Cap02 Lachtermacher PO

Capítulo pítul o 2 Programação Linear Resolução Gráfica

slide 1

© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos Todos os direitos reservados.

Conteúdo do Capítulo • Problemas de Programação Linear – Resolução pelo método gráfico – O Problema do Pintor – Minimização – Restrições Redundantes – Solução Múltipla, Ilimitada e Inviável

Alumilâminas inas S.A. • Caso Alumilâm • Caso Esportes Radicais S.A.

slide 2


Conteúdo do Capítulo • Problemas de Programação Linear – Resolução pelo método gráfico – O Problema do Pintor – Minimização – Restrições Redundantes – Solução Múltipla, Ilimitada e Inviável

Alumilâminas inas S.A. • Caso Alumilâm • Caso Esportes Radicais S.A.

slide 2


Modelos Matemáticos • Em casos de informação estruturada ou semiestruturadas, entre os modelos

matemá matemátic ticos os já utiliz utilizado ados, s, encont encontra ramos mos:: Progra rama maçã ção o Line Linear ar e Inte Inteir iraa – Prog Modelo loss de Prev Previs isão ão – Mode – Simulação

Sistemas Especialis Especialistas tas – Sistemas PERT/C /CPM PM - Gráf Gráfic icos os de Gant Ganttt – PERT Árvore re de De Decis cisão ão – Árvo Método doss de Apoi Apoio o Mult Multic icrit ritér ério io – Méto

slide 3


Problemas de Otimização • Em problemas reais de otimização, busca-se maximizar ou minimizar uma

quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada. • As variáveis de entrada podem ser: – Independentes uma das outras. – Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais restrições.

slide 4

© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Aplicações de Otimização Matemática • Determinação de

de Produtos

• • Roteamento e Logística • Planejamento Financeiro

slide 5


Programação Matemática • Um problema de programação matemática é um problema de otimização

no qual o objetivo e as restrições são expressos como funções matemáticas e relações funcionais

Otimizar : z = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) g 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) ü

ì b1 £ï ï g 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ) ï ï b 2 Sujeito a : ý=í : ï³ï : g n ( x1 , x 2 ,..., x n ) ï þ ïî b n slide 6


Variáveis de Decisão • x 1 , x 2,..., x n , são as chamadas Variáveis de Decisão. w

As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente.

w

As variáveis de decisão representam as opções que um administrador têm para atingir um objetivo.

slide 7

w

Quanto produzir para maximizar o lucro?

w

Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira? © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Programação Linear • Um problema de programação matemática é linear se a função-objetivo

e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto é, na forma abaixo:

f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) e

f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n g i ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + . . .+ a in x n slide 8


Quebrando a Linearidade • A presença de qualquer das expressões abaixo tornam o problema não linear. – Exemplos:

slide 9

•

( x1 ) para n ¹ 1

•

log a ( x1 ) para qualquer base a

•

a 1 para qualquer valor de a

n

x


Programação Linear Exemplos max x1 + x2

min x1 + 2 x2

s.r.

s.r.

2 x1 + 4 x2 £ 20

2 x1 + 3 x2 ³ 20

180 x1 + 20 x2 £ 600

180 x1 + 20 x2 = 600

x1 , x2 ³ 0

slide 10

x1 , x2 ³ 0


Programação Linear Áreas de Aplicação • Administração da Produção • Análise de Investimentos • Alocação de Recursos Limitados • Planejamento Regional • Logística – Custo de transporte – Localização de rede de distribuição • Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de

comunicação. slide 11


Programação Linear Problema na Forma Padrão • Existem 4 características para um problema na forma padrão: – A função-objetivo é de Maximizar; – As restrições têm sinal de menor ou igual; – As constantes de todas as restrições são não negativas; – As variáveis podem assumir valores não negativos.

slide 12


Programação Linear Problema na Forma Padrão Maximizar

Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n

Sujeito a : a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n £ b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n £ b 2

Não negativos

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n £ b m x 1 , x 2 , x 3 ,... x n ³ 0 slide 13


Exemplos • Forma Padrão

max

+

2

min x1 + 2 x2

s.r.

s.r.

2 1 + 4 2 20 180 1 + 20 2 600

2 x1 + 3 x2 ³ 20

1

slide 14

1

Forma Não Padrão

w

,

2

0

180 x1 + 20 x2 = 600 x1 , x2 ³ 0 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Programação Linear Hipótese de Aditividade • Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades

totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas restrições.

• Esta é a própria hipótese de linearidade do PPL

slide 15


Programação Linear Hipótese de Proporcionalidade • O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada

variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor constante dada uma variação constante da variável de decisão;

slide 16


Programação Linear Hipótese de Divisibilidade • Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em

qualquer nível de fracionamento, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor positivo fracionário. • Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial

de programação linear, chamado de problema inteiro.

slide 17


Programação Linear Hipótese de Certeza • Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas. • Em problemas reais quase nunca satisfeita – as constantes são estimadas. • Requer uma análise de sensibilidade, sobre o que falaremos

posteriormente.

slide 18


Programação Linear Terminologia • Solução – No campo de Programação Linear é qualquer especificação de valores

para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se trata de uma escolha desejável ou permissível.

slide 19


Exemplo de Solução

max z = x1 + x2 s.r.

2 x1 + 4 x2 £ 20

1=

3;

2=

2 S = ( 3 , 2 )

1=

3;

2=

4 S = ( 3 , 4 )

180 x1 + 100 x2 £ 800 x1 , x2 ³ 0

slide 20


Classificação das Soluções • Solução Viável – É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas ;

• Solução Inviável – É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de não-negatividade não são atendidas;

slide 21


Exemplos de Solução Viável e Inviável max x1 + x2 s.r.

1=

3; 2=2 S = (3, 2) solução viável: todas as restrições não são violadas

2 x1 + 4 x2 £ 20 180 x1 + 100 x2 £ 800 x1 , x2 ³ 0

slide 22

= 3 ; 2= 4 S = (3, 4) solução inviável: pelo menos uma das restrições é violada 1


Valor da Função-Objetiva • É especialmente importante verificar como fica o valor da função-objetivo (z) nas soluções viáveis que podemos determinar:

max z = x1 + x 2 s.r.

2 x1 + 4 x 2 £ 20 180 x1 + 100 x 2 £ 800 x1 , x 2 ³ 0 slide 23

S = (1,1)

z = 2

S = ( 2,1)

z = 3

S = (3,2)

z = 5


A Solução Ótima • A Solução Ótima é uma solução viável especial. • Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função-objetivo otimizado é chamada de ótima; • A grande questão é como determinar a solução ótima.

slide 24


Programação Linear Solução Gráfica • Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

. .

slide 25

=5 1 +2 2 £3 1 2 £4 1 +2 2 £9 0, 2 ³ 0 1 ³

(a) (b) (c) (d)


Programação Linear Solução Gráfica x2

x 1 3

4

x 2 4

3 2 1

x 2 0

1

x 1 0 slide 26

2

3

4

x1


Programação Linear Solução Gráfica

+2 2 £9 Reta + = 2 9 1 2 2 2 =9 - 1 x2 = 92 - 12 x1 x2 £ 92 - 12 x1 1

Região Limitada

x2

Limite

x

1

(1,4)

(0,4)

x

2

(3,4) (3,3)

x

2

4

0

(0,0)

(3,0) x

1

slide 27

3

x1

0


Programação Linear Solução Gráfica x 2

(0,4) Z = 0 = 5x1 + 2 x 2

(0,0) slide 28

Z = 21 = 5 x 1 + 2 x 2

(1,4) (3,3) = Solução Ótima Solução Viável (3,0)

Z = 10 = 5 x1 + 2 x 2

x 1


Programação Linear Solução Gráfica – Exercício • Considere o seguinte o problema de LP

Max 3 x1 + 3 x 2 s.r .

2 x1 + 4 x 2 £ 12 6 x1 + 4 x 2 £ 24 x1 , x 2 ³ 0

Encontre a solução ótima.

slide 29


Programação Linear Solução Gráfica - Exercício x 2 7

(0,6)

6 5

6 x1 + 4 x 2 £ 24

4

(0,3)

3 2

2 x1 + 4 x2 £ 12

1

x 2 ³ 0 (0,0) 0

slide 30

(6,0) 1

x1 ³ 0

2

3

4

(4,0)

5

6

x 1



Z = 0 = 3 x1 + 3 x 2

6

Z = 6 = 3 x1 + 3x2

5

Z = 13,5 = 3 x1 + 3 x2

4 3 2 1 0

slide 31

1

2

3

4

5

6

x 1


Exercício Recomendado 1

max 4

1

+3

2

+3 2£7 2 1+2 2£8 1+ 2£3 2£2 1, 2³ 0 1

slide 32


Solução do Exercício 1

Solução Ótima

slide 33


Exercício Recomendado 2

max 4 1 + 8

2

3 1 + 2 2 £ 18 1 + 2£ 5 1£4 1, 2 ³ 0 slide 34


Solução do Exercício 2

Solução Ótima

slide 35


Exercício 3

max x1

+ 3 x 2

.

4 x1 + x 2 ³ 30 16 x1 + 2 x 2 £ 10 x1 , x 2 ³ 0 slide 36


Solução do Exercício 3 w

Sem Soluções Viáveis

slide 37


O Problema do Pintor • Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece

todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?

slide 38


A Decisão do Pintor • O que o desenhista precisa decidir? • O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?

slide 39


A Decisão do Pintor • O que o desenhista precisa decidir? • O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?

A decisão dele é como usar as 8 horas diárias.

w

Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.

w

slide 40


A Decisão do Pintor • Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação

linear para resolvê-lo; • Chamemos de x 1 e x 2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que

ele faz por dia, respectivamente. • O objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.

slide 41


O Modelo para a Decisão do Pintor • Função-objetivo Maximizar a receita w

w

Restrição de vendas de quadros grandes Restrição de vendas de quadros pequenos

w

Restrição de tempo

w

Não negatividade

slide 42

= 5

Máx

+ 3 1

2

£ 3

. . 1

£ 4 2

+ 1,8 1

£ 2

³ 0, 1

8

³ 0 2


O Modelo para a Decisão do Pintor x1 + 1,8 x2 £ 8

x1 £ 3

(3 ; 50/18)

= 0 = 5 1 +3 2

= - 53

=

2

slide 43

70 3

1

= 5 1 +3

= - 53

2

1

2

+ 709


Programação Linear Solução Gráfica - Minimização • Encontre a solução ótima:

min 7 x 1 + 9 x 2 s . r .

- x 1 + x 2 £ 2 x 1 £ 5 x 2 £ 6

3 x 1 + 5 x 2 ³ 15 5 x 1 + 4 x 2 ³ 20 x 1 , x 2 ³ 0 slide 44



x1 £ 5

12

- x1 + x 2 £ 2

10

5 x1 + 4x2 ³ 20

8

x 2 £ 6

6

3 x1 + 5x2 ³ 15

4 2

x 2 ³ 0 -2

2

-2

slide 45

x1 ³ 0

4

6

8

10 x 1


Programação Linear Solução Gráfica - Exercício =0=7

2

=

1

+9

= - 79

415 65

=7

2

1

1

+9

2

(40/13,15/13)

2

slide 46

= - 79

415 + 1 117


Programação Linear Restrições Redundantes • Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de

restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste. • É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de

soluções viáveis. • Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima

e mesmo conjunto de soluções viáveis.

slide 47


Programação Linear Restrições Redundantes • Considere o problema

min 6 x 1 + 10 x 2 s . r .

slide 48

- x 1 + x 2 £ 2 x 1 + 2 x 2 ³ 1 x 1 £ 5 x 2 £ 6 3 x 1 + 5 x 2 ³ 15 5 x 1 + 4 x 2 ³ 20 x 1 , x 2 ³ 0 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Programação Linear Restrições Redundantes x 2 14

x1 £ 5

12

- x1 + x 2 £ 2

10

5 x1 + 4x2 ³ 20

8

x 2 £ 6

6

3 x1 + 5x2 ³ 15

4

x1 + 2 x 2 ³ 1

2

x 2 ³ 0 -2

2

-2

x1 ³ 0

4

6

8

10 x 1

Restrição Redundante slide 49


Programação Linear Solução Múltipla • Encontre a solução ótima:

min 6 x 1 + 10 x 2 s . r .

- x 1 + x 2 £ 2 x 1 £ 5 x 2 £ 6

3 x 1 + 5 x 2 ³ 15 5 x 1 + 4 x 2 ³ 20 x 1 , x 2 ³ 0 slide 50


Programação Linear Solução Múltipla x 2 14

x1 £ 5

12

- x1 + x 2 £ 2

10

5 x1 + 4 x2 ³ 20

8

x 2 £ 6

6

3 x1 + 5x2 ³ 15

4

Soluções Múltiplas

2

x 2 ³ 0 -2

2

-2

slide 51

x1 ³ 0

4

6

8

10 x 1


Programação Linear Solução Ilimitada • Encontre a solução ótima:

max 6 x 1 + 10 x 2 s . r .

slide 52

- x 1 + x 2 £ 2 x 2 £ 6 3 x 1 + 5 x 2 ³ 15 5 x 1 + 4 x 2 ³ 20 x 1 , x 2 ³ 0


Programação Linear Solução Ilimitada Cresce indefinidamente

x 2 14 12

- x1 + x 2 £ 2

10

5 x1 + 4x2 ³ 20

8

x 2 £ 6

6

3 x1 + 5x2 ³ 15

4 2

x 2 ³ 0 -2

2

-2

slide 53

x1 ³ 0

4

6

8

10

x 1


Programação Linear Solução Inviável • Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de

soluções viáveis é vazio. • Considere o problema

max x 1 + x 2 s . r .

x 1 + x 2 £ 12 x 1 + x 2 ³ 20 x 1 , x 2 ³ 0

slide 54


Programação Linear Solução Gráfica - Exercício x 2

x 1 + x22 =£ 12 12 x

x1 + x2 ³ = 20

14 12 10 8 6 4 2

x22 = ³0

x1 = 0

0

2

4

6

8

10

12

14

x 1

x1 ³ 0 slide 55


Caso Alumilâminas S.A. •

A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

slide 56


Caso Alumilâminas S.A. • Variáveis de Decisão –

1 –

Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo

–

2 –

Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de Janeiro

• Função-Objetivo – Minimizar Custo de Produção (mil R$) =

100 1 + 200

slide 57

2


Caso Alumilâminas S.A. • Restrições de Demanda – Placas Finas – Placas Médias – Placas Grossas • Restrições de Não Negatividade

8 1+2

³ 16

1 1 +1 2 ³ 6 2 1 +7 1

slide 58

2

,

³ 28

2

2

³0


Caso Alumilâminas S.A. O Modelo

min 100 1 + 200

2

8 1 + 2 2 ³ 16 1 1 +1 2 ³ 6 2 1 + 7 2 ³ 28 ³0 1, 2 slide 59


Caso Alumilâminas S.A. Solução Gráfica Z = 920 x 1 = 14/5 e x 2 = 16/5

slide 60


Caso Esportes Radicais S.A. • A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de

montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada paraquedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

slide 61


Caso Esportes Radicais S.A. • Variáveis de Decisão –

1 –

Quantidade de Paraquedas a serem produzidos

–

2 –

Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos

• Função-Objetivo – max 60

slide 62

1

+ 40

2


Caso Esportes Radicais S.A. • Restrições de Produção – Linha 1

10 1 + 10

– Linha 2

3 1 +7

• Restrições de Não Negatividade slide 63

1

,

2

2

2

£ 100

£ 42

³0


Caso Esportes Radicais S.A. O Modelo

max 60 1 + 40

2

10 1 + 10 2 £ 100 3 1 + 7 2 £ 42 1

slide 64

,

2

³0 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Cap02 Lachtermacher PO

Recommend Documents