ROBABILIDADES (ITEL-30205) ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA (0260) Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva Tema 1. Introducción a la Probabilidad frecuencias y medidas Semana 02Distribución – Clase 02 –de Jueves 18/04/13 – 11:00dea localización 1:00 pm
Objetivo a lograr: • Trabajar mediante demostraciones demostraciones y ejemplos algunos axiomas de la probabilidad
5. AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD 5.1. Axiomas de probabilidad: • •
Para cualquier evento A, 0 P(S) = 1 P(A1
∪
A2
∪ ... ∪
An)
=
≤
P(A) ≤ 1
P(A1) + P(A 2 ) + ... + P(A n)
−
P(∩ dos eventos) + P(∩ tres eventos) + ... +
•
(−1)n +1P(A1 Si n = 2 : P(A1
∪
A2)
=
∩
A2
∩ ... ∩
P(A1 ) + P(A 2) − P(A 1
An )
∩ A 2)
⇒ P(A 1
∪ A 2) ≤ P(A 1) + P(A 2)
Si n = 3 : P(A1 ∪ A2 •
∪
A3)
=
P(A1) + P(A 2) + P(A 3) − P(A 1 ∩ A 2) − P(A 1 ∩ A 3) − P(A 2 ∩ A 3) + P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3)
Si A1, A2 , ..., An son eventos mutuamente excluyentes, n P(A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ An) = P(A 1) + P(A 2) + ... + P(A n) ⇒ P A i i =1
∪
• •
P(A) + P(A) P(∅) = 0
=
n
=
∑P(A ) i
i =1
1
6. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A)
a. P(A)
P(B) b. P(B)
c. P(A ∪ B)
d. P(A ∩ B)
=
0.37 y P(B)
P(A ∩ B) e. P(
=
0.44 determine:
P(A ∩ B) f. P(
SOLUCIÓN. a. P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.37 = 0.63 b. P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0.44 = 0.56 c. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.37 + 0.44 = 0.81 d. P(A ∩ B) = 0 e. P(A ∩ B) = P(A) = 0.37 f. P(A ∩ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.81 = 0.19 Prof. José Luis Quintero
9
PROBLEMA 2. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Mujer (M) Hombre (H)
Totales
Administración (A) 20 30 Operación de planta (O) 60 140 Ventas (V) 100 50 Totales 180 220 a. Si se elige aleatoriamente un empleado: • ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? • ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? • ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en b. Determine las siguientes probabilidades: • P(A ∪ M) • •
50 200 150 400
la división de administración?
P(A ∪ M) P(O ∩ H)
SOLUCIÓN. a. Si se elige aleatoriamente un empleado: •
¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
SOLUCIÓN. P(M) = •
180 400
=
9 20
¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?
SOLUCIÓN. P(V) = •
150 400
=
3 8
¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración?
SOLUCIÓN. P(H ∩ A) =
30 400
=
3 40
b. Determine las siguientes probabilidades: •
P(A ∪ M)
SOLUCIÓN. P(A ∪ M) = P(A) + P(M) − P(A •
∩ M) =
50 400
+
180 20 − 400 400
=
210 400
=
21 40
∩ M) =
50 400
+
220 30 − 400 400
=
240 400
=
3 5
P(A ∪ M)
SOLUCIÓN. P(A ∪ M) •
=
P(A) + P(M) − P(A
P(O ∩ H)
SOLUCIÓN. P(O ∩ H) =
140 400
=
7 20
Prof. José Luis Quintero
10
PROBLEMA 3. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea mayor o igual a 9?
SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado dos veces Propósito: Determinar en cada lanzamiento el número obtenido en la cara superior del dado Aquí se tiene un experimento compuesto que resulta de llevar a cabo dos veces el experimento simple del lanzamiento de un dado. De modo que NS = 6 × 6 = 36 . Por otro lado el evento A: La suma de los resultados es mayor o igual a de las siguientes situaciones: El resultado del dado 1 es 3 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado Se puede apreciar entonces que NA = 10 . Por lo tanto P(A) =
NA NS
=
10 36
=
9, ocurre si sucede alguna 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
es es es es es es es es es es
6 5 6 4 5 6 3 4 5 6
5 18
PROBLEMA 4. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R
SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dardo Propósito: Determinar si cae o no en la zona circular Aquí se tiene un experimento donde el espacio muestral es continuo. Para determinar su cardinalidad se procede a calcular el área del cuadrado, de modo que NS = L2 . Por otro lado, si se define el evento A: el dardo cae en la zona circular, su cardinalidad es NA P(A) =
NA NS
=
πR
2
. En tal sentido,
2
2
L2
= πR
=
R π L
PROBLEMA 5. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?
SOLUCIÓN. Prof. José Luis Quintero
11
Experimento aleatorio: Elegir al azar un paciente de la clín ica Propósito: Determinar el padecimiento o los padecimientos que tiene (si lo tiene o los tiene) Espacio muestral: Todos los pacientes de la clínica. Cardinalidad = 150 Eventos: A: Paciente tiene enfermedad cardíaca B: Paciente tiene diabetes 90 50 − 30 = 110 = 11 . P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 150 + 150 150 150 15 En consecuencia, el porcentaje de los pacientes que tenían uno u otro de los padecimientos es 11×100 % ≈ 73.33% . 15
PROBLEMA 6. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español? b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas?
SOLUCIÓN. a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una tarjeta de registro de un estudiante Propósito: Determinar el idioma o los idiomas que aprende (en caso de a prenderlo) Espacio muestral: Todas las tarjetas de registro de los estudiantes. Cardinalidad = 200 Eventos: F: Estudiante aprende francés. E: Estudiante aprende español + 80 − 60 = 120 = 3 . P(F ∪ E) = P(F) + P(E) − P(F ∩ E) = 100 200 200 200 200 5
b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas? SOLUCIÓN. P(F
∩ E) =
1 − P(F
∪ E) =
1−
3 = 2 5 5
.
PROBLEMA 7. Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara blanca?
SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado con tres caras negras numeradas 1, 2 y 3 y tres caras blancas numeradas 4, 5 y 6. Propósitos: Propósito 1. Determinar si en la cara superior del dado aparece un número par o un número impar Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado Espacio muestral: Referido al propósito 1: S1 = {par,impar} . Referido al propósito 2: S2 = {negro,blanco} NS1
=
6, NPAR
=
3, NIMPAR
=
3.
NS2
=
6, NNEGRO
Eventos A: Cara con un número par B: cara de color blanco P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 63 + 36 − 26 =
Prof. José Luis Quintero
=
3, NBLANCO
=
3
4 = 2 6 3
12
PROBLEMA 8. Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos: a. El resultado de arrojar el dado es un número par b. El resultado es menor que 6
SOLUCIÓN. a. El resultado de arrojar el dado es un número par. SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado Propósito: Determinar el número ocurrido en la cara superior del dado Espacio muestral: S = {Ai : i = 1,..., 6} , donde Ai : Aparece la cara i. Evento de interés: P
=
A2
∪
A4
∪
A6 : Aparece un número par. Entonces
P(A1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A 6) De modo que: NS
=
21 . NA1
=
1, NA2
=1
=
⇒k
2, NA3
+ 2k + ... + 6k = 1 =
3, NA4
=
4, NA5
⇒ 21k =
=1
5, NA6
⇒k =
= 1 21
6.
Por lo tanto P(P)
=
P(A 2
∪
A4
∪
A6)
= P(A 2) + P(A 4) + P(A 6) = 2 + 4 + 6 = 12 = 4 21 21 21 21 7
b. El resultado es menor que 6. SOLUCIÓN. Evento de interés: B
=
A1
∪
A2 ∪ A3
∪
A4
∪
A5
=
S − A 6 : El resultado es menor que seis.
El evento A6 es el evento complemento de B. Por lo tanto P(B) = 1 − P(A 6 )
= 1 − 6 = 15 = 5 21 21 7
PROBLEMA 9. Suponga que A, B y C son eventos para los cuales se tiene: P(A ∩ B)
=
P(C ∩ B)
=
0 y P(A ∩ C)
= 1 8
P(A) = P(B)
=
P(C)
= 1 4
,
. Halle la probabilidad de que al menos uno de los
eventos, A, B o C ocurra.
SOLUCIÓN. P(A ∪ B ∪ C)
P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B 1 1 1 1 3 1 5 = + + −0− −0+ 0 = − = 4 4 4 8 4 8 8
=
∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
PROBLEMA 10. Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los siguientes resultados: aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 % mayores: 5 % menores: 7 % críticos y mayores: 3 % críticos y menores: 4 % mayores y menores: 3 % Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 % a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?
Prof. José Luis Quintero
13
SOLUCIÓN. a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos? SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Inspección al azar de un aparato de televisión Propósito: Determinar el tipo o tipos de defectos que posee (si los tiene) Espacio muestral: Todos los aparatos del sitio objeto de la inspección Evento de interés: B: Aparatos sin defectos P(B) × 100% = 100% − (2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 3 + 7)% = 75%
b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?
SOLUCIÓN. Eventos de interés: C: Aparatos con defectos críticos M: Aparatos con defectos mayores P(C ∪ M) × 100% = (2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 3 + 7)% − 7% = 18%
PROBLEMA 11. Se selecciona al azar una pelota de una caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar una pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o verde.
SOLUCIÓN: Experimento aleatorio: Elegir al azar una pelota de una caja Propósito: Determinar el color de la pelota seleccionada Espacio muestral: S = {ROJO,BLANCO, AZUL, AMARILLO, VERDE} Eventos de interés: AM: La pelota seleccionada es amarilla AZ: La pelota seleccionada es azul VE: La pelota seleccionada es verde BL: La pelota seleccionada es blanca RO: La pelota seleccionada es roja Se desea calcular P(AM ∪ AZ ∪ VE) . Como los eventos AM, AZ y VE son disjuntos o mutuamente excluyentes, entonces P(AM ∪ AZ ∪ VE)
=
P(AZ) + P(AM) + P(VE) .
Por otro lado se sabe que los eventos AM, AZ, VE, BL y RO son colectivamente exhaustivos, de modo que P(AZ) + P(AM) + P(VE) + P(BL) + P(RO) = 1 . En consecuencia P(AZ) + P(AM) + P(VE)
= 1 − P(BL) − P(RO) = 1 −
2 5
−
1 5
=
2 . 5
PROBLEMA 12. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3 , P(A ∩ B) = 0.1 , P(A ∩ C) = 0.1 , P(B ∩ C) = 0, P(A ∪ C) = 0.7 . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno de dichos eventos.
SOLUCIÓN. Prof. José Luis Quintero
14
P(A)
=
P(A solamente ) + P(A
∩ B) + P(A ∩ C)
⇒ P(A solamente)
= P(A) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C)
0.4 − 0.1 − 0.1 = 0.2 P(B) = P(Bsolamente ) + P(B ∩ A) + P(B ∩ C) ⇒ P(B solamente) = P(B) − P(B ∩ A) − P(B ∩ C) =
0.3 − 0.1 − 0 = 0.2 P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) ⇒ P(C) = P(A ∪ C) + P(A ∩ C) − P(A) = 0.7 + 0.1 − 0.4 =
P(C) = P(C solamente ) + P(C ∩ A) + P(C
∩ B)
⇒ P(C solamente)
=
0.4
= P(C) − P(C ∩ A) − P(C ∩ B)
0.4 − 0.1 − 0 = 0.3 P(A solamente ) + P(B solamente ) + P(C solamente ) = 0.2 + 0.2 + 0.3 = 0.7 =
PROBLEMA 13. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea a. mujer no rubia y de ojos oscuros b. hombre no rubio y de ojos oscuros c. persona rubia o de ojos claros
SOLUCIÓN. a. mujer no rubia y de ojos oscuros SOLUCIÓN. Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona de una determinada población Propósitos: Propósito 1. Determinar si la persona es hombre o mujer Propósito 2. Determinar si la persona es o no es rubia Propósito 3. Determinar si la persona tiene los ojos claros u oscuros Espacio muestral: Referido al propósito 1: S1 = {hombre, mujer} . Referido al propósito 2: S2 = {rubia,no rubia} Referido al propósito 3: S3
=
{ojos claros, ojos oscuros}
Eventos de interés: M: la persona elegida es mujer R: la persona elegida es rubia C: la persona elegida tiene los ojos claros P(M ∩ R ∩ C) = P(M) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) + P(M ∩ C ∩ R)
=
60 100
−
10 20 5 − + 100 100 100
=
35 100
=
0.35
b. hombre no rubio y de ojos oscuros SOLUCIÓN. P(M ∪ R
∪
C)
= =
P(M) + P(R) + P(C) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) − P(C ∩ R) + P(M ∩ C 60 25 35 10 20 15 5 80 + + − − − + = = 0.8 100 100 100 100 100 100 100 100 P(M ∩ R ∩ C) = 1 − P(M ∪ R ∪ C) = 1 − 0.8 = 0.2
∩ R)
c. persona rubia o de ojos claros SOLUCIÓN. P(R
∪ C) =
Prof. José Luis Quintero
P(R) + P(C) − P(R
∩ C) =
25 100
+
35 15 − 100 100
=
45 100
=
0.45
15
Prof. José Luis Quintero
16