I.
II.
CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA (Método de Caída Libre) OBJETIVOS: Estudiar la conservación de la energía mecánica (suma de la energía cinética más la energía potencial). Investigar la relación de cambio de energía potencial gravitatoria y la energía cinética de un objeto en caída. Determinar la gravedad experimental en puno. Determinar el error relativo porcentual de la energía mecánica para dos diferentes tiempos. FUNDAMENTO TEORICO: La energía cinética es la energía del movimiento de un objeto. Energía potencial gravitatoria es la energía de un objeto debido a su posición vertical de la relación a un punto de referencia (tal como la superficie de la Tierra). Un objeto a una determinada altura tiene la energía potencial respecto a un punto de referencia inferior. Si el objeto se deja caer, gana energía cinética. ¿Qué sucede con la energía potencial a medida que cae? Cuando un objeto se levanta, la cantidad gravitacionales sus cambios de energía potencial depende de su masa, la aceleración debida a la gravedad, y su altura. La fórmula para la energía potencial gravitacional (U) es: 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ….. (1) Donde m es la masa, g es la aceleración debida a la gravedad, y h es la altura. Cuando un objeto se mueve, su energía cinética (K) depende de su masa y de su velocidad. Fórmula para la energía cinética es: 1
𝐾 = 2 𝑚𝑣 2 ….. (2) Donde m es la masa y v es la velocidad.
Cuando se desplaza desde una altura h inicial hasta la posición más baja a una altura ℎ0 , es igual, en ausencia de rozamiento, al aumento de su energía, ∆𝐾: 1
∆𝐾 = 2 𝑚𝑣02….. (3) Donde 𝑣𝑜 es la velocidad máxima en el punto más bajo y hemos supuesto que se libera desde h desde el reposo. Debe de cumplirse entonces, que la relación entre la velocidad máxima y la variación de las alturas ℎ y ℎ0 es: 𝑣02 = 2𝑔(ℎ − ℎ0 )….. (4) En otros términos, si este cuerpo cae se produce una disminución de energía potencial en tanto aumenta la cinética. Si se ignoran factores como la resistencia del aire, toda energía potencial se convertiría en energía cinética. En otras palabras, la suma de las energías potencial y cinética, conocida como la energía mecánica total E, permanece constante, es decir: 𝐸 = 𝐾 + 𝑈….. (5) La relación permite aplicar la conservación de la energía a problemas mecánicos como: caídas, péndulos fluidos, etc. Así, es mejor usar la relación 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 de tal manera que: 𝐾𝐼 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 ….. (6) Utilice un sensor de movimiento para medir el movimiento de la pelota que cae desde una altura determinada. Utilice el Xplorer GLX para grabar y mostrar el movimiento. 2.1. Fuerzas conservativas y no conservativas Se llaman fuerzas conservativas aquellas para la cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover entre dos puntos por cualquier trayectoria arbitraria, no depende de la trayectoria que une los puntos, las fuerzas que dependen de la posición conservativas, por ejemplo: la gravitacional, elástica, electromagnética, etc.
2.2. Energía potencial El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y de la rapidez con la que se mueve una partícula. En este caso el trabajo es solo función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con una variación de energía función de la posición, similar al caso de la energía cinética que es función dela posición genera energía de posición, a la que se llama energía potencial en el objeto en movimiento Se define la energía potencial Ep, a aquella que se puede obtenerse en virtud de la posición del cuerpo, tal que en el trabajo realizado por la fuerza conservativa entre dos posiciones, es igual a las disminuciones de la energía potencial, esto es, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza rf
W=∫ri Fdr = −∆E = E − E ………………………. (6) Se puede elegir una posición de referencia inicial y medir las diferencias de energía potencial respecto a ese punto y definir una función energía potencial en cualquier posición r como: rf
Ep (r) = -∫ri Fdr + E …………………………………. (7) El valor de Epi generalmente no se conoce, por lo que se elige una posición arbitraria, donde por convención se le asigna el valor cero a la energía potencial inicial, Epi=0, yaqué por su definición, solo tiene significado físico el cambio de energía potencial. Estas posición arbitraria se llama nivel de referencia y puede ser cualquiera, generalmente se toma como nivel de referencia la superficie de tierra o cualquier otra posición conveniente, pero una vez se ha elegido no debe cambiarse. Con esta elección, se define la energía potencial en una posición r como: r
Ep(r)=-∫ri Fdr………………………………………… (8) Para las fuerzas no conservativas no existe una función de energía potencial, ya que el trabajo, que no depende de la trayectoria, no es función de la posición inicial y final de la partícula Energía potencial de la fuerza peso
Si se calcula el trabajo y la energía potencial para una partícula que se deja caer libremente desde una posición inicial Yi a otra pasión final Yf la fuerza se produce el movimiento de la partícula es la gravitacional, que para caer libre es el peso P =mg, entonces el trabajo es: rf
Yf
W=∫ri Pdr + ∫Yi mgdy………………………………… (9) W=mgYf – mgYi La variación de energía potencial de la partícula es: ∆Ep = −W = −(mgYf − mgYi) = mgYi − mgYf … … … … … … … … … . (|0) Como las posiciones iniciales y finales son arbitrarias, se define la energía potencial de la fuerza gravitacional, o simplemente energía potencial gravitacional Epg, valida en las condiciones de caída libre, por la expresión: Epg=mgY………………. (11) Si consideramos la variación de la altura y respecto a una posición referencial Yo la ecuación (115), se convierte en: Epg=mg(Y-Yi)………………………(12) Energía potencial de la fuerza elástica Otra fuerza conservativa es la ejerce un resorte deformado sobre un cuerpo fijo a él, si el resorte se coloca en posición vertical. El trabajo realizado por la fuerza elástica del resorte sobre el cuerpo será: Xf
1 1 W = ∫ (−ky)dy = ky 2 − ky 2 = ∆Ep = Epi − Epf 2 2 Xi Dónde: K: es una constante de elasticidad del resorte Definiremos la energía potencial elástica EpE almacenada en nuestro resorte como: 1
EpE=2 ky 2 … … … … … … … … … … (13)
La energía potencial elástica es cero cuando el resorte no está deformado, es máxima cuando alcanza su deformación y respecto a una posición ya que proporcional Y 2. Si consideramos la deformación y respecto a una posición referencial yo la ecuación (117), se convierte en: 1
EpE=2 k(y − yo)2………………………………. (14) Energía del sistema masa resorte El sistema está conformado por un resorte de constate elástica k el cual sostiene un bloque de masa conocida m; sin la masa, el resorte permanece en su elongación natural h Si se coloca una masa m, el sistema queda constituido y al estar colocado en posición vertical y estar sometido a la acción de la aceleración de la gravedad alcanza una posición de equilibrio La energía cinética del sistema, está dada como sabemos por la expresión para Ec 1
Ec = 2 mv 2 ………………………………………(15) Finalmente la energía total E del sistema será la suma de las energías potencial gravitacional, elástico y cinético, es decir: E=EpE+Epg+Ec………………………………….. (16) Conservación de la energía mecánica La ley de la conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica total de un sistema permanece constante si las fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas. Cuando la cantidad física no cambia, decimos que se conserva. Decir que la energía se mantiene constante significa que la cantidad total de energía de un sistema natural no cambia, no se puede crear ni destruir energía, solo se puede convertir de una forma a otra. Es una de las leyes fundamentales de la física, deducida a partir de una de las leyes fundamentales de la mecánica, la segunda ley de newton. Si las fuerzas presentes en un sistema mecánico no son conservativos, como ocurre en los sistemas reales, la energía aparentemente no se conserva no se conserva, porque se transforma en otro tipo de energía
Por ejemplo, la fuerza de roce se dice que es dice que es disiparía porque disipa energía, que se transforma en calor en la superficie de contacto entre los cuerpos. En efecto, se puede aplicar el teorema del trabajo y la energía tomada en cuenta la existencia de las fuerzas no conservativas, si Wnc es el trabajo de todas las fuerzas conservativas, entonces: WNC+WC=∆Ec………………………. (17) Como Wc=-∆Ep, entonces: Es decir, el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánico total del sistema. WNC = ∆Ec+∆Ep WNC = (Ecf-Eci)+(Epf-Epi) WNC = (Ecf+Epf)-(Eci+Epi)=Ef+Ei Cuando una particular se mueve por la acción de una fuerza conservativa, por el teorema del trabajo y la energía se tiene que el trabajo realizado por las fuerzas es igual a la variación de energía cinética de la particular: WNC=∆Ec……………………………. (18) Pero como la fuerza es conservativa, entonces W =-Ep, donde Ep puede ser la energía potencial gravitacional, elástica o cualquier otra forma de energía potencial mecánica Igualando ambas expresiones del trabajo se obtiene: ∆E = −∆E → ∆E + ∆E = 0 → ∆(E + E) = 0 … … … … (19) Esta ecuación representa la ley de la conservación de la energía mecánica, que se puede describir también de la siguiente forma: E + E = E + E … … … … … … . . (20) Se puede definir la energía mecánica total como la suma de la energía cinética y le energía potencial: E=Ec+Ep…………………… (21) Entonces la conservación de la energía a se escribe como: Ei=Ef→E=cte………………………… (22)
El vernier El calibrador o vernier, conocido también como o pie de rey, consiste usualmente en una regla fija de 12 cm con precisión de un milímetro, sobre la cual se desplaza otra regla móvil o reglilla. La reglilla graduada del vernier divide 9mm en 20 partes iguales de manera que pueden efectuarse lecturas con una precisión de un vigésimo de milímetro. Un vernier es un aparato de medición generalmente de mucha precisión que se utiliza para medir objetos pequeños. Desde hace años ya son digitales, solo ajustas el cero cuando están cerrados y luego abres una "quijada" hasta que toque las paredes del objeto que desea medir y tomas la lectura. El calibre o pie de rey es insustituible para medir con precisión elementos pequeños (tornillos, orificios, pequeños objetos, etc.). La precisión de esta herramienta llega a la décima e incluso a la media décima de milímetro. Para medir exteriores se utilizan las dos patas largas, para medir interiores (p.e. diámetros de orificios) las dos patas pequeñas, y para medir profundidades un vástago que va saliendo por la parte trasera. Para efectuar una medición, ajustaremos el calibre al objeto a medir y lo fijaremos. La pata móvil tiene una escala graduada (10 o 20 rayas, dependiendo de la precisión). La primera raya (0) nos indicará los milímetros y la siguiente raya que coincida exactamente con una de las rayas de la escala graduada del pie nos indicara las décimas de milímetro (calibre con 10 divisiones) o las medias décimas de milímetro (calibre con 20 divisiones).
III.
IV.
INSTRUMENTOS DE LABORATORIO Computadora Personal Software Data Studio instalada Interface Science workshop 750 Equipo de caída libre (ME-9820) Sensor de Movimiento (CI-6742) Esferas de acero o plástico Soporte universal Vernier Balanza analógica Regla metálica/cinta métrica
PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES 4.1. Procedimientos para la configuración de equipos y accesorios 1. Inicie el programa del Data Studio en el computador 2. Haga reconocer el sensor de movimiento 3. Ubica la pelota a una altura de 1m del sensor de movimiento 4. Inicie la opción pantallas el modo grafico para ver el experimento y tome datos en la tabla (1) 4.2. Configuración
5. Ajuste al selector de rango en la parte superior del sensor a la medida (persona) ajuste. 6. Utilice barras y abrazaderas para el montaje del sensor por lo que se enfrenta hacia abajo. Ponga un cojín en el suelo debajo del sensor. 7. Ajustar la altura de la sonda de modo que es al menos 1.0m por encima de la superficie del suelo. Registre sus resultados en las tablas 1 y 2, luego responder a las preguntas propuestas en el cuestionario y preséntelas en su informe de laboratorio. Tabla (1). Datos iniciales para diferentes tipos de materiales Descripción Diámetro de la bola Masa de la bola Distancia máxima Material de la bola Tiempo máximo Velocidad final Cambio de energía potencial Final de energía cinética Porcentaje de diferencia
Bola 1
Bola 2
Bola 3
0.0987m
0.0425m
0.0218m
29g
46g
473.5g
1.85m
1.85m
1.85m
Plástico
Fibra
Jebe
0.61570
0.61570
0.61570
6.0093
6.0093
6.0093
523.624
830.576
8549.516
523.619
830.568
8549.441
0.9%
0.99%
0.99%
Tabla (2). Datos de comparación, para un solo tipo de bola material: EVENTOS 1 2 3 4 5 1.53 m 1.53 m 1.53 m 1.53 m 1.53 m Altura 𝒉 0.138 m 0.138 m 0.137 m 0.141 m 0.155 m Altura 𝒉𝟎 2 2 2 2 0.03 𝑚/𝑠 0.15 𝑚/𝑠 0.16 𝑚/𝑠 0.2 𝑚/𝑠 0.24 𝑚/𝑠 2 Vel. Final 0.080 seg. 0.12 seg. 0.64 seg. 0.72 seg. 1.79 seg. Tiempo
V.
CUESTIONARIO 1. Cuando la pelota cae, ¿Qué pasara con la energía potencial gravitatoria? A modo que la pelota va llegando al piso va perdiendo su energía potencial gravitatoria ganando así energía cinética. 2. ¿Qué pasara la energía cinética de las bolas al caer? De lo que al inicio la energía cinética era cero, mientras va cayendo las bolas van ganando más energía cinética., 3. Comparar el cambio de la energía potencial gravitatoria y la energía cinética final obtenida en la tabla (1). Energía potencial Teórico a) U =mgh U=29*9.76*1.85 U=523.624 b) U =mgh U=46*9.76*1.85 U=830.576 c) U =mgh U=473.5*9.76*1.85 U=8549.516 Cinético a) K = 1/2mv2 K=1/2*29*6.0093*6.0093 K=523.61 b) K = 1/2mv2 K=1/2*46*6.0093*6.0093 K=830.56 c) K = 1/2mv2 K=1/2*473.5*6.0093*6.0093 d) K=8549.441 Tienen un porcentaje de 0.9% error con respecto entre las dos energías
4. Con los resultados de la tabla (1) indique, ¿Cómo afecta el cambio en la energía potencial en comparación con la energía cinética final? En los tres materiales como tienen la misma velocidad que llegan al suelo Por ella se puede deducir que van a tener un error .
5. De los resultados de la pregunta 3, indique usted si se cumple o no, la conservación de energía y explique por qué sucede ello. Si se cumple la conservación de energía con solo error de 0.69%, este error de darse a las por la mala calibración de los quipos.
6. Con los datos obtenidos en la tabla 2, determinar la energía potencial gravitatoria de la bola y su energía cinética. U =mgh U=29*9.76*1.85 U=523.624 K = 1/2mv2 K=1/2*29*6.0093*6.0093 K=523.61
7. Con los datos obtenidos en la tabla 2, de velocidad (𝑣02 ) y la diferencia de la altura (ℎ − ℎ0 ) en la tabla 2, determine la pendiente (c) empleando mínimos cuadrados como ajuste lineal. 𝑐=
𝑐=
𝑣2 (ℎ − ℎ0 )
𝑣2 (ℎ − ℎ0 ) (0.642 )
C= (1.85−0.137) C= 0.239112668
8. De la pendiente obtenida y la relación c=2g, determine la gravedad en Puno. LComo c = 2g G= c/2 G=0.239112668/2 G=0.1195
9. Si comparamos la gravedad obtenida en la pregunta anterior con la estimada al nivel del mar. ¿Cuál es el error absoluto, relativo y porcentual obtenido entre ambos valores? El valor teórico en el nivel del mar es 9.81 El valor experimental es 11.95 𝑉𝑇 − 𝑉𝐸𝑋𝑃 𝐸𝑟 = 𝑋100% 𝑉𝑡 E=(9.81-11.95)/9.81 *100 E=-21.81%
10. Proponga usted como determinar la resistencia del aire de manera experimental. Cuando resuelves problemas físicos relacionados con la caída libre, con frecuencia se te pide que ignores la resistencia del aire y que asumas que la aceleración es constante y sin fin. En el mundo real, debido a la resistencia del aire, los objetos no caen indefinidamente con aceleración constante. Una forma de ver esto es comparar la caída de una pelota de béisbol y de una hoja de papel cuando se sueltan desde una misma altura. La pelota de béisbol se está acelerando todavía cuando golpea el suelo. El aire tiene un efecto mucho mayor sobre la hoja de papel que el que tiene sobre el movimiento de la pelota de béisbol. El papel no se acelera mucho tiempo antes que la resistencia del aire reduzca la aceleración de modo que se mueve con una velocidad casi constante. Cuando un objeto cae con una velocidad constante, preferimos usar el término velocidad terminal, o vT. El papel alcanza la velocidad terminal muy rápidamente en una corta caída hacia el suelo, la pelota de béisbol no lo hace. A la resistencia del aire algunas veces de le llama fuerza de arrastre. Se han hecho experimentos con una gran variedad de objetos cayendo en el aire. Estos algunas veces muestran que la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad y otras veces que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. En cualquier caso, el sentido de la fuerza de arrastre es opuesto al sentido del movimiento. Matemáticamente, la fuerza de arrastre se puede describir usando F(arrastre) = –bv o F(arrastre) = –cv2. Las constantes b y c se denominan como los coeficientes de arrastre que dependen del tamaño y de la forma del objeto.
En la caída hay dos fuerzas que actúan sobre un objeto: el peso, mg, y la resistencia del aire, –bv o –cv2. A la velocidad terminal, la fuerza hacia abajo es igual a la fuerza hacia arriba, así que mg = –bv o mg = –cv2, dependiendo de si la fuerza de arrastre sigue la primera o la segunda relación. En cualquier caso, como g y b o c son constantes, la velocidad terminal se ve afectada por la masa del objeto. Sacando fuera las constantes, esto produce vT ∝ m o vT2 ∝ m Si hacemos el gráfico de la masa versus vT o vT2, podemos determinar cuál relación es más apropiada. En este experimento, medirás la velocidad terminal como una función de la masa de los filtros de café en caída y usarás los datos para elegir entre los dos modelos de la fuerza de arrastre. Se escogieron los filtros de café porque ellos son lo suficientemente ligeros para alcanzar la velocidad terminal en una corta distancia. MATERIALES Computador Detector de Movimiento Vernier Interfaz Vernier para computador 5 filtros de café estilo cesto Logger Pro PROCEDIMIENTO 1. Conecta el Detector de Movimiento al canal DIG/SONIC 1 de la interfaz. 2. Sujeta el Detector de Movimiento a unos 2m sobre el suelo, apuntando hacia abajo, como se muestra en la Figura 1. 3. Abre el archivo “13 Resistencia del aire” en la carpeta Física con Computadores. 4. Coloca un filtro de café en la palma de tu mano y sujétalo a unos 0.5 m bajo el Detector de Movimiento. No sujetes el filtro más cerca que 0.4m. 5. Haz clic en para iniciar la toma de datos. Cuando el Detector de Movimiento empieza a sonar, suelta el filtro de café directamente debajo del Detector de Movimiento de modo que caiga hacia el suelo. Saca rápidamente tu mano del camino de las ondas de ultrasonido del Detector de Movimiento, de modo que solo el movimiento del filtro sea lo que se registre en el gráfico.
6. Si el movimiento del filtro fuera demasiado errático como para obtener un gráfico de buena calidad, repite las mediciones. Con práctica, el filtro caerá casi en línea recta hacia abajo con muy poco movimiento lateral. Interfaz Detector de movimiento Resistencia del Aire Ciencias con lo mejor de Vernier 35 - 3 7. La velocidad del filtro de café se determina a partir de la pendiente del gráfico de posición vs. tiempo. En el inicio del gráfico, debe haber una región de pendiente creciente (velocidad creciente) y luego debe convertirse en lineal. Como la pendiente de esta recta es la velocidad, la porción lineal indica que el filtro cayó con una velocidad constante o velocidad terminal (vT) durante ese tiempo. Arrastra el puntero para seleccionar la porción del gráfico que tiene la apariencia más lineal. Determina la pendiente haciendo clic en el botón Ajuste Lineal. 8. Registra la pendiente en la tabla de datos (una velocidad en m/s). 9. Repite los Pasos 4 – 8 para dos, tres, cuatro y cinco filtros de café.
VI.
CONCLUSIONES
En este experimento nos dimos cuenta que en verdad la energía no se presenta como lo aprendimos en clase ya que estos datos nos muestran que no se conserva. Una de las cosas que se pudo observar en el experimento hay un pequeño variación la cual nos indica que sistema no está aislado de todo el medio que lo rodea (fricción del aire, error de los instrumentos de medición, error del observador) Se demostró que la aceleración de caída no dependió de la masa de la regla porque en los resultados del experimento no varía en casi nada la aceleración experimental en comparación de la aceleración teórica por lo tanto la masa no afecta a la aceleración de caída. VII.
BIBLIOGRAFIA
Página Web: Wikipedia, la enciclopedia libre. Errores y mediciones, A. González Arias, Ed. Científico Técnica, 1983.Laboratorio de Física, Ed. ENPES, agosto 1988. Página Web: www.bibliotecavirtual.com Página Web www.altavista.com. POTTER, Patricia A.; FARGUES GARCIA, Isabel, trad. Madrid: McGraw-Hill Interamericana, 1991. XIX; 316 SERWAY, Raymond A.; NAGORE CAZARES, Físico Gabriel, trad. 4. ed. México, D.F.: McGraw-Hill Interamericana, 1997. 2 tomo. LEYVA NAVEROS, Humberto2. ed. Lima: Moshera, 1996.
