UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON
PREPARATORIA N° 18
Cálculo Diferencial e Integral
Etapa 4: La Integral
Maestro: Ing. Carlos Hernández Alumna: Idalia Margarita Pérez Guajardo Grupo: 405 405
Matricula: 1633415
Actividades de Aprendizaje Actividad Diagnóstica Resuelve individualmente los siguientes ejercicios y responde a las siguientes preguntas. Luego, en una sesión plenaria, con ayuda de tu profesor, discutan, comparen y corrijan sus respuestas: a) Determina la derivada de las siguientes funciones:
() () () () ()
b) Si se conoce la función de posesión s (t) de un móvil en el instante t, ¿Cómo se encuentran sus funciones de velocidad v (t) y de aceleración a (t)?
c) ¿Cómo se determina la función de utilidades U(x) si se conocen las funciones de ingreso I(x) y de costo C(x)?
d) Grafica las siguientes funciones:
() () ()
Actividad de adquisición del conocimiento 1. Apoyándote en tu libro de texto, resuelve los siguientes problemas. En una sesión plenaria, discute tus respuestas y corrige tus errores siguiendo las indicaciones de tu profesor. A) ¿Qué es integración?
B) ¿A qué se le denomina antiderivada o integral de una función dada?
() () () ()
C) Como se vio en la actividad diagnóstica, la derivada de es , entonces se puede afirmar que una antiderivada de es , pero otras antiderivadas son también y , ya que sus derivadas son también , por lo que las antiderivadas difieren solo por una constante, y dado que esta constante es arbitraria, la integral así obtenida recibe el nombre de integral indefinida. ¿Cuál es la notación que se utiliza para describir esta integral indefinida?
() () ()
D) ¿Cuál es la fórmula para determinar la integral de cualquier potencia de x a excepción de x-1?; es decir:
E) Con base en la formula anterior, determina las integrales indefinidas siguientes: a) b) c) d) e)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫√
F) Investiga las siguientes reglas básicas de integración a) La integral del producto de una constante por una función:
() b) La integral de la suma o diferencia de dos o más funciones:
[ () ()()] G) Con base en las reglas anteriores, determina las siguientes integrales indefinidas: a)
∫( )
b) c)
∫()( ) ∫() Actividad de organización y jerarquización
1. Apoyándote en tu libro de texto, contesta las siguientes preguntas. En sesión plenaria, discutan sus respuestas y corrijan sus errores con base en los comentarios de su profesor. a) ¿Qué es la integral definida?
b) ¿Cómo se define y representa la integral indefinida?
c) Si F(x) es una antiderivada de f(x), que significa F(b) – F(a) en notación anterior?
d) Evalúa las siguientes integrales definidas:
∫ ()
∫ ( ) Actividad de aplicación
Parte 1. Áreas de regiones delimitadas por curvas 1. Enuncia el “teorema fundamental del cálculo” y retroalimenten su descripción en una sesión plenaria.
()
. Señala y calcula el área entre la curva 2. Traza la gráfica de la función y el eje x en el intervalo [0,2]
()
3. ¿En qué se diferencia el cálculo del área si la región está completamente debajo del eje X; es decir si en el intervalo dado?
()
() ión, señala y calcula el área entre la curva y el eje
4. Considera la función x en el intervalo [2,4].
()
5. Explica cómo se calcula el área de la región acotada por una función , el eje X y las rectas x = a y x = b en el caso de que f(x) sea positiva algunas veces, y otras sea negativa en el intervalo a < x < b, es decir si la región tiene la siguiente forma:
() , señala y calcula el área entre la curva, el
6. Traza la gráfica de la función eje X y las rectas verticales x= -2 y x= 5.
7. Verifica tus resultados anteriores graficando las funciones con GeoGebra y calculando el área con el siguiente comando: Integral [Función, valor inicial de x, valor final de x]
() ()
8. Explica cómo se calcula el área de la región acotada entre las curva as y si , es decir, cuando ambas curvas están arriba del eje X y la curva esta encima de la curva .
() () () ()
() () , señala y calcula el área () esta encima de la curva
y 9. Traza las gráficas de las funciones entre ambas curvas están arriba del eje X y la curva .
()
10. Verifica tu resultado anterior graficando las funciones con GeoGebra y calcula el área con la instrucción: Integral entre [Función, Función, valor inicial de x, valor final de x].
Parte 2. La integral como modelo matemático Apoyándote en tu libro de texto, contesta las siguientes preguntas. En una sesión plenaria, discutan sus respuestas y corrijan los errores siguiendo las indicaciones de su profesor. 1. Si s(t) representan la función de posición de un móvil en el instante t, ¿Qué representa su derivada s´(t)?
2. Si v(t) representan la función de posición de un móvil en el instante t, ¿Qué representa su derivada v´(t)?
3. Con base en tus respuestas anteriores, y de acuerdo con el concepto de antiderivada o integral, responde ¿Qué representa la integral de la función de aceleración a(t), ¿Qué representa la integral de la función de velocidad v(t)?
4. Si C(x) es la función de costo, I (x) es la función de ingreso y U(x) es la función de utilidades, ¿Qué representa la integral de la función de costo marginal?, ¿Qué representa la integral de la función de ingreso marginal? ¿Qué representa la integral de la función de utilidad marginal?
5. Si C´(x), I´(x) y U´(x) denotan las funciones de costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal, respectivamente; y el nivel de producción y ve nta se incrementa de “a” a “b”
unidades, ¿Qué representan las siguientes integrales definidas?
()()() ()() () ()()() 6. Con base en las respuestas anteriores, resuelve el siguiente ejercicio: El costo marginal que emplea un fabricante de pernos está dado por: y el costo fijo es $180. Determina la función de costo total.
()
7. Una compañía manufacturera sabe que la función del ingreso m arginal de un producto es Se cuantifica en pesos y “x” es el número de unidades. , donde Determina: a) La función de ingreso
()
()
b) Los ingresos totales obtenidos a vender 800 unidades producto.
c) El cambio en el ingreso cuando el nivel de ventas se incrementa de 400 a 600 unidades.
8. Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. La función de , donde el tiempo “t” se indica segundos y la velocidad está dada por
()
velocidad “v” en m/s. Determina la distancia que recorre el objeto en los primeros 2
segundos.
Actividad de Metacognición
Elabora un documento en el que describas: Una reflexión acerca de los conocimientos y habilidades adquiridas; incluye por ejemplo la notación utilizada, desarrollo e procedimientos. Una autoevaluación de lo que has logrado y lo que te falta por conseguir: Califica tu desempeño y la importancia que tiene en tu desarrollo académico.
Actividad de Integradora Elabora un documento ene le que incluyas: Un escrito sobre el campo de aplicación de la integral Los ejercicios que involucren: Integrales indefinidas Integrales definidas Áreas de las regiones delimitadas por curvas. La aplicación e la integral como modelos matemáticos en diferentes contextos.
