PROGRESIÓN ARITMÉTICA
ADICIÓN
Es la operación aritmética que consiste en reunir dos cantidades homogéneas en una sola.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
A + B = S
Es una sucesión de números, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos es una cantidad constante, llamada razón. Ejemplo:
10; 13; 16; 19; 22; 25; 28, ............. Razón (R) = 13–10 = 16–13 = 19–16 = 22–19 = ......
A y B son sumandos S es suma o total
PRINCIPALES SUMATORIAS: 1. Suma de los “N” primeros números enteros positivos 1 + 2 + 3 + 4 + .... + N =
Cálculo de un término cualquiera:
N (N +1) 2
tn = t1 + (n – 1) . R Donde:
tn t1 n R
: : : :
térm términ ino o de de posi posici ción ón “n” “n” primer té término posición del término razón de la progresión
2. Suma de los “N” primeros números pares positivos 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2N = N(N + 1)
Aplicación: Hallar el término de lugar 40 en la siguiente progresión aritmética: 17; 20; 23; 26; 29; 32; ...... Solución: t1 = 17 .... ...... .... .... .... .... .. n = 40 .... ...... .... .... .... .... .. E = 20–1 20–17= 7=3. 3... .... .. ⇒
3. Suma de los “N” primeros números impares positivos
(pri (prime merr térm términ ino) o) (lug (lugar ar del del térm términ ino) o) (raz (razón ón de la prog progre resi sión ón))
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2N – 1)= N 2
4. Suma de los cuadrados perfectos
t40 = 17 + (40 – 1) 3 = 134
Cálculo del número de términos:
“N”
primeros
1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + .... + N 2 =
N° de términos =
5. Suma de de lo los “N “ N” pr primeros cu c ubos perfectos
Aplicación: Cuántos términos tiene la siguiente progresión: 52; 57; 62; 67; ....... ; 382
N (N +1) 2
Solución: Razón (R) = 57 – 52 = 5 Utilizando la fórmula: N° de términos =
382
− 52
5
1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + .... + N 3 =
PRÁCTICA DE CLASE +1
1.
Calc Calcul ular ar el núme númerro de térm términ inos os de la sigu siguie ient nte e progresión aritmética: S = 2 ; ... ; 17 ; ... ; 44 Si se sabe que el número de términos que hay entre 2 y 17, es la mitad de los que hay entre 17 y 44.
2.
Si la difere diferenci ncia a de los los térmi términos nos de lugar lugares es 65 y 40 de de una progresión aritmética es 175 y que el término de lugar 30 es 223. Entonces Entonces el término término de lugar 100 de la progresión es:
= 67 términos
Cálculo de la suma de términos: Pr imero + Último . N° términos Suma = 2
ADICIÓN:
3.
En una P.A. se tiene que el segundo, cuarto y octavo término forman una proporción geométrica continua. Si el segundo término es la cuarta parte del octavo y la razón de la P.A. es 3, halle el décimo término de la P.A.
4.
Calcular la suma de los 90 primeros términos de la progresión: 6 ; 14 ; 22 ; 30 ; ...
5.
Dados los conjuntos de enteros consecutivos: { 1 } ; { 2, 3 } ; { 4, 5, 6 } ; { 7, 8, 9, 10 } ; ... Donde cada conjunto contiene un elemento más que el precedente, determinar el mayor elemento del conjunto 20avo.
6.
7.
En la siguiente progresión aritmética, hallar el número de términos si la suma de términos es 570 y el número de términos entre 3 y 30 es igual al número de términos que hay entre 30 y N. 3 ; ... ; 30 ; ... ; N La siguiente progresión aritmética tiene
pr 5
24 + 25 + 26 + 30 + 28 + 35 + S = 50 sumandos
la cifra de mayor orden del resultado es: 15. A lo largo de un camino habían “n” piedras separadas una distancia “d” una de otra. Una persona empezó por un extremo a llevar una por una todas las piedras al lugar donde se encontraba la última. Llevando en cada viaje una sola piedra. Al terminar habían recorrido 20 veces la distancia entre las piedras. ¿Cuál era el número de piedras?
PRÁCTICA DE CASA 1.
¿Cuántos términos tiene la serie: 2, 7, 12, ....., 1102? A) 220 B) 221 C) 222 D) 223 E) 224
2.
La siguiente serie tiene 10 términos: 10, 14, 18, ..... ¿Cuál es el último término? A) 48 B) 46 C) 50 D) 52 E) 44
3.
La siguiente serie tiene 40 términos: 1, 7, 13, ..... ¿Cuál es el último término? A) 235 B) 237 C) 239 D) 241 E) 233
4.
Hallar el trigésimo segundo término de: 1, 3, 5, 7, ..... A) 33 B) 63 C) 67 D) 65 E) 35
5.
Cierto estudiante gastó el primer día S/. 1, el segundo S/. 2, el tercero S/. 3 y así sucesivamente hasta gastar un total de S/. 465. ¿Cuántos días estuvo gastando dicho estudiante? A) 25 B) 32 C) 30 D) 15 E) 29
6.
La siguiente progresión tiene 2a términos, hallar “a”:
términos donde “r” es la razón: a3 ; a6 ; a9 ; ... ; xaa
Calcular el máximo valor de: a + p + r + x 8.
Hallar el número de términos de la siguiente progresión aritmética: a8b ; a93 ; b04 ; ba5 ; ...; aaa7
9.
Hallar (a + b + c) si el número de términos que hay desde 31 hasta 139 excede en la unidad al número de términos que hay entre 139 y ( 2a) 59
de la
siguiente progresión aritmética: 31 ; ... ; abc ; 139 ; ... ; ( 2a ) 59
a24 , a26 , a28 , ....., a78
A) 2 10. ¿Cuántos números de 3 cifras pertenecen a la siguiente progresión aritmética? 15 ; 19 ; 23 ; 27 ; .... 11. Si la diferencia de los términos de lugares 73 y 58 de una progresión aritmética es 90. El décimo quinto término es 104. Dar el vigésimo término.
7.
C) 8
D) 6
E) 5
Si ab , a7 , b9 , .....; es una progresión aritmética, calcule (a+b) A) 11 B) 10
C) 13
D) 12
E) 15
8.
¿Cuántos términos terminan en 5 presentan la siguiente progresión? 13, 22, 31, 40, ....., 904 A) 12 B) 11 C) 10 D) 13 E) 14
9.
Las edades de 4 hermanos están en P.A. y suman 54. Si la edad del mayor duplica a la del menor, ¿cuál es la edad del tercero? A) 10 B) 13 C) 15 D) 20 E) 16
12. Calcular el valor de a.b.c si: 8cbb
B) 4
+ abc 8 + caca + b7ac = 24b22
13. Hallar la suma de los 20 números de la siguiente serie: S = 7 + 97 + 997 + 9997 + ..... Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. 14. Siendo:
10. Si los términos de una progresión aritmética se obtiene mediante “4k+3” para: k = 1; 2; 3; ...; n. Entonces la suma de los “n” primeros términos es:
A) n(4n+3) B) n(2n+5)
C) n(n+1) D) n(2n+3)
E) n(3n+2)
11. 50 números consecutivos suman 3275. Hallar el producto de las cifras del mayor de ellos. A) 4 B) 9 C) 12 D) 10 E) 0 12. La suma del noveno y el décimo cuarto término de una progresión aritmética es 69 y la relación del sexto al décimo séptimo término es 6/17. El término de lugar 40 es: A) 100 B) 108 C) 116 D) 120 E) 125 13. Tres números están en progresión aritmética. Si los dos extremos juntos excede en 27 al central y el producto de los tres términos es 17496. Entonces, uno de estos números es: A) 22 B) 24 C) 27 D) 32 E) 42 14. ¿Cuántas cifras se emplearán al enumerar las siguientes secuencias? I. 39; 41; 43; ...; 931 II. 1; 2; 3; ...; 640 Dar la suma de ambos resultados. A) 3128 B) 3222 C) 3122 D) 3424 E) 3548 15. Si un libro tiene 1200 hojas, ¿cuántas cifras se necesitan para numerar sus páginas? A) 8493 B) 8367 C) 8256 D) 8233 E) 8348 16. Al escribir la progresión aritmética: 73 ; 78 ; 83 ; 88 ; ..... ; 668 La cantidad de cifras empleadas es: A) 354 B) 195 C) 1106 D) 675
E) 560
17. Cuántos ceros inútiles se han utilizado al enumerar boletos de la siguiente manera: 0001 ; 0002 ; 0003 ; ..... ; 0999 ; 1000 A) 1026 B) 8294 C) 1107 D) 742 E) 1526
21. La suma de las edades de 3 personas es 54 y la suma de sus cuadrados es 1044. Si las edades están en progresión aritmética creciente; entonces, la mayor de las edades es: A) 22 años C) 24 años E) 28 años B) 23 años D) 26 años 22. En la escritura de los números: 0003 ; 0006 ; 0009 ; 0012 ; ...... ; 3333 ¿Cuántos ceros inútiles se han escrito? A) 210 B) 170 C) 369 D) 275 E) 100 23. Al escribir todos los números pares de tres cifras, la cantidad de cifras que se han empleado es: A) 1350 B) 450 C) 900 D) 1500 E) 780 24. La suma de 100 números enteros consecutivos es 150 veces el primer sumando. ¿Cuál es el último sumando? A) 199 B) 198 C) 200 D) 236 E) 180 25. La suma de los 4 primeros términos de una progresión aritmética creciente es 5 veces la suma de los 2 primeros términos. ¿Cuál será la razón de esta progresión si el primer término es 1/3? A) 1 B) 1/3 C) 2 D) 2/3 E) 1/2 26. En una progresión aritmética creciente de 5 términos, el producto del 1ro y el 5to término es 325 y la suma de dichos términos es 38. La suma del 3er y 4to término es: A) 29 B) 38 C) 35 D) 42 E) 41 27. Hallar la suma de todos los números de 2 cifras que se pueden formar con las cifras a, b y c, sin repetir la cifra. Además: a + b + c = 19 A) 380 B) 395 C) 190 D) 570 E) 418 28. Hallar (a + b + c) si se cumple que: m1m
A) 10 18. Para enumerar un libro de 1ab
para enumerar un libro de ab1 páginas? B) 945
C) 937
D) 946
E) 495
19. En la numeración de las 5ab páginas de un libro se usan 15ab cifras. Calcular el valor de: (a + b) A) 7 20. Cuántos aritmética:
B) 8
C) 9
términos tiene
B) 12
C) 14
D) 16
E) 17
páginas se han
empleado 297 cifras. ¿Cuántas cifras se emplearon A) 975
+ m2m + m3m + + m9m = abc 4
D) 10 la siguiente
E) 11 progresión
89 ; ab ; ac ; ...; 1cb
sabiendo además que: b + c – 1 = a A) 20 B) 21 C) 22 D) 23
29. En la siguiente serie aritmética de razón “r” y 2b términos. Hallar la suma de todos los términos. S : 87 : ...................... 386 A) 4 136 C) 5 416 E) N.A. B) 2 712 D) 5 676 30. Si: b42a + dab3 + ac 68 = ecba 4 calcular: (a + b + c + d + e) A) 20 B) 22 C) 23 31. Si: 2ab5
E) 25
A) 24
+
a9b2
B) 21
=
D) 19
E) 18
6a4b , hallar: a.b
C) 18
D) 15
E) 32
32. Un agricultor tiene 85 árboles que va a plantar al “este” de donde está, y este se ubica junto a los
árboles a un metro de donde va a colocar el primero. Los árboles van a estar en línea recta separados entre sí por un metro. Hallar la distancia que camina hasta plantar el último árbol si solo puede cargar un árbol a la vez. A) 345 C) 7 225 E) 5 625 B) 7 625 D) 7 425
33. Hallar el valor de (a+b+c+d+e) en la siguiente adición: abcde
+ cdeba = 10 * 6 **
Sabiendo que: a > b > c > d > e > 0 A) 15 B) 18 C) 20 D) 24
E) 25
34. ¿Cuál es el valor de “n” si es de dos cifras y además la suma de todos los números de “n” cifras cuyo producto de cifras es 3, termina en 96? A) 32 B) 30 C) 34 D) 44 E) 45 35. Sabiendo que la suma de 30 enteros consecutivos es 945. Hallar la suma de los 30 consecutivos siguientes: A) 1 845 C) 2 645 E) 2 795 B) 1 729 D) 3 545 36. En la siguiente P.A., hallar el número de términos si la suma de términos es 570 y el número de términos entre 3 y 30 es igual al número de términos que hay entre 30 y N: 3 ; ...... ; 30 ; ...... ; N A) 19 C) 21 E) Más de 22 B) 20 D) 22 37. Una persona tiene que pagar una deuda de 3 600 dólares en 40 pagos mensuales que forman P.A. Cuando ya había pagado 30 de las mensualidades convenidas, fallece dejando una tercera parte de la deuda sin pagar. ¿Cuál es el primer pago convenido? A) $ 50 C) $ 52 E) N.A. B) $ 51 D) $ 60 38. Si: ab+ ca
111
Hallar: ba + ca ; a, b y c son dígitos. A) 111 B) 120
C) 110 D) 121
E) Hay más de una solución
39. La suma de 61 números naturales consecutivos es 2745. Hallar el mayor de ellos. A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80 40. En una serie aritmética el primer y último término son 17 y 615, respectivamente. Hallar el término décimo tercero sabiendo que la suma de todos sus términos es 14852.
A) 172
B) 173
C) 174
D) 175
E) 176
