CAPÍTULO 2 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA MATERIALES DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL
2.1
Introducción
En el capítulo anterior, se han estudiado los conceptos de esfuerzo y deformación, que resultan por la acción de cargas externas al actuar sobre un cuerpo deformable. Las relaciones entre el esfuerzo y la deformación en un punto de un cuerpo, dependen del material considerado, y para un mismo material, de la magnitud de las cargas aplicadas. En el caso de la mayoría de los materiales metálicos, dentro de ciertos límites de carga, puede existir un comportamiento elástico lineal, elástico no lineal o plástico. Comportamiento elástico es aquel en que el elemento deformado bajo la acción de cargas externas, recupera totalmente su forma y dimensiones originales al retirar las cargas, en cambio, comportamiento plástico, se refiere al caso en que aunque se retiren las cargas externas queda una deformación permanente. En este capítulo se establecen las relaciones entre esfuerzo y deformación para materiales elásticos, en los que se presenta un comportamiento lineal. Además se inicia el estudio de concepto de energía de deformación elástica.
2.2
Curvas Esfuerzo-Deformación Esfuerzo-Deformación
Supongamos, se tiene una probeta para un ensayo de tracción uniaxial Fig. 2- 1(a) 1(a) con una longitud calibrada y una sección transversal .
Este ensayo, consiste en aplicar a una probeta normalmente cilíndrica, una carga de tracción centrada y progresiva que produce un alargamiento , donde es la longitud en un instante i nstante dado.
∆=−
La carga es proporcionada por una máquina diseñada para estos efectos, denominada Máquina universal de Ensayos y el alargamiento de la longitud calibrada se registra por medio de un extensómetro. En la Fig. 2- 1Probeta y curvas carga-Deformación.( carga-Deformación.(b) b) hay una curva típica que muestra la variación del alargamiento con la carga P para un material metálico.
∆
Apuntes Mecánica de Sólidos 34
Fig. 2- 1Probeta y curvas carga-Deformación.
−
La Fig. 2- 1(c), corresponde al gráfico esfuerzo-deformación , y tiene la misma forma que en el gráfico carga-alargamiento, ya que y son dos constantes que dividen carga y alargamiento respectivamente, para obtener esfuerzo y deformación.
Como la longitud calibrada tiene sección uniforme, y está sometidaa una carga centrada, tanto la deformación como el esfuerzo son uniformes en esta zona. Apuntes Mecánica de Sólidos 35
= ⁄ = ∆⁄, se denominan
El esfuerzo y la deformación definidos como y esfuerzo y deformación convencionales o ingenieriles respectivamente.
En el caso del esfuerzo se ve claro que no se trata del esfuerzo real, ya que el área de la sección transversal no es constante, sino que disminuye al producirse el alargamiento, sin embargo, en el rango de deformaciones elástica esta variación es pequeña y para efectos prácticos se puede despreciar. En el gráfico esfuerzo-deformación convencional, Fig. 2- 1(c), hay que distinguir cuatro puntos. El punto A, corresponde al límite de proporcionalidad, que es el punto hasta el cual el esfuerzo y la deformación están en relación lineal. El punto B o límite elástico, corresponden al punto hasta el cual la deformación se recupera totalmente al volver la carga al valor cero. Entre los puntos A y B hay un comportamiento elástico no lineal, sin embargo, por existir en la práctica muy pequeña diferencia entre ellos, se considera como uno solo y que es el límite , o punto de fluencia.
Pasado el límite elástico, la relación entre esfuerzo y deformación deja de ser lineal. EL proceso de descarga, se produce aproximadamente a lo largo de una recta paralela a la parte lineal, quedando una deformación plástica permanente . De la deformación total , se recupera sólo una parte .
El punto C, corresponde al punto de máxima resistencia a la ruptura. Hasta ese punto la deformación ha sido uniforme a lo largo de la zona cilíndrica de la probeta. Aquí comienza una deformación localizada, iniciándose la formación de una cintura o cuello, en la cual la sección transversal disminuye rápidamente, por lo que la carga necesaria para continuar con el alargamiento disminuye, hasta el punto en que se produce la fractura o ruptura propiamente tal, punto D. La tensión máxima , es una característica propia de cada material y comúnmente se conoce como resistencia a la ruptura.
El punto C, también se conoce como un punto de inestabilidad en tracción o punto de estricción. A partir de ese punto el estado de esfuerzos, deja de ser uniaxial. En el gráfico esfuerzo-deformación, la máxima deformación alcanzada antes de la ruptura, es un índice de la propiedad de los materiales llamada ductilidad. Así, un material tiene comportamiento dúctil, si permite una gran deformación antes de que se produzca la ruptura, para las condiciones de temperatura y velocidad de deformación del ensayo.
Apuntes Mecánica de Sólidos 36
Como ejemplo, se puede mencionar que el Cobre recocido permite una deformación del orden de 0,5 y que un Acero SAE-4135 con tratamiento térmico (dureza 35 Rc), tiene una deformación máxima igual a 0,06. Hay materiales como los aceros estructurales, en que el límite elástico o punto de fluencia está claramente definido, como se puede apreciar en el gráfico esfuerzodeformación, Fig. 2- 2 (a), sin embargo, hay materiales como el Cobre, Aluminio, Aceros aleados, y otros, en que este punto no define claramente la transición de estado elástico a estado plástico, (b). En este último caso, se define “límite elástico convencional , que se obtiene trazando una paralela a la parte lineal del gráfico esfuerzo-deformación para una deformación de 0,002. El punto de intersección entre la recta y la curva, corresponde entonces al límite elástico convencional. ”
Fig. 2- 2 Gráficos esfuerzo-def ormación.
2.3
Constantes elásticas , G, E. Ley de Hooke
En el estudio de la mecánica de los cuerpos deformables, se supone que la materia es continua, homogénea e isotrópica. Que la materia sea continua, significa que no hay espacios vacíos o huecos en su estructura, que sea homogénea significa que sus propiedades específicas son las mismas para diferentes puntos y que sea isotrópica significa que presenta igual comportamiento en todas las direcciones. Las propiedades elásticas de un sólido continuo, homogéneo e isotrópico con comportamiento lineal, quedan definidas completamente por tres constantes características del material, y que se verán a continuación.
Apuntes Mecánica de Sólidos 37
Módulo elástico o módulo de Young (E)
−
El gráfico para el caso de tracción uniaxial, se muestra en la Fig. 2- 3. Este gráfico representa la variación de la deformación con la tensión , para un esfuerzo uniaxial.
Se define el módulo elástico o módulo de Young de un material elástico lineal a la pendiente de la parte recta de la curva , y normalmente se denota por la letra E.
−
De esta manera se puede escribir:
=
(2. 1)
La expresión (2. 1) se conoce como Ley de Hooke para el caso uniaxial. El valor de E 6 varía para los distintos materiales, en el caso del acero tiene un valor de 2,1·10 (kg/cm2).
Fig. 2- 3 Gráfico
− para estado de esfuerzo uniaxial.
Módulo de rigidez (G) Más adelante se estudiará que en el caso de torsión de una barra, se obtiene un estado de corte puro. La variación de la deformación angular con el esfuerzo de corte , se puede graficar en forma análoga a como se hizo para en el caso uniaxial,Fig. 2- 4.
Aquí el módulo de rigidez es la pendiente de la parte recta de la curva manera que:
=
− , de (2. 2)
Y se conoce como Ley de Hooke para el esfuerzo de corte puro.
Apuntes Mecánica de Sólidos 38
Fig. 2- 4 Gráfico
− para estado de corte puro.
Relación de Poisson ( ) Cuando un material por efecto de una tracción sufre un alargamiento, las dimensiones transversales disminuyen, de manera que existen además de la deformación axial deformaciones transversales a la carga.
Fig. 2- 5 Relación de Poisson.
= ∆⁄
En la Fig. 2- 5 (a) la barra de longitud y diámetro iniciales , , tiene una deformación longitudinal y además una deformación transversal . La relación de Poisson (ν) es la razón entre la deformación transversal y la deformación longitudinal precedida por signo negativo.
= ∆⁄
= −
(2. 3)
Hay que notar que la relación de Poisson así definida, es siempre un número positivo, ya que cuando , .
> 0 < 0
Apuntes Mecánica de Sólidos 39
En un material isotrópico, la relación de Poisson es independiente de la dirección transversal. Por ejemplo, utilizando la Fig. 2- 5 (b),se puede escribir:
= − = − Para la mayoría de los metales, la Relación de Poisson varía entre los valores de 0,25 y 0,33, en el caso del acero se utiliza 0,3.
=
Las tres constantes elásticas , G, E no son independientes entre sí, se puede demostrar que están relacionas por la expresión:
= 21+ 2.4
(2. 4)
Ley generalizada de Hooke
En el caso general de esfuerzos, para establecer las relaciones con las componente de la deformación, hay que tener presente que las componentes normales no producen deformaciones angulares, y que además, las componentes de corte no tienen influencia en las componentes normales de deformación. La Fig. 2- 6, muestra un estado de esfuerzos con las tres componentes normales , ,y . Este estado de esfuerzos puede considerarse como una superposición de tres estados uniaxiales.
Fig. 2- 6 Superposición de tres estados de esfuerzos uniaxiales.
Los estados uniaxiales (a), (b), y (c) producen, respectivamente, las siguientes deformaciones en la dirección x.
, = , = − , = − Apuntes Mecánica de Sólidos 40
Aplicando el principio de la superposición, la deformación total en la dirección x será:
= , + , + , De donde: = 1 −( + ) En forma análoga, se obtiene y de manera que la Ley de Hooke generalizada
para un material elástico isotrópico queda expresada por:
= 1 −( + ) = 1 − + = 1 −( + ) = = 21+ = = 21+ = = 21+ En el caso de esfuerzo plano, caracterizado por expresiones se reducen a:
= 1 ( −) = 1 ( − ) = − ( + ) = Si es un estado de deformación plana, se tiene que:
(2. 5)
= = = 0 , estas
(2. 6)
= = = 0, con la condición = 0,
Apuntes Mecánica de Sólidos 41
=( + )
(2. 7)
De manera que las componentes no nulas quedan como:
= 1 + (1−−) = 1 + (1−− ) = 2.5
(2. 8)
Energía de Deformación Elástica.
Un material elástico ideal, es aquel en que al retirar las cargas externas, las deformaciones se recuperan totalmente. El trabajo efectuado por las cargas externas, queda almacenado como energía interna de deformación elástica. La energía de deformación elástica puede ser expresada en términos de las componentes del esfuerzo o la deformación y las constantes elásticas del material. En primer lugar, consideremos la acción de la componente normal elemento volumétrico infinitesimal de la Fig. 2- 7 (a).
=
El trabajo efectuado por la fuerza externa infinitesimal de alargamiento es:
,
= Como = podemos escribir: =
, en el
en el incremento
Este trabajo es igual a la variación de la energía interna del elemento elástico. Si llamamos U a la energía de deformación elástica total, entonces:
= Apuntes Mecánica de Sólidos 42
Fig. 2- 7 Evaluación de la e nergía de deformación elástica.
La energía de deformación elástica por unidad de volumen alargamiento , será entonces:
, en el
= Y en el alargamiento
: = ∫
La energía de deformación total en un volumen V, se obtiene como:
= ∫ =
∫ ∫
La expresión de la energía elástica por unidad de volumen, puede ampliarse al caso en que actúen las tres componentes normales del esfuerzo, así:
= ∫
+ +
La contribución de las tres componentes de corte a la energía de deformación elástica, puede obtenerse en forma similar.
De la Fig. 2- 7 (b), los desplazamientos infinitesimales de las componentes y , que actúan en los elementos de superficie y son, respectivamente, y , de manera que:
Apuntes Mecánica de Sólidos 43
= + O bien
= += Se puede ver que:
= ∫
Si actúan las tres componentes del esfuerzo de corte se tendrá que:
= ∫ + + Para un estado general de esfuerzos la expresión final para la energía de deformación elástica por unidad de volumen será:
= ∫ + + + + +
(2. 9)
Hay que notar que está expresión se refiere a un material elástico en general, es decir, no se ha especificado el tipo de relación entre esfuerzo y deformación. En la Fig. 2- 8 se puede apreciar, para el caso uniaxial, que la energía de deformación elástica por unidad de volumen es numéricamente igual al área bajo la curva del gráfico esfuerzo deformación.
Fig. 2- 8 Energía de def ormación elástica.
Apuntes Mecánica de Sólidos 44
Si se trata de un material elástico lineal, la expresión (2. 9) se puede integrar, haciendo uso de la ley generalizada de Hooke, para expresar u en términos de las componentes del esfuerzo, o de la deformación.
= 12 ( + + + + + ) = 21 ( + + −2 + + ) + 21 + + En el caso de esfuerzo plano = = = 0; estas expresiones se reducen a: = 12 ( + + ) 1 = 2 ( + −2 )+ 2
(2. 10)
(2. 11)
La energía de deformación elástica no depende de la orientación de referencia elegida, es una cantidad invariante, si se consideran las direcciones principales, se puede escribir:
= 12 + = 21 ( + − 2 )
(2. 12)
A modo de ejemplo, se determinará la energía de deformación elástica total, de una barra sometida a carga axial centrada P, Fig. 2- 9 Energía de deformación elástica. La energía de deformación elástica por unidad de volumen es:
= 2 = 2 La energía de deformación elástica total:
= ∫ = ∫ 2 = 2 ∫
(2. 13)
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Si la sección transversal es constante:
= 2
(2. 14)
Fig. 2- 9 Energía de def ormación elástica.
Es necesario observar que se ha hecho un análisis aproximado, ya que se ha supuesto que el estado de esfuerzos es uniforme en la sección transversal e igual a P/A. Sin embargo, en secciones próximas a los puntos de aplicación de la carga esto no es así. Por otro lado, si a la barra tiene una conicidad pequeña como se muestra en la Fig. 2- 9 Energía de deformación elástica., el estado de tensiones no es rigurosamente uniaxial. Ejemplo: El pequeño bloque de acero de la figura se comprime con una carga 2 uniformemente repartida de 20 kg/mm . Las paredes del depósito donde se encuentra ubicado, se suponen perfectamente rígidas y sin fricción. Determine el alargamiento total experimentado por el bloque en la dirección x, y la energía de deformación elástica almacenada.
=2,1·106
=0,3
Solución: Son condiciones del problema:
=−20 = 0 = 0 Apuntes Mecánica de Sólidos 46
= 1 − + De donde:
=
Tenemos entonces que:
= 1 −( + ) = − 1+ ∆ = − 1+ Reemplazando los valores numéricos correspondientes se obtiene para el alargamiento en la dirección x.
∆ = 0,022 Teniendo presente que se trata de un estado de esfuerzos uniforme, la energía de deformación elástico por unidad de volumen se puede escribir como:
= 21 ( + − 2 ) Ya que todas las otras componentes del esfuerzo son nulas, con:
= 1− = 2
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La energía de deformación total almacenada es,
= ∫ = · Con los valores numéricos correspondientes se obtiene:
=780·
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