contenidos en el plano del pórtico podemos dejar sin resolver las ecuaciones (11) y (12). Nos proponemos ahora plantear la matriz de rigidez de una barra de pórtico plano resolviendo la ecuación diferencial desacoplada (10).

3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA CON CARGA AXIAL Para deducir la matriz de 2do orden (13) procedemos en la forma habitual deduciendo primero la matriz de rigidez en un sistema local. Suponemos que la barra está orientada según el eje x1.

ª AE/L « 0 « « 0 « « AE/L « 0 « ¬« 0

0

0

K 22 K 32 0 K 52 K 62

K 23 K 33 0 K 53 K 63


AE/L 0 0 AE/L 0 0

97

0 K 25 K 35 0 K 55 K 65

0 K 26 K 36 0 K 56 K 66

i º u1 » °ui » ° 2 » °° I i »<® j » ° u1 » ° u2j » ° ¼» ¯° I j

½ ° ° °° ¾ ° ° ° ¿°

P ° Ri ° 2 °° M i ® ° P ° R2j ° ¯° M j

½ ° ° °° ¾ ° ° ° ¿°

(13)


3.1 Efecto de la carga axial de compresión en la matriz de rigidez Las filas 1 y 4 (y las columnas 1 y 4) de la matriz de rigidez son las mismas que en la teoría de 1er orden porque se desprecia el acortamiento del eje de la barra causado por la curvatura de la barra por flexión ( ese es un efecto de 3er orden que no consideramos ). Los restantes elementos de la matriz de rigidez pueden ser determinados en la forma habitual. Para obtener los elementos de una columna hacemos el correspondiente desplazamiento igual a la unidad y los restantes iguales a cero. 3.1.1 Deducción de los elementos de la 3ra columna de la matriz de rigidez La Figura 4 muestra una barra en el sistema local donde: Ii = 1 y ( yi

yj

I j = 0 ).

Figura 4: Deducción de la 3ra columna de la matriz de rigidez de una barra comprimida

De la teoría de flexión de vigas se tiene:

d2y dx 2

Por estática, el momento flector resulta :

M

M EI

N

(14)

P y K 33 K 23 x

(15)

2

EI

Reemplazando (15) en (14) se tiene :

d y Py dx 2

K 23 x K 33

(16)

2

Notar que (16) concuerda con (10). Definiendo la constante k de signo positivo:

k

2

P EI

(17)

K 23 K x 33 EI EI

(18)

se puede escribir (16) como: 2

d y dx

k y 2

2

La ecuación (18) es una ecuación diferencial no homogénea, cuya solución puede escribirse como la suma de la solución homogénea yh más la particular yp. Para la solución particular proponemos una expresión del mismo tipo que el segundo miembro de (18) y la reemplazamos en la ecuación (18):

yp

ax b

y ccp

k

0

2

° K 23 ® °¯ K 33

K 23 K x 33 EI EI

a x b

k 2a E I

(19)

k2b EI

(20)

La solución homogénea de (18) fue usada al estudiar Dinámica Estructural y tiene la forma:

yh

A sen kx B cos kx o

yh y p

y

o

y yc

de donde

A sen kx B cos kx a x b A k cos kx B k sen kx a

(21) (22)

Empleando (21), (22) y las condiciones de borde en x = 0 y en x = L donde se conocen los desplazamientos ( y ) y los giros ( y c ), se pueden obtener los valores de las constantes A y B. según (21)

0

Bb

o B

según (22)

1

Ak a o

b

y en x 0 ® ¯ yc

0 1

° y L ® °¯ y c

0

o [(1 a ) / k ] sen kL b cos kL a L b

0

o (1 a ) cos kL b k sen kL a

en x

A

(1 a ) / k 0

(23)

(24)

0

donde para obtener (24) se tuvo en cuenta (23). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

98


Resolviendo el sistema (24) y simplificando se obtiene:

a

1 cos kL 2(1 cos kL ) kL sen kL

(19) K 23

k 2 (1 cos kL ) EI 2(1 cos kL ) kL sen kL

(25)

b

kL cos kL sen kL > 2(1 cos kL ) kL sen kL @ k

(20) K 33

k ( sen kL kL cos kL ) EI 2(1 cos kL) kL sen kL

(26)

Reordenando (25) y (26), los elementos K23 y K33 de la matriz de 2do orden pueden escribirse como un coeficiente que multiplica al correspondiente elemento de la matriz de 1er orden:

K 23

6 EI D2 L2

o

D2

K 33

4 EI D3 L

o

D3

(kL) 2 (1 cos kL )

(27)

6 > 2 (1 cos kL) kL sen kL @ kL (sen kL kL cos kL )

(28)

4 > 2(1 cos kL) kL sen kL @

Los elementos K53 y K63 se determinan por equilibrio de fuerzas y momentos en la Figura 4:

K 23

por equilibrio de fuerzas verticales

K 53

por equilibrio de momentos respecto al nudo j

K 63 K 33 K 23 L

(29)

0

(30)

Despejando K63 en (30), reemplazando K23 y K33 según (25) y (26) y operando se puede escribir el elemento K63 de la matriz de 2do orden como un coeficiente 4 que multiplica al correspondiente elemento de la matriz de 1er orden: 2 EI kL ( kL sen kL ) (31) D 4 K 63 o D4 L 2 [2 (1 cos kL) kL sen kL] 3.1.2 Deducción de los elementos de la 2da columna de la matriz de rigidez Para obtener la 2da columna de la matriz de rigidez se utiliza un razonamiento físico similar al usado para obtener la 3ra columna; hacemos el desplazamiento correspondiente igual a la unidad ( u2i = 1 ) , y los restantes iguales a cero ( u2j Ii I j = 0 ) como se indica en la Figura 5.

Figura 5: Deducción de la 2da columna de la matriz de rigidez de una barra comprimida

Aplicando el principio de reciprocidad a los sistemas de las Figuras 4 y 5 se tiene

K 32 u2i

K 23 I i

donde I i = 1 ( Figura 4 ) y u2i

1 ( Figura 5) o

K 32

K 23

(32)

Observando la Figura 5 se tiene: por equilibrio de fuerzas verticales en la Figura 5

K 52

K 22

(33)

por la condición de antisimetría en la Figura 5

K 62

K 32

(34)

Por equilibrio de momentos respecto al nudo j en la Figura 5:

K 32 K 62 K 22 L P x 1

0 usando (34) K 22

2 K32 P / L

(35)

Usando (32), (25) y (17) y operando algebraicamente en (35) se llega a:

K 22

12 EI D1 3 L

o


D1

(kL)3 sen kL 12 [2 (1 cos kL) kL sen kL] 99

(36)


3.1.3 Deducción de los elementos de la 5ta y 6ta columna de la matriz de rigidez Las columnas 5ta y 6ta se obtienen fácilmente comparando el sistema de la Figura 6-a con el sistema de la Figura 5 y el sistema de la Figura 6-b con el sistema de la Figura 4.

Figura 6: Esquemas de deformación para obtener la 5ta y 6ta columna de la matriz de rigidez

Comparando la Figura 6-a con la Figura 5 se obtiene la 5ta columna: K 25 K 52 K 35 K 62 K 55 K 22 K 65 K 32

(37)

Comparando la Figura 6-b con la Figura 4 se obtiene la 6ta columna:

K 53

K 26

K 36

K 63

K 23

K 56

K 66

K 33

(38)

3.1.4 Matriz de rigidez de una barra con carga axial de compresión Resumiendo todos los resultados anteriores podemos escribir en forma explícita la ecuación (13)

K

( AE ) / L

K1 12 EI / L3 K2

6 EI / L2

K3

4 EI / L

ª « « « « « « « « ¬

K

0

0

K

0

0

K1 D1

K2 D2

0

K1 D1

0

K2 D2

K3 D 3

0

K2 D2

K

0

0

K

0

0

K1 D1 K 2 D 2

0

K1 D1

0

K2 D2

0

K2 D2

1 2

K3 D 4

i º u1 » ° K 2 D 2 » ° u2i 1 K 3 D 4 » °° I i 2 »<® » ° u1j 0 » K 2 D 2 » ° u2j ° » K 3 D 3 ¼ ¯° I j

0

½ ° ° ° ° ¾ ° ° ° ° ¿

P ° i ° R2 °M ° i ® ° P ° Rj ° 2 ¯° M j

½ ° ° ° ° ¾ ° ° ° ¿°

(39)

Los coeficientes i dados en (36), (27), (28) y (31) se han graficado en la Figura 7 y en el Anexo 2 al final del capítulo y se resumen a continuación: 3

D1

(kL) sen kL / (12 D)

D2

(kL) (1 cos kL) / (6 D)

D3

kL (sen kL kL cos kL) / (4 D)

D4

kL (kL sen kL) / (2 D)

donde

2

2 (1 cos kL) kL sen kL

D

(40)

(41)

kL es un valor adimensional que se obtiene a 2 partir de la definición de k dada en (17)

PL2 (42) EI y se puede expresar en forma alternativa en función de la carga adimensionalizada con respecto a la carga de crítica de Euler Pe : kL

kL donde

P/Pe

Pe

S 2 EI L2

S

P Pe y

(43)

P 4 Pe

(44)

Figura 7: Gráfico de los coeficientes i de la matriz de rigidez de una barra comprimida Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

100


3.1.5 Análisis de los coeficientes de segundo orden debidos a la carga axial de compresión La matriz de rigidez de la ecuación (39) muestra que el efecto de la carga axial de compresión, P, modifica los elementos de la matriz relacionados con la flexión a través de los coeficientes 1, 2, 3 y 4 que dependen de P. En la Figura 7 se han graficado los coeficientes i. Al analizar las curvas en esa figura se observa que en los cuatro casos (i = 1, 2...4 ) i 1 cuando P 0. No obstante para P = 0 los cocientes dados en (40) que definen los i se indeterminan

0 0

Di

para P

(45)

0

además, para valores muy pequeños de la carga de compresión P aparecen errores numéricos al evaluar los coeficientes. Para evitar esos problemas se recomienda hacer: Para

0 d ( P / Pe ) < 0,0001

Di

o equivalentemente `kL < 0,03 hacer:

1

(46)

Notar que excepto 4 los restantes i decrecen cuando aumenta la carga axial de compresión. Los coeficientes 1 y 3 pueden incluso tomar valores negativos. Es importante destacar que al calcular los elementos de la matriz de rigidez se supone conocida la carga axial. En los casos en que no se conoce a priori la carga axial en cada barra se debe proceder en forma iterativa hasta convergencia en la carga axial calculada para cada una de las barras. Primero se proponen valores tentativos (que pueden ser cero) para las cargas axiales en las barras y con esos valores se calcula la matriz de rigidez de cada barra. Después de ensamblar la matriz de rigidez de la estructura se calculan los desplazamientos nodales y con ellos se obtiene barra por barra el valor de la carga axial. Si en alguna de las barras, la carga calculada difiere del valor tentativo en un valor superior a la tolerancia prefijada, deberá repetirse el procedimiento con los nuevos valores de las cargas axiales obtenidos por cálculo. IMPORTANTE: Ninguna barra puede soportar una carga de compresión superior a 4 Pe ! En el rango de mayor utilización práctica, es decir para el caso de cargas axiales de valor moderado, la variación de los coeficientes i es casi lineal. Esto permite aproximar su valor por expresiones muy simples como las mostradas en la Tabla 1. Tabla 1: Aproximaciones polinómicas para los coeficientes i en función de x = P/Pe

x = ( P /Pe ) d 1

1 x ( P /Pe ) d 2

D1

1 x

D1

1 0,985 x 0,0148 x 2

D2

1 0,17 x

D2

1 0,164 x 0,0138 x 2

D3

1 0,35 x

D3

1 0,319 x 0,065 x 2

D4

1 0, 2 x

D4

1 0,149 x 0,087 x 2

(47)

Para valores 2 ( P /Pe ) d 4 deben utilizarse las expresiones exactas (40). Cuando P /Pe o 4

D1 o 3, 28

D2 o 0

D3 o f

y

D4 o f

(48)

Para 2 ( P /Pe ) 3 puede usarse la siguiente aproximación para el coeficiente 3 :

D3

1,834 2, 42 ( P /Pe ) 0,7428 ( P /Pe ) 2

válida para

2 ( P /Pe ) 3

(49)

Los coeficientes importantes son los correspondientes a la diagonal de la matriz de rigidez y ambos ( 1 y 3 ) pueden tomar valores negativos cuando la carga axial es considerable. Los coeficientes 1 y 3 se anulan cuando :

P /Pe o 1 D1 o 0 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

P /Pe o 2,046 D 3 o 0

101

(50)


3.2 Efecto de la carga axial de tracción En el caso de carga axial de tracción se puede repetir el razonamiento físico matemático usado anteriormente para la carga de compresión. Al observar la Figura 4 se aprecia que al cambiar el sentido de la carga P se produce un momento estabilizante. El único cambio en la ecuación (16) es el signo menos que afecta al momento de 2do orden (Py ), entonces la ecuación (18) se torna:

K 23 K x 33 EI EI

y cc k 2 y

donde k 2

P EI

(51)

y su solución general contiene funciones hiperbólicas en lugar de las trigonométricas

y

A senh kx B cosh kx a x b

(52)

Completando la formulación para el caso de carga de tracción se concluye que el aspecto de la matriz de rigidez es el mismo, pero los i toman valores distintos: 3

D1

(kL) senh kL / (12 D)

D2

(kL) (cosh kL 1) / (6 D)

D 2 | 1 0,164 ( P /Pe ) 0,01 ( P /Pe )2

D3

kL ( kL cosh kL senh kL ) / (4 D)

D 3 | 1 0,318 ( P /Pe ) 0,025 ( P /Pe ) 2

D4

kL ( sen kL kL ) / (2 D)

D 4 | 1 0,158 ( P /Pe ) 0,033 ( P /Pe )2

donde:

D

D1 | 1 0,985 ( P /Pe ) 0,01 ( P /Pe ) 2

2

(53)

Aproximaciones para ( P /Pe ) 2

2 1 cosh kL kL senh kL

Los coeficientes aproximados (ecuaciones de 2do grado) dados en (53) muestran que 1, 2 y 3 son crecientes en función de P/Pe y son mayores que la unidad, mientras que 4 es decreciente y menor que la unidad. Esto puede comprobarse observando los gráficos de los i para una barra traccionada en el Anexo 3 al final de este capítulo. Notar que en el caso de tracción seguimos tomando la carga crítica de Euler como referencia, pero esto no tiene ningún significado especial. Recordar que:

kL

P L2 EI

S

P

S EI / L 2

2

S

P Pe

(54)

En conclusión: Para armar la matriz de rigidez ( no lineal ) considerando el efecto de carga de tracción se utiliza (54), luego (53) y finalmente (39).

4 SISTEMAS DE BARRAS Cuando se desea considerar el efecto 2do orden de la carga axial en el problema de flexión de un pórtico plano se debe usar para cada barra la matriz de rigidez definida en (39) considerando los coeficientes i de la ecuación (40) en el caso de compresión y (53) en el caso de tracción. La solución basada en la teoría de 2do orden resulta directa sólo en aquellos casos donde la carga axial de cada barra puede ser anticipada en forma exacta o bastante aproximada. Cuando eso no es posible debe recurrirse a un proceso iterativo.

4.1 Soluciones iterativas Se arma la matriz de rigidez sin considerar las cargas axiales y se resuelve el problema. Las cargas axiales que son parte de la solución permiten corregir la matriz de rigidez y obtener una solución mejorada. El proceso llega a convergencia cuando la diferencia entre las cargas axiales en las barras, calculadas como parte de la solución y las cargas axiales con que se definió la matriz de rigidez, es menor que una tolerancia prefijada. Siendo el problema no lineal deberá siempre aplicarse el coeficiente de seguridad CS a las cargas y hacer un predimensionado de la estructura. Después de calcular los esfuerzos se debe verificar que las tensiones no sobrepasen la condición que se define como falla ( generalmente fluencia ) . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

102


4.2 Principio de superposición Cuando se utiliza la teoría de primer orden se supone que las deformaciones son pequeñas y eso permite considerar que el problema es lineal y entonces es válido utilizar el principio de superposición. Esto no resulta posible en problemas no-lineales como el caso que estamos tratando ( viga-columna ).

Figura 8: Principio de superposición válido para el caso de una viga-columna

Resulta obvio que la superposición de la Figura 8-a no es válida porque no considera el momento flector adicional (de segundo orden) producido por la carga axial a través de las def lexiones horizontales. Notar que para la teoría de primer orden la superposición de la Figura 8-a sí es válida. El error es pequeño cuando los desplazamientos son pequeños y además la carga axial es mucho menor que la carga crítica de pandeo. Es importante insistir en el hecho de que la teoría de 1er orden no puede predecir el pandeo !! Cuando se considera la teoría de 2do orden para la flexión de una viga-columna es válida la superposición indicada en la Figura 8-b. La justificación matemática es simple: Las acciones de las cargas transversales se encuentran en el segundo miembro de la ecuación diferencial (16) y afecta a la solución particular mientras que la solución homogénea es la misma. El caso de barras con cargas transversales actuando en el interior de la barra puede descomponerse en un estado I de extremos biempotrados y un estado II con cargas únicamente en los nudos igual que en el caso de teoría de 1er orden pero empleando el principio de superposición de la Figura 8-b. Para confeccionar tablas para los casos biempotrados con carga axial se debe proceder de una manera similar a la usada para formular la matriz de rigidez no lineal (39). Debe plantearse una ecuación similar a (16) que incluya las cargas actuantes en el interior del tramo y luego se deben determinar las constantes de la solución, planteando las condiciones de bordes empotrados ( y 0, y c 0 ) en x = 0 y también en x = L. El caso de mayor interés corresponde a la carga distribuida uniforme porque en el caso de una carga concentrada resulta más simple considerar un nudo donde está aplicada la carga. Notar que durante el proceso iterativo deben recalcularse en cada paso las fuerzas de empotramiento del estado I porque esas fuerzas dependen de la carga axial, ver (55) y (57) en la Figura 9.

3 tan u u

K1

u 2 tan u 6 u sen u

K2

u 2 sen u

2 1 cos u

K3

u sen u donde: u

kL 2

S 2

o Me

qL2 K1 12

(55)

o Mc

qL2 K2 24

(56)

o Me

QL K3 8

(57)

P Pe

PL2 4 EI

(58)

Figura 9: Fórmulas para los momentos f lectores en vigas biempotradas con carga de compresión Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

103


4.3 Estabilidad del equilibrio Ya se ha visto que la presencia de una carga axial de compresión provoca una disminución de la rigidez de una barra comprimida, disminuyendo en consecuencia la rigidez del conjunto de barras. Esto se debe principalmente al hecho de que los coeficientes asociados a rigidez directa ( 1 y 3) son los que más disminuyen, llegando incluso a tomar valores negativos para valores suficientemente altos de la carga axial de compresión. Un valor negativo en la diagonal principal de una barra significa que la barra en vez de aportar rigidez al nudo al que concurre, toma rigidez del nudo. La rigidez que una barra puede recibir de un nudo depende de la rigidez que aporta el resto de la estructura, lo que de por sí es un valor limitado. De lo expuesto, se deduce que para el caso de cargas exteriores que impliquen caras axiales considerables en las barras puede ocurrir que la matriz de rigidez del sistema deje de ser definida positiva. En tal caso el sistema se torna inestable para esas cargas exteriores. La estabilidad del sistema puede analizarse evaluando el valor del determinante de la matriz de rigidez para cargas crecientes obteniéndose un gráfico del tipo mostrado en la Figura 10.

Figura 10: Evolución del determinante de la matriz de rigidez del sistema para cargas crecientes

Desde el punto de vista práctico sólo puede diseñarse en la zona estable que es la “zona 1” indicada en el gráfico de la Figura 10. Para valores de la carga mayores a P1 que corresponden a la “zona 2”, el equilibrio es inestable y por lo tanto no puede materializarse, porque si el sistema se aparta de esa posición de equilibrio, aunque sea ínfimamente, ya no regresa a esa posición de equilibrio inestable. Por lo expuesto, la carga máxima que admite la estabilidad del sistema de la Figura 10, en el sentido que se obtenga equilibrio estable, es Pmáx ( = P1 ). Para valores de las carga menores a P1, pero muy próximos a ese valor, debido a la escasa rigidez del sistema (det [K] próximo a cero ) se obtienen desplazamientos enormes y en esos casos el factor limitante de la carga admisible del sistema son las altísimas tensiones asociadas a esos desplazamientos. Los valores máximos admisibles para las tensiones, tensión efectiva *, dependen del material y del criterio de falla que se adopte y generalmente se obtiene de normas de diseño y construcción. Al iniciar el cálculo se supone que la estructura fue predimensionada para resistir las cargas amplificadas por el CS operando en la zona estable indicada como “zona 1” en la Figura 11-c.

Figura 11: Determinación de la carga crítica del sistema siguiendo la evolución del determinante de la matriz de rigidez del sistema de barras Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

104


4.4 Procedimiento de cálculo A continuación se indica la secuencia de pasos que deben darse para encontrar la solución de un problema usando la teoría de segundo orden:

a)

Paso inicial Se dan como dato los valores tentativos de las cargas axiales ( pueden ser iguales a cero ). En el caso de la Figura 11-a se supone que en cada columna actúa la mitad de la carga total (½ qL ). En el caso de la Figura 11-b no es posible anticipar el valor de las cargas axiales y en tales casos lo más simple es suponer valores nulos para las cargas axiales.

b)

Solución del sistema lineal Con los valores tentativos de las cargas axiales se arma la matriz de rigidez del sistema ensamblando la contribución de todas las barras y teniendo en cuenta las restricciones en los apoyos. Para cada barra se usa la matriz de rigidez de 2do orden en coordenada locales dada en la ecuación (39) y se la rota al sistema global. Se calculan las fuerzas de empotramiento del estado I, ver por ejemplo la Figura 9. Se arma el vector de cargas del estado II. Se calculan los desplazamientos y finalmente se calculan los esfuerzos axiales en cada barra.

c)

Control de convergencia El paso anterior se repite hasta que las fuerzas axiales calculadas resulten casi iguales ( o iguales ) a los valores calculados en la iteración anterior.

d)

Control de estabilidad Se evalúa el signo del determinante de la matriz de rigidez. Este paso resulta muy simple porque durante el paso b), al calcular los desplazamientos se triangulariza la matriz de rigidez, por lo tanto hay que asegurarse que todos los elementos de la diagonal principal de la matriz triangularizada sean positivos.

e)

Cálculo de tensiones Debe verificarse que las tensiones por flexión compuesta causadas por las cargas amplificadas por el CS no superan la tensión de fluencia. Tener presente que al usar el método de la rigidez generalmente sólo se controlan las tensiones en los extremos de barras.

Es importante destacar que si no se hace control de estabilidad y se está operando en la Zona 2 de la Figura 11-c se pueden obtener resultados que numéricamente “parecen razonables” pero que desde el punto de la interpretación física son imposibles. Para el caso de la Figura 11-b, en el caso de superar el límite de estabilidad, indicado como Qestabilidad en la Figura 12-a, se puede obtener un resultado absurdo como el mostrado en la Figura 12-b donde la estructura se desplaza hacia arriba bajo la acción de una carga hacia abajo. La deformada indicada en la Figura 12-b es una curiosidad matemática; los desplazamientos satisfacen las ecuaciones de equilibrio del sistema, pero como esa configuración corresponde a un equilibrio inestable, cualquier variación por pequeña que sea, causa el colapso de la estructura !

Figura 12: Obtención de resultados incorrectos por falta de control de la estabilidad Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

105


4.5 Cargas críticas de columnas de un solo tramo A continuación se presentan las cargas críticas de columnas de un solo tramo con distintos tipos de apoyos. Pcrít ) Pe ; A r2 I ; O L /r S 2E I Pcrít ) L2

V crít

0,25

0,25

1

1

2,04

4

)

S 2E O2

] Valor

(59)

Las cargas críticas dadas en (59) se deducen fácilmente planteando la matriz del sistema usando (39), teniendo en cuenta la condición de los apoyos en los extremos de la columna y anulando el determinante de la matriz. Caso a: 2 GL u j y I j ......... det

K1 D1 K 3 D 3 ( K 2 D 2 ) 2

0 .............................. Pcrít

0, 25 Pe

Caso b: 2 GL I i y u j .......... det

K 3 D 3 K1 D1 ( K 2 D 2 ) 2

0 .............................

Pcrít

0, 25 Pe

Caso c: 1 GL I

K 3 (D 3 D 4 /4 )

I i = I j det

0 .................................................. Pcrít

Caso d: 1 GL u j .................. det

K1 D1

0 D1

0 P / Pe

1 ....................... Pcrít

Caso e: 1 GL I j .................. det

K3 D 3

0 D3

0 P / Pe

2,04 ........ Pcrít

Pe Pe

2,04 Pe

Caso f: 1 GL um . Se consideran dos tramos, m denota el nudo del medio de la columna.

5 TENSIONES Como se mencionó anteriormente, en los casos no lineales se comienza por mayorar las cargas multiplicando por el CS requerido y posteriormente se verifican las tensiones. Según la teoría desarrollada en este capítulo, la carga axial produce un momento flector adicional que depende de las deformaciones. El efecto de segundo orden se traduce en mayores tensiones y en pérdida de rigidez. Cuando las cargas axiales son importantes, la rigidez puede disminuir notablemente permitiendo grandes desplazamientos que a su vez originan grandes tensiones. Esto se esquematiza a continuación: Cargas axiales grandes

Momentos Tensiones Disminución Desplaz. Falla por flectores de 2do no de rigidez grandes tensiones orden grandes admisibles

Los esfuerzos de extremo de barra se calculan barra por barra utilizando (39) previa rotación de los desplazamientos de los extremos al sistema local de la barra.

5.1 Tensiones máximas La tensión máxima por tensión compuesta resulta:

V máx

M máx P A W

(60)

donde P es la carga axial, A es el área de la barra, W es el módulo resistente a la flexión en el plano del pórtico y M máx es el momento flector de mayor valor absoluto en el tramo ( suponemos barra de sección constante ). Para obtener como mínimo el CS requerido (con el cual se amplificaron previamente las cargas exteriores) deberá verificarse para cada una de las barras, que

V máx d V f Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

106

(61)


El máximo momento flector M máx debe calcularse para cada barra en la posición deformada para ser consistente con todo lo formulado anteriormente. Trabajando en coordenadas locales, usando (39), se tiene: K ( u1i u1j )

P

(62)

K1D1 ( u2i u2j ) K 2 D 2 (Ii I j ) R i

Ri

(63)

Mi

K 2 D 2 ( u2i u2j ) K 3 D 3 Ii 12 K 3 D 4 I j M i

(64)

M

K 2 D 2 ( u2i u2j ) 12 K 3 D 4 Ii K 3 D 3 I j M j

(65)

j

donde R i , M i , y M j son las fuerzas de empotramiento del estado I. El valor de P obtenido en (62) debe ser aproximadamente igual al valor tentativo usado en la última iteración para obtener los coeficientes 1, 2, 3 y 4 de la matriz de rigidez. El máximo momento flector puede ser alguno de los valores en los extremos del tramo ( M i , M j ) o bien algún valor que ocurre en el interior del tramo ( máximo local ). Interesan fundamentalmente dos casos : i ) el caso de carga distribuida uniforme, o ii ) el caso sin cargas en el interior del tramo. Tener presente que si existe una carga concentrada en el interior del tramo conviene subdividir al tramo definiendo un nudo donde está aplicada la carga. 5.1.1 Momento flector máximo en una barra con carga uniformemente distribuida A continuación se resuelve el caso de carga distribuida “q” ya que para considerar el caso sin carga distribuida bastará después hacer q = 0. Se repite el procedimiento empleado en la deducción de la matriz de rigidez y se utiliza la convención de signos de la Figura 13.

Figura 13: Determinación del momento flector a lo largo de una viga-columna con carga uniforme

M Y cc Y

PY Ri x M i qx 2 /2

P Y EI

Mi R q i x x2 2 EI EI EI

(67)

A sen k x B cos k x a b x c x 2

(68)

Ak cos k x B k sen k x b 2 cx

(69)

solución homogénea

Yc

(66)

solución particular

donde k esta dado en (17). La solución particular debe satisfacer la ecuación diferencial (67)

EI Ypcc PYp

M i R i x 12 q x 2

reemplazando.............. EI (2c) P (a bx cx 2 )

M i R i x 12 q x 2

agrupando.................... ( EI 2c Pa ) ( Pb) x ( Pc) x 2 de donde:.................... b

Ri P


c

q 2P

107

( M i ) ( R i ) x ( 12 q ) x 2 a

(70)

Mi q P Pk2 Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017

Las constantes A y B de la solución homogénea se obtienen exigiendo que se satisfagan las condiciones de borde:

Y ° 0 ® ° Yc ¯

x

0

Ba

Ii

Ak b

0

Ii

B

a

A

Ii b

(71)

k

Reemplazando las constantes A, B, a, b y c en la solución de la ecuación diferencial (68) se tiene:

§ I i Ri · § Mi §M q · q · Ri q 2 x x cos k x ¨ i 2 ¸ ¨ ¸ sen k x ¨ 2 ¸ k ¹ P 2P © P Pk ¹ © P © k kP ¹

Y

(72)

esto puede ser remplazado en la expresión del momento flector (66),

M

§ Ri I i P · q · q § ¨ ¸ sen k x ¨ M i 2 ¸ cos k x 2 k k ¹ k © © ¹

(73)

Para encontrar el M máx hacemos

dM dx

0

Ri I i P cos k x §¨ M i kq

2

©

· ¸ k sen k x ¹

0

(74)

Dividiendo en (74) por cos kx, se puede despejar la coordenada xo donde ocurre el momento máximo local (o mínimo): § I i P Ri · 1 (75) artg ¨ xo ¸ k © k Mi q/k ¹

tg D

Notar que

tg D S o si artg < 0

hacer o

artg c

= artg S

(76)

Si xo corresponde a un punto interior de la barra, el momento máximo (ó mínimo) local resulta,

§ Ri I i P · q · q § (77) ¨ ¸ sen k xo ¨ M i 2 ¸ cos k xo 2 k k ¹ k © © ¹ En conclusión, para calcular la tensión máxima por tensión compuesta según (60) se debe usar el momento f lector máximo dado en (78): 0 d xo d L M o

M máx

° mayor ® ° mayor ¯

^M ^M

i

, M j , Mo

i

, Mj

`

` ........ si 0 x

o

L (78)

........... en caso contrario

donde M i está definido en (64), M j en (65) y M o en (77). 5.1.2 Momento flector máximo en una barra sin carga en el interior Haciendo q = 0 en (75) y (77) se tiene:

§ I i P Ri · 1 artg ¨ ¸ k © k Mi ¹ luego se usa (78). xo

Mo

§ Ri I i P · ¨ ¸ sen k xo M i cos k xo k © ¹

(79)

6 COMENTARIOS FINALES a) El análisis de 2do orden sólo se justifica cuando las cargas axiales de compresión en algunas (o alguna) de las barras del pórtico son elevadas. En la mayoría de los casos eso no ocurre y la teoría de 1er orden resulta suficiente. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

108


b) Debe destacarse que la formulación desarrollada en este capítulo no considera ningún efecto de 2do orden en el acortamiento axial de las barras. Existe una tendencia “ingenua” a creer que la formulación de 2do orden aquí presentada prevé una pérdida de rigidez axial por el pandeo de una dada barra. Primero no hay tal “pandeo” se trata de f lexión. Segundo, el acortamiento previsto por la presente formulación de segundo orden está dado por la ley de Hooke :

G

P ( AE ) / L

(80)

que corresponde a la teoría de 1er orden. Por lo tanto en el contexto de la formulación presentada en este capítulo, es más correcto el bosquejo de la deformada mostrada en la Figura 14-b que el mostrado en la Figura 14-c.

Figura 14: Incidencia del acortamiento de la viga-columna

Para tener en cuenta el acortamiento de una barra debido a la flexión debería reemplazarse la ecuación (14) por una expresión mucho más complicada del tipo:

N

d2y d2x

ª1 dy / dx º ¬ ¼ pero esto se considera un efecto de 3er orden ! 2

3/2

M EI

(81)

c) En este capítulo se trata de evitar términos como “pandeo” ( incluso en el título del capítulo) o “carga crítica” y en cambio se enfatiza el efecto de 2do orden en la flexión que indirectamente pone una cota a las cargas axiales cuando se limitan las tensiones, ver (61). En este contexto debe evitarse el planteo de situaciones poco realistas como por ejemplo el de la Figura 15-a porque allí el efecto de 2do orden no aparece. Notar que se trata de una estructura ideal perfecta y allí si tiene sentido el concepto de carga crítica de pandeo.

Figura 15: Uso de modelos realistas para captar el efecto de segundo orden

La Figura 15-b presenta un modelo más realista, obtenido agregando una pequeña carga horizontal, que podría representar el efecto del viento o bien teniendo en cuenta imperfecciones geométricas en cuanto al punto de aplicación de las cargas, errores de montaje, falta de alineación perfecta, etc. Notar que en el caso de Figura 15-a, el valor de la carga crítica Pcrít es el valor de P que anula el determinante de la matriz de rigidez. Por el contrario, en el caso de la Figura 15-b para valores de la carga P levemente menores que Pcrít , las tensiones resultan inadmisibles por los grandes desplazamientos originados en la pérdida de rigidez de la estructura. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

109


ANEXOS DEL CAPÍTULO 5 ANEXO 1: Momento máximo en vigas simplemente apoyadas comprimidas Repitiendo la metodología presentada en este capítulo se pueden resolver en forma genérica muchos casos de interés práctico. En el caso de una viga simplemente apoyada, planteando la ecuación diferencial de la elástica en el sistema deformado y determinando las constantes de integración de acuerdo con las condiciones de borde se obtienen los resultados resumidos a continuación.

1

2 1 cos u

K

2

u 2 cos u

tg u u

K

3

M máx

M máx

q L2 K 8

M máx

QL K 4

sen D 2u

ª

D 1 D QL «

«¬ 2u (D D ) sen 2u 2

º A» »¼

S °sen ª¬1 D 2u º¼ ....cuando 2u A ® 2 1 D °¯1 ..............................en caso contrario M máx M o B

4

B

S °1 / (sen 2u ) ..............cuando 2 u ! ® 2 °¯1 ..............................en caso contrario

M máx

5

Mo C

C

E 2 2 E cos 2u 1 ° .. cuando 0 < D 1 ® sen 2u °¯1 .......................................en caso contrario

D

§ E cos 2u · 1 artg ¨ ¸ 2u © sen 2u ¹ 2

6

Mo

T

§ L · q¨ ¸ D1 © 2u ¹ D 2 D1 cos 2u

M máx

D1 sen 2u

M A Mo xm

D2

M B Mo

artg T L 2u

° D 1 T 2 M ....cuando 0 x L o m 1 ® °¯mayor ^ M A , M B ` ..en caso contrario

En todos los casos “u” está definido en (58) y la verificación de la tensión por f lexión compuesta se hace utilizando (60), las cargas deben estar mayoradas por el CS.

§ P · P M máx (82) ó ¨¨ 2u S d Vf ¸¸ Pe ¹ A W © Notar que en todos los casos el coeficiente de amplificación del momento flector máximo debido al efecto de la carga axial tiende a infinito cuando P Pe. P L2 4E I

u

P o Pe

S 2E I 2

L

uo


S 2

;

1 of; cos u

110

tg u o f ;

1 of sen 2u

(83)


ANEXO 2: Coeficientes i de la matriz de rigidez de una barra comprimida

ANEXO 3: Coeficientes i de la matriz de rigidez de una barra traccionada


111


PRÁCTICO

Teoría de 2do Orden


1. Hallar la carga crítica de la columna de sección doble T del croquis Vf

2400 kg / cm 2

E

2100000 kg / cm 2

A 21, 2 cm 2 I x2

349 cm 4

I x 3 134 cm 4

Wx 2

72,8 cm3

Wx 3

r2

4,06 cm

r3

26,8 cm3 2,51 cm

El nudo 2 tiene restringido el desplazamiento según x2 pero está libre según x3. Ayuda: Utilizar el procedimiento de cálculo propuesto en la Sección 4.5.

2. Mayorando todas las cargas con C

S

= 3, determinar:

a) Qadm cuando P = 0. b) Padm cuando Q = 0. c) Qadm cuando P = 500 kg. c.1 teoría 1er orden. c.2 teoría 2do orden. d) Padm cuando Q = 50 kg. d.1 teoría 1er orden. d.2 teoría 2do orden. Material: f = 2800 E = 2100000

Sección

Dext = 4 cm Dint= 3,4 cm

3. Para la viga columna doble T de acero de la grúa bandera del croquis, se pide: a) Verificar el pandeo fuera del plano. b) Verificar las tensiones por flexión compuesta en el plano de la estructura con un CS = 4 para la hipótesis de carga indicada en el croquis. Material:

f = 2400

E = 2100000

Modelar la viga como simplemente apoyada. La carga de 500 kg incluye el peso propio de 75 kg.

Propiedades de la sección doble T A 24 cm 2 I x 2 101 cm 4 I x 3 1320 cm 4 3 Wx 2 22, 2 cm Wx 3 146 cm3 r2 2,05 cm r3 7, 42 cm

4. La viga columna del croquis forma parte de un pórtico plano. Se han calculado los desplazamientos y las fuerzas de extremo de barra según se indica. No hay cargas actuando en el interior del tramo. Material:

f = 2800

E = 2100000

Sección tubular Diámetro exterior Diámetro interior Área de la sección Momento de inercia Módulo resistente Radio de giro

^`_

D = 8 cm d = 7,6 cm A = 4,9 cm2 I = 37,3 cm4 W = 9,32 cm3 r = 2,76 cm

Verificar si la máxima tensión por f lexión compuesta es admisible sabiendo que el CS se aplicó mayorando las cargas antes de calcular los desplazamientos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

112



Teoría de 2do Orden


1 Cálculo de la carga crítica de una columna de dos tramos con base empotrada, un apoyo intermedio y el extremo superior con empotramiento deslizante. a) Pandeo en el plano x1 x3 considerando un único tramo Ec. (59) caso d La carga crítica de una columna biempotrada con un extremo deslizante es igual a la carga de Euler. Esto se puede deducir matricialmente:

[ K1 D1 ] u3 Q3 det [ K1 D1 ] 0 D1 0

La carga crítica anula el determinante de la matriz:

Ec.(39)

Ec.(44) Pe

Gráfico Figura 7

(S 2 x 2100000 x 349) / 500 2

D1 0 P / Pe 1 P Pe

28934 Plano x1 x3

Pcrít

28934 kg

b) Pandeo en el plano x1 x2 considerando dos tramos Barra (1)

Ec. (44) Pe

Ec. (39)

K 3(1)

(S 2 E I ) / L2

S 2 x 2100000 x 134 / 2002 .... Pe

4 x 2100000 x 134 / 200 ............ K 3(1)

4E I / L

Matriz de la barra (1)............ [ K 3(1) D 3(1) ] I2 Barra (2)

Ec. (44) Pe

Ec. (39)

K 2( 2)

K 3( 2)

6 x 2100000 x 134 / 3002 .... K 2( 2)

(S 2 E I ) / L2 ( 2)

.... K1

ª K (2) D (2) Matriz de la barra (2)........................... « 3 (2) 3 (2) ¬ K2 D 2

det > K @

(5628000 D 3

(1)

S 2 x 2100000 x 134 / 3002 ..... Pe

3752000 D 3

(2)

3752000

12 x 2100000 x 134 / 3003 ... K1( 2)

125,067

ªI2 º «u » ¬ 3¼

ªM 2 º «Q » ¬ 3¼

ª5628000 D 3(1) 3752000 D 3( 2 ) « 18760 D 2( 2 ) ¬«

) 125,067 D1

(2)

30859

3752000 ........ K 3( 2)

K 2(2) D 2(2) º » K1(2) D1(2) ¼

Matiz de rigidez del sistema: ............................ K

5628000

M2

4 x 2100000 x 134 / 300 18760

69433

(18760 D 2 ) (2)

2

18760 D 2( 2 ) º » 125,067 D1( 2 ) ¼»

0 . Se resuelve por tanteos.

Se puede acotar el caso real entre dos condiciones límites considerando la contribución de la barra (1) a la rigidez al giro del nudo 2: Ec. (59) caso b

Ec. (59) caso d

Pcrít = ¼ Pe = 7715

Pcrít = ?????

Pcrít = Pe = 30859

K = K3(1) 3(1)

K=0

K = _

Dado que 7715 < Pcrít < 30859, comenzamos el tanteo proponiendo P = 20000 kg. P

Barra (1) Pe = 69433 x=P/Pe 3 = 1– 0,35 x

x=P/Pe

Barra (2) Pe = 30859 3 = 1– 0,35 x 1 = 1– x

2 = 1– 0,17 x

det [K]

20000

0,288

0,899

0,648

0,773

0,352

0,890

+ 72 x 106

22000

0,317

0,889

0,713

0,750

0,287

0,879

+ 8,96 x 106

22500

0,324

0,886

0,729

0,745

0,271

0,876

– 6,39 x 106

22000 500 (8,96) / (8,96 6,39)

22292 kg .

Interpolando Pcrit

c) Carga crítica de la columna La carga crítica de la columna es...... Pcrít Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

x1 x3

x1 x2

menor ^ 28934 ; 22292

113

` .............

Pcrít

22292 kg


2 Determinación de las cargas máximas admitidas por una columna tubular considerando pandeo y mayorando todas las cargas con un coeficiente de seguridad CS = 3 en todos los casos. Propiedades de la sección tubular A S (42 3,42 ) / 4 3,49 cm 2

S (44 3,44 ) / 64

I

6 cm 4

3 cm3

6/2

W

a) Carga máxima Qadm cuando P = 0 Verificación a f luencia: .................. Ec. (57)

V máx

Qadm L / 8

M máx

Qadm L / 8 Qadm x 300 / 8 12,5 Qadm 3 3 o 12,5 Qadm 2800 / 3 ............. Qadm 75 kg

M máx W V f / CS

V máx

b) Carga máxima Padm cuando Q = 0 Verificación a fluencia: V Verificación a pandeo: Ec.(44)

Pcrít CS

(S E I ) / L

3

2800 / 3 ... Padm

3257 kg

Carga crítica columna biempotrada = 4 Pe.

2

V crít

5527

Padm

Padm / 3, 49

(S x 2100000 x 6) / 3002 ................... Pe

2

4 x 1381,7

Ec. (59) "

2

Pe

V f / CS

Pcrít / A

5527 / 3, 49

1381,74

1584 V f

Pcrít / 3 = 5527 / 3 = 1842,3 ..................... Padm

1842 kg

c.1) Carga máxima Qadm cuando P = 500 – Teoría de 1er orden Verificación a f luencia:

P M máx A W

V

3 x 500 3 x Qadm x 300 / 8 3, 49 3

1500 112,5 Qadm 3, 49 3

V

Vf

2800 .............. Qadm

2800 63 kg

c.2) Carga máxima Qadm cuando P = 500 – Teoría de 2do orden Matriz barra (1) Ec.(39)

ª K1(1) D1(1) « (1) (1) ¬« K 2 D 2

K 2(1) D 2(1) º ªu2 º »<« » K 3(1) D 3(1) ¼» ¬«I2 ¼»

ª Q2 º « » ¬« M 2 ¼»

K 2(2) D 2(2) º ªu2 º »<« » K 3(2) D 3(2) »¼ «¬I2 »¼

ª Q2 º « » «¬ M 2 »¼

Matriz barra (2) Ec.(39)

Carga de Euler de los tramos:

Ec. (44)

Pe

ª K1(2) D1(2) « (2) (2) «¬ K 2 D 2

(S 2 E I ) / L2 S 2 x 2100000 x 6 / 1502 ....

Pe

5527 kg

Usamos la Ec. (39) para las rigideces Ki y la Ec. (47) para los coeficientes i . El cálculo se simplifica porque los dos tramos son iguales:................................................... P / Pe

K1(1)

K1(2)

(1) 2

(2) 2

K

K 3(1)

K

K 3(2)

44,8

D1

1 0, 2714

3360

D2

1 0,17 x 0, 2714

336000

D3

1 0,35 x 0, 2714

12 x 2100000 x 6 / 1503 6 x 2100000 x 6 / 150 4 x 2100000 x 6/150

Ecuaciones de equilibrio:

2

ª 2 K1 D1 « «¬ 0

º ªu2 º »<« » 2 K 3 D 3 »¼ «¬I2 »¼ 0

3 x 500 / 5527

0, 2714

K1 D1

32,64

0,9539

K2 D2

3205

0,9050

K3 D 3

304084

0,7286

ªCS Qadm º « » «¬ 0 »¼

El sistema resulta desacoplado, algo que se podía anticipar dada la simetría del sistema. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

114


Desplazamientos:

u2

CS Qadm 2 K1D1

3 x Qadm 2 x 32,64

3205 º ª0,046 Qadm º »< « » 304084 ¼» ¬« 0 ¼»

ª 32,64 Esfuerzos en la barra (1) « ¬« 3205

I2

0,046 Qadm

0

ª 1,5 Qadm º « » ¬«147, 4 Qadm ¼»

M P 1500 147, 4 Qadm máx o V V f 2800 ........... Qadm 48,3 kg A W 3, 49 3 Al utilizar la teoría de 2do orden el M máx aumentó de 112,5 Qadm a 147,4 Qadm (30 %) y en consecuencia Qadm se redujo de 63 a 48 kg (23 %). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Este problema puede resolverse de una manera más simple usando datos tabulados en la Figura 9: Ec. (60)

V

Ec. (58)

u

Ec. (57)

K3

P L2 / ( 4 E I )

2 (1 cos u ) u sen u

( 3 x 500) x 300 2 / ( 4 x 2100000 x 6) .......................... u

2 (1 cos1,6366 ) 1,6366 x sen1,6366

1,6366

3 x Qadm x 300 1,305 146,84 Qadm 8

1,305 o M e

El valor (146,84 Qadm) es exacto. La diferencia del valor hallado anteriormente (147,4 Qadm ) se debe a las aproximaciones lineales usadas para los coeficientes de la ecuación (47). d.1) Carga máxima Padm cuando Q = 50 – Teoría de 1er orden Ec. (57)

M máx

Ec. (60)

V

V

Vf

CS QL /8

3 x 50 x 300/8

5625

CS Padm M 5625 3 x Padm máx A W 3, 49 3 3 x Padm 5625 2800 2800 ...... Padm 3, 49 3

1076 kg

d.2) Carga máxima Padm cuando Q = 50 – Teoría de 2do orden El momento flector máximo resulta amplificado por el efecto de 2do orden a través del coeficiente -3 dado en la Ec. (57) incluida en la Figura 9: Ec. (57)

Me

QL 2 (1 cos u ) 8 u sen u

Ec. (58)

u

P L2 / ( 4 E I )

M 2do

M 1er K3

donde K3

( 3 P ) 300 2 / ( 4 x 2100000 x 6 ) .......... u

2 1 cos u u sen u

0,0731925

P

La tensión compuesta no debe superar la tensión de fluencia f = 2800.

3 Q L / 8 K3 d V 2800 0,8596 P 1875 K M 3P N 2do adm 3 ( Padm ) f A W 3, 49 3 La ecuación trascendente se resuelve por tanteos para determinar Padm . Secuencia: P u P 200 300 400 467,72 500

u 1,03510 1,26773 1,46385 1,58292 1,63663

0,0731925

P

1,100015 1,159634 1,227435 1,278900 1,305245

2 (1 cos u ) /(u sen u ) V

K3

0,8596 P 1875 K

2234,45 2432,19 2645,28 2800,00 2877,13

Cuando Q = 50 kg, la máxima carga segura con CS = 3 es................................... Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

2800

115

Padm

467,7 kg


3 Análisis de una grúa bandera de sección doble T considerando la posibilidad de pandeo. a) Cálculo de la carga de compresión P en la viga doble T Por semejanza de triángulos: P 250 P 750 kg 360 120 b) Verificación del pandeo en el plano x1 x3 (fuera del plano de la grúa) 16152 S 2 x 2100000 x 101 21,5 4 Viga biarticulada Ec. (59) caso c Pcrít 16152 CS 2 750 360

VERIFICA

c) Verificación de la flexión compuesta en el plano x1 x2 por la teoría de 1er orden 2400 750 250 x 180 7, 07 4 VERIFICA 31, 25 308, 22 339,5 CS Ec. (60) V 339,5 24 146 d) Mayoración de las tensiones por flexión compuesta en el plano x1 x2 por la teoría de 2do orden Ec. (58)

u

P L2 / ( 4 E I )

Factor de amplificación

(4 x 750) 360 2 / ( 4 x 2100000 x 1320) Caso 2 del Anexo 1

K

(tg u ) / u

0,1872 ......... u

tg (0,1872) / 0,1872 ......... K

El efecto de 2do orden es débil, la tensión por flexión se incrementa sólo un 1,2 %. 4 x 750 4 x (250 x 180) x 1, 012 N MK Tensión mayorada: V 125 1248 ........ V A W 24 146 La tensión obtenida mayorando las cargas por 4 es menor que fluencia V

1373 V f

0,1872 1,012

1373 2400

4 Verificación del estado tensional de una barra solicitada en flexo-compresión. a) Verificación de la tensión máxima mayorada usando la teoría de 1er orden Tensión compuesta máxima para las cargas mayoradas: 5145 9288 P M máx 1050 997 V máx 2047 V máx 4,9 9,32 A W

V máx

2047 ; V f

2800

V máx V f VERIFICA

b) Verificación de la tensión máxima mayorada usando la teoría de 2do orden Datos según notación de la Figura 13:.... M i

Ii

405 ;

0,0152 ;

P 5145 ;

Ri

Pe (S 2 x 2100000 x 37,3) / 300 2 8590 o P / Pe 5145 / 8590 .......... P / Pe Existe un efecto axial importante que justifica considerar la teoría de 2do orden. Ec. (44)

Ec. (17)

k

P / (E I )

5145 / (2100000 x 37,3)

0,0081045 ........................ k

§ I P Ri · § 0,0152 x 5145 33, 2 · artg ¨ i ¸ artg ¨ ¸ 1,54136 © 0,0081 x 405 0 / k ¹ © k Mi q/k ¹ Para usar la rama positiva de artg debemos sumar :.Ec. (76) ... k xo 1,54136 S

Ec. (75)

33, 2 0,60 0,0081

k xo

k xo 1,60

xo

1,60 / k

1,60 / 0,0081 197,5 ............................................

[(33, 2 0,0152 x 5145 ) / 0,0081] sen 1,6

0 d xo d L Ec. (77) M o

0 xo 197,5 L Ec. (78) M máx Ec. (60)

V máx

V máx

2526 ;


M P máx A W

Vf

2800

116

405 cos 1,6

1,60

xo

197,5

Mo

13760

M máx

13760

2526 ........... V máx

2526

mayor ^ 405; 9288; 13760 `

5145 13760 4,9 9,32

k xo

V máx V f

VERIFICA


Capítulo 6

CARGAS CRÍTICAS DE PLACAS 1 INTRODUCCIÓN Las primeras determinaciones de cargas críticas de láminas planas se deben a G. Gryan y se remontan a fines de siglo XIX. Para poder estudiar el fenómeno de pandeo es necesario: a) Retener los términos no lineales del tensor de deformaciones J ij . b) Plantear las ecuaciones de equilibrio en la geometría deformada. Las ecuaciones que resultan son no lineales y de difícil solución, pero se pueden linealizar y convertir en un problema de valores propios.

2 ECUACIONES BÁSICAS En esta sección se plantean las ecuaciones básicas que son necesarias para estudiar la estabilidad del equilibrio de placas: 2.1) ecuaciones cinemáticas para grandes desplazamientos transversales; 2.2) ecuaciones de equilibrio en el sistema deformado y 2.3) ecuaciones constitutivas.

2.1 Relaciones cinemáticas En la Figura 1 se repiten las Figuras 1 y 2 del Capítulo 4 referido a Teoría de Placas. La Figura 1-a muestra la ubicación de los ejes coordenados asociados a la placa y en la Figura 1-b se indican los desplazamientos de un punto genérico P* de la placa. Los ejes x1 y x2 están contenidos en el plano medio y el eje x3 apunta hacia abajo como se indica en la Figura 1-a. Los momentos flectores positivos comprimen la parte superior de la placa.

b) Desplazamiento de un punto genérico P *

a) Ubicación de los ejes coordenados

Figura 1: Geometría y cinemática de una placa

Se mantiene la hipótesis de Kirchhoff formulada para el caso lineal en el Capítulo 4. Los giros ( i ) y las curvaturas ( `ij ) se definen igual que en las ecuaciones (6) y (11) del Capítulo 4: wu Ei 3 ( por definición ) i 1, 2 (1) w xi

w 2u3 w 2u3 w 2u3 F F (2) 22 12 w x12 w x22 wx1 wx2 El desplazamiento ui de un punto genérico de la placa P *, está referido al desplazamiento del punto correspondiente ui sobre el plano medio, según (8) del Capítulo 4: wu wu u 1 u1 x3 3 ; u2 u 2 x3 3 ; u 3 u3 (3) w x1 w x2

F11

Se consideran pequeños desplazamientos membranales u1 y u2 pero se admiten valores intermedios para el desplazamiento transversal u3 . La ecuación (4) del Capítulo 4 se modifica: u3 u1 u2 1 1 10 (4) h h h El valor 10 es tentativo indicando que u3 puede no ser muy pequeño. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

117


El tensor no lineal de Lagrange J ij definido en la ecuación (78) del Capítulo 1, es:

1 2

J ij*

§ wui* wu *j wum* wum* · ¨¨ ¸ w xi w x j ¸¹ © w x j w xi

(5)

Considerando (4) resulta necesario retener sólo uno de los términos cuadráticos, el correspondiente a u3 :

1 2

J ij*

§ wui* wu*j wu3* wu3* · ¨¨ ¸ x x w w w xi w x j ¸¹ j i ©

(6)

Reemplazando (3) en (6) y considerando (1) se obtienen las componentes del tensor no lineal J *i j :

J 11*

J 11 x3 F11

J 11

wu1 1 2 E1 wx1 2

* J 22

J 22

J 22 x3 F 22

J 12*

J 12 x3 F12

(7)

wu2 1 2 E 2 2 wx2

J 12

· 1 § wu1 wu2 E1 E 2 ¸ ¨ 2 © wx2 wx1 ¹

(8)

Notar que todas las variables del segundo miembro están referidas a puntos del plano medio y dependen únicamente de u1 y u2 .

2.2 Ecuaciones de equilibrio Se definen los esfuerzos resultantes N11, N12, N22, M11, M12, M22, N13 y N23 igual que en la teoría lineal (Capítulo 4) pero orientados según la geometría deformada, tal como se muestra en la Figura 2.

Figura 2: Esfuerzos resultantes actuando en la geometría deformada

Notar que los esfuerzos resultantes N11, N12, N22, M11, M12, y M22 están contenidos en el plano deformado x1 x2 ; mientras que N13 y N23 son perpendiculares a x1 y x2 . Los esfuerzos incrementados se denotan con un superíndice “ + ” . Los esfuerzos N ij y M ij están contenidos en el plano x1 x2 ; mientras que N13 y N 23 son perpendiculares a x1 x2 . A modo de ejemplo en la ecuación (9) se muestra la forma explícita de N11 . Los restantes esfuerzos incrementados se definen en forma similar.

N11

Q2

N11

wN11 dx1 w x1

(9)

Se definen dos versores ( Q 1 , Q 2 ) asociados al plano deformado: Q 1 cos E 1 , 0, sen E 1 y se calcula la dirección perpendicular Q 3 : 0, cos E 2 , sen E 2 , y con ellos (10) Q 3 Q 1 x Q 2 sen E1 cos E 2 , cos E1 sen E 2 , cos E1 cos E 2


118


Similarmente se puede definir la dirección perpendicular al plano deformado incrementado:

Q 1 Q 1

wQ 1 wQ 1 dx1 dx2 wx1 wx2

wQ wQ o Q 2 Q 2 2 dx1 2 dx2 wx1 wx2

o Q 3 Q 1 x Q 2

(11)

El equilibrio se debe plantear según los ejes indeformados, pero recordando que los esfuerzos resultantes tienen la dirección de los ejes deformados. Por ejemplo, para proyectar N13 sobre x1 hacemos N13 Q 3 e1 donde e1 es el versor según x1, vale decir e1 1, 0, 0 . Las rotaciones E1 y E 2 se suponen pequeñas, por lo que:

sen E i

Ei

cos E i

1

i 1, 2

(12)

Para plantear el equilibrio según x1 se observa el sistema desde x2, como en la Figura 3:

Figura 3: Equilibrio de fuerzas según x1

§ wN11 · § wN · § wN · wN 23 dx1 ¸ dx2 ¨ 21 dx2 ¸ dx1 ¨ 13 dx1 dx2 dx2 dx1 ¸ E1 ¨ wx2 © wx1 ¹ © wx2 ¹ © wx1 ¹

(13)

0

Siendo las rotaciones E i pequeñas, el tercer término se puede despreciar y se llega a (15). Planteando equilibrio según el eje x2 se procede de manera similar y se obtiene (17). Tomando momentos respecto a los ejes x1 y x2 (teniendo en cuenta (12) y después de despreciar los términos donde figuran las pequeñas rotaciones), se obtienen las mismas ecuaciones del caso lineal, llegando a (16) y (18). La suma de fuerzas según x3 resulta más compleja, en ella aparecen las fuerzas membranales N11, N12 y N22 que tienen una componente según x3. Teniendo en cuenta (12), omitiendo los infinitésimos de orden superior y simplificando se llega a:

§ wN11 § wN12 wN12 · wN 22 · wE1 ¨ ¸ E1 ¨ ¸ E 2 N11 wx2 ¹ wx2 ¹ wx1 © wx1 © wx1 wN13 wN 23 wE 2 wE1 wE 2 N12 N12 N 22 wx1 wx2 wx2 wx1 wx2

(14)

p3

Las cantidades entre paréntesis se anulan según (15) y (17), obteniéndose (19). Resumiendo, a continuación se presentan las cinco ecuaciones diferenciales de equilibrio:

wN11 wN12 wx1 wx2

0

(15)

wM 11 wM 12 N13 wx1 wx2

0

(16)

wN12 wN 22 wx1 wx2

0

(17)

wM 12 wM 22 N 23 wx1 wx2

0

(18)

ª § wE wN13 wN 23 wE wE1 · wE 2 º « N11 1 N12 ¨ 2 p3 » ¸ N 22 wx1 wx2 ¹ wx2 ¼ wx1 wx2 © wx1 ¬

0

(19)

Notar que las cuatro primeras ecuaciones son iguales que las correspondientes al caso lineal. La única diferencia ocurre en la última ecuación donde los términos dentro del corchete contienen la contribución de las fuerzas membranales debidas a las curvaturas del estado deformado. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

119


2.3 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas son las correspondientes al caso lineal, pero en ellas se reemplaza el tensor lineal H ij por el tensor no lineal J ij , ver (26) y (31) del Capítulo 4:

N11

C J 11 Q J 22

N 22

C J 22 Q J 11

N12

C 1 Q J 12

(20)

M 11

D F11 Q F 22

M 22

D F 22 Q F11

M 12

D 1 Q F12

(21)

C

Eh 1 Q 2

D

donde: E h3 12 (1 Q 2 )

(22)

3 MÉTODO DE LA RIGIDEZ Repitiendo el razonamiento del caso lineal, ecuaciones (37) a (40) del Capítulo 4, y definiendo el bilaplaciano de u3 como: w 4u3 w 4u3 w 4u3 4u3 2 (23) w x14 w x12 w x22 w x24 se pueden eliminar las ecuaciones (16) y (18), reduciendo el número de ecuaciones de equilibrio a tres:

wN11 wN12 w x1 w x2

0

(24)

wN12 wN 22 w x1 w x2

0

(25)

D 4u3 > N11 F11 2 N12 F12 N 22 F 22 @ p3

0

(26)

Comparando (26) con (40) del caso lineal estudiado en el Capítulo 4, se observa la aparición de los términos dentro del corchete; mientras que (24) y (25) son iguales a (18) y (19) del Capítulo 4 (caso lineal ). No obstante, si se consideran las ecuaciones constitutivas (20) y el tensor no lineal J ij según (8), se obtiene una versión diferente de las ecuaciones (34), (35) y (40) del Capítulo 4: 2 2 ª wu º½ w ° ª wu1 1 § wu3 · º 2 1 § wu3 · » ° 1 Q w wu1 wu2 wu3 wu3 ½ « » « Q ® ¾ ® ¾ ¨ ¸ ¨ ¸ 2 wx 2 wx2 ¯ wx2 wx1 wx1 ° « wx1 2 © wx1 ¹ » wx wx1 wx2 ¿ © 2 ¹ ¼» °¿ ¼ ¬« 2 ¯¬

0

(27)-a

2 2 ° ª wu ª wu1 § wu3 · º § wu3 · º ½° 2 1 1 » Q « ¨ ¨ ®« 2 wx ¸ » 2 © wx ¸¹ » ¾ wx «¬ wx1 »¼ ¿° © 2 ¹ ¼ ¯° «¬ 2

0

(27)-b

0

(27)-c

1 Q w wu1 wu2 wu3 wu3 ½ w ® ¾ 2 wx1 ¯ wx2 wx1 wx1 wx2 ¿ wx2 w 2u D u3 C 23 wx1 4

C

2 ° ª wu § wu3 · º 1 1 ¨ ®« ¸ » Q wx 2 © wx1 ¹ » ¼ ¯° ¬« 1

2 ª wu § wu3 · º ½° 2 1 « ¨ ¸ » ¾ «¬ wx2 2 © wx2 ¹ »¼ ¿°

w 2 u3 wu1 wu2 wu3 wu3 ½ w 2 u3 ® ¾C 2 wx1 wx2 ¯ wx2 wx1 wx1 wx2 ¿ wx2

° ª wu 1 § wu · 2 º 2 ¨ 3 ¸ » Q ®« w x °¯ «¬ 2 2 © wx2 ¹ »¼

ª wu 1 § wu · 2 º ½° « 1 ¨ 3 ¸ » ¾ p3 «¬ wx1 2 © wx1 ¹ »¼ °¿

Resultan tres ecuaciones diferenciales acopladas en las incógnitas u1 , u2 y u3 , donde hay términos lineales, cuadráticos y cúbicos, y derivadas hasta de cuarto orden. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

120


3.1 Trayectorias de equilibrio no lineales Las ecuaciones (27), permiten determinar las configuraciones de equilibrio tanto lineales como no-lineales, dentro del rango de deformaciones intermedias. La solución numérica de esas ecuaciones para el caso típico de una placa en compresión pone en evidencia una trayectoria primaria ( lineal) y otra secundaria ( no lineal ), como se indica en la Figura 4.

Figura 4: Bifurcación del equilibrio en una placa ideal comprimida – Trayectorias lineales y no lineales

La Figura 4-b muestra el desplazamiento de un punto del borde cargado ( punto b). Hasta el valor de la carga crítica de pandeo Pcrít solo hay una configuración de equilibrio, la lineal asociada a la ley de Hooke. Para cargas mayores existe una posición de equilibrio inestable que corresponde a la trayectoria lineal ( línea de trazos) y una configuración de equilibrio estable, no lineal (línea llena). En la Figura 4-c se muestra el desplazamiento transversal del punto central de la placa ( punto c ). También aquí se observa una trayectoria estable en línea llena y una inestable en línea de trazos. La simetría muestra que la placa “ideal” puede pandear en cualquier sentido de u3 . El objeto de la próxima sección es linealizar las ecuaciones (27), a fin de poder determinar la carga crítica que corresponde al punto de bifurcación del equilibrio.

3.2 Linealización de las ecuaciones de equilibrio La carga crítica de pandeo se caracteriza porque en su vecindad hay más de un estado posible de equilibrio. Para determinar la carga crítica, utilizaremos el criterio del equilibrio adyacente. Para ello, se escriben los desplazamientos como:

ui donde:

ui0 ui1

i

1, 2,3

(28)

ui0 corresponde a un estado de equilibrio antes del incremento o perturbación, y está sobre 1

ui ui

la trayectoria principal, que es lineal. es una perturbación infinitamente pequeña. representa un posible estado de equilibrio adyacente, cuya existencia se investiga.

Reemplazando (28) en (27), teniendo en cuenta que al ser ui0 un estado de equilibrio, la suma de todos los términos que contienen ui0 debe dar cero; y despreciando los términos cuadráticos y cúbicos en ui1 por ser infinitamente pequeños se tiene:

w u21 · 1 Q w § w u11 w u21 · w § w u11 Q ¨ ¸ ¨ ¸ 2 w x2 © w x2 wx1 © w x1 w x2 ¹ w x1 ¹

0

(29)-a

¸

0

(29)-b

2 1 § w 2u31 w 2u31 0 0 w u3 · D 4u31 ¨ N110 2 N N ¸ 12 22 w x12 w x1 w x2 w x22 ¹ ©

0

(29)-c

1 Q 2

N110

§ w u10

¨

w x1 © w x2

Q

w u20 ·

w u21 ·

1 w § w u2

w x1 ¹

w x2 © w x2

¸

N 220

¨

§ w u20


C¨

Q

Q

w u11 ·

w x1 ¹

w u10 ·

N120

0 1 Q § w u1

w u20 ·

(30) ¸ ¸ ¨ ¸ 2 © w x2 w x1 ¹ w x2 ¹ w x1 ¹ © w x1 © w x2 Las dos primeras ecuaciones en (29) dependen sólo de u11 y u21 , mientras que la tercera depende sólo de u31 y resulta por lo tanto desacoplada. Los esfuerzos membranales (30) corresponden a la teoría lineal porque ui0 es una posición de equilibrio sobre la trayectoria lineal, estable o no. La ecuación (29)-c es una ecuación diferencial lineal en u31 con coeficientes variables.

donde:

C¨

1 w § w u1

121

C


4 CARGAS CRÍTICAS PARA PLACAS RECTANGULARES La ecuación (29)-c resulta bastante simple en el caso de una placa rectangular con carga uniforme en los bordes y puede ser resuelta en forma analítica. En casos complejos se debe recurrir a soluciones numéricas, por ejemplo empleando algún software de elementos finitos.

4.1 Carga compresiva uniforme en una sola dirección En el caso de una placa rectangular con carga compresiva uniforme en una sola dirección se deduce una fórmula con un coeficiente de pandeo K que tiene en cuenta las condiciones de apoyo. 4.1.1 Cuatro bordes simplemente apoyados En la Figura 5 se muestra una placa rectangular con carga compresiva uniforme sobre el borde b.

Figura 5: Placa rectangular con carga compresiva uniforme y bordes simplemente apoyados

El estado de equilibrio lineal antes de la perturbación es conocido: P (31) N110 N 220 0 N120 0 b Entonces (29)-c se reduce a: P w 2u31 (32) 0 D 4u31 b w x12 Las condiciones de borde implican desplazamiento nulo y curvatura nula en los cuatro bordes:

en x1 en x2

0 y en 0 y en

x1 x2

a

o

u31

b

o

1 3

u

0 y

w 2u31 w x12

0

(33)

y

w 2u31 w x22

0

(34)

0

La solución de (32) es de la forma

x · x · § § (35) Am n sen ¨ m S 1 ¸ sen ¨ n S 2 ¸ a ¹ b ¹ © © es una constante que satisface la ecuación diferencial (32) y las condiciones de borde (33) y (34). Además, m y n son enteros ( número de semiondas ) . u31

donde: Amn

Sustituyendo (35) en (32) se llega a:

° Am n ® D ¯°

2 2 4 2 ª§ m S · 4 § m S · § n S · § n S · º P § m S · ½° 2 «¨ » ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¾ © a ¹ © b ¹ © b ¹ »¼ b © a ¹ °¿ «¬© a ¹

0

(36)

Vemos que (36) se satisface sólo para ciertos valores discretos de la carga P:

P

2 2 2 § S a · ª§ m · § n · º bD ¨ ¸ «¨ ¸ ¨ ¸ » © m ¹ «¬© a ¹ © b ¹ »¼

2

(37)

Para cualquier otro valor de la carga que no verifica (37) debe ser Am n = 0 según (36) y corresponde a una solución trivial u31 0 . En tal caso no existe equilibrio adyacente y la carga P no corresponde a un punto de bifurcación del equilibrio. Interesa conocer la menor carga P provista por (37), para m y n enteros. Observando (37) vemos Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

122


que eso ocurre para el menor valor posible de n, es decir n = 1. Entonces (37) se puede reescribir:

P

K

S 2D b

donde:

K

(38)-a

§ m a b· ¨ ¸ m ¹ ©a b

2

(38) (38)-b

El coeficiente adimensional K depende del número de semiondas m y de la relación de forma a b . Para un valor dado de a b se debe elegir m de modo de obtener el menor valor propio posible, esto es Pcrít. En la Figura 6-a se graficó el modo de pandeo para una placa de dimensiones a b 2 .

a)

b)

Modo de pandeo de una placa donde a /b = 2

Variación del coeficiente K en función de a/b

Figura 6: Pandeo de una placa rectangular con los cuatro bordes simplemente apoyados

Según se observa en la Figura 6-b, el modo de pandeo más bajo corresponde a una semionda en el sentido x2 y a un número m de semiondas en el sentido x1. El valor de m resulta aproximadamente igual al entero más próximo al valor a b . Un aspecto importante es que si la relación a b crece, la carga crítica se mantiene casi invariable (notar que K 4 ), aquí hay una gran diferencia con el caso de una columna cuya carga crítica disminuye monótonamente cuando el largo de la columna crece. Esa diferencia se debe a que la placa está apoyada en los lados de largo “a ”. 4.1.2 Otras condiciones de borde En todos los casos la carga crítica se puede formular con una expresión similar a (38)-a:

Pcrít

K

S 2D b

donde: D

La tensión crítica de pandeo es :

E h3 12 (1 Q 2 )

V crít

K

siendo h el espesor de la placa

§ h · S2 E ¨ ¸ 2 12 (1 Q ) © b ¹

(39)

2

(40)

El coeficiente de pandeo K para carga compresiva y distintas condiciones de borde, se puede obtener de los gráficos de las Figuras 7, 8, 9, 10 y 11. En todos los casos se observa que la carga crítica es mayor si los lados cargados están empotrados en lugar de simplemente apoyados, pero esa diferencia tiende a desaparecer cuando ‘a’ es mucho mayor que ‘b’ y en ese caso el valor de K tiende a un valor asintótico K indicado en las figuras.

Figura 7: Gráfico de los coeficientes de pandeo K para bordes no cargados apoyado-apoyado Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

123


Figura 8: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados empotrado-empotrado

Figura 9: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados empotrado-apoyado

Figura 10: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados empotrado-libre

Figura 11: Coeficientes de pandeo K para bordes no cargados apoyado-libre Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

124


4.2 Cargas en dos direcciones En el caso de una placa rectangular con carga en dos direcciones como se indica en la Figura 12, se conocen los esfuerzos membranales sobre la trayectoria de equilibrio lineal (antes de la perturbación):

N110

P1 b

N 220

P2 a

N120

0

(41)

Figura 12: Placa rectangular con carga compresiva en dos direcciones

Es importante remarcar que la carga P1 actúa en el lado de largo ‘b’ mientras que la carga P2 actúa en el lado de largo ‘a’. La relación de tensiones R = V 22 /V 11 también relaciona las cargas P1 y P2: V 22 N 22 P2 / a P2 b (42) R V 11 N11 P1 / b P1 a Reemplazando (41) en la ecuación diferencial (29)-c, y considerando la relación (42) se obtiene: P1 § w 2u31 w 2u31 · (43) D 4u31 R ¨ ¸ 0 b © w x12 w x22 ¹ Se usa la siguiente convención de signos: Las cargas de compresión son positivas mientras que las cargas de tracción son negativas. Notar que la formulación permite que una de las cargas ( P1 ó P2 ) sea de tracción, en tal caso R resulta negativo y el efecto de la carga de tracción es estabilizante. 4.2.1 Cuatro bordes simplemente apoyados Las condiciones de borde están dadas por (33) y (34). Proponiendo una solución de la forma de la ecuación (35) y reemplazando en la ecuación diferencial (43) se observa que existe solución distinta a la trivial u31 z 0 , solo para ciertos valores discretos de la carga P1. Estos autovalores corresponden a puntos de bifurcación del equilibrio y se pueden escribir como:

P1crít

K

S 2D b

donde:

K

[(m b a)2 n 2 ] 2 2

(m b a) + R n

(44)-a

(44)

2

(44)-b

Los valores de m y n se deben encontrar por tanteos, de modo de lograr el menor valor posible de P1 , que es la carga crítica de pandeo P1crít . Notar que P2crít está relacionado con P1crít según (42). Recordar que m y n son enteros, m es el número de semiondas según x1 y n es el número de semiondas según x2. Una vez calculado P1crít se puede determinar P2 crít de manera inmediata: P2crít P1crít

P2 crít

R

a P1crít b

(45)

Una relación útil se obtiene reemplazando (42) en (44)-b considerando P1crít y P2crít y luego llevando el valor de K así obtenido a la ecuación (44)-a: 2

§ n2 b · § mb · P1 crít ¨ ¸ ¸ P2 crít ¨ © a ¹ © a ¹

2

ª§ mb · 2 º S 2D 2 «¨ ¸ n » b «¬© a ¹ »¼

(46)

Esta expresión muestra una relación lineal entre las cargas críticas P1crít y P2crít para cada par de valores de m y n, que son la cantidad de semiondas de la forma de pandeo considerada. Para obtener una curva de interacción, se puede considerar para cada valor de P1crít, el menor valor de P2crít provisto por todas las rectas posibles al variar m y n. De esa manera la curva de interacción que se obtiene es una poligonal. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

125


4.3 Carga de corte uniforme En el caso de una placa rectangular con carga de corte uniforme como se indica en la Figura 13, se conocen los esfuerzos membranales sobre la trayectoria de equilibrio lineal (antes de la perturbación):

N110

0

N 220

0

N120

dato

(47)

Figura 13: Placa rectangular con carga de corte uniforme

Reemplazando (47) en (29)-c se tiene:

D 4u31 2 N120

w 2u31 wx1 wx2

0

(48)

que es una ecuación diferencial a coeficientes constantes de muy difícil solución porque hay derivadas de orden par y también de orden impar. Una solución del tipo (35) no satisface esta ecuación diferencial. Sólo se conoce la solución exacta, provista por Southwell, para el caso a b o f : N12 crít

donde: K = 5,35 K = 8,98

K

S 2D

(49)

b2

para bordes largos apoyados. para bordes largos empotrados.

Cuando la placa tiene dimensiones finitas, la solución se puede obtener en forma numérica. Dividiendo los resultados numéricos de N12crít por (2D/b2 ) se obtienen los valores de K que se han graficado en la Figura 14; eso permite seguir utilizando la ecuación (49). El coeficiente K puede ser aproximado por expresiones simples:

a b !1

o

K

° 5,35 4 / a b 2 ...........para cuatro bordes apoyados ® 2 °¯ 8,98 5,6 / a b ........para cuatro bordes empotrados

(50)

Figura 14: Coeficiente K para placa rectangular con carga uniforme de corte Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

126


5 PANDEO DE PLACAS REALES Los resultados obtenidos en las secciones anteriores suponen placas ideales perfectas bajo carga centrada. Las placas reales son imperfectas y los resultados experimentales muestran diferencias con las predicciones teóricas.

5.1 Incidencia de las imperfecciones Los diagramas carga – desplazamiento de las Figuras 4-b y 4-c correspondientes a una placa “ideal” se modifican en el caso de una placa “real”, debido a las imperfecciones, según se muestra en la Figura 15, donde en línea de trazos se ha graficado la trayectoria de equilibrio de la placa real.

Placa ideal ( perfecta ) Placa real (imperfecta)

Desplazamiento membranal en el borde

Desplazamiento transversal del centro

Figura 15: Diagramas carga – desplazamiento para placas en compresión

De la Figura 15 se pueden extraer dos conclusiones muy importantes: 1. El pandeo de placas reales es tan gradual que resulta difícil decidir cuál es el valor de la carga crítica de pandeo. 2. Tanto la placa real como la ideal pueden soportar carga adicional después del pandeo. x La primera conclusión permite afirmar que el concepto de carga crítica de una placa real es una noción algo imprecisa. x La segunda conclusión permite afirmar que la carga crítica de una placa no representa la resistencia última, como ocurre en el caso de una columna.

5.2 Comentarios finales El hecho de que las placas con más de dos bordes apoyados pueden soportar cargas adicionales, después del pandeo, fue descubierto hacia fines de la década de 1920 en conexión con el estudio de estructuras aeronáuticas. En 1929, Wagner estableció un criterio para calcular la resistencia en el periodo poscrítico de una placa rectangular solicitada por corte en su plano. Dicho criterio se conoce como “campo de tensión diagonal ” . Otro aspecto importante en el período poscrítico es el efecto estabilizante de los bordes; esto se traduce en un criterio de diseño que se conoce como “ancho de colaboración”. También se debe destacar que el pandeo en el campo plástico es poco común, en el caso de placas. Recordar que en el caso de columnas es frecuente diseñar para pandeo en el campo plástico. Finalmente, se debe considerar la posibilidad de pandeo de placas que son parte de una sección compuesta por paredes delgadas, ya sea una sección cerrada o abierta, cuando soportan cargas de compresión o corte. Este fenómeno se conoce con el nombre de “ pandeo local” y se estudia en el Capítulo 8. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

127


ANEXOS DEL CAPÍTULO 6 ANEXO 1 – PLACA ORTÓTROPA En las secciones anteriores se consideraron solamente placas isótropas. Para analizar placas ortótropas se deben modificar sólo las ecuaciones constitutivas. Ejemplos de placas ortótropas son las láminas corrugadas, los materiales compuestos (fibra de vidrio, fibra de carbono, etc.) y las placas reforzadas con rigidizadores próximos entre sí. En la Figura 16 se muestra una placa reforzada con rigidizadores ubicados simétricamente respecto al plano medio.

Figura 16: Placas reforzadas con rigidizadores

Se deben reemplazar las ecuaciones constitutivas vistas anteriormente por otras más generales de la forma N11 C11 J 11 C12 J 22 N 22 C12 J 11 C22 J 22 N12 C33 J 12 (51) M 11 C44 F11 C45 F 22 M 22 C45 F11 C55 F 22 M 12 C66 F12 Empleando (51) se llega a expresiones del tipo (24), (25), (26) y (27) donde u3 está desacoplado de u1 y u2. Estas ecuaciones se pueden linealizar, llegando a un problema de autovalores. Como la ecuación diferencial contiene sólo derivadas de orden par, respecto a cada una de las variables x1 y x2, en el caso de cuatro bordes simplemente apoyados, la solución es del tipo (35) y se obtienen los siguientes autovalores: P

§ S2b · 2 § S 2 a2 · 1 2S 2 C m C ¨ 2 ¨ 3 44 ¸ 55 ¸ 2 b © a ¹ © b ¹ m

C45 C66

(52)

La carga P dada en (52) puede ser minimizado por tanteos para obtener la carga crítica Pcrít , haciendo sucesivamente m = 1, m = 2, m = 3, etc. Recordar que m es un entero igual al número de semiondas en el sentido de la carga de compresión. Los valores de las constantes de elasticidad se obtienen adicionando a la rigidez propia de la placa, la rigidez a flexión y torsión de los rigidizadores:

C44

D

E I1 d1

C55

D

E I2 d2

C66

§ G J R1 G J R 2 · ¸ d2 ¹ © d1

1 Q D 12 ¨

C45

QD

(53)

donde D: rigidez f lexional. I1: momento de inercia de los refuerzos en la dirección x1. d1: espacio entre refuerzos en la dirección x1 ( de centro a centro ). JR1: módulo torsional de los refuerzos en la dirección x1 ( del tipo [ t 3 ). Se propone al lector explicitar las constantes (53) para el caso de una chapa plegada, según la dirección de la carga, de acuerdo con la Figura 17.

Figura 17: Placa de chapa plegada solicitada en compresión Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

128


ANEXO 2 – PLACA SÁNDWICH Una placa sándwich consiste en dos placas delgadas pegadas a ambos lados de un núcleo liviano (ver Figura 18). Las placas son resistentes (de acero, aluminio, etc.) y el núcleo actúa sólo como espaciador (de corcho, madera, espuma de nylon, etc.), pero está solicitado a corte. Notación: se usa el subíndice ‘p’ para las placas y ‘n’ para el núcleo.

Figura 18: Placa sándwich solicitada en compresión

En este caso, las deformaciones de corte no pueden ser ignoradas y la hipótesis de Kirchhoff no se puede aplicar. Las curvaturas son causadas por los momentos M11, M12 y M22, y también las fuerzas de corte N13 y N23. Las ecuaciones (1) y (2) se deben modificar:

Ei

wu3 N i 3 Rc wxi

F ij

w 2u3 1 § wN i 3 wN j 3 · ¨ ¸ w xi w x j 2 Rc ¨© w x j w xi ¸¹

i, j

1, 2

(54)

donde: Rc es la rigidez al corte, del tipo Rc G , que se puede medir experimentalmente o calcular en forma aproximada a partir de las propiedades hn y Gn del núcleo como:

Rc

5 hn Gn 6

(55)

Con estas modificaciones, las ecuaciones cinemáticas (7) y (8) mantienen validez; lo mismo ocurre con las ecuaciones de equilibrio (15) a (19). Mientras que las ecuaciones constitutivas para los momentos (21), se modifican según (54). Las ecuaciones se pueden linealizar y desacoplar como en (29)-c, llegando a:

§ · D D 4u31 ¨1 2 ¸ © Rc ¹

2 1 § 0 w 2u31 w 2u31 0 0 w u3 · 2 N N N ¨ 11 ¸ 12 22 w x12 w x1 w x2 w x22 ¹ ©

0

(56)

Para el caso de la Figura 18 resulta:

N110

P b

N 220

N120

0

(57)

§ D 2 · § P w 2u31 · D 4u31 ¨1 ¸¨ ¸ 2 Rc © ¹ © b w x1 ¹

0

(58)

0

Para el caso de cuatro bordes simplemente apoyados, las condiciones de borde están dadas en (33) y (34), y como las derivadas de (58) son de orden par en cada una de las variables x1 y x2, se obtiene una solución del tipo (35), arribándose a un problema de autovalores, cuya solución se puede escribir en la forma habitual:

Pcrít

K

S 2D

donde:

b

K

(59)-a

( I I 1 )

2

1 r (1 I 2 )

(59) (59)-b

D , r y I se definen en (60). El número de ondas m es un entero que se debe encontrar por tanteos de modo de minimizar P, para obtener carga crítica Pcrít: D

1 E h h h p 2 p p n


2

r

129

S 2D 2

b Rc

I

mb a

(60)


PRÁCTICO

Cargas Críticas de Placas


1. La placa rectangular del croquis tiene 0,1 cm de espesor. Material: acero

E = 2100000 kg/cm2

= 0,3

a) Determinar la carga crítica considerando 4 bordes apoyados. b) Acotar la carga crítica suponiendo que los bordes están apoyados elásticamente en un situación intermedia entre apoyados y empotrados. c) En qué porcentaje disminuye la carga crítica calculada en a) si el borde superior no cargado está libre.

2. Determinar la carga crítica de tres placas rectangulares de aluminio, casos a, b y c especificados en la figura, que tienen los 4 bordes simplemente apoyados. Material: Aluminio

E = 770000 kg/cm2

= 0,34

espesor h = 0,12 cm

3. La placa del croquis de 64 x 32 cm tiene refuerzos cada 8 cm en la dirección más larga. Los refuerzos tienen 0,2 cm de ancho y 0,8 cm de alto. La placa tiene un espesor h = 0,08 cm y los cuatro lados se suponen simplemente apoyados. Material: aluminio

E = 750000 kg/cm2

= 0,35

a) Calcular la carga compresiva crítica. b) Determinar la carga crítica de una placa sin refuerzos que utilice la misma cantidad de material (de espesor mayor y sin refuerzos). c) Calcular en que porcentaje se incrementa la capacidad portante debida a los refuerzos.

4. Una placa tipo sándwich está simplemente apoyada en los cuatro bordes. Las propiedades de las placas exteriores de aluminio son: E = 750000 kg/cm2

= 0,35

El módulo de rigidez transversal del núcleo es: Gn = 768 kg/cm2 a) Determinar la carga crítica de pandeo para el estado de carga indicado en el croquis (según x1 ). b) Determinar la carga crítica cuando la carga actúa en la dirección del eje x2 . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

130



Cargas Críticas de Placas


1 Determinación y comparación de la carga crítica de una placa para dos condiciones de apoyo. a) Carga crítica considerando bordes simplemente apoyados Ec. (39)

S 2 D /b S 2 x 192,3/60 31,63

D Eh3 / [12 (1 Q 2 )] 2100000 x (0,1)3 / [12 x (1 0,32 )] 192,3

a/b = 45/60 = 0,75

según Figura 6-b m = 1

(1 / 0,75 0,75 / 1)2

Ec. (38)-b

K

Ec. (38)-a

Pcrít

K S 2 D /b

4,34 137,3 .... Pcrít

4,34 x 31,63

137 kg

b) Cotas para la carga crítica para bordes apoyados elásticamente Figura 8

K | 14

o

Pcrít

14 x 31,63

137 kg Pcrít < 443 kg

442,8 ........................

c) Disminución porcentual de la carga crítica al considerar un borde libre 137 73 46,7.... Disminución = 47 % x 100 Figura 11 K 2,3 Pcrít 2,3 x 31,63 73 137

2 Cálculo de la carga crítica de tres placas de igual material y espesor pero distinta geometría y cargas. Ec. (39)

E h3 / [ 12 (1 Q 2 )]

D

b a

a)

770000 x (0,12)3 / [12 x (1 0,342 )]

60 80

0,75

K

Ec. (44)-b

Ec. (44)-a

Pcrít

K S 2 D /b b a

b)

[ (0,75 m)

Ec. (44)-b

2

2

]

2

( 0,75 m ) 0, 45 n

Ec. (42)

2

0,6 P x 60 0, 45 P x 80 n=1 n=2 m = 1 2,41

8,81

m = 2 3,91

9,64

49,7 ................................. Pcrít P2 b P1 a

R

3P x 60 6 P x 30 n=1 n=2

50 kg

m=1

2,50

2,29

n=3 2,91

m=2

13,1

10,0

8,93

47, 2 .................................. Pcrít

47 kg

( 4 m2 n2 ) 2

K

n

2

2, 41 x S 2 x 125, 4 /60 60 30

2

P2 b P1 a

R

Ec. (42)

125, 4

o

4 m2 6 n2

Hay dos semiondas en el sentido más largo Ec. (44)-a

Pcrít

K S 2 D /b

2, 29 x S 2 x 125, 4 / 60

c)

R

Ec. (42)

b a

20 80

P2 b P1 a

0, 25

[(0, 25 m) n ] 2

Ec. (44)-b

K

0,6 x P x 20 P x 80

2

2

( 0, 25 m )2 0,15 n 2

0,15

m=1 m=2

n=1 5,31 3,91

n=2 24,9 21,2

m=3

3,43

17,9

m=4

3,48

15,6

Hay tres semiondas en el sentido más largo. Ec. (44)-a Pcrít

K S 2 D /b

3, 43 x S 2 x 125, 4 / 20


131

212, 2 ............................... Pcrít

212 kg


3 Cálculo de la carga crítica de una placa con refuerzos. Según (98) del Capítulo 1

G

E / [ 2 (1 Q ) ]

277778

750000 x (0,08)3 / [12 x (1 0,352 )]

D

Ec. (39)

750000 / [ 2 x (1 0,35)]

36, 47

a) Carga crítica de la placa ortótropa I1 b h3 /12 0, 2 x (0,8)3 /12 0,008533 I 2 0 J R1 ൈ hb3 0,8 x (0,2)3 / 3 0,002133 J R 2 0 ° C44 D E I1 / d1 36, 47 750000 x 0,008533 / 8 836,5 ° Ec. (53) ® C55 D E I 2 / d 2 36, 47 0 36, 47 ° 1 1 °¯ C45 C66 Q D (1 Q ) D 2 (G J R1 / d1 ) 36, 47 2 (277778 x 0,002133/8) 73,5 m 1 2 3 Ec. (52) P 64,5 x m 2 45 / m 2 45,34 P 154,8 514,6 630,8 Pcrít

Mínimo para m = 1

155 kg

b) Carga crítica considerando una placa de igual peso Área de la sección transversal A

32 x 0,08 4 x [0, 2 x ( 0,8 0,08)]

Espesor de la placa: h

0,098 D

a /b

64/32

2

Ec. (38)-b

K S 2 D /b

Pcrít

Ec. (38)-a

3,136 / 32

K

750000 x (0,098)3 / [12 x (1 0,352 )]

(m /2 2 / m)2

4 x S 2 x 67 / 32

3,136

m K

1 6,25

2 4,00

82,7 ......Mínimo para m = 2 ........

67,04

3 4,69

4 6,25

Pcrít

83 kg

c) Incremento porcentual de la capacidad portante debido a los refuerzos

[ (155 83) / 83 ] x 100

Incremento porcentual

86,7 ...................... Incremento = 87 %

4 Determinación de la carga crítica de una placa tipo sándwich con bordes simplemente apoyados. a) Carga crítica considerando carga según el eje x1 Ec. (55)

Rc

(5/6) hn Gn

Ec. (60)

D

1 2

Ec. (60)

r

Ec. (60)

I

320

E p hp ( hn hp )2 0,5 x 750000 x 0,05 x 0,5 0,05

S 2 D /( b 2 Rc ) mb / a

Pcrít

Ec. (59)-a

0,833 x 0,5 x 768

S 2 x 5672 / (1622 x 320)

1,8 m

Ec. (59)-

K S 2 D /b

2

5672

0,006666

m (1,8 m 1 / 1,8 m ) 2 2 K 1 0,00667 x [1 (1,8 m) ]

K

5, 4 x S 2 x 5672 / 162

1 5,4

2 13,7

Pcrít

1866 kg

2401 ........................................ Pcrít

2400 kg

1866 .........................................

b) Carga crítica considerando carga según el eje x2 Ec. (55)

Rc

Ec. (60)

r

S 2 D / (b 2 Rc )

Ec. (60)

I

mb /a

Ec. (59)-

320

K

Tanteo: Ec. (59)-a

Pcrít

Ec. (60)

[ igual que en la parte a)]

5672

S 2 x 5672 / (902 x 320)

0,0216

m / 1,8

( m /1,8 1,8 / m ) 2

m K

D

1 5,4

K S 2 D /b

/ ^ 1 0,0216 x [1 (m /1,8)2 ] ` 2 3,86

3 4,75

3,86 x S 2 x 5672 / 90


132

Hay dos semiondas en el sentido más largo


Capítulo 7

PANDEO DE CILINDROS 1 INTRODUCCIÓN Nos concentraremos en el análisis de la estabilidad de cilindros delgados, por ser utilizados en numerosas aplicaciones prácticas. El análisis se inicia definiendo dos coordenadas curvilíneas ortogonales ( x, ) sobre la superficie media del sistema indeformado y una tercera coordenada (z) en dirección perpendicular a las dos anteriores, según se muestra en la Figura 1-a. Los desplazamientos también están indicados en la Figura 1-a y se denotan u, v y w.

a) Coordenadas y desplazamientos

b) Esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro

Figura 1: Coordenadas cilíndricas, desplazamientos y esfuerzos en un elemento de cilindro

Los esfuerzos resultantes y las ecuaciones constitutivas se definen de manera similar al caso de placas, según se indica en la Figura 1-b; donde r es el radio medio del cilindro. Notar que a diferencia del caso de la placa, aquí el sentido positivo del eje z es hacia arriba.

2 ECUACIONES PARA CILINDROS DELGADOS Para deducir las relaciones cinemáticas se adopta la hipótesis de Kirchhoff donde se asume que: “las rectas normales al cilindro medio indeformado permanecen rectas y son normales al cilindro medio deformado”. Además, se desprecian las tensiones normales en los planos paralelos al cilindro medio. Planteando el equilibrio de fuerzas (tres ecuaciones) y de momentos (dos ecuaciones ), todo en el sistema deformado, se obtienen ecuaciones similares a (15) hasta (19) del Capítulo 6 para el caso de placas. También aquí se pueden eliminar los cortes, Qx y QT , obteniendo ecuaciones similares a las (24), (25) y (26) del Capítulo 6: wN x wN xT 0 r (1)-a wx wT

r

wN xT wNT wx wT

ª NT w 2 w º N w2w 2 w2w «Nx N D 4 w T xT 2 2 2 » r r wT ¼ r wx w x wT ¬

0

(1)-b

p

(1)-c

donde r es el radio medio del cilindro y w es el desplazamiento transversal. Los esfuerzos membranales Nx, N, N{, y la presión p están indicados en la Figura 1-b, D es la rigidez flexional, definida en la ecuación (32) del Capítulo 4 y 4 es el bilaplaciano en coordenadas cilíndricas:

4

2

2

w4 2 w4 1 w4 w x4 r 2 w x 2 wT 2 r 4 wT 4

D

E h3 12 (1 Q 2 )

(2)

Las ecuaciones (1) relacionan los desplazamientos transversales con los esfuerzos membranales y la carga transversal y son conocidas como las ecuaciones de Donnell. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

133


Notar que en el caso lineal de flexión se desprecia el corchete en (1)-c porque se considera que los cambios de curvatura son pequeños. Sin embargo, la contribución membranal (N / r) en (1)-c asociada a la curvatura propia del cilindro mantiene acoplado al sistema (1). Las ecuaciones lineales membranales se obtienen haciendo w = 0 : wN x wN xT wN xT wNT 0 0 r r NT p r 0 (3) wx wT wx wT

3 CARGAS CRÍTICAS PARA CILINDROS DELGADOS Las cargas críticas para distintos tipos de carga se pueden obtener haciendo un análisis de bifurcación del equilibrio similar al realizado en el Capítulo 6 referido a pandeo de placas. Los desplazamientos se pueden escribir como en el caso de placas,

ui0 ui1

ui

i 1, 2,3

(4)

donde: ui0 corresponde a un estado de equilibrio antes del incremento o perturbación, y está sobre la trayectoria principal, que es lineal; ui1 es una perturbación infinitamente pequeña y ui representa a un estado de equilibrio adyacente, cuya existencia se investiga. Repitiendo una formulación similar a la usada en el caso de placas, se obtienen ecuaciones equivalentes a las (29) del Capítulo 6 referido a pandeo de placas:

4u1

4 v1

Q w 3 w1 w x3

r

2 Q

r2

1

r3

w 3 w1 w x wT 2

(5)-a

w 3 w1 1 w 3 w1 w x 2 wT r 4 wT 3

(5)-b

§ NT0 w 2 w1 · 1 Q 2 w 4 w1 w 2 w1 2 0 w 2 w1 (5)-c N C 4 ¨ N x0 xT 2 2 2 ¸ 2 4 ¨ ¸ x r x r r x T T w w w w w © ¹ donde 8 es el cuadrilaplaciado 8 ( 4 )2 y C E h / (1 Q 2 ) es la rigidez membranal definida en la ecuación (27) del Capítulo 4. Las ecuaciones (5) se conocen como ecuaciones de estabilidad de Donnell en forma desacoplada. Notar que u 1 , v1 y w1 son perturbaciones que se agregan al estado de equilibrio u 0 , v 0 y w0 , y los esfuerzos membranales N x0 , N x0T y NT0 corresponden al estado de equilibrio fundamental u 0 , v 0 y w0 . A continuación se presentan soluciones clásicas del problema de bifurcación del equilibrio, para varios tipos de carga: axial, lateral y presión hidrostática. D 8 w1

3.1 Carga axial y bordes simplemente apoyados En la Figura 2 se muestra un cilindro de largo A , radio r y espesor h, que soporta una carga axial de compresión P. La trayectoria fundamental es aproximada por una solución membranal: P (6) N x0 V x h NT0 N x0T 0 ; 2S r y las condiciones para bordes apoyados son: w 2 w1 (7) w1 0 ; 0 en x = 0 y en x = A w x2 Figura 2: Formas de pandeo de un cilindro con carga axial: m semiondas axiales y n ondas circunferenciales

La solución es de la forma:

w1

Amn sen (n T ) sen (m x / r )

(8)

donde: Amn es una constante, m y n son enteros y m (m S r A) . Notar que se propone un número entero de ondulaciones: ‘m semiondas’ en sentido axial y ‘n ondas’ en sentido circunferencial. En la Figura 2 se muestran cuatro semiondas en sentido axial (m = 4) y tres ondas completas en sentido Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

134


circunferencial (n = 3). De esa manera se satisfacen las condiciones de apoyo que permiten el giro pero impiden el desplazamiento transversal en x = 0 y en x A , y la continuidad del desplazamiento transversal y su derivada en = 2. Reemplazando (8) y (6) en (5)-c se obtiene un problema de autovalores. Interesa el valor propio P que permita obtener un valor no trivial para Amn:

P 2S r

1 D x 2 (1 Q 2 ) C r x

donde

(m2 n 2 )

x

2

(9)

m2

Notar que ‘x’ es una variable que toma valores discretos en función de los enteros n y m. El par de valores m y n que produce el menor valor de P se debe encontrar por tanteos. Para cilindros de longitud intermedia, se puede obtener una buena aproximación minimizando (9) en forma analítica respecto a la variable x, esto se hace igualando a cero la derivada de P respecto de x:

dP dx

o

0

12 (1 Q 2 )

xcrít

r h

(10)

valor que llevado a (9) permite escribir:

E

V crít Para Q

h r

3 (1 Q ) 2

(11)

0,3 se obtiene la fórmula clásica de la tensión crítica:

V crit

0,605 E

h r

(12)

La minimización analítica que conduce a la fórmula clásica no es válida para cilindros muy cortos. Como el largo del cilindro no figura en la ecuación (12), resulta conveniente tenerlo en cuenta definiendo la variable adimensional Z conocida como parámetro de Batdorf, parámetro de Batdorf

Z

1 Q 2

A2 rh

(13)

Notar que el parámetro adimensional de Batdorf Z depende fundamentalmente de las variables geométricas que definen al cilindro: el largo A , el radio r y el espesor h. Introduciendo el valor de Z dado en (13) y el valor de la rigidez flexional D dado en (2), podemos reescribir la fórmula clásica (12) como sigue:

V crit

S 2 D §¨

12

h A 2 ¨© S 2 3

· Z¸ ¸ ¹

V crit

S 2D hA 2

Eh3 / [12 (1 Q 2 )]

0,702 Z

(14)

Definiendo el parámetro adimensional K a* , la ecuación (14) puede escribirse como:

V crit

S 2D hA

2

K a*

siendo K a*

0,702 Z

(15)

Notar que a pesar de su aspecto diferente, las ecuaciones (14) y (15) proveen el mismo resultado que la fórmula clásica (12). La minimización analítica que condujo a las ecuaciones (12), (14) y (15) no es válida para cilindros muy cortos, esto ocurre cuando: Z 2,85 son válidas ni (12) ni (14) ni (15)

(16)

en tales casos se debe utilizar (9) y tanteos. Este procedimiento es válido para cualquier longitud y sus resultados están graficados en la Figura 3.

Z 2,85 "$!(9) y tanteos para obtener V crít Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

135

(17)


Con los resultados obtenidos encontrando el mínimo de la ecuación (9) por tanteos, en la Figura 3 se ha graficado el coeficiente K a para ser usado como sigue:

V crít

S 2D A2 h

Ka

° cilindros no muy cortos Z ! 2,85 o K a K a* 0,702 Z ® Z d 2,85 o K a de la Figura 3 °¯ cilindros muy cortos

(18)

Figura 3: Gráfico del coeficiente Ka para calcular crít en función del parámetro de Batdorf

Es importante tener presente que en el caso de un cilindro sometido a carga axial, para que la tensión crítica dada por (12) sea menor que la tensión de fluencia se requiere que la relación h/r sea extremadamente pequeña y esa situación generalmente no se da. Por otro lado para que Z sea menor que 2,85 el largo del cilindro debe ser ínfimo y esa situación generalmente tampoco se da. Para ganar sentido físico consideramos, a modo de ejemplo, un cilindro de gran diámetro, pequeño espesor y extremadamente corto: diámetro 3 m, espesor 3 mm, largo 12 cm (!!), material acero ( E = 2100000 kg/cm2 , = 0,3 y f = 2800 kg/cm2 ).

^

r 150

h 0,3

A 12

`

° (12) ® °¯ (13)

V crít Z

2541 V f (19)

3,05 ! 2,85

En conclusión, podemos asegurar que el caso presentado en la ecuación (17) es sólo una curiosidad matemática de muy poca aplicación práctica. Finalizamos esta sección recordando que los cilindros muy esbeltos pueden pandear como columna, por lo cual se los debe verificar como tales.

3.2 Presión lateral y bordes simplemente apoyados Como la carga lateral generalmente se debe a la presión de un fluido (o vacío interior), la carga se mantiene perpendicular a la superficie deformada. No obstante, en el análisis de bifurcación que se realiza a continuación (siguiendo a Donnell) se considera que p es siempre radial, es decir perpendicular al cilindro no deformado, ver Figura 4. Ignorando el efecto de flexión cerca de los bordes, se puede aceptar una solución membranal ( w 0 constante ) que simplifica el análisis:

N x0

0

NT0

Vh

pr

N x0T

0

(20)

Figura 4: Cilindro con presión lateral uniforme Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

136


Introduciendo (20) en (5)-c:

D 8 w1 C

1 Q 2 w 4 w1

w x4 r2 y considerando bordes simplemente apoyados: w1

w 2 w1 w x2

0

la solución tiene la forma

w1

0

1

p 4

w 2 w1 wT 2

0

(21)

en x = 0 y en x A

(22)

r

Amn sen ( n T ) sen ( m x / r )

(23)

donde: Amn es una constante, m m S r A siendo m y n son enteros (m semiondas y n ondas completas). Introduciendo (23) en (21), se llega a un problema de valores propios. Para obtener un valor no trivial de Amn debe ser: (m 2 n 2 ) 2 D m4 (24) pr (1 Q 2 ) C m2 r2 n 2 (m 2 n 2 ) 2 donde se verifica que el mínimo para la presión p, corresponde al menor valor de m , cuando m = 1. Definiendo los siguientes parámetros adimensionales: A2 r A p p (25)-a n n (25)-b 2 S D Sr y utilizando el parámetro de Batdorf dado en (13), se puede reescribir (24) como:

p

(1 n 2 ) 2

1

12

(25)

Z2

(26) S n (1 n ) donde el n que produce el menor valor de la presión adimensional, pcrít , se puede encontrar por tanteos. Llevando ese valor mínimo adimensional, pcrít , a (25)-a se obtiene la presión crítica:

n

2

pcrít

2

2

2

4

S2 D

(27) pcrít A2 r Como se muestra a continuación los tanteos pueden evitarse si se divide a los cilindros en dos grupos según su largo: “cilindros largos” y “cilindros no largos”. 3.2.1 Cilindros no largos ( A A 2 ) El valor de A a partir del cual un cilindro se considera “largo”, denominado A 2 , se deduce más adelante y está dado en (33). En el caso de cilindros “no largos”, se puede considerar a la variable discreta n , que según (25)-b depende del entero n, como si fuera continua y minimizar analíticamente la presión adimensional p dada en (26), obteniéndose el resultado graficado en línea continua en la Figura 5.

Figura 5: Gráfico de la presión lateral crítica adimensional pcrít en función del parámetro de Batdorf Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

137


En la Figura 5 se observa que la presión crítica adimensional se puede aproximar haciendo: S2 D Z (27) pcrít (28) pcrít Z A2 r ya que usando escalas logarítmicas se trata de una recta de pendiente ½ indicada en línea de trazos. Reemplazando en (28) los valores de Z dado en (13) y D dado en (2) se obtiene la expresión de la presión crítica para cilindros “no largos” simplemente apoyados y con presión lateral: cilindros “no largos” ( A A 2 )

pcrít

0,822 E

(1 Q ) 2

0,75

§h· ¨ ¸ © r ¹

2,5

r A

(29)

3.2.2 Cilindros largos ( A ! A 2 ) Para cilindros largos, n resulta pequeño y n no puede tratarse como una variable continua, la forma de pandeo corresponde a n = 2 (dos ondas completas ) y la presión crítica es independiente de A . En tales casos, observando (33) se deduce que A r por ser r h . Haciendo n = 2 en (25)-b resulta que n 1 y por lo tanto aplicando (26) se obtiene:

ª (1 n 2 ) 2 1 12 2 º 1 · § 2A · § p | lím « Z » | lím ¨ n 2 2 ¸ n 2 (25)-b pcrít ¨ 2 ¸ 2 2 2 4 n of n of n (1 n ) S n ¹ © © Sr ¹ ¬ n ¼ Llevando el valor aproximado de pcrít dado en (30) a la ecuación (27) se obtiene:

2

(30)

3

§ h· (31) E ¨ ¸ 2 1 Q © r ¹ En la Figura 6, se comparan los resultados provistos por las ecuaciones de Donnell para carga uniforme, actuando en la dirección radial, con resultados de la teoría exacta de cáscaras, con carga actuando en dirección perpendicular a la superficie deformada. Para cilindros largos, las diferencias son significativas, la teoría exacta predice el 80 % del valor provisto por (31), por ello adoptamos: pcrít

0,333

cilindros “largos” ( A ! A 2 )

pcrít

0, 267 1 Q 2

§h· E ¨ ¸ © r ¹

3

(32)

En cambio para cilindros “no largos”, ambas teorías ( ecuaciones de Donnell y teoría de cáscaras) coinciden, por ello conservamos (29) que puede escribirse como: pr /( Eh) 0, 281 (h / r )1,5[A /(S r )] -1 cuando = 0,3 y cuya gráfica en la Figura 6 es una recta descendente, válida para A A 2 .

2 ondas n=2

Figura 6: Presión lateral crítica – Comparación entre la solución exacta y la teoría de Donnell


138


3.2.3 Deducción de A 2 La longitud que permite considerar al cilindro como “ largo”, que llamamos A 2 , se puede determinar igualando la solución para la presión crítica para cilindros “largos” dada en (32) con la correspondiente a cilindros “ no largos” dada en (29) y resulta:

A2 | 3 r

(33)

r /h

3.3 Carga combinada ( axial y lateral ) En el caso de carga combinada (axial y lateral) indicado en la Figura 7, aceptando una solución membranal para la trayectoria fundamental, P (34) N x0 V x h NT0 V T h p r N x0T 0 2S r se puede obtener el valor crítico de p minimizando (35)

p

( m 2 n 2 ) 4 ( D / r 2 ) m 4 (1 Q 2 ) C ( m2 n2 ) 2 ( n2 R m 2 )

(35)

donde: R es un parámetro adimensional que relaciona las cargas. (36) R P / ( 2 S r 2 p) Figura 7: Cilindro con carga axial P y presión lateral p

Para cilindros de longitud intermedia, se obtienen gráficos de interacción como el de la Figura 8, donde V cx y V cT son las soluciones clásicas para las tensiones críticas de pandeo para carga axial y axial y presión lateral respectivamente dadas por (11) y (29): (11) V cx (29) V crít

E 3 (1 Q 2 ) pcrít

h r

r V c T h

(37) 0,822 E

(1 Q ) 2

0,75

1,5

§h· ¨ ¸ © r ¹

r A

(38)

Figura 8: Gráfico de interacción entre V x y V T

En la Figura 9 se graficó la presión crítica para el caso de presión axial, presión lateral y el efecto combinado en un cilindro sometido a presión hidrostática. En el caso de presión hidrostática predomina el efecto axial en los cilindros muy cortos, mientras que en los cilindros muy largos predomina el efecto lateral.

Figura 9: Presiones críticas adimensionales pcrít en cilindros en función del parámetro de Batdorf Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

139


4 PANDEO DE CILINDROS REALES En la Figura 10-a, se muestran en línea llena, las trayectorias de equilibrio (fundamental y secundaria) para el desplazamiento axial de un punto del borde de un cilindro perfecto sometido a una carga axial P. En líneas de trazos se graficaron las trayectorias de equilibrio para el caso de dos cilindros reales similares al ideal pero con imperfecciones.

Figura 10: Diferente comportamiento de un cilindro ideal y uno real ( imperfecto )

Observando la Figura 10-a, se deducen tres características muy importantes: a) La carga crítica representa la máxima carga portante del cilindro ideal. b) La carga de pandeo de la cáscara real ( imperfecta) puede ser sustancialmente menor que la carga crítica de bifurcación de la cáscara ideal ( perfecta ). c) Las cargas de pandeo de cáscaras nominalmente iguales pueden variar bastante debido a pequeñísimas e involuntarias imperfecciones. En la Figura 10-b se han representado las trayectorias de equilibrio de un cilindro con carga lateral, correspondientes al desplazamiento transversal de un punto alejado del borde del cilindro. Allí también se ve la inf luencia importante de las imperfecciones sobre las trayectorias. En la Figura 11 se presentan valores experimentales para carga axial, para el caso de bordes empotrados. Se observan discrepancias enormes entre los valores teóricos y los experimentales, que se disimulan un tanto por la escala logarítmica usada. Por ejemplo, para Z = 1000, los valores experimentales más bajos son solo el 20% del valor teórico ( 146 /702 | 0, 2 ). Se debe destacar que el gráfico de la Figura 11, corresponde al caso de carga axial, que es donde se presentan las mayores diferencias entre el caso real y el ideal. En los otros tipos de carga, las diferencias que ocurren son bastante menores.

Figura 11: Coeficiente Ka para calcular crít en función del parámetro de Batdorf Valores experimentales y comparación entre cilindro ideal y cilindro real


140


En la Figura 12-a se presentan resultados experimentales para presión lateral y en la Figura 12-b para presión hidrostática ( cilindro sumergido en un fluido); en ambas figuras se observa que las discrepancias son menores que en el caso de carga axial.

Figura 12: Valores teóricos y experimentales de presiones críticas

Debido a la incidencia de las imperfecciones, para el diseño de cáscaras se deben afectar los resultados teóricos con un factor de reducción K r que depende del tipo de carga. En la Figura 13 se presentan otros resultados experimentales para carga axial. Se observa que los cilindros más delgados son más sensibles a las imperfecciones. En línea llena se trazó la curva del 90% de “probabilidad”, que significa que el 90% de las cáscaras de las mismas características nominales admiten cargas superiores. En este gráfico la tensión crítica se ha normalizado respecto al valor teórico provisto por (12). Lamentablemente no se informó sobre el largo de las probetas utilizadas, siendo esto un aspecto importante ya que los cilindros más largos son más sensibles a las imperfecciones. Por ello el coeficiente K r mostrado en la figura no es adecuado para el diseño.

Figura 13: Factor de reducción Kr correspondiente a carga axial

5 LÍMITES INFERIORES La gran diferencia entre los resultados teóricos y los experimentales hace que el diseño de una estructura, cuya seguridad depende de la estabilidad de una cáscara, no se pueda basar en las cargas clásicas de la bifurcación. El comportamiento poscrítico permite explicar y estimar las cargas de pandeo que se aproximan a las experimentales. Sin embargo, la evaluación de la trayectoria poscrítica requiere técnicas sofisticadas, como ser el método de elementos finitos para análisis no lineal, y aún en el caso de poseer tal herramienta, el cálculo resulta muy engorroso. En una primera etapa del diseño resulta imprescindible poder estimar las cargas de pandeo seguras para predimensionar la geometría y en todo caso reservar el uso de elementos finitos para la verificación final. La obtención de límites inferiores ha sido un objetivo buscado por mucho tiempo. En esta sección se presentan los resultados que se obtienen empleando el concepto de rigidez reducida desarrollado inicialmente por J. Croll.


141


5.1 Límite inferior para carga axial Las componentes no lineales en el sentido radial dependen de las deformaciones precríticas y son altamente estabilizantes, pero en el caso de existir imperfecciones, la rigidez decrece notablemente. Por ello, Croll y Batista han propuesto un modelo que desprecia desde el principio esa contribución estabilizante y se llega a:

V x inf

(O n 2 ) 2 (h /r ) 2 /6 2(1 Q 2 ) O 2 /(O n 2 ) 2 (2 Q 2 ) O Q n 2

E

donde: O

§S r · ¨ ¸ © A ¹

2

(39)

y n debe elegirse por tanteos de modo de lograr el valor mínimo de V x inf . 5.2 Límite inferior para presión lateral En este caso de presión lateral todas las componentes no lineales membranales y flexionales son desestabilizantes. Las imperfecciones disminuyen la componente lineal membranal en el sentido axial. Utilizando un modelo de rigidez reducida en el que se desprecia la contribución de la rigidez membranal, tanto axial como radial, se llega a una expresión simplificada de la carga de pandeo. Para cilindros de longitud intermedia ( no largos) y bordes simplemente apoyados, se tiene:

V T inf

0,6165 E

(1 Q )

2 0,75

1,5

§h· ¨ ¸ © r ¹

r A

(40)

Comparando (40) con (29), se observa que el límite inferior es un 75 % del valor clásico de la carga crítica.

6 CRITERIOS DE DISEÑO El diseño se debe basar en las cargas clásicas de bifurcación modificadas para tener en cuenta el efecto de las imperfecciones. Esto último, es especialmente importante en el caso de carga axial de compresión. 6.1 Carga axial de compresión El valor de la tensión axial provocada por la carga axial P sobre el cilindro bosquejado en la Figura 14 está dada en (41), mientras que el coeficiente de seguridad CS está dado en (42):

P 2S r h

(41)

° V f V c x V E ½° menor ® , , ¾ °¯ V x V x V x °¿

(42)

Vx

CS

Figura 14: Cilindro real con carga axial

donde:

P: r: h: A: f : C x : E :

carga total radio medio espesor distancia entre apoyos tensión de fluencia en compresión tensión crítica de pandeo de cáscara, incluyendo imperfecciones tensión crítica de pandeo como columna ( Euler )

El valor de tensión crítica de pandeo como columna (Euler ) V E depende del tipo de apoyo:

VE

° ½ S 2 E ( r /A ) 2 bordes apoyados ® 2 2 bordes empotrados °¯ 2 S E ( r /A )


142

(43)


6.1.1 Coeficiente de reducción para la tensión crítica c x basado en la Figura 11 Un coeficiente empírico de reducción K r se puede obtener a partir de la Figura 11. Hay que distinguir dos casos dependiendo del largo del cilindro. Caso Z > 7 Cuando el cilindro es “largo” ( Z > 7 ), K r es independiente de las condiciones de borde en los extremos del cilindro y se tiene: Coeficiente teórico: K a

0,702 Z

Coeficiente de diseño: K a

0,88 Z

0,74

(44)

por lo tanto el coeficiente de reducción K r resulta:

Ka

0,88 Z 0,74

Ka Kr

0,702 Z

Kr

1, 254 Z 0,26

Kr

(45)

Utilizando el coeficiente de reducción K r dado en (45) deducido de la Figura 11 se obtiene una “fórmula adecuada para diseño”.

Vc x

>0,605 E (h /r )@ K r >0,605 E (h /r )@ x 1, 254 Z 0,26

Vc x

0,76 E

h 1,26 A 0,52 r 0,74

(46)

La “fórmula” (46) tiene en cuenta el largo del cilindro y da resultados satisfactorios. El diseñador debe ejercer su criterio, como alternativa se puede utilizar el límite inferior dado en (39). Caso Z < 7 Cuando el cilindro es “corto” ( Z < 7) K r depende de las condiciones de apoyo en los extremos: Para el caso Z < 7 y bordes apoyados, se utiliza la ecuación (46).

Bordes apoyados:

Bordes empotrados: Observando la Figura 11, para el caso Z < 7 y bordes empotrados se adopta un valor constante e igual a 3,7 para el coeficiente K a . Vc x

S2 D A2 h

Ka

;

Ka

3,7

§h· 3,34 E ¨ ¸ © A ¹

Vc x

2

(47)

La tensión axial crítica de pandeo c x de los cilindros ideales (sin imperfecciones) es independiente del largo como lo establece la fórmula clásica (12), mientras que en los cilindros reales la magnitud de las imperfecciones aumenta con el largo del cilindro; de esa manera la tensión crítica disminuye con el largo como lo indican (46) y (39). 6.2 Presión lateral En la Figura 15 se bosquejó un cilindro sometido a presión lateral p. El valor de la tensión circunferencial provocada por la presión externa p es:

VT

p

r h

(48)

y el coeficiente de seguridad es la menor de las siguientes relaciones:

CS

° V f V c T ½° menor ® , ¾ ¯° V T V T °¿

(49)

Figura 15: Cilindro real sometido a presión lateral

Notación: p: presión externa r: radio medio h: espesor f : tensión de fluencia en compresión A : distancia entre apoyos c: tensión crítica de pandeo de cáscara, incluyendo imperfecciones A 2 : longitud que fija el límite entre cilindros intermedios (no largos) y largos La tensión crítica de pandeo c se determina según la longitud del cilindro Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

143


6.2.1 Cilindros largos A ! A 2 ( tubos) Se aconseja utilizar el 85 % del valor dado en (32), por lo tanto:

pcrít

0, 227 1 Q 2

§h· E ¨ ¸ © r ¹

3

o

0, 227

V cT

1 Q 2

§h· E ¨ ¸ © r ¹

2

(50)

6.2.2 Cilindros intermedios A A 2 ( recipientes) Según la Figura 12 no hay mucha diferencia entre los valores teóricos exactos, teóricos aproximados y experimentales. Utilizaremos el 90 % del valor clásico dado por (29):

pcrít

0, 74 E K *

(1 Q 2 )0,75

§h· ¨ ¸ © r ¹

2,5

r A

0,74 E K *

V cT

o

h 1,5

(51)

(1 Q 2 ) 0,75 r 0,5 A

donde K * se debe utilizar cuando Z < 500 para corregir las discrepancias que se observan en la Figura 5 entre el resultado exacto en línea llena y la aproximación ( pcrít Z ) en línea de trazos.

4,8 1,8 (52) 2 1 K * 4 Z Z En las aplicaciones prácticas K * es próximo a la unidad. Por lo tanto en los casos en que se desconoce alguno de los parámetros que definen Z, ecuación (13), se puede usar K * = 1 y posteriormente verificar si la aproximación es correcta, en caso contrario se puede iterar. 1 Z 500 o K *

1

Si al usar (51) se estima K * con un valor de Z superior al real se está del lado de la seguridad. 6.2.3 Anillos de refuerzo Para dimensionar los anillos de refuerzo de recipientes (Figura 16 ), se aplica la solución clásica de Levy (53) que determina la tensión crítica de pandeo del anillo crít. Esto permite calcular el momento de inercia requerido Ireq en función de la carga distribuida q sobre la circunferencia del anillo. Los datos del anillo son: A área de la sección resistente, I momento de inercia de la sección, r radio medio y E módulo de Young. Tensión crítica de pandeo del anillo

V crít

3EI

(53) r2 A qr (54) Tensión de compresión en el anillo V A Igualando la tensión a la tensión crítica crít permite despejar el Ireq

I req t

q r3 3E

(55)

Figura 16: Cálculo de un anillo de refuerzo usando la ecuación de Levy

6.3 Recipiente sometido a presión exterior En los recipientes cilíndricos de pared delgada sometidos a presión exterior (o vacío interior), la tensión circunferencial es mayor ( el doble) que la tensión longitudinal x. Tensión longitudinal: Carga P

pS r 2 (41)

Vx

pr 2h

(56)

VT

pr h

(57)

Tensión circunferencial: Teniendo en cuenta (48)


144


En una primera etapa del cálculo de un recipiente sometido a presión exterior se puede ignorar el efecto axial. El espesor h del cilindro de la Figura 17-a, se puede despejar en la ecuación (51).

§ C p h t ¨1, 26 r 1,5 L S * ¨ EK © donde se consideró Q

· ¸¸ ¹

0,4

(58)

0,3 y un coeficiente de seguridad Cs.

Inicialmente se supone K * = 1 y una vez conocido h se calcula Z, si resulta menor que 500 se usa (52). Notar que si: resulta Z > 500 o

1 < K * < 1,01.

Figura 17: Recipiente con presión exterior ( o vacío interior)

Generalmente, resulta más económico adoptar una chapa más delgada y colocar anillos de refuerzo como en la Figura 17-b. El problema se resuelve por tanteos: a) Se adopta un espesor de chapa h1 y se calcula la distancia entre refuerzos, despejando la longitud a partir de (51) considerando Q 0,3 y un coeficiente de seguridad CS:

A1

0,794

2,5 E K * h1 CS p r 1,5

(59)

b) Se calcula el número de tramos de modo que sea el entero más próximo superior a L A 1 : m = entero mayor que L A 1

número de refuerzos = m – 1

Si este valor no es satisfactorio porque resultan demasiados refuerzos, se propone un valor mayor para h1 y se emplea nuevamente (59). Este procedimiento se repite hasta obtener valores de h y de A que se consideren adecuados. c) Por último, se calcula el momento de inercia requerido para cada anillo de refuerzo, según (55) haciendo : r 3 A CS p q A CS p o (60) I t 3 E Nota 1: Este procedimiento no es válido cuando la presión proviene de vapor, porque en tal caso se debe tener en cuenta la variación del módulo de elasticidad E con la temperatura. Nota 2: Al aplicar (58) se debe comprobar que el recipiente no fallará por fluencia en compresión, verificando: CS p r (61) h t

Vf

6.4 Carga combinada (axial y lateral ) En el caso de carga combinada, se calcula V crít utilizando (39) o (46) o (47) según corresponda y pcrít usando (40) o (50) o (51) y luego se emplea una curva de interacción. En la Figura 18, se adoptó una curva de interacción con la forma de una elipse. Se pueden dar tres casos: Si V x y p varían juntos entonces:

CS

OQ1

(62)

OQ

Si V T es fijo y V x varía:

CS

AQ 2 / AQ

(63)

Si V x es fijo y V T varía:

CS

BQ 3 / BQ

(64)

Figura 18: Curva de interacción con forma de elipse Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

145


Trabajando con valores normalizados (adimensionales), la elipse se transforma en un círculo. Empleando (62) y observando la Figura 19, resulta obvio que:

1

CS

(V T /V cT ) 2 (V x / V c )2

(65)

x

Figura 19: Curva de interacción normalizada ( circular )

En la ecuación (65): c x : se calcula para la carga axial actuando sola, utilizando (39) o (46) o (47). c : se calcula para la presión lateral actuando sola, utilizando (40) o (50) o (51). Para estar del lado de la seguridad, habitualmente se reemplaza la elipse por una recta, como se muestra en la Figura 20 y se llega a una fórmula sencilla para el CS:

Vx ½ V cx °¾ AQ *

AQ AQ

OQ

*

*

CS OQ

° AQ ¿

* VT AQ V cT *

Vx V cx

VT V x V cT V cx

1

CS

1

V T /V cT V x / V cx

(66)

Figura 20: Recta de interacción normalizada

En la ecuación (66): c x : se calcula para la carga axial actuando sola, utilizando (39) o (46) o (47). c : se calcula para la presión lateral actuando sola, utilizando (40) o (50) o (51). También se suelen utilizar curvas de interacción que corresponden a una situación intermedia entre la recta y la elipse adoptando una poligonal. A modo de ejemplo se puede mencionar el caso de la Figura 8 donde se muestra una poligonal de tres tramos. 6.5 Verificación de la posibilidad de falla por fluencia En todos los casos durante el diseño de un cilindro de pared delgada en compresión, además de la verificación a pandeo, se debe considerar la posibilidad de falla por fluencia. Para ello se debe determinar el coeficiente de seguridad a f luencia del cilindro en estudio aplicando la teoría de falla que más se ajuste al material del cilindro para determinar la tensión efectiva (de comparación). Como alternativa se puede verificar que la tensión efectiva sea menor que el valor de la tensión admisible del material que se obtiene de tablas. La verificación a pandeo de ninguna manera excluye la verificación a fluencia, que debe hacerse siempre, ya que son modos de falla de naturaleza distinta.


146


PRÁCTICO

Pandeo de Cilindros


1. Un recipiente cilíndrico de acero de 450 cm de largo y 120 cm de diámetro debe resistir vacío interior a temperatura ambiente con CS {. Material:

E = 2100000 kg/cm2

= 0,3

f = 2800 kg/cm2

a) Determinar el espesor h requerido en el caso de no usar anillos de refuerzo. b) Determinar el número de tramos y el espaciamiento de los anillos de refuerzo necesarios para poder usar chapa de 4 mm con CS {.

2. Con los mismos datos del Problema 1 se pide: a) Diseñar los anillos de refuerzo necesarios para poder aplicar la solución b) del problema 1. b) Calcular la economía de material de la solución b) respecto de la solución a).

3. Un cilindro delgado de aluminio está cargado axialmente. Datos geométricos del cilindro: h = 1/16” = 0,159 cm

r = 40 cm

[ = 100 cm

Propiedades del material: E = 750000 kg/cm2

= 0,33

f = 2500 kg/cm2

a) Calcular el valor de la carga axial crítica de pandeo. b) Determinar el límite inferior para la carga crítica empleando el método de Croll.

4. El casco de un submarino de sección circular de 300 cm de diámetro está rigidizado por cuadernas espaciadas cada 60 cm. Dimensionar el espesor para operar a una profundidad máxima de 120 metros ignorando la presencia de los refuerzos longitudinales (largueros). Material acero: = 0,3 f = 2800 kg/cm2 E = 2100000 kg/cm2 a) Determinar el espesor h considerando falla por fluencia y CS { 2. b) Determinar el espesor h considerando falla por pandeo y CS { 4. c) Responder las preguntas a) y b) considerando solamente la presión lateral y comentar las diferencias encontradas. c) Determinar el coeficiente de seguridad a pandeo usando los límites inferiores de Croll y el criterio de interacción lineal si se utiliza el espesor calculado en la parte b). Dar también el coeficiente de seguridad a fluencia de Von Mises.


147



Pandeo de Cilindros


1 Análisis de dos propuestas para un recipiente con vacío interior (con y sin refuerzos). a) Cilindro sin anillos de refuerzo Comenzamos estimando el espesor necesario considerando sólo la presión lateral. * Suponemos que el parámetro de Batdorf es mayor que 500 y consideramos K = 1. 0,4

0,4

§ § · C p · 4x1 1,5 1,5 Ec. (58) h t ¨ 1, 26 r L S * ¸ 0,76 ¨1, 26 x 60 x 450 x ¸ ¨ ¸ 2100000 x 1 ¹ EK ¹ © © 450 2 * 4236 >> 500 por lo tanto la suposición K = 1 es correcta. 1 0,3 2 x Ec. (13) Z = 60 x 0,76 Se adopta un espesor comercial algo mayor para tener en cuenta la carga axial ........ h 0,8 cm A continuación se calcula el coeficiente de seguridad a pandeo usando interacción lineal. Ec. (56) V x Ec. (46) V c

pr / (2h) 1 x 60 / (2 x 0,8 ) o V x x

Ec. (39) V x

Ec. (57) V T

pr / h 1 x 60 / 0,8 o V T

0,76 E h 1,26 /(A 0,52 r 0,74 ) 0,76 x 2100000 x 0,81,26 /(450 0,52 x 60 0,74 ) Q ) O /(O n ) E } (n = 3).... { (O n ) (h /r()2/6Q )2(1 O Q n 2 2

inf

37,5

Mín

2

2

2

2

2 2

2

Se considera un valor intermedio entre (46) y (39): V c x (2429 2186) /2 Ec. (51)

Ec. (66)

V cT CS

0,74 E K

*

1,5

h

(1 Q )

2 0,75

Von Mises Cap. 2 Ec. (32)

0,5

Ar 1 V x / V cx

V T /V cT V

0,74 x 2100000 x 1 2 0,75

2

342

450 x 60 1 0, 2193 0,0162

1 75 / 342 37,5/ 2308

Vcx

2429

V x inf

2186

Vcx

2308 kg / cm 2

V cT

342 kg / cm 2

1,5

0,5

(1 0,3 )

4, 25 CS

4, 25

65 Falla por fluencia: CS V f /V * 2800 /65

37,5 75 37,5 x 75

*

0,8

x

75

2

43

b) Cilindro de espesor 0,4 cm con anillos de refuerzo b-1) Cantidad de anillos y longitud de los tramos Comenzamos estimando el espaciamiento entre los anillos considerando sólo * la presión lateral. Estando del lado de la seguridad consideramos K = 1. Ec. (59)

A d 0,794 E K * h 2,5 / (r 1,5 CS p) 0,794 x 2100000 x 1 x 0, 42,5 / (60 1,5 x 4 x 1) 90,8

Se adopta un espaciamiento menor para tener en cuenta la carga axial .......................... A

75 cm

Se colocarán 5 anillos de refuerzo para dividir el largo del cilindro en 6 tramos de 75 cm entre centros. b-2) Cálculo del CS a pandeo de los tramos del cilindro considerando interacción lineal Ec. (56) V x Ec. (46)

Ec. (51)

Ec. (66)

Vcx

V cT CS

pr / (2h) 1 x 60 / (2 x 0, 4) o V x 0,76 E h 1,26 A

0,52

r

0,74 E K

(1 Q )

2 0,75

V T /V cT

Ec. (57) V T

0,76 x 2100000 x 0, 4 1,26

0,74

*

75

75 1,5

h

Ar

x

60

2575 ................... V c x

0,74

0,74 x 2100000 x 1

(1 0,3 )

0,5

1 V x /V c x

0,52

0, 4 1,5

x

2 0,75

75 x 60

1 150 / 726,3 75/ 2575

Falla por fluencia: Von Mises: V * Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

752 1502 75 x 150

148

pr / h 1 x 60 / 0, 4 o V T

0,5

726,3

1 0, 206 0,029 130 CS

V cT 4, 24

V f /V *

150

2575 kg / cm 2 726,3 kg /cm 2 CS 2800 /130

4, 24 21,5


2 Diseño de los refuerzos del problema 1.b y comparación del peso de las soluciones 1.a y 1.b. a) Diseño de los anillos de refuerzo Comenzamos proponiendo una sección rectangular b 6 a

I

a b3 / 12

a x (6 a )3 /12

18 a 4

q A (CS p) 75 (4 x 1) 300 Suponemos tentativamente que b cm o r | 60 0, 4/2 5 /2

Ec. (60)

3

Ec. (55)

qr 3E

I req

62,7

3

300 x (62,7) 3 x 2100000

I t I req

11,74

o

18 a 4 t 11,74

o

@ "$"@" !!< ” = 0,95 .................................... Cálculo de la altura b del anillo rectangular

I

a b3 /12

0,95 x b3 /12

o b

11,74

a t 0,899 a 0,95 cm

5,3 .....(se estimó adecuadamente) ...... b 5,3 cm

b) Economía de material al diseñar con refuerzos b.1 Peso del cilindro de espesor h = 0,8 cm (solución 1.a ) y peso específico U 0,00785 .

Pa

2S rm hL U

2 x S x 60 x 0,8 x 450 x 0,00785

1065, 4 ................................ Pa

1065 kg

b.2 Peso del cilindro de espesor h = 0,4 cm ( solución 1.b ) Pbc 2S rm hL U 2 x S x 60 x 0, 4 x 450 x 0,00785 532,7 b.3 Peso de los 5 anillos de refuerzo rectangulares de 0,95 x 5,3 cm Pba 5 (2S rm A U ) 5 x 2 x S x ( 60 0, 2 5,3 /2) x ( 0,95 x 5,3) x 0,00785

78,0

b.4 Peso del recipiente de espesor 0,4 cm con 5 anillos de refuerzo de 0,95 x 5,3 cm

Pb

Pbc Pba

532,7 78,0

610,7 .................................................................

b.5 Economía de material de la solución 1.b respecto de la solución 1.a. Pa Pb 1065 611 x 100 x 100 Economía 42,6 ............................. Pa 1065

Pb

611 kg

Economía = 43 %

3 Cálculo de la carga crítica de pandeo y el límite inferior de un cilindro de aluminio con carga axial. Datos geométricos:

h = 0,159

r = 40

[ = 100

Datos del material:

E = 750000

= 0,33

f = 2500

a) Cálculo de la carga crítica de pandeo h 1,26 0,76 x 750000 Ec. (46) V c 0,76 E 0,159 1,26 V c x x 0,52 0,74 A r 100 0,52 x 40 0,74 Área de la sección del cilindro = 2S rh

Vcx A

Pcrít

Carga crítica:

2 x S x 40 x 0,159

334,3 x 39,96

334,3

A

39,96

13359 .............................(46) .. Pcrít

13359 kg

b) Cálculo del límite inferior por el método de Croll

(O n ) (h /r ) / 6 2(1 Q ) O /(O n ) E 2 2 (2 Q ) O Q n 2 2

Ec. (39)

I

O (S r / A) 2

(1,579 n ) 2

n xinf

V x inf

2

1 150906

Límite inferior:

Pinf

V x inf

(S x 40/100) 2 1,579

2

(1,975 I 3332590 /I ) / ( 2,99 0,33 n )

2 24855

V x inf A

2

3 5033

4 1378

331,7 x 39,96

5 544

6 346

2

2

2 2

El mínimo ocurre para n = 7 7 331,7

8 384

13255 ..........................(39) .. Pinf

9 470

13255 kg

Comentario: En este caso la carga crítica calculada con (46) es similar al límite inferior dado por (39). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

149


4 Cálculo del espesor del casco de un submarino ignorando la contribución de los refuerzos axiales. Presión debida a H = 120 metros de profundidad: Ec. (56) Tensión

pr /(2h) 12 x 150 /(2h) V x

axial: V x

Ec. (57) Circunferencial:

UH

p

VT

pr / h 12 x 150/ h

0,001 x 12000

12 kg / cm 2

900 / h

V T 1800 /h

a) Espesor requerido para evitar falla por fluencia con CS = 2 Ec. (32) del Cap. Von Mises: Ec. (25) del Cap.

V*

CS V * V f

V * 1559 / h

( 900 / h )2 (1800 / h )2 ( 900 / h ) x (1800 / h ) ..........

o

2 x (1559 / h) 2800 o

h 2 x 1559 /2800 ........ h 1,11 cm

b) Espesor requerido para evitar falla por pandeo con CS = 4 60 2 4,8 1,8 2 22,9/ h Ec. (52) K * 1 Ec. (13) Z = 1 0,3 x 2 K * 1 0, 21 x h 0,0034 x h 2 150 x h Z Z 0,74 E K * h1,5 0,74 x 2100000 x K * 1,5 Ec. (51) V c x h ........................... V c 2270 x K * x h 1,5 T T (1 Q 2 )0,75 r 0,5 A (0,91)0,75 x 1500,5 x 60 Ec. (46) V c

0,76 E

x

Ec. (66) CS

V T /V cT

h 1,26

0,76 x 2100000 1,26 xh 60 0,52 x 150 0,74

4657 h 1,26 ............... V c x

A r 1 1800 / h 900 / h o * 1,5 V x /Vc x 2270 x K x h 4657 h1,26 0,52

Solución: h 1,603 V T

0,74

1122,8

K * 1,328

V cT

1 4

Vx

6119

4657 h 1,26 h 1,60 cm

por tanteos

561, 4 V c x

8441

CS

4

c) Espesor requerido considerando sólo la presión lateral c.1

Ec. (25) del Cap.

CS V *

V f o 2 x (1800 / h ) 2800 o h 2 x1800 / 2800

h 1, 29 cm

Comentario: Considerando sólo la presión lateral se ignora la interacción con la tensión axial x y paradójicamente se está del lado de la seguridad ya que resulta un espesor 16 % mayor que el necesario (1,29 en lugar de 1,11). En el criterio de Von Mises resulta beneficioso que las dos tensiones membranales tengan el mismo signo debido al signo menos en la ecuación (32) del Capítulo 2. c.2

Ec. (25) del Cap. 2

CS V T

h 1, 4316

Solución:

VT

V cT

o 4 x (1800 / h) 2270 x K * h1,5 .. por tanteos

1257,3

V cT

K * 1, 2937

5030,1

CS

h 1, 43 cm

4

Comentario: Al considerar sólo la presión lateral se ignora la interacción con la tensión axial x y se está del lado de la inseguridad. Resulta un espesor 12 % menor que el realmente necesario (1,43 cm en lugar de 1,60 cm). Hay que aclarar que parte de la carga axial es soportada por los largueros. d ) Determinar el CS a pandeo usando los límites inferiores de Croll cuando h = 1,60 cm Ec. (56) V x

V*

12 x 150 / (2 x 1,60) o V x

562,52 11252 562,5 x 1125 1,5

Ec. (40)

V T inf

Ec. (39)

V x inf

Ec. (66)

CS

0,6165 E § h · ¨ ¸ (1 Q 2 )0,75 © r ¹

974,3 CS

r A

0,6165 x 2100000

(1 0,32 )0,75

2

2

2

2

2

12 x150 / 1,60 o V T

1125

CS

2,87

2800 / 974,3

a fluencia

1,5

x

1,60 0,5 150 x 60

Q ) O /(O n ) { (O n ) (h/r )(2/6Q )2(1 E} O Q n 2 2

Mín

Ec. (57) V T

562,5

V T inf

3827

2 2

10731 (n = 9) V x

inf

10731

(V T /V T inf V x / V x inf )-1 (1125/3827 562,5 /10731)-1 2,89 a pandeo CS 2,89

Comentario: Considerando los límites inferiores de Croll se obtiene un coeficiente de seguridad menor que en el caso b). Notar que inf = 3827 dada por (40) es menor que la tensión crítica c = 6619 dada en (51) mientras que la tensión crítica axial c x = 8441 provista por (46) es menor que x inf =10731 dada en (39). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

150


Capítulo 8

PANDEO LOCAL DE ELEMENTOS COMPUESTOS 1 INTRODUCCIÓN El costo es un aspecto importante relacionado con el diseño, que está siempre ligado con el peso del elemento resistente, que a su vez depende del área de la sección utilizada. Cuando la estabilidad ( pandeo) interviene en el diseño, el parámetro más importante es la esbeltez. Cuanto menor es el valor de la esbeltez mayor es la carga crítica que el elemento estructural puede resistir. En consecuencia se debe elegir una sección que para igual área produzca el mayor valor posible del radio de giro en la dirección de pandeo. Para una dirección dada de pandeo, la sección ideal es un perfil doble T con un alma delgada y alas delgadas y alejadas entre sí. Si las restricciones de borde son las mismas en cualquier dirección, la “mejor” solución resulta ser un tubo cilíndrico delgado. En el párrafo anterior, se hace referencia al uso de secciones de pared delgada como una solución eficiente. Sin embargo existen limitaciones, porque una vez superado cierto valor máximo de la relación entre el ancho y el espesor de un elemento comprimido, que es parte de la sección resistente, se produce el fenómeno de pandeo local de ese elemento individual. En esos casos las ecuaciones que gobiernan el pandeo global de la viga-columna no son suficientes para resolver el problema. El valor máximo para la relación ancho/espesor, sin posibilidad de pandeo, depende del tipo de carga, del material, de la forma de la sección y del tipo de apoyos. El objeto de este capítulo es encontrar esa relación para distintas situaciones y además desarrollar criterios de diseño para prevenir el pandeo.

2 SECCIONES DE PARED DELGADA PARA RESISTIR FLEXO-COMPRESIÓN En la Figura 1 se muestran secciones típicas usadas para resistir f lexo-compresión. Con la excepción del tubo circular, las restantes están compuestas esencialmente por placas. Esas placas están solicitadas en compresión, f lexión y corte en su propio plano. Las secciones de pared delgada del tipo a, b y c de la Figura 1 son muy eficientes cuando se las emplea como columnas porque tienen aproximadamente igual resistencia en todas las direcciones transversales. Esto es exacto en el caso del tubo circular (Figura 1-a). La sección de la Figura 1-b puede obtenerse por extrucción o fabricarse por soladura dependiendo del material y del tamaño. La sección mostrada en la Figura 1-c está compuesta por dos perfiles canal y dos placas que se unen por soldadura o remachado.

Figura 1: Secciones típicas de pared delgada usadas para resistir flexo-compresión

La Figura 2 muestra secciones abiertas del tipo doble T de alas anchas (y similares) que son muy utilizadas en estructuras metálicas. Cuando se unen varios elementos simples por soldadura para obtener un elemento compuesto, debe programarse cuidadosamente la secuencia de la soldadura de los cordones a fin de disminuir en lo posible las tensiones residuales. Una sección como la de la Figura 2-g se fabrica generalmente con chapa plegada y posteriormente soldada por puntos.

Figura 2: Secciones abiertas del tipo doble T usadas en estructuras metálicas

En la Figura 3 se muestran secciones que no son convenientes para resistir tensiones de compresión importantes y que son utilizadas generalmente en elementos secundarios.

Figura 3: Secciones abiertas usadas en elementos secundarios de estructuras metálicas


151


3 TENSIÓN CRÍTICA DE PANDEO DE LAS PLACAS QUE FORMAN UNA SECCIÓN En el caso de columnas y vigas (compuestas por placas) en f lexo-compresión se considera que las placas que forman la sección están apoyadas unas en otras. Dado que la carga crítica de cada placa depende de las condiciones de apoyo a lo largo de la misma y que el largo de las placas que componen el elemento estructural es mucho mayor que el ancho, la carga crítica resulta independiente del largo de la placa y de las condiciones de apoyo en los extremos cargados. Por ello se pueden usar los coeficientes de pandeo del Capítulo 6 para los casos donde el cociente largo/ancho tiende a infinito. Cuando un elemento estructural está compuesto por varias placas delgadas, las placas menos solicitadas proveen restricción (apoyo) a las placas más comprometidas. Un límite inferior para la carga crítica puede obtenerse sumando las cargas críticas de todas las placas supuestas simplemente apoyadas unas en las otras ( los bordes libres deben considerarse como tales).

3.1 Placa solicitada en compresión uniforme En la Figura 4 se muestra el caso de una placa rectangular, solicitada únicamente por una carga de compresión uniforme, que es parte de una sección resistente solicitada por carga axial y/o f lexión. Como el largo de las placas, que forman el elemento estructural, es mucho mayor que el ancho, la carga crítica resulta independiente del largo de la placa y se calcula usando los coeficientes de pandeo K del Capítulo 6. La carga crítica está dada por

Pcrít

K

S 2D b

siendo D

E h3 12 (1 Q 2 )

(1)

de donde

V crít

K

S 2E § h· ¨ ¸ 2 12 (1 Q ) © b ¹

2

(2)

Figura 4: Tensión crítica de una placa en compresión

El coeficiente de pandeo local de una placa que es parte de una sección compuesta depende de las condiciones de borde de los lados largos (no cargados) y corresponde al caso a >>b. Los valores asintóticos para a > >b de las Figuras 7, 8, 9, 10 y 11 del Capítulo 6, se resumen en la Tabla 1. Tabla 1: Coeficientes de pandeo local ( valores asintóticos para a > > b )

Caso

Figura del C apítulo 6

Tipo de apoyo de los lados largos

Sección A-A ( Figura 4 )

K

1

Dos lados apoyados

7

4,0

2

Dos lados empotrados

8

7,0

3

Un lado empotrado y otro apoyado

9

5,4

4

Un lado empotrado y otro libre

10

1,3

5

Un lado apoyado y otro libre

11

0,42

El valor de la tensión crítica dada en la ecuación (2) es independiente del largo a y de las condiciones de apoyo (articulado o empotrado) en los extremos donde actúa la carga de compresión P. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

152


3.2 Placa solicitada en flexión y/o compresión En el caso de placas que están solicitadas a f lexión o f lexo-compresión, la tensión crítica se calcula con la ecuación (2) y los coeficientes de pandeo dados en la Tabla 2. Tabla 2: Coeficientes de pandeo local K para el caso de flexión de la placa

"

1

"$@

2 /

1

3

4

5

6

7

8

empotrado empotrado

2

apoyado

apoyado

empotrado

libre

apoyado

libre

empotrado apoyado

empotrado

apoyado

libre

empotrado

libre

apoyado

1

7,0

5,4

5,4

4,0

1,3

1,3

0,42

0,42

0

13,6

11,6

9,8

7,7

5,9

1,6

1,7

0,57

–1

39,6

35,0

28,0

23,8

14,9

2,16

6,8

0,84

Para valores intermedios de la relación x = 2/1 se puede interpolar utilizando las expresiones aproximadas dadas en la Tabla 3. Debe respetarse la siguiente convención: 1) Cuando 1 y 2 son ambas de compresión se denota 1 a la de mayor valor absoluto. 2) Cuando 1 y 2 tienen distinto signo se denota 1 a la tensión de compresión. Tabla 3: Fórmulas de interpolación para el coeficiente K en función de la relación x = 2 / 1

Caso

1

2

Polinomio de interpolación

x = –1

x=0

x = +1

1

Empotrado Empotrado

13,6 – 13 x + 9,7 x2 – 3,3 x3

39,6

13,6

7,0

2

Empotrado Apoyado

11,6 – 12 x + 8,6 x2 – 2,8 x3

35,0

11,6

5,4

3

Apoyado

Empotrado

9,8 – 9 x + 6,9 x2 – 2,3 x3

28,0

9,8

5,4

4

Apoyado

Apoyado

7,7 – 7 x + 6,2 x2 – 2,9 x3

23,8

7,7

4,0

5

Empotrado Libre

5,9 – 6 x + 2,2 x2 – 0,8 x3

14,9

5,9

1,3

6

Libre

Empotrado

1,6 – 0,37 x + 0,13 x2 – 0,06 x3

2,16

1,6

1,3

7

Apoyado

Libre

1,7 – 2,55 x + 1,91 x2 – 0,64 x3

6,8

1,7

0,42

8

Libre

Apoyado

0,57 – 0,19 x + 0,06 x2 – 0,02 x3

0,84

0,57

0,42

3.3 Placa solicitada en corte En el caso de placas de alma de secciones del tipo mostrado en la Figura 2 que están solicitadas a corte como se indica en la Figura 5, la tensión crítica de corte crít se calcula usando las ecuaciones (48) y (49) del Capítulo 6. Partiendo de N12 crít, la tensión crítica de corte se obtiene haciendo crít = N12 crít / h y se llega a :

W crít

S 2E §h· K ¨ ¸ 2 12 (1 Q ) © b ¹

2

(3)

donde para a/b > 1 bordes apoyados

K = 5,35 + 4 / (a/ b)

2

" @" K = 8,98 + 5,6 / (a/b)

(4) 2

(5)

Figura 5: Tensión crítica de una placa solicitada a corte Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

153


3.4 Placa solicitada en flexión compuesta y corte En casos de carga combinada, como en la Figura 6, se debe calcular por separado la tensión crítica V crít para f lexión compuesta sola como se indicó anteriormente y la tensión crítica crít para el corte actuando solo, para luego calcular el coeficiente de seguridad CS empleando una curva de interacción.

CS

OPc OP

(6)

Figura 6: Coeficiente de seguridad de una placa solicitada a flexión compuesta y corte

Notar que la tensión crítica crít debe calcularse según (2) utilizando el coeficiente de pandeo que corresponda usando las Tablas 1, 2 ó 3. Debe tenerse presente que el crít utilizado no puede ser mayor que la tensión de f luencia en compresión.

V crít

2 ° ½° S 2E §h· menor ® K ¨ ¸ , Vf ¾ 2 °¿ ¯° 12 (1 Q ) © b ¹

(7)

Similarmente la tensión de corte crítica se calcula según (3) usando los coeficientes de pandeo aproximados dados por (4) y (5).

W crít

2 ° Vf S 2E §h· menor ® K ¨ ¸ , 2 2 °¯ 12 ( 1 Q ) © b ¹

½° ¾ °¿

(8)

El coeficiente de seguridad para el pandeo local se puede obtener también usando la ecuación (9) provista por la Norma DIN 4114.

1 CS

V1 V 2 4 V crít

2

§ 3V 1 V 2 · § W · ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 V crít ¹ © W crít ¹

2

(9)

4 SECCIÓN COMPACTA Una manera de evitar que el modo de falla sea el pandeo local es garantizando que la tensión crítica de pandeo local sea mayor o igual a la tensión de f luencia en compresión f. Haciendo crit t f en la ecuación (2) se puede despejar la relación máxima admisible entre el ancho (b) y el espesor (h) :

b d h

K

S2

E

12 (1 Q ) V f 2

(10)

Cuando la relación entre el ancho y el espesor de cada una de las placas que componen la sección resistente cumple con la condición (10) se dice que la sección es ‘compacta’ y en ese caso no necesita verificarse al pandeo local. Notar que el coeficiente de pandeo K en (10) depende del tipo de apoyo (o sea de la sección) y también del tipo de carga (corte, f lexión o compresión). Hay que tener en cuenta que cuesta el mismo trabajo verificar el pandeo local de una sección usando (2) que verificar si esa sección es compacta (y por lo tanto no necesita ser verificada a pandeo local) usando (10). Esto se debe a que (10) se deduce de (2). No obstante el concepto de “sección compacta” es importante. Por ejemplo, el hecho de que los perfiles comerciales (T, doble T, ele, canal, etc.) tienen secciones compactas, da tranquilidad al proyectista quien no debe preocuparse por la posibilidad de que el modo de falla sea el pandeo local. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

154


5 VIGAS Y COLUMNAS RETICULADAS En el caso de elementos reticulados (vigas o columnas) en compresión puede darse el fenómeno de pandeo del conjunto denominado “pandeo global” o el pandeo de alguno de sus elementos constitutivos en forma individual, denominado “pandeo local”, como que se indica en la Figura 7.

Figura 7: Pandeo local y global de vigas y columnas reticuladas

En el caso de la Figura 7-a, debe adoptarse un coeficiente de seguridad mayor para el pandeo del conjunto porque es más peligroso. Recordar que para el pandeo de columna la carga crítica es la máxima carga portante. Por otro lado, al verificar elementos a pandeo local habitualmente se consideran los extremos como articulados cuando en realidad siempre existe un cierto grado de restricción al giro (empotramiento elástico) y en ese caso se está del lado de la seguridad al considerar al extremo como libre de girar. En el caso de una columna, como la mostrada en la Figura 7-a, puede pandear cualquiera de los tramos montantes porque los tramos generalmente tienen iguales características. Notar que si se considera el peso propio el tramo más solicitado es el inferior. En cambio, en el caso de una viga en f lexión de tramos iguales, como la mostrada en la Figura 7-b, el mayor peligro de pandeo local lo tiene el elemento más cargado en compresión que está asociado al momento f lector máximo. En el caso de estructuras hiperestáticas puede ocurrir que después del pandeo de algún elemento ( pandeo local) se produzca una redistribución de tensiones y la estructura admita cargas adicionales. Generalmente las barras comprimidas de los reticulados se verifican a pandeo local usando el método omega. En tales casos debe verificarse que

F V adm (11) A donde F es la fuerza de compresión, A es el área de la barra, adm es la tensión admisible en tracción del material y ~ es un coeficiente definido como:

Z

Z

Tensión admisible en tracción Tensión admisible en pandeo

(12)

La tensión admisible adm se encuentra tabulada en las normas para los materiales habitualmente usados en estructuras metálicas reticuladas. El coeficiente ~ también se encuentra tabulado en las normas para los distintos materiales en función de la esbeltez dada por (13)

O

Lp / r

(13)

donde Lp es la longitud de pandeo (que depende las restricciones en los extremos de la barra) y r es I / A , donde I es el momento de inercia y A es el área de la sección). el radio de giro ( r Este tema se trata más detalladamente en el Capítulo 16: Estructuras Metálicas – Torres. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

155


ANEXO DEL CAPÍTULO 8 PROPIEDADES DE SECCIONES DE PARED DELGADA DE ESPESOR UNIFORME t : espesor pequeño y uniforme en todas las caras b : ancho h : altura

Propiedad

Ix Momento de inercia

Wx Módulo resistente

Iy Momento de inercia

Wy

t h3 4b h 12 b h

t h2 6b h 12

t h2 3b h 6

t h 4b h /6 arriba

t h 2 4b h

th 6b h 6

t b3 12

t b3 6

th 3b h 3

6 2b h abajo t b2 b 3h 6

t h3 2b h

t h3 4b h

t h 2b h /3 arriba

t h 4b h /6 arriba

t h 2 2b h

t h 2 4b h

t b2 b 6h 12

t b 3 b 4h 12 b h

----

tb 2 (b 4h) 6 (b 2h) a derecha t b (b 4h) /6 a izquierda

-----

3 b 2h

3 b h abajo

12 b h

t S r3

t S r2

6 2b h Abajo

t b2 6

t b2 3

tb b 3h 3

tb b 6h 6

Producto de inercia

0

0

0

0

t b2 h2 4 b h

0

JR

t3 b h 3

t3 2b h 3

2t b 2 h 2 bh

t3 b 2h 3

t3 b h 3

2t S r 3

h 2 6b h

h 2 3b h

h3 2b h /3

----

0, 7071 r

h2 2 b h

-----

-----

-----

Módulo resistente

Ixy

Módulo torsional

rx

h3 4b h / 12

Radio de giro

bh

Eje neutro desde arriba

h2 2 b h

ry Radio de giro

b3 12 b h

12 2b h

----b3 6 2b h


12 b h

----b 2 b 3h 12 b h

156

b 2h

h2 b 2h b 2 b 6h

12 b 2h


PRÁCTICO

Pandeo Local de Elementos Compuestos

1. Partiendo de una chapa de 1,2 mm de espesor, 2,8 m de largo y 24 cm de ancho se ha fabricado una columna de extremos articulados. Determinar en los tres casos siguientes la máxima carga portante que garantice: CS { @ ! @ !$ CS { @ ! @ local y CS { @ f luencia en compresión, siendo f = 2400 kg/cm2, E = 2100000 kg/cm2 y = 0,3. a) Sección U de 8 cm de lado de chapa doblada (sección abierta). b) Sección cuadrada hueca de chapa doblada y soldada de 6 cm de lado (sección cerrada). c) Sección circular hueca de chapa curvada y soldada de 7,64 cm de diámetro (sección cerrada).

2. Hay que diseñar una columna de 6 m de altura con una carga de 12 T utilizando 4 perfiles L de alas iguales según se indica en el croquis. f = 2400 kg/cm2, E = 2100000 kg/cm2 y = 0,3. Se pide: a) Elegir el área del perfil de modo que CS { para compresión simple. b) Determinar b para lograr el CS requerido por el pandeo de columna ( pandeo global ). c) Calcular h para obtener el CS requerido por el pandeo de un tramo de columna ( pandeo local ). d) Verificar que el perfil elegido es “compacto” para el pandeo de placa (pandeo local). Para pandeo considerar CS

3,5......................... si O ! 100 ® 2 ¯ 1,7 0,00018 O .....si O 100

Ayuda: Se dan los datos de un perfil L de lados iguales de 2” x "@"¡ .

A1

3,16 cm 2

IK

3, 29 cm 4

Ix

7,5 cm 4

3. En el croquis se indica la sección de una bandeja portacables de chapa doblada de 1,2 mm. f = 2400 kg/cm2

E = 2100000 kg/cm2

= 0,3

La bandeja tiene tramos igualmente espaciados cada 2 m y pesa 20 kg/m incluyendo los cables. Se pide: a) Calcular CS para falla por f luencia. b) Determinar CS considerando pandeo local. c) Calcular el espesor requerido para que CS {_@ pandeo local. d) Para el caso h = 1,2 mm determinar la distancia entre apoyos de modo que sea CS {_. Ayuda: Se muestra el momento flector en el primer tramo.


157



Pandeo Local


1 Determinación de la máxima carga portante con un dado C

de tres columnas fabricadas con chapa doblada cuyas secciones tienen igual área (2,88 cm ) e igual espesor (1,2 mm) pero forma diferente. S

2

El área es la misma en los tres casos: A = 24 x 0,12 = 2,88 cm2.................................. A 2,88 cm 2

( A x V f ) / CS

La máxima carga con CS = 2 a f luencia es: ........ Pmáx

(2,88 x 2400) / 2

3456 kg

83 (2 x 8 8) /3 8 2x8

2,667 cm

a) Sección U de 8 cm de lado Pandeo global (columna) Radio de giro:

Anexo Cap. 8

h3 (2 b h)/3 b 2h

rx

82 x (8 6 x 8) L 280 105,0 3,53 se utiliza el menor : rx. Ec. (13) Esbeltez: Ox rx 2,667 12 x (8 2 x 8) Considerando la Ec. (59) caso c !@¢ V crit S 2 x E / O 2 S 2 x 2100000 /1052 1880 kg / cm 2 ry

Pcrit

V crit A

5414 kg

1880 x 2,88

Pandeo local (placa) Tensión crítica en cada ala:

o

Tabla 1 Caso 5

Pmáx

Kf

Pcrit / CS

1353 ……... Pmáx

5414 / 4

0, 42 Ec. (2) V crít

0, 42

1353 kg

S 2 x 2100000 § 0,12 · ¨ ¸ 12 (1 0,32 ) © 8 ¹

2

179, 4

2

Tensión crítica en el alma:

Kf

Tabla 1 Caso 1

Carga crítica del conjunto:

¦A

Pcrít

i

S 2 x 2100000 § 0,12 · Ec. (2) V crít 4 ¨ ¸ 12 (1 0,32 ) © 8 ¹ 2 x (8 x 0,12) x 179, 4 (8 x 0,12) x 1708, 2

4

(V crít )i

1984,3 / 2,5 o

Carga máxima limitada por el pandeo local de las placas.... Pmáx

1708, 2 1984,3

Pmáx

793 kg

b) Sección cuadrada de 6 cm de lado Pandeo global (columna) Radio de giro: Ec. (13)

Ox

V crít A 1586,5 x 2,88

h 2 3b h

Tensión crítica:

280 /2, 45 114,3

Carga crítica: Pcrít

Anexo Cap. 8

rx

12 b h

Cap. 5 Ec. (59)

crít en cada lado:

Tabla 1 Caso 5

Kf

12 x 6 6

2, 45

V crít S 2 x 2100000 /114,32 1586,5

4569 kg

Carga máxima limitada por el pandeo global de la columna: Pmáx Pandeo local (placa)

62 x 3 x 6 6

Pcrít / Cs 4569 / 4 o Pmáx

1142 kg

2 S 2 x 2100000 § 0,12 · x¨ 3036,8 ° Ec. (2) o V crít 4 x ¸ 12 x (1 0,32 ) © 6 ¹ ® 4 ° ¯ Pcrít 3036,8 x 2,88 8746 o Pmáx 8746 / 2,5 3498 kg

c) Sección circular de 7,64 cm de diámetro (radio = 3,82 cm) Pandeo global (columna) Radio de giro: Cap. 5 Ec. (59)

£@¢

rx

0,7071 x 3,82 2,70 o Ox

280 / 2,70

103,7

V crít S 2 x 2100000 /103,7 2 1927 o Pcrít (1927 x 2,88) 5550 o Pmáx 5550 / 4 1387 kg

Pandeo local (cáscara) 1,26 0,52 0,74 x 3,82 ) 2185 Cap. 7 Ec. (47) V crít 0,76 x 2100000 x 0,12 / (280

o

Pmáx 2185 x 2,88/ 2,5

Carga máxima limitada por el pandeo global de la columna:.....................................

Pmáx

2517 kg

1387 kg

CONCLUSIÓN: La sección circular es más eficiente para evitar el pandeo que las dos restantes. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

158


2 Diseño de una columna de 6 m de altura con una carga de 12 T usando 4 perfiles L. a) Elección del área del perfil de modo que CS para compresión simple

Carga Área

V

12000 4 A1c

Vf

V adm

2400 2,5

CS

¤`

A1c t 3,125 cm 2 ........................................ Adoptamos A1 = 3,16 cm2

Ix = 7,5 cm4 (máx)

A = 4 x 3,16 = 12,64 cm2 CS

12000 d ¤` 4 A1c

perfil L 2" x 2" x 1/8"

I- = 3,29 cm4 (mín)

= 12000/12,64 = 949 kg/cm2

2,53 ..................................................................................................... CS

2400 /949

2,53

b) Determinación de b para obtener el coeficiente de seguridad requerido ( pandeo global )

V

Datos:

¤¤ kg cm 2

`` cm V crít

A

cm 2

A

S 2 E O 2 I

O

Arx2

Ar

Tanto el coeficiente de seguridad como la tensión crítica dependen de la esbeltez. Suponemos que ¦`` CS = 1,7 + 0,00018 2

Tensión crítica de Euler:

Cap. 5 Ec. (44)

V crít S 2 x E / O 2 S 2 x 2100000 / O 2

V crít S 2 x 2100000 / O 2 1,7 0,00018 O 2 0,17082 O 4 1613,3 O 2 20726169 0 949 V 2 2 Resolviendo la ecuación de 2do grado en la incógnita se tiene = 7262,46 = 85,22 CS

2 Notar que para = 85,22 el coeficiente de seguridad es CS = 1,7 + 0,00018 x (85,22) = 3,00

La esbeltez depende del radio de giro

Ec. (13)

O

600 / rx

85, 22 rx

7,04 cm

30 12,64 a 2 ½ ° ¾ ... ...a 6,87 cm 12,64 x (7,04) 2 626, 46 °¿

I

4 x (7,5 3,16 a 2 )

I

A rx2

a b / 2 1,39 6,87 b 16,52 ........

b 16,5 cm

c) Cálculo de h para obtener el CS requerido por los tramos de la columna ( pandeo local )

V

Datos:

¤¤ kg cm 2

A1

_ cm 2

IK

_ ¤ cm 4

A

h

Expresando la tensión crítica de Euler crít y el coeficiente de seguridad a pandeo de columna CS en función de la esbeltez como se hizo en el punto anterior se encuentra que: = 85,22 Radio de giro r-:........... IK

A1 rK2

rK

IK / A1

3, 29 / 3,16

Largo del tramo h:...... O

h / rK

h

85, 22 x 1,02

86,92 cm

n t 600 / 86,92

6,9

o

Se adoptan 7 tramos o 600 / 7

1,02

85, 71 cm ...............

h

85, 7 cm

d) Verificación del carácter “compacto” del perfil elegido ( pandeo local) $!@! K _ = 0,42

Tabla 1 caso 5

b h

2 1/8

0, 42 x

16

S2 12 x (1 0,32 )

x

2100000 2400


½ ° ° ¾ 18, 22 ° ° ¿

159

Ec. (10)

16 < 18,22

El perfil elegido satisface la ecuación (10)

Sección compacta


3 Verificación a pandeo de una bandeja portacables de chapa delgada. 0,12 x 52 x (2 x 30 5) 3 x (30 5)

Anexo Cap. 8 Warriba

1,857 Wabajo

0,12 x 5 x (2 x 30 5) 3

13

El croquis de la izquierda muestra los cuatro puntos críticos del primer tramo de la viga donde se determinaron las tensiones y se calcularon los coeficientes de seguridad a f luencia y a pandeo. Notar que en los tramos interiores los momentos f lectores son menores. [ 200 cm,

Tabla resumen: Tensiones en los puntos críticos.

q = 0,2 kg/cm y h = 0,12 cm.

Punto Posición W Tensión = M/ W 1 arriba 1,857 – 344,64 Centro del tramo 0,08 x0,2 x2002 = 640 z = 0,4 [ 2 abajo 13 49,23 3 arriba 1,857 430,80 Sobre el apoyo 0,1x 0,2 x 2002 = 800 z=[ 4 abajo 13 – 61,54

crít

CS

653,76 2400 2400 121,5

1,90 48,7 5,57 1,97

Momento = M

Ubicación

Pandeo de las caras laterales en el centro del tramo (z = 0,4 [ ) con un borde apoyado y el otro libre: Pág. 153!_ x V 2 /V 1 49, 23 / (344, 64) 0,14285 Tabla 3, caso Ec. (2)

K

V crít

0,57 0,19 x 0,06 x 2 0,02 x3

0,598 x

S

2100000 § 0,12 · x¨ ¸ 12 (1 0,32 ) © 5 ¹ 2

x

0,598

2

653,76

Pandeo de la cara inferior comprimida en la zona del apoyo (z = [ ) con los dos bordes apoyados: dos lados @" K _ = 4

Pág 152! "

M W

V

800 13

61,54

Ec. (2) V crít

4x

S 2 x 2100000 § 0,12 · x¨

2

¸

12 x (1 0,32 ) © 30 ¹

121, 47

a) Coeficiente de seguridad considerando falla por fluencia debida a la flexión La máxima tensión por f lexión ocurre en el punto 3 en la parte superior sobre el apoyo: Tensión máxima por f lexión:....... V M / W ( 0,1 x 0,2 x 200 2 ) / 1,857 430,80 kg /cm 2

V f /V

Coeficiente de seguridad:............. CS

2400 / 430,8

5,57 ............................ CS

5, 6

b) Coeficiente de seguridad considerando pandeo local Se deben considerar las dos zonas más comprimidas (puntos 1 y 4) porque si bien el punto 4 tiene menor tensión, también tiene menor tensión crítica de pandeo. Punto 1: V Punto 4: V

V crít 653,76 V crít 121,47

344,64 61,54

CS CS

V crít /V V crít /V

653,76 / 344,64 121,47 / 61,54

1,90 ½ ¾........ CS 1,97 ¿

1,9

c) Espesor para el cual CS En la parte b) se determinó que la zona más crítica en pandeo es el punto 1 en el centro del tramo. Para ese punto, en la primera parte se determinó que el coeficiente de pandeo es K = 0,598. 2 V crít 45400 h 2 S 2 x 2100000 h x 2 t 3 h t 0,15 cm 45400 h 2 o CS V crít 0,598 x 2 12 (1 0,3 ) 5 344, 64 V d) Distancia entre apoyos para que sea CS sin aumentar el espesor ( h = 1,2 mm ) En el punto b se determinó que el coeficiente de seguridad a pandeo local es 1,9 cuando A = 200 cm. Al variar A cambia el momento f lector en el punto 1 y por lo tanto la tensión máxima de compresión. La tensión crítica no cambia porque el cociente 1/ 2 K = 0,598 crít = 653,8 kg/cm2 Tensión función de A :

M

0,08 x 0, 2 x A 2

Tensión admisible con CS = 3:

V adm


0,016 A 2 V

V crít CS

_ 3

160

M /W

¤

0,016 A 2 / 1,857

V

0,008616 A 2

V adm A d 159 cm


Capítulo 9

VIGAS CURVAS 1 INTRODUCCIÓN La fórmula de la f lexión simple, = M / W, da resultados correctos para las vigas rectas cargadas simétricamente en f lexión pura. También se la utiliza para vigas rectas cargadas por flexión y corte cuando las cargas pasan por el centro de corte y en tal caso el error es despreciable si el largo de la viga es mucho mayor que el alto de la misma. En el caso de vigas curvas donde el radio de curvatura es mayor que cinco veces la altura de la viga, la fórmula de f lexión simple da resultados aceptables, pero los errores son importantes cuando el radio de curvatura es comparable con la altura de la viga, como en el caso de la Figura 1-a. Por ello es necesario encontrar una solución que, aun siendo aproximada, de resultados satisfactorios para el caso de grandes curvaturas. La teoría de vigas curvas que se presenta en este capítulo se basa fundamentalmente en dos hipótesis simplificativas: 1) Las secciones planas perpendiculares a la línea baricéntrica permanecen planas después de la deformación. 2) Tanto la tensión radial r como la tensión de corte son suficientemente pequeñas para poder considerar al problema como unidimensional (ver Figura 1-b). La fórmula para las tensiones normales circunferenciales V T que resulta de estas dos hipótesis está dada en (14) y se denomina “fórmula para vigas curvas en flexión”. En la próxima sección se demuestra que debido a la curvatura de la viga las secciones planas giran alrededor de un punto distinto del eje baricéntrico y además que la ley para las tensiones normales V T no sigue una ley lineal en el espesor sino hiperbólica.

Figura 1: Equilibrio de un elemento de viga curva

2 TENSIONES NORMALES CIRCUNFERENCIALES En la Figura 2-a se considera un elemento infinitesimal de viga definido por los puntos 1, 2, 3 y 4. Las cargas exteriores producen en la sección considerada esfuerzos flexionales, cortantes y normales que deben equilibrarse por tensiones normales y r y cortantes . Hay que tener presente que se consideran secciones simétricas y cargas actuando en el plano de simetría, por lo tanto no hay torsión. Las tensiones de corte producen alabeo de la sección plana y modifican levemente la tensión . Es usual despreciar el efecto del corte salvo en el caso de vigas con alma muy delgada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

161


Figura 2: Elemento infinitesimal de viga curva

Las tensiones transversales z (ver Figura 2-b ) son despreciables por lo que estamos en presencia de un caso de tensión plana.

2.1 Fórmula de la flexión compuesta para vigas curvas Considerando equilibrio de fuerzas en dirección circunferencial (eje x en la Figura 2-a ) se tiene:

³

A

³

A

V T dA N

0

(1)

V T R r dA M z

0

(2)

Estas integrales no pueden ser evaluadas si no se conoce la relación entre y el radio r. Esa relación se obtiene de la hipótesis cinemática que asume que las secciones planas rotan alrededor del eje neutro y permanecen planas. Hay que tener presente que a esta altura de la formulación la posición del eje neutro es desconocida. El alargamiento e es función lineal de la distancia a la fibra neutra ( R n – r ) pero debido a que el largo inicial varía con el radio r se obtiene una variación no lineal para las deformaciones específicas . ( R n r ) ' (dT ) § R n · eT 1¸ Z HT (3) ¨ r dT r dT © r ¹ donde:

Z

' ( dT ) dT

(4)

Por la ley de Hooke se tiene:

VT

HT E

Rn r r

ZE

EZ R n r

EZ

(5)

Notar que en (5) se ha despreciado el efecto de la tensión radial r. Según se observa en la Figura 1-b debería ser: 1 HT (6) V T Q V r E luego

VT

HT E Q V r

(7)

El término ( r ) puede despreciarse porque r en mucho menor que y además el máximo de r no ocurre en los extremos donde es máximo (allí r es nulo como se muestra en la Sección 3). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

162


Sustituyendo (5) en (1) y (2) y reordenando se tiene: N R n E Z Am EZ A

Mz

(8)

R n EZ ( R Am A)

(9)

donde A es el área de la sección y Am es el “área modificada”

Am

³

A

dA r

(10)

Notar que los elementos de área más alejados del centro de curvatura ( r grande ) contribuyen menos al área modificada, además Am resulta levemente superior a ( A/R ):

Am | A / R

Am ! A / R

y también:

(11)

La ecuación (9) puede reescribirse como:

Mz R Am A Sustituyendo (12) en (8) y despejando 4~ se tiene Am M z N EZ A ( R Am A) A R n EZ

(12)

(13)

Finalmente sustituyendo (12) y (13) en (5) se tiene

Am · §1 Mz N ¨ ¸ A R Am A © r A ¹

VT

(14)

que es la fórmula de la f lexión compuesta para vigas curvas. Nota: N positivo indica tracción y M z positivo implica tracción en las fibras del radio interior (puntos más próximos al centro de curvatura ). La tensión circunferencial dada por (14) tiene una variación hiperbólica debida al término (1/r ) como se puede apreciar en la Figura 3. Cuando la viga es “poco curva” los valores de “r ” son grandes respecto a la altura de la viga y entonces la variación se hace casi lineal concordando con los valores provistos por la fórmula de f lexión simple para viga recta (15). Notar que en la derivación de la ecuación (14) se plantearon ecuaciones de equilibrio (1) y (2), cinemáticas (3) y constitutivas (5). Hay que tener presente que la “fórmula” (14) para vigas curvas en flexión es todavía aproximada debido a las numerosas hipótesis simplificativas usadas en su derivación. Los valores hallados con la fórmula de vigas curvas (14) pueden compararse con los resultados exactos provistos por la teoría de la elasticidad como también por la fórmula menos exacta (15) que se usa para vigas rectas. En la Tabla 1 se muestran los cocientes entre las tensiones máximas provistas por las diferentes teorías para el caso de una sección rectangular sometida a f lexión pura para varias relaciones entre el radio R y la altura de la viga h (R y h están indicados en las Figuras 2 y 3). Tabla 1: Comparación entre los resultados provistos por distintas teorías

V T viga curva

V T viga recta

R h

V T teoría elasticidad

0,75

1,012

0,526

47 %

1

0,997

0,654

35 %

2

0,997

0,831

17 %

5

0,999

0,933

7%

V T teoría elasticidad

error %

Como en los casos prácticos generalmente R / h > 1, los resultados de la fórmula para vigas curvas pueden considerarse exactos. La teoría de viga recta da un error del 7 % cundo R / h = 5 y el error crece hasta el 35 % cundo R/h = 1. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

163


Figura 3: Variación hiperbólica de las tensiones circunferenciales en función de r

En la Figura 3 se graficó esquemáticamente la distribución de tensiones normales circunferenciales para el caso de una viga rectangular sometida a f lexión pura donde R / h = 1. Se puede demostrar, aunque es bastante laborioso, que cuando R / h ! $ (14) se reduce a la fórmula de f lexión compuesta para vigas rectas:

VT

Mz N ymáx A Iz

(15)

La fórmula para vigas curvas (14) requiere evaluar la integral (10) para calcular el área modificada con gran exactitud por lo mencionado en (11) ya que RA m tiende a A cuando la viga es poco curva y en consecuencia R/h se hace grande. Para facilitar los cálculos, Am está tabulado para las secciones de uso corriente (ver Tabla 2 ). Vale aclarar que hay otra formulación para vigas curvas en flexión que primero calcula con gran exactitud la excentricidad (distancia entre el eje baricéntrico y el eje neutro, ver Figura 3).

2.2 Ubicación del eje neutro El eje neutro se obtiene de (14) haciendo = 0 para r = Rn : A Rn A m ( A R A m ) N /M z

(16)

que en el caso de f lexión pura donde N = 0 se reduce a

Rn

A / Am

(17)

Tanto en (16) como en (17) debe calcularse Am con precisión por lo ya mencionado anteriormente con referencia a la ecuación (11).

2.3 Sección compuesta por varias áreas simples A menudo la sección de la viga curva puede descomponerse como se indica en la Figura 4 en varias áreas simples que se encuentran tabuladas.

Figura 4: Secciones compuestas por varias áreas simples

En estos casos debido a la propiedad aditiva de la integral se tiene

A

¦ Ai

Am

¦ Ami

R

¦ ( Ri Ai ) / A

(18)

Las fórmulas para calcular A, Am y R para las secciones de uso habitual se muestran en la Tabla 2. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

164


Tabla 2 Expresiones analíticas para A, R y Am = ³


165

A

dA / r


3 TENSIONES NORMALES RADIALES r La fórmula para la tensión circunferencial , ecuación (14), se derivó con la hipótesis de que la tensión radial r ( ver Figura 2-b) es despreciable. Esta suposición es correcta en el caso de secciones llenas (circular, rectangular, etc.) pero puede no serla en el caso de secciones con alma delgada (T, doble T, etc.).

Figura 5: Variación de las tensiones radiales r en el espesor de la viga

Para determinar r aislamos un elemento infinitesimal de viga ABCD como se indica en la Figura 5. Debido a la curvatura de la viga, la resultante, T, de las tensiones circunferenciales , tiene una componente, T sen (dT /2) , en la dirección de la línea media OL (ver Figura 5-d) que debe ser equilibrada por tensiones r según esa dirección.

³

T

r a

V T dA

(19)

Siendo sen (dT /2) (dT /2) se puede plantear equilibrio de fuerzas según OL

dT T V r t r dT V r 2 tr Sustituyendo (14) en (19) y el resultado de la integral en (20) se llega a: 2T

Vr donde

A*m

³

r a

dA r

N

y

A A*m A* Am A* Mz tr A t r A ( R Am A) A*

³

r a

dA

(20)

(21) (22)

Notar que este razonamiento es enteramente similar a la deducción de las tensiones de corte de Jourasky, en el caso de vigas rectas. Las tensiones r se obtienen a partir de las que a su vez fueron deducidas despreciando el efecto de r. No obstante si se compara el valor de r dado en (21) con el resultado exacto de la teoría de la elasticidad se comprueba que el error es muy pequeño y está del lado conservativo. Para vigas rectangulares donde R/h > 1 el error es menor del 6 %. La tensión radial r es nula en el radio interior, a, y crece con el radio, r, hasta alcanzar el máximo en coincidencia con el eje neutro, luego decrece hasta anularse en el radio exterior (ver Figura 5-c).

4 CORRECCIÓN DE

EN VIGAS T Y DOBLE T

Si se aísla una porción infinitesimal de una viga doble T como en la Figura 6-a se observa que debido a la curvatura de la viga se originan componentes radiales porque las fuerzas que actúan sobre las alas (T que tracciona abajo y C que comprime arriba) traccionan el alma originando tensiones r. Las alas están sometidas a f lexión y debido a su escasa rigidez se f lexionan hacia fuera según se indica en la Figura 6-b. En la Subsección 4.1, se muestra que la distorsión mencionada en el párrafo anterior origina una pérdida de rigidez y una disminución de las tensiones en los extremos de las alas respecto al valor Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

166


dado por (14). Esta redistribución de tensiones hace que las tensiones hacia el centro de las alas sean mayores que el valor previsto por (14).

Figura 6: Flexión de las alas causada por la curvatura de la viga

4.1 Pérdida de rigidez y resistencia en las alas de secciones T y doble T En la Figura 7 se analiza la deformación, muy exagerada para claridad de dibujo, de un elemento infinitesimal de viga doble T. Para el centro del ala, punto 1, el largo inicial es AB, el largo final es AB' y el acortamiento es BB' . Para el extremo del ala, punto 2, el largo inicial es AB, el largo final es A''B'' y el acortamiento es BB''' . Observando que BB''' < BB' concluimos que la deformación específica y por consiguiente la tensión es menor en el punto extremo 2 que en el punto central 1.

Figura 7: Flexión de las alas causada por la curvatura de la viga

Similarmente se puede analizar el ala inferior. Para la fibra central 3, la longitud inicial es AB, el largo final es AB' y el alargamiento es BB' . Para la fibra extrema 4, el largo inicial es el mismo, es decir AB, el largo final es A''B'' y el alargamiento es BB''' . Nuevamente resulta que BB''' < BB' y concluimos que el alargamiento específico es menor en los extremos y por consiguiente también resulta menor la tensión . La distorsión analizada aumenta el brazo de palanca de las fuerzas asociadas a de los puntos extremos, pero el aumento de distancia B'B'' es insignificante cuando se lo suma a B'N . En cambio la corrección B'B''' es del mismo orden de magnitud que B'B , y por lo tanto tiene un efecto significativo en la disminución de la deformación específica . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

167


4.2 Factores de corrección de Bleich Una forma práctica de tener en cuenta la variación de la tensión circunferencial en las alas se debe a Bleich y se describe a continuación.

a) Tensión variable en las alas

b) Sección real

c) Sección reducida

Figura 8: Corrección de Bleich del largo de las alas

Se sigue utilizando la ecuación (14) para determinar pero se reduce el largo de las alas:

bic

2 (D i A i ) t

(23)

donde: bic = ala reducida, A i = parte del semiala en voladizo y t = ancho del alma. El coeficiente depende de la relación A 2 /(r Z ) y se obtiene interpolando en la Tabla 3 o se calcula con la ecuación (25). Los valores de A , r y ~ están indicados en la Figura 8. Notar que el radio r se mide hasta la mitad del espesor del ala, A y ~ son respectivamente la parte en voladizo y el espesor del ala considerada. Notar también que si las dos alas tienen iguales valores para A y ~ resulta b2c b1c porque los radios de las alas son diferentes ( r2 < r1 (2 < 1) ! Tabla 3: Factores de corrección de Bleich y

A 2 / (rZ )

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,5

2,0

3,0

5,0

§

0,979

0,923

0,850

0,776

0,708

0,651

0,583

0,506

0,422

0,341

0,555

1,018

1,347

1,550

1,661

1,713

1,732

1.711

1,674

1,692

Figura 9: Factores de corrección de Bleich y definidos en la ecuación (25)

Cuando se aplica la ecuación (14) a la sección reducida ( no distorsionada) se obtiene una tensión máxima que coincide con el valor máximo en la sección verdadera y distorsionada. Debido a la f lexión de las alas (ver Figura 6-b) se originan (en las alas) tensiones normales z (indicadas en la Figura 2-b) cuyo valor se calcula por medio del coeficiente deducido por Bleich:

Vz

E VT

(24)

donde: se interpola en la Tabla 3 o se calcula con la ecuación (25) y se calcula aplicando (14) a la sección reducida empleando el radio correspondiente a la mitad del espesor del ala considerada. El signo menos en (24) se debe a que z es de signo opuesto a . Notar que z tiene un valor importante ya que generalmente es mayor que 1 ( ver Figura 9). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

168


A cada ala le corresponde un valor de r distinto y por lo tanto tienen distintos valores de y . El ala más próxima al centro de curvatura que tiene menor radio r y menor ya que decrece monótomante con r, esta situación es más perjudicial que en el ala más alejada del centro de curvatura. Las expresiones exactas para y son las siguientes:

D donde:

O

1 OA

senh z sen z 2 cosh z cos z

[3 (1 Q 2 ) / (r 2Z 2 )]1/4

E z

y

3

cosh z cos z 2 cosh z cos z

2O A

(25) (26)

Un caso importante ocurre cuando la semiala A es muy larga, en tal caso, para = 0,3 la semiala reducida tiene un valor límite dado por

lim (D A )

A of

bc

entonces:

rZ

0,778

t 1,56

(27)

rZ

(28)

La ecuación (27) se puede demostrar usando (25) y (26) y haciendo = 0,3, la deducción se deja para el lector. Ayuda: A z A (1/) tgh z A 1/. La ecuación (28) aparece en los manuales de recipientes con vacío interior que tienen anillos de refuerzo para evitar el pandeo. Usando (28) se adiciona la contribución del espesor del recipiente (~) al momento de inercia del anillo refuerzo siendo r el radio del cilindro trabajando en vacío. Se recomienda al lector repetir minuciosamente el análisis correspondiente a las Figuras 6 y 7 cambiando el sentido del momento M z . Se observará que la distorsión de las alas es de sentido opuesto y el sentido de d 'T también se invierte. Se llega a las mismas conclusiones: disminución de rigidez, disminución de tensiones en los extremos de las alas y por consiguiente aumento de tensiones en la zona central. Para el caso de un perfil rectangular hueco solicitado como en el caso de la Figura 10-a se produce tracción en las caras laterales y f lexión de las caras superior e inferior. La sección se distorsiona según el esquema que se indica en la Figura 10-a.

Figura 10: Efecto Bleich en el caso de un tubo rectangular

Cambiando el sentido del momento M la distorsión se produce en sentido contrario como se indica en la Figura 10-b. Notar que, tanto en el caso a) como en el caso b) disminuye la rigidez. Lamentablemente en este caso no se dispone de una fórmula para el factor de corrección.

5 CODOS CON Y SIN PRESIÓN INTERIOR Mediante un razonamiento completamente análogo al anterior se puede demostrar que los codos solicitados en f lexión se “ovalizan” y disminuyen notablemente su rigidez, cualquiera sea el sentido del momento f lector actuante. La sección ovalizada de la Figura 11-a induce a pensar que el aumento del momento de inercia alrededor del eje x debido a la ovalización podría rigidizar la sección y disminuir las tensiones máximas. Esto no ocurre ya que, según se comentó en la sección anterior, ese efecto es despreciable. En cambio, la variación de debido a la curvatura es muy significativa.

Figura 11: Ovalización de un codo f lexionado


169


El primer estudio de ovalización se debe a Von Kármán y data del año 1911. En esta sección se enuncia sucintamente la metodología a usar. Todo se resume a disminuir la rigidez y aumentar la tensión máxima calculada con la fórmula para vigas rectas en f lexión utilizando coeficientes que tienen en cuenta el efecto de la curvatura y de la presión interior.

5.1 Codos sin presión interior En la Figura 12 se indica el radio medio del caño rm ( hasta la mitad del espesor ), el radio del codo R y el espesor del caño t. La rigidez f lexional del codo (EI ) o es menor que la rigidez nominal (EI ) nom correspondiente a una viga recta:

S rm3 t (29)-a

I nom

: o I nom

(29) (29)-b donde :o es el factor de disminución de rigidez f lexional por ovalización de la viga curva dado en (33).

Io

p = presión interior

M 12 M 22 T 2

M=

(30)

Figura 12: Geometría de un codo y cargas actuantes

La tensión máxima para verificación o se encontró como la combinación más desfavorable de tensiones membranales (longitudinales y circunferenciales), tensiones f lexionales (longitudinales y circunferenciales ) debidas a la ovalización y tensiones de corte por torsión,

M rext (31) V o Ko V nom (31)-a (31)-b I nom donde Ko es el factor de incremento de tensión por la ovalización de la viga curva y M es el momento resultante dado en (30) que está indicado en la Figura 12 y corresponde al criterio de Tresca.

V nom

Para determinar los factores :o y Ko debidos a la ovalización se definen previamente dos factores adimensionales O y J : Rt R O (32) J 2 2 r (32)-a (32)-b m r 1 Q m

Luego

:o

0,6 O

Ko

O 0,667 1 0,25 / J

Od1

restringido a

restringido a

(33)

0,05 d O d 1

(34)

5.2 Codos con presión interior Por efecto de la presión interior ‘p’ aparecen tensiones membranales que tienden a devolver la forma circular al codo ovalizado (lo rigidizan) y esto modifica los valores asociados a la ovalización:

cuando: 0,05 d O d 1 y 0 d \ d 0,1

donde:

:

1+1,75 O 1,333 e 1,15 \

K 1+O 1,333 e \

°° ® ° °¯

Ip

( :o I nom ) :

(35)

Vp

(Ko V nom ) / K

(36)

0,25

(37)

0,25

(38)

siendo \ un parámetro adimensional proporcional a la presión:


170

\

2

pR E rm t

(39)


6 CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS EN UNA VIGA CURVA A los efectos del cálculo de desplazamientos en una viga curva, planteamos primero la energía de deformación para el elemento infinitesimal de viga curva correspondiente a d, bajo la acción simultánea de Mz, Q y N, de acuerdo a la Figura 2. Posteriormente aplicamos el teorema de Castigliano.

6.1 Energía de deformación en un tramo de viga curva En la ecuación (40), el primer término es energía por corte, el segundo es energía por esfuerzo axial, el tercero corresponde a la flexión y el cuarto se debe al acoplamiento entre Mz y N. Ese último término se explica porque al girar la sección alrededor del eje neutro produce un desplazamiento del eje baricéntrico donde actúa N.

W

³

Am (M z ) 2 Mz N Q2 N2 R dT ³ R dT ³ dT ³ dT AE 2 Ac G 2 AE 2 AE ( RAm A)

(40)

Debe tenerse cuidado al asignar los signos de M z y N en el término de acoplamiento: N es positivo si es de tracción y M z es positivo si trata de disminuir la curvatura de la viga. Para secciones T y doble T debe considerarse la sección reducida por el efecto Bleich según (23) y en el caso de codos debe utilizarse el momento de inercia reducido según (29) y (35).

6.2 Desplazamiento de un punto de una viga curva Para calcular la componente del desplazamiento de un punto de una viga curva en una dirección dada se puede aplicar el teorema de Castigliano. Para ello: i ) se aplica un fuerza ficticia “X ” en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento y en la dirección deseada, ii ) se determinan los esfuerzos N, Q y M z causados por todas las fuerzas aplicadas (incluyendo la fuerza ficticia X ) , iii ) se computa la energía de deformación W( X) usando la ecuación (40), iv) se calcula la derivada de la energía de deformación respecto de X: wW( X ) u X (41) wX y finalmente v ) se reemplaza en u(X) a la fuerza ficticia por su verdadero valor: X = 0. Resulta obvio que cuando se quiere conocer la componente del desplazamiento de un punto donde esta aplicada una carga P, dato del problema y en la dirección de la carga P, no hace falta utilizar la carga ficticia. Basta reemplazar X por P en la ecuación (41). Nota importante: Los desplazamientos están menos inf luenciados por la curvatura de la viga que las tensiones circunferenciales . Por ello para valores R/h > 3 se pueden reemplazar el 3er y 4to término del segundo miembro de (40) por el término habitual que corresponde a la f lexión de vigas rectas dado en (42): M z2 (42) ³ 2 EI R dT simplificando notablemente los cálculos y cometiendo un error menor al 2 %. Adicionalmente los cálculos se pueden realizar de una manera más eficiente derivando según (41) previo a realizar la integración (42) :

u X

wW( X ) wX

w wX

³

(M z ( X ) )2 2 EI

R dT

³

ª M z (X ) w M z (X ) º « EI wX »¼ ¬

R dT

(43)

X 0

ya que en los tramos de la integral donde se anula alguno de los términos dentro del corchete la integral en ese tramo no se realiza porque resulta nula. En los casos donde predomina la f lexión puede ignorarse la contribución del esfuerzo axial N y del corte Q y si además R/h > 3 todo el cálculo queda reducido a lo indicado en (43). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

171


PRÁCTICO

Vigas Curvas


1. Determinar el coeficiente de seguridad del gancho del croquis para una carga máxima de 6000 kg. Comparar el resultado obtenido con la teoría de viga curva con el correspondiente a viga recta. Material: acero f = 2800 kg/cm2

2. Calcular el desplazamiento vertical del punto A debido a la carga F que inicia la f luencia. Aro con un radio medio de 4 cm. Material: acero f = 2800 kg/cm2 Comparar resultados considerando viga curva y viga recta.

3. Determinar el coeficiente de seguridad de la prensa del croquis para una carga máxima de 1200 kg. Material: acero f = 3420 kg/cm2. Ayuda: Emplear corrección de Bleich y calcular la tensión circunferencial en el punto A.

4. Un codo de 90 º sin presión interior empotrado en el extremo A tiene una carga perpendicular a su plano en el extremo libre B. Espesor: t = 0,2 cm

Material: acero f = 4000 kg/cm2

Se pide: a) Calcular la máxima carga admisible con CS = 2. b) Repetir el cálculo ignorando la ovalización del codo (usando teoría de viga recta). c) Comparar los resultados obtenidos.

5. Para calcular la matriz de rigidez de un codo se comienza calculando la matriz de f lexibilidad para un extremo libre considerando el otro extremo como empotrado.

ª F11 «F « 21 «¬ F31 Material:

F12 F22 F32

acero

F13 º ª P1 º F23 »» < «« P2 »» F33 »¼ «¬ M »¼

ª u1 º «u » « 2» «¬ I »¼

E = 2100000 kg/cm2

= 0,3

Calcular F31 empleando el teorema de Castigliano. a) Codo sin presión interior. b) Codo con presión interior p = 40 kg/cm2. Ayuda: Considerar teoría de vigas rectas teniendo en cuenta la pérdida de rigidez por ovalización a través de Io dado por la ecuación (29). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

172

R = 12

rm = 4

t = 0,2



Vigas Curvas


1 Cálculo del coeficiente de seguridad de un gancho para una carga de 6000 kg. 1.a Solución exacta como viga curva Propiedades: Tabla 2 caso 3 A 12 x (8 2 )/2

A = 60

R

[6 x ( 2 x 8 2) 18 x (8 2 x 2 )] / [3 x (8 2 )] R = 10,8

Am

( 8 x 18 2 x 6 ) x ln (18 /6) / 12 8 2 Am = 6,0847352

Ec. (14) V T

V f /V T

CS

§ 1 6, 0847352 · 6000 6000 x 10,8 ¨ ¸ ........... V T 60 10,8 x 6, 0847352 60 © 6 60 ¹ 2800 / 839,9 3,33 .................................................... CS

839,9 3,33

1.b Solución aproximada como viga recta h 12 ; b1 8 ; b2 =2 ;

VA

h3 ( b12 4 b1 b2 b22 ) / [ 36 ( b1 b2 )] 633,6 ;

I

6000 64800 (10,8 6 ) 590,9 60 633,6

M

6000 64800 (18 10,8) 60 633, 6

VB

6000 x 10,8 64800

V máx

636, 4

636, 4

CS V f /V máx 2800 / 636,4 .............................................................................................. Cs 4, 40 La tensión máxima como viga recta es 24 % menor, tiene signo opuesto y ocurre en un punto distinto.

2 Determinación del desplazamiento vertical del punto A causado por la carga que inicia la f luencia. 2.a Carga que inicia la fluencia Propiedades: Tabla 2 caso 4 .....b ^` A S b 2

S x ( 0,5) 2 ............... A = 0,7854

R = 4................................................................................................................... R = 4 Am 2 S ( R R 2 b 2 ) 2 x S x ( 4 42 (0,5) 2 ) .................. Am = 0,1971226 Ec. (14)

VT

VT

V máx

r 3,5

§ 1 0,1971226 · F F x 4 x¨ ¸ .... V T 0,7854 4 x 0,1971226 0,7854 © 3,5 0,7854 ¹

Vf

46, 23 F ;

V máx V f

2800 ;

F

46, 23 F 60,57 kg

Nota: Se puede verificar que la fórmula para vigas rectas predice F = 66,64 kg, con un error del 10 %. 2.b Cálculo del desplazamiento del punto A Esfuerzos: Ec. (40)

G

³

S

0

E 2(1 Q )

sen 2T dT

Ec. (41)

uF

0,385 E ; Ac

³

S

0

cos 2T dT

wW wF

Q

³

W

0,85 A ;

S 2

o

F cos T

N

;

F sen T

;

Mz

F ( R sen T )

( F cos T ) 2 ( F sen T ) 2 R dT ³ R dT 2 Ac G 2 AE Am ( F R sen T ) 2 ( F R sen T ) ( F sen T ) dT ³ dT +³ AE 2 AE ( RAm A) S

cos T ³ [ 0,85 x 0,385 sen T 255 sen T 2 sen T ] dT

wW wF

FR EA

wW wF

SFR

S x 60,57 x 4 2 x 2100000 x 0,7854

2

2

2

0

2E A

x 257

2

[N 3

1 255 N 2 ] N

corte normal flexión acople

0,0593 ....................................

uF

0,0593 cm

Comentario: Notar que usando la teoría de viga recta con una carga P = 60,57 kg se obtiene un desplazamiento uF = 0,060 cm con un error de apenas el 1,2 %. Esto confirma que el efecto de viga curva en los desplazamientos es mucho menor que en las tensiones. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

173


3 Cálculo del coeficiente de seguridad de una prensa con una carga máxima de 1200 kg. 3.a Corrección de Bleich para las alas usando la ecuación (23)

Ec. (25)

0,535586 ° °O [3x (1 0,3 ) / (7,2 x 0,8 )] Ec. (26) ® ® °¯ z 2 O A 2 x 0,535586 x 0,7 0,749821 °¯ Ec. (23) b1c 2 D1 A 1 t 2 x ( 0,9961 x 0,7 ) 1, 2 .... 2

2

2

0,25

D

0,9961

E

0, 2421

b1c 2,5945

° D ® °¯ E 2 x ( 0,9381 x 1, 2 ) 1, 2 ........................ b2c

°O [3x (1 0,32 )/(2,92 x1, 42 )] 0,25 0,637937 Ec. (26) ® °¯ z 2 O A 2 x 0,637937 x 1, 2 1,5310 Ec. (23)

2 D 2 A 2 t

b2c

0,9381

Ec. (25)

0,9244 3, 4514

3.b Cálculo del área A, del área modificada Am y del radio R de la sección reducida

A1

A2 1, 2 x 3, 2 3,84

2,5945 x 0,8 2,0756

Am1 2,5945 x ln

Am 2 1, 2 x ln

R1

7,6 0, 288575 6,8 6,8 7,6 / 2 7, 2

R2

A3

3, 4514 x 1, 4 4,8320

Am 3 R3

6,8 0,763186 3,6 3,6 6,8 / 2 5, 2

Propiedades de la sección compuesta: Ec. (18) A A1 A2 A3 10,7476

3,6 1,699733 2, 2 2, 2 3,6 / 2 2,9 3, 4514 x ln

Am1 Am 2 Am 3

Am

R ( A1 R1 A2 R2 A3 R3 ) / A

3.c Cálculo de las tensiones variables en la altura de la viga Esfuerzos:......... N 1200 kg M 1200 x ( 7,3 4,55219)

M

Punto 7: Punto r

z *

r

V z7

0, 2421 x V T

r 7,2

1 2,2 1700 – 760 2181

Ala superior 2 2,9 822 0 822

3 3,6 – 286 760 665

Tensión de von Mises V *

200

4 3,6 + 286 0 286

Alma 5 4,132 0 0 0

6 6,8 – – 760 0 760

4,55219

14222,6 kg -cm

§ 1 2,75149 · 1200 14222,6 VT x¨ ¸ 10,7476 4,5522 x 2,751494 10,7476 © r 10,7476 ¹ Punto 1: V z1 0,9244 x V T Tensión transversal: Ec. (24) V z E VT Ec. (14) . V T

2,751494

7 6,8 + – 760 200 878

1936,5

8000, 4 r

760

r 2,9

V T2 V z2 V T V z Ala inferior 8 9 7,2 7,6 – 826 – 884 0 – 200 826 803

3.d Gráfico de las tensiones

3.e Determinación del coeficiente de seguridad de Von Mises CS V f /V * 3420 /2181 1,57 ................................................................................... Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

174

CS

1,57


4 Determinación de la carga admisible aplicable en un extremo de un codo sin presión. 4.a Cálculo teniendo en cuenta la ovalización de la viga curva Propiedades geométricas del codo:

R

(14,6 9,4 ) / 2

rm

(14,6 9,4 0,2 ) / 2

R

12 .....................................................

12

2,5 ........................................ rm

2,5

t = 0,2 .................................................................................. t

0, 2

Momento de inercia nominal (como viga recta): Ec. (29)-a

I nom

S rm3 t

S x (2,5)3 x 0, 2 ................... I nom

9,8175

Momento resultante M para usar en el codo: Ec. (30)

(12 P ) 2 (12 P ) 2 .......................... M

M

16,97 P

Relaciones geométrica adimensionales de la viga curva: Ec. (32)-a

O

R t / (rm2

Ec. (32)-b

J

R / rm

1 Q 2 12 / 2,5

)

12 x 0, 2 / (2,52

Tensión máxima considerando ovalización: 16,97 x P M Ec. (31)-a V nom rext I nom 9,8175

Vo

Ko V nom

1 0,32

) ....................

O

0, 4025

4,8 .......................................................................... J

Incremento de tensiones por efecto de ovalización: O 0,667 (1 0,25 / J ) Ec. (34) 0,05 d O d 1 o Ko

Ec. (31)-b

x

0,4025 0,667 (1 0,25 / 4,8 ) .... Ko

4,8 1,93

4, 494 P ............................... V nom

4, 494 P

1,93 x 4,494 P ............................................................ V o

8,674 P

Determinación de la carga admisible: V o V f / CS 8,674 Padm

x 2,6

4000 / 2 ……………...…….…...….…..

Padm

230,6 kg

Notar que se ha considerado que el empotramiento no impide la ovalización. 4.b Cálculo ignorando la ovalización (teoría de viga recta) Momento de inercia como viga de pared delgada Ec. (29) I S rm3 t S x (2,5)3 x 0, 2 ..................................................................... I

9,8175

Módulo torsional (JR del tubo circular de pared delgada) Anexo Cap. 8, pág. 156 J R 2 S (rm )3 t 2 x S x (2,5)3 x 0, 2 .................................... J R

19,635

Tensión normal por f lexión en el extremo A: M 12 x P 3,178 P x 2,6 ................................ V V rext I 9,8175 Tensión de corte por torsión en el extremo A: Caso 2 Anexo Cap. 10, pág. 200 T 12 x P 1,589 P rext x 2,6 .................................. W W JR 19,635 Tensión efectiva de Von Mises

V*

V 2 3W 2

(3,178 P ) 2 3 x (1,589 P ) 2 ............................................. V *

Carga admisible con coeficiente de seguridad igual a 2: V * V f / CS 4, 204 Padm 4000 /2 ………..……...…....……..….. Padm

4, 204 P

475,7 kg

4.c Comparación de los resultados CONCLUSIÓN: Al comparar los resultados 4.a y 4.b, se observa que debido al efecto de viga curva se pierde más del 50 % de la resistencia debido a la ovalización !!!!!! Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

175


5 Cálculo de un elemento de la matriz de f lexibilidad de un codo. El elemento F31 de la matriz de f lexibilidad es igual al giro I en radianes producido por una carga unitaria horizontal de valor unitario: P1 = 1 kg. Para resolver empleando el teorema de Castigliano se coloca un momento ficticio Mo en el extremo libre que se anula después de derivar.

Q 1 sen T ° Esfuerzos: ® N 1 cos T ° ¯ M M o R (1 cos T )

R = 12

Área de la sección plana de pared delgada: A 2 x S x rm x t

rm = 4

t = 0,2

2 x S x 4 x 0, 2 .................... A

5,03

Relación geométrica adimensional de la viga curva: Ec. (32)-a

R t / (rm2

O

1 Q 2

)

12 x 0, 2 / (42 x 1 Q 2

) ..................................

O

0,15724

0,6 x 0,15724 ................................................... :o

0,09434

Disminución de la rigidez :o : Ec. (33)

O 1 o :o

0,6 x O

Comentario: como la curvatura es elevada [R/(2rm ) = 1,5 ] y el espesor es pequeño ( t << rm ) el efecto perjudicial de la ovalización es muy importante y la flexibilidad aumenta más del 1000 % !!! Momento de inercia nominal I nom y reducido I o : Ec. (29)-a

I nom

S rm3 t

Ec. (29)-b

Io

:o I nom

S x 43 x 0, 2 .......................................................................... I nom 0,09434 x 40, 21 ...................................................................

Io

40, 21 3,79

5.a Flexibilidad del codo sin presión interior Energía de deformación elástica: 2 > M o R (1 cosT )@ R dT > M o R (1 cosT )@ cosT dT sen 2 T cos 2 T R dT ³ R dT ³ Ec. (40) y (42) W ³ ³ 2 Ac G

2 AE

2E Io

AE

Derivada de la energía de deformación respecto al momento ficticio M o : wW wM o

F31o

0 0

S /2

³ 0

wW wM o

S /2 M o R (1 cos T ) cos T R dT ³ dT EIo AE 0

2

Mo 0

R T sen T E Io

S /2 0

1 sen T EA

S /2

(1,0276 0,0095) x105

0

F31o

1,04 x105 rad / kg

5.b Flexibilidad del codo con presión interior El único cambio respecto al caso 5.a es el incremento de la rigidez por el efecto estabilizante de la presión interior aplicada al codo. Esto se traduce en un incremento del momento de inercia reducido lo que disminuye de manera inversamente proporcional la deformación por f lexión. Parámetro adimensional de presión \ : Ec. (39)

\

p R 2 / E rm t

40 x 122 /(2100000 x 4 x 0, 2 ) ..................................... \

0,003429

Incremento de rigidez : : Ec. (37)

:

1+1,75 x (0,15724) 1,333 x e1,15 x 0,003429

0,25

1,178

Ip

: Io :

1,178

La rigidez del codo aumenta un 18 % debido a la presión interior que es estabilizante, en consecuencia: p F31p (1,0276 / : 0,0095) x 105 (1,0276 /1,178 0,0095) x 105 .... F31


176

0,882 x105 rad / kg


Capítulo 10

VIGAS DE PARED DELGADA 1 INTRODUCCIÓN Este capítulo está dedicado al estudio de vigas de pared delgada. El objetivo es determinar las tensiones y las deformaciones, en especial las tensiones de corte causadas por el momento torsor y los esfuerzos de corte. A modo de ejemplo se considera una viga de pared delgada abierta de forma arbitraria cuya sección plana se muestra en la Figura 1. Primero se procede a determinar las propiedades de la sección: i) área (A), ii) ubicación del centro de gravedad (punto G), iii ) momentos de inercia y producto de inercia, iv) ejes principales de inercia que se interceptan en el centro de gravedad de la sección (ejes “y” y “z” ) y v) ubicación del centro de corte (punto C ). A continuación se determinan los esfuerzos que solicitan a la sección plana: i) el esfuerzo normal N y los momentos f lectores M y y M z que pasan por el centro de gravedad G. ii ) el momento torsor T y los esfuerzos de corte Qy y Qz que pasan por el centro de corte C.

Figura 1: Esfuerzos en una sección de pared delgada y tensión normal en un punto genérico

Una vez determinadas las propiedades de la sección plana y los esfuerzos actuantes se pueden calcular las tensiones. Las tensiones normales en un punto genérico ( punto A) de la sección, definido por las coordenadas ( yA y zA ) respecto a los ejes principales de inercia, se calculan por la “fórmula de la f lexión compuesta” que es totalmente general,

V x A

My N Mz zA yA A Iy Iz

(1)

siendo aplicable a todo tipo de secciones: llenas, de pared delgada ( abiertas o cerradas), y también de pared gruesa, sean ellas simétricas o no. Las tensiones de corte en un punto genérico tal como el A dependen del momento torsor ( T ) que se calcula tomando momentos respecto al centro de corte y de los esfuerzos cortantes (Qy y Qz ) que tienen la dirección de los ejes principales de inercia pero pasan por el centro de corte. Nos preguntamos: ¿Existe una fórmula totalmente general, para calcular las tensiones de corte?

WA

f ( T , Q y , Qz , y A , z A )

?

(2)

Lamentablemente la respuesta es no, en cada caso se deben tener en cuenta las particularidades de la sección considerada. En algunos casos como en las secciones circulares se conoce la solución general, en otras secciones llenas (rectángulo, elipse, triángulo, hexágono, etc.) se tiene una fórmula para determinar la tensión de corte máxima pero no se dispone de una expresión para determinar la tensión de corte en un punto genérico en función de sus coordenadas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

177


En este capítulo se derivan fórmulas para las tensiones de corte de secciones cerradas y abiertas de pared muy delgada, que pueden tener o no ejes o centros de simetría. En el Anexo al final del capítulo se resumen las fórmulas para calcular la tensión de corte máxima y el módulo torsional de diversos tipos de secciones. Finalizamos esta introducción anticipando que a lo largo de este capítulo se demuestra que en ciertos casos de vigas de pared delgada, el momento torsor T produce tensiones normales denominadas “tensiones secundarias” que se agregan a las provocadas por el esfuerzo axial y los momentos flectores considerados en la ecuación (1), la cual se modifica como se indica en (3) (3) My N Mz zA y A V (T , s , E ) A Iy Iz donde ‘s’ es una coordenada curvilínea que recorre la línea media del espesor del contorno de la sección plana de pared delgada y ‘ ’ es el giro por unidad de longitud de viga correspondiente a la sección considerada, que está definida por la coordenada axial x indicada en la Figura 1.

VA

2 TORSIÓN DE UNA SECCIÓN CERRADA UNICELULAR DE PARED DELGADA Nos referiremos a un perfil cerrado de pared delgada como el de la Figura 2-a. El espesor puede ser variable pero debe ser muy pequeño en comparación con el perímetro y sin cambios bruscos porque en ese caso se produce concentración de tensiones. El espesor, t, y las tensiones de corte, no varían en el sentido axial (eje x).

Figura 2: Determinación del flujo de corte en una sección de pared delgada unicelular

Se aísla un elemento, digamos el ABCD, como se muestra en la Figura 2-b y se plantea el equilibrio de fuerzas en el sentido x teniendo en cuenta la reciprocidad de las tensiones tangenciales y el hecho de que los puntos A y C son arbitrarios. Se observa que el producto de por t es constante en todo el perímetro del perfil. El producto ( t ) se denomina “f lujo de corte”.

W 1 t1 dL

W 2 t2 dL

o

W 1 t1

W 2 t2

o

cte

q Wt

(4)

Para calcular el momento torsor se integra a lo largo del perímetro el momento infinitesimal que el flujo de corte produce respecto a un punto arbitrario P como se muestra en la Figura 2-c.

T

v³ r q ds

q

v³ r ds

(5)

El flujo de corte q se ha sacado fuera de la integral por ser constante a lo largo de todo el perímetro. La integral debe efectuarse a lo largo de la línea media y tiene una interpretación geométrica muy simple. En efecto, ( rds ) es el doble del área del triángulo de base (ds) y altura ( r ).

v³ r ds

2*

o

T

2 q*

(6)

Notar que el área no es el área A de la sección recta, sino, el área encerrada por la línea media del perímetro (normalmente >> A). La tensión de corte por torsión en la sección cerrada de pared delgada depende del espesor, de (6) y (4) se tiene: T T W q (7) y 2* 2* t Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

178


El giro por unidad de longitud ( = d/dx ) puede determinarse por un simple planteo energético. El trabajo realizado por el momento torsor T es:

We ½ TT donde: T EL (8) Cuando actúa solamente la tensión de corte, la energía por unidad de volumen “w ”, dada en la ecuación (121) del Capítulo 1 se reduce a una expresión sencilla que se puede integrar en el volumen (dV = Ltds ) para calcular la energía interna de deformación elástica Wi . w ½W J

½

W2 G

o

Wi

v³ w dV

v³ ½ ½ TEL

Igualando We con Wi

W2 dV G

o

³½

v³ ½

Wi

W2 Lt ds G

(9)

W2 Lt ds , G

(10)

se puede despejar . Reemplazando (4) y (6) en (10) se puede expresar de dos maneras según convenga en función del momento torsor T o del flujo de corte q:

E

q 2G*

v³

ds t

E

(11)-a

T 4 G* 2

ds t

v³

(11)

(11)-b

Las ecuaciones (6) y (11) son conocidas como fórmulas de Bredt, quien las dedujo en 1896. Notar que son fórmulas aproximadas válidas para espesores t muy pequeños. Como en general los espesores de las vigas de pared delgada no son tan pequeños el error no es insignificante. A modo de ejemplo se puede mencionar que si la fórmula (6) se aplica a un tubo circular cuyo espesor es igual al 20 % del radio medio, la tensión máxima calculada es un 8 % inferior al verdadero valor. En ese mismo ejemplo el giro por unidad de longitud calculado con (11) tiene un 1% de error en exceso. Teniendo en cuenta la ley de Hooke se puede expresar el giro por unidad de longitud como

TL G J R (12)-a

T

o

E

T G JR

(12) (12)-b

donde el producto (G JR ) es la rigidez a la torsión de la sección. Al comparar la ecuación (12)-b con la (11)-b se obtiene la fórmula (13)-a para calcular el módulo torsional JR de una sección cerrada de pared delgada que es el equivalente al momento de inercia polar de una sección circular. Módulo torsional

JR

4* 2

v³ ds / t

(13)-a

si t es constante J R

4* 2 t perímetro (13)-b

(13)

donde se observa que el módulo torsional de secciones cerradas crece con el cuadrado del área encerrada y sólo linealmente con el espesor t. En el caso de una sección cerrada con aletas se suman las contribuciones de esos elementos

JR

42 ¦ / ds t v³

³ ൈ t ds 3

i

(14)

i

Es muy importante destacar la gran diferencia entre el módulo torsional de una sección cerrada y el de otra similar abierta. A modo de ejemplo se sugiere al lector verificar que el tubo soldado (cerrado) de la Figura 3-b tiene una rigidez ( G JR ) que es 300 veces la rigidez del mismo tubo sin soldar de la Figura 3-a. Asimismo puede verificarse que la tensión máxima en la sección abierta es 30 veces el valor correspondiente a la sección similar pero cerrada.

J R cerrada J R abierta

§r · 3¨ m¸ © t ¹

W max abierta W max cerrada

3

rm t

2

300

30

Figura 3: Comparación entre dos secciones aparentemente similares: a) abierta, b) cerrada Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

179


3 TORSIÓN DE SECCIONES CON VARIAS CÉLULAS Las secciones cerradas multicelulares de pared delgada son de uso frecuente en ingeniería naval, mecánica y aeronáutica. Su análisis es una simple generalización de los resultados obtenidos por Bredt para una sección cerrada (unicelular ). Analizaremos una sección de dos células del tipo de la Figura 4, pero los resultados pueden generalizarse al caso de n células. Se considera que el f lujo de corte q1 actúa en la célula 1 y que el f lujo de corte q2 actúa en la célula 2, mientras que en el tabique interior se superponen ambos f lujos.

Figura 4: Sección cerrada de pared delgada de dos células

Repitiendo un razonamiento similar al que permitió deducir (4) se puede probar que

q1 q 2

q3

(15)

esto permite tratar los flujos de corte en las células como corrientes en las mallas de circuitos eléctricos. Suponiendo que las secciones planas no se distorsionan en su plano (teoría de Saint Venant ) se puede anticipar que todas las células giran lo mismo, de esa manera según (11) se tiene:

E

E 1 = E 2 .....= E n

1 2 G i

Ei

donde:

v³

qi ds i

i 1, 2, n

(16)

El momento torsor total se obtiene como suma de la contribución de todos los tramos. Considerando la sección de dos células de la Figura 4-a se tiene

T

³

ABC

q1 r ds ³

CDA

q 2 r ds ³

CA

q

1

q 2 r ds

q1 2 (* 1 * 3 ) q2 2 (* 2 * 3 ) (q1 q2 ) 2 * 3

(17)

2 (q1 * 1 q2 * 2 )

n

Generalizando para n células

o

T

2 ¦ qi * i

(18)

i 1

Un problema típico es el siguiente: Son datos la geometría, el material (G) y el momento torsor total T y se pide hallar los n flujos de corte qi y el giro por unidad de longitud ( ). Se tienen n células y por lo tanto n+1 incógnitas. Se dispone de un sistema de n ecuaciones acopladas (16) que permiten calcular los qi en función de (que es único). Reemplazando luego en (18) podemos despejar el valor de con el que finalmente se calculan los qi . Secuencia de cálculo para resolver la sección de dos células de la Figura 4:

E

Comenzamos definiendo: Ec. (16)

ª a b º ª q1 º « »« » ¬ c d ¼ ¬ q2 ¼

Ec. (18)

T

ª*1 º 2E G « » ¬* 2 ¼

2E G ;

ª a b º ª q1 º « » « » ¬ c d ¼ ¬ q2 ¼

despejando 2 E * 1 q1 * 2 q2 o E

qi = E qi

(19)

q1 ª*1 º resolviendo « » o ® ¬* 2 ¼ ¯ q2

° q1 T o ® 2 (* 1 q 1 * 2 q 2 ) ¯°q2

E q1 E q2

(20)

(21)

Para obtener el módulo torsional se parte de (12)-b, se tiene en cuenta (19) y se generaliza (21): JR


4 ¦ * i qi

180

(22)


4 ÁREA SECTORIAL Las vigas de pared delgada pueden estar solicitadas por torsión o bien torsión y flexión. El análisis de tales problemas se facilita definiendo la propiedad de la sección llamada Área Sectorial.

Figura 5: Definición del área sectorial

Para la sección abierta de pared delgada de la Figura 5 se elige arbitrariamente un punto inicial ( I ) para medir la distancia ‘s’ sobre la línea media. También se elige arbitrariamente un punto ( P) como ‘polo’ y se define el área sectorial ~ (s) como

Z (s)

³

s 0

s

³

r ds

0

dZ

[cm 2 ]

(23)

Notar que el área sectorial es un valor asociado a cada punto de la línea media de la sección. El incremento ~ es positivo cuando PQ rota en sentido antihorario. Notar que si se cambia el punto inicial, el valor del área sectorial cambia en una cantidad fija en todos los puntos (el cambio es igual al valor anterior que tenía el área sectorial en el nuevo punto inicial ). A modo de ejemplo en la Figura 6 se muestran gráficos del área sectorial para una misma sección donde se cambia la ubicación del polo y del punto inicial.

Figura 6: Gráficos del área sectorial obtenidos cambiando el polo y el punto inicial

Otras propiedades útiles para el análisis de secciones de pared delgada son las siguientes: 1) Momento estático sectorial.............

MZ

2) Momentos sectoriales de 1er orden....

SZx

³ Z (t ds) s

³

s

[cm 4 ]........................................ (24)

y Z (t ds )

SZy

³

s

x Z (t ds )

[cm5 ] (25)

donde y es la distancia al eje “x” y x es la distancia al eje “y”. 3) Momento de inercia sectorial..........

IZ

³Z s

2

(t ds )

[cm 6 ]....................................... (26)

Notar que estas propiedades de las secciones de pared delgada dependen de la geometría de la sección y de la elección de los puntos “I ” y “P ”. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

181


Las propiedades (24), (25) y (26) son propiedades globales de la sección (constantes), a diferencia del área sectorial definida en (23) que varía de punto a punto de la sección (variable). Notar que (25) depende además del eje de referencia (ya sea “x ” o “y ” ) .

4.1 Diagrama principal de área sectorial Cuando se utiliza el centro de corte como polo, los momentos sectoriales de 1er orden ( SZx y SZy ) definidos en (25) respecto a ejes principales resultan nulos independientemente de la elección del punto inicial. Esto se demuestra más adelante, ver ecuación (66). Si además se elige el punto inicial de modo que el momento estático sectorial se anule, se obtiene un diagrama de área sectorial que se denomina “diagrama principal de área sectorial ”. Para obtener el diagrama principal se calcula primero ~1(s) usando al centro de corte como polo y adoptando un punto inicial cualquiera

Z 1( s )

³

s 0

r ds

(27)

Cambiar el punto inicial implica restar una constante (~o ) en todos los puntos de la sección

Z (s)

Z 1( s ) Zo

(28)

Para que la nueva área sectorial ~ (s) así definida sea el diagrama principal deberá cumplirse que

³ de donde

³Z

Resumiendo:

1( s )

(t ds) Zo ³ (t ds)

s 0

Z ( s ) (t ds) 0

o

0

(29)

Zo

1 A

³Z

1( s )

(t ds)

(30)

1º ) se calcula ~1(s) según (27) usando al centro de corte como polo. 2º ) se calcula la constante ~o usando (30), donde A es el área de la sección. 3º ) se obtiene el área sectorial principal ~ (s) usando (28).

Nota 1: Recordar que debe utilizarse como polo al centro de corte. Nota 2: Cuando hay un eje de simetría basta tomar el punto inicial I sobre el eje de simetría para obtener directamente el diagrama principal sin necesidad de usar el procedimiento anterior !

5 ALABEO - TENSIONES SECUNDARIAS La mayoría de las secciones alabean cuando son torsionadas. Se denomina ‘alabeo’ a los desplazamientos en el sentido axial que hacen que las secciones originalmente planas no permanezcan planas después de ser torsionadas. Cuando el alabeo está restringido por los apoyos se originan tensiones denominadas “secundarias” que son de dos tipos: i) axiales en el sentido de viga, como se indica en el recuadro sombreado en la ecuación (3) y ii) de corte actuando en las secciones transversales. Las tensiones secundarias también aparecen cuando varía el momento torsor a lo largo de la viga; en tal caso las secciones próximas intentan alabearse de manera distinta y eso debe compatibilizarse.

5.1 Desplazamientos por alabeo Para desarrollar expresiones que permitan calcular el desplazamiento axial u, se considera el tramo de viga de la Figura 7-a.

Figura 7: Contribuciones a las deformaciones por corte en una viga solicitada en torsión Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

182


Aislando un elemento genérico ABCD se observa que hay dos contribuciones a las deformaciones de corte (ver Figura 7-b): i ) la primera que llamaremos se origina en la rotación relativa de una sección respecto a otra que se encuentra a una distancia dx y ii ) la segunda que llamaremos se origina en la variación de los desplazamientos axiales u, ( alabeo ):

J

D O

du ds

Er

(31)

La distorsión de corte J produce en el plano medio un flujo de corte q. Según (2) y la ley de Hooke asociada al corte se tiene: (4) Hooke

q

W

W t ½° ¾ o J J G °¿

q Gt

(31)

du ds

q Er Gt

(32)

5.2 Secciones abiertas Recordando que las secciones abiertas no tienen f lujo de corte q { 0 , se puede integrar (32) llegando a:

u

E

³

s 0

r ds u0

o

u( s )

E Z( s ) u 0

(33)

La ecuación (33) muestra que los desplazamientos por alabeo en secciones abiertas de pared delgada son proporcionales al giro por unidad de longitud E y tienen la misma ley de variación que el área sectorial ~(s) a lo largo del perímetro. Notar que u0 es una traslación de toda la sección que depende del punto inicial utilizado para definir el área sectorial. IMPORTANTE: Las secciones abiertas cuya área sectorial es nula en todos los puntos no se alabean. Esto ocurre, por ejemplo, cuando la sección está constituida por un haz de elementos rectos que concurren en un punto como se muestra en la Figura 8.

Figura 8: Secciones abiertas formadas por un haz de rectas concurrentes cuya área sectorial es nula

5.3 Secciones cerradas En una sección cerrada no existe el corte EF presente en la Figura 7-a y se obtiene en general un f lujo de corte no nulo constante en el perímetro. Integrando (32) y haciendo nula la constante de integración u0 se obtiene:

u( s )

E Z( s )

q G

s

³ t

ds t

(34)

Reemplazando las fórmulas de Bredt, (11)-b y (6) en (34) se tiene u( s )

T § Z (s) ¨ 2G * © 2*

v³

ds t

³

s 0

ds · ¸ t ¹

(35)

Si se recorre todo el perímetro ~ = 2 y entonces u(s) = 0, lo que es correcto porque estamos nuevamente en el punto inicial. Empleando (35) se puede verificar que existen algunos casos donde u(s) ¨`"!"@$" por lo tanto la sección no alabea. Tal es el caso de las secciones mostradas en la Figura 9-a, 9-b y 9-c. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

183


Figura 9: Ejemplos de secciones que no alabean

5.4 Tensión axial secundaria Cuando el alabeo varía a lo largo del eje x se originan tensiones normales secundarias en el sentido del eje de la viga. Se denominan tensiones secundarias porque a priori no se esperaría que la torsión produzca tensiones normales que se suman a las causadas por los momentos flectores y el esfuerzo axial. La variación en el desplazamiento de alabeo, u, se origina en las siguientes causas: 1. Variaciones del momento torsor a lo largo de la viga, 2. Restricción al alabeo libre en una o más secciones (apoyos) o 3. Una combinación de las dos causas anteriores actuando simultáneamente. Para el caso de torsión actuando sola se tiene: du( s ) H x (s) o dx

V x (s)

E H x (s)

V x (s)

E

(36)

a) Sección abierta Empleando (36) y (33) se tiene:

V x(s)

E

dE Z (s) dx

o

d 2T Z (s) dx 2

(37)

La ecuación (37) muestra que, para el caso de torsión pura, la distribución de tensiones axiales secundarias sigue la misma ley de variación que el área sectorial principal. Debido al tipo de solicitación (torsión pura) deben anularse: i) la resultante de las fuerzas axiales, ecuación (38) y ii) los momentos de las tensiones axiales respecto a ejes principales de inercia de la sección transversal (ejes “y” y “z”), ecuaciones (39) y (40) ( dichos momentos serían momentos f lectores ). Fx ³ V x ( s ) dA 0 (38) A

My

³

Mz

³ y V x ( s ) dA

A

z V x ( s ) dA

0

(39)

0

A

(40)

Siendo x proporcional al área sectorial y teniendo en cuenta (38) se deduce que ~(s) en (37) es el área sectorial principal definida en (28) y que se calcula usando los valores obtenidos con las ecuaciones (27) y (30). Las ecuaciones (39) y (40) son los momentos sectoriales de primer orden definidos en (25) que se anulan cuando se utiliza al centro de corte como polo. Esto último se demuestra en el corolario al final de la Subsección 8.2 Para calcular la tensión axial secundaria x(s) es necesario conocer la variación de o como función de x y eso depende del problema en particular que se esté considerando. b) Sección cerrada En una sección cerrada hay tensión axial secundaria x(s) sólo si el momento torsor varía en función de x. Empleando (36) y (35) se tiene:

V x(s)

E § Z( s ) ¨ 2G * © 2 *


v³

184

ds t

³

s 0

ds · dT ¸ t ¹ dx

(41)


5.5 Tensión de corte secundaria Si d /dx no es constante aparece un f lujo de corte variable en el contorno, aún en el caso de secciones abiertas, y la tensión cortante, = q/t, no se anula sobre la línea media de la sección. Notar que, de acuerdo a la teoría de Saint Venant, la variación de las tensiones de corte por torsión es lineal en el espesor de las vigas abiertas de pared delgada y la línea media tiene tensión de corte nula.

Figura 10: Tensiones de corte secundarias en secciones abiertas de pared delgada

Para un elemento de una sección abierta debe cumplirse equilibrio de fuerzas según la dirección del eje de la viga (eje x). Observando la Figura 10 se tiene:

§ wV x ( s ) · § wq( s ) · dx ¸ t ds ¨ ds ¸ dx ¨ © wx ¹ © ws ¹

0

(42)

Sustituyendo x(s) según (37), simplificando e integrando se obtiene:

wq( s ) ds q( s )

E

d 3T MZ (s) dx 3

E

d 2E Z t dx 2 ( s )

(43)

donde: M Z ( s )

sc s

³ sc 0 Z ( sc) t dsc

(44)

M ~(s) es el momento estático sectorial que varía en el contorno en función de ‘s’ a diferencia de la propiedad definida en (24) que corresponde a toda la sección. La constante de integración en (44) resulta nula porque siempre se integra a partir de un extremo libre de la sección donde s’ = 0, s = 0 y q = 0. El valor de Z ( sc ) en cada punto es igual al valor del diagrama principal de área sectorial en ese punto. Notar que en el extremo libre donde s’ es nula, el f lujo de corte q es nulo pero el área sectorial no es nula en ese punto (¡el valor nulo ocurre en el punto inicial con que se definió el área sectorial principal !). Notar que hay una aparente incongruencia en el razonamiento. En efecto (43) y (44) se basan en (33) que se derivó suponiendo que la tensión de corte es nula en la línea media y luego a partir de ella se derivó (44) para calcular el f lujo de corte q que no es nulo en la línea media. Razonamientos similares son utilizados en teoría de flexión de vigas y teoría de flexión de placas. La obtención de (43) se basa en condiciones de equilibrio similares a las que permiten obtener las tensiones de corte de Jourasky. El error que se comete al calcular x ignorando q es muy pequeño y por lo tanto el error de q basado en x también resulta despreciable.

6 TORSIÓN CON ALABEO RESTRINGIDO La teoría de Saint Venant supone que las cargas externas y los apoyos son tales que permiten el libre alabeo de las secciones, pero existen muchos casos de interés práctico en que el alabeo está restringido. Un caso muy común es aquel en que se tiene una viga en voladizo donde los desplazamientos axiales están restringidos en el empotramiento (apoyo). Nos proponemos resolver el siguiente problema: Determinar el giro por unidad de longitud, , y las tensiones como función de x en el caso de una viga de pared delgada solicitada por torsión y con restricción al alabeo. La teoría correspondiente comenzó a ser desarrollada por Timoshenko en 1905 y fue completada por Vlasov alrededor del año 1950. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

185


6.1 Ecuación general de la torsión para secciones abiertas Se considera una sección abierta de forma arbitraria del tipo de la Figura 11-a solicitada por un momento torsor ‘T ’ en el extremo libre.

Figura 11: Tensiones por torsión de una viga de pared delgada y sección abierta

Si se considera una sección cualquiera (para un cierto valor de la coordenada x) como la indicada en la Figura 11-a se observan tensiones de corte de Saint Venant que varían linealmente en el espesor ( Figura 11-b) y tensiones de corte uniformes en el espesor pero variables en el contorno, correspondientes al f lujo de corte secundario, qs, debido a la restricción al albeo libre ( Figura 11-c). Partiendo de la ecuación (5) se puede calcular el momento torsor, Tq , resistido por el f lujo de corte secundario qs debido a las restricciones al alabeo:

Tq

³ r q ds ³ q s

s

dZ

(45)

El cálculo de qs está dado en la ecuación (44) y requiere hacer una integración a lo largo del contorno medio de la sección abierta. Para evitar esa integral se recurre a la integración por partes de la ecuación (45): wq F Tq ³ qs d Z (46) >Zs qs @ I ³ Zs §¨ s ds ·¸ © ws ¹ La cantidad entre corchetes se anula porque q = 0 en los puntos extremos de la sección abierta (puntos I y F, en la Figura 11-c). Reemplazando ( qs s) por el valor dado en (43) se tiene

Tq

E

d 2E dx 2

³ Zs

2

(t ds ) o

Tq

E

d 2E IZ dx 2

(47)

Notar que la integral es el momento de inercia sectorial I~ definido en la ecuación (26) que se calcula a partir del área sectorial principal. La parte del momento torsor, TSV , resistido por las tensiones de corte de Saint Venant de variación lineal en el espesor t, bosquejado en la Figura 11-b se calcula de la manera habitual considerando (12):

dT

dT dx

T dx o E G JR

T G JR

o

TSV

E G JR

(48)

Sumando las contribuciones dadas en (47) y (48) y multiplicando por menos 1, se tiene:

d 2E G JR E T (49)-b (49) Tq TSV T (49)-a dx 2 El coeficiente (EI~ ) se denomina rigidez al alabeo, mientras que el coeficiente (GJR ) es la rigidez a la torsión clásica de Saint Venant. Dividiendo por EI~ se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden en o

E IZ

d 2E K2 E dx 2 donde

K2

G JR E IZ


K2

T G JR

(50) (51)

186


Reemplazando en (50) por (d/dx) y derivando respecto a x se tiene 2 d 4T 2 d T K dx 4 dx 2

Tc G JR

(52)

dT dx

Tc

donde

K2

(53)

La ecuación (52) es la ecuación diferencial de la torsión para secciones abiertas. Debe quedar claro que tanto T en (50) como T c en (52) son en general variables en función de la coordenada x. Para el caso T = cte., la solución de (50) es

E

B1 senh ( Kx) B2 cosh ( Kx) T / (G J R )

(54)

Para el caso de momento torsor de variación lineal, T c cte. la solución de (52) es:

T

C1 C2 x C3 senh ( Kx) C4 cosh ( Kx) T c x 2 / 2 G J R

(55)

Las constantes de integración se calculan a partir de las condiciones de borde. Por ejemplo para un borde empotrado: T constante: en x 0 o E 0 (56)

Tc

0 o T

en x

constante:

0 y dT / dx

0

(57)

En el caso general donde T tiene una variación arbitraria se recurre a la integración numérica de la ecuación diferencial, tema desarrollado más adelante en la Subsección 9.2.

7 FLUJO DE CORTE POR CORTE En el caso de vigas rectas de pared delgada, abiertas y de sección constante, las tensiones de corte por corte son tangentes a la línea media de la sección y uniformes en el espesor. Esto da origen a un f lujo de corte q(s) que varía a lo largo del perímetro de la sección, cuyo valor se determina por la conocida fórmula de Jourasky.

7.1 Secciones abiertas simétricas Sea, por ejemplo, la viga en voladizo de la Figura 12 donde los ejes “y” y “z” son ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la sección. El eje x tiene la dirección de la viga que es recta y de sección constante. El centro de corte se ubica sobre el eje de simetría.

Figura 12: Tensiones de corte por corte en una sección abierta simétrica de pared delgada

La tensión de corte debida al esfuerzo de corte Qz actuando en el centro de corte, se calcula con la fórmula de Jourasky:

W

QS tI

(4)

q( s)

Qz S y ( s ) I y*

s

donde: S y ( s )

³ z t ds

(58)

I

donde q(s) es el f lujo de corte activo que recorre la línea media de la sección de pared delgada; s es la coordenada curvilínea que sigue la línea media de la sección (s es igual a cero en el extremo que se toma como punto inicial I ) ; Qz es el esfuerzo de corte en la sección, Sy (s) es el momento estático Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

187


respecto al eje “y” del área comprendida entre el punto inicial y el punto definido por la coordenada * “s”, I y es el momento de inercia consistente respecto al eje “y”. * El momento de inercia consistente I y se calcula concentrando el área sobre la línea media de la sección. Siendo consistente se garantiza que al integrar el f lujo de corte q(s) dado por (58), que se considera actuando sobre la línea media, se obtendrá el valor del esfuerzo cortante Q que es dato. Convención de signos: Q es positivo cuando tiene el sentido del eje z positivo. El f lujo de corte q(s) resulta positivo cuando apunta en el sentido creciente de la coordenada s que define el punto donde se calcula el f lujo de corte. El “f lujo de corte activo” tiene por resultante al esfuerzo de corte y pasa por el centro de corte. Se denomina “reactivo” al f lujo que equilibra el esfuerzo de corte. En la Figura 12 se observa que el f lujo de corte es de intensidad variable (varía de acuerdo al valor del momento estático del área que es nulo en los extremos y máximo en el centro de gravedad ) y tiene la dirección de la línea media. Notar que en las alas superiores el f lujo de corte es horizontal a pesar de que el esfuerzo de corte Q es vertical (según el eje z ) . Notar que se han graficado flujos activos.

7.2 Secciones abiertas asimétricas En el caso de una sección asimétrica como la mostrada en la Figura 13 se deben determinar primero los ejes principales de inercia ‘y* ’ y ‘z* ’. La carga P que es vertical debe descomponerse según las direcciones principales para determinar los esfuerzos de corte Qy* y Qz*. Se puede anticipar que el centro de corte está ubicado en la intersección de las líneas medias de las alas.

Figura 13: Tensiones de corte por corte en una sección abierta asimétrica

Los f lujos de corte por corte causados por Qy* y Qz* se calculan por separado usando (58) y posteriormente se suman las dos contribuciones al f lujo de corte por corte q (s).

q ( s ) z*

Qz* S y* ( s ) I

* y*

q ( s ) y*

Q y* S z* ( s ) I z**

o

q( s)

q ( s ) z* q ( s ) y*

(59)

7.3 Secciones cerradas simétricas Cuando la sección cerrada posee un eje de simetría y la carga cortante actúa según ese eje de simetría, se puede anticipar que el flujo de corte es nulo sobre el eje de simetría (debido a la simetría).

Figura 14: Tensiones de corte por corte en una sección cerrada simétrica

En casos como el de la Figura 14 se puede aplicar la fórmula de Jourasky (58) tomando como punto inicial al punto A. Para un punto tal como el C se debe calcular el momento estático del área ABC respecto al eje ‘y’. Notar que el momento estático es máximo a la altura del centro de gravedad ( punto G ) y en consecuencia el f lujo de corte por corte también resulta máximo en esa zona.

7.4 Secciones cerradas asimétricas La determinación del flujo de corte por corte en el caso de secciones cerradas asimétricas se trata más adelante al final de la Sección 8 dedicada al centro de corte. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

188


8 CENTRO DE CORTE La incidencia de la ubicación del centro de corte puede visualizarse considerando una viga en voladizo como la mostrada en la Figura 15-a. Bajo la acción de la carga vertical aplicada en el extremo, la viga se f lexiona y puede también girar por torsión.

Figura 15: Giro de una sección abierta en función de la ubicación de la carga respecto al centro de corte

El esquema indicado en la Figura 15 permite intuir que existe una ubicación de la carga para la cual la viga no gira por torsión ya que si la carga está a la izquierda como en el caso de la Figura 15-b el giro es antihorario y si está a la derecha como en el caso 15-d el giro es en sentido horario. Una carga transversal que pasa por el “centro de corte” no produce torsión en la viga. En el caso de secciones “llenas” el centro de corte está muy próximo o coincide con el centro de gravedad de la sección. En tales casos, la ubicación precisa no es importante. La ubicación del centro de corte en vigas delgadas abiertas es muy importante por su baja resistencia y rigidez a torsión (aunque la rigidez aumenta considerablemente cuando se restringe el alabeo en los apoyos). Es importante enfatizar que el momento torsor debe calcularse respecto al centro de corte. El centro de corte es el punto donde pasa la resultante de las tensiones de corte (o f lujos de corte) de Jourasky para cualquier dirección de la carga transversal. En el extremo donde actúa la carga, el centro de corte real no coincide con el calculado porque no es posible aplicar la carga transversal en forma de tensiones de corte exactamente iguales a las calculadas con la fórmula de Jourasky. En las proximidades del extremo empotrado el centro de corte real tampoco coincide con el calculado por Jourasky debido a que la restricción al alabeo produce un f lujo de corte adicional. Cuando se desprecian las deformaciones de la sección de pared delgada en su propio plano debido a la f lexión, el centro de corte coincide con el centro de giro. Hay que recordar que el centro de giro es el punto que no se desplaza cuando la sección gira por torsión. En la Figura 16 se observa que la variación del f lujo de corte de Jourasky, proveniente de la variación del corte a lo largo de la viga, deforma la sección plana de la viga de pared delgada.

Figura 16: Variación del f lujo de corte de Jourasky y deformación de la sección de la viga

Aplicando el teorema de reciprocidad se puede demostrar que el centro de corte coincide con el centro de giro (ver Figura 17 ). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

189


Figura 17: Aplicación del Teorema de Reciprocidad

En el estado I, la carga Q actuando en el punto A produce un giro TQA . En el estado II, el momento torsor T aplicado en A produce un desplazamiento vertical uTA .

Q uTA

Por reciprocidad se tiene: A Cuando A coincide con el centro de corte, TQ es también centro de giro.

T TQA

0 entonces según (60) uTA

(60)

0 , por lo tanto A

8.1 Centro de corte de secciones abiertas con un eje de simetría Cuando una sección de pared delgada tiene un eje de simetría como en el caso de la Figura 18-a, se puede anticipar (por simetría) que el centro de corte está ubicado sobre dicho eje de simetría. En efecto, una carga cortante horizontal, Qy, actuando en el eje de simetría (eje ‘y’) produce tensiones de corte simétricas respecto al eje ‘y’ cuya resultante pasa por el eje de simetría.

Figura 18: Sección abierta con un eje de simetría

Para ubicar el centro de corte hay que calcular la distancia “e” indicada en la Figura 18-c. Primero se calcula el f lujo de corte q (s) debido al esfuerzo de corte Q según Jourasky y luego se ubica el centro de corte ‘C’ de modo que el momento T respecto a C de las fuerzas asociadas al f lujo de corte sea nulo. T (61) v³ r [q( s) ds] 0 Notar que q(s) es variable y se calcula usando la fórmula de Jourasky (58) en función de la coordenada curvilínea “s” que recorre la línea media del espesor de la sección de pared delgada. En el caso de tramos rectos como en la sección de la Figura 18, conviene encontrar, en cada tramo, la resultante Fi del f lujo de corte variable y luego tomar momentos respecto al centro de corte ( punto C ). En el caso de la Figura 18-c se tiene:

h h F2 e F3 0 2 2 lo que permite despejar la distancia e que ubica al centro de corte. F1

La fuerza F1 se calcula integrando ......... F1 donde el f lujo de corte se calcula con (58) ..... q1 ( s ) siendo el momento estático variable .….......... S1 y ( s )

³

b 0

(62)

q1( s ) ds

Q S1 y ( s ) I y*

( s t ) (h /2)

Signos: S1y(s) es positivo, Q es positivo (hacia arriba), luego q1(s) es negativo ( hacia la derecha). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

190


Procediendo de manera similar se puede obtener F2, mientras que F3 = – F1. Notar que no es * necesario calcular I x porque se lo puede sacar factor común en la ecuación (62) que está igualada a cero. Como alternativa se puede tomar momentos respecto a intersección de F2 y F3 y de esa * manera no hace falta calcular ni F2 ni F3, pero en ese caso si hace falta calcular I x .. Notar que para determinar el centro de corte, en este ejemplo se utilizó (61) en conjunción con (58), pero existe un procedimiento alternativo dado por las ecuaciones (64) y (65) donde se calcula primero el momento estático de 1er orden dado en (25) utilizando ejes principales de inercia para determinar las coordenadas del centro de corte. Cuando una sección tiene un centro de simetría, el centro de corte coincide con el centro de simetría, tal es el caso de la sección de la Figura 19-a. En el caso de secciones formadas por un haz de rectas que concurren en un punto como en las Figuras 19-b, 19-c y 19-d se puede anticipar que el centro de corte se halla en la intersección común a todas las líneas medias de los tramos rectos, porque allí concurren las fuerzas resultantes de los f lujos de corte en cada tramo.

Figura 19: Ubicación del centro de corte de una sección con centro de simetría y de tres secciones formadas por rectas concurrentes

8.2 Centro de corte de secciones abiertas asimétricas En el caso de una sección de pared delgada abierta de forma arbitraria como la mostrada en la Figura 20-a que no tiene ejes de simetría ni centro de simetría, se debe calcular primero el centro de gravedad (punto G ) y los ejes principales de inercia ‘y*’ y ‘z* ’.

Figura 20: Ubicación del centro de corte en secciones abiertas sin eje de simetría

Para ubicar la posición del centro de corte se calculan por separado sus coordenadas ey* y ez* referidas a los ejes principales. Primero se calcula la coordenada ey* donde pasa la resultante de los f lujos de corte de Jourasky para el esfuerzo de corte Qz* según z *. Calculando q(s) según (58), usando ejes principales y eligiendo el baricentro como polo (punto G) se plantea el equilibrio de momentos respecto al punto G (momento antihorario positivo):

Qz* ey*

³

F

I

r [q( s ) ds]


o

191

e y*

1 F S y*( s ) rds I y** ³I

(63)


Para realizar la integral (63) es necesario calcular previamente el momento estático Sy* (s) resolviendo la integral dada en la ecuación (58). Esto se puede evitar integrando por partes la ecuación (63) como se indica a continuación:

e y*

F d F 1 ½ Z ( s ) S y*( s ) I ³ [ S y*( s )] Z ( s ) ds ¾ * ® I I y* ¯ ds ¿

1 F z* Z ( s ) t ds o I y** ³ I

SZy* I y**

e y*

(64)

donde se ha tenido en cuenta la definición (25) de momento sectorial de 1er orden respecto al eje principal y* y el hecho de que Sy* (s) se anula en el punto inicial I y en el punto final F. Notar que en la integración por partes:

³

i ) se integró al diferencial de área sectorial

s

0

r ds

Z (s) .

d d s S y*( s ) z * t ds z * t . ds ds ³ I En una segunda etapa se calcula la otra coordenada del centro de corte: Para ello se repite el procedimiento anterior y se obtiene un resultado similar excepto por el signo, (momento antihorario positivo): ii ) se derivó al momento estático dada en (58)

³

Q y * ez *

F

I

r (q( s ) ds)

repitiendo el procedimiento

o

ez *

SZz* I z**

(65)

Corolario importante Si en el caso de la Figura 20-a se toma momentos respecto al centro de corte (punto C ) y se repite el procedimiento que conduce a las ecuaciones (64) y (65) se puede anticipar que las nuevas distancias al centro de corte ( ecy* y ecz* ) serán nulas, porque se está tomando momentos respecto al centro de corte. (64) ecy*

SZc y* I y**

0 o

SZc y*

0

(65) ecz*

SZc z* I z**

0 o

SZc z*

0

(66)

Esto permite afirmar que: Cuando se utiliza el centro de corte como polo, los momentos sectoriales de primer orden (S~) definidos en (25) respecto a ejes principales resultan nulos independientemente de la elección del punto inicial. Este hecho tiene mucha importancia en el contexto de los momentos f lectores definidos en (39) y (40). El centro de corte puede también calcularse usando ejes no principales, como por ejemplo los ejes ‘y’ y ‘z’ en la Figura 20-a. En tal caso las expresiones para las coordenadas son las siguientes:

ey

I z* SZz I yz* SZy I y* I z* ( I yz* )

ez

2

I y* SZy I yz* SZz I y* I z* ( I yz* )

2

(67)

8.3 Centro de corte de secciones cerradas con simetría En el caso de secciones cerradas con dos ejes de simetría, el centro de corte se halla en la intersección de esos dos ejes. Tal es el caso de las secciones mostradas en las Figuras 21-a, 21-b y 21-c. Si una sección tiene un centro de simetría radial como en la Figura 21-d, ese punto es también el centro de corte.

Figura 21: Ubicación del centro de corte de secciones con simetría Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

192


8.4 Centro de corte de secciones cerradas sin simetría En un caso general como el mostrado en la Figura 22, el f lujo de corte resulta estáticamente indeterminado. Para resolver el problema se considera la superposición de dos estados ( E stado I y Estado II ) y en uno de esos estados (Estado I ) se elige un punto arbitrario (digamos el punto A) donde el f lujo de corte es nulo. Eso permite calcular el f lujo en los puntos restantes usando la fórmula de Jourasky partiendo de ese punto.

Figura 22: Ubicación del centro de corte de una sección cerrada no simétrica

Para hallar la ubicación del centro de corte se determina primero el baricentro ( punto G ) y los ejes principales de inercia ‘-’ y ‘ ’ . Luego se calculan por separado cada una de las coordenadas (-c y c ) del centro de corte (punto C ) respecto a los ejes principales utilizando esfuerzos de corte unitarios (1- y 1 ) aplicados en el centro de corte. La coordenada -c se calcula en tres pasos: Paso 1: Se elige un punto cualquiera, digamos el punto A como referencia y se obtiene el Estado I restando qA al f lujo q(s). De esa forma el f lujo de corte en el punto A en el Estado I es nulo y permite calcular el f lujo de corte por Jourasky considerando como punto inicial al punto A.

qI ( s )

q( s ) q A

o

qI ( s ) se calcula por Jourasky

(68)

Paso 2: Se calcula qA exigiendo que la sección no gire por torsión ( = 0) porque el esfuerzo de corte unitario 1 actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11) para el caso de f lujo de corte variable.

E

0

1 2G *

v³ q

I (s)

qA

ds t( s )

0

o

v³ (qI ( s ) / t( s ) ) ds

qA

v³ ds / t

(69)

(s)

Paso 3: Se ubica el centro de corte determinando el punto de aplicación de la resultante del f lujo de corte q(s) que es el esfuerzo de corte unitario (1 ). Notar que qI (s) se calculó en el Estado I para una fuerza unitaria y que el f lujo qA actuando en la sección cerrada del Estado II produce momento torsor pero no fuerza resultante. Tomando momentos respecto al baricentro (punto G ) se puede despejar el valor de la coordenada -c.

q( s )

qI ( s ) q A

o

1[ Kc

v³ q

(s)

ds r( s )

o

Kc

v³ q

(s)

r( s ) ds

(70)

Notar que resultaría más conveniente, en este caso particular, tomar momentos respecto a uno cualquiera de los vértices porque sólo tendríamos que considerar la integral en el tramo recto opuesto al vértice considerado (por ejemplo el punto A). Para calcular la coordenada c se procede de manera similar (pasos 1, 2 y 3). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

193


8.5 Flujo de corte por corte y torsión de una sección cerrada sin simetría En la Figura 23 se presenta el caso general de una sección cerrada no simétrica solicitada por cargas que no actúan en el centro de corte y por lo tanto producen torsión además de corte. Primero se determina el centro de gravedad G, los ejes principales de inercia y el centro de corte C. A continuación se reemplaza al sistema de fuerzas ( Ph y Pv ) por los dos esfuerzos de corte según los ejes principales (Q- y Q ) que actúan en el centro de corte y por el momento torsor T de las fuerzas respecto al centro de corte. Notar que para calcular T se necesita conocer -c y c .

Figura 23: Sección cerrada no simétrica solicitada por corte y torsión

Para resolver el problema de determinar los flujos de corte de una sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión existen dos alternativas: i ) calculando previamente la ubicación de centro de corte, y ii) sin encontrar previamente el centro de corte. Alternativa 1. Utilizando las coordenadas del centro de corte 1. Se determinan primero los flujos de corte causados por el esfuerzo de corte Q actuando en el centro de corte (punto C en la Figura 23-b). Como el problema es estáticamente indeterminado se procede a descomponer el sistema en la suma de dos estados (I y II) como se muestra en la Figura 24. Notar la similitud con el caso de la Figura 22.

Figura 24: Descomposición en dos estados para calcular el f lujo de corte causado por Q

2. El f lujo de corte constante del Estado II (q) se calcula, como en el caso de la Figura 22, exigiendo que la sección no gire por torsión ( = 0) porque el esfuerzo de corte Q actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11) para el caso de f lujo de corte variable y obtenemos nuevamente la ecuación (69). 3. Se determinan luego los flujos de corte causados por el esfuerzo de corte Q- actuando en el centro de corte (punto C en la Figura 23-b) repitiendo el procedimiento del punto 1.

Figura 25: Descomposición en dos estados para calcular el f lujo de corte causado por Q

4. El f lujo constante del Estado II (q-) se calcula repitiendo el procedimiento del punto 2. 5. A continuación se calcula el f lujo de corte por torsión usando la fórmula de Bredt. Notar que para calcular el momento torsor T se necesita conocer las coordenadas del centro de corte -c y c.!

qT

T /(2 * )

(71)

6. Finalmente se calcula el f lujo de corte total, q(s), causado por el sistema de cargas (Ph y Pv ), que es Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

194


equivalente al momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Q y Q- .

q( s )

(qI [ ( s ) q[ A ) (qIK ( s ) qK A ) qT

(72)

Alternativa 2. Sin utilizar las coordenadas del centro de corte Notar que la ecuación (72) puede reescribirse como:

q( s )

q[ ( s ) qK ( s ) q0

(q[ A qK A q )

donde: q0

T

(73)

Esto da lugar a un procedimiento alternativo más simple que se muestra esquemáticamente en la Figura 26. Sólo hace falta calcular q0 en vez de sus tres componentes ( q, q-A, y qT ).

Figura 26: Descomposición en tres estados

Paso 1: Se calculan por Jourasky los f lujos q (s) del Estado I de la Figura 26 ( se considera Q ) . Paso 2: Se calculan por Jourasky los f lujos q- (s) del Estado II de la Figura 26 ( se considera Q- ) . Paso 3: Se calcula el valor del f lujo constante q0 del Estado III de la Figura 26. Para ello se iguala el momento de las cargas aplicadas (Ph y Pv ) con el momento del f lujo de corte que recorre el contorno de la sección cerrada respecto a un punto arbitrario que resulte conveniente:

¦ P d ³ (q[ i

i

s

(s)

qK ( s ) q0 ) r( s ) ds o

q0

1 2*

[ 6Pd ³ (q[ i

i

s

(s)

qK ( s ) ) r( s ) ds]

(74)

Paso 4: Se computa el f lujo de corte total, q(s), causado por el sistema de cargas (Ph y Pv ), usando la ecuación (73) y los valores q (s), q- (s) y q0 calculados en los pasos 1 2 y 3.

9 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA TORSIÓN Resuelto el problema de ubicar al centro de corte estamos en condiciones de calcular el momento torsor. Cuando una viga solicitada principalmente en f lexión soporta cargas transversales que no pasan por el centro de corte se debe calcular el momento torsor T teniendo en cuenta la distancia de las fuerzas al centro de corte. Conocer el valor del momento torsor es muy importante en el caso de secciones abiertas de pared delgada debido a su escasa rigidez y resistencia a la torsión.

9.1 Soluciones analíticas En el caso donde el momento torsor es constante a lo largo de la viga (T = cte) la solución está dada en (54) y cuando la variación del momento torsor es constante a lo largo de la viga ( T c cte ) la solución está dada por (55). Las constantes se determinan de acuerdo a las condiciones de borde. 9.1.1 Viga con momento torsor constante y alabeo restringido en un extremo (Figura 27 ). La solución está dada en (54)

E

B1 senh ( Kx) B2 cosh ( Kx) T / (G J R )

Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones en los extremos de la viga. Figura 27: Viga canal solicitada en torsión Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

195


Condiciones de borde: En el apoyo con restricción al alabeo se tiene:

0 E

x

0

(54)

T / (G J R )

B2

(75)

En el extremo libre se observa que x = 0 x

d 2T dx 2

Vx

L

0

(37) o V x ( s )

d 2T Z( s ) dx 2

E

ª º § T · « K B1 cosh ( Kx) K ¨ ¸ senh ( Kx) » «¬ »¼ x © G JR ¹

x L

o

0

d 2T dx 2

o

0

0

T tanh ( KL) G JR

B1

L

(76)

x L

(77)

Reemplazando en (54) el valor de las constantes hallados en (75) y (77)

T (78) > tanh ( KL) senh ( Kx) cosh ( Kx) 1 @ G JR El giro en el extremo libre se obtiene integrando el giro por unidad de longitud ( ) a lo largo de la viga: L tanh ( KL) º TL ª 1 T L ³ E dx TL o (79) « » 0 G JR ¬ KL ¼

E

KL o f

Cuando

tanh ( KL) o 1

TL

T L / (G J R )

(80)

por lo tanto en las vigas “largas” el efecto de la restricción al alabeo no es importante ya que (80) es la solución de Saint Venant. La tensión axial secundaria debida al alabeo se obtiene de (37): dE TK V x(s) E Z (s) E Z (s) > tanh ( KL) cosh ( Kx) senh ( Kx) @ dx G JR La máxima tensión axial ocurre en el empotramiento:

(81)

ª ET K º tanh ( KL) » Z ( s ) (82) « ¬ G JR ¼ Las tensiones de corte cerca del extremo libre son principalmente tensiones de Saint Venant de variación lineal en el espesor cuyo valor máximo es aproximadamente: T (83) W máx | t JR Para una sección genérica las tensiones de Saint Venant resultan: x

(48)

0

E G JR

TSV

(83) W máx SV

V x(s)

o

½° ¾ ( TSV / J R ) t °¿

x 0

SV (78) W máx

Tt > tanh ( KL) senh ( Kx) cosh ( Kx) 1@ JR

(84)

La tensión secundaria de corte debida al flujo de corte por restricción al albeo se obtiene de (44). s E d 2E s T Z t dsc o W q (44) o W q (85) > tanh ( KL) senh ( Kx) cosh ( Kx)@ ³ 0 Z sc t dsc 2 ³ 0 sc t dx t IZ

Wq

El máximo ocurre para x = 0

sc s

[ T / (t( s ) IZ )] ³ sc 0 Z sc t sc dsc

(86)

9.1.2 Viga con momento torsor constante y alabeo restringido en ambos extremos Las constantes de (54) se obtienen de las condiciones de borde y después se integra de 0 a L.

x 0 E

TL

0 B2

³

L 0

E dx

T / (G J R ) ; x o

TL


LE

0 B1

T L ° ® 1+ G J R ¯°

196

[T /(G J R )] (cosh KL 1) / senh KL (87)

[cosh ( KL) 1] KL senh ( KL)

2

senh ( KL) °½ ¾ KL ¿°

(88)


9.2 Soluciones numéricas En el contexto de la Teoría de Vlasov resulta conveniente definir el bimomento B

E IZ

B

dE dx

(89)

que se mide en kg-cm2 o sea que tiene la dimensión del momento de un momento. Para tener una interpretación física de este “esfuerzo” podemos observar que según (37) B está relacionado con las tensiones axiales secundarias. B V x(s) Z (90) IZ s Multiplicando ambos miembros de (90) por ~(s) e integrando en toda el área de la sección se tiene:

³ V ( s ) Z dA A

x

s

B IZ

³ Z dA A

2 s

B

o

³V

B

A

x(s)

Z s t s ds

(91)

La ecuación (91) muestra que el bimomento es una fuerza generalizada de las tensiones axiales secundarias a través de un esquema de deformaciones asociado a ~(s). En el caso de tener cargas axiales concentradas se tiene n

B

¦ F Z s i

(92)

i

i 1

Retornando al objetivo de resolver numéricamente la ecuación general de la torsión (52) que es de 4to orden, se comienza reduciendo el orden planteando 4 ecuaciones diferenciales de 1er orden como se muestra a continuación. según (49) y (48) se tiene......................... Tq E (G J R ) derivando (93) y considerando la definición de B (89) y de K 2 (51)............ dTq / dx de (47) y (89)............................................ dB / dx por definición de B (89)........................... d E / dx por definición de .................................... dT / dx

T

(93)

K 2B T c

donde: T c

dT / dx

Tq

(94) (95)

B / ( E IZ )

(96)

E

(97)

Reemplazando las derivadas de 1er orden por diferencias finitas entre los valores de las respectivas variables en dos estaciones sucesivas de integración (i ) e (i+1) se llega a:

' x K 2 ( B i 1 B i ) / 2 'x (Tic1 Tic ) / 2

de (94) ............................ Tq i 1 Tq i

(98)

de (95) ............................ B i 1 B i

'x (Tq i 1 Tq i ) / 2

de (96) ............................ E i 1 E i

'x ( B i 1 B i )/( 2 E IZ )

(100)

de (97) ............................ T i 1 T i

'x ( E i 1 E i ) / 2

(101)

(99)

Substituyendo B i 1 de (99) en (98) y reordenando se tiene de (98) ...... Tq i 1

^[1 K ' x /2 ]T 2

i

qi

'x (Tic1 Tic )/ 2 K 2 ' xi Bi

` / [1 K ' x /2 ] 2

i

(102)

de (99) ...... B i 1

B i ' xi (Tq i 1 Tq i ) / 2

(103)

de (100) .... E i 1

E i ' xi ( B i 1 B i ) / (2 E IZ )

(104)

de (101) .... T i 1

T i ' xi ( E i 1 E i ) / 2

(105)


197


A continuación se define el vector de estado que contiene las cuatro variables

Tq ½ ° ° V ( x) ® B ¾ (106) °E ° ¯T ¿i Condiciones de borde: Por tratarse de una ecuación diferencial de 4to orden deben especificarse dos condiciones en cada extremo. Ejemplo: Para ilustrar el procedimiento nos referiremos a la viga de la Figura 27 con un estado general de cargas donde actúan momentos torsores distribuidos y concentrados. En el empotramiento se conoce que y son nulos, siendo desconocido el valor del bimomento (B) y el valor del momento torsor por restricción al alabeo (Tq). La solución, V (x) dado en (106), se puede expresar como una combinación lineal de la forma

V ( x)

V0 ( x ) D1 V1 ( x ) D 2 V2 ( x )

(107)

donde V0(x) es una solución particular relacionada con las cargas exteriores ( T c momento torsor distribuido por unidad de longitud ) y las condiciones no-homogéneas de borde que pudieran ser especificadas. Las soluciones V1 y V2 corresponden al problema homogéneo (sin cargas exteriores ) T c 0 y valores nulos para las variables especificadas en los extremos. Las tres soluciones se calculan con las fórmulas de recurrencia (102) a (105) recordando que para V1 y V2 debe considerarse T c 0 en todos los puntos. Para iniciar el proceso de integración en x = 0 se adoptan para V0 (0) valores especificados (conocidos) o de lo contrario se le asignan valores nulos a las variables. Para las soluciones V1(0) y V2(0) se asocian valores nulos a las variables especificadas porque ya fueron consideradas en V0(0) y a cada variable desconocida se le asocia un valor unitario en una de las soluciones homogéneas y un valor nulo en la otra. Para el problema de la Figura 27, en x = 0 se tiene:

0½ °0° ®0¾ ° ° ¯0¿

V0 (0)

1½ °0° ®0¾ ° ° ¯0¿

V1 (0)

V2 (0)

0½ °1° ®0¾ ° ° ¯0¿

(108)

Aplicando las fórmulas de recurrencia (102) a (105) se llega hasta el extremo x = L donde deben imponerse las restantes condiciones de borde que permiten determinar los coeficientes 1 y 2 de la ecuación (107) con la cual se calcula vector de estado en todos los puntos. Observando (106), (107) y (108) resulta obvio que en este ejemplo 1 = Tq (0) y que 2 = B (0). En el extremo x = L no actúan fuerzas axiales externas, V x { 0 , y según (91) y (92) resulta nulo el bimomento:

x

L B( L)

o

0

B0 ( L) D1 B1 ( L) D 2 B2 ( L)

(109)

0

además, se conoce el momento torsor, T, actuando en el extremo x = L y según (93) resulta

x

L

Tq ( L) G J R E ( L)

[Tq 0 ( L)

T ( L)

D1 Tq1 ( L) D 2 Tq 2 ( L )] G J R [ E 0 ( L ) D1 E1 ( L ) D 2 E 2 ( L)]

(110)

T ( L)

Las ecuaciones (109) y (110) pueden escribirse como

B1 ( L) ª « «¬ Tq1 ( L) GJ R E1 ( L)

º ª D1 º »<« » Tq 2 ( L) GJ R E 2 ( L) »¼ ¬«D 2 ¼»


B2 ( L)

198

B0 ( L) ª « «¬ T ( L) Tq 0 ( L) GJ R E 0 ( L)

º » »¼

(111)


Una vez resuelto el sistema (111) se pueden determinar los valores de las variables que sean de interés en los puntos de discretización (estaciones) usando (107). A continuación se calculan las tensiones en los puntos que interesen: (90) ¢¢¢¢................................................

V x(s)

B( x )

(48) y (83) ........................................

W SV ( s )

G E ( x ) t( s )

(44), (4) y (47) .................................

W q(s)

IZ

Z( s )

(112)

(113)

Tq ( x ) M Z ( s ) IZ

(114)

t( s )

donde el momento estático sectorial variable M ~(s) está definido en (44). El procedimiento de integración numérica es completamente general. Se pueden tratar cargas arbitrarias T c( x ) distribuidas a lo largo de la viga, la discretización debe permitir seguir correctamente la variación de la carga. 9.2.1 Momentos torsores concentrados Los puntos donde actúan momentos torsores concentrados deben estar incluidos en la discretización como puntos de integración. Existen dos maneras de plantear el problema: Variante a) Se distribuye el momento torsor concentrado To, actuando en la coordenada xo de la viga, en dos intervalos de amplitud , uno a cada lado de xo ( debe ser muy pequeño). De este modo las cargas distribuidas T c( x ) se modifican como se indica a continuación:

x xo H o T c( xo H )

x xo o T c( xo )

To

x xo H o T c( xo H )

H

(115)

de esa manera se distribuye la mitad de To en el pequeño intervalo anterior a xo y la misma cantidad en el intervalo pequeño posterior a xo. Al estar fuertemente concentrada la variación del momento torsor en las proximidades de xo hay fuerte restricción al alabeo y el Tq sufre una fuerte discontinuidad mientras que TSV permanece prácticamente constante en esos dos intervalos de amplitud muy pequeña. Esto justifica el uso de la variante b) que es más sencilla de aplicar ya que no requiere agregar dos puntos próximos a xo. Variante b) Al llegar a xo se incrementa Tq en el valor del momento torsor To concentrado

Tq ( xo )

Tq ( xo ) To

(116)

9.2.2 Secciones con propiedades variables Hay que remarcar que en la formulación en diferencias finitas (102) a (105) dentro de cada tramo se considera que las variables son constantes e iguales al promedio de los valores de los puntos que definen las estaciones. Una ventaja de la subdivisión del intervalo de integración es que permite considerar que las propiedades (GJR) y (EI~ ) varíen a lo largo de la viga (funciones de x), pero en tal caso hay que modificar la formulación agregando un término adicional en el segundo miembro de (94) y otro en el segundo miembro de (96): dTq d (GJ R ) (117) (94) se modifica: ...................... K 2 B T c E dx dx (96) se modifica: ......................

dE dx

B E IZ

dE dx

d ( EIZ ) dx

(118)

y en consecuencia se modifican las ecuaciones (98) hasta (105). Finalmente debe remarcarse que la exactitud del método de integración numérica aumenta al disminuir el paso de integración x, pero crece el esfuerzo de cálculo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

199


ANEXO DEL CAPÍTULO 10 Fórmulas para torsión: Tensión máxima máx y módulo torsional JR

caso

Módulo torsional ( JR )

Tensión de corte máxima

Sección

T D JR 2

W máx

1

S D4

JR

32

S (D4 d 4 )

JR

T D JR 2

W máx

2

T G JR

E

En todos los casos:

exacto

32

S

JR

4

(d m )3 e aproximado S

a 3 b3 a 2 b2

3

WA

16 T S b a2

4

WA

20 T a3

JR

a4 46, 2

WA

5,7 T a3

JR

a4 8,8

WA

T CW b a 2

JR

16

Triángulo equilátero

5 Hexágono regular

6 b es el lado mayor x = (a/b

7 Caso a)

caso b)

CW

1 0, 225 x 0,1 x 2 3


CE b a 3

1 0, 211 x 0,0182 x 4 3

CE

W B W A (0,74 x3 0,74 x 4 )

...... 0,74 d (W B /W A ) d 1

W (máx s)

T t( s ) JR

a)

JR

³

W máx

T tmáx JR

b)

JR

¦ ൈA

W (s)

T 2 ( s )

W máx

T 2 mín

8 es el área encerrada

JR

200

JR

F I

ൈ t(3s ) ds

i

ti3

4* 2 v³ ds / t ( s )

si t es cte. o J R

4* 2 t perímetro


PRÁCTICO

Vigas de Pared Delgada


1. El perfil de chapa doblada del croquis, de pared delgada y sección abierta, está sometido a un momento torsor T = 100 kg-cm. Para ganar eficiencia se practica una soldadura en el punto A de manera de lograr una sección cerrada. Se pide: a) ¿Cuánto aumenta la rigidez torsional? b) ¿Cuánto disminuye la máxima tensión de corte por torsión?

2. En el croquis adjunto se bosqueja un soporte de una cañería de 40 cm de altura. Se pide: a) Calcular la rigidez al giro respecto a un eje vertical (eje z) considerando tres tipos de sección. b) Comparar los resultados teniendo en cuenta que las áreas de las secciones son iguales, pero dos secciones son abiertas (a y c) y la restante es cerrada (sección b). Material: E = 2100000

IZ

G = 810000

b3 h 2 t 24

En el caso del doble T (sección c) considerar restricción al alabeo en la base y alabeo libre en la parte superior. Como ayuda se da la fórmula para calcular el momento de inercia sectorial I~ .

3. Determinar el módulo torsional y la máxima tensión de corte en la sección de dos células del croquis. Se trata de un perfil de aluminio extruido sometido a un momento torsor T = 1500 kg-cm. a) Cálculo simplificado ignorando el tabique que separa las células considerando una sección cerrada de una sola célula. b) Cálculo exacto considerando dos células.

4. Calcular la carga admisible P

con CS = 2 soportada por el tramo en voladizo del croquis. adm

Material acero f = 2800 kg/cm2 Considerar:

tensión normal por f lexión, tensión de corte por torsión y tensión de corte por corte.


201


5. Perfil abierto de chapa doblada de 0,2 cm de espesor Se pide: a) Determinar el centro de corte aplicando Jourasky. b) Graficar el área sectorial principal. c) Calcular el momento de inercia sectorial.

6. Un perfil hueco cuadrado de 10 x 10 cm de lado y 0,2 cm de espesor mide 100 cm de largo. Resulta necesario hacer una modificación según se indica en el croquis para permitir el paso de un conducto cuyo tendido interfiere con el perfil. Calcular la rigidez torsional del tramo de 100 cm en los siguientes tres casos: (material = 0,3) a) Perfil completo en la situación actual. b) Perfil donde el tramo modificado es una sección cerrada con una chapa de espesor 0,5 cm. c) Perfil con el tramo modificado con sección abierta.

Para simplificar los cálculos suponer que los 9 cm debilitados tienen una altura constante de 5 cm. Ayuda: Fórmula para el momento de inercia sectorial IZ de una sección canal.

IZ donde:

D

D 2 h5 th ª¬1 D E (2 z 2 6 z 6) º¼ / (12 z 2 )

b /h ; E

tb / t h ; z

2 1 / (3D E )

además:...... e b / z

7. La placa del croquis de 200 cm de largo y 60 cm de ancho está simplemente apoyada sobre dos perfiles doble T empotrados en uno de sus extremos y soporta una presión p = 0,04 kg/cm2.

Debido a la rotación de la placa, suponer que la carga distribuida sobre los perfiles actúa en el extremo del perfil (punto P en los croquis b y c). Para la viga en voladizo de la derecha (perfil doble T, E = 2100000 kg/cm2 y G = 808000 kg/cm2 ), se pide: 1) Dar la solución analítica para el problema de torsión. 2) Dar la solución numérica empleando x = 20 cm. 3) Calcular el giro en el extremo libre aplicando Saint Venant y comparar con el resultado correcto calculado en 1) y 2). 4) Calcular la máxima tensión en el empotramiento debido a la flexión, corte y torsión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

202



Vigas de Pared Delgada

Nota: Todos las longitudes se dan en [cm], las fuerzas en [kg ] y los giros en radianes.

1 Comparación de la rigidez y la resistencia de dos secciones similares, una abierta y otra cerrada. 1.1 Sección abierta. Se utilizan las fórmulas del caso 7-b del Anexo de este capítulo: J R ¦ A i ti3 / 3 [ (3,5 3,8 3,7) x 0, 23 4,9 x 0, 43 ] / 3 ............. J R

W máx (T / J R ) tmáx

0,1339

( T /0,1339) x 0, 4 .................................. W máx

2,987 T

1.2 Sección cerrada ignorando la pestaña (caso 8 del Anexo de este capítulo) Área encerrada por la sección cerrada: = 3,7 X 3,8................. *

Ec. (7)

4* 2 / v³ ds / t ( s )

JR

Ec. (13)-

4 x (14,06) 2 / [ (3,7 3,8 3,7) / 0, 2 3,8 / 0, 4] ....... J R

14,06 12,072

W máx T / (2 * tmín ) T / (2 x14,06 x 0, 2) 0,1778 T .................................. W máx 0,17781 T

1.3 Sección cerrada con una pestaña rectangular ( Notación: c = cerrada ; p = pestaña) Caso 6 Anexo

x 0, 4

CE

1/3 0, 211 x 0,0182 x 4

1/3 0, 225 x 0,1 x 2

0, 249 ; CW

3

Módulo torsional: J = 0,249 x 1x 0,4 = 0,016 Conjunto: JR = J J =12,072 + 0,016 p R

Ec. (12)-b

½° T c 0,9987 T ¾ J Rc / J Rp °¿ T p 0,0013 T

T /T

p

p R

JR

0, 259

12,088

Por tener igual giro los dos elementos toman momentos proporcionales a sus rigideces:

T T c T p c

c R

Caso 8 W c

0,9987 x T /(2 x14,06 x 0, 2) 0,17758 T

Caso 6 W

0,0013 x T / (0, 259 x1 x 0, 42 ) 0,03137 T

p

.. W máx

0,17758 T

CONCLUSIONES: a) El módulo torsional se multiplica por 90 (0,133912,09), la pestaña sólo agrega 0,1 %. b) La tensión de corte se reduce un 94 %, ( 2,99 0,178 ) la pestaña sólo reduce 0,2 % más.

2 Comparación de la rigidez al giro de tres barras que tienen igual largo y secciones de igual área.

a.1 Sección rectangular ( Fórmula del caso 6 del Anexo de este capítulo) x 1/10 0,1 CE

Rigidez al giro:

1/ 3 0, 211 x 0,1 0, 0182 x 0,14

Ec. (12)-a

T

T L / (G J R ) T /T

0,3122 J R

0,3122 x10 x 13 ..... J R

810000 x 3,122/40 ................... T /T

3,122

63220

a.2 Sección cerrada cuadrada de espesor constante que no alabea ( ver Figura 9 ) Ec. (8)

T /T

E T /L

Ec. (11)-b

E

[ T / (4 G * 2 )] v³ ds / t

4G* 2 / ( L v³ ds / t ) 4 x810000 x (10 x10) 2 / [40 x (4 x10) /0,25] ........................ T /T

5062500

a.3 Sección abierta doble T que alabea pero tiene restricción al alabeo en un extremo ( ver Sección 6) 3 3 2 3 2 Caso 7 Anexo JR = (7,5+10+7,5) x 0,4 = 0,53333 ; I Z b h t /24 7,5 x 10 x 0,4 /24 703,12 L 40 Ec. (51)

K

G J R /( E IZ ) = 810000 x 0,53333 / ( 2100000 x 703,12)

0,0171 ...... KL 0,6842

TL tanh ( KL) KL 1 ] T /T G J R ............ T /T 82100 G JR KL L KL tanh ( KL) b) Comparación: La sección cerrada (a.2) tiene una rigidez 80 veces mayor que la sección rectangular (a.1) y 61 veces mayor que la sección doble T con restricción al alabeo (a.3). Si se ignora la restricción al alabeo la rigidez del doble T toma un valor mucho menor (87 % inferior) T /T 10800 Ec. (12) ó (48) Giro de Saint Venant: T SV T L /( G J R ) T x 40 / (810000 x 0,5333) T /10800 Ec. (79)

TL

[


203


3 Cálculo de la máxima tensión de corte por torsión de una sección de dos células. 3.a Cálculo simplificado ignorando el tabique que separa las células Módulo torsional JR Área encerrada: * 2 x 2 4 x 2 12

Ec. (7)

4* 2 / v³ ds / t ( s )

JR

Ec. (13)-

4 x 122 / (6 / 0, 2 10 / 0,1) ........ J R

T /( 2 mín ) 1500 /( 2 x 12 x 0,1) ...................... W máx

W máx

4, 431 cm 4 625 kg / cm 2

3.b Cálculo considerando dos células Ec. (16)

° q1 x 6 / 0, 2 (q1 q2 ) x 2 / 0, 2 2 E G * 1 ® °¯q2 x10 / 0,1 (q2 q1 ) x 2 / 0, 2 2 E G * 2 q1

Resolviendo:

4 ¦ * i qi

Ec. (20)

0,12093 ; q2

ª 40 10 º ª q1 º « »« » ¬« 10 110 ¼» ¬« q2 ¼»

0,08372

4 x ( 4 x 0,12093 8 x 0,083721) 4,61 ........................

Ec. (22)

JR

Ec. (21)

E

Ec. (21)

q1

Ec. (15)

Flujo de corte en el tabique: q3

JR

4,614 cm 4

T / [ 2(* 1 q1 * 2 q 2 )] 1500 /[2 x (4 x 0,12093 8 x 0,083721)] ................ E E q1

Tensión máxima:

650, 2 x 0,12093 78,629

W máx

q1 q2

mayor ^ qi / ti `

E q2

q2

;

ª4º « » ¬«8 ¼»

650, 20

650, 2 x 0,08372 54, 435

78,629 54, 435 24,194

mayor ^ 78,629 / 0, 2 ; 54, 435/ 0,1; 24,194 / 0, 2 `

mayor ^ 393,14 ; 544,35 ; 120,97 `

544,35 ..... W máx

544, 4 kg / cm 2

Conclusión: Al considerar el tabique, el módulo torsional se incrementa un 4 % y la tensión máxima se reduce un 13 %, pero estos resultados que eran de esperar no pueden generalizarse. A modo de ejemplo se analiza el caso de agregar un segundo tabique como se muestra en el croquis. En ese caso el módulo torsional crece levemente cuando crece el espesor del segundo tabique, mientras que paradójicamente la tensión máxima de corte por torsión crece monótonamente con el espesor !!! El resultado inesperado se debe a la redistribución de tensiones que incrementa la tensión abajo en la parte izquierda y la disminuye abajo en la parte derecha. t

0

0,1

0,2

0,3

JR

4,614 544,4

4,704 612,2

4,729 630,4

4,738 638,8

Espesor del tabique adicionado: Módulo de torsión:

máx

Tensión máxima de corte:

4 Cálculo de la carga admisible P

adm

soportada por un tramo en voladizo con CS = 2.

Esta sección rectangular de espesor constante ‘casi’ no alabea (ver Figura 9), por lo tanto la restricción al alabeo en el empotramiento no tiene incidencia. El momento de inercia se calcula como sección de pared delgada concentrando las áreas en la línea media. I

2 x ª¬( 4 x 0,12) x 2,52 0,12 x 53 / 12 º¼ ................................... I

Tensión por f lexión en A:

V

Tensión por torsión: caso 8 del Anexo Momento estático en el punto A: Tensión de corte por corte en A:

Carga admisible con CS = 2:

V f /V*


M P x 12 x 2,5 .......... V ymáx I 8,5 T P x8 Wt ... W t 2 * t 2 x (5 x 4) x 0,12 SA

3,529 P 1,667 P

(2 x 0,12) x 2,5 ............. S A

0,60

W c Q S A / ( I t ) P x 0,6 / (8,5 x 0,12) ..... W c 0,588 P

Ec. (58)

Tensión efectiva de Von Mises en A: V *

8,50 cm 4

V 2 3W 2 CS

3,532 3 (1,67 0,59) 2 P .... V *

o 2800 / (5, 27 Padm ) 2 ........... Padm

204

5, 27 P

265,6 kg


5 Determinación de propiedades de una sección canal de pared delgada de chapa doblada. a) Determinación del centro de corte F1, F2 y F3 son las integrales de los f lujos de corte en los tres tramos cuya resultante es el esfuerzo de corte Q que pasa por el centro de corte. El momento de inercia se calcula como sección de pared delgada concentrando las áreas en la línea media. I 2 [6 x 0,2 x 32 ] 0,2 x 63 /12 ................................................. I 25, 2 cm 4 Tramo 1: S 1 (0, 2 x s1 ) x 3 0,6 s1 Ec. (58) q1 S1 Q / I 0,6 x s1 x Q / I F1

³

6

0

Q / I ³0 0,6 s1 ds (Q / 25,2) x 0,6 x 62 / 2 ... 6

q1 ds1

F1

0, 42857 Q

Tomando momento respecto al punto A no hace falta calcular ni F2 ni F3. Q x e F1 x 6 Q x e 0,42857 x Q x 6 .............................. e 2,5714 cm b) Gráfico del área sectorial principal Para calcular el área sectorial principal se usa el centro de corte como polo (punto P del croquis), y aprovechando la simetría se ubica el punto inicial sobre el eje de simetría, obteniendo así un gráfico antisimétrico que asegura que el momento estático sectorial es nulo.

³

s1

Tramo I B

Ec. (23)

Z ( s1 )

Tramo B A

Ec. (23)

Z ( s2 ) ZB ³ 3 ds

0

2,57 ds s2

0

2,57 s1

ZB

2,57 x 3 ........... ZB

Z(3)

7,71 3 s2 Z A Z(6) 7,71 3 x 6 .... Z A

7,71 cm 2

10, 29 cm 2

c) Cálculo del momento de inercia sectorial Se utiliza la Ec. (26) y los valores de aérea sectorial principal obtenidos en la parte b.

³ 2,57 s 0,2 ds Ec. (26) I ³ >Z ( s)@ t ds 3

I Z1

2

1

0

1

F

Z

2

I

IZ 2

11,889

³

6 0

(7,71 3 s2 ) 2 0,2 ds2

2 ( IZ1 IZ 2 ) 2 11,889 34,397 ....

IZ

34,397

92,57 cm6

NOTA: Los resultados obtenidos en la parte a (e = 2,57) y en la parte c ( I~ = 92,57) concuerdan con los valores provistos por las fórmulas dadas como ayuda en el enunciado del problema 6, para la sección canal.

6 Determinación de la rigidez torsional de un perfil de pared delgada de 100 cm de largo en tres casos. En los tres casos se comienza calculando el giro producido por un momento torsor genérico T. Notación: el subíndice 9 se usa para el tramo debilitado de 9 cm y 91 para el tramo restante de 91 cm. a) Perfil cuadrado de espesor constante 0,2 cm que no alabea (ver Figura 9 y caso 8 del Anexo) 2 Área encerrada: * 9,8 x 9,8 96,04 Ec. (11)-b E [ T / (4 G * )] v ³ ds / t E

T 100

[ T / (4 xG x 96,042 )] [(4 x 9,8) / 0, 2] ........................... E 0,0053124 T /G EL

0,0053124 T / G x 100

0,53124 T / G ............. T /T 1,8824 G

b) Perfil de 100 cm debilitado con una sección cerrada de 9 cm de largo Rigidez del tramo intacto de 91 cm: T 91

EA

0,0053124 T / G x 91 ..........

T91 0, 48343 T /G

En el tramo de 9 cm se puede ignorar el alabeo porque las secciones cerradas alabean muy poco. Área encerrada: * 9 E9

T 100 T91 T 9

9,8 x 4,65

45,57

Ec. (11) b

[ T / (4 x G x 45,572 )] [(4, 65 x 2 9,8) / 0, 2 9,8/ 0,5]

0, 48343 T / G 0, 013857 T / G x 9 T 100


205

E

[ T / (4 G * 2 )] v³ ds / t E9

0, 60814 T / G

0, 013857 T /G

T /T

1,6444 G


c) Perfil de 100 cm debilitado con una sección abierta de 9 cm de largo Rigidez del tramo debilitado de 9 cm: La sección canal tiene muy poca rigidez torsional debido al alabeo, pero en este caso se trata de un tramo muy corto de 9 cm cuyos extremos tienen el alabeo restringido por el resto del perfil. "£

(9,8 2 x 4,9) x 0, 23 /3 ................................. J R

JR

Momento de inercia sectorial: b D b / h 0,5 ; E tb / th 1 ;

E / [2(1 Q )]

0,3 ; G

Ec. (88)

T9

L 9;

th

D 2 h5 th [1 D E (2 z 2 6 z 6)] / (12 z 2 ) .............................

Iw

Q

4,9 ; h 9,8 ; tb 0, 2 ; z 2 1 / (3D E ) 2,667

E

2,6 G

K

G J R /( E IZ )

0,052267

0, 2

I w 164,777 KL 0,09941

0,011045 ....

[T L / (G J R )] ^ 1 + [cosh ( KL) 1] / [ KL senh ( KL)] senh ( KL) / ( KL) `

senh ( KL) 0,09957 ;

T 100 T91 T 9

cosh ( KL) 1,00495 ...............................

0, 48343 T / G 0,14164 T / G T 100

T9

0,62507 T / G

0,14164 T / G

T /T

1,5998 G

En el caso c de la sección abierta, la rigidez torsional se reduce el 15 % y en el caso b de la sección cerrada se reduce el 12,6 %, por lo tanto cerrar la sección sólo agrega un 2,8 % de rigidez torsional. CONCLUSIÓN: Se puede dejar la sección debilitada abierta sin mayor pérdida de rigidez.

7 Análisis de un tramo en voladizo de sección doble T solicitado a torsión y f lexión. Carga en cada voladizo: P = (0,04 x200 x 60)/2 = 240 Carga distribuida:................... q = 240/60 = 4 La excentricidad de la carga provoca torsión. Excentricidad de la carga:..... e = b/2 = 8/2 =4 Torsor distribuido:....… T’ = q e = 4 x 4 = 16 Momento torsor función de x:.. T = 960 – 16 x 7.1 Solución analítica del problema de torsión En el caso de variación lineal del momento torsor, el giro está dado por la ecuación (55). T C1 C2 x C3 senh ( K x) C4 cosh ( K x) T c x 2 / 2 G J R Ec. (55) Derivando:

Tc

C2 K C3 cosh ( K x) K C4 senh ( K x) T c x / G J R

Derivando:

T cc

K 2 C3 senh ( K x) K 2 C4 cosh ( K x) T c / G J R

Derivando:

T ccc

K 3 C3 cosh ( K x) K 3 C4 senh ( K x)

Propiedades torsionales de la sección doble T:

JR

¦A t

IZ

b3 h 2 t /24

3 i i

Ec. (51)

/ 3 [ (8 10 8) x 0,53 ] / 3 J R 1,083333 G J R

K

Condiciones de borde: o ° T 0 x 0® o °¯ T c 0

2, 24 x10 9

875333 / 2, 24 x109 ................................................. K

0,019768

C1 C4 C2 K C3

1066,667

0 0

EIZ

o

C1

C4 .............................................C1

o

C3

C2 / K ............... C3

T ° x A® ° Vx ¯

875333

1066,67 x 2,1 x106 EIZ

83 x 102 x 0,5 /24 IZ

G J R /( E IZ ) =

1,083333 x 808000 G J R

0

Ec. (50) o

T ccc(A) K 2T c(A) 0 o C2

0

Ec. (90) o

B 0

Ec. (89) o T cc(A)

0....... C4

T cA / (GJ R ) .....................C2

C4

T cA / ( K G J R )

T cA / (G J R )

º T cA 2 ª tanh ( K A ) 1 « » 2 G JR ¬ KA ( K A ) cosh ( K A ) ¼

Evaluando: C1 = – 0,0721471147 C2 = 0,0010967255 C3 = – 0,0554798515 C4 = 0,0721471147 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

206


7.2 Solución numérica del problema de torsión empleando x = 20 cm Se consideran sólo tres tramos pero la solución obtenida es exacta independiente de cuantos tramos se utilicen dado que T ’ es constante. La única limitación es que la solución se conocerá sólo en los 4 puntos de discretización adoptados (estaciones).

n 3 o ' xi 60 /3 20 T c 16 K 0,01976799587 La secuencia de avance en las sucesivas estaciones de integración es la siguiente: Ec. (102)

Tq i 1

1,081333012 Tq i 10, 40666506 ( Tic1 Ti c ) 0,008133012 Bi

Ec. (103)

B i 1

B i 10 ( Tq i 1 Tq i )

Ec. (104)

E i 1

E i 4, 464285714 x 109 ( B i 1 B i )

Ec. (105)

T i 1

T i 10 ( E i 1 E i )

Estación

x

T’

Tq

B

[10- 6 ]

[10- 6 ]

1 2 3 4

0 20 40 60

16

0 ___` `` 1224,53

0 ___`_ __ 33309,51

0 14,8667 91,6183 302,2064

0 148,67 1213,52 5151,77

V1 ( x )

1 2 3 4

0 20 40 60

0 0 0 0

1 1,08133 1,33856 1,81353

0 20,8133 45,0123 76,5332

0 0,09292 0,38678 0,92939

0 0,92917 5,72614 18,88790

V2 ( x )

1 2 3 4

0 20 40 60

0 0 0 0

0 0,00813 0,01759 0,02991

1 1,08133 1,33856 1,81353

0 0,0092917 0,0200948 0,0341666

0 0,09292 0,38678 0,92939

V0 ( x )

Solución particular

Ec. (111)

B1 ( L) ª « «¬ Tq1 ( L) GJ R E1 ( L)

º ª D1 º »<« » Tq 2 ( L) GJ R E 2 ( L) »¼ «¬D 2 »¼ B2 ( L)

B0 ( L) ª « «¬ T ( L) Tq 0 ( L) GJ R E 0 ( L)

º » »¼

° D1 Tq (0) 960 ® ¯° D 2 B (0) 22146 Mediante la Ec. (107) se obtiene la solución en las estaciones: V ( x ) V0 ( x ) D1 V1 ( x ) D 2 V2 ( x ) ª76,5332 « 1 ¬«

Estación 1 2 3 4

1,81353 º ªD1 º »<« » 0 ¼» ¬«D 2 ¼»

ª 33309,5 º « » ¬« 960 ¼»

o

x [cm]

Tq [kg-cm]

B [kg-cm2]

[ rad /cm ]

[rad ]

T [kg-cm]

0 20 40 60

960,000 524,947 175,284

¤ ¤` ¤¤ 0

0 0,00013144 0,00016533 0,00016664

0 0,0013144 0,0042821 0,0076017

960 640 320 0

TSV [kg-cm] 0 115,053 144,716 145,865

La última columna se obtiene usando la Ec. (49)-a : Tq TSV T A derecha se muestra el gráfico del momento torsor T y sus dos componentes Tq y TSV. Hay que destacar que en el extremo de la viga las dos componentes son iguales pero tienen de distinto signo y de ese modo la suma da cero. Como la viga es “corta” la restricción al alabeo juega un rol muy importante. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

207


7.3 Cálculo del giro en el extremo libre aplicando Saint Venant Solución de Saint Venant: (totalmente inaceptable !!)… T Ec. (48)

T SV

³

L 0

E dx

( T / GJ R ) dx

Ec. (55)

(960 x 16 x 2 /2) / 875333

x 60 x 0

GJ R

875333

........... T SV

0,03290

T

T (60) T 0 (60) D1 x T1(60) D 2 x T 2 (60) [5151,763 960 x (18,8879) 22145,96 x ( 0,929395)] x 106 …………………..

Solución numérica:

T

0

960 16 x ;

C1 C2 L C3 senh ( KL) C4 cosh ( KL) T c L2 / 2 G J R 0, 07215 0, 0011x 60 0, 05548 x 1, 4844 0, 07215 x 1, 7898 16 x 602 /(2 x 875333) T 0,00753

Solución analítica:

T

³

L

Ec. (107)

T

0,00760 Comentario: La solución numérica y la analítica coinciden y dan el resultado correcto (0,00753), pero la solución de Saint Venant no es aplicable porque tiene un error del 337 % en exceso (0,03290) !!! 7.4 Cálculo de la máxima tensión en el empotramiento debido a la flexión, el corte y la torsión

Sección

Área sectorial

Momento estático sectorial

Momento estático

2 x (8 x 0,5) x5 0,5 x 10 /12 .... I 241,667 M 7200 V ( M / I ) h /2 ( 7200 /241,667 ) x 5 149 …………..........……………… V 1 149 2 Tensión normal secundaria (considerando alabeo): Área sectorial: Z( s1 ) 5 s1 Z( B ) Z(4) 5 x 4 20 2

1 Tensión normal por flexión: Momento de Inercia: I

Ec. (37) ó Ec. (112)

V x ( s ) Z( s ) B( x ) /IZ V 0(4)

Z(4) B( o ) /IZ

V2

415

(960 /1,083333) x 0,5 ….. W 1

443

20 x (22146) /1066,667

1 Tensión de corte de Saint Venant (ignorando alabeo) J R 1,08333 Caso 7 del Anexo de este capítulo: W max

3

(T / J R ) t

2 Tensión de corte secundaria (considerando alabeo) Área sectorial entre B y A: Z( s ) Z( B ) s2 (h /2) 20 s2 5 2

Ec. (44)

MZA

Ec. (114)

WqA

³

sc s sc 0

Z( sc) t( sc) dsc

³

s2 s s2 0

(20 5 s2 ) x 0,5 x ds2

[20 s2 2,5( s2 ) 2 ] x 0,5

20

s2 0

Tq M Z A / ( IZ t A ) 960 x (20 )/(1066,67 x 0,5 ) …..............…….…. W 2 A

3 Tensión de corte por corte: Momento estático entre B y A: S s

2

Ec. (58)

s2 4

( s2 t ) h /2

2,5 s2

36

S A 2,5 x 4 10

W 3 A Q S A / (t I ) 240 x10 / 0,5 x 241,667) 19,86 ………………….…………. W 3 A

20

1 por flexión 2 secundario 2 corte secundario 3 corte por corte Gráfico de la tensión efectiva de Von Mises en la semiala superior derecha entre los puntos A y B Tipo de tensión

1 por f lexión 2 secundaria 1 Saint Venant Cortante 2 secundaria 3 por corte Normal Resultante Corte Von Mises * Normal

Ignorando alabeo Punto A Punto B 149 149 -------

Considerando alabeo Punto A Punto B 149 149 0 415

443 ---20

443 ---0

0 36 20

0 0 0

149 463 816

149 443 782

149 56 178

564 0 564

Conclusión: Considerando el alabeo, la tensión efectiva máxima se reduce un 31 % (baja de 816 a 564 kg/cm2 ), además como se vio en el punto anterior el giro por torsión del extremo libre se reduce un 77 % (baja de 0,03290 a 0,00753 rad.). La restricción al alabeo en el extremo empotrado de la viga en voladizo, torna a la viga más rígida y más resistente desde el punto de vista de la torsión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

208


Capítulo 11

VIGAS COMPUESTAS Y ESTRUCTURAS A RECUBRIMIENTO RESISTENTE 1 INTRODUCCIÓN Una manera de construir estructuras eficientes es utilizando láminas delgadas rigidizadas por perfiles. Tales construcciones son de uso frecuente en la industria mecánica y aeronáutica. Denominaremos indistintamente como alma, placa, chapa o panel, a la lámina delgada que transmite fundamentalmente el corte. Por otro lado denominaremos como platabanda, larguero, refuerzo, cordón o rigidizador a los perfiles que solicitados principalmente en el sentido axial de la viga compuesta, equilibran el momento f lector.

2 TEORÍA SIMPLIFICADA PARA VIGAS COMPUESTAS La hipótesis básica de la teoría simplificada es suponer que el alma sólo transmite el corte; en realidad el alma también colabora para resistir la f lexión pero esto no se tiene en cuenta. En consecuencia se supone que los refuerzos equilibran, por sí solos; todo el momento flector a través de fuerzas axiales. Otra simplificación se logra al ignorar el área de la chapa cuando se calcula el momento estático y el momento de inercia; de esta forma el f lujo de corte en cada tamo resulta constante porque el momento estático permanece constante en cada uno de los tramos entre refuerzos. En realidad el alma toma cierta fuerza axial que equilibra en parte al momento f lector. Esto puede ser tenido en cuenta considerando un “área efectiva” que se adiciona al área del cordón (platabanda) para representar la porción del alma adyacente al cordón. Esto se ve en detalle en la Sección 5. A continuación se desarrolla la teoría simplificada de vigas compuestas (placa-refuerzo) analizando una serie de casos de complejidad creciente.

2.1 Almas de corte planas Comenzamos analizando un caso sencillo de una viga en voladizo de altura h, siendo A1 y A2 las áreas de las platabandas superior e inferior respectivamente y t el espesor del alma ( Figura 1).

Figura 1 : Esfuerzos en una viga compuesta en voladizo con dos platabandas

Se desea calcular los esfuerzos y las tensiones a una distancia x del extremo libre donde actúa la fuerza Q. El problema es estáticamente determinado: hay tres incógnitas: las dos fuerzas en las platabandas (F1, F2 ) y el f lujo de corte (q); y se pueden plantear tres ecuaciones de equilibrio en el plano:

¦F ¦M ¦M

o

Q qh 0

o

q Q /h

o

W

B

o

Q x F1 h 0

o

F1

Q x /h

o

V1

F1 / A1

A

o

Q x F2 h 0

o

F2

Q x /h

o

V2

F2 / A2

V

q/t (1)

Una manera alternativa de resolver el problema es utilizar la teoría de vigas. Para ello debemos determinar el centro de gravedad y el momento de inercia de la sección ignorando la contribución del alma y luego calcular las tensiones en las platabandas ( usando la “fórmula del espejo” para la flexión =M/W ). El f lujo de corte se calcula por Jourasky ignorando la contribución del alma al momento estático. De esa manera el momento estático sólo depende del área de la platabanda (que se considera como punto inicial del tramo) por lo que permanece constante a lo largo de la altura del alma y en consecuencia el “f lujo de corte es constante” en la altura de la viga. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

209


Los esfuerzos en los diferentes elementos de la viga compuesta de la Figura 1 se muestran a continuación en la Figura 2.

Figura 2 : Esfuerzos en los componentes de la viga de la Figura 1

La platabanda superior está comprimida por la acción del f lujo de corte q que le transmite el alma. La determinación del f lujo de corte es importante para verificar los remaches o la soldadura en la unión del alma con la platabanda. Notar que para cierto valor de N (compresión) la platabanda puede llegar a pandear. El alma está solicitada a corte y como generalmente es bastante delgada existe la posibilidad de pandeo si el valor de q supera el valor crítico para la estabilidad del equilibrio de la placa. El comportamiento en el estado poscrítico es bastante diferente y se estudia más adelante en la Sección 3 al tratar el campo de tensión diagonal. En lo que sigue de esta sección se considera que el alma trabaja al corte y se encuentra solicitada en el nivel precrítico. En el caso de la viga compuesta que se muestra en la Figura 3 hay 5 incógnitas : las fuerzas axiales en las tres platabandas y los f lujos de corte en los dos paneles. El problema resulta estáticamente indeterminado porque la estática sólo provee 3 ecuaciones independientes, pero puede resolverse aplicando la teoría de vigas en f lexión y las hipótesis simplificativas anteriormente enunciadas para vigas compuestas.

Figura 3 : Esfuerzos en una viga compuesta en voladizo con tres platabandas

y ( A1 A2 A3 ) I q1 q2

A1 (a b) A2 b

A1 a A2 a A3 a 2 1

2 2

V1

Qx a1 I

o

F1 V 1 A1

V2

Qx a2 I

o

F2

V 2 A2

V3

Qx a3 I

o

F3

V 3 A3 (comp.)

2 3

QS Q A1 a1 (constante) I I Q Q ( A1 a1 A2 a2 ) q1 A2 a 2 I I

(2)

Los esfuerzos en los elementos de la viga compuesta (el montante, los dos paneles y los tres cordones) están bosquejados en la Figura 4.

Figura 4: Variación de los esfuerzos en los componentes de la viga de la Figura 3 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

210


El montante izquierdo está solicitado a tracción N ( variable) por la acción de los f lujos de corte q1 y q2 que equilibran a la carga exterior Q. Los paneles están solicitados a corte ( f lujo de corte constante). Los cordones ( platabandas) superiores están traccionados mientras que el cordón inferior está comprimido, en los tres cordones el esfuerzo axial varía linealmente. En el caso de una viga de sección variable como la mostrada en la Figura 5 no es aplicable la teoría de vigas que sólo es válida cuando la sección no varía a lo largo de la viga.

Figura 5: Viga compuesta de sección variable

El problema es estáticamente determinado. Las tres incógnitas F1, F2 y q se pueden calcular empleando tres ecuaciones de equilibrio en el plano. La solución se deja como ejercicio para el lector. Notar que parte del corte es equilibrado por la fuerza axial en la platabanda superior. El f lujo de corte disminuye notablemente con x debido a dos causas; i ) aumento de F1 lo que disminuye Q y ii) aumento de la altura h. En el caso de una viga como la mostrada en la Figura 6-a se puede aplicar la teoría de vigas en f lexión empleando los diagramas de momento flector M f (Figura 6-b) y de corte Q (Figura 6-c).

Figura 6: Diagrama de esfuerzos en una viga Wagner

Como el problema es estáticamente determinado, los esfuerzos ( F1, F2 y q ) en una sección genérica a distancia x pueden calcularse en forma alternativa planteando tres ecuaciones de equilibrio en el plano considerando el diagrama de “cuerpo libre” que se indica en la Figura 6-d. Cálculo de desplazamientos Cuando es aplicable la teoría de vigas, los desplazamientos pueden calcularse empleando el Principio de los Trabajos Virtuales considerando f lexión y corte de la manera habitual: L § Q · § M · (3) M¨ dx ³ Q ¨ ¸ dx ¸ 0 0 © EI ¹ © Ac G ¹ donde es el desplazamiento que se calcula aplicando una carga unitaria en un estado auxiliar. M es el momento f lector y Q es el esfuerzo de corte (ambos funciones de x) , el trazo sobre un esfuerzo indica que corresponde al estado auxiliar. E y G son los módulos de Young y de corte del material. I y Ac son respectivamente el momento de inercia y el área de corte de la sección y L es el largo de la viga.

G

³

L


211


Cuando la teoría de vigas no es aplicable, como en el caso de la Figura 5, se puede usar el Teorema de Castigliano aplicando una fuerza ficticia “X ” en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento y en la dirección deseada. La energía complementaria de deformación resulta:

W

¦ ³

*

alma

2

2

1 §q· 1 § F · ¨ ¸ Adx ¨ ¸ ht dx ¦ ³ 2G © t ¹ 2E © A ¹ cordones

G

o

wW * wX

(4) X 0

donde es el desplazamiento, q es el f lujo de corte, t y h son el espesor y la altura de los paneles mientras que F y A son respectivamente la fuerza y el área de los cordones. Notar que las magnitudes q, t, h, F y A pueden variar con x.

2.2 Almas de corte curvas En el caso de un alma de corte no plana de forma arbitraria cuya sección no varía a lo largo de la viga recta se puede anticipar que el f lujo de corte (en la teoría simplificada) es constante. Recodar que se desprecia la variación del momento estático debido al alma al aplicar Jourasky. En la Figura 7-a se esquematiza un alma de corte no plana que une dos cordones (A y B) donde el eje “x” pasa por el punto origen A y por el punto extremo B. Se utiliza una coordenada curvilínea “s” para recorrer el panel AB.

Figura 7 : Flujo de corte en un alma de corte no plana y determinación de la resultante

Para determinar el valor del f lujo de corte q, que como ya se mencionó se considera constante en el contorno, se integran entre A y B las componentes según el eje “x” de las fuerzas (q ds ). Qx

³

B A

(qds ) cos T

B

q ³ cos T ds A

B

q ³ dx A

o

q AB

Qx

q

(5)

AB

Por otro lado el lector puede verificar que el esfuerzo de corte Qy que se determina integrando, entre A y B, las componentes según el eje “y” de las fuerzas (q ds) es igual a cero. En conclusión: 1) El valor del f lujo de corte q es independiente de la forma del alma y sólo depende de la distancia AB . 2) La viga recta cuya sección constante se muestra en la Figura 7 sólo resiste cargas que actúan en la dirección AB (eso porque Q y = 0 ) . Como en la teoría simplificada la viga cuya sección se muestra en la Figura 7 no tiene rigidez torsional, la carga debe ser aplicada en el centro de corte. Para ubicar al centro de corte debe determinarse la línea de acción de la resultante Qx del f lujo de corte q de modo que produzca el mismo momento torsor respecto a cualquier punto. Tomando momentos respecto al punto P se tiene:

Qx (d e)

³

B A

r (q ds ) q 2 (* * P ) ½ ° ¾ o q Qx / AB °¿


d e

*P

212

2* AB ½ AB d

2* P ½ ° AB ¾ o ° ¿

e

2* AB

(6)


La ecuación (6) muestra que la ubicación del centro de corte depende del área encerrada , entre el contorno curvo y la recta AB. Además, conceptualmente es importante destacar que: “e” es el doble de la altura media ym del área como se indica en la Figura 7-b En el caso de una sección abierta con 3 cordones y dos paneles de corte curvos como se indica en la Figura 8, se tienen cinco incógnitas: las tres fuerzas en los cordones y los dos f lujos de corte en los paneles curvos. El caso es estáticamente determinado porque podemos plantear equilibrio de fuerzas según las direcciones “x”, “y” y “z” y además equilibrio de momentos según “y” y “z”. Notar que la viga no tiene rigidez torsional (en la teoría simplificada), por lo tanto la carga debe actuar en el centro de corte.

Figura 8 : Esfuerzos en una sección abierta con tres cordones y dos paneles de corte no planos

La ubicación del centro de corte resulta simple si se tiene en cuenta la ecuación (6). La viga sólo puede resistir una carga según AB a través del f lujo de corte en el panel AB si actúa a una distancia e1 dada por (6) y similarmente puede resistir una carga paralela a la dirección BC si actúa a una distancia e2. La determinación del centro de corte se indica en la Figura 9.

Figura 9: Determinación del centro de corte de una viga con tres cordones y dos paneles no planos

Los casos de secciones abiertas con más de tres cordones resultan estáticamente indeterminados porque el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones de equilibrio independientes que pueden plantearse, que son cinco. El caso general de secciones abiertas se trata a continuación.

2.3 Secciones abiertas Utilizando la teoría de vigas y las hipótesis simplificativas para vigas compuestas enunciadas anteriormente se pueden resolver secciones abiertas, con paneles curvos o rectos y un número arbitrario de cordones, como las mostradas en la Figura 10. La teoría de vigas también permite resolver todos los casos anteriores excepto el caso de la Figura 5. Es importante recordar que en la determinación de los momentos de inercia y de los momentos estáticos para aplicar Jourasky se deben usar obligatoriamente ejes principales de inercia.

Figura 10: Diversos tipos de vigas compuestas de secciones abiertas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

213


Una vez calculados por Jourasky los flujos de corte qi en los tramos, se determinan las fuerzas Fi resultantes de esos flujos de corte. Tomando momentos se puede determinar el centro de corte:

Q o qi o Fi

qi A i o M i

Fi di o

¦F d

Qe

i

i

(7)

En el caso de la sección simétrica de la Figura 10-a conviene tomar momentos respecto de la intersección de la prolongación de los paneles exteriores (1 y 3) como se esquematiza en la Figura 11. q2 A d Ec. (7) Q e (8) F2 d (q2 A ) d o e Q Figura 11: Determinación del centro de corte de la sección abierta de la Figura 10-a

En el caso de la sección simétrica de la Figura 10-b, se puede anticipar que el centro de corte está ubicado sobre el eje de simetría. Una vez calculados los flujos de corte qi se pueden tomar momentos respecto a un punto arbitrario, por ejemplo el punto P indicado en la Figura 12-a, para determinar la ubicación del centro de corte. Considerando la teoría simplificada, los flujos de corte son constantes en cada tramo, eso permite usar la ecuación (6) del Capítulo 10 para calcular la contribución al momento de cada tramo y se llega a las ecuaciones (9) y (10):

¦2*

Qe

i

qi

(9)

qi

(10)

e

2 Q

¦*

i

Figura 12 : Dos alternativas para calcular el centro de corte de la sección de la Figura 10-b

Notar que i en la ecuación (9) está asociado al panel “i” y es el área de un elemento de tres lados, uno de los cuales es el contorno del panel que puede ser curvo o recto y los dos restantes son rectas que unen los extremos del panel con el punto respecto al cual se está tomando momentos. Como alternativa puede resolverse el mismo problema usando la ecuación (7) encontrando primero la resultante Fi del f lujo de corte en cada panel curvo empleando (5) y luego las excentricidades ei dadas por (6) como se indica en la Figura 12-b. En los casos de secciones abiertas sin ejes de simetría ni centro de simetría como el de la Figura 10-c se determinan primero los ejes principales de inercia. A continuación se ubica la recta de acción de la resultante de los f lujos de corte causados por un esfuerzo cortante según uno de los ejes principales de inercia, obteniendo la coordenada del centro de corte referida a ese eje principal. Después se debe repetir el mismo procedimiento para el otro eje principal.

2.4 Secciones cerradas simétricas En el caso de una sección cerrada no es posible aplicar Jourasky como en las de secciones abiertas porque a priori no se conoce ningún punto donde el flujo de corte es nulo. Ese conocimiento permitiría iniciar la acumulación de momento estático a partir de ese punto (donde el f lujo de corte se anula). En la Figura 13 se muestra la sección cerrada simétrica de una viga compuesta en la cual se desean determinar los f lujos de corte en los paneles causados por una fuerza Q perpendicular al eje de simetría cuyo valor y ubicación son conocidos.

Figura 13: Determinación de los f lujos de corte en una viga compuesta de sección cerrada simétrica Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

214


A continuación se presenta un procedimiento que no requiere conocer la ubicación del centro de corte para determinar, empleando la teoría simplificada, los flujos de corte de una sección cerrada simétrica. Se elige un panel arbitrario, digamos el superior, cuyo f lujo de corte es q0 ( Figura 13) y se descompone al estado donde actúan los f lujos qi desconocidos en la suma de dos estados : i) el Estado I que se obtiene restando al f lujo de cada uno de los paneles del sistema el valor q0 del panel superior y ii) el Estado II donde el f lujo de todos los paneles es constante e igual a q0. Resulta obvio que siendo:

qI i

qi q0

y

qII i

o

q0

qI i qII i

qi

(11)

El procedimiento propuesto garantiza que el valor del f lujo en el panel superior del Estado I es nulo ya que

qI 0

q0 q0

o

qI 0

0

(12)

y en consecuencia los f lujos de corte en el Estado I, qI i , se pueden calcular aplicando Jourasky. Procedimiento Paso 1: Se calculan flujos de corte qI i en el Estado I, aplicando Jourasky. Paso 2: Se calcula q0 con la ecuación (14). El valor de los f lujos de corte en los paneles (suma de los estados I y II ) puede calcularse con la condición de que produzcan el mismo momento torsor respecto a un punto arbitrario que la fuerza Q (cuya ubicación es dato del problema). En la Figura 14 se eligió tomar momentos respecto al punto P.

¦ 2* q

Qd

i

I

q0 i

(13)

Esto permite despejar el valor de la incógnita q0

q0

1 2¦*i

Q d 2 ¦ * i q Ii

(14)

Figura 14 : Determinación del flujo q0 que debe adicionarse a los flujos de Jourasky del Estado I

Notar que en el caso de una sección circular conviene tomar momentos con respecto al centro del círculo porque facilita el cálculo de las áreas i. Paso 3: Se determinan los f lujos qi usando los resultados de los pasos 1 y 2, para ello se emplea (11) que se repite como ecuación (15) para calcular el f lujo en todos los paneles:

qi

qI i q0

(15)

donde qI i se calculó por Jourasky en el paso 1 partiendo del punto donde el f lujo de corte es nulo y el valor de q0 se calculó en el paso 2 usando (14). Notar que los f lujos de corte qi determinados en (15) corresponden en parte al esfuerzo de corte (esos flujos toman valores distintos en cada panel) y en parte al momento torsor (esos flujos tienen el mismo valor en todos los paneles). Se conoce el f lujo total pero no se conoce qué parte corresponde al corte y qué parte corresponde a la torsión. Para evitar confusiones hay que dejar muy en claro que el flujo q0 calculado en (14) no es el causado por la torsión ! El f lujo q0 calculado en (14) es simplemente el f lujo del panel superior causado por el corte y por la torsión. Si se desea calcular el giro por torsión por unidad de longitud, , se debe emplear la forma generalizada de la ecuación (11) del Capítulo 10 referido a vigas de pared delgada, donde el flujo de corte no es constante en todo el contorno, pero sí lo es en cada panel, lo que permite reemplazar la integral por una sumatoria 1 q 1 E o E ds (16) ¦ qi li / ti v ³ 2G * t 2G * i donde qi está dado por (15) mientras que li es el largo del panel curvo “i” y ti es su espesor. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

215


Cálculo del centro de corte de una sección cerrada simétrica Para calcular el centro de corte en el caso de Figura 13 se procede en tres pasos siguiendo los lineamientos de la página anterior y adaptando las ecuaciones (13) y (16): Paso 1: Se calculan los f lujos de corte qI i en el Estado I de Figura 13, aplicando Jourasky. Paso 2: Se calcula q0 con la ecuación (17) obtenida modificando (16) haciendo 0 porque la carga Q actúa en el centro de corte. (16) o E

0 o

1 2G *

¦ >(q

I

q0 )i li / ti @

0 o q0

( ¦ qI i li / ti ) / ( ¦ li / ti )

(17)

Paso 3: Se determina la distancia e al centro de corte con la ecuación (19) que se obtiene reemplazando en (13) el valor conocido “d ” por la incógnita “e”. Previamente, con los flujos de corte qI i del paso 1 y el valor de q0 dado en (17) se calculan los qi.

qi

qI i q0

(18)

Tomando momentos:

Qe

¦2*

i

qi o

e

2 Q

¦*

i

qi

(19)

2.5 Secciones cerradas no simétricas En la Figura 15 se presenta una sección cerrada no simétrica solicitada por cargas (P1 y P2 ) que no actúan en el centro de corte y por lo tanto producen torsión además de corte. Primero se ubica el centro de gravedad G, los ejes principales de inercia y el centro de corte ( punto C de coordenadas -c y c ). A continuación se reemplaza al sistema de fuerzas (P1 y P2 ) por los dos esfuerzos de corte según los ejes principales ( Q- y Q ) que actúan en el centro de corte y el momento torsor T de las fuerzas respecto al centro de corte. Notar que para calcular T se necesita conocer -c y c.

Figura 15 : Sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión

Para resolver el problema de determinar los f lujos de corte de una sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión existen dos alternativas : 1) calculando previamente la ubicación de centro de corte, y 2) sin utilizar las coordenadas del centro de corte. Alternativa 1. Determinación de los flujos de corte encontrando previamente el centro de corte 1. Se determinan primero los flujos de corte en cada panel ‘i’, causados por el esfuerzo de corte Q actuando en el centro de corte ( punto C en las Figuras 15-b y 16 ). Como el problema es estáticamente indeterminado se procede a descomponer el sistema en la suma de dos estados (I y II ) como se muestra en la Figura 16. Los f lujos de corte qI del Estado I se obtienen restando a cada f lujo q i el f lujo q del panel A (panel superior izquierdo en la Figura 16). De esa manera el f lujo de corte en el panel A del Estado I es nulo y permite resolver el problema aplicando Jourasky acumulando momentos estáticos a partir del panel A

Figura 16: Descomposición en dos estados para calcular los flujos de corte causado por Q Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

216


2. El f lujo de corte constante del Estado II ( qA ) se calcula exigiendo que la sección no gire por torsión ( = 0 ) porque la carga Q actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11)-a del Capítulo 10 para el caso de flujo de corte variable (pero constante en cada tramo ) y obtenemos la ecuación (20). 1 (20) E 0 o ¦ (qI[ i q[ A ) li / ti 0 o q[ A ( ¦i (qI[ ) i li / ti ) / ( ¦i li / ti ) 2G * i 3. Los f lujos de corte en cada panel q- causados por el esfuerzo de corte Q- actuando en el centro de corte ( punto C en la Figura 17 ) se determinan repitiendo el procedimiento del punto 1.

Figura 17: Descomposición en dos estados para calcular el flujo de corte causado por Q

4. El f lujo constante del Estado II (q-A ) se calcula repitiendo el procedimiento del punto 2. 5. A continuación se calcula el f lujo de corte por torsión usando la fórmula de Bredt. Notar que para calcular T se necesita conocer las coordenadas del centro de corte -c y c.!

qT

T / ( 2* )

(21)

6. Finalmente se calcula el f lujo de corte total en cada panel, q i, causado por el momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Q y Q- (donde y - son los dos ejes principales de inercia).

qi

( qI [ i q[ A ) ( qIK i qK A ) qT

(22)

Alternativa 2. Determinación de los flujos de corte sin usar como dato al centro de corte Notar que la ecuación (22) puede reescribirse como:

q[ i qK i q0

qi

donde:

q0

( q[ A qK A q )

(23)

T

Esto da lugar a un procedimiento alternativo más simple porque basta con calcular q0 como se muestra esquemáticamente en la Figura 18, en lugar de calcular sus tres componentes.

Figura 18 : Descomposición en tres estados

Paso 1: Se calculan por Jourasky los flujos qi (Estado I) de la Figura 18. Paso 2: Se calculan por Jourasky los f lujos q-i (Estado II) de la Figura 18. Paso 3: Se determina el valor del f lujo constante q0 del Estado III de la Figura 18 igualando el momento de las cargas aplicadas al momento de los flujos de corte en los paneles del contorno de la sección cerrada respecto a un punto arbitrario que se considere conveniente:

¦ P d ¦ 2* k

k

k

i

( q[ i qK i q0 ) o

q0

i

1 2*

[6

k

Pk d k

6 2* (q i

i

[i

qK i ) ]

(24)

Paso 4: Se calcula el flujo de corte total, qi, causado por el momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Q y Q-, usando la ecuación (23) y los valores qi, q-i y q0 calculados en los pasos 1, 2 y 3. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

217


Cálculo del centro de corte de una sección cerrada no simétrica En el caso de una sección compuesta cerrada sin ejes de simetría, como la mostrada en la Figura 15, se deben calcular por separado las coordenadas c y -c del centro de corte ( punto C ) respecto a ejes principales de inercia aplicando la teoría simplificada. Para determinar la coordenada -c se descompone el sistema donde actúa el corte Q en dos estados ( I y II) haciendo ( q = qI + q ) como se muestra en la Figura 16. qi se calcula por Jourasky y q se calcula con la ecuación (20). Posteriormente se iguala el momento del esfuerzo de corte Q con el momento de los f lujos de corte respecto al centro de gravedad G y se despeja la coordenada -c. Observar la similitud entre la ecuación (25) y las ecuaciones (9) y (19).

Q[ KC

¦ 2*

i

q[ i

KC

o

2 Q[

¦*

i

q[ i

(25)

Para calcular la coordenada c se procede de manera análoga.

3 CAMPO DE TENSIÓN DIAGONAL Según se menciona en la Subsección 2.1, si el f lujo de corte supera el valor crítico se produce el pandeo del alma. Antes del pandeo, debido al corte, se tienen tensiones de tracción y compresión a 45º respecto a la dirección del corte, algo que puede verificarse fácilmente empleando el círculo de Mohr y que se ha bosquejado en la Figura 19-a.

Figura 19 : Esquema de una viga Wagner trabajando en el campo de tensión diagonal

Cuando la tensión ( ) alcanza el valor crítico la placa pandea. Para cargas mayores ( Q > Qcrít ) la tensión de compresión 1 no aumenta mientras que la de tracción 2 crece. Para cargas aún mayores (Q >> Qcrít ) se puede hacer la hipótesis simplificativa de que la tensión 1 es despreciable frente a 2 y suponer que el alma trabaja sólo a tracción ( ) con una inclinación próxima a los 45º. En tal caso es necesario colocar montantes para resistir la acción que tiende a aproximar las platabandas entre sí. El modelo simplificado de la Figura 19-b se conoce como viga Wagner. La tensión de tracción ( ) y las fuerzas de tracción en las platabandas (F1 y F2 ) pueden calcularse planteando equilibrio estático (ver Figura 20):

Q FV V t (h cos D ) ½ V ¾ o ht sen D cos D FV sen D Q 0 ¿ Tomando momentos respecto al punto A se tiene:

§ h cos D · FV ¨ ¸ F1 h Q x © 2 ¹

(26)

F1

Qx Q h 2 tan D

(27)

Tomando momentos respecto a B: F2

Qx Q h 2 tan D

(28)

0 o

Figura 20: Cálculo de los esfuerzos en el alma y en las platabandas de una viga Wagner

Cuando x = 0, F1 = – Q/(2tan) y esto se debe a que la acción transversal F sobre el montante del extremo izquierdo es resistido por la compresión de las platabandas (superior e inferior ). La tensión de tracción actuando sobre el alma provoca fuerzas Fd sobre las platabandas que a su vez comprimen los montantes internos con una fuerza FV ( ver Figura 21). Fd V t (d senD ) ½ Q d tan D ° FV (29) V dada por (26) ¾ o h °¿ FV Fd senD Figura 21 : Compresión de los montantes debido a la acción del alma sobre las platabandas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

218


Las platabandas trabajan como vigas continuas cargadas en el sentido axial y transversal y se deforman como se indica en la Figura 22. Debido a la fuerza de compresión FV , los montantes deben verificarse al pandeo en el plano perpendicular a la viga. En estudios experimentales se han medido valores de FV bastante inferiores al valor dado en (29). El primer montante está cargado en sentido axial y transversal, recibiendo en los extremos cargas horizontales y verticales provenientes de las platabandas y en el interior actúa la carga distribuida que ejerce la placa que se descompone en una carga axial y otra transversal. Todo eso se esquematiza en la Figura 22 donde además se muestran los diagramas de esfuerzos internos y su expresión analítica.

N

FV Q x 2 h

§ d tg { Q¨ h © 2h

· ¸; ¹

Q

x 2 tg 3 tg

§ {· ¨1 ¸ ; 2 tg © 3 ¹

M

Mo

{2 x 2 tg 3 tg 2

(30)

Figura 22 : Solicitaciones actuando sobre el primer montante de la viga Wagner

Una hipótesis simplificativa consiste en ignorar M o en el primer montante con lo que se obtiene un M máx mayor al real y se está del lado de la seguridad. El valor del ángulo (ver Figura 19-b) se puede calcular con la siguiente expresión aproximada:

tg D

4

1 ht / Aplat

(31)

1 d t / Amont

donde los valores t, h y d ya fueron definidos con anterioridad en la Figura 19: t es el espesor del panel, h es la altura del montante y d es la distancia entre montantes. Aplat y Amont son respectivamente el área de la platabanda y del montante que rodean al panel. En los casos prácticos se cumple aproximadamente que: h d (32) | o D | 45o Aplat Amont La teoría presentada en esta sección es muy resumida y sus resultados son poco exactos pero permite calcular valores tentativos. El lector interesado en este tema debe recurrir a la literatura especializada. Esta sección sólo pretende ilustrar sobre el comportamiento estructural de la viga Wagner en el estado poscrítico conocido como campo de tensión diagonal.

4 ESTRUCTURAS A RECUBRIMIENTO RESISTENTE Las estructuras a recubrimiento resistente (ver Figura 23 ) están constituidas por tres tipos de elementos: i) la lámina delgada del recubrimiento, ii) los cordones longitudinales ( largueros) y iii) los refuerzos transversales ( cuadernas).

Figura 23 : Elementos componentes de una estructura a recubrimiento resistente Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

219


I.

El recubrimiento transmite el corte, resiste el momento torsor a través de tensiones de corte y además resiste parte de la f lexión a través del ancho efectivo ( el resto lo toman los largueros).

II. Los largueros resisten la f lexión a través de esfuerzos normales; los que resultan comprimidos deben verificarse a pandeo. Estos elementos estabilizan los paneles definiendo el ancho de pandeo (b) de los paneles que es igual a la distancia entre largueros (ver Figura 23-b ). III. Las cuadernas son marcos cerrados que tienen dos funciones: i) estabilizar los largueros definiendo la longitud de pandeo “a” que es igual a la distancia entre cuadernas (ver Figura 23-a). ii ) recibir cargas concentradas y transmitirlas al recubrimiento y viceversa.

5 CONTRIBUCIÓN DE LOS PANELES A LA FLEXIÓN - ANCHO EFECTIVO La teoría simplificada desarrollada en la Sección 2 que desprecia la contribución de los paneles en cuanto a la resistencia a f lexión produce diseños que en algunos casos resultan demasiado conservativos y esto debe evitarse especialmente en el campo aeronáutico que es muy exigente con el peso de las estructuras. En las llamadas “estructuras a recubrimiento resistente” se considera la contribución del área de los paneles en el cálculo del centro de gravedad, momentos estáticos y momentos de inercia.

Figura 24 : Contribución del área de los paneles en una estructura a recubrimiento resistente

Una manera simple de tratar el problema es considerar un “área modificada ” para el refuerzo como se indica en la Figura 24 : (33) A Ar bt Esta forma de trabajar supone que el alma y el refuerzo son del mismo material y además que la tensión calculada para el refuerzo es la misma tensión que solicita al alma. Esta última hipótesis es correcta para las zonas traccionadas y en las zonas comprimidas donde la tensión ( por f lexión ) es menor que la tensión crítica de la placa. Es necesario recordar la fórmula de la tensión crítica de pandeo de una placa:

Pcrít

K

S 2D b

o V crít

K

S 2D t b2

o

V crít

K

S 2E t2 12 (1 Q 2 ) b 2

(34)

donde E y son el módulo de Young y el módulo de Poisson del material, t y b son respectivamente el espesor y el ancho del panel mientras que K depende de las condiciones de borde. Para bordes simplemente apoyados donde a/b > 1 resulta K ¢

Figura 25: Variación de la tensión en los paneles comprimidos y esquema del ancho efectivo be Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

220


Cuando el panel de la Figura 25-a se comprime progresivamente, al principio la tensión es constante en todo el ancho del panel como se indica en los niveles de carga 1 y 2 de la Figura 25-b. Cuando la carga supera el valor de la carga crítica de pandeo ( P > Pcrít ) dada por (34), la distribución de tensiones no es uniforme en el ancho del panel comprimido. Esto se puede observar en los niveles de carga 3, 4, 5 y 6 de la Figura 25-b; en la proximidad de los refuerzos el panel toma la tensión máxima pero en el centro apenas supera la tensión crítica. Esta diferencia se hace más notable a medida que la carga de compresión crece. El concepto de “ancho efectivo” establece que el ancho real “b” trabajando a una tensión variable en el ancho del panel puede reemplazarse por un “ancho efectivo be” (be < b)solicitado por una tensión constante e igual la tensión máxima ( máx ) que ocurre en los bordes. P

³

b 0

V (x) (t dx)

V máx t be

o

be

1

V máx

³

b 0

V (x) dx

(35)

donde be es el “ancho efectivo” o “ancho de colaboración” definido precisamente por (35). Como la distribución de tensiones V (x) es bastante compleja se recurre a fórmulas prácticas (aproximadas) para el cálculo de be. Existen varias expresiones, pero la más utilizada es la siguiente: be

Fórmula general

be d b

V crít /V máx

b

(36)

que fue propuesta por Von Kármán en 1932. Esta expresión surge de considerar una placa cuyo ancho be es tal que su tensión crítica es máx.

panel real ancho b ...............V crít

K S 2 D / (t b 2 ) ½° ¾ o se deduce (36) K S 2 D / (t be2 ) °¿

panel efectivo ancho be .......V máx

(37)

Reemplazando (34) en (36) y considerando Q = 0,3 se obtiene:

be

0,95 t

K E /V máx

(38)

Suponiendo que a/be > a/b > 1 y que los bordes están " @! @" K

be

Caso particular K = 0,3

1,9 t

E /V máx

(39)

El valor de máx debe ser menor que la tensión crítica de pandeo del conjunto placa-refuerzo esquematizado en la Figura 23-b. Notar que la tensión máxima en cada panel se calcula por la fórmula clásica de la f lexión

V máx

M y I

(40)

La ubicación del eje neutro depende de las áreas modificadas ( A Ar be t ) dadas en (33), que a su vez dependen de los anchos efectivos be . Por lo tanto el momento de inercia ( I ) y la distancia a la fibra neutra ( y) dependen de la tensión máx en los diferentes paneles. En la Figura 26 se muestra el caso de una viga comprimida en la parte superior que tiene una sección circunferencial, con 32 largueros y 32 paneles. Se ha indicado el ancho efectivo para un panel genérico ( se eligió el panel 5). Notar que si bien el ancho “b” de los paneles en la Figura 26 es único, cada panel tiene su propio ancho efectivo “be” dividido en dos mitades iguales “be /2” cuyas áreas ( t be / 2 ) se suman a los largueros en los extremos de ese panel. Notar que en la parte inferior de la sección que esta traccionada el ancho efectivo es b. A modo de ejemplo en (41) se indica el valor del área modificada de un larguero genérico i: (41) A Ar t be /2 i t be /2 i 1 i


i

221


Figura 26 : Contribución de los paneles a la f lexión - Ancho efectivo

Para resolver el problema se debe proceder en forma iterativa proponiendo un be tentativo para cada panel de la zona comprimida donde máx > crít que puede ser posteriormente mejorado reemplazando el valor provisto por (40) para máx en la expresión (36) para be hasta convergencia. Una situación interesante se da cuando se desea determinar el momento flector último resistido por la viga de la Figura 26. En ese caso se puede iniciar el cálculo proponiendo un valor tentativo y para la ubicación del eje neutro para calcular las tensiones en el centro de cada panel, con la condición de que MÁX sea igual al menor entre la tensión de fluencia del recubrimiento y la tensión crítica de pandeo del larguero. Con la tensión en el centro de cada panel se puede calcular el ancho efectivo usando (36) y luego usando (41) se puede construir un modelo de áreas concentradas que permite recalcular la ubicación del eje neutro. Este proceso iterativo converge rápidamente en tres o cuatro pasos.

6 ANÁLISIS DE LAS CUADERNAS Las secciones anteriores están dedicadas al análisis del recubrimiento y de los cordones longitudinales (largueros). En esta sección se encara el análisis de las cuadernas que son pórticos planos (marcos cerrados). En la Figura 27-a se muestra un ejemplo sencillo de una estructura a recubrimiento resistente. La cuaderna central recibe una carga concentrada P y está apoyada en el recubrimiento. Las cuadernas de extremo reciben la acción del f lujo de corte y lo transmiten a los apoyos.

Figura 27 : Esquema mostrando las cuadernas de una estructura a recubrimiento resistente

Partiendo del diagrama de corte que se muestra en la Figura 27-b pueden calcularse los f lujos de corte como se indica en la Subsección 2.4. El f lujo de corte en una sección próxima al extremo A se obtiene a partir de RA. El flujo de corte a izquierda de la cuaderna central C se obtiene a partir de Q1 mientras que el flujo de corte a derecha de la cuaderna C se obtiene a partir de Q2. La acción sobre la cuaderna es la suma ambos esfuerzos de corte ( Q1 + Q2 ) que es igual a la carga concentrada P actuando sobre la cuaderna. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

222


Las cuadernas son generalmente simétricas, lo que facilita su análisis, en tales casos el centro de corte está ubicado sobre el eje de simetría. Si tanto la cuaderna como el sistema de cargas son simétricos, como en el caso de la Figura 28, se puede reducir el análisis a la mitad de la cuaderna.

Cargas exteriores

Flujo reactivo de Jourasky

Solicitaciones

Análisis de la mitad

Figura 28: Análisis de una cuaderna simétrica con cargas simétricas

El sistema de cargas ( q, P ) esquematizado en la Figura 28-c es autoequilibrado. Por simetría corresponde colocar empotramientos deslizantes en A y en B. La reacción vertical en A es nula porque el sistema de fuerzas aplicado es autoequilibrado. Sin embargo, si se utiliza el método de rigidez es imprescindible restringir el desplazamiento vertical de cuerpo rígido y esto se logra restringiendo el desplazamiento vertical de algún punto (en este caso se eligió el punto A ). Una alternativa es considerar un modelo como el de la Figura 29. El sistema de cargas consiste sólo en q y la reacción en el punto C (donde actuaba la carga) resultará igual a P. Figura 29: Modelo alternativo para resolver el problema de la Figura 28-d

Si las cargas resultan asimétricas la determinación del f lujo de corte reactivo resulta sencilla. Aprovechando la simetría en la geometría de la cuaderna, el sistema de la Figura 30-a se puede descomponer en dos estados trasladando la carga al eje de simetría y considerando el momento torsor (T = Pa ). Notar que en los sistemas de las Figuras 30-b y 30-c se ha agregado el f lujo reactivo que ejerce el recubrimiento sobre la cuaderna para establecer el equilibrio.

Carga asimétrica

Flujo asimétrico de Jourasky para sección abierta

Flujo constante fórmula de Bredt

Acciones sobre la cuaderna

Figura 30: Análisis de una cuaderna simétrica con cargas asimétricas

El sistema de cargas de la Figura 30-d es autoequilibrado. Si se analiza por el método de las fuerzas tiene tres incógnitas hiperestáticas. Si en cambio se analiza por el método de rigidez es imprescindible restringir el desplazamiento de cuerpo rígido a través de una sustentación isostática como se muestra en las Figuras 31-a, b y c. En todos los casos las reacciones de apoyo resultan nulas dado que el sistema de cargas es autoequilibrado.

Figura 31: Modelos alternativos para restringir desplazamientos de cuerpo rígido al resolver el problema de la Figura 30-d por el método de la rigidez Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

223


Aprovechando la simetría se puede descomponer el sistema asimétrico como la suma de dos estados, uno simétrico y otro antisimétrico como se muestra en la Figura 32. En ambos estados se analiza sólo la mitad imponiendo condiciones de apoyo adecuadas sobre el eje de simetría y evitando desplazamientos de cuerpo rígido. Sistema asimétrico

Sistema simétrico

Sistema antisimétrico

Figura 32: Descomposición de un estado asimétrico en un estado simétrico y otro antisimétrico

Las acciones (solicitaciones ) sobre la cuaderna son la carga P y el f lujo de corte reactivo q que equilibra la cuaderna.

Figura 32-b o Q

P; T

Figura 32-c o Q

0;

T

0;

q1

Pd ;

q2

Q Sy Iy Pd 2*

flujo de corte por corte (Jourasky)

(42)

flujo de corte por torsión (Bredt)

(43)

Notar que en la determinación del f lujo de corte que “sostiene” a la cuaderna no intervienen las propiedades de la cuaderna y si intervienen las propiedades del panel que sostiene a la cuaderna. Si q1 se calcula usando sólo el momento estático Sy del recubrimiento, su variación es continua. En cambio si se calcula Sy usando sólo los largueros, q1 resulta constante entre largueros. Lo más conveniente es discretizar el área del panel en áreas concentradas que se agregan a las áreas de los largueros, de modo que el f lujo de corte resulte constante en cada tramo. En la Figura 33 se indican las solicitaciones S correspondientes a la cuaderna de la Figura 32 cuando se aprovecha la simetría. Solicitaciones S1

Solicitaciones S2

q1 por Jourasky (10.58)

q2 por Bredt (10.7)

Solicitaciones totales S S1 + S2

S 1 S2

Figura 33: Determinación de los esfuerzos aprovechando la simetría de la cuaderna de la Figura 32

Primero se resuelven los casos b y c ( Figura 33) obteniéndose S1 y S2 para la mitad izquierda y después se hace S = S1 + S2 para la mitad izquierda, mientras que a derecha se tiene S = S1 – S2. El flujo de corte q1 se calcula por Jourasky usando la ecuación (58) del Capítulo 10 y está bosquejado en la Figura 33-b mientras que el flujo de corte q2 constante se calcula por la fórmula de Bredt usando la ecuación (7) del Capítulo 10 y está bosquejado en la Figura 33-c. Las solicitaciones totales S se muestran en la Figura 33-d. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

224


PRÁCTICO

Vigas Compuestas


1. Determinar el centro de corte de las secciones abiertas a) y b) y de las secciones cerradas c) y d).

Todos los paneles tienen igual espesor: t

0,1 cm .

Área de los cordones A1

2 cm 2 ; A2

4 cm 2 .

2. Determinar el espesor t del alma de la viga Wagner de modo que Cs t 2 para: a) falla por pandeo del alma. b) falla por f luencia del alma.

E

750000 kg /cm 2 ; Q

0,33; V f

2500 kg /cm 2

c) Para el caso t = 0,1 cm, calcular las solicitaciones en el alma, los montantes y las platabandas.

3. Placa rectangular simplemente apoyada. Dimensiones: ancho = 20 cm

largo = 40 cm

espesor = 0,3 cm

Datos del material:

E

750000 kg / cm 2 ;

Q

0,3 ;

V f 2500 kg / cm 2

Graficar la tensión máxima máx en función de la carga aplicada creciente hasta llegar a f luencia.

4. Determinar el momento flector último M

resistido por el fuselaje poligonal de 16 lados iguales del croquis. u

El momento f lector comprime la parte superior. La altura del fuselaje es H = 100 cm. Los lados del polígono miden A = 19,891 cm. El recubrimiento tiene un espesor t = 0,16 cm. 2

Los largueros tienen un área AL = 2 cm y una tensión crítica de pandeo V L crít 2770 kg / cm 2 . Material: E

750000 kg / cm 2 ; Q

0,3 ; V f 2500 kg / cm 2 .

5. Determinar el momento flector último M

resistido la viga cajón de pared delgada del croquis de 10 x 20 cm. El momento flector comprime la parte superior. Material: E

750000 kg / cm 2 ; Q

u

0,3 ; V f 2400 kg / cm 2

La solución se deja para el lector: .... M u Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

53840 kg -cm

225



Vigas Compuestas


1 Se determina el centro de corte de cuatro vigas compuestas: dos secciones abiertas y dos cerradas. a) Se determina el centro de corte de una sección de viga compuesta abierta con paneles rectos.

Momento de inercia: I x

¦A y i

2 x (4 x102 2 x 62 )

2 i

944 ................................ I x 944 cm 4

Flujo de corte en el panel 1: q1

Q S1 / I x

Q x (4 x10) / 944 0,04237 x Q

q1

0,04237 xQ kg /cm


Q S2 / I x

Q x (4 x10 2 x 6 ) / 944

q2

0,05508 x Q kg / cm


Q S3 / I x

Q x [4 x10 2 x 6 2 x ( 6)] / 944

q3

0,04237 x Q kg /cm

a.1) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (7). Se toman momentos respecto al punto O, intersección de las rectas de los paneles 1 y 3, sólo interviene q2 (ver Figura a.1). Distancia del panel 2 a la intersección (punto O): Fig. a.1) d 2 /6 10 /4 o d 2 Carga resultante en el panel 2: F2 Ec. (7)

Qe

¦F d i

Q e

i

Distancia al centro de corte:......... xc

15 ..... d 2 15 cm

q2 A 2

( 0,05508 x Q ) x12 0,661 x Q .......... F2

F2 d 2

( 0,661 xQ ) x15 e 0,661x15 e 9,915

d2 e

15 9,915

5,085 .........................

0,661x Q kg

xc

5,085 cm

a.2) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (9). Se toman momentos respecto al punto C intersección de los paneles 2 y 3, sólo interviene q1 (ver Figura a.2). Área asociada al panel 1: Fig. a.2) * 1 (10 x12 ) / 2 60 ............................................. * 1 60 cm 2 Flujo de corte en el panel 1: ya fue calculado con anterioridad ................... q1 Ec. (9)

Qe

¦2*

i

2 * 1 q1 Q xc

qi Q xc

0,04237 x Q kg / cm

2 x 60 x (0,04237 x Q ) ........ xc

5,085 cm

a.3) Cálculo exacto incluyendo los paneles en el cálculo. Se toman momentos respecto al punto O intersección de las rectas de los paneles 1 y 3, sólo interviene q2 (ver Figuras a.2 y a.3). Longitud del panel 1: A1

AB

102 42

10,77 ............................................... A1 10,77 cm

Momento de inercia incluyendo los paneles:

Ix

2x [4x102 (10,77 x 0,1 ) x (82 42 /12) 2 x 62 ( 6 x 0,1) x (32 62 /12) ] ............... I x

1099,13 cm 4

Momento estático variable en el panel 2 función de la variable y (ver Figura a.3):

S 2(y)

4 x10 10,77 x 0,1 x 8 2 x 6 0,1 y ( 6 y /2 ) ................ S 2(y)

Flujo de corte variable en función de y en el panel 2: q2(y) Momentos respecto al punto O: Q (15 xc )

³

12

0

15 q2(y) dy

( 60,616 0,6 y 0,05 y 2 ) cm3

Q S 2(y) / I x

³

12

0

15 [ Q S 2(y) / I x ] dy

Se despeja la distancia xc al centro de corte: xc

15 ³

12

0

(0,82724 0,008188 y 0,0006824 y 2 ) dy

15 10,123 ...................... xc

4,877 cm

Conclusión: La teoría simplificada es más simple y el resultado difiere sólo en un 4 % (4,877 / 5,085). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

226


b) Con la teoría simplificada se determina el centro de corte de una sección abierta simétrica de viga compuesta con cuatro cordones y tres paneles curvos que son parte de una circunferencia.


¦A y

2 x (2 x 102 4 x 102 ) 1200 ........................... I x

2 i

i

1200 cm 4


Q S1 / I x

Q x ( 2 x10 ) /1200

Q /60 ................... q1

Q /60 kg / cm


Q S2 / I x

Q x ( 2 x10 4 x10) /1200 Q / 20 ...... q2

Q /20 kg / cm


Q S3 / I x

Q x [2 x10 4 x 6 4 x( 6)] /1200 ......... q3

Q /60 kg / cm

b.1) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (9). Se toman momentos respecto al punto O centro de la circunferencia porque facilita el cálculo de las áreas (ver Figura b.1). Ec. (9)

Q xc

( S r 2 ) /4 *

102 102 =14,142 Área asociada a los paneles: *

Radio: r

Qe

¦2*

i

2 * 1 q1 * 2 q2 * 3 q3

qi Q xc

2 * Q /60 Q /20 Q /60

157,08 cm 2

2 x 157,08 x 1/60 1/20 1/60 .......... xc

xc

26,18 cm

b.2) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (7). Se toman momentos respecto al punto O centro de la circunferencia (ver Figura b.2). Ec. (5) Carga

F1

q1 A1

resultante en los paneles: q

(Q /60) x 20 Q /3

e 2* * / AB

Ec. (6) Excentricidad: Ec. (7) Q e

c)

¦F d i

i

q2 A 2

F2

q AB Fi

Qx / AB Qx

(Q /20) x 20 Q

F3

q3 A 3

qi A i

(Q /60) x 20 Q /3

2 x (* 100) / 20 2 x (157,08 100) / 20 ...... e 5,708 cm

(Q /3) x 15,708 Q x 15,708 (Q /3) x 15,708 xc

Q xc

26,18 cm

Con la teoría simplificada se determina el centro de corte de una sección de viga compuesta cerrada.


¦A y i

2 i

2 x (2 x10 4 x 10 ) 1200 ............................ I x 2

2

1200 cm 4

c.1 Determinación de los flujos de corte en la sección cerrada: El estado a resolver se descompone en un Estado I y un Estado II como en la Figura13. El estado I (Figura c.2) se resuelve por Jourasky acumulando momento estático a partir del panel 1. Flujo de corte en el panel 1: qI 1 Q S1 / I x Q x (4 x10)/1200 Q /30 ............... qI 1 Q /30 kg / cm Flujo de corte en el panel 2: qI 2

Q S2 / I x

Flujo de corte en el panel 3: qI 3

Q S3 / I x

Q x [4x10 4 x( 10) 2 x ( 10)] /1200

qI 2

0 kg / cm

qI 3

Q /60 kg / cm

> (Q /30) x 20 / 0,1) 0 ( Q /60) x 20/ 0,1@ / > ( 20 12 20 12) / 0,1@ .... q0

Q /192 kg / cm

Ec. (17) Cálculo

q0

Q x[4 x10 4 x ( 10)] /1200 0 ....

de q0 q0

( ¦ qI i li / ti ) / ( ¦ li / ti )


227


c.2 Teoría simplificada utilizando la Ecuación (19). Se toman momentos respecto al punto O donde se intersectan los paneles 3 y 4, sólo intervienen q1 y q2 (ver Figura c.4 y c.5). Ec. (18) Flujo de corte en el panel 1:

q1 qI 1 q0 Q /30 Q /192 ........... q1

Ec. (18) Flujo de corte en el panel 2:

q2 qI 2 q0 0 Q /192 ........................ q2

Cálculo de las áreas: * 1

(12 x 20 )/2 120

Ec. (19) Ubicación del centro de corte:

Q xc

Qe

*2

0,028125xQ kg / cm Q /192 kg / cm

( 20 x12 )/2 120 ............. * 1

¦2*

i

qi Q xc

2 x [120 x ( 0,028125 x Q ) 120 x ( Q /192 )] xc

* 2 120 cm 2

2 * 1 q1 * 2 q2

2 x (3,375 0,625)

xc

5,5 cm

c.3 Teoría simplificada utilizando la Ecuación (7) que vale para secciones abiertas y cerradas. Se toman momentos respecto al punto O intersección de los paneles 3 y 4, sólo intervienen q1 y q2 (ver Figura c.5). Carga resultante en el panel 1: F1

q1 A1

Carga resultante en el panel 2: F2

q2 A 2

Ec. (7) Q e

¦F d i

F1

0 (Q /192 ) x12 0,0625 x Q .. F2

F1 d1 F2 d 2

Q xc

i

(0,028125 x Q ) x 20 0,5625 x Q ..

0,5625 x Q kg 0,0625x Q kg

(0,5625x Q) x12 (0,0625 x Q ) x 20

xc

5,5 cm

OBSERVACIÓN: Notar que los cordones más gruesos están a la izquierda, mientras que el centro de corte está ubicado a la derecha del centro del rectángulo ( xc = 5,5 < 12/2). Esto no es una conclusión porque si se intercambian las dimensiones (20 y 12 cm) el centro de corte se ubica a la izquierda del centro del rectángulo ( xc = 10,8 > 20/2).

d) Se ubica el centro de corte de una sección simétrica de viga compuesta cerrada con la teoría simplificada.

Momento de inercia: I y

¦A x i

2 i

2 x102 4 x 02 2 x102

400 ........................... I y

400 cm 4

Determinación de los flujos de corte en la sección cerrada: El estado a resolver se descompone en un Estado I y un Estado II como en la Figura13. El estado I (Figura d.2) se resuelve por Jourasky acumulando momento estático a partir del panel 1. Flujo de corte en el panel 1: qI 1

Q S1 / I y

Q x (2 x10) / 400

Flujo de corte en el panel 2: qI 2

Q S2 / I y

Q x [2 x 10 2 x (10)] / 400 0 ............

Ec. (17) Cálculo

q0

de q0 q0

Q /20 ................. qI 1

Q /20 kg / cm qI 2

0 kg / cm

( ¦ qI i li / ti ) / ( ¦ li / ti )

> (Q /20 ) x 20 / 0,1 0 x 20 / 0,1@ / > ( 20 20 20 ) / 0,1@ ............................... q0

Q /60 kg / cm

Teoría simplificada utilizando la Ecuación (19). Se toman momentos respecto al punto O donde se intersectan los paneles 0 y 2, sólo interviene q1 (ver Figura d.4). Ec. (18) Flujo de corte en el panel 1:

Cálculo del área: * 1 Ec. (19)

Qe

¦2*

q1

qI q0 0

Q /20 Q /60

Q / 30 ......... q1 Q /30 kg / cm

( 20 x17,32 ) /2 173, 2 ........................................................ * 1 173, 2 cm 2 i

qi Q yc

2 * 1 q1 2 x 173, 2 x (Q /30) yc


228

2 x173, 2 /30

yc

11,55 cm


2 Se determina el espesor t del alma de la viga Wagner de modo que Cs t 2 para: a) falla por pandeo del alma. b) falla por fluencia del alma.

E 750000 kg / cm 2 ; Q

0,33; V f 2500 kg / cm 2

c) Para el caso t = 0,1 cm, calcular las solicitaciones en el alma, los montantes y las platabandas. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Flujo de corte en el alma:

q Q /t

800 / 40 20 ................................................ q

20 kg / cm

a) Falla por pandeo del alma: CS 2 Coeficiente de pandeo: Cap. 6 Ec. (50) a / b 50 /40 1, 25 K Flujo de corte crítico por corte en el alma: Cap. 6 Ec. (49) qcrít

qcrít

5,35 4 / (1, 25) 2 .... K

7,91

K S E t / [12 (1 Q ) b ] 2

3

2

2

7,91 xS 2 x 750000 x t 3 / [12 x (1 0,332 ) x 402 ] 3422 t 3 .................... qcrít

Garantizamos el coeficiente de seguridad: CS q d qcrít 2 x 20 d 3422 x t 3

3422 t 3

t t 0, 23 cm

b) Falla por f luencia del alma (criterio de Von Mises): CS 2 \ ¢_!@¢ Von Mises:

V*

3W 2

3 (q / t ) 2

3 (20 / t ) 2

34,64 / t ............... V *

Garantizamos el coeficiente de seguridad: CS V * d V f 2 x 34,64 / t d 2500

34,64 / t

t t 0,03 cm

c) Solicitaciones en la viga Wagner cuando t = 0,1 cm (asumiendo = 45º ) q y qcrít ya fueron calculado" qcrít

3422 t 3

3422 x (0,1)3

3, 42 ......... q

20 !! qcrít

3, 42

Corresponde considerar campo de tensión diagonal (estado poscrítico). Tensión de tracción en el alma: Q 800 Ec. (26) V ht sen D cos D 40 x 0,1 x sen 45 x cos 45

Carga de compresión en los montantes: Q d tan D 800 x 50 x tan 45o Ec. (29) FV h 40

400 ....................... V

400 kg / cm 2

1000 ...................................... V

1000 kg / cm 2

Variación de la carga en la platabanda superior comprimida: Qx Q 800 x 800 Ec. (27) F1 ...................................... F1 400 20 x kg h 2 tan D 40 2 x1 En x = 0 la platabanda superior está comprimida con 400 kg, ese valor se va incrementando 1000 kg por cada tramo de 50 cm llegando a los 4400 kg en el empotramiento. La platabanda superior comprimida con una carga axial distribuida de 20 kg/cm se debe verificar a pandeo fuera del plano de la viga. Variación de la carga en la platabanda inferior traccionada: Qx Q 800 x 800 Ec. (28) F2 .................................... F2 400 20 x kg h 2 tan D 40 2 x1 En x = 0 la platabanda inferior está comprimida con 400 kg, a ese valor se le va incrementando 1000 kg de tracción por cada tramo de 50 cm llegando a los +3600 kg en el empotramiento a la derecha. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

229


3 Se grafica la tensión máxima

en una placa rectangular simplemente apoyada en compresión, en función de la carga aplicada P creciente hasta llegar a fluencia. máx

ancho = 20 cm ;

largo = 40 cm ;

espesor = 0,3 cm

Datos del material:

E

750000 kg / cm 2 ; Q

Vf

0,3 ;

2500 kg / cm 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.1 Ignorando el pandeo (falla por fluencia)

V f x Área 2500 x 0,3 x 20 2500 x 6 15000 ... Pf

Carga que inicia la fluencia: Pf Tensión cuando

V

0 P 15000 kg

15000 kg

P /6 ............................................ V

P / Área

P /6

3.2 Considerando el inicio del pandeo como falla, pero ignorando el comportamiento poscrítico Coeficiente de pandeo Ec. (34)

Pcrít

V crít

a / b 40 /20 2 Figura 6-b y Figura 7 del Cap. 6: Pandeo de Placas

2 S 2E t K 2 2 12 (1 Q ) b

S 2 x 750000 4x 2 12 x (1 0,3 )

2

x

0,3 2 20

V crít

610,07 V f

K

4

610 kg / cm 2

V crít x Área 610 x 0,3x 20 3660 .................................................................. Pcrít

3660 kg

3.3 Considerando el comportamiento poscrítico utilizando ancho de colaboración Cuando P ! 3660 kg P

V máx Área

Ec. (36)

V máx 0,3x be

be b V crít /V máx

V máx 0,3 x 494 / V máx

20

610,07 /V máx ...... be

494 / V máx

V máx

P / 148, 2

148, 2 V máx

2

Gráfico de la tensión máxima máx en función de la carga creciente hasta llegar a fluencia

Conclusión 1: Debido al pandeo la placa no puede alcanzar la resistencia de 15000 kg calculada en el punto 3.1 ya que sólo resiste 7140 kg determinados en el punto 3.3. La resistencia se reduce en más del 50 % debido al pandeo. Conclusión 2: Si se considera a la tensión crítica como condición de falla la pérdida de resistencia es muy significativa (49 %) cayendo de 7140 a 3660 kg. Al considerar el ancho de colaboración la resistencia aumenta un 102 % pasando de 3660 a 7410 kg. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

230


4 Se determina el momento f lector último M

resistido por el fuselaje del croquis que es un polígono de 16 lados iguales. u

El momento flector comprime la parte superior. La altura del fuselaje es H = 100 cm. Los lados del polígono miden A = 19,891 cm. El recubrimiento tiene un espesor t = 0,16 cm. Los largueros tienen un área AL = 2 cm2 y una tensión crítica de pandeo V L crít 2770 kg / cm 2 . Material: E

750000 kg / cm 2 ; Q

0,3 ; V f 2500 kg / cm 2 .

---------------------------------------------------------------------4.1 Momento último Mu1 ignorando el pandeo (falla por fluencia) Se considera un modelo simplificado de áreas concentradas donde a cada larguero se le adiciona la mitad del área de cada uno de los paneles vecinos. Las áreas se multiplican por 2 debido a la simetría respecto al eje ‘y’ y se consideran 8 largueros (i = 1,..8). Usando (41) se tiene: Ec. (41)

Aci

2[ Ai (t b / 2)i (t b /2)i 1 ] 2[2 0,16 x19,891/2 0,16 x19,891/2]

Momento de inercia: I

¦ Ac ( y 8

1

i

i

Aci 10,365 cm 2

2

y ) . Se tiene en cuenta la igualdad de las áreas y se aprovecha

la simetría respecto al eje ‘x’ considerando sólo 4 largueros y multiplicando todo por 2.

I

2 x 10,365 x [(100 50) (92,388 50) (78,323 50) (59,946 50)

Tensión por f lexión: V f

2

2

(M u

1

2

2

]

I

107752 cm 4

/ I ) ymáx M u1 2500 x 107752 / 50 5387600 M u 1 53,9 T - m

4.2 Momento último Mu2 considerando el inicio del pandeo (falla por crít ) Se utiliza el mismo modelo simplificado de áreas concentradas del caso anterior: En los paneles se consideran bordes simplemente apoyados y se usa la Tabla 1 del Cap. 8 ....... Tensión crítica en los paneles del recubrimiento: Cap. 8 Ec. (2) V crít

V crít 4 x S 2 x 750000 x 0,162 / [12 x (1 0,32 ) x19,8912 ] 175, 44 V f Tensión por flexión: V crít

(M u

2

/ I ) ymáx M u2

K

4

K S 2 E t 2 / [12 (1 Q 2 ) b 2 ]

2500

V crít 175, 44 kg / cm 2 Mu2

175, 44 x107752 / 50 378080

3,78 T -m

4.3 Momento último Mu3 considerando el comportamiento poscrítico (ancho de colaboración) Como en los casos anteriores, se utiliza un modelo simplificado de áreas concentradas en los largueros. En los paneles se consideran bordes simplemente apoyados donde K = 4. La tensión crítica en los tramos de recubrimiento ya fue calculada en el punto anterior 4.2 siendo:................. V 175, 44 kg / cm 2 crít

En la parte superior comprimida, cuando se supera la tensión crítica los paneles sólo contribuyen con su ancho efectivo que depende de la tensión aplicada sobre el panel, que a su vez depende de la ubicación del eje neutro de la viga (fuselaje) en coincidencia con el centro de gravedad y . El problema debe resolverse en forma iterativa hasta convergencia. A continuación se presenta un proceso iterativo donde: i) se propone una ubicación tentativa para el eje neutro ( y < H/2). ii ) con ese valor y se calculan las tensiones V i en los centros de los paneles con la condición de que en y = H = 100 la tensión no supera el valor de falla ( fluencia en el recubrimiento o en el larguero o pandeo del larguero). iii ) con las tensiones V i se calculan los anchos efectivos bei de los paneles. iv) con los anchos efectivos se determinan las áreas del modelo de áreas concentradas Aci . v) se calcula la nueva ubicación del eje neutro. vi) se repite el procedimiento hasta convergencia. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

231


Procedimiento iterativo

Menor ^V f ; V L crít `

V Falla

Paso 1: Se propone una ubicación tentativa para el eje neutro: yo Paso 2: Se calcula la tensión por flexión en el centro de cada panel (panel i) con la condición de que la tensión en el panel superior (panel 1 a una altura y = H = 100 cm) sea igual a la tensión de falla.

Menor ^ V f ; V L crít ` Menor ^ 2500 ; 2770 ` 2500

V Falla

Vi V Falla

yi y Hy

V i

yi yo 100 yo

2500

Paso 3: Se calcula el ancho efectivo en cada panel comprimido (panel i). Ec. (36) be

V crít V máx

b

19,891

175, 44

263, 46

Vi

Vi

Paso 4: Debido a la simetría respecto al eje ‘y’ se multiplica por 2 el área concentrada en cada uno de los 8 largueros (nudo i). Ec. (41)

Aci

2 x [ Ai (t be / 2) i (t be / 2 ) i +1 ] 4 0,16 x ( be i be i +1 )

Paso 5: Se calcula el nuevo centro de gravedad y1 y se lo compara con el propuesto en el Paso 1 ( yo ). De ser necesario se repiten los pasos 2 a 5 con el valor y1 . Esto puede repetirse hasta convergencia, algo que ocurre en dos o tres pasos !!! Planilla de cálculo en convergencia cuando y = 41,450 cm

NUDOS (largueros) Aci yi nudo i altura yi área Aci

PANELES (recubrimiento)

Aci (yi y )

2

panel i altura yi

tensión i

bei

1 2

100,000 92,388

5,715 5,845

571,50 540,05

19591,6 15167,1

1 2

100,000 96,194

500,00 __¤

5,269 5,449

3

78,323

6,200

485,58

8429,0

3

85,356

70

6,085

4

59,946

7,432

445,54

2542,5

4

69,134

`8

7,663

5

40,054

9,389

376,06

18,3

5

50,000

_`

13,789

6

21,677

10,365

224,69

4052,5

6

30,866

+451,92

19,891

7

7,612

10,365

78,90

11868,4

7

14,645

+1144,54

19,891

8

0,000

10,365

0,00

17808,6

8

3,806

+1607,33

19,891

65,677

2722,32

79478,0

9

0,000

+1769,85

19,891

«$

Centro de gravedad: y

¦ Ac y / ¦ Ac


¦

i

8 1

i

i

2 Aci ( yi y )

2722,32 / 65,676 41, 450 .................... y

41, 450 cm

Ix

79478 cm 4

79478,0 ............................................

Tensión por flexión en la parte superior donde y =H: V Falla (M u 3 / I x ) / (100 y ) , de allí se despeja M u 3 : Momento último:

M u3 2500 x 79478 / (100 41, 450 ) 3393595 ...................

Mu3

33,9 T -m

Conclusión 1: Si se ignora el pandeo (suponiendo que todos los paneles pueden llegar a fluencia sin fallar) se sobreestima la resistencia en un 59 % (53,9/33,9) lo que es muy inseguro. Conclusión 2: Si se considera falla cuando el panel más solicitado llega a la tensión crítica de pandeo, y se ignora el comportamiento poscrítico se desprecia el 89 % (3,78/33,9) de la resistencia, lo que es demasiado conservativo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

232


Capítulo 12

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 1 INTRODUCCIÓN La solución analítica exacta de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cuerpos deformables es de sumo interés en innumerables circunstancias para el ingeniero, pero la posibilidad de acceder a la misma está seriamente limitada por la complejidad de los problemas de interés práctico. En efecto, la geometría del cuerpo, las condiciones de borde o apoyo, los estados de carga y los aspectos relacionados al comportamiento mecánico de los materiales hacen que con frecuencia las soluciones exactas sean inaccesibles. Esta seria limitación, reconocida por físicos y matemáticos de todos los tiempos, llevó al desarrollo de técnicas o teorías aproximadas destinadas a la resolución de problemas específicos de la mecánica de sólidos elásticos. Así, surgió la teoría de vigas, con la hipótesis de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje deformado, las teorías de placas planas en f lexión, como una generalización de la teoría de vigas a dos dimensiones y luego las teorías de láminas o cáscaras curvas, entre otras. Estas teorías fueron posteriormente modificadas o ampliadas para cubrir un número mayor de casos de interés práctico, pero a pesar de ello subsisten muchísimos problemas que no pueden ser resueltos satisfactoriamente con ellas. Tanto esas teorías especiales como la teoría general de la elasticidad dan origen a sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas, donde interesa obtener su solución para condiciones de carga, geometría y contorno más o menos arbitrarios con el mayor grado de generalidad posible. Como respuesta a ese problema surgieron métodos de aproximación basados en consideraciones energéticas, pudiendo citarse los métodos de Rayleigh-Ritz y Galerkin entre otros. Estos métodos son procedimientos analíticos que proponen reemplazar la respuesta del sistema (campo de desplazamientos desconocido) por funciones de aproximación que sean relativamente simples (polinomiales o armónicas), que deben cumplir ciertas condiciones de continuidad y además satisfacer las condiciones de borde establecidas para el problema. Así es que se transforma el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales que gobiernan el fenómeno en un sistema de ecuaciones algebraicas, cuyas incógnitas representan los parámetros característicos de las funciones de aproximación adoptadas. Aunque por ese camino se pueden resolver muchos problemas interesantes, se comprueba que en los casos de estructuras complejas, ya sea por su geometría, condiciones de apoyo y/o condiciones de carga, no es posible la determinación de una función de aproximación que conduzca a la solución a través de un procedimiento sistemático que ofrezca cierta generalidad. El párrafo anterior merece un comentario aparte. Debe notarse que la misión del ingeniero es resolver problemas y para ello es necesario disponer de herramientas de aplicación general, que no requieran de un tratamiento específico y particular para cada caso que se presente. Esta es una de las principales causas por las que fue abandonado el Método de las Diferencias Finitas, donde en las ecuaciones diferenciales que representan un problema se reemplazan las derivadas por expresiones incrementales, lo que conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas. Las Diferencias Finitas permiten resolver problemas estacionarios y transitorios con muy buena aproximación, para ello debe procederse con precaución utilizando incrementos de las variables independientes de un tamaño apropiado. Sin embargo, como contrapartida, se requiere un tratamiento específico para cada caso particular, con muy pocas posibilidades de generalización, por lo que resulta muy costoso introducir cambios en los modelos o reciclar soluciones de problemas similares. En ese contexto hizo su aparición el Método de los Elementos Finitos (MEF ), favorecido por el vertiginoso desarrollo de la computación y destinado a provocar un trascendental impacto en el cálculo estructural y posteriormente en todos los campos de estudio de los medios continuos. Puede afirmarse, sin exagerar, que muchas de las estructuras concebidas en los últimos cuarenta años hubiesen sido impracticables de no contarse con una herramienta de cálculo como lo es el Método de los Elementos Finitos. Para brindar un ejemplo, las estructuras de los aviones de fuselaje ancho solo fueron posibles al poder determinarse los campos de tensiones con gran detalle, lo que condujo a estructuras más confiables y livianas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

233


Como introducción general, puede decirse que el método de los elementos finitos permite obtener la solución de un problema mediante la descomposición del objeto estudiado en un gran número de constituyentes básicos (elementos), los que se interconectan a través de puntos denominados nodos. Esto se basa en el hecho de que es posible determinar numéricamente el comportamiento físico de cada uno de estos elementos, a partir de las ecuaciones propias del problema tratado y de las condiciones de contorno adyacentes. Una vez determinadas las propiedades de cada elemento, éstas son combinadas para posibilitar la representación de la estructura completa y evaluar su comportamiento. La solución del problema provee los desplazamientos de los nodos, y a partir de ellos se determinan las deformaciones y las tensiones del sistema estudiado. Nótese que eso ya fue tratado en un curso anterior donde se ensamblaron estructuras de elementos prismáticos a través de una formulación matricial con el Método de la Rigidez, por lo que puede decirse que el método de los elementos finitos es una evolución o generalización del Cálculo Matricial de Estructuras, e históricamente de hecho lo fue. Inversamente, y desde una óptica general, puede reconocerse a las barras prismáticas como elementos finitos de una sola dimensión. Así ambos, el Método de los Elementos Finitos y el Cálculo Matricial de Estructuras exhiben la cualidad que carecía el método de las Diferencias Finitas: su aplicabilidad sistemática. Como ejemplos se muestran dos modelos de elementos finitos. En la Figura 1 se representan dos piezas deslizantes y en la Figura 2 el modelo de una biela de un motor de combustión interna. Superficie de contacto

Figura 1: Dos piezas deslizantes con superficie de contacto cilíndrica

Figura 2: Modelo de una biela de un motor de combustión interna

Para estudiar las piezas deslizantes de la Figura 1 puede asumirse que la profundidad es muy grande y que basta con representar un corte en un plano transversal de las mismas, por tratarse de lo que es denominado estado plano de tensión. Para ello se utilizan elementos finitos de dos dimensiones, tales como los triángulos y cuadriláteros, en lugar de tener que representar la totalidad del sólido, lo que implica una enorme reducción en la complejidad del modelo. Por el contrario, la biela de la Figura 2 está sometida a condiciones de trabajo que obligan a desarrollar un modelo espacial con elementos 3D que represente fielmente los alojamientos del perno de pistón y cojinete de bancada, reproduzca las irregularidades geométricas que seguramente dan lugar a concentración de tensiones y permita aplicar las condiciones de carga distribuidas sobre superficies de contacto.

2 BREVE RESEÑA HISTÓRICA En realidad, esta forma de abordar un problema físico fue propuesta hace ya varios siglos, pero su efectiva puesta en práctica debió esperar hasta la disponibilidad de las primeras computadoras. Las elevadas exigencias de cálculo inherentes a este enfoque, en especial cuando se trabaja con modelos tridimensionales, restringían su aplicación manual a casos muy simples. No es por lo tanto una coincidencia que el Método de los Elementos Finitos haya comenzado a utilizarse tan pronto se dispuso de computadoras y de lenguajes superiores de programación ( Backus et al., 1956). A partir de allí, la incesante evolución de la tecnología ofreciendo procesadores más rápidos, mayor capacidad de memoria y compiladores más eficientes favoreció la amplia difusión del método de los elementos finitos y la posibilidad de tratar modelos de dimensiones asombrosas. A esto debe sumarse la contribución de la evolución experimentada en otros campos, como son el análisis numérico y la computación gráfica. Mucho más recientemente, el procesamiento paralelo suma un nuevo recurso que tendrá un fuerte impacto, hoy insospechado, en el cálculo estructural y procesos de simulación de los próximos años. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

234


Volviendo a la historia del MEF, se reconocen como precursores a Duncan y Collar, quienes en 1930 presentaron una formulación matricial destinada a resolver problemas aeroelásticos. Ellos mismos fueron luego autores de los primeros dos artículos sobre el tema (Duncan y Collar, 1934 y 1935) y presentaron juntamente con Frazer un libro que introdujo la terminología que es aún hoy utilizada (Frazer, Duncan y Collar, 1938 ). Llegaron luego los aportes de McHenry (1943) y la publicación de una serie de artículos en la que Argyris presentó un enfoque matricial de los métodos de las fuerzas y rigidez que se apoyó en los teoremas energéticos. Argyris también insinuó que su enfoque matricial podría ser extendido más allá de las barras prismáticas, para considerar elementos estructurales de dos y tres dimensiones (Argyris y Kelsey, 1955). A los pocos años Turner (1959) trabajó en un modelo aeroelástico de un ala delta en el que empleó barras y elementos triangulares para representar su recubrimiento, lo que constituyó una de las primeras aplicaciones prácticas del método para la resolución de problemas reales. Además, propuso al método de los desplazamientos como el camino más apropiado para una implementación sistemática y eficiente del nuevo procedimiento de cálculo. Hasta ese momento, la implementación del análisis matricial de estructuras primero y del método de los elementos finitos después daba lugar a dos enfoques posibles según el orden en que se formulaba el problema matemático y en consecuencia cuales eran las incógnitas principales resultantes: desplazamientos o fuerzas. Finalmente, el Método de la Rigidez con los desplazamientos como incógnitas principales demostró ser el más apropiado para su implementación en computadora, tal como lo comprobó Turner, y quedo de hecho establecido. Sin embargo, hubo prestigiosos autores que insistieron por mucho tiempo con las bondades del Método de las Fuerzas (Robinson, 1973) y también quienes propusieron una combinación de desplazamientos y fuerzas como incógnitas principales, reunidas en lo que fue llamado “vector de estado”. Ese último método de incógnitas combinadas, denominado de Matrices de Transferencia, estaba inspirado en la técnica propuesta por Holzer (1921) para el análisis dinámico de cigüeñales, fue extendido por Myklestad (1944) al estudio de vigas en f lexo torsión y posteriormente planteado matricialmente por Pestel y Leckie (1963). Si bien se trata de un método conceptualmente muy interesante, es muy difícil de sistematizar para tratar estructuras de geometría compleja, por lo que fue prácticamente abandonado. El Método de los Elementos Finitos se desarrolló entonces en base a los desplazamientos como incógnitas principales y su nombre “elementos finitos” fue empleado por primera vez por Clough en 1960. Posteriormente, los libros presentados por Przemieniecki (1968) y Zienkiewicz (1967 y 1994) contribuyeron enormemente a la difusión del método en los ámbitos universitarios e industriales. El mismo Zienkiewicz junto a otros autores (Cheung y Taylor) presentó una interpretación amplia del método de los elementos finitos en la que extiende su aplicación a diversos problemas de campos. Naturalmente, lo anterior constituye una reseña histórica muy breve que omite a numerosísimos investigadores que hicieron sustanciales aportes para que el Método de los Elementos Finitos cubra en la actualidad todo el espectro de problemas de la mecánica del continuo, y lo haga eficazmente, convirtiéndose en una herramienta esencial para la ingeniería moderna. Sin embargo, no sería justo terminar esta reseña sin mencionar a los prestigiosos profesores Edgard Wilson y Klaus Bathe, de la Universidad de California, Berkeley. Wilson desarrolló uno de los primeros sistemas integrales para la aplicación práctica del Método de los Elementos Finitos, denominado SAP - Structural Analysis Program, (Wilson, 1970). Posteriormente se incorporó Bathe al grupo de trabajo y con su aporte se completó el proyecto en 1972, denominado SAP IV. Ambos, Bathe y Wilson, desarrollaron luego un nuevo sistema de cálculo denominado NONSAP (Bathe, Wilson e Iding, 1974) que contemplaba materiales no lineales, grandes deformaciones y grandes desplazamientos. También cabe destacar que ambos fueron autores de un libro titulado “Numerical Methods in Finite Element Analysis” (1976) en el que sintetizan sus experiencias y que se convirtió rápidamente en un clásico. El mérito de Bathe y Wilson estuvo tanto en la calidad de sus trabajos como en su distribución gratuita en todo el mundo, incluyendo los programas fuentes, posibilitando que el Método de los Elementos Finitos salga de los ámbitos académicos y se incorpore como herramienta práctica de uso habitual en las oficinas de proyecto de ingeniería. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

235


3 MODELOS DISCRETOS El proceso de resolver un problema de ingeniería a través de una computadora se presenta en el esquema de la Figura 3. Para comenzar, el problema físico debe ser idealizado a través de un modelo conceptual que debe preservar las características esenciales de la realidad y descartar toda otra característica que no tenga incidencia significativa en el caso estudiado. Estas características incluyen el comportamiento de la estructura (desplazamientos grandes o pequeños), tipos de cargas (estáticas o dinámicas), propiedades del material (linealidad, elasticidad, isotropía, etc.), complejidad geométrica (2D, 3D, etc.), condiciones de apoyo (concentradas, distribuidas, etc.) y otras condiciones de trabajo que formen parte del problema (movimientos de apoyos, variación térmica, rozamiento, etc.). La definición correcta de esa etapa es fundamental para entender y delimitar el fenómeno estudiado y puede conducir a dos situaciones extremas: i) modelos incapaces de representar adecuadamente el problema estudiado y ii) modelos innecesariamente complejos. En el primer caso se han ignorado características esenciales en el desarrollo del modelo y éste no será capaz de brindar resultados correctos referidos al problema planteado, con el consiguiente riesgo que esto implica. En el segundo caso ocurre lo contrario, es decir se han preservado características no relevantes y/o un nivel de detalle innecesario, lo que dificulta la determinación de la solución, la hace muy costosa o contribuye a confundir comportamientos importantes con otros que no lo son.

Idealización

Sistema f ísico

Modelo conceptual

Discretización

Modelo matemático

Solución

Modelo discreto

Solución discreta

Errores de la solución

Errores de la discretización y la solución

Errores de la formulación matemática, la discretización y la solución

Errores de la idealización, la formulación matemática, la discretización y la solución

Verificación

Validación Figura 3: Proceso de resolución de un problema de ingeniería

Una vez que está disponible el modelo conceptual se pasa a la segunda etapa, en la que se propone una formulación matemática para resolver el problema físico, que ya ha sido convenientemente delimitado. Para ello, y en el caso de la mecánica del sólido continuo, se recurre a las denominadas ecuaciones fundamentales de la elasticidad: ecuaciones de equilibrio, relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas, las que normalmente conducen a una formulación matemática del problema a través de un sistema de ecuaciones diferenciales. Con el fin de poder alcanzar este modelo matemático es muchas veces necesario simplificar aún más el modelo conceptual y/o definir con claridad su alcance dentro del rango de las variables independientes del problema estudiado. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

236


Tal como fue comentado con anterioridad, el modelo matemático no puede ser planteado en forma integral para dominios de interés práctico, quedando esta posibilidad reservada solo a casos muy simples. Para superar esta dificultad se transforma al modelo matemático en un modelo discreto, ya sea a través de diferencias finitas o a través del método de los elementos finitos. En el primer caso, como fue anticipado, la formulación diferencial es convertida en un sistema de ecuaciones algebraicas al introducir fórmulas de derivación numérica. En el segundo el sólido elástico es descompuesto en elementos simples, aquí es muy importante seleccionar los tipos de elementos apropiados para representar el comportamiento del objeto estudiado. Luego es necesario disponer los elementos formando mallas de elementos, establecer sus condiciones de apoyo y definir las cargas actuantes, todas las cuales deben ser discretizadas en concordancia con los tipos de elementos utilizados. Finalmente, la última etapa corresponde a la obtención de la solución, que normalmente incluye la resolución de un gran sistema de ecuaciones algebraicas que conduce a la determinación de desplazamientos, que son las incógnitas primarias del problema. Posteriormente se obtienen las incógnitas secundarias, representadas por las solicitaciones, reacciones de apoyos, deformaciones y tensiones. En el caso del estudio de la respuesta de estructuras en el dominio del tiempo la solución incluye el cálculo de frecuencias y modos de vibración (autovalores y autovectores) y la integración numérica de sus ecuaciones dinámicas. Nótese que cada una de las etapas tiene características muy particulares y son por si mismas fuentes de errores, todos los cuales contribuyen a desviar los resultados respecto de los que corresponden al problema real. Como se puede comprobar, los errores tienen orígenes diversos y para identificarlos es necesario tener en claro los conceptos de “validación” y “verificación”. La verificación se refiere a la comprobación de que el problema ha sido correctamente resuelto, teniendo esencialmente que ver con su formulación matemática, discretización y resolución numérica. La validación, por el contrario, tiene que ver con que el problema resuelto sea el correcto. Es decir, podría suceder que se haya resuelto correctamente un problema que en realidad no es el problema planteado. El proceso de validación se refiere a la comprobación de que el modelo conceptual estudiado responde al problema físico, es decir que el modelo capta todas las características esenciales de la realidad. En resumen, comprobar que se estudió el problema correcto es el objetivo de la validación y que se alcanzaron las soluciones correctas es el objetivo de la verificación. Una solución incorrecta podría ser consecuencia de: una formulación matemática errónea, una mala discretización, el uso de un algoritmo inapropiado, un error de programación, un problema numérico que condujo a una excesiva propagación de errores, etc. Una vez planteado el proceso tendiente a la obtención de la solución de un problema, la comprobación de su corrección y la identificación de las causas de errores, es oportuno reconocer otro concepto muy vinculado a los problemas y es el de su complejidad. El concepto de complejidad admite diferentes interpretaciones según el punto de vista considerado. Estas son: i ) Complejidad del problema, que es inherente al objeto estudiado, ii ) Complejidad cognitiva, que se refiere al esfuerzo requerido para entender el problema, iii ) Complejidad matemática, que es la naturaleza de la formulación involucrada, iv ) Complejidad algorítmica, que ref leja la dificultad que ofrece el proceso adoptado para alcanzar la solución, v) Complejidad estructural, que es la composición del software usado para implementar los algoritmos y vi ) Complejidad operativa, que es una medida del esfuerzo que demanda alcanzar la solución del problema. Desde un punto de vista informático, intuitivamente se asocia la complejidad operativa con los recursos de cómputo requeridos para resolver un problema, es decir espacio de memoria y tiempo de proceso. Como se comprueba, cualquiera sea la interpretación de complejidad, se trata de un indicador difícilmente cuantificable salvo en el caso de la complejidad operativa, motivo por el cual esta ha sido intensamente estudiada y ha dado lugar a una disciplina denominada Teoría de la Complejidad Computacional. A partir de sus indicadores, y bajo ciertas precauciones que aseguren que sus valores puedan ser comparables, se los utiliza para evaluar otras interpretaciones de la complejidad, como la matemática y la algorítmica. Los indicadores de complejidad operativa, el espacio de memoria y tiempo de proceso, son los factores que impidieron la utilización de los elementos finitos hasta que se dispuso de medios automáticos de cálculo con capacidades acordes a los requerimientos de los problemas de interés práctico. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

237


4 PUNTOS DE VISTA EN EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Como ya fue mencionado, la idea general del método de los elementos finitos es la división de un dominio continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos, donde las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del dominio completo gobiernan también el de cada uno de los elementos. Ese proceso de discretización permite pasar de un sistema continuo de infinitos grados de libertad, que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema discreto con un número de grados de libertad finito y cuyo comportamiento se representa por un sistema de ecuaciones algebraicas, que pueden ser lineales o no. A partir de esta descripción general se advierte que el estudio del método de los Elementos Finitos puede ser abordado con diferentes objetivos desde tres diferentes puntos de vista que se describen a continuación.

4.1 Utilización de sistemas en la resolución de problemas de ingeniería Existen sistemas de cálculo generales que son aptos para abordar los más diversos tipos de problemas y hay también otros más específicos, destinados a resolver problemas particulares. Los sistemas generales prevén el análisis estático y dinámico de estructuras, la determinación de desplazamientos, solicitaciones y tensiones. Es decir se trata de sistemas destinados al análisis de estructuras. Por el contrario, los sistemas específicos incluyen también opciones de diseño estructural según las previsiones de normas e incluyen verificación del cumplimiento de las mismas. Además, disponen de elementos específicos, facilidades para las definiciones de las condiciones de carga y la emisión de los correspondientes diagnósticos. Pueden citarse como ejemplos los sistemas de análisis y diseño de torres metálicas y los de cañerías. Los sistemas de Elementos Finitos, ya sean generales o específicos, se han convertido en una herramienta insustituible para el ingeniero y su utilización exige un profundo conocimiento de las facilidades de cálculo disponibles, sus alcances y limitaciones. En efecto, es necesario poder seleccionar los elementos más apropiados para cada caso, establecer los apoyos, definir las condiciones de carga y finalmente interpretar los resultados. Para esto último se dispone normalmente de facilidades para su representación gráfica.

4.2 Desarrollo de sistemas de cálculo A pesar de la gran oferta de sistemas de análisis estructural de variado alcance, no debe descartarse la posibilidad de tener que desarrollar un sistema específico para estudiar problemas particulares. En estos casos se restringe la generalidad del sistema con el fin de abordar en análisis y diseño de estructuras especiales que deben responder a normas particulares. Aquí debe tenerse en cuenta que el desarrollo de sistemas requiere un profundo conocimiento de tres disciplinas básicas; que son: i ) el cálculo estructural, ii ) el análisis numérico y iii ) la programación de computadoras. Aún a pesar de la ya mencionada disponibilidad de variados sistemas de análisis y diseño estructural, el desarrollo de nuevos sistemas, en muchos casos de dimensiones reducidas, también se justifica ampliamente en ámbitos universitarios y de investigación por brindar la oportunidad de conocer el problema en profundidad y desarrollar aptitudes para la obtención de mejores rendimientos a través del mejor aprovechamiento de los recursos tecnológicos disponibles. El aprovechamiento efectivo del procesamiento paralelo sirve de ejemplo en este sentido.

4.3 Desarrollo de nuevos elementos Un dominio es discretizado a través de elementos que deben ser seleccionados según las características y propiedades que se desea preservar en el modelo. Para ello debe disponerse de una amplia variedad de elementos y su desarrollo constituyó un activo campo de investigación durante muchos años. En la actualidad se busca desarrollar nuevos elementos que mejoren el comportamiento de elementos existentes, ya sea porque conducen a la obtención de resultados similares con modelos más simples o porque permiten mejorar la calidad de los mismos. También se trabaja en el desarrollo de elementos para tratar problemas muy especiales, como son el caso de la propagación de grietas, representación de materiales compuestos, análisis plástico, no lineal, etc. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

238


5 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) En las secciones anteriores se ha descripto la idea general de dividir un dominio continúo en un conjunto discreto de subdominios interconectados. Como ejemplo en la Figura 4 se muestra el caso de una planchuela plana cargada en su plano que se aprovecha para definir la terminología de uso habitual en el tratamiento de este tema: Elementos: subdominios elementales continuos que son tratados mediante las ecuaciones de la elasticidad y utilizados para representar el objeto de estudio. Nodos: Puntos característicos en función de los cuales se definen las propiedades elásticas de los elementos y permiten vincular diferentes elementos entre sí. Mallas: Ensamble de elementos destinado a reproducir un cierto medio continuo a través de un modelo discreto. Grados de libertad de un nodo: Número mínimo de parámetros necesarios para definir completamente la posición de un nodo. Grados de libertad de un elemento: Cantidad de parámetros a través de los cuales se expresan las propiedades elásticas de un elemento, lo que significa que es el orden de su matriz de rigidez. Grados de libertad de un modelo discreto: Total de grados de libertad de los nodos de una malla de elementos menos los grados de libertad que están restringidos por condiciones de apoyo, ya sean fijos o de movimientos predefinidos. Representa el orden de la matriz de rigidez de la estructura. Condición de carga: Conjunto de acciones aplicadas sobre el objeto estudiado. a)

b)

Discretización

Objeto estudiado Modelo discreto Figura 4: Dominio plano y su modelo discreto

A título de ejemplo, la planchuela de la Figura 4 da lugar a un estado plano de tensión, por lo que cada nodo tiene dos grados de libertad (desplazamientos en dos direcciones ortogonales) y los elementos triángulo empleados en el modelo tienen seis grados de libertad cada uno. El modelo tiene un total de 31 nodos y 56 grados de libertad (31 x 2 – 3 x 2 = 56), con una malla formada por 43 elementos del mismo tipo. Nótese que los elementos han sido dispuestos de manera de reproducir el contorno del dominio de la mejor manera posible, lo que obviamente depende de la cantidad de elementos utilizados. El mejor modelo será el más simple que permita obtener resultados correctos, con errores máximos acordes a los objetivos planteados para el análisis.

5.1 Funciones de aproximación Un término adicional que debe ser introducido es el de función de desplazamiento o de aproximación, que se refiere a la función adoptada para representar el comportamiento de los desplazamientos dentro de cada tipo de elemento. Su importancia reside en que el MEF es implementado a través del método de la rigidez, con los desplazamientos de los nodos como incógnitas principales, y las distribuciones de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el interior de los elementos dependerá de los valores resultantes de los desplazamientos de los nodos y de la función de aproximación adoptada en la formulación del método. Por tal motivo, es necesario disponer de una expresión que permita conocer los desplazamientos de cualquier punto del elemento a partir de su posición y de los desplazamientos de los nodos que lo definen. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

239


Para esas funciones de aproximación se utilizan normalmente polinomios, que ofrecen dos ventajas importantes: i ) son fáciles de manipular matemáticamente; evaluar, derivar, integrar, etc. y ii ) a medida que aumenta el grado del polinomio la solución converge asintóticamente a la del medio continuo representado, lo que implica que un polinomio de grado infinito permitiría obtener una solución exacta. Las funciones de aproximación polinomial de grado “n” para el problema de dos dimensiones del ejemplo de la Figura 4 responden a las siguientes expresiones:

u1 ( x1, x2 )

2

2

n

n

2

2

n

n

D10 D11 x1 D12 x2 D13 x1 x2 D14 x1 D15 x2 " D1( m 1) x1 D1m x2

(1)

u2 ( x1, x2 ) D 20 D 21 x1 D 22 x2 D 23 x1 x2 D 24 x1 D 25 x2 " D 2( m 1) x1 D 2 m x2

Las consideraciones expuestas conducen a pensar en la conveniencia de adoptar polinomios de grado elevado. Sin embargo, al aumentar el grado “n” de los polinomios aumenta también la cantidad de constantes Dik (i = 1, 2.. ; k = 0, 1.., m) que son necesarias para su definición, y estas constantes deben obtenerse a partir de las incógnitas principales del problema, es decir los desplazamientos de los nodos incluidos en el elemento. Esto significa que los elementos deben contener una cantidad de nodos acorde al grado de la función de aproximación, de manera de hacer posible la determinación de esos coeficientes. En conclusión, aumentar el grado de la función de aproximación mejora la calidad de la solución y a la vez aumenta el número de nodos y grados de libertad de los elementos, lo que conduce a modelos más complejos, por lo que es necesario encontrar una solución de compromiso. Para ilustrar el tema se presenta a continuación un ejemplo con un caso muy simple. Ejemplo 1 En la ecuación (2) se adopta una función de aproximación lineal para un elemento triángulo plano mostrado en la Figura 5 (similar a los utilizados en el modelo de la Figura 4) y se desea expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio en función de los desplazamientos de los nodos.

p

D10 D11 x1 D12 x2

p 2

D 20 D 21 x D 22 x

u1 ( x1 , x2 )

p

p

(2)

u ( x1 , x2 )

p 1

p 2

Figura 5: Elemento triángulo plano y sus funciones de aproximación lineal

Nótese que en la definición de los símbolos que representan las posiciones y desplazamientos de los nodos el subíndice define la dirección y el supraíndice define el punto considerado. Las expresiones (2) son aplicables en todos los puntos del dominio y por lo tanto pueden aplicarse a los vértices del triángulo, cuyos desplazamientos son conocidos. Se obtiene así el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

punto

udirección

° ® ° ¯

u1i ( x1 , x2 )

D10 D11 x1i D12 x2i

j

j

j

u1 ( x1 , x2 ) D 10 D 11 x1 D 12 x2

u1k ( x1 , x2 )

D10 D11 x1k D12 x2k

u2i ( x1 , x2 ) j

D 20 D 21 x1i D 22 x2i j

j

u 2 ( x1 , x2 ) D 20 D 21 x1 D 22 x 2 u2k ( x1 , x2 )

(3)

D 20 D 21 x1k D 22 x2k

Estas ecuaciones son expresadas en forma matricial y reordenadas en (4), de manera de expresar a las incógnitas en función de los desplazamientos de los nodos y sus posiciones. Las incógnitas del problema son los coeficientes D ik que definen las funciones de aproximación (2). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

240


D10 °D ° 11 °° D12 ® ° D 20 ° D 21 ° °¯ D 22

ª « « « « « « « «¬

½ ° ° °° ¾ ° ° ° °¿

1 0 1 0 1 0

x1i

x2i

0 x1j 0

0 x2j 0

x1k

x2k

0

0

0 1 0 1 0 1

0 x1i 0 x1j 0 x1k

0 x2i 0 x2j 0 x2k

º » » » » » » » »¼

-1

° ° °° ® ° ° ° °¯

u1i ½

° ° °° ¾ ° u1k ° ° u2k °¿ u2i u1j u2j

(4)

En forma resumida (4) puede presentarse como

^D ` > X @ ^ u ` -1

(5)

donde la matriz “X ” está compuesta por las posiciones de los vértices del triángulo. Tal como fue planteada, la determinación de los coeficientes “D ” involucra la inversión de “X ”, cuyo orden es igual a la cantidad de grados de libertad del elemento, y estos coeficientes permiten conocer los desplazamientos de cualquier punto del dominio según lo expresa (2).

5.2 Funciones de aproximación en coordenadas triangulares La necesidad de invertir la matriz “X ”, una operación matricial que normalmente se desea evitar, llevó a explorar alternativas para definir las funciones de aproximación de manera más directa. Algunas de ellas son muy ingeniosas, y para el caso de elementos triangulares se propuso hacerlo a través de coordenadas triangulares, que se definen a continuación.

Figura 6: Elemento triángulo plano. Simbología utilizada en coordenadas triangulares

Los nodos del triángulo son identificados como “i”, “j”, “k”, ordenados en un cierto sentido, en este caso antihorario. A su vez, se asigna la misma denominación a los lados opuestos de los nodos, mostrados en la Figura 6 entre paréntesis. Por último, las componentes horizontal y vertical de cada uno de los lados del triángulo son identificados con la letra “a”, donde el subíndice corresponde a la dirección y el supraíndice el lado correspondiente. Así, todos los lados del triángulo quedan definidos por las siguientes componentes: lado

a dirección

° ® ° ¯

i

a1 i

a2

k

j

k

j

x1 x1 ; x2 x2 ;

j

a1

j

a2

i

k

i

k

k

x1 x1 ;

a1

k

x2 x2 ;

a2

j

i

j

i

x1 x1 (6)

x2 x2

Nótese que todo punto arbitrario “p” perteneciente al dominio define sobre el triángulo tres zonas, cuyas áreas son identificadas como Ai , Aj y Ak , siendo Ai +Aj +Ak = A el área total del triángulo. A partir de los valores de estas áreas se definen las llamadas coordenadas triangulares, que son las siguientes: Ai Aj Ak (7) ] i ( x1 , x2 ) , ] j ( x1 , x2 ) , ] k ( x1 , x2 ) A A A

y de acuerdo a como están definidas, no se trata de tres coordenadas independientes ya que ] i ( x1 , x2 ) ] j ( x1 , x2 ) ] k ( x1 , x2 ) Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

241

1

(8)


Disponiendo de estas coordenadas triangulares, se pueden emplear para definir funciones de aproximación destinadas a expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio a partir de los desplazamientos de sus vértices (nodos). u1 ( x1 , x2 )

u1i ] i ( x1 , x2 ) u1j ] j ( x1 , x2 ) u1k ] k ( x1 , x2 )

u2 ( x1 , x2 )

u2i ] i ( x1 , x2 ) u2j ] j ( x1 , x2 ) u2k ] k ( x1 , x2 )

(9)

Es decir que, en lugar de definir los desplazamientos en función de los coeficientes “D ” de las expresiones (2) y (4), se lo hace con las expresiones (9) y para ello se deben determinar las coordenadas ] i. Eso se hace a través del algebra vectorial, tal como se muestra a continuación: G JG JG t1 t2 t3 JJG JJG 1 ( jk u jp ) 1 (10)-a a1i a2i 0 o Ai ( x1 , x2 ) 12 ª¬( x1j x1 ) a2i ( x2j x2 ) a1i º¼ 2 2 j j x1 x1 x2 x2 0 JG JJG 1 (ki u kp ) 2

G t1 1 a1j 2 x1 x1k

JG t2 a2j x2 x2k

JG t3 0 0

JG JG 1 ( ij u ip ) 2

G t1 1 ak 1 2 x1 x1i

JG t2 a2k x2 x2i

JG t3 0 0

similarmente:

JG JG

1 ( ij u ik ) 2

G t1 1 ak 1 2 a1j

o Aj ( x1 , x2 )

1 ª( x k x ) a j ( x k x ) a j º 1 2 2 2 1 ¼ 2¬ 1

(10)-b

o Ak ( x1 , x2 )

1 ª( xi x ) a k ( xi x ) a k º 2 2 1 ¼ 2¬ 1 1 2

(10)-c

JG t2 a2k a2j

JJG t3 0 0

o

A

1 ªa j ak a j ak º 2 1 ¼ 2 ¬ 1 2

(10)-d

Reemplazando (10) en (7) se obtienen las expresiones específicas para las coordenadas triangulares que permiten definir las funciones de aproximación (9).

] i ( x1 , x2 ) ] j ( x1 , x2 ) ] k ( x1 , x2 )

Ai A Aj A Ak A

( x1j x1 ) a2i ( x2j x2 ) a1i 2A k j ( x1 x1 ) a2 ( x2k x2 ) a1j 2A i k ( x1 x1 ) a2 ( x2i x2 ) a1k 2A

(11)

Ejemplo 2 Se propone expresar en coordenadas triangulares varios puntos característicos mostrados en el triángulo representado en la Figura 7: punto “A” centro de gravedad del elemento, y los puntos medios de los lados, puntos “B”, “C ” y “D”. P ( i , j , k ) A ( B ( 0, ½ , ½) C (½ , 0 , ½) D ( ½, ½, 0 ) Figura 7: Identificación de posiciones de puntos usando coordenadas triangulares

Tal como fue expresado en la ecuación (8), no se trata de coordenadas independientes ya que definen las posiciones de puntos en el plano a través de tres parámetros. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

242


5.3 Funciones de aproximación y condiciones de convergencia Se ha demostrado que las propiedades de rigidez de una estructura obtenidas a través del MEF son mayores que las que corresponden a la solución exacta, lo que equivale a decir que los verdaderos desplazamientos representan un límite superior para los que puedan obtenerse a través de diferentes modelos discretos. En estas condiciones, es de esperarse que los desplazamientos brindados por los diferentes modelos se aproximen asintóticamente, y en forma creciente, a los valores reales a medida que crece la cantidad de elementos (y grados de libertad). Sin embargo, para asegurar esta tendencia asintótica las funciones de aproximación de los desplazamientos deben cumplir tres condiciones básicas: i ) ser continuas dentro del dominio y que los desplazamientos de elementos adyacentes sean compatibles en los bordes. ii ) incluir el movimiento del sólido como un cuerpo rígido, condición en que todas las deformaciones deben ser nulas. iii) permitir la representación de condiciones de deformación constante. Se dice que las formulaciones de las funciones de aproximación que cumplen la condición i ) son “compatibles” y las que satisfacen las condiciones ii ) y iii ) son “completas”. Sin embargo, a pesar de que las tres condiciones son suficientes para asegurar convergencia, se ha comprobado que con solo cumplir la tercera condición se pueden obtener resultados prácticos aceptables. Más específicamente, muchos elementos que no cumplen con el primer criterio, es decir que sus funciones de aproximación son completas pero no compatibles, han sido ampliamente utilizados con éxito. Los problemas que presentan los elementos no compatibles son esencialmente dos: a) no se puede asegurar que su rigidez se encontrará siempre por encima de los valores atribuidos a la solución exacta y b) el proceso de convergencia hacia la solución exacta puede no existir o ser muy lento.

5.4 Consideraciones energéticas Como es sabido, la energía potencial total 3 de un sólido elástico es la suma de su energía interna de deformación W y la energía potencial de las fuerzas exteriores U: 3

W U

(12)

donde la energía interna de deformación W se obtiene integrando la densidad de energía de deformación en todo el volumen y el potencial U incluye la acción de fuerzas másicas y fuerzas de superficie. Se obtiene así: GG GG (13) 3 ³ Z dV ³ F u dV ³ f u ds V

V

S

El teorema de la Mínima Energía Potencial Total establece que, de todos los campos de desplazamientos que cumplen con las condiciones geométricas de contorno, aquel que hace estacionario a 3 corresponde a un estado de equilibrio. Más aun, se puede demostrar que en una condición de equilibrio estable la energía potencial total de un sólido elástico no solo es estacionaria sino que es mínima. Luego, se asegura el equilibrio de un sólido elástico a partir de imponer las condiciones de que las derivadas de 3 con respecto a los desplazamientos de los nodos sean nulas: w3 w uk

0

(14)

Aquí cabe reconocer que, si la condición de equilibrio requiere un mínimo absoluto de la energía potencial total, un modelo discreto con funciones de desplazamientos aproximadas siempre tendrá un valor de 3 que será superior al del sólido continuo. Podría esperarse que este valor tienda al mínimo absoluto a medida que la cantidad de grados de libertad del modelo crece, pero para ello es necesario que las funciones de aproximación de los desplazamientos cumplan con las condiciones de convergencia ya establecidas en el punto anterior. De lo contrario, la condición de energía potencial total mínima nunca podrá ser alcanzada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

243


6 DESARROLLO DE UN ELEMENTO BÁSICO DE DOS DIMENSIONES (TTC ) Para mostrar la forma en que se define un elemento finito para obtener la expresión de su matriz de rigidez se estudia un triángulo destinado a representar un estado plano de tensión. Para ello se comienza adoptando la función de aproximación de los desplazamientos, y en este caso se opta por la forma más simple: una función lineal, tal como la que fue estudiada a través de las coordenadas triangulares y fue expresada en (9). El elemento seleccionado tiene un espesor “h”, su área es “A”, está sometido a la acción de fuerzas másicas constantes en el interior del dominio y no tiene cargas de superficie. Se recuerdan ahora las ecuaciones fundamentales para el estudio del comportamiento de sólidos elásticos: i ) equilibrio, ii ) constitutivas y iii ) cinemáticas. Estas ecuaciones son presentadas a continuación para el caso en que las tensiones normales al plano del elemento son nulas, lo que corresponde a un estado plano de tensión: i) Ecuaciones de Equilibrio:

wV 11 wV 21 F1 wx1 wx2

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ ° ° ¯V 12 ¿

ii) Ecuaciones Constitutivas:

iii) Ecuaciones Cinemáticas:

H11

0

ª1 E « Q 1 Q 2 « «0 ¬

wu1 ; wx1

H 22

wV 12 wV 22 F2 wx1 wx2

;

Q 1 0

wu2 ; wx2

0 º » 0 » 1 Q »¼

H12

0

H11 ½ ° ° ®H 22 ¾ ° ° ¯H12 ¿

1 ª wu1 + wu2 º 2 « wx wx1 »¼ ¬ 2

(15)

(16)

(17)

6.1 Deformaciones en función de la distribución de desplazamientos Como ya fue mencionado, para los desplazamientos del elemento triángulo se han propuesto las funciones de aproximación lineal expresadas en coordenadas triangulares dadas en (9). Para comenzar el desarrollo del elemento es necesario expresar las deformaciones (17) en función de los desplazamientos propuestas en (9).

H11

wu1 wx1

wu1 w] i wu1 w] j wu1 w] k w] i wx1 w] j wx1 w] k wx1

H 22

wu2 wx2

wu2 w] i wu2 w] j wu2 w] k w] i wx2 w] j wx2 w] k wx2

H12

1 ª wu1 wu2 º « » 2 ¬ wx2 wx1 ¼

(18)

1 ª wu1 w] i wu1 w] j wu1 w] k wu2 w] i wu2 w] j wu2 w] k º « » 2 ¬« w] i wx2 w] j wx2 w] k wx2 w] i wx1 w] j wx1 w] k wx1 »¼

Derivando los desplazamientos u dados en (9) con respecto a las variables ] y derivando las coordenadas ] dadas en (11) con respecto a las coordenadas cartesianas x se obtiene (en notación indicial):

H11

(u1i a2i u1j a2j u1k a2k ) / (2 A)

H 22

(u2i a1i u2j a1j u2k a1k ) / (2 A)

H12

Deformaciones específicas

1 ª(u i a i u j a j u k a k ) (u i a i u j a j u k a k ) º / (2 A) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ¼ 2¬ 1 1

H11 ° ° ® H 22 ° ° H12 ¯

u1m a2m / (2 A) u2m a1m / (2 A)

(19)

(u1m a1m u2m a2m ) / (4 A)

Es importante notar que los valores de las deformaciones obtenidas (19) son independientes de las coordenadas del punto considerado, es decir que las deformaciones tienen un valor constante en todo el interior del elemento. Esto es consecuencia del tipo de función de aproximación usada, en este caso lineal. Además, de acuerdo a las ecuaciones constitutivas (16) también serán constantes las tensiones en el interior del dominio. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

244


Si se fijan valores arbitrarios a las deformaciones H 11, H 22 y H12 debería ser posible despejar de las ecuaciones (19) los valores de los desplazamientos que producen tales deformaciones. Pero, por ser tres las deformaciones y seis los desplazamientos existen infinitos juegos de desplazamientos capaces de cumplir tales condiciones. La indeterminación de los desplazamientos es de grado tres y para ser superada deben fijarse las componentes del desplazamiento del cuerpo rígido en el plano. También es importante observar que las funciones de aproximación propuestas para los desplazamientos son continuas en los límites entre elementos vecinos para cualquier conjunto de valores de desplazamientos nodales. Por el contrario, las deformaciones son constantes en cada elemento y presentarán una discontinuidad en la frontera entre ellos.

6.2 Energía de deformación La energía interna de deformación dada en (20) para el caso de un sólido linealmente elástico expresa en notación indicial una suma de nueve términos

1 V H dV , 2 V³ ij ij

W

(20)

que se reduce a tres en el caso en que una de las tensiones es nula. Se integra sobre el área por tratarse de un elemento de espesor “h” constante: (21) Wn 1 ³ V 11 H11 V 22 H 22 2V 12 H12 h dA 2 A

Reemplazando las tensiones en función de las deformaciones usando las ecuaciones constitutivas (16) se tiene: Wn

E 2(1 Q 2 )

³ [H

2 11

H 22 2 2 Q H11H 22 2 (1 Q ) H12 2 ] h dA

(22)

A

e integrando sobre toda el área del triángulo se obtiene una expresión aproximada para la energía elástica de deformación. Como ya fue mencionado, y a raíz del tipo de función de aproximación utilizada para expresar los desplazamientos, las deformaciones (16) son constantes para todo el dominio. hE A (23) Wn [H112 H 22 2 2 Q H11 H 22 2(1 Q ) H12 2 ] 2 2 (1 Q )

6.3 Potencial de las cargas exteriores El potencial de las cargas exteriores se compone de un término que proviene de las fuerzas másicas por unidad de volumen (en este caso por unidad de área) y de otro que corresponde a las fuerzas de contorno por unidad de superficie (en este caso por unidad del perímetro). Se tiene entonces: ³ F1 u1 F2 u2 dA v³ f1 u1 f 2 u2 dS

Un

A

(24)

S

Considerando que son constantes las fuerzas másicas en el interior del triángulo y que son nulas las fuerzas de superficie sobre su contorno, resulta: Un

F1 ³ u1i ] i u1j ] j u1k ] k dA F2 ³ u2i ] i u2j ] j u2k ] k dA A

(25)

A

Puede además demostrarse que:

³]

1

³]

dA

A

2

dA

A

³]

3

A 3

dA

A

(26)

Con lo que, una vez integrada la expresión (25) se obtiene:

Un

F1 A 3

u


i 1

u1j u1k

245

F2 A 3

u

i 2

u2j u2k

(27)


6.4 Mínima energía potencial total Cuando un dominio continuo es representado por un modelo discreto compuesto por cierto número de elementos, su potencial total resulta de sumar las contribuciones de las energías internas de deformación y los potenciales de las cargas exteriores de cada uno de ellos. 3

n

n

k 1

k 1

¦Wk ¦U k

W U

(28)

Considerando en particular la contribución de un dado elemento a la energía potencial total y aplicando el teorema que establece que esta energía será mínima cuando el sistema esté en equilibrio, se pueden establecer dos ecuaciones de equilibrio para cada uno de los grados de libertad:

w3 wu1i w3 wu2i

0 ;

w3 wu1j

0 ;

w3 wu2j

0 ;

w3 wu1k

0

0 ;

w3 wu2k

0

(29)

A modo de ejemplo, las dos ecuaciones que corresponden al nudo “i ” en las direcciones “x1” y “x2” se desarrollan a continuación:

§ wH11 wH 22 wH wH wH · wU Q H11 22i Q H 22 11i 2(1 Q ) H12 12i ¸ i ¨ H11 i H 22 i wu1 wu1 wu1 wu1 wu1 ¹ wu1 ©

w3 wu1i

hE A 1 Q 2

w3 wu2i

wH wH wH wH · wU h E A § wH11 H 22 22i Q H11 22i Q H 22 11i 2(1 Q ) H12 12i ¸ i H i 2 ¨ 11 wu2 wu2 wu2 wu2 wu2 ¹ wu2 1 Q ©

(30)

A partir de las ecuaciones (19) se deduce que: wH11 wu1i wH11 wu2i

a2i , 2A

0 ,

wH 22 wu1i

0 ,

wH12 wu1i

a1i 4A

wH 22 wu2i

a1i , 2A

wH12 wu2i

ai 2 4A

(31)

Introduciendo las ecuaciones (31) junto con las derivadas de (27) en las ecuaciones (30) y luego reemplazando en las (29) se tiene:

siendo:

w3 wu1i

D ª¬ u1m ( a2m a2i E a1m a1i ) u2m (Q a1m a2i E a2m a1i ) º¼

AF1 3

0

w3 wu2i

AF2 D ª¬ u (Q a a E a a ) u ( a a E a a ) º¼ 3

0

m 1

m 2

D

i 1

m i 1 2

m 2

Eh ; 4 A (1 Q 2 )

m i 1 1

E=

m i 2 2

1 Q 2

(32)

(33)

donde E y Q representan propiedades del material, h y A propiedades geométricas del elemento y los coeficientes a son las componentes cartesianas de los lados del triángulo definidas en (19). De la misma forma se obtienen las expresiones que corresponden a los restantes nodos “j ” y “k”, totalizando seis ecuaciones de equilibrio. Los factores que multiplican a los desplazamientos nodales en estas ecuaciones de equilibrio pueden ser interpretados como coeficientes de rigidez del elemento triangular “i-j-k”, con un sentido similar al de los coeficientes de rigidez de los elementos prismáticos (barras), que establecen una relación entre los desplazamientos de los nodos y las fuerzas sobre los mismos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

246


6.5 Matriz de rigidez del elemento triángulo Agrupando los factores de los desplazamientos de los nodos y expresando las ecuaciones de equilibrio del tipo (32) en forma matricial se tiene: ª « « « « « « « « « « ¬

kii11

kii12

kij11

kij12

kik11

kii21

kii22

kij21

kij22

kik21

k 11ji

k 12ji

k 11jj

k 12jj

k 11jk

k 21 ji

k 22 ji

k 21 jj

k 22 jj

k 21 jk

kki11

kki12

kkj11

kkj12

kkk11

kki21

kki22

kkj21

kkj22

kkk21

kik12 º » kik22 » » k 12jk » » » k 22 jk » kkk12 » » kkk22 »¼

u1i ° ° u2i ° °° u1j ® j ° u2 ° k ° u1 ° k ¯° u2

½ ° ° ° °° ¾ ° ° ° ° ¿°

F1i ° ° F2i ° j A °° F1 ® 3 ° F2j ° k ° F1 ° k ¯° F2

½ ° ° ° °° ¾ ° ° ° ° ¿°

(34)

donde queda definida la matriz de rigidez de un elemento triangular de espesor constante donde los desplazamientos en el interior del dominio son proporcionales a los desplazamientos de los nodos. Al igual que en el caso de barras prismáticas, la matriz de rigidez es simétrica. Además, para un conjunto de elementos triangulares la matriz de rigidez global del dominio se ensambla en forma similar a la de un sistema de barras prismáticas, solo que considerando que ahora cada elemento vincula entre sí tres nodos en lugar de dos. En el caso del Triángulo de Tensión Constante (TTC) los elementos de la matriz de rigidez responden a las ecuaciones: 11 kim

D ( a2m a2i E a1m a1i )

12 kim

D (Q a1m a2i E a2m a1i ) (35)

k

21 im

D (Q a a E a a m 2

i 1

m 1

i 2

)

k

D (a a E a a m 1

22 im

i 1

m 2

i 2

)

donde y están dadas en (33) y los coeficientes a son las componentes cartesianas de los lados del triángulo definidas en (6). Ejemplo 3 Se determinan los coeficientes de la partición “4-4” de la matriz de rigidez del TTC mostrado en la Figura 8.

K

11 ª k33 « 21 « k33 « 11 « k43 « 21 « k43 « 11 « k53 « k 21 ¬ 53

12 k33

11 k34

12 k34

11 k35

k3322

k3421

k3422

k3521

12 k43

11 k44

12 k44

11 k45

k4322

k4421

k4422

k4521

12 k53

11 k54

12 k54

11 k55

k5322

k5421

k5422

k5521

12 º k35 » 22 k35 » » 12 k45 » 22 » k45 » 12 » k55 » k5522 »¼

Figura 8: Elemento triángulo de tensión constante 11 k44

D [a24 a24 E a14 a14 ]

D [(80) 2 (60) 2 E ]

12 k44

D [a14 a24Q E a24 a14 ]

D [(60) (80) Q (80) (60) E ]

k4421

D [a24 a14Q E a14 a24 ]

D [(80) (60) Q (60) (80) E ]

k4422

D [a14 a14 E a24 a24 ]

(36)


D [(60) 2 (80) 2 E ]

247


7 OTROS ELEMENTOS DE USO CORRIENTE En la sección anterior se presentó detalladamente la formulación de un elemento básico muy simple (el TTC). A continuación se describen sucintamente elementos más sofisticados tales como: i) triángulo y cuadrilátero de tensión lineal y cuadrática para estados planos de tensión y deformación; ii) tetraedro de tensión constante y prisma rectangular para estados tridimensionales de tensión; iii) elementos isoparamétricos; iv) elementos axilsimétricos; v) bandas finitas y; vi) una librería de elementos finitos de un software comercial.

7.1 Estados planos de tensión y deformación El Triángulo de Tensión Constante desarrollado en detalle en el punto anterior es de gran utilidad práctica y su implementación en programas de cálculo es relativamente sencilla. Sin embargo, en muchos casos y para obtener un grado aceptable de aproximación deben emplearse mallas muy densas, compuestas por un elevado número de elementos. Como alternativa puede emplearse un número menor de elementos triángulo, desarrollados a partir de funciones de aproximación de grado más elevado, como cuadráticas o cúbicas, y también elementos cuadriláteros con estas mismas funciones. 7.1.1 Triángulos de tensión lineal y cuadrática Como mejora del Triángulo de Tensión Constante aparece el Triángulo de Tensión Lineal (TTL), en el que se introducen polinomios de segundo grado para expresar los desplazamientos en las dos direcciones ortogonales, u1 y u2, tales como:

u1

a10 a11 x1 a12 x2 a13 x1 a14 x2 a15 x1 x2

u2

a20 a21 x1 a22 x2 a23 x1 a24 x2 a25 x1 x2

2

2

2

2

(37)

Con el fin de satisfacer continuidad de los desplazamientos en los límites entre elementos se debe introducir un nudo intermedio en cada lado del triángulo, que por simplicidad es ubicado en los puntos medios como muestra la Figura 9-a. Tal como ocurrió en el caso del Triángulo de Tensión Constante, se puede facilitar el desarrollo empleando coordenadas triangulares para expresar las funciones de aproximación de desplazamientos. En este caso se tiene: u1 ( x1 , x2 ) u1i ] i (2] i 1) u1j ] j (2] j 1) u1k ] k (2] k 1) 4 u1A ] i] j 4 u1m ] j] k 4 u1n ] k ] i u2 ( x1 , x2 ) u2i ] i (2] i 1) u2j ] j (2] j 1) u2k ] k (2] k 1) 4 u2A ] i] j 4 u2m ] j] k 4 u2n ] k ] i

(38)

Por un procedimiento enteramente similar al seguido en la Sección 6, se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio y obtener la matriz de rigidez asociada a un Triángulo de Tensión Lineal, identificado como TTL.

a)

b)

Figura 9: Triángulos de tensión lineal y cuadrática

Una nueva mejora en el elemento triángulo puede introducirse adoptando funciones de aproximación cúbicas, lo que conduce a que las funciones de deformación y tensión sean cuadráticas. Para satisfacer la continuidad de los desplazamientos en los bordes de los elementos aquí es necesario definir dos puntos intermedios sobre cada lado del triángulo, tal como muestra la Figura 9-b. Se observa que al aumentar el grado de la función de aproximación se hace necesario aumentar el número de nudos necesarios para definir cada elemento, y consecuentemente aumentan sus grados de libertad, lo que queda reflejado en la Tabla 1 que se presenta a continuación. En ella se muestra para las funciones de aproximación lineal, cuadrática y cúbica: i) el grado de la función de deformación que corresponde a cada una, ii ) la cantidad de nodos necesarios para definir el elemento y iii ) la cantidad de grados de libertad. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

248


Tabla 1: Grado de las funciones, cantidad de nudos y de grados de libertad en elementos triángulo

Función de aproximación

Grado de la función de deformación

Cantidad de nodos

Grados de libertad

Lineal

Constante

3

6

Cuadrática

Lineal

6

12

Cúbica

Cuadrática

9

18

El uso de elementos más sofisticados, en este caso con una mejor función de aproximación, reduce la cantidad de elementos necesarios para definir un cierto modelo, pero como se desprende de la tabla anterior no necesariamente reduce la cantidad total de grados de libertad involucrados o por lo menos no lo hace en la misma proporción. En efecto, el uso de elementos más sofisticados, y por lo tanto la reducción de la cantidad de elementos, no tiene normalmente por finalidad disminuir los grados de libertad del modelo sino más bien facilitar la definición de los datos, mejorar la calidad de la solución y facilitar la interpretación de los resultados. Puede también darse el caso de que estos mejores elementos sean indispensables para una adecuada representación del fenómeno físico estudiado. 7.1.2 Cuadriláteros Los elementos cuadrilátero son de gran utilidad práctica. Su forma arbitraria les permite adaptarse a dominios de forma irregular y presentan sobre los triángulos la ventaja de que el número de elementos del modelo se reduce significativamente, lo que simplifica la tarea de preparación de los datos. Al igual que lo ya visto para el caso de los triángulos, pueden generarse para el cuadrilátero innumerables funciones de aproximación, desde algunas muy sencillas hasta otras muy sofisticadas. La forma más simple de formar un cuadrilátero es adjuntando dos triángulos de tensión constante ( Figura 10-a y 10-b) y para ello basta con superponer las correspondientes matrices de rigidez. Otra forma de generar el cuadrilátero es componer cuatro triángulos (Figura 10-c) y eliminar el nodo central común a todos ellos a través de condensación matricial. Esta eliminación debe hacerse para expresar la rigidez de cada cuadrilátero sólo en función de los cuatro vértices, antes de combinar la matriz global del sistema.

a)

b)

c)

Figura 10: Cuadriláteros formados por dos y cuatro triángulos

7.2 Estados tridimensionales de tensión La generalización para estados elásticos tridimensionales del método desarrollado en los puntos anteriores para estados planos sigue los lineamientos ya presentados. El procedimiento para la formulación de las matrices de rigidez es enteramente similar, por lo que se hará una breve descripción de algunos de los tipos de elementos de uso corriente. 7.2.1 Tetraedro de tensión constante El tetraedro de tensión constante, mostrado en la Figura 11, constituye una inmediata generalización del triángulo de tensión constante. Se adopta un tetraedro de forma arbitraria y se desarrollan sus propiedades a partir de coordenadas adimensionales que relacionan volúmenes, de la misma forma que anteriormente en el estado plano de tensión se relacionaron áreas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

249


[k

Vk V

Figura 11: Elemento tetraedro de tensión constante

7.2.2 Prisma rectangular El elemento prisma rectangular, mostrado en la Figura 12, puede ser obtenido dando una tercera dimensión a un cuadrilátero regular, proponiendo las correspondientes funciones de aproximación y siguiendo un procedimiento similar al ya visto para el caso del triángulo con el fin de plantear las ecuaciones de equilibrio y desarrollar la matriz de rigidez del elemento.

Figura 12: Elemento prisma rectangular

7.3 Elementos isoparamétricos Se han visto hasta ahora diversos elementos de variada complejidad en las funciones de aproximación, pero todos ellos de formas geométricas simples y lados rectos. También pudo comprobarse que al mejorar la función de aproximación del elemento es necesario introducir nodos adicionales y por lo tanto nuevos grados de libertad. Un método alternativo para mejorar elementos existentes, que no implica introducir mayor cantidad de grados de libertad, consiste en generalizar su forma geométrica. Esto es, desarrollar elementos con lados curvos. Se llega así a un elemento que, además de disponer de la capacidad de representar el comportamiento elástico de un sólido, se adapta con facilidad a un contorno irregular sin hacer necesario un refinamiento excesivo de la malla. La innovación introducida por los elementos “isoparamétricos” consiste en adoptar para la forma de los bordes una función del mismo tipo que la empleada para la función de aproximación de los desplazamientos, y de aquí proviene su denominación. En la Figura 13 se muestran elementos isoparamétricos de diferente configuración, planos y espaciales.

a)

b)

c)

Figura 13: Elementos isoparamétricos en dos y tres dimensiones

Cuando se usa para la geometría una función de grado inferior a la utilizada para los desplazamientos el elemento es definido como “subparamétrico” y si ocurre lo contrario, es decir que la función adoptada para representar la geometría es de mayor grado que la de los desplazamientos, el elemento es definido “superparamétrico”. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

250


La principal limitación que presentan los elementos de este tipo reside en la necesidad de una transformación única entre las coordenadas cartesianas globales y las coordenadas adimensionales propias del elemento, la que no siempre existe.

7.4 Elementos axilsimétricos El problema de la distribución de tensiones en cuerpos de revolución (axilsimétricos) bajo condiciones de cargas también axilsimétricas es de considerable interés práctico. Desde un punto de vista matemático, el problema planteado es muy similar al de los estados planos de tensión o de deformación, ya que el análisis requerido se reduce en una dimensión y es bidimensional. Por simetría, dos componentes de desplazamiento en cualquier sección plana orientada radialmente definen completamente el estado de deformación y por lo tanto el estado de tensión. Una sección que cumple esta condición se muestra en la Figura 14, siendo r y z las coordenadas radial y axial que definen la posición de cualquier punto. Para estos casos pueden emplearse las mismas funciones de desplazamientos adoptadas en los desarrollos de los elementos triángulos. La diferencia esencial reside en que el desplazamiento radial induce deformación en la dirección circunferencial, por lo que una cuarta componente de deformación y tensión debe ser considerada. Definiendo vectores de tensión y deformación tales como y ¬:

H

Hz ½ °H ° ° r° ® ¾ ° HT ° °¯J rz °¿

V z ½ °V ° ° r° ® ¾ °V T ° °¯W rz °¿

V

;

(39)

donde: J rz

2 H rz

es posible relacionarlos a través de las ecuaciones constitutivas ya estudiadas en el Cap. 1, ecuación (131), y en el Cap. 3, ecuación (12). Se tiene así:

^V ` >C @ ^H ` donde:

>C @

D

Q Q ª1 Q « Q 1 Q Q « D « Q Q 1 Q « « 0 0 0 ¬«

(40)

0 0 0 1 2Q 2

E (1 Q ) (1 2Q )

º » » » » » ¼»

(41)

(42)

Figura 14: Sólido modelado con elementos axilsimétricos

El resto de la formulación para el desarrollo del elemento sigue el mismo lineamiento general visto con anterioridad, sólo que naturalmente es más compleja. Tal como fue presentada, la solución a este problema requiere que las cargas tengan también una distribución axilsimétrica. De no ser así, y en el caso en que las cargas presentan una distribución armónica que es función del ángulo T , el problema puede ser planteado en términos similares a los ya expuestos. En caso contrario, es decir que no haya una representación armónica de las cargas, deben previamente ser descompuestas a través del análisis de Fourier con el fin de ser expresadas como una sumatoria de funciones cosenoidales. Por ser las funciones cosenoidales ortogonales entre sí, las funciones de aproximación quedan desacopladas para cada armónica y por lo tanto las matrices de rigidez que corresponden a cada una de ellas pueden obtenerse por separado. De esta manera queda planteado un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para cada armónica, cuyos resultados deben ser combinados para la obtención de los desplazamientos y tensiones finales que correspondan al estado de cargas aplicado. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

251


7.5 Bandas finitas Se considera aquí el caso de estructuras que presentan una sección transversal constante a lo largo de un eje, tal como ocurre en el ejemplo ilustrado en la Figura 15. Como principales aplicaciones para este tipo de elemento pueden mencionarse el modelado de cubiertas o techos, puentes y recipientes. En este último caso se trata de objetos que han perdido su condición de axilsimétricos como consecuencia de refuerzos o por formar parte de una configuración multicelular. Todos estos casos pueden ser tratados con los elementos finitos de uso general ya comentados con anterioridad, pero la ventaja que ofrecen las bandas finitas es un enorme ahorro en la preparación de los datos del modelo, esfuerzo de procesamiento e interpretación de los resultados. Scordelis empleó en 1964 un planteo similar al de las Bandas Finitas para el análisis de techos múltiples de configuración semicilíndrica y Cheung desarrolló y difundió a partir de 1968 una técnica de análisis que él mismo denominó “Método de las Bandas Finitas” (Finite Strip Method ).

Figura 15: Bandas finitas

Volviendo a la Figura 15, un desplazamiento genérico “w” de cualquier punto de la cubierta puede expresarse a través de un desarrollo de Fourier en la dirección del meridiano, es decir: n

w ( x, y , z )

¦ w ( x, y) sen i

i 1

iS z L

(43)

donde L representa la altura del meridiano en la dirección z. De esta forma un problema espacial es reducido en una dimensión, debiendo analizarse para cada armónica un problema de dos dimensiones en el plano (x, y). Posteriormente, los resultados se extienden a la tercera dimensión z superponiendo la contribución de todas las armónicas. Aquí es necesario destacar que esta separación de variables es posible debido a las propiedades de ortogonalidad que presentan las funciones armónicas, que ya fueron mencionadas al presentarse los elementos axilsimétricos. En resumen, para resolver un problema por el método de las Bandas Finitas se deben cumplir los siguientes pasos: a) Expresar la condición de cargas como una combinación de funciones senoidales a través de un análisis armónico de Fourier. b) Obtener las matrices de rigidez de los elementos correspondientes a cada una de las armónicas determinadas en el análisis del punto anterior. c) Armar las matrices de rigidez de la estructura y calcular los correspondientes desplazamientos y solicitaciones para cada armónica por separado. d) Combinar los resultados anteriores con el fin de obtener los desplazamientos y solicitaciones finales en cualquier punto z a lo largo del meridiano. Volviendo al punto “b”, se presentan dos variantes para el desarrollo de las matrices de rigidez de los elementos. Si las bandas empleadas son planas se sigue un procedimiento análogo al mostrado en detalle para el TTC y éste es el método clásico de “bandas finitas planas”. Por el contrario, si se adoptan bandas de sección curva se recomienda integrar numéricamente a lo largo del elemento para determinar sus propiedades y armar así sus matrices de rigidez para cada armónica. Estos últimos elementos son denominados “elementos finitos semianalíticos. Llegado a este punto es necesario reconocer la principal limitación que presenta el método de las bandas finitas. Por ser los desplazamientos y esfuerzos expresados a través de funciones senoidales provenientes del análisis de Fourier, la solución propuesta queda limitado a estructuras que presenten una condición de apoyo simple en sus bordes extremos, que corresponden a z = 0 y z = L. En efecto, una condición de apoyo con desplazamientos y rotaciones nulas, correspondientes a un empotramiento, no es representable mediante la función senoidal empleada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

252


7.6 Otros elementos Las ventajas que ofrece el Método de los Elementos Finitos para la resolución de problemas estructurales motivó que se haya dedicado un gran esfuerzo a desarrollar nuevos elementos más sofisticados para reemplazar otros ya existentes o para modelar casos muy particulares. Por ello en la actualidad se dispone de Elementos Finitos que representan materiales compuestos ( plásticos reforzados con fibra de vidrio o carbono, panel de abejas, etc.), materiales fisurados, materiales con diverso grado de anisotropía, etc. Estas propiedades especiales y sus diversas formas hacen posible la correcta representación de sólidos elásticos de la más variada geometría, propiedades y condiciones de trabajo. A estos nuevos elementos deben agregarse los otros más simples y ya conocidos del curso anterior, como son los elementos prismáticos en todas sus variantes: barra, viga, resorte axial y tubo recto con presión interior. Además, deben también sumarse el tubo curvo (codo) y el elemento elástico (resorte) en f lexión y torsión. Todos estos elementos están normalmente disponibles en las “librerías” de los grandes sistemas de cálculo que emplean este método, mostrándose como ejemplo en la Tabla 2 una de estas librerías que podría ser considerada típica. Tabla 2: Librería de Elementos Finitos de un sistema comercial ( NISA)

Nótese que las filas de la tabla de esta librería corresponden a los diferentes tipos de elementos disponibles, que son definidos en la primera columna. La segunda columna describe los grados de libertad por cada nodo, donde el prefijo “U” corresponde a desplazamientos y el “R” a rotaciones. Luego, las siguientes columnas corresponden a diferentes funciones de aproximación de los desplazamientos, tales como lineal, cuadrática, cúbica o una combinación de estas. Es decir que se trata de una tabla de doble entrada que permite seleccionar cierto tipo de elemento y su función de aproximación. Por ejemplo, en la sexta fila se encuentran los elementos de placa de tipo general (general shell), que tienen seis grados de libertad por nodo (tres desplazamientos y tres rotaciones, es decir que los nodos transmiten momentos) y en la quinta columna se encuentra el elemento de placa Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

253


general definido con una función de aproximación de desplazamientos cúbica. Nótese que los elementos de placa de esa sexta fila se definen a partir de nodos distribuidos sobre el plano medio y que el elemento de la quinta columna queda definido por 12 nodos, es decir se trata de un elemento de 72 grados de libertad. La séptima fila también corresponde a placas, pero en ese caso se trata de elementos con espesor que quedan definidos a partir de nodos en ambos planos, superior e inferior, que solo tienen tres grados de libertad de desplazamientos y no incluyen rotaciones. En este caso el elemento con función de aproximación cúbica queda definido por 24 nodos (12 nodos en cada plano) con 72 grados de libertad (igual que en el caso anterior). Este elemento es apropiado para placas de espesor considerable y el anterior es adecuado para placas delgadas. En la parte inferior derecha de la tabla se presentan elementos especiales, tales como los destinados a representar placas sándwich o laminados con materiales compuestos. Como se observa, hay una amplia disponibilidad de elementos que requieren de criterio y experiencia para su correcto uso y el mejor aprovechamiento posible. En caso de duda siempre es recomendable desarrollar varios modelos progresivamente más complejos y comprobar la consistencia de sus resultados. La librería de elementos mostrada en la Tabla 2 pertenece al Sistema de Cálculo NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis), pero hay que aclarar que, si bien los diversos sistemas tienen particularidades que los caracterizan, todos disponen de librerías similares a la mostrada en la Tabla 2.

8 COMBINACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS Tal como fue comentado al presentar la Figura 3, el objetivo del Método de los Elementos Finitos es desarrollar modelos discretos de sólidos elásticos que permitan el cálculo de las tensiones y deformaciones que experimentan ante ciertas condiciones de trabajo. El primer paso fue desarrollar esos elementos, que quedan representados por sus matrices de rigidez, y una vez que esos elementos están disponibles, el paso siguiente es combinar dichos elementos de forma tal que reproduzcan correctamente el comportamiento de los objetos estudiados. Los interrogantes que aquí se presentan son varios y muchos de ellos solo encuentran respuesta en la experiencia. ¿Qué elementos usar? ¿Cómo disponer los elementos para conformar una malla? ¿Qué densidad de elementos es conveniente? son algunos de estos interrogantes. En esta sección se dan recomendaciones para la definición de las mallas referidas a: i) tamaño y disposición de los elementos; ii) cantidad de elementos; iii) numeración de los nudos y los elementos; y iv) convergencia de los resultados. Además, se describe como se ensambla y cómo impactan sobre la matriz de rigidez global de la estructura las recomendaciones recién enumeradas.

8.1 Mallas de elementos Como ejemplo se presenta el caso de una viga simplemente apoyada, sometida a una condición de carga estática, cuya sección transversal presenta gran altura respecto de su distancia entre apoyos (luz). La viga en cuestión es representada en la Figura 16-a y el ejemplo fue presentado por K. Rockey en su libro (Rockey et al, 1975). Nótese que se eligió este caso porque, pese a su sencillez, la solución exacta no se obtiene en forma inmediata debido a la elevada altura de la sección. Para resolver este problema mediante el método de los Elementos Finitos se proponen diferentes modelos y se comparan las soluciones obtenidas con cada uno. Para representar los modelos de la viga se adoptaron triángulos de tensión constante y dos formas diferentes de disponer estos triángulos, que se muestran en las Figuras 16-b y 16-c. Después de estudiar algunos casos se comprueba que la malla 16-b conduce a mejores resultados que la malla 16-c y presenta además la ventaja de que su regularidad facilita la generación automática de los datos. Una vez encontrada la forma más conveniente de disponer los triángulos, el paso siguiente es determinar la densidad de malla requerida para alcanzar la solución del problema. Las Figuras 16-d, 16-e y 16-f muestran los tres modelos empleados en el análisis y con los cuales se obtuvieron resultados. En todos ellos se impusieron las condiciones de apoyo haciendo nulos los desplazamientos verticales de los nodos del borde inferior de ambos extremos y las características de estos tres modelos se resumen en la Tabla 3 presentada a continuación. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

254


Tabla 3: Características de los modelos de la viga de la Figura 16-a

Modelo

Elementos

Nudos

Grados de libertad

Figura 16-d

96

65

130

Figura 16-e

150

96

192

Figura 16-f

600

341

682

En la Figura 16-g se graficaron las deflexiones de la viga obtenidas con los diferentes modelos y se las compara con las def lexiones que corresponden a la solución exacta y a la obtenida a partir de la teoría de vigas. Para este último caso no se consideró la deformación por corte.

Figura 16-a: Viga de elevado espesor

Figura 16-d: Modelo de 96 elementos

Figura 16-b: Modelo de malla regular

Figura 16-e: Modelo de 150 elementos

Figura 16-c: Modelo de malla simétrica

Figura 16-f: Modelo de 600 elementos

Figura 16-g: Desplazamientos de la viga

Figura 16-h: Tensiones longitudinales y transversales

En todos los casos estudiados los resultados obtenidos con elementos finitos están por debajo de los verdaderos. Como puede apreciarse, al afinarse la malla los resultados se aproximan a los de la solución exacta, lo que demuestra la “convergencia” del modelo. Finalmente, en las Figuras 16-h se muestran gráficos con las tensiones longitudinales y transversales en toda la altura de la sección. Para representar estos resultados y por haberse utilizado triángulos de tensión constante, se asumió que los valores corresponden a los centroides de los elementos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

255


A partir del análisis realizado se obtiene una primera conclusión: se recomienda usar varios modelos hasta hallar uno que demuestre convergencia en los resultados cuando el número de elementos crece. De esta forma puede asegurarse que el modelo es correcto y puede concentrarse la atención en seleccionar el tamaño de malla más apropiado. Deben evitarse las mallas más densas de lo necesario ya que, no solo consumen esfuerzo de cálculo, sino que también aumentan el trabajo de preparación de los datos y dificultan la interpretación de los resultados. Otro interrogante que enfrenta quien emplea el método de los Elementos Finitos es el siguiente: ¿conviene usar elementos simples en una malla densa o elementos sofisticados con una malla poco poblada? Aparentemente este interrogante tendría rápida respuesta si se considera el problema desde el punto de vista de facilitar la entrada de datos, ya que indudablemente resulta ventajosa una malla poco poblada. Sin embargo, esto no es definitivo ya que la definición de los elementos sofisticados requiere de mayor cantidad de nodos. Además, si se considera la calidad de los resultados tampoco pueden darse recomendaciones definitivas y nuevamente la experiencia es la que tiene la última palabra.

8.2 Algunas recomendaciones para la definición de mallas Si bien una buena modelización con elementos finitos es en gran medida el resultado de la propia experiencia del analista, se proponen algunas pautas que pueden ser útiles para alcanzar los siguientes cinco objetivos principales: x x x x x

Facilitar la definición del modelo y sus datos. Representar adecuadamente las características elásticas del objeto estudiado. Evitar problemas numéricos. Reducir el esfuerzo de cálculo (tiempo de proceso). Facilitar la interpretación de los resultados.

Las recomendaciones enumeradas a continuación son en realidad sólo lineamientos que serán más oportunas en algún caso que en otro, y si bien son aplicables para cualquier tipo de elemento, serán especialmente útiles cuando se trabaje con los elementos más simples, que son las que corresponden a las mallas más densas. Estas son las siguientes: a) Elementos 1) Los elementos deben ser tan regulares como sea posible, los elementos distorsionados o con ángulos obtusos deben evitarse. En el caso de triángulos lo ideal son los equiláteros. La buena relación de aspecto de los elementos mejora la convergencia y la exactitud. b) Mallas de elementos 2) La malla debe respetar los contornos del objeto tan fielmente como sea posible y debe densificarse, reduciendo el tamaño de los elementos, en las zonas en que el contorno presenta radios pequeños o discontinuidades. 3) Desde el punto de vista de los resultados, las mallas deben densificarse en las zonas donde se espera el mayor gradiente de tensiones. 4) Las mallas deben densificarse gradualmente, y no en forma brusca, evitándose que elementos finitos de tamaños muy diferentes compartan un mismo nodo. 5) Las mallas deberían ser regulares en el sentido de que cada nodo sea compartido por una cantidad similar de elementos. 6) En un proceso de refinamiento es recomendable que las mallas mas densas estén incluidas en las anteriores, lo que significa que todos los nodos de las mallas más gruesas forman parte de las derivadas de ellas (más finas). c) Cantidad de elementos 7) Las mallas densas son costosas y deben evitarse. Por este motivo, se sugiere introducir mejoras en los modelos a través de densificaciones localizadas en zonas especiales tomando como base una malla general aceptable. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

256


d) Numeración de nodos y elementos 8) Se debe ser sistemático en la asignación de la identificación numérica a nodos y elementos. Esto facilita la definición del modelo y la interpretación de los resultados. 9) Siempre que sea posible, debe procurarse que los nodos de un mismo elemento estén identificados con números próximos entre sí, ya que de esta manera se reduce el ancho de banda de la matriz de rigidez de la estructura. e) Convergencia de los resultados 10) Una buena malla debe mostrar que su sucesiva refinación conducen a resultados que muestran un comportamiento asintótico a lo que se supone que es la solución exacta. Por el contrario, la falta de una tendencia clara en los resultados debe tomarse como una señal de advertencia que está poniendo en evidencia problemas en el desempeño del modelo. A título de ejemplo en las Figuras 17 y 18 se muestran dos mallas de elementos finitos y seguidamente se comentan los criterios utilizados en la definición de cada una.

Figura 17: Placa con orificio rectangular (sólo un 1/4 del dominio por doble simetría)

Figura 18: Accesorio de montaje ( planchuela plana con orificios) Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

257


Puede observarse que ambos modelos respetan las recomendaciones 1 (elementos de forma regular), 2 (los modelos respetan los contornos geométricos), 3 (las mallas se densifican en las zonas de concentración de tensiones, donde se espera mayores gradientes), 4 (la densificación de las mallas es gradual ), 5 (en general los nodos comparten la misma cantidad de elementos) y 7 (las zonas más densas están localizadas). Para evaluar los criterios 6, 8, 9 y 10 se requiere de mayor información que la suministrada. 8.3 Ensamble de la matriz de rigidez de la estructura Una vez definida la malla que materializa el modelo discreto, el paso siguiente es el armado de la matriz de rigidez global de la estructura. Esta es una etapa que realiza en forma automática el sistema de cálculo, y por lo tanto es totalmente externa al usuario. Sin embargo, es muy importante que este último este informado sobre las características de esta tarea, aun cuando no vaya nunca a desarrollar su propio sistema. Algunas de las recomendaciones referidas a la definición de mallas presentadas en el punto anterior tienen impacto directo en la matriz de rigidez a la que se hace aquí referencia. Por ejemplo, la matriz de rigidez tendrá sus valores numéricos concentrados en torno a la diagonal principal si los nodos son numerados de conformidad con la recomendación No. 9. Esto es muy importante debido a que el orden de estas matrices puede llegar a ser enorme (cientos de miles) y a efectos de reducir el espacio de almacenamiento y el tiempo de proceso sólo se almacenan y operan los valores de la semibanda ( perfil de valores no nulos a partir de la diagonal ). De no cumplirse con este criterio los elementos estarán dispersos en toda la matriz y en el peor de los casos habrá que almacenar y operar la matriz completa, limitando la capacidad del sistema y aumentando el tiempo de cálculo. Por ello es habitual que el software de elementos finitos renumere internamente los nudos para obtener ventajas computacionales. Las recomendaciones 1, 4 y 5 también impactan en la matriz de rigidez. Elementos distorsionados o la combinación de elementos de dimensiones extremadamente diferentes, por citar algunos casos típicos, pueden llevar a un mal condicionamiento de la matriz (ill conditioned ) que contribuirá a una mayor propagación de errores en el proceso de resolución del sistema de ecuaciones. En casos extremos se pueden llegar a tener resultados inútiles por la importante presencia de errores. La eventualidad de un problema de mal condicionamiento en la matriz de rigidez se pone de manifiesto en la falta de equilibrio global de la estructura (cargas y reacciones de apoyos) y/o en la falta de equilibrio en los nodos, por lo que es recomendable hacer ambos controles antes de comenzar a interpretar los resultados. Volviendo al propio armado de la matriz de rigidez, se trata de una actividad sistemática donde cada una de las particiones de las matrices de cada elemento de la malla debe ser transformada a un sistema de coordenadas global de referencia y posteriormente incorporada a la matriz global de la estructura. Esta tarea es totalmente similar al armado de la matriz de rigidez de estructuras de barras prismáticas, solo que debe considerar la mayor cantidad de nodos en la definición de cada elemento. La necesidad de la transformación de coordenadas se origina en que las matrices de los elementos son definidas con referencia a sistemas locales y deben ser objeto de un cambio de base para referirlos a un sistema de referencia único. Tal como en el caso de las estructuras de barras, se trata de una transformación ortogonal. Luego, en el proceso de armado de la matriz de rigidez global de la estructura debe tenerse en cuenta que cada elemento finito es definido por una cierta cantidad de nodos “m”, que son localmente identificados en un cierto orden (normalmente antihorario). A su vez, cada nodo tiene cierta cantidad de grados de libertad “g” (entre dos y seis), por lo que la matriz de rigidez de cada elemento es de orden n = m x g y en ella se reconocen m2 particiones de orden g. Por su parte, la estructura queda definida por “M” nodos, que corresponde a un total de N = M x g grados de libertad y una matriz de rigidez global que tendrá M 2 particiones de orden g. El armado de la matriz global implica establecer un vínculo entre cada partición de esta y cada partición de las matrices de los elementos, incorporándolas progresivamente. Ejemplo 4 Mostrar en detalle el armado de la matriz de rigidez global que corresponde al ensamble de tres triángulos de tensión constante presentado en la Figura 19. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

258


Por razones de claridad y espacio disponible, se presentan por separado las contribuciones de las matrices de rigidez de los elementos “A”, “B” y “C” a la matriz de rigidez global de la estructura. Figura 19: Ensamble de tres elementos triángulo

La contribución del triángulo “A” es la siguiente:

KA

ª « « « « « « « « « « « « « « «¬

K1111

K1112

K1211

K1212

21 11

22 11

21 12

22 12

0

0

K1411

K1412

0

21 14

22 14

0

K

K

K

K

0

0

K

K

11 K 21

12 K 21

11 K 22

12 K 22

0

0

11 K 24

12 K 24

0

21 21

22 21

21 22

22 22

0

0

K

21 24

22 24

0

K

K

K

K

K

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11 K 41

12 K 41

11 K 42

12 K 42

0

0

11 K 44

12 K 44

0

K 4121

K 4221

K 4221

K 4222

0

0

K 4421

K 4422

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0º » 0» 0» » 0» » 0» 0» » 0» » 0» 0 »» 0 »¼

(44)

De igual forma, la contribución del elemento “B” a la matriz de rigidez global es:

KB

ª « « « « « « « « « « « « « « «¬

K1111

K1112

0

0

K1311

K1312

K1411

K1412

0

K1121

K1122

0

0

K1321

K1322

K1421

K1422

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

K

11 31

K

12 31

K

21 31

K

22 31

0

11 K 41

12 K 41

0

21 41

22 41

K

K

K

11 33

0

K

21 33

0

11 K 43

12 K 43

11 K 44

12 K 44

0

0

0

K

21 43

22 43

21 44

22 44

0

0

0

K

12 33

K

22 33

K

K

11 34

K

21 34

K

K

12 34

0

K

22 34

0

K

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0º » 0» 0» » 0» » 0» 0» » 0» » 0» 0 »» 0 »¼

(45)

0 º » 0 » 0 » » 0 » 12 » K 35 » 22 » K 35 » 12 » K 45 22 » K 45 » 12 » K 55 » K 5522 »¼

(46)

Por último, la contribución del elemento “C” a la matriz de rigidez es:

KC

ª « « « « « « « « « « « « « « «¬

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11 33

K

12 34

11 K 35

0

0

0

K

0

0

0

0

K 3321

K 3322

K 3421

K 3422

K 3521

0

0

0

0

11 K 43

12 K 43

11 K 44

12 K 44

11 K 45

0

0

0

0

K 4321

K 4322

K 4421

K 4422

K 4521

0

0

0

0

11 K 53

12 K 53

11 K 54

K 5124

11 K 55

0

0

0

0

K 5321

K 5322

K 5421

K 5422

K 5521

259

K

11 34

0


K

12 33


La matriz de rigidez de los tres elementos considerados es la suma de las matrices anteriores. Representando con un solo símbolo las cuatro particiones que corresponden a cada nodo se tiene:

K

K A KB KC

ª K11A K11B « A « K 21 « K 31B « A B « K 41 K 41 « 0 ¬

K12A K 22A 0 K 42A 0

0 º » 0 » K 35C » C » K 45 » K 55C »¼

K14A K14B K 24A K 34B K 34C C K 44A K 44B K 44 K 54C

K13B 0 B K 33 K 33C C K 43B K 43 K 53C

(47)

Observando la matriz de rigidez se pueden sacar las siguientes conclusiones: a. Las particiones que corresponden a los nodos 1-5, 2-3 y 2-5 son nulas, en correspondencia con la falta de un elemento que vincule estos nodos en forma directa. Es decir, ningún elemento aporta rigidez relativa entre ellos. Debido a la simetría de la matriz de rigidez y a la misma razón ya expuesta, también son nulas las particiones de los nodos 5-1, 3-2 y 5-2. b. Sobre la diagonal principal y en correspondencia con los nodos 1 y 3 se verifica la contribución de la rigidez de dos elementos. En efecto, a la rigidez de los nodos 1 y 3 contribuyen los elementos “A-B” y “B-C” respectivamente, por tener esos nudos en común. c. A la partición del nodo 4 sobre la diagonal principal contribuyen los tres elementos “A”, “B” y “C” ya que este nodo es común a todos ellos. d. Los nodos 2 y 5 pertenecen cada uno a un único elemento, por lo que las correspondientes particiones sobre la diagonal principal tienen una sola contribución. Supóngase ahora que se desea aumentar la rigidez relativa entre los nodos 1 y 5 y para ello se recurre a un tensor “D” como se muestra con línea de trazos en la Figura 20. Esto significa que se desea combinar una malla de elementos triángulo con un elemento prismático que es definido por dos nodos, en este caso los identificados como “1” y “5”.

Figura 20: Ensamble de tres elementos triángulo con un tensor de refuerzo

Lo que debe hacerse es incorporar a la matriz de rigidez de la estructura las cuatro particiones de la matriz de rigidez del elemento “D”, que contribuyen a la rigidez de las particiones de los nodos 1 y 5. Es así que las particiones 1-5 y 5-1 dejan de ser nulas y se incorpora rigidez a las particiones correspondientes sobre la diagonal.

K

K A KB KC KD

ª K11A K11B K 11D « K 21A « « K 31B « « KA KB 41 41 « D «¬ K 51

K12A

K13B

K14A K14B

K 22A

0

K 24A

0

K 33B K 33C

K 34B K 34C

K

A 42

0

K K B 43

K

C 53

C 43

K K K A 44

B 44

K 54C

º » 0 » » C K 35 » C » K 45 » K 55C K 55D »¼ K 15D

C 44

(48)

El ejemplo propuesto sirve para mostrar la facilidad con que pueden combinarse diferentes tipos de elementos finitos en un modelo discreto, a condición de asegurar compatibilidad en los grados de libertad de los nodos involucrados. También para poner en evidencia que el armado de la matriz de rigidez implica un proceso algorítmico completamente sistemático, que resulta particularmente apropiado para ser implementado a través de computadoras. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

260


9 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Tan pronto como se resuelve un primer caso simple, como los propuestos en la guía de prácticos, se comprueba lo inadecuado del método para su tratamiento manual. En efecto, a partir de esa pequeña experiencia numérica puede fácilmente imaginarse la cantidad de operaciones matemáticas que encierra el análisis elástico de modelos de regular dimensión, tales como los representados en las Figuras 17 y 18. Esto justifica plenamente que el desarrollo, evolución y difusión del MEF haya seguido muy de cerca los progresos de la tecnología computacional, ya que esta última le fue brindando la plataforma necesaria para su aplicación práctica en dominios cada vez más ambiciosos en dimensión y complejidad. Debido a este estrecho vínculo entre el MEF y la tecnología computacional es que resulta ahora necesario considerar los aspectos relacionados con la implementación del método.

9.1 Contexto de un sistema de cálculo MEF Un sistema moderno de cálculo por Elementos Finitos se estructura en torno a tres elementos básicos, que son: i) un archivo (o tabla) de datos del modelo, ii ) un núcleo de cálculo y iii ) un archivo de resultados. Este último incluye desplazamientos de los nudos, reacciones de apoyos, solicitaciones en los elementos estructurales, desplazamientos y tensiones, según el caso considerado. A su vez el núcleo de cálculo resolverá grandes sistemas de ecuaciones algebraicas si se trata de un análisis estático, calculará autovalores y auto vectores si el objetivo es conocer las características dinámicas de la estructura o integrará las ecuaciones diferenciales del equilibrio dinámico si la finalidad es conocer la respuesta del sistema en el dominio del tiempo. Estos elementos básicos son complementados con numerosos módulos auxiliares que tienen dos finalidades principales: i ) facilitar la definición de los datos e interpretación de resultados y ii ) orientar el sistema al tratamiento de estructuras de cierto tipo específico, incorporando recomendaciones de normas y estándares que faciliten su dimensionamiento y verificación. Todos estos componentes conforman un contexto operativo que es resumido en la Figura 21.

Preparación de datos

Edición gráfica de modelos

Optimización ancho de banda

Datos modelos

Representación de gráficos Resultados Control de consistencia

Núcleo de cálculo

Tensiones y deformaciones

Verificación de normas Diagnósticos e informes

Figura 21: Contexto operativo de un Sistema de Cálculo del MEF

En el esquema de la Figura 21 se presentan los módulos que se describen a continuación: Preparación de Datos: A partir de los datos básicos, consistentes en coordenadas de nodos, topología de la malla de elementos, condiciones de apoyos, propiedades geométricas de elementos, propiedades de materiales y condiciones de carga, tiene la finalidad de verificar su integridad y consistencia y prepararlos para las etapas siguientes. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

261


Edición gráfica de modelos: En los primeros tiempos del método los datos eran directamente definidos en tablas con editores de texto. Modernamente, se recurre a sistemas CAD que permiten la definición grafica interactiva del modelo en dos o tres dimensiones, incluyendo la generación automática o semiautomática de las mallas de elementos a partir de ciertos criterios que deben ser estipulados. Posteriormente, los datos del problema son extraídos del modelo gráfico con el consiguiente ahorro de esfuerzo, y lo que es igualmente importante, con una enorme reducción de las posibilidades de que se introduzcan errores. Aquí es necesario notar que el enorme volumen de datos de estos modelos hace muy difícil la identificación de errores, muchos de los cuales pueden pasar completamente inadvertidos, por lo que la extracción automática de los datos tiene un valor incalculable y respalda la confianza sobre los resultados. Optimización de ancho de banda: Como ya fue visto, la distribución de los aportes de las rigideces de los elementos en la matriz global de la estructura esta en directa relación con la numeración que se asigna a los nodos. Esa matriz tendrá sus elementos concentrados en torno a su diagonal principal si la numeración de los nodos de cada elemento está próxima entre sí, lo que muchas veces es impracticable, especialmente en estructuras complejas. Este módulo incluye algoritmos muy complejos que tienen la finalidad de renumerar los nodos de manera de hacer óptima la distribución de valores no nulos sobre la matriz de rigidez, manteniendo las designaciones originales para la futura interpretación de los resultados. Núcleo de cálculo: es el elemento central del sistema, destinado al análisis estático o dinámico de los desplazamientos de la estructura y es representado con mayor detalle en la Figura 22.

Definición de condiciones de carga Datos modelos

Armado matrices de rigidez de elementos

Análisis estático y dinámico

Determinación de desplazamientos Resultados Cálculo de solicitaciones

Núcleo de cálculo Figura 22: Detalle de los módulos de un núcleo de cálculo del MEF

Tensiones y deformaciones: Como ya fue estudiado, al emplearse el método de la rigidez los desplazamientos son las incógnitas principales del problema, y las deformaciones, tensiones, solicitaciones y reacciones de los apoyos son incógnitas secundarias y terciarias que se determinan en forma sucesiva a partir de las primeras. La complejidad de este módulo está relacionada con los tipos de elementos disponibles y sus funciones de aproximación de los desplazamientos. Representación de gráficos: Con el desarrollo actual de la tecnología informática no es concebible un sistema de cálculo que no disponga una potente interfaz gráfica que permita representar el modelo, sus deformaciones, tensiones, solicitaciones y reacciones de apoyos. Más aun, se espera poder identificar las condiciones de trabajo del sólido elástico a partir de una representación cromática y la posibilidad de visualizar el modelo desde distintos puntos de vista, en forma isométrica o con vistas en perspectiva. Aquí el dicho de que un buen grafico expresa más que mil palabras tiene especial vigencia. Verificación de normas: Los sistemas de cálculo que incluyen el tratamiento de tipos especiales de estructuras, como es el caso de torres metálicas, cañerías de presión, recipientes de presión, puentes, cabriadas industriales, etc. disponen de post procesadores destinados a la comprobación del cumplimiento de normas y estándares específicos para cada caso. Estos módulos incluyen normalmente además facilidades de dimensionamiento y cómputo de materiales, entre otros. Diagnósticos e informes: Estrechamente relacionado con el objetivo del sistema y el tipo de estructuras tratadas se presenta la necesidad de elaborar informes que deben cumplir con ciertas especificaciones, tanto en su forma como en su contenido. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

262


Control de consistencia: La enorme dimensión y complejidad de las estructuras tratadas con el Método de los Elementos Finitos hace prácticamente imposible poder asegurar la ausencia de errores en los datos del modelo y en sus resultados. Por este motivo, la disponibilidad de un buen módulo de control de consistencia que a partir de diversos criterios y heurísticas reconozca la existencia de eventuales errores de cualquier tipo y facilite la identificación de sus causas es de un valor incalculable.

9.2 Sistemas precursores del MEF A pesar de su relativa corta vida, unos cincuenta años, el MEF es muy rico tanto por la cantidad y calidad de sus pioneros como así también por la jerarquía de los productos que rápidamente estuvieron disponibles, contribuyendo a su difusión y aplicación. Sin entrar en mayores detalles, y en la seguridad de caer en involuntarias omisiones, pueden mencionarse los siguientes sistemas:

SAP (Structural Analysis Program): Desarrollado por la Universidad de California (Berkeley) fue presentado en su primera versión en 1970. Luego fue seguido por una sucesión de versiones que fueron incorporando nuevos elementos y condiciones de análisis: SOLID SAP (1971), SAP III (1972), SAP IV (1973) y NONSAP (1974). Sus principales autores fueron Edgard Wilson y Klaus Bathe. Posteriormente aparecieron versiones comerciales de la Universidad del Sur de California, tales como el SAP 6 y SAP7, que condujeron al actual SAP2000 que opera sobre computadoras personales y plataforma Windows.

STRUDL (STRUctural Design Language): Forma parte del Sistema ICES ( Integrated Civil Engineering System) desarrollado en gran parte en el MIT (Massachussets Institute of Technology) a partir de 1964. La primera versión de STRUDL fue presentada en 1967 y estaba dedicada al análisis de pórticos espaciales, extendiendo las facilidades del célebre programa STRESS. La versión STRUDL II fue presentada en 1969 con la incorporación de facilidades para el dimensionamiento automático. Posteriormente el STRUDL III tuvo sucesivas mejoras en las que se le incorporaron una completa biblioteca de elementos finitos, análisis dinámico, análisis no lineal, estabilidad estructural, etc. NASTRAN (NAsa STRuctural ANalysis): Se trata de un sistema de aplicación general inspirado en la necesidad de analizar estructuras de gran tamaño vinculadas con la industria aeronáutica y espacial. Su desarrollo fue propiciado por la NASA a partir de 1964 y fue puesto en servicio en 1970. NASTRAN dispone de una completa biblioteca de elementos finitos, contempla el análisis estático y dinámico de estructuras lineales y no lineales e incluye análisis aeroelástico. Con posterioridad, NASTRAN fue soportado y comercializado por McNeal-Schwendler de California.

ASKA: Es un sistema desarrollado en la Universidad de Stuttgart (Alemania) por Argyris y sus colaboradores. La primera versión de ASKA fue presentada en 1970 y estaba destinada al análisis estático lineal. La siguiente versión (ASKA II) incorporó en 1971 el análisis dinámico lineal y en ASKA III se sumaron facilidades no lineales y de pandeo. ASKA dispone de una completa biblioteca de elementos finitos y soporta subestructuras. NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis): Es un sistema específicamente orientado a resolver problemas de ingeniería mecánica. Fue desarrollado por EMRC (Engineering Mechanics Research Corporation) de Detroit (Michigan) y al igual que NASTRAN y ASKA cubre todos los tipos de análisis con una extensa biblioteca de elementos, que esta presentada en la Tabla 2 y fue analizada a título de ejemplo. Una característica de NISA es la disponibilidad de elementos para representar materiales compuestos, tales como plásticos reforzados, laminados y paneles de abeja. Incluye el análisis de la respuesta en frecuencia y vibraciones aleatorias. Dispone de un módulo específico destinado a la generación interactiva de modelos y mallas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

263


9.3 Otros sistemas vinculados al MEF de gran vigencia ABAQUS: Es un sistema de cálculo para análisis por elementos finitos e ingeniería asistida por computadora que fue presentado en 1978. El Sistema incluye cuatro módulos principales destinados a: i) CAE (Computer-Aided Engineering), ii ) CFD (Computational Fluid Dynamics), iii ) análisis estándar de elementos finitos y iv ) análisis de elementos finitos de propósitos especiales destinado a sistemas altamente no lineales sometidos a condiciones de cargas transitorias. Abaqus es principalmente utilizado en la industria aeroespacial y automotriz, y tiene una muy amplia difusión en ambientes académicos. CATIA: (Computer Aided Three-Dimensional Interactive Analysis): Este sistema fue desarrollado por Dassault Systemes y es considerado el CAD 3D más avanzado del mercado. Fue inicialmente desarrollado para servir en la industria aeronáutica y dispone de una arquitectura abierta para el desarrollo de aplicaciones o para personalizarlas. Las interfaces de programación de aplicaciones se pueden programar en Visual Basic y C++.

SOLIDWORKS: Se trata de un programa de diseño asistido por computadora para modelado mecánico desarrollado en la actualidad por SolidWorks Corp., una subsidiaria de Dassault Systèmes (Suresnes, Francia), para el sistema operativo Microsoft Windows. Fue introducido en el mercado en 1995 para competir con otros programas CAD como CATIA y Autodesk Mechanical Desktop. El objetivo es modelar piezas y conjuntos y extraer de ellos tanto planos como otro tipo de información necesaria para la producción, funcionando en base a las nuevas técnicas de modelado de CAD. La empresa SolidWorks Corp. fue fundada en 1993 por Jon Hirschtick con su sede en Concord, Massachusetts y lanzó su primer producto (SolidWorks 95) en 1995. En 1997 fue adquirida por la compañía Dassault Systèmes, mejor conocida por su software CAD CATIA.

10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN De manera muy resumida se presentan a continuación problemas típicos de la ingeniería mecánica que han sido resueltos a través del método de los elementos finitos y para los cuales fue necesario desarrollar los modelos correspondientes. En cada uno de los ejemplos citados se enuncia el objeto de estudio, se describen los tipos de elementos finitos utilizados en los modelos y las magnitudes de los mismos. Estas magnitudes se expresan en términos de las cantidades de nodos y de grados de libertad de las mallas. Descripción del problema y detalles del modelo empleado

Representación gráfica del modelo discreto

Modelo de un pistón de un compresor para analizar su comportamiento bajo carga térmica y presión interior. Se utilizaron elementos de placa isoparamétricos de 16 nodos y elementos de placa general de 8 nodos, con un total de 12600 grados de libertad. Pistón de compresor


264


Descripción del problema y detalles del modelo empleado Análisis bajo cargas térmicas de un múltiple de escape, que está apoyado en los puntos de fijación al block del motor. El modelo está desarrollado con 234 elementos de placa “gruesa” de 16 nodos, con un total de 1488 nodos y 4464 grados de libertad.


Múltiple de escape

Carcaza de diferencial y parte del sistema de una suspensión primaria. Modelo desarrollado en base a elementos isoparamétricos sólidos de 20 nodos, elementos de placa “gruesa” de 16 nodos y placa general de ocho nodos. Se emplearon 192 elementos definidos por 1308 nodos y 7800 grados de libertad.

Número de elementos : 234

Carcaza de diferencial

Número de elementos : 192

Modelo de chasis de un camión desarrollado para estudiar su comportamiento en flexotorsión. Está compuesto por 1400 elementos de placa general de ocho nodos, definidos por un total de 4400 nodos y 24000 grados de libertad.

Chasis de camión Número de elementos : 1400

Representación de un sector de cigüeñal compuesto por elementos sólidos isoparamétricos de 20 nodos. Se emplearon en total 750 elementos con 5300 nodos y 15900 grados de libertad. Sector de cigueñal Número de elementos : 750


265


Descripción del problema y detalles del modelo empleado


Representación de un diente de engranaje desarrollado con elementos isoparamétricos de 20 nodos con el fin de estudiar su respuesta ante una carga de impacto.

Diente de engranaje

Una llanta de automóvil es representada por un modelo confeccionado con elementos isoparamétricos de 20 nodos y placas generales de 8 nodos. En la figura se presenta un gráfico realizado con un plotter donde se muestran líneas de tensiones constantes, donde la proximidad entre las mismas delata las mayores concentraciones de tensiones.

Llanta de automóvil

Modelo de un chasis de un auto de competición de fórmula 2. Se trata de un chasis tubular con recubrimiento de aluminio, modelado con elementos prismáticos y elementos triángulo de tensión constante. El modelo incluye un total de 550 elementos, 193 nodos y alrededor de 1000 grados de libertad. El objetivo del estudio fue determinar la rigidez torsional de la estructura, ajustar el modelo con un ensayo de la estructura real y utilizar posteriormente el modelo para evaluar la conveniencia de modificaciones que permitan incrementar la rigidez torsional.


Chasis de competición

266


COMENTARIO FINAL Han pasado algo más de 50 años desde que Turner modeló un ala delta con elementos triángulos, circunstancia que es reconocida como una de las primeras aplicaciones del Método de los Elementos Finitos para resolver problemas concretos de ingeniería inspirados en la necesidad de la industria, en ese caso la aeronáutica. Desde entonces fueron escritos sobre este tema cientos de libros y miles de artículos, proponiendo nuevos elementos, algoritmos de resolución, el abordaje de nuevas aplicaciones y propuestas de ideas ingeniosas para superar las dificultades que inevitablemente se fueron presentando a medida que se abordaban nuevos problemas. Todo ese esfuerzo estimuló a su vez la implementación de numerosos y variados sistemas de cálculo, tanto de tipo general como otros más especializados para resolver problemas específicos. Aquí hay que hacer una distinción, ya que mientras muchos de estos sistemas eran desarrollados en ámbitos académicos con la intención de profundizar en el conocimiento del método y contribuir a su divulgación, otros sistemas persiguieron objetivos comerciales, presentándose como productos integrados destinados a usuarios finales de todos los campos de la ingeniería. En resumen, a partir de aquellas ideas planteadas por Frazer, Duncan y Collar (1938) se desarrolló una vigorosa industria de proyecciones aún hoy insospechadas. Como se anticipó al comienzo de este artículo, es seguro que la ausencia del método de los elementos finitos hubiese hecho que el mundo en que vivimos no fuese el actual. Ante tan abrumadora cantidad de material y antecedentes sobre este tema es necesario justificar la necesidad de escribir este material para la Cátedra de Cálculo Estructural II. Se buscó reunir y resumir las ideas centrales, buscando un equilibrio al presentar el problema desde los distintos puntos de vista ya expuestos, que sirva de respaldo al escaso tiempo disponible para presentar el tema en clase. El objetivo es estimular el interés de los alumnos sobre este tema e invitarlos a revisar algunos de los textos disponibles, varios de ellos en la biblioteca de la Facultad. Estas breves notas no pretenden en modo alguno reemplazar a ninguno de ellos. Juan Giró Marzo 2011

Referencias sobre la historia del Método de los Elementos Finitos x x x x x x x x x x x x x x x x

Argyris, J. and Kelsey, S.; “Energy Theorems and Structural Analysis”, New York Press, 1955 (originalmente publicado en una serie de artículos en Aircraft Engineering, 1954 a 1955). Backus, J. et al.; “The FORTRAN automatic coding system”, Proceeding. Western Joint Computer Conference, Los Angeles, California, 1956. Bathe, K., Wilson, E. and Iding, R.; “A structural analysis program for static and dynamic response of nonlinear systems”, Structural Engineering Laboratory, University of California, Berkeley, 1974. Duncan,W. and Collar, A.; “Method for the solution of oscillations problems by matrices”, Phil. Mag. Series 7, 17, pp. 865, 1934. Duncan, W and Collar, A.; “Matrices applied to the motions of damped systems”, Phil. Mag., Series 7, 19, pp. 197, 1935. Frazer, R., Duncan, W. and Collar, A.; “Elementary matrices and some applications to dynamics & differential equations”, Cambridge University Press, 1st Ed. 1938, 7th printing 1963. Holzer, H.; “Die Berechnung der Drehschwingungen”, Berlin: Springer-Verlag, 1921. McHenry, D.; “A lattice analogy for the solution of plane stress problems”, Journal of Inst. Civil Engineering, 21, 59-82, 1943. Myklestad, N.; “A new method of calculating natural modes of uncoupled bending vibration of airplane wings and other types of beams”, Journal of Aeronautical Sciences, April, 1944. Pestel, E. and Leckie, F.; “Matrix methods in elastomechanics”, McGraw-Hill, 1963. Przemieniecki, J.; “Theory of Matrix Structural Analysis”, McGraw-Hill, 1968. Robinson, J.; “Integrated Theory of Finite Element Methods”, John Wiley & Sons, 1973. Rockey K., Evans H., Griffiths D. and Nethercot D.; “The Finite Element Method”, Ed. Granada, 1975. Turner, M.; “The direct stiffness method of structural analysis”, Structural and Materials Panel Paper, AGARD Meeting, Aachen, Germany, 1959. Wilson E.; “SAP: A general structural analysis program”, SESM Report 70-20, Dept. of Civil Engineering, University of California, Berkeley, 1970. Zienkiewicz, O. and Cheung, Y.; “The Finite Element Method in Structural and Solid Mechanics”, McGraw Hill, London, 1967 y 1994.

Bibliografía actual sobre el Método de los Elementos Finitos x Zienkiewicz, O., Taylor, R. and Zhu, J.; “El método de los elementos finitos, Volumen 1: Formulación Básica”, 4ta Edición, McGraw-Hill, 2012. x Zienkiewicz, O. and Taylor, R.; “El método de los elementos finitos, Volumen 2: Mecánica de Sólidos”, 4ta Edición, McGraw-Hill, 2010. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

267


Método de los Elementos Finitos

PRÁCTICO

Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg].

1. Dada la estructura del croquis con la carga estática indicada, considerar el modelo propuesto de dos triángulos de tensión constante (elementos I y II) para determinar: a) b) c) d) e) f)

Matriz de rigidez. Vector de cargas. Desplazamientos de los nudos. Deformaciones. Tensiones. Tipo de acero requerido (definido por su tensión de f luencia) para obtener un coeficiente de seguridad no inferior a 2.

Datos:

= 0,3 2

E = 2100000 kg/cm

h = 0,2 cm

Q1 = 40 kg/cm

P = 5000 kg

Q2 = 200 kg/cm

2. Para disminuir el costo de la estructura del problema anterior se propone utilizar un acero SAE

1020 con f =2400 kg/cm2, enmarcando la estructura con barras de reticulado, articuladas entre sí y fijadas a la chapa en los cuatro vértices. Las barras son de sección cuadrada de 2 cm de lado. Se pide determinar el nuevo coeficiente de seguridad.

3. El elemento triángulo de tensión constante mostrado en la figura forma parte de una estructura que soporta una carga membranal para la cual se han calculado los desplazamientos nodales. Con los valores que se indican, se pide determinar: a) Deformaciones específicas del elemento. b) Tensiones membranales. c) Coeficiente de seguridad Cs = ? Datos:

u1

ª u11 « 1 ¬u2

h = 0,4

0,02 º » 0,04 ¼

= 0,3

u2

ªu12 « 2 ¬ u2

f = 2100 0,0275º » 0,04 ¼

E = 2100000

ªu13 « 3 ¬ u2

u3

0,0275º » 0,01 ¼

4. Para un triángulo de tensión constante de espesor h = 0,5 cm, se dan las coordenadas de los nodos i, j y k y los desplazamientos nodales. Se pide: a) Calcular la rigidez del elemento para una fuerza actuando en el nudo k en la dirección 2 para producir un desplazamiento en el nudo j en la dirección 1. b) Calcular el Cs utilizando el criterio de Von Mises. c) Determinar el desplazamiento del punto P en el interior del triángulo. Datos del material:

= 0,3

f = 2500 dirección

Coordenadas [cm] Desplazamientos [cm]

1 2 1 2


E = 700000 -------- Nodos del triángulo -------j i k 10 13 11,2 5 6 7,5 0,003 0,003 0,001 0,002 0,001 0,004

268

Punto P 11,5 6,5 ? ?


5. La estructura romboidal de la figura de espesor 0,4 cm está cargada con 400 kg. Usar cuatro elementos triangulares de tensión constante como se indica en el croquis para calcular: a) Las tensiones. b) La energía interna de deformación Wi. c) El trabajo externo (verificar que Wi = We ). Datos del material:

= 0,3

f = 2500

E = 2100000.

Ayuda: Aprovechar la doble simetría de la estructura y de las cargas.

6. Analizar una solución alternativa del Problema 1 utilizando dos elementos dispuestos como se muestra en la figura a la derecha. Usar los mismos datos del Problema 1, comparar los resultados y justificar las diferencias obtenidas. Datos:

= 0,3

E = 2100000 kg/cm2

h = 0,2 cm

Q1 = 40 kg/cm

P = 5000 kg

Q2 = 200 kg/cm

7. Para reducir a la mitad el desplazamiento vertical del nodo 1 del Problema 1, se propone usar un tensor del mismo material dispuesto en diagonal uniendo los nudos 1 y 4, como se muestra en la figura a la derecha. Determinar el área mínima requerida para el tensor.

8. Una placa de acero está anclada en todo su contorno y soporta una carga aplicada en su centro. La carga P = 5000 kg actúa en el plano de la placa con la dirección indicada en el croquis ( 22,5º con la horizontal ). El material y las dimensiones son iguales que en el Problema 1. Usando un modelo de cuatro triángulos de tensión constante como el indicado en la figura, determinar: a) Los desplazamientos del centro. b) Las tensiones en la placa.


269



Método de los Elementos Finitos

Nota: Todos las longitudes se dan en [cm], las fuerzas en [kg] y se ignora el peso propio.

1

Análisis de una placa mediante un modelo de dos triángulos de tensión lineal. Es un modelo muy burdo donde sólo se desplaza el nudo 1 ya que los tres nudos restantes están restringidos. Se usa la Ecuación (6):

Coordenadas de los lados: i 1 lado ° j 2 a dirección ® k 3 °¯ Ec. (10)-d

1

80 ;

a1

1

150 ;

a2

a1

a2

2

3

80 ;

a1

0 ;

a2

0,5x >80 x150 0 x 0@

1 ªa 2 a3 a 2 a3 º 2 1 ¼ 2 ¬ 1 2

A

2

3

0 150

A 6000

a) Matriz de rigidez

Eh 4 A (1 Q 2 )

2100000 x 0, 2 4 x 6000 x (1 0,32 )

E

1 Q 2

1 0,3 2

Ec. (33)

D

Ec. (35)

k1111 D (a12 a12 E a11a11 ) 19, 23077 x [(150) 2 0,35 x ( 80) 2 ] ................... k1111

Ec. (35)

12 k11

D (a11a12 Q E a12 a11 )

Ec. (35)

k1122

D (a11a11 E a12 a12 ) 19, 23077 x [( 80) 2 0,35 x (150) 2 ] ..................

19, 23077 ;

475769 150000

k1112

19, 23077 x [( 80) x ( 150) x 0, 3 0, 35 x ( 150) x ( 80)]

b) Vector de cargas P11 0 ...................................................... P21 (40 x 150) / 2 (200 x 80) / 2 5000

0,35

k1122

274519

1 ° P1 °½ 0 ½ ® 1¾ ® ¾ °¯ P2 °¿ ¯16000 ¿

c) Desplazamientos

ª 475769 150000 º « » ¬ 150000 274519 ¼

<

1 ° u1 °½ ® 1¾ °¯ u2 °¿

0 ½ ® ¾ ¯ 16000 ¿

"!#!""

u11

0,022200

1 2

0,070414

u

Notar que el nudo 1 baja por la tracción y se corre a la izquierda por el efecto Poisson. d) Deformaciones.

Se usa la Ecuación (19)

H11 [u1i a2i u1j a2j u1k a2k ] /(2 A) [ 0,022200x (150) 0 x a2j 0 x a2k ] /12000 .... H11

0,0002775

H 22 [u2i a1i u2j a1j u2k a1k ] /(2 A) [0,070414 x (80) 0 x a1j 0 x a1k ] / 12000 .... H 22

0,00046943

H12

^ [u a

i i 1 1

u1j a1j u1k a1k ] [u2i a2i u2j a2j u2k a2k ] `/(4 A)

^ [0, 0222

e) Tensiones.

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ ° ° ¯V 12 ¿

x ( 80)

`

H12

0 x a1 0 x a1 ] [ 0, 070414 x ( 150) 0 x a2 0 x a2 ] / 24000 ..... j

k

j

k

0,0003661


ª 1 0,3 0 º 0,0002775½ 2100000 « ° ° 0,3 1 0 » ® 0,00046943 ¾ ............................ 2 « » 1 0,3 0 0,7 ¼» °¯ 0,0003661°¿ ¬« 0

Tensión de Von Mises: V *

V 11 V 22 V 12

315, 4 kg / cm 2 891, 2 kg / cm 2 591, 4 kg / cm 2

* 315, 42 891, 22 (315, 4) x 891, 2 3 x 591, 42 .. V VM

1491 kg / cm 2

f ) Elección del material con Cs > 2 * Se requiere que V f ! 2xV VM

2 x 1491 2982 kg / cm 2 ...............................

V f ! 2982 kg / cm 2

Adoptamos acero SAE 1045 QUE CUMPLE EL REQUERIMIENTO. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

270


2

Cálculo del nuevo coeficiente de seguridad al enmarcar la placa del Problema 1 con barras de 4 cm2. Barra horizontal que une los nudos 1 y 3 k H A E / A H 4 x 2100000/80 105000 se agrega a k1111 .

A E / AV

Barra vertical que une los nudos 1 y 2 kV

56000 se agrega a k1122 .

4 x 2100000/150

a) Desplazamientos. Se modifica la matriz de rigidez por el agregado de las barras de reticulado. 1 150000 ª 475769 + 105000 º u1 ½ <® 1¾ «¬ 150000 274519 + 56000 ¼» ¯u2 ¿

0 ½ ®16000 ¾ ¯ ¿

"!#

0,01416304 0,05483635

u11 u12


b) Deformaciones.

H11 [u a u a u a ] /(2 A) [ 0,014163x (150) 0 x a2j 0 x a2k ] /12000

H11

0,00017704

H 22 [u2i a1i u2j a1j u2k a1k ] /(2 A) [ 0,0548364 x (80) 0 x a1j 0 x a1k ] /12000

H 22

0,00036576

H12

0,00029552

i i 1 2

H12

^ [u a

i i 1 1

j j 1 2

u1j a1j u1k a1k ] [u2i a2i u2j a2j u2k a2k ] ` /(4 A)

^[0, 014163

x ( 80)

`

0 x a1 0 x a1 ] [ 0, 054836 x ( 150) 0 x a2 0 x a2 ] / 24000 j

k

j

k


c) Tensiones.

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ °¯V 12 °¿

k k 1 2

1 0,3 0 º 0,00017704 ½ 2100000 ª ° ° « 0,3 1 0 » ® 0,00036576 ¾ ............................. 2 1 0,3 « 0 0 0,7 » ° 0,00029552 ° ¬ ¼ ¯ ¿


155,52 721,12 (155,5) x 721,1 3x 477, 42

V 11 V 22 V 12

155,5 kg / cm 2 721,1 kg / cm 2 477, 4 kg / cm 2

* V VM

1157,5 kg / cm 2

d) Determinación del Cs * Coeficiente de seguridad: CS V f /V VM

2400 / 1157,5 2,07 .... CSVM

Barra vertical F kV u12 56000 x 0,05484 3071 o V

3

2,07 ! 2

F / A 3071/4 768 o Cs

Verifica

2400/768 3,13

Cálculo de deformaciones, tensiones y CS a partir de los desplazamientos nodales del elemento TTL. Coordenadas de los lados.

i j k

1 2 3

Ec. (10)-

a


a1

°¯

a2

lado ° dirección ®

1

1 ªa 2 a3 a 2 a3 º 2 1 ¼ 2 ¬ 1 2

A

a) Deformaciones.

1

2

0 ;

a1

60 ;

a2

2

3

50 ;

a1

0 ;

a2

0,5x >50 x 60 0 x (50) @

3

50 60

A 1500


H11 [u a u a u a ] /(2 A) [0,02x (60) 0,0275 x 0 0,0275 x 60] / 3000 .... H11

0,00015

H 22 [u12 a11 u22 a12 u23 a13 ]/(2 A) [0,04 x 0 0,04x 50 0,01 x (50)] / 3000 .......... H 22

0,00050

1 1 1 2

H12

^ [u a

1 1 1 1

2 2 1 2

3 3 1 2

u12 a12 u13 a13 ] [u12 a12 u22 a22 u23 a23 ] ` / (4 A)

^ >0, 02x 0 0, 0275x50 0, 0275 x (50)@ > 0, 04 x ( 60) 0, 04 x 0 0, 01x 60@ `/ 6000 ..... H12 b) Tensiones.

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ °¯V 12 ¿°

0,00030


ª 1 0,3 0 º 0,00015 ½ 2100000 « ° ° 0,3 1 0 » ® 0,00050 ¾ ................................ 2 « » 1 0,3 ¬ 0 0 0,7 ¼ ¯° 0,00030 ¿°


692,32 1257,7 2 692,3x1257,7 3x 484,62

V 11 V 22 V 12

692,3 kg / cm 2 1257,7 kg / cm 2 484,6 kg / cm 2

* V VM

1376,5 kg / cm 2

c) Coeficiente de seguridad de Von Mises

CS

V f /V *

2100 / 1376,6 1,525 ............................................................................... CSVM

1,52

El lector puede verificar que el CS de Tresca es igual a 1,37 (10 % inferior). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

271


4

Para un elemento triángulo de tensión constante se han calculado los desplazamientos nodales. 21

a) Cálculo del elemento kkj de la matriz de rigidez a1) Coordenadas de los lados. Se usa la Ecuación (6) k ° a i 1,8 ; a j 1, 2 ; a1 3,0 lado 1 1 a dirección ® i j k a2 2,5 ; a2 1,0 °¯ a2 1,5 ; 21

a2) Rigidez k k j .


Según la notación de la ecuación (34), la rigidez del elemento para una fuerza actuando en el nudo k en la dirección 2 para producir un desplazamiento en el nudo j en la dirección 1, es k 21 kj

Ec. (33)

1 [a j a k a j a k ] 2 1 2 1 2

A

Ec. (10)-

D

Eh

0,5x[(1, 2) x1 (2,5) x3]

700000 x 0,5

4 A (1 Q ) 2

4 x 3,15 x (1 0,3 ) 2

E

30525 ;

30525 x 2,5 x 3 x 0,3 0,35 x (1, 2) x 1

D (a2j a1kQ E a1j a2k )

A 3,15 cm 2

1 Q

1 0,3

2

2

0,35

kk21j

81502 kg / cm

H11

0,00063492

H 22 [u a u a u a ] /(2 A) [0,02 x (18) 0,01 x (12) 0,04 x 30] /6,3 H 22

0,00114286

Ec. (35)

k 21 kj

b) Cálculo del coeficiente de seguridad de Von Mises b1) Deformaciones. Se usa la Ecuación (19) H11 [u1i a2i u1j a2j u1k a2k ] /(2 A) [0,003x1,5 0,003 x (2,5) 0,001 x 1] /6,3 i i 2 1

H12

j j 2 1

^ [u a

i i 1 1

k k 2 1

u1j a1j u1k a1k ] [u2i a2i u2j a2j u2k a2k ] ` /(4 A)

^ > 0, 003x ( 1,8) 0, 003x ( 1, 2) 0, 001x 3@ > 0, 002 x 1, 5 0, 001x (2, 5) 0, 004 x 1@ `/12, 6

0,00130952


b2) Tensiones.

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ °¯V 12 °¿

H12

V 11 ª 1 0,3 0 º 0,00063492 ½ 700000 « ° ° 0,3 1 0 » ® 0,00114286 ¾ ................................... V 22 » 1 0,32 « V 12 ¬ 0 0 0,7 ¼ °¯ 0,00130952 °¿


752,12 1025,62 752,1x1025,6 3x 705,12

752,1 kg / cm 2 1025,6 kg / cm 2 705,1 kg / cm 2

* V VM

1529 kg / cm 2

b3) Coeficiente de seguridad de Von Mises Cs V f / V * 2500 / 1529 1,635 ..................................................................................... Cs

1,63

El lector puede verificar que el Cs de Tresca es igual a 1,55 (5 % inferior). c) Desplazamiento de un punto interior del triángulo c1) Coordenadas triangulares del punto P. Punto A de coordenadas x1P

11,5 y x2P

6,5

Ai

0,5 [( x x ) a ( x x ) a ] 0,5 [(13 11,5) x1,5 (6 6,5) x (1,8)] ...........

Ai

0,675

Aj

0,5 [( x1k x1P ) a2j ( x2k x2P ) a1j ] 0,5[(11, 2 11,5) x (2,5) (7,5 6,5) x (1, 2)] ..

Aj

0,975

Ak

0,5 [( x1i x1P ) a2k ( x2i x2P ) a1k ]

0,5[(10 11,5) x10 (5 6,5) x 30] .................... Ak

1,500

]i

j 1

P 1

i 2

j 2

P 2

i 1

0,675 / 3,15 0, 214286

]

j

0,975 / 3,15 0,309524

] k 1,5 / 3,15 0, 47619

c2) Desplazamiento del punto interior P Se usa la Ecuación (9) que calcula un promedio ponderado de los desplazamientos nodales: uP

u1P ½ u1i ½ u1j ½ u1k ½ 0,003½ 0,003½ 0,001½ [ [ [ ® P ¾ i ® i ¾ j ® j ¾ k ® k ¾ 0, 214286 ®0,002 ¾ 0,309524 ® 0,001 ¾ 0, 47619 ® 0,004 ¾ u u u u ¯ ¿ ¯ ¿ ¯ ¿ ¯ 2¿ ¯ 2¿ ¯ 2¿ ¯ 2¿

uP

[i u i [ j u j [ k u k ......................................


272

u1P

0,000762 cm

u1P

0,002643 cm


5

Determinación de las tensiones, de la energía interna de deformación y del trabajo de las fuerzas exteriores en una placa romboidal de acero de espesor de 0,4 cm. Dada la doble simetría de la estructura y de las cargas se analiza sólo el elemento triangulo de tensión constante superior izquierdo. a) Cálculo de las tensiones a1) Coordenadas de los lados. Se usa la Ecuación (6) ai 0 ° 1 Ec. (6) a dirección ® i °¯ a2 10 a2) Matriz de rigidez

j

a1

lado

Ec. (10)-

A

j

a2

1 [a j a k a j a k ] 2 1 2 1 2

Eh 4 A (1 Q 2 )

k

10

a1

10

k

10

a2

0

1 [(10) x 0 (10) x 10] ..verificación A 2

2100000 x 0, 4 4 x 50 x (1 0,32 )

Ec. (33)

D

Ec. (35)

kii11 D (a2i a2i E a1i a1i )

Ec. (35)

kik12

kik21

Ec. (35)

kkk22

D (a1k a1k E a2k a2k )

4615,38 ;

E

(10 x 10)/2 .... A 50

1 Q 2

1 0,3 2

0,35

4615,38 x 10 x 10 0,35 x 0 x 0 ........................ kii11

D (a1k a2i Q E a2k a1i )

4615,38 x 10 x 10 x 0,3 0,35 x 0 x 0

461538

kik12

138460

4615,38 x 10 x 10 0,35 x 0 x 0 .......................... kik22

461538

a3) Desplazamientos

ª 461538 138460 º ° u1i ½° « »<® k ¾ ¬ 138460 461538 ¼ ¯°u2 ¿°

0 ½ ® ¾ ¯200 ¿

Resolviendo el sistema

u1i

0,0001428572

k 2

0,0004761908

u

Notar que el punto superior (k) baja por la compresión mientras que el punto de la izquierda (i) se corre a la izquierda por el efecto Poisson. a4) Deformaciones.

1/(2 A) 1/(2 x50) 0,01


H11 1/(2 A)[u1i a2i u1j a2j u1k a2k ] 0,01 x [ 0,000142857 x 10 0 x a2j 0 x a2k ]

H11

1, 42857 x105

H 22 1/(2 A)[u2i a1i u2j a1j u2k a1k ] 0,01 x [0 x a1i 0 x a1j (0,00047619) x 10]

H 22

4,76191x105

H12 1/(4 A) ^ [u1i a1i u1j a1j u1k a1k ] [u2i a2i u2j a2j u2k a2k ] `

0,005 x ^ [u1i x 0 0 x a1j 0 x a1k ] [0 x a2i 0 x a2j u2k x 0] ` .........................................

a5) Tensiones.

V 11


[ E / (1 Q 2 )] [H11 Q H 22 ] 2307692,3 x[0,0000142857 0,3x (0,0000476191)] ....... V 11

> E / (1 Q )@ H12 > 2100000 / (1 0,3)@ x 0 ...................................................................

b) Cálculo de la energía interna de deformación. Wi

Wi

0

E / (1 Q 2 ) 2100000 / (1 0,32 ) 2307692,3

V 22 [ E /(1 Q 2 )] [H 22 Q H11 ] 2307692,3 x[ 0,0000476191 0,3 x 0,0000142857] ... V 22 V 12

H12

h E (4 A) H112 H 222 2 Q H11 H 22 2(1 Q ) H122 2(1 Q 2 )

0

100

V 12

0


(energía en 4 triángulos)

0, 4 x 2100000 x (4 x50) / [2(1 0,32 )] x ^0,0000142857 2 (0,0000476191) 2 + 2 x 0,3x 0,0000142857 x ( 0,0000476191) 2 x (1 Q ) x 02 `...... Wi

0,190476 kg cm

c) Cálculo del trabajo de las fuerzas exteriores

We

1 PG 2

0,5 x 400 x (2 u2k

)

0,5 x 400 x (2 x 0,0004761908 ) .............. We


273

0,190476 kg cm


6

Análisis de la placa del Problema 1 mediante un modelo diferente de dos triángulos de tensión lineal. Sólo se desplaza en nudo 1 ya que los tres nudos restantes están restringidos. Hay sólo 2 GL como en el modelo del Problema 1, pero en este caso los dos elementos contribuyen a la matriz de rigidez.

ª k1111 « 21 ¬« k11

k1112 º °u11 °½ »<® ¾ k1122 »¼ ¯°u12 °¿

1 ° P1 °½ ® 1¾ °¯ P2 °¿

Coordenadas de los lados. Elemento II (1-2-4) Se usa la Ec. (6)

i j k

1 2 4

a A

Ec. (10)-

a1

°¯

a2


1

1

1 [a j a k a j a k ] 2 1 2 1 2

2

80 ;

a1

0 ;

a2

2

4

80 ;

a1

150 ;

a2

4

0,5x[80 x150 (150) x 0]

0 150

A 6000

Coordenadas de los lados. Elemento I (1-4-3) Se usa la Ec. (6)

i j k

1 4 3

a A

Ec. (10)-

a1

°¯

a2


1

1

1 ªa j ak a j ak º 2 1 ¼ 2 ¬ 1 2

4

a1

0 ;

4

150 ; a2

3

80 ;

a1

0 ;

a2

3

0,5 x >80 x 150 0 x (80) @

80 150

A 6000

a1) Matriz de rigidez. Elemento II (1-2-4) Ec. (33)

D

Eh 4 A (1 Q 2 )

2100000 x 0, 2 4 x 6000 x (1 0,32 )

19, 23077 ;

E

1 Q 2

1 0,3 2

0,35

11

D (a12 a12 E a11a11 ) 19, 23077 x [(0) 2 0,35 x (80) 2 ] ................................. k1111

12

D (a11a12Q E a12 a11 )

22

D (a11a11 E a12 a12 ) 19, 23077 x [(80) 2 0,35 x (0) 2 ] .............................. k1122 123077

Ec. (35) k11 Ec. (35) k11

Ec. (35) k11

43077

19, 23077 x > (80) x 0 x 0,3 0,35 x 0 x (80) @ ................ k1112

0

a2) Matriz de rigidez. Elemento I (1-4-3)

Eh 4 A (1 Q 2 )

2100000 x 0, 2 4 x 6000 x (1 0,32 )

1 0,3 2

D

Ec. (35)

k1111 D (a12 a12 E a11a11 ) 19, 23077 x [(150) 2 0,35 x (0) 2 ] ............................ k1111

Ec. (35)

k1112

D (a11a12Q E a12 a11 )

Ec. (35)

k1122

D (a11a11 E a12 a12 ) 19, 23077 x [(0) 2 0,35 x (150) 2 ] ............................ k1122 151442

19, 23077 ;

E

1 Q 2

Ec. (33)

0,35 432692

19, 23077 x > 0 x ( 150) x 0,3 0,35 x ( 150) x 0@ ............. k11

12

0

b) Vector de cargas (es el mismo del Problema 1)

P11 P21

1 ° P1 °½ ° 0 ½° ............................................................... ® 1 ¾ ® ¾ (40 x 150) / 2 (200 x 80) / 2 5000 ¯° P2 ¿° °¯16000 °¿

0

c) Desplazamientos

ª 475769 « «¬ 0

º » 274519 »¼ 0

°u11 ½° <® ¾ 1 ¯°u2 ¿°

° 0 °½ ® ¾ °¯16000 °¿

Sistema desacoplado !

u11 u

1 2

0 0,05828376

El desplazamiento máximo es un 17 % menor que en el modelo del Problema 1. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

274


Problema 6. Continuación Se usa la Ecuación (19)

d1) Deformaciones. Elemento II (1-2-4)

H11 [u1i a2i u1j a2j u1k a2k ]/(2 A) [0 x a2i 0 x a2j 0 x a2k ] /12000 ......................................... H11

H 22

H 22 [u2i a1i u2j a1j u2k a1k ] /(2 A) [0,05828376 x (80) 0 x a1j 0 x a1k ] /12000

H12

^ [u a u a u a ] [u a u a u a ] `/ (4 A) ^ [0 x (80) 0 x a 0 x a ] [ 0,05828376 x (0) 0 x a i i 1 1

j j 1 1

k k 1 1

i i 2 2

j 2

j 2

k 2

0

0,00038856

k 2

0 x a2k ] ` / 24000 ............

H12

0

H11 [u1i a2i u1j a2j u1k a2k ] /(2 A) [0 x a2i 0 x a2j 0 x a2k ] /12000 ........................................ H11

0

H 22 [u2i a1i u2j a1j u2k a1k ] /(2 A) [ 0,05828376 x 0 0 x a1j 0 x a1k ] /12000 ....................... H 22

0

j 1

k 1

j 2


d2) Deformaciones. Elemento I (1-4-3)

H12

^ [u a u a u a ] [u a u a u a ] `/(4 A) ^[0 x (0) 0 x a 0 x a ] [0, 05828376 x (150) 0 x a 0 x a ]` / 24000 ....... i i 1 1

j j 1 1

k k 1 1

j 1

i i 2 2

j 2

j 2

k 2

k 2

k 1

j 2

k 2

H12 0,00036427

e1) Tensiones. Elemento II (1-2-4) Se usa la Ecuación (16)

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ °V ° ¯ 12 ¿

V 11 0 ª 1 0,3 0 º ½ 2100000 « ° ° » 0,3 1 0 ®0,00038856 ¾ ................................. V 22 » 1 0,32 « ° V 12 0 0,7 »¼ °¯ 0 «¬ 0 ¿


* 269,02 896,7 2 269,0 x 896,7 3 x 02 ........... V VM

269,0 kg / cm 2 896,7 kg / cm 2 0 797,0 kg / cm 2

e2) Tensiones. Elemento I (1-4-3) Se usa la Ecuación (16)

V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ °V ° ¯ 12 ¿

V 11 0 ª 1 0,3 0 º ½ 2100000 « ° ° » 0,3 1 0 ® 0 ¾ ........................... V 22 » 1 0,32 « ° ° V 12 0 0 0,7 0,00036427 «¬ »¼ ¯ ¿


* 0,02 0,02 0,0 x 0,0 3 x 588, 42 .................. V VM

0 0,7 kg / cm 2 5,88, 4 kg / cm 2 1019, 2 kg / cm 2

f ) Elección del material con Cs > 2 Máxima tensión efectiva de Von Mises * Se requiere que V f ! 2 x V VM máx

* V VM máx

mayor ^ 7,97 ; 1019, 2 ` 1019, 2 kg / cm 2

2 x 1019, 2 2038 kg / cm 2 ............................ V f ! 2038 kg / cm 2

Adoptamos acero SAE 1020 QUE CUMPLE EL REQUERIMIENTO. COMPARACIÓN de los resultados de los dos modelos (Problema 1 y Problema 6) Modelo

Desplazamientos [cm] Horizontal u11 Vertical u12

Tensión efectiva máx. * [kg/cm2] V VM

Material requerido

Problema 1

0,0222

0,0704

1491

SAE 1045

Problema 6

0

0,0583

1070

SAE 1020

Usando 1090 elementos

0,0171

0,0308

-------

-------

COMENTARIO FINAL: Es bien conocido que los resultados obtenidos con el método de elementos finitos no son exactos y que mejoran al afinar la malla; en este caso se comparan los resultados de dos modelos muy burdos de sólo dos elementos triangulares de tensión constante. Esta situación se da en todos los problemas propuestos para ser resueltos por cálculos manuales donde se consideran muy pocos grados de libertad. En la última fila de la tabla se muestran los desplazamientos obtenidos usando 1090 elementos, notar que difieren bastante respecto a los calculados con los dos modelos simples. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

275


7

Determinación del área mínima del tensor que permite reducir a la mitad el desplazamiento vertical del nodo 1 del Problema 1. El tensor es del mismo material y está dispuesto en diagonal uniendo el nudo 4 con el nudo 1, como se muestra en la figura a la derecha. Sólo se deforma el elemento I y sólo se desplaza en nudo 1 ya que los tres nudos restantes están restringidos. Hay sólo 2 GL como en el modelo del Problema 1, pero en este caso los dos elementos ( placa y tensor) contribuyen a la matriz de rigidez.

802 1502

Largo del tensor 1-4: L Cosenos directores:

170 cm

J 1 80/170 0, 47059 ® 0,88235 ¯ J 2 150 /170

Rigidez del tensor: KT

AT E / L

AT x 2100000 /170

KT

12353 x AT

ª K J2 KT J 1 J 2 º Matriz de rigidez del tensor:.... « T 1 » KT J 22 ¼ ¬ KT J 1 J 2 Cálculo de los desplazamientos del conjunto: ª 475769 KT J 12 150000 KT J 1 J 2 º °u11 °½ 0 ½ < ® ¾ « 2 » ® 1¾ ¬ 150000 KT J 1 J 2 274519 KT J 2 ¼ ¯°u2 °¿ ¯16000 ¿ Se resuelve por tanteos incrementando el área del tensor u12 0,07041 / 2

hasta cumplir que: Si A ! 42, 485

KT ! 524817

0,0352 cm u12 0,0352 .................................. AT mín

42, 48 cm 2

Solución aproximada: Asumiendo que al duplicar la rigidez vertical del nudo 1, el desplazamiento vertical de ese nudo se reducirá a la mitad se tiene: 274519 KT J 22

2 x 274519

KT

274519/ 0,882352

352604 .............. AT mín

28,54 cm 2

Conclusión: La hipótesis parece lógica pero el resultado no es bueno ya que se necesita un 49 % más de área pasando de 28,54 a 42,48 cm. Visto de otra manera, esa área aproximada logra reducir un 42 % el desplazamiento máximo (0,0704 a 0,0409 cm) en lugar del 50 %, resultado no tan malo !!!

8

Se usa un modelo de cuatro triángulos de tensión constante como se indica en la figura a derecha para determinar los desplazamientos y las tensiones. Se debe considerar la contribución de los 4 elementos a la matriz de rigidez. Debido a la simetría resulta un sistema desacoplado. Datos:

= 0,3

h = 0,2 cm

E = 2100000 kg/cm2

P = 5000 kg

Los detalles del cálculo se dejan como tarea para el lector. A continuación se resumen los resultados:

u1

0,0024273 cm

Elemento k11 k22 k12 11 22 12

u2

0,0017425 cm

Desplazamientos:

0 ª1903078 º °u1 °½ « » <® ¾ «¬ 0 10998078»¼ ¯°u2 ¿°

° 4619, 4 ½° ® ¾ °¯ 1913, 4 °¿

Sistema desacoplado cuya solución es


276

I 86154 246154 0 16,1 53,6 26,1

II 865385 302885 0 140,0 42,0 35,2

III 86154 246154 0 16,1 53,6 26,1

IV 865385 302885 0 140,0 42,0 35,2

65,7

138,6

65,7

138,6


Capítulo 13

FALLA POR FATIGA 1 INTRODUCCIÓN El objetivo principal de este capítulo referido al fenómeno de fatiga es comprender porque ocurre tan frecuentemente este tipo de falla y la manera de evitarla. Debe tenerse presente que las fórmulas utilizadas aquí (o en cualquier obra que trate este tema), no producen resultados precisos y deben considerarse como una guía de lo que es importante tener en cuenta para prevenir fallas. Todos los conceptos y las ecuaciones referidas a fatiga son de tipo empírico. La ciencia no puede ( ni podrá ), explicar completamente el mecanismo de fatiga, pero el ingeniero tiene que diseñar tratando de que las cosas no fallen. Este es el contraste entre la Ciencia y la Ingeniería. Se cree que Rankine, en 1840, fue el primer investigador que reconoció una falla por fatiga. Como la pieza había funcionado satisfactoriamente durante un tiempo prolongado, él pensó que la aplicación repetida de la carga había “fatigado al material”. Por ello asoció la palabra fatiga a este tipo de falla, término que ha perdurado hasta el presente. Los ingenieros y los metalurgistas han dedicado mucho esfuerzo a determinar la razón por la cual una carga que aplicada una única vez no produce falla, puede hacerlo si es aplicada en forma repetida muchas veces.

Notación: CS CS K

coeficiente de seguridad a fatiga. coeficiente de seguridad no convencional (Coeficiente de Kimmelmann).

V máx Vm Va VE

tensión normal máxima. V mín tensión normal mínima. tensión normal media V m (V máx V mín ) /2 ( tiene signo ). tensión normal alterna V a (V máx V mín ) /2 ( siempre positivo ). tensión equivalente por fatiga CS S y /V E .

Su Sy

tensión de rotura en el ensayo de tracción simple ( ultimate). tensión de fluencia en el ensayo de tracción simple ( yielding ).

S'e Se

límite de fatiga de la probeta de ensayo de f lexión alterna ( endurance ). límite de fatiga de la pieza ( incluye todas las reducciones ).

SN HB N R p fT fC fS SeC

límite de fatiga para vida limitada ( 103 d N d 106 ). dureza Brinell. número de ciclos (vida en fatiga). relación de tensiones límites ( V mín /V máx ).

P Se

valor medio del límite de fatiga: Prob ( Se P Se )

mC Kt q Kf

multiplicador de confianza con confiabilidad prefijada (concepto probabilístico).

pendiente de la línea de tensiones ( V a /V m ). factor por tamaño de la pieza. factor por tipo de carga. factor por terminación superficial de la pieza. valor del límite de fatiga con confianza C : Prob ( Se ! SeC )

C.

Prob ( Se ! P Se )

0,5 .

coeficiente de concentración de tensiones estático ( teórico). sensibilidad a entalla. coeficiente de concentración de tensiones en fatiga K f


277

1 q ( Kt 1) . Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017

1.1 La falla por fatiga En el caso de cargas estáticas, la carga crece lentamente dando tiempo a que se produzca la deformación del material. Por ello el ensayo de tracción reproduce esa circunstancia. En otros casos las tensiones varían con cierta rapidez entre un valor máximo y un valor mínimo. Un ejemplo notorio de esfuerzos variables se produce en una fibra de un eje rotatorio con una solicitación f lexional, aunque la misma no cambie en el tiempo. Es común el caso de piezas de máquinas que fallan bajo la acción de esfuerzos fluctuantes que producen tensiones máximas bastante inferiores a la tensión de rotura ( ¡ incluso bastante inferiores a la tensión de f luencia ! ). La característica de ese tipo de falla es que los esfuerzos se repiten muchas veces y se denomina falla por fatiga. La falla comienza con una pequeña grieta que es inicialmente imperceptible. Esta grieta se produce donde hay discontinuidades como ser: cambios de sección, imperfecciones superficiales, chaveteros, orificios etc. La grieta crece lentamente al comienzo, pero después crece más rápido debido a la concentración de tensiones que ella misma provoca hasta adquirir un tamaño suficiente para provocar la rotura de la pieza.

¡La falla por fatiga es repentina y total, y por lo tanto peligrosa ! La rotura por fatiga aún en el caso de materiales muy dúctiles se produce sin deformación plástica importante, por ello estas roturas se denominan frágiles. Las imperfecciones en los cristales o la penetración de óxidos en los contornos de los granos del material, contribuyen a que se formen grietas microscópicas. Si bien es el corte el que provoca el deslizamiento cristalino, la grieta se extiende en la dirección de un plano sometido a tracción. El diseño para evitar fallas estáticas es relativamente sencillo, pero el fenómeno de falla por fatiga es mucho más complicado de predecir.

¡ La determinación de la resistencia a fatiga es ardua, costosa y lenta ! Para determinar la resistencia a fatiga, generalmente se utiliza una máquina rotativa que hace girar una probeta en voladizo mientras se aplica un momento f lector constante en el tiempo. La sección de la probeta varia a lo largo del voladizo para lograr que la tensión alterna sea la misma en todos los puntos de la superficie exterior de la probeta. El límite de fatiga ( o endurancia ) de un material es la tensión invertida ( alterna ) máxima que puede ser aplicada un número indefinido de veces sin que se produzca la falla de una probeta normalizada sometida a flexión. El conjunto de conocimientos disponibles acerca de la falla por fatiga que ocurre cuando N > 1000 ciclos se clasifica como fatiga de ciclos altos, y se reserva la denominación fatiga de ciclos bajos para los casos donde N < 1000. Se denota con N al número de ciclos de carga alterna. El primer estudio serio sobre fatiga se debe a Wöhler y se remonta al año 1870. Este pionero fabricó varias máquinas de ensayo de fatiga y realizó numerosos ensayos sobre probetas de distintos materiales, llegando a la conclusión que no sólo importa la tensión máxima, sino el rango de tensiones ( V máx V mín ), y que existe un rango límite por debajo del cual la probeta tiene vida infinita. En épocas posteriores se estudiaron intensamente las propiedades de diferentes materiales bajo distintas condiciones de carga y medio ambiente. Se han ensayado tanto probetas como piezas y se ha estudiado como afecta la concentración de tensiones a la resistencia a fatiga. Transcurridos más de ciento cuarenta años desde los primeros experimentos de Wöhler, y a pesar de todos los progresos en la materia, las fallas por fatiga siguen ocurriendo aún en piezas que fueron diseñadas a fatiga. Frecuentemente, estudios posteriores a la falla muestran que durante el diseño se ignoró alguno de los tantos aspectos involucrados en el problema.

¡ A veces las razones de la falla parecen obvias después de ocurrida la falla ! Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

278


2 CONCENTRACIÓN DE TENSIONES En las irregularidades o discontinuidades, como huecos, ranuras, muescas, chaveteros, etc., la tensión máxima V máx es mayor que la tensión nominal V o que se calcula ignorando tales discontinuidades. En estas situaciones se define el factor de concentración de tensiones teórico o geométrico Kt

Kt

V máx Vo

o

V máx

Kt V o

(1)

que permite calcular la tensión máxima en la inmediata cercanía de una entalla. Los valores de Kt se determinaron en forma experimental, principalmente en la década del `50 del siglo pasado, y fueron tabulados en gráficos para las situaciones más habituales. En el Anexo 1 se presentan a modo de ejemplo 16 casos que incluyen barras rectangulares y ejes solicitados a tracción, f lexión y torsión. La fórmula para la tensión nominal V o (o W o ) se da en cada gráfico. Es importante notar que Kt sólo depende de la geometría de la pieza y del tipo de solicitación:

¡ K t no depende del material !

(2)

2.1 Tensiones estáticas

¯

Material dúctil

En el caso de materiales dúctiles se admite una plastificación localizada ( f luencia ), en la inmediata cercanía de la entalla durante la primera aplicación de la carga máxima. Cuando se quita la carga, la zona próxima a la entalla queda con tensiones residuales de signo opuesto al que produce la carga. Para aplicaciones posteriores de la carga máxima, la tensión causada por la carga más la tensión residual no supera fluencia. Por ello:

¡ El factor Kt no se utiliza en el caso de material dúctil bajo carga estática !

¯

(3)

Material frágil Los materiales frágiles no entran en f luencia y fallan debido a la tensión máxima, por lo tanto:

¡ El factor Kt debe utilizarse en el caso de material frágil bajo carga estática !

(4)

2.2 Tensiones alternas En el caso de tensiones alternas las entallas inciden de manera diferente. Es necesario definir un nuevo factor para tener en cuenta el efecto de concentración de tensiones en las proximidades de una entalla:

K f es el factor de concentración de tensiones en fatiga

(5)

tal factor está relacionado con el valor teórico Kt a través de la sensibilidad a la entalla q :

sensibilidad a la entalla

q

K f 1 Kt 1

Kf

1 q ( Kt 1)

(6)

De esta manera la sensibilidad q está comprendida entre cero y uno:

q 0 q 1

Kf Kf

1 Kt

no hay concentración de tensiones. hay concentración igual que en el caso estático.

(7)

Durante mucho tiempo se consideró que la sensibilidad sólo dependía del material. Este criterio simplifica enormemente la determinación experimental del valor de q , pero generalmente se traduce en valores muy bajos para K f , lo que es inseguro ! Los experimentos muestran que:

¡ La sensibilidad q depende del material y del radio de la entalla !


279

(8)


Neuber propuso la siguiente expresión:

q

1 (9)

U/r

1

donde r es el radio de la entalla y U es un parámetro que depende del material.

¯

Para aceros se puede utilizar para U la siguiente expresión basada en la tensión de rotura Su :

Su

rU

A

kg / cm 2

cm

2, 297

kg / mm 2

mm

2, 257

Kpsi

inch

1,067

½ ° 0, 223 °° ¾ 0,397 ° ° 0,177 °¿ B

o

U

ª¬ A B ln Su º¼

4

(10)

donde ln indica logaritmo neperiano, A y B dependen de las unidades usadas para Su y U .

¯

Para la aleación de aluminio 2024 se puede utilizar la siguiente expresión para la sensibilidad:

r en mm

o

q

0,52 r 0,34 ....... r d 3 mm °° ® ° 1 0,73 ....... r ! 3 mm °¯ r

(11)

¯ En el caso de acero fundido se puede utilizar: q

(12)

0, 2

porque la sensibilidad a la entalla de la fundición es muy baja: varía entre 0 y 0,2. De tal manera estamos del lado de la seguridad cuando usamos el valor máximo en todos los casos !

2.3 Tensiones fluctuantes Se considera que la tensión variable está compuesta por dos partes:

tensión media V m

1 2

(V máx V mín )

tensión alterna V a

1 2

(V máx V mín )

(13)

La tensión media se trata como carga estática, por lo tanto se adopta el criterio indicado en la siguiente tabla para aplicar los factores de concentración de tensiones: Material

m

a

Dúctil

1

Kf

Frágil

Kt

Kf


280

(14)


3 TENSIONES ALTERNAS Para determinar las propiedades de un material sometido a la acción de una tensión alterna de un valor determinado, se deben realizar ensayos midiendo en varias probetas el número de ciclos de carga aplicados hasta que se produce la rotura de la probeta por fatiga con esa tensión. Para cada valor de la tensión es necesario ensayar varias probetas porque los resultados presentan mucha dispersión. Esa serie de ensayos debe repetirse para un gran número de valores de la tensión para poder trazar la curva de la vida ( ciclos ) en fatiga en función de la tensión alterna, conocido popularmente como diagrama S N o curva de Wöhler. Por razones históricas se grafica la tensión S ( stress) en ordenadas y la vida en fatiga N ( ciclos ) en abscisas, como se muestra en la Figura 1. El valor N del gráfico corresponde a la mediana ( 50 % de supervivencia ), de las vidas obtenidas para un dado nivel de tensión S N , o bien se puede trazar para un valor de supervivencia mayor ( digamos 95 % ) .

Figura 1: Diagrama S - N de un acero típico

El diagrama S N generalmente se traza en papel semilog. o log-log. En el caso de aceros, gran parte del gráfico se transforma en una recta al tomar logaritmos, pero existe un quiebre notorio en el diagrama en la proximidad del valor N 106 a partir del cual se tiene una recta horizontal. Para valores de la tensión alterna menores a un valor Sec ( endurance ), conocido como límite de fatiga, se supone que la probeta tiene duración ilimitada.

Acero

S Sec

N ! 106

vida ilimitada

(15)

En el caso de materiales no ferrosos como el aluminio no existe un quiebre tan notorio y se tiene un gráfico como el de la Figura 2.

Figura 2: Diagrama S - N de un aluminio típico

Como el límite de fatiga no existe, se define la resistencia a fatiga de una manera un tanto arbitraria asociándola a una duración determinada, por ejemplo 107 ciclos:

Aluminio

N | 107

S

Sec

(16)

En el caso de pistones de aluminio se suele usar N | 5 x 108 que corresponde a unos 600.000 kilómetros de recorrido. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

281


3.1 Estimación del límite de fatiga de un material Sec Debido al alto costo de los ensayos para determinar el límite de fatiga de un material, en la mayoría de los casos se usa un valor estimado para Sec . Notar que usamos Sec para referirnos a la probeta de ensayo, perfectamente pulida y sin entallas, y reservamos la notación Se para la pieza real. En la Figura 3 se ha graficado el límite de fatiga Sec en función de la resistencia a rotura Su para varios tipos de acero. Se observa que en la mayoría de los casos la relación Sec / Su está comprendida entre 0,4 y 0,6.

Figura 3: Límite de fatiga Sec en función de la resistencia a rotura S u

Cuando Su ! 140 kg / mm 2 el límite de fatiga deja de crecer con Su y se estabiliza en un valor promedio próximo a 70 kg / mm 2 . Existe abundante bibliografía donde consultar las propiedades de los materiales en fatiga, pero en el caso de un diseño preliminar y en la solución de la mayoría de los problemas de este curso se puede estimar el límite de fatiga de una manera simple como se indica a continuación.

¯

En el caso de aceros: El límite de fatiga Sec ronda el 50 % de la resistencia a rotura Su , pero no supera los 70 kg / mm 2 .

Su o kpsi MPa kg / cm 2 kg / mm 2 ½ ¾ o S M o 100 690 7000 70 ¿

Sec menor 0,5 Su , S M

(17)

Para estimar Su en aceros se pueden usar las tablas de los Anexos 2-a, 2-b y 2-c. Recordar que Su puede estimarse en función de la dureza Brinell del acero como:

HB 400

o

Su en [kg / cm 2 ] | 35 x HB

(18)

¯

En el caso de fundición gris ............... usar la tabla del Anexo 2-f para determinar Su y Sec .

¯

En el caso de aleaciones de aluminio ..... usar la tabla del Anexo 2-d para determinar Su y Sec . El límite de fatiga Sec ronda el 40 % de la resistencia a rotura Su , pero no supera los 13 kg / mm 2 .

Su o kpsi MPa kg / cm 2 kg / mm 2 ½ Sec menor 0, 4 Su , S L (19) ¾ o S L o 19 131 1340 13 ¿ Como las aleaciones de aluminio no presentan un límite de fatiga, se define como Sec al valor que corresponde a 107 ciclos. En el caso de vida limitada deben adecuarse (29), (31) y (32), el límite es ahora 107 en lugar de 106 y se reemplaza @±!#! b en (31).


282


3.2 Límite de fatiga de una pieza Se El límite de fatiga de una pieza real Se es siempre inferior al obtenido ensayando una probeta perfectamente pulida Sec . Existen muchos factores que modifican el límite de fatiga: Material: composición química, modos de falla, variabilidad. Proceso: método de fabricación, tratamiento térmico, terminación superficial. Ambiente: corrosión, temperatura, estado de esfuerzos, tiempo de relajación. Diseño: tamaño, configuración, velocidad, desgaste.

fT f C f S f1 f 2 . . . . . Sec

Se

(20)

donde los f son factores: fT de Tamaño, f C de tipo de Carga, f S de Superficie, f1 , f 2 ... otros efectos.

¯

Factor de tamaño fT En el caso de ejes rotatorios de acero:

d en mm

o

fT

° 1, 24 d 0,107 ....... 3 d d d 51 ® 0,157 ....... 51 d d d 254 °¯ 1,51 d

(21)

En el caso de ejes no rotatorios se utiliza (21) considerando un diámetro equivalente d e cuya deducción se puede consultar en la referencia [1]. En (22) se dan dos ejemplos:

0,37 d ............ sección circular de diámetro d ® ¯ 0,88 a b ...... sección rectangular de lados a y b En el caso de tensión axial sola no existe efecto de tamaño: tensión axial o fT 1 de

¯

(22)

(23)

Factor de tipo de carga f C

La resistencia a fatiga Sec se obtiene con un ensayo de carga de f lexión alterna. Para otro tipo de carga los resultados son diferentes y se los puede tener en cuenta con el factor f C .

flexión o f C

1

axial o f C

torsión pura o f C

0,85

0,59

(24)

El factor 0,59 sólo se aplica para torsión pura. Cuando la torsión es combinada con otro tipo de carga debe usarse f C 1 porque en la tensión combinada la torsión es tenida en cuenta por el criterio de Von Mises (0,577) o Tresca (0,5).

¯

Factor de superficie f S a Su

fS

Para el caso de aceros

constantes o unidades de Su o Rectificado................................. Maquinado o estirado en frío..... Laminado en caliente................. Forjado ......................................

kpsi 1,34 2,70 14, 4 39,3

b

MPa 1,58 4,51 57,7 272

(25) a kg / cm 2 kg / mm 2 1,92 1,30 8,33 2, 46 305,6 11, 2 2750 28,7

b p 0,085 0, 265 0,718 0,995

(26)

o

El factor de superficie f S puede también aproximarse por una ecuación de 2 grado:

Su en ª¬ kg / mm 2 º¼

o

fS

Rectificado (esmerilado) .......... Maquinado o estirado en frío .... Laminado en caliente ................ Forjado ..................................... Agua común .............................. Agua salada ............................... Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

ª a0 a1 Su a2 Su 2 º x 10 2 ¬ ¼ a0 a1 a2 98 0,122 0,00037 103 0, 430 0,00122 101,7 0,857 0,00260 83,5 0,787 0,00258 96 0,981 0,00313 68,6 0,724 0,00223

283

(27)

(28)


Se d S N d 0,9 Su

3.3 Resistencia a fatiga con vida limitada S N

Usando escala logarítmica para ambas variables del diagrama S N , se adopta una relación lineal como la mostrada en la Figura 4 uniendo los puntos: (29) 103 R 0,9 Su ; 106 R Se

log10 S N

log10 a b log10 N

o

SN

a Nb

(30)

Figura 4: Diagrama S - N

0,9 Su

2

§ 0,9 Su · 1 1 (31) log10 ¨ c ¸ ; 3 Se b © Se ¹ La ecuación (30) permite despejar la vida en fatiga para un dado nivel de tensión alterna S N :

y de ese modo resulta

a

b

;

½° ¾ Se d S N d 0,9 Su °¿

103 d N d 106

c

§ a · o SN (32) N ¨ ¸ b N © SN ¹ Estas expresiones son válidas para la probeta de ensayo ( usando Sec ), y también en el caso de una pieza donde S N contiene todas las reducciones ( tamaño, terminación superficial, etc. ) . Los aceros de muy alta resistencia tienen una relación Sec / Su muy baja, y al incluir los factores de reducción por tamaño, terminación superficial, etc., se obtienen valores extremadamente bajos para la relación Se / Su . En tales casos, la propiedad de muy alta resistencia Su parece perderse cuando se espera vida ilimitada en fatiga debido al valor tan bajo de Se respecto de Su . Por el contrario la relación S N / Su crece rápidamente cuando se espera vida limitada y se recupera la buena performance del acero de alta resistencia !

a

3.3.1 Incidencia de la tensión alterna S N en la vida N Planteando la ecuación (32) para dos valores de la tensión alterna, digamos S N y S N1 , se tiene: c

b b § S · § N · § N · o S N1 S N ¨ N1 N ¨ N ¸ ¨ ¸ ¸ ; ¨ SN ¸ S N © N1 ¹ © N1 ¹ © 1¹ Para visualizar el efecto se puede considerar un caso típico. Supongamos que:

S N1

(33)

§ 0,9 Su · Se' 0,5 Su ½° 1 (34) o Se 0,3 Su o b log 10 ¨ ¸ 0,16 o c 6 '¾ 3 Se 0,6 Se °¿ © 0,3 Su ¹ Se observa claramente que la vida en fatiga decrece aproximadamente con la sexta potencia de la tensión alterna. A modo de ejemplo podemos decir que: ¡ un aumento del 20 % en la tensión puede reducir la vida a un tercio de su valor anterior ! 3.3.2 Incidencia del coeficiente de seguridad C S en la vida N Cuando V m 0 , la incidencia del CS utilizado en las tensiones sobre la vida en fatiga N es la misma que tiene la tensión alterna S N sobre la vida en fatiga ! c b § CS · S N1 CS1 § N · ° S N1 CS1 K f S a (35) Vm 0 ® o o CS1 CS ¨ ¸ ¸ ; N1 N ¨¨ ¸ SN CS © N1 ¹ ¯° S N CS K f S a © CS1 ¹ Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

284


4 ESFUERZOS FLUCTUANTES. TENSIONES UNIAXIALES El proyectista debe adoptar un modelo idealizado para la variación de la tensión en función del tiempo ( del tipo senoidal ) . A partir de los valores promedio máximo y mínimo se calcula una tensión media V m y otra alterna V a como se indica en la Figura 5-a:

tensión media V m tensión alterna V a

1 2 1 2

(V máx V mín )

(36)

(V máx V mín )

Por su definición, V a resulta siempre positiva, pero V m puede resultar de compresión. La tensión media V m no es necesariamente la parte de la tensión fija en el tiempo ( es sólo un promedio entre el valor máximo y el mínimo ) . Por ejemplo en la Figura 5-b se tiene:

V

V 0 sen (at ) cos (2at ) o ® máx ¯ V mín

2,00 V o ® m 1,12 ¯ Va

0, 44 1,56

(37)

Figura 5: Componentes de la tensión variable en el tiempo

A partir del cociente entre la tensión mínima V mín y la tensión máxima V máx se caracterizan distintos tipos de carga: R

Relación de tensiones

V mín d1 V máx

(38)

R 1 ............. esfuerzo estático .......... o problema de f luencia o rotura. R 0 ............ esfuerzo repetido ........ entre.... V mín R

1 .......... esfuerzo alterno ........... V mín

0 y V máx .

V máx .

Otro valor .... esfuerzo fluctuante ...... V m z 0 . Empleando tensiones adimensionales V m / Su , V a / Se , se pueden poner en un mismo gráfico los resultados de ensayos de varios tipos de aceros, como se muestra en la Figura 6:

Figura 6: Resultados adimensionales de ensayos de varios tipos de aceros

Cuando V m es de compresión, dificulta la propagación de la grieta y sólo interesa el valor de la tensión alterna V a , la resistencia incluso aumenta respecto al caso V m 0 . Cuando V m es de tracción favorece la propagación de la grieta ( lo que es perjudicial ), y debe adoptarse una curva de interacción entre tensiones medias y alternas como se indica en la Subsección siguiente. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

285


4.1 Criterios de falla por fatiga para tensiones fluctuantes En esta Subsección se resumen las principales propuestas para la curva de interacción entre tensiones medias y alternas que provocan la falla por fatiga. Las mismas están graficadas en la Figura 7 para un caso típico; y se justifican por los ensayos mostrados en la Figura 6.

Recta de Soderberg .......

CS V m Sy

Recta de Goodman ........

CS V m Su

CS K f V a Se

CS K f V a Se

1

(39)-a

1

(39)-b

1

(39)-c

1

(39)-d

1

(39)-e

2

CS K f V a §C V · Parábola de Gerber........ ¨ S m ¸ Se © Su ¹ 2

§ C V · § CS K f V a · Elipse de Marín ............. ¨ S m ¸ ¨ ¸ Se © Su ¹ © ¹

2

4

CS K f V a §C V · Curva de Bagci .............. ¨ S m ¸ Se © Su ¹ En el caso de carga alterna sola donde V m

Vm

0

0 , todos los criterios coinciden:

Todos los criterios CS K f V a / Se 1

Se / ( K f V a )

CS

(40)

La mayoría de las curvas de interacción son empíricas. La recta de Soderberg es el criterio más conservativo. La recta de Goodman es más realista que la recta de Soderberg y se usa con frecuencia. La curva de Marín tiene deducción analítica: la elipse se obtiene al igualar la energía elástica de deformación en el caso de la probeta rotatoria con la correspondiente al estado tensional originado en las tensiones f luctuantes, pero eso no la hace más exacta.

Figura 7: Curvas de interacción entre tensiones medias y alternas que provocan la falla por fatiga

Se contiene todas las reducciones

En todos los casos:

Vm ! 0

y

(41)

Cuando la tensión media es de compresión no produce daño por fatiga, pero debe considerarse la posibilidad de falla por f luencia en compresión.

¡ Cuando m 0 o sólo se considera la tensión alterna en el cálculo a fatiga !

(42)

4.2 Verificación a fluencia El criterio de Soderberg es tan conservativo que excluye por sí mismo la posibilidad de falla por f luencia. Todos los restantes criterios necesitan que se verifique por separado que la tensión máxima, considerada como tensión estática, no produce falla por fluencia. La recta que representa la falla por f luencia en la Figura 7 separa dos zonas asociadas a diferentes modos de falla ( f luencia o fatiga).

material ½ CS ¾ dúctil ¿

Vm Sy

Va

1


(43)-a

material ½ CS Kt V m V a ¾ frágil ¿ Su

286

1

(43) (43)-b


4.3 Coeficiente de seguridad a fatiga para tensiones fluctuantes m ! 0 El coeficiente de seguridad a fatiga para los diversos criterios se puede despejar de las ecuaciones (39). Para simplificar la notación se usan tensiones adimensionales medias m y alternas a : Soderberg ............ CS

1 / (m a)

(44)-a

Goodman ............ CS

1 / (m a)

(44)-b

Gerber ................. CS

(

(44)-c

Marín ................... CS

1/

a 2 4 m 2 a ) / (2 m 2 ) m2 a 2

(44)-d

Bagci .................... CS m 4 (CS ) a 1 4

Vm

m

donde

Su

; m

Vm

; a

Sy

Va

Kf

(44)-e

!0

Se

(45)

Cuando se aplica el criterio de Bagci hay que resolver la ecuación de 4 q grado (44)-e para determinar el CS . Si las tensiones medias son pequeñas se puede aproximar el CS iterando: 4

4 1 ª¬ m CS i º¼ 1 m/ a m (46) cuando 0,6 o CS 1 | o CS i 1 a a a A modo de ejemplo en (47) se presentan los CS provistos por los diferentes criterios para el caso de la Figura 7, cuyos datos son:

Sy

0,75 Su ;

Ec. (45)

Se

a

Kf

Vm

0, 4 Su ;

Va Se

0, 225 ;

Criterio Soderberg Goodman (44)-a (44)-b Ecuación CS

2,28

2,60

Va

0,16 Su ;

m

Vm

0,16 ;

Su

0,06 Su ;

m

Vm Se

Kf

1,5

0, 2133

Gerber

Marín

Bagci

Fluencia

(44)-c

(44)-d

(44)-e

(43)-a

3,25

3,62

3,82

3,41

(47)

Notar que los distintos criterios de interacción proveen resultados muy diferentes ! 4.4 Criterios para vida limitada en fatiga bajo tensiones fluctuantes Cuando se desea obtener un determinado CS para un estado de tensiones f luctuantes ( V m , K f , V a ) y el primer miembro de alguna de las ecuaciones de diseño (39) resulta mayor que la unidad, se puede aceptar vida limitada reemplazando Se por S N para así satisfacer la ecuación de diseño. En tales casos se despeja en esas ecuaciones el límite de fatiga con vida limitada S N asociado al estado de tensión fluctuante:

donde:

Soderberg

SN

A / (1 M )

(48)-a

Goodman

SN

A / (1 M )

(48)-b

Gerber

SN

A / (1 M )

(48)-c

Marín

SN

A/

Bagci

SN

A / (1 M 4 )

A CS K f V a ;

M

C S V m / Su ;

2

M

(1 M 2 )

(48)-d (48)-e

CS V m / S y

(49)

y con ese valor de S N se determina la vida limitada en fatiga N usando (32). En el caso de carga alterna sola ( V m 0) , todos los criterios coinciden porque M M todos los denominadores en (48) se hacen iguales a la unidad. Se tiene S N A , por lo tanto:

Vm

0

Todos los criterios


287

SN

CS K f V a

0 y (50)


4.5 Determinación del modo de falla en función de R mín / máx Si las tensiones varían dentro de un rango pequeño como se indica esquemáticamente en la Figura 8-b, podemos intuir que no habrá problema de fatiga y el modo de falla será fluencia.

Figura 8: Distintos rangos de variación de la carga

Observando el gráfico de la tensión adimensional variable V /V máx de la Figura 8-a donde se indica la relación de tensiones R definida en (38), podemos anticipar que:

1 R 1

no es un problema de fatiga Cabe entonces formularse la siguiente pregunta: ¿Cuál es el rango de R para el cual el modo de falla es fatiga? R Ro el modo de falla es fatiga R ! Ro el modo de falla es fluencia Existen dos casos extremos: R 1 o carga estática o el modo de falla es f luencia R 1 o carga alterna o el modo de falla es fatiga

(51)

(52)

(53)

En el caso de tensiones fluctuantes (1 R 1) , estamos interesados en determinar los parámetros que influyen sobre R o para ganar sentido físico del problema. Para facilitar la formulación, definimos otra relación de tensiones: la pendiente de la línea de tensiones, que denominamos p ( ver Figura 9 ) . Va V mín 1 p p ; R o R (54) Vm V máx 1 p Cambiamos el problema de determinar R o por otro más simple: calcular la pendiente po .

Figura 9: Determinación de la zona donde el modo de falla es fatiga

Observando que el modo de falla es fatiga cuando el punto representativo de las tensiones cae en la zona sombreada de la parte izquierda del gráfico, podemos anticipar que: Las chances de que el modo de falla sea fatiga aumentan cuando: 1. aumenta S y / Su ...... ( la recta de falla por fluencia se corre hacia la derecha ). 2. aumenta K f .......... ( la curva de falla por fatiga baja ). 3. disminuye Se / Su ... ( la curva de falla por fatiga baja ). 4. el criterio de falla se hace más conservador: Bagci, Marín, Gerber, Goodman y finalmente Soderberg ( ver curvas en la Figura 7 ). Lo anterior es un planteo conceptual, a continuación se desarrollan las ecuaciones para encontrar el valor po asociado a los diversos criterios. Posteriormente R o se obtiene mediante (54). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

288


Hay que encontrar la intersección de la recta de falla por fluencia con la línea de tensiones definida por la pendiente po .

línea de fluencia línea de tensiones

° CS V m o o ® °¯ CS V a o

CS V a S y CS V m CS V a o po CS V m o

S y / 1 po

(55)

po S y / 1 po

Los valores dados en (55) deben satisfacer el criterio de falla utilizado, ecuación (39), lo que permite despejar la pendiente po : Soderberg

po

Goodman

po

0

Ro

1

modo de falla fatiga si R 1

(56)-a

D 1 1 E

(56)-b

(2 E ) E 2 4 ( E 1) (1 D 2 ) 2

Gerber

po

Marín

po

(56)-c

2 ( E 1) 1 ( E 2 1) (1 D 2 ) E 2 1

1

(56)-d

4

§ D · pE Bagci 1 o po ¨ ¸ 1 po © 1 po ¹ Sy Sy donde: Kf D ; E Su Se Las expresiones (56) muestran explícitamente la incidencia de cuatro factores: 1) K f 2) S y / S e 3) S y / S u 4) el criterio utilizado Ejemplo: Resultados de un caso realista Criterio po Ro

Soderberg 0 1

Kf

Goodman 0,100 0,818

S y / Se

1,5 ; Gerber 0,242 0,610

2 ;

S y / Su

Marín 0,371 0,459

(56)-e (57)

(58) (59)

0,8

Bagci 0,430 0,399

(60)

Notar que al aplicar distintos criterios de falla se obtienen resultados muy diferentes, en este caso: Cuando Cuando

V mín ! 0, 40 V máx Bagci considera que el modo de falla es fluencia. V mín 0,82 V máx Goodman considera que el modo de falla es fatiga.

No deben extraerse conclusiones apresuradas ya que estos resultados corresponden a un caso particular ( aunque es bastante realista ) . Existe mucha dispersión en los valores de R o como puede observarse en (61) donde se consideran a modo de ejemplos dos nuevos casos (caso I y caso II ). Caso I II

Kf 1 2

Sy / Su 0,7 0,9

Sy / Se 1,4 2,5

Goodman 0,143 0,951

Gerber 0,356 0,889

Marín 0,396 0,755

Bagci 0,426 0,756

(61)

Notar nuevamente las grandes diferencias entre los distintos criterios. Notar que existen situaciones donde V mín tiene distinto signo que V máx ( R o 0 ), y aun así algunos criterios no lo consideran un problema de fatiga ! IMPORTANTE: Todo lo tratado en esta sección tiene por objeto ganar concepto físico. Dado un problema de tensiones fluctuantes y adoptado un criterio de interacción, se puede determinar el modo de falla de dos maneras: a) Calculando po correspondiente al criterio adoptado (56) y luego R o usando (54). b) Calculando el CS1 a fatiga según la Subsección 4.1, ecuación (39), y el CS a fluencia 2 usando (43). El modo de falla está asociado al menor de esos coeficientes CS , CS . 1

2

¡ El procedimiento b) es más simple y contundente ! Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

289


5 TENSIÓN EQUIVALENTE POR FATIGA E Algunos autores definen una tensión equivalente por fatiga V E para ser utilizada de la misma manera que las tensiones efectivas originadas en tensiones estáticas ( fijas ) :

VE

o

S y /V E

CS

(62)

Por ejemplo, este concepto de tensión efectiva es muy utilizado en la referencia [4].

5.1 Tensión equivalente por fatiga V E según Soderberg Observando el gráfico de la Figura 10, se puede determinar el coeficiente de seguridad CS según Soderberg partiendo de los valores de la tensión media V m y alterna V a como:

CS

0B /0A

(63)

El punto A tiene coordenadas ( V m , k f V a ) y el punto B es la intersección de la recta 0A con la línea de falla de Soderberg, que une el punto de falla por fatiga bajo tensión alterna actuando sola V a Se , con el punto de falla por f luencia bajo carga fija (V m S y ) .

Figura 10: Determinación de la tensión equivalente en fatiga ( criterios de Soderberg y Goodman )

La línea de puntos AA' es una recta que pasa por el punto A y es paralela a la recta de falla de Soderberg. Debido al paralelismo entre las rectas, todos los puntos ubicados sobre la línea AA' tienen el mismo CS . Por proporcionalidad entre los segmentos de rectas definidos por tres rectas paralelas ( la tercera paralela pasa por el origen 0), se tiene:

Sy 0B 0B' (64) VE 0A 0A' El valor de V E en función de los datos ( V m , k f V a ) se determina por semejanza de triángulos: CS

VE Vm

kf Va

Sy

Se

o

VE

Vm (K f Va )

Sy

(65)

Se

5.2 Tensión equivalente por fatiga V E según Goodman

El criterio de Goodman propone como línea de falla a la recta que une los puntos 0, Se y S , u 0 mostrada en línea de trazos en la Figura 10. Repitiendo el desarrollo anterior reemplazando S y por Su y V E por V e se obtienen las nuevas versiones de (64) y de (65):

Ve Vm

kf Va

o

Ve

Vm ( K f Va )

Su Se Para poder seguir utilizando (62) reescribimos (66) como: CS

Sy

V

E

o

V E

Sy Su / V e

o

V E

Vm

Su Se

o

Sy

(K f Va )

Su

Su

CS

Ve Sy Se

(66)

(67)

El criterio de Goodman es el más recomendable porque no es tan extremadamente conservativo como el criterio de Soderberg. Recordar que al usar el criterio de Goodman debe verificarse por separado la posibilidad de falla por fluencia debido a la V máx . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

290


5.3 Tensión equivalente por fatiga según los distintos criterios Se aprovechan los valores del CS dado en las ecuaciones (44) para los distintos criterios de falla por fatiga en el caso de tensiones fluctuantes.

Sy

CS

VE

Sy

VE

o

(68)

CS

La tensión equivalente V E se puede poner como una tensión equivalente D originada en la tensión alterna aumentada a través de E por la tensión media V m .

Recta de Soderberg ................. V E

D 1 E Su / S y

(69)-a

Recta de Goodman .................. V E

D 1 E

(69)-b

Parábola de Gerber ................. V E

D 2E 2 /

Elipse de Marín ....................... V E

D

1 4 E 2 1

D

K f Va

Sy Se

Vm

E

;

K f Va

(69)-c

1 E 2

(69)-d

Curva de Bagci:.........cuando E 0, 4 o V E | D 1 E 4

donde:

(69)-e

Se Su

(70)

Notar que (69)-a coincide con (65) y (69)-b con (67).

5.4 Tensión equivalente de Soderberg para ejes En 1935 Soderberg publicó una expresión para el CS en el caso de ejes solicitados simultáneamente por esfuerzos variables de torsión y f lexión. Se puede definir V E de la siguiente manera:

Ve

V m ( K f V V a ) S y / Se

(71)-a

We

W m ( K f W W a ) S y / Se

VE

V e

2

3 W e

2

(71)-c

(71)

(71)-b

Nos referiremos a la ecuación (71) como la fórmula de Soderberg para ejes.

5.5 Determinación del modo de falla ( fatiga o f luencia ) Criterio de Soderberg Siempre que V a ! 0 , este criterio tan conservativo considera que el modo de falla es FATIGA independientemente del valor de la relación V m /V a . Otros criterios Los restantes criterios sólo consideran que el modo de falla es fatiga cuando la relación V m /V a toma valores inferiores a un cierto valor límite que depende del criterio utilizado. Cuando no se usa el criterio de Soderberg, se pueden calcular los CS para f luencia y para fatiga, y asociar el modo de falla al menor de esos coeficientes:

CS fluencia

Sy

V máx

, CS fatiga

Sy

VE

el menor CS determina el modo de falla

(72)

Utilizando los valores dados por las ecuaciones (69) de la Subsección 5.3 se tiene:

Cuando

V E ! V máx


Vm Va

291

el modo de falla es FATIGA

(73)


6 ESFUERZOS FLUCTUANTES. TENSIONES COMBINADAS Todo lo tratado anteriormente se refiere a tensiones fluctuantes uniaxiales y no es fácil de generalizar para considerar el caso de tensiones combinadas. El caso más frecuente de tensiones combinadas se da en los ejes sometidos a flexión y torsión. El caso más simple de tensiones combinadas ocurre cuando un eje es sometido sólo a torsión. La tensión de corte W provoca un estado biaxial de tensiones principales V 1 W , V 2 W , V 3 0 . Este caso suele tratarse por un procedimiento ad-hoc basado en resultados experimentales, pero puede también utilizarse el procedimiento general tratado en esta la Subsección 6.1.

6.1 Caso general de tensiones combinadas El procedimiento para tratar el caso general de tensiones combinadas es el siguiente: Paso 1. Se determinan las cargas medias y alternas, de cada esfuerzo por separado. Paso 2. Se calculan por separado los tensores de tensiones medias y de alternas, teniendo en cuenta todos los esfuerzos. Paso 3. Se computan las tensiones efectivas asociadas a los tensores del paso 2. Paso 4. Se aplica un criterio de falla para tensiones fluctuantes de la Subsección 4.1. 1. Se determinan las cargas medias Pm y las cargas alternas Pa , de cada esfuerzo por separado: Pm

1 (P P ) mín 2 máx

Pa

1 (P P ) mín 2 máx

(74)

2a. Se calculan las componentes ( V m , W m , etc. ) del tensor de tensiones asociado a las cargas medias:

W xy ªV x « cargas medias Pm o V ij Vy « m «¬ y del tensor de tensiones asociado a las cargas alternas:

ªV x « « «¬

a

cargas alternas Pa o V ij

W xy Vy

V xz º V yz »» V z »¼ m

(75)

V xz º V yz »» V z »¼ a

(76)

2b. Se aplica el coeficiente de concentración de tensiones ( Kt , K f ), correspondiente al tipo de material según la ecuación (14), al tipo de carga ( fija o alterna ), y al tipo de solicitación ( torsión, flexión, axial, etc.). 3. Se determinan tensiones efectivas asociadas a los tensores calculados en el paso 2 utilizando un criterio de falla adecuado para el tipo de material ( dúctil o frágil ).

material dúctil

o

(V m , V a ) Von MISES

(77)

material frágil

o

(V m , V a ) RANKINE

(78)

porque Es muy importante remarcar que (V m y V a ) no se calculan a partir de V máx y V mín ambas resultan positivas !

4. Se aplica un criterio de falla por fatiga de la pieza para tensiones uniaxiales, de acuerdo con la Subsección 4.1 o se aplica el concepto de tensión equivalente por fatiga, de la Sección 5. Importante: En este paso, cualquiera sea el procedimiento elegido, no se usa ni Kt ni K f porque en caso de ser necesario se deben considerar en el punto 2-b !!! El procedimiento propuesto en esta sección implica que: 1) todas las tensiones tienen la misma ley de variación en el tiempo y 2) el tensor (76) modificado por los coeficientes de concentración de tensiones es múltiplo del tensor (75), para que sea la misma fibra la que llega a la tensión efectiva

y a V mín . V máx Esta situación tan particular casi nunca se da, pero el procedimiento propuesto en esta sección puede aplicarse lo mismo estando del lado de la seguridad ! Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

292


6.1.1 Materiales dúctiles. Criterio de Von Mises La tensión efectiva de Von Mises en el caso más general se puede calcular a partir de las tensiones principales V 1 , V 2 , V 3 : * V m,a

§ ¨ ©

1 ª V V 2 V V 2 V V 2 º · 2 2 3 3 1 2 ¬ 1 ¼ ¸¹

(79) m,a

El cálculo de las tensiones principales puede evitarse usando directamente las componentes del tensor de tensiones V ij : * V m,a

(V x2 V y2 V z2 )

2 2 2 (V x V y V y V z V z V x ) 3 (W xy W yz W zx )

(80) m,a

En el caso de un estado plano el cálculo se simplifica bastante:

W xz W yz

Vz

0

* V m,a

o

2 V x2 V y2 V x V y 3W xy

(81) m,a

En el caso en que V x y V y varían en contrafase, al calcular V a debe hacerse una corrección en (81): 2 2 2 V xa V ya V xa V ya 3 W xya

V a

(82)

En el caso particular donde actúan sólo una tensión normal V y una cortante W ( teoría de vigas ), se tiene:

V m

Vm

2

3 Wm

K V Va

V a

2

2

f

3 K f W W a

2

(83)

Cuando sólo actúa un momento torsor la ecuación (83) se reduce a :

V m

3 Wm

V a

3

K W Wa f

(84)

6.1.2 Materiales frágiles. Criterio de Rankine Los materiales frágiles se usan muy poco en casos de tensiones variables. Deben tenerse presente dos aspectos importantes: 1) La tensión media se multiplica por el coeficiente de concentración estático Kt .

Kt V m

(85)

2) Se utiliza el criterio de falla de Rankine. En el caso más general deben evaluarse primero las tensiones principales medias V 1 , V 2 , V 3 m y alternas V 1 , V 2 , V 3 a y luego se determina la tensión efectiva:

V m , a

mayor V 1 , V 3

En el caso particular donde solo actúan vigas ), se tiene: § V * ¨ V m,a ¨ 2 ©

m,a

(86)

una tensión normal V y una cortante W ( teoría de 2

2 §V · ¨ ¸ W © 2 ¹

· ¸ ¸ ¹ m,a

(87)

6.2 Verificación a fluencia La verificación a fluencia debe realizarse por separado en la forma habitual determinando previamente la tensión efectiva con un criterio de falla adecuado para el material utilizado (Tresca, Von Mises, Rankine, etc. ) . tensiones V x , V y , W xy , etc.½

¾ o V máx o criterio de falla adoptado ¿


CS

293

Sy

V máx

donde: V máx z V m V a

(88)


7 COEFICIENTE DE SEGURIDAD DE KIMMELMANN En la formulación anterior se usó el coeficiente de seguridad CS para mayorar las tensiones y ubicar al punto representativo de las tensiones sobre la línea de falla (curva de interacción entre tensiones medias y alternas ). Partiendo de las ecuaciones (39) se despejaron las ecuaciones (44). Observando por ejemplo la ecuación (39)-a,

CS K f V a CS V m Sy Se

(89)

1

resulta obvio que podemos utilizar para las tensiones medias un coeficiente de seguridad distinto del utilizado para las tensiones alternas. Más aún, se pueden emplear distintos coeficientes de seguridad para distintas esfuerzos (ej.: momento f lector, momento torsor y/o axial). Denotamos como coeficiente de seguridad de Kimmelmann CSK a un coeficiente de seguridad no convencional que depende de las cargas de diseño y de la forma en que varían las cargas cuando crecen hasta producir la falla.

¡ CSK denota un coeficiente de seguridad no convencional !

(90)

Se adopta una línea de tensiones, en el gráfico que representa la ley de variación de las tensiones medias y alternas, en función de un multiplicador de tensiones que crece hasta producir la falla. A modo de ejemplo en la Figura 11 se bosqueja la determinación del coeficiente de seguridad en el caso de usar el criterio de Gerber. La línea de tensiones se inicia en el punto representativo de las tensiones de diseño y avanza hasta intersectar a la curva de falla, pudiendo ser una recta vertical ( línea a, cuando sólo varía V a ), una recta horizontal ( línea b, cuando sólo varía V m ), o una cierta curva ( línea c ). Cuando se define el CS convencional en la forma habitual la línea de tensiones es una recta que pasa por el origen de coordenadas ( línea d ).

Figura 11: Coeficiente de seguridad de Kimmelmann

Ejemplo A modo de ejemplo podemos pensar en un largo eje rotatorio horizontal de material dúctil, solicitado con un momento torsor T repetido ( que varía entre cero y un valor máximo T ). Debido al peso propio se produce un momento f lector alterno cuyo valor no tiene incertidumbre. En tal caso parece razonable ponerle el CS sólo al momento torsor T . Supondremos por sencillez que no hay concentración de tensiones:

Vm

0

Va

M W

Wm

Wa

1 § CS K T · ¨ ¸ 2 © 2W ¹

(91)

Utilizando la fórmula de Soderberg para ejes de material dúctil (71) se tiene:

Ve

M Sy ; We W Se

Sy · 1 § CS K T · § ¨ ¸ ¨1 ¸ Se ¹ 2 © 2W ¹ ©

o

Sy

V e

2

3 W e

2

(92)

La ecuación (92) permite despejar el CSK en el momento torsor variable. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

294


8 VARIOS NIVELES DE TENSIONES - DAÑO ACUMULADO La determinación de la vida en fatiga cuando las tensiones f luctuantes tienen varios niveles de carga es una tarea muy complicada. Si al menos uno de los niveles de carga provoca vida limitada debe utilizarse una teoría para daño acumulado.

S Ni ! S e

Ni 10

R

6

(93)

daño acumulado

La propuesta más simple para resolver el problema se debe a Palmgren (Suecia 1924), y Miner ( U.S.A. 1945), quienes propusieron la regla del daño acumulado lineal por la cual cada nivel de tensiones consume una parte proporcional de la vida en fatiga para ese nivel. Existe una gran cantidad de teorías sobre daño acumulado que pueden verse en [5].

8.1 Regla de Miner-Palmgren La regla de Miner establece que la falla por fatiga ocurre cuando la suma de los daños parciales es igual a la unidad: i k ni 1 (94) ¦ i 1 Ni

ni es el número de ciclos aplicados en el nivel de tensiones i , hay k niveles. Ni es la vida en fatiga si sólo se aplica el nivel de tensiones i , se determina utilizando (95) donde el diagrama S N (Figura 4) comprende tres zonas y los valores de a y c están definidos en (31):

S Ni

104 1 S N / Su ........... 0,9 Su d S N d Su i i ° c ° Ni (95) ® a / S Ni . .................... Se d S Ni d 0,9 Su ° 6 ° f ( Ni ! 10 ) ................ S Ni Se ¯ se determina según el procedimiento descripto en las ecuaciones (48). En cada uno de los niveles de carga, primero se calcula la resistencia a fatiga con vida limitada S Ni :

Niveles de tensiones alternas

V ai o S Ni

V m

CS K f V ai

Niveles de tensiones fluctuantes V m , V a i o S Ni

0 , ver Ec. (50).

consultar Subsección 4.4

Posteriormente se determina la vida N i usando (95). Por ejemplo, al aplicar el criterio de Soderberg (39)-a se tiene:

CS V mi Sy

¯

CS K f V ai S Ni

1

CS K f V ai 1 CS V mi / S y

o

(95) o Ni

(96)

vida ilimitada ( Ni ! 106 ) !

(97)

Cuando los ciclos en los distintos niveles de carga ocurren en forma aleatoria:

niveles mezclados

¯

S Ni

La Regla de Miner tiene una virtud extraordinaria: su simplicidad. Por esta razón es muy usada, pero tanta simplicidad ignora varios aspectos relevantes: 1) Una desventaja notoria es que no tiene en cuenta el orden en que se aplican los niveles de carga. 2) Esta regla admite que: ¡ En cualquier nivel donde S N Se se obtendrá vida ilimitada i independientemente del daño causado por los niveles anteriores !

S Ni S e

¯

o

6

resultados aceptables

(98)

Cuando los ciclos en cada nivel de tensiones se completan antes de iniciarse el nivel siguiente:

tensiones crecientes niveles ordenados ® ¯ tensiones decrecientes

6 resultados seguros 6 resultados inseguros

(99)

Esto último queda justificado cuando en el punto 8.3 se discute el gráfico de la Figura 12. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

295


8.2 Regla de Manson La regla de Manson, del año 1965, considera el orden en que se aplican los niveles de carga S1 , S 2 , S3 ... ¡ La Regla de Manson reactualiza el diagrama S N cada vez que cambia el nivel de tensiones para tener en cuenta el daño acumulado en el nivel anterior ! Utilizamos la siguiente notación:

SN

i

límite de fatiga para vida limitada asociado a la carga fluctuante en el nivel de tensiones i para ser usada en el diagrama S Ni Ni , provisto por (48) según corresponda.

Ni

vida en fatiga para S N después de aplicar el nivel de tensiones ( i 1 ).

ni

número de ciclos aplicados en el nivel de tensiones i .

N Ri

vida remanente después de aplicar el nivel de tensiones i .

i

Se i 1 nuevo límite de fatiga para vida infinita de la pieza después de aplicar el nivel de tensiones i . (31) a1 , b1 , c1

(95) N1

N1 n1

N R 1

(100)

Se define una nueva relación lineal del tipo (30) entre log S N2 y log N 2 para calcular la vida en fatiga en el nivel de tensiones 2 teniendo en cuenta el daño producido por el nivel 1. La recta se define por dos puntos conocidos:

103 R 0,9 Su

N R1 R S N1

(101)

esto permite calcular los nuevos valores de a, b y c que denominamos a2 , b2 y c2 :

b2

log10 0,9 Su / S N1

log10 N R 1 3

o

c2 1 / b2

y

a2

0,9 Su 1000 b 2

(102)

donde N R 1 debe ser mayor que 1000 y S N1 se determina usando (48) según corresponda. Para determinar la vida en el nivel de tensiones 2 se usa una expresión similar a (100). El nuevo límite de fatiga de la pieza dañada por el nivel de tensiones 1, se obtiene usando (30) con los valores provistos por (102) y haciendo N 10 6 :

Se2

a2 /1000000 b2

siendo: Se2 Se

(103)

El nuevo límite de fatiga Se2 definido en (103) nunca es negativo ni nulo. Notar que el gráfico de la Figura 12 puede inducir a error debido a la escala logarítmica adoptada para las tensiones !

Figura 12: Diagrama S-N de Manson para el material dañado

De la misma manera se procede para los siguientes niveles de carga. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

296


8.3 Diagrama S N de una pieza dañada en el caso de la regla de Miner Si bien, la regla de Miner no requiere trazar un nuevo diagrama S N para el material dañado, su aplicación lleva implícita una nueva recta paralela a la anterior que pasa por el punto ( S N1 , N R 1 ) . ¡ Es muy importante destacar que el límite de fatiga de la pieza dañada, según la regla de Miner, es el mismo que tenía la pieza inicialmente ! Todo esto se demuestra a continuación. Nivel de tensiones 1 La pieza está solicitada por una tensión f luctuante cuyo S N1 dado en (48) es superior al límite de fatiga Se :

Se S N1 0,9 Su

o

N1

a/S

c

log10 ( S N1 ) log10 a b log10 N1

o

N1

(104)

Nivel de tensiones 2 Para el nivel 2, la vida en fatiga N de la pieza dañada se determina por la regla de Miner:

n1 · § ¨1 ¸ N2 N1 N1 ¹ © donde N 2 se determina usando (95) a partir del valor de S N2 . n1

N N2

1

o

N

(105)

Cuando la tensión S N2 asociada al nivel 2 es menor que el límite de fatiga del material no dañado, al usar en (105) el valor que prevé (95) es N 2 f , y se obtiene vida ilimitada para la pieza dañada:

S N 2 Se

o

(95)

o N2

f o (105) o

N

f

(106)

Por lo tanto, según la regla de Miner el límite de fatiga del material dañado es el mismo que el del material no dañado. Cuando S N2 ! Se se obtiene vida limitada determinada por (95) y (105).

NR1 § a § N n1 · Se S N2 0,9 Su o N ¨ 1 ¨ ¸ N2 N1 ¨© S N2 © N1 ¹ En consecuencia el segundo tramo del nuevo diagrama S 2 N resulta: c

· ¸ ¸ ¹

c

(107)

b

§ a · § NR1 · (108) Se S N2 0,9 Su o N ¨ ¸ donde: a a ¨ ¸ ¨ SN ¸ © N1 ¹ © 2 ¹ Comparando (108) con (104) se observa que al usar escalas logarítmicas para S y para N , se obtienen rectas paralelas ( de igual pendiente b 1 / c ). Es fácil verificar que la nueva recta (108) pasa por el punto ( S N1 , N R 1 ) . Resumiendo: La vida en fatiga N en el nivel de tensiones 2, de la pieza dañada según la regla de Miner por el nivel de tensiones 1, se determina utilizando el nuevo diagrama S 2 N que comprende tres zonas [ a está definido en (108)]:

104 N R / N1 1 S N / Su .......... 0,9 Su d S N d Su 1 2 2 ° c ° (109) N ® a / S N2 ................................... Se d S N2 d 0,9 Su ° 6 ° f ( N ! 10 ) ................................ S N2 Se ¯ Aceptando que la recta de Manson es más adecuada para predecir la vida futura de una pieza dañada y teniendo en cuenta que las rectas de Miner y de Manson : 1. tienen pendientes distintas y 2. se cruzan en el punto ( S1 , N R1 ) se justifica plenamente la afirmación dada en (99), en cuanto a que: “si en los niveles últimos las tensiones decrecen, la Regla de Miner no es conservativa” ( ver gráfico en la Figura 12).


297


9. ENFOQUE PROBABILÍSTICO. CONFIABILIDAD La gran dispersión en los valores de la resistencia a fatiga, justifican plantear un enfoque probabilístico del tema. Existen tres formas de enfrentar el problema de fatiga: 1) Enfoque clásico determinístico Es el enfoque más utilizado, supone que las resistencias Su , S y , Sec , Se , S N , etc. son valores mínimos, es decir que la casi totalidad de la población tiene resistencia superior. Podríamos decir que la resistencia mínima Se es la resistencia media P Se menos 3 desviaciones estándar V Se , pero en realidad en el enfoque clásico se habla de resistencia mínima en un sentido muy poco preciso !

resistencia mínima

o Se

P Se 3 V Se

o

Prob ( Se ! Se ) 0,9987

(110)

2) Enfoque probabilístico débil Se supone como variable aleatoria sólo a la resistencia a fatiga, las restantes variables se consideran de manera determinística. Se utiliza la resistencia media P Se y la desviación estándar V Se para definir la confiabilidad del valor de Se . Desde el punto de vista matemático el procedimiento es muy simple, pero en la mayoría de los casos se desconoce el valor medio y la desviación estándar del límite de fatiga por lo costosos que resultan los ensayos para determinarlos ! 3) Enfoque probabilístico fuerte Se considera que todas las variables del problema de fatiga son variables aleatorias. Se habla de la distribución ( Gauss, Weibull, etc.) de las solicitaciones y la distribución de las resistencias a rotura, f luencia y fatiga. Este planteo raramente se utiliza por ser engorroso, además requiere una cantidad enorme de ensayos para proveer toda la información necesaria. Nos concentraremos en el enfoque probabilístico débil por ser muy simple de implementar. La confiabilidad C asociada a una resistencia dada SeC , se define como la probabilidad de que la resistencia de una pieza supere ese valor dado SeC .

confiabilidad o C

Prob ( Se ! SeC )

(111)

Aunque una distribución de Weibull ajusta mejor los resultados experimentales, es práctica habitual asumir una distribución de Gauss para el límite de fatiga. A partir de la media P Se y la desviación estándar V Se se define la variable estandarizada zC : S e P Se (112) zC C o zC o SeC

V Se

que permite calcular el límite de fatiga con una confiabilidad prefijada C :

SeC

P S e zC V S e

1 z

C

V S e / P S e P Se

mC P Se

(113)

a través del multiplicador de confianza mC y el valor medio de la resistencia a fatiga P Se :

C o zC

o

mC

1 zC V Se / P Se

o

SeC

mC P Se

(114)

En el caso de aceros el valor de V Se difícilmente supera el 8 % de P Se , por lo tanto podemos usar ese valor máximo para calcular los valores de mC dados en (115), estando del lado de la seguridad:

V Se P Se mC

½ C o ° ¾ o zC o ° mC o 1 0,08 zC ¿ 0,08

0,5 0,0 1,0

0,9 1, 288 0,897

0,95 1,645 0,868

0,99 2,326 0,814

0,999 3,091 0,753

(115)

El multiplicador de confianza mC definido en (113) puede agregarse en la ecuación de reducción de resistencia (20), pero en tal caso debemos utilizar el valor medio de P Se . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

298


10 DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA DE NIVELES DE TENSIONES La regla de Miner puede extenderse al caso donde el número de los niveles de tensiones fluctuantes tiende a infinito. Comenzamos con la forma clásica de la regla de Miner: n1 n 2 nm 1 (116) N1 N 2 Nm En el caso de tensiones f luctuantes mezcladas, se puede definir una frecuencia relativa pi para cada uno de los m niveles de tensiones: ni m n1 n 2 n m N ; pi o ¦1 pi 1 (117) N p N p1 N p N 1 m p (118) y se tiene: 1 o 2 . m ¦1 Ni N1 N2 Nm N i Esta expresión puede extenderse fácilmente al caso de una variable continua: 1 N

p(V )

³ NV (

dV

³ pV

donde:

(

)

)

dV

1

(119)

siendo V una tensión aleatoria en el intervalo (V mín d V d V máx ) con distribución de probabilidad p(V ) . Procedimiento: 1) A partir de la tensión V se expresan V m y V a como funciones de V . 2) Se calcula S N (V ) usando (48) de acuerdo al criterio de falla por fatiga adoptado. 3) Se calcula la vida en fatiga N (V ) correspondiente a la tensión variable S N (V ) usando (30). Los cálculos se simplifican utilizando una variable auxiliar “x” definida en el intervalo [0;1],

V ( x ) V mín x (V máx V mín )

(120)

adoptando una distribución de probabilidad p( x ) polinómica del tipo mostrado en la Figura 13 e integrando (119) a partir del valor xo que produce daño, el cual se despeja de la ecuación S N ( xo ) Se :

ª 1 p / N dx º ¬« ³xO ( x ) ( x ) ¼»

N

-1

(121)

Secuencia: (V mín , V máx ) (120) V ( x ) (13) (V m ( x ) ,V a ( x ) ) (48) S N (x) (30) 1. uniforme .......... p( x )

1

2. triangular ......... p( x )

2 (1 x)

3. parabólica 1 ..... p( x )

1,5 x (1 x 2 )

4. parabólica 2 ..... p( x )

6 x (1 x)

5. tipo normal 1 ... p( x )

30 x 2 (1 x) 2

6. tipo normal 2 ... p( x )

1,7647 x ^ 1 x [11 12 x ( x 2) ] `

N ( x ) (121) N

Figura 13: Algunas distribuciones polinómicas en el rango 0 d x d 1

Notar que se pueden usar otras distribuciones ( Normal, Weibull, etc. ). La ley normal puede expresarse en función de la media P y la desviación estándar G como:

p( z )

(e z / 2 ) / ( 2

2S

)

donde:

z

(x P) / G 3 d z d 3

(122)

Unidades

1 MPa

10, 2 kg / cm 2 ® ¯0,145 kpsi

1 kpsi

70,37 kg / cm 2 ® ¯ 6,9 MPa

1 inch pulgada 2,54 cm 1 pound 1 libra 0, 454 kg

(123)

Referencias 1) Budynas y Nisbett, Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, 9º Ed., McGraw-Hill, 2012. 2) Juvinall y Marshek, Fundamentals of Machine Component Design, 5º Ed., John Wiley, 2011. 3) Collins, Failure of Materials in Mechanical Design, 2º Ed., John Wiley & Sons, 1993. 4) Hall, Holowenko y Lauglin, Diseño de Máquinas, Series Schaum, McGraw-Hill, 1990. 5) Boresi y Schmidt, Advanced Mechanics of Materials, 6o Ed., John Wiley & Sons, 2003. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

299


ANEXO 1-a

Coeficiente de concentración de tensiones K t

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Caso 5

Caso 6

Caso 7

Caso 8


300


ANEXO 1-b Coeficiente de concentración de tensiones Kt Caso 9

Caso 10

Caso 11

Caso 12

Caso 13

Caso 14

Caso 15

Caso 16


301


ANEXO 2-a

Propiedades mecánicas de aceros laminados

Resistencia de aceros laminados en caliente (HR = Hot Rolled) y estirados en frío (CD = Cold Drawn). Valores mínimos para espesores de 18 a 32 mm de materiales que cumplen los requisitos de ASTM. 1 2 3 Número Número Proceso UNS SAE y AISI G10060

1006

G10100

1010

G10150

1015

G10180

1018

G10200

1020

G10300

1030

G10350

1035

G10400

1040

G10450

1045

G10500

1050

G10600 G10800 G10950

1060 1080 1095

ANEXO 2-b

4 Rotura

5 Fluencia

[ MPa ]

[ MPa ]

300 330 320 370 340 390 400 440 380 470 470 520 500 550 520 590 570 630 620 690 680 770 830

170 280 180 300 190 320 220 370 210 390 260 440 270 460 290 490 310 530 340 580 370 420 460

HR CD HR CD HR CD HR CD HR CD HR CD HR CD HR CD HR CD HR CD HR HR HR

6 7 8 Elongación % Reducción Dureza en 2 pulgadas % de área Brinell HB 30 20 28 20 28 18 25 15 25 15 20 12 18 12 18 12 16 12 15 10 12 10 10

55 45 50 40 50 40 50 40 50 40 42 35 40 35 40 35 40 35 35 30 30 25 25

86 95 95 105 101 111 116 126 111 131 137 149 143 163 149 170 163 179 179 197 201 229 248

Propiedades mecánicas de aceros y aluminios

1

2

3

#

Número

Material

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1018 1144 1212 1045 4142 303 304 2011 2024 7075

Acero al carbono Acero al carbono Acero al carbono Acero al carbono Acero aleado Acero inoxidable Acero inoxidable Aleación de aluminio Aleación de aluminio Aleación de aluminio


4

5 Tensión de Condición fluencia [ MPa ] Recocido 220 Recocido 358 Laminado en caliente 193 o 1520 Temp. y Rev. a 320 C o 1720 Temp. y Rev. a 320 C Recocido 241 Recocido 276 T6 169 T4 296 T6 542

302

6 Tensión de rotura [ MPa ] 341 646 424 1580 1930 601 568 324 446 593


ANEXO 2-c

Propiedades mecánicas de aceros con tratamiento térmico

Propiedades típicas de aceros normalizados y recocidos. Las propiedades de aceros templados y revenidos (Temp. y Rev.) son de una sola colada. Debido a la dispersión se dan valores promedios. En todos los casos los datos se obtuvieron de piezas de ½ ” de diámetro maquinadas de barras de una 1” de diámetro y la longitud de calibración fue de 2 pulgadas. (*) indica templado en agua y ( ³³ ) indica templado en aceite. 1

2 Número # AISI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

1030

1040

1050

1060

3 Tratamiento Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Normalizado Recocido ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. Normalizado Recocido Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Normalizado Recocido ³³

Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. Normalizado Recocido 1095 Temp. y Rev. ³³ ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. Normalizado Recocido 1141 Temp. y Rev. ³³ ³³ Temp. y Rev. 4130 Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Temp. y Rev. * Normalizado Recocido 4140 Temp. y Rev. ³³ ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. Normalizado Recocido ³³ 4340 Temp. y Rev. ³ ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev. ³³ Temp. y Rev.

4 5 6 7 8 9 Tensión de Temperatura Tensión de Elongación Reducción Dureza o C rotura [ MPa ] f luencia [ MPa ] % en 2” % de área Brinell HB 205 315 425 540 650 925 870 205 425 650 900 790 205 425 650 900 790 425 540 650 900 790 315 425 540 650 900 790 315 540 205 315 425 540 650 870 865 205 315 425 540 650 870 815 315 425 540 650


848 800 731 669 586 521 430 779 758 634 590 519 1120 1090 717 748 636 1080 965 800 776 626 1260 1210 1090 896 1010 658 1460 896 1630 1500 1280 1030 814 670 560 1770 1550 1250 951 758 1020 655 1720 1470 1170 965

303

648 621 579 517 441 345 317 593 552 434 374 353 807 793 538 427 365 765 669 524 421 372 813 772 676 552 500 380 1280 765 1460 1380 1190 910 703 436 361 1640 1430 1140 834 655 655 417 1590 1360 1080 855

17 19 23 28 32 32 35 19 21 29 28 30 9 13 28 20 24 14 17 23 18 22 10 12 15 21 9 13 9 18 10 11 13 17 22 25 28 8 9 13 18 22 18 26 10 10 13 19

47 53 60 65 70 61 64 48 54 65 55 57 27 36 65 39 40 41 45 54 37 38 30 32 37 47 13 21 32 57 41 43 49 57 64 59 56 38 43 49 58 63 47 57 40 44 51 60

495 401 302 255 207 149 137 262 241 192 170 149 514 444 235 217 187 311 277 229 229 179 375 363 321 269 293 192 415 262 467 435 380 315 245 197 156 510 445 370 285 230 302 197 486 430 360 280


ANEXO 2-d

Propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio

Propiedades típicas para tamaños de ½ pulgada. La resistencia a fatiga corresponde a 5x108 ciclos alternos. 1

2

3 Tensión de f luencia [ MPa ]

4 Tensión de rotura [ MPa ]

Número

Grado

5 6 Límite de Elongación % en 2” fatiga [ MPa ]

7 Dureza Brinell HB

O O T3 H12 H16 H34 H38 H32 H36

70 76 345 117 165 186 234 186 234

179 186 482 131 179 234 276 234 269

90 90 138 55 65 103 110 117 124

22 22 16 20 14 12 6 18 10

45 47 120 35 47 63 77 62 74

T6 T5 T6 T6 T7

165 172 207 172 248

248 234 289 241 262

69 83 103 62 62

2,0 1,0 1,5 3,0 0,5

80 100 105 80 85

Forjado 2017 2024 3003 3004 5052 Fundido 319* 333† 335*

* Molde de arena.

† Molde permanente.

ANEXO 2-e 1 Aleación de titanio

Propiedades mecánicas de aleaciones de titanio 2

3 Tensión de f luencia [ MPa ]

Condición

Ti-35A Ti-50A Ti-0.2 Pd Ti-5 Al-2.5 Sn Ti-8 Al-1 Mo-1 V Ti-6 Al-6 V-2 Sn Ti-6 Al-4 V Ti-13 V-11 Cr-3 Al

ANEXO 2-f

Recocido Recocido Recocido Recocido Recocido Recocido Recocido Sol. + envejecimiento

210 310 280 760 900 970 830 1207

4 6 7 Tensión de Elongación Dureza % en 2” Brinell-Rockwell rotura [ MPa ] 275 380 340 790 965 1030 900 1276

30 25 28 16 15 14 14 8

135 HB 215 HB 200 HB 36 HRC 39 HRC 38 HRC 36 HRC 40 HRC

Propiedades típicas de la fundición gris

El número ASTM para fundición gris es aproximadamente igual a la resistencia en tracción en kpsi. 1 Número ASTM 20 25 30 35 40 50 60

2 3 5 6 7 8 4 Rotura en Rotura en Rotura Módulo de elasticidad Límite de Dureza Coeficiente de [GPa] tracción compresión en corte fatiga concentración [ MPa ] [ MPa ] [ MPa ] [ MPa ] Brinell HB de tensiones Kt Tracción Torsión 152 179 214 252 293 362 431

573 669 752 856 966 1132 1294

179 221 276 335 393 504 611


66¤ _¤ 79` _ 90113 36 100119 4` 110138 130157 50 141 54¤

304

69 79 97 110 128 148 169

156 174 201 212 235 262 302

1,00 1,05 1,10 1,15 1,25 1,35 1,50


PRÁCTICO

Falla por Fatiga


1. Una barra rectangular con carga alterna de tracción tiene 6 cm de ancho, 1 cm de espesor y un agujero central de 1,2 cm de diámetro. Material Acero 1018 recocido – Terminación maquinado a) Hallar la carga alterna segura con CS = 1,8 para vida ilimitada. b) ¿ En qué porcentaje aumenta la carga alterna segura con igual CS = 1,8, si se permite una vida limitada N = 100.000 ciclos?

2. Determinar el modo de falla (f luencia o fatiga) y el coef. de seguridad de una pieza sometida a una tensión fluctuante donde predomina la tensión media. Considerar todos los criterios de falla de la Ec. (39). Datos:......... K f 1,5 ....... S y 0,8 Su ................. Se 0,3 Su Carga f luctuante............... V máx 0, 4 Su .............. V mín 0,3 Su

m >> a

3. Para elevar la carga P, el sistema de izaje del croquis tiene una polea adosada en el punto B a un eje accionado mediante un motor eléctrico a través de una rueda dentada en D. Datos del eje: Diámetro D = 4 cm. Agujero pasante d = 0,6 cm en C. Terminación: Rectificado. Material: Acero: Sy = 5.000 kg/cm

2 2

Su = 7.200 kg/cm

a) Determinar la carga P admisible con CS = 2 ignorando el peso propio del conjunto (eje, polea y rueda dentada) y verificando sólo la sección del eje sobre el apoyo C que tiene un agujero pasante. b) Repetir el cálculo considerando que debido al desgaste se produce un golpeteo en el engranaje y la carga P oscila ± 12 % con respecto a su valor medio Pmed . 0,88 Pmed d P d 1,12 Pmed

4. Determinar la vida en fatiga con C

S

= 2 del eje rotatorio del croquis solicitado a f lexión alterna en 4 niveles

de carga entremezclados. Acero 4130, con dureza 380 HB – Terminación maquinado. Nivel de carga Momento flector Porcentaje de ciclos

i M %

1 1400 20

2 1800 40

3 2200 30

4 2600 10

5. Utilizando los datos del problema 4, comprobar

que cuando los 4 niveles de carga son separados y se aplican en secuencias distintas la vida en fatiga N es diferente como se indica a continuación:

a. Niveles de cargas crecientes N = 263.600

b. Niveles de cargas decrecientes N = 196.464

6. Usando los datos del Problema 1 (igual geometría y material), determinar la vida en fatiga para una tensión variable f luctuante cuyo valor máximo máx es una variable aleatoria con distribución de probabilidad uniforme. Datos: mín = 700 y 70` máx .100

Sy

2.250 Su

Ec. (31)

3.480 Se 1.420 K f

a 6908

b 0,1145


2,17 CS 1,8

mín = 700 700 máx ¢``

c 1/ b 8,734

305



Falla por Fatiga


1 Determinación de la carga alterna segura con C

= 1,8 que soporta una barra rectangular traccionada que tiene un agujero centrado. S

Propiedades del material

220 x 10, 2 | 2250 kg / cm 2 ................................... S y

Primer renglón del Anexo 2-b

Sy

220 MPa

Acero 1018 recocido

Su

341 MPa 341x 10, 2 | 3480 kg / cm 2 ..................................... Su

Se usó Ec. (123)

2250

3480

Concentración de tensiones Anexo 1-a, caso 1

x d / w 1, 2 / 6 0, 2

Parámetro U :

Ec. (10)

o

Kt

3 3,16 x 4 x 2 1,91 x 3

2,51 ............... K t

2,51

[ A B ln Su ] 4 [ 2, 297 0, 223 ln 3480 ] 4 ....................... U 0,0524

U

Sensibilidad q: r 1, 2/2 0,6

Ec. (9)

U /r

1 / (1

q

Concentración de tensiones en fatiga K f : Ec. (6) K f

)

1 / (1

0,0524/0,6

)

1 q ( Kt 1) 1 0,772 x (2,51 1)

q 0,772

Kf

2,17

Límite de fatiga del material Límite de fatiga S'e :

Ec. (17)

Sec menor 0,5 Su , S M menor 0,5 x 3480 , 7000 ....... Sec 1740

Factores de corrección Corrección por tamaño fT :

Ec. (23)

Corrección por carga axial f C :

tensión axial o fT

Ec. (24)

Parámetros de la terminación por maquinado: Corrección por terminación f s : Ec. (25)

fT

1 ............................................

0,85 .......................................................... fC

fC

a Su

0,85

a 8,33 b 0, 265

Ec. (26)

fS

1

b

8,33 x 3480

0,265

............... f s

0,96

Límite de fatiga de la pieza Límite de fatiga de la pieza: Ec. (20) Se

fT f C f S Sec

1 x 0,85 x 0,96 x 1740 .............. Se 1420

Tensión nominal Tensión nominal:

Vo

Anexo1-a, caso

F /[( w d ) t ] P / [(6 1, 2) x 1] ............................ V o

P /4,8

a) Carga segura PS con CS = 1,8 para vida ilimitada Como la carga es alterna (m = 0) todos los criterios coinciden y V a Ec. (40)

CS K f V a / S e 1 V o

Vo :

Se / (CS K f ) PS /4,8 1420 / (1,8 x 2,17) ....... PS

1745 kg

b) Máxima carga segura PS con CS = 1,8 para vida limitada N = 100.000 ciclos Ec. (31)

a

(0,9 Su )2 / Se (0,9 x3480)2 /1420 6908 ...................................................... a

Ec. (31)

b

1/3 log10 0,9 Su / Se

1/3 log10 0,9 x 3480/1420 0,1145 ............................ b 0,1145

Como la carga es alterna (m = 0) todos los criterios coinciden y V a Ec. (50)

SN

CS K f V a

Ec. (30)

SN

a /N b

½° ¾ °¿

PS /4,8 a / ( N b CS K f ) o PS

6908

a /Nb

CS K f V a

donde V a

Vo : Vo

PS / 4,8

4,8 x 6908 / (1000000,1145 x 1,8 x 2,17 ) ........................... PS

2272 kg

CONCLUSIÓN: Si es aceptable una vida limitada de 100.000 ciclos, la carga segura con coeficiente de seguridad igual a 1,8 aumenta un 30 % pasando de 1745 a 2272 kg.


306


2

Determinación del modo de falla (fluencia o fatiga ) y del coeficiente de seguridad CS de una pieza sometida a una tensión f luctuante con alto contenido de tensión media m y pequeña variación alterna a. Datos:

Kf

1,5.........S y

V máx

0,8 Su ..........Se

V mín

0, 4 Su

FALLA POR FLUENCIA Vy 0,8 Su Ec. (43)-a CS S máx 0, 4 Su

0,3 Su

0,3 Su

2 .......................................................................................... CSY

FALLA POR FATIGA Carga media y alterna ° Tensión media V m 12 (V máx V mín ) 12 0, 4 Su 0,3 Su Ec. (13) ® 1 1 °¯ Tensión alterna V a 2 (V máx V mín ) 2 0, 4 Su 0,3 Su Relaciones entre las tensiones que se usan en los criterios de falla: S V m 0,35 Su ...... V m 0,35 Su 0,35 y 0, 4375 S y .......................... 0,8

Va

0,05 Su

kf Va

o

Se

1,5 x 0,05 Su 0,3 Su

CRITERIO DE SODERBERG....... CS F

........................ V m

0,35 Su

........................ V a

0,05 Su

Vm Su

0, 4375

0,35

0, 25 ........................................................... 1, 45 CS Y

2

Vm Sy kf Va Se

2 .......modo de falla: FATIGA

0, 25

CS 1, 45

§ CS V m · § CS K f V a · ¸ 1 o CS x 0, 4375 CS x 0, 25 1 o CS F 1, 45 ¨ S y ¸¸ ¨© S e ¹ © ¹ CRITERIO DE GOODMAN........... CS F 1,67 CS Y 2 ........modo de falla: FATIGA

CS 1,67

· § CS K f V a · ¸ ¨ ¸ 1 o CS x 0,35 CS x 0, 25 1 o CS F 1,667 Se ¹ © ¹ CRITERIO DE GERBER.......... CS Y 2 CS F 2,01 ........modo de falla: FLUENCIA

CS

2,00

§ CS V m · § CS K f V a · 2 2 ¸ ¨ ¸ 1 o CS x 0,35 CS x 0, 25 1 o CS F 2,013 S S u e © ¹ © ¹ CRITERIO DE MARÍN............. CS Y 2 CS F 2,32 ........modo de falla: FLUENCIA CS

2,00

Ec. (39)-a ¨

§ CS V m © Su

Ec. (39)-b ¨

2

Ec. (39)-c ¨

2

2

§ CS V m · § CS K f V a · ¸ ¨ ¸ Se © Su ¹ © ¹ CRITERIO DE BAGCI................ CS Y Ec. (39)-d ¨

1 o CS x 0,352 CS x 0, 252 1 o CS F 2

2 CS F

2

2,325

2,30 ......modo de falla: FLUENCIA CS

2,00

4

§ C V · § CS K f V a · 4 4 Ec. (39)-e ¨ S m ¸ ¨ ¸ 1 o CS x 0,35 CS x 0, 25 1 o CS F Se © Su ¹ © ¹ Tabla comparativa CRITERIO Cs Tipo de falla

2,305

SODERBERG

GOODMAN

GERBER

MARÍN

BAGCI

1,45

1,67

2,00

2,00

2,00

FATIGA

FLUENCIA

CONCLUSIÓN: Debido a la preponderancia de la tensión media sobre la tensión alterna (m = 7 a ) los distintos criterios dan resultados muy diferentes (esto se corrobora en la Figura 7, pág. 264). Por otro lado si la tensión media es pequeña con respecto a la tensión alterna los diferentes criterios difieren poco. Finalmente si la componente media de la tensión es nula todos los criterios coinciden, Ec. (40). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

307


3 Determinación de la carga P admisible con C

S = 2 verificando sólo la sección del eje sobre el apoyo C 2 2 donde hay un agujero pasante. Eje: acero: Sy = 5000 kg/cm ; Su = 7200 kg/cm ; Terminación: rectificado.

El planteo general implica calcular las reacciones de apoyo en A y en C y trazar los diagramas de esfuerzos en el plano horizontal y en el plano vertical. En este caso particular los esfuerzos en el punto C se calculan fácilmente a partir de las fuerzas en el extremo del voladizo de 8 cm (punto D). La fuerza F entre los dientes del engranaje tiene una inclinación de 13o y se descompone en Fv y Fh. (todas las variables se ponen en función de la incógnita P )

Cálculo de los esfuerzos

P x 20 Fh x 30

Fuerza horizontal: se toma momentos alrededor del eje x: Fuerza vertical: Fv / Fh

tg 13o o Fv tg 13o x Fh

0 ................. Fh

0, 23087 x 2/3 P ........................... Fv

2/3 P

0,1539 P

Momento torsor: se toma momentos respecto al eje x: ............................................................ T

20 P

Momento f lector en C en el plano vertical: ......................................................................... M y

Fv x 8

Momento f lector en C en el plano horizontal: ..................................................................... M z

Fh x 8

2

( 8 Fh ) ( 8 Fv )

Momento f lector en C: M

2

2 2 ( 8x 0,6667 xP ) ( 8x 0,1539xP) .... M 5, 4736 P

Módulo resistente Anexo1- "_ Flexión

WF S D 3 /32 d D 2 /6 S 43 /32 0,6 x 42 /6 6, 283 1,6 ..... WF

Anexo1- "_ Torsión

WT S D /16 d D /6 S 4 /16 0,6 x 4 /6 12,566 1,6 ... WT 10,9664 3

2

3

4,6832

2

Tensiones nominales por f lexión y por torsión Flexión: V M /WF 5, 4736 x P / 4,6832 tensión alterna por la rotación del eje ............ V 1,169 P Torsión: W

T /WT

20 x P /10,9664

tensión constante ................................................... W 1,824 P

Tensiones medias y alternas FLEXIÓN:

Vm

0

V a 1,169 P

W m 1,824 P

TORSIÓN:

Wa

0

Concentración de tensiones en fatiga en flexión d / D 0,6 / 4 0,15

Anexo 1-b, caso 13

Parámetro :

Ec. (10)

r

Sensibilidad q:

U

o

[ A B ln Su ] 4

0,6/2 0,3 Ec. (9) q

del gráfico

o

Kt

2,12 .................... K t

> 2, 297 0, 223 x ln 7200 @ 1 / (1

Concentración de tensiones en fatiga: Ec. (6) K f

U /r

)

1 / (1

4

....................... U

0,010/0,3

) ....

q

1 q ( Kt 1) 1 0,846 x (2,12 1) .. K Vf

2,12 0,010 0,846

1,95

Concentración de tensiones en fatiga en torsión d / D 0, 6 / 4 0,15

Anexo 1-b, caso 13

Parámetro : Sensibilidad q:

Ec. (10)

r

U

o

[ A B ln Su ] 4

0,6/2 0,3 Ec. (9) q

del gráfico

Kt

1, 57 ..................... K t 1,57

> 2, 297 0, 223 x ln 7200 @ 1 / (1

Concentración de tensiones en fatiga K f : Ec. (6) K f


o

308

U /r

)

1 / (1

4

....................... U 0,010

0,010/0,3

) .....

1 q ( Kt 1) 1 0,846 x (1,57 1)

q 0,846

K Wf

1, 48


Límite de fatiga del material Ec. (17) Límite de fatiga Sec menor 0,5 Su , S M menor 0,5 x 7200 , 7000 .............. Sec 3600 Factores de corrección Ec. (21) Corrección por tamaño:

1, 24 x 40 0,107 ...................................................... fT

fT

1 ................................................................. fC

fC

Ec. (24)

Corrección por carga por f lexión

Ec. (26)

Parámetros de la terminación por rectificado: a 1,92

Ec. (25)

a Su

fS

Corrección por terminación:

Límite de fatiga de la pieza Ec. (20) Límite de fatiga de la pieza Se

0,836

0,085

b

1,92 x 7200

b

fT f C f S Sec

1

0,085

..................... f s

0,9025

0,836 x 1 x 0,9025 x 3600 ............. Se

2716

Tensión equivalente en fatiga – Fórmula de los ejes Ec. (71)-a

Ve

Ec. (71)-b

We

Ec. (71)-c

VE

V m ( K Vf V a ) S y / Se

0 (1,95 x 1,169 P ) 5000/2716 .................... V e

4,197 P

W m ( K Wf W a ) S y / Se 1,824 P 0 ..................................................... W e

1,824 P

V e

3 W e

2

4,197 P

2

2

3 1,824 P .................................. V E 2

a) Determinación de la carga admisible (carga segura con C

S

Falla por fatiga Ec. (62) V E o CS

S y /V E

o VE

S y / CS

5, 253 P

= 2)

o 5, 253 Padm

5000 / 2 ............ Padm

476 kg

Falla por fluencia Criterio de Von Mises

CS

S y /V *

V

o V*

(1,169 P)2 3 (1,824 P)2 .................. V * 3,369 P

(V )2 3 (W )2

*

o 3,369 Padm

S y / CS

5000 / 2 ............................................. Padm

742 kg

Nota: La carga admisible por fluencia (742 kg) se calculó en el punto C, que no es crítico para la falla por fluencia, sólo para comparar y comprobar que es mucho mayor que la carga obtenida teniendo en cuenta la posibilidad de falla por fatiga (476 kg) que es un 36 % menor. Entre las causas hay que mencionar: 1) concentración de tensiones en fatiga (K f = 1,95), y 2) menor resistencia frente a la tensión alterna, ya que se utiliza Se = 2716 en lugar de Sy = 5000 usado para verificar la f luencia.

b) Incidencia de una variación ± del 12 % en la tensión debido al golpeteo en el engranaje Tensiones nominales medias y alternas El momento f lector alterno se incrementa un 12 % y se agrega un 12 % de torsión alterna. FLEXIÓN: V m

0

V a 1,3093 P

TORSIÓN: W m

1,824 P

Wa

0, 219 P

Tensión equivalente en fatiga – Fórmula de los ejes Ec. (71)-a

Ve

Ec. (71)-b

We

Ec. (71)-c

VE

V m ( K Vf V a ) S y / Se

0 (1,95 x 1,3093 x P ) x 5000 /2716 .............. V e

W m ( K Wf W a ) S y / Se 1,824 x P (1, 48 x 0, 219 x P ) x 5000 /2716 ..... W e

(V e )2 3 (W e )2

(4,7 P )2 3 (2, 42 P )2 .................................... V E

4,70 P 2, 42 P 6,30 P

Determinación de la carga admisible (carga segura con CS = 2 ) Falla por fatiga Ec. (62)

VE

o CS

S y /V E

o VE

S y / CS

o 6,30 P 5000 / 2 ................ Padm

397 kg

CONCLUSIÓN: El incremento del 12 % en la carga debido al golpeteo originado en el desgaste disminuye un 17 % la carga admisible bajando de 476 a 397 kg. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

309


4 Determinación de la vida en fatiga con C

S

= 2 de un eje rotatorio solicitado a flexión alterna en 4

niveles de carga entremezclados. 1 1400 0,2

Nivel Mi pi

2 1800 0,4

3 2200 0,3

4 2600 0,1

Propiedades del material Renglón 33 del Anexo 2-c

Sy

1190 MPa 1190 x 10, 2 | 12140 kg / cm 2 ............................. S y 12140

Acero 4130 – 380 HB

Su

1280 MPa 1280 x 10, 2 | 13050 kg / cm 2 .............................. Su 13050

se usó Ec. (123)

Concentración de tensiones Anexo1-b, caso 9 r / d 0,14 /2,5 0,056

o

1,85 ..................................................... K t

Kt

1,85

[ A B ln ( Su ) ] [2, 297 0, 223 x ln (13050)] .................. U 0,00114 Ec. (9) Sensibilidad: r 0,14 o q 1 / (1 U / r ) 1 / (1 0,00114 / 0,14 ) ............... q 0,917 Ec. (10) Parámetro:

U

4

4

Ec. (6) Factor de concentración de tensiones en fatiga: K f

1 q ( Kt 1) 1 0,971x (1,85 1) ... K f

1,78

Límite de fatiga del material Ec. (17) Límite de fatiga Sec menor 0,5 Su , S M menor 0,5 x 13050 , 7000 6525 ... Sec 6525 Factores de corrección Ec. (21) Corrección por tamaño:

1, 24 x 30 0,107 ....................................................... fT

0,862

Corrección por carga de f lexión f C 1 ................................................................... Ec. (26) Parámetros de la terminación por maquinado: a 8,33 b 0, 265

fC 1

fT

Ec. (24)

Ec. (25)

Corrección por terminación – maquinado: f S

Límite de fatiga de la pieza Ec. (20) Límite de fatiga de la pieza Se Tensión alterna Módulo resistente: W

fT f C f S S'e

a Su

b

8,33 x 13050

0,265

fs

0,676

0,862 x 1 x 0,676 x 6525 ................ Se 3800

S d 3 /32 S x 2,53 /32 1,534 ........................................................... W 1,534

Tensión por f lexión: V

M /W

M /1,534 0,6519 M ............................................... V a

0,6519 x M

Vida limitada en fatiga

0,9 Su

0,9 x13050 /3800 36300 .................................................... 1/3 log10 0,9 Su / Se 1/3 log10 0, 9 x13050/3800 0,1634 ......................... 2

Ec. (31)

a

Ec. (31)

b

Ec. (31)

c 1 /b

Ec. (50)

SN

CS K f V a

Ec. (32)

N

a / SN

2

/ Se

b

0,1634

c

2 x 1,78 x 0,6519 x M ................................................................. S N 6,12 >36300 /(2,32 x M )@ 6,12 15646 /M ...........................

2 1800 0,4 559.090

3 2200 0,3 163.730

Notar que el Nivel 1 no produce daño porque S N

N

36300

1/0,1634 6,12 ......................................................................................... c

Tabla resumen: 1 Nivel Mi 1400 pi 0,2 Ni

Ec. (118)

a

§ m pi · ¨ ¦1 ¸ Ni ¹ ©

-1

4 2600 0,1 58.900

2,32 x M

2,32 x M

15646 /M

N

6,12

Regla de Miner i 4

Ec. (94)

n

i ¦ N i 1

1

i

donde ni = N pi

2,32 x1400 3248 Se

3800

-1

0, 4 0,3 0,1 · § 0, 2 ¨ ¸ .................... N © f 559.090 163.730 58.900 ¹


6,12

310

235.540 ciclos


5 Utilizando los datos del problema 4, se verifica la vida en fatiga con CS = 2 de un eje rotatorio solicitado a flexión alterna en 4 niveles de cargas separados dados en una secuencia creciente (a) y otra decreciente (b). Datos:

Su

0,9 Su

13050

Se

11745

a 36300

3800

1. Regla de Miner La regla de Miner considera que la vida en fatiga es independiente del orden en que aplican las cargas, por lo tanto se obtiene el resultado del problema anterior: N 235.540 ciclos que se distribuyen 20, 40, 30 y 10 % en los 4 niveles.

b 0,1634

c 1/ b 6,12

Nivel i

1

2

3

4

SNi

3.248

4.176

5.104

6.032

pi

0,2

0,4

0,3

0,1

ni

47.110

94.220

70.660

23.550

2. Regla de Manson 2.a Niveles crecientes de carga En el Nivel 1: S N 3248 Se 3800 No se produce daño !! Los siguientes niveles de carga producen daño y se usa la siguiente secuencia: SECUENCIA: i Mi S Ni Ec. (95) N i

2,32 M i Ec. (102) (bi, ci, ai) Ec. (103) Sei

(ai / S Ni )c dato pi ni i

ai /1000000bi

N i ni

pi NTotal Ec. (100) N Ri

Tabla resumen 2.a Nivel i

Mi

SNi

bi

ci

ai

Sei

Ni

pi

1 2 3 4

1.400 1.800 2.200 2.600

3.248 4.176 5.104 6.032

0,1634 0,1634 0,1689 0,2037

6,122 6,122 5,920 4,910

36.301 36.301 37.721 47.957

3.800 3.800 3.657 2.876

561.250 138.939 26.358

0,2 0,4 0,3 0,1

ni

NRi

52.720 105.440 455.810 79.080 59.859 26.360 -2

Al finalizar el nivel 4 la vida remanente NR es prácticamente cero. El total de ciclos, que es la suma de 4 la penúltima columna: NT =µ 1 ni 52.720 105.440 79.080 26.360 263.600 ciclos , es un 12 % superior a la vida prevista por la regla de Miner (235.540) calculada en el problema anterior. CONCLUSIÓN: Se confirma que cuando los niveles de carga son crecientes, la regla de Miner da resultados conservativos. 2.b Niveles decrecientes de carga Se utiliza la misma secuencia de cálculo del punto 2.a y los resultados se dan en la siguiente tabla. Todos los SNi son mayores que Sei y por lo tanto todos los niveles de carga producen daño acumulado. Tabla resumen 2.b Nivel i

Mi

SNi

bi

ci

ai

Sei

Ni

pi

ni

NRi

1 2 3 4

2.600 2.200 1.800 1.400

6.032 5.104 4.176 3.248

0,1634 0,1813 0,2257 0,3501

6,122 5,515 4,431 2,856

36.301 41.098 55.825 131.908

3.800 3.356 2.471 1.046

59.093 99.112 97.755 39.294

0,1 0,3 0,4 0,2

19.646 58.939 78.586 39.293

39.446 40.173 19.170 1

Al finalizar el nivel 4 la vida remanente NR es prácticamente cero. El total de ciclos, que es la suma de la 4 penúltima columna: NT =µ 1 ni es sólo el 75 % de la vida calculada en la parte 2.a y el 83 % de la calculada en el problema anterior. CONCLUSIÓN: Se confirma que al aplicar primero las cargas grandes producen un daño mayor que repercute negativamente en los niveles siguientes y la vida en fatiga es menor que en el caso donde las cargas menores se aplican primero. Tabla comparativa Secuencia de las cargas Decrecientes (Manson) Entremezcladas (Miner) Crecientes (Manson) Vida en fatiga [ciclos]

196.500


235.500

311

263.600


6 Cálculo de la vida en fatiga con C

= 1,8 de la barra del Problema 1 cuando está traccionada con una tensión f luctuante con min = 700 y 700 máx ``.

Sy

Su

2250

Ec. (31)

S

Se 1420

3480

Kf

2,17

a 6908 b 0,1145 c 1/ b 8,734

Definición de la variable auxiliar Los cálculos se simplifican utilizando una variable auxiliar x definida en el intervalo [0;1],

V ( x ) V mín x (V máx V mín ) 700 x (1100 700) ............................ V máx ( x ) 700 400 x

Ec. (120)

Carga media y alterna

° Tensión media V m ( x ) Ec. (13) ® °¯ Tensión alterna V a ( x )

1 2

(V máx V mín )

1 2

[(700 400 x) 700] .... V m ( x ) 700 200 x

1 2

(V máx V mín )

1 2

[(700 400 x) 700] ............. V a ( x )

200 x

Criterio de Soderberg Ec. (49)

A CS K f V a ( x )

Ec. (48)-a

SN ( x)

1,8 x 2,17 x 200 x ;

M

CS V m ( x ) / S y

1,8 x (700 200 x) /2250 781, 2 x / (0, 44 0,16 x)

A /(1 M ) 781, 2 x /(0, 44 0,16 x) ..................... S N ( x ) c

8,734

§ a · § · 6908 Ec. (32) N ( x ) ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ © S N ( x ) ¹ © 781, 2 x / (0, 44 0,16 x) ¹ Rango de tensiones que producen daño según Soderberg

............. N ( x )

3,891 / x 1, 41485

8,734

El menor valor de x a partir del cual las tensiones producen daño se obtiene haciendo indistintamente Ec. (93)

SN ( x)

Ec. (120)

xo

Se 1420

ó

0,6197 V máx o

o

106

Ni ( x )

700 400 xo

3,891 / x 1, 41485

8,734

10 6

xo

700 400 x 0,6197 ....................... V máx o

0,6197 947,9

Según Soderberg, las tensiones máximas en el intervalo [947,9 V máx o d 1100 ] producen daño acumulado y por lo tanto la vida será limitada. La vida en fatiga se puede obtener usando la regla de Miner en su versión integral a partir de la distribución de probabilidad asumida, en este caso es uniforme p(x) = 1: 1 1 1 Ec. (121) ( p( x ) / N ( x ) ) dx ³ 0,6197 1/ 3,891 / x 1, 41485 8,734 dx 2,55x105 N 39.200 ³ x O N Criterio de Goodman Como el criterio de Soderberg es demasiado conservativo es habitual usar el criterio de Goodman:

Ec. (49) Ec. (48)-b

A CS K f V a ( x ) SN ( x)

C S V m ( x ) / Su

1,8 x (700 200 x ) /3480

A / (1 M ) 781, 2 x / (0,638 0,1035 x) ....... S N ( x )

781, 2 x / (0,638 0,1035 x)

1,8 x 2,17 x 200 x ; c

M

8,734

§ a · § · 6908 Ec. (32) N ( x ) ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ © S N ( x ) ¹ © 781, 2 x / (0,638 0,1035 x) ¹ Rango de tensiones que producen daño según Goodman

...... N ( x )

5,641 / x 0,9152

8,734

El menor valor de x a partir del cual las tensiones producen daño (xo) se obtiene haciendo indistintamente: Ec. (93) Ec. (120)

S N ( xo ) xo

Se 1420 ó

106

N i ( xo )

0,9761 V máx o

o 781, 2 xo / (0,638 0,1035 xo ) 1420

700 400 xo

xo

0,9761

700 400 x 0,9761 .................... V máx o 1090, 4

1 1 1 8,734 p( x ) / N ( x ) dx ³ dx 2,72 x108 N 36.800.000 1/ 5,641 / x 0,9152 ³ 0,9761 x N CONCLUSIONES: 1. Hay que destacar el enorme incremento: de 39.200 a 36.800.000 de ciclos. 2. Notar que sólo el 2,4 ¶`¤!"36,8 millones de ciclos producen daño.

Ec. (121)

O


312


Capítulo 14

MECÁNICA DE FRACTURAS 1 INTRODUCCIÓN La mecánica de fracturas se desarrolló a partir de fallas catastróficas ocurridas en el siglo pasado: barcos construidos en la década del 40, aviones Comet a principios de la década del 50, tanques de misiles y grandes turbinas a mediados de los 50, el tanque de helio de Bomark en 1960, los tanques de la nave espacial Apolo, etc. La utilización de nuevos materiales más resistentes pero con propiedades no bien conocidas en aquellos tiempos fue la causa de las fallas antes mencionadas. Los estudios que se llevaron a cabo para entender el fenómeno que causaba esas fallas catastróficas dieron origen al desarrollo de nuevos materiales y métodos de diseño más adecuados basados en un nuevo concepto: la falla por fractura. Durante ese proceso se comenzó a gestar el control de fracturas que pretende que la tensión nominal y el tamaño (largo) de la grieta sean compatibles con la geometría de la pieza y el material utilizado de modo que no produzcan falla.

Tensión nominal de falla [ kg/mm2 ]

Experimentalmente se comprobó que la tensión nominal que causa la falla por fractura depende del tamaño de la grieta. En la Figura 1 se muestra un ejemplo. 60 50 40 30 20 10 0 0

5 10 15 2a Tamaño crítico de la grieta 2a [mm] Figura 1: Placa de aluminio 2024 – T 851 traccionada y con grieta central 2a (dimensiones en mm)

Para cada tamaño (largo) de grieta (2a) existe un valor de la tensión que produce la falla por fractura. Para grietas muy pequeñas, de tamaño menor a 2ao (1,9 mm), la falla es por fluencia, mientras que para grietas mayores a 2ao la falla es por fractura a un valor de la tensión inferior a la tensión de fluencia f. Notar que cuanto mayor es el tamaño de la grieta menor es el valor de la tensión que produce la falla por fractura. A modo de ejemplo, cuando 20 kg/mm2 la grieta crítica es de 10 mm. El desarrollo de la teoría de dislocaciones ha permitido explicar los mecanismos de deformación y fractura de los materiales a nivel atómico pero aún no ha provisto herramientas de cálculo simples que permitan al ingeniero estimar combinaciones potencialmente críticas de cargas, materiales y geometría que provoquen la falla por fractura.

2 FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIÓN ELÁSTICA La severidad de una grieta se define con el factor de intensidad de tensión elástica K: K

CV

Sa

(1)

donde: a es la longitud característica de la grieta ( indicada en los gráficos para cada caso),

es la tensión nominal calculada ignorando la grieta ( medida por ejemplo en kg/mm2 ), C es un coeficiente adimensional que está tabulado y que depende de la geometría de la placa. La falla por fractura se produce cuando el valor del factor de intensidad de tensión elástica K iguala a la resistencia a fractura del material K c, también llamado factor crítico. Esta propiedad Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

313


de los materiales se determina experimentalmente y se encuentra tabulada, ver por ejemplo el Anexo A. K t Kc

Falla por Fractura

(2) 1,5

Notar que ni K ni K c son tensiones, sus dimensiones son, por ejemplo, [ kg/mm ] y cuando se cambia de mm a cm no basta con correr la coma ! Algunos investigadores proponen tener en cuenta la plastificación localizada de radio r en el extremo de la grieta dado en (3) que modifica el valor de a según se observa en la Figura 2. 1 6S

r

K r /V

2

(3)

f

Entonces (1) debe modificarse de la siguiente manera: CV

Kr

S (a r )

(4)

Figura 2: Modificación del tamaño de la grieta por la plastificación en el extremo

Como el valor de K r en (4) depende de r, que según (3) depende de K r, se podría iterar para obtener K r, pero reemplazando el valor de r dado en (3) en la ecuación (4) se lo puede despejar: Kr

CV

Sa

E donde es un coeficiente adimensional cuyo valor es algo menor que la unidad y está dado por

E

1 C V /V f

/6 2

(5)

(6)

por lo tanto K r definido en (5) es algo mayor que K definido en (1).

3 EL COEFICIENTE C

h/b

4

El coeficiente C depende de las relaciones geométricas y del tipo de solicitación. En la Figura 3, a modo de ejemplo, se ha graficado el valor de C para el caso de una placa con grieta pasante central perpendicular a la dirección traccionada. En los Anexos B, y C se proveen valores de C para diversas situaciones de uso frecuente: en forma de gráficos en el Anexo B y mediante fórmulas en el Anexo C.

· C

0,4

3

0,5

0,7

2

1

1 0

0,2

0,4

0,6

a/b

Figura 3: C en función de la geometría

4 RESISTENCIA A FRACTURA DEL MATERIAL En el Anexo A se dan valores de K c para aleaciones de alta resistencia susceptibles de fallar por fractura: aceros, aluminios y titanios. Tener presente que la resistencia a fractura no es físicamente una tensión. Además es muy importante destacar que en general:

K c disminuye al aumentar V f

(7)

por ello para prevenir fracturas resulta conveniente sacrificar algo de resistencia a fluencia mediante tratamientos térmicos adecuados o cambiando la aleación inicialmente seleccionada. Los aceros blandos disminuyen la resistencia a fractura cuando trabajan a muy bajas temperaturas (50 a 100 oC bajo cero). Afortunadamente los materiales no ferrosos (ej. aluminios) y los aceros de alta resistencia no presentan cambios en Kc a bajas temperaturas. Notar que las bajas temperaturas son habituales en los fuselajes de aviones. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

314


5 MODOS DE DEFORMACIÓN Hay tres modos de aplicar la carga sobre una grieta para producir la fractura como se indica en la Figura 4. Notar que los Modos II y III son modos cortantes; uno deforma en el plano (Modo II ) mientras que el otro ( M odo III ) actúa fuera del plano de la placa. La mayoría de los problemas de fractura están referidos al Modo I y es el modo sobre el cual hay más información en la literatura. Toda la teoría y lo ejercicios prácticos dadas en este capítulo están referidas al Modo I.

Modo I

Modo II

Modo III

Figura 4: Modos de deformación por fractura: I Modo de tracción, II y III Modos cortantes

6 COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN EL FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIÓN Resulta natural definir al coeficiente de seguridad como el cociente entre la resistencia a la fractura del material ( K c ) y la solicitación ( K ó K r según el caso considerado ). (1) K (5) K r

CV CV

Sa Sa / E

o

CSo

Kc K

(8)

o

CS r

Kc Kr

(9)

Notar que CSr es algo menor (pero no mucho) que CSo y que además según (5) y (6) se tiene que: CS r CSo

además

CS r

E CSo

(10)

7 COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN LA TENSIÓN También se puede definir otro coeficiente de seguridad que denotaremos CSR que mayora la tensión aplicada hasta producir la falla por fractura. En ese caso modificando la ecuación (4) se obtiene: Kc

C CS R V

S (a R)

(11)

Notar que en la ecuación (11) se denota al radio de la zona plástica como R, el cual resulta ser una propiedad del material que se puede tabular (ver Anexo A ), ya que particularizando la ecuación (3) se tiene: 2 1 (12) R ( K c /V f ) 6S Como el valor de R de la sección plastificada dado en (12) es mayor que r dado en (3), el coeficiente en tensiones CSR es el más conservativo; es más conservativo que CSo dado en (8) y que CSr dado en (9) Kc (13) CS R C V S (a R) Conclusión: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

CS R CS r CSo

315

(14) Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017

8 LIMITACIONES DE LA TEORÍA UTILIZADA La formulación desarrollada anteriormente tiene varias limitaciones. Limitación 1. La formulación presentada en este capítulo está deducida sobre la base de un campo elástico de deformación plana, lo que requiere que el espesor sea suficientemente grande para restringir deformaciones en el sentido del espesor de la placa. El espesor mínimo, B, para que las ecuaciones anteriores sean válidas depende del material, está dado por la ecuación (15) y puede tabularse ( ver Anexo A). (15) B 2,5 ( K c /V f ) 2 Cuando el espesor de la placa es menor que B, la resistencia a fractura K c puede llegar a ser bastante superior al valor tabulado para el material. Advertencia: Si el espesor de la placa es menor que B y se insiste en usar las ecuaciones (8), (9) y (13) se está del lado de la seguridad. Limitación 2. Debe destacarse que si el radio r supera, digamos, el 10 % de a, eso indica una zona plástica extendida; en tal caso los resultados obtenidos por la Teoría Elástica, ecuaciones (1) y (5), resultan dudosos y debieran considerarse conceptos elastoplásticos de mecánica de fracturas que por su extensión no se tratan en este capítulo.

9 PROBLEMAS TÍPICOS DE DISEÑO Para resolver problemas simples de diseño considerando la posibilidad de falla por fractura pueden usarse las ecuaciones (8), (9) y (13), siendo esta última la más conservativa. Pueden darse diversas situaciones: 1) Durante el diseño: Debe contemplarse como caso crítico la existencia de la grieta de mayor tamaño que no será detectada por la inspección (dada por las limitaciones del sistema de medición) actuando en la posición más desfavorable. 2) Durante la vida útil: Si se detecta una grieta de tamaño ‘a’ debe calcularse el coeficiente de seguridad para la nueva situación. Si el nuevo CS no es satisfactorio se puede: i ) reparar la estructura o ii ) limitar las tensiones (por ejemplo, en una aeronave pueden limitarse los márgenes de maniobra ). 3) Determinación de la grieta admisible: En este caso se procede por tanteos o en forma iterativa. Si se usa por ejemplo la ecuación (13) se puede despejar el valor de ai+1 a partir de un valor tentativo ai con el cual se calcula C(ai). Se debe iterar hasta convergencia: ai 1

)

(C( a ) )2

R

donde: )

i

( Kc )2 S ( CS R V ) 2

(16)

De manera alternativa se puede proceder por tanteos usando valores tentativos para ‘a’ con los cuales se calcula el coeficiente C(a) graficando el segundo miembro de la ecuación (13) hasta llegar al valor prefijado para CSR. También se puede tantear y graficar el segundo miembro de (11).

10 RELACIÓN ENTRE LA VERIFICACIÓN A FLUENCIA Y A FRACTURA Modo de falla por fluencia: Cuando la grieta es de tamaño muy pequeño el modo de falla es fluencia. Tener presente que la verificación de la posibilidad de falla por fluencia debe realizarse siempre! Advertencia 1: Al hacer la verificación a fluencia debe ignorarse la presencia de grietas, porque de eso se encarga la verificación a fractura. Advertencia 2: La verificación a fractura no reemplaza a la verificación a f luencia! Modo de falla por fractura: Cuando la grieta es de tamaño considerable el modo de falla es fractura. En las proximidades de la grieta hay redistribución de tensiones, hay concentración de tensiones tanto en el fondo del defecto, cuando la grieta no es pasante, como en los extremos del mismo y se admite plastificación localizada. Advertencia 3: Si una placa sin grieta tiene un cierto CS a fluencia no hay que pensar que al aparecer una grieta necesariamente el CS a fractura será menor que el CS a f luencia. El CS a fractura mide otro tipo de falla y puede resultar menor o mayor que el CS a f luencia dependiendo del tamaño de la grieta. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

316


ANEXOS DEL CAPÍTULO 14 ANEXO A

TITANIO

ALUMINIO

ACERO

Mat No

TABLA DE MATERIALES

Denominación del material

Kc kg/mm1,5

f kg/mm2

Espesor B [mm]

Radio R [mm]

1

A 533 B

563

51

300

6,46

2

A 538

357

176

10

0,22

3

2618 Ni Mo V

341

66

67

1,42

4

V 1233 Ni Mo V

240

60

40

0,85

5

124 K 406 Cr Mo V

199

66

23

0,48

6

17 –7 PH

247

117

11

0,23

7

17 – 4 PH

155

120

4

0,09

8

PH 15 –7 Mo

161

144

3

0,07

9

AISI 4340

316

88

32

0,68

10

AISI 4340

190

153

4

0,08

11

4340 (Templado 260º - Laminado )

183

160

3

0,07

12

4340 ( Templado 450º - Forjado)

275

143

9

0,20

13

AISI 403

247

70

31

0,66

14

D6AC a 20º (Laminado -Templado 500º)

329

152

12

0,25

15

D6AC a -50º (Laminado -Templado 500º )

199

160

4

0,08

16

2014 –T 6 Forjado

101

45

13

0,27

17

2024 – T 351 Laminado

120

38

25

0,53

18

2024 – T 851

79

46

7

0,16

19

2219 – T 851

101

35

21

0,44

20

6061 – T 651

92

31

22

0,46

21

7075 – T 6

107

60

8

0,17

22

7075 –T 651

85

53

6

0,14

23

7075 –T 7351

104

42

15

0,33

24

7079 –T 651

82

51

6

0,14

25

Ti – 6 Al – 4 Zr –2 Sn – 0,5 Mo – 0,5 V

450

85

70

1,49

26

Ti – 6 Al – 4 V – 2 Sn

357

81

49

1,03

27

Ti – 6 Al – 4 V

370

93

40

0,84

28

Ti – 6 Al – 4 V Endurecido

174

106

7

0,14

29

Ti – 6,5 Al – 5 Zr – 1 V

341

87

38

0,81

30

Ti – 6 Al – 5 Sn – 1 V

297

90

27

0,58

31

Ti – 6 Al – 6 V – 2,5 Sn

212

117

8

0,17


317


ANEXO B

Valores del COEFICIENTE C dados en gráficos

C

C

a/b

a/h Fig. 2: Grieta longitudinal de profundidad a

Fig. 1: Grieta no centrada en placa traccionada

C

C

a/b

a/(ro-ri

Fig. 3: Grieta en el borde, placa traccionada ( flexionarse )

Fig. 4: Grieta longitudinal de profundidad a

C

C

a /(ro-ri Fig. 5: Cilindro traccionado con grieta circunferencial de 360º y profundidad a


318

a/b

Fig. 6: Placa traccionada con agujero central y dos grietas


ANEXO C

Valores del COEFICIENTE C dados en fórmulas a b

x

1

h !! b

o

efecto de h

( 0 d x d1)

1 0, 45 x 0,3 x / 1 x 0,5 2

Co o

C 1 f E (Co 1)

fE

1 0,592 E 3

cuando E 1,5

fE

3 E 1,5

cuando E ! 1,5

donde E

b/h

2 h/b 1

o C

h/b 1

oC

1,12 0,61 x 0,13 x / 1 x 0,5 2

b

3

( 1,12 1,06 x 2,09 x 2 1,03 x 3 ) / 1 x

1,5

h / b 0,5 o C

( 1,12 0, 444 x 0,512 x 2 ) / 1 x

h/b f oC

( 1,12 0,8 x ) / 1 x

4

5

C

( 1,12 2, 4 x 3,15 x 2 1,5 x 3 ) / 1 x

V

6M t b2

C

(1 D ) Fo D F1

1,5

donde t es el espesor

donde

6

Fo

3,36 7,17 x 8,08 x 2 3,57 x 3

F1

2, 24 2,69 x 1,75 x 2 0,60 x 3

Grieta pequeña no pasante de profundidad a a < espesor

b << ancho = c

h {c

f es la tensión de fluencia C 1,12 ^ 0,77 0,57 x 5,5 x 2 2,5 x 3 0, 22 [1 (V /V f ) 2 ] `

0,5

Los casos 1 al 5 corresponden a grietas pasantes en el espesor. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

319


PRÁCTICO

Mecánica de Fracturas Nota: Todos los datos se dan unidades [mm] y [kg ]

1.

La placa rectangular del croquis de 7 mm de espesor está traccionada con una tensión de 10 kg/mm2 en dirección perpendicular a una grieta pasante de 8 mm en un borde. Material: Aluminio 7079 – T 651 a) Calcular el CS a fractura. b) Repetir para un espesor de 2 mm.

2. Cilindro de aluminio de 150 mm de diámetro externo y 5 mm de espesor. Material: Aluminio 2024 – T 851. Hallar la presión admisible con CS = 2,5 considerando falla por fractura debido a una grieta longitudinal externa de profundidad a = 1,5 mm.

3. El resorte de ballesta del croquis es de acero 17 – 4 PH. a) Calcular el espesor b de modo que la rigidez sea K = 2 kg/mm. b) Calcular uadm en el extremo con CS = 3 a falla por fluencia. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta pasante de 1,5 mm de profundidad en la posición más desfavorable.

4. Al desmontar un panel de 4 mm del fuselaje de un avión se descubrió que un agujero para alojar un remache tiene una grieta pasante de 5 mm en dirección perpendicular a la dirección de la carga de tracción. En la dirección de la grieta no hay carga de tracción. Material 2024–T 351 laminado. b) Repetir para CS r = 2. a) Calcular adm con CSR = 2 a fractura.

5. Se han detectado grietas en el borde del refuerzo del apoyo del actuador del comando de los alerones que soporta una carga máxima de tracción de 14000 kg. El refuerzo tiene sección rectangular de 50 x 8 mm y las grietas pasantes indicadas en el croquis tienen 5 mm de profundidad. El repuesto tardará en llegar 3 semanas. Material: Ti – 6,5Al – 5Zr – 1V. ¿ Recomendaría Ud “parar” el avión ?

6. La herramienta del croquis se usa para extraer marcas sobre el pavimento. La sección es rectangular de 60 x 25 mm y tiene una grieta pasante de a = 5 mm. Material: acero AISI 4340 f = 140 kg/mm2. Determinar la carga máxima admisible Padm con CS = 2.

7. Recipiente cilíndrico diámetro 400 mm. Presión interior 1,74 kg/mm . 2

Material: acero 4340 templado a 450 oC - Forjado. a) Calcular el espesor con CS > 3,8 usando el criterio de Rankine. b) Calcular el CS para una grieta no pasante en forma elíptica de 12 mm en sentido longitudinal y profundidad igual a la mitad del espesor. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta con orientación circunferencial.

8. Un caño de aluminio 2024–T 851 trabaja en tracción estática. Diámetro exterior 50 mm y espesor 6 mm. Se ha detectado una grieta transversal pasante de 15 mm. a) Determinar la carga admisible con CS = 2. b) Repetir el análisis si la grieta es longitudinal.


320



Mecánica de Fracturas

Nota: Todos los resultados se dan en [mm] y [ kg]

1 La placa rectangular del croquis de 7 mm de espesor está

traccionada con una tensión de 10 kg/mm2 en dirección perpendicular a una grieta pasante de 8 mm en un borde. Material: Aluminio 7079 – T 651 a) Calcular el CS a fractura. b) Repetir para un espesor de 2 mm. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se determina el coeficiente de seguridad a fractura de una placa con una grieta en el borde. Propiedades de la aleación de aluminio, material No 24 del Anexo A Kc = 82 f = 51 B = 6 R = 0,14 a.1) Coeficiente de seguridad a falla por fluencia Se verifica ignorando la grieta usando la tensión nominal: CS V f /V 51 / 10 .…..... CS 5,10 Las alteraciones producidas por la presencia de la grieta se tienen en cuenta en la verificación a fractura! a.2) Coeficiente de seguridad a fractura para espesor 8 mm C 1,129 Anexo C, caso 3: x = 8 /600 = 0,0133 h / b = 500 /`` Ec. (6)

E

Ec. (5)

Kr

Ec. (9)

CS r Kc / K r 82 / 56,83 1, 44 ................................................................. CS r 1, 44 7 B=6 e > B Vale la hipótesis de deformación plana. 2 2 r ( K r /V f ) / (6S ) 56,83/51 / (6S ) 0,07 o r 8/10 Vale la hipótesis de defor. elástica.

Ec. (3)

1 (C V /V f ) 2 / 6 CV

Sa / E

1 (1,129 x 10 / 51) 2 / 6 ................................... E

(1,129 x 10 x S x 8 ) / 0,996 .......................................

0,996

Kr

56,83

b) Coeficiente de seguridad a fractura para espesor 2 mm Todo el cálculo se hace igual, pero como 2 y B = 6 resulta e < B, entonces NO vale la hipótesis de deformación plana. Por ello podemos afirmar que estamos del lado de la seguridad : El coeficiente de seguridad a fractura es mayor que el valor calculado en a.2)............ CS r ! 1, 44

2 Cilindro de aluminio de 150 mm de diámetro externo y 5 mm de espesor. Material: Aluminio 2024 – T 851. Considerando la posibilidad de falla por fractura debido a una grieta longitudinal externa de profundidad a = 1,5 mm, se pide: Calcular la presión admisible con CS = 2,5.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Propiedades del material No 18 del Anexo A Kc = 79 f = 46 B=7 R = 0,16 La tensión nominal en la parte exterior del cilindro con presión interior se calcula como cilindro grueso: V t pi ri 2 (1 ro 2 / r 2 ) / (ro 2 ri 2 ) p 702 (1 752 /752 ) / (752 702 ) ................. V 13,52 pi r 75

a) Falla por fluencia con CS = 2,5 V adm 13,52 padm ; V adm V f / CS padm b) Falla por fractura con CSR = 2,5 Gráfico 4 del Anexo B a /(ro ri ) Aplicamos el CSR a la tensión: 1,6 x ª¬ 2,5 x 13,52 padm º¼

padm Ec. (5) Ec. (3)

0,64 o V adm Kr

r

CV

S a /E

1,5 / (75 70)

Ec. (11)

C ( CS R V )

S x (1,5 0,16) 13,52 x 0,64

(1,6 x 8,65 x

( 46/ 2,5 ) /13,52 ................ padm

8,65

0,3

ri / ro

S (a R)

70 / 75

E

(30, 29/46) / (6 x S ) 0,02 a /10 0,15

padm

1 1,6 x 8,65 / 46 / 6 2

S x 1,5 ) / 0,992 30, 29 CSr

2

C 1,6

0,93

Kc

79 ........................................ Ec. (6)

1,36 Kg / mm 2

K c /K r

0,64 Kg / mm 2

E

79/30, 29 CS r

0,992 2,6

Vale la hipótesis de deformación elástica.

e = 5 < B = 7 No vale la hipótesis de deformación plana Los resultados son algo conservativos.


321


3 El resorte de ballesta del croquis es de acero 17 – 4 PH. a) Calcular el espesor b de modo que la rigidez sea K = 2 kg/mm. b) Calcular uadm en el extremo con CS = 3 a falla por fluencia. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta pasante de 1,5 mm de profundidad en la posición más desfavorable.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dimensionado de un resorte de ballesta y verificación a falla por fractura. Las propiedades del material se obtienen del Anexo A: Acero, material No 7 del Anexo A K c = 155 f = 120 B = 4

R = 0,09

a) Cálculo del espesor b del resorte de ballesta para que la rigidez sea K = 2 kg/mm P (2) Momento de inercia: I [(6 b) b3 ] / 12 b 4 /2 (1) Relación carga–desplazamiento: K u 3 Desplazamiento en el extremo del voladizo: u ( P A )/(3 E I ) (3). Llevando (1) y (2) a (3) se obtiene: 0,25

0,25

§ 2 K A3 · § 2 x 2 x 10003 · ( K u ) A3 o b 15,9 .... Adoptamos ¸ : b 16 mm ¨ ¸ ¨ ¸ 3E (b 4 /2) © 3E ¹ © 3 x 21000 ¹ Relación entre la tensión por flexión y el desplazamiento en el extremo del voladizo: M ( Ku ) A (2u ) x 1000 ............…. V 0, 488 u W [(6 b) b 2 ]/6 b3 163 4096 o V 4096 W W b) Desplazamiento admisible considerando falla por f luencia

u

V adm

0, 488 uadm ;

V adm

V f / CS

120 / 3

o

40

40 .....

0, 488 uadm

uadm

82,0 mm

c) Desplazamiento admisible considerando falla por fractura La ubicación más desfavorable de la grieta es próxima al empotramiento y en la cara superior. Anexo C, caso 4

C ( CS R V )

Aplicamos el CSR a la tensión:

Ec. (11)

(1,12 2,4 x 3,15 x 2 1,5 x3 ) / (1 x) 1,5 ... C 1,068

x = a/b=1,5/16 = 0,094 C

S (a R)

Kc

1,068 x ( 3 x 0, 488 uadm ) S (1,5 0,09 ) 155 ........................................ uadm 44,3 mm Conclusiones: 1) Con ese tamaño de grieta (1,5 mm), el modo de falla es fractura (ocurre antes que la fluencia). 2) Con CSR = 3, se puede aplicar una carga P 88,6 kg ( = K u 2 x 44,3) que produce una def lexión de 44,3 mm en el extremo.

4 Al desmontar un panel de 4 mm del fuselaje de un avión se descubrió que un agujero para alojar un remache tiene una grieta pasante de 5 mm en dirección perpendicular a la dirección de la carga de tracción. En la dirección de la grieta no hay carga de tracción. Material 2024–T 351 laminado. b) Repetir para CS r = 2. a) Calcular adm con CSR = 2 a fractura.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Determinación de la tensión admisible con CS = 2 en un panel de fuselaje que tiene una grieta. f = 38 B = 25 R = 0,53 Propiedades del material frágil No 17 del Anexo A Kc = 120 Falla por fluencia con CS = 2

V adm

a) Falla por fractura con CSR = 2 Caso 5 del Anexo B: a 5 x a / b 5 / (3,5 5)

V f / CS 0,588

38 / 2 ....................... V adm Fo 1, 21

Aplicamos el CSR a la tensión: Ec. (11) 1, 21 x 2 x V adm S (5 0,53) b) Usando CSr Ec. (5)

Kr

60

Ec. (6) E

[1 (1, 21 x11,9 / 38)2 /6]1/ 2 0,988

(1, 21 x V adm x S x5 ) / E

V adm

D 120

Ec. (9) K r

0

C

V adm

Fo

19 kg / mm 2 C = 1,21

11,90 kg / mm 2

K c / CSr 120/2

12,511 x E iterando V adm

Kr

60

12,35 kg / mm 2

e = 4 << B = 25 No vale la hipótesis de deformación plana Los resultados son conservativos. Ec. (3) r

= (60/38)2/(6 x ) = 0,13 << a/10 =5/10 = 0,5 Vale la hipótesis de deformación elástica.


322


5 Se han detectado grietas en el borde del refuerzo del apoyo del actuador del comando de alerones que debe soportar una carga máxima de tracción de 14000 kg. El refuerzo tiene sección rectangular de 50 x 8 mm y las grietas pasantes indicadas en el croquis tienen 5 mm de profundidad. Material: Ti – 6,5Al – 5Zr – 1V Sabiendo que el repuesto tardará en llegar 3 semanas. ¿ Recomendaría Ud “parar” el avión ? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se evalúa la seguridad del refuerzo del apoyo de un actuador que presenta grietas en el borde. Aleación de titanio, material No 29 del Anexo A

Kc = 341

f = 87

B = 38

R = 0,81

a) Coeficiente de seguridad a fluencia

V

14000/(50 x 8)

14000/400

35

o

V f /V

CS

CS

87/35 .......................

2, 48

b) Coeficiente de seguridad a fractura Anexo C, caso 3: x ^`^` C = (1,12 – 0,8 x)/(1–x) = (1,12– 0,08 )/(1– 0,1) C = 1,155

= 35

Ec. (6)

Ec. (5)

Kr

Ec. (9)

CS r

CV

E

1 (1,155 x 35 / 87 ) 2 / 6 ............. E

1 ( C V /V f ) 2 / 6

Sa / E

Kc / K r

(1,155 x35 x S x5 ) / 0,9818 ... ... K r

0,9818

163, 2

341 / 163, 2 ........................................................................... CS r

2,09

c) Tamaño de la grieta que produce la falla (CSR = 1 ) Ec. (11)

C( a ) x35 S (a 0,81)

341 Tanteos: a 17,35 o x 0,347 o C( a )

1, 29 amáx 17,3 mm

CONCLUSIÓN: Dado que el coeficiente de seguridad a fractura es 2,09 recomendamos no parar el avión, realizando inspecciones periódicas durante las tres semanas. Además puede anticiparse que cuando la mayor grieta llegue a los 10 mm la situación será más delicada dado que en ese caso:

a

10 o x

0, 2 o C

1, 2 o V

35 o E

0,959 o K r

o CS r

245

1,39

6 La herramienta del croquis se usa para extraer marcas sobre el pavimento. La sección rectangular de 60 x 25 mm tiene una grieta pasante de a = 5 mm. Material: acero AISI 4340 f = 140 kg/mm2. Determinar la carga máxima admisible Padm con CS = 2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se determina la carga máxima admisible con CS = 2 de una herramienta con una grieta. Interpolamos entre los materiales No 9 y 10 K c 316 (316 190) x (140 88)/(153 88) K c Ec. (15)

B

2,5 ( K C /V f ) 2

2,5 215, 2 /140

2

5,9

Ec. (3)

R

215, 2 / 140 /(6S ) 2

215, 2

R

0,125

25 B = 5,9 e > B Vale la hipótesis de deformación plana. R 0,125 a / 10 5 / 10 0,5 Vale la hipótesis de deformación elástica. Vale la teoría lineal Vale la superposición de la flexión con la tracción. Anexo C x 5 /60 0,0833 caso 3 tracción o h / b f o CT 1,15 caso 4 flexión o C F Tensión por tracción.... A 60 x 25 1500 Tensión por flexión.... W

o VT

P / A P /1500 .....................

25x 602 /6 53,57 o V F

Usamos CSR 2 en tensiones adaptando la Ec. (11) 2 x (1,15 x Padm / 1500 1,07 x Padm / 53,57 )

Kc

S (5 0,125)

Falla por fluencia Flexión compuesta: 2 x ( Padm / 1500 Padm / 53,57 )


( P x 280 ) / W

323

140

P /53,57 ... V F

CS R ( CT V T CF V F ) 215, 2 ....................... o

Padm

VT

1,07

P /1500

P /53,57

S (a R) Padm

1293 kg

3260 kg


7 Recipiente cilíndrico diámetro 400 mm. Presión interior 1,74 kg/mm . 2

Material: acero 4340 templado a 450 oC - Forjado. a) Calcular el espesor con CS > 3,8 usando el criterio de Rankine. b) Calcular el CS para una grieta no pasante en forma elíptica de 12 mm. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta con orientación circunferencial. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se determina el espesor de un recipiente cilíndrico y se lo verifica a fractura por una grieta. Propiedades del material No 12 del Anexo A Kc = 275 f = 143 B=9 R = 0,2 a) Cálculo del espesor con CS > 3,8 usando el criterio de Rankine Considerando cilindro de pared delgada, la tensión máxima es la tensión circunferencial: V máx p r / e 1,74 x 200 / e 348 / e ...................................................................... V máx

CS

V f /V máx V f /(348 / e ) ! 3,8 e ! 9, 25

Adoptamos espesor e

b) Verificación a fractura por una grieta longitudinal Tensión circunferencial perpendicular a la grieta: V 348 / e Coeficiente C según el caso 6 del Anexo C: C

x

0,5

36,63

(9,5 / 2) / 12 ...... x 0,396

.............................. C

S (4,75 0, 2)

Se aplica el CSR a la tensión: 0,81 x (CS R x 36,63)

9,5 mm

348 / 9,5 .................. V

a / b (e / 2) / 12

1,12 ^ 0,77 0,57 x 5,5 x 2 2,5 x 3 0, 22[1 (V /V f ) 2 ] `

Ec. (11)

348 / e

275

0,81

CS R

2,35

CS R

4,70

c) Verificación a fractura por una grieta circunferencial Como la tensión longitudinal (18,31) es la mitad de la tensión circunferencial (36,63), el CSR vale el doble ya que C tiene un cambio insignificante ( C 0,808 0,81 ). Por lo tanto resulta:...... CS R 2 x 2,35 4,7 .......................................................................... CONCLUSIÓN: El modo de falla es fluencia ya que CS = 3,8 < CSR = 4,7.

8 Un caño de aluminio 2024–T 851 soporta tracción estática. Diámetro exterior 50 mm y espesor 6 mm. Se ha detectado una grieta transversal pasante de 15 mm. a) Determinar la carga admisible con CS = 2. b) Repetir el análisis si la grieta es longitudinal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se determina la carga admisible con CS = 2 en un caño de aluminio con una grieta. f = 46 B=7 R = 0,16 Propiedades del material No 18 del Anexo A Kc = 79 Falla por fluencia ...... A

S (502 382 ) / 4

829, 4 .... 2 x Padm / 829, 4

46 ….. Padm

19080 kg

a) Falla por fractura en grita circunferencial Desplegamos el cilindro haciendo un corte imaginario longitudinal y resulta el caso 1 del anexo C :

b S dm

h Co Usamos CSR en tensiones:

S x 44 138

300 o E 1,0016 o C

Ec. (11) 1,0017 x

a 7,5 o x

69 / 300

7,5 / 69

0, 23 1,5

o

1 1,0072 x (1,0016 1)

2 x Padm /829, 4 S (7,5 0,16)

79

x 0,0272 fE

1,0072

C

1,0017

Padm 6667 kg

e = 6 < B = 7 Vale la hipótesis de deformación plana. R = 0,16 << a /10 = 7,5/10 = 0,75 Vale la hipótesis de deformación elástica. b) Falla por fractura en grita longitudinal No puede fallar porque no hay tensiones de tracción perpendiculares a la dirección de la grieta.


324


Capítulo 15

CAÑERÍAS 1

INTRODUCCIÓN

El diseño y el análisis de sistemas de cañerías constituyen para el cálculo estructural áreas de aplicación de gran importancia y originalidad. La importancia de los sistemas de cañerías se percibe muy rápidamente porque están presentes, de una u otra forma, prácticamente en todas las instalaciones creadas por el hombre, y particularmente en todas las industrias modernas. Como ejemplos clásicos podemos mencionar las cañerías de agua, de vapor y de aire comprimido. Existen numerosas situaciones donde las cañerías requieren mucha atención, al extremo que las normas se ocupan de ellas en forma especial. Tal es el caso de cañerías de: i ) centrales térmicas convencionales (gas o carbón) de generación de energía eléctrica, ii) centrales nucleares, iii ) industrias químicas y petroquímicas (destilerías, plantas de procesos químicos, etc.), iv) industrias alimenticias, v ) sistemas de transporte de combustibles líquidos o gaseosos (poliductos y gasoductos), vi) equipos de refrigeración, etc. La originalidad de esos sistemas reside en las particularidades que presentan: configuraciones complejas, elementos con diferente rigidez, diversos tipos de apoyo y variedad de condiciones de trabajo. Desde el punto de vista estructural, es importante tener en cuenta la gran diferencia entre las rigideces de sus elementos constitutivos; en un sistema se pueden combinar, elementos muy rígidos (válvulas, bombas, bridas, etc.) con otros muy flexibles (soportes elásticos, juntas de expansión, etc.). Desde el punto de vista práctico, la rigidez promedio de esos sistemas está dada por la cañería. En la Figura 1 se muestran sistemas de cañerías en diferentes industrias.

a)

b)

c)

d)

Figura 1: Sistemas de cañerías en distintas industrias Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

325


En lo que hace a las condiciones de apoyo, se pueden encontrar de todo tipo y rigidez, destacándose los soportes elásticos, los de carga constante, los fijos y los dinámicos. Las condiciones en que trabajan algunas cañerías pueden involucrar cargas muy exigentes: presión interna, elevadas o bajas temperaturas, pretensiones, cargas permanentes (peso propio, peso del fluido), cargas ocasionales (sismos, desbalanceo de máquinas rotativas, etc.). Al igual que en el caso del Método de los Elementos Finitos (Capítulo 12), la temática de cañerías se puede enfocar, desde diferentes puntos de vista. Los principales son: a) Desarrollo de programas que permitan tratar el tema por el método de la rigidez, incorporando las condiciones establecidas por las normas de aplicación. b) Resolución de problemas concretos de sistemas de cañerías con la utilización de algún programa específico. En el primer caso se emplean las técnicas del cálculo matricial de estructuras para hacer posible la determinación de los desplazamientos y las solicitaciones. Esto requiere el desarrollo de los “elementos” de cañería que se emplearán en su modelado. El segundo enfoque, corresponde a un proyectista que concentra su esfuerzo sólo en modelar un problema concreto, interpretar los resultados y mejorar el diseño del sistema en estudio si resulta necesario. En este caso el programa de computadora es una herramienta de trabajo y basta con conocer la forma de usarlo y sus limitaciones. El objetivo de este capítulo es introducir al lector en el cálculo de cañerías considerando brevemente ambos aspectos (desarrollo y uso de programas). Además se presentan fórmulas dadas por las normas que se aplican para verificar si una cañería tiene la resistencia necesaria.

2

CÓDIGOS Y NORMAS APLICABLES

Tal como se anticipó, para las cañerías existen normas aceptadas universalmente, que regulan las distintas etapas de la vida de esos sistemas, que son: diseño, construcción, operación y mantenimiento. Las principales normas aplicadas en Argentina son de origen norteamericano y corresponden a ASME (American Society of Mechanical Engineers) y NFPA (National Fire Protection Association), quienes publican y actualizan periódicamente una serie de normas para los distintos sistemas de cañerías. En ASME, los códigos para cañería a presión son los B31: a) B31.1 – Power Piping b) B31.3 – Process Piping c) B31.4 – Pipeline Transportation Systems for Liquid and Slurries d) B31.5 – Refrigeration Piping and Heat Transfer Components e) B31.8 – Gas Transmission and Distribution Systems f) B31.9 – Building Services Piping g) B31.11 – Slurry Transportation Piping Systems h) B31.12 – Hydrogen Piping and Pipelines i) ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section I – Power Boilers j) ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III – Rules of Construction of Nuclear Facility Components k) NFPA 54/ANSI Z223.1 – National Fuel Gas Code l) NFPA 99 – Health Care Facilities m) NFPA 85 – Boiler and Combustion Systems Hazards Estas normas surgieron de la necesidad de garantizar la seguridad de sistemas que transportan fluidos, algunas veces peligrosos y que están sometidos a presión interna y temperatura. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

326


3

MODELADO DE CAÑERÍAS

Para modelar un sistema de cañerías se deben reconocer los elementos que lo componen. En la Figura 2 se muestra un detalle que contiene: bridas, codos, reducciones, tramos de cañería, derivaciones, válvulas de bloqueo, válvula reductora de presión, válvula de seguridad por alivio, apoyos fijos, etc.

1. Brida welding neck 2. Válvula reguladora 3. Espárragos 4. Ampliación 5. Cupla

6. Válvula esférica 7. Tapón 8. Cañería 9. Válvula de seguridad 10. Conducto de venteo

11. Brida slip-on 12. Válvula multi-port 16. Derivación 13. Manómetro 17. Codo largo 14. Válvula múltiple 18. Codo corto 15. Soporte rígido (perfil U) con abrazadera

Figura 2: Elementos constitutivos de una cañería

Los elementos más usados en los sistemas de cañerías son : a) Caños y tubos: sus materiales responden a las normas ASTM y API (ver Anexo 1). Caños (pipes): dimensiones según la norma ASME B36.10M (ver Anexo 2). Por ejemplo 2" Sch 40 es un caño de 2,375” de diámetro exterior y 0,154” de espesor. Tubos (tubes): sus diámetros nominales coinciden con los diámetros exteriores y sus espesores se definen por un número de calibre BWG (Birmingham Wire Gage). Por ejemplo 2” BWG 12 significa un tubo de 2” de diámetro exterior y 0,109” de espesor. Cuando los conductos constituyen en sí mismos elementos estructurales se deben utilizar caños, por su resistencia como tales. Los diámetros de fabricación de los caños son más amplios que los de los tubos que rara vez pasan de 6”, siendo su uso más difundido hasta 2”. Por otra parte, los requerimientos de fabricación de los tubos son más exigentes que los de los caños. Así, rara vez se usan caños en un intercambiador de calor donde el calibrado de los tubos y un menor espesor garantizan un mejor intercambio de calor. b) Bridas: según la norma ASME B16.5 las bridas se especifican por serie (en inglés class). Series: 150, 300, 400, 600, 900, 1500 y 2500. En el Anexo 3 se presenta la relación presión temperatura para las distintas series de bridas construidas con materiales del Grupo 1.1 y en el Anexo 7 con materiales del Grupo 1-5. En los Anexos 4-a, 4-b y 4-c se presentan las dimensiones de las bridas de la Serie 300 y sus espárragos y bulones. c) Accesorios forjados para soldar a tope: según las normas ASME B16.9 y B16.28. Las dimensiones se dan en el Anexo 6-a para codos, tes y cruces (derechos, sin reducción). En el Anexo 6-b se muestran esquemas de otros nueve accesorios forjados. Los espesores de los accesorios soldados a tope se indican en el Anexo 6-c. d) Accesorios forjados para encastrar por soldadura: “socket welding” (ver Anexo 8) según la norma ASME B16.11. e) Accesorios forjados para roscar: en el Anexo 9 se dan las dimensiones normalizadas según la norma ASME B16.11 de codos, tes, cruces, cuplas, mediascuplas y tapas. f ) Válvulas de bloqueo: según las normas ASME B16.10, B16.34 y API 6D. En el Anexo 3 se presenta la relación presión temperatura para las distintas series de válvulas construidas con materiales del Grupo 1.1 y en el Anexo 7 con materiales del Grupo 1.5. En el Anexo 10 se muestran las características de un tipo de válvula de bloqueo esférica. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

327


ESQUEMAS ISOMÉTRICOS: Para elaborar un modelo, habitualmente se parte de un esquema en perspectiva “isométrico” con los ejes en el plano x-y orientados a ±30º respecto a la horizontal. Este esquema “borrador” debe contener la mayor cantidad de información desde el punto de vista estructural, representando con símbolos apropiados los diversos componentes del sistema de cañerías. En los esquemas isométricos de las cañerías se indican los diámetros, espesores, longitudes, presiones, temperaturas y pesos, de los distintos componentes; las longitudes no necesitan estar estrictamente en “escala”. En la Figura 3 se presenta un ejemplo de esquema isométrico.

Figura 3: Esquema isométrico PARTE DE LA SIMBOLOGÍA EMPLEADA EN LOS ISOMÉTRICOS:

Cañería

Codo

Ventilador

Válvula ángulo

Y

Válvula esclusa

Válvula de alivio

T

Válvula globo

Trampa de vapor

Reducción

Válvula de retención

Medidor de flujo

Ampliación

Válvula esférica

Filtro tipo “y”

Bomba

Válvula mariposa

Compresor

Para representar las características estructurales de los diversos componentes de un sistema de cañerías se debe disponer de diferentes “elementos” como se indica en la Tabla1. Tabla 1: Elementos para representar componentes de los sistemas de cañerías

Elemento Viga con presión interior Flexible Rígido Codo con presión interior Accesorio T Accesorio reducción Barra biarticulada


Componentes representados Tramos rectos de cañería Juntas de expansión Válvulas y bombas Codos de radio constante Derivaciones de distinto tipo Reducciones Soportes y estructuras auxiliares

328


Las vigas y barras biarticuladas son elementos conocidos del curso de Cálculo Estructural I. Los elementos flexible y rígido son también conocidos, un flexible es un resorte cuyas constantes elásticas (de tracción, flexión y torsión) se conocen (Figura 4-a); y el rígido es una viga cuya rigidez es varios órdenes de magnitud superior al resto de los elementos del sistema como en el caso de válvulas (Figura 4-b) y bombas (Figura 4-c).

a)

b)

Flexible

c)

Rígido

Rígido

Figura 4: Elementos rígidos y f lexibles: a) junta de expansión, b) válvulas y c) bomba

El codo de radio constante es el único elemento no conocido hasta el momento cuyas características estructurales deben ser deducidas para poder ser agregado a un típico programa tridimensional de cálculo estructural (ver Figura 5-a). En la sección siguiente se desarrolla la matriz de rigidez del elemento codo. Además, hay otros elementos como los accesorios T (Figura 5-b) o codos mitrales (por gajos) (Figura 5-c) que pueden ser armados a partir de los elementos anteriormente indicados, mediante la técnica de condensación estática de grados de libertad de nodos interiores.

a) Codo corto

b) T

c) Codo mistral

d ) Reducción

Figura 5: Accesorios que se sueldan a tope

Las reducciones son vigas cuya sección es variable y por lo tanto también lo son sus características estructurales (ver Figura 5-d). Tanto los tramos rectos de cañería, como los codos y los demás accesorios pueden estar sometidos a presión interior y variación de temperatura, y en tales casos se deben considerar los esfuerzos y tensiones que estas acciones generan.

3.1 Soportes Entre los tipos de soportes se pueden distinguir los rígidos, los elásticos y los dinámicos. Los soportes rígidos pueden variar desde configuraciones sencillas tales como vigas fijas, patines, abrazaderas, cunas, rodillos, etc. (ver Figuras 6 y 7) hasta estructuras complejas, llamadas “parrales”, que habitualmente soportan varias cañerías y que requieren un análisis estructural independiente (ver Figura 8). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

329


b) d)

a)

e)

c)

Figura 6: Soportes rígidos: vigas fijas y abrazaderas

a)

b)

d)

c)

Figura 7: Soportes rígidos: patines, cunas y rodillos

a)

b)

Figura 8: Soportes para cañerías tipo parrales Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

330


Dentro de los soportes elásticos, se distinguen los de carga variable y los de carga constante. Los de carga variable son dispositivos cuyo elemento activo es un resorte que reacciona de manera proporcional a la deformación que experimenta ( ver Figura 9-a). Mientras que los de carga constante están destinados a evitar que el peso de la cañería se transfiera a equipos o soportes adyacentes, proporcionando una fuerza constante e independiente del movimiento de la cañería (ver Figura 9-b). Además, existen los soportes dinámicos que son necesarios en sistemas de cañerías donde se prevé la presencia de cargas dinámicas (ver Figuras 10-a y 10-b).

b’)

a)

b)

a’)

Figura 9: Soportes elásticos de: a) carga variable y b) carga fija

b)

a)

Figura 10: Soportes dinámicos Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

331


4

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO CODO

En esta sección se presenta la deducción de la matriz de rigidez del elemento codo cuya sección transversal y radio son constantes en todo el desarrollo del elemento [1], [2], [3]. El codo queda definido por las coordenadas de sus extremos I y J (ver Figura 11), su sección transversal (diámetro y espesor) y radio de curvatura R; quedando por conocer el centro de curvatura C y el ángulo de apertura . Para conocer el centro de curvatura C no basta con los datos propios del elemento codo, se JJJG debe conocer además el vector K I , que define la orientación del eje del elemento anterior. Notar que los tres puntos I, J y K definen el plano donde está contenido el codo y los ejes locales x1 x2.

Figura 11: Elemento codo

JJJG En la Figura 11 se puede observar el vector I J conJJGorigen en el nudo I y fin en el nudo J (puntos extremos del codo). Primero se obtiene el vector JJG N 3 que es normal al plano que contiene al codo (define la dirección del eje x3) y luego el vector N 2 (define la dirección del eje x2) contenido en el plano del codo y apuntando hacia el centro de curvatura C: JJG JJJG JJJG JJG JJG JJJG (1) N3 K I x I J o N 2 N3 x K I JJG El centro de curvatura se determina a partir del radio del codo R (ver Figura 12) y el vector N 2 JJJJG JJJG R JJG OC OI JJG N 2 N2

(2)

donde O es el origen del sistema coordenado global que en general no está contenido en el plano del codo definido por los ejes locales x1 x2. Notar que el centro de curvatura sí está contenido en el plano del codo. Por ello, una vez conocido el centro de curvatura ( punto C ) se calcula el ángulo de apertura del codo efectuando el producto punto de los vectores que unen el centro de curvatura con los extremos del codo (puntos I y J ) JJJG JJJJG CI . CJ (3) cos I JJJG JJJG CI CJ Para deducir la matriz, [ K ] , de rigidez del elemento codo se debe definir previamente la matriz, [ H ], de equilibrio del elemento que relaciona las fuerzas de los extremos del codo, de modo que: Pi + [ H ] Pj = 0

y

-1

Pj + [ H ] Pi = 0

(4)

donde Pi representa las fuerzas y momentos aplicadas en el extremo I y Pj representa las fuerzas y momentos aplicadas en el extremo J. La forma general de la matriz de equilibrio del elemento [ H ] se puede deducir fácilmente tomando equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos respecto al punto I . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

332


[H]

ª 1 « 0 « « 0 « 0 « « Az « ¬« Ay

0 1 0 Az

0 0 1 Ay

0 0 0 1

0 Ax

Ax 0

0 0

0 0 0 0

º » » » » » 0 » » 1 ¼» 0 0 0 0

1 0 JJJG donde Ax, Ay y Az representan las tres componentes del vector I J .

(5)

Empotrando el codo en el extremo I es posible obtener su matriz de flexibilidad [ FJJ ] usando ejes locales para facilitar los cálculos. Las componentes de esa matriz representan los desplazamientos del punto J que corresponden a cargas unitarias aplicadas sobre el mismo punto J, siguiendo los lineamientos establecidos en el Método de las Fuerzas, estudiado en Cálculo Estructural. Conocida la matriz de flexibilidad [FJJ] se pueden obtener las submatrices constitutivas de la matriz de rigidez [ K ] :

> K JJ @ > FJJ @

> K II @ > H @> K JJ @> H @

> K IJ @

> K JI @

-1

> H @> K JJ @

> K JJ @> H @

T

(6)

T

Finalmente la matriz de rigidez del codo es:

>K @

ª K II « «¬ K J I

K IJ º » K JJ »¼

(7)

Notar que esta matriz de rigidez [K ]: está expresada en el sistema local del elemento codo y debe ser transformada al sistema global de la cañería. Como la matriz de flexibilidad [FJJ ] se obtuvo a partir de la teoría de viga recta, sus componentes deben ser corregidos por el factor de f lexibilidad k, (mayor que la unidad) cuyo valor se obtiene a partir de la flexibilidad característica h (ver Anexo 14): k

1,65 h

siendo

h

tR rm 2

(8)

donde: t es el espesor del codo, R es el radio de curvatura y rm es el radio medio de la sección transversal del codo, como se indicado en la Figura 12-c. La Norma ASME B16.9 normaliza las dimensiones de los codos (ver Anexo 6-a) distinguiendo entre los de radio “corto” (Figura 12-a) y los de radio “largo” (Figura 12-b).

a)

R 2 rm Codo de radio corto

b)

c)

R 3 rm Codo de radio largo Figura 12: Dimensiones características de un codo

La formulación completa del factor de flexibilidad se encuentra en el Capítulo 9 sobre Vigas Curvas en la Sección 9.5 dedicada al estudio de codos. Se obtiene: k 1 (:o : ) , donde :o es sin presión mientras que : tiene en cuenta el aumento de rigidez por efecto de la presión interior. :o y : están dados respectivamente por las ecuaciones (33) y (37) del Capítulo 9. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

333


5

ESTUDIO DE ELEMENTOS ESPECIALES

En los casos de piezas sometidas a condiciones de trabajo muy exigentes se justifica realizar un estudio por separado, para ello habitualmente se utiliza el método de los elementos finitos. En estos casos se debe realizar un mallado complejo con un elevado número de elementos y grados de libertad. En la Figura 13 se presentan ejemplos de estudios de derivaciones y uniones bridadas.

a)

b)

Figura 13: Estudios especiales utilizando el método de los elementos finitos

6

ANÁLISIS ELÁSTICO

En el estudio de sistemas de cañerías se deben considerar tanto las cargas estáticas como las cargas dinámicas. En el análisis estático se incluye el efecto del peso propio, temperatura, presión interior, pretensión, defectos de montaje y otras cargas permanentes estáticas. En algunos casos se simulan en forma estática, cargas de origen dinámico, práctica cada vez menos frecuente ante la disponibilidad de buenos programas de cálculo dinámico. El análisis dinámico permite una buena representación de las cargas ocasionales provocadas por sismos, impactos, vientos, etc. Además, es el método adecuado para estudiar el efecto del desbalanceo de las máquinas rotativas (por ejemplo bombas) que están incorporadas al sistema de cañerías o que lo excitan a través de los soportes (vibraciones forzadas, resonancia). El análisis dinámico se realiza tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Para analizar cañerías con salto térmico resulta conveniente definir una metodología de trabajo, cuyos principales pasos son los siguientes: a) Estudio de la cañería sometida solamente a carga térmica (sin peso y sin presión) y sólo apoyada en los extremos (empotramientos). b) A partir de los resultados del punto a), se evalúa la necesidad de incorporar y/o modificar las juntas de expansión (Figura 4-a) y liras de descarga (Figuras 1-d, 14-a y 14-b), destinadas a dar mayor flexibilidad a la estructura y por lo tanto reducir el valor de las solicitaciones.

b)

a)

Figura 14: Liras de descarga en sistemas de cañerías


334


c) Para lograr una mayor reducción en las solicitaciones, se puede recurrir al movimiento de apoyos, lo que es equivalente a una “pretensión”. d) Una vez optimizado el sistema de cañerías sometido a las cargas térmicas, se incorpora al estudio el peso propio y el del fluido a transportar, y se trabaja con el tipo y distribución de los soportes. Una cañería bien soportada no debería alterar sustancialmente las tensiones originadas por las cargas térmicas, para eso los apoyos se deben ubicar donde los desplazamientos por temperatura son pequeños. Se debe destacar que los soportes elásticos reaccionan según la deformación de la cañería, por lo que el estudio se debe realizar para condiciones térmicas extremas (a temperatura ambiente y a temperatura máxima de operación). e) Optimizada la distribución de los soportes, se debe incorporar al estudio la presión y otras cargas permanentes. f ) Se tiene que realizar la comprobación del sistema de cañerías ante la presencia de cargas ocasionales y el estudio de eventuales fenómenos de resonancia. g) Asimismo, se deben verificar los soportes por separado y otras estructuras auxiliares. h) Por último, se deben hacer las verificaciones solicitadas por las normas de aplicación, con las combinaciones de cargas que ellas requieren. i ) En caso que las tensiones de trabajo estén muy alejadas de las tensiones admisibles en algunos tramos del sistema de cañerías, es necesario hacer un redimensionamiento de esas partes. El objetivo de esta metodología de trabajo es realizar un estudio en forma racional y ordenada; lo que no significa que el éxito esté garantizado. Muchas veces el dimensionamiento previo de la estructura es inadecuado y se necesita introducir cambios importantes en el sistema durante el análisis.

7

VERIFICACIONES PREVISTAS EN EL CÓDIGO ASME B31.1 – POWER PIPING

A modo de ejemplo, se presentan las verificaciones mínimas requeridas por el Código ASME B31.1 – Power Piping, correspondiente a las cañerías en centrales eléctricas, plantas industriales, sistemas de calefacción y sistemas de refrigeración.

7.1 Cañería recta con presión interna Esta verificación responde al Párrafo 104.1 del código de referencia, donde el espesor mínimo requerido tm es función de la presión interior de diseño P y la presión admisible Pa es función del espesor t: 2 S E t A P D0 (9) ; tm A Pa 2 S E P y D0 2 y t A donde: S tensión máxima admisible. D0 diámetro exterior de caño. t espesor de la cañería. E factor de eficiencia de la junta. Pa presión interior admisible. y coeficiente y. tm espesor mínimo requerido. P presión interior de diseño. A espesor adicional. Selección del espesor nominal: A partir del espesor mínimo requerido tm para el diámetro dato, se debe seleccionar un espesores nominal tn de fabricación de la cañería de valor superior, según la norma correspondiente, por ejemplo ASME B36.10M. Una vez tenida en cuenta la tolerancia de fabricación y las deducciones por roscas, oxidación etc, el remanente debe ser superior a tm. Tolerancias de fabricación 12,5%: Es importante destacar que todas las normas de construcción de cañerías (y de los demás accesorios constitutivos de los sistemas de cañerías) establecen tolerancias de fabricación. En el caso del espesor nominal tn para la cañería recta es del +0 ¶12,5 %. Tablas de materiales del Código ASME: En el Anexo A del código se identifican los materiales usualmente empleados para construir cañerías. Ese anexo presenta distintas tablas de acuerdo con el tipo de material, entre ellos aceros al carbono, de baja aleación y de alta aleación, aleaciones de níquel, cobre, aluminio y titanio y fundición de hierro. Variaciones ocasionales de las cargas: El Código ASME B31.1 en el Párrafo 102.2.4 ( ver Anexo 5) admite cargas ocasionales y transitorios de temperatura y presión, por períodos breves, respecto a la condición normal de operación. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

335


Tablas de materiales usados en Argentina: En el Anexo 11 se presenta una tabla resumen con los materiales más usados en Argentina con los valores de las tensiones máximas admisibles S que varían con la temperatura. Factor de eficiencia de la junta E de las soldaduras: El factor de eficiencia de la junta E de las soldaduras longitudinales de una cañería, varía de acuerdo con el método de fabricación. En el Anexo 12 se presenta la tabla establecida en el Párrafo 102.4.3 del Código ASME B31.1 con los valores del factor de eficiencia de las juntas soldadas. Para accesorios forjados, el factor de eficiencia de la junta E = 1. El coeficiente y: El coeficiente y de la ecuación (9) depende del tipo de material de la cañería y de la temperatura máxima de operación. En el Anexo 13 se reproduce la Tabla 104.1.2(A) del código donde se obtiene el valor del coeficiente y. El espesor adicional A: El espesor adicional A corresponde a la previsión que hace el diseñador del sistema de cañerías correspondiente a desgastes por corrosión, erosión y material removido por los filetes de las uniones roscadas.

7.2 Cañería recta con presión externa Si la cañería está sometida a presión externa se debe verificar de acuerdo con lo establecido en el Código ASME BPVC Sección VIII – División 1. Esto se trata en el Capítulo 17 sobre Recipientes.

7.3 Accesorios estándares con presión interna Los accesorios estándares, entre otros: accesorios forjados para soldar a tope, accesorios forjados encastrados por soldadura (socket welding) y para roscar, bridas y válvulas, están regidos por normas que establecen los límites máximos de presión y temperatura de diseño en los cuales se pueden utilizar. En general, estos límites son los correspondientes a cañería recta equivalente, es decir con el mismo material, diámetro y espesor que el accesorio.

7.4 Análisis de tensiones longitudinales Además de las verificaciones solicitadas anteriormente, que corresponden a un análisis de tensiones tangenciales debidas a la presión, se tiene que realizar el análisis correspondiente a tensiones longitudinales, de acuerdo con lo establecido en el Párrafo 104.8 del código de referencia. 7.4.1 Tensiones originadas por cargas permanentes Para la presión interna, peso propio, peso del f luido transportado y otras cargas permanentes se debe cumplir: SL

P D0 M Ci A d S h W 4 tr

Ci

con

mayor 1 ; 0,75 i

(10)

donde: SL tensión longitudinal.

P presión interior de diseño.

D0 diámetro exterior de caño.

tn espesor nominal.

W módulo resistente, ver ecuación (17).

i

tr

coeficiente de intensificación (ver Anexo 14).

espesor remanente de la cañería, que se obtiene restando del espesor nominal tn , el espesor adicional A y la tolerancia de fabricación.

MA momento debido a las cargas indicadas (ver punto 7.4.4.). Sh tensión admisible a temperatura máxima (hot), ver Anexo 11. Coeficiente de intensificación de tensiones i : Para un tramo recto de cañería, el coeficiente de intensificación de tensiones es igual a la unidad ( i = 1). En el Anexo 14 se presentan los factores de flexibilidad k y de intensificación de tensiones i para otros componentes de sistemas de cañerías. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

336


7.4.2 Tensiones originadas por cargas permanentes más cargas ocasionales Para la presión interna, peso propio, peso del fluido transportado, otras cargas permanentes y cargas ocasionales (incluidos: esfuerzo provocado por aperturas de válvulas de seguridad, por flujos transitorios, por acciones sísmicas, etc.), se debe cumplir: P D0 MA M (11) con Ci Ci B d K S h Ci mayor 1 ; 0,75 i 4 tr W W donde: MB es el momento debido a las cargas indicadas (ver punto 7.4.4). K = 1,15 para cargas ocasionales actuando por no más de 8 hs de una vez y no más de 800 hs por año. K = 1,20 para cargas ocasionales actuando por no más de 1 h de una vez y no más de 80 hs por año. 7.4.3 Tensiones originadas por rangos de cargas producidos por desplazamientos El efecto de la expansión térmica u otros tipos de cargas cíclicas, debe cumplir: MC SE i d SA W donde: SE tensión originada por rango de carga. MC momento debido a las cargas indicadas (ver punto 7.4.4). SA rango de tensiones admisibles.

(12)

El rango de tensiones admisibles SA se define como: f 1, 25 Sc 1, 25 S h S L

SA

donde:

f Sc Sh SL

(13)

factor de reducción por rango de tensiones cíclicas. tensión admisible a temperatura mínima (cold ). tensión admisible a temperatura máxima (hot ). tensión longitudinal dada en la ecuación (10).

El factor de reducción por rango de tensiones cíclicas f se define como: 0,15 d

donde: N

6 / N 0,2 ) d 1

(f

(14)

total de ciclos equivalentes, debidos a los rangos de cargas esperables, durante la vida útil de la cañería.

Cuando es esperable más de un rango de cargas, se deben calcular todas sus tensiones Si ; y tomando como referencia la mayor de ellas SE , se define el número total de ciclos equivalentes N: n

N

N E ¦ N i Si / S E

5

(15)

i 1

donde:

NE número de ciclos correspondiente al mayor rango de tensiones esperables, durante la vida útil de la cañería. Ni número de ciclos correspondiente al rango de cargas i. Si tensión correspondiente al rango de cargas i.

7.4.4 Momentos y módulo resistente Los momentos resultantes en las ecuaciones (10), (11) y (12), correspondientes a una determinada sección se calculan haciendo: Mj

( M x )2 ( M y )2 ( M z )2

con

j

A, B, C

(16)

Los momentos M x, M y y M z corresponden a dos momentos flectores y un momento torsor presentes en la sección considerada, de acuerdo con las condiciones de carga indicadas en 7.4.1, 7.4.2 ó 7.4.3. El módulo resistente de la sección es: (17) S rm2 tr donde rm radio medio de la sección considerada. tr espesor remanente de la cañería. En la Figura 15 se indican los momentos en las secciones 1, 2 y 3 de una T de derivación. W


337


Figura 15: Momentos presentes en un accesorio T de derivación

8

PROGRAMAS DE CÁLCULO

En la actualidad existen diversos programas para el cálculo de sistemas de cañerías, los cuales emplean el método de la rigidez. De ellos, se pueden distinguir dos grupos: a) Programas de elementos finitos de propósitos generales, que disponen de elementos curvos y admiten entre sus condiciones de carga la presión interna y la variación de temperatura. b) Programas desarrollados específicamente para el estudio de sistemas de cañerías. Los primeros, por ser generales, permiten un adecuado modelado de la estructura y su análisis estático y dinámico, pero sus resultados son solo solicitaciones y reacciones. En cambio los segundos, además del cálculo de tensiones, las controlan de acuerdo con las distintas pautas establecidas en el código o norma de aplicación específico. Llegando algunos de ellos, a optimizar algunas características de las cañerías y la distribución de los soportes en forma automática. Además, estos programas ayudan al usuario a definir correctamente las condiciones de cargas en concordancia con las exigencias de la normativa aplicable, reduciendo errores o malas interpretaciones en esta definición que es central en el análisis estructural. Entre los programas específicos más difundidos están: CAEPIPE, CAESAR II y AUTOPIPE. Las características de esos programas, se pueden conocer ingresando a las páginas web de las compañías desarrolladoras de estos softwares, las cuales se indican en las referencias [4], [5], [6]. Por último, es importante destacar que en las Cátedras de Cálculo Estructural II, se ha desarrollado un programa para análisis de sistemas de cañerías llamado ANSI, elaborado en lenguaje Fortran, que permite verificar si se cumplen los requerimientos del Código ASME B31.1 descriptos en las Subsecciones 7.1 y 7.4 de este capítulo.

9

COMENTARIOS FINALES

En este capítulo se hace una breve presentación de un tema que a veces no está contemplado en los planes de estudio de las carreras de ingeniería mecánica. A partir de esta introducción se invita a los interesados a profundizar en esta temática, recurriendo a las referencias generales dadas al principio de este compendio de Cálculo Estructural. Alejandro Giudici y Julio Massa Agosto de 2016

BIBLIOGRAFÍA [1] [2] [3] [4] [5] [6]

R. K. Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press, 1969. Hayrettin Kardestuncer, Introducción al Análisis Estructural con Matrices, Mc Graw – Hill, 1975. John Robinson, Integraded Theory of Element Finite Methods, John Wiley & Sons, 1973. SST Systems Inc., http://www.caepipe.com/, 2016. Intergraph CADWorx & Analysis Solutions, http://www.coade.com/products/caesarii, 2016. Bentley Systems, Incorporated, https://www.bentley.com/en/products/product-line/pipe-stress-andvessel-analysis-software/autopipe, 2016.


338


Anexo 1

Materiales más utilizados para la elaboración de caños, tubos y accesorios, según las normas ASTM y API

Clasificación de los materiales de acuerdo al proceso de elaboración LAMINADOS: Caños y tubos Acero al carbono A 53: Gr.A y Gr.B 5L: X42, X46, X52, X56, X60, X70 A 106: Gr.A, Gr.B y Gr.C A 333: Gr.1 y Gr.6

Baja aleación Cr - Mo

Alta aleación Ac. Inox .

A335-P1 A335-P2 A335-P5 A335-P9 A335-P11 A335-P12 A335-P22

A312-TP304 A312-TP309 A312-TP310 A312-TP316 A312-TP321 A312-TP347 A312-TP348

FORJADOS: Bridas, Accesorios, etc. Acero al carbono

Baja aleación

Alta aleación Ac. Inox .

A 105 A 181-Cl.60 A181- Cl.70 A234-WPA A234-WPB A234-WPC

A182-F1 A182-F5 A182-F7 A182-F9 A182-F12 A182-F22

A182-F304 A182-F309 A182-F310 A182-F316 A182-F321 A182-F347 A182-F348

Cr - Mo

FUNDIDOS: Válvulas, etc. Acero al carbono

Baja aleación Cr - Mo

A216-WCA A217-WC1 A216-WCB A217-WC4 A216-WCC A217-WC5 A217-WC6 A217-WC9 A217-C5 A217-C12

Alta aleación Ac. Inox . A351-CA15 A351-CF3 A351-CF8 A351-CF8M A351-CF8C A351-CH20 A351-CK20

Materiales ASTM más usados en la elaboración de caños y tubos Aceros para CONDUCCIÓN DE FLUIDOS ASTM A-53 A-106 A-335

A-312 A-333

Tipo

APLICACIONES

Ac. al carbono

Para usos industriales generales.

Ac. al carbono Ac. aleado 0,44 3 Aceros inoxidables ferríticos y austeníticos

Para instalaciones que deban soportar temperaturas medias, hasta aproximadamente 400 oC.

Acero aleado

Para instalaciones que deban soportar temperaturas altas, hasta aproximadamente 500 oC. Para instalaciones que deban soportar condiciones muy severas de presión-corrosión -alta temperatura, hasta aproximadamente 650 o C. Puede soportar temperaturas muy bajas, menos de cero grado centígrado.

Aceros para usos térmicos en CALDERAS Y SOBRECALENTADORES ASTM A-192 A-209 A-210 A-213

Tipo Acero al carbono Acero aleado Acero aleado Ac. aleados ferríticos y austeníticos

APLICACIONES Tubos sin costura al carbono para altas temperaturas. Tubos sin costura al carbono molibdeno. Tubos sin costura con contenido medio de carbono. Tubos sin costura de acero aleado, ferrítico y/o austenítico.

Aceros para usos térmicos en INTERCAMBIADORES DE CALOR Y CONDENSADORES ASTM A-179 A-199 A-213 A-249 A-334

Tipo Acero aleado Acero aleado Acero aleado Acero aleado Acero aleado

APLICACIONES Tubos sin costura, aleación de bajo tenor de carbono. Tubos sin costura, aleación de porcentaje intermedio de carbono. Tubos sin costura, aleaciones ferríticas y/o austeníticas. Tubos sin costura, acero inoxidable austenítico. Tubos con ó sin costura al carbono o aleado para BAJAS TEMPERATURAS.

Aceros para caños y/o tubos para DESTILERÍAS ASTM A-161 A-200 A-271

Tipo Acero al carbono o aleado Acero aleado Ac. aleado Cr-Ni - austenítico

APLICACIONES Sin costura, aleación de bajo tenor de carbono. Aleación Cr – Ni. Sin costura, aleación de porcentaje intermedio de carbono. Sin costura, acero inoxidable Cr – Ni – austenítico.

Aceros para caños para conducción de FLUIDOS COMBUSTIBLES

ASTM API

A-539

Tipo Acero al carbono Laminado en frío

5L: X42, X46, X52, Acero al carbono X56, X60, X70, X80


APLICACIONES Caños con costura soldados eléctricamente. Transporte de fuel oil y gas. Caños con costura soldados eléctricamente. Transporte de hidrocarburos líquidos y gaseosos.

339


Espesor [mm]

Schedule ( Sch )

Identificación

Diám. nominal [in] Diám. exterior [mm]

Anexo 2 Dimensiones y pesos de caños de acero (con y sin costura), según la Norma ASME B36.10M

NOTA 1: La Norma B3 de pulgada hasta 80 pulgadas y que se listan en 16 páginas. Los fabricantes, por razones de stock y de costos sólo fabrican algunos de esos diámetros y espesores. NOTA 2: A modo de ejemplo en la parte superior de este anexo, se muestran los 13 espesores posibles para los caños de 2 pulgadas y en la parte inferior se lista un resumen con los caños habitualmente usados en la industria.


340


Anexo 3 Bridas y válvulas: Relación presión-temperatura para materiales del Grupo 1.1 según la Tabla 2-1.1 de las normas ASME B16.5 y B16.34 Nominal Designation C-Si -Si C-MN-Si-V 3½ Ni

Forgings

Casting

Plates

A 105 (1) A 350 Gr. LF2 (1) A 350 Gr. LF6 Cl (4) A 350 Gr. LF3

A 216 Gr. WCB (1)

A 515 Gr. 70 (1) A 516 Gr. 70 (1), (2) A 537 Cl. 1 (3)

Working Pressures by Classes, [bar ] Temp. [ oC ]

150

300

400

600

900

1500

2500

!

6

51.1

68.1

102.1

153.2

255.3

425.5

50

50.1

66.8

100.2

150.4

250.6

417.7

100

17.7

46.6

62.1

!

233.0

388.3

150

15.8

45.1

60.1

135.2

225.4

375.6

200

13.8

43.8

58.4

87.6

131.4

.0

365.0

250

12.1

""

!

125.8

#

"

300

10.2

!

53.1

##

"

331.8

325

38.7

51.6

77.4

116.1

322.6

350

8.4

37.6

50.1

75.1

112.7

187.8

313.0

375

7.4

36.4

48.5

72.7

181.8

303.1

400

6.5

34.7

46.3

104.2

173.6

!

425

5.5

28.8

38.4

57.5

86.3

143.8

7

450

4.6

23.0

30.7

46.0

.0

115.0

#

475

3.7

17.4

23.2

53.2

87.2

145.3

500

2.8

11.8

15.7

23.5

35.3

58.8

#

538

1.4

"

#

11.8

17.7

"

NOTES: o (1) Upon prolonged exposure to temperatures above 425 C, the carbide phase of steel may be converted o to graphite. Permissible but not recommended for prolonged use above 425 C. o o o (2) Not to be used over 455 C. (3) Not to be used over 370 C. (4) Not to be used over 260 C.

Anexo 4-a

Bridas: Dimensiones de las bridas de la Serie 300, según la Norma ASME B16.5

a)

b)

c)

d)

e)

f)


341


Anexo 4-b

Bridas: Dimensiones de las bridas de la Serie 300 según la Norma ASME B16.5


342


Anexo 4-c

Bridas: Dimensiones de las bridas de la Serie 300 y sus espárragos y bulones, según la Norma ASME B16.5

Drilling Notes (2), (3) Nominal Pipe Size, NPS

Outside Diameter of Flange O

Diameter of Bolt Circle, W

Diameter of Bolt Holes, in

Number of Bolts

Diameter of Bolts, in

½

"

66.7

$

4

½

Length of Bolts, L Notes (1), (4) Stud Bolts Machine Note (1) Bolt 2 mm 2 mm Ring Raised Raised Joint Face Face 65

75

55

¾

115

82.6

¾

4

$

75

65

1

125

!!

¾

4

$

75

70

1¼

135

!

¾

4

$

85

"

70

1½

155

114.3

%

4

¾

100

75

2

165

127.0

¾

8

$

100

75

2½

%

8

¾

100

115

85

3

210

168.3

%

8

¾

110

120

3½

230

184.2

%

8

¾

110

125

"

4

255

200.0

%

8

¾

115

125

"

5

280

235.0

%

8

¾

120

135

110

6

320

%

12

¾

120

140

110

8

380

330.2

1

12

%

140

150

120

10

445

387.4

16

1

160

170

140

12

520

450.8

1¼

16

170

185

145

14

585

514.4

1¼

20

180

160

16

650

571.5

&

20

1¼

205

165

18

710

628.6

&

24

1¼

"

210

170

20

775

685.8

&

24

1¼

205

220

185

24

"

812.8

$

24

1½

230

255

205

GENERAL NOTES: (a) Dimensions of Table 10 are in millimeters, except for diameters of bolts and bolt holes, which are in inch units. For dimensions in inch units refer to Annex F, Table F10. (b) For other dimensions, see Tables 11 and 12. NOTES: (1) Length of stud bolt does not include the height of the points. See para. 6.10.2. (2) For f lange bolt holes, see para. 6.5. (3) For spot facing, see para. 6.6. (4) Bolt lengths not shown in table may be determined in accordance with Annex D. See para. 6.10.2.

Anexo 5 Variaciones permitidas respecto a la condición normal de operación según el Código ASME B31.1 - Párrafo 102.2.4 La máxima presión interior y temperatura permitida incluye consideraciones para cargas ocasionales y transitorios de presión y temperatura. Se reconoce que las variaciones de presión y temperatura ocurren inevitablemente, y por lo tanto el sistema de cañerías, excepto lo limitado por los estándares de componentes dados en el Párrafo 102.2.1 o por los fabricantes de componentes referidos al Párrafo 102.2.2, serán considerados seguros durante períodos breves ocasionales a mayores cargas que las de diseño. En el caso de tales variaciones, ya sea presión o temperatura, o ambas, puede excederse el valor computado de la tensión circunferencial por presión si para la temperatura dada no se excede la máxima tensión admisible dada en el Apéndice A por: (A) 15 % si la duración del evento no supera 8 horas en una vez ni acumula más de 800 horas por año, o (B) 20 % si la duración del evento no supera 1 hora en una ves ni acumula más de 80 horas por año.


343


Anexo 6-a Accesorios para soldar a tope – Codos, tes y cruces. Dimensiones según la Norma ASME B16.9


344


Anexo 6-b Otros accesorios para soldar a tope según la Norma ASME B16.9

1.

Codo largo con reducción

2.

4. T con reducción

7.

Casquete

Retorno de radio largo

5.

Cruz con reducción

8.

Reducción

3.

Retorno de radio corto

6.

9.

Solapa (Lap)

Reducción excéntrica

La Norma ASME B16.9 estandariza las dimensiones de los accesorios fabricados por forja y que se sueldan a tope. En el Anexo 6-a de la página anterior se presentan, a modo de ejemplo, las tablas que fijan las dimensiones de elementos sin reducción como codos largos y cortos, tes y cruces y en el Anexo 6-b se esquematizan otros nueve tipos de accesorios forjados para soldar a tope. A continuación se indica: el número de la tabla en la Norma ASME B16.9, la página de esa norma y el anexo de este capítulo donde se muestra el esquema del accesorio. --------- Norma B16.9 --------No de Tabla No de Página 3 8 4 9 5 10 6 10 7 11 8 11 9 12 10 15 11 16 12 17

Caso del Anexo 6

Descripción del accesorio

Anexo 6-a Anexo 6-b caso 1 Anexo 6-b caso 2 Anexo 6-a Anexo 6-b caso 3 Anexo 6-a Anexo 6-b caso 4 y 5 Anexo 6-b caso 6 Anexo 6-b caso 7 Anexo 6-b caso 8 y 9

Codo de radio largo Codo reductor de radio largo Codo retorno de radio largo (180º) Codo de radio corto Codo retorno de radio corto (180º) Te y cruz Te y cruz con reducción Solapa (Lap) Casquete Reducción


345


Anexo 6-c Espesores de accesorios para soldar a tope dados por la Norma ASME B16.9 Diámetro nominal (DN ) pulgadas ½ ¾ 1 1¼ 1½ 2 2½ 3 3½ 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Diámetro exterior ( DE) mm 21.3 26.6 42.2 42.2 48.3 60.3 73.0 !! 101.6 114.3 141.3 168.3 273.3 323.8 355.6 406.4 457.2 508.0 558.8

ESPESORES ( milímetros ) Estándar (STD) 2.8 3.4 3.6 3.7 5.2 5.5 5.8 6.0 6.6 7.1 8.2 " " " " " " "

Liviano

3.3 3.3 3.7 3.8 4.0 4.3 4.5 5.5 6.4 6.4

Extra pesado (XS) 3.7 4.6 5.1 5.6 7.0 7.6 8.1 8.6 " 11.0 12.7 12.7 12.7 12.7 12.7 12.7 12.7 12.7 12.7

Sch 160

6.4 6.4 7.2 8.7 " 11.1

Doble extra pesado (XXS)

# 10.2 11.1 14.0 15.3 16.2 17.1 22.2 22.2

13.5 " 18.3 23.0 28.6 33.3

Anexo 7 Bridas y válvulas: Relación presión-temperatura para materiales del Grupo 1.5 según la Tabla 2-1.1 de las normas ASME B16.5 y B16.34 Nominal Designation

Forgings

Casting

A 182 Gr. F1 (1)

--------

Plates A 204 Gr. A (1) A 204 Gr. B (1)

Working Pressures by Classes, [ bar ] Temp. oC

150

300

400

600

900

1500

2500

! 50 100 150 200 250 300 325 350 375 400 425 450 475 500 538

18.4 18.4 17.7 15.8 13.8 12.1 10.2 .3 8.4 7.4 6.5 5.5 4.6 3.7 2.8 1.4

48.0 48.0 47. 47.3 45.8 44.5 42. 41.4 40.3 38. 36.5 35.2 33.7 31.7 24.1 11.3

64.0 64.0 63. 63.1 61.1 ".3 57.0 55.0 53.6 51.6 48. 46.5 45.1 42.3 32.1 15.1

.0 .0 ". .7 .6 !.0 85.7 82.6 80.4 77.6 73.3 70.0 67.7 63.4 48.1 22.7

144.1 144.1 143.8 142.0 137.4 133.5 128.6 124.0 120.7 116.5 .8 105.1 101.4 ".1 72.2 34.0

240.1 240.1 .7 236.7 .0 222.5 214.4 206.6 201.1 .1 183.1 175.1 .0 158.2 120.3 56.7

400.1 400.1 .5 .5 381.7 370. 357.1 344.3 335.3 323.2 304. .6 281.8 263. 200.5 .6

NOTA: (1) Upon prolonged exposure to temperatures above 465 oC, the carbide phase of carbon-molybdenum steel may be converted to graphite. Permissible, but no recommended for prolonged use above 465 oC.


346


Anexo 8 Accesorios " (socket welding ) Dimensiones dadas por la Norma ASME B16.11


347


Anexo 9 Accesorios roscados – Dimensiones según la Norma ASME B16.11

TABLA 5 Accesorios Forjados Roscados Center-to-End 45 deg Elbow C

Outside Diameter of Band H

Minimum Wall Thickness G

2000

3000

6000

2000

3000

6000

2000

3000

6000

Minimum Length of Thread B L2

21 21

21 25

25 28

17 17

22

22

22 22

22 25

25 33

3.18 3.18

3.18 3.30

6.35 6.60

6.4 8.1

6.7 10.2

&

25

28

33

22

25

25

33

38

3.18

3.51

!

10.4

½

28

33

38

22

25

28

33

38

46

3.18

8.15

13.6

20

¾

33

38

44

25

28

33

38

46

56

3.18

4.32

8.53

12.7

25

1

38

44

51

28

33

35

46

56

62

3.68

!

14.7

17.3

32

1¼

44

51

60

33

35

43

56

62

75

'!

5.28

"

17.0

18.0

40

1½

51

60

64

35

43

44

62

75

84

4.01

5.46

11.07

17.8

18.4

50

2

60

64

83

43

44

52

75

84

102

4.27

7.14

65

2½

76

83

"

52

52

64

102

121

5.61

7.65

"

23.6

!

80

3

86

"

106

64

64

#

121

145

"

8.84

16.54

"

30.5

100

4

106

114

114

#

#

#

246

152

152

6.55

11.18

18.67

27.7

33.0

DN 6 8

Nominal Pipe Size ¼

10 15

Center-to-End Elbows, Tees, Crosses A 2000 3000 6000

GENERAL NOTE: Dimensions are in millimeters. NOTE: (1) Dimension B is minimum length of perfect thread. The length of useful thread (B plus threads with fully formed roots and flat crests) shall not be less than L2 (effective length of external thread) required by American National Standard for Pipe Threads (ASME B1.20.1). See para. 6.3.

TABLA 6 Accesorios Roscados Nominal Pipe Size

Center-to-End Couplings W 3000 and 6000

¼

32 35

1 25

… 27

16

22 25

4.8 4.8

... 6.4

10

&

38

25

27

22

32

4.8

6.4

10.4

15

½

48

32

33

28

38

6.4

#

13.6

20

¾

51

37

38

35

44

6.4

#

12.7

25

1

60

41

43

44

57

#

11.2

14.7

17.3

32

1¼

67

44

46

57

64

#

11.2

17.0

18.0

40

1½

#

44

48

64

76

11.2

12.7

17.8

18.4

50

2

86

48

51

76

2

12.7

15.7

65

2½

2

60

64

108

15.7

1

23.6

!

80

3

108

65

68

108

127

22.4

"

30.5

100

4

121

68

75

140

15

22.4

28.4

27.7

33.0

DN 6 8

End-to-End Caps P 3000 6000

Outside Diameter D 3000 6000

Minimum Wall Thickness G 3000 6000

Minimum Length of Thread Note (1) L2 B 6.4 8.1

6.7 10.2

GENERAL NOTES: (a) Dimensions are in millimeters. (b) Class 2000 and DN6 Class 6000 couplings, half couplings, and caps are not included in this Standard. NOTE: (1) Dimension B is minimum length of perfect thread. The length of useful thread (B plus threads with fully formed roots and flat crests) shall not be less than L2 (effective length of external thread) required by American National Standard for Pipe Threads (ASME B1.20.1). See para. 6.3.


348


Anexo 10 Válvulas esféricas Serie 300 – Dimensiones según la Norma API 6D

Note:

Nota:


349



350


SA-36

23 Barra

…

…

B

H2

B7

F304

F316

F22

F1

60

…

WPB

TP304

TP316

P22

P1

6

1

C

B

A

E/B

E/A

(2) Sin costura (3) Forjado

SA-36

22 Placa, lámina

(1) Soldado

SA-307

SA-181

14 Accesorio (3)

21 Perno

SA-105

13 Accesorio (3)

SA-

SA-234

12 Accesorio (1) (2)

20 Tuerca

SA-312

11 Caño (1) (2)

SA-

SA-312

10 Caño (1) (2)

1 Perno

SA-335

Caño (1) (2)

SA-182

SA-335

Caño (1) (2)

8

18 Accesorio (3)

SA-333

Caño (1) (2)

7

SA-182

SA-333

Caño (1) (2)

6

17 Accesorio (3)

SA-106

Caño (2)

5

SA-182

SA-106

Caño (2)

4

16 Accesorio (3)

SA-106

Caño (2)

3

SA-182

SA-53

Caño (1) (2)

2

15 Accesorio (3)

SA-53

415 515 515 1206 415 400 400

1 1 … … … 1 1

485

415

485

415

1

2

1

2

1

515

515

1 1

415

380

415

380

485

415

330

415

330

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Tensión Tipo DenomiGrado Grupo de rotura nación Clase No MPa

Caño (1) (2)

Forma del producto

1

Ren glón No

250

250

…

…

515

205

205

205

275

205

250

240

205

205

205

205

240

205

275

240

205

240

205

MPa

Tensión de fluencia

114

114

48,3

…

130

138

138

118

138

118

138

118

138

138

118

108

118

108

138

118

'"

118

'"

100

150

200

250

300

350

400

450

500

118

118

118

118

118

…

130

113

138

118

138

118

138

118

137

138

118

108

118

108

138

118

134

114

138

118

138

118

126

134

114

108

118

108

138

118

126

114

138

114

136

118

122

126

114

108

118

108

138

118

114

114

114

114

114

138

107

118

116

114

105

118

107

138

118

…

130

…

130

…

130

114

114

114

114

114

114

114

114

…

…

130

36,2 11,2

…

…

…

101 …

67

…

…

33,6 '

107

111

114

106

107

105 80,3

101

67

33,6 '

114

114

138

111

114

138

105

…

…

…

…

114 !!' 62,6 28,2

…

…

…

115 68,4 !' …

83

…

…

…

…

…

73,6 70,8 65,4

107

…

…

…

…

130

76

108

… 114

…

…

130

… 114 !' 47,7 23,5

134 68,1 23,1

…

…

…

103 ' ' 65,4

108

101 !' 62,6 31,6 12,7

122

…

…

…

…

114 !' 47,7 23,5

101 72,1 23,6

117 !!' 62,7 31,6 12,7

111

114

114

108

117 !!' 62,7 31,6 12,7

101

135

…

…

…

…

550 600

117 !!' 62,7 31,6 12,7

103 "'# !' !"' 82,2 #'

138

114

138

118

138

118

130

138

114

108

118

108

138

118

48,3 48,3 48,3 48,3 48,3

…

130

126

138

118

138

118

138

118

138

138

118

108

118

108

138

118

56

117 !!' 62,7 31,6

'" '" '" '" '" '" '" 73,3

118

'" '" '" 4,5 '" '" '" 73,3 51,2 25,3

65

Máxima tensión admisible ( MPa ) , en función de la temperatura en °C

Anexo 11 Propiedades de los materiales más usados en Argentina, según el Anexo A del Código ASME B31.1

Anexo 12 Factor de eficiencia de junta E de cañería*, según el Párrafo 102.4.3 del Código ASME B31.1 * Para accesorios forjados, el factor de eficiencia de la junta E = 1. No

Type of Joint

Type of Seam

Examination

Factor E

1

Furnace butt Weld, continuous weld

Straight

As required by listed specification

0.60 [Note (1)]

2

Electric resistence Weld ( ERW )

Straight or spiral


0.85 [Note (1)]

3

Electric fusión Weld (EFW) (a) Single butt Weld (without filler metal)

Straight or spiral

(b) Single butt Weld (with filler metal)

Straight or spiral

(c) Double butt Weld (without filler metal)

Straight or spiral

(d) Double butt Weld (with filler metal)

4

Straight or spiral

0.85

Additionally 100% radiographed

1.00 [Note (2)]


0.80


1.00 [Note (2)]


0.


1.00 [Note (2)]


'


1.00 [Note (2)]

Submerged arc weld (SAW)

Straight with one or two seams

As required by specification

'

Gas metal arc weld (GMAW)

Spiral


1.00 [Note (2)]

Combined GMAW, SAW

API 5L


NOTES: (1) It is not permitted to increase the longitudinal weld efficiency factor by additional examination for joint 1 or 2. (2) Radiography shall be in accordance with the requirements of para.136.4.5 or the material specification, as applicable.

Anexo 13 Coeficiente y según la Tabla 104.1.2(A) del Código ASME B31.1 F

and below

1,000

1,050

1,100

1,150

1200

1250 and above

C

482 and below

510

538

566

"

621

677 and above

Ferritic steels

0.4

0.5

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

0.7

Austenitic steels

0.4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.7

0.7

0.7

Nickel alloys UNS: N06617, N08800, N08810, N08825

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.7

Temperature

o

Temperature

o

GENERAL NOTES: (a) The value of ‘y ’ may be interpolated between the 50 oF (27.8 oC) values shown in the Table. For cast iron and nonferrous materials, ‘y ’ equal 0. (b) For pipe with a D0 /tm ratio less than 6, the value of ‘y ’ for ferritic and austenitic steels designed for

+ oF (480 oC) and below shall be taken as: y = d /(d + D0)


351


Anexo 14

Factores de f lexibilidad k y de intensificación de tensiones i dados en el Anexo D del Código ASME B31.1

Description

Flexibility Flexibility Characteristic Factor h k

Stress Intensification Factor i

Sketch

1 Welding elbow or pipe bend Notes (1), (2), (3), (4), (5)

tR rm 2

'

1.65 h

h

1.52

'

2/3

2 Closely spaced miter bend Notes (1), (2), (3), (5)

s t cot 2 rm

s < r ( 1 + tan ) B ;t n 22 ½ deg

2

h

5/6

h

2/3

3 Widely spaced miter bend Notes (1), (2), (5), (6)

t 1 cot 2 rm

s ; r ( 1 + tan ) 22 ½ deg

1.52

h

5/6

'

h 2/3

4 > ? +@KQY Notes (1), (2), (7)

3.1 t rm

'

1

h 2/3

5 Reinforced fabricated tee Notes (1), (2), (8), ()

t

1t 2 r rm t 1.5

2.5

'

1

h 2/3

6 Unreinforced fabricated tee Notes (1), (2), Z\

t rm

'

1

h 2/3

7 Concentric reducer +@KQY

2.0 máx. or

----

1

Note (13)


352

1.2

§ D2 · 0.5 ¨ ¸ 100 © t 2 ¹


PRÁCTICO

Cañerías

1. Seleccionar la serie adecuada para las bridas de dos sistemas de cañerías (a y b) teniendo en cuenta el material y las condiciones de presión y temperatura de diseño. o

a) Bridas de acero al carbono ASTM A105 que deben soportar una presión de 7 MPa a 345 C. o

b) Bridas de acero aleado ASTM A182 Gr. F1 que deben soportar una presión de 6 MPa a 220 C.

2. Verificar el nudo

1 del accesorio T forjado, según el Código ASME B31.1. La presión interna es

2

P = 40 kg/cm y los esfuerzos se indican en la tabla adjunta. Los datos del accesorio y del proceso son: Diámetro exterior: D0 = 114,3 mm (4” ), Espesor: STD, Sobre-espesor por corrosión: A = 1,6 mm Material SA-234 WPB, Ciclos térmicos: N = 38000,

Temperatura máxima: 400 ºC, Temperatura de montaje: 20 ºC. Cargas ocasionales: menos de 1 h por vez y menos de 50 hs por año.

Esfuerzos nudo 1 [kg-cm] M x (torsor) Permanentes 8300 Ocasionales 5900 Por desplazamiento 15400 (ciclos térmicos)

M y (f lector) M z (f lector) 7600 3700 3100 4800 9800

1

17100

3. Determinar la presión de diseño y la temperatura de diseño de una cañería que conduce agua y establecer la serie de ese sistema usando la Norma ASME B31.1. Las condiciones de operación son: Condición Normal Máxima 1 Máxima 2

Presión 24 bar 26 bar 31 bar

Temperatura o 180 C o 200 C o 190 C

Duración máxima en un día

Acumulado máximo en un año

9 horas 10 minutos

400 horas 30 horas

4. Dimensionar el codo de radio largo forjado y el tramo de cañería que concurre al nudo

2 de acuerdo con el Código ASME B31.1. La presión interna es P = 20 kg/cm2 y los esfuerzos se indican en la Tabla 1. La cañería recta tiene soldadura longitudinal del tipo resistencia eléctrica (ERW). En la Tabla 2 se indican los ciclos térmicos proyectados para la vida útil del sistema de cañería.

Datos: Diámetro exterior: D0 = 508 mm ( 20” ) Sobre-espesor por corrosión: A = 2 mm. Materiales: Codo: SA-182 F1 Cañería recta: SA-335 P22 Temperatura máxima: 450 ºC, Temperatura de montaje: 20 ºC Cargas ocasionales: máximo 4 hs de una vez y menos de 400 hs por año. Tabla 1 – Esfuerzos en el nudo 2 Esfuerzos (kg-cm) Permanentes Ocasionales Por desplazamiento (ciclos térmicos)

2

Tabla 2 – Ciclos térmicos

M x (torsor) M y (f lector) M z (f lector)

Si

Ni (ciclos)

SE

10000

150000

180000

140000

60000

80000

70000

0,9 SE

15000

250000

150000

200000

0,8 SE

20000

5. Un caño de acero al carbono se usará para transportar agua a temperatura ambiente a 40 bar y se requiere un diámetro interior mínimo de f lujo de 290 mm. El agua tiene un contenido nominal de oxígeno de 1 ppm ( partes por millón). Diseñar para una vida útil de 8 años considerando el Código ASME B31.1 y cañería con soldadura a tope no radiografiada.


353


6. Establecer la presión y otemperatura de diseño para una cañería de 12 pulgadas de diámetro para transportar vapor a 316 C, partiendo de las dos condiciones de carga dadas en la siguiente tabla. Condición Normal Máxima

Temper.

Presión

o

28 bar

o

40 bar

316 C 316 C

Duración máxima

Acumulado máximo

45 minutos en un día

30 horas en un año

7. Dos bombas de alimentación suministran un caudal de 11500 litros/minuto de agua a 180 ºC al recipiente de la caldera que está ubicado a una altura H = 80 m por sobre las descargas de las bombas. La cañería de descarga de cada una de las bombas es de 8” de diámetro nominal (zona 1) y se conectan a través de un colector de 12” (zona 2) al recipiente, según se muestra en el esquema adjunto. Cada una de las cañerías de descarga de las bombas cuenta con: una válvula de retención, una válvula de seguridad por alivio (cuya presión de apertura de Pap = 240 kg/cm2 ) y una válvula de bloqueo manual. Nota: la válvula de alivio se instala en esta cañería, para evitar un exceso de presión en el caso que se cierre la válvula de bloqueo mientras la bomba está en funcionamiento. La presión normal de trabajo del recipiente de la caldera es Ptrab = 175 kg/cm2 y cuenta con una válvula de seguridad cuya presión de apertura es de: Pseg = 185 kg/cm2. El material de las cañerías es ASTM A-106 Gº C sin costura y el sobreespesor por corrosión 2 mm.

1- Bomba 2- Válvula de retención 3- Válvula de alivio 4- Válvula de bloqueo 5- Cañería de 12” 6- Cañería de 8”

Esquema del sistema de alimentación de la caldera de una central eléctrica

Se pide:

a) Calcular los espesores requeridos para las cañerías de descarga de 8” y las colectoras de 12”, según el Código ASME B31.1.

b) Verificar si el espesor adoptado para la cañería de la zona 1 es adecuado para la condición extraordinaria, que ocurre si alguien cierra la válvula de bloqueo manual, mientras la bomba está funcionando y por lo tanto debe actuar la válvula de seguridad por alivio.


354



Cañerías

1 Se selecciona la serie adecuada para las bridas en dos sistemas de cañerías (a y b) teniendo en cuenta el material y las condiciones de presión y temperatura de diseño. o a) Bridas de acero al carbono ASTM A105 que deben soportar una presión 7 MPa a 345 C. o b) Bridas de acero aleado ASTM A182 Gr. F1 que deben soportar una presión 6 MPa a 220 C. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución o

1.a

Se trata de un material del Grupo 1.1. Según el Anexo 3, a 350 C una brida Serie 600 puede soportar una presión de 75,1 bar (7,51 MPa) que es superior a los 7 MPa requeridos. La Serie 600 es adecuada. Puede soportar las condiciones de temperatura y presión estipuladas. o

1.b

ASTM A182 Gr. F1 es un material del Grupo 1.5. Según el Anexo 7 a 250 C una brida Serie 400 puede soportar una presión de 59,3 bar (5,93 MPa ). Por lo tanto una brida Serie 400 no sería adecuada para soportar 6 MPa y se requeriría una brida Serie Serie 400 600 para satisfacer las condiciones de temperatura y presión o Presión [bar ] Temp. [ C] estipuladas. 200 61,1 No obstante, el código permite hacer una interpolación lineal 220 X para determinar valores intermedios. 250 59,3 £ Para la Serie 400 se tiene: X 59,3 220 250 § 30 · o X 59,3 ¨ X 60, 4 bar ¸ x 61,1 59,3 61,1 59,3 200 250 © 50 ¹ o

La Serie 400 es adecuada. Puede soportar una presión de 6,04 MPa a una temperatura de 220 C. NOTA: La Norma ASME B16.5 tiene más de 40 tablas, para distintos grupos de materiales, que permiten clasificar las bridas en series. Por razones de espacio en este capítulo sólo se reprodujo la Tabla 2-1.1 referida al grupo 1.1 en el Anexo 3 y la Tabla 2-1.5 para el grupo 1.5 en el Anexo 7.

2 Se verifica el nudo

1 de la T forjada, según el Código ASME B31.1. 2

Presión = 40 kg/cm ,

D0 = 114,3 mm (4” ),

Sobre-espesor: A = 1,6 mm

Espesor: STD

Ciclos térmicos: N = 38000

1

Material SA-234 WPB, Temp. máxima: 400 ºC, Temp. de montaje: 20 ºC. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución Para determinar el módulo resistente W de la sección se debe conocer el espesor corroído y el radio medio de la sección corroída: Espesor nominal del T de 4 pulgadas, STD:..................Anexo 6-c ............................

tn A

Espesor remanente considerando corrosión: tr Radio medio: ....... rm Módulo resistente:

0,60 0,16

0, 44 cm

( D0 tr ) /2 (11, 43 0, 44) /2 5,5 cm .............................. Ec. (17)

W

S rm tr 2

S x 5,5

2

x 0, 44

tn

0,60 cm

tr

0, 44 cm

rm

41,8 cm3 ....... W

5,5 cm

41,8 cm3

Flexibilidad característica h y factor de intensificación de tensiones i en versión corroída (Anexo 14):

h 3,1 tr r m °

Caso 4 del Anexo 14 o ®

°¯ i

3,1 x 0, 44 5,5 0, 248..................................... h 0, 248

0,9 h 2 3 0,9 0, 248


355

23

2, 28......................................... i

2, 28


Al ser un accesorio forjado, la eficiencia de junta E es: ...... £@
E

1

para 20 o 9 Sc = 118 MPa

Sc

1204 kg / cm 2

para 400 o C Sh = 88,9 MPa

Sh

907 kg / cm 2

El coeficiente y para aceros ferríticos se obtiene del Anexo 13: a menos de 482 o C.....

y

0, 4

2.a

Verificación de espesor mínimo por presión P D0 Ec. (9) tm A 2 (S E P y) 40 x 11, 43 tm 0,16 0, 41 cm tm 2 907 x 1 40 x 0, 4

0, 41 cm tn 0,60 cm

Verifica

2.b

Tensiones originadas por cargas permanentes en el nudo 1 P D0 M Ec. (10) S L Ci A d S h Ci mayor 1 ; 0,75 i con W 4 tr mayor 1 ; 0,75 i mayor 1 ; 0,75 x 2, 28 1,71 ...........................................

Ci

Ec.(16)

( M x )2 ( M y )2 ( M z )2

Mj

40 x 11, 43 11847 1,71 x 4 x 0, 44 41,8

j

1,71

A, B, C

(8300)2 (7600)2 (3700)2 ... M A 11847 kg cm

Esfuerzos permanentes nudo 1 : M A SL

con

Ci

744 kg / cm 2 S L

744 S L

744 d S h

907 Verifica

2.c

Tensiones originadas por cargas permanentes más ocasionales en el nudo 1 P D0 MA M Ec. (11) con Ci Ci B d K S h Ci mayor 1 ; 0,75 i 4 tr W W

(5900)2 (4800)2 (3100)2

Esfuerzos ocasionales: Ec. (16) M B

8213 kg cm

MB

Las cargas ocasionales actúan menos de 1 h por vez y menos de 50 hs por año: Ec. (11) 40 x 11, 43 11847 8213 1,71 x 1,71 x 4 x 0, 44 41,8 41,8

2.d

K

1080 d 1, 2 x 907 1088 1080 d 1088

1, 2

Verifica

Tensiones originadas por rangos de cargas producidos por desplazamiento en el nudo 1

Ec. (12)

SE

i

MC d SA W

(15400)2 (9800)2 (17100)2

Esfuerzos por desplazamiento: M C

f 1, 25 Sc 1, 25 S h S L

Rango de tensiones admisibles SA : Ec. (13) S A Factor de reducción por rango de tensiones cíclicas f : 6 / N 0,2

6 / 38000

0,2

Ec. (14)

0,15 d f

f

Ec. (13)

SA

f (1, 25 Sc 1, 25 Sh S L ) 0,728 x(1, 25 x 1204 1, 25 x 907 744)

Ec. (12)

SE

i

2, 28 x

25012 41,8

6 / N 0,2 d 1

0,728 .........................................................

Ec. (14)

MC W

25012 kg cm

MC

1364

S E

f

0,728

S A 1379 kg / cm 2

1364 d S A 1379

Verifica

CONCLUSIÓN: Según el Código ASME B31.1, el nudo 1 de la T forjada de 4 pulgadas STD puede resistir los esfuerzos indicados en la tabla. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

356


3 Se determina la presión de diseño y la temperatura de diseño de una cañería que conduce agua. Además se establece la serie de ese sistema. Las condiciones de operación son: Condición Normal Máxima 1 Máxima 2

Presión 24 bar 26 bar 31 bar

Temperatura o 180 C o 200 C o 190 C

Duración máxima en un día 9 horas 10 minutos

Acumulado máximo en un año 400 horas 30 horas

Solución: La cañería está regida por la Norma ASME B31.1. Dado el fluido y la temperatura se puede usar acero al carbono. Se adoptan los siguientes materiales: Válvulas: ASTM A-216 WCB Bridas: ASTM A-105 Caños: ASTM A-106 Go B La relación presión-temperatura se determina mediante las normas ASME B16.5 y B16.34. Los materiales de las bridas y las válvulas pertenecen al Grupo 1.1 de la Tabla 2-1.1 de la B16.5 y la B16.34. Se utiliza el Anexo 3 de este capítulo para adoptar la serie que cubra las tres condiciones de carga: Serie 150 Serie 300 Serie 400 Temperatura = 200 C Presión = 13,8 bar Presión = 43,8 bar Presión = 58,4 bar o

o

En el 5to renglón de la primera columna del Anexo 3 se ubica Temperatura = 200 C. Sobre ese renglón para la serie 150 (2da columna) se lee Presión =13,8 bar (insuficiente). En la 3ra columna para la Serie 300 se lee Presión = 43,8 bar. Esto es suficiente por ser mayor que la presión máxima = 31bar. Se observa que la Serie 300 cubre las tres condiciones de diseño. Determinación de las condiciones de diseño a partir de la condición normal y las condiciones máximas

Las condiciones de diseño se determinan de modo de garantizar que se cumplen los requisitos mínimos de la ASME B31.1. Se deben considerar dos factores: presión y temperatura. Cuanto mayor es la presión, mayor es el espesor requerido para la pared del caño. La presión de diseño debe seleccionarse de modo de satisfacer los siguientes requerimientos: ¹ La presión de diseño no podrá ser menor que la máxima presión sostenida de operación en todo el sistema, incluido el efecto de la presión hidrostática (B31.1, Párrafo 101.2.2 ). ¹ La presión de diseño deberá ser de tal magnitud que la tensión causada por la variación de presión y/o temperatura en el sistema no exceda la tensión admisible en más del 15% durante más de 8 hs en un día de operación ni acumule 800 hs en un año; ni supere en más del 20 % durante 1 h en un día de operación ni acumule 80 hs en un año (B31.1, Párrafo 102.2.4). Las consideraciones para cargas ocasionales y transitorios de presión y temperatura se dan en el Anexo 5. La condición máxima 1 causará en la pared del caño una tensión que no superará en más de un 15 % a la tensión causada por la condición normal pero la duración máxima en un día excede las 8 hs. Condición 1: 26/24 1,08 1,15 Verifica la tensión

9 hs < 8 hs ? No verifica la duración

Por lo tanto la condición máxima 1, por su duración, debe ser considerada como sostenida y esto requiere que la presión de diseño no sea menor a 26 bar. La condición máxima 2 tiene: una duración máxima menor a l hora en un día de operación y acumula menos de 80 hs en un año y no produce una tensión que supera en un 20 % a la tensión admisible usando una presión de diseño de 26 bar. Condición 2:

31/26 1,19 1, 20 ; 10 min < 1 h ; 30 hs 80 hs Verifica presión y duración

Por lo tanto la condición máxima 2 puede ser tratada como una condición ocasional. Notar que el razonamiento usado es válido porque al aumentar la temperatura o o de 180 C a 200 C la tensión admisible de los materiales usados no cambia. CONCLUSIÓN: Las condiciones de diseño mínimas aceptables son: Presión de diseño: ...... 26 bar


357

o

Temperatura de diseño: ..... 200 C


4 Se dimensiona un codo radio largo forjado y un tramo de cañería de acuerdo con el Código ASME B31.1. Ambos concurren al nudo 2 . Para determinar las características geométricas de las secciones del codo y de la cañería recta se deben predimensionar sus espesores. Se propone un espesor estándar (STD = Sch 20) para ambos elementos de 20 pulgadas de diámetro Espesor considerando corrosión: ... tr Radio medio: .......... rm

tn A

2

tn

tnr

0,95 cm

0,75 cm .................... tr

0,75 cm

Anexo 6-

0,95 0, 2

tnc

( D0 tr ) / 2 (50,8 0,75) / 2 25 cm .............................. rm

Módulo resistente: Ec. (17) W

S rm tr 2

S x 25

2

x 0,75

1473 cm3 .............

4.1 Verificación del extremo del codo de radio largo en el nudo Radio de curvatura R del codo largo: ( R | 3 rm )

25 cm

1473 cm3

W

2

R 76, 2 cm

Anexo 6-a

Flexibilidad característica h y Factor de intensificación de tensiones i del codo en estado corroído (Anexo 14): "!£

h tr R rm 2 0,75 x 76, 2 25 2

"!£

i

0,9 h 2 3 0,9 0,0914

23

2

0,0914 .... h 0,0914

i

4, 44 ….........

4, 44

Al ser un accesorio forjado, la eficiencia de junta E es: .... Anexo 12 primer renglón Material SA-182 F1 Renglón £ 20 o C Sc

450 o C S h

1408 kg / cm 2

E

1

1367 kg / cm 2


y

0, 4

4.1.a

Verificación del espesor mínimo P D0 20 x 50,8 Ec. (9) tm A 0, 2 0,57 cm ................ tm 2 S E P y 2 x 1367 x 1 20 x 0, 4 tm

4.1.b

SL

PD0 / 4 tr Ci M A / W d S h

con

mayor 1 ; 0,75 i

Ci

mayor 1 ; 0,75 i mayor 1 ; 0,75 x 4, 44 3,33 ........................................... Mj

Ec. (16)

( M x )2 ( M y )2 ( M z )2

Esfuerzos permanentes: M A SL

Verifica

Tensiones originadas por cargas permanentes en el nudo 2

Ec. (10)

Ci

0,57 cm tn 0,95 cm

j

con

MA

3,33

272946 kg cm

956 kg / cm 2

956 .................................... S L

SL

Ci

A, B, C

(150000)2 (180000)2 (140000)2

20 x 50,8/ 4 x 0,75 3,33 x 272946/1473

4.1.c

0,57 cm

956 kg / cm 2 d S h

1367 kg / cm 2

Verifica

Tensiones originadas por cargas permanentes más ocasionales en el nudo 2

Ec. (11)

PD0 / 4 tr Ci M A /W Ci M B /W d K S h

Esfuerzos ocasionales: M B

Ci

con

(60000)2 (80000)2 (70000)2

mayor 1 ; 0,75 i

MB

122066 kg cm

Las cargas ocasionales actúan máximo 4 hs en una vez y menos de 400 hs por año......... Ec. (11)

20 x 50,8 272946 122066 3,33 x 3,33 x 4 x 0,75 1473 1473


358

1232

K

1,15

1232 d 1,15x1367 1572 Verifica


4.1.d

Tensiones originadas por rangos de cargas producidos por desplazamiento en el nudo 2

(250000)2 (150000)2 (200000)2

Esfuerzos por desplazamiento: M C n

Ec. (15)

N E ¦ N i Si / S E

N

5

353553 kg cm

MC

10000 15000 x (0,9)5 20000 x (0,8)5 ............

N

25411

i 1

Factor de reducción por rango de tensiones cíclicas f : Ec. (14)

f

6 / 25411

6 / N 0,2

0,2

f

0,789

f 1, 25 Sc 1, 25 S h S L

0,789 x 1, 25 x 1408 1, 25 x 1367 956

i M C /W 4, 44 x 353553 / 1473 1066

Ec. (12) S E

6 / N 0,2 d 1

0,789 .........................................................

Rango de tensiones admisibles SA : Ec. (13) S A SA

0,15 d f

Ec. (14)

S A 1983 kg / cm 2

1066 d S A 1983

SE

Verifica

Se concluye que el predimensionado del espesor STD del codo fue correcto.

4.2 Verificación del extremo de la cañería recta en el nudo Al ser un tramo recto el factor de intensificación de tensiones i es:

2

La cañería tiene soldadura longitudinal tipo ERW Anexo 12, caso 2 E Material SA-335 P22 Renglón 9 £ 20 o C Sc

2

i 1

0,85

1204 kg / cm 2 450 o C S h

1163 kg / cm 2

El coeficiente y para aceros ferríticos se obtiene del Anexo 13: a menos de 482 o C....... y Tolerancia de fabricación: 12,5 % : ttol

0,95 x 0,875 = ttol

ttol 0, 2

0,83 tr

2 50,8 0,63 2 25,08 cm W S (rm ) 2 tr S x 25,08 x 0,63 ........... 4.2.a Verificación de espesor mínimo

rm

Ec. (9) tm

20 x 50,8 0, 2 0,71 cm tm 2 x 1163 x 0,85 20 x 0, 4

0,71 ttol

tr

0, 4

0,63 cm 1245 cm3

W

0,83 Verifica

4.2.b

Tensiones originadas por cargas permanentes en el nudo 2 Ec. (10) S L PD0 / (4 tr ) Ci M A /W d S h ; Ci mayor 1; 0,75 i = mayor 1; 0,75 x 1 MA en 2 producido por los esfuerzos permanentes fue calculado en 4.1.b SL

20 x 50,8 272946 1 x 4 x 0,63 1245

4.2.c

SL

622 kg / cm 2

S L

1163

Verifica

Tensiones originadas por cargas permanentes más ocasionales en el nudo 2

Ec. (11)

PD0 / 4 tr Ci M A /W Ci M B /W d K S h

mayor 1 ; 0,75 i

Ci

con

MB en 2 producido por los esfuerzos ocasionales fue calculado en 4.1.c

122066 kg cm

MB

Las cargas ocasionales actúan un máximo de 4 hs de una vez y menos de 400 hs por año 20 x 50,8 272946 122066 1 x 1 x 4 x 0,63 1245 1245

4.2.d

1

272946 kg cm

MA

622 d S h

Ci

721 d 1,15 x 1163 1337

721 d 1337

K

1,15

Verifica

Tensiones originadas por rangos de cargas producidos por desplazamientos en el nudo 2

MC en 2 debido a los esfuerzos por desplazamiento fue calculado en 4.1.d

353553 kg cm

MC

El factor de reducción por rango de tensiones cíclicas f es igual al del codo: …......... Rango de tensiones admisibles SA : Ec. (13) S A Ec. (12) S E

i M C /W

1 x 353553 /1245 284

f 1, 25 Sc 1, 25 S h S L

S E

284 d S A

SA 2337

f

0,789

2337 kg / cm 2 Verifica

Se concluye que el predimensionado del espesor STD de la cañería fue correcto.


359


5 Un caño de acero al carbono se usará para transportar agua a temperatura ambiente a 40 bar y se requiere un diámetro interior mínimo de flujo de 290 mm. Se considera que el agua tiene un contenido nominal de oxígeno de 1 ppm (partes por millón). Se diseña para una vida útil de 8 años considerando el Código ASME B31.1 y cañería con soldadura a tope no radiografiada. Solución Diámetro interior mínimo: Tamaño mínimo de flujo dato = 29 cm ......................

Di mín

Presión interior : Dato presión = 40 bar = 4 MPa = 4 x 10,2 kg/cm2 ................... P Material: Se adopta un caño con costura apto para usos generales y de bajo costo

29 cm

40,8 kg / cm 2

ASTM A53 Gr. A

o

Tensión admisible S: La tensión admisible a temperatura ambiente ( 30 C ) se busca en el Anexo 11. Primer renglón del £

A53 Gr. S = 94,5 MPa = 10,2 x 94,5 kg/cm2 .…... S

964 kg / cm 2

Diámetro exterior Do: Teniendo en cuenta la ASME B36.10M ( ver Anexo 2) se selecciona tentativamente un caño NPS 12 (DN 300) con un diámetro externo de 323,8 mm ..... D0 32, 4 cm El diseño para garantizar la integridad estructural se basa en la Norma ASME B31.1 según el Párrafo 104.1 P D0 Ec. (9) .......... tm A 2 S E P y Sobre-espesor por corrosión A: En el gráfico se lee que para una concentración de oxigeno de 1 ppm y una o temperatura de 30 C la corrosión es de 0,5 mm por año. Considerando 8 años de vida útil y 0,5 mm de corrosión por año A 0,5 x 8 mm ..................... A 0, 4 cm Como se especifica construcción por soldadura a tope, no se requiere espesor adicional para uniones (como ser roscados , ranurados, etc.) . Eficiencia de junta E de la cañería: Soldadura a tope del tipo ERW o EFW no radiografiada: Anexo 12 casos 2 ó 3-

E

Coeficiente y : Se debe tener en cuenta la Norma ASME B31.1, Tabla 104.1.2 (A) Se considera acero ferrítico trabajando a menos de 482 o C: según el Anexo 13 se adopta

0,85 y

0, 4

Espesor requerido por presión interior tm: Se usa la Ec. (9) Ec. (9)

tm

P D0 A 2 S E P y

40,8 x 32, 4 0, 4 2 x 964 x 0,85 40,8 x 0, 4

1,19 cm .......

tm

1,19 cm

Selección del espesor del caño t : Basado en la Norma ASME B36.10M se selecciona tentativamente un caño de 12” con espesor mayor que 1,19 cm. Se adopta Sch 60........ £ ...... t 1, 43 cm Tolerancia en el espesor -12,5 %:............. ttol

1, 43 x 0,875

1, 25 cm ..................

Verificación del espesor tolerado t tol :....... ttol

1, 25 cm ! tm 1,19 cm ............................. Verifica

Comprobación del diámetro interior mínimo de f lujo requerido: dato Di mín Al inicio de la vida útil: Dint

32, 4 2 x 1, 43 29,5 Dint

29,5 cm ! Di mín

ttol

1, 25 cm

29 cm 29 cm Verifica

NOTA: No se consideró el efecto de la f lexión. En la mayoría de los casos la verificación por la presión es determinante del espesor requerido. Sin embargo, si los tramos de cañería entre apoyos son inusualmente grandes, o si en un tramo existe un componente pesado (como ser una válvula), en esos casos la tensión por f lexión puede resultar dominante. CONCLUSIÓN:

Se cumplen los requerimientos. Un caño ASTM A53 Gr. A de 12”, Sch 60, con costura a tope del tipo ERW o EFW no radiografiada es aceptable.


360


6 Se establece la presión y la temperatura de diseño para una cañería de 12 pulgadas de diámetro para transportar vapor a 316 oC, partiendo de las dos condiciones de carga dadas en la tabla. Condición Normal Máxima

Temper. 316 oC 316 oC

Presión 28 bar 40 bar

Duración máxima -----45 minutos en un día

Acumulado máximo -----30 horas en un año

Solución: El f luido y la temperatura permiten usar acero al carbono. Se adoptan los siguientes materiales: Caños: ASTM A-106 Go B

Válvulas: ASTM A-216 WCB

Determinación de la serie de la cañería: Se utilizan materiales de la Tabla 2-1.1 de las normas ASME B16.5 y B16.34 reproducida en el Anexo 3. Como el valor de la temperatura (316 oC ) no coincide con ningún valor de la primera columna se interpola entre 300 y 325 oC:

Temp 300 316 325

Bridas: ASTM A-105 150 10,2 9,62 9,3

Serie 300 39,8 39,1 38,7

400 53,1 52,14 51,6

Condición normal: La presión de 28 bar es menor que 39,1 luego la Serie 300 es adecuada. Condición máxima: La duración es breve y satisface lo previsto en el Código ASME B31.1, Párrafo 102.2.4(B) (ver Anexo 5) sobre variaciones de carga permitidas respecto a la condición normal de operación. Como la duración máxima en un día no supera 1 hora ni acumula 80 hs en un año, desde el punto de vista de la duración se podría considerar como carga ocasional permitida. Pero como la presión 40 bar supera en un 43% (40/28 = 1,43) a la condición normal, no se puede considerar como carga ocasional porque superaría en más del 20 % la condición de diseño de 28 bar. Lo expuesto anteriormente obligaría a considerar como condición de diseño lo siguiente: Condición de diseño: Si se adoptara la condición de diseño

Temp. = 316 o C ; Presión = 40 bar

la presión de 40 bar superaría los 39,1 bar de la Serie 300 y se debería adoptar la siguiente Serie: Presión 40 bar 39,1 bar < Serie 400 d 52,14 bar Serie de la cañería: ................

Se debería adoptar la Serie 400 para las bridas y válvulas

Solución alternativa muy ventajosa: Como se describe a continuación, es posible modificar la condición normal aumentando la presión de modo que la condición máxima pueda considerarse como ocasional permitida cumpliendo con el Párrafo 102.2.4(B) reproducido en el Anexo 5. Primero se debe determinar una nueva presión de diseño, x, de modo que la presión máxima de 40 bar no la supere en más del 20 % como pide la norma.

40/ x 1, 2

x ! 33,33 bar

@ "@!$# "»

Nueva condición de diseño: Se adopta .................................

pmáx

34 bar

Temp. = 316 o C ; Presión = 34 bar

Ahora la carga máxima se puede considerar como una carga ocasional permitida, ya que cumple con los dos requisitos (presión y duración) del Párrafo 102.2.4(B) (ver Anexo 5) sobre variaciones de carga permitidas respecto a la condición normal de operación. a) La duración máxima en un día no supera 1 hora ni acumula 80 hs en un año. b) La presión máxima de 40 bar es sólo 18 % mayor que la de diseño (40/34 = 1,18). Serie de la cañería: La presión de 34 bar es menor que 39,1, entonces

Adoptamos la Serie 300

CONCLUSIÓN: Al adoptar la Serie 300 y presión máxima 34 bar se logra un importante ahorro en bridas y válvulas por ser más livianas y en la propia cañería. Al diseñar la cañería con la ecuación (9) para una presión 15 % inferior (34/40 = 0,85) se reducirá alrededor de un 15 % el espesor requerido.


361


7 Se determinan los espesores de dos cañerías de 8” y 12” del sistema que alimenta una caldera. La presión hidrostática ph que ejerce el agua sobre la descarga de las bombas, depende de la densidad del agua en las condiciones de operación (180 ºC y 175 kg/cm2 ) que es:

U ag

900 kg / m3 Ph

H U ag

80 x 900 72000 kg / m 2

7, 2 kg / cm 2 Ph

7, 2 kg / cm 2

Según el Párrafo PG 61.1 del Código ASME Sección I – Calderas de centrales de potencia, las cañerías de la caldera se deben diseñar considerando la presión de apertura de la válvula de seguridad de la caldera Pseg más un 3 %. Este caso, para las cañerías de las zonas 1 y 2: P1 1,03 Pseg Ph

1,03 x 185 7, 2 197,8 ...................................................... P1

197,8 kg / cm 2

Por otra parte, el Párrafo 122.1.3 (A.1) del Código ASME B31.1, requiere que se considere como presión de diseño de las cañerías de alimentación de agua de calderas, a la presión normal de trabajo, Ptr, incrementada en un 25% ó en 16 kg/cm2, lo que sea menor; más la presión hidrostática: P2

menor 1, 25 Ptr ; Ptr 16 Ph

menor 1, 25 x 175 ;175 16 7, 2

P2

198, 2 kg / cm 2

Considerando las presiones indicadas por los dos códigos que se aplican en este caso, la presión de diseño P de las cañerías de alimentación de agua para la caldera, para las zonas 1 y 2 es: P

mayor P1 ; P2 mayor 197,8 ; 198, 2 198, 2 ........…Adoptamos: …..... P

200 kg / cm 2

a) Cálculo de los espesores mínimos requeridos: se considera la ecuación (9): Factor de eficiencia de junta E de cañería: La cañería es sin costura ................................. Material SA-106 Gº C Renglón 5 del Anexo 11 180 o C S = 138 MPa ........... S

E

1

1408 kg / cm 2


y

Espesor mínimo requerido por la cañería de 8” (D0 = 21,91 cm) de la zona 1: P D0 200 x 21,91 Ec. (9) tm A 0, 2 1,67 cm ............ tm 2 S E P y 2 1408 x 1 200 x 0, 4

1,67 cm

tn

2,06 cm

Del Anexo 2, para la cañería de 8” se adopta un espesor comercial Schedule 140 Tolerancia de fabricación de cañerías del 12,5 %: ttol

2,06 x 0,875 1,80 ! tm 1,67

0, 4

Verifica

Espesor mínimo requerido por la cañería de 12” (D0 = 32,38 cm) de la zona 2: P D0 200 x 32,38 Ec. (9) tm A 0, 2 2,38 cm .......... tm 2 S E P y 2 1408 x 1 200 x 0, 4

2,38 cm

Del Anexo 2, para la cañería de 12” se adopta un espesor comercial Schedule 140 tn

2,86 cm

Tolerancia de fabricación de cañerías del 12,5 %:

ttol

2,86 x 0,875 2,50 ! tm

2,38

Verifica

b) Verificación del espesor adoptado para la cañería de la zona 1 para la condición extraordinaria Si alguien cierra la válvula de bloqueo manual, con la bomba funcionando, deberá actuar la válvula de seguridad por alivio. Debido a la baja posibilidad de ocurrencia de esa operación incorrecta, se la encuadra en el Punto (B) del Párrafo 102.2.4 del Código ASME B31.1 (ver Anexo 5 ). Por ello la tensión admisible se incrementa un 20 %:... S c 1, 2 x1408 1690 ...... S c 1690 kg / cm 2 Con el espesor adoptado para la cañería de 8” de diámetro nominal, podemos calcular la presión admisible Pa utilizando la ecuación (9). Se debe usar el espesor adoptado menos la tolerancia de fabricación del 12,5%: ttol 2,06 x 0,875 1,80 ................................................... ttol 1,80 cm 2 S c E (ttol A ) D0 2 y (ttol A )

2 x 1690 x 1 x (1,8 0, 2) 21,91 2 x 0, 4 x (1,8 0, 2)

262 kg / cm ..... Pa

262 kg / cm 2

Como la presión de apertura de la válvula de seguridad por alivio es: ............... Pap

240 kg / cm 2

Ec. (9)

Pa

Pa


262 kg / cm 2 ! Pap

362

240 kg / cm 2

Verifica


Capítulo 16

ESTRUCTURAS METÁLICAS: TORRES 1

INTRODUCCIÓN

Este capítulo es una introducción al diseño y el análisis de un tipo de estructuras metálicas especiales: las torres que son constituidas con miembros unidimensionales, “barras”, tales como reticulados y pórticos espaciales. El modelado de estas estructuras no requiere gran imaginación ya que los “nudos” están claramente definidos; y para su análisis elástico se emplean los “elementos finitos” más simples: las barras. El cálculo de tensiones en las barras es sencillo e inmediato. Por estas características, las torres se distinguen de otros tipos de estructuras metálicas, tales como las de recubrimiento resistente, recipientes, etc.; en ellas, los miembros a estudiar son bidimensionales o tridimensionales y para su análisis elástico se requiere de un modelado mucho más elaborado. Para ello se emplean elementos finitos más sofisticados, normalmente del tipo isoparamétricos o axilsimétricos (ver Capítulo 12, Método de los elementos finitos). Por lo dicho, el problema aparece como muy simple; sin embargo, el proyectista se enfrenta a estructuras con gran cantidad de nudos y barras, y elevada hiperestaticidad, lo que dificultaría enormemente el cálculo manual. Esta doble característica, relativa sencillez de cálculo y gran cantidad de miembros, explica porque estas estructuras fueron las primeras en ser estudiadas por procedimientos sistemáticos (método de la rigidez) tan pronto como la computadora digital alcanzó un grado de desarrollo suficiente. En efecto, el análisis de estas estructuras requiere la resolución de sistemas de ecuaciones de orden elevado, lo cual es imposible de resolver manualmente. Es así que ya en la década del 50 del siglo pasado, se desarrollaron los primeros programas de computadora para resolver estructuras metálicas para la industria aeronáutica. Un tiempo después se presentaron programas de aplicación general, tales como el STRESS (S. Fenves -MIT) y FRAN (Eisenamm), los cuales se presentan en la referencia [1].

2

CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS METÁLICAS

A las estructuras metálicas se las puede clasificar según su aplicación, distinguiéndose por su geometría, condiciones de trabajo y normas que gobiernan su diseño: a) Torres b) Puentes c) Armaduras de techos d) Edificios con estructura metálica e) Otras (soportes, bancadas, etc.) Todas ellas compuestas por perfiles laminados, chapas delgadas plegadas, barras de acero redondo o tubos. A su vez las torres se pueden clasificar en: a-1) Torres antenas: donde habitualmente la condición de diseño corresponde a la máxima deformación admisible de la estructura (ver Figuras 1-a y 1-b). a-2) Torres para la transmisión de energía eléctrica: las que están proyectadas en base a las tensiones admisibles de los materiales empleados (ver Figuras 1-c y 1-d). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

363


a)

c)

b)

d)

Figura 1: Principales tipos de torres

Es interesante destacar que ambos tipos de torres, pueden ser arriostradas (ver Figuras 1-a y 1-c) o autoportantes (Figuras 1-b y 1-d). Las condiciones de diseño que rigen el cálculo de ambos tipos de torres llevan a particularidades en el análisis estructural de cada caso, entre otras: En las torres antena, la variación de temperatura es una condición de carga a tener en cuenta; mientras que en las torres de transmisión no se considera el efecto de la temperatura sobre estas estructuras. Pero este efecto si es considerado en el cálculo del tiro de los conductores eléctricos. En las torres antena, habitualmente arriendadas, se debe incluir en su estudio el análisis no lineal del comportamiento de las riendas. En el estudio de las torres de transmisión solo se considera el análisis lineal, tanto de la geometría como del material y las cargas, aún en las torres arriendadas. Considerar el comportamiento no lineal de los cables, implica definir una expresión cúbica para la relación carga – alargamiento. De esta expresión se puede deducir la rigidez del cable, que es la pendiente de la curva representativa de la ecuación carga – alargamiento. Por ello, para llegar al valor de la rigidez del cable, para una condición de carga, se la debe corregir de forma sucesiva a partir de la condición de deformación aproximada. Para el lector interesado, el problema no lineal de los cables está desarrollado en las referencias [2],[3].

3

NORMAS APLICABLES PARA TORRES

Para las torres existen normas, que regulan las distintas etapas de la vida de estas estructuras, que son: diseño, construcción y mantenimiento. Las normas de aplicación habitual en Argentina son de origen alemán y norteamericano: a) VDE 0210 – “Planning and Design of Overhead Power Lines with Rated Voltages above 1 kV” de la “Association for Electrical, Electronic & Information Technologies” del año 1985: norma sobre torres de transmisión eléctrica de origen alemán muy utilizada en Argentina. b) VDE 0210-1 / EN 50341-1, “Overhead electrical lines exceeding AC 1 kV: General requirements - Common specifications del año 2012”: norma europea basada en la norma alemana anterior. c) ASCE/SEI 10 – “Design of Latticed Steel Transmission Structures de la American Society of Civil Engineers (ASCE)”: norma sobre torres de transmisión eléctrica de origen norteamericano. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

364


d) AEA 95301 – “Reglamento Líneas Aéreas Exteriores de M y A Tensión de la Asociación Electrotécnica Argentina”. e) TIA/EIA 222 – “Structural Standard for Steel Antenna Towers and Antenna Supporting Structures”, de la Telecommunications Industry Association (TIA): norma sobre torres antenas de origen norteamericano y la de mayor uso en Argentina.

4

TORRES DE TRANSMISIÓN ELÉCTRICA

4.1 Formas básicas La forma de una torre depende de varios factores entre los que podemos mencionar: a) Condiciones eléctricas de la línea: distancia entre conductores, y de estos a tierra y cables de guardia, altura de aislaciones, etc. b) Topografía del terreno: llanura, montañoso, cruce de ríos, etc. c) Características del suelo. d) Zona sísmica de instalación. e) Espacio disponible para el montaje. f) Condiciones climáticas: viento, nieve, etc. g) Facilidades para el transporte de los materiales constitutivos. h) Otros: experiencia del constructor, requerimientos del comitente y de la autoridad regulatoria, etc. Las principales formas de constructivas son (ver Figura 2): a) Torres mástil. b) Torres delta. c ) Torres delta arriendada.

a)

b)

c)

Figura 2: Principales formas de las torres eléctricas

Otro criterio de clasificación se origina en la función que cumplen las torres en la línea de transmisión de energía eléctrica; donde se distinguen: a) Torres portantes: sirven de apoyos a los conductores en los tramos rectos (ver Figura 3-a). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

365


b) Torres portantes angulares: son las estructuras que sirven de apoyos a los conductores en los puntos de cambio de dirección de la línea de transmisión (ver Figura 3-b). c) Torres de retención: constituyen los puntos fijos ubicadas a cierta distancia entre sí capaces de soportar tracciones no equilibradas de los conductores producto de de la rotura de unos de ellos. Además, existen los casos particulares de las torres de retención angulares. d) Torres terminales: son los puntos iniciales o finales de una línea eléctrica. Soportan la tracción unilateral de los conductores (ver Figura 3-c). En muchos casos estas estructuras están configuradas como pórticos. e) Torres de derivación y distribución: permiten dividir la línea de transmisión en diferentes direcciones.

b)

a)

c

Figura 3: Principales tipos de torres eléctricas

4.2 Acciones a considerar Las diversas normas que regulan el diseño y construcción de torres establecen las hipótesis de carga que se deben considerar en su dimensionamiento y ensayo. La norma habitualmente empleada en Argentina es la VDE 0210 [4, 5] de origen alemán y los reglamentos de las empresas eléctricas, que en realidad son adecuaciones de esa misma norma. Cargas verticales y horizontales Las cargas verticales a considerar en el diseño son: a) Cargas permanentes: peso de la torre, peso de los conductores (de conducción eléctrica y los cables de guardia) y peso de los aisladores y morsetería. Se deben tener en cuenta los tiros de los cables, hacia arriba o abajo. b) Cargas adicionales: sobrecarga del hielo, tanto en la torre como en los conductores (ver Figura 4-c y 4-d de un accidente de ese tipo). c) Cargas de montaje: son las correspondientes al transporte de la estructura y su montaje. Mientras que las cargas horizontales a tener en cuenta son: a) Cargas permanentes: tiro de los conductores. b) Cargas adicionales: acción del viento sobre los elementos estructurales, aisladores, morsetería y conductores (ver Figura 4-a y 4-b accidentes de este tipo); cargas de origen sísmico y desequilibrios por rotura de algún conductor. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

366


a)

b)

c)

d)

Figura 4: Fallas graves por aplicación de cargas no consideradas en el cálculo

En Argentina, la acción del viento sobre este tipo de estructuras está definida en el Reglamento Cirsoc 102 (Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre Construcciones) [6]. En la determinación de la fuerza del viento sobre los distintos componentes se tiene que considerar la presión dinámica del viento, el área proyectada normal al viento, factores topográficos y de importancia de la instalación. Las fuerzas originadas por movimientos sísmicos que pueden afectar una torre metálica se determinan de acuerdo al Reglamento Inpres-Cirsoc 103 (Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes) [7]. Este Reglamento establece el esfuerzo horizontal que se debe considerar para el diseño de torres. El esfuerzo horizontal se calcula de acuerdo con: a) Las características propias de la torre: peso, altura y características dinámicas. b) El factor de riesgo, según su función y la trascendencia pública de eventuales daños de la estructura en caso de que ocurra un sismo. c) La ubicación geográfica. Se establecen distintas zonas sísmicas de acuerdo con la peligrosidad sísmica existente en cada región de Argentina (ver Anexo 16 del Capítulo 17).

4.3 Hipótesis de carga Las hipótesis de cálculo se determinan considerando las combinaciones de las cargas indicadas precedentemente. Estos estados combinados o “hipótesis de carga”, como lo llama la norma VDE 0210 [4], difieren según el tipos de torre (portantes, angulares, retención, etc.). Se debe distinguir entre las hipótesis de cargas: a) normales y b) excepcionales. Las hipótesis de carga normales son combinaciones de las cargas permanentes y adicionales (tanto verticales como horizontales), con excepción de los desequilibrios por rotura de algún conductor. En las distintas hipótesis, se considera la acción del viento en distintas direcciones (perpendicular, longitudinal u oblicuo a la línea), aplicado a los distintos componentes del sistema (elementos estructurales, aisladores, morsetería y conductores). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

367


Mientras que las hipótesis de carga excepcionales son combinaciones de las cargas permanentes y adicionales (tanto verticales como horizontales), sin considerar las cargas del viento; en cambio incluye la rotura de un conductor, lo que produce un esfuerzo de torsión a la torre.

5

PROYECTO DE LAS TORRES

El proyecto de una torre es una tarea laboriosa por la gran cantidad de alternativas que se presentan durante su desarrollo. Un buen diseño, además de resistir las distintas combinaciones de cargas impuestas, permite economizar gran cantidad de material, ya que generalmente un mismo tipo de torre se repite muchas veces en una línea. Por ello, no bastan diseños estructuralmente correctos, sino económicos para poder competir en el mercado; debiendo tenderse a diseños óptimos. Para el proyecto de una torre se parte de las condiciones eléctricas de la línea, que si bien su determinación está fuera del alcance de este Capítulo, establecen las dimensiones principales que se deben cumplir, entre otras: la distancia entre los conductores, altura mínima de conductores al suelo, flecha de los conductores, posición de los cables de guardia y longitud de la cadena de aisladores; además indica las características de los conductores: material, sección, etc. A partir de estos datos se determinan las dimensiones generales del fuste y de las crucetas (ver Figura 5).

Figura 5: Elementos constitutivos de una torre de trasmisión eléctrica

Paralelamente se definen las hipótesis de carga que debe resistir la torre, de acuerdo con la norma de aplicación y la región geográfica donde estará instalada la línea eléctrica. Con esos datos especificados, se procede al proyecto de la torre, cuyos pasos básicos son los siguientes: a) Selección de la forma general de la torre, según lo indicado en el punto 4.1. b) Definición de las dimensiones generales faltantes, usualmente la apertura de la base y las dimensiones características de la forma elegida (ver Figura 6). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

368


b) a)

Figura 6: Dimensiones características de una torre eléctrica

c) Selección del tipo de armado para los planos de la torre, que pueden ser simple o doble (o cruzados) (ver Figura 7).

Figura 7: Tipos de armado de torres

d) Predimensionado de las secciones trasversales de las barras de la torre: montantes, diagonales y riostras, ver Figura 8, y de uniones entre barras (bulones o remaches).

Figura 8: Tipos de barras de torres Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

369


e) Análisis elástico para la determinación de las solicitaciones de las barras, en cada una de las hipótesis de carga. f) Selección, para cada barra, de las hipótesis de carga que originan las máximas solicitaciones en tracción y en compresión. g) Determinación de las tensiones de tracción o compresión, para cada barra; y las tensiones de corte y aplastamiento para las uniones. h) Comparación de estas tensiones con las admisibles establecidas por las normas de aplicación. i) Ajuste de los perfiles y uniones, de manera de seleccionar los más económicos entre los que cumplen el punto anterior. Para este proceso se utilizan las solicitaciones ya calculadas en el punto e). j) Computo de materiales y peso de la estructura. Es importante destacar que es conveniente contar con un proyectista experimentado en este tipo de estructuras para una correcta definición de los pasos a), b) y c); esto simplificará la evaluación de distintas alternativas constructivas no aptas para las condiciones iniciales del proyecto; concentrando el proceso de dimensionamiento a la selección de perfiles y uniones.

6

ANÁLISIS ELÁSTICO

6.1 Modelado de la estructura Según se mencionó anteriormente, el modelado de las torres es relativamente simple por estar sus nudos claramente definidos y por el tipo de elementos empleados. Si a esto se agregan las ventajas que otorga la simetría (al menos habrá un plano de simetría), solo queda superar la dificultad que representa la magnitud del problema. En efecto, una torre sencilla tendrá al menos 100 nudos y alrededor de 200 barras, presentándose múltiples oportunidades de cometer errores. Para asegurar que el modelo esté libre de errores se recomienda: a) Realizar un control visual de la estructura, es decir verificar el dibujo de la torre desde los distintos puntos de vista a fin de detectar errores en el armado (ver Figura 9).

b)

a)

Figura 9: Modelos computacionales de torres: a) Delta autoportante y b) Delta arriendada

b) Efectuar un análisis elástico y cálculo de las reacciones de apoyo de la torre sometida solo al peso propio. Debido a que la estructura presenta al menos un plano de simetría, la comprobación de diferencias en las correspondientes reacciones pone en evidencia la presencia de errores en el modelo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

370


Otro punto importante es asegurar que todos los nudos del modelo tengan restringidos los desplazamientos en tres direcciones ortogonales. De acuerdo con el tipo de armado de los planos, se pueden presentar estructuras hipostáticas. Esto estaría solucionado si se analizaran las torres como pórticos espaciales, pero las normas requieren que sean tratadas como reticulados. Entre las soluciones que hacen posible superar este inconveniente son las siguientes y se muestran en la Figura 10: a) Apoyo ficticio: se apoya el nudo en la dirección que presenta la hipostaticidad, debiendo tenerse la precaución de que este apoyo no dé lugar a componentes en otras direcciones. b) Barra ficticia: se vincula el nudo a otro que esté restringido en la dirección que interesa, mediante una barra de rigidez despreciable.

a)

b)

Figura 10: Soluciones a casos de hipostaticidad: a) apoyo ficticio y b) barra ficticia

6.2 Cálculo de las solicitaciones Para el cálculo de las solicitaciones en los elementos de las torres y las reacciones en los apoyos se utilizan programas de cálculos que aplican el método de la rigidez, incorporando las condiciones establecidas por los normas de aplicación. Las normas requieren estas estructuras sean tratadas como reticulados espaciales. En la actualidad, existen numerosos programas de cálculo para este tipo de estructuras, que se los puede clasificar según su alcance en: a) Programas de análisis estructural de uso general: destinados al cálculo de desplazamientos de los nudos, solicitaciones en barras y cables (considerados como lineales) y reacciones en los apoyos. b) Programas de dimensionamiento: similares a los anteriores, pero que incluyen procedimientos de ajuste automático de los perfiles de las barras y los elementos de las uniones. Realizan el cómputo métrico de materiales y determinan el peso de la torre. c) Programas de optimización estructural: están orientados a la selección de la mejor distribución de los perfiles y actúan también en algunas de las dimensiones principales de la estructura.

6.3 Cálculo de las tensiones En las estructuras metálicas del tipo estudiado, el cálculo de las tensiones incluye: a) Tensión de tracción en las barras, considerando la sección transversal neta, que resulta de restar los agujeros para las uniones. b) Tensión de compresión en las barras, se debe considerar el fenómeno de pandeo.


371


c) Tensión de corte en las uniones. d) Tensión de aplastamiento en las uniones. Estas tensiones no deben superar las tensiones admisibles de los materiales empleados. En el Anexo 1 se presentan las tensiones admisibles establecidas por la norma DIN - VDE 0210 [4] para los materiales más usuales para este tipo de estructuras. Las barras habituales para la construcción de estas torres son las de perfiles ángulo de alas iguales, cuya construcción en Argentina responde la norma IRAM –IAS U 500-558 [8] (ver Anexo 2). El espesor de las barras constitutivas de las torres no debe ser menor a 4 mm y las dimensiones de las uniones se indican en el Anexo 3.

6.3.1 Tensiones de tracción en barras La tensión de tracción de una barra se calcula: F V adm Ac

Vt donde: V t F Ac

(1)

tensión de tracción originada por la carga F. fuerza de tracción correspondiente a una de las hipótesis de carga. área corregida, se considera la sección transversal neta, que resulta de considerar los agujeros para las uniones.

V adm tensión admisible del material de la barra En el caso de perfiles ángulos unidos por un solo bulón, para la determinación del área corregida Ac se considera (ver Figura 11-a):

L d t

Ac

donde:

L

largo del ala del perfil ángulo.

t

espesor del ala del perfil ángulo.

d

diámetro del agujero para el bulón.

(2)

En el caso de uniones con más de un bulón, para la determinación del área corregida Ac se considera: Ac

donde:

A

0,8 A d t

(3)

área total de la barra ángulo.

a)

b)

Figura 11: a) Perfil ángulo de alas iguales con un agujero para bulón b) Ejes principales Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

372


6.3.2 Tensiones de compresión en barras La tensión de compresión de una barra se calcula:

Vc donde:

Z

F V adm A

(4)

V c tensión de compresión originada por la carga F. F

fuerza de compresión correspondiente a una de las hipótesis de carga.

A

área total de la sección transversal.

Z

coeficiente omega.

V adm tensión admisible del material de la barra. En el Anexo 4 se presentan los valores de los coeficientes de pandeo omega Z en función de la esbeltez O de la barra, según la norma DIN 4114, para uno de los materiales más usados para este tipo de estructuras. Para esbelteces O 20 no se verifica el pandeo; en estos casos se asume Z 1 . La esbeltez O de una barra se calcula a partir de longitud de pandeo A p de la barra, del radio de giro i y el momento de inercia I de la sección de la barra:

O

Ap i

donde:

i

I A

(5)

Momento de inercia I Si una barra puede pandear solo en una dirección debido a la presencia de uniones dentro de ella, se debe utilizar el momento de inercia correspondiente al eje perpendicular a esa dirección (Ix o Iy). Este es el caso de esquineros o montantes construidos con perfiles angulares de alas iguales, y las diagonales están dispuestas como se indica en la Figura 12.

a)

b)

Figura 12: Armado de una torre: a) Simple y b) Doble

Si una barra puede pandear en cualquier dirección se debe utilizar el momento de inercia mínimo IK de la sección de la barra (ver Figura 11-c), tal es el caso de los esquineros o montantes que se presentan en la Figura 13. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

373


a)

b)

Figura 13: Armado de torre: a) Simple y b) doble. Los montantes pueden pandear en cualquier dirección

Longitud de pandeo p Para determinar el largo de pandeo A p de una barra, se debe tener en cuenta si ella es: esquinero (montante) o diagonal. a) Longitud de pandeo de los esquineros (montantes) Si la torre tiene un armado como la Figura 13, la longitud de pandeo es: Ap

A

(6)

Si el armado de la torre responde a la Figura 12, se adopta como longitud de pandeo: A Ap A si: Ox 80 ix

(7)

Para Ox ! 80 , se puede adoptar A p A si las fuerzas de las montantes aumentan de arriba hacia abajo y las longitudes de las barras superiores no son mayores que las de la parte inferior. Si esto no se cumple se toma como longitud de pandeo: Ap

1,1 A

(8)

b) Longitud de pandeo de las diagonales La longitud de pandeo de las diagonales es A p A . Pero si la sección de la diagonal es menor que la de los esquineros contiguos y la diagonal está suficientemente empotrada en la dirección de pandeo, se puede adoptar: Ap

Figura 14: Longitud de pandeo reducida


0,9 A

(9)

Cuando dos diagonales se cruzan, de las cuales una está solicitada a compresión y la otra tracción, se considera como fijo el punto donde se cruzan, por lo tanto la longitud de pandeo se reduce como se indica en la Figura 14.

374


En el caso de una barra comprimida compuesta, es decir formada por dos o más perfiles angulares, se la analiza como una sola barra; para ello, se debe calcular la esbeltez ideal del conjunto para aplicar las ecuaciones (4) y (5). Para más detalles consultar los puntos específicos de las normas aplicables. 6.3.3 Tensiones en las uniones Las uniones en las torres pueden ser abulonadas, remachadas o soldadas. En el Anexo 1 se presentan las tensiones admisibles de bulones comunes y calibrados y de remaches. Las uniones con bulones o remaches se deben verificar al corte y aplastamiento. En el Anexo 3 se indican las dimensiones mínimas admitidas para este tipo de uniones. Tensión de corte La tensión de corte de bulones o remaches se calcula:

Wc donde: W c F N d

W c adm

4F W c adm N S d2

(10)

tensión de corte originada por la carga F, en los bulones/remaches. fuerza de tracción/compresión correspondiente a una de las hipótesis de carga. cantidad de bulones/remaches que tiene la unión. diámetro del bulón/remache. tensión de corte admisible de material del bulón/remache.

Tensión de aplastamiento La tensión de aplastamiento de bulones o remaches se calcula:

V apl

F V apl adm Ndt

(11)

donde: V apl F N d t

tensión de aplastamiento originada por la carga F, en los bulones/remaches. fuerza de tracción/compresión correspondiente a una de las hipótesis de carga. cantidad de bulones/remaches que tiene la unión. diámetro del bulón/remache. espesor del ala del perfil ángulo. V apl adm tensión de aplastamiento admisible del material del bulón/remache.

Las uniones soldadas se calculan de acuerdo con lo establecido en la Norma DIN 18.800.

BIBLIOGRAFÍA [1] E. Whitman Wright, Structural Design by Computer, Van Nostrand Reinhold Co., 1976. [2] C.S. Desai and J.F. Abel, Introduction to the Finite Element Method: A Numerical Method for Engineering Analysis, Van Nostrand Reinhold Co., 1972. [3] John Robinson, Integraded Theory of Element Finite Methods, John Wiley & Sons, 1973. [4] VDE 0210, Planning and Design of Overhead Power Lines With Rated Voltages Above 1 KV, Association for Electrical, Electronic & Information Technologies - Germany, 1985. [5] VDE 0210-1 / DIN EN 50341-1, Overhead electrical lines exceeding AC 1 kV: General requirements - Common specifications; German version EN 50341-1, Association for Electrical, Electronic & Information Technologies - Germany, 2012 [6] CIRSOC 102, Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre las Construcciones, INTI; 2005. [7] CIRSOC 103, Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes, INTI; 2013. [8] IRAM-IAS U 500-558, Perfiles ángulo, de alas iguales de acero, laminados en caliente, INTI; 2008. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

375


Anexo 1

Tensiones admisibles establecidas por la norma DIN - VDE 0210 para los materiales más usuales en torres

Elemento constructivo

Tipo de solicitación

Elemento Cargas Material constructivo normales de respaldo MPa (N/mm2)

Cargas Excepcionales MPa (N/mm2)

St 37-2

160

220

St 52-3

240

330

St 37-2

104

143

St 52-3

156

214

4.6 / USt36

160

220

5.6

240

320

320

440

4.6

126

173

5.6

168

231

10.9

270

371

Tracción / Compresión Estructura metálica Corte

Bulones calibrados (DIN 7968) /

Remaches (DIN 124)

Bulones comunes (DIN 7990) /

Bulones de alta resistencia (DIN 6914) sin pretensado

Corte

Aplastamiento

Corte

Aplastamiento

Bulones calibrados (DIN 7968) / Bulones comunes (DIN 7990) /

4.6 ó 5.6 / USt36

St 37-2 ó St 52-3

4.6 ó 5.6 ó 10.9

St 37-2

280

385

4.6

St 52-3

280

385

5.6 ó 10.9

St 52-3

420

575

4.6

125

171

5.6

150

206

10.9

410

563

Tracción

Bulones de alta resistencia (DIN 6914) sin pretensado

Nota: este es un extracto de la Tabla 9 de la Norma DIN-VDE 210 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

376


Anexo 2

Perfiles ángulos de alas iguales. IRAM- IAS U 500-558


377


Anexo 2 (cont.) Perfiles ángulos de alas iguales. IRAM- IAS U 500-558


378


Anexo 3 Dimensiones mínimas de las uniones, según la norma DIN-VDE 021 Medida del bulón Dimensiones en [mm] Diámetro máximo del agujero para: Ancho mínimo del ala

Bulones Remaches

Distancia mínima a los extremos en la dirección del esfuerzo

M12

M16

M20

M24

M27

M30

14 13 35 20 25

18 17 50 25 35

22 21 60 30 40

26 25 70 40 50

29 28 75 45 55

32 31 80 50 65

Notas: Las distancias a los extremos, en la dirección del esfuerzo, se deben medir desde el centro del agujero; cumpliendo con el valor menor. Si el esfuerzo es de tracción se debe cumplir el valor mayor. La distancia mínima al borde perpendicular a la dirección del esfuerzo debe ser 1,2 veces el diámetro del agujero. La distancia mínima entre centros de agujeros debe ser 2,5 veces el diámetro de los agujeros.

Anexo 4 Coeficientes de pandeo en función de la esbeltez , establecidos por la norma DIN 4114 para el Acero St 37-2 #

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

1,04

1,04

1,04

1,05

1,05

1,06

1,06

1,07

1,07

1,08

1,08

1,09

1,09

1,10

1,10

1,11

1,11

1,12

1,13

1,13

1,14

1,14

1,15

1,16

1,16

1,17

1,18

1,19

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,39

1,40

1,41

1,42

1,44

1,45

1,46

1,48

1,49

1,50

1,52

1,53

1,55

1,56

1,58

1,59

1,61

1,62

1,64

1,66

1,68

1,69

1,71

1,73

1,74

1,76

1,78

1,80

1,82

1,84

1,86

1,88

1,90

1,92

1,94

1,96

1,98

2,00

2,02

2,05

2,07

2,09

2,11

2,14

2,16

2,18

2,21

2,23

2,27

2,31

2,35

2,39

2,43

2,47

2,51

2,55

2,60

2,64

2,68

2,72

2,77

2,81

2,85

2,90

2,94

2,99

3,03

3,08

3,12

3,17

3,22

3,26

3,31

3,36

3,41

3,45

3,50

3,55

3,60

3,65

3,70

3,75

3,80

3,85

3,90

3,95

4,00

4,06

4,11

4,16

4,22

4,27

4,32

4,38

4,43

4,49

4,54

4,60

4,65

4,71

4,77

4,82

4,88

4,94

5,00

5,05

5,11

5,17

5,23

5,29

5,35

5,41

5,47

5,53

5,59

5,66

5,72

5,78

5,84

5,91

5,97

6,03

6,10

6,16

6,23

6,29

6,36

6,42

6,49

6,55

6,62

6,69

6,75

6,82

6,89

6,96

7,03

7,10

7,17

7,24

7,31

7,38

7,45

7,52

7,59

7,66

7,73

7,81

7,88

7,95

8,03

8,10

8,17

8,25

8,32

8,40

8,47

8,55

8,63

8,70

8,78

8,86

8,93

9,01

9,09

9,17

9,25

9,33

9,41

9,49

9,57

9,65

9,73

9,81

9,89

9,97

10,05

10,14

10,22

10,30

10,39

10,47

10,55

---

---

---

---

---

---

---

---

---

NOTA: Para esbelteces 120 se obtiene la tensión crítica de Euler. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

379


PRÁCTICO

ESTRUCTURAS METÁLICAS: Torres

Nota: Los datos están dados en las siguientes dimensiones: longitudes [mm], cargas [N] y tensiones [MPa = N/mm2].

1. Se ha predimensionado la torre de transmisión de energía eléctrica de la figura. En la Tabla I se indican las dimensiones y uniones propuestas para las barras 51 y 110 indicadas en la figura y los esfuerzos calculados en esas barras para cinco distintas hipótesis de carga. El material de las barras es St 37-2. La Tabla II muestra todos los tipos de uniones previstas para las torres de esta línea. Se usan bulones comunes 4.6. Ambas barras son esquineros sin restricciones al pandeo, las fuerzas en los montantes aumentan de arriba hacia abajo y las longitudes de las barras superiores no son mayores que las de la parte inferior. Determinar las secciones mínimas admisibles y las uniones requeridas para las dos barras indicadas.

Uniones Nros. 3 y 5

Unión Nro. 4

2. La torre de transmisión eléctrica de la figura se ha predimensionado. En la Tabla III se presentan las dimensiones y uniones propuestas para las barras 15, 16 y 17 y los esfuerzos calculados en esas barras para las distintas hipótesis de carga. El material de las barras es St 37-2. Todas las uniones previstas para las torres de esta línea son las mismas de la Tabla II del problema 1. Se usan bulones comunes 4.6. Las diagonales 15 y 16 están unidas con un bulón. Se pide optimizar la diagonal 15.


380



Torres

Nota: Todos los resultados parciales y finales están dados en las siguientes unidades: longitudes [mm], cargas [N] y tensiones [MPa = N/mm2].

1 Partiendo del predimensionado de la barra 51 como sección 51 51 4,8 mm y unión 1 y de la barra x

x

110 como sección 51 x 51 x 6,4 mm y unión 5, se determinan las secciones mínimas admisibles para las dos barras y las uniones requeridas. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución De acuerdo con las distintas hipótesis de cargas, se debe determinar cuál es la crítica para cada una de las verificaciones que indica la norma DIN – VDE 0210. En la Tabla A se resumen las verificaciones a realizar en las montantes 51 y 110.

1.a Tensión de tracción en la barra 51 En el Anexo 2 se presentan las dimensiones y las propiedades geométricas de las secciones de las barras. Además, se toma el diámetro del agujero d igual al diámetro de bulón: d = 12 mm. Teniendo en cuenta que la unión 1 posee un solo bulón para determinar el área corregida Ac se aplica la Ec. (2): Ac L d t 50,8 12 [ 4,8 186 mm 2 Según se indica en la Tabla A, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la hipótesis 2: F = 19.000 N y para las hipótesis excepcionales corresponde a la 5: F = 15200 N, teniendo en cuenta que la tensión admisible para cargas excepcionales en mayor que para cargas normales, se concluye que la hipótesis de carga normal es la más exigente. De acuerdo con el Anexo 1, la tensión admisible para cargas normales del material de la barra, St 37-2 es: V adm 160 N mm 2 . Según la Ec. (1), la tensión de tracción es: Vt

F Ac

1.b

Tensión de compresión en la barra 51

19.000 186

102

V t 102 V adm 160 N / mm 2

Verifica

Según el Anexo 2, el radio de giro de la barra 51, considerando que no tiene restricción al alabeo, es: iK 9, 7 mm y la longitud de pandeo según la Ec. (6) es: A p A 1400 mm . Con estos datos la esbeltez según la Ec. (5) es:

O

Ap i

1400 144 9,7

El coeficiente omega ~ para el material St 37-2 se determina con el Anexo 4: O 144 Z

3,50

Según la Tabla A esta barra no tiene carga de compresión en hipótesis normal. La única carga de compresión corresponde a la hipótesis excepcional 4: F = 18.800 N. Según el Anexo 1, la tensión admisible para cargas excepcionales del material de la barra, St 37-2 es:

V adm

220 N / mm 2 .

Según la Ec. (4), la tensión de compresión es: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

381


F 18.800 Verifica V c 139 V adm 220 N / mm 2 3,50 [ 139 A 472 Se observa que tanto la tensión de tracción como la de compresión son considerablemente menores que las admisibles, por lo cual se propone reducir la sección de la barra por una 45 x 45 x 4,8 mm (ver Anexo 2). Recordar que la norma exige como espesor mínimo 4 mm.

Vc

Z

El área corregida: Ac

L d t 44, 4 12 [ 4,8

La tensión de tracción es: V t El radio de giro es: iK

F Ac

19.000 155

123

8,5 mm y la esbeltez es:

La tensión de compresión es: F 18.800 Vc Z 4,71 [ 214 A 414

155 mm 2

O

Vc

V t 123 V adm 160 N / mm 2 Ap i

1.400 8, 4

214 V adm

Verifica

167 Anexo 4 Z

220 N / mm 2

4,71

Verifica

1.c

Tensión de corte en las uniones de la barra 51 La Tabla II indica las características de la unión tipo 1. Según la Tabla A, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 2: F = 19.000 N y la máxima carga para hipótesis excepcionales corresponde a la 4: F = 18.800 N, teniendo en cuenta que la tensión admisible para cargas excepcionales es mayor que la de cargas normales, concluimos que la hipótesis de carga normal es la más exigente. En el Anexo 1, se indica la tensión admisible al corte del material de los bulones comunes 4.6: W adm 126 N / mm 2 , para cargas normales. Según la Ec. (10), la tensión de corte: 4F 4 [ 19.000 W c 168 ! W adm 126 N / mm 2 No Verifica 168 2 NS d 1 [ S [ 122 Como la tensión de corte aplicada es superior a la tensión admisible, se propone una unión tipo 3 (no podemos proponer una unión tipo 2 porque para bulones M16, el ancho del ala mínimo es 50 mm). Entonces, la tensión de corte es: 4F 4 [ 19000 Verifica W c 84 W adm 126 N / mm 2 Wc 84 2 2 NS d 2 [ S [ 12

Wc

1.d

Tensión de aplastamiento en las uniones de la barra 51 De acuerdo con lo definido en el punto 1.c, la carga a considerar corresponde a la hipótesis normal 2: F = 19.000 N. En el Anexo 1, se indica la tensión admisible al aplastamiento del material de los bulones comunes 4.6 es V adm 280 N / mm 2 para cargas normales. Según la Ec. (11), la tensión de aplastamiento es: F 19.000 165 V apl V apl N d t 2 [ 12 [ 4,8

165 V apl

adm

280 N / mm 2

Verifica

Nota: tener en cuenta que al utilizar un tipo de unión de más de un bulón, la fórmula para calcular el área resistente para determinar la tensión de tracción es la Ec. (3) (que considera el 80 % del total del área de la sección, en lugar de la Ec. (2)), por lo cual se obtiene un área mayor, estando del lado de la seguridad. Por ello no es necesario repetir los cálculos anteriores 1-a y 1-b con mayor área. En conclusión, para la barra 51 se adopta: una sección 45x45x4,8 mm con unión tipo 3

1.e

Tensión de tracción en la barra 110 En el Anexo 2 se listan las dimensiones y las propiedades geométricas de la sección de la barra 51 x 51 x 6,4 (A=617). Además, se toma el diámetro del agujero d igual al diámetro de bulón: d = 16 mm. Teniendo en cuenta que la unión 5 posee dos bulones para determinar el área corregida Ac se aplica la Ec. (3): Ac 0,8 A d t 0,8 [ 617 16 x 6, 4 411 mm 2 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

382


Según la Tabla A, la máxima carga en tracción para hipótesis normal corresponde a la 2: F = 14.000 N y la máxima carga en tracción para hipótesis excepcionales corresponde a la 4: F = 20.500 N. Según el Anexo 1, la tensión admisible del material de la barra, St 37-2 es: V adm cargas normales y V adm 220 N / mm 2 para cargas excepcionales.

160 N / mm 2 para

Según la Ec. (1), la tensión de tracción para: cargas normales es:

Vt

F Ac

14.000 411

Vt

34

F Ac

Para cargas excepcionales: V t

34 V adm

20.500 411

160 N / mm 2

50 V t

50 V adm

Verifica

220 N / mm 2 Verifica

1.f

Tensión de compresión en la barra 110 Según el Anexo 2, el radio de giro de la barra 110, considerando que no tiene restricción al alabeo, es: iK 9,7 mm y la longitud de pandeo según la Ec. (6) es: A p A 1.700 mm . Con estos datos, la esbeltez según la Ec. (5) es:

Ap

O

1.700 9,7

i

175

O 175

El coeficiente omega ~, según el Anexo 4 es:

Z 5,17

Según la Tabla A, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 3: F = 22.900 N y la máxima carga para hipótesis excepcionales corresponde a la 4: F = 12.800 N, teniendo en cuenta que la tensión admisible para cargas excepcionales en mayor que la de cargas normales, se concluye que la hipótesis de carga normal es la más exigente. Según la Ec. (4), la tensión de compresión es: F 22.900 No Verifica Vc Z 5,17 [ 192 V c 192 ! V adm 160 N / mm 2 A 617 Se propone para la barra 110 una sección 51x51x7,9 mm (ver Anexo 2) de mayor espesor. El radio de giro es el mismo ( iK 9, 7 mm ), con lo cual la esbeltez y el coeficiente ~ son los mismos ( ~ =5,17 ). El área es A = 749 mm2 y la tensión de compresión es: F 22.900 V c 158 V adm Vc Z 5,17 [ 158 A 749

160 N / mm 2

Verifica

1.g

Tensión de corte en las uniones de la barra 110 La Tabla II indica las características de la unión tipo 5. Según la Tabla A, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 3: F = 22.900 N y la máxima carga para hipótesis excepcionales corresponde a la 4: F = 20.500 N, teniendo en cuenta que la tensión admisible para cargas excepcionales en mayor que la de cargas normales, se concluye que la hipótesis de carga normal 3 es la más exigente. En el Anexo 1, se indica la tensión admisible al corte del material de los bulones comunes 4.6: W adm 126 N / mm 2 para cargas normales. Según la Ec. (10), la tensión de corte es:

Wc

4F NS d2

4 [ 22.900 2 [ S [ 162

57

Wc

57 W adm

126 N / mm 2

Verifica

1.h

Tensión de aplastamiento en las uniones de la barra 110 De acuerdo con lo definido en el punto 1.g, la carga a considerar corresponde a la hipótesis normal 3: F = 22.900 N; y en el Anexo 1, se indica la tensión admisible al aplastamiento del material de los bulones comunes 4.6: V adm 280 N / mm 2 para cargas normales. Según la Ec. (11), la tensión de aplastamiento es:

V apl

F Nd t

22.900 2 [ 16 [ 7,9

91


V apl

91 V apl

383

adm

280 N / mm 2

Verifica


Se observa que tanto la tensión de corte como la de aplastamiento son considerablemente menores que las admisibles, por lo cual se propone un cambio en el tipo de unión, pasando de la 5 a la 2 (ver Tabla I I ). Entonces, según la Ec. (10), la tensión de corte es: 4F 4 [ 22.900 Verifica W c 114 W adm 126 N / mm 2 Wc 114 2 NS d 1 [ S [ 162 Según la Ec. (11), la tensión de aplastamiento es: F 22.900 V apl V apl 181 N d t 1 [ 16 [ 7,9

181 V apl

adm

280 N / mm 2

Verifica

Nota: tener en cuenta que al utilizar un tipo de unión de solo un bulón, la fórmula para calcular el área resistente para determinar la tensión de tracción es la Ec. (2) (que considera solo el área de un ala) en lugar de la Ec. (3) (que considera el 80% del total del área neta de la sección), por lo cual es necesario verificar nuevamente las tensiones de tracción del montante. Nueva verificación de la tensión de tracción en la barra 110 Para calcular el área corregida Ac se aplica la Ec. (2): Ac

L d t 50,8 16 [ 7,9

275 mm 2

Según la Tabla A, la máxima carga en tracción para hipótesis normal corresponde a la 2: F = 14.000 N y la máxima carga en tracción para hipótesis excepcional corresponde a la 5: F = 20.500 N. Según el Anexo 1, la tensión admisible del material de la barra, St 37-2 es: V adm cargas normales y V adm 220 N / mm 2 para cargas excepcionales. Según la Ec. (1), la tensión de tracción para cargas normales es: F Ac

Vt

14.000 275

51


V t F Ac

20.500 275

51 V adm 75

160 N / mm 2

Vt

75 V adm

160 N / mm 2 para

Verifica


En conclusión, para la barra 110 se adopta: una sección 51x 51x7,9 mm con unión tipo 2

2 A partir del predimensionado de la diagonal 15 de la torre como sección 38 38 6,4 mm y unión 2, se x

x

optimiza la sección. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución De acuerdo con las distintas hipótesis de cargas, se deben definir las cargas críticas para cada una de las verificaciones que indica la norma DIN – VDE 0210. En la Tabla B se resumen las verificaciones a realizar en la diagonal 15.

2.a

Tensión de tracción en la barra 15

En el Anexo 2 se determinan las dimensiones y las propiedades geométricas de la sección tentativa de la barra. Además, se toma el diámetro del agujero d igual al diámetro de bulón: d = 12 mm. Teniendo en cuenta que la unión 2 posee un solo bulón, para determinar el área corregida Ac se aplica la Ec. (2): Ac L d t 38,1 12 [ 6, 4 167 mm 2 Según la Tabla B, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 2: F = 12.000 N y la máxima carga para hipótesis excepcionales corresponde a la 4: F = 18.000 N. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

384


Según el Anexo 1, la tensión admisible del material de la barra, St 37-2 es: V adm cargas normales y V adm 220 N / mm 2 para cargas excepcionales.

160 N / mm 2 para

Según la Ec. (1), la tensión de tracción para: cargas normales es:

Vt

F Ac

12.000 167

72


V t F Ac

72 V adm

18.000 167

160 N / mm 2

108 V t

108 V adm

Verifica


2.b

Tensión de compresión en la barra 15 Considerando el armado doble de los planos de la torre , que posibilita que las diagonales se crucen y además en este caso, estén unidas por bulones, el radio de giro de la barra 15, es: iK 7, 2 mm . La longitud de pandeo, según este tipo de armado y teniendo en cuenta que la diagonal que cruza la barra en estudio está traccionada, es: A p A 2 1.500 2 750 mm Ap 750 Con estos datos la esbeltez es: O 104 7, 2 i

O 104

El coeficiente omega ~, según el Anexo 4 es:

Z 1,98

El área según el Anexo 2 es: A = 449 mm2 Según la Tabla B, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 3: F = 17.000 N y la máxima carga para hipótesis excepcionales corresponde a la 5: F = 29.000 N. Según la Ec. (4), la tensión de compresión para cargas normales es:

Vc

Z

F A

1,98 [

17.000 449

75

V c

75 V adm

La tensión de compresión para cargas excepcionales es: F 29.000 V c 128 V adm Vc Z 1,98 [ 128 A 449

160 N / mm 2

220 N / mm 2

Verifica

Verifica

Se observa que tanto las tensiones de tracción como las de compresión son considerablemente menores que las admisibles, por ello se propone reducir la sección de la barra a 38 x 38 x 4,8 mm (ver Anexo 2). Recordar que la norma indica como espesor mínimo 4 mm. Para cargas de tracción, el área corregida es: Ac L d t 38,1 12 [ 4,8 125 mm 2 La tensión de tracción para cargas normales es:

Vt

F Ac

12.000 125

96


V t F Ac

18.000 125

96 V adm 144 V t

160 N / mm 2 144 V adm

Verifica


Para la nueva sección propuesta el radio de giro de la barra 15 se conserva ( iK 7, 2 mm ), lo mismo que la longitud de pandeo ( A p A 2 1.500 2 750 mm ), por lo tanto la esbeltez y el coeficiente omega ~ se mantienen: O 104 Anexo 4 Z 1,98 . El área según Anexo 2 es: A = 346 mm2 La tensión de compresión para cargas normales es:

Vc

Z

F A

1,98 [

17.000 346

97

Vc

97 V adm

La tensión de compresión para cargas excepcionales es: F 29.000 V c 166 V adm 1,98 [ 166 Vc Z A 346

160 N / mm 2

220 N / mm 2

Verifica

Verifica

Se observa que tanto las tensiones de tracción como las de compresión son menores que las admisibles, pero teniendo en cuenta las consideraciones dimensionales del Anexo 3 y el espesor mínimo para perfiles de alas iguales de 4 mm, no es posible reducir la sección del perfil de la diagonal 15. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

385


2.c

Tensión de corte en las uniones de la barra 15

La Tabla II indica las características de la unión tipo 1. Según la Tabla B, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 3: F = 17.000 N y la máxima carga para las hipótesis excepcionales corresponde a la 5: F = 29.000 N. En el Anexo 1, se indica la tensión admisible al corte del material de los bulones comunes 4.6: W adm 126 N / mm 2 para cargas normales y W adm 173 N / mm 2 para cargas excepcionales. Según la Ec. (10), la tensión de corte para cargas normales: 4F 4 [ 17.000 W c 150 ! W adm Wc 150 2 NS d 1 [ S [ 122

126 N / mm 2

No Verifica

Como la tensión de corte aplicada supera la tensión admisible, se propone una unión tipo 3 (no podemos proponer una unión tipo 2 porque para bulones M16, el ancho del ala mínimo es 50 mm). Entonces, la tensión de corte para cargas normales es: 4F 4 [ 17.000 Verifica W c 75 W adm 126 N / mm 2 Wc 75 N S d 2 2 [ S [ 122 La tensión de corte para cargas excepcionales es: 4F 4 [ 29.000 W c Wc 128 2 NS d 2 [ S [ 122

2.d

128 W adm

173 N / mm 2

Verifica

Tensión de aplastamiento en las uniones de la barra 15

Según la Tabla B, la máxima carga para las hipótesis normales corresponde a la 3: F = 17.000 N y la máxima carga para las hipótesis excepcionales corresponde a la 5: F = 29.000 N. En el Anexo 1, se indica la tensión admisible al corte del material de los bulones comunes 4.6: W adm 280 N / mm 2 para cargas normales y W adm 385 N / mm 2 para cargas excepcionales. Según la Ec. (11), la tensión de aplastamiento para cargas normales es:

V apl

F Nd t

17.000 2 [ 12 [ 4,8

147

V apl 147 V apl

adm

280 N / mm 2

Verifica

adm

385 N / mm 2

Verifica

y la tensión de aplastamiento para cargas excepcionales es:

V apl

F Nd t

29.000 2 [ 12 [ 4,8

252

V apl

252 V apl

En conclusión, para la diagonal 15 se adopta: una sección 38 x 38 x 4,8 mm con unión tipo 3


386


Capítulo 17

RECIPIENTES DE PRESIÓN 1

INTRODUCCIÓN

Los recipientes de presión están presentes en todas las instalaciones industriales modernas, desde pequeños tanques de aire comprimido, pasando por recipientes para distintos f luidos en la industria alimenticia, hasta grandes depósitos y reactores en plantas químicas, petroquímicas, centrales eléctricas convencionales (gas o carbón), hidráulicas y nucleares ( ver Figura 1 ). También está difundido su uso en los sistemas de calefacción, refrigeración, aire comprimido, oxígeno, etc., en complejos habitacionales y de servicios. Para los recipientes a presión existen normas que regulan las distintas etapas de la vida de estos equipos, que son: diseño, construcción, operación y mantenimiento.

a ) Tanque de aire comprimido

c) Torres de una destilería

b) Tanque horizontal

Figura 1: Algunos tipos de recipientes de presión en la industria

Las normas más difundidas son: a) ASME Boiler and Pressure Vessel Code ( BPVC), en EEUU y Canadá. b) ADMerkblatt Technical Rules for Pressure Vessels, vigente en Alemania. c) BS PD 5500 Specification for Unfired Fusion Welded Pessure Vessels, de origen inglés. d) EN 13445 Unfired Pressure Vessels, de alcance europeo. En Argentina, que no ha establecido una norma propia para diseñar recipientes de presión, está muy difundido el uso del Código ASME. En el caso de recipientes de grandes dimensiones para ser instalados a la intemperie se deben considerar, además de la presión y el peso, los efectos del viento; para ello se aplica el Reglamento CIRSOC 102 que define los requerimientos para tener en cuenta la acción del viento en las distintas zonas del país. Adicionalmente en las zonas que corresponde se debe tener en cuenta la acción sísmica utilizando el Reglamento CIRSOC 103. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

387


2

CÓDIGO ASME PARA CALDERAS Y RECIPIENTES DE PRESIÓN ( BPVC ) El Código ASME está compuesto por doce secciones: I Reglas para la construcción de calderas de potencia. II Materiales. III Reglas para la construcción de componentes de plantas nucleares. IV Normas para la construcción de calderas de calefacción. V Ensayos no destructivos. VI Recomendaciones para el cuidado y la operación de calderas de calefacción. VII Lineamientos para el cuidado de calderas de potencia. VIII Reglas para la construcción de recipientes de presión. División 1 – Reglas básicas. División 2 – Reglas alternativas. División 3 – Reglas alternativas para recipientes de muy alta presión. IX Calificaciones de procedimientos de soldadura. X Recipientes de plástico reforzado con fibras. XI Reglas para la inspección en servicio de componentes de plantas nucleares. XII Reglas para la construcción y servicio continuado de recipientes para transporte.

El presente capítulo está enfocado en los requisitos de diseño definidos en la Sección VIII División 1, para los recipientes de presión que operan a una presión interna o externa superior a 1 kg/cm 2 . No se desarrollan los aspectos concernientes a la fabricación, inspección, pruebas y certificación de dichos recipientes porque sería demasiado extenso.

3

DISEÑO DE RECIPIENTES DE SECCIÓN VIII – DIVISIÓN 1

PRESIÓN SEGÚN EL

CÓDIGO ASME BPVC

La Sección VIII – División 1 está compuesta por tres subsecciones y apéndices obligatorios y no obligatorios. Las subsecciones son: A – General. x Parte UG – Requerimientos generales. B – Métodos de fabricación. x Parte UW – Recipientes soldados. x Parte UF – Recipientes forjados. x Parte UB – Recipientes fabricados por soldadura (brazing), donde el material de aporte es diferente del material de las piezas a unir, y tiene una temperatura de fusión inferior. C – Materiales. x Parte UCS – Aceros al carbono y de baja aleación. x Parte UNF – Materiales no ferrosos. x Parte UHA – Aceros de alta aleación. x Parte UHT – Aceros ferríticos con propiedades mecánicas mejoradas por tratamiento térmico. La Subsección A establece los requerimientos generales para todos los recipientes de presión, la Subsección B fija las exigencias específicas relacionadas con los distintos métodos de fabricación y la Subsección C indica los requerimientos aplicables a los distintos tipos de materiales que se pueden utilizar en la construcción de recipientes. Los principios de diseño y construcción de la División 1 se aplican a recipientes con una presión de hasta 200 kg/cm2; para presiones superiores es necesario complementar esas especificaciones con reglas de diseño para alta presión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

388


3.1 Materiales En las tablas de la Subsección C se identifican los materiales usualmente empleados para construir los recipientes de presión, como ya se anticipó en la página anterior las principales partes son: a) b) c) d)

UCS – Aceros al carbono y de baja aleación. UNF – Materiales no ferrosos. UHA – Aceros de alta aleación. UHT – Aceros ferríticos con propiedades mecánicas mejoradas por tratamiento térmico.

En el Anexo 1 se presenta la Tabla UCS-23 donde se listan aceros al carbono y de baja aleación. Los valores de las tensiones máximas admisibles en tracción S , para los materiales indicados en la tabla mencionada se encuentran en la Subparte 1 de la Sección II, Parte D. Las tensiones máximas admisibles varían con la temperatura. En el Anexo 2 se presenta a modo de ejemplo una tabla típica de la Sección II y en el Anexo 3, una tabla resumen con los materiales más usados en Argentina. La tensión máxima admisible en compresión, para el material de un cuerpo cilíndrico sometido a esfuerzos que generan tensiones axiales de compresión, es la menor de las tensiones S y B dadas a continuación: 1) La tensión S es la tensión máxima admisible en tracción, determinada empleando el Anexo 2 y el Anexo 3 como se indicó en los párrafos precedentes; 2) La tensión B se obtiene como sigue : 2a) Se calcula la relación geométrica A , según la siguiente fórmula: A

donde:

0,125 (R0 /t)

(1)

R0 radio exterior del cuerpo cilíndrico. t espesor del cuerpo cilíndrico.

2b) Con el valor de A y la temperatura de trabajo se determina B, que es la tensión máxima admisible del material en compresión en función de la temperatura y de la relación R 0 / t . Para ello se debe utilizar el gráfico del Anexo 4 que corresponda al material utilizado en el recipiente. Los gráficos para los tipos de materiales más usados están incluidos en la Subparte 3 del Código ASME, Sección II, Parte D. 2c) Cuando el valor de A es grande y cae a derecha de la curva de temperatura correspondiente, se debe utilizar el máximo valor de B para dicha curva de temperatura. 2d) Para un valor de A muy pequeño y que cae a la izquierda de la curva de temperatura correspondiente, el valor de B se calcula como: AE 2 donde E es el módulo de elasticidad del material a la temperatura de diseño. B

(2)

3.2 Diseño general de recipientes ( Parte UG ) Presión y temperatura Los recipientes que cumplen con la Parte UG de la División 1, se deben diseñar para la condición de presión y temperatura simultánea más severa esperada durante la operación normal. Las temperaturas máximas y mínimas de diseño no deben exceder los límites establecidos en las tablas de la Subsección C para el material seleccionado, según se describe en la Subsección 3.1. La presión de diseño P es la presión que se utiliza para el cálculo dimensional de las distintas partes de un recipiente. En general, esta presión es algo superior a la máxima presión de operación normal del proceso P0, correspondiente al recipiente. La bibliografía especializada sugiere adoptar Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

389


como presión de diseño: donde:

P P0

P mayor 1,1 P0 ; P0 2 [kg cm2 ] presión de diseño. máxima presión de operación normal del proceso.

(3)

Cargas Según lo establecido en UG-22, las cargas a considerar en el diseño de recipientes son: a ) Presión interna o externa. b ) Peso del recipiente y su contenido (en operación y en ensayo, por ejemplo el agua usada en la prueba hidrostática). c ) Otras cargas estáticas: pesos de equipos (motores, bombas, otros recipientes, cañerías, etc.). d ) Cargas dinámicas debidas a variaciones de presión, temperatura, equipos, etc. e ) Fuerzas de la naturaleza: viento, nieve, hielo, sismo. f ) Variaciones térmicas. g ) Presiones anormales, provocada por errores de operación. En general, el espesor mínimo para el cuerpo y los cabezales debe ser 1,6 mm ( 1/16 ”), excluido el sobreespesor por corrosión. Un sobreespesor por corrosión, generalmente está indicado en las pautas del diseño; el mismo debe ser suficiente para que el recipiente pueda cumplir la vida programada en forma segura. Es importante tener en cuenta las tolerancias de fabricación de los caños y/o placas utilizadas para la fabricación de los recipientes.

3.2.1 Diseño de cuerpos y cabezales bajo presión interna Cuerpo cilíndrico Para cuerpos cilíndricos de pared delgada sometidos a presión interna ( ver Figura 2), el espesor requerido por la tensión tangencial t es mayor ( el doble) que el requerido por la tensión longitudinal L. Tensión tangencial PR Vt t Tensión longitudinal PR VL 2t Figura 2: Tensiones en un cuerpo cilíndrico sometido a presión interior

Esfuerzo tangencial: El espesor requerido en función de la presión interior y la presión admisible en función del espesor pueden calcularse a partir del valor del radio interno R ó externo R0 PR S E 0,6 P

tr

Si: t d R 2 donde:

o

P R0 S E 0, 4 P

;

Pa

S Et R 0,6 t

S Et R0 0, 4 t

(4)

P d 0,385 S E

S

tensión máxima admisible.

R

radio interior.

E

eficiencia de la junta en las soldaduras.

R0

radio exterior.

tr

espesor mínimo requerido para el cuerpo.

Pa

presión admisible.

t

espesor del cuerpo cilíndrico.

P

presión interior de diseño.


390


Esfuerzo longitudinal: El espesor requerido en función de la presión interior y la presión admisible en función del espesor pueden calcularse a partir del valor del radio interno R ó externo R0: tr

Si: t d R 2 S E tr t

donde:

P R0 2 S E 1, 4 P

PR 2 S E 0, 4 P

o

Pa

;

2SEt R 0, 4 t

2SEt R0 1, 4 t

(5)

P d 1, 25 S E

R R0 Pa P

tensión máxima admisible. eficiencia de la junta en las soldaduras. espesor mínimo requerido para el cuerpo. espesor del cuerpo cilíndrico.

radio interior. radio exterior. presión admisible. presión interior de diseño.

Cuerpo esférico El espesor requerido en función de la presión interior y la presión admisible en función del espesor pueden calcularse a partir del valor del radio interno R ó externo R0: PR 2 S E 0, 2 P

tr

donde:

S E tr t

P R0 2 S E 0,8 P

Pa

;

tensión máxima admisible. eficiencia de la junta en las soldaduras. espesor mínimo requerido para el cuerpo. espesor del cuerpo cilíndrico.

2SEt R 0, 2 t

R R0 Pa P

2SEt R0 0,8 t

(6)

radio interior. radio exterior. presión admisible. presión interior de diseño.

Nota importante: En el cálculo de los espesores requeridos para los cuerpos y para los cabezales, el radio interno (o externo) es tomado excluyendo el sobreespesor por corrosión. De ese modo se puede garantizar que el recipiente cumplirá los requisitos aún en la etapa final de la vida útil cuando esté corroído. Cabezales Los cabezales contemplados en el Código ASME son los siguientes (ver Figura 3 ): a) Elipsoidales. b) Torisféricos. c) Hemisféricos. d) Cónicos. e) Torocónicos. f) Planos. g) Conformados. En las fórmulas para cabezales se emplea la siguiente notación ( indicada en la Figura 3 ): D Di

L r h

diámetro interior del cabezal. En el cabezal elipsoidal es la longitud del eje mayor. diámetro interno de la porción cónica del cabezal toricónico. mitad del ángulo del cono. radio de conformado (crown radius). radio de transición (knuckle radius). mitad de la longitud del eje menor del cabezal elipsoidal, medida internamente.

a) Cabezal elipsoidal 2:1 El espesor requerido tr ( o la presión admisible Pa ) para un cabezal elipsoidal 2:1 es: tr

Si: t L t 0,002

PD 2 S E 0, 2 P y D/h 4


;

391

Pa

2SEt D 0, 2 t

(7)


Figura 3: Tipos de cabezales

b) Cabezal torisférico (tipo ASME ) El espesor requerido t r ( o la presión admisible Pa ) para un cabezal torisférico es: tr

Si: t L t 0,002 ,

r

0,885 P L S E 0,1 P

6%L

y

L

S Et 0,885 L 0,1 t

Pa

;

(8)

D

c) Cabezal hemisférico El espesor requerido tr ( o la presión admisible Pa ) para un cabezal hemisférico es: tr

Si: t d 0,356 L

o

PL 2 S E 0, 2 P

Pa

;

2

S Et L 0, 2 t

(9)

P d 0,665 S E

d) Cabezal o cuerpo cónico El espesor requerido tr (o la presión admisible Pa ) para cabezales y cuerpos cónicos, sin radio de transición es: tr

PD 2cos D S E 0,6 P

;

Pa

2

SEt D 1, 2 t cos D

(10)

Si: D d 30q . e) Cabezal o cuerpo torocónico El espesor requerido para la parte cónica se calcula de acuerdo con la fórmula (10), usando Di en lugar de D, si el radio de transición r no es menor que el 6% del diámetro exterior de la falda del cabezal ( ver Figura 3), ni menor que tres veces el espesor de la zona de transición. El espesor de la zona de transición se calcula de acuerdo con lo establecido en los apéndices obligatorios del Código ASME. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

392


f ) Cabezal plano – Tapa plana El Código ASME admite distintos tipos de cabezales y tapas planas que están indicados en la Figura UG-34, y se presentan a continuación en la Figura 4.

Notas: (1) Los croquis mostrados en esta figura son solo ilustrativos. Otros diseños que cumplan los requerimientos de UG-34 también son aceptables. (2) Cuando hay dos o más valores posibles para C se debe cumplir lo establecido en UG-34 (d). (3) ts es el espesor del cuerpo. El subíndice ‘s’ proviene de “shell”. (4) tr es el espesor requerido para el cuerpo sin costura ( E = 1). Figura 4: Algunos tipos aceptables de cabezales planos y tapas desmontables indicados en la FIG. UG-34 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

393


El espesor requerido tr para cabezales circulares planos soldados es: tr

CP SE

d

(11)

Para cabezales circulares planos abulonados ( Figura 4, croquis j y k ) , el espesor requerido tr es: tr

donde:

d

CP SE

1,9 W hG

(12)

S Ed3

d C

diámetro del cabezal. factor que considera el método de unión del cabezal con el cuerpo; se obtiene de la Figura 4. En aquellos diseños donde aparecen dos o más valores posibles para C se debe cumplir con lo establecido en UG-34 (d ). P presión interior de diseño. S tensión máxima admisible. E eficiencia de la junta soldada. W carga total de los espárragos. hG brazo de palanca indicado en los croquis j ) y k ) de la Figura 4.

3.2.2 Diseño de cuerpos y cabezales bajo presión externa Cuerpo cilíndrico Los recipientes cilíndricos diseñados bajo la Sección VIII - División 1 del Código ASME, pueden contener soportes (ej.: anillos de refuerzo) o no contenerlos. Todos los tramos entre soportes deben ser verificados al pandeo. El código no contempla el pandeo de cuerpos cilíndricos de recipientes muy largos como columna. Esta verificación, si es necesaria, se hace fuera del código. En la Figura 5 se muestran algunos casos típicos de recipientes sometidos a presión externa. Los principales parámetros a considerar son: Pa presión externa máxima admisible.

t

D0 diámetro exterior del cilindro.

L longitud entre soportes.

espesor del recipiente.

Figura 5: Tipos de recipientes sometidos a presión exterior Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

394


La Figura 6 muestra algunos tipos de líneas de soporte, por ejemplo: a) b) c) d)

Línea circunferencial a un tercio de la profundidad de un cabezal. Anillo de refuerzo. Recipiente encamisado. Uniones cono–cilindro y torocónico–cilindro. Estas uniones son líneas de soportes si el momento de inercia que ellas generan cumple con lo indicado en el Punto 1-8 del código.

En general, el diámetro externo D0 es un dato prefijado en las condiciones generales de diseño, pero el proyectista puede definir con mayor libertad el espesor t y la longitud entre soportes L, mediante el agregado de anillos de refuerzo. Se debe encontrar un punto de equilibrio entre el costo de material ( volumen del cilindro y los refuerzos ) y el costo de fabricación de las mencionadas partes constitutivas del recipiente.

Figura 6: Tipos de líneas de soporte

Caso D 0 / t 10 Para determinar el espesor requerido por un tramo cilíndrico sometido a presión exterior, donde D 0 / t { 10, se procede de la siguiente manera: a ) Se propone un espesor t. b ) Se propone la cantidad y la localización de los anillos de refuerzo, definiendo L. c ) Se determinan las relaciones L / D0 y D0 /t. d ) Se determina la relación geométrica A usando la Figura G de la Subparte 3 del Código ASME Sección II, Parte D (ver gráfico paramétrico en el Anexo 5. Se ubica L/D0 en ordenadas y se mueve horizontalmente hasta ubicar la curva paramétrica correspondiente a D0 /t ( interpolando entre dos curvas próximas teniendo en cuenta la escala logarítmica ) y desde allí se baja para leer en abscisas el valor de A. e ) Con el valor de A se determina la tensión B, que depende de la temperatura de trabajo, utilizando el gráfico, correspondiente al material del recipiente, dado en el Anexo 4. Los gráficos para los tipos de materiales más usados están incluidos en la Subparte 3 del Código ASME Sección II, Parte D. Cuando el valor de A cae a la derecha de la correspondiente curva de temperatura, se debe utilizar el máximo valor de B para dicha curva de temperatura. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

395


f ) La presión externa máxima admisible Pa se calcula como:

4B 3 ( D0 / t )

Pa

(13)

g ) Cuando el valor de A cae a la izquierda de la curva de temperatura considerada, no es posible determinar un valor de B, en esos casos Pa se calcula usando (2) como: B

AE 2

o

Pa

2 AE 3 ( D0 / t )

(14)

h ) Si el valor obtenido de Pa es menor que el requerido como dato para el diseño del recipiente, se debe repetir la secuencia anterior, incrementando el espesor de pared t y/o agregando más anillos de refuerzo para disminuir L. Caso D 0 /t < 10 Para determinar el espesor requerido en un tramo de cilindro, con una relación es D 0 / t < 10, se procede de acuerdo con lo indicado en UG-28 (c) (2). Asimismo, el dimensionamiento de los anillos de refuerzo y su sujeción al recipiente está indicado en los apartados UG-29 y UG-30. El lector interesado puede consultar esas referencias. Cuerpo esférico o cabezal hemisférico Para determinar el espesor requerido por un cuerpo esférico sometido a presión exterior, se procede de la siguiente manera: a) Se propone un espesor t. b) Se calcula la relación geométrica A, según la siguiente fórmula: 0,125 A (R0 /t ) donde R0 es el radio exterior de la esfera y t el espesor.

(15)

c) Con el valor de A y la temperatura de trabajo se determina la tensión B utilizando el gráfico correspondiente al material del recipiente dado en el Anexo 4. Los gráficos de los tipos de materiales más usados están incluidos en la Subparte 3 del Código ASME Sección II, Parte D. Nota: Cuando el valor de A cae a la derecha de la correspondiente curva de temperatura, se debe utilizar el máximo valor de B para dicha curva de temperatura. d) La presión externa máxima admisible Pa se calcula como: Pa

B (R0 /t)

(16)

e) Para valores de A que caen fuera a izquierda del gráfico correspondiente al material utilizado en el recipiente, no es posible determinar un valor de B, en tal caso Pa se calcula haciendo: 0,0625 E (17) Pa (R0 /t) f) Si el valor obtenido de Pa es menor que el requerido como dato del diseño del recipiente, se debe repetir la secuencia indicada, incrementando el espesor de pared t. Cabezal elíptico 2:1 y cabezal torisférico ( tipo ASME ) El espesor requerido para estos tipos de cabezales es el mayor de: a) El espesor calculado con las fórmulas de presión interna, usando como presión interna de diseño 1,67 veces la presión externa y considerando E = 1. b) El espesor obtenido con la fórmula (16), tomando R0 = 0,9(D+2t ) para el cabezal elíptico 2:1 y R 0 = L para cabezal torisférico ( tipo ASME ), ver Figura 3. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

396


3.2.3 Diseño de aberturas Generalidades Para el cálculo de aberturas, el código tiene en cuenta el concepto de “áreas equivalentes”; que establece que el área faltante por la abertura debe ser reemplazada por: i ) el área en exceso en el cuerpo del recipiente, ii ) el área de la derivación propiamente dicha ( también llamado cuello, o en inglés “nozzle ” ) , iii ) el área en las soldaduras que fijan la derivación, o iv) agregando material extra (refuerzo). Todo lo anterior se computa en la zona “válida” para reforzar la abertura ( ver Figura 8 ). La metodología de áreas equivalentes sólo considera las solicitaciones debidas a la presión interna. Si existen otros esfuerzos, se los debe considerar, y el diseñador debe definir el método, siguiendo las pautas indicadas en la Subsección 3.2. Es preferible que las aberturas, tanto en los cuerpos como en los cabezales conformados, sean circulares, elipsoidales o de otra forma redondeada. Las aberturas adecuadamente reforzadas no tienen limitación de tamaño, con excepción de lo siguiente: x Para recipientes cilíndricos o cónicos con diámetro interno de 60” (1500 mm) o menor, la abertura no debe exceder la mitad del diámetro del recipiente ni ser mayor a 20” ( 500 mm). x Para recipientes cilíndricos o cónicos con diámetro interno mayor de 60” (1500 mm), la abertura no debe exceder un tercio del diámetro del recipiente ni ser mayor a 40” ( 1000 mm ). x Para cabezales conformados o cuerpos esféricos, cuando la abertura excede la mitad del diámetro interno se debe tener en cuenta lo indicado en el apartado UG-36 ( b ) (2). El sobreespesor por corrosión no se puede considerar en el cálculo de las áreas equivalentes. En los siguientes casos no es necesario colocar un refuerzo: x Aberturas no mayores a 3 ½” ( 90 mm) en cuerpos o cabezales cuyo espesor requerido sea menor o igual a ” (10 mm). x Aberturas no mayores a 2 ” ( 60 mm) en cuerpos o cabezales cuyo espesor requerido sea mayor a ” (10 mm). x Conexiones roscadas, ‘stud ’ o expandidas, en las cuales el orificio en el cuerpo o cabezal no es mayor a 2 ” (60 mm ). x Otras condiciones para conexiones agrupadas. Espesor de la derivación Considerando que la derivación es un cuerpo cilíndrico, el espesor requerido por la tensión tangencial se calcula con la fórmula (4). Refuerzo necesario El refuerzo propuesto debe soportar la presión en todos los planos a través del centro de la abertura y normal a la superficie del recipiente ( por ejemplo, para una abertura circular en un recipiente cilíndrico, el plano que contiene al eje del recipiente es el plano más cargado debido a la tensión circunferencial originada en la presión). Si la abertura se encuentra en el cuerpo o en un cabezal conformado de un recipiente con presión interna, el área de refuerzo requerida AR, en cualquier plano dado a través de la abertura, es ( ver Figura 8 donde se reproduce la Fig. UG-37.1 del código): AR

d tr F 2 tn tr F 1 f r1

(18)

donde: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

397


tr

espesor requerido por el cuerpo o cabezal, debido a la presión. d diámetro final de la abertura. F factor de corrección que considera la variación de la tensión por presión, de acuerdo al ángulo del plano considerado, respecto al eje longitudinal del recipiente (ver Figura 7 ) . tn Sn

Eje longitudinal del recipiente

F 0,5 ( 1 cos 2 T ) espesor nominal de la derivación. El subíndice ‘n’ proviene de “nozzle”. tensión admisible del material de la derivación.

Sv tensión admisible del material del recipiente (cuerpo o cabezal ) . El subíndice ‘v’ proviene de ‘vessel’. fr1 factor de reducción (no mayor a 1), que es igual a al cociente entre la tensión admisible del material de la derivación Sn y del recipiente Sv, es decir: f r1 = menor ( 1 ; Sn / Sv ) . Figura 7: Gráfico del factor F

Si la abertura se encuentra en el cuerpo o en un cabezal conformado de un recipiente con presión externa, el área de refuerzo requerida, es el 50 % del área que se requeriría si el recipiente estuviera sometido a presión interna; donde t r es el espesor requerido debido a presión externa. En la Figura 8, en la página siguiente, se presenta la nomenclatura y las fórmulas utilizadas para determinar el área de refuerzo requerida AR y el área de refuerzo disponible AD. Para determinar el área de refuerzo disponible AD, se tienen en cuenta las diferencias entre los espesores mínimos necesarios y los efectivamente adoptados que son generalmente mayores (no vale el sobreespesor por corrosión ). Se suman las siguientes áreas disponibles: A1: exceso en el cuerpo o cabezal.

A2: en la derivación, parte externa.

A3: en la derivación, parte interna.

A41 y A42: en las soldaduras que fijan la derivación.

Cuando:

AD

A1 A2 A3 A41 A43 t AR

(19)

la abertura no necesita ser reforzada; en caso contrario se debe agregar un elemento de refuerzo A5 ( denominado montura o “poncho”) y/o incrementar el espesor del cuerpo, cabezal o derivación. Cuando:

AD

A1 A2 A3 A41 A42 A43 A5 t AR

(20)

la abertura está adecuadamente reforzada; en caso contrario se debe incrementar el área del elemento de refuerzo A5 y/o incrementar el espesor del cuerpo, cabezal o derivación. Notar que se ha agregado una nueva área de soldadura ( A42 ) que fija al refuerzo. La nomenclatura y las fórmulas para calcular las aberturas reforzadas se dan en la Fig. UG-37.1 del código que se reproduce en la página siguiente:

c c4

cateto del filete de soldadura, ver esquema en la parte superior izquierda de la Figura 8.

d Dp

diámetro final de la abertura. diámetro exterior del elemento de refuerzo.

E F

eficiencia de junta. Para aberturas en zonas sin soldadura o con soldadura Categoría B, E = 1. factor de corrección que considera la variación de la tensión por presión, de acuerdo al ángulo del plano considerado respecto al eje del recipiente ( ver Figura 7 ).

espesor de corrosión admisible.


398


Sin agregar elemento de refuerzo = AR = d tr F + 2 tn tr F (1 – fr1)

Área requerida

d ( E1 t F tr ) 2 tn ( E1 t F tr ) (1 f r1 ) A1 ® ¯2(t tn ) ( E1 t F tr ) 2 tn ( E1 t F tr ) (1 f r1 ) = A2 = 5 (tn – trn ) fr2 donde = menor { t ; tn }

Área disponible en el cuerpo; usar el valor mayor

= A3 = ti fr 2

Parte interna de la derivación

Parte externa de la derivación

donde = menor { 5t ; 5ti ; 2h }

2

Soldadura - parte externa

2

Soldadura - parte interna

= A41 = ( c41) fr2 soldadura externa de la derivación = A43 = ( c43 ) fr2 soldadura interna de la derivación Si

AD =A1+ A2+ A3+ A41+ A43 {AR

Si

AD =A1+ A2+ A3+ A41+ A43 < AR

No se requiere refuerzo Se debe agregar refuerzo y/o aumentar espesores

Agregando elemento de refuerzo AR = igual que en el caso anterior (arriba)

Área requerida

A1 = igual que en el caso anterior (arriba)

Área disponible en el cuerpo

A2 = (tn – t rn ) fr2 donde = menor {5t ; 5tn + 2t e }

Derivación - parte externa

A3 = igual que en el caso anterior (arriba)

Derivación - parte interna

2

Soldadura - parte externa

2

Soldadura de la placa refuerzo

2

= A43 = ( c43) fr2 soldadura interna de la derivación

Soldadura - parte interna

= A5 = (Dp – d – 2 tn ) te fr4

Aporte de la placa refuerzo

= A41 = ( c41) fr3 soldadura externa de la derivación = A42 = ( c42 ) fr4 soldadura externa del refuerzo ver Nota (2)

Si AD =A1+ A2+ A3+ A41+ A42+ A43+ A5 {AR

El refuerzo es adecuado

Notas: ( 1) Se deben considerar esas áreas si Sn / Sv < 1 (a ambos lados de la línea de centros CL ). (2) Esta fórmula es aplicable a un elemento de sección rectangular que se encuentre dentro de la zona

válida para el refuerzo dada por UG-40. (3) La FIG. UG-37.1 toma como ejemplo una derivación común, pero no se descartan otras configu-

raciones permitidas por el código. Figura 8: Nomenclatura y fórmulas para diseñar aberturas reforzadas dadas en la FIG. UG-37.1(3) Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

399


fr fr 1

fr 2 fr 3 fr4 h Rn Sn Sp Sv t te ti tn tr tr n

son factores de reducción ( fr1 , fr2 , fr3 , etc.), ninguno de ellos puede ser mayor que 1. i) cuando la derivación atraviesa la pared del recipiente fr1 es igual al cociente de tensiones admisibles de los materiales de la derivación (nozzle) y del recipiente ( vessel ), es decir: fr1= Sn / Sv ; ii) cuando la derivación no atraviesa la pared del recipiente, se toma fr1= 1. es igual a la relación de tensiones admisibles de los materiales de la derivación (nozzle) y del recipiente: fr2= Sn / Sv. depende de la relación de tensiones admisibles de los materiales fr3 = menor ( Sn ; Sp )/Sv . es igual al cociente entre las tensiones admisibles de los materiales del elemento de refuerzo (placa o ‘plate’) y del recipiente: fr4 = Sp / Sv longitud de la derivación por debajo de la superficie interna del cuerpo o cabezal. radio interno de la derivación. tensión admisible del material de la derivación. tensión admisible del elemento de refuerzo. El subíndice ‘p’ proviene de ‘plate’. tensión admisible del material del recipiente, cuerpo o cabezal (vessel ). espesor del cuerpo o cabezal. espesor o altura del elemento de refuerzo. espesor nominal de la parte interna de la derivación. espesor nominal de la derivación ( ‘n’ se origina en la expresión en inglés ‘nozzle ’ ) . espesor requerido para el cuerpo o cabezal, debido a la presión. espesor requerido para la derivación.

Si la abertura se encuentra en un cabezal plano ( tapa plana) de un recipiente y el diámetro de la abertura no excede la mitad del diámetro del cabezal, el área de refuerzo requerida AR es: AR

0,5 t d

(21)

donde d es el diámetro final de la abertura y t es el espesor requerido para el cabezal plano. El área de refuerzo disponible está limitada en el sentido paralelo a la pared del recipiente según se indica en la Figura 8: Longitud paralela a la pared

mayor ^ d ; Rn tn t

`

(22)

y en el sentido perpendicular a la pared del recipiente: Longitud perpendicular a la pared

menor ^ 2,5 t ; 2,5 tn te `

(23)

El material de la derivación o del elemento de refuerzo puede tener una tensión admisible mayor que la del material del cuerpo; pero el código no permite aprovechar esta situación favorable; por ello los factores de reducción utilizados fr en el cálculo del área de refuerzo disponible no pueden ser mayores que uno.

3.3 Requerimientos para recipientes fabricados por soldadura ( Parte UW ) Los recipientes de presión fabricados por soldadura pueden ser utilizados para distintos tipos de servicios, entre los más exigidos se pueden mencionar a los recipientes que: a) contienen sustancias letales. b) operan a bajas temperaturas. c) se usan en calderas de vapor sin fuego directo. d) están sometidos a fuego directo. Para servicios especiales, el código establece condiciones particulares. Por ejemplo, en los recipientes que contienen sustancias letales se deben radiografiar al 100 % todas las soldaduras a tope. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

400


3.3.1 Categorías de uniones soldadas El término “categoría” es usado para definir la localización de la unión soldada en el recipiente, pero no el tipo de unión. Las categorías de las uniones soldadas se utilizan para especificar requerimientos especiales sobre: a) tipo de junta permitida y b) grado de inspección. Las categorías de las uniones soldadas son: A, B, C y D. En la Figura 9 se muestra la localización típica de las juntas soldadas incluidas en cada categoría.

Figura 9: Localizaciones típicas de uniones soldadas de Categorías A, B, C y D

Categoría A 1) Uniones longitudinales en: i ) cuerpo principal, ii) cámaras comunicadas, iii) transiciones de diámetro y iv) derivaciones. 2) Uniones soldadas en: i ) recipientes esféricos, ii ) cabezales conformados o iii) cabezales planos. 3) Uniones circunferenciales que conectan los cabezales hemisféricos con: i) el cuerpo principal, ii ) transiciones de diámetro, iii ) derivaciones o iv ) cámaras comunicadas. Categoría B Uniones circunferenciales en: i ) cuerpo principal, ii ) cámaras comunicadas, iii) derivaciones o iv) transiciones de diámetro. También uniones circunferenciales que conectan los cabezales conformados (excepto hemisféricos) con: i) cuerpo principal, ii) transiciones de diámetro, iii) derivaciones o iv) cámaras comunicadas. Categoría C Uniones que conectan las bridas, las placas de tubos o los cabezales planos con el cuerpo principal, los cabezales conformados, las transiciones de diámetro, las derivaciones o las cámaras comunicadas. Categoría D Uniones que conectan las cámaras comunicadas o las derivaciones con: i ) cuerpo principal, ii ) recipientes esféricos, iii ) transiciones de diámetro, iv) cabezales o v ) recipientes de lados planos.

3.3.2 Tipos de uniones soldadas Los tipos de uniones soldadas usados en la construcción de recipientes se listan en la Tabla UW-12 mostrada en el Anexo 6 donde se describen las juntas y las limitaciones para su uso. Los ocho tipos de juntas permitidas están esquematizados en la Figura 10 y se describen a continuación. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

401


Figura 10: Tipos de uniones soldadas

Las uniones Tipo 1 son juntas a tope de doble arco de soldadura, (con depósito de material en las superficies interna y externa). No tienen limitaciones y se aplican en todas las categorías de uniones ( A, B, C y D). Las uniones Tipo 2 son juntas a tope de simple arco de soldadura, con respaldo. No tienen limitaciones, excepto lo indicado en la Tabla UW-12 ( ver Anexo 6) . Las uniones Tipo 3 son juntas a tope de simple arco de soldadura, sin respaldo. Se aplican solo en uniones circunferenciales, donde el espesor no es mayor a 16 mm (¸” ) y el diámetro exterior no es mayor a 600 mm ( 24” ). Se pueden utilizar en uniones Categorías A, B y C. Las uniones Tipo 4 son juntas a filete completas de doble solape. Para uniones longitudinales el espesor no es mayor a 10 mm ( ”), en uniones Categoría A; mientras que para uniones circunferenciales el espesor no es mayor a 16 mm ( ¸” ) , en uniones Categorías B y C. Las uniones Tipo 5 son juntas a filete completas de simple solape con soldaduras tipo enchufada ( plug ). Se aplica en uniones circunferenciales para cabezales, donde el espesor no es mayor a 13 mm ( ½”) y el diámetro exterior no es mayor a 600 mm ( 24”), en uniones Categoría B; mientras que para uniones circunferenciales en el cuerpo principal el espesor no debe ser mayor a 16 mm ( ¸”), en uniones Categoría C. Las uniones Tipo 6 son juntas a filete completas de simple solape. Se aplican en uniones Categorías A y B. Las uniones Tipo 7 son juntas de esquina. Se aplican en uniones Categorías C y D. Las uniones Tipo 8 son juntas en ángulo. Se aplican en uniones Categorías B, C y D. En las uniones Tipo 6, 7 y 8 se deben considerar las limitaciones de la Tabla UW-12 del Anexo 6. En la Tabla UCS-57 del Anexo 7 se indica, para diversos materiales, el espesor a partir del cual es obligatorio el radiografiado total en uniones a tope.

3.3.3 Eficiencia de junta E En la Tabla UW-12 del Anexo 6 se presentan los valores de eficiencia de junta E, para cada tipo de unión soldada, de acuerdo con el grado del examen radiográfico realizado: a) Radiografiado total. b) Radiografiado parcial ( spot ). c) Sin radiografiado. En los cabezales hemisféricos, según UG-32(f ), se debe considerar la menor de las eficiencias de las juntas del cabezal incluyendo también a la unión del cabezal con el cuerpo principal. En el resto de los cabezales, se debe considerar solamente la menor de las eficiencias de las juntas del propio cabezal sin considerar la unión del cabezal con el cuerpo principal ( ver Anexo 8 ) . Las pautas para la determinación de la eficiencia de junta E para los diversos componentes (cuerpos cilíndricos, cónicos y cabezales) para las diferentes categorías y tipos de junta en función del grado de radiografiado se dan en los Anexos 8, 9, 10 y 11. IMPORTANTE: Si las juntas está sometidas a compresión el valor de la eficiencia de junta es E = 1.

3.4 Pruebas de presión En general, los recipientes de presión son ensayados antes de su puesta en servicio mediante una prueba de presión pre operacional, con la finalidad de detectar fallas de diseño y/o de construcción. El Código ASME requiere que esa prueba sea hidrostática, y excepcionalmente se admite que sea neumática ( UG-99). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

402


La mínima presión Pp a la que se realiza el ensayo se relaciona con la máxima presión de trabajo admisible MAWP ( Máximum Allowable Working Pressure), a través de la siguiente expresión: Pp

donde:

Pp M AWP Sp S

Sp

1,3 M AWP

S presión de prueba a la que es sometido el recipiente. máxima presión de trabajo admisible. tensión máxima admisible, a la temperatura de la prueba. tensión máxima admisible, a la temperatura de diseño.

(24)

MAWP está definida en UG-98, como la máxima presión permitida en la parte superior del recipiente a una temperatura especificada. En la determinación de MAWP se deben considerar los efectos de todas las cargas que pueden actuar en el recipiente según lo indicado en la Subsección 3.2. En general, la máxima presión de trabajo admisible M AWP coincide con la presión de diseño P. La prueba puede ser neumática en lugar de hidrostática cuando: a) El comportamiento del recipiente (y/o sus soportes) se torna inseguro al ser llenado con agua. b) El recipiente no pueda ser secado totalmente y los restos de agua no sean tolerados por el proceso donde estará incorporado el recipiente. En estos casos, la mínima presión a la que realizará la prueba Pp es: Pp

1,1 M AWP

Sp

(25)

S

4 DISEÑO DE RECIPIENTES DE PRESIÓN EN ALTURA ( TORRES ) Como se indica en la Subsección 3.2, en el diseño de un recipiente de presión se deben considerar todas las cargas que puedan actuar sobre el mismo, durante su vida útil. Esas cargas generan tensiones en los distintos puntos del recipiente, que se deben combinar para aplicar un criterio de falla. Los principales sectores a considerar en un recipiente a presión en altura ( ver Figura 11) son: a) b) c) d) e)

Fondo del recipiente. Junta del cabezal inferior con el cuerpo principal. Junta del faldón de soporte con el cabezal inferior. Cambios de diámetros en la torre. Cambios de espesores en la torre.

Figura 11: Recipientes de presión en altura ( Torres ) Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

403


Es importante destacar que el análisis de tensiones debe abarcar todas las etapas de la vida útil del recipiente: a)

Traslado y montaje.

b) Pruebas. c)

Operación normal.

d) Errores en la operación. e)

Desmontaje.

En la Subsección 3.2 se desarrolla ampliamente el cálculo de las tensiones originadas por la presión, tanto interna como externa; en la Sección 4 se presenta la metodología de cálculo de tensiones debidas a otras cargas representativas, que afectan a los recipientes en altura (torres).

4.1 Fuerzas y tensiones originadas por el viento La fuerza del viento Fi que actúa sobre una superficie se determina mediante la ecuación (26) dada por el Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre Construcciones – Cirsoc 102:

Fi

qz G C f Af i

[ kg ]

(26)

donde:

D0 F8

qz presión dinámica del viento evaluada a una altura zi, baricentro del área Af i, en kg/cm2.

h8 F7

h7

G factor de efecto de ráfaga. F6

h6

Cf coeficiente de fuerza neta. Af i área proyectada normal al viento, en cm2.

F5 z8

F4 F3 F2

z7 La fuerza F debida al viento es una fuerza estática equivalente que se utiliza para el diseño de los recipientes de presión en altura.

z6 z5

h5

z4 z3

F1

z2

En la Figura 12 se esquematizan las fuerzas Fi actuando sobre las áreas proyectadas Af i.

h4 h3 h2 h1

z1

Figura 12: Fuerza del viento actuando sobre una torre

La presión dinámica qz del viento evaluada a una altura zi, baricentro del área Af i es: qz

donde:

0,613 K z K zt K d V 2 I x 1,02 x 105 [ kg / cm 2 ]

Kz

coeficiente de exposición para la presión dinámica.

K zt

factor topográfico.

Kd

factor de direccionalidad del viento.

V

velocidad básica del viento, en m/s.

I

(27)

factor de importancia. -5

1,02 x 10

factor de conversión de N/m 2 a kg/cm 2.


404


El factor de efecto de ráfaga G tiene en cuenta los efectos de cargas en la dirección del viento debido a la interacción estructura – turbulencia del viento. Para estructuras rígidas, cuya frecuencia natural es igual o mayor a 1 Hz, el factor de efecto de ráfaga G se debe adoptar igual a 0,85. Para estructuras f lexibles o dinámicamente sensibles, cuya frecuencia natural es menor a 1 Hz, el factor de efecto de ráfaga G se debe calcular de acuerdo con lo establecido en el Punto 5.8 del Reglamento Cirsoc 102. El coeficiente de fuerza neta Cf para torres se obtiene del Anexo 12. El coeficiente de exposición para la presión dinámica K z se determina en base a la categoría de exposición de la instalación analizada, la cual debe ref lejar adecuadamente las irregularidades de la superficie donde estará instalado el equipo: Exposición A:

centro de grandes ciudades.

Exposición B: áreas urbanas o suburbanas, áreas boscosas o terrenos con numerosas obstrucciones próximas entre sí. Exposición C:

terrenos abiertos con obstrucciones dispersas. Por ejemplo: campos abiertos planos o terrenos agrícolas.

Exposición D: áreas costeras sin obstrucciones, expuestas al viento desde aguas abiertas. El coeficiente Kz se obtiene del Anexo 13. El factor topográfico K zt representa el efecto del aumento de la velocidad del viento sobre lomas y colinas aisladas, que constituyen un cambio en la categoría de exposición definida más arriba. El coeficiente K zt se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: K zt = 1 K1 K 2 K 3

2

(28)

donde: K1, K2 y K3 se obtienen del Anexo 14. El factor de direccionalidad del viento K d, para este tipo de estructuras, toma el valor 0,95. La velocidad básica del viento V en Argentina se obtiene del Anexo 15. Por último, el factor de importancia I se determina según la categoría de la estructura en estudio, basado en la naturaleza de su ocupación. Para el caso que nos ocupa este factor es 1,15. La fuerza del viento F calculada con el procedimiento descripto, provoca tensiones SV de tracción o compresión en los distintos puntos del recipiente, según la dirección del viento sobre el recipiente: SV

donde:

Momento del viento r Módulo resistente

r

¦

n i 1

Fi ( zi zs )

S Rm2 t

(29)

n

número de cargas de viento Fi que actúan por arriba de la sección considerada.

zs

altura de la sección considerada.

zi

altura donde se concentra la fuerza Fi que actúa en el baricentro del área Afi que está arriba de la sección considerada.

R m radio medio de la sección considerada. t

espesor de la sección considerada.


405


4.2 Peso del recipiente y de su contenido – Tensiones El peso del recipiente y de su contenido provoca tensiones SP de compresión en el sentido axial del recipiente. En general esta tensión es pequeña frente al resto de las tensiones obrantes y se determina mediante la siguiente expresión: SP

donde:

Peso Área

Wc Wr 2 S Rm t

(30)

SP tensión de compresión en el sentido axial debido al peso. Wr parte del peso del recipiente que afecta a la sección considerada. Wc parte del peso del contenido que actúa sobre la sección considerada. R m radio medio de la sección considerada. t

espesor de la sección considerada.

4.3 Fuerzas y tensiones originadas por sismo En general, todos los países establecen las condiciones a tener en cuenta por la acción de sismos sobre las estructuras. En Argentina, las fuerzas originadas por movimientos sísmicos que pueden afectar una torre metálica se deben determinar siguiendo el Reglamento Inpres-Cirsoc 103 (Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes) . El reglamento establece el esfuerzo horizontal que se debe considerar para el diseño de recipientes de presión en altura. El esfuerzo horizontal se calcula de acuerdo con: a) Las características propias de la torre: peso, altura y características dinámicas. b) El factor de riesgo, según su función y la trascendencia pública de eventuales daños de la estructura en caso de que ocurra un sismo. c) La ubicación geográfica. Se establecen distintas zonas sísmicas de acuerdo con el peligro sísmico existente en cada región de Argentina, ver Anexo 16. La carga sísmica horizontal origina tensiones que se deben componer con el resto de las tensiones causadas por las otras cargas. En este capítulo no se desarrolla el cálculo específico los esfuerzos originados por sismo.

4.4 Combinaciones de cargas En las subsecciones anteriores se presentaron las principales cargas que pueden actuar sobre los recipientes de presión en altura, durante su vida útil. Las hipótesis de carga correspondientes al traslado, montaje o desmontaje no deben considerar la presión interna o externa de operación. Cuando un recipiente estará potencialmente expuesto a cargas de viento y sismo, se asume que ambas cargas no actuarán simultáneamente, según UG-23 (d). Además, ese punto del código indica que en las verificaciones donde intervienen estas cargas, la tensión admisible del material se debe incrementar un 20 %. En los distintos puntos de un recipiente, se deben sumar, por separado, las tensiones tangenciales y longitudinales generadas por las distintas combinaciones de cargas para obtener la tensión de comparación *. Esa tensión, calculada en la situación más desfavorable, debe ser menor que la tensión admisible S del material del recipiente afectada por la eficiencia de junta E.

V*

S presión S peso Sviento S sismo etc.........se debe cumplir......... V * d S E


406

(31)


5

DISEÑO

DE RECIPIENTES DE PRESIÓN HORIZONTALES APOYADOS SOBRE SOPORTES TIPO MONTURA

Del mismo modo que en el caso de recipientes de presión verticales, en el diseño de recipientes de presión horizontales ( ver Figura 13) se deben considerar todas las cargas que pueden actuar sobre ellos, durante su vida útil ( ver Subsección 3.2 y Sección 4 ).

Figura 13: Recipientes de presión horizontales

En la Subsección 3.2 se ha desarrollado ampliamente el cálculo de las tensiones originadas por la presión, tanto interna como externa; mientras que en la Sección 4 se desarrolló la metodología de cálculo de tensiones causadas por las otras cargas representativas. No obstante ello, en el caso de recipientes horizontales se debe estudiar detalladamente la forma de apoyarlos; siendo práctica habitual utilizar dos soportes tipo montura, según lo indicado en la Figura 14. El método de diseño usando estos soportes está basado en los estudios realizados por L.P. Zick, los cuales fueron tomados por ASME, que publicó una Práctica Recomendada. Se puede demostrar que el uso de dos soportes es preferible, frente a soportes múltiples, tanto desde el punto de vista estructural como económico.

Figura 14: Recipiente de presión horizontal, apoyado en dos soportes tipo montura Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

407


Para el cálculo de tensiones en un recipiente de presión horizontal con soportes tipo montura, se deben considerar las siguientes particularidades del caso: x Las condiciones de cargas por el peso propio y por el contenido varían según el porcentaje de llenado. Para el cálculo se recomienda considerar el recipiente totalmente lleno, con el f luido de operación o con agua (generalmente es el f luido de la prueba hidrostática), el que provoque mayor peso. x Las tensiones en el recipiente dependen del ángulo de contacto de los soportes indicado en las Figuras 14 y 17. x La tensión longitudinal debida a la presión interna P, es la mitad de la tangencial. Por ello y teniendo en cuenta el criterio de falla adoptado, la mitad del espesor real del recipiente contribuye a resistir las tensiones longitudinales debidas a las cargas por peso (propio y del contenido). x Las tensiones originadas por el viento no son importantes en este tipo de recipientes. La ubicación de los soportes puede estar influida por la existencia de aperturas inferiores; si este no fuera el caso, se los puede ubicar en la posición óptima desde el punto de vista de la resistencia. Para recipientes de gran diámetro y espesores relativamente pequeños, es conveniente ubicar los soportes cerca de los cabezales, teniendo en cuenta que los mismos generan un efecto de anillo rigidizador para la parte cilíndrica. En cambio, para recipientes largos y de espesores relativamente grandes, la ubicación conveniente es aquella donde la tensión longitudinal debida a los pesos en los soportes es similar a la existente en el centro del recipiente, es decir cuando los momentos M1 y M2 indicados en la Figura 15 son iguales (eso ocurre cuando a = 0,207 A ).

Figura 15: Ubicación óptima de los soportes en un recipiente de presión horizontal largo

Notar que la Figura 15 es sólo esquemática ya que considera cabezales planos. En general se utilizan cabezales no planos donde en lugar de ‘a’ se tienen las distancias A y H (ver Figuras 14 y 16 ). A es la distancia entre la unión cabezal-cilindro y el centro del soporte y H es la altura del cabezal medida a partir de la soldadura de unión. En la práctica se considera a A + 23 H y A L + 43 H. La parte en voladizo no debe ser mayor que el 20 % de la longitud total de la parte cilíndrica de recipiente ( A 0 , 2 L ). Asimismo, la ubicación óptima varía de acuerdo con el ángulo de contacto de los soportes. El Código ASME recomienda para recipientes grandes, que el ángulo de contacto mínimo sea 120 º. Es decir los posibles ángulos de contacto varían de 120º a 180 º. Según el método de diseño de Zick para recipientes de presión horizontales con soportes tipo montura, se deben verificar las siguientes tensiones en puntos críticos: x Tensiones longitudinales por la f lexión. x Tensiones de corte. x Tensiones circunferenciales. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

408


5.1 Tensiones longitudinales por la flexión Las tensiones longitudinales por la f lexión en el cuerpo del recipiente, se deben calcular en el plano medio del recipiente y en los planos de los apoyos. Las tensiones indicadas a continuación aplican para recipientes con o sin anillos de refuerzo. En la Figura 16 se muestra un recipiente con anillos en los planos de los soportes; lo cual es un tipo de construcción habitual.

Figura 16: Recipiente de presión horizontal con anillos de refuerzos ubicados en los soportes

5.1.1 Tensiones longitudinales en el plano de los soportes del recipiente En los planos de los soportes, las máximas tensiones S1 debidas al peso propio y al contenido, se calculan con la siguiente expresión: S1

donde: Q A L Rm

§ 1 A /L ( Rm2 H 2 ) / (2 A L) r ¨1 K * R 2m t ¨© 1 4 H / (3 L) QA

· ¸¸ ¹

(32)

carga sobre cada soporte. distancia entre el centro del soporte y la unión cuerpo/cabezal. longitud del cuerpo. radio medio.

H altura del cabezal. t espesor del cuerpo. * K factor adimensional, cuyo valor depende de lo que pasa en los planos de los soportes. Se pueden dar tres situaciones distintas a saber: 1) El factor es K * = cuando los soportes tienen anillos de refuerzo para los casos donde A > Rm / 2; o no teniéndolos si los soportes están ubicados cerca de los cabezales (donde estos trabajan como rigidizadores) y se cumple que A < Rm /2. Si no se dan las condiciones del punto (1) la situación es notablemente diferente y la tensión S1 es bastante mayor. Hay que distinguir dos casos ( tracción o compresión ) : 2) En la parte superior de los planos de los soportes se tienen tensiones longitudinales de tracción y * K toma el valor K1 que varía con el ángulo de contacto ( ver Anexo 17 ). Hay que tener presente que: i) K1 << ; ii ) Y 120º y iii ) K1 crece con disminuyendo la tensión S1. 3) En la parte inferior de los planos de los soportes las tensiones longitudinales son de compresión y se consideran dos casos: i ) cuando t/Rm {```el diseño del recipiente está gobernado por la presión interior no siendo necesario considerar S1 de la ecuación (32); o ii) cuando t/Rm < 0,005 * K toma el valor K7, que varía con el ángulo de contacto ( ver Anexo 17 ). K7 varía de manera similar a K1 pero el valor de K7 es entre un 65 y un 80 % mayor que K1. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

409


Tensión de tracción Cuando la tensión dada por (32) es de tracción, para obtener la tensión de comparación *, se debe sumar la tensión S1 a la tensión longitudinal SL debida a la presión interna P, que se puede obtener empleando la ecuación (5). Posteriormente * se contrasta con la tensión admisible S del material del recipiente afectada por la eficiencia de junta E , como se hace en la ecuación (31):

V* donde:

S1 SL S E

S1 SL d S E

(33)

tensión longitudinal de tracción por f lexión. tensión longitudinal de tracción por presión interna. tensión admisible a tracción del material del recipiente. eficiencia de junta.

La tensión longitudinal SL debida a la presión interna se puede obtener con la ecuación (5) en función del radio exterior R 0 o del radio interior R:

SL

§ R0 · P¨ 0,7 ¸ © 2t ¹

§ R · P¨ 0, 2 ¸ © 2t ¹

(34)

Tensión de compresión Cuando la tensión calculada por la fórmula (32) es de compresión, el caso más crítico se da cuando el recipiente está completamente lleno y a presión atmosférica. En tal caso esa tensión es directamente la tensión de comparación * que se tiene que contrastar con la tensión admisible de compresión del material del recipiente. Hay que tener en cuenta que la eficiencia de junta es E = 1 cuando la tensión es de compresión según lo establecido en el apartado 3.3.3, por lo tanto: E 1

donde:

;

V* d S E

V*

S 1 d SC

(35)

S1 tensión longitudinal de compresión por f lexión. SC tensión admisible de compresión del material del recipiente que se obtiene con el procedimiento dado en la Subsección 3.1 de este capítulo.

5.1.2 Tensiones longitudinales en el plano medio del recipiente En el plano medio del recipiente, las máximas tensiones S1 debidas al peso, propio y del contenido, se calculan con la siguiente expresión: § 1 2( R m2 H 2 ) / L2 4A · ¨¨ ¸ 2 L ¸¹ 4 S R m t © 1 4 H / (3 L) carga sobre cada soporte. distancia entre el centro del soporte y la unión cuerpo/soporte. longitud del cuerpo. radio medio. altura del cabezal. espesor del cuerpo. S1

donde:

Q A L Rm H

t

r

QL

(36)

Para obtener la tensión de comparación * y contrastarla con la tensión admisible se procede del mismo modo que en el análisis de las tensiones en los planos de los soportes.

5.2 Tensiones de corte La distribución y magnitud de las tensiones de corte (originadas por el peso propio y el contenido) dependen de cómo esté reforzado el recipiente, con anillos rigidizadores y/o placas en los apoyos tipo montura ( ver Figuras 14, 16 y 17). Se distinguen dos casos según sea el valor de A comparado con Rm dando origen a las ecuaciones (37) y (38). Hay que tener presente que cuando A es pequeño ( ver Figura 14 ) el extremo cilíndrico del cabezal puede estar ubicado sobre el apoyo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

410


Figura 17: Placa de apoyo sobre un soporte tipo montura para un recipiente horizontal

Cuando A > Rm /2, la máxima tensión de corte S2 en el cuerpo cilíndrico, se calcula como: A!

donde:

Rm 2

o

S2

KQ § L2A · ¨ ¸ Rm t © L 4 H /3 ¹

Q

carga sobre cada soporte.

A

distancia entre el centro del soporte y la unión cuerpo-soporte.

L

longitud del cuerpo.

(37)

Rm radio medio. H

altura del cabezal.

t

espesor del cuerpo.

K

factor adimensional cuyo valor depende de lo que ocurre en los planos de los soportes. Se pueden dar dos situaciones distintas a saber: 1) Cuando se usan anillos rigidizadores en los planos de los soportes K = 1/. 2) Cuando los anillos están en otra ubicación o no hay anillos de refuerzo, K toma el valor K2, que varía con el ángulo de contacto . (ver tabla y fórmula analítica en el Anexo 17) .

Cuando A < Rm /2, la máxima tensión de corte S2 en el cuerpo cilíndrico o en la parte cilíndrica del cabezal ( según corresponda ) se calcula con la siguiente expresión: A

donde:

Rm 2

o

S2

K3 Q Rm t

(38)

Q carga sobre cada soporte. Rm radio externo. t

espesor del cuerpo o cabezal, según corresponda.

K3 factor adimensional que varía con el ángulo de contacto ( ver Anexo 17 ). Importante: Si la zona del soporte tipo montura posee placa de apoyo (refuerzo) como se indica en la Figura 17 , el espesor t se debe incrementar con el espesor tp de dicha placa de apoyo. Para recipientes no reforzados con anillos, las máximas tensiones de corte se presentan en las zonas de las puntas del soporte (cuernos); en cambio si poseen anillos rigidizadores las máximas tensiones de corte se dan en el ecuador del recipiente ( a mitad de la altura). Para todos los casos, la tensión de corte no debe ser mayor al 80 % de la tensión admisible del material (cuerpo cilíndrico o cabezal):

S 2 0,8 S

(39)

donde: S2 tensión de corte en el cuerpo cilíndrico o en el cabezal. S tensión admisible del material del cuerpo cilíndrico o del cabezal, según corresponda. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

411


5.3 Tensiones circunferenciales En la zona de los apoyos, la transmisión de las cargas origina tensiones circunferenciales en el cuerpo cilíndrico, tanto en la zona en contacto con la punta del apoyo tipo montura (cuerno) como con el fondo del apoyo ( ver Figura 17 ). 5.3.1 Tensiones circunferenciales en la zona del cuerno del soporte cuando no hay anillo Si el recipiente no tiene anillos rigidizadores, la tensión circunferencial S3 en el cuerpo cilíndrico en la zona del cuerno del soporte se puede evaluar con la siguiente expresión:

S3

Q ° 4 t b 1,56 Rm t °° ® Q ° ° 4 t b 1,56 Rm t °¯

donde:

3K6 Q 2t2 12 K 6 Q Rm L t2

cuando : L t 8 Rm

(a)

(40) cuando :

L 8 Rm

(b)

Q carga sobre cada soporte. L longitud del cuerpo. R m radio medio. t espesor del cuerpo. b ancho del soporte. K6 factor adimensional que depende del ángulo de contacto y del cociente entre el largo de la parte en voladizo del tanque A y el radio Rm (ver Figura 14 ). Se obtiene del gráfico o de la fórmula analítica del Anexo 18.

Notar que se ha considerado la contribución del cuerpo cilíndrico como viga curva utilizando la ecuación (28) de la página 171 del Capítulo 9 referido a vigas curvas que tiene en cuenta el factor de corrección de Bleich. La tensión S3 calculada en (40) no debe ser mayor que una vez y media la tensión admisible del material del cuerpo: (41) S 3 1,5 S donde S es la tensión admisible del material del cuerpo cilíndrico a la temperatura de trabajo. 5.3.2 Tensiones circunferenciales en la zona del fondo del soporte ( con o sin anillo ) Si el recipiente tiene, o no tiene, anillos rigidizadores, la tensión S3 correspondiente al fondo de los apoyos se calcula con la siguiente fórmula: K5 Q (42) S3 t b 1,56 Rm t

donde:

Q Rm t b K5

carga sobre cada soporte. radio medio. espesor del cuerpo. ancho del soporte. factor adimensional que varía con el ángulo de contacto (ver tabla y fórmula analítica en el Anexo 17).

La tensión calculada en (42) no debe ser mayor que la mitad de la tensión de fluencia del material del cuerpo: (43) S3 0,5 S y donde Sy es la tensión de f luencia del material del cuerpo cilíndrico. IMPORTANTE: Para el cálculo de tensiones circunferenciales, si los soportes tipo montura poseen placas de apoyo como refuerzo ( ver Figuras 14 y 17 ), el espesor t se debe incrementar con el espesor tp de dicha placa de apoyo y el valor de t 2 se debe incrementar en tp2. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

412


5.4 Anillos de refuerzo en recipientes de presión horizontales Cuando las tensiones en los recipientes horizontales calculadas con las ecuaciones de las subsecciones anteriores, exceden las tensiones admisibles del cuerpo cilíndrico y/o de los cabezales es necesario instalar anillos de refuerzo. Según la ubicación de los anillos respecto al cuerpo cilíndrico ( internos o externos ) y su forma geométrica se deben calcular las tensiones que soportan. Desde el punto de vista estructural es preferible que los anillos de refuerzo sean internos del recipiente; pero esta ubicación en general no es adecuada desde el punto de vista del proceso o de ataques corrosivos. El cálculo de las tensiones de los anillos se puede consultar en la bibliografía indicada al final de esta página.

6

COMENTARIOS FINALES

El presente material es una sintética compilación del material existente sobre el diseño y cálculo de recipientes de presión, con la que se pretende introducir al alumno de ingeniería mecánica en una especialidad importante de la industria. Es importante reiterar, que la práctica habitual para esta actividad se centra en el uso de las normas y códigos específicos, que guían los distintos pasos en el diseño y verificación de los recipientes de presión. A continuación se presenta la bibliografía recomendada donde el lector interesado puede ahondar sobre esta temática. Alejandro Giudici y Julio Massa Abril de 2015

BIBLIOGRAFÍA [1] Eugene F. Megyesy, Pressure Vessel Handbook, PV Publishing Inc.; 14va Ed., 2008. [2] Henry H. Bednar, Pressure Vessel Design Handbook, Krieger Publishing Company; 2da Ed., 1991. [3] Donald M. Fryer, John F. Harvey, High Pressure Vessels, Springer Science + Business Media Dordrecht, 1998. [4] Dennis R. Moss, Michael M. Basic, Pressure Vessel Design Manual, Elsevier Inc., 4ta Ed., 2013. [5] Maurice Stewart, Lewis T. Oran, Pressure Vessels Field Manual, Elsevier Inc., 2013. [6] ASME Boiler and Pressure Vessel Code (BPVC), Section VIII - Pressure Vessels, The American Society of Mechanical Engineers, 2013. [7] ASME Boiler and Pressure Vessel Code ( BPVC), Section II - Materials, The American Society of Mechanical Engineers, 2013. [8] CIRSOC 102, Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre las Construcciones, INTI; 2005. [9] CIRSOC 103, Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes, INTI; 2013.


413


Anexo 1 NO

Tabla UCS –23: Aceros al carbono y de baja aleación NO

Tipo/grado

NO

Tipo/grado

Tipo/grado

SA-36

....

A-302

A, B, C, D

SA-515

60, 65, 70

SA-53

E/A, E/B, S/A, S/B

A-307

B

SA-516

55, 60, 65, 70

SA-105

....

A-320

L7, L7A, L7M, L43

SA-524

I, II

SA-106

A, B, C

A-325

1

SA-533

SA-135

A, B

A-333

1, 3, 4, 6, 7, 9

A C¾. 1 y 2, B C¾. 1 y 2, C C¾. 1 y 2, D C¾. 2

SA-178

A, C

A-334

1, 3, 6, 7, 9

SA-537

C¾. 1, 2 y 3

SA-179

....

A-335

SA-540

SA-181

....

P1, P2, P5, P5b, P5c, P9, P11, P12, P15, P21, P22, P91

B21, B22, B23, B24, B24V

SA-182

FR, F1, F2, F3V, F3VCb, F5, F5a, F9, F11 C¾.1 y 2, F21, F12 C¾. 1 y 2, F22V, F22 C¾. 1 y 3, F91

SA-541

A-336

F1, F3V, F3VCb, F5, ÀÀ¤À¾¢_ F12, À¾¢_ À¾¢_ F22V, F91

¾¢¾¢ _¾¢ _¾¢ 3V, 3VCb, ¾¢_ 22V

SA-542

¾¢, ¾¢ D C¾. 4a, \¾¢

SA-192

….

A-350

SA-556

A2, B2, C2

SA-193

B5, B7, B7M, B16

LF1, LF2, LF3, LF5, LF9

SA-557

A2, B2, C2

LCB, LC1, LC2, LC3

SA-562

….

SA-574

4037, 4042, 4140, 4340, 5137M, 51B37M

SA-587

….

SA-612

….

SA-662

A, B, C

SA-675

45, 50, 55, 60, 65, 70

SA-695

B/35, B/40

SA-727

….

SA-202

A, B

A-352

SA-203

A, B, D, E, F

A-354

BC, BD

SA-204

A, B, C

A-369

SA-209

T1, T1a, T1b

FP1, FP2, FP5, FP9, FP11, FP12, FP21, FP22

SA-210

A-1, C

SA-213

T2, T5, T5b, T5c, T9, T11, T12, T17, T21, T22, T91

SA-214

….

SA-216

WCA, WCB, WCC

SA-217

C12, C5, WC1, WC4, WC5, WC6, WC9

SA-225

C

SA-234

WPB, WPC, WPR, WP1, WP5, WP9, Ä¾¢ Ä¾¢ WP22 ¾¢

SA-250

T1, T1a, T1b

SA-266

1, 2, 3, 4

SA-283

A, B, C, D

SA-285

A, B, C

SA-299

….

A-372

A, B, D, E C¾. 65 y 70, F C¾¢`Â¾¢` H C¾.70, J C¾. 65, 70 y 110, L, M C¾. A y B

A-387

2, 5, 11, 12, 21, 22, 91

A-414

A, B, C, D, E, F, G

SA-737

B, C

A-420

WPL 3, WPL 6, WPL 9

SA-738

A, B, C

A-423

1, 2

SA-739

B11, B22

A-437

B4B, B4C

SA-765

I, II, III, IV

A-449

….

SA-832

21V, 22V, 23V

A-455

….

SA-836

….

A-487

¾ ¾¢ ¾¢, ¾¢

SA-1008

CS-A, CS-B

1, 1A, ¾¢ ¾¢, _¾¢ _¾¢_\ Ã¾¢_¾¢_

SA/CSA-G40.21

38W

SA/EN 10028-2

P295GH

SA/EN 10028-3

P275NH

A-508

SA/AS 1548 7-430, 7-460, 7-490

NOTA: Los valores de las tensiones máximas admisibles en tracción de los materiales listados en la Tabla UCS-23 se encuentran en la Subparte 1 de la Sección II, Parte D ( ver UG-23 ). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

414


140

140 155 165

165

165 165 170 180

180

180

180 180 180

180

205

205 205 205

205

205

205 205 205

205

275

275 310 310

310

310 310 310 325

325

325

325 325 325

325

330

330 330 330

330

330

330 330 330

330

1

2 3 4

5

6 7 8 9

10


11

12 13 14

415

15

16

17 18 19

20

21

22 23 24

25

NP

538 NP 538

NP

482

482 NP 399

482

NP

538 NP NP

NP

538

482 NP NP 538

NP

NP NP NP

NP

1¤¾¢_

371 NP NP

371 (SPT)

¤¾¢_

¤¾¢_ NP NP

NP

NP

NP NP NP

NP

NP

371 371 NP NP

¤¾¢_

NP 34_¾¢_ ¤¾¢_

NP

NP

538 482 NP

482

NP

NP 482 NP

NP

538

538 538 538

482

538

482 NP 482 NP

343

343 482 NP

343

NP

343 343 NP

343

NP

NP 343 NP

NP

343

343 343 343

343

343

343 NP 343 NP

343

NP 343 NP

NP

CS-2

CS-2 CS-2 CS-2

CS-2

CS-2

CS-2 CS-2 CS-2

CS-2

CS-1

CS-1 CS-1 CS-1

CS-1

CS-1

CS-1 CS-1 CS-1 CS-1

CS-1

CS-6 CS-6 CS-1

CS-6

Ren Tensión Tensión Aplicabilidad y límites temp. máx. No Gráfico ( NP = No Permitido ) glón rotura fluencia para presión ( SPT = sólo en apoyos) mínima mínima externa MPa MPa No I III VIII-1 XII

…

G10, S1, T1 G24, T2, W6 G10, S1, T1

G10, T2

G10, S1, T2

G10, S1, T2, W12, W13 G24, T2, W6 G2, G10, S10, T2, W15

G3, G10, S1, T2

G24, T2, W6

G10, S1, T2 G24, T2, W6 G10, T2

G10, T2

G3, G10, G24, S1, T2, W

G10, T2 S6, W10, W12 G10, T2 G4, G10, S1, T2, W13

…

… G10, G22, T10 W12

…

Notas

SA-53 SA-53 SA-53

SA-53

SA-557

Caño soldado

SA-587

Caño sin costura SA-106 Caño soldado SA-135 Caño forjado SA-369

Caño sin costura SA-53

Caño sin costura SA-53

Caño soldado Caño soldado Caño soldado

Caño soldado

Caño soldado

Tubo sin costura SA-192 Tubo soldado SA-214 Tubo sin costura SA-556

…

A A FPA

S/A

S/A

E/A E/A E/A

E/A

A2

… … A2

…

Tubo sin costura SA-179

A A45 A A

A

CS-B 45 A203A

CS-A

K11500

K02501 … K02501

K02504

K02504

K02504 K02504 …

K02504

K01807

K01201 K01807 K01807

K01200

K01200

K01700 K01700 K01501 K01200

…

… … …

…

Tipo/ Designación grado aleacióno UNS N

A

SA-285 SA-672 SA-414 SA-178

SA-283

SA-1008 SA-675 SA-134

SA-1008

Especificación No

SA-178

Tubo soldado

Placa Caño soldado Chapa Tubo soldado

Placa

Chapa Barra Caño soldado

Chapa

Forma del producto

Anexo 2 Tabla de Materiales: Subparte 1, Sección II, Parte D

TABLA 1 A : Sección I; Sección III, Clases 2 y 3; Sección VIII, División 1; y Sección XII Características de los materiales ferrosos ( Ver límites máximos de temperatura restringidos por Clase )



416

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

92,4

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

92,4

78,6

3

4

5

6

7

8

9

10

92,4

78,6

92,4

78,6

80,7

94,5

80,7

56,5

94,5

94,5

94,5

80,7

94,5

92,4

78,6

92,4

78,6

80,7

94,5

80,7

56,5

94,5

94,5

94,5

80,7

94,5

94,5

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

94,5

92,4

92,4

11

78,6

78,6

78,6

2

78,6

65

78,6

-30 a 40

1

N

94,5

94,5

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

78,6

92,4

78,6

92,4

92,4

78,6

92,4

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

78,6

78,6

100

94,5

94,5

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

78,6

92,4

78,6

92,4

92,4

78,6

92,4

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

78,6

78,6

125

94,5

94,5

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

78,6

92,4

78,6

92,4

92,4

78,6

92,4

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

88,9

78,6

78,6

150

…

94,5

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

78,6

92,4

78,6

92,4

92,4

78,6

92,4

88,9

88,9

88,9

88,9

…

88,4

78,6

78,6

200

…

94,5

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

78,6

92,4

78,6

92,4

92,4

78,6

92,4

88,9

88,9

88,9

88,9

…

85,0

76,0

76,0

250

…

94,5

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

78,1

91,9

78,1

91,9

91,9

78,1

91,9

88,5

86,3

86,3

86,3

…

80,7

71,6

71,6

300

…

93,5

94,5 …

79,8

93,6

93,6

93,5

56,0

79,8

93,5

79,8

74,7

87,8

74,7

87,8

87,8

74,7

87,8

84,8

81,4

81,4

81,4

…

75,8

67,8

67,8

350

80,7

94,5

94,5

94,5

56,5

80,7

94,5

80,7

77,1

90,7

77,1

90,7

90,7

77,1

90,7

87,5

83,8

83,8

83,8

…

78,4

69,6

69,6

325

…

84,5

71,6

84,4

84,4

84,5

50,7

71,6

84,5

71,6

71,4

84,3

71,4

84,3

84,3

71,4

84,3

81,2

78,8

78,8

…

…

73,3

62,4

73,3

73,3

73,3

43,8

62,4

73,3

62,3

62,3

73,3

62,3

73,3

73,3

62,3

73,3

73,4

…

73,4

…

…

71,5

73,5 …

…

…

400

…

…

375

…

62,8

54,9

64,7

64,7

62,8

…

54,9

62,8

53,7

54,2

63,9

54,2

63,9

63,9

54,2

…

51,2

47,5

56,0

56,0

51,2

…

47,5

51,2

43,9

47,6

56,2

47,6

56,2

56,2

47,6

56,2

56,1

64,0 63,9

…

56,1

…

…

56,1

…

…

450

…

64,0

…

…

64,0

…

…

425

…

38,3

40,1

47,6

47,6

38,3

…

40,1

38,3

32,9

37,7

44,5

37,7

44,5

44,5

37,7

44,5

44,5

…

44,5

…

…

44,5

…

…

475

Tensiones admisibles máximas en MPa cuando la temperatura no en oC no excede :

…

25,3

32,6

36,2

36,2

25,3

…

32,6

25,3

21,7

27,1

31,9

27,2

31,9

31,9

27,1

31,9

31,7

…

31,7

…

…

31,7

…

…

500

…

14,9

…

23,5

…

…

…

…

…

…

18,5

21,8

18,5

21,8

…

…

5,88

…

11,2

…

…

…

…

…

…

10,6

12,7

10,6

12,7

…

10,6

12,7

21,8 18,5

…

…

…

…

…

…

…

…

550

…

…

…

…

…

…

…

…

525

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

575

…

…

o

Anexo 2 ( continuación) Tabla de Materiales: Subparte 1, Sección II, Parte D TABLA 1 A (continuación) : Sección I; Sección III, Clases 2 y 3; Sección VIII, División 1; y Sección XII Tensiones máximas admisibles, S, para materiales ferrosos en función de la temperatura



417

SA-106

SA-193

Caño soldado

Caño sin costura

Perno (2)

Tuerca

Perno

Placa, lámina

Barra

16

17

18

19

20

21

(1) Accesorios soldados o sin costura.

SA-36

SA-36

SA-307

SA-194

SA-53

SA-350

SA-350

SA-181

SA-105

15

SA-234

Forjado

(1)

SA-516

14

Placa

9

SA-516

Forjado

Placa

8

SA-516

13

Placa

7

SA-516

Forjado

Placa

6

SA-515

12

Placa

5

SA-515

Forjado

Placa

4

SA-515

11

Placa

3

SA-285

Accesorios

Placa

2

SA-283

… 1 1

B

…

… 400

400

415

1206

690

415

415

485

415

415

485

415

485

450

415

380

485

450

415

380

380

250

250

…

…

515

240

240

250

205

205

250

240

260

240

220

205

260

240

220

205

205

114

114

48,3

…

130

118

118

138

118

118

138

118

138

128

118

108

138

128

118

108

108 …

…

… …

…

95

63,2 31,7 12,7

95

63,2 31,7 12,7

67

33,6 12,9

67

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

114 114 114 114 114 114 114 88,9 62,6 28,2

114 114 114 114 114 114 114

48,3 48,3 48,3 48,3 48,3

…

…

…

…

…

130 130 130 130 130 130 130 130 115 68,4 18,9

118 118 118 118 118 118 117 88,9 62,7 31,6 12,7

…

33,6 12,9

118 118 118 118 118 118 117 88,9 62,7 31,6

138 138 138 138 136 129 122 101

118 118 118 118 114 107 101 89,1 62,6 31,6 12,7

118 118 118 118 114 107 101 89,1 62,6 31,6 12,7

138 138 138 138 136 129 122 101

118 118 118 118 118 118 117 88,9 62,7 31,6 12,7

138 138 138 138 138 136 128 101 67,1 33,6 12,9

128 128 128 128 128 125 118

118 118 118 118 118 115 108 88,9 62,7 31,6 12,7

108 108 108 108 108 107 101 89,1 62,6 31,6 12,7

138 138 138 138 138 136 128 101 67,1 33,6 12,9

128 128 128 128 128 125 118

118 118 118 118 118 115 108 88,9 62,7 31,6 12,7

108 108 108 108 108 107 101 89,1 62,6 31,6

108 108 108 108 108 107 101

(2) En todos los renglones el material es acero al carbono excepto el renglón 17 que es una aleación 1Cr – Å5Mo

…

H2

1

B …

1

E/B

B7

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

LF2

LF1

60

…

WPB

70

65

60

55

70

65

60

C

C

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Tensión Tensión Denomi- Tipo Grupo de rotura de fluencia Máxima tensión admisible ( MPa ) , en función de la temperatura en °C Grado nación Clase No $ &$ 65 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 MPa MPa

10

Placa

Forma del ( 2 ) producto

1

Ren glón No

Anexo 3 Tabla resumen de los materiales más usados en Argentina


Anexo 4

Gráficos CS-1 y CS-2 - Subparte 3 del Código ASME Sección II, Parte D

Fig. CS-1: Gráfico para determinar el espesor de componentes sometidos a presión exterior, desarrollado para aceros de bajo contenido de carbono y/o baja aleación con tensión de fluencia menor a 207 MPa

Tensión B [MPa]

NOTA : Ver valores tabulados en la Tabla CS -1

Relación A Fig. CS-2 Gráfico para determinar el espesor de componentes sometidos a presión exterior, desarrollado para aceros de bajo contenido de carbono y/o baja aleación con tensión de f luencia mayor o igual a 207 MPa

Tensión B [MPa]

NOTA : Ver valores tabulados en la Tabla CS-2

Relación A Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

418


Anexo 4 ( continuación )

Gráficos HA-1 y HA-2 - Subparte 3 del Código ASME Sección II, Parte D

Fig. HA –1: Gráfico para determinar el espesor de un componente de acero austenítico 18Cr-8Ni, tipo 304, sometidos a presión exterior

Tensión B [MPa]

NOTA : Ver valores tabulados en la Tabla HA-1

Relación A

Tensión B [MPa]

Fig. HA –2 Gráfico para determinar el espesor de un componente de acero austenítico 16Cr-12Ni-2Mo, tipo 316, sometidos a presión exterior NOTA : Ver valores tabulados en la Tabla HA-2

Relación A Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

419


Anexo 5

Figura G - Subparte 3 del Código ASME Sección II, Parte D

Fig. G: Relaciones geométricas para componentes sometidos a presión exterior o cargas de compresión ( válidas para todos los materiales )


420


Anexo 6

Tabla UW-12 – Máximo valor admisible de la eficiencia de junta E para uniones soldadas1 a arco y a gas

Importante: Para entender mejor la descripción de los 8 tipos de junta ver los esquemas en la Figura 10 de este capítulo.

Tipo No

Descripción

Radiografiado (a) (b) 3 (c) Categoría Total2 Parcial Nada

Limitaciones

1 Juntas a tope de doble arco de Ninguna

soldadura, (con depósito de material en las superficies interna y externa) u otros medios que provean igual calidad en el interior y en el exterior de la superficie soldada para cumplir con los requerimientos UW-35. Las juntas que usan topes metálicos que quedan adheridos están excluidas. 2 Juntas a tope de simple arco (a) Ninguna excepto las mencionadas en (b) de soldadura, con respaldo, a continuación. diferentes de las incluidas en 1. (b) Uniones a tope circunferenciales con una placa desplazada respecto de la otra; ver UW-13(b)(4) y Figura 10, tipo 2 parte inferior. 3 Juntas a tope de simple arco Uniones circunferenciales a tope de espesor ¸ mm ) y de diámetro de soldadura, sin respaldo. exterior no mayor a 24” ( 610 mm ). 4 Juntas a filete completas de (a) Soldaduras longitudinales de espesor no superior a `mm ). doble solape. (b) Soldaduras circunferenciales de espesor "$@¸ mm). 5 Juntas a filete completas de (a) Soldaduras circunferenciales4 para cabesimple solape con soldaduras zales de no más de 24” ( 610 mm) de diámetro tipo enchufada (plug weld) de exterior y no más de ½” (13 mm) de espesor. acuerdo a UW-17. (b) Uniones circunferenciales para fijar cabezales encamisados de espesor nominal no ¸ mm) donde la distancia desde el centro de la soldadura tipo enchufada al extremo de la placa no es menor a 1,5 veces el diámetro del agujero para el encamisado ( ver Figura 10, Tipo 5). 6 Juntas a filete completas de (a) Para fijar cabezales con presión del lado simple solape no enchufadas convexo a cuerpos cilíndricos que no requieren "@"""$@"¸ mm), (sin plug welds). utilizando junta a filete sólo en el interior del cuerpo cilíndrico. (b) Para fijar cabezales con presión exterior o interior a cuerpos cilíndricos de diámetro interior no mayor a 24” ( 610 mm) y que no requieren espesores superiores a ¼” (6 mm), utilizando únicamente soldadura a filete en la parte exterior de la brida. 7 Juntas de esquina, penetración Limitaciones dadas en la Figura UW-13.2 y total, penetración parcial, y/o en la Figura UW-16.1. soldadura a filete. 8 Juntas en ángulo. Cumplir U-2(g) para uniones Categoría B y C.

A, B, C yD

1,0

0,85

0,70

A, B, C yD

0,9

0,80

0,65

A,B y C 0,9

0,80

0,65

A,B y C NA

NA

0,60

A

NA

NA

0,55

B y C5

NA

NA

0,55

B

NA

NA

0,50

C

NA

NA

0,50

AyB

NA

NA

0,45

AyB

NA

NA

0,45

C6 y D6 NA

NA

NA

B,C y D NA

NA

NA

NOTAS : (1) E = 1 para uniones soldadas a tope en compresión. (2) Ver UW-12(a) y UW-51. (3) Ver UW-12( b) y UW-52. (4) Quedan excluidas las uniones que fijan cabezales hemisféricos al cuerpo del cilindro. (5) Para uniones Tipo 4 Categoría C, la limitación no es aplicable a conexiones a bridas abulonadas. (6) En las fórmulas de diseño de la División 1 no se considera eficiencia de junta E para las juntas de esquina de las Categorías C y D. Cuando sea necesario se puede usar un valor de E no mayor que 1.


421


Anexo 7

Tabla UCS-57 – Espesores mínimos a partir de los cuales es obligatorio el radiografiado total en las soldaduras a tope Denominación del material 1 Gr. 1, 2, 3 3 Gr. 1, 2, 3 4 Gr. 1, 2 5 A, 5 B Gr. 1 9 A Gr. 1 9 B Gr. 1 10 A Gr. 1 10 B Gr. 2 10 C Gr. 1 10 F Gr. 6

Anexo 8

Espesores nominales a partir de los cuales las soldaduras a tope requieren radiografiado total pulgadas mm 1¼ 32 ¾ 19 ¸ 16 0 0 ¸ 16 ¸ 16 ¾ 19 ¸ 16 ¸ 16 ¾ 19

Determinación de la eficiencia de junta E y del tipo de unión soldada para cabezales

El siguiente f lujorama fija pautas para determinar la eficiencia de junta E y el tipo de unión soldada de cabezales. Esas pautas son un extracto del Apéndice L del Código ASME Sección VIII - División 1. Se deja para el lector interesado profundizar al respecto.

Seleccionar Tipo de cabezal UG-32, UG-34

¿Radiografiado total obligatorio ? UW--11(a)

Si

Uniones a tope Categoría A Tabla UW--12 Columna (a) E = 1,00 juntas Tipo 1 E = 0,90 juntas Tipo 2

No ¿ Cabezal sin costura ?

Si

¿ Cumple UW--11 (a) (5) (b) ? Si cumple: E = 1,00 No cumple E = 0,85 (1)

No ¿ Seleccionó radiografiado parcial ? UW--11(b)

Si

Uniones a tope Categoría A E = 0,85 juntas Tipo 1 E = 0,80 juntas Tipo 2

No ¿ Seleccionó no radiografiar ? UW--11(c)

Si

Uniones a tope Categoría A E = 0,70 juntas Tipo 1 E = 0,65 juntas Tipo 2 E = 0,60 juntas Tipo 3

Uniones a filete completas de doble solape Categoría A E = 0,55

NOTA: ( 1) Ver UW-12(d) cuando la junta del cabezal al cuerpo cilíndrico es Tipo 3, 4, 5 ó 6. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

422


Anexo 9

Determinación de la eficiencia de junta E y del tipo de unión soldada para cuerpos cilíndricos y conos

El siguiente f lujorama fija pautas para determinar la eficiencia de junta E y el tipo de unión soldada de cuerpos cilíndricos y cónicos de recipientes de presión. Esas pautas son un extracto del Apéndice L del Código ASME Sección VIII - División 1, para Recipientes de Presión. El análisis de este flujorama, implica el conocimiento en detalle de distintas partes del código; se deja para al lector interesado profundizar al respecto.

Cuerpos cilíndricos y cónicos

Si

¿Radiografiado total obligatorio ? UW--11(a)

Uniones a tope Categorías A, B, C y D UW--11(a) (1), (2), (3) E = 1,0 Tipo 1 E = 0,9 Tipo 2

No

Si

Seleccionar tipo de radiografiado soldaduras a tope Categorías B y C

No

¿ Cuerpo sin costura ?

Radiografiado total Categoría A y D soldaduras a tope U W -- 11(a) (5)

Radiografiado parcial Tabla U W -- 12 columna (b)

Radiografiado total

Radiografiado parcial UW--11(a) (5) (b)

Sin radiografiado

Categoría A E = 1,0 Tipo 1 E = 0,9 Tipo 2



Categorías B y C E = 1,0 Tipo 1 E = 0,9 Tipo 2



No radiografiar Tabla U W -- 12 columna (c)

NOTAS GENERALES : (a) El espesor requerido por la tensión longitudinal en secciones cónicas es: t = PD / [4 "§ (SE+0,4 P ) ] . (b) Ver UW--11(a) ( 4 ) para uniones a tope de Categorías B y C en derivaciones y cámaras comunicadas con diámetro nominal del caño ( NPS ) 0 ” y espesores menores o iguales a ¡ 30 mm). (c) Las uniones Tipo 2 no están permitidas en juntas de Categoría A diseñadas de acuerdo a UW -- 2(c). (d) Las uniones Tipo 2 están permitidas en juntas de Categoría A diseñadas de acuerdo a UW --2(b) cuando el material es un acero austenítico inoxidable Tipo 304. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

423


Anexo 10 Determinación de la eficiencia de junta y del tipo de unión para cuerpos cilíndricos, conos y cabezales de Categorías A y D El siguiente f lujorama fija pautas para determinar la eficiencia de junta E requerida por las categorías de soldadura A y D de cuerpos cilíndricos, cabezales y conos de recipientes de presión. Esas pautas son un extracto del Apéndice L del Código ASME Sección VIII - División 1, para Recipientes de Presión. El análisis de estos flujoramas, implica el conocimiento en detalle de distintas partes del código; se deja para al lector interesado profundizar al respecto.

Soldaduras a tope de Categorías A y D para cuerpos cilíndricos, cabezales y conos

Si

¿ Contiene una sustancia letal ? UW--11(a)(1)

No Si

¿ Contiene vapor ? UW--11(a)(3) No

Si

¿ Radiografiado requerido por UW--11(a)(2) ?

Notas generales: Usar el valor de E provisto por UW-12 en las fórmulas para tensión circunferencial en juntas Categoría A, tales como: UG-27 (c) (1) UG-32 (d) UG-32 (e) UG-32 (f ) UG-32 (g)

cuerpos cilíndricos cabezales elipsoidales cabezales torisféricos cabezales hemisféricos cabezales cónicos y cuerpos cónicos UG-34 (c) (2) cabezales planos Notas:

(1) Ver UW-11 (a) (5) (b) (2) No es soldadura a tope. Tipo 4 es solapa doble (ver Fig. 10 pág. 390)

No

Tipo 1 E = 1,0

Total UW--11(a)(5)

Seleccionar tipo de radiografiado (1)

Seleccionar radiografiado Categoría B

Nada UW--11(c)

Parcial UW--11(b)

Seleccionar tipo de junta Cumple la UW--11(a)(5)(b)

No Cumple la UW--11(a)(5)(b)




Seleccionar tipo de junta (2)

Tipo 1

Tipo 1 E = 0,85

424

Tipo 2

Tipo 2 E = 0,8

Tipo 1

Tipo 1 E = 0,7

Tipo 2

Tipo 2 E = 0,65

Tipo 4

Tipo 4 E = 0,55


Anexo 11 Determinación de la eficiencia de junta y del tipo de unión para cuerpos cilíndricos y conos de Categorías B y C El siguiente f lujorama fija pautas para determinar la eficiencia de junta E requerida por las categorías de soldadura B y C de cuerpos cilíndricos y cónicos de recipientes de presión. Esas pautas son un extracto del Apéndice L del Código ASME Sección VIII - División 1, para Recipientes de Presión. El análisis de estos flujoramas, implica el conocimiento en detalle de distintas partes del código; se deja para al lector interesado profundizar al respecto.

Soldaduras a tope de Categorías B y C para cuerpos cilíndricos y cónicos ¿ Contiene una sustancia letal ? UW--11(a)(1)

Si

No ¿ Radiografiado requerido por UW--11(a)(2) ?

Si

No Si

¿ Es derivación o cámara comunicada ? (1)

No

¿ Contiene vapor ? UW--11(a)(3)

Nota General: Usar el valor de E provisto por UW-12 en las fórmulas correspondientes a tensiones longitudinales, tales como: UG-27 (c) (2)

No

Notas: (1) Ver UHT-57 (a) (2) Ver UW-11 (a) (5) (b)

Si

Si ¿ Diám. Nom. mayor a 10” ?

No Si

¿ t > ¡” ?

Total UW--11(a)(5)

No

Seleccionar radiografiado (2)

Nada UW--11(c)

Parcial UW--11(b)

Seleccionar tipo de junta 1

Tipo 1 E = 1,0

2

Tipo 2 E = 0,9

Radiografiado total

Si


Tipo 1 E = 0,85

2

Tipo 2 E = 0,8


2

Tipo 1 E = 0,7

Radiografiado parcial


No

¿ Soldadura a tope ?

Tipo 2 E = 0,65


4

Tipo 3 E = 0,6

Tipo 4 E = 0,55

5

Tipo 5 E = 0, 5

6

Tipo 6 E = 0,45

Sin radiografiar

425


Anexo 12

Coeficiente de fuerza Cf para calcular la fuerza del viento Todo h

Otras estructuras Coeficientes de fuerza C f

Tabla 10

Sección transversal

Tipo de superficie

Chimeneas, tanques y estructuras similares

h/D 1

7

25

Cuadrada viento normal a la cara

Todas

1,3

1,4

2

viento según la diagonal

Todas

1,0

1,1

1,5

Todas

1,0

1,2

1,4

Moderadamente suave

0,5

0,6

0,7

Rugosa ( D* /D # 0,02 )

0,7

0,8

0,9

Muy rugosa ( D* /D # 0,08 )

0,8

1,0

1,2

Todas

0,7

0,8

1,2

Hexagonal u octogonal

Circular

D qz ! 5, 3 D en m,

qz en N/m2

Circular

D qz ื 5, 3 D en m,

qz en N/m2

Notas: 1. La fuerza de viento de diseño se debe determinar en base al área Af de la estructura proyectada sobre un plano normal a la dirección del viento. Se supone que la fuerza actúa paralelamente a la dirección del viento. 2. Se permite la interpolación lineal para valores de h/D distintos de los indicados. 3. Simbología: D: diámetro de la sección transversal circular y menor dimensión horizontal de la sección transversal cuadrada, hexagonal u octogonal a la altura considerada en m; *

D : profundidad de los elementos salientes tales como costillas y alerones, en m; h : altura de la estructura, en m; y qz : presión dinámica evaluada a la altura z sobre el terreno, en N/m2. Reglamento CIRSOC 102


Tablas - 57

426


Anexo 13

Coeficiente de exposición para la presión dinámica Kz

Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre las Construcciones


427

Tablas - 52


Anexo 14 Factor topográfico Kzt para calcular la presión dinámica del viento

Reglamento CIRSOC 102


Figuras - 29

428


Anexo 15

Velocidades básicas del viento en la República Argentina

Figura 1 A

Velocidad básica del viento

Notas: 1. Los valores se refieren a velocidades de ráfagas de 3 segundos a 10 m sobre el terreno para Categoría de Exposición C y están asociados a una probabilidad anual 0,02. 2. Es aplicable la interpolación lineal entre contornos de velocidades de viento. 3. En islas y áreas costeras fuera del último contorno se debe usar el último contorno de velocidad del viento del área costera. 4. Los terrenos montañosos, quebradas, promontorios marinos y regiones especiales de viento se deben examinar para condiciones inusuales de viento. Reglamento CIRSOC 102


Figuras - 27

429


Anexo 16

Zonificación sísmica de la República Argentina

Reglamento IMPRES-CIRSOC 103, Parte I


430

Cap. 2 - 15


Anexo 17

Valores de los factores Ki para el cálculo de tensiones en recipientes de presión horizontales

K1

K2

K3

K4

K5

K6

K7

K8

K9

120 122 124 126 128

0,335 0,345 0,355 0,366 0,376

1,171 1,139 1,108 1,078 1,050

0,880 0,846 0,813 0,781 0,751

0,401 0,393 0,385 0,377 0,369

0,760 0,753 0,746 0,739 0,732

ver gráfico en la página siguiente

0,603 0,618 0,634 0,651 0,669

0,340 0,338 0,336 0,334 0,332

0,0525 0,0509 0,0494 0,0479 0,0464

130 132 134 136 138

0,387 0,398 0,409 0,420 0,432

1,022 0,996 0,971 0,946 0,923

0,722 0,694 0,667 0,641 0,616

0,362 0,355 0,347 0,340 0,334

0,726 0,720 0,714 0,708 0,702

K6 depende de y de A /Rm

0,689 0,705 0,722 0,740 0,759

0,330 0,328 0,325 0,323 0,320

0,0449 0,0435 0,0421 0,0407 0,0394

140 142 144 146 148

0,443 0,455 0,467 0,480 0,492

0,900 0,879 0,858 0,837 0,819

0,592 0,569 0,547 0,526 0,505

0,327 0,320 0,314 0,308 0,301

0,697 0,692 0,687 0,682 0,678

0,780 0,796 0,813 0,831 0,853

0,318 0,315 0,312 0,309 0,307

0,0380 0,0368 0,0355 0,0343 0,0331

150 152 154 156 158

0,505 0,518 0,531 0,544 0,557

0,799 0,781 0,763 0,746 0,729

0,485 0,466 0,448 0,430 0,413

0,295 0,289 0,283 0,278 0,272

0,673 0,669 0,665 0,661 0,657

0,876 0,894 0,913 0,933 0,954

0,304 0,301 0,297 0,294 0,291

0,0319 0,0307 0,0296 0,0285 0,0275

160 162 164 166 168

0,571 0,585 0,599 0,613 0,627

0,713 0,698 0,683 0,668 0,654

0,396 0,380 0,365 0,350 0,336

0,266 0,261 0,256 0,250 0,245

0,654 0,650 0,647 0,643 0,640

0,976 0,994 1,013 1,033 1,054

0,288 0,284 0,281 0,277 0,274

0,0265 0,0255 0,0245 0,0235 0,0226

170 172 174 176 178 180

0,642 0,657 0,672 0,687 0,702 0,718

0,640 0,627 0,614 0,601 0,589 0,577

0,322 0,309 0,296 0,283 0,271 0,260

0,240 0,235 0,230 0,225 0,220 0,216

0,637 0,635 0,632 0,629 0,627 0,624

1,079 1,097 1,116 1,137 1,158 1,183

0,270 0,266 0,262 0,258 0,254 0,250

0,0217 0,0209 0,0201 0,0193 0,0185 0,0177

Exceptuando a K 6, los factores K i para el cálculo de tensiones en recipientes horizontales varían de manera suave y pueden aproximarse por polinomios de segundo grado. Previamente se transforma T medido en grados en T haciendo:

T K1

0,3588 T 20,1 T

K2

4,121 34,6 T 83 T

K3

4,113 38, 26 T 93,8 T

K4

1,083 7, 44 T 14,6 T

T 1000

2


2

2

2

431

K5

1, 48 8,53 T 21 T

K7

1,91 T 26 T

K8

0,323 1, 244 T 9,14 T

K9

0, 2 1,66 T 3,6 T

2

2

2

2


Anexo 18

Valores del factor K6 para el cálculo de tensiones circunferenciales en la zona de los apoyos en recipientes horizontales

El factor K6 depende del ángulo de la zona de contacto sobre los apoyos y del cociente entre el largo en voladizo A y el radio del recipiente Rm . Según se observa en el gráfico de la Figura 18 el factor K6 sólo varía en la zona 0,4 < A/Rm < 1,1, en la zona 0,5 < A/Rm < 1,0 la variación es prácticamente lineal. El valor que toma el factor K6 cuando A/R m < 0,4 es constante y está indicado a la izquierda o o o del gráfico para valores de entre 120 y 180 con incrementos de 10 . Lo mismo ocurre cuando A/R m > 1,1 y en ese caso el valor está indicado a derecha del gráfico.

Valor del factor K 6

o

120

0,0528

0,05 o

130 0,04

0,0449 o

140

0,0378 o

150

0,0316

0,03 o

160

0,0261

o

170 0,02

0,0216

o

180

0,0178

0,0129 0,0110 0,0093 0,01 0,0078 0,0065 0,0054 0,0045

0 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

Relación voladizo/radio A/R m Figura 18 : Gráfico para determinar el factor K6 en función de y A/R m

Expresiones analíticas para el factor K6 a 0,0513 0, 44 T T

2

b 0, 2135 1,843 T 4, 2 T c 0, 2697 2,33 T 5,3 T

donde T

2

o

2

K6

a...........sólo depende de T ...................A /R m d 0, 4 ° ° a 5 c ( A/R m 0, 4) 2 ..................0, 4 A /R m 0,5 °° ® a c ( A/R m 0, 45)....................0,5 d A /R m d 1,0 ° 2 ° b 5 c (1,1 A/R m ) ...................1,0 A /R m 1,1 ° °¯ b...........sólo depende de T .................. A /R m t 1,1

T /1000 , siendo el ángulo de contacto en los apoyos medido en grados.


432


PRÁCTICO

Recipientes de Presión

1. Un recipiente de presión horizontal con cuerpo cilíndrico de 61 cm (24”) de diámetro exterior será construido sin costuras, y tendrá como cierres laterales un casquete elíptico 2:1 y un casquete semiesférico, ambos sin costuras ( ver Figura 1). Además, tendrá una derivación en la parte inferior construida con caño sin costura de 32,4 cm ( 12 ¾ ” ) de diámetro exterior, que se cierra con un casquete torisférico. El recipiente alojará una sustancia letal a una presión interna de diseño de 35 kg/cm2 y una temperatura de 230ºC. El sobreespesor por corrosión se establece en 0,3 cm, el material de los cuerpos cilíndricos es SA-106 GºB y el de los casquetes SA-234 GºWPB. Los espesores propuestos son: cuerpo cilíndrico principal 1,75 cm, casquete elíptico 1,59 cm, casquete semiesférico 0,95 cm; cuerpo cilíndrico de la derivación 1,27 cm y su casquete torisférico 1,43 cm. Los tipos de las uniones soldadas están indicadas en la Figura 1. Se pide: verificar si los espesores propuestos cumplen el Código ASME Sección VIII - División 1. Casquete elíptico 2:1 Espesor 1,59 cm

Casquete semiesférico Espesor 0,95 cm Tipo 1

Tipo 2 Cuerpo cilíndrico D0 = 61 cm Espesor 1,75 cm

Tipo 2

Derivación D0 = 32,4 cm Espesor 1,27 cm

Casquete torisférico Espesor 1,43 cm

Figura 1: Recipiente de presión horizontal sometido a presión interna

2. Considerar una variante del problema anterior donde el recipiente de presión será usado para servicio general y las soldaduras solo tendrán examen visual. Se pide: verificar si los espesores propuestos cumplen el Código ASME Sección VIII - División 1.

3. Una torre de proceso está compuesta por varios tramos cilíndricos. El recipiente está soportado por un faldón soldado en la zona de la unión del cabezal inferior al tramo cilíndrico. Las juntas longitudinales ( Categoría A) de los tramos cilíndricos son Tipo 1; mientras que las circunferenciales ( Categoría B) entre tramos cilíndricos son Tipo 2. Para las juntas longitudinales se propone realizar un radiografiado parcial y no radiografiar las circunferenciales. Los datos del recipiente y del proceso son: Diámetro interno: D = 61 cm (24 ” ) Presión interna de diseño: P = 14 kg/cm

Altura: H = 13 m 2

Temperatura de diseño: 90 ºC

Peso del recipiente: Wr = 1450 kg

Peso del contenido: Wc = 4300 kg

Momento en la base por viento: Mv = 766000 kg-cm

Tensión admisible: S = 970 kg/cm2

Determinar la tensión admisible en compresión usando la Figura CS-2 del Anexo 4. Se pide: determinar el espesor necesario del cuerpo cilíndrico en la base de la torre. No considerar sobreespesor por corrosión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

433


4. Un recipiente horizontal cuyo tramo cilíndrico mide 18 m (L), está apoyado en dos soportes tipo montura de 140 º que están ubicados a 75 cm (A) de las uniones soldadas del cuerpo cilíndrico con los cabezales elípticos del recipiente. Las soldaduras longitudinales (Categoría A) de los tramos cilíndricos son Tipo 1; mientras que las soldaduras circunferenciales (Categoría B) entre los tramos cilíndricos entre sí, y entre ellos y los cabezales, son Tipo 2. Se propone un radiografiado parcial para las soldaduras longitudinales y no radiografiar las circunferenciales.

Otros datos del recipiente y del proceso: Diámetro externo: D = 304,8 cm (120”) Altura de los cabezales: H = 67 cm Presión interna de diseño: P = 3,5 kg/cm2 Peso del recipiente: Wr = 13600 kg Peso del contenido: Wc = 141000 kg

Espesor del cuerpo cilíndrico: t = 0,8 cm Ancho de los apoyos: b = 60 cm Temperatura de diseño: 40 ºC Tensión admisible: S = 970 kg/cm2 Tensión de fluencia: Sy = 2090 kg/cm2

Para determinar la tensión admisible en compresión usar la Figura CS-2 del Anexo 4. Se pide: verificar el espesor propuesto del cuerpo cilíndrico sin considerar sobreespesor por corrosión.

5. Una torre de destilación de más 6 m de altura en su tramo cilíndrico, debe soportar una presión externa de una atmosfera ( 1,033 kg/cm 2 ) a una temperatura de 370 ºC. La torre posee bandejas de fraccionamiento que actúan como anillos de refuerzo. Otros datos del recipiente son:

Material: acero SA 285 Grado C

Diámetro interno: D = 426,7 cm ( 168 ” )

Distancia entre bandejas: L = 100 cm

Se pide: determinar el espesor requerido, sin considerar sobreespesor por corrosión.

6. Un recipiente de 152,4 cm ( 60”) de diámetro interno posee una derivación de 32,4 cm (12 ¾”) de diámetro externo, según se muestra en el esquema de la Figura 2. Las tensiones admisibles de los distintos elementos a la temperatura de operación son: Tensión adm. del cuerpo: Sv = 1005 kg/cm2 Tensión adm. de la derivación: Sn = 1167 kg/cm2 Tensión adm. del refuerzo: Sp = 928 kg/cm2 Otros datos del recipiente y del proceso son: Presión interna de diseño: P = 17,6 kg/cm2 Espesor del cuerpo principal: t = 1,9 cm

Temperatura de diseño: 370 ºC Espesor de la derivación: tn = 1,27 cm

Diámetro exterior del refuerzo: Dp = 47,6 cm (si fuera necesario) Espesor del refuerzo: te = 0,95 cm ( si fuera necesario) Se pide: verificar si es necesario instalar un refuerzo para la apertura. No considerar sobreespesor por corrosión. La apertura no está ubicada en una junta Categoría A. Cateto soldadura c42 = 0,79 cm Espesor del cuerpo principal: t = 1,9 cm

Derivación D0 = 32,4 cm Espesor tn = 1,27 cm

Cateto soldadura c41 = 0,95 cm

Espesor del refuerzo te = 0,95 cm

Figura 2: Derivación en un recipiente sometido a presión interna


434



Recipientes de Presión

1 Como el recipiente alojará una sustancia letal, se deben radiografiar todas las uniones soldadas (100%). Los espesores requeridos por las distintas partes del recipiente se calculan a continuación.

1.a

Cuerpo cilíndrico

t c

1,75 0,3 ...................... tcorr

1, 45 cm

Espesor mínimo considerando corrosión y tolerancia de fabricación ( ± 12,5 %): tmin t T fabr c 1,75 x 0,875 0,3 ..................................... tmin

1, 23 cm

Espesor nominal considerando corrosión: ... tcorr

Radio interno:

R

D0 2 tcorr

61/2 1, 45

29 cm ....................................... R

29 cm

Esfuerzo tangencial La eficiencia de la junta longitudinal corresponde a un caño sin costura: ....................... E

1

Material SA-106 Gr B ( Anexo 3 - renglón 16 ), para 230 o C: ...S = 118 MPa..... S 1200 kg / cm 2 Ec. (4)

tr

PR S E 0,6 P

35 x 29 1200 x 1 0,6 x 35

0,86 cm

tmín

1, 23 cm ! tr

Verifica

Esfuerzo longitudinal La eficiencia de junta circunferencial, se obtiene del Anexo 6. Debido a la presencia de una unión Tipo 2, radiografiada 100 % ................................... E 0,90 PR 35 x 29 Ec. (5) tr 0, 47 cm tmín 1, 23 cm ! tr Verifica 2 S E 0, 4 P 2 x1200 x 0,9 0, 4 x 35

1.b

Cabezal elíptico 2:1 Espesor considerando corrosión: ........ tcorr

Diámetro interno: ................................ D

t c

1,59 0,3 ............................... tcorr

D0 2 tcorr

61 2 x 1, 29 ....................

1, 29 cm

D

58, 4 cm E

Teniendo en cuenta que el accesorio es sin costura, según UG-32 ( d ) y Anexo 8: .............

1

Material SA-234 WPB ( Anexo 3 - renglón 10 ) , para 230 o C es S = 118 MPa ... S 1200 kg / cm 2 Ec. (7)

tr

PD 2 S E 0, 2 P

35 x 58, 4 2 x 1200 x 1 0, 2 x 35

0,85 cm tcorr

1, 29 cm ! tr

Verifica

1.c

Cabezal hemisférico Espesor considerando corrosión: ........ tcorr

t c

0,95 0,3 ............................. tcorr

0,65 cm

Radio conformado del cabezal: ........... L R D0 2 tcorr 61 2 0,65 ............... L 29,85 cm La eficiencia de la junta circunferencial del accesorio sin costura soldado al cuerpo, E 1 con una junta Tipo 1 radiografiada 100 %, se obtiene de UG-32 ( f ) y Anexo 8 : ........... El material es el mismo del cabezal elíptico, por lo tanto..................................... S 1200 kg / cm 2 Ec. (9)

1.d

tr

PL 2 S E 0, 2 P

35 x 29,85 2 x 1200 x 1 0, 2 x 35

0, 44 cm tcorr

0,65 cm ! tr Verifica

Cuerpo cilíndrico de la derivación

Espesor considerando corrosión: ................. tcorr

t c

1, 27 0,3 .................... tcorr

Considerando corrosión y tolerancia de fabricación ( ±12,5%):... T fabr

0,97 cm

1 0,125 0,875 .

Espesor mínimo: ............. tmín

t T fabr c

1, 27 x 0,875 0,3 ..............................

tmin

0,81 cm

Radio interno: ................. R

D0 2 tcorr

32, 4 2 0,97 ...................................

R

15, 2 cm


435


Esfuerzo tangencial Tensión admisible :....... S 1200 kg / cm 2

Eficiencia de junta: ....... E 1 ( caño sin costura). Ec. (4)

tr

PR S E 0,6 P

35 x 15, 2 1200 x 1 0,6 x 35

0, 45 cm tmín

0,81 cm ! tr

Verifica

Esfuerzo longitudinal Eficiencia de junta unión Tipo 2, radiografiada 100 %......................................................... E Ec. (5)

1.e

tr

PR 2 S E 0, 4 P

35 x 15, 2 2 x1200 x 0,90 0, 4 x 35

0, 25 cm

tmín

0,81 cm ! tr

0,90

Verifica

Cabezal torisférico de la derivación

tn c

Espesor considerando corrosión :......... tcorr Radio conformado del cabezal : ........... L

D

1, 43 0,3 ...........................

D0 2 tcorr

tcorr

32, 4 2 x 1,13 ............

1,13 cm

L 30,1 cm

Eficiencia de junta del accesorio sin costura, según UG-32(e) y Anexo 8 : ......................... E

1

Tensión admisible ( anteriormente determinada en el punto 1.b ) : ....................... S 1200 kg / cm 2 Ec. (8)

tr

0,885 P L S E 0,1 P

0,885 x 35 x 30,12 1200 x 1 0,1 x 35

0,78cm tcorr

1,13 cm ! tr

Verifica

2 Se debe utilizar la Tabla UW-12 del Anexo 6 y los flujoramas de los Anexos 8 a 11 para determinar las distintas eficiencias de junta E, teniendo en cuenta que el recipiente será utilizado para servicio general y las soldaduras sólo tendrán examen visual. Los espesores requeridos para las distintas partes del recipiente se calculan a continuación.

2.a

Cuerpo cilíndrico

Esfuerzo tangencial

Con respecto al Problema 1 sólo se modifican las eficiencias de junta. Soldadura Tipo 1: según Anexo 9 ( caño sin costura) y Punto UW-12 ( d ) ................... Ec. (4)

tr

PR S E 0,6 P

35 x 29 1200 x 0,85 0,6 x 35

1,02 cm

tmín

1, 23 cm ! tr

E

0,85

Verifica

Esfuerzo longitudinal

Eficiencia de junta de la unión Tipo 2, sin radiografiar (Anexo 6 ):.................................. E Ec. (5)

tr

PR 2 S E 0, 4 P

35 x 29 2 x1200 x 0,65 0, 4 x 35

0,65 cm tmín

0,65

1, 23 cm ! tr Verifica

2.b

Cabezal elíptico 2:1 Accesorio sin costura, ver UG-32(d), con una unión Tipo 2 no radiografiada, que no cumple con UW-11(a)(5)(b) (ver Anexo 8) ................. Ec. (7)

tr

PD 2 S E 0, 2 P

35 x 58, 4 2 x 1200 x 0,85 0, 2 x 35

1,00 cm tcorr

E

0,85

1, 29 cm ! tr Verifica

2.c

Cabezal hemisférico Eficiencia de junta del accesorio sin costura donde la soldadura al cuerpo es Tipo 1 sin radiografiar, (según Anexos 6 y 8) : .......................

Ec. (9)

tr

PL 2 S E 0, 2 P

35 x 29,85 2 x 1200 x 0,70 0, 2 x 35


436

0,62 cm tcorr

E

0,70



2.d

Cuerpo cilíndrico de la derivación

Esfuerzo tangencial

Para determinar la eficiencia de junta se usa el flujorama para cuerpos cilíndricos y cónicos del Anexo 9 (caño sin costura) y Punto UW-12(d)......................... Ec. (4)

tr

PR S E 0,6 P

35 x 15, 2 1200 x 0,85 0,6 x 35

0,53 cm

tmín

E

0,81 cm t tr

0,85

Verifica

Esfuerzo longitudinal

Eficiencia de junta Tipo 2, sin radiografiar según el Anexo 6: ............................................. E Ec. (5)

tr

PR 2 S E 0, 4 P

35 x 15, 2 2 x 1200 x 0,65 0, 4 x 35

0,34 cm

tmín

0,65


2.e

Cabezal torisférico El accesorio es sin costura, ver UG-32(e), y se trata de una unión Tipo 2 no radiografiada, por ello no cumple con UW-11(a) (5) (b) (ver Anexo 8)..........

Ec. (8)

tr

0,885 P L S E 0,1 P

0,885 x 35 x 30,1 1200 x 0,85 0,1 x 35

0,92 cm

tcorr

E

1,13 cm ! tr

0,85

Verifica

3 Se determina el espesor necesario del cuerpo cilíndrico en la base de una torre considerando las diferentes combinaciones de cargas a la que estará sometida.

3.a

Espesor requerido por la tensión tangencial

Eficiencia de junta según la Tabla UW-12 del Anexo 6 para las soldaduras longitudinales (tensión tangencial) Categoría A, Tipo 1, radiografiado parcial: ........ E 0,85 En este caso se tienen que considerar la presión interna y la presión originada por la altura del contenido. Las condiciones más severas se encuentran en el fondo del recipiente: Wc Wc W 4300 La presión por el fluido es: Pc H Pc 1, 47 kg / cm 2 2 Volúmen Area S D 4 S x 61 2 4 Ec. (4)

3.b

t r1

P Pc R S E 0,6 P Pc

14 1, 47 x 30,5 970 x 0,85 0,6 x 14 1, 47

0,579 ... tr1

0,58 cm

Espesor requerido por la tensión longitudinal en tracción

Eficiencia de junta según la Tabla UW-12 del Anexo 6, para las soldaduras circunferenciales (tensión longitudinal) Categoría B, Tipo 2 sin radiografiado:......... Radio medio:...(estimamos tr2 tr1 = 0,58 cm)...... Rm

61/2 0,58 /2 ........... Rm

E

0,65

30,79 cm

Se debe considerar la presión interna, el peso de recipiente y su contenido y la carga del viento. Ec. (34)

SL

P§ R · 0, 2 t ¸ ; ¨ t © 2 ¹

La tensión de comparación

V*

Ec. (30)

S L S P SV

SP

Wc Wr ; 2 S Rm t

Ec. (29)

debe cumplir la Ec. (31)

Al estar presente un esfuerzo provocado por el viento, el código permite + aumentar un 20 % la tensión admisible : S E = 1,2 S E = 1,2 x 970 x 0,65......... S E

SV

M viento

S Rm2 t

V* d S E

(A)

756,6 kg / cm 2

La condición más severa se da en el fondo del recipiente, sobre la línea de soporte donde......... Wc y donde el momento por viento provoca tracción. Sacando factor común a 1/t en * se despeja :

0

ª 1450 766000 º tr 2 0,61 cm «14 (30,5 /2 0, 2 x 0,58) » / 756,6 2 2 x S x 30,79 S x 30,79 »¼ «¬ La estimación inicial de tr2 fue muy buena, por lo que no necesario iterar con un nuevo valor de Rm. V*

SE

tr 2


437


3.c

Espesor requerido por la tensión longitudinal en compresión

EA

Eficiencia de junta de soldaduras a compresión : .................................................................

1

Estimamos Rm usando el espesor calculado ( tr2 = 0,61 cm )... Rm = 61/2 + 0,61/2... Rm

30,8 cm

R0

31,1 cm

Lo mismo hacemos con el radio exterior ..... R0 = 61/2 + 0,61 ............................... Tensión admisible en compresión : Ec. (1) A

0,125 R0 t2

0,125 .............. A 0,00245 cm 31,1 0,61

Entrando en la Figura CS-2 del Anexo 4 con el valor de Ase o obtiene la tensión admisible en compresión B para el material a 90 C: 2 A 0,00245 B 110 MPa 1120 kg /cm 2 S E 1, 2 x 970 x 1 1164 .... S E 1164 kg / cm

Como B > S (1120 > 970), se conserva la tensión admisible del material en tracción (más un 20 %). La fórmula a aplicar es la misma que en tracción, ecuación (A) de la página anterior, pero en este caso la condición más severa en compresión ocurre sin presión interna. ª 1450 766000 º Ec. (31) V * S E tr 3 « » / 1164 ...................... tr 3 0, 23 cm 2 S x 30,8 »¼ «¬ 2 x S x 30,8

3.d

Determinación del espesor

El espesor requerido es: tr = mayor { 0,58 ; 0,61 ; 0,23 } = 0,61. Adoptamos ¼”... t

0,635 cm

4 Para verificar el espesor propuesto del cuerpo cilíndrico, se tienen que considerar las distintas combinaciones de cargas a la que estará sometido el recipiente horizontal.

4.0

Espesor requerido por la tensión tangencial debida a la presión interior

Eficiencia de junta, según la Tabla UW-12 del Anexo 6, para las soldaduras longitudinales (tensión tangencial) para Categoría A, Tipo 1 y radiografiado parcial.... Et Radio exterior : ............................. R0 = D0 /2 = 304,8/2 ........................................

R0

0,85

152, 4 cm

En este caso solo se considera el espesor requerido por la presión interior: P R0 3,5 x 152, 4 Ec. (4) t r1 0,646 cm t 0,8 cm ! tr1 Verifica S Et 0, 4 P 970 x 0,85 0, 4 x 3,5

4.1

Verificación de la tensión longitudinal de tracción en el plano del apoyo (arriba, punto 1) En este caso se debe considerar la presión interna y los pesos del recipiente y su contenido. Reacción en cada apoyo: ..... Q Radio medio: ........................ Rm A = 75; Rm / 2 = 76

13600 141000 /2 . 304,8 0,8 / 2 .

Q

77300 kg

Rm

152 cm

A Rm /2 según el punto 1) debajo de la Ecuación (32).........

K*

S

77300 x 75 § 1 75/1800 (1522 67 2 ) / (2 x 75 x 1800) · 2 1 ¨ ¸ ... S 1 2,1 kg / cm S x 1522 x 0,8 © 1 4 x 67 / (3 x 1800) ¹ Este valor insignificante se debe a que los apoyos están próximos a los extremos del recipiente (A << L ) como se puede apreciar en el croquis a escala del recipiente. Las tensiones importantes por flexión ocurren en el centro del recipiente en la parte de abajo y se analizan en el punto 4.3. Ec. (32)

S1

r

Ec. (34)

SL

P > R0 /(2 t ) 0,7 @ 3,5 x >152, 4/(2 x 0,8) 0,7 @ ....................

SL

330,9 kg / cm 2

Eficiencia de junta, según la Tabla UW-12 del Anexo 6, para las soldaduras circunferenciales (tensión longitudinal) para juntas Tipo 2 sin radiografiado: .............. EA Ec. (33)

V*

S1 S L

2,1 330,9 333 ; S E


438

970 x 0,65 630

V* d S E

0,65

Verifica


4.2

Verificación de la tensión longitudinal de compresión en el plano del apoyo (abajo, punto 2)

EA

1

Cálculo de S1: A 75 Rm /2 76 según el punto 1) debajo de la Ecuación (32)......... K *

S

Eficiencia de junta de soldaduras a compresión: ............

Por lo tanto el valor de S1 coincide con el calculado en el punto 4.1

2,1 kg / cm 2

S1

Ec. (32)

Tensión admisible en compresión a 40 oC según la Figura CS-2 del Anexo 4: Ec. (1)

B

A 0,125 /(152, 4 / 0,8) 0,00066

68 MPa

Ec. (35) V

4.3

*

10, 2 x 68 kg / cm 2

S1

2,1; SC

B 68 MPa

Figura CS-2 Anexo 4

694 kg / cm 2 ................................................... B 694 kg / cm 2

menor ^S ; B ` menor ^ 970 ;694 `

694 V * d SC Verifica

Verificación de la tensión longitudinal de tracción en el plano medio del recipiente (abajo, punto 3)

Datos: ........... Q

77300 kg

A 75 cm

Rm

152 cm

H

67 cm

L 1800 cm t

0,8 cm

77300 x 1800 § 1 2 x (1522 67 2 )/1800 2 4 x 75 · 477, 4 kg / cm 2 ¨ ¸ ..... S1 2 4 S x 152 x 0,8 © 1 4 x 67/(3x 1800) 1800 ¹ Eficiencia de junta Tipo 2 sin radiografiado de soldaduras circunferenciales (tensión longitudinal) según Tabla UW-12 del Anexo 6: .............................................. EA 0,65 Ec. (36)

S1

r

La tensión longitudinal por presión se calculó en el punto 4.1: Ec. (33)

V*

S1 SL

477, 4 330,9 ; S E

Ec. (34)

970 x 0,65 V *

330,9 kg / cm 2

SL

808,3 ! S E

630

No Verifica

Para solucionar el problema se pueden proponer diversas alternativas :

Opción 1: Incrementar el porcentaje de radiografiado de las juntas circunferenciales aplicando un radiografiado al 100 %: ......................... Ec. (33) V

*

S1 SL

477, 4 330,9 ;

970 x 1

SE

EA

1

V * 808,3 S E 970 Verifica

Opción 2: Aumentar el valor de A corriendo los apoyos hacia el centro del recipiente, esto requiere realizar nuevos cálculos. La solución “fácil ” para el diseñador es la opción 1 !!! 4.4 Verificación de la tensión longitudinal de compresión en el plano medio del recipiente (arriba, punto 4)

Tensión por flexión por peso propio....... (punto 4.3)

477, 4 kg / cm 2

S1

Tensión admisible SC en compresión a 40 oC (punto 4.2) SC Ec. (35)

4.5

V*

S1

477, 4 punto 4.2 SC

694

V*

477, 4 d SC

694 kg / cm 2

694 Verifica

Verificación de la tensión de corte ( punto 5)

A Rm /2

A = 75 c ; Rm /2 = 152/2 = 76 cm "$"!Ec. (38) porque o

Según la tabla del Anexo 17 para = 140 K3 = 0,592 ...... A < Rm "$"!Ec. (38) S 2

K3 Q Rm t

0,592 x 77300 152 x 0,8

376 ....

S2

Según la Ec. (39) se debe cumplir que S2 < 0,8 S = 0,8 x 970 = 776.............. 0,8 S En conclusión se satisface la Ec. (39) ......... S 2


439

376 0,8 S

776 kg / cm 2

K3

0,592

376 kg / cm 2 776 kg / cm 2

Verifica


4.6

Optimización cambiando la ubicación de los apoyos

En este punto se desarrolla la opción 2 del punto 4.3 que propone optimizar la ubicación de los apoyos para no tener que radiografiar las juntas. Se determina la tensión de comparación ( * ) en seis puntos para valores de A comprendidos en el rango de 40 a 300 cm y se la compara con la tensión admisible multiplicada por la eficiencia de junta sin radiografiar ( S E). Se grafica la evolución de la tensión relativa adimensional ( * /S E ) en los seis puntos críticos del cuerpo del recipiente (puntos 1 a 6). Se observa que para valores de A menores a 217,7 cm la mayor tensión relativa corresponde al punto 3 (en la parte inferior del centro del recipiente). Pero esa tensión decrece monótonamente cuando crece el valor de A, mientras que simultáneamente crece la tensión en el punto 1 (parte superior sobre los apoyos). El valor óptimo se da cuando A = 217,7 cm ( 0,12 L) porque la tensión relativa máxima alcanza un mínimo.

En el gráfico se pueden cotejar los resultados obtenidos anteriormente para A = 75 cm donde el espesor t = 0,8 cm es aceptable pero requiere radiografiar todas las soldaduras circunferenciales !!! Es importante notar que el valor mínimo de A que no requiere radiografiar es A = 209 cm. En la tabla siguiente se resumen los resultados para tres casos: 1) A = 75 cm que requiere radiografiar, 2) A = 209 cm que es el valor mínimo que no requiere radiografiar y 3) A = 217,7 cm que es el valor óptimo porque la tensión relativa máxima alcanza un mínimo (0,982). Cuando A > 76 (A > Rm /2) no se considera S1 en el punto 2 porque t/Rm > 0,005 según el punto 3) debajo de la Ecuación (32).

Caso

A [cm]

1

75

2

209

3

217,7

Tensión SE * * /S E * * /S E * * /S E

Plano de los apoyos 4.1 Arriba 4.2 abajo tracción compresión 630 694 333,1 2,1 0,529 0,003 596,0 ----0,946 -----618,4 ----0,982 -------

Centro del recipiente 4.3 Abajo 4.4 arriba tracción compresión 630 694 808,4 477,4 1,283 0,688 630,0 299,1 1,000 0,431 618,4 287,5 0,982 0,414

Corte 4.5 en el ecuador 776 376,3 0,485 443,3 0,571 437,3 0,563

4.7

Verificación de la tensión circunferencial en la zona del cuerno del soporte Sin anillo ni placa de apoyo, el espesor t = 0,8 cm no verifica como se muestra a continuación : L = 1800 cm ; 8 Rm = 8 x 152 = 1216 cm L ! 8 Rm se debe usar la Ec. (40)-a

K6 se obtiene de la Figura 18 en el Anexo 18, para = 140º y A/Rm = 75/152 = 0,492 ...... K 6 Ec. (40)- S3

77300 4 x 0,8 x (60 1,56 152 x 0,8

1,5 S 1,5 x 970 1455 kg / cm 2

S3

)

3 x 0, 011 x 77300

2306 kg / cm 2

2 x 0,8

2

Ec. (41)

0,011

313 1993

2306

S3 ! 1,5 S

No Verifica

Adoptando un valor mayor para el espesor del cuerpo cilíndrico, digamos t = 7/16” = 1,11 cm se obtiene S3 = 217 + 1033 = 1250 < 1455 que si verifica. Esta solución es muy antieconómica porque incrementa el peso del cuerpo cilíndrico en un 39 % ( el espesor pasa de 0,8 a 1,11 cm). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC

440


Una solución eficiente y económica es reforzar la zona del apoyo. Proponemos agregar una placa de

espesor t p

apoyo con las siguientes características:..

1/ 4”

0,635 cm ; ancho 90 cm ; T P

160

O

Peso de las dos placas = 2 x 2 x x [ (304,8 + 0,635) / 2] x (160 / 360) x 90 x 0,635x 0,0078 = 380 kg Peso del recipiente = 13600 + 380 = 13980 kg Ç^(141000 + 13980 )/2 ....

Q

77490 kg

Rm = R + ( t + tp ) /2 = ( 304,8 / 2 – 0,8 ) + ( 0,8 + 0,635 ) / 2 ……………................. Rm

Ec. (40)- S3

77490 4 x (0,8 0, 635) x (60 1,56 152,3 x (0,8 0, 635)

1,5 S 1,5 x 970 1455 kg / cm 2

S3

1388 kg / cm 2

)

152,3 cm

3 x 0, 011 x 77490 2 2 2 x (0,8 0, 635 )

1388

S3 1,5 S .. Verifica

Ec. (41)

Importante: Notar que el peso del recipiente sólo aumenta un 3 % contra el 39 % del caso anterior.

4.8

Verificación de la tensión circunferencial en la zona del fondo del apoyo = 140 È tabla del £ K5 = 0,697............................................................... Ec. (42)

S3

0,697 x 77490

(0,8 0,635) x ( 60 1,56 152,3 x (0,8 0,635) )

Tensión de fluencia : Sy = 2090 kg /cm2

5 Para obtener el diámetro externo D

Ec. (43)

.................... S3 453 0,5 S y

S3

D2t

426,7 2 x 0,80 ....................................................... D0

Según el Anexo 3, la tensión admisible del material SA-285 Gº C del renglón 2 a 370 oC es: S = 89,1 x 10,2 ............... Anexo 5

0,697

453 kg / cm 2

1045 .... Verifica

0

hay que proponer un espesor de pared. ......................... Se adopta: t

D0

K5

Relaciones: L / D0 100/428,3 0, 233 ;

D0 / t

S2

0,8 cm 428,3 cm

909 kg / cm 2

428,3 / 0,8 535, 4 ! 10

Utilizando el ábaco del Anexo 5, se determina la relación geométrica A: .....................

A 0,0005

En el Anexo 4 se obtiene B para la temperatura de 370ºC usando la 2 Figura CS-2: ....B = 42 MPa = 428 kg/cm2. Por lo tanto B < S ( 428 < 909 ) ... B 428 kg / cm 4B 4 x 428 Presión externa máxima admisible: Ec. (13) Pa .... Pa 1,066 kg / cm 2 3 D0 t 3 x 535, 4 Como Pa

1,066 kg /cm 2 ! Patm

1,033 kg / cm 2 ......el espesor propuesto :

t

0,8 cm ... Verifica

6 Primero se determinan los espesores necesarios para soportar la presión, tanto en el cuerpo cilíndrico principal como en la derivación, aplicando la fórmula del esfuerzo tangencial. Cuerpo cilíndrico principal Radio interno: ....... R

D 2 152, 4 2 76, 2 cm ................................................... R

Dado que la apertura no interfiere con ninguna soldadura longitudinal la eficiencia es: ....... Ec. (4)

tr

PR S E 0,6 P

17,6 x 76, 2 .......................................... 1005 x 1 0,6 x 17,6


441

tr

76, 2 cm E

1

1,35 cm


Derivación Radio interno: .............. Rn

D0 2 tn

32, 4 2 1, 27 .......................................

Rn

14,93 cm E

Como la derivación está construida con un caño sin costura, la eficiencia de junta es :...... P Rn

17,6 x 14,93 .......................................... S E 0,6 P 1167 x 1 0,6 x 17,6 Nota: ver la Figura 8, para visualizar las áreas y las fórmulas usadas a continuación. Ec. (4) t r n

trn

1

0, 23 cm

6.a

Cálculo del área de refuerzo requerida AR Factor de corrección: F 1 .................................................................................................. Factores de reducción: f r1

fr 2

S n Sv 1167 1005 ! 1 .........................................

Diámetro final de la abertura: .......... d

2 x 14,93 ....................................

2 Rn

d tr F 2 tn tr F 1 f r1 29,86 x 1,35 x 1 0 .............................................

AR

f r1 d

AR

F

1

fr 2

1

29,86 cm 40,31 cm 2

6.b Cálculo del área de refuerzo disponible AD en el caso de no agregar una montura Debemos considerar: A1 = área disponible en el cuerpo, A2 = área disponible en la derivación, parte externa y A41 = área disponible por la soldadura : A1 mayor ^ d E1 t F tr 2 tn E1 t F tr 1 f r1 ; 2 t tn E1 t F tr 2 tn E1 t F tr 1 f r1 ` mayor ^ 29,86 x 1 x 1,9 1 x 1,35 0 ; 2 1,9 1, 27 x 1 x 1,9 1 x 1,35 0 `

mayor ^ 16, 42 ; 3,58 ` 16, 42 cm 2 ................................................................. A1 16, 42 cm 2

^

menor 5 tn tr n f r 2 t ; 5 tn tr n f r 2 tn

A2

menor ^ 5 x 1, 27 0, 23 x 1 x 1, 9 ; 5 x 1, 27 0, 23 x 1 x 1, 27 `

menor ^ 9,88 ; 6,60 `

A41

(c41 ) 2 f r 2

AD

A1 A2 A41

6.c

`

6,60 cm 2 ................................................................. A2

(0,95) 2 x 1

0,90 cm 2 ............................................................... A 41

16, 42 6,60 0,90

23,92 o No cumple o

6,60 cm 2

0,90 cm 2

23,92 AR

AD

40,31

Cálculo del área de refuerzo disponible AD agregando una montura

A1 es igual que el caso anterior, mientras que A2 se modifica levemente .............. A1 16, 42 cm 2 menor ^ 5 tn trn f r 2 t ; 2 tn trn 2, 5 tn te f r 2

A2

`

menor ^ 5 x 1, 27 0, 23 x 1 x 1, 9 ; 2 x 1, 27 0, 23 x 2, 5 x 1, 27 0, 95 x 1 `

menor ^ 9,88 ; 8,58 `

8,58 cm 2 ................................................................ A2

Factores de reducción :........... f r 3

fr 4

S p Sv

928 1005

0,923 ............

8, 58 cm 2

fr3

f r 4 0,923

A41

(c41 ) 2 f r 3

(0,95) 2 x 0,923

0,83 cm 2 .......................................................

A41

0,83 cm 2

A42

(c42 ) 2 f r 4

(0,79) 2 x 0,923

0,58 cm 2 ......................................................

A42

0,58 cm 2

A5

13,34 cm 2

A5

( D p d 2 tn ) te f r 4 (47,62 29,86 2 x 1, 27) x 0,95 x 0,923 13,34 cm 2

AD

A1 A2 A41 A42 A5 16,42 8,58 0,83 0,58 13,34 o No cumple AD

39,75 AR

40,31

Se debe incrementar el tamaño para el refuerzo. El máximo diámetro válido para el refuerzo es: D p máx

2 x mayor ^ d ; Rn tn t ` 2 x mayor ^ 29,86 ; 14,93 1, 27 1,9 `

59,72 cm

Se propone Dp = 50,8 cm (20”) .............................................................................

Dp

50,8 cm

50,8 29,86 2 x 1, 27 x 0,95 x 0,923 ........................

A5

16,13 cm 2

A5

( D p d 2 t n ) te f r 4

AD

A1 A2 A41 A42 A5 16,42 8,58 0,83 0,58 16,13 o Cumple


442

AD

42,54 ! AR

40,31


Compendio Cálculo Estructural II

Recommend Documents