Calculo Diferencial e Integral U1 20150822093854

LIVRO UNIDADE 1

Cálculo Diferencial e Integral

Funções

Gabriela Faria Barcelos Gibim

Funções

Gabriela Faria Barcelos Gibim

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Sumário

Unidade 1 | Funções

Seção 1.1 - Função Afim Seção 1.2 - Função Quadrática Seção 1.3 - Função Exponencial e Logarítmica Seção 1.4 - Funções Trigonométricas

Unidade 2 | Limites e Derivadas

Seção 2.1 - É hora de limites! Seção 2.2 - Limites finitos e no infinito Seção 2.3 - Derivada - Introdução Seção 2.4 - Regras de Derivação - Parte 1

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Palavras do autor Olá Aluno, bem vindo! Nesta unidade curricular, você será apresentado aos principais tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, tais como: Funções, Limite e Derivada. O seu material é composto pelo livro didático, que apresenta os principais temas que deverão ser estudados; além deste, você também pode contar com a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos de orientação, mediação, explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas. Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro didático, contempla 4 (quatro) unidades de ensino. São elas: Funções: apresenta o estudo das diferentes funções, seus conceitos, suas pro-

priedades em relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suas aplicações. Limites e Derivada: conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de

derivada e algumas regras de derivação. Regras de Derivação: produto, quociente, regra da cadeia, derivada exponen-

cial, logarítmica e trigonométrica. Aplicação de Derivada: derivada implícita, taxa relacionada, máximo e mínimo

e otimização. Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos que o possibilite dedicar-se aos processos de leitura, participação e realização das atividades propostas. É de extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento de aprendizagem, quanto em sua aplicação. Desde já desejo à você bons estudos!

Unidade 1

FUNÇÕES

Convite ao estudo

Por que estudar funções? O estudo das funções permite a você, aluno, adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências. Esta linguagem se faz necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construir modelos descritivos de fenômenos e permitir várias conexões dentro e fora da própria Matemática. Deste modo, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo das diferentes funções, apresentaremos os seus conceitos, suas propriedades em relação às operações, a interpretação de seus gráficos e as suas aplicações.

Competência a ser desenvolvida

Objetivos 

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.



Identificar e representar as funções de várias maneiras (tabelas, gráficos, fórmulas e descrição verbal) Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos específicos do tema em questão, Funções, a seguir é apresentada uma situação hipotética que visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática. Vamos lá!

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João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo das funções. E que a importância do estudo de funções não é restrita apenas aos interesses da matemática, e que estas fazem parte do nosso cotidiano e estão presentes na realização das coisas mais elementares que fazemos. Portanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor; das mais simples às mais complexas, como uma corrida de táxi, lançamento de um projétil, juros compostos, decaimento radioativo, vibração do som etc.

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Seção 1.1 Função Afim Diálogo aberto Olá! Sejam bem-vindos! A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre função! Veremos nesta seção conhecimentos sobre função e função afim, conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral que normalmente é trabalhado no Ensino Fundamental e Médio na disciplina de Matemática. Você se recorda?

Dica A leitura deste caderno irá ampliar sua compreensão sobre o conceito de função e função afim; suas diversas representações por meio de tabelas, gráficos, fórmulas, descrição verbal; assim como sua aplicação em resolução de problemas. Para dar início ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.

Lembre-se Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das

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primeiras situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: Precisamos enviar um de nossos técnicos para fazer uma vistoria em um prédio que fica a 8 km da empresa. Sabe-se que em nossa cidade operam duas empresas de táxi, a empresa Andetaxi e a Voudetaxi. A Andetaxi cobra R$ 6,00 pela bandeira inicial e R$ 3,00 por quilômetro rodado. Já a empresa Voudetaxi cobra apenas R$ 4,00 por quilômetro rodado. As duas empresas possuem táxis disponíveis para levar o técnico; assim, qual táxi João deve chamar de modo a economizar na corrida? Em qual situação a Andetaxi é mais econômica?; e a Voudetaxi é mais econômica?; as duas se equivalem?

Reflita

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função afim, na forma algébrica, e calcular os valores das corridas. Pode-se representar a função graficamente para melhor compará-las.

Não pode faltar! Funções

Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre função afim é importante termos o conhecimento sobre função. Você sabe o que é uma função? Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. As funções são definidas por certas relações. Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos as funções: afim, quadrática, exponencial, logarítmica, trigonométricas, dentre outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.

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Assimile

Definindo uma função: Função é uma relação. Utilizando dois conjuntos A e B, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto. Na matemática, dizemos que função é uma relação de dois conjuntos, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é um elemento do domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um elemento da imagem. Podemos citar como exemplo a relação entre o custo e o consumo em m3 de água. Isso porque a conta de água está relacionada a quanto iremos gastar de m3 de água. Essa relação é uma função! Assim tem-se: Dados dois conjuntos A e B (conjuntos formados de números reais, isto é, A e B estão contidos em ), não vazios, uma relação de A em B recebe o nome de aplicação de  A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x, y) .

Reflita

Que condições deve satisfazer uma relação

de A em B para ser função?

1. É necessário que todo elemento participe de pelo menos um par (x, y) , isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha. 2. É necessário que cada elemento de participe de apenas um único par (x, y) , isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. Figura 1.1 - Representação de função

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 16 mai. 2015.

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Uma relação

não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições:

1) Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, ou 2) Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.

Figura 1.2 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação aplicação).

não é função (ou

Fonte: Disponível em: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-defuncoes.html. Acesso em: 16 mai. 2015.

Domínio, contradomínio e Imagem? Seja f uma função de A em B.

Figura 1.3 - Representação de função

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 16 mai. 2015.

Nesta correspondência, o conjunto A é o domínio  da função f, enquanto o conjunto B é denominado contradomínio da função f.

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Usamos a notação ⨏:  ! → #  (onde lemos: f é uma função de A para B) para indicar que estamos fazendo a correspondência de A, designado domínio, com o conjunto B, contradomínio. Escrevemos y = ⨏(x) para indicar que a função f associa o elemento x de seu domínio ao elemento y de seu contradomínio. Se um elemento x A, for relacionado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x pela função ⨏. Logo, o conjunto de todos os elementos de B, que são imagens de algum elemento de A, é designado conjunto imagem da função f é denotado por Im(⨏). Sendo, portanto, um subconjunto do contradomínio B. O elemento x é chamado de variável independente, pois ele é livre para assumir qualquer valor do domínio, e nomeia-se y de variável dependente.

Exemplificando

Veja o exemplo da Figura 1.3, nesta temos como domínio da função f D(f)= {-3,-2,-1,0}, contradomínio CD(f)= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; e como conjunto imagem a Im(⨏)= {0,1,4,9}

Um pouco mais sobre o Domínio Se temos: 



F: R →  R/ f(x)= -2x. Aqui não existem restrições para qualquer valor de x pertencente ao domínio de f. Portanto, D(f)= R F: R → R/ f(x)= . Sabemos que o denominador deve ser diferente de zero, pelo fato da existência da operação de divisão. Observamos que x+4 0, logo —!. Portanto, D(f)= R—!. Gráficos- Como representar a função graficamente?

Quando trabalhamos com funções, a construção e a compreensão de gráficos são de extrema importância. Isto porque, por meio dos gráficos podemos definir de que tipo é a função mesmo sem saber a sua lei de formação.

Gráficos- Como representar a função graficamente? Quando trabalhamos com funções, a construção e a compreensão de gráficos são de extrema importância. Isto porque, por meio dos gráficos podemos definir de que tipo é a função mesmo sem saber a sua lei de formação.

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Saiba mais

Cada função tem a sua representação gráfica, independentemente do tipo de função é fundamental conhecermos algumas definições, como: plano cartesiano, par ordenado, eixo das abscissas, eixo da ordenada. Saiba mais em http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.php. Acesso em: 16 mai. 2015.

O plano cartesiano  é formado por duas retas perpendiculares entre si, uma reta horizontal Ox no plano geométrico, denominada de eixo das abscissas e uma reta vertical Oy, chamada de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:

Figura 1.4 | Representações do plano cartesiano

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 16 mai. 2015.

Funções Polinomiais

Seja uma função definida por , em que os coeficientes , ,... são números reais e n um número inteiro não negativo. A função é denominada de função polinomial de grau n, a qual, dependendo do grau n, receberá nomes de funções polinomiais. Começamos o nosso estudo de funções polinomiais com grau . Uma aplicação recebe o nome de função constante quando cada elemento x é

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associado ao mesmo valor c, ou seja, . O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c). Em outras palavras, a imagem é o conjunto . A Fig. 1.4 apresenta o gráfico da função . Alguns exemplos de funções constantes são:

;

;

;

Figura 1.5 | Representações da função constante

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 16 mai. 2015.

Função linear

Podemos definir a função linear como uma aplicação : → quando a cada elemento associa o elemento onde é um número real dado. Isto é, a função dada por: !

O conjunto imagem da função afim : → definida por são os reais. Uma função é um exemplo de uma função linear. !

Função Afim

Analogamente podemos definir a função linear afim como uma aplicação → quando a cada elemento associa o elemento onde é um número real dado. Isto é, a função é dada por: O conjunto imagem da função afim são os reais.

:

→

:

definida por

O gráfico de uma função linear afim é uma reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto . O coeficiente b é denominado de coeficiente linear da reta. O número a é definido por coeficiente angular da reta ou declividade da reta representada no plano cartesiano.

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A raiz da função afim é o número , também chamado de zero da função. Esta raiz é a abcissa do ponto de coordenadas ; onde a reta corta o eixo x.

Exemplificando

Analisar a função f(x) = – x + 2 . - A função é de crescente, pois a < 0; - Coeficiente angular é a = -1; - Coeficiente linear é b = 2; - Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0  => -x = - 2.(-1) => x = 2.

-A raiz 2 é a abscissa do ponto de coordenadas (2,0), a reta corta o eixo

f(x) < 0 {! ∈ # | x > 2} f(x) = 0 {! ∈ # | x = 2} f(x) > 0 {! ∈ # | x < 2}

Caso Particular: A função é constante, pois a = 0, com isso, não há inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0; - Coeficiente linear é b = 4;  - Não temos Zero da função:

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Figura 1.6 | Função crescente e decrescente

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 16 mai. 2015.

Faça você mesmo

Sendo f (x) = -3x +1, esboce seu gráfico, determine suas raízes e classifique a função em crescente ou decrescente.

A Matemática está hoje em praticamente todas as áreas do conhecimento humano e um dos temas que podemos destacar é o estudo das funções apresentado ao longo deste tema. Aqui, você aprendeu a definição de uma fu nção afim, bem como os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Além disso, você também aprendeu como obter o gráfico de uma função e os respectivos conceitos de coeficiente angular e linear de uma reta. Por fim, agora você é capaz de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente.

Sem medo de errar! Após o estudo de função e função afim, vamos resolver a primeira situaçãoproblema apresentada ao João? Vamos relembrar! A empresa Andetaxi cobra a cada quilômetro R$ 3,00. Daí temos que para x quilômetros a expressão será 3x. Como há também o valor fixo da bandeirada que é de R$ 6,00, a função para esta empresa é y = 3x + 6, onde y é o preço e x o número de quilômetros rodados. Já a empresa Voudetaxi não c obra a bandeirada, então a função desta empresa é y = 4x.

Desse modo, temos a resolução:

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Andetaxi: y= 3x + 6; ou seja, y= 3. (8) + 6, logo y= 30. Pela empresa Andetaxi a corrida custaria R$ 30,00.

Voudetaxi: y= 4x; ou seja, y= 4. (8), logo y= 32. Pela empresa Voudetaxi a corrida custaria R$ 32,00. Portanto, a solução mais econômica para essa corrida é a empresa Andetaxi.

Construindo o gráfico da função afim para análise, podemos concluir que:



O valor mais econômico será: Empresa Andetaxi = quando a quilometragem for maior que 6 km Empresa Voudetaxi = quando a quilometragem for menor que 6 km



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Os dois planos serão equivalentes quando a quilometragem percorrida for igual a 6 km. O ponto de interseção entre as retas é o (6,24), pois de 3x + 6 = 4x temos x= 6. Isso quer dizer que as duas empresas cobram o mesmo valor quando a viagem for de 6 km. Então I= (6, 24) é o ponto de interseção entre as duas funções.

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Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.

Movimento das Tartarugas Marinhas 1. Competência Fundamentos de área

de

2. Objetivos de aprendizagem Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações 3. Conteúdos relacionados

Função Afim Inúmeros são os modelos matemáticos criados para compreensão de situações diversas. O gráfico abaixo ilustra a representação de uma função matemática empregada por um determinado biólogo para análise do movimento de algumas tartarugas marinhas que aparecem em determinada região litorânea em certos períodos do ano para reprodução. Para fazer esta representação o biólogo considerou que estes animais movem-se no plano a partir de um certo ponto P (aos 150 metros distante da borda oceânica), para outro ponto Q (distante de P, em linha reta, 230metros). Além disso, considerou s como a distância (em metros) e t como o tempo (em horas). Observando o modelo construído:

4. Descrição da SP a) Qual a função matemática descreve este movimento? Como essa função é nomeada? b) Em que posição as tartarugas estarão após decorridas duas horas? c) De acordo com o gráfico, podemos afirmar que este biólogo iniciou sua análise quando as tartarugas emergiram do mar? Justifique sua resposta. d) Qual o tempo gasto para as tartarugas chegarem ao ponto Q? Solução do problema: a) Temos (5, 400) e (0, 150) dois pontos do gráfico. Como temos uma reta, sabemos que b=150 é o coeficiente linear. Sabemos ainda que y=ax+ b, substituindo y por s e x por t temos: S=at+b , uma função denominada afim. b) Quando t=2 5. Resolução da SP: c) De acordo com o gráfico representado, a análise deste biólogo não teve início quando as tartarugas emergiram do mar, mas sim, quando estes animais já distavam 150 metros da borda marítima. d) Como o ponto Q dista 230 metros do ponto P. Q= 150+230 → Q=380 Disto, 380= 50t +150 → 50t=380-150→ t= t= + t= 4 horas e 36 minutos.

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Faça valer a pena! 1. Seja a função

definida por do domínio que tem 5 como imagem?

. Qual é o elemento

a) 6 b) 4 c) 1 d) 5 e) 7

2.  Carolina

tem uma grande fazenda em Minas Gerais. A fazenda dela pode ser dividida em dois grupos distintos. Seja A= {vaca, cavalo, galinha, gato} o grupo que contém os animais da fazenda e B = {ovo, leite, capim, milho, ração} o grupo dos derivados e alimentação dos animais. Associe os elementos do grupo A com seu respectivo no grupo B. Com base nessa análise, determine se tal relação pode ser definida como uma função.

3.  Seja

a função respectivamente:

. Determine o coeficiente linear e angular,

a) 6 e 9 b) 3 e 7 c) 7 e 1 d) 6 e 9 e) 0 e 7

4.  Determinado

pesquisador mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Para esta análise marcou pontos em sistema de coordenadas cartesiano, e, desta forma, obteve a curva descrita abaixo.

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Considerando que essa relação entre tempo e altura foi mantida, podemos observar o gráfico representado e afirmar que a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a: a) 5 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 15 cm e) 30 cm

5. Determinada

empreiteira fornece um desconto de 3% sobre o valor de certa prestação de serviço. A função que representa o valor a ser pago é: a) f(x)= x-3 b) f(x)= 0,97x c) f(x)= 1,3x d) f(x)= -3x e) f(x)= 1,03x

6. Na

fabricação de determinado artigo verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Determine: a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida. b) o gráfico dessa função

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c) o custo de fabricação de 15 unidades

7. Um instalador de linhas telefônicas recebe um salário base de R$ 700 e R$

6,00 a cada instalação. Considerando x a quantidade de linhas telefônicas instaladas, a função f que expressa o salário mensal desse instalador é: a) f(x)= 700x + 6 b) f(x) = -6x + 700 c) f(x) = d) f(x) = 6x + 700

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Seção 1.2 Função Quadrática

Diálogo aberto Na seção anterior deste livro tivemos contato com o universo das funções e função afim, observamos sua singular importância no mundo da matemática já nas definições introdutórias. A proposta desta seção é apresentar a você o estudo de outro tipo específico de função, a função quadrática.

Dica

Você pode encontrar o estudo desta função mais detalhadamente em livros de Matemática do ensino fundamental e médio. Pesquise também no site . Acesso em: 21 jun. 2015.

Lembre-se

O estudo da função quadrática é encontrado na história dos babilônicos há cerca de 4.000 anos. Outros povos também ofereceram uma contribuição para a formação da álgebra, de forma que a representação atual da equação de segundo grau é ax2+bx+c = 0, com a não nulo, onde o valor de x é desenvolvido pela fórmula atribuída por muitos a Bhaskara: .

É importante saber reconhecer quais conceitos matemáticos resolvem os problemas do nosso cotidiano, ou seja, para resolver um determinado problema devemos saber qual é o modelo matemático adequado.

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Para tanto, realizaremos um estudo sobre funções quadráticas, pois elas apresentam diversas aplicações no cotidiano, como em situações relacionadas à Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; à Administração e Contabilidade, relacionando as funções custo, receita e lucro; e à Física e Engenharia, envolvendo movimento uniformemente variado, assim como nas diversas construções, medições e aplicações na resolução de diversos problemas relacionados a área. Assim, a leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre a função quadrática, abordando os termos que envolvem as características notáveis e suas propriedades. A segunda situação-problema apresentada pela empresa para o estagiário foi a seguinte: A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

Reflita

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Conceito e propriedades da função quadrática. Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função quadrática, na forma algébrica e calcular o valor do ∆ e da coordenada x do vértice da parábola. Podese representar a função graficamente para melhor compreender a situação-problema.

Não pode faltar A função quadrática, também nomeada função polinomial do 2º grau, é definida a partir de: f de R em R, dada na forma: f(x)=ax 2+b+c com a, b e c pertencentes ao conjunto dos números reais, onde a ≠ 0. Vale salientar que o domínio desta função é o conjunto dos números reais e a representação de seu gráfico é a curva conhecida como parábola. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 e f(x) = x 2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1.

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Atenção!

Seu gráfico é sempre uma parábola, onde sua concavidade é definida pelo valor de a, se temos a > 0, sua concavidade é voltada para cima, se a<0, sua concavidade é voltada para baixo. Vamos estudar mais sobre esse assunto adiante. Figura 1.1 | Gráfico de função do 2º grau

Fonte: . . Acesso em: 16 maio 2015

Cálculo das Raízes da função quadrática

Chamamos de raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau dado por: ! ! # " $# $ % %#  %  % &, a≠0, os números reais x que satisfazem sat isfazem f(x) = 0, ou seja, os valores da abscissa x que tornam y nulo. A descrição que nos p ermite obter as raízes é da forma: !

, tal representação é denominada como fórmula de bhaskara. Para cálculo das raízes representadas por x’ e x” temos: , Onde:

∆

!

e

%$ & '$& '$&

Assim, denominamos discriminante o radical letra grega ∆ (delta).

b2

- 4 ac que é representado pela

O discriminante deve ser considerado para a análise gráfica da função. A Figura 1.2 nos informa como ∆ influencia os pontos (x’ e x”), de interseção entre a curva nomeada parábola e o eixo das abscissas, quando a>0.

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Figura 1.2 | Estudo das raízes

Fonte: . Acesso em: 16 maio 2015

Assimile

Ao analisar a Figura 1.2, você pode concluir que: I. No primeiro gráfico, onde ∆! #, a função não apresenta raízes reais. A parábola não toca em nenhum ponto do eixo das abscissas. II. No gráfico onde temos ∆$ #, a função apresenta raízes reais e iguais; logo: x’=x”. A parábola tangencia o eixo x. III. Já no terceiro gráfico, em que ∆% #, a função contém raízes reais e diferentes, logo x’ ≠ x”. A parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.

Vértice da parábola O vértice é representado pela letra V, é o ponto que pertence à interseção do eixo de simetria com a parábola; este ponto pode ainda ser observado como o ponto mínimo ou o ponto máximo. Isso depende da posição da concavidade da parábola. Observe na Figura 1.3, podemos calcular o vértice da parábola através das expressões: Xv =

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ou yv =

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Figura 1.3 | Vértice de uma função quadrática

Fonte: . Acesso em: 16 maio 2015

Vale lembrar que o conjunto de pontos que descreve a parábola é simétrico em relação à reta que contém o vértice V (Xv, Yv), esta reta é o eixo de simetria.

Reflita

Conjunto imagem da função quadrática.

O conjunto imagem da função definida por y = ax 2 + bx + c com a ≠0 é o conjunto composto pelos valores que y pode assumir. I. Se o coeficiente

, podemos

afirmar que  !   " ! $ " assume valores maiores ou iguais à ordenada (Yv) do vértice, se o coeficiente “a” é maior que zero.  "

II. Se

, afirmamos que y= f(x)

assume valor menor ou igual à ordenada (yv) do vértice.

Construção da parábola!

O gráfico é construído a partir da definição de pares (x,y). Entretanto, podemos destacar: I. As raízes, quando existem, podem ser facilmente obti das utilizando a equação de bhaskara já indicada e podem ser observadas no gráfico, pois são os valores das abscissas dos pontos (x,0) em que a parábola intercepta o eixo 0x.

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II. O vértice V nos indica o máximo ou mínimo da parábola, sendo o ponto de interseção da parábola com o eixo de simetria; Sua coordenada do pode ser identificada utilizando !

#

$.

III. A concavidade pode ser observada no formato característico da parábola  !  ! "# % & $#  & % pelo coeficiente a. Vale salientar que: O coeficiente c presente na função polinomial do 2º grau, dada por  ! ! "# % & $#  & %, é o valor da interseção da parábola como eixo y.

Exemplificando

Como representar o gráfico da função quadrática dada por y = -x2+2x+3?

I. Definindo a concavidade da parábola. Temos a = -1, como a < 0 a concavidade é para baixo.

II. ∆ pode ser obtido por ∆ ! $% ' ("% ∆ ! !%$% '

(!')$!*$

∆ ! # $ %& ! %'

III. Cálculo das raízes.

IV. Assim, por meio de vértice V.

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encontramos o

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V. Esboçando a parábola.

Estudo de sinal

Considere uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c para determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo, devemos considerar o sinal ∆ = b2 - 4ac. Pode-se observar os seguintes casos: 1º. ∆

>0

Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x 1 ≠ x2). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos da Figura 1.4:

Figura 1.4 | Estudo de sinal

Fonte: . Acesso em: 16 maio 2015

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2º. ∆

=0

Nessa situação a função terá duas raízes reais iguais (x 1 = x2). A parábola tangencia o eixo das abscissas e o sinal da função y=f(x) é descrito.

Figura 1.5 | Estudo de sinais

Fonte: . Acesso em: 16 maio 2015

3º. ∆< 0 Quando ∆ ! # a função não admite raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x. O sinal que y=f(x) assume é único e pode ser observado na Figura 1.6.

Figura 1.6 - Estudo de sinais

Fonte: . Acesso em: 16 maio 2015

30

Funções

U1

Pesquise mais

Você pode observar a construção da parábola nos exemplos apresentados no site: . E também encontrar diversas atividades envolvendo funções polinomiais do 2º grau em: . Acesso em: 16 maio 2015.

Faça você mesmo

Sendo f(x) = - x2 + x + 6, esboce seu gráfico, determine suas raízes e coordenadas do vértice, classifique o y do vértice como valor máximo ou valor mínimo da função.

Sem medo de errar Após o estudo de função quadrática, vamos resolver a segunda situaçãoproblema apresentada ao João? Vamos relembrar! A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

Solução: Considerando x uma das dimensões do retângulo em que haverá a construção, podemos representar a área do galpão por: x 30-x

x.(30 – x) ou –x2+ 30x

Funções

31

U1

Para determinarmos as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, no intuito de obter área máxima, basta calcular o valor do vértice x da parábola, dado x = -

.

Sendo f(x) = -x2+ 30x, 0 < x < 30, o valor máximo de f(x) é obtido para

x=-

=-

= 15

Portanto, as dimensões do retângulo serão 15 m e 15 m.

Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.

Trajetória da Bola 1. Competência Fundamentos de área

de

2. Objetivos aprendizagem

de Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações

3. Conteúdos relacionados

Função Quadrática Matemáticos buscaram descrever a trajetória de uma bola de futsal atirada para cima por um determinado jogador, em um momento do jogo observado. Para isso, levantaram os dados necessários e tomaram como referência o sistema de coordenadas cartesiano. Verificaram que a trajetória descrita poderia ser analisada por meio da função h(t)=

4. Descrição da SP

, onde t indica o tempo, dado em décimos

de segundo, e h(t) representa a altura em metros. Considerando esses dados: a) Represente o gráfico que descreve a trajetória da bola analisada. b) Qual deve ser a altura máxima atingida pela bola em relação ao eixo horizontal? c) Em quanto tempo a bola atinge a altura máxima? d) A bola atinge o solo após quanto tempo do lançamento?

32

Funções

U1

Resposta: a)

5. Resolução da SP

h(t)= Raízes: Vértice:

,

b) A altura máxima é observada pela ordenada do vértice. , Portanto, a altura máxima atingida pela bola nesta trajetória é 15 metros. c) A altura máxima é observada pela abscissa do vértice. . Aos 30 décimos de segundo, a bola atinge a altura máxima. d) A raiz indica que Podemos fazer ainda y=0, em h(t)=

0=

, logo t’=0 e t”=60 Portanto, após decorridos 60 décimos de segundos, a bola atinge o solo.

Faça valer a pena 1.  A

balança comercial de um país é determinada pela diferença entre o valor monetário das exportações e importações. Tendo em vista este entendimento e os dados atualizados, suponha que alguns analistas financeiros representem a balança comercial de um país no ano de 2013 por meio da função V(t)= t 2 -7t +6, onde t representa o tempo em mês, variando de janeiro t=1 a dezembro t=12. Sendo o intervalo ]0,1] o período de janeiro, ]1,2] o período de fevereiro e assim sucessivamente. Considerando esses dados, deseja-se saber: a) Qual deve ser o gráfico desta função. b) Em que período(s) do ano a balança comercial foi nula? c) Podemos dizer que houve superávit comercial em outubro de 2013? (Dizemos que houve superávit comercial quando o valor da balança

Funções

33

U1

comercial de um país é positivo.) d) Em algum período de 2013 houve déficit na balança comercial? (Dizemos que houve déficit quando a balança comercial é negativa.) 2. O

número de pedidos na pizzaria Bela Dona, das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em Jundiaí, é dado por f(t) = – t ² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de pedidos nesse período do dia foi de: a) 0. b) 15. c) 9. d) 18. 3. Determine

os valores de m para que a função f(x) = -x 2 -4x – (-m +1) assuma valores negativos para todo x real. a) m< 3 b) m> 3 c) m < 2 d) m< -3 4. Dada

a função y= - x 2 +x+6, determine as raízes e as coordenadas do

vértice. 5. Considerando

a equação da questão 4, determine agora a classificação do Yv (valor máximo ou valor mínimo da função) e a interseção da curva com o eixo y. a) ½ e (6,0) b) 5/7 e (3, 2) c) 25/4 e (0,6) d) 4/25 e (0,6) 6.  Uma

empresa vai lançar no mercado um produto novo. O material usado para confecção desse produto fabricado pela empresa tem um custo de R$ 20,00. A empresa pretende colocar cada produto à venda por x reais e, assim, conseguir vender (80 - x) produtos por mês. Assim, para

34

Funções

U1

que mensalmente seja obtido um lucro máximo, qual deve ser o preço de venda do produto? a) 60. b) 70. c) 100. d) 50. que a função y= (3m-9).x2 -7x +6 seja quadrática, o parâmetro m deve ser: 7. Para

a) m = 3 b) m ≠ 3 c) m ≠ 4 d) m ≠ 1/3 e) m = 1/3

Funções

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U1

36

Funções

U1

Seção 1.3 Função Exponencial e Logarítmica

Diálogo aberto Ei, aluno! Está pronto para mais uma seção de autoestudo? Após estudarmos as funções afim e quadrática, agora chegou a hora de relembrarmos ou conhecermos a função exponencial e a função logarítmica. Anime-se!

Dica

As funções exponencial e logarítmica são funções muito importantes, pois explicam muitos acontecimentos naturais, sendo assim ferramentas imprescindíveis para físicos, matemáticos, químicos, biólogos e também para engenheiros.

Lembre-se

A função exponencial y = ℮x aparece na descrição de vários fenômenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre outros. A função logarítmica permite cálculo de amplitude, nível de energia liberada por um abalo sísmico, temos como exemplo a Escala Richter. Veja mais em: . Acesso em: 16 mai. 2015. Nesta seção você vai ficar sabendo de diversas aplicabilidades dessa fantástica ferramenta matemática. O estudo deste tema irá fazer com que você passe a

Funções

37

U1

compreender o quanto as funções logarítmicas e as exponenciais são importantes para o desenvolvimento de outras áreas do conhecimento. Também irá aprender as condições de existência, as principais propriedades e resolver várias questões relacionadas a estes conhecimentos. No processo seletivo, a empresa multinacional queria saber se João sabia resolver situações-problema de juros compostos. Por exemplo, foi perguntado ao João se ele saberia afirmar em quanto tempo um capital é duplicado quando aplicado a uma taxa de 2,2% ao mês em juros compostos.

Reflita

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Conceito e propriedades da função exponencial e logarítmica. Interpretar, analisar e resolver o problema fazendo uso das funções exponencial e logarítmica. Relembre como resolver equações exponenciais e logarítmicas para melhor compreender as funções. http://www.infoescola.com/ matematica/equacao-exponencial/ e http://www.matematicadidatica. com.br/EquacaoLogaritmica.aspx. Acesso em: 16 mai. 2015.

Não pode faltar! Chama-se função exponencial a função f de R em apresentada pela forma característica, em que a é um número real positivo e diferente de um. •

Definição:

é exponencial se a >0 e a≠1.

Atenção!

A função g(x)= k.a x, onde k é uma constante, é do  tipo exponencial.

Aqui devem ser asseguradas as propriedades para quaisquer expoentes k e x pertencentes aos reais: 1)

38

Funções

U1

2) 3) a 0 = 1 4) Duas são as possibilidades quando o valor do expoente k é menor que x (k
se a base a é maior que um (a>1)

Exemplo: Quem é maior, 22 ou 23? Temos então 22 < 23.

b) teremos "

!

se o escalar base(a) assumir um valor entre zero e um (

Exemplo: Quem é maior, ( )2 ou ( )3? Temos Vale destacar que as condições de existência de f(x)= , como exponencial, determinadas por a>o e a ≠1, são estritamente necessárias, uma vez que, •

•

•

Se a <0, o número real a x pode não ser real. Podemos observar isto, no caso , onde temos um valor para f(x) não definido no conjunto dos Reais. Isso porque esse valor é a raiz de um número negativo. (-5)1/2 =

Se temos a = 0 e expoente

Se acontecer a=1, para todo x Є R, a função dada por será uma função constante e, portanto, não assume a forma definida de uma exponencial.

Representações gráficas

Podemos analisar, pela definição já apresentada de uma função exponencial, alguns apontamentos para funções cuja forma seja . Se a base a é diferente de um e maior que zero desta função é sempre positiva Para

a imagem

teremos as seguintes construções geométricas:

Funções

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U1

Figura 1.1 | Função Exponencial

Fonte: Disponível em: Acesso em: 16 mai. 2015.

http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm.

Reflita

Nos dois gráficos representados pela Figura 1.1, observamos dois tipos de comportamentos: uma função crescente e outra decrescente. Isto decorre por ser a>0 e a≠1. Permitindo duas situações distintas no intervalo Real maior que zero e diferente de um: a>1 ou 0
As funções exponenciais também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se! Segundo a definição da função exponencial, definida por , temos que e . Se temos uma função exponencial crescente, ou função de crescimento exponencial, qualquer que seja o valor real de x. No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.

Figura 1.2 | Função crescente

a > 1, f é crescente Fonte: Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcaoexponencial/. Acesso em: 16 mai. 2015.

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Funções

U1

Se temos uma função exponencial decrescente, decaimento exponencial, em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.

Figura 1.3 | Função decrescente

a < 1, f é crescente Fonte: Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/funcaoexponencial/. Acesso em: 16 mai. 2015.

Assimile

Note também que, independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), além de nunca cruzar o eixo das abscissas. ᴫ

Função exponencial com base ℮

O ℮  é um irracional transcendente (como o π). A representação do número 2,718281828459... pela letra ℮ surgiu, pela primeira vez, no século XVIII, com Euler. Esta designação conserva-se como homenagem a este matemático, embora o número seja chamado Número de Neper. Neper não se apercebeu da importância do número ℮. Só um século depois, com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer o papel relevante deste número Saiba mais em: . Acesso em: 21 mai. 2015.

Funções

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U1

Exemplificando

A Fig. 1.4 apresenta um exemplo de função exponencial Figura 1.4 - Exemplo do gráfico da função exponencial

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

A função exponencial y = ℮  aparece na descrição de vários fenômenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre outros. Veja mais em: . Acesso em: 21 mai. 2015. !

Função Logarítmica

Os logaritmos são extremamente úteis para resolver problemas que ocorrem em situações diversas, como na economia, previsão de enchentes, crescimento

42

Funções

U1

populacional, abalos sísmicos, entre várias outras. O seu uso é de fundamental importância para encontrar a solução de um problema. Então, é importante compreender a função logarítmica e entender suas propriedades, pois são elas que serão usadas na solução de diversas situações. Toda função que obedece à lei de formação , definida por , satisfazendo as condições de existências (0
Reflita

Propriedades 1º) Dizemos que uma função logarítmica, é crescente, quando obedece à seguinte condição b>1. Exemplo:

Considere x, y > 1 e x > y então

. Assim 3 > 2

⇒

2º) Dizemos que uma função logarítmica, é decrescente, quando obedece à seguinte condição 0
Diferentemente do que foi mencionado na observação anterior, temos: 4>3⇒

Gráficos Função logarítmica crescente Dada a função

, com b>1 o gráfico é representado por:

Funções

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U1

Figura 1.5 | Função logarítmica crescente

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 21 mai. 2015.

Função logarítmica decrescente Dada a função

, com 0 < b < 1 o gráfico é representado por:

Figura 1.6 | Função logarítmica decrescente

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 21 mai. 2015.

Assimile

Principais características do gráfico A partir do gráfico é possível destacar:

1°) O gráfico está à direita do eixo das ordenadas, ou seja, o eixo y; 2°) O ponto (1,0) pertence ao gráfico da função.

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Funções

U1

A outra base muito utilizada é e. O logaritmo em base e é chamado de logaritmo natural  de  x, denotado por ln  x e definido como sendo a função inversa de e , ou seja, o logaritmo natural de  x, escrito ln  x, é a potência de e necessária para obter  x. Em outras palavras, lnx = c significa que e =  x. Veja que “e” é outra base para o logaritmo, que possui uma denominação especial, mas que possui exatamente as mesmas propriedades já apresentadas. A Figura 4.4 apresenta o gráfico da função exponencial e x e lnx.  x

c

Figura 1.7 | Gráfico da função exponencial ex e sua inversa lnx

Fonte: Extraído de Stewart (2011, p. 56).

Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o exemplo inicial desse tema.

Pesquise mais

Saiba mais sobre mudança de base e propriedade dos logaritmos em http://www.infoescola.com/matematica/definicao-e-propriedades-doslogaritmos/. Acesso em: 21 mai. 2015.

Faça você mesmo

Sendo f (x) = 3x esboce seu gráfico e classifique a função em crescente ou decrescente.

Funções

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U1

Sem medo de errar!

Vamos relembrar! Em quanto tempo um capital é duplicado quando submetido a uma aplicação de juros compostos com taxa de 2,2% ao mês? A resposta correta é dois anos, sete meses e vinte e seis dias. Tente resolver esse problema usando a fórmula para cálculo de juros compostos. Usando a fórmula para juros compostos M=C(1+i)t, tem-se: M = 2C, o montante será duas vezes o capital (C). i = 0,022, é a taxa de juros. t = ?, é a incógnita e que se deseja descobrir – o tempo para que a aplicação duplique (esta será dada em meses, afinal a taxa de juros é ao mês). M=C(1+i)t

⇒

2C = C(1+0,022)t

⇒

2C = C(1,022)t

 2 = 1,022t

⇒

Chegamos à seguinte situação: 2 = 1,022t. Mas, e agora? t é um expoente e é possível perceber que esse expoente deve ser o valor adequado para tornar a base (1,022) igual a 2. Você aprendeu a calcular um número elevado a um expoente que varia (ou seja, altera seu valor) em funções exponenciais, não é? Esse cálculo é facilmente efetuado com o uso de uma calculadora científica usando a função de expoente. No entanto, para encontrar o valor que o expoente deve ter para que um determinado resultado ocorra, como no exemplo 2 = 1,022t, o cálculo deve ser feito por meio de logaritmos. Nesse ponto é possível aplicar as propriedades de logaritmos e há duas formas de resolver: 1) Mudança de base - pela definição de logaritmos log ax = y 1,022, x = 2 e y = t. Portanto,

⇔

ay = x, tem-se a=

t = 31 meses e 26 dias ou 2 anos, 7 meses e 26 dias. 2 = 1,022t

 log2 = log1,022t

⇒

2) Aplicar log nos dois lados da equação – sempre é possível resolver uma equação

46

Funções

U1

efetuando a mesma operação em ambos lados da igualdade, certo? Logo, 2 = 1,022t

⇒

 log2 = log1,022t e pela propriedade (3), pode-se escrever

log2 = t log1,022 que chegará na mesma divisão da solução anterior, portanto t = 31,85 meses ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.

Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro. Crescimento de bactéria e Tempo médio árvore

1. Competência Fundamentos de área

de

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações

3. Conteúdos relacionados

Função Exponencial e Logarítmica 1) Em uma pesquisa realizada constatou-se que a população P de determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t)= 25.2 t, onde t está medido em horas. O tempo que essa população atinge 400 bactérias é de: a) 3 horas b) 4 horas c) 6 horas

4. Descrição da SP

d) 8 horas 2) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde o plantio, segundo o seguinte modelo matemático: h(t)= 1,5 + log 3 (t+1) com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento do plantio até o do corte foi de: a) 9 anos b) 8 anos c) 7 anos d) 5 anos

Funções

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U1

Resposta: 1) 25.2t =400 2t = 2t = 16 2t = 24

5. Resolução da SP:

t= 4 horas, portanto letra b. 2) Resposta: 3,5 = 1,5 + log3(t+1) log3(t+1) = 3,5 -1,5 log3(t+1) =2 32 = t+1 t= 8 anos

Faça valer a pena! 1. O

domínio da função y = log3 (x – ½) é:

a) D ={ x ЄR/ x >

}

b) D ={ x ЄR/ x > 1 } c) D ={ x

ЄR/

x<

}

d) D ={ x

ЄR/

x > <1 }

e) D=R

2.  Função

logarítmica é toda função f(x) = log b x, ou seja, que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x. Com relação ao gráfico desta função podemos afirmar que: a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,1). b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes I e III. c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x 1 > x2). d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x 1 < x2).

3. 

O professor Notlia, responsável pelo departamento de ideias criativas da faculdade “Aprendendo o que se vive”, solicitou aos seus alunos que criassem uma

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Funções

U1

calculadora que resolvesse a seguinte equação: 2 x = 3. Dessa forma, para que os alunos possam obter um valor aproximado de x, devem criar uma calculadora que possua em sua programação os valores das seguintes teclas: a) log 3, log2 e log3.log2 b) log 3, log2 e log3:log2 c) 2.log 3, log2 e log3-log2 d) log 3, log2 e log3+log2

4. Em

certo experimento, pesquisadores, ao investigar o desenvolvimento de uma cultura de bactérias, constataram que esta população cresce segundo a expressão , em que N(t) representa o número de bactérias e t indica o tempo observado em horas. Considerando que foi verificada a existência de um nível crítico, que é quando a cultura atinge 98304 bactérias, qual será o tempo necessário para que o número de bactérias alcance esse nível? a) 2 horas e 30 minutos b) 3 horas c) 4 horas e 20 minutos d) 5 horas e) 6 horas

5. Juliana

tem duas lojas de roupa A e B, cada uma localizada em um shopping da cidade. O faturamento y de certo produto vendido na loja A pode ser descrito pela função y= 10.3 em que x representa a quantidade de meses desde a inauguração da loja. A loja B vende o dobro da loja A a cada mês. Sabendo que ambas as lojas inauguradas no final de setembro (x=0), em qual final de mês as duas lojas juntas venderam R$ 21870 do produto? !

a) junho b) fevereiro c) julho d) março

Funções

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U1

6. 

As funções matemáticas englobam um tema muito importante no nosso

cotidiano, uma vez que através delas podemos criar modelos matemáticos, que descrevem várias situações. Sabendo que a população inicial de uma cidade é 19000 habitantes e que sua população estimada, para daqui a x anos, por f(x) = (20 -

).

1000 habitantes. Podemos afirmar, de acordo com esta função, que essa população durante o 3º ano, comparada à população inicial: a) aumentará 19875 habitantes b) aumentará 750 habitantes c) aumentará 875 habitantes d) aumentará 500 habitantes

7. Uma das aplicações das funções exponenciais é o

cálculo da pressão atmosférica. Supondo que de acordo com alguns pesquisadores a pressão atmosférica P seja dada pela função em que h represente a altitude nas proximidades da superfície de Marte. Escreva V caso a alternativa seja verdadeira e F se for falsa: a) ( ) Esta função nos indica que quanto maior a altitude, maior será a pressão. b) ( ) Esta função informa que quanto maior for a altitude h, menor será a pressão. c) ( ) A pressão atmosférica será nula quando a altitude é zero. d) ( ) Em determinada altitude podemos observar a pressão negativa.

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Funções

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Seção 1.4 Funções Trigonométricas Diálogo aberto Nas seções anteriores estudamos o que é função e os diferentes tipos de função: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Agora iremos aprender sobre as funções trigonométricas, utilizadas em várias áreas do conhecimento, como: astronomia, geografia, engenharia, física, topografia, etc. Vamos lá? Vêm aí agora as funções trigonométricas!

Lembre-se

Você lembra do significado da palavra trigonometria? A palavra vem do grego, formada por três radicais: tri (três), gonos (ângulo) e metron (medir). Assim, trigonometria significa a medição dos três ângulos. A Trigonometria é utilizada na resolução de problemas geométricos que relacionam ângulos e distâncias. Encontramos registros na história que datam de 1.500 anos a.C., onde os matemáticos utilizavam a razão entre a sombra projetada no solo de uma vara vertical e a comparavam com a sombra de uma pirâmide, relacionando o comprimento das sombras com as horas do dia. Além do Egito, outros povos contribuíram para o desenvolvimento da trigonometria: chineses e os babilônios. No Egito, os matemáticos utilizavam um instrumento conhecido como “mgrona” utilizado para medir ângulos, e era utilizado durante as construções de pirâmides. Nos dias de hoje os engenheiros utilizam um aparelho chamado Teodolito.

Dica

Para o estudo sobre Funções Trigonométricas é importante que você relembre ou, se necessário, faça uma pequena revisão sobre as razões trigonométricas do Triângulo Retângulo. Veja em http://www. somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes2.php. Aproveite!

Funções

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U1

A leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre as funções trigonométricas, pois tratará de termos que envolvem as características notáveis e suas propriedades. Também no processo seletivo, a empresa multinacional apresentou a seguinte situação-problema sobre o PIB (Produto Interno Bruto) para João: (FVG-SP-adaptada) O PIB é um dos indicadores mais utilizados na macroeconomia com o objetivo de quantificar a atividade econômica de uma região. Considere que o PIB (Produto Interno Bruto) de um país, em bilhões de dólares, é dado pela equação: P(x)= 800 + 50x + 40.sen ( ! ), onde, x=0 corresponde ao ano de 1998 x=1 corresponde ao ano de 1999 x= 2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante Qual será o PIB do ano de 2018? E agora, como João pode resolver este problema?

Reflita

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Conceito e propriedades da função trigonométrica. Interpretar, analisar e resolver o problema fazendo uso das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, assim como de suas equações.

Não pode faltar! Função trigonométrica

Vamos avançar em nossos estudos, agora iremos trabalhar com as Funções Trigonométricas. Mas você lembra a definição de função?

Assimile

Função é a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação. Existem diferentes tipos de funções: Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Logarítmica, Função Exponencial

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Funções

U1

e Função Trigonométrica e etc. São exemplos dessas funções: f(x) = x + 1

f(x) = x² +2

f(x) = log x

f(x) = 2

x

A função trigonométrica possui como característica as razões trigonométricas, como, por exemplo: f(x)= sen x, f(x)=cos x, f(x)= tg x. O domínio desta função são os números reais, ou seja, a função associa cada número real ao seno, ao cosseno ou à tangente etc. São denominadas Funções Trigonométricas as funções que envolvem as relações do triângulo retângulo em função de um determinado ângulo.

Pesquise mais

Para saber mais sobre essas relações, reveja trigonometria no triângulo retângulo no link  http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/ razoes.php. Acesso em: 21 mai. 2015.

Em nosso cotidiano encontramos diferentes fenômenos que se repetem após um determinado intervalo, como, por exemplo: dias da semana, meses, horas, fases da Lua, altura das marés, da radiação eletromagnética, dos pêndulos, das molas etc. As funções trigonométricas representam tais fenômenos, por serem funções periódicas, para isso imagine um ponto movendo-se por todo o ciclo trigonométrico. A projeção deste ponto sobre o eixo vertical “y” ou sobre o eixo horizontal irá compor o movimento periódico. Para entender melhor, vamos estudar um pouco sobre o ciclo trigonométrico! No ciclo trigonométrico, consideramos uma circunferência com o centro “0” com um raio unitário, ou seja, com a medida igual a 1, com dois eixos perpendiculares: um vertical e outro horizontal, cruzando no ponto (0,0), formando assim quatro quadrantes: Q1, Q2, Q3 e Q4.

Funções

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U1

Figura 1.1 | Ciclo trigonométrico

Fonte: Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9 trico&espv=2&biw=1. Acesso em: 21 mai. 2015.

A medida utilizada no ciclo trigonométrico será através dos arcos ou ângulos. Seja um ciclo marcado com dois pontos: A e B, imagine que este ficou dividido em dois arcos AB e BA:

Figura 1.2 | Ciclo trigonométrico

Fonte: Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9 trico&espv=2&biw=1. Acesso em: 21 mai. 2015.

Se os arcos AB coincidem são chamados de arco nulo, de medida 0°, um arco completo possui 360º graus e 1° grau é igual

ou 60’ minutos. Já a medida em

radianos envolve a razão entre o comprimento e raio da circunferência, ou seja: .

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Funções

U1

Figura 1.3 | Ciclo trigonométrico: Graus e Radianos

Fonte: Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9tr ico&espv=2&biw=1. Acesso em: 21 mai. 2015.

Exemplificando

Assi m 2 correspo nde a 3 60º. Agora vam os lemb rar como é feita a conversão radianos para graus e graus para radianos. Vamos converter para graus, para isso vamos utilizar regra de 3; sabendo que

é igual a 180º, teremos:

........ 180 ......... x x

= 180.

(cancelar r.rad)

x = 180. x = 120° Então

, correspondem a 120°

Reflita

Vamos agora transformar 120º em de três a partir do pressuposto de que

, novamente utilizando regra corresponde a 180°.

Funções

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U1

........ 180 X

......... 120°

180.x = 120. x= x= Então 120° correspondem a

.

No círculo trigonométrico é possível fazer a leitura das razões trigonométricas: seno, cosseno e da tangente, para um ângulo tendo como raio uma unidade, tem-se um ponto “P” , cujas coordenadas são (a,b), sendo “a” projetado no eixo das abscissas “x” e “b” projetado no eixo das ordenadas “y”, formando um triângulo retângulo, teremos:

Figura 1.4 | Círculo trigonométrico

Fonte: Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9 trico&espv=2&biw=1. Acesso em: 21 mai. 2015.

Pesquise mais

Para ampliar seus conhecimentos, pesquise mais sobre arcos côngruos e ciclo trigonométrico. Veja o link http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-umavolta.htm. Acesso em: 21 mai. 2015.

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Funções

U1

Vamos agora estudar as funções seno, cosseno e tangente!

Função Seno Observe o ciclo trigonométrico. Para fazer a leitura das razões do seno, teremos como base o eixo vertical, e lembrando que a hipotenusa vale uma unidade, portanto a razão do seno será o mesmo valor da ordenada “b”, ou seja, será o mesmo da medida do cateto oposto: Sen

=

Sendo assim, o eixo vertical, correspondente à ordenada é identificada como seno de e a representação gráfica da função seno, se repete no intervalo de 0 a e 2π rad ou de 0° a 360°: A representação gráfica da função seno será uma curva denominada como senoide e possui as seguintes características: 

Domínio pertence ao conjunto dos números Reais;



Periodicidade de 2π rad;



Imagem será entre [1,-1];



Valor máximo igual a “1” e mínimo igual a “-1”;



A amplitude será igual a 1;



Sinal positivo no 1º e 2° quadrantes;



Sinal negativo no 3º e 4º quadrantes

Para construir o gráfico f(x)= sen x, atribuímos valores de x - assim determinamos os valores correspondentes às razões trigonométricas:

Tabela 1.1 | Função Seno

Ângulos

f(x) = sen x

(X, Y)

0 π ou 0°

f(x) = sen 0

0

 ou 90º

f(x) = sen 90

1

 ou 180°

f(x) = sen 180

0

 ou 270º

f(x) = sen 270

-1

 ou 360°

f(x) = sen 360

0

Fonte: O autor (2015)

Funções

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