CÁLCULO DE POTENCIAS DE AGITACIÓN
1. OBJETIVO El objeto de esta práctica es el cálculo de la potencia teórica necesaria para la agitación de una suspensión de un sólido en agua. Dicha potencia se comparará con la calculada experimentalmente utilizando un amperímetro. Asimismo, se determinará la eficacia de la agitación utilizando o no tabiques deflectores mediante el cálculo del índice de mezclado y del grado de homogeneización. Mediante esta práctica se pretende que el alumno sea capaz de calcular potencias de agitación, y el efecto de diversos factores sobre el valor de dicha potencia.
2. CAMPO DE APLICACIÓN La agitación de líquidos es una de las operaciones más habituales de la industria química. Conocer la potencia necesaria para una correcta agitación es un aspecto de gran importancia desde el punto de vista de la eficacia de un proceso químico y desde el punto de vista económico.
3. FUNDAMENTO 3.1 Principios generales Para conseguir el mismo tipo de flujo en pequeños equipos y equipos de escala industrial debe conseguirse una semejanza geométrica, cinemática y
dinámica. La semejanza geométrica nos define las condiciones de contorno del equipo en base a una serie de números adimensionales o factores de forma que se obtienen dividiendo las distintas medidas lineales del equipo por el diámetro del agitador, D, que es el parámetro que se toma como base. Para mantener la semejanza geométrica entre dos equipos es necesario que los factores sean iguales. Estos factores de forma son: S1 =D /D; S2 = Z /D; S 3 = Z /D; S 4 =W/D t i l siendo: Dt: Diámetro del tanque. Zi: Altura del agitador al fondo del tanque. W: Anchura de los tabiques deflectores. Zl: altura del líquido en el tanque. Cuando ignoramos temporalmente los factores de forma la potencia consumida por un agitador, P, puede expresarse en función de las siguientes variables: P=f (D, g, µ, ρ, N) siendo: D: Diámetro del agitador g: Aceleración de la gravedad µ: Viscosidad del fluido ρ: Densidad del fluido
N: Velocidad de rotación del agitador Haciendo uso del Análisis Dimensional pueden agruparse dichas variables en distintos módulos adimensionales de la forma siguiente:
D 2 Nρ P = K' 5 3 DNρ µ
b
DN 2 g
c
(1)
Esta ecuación la podemos expresar como: P0 = K'RebFrc
(2)
siendo: P0: Módulo de potencia Re: Módulo de Reynolds Fr: Módulo de Froude El módulo de potencia puede expresarse, por lo tanto, como una función de dichos números adimensionales: P0 = f(Re, Fr)
(3)
Si tenemos ahora en cuenta los factores de forma, el módulo de potencia se puede expresar de la forma siguiente: P0= f(Re, Fr, S1, S2, ..., S n)
(4)
En este análisis el número de potencia es análogo a un factor de fricción, el módulo de Reynolds puede interpretarse como la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas y el módulo de Froude es una relación entre las fuerzas de inercia y la fuerza gravitacional.
En la bibliografía se dispone de representaciones gráficas del módulo de potencia frente al módulo de Reynolds para distintos sistemas de agitación (Apéndice). 3.1.1 Líquidos homogéneos:
Para valores del Re inferiores a 300 las curvas para tanques con o sin tabiques deflectores son iguales y todos los datos están comprendidos en una sola línea, indicando que el módulo de Froude no tiene ningún efecto significativo. La ec. 2, en este caso, queda de la forma: P0 = K'Reb siendo b = -1. Por lo tanto la potencia consumida por el equipo será: P = K' µ N2 D3
(5)
Cuando el Re es mayor de 300 el Fr comienza a ser significativo y en la gráfica aparecen distintas curvas. La ec. 4 se ve modificada según se instalen o no tabiques deflectores en el tanque de agitación.
a) Tanques sin tabiques deflectores: Cuando se utilizan equipos sin tabiques deflectores la ec. 4 puede expresarse de la forma:
Po = f(Re, S1 , S2 ,..., Sn ) y Fr
(6)
El exponente y de la ec. 6 está relacionado con el Re por la ecuación:
y=
a − logRe b
(7)
donde, a y b son constantes que dependen del tipo de agitador. Para utilizar las gráficas es necesario corregir el valor obtenido para el módulo de potencia leído de la escala de ordenadas multiplicándolo por Fr y.
b) Tanques con tabiques deflectores: En este caso se dispone de gráficas a partir de las cuales se obtiene el módulo de potencia a partir del módulo de Reynolds. Por lo tanto, con ayuda de estas gráficas puede resolverse teóricamente el cálculo de la potencia necesaria para un equipo determinado. 3.1.2 Sistemas heterogéneos:
a) Líquido-gas: En el caso de sistemas aireados es necesario tener en cuenta el caudal volumétrico de aire. Así la potencia de agitación necesaria es función del número adimensional de aireación.
Pa = f(N a ) P
Siendo: Pa = Potencia de agitación necesaria con aireación P = Potencia de agitación necesaria sin aireación Na es el número adimensional de aireación:
Na =
Q ND 3a
Donde: Q = Caudal volumétrico de aire Da: Diámetro del agitador N: Velocidad de rotación del agitador b) Sistemas líquido-sólido: en este caso es necesario tener en cuenta que la densidad del sistema es diferente por la presencia de sólidos no disueltos. El cálculo de la potencia teórica necesaria para agitar una mezcla líquido-sólido (para Re turbulento) se realiza de la misma forma que en el caso de líquidos homogéneos, apartado 2.1.1, sustituyendo la densidad del líquido por la densidad promedio de la mezcla en todas las ecuaciones (cálculo de potencia teórica con y sin tabiques deflectores):
ρ Mezcla =
ρ Líquido ⋅ VLíquido + ρ Sólido ⋅ VSólido
VTotal
(8)
En esta práctica se pretende comparar los resultados de potencia obtenidos de forma teórica, con los resultados obtenidos a partir de un pequeño equipo de agitación en el caso de un sistema heterogéneo líquido-sólido. En el caso estudiado, se empleará una suspensión con baja concentración de sólido, por tanto este sistema puede aproximarse a un sistema homogéneo, debido a que la densidad que presenta la suspensión es muy similar a la del líquido.
3.2. Eficacia de la agitación Al evaluar el rendimiento de un equipo de agitación no sólo es importante la potencia requerida sino también las características del producto mezclado y el tiempo necesario para la operación. La prueba esencial consiste en comprobar si la mezcla cumple con los requisitos establecidos y suele realizarse tomando una serie de muestras del producto y llevando a cabo el análisis correspondiente. El grado de uniformidad de una mezcla puede establecerse en función de dos parámetros: el Índice de Mezclado, I y la homogeneidad, H. El Índice de Mezclado se define como el cociente entre la desviación típica de las muestras analizadas y la desviación típica en condiciones de mezclado cero. La desviación típica de una serie de muestras se define por la ecuación: N
s=
(x i − x m ) 2 ∑ i 1 =
N −1
siendo: xi: concentración de una muestra (expresada en tanto por uno en peso). xm: media de las muestras analizadas (expresada en tanto por uno en peso). N: número de muestras. La desviación típica a mezclado cero correspondería al instante anterior al inicio de la operación de mezclado. En este momento los materiales del sistema formarían dos capas, una que no contiene material sólido, cuya concentración sería 0, y otra donde se concentran todas las partículas sólidas, cuya concentración sería 1. En estas condiciones la desviación típica puede definirse por la ecuación:
s0 =
δ(1 − δ )
siendo δ la concentración teórica de la suspensión (expresada en tanto por uno en peso). Por lo tanto el Índice de Mezclado se define por la ecuación:
Ν
∑ s = ι =1 Ι= s0 ( Ν − 1)δ( 1 − δ) (x i − x m ) 2
(8)
Para suspensiones perfectamente mezcladas I = 0. Sin embargo, en la práctica es prácticamente imposible obtener una mezcla total y los valores límites de I oscilan entre 0,1 y 0,01.
El grado de homogeneidad, H representa la homogeneidad de la suspensión en % y se define como:
H=
100 ⋅ x m ⋅ (1 − s 2 ) δ
(9)
Esta ecuación es válida siempre que la varianza de las muestras, s 2, sea inferior a 1. En el caso límite de mezcla total H sería del 100%.
4. MATERIAL Y MÉTODOS El equipo necesario para la realización de la experiencia consta de los siguientes elementos: • Tanque cilíndrico de mezcla provisto de tres salidas laterales para
la toma de muestras a distintas alturas. • Agitador con una potencia de 80 W (no sobrepasar los 65 W para
tener un margen de seguridad). El aparato dispone de un indicador rojo que se enciende cuando se supera la potencia máxima aconsejada. • Un amperímetro digital para determinar el consumo del motor. • Un elemento agitador tipo turbina con 6 palas planas. • Cuatro tabiques deflectores • Carbonato cálcico para preparar la suspensión en agua. • Material para la determinación de la concentración de las
muestras.
5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 5.1. Preparación de la suspensión Para la realización de la práctica es necesario preparar 45 Kg, aproximadamente, de una suspensión de carbonato cálcico en agua al 3% en peso. • Llenar el tanque midiendo su volumen con una probeta graduada
de 1000 ml hasta la mitad aproximadamente de su capacidad. • Añadir el CaCO3 necesario y homogeneizar la mezcla poniendo
en marcha el agitador. • Completar con ayuda de la probeta graduada hasta que el nivel del
líquido alcance el nivel de salida superior del tanque. • Calcular la concentración exacta de la suspensión en función de
las cantidades de carbonato cálcico y agua introducida en el tanque.
5.2. Características del equipo Especificar los siguientes parámetros para poder estimar el consumo de potencia teórica del equipo y los factores de forma correspondiente: Dt: Diámetro del tanque = 36,5 cm D: Diámetro del agitador = 11,5 cm W: Ancho de los tabiques deflectores = 1,9 cm Zi: Altura del agitador sobre el fondo = 13 cm Z1: Altura del nivel del líquido = 43 cm V: Volumen del tanque = 0,045 m3
Concentración teórica de la suspensión = 3 % peso Con estos datos calcular los factores de forma S 1 a S4. Estos factores de forma deben estar dentro de los límites establecidos para los mismos en la Tabla correspondiente del Apéndice con el fin de que la curva seleccionada para el cálculo de la Potencia teórica tenga validez. Los datos correspondientes a la suspensión son los siguientes: Densidad agua= 1000 Kg/m3 Densidad CaCO3= 1195 Kg/m3 Viscosidad = 1,1.10 -3 Pa.s La potencia experimental consumida en cada ensayo se calcula a partir de la lectura del amperímetro mediante la fórmula siguiente: P = I·E
(10)
siendo: P: Potencia (W). E: Voltaje de la red eléctrica (220 V). I: Intensidad consumida en la agitación (Amperios). Para determinar la intensidad consumida realmente en la agitación es necesario restar a la intensidad medida durante el ensayo, la intensidad que se consume al agitar en el aire para cada velocidad de rotación. Por ello, es necesario subir el agitador con ayuda de la llave hasta sacarlo de la suspensión y anotar el valor de la intensidad para cada una de las velocidades de rotación
de trabajo. Una vez hecho esto, introducir el agitador en la suspensión hasta la señal para asegurarse de que se mantiene constante el factor de forma S 2.
5.3. Ensayos de agitación. Para la realización de la práctica es necesario realizar 3 ensayos, a distinta velocidad de rotación (100, 150 y 200 rpm), sin colocar los tabiques deflectores en el tanque y con los tabiques deflectores (6 ensayos en total). Se realizarán experimentos en orden creciente de velocidad de agitación, es decir: 100 rpm sin y con tabiques deflectores, 150 rpm sin y con tabiques deflectores, y 200 rpm sin y con tabiques deflectores. Para ello proceder de la forma siguiente: • Identificar el sistema de agitación que se va a utilizar con alguno
de los que se recogen en la tabla del Apéndice. • Montar el equipo de tal forma que los factores de forma S 2 y S3 se
encuentren dentro de los valores correspondientes según la tabla del Apéndice. Si ya esta montado pedir los datos al profesor. • Poner en marcha el agitador en la posición I, seleccionar la
velocidad de rotación y anotar el valor (en rpm) que aparece en el indicador del equipo. • Anotar el valor de la intensidad en vacío (intensidad que se
consume al agitar en el aire) para la velocidad de rotación seleccionada. Posteriormente, introducir el agitador en la suspensión hasta la señal para asegurarse de que se mantiene constante el factor de forma S2.
• Dejar que el sistema se estabilice durante 10 min., anotar la
lectura del amperímetro y tomar una muestra de cada una de las salidas del tanque, previamente purgadas. Para purgar tomar una pequeña cantidad de muestra y devolverla al tanque. • Colocar los tabiques deflectores, sin parar el motor del agitador,
dejar estabilizar 10 min. y tomar las muestras. De esta forma garantizamos que se realizan los ensayos con y sin tabiques deflectores exactamente a la misma velocidad. • Variar la velocidad de rotación del agitador y repetir el
procedimiento a 3 velocidades distintas. • Al finalizar todos los experimentos, añadir un volumen igual a la
suma de todos los volúmenes sacados del tanque de disolución de CaCO3 (3% en peso), con objeto de mantener constante el volumen del tanque. La concentración en tanto por uno en peso de cada muestra se realiza por filtración mediante el siguiente procedimiento: 1. Medir el volumen de muestra tomada utilizando una probeta. 2. Pesar cada uno de los filtros que vayan a ser utilizados. 3. Filtrar la suspensión recogida, arrastrando todo el carbonato con ayuda del frasco lavador. 4. Colocar el filtro en una placa de Petri numerada y secarlo en una estufa. 5. Determinar el peso de carbonato por diferencia entre el peso de filtro con la muestra y vacío. 6. Finalmente, determinar la concentración de la muestra.
Para cada una de las experiencias observar y anotar si se forma vórtice en la superficie del líquido.
6. PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS Con los resultados obtenidos en las 6 experiencias realizadas se construyen las tablas 1 y 2:
Tabla 1. Ensayos sin tabiques deflectores Exp. 1
Exp. 2
Exp. 3
Velocidad agitación (rps) Potencia consumida (W) C1 (% peso) C2 (% peso) C3 (% peso) Desviación típica (s) Índice de Mezclado (I) Grado de homogeneidad (H) Formación de vórtice (s/n) La potencia teórica consumida por el equipo en cada caso se calcula a partir de las gráficas del Módulo de potencia frente al módulo de Reynolds. Para ello debemos calcular el Reynolds y el Froude aplicado en cada caso y calcular el módulo de potencia a partir de las gráficas, teniendo en cuenta las consideraciones descritas en el punto 1 del Fundamento.
Tabla 2. Ensayos con tabiques deflectores Exp. 4
Exp. 5
Exp. 6
Velocidad agitación (rps) Potencia consumida (W) C1 (% peso) C2 (% peso) C3 (% peso) Desviación típica (s) Índice de Mezclado (I) Grado de homogeneidad (H) Formación de vórtice (s/n) En el caso de que el Re utilizado sea superior a 300 debemos tener en cuenta el Fr y la utilización o no de tabiques deflectores (punto 1). Las constantes a y b se obtienen de la tabla en función del sistema de agitación y la constante y se obtiene mediante la ecuación 7. La potencia teórica consumida se calcula a partir de módulo de potencia obtenido gráficamente. Con los resultados obtenidos construir la tabla 3 de la forma siguiente:
Tabla 3 Exp. Exp. Exp. Exp. Exp. Exp. 1
2
3
4
5
6
Velocidad agitación (rps) Módulo de Reynolds (Re) Módulo de Froude (Fr) Tabiques (SI/NO) Re>300 (SI/NO) Nº línea seleccionada (gráfica) a b y Módulo de potencia (P0) Potencia teórica (P) Potencia consumida (W) • Con los resultados obtenidos representar gráficamente la homogeneidad
frente a la potencia y determinar el punto de máxima homogeneidad y mínima potencia. • Representar gráficamente los resultados experimentales comparándolos con
los resultados obtenidos teóricamente a partir de las gráficas del Número de Potencia en función del Número de Reynolds (Apéndice). • Discutir si es favorable, en nuestro caso, el uso de los tabiques deflectores.
7. REFERENCIAS Coulson, J.M. & Richarson, J.F. (1988) Ingeniería Química,Vol. 2, 3º ed., Ed. Reverté. Mc Cabe, W.L. & Smith, J.C. (1991) Operaciones Básicas de Ingeniería Química, 4 ed., Mc Graw-Hill.
Molyneux, F., (1968) Ejercicios de laboratorio de Ingeniería Química, Ed. Blume. Perry, R.H. & Chilton, (1973) C., Manual del Ingeniero Químico, 5 ed., McGraw-Hill.
8. ANEXOS - Tabla y Gráfica del consumo de energía de diversos agitadores.
