¿Circunferencia que pasa por dos puntos y centro en la recta..? Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;3) y (-1;1) y cuyo centro está situado en la recta: x-3y-11=0. Respuesta: x^2+y^2-7x+5y-14=0
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dieggius Mejor respuesta - elegida por los votantes
Hola!! La ecuación de la circunferencia de centro C(h; k) y radio "r" es: ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
(x - h)² + (y - k)² = r² ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Los puntos (2;3) y (-1;1) pertenecen a la circunferencia. Entonces, en la ecuación de la circunferencia, reemplazamos "x" e "y" por las coordenadas de cada punto. (2 - h)² + (3 - k)² = r² . . . . . . . .➊ (-1 - h)² + (1 - k)² = r² . . . . . . . ➋ Igualamos ➊ y ➋, porque ambas equivalen a r² (2 - h)² + (3 - k)² = (-1 - h)² + (1 - k)² 4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = 1 + 2h + h² + 1 - 2k + k² 13 - 4h - 6k = 2 + 2h - 2k -4h - 6k - 2h + 2k = 2 - 13 -6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌ Por otra parte, el centro (h; k) está sobre la recta x - 3y - 11 = 0. Entonces el centro verifica esta ecuación, h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍ Con ➌ y ➍ formamos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el centro. -6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌ h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍ MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. De ➍, despejamos h ==> h = 3k + 11 Reemplazamos "h" en ➌ -6·(3k + 11) - 4k = -11 -18k - 66 - 4k = -11 -22k = -11 + 66 k = 55/(-22)
k = -5/2 Luego, h = 3k + 11 = 3·(-5/2) + 11 = 7/2 El centro es C(7/2, -5/2) Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en ➊ (2 - 7/2)² + (3 - (-5/2))² = r² 9/4 + 121/4 = r² 65/2 = r² Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es: (x - 7/2)² + (y - (-5/2))² = 65/2 (x -7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2 Desarrollamos los binomios para obtener la ecuación general. x² - 7x + 49/4 + y² + 5y + 25/4 - 65/2 = 0 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ x² + y² - 7x + 5y -14 = 0 ◄ RESPUESTA ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
k = -5/2 Luego, h = 3k + 11 = 3·(-5/2) + 11 = 7/2 El centro es C(7/2, -5/2) Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en ➊ (2 - 7/2)² + (3 - (-5/2))² = r² 9/4 + 121/4 = r² 65/2 = r² Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es: (x - 7/2)² + (y - (-5/2))² = 65/2 (x -7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2 Desarrollamos los binomios para obtener la ecuación general. x² - 7x + 49/4 + y² + 5y + 25/4 - 65/2 = 0 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ x² + y² - 7x + 5y -14 = 0 ◄ RESPUESTA ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
¿ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto A(1,-4) y B(5,2) y tiene su centro en la recta x-2y+9=0 ? Necesito ayuda por favor, no se como hallar la ecuacion de la circunferencia. Gracias de antemano.
hace 4 años Reportar abusos
dieggius
Mejor respuesta - elegida por quien preguntó
Hola, DANY18. La ecuación de la circunferencia de centro C(h; k) y radio "r" es: ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
(x - h)² + (y - k)² = r² ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
En este enlace está la gráfica de la circunferencia cuya ecuación vamos a obtener, los puntos que pertenecen a ella, y la recta que pasa por el centro. http://img502.imageshack.us/img502/7993/…
Los puntos A (1, -4) y B (5, 2) pertenecen a la circunferencia. Entonces, en la ecuación de la
circunferencia, reemplazamos "x" e "y" por las coordenadas de cada punto. (1 - h)² + (-4 - k)² = r² . . . . . . . .➊ (5 - h)² + (2 - k)² = r² . . . . . . . ➋ Igualamos ➊ y ➋, porque ambas equivalen a r² (1 - h)² + (-4 - k)² = (5 - h)² + (2 - k)² = r² 1 - 2h + h² + 16 + 8k + k² = 25 - 10h + h² + 4 - 4k + k² 17 - 2h + 8k = 29 - 10h - 4k . . . . . . . . . . . . . . . . .reducimos términos - 2h + 8k + 10h + 4k = 29 - 17 8h + 12k = 12 2h + 3k = 3 . . . .➌ . . (dividimos ambos miembros por 4)
Por otra parte, el centro (h; k) está sobre la recta x - 2y + 9 = 0. Entonces el centro verifica esta ecuación, o sea, h - 2k + 9 = 0 . . . . ➍ Con ➌ y ➍ formamos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el centro. 2h + 3k = 3 . . . .➌ h - 2k + 9 = 0 . . . . ➍ MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. De ➍, despejamos h ==> h = 2k - 9 Reemplazamos "h" en ➌ 2·(2k - 9) + 3k = 3 4k - 18 + 3k = 3 7k = 3 + 18 k = 21/7 = 3 Entonces, h = 2k - 9 = 2·3 - 9 = -3 El centro es C(-3 3) Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en ➊ (1 - (-3))² + (-4 - 3)² = r² 16 + 49 = r²
65 = r² Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es: (x - (-3))² + (y - 3)² = 65 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (x + 3)² + (y - 3)² = 65 ◄ RESPUESTA ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
La circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo lla mado centro.
Elevando cuadrado ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
obtenemos
al la
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Para que una expresión del tipo:
sea una
circunferencia debe cumplir que:
1. Los coeficientes de x 2 e y 2 sean iguales a la unidad . Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.
2. No tenga término en xy .
3.
Ecuación reducida de la circunferencia Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
Ejercicios Escribir la ecuación de la circunf erencia de centro (3, 4) y radio 2.
Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:
por las
Indicar si la ecuación: 4x 2 + 4y 2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcula r el centro y el radio.
1. Como los coeficientes de x 2 e y 2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:
2. No tiene término en xy.
3.
Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
Hallar ecuación
la
ecuación
de
la
circunferencia
concéntrica
con
, y que pasa por el punto (-3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.
la
Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunfe rencia?
Hallar circunferencia 4y + 7 = 0.
la
ecuación
de
la
circunferencia
concéntrica
a
la
que sea tangente a la recta 3x -
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es cuadrantes.
y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer
La circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de uno fijo, C(a,b), el centro. Esta distancia constante es el radio r= d (P,C)
Conocida la distancia entre dos puntos del plano la ecuación de la circunferencia de centro el punto C(a,b) y radio r será: (x-a)2+(y-b) 2=r2 Desarrollando esta expresión obtenemos: x2-2ax+y2-2by+a2+b2-r2=0 que escribiremos x2+mx+y2+ny+p=0 La tangente a la circunferencia de centro C(a,b) por el punto P(x 0,y0) es la recta de vector director perpendicular al (x 0-a,y0-b), pasando por P: y-y0=-[(x0-a)/(y0-b)](x-x0)
Ecuación de la circunferencia Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto C(-1,2) y pasa por el punto P(3,-1). Falta determinar el radio que es la distancia CP: r2=(-1-3)2+(2+1) 2=16+9=25 r=5 ⇒ y la ecuación: (x+1)2+(y-2)2=25 que desarrollada : x 2+y2+2x-4y=20
Determinar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación x 2+y 2-4x+2y+1=0 -2a=-4 a2+b2-r2=1
⇒
⇒ a=2 y a2+b2-1=r2
⇒
-2b=2 r2=5 y r=2
⇒
b=-1
Comprueba •Que la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de extremos (3,4), (-3,-4), es x 2+y2=25
Cambia el valor de a y b, para elegir el centro de la circunferencia, luego modifica el valor del radio r.
Recta tangente a una circunferencia Ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2+y 2-4x+2y=0 en el punto P(4,0). El centro de la circunferencia es C(2,-1) El vector CP=(2,1) es normal a la recta tangente, luego ésta será de vector director (-1,2) y que pasa por P(4,0) Ecuación de la recta: y=-2·(x-4) ⇒ 2x+y=8
Ecuación de la circunferencia concéntrica con la de ecuación x 2+y 2+4x=0 y tangente a la recta x-y=2 en el punto (0,-2). Centro(-2,0); radio Ecuación: x2+y2+4x-4=0
r=d(C,r)=d(P,C)=4/ √ 2;
Calcula Cambia el valor de a y b (centro de la •La tangente a la circunferencia x 2+y2=25 por el circunferencia); luego elige los valores de x e y, coordenadas del punto de tangencia. punto (3,4).
Potencia de un respecto a una circunferencia
punto
es el producto de cualquier par de segmentos que forman las rectas que pasan por P con los puntos de corte con la circunferencia. Observemos que si el punto es exterior a la circunferencia los dos segmentos tienen la misma orientación y el producto es positivo, mientras que si es interior los segmentos tienen distinto sentido y el producto es negativo. Arrastra el punto rojo con el ratón para Para
calcular la Pot(P,c)=(x0-a)2+(y0-b)2-r2 o bien Pot(P,c)=x02+mx0+y02+ny+p
comprobar que el producto PA·PB no varía. Arrastrando el punto blanco o cambiando los potencia: valores (x,y) varía el punto respecto al que se calcula la potencia. También se puede cambiar la circunferencia.
Comprobar si el punto P(6,4) es exterior, interior o pertenece a la circunferencia de centro C(1,-1) y radio r=3. Circunferencia : x2+y2-2x+2y-7=0 Sustituyendo P(6,4): Pot(P,c)=6 2+42-2·6+2·4-7=41 Al ser un valor positivo indica que el punto es interior a la circunferencia.
Eje radical El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias. Se trata de una recta perpendicular al segmento que une los dos centros. Calcular el eje radical de las circunferencias c 1 de centro O1(-1,-2) y radio r 1=4 y c 2 de centro O2(3,1) y radio r 2=3. Circunferencia Circunferencia
c1: c2:
x2+y2+2x+4y-11=0 x2+y2-6x-2y+1=0
Sea el punto P(x,y), debe ser pot(p,c1)=pot(p,c2) x2+y2+2x+4y-11= x2+y2-6x-2y+1 operando: 8x+6y=12 ⇒ 4x+3y=4
Comprueba • Que el eje radical de las circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y tienen centros respectivos (-3,0) y (2,0) es el eje de ordenadas.
Arrastra el punto blanco sobre la recta y comprueba que la potencia es la misma respecto de las dos circunferencias. Cambiando los valores puedes hallar otros ejes radicales.
LA CIRCUNFERENCIA. 55.- Pasar a la forma general (x 2+y2+Ax+By+C=0), la ecuación
canónica u ordinaria (x-2)2+(y+3)2=25 cuyo lugar geométrico es una circunferencia con centro en el punto de coordenadas C(2,-3) y radio 5. Para pasar la ecuación a la forma general x2+y2+Ax+By+C=0 hay que desarrollar los cuadrados, entonces: (x-2)2+(y+3)2=25 x2-4x+4+y2+6y+9=25 x2+y2-4x+6y-12=0 SOLUCION: La ecuación queda de la forma general 2
2
x +y -4x+6y-12=0
2
2
2
2
2
56.- Pasar a la forma canónica [(x-h) +(y-k) =r ] la ecuación x +y -8x-
4y=0 e indicar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia que representa su lugar geométrico. Pasar x2+y2-8x-4y=0 (x-h)2+(y-k)2=r 2 entonces: (x2-8x)+(y2-4y)=0 Completamos cuadrados. (x2-8x+(-8/2)2)+(y2-4y+(-4/2)2)=0+(-8/2)2+(-4/2)2 (x2-8x+16)+(y2-4y+4)=16+4 (x-4)2+(y-2)2=20 C(h,k)=C(4,2) r 2=20 SOLUCION: La ecuación queda
2
2
(x-4) +(y-2) =20 con centro en C(4,2) y el radio es:
57.- Escribir una ecuación de la circunferencia que tiene su centro en
el origen del sistema de coordenadas cartesianas y su radio es de raíz de cinco unidades.
.
El centro de la circunferencia es C(0,0) entonces es de la forma: x2+y2=r 2 Pero conocemos el radio que es: ecuación:
sustituimos en la
x2+y2=5 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia es: 2
2
x +y =5
58.- Escribir una ecuación de la circunferencia que tiene su centro en
el punto C(-3,2) y su radio es de
unidades.
Tiene como centro C(-3,2) tal que C(h,k) y radio siendo la ecuación de la circunferencia de la forma: (x-h)2+(y-k)2=r 2 sustituyendo queda: (x+3)2+(y-2)2=5 x2+y2+6x-4y+8=0
SOLUCION: La ecuación de la circunferencia queda: 2
2
(x+3) +(y-2) =5 y de la forma general queda: 2
2
x +y +6x-4y+8=0
59.- Escribir una ecuación de la circunferencia que tiene su centro en
el punto de coordenadas (2,0) y su diámetro es de
unidades.
La ecuación tiene de centro C(2,0) tal que C(h,k) diámetro sabemos que el radio es:
entonces sólo sustituimos en la ecuación de la forma: (x-h)2+(y-k)2=r 2 (x-2)2+(y-0)2=5 (x-2)2+y2=5 x2+y2-4x-1=0 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia queda: 2
2
(x-2) +y =5 y de la forma general queda: x2+y2-4x-1=0
y
60.- Escribir una ecuación de la circunferencia que tiene su centro en
el punto de coordenadas (-2,1) y pasa por el punto P(-3,3). El centro de la circunferencia es C(-2,1) tal que C(h,k) y pasa por el punto P(-3,3). La distancia del punto C al punto P es el radio, entonces CP=r la ecuación la encontramos con la fórmula de la distancia, r=d
sustituimos el radio y el centro en la ecuación: (x-h)2+(y-k)2=r 2 (x+2)2+(y-1)2=29 x2+y2+4x-2y-24=0 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia es: 2
2
(x+2) +(y-1) =29 y de la forma general queda: 2
2
x +y +4x-2y-24=0
61.- Determinar una ecuación de la circunferencia que tiene como uno
de sus diámetros el segmento de recta cuyos extremos se localizan en los puntos de coordenadas (2,3) Y (4,-1). Primero encontremos la distancia entre los puntos P 1(2,3) y P2(4,-1) para saber la distancia del diámetro:
Ahora encontremos el punto medio de los puntos extremos del diámetro para conocer el centro de la circunferencia: P1(2,3) P2(4,-1) Coordenadas del punto medio:
entonces las coordenadas del centro de la circunferencia son C(3,1) tal que C(h,k) y como ya conocemos el diámetro de la circunferencia podemos encontrar su radio:
ahora podemos sustituir los datos en la ecuación: (x-h)2+(y-k)2=r 2 (x-3)2+(y-1)2=5 x2+y2-6x-2y+6=0 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia queda: 2
2
(x-3) +(y-1) =5 y de la forma general queda: 2
2
x +y -6x-2y+6=0
62.- Determinar una ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos de coordenadas (1,2), (-3,4) Y (2,3). Entonces partimos de la ecuación de la forma general que es: x2+y2+Cx+Dy+E=0 y hacemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas sustituyendo en x,y los respectivos valores de las coordenadas que conocemos que son: 1. 2. 3.
A(1,2) (1)2+(2)2+C(1)+D(2)+E=0 C+2D+E=-5 Ecuación (1) B(-3,4) (-3)2+(4)2+C(-3)+D(4)9+E=0 -3C+4D+E=25 Ecuación (2) C(2,3) (2)2+(3)2+C(2)+D(3)+E=0 2C+3D+E=-13 Ecuación (3)
Entonces resolvemos el sistema por Gauss:
Entonces nos queda de (3)= C(0)+D(0)+E(-3/5)=-7 despejamos E
E=-7/(-3/5)=35/3 Ahora en (2)= C(0)+D(1)+(2/5)(35/3)=-4 despejamos D D=-4-(7/15)=-130/15 Ahora en (1)= C(1)+(-130/15)(2)+(35/3)(1)=-5 despejamos C C=-5-(35/3)+(260/15)=10/15 Ahora que tenemos los valores de C, D y E sustituimos en la ecuación general: x2+y2+(10/15)x-(130/15)y+(35/3)=0 x2+y2+(2/3)x-(26/3)y+(35/3)=0 (x+1/3)2+(y-13/3)2=65/9 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia es: 2
2
x +y +(2/3)x-(26/3)y+(35/3)=0 y de la forma canónica queda: 2
2
(x+1/3) +(y-13/3) =65/9
63.- Determinar una ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos de coordenadas (0,2) y (1,-3) y su centro se localiza sobre la línea recta cuya ecuación es x-3y=1. Tenemos los puntos A(0,2) y B(1,-3) y la ecuación de la recta x-3y=1 x-3y=1 x=1+3y 3y=x-1 y=1/3x-1/3 Ecuación de la recta que pasa por el Centro y=1/3x-1/3
Entonces del centro C(h,k) a los puntos A(0,2) y B(1,-3) son iguales por ser radios, podemos igualarlos a partir de la fórmula de la distancia: AC=BC d1=d2 A(0,2) C(x,y) B(1,-3) C(h,k) =
Simplificando la expresión queda: 2x-10y-6=0 Ahora sustituimos la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia la cual es y=1/3x-1/3 queda: 2x-10(1/3x-1/3)=6 2x-10/3x+10/3=6 2x-10/3x=6-10/3 -4/3x=8/3 x=-2 sustituimos en la ecuación de la recta y=1/3x-1/3 y=1/3(-2)-1/3 y=-1 Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(-2,-1) Ahora podemos encontrar el radio de la circunferencia con A(0,2) y C(2,1)
sustituyendo en la ecuación de la circunferencia queda: (x-h)2+(y-k)2=r 2 (x+2)2+(y+1)2=13 x2+y2+4x+2y-8=0 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia queda: 2
2
(x+2) +(y+1) =13 y de la forma general es: 2
2
x +y +4x+2y-8=0
64.- Encontrar las coordenadas de los puntos comunes a la línea recta
y a la circunferencia mencionadas en el problema inmediato anterior (Número 63). Entonces tenemos que encontrar los puntos comunes entre las ecuaciones: 1. 2.
(x+2)2+(y+1)2=13 y=1/3x-1/3 3y=x-1 x=3y+1
sustituimos el valor de x de la ecuación (2) en la ecuación 1 para encontrar los valores de y que satisfagan el sistema, entonces queda: x2+4x+4+y2+2y+1=13 tal que x=3y+1 sustituimos x: (3y+1)2+4(3y+1)+4+y2+2y+1=13 9y2+6y+1+12y+4+4+y2+2y+1=13 10y2+20y-3=0 Ahora resolvemos la ecuación: 10y2+20y-3=0
por la fórmula general: a=10 b=20 c=-3
Ahora sustituimos y1 y2 en la ecuación: x=3y+1 x1=3(0.1401)+1 x1=1.4205 x2=3(-2.1401)+1 x2=-5.4205 M1(1.4,0.14) M2(-5.4,-2.14) SOLUCION: Los puntos comunes de las dos ecuaciones son M1(1.4,0.14) M2(5.4,-2.14)
65.- Hallar una ecuación de la circunferencia que es tangente a la
línea recta correspondiente a la ecuación 2x+y-4=0, en el punto de coordenadas (2,0) y su centro se localiza sobre la línea recta cuya ecuación es x+y=4. La ecuación tangente es 2x+y-4=0 en P(2,0) y la ecuación que pasa por el centro de la circunferencia es x+y=4
2x+y-4=0 y=-2x+4 es la ecuación de la línea tangente a la circunferencia. Entonces la ecuación de la recta perpendicular a la tangente, pasa por el centro de la circunferencia y ésta ecuación partiendo de la ecuación tangente queda: y=1/2(x-2) 2y=x-2 x-2y-2=0 x=2y-2 ahora tenemos 2 ecuaciones para hacer un sistema y así encontramos las coordenadas del centro, que sería donde se intersectan las dos rectas: 1. 2.
x+y=4 x=4-y x-2y-2=0 x=2y+2
Igualamos y despejamos la incógnita y: 4-y=2y+2 4-2=2y+y 3y=2 y=2/3 Sustituimos en la ecuación (1) para encontrar el valor en x: x=4-y x=4-2/3 x=10/3 Tenemos las coordenadas del centro las cuales son: C(10/3,2/3) y sabemos que la circunferencia pasa por el punto de coordenadas P(2,0), entonces encontremos el radio:
Ahora podemos armar la ecuación de la circunferencia con los datos obtenidos: (x-10/3)2+(y-2/3)2=20/9 x2+y2-(20/3)x-(4/3)y+(28/3)=0 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia queda:
2
2
(x-10/3) +(y-2/3) =20/9 y de la forma general queda: 2
2
x +y -(20/3)x-(4/3)y+(28/3)=0
66.- Determinar una ecuación de la circunferencia tangente al eje de
las ordenadas (EJE Y) y su centro está en el punto de coordenadas C(2,6). Si la circunferencia es tangente al eje Y tiene de centro el punto C(2,6) entonces el radio es igual a 2 porque esa es la distancia del centro a la tangente que es el eje Y. La ecuación es de la forma: (x-h)2+(y-k)2=r 2 con centro en C(h,k) tal que C(2,6). sustituyendo queda: (x-2)2+(y-6)2=4 x2+y2-4x-12y+36=0 SOLUCION: La ecuación queda: 2
2
(x-2) +(y-6) =4 y de la forma general: 2
2
x +y -4x-12y+36=0
67.- Determinar una ecuación de la circunferencia tangente a la línea
recta cuya ecuación es 2x+y-5=0 y su centro es el origen del sistema de coordenadas.
El centro de la circunferencia es C(0,0) y la recta tangente es: 2x+y5=0 Entonces para conocer el radio de la circunferencia encontremos la distancia de la recta tangente 2x+y-5=0 al origen del sistema de coordenadas que es el centro de la circunferencia: Sustituyendo x=0 y=0
La ecuación es de la forma: x2+y2=r 2 x2+y2=5 SOLUCION: 2
2
La ecuación queda: x +y =5
68.- Determinar una ecuación de la circunferencia tangente a la línea
recta cuya ecuación es 3x-2y-3=0 y su centro está sobre el eje de las abscisas (EJE X) con la abscisa x=2. La ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia es 3x-2y3=0 y el centro de la circunferencia está en el punto C(2,0), entonces:
Entonces el radio es:
Ahora tenemos las coordenadas del centro C(2,0) y el radio, entonces la ecuación queda: (x-2)2+y2=117/169 x2+y2-4x+559/169=0 SOLUCION: La ecuación queda: 2
2
(x-2) +y =117/169 y de la forma general queda: 2
2
x +y -4x+559/169=0
69.- Hallar una ecuación de la circunferencia que es tangente a la
línea recta correspondiente a la ecuación x-2y+4=0, en el punto de coordenadas (10,7) y que sea también tangente en el punto de coordenadas (5,2) a la línea recta de ecuación 2x-y-8=0. Tenemos las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia que son: x-2y+4=0 en el punto A(10,7) 2x-y-8=0 en el punto B(5,2) (1) x-2y+4=0 2y=x+4 y=1/2x+2 m1=1/2 (2) 2x-y-8=0 y=2x-8 m2=2 Como tenemos las pendientes de las dos ecuaciones tangentes a la circunferencia, podemos encontrar las ecuaciones de las rectas
perpendiculares a las rectas tangentes y así podremos encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia: A(10,7) m1=1/2 para la perpendicular: m1’=-2 (y-7)=-2(x-10) y-7=2x+20 (1’) y=-2x+27
B(5,2) m2=2 para la perpendicular: m 2’=-1/2 (y-2)=-1/2(x-5) y-2=1/2x+5/2 (2’) y=(-x+9)/2
hacemos por igualación las dos ecuaciones anteriores: -2x+27=(-x+9)/2 2(-2x+27)=-x+9 -4x+54=-x+9 3x=45 x=15 x=15 Ahora sustituimos x=15 en la ecuación (2’), entonces:
y=(-x+9)/2 y=(-15+9)/2 y=-3 Las coordenadas del centro de la circunferencia es C(15,-3) Podemos encontrar el radio con C(15,-3) y B(5,2) y queda:
La ecuación de la circunferencia queda con los datos que obtuvimos: (x-15)2+(y+3)2=125 x2+y2-30x+6y+109=0 SOLUCION: La ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas descritas por las ecuaciones: 1.
x-2y+4=0 en el punto A(10,7)
2.
2x-y-8=0 en el punto B(5,2)
es la ecuación: 2
2
(x-15) +(y+3) =125 y de la forma general queda: 2
2
x +y -30x+6y+109=0
70.- Determinar una ecuación de la línea recta tangente a la
circunferencia cuya ecuación es: (x+1)2+y2=20 en el punto de coordenadas (-3,4). La ecuación de la circunferencia es: (x+1) 2+y2=20, tenemos que encontrar la recta que es tangente a la circunferencia en el punto A(3,4). De la ecuación de la circunferencia tenemos C(h,k) C(-1,0), entonces con el centro y el punto de tangencia podemos determinar la ecuación de la línea recta: C(-1,0) y A(-3,4)
m1=-1/2 entonces m2 es la pendiente de la línea recta tangente y sabemos que m1m2=-1 porque son perpendiculares, entonces: m1m2=-1 (-1/2)m2=-1 m2=2 y=mx+b con m=2 y el punto A(-3,4): 4=(2)(-3)+b b=4+6 b=10 La ecuación queda: y=2x+10 2x-y+10=0
SOLUCION: La ecuación de la línea recta tangente a es: y=2x+10
2x-y+10=0
71.- Determinar una ecuación de la línea recta tangente a la
circunferencia cuya ecuación es: x2+y2-8x-4y=0 en el punto de coordenadas (8,4). x2+y2-8x-4y=0 y el punto A(8,4) es tangente a la circunferencia, encontremos el centro de la circunferencia completando cuadrados y acomodando la ecuación:
entonces el centro es C(h,k) y C(4,2) y con el punto A(8,4) encontramos la pendiente de éstos dos puntos y posteriormente la ecuación de la recta:
con A(8,4) y la pendiente m=-2 encontremos la ecuación de la recta: 4=(-2)(8)+b b=4+16 b=20 y=-2x+20 SOLUCION: La ecuación de la recta tangente es: y=-2x+20
2x+y-20=0
72.- Hallar unas ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la
circunferencia cuya ecuación es: x2+y2-8x-4y=0 de tal forma que el valor de la pendiente de cada una de dichas rectas sea –3. Tenemos la ecuación: x2+y2-8x-4y=0 y las pendientes: m1=m2 m1=-3 (x2-8x)+(y2-4y)=0 (x-4)2+(y-2)2=(-1/2)2+(-4/2)2 (x-4)2+(y-2)2=20 el centro de la circunferencia es: c(4,2) y su radio es
m1=m2 m1=-3 m1m3=-1 (-3)m3=-1 m3=1/3 Ahora encontremos la ecuación de la recta que pasa por C(4,2) con m3=1/3 y=mx+b 2=(1/3)(4)+b b=2-4/3 b=2/3 La ecuación es: (1/3)x-y+(2/3)=0
Ahora encontremos los puntos comunes con la circunferencia de la ecuación anterior: 1. 2.
x2+y2-8x-4y=0 y=(1/3)x+(2/3)
sustituimos la ecuación (1) en la (2) y queda: x2+(1/3x+2/3)2-8x-4(1/3x+2/3)=0 x2+1/9x2+4/9-8x-4/3x-8/3=0 10/9x2-28/3x-20/9=0 (9)(10/9x2-28/3x)=(20/9)(9) 10x2-84x=20 5x2-42x-10=0 Ahora la ecuación cuadrática: 5x2-42x-10=0 la resolvemos por la fórmula general:
Tenemos x1, x2 x1=8.63 x2=-0.23 Sustituimos en la ecuación y=(1/3)x+(2/3) y1=(1/3)(8.63)+(2/3) y1=3.54 entonces P1(8.63,3.54) y2=(1/3)(-0.23)+(2/3) y2=0.58 entonces P2(-0.23,0.58)
Ahora podemos obtener la recta que pasa por el centro y que también pasa por los puntos tangente a la circunferencia: 1.
P1(8.63,3.54) m=-3 3.54=(-3)(8.63)+b b=29.43
y=-3x+29.43
P2(-0.23,0.58) m=-3 0.58=(-3)(-0.23)+b b=-0.11
y=-3x-0.11
Entonces las ecuaciones que son tangentes a la circunferencia son: 1. 2.
3x+y-29.43=0 3x+y+0.11=0
SOLUCION: Las ecuaciones de las rectas que son tangentes a la circunferencia: 2
2
x +y -8x-4y=0 tal que el valor de sus pendientes sea –3 son: Ecuación (1)
3x+y-29.43=0
Ecuación (2)
3x+y+0.11=0
73.- Determinar las coordenadas de los puntos comunes a las
circunferencias cuyas ecuaciones son: (x-1)2+y2=1 Y x2+y2-4x-4y+4=0. Encontrar los puntos comunes de: 1. 2.
(x-1)2+y2=1 x2+y2-4x-4y+4=0
Desarrollemos la ecuación 1 y queda: x2-2x+1+y2=1
1. 2.
x2+y2-2x=0 x2+y2-4x-4y=-4
restamos la ecuación (1)-(2) y queda: x2+y2-2x=0 -( x2+y2-4x-4y=-4) queda: 2x+4y=4 si dividimos entre dos la ecuación queda: x+2y=2 x=2-2y sustituimos el valor de x en la ecuación (1) (2-2y)2+y2-2(2-2y)=0 Queda 4-8y+4y2+y2-4+4y=0 5y2-4y=0 La resolvemos por fórmula general:
Sustituimos y1 y2 para encontrar los valores de x x1=2-2(4/5) 2-8/5 x1=2/5 x2=2-2(0) 2-0 x2=2 P1(2/5,4/5) P2(2,0) SOLUCION: Las coordenadas de los puntos comunes de las ecuaciones: x2+y2-2x=0 2
2
x +y -4x-4y=-4
