Capitulo Vii Agitacion y Filtrado

Operaciones de Molienda y Transporte de Alimentos

Agitación de alimentos líquidos

CAPITULO VII

AGITACI N Y MEZCLA DE ALIMENTOS LÍQUIDOS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVO: Dar a conocer el fundamento de mezcla de alimentos líquidos lí quidos y cálculos en su diseño de equipo mezclador usado en la Industria Alimentaria ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

7.1 DEFINICIONES 7.1.1 Mezclado Cuando dos o más sustancias se combinan y no reaccionan químicamente se obtiene una mezcla. Una mezcla puede ser separada en sus componentes originales simplemente por medios físicos. Aunque en una mezcla no hay cambios químicos, algunas de sus propiedades físicas pueden diferir respecto de las de sus componentes. Las mezclas pueden ser ser homogéneas y heterogéneas. heterogéneas. 7.1.2 Proceso de Agitación La agitación es la operación por la cual se crea movimientos violentos e irregulares en el seno de una materia fluida, o aquella que se comporte como tal, por medio de dispositivos mecánicos que actúan sobre ésta. El proceso de agitación se refiere al movimiento inducido de un material en una forma específica, generalmente, generalmente, con un modelo circulatorio dentro de algún tipo de contenedor. contenedor. Si la materia líquida que recibe la acción violenta e irregular es una sustancia única, se trata entonces de una agitación propiamente dicha; si son dos o más especies o sustancias, sean o no miscibles entre sí, se trata de una mezcla.2 Siendo así, si el componente líquido predomina en una mezcla de substancias a ser combinadas, la operación de mezclado sería una agitación y un agitador es usado como el dispositivo de mezcla.

Alberto L.Huamaní L.Huamaní Huamaní Huamaní

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La agitación encuentra una amplia aplicación en la industria como un medio para promover ciertas operaciones operaciones tales como extracción, extracción, mezcla, absorción, absorción, transferencia de calor y reacciones r eacciones químicas. En los sistemas de agitación se tienen muchos requerimientos diferentes dependiendo de los resultados deseados. Hay cinco tipos generales de operaciones que pueden ser distinguidas por sus objetivos y cada tipo de operación puede requerir de diferente dif erente equipo de agitación. Transferencia de masa en sistemas heterogéneos. En esta categoría se incluyen a las reacciones químicas, solución de sólidos, extracción, absorción y adsorción.  Mezcla de dos líquidos.  Producción de una suspensión de un sólido en un líquido.  Cambio físico o emulsificación.  Transferencia Transferencia de calor y uniformidad de temperatura.3 En el caso de la elaboración del vino de frutas, los objetivos que se persiguen son la solución de sólidos, mezcla de dos líquidos y producción de una suspensión de un sólido en un líquido.

7.1.3 Mezcla homogénea Se trata de una mezcla uniforme ya que a simple vista no se pueden diferenciar sus componentes. Para que la mezcla sea realmente homogénea el tamaño de las partículas de las sustancias que la forman tiene que ser tan pequeño como átomos, moléculas o iones, con diámetros de angstroms. A este tipo de mezclas se las conoce con el nombre de soluciones.

7.1.4 Mezcla heterogénea Se trata de una mezcla no uniforme y se puede distinguir sus componentes a simple vista como en el caso de las suspensiones, ensaladas, etc. Existe un estado intermedio entre las soluciones y las suspensiones; es el caso de los coloides, en los que no se puede distinguir sus componentes a simple vista; las partículas presentes en estas mezclas son más pequeñas que las de una suspensión, pero más grandes que las de una solución. En el proceso de mezclado de los ingredientes del vino de frutas, se espera espera obtener una una mezcla homogénea de los ingredientes.

7.1.5 Fenómeno de agitación y mezcla La agitación es una operación muy importante tanto del punto de vista técnico como económica. La agitación es importante para:  

un mezclado homogéneo Una buena transferencia de masa y de calor, permite disminuir el espesor de la película líquida estática.

La agitación encuentra una amplia aplicación en la industria como un medio para promover ciertas operaciones operaciones tales como extracción, extracción, mezcla, absorción, absorción, transferencia de calor y reacciones químicas. En los sistemas de agitación se tienen muchos Alberto L.Huamaní L.Huamaní Huamaní Huamaní

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La agitación encuentra una amplia aplicación en la industria como un medio para promover ciertas operaciones operaciones tales como extracción, extracción, mezcla, absorción, absorción, transferencia de calor y reacciones r eacciones químicas. En los sistemas de agitación se tienen muchos requerimientos diferentes dependiendo de los resultados deseados. Hay cinco tipos generales de operaciones que pueden ser distinguidas por sus objetivos y cada tipo de operación puede requerir de diferente dif erente equipo de agitación. Transferencia de masa en sistemas heterogéneos. En esta categoría se incluyen a las reacciones químicas, solución de sólidos, extracción, absorción y adsorción.  Mezcla de dos líquidos.  Producción de una suspensión de un sólido en un líquido.  Cambio físico o emulsificación.  Transferencia Transferencia de calor y uniformidad de temperatura.3 En el caso de la elaboración del vino de frutas, los objetivos que se persiguen son la solución de sólidos, mezcla de dos líquidos y producción de una suspensión de un sólido en un líquido.

7.1.3 Mezcla homogénea Se trata de una mezcla uniforme ya que a simple vista no se pueden diferenciar sus componentes. Para que la mezcla sea realmente homogénea el tamaño de las partículas de las sustancias que la forman tiene que ser tan pequeño como átomos, moléculas o iones, con diámetros de angstroms. A este tipo de mezclas se las conoce con el nombre de soluciones.

7.1.4 Mezcla heterogénea Se trata de una mezcla no uniforme y se puede distinguir sus componentes a simple vista como en el caso de las suspensiones, ensaladas, etc. Existe un estado intermedio entre las soluciones y las suspensiones; es el caso de los coloides, en los que no se puede distinguir sus componentes a simple vista; las partículas presentes en estas mezclas son más pequeñas que las de una suspensión, pero más grandes que las de una solución. En el proceso de mezclado de los ingredientes del vino de frutas, se espera espera obtener una una mezcla homogénea de los ingredientes.

7.1.5 Fenómeno de agitación y mezcla La agitación es una operación muy importante tanto del punto de vista técnico como económica. La agitación es importante para:  

un mezclado homogéneo Una buena transferencia de masa y de calor, permite disminuir el espesor de la película líquida estática.

La agitación encuentra una amplia aplicación en la industria como un medio para promover ciertas operaciones operaciones tales como extracción, extracción, mezcla, absorción, absorción, transferencia de calor y reacciones químicas. En los sistemas de agitación se tienen muchos Alberto L.Huamaní L.Huamaní Huamaní Huamaní

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requerimientos diferentes dependiendo de los resultados deseados. Hay cinco tipos generales de operaciones que pueden ser distinguidas por sus objetivos y cada tipo de operación puede requerir de diferente equipo de agitación.     

Transferencia de masa en sistemas heterogéneos. En esta categoría se incluyen a las reacciones químicas, solución de sólidos, extracción, absorción y adsorción. Mezcla de dos líquidos. Producción de una suspensión de un sólido en un líquido. Cambio físico o emulsificación. Transferencia de calor y uniformidad de temperatura.

7.2 TIPOS DE MEZCLADORAS INDUSTRIALES De acuerdo a su forma de operación las mezcladoras se clasifican en dos categorías: 1. Tipo Lote 2. Continuas

7.2.1 Mezcladoras tipo lote En las mezcladoras tipo lote se procesa un sublote o lote total de una fórmula a la vez, es decir, todos los ingredientes se colocan en la máquina, se mezclan y luego se remueve al concluirse la operación. De acuerdo a cómo se imparte el movimiento a las partículas, las mezcladoras tipo lote se clasifican en: 1. Mezcladoras de recipiente giratorio sin agitador 2. Mezcladoras de recipiente giratorio con agitador giratorio 3. Mezcladoras de recipiente estacionario con agitador giratorio

a) De recipiente intercambiable En este tipo de mezcladoras existe la necesidad de que el agitador suba, el recipiente baje, o de algún otro método que permita la extracción del recipiente.

b) De tanque estacionario Se las utiliza cuando la limpieza del tanque no representa dificultad y no se tiene ti ene ventaja en que el recipiente pueda ser removido.

7.2.2 Mezcladoras continuas En todos los casos de mezcla continua, los ingredientes se miden cuidosamente y exactamente para ser colocados en la mezcladora en un primer término y luego se descargan como una mezcla preparada para un procesamiento adicional. El tamaño de lote se determina por el tiempo específico de mezcla. En procesos continuos, una distribución aleatoriamente homogénea del sólido en el volumen de líquido es requerida, de manera que las partículas de sólido puedan ser transportadas con el líquido desde una etapa a otra. ot ra. Alberto L.Huamaní L.Huamaní Huamaní Huamaní

3



7.2.3 Mezcladores estáticos Aplicaciones típicas: • Adicción y mezcla de reactivos en plantas de tratamiento de agua potable. • Mezcla de líquidos y gases en procesos de la industria petroleoquímica. • Difusión y mezcla de oxígeno en cultivos bio-médicos y biológicos. • Difusión y mezcla de gas/líquido en la industria de bebidas. • Mezclas de productos en la industria láctea y alimenticia. • En general en todos los procesos donde se requiera mezclar líquidos y/o gases. • Eficaces en el mezclado de fluidos de baja viscosidad, con pastas o líquidos viscosos. 

Ventajas importantes:

• • • • • •

Bajo costo inicial Sin costos de mantenimiento Dimensiones reducidas Pérdidas de carga ajustadas a cada necesidad Muy alta eficacia de mezcla (hasta 99,999 %) Alta fiabilidad

Figura 7.1. Mezcladores estáticos. 7.3 PROCESOS DE MEZCLADO El proceso de mezclado puede involucrar mezcla de gases, líquidos o sólidos, en alguna posible combinación de dos o más constituyentes. La mezcla de gases es raramente difícil. La mezcla de líquidos con líquidos o gases con líquidos, es un problema común y ha sido estudiado extensivamente. La mezcla de líquidos con sólidos puede ser tratada de la misma manera que la mezcla de líquidos con líquidos, cuando la proporción de líquido a

Alberto L.Huamaní Huamaní

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sólido es grande. Si la proporción de líquido a sólido es pequeña, el proceso se vuelve similar al de la mezcla de sólidos con sólidos. El campo de la mezcla de líquidos con líquidos está representado por una pequeña lista de equipo relativamente estandarizado. Los otros casos muestran una variedad de dispositivos mucho más amplia. Un concepto para diferenciar los requerimientos de mezclado es la diferencia entre los criterios físicos del proceso. Otra forma de clasificación de los sistemas es según el tipo de proceso, químico o de transferencia. Esto se muestra en la Tabla 7.1. Tabla 7.1 Sistema de clasificación para procesos de mezclado

Partiendo del punto que la agitación es la mejor manera de obtener una mezcla, se describirá a continuación los sistemas de agitación.

7.3.1 Sistemas de agitación Un sistema de agitación consta de los componentes necesarios para realizar la operación, y describe el proceso para generar los movimientos violentos en el fluido, así como el equipo y el recipiente utilizado.

7.4 AGITADORES Los dispositivos mecánicos que se emplean para producir agitación son extremadamente variados, empezando desde las batidoras caseras de huevos hasta los molinos coloidales de alta velocidad. Los siguientes son los tipos de agitadores más importantes.

7.4.1

Agitadores rotatorios

Los aparatos de agitación más utilizados, son los de tipo rotatorio, que consisten generalmente, en un órgano giratorio, al que se llama impulsor, que entra en movimiento impulsado por un eje. Alberto L.Huamaní Huamaní

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Por el ángulo que forman las aspas con el plano de rotación del impulsor, la clasificación de los agitadores rotatorios:

7.4.2

Clasificación de agitadores o impulsores

Estanques con impulsor (a) Propulsor de tres hojas o propulsor marino Flujo axial. Obtener máxima turbulencia Se emplea a altas velocidades (hasta 1800 rpm) Varias versiones diferentes, para diversas aplicaciones: intercambio de calor, mezclado, dispersión, suspensión y reacción  Aplicable a fluidos viscosos, hasta 4000 cP (agua ≈ 1)  Raramente superan las 18 pulgadas de diámetro   

(b) Turbinas de hojas planas • Flujo radial. Flujo choca con la pared • Versátil. Diseño simple • Para fluidos hasta 105 cP • Existen buenas correlaciones para lograr un diseño racional • Su comportamiento es el más predecible de los impulsores

(c) Turbina de disco y hojas • Corrientes radiales y axiales • El disco posee un efecto estabilizante • Se encuentran también con hojas curvas • Cubren entre el 30-50 % del diámetro del estanque

(d) Turbina de hojas inclinadas • Combina flujo radial con flujo axial • Especialmente útil para mejorar la transferencia de calor con las paredes o

serpentines

(e) Turbina de hojas curvas • Especialmente útil para dispersar materiales fibrosos • Poseen un torque inicial menor que las hojas rectas

(f) Turbina cubierta • Flujo radial intenso • Especial para emulsiones y dispersiones

(g) Impulsor de disco con dientes de sierra Alberto L.Huamaní Huamaní

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• Tipo propulsor • Aplicaciones en emulsiones y dispersiones • Produce un efecto local ⇒ no necesita bafles

(h) Batidora de jaula • Normalmente van junto con un propulsor • Para cortar y batir (mermeladas?)

(i) Paletas de ancla • Se ajustan a los contornos del estanque. Cubren entre 50-80% del estanque • Malos mezcladores • Previenen la adhesión de materiales pegajosos • Promueven la buena transferencia de calor con las paredes • (1⋅105 cP ≤ μ ≤ 1⋅106 cP)

(j) Paleta de compuerta • Tipo paleta • Velocidades bajas • En estanques amplios y bajos • Para fluidos viscosos y que requieren poco esfuerzo de corte

(k) De eje e impulsor huecos • Se utilizan a altas

velocidades para disipar gases

(l) Impulsor de hélice con calefacción • Mueven directamente todo el fluido • Barren la superficie de las paredes del estanque • Se pueden usar efectivamente con Reynolds bajos • Para líquidos muy viscosos (1 ⋅105 cP ≤ μ ≤ 1⋅106 cP)


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Figura 7.2. Impulsores o agitadores típicos Los agitadores antes mencionados, se pueden clasificar en rodetes de flujo axial y rodetes de flujo radial. Los tres principales tipos son: turbinas, palas y hélices, los cuales cubren el 95% de todos los problemas de agitación.


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7.4.3


Clasificación de acuerdo al tipo de flujo generado

Los agitadores antes mencionados, se pueden clasificar en rodetes de flujo axial y rodetes de flujo radial. Los tres principales tipos son: turbinas, palas y hélices, los cuales cubren el 95% de todos los problemas de agitación.

Figura 7.3. Rodetes de mezcla. (a) hélice marina de 3 palas; (b) turbina abierta de palas rectas; (c) turbina de disco con palas; (d) turbina abierta de palas curvas.

7.5 TANQUE DE AGITACIÓN El tanque de mezcla o recipiente agitado es el elemento más comúnmente utilizado en equipo de agitación. Esto se debe a la considerable flexibilidad en cuanto a las condiciones de flujo que se pueden realizar en él. Tinas de mezcla y tanques de almacenamiento son los segundos elementos comúnmente utilizados en aparatos de mezcla. Los recipientes cilíndricos son preferibles a los de sección cuadrada o rectangular; el fondo no es conveniente que sea plano ni cóncavo al exterior, para evitar el asentamiento de partículas. El diámetro del tanque está restringido a DT< 4.6 m por motivos de transporte. Por tanto un incremento en el volumen de líquido es posible solamente con un alargamiento de la altura del recipiente. De tal modo, dos desventajas deben tomarse en cuenta: a) el eje del agitador se vuelve más largo y se pueden requerir rodamientos a lo largo de su longitud, b) se incrementa el tiempo de agitación. Para la mayoría de operaciones de agitación, la relación más favorable entre la altura y el diámetro del tanque es H T/DT=1.


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Figura 7.4: Tanque de agitación Accesorios internos en el tanque incluyen: deflectores, bobinas, sensores, y tuberías de alimentación y drenaje. Todos estos accesorios pueden afectar el proceso de agitación

7.5.1 Clasificación del recipiente de agitación 7.5.1.1 Recipientes sin deflectores Al agitar un líquido en un recipiente mediante un agitador posicionado axialmente, habrá una tendencia a que se desarrolle un flujo de remolino, independientemente del tipo de impulsor que se utilice. Al encontrarse el líquido en rotación, se produce un vórtice debido a la fuerza centrífuga que actúa sobre el líquido que gira. En caso de rotación rápida de los agitadores y fluidos de baja viscosidad, el vórtice puede alcanzar la cabeza del agitador con el resultado que el agitador arrastre aire en el líquido. Esto es generalmente indeseable porque resulta en esfuerzos extraordinariamente grandes sobre el eje del agitador, los apoyos y juntas, debido a la ausencia del “soporte de líquido”.

Esto a menudo conduce a la destrucción del agitador. Incluso cuando la formación del vórtice no causa entrada de aire, la rotación del líquido es siempre indeseable cuando se refiere a un sistema de dos fases con diferentes densidades, ya que la fuerza centrífuga contrarresta el proceso de agitación. En la Figura 7.5 puede verse el patrón usual de flujo en un recipiente sin deflectores.


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Figura 7.5: Patrón usual de flujo en un recipiente sin deflectores

7.5.1.2 Recipientes con deflectores La rotación del líquido en tanques cilíndricos se previene con la instalación de deflectores que son bandas planas verticales, situadas radialmente y a lo largo de la pared del tanque. La llamada “deflexión completa” se realiza con cuatro deflectores.

a) Deflectores La anchura habitual para los tabiques deflectores es de D T/10, donde DT es el diámetro del recipiente. Las zonas muertas en la dirección del flujo detrás de los deflectores se pueden evitar usando deflectores de D T/12 de ancho, estableciendo una separación con la pared del recipiente, con lo cual se logra también minimizar la acumulación de sólidos sobre ellos o bien en su parte posterior. La utilización de tabiques deflectores da como resultado una gran circulación desde la parte superior al fondo del recipiente, sin que se formen vórtices ni se ejerzan tensiones no balanceadas del flujo sobre el eje de impulsión. Los deflectores no son necesarios si la agitación se lleva a cabo en recipientes de sección transversal rectangular o cuando el agitador se monta lateralmente en la pared del tanque. En caso de agitación débil, la rotación del líquido se puede prevenir instalando el agitador excéntricamente y/o en ángulo con respecto al eje del tanque.

7.6 DISEÑO DE ELEMENTOS A CONSTRUIR 7.6.1 Propiedades y parámetros de diseño relevantes     

viscosidad (μ) densidad (ρ) tensión superficial (σ) conductividad térmica (k) capacidad calorífica (cp)


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7.6.2 Parámetros físicos importantes

        

Diámetro del impulsor (d) Nº de revoluciones (N) Altura del líquido (H) Nº de baffles (4 es lo estándar) Diámetro del estanque (Dt) Espesor de los baffles (w) Offset lateral e inferior del baffle Posición del impulsor Ancho de la hoja del impulsor

Figura 7.6. Estanque de agitación con dimensiones típicas.

7.6.3 Problemas típicos: prevención de flujo circulatorio


12



Figura 7.7: Prevención de flujo circulatorio

Figura 7.8: Prevención de flujo circulatorio

7.6.4 Fundamentos del diseño de estanques agitados El diseño de un estanque agitado está orientado a lograr el grado de mezcla requerido, con el menor consumo posible de energía. Existen correlaciones empíricas que permiten dimensionar cierto tipo de impulsores, dada una configuración geométrica estándar del estanque. Primero discutiremos estos aspectos geométricos y luego presentaremos en las clases siguientes, los procedimientos de diseño para el dimensionamiento de los impulsores.

Baffles •

• • •

• Salvo en el caso de

utilizar Re muy grandes, los baffles son necesarios para evitar vórtices y rotación del fluido como un todo. La configuración más estándar de un baffle es: Espesor ⇒ J = Dt/12 (4 baffles equiespaciados es lo estándar). Largo ⇒ desde Da/2 desde la sección recta del fondo del estanque hasta cerca del nivel del líquido. Para el caso de líquidos con sólidos suspendidos o bien cuando se requiere transferencia de calor con las paredes, los baffles se ubican a una distancia equivalente a 1/6 de su espesor, de la pared del estanque.

Tubos de tiraje o aspiración •

Éstos son tubos cilíndricos de diámetro poco mayor que el impulsor.


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El largo va desde un poco más del diámetro del impulsor, hasta la altura del líquido, dependiendo de la aplicación. • Normalmente se utilizan con impulsores axiales (propulsores) para dirigir los flujos de succión y descarga. • Son especialmente útiles para mantener sólidos suspendidos y dispersar gases en estanques profundos. •

Figura 7.9. Tubos de aspiración en un tanque con placas deflectoras: (a) turbina; (b) hélice.

El estanque •

Normalmente el fondo tiene forma de plato, pues el consumo de energía en la agitación es menor, además de evitar “espacios muertos”.

•

La relación óptima H/Dt para el caso de un impulsor es 1, en que el impulsor se ubica en el centro del estanque. Si H/Dt > 1 ⇒ zonas muertas.

Impulsores • • • •

Tamaño: éste depende del tipo de impulsor, propiedades del fluido, objetivos de la agitación y geometría del estanque. Por ejemplo, para el impulsor de turbina: 0.3 ≤ Da/Dt ≤ 0.6 o bien: 0.2 ≤ Da/Dt ≤ 0.5 (turbulento) y 0.7 ≤ Da/Dt ≤ 1 (laminar) Velocidad: la velocidad de los motores y moto/reductores se encuentran sólo en ciertos valores: 37, 45, 56, 68, 84, 100, 125, 155, 190 y 320 RPM.

Normalmente no se justifica sistemas de velocidad variable. Cuando el torque es muy grande, se requieren sistemas con 2 velocidades.

Ubicación de los impulsores •

Aquí se puede encontrar gran variedad de opiniones. En principio se puede ubicar a H/6 del fondo del estanque.


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•

Para el caso de suspensión de sólidos, se recomienda Da/3 del fondo.

La siguiente tabla da recomendaciones más generales:

Tabla 4.1. Recomendaciones generales para la ubicación de impulsores.

7.6.5 Calculo de Torque •

•

Define el costo de inversión (motor, eje, etc.). P

T q



T q

 k 2  N Da 3

2 N

 k 1  N 2

Da

5

Régimen turbulento

(7.1)

Régimen laminar

(7.2)

El torque por unidad de volumen, se puede expresar en términos de la velocidad angular, de la siguiente manera: 3

 D   k 3  U t  a  V  Dt 

T q

(7.3)

2

3

 D   k 4  N  a  V  Dt 

T q

(7.4)

7.6.6 Velocidad en el extremo del impulsor (tip speed) •

Corresponde a la velocidad angular (2 π⋅ N) multiplicado por el radio del impulsor (Da/2). U t

  N Da

(7.5)

7.6.7 Números adimensionales importantes Reynolds (Re) El N° de Reynolds representa la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerza sviscosas. En agitación se presentan tres regímenes de flujo: laminar, transición (10-10.000) y turbulento.


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Operaciones de Molienda y Transporte de Alimentos 2

N Re



Da N  



U t Da  


(7.6)

Número de Potencia (Np) Es proporcional a la relación entre la fuerza de rozamiento que actúa sobre una unidad de área del rodete y la fuerza inercial. Este número presenta una buena correlación con el N° de Reynolds con baffles. P0



P

  N  Da 3

5

(7.7)

Número de Froude (Fr) Es una medida de la relación entre la fuerza inercial y la fuerza gravitacional por unidad de área que actúa sobre el fluido. Es útil en el análisis y escalamiento de estanques sin baffles. Fr 

N 2 Da g

(7.8)

Número de mezclado (B) Es la velocidad de rotación (N), multiplicado por el tiempo de mezclado. Define un tiempo de mezclado adimensional. B  N * t

(7.9)

7.6.8 Cálculo de Potencia Para poder estimar la potencia que se requiere para hacer girar un rodete dado con una velocidad determinada, es necesario disponer de correlaciones empíricas de la potencia (o Np) en función de otras variables del sistema. Se requiere conocer las medidas importantes del estanque y agitador: distancia del rodete al fondo del estanque, profundidad del líquido, dimensiones de placas deflectoras, número y disposición de éstas, número de palas de rodete, propiedades del fluido. Las características antes mencionadas pueden convertirse en relaciones adimensionales, llamadas factores de forma. Se calculan dividiendo cada uno de los términos por uno que se tome como base. Ejemplo: diámetro del rodete. Dos mezcladores que tienen las mismas proporciones geométricas, pero diferentes tamaños tendrán iguales factores de forma. En este caso podremos decir que son geométricamente semejantes o que poseen semejanza geométrica. La potencia consumida define el costo de la operación.


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a) Cálculo de potencia: casos límite Para bajos números de Re (Re < 10) las líneas de Np v/s Re coinciden para un estanque con y sin placas deflectoras (ver gráfico de próxima página), y la pendiente de la línea en coordenadas logarítmicas es ( – 1). En este intervalo el flujo es laminar, la densidad no influye y la ecuación de potencia se transforma en: P  k L N Da  2

3

(7.10)

En estanques con placas deflectoras, para números de Reynolds superiores a 10.000, el número de potencia es independiente del número de Re y la viscosidad ya no influye. En este intervalo el flujo es totalmente turbulento.

Cuando el flujo en el tanque es turbulento , la potencia necesaria puede estimarse a partir del producto del flujo generado por el rodete y la energía cinética por unidad de volumen del fluido, resultando la siguiente ecuación:

P  k T N Da  3

5

(7.11)

Valores K T y K L típico quedan representados en la siguiente tabla: Tabla 4.2. Valores de las constantes K L y K T para estanques con cuatro palas deflectoras en la pared, cuyo ancho es igual a la décima parte del diámetro del estanque.

b) Cálculo de potencia: uso de gráficos Potencia para estanques con placas deflectoras

En la figura 7.10 se representan curvas típicas para Np v/s Re en el caso de estanques con placas deflectoras, equipados con turbinas de 6 placas planas localizadas centralmente. Alberto L.Huamaní Huamaní

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Las letras Si corresponden a los factores de forma. En términos de las dimensiones del reactor y agitador: S 1

S 4





Da Dt

W Da





1 3

1 5

S 2



S 5



E Da

J Dt

1



1 12

S 3



S 6

L Da





1 4

H Dt

(E: altura del rodete sobre el fondo del estanque) La curva A corresponde a palas verticales con S 4 = 0.25; la curva B es para un rodete similar pero con palas más estrechas (S 4 = 0.125). La curva C es para una turbina de palas y muy similar a la curva B. La curva D es para un estanque sin placas deflectoras.

Figura 7.10. Número de potencia Np versus Re para turbinas de seis palas. Para la porción de trazos de la curva D, el valor de Np que se obtiene de la figura hay que multiplicarlo por NFr m.

Potencia para estanques sin placas deflectoras Para bajos números de Re (< 300), las curvas para estanques con y sin placas deflectoras son idénticas. Sin embargo, las curvas divergen para Re más elevados (ver Fig. 7.10 y las curvas B, C y D de Fig. 7.11). En esta región se forma un vórtice y tiene influencia el número de Froude. La ecuación para Np se modifica, de tal forma que:


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La curva A de la figura 7.11 corresponde a un rodete de tres palas instalado centralmente es un estanque con placas deflectoras. Las hélices y las turbinas con placas deflectoras presentan un consumo de potencia considerablemente menor que una turbina con placas verticales.

Figura 7.11. Número de potencia Np versus Re para turbinas de tres palas. Para las porciones de trazos de las curvas B, C y D, el valor de Np que se obtiene de la figura hay que multiplicarlo por NFr y. Np'  Po Fr  y

(7.12)

El exponente de la ecuación anterior, para un conjunto dado de factores de forma, está empíricamente relacionado con el número de Re por la ecuación: y



a  log10 Re  b

(7.13)

Donde a y b son constantes. La siguiente tabla da valores de las constantes a y b para las curvas de la figuras 7.10 y 7.11. Para utilizar las curvas de línea punteada de las figuras 7.10 y 7.11 hay que corregir el número de potencia (Np), leído de la escala de ordenadas, multiplicándolo por (NFr) y. Tabla 4.3. Las constantes a y b para los impulsores más comunes. Tipo de impulsor a b De disco y hojas (6)

1,06

2,17

De hojas planas (4)

1,01

2,30


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De hojas inclinadas (4)

0,641

2,19

Propulsor marino

0,274

1,73

7.6.9 Selección del tanque de mezclado Se selecciona un tanque cónico, ya que es el que tiene la boca más amplia, esto facilita el montaje del impulsor y la limpieza del tanque de mezclado. S 1

S 6





Da Dt

H Dt



1 3

S 2



E Da

1

S 3



L Da



1 4

S 4



W Da



1 5

S 5



J Dt



1 12

1

Donde: Dt : diámetro del tanque H : altura del liquido en el tanque Da : diámetro de agitador E : altura del agitador W : espesor de la paleta L : longitud de la paleta

Figura 7.12: Sistema de tanque de mezclado

7.6.10 Determinación de la velocidad angular del impulsor El número de revoluciones por minuto que proporcionan la mayoría de motores eléctricos que se comercializan normalmente, es 1730 r.p.m. y 3500 r.p.m.


20



Los impulsores de turbina trabajan a velocidades elevadas o medias, considerándose elevadas de 300 a 1000 rpm y medias de 100 a 300 r.p.m. Para reducir el consumo de potencia se decide trabajar con velocidades medias, para lo cual se utiliza un motor eléctrico de 1730 r.p.m., ya que se acerca más a estas condiciones de velocidad, sin embargo, aún se requiere un reductor de velocidad. Para obtener velocidades de salida del reductor de 100 a 300 r.p.m. y con una velocidad de entrada de 1730 r.p.m., normalmente se encuentra reductor de velocidad con relaciones de transmisión de 10:1 y 15:1. Se escoge trabajar con la relación de transmisión 15:1, que proporciona velocidades de salida más bajas, y con esto se tiene un menor consumo de potencia.

7.6.11 Cálculo de la potencia consumida Se define el Número de Potencia, Po, dicho valor determina la potencia absorbida por el fluido. P0

P0





Fuerza externa Aplicada Fuerza Inecial del fluido

Po  g c   N  Di   1 Di3    N 2  Di

(7.14) (7.15)

Donde Po : Potencia externa entregada por el agitador [Kgf m /s] 1 HP = 76 Kgf m/sec gc :Factor de conversión : 9.8 kg m/Kgf sec 2 N : Velocidad de rotación del impeler [rps ] Di : Diámetro del impeler [m] δ Densidad del Fluído [kg/m 3] Np = f( NRe modificado nDi2 r/m , geometría del sistema) Calculo de potencia Po



P  gc

  N 3  Da

5

(7.16)

Donde: P: Potencia externa entregada por el agitador [Kgf m /s] 1 HP = 76 Kgf m/sec gc :Factor de conversión : 9.8 kg m/Kgf sec 2 N : Velocidad de rotación del impeler [rps ] Da : Diámetro del impeler [m] δ : Densidad del Fluído [kg/m 3] Np = f( NRe modificado nDi2 r/m , geometría del sistema)


21


Operaciones de Molienda y Transporte de Alimentos 2

N Re 

7.6.11.1

Da N 



(7.17)

Fluidos neutonianos

a) Primer caso: Tanque sin placas deflectoras - La ecuación a usar es Po y

Fr

 c(Re) x  

P  Po N 3 Da5

-

Dimensiones característica: Identificar la curva en la figura S 1



Da

S 4



W

Dt

Da



1



1

3

5

S 2



S 5



E Da

J Dt

1



1 12

S 3



S 6

L Da





H Dt

1 4

1

Tipo de agitador: y



a  log(Re) b 2

Fr 

P0

N Da g

  * Fr y


22



P  Po N Da 3


5

23



Figura 7.13: Numero de Potencia para turbinas, hélice y paletas

24




Curva D

a 1

b 40

Figura 7.14: Numero de Potencia para turbinas de 6 palas


25



Curva D

a 1

b 40

Figura 7.14: Numero de Potencia para turbinas de 6 palas

25




Curva


a

b

B

1,7

18

C

0

18

D

2,3

18

26



Curva

a

b

B

1,7

18

C

0

18

D

2,3

18

26




b) Segundo caso: Tanque con placas deflectoras - No existe remolino - La gravedad no tiene efecto - Fr no afecta - Dimensiones característica: Identificar la curva en la figura

Tipo de agitador:

P  Po N 3 Da5



b) Segundo caso: Tanque con placas deflectoras - No existe remolino - La gravedad no tiene efecto - Fr no afecta - Dimensiones característica: Identificar la curva en la figura

Tipo de agitador:

P  Po N 3 Da5


27



Figura 7.15: Curva de potencia para agitación de líquidos de baja o moderada viscosidad. Tanques agitados con placas deflectoras



28


Figura.7.16: Curva de potencia para agitación de líquidos de baja o moderada viscosidad. Tanques agitados sin placas d eflectoras


29



Figura.7.16: Curva de potencia para agitación de líquidos de baja o moderada viscosidad. Tanques agitados sin placas d eflectoras

29




7.6.11.2 Fluidos no neutonianos  a Velocidad de deformación

     a  k     

n 1

Viscosidad aparente

Para pseudoplasticos 

   N

Beta depende del agitador y geometría del sistema

Tabla : Valores de la constante β de la ecuación Tipo de agitador β Turbina de disco con 6 palas

11.5

Turbina de 6 palas inclinadas 45°

13

Hélice (paso = Da)

10

Ancla ( Da/Dt = 0.98

24.5



7.6.11.2 Fluidos no neutonianos  a Velocidad de deformación

     a  k     

n 1

Viscosidad aparente

Para pseudoplasticos 

   N

Beta depende del agitador y geometría del sistema

Tabla : Valores de la constante β de la ecuación Tipo de agitador β Turbina de disco con 6 palas

11.5

Turbina de 6 palas inclinadas 45°

13

Hélice (paso = Da)

10

Ancla ( Da/Dt = 0.98

24.5

Cinta helicoidal (da/Dt=0,96, paso = Da)

29,4

Para dilatante 1/ 2

 D    12.8 N  a   Dt  



 a

  k      

(3.15)

n 1


(3.16)

30



7.6.11.3

Tanques Aireados

Na = numero de aireación Grado de dispersión de los burbujas en los proximidades del agitador. Na 

Q NDa3

(3.17)

Q = caudal volumétrico del aire por cada volumen de medio Pg P Pg P

 f ( N a )  1  1.26 Na

Pg: potencia obtenida en el sistema aireado P : potencia obtenida en el sistema no aireado

Figura 7.18: Necesidades de potencia para la agitación de tanques aireados


31



A: turbina de palas planas (8 palas) B: turbina de disco (8 palas) C : turbina de disco(6 palas) D: turbina de disco (16 palas) E : turbina de disco (4 palas) F: agitador de pala plana (Dt/Da=3; Dt/Ha=3;J/Dt=0.1)

7.7 ESCALAMIENTO EN SISTEMAS DE AGITACIÓN El escalamiento se realiza en función de los siguientes criterios: 1) Tamaño del tanque V 1 

V 1



 Dt 21 4

Dt 1

* H 1

 H 1

 Dt 31

4

Para las condiciones 2 3  Dt 2 V 2  4 Relacionando ambas condiciones Dt 31  V 1 V 2

4 Dt 32 



→ Dt 2

3

V 2 V 1

3

Dt 1

H 2  Dt 2

J 2



Dt 2

12

4

Dt 2 Da2

3

2) Igualdad del número de Reynolds N 1  Da21

 2

N 1 Da1



N 2  Da22



 N 2 Da22


32



3)

Igualdad de potencia por unidad de volumen (P/V) 3

Po N 1 Da51

 Dt 1

2

4

3



* H 1

Po N 2 Da52

 Dt 2 4

3

5

N 1 Da1

2

3

Dt 1

* H 2

3



5

N 2 Da 2 Dt 2

3

N 13 Da21  N 23 Da22 4) Igualdad de velocidad típica N 1 Da1

 N 2 Da 2

7.8 EJERCICIOS RESUELTOS 7.8.1 Un tanque provisto de bafles para vino, que tiene un impulsor de turbina de disco de 6 aspas planas de 0,41m de diámetro que gira a 115rpm. Se tiene los siguientes datos a 20°C densidad igual a 998 kg/m 3, la viscosidad 0.001003 Kg/m-s. Calcule la potencia consumida. Solución 1) Primero calculamos NRe

0,41m2 x 1,917 rev/s

N Re



N Re

 3,205 x10 5

998kg/m3

0,001003kg / m  s

2) Caso tanque con placas deflectoras y agitador de turbina de disco de 6 aspas planas - Re › 300 - Tanque con placas deflectoras

- no existe remolino - g no tiene efecto - Fr no afecta

- Dimensiones características ( Dt

H , t , J ) Da Da Dt

Ecuación a usar es: PO  cRe 

x

- turbina de disco de 6 aspas planas 3) De la Figura 1 con Re y se tiene para elegir entre las Curvas nº 1,2 y 4, ya que no se tiene otra información, se elegirá la curva n° 4, por la siguiente razón que generará menor número de potencia. Po

4


33



 Po  3 5  N D  g  c 

P  

   4  1,917rev / s 3 0,41m5 998kg / m3  P  1 kg m     N s 2  La potencia consumida por el impulsor de turbina de disco de 6 aspas planas utilizado para la mezcladora de vino de frutas es: P  325,82 W

P  0,44 HP

La potencia de diseño debe tomar en cuenta la eficiencia del rodamiento y del reductor de velocidad. La eficiencia del rodamiento de bolas es 0,99. Una eficiencia común de los reductores de velocidad encontrados en el mercado es 0,83. Se usa estos valores para encontrar la potencia de diseño. Potencia de diseño 

Potencia de diseño 

P 0,99 x 0,83 0,44 HP

0,99 x 0,83

Potencia de diseño  0,53 HP

Con la potencia de diseño se selecciona el motor eléctrico y el reductor de velocidad. Potencia: 0,53 HP Velocidad: 1730 RPM Voltaje: 220-440 V Frecuencia: 60 Hz Número de fases: Trifásico

7.8.2 Se tiene el tanque con las siguientes características: D t = 1,8m, Da = 0,6m, J = 0,18m, H = 1,8m, E = 0,6 m; y se desea mezclar una leche fresca con acido fólico con un agitador de 3 hélices (paso = Da) que gira a N = 90 rpm. La leche enriquecida tiene las siguientes características de la solución:  = 12 cp = 0,012 kg/m-s,  = 1037 kg/m3. Calcular la potencia consumida en los siguientes casos: a) Sin considerar los bafles b) Considerando que tiene 4 placas deflectoras

SOLUCIÓN Alberto L.Huamaní Huamaní

34



Datos del equipo:

Características del líquido:

Dt  1,8m

Da

  12cp  0,012

 0,6m

  1037

E  0,06m N  90rpm 

90 60

Características del agitador:

kg

- con 4 bafles

m.s

kg

- Hélice 3 (paso =Da)

m3

 1,5rps

H  1,8m J  0,18m

Relación de medidas: Re 

N  Da2  a

(1,5)(1037)(0,6) 2 =  46665 0,012

Re  46665

a. Caso tanque con placas deflectoras y agitador de 3 hélices (paso = Da) - Re › 300 - Tanque con placas deflectoras


PO  cRe 

x

- Dimensiones características ( Dt

H , t , J ) Da Da Dt

Dt Da



1,8m 0,6m

3

H Da



1,8m 0,6m

3

J Dt

Ecuación a usar es:



0,18m 1,8m

 0,1

- Agitador de hélice (paso = Da)

Es la curva nº 5 de Fig. 1

De la Figura 1 con Re y Curva nº 5,

P o = 0,35

Calculo de P


P  Po N 3 Da5

35



P  0,35(1037)(1.5) (0.6)  95,25 W 3

5

P = 95,25 W Potencia de diseño 


P 0,99 x 0,83 0,127 HP 0,99 x 0,83

Potencia de diseño  0,130 HP Potencia de diseño  0,50 HP

b. Tanque sin bafles o placas deflectoras, Re > 300 - Re › 300 - Tanque sin placas deflectoras

PO

- Dimensiones características Dt

Da

Dt Da



1,8m 0,6m

3

H Da



1,8m 0,6m

  Fr  y

Fig. 2

H , t , J Da Dt

J

3

Dt

- Agitador de 3 hélices



0,18m 1,8m

 0,1


Cálculos Fr 

y 

P0 Fr y

N 2 Da g

a  log(Re) b

2

Fr 

y 

N Da g



1,52 (0,6) 9,81

2,1  log(46665) 18

 0,1376

 0,143

   0,20

Calculo de Po Alberto L.Huamaní Huamaní

36



Po   Fr 

y

P0



0,143

Po  0,200,1376

 0,2921

P

 N 3 Da5

Cálculo de Potencia (P) P  Po N 3 Da5 P

 0,2921(1037)(1,5) 3 (0,6) 5  79,46 W

P  79,46 W



P  0,11 HP

P 0,99 x 0,83

0,11 HP 0,90 x 0,80



7.8.3 En un tanque cilíndrico de 20L de capacidad y 30 cm de diámetro, desprovisto de bafles, se lleva a cabo una fermentación a escala laboratorio. Para conseguir homogeneidad en todo el medio se utiliza un agitador de hélice de tres palas (paso =Da) de 10 cm de diámetro que opera a 120 rpm. Calcular la potencia consumida en los siguientes casos: 3 Datos:   1200kg / m  a  0,55kg / m.s

Solución Datos del equipo: Sin bafles


V  20 L  0,020m3 Dt  0,3m

  1200

 a

kg m3

 0,55kg / m.s

E  0,06m

Características del agitador: - Hélice 3 (paso =Da) - N  120rpm  2rps Da  0,1m

Cálculos de Relación de medidas:


37



Dt Da



0,3m 0,1m

3

H



Da

H

0,1m

 2 Dt H 4 H 0,283   2,83 0,1 Da V l 

Re 

N  Da2  a

=

H 

0,020

 / 4(0,3)2

212000 ,12 0 ,55

 0,283

H  0,283

 43 ,64

- Re ‹ 300 - Tanque sin placas deflectoras

La ecuación a usar es

P  Po N 3 D 5a Po

- Dimensiones características Dt

H , t , J y Da Da Dt Fr

- Agitador de 3 hélices

 c(Re)x  


De la Figura 2 se obtiene: Po

   1,4 ,

y

Fr

de la Tabla a= 2,1

b= 18

Calculamos y y 

a  log(Re) b

y 

2,1  log(43,64) 18

 0,026

Calculo de Fr Fr 

N 2 Da g




22 0,1 9,81

 0,41

38



Calculo de Po

  Fr y  1,40,410,026  1,37

PO

Calculo de P

P  Po N 3 Da5

 1,37 (1200)( 2) 3 (0,1) 5  0,13 W

P

P  0,13 W

7.8.4 Un fermentador de 40 m 3 se emplea en la producción de levadura. El sistema esta dotado de un agitador de turbina estándar de 6 palas planas de 1,2 m de diámetro, y esta equipado con 4 tabiques deflectores de ancho de 0,36m la relación altura diámetro del tanque es 1:1 el agitador opera a 60 rpm y la velocidad de aireación es 0,3 m 3 de aire/ m3 del volumen del medio por minuto. Datos:  medio  1100kg / m3  medio  0,03kg / m.s Calcular: a. Potencia necesaria sin aireación b. Potencia necesaria cuando el sistema se encuentra aireado Solución Datos del equipo: Con bafles


V  40m3

  1100

Dt  0,3m

  0,03

J  0,36m

Qaire

H Dt

kg

Características del agitador - turbina de 6 paletas planas

m3 kg

rp s - N  60rpm  1rps

m.s

 0,3 m3aire/ m3medio

Da

 1,2m

 1,1

Relación de medidas: V l



 2 Dt H 4

V l



 2 Dt 1,1Dt  4

40 

 3 Dt 1,1 4

Dt  3,6m

H  1,13,6  3,96m

Calculo de Re Re 

N  Da2  a

=


(1)(1100)(1,2) 2 0,03

 52800

39



a) Potencia para una agitación sin aireación - Re › 300 - Tanque con placas deflectoras - Dimensiones características ( Dt

Da

Dt Da



3,6m 1,2m

H

3

Da



3,96 1,2


Ecuación a usar es: PO  cRe 

x

H , t , J ) Da Dt

 3,3

- Agitador de turbina de 6 paletas planas

J Dt



0,36m 3,6m

 0,1


De la Figura 1 con Re y Curva nº 2 se obtiene número de potencia.

Po = 7 Calculo de P P  Po N 3 Da5 P  7(1100)(1) (1,2)  116,38 W 3

5

P = 16,38 W b) Agitación con sistema de aireación Qaire  0,3 m3aire / m3medio Qaire



0,3 m3aire 40m3 . min 3

m medio. min

60s

 0,2m3aire / s

Calculo de número de aireación

Na 

Na

Q

  3 a

N D

0,2



 0,11 6


(1

rev s

m

3

s

)(1,2m)

 0,116 3

40



En el grafico Na x10 2 = 0,116 x100 = 11,6 Pg

En la Figura turbina de 6 palas y Na determinamos

P

A

2

Na x10 = 11,6

Pg P

 0,53

Pg

 0,53 P

Pg

 8,68W

Pg

 0,5316,38  8,68W

7.8.5 Se ha efectuado el diseño de un tanque agitado para la fabricación de zumos de fruta, a partir de ensayos realizados en uno de menor tamaño en el laboratorio. Las dimensiones y las velocidades de agitación de ambos tanques son: Tanque Volumen (L) Diámetro tanque (m) N (rpm) Laboratorio 25 0,3 1200 Industrial 1600 1,2 300 Ambos tanques están provistos de un agitador de turbina de 6 palas planas  Dt / Da  3 y de 4 placas deflectoras de 3 y 12 cm respectivamente. Calcular: a) Criterio de extrapolación utilizado para el cambio de escala b) Potencia necesaria para la fabricación de zumo de naranja en el tanque industrial   1100 kg / m3 ,   1,5cp Solución Dt Da

a)

3

A partir de los datos del enunciado determinamos el criterio de extrapolación.


41



5) Igualdad del número de Reynolds N 1 Da21

 N 2 Da22

1200  0,3    60  3  300  1,2 

2

 0,2

2

NO SE CUMPLE este criterio seguimos

   0,8 60  3 

6)

Igualdad de potencia por unidad de volumen N 13 Da21  N 23 Da22 3

2

 1200   0,3       80 60 3     3

2

 300   1,2   20     60   3 

NO SE CUMPLE este criterio seguimos

7) Igualdad de velocidad típica N 1 Da1

 N 2 Da 2

1200  0,3  60

300  1,2 

 2  3 

60

CUMPLE , se usará este criterio de

 2  3 

extrapolación b) Cálculo de potencia para el tanque industrial Asumiendo las dimensiones estándar Dt Da

3

J Dt

 0,1

Calculo del diámetro del tanque y agitador J Dt

 0,1

0,12 Dt

N 1 Da1  N 2 Da 2

 0,1

Dt  1,2 m

Da



Dt

3



1,2 3

 0,4

 cte  2 rps

N 2 (0,4)  cte  2 rps N 2  5 rps


42



 N  Da 

2

Re 

Re 



110050,42 0,0015

 586666,7

Calculo de potencia - Re › 300 - Tanque con placas deflectoras


- Dimensiones características Dt Da

3

H t Da

J

3

Dt

PO

 cRe x

 0,1

- Agitador de turbina de 6 palas


De la Figura 1 con Re y curva nº 2 se obtiene Po =7 Potencia (P) P  Po N 3 Da5 P  711005 0,4 3

5

 9856 J / s

P  9856 W Potencia de diseño 


P 0,90 x 0,80 13,14 HP 0,90 x 0,80


7.8.6 En dos modelos reducidos de dimensiones estándar se ha conseguido la mezcla deseada de una suspensión de densidad   0.888 g/cc y una viscosidad   1000cp , en las siguientes condiciones: Tanque Volumen (m3) Diámetro tanque (m) N (rpm) Laboratorio 10 0,25 1273 Industrial 80 0,50 637 Calcular: a. b.

Criterio de extrapolación mas adecuado Condiciones que deberá cumplirse en tanque industrial de 3 m de diámetro, dimensiones estándar, provistas de 4 placas deflectores y un agitador de turbina


43



de 6 palas planas si se utiliza como criterio de extrapolación el obtenido en apartado anterior. La velocidad de agitación del tanque anterior apartado b, si este esta desprovisto de bloques deflectores y se desea mantener constante la potencia del motor de agitación del caso anterior.

c.

NOTA: se denomina tanque de dimensiones estándar a aquel que cumple: Dt Da

J

3

Dt

 0,1

SOLUCION b)

A partir de los datos del enunciado se determina el criterio de extrapolación. 1) Igualdad del número de Reynolds 2

N 1 Da1

 N 2 Da22

1273 0,25  60

2

   0,147  3 

637  0,5    60  3 

2

 0,295

no se cumple este criterio seguimos

2) Igualdad de potencia por unidad de volumen N 13 Da21  N 23 Da22 3

2

 1273   0,25   66,3     60   3  3 2  637   0,5   33,24     60   3 

no se cumple este criterio seguimos

3) Igualdad de velocidad típica

N 1 Da1  N 2 Da 2 1273 0,25  60

   1,768 3  

637  0,5  60

   1,769  3 


Cumple, por tanto se usara este criterio de extrapolación

44



4) Cálculo de potencia para el tanque industrial Dt  3m

Da

N 1 Da1  N 2 Da 2



Dt

3

 1m

J  0,1 Dt  0,1(3)  0,3

 cte  1,769rps

N 2 (1)  cte  1,769rps N 2  1,769rps  N  Da 

2

Re 

Re 



9501,76912 1

Calculo de potencia - Re › 300 - Tanque con placas deflectoras


- Dimensiones características Dt Da

H t

3

Da

J

3

Dt

 1681

PO

 0,1

- Agitador de turbina de 6 palas


De la Figura 1 con Re y curva nº 2 se obtiene Potencia (P)

Po =7

P  Po δ N 3 D 5a P  79501,769 1 3

P

5

 26295,24 J / s

 38782,8 J / s

c) Velocidad de agitación del tanque sin placa deflectora - Re › 300 - Tanque sin placas deflectoras

Usaremos la ecuación PO

- Dimensiones características - Agitador de turbina de 6 palas

  Fr  y


Cálculos Fr 

y 

2

N Da g

a  log(Re) b


Fr 

y 

2

N Da g



2

N (1)

9,81



2

N

9,81

1  log(Re) 40

45

 cRe x



 N  Da 

2

Re 

P0





Re 

950 N 12

P 3

5 a

1

P0



 950 N

38782,8 J / s



27,68

5  N D N 3 950 N 3 1 Realizamos un proceso iterativo por métodos numéricos a partir de un valor inicial de N = 2 según el cuadro en este orden haciendo uso las ecuaciones en paréntesis.

1 iteración 2 iteración 3 iteración N 2,0 3,05 3,10 Re(ecuación) 1900 2897 2943 Fr(1) 0,41 0,95 0,98 y(2) -0,057 -0,062 -0,06 Φ(curva nº 4) 0,95 0,95 0,95 Po(4) 1,0 0,95 0,95 N(5) 3,05 3,10 3,10 N = 3,10 rps

7.9 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se tiene un fermentador equipado con 2 set de turbinas de paletas planas y 4 baffles. Las dimensiones del fermentador son: Diámetro del fermentador 3m (D t) Diámetro del agitador 1.5m (D i) Ancho de los baffles 0.3 m (w b) Altura del líquido 5 m (Hl) Las características del caldo de cultivo son una densidad de 1200 kg/m 3 y una viscosidad de 0.02 kg/m sec. Las condiciones de operación son una velocidad de rotación de 60rpm y una velocidad de aireación de 0.4 m3 de aire/m3 de medio. Se requiere calcular 1. La potencia requerida para un sistema sin gas 2. La potencia para un sistema aireado

2. Se desea agitar un líquido que tiene una viscosidad de 1,5 x10 -3 Pa.s y una densidad de 969 kg/m3 en un tanque de 0,91 m de diámetro. El agitador será una turbina abierta de 6 aspas con un diámetro de 0,035m, que opera a 180 rpm. El tanque tiene 4 deflectores verticales de un ancho de 0,076m. calcule la potencia de agitación. Respuesta: P = 0,172 kW 3. Un agitador de turbina que tiene seis aspas planas y un disco tiene un diámetro de 0,203m y se usa en un tanque cuyo diámetro es de 0,61my cuya altura también es de Alberto L.Huamaní Huamaní

46



0,61m. el ancho W= 0,0405m. se usan cuatro deflectores que tienen un ancho de 0,051m. la turbina opera a 275 rpm en un líquido cuya densidad es de 909 kg/m 3 y cuya viscosidad es de 0,020 Pa.s. 1. Calcule la potencia en kW de la turbina y los kW/m 3 de volumen 2. Aumente la escala de este sistema hasta un recipiente que tenga un volumen 100 veces mayor que el original para el caso de iguales tasas de transferencia de masa. Rta: 1) P = 0,1508 kW P/V = 0,845 kW/m 3 2) P = 15,06 kW P/V = 0,845 kW/m3

4. Un tanque agitado de 1,83 m de diámetro provisto de una turbina de 6 palas rectas de 0,61 m de diámetro instalado a una distancia igual a su diámetro del fondo del tanque y que gira a 80 rpm . Se quiere utilizar el tanque para neutralizar una disolución acuosa diluida de NaOH a 70 º F con una cantidad estequiométricamente equivalente de ácido concentrado (N0 3 H). La altura final del líquido en el tanque será de 1,83 m. Cuanto deberá ser el tiempo de agitación para una neutralización completa. 5. El tanque del problema anterior de 1,83 m de diámetro y con una altura de líquido de 2,44 m se utiliza para preparar una suspensión de espato flúor de 150 mallas en agua a 70 º F. El sólido tiene una densidad relativa de 3,18 y la suspensión contiene un 25 % en peso de sólidos. El agitador es una turbina de 4 palas rectas y está situado a 1,5 ft del fondo del tanque. - ¿Cuál es la velocidad crítica del agitador para la suspensión completa? - ¿Qué potencia se requiere? 6. El contenido de un tanque cilíndrico de 2m diámetro, provisto de PD se agita con una turbina de 0,66 m de diámetro que gira a 180 rpm. El tanque contiene agua a 20 º C en la que se inyecta aire a un caudal de 100 m 3/h a presión atmosférica. Calcular: - el consumo de potencia? - la retención de gas? - el diámetro medio de la burbuja? - el área interfacial por unidad de volumen? 7. ¿Estime la capacidad máxima de tratamiento de gas del tanque del problema anterior y cuál será el consumo de potencia para este caudal máximo de gas? 7.10

BIBLIOGRAFÍA

PAULINE M. DORAN. (1998). Principios de ingeniería de los Bioprocesos. Ed. Acribia S.A. Zaragoza España. Revista BIOTECHNOL. BIOENGINEERING. 1990 – 1999. RODRIGUEZ et al.(2005).Ingeniería de la Industria Alimentaria V.II


47



CAPITULO VII

OPERACI N DE FILTRACIÓN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVO: Dar a conocer el fundamento de las operaciones de filtración y cálculos de diseño usados en la Industria Alimentaria. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

7.1 FILTRACIÓN La separación de los sólidos de una suspensión haciéndola pasar a través de un medio poroso o malla el cual retenga los sólidos y permita el paso del líquido es llamada filtración. En general, los poros del medio serán más grandes que las partículas que serán removidas, y el filtro trabajará eficientemente sólo después de que un depósito inicial sea retenido en el medio. En el laboratorio, la filtración es a menudo llevada a cabo en una forma de embudo Büchner, y el líquido es succionado a través de la capa delgada de partículas utilizando una fuente de vacío. En los casos más simples la suspensión es colada dentro de un filtro cónico provisto de un papel filtro. En el equivalente industrial de tal operación, las dificultades están relacionadas con el manejo de grandes cantidades de suspensiones y sólidos. Con el propósito de lograr una alta velocidad de paso de líquido a través de éstos, altas presiones son generalmente aplicadas y para cuando una alta capacidad es requerida se hace necesaria una gran área de filtración. Una operación típica de filtración se ilustra en la Figura 7.1 la cual muestra el medio filtrante, en este caso una tela, su soporte y la capa de sólidos, o torta de filtración la cual ya está formada.

Figura 7.1: Principios de filtración (Coulson y Richardson, 1998).


48



La filtración es esencialmente una operación mecánica que demanda poca energía comparada con la evaporación o el secado donde el calor latente del líquido (usualmente agua) tiene que ser suministrado. En la operación típica mostrada en la Fig.1, la torta crece gradualmente sobre el medio, incrementándose progresivamente la resistencia para el flujo del líquido. Durante el periodo inicial de flujo, las partículas son depositadas en las capas superficiales del medio filtrante. Los factores más importantes de los cuales depende la velocidad de filtración son: 1. La caída de presión desde la alimentación hasta el lado más lejano del medio filtrante. 2. El área de la superficie filtrante. 3. La viscosidad del filtrado. 4. La resistencia de la torta de filtración. 5. La resistencia del medio filtrante y las capas iniciales de la torta. El tipo de filtración descrito es usualmente conocido como filtración de torta; la proporción de los sólidos en la suspensión es grande y la mayoría de las partículas son acumuladas en la torta de filtración, la cual puede ser subsecuentemente separada del medio (Coulson y Richardson, 1998).

7.1.1 Teoría de la filtración La teoría de la filtración es valiosa para interpretar resultados de laboratorio, buscar condiciones óptimas de filtración y predecir los efectos de los cambios en las condiciones operacionales. El empleo de esta teoría está limitado por el hecho de que las características de filtración se deben determinar siempre en la lechada real que se trate, puesto que los datos obtenidos con una lechada no son aplicables a otra (Velezmoro, 2002). En la filtración se manejan dos métodos de operación totalmente diferentes: si la presión se mantiene constante la velocidad de flujo disminuirá progresivamente, mientras que si la velocidad de flujo se mantiene constante la presión debe incrementarse gradualmente. Las tortas de filtración pueden dividirse en dos clases: tortas incomprensibles y comprensibles. En el caso de una torta incomprensible, la resistencia a fluir de un volumen dado de torta no es apreciablemente afectada tampoco por la diferencia de presión a través de la torta o por la velocidad de deposición del material. Por otro lado, con una torta compresible un incremento de la diferencia de presión o de la velocidad de flujo causa la formación de una torta más densa con una mayor resistencia. Debido a que las partículas que forman la torta son pequeñas y el flujo a través del lecho es lento, el flujo es normalmente laminar. Si además la torta es incompresible, la velocidad de flujo puede representarse como:

1 dV f v A f dt f



 3

P

2 51    s 2  f l

(1)

En esta ecuación, V f es el volumen de filtrado que ha pasado en un tiempo t f , Af , Área de la sección transversal de la torta de filtrado, v es la velocidad superficial de filtrado, l es el grosor de la torta, S es la superficie específica de las partículas, e es la porosidad, μ es la viscosidad del filtrado, y ΔP es la diferencia de presión aplicada. En la derivación de


49



esta ecuación se asume que la torta es uniforme y que la porosidad es constante. La  3

cantidad

51    s 2 2

es entonces una propiedad de las partículas que forman la torta, y

debería ser constante para un material dado. Por tanto 1 dV f A f dt f



P r  f L

(2)

De donde 51    s 2 2

r 

 3

(3)

La ecuación (2) es la ecuación básica de filtración y “r” es llamado resistencia específic a.

Para tortas incompresibles éste se toma como constante, pero dependerá de la velocidad de deposición, naturaleza de las partículas, y de las fuerzas entre las partículas. En la ecuación (2) las variables l y Vf están relacionadas por el balance de material entre los sólidos de la lechada y la torta. El resultado de este balance permite la obtención de una relación básica entre (- ΔP), Vf y tf dada por: dV f dt f

 A f

 P  r  f vl

(4)

Donde Vf es el volumen de torta depositado por unidad de volumen del filtrado (Coulson y Richardson, 1998).

7.1.2 Flujo de líquido a través de la tela Un trabajo experimental sobre el flujo del líquido a través de un medio poroso a bajas velocidades de flujo ha mostrado que la velocidad de flujo es directamente proporcional a la diferencia de presión. Siendo la resistencia de la tela más las capas iniciales de partículas depositadas de importancia, ya que estas últimas no solamente forman el verdadero medio filtrante, sino que además pueden bloquear los poros de la tela incrementando así su resistencia. Las telas podrían tener que desecharse debido a tensiones mecánicas (Coulson y Richardson, 1998).

7.1.3 Flujo de filtrado a través de la tela y torta combinadas Sean la tela filtrante y las capas iniciales de torta equivalentes a un grosor L de torta depositada más adelante en el proceso. Entonces si (- ΔP) es la caída de presión a través de la torta y tela combinadas:


50



1 dV f A f dt f



 P  r  f l  L 

(6)

Integrando esta ecuación entre los límites tf = tf1, Vf = Vf1 y tf = t f , Vf = Vf para filtración a presión constante: t f  t 1 V f  V f 1



r  f v A f

2

 P 

V  V  f

f 1

r  f vV f 1 A f

2

 P 



r  f L A f  P 

(7)

Figura 7.2: Curva típica de filtración (Geankoplis, 1998). Por eso hay una relación lineal entre (tf-tf1)/(Vf-Vf1) y (Vf-Vf1) (como se muestra en la Figura 7.2) y la pendiente es proporcional a la resistencia específica, como en el caso del flujo de filtrado a través de la torta de filtrado sola, pero la línea no cruza el origen. El intercepto sobre el eje de (tf-tf1)/(Vf-Vf1) debiera permitir que L, el grosor equivalente de la tela, sea calculado pero no se obtienen resultados reproducibles porque esta resistencia es críticamente dependiente de la manera exacta en como la operación es comenzada. El tiempo al cual la medición de Vf y tf es tomado no afecta la pendiente de la curva, solamente al intercepto. Se notará que una relación lineal entre tf y Vf2 no es ampliamente obtenida cuando la resistencia de la tela es apreciable (Coulson y Richardson, 1998).

7.2 FILTROS PRENSA DE PLACAS Y MARCOS Estos filtros consisten de placas y marcos alternados con una tela filtrante a cada lado de las placas. Las placas tienen incisiones con forma de canales para drenar el filtrado en cada placa. La suspensión de alimentación se bombea en la prensa y fluye a través del Alberto L.Huamaní Huamaní

51



conducto al interior de cada uno de los marcos abiertos, de manera que va llenando los espacios vacíos. El filtrado fluye entre la tela filtrante y la superficie de la placa, a través de los canales y hacia el exterior, mientras los sólidos se acumulan como torta en los marcos. La filtración continúa hasta que los marcos quedan completamente llenos de sólidos, como se muestra en la Figura 7.3. En este caso el filtro prensa tiene una descarga abierta individual para cada marco, que permite una inspección visual para verificar la transparencia del líquido filtrado. Si una de las salidas descarga líquido turbio debido a una perforación de la tela o a otras causas, se puede cerrar por separado y continuar con la operación. Cuando los espacios están totalmente llenos, las placas y los marcos se separan y se extraen las tortas. Después se vuelve a armar el filtro y se repite el ciclo. Las prensas de placas y marcos presentan los inconvenientes comunes a todos los procesos por lotes. El costo de mano de obra para extraer las tortas y volver a ensamblar la unidad, más los costos fijos por tiempos muertos, pueden constituir una porción muy elevada de los costos totales de operación. Algunos modelos modernos de prensas de placas y marcos tienen un juego duplicado de marcos montados en un eje giratorio. Mientras se usa la mitad de los marcos, la otra mitad se descarga y se limpia, lo que reduce los costos de mano de obra. Existen también sistemas automatizados que se han aplicado a estos tipos de filtros (Geankoplis, 1998).

Figura 7.3: Sección transversal de un filtro prensa (Moir, 1982). Los filtros prensa, como el de la Fig. 3.6, se usan en los procesos por lotes pero no se pueden emplear para procesos de alto rendimiento. Se manejan con facilidad, son versátiles y de operación flexible y se pueden utilizar a altas presiones si es necesario, con soluciones viscosas o cuando la torta del filtro tiene una gran resistencia (Geankoplis, 1998). El filtro prensa se fabrican en un amplio rango de tamaños, desde marcos de 100 100 mm, que tienen su mayor uso en el laboratorio, hasta 1.5 1.5 m con un grosor de marcos de 75 mm grosor (Coulson y Richardson, 1998). La presión de alimentación para filtros prensa es usualmente de 690 kPa o menos, aunque algunos modelos estándares pueden operar hasta presiones de 2070 kPa y modelos especiales hasta 6900 kPa. Son


52



equipos compactos que ocupan poco espacio y pueden presentar una superficie de filtración de hasta 400 m 2.

7.2.1 Tiempo de ciclo óptimo El grosor óptimo de torta que se formará en un filtro prensa depende tanto de la resistencia ofrecida por la torta y del tiempo que tomará para desmantelar y volver a equipar la prensa. Aunque la producción de una torta delgada resulta en una alta velocidad de filtración, es necesario desmantelar más a menudo la prensa y esto demanda un tiempo para la operación. Para una filtración llevada enteramente a presión constante: t f V f t f V f



r  f v

2 A f

2

 P 

V f 

r  f L A f  P 

(8)

 B1V f  B2

(9)

Donde B1 y B2 son constantes. De esta manera el tiempo de filtración tf es dado por: t f

 B1V f 2  B2V f

(10)

El tiempo de desarme y montaje de la prensa (t´) es sustancialmente independiente del grosor de la torta producida. El tiempo total de un ciclo en el cual un volumen Vf de filtrado es recolectado es entonces tf + t´ y la velocidad de filtración global (W) está dada por: W 

V f B1V f

2

 B2V f  t '

(11)

W es un máximo cuando dW/dVf = 0. Derivando W con respecto a V f e igualando a cero: B1V f

2

 B2V f  t 'V f 2 B1V f  B2   0

(12)

t '  B1V f 2

(13)

Si la resistencia del medio filtrante es despreciable, t f  B1V f , entonces el tiempo de filtración es exactamente igual al tiempo en que la prensa está fuera de servicio. En la práctica, a fin de obtener la máxima velocidad de filtración global, el tiempo de filtración siempre deberá ser algo mayor a fin de tomar en cuenta la resistencia de la tela (representada por el término B2Vf). En general, una baja resistencia específica de la torta provocará utilizar marcos de menor grosor (Coulson y Richardson, 1998). 2


53



Ventajas del filtro prensa: 1. Debido a su simplicidad es muy versátil y puede usarse en un amplio rango de materiales bajo condiciones de operación variable de grosor de torta y presión. 2. El costo de mantenimiento es bajo. 3. Provee una gran área de filtración en un espacio pequeño y pocas unidades adicionales son necesarias. 4. La mayoría de las conexiones son externas y las fugas son fácilmente detectadas. 5. Presiones altas son obtenidas fácilmente. 6. Es igualmente adecuado cuando el producto principal es tanto la torta como el líquido (Coulson y Richardson, 1998). Rangos de aplicación del filtro prensa (Moir, 1982):

Propiedades de la suspensión Tamaño de partícula, μm

Contenido de sólidos, % Velocidad de acumulación de torta

1-100 0.001-40 Media-Baja

Requerimientos de proceso Velocidad de producción de sólidos Baja-Alta Humedad de la torta Baja Aplicación en la recuperación de sólidos Sí Aplicación en la clarificación Sí Posibilidad de lavado Riesgo de rotura del cristal Contención de vapor Operación por encima o debajo de la temperatura ambiente Área de filtración máxima por unidad, m 2

Aceptable Bajo No Sí 400

7.3 DISEÑO DEL FILTRO PRENSA Para el dimensionamiento del filtro prensa de placas y marcos se utilizan varias ecuaciones que a continuación se presentan y además se resuelven con un programa elaborado en MATLAB. De igual manera que para cualquier proceso de separación, en el filtro prensa se alimenta la suspensión al equipo y éste permite la obtención de una fase sólida y otra líquida. Estando el balance de materia dado por:

Fig. 4 Balance de materia.


54



Balance general: Casus

 Ca f  Ca y

(14)

Balance de líquido:

1  xsusp Casus  1  xsus Ca f

(15)

Balance de sólidos:

y susp Casus

 y y Ca y

(16)

En el programa elaborado en MATLAB se resuelve el balance para obtener simultáneamente el volumen de filtrado y la cantidad de levadura separada . Para el diseño del filtro prensa se sigue la siguiente metodología de cálculo: 1. El área de filtración utilizada en el equipo piloto se determina mediante la ecuación:

A fu

 2nmu * Amu

(17)

2. Se calcula el volumen de torta depositado por unidad de volumen de filtrado con la ecuación: v

nmu * g mu * A fu

V f 3. La resistencia específica de la torta se obtiene a través de la ecuación: r 

2 B1 * A f 2 * P   f v

(18)

(19)

4. La resistencia del medio filtrante se calcula con la ecuación: Rm

 r * L

(20)

5. El área requerida de filtración se obtiene resolviendo la ecuación (8). 6. El número de marcos requerido se calcula mediante la ecuación (18). 7. El área de cada marco se determina a través de la ecuación (17).


55



8. El tiempo de desmantelamiento y ensamblaje de la prensa se calcula con la ecuación (13). 9. El tiempo total de un ciclo de filtrado se computa como la suma del tiempo que dura la operación de filtrado (tf) más el tiempo de desmantelaje y ensamble de la prensa (t’).

t ciclo

 t f  t '

(21)

7.3.1 Programa de diseño Formulario

Programa function pushbutton1 _Callback(hObject, eventdata, handles) X=str2num(get(handles.edit1,'string')); Y=str2num(get(handles.edit2,'string')); V_cf =str2num(get(handles.edit3,'string')); dc=str2num(get(handles.edit4,'string')); d_sl=str2num(get(handles.edit5,'string')); v =str2num(get(handles.edit6,'string')); Q=str2num(get(handles.edit7,'string')); Fs_v=str2num(get(handles.edit8,'string')); Fs_m =str2num(get(handles.edit9,'string')); t_f =str2num(get(handles.edit10,'string')); Per =str2num(get(handles.edit11,'string')); nfu =str2num(get(handles.edit12,'string')); gfu=str2num(get(handles.edit13,'string')); Afu=str2num(get(handles.edit14,'string')); lc=str2num(get(handles.edit15,'string'));


56



gfn=str2num(get(handles.edit16,'string')); P =str2num(get(handles.edit17,'string')); % GRAFICO DE REGRESSION LINEAL aj = polyfit(X,Y,1); XX = X(1):0.0001:X(length(X)); YY = polyval(aj,XX); plot(XX,YY,'k');hold on plot(X,Y,'*r') axis('square') axis([0,0.013,150000,211000]) xlabel('V, m^3') ylabel('t/V, s/m^3') set(gca,'FontSize',10) title('Curva de Filtración') m = aj(1); % Pendiente de la curva de filtración; [s/m^6] % CALCULO DE LAS RESISTENCIAS LOCALES A = 2*nfu*Afu; % Área de filtración utilizada; [m^2] vc = v*dc; % Viscosidad de la cerveza; [Pa.s] v_tf = (nfu*gfu*A)/V_cf; % Volumen de torta depositada por unidad de volumen de % filtrado obtenido; [m^3/m^3] r = 2*m*A^2*P/(vc*v_tf); % Resistencia especifica de la torta; [1/m^2] Rm = r*lc; % Resistencia del medio de filtración [1/m] % CÁLCULOS PARA EL DISEÑO DEL FILTRO PRENSA m_cake = Q*d_sl*Fs_m; % Cantidad de levadura separada; [kg/h] V = (1 - Fs_v)*Q; % Volumen de filtrado obtenido [m^3/h] V_t = V*((100-Per)/100); % Volumen final - perdida [m^3/h] a = t_f; b = -Rm*vc*V/P; c = -r*vc*v_tf*V^2/(2*P); An = (-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); % Área de filtración requerida; [m^2] n_fr = v_tf*V/(gfn*An); % Número de marcos nfr = ceil(n_fr); % Número de marcos requerido Afr = An/(2*nfr); % Área de marcos requerida; [m^2] t_d = (r*vc*v_tf*V^2)/(2*An^2*P); % Tiempo de desarme y ensamblaje de la prensa; [s] 22 t_ciclo = (t_d + t_f)/3600; % Tiempo del ciclo total; [h] % SALIDAS DE RESULTADOS set(handles.edit31,'string',A); set(handles.edit24,'string',vc); set(handles.edit25,'string',v_tf); set(handles.edit26,'string',r); set(handles.edit27,'string',Rm); set(handles.edit28,'string',m_cake); set(handles.edit29,'string',V); set(handles.edit30,'string',V_t); set(handles.edit18,'string',An); set(handles.edit19,'string',n_fr); set(handles.edit20,'string',nfr); set(handles.edit21,'string',Afr); Alberto L.Huamaní Huamaní

57



set(handles.edit22,'string',t_d); set(handles.edit23,'string',t_ciclo); function pushbutton2 _Callback(hObject, eventdata, handles) close function pushbutton3 _Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) set(handles.edit1,'string',''); set(handles.edit2,'string',''); set(handles.edit3,'string',''); set(handles.edit4,'string',''); set(handles.edit5,'string',''); set(handles.edit6,'string',''); set(handles.edit7,'string',''); set(handles.edit8,'string',''); set(handles.edit9,'string',''); set(handles.edit10,'string',''); set(handles.edit11,'string',''); set(handles.edit12,'string',''); set(handles.edit13,'string',''); set(handles.edit14,'string',''); set(handles.edit15,'string',''); set(handles.edit16,'string',''); set(handles.edit17,'string',''); set(handles.edit18,'string',''); set(handles.edit19,'string',''); set(handles.edit20,'string',''); set(handles.edit21,'string',''); set(handles.edit22,'string',''); set(handles.edit23,'string',''); set(handles.edit24,'string',''); set(handles.edit25,'string',''); set(handles.edit26,'string',''); set(handles.edit27,'string',''); set(handles.edit28,'string',''); set(handles.edit29,'string',''); set(handles.edit30,'string',''); set(handles.edit31,'string',''); Resultados


58



7.4 PROBLEMAS DE FILTRACIÓN 1. Se tiene un jugo de piña a filtrar y cuenta con los siguientes datos de filtración a 278.2ºK (05ºC), a presión constante (- ΔP) de 46,2 KN/m 2. El área de la prensa de placas y marcos es 0,0439 m 2 y la concentración de la suspensión es 23,47 Kg solido/m3 de filtrado. Calcúlense las constantes α y Rm a partir de los siguientes datos experimentales: V(m3) 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

t(min) 17.5 41.3 72 108.3 152 201.7

Solución Para el diferencial de tiempo dt1= dt1-dt0=17,5-0=17,5 dt2= dt2-dt1=41,3-17,5=23,8 Para el diferencial de volumen dV1= dV1-dV0=0,0005-0=0,0005 dV2= dV2-dV1=0,001-0,0005=0,0005 Para el volumen promedio V promd1=(V1+V0)/2= (0,0005+0)/2=0,00025 V promd2=(V2+V1)/2= (0,001+0,0005)/2=0,00075


59



V(m3) 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

t(s) 17.5 41.3 72 108.3 152 201.7

dt 17.5 23.8 30.7 36.3 43.7 49.7

dV 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005

V promd 0.00025 0.00075 0.00125 0.00175 0.00225 0.00275

dt/dV 35000 47600 61400 72600 87400 99400

Realizamos la gráfica de dt/dV en función del volumen promedio (V promedio) y obteniéndose lo siguiente: Filtracion a presion constante 120000.00 y = 3E+07x + 28439 R² = 0.9992

100000.00 80000.00

V d / t 60000.00 d

40000.00 20000.00 0.00 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 Vpromd(m3)

Datos: Cs =23,47Kg/m3 A =0,0439m2 -ΔP =46200N/m2=4345,2 kg/m2 μ =8.937

x10-4 kg/m-s

Del gráfico se obtiene: K p =25908571,4 s/m6 B =28370, 4762 s/m 3 p  k

 

 Cs A2

P

(25908571,4s/m 6 ) * (0,0439m 2 ) 2 (46200N/m2 ) (0,000893 N .s / m 2 ) * (23,47kg / m3 )




60


  1,10 x1011

B


kg m

 Rm A P

Rm 

28370,4762s/m 3 * 0,0439m2 * 46200N/m2 0,0008937 N .s / m 2

B  6,44 x1010

1 m

2. Se cuenta con los siguientes datos para filtrar en el laboratorio una suspensión acuosa a 298.2 K (25°C), a presión constante (- ΔP) de 338 kN/m 2. El área de filtración de la prensa de placas y marcos es A = 0,0439 m 2, y la concentración de la suspensión es Cs = 23,47 kg/m 3. Calcule las constantes α y Rm, en base a los datos experimentales, si t es el tiempo en s y V es el volumen de filtrado recolectado en m 3. V(m3) 0.000489 0.001 0.001501 0.002 0.002489 0.003002 0.003506 0.004004 0.004502 0.005009

t(s) 4.4 9.5 16.3 24.6 34.7000 46.1 59.0 73.6 89.4 107.3

Solución Primero se calculan los datos como t/V y se tabulan en la tabla. Se construye la gráfica de t/V contra V, y se determinan la intersección y el intercepto. V(m3) t(s) dt dV Vpromd dt/dV 0.0005 4.4000 4.4000 0.0005 0.0002 8998 0.0010 9.5000 5.1000 0.0005 0.0005 9980 0.0015 16.3000 6.8000 0.0005 0.0008 13573 0.0020 24.6000 8.3000 0.0005 0.0010 16633 0.0025 34.7000 10.1000 0.0005 0.0012 20654 0.0030 46.1000 11.4000 0.0005 0.0015 22222 0.0035 59.0000 12.9000 0.0005 0.0018 25595 0.0040 73.6000 14.6000 0.0005 0.0020 29317 0.0045 89.4000 15.8000 0.0005 0.0023 31727 Alberto L.Huamaní Huamaní

61



0.0050

107.3000

17.9000

40000 35000

0.0005

0.0025

35306

y = 1E+07x + 4911.2 R² = 0.9947

30000 25000

V d / t 20000 d

15000 10000 5000 0

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

V promd

Cs =23, 47 Kg/m 3 A =0, 0439 m 2 -ΔP =338 kN/m2 μ =0,0008937 N*s/m2

Del gráfico se obtiene: K p =1x107 s/m6 B =4911,2s/m p  k

 

 Cs A 2 P

(1 x107 s/m 6 ) * (0,0439m 2 ) 2 (338000 N/m2 ) (0,000893 N .s / m 2 ) * (23,47kg / m3 )

  .......... .

B



kg m

 Rm A P

Rm 

4911,2 s/m3 * 0,0439m2 * 338000 N/m2


0,0008937 N .s / m 2

62


B  .......... ......


1 m

3. En los ensayos efectuados en el laboratorio en un filtro de 8,506 m 2 se realizó un proceso de filtración de una solución acuosa que contiene un 10% de sólidos en suspensión, si la caída de presión que experimenta le fluido al atravesar la torta y el medio filtrante es de Δ P = 3 atm. Si por cada kg de torta húmeda se obti ene 0,5 kg de torta seca. Obteniéndose los siguientes resultados de filtrado: Calcular el coeficiente de compresibilidad y resistencia del medio filtrante. Cuadro1. Resultados experimentales de filtración t(s) V(m3) 480.0 1.6 1080.0 2.7 1860.0 3.72 2940.0 4.9 4200.0 6 5700.0 7.125 Considerará la densidad de la solución acuosa 1000 kg/m 3. Viscosidad = 1,2 mPa.s SOLUCION Datos del equipo A = 8,506 m 2 ΔP = 3 atm = 3 x 9,8 x 10 4 Pa Datos de la suspensión Cs = 10%= 0,010kg/m3 Datos del filtrado µ = 1,2 mPa.s = 1,2 x 10 -3 Pa.s SOLUCION A continuación procesamos los valores experimentales V(m3) t(s) dt dV Vpromd 1.6 480 480.0000 1.6000 0.8000 2.7 1080 600.0000 1.1000 1.3500 3.72 1860 780.0000 1.0200 1.8600 4.9 2940 1080.0000 1.1800 2.4500 6 4200 1260.0000 1.1000 3.0000 7.125 5700 1500.0000 1.1250 3.5625

dt/dV 300 545 765 915 1145 1333

A continuación graficamos t/V en función del V prom y realizamos el ajuste lineal de los datos experimentales


63



1500 y = 367.4x + 36.617 R² = 0.9948

1000

V d / t d

500 0

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

V promd

De acuerdo a la ecuación de filtración la ecuación general de filtración a presión constante es: dt

 k pV  B

dV

(1)

La ecuación a partir de los datos obtenidos de la gráfica es: dt dV K p

 367,4V  36,617 (2) s

 367,4

B  36,617

k p 

 

m6 s m3

 Cs A2

P

(367,4 s/m6 ) * (8,506m 2 ) 2 (3 x 9,8 x 104 Pa) -3

(1,2 x 10 Pa.s) * (0,10kg / m )

  .......... .

B

3



kg m

 Rm A

Rm 

P 36,617 s/m3 * 8,506m2 * 3 x 9,8 x 10 4 Pa

B  .......... ......


1,2 x 10-3 Pa.s 1 m

64



4. En los ensayos efectuados en el laboratorio de 0,465 m 2 de área se realizó un proceso de filtración a presión constante con un P =5,52x105 N/m2. Obteniéndose los siguientes resultados: t (s) 0 3 V (m ) 0,0

15,96 0,010

51,96 0,020

108 0,030

186 0,040

Con la ayuda de estos datos se desea realizar el proceso en un filtro industrial para lo cual se cuenta con la misma suspensión, pero con una concentración 80% mayor y con una diferencia de presiones de 4,14x10 5 N/m2 constante. Se desea saber el volumen de filtrado que pasará a través del filtrado industrialmente en una hora, si la nueva área de filtración es de 1,30 m 2. Solución. V(m3) 0.01 0.02 0.03 0.04

t(s) 15.96 51.96 108 186

dt 15.9600 36.0000 56.0400 78.0000

dV 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100

Vpromd 0.0050 0.0150 0.0250 0.0350

dt/dV 1596 3600 5604 7800

presion constante 9000.00 8000.00 7000.00 y = 206160x + 526.8 R² = 0.9995 6000.00 V5000.00 d / t d4000.00 3000.00 2000.00 1000.00 0.00 0.0000 0.0100 0.0200 Vpromd(m3)

dt dV

 K p1V  B1

dt dV

0.0300

0.0400

(Experimental)

 266160V  526,8

dt dV

 K p 2V  B2 (Industrial)


65



Relacionando las constantes, Kp y B

kp1

 

kp2

 Cs1 2

A1

P 

(1)

1

 Cs2 A2

2

P2 

(2)

Relacionando ecu. 2 y ecu. 1

 Cs2 A P2   2  Cs1 kp1 2 A1 P1  2

kp2

kp2 kp1

P1 Cs2 2 A2 P2 Cs1 2



A1

P1 1,8Cs1  2 A2 P2 Cs1 2

 kp1

kp2

A1

Reemplazamos los valores respectivos Kp2

 (206160s / m

Kp2

 8172,84s / m6

6

)

(0,465m 2 ) 2 (5,52 x105 N / m 2 )(1,8) (1,30m 2 ) 2 (4,14 x105 N / m 2 )

El valor de la constante B es: B1



Rm  A1 P 1

B2



Rm  A2 P 2

Relacionando las constantes y despejando B 2 se tiene: B2

 B1

A1 (P )1 A2 (P ) 2

526,8(0,465m 2 )(5,52 x105 N / m 2 )

B2



B2

 251,24s / m3

(1,3m 2 )(4,14 x105 N / m 2 )


66



Se tiene la ecuación general de filtración a presión constante dt dV



kp2V



t

B2



kp2

V 2 2

 B2V

Reemplazando el valor del tiempo 3600s  8172,84

V



V 2

2

3600 s  4086,42 V 2

 251,24V

 251,24 V

5. En un filtro de hojas se estudia las características de una suspensión efectuando una serie de experiencias de laboratorio a una velocidad de filtración constante de 1 litro/min. Los resultados de tales experiencias han sido los siguientes: t (min) 2 4 P (atm) 0,75 1,5

6 1,38

8 1,9

10 2,2

12 2,65

14 3.0

Una vez conocidas las características de la suspensión y del filtrado, el ciclo de filtración se realiza de modo siguiente a nivel piloto de la siguiente manera: a. Se comienza a filtrar a velocidad constante de 2,5 litros por minuto, hasta que la diferencia de presión sea de 2,5 atm. b. Se continúa después la filtración a presión constante de 2,5 atm hasta que el volumen de filtrado sea de 80 litros. c. Se lava la torta sobre el mismo filtro con 30 litros de un líquido de propiedades análogas a las del filtrado manteniendo constante la diferencia de presión de 2,5 atm. d. Se descarga y acondiciona el filtro en cuya labor se emplea 20 minutos. Calcúlese: a. Tiempo de filtración y volumen de filtrado a velocidad constante. b. Tiempo de filtración a presión constante. c. Tiempo de lavado y tiempo total del ciclo.

Solución Proceso dV

Laboratorio a dt  1L/min


67



Filtración A Velocidad cte. 2,5

Filtración A Presión 2,5 atm cte,

L/min

t=

t=

t=

V=

a) A nivel lab. a velocidad constante de μR   μ α Cs  dV  ΔP = V +  m   A 2  dt  A 

dV dt

 1L/min

dV dt

μR   μ α Cs  dV  dV      t+  m  ΔP =  A2  dt  dt   A 

dV dt

P   K v  

dV  t  D dt  

Graficando los valores tenemos:

) m t a ( P

y = 0.1923x + 0.4657 R² = 0.9935

Δ

Tiempo(min)

P  0 ,192 t  0 , 465 b) Para el proceso de filtración a velocidad constante de

dV dt

 2,5L/min

dV  P 1  K v    t  D2

 dt 1


68



dV  P 2  K v    t  D2

 dt  2

Relacionando las dos variaciones de presiones:

 C s ( dV / dt )12 Kv1 ( dV / dt )1 Kv 2 ( dV / dt ) 2



2

A  C s ( dV / dt ) 22 A 2

Kv2 ( dV / dt )2

 Kv1( dV / dt )1

Kv2 ( dV / dt )2

 1 ,2

( dV / dt )22 2 1

( dV / dt )

 0 ,192

2 ,52 12

atm min

Relacionando las constantes

D2

 D1

P 2  1 ,2

( dV / dt )2 ( dV / dt )1 atm min

 0 ,465

2 ,5   1 ,1625atm 1

t  1 ,1625atm

Tiempo para llegar a P = 2.5 atm

2 ,5atm2  1 ,2

atm min

t  1 ,1625atm

t = 1,11 min Volumen de filtrado en t = 1,11 min V = (dV/dt) t = 2, 5 lt/min x 1,11 min = 2,775 L. V = 2,775 L

c) Proceso de filtración a P = 2,5 atm constante. V= 80 L Relacionamos las constantes de presión constante y velocidad constante Alberto L.Huamaní Huamaní

69



 C s

Kp 2 Kv 2 ( dV / dt ) 2



A 2 (P ) 2

 C s ( dV / dt ) 2



1 ( P )(dV / dt ) 22

A 2 Kp2



Kv2 ( dV / dt )2 ( P )( dV / dt )

2 2



1 ,2 2

2 ,52 ,5

 0 ,0768

Kp2  0 ,0768

Relacionando las constantes.

B2 D2

 Rm AP 



 Rm A

B2 

1 ,1625 ( 2 ,5 )( 2 ,5 ) dt dV

dt dV

( dV / dt )2

B2



D2 ( P )( dV / dt )2

 0.186 min/ L

 0 ,0768V  0 ,186

 0 ,0768V  0 ,186 t 

0 ,0768V 2 2

 0 ,186 V

Para V = 80 litros 0 ,076880 

2

t 

2

 0 ,186 80 

t = 260,64 min

d) Tiempo de lavado 1 1  dV      dt lavado 4 KpV  B

Reemplazando valores


70



1  dV      dt lavado 0.0768* 80  0.186 L  dV   0,158   min  dt lavado

Entonces, el tiempo de lavado con 30L es:

t lavado



t lavado 

t lavado

V lavado

 dV     dt  lavado

30 L L 0,158 min

 189,87 min

Capacidad 

Capacidad 

V fil trad o t ciclo 2 ,77  80

1.11  260 ,64  189 ,87

 0.182 L / min

Capacidad  0.182 L / min

6. Para filtrar una suspensión acuosa se utiliza un filtro prensa de marcos y placas. Trabajando a velocidad constante de filtración, al cabo de 45 minutos se obtienen 250 litros de filtrado. En este periodo de tiempo, la caída de presión aumenta desde 0,40 Kgf/cm2 hasta 3,5 Kgf/cm 2. Si se desea trabajar a presión constante de 3,5 Kgf/cm2 ¿qué cantidad de filtrado se obtendría al cabo de los 45 minutos?. SOLUCION Datos a velocidad constante Datos:

dV dt

 Cte

t = 45 min; V = 250L, P = 0.40 Kgf/cm 2 hasta 3.5 Kgf/cm 2

La ecuación de filtración a presión constante es:


71



t  KpV

 BV

2

P= cte P = 3,5 Kp/cm 2

T= 45 min V = ?’

Se me pide determinar el volumen (V):

SOLUCIÓN Velocidad de filtración a velocidad constante es: dV dt



250 L

 5,556 L / min

45 min

Graficamos presión en función del tiempo, ec. A dV/dt= cte 4 3.5

y = 0.0689x + 0.4 R² = 1

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

10

20

30

40

50

Del gráfico: Kv (dV / dt )

 0,0689

D  0,4

Kp cm 2 . min

Relacionamos las constantes de presión constante y velocidad constante  C s

Kp Kv( dV / dt )



A2 ( P ) 2  C s ( dV / dt )



1 (P )(dV / dt ) 2

A2 Kp

Kp



Kv(dV / dt )

( P)(dV / dt ) 2

 6,37 *104

0,0689



Kp

cm 2 min 2 3,5Kp/cm2 5,556 L / min 

 6,37 * 10 4

min L

min L


72



Relacionando las constantes. B D



 Rm AP   Rm ( dV / dt ) A 0,4

B2



B



D

( P )( dV / dt ) 2

Kp 2

cm  0.0205min/ L Kp L (3,5 2 )(5,56 ) cm min

Reemplazando valores tenemos en la ecuación (4)

t  k pV

2

 BV

45 min  6,37 *104

min

V

2

 0,0205

L 0.0045  6,37V 2  2,05 x106V

min L

V

V  .... L

7. Un filtro cilíndrico de arena de 30 cm de diámetro y 1,5 m de altura, que funciona por gravedad, está formado por una primera capa de arena de superficie específica de 5 cm-1 sobre la que va una segunda capa de igual peso que la primera constituida por partículas de superficie específica de 7 cm -1. Calcúlese la cantidad de agua que puede filtrarse por hora, si la superficie del agua a filtrar se mantiene 30 cm por encima de la superficie del lecho filtrante, cuyas porosidades es 0,40. SOLUCIÓN

Calculo de fracción de altura


73



X 1



L

2 L

 0,5

X 2



L

2 L

Dm

 0,5



6 as 0 m

Calculo de superficie específica de cada grava as 01

 5cm1 

5 100cm cm

m

 500m 1

as 01

 7cm1 

7 100cm cm

m

 700m 1

as 0 m  x1 as 01   x2 as 02   as 0 m  0,5 x500  0,5 x700  600m

1

Calculo de diámetro de partícula equivalente media D pe m 

6  0 ,01 0m 60 0

Asumiendo que es un flujo laminar a través del lecho: hf L

1  e   .v  150   D   g 2

m

3 m

(I)

2

pem

hf  0,30  1,5  1,8m   993,14 x10 6.Pa.s

  998.2

kg m3

  0,40

g  9,81

m s2

Reemplazando los valores en la ecuación (I)





1,8 1  0,4 (99 3,414 x106 ).v  150 1,5 (0,4) 3 (0,01) 2 (99 8,2)(9,81) 2

v  1,4m / s Calculo del N Re N Re

N Re

 

D pe m .v.

(1   m )  (0,01)(1,4)(998,2)

(1  0,4)(993,414 x10 6 )


 23477,93 74



N Re

 23477,93

Este valor no corresponde al régimen laminar por lo que, lo asumido como flujo laminar, no se cumple entonces se utiliza la siguiente ecuación:

hf L

2  1      150 v  1,75 m 2 m

 m3 D  g

(1   m )

 m .g. D pe m

v

2

Reemplazamos los valores en la ecuación dada: 1,8 1,5

1  0,4

2

 150

(993,414 x10 6 ).v

(0,4) 3 (0,01) 2 (998,2)(9,81)

 1,75

(1  0,4)v 2 (0,4) 3 (9,81)(0,01)

v  0,63m / s

La cantidad de agua filtrada por hora será la altura recorrida por A:

D 2 h V   4 Q  V   Q  0,044

h es cm /s

0,302 (0,63) 4

entonces es v = 0,63m/s

 0,044

m

3

s

m3 s

8. Un filtro de gravedad está constituido por un lecho inferior formado con guijarros de 25 mm de forma esférica (altura 60 cm) y un lecho superior directamente sobre el anterior de 60 cm de espesor también de arena de diámetro 15 mm. La porosidad de las capas es de 40% y 35% respectivamente. El filtro trabaja anegado por agua, manteniéndose el nivel de este 60 cm por encima de la cara superior de aquel. La presión en la cara inferior es la atmósfera. Determine el caudal de agua por unidad K”=5 de área que deja pasar el filtro? (m 3/hr-m2). = 1,0x10-3 kg/m-s; SOLUCIÓN


75



P  60cm.de.agua

1m

1,013 x105 Pa

100cm 10,33m.de.agua

 5883Pa

Haciendo uso de la ecuación de Kozeny C. (considerando que es flujo laminar que pasa por los canales internos) tenemos:

P 

v

m

 Lk ' ' (1   m ) 2 as 0 m 2

  xi as0i

as0 m as 0 m

3



m

  xi  i

D pe m

 6 / as 0 m

 6 / D pem

Xi = fracción de altura volumen correspondiente a cada tamaño de superficie específica xi



altura.del.lecho altura.total

x1



60

as 01

120



 0,50 6

0,025m

 240 m 1

 1  0,40

x 2



as 02

60 120



 0,50 6

0,015m

 400 m 1

 2  0,35

Cálculo de superficie especifica media del lecho del sistema as 0 m  x1 ss 01   x2 as 02  as 0 m  0,5 x 240  0,5x 400  320 Alberto L.Huamaní Huamaní

76



Calculo de porosidad media del lecho del sistema

 m  x1  1   x2  2  em  0,5 x0,40  0,5x 0,35  0,375 em  0,375

Calculo de velocidad del fluido a través del lecho

v

P 

3

m

 Lk ' ' (1   m ) 2 as 0 m 2

3

58830,375

v

1 x103 1,205(1  0,375) 2 x320

2

 3,447 m / s

Calculo del caudal del fluido a través del lecho Q 

A

Q A Q A

v 

3600s m  3,44 7 0,375 s hr



 4653,54 5

m3 m2

 hr

m 3 filtrado 4653,54 5 2 m  hr

9. Un filtro de placas y marcos, que opera a presión constante, requiere una hora para separar 600 L de filtrado de una suspensión acuosa. Calcular la capacidad de filtración si la velocidad inicial de filtración es de 60 L/min. Y además, se necesitan 80 L de agua para lavar la torta depositada y se emplean 35 minutos para la descarga, limpieza y montaje del filtro. SOLUCION Datos T = 1 h = 3600s V = 600L dV dt

 60 L / min

Agua para lavar V L  80 L


t '  35 min

77



F (c) 

t ciclo

(1)

 t filtración  t lavado  t '

t ciclo t lavado

V



V L

dV / dt  L

(2) (3)

Para placas y marcos la velocidad de lavado es: 1  dV      dt  L 8KpV  4 B

(4)

Se sabe que t V

 KpV  B

dV dt



(5)

1

KpV  B

(6)

Reemplazando valores pata t = 0, V = 0 en la ecuación (6) 60

L

min



B  1000

1 Kp(0)  B

B



1 min 60 L

 1000

s m

3

s m

3

Para t = 1 h = 3600 s en la ecuación (5) t  KpV 2  BV

3600s

 Kp0.6m 3   1000

Kp  8333.33 s

2

m

s m

3

( 0.6m 3 )

6

Cálculo de velocidad de lavado en la ecuación 4 1  dV    2.273 x10 5 m 3    dt  L 88333,330.06  41000

s

Cálculo del tiempo de lavado en la ecuación (3)


78



t lavado

t lavado

V L



dV / dt  L 80 x10 3 m 3



2,273 x10 t lavado

5

m3 s

 3520s

Capacidad de filtración es: F (c) 

F (c) 

V t ciclo

0.6m 3 3600s  3520s  2100s

 6.5 x10

5

m3 s

F (c)  3,91L / min

10. A partir de la ecuación:

t 

K p 2V 2

2

 VB2

Demostrar que el flujo de filtrado está dada por la siguiente relación parabólica:



(V

V ')2



K 1(t  t 1)

k 1 = constante, V1 = constante, t 1= constante Se cuenta además con los datos siguientes: K = 2/k 1; y B = 2V’/k 1 SOLUCION Derivando la ecuación tenemos dt = dV(kV + B) dV



dt

dV dt

1 KV  B



1

 2  2V ' V   k   k 1  1 



k 1

2V  2V '

2V  V ' dV  k 1 dt

Integrando se tiene:

V  V 

' 2


 k 1 (t  t 1 )

79



11. En un proceso de filtración a presión constante, el cuadrado del volumen filtrado es proporcional al tiempo de filtración. Si en 6 horas se han producido 24 L de filtrado, hallar la cantidad de filtrado (volumen) que se obtendrá en 0,5 horas. V2  t

V12 = k t1 (1)

V22 = k t2 (2)

Solución Dividiendo ec. (1) :(2) 2

V 1



2

V 2

kt 1 kt 2

Reemplazando los valores tenemos: V 22 24

2

6



0.5

V2 = 6.92 litros / 0,5 horas

12. En un experimento la relación de flujo filtrado está determinada por la relación: (V



V ')2



' (t  t ) k

Donde: V = volumen de filtrado en un tiempo. V’ = constante t’ = constante

A partir de esta relación encuentre una ecuación que permita usar los datos obtenidos en un experimento de filtración a presión constante, tal como se muestra en la tabla siguiente: Tiempo (s) 0 3 Filtrado (ft ) V 0

21 42 63 115 168 343 0.025 0.042 0.055 0.080 0.100 0.150

Calcular el tiempo necesario para que el sistema manipule 14 lb de una pasta con las siguientes características: Fracción (en peso) de sólidos en el producto alimentado = 0,25 Densidad del filtrado = 55 lb/ft 3

Solución Haciendo el cuadro siguiente


80



V(ft3) t/V 0,025 840,000 0,042 1000,000 0,055 1145,455 0,08 1437,500 0,1 1680,000 0,15 2286,667

t (s) 21 42 63 115 168 343

V / t

2500,000

y = 11690x + 517,6

2000,000

R2 = 0,9988

1500,000 1000,000 500,000 0,000 0

0,05

0,1

0,15

0,2

V

K P = 11690 B=517,6

a. P = cte. dt dV



K pV

 B

(1)

Derivando: (V  V ')2  k (t  t ') 2(V dt dV



V ')dV



V

2

k





kdt

2V ' k

(2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2) K p



K p = 11690

2 k

B



2V ' k

B = 517,6

K P =2/k,

k, = 2/11690 = 0.00017109

B = 2V,/k,

V, = (B)k,/2 = 517,6 x 0.000019 /2


81



V,= 0.044277 dt dV

t





2

V 2

V k





k

2V ' k

2VV ' k

(3)

m = 14 lb. Tiene una fracción de sólido en peso de 0,25 f peso = 0,25 Lo que queda retenido es 14 x 0,25 Masa filtrada m = 14 (1-0,25) = 14 x 0,75 filtrado = m filtrado/ V filtrado  = 55 lb /pie3 V filtrado = m/ = 14 x 0,75/55 pie3 V filtrado = 0,191 pie 3 Reemplazando en ec (3) V filtrado = Vf y V, y k, 0,1912 20,00640,191 t   0,000019 0,000019

t = 2048.73 segundos

13. Una muestra de 30 mL de caldo procedente de la fermentación de la penicilina se filtra en el laboratorio, utilizándose un filtro de 3 cm2 y con una presión de 5 psia, el tiempo de filtración es de 4,5 min. Estudios previos han mostrado que la torta del filtro de penicillium chrysogenun es bastante compresible con s = 0,5, si se desea filtrar 500 litros de caldo de un fermentador a escala piloto en 1 hora ¿qué tamaño de filtro se necesita si la caída de presión es 10 Psia? La resistencia debido al medio filtrante es despreciable Solución dt

= k pV + B

dV

dt dV

=

  Cs  V + R m A 2 ( P) A( P)

 = o (P)s

Reordenando  o C s



2 2 A

dt

P s 1V dV


  o C s 

2 A 2

t

P s 1 V 2

82



Reemplazando los valores tenemos



 o C s

A  2

4 A 2

t

P s 1 V 2



2 x9 x 4.5 5 0.51 (30) 2

 0.40 2cm 2 ( psia) 0.5 min

 c s (P) 2 V 2 t

Para 10 psia A = 1,15 cm2

14. En un proceso de filtración a presión constante de 4 atm se obtiene una torta incompresible de 3 cm de espesor y porosidad 0,3 que contiene 200 g de sólidos de densidad 1g/cc. El volumen de filtrado es de600 litros empleando un tiempo de filtrado de 1 hora. La torta se lava sobre el mismo filtro con 300 litros de agua cuyas propiedades pueden considerarse iguales a las del filtrado. La viscosidad de la suspensión es de 3,9 kg/m-Hr. El tiempo necesario para la carga, descarga y limpieza del filtro es de 20 minutos, y puede suponerse que la resistencia ofrecida por el medio es despreciable frente a la ofrecida por la torta. Calcular la capacidad de filtración, la resistencia de la torta, la caída de presión en el medio filtrante y la caída de presión en la torta. Solución P = 4 atm

= 405.3 Kpa

L = 3 cm e = 0.3 Cs = 200 g Densidad = 1g/cc  = 3.9 kg/m-hr

Vf = 600 litros/ hr Vlavado = 300 lt

Porosidad = e = (Vl – Vp ) / Vl = 1 – Vp/Vl (1-e) = Vp/Vl Vp = m p / p Vl = A x L (1  e) 

m p /  p AxL



0.200 (1000)(0.03) A

 1  0.30

A = 9,52 x 10-3 m2 Si B = 0 dt/dV = Kp V + B Alberto L.Huamaní Huamaní

83



T = Kp V2 /2 + BV 3600 s = Kp (0,6 m 3)2 /2 + 0 Kp = 2 x 3600 s /(0,6m 3)2 = 20000 s/m 6 Kp = Cs/ A2P

 = Kp A2 P

/ Cs

 = 20000 s/m6 x (9,52 m 2 )2x 10-3 405,300 pa

(1.0833x 10-3) (0.333 kg/m3

 = 2.036 x 109 m/kg

Velocidad de lavado (dV/dt) = (dV/dt)filtrado = 1/ Kp V = 1/ 20000 (0,6 ) s x m3 /m6 (dV/dt) = 8.333 x 10-5 m3/s …………1s 8.333 x 10-5 m3 3 0.3 m ……………………….x

X = 3600 s = 60 min Capacidad = V / t total ciclo = 600 lt/ (20 + 60 ) = 7.5 lt/min Pmf = ( (dV/dt)  Rm )/A

B = 0 Rm = 0 Pmf = 0 Ptotal = Pmf + Ptorta Ptotal = Ptorta

= 4 atm

15. Se usa un filtro prensa experimental el cual tiene un área de 0,080 m 2, para filtrar una suspensión de almidón a presión constante de 267 Kpa. La ecuación de filtración que se obtiene es de: t/V = 10,25 x 106 V + 3,4 x 103 Donde t está en segundos y V en m 3 a. Usando la misma suspensión e iguales condicione en un filtro de hojas con área de 16,97 m2 ¿Cuánto tiempo será necesario para obtener 8 m 3 de filtrado?.


84



b. Después de la filtración, la torta se lava con 0,2 m 3 de agua. Calcúlese el tiempo de lavado en un filtro de hojas. c. Considerando que para la carga y descarga del filtro de hojas se emplean 30 minutos . calcúlese la capacidad de filtración. Solución t  10,25 x106 V 2

 3,4 x103V

Derivando dt  20,5 x106 VdV  3,4 x103 dV

dt

dt

 20,5 x106 V  3,4 x103

dV Kp1

 20,5x106

dt



dV

kp2V

dV B1





kp1V



B1

 3,4 x103

B2

Relacionando kp y B



Kp2

Kp1

A12 A22

Reemplazamos los valores respectivos

 (20,5 x10 s / m ) 6

Kp2

6

(0,080m 2 ) 2 (16,97m 2 ) 2

Kp2  445,58s / m6



B2

B1 A1 A2

3400(0,080m2 )

B2



B2

 16,03s / m3

t



(16,97m 2 )

kp2V 2 2

 B2V

t 

(445,58)8 2 2

 16,03(8)

t  14386,78s

a. tiempo de lavado Alberto L.Huamaní Huamaní

85



dV dt

t





1 Kp2V

Kp2

V 2 2

t



0.2 2

445.58

t

2



8.91s

b. Capacidad capacidad



capacidad



V tiempociclo V 14386 .79



8.9



1800

16. Una solución que contiene partículas esféricas de colorantes de 1,235 x10 -6 m de diámetro promedio en suspensión va a ser filtrada para ser concentrada en un régimen de filtración a velocidad constante. Estudiando las partículas del colorante se sabe que 500 kg de ellas ocupan un volumen aparente de 1.42857 m 3 constituyendo las partículas el 70 % de ese volumen. El equipo de filtración es un filtro de placas y marcos que tiene un área de filtración de 17.46 m 2. Al cabo de un tiempo de iniciado el proceso de filtrado se tuvo una caída de presión de 1,88 atm con una porosidad de 0,4 al finalizar la filtración se obtuvo una caída de presión de 49,2831 atm y la porosidad disminuyó a 0,25. Con esta información: a. Si el proceso de filtración se realizara a presión constante de 2 atm ¿cuánto de volumen de filtrado se obtendría en una hora?. Datos adicionales: Cs = 23,47 kg/m 3.  = 8.937 x 10-4 kg/m-s Densidad = 23.47 kg /m 3 SOLUCION a. la superficie específica de las partículas que conforman la torta es: S = (A/V) = (4  r 2 )/ ( 4/3)  r 3) S = 3/r = 4858299.595 m-1 La densidad de las partículas se calcula en base a la información dada: 5000 kg de partícula ocupan (1,428571 x 0,7) m 3


86



Luego la densidad de la partícula  p 0,7) 5000 kg/m 3 Se cumplen las condiciones:  p = 5000/(1.428571 x

P1 = 1.88 atm P2 = 1.88 atm

e1 = 0.4 e2 = 0.24

Con estas dos condiciones calculamos las resistencias específicas de las tortas formadas teniendo en cuenta que:  = K (1-e) So2  p e3

Reemplazando datos 1 = 2.2127 x 10 11 2 = 1.1329 x 10 -12

Como 1 = 2 se trata de una torta compresible luego se cumple que:  = o Ps

Linealizando la ecuación log  = log o + s log P Reemplazando tenemos que s = 0.5 y o = 5.0699 x 108 m/kg Para el proceso de filtración a 2 atm tenemos: t = Kp V2/2 Donde: Kp = ( Cs o Ps) / A2 P

reemplazando datos

Kp = 3.30166 s/m6 Luego en una hora tendremos: V = (2 (3600)/ 3.30166) 1/2 = 46.6981 m3 V = 46.6981 m 3 17. Dada la siguiente relación de flujo: (V  3)2  K (t  5) donde: V = Volumen en litros, t = tiempo en minutos. Y si K  t 2  t  1 Hallar la velocidad de flujo en el minuto 2,6. SOLUCION.


87



(V

K

 



3)2



t 2

t

K ( t  5) (1)

 1

(2)

Remplazando ec. 2 en 1

 (V  (V

 (t 2  t  1)(t  5)  t 3  6 t 2  6 t  5

3)2 3)2

(I)

Derivando (I) 2(V



3)dV



3t 3 dt  12tdt  6 dt

Reordenado a velocidad dV dt



2

3t



12t  6

2(V



3)

(II)

Reemplazando: t = 2,6 en (I) (V + 3)2 = (2,6)3 + 6 (2,6)2 + 6 (2,6) + 5 V = 5,873 Velocidad de flujo: reemplazando en (II) V y t = 2,6 dV dt



32,6

 122,6  6 2(5,873  3) 2

dV /dt = 3,24 litros /min.

18. Una suspensión va a ser filtrada a una velocidad constante de 10 ft 3/hora durante un tiempo de 2 horas. Los únicos datos experimentales disponibles son los obtenidos de filtraciones a presión constante, ellos indican que la torta tiene un coeficiente de compresibilidad de 0,5 y que a una presión de 60 lb /pulg 2 el volumen de filtrado en ft3 y el tiempo en minutos siguen la relación: V 2/2 = 7000 t. Determinar la potencia del filtro a velocidad constante. Solución 1. Una suspensión es filtrado a P = constante, luego se obtiene a velocidad = cte. Proceso a P = cte

V2/2 = 7000 t V2 = 14000t Derivando 2V dV = 14000dt


88



dt

2V



dV

dt dV

14000



V

dt

7000

dV

 Kp1V  B1

Comparando estas dos ecuaciones, se aprecia que el término B 1= 0 kp 

1 7000

 Rm

0

Si B = 0

entonces R m = 0

AP

Luego el proceso a V = cte. Donde

 Rm dV

C 

A

P = k vV + C

como Rm = 0 entonces C =0

dt

Entonces

P  K vV ( C s ) dV V 2 dt A

P 

(1)

Sabiendo que kp 

1 7000



 Cs A 2 P

Donde:

P 7000



 Cs A

2

(2)

Se considera: Que : Cs , A ,  ,  son iguales a P = cte como a V =cte. Reemplazando ec (2) en (1) a V = cte.

Pv.cte  datos: PP =cte

P p.cte dV 7000

dt

V

= 60 lb /pulg2


89


dV dt

 10


pies3 hr

Hallando el V de filtrado Dato

10 pie3 ...................1 Hr V .................... 2 Hr V = 20 pie3/Hr

Reemplazando datos: Pv.cte  Pv.cte

=

P p.cte dV 7000

dt

V

1 x 60 x 10 x 20 s x lb x pie 3 x 10 pie3 x h 7000 pie6 pulg2 h 3600 s

P = 9, 76 x 10 -4 lbf/pulg2 P = 9, 76 x 10 -4 lbf/pulg2 x 144 pulg 2/pie2 P = 0,06857 lbf /pie 2

Potencia = P x Q Potencia =

0,06857 lbf/ x 0,5 pie3 x min Pie2 min 60 s

Potencia = 5,71 x10-4 pie-lbf/s Potencia = 5,71 x 10 -4 HP Como HP = 0,7457 KW = 745,70 Watts Potencia = 0,4257 Watts

19. La ecuación de filtración a presión constante de 38,7 psia es: t /V = 6,1 x 10 -5 V + 0,01. Donde: “t” está en segundos, caída de presión en psia y volumen en litros. La resistencia específica del cake es independiente de la presión; y si el proceso de filtración se realiza a una velocidad constante de 10 litros /segundos. ¿Cuánto tiempo tomará alcanzar una caída de presión de 50 psia?. SOLUCION

a. A presión constante P = 38.7 Psia = cte


90



t/V = 6,1 x 10-5 V + 0,1 t = 6,1 x 10-5 V2 + 0,1V dt = 12,2 x10 -5 V dV + 0,01 dV dt / dV = 12,2 x 10-5 V + 0,1

dt/dV = Kp V + B

b. A velocidad constante μR   μ α Cs  dV  V +  m  ΔP =  A 2  dt  A 

dV dt

P = K v V + C

Relacionamos Kp y Kv(dv/dt)

 C s  2 1 Kp P A    dV   C s  (dV / dt ) P(dV / dt ) Kv  2 A  dt  dV  dV  Kv  Kp P    dt  dt  Kv = 12.2 x 10-5 (s/lt2) 38,7 psia x 10 lt/s Kv(dv/dt) = 0, 0472 Psia/lt Relacionamos B y C C B

 ( P )

dV dt

C = B (P) (dV/dt) = 0.01 x 38.7 x 10 C = 3,88 psia Ecuación a velocidad constante será P

= 0,0472 V + 3,88

Para P = 50 psia 50 psia = 0.0472 V + 3.88 psia Alberto L.Huamaní Huamaní

91



V = 977.33 l V = (dV/dt) t 977.33 l = (10 lt/s ) t t = 97.73 s

20. Una suspensión va a ser filtrada a una velocidad de 5 pie 3/min durante un tiempo de 4,5 horas, los únicos datos experimentales disponibles son os obtenidos de filtraciones a presión constante, los que indican que la torta tiene un caudal de 0,5 pie3/min y que a una presión de 50 psia el volumen de filtrado en pie 3y el tiempo en minutos varia según la relación. V = 15000t Encontrar la potencia teórica para la filtración necesaria sabiendo que la filtración se realiza a presión constante. SOLUCION dV/dt = 5 pies3 /min V = 0,5 pies3 /min

t = 4,5 horas P

= 50 psia

V2 = 1500t Derivando 2V dV = 1500dt dt/dV = V/750 kp = 1/750 B=0 Relacionamos Kp y Kv  C s  Kp Kv



1 A 2 P   C s  (dV / dt ) P(dV / dt )

A 2 dV Kv  Kp P dt

= (1/750) (50) 5

Kv = 1/3 psia /pie3


92



A velocidad constante

   Cs  dV   R m  dV   V + P =       A 2  dt  A  dt P = K v V + C P = V/3 + 0

5 pie3 .....................1 min x ............................4.5 hr/60 min/hr X = 1350 pie3 de filtrado P = V/3 + 0 P = (1/3) (1350 pie 3)

= 450 psia

P =450 psia


93



PROBLEMAS PROPUESTOS 21. La velocidad inicial de filtración en un filtro de hoja que funciona en régimen de filtración a presión constante es de 50 ft/min ft/ min y para separar 500 litros de filtrado el tiempo de filtrado es es de una hora. Calcúlese la capacidad de filtrado , el filtrado se lava a la misma presión con 75 litros de agua, y para la carga y limpieza de filtrado se emplean 30 minutos. 22. En un filtro de placas se requiere filtrar una suspensión homogénea a una velocidad constante de 4,5 pie 3/min. Pruebas experimentales han producido la siguiente ecuación: V2 = 650 P0.6 t Donde: V = pie3 P = pisa t = min. Se desea saber: El volumen de filtrado después de 5 horas. La potencia teórica (HP = Q x P) 23. Las experiencias efectuadas con una suspensión homogénea que contiene 0,015 g de sólidos /m 3 de agua en un filtro de hojas en régimen de filtración f iltración a la velocidad 3 constante de 0,02 m /min han conducido a los resultados r esultados siguientes: Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 2 Kgf /m 0,32 0,54 0,73 0,93 1,16 1,33 1,52 La resistencia específica de la torta es constante para diferencias de presiones inferiores a 1,5 kg/cm 2. Se ha de estudiar el efecto de la variación de la velocidad de filtración sobre la capacidad de la velocidad de filtración sin que las presiones p resiones de 2 operación sobrepasen las 1,5 kg/cm teniendo en cuenta que la torta no se lava y que el tiempo de limpieza y descarga del filtrado es de 1 hora. Determinar: c. tiempo necesario para alcanzar la presión de 1,50 kg /cm 2. d. Capacidad de la filtración en m 3/Hr. 24. En un proceso de filtración a presión constante el cuadrado del volumen de filtrado es proporcional al tiempo de filtración. Si en 6 horas se han producido 24 litros de filtrado hallar la cantidad de filtrado (volumen) que se obtendrá en 3 horas. Además calcular la capacidad de filtración si el filtrado se lava a la misma presión con 30 litros de agua y para la carga y limpieza del filtro filtr o se emplea 30 minutos. Considerar que la velocidad de lavado es ¼ de la velocidad de filtrado. 25. En los ensayos de laboratorio del filtrado de una suspensión acuosa en un filtro prensa a la velocidad constante de 5 m 3/min se han obtenido los siguientes resultados: Tiempo (min) 0,55 0,73 0,73 0,91 1,09 1,36 1,36 2,29 2,29 3,20 2 P(kg /cm ) 1 3 5 7 10 20 30


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Calcúlese el tiempo óptimo de filtración si ha de realizarse a una diferencia de presión de 0,8 kg /cm2 y el tiempo necesario de limpieza y lavado entre ciclo y ciclo es de 30 min. t optimo  t '  V e K p

2t K p

t = tiempo necesario para la limpieza y lavado entre ciclo y ciclo. Ve = volumen de filtrado para la limpieza y lavado entre ciclo y ciclo. tciclo = toptimo + t’ 26. En un proceso de filtración a presión constante se ha determinado experimentalmente los valores de Kp = 40 s/m 6 y B = 14 s/m 3, teniendo en cuenta que el cake es incompresible, calcular el volumen de filtrado para 270 segundos de filtración. Además, determinar la velocidad y el tiempo de lavado del filtro, considerando que dicha velocidad es de 1/5 de la velocidad de filtración y que el volumen del líquido lavador es igual al 25% del volumen de filtrado. 27. En la filtración de un jarabe muy viscoso a presión constante de halla que la velocidad de filtración puede mejorarse si la viscosidad del jarabe que pasa a través del filtro se reduce diluyéndolo con agua. La filtración de la mezcla a jarabe agua se lleva a cabo de acuerdo a la siguiente ecuación: dt/dV =  V/K donde: K = constante El efecto de la dilución en la viscosidad es el siguiente:  = SF-n S y n = constantes.  = viscosidad de la mezcla a jarabe-agua (cp) F = fracción en volumen del solvente en la mezcla. ensayos de laboratorio han determinado



F

0.005 0.007 0.0108 0.020 0.056

1 (solvente solo) 0.8 0.6 0.4 0.2

Cuando se añade demasiado solvente, la viscosidad de filtración del jarabe disminuye realmente por cuanto el volumen total de líquido que debe filtrarse a fin de d e procesar una cantidad determinada de jarabe aumenta excesivamente.


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Si la cantidad de jarabe que debe filtrarse por ciclo es constante, cual es valor de F que proporciona el ciclo ciclo más corto?. -1.2

Log(U)= -2.29993 - 1.50209 Log(F)

-1.4 -1.6

) U ( g o L

-1.8 -2 -2.2 -2.4 -0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1 Lg(F)

Del intercepto

F 

V s V T

s = 10^(-2.29993) n = -1.50



V T  V J 

 = SF-n

V T

(I)

 V    0.005 s   V T  dt dV dt dV T





k



s = 0.005

1.5

V

0.005  V s 

1.5

   V T 

k

V T

reemplazando V S = VT - V j dt dV T dt dV T

dV dt







0.005  V T  V J 

 

k 0.005 00 5 k

k

0.005 00 5


V T

 

1.5

V T

V T  V J 1.5 V T 2.5

V T  V J 1.5 V T  2.5

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Capitulo Vii Agitacion y Filtrado

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