Cap_7_la Conservacion de La Energia-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

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LA

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C ON9ERVA C ION

CAP I T"LO

PR O BL E MAS

l .

1. Demuestre que para l a misma velocid a d i nic i", l 't. 10:1 velocid ad v de u n proyecti l será 1" r- i sm" e n todos l os puntos a la mjs ma elevación , cual qui era q ue se a el ~ n gulo de proyecci6n. Soluci6n: Por el principio de la con s e r vaci 6 n de la e r1t:rgia mecánica e n ~os dimensiones tenemos:

2 • ,-1 mv 0,

, 1

• [n

1

~

mv

, 1

mv

,

,2 • 1

,

mv

• o,

•

0,

2

• •

°

v

O.

,

2

v

2 0y

•

v

2

o

y

v

.

,

,

,

, y

•

,•

v

v 2)

•

pero: v

' .

l ue go :

1 mC v 2

~ v P

-'1- -_

mSh

,

•

oy

mgh o = y

y

2

v

•

0y

este caso h m(v

y

,

,

mgh

2

y

•

C"

v

2

Reemplazando estos valores en la ecu a ción (2) mos :

11 mv o2 = 12

mv2

o~ten~

+ rngh

De donde o btenemos; 2 v

, = 'lo - 2g h

{expresi6n que es independient e del ángulo de incl i nac ión d e l proyeCtil}.

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- 1802 . La D.JCrda de la fi gur a 1, e s d e

l¡

•

p i e s de largo .

cuan ~

a r co d o se s u e l t a la bol a s i g ue la trayec t ori a de l punteado . ¿Qu é ve l oc i dad tendrá a l pa sar por el pu n t o má s baj o d e s u oscila c ión ? So l uci6 n: Po r el pr i nci p i o de la co n s ervac i ón de la energ i a me c áni ca [ t e ndre mos :

,'2 , mV

2

v

-f . h I

-O

q>--.L.. , T

,

_L . ~

mgh

2

. .. (})

Tomando lo, ejes coordenados x-y como la figura. obt e nemos:

h,

-

" L, VI

~

O

Y

h,

~

..

mu e s tra

en

O

Reemplazando valore s en
v

, = /2

32

x

Re s puest a : ! v

2

x

l¡;

16 p ies/seg.

= 1 6 pie s/ se g .[

3 . El clavo de la r ig . 8-10 es tá localizado a una d i s ta nc i a d a bajo del pun t o de apo yo . De mostrar q ue d debe se r po r lo menos d e e . 51 p a r a que l a bola pue da. dar una vuel ta comple ta en u n c irculo co n c e n t r o e n el clavo . solu c i6n: Ap l jcand o e l Teor ema de la conse r va c i6n de la pne r -


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-18 1g!~

entre los ~ u n t os (1) Y (2) indicados en l~ figura adjun-

(1) ....- -

•

J

l

•

ta.

donde: E = energía c .inica t ot al.

,·'1·

. .. .

m~

:,~

Reemplazando por su equivalencia: 1

'r

mV

d

(2)

ref.

,

2

-

,

.' /

'al

1

Por condici6n del problema: o

h 11

1 2

v2

O

(bola par te de l re poso)

= 2d.l¡ del gráfico. = O

" O

2 debe tener dicho valor; por lo menos; para que de una vuelta pero en nuestro caso no~ dicen que debe dar una vue lta, entonces el valor Dinimo de v 2 ~ erá un poco mayor al valor que calcularell".os.

V

[ntonces reemplazando los valores en (a): O

• mg{2d-l)

mg ( 2d-l) 2d-l d

o

O

o

O

o

O

o

•O

., 1

con est e valor de "d" la bola se quedará quieto (2) (figuro>, entonces para que ~e una vuelta. d

)o

1/2

(!

)o

0.51


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-181-

I d m1n imo

•

0 . 61 1 .

'

S. a) Una barra r ígi da liger a de longitud L t i e ne una masa m fija e n su extremo , formando un pénd ulo si~ pie, el cua l se invie l'te y despu~s se suelta. ¿Cuál e s su velocidad v en el punto m!s bajo y c uál es la tensi6n T en el soporte en ese instante? b) El mi s mo péndulo se pon e de s pué s en posici6n ho r izontal y se sue lta libremente. ¿Pa ra Qué 'ngulo con la vertical , la te nsi6n en el soporte será de igual magnit ud que el peso? ~:

m: masa fija en el extremo del péndulo. L : longitud de la barra .

Solución: a) Por el principio de la conservación de la ener·g'í.a mecánica tenemos: h .2l

m

1

,,

-- - ¡. __ .. -

\ T

Fig. 1 ------

¡ )'

¡ 11\\' 1

•

mgh

1

,

9,

r

-,

L

L

,•

1 mV ~ 2

X

> X

hZ

., H g. 2

rr.gh

2

,. ' -

(l)

Pepo en es t e c a so: v¡ ,ll'

,

O, h ¡

, n;

e cua c i ó n (11 ~" ¡ "


s~

h,

,

O

! 'educc

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-18 3-

La t ensi6n en 1" c u e r d a en e l p u nto i nferior s'!t'á:

T - mg = ma

."

c

T = mg + ma

c

(2)

= mg

f

~mg

= 5mg.

el Aplicando el principio dE' la con servaci 6n d e l a

tJ

tenemo~:

nergia

I

,

= 2 mV2 En este

+ mg h

2

... (1)

c a~ o :

v 1 = 0 , h l : Oi h 2 : - Lcos9

~ mv~ = mg Lcos6 hgLcOS6 En el instante en q ue e l pé r.dulo ha c e un Sng ll l o con la vertical , ~ asa

la ~

fue r za s que obr a

so br e

& 1a

del rénc u lo son: T - mgcosO

= ma c

(2 ); dond e:

: 2gcos6 T : mgcos6 • 2::-.g; co s 6 : i:1 ángo.llo p ;ira el c·ua} i


3mgcos':'

: ::-.g :c;e :"d:

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- 184Respuesta:

= 2~;

a } v2 b)

e :.

T

= 5mg .

7 0.5°

6. Un péndulo s imple de longi~ud

1,

que llev~ suspend¡~

da una masa m, tie ne una veloci'dad observada "' 0 CU I!l!!. ~o la cuerda forma el Sngulo 8 con la v ertxcal (O < 0 eo < w/2 1, c omo s e ve en la tigura 8-11. En funci6n ' de ~ y de las cant idades que se han dado, detenninar (a) l a e nergía mecinic a locidad v

1

~o~al

del

de la péndola cuando

si6~ema,

es~á

(b) la

v~

en su posici6n

más baja ; ( c l el mínimo valor v 2 que podría ~ener V o para que la cuerda llegue a alcanzar una posici6n h~ rizon~al

durante el movimiento , (dl la veloci dad v 3 > v el péndulo no oscilaría s ino que o 3 moviéndose en un c írculo vertical.

tal q ue si V ~~guir í a

Sol uci6n: al La ene rgía mecáni ca total se rá :

E:. _, 1 mv 2 + mgh

o

" O

O

... (1 )

del gráfico:

m

v

o

:. lU _ cose 1 ... (1) o ~eer.lplazand o (2) en (1):

r. =

i

mv¿ +mgll1-co::Bo)

Cál cu lo de VI ~n su posición más baja:


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- 185-

•

h]

:: O

hO :: l ( l -cose o l c alc ula do a nt er iormente,

r e empl az a ndo v" l o re s :.

.lv o2

v 1 :: c)

.. 2.1 11

Siguiendo pasos si1l'li'l aN':9 a l a s pa r t e s ( a ) y (b) se o bt iene :

'"

(O,

IgIO + 1cose

o

7 , Un objeto está fijo a un resorte

vertical y se baja lentamente a su posici6n de equi libri o, El resorte queda estirado una c ant idad d , si el objet o se tija al mismo resorte vertical, pero se le deja caer en vez de que baje lentamente. ¿Qué tanto estira rá al resorte?

S9h:c i6n : [n el pr imer caso la fuerza que est i r ará al resorte igual a l peso de l objeto s u spendido , o sea:

e~

F :: n:g

( 1 ) ; pero :

:: kx :: k d

( le y de Iloc ke) ,

luego: k :: rIlg/d I


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- l B6~

En el se gundo caso la pé rd i da de la e nerg14 PQten c ial del ob jeto e s igual a l a e ne r gía potenc ia l asi mi lada por el r esor t e , l ue go t e ndr e mo s: IIIg'" =

j

,

r

loe

•. .

(2 )

pero: k = IIlg/d Reemplazando el va lor de k eS ( 2 ] obtenemos: x = 2d

Respuesta:

Ix:;

1d

I

8. Un bloque de 2.0 kg . se deja caer desde una altura de O.~O •. sobre un resorte cuya constante de fuerza vale le = 1~60 nt/m. Encontrar la mixima dcformaci6n que su f rirá e l resorte al comprimi r s e (no se tome en cuenta el rozam i ento). Soluci6n: Te nie ndo e n c ue nta que la energía pot enc i al de un resor te es:

(1) 0

pode mos pl a near c uaci6 n :

í

, 1

+ mgh

II1gt'l

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•

~

El = Eo 1

.,. mV (O)

la siguie nte

,

1

" I1

"

2

= ,. mvo

"" 2

o

/2111 g h1

...,-

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-181 ··

re emp l a zand o valores:

; / 2 x ~C'8,-x,-:O~.24

• , 0 . 09

1:1 .

:: 0.09 m.

9. En una monta1l" ruso!! , s i n r o zamien t o , un c a r r·i t o de me. sa 2!!...comi e nza. e n el. pu nto A con u n" ve locidad \"0 ' :::cmo se muest r a en la rig. 8~ 1 2 . Supó ng ase que e l c a rri t o se pueda conside r ar COIhO u na par tí cula sin dimen siones y que siempre que de en cont a cto con la ví a . al ¿Cuál será la velocid a d del c arrito en los ~untos B / C7 (bl ¿Qué desacel e raci6n const a n te s e requiere ~ ar3 que el carrito se det ~ng a en el punto E si lo s f r t' n?S que v = O . se aplica" en el punto 01 (cl Su~ase o ¿Cuánto tardará el c " rrito en llega r al pu n t o 8?

A

e h

,

l'

I

D

- -+- -+--

.-.,¡

Soluci6n: al Cálculo de la velocidad en H:

1

2

? mv(-¡ .. mgh A =


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- 188-

reempl azando dic hos valor e s en ( l ) :

~ mv¿

t mv,;

+ mgh ,.

+

mgh

Si ,np li f icando:

- C&l culo de l a velocid a d e n c:

, , • mgh , mv~

1 mVA

"

1

•

V

c

h, mg ( 1

Simplifi c ando y reemplazando valores : 1

,., •

1 o ve

"

h 1 g í " 'i'

Iv'o •

v

,

'C

gh

b ) Primero c al culemos la veloc idad e n D:

~ mv~

+

mgh :

! rnv¿

Simplifi cando;

" Iv'o

+ 2gh ..

,(2 }

Po r cond i c i 6n de l probl ema VE = O

(detenid~ )

I\pl i ca/ldo la siguiente f 6 rmula: v;=v; ! 203e para n'Je s tro ca so:


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- 189-

Y, • Y. , 2

2


• 2 ••

reem p lazando va l o re s ( pun t o s D y El 2

vE

•

V. •

v

.

2

o

,

2. l

2 VD • 2.L 2

• (2 1

en

(J ):

l·•

el Nunca llegara 10.

•

vD 'fL v

•

,• o

(31

2g h

2L

B.

Un pequeño bloque d. masa m resbala e n un. vía

si n

fricci6n en forma de rizo; al Si parte del reposo en P. ¿Cuál es la fuerza resul tAnte que obre sobre

él

en Q1 b) ¿A qué altura sobre la parte inferior

de l

riso debería soltarse el bloque pa ra que la fuer za que ejerce contra la vía en la parte superior

del

rizo sea igual a su peso? P v1"O

r

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=, r ,-v

-,

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- 190Soluci6 n:

•

AplicAndO el pr incipio de la c o nser vaci6n de 1.1

e_

nerg ía ten erlOs:

L.u ego : L~

ac elel"aci6n centr1peta es;

a La

c

~ V~/R ~ 8gR/R

~celera ci6n

at

'"

8!

=-

tangencial es:

mgh.

~

g

La acelerac i6n resultante ser á:

a =La fue r~a

la?e • a 2t

Q

g/65

=-

resultante en este punto s erá: f

b )

=-

=- ma ,. mg/65

Las fuer ~ as que act úan e n el bloque en este caso son : T • mg ~ ma ." ( l i

c

Pero T =- mg ( d a t o ) v

2 _ - 2gR 2

Por el pr i nc i pi o de la cons ervaci6n de l a ener g!a tenemos :

En este c a so:


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- l!H-

= j/2 m(2gR}; de donde hj = Rt 1 La altura desd e la cua l debe rá tit'",r se e l que s er.§. : (ver figura. 2). Lu e go: mgh

Respuesta : l al r

b1 0

-

= mglBS ; bl h = JR

11. La partícula ele masa m ele la Fig. 8- 11t se mueve

en

un círculo vertical de radio R de ntro de una vra. No hay ro zamiento. Cuando m se encuentra en su POS! ci6n m ~ s baja, lleva una velocidad vo . {al ¿CuSl es el m!nimo vlllol' vm de va para que m de una vuelta com pleta en el c~rcu lo sin despegars e de l a vía? (bl Sup6ngase que V e s de O.77S v ' La partícula m o se moverá por la vía hasta un ci~rt:o plinto p. "! n el cual se despegarS de la v!a y seg u ir~ moviéndose s~ gún la trayec t oria marcada en forma aprox i mada por la linea in terrumpiaa . Encontrar la posici6n .'IUSU lar e del punto P .

Sol uci6n: Aplj~ ando

e l teor ema de

l a co nse rvac i6n de l a ! ne r g ia en tre l os punt os
h '

"

[ 1

'"


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=

); 2



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,•

21

! mv,

Del g rSfico ;

- 192-

,•

'

~g hJ.

• 'f

h, h,

'R

• • v, •

mV 2


• mgh ?

.. .

( al

O ( ve r pro blema II

O

Reemp la zando va lore s e n l a )

'21

mg{? R) :; :; v

mv

,

o

= ¡¡¡-gR

m

V

m v

/4 g R

>

m1nimo

:;

;r;RgR

,

b) Apl i c ando l os mismos cri ter ios d e l a par te ( a ) :

r~\ , " l.

,

,

,

,

E

p

,. 1

•

E

•

p

, h , Q , v

v

,

v

o

v

p

•

v

.•' ..cm.

o

O

, ,•

Q

mv'

hp

_

R

mgh

•

p

1

•

R sen6

mV

,

Q

mgh

Q

R U "sen6)

...

( bl

O

Q

,

0.77<:. v

m

( dato)

m

Reempl a za ndo en (bl

,

1

'i

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-193-

•

e :: sen - 1 Un)

12. Una parti c ula sin dimensiones , de masa m, comenz ando en repeso , va r esbala ndo po r la superficie de una c~. fera s61ida sin rozamiento , de radio r. como se mue~ tra en l a rig. 8~lS. Mídanse los á ngulos a partir de l a vert ical y la energía potenc ial a partir del punto má s alto. Encontrar (a} el cambio de energía potenc ialoo la masa c on respecto al ángulo ; (b) La energía cinética en fun c i6n del ángulo; (c) l as aceleracione s tangencial y radial en fu nci6n d~l ángulo ; (d) el ángulo para el cua l l a mA s a se despega de la esfera . (e ) Si hay rozamiento entre la masa y la esfera. ¿la masa se despega con un án& ulo mayor o con un ángulo menor que en el inciso (d)1 Soluci6n: a) Por conservaci6n de energia:

la

AU : UP - UQ . .. (1) Ep " O EQ : mgh :: mg(r-rcosS):

= mgr(1-cos&) Reempla~ando

en (1):

AU = - mgr(1-cos8) bl Ep = EQ 1

2 rnvp v

r

P

,

+

Vp =

k +

UQ

= O = mgrU - cosa )


...

( 3)

k =

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ene rgía c inética




-194-

t mv ,

el k "'

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• .•

I gualando 3 Y

•

(4l I¡

mgr { l~eo &e ) ~ } V

2

mv

2

* 2gr ( 1 - eo s 61 ..• ( 51

a • de

( ~);

II ~s

es t o a

", 1.&E"p - co se l r

l a ace le r aci6n rad i al ;

=a =

r

2g 0 - cos8 1

I

2 g<1~ cos e )

C&l culo de la ace le r a c ión tang e ncia l ~: Del gr.if i c o :

, g

13. Un r e s or te i deal s in masa S se puede compri mi r

1. U

m. mediante u na f ue rza de 100 nt. Ese mismo reso r te se c o loc a en l a par te i nferior d e un pl a no

i nc l i~ a~

do qu e f o rma un áng u l o e a 30 ° con r e s pe cto horizo ntal

8~l 6 } .

a

la

Una masa M

kg . s e s ue l ta a part i r de l reposo e n la pa r te su pe . rio r del pla no inc l i nado y queda e n reposo mo me nt S. neamente

d esp u ~ s

¿Qu~ ~ i st a n c ia

de comp r imir el r e s ort e 2.0 m. ( a l

resba 16

l a ma l a a n t es de quedar

en

reposo? (b l ¿Cu &l e s l a velocidad de l a masa cuando es t~

a pun t o d e ha ce r con t a c t o con e l resort e?


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•

Sol uci6n :

e mo~

Sa

q ue pa r a u n r e sort e s e c ump l e :

, M

~

•

~

[

~

~

x

r ::

10:

-,-

~

' 00

N

l on

m

,

1 0 kg.

' O'

al Ini c ialmente comprime x

'm

~

(el AtO)

,o.plicando l . conservdc i 6n d, la e nergS: a de bajdcla U.,.:Zl .

d

/

T ,• "

1

d'

1

1

;nv 1

", , ", mgh j

.. )«,)(2:: rng

t

1 kx 2

1

U)

", " ., 1 v, ~

~

hj = 1

, ,

1 mv,

~

~

d,en' }

(2)

O

~

100(10)

20

n1010.Sl:: 9."U" .•.

(3)

Reempl a.~ando tJ) en (2); el. ~


20 :: 4 .0a m. 9.B.sen3Qo

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-196-

h, h,

b)

T j

"

•

(d ~21s e n JOo

•

('+ . OS.. ' l s e n 30o

•

2 . 08 5€< 0 30 ·

..

..

( 4 ).

Por cons erv ación d. 14 e nerg í a. :

rA •

r. , ,;- • , • mv • • mVA

mg h,a.

1

•

mgl'lS

'i

v, •

O

hA •

O

reemplazando estos valores en la ecuaci6 n ante J:'10r:

" h g O.OS>Sen3 0

0

"l¡.~1 m~ 14. Ua r.ue rpo que se mueve en el eje de l55 x est§. sorne t ido a una fuerza que lo repele del o rigen , dada por f " kx. a) Encue ntre la fun ci6n de energía po tencial U( x) para el movimiento y escriba l a condl

c ión de conservación de energía. b ) Lscr iba el movi miento del sistema y de muestre que es la c lase

de

movimiento que podrí a espe rarse cerca de un punto de equilibr i o i nestable.


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- 197-

u

•

o

x

y

x

-.

,,

X

'P\OO ,

F • kx

,
• •X

• - r

ric;. 1 Fiq. 2

Soluc i 6 n :

:; rx~r (X)dX

al Sa bemos que: U(x ) - U(x ) o do nde X : O o

bl De la gráfica

y

. ..

(l )

F(x) : kx

obse rv~os

que e n x :; O, la ener-

gía potenci al es máxima y l a pe ndi ente curva es cero , luego r :; - dU/dx : O.

de

la

Una parti cula en reposo en ese punto permanecerá en reposo. Sin embargo si la partícula se mueve de este

pu~

to , aunque sea una distancia muy peque~a, la fuer za r :; - dV/dx , t~nder~ a alejarle más de la posi ci6n de equilibri o (f :; O). rs decir que ese punto de equilibrio es inestab le. 15. Si ld fuerza ent re una partícula de masa m y 1 de masa rn está dada por: 2

r:;

k

'.ma

rn 1 rn 2

-r x


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- 198-

siendo k una con3'tante positiva y la diet"ancia x es la que existe entre la. partlcula.; encontra r: al La funci6n de energ1a potencial y bl El 'trabajo ne~ c es ario para la separación de las masas de x a x = x l + d.

= xl

Soluci6n;

r

al La función de energla pot encial será; U = u(x) - U(x ) " o

- W "

-

x f<'x)

•• , (1)

o

r •

en este caso U

(x) -

,

U(x ) o

-

(km

r X

l

rn )/x 2

2

,

(km rn dx)/x 2

1 2

,

lon

l la 2

P/xJX

U(-x) "

•

U(x ) o

X

o

o

km 1m2 [l/x - l/xJ

bl El trabajo será:

w=

J

f(x)dx

)::m ll:1 2 d

xl ( Xl

+a l

Respuesta:

r--c---- - - - , a) U{x)=U(x ) + Km rn ( 1 / x- 1/x ) o 1 2 b l W = ( km 1 rn 2 dl / "1 ( Xl + d)

o

16. La fuerza de a'tracci6n e n tre e l núcleo po s i t ivamente cargado y el electr 6n negat ivament e c a r gado en el ~tomo de hidr6geno , está d a da por r " _ k e 2 /r 2 ; ~

la carga d.el electr6;!, k una constante . y.!: la separaci6n entre el electron y e:l núcleo. Su p6ngase que el núcleo está fijo , el electrón que i nicialmente Se está moviendo en un círculo d e radio R1 alrededor del núcJ.eo salta de repente a una 6rbi ta siendo


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-199-

circular de radio má s pe queno R , a} Cal c fi le s e el 2 c~~io de energía ciné t ica del e l ec tr6n, usando la segunda ley de Newton. b} Aplicando la relaci6n entre la fuerza y la t!nergía potencia l , calcGlese la disminuci6n de energla potencial del ~tomo. c} Calcule qué tanto disminuye la energía total de l átomo durante este proceso, (Esta energ ia es emitida en forma de radi4ci6n). SoluciÓn: a) El cambio de energía cinética será: 6k =

,

1/2mv~-1/2mv~ . . . (1)

la segunda ley de Newton tene mos: Apli~ando

,

La e c uaci6r. (2) se convier t e en: 2 1/2 rR = 1/2 mv pero: r = ke 2 /R2 Luego; 1/2 mv 2 = _ 1/2 ke 2 /R Para R R

,

2

R ; 1/2 mv! 1

, ,

. "2' 112

,

:nv~ ,

2 lIH ke /R ) 1 2 112 ( ke / R ) 2

Reer.:.pla::ar, do es t os valo r es e n (1) t end r e mos!


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- 200-

•

b) La disrninuc i6n de la ener gía po t encial es:

_j

~( _ke2dR )f R2

6U =

=

lIU = -

= - ke 2 ( 1/ R

",

2

- 1 /R ) 1

c ) La disminuci6n de la energla to tal del átomo será igual a l a dis minuc i 6 n de e ne r gla cinética , es deci r i g ua l 4: 1 /2 Cke 2 ) (1 /R

2

- 1/ R ) 1

puesto q ue es la única en erg 1 4 que se manifiesta en forma ext e nsa . 17. La e nergía potencial corresp ondiente a un c i e rt o cam

po de fuerza b i dimensional es t á dada por U{x , y) = 1 12k ( x 2 +y 2 ). (a) Oh tene r Fx y F Y rle~c~ihj~ ~, ve ~ y tor de fuerza en c ada punto en funci6n de sus coordenad a s c arte s ianas x e y. de~cribir

(b) Obtener Fr y Fa

y

el vector de fuerza en cada punto en fun-

ci6n de las coord enad a s polares r y 9 del pu nt o.(c) ¿Pue de uste d pensar en a lgún modelo físico de tal fuerza?

1 2 2 = .,. k{x + y }

Soluci6n: al Sabemos:

r (rl

donde: Fx

o

Fy

o

r,

o


o

i

.U 'x

j

."

ay

k

.u ,,-

.U

'".U ay

.u

E

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-?O l -

tU

Lx )

rx fj

=

1-1<.( 7y) F

bi

Cf'mo

re

•

;0:

~

kx ~

io:y

~

ky

Y

,~puntCll s i ~mpre raoia lf:lentc:

dond e : r =

[(1') = k!'"

=

f(€,)

Xl

.jo

yj

O

i6 . fl l lamado potencial d e Yukawa rO

-

r

U

o

e

-1'11'

o

oa una d escripci6n suficienteme n te exacta de la in t.erélcción entl"'e nuc l eones (esto es I neutr o nes y pr'2. t ones. los cons tit uyentes de l n úc l e o) . La con st an t e 15

ro "ale aprOl:i mad amen te J.5 y. 10:n y l a con s t a nte U es apr oxi mad amen te de !JO Me'.". ( al En contr a r o l a expr esi6n cor l"'e spo ndi e n t e p a r a }-'I f uerz a de a t r a~c i ó n . ( b ) Pa ra poner de ma nifie~to el co r t o a1CdJ\ce d e es ta f u e l'z B , cal c u l a r 1;). l·e l ación de 101 f u e r z a par a r 2r 4ro y 101'0 <..0 1, I"'l!s pecto a la o' r r 'Je r :;:: a p=a r o ~

~

Jio l ución:

,.

D

él )

= 5U Hev .

r =


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-202-

•

de r i vando:

~

r • -

r

--" r

r • b)

Rcempl ~

, r

v • -r/ro o vo '

- r /r

o

J

o

Vol! -r/ro

r

[;0

~J

... ~ndo v a l .ores en l. e ll pr esi6n a nt:e r i ol' h~

lIada. o bt endremos para :

, 1. B ,

r

•

o

•

r • 1.4

10- 1

r

• 4ro

•

10- 3

r

•

r • r •

lr

lOr

o

•

6.6 x 10- 6

19 . \lna part 1c uh o ( e l nC.cleo de un átomo d. he lio) en u n n("ü eo grand" , e s tá li g .. da p Dr un potencial co-

mo e l Que .e muestra e n la rig. a) Constrúyase una runc i6n de x Que tenga esta f orma genera l , con un valor m.ínimo Uo para x = O Y un valor máximo para x = Xl Y x = - Xl' b) Dete~ir.ar la f u er~ a en tre la partleula a y el

núcleo en fun ci6 n de x. c) Descr iba

l os mo vim i entos posibles. u(x)

, e

_~ '

d) Di c ha curva se o btie ne multip li cando las ecuacio n~s:


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www.GRATIS2.com -203-

,

e


-., ,

•

en donde A y e se determinaran, d e tal manera cur.tplan lds (': ondiciones impue s tas, La ecuaci6n s era:

Cle- ax b)

,.

, ,

el Entre

, , -.,

que

,

dUJdx

e

-

(_2 Ax J (l

"~y

para x > x l

•" y

-

2a xe

•

2Ax a)

l . pa rtícu l a oscila

x <

Xl c ae de la c r esta,

En U el equi l ibrio es establ e ( X :: O) o En Ul( - xl l y U1 (x 1 ) e l equilibrio es inestable, 21, Se encuentra que un cierto resorte e spe cial no s~ gue la ley de Hooke , La fuerza, (en nemons) que ej erc e c uando el resorte sufre una deformación x (en metros) resulta tener una magnitud de 52,8x + 38.Qx 2 en sentido opuesto a la deformación. (a) Calcular el trabajo total que se requiere para estirar e l re sorte desde .x = O. se hasta x :: 1.00 1lI. (b) Es t ando fijo uno de los extremos del resorte , se sujeta en el o tro extre~o , cuando el r esor te ha sufrido una x = 1,00 m" una partícula de masa 2.17 kg. si en estas condic i ones se suelta la part ícul a a partir del ~unto de r eposo, c alcular s u velocidad ~eformaci6n

en el instante en que el re sorte ha regresado a la configura c i6n en la c ua l la deforma ci6n es x :: 0 . 50 m. (c) La fue r za que ejerce el r esorte, ¿es conse r vativa o no conse r vativa ? Explicar por qué .


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- 204-

r:< ~1. 8x

$')lu.::::i6n: t}

.. 3 2.4 x2

•

tI tl"al .ajo está . . . .'l.do por: W

w

:<

f

r'

Y(x )ox '"

,

r:

rOl<

o

(<'1.8'X+37.4X

2

}(.X "

0.5

52.8 ,

h2 . 8 . 32. 11, W "(2 -,-'

., " 31 Joul es . 1,) Si gu iendo e l Dl aimo pl'Oc edilnient o que e l problema 1 3 o b t e nemos: 11

"

5 .33 mI:'!.

e ) Es con servativo , porque e l tra ba j o que r e ali za dUr'~nte

u n c ic l o comp l l!! t o (d I! ida y v u e lta)

e l!:

ce ~.

l'

Mue s t r e que cuando ha y fr io c i 6n en un si ~t em 4, q ue s i no fu e r a por e llC'. s e r1 a cc:ns.:'tvativo . l a rapi de z (',m q ue se d i si. pa la e ne r g Sa me c An i c a es i g u a l a l a

fu .. r z a de I' r icoi 6 n mu l ti plica d a por l a v elocidad en i ns t ant e , o e x pre sado mate.:nat i came nt e :

"'!:f'

d / dt ( k .. U) " - fv

:a 1uc i 6n: ~ahemos

que l a fri cci6n es u na f u e r z a d i s ipadora

tr.o conse r va t iva) , tTl e st e c a s o ;

pe r o:

Wf n o cons e rvo = -t ~e t¡,( K ·


ti) :: -

f c. c

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··2 0 ;

www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com Div id i e ndo e ntre lit. tr. ( k t Ul dt

1 uego;

6(k

{ f Ae }

.t•

.10(\(\'"

-----.t •

~

U)

I

~


constan t¡:

••

~

dt

En el lÍmite cuando

"

t

1 e n .1 ..

c!( k + U¡

dt d

di'

,

cero , tendrer.los:

dc l' (ft :

-

fv

{k+ \ l l - · · f v

23. Un cuerpo :::le masa m (omie:lza a moverse a partir de reposo, bajando un plano jnclinado de longitud L que forma un Sngulo e con la horizontal. al T6 rr.c::;. como coeficiente de fri cci6n ~ y enc uentre la velo· ci dad del cue rpo en el punto más baj o del plano . b ¿Qué distancia ..d.. re correr! resbalando horizon t alme! te en una superfic ie igual, despué s de llegar a punto más bajo del plano inclinado? Resuelva el p~ blema utilizando los métodos de la ene t'gia y resue: valo también usando directamente las leves de ¡le,", . ton . Da t os; U

= coeficient e de

k

f r l cc i6n c inét l ca . L

l o ng i t ud de l pl a r.o i ncl inado

~

" ángu l o del

p 1<1.-

no incl i nado . v

o

~

ü¡

O ( '/~locid a d i.nicial)


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-206 -

•

Soluci6n:

a) Aplicando el principio de la conse r vcci6n de la energía, cuando

obr~n

fuerzas no conservativas

(fricción) tendremos:

w, •

fL

•

, m.,, , m. ,

•

•

O<1- Ko 1

2

f

o

+ mgh

pero:

•o

•

•

O. h,

O. h

•

e

Lsen8 ;

•

u)c:mgcosSL

Vo )

(U,

1

,•

-

mgh

o

u k rngcos8

, m.,, ~

-

mgLsenO

de donde:

b) En el plano horizontal te ndremos:

pero:

., -

•

fd

O.

•

h,

•

h,

,-; m.,,

• "

•

O; f

.

I.l)cmg

(3)

Reemplazando los valores de f y de v

1

obtenemos:

Método dé las leyes de t!eW1:on :

a) I fx = ma • O


,

rngsen S -mgcosS .. N :

O

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• . •

(2)



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- 2 0 J-

=

f k

U N k

-.--- --- - -- - - -

de las ecui!l ci ones O) , al = g(sen

(2)

a -

velocidad vI se ~á : 2 , vI = V o + 2al~ ----- --- -

(3) obtenemos:

'j

u

al

c os

k

•

(3 )

~a

b)

En el plano

, ,

f

a -

~ = 12g!.( sen

v1

,

o

f

O

f

" f,

Y

De la s ecuaciones

,

pe ro

Luego:

,

0

o

'g

o

", "

,,¡ o

O

(1 )

----( 3 )

(2)

,

•

,

p o r el cu erpo s e rá:

2gL(sen o

",

Respu e s ta:

al b)

14. Una partícula

" d

,-

o

m.

"k 00'

11 g L(sen O

= L( sen

d e sli~a

a -

u

!.( sen8-u k cos9)

"

"k

u cos O) k

k

cos 8 1 /u

k

por una via que t i e n e s u s e x t remo s p l a n a , co mo se mue st r a e n

La pa r t e plana t ie ne un a l o n g i t u d 1

~

) .ú

Las porc i o nes curvas de la v i a no tj ene n roz a mi en t o .

P3ra la pa r t e pldlld el coeficien t e de se

",

"

( ,, )

2u g k

levantados y una par t e c ent ra l la fi g . 8-1<) .

obtenemos:

(3)

.-

__ ' _

= O de donde:

e-osa

k

,

O

v 2

.a,

reco~rida

La di s tan cia d

"

o

( 1 ) ,

U

o

tenemos:

hor i ~ontal

••,

pero v

( I¡ ) ,

"k

() . :?o .

e~cuentr~

rep oso?

r o~ ami ento

ci ~~t i co

La particul a se su e lt a e n un pu n t o A 1U., a una altura


h = 1.0 m sob r e l a

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pa ~ t e

pl a n a


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-lA-

J ___ :
B

r---

d

--- ---
L

Aplj~~~"do

la

e~ua~i6"

de la

~o"~ ervación

de la energia en

tr. los puntos A-B. EA

2

."

,

~

EB

mghA

, IIIv ,B

: "2

• IIIghD

S ¡mplifjcanJo y ree mplazan d o datos

o,

,] rtc~p l~ zJ nd o

mv ~

,

~

e / k mgd

e l v alo r de vB 7

2 &11

,.

=

ell
o . :!

s.

La partlcula hac e Un recorr i do de i d a y v u e l ta P~.

qu~ d andos~

el medio Je la polI t e plJna.

:,',,) uro

le~
hori.:.on

_ _ vo .. z

v-O

'nd· ,;¡l,rmrTTTT! fT7TTrrrnrrrr , , r 1 i ,..

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J~d


O

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O

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1 . '2rn is eg

1 . '2 mIse..,

~

el c "t:le d e u n elev.:aoof' de P

~.J C

1,:

,jl"]"

ji,; .

~-::"'''!E.

vienta cuando el elevador se

pT' irocr piso , d" IIl d n" ,'i! que

su fondo estaba a una a l tu f'd

d " 3.66 m s o bre un re-

sort" amortí ¡ u a dcr cuya co nstante de r e:;o l t e 1', é

000 at/m .

lb

. ,1 , l , 1 www.librospdf1.blogspot.com ,.~.

es

sis-

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nt.

opon~

se


~~~

fu~rza

~e

ro~am¡e~tc

la velocidad del ele-

(a) [ncon t -J r

en e l momento en que va a :'I'(. J.r c alara el resol'te.

~dd" r

lb) tn eo ntrar la 4istancia

~c

que

Jd for mará el

(e) ¡:alcular la distancia que " rabot ar á" (d)

el

rc ~o rte.

elevador ha

Apli~ando

el p r incipio de l a

co n .e r vaci6 n de la energla, cneolltra r

la distancia total

arriba en el poz o .

~ja

que se

mover~

d~

e l elev a dor antes

quedar' en repos o .

Solud6n : al Aplicando el te o r ema de la energia: 1

Z o,d

,d

mv,¡

, 1

fd

1

m(mg - f.ld= ¡' eemplazando '2 "

b)

r

9 .8

(17 , 800

-

, w g

' I'. SO)

"

:'1.66

klt

r )t

o •

~alores:

17 000

"

:

•

k

17800 - '''.50 1'<6000

27. Un cuerpo de 17.8 nr es empujad o ha c i a a rr ib a sob r e un p l!

no sin rozamiento. inclinado 30° y de 3.05 m d e l o n gitu d mediante una fuerza horizontal

r.

(al Si la v el ocidad qu e

t e nia en el extremo inferior del plano era de 0.6 1 m/seg y ~/,eg.

en el e"tremo superior alc a nzó 3.05 de trabajo hizo la fuerza f?

¿q u ~

c an tid a d

(b) Supóng a se que el plano

tiene cierto rozamiento y que

~k

r! esta misma fuerza?

dónde subirá el cue r po sob r e

:

0.15.

¿Qué trabajo ha·

el plano? '" :

!jO

lb


e -.

30 "

L •

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10 pies

~

0.15


,,

', .

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Cu~ndo

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, m. o ,

FL : 260

260

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t

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La eneri la cin é tica en el

( .. ) w (b)

28.

re

- 1 , "'3:

O. ,

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- • •

) ( :.

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po . :

re u •

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- te fue r z a .

O

valo r es en (2 ) t e nem o s :

Re e ~pla z an d o

:

o

h~c h o

trabajo

"

h

V :

, ••, ,

,

fri cci 6n t endre"'os:

mgh 1 )

eL

m¡t.sen 9

1 " ,,: .

lb

h.y

,- •• 1 do n de:

,

)( 10) 2

160 pie I b)

;. •• 1 ,

_.

v

=

~o

x cos 30 ° x

311.9 pie p ~ n to

2

26 0 pi e l b

a

311.9& pie-lb

-

lb

mA s alto es :

rn un .. _esa sin roloa_ iento se coloca una c adena de ta l lila

que la qui n t a parte de su longitud

bo rd e de la mesa . m ~ 9a

111,

¿qu~

e$ t ~

co l&a n d o po r

tur el

Si la cadena tiene una longitud 1 y n n ..

c ant idad de


tr .. bajo habra q Ut

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1; ., .

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1 2.7 In

4UO es tá a

7 . 62

l a r g o y s e mu e v e e n

<.1 ..

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pctel'c i d d ebe

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h ac iJ aL iI ) o

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t r a n s p o rt ar un

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,

, ,,

~

en la

~u41.

~

h

P >;;).1 " eloeid ... ¿

.,

De dicha e c uaci ón

cb t~nemos:

El espacio que I·e c orre él

seg es El

la '1eloc': !.¡d

e:;

"h t .• 2 x 1 0 :

?Or

10 pie s

'1h ~us

=

~

:

:, n i" "'"

:: e

la

'/

c :;c ... !e.·"

p i e siseg

p r op ¡ o~

medi o~

en les 1 0

e/2.

trabajo que r eal iza serA:

W = mgh/J -

(e) 110,

porque

2 , 000 pie/lib.

el hOMbre p" r m"nec" en .. 1 "islII ")

pU h tC'

(e.." I -

sidere la definición de trabajo).

La pote ncia

~u e

tar el trabajo

r"lJ i~ a q ~ f"

~ implemente

I ·e a li z~

el

s ir'"

hombre

pnra co ntr a r r eSd ':l b¡, j ,u ' .

r.sta potencia se r d:


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l a' P :

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(b ) W "

2 . 000 p i e- l b

(el Ho . 1 : (d 1 It o

JO.

Oe mos trar que me

,

•

320 p ie - l b /s e g .

t ie n e dime n s ion es d e en ergla.

So l uc i ón : De.~s tr ar emos


q u e ae

,

t ie ne dim en s i ones de energla

(1) dond e:

m

"

e

v e locida d d e l a

re'llllpla z a nd o

E

•

Ade .. .ss: (. )

aa sa e n kg.

o

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(t ) :

kg

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,

E

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(2)

-- - - - - - -

(a)

He v ton

. n (2 ) , o

e n mIs

,

.,.,

g

lu ~

,

-", . -•, a /s

S

E: " N.a " J o ule Jo ule:

) 1.

Uni d a d de e ne r g la.

Un ele c t rÓn (lI a s a e n r e poso 'Ll " u na ve locidad de 0 . 99 c. lb )

1 0-

31

k g l s e !ll u e v e co n

(a) ¿Cuál e s su e n e r g í a to t a l ?

E: nco nt r ar la relación d e l a e ne r gl a c i nét i c a n e wt o ni a -

n a co n ' res p ec t o a l a e ner g la c i n é t i c a r e l at i vis t a en es te ca s o . v '" 0.99 c

•o

'" 9.1 x 10 -

31

kg .

So lu c ión : Po r el pr inc i p io de la c o n se rv ac i ó n de r( a e

2

+ El '" co n s ta n te

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.. ,

En e s te caso:

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Reemplazand o va 10'-"5

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te n em 05

1 0 3) 2

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,

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1 e- 1 3

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5. 79

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10

· 13

joul O! s

L. energla n e wtoni3 n a es : K

"

"oJ

oC

0 .99'2)2

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.

1

2 lII C [(1 o

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•

1/2

•

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,• •

10

1/2 - 1"

,

,

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10-

31

joules

r . hci6n q", ex .l ste ent r e 1! 113 s 111 11 .05" x 1 013 5.79 x 1 0-

Rpt a:

32. Cal c ula r

(O . 9 'l c ) '

se rd :

o.ce 5.79 x 10- ' "

(a)

[t

(b)

KIt:

:

,

joul e s

o. " e

cuAl e s la Velo c idad d e un ele c tró n

energla ciné t ica de (a) lOO 00 0 ev.

q ~e

tiene una

(b) 1 000 000 e v .

Solu c jón:_ Po r

la ecu3éión de la energii c inéti c a t enemos?

K: 6mc

'1

moc

2

r U

.,

(v /el")

Despe ja ndo la velocidad y

,

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K :

P~r~

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1 00 00 0 ev

.I -1 " 2 cV(I.&xIO )

I

1.6

~

2 x 9. 1)110 J.l)1 1 0

'J:

10

-31

_ 31

-11;

B 'l

( 3)1 1 0 ) 1.6)1 1 0

(3)1 1 0

igualment~

para el

gid cs' 1.6 )1 10

1 ,000.000 ev : ot.lencmos;

v

0 . 93

:

~s

-l~

B '1 )

~aso

-"

en el que la ener

joule s

c

Rpta:

(d)

jv ~l e ~

0.5'. c

(o) procediendo

3.


- 2 16 -

(a)

v:

0.511 c

(b)

v:

0.93 e

La mdsa de un cu erpo en reposo es de 0.010 kg.

¿Cu~l

s u mas a cua nd o se mueve con un3 v e locidad de 3.0 x 10

m/seg con

al o b servado r ? ¿C ual e s , si 8

~.7

)1

10

cl~sica

y

relativista para estos casos.

dad es de ticas

relaci~n

m/seg?

7

la velocj

(b) Compa rar las energl as cin! (e) ¿C61:1 o

ser ían la s cosas si el observador , o el apar ato de medi c16n , e stuvieran mo ntados Oa t

os:

3 )1 1 0

m : o

0.01

"2

2 .7 x 1 0 m/seg.

So lucion:

kg ,

s obre e l cuerpo?

v I:

,

2 .7

(a) La s ma s a s se rin .

mo

J,

"

J-

0 . 0 1 kg (

•

:

( b)

L.,

'lo

-

-

)1 1 0

0.23 k g

en e r gías c in é ti e .. s c Ui sicos s e r.'i n :

1 /2

,

m

o•1

-

2

1

1 (O . GI ) {;¡ 2

•

1 0 7 ) :.> 8

( 0 . 0 1)( 2 . 7 • t;~c www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com 2 •o •, 2 10

)2

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10

17

joul e s

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to~

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lérminos des¡>u.';

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1)

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,

.'i\ .!

"e

7 ( 0 . 0 1){3 K 10 )2

c l~sic '

l as energias

3.695 11 .7

l<

En es t e caso seg ú n l a f i s i ca

cl ~ s i cd ~

K

3". De acuerdo con el

12

o

'"

joule !>

10

14

=

O. 3

l a en e r gl a cin é ti

pe r ~

según l a fts iea

cinEtica s e r.i:

= lime

B r i t~ n i ca

consumieron 563 x 1 0

,

p

O,

1 10 "

JI

c a ser Ia nula, pu e s t o Que v relativista la energl .

nlv'

y relat i vist3 ten e mo s :

1•

(e)

i;:'

jo ule ::;.

!

C omp~randD

j a~

>l,

Ye arb ook lo s Es t ado s Un i d o s

v att-h de energ l a elé c t r ica e n 1 956

¿Cuan t o s kilog r amOs de mat e r i a l tendr I an q u e dest r uirs e por

co~pleto

Soluci6n:

para prod u cir e sa energla?

Como el pr oceso una

es reversible

materia l i~aci6n

pued~

oc u rri r

de l a masa a p arti r d e l a

energla o viceve r sa. -----

,

=""2 ,

P

(1)

J

5631110 ·watt-hxl.6xlO jQulesj wa t t - h =


(3

1(

10

6

)2

Rpta:

!lIm =

22.S~ ~S.

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22.52 kg.


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S~

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lrel que el ~ol obtiene su energIa po~ un pro~eso d~ f!

s i ór, .. "

el cu .. ':' cu atro átolJlos de hid r ógen o se tl·;¡nsfor .. a"

el. "'/1 a to,",,, de helio co n e .. isi ó n de energI a en -divel"sas Si un At o.o de hidr ógeno t iene u n a ~~Sd

repol~

en

de 1. 008 1 unidades de masa

[j o 7J Y un !t~IJI O de

. J

~ .0039

~asa

(vi ase

en rep oso de

vni rlad es de mas a atómica , calcular la en e rgta d es en c a da pr o ces o d. fusión.

Frend id~ ~:

h.lio posee una

a t6~lca

~H

~

1.0081

,

~

"He

~.00J9

La lIIaSd to tal da los" AtolDos de H será

Sol uc1 6n:

.. x 1. 008 1 • " .032" .a s ~

be

11\

-

q ue se ha trans f ol"mad o en energl a será: .. ni!!

"'He

-

~

".032"

- ".00393 0.028$ u de ma sa ató-

n. i c a.

.. • O. O] iI ~

u de

111

-21 a t ó .. i c a x "¡-O-';;6!6-;'i;""O;-"..;k~If;-, 1 u. de 11\ at611llce.

La energla despren dida en cada p r oc eso de fus ión.

,.

[

~

(0. 0 28$ x 1.66 x 10

- 27

8 '1

)(3 x 10 )

." ~ 26. $ Jot .. v .

36. !XI diodo al vacío a:nsist.e de m Anodo c1l!R1rioo que encierra en c1l!nd:rioo.

U"l

electrón,

Oln

gula

~ase

cato

-16-

r.na. ene%91a potend.al de 4.8 x 10

joJ.les ccrr rel;w::i(:r¡ al ánodo, aale de la velocidad inicial cero .

tri

~fid.e

del c!tQ:b cx:n una

que el electr6n no d10CiI ClOrltra ni.n-

rroléc:u.la del aire y que la fuerza 9ravitacicnal es insiqnificante

(a) ¿()Jé crercfla cinética tendrS el eler:t.t"6n cuanio da¡ue a:nua el ! - 31 no:Io? lb) 'l'alIardo c::aro 9. 1 x 10 kq la nasa del electr6n. cnc:mua:r su

veloc1~

final.

energía cinética y de

(e) ¿Se justifica usar las rellloCiones c:U.sicas de mas".

en lu:¡ar de las relativistas?

-16 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com (a) La energid cin it ica s era " .8 x 1 0 j oul e s puls la e-

-2 19-

www.librospdf1.blogspot.com ~"

ner g l a ¡lote r. ;:i" l se

e ) S i, v /e


r e l a t iva al ' !lo d o 'i .. l

. ,, ~r gla

tra nS f Ol'I' d en

b ) La

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llega?

fj' ,al

velo e id~d

la v elocid " d n o se 3 pro x ima a &.b x 1 0 7 ./ 3 x 10 • ; O. '} }

por4.U ~ ~

y :

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d es t e

ci n ética.

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a:


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6.6

"

51 .

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10 - 16 10

7

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jo ul es

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Cap_7_la Conservacion de La Energia-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

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