Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 17
1) lím (7 − 2 x ) = lím 7 − lím 2 x x →2
x →2
x →2
= lím 7 − 2 lím x x →2
x →2
= 7 − 2(2) lím (7 − 2 x ) = 7 − 4 = 3
x →2
2) lím (4 x 2 − 2 x − 6) = lím 4 x 2 − lím 2 x − lím 6 x →3
x →3
x →3
x →3
= 4 lím x 2 − 2 lím x − lím 6 x →3
x →3
x →3
= 4[3]2 − 2[3] − 6 = 4(9) − 6 − 6 lím (4 x 2 − 2 x − 6) = 36 − 6 −6 = 24
x →3
3) lím (6 − 3 x ) = lím 6 − lím 3 x x →− →−4
x →− →−4
x →− →−4
= lím 6 − 3 lím x x →− →−4
x →− →−4
= 6 − 3(−4) lím (6 − 3 x ) = 6 + 12 = 18
x →− →−4
1
4) lím
x →− →−2
8 + t = lím (8 + t 3) 2 3
x →− →−2
1
= lím 8 + lím t 3 2 →−2 x →−
→−2 x →−
= lím 8 + x →− →−2
= 8 + (−2) = 8 − 8
lím
x →− →−2
3
lím t
3
1 2
x →− →−2
1 2
1 2
8 + t 3 = 0 1
5) lím
z→2
7 z2 + 14 z − 7 = lím 7 z2 + lím 14 z − lím 7 2 z→2
z→2
z→2
2
= 7 lím z + 14 lím z − lím 7 z→2
z→2
1 2
z→2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
1
= 7(4) + 14(2) − 7 2 = 28 + 28 − 7
lím
z→2
1 2
7 z2 + 14 z − 7 = 49 = 7
6) lím ( x 2 − 8)(4 x − 8) = lím ( x 2 − 8) · lím (4 x − 8) x →4
x →4
x →4
= lím x 2 − lím 8 lím 4 x − lím 8 x →4
x →4
x →4
x →4
2
=
lím x − lím 8 4 lím x − lím 8
x →4
x →4
x →4
x →4
= [(4)2 − 8][4(4) − 8] = (16 − 8)(16 − 8) 81
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 17
lím ( x 2 − 8)(4 x − 8) = (8)(8) = 64
x →4
3 −1 3 −1 7) lím (6 − 3 x ) x = lím (6 − 3 x ) lím x 3 3 x →− x x →−3 →− → − →− → − 5 5 3 −1 x x →− →−3 5
= lím 6 − lím 3 x lím x →− →−3
x →− →−3
3 lím −1 x = lím 6 − 3 lím x x →− x →− →−3 →−3 →−3 5 x →− = [6 − 3 (−3)]
3 (−3)−1 5
= [6 + 9]
3 1 − 5 3
= [15] −
1 5
=−
15 5
lím (6 − 3 x ) 3 x −1 = −3 5
x →− →−3
8)
lím x → −
1 3
x 2 +
1 1 x − = 9 3
=
lím x → −
lím
1 x → − 3
x 2 +
1 9
x 2 +
lím x 2 + 1
x → −
= − =
1 3
1 3
3 2
+
1 1 + 9 9
1 1 2 = x − 9 3 9
−
1 9 −
lím x → −
lím
1 x → − 3
−
1 9
1 3
x −
1 3
lím x − 1
x → −
3
lím
1 x → − 3
1 3
1 1 − 3 3
2 3
2 4 =− 3 27
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
82
Cálculo diferencial Capítulo 2 9) lím
r →4
2 1 + 2 r
Ejercicio 17 r 2 −
4 2 1 = lím + → 4 r 2 r r
lím r 2 − 4 r
r →4
2 lím r − lím 4 r →4 r →4 r
2 1 = lím + lím r →4 r r →4 2 lím 2
lím 4
2
1 + lím r →4 2 lím r
r →4
=
r →4
lím r −
r →4
lím r
r →4
lím
r →4
2 1 + r 2
r 2 −
=
2 1 + 4 2
=
1 1 (16 − 1) + 2 2
(4)2 −
r →4
4 4
4 = (1)(15) = 15 r 1
10) lím
y→2
4 y − 2 y = lím (4 y2 − 2 y) 2 2
y→2
1
= lím 4 y2 − lím 2 y 2 y→2
y→2
1
2
= 4 lím y − 2 lím y 2 y→2
y→2
2
2(2) = 4(2) − 2(2) = 4(4) − 4
= 16 − 4
= 12
lím
y→2
1 2
1 2
1 2
1 2
4 y2 − 2 y = 2 3
11) lím (3 − y) y2 − 9 = lím (3 − y) y→−5
y→−5
lím y2 − 9
y→−5
1
= lím 3 − lím y y→−5
y→−5
= lím 3 − lím y y→−5
y→−5
2
y→−5
= (8) ( 16
1
2
lím y − lím 9 2
y→−5
= 3 − (−5) (−5) − 9
= (3 + 5) 25 − 9
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
lím ( y2 − 9) 2
y→−5
1 2
1 2
)
lím (3 − y) y2 − 9 = (8)(4) = 32
y→−5
83
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 17
4 z + 3 12) lím = z→−1 2 z + 1
lím (4 z + 3)
z→−1
lím (2 z + 1)
z→−1
4 lím z + lím 3 =
z→−1
z→−1
2 lím z + lím 1 z→−1
=
z→−1
4(−1) + 3 2(−1) + 1
lím 4 z + 3 = −4 + 3 = −1 = 1 z→−1 2 z + 1 −2 + 1 −1 13) lím
x →1
x 2 + 3 + 4 x + 5
( x 2 + 3 + 4)
lím
=
x →1
lím ( x + 5)
x →1
1
lím ( x 2 + 3) 2 + lím 4
=
x →1
x →1
lím x + lím 5
x →1
x →1
1
2
lím x + lím 3 2 + lím 4
=
x →1
x →1
lím x + lím 5
x →1
2
(1) + 3 =
=
lím
x →1
84
x 2 + 3 + 4 x + 5
=
1 2
x →1
+ 4
1 + 5 1 2
1 + 3
=
x →1
+ 4
6 4 + 4 6 2 + 4 6
= 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
14)
lím z→
1 2
Ejercicio 17
3 z + 1 2 z − 5
lím (3 z + 1) 1
z→
=
2
lím (2 z − 5) 1
z→
2
lím z + 1
3
z→
=
2
lím z − 1
2
z→
2
lím 1 1
z→
2
lím 5 1
z→
2
3 1 + 1 2
=
2 1 − 5 2
3 + 1 2 2 − 5 2
=
5 2 = − 4 1
lím z→
1 2
3 z + 1 2 z − 5
=−
5 8
lím ( x 2 − 9) x 2 − 9 x →3 lím 15) = x →3 3 x + 1 lím (3 x + 1) x →3
2
lím x − lím 9
=
x →3
3 lím x + lím 1 x →3
=
=
x →3
x →3
(3)2 − 9 3(3) + 1 9 − 9 9 + 1 . 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
2 lím x − 9 = 0 = 0 x →3 3 x 1 10 +
85
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 17
2 + y2 + 3 16) lím = y→1 y − 1
lím (2 + y2 + 3 )
y→1
lím ( y − 1)
y→1
lím 2 + lím ( y + 3) 2
=
y→1
1 2
y→1
lím y − lím 1
y→1
y→1
1
2
lím 2 + lím y + lím 3 2
=
y→1
y→1
y→1
lím y − lím 1
y→1
y→1
2
2 + (1) + 3 =
1 2
1 − 1
2 lím 2 + y + 3 = 2 + 4 = 4 y→1 y − 1 0 0
No existe límite.
lím (sen x + 1) π
sen x + 1 17) límπ = x → 2 2
x →
2
lím 2 π
x →
2
lím sen x + lím 1 π π
x →
=
x →
2
lím 2 π
x →
lím
π x → 2
sen x + 1 2
=
2
1 + 1 2
=
2
2 2
= 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
86
Cálculo diferencial Capítulo 2
18) límπ x →
4
cos2 x 2
Ejercicio 17 lím cos2 x π
x →
=
4
lím
π 4
x →
2
lím cos x π
x →
=
4
lím x →
=
2 2
2
π 4
2
2
2 2 =
lím
π x → 4
cos2 x 2
=
4 2 1
2 4 2
1
=
2 4
=
2 2
lím [( x + 1)2 − x 2]
( x + 1)2 − x 2 19) lím = x →0 x + 1
x →0
=
x →0
lím ( x + 1)
x →0
lím ( x + 1)2 − lím x 2 x →0
lím x + lím 1
x →0
x →0 2
lím ( x + 1) − lím x
=
x →0
2
x →0
lím x + lím 1
x →0
x →0 2
2
lím x + lím 1 − lím x
=
x →0
x →0
lím x + lím 1
x →0
= =
x →0
x →0
(0 + 1)2 − (0) . 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
0 + 1 1 − 0 0 + 1
2 2 lím ( x + 1) − x = 1 = 1 x →0 x + 1 1
87
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 17
x 2 + h2 20) lím = x →h x + h
lím ( x 2 + h2)
x →h
lím ( x + h)
x →h
2
lím x + lím h2
=
x →h
x →h
lím x + lím h
x →h
x →h
2 2 2h2 h2 + h2 lím x + h = = =h x →h x h 2h h+h +
21) límπ x →
6
tan x 2
sen x
lím tan x π
x →
=
lím sen x π
x →
=
lím
π 6
tan x 2
sen x
2
6
3 3 1 2
x →
6
=
3 3 1 4
=
4 3 3
2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
88
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
3 x + 2 x 2 1) lím x →0 5 x 6 x 3 + Se sustituye el valor al cual tiende x 2 2 lím 3 x + 2 x = 3(0) + 2(0) = 0 x →0 5 x + 6 x 3 5(0) + 6(0)3 0
El resultado es una indeterminación. Se factoriza el numerador y denominador. lím x (3 + 2 x ) = x (5 + x 2)
x →0
lím 3 + 2 x x →0 5 + x 2 Finalmente 3 + 2(0) = 5 + (0)2 3 + 0 5 + 0
=
3 5
2h3 − 5h2 + h 2) lím h→0 h4 − h2 Se sustituye el valor al cual tiende x 3 2 3 2 lím 2h − 5h + h = 2(0) − 5(0) + (0) = 0 h→0 (0)4 − (0)2 h4 − h2 0
El resultado es una indeterminación. Se factoriza el numerador y denominador. 2 lím h(2h − 5h + 1) = h→0 h2(h2 − 1) 2 lím 2h − 5h + 1 = h→0 h(h2 − 1)
2(0)2 − 5(0) + 1 0((0)2 − 1) 1 0(−1) 1 0
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
=
No existe el límite.
4 y5 + 5 y3 3) lím y→0 y4 − y2 Se sustituye el valor al cual tiende y 5 3 5 3 lím 4 y + 5 y = 4(0) + 5(0) = 0 y→0 y4 y2 (0)4 − (0)2 − 0
El resultado es una indeterminación. Se factoriza el numerador y denominador. 89
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
3 2 lím y (4 y + 5) y→0 y2( y2 1) − 2 lím y(4 y + 5) y→0 y2 − 1
Finalmente, al sustituir de nuevo el valor de y, se tiene: 2 5 3 lím 4 y + 5 y = 0(4(0) + 5) = 0 = 0 y→0 y4 − y2 (0)2 − 1 −1
ax 2 + bx 3 4) lím x →0 cx 2 dx 3 +
Se sustituye el valor al cual tiende x 2 3 2 3 lím ax + bx = a(0) + b(0) = 0 x →0 cx 2 dx 3 c(0)2 + d (0)3 0 +
El resultado es una indeterminación. Ahora se factoriza el numerador y denominador. 2 lím x (a + bx ) x →0 x 2(c dx ) +
Finalmente, al sustituir de nuevo el valor de x se tiene: 3 3 lím ax + bx = a + b(0) = a x →0 cx 2 dx 3 c + d (0) + c
5 x n − 3 x n−1 + 4 x n−2 5) lím x →0 2 x n − 6 x n−2 Se sustituye el valor al cual tiende x n n−1 n−2 n n−1 n−2 0 lím 5 x − 3 x + 4 x = 5(0) − 3(0) + 4(0) = n n− 2 x →0 n n−2 2(0) − 6(0) 2 x − 6 x 0
El resultado es una indeterminación. Ahora se factoriza el numerador y denominador: 2 n−2 lím x (5 x − 3 x + 4) x →0 x n−2(2 x 2 − 6)
Finalmente, al sustituir de nuevo el valor de x se tiene: 2 n n−1 n−2 lím 5 x − 3 x + 4 x = 5(0) − 3(0) + 4 = 4 = − 2 x →0 2(0)2 − 6 2 x n − 6 x n−2 3 −6
z − 1 6) lím z→1 z2 1 −
Se sustituye el valor al cual tiende z lím z − 1 = 1 − 1 = 0 z→1 z2 1 (1)2 − 1 − 0 El resultado es una indeterminación. Ahora se factoriza el numerador y denominador: lím
z→1
( z − 1)(1) ( z − 1)( z + 1)
Finalmente el resultado es: 1 1 lím z − 1 = = z→1 z2 1 1 + 1 − 2 90
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
9 x 2 − 4 7) lím2 x → 3 3 x − 2 Se sustituye el valor al cual tiende x 2
lím 9 x − 4 = 2 x → 3 x − 2 3
9 2 3
2
− 4
0
=
0
3 2 − 2 3
El resultado es una indeterminación. El numerador se factoriza: lím x →
2 3
(3 x − 2)(3 x + 2) 3 x − 2
Finalmente, el resultado es: 2 lím 9 x − 4 = 2 x → 3 x − 2 3
8) lím
3 2 + 2 3
1
=
4 2 + 2 = = 4 1 1
y + h
y→−h
h2 − y2
Se sustituye el valor al cual tiende y lím y + h = −h + h = 0 h2 − (−h)2 h2 − y2 0
y→−h
El cociente es una indeterminación, entonces se factoriza el denominador. lím
y→−h
( y + h)(1) (h + y)(h − y)
Finalmente, el resultado es: 1 1 lím y + h = = 2 2 h − y 2h h − (−h)
y→−h
x 2 − 2 x 9) lím x →2 4 x 2 −
Se sustituye el valor al cual tiende x 2 2 lím x − 2 x = (2) − 2(2) = 0 x →2 4 − x 2 4 − (2)2 0
El cociente es una indeterminación, se factoriza el numerador y denominador. lím
x →2
x ( x − 2)
(2 − x )( x + 2)
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
=
lím x (−1)(2 − x ) (2 − x )( x + 2)
x →2
El resultado es: 2 lím x − 2 x = 2(−1) = −2 = − 1 x →2 4 − x 2 4 2 2 + 2
91
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
a2 − w2 10) lím w→a a − w
Se sustituye el valor al cual tiende “ w” 2 2 2 2 lím a − w = a − (a) = 0 w→a a − w a−a 0
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se factoriza el numerador. lím (a − w)(a + w) (a − w)(1)
w→a
Finalmente: 2 2 lím a − w = a + a = 2a = 2a w→a a − w 1 1
z2 − 5 z − 14 11) lím z→7 z − 7
Se sustituye el valor al cual tiende “ z” 2 2 lím z − 5 z − 14 = (7) − 5(7) − 14 = 0 z→7 0 z − 7 7−7
El resultado es una indeterminación, entonces ahora se factoriza el numerador. lím ( z − 7)( z + 2) z − 7
z→7
Finalmente: 2 lím z − 5 z − 14 = lím ( z + 2) = 7 + 2 = 9 z→7 z→7 z − 7 x 2 + 6 x + 9 x →−3 x 2 + 7 x + 12
12) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 2 2 lím x + 6 x + 9 = (−3) + 6(−3) + 9 = 0 x →−3 x 2 + 7 x + 12 0 (−3)2 + 7(−3) + 12
El resultado es una indeterminación, entonces ahora se factoriza el numerador y denominador. ( x + 3)2 = x →−3 ( x + 4)( x + 3) lím
lím x + 3 x →−3 x + 4 Finalmente: 2 lím x + 6 x + 9 = −3 + 3 = 0 = 0 x →−3 x 2 + 7 x + 12 1 −3 + 4
13) lím
h→1
h − 1 2
h − 4h + 3
Se sustituye el valor al cual tiende “ h” lím
h→1
h − 1 1 − 1 0 = = 2 0 h − 4h + 3 (1) − 4(1) + 3 2
El resultado es una indeterminación y ahora se factoriza el denominador. 92
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
(h − 1)(1) h→1 (h − 3)(h − 1) lím
1 = h − 3
lím
h→1
1 1 1 = = − 1 − 3 2 −2 x 2 − 25 x →−5 x 2 + 2 x − 15
14) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” x 2 − 25 0 (−5)2 − 25 = = x →−5 x 2 + 2 x − 15 2 0 (−5) + 2(−5) − 15
lím
El resultado es una indeterminación y ahora se factoriza el numerador y denominador. lím
x →−5
( x − 5)( x + 5) ( x + 5)( x − 3)
lím x − 5 = x − 3
x →−5
−5 − 5
=
−5 − 3
−10 −8
=
5 4
v2 − 6v + 8 v→4 2v2 − 8v
15) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ v” lím
v→4
v2 − 6v + 8
2v2 − 8v
=
(4)2 − 6(4) + 8 = 0 0 2(4)2 − 8(4)
El resultado es una indeterminación y se factoriza el numerador y denominador. lím (v − 4)(v − 2) = v→4 2v(v − 4) lím v − 2 = v→4 2v 2 1 4 − 2 = = 2(4) 8 4 x 2 − 8 x + 15 16) lím x →3 x 2 − 7 x + 12
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 2 2 lím x − 8 x + 15 = (3) − 8(3) + 15 = 0 x →3 x 2 − 7 x + 12 0 (3)2 − 7(3) + 12
El resultado es una indeterminación y ahora se factoriza el numerador y denominador. lím ( x − 5)( x − 3) = ( x − 4)( x − 3)
x →3
lím x − 5 = x − 4
x →3
3 − 5 −2 = = 2 3 − 4 −1 93
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
4h2 + 4h − 3 17) lím1 h→ 2h − 1 2 Se sustituye el valor al cual tiende “ h” 2
lím 4h + 4h − 3 = 1 h→ 2h − 1 2
2
4 1 2
+ 4 1 − 3 2
=
2 1 − 1
0 0
2
El resultado del cociente es una indeterminación entonces se factoriza el numerador. lím (2h − 1)(2h + 3) = 1 h→ 2h − 1 2 2h + 3 = 1
lím
1 h→ 2
2 1 + 3 2
=
1
4 = 4 1
3 x − 2 3 x − 11 x + 6 3 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 18) lím2 x →
lím
2 x → 3
2
3 x − 2 = 2 3 x − 11 x + 6
3 2 − 2 3
3 2 3
2
=
− 11 2 + 6
0 0
3
El resultado es una indeterminación y ahora se factoriza el denominador. (3 x − 2)(1) lím = 2 x → ( 3)(3 x − 2) 3 x − lím
2 x → 3
1 = x − 3
1 2 3 − 3
1 − 7
=
=−
3 7
3
19)
lím w→ −
9w2 + 9w − 4 4 2 3 3w + 7w + 4
Se sustituye el valor al cual tiende “ w” 2
lím
4 w→ − 3
9w + 9w − 4 = 3w2 + 7w + 4
9 − 4
2
3 − 4
2
3 3
+ 9 − 4 − 4 3
+ 7 − 4 + 4
=
0 0
3
El resultado es una indeterminación entonces se factoriza el numerador y denominador. (3w − 1)(3w + 4) lím = 4 w→ − w w ( 1)(3 4) + + 3 lím
4 w→ − 3
3w − 1 = w + 1
3 − 4 − 1 3
− 4 + 1 3 94
=
−5 − 1 3
= 15
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
2 y2 − 15 y + 18 20) lím y→6 3 y2 − 17 y − 6 Se sustituye el valor al cual tiende “ y” 2 2 lím 2 y − 15 y + 18 = 2(6) − 15(6) + 18 = 0 y→6 3 y2 − 17 y − 6 0 3(6)2 − 17(6) − 6
El resultado es una indeterminación y ahora se factoriza el numerador y denominador. lím ( y − 6)(2 y − 3) ( y − 6)(3 y + 1)
y→6
lím 2 y − 3 y→6 3 y + 1 Finalmente: 2(6) − 3 9 = 19 3(6) + 1 2 x 2 − 13 x + 15 21) lím x →5 x 2 − x − 20 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 2 2 lím 2 x − 13 x + 15 = 2(5) − 13(5) + 15 = 0 2 x →5 0 x − x − 20 (5)2 − (5) − 20
El resultado es una indeterminación y se factorizan el numerador y denominador. lím ( x − 5)(2 x − 3) ( x − 5)( x + 4)
x →5
lím 2 x − 3 x + 4
x →5
Finalmente: 2(5) − 3 7 = 9 5 + 4 22)
lím
1 x → − 3
9 x 2 − 1 6 x 2 + 5 x + 1
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím x → −
9 x 2 − 1 = 1 2 x x 6 5 1 + + 3
9 − 1 3
6 − 1 3
2
2
− 1 =
+ 5 − 1 + 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
0 0
3
El resultado es una indeterminación y ahora se factoriza el numerador y denominador. (3 x − 1)(3 x + 1) lím 1 x → − (2 x + 1)(3 x + 1) 3 3 x − 1 2 x + 1
lím
1 x → − 3
Finalmente: 3 − 1 − 1 3
2 − 1 + 1 3
=
−2 1 3
= −6
95
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
y + 1 23) lím y→−1 y3 + 1
Se sustituye el valor al cual tiende “ y” lím y + 1 = −1 + 1 = 0 0 y3 + 1 (−1)3 + 1
y→−1
El resultado del cociente es una indeterminación y ahora se factoriza el denominador. ( y + 1)(1) = ( y + 1)( y2 − y + 1)
lím
y→−1
1 = y→−1 y2 − y + 1 lím
1 1 = 3 (−1) − (−1) + 1 2
8h3 − 1 24) lím1 h→ 1 − 2h 2 Se sustituye el valor al cual tiende “ h” 8h3 − 1 = 1 h→ h 1 2 − 2 lím
3
8 1 2
− 1 =
1 − 2 1
0 0
2
El resultado del cociente es una indeterminación y ahora se factoriza el numerador. 2 lím (2h − 1)(4h + 2h + 1) = 1 h→ 1 − 2h 2 2 lím −1(1 − 2h)(4h + 2h + 1) = 1 h→ 1 − 2h 2
lím −1(4h2 + 2h + 1) = 1
h→
2
−1 4 1
2
2
+ 2 1 + 1 = 2
−1[1 + 1 + 1] = −3
27 x 3 − 8 25) lím2 2 x → 3 9 x − 4 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 3 lím 27 x − 8 = 2 x → 9 x 2 − 4 3
27 2
3
3
9 2 3
− 8 =
2
− 4
0 0
El resultado del cociente es una indeterminación y ahora se factoriza el numerador y denominador. 2 lím (3 x − 2)(9 x + 6 x + 4) = 2 x → (3 x − 2)(3 x + 2) 3 2 lím 9 x + 6 x + 4 = 2 x → 3 x + 2 3
9 2 3
2
+ 6 2 + 4 3
3 2 + 2 3
96
=
12 = 3 4
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
w2 + 5w + 6
26) lím
w→−2
w3 + 8
Se sustituye el valor al cual tiende “ w” w2 + 5w + 6 (−2)2 + 5(−2) + 6 = 0 = w→−2 0 w3 + 8 (−2)3 + 8
lím
El resultado es una indeterminación, ahora se factoriza el numerador y denominador. (w + 3)(w + 2) = (w + 2)(w2 − 2w + 4)
lím
w→−2
w + 3
lím
w→−2
2
w − 2w + 4
Finalmente: −2 + 3 2
(−2) − 2(−2) + 4
=
1 1 = 12 4 + 4 + 4 64 x 3 − 1 27) lím1 x → 4 x 3 − x 2 4 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 64 1
lím 64 x − 1 = 1 3 2 x → 4 4 x − x
3
4
3
4 1 4
3
− 1
− 1
2
=
0 0
4
El resultado es una indeterminación, ahora se factoriza el numerador y denominador. 2 lím (4 x − 1)(16 x + 4 x + 1) = 1 x → x 2(4 x − 1) 4 16 x 2 + 4 x + 1 = x 2
lím
1 x → 4
Finalmente: 16 1
2
4
+ 4 1 + 1 4
1 4
1 + 1 + 1 1 16
28) lím
x →1
=
2
=
3 1 16
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
= 48
x + 3 − 2 x − 1
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” x + 3 − 2 = x →1 x − 1
lím
1 + 3 − 2 1 − 1
=
0 0
El resultado del cociente es una indeterminación, ahora el numerador se racionaliza. lím
x →1
x + 3 − 2 x + 3 + 2 · = x − 1 x + 3 + 2 97
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
( x + 3 )2 − (2)2 ( x − 1)( x + 3 + 2)
lím
x →1
x + 3 − 4
lím
( x − 1)( x + 3 + 2)
x →1
1( x − 1)
lím
( x − 1)( x + 3 + 2)
x →1
=
=
=
1
lím
x →1
x + 3 + 2
Finalmente: 1
=
1 + 3 + 2
1 1 = 2 + 2 4
y + 2
29) lím
y→−2
y + 3 − 1
Se sustituye el valor al cual tiende “ y” y + 2
lím
y→−2
−2 + 2
=
=
−2 + 3 − 1
y + 3 − 1
0 0
El cociente es una indeterminación y ahora se racionaliza el denominador. y + 2
lím
y→−2
y + 3 + 1
·
=
y + 3 + 1
y + 3 − 1
lím ( y + 2)( y + 3 + 1) = 2 ( y + 3 ) − (1)2
y→−2
lím ( y + 2)( y + 3 + 1) = ( y + 3) − 1
y→−2
lím ( y + 2)( y + 3 + 1) = ( y + 2)(1)
y→−2
lím
y→−2
y + 3 + 1 = 1
Finalmente: −2 + 3 + 1 = 1
1 + 1 = 2 = 2 1 1 w
30) lím
w→0
w + 3 − 3
Se sustituye el valor al cual tiende “ w” w
lím
w→0
0
=
w + 3 − 3
=
0 + 3 − 3
0 0
El resultado del cociente es una indeterminación y ahora se racionaliza el denominador. w
lím
w→0
lím
w→0
98
·
w + 3 − 3
w + 3 + 3 w + 3 + 3
w ( w + 3 + 3 )
(
2
w + 3) − ( 3 )2
=
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
lím
w ( w + 3 + 3 ) = w + 3 − 3
lím
w ( w + 3 + 3 ) = w
w→0
w→0
lím
(
w + 3 + 3 )
w→0
w
Finalmente: 0 + 3 + 3 0
3 + 3 = 2 3 No existe el límite. 0 0
4 x 2 + 3 − 2 2 x − 1
31) lím1 x →
=
2
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 4 x 2 + 3 − 2 = 2 x − 1
lím x →
1 2
4
1 2
2
+ 3 − 2 =
2 1 − 1
0 0
2
El resultado del cociente es una indeterminación, ahora se racionaliza el numerador. 4 x 2 + 3 − 2 · 2 x − 1
lím
1 x → 2
x →
1 2
lím x →
1 2
lím x →
1 2
=
4 x 2 + 3 + 2
2
(
lím
4 x 2 + 3 + 2
4 x 2 + 3) − (2)2
(2 x − 1)( 4 x 2 + 3 + 2) 4 x 2 + 3 − 4 (2 x − 1)( 4 x 2 + 3 + 2)
=
=
4 x 2 − 1 (2 x − 1)( 4 x 2 + 3 + 2)
Ahora se factoriza el numerador: lím
1 x → 2
(2 x − 1)(2 x + 1) (2 x − 1)( 4 x 2 + 3 + 2)
=
2 x + 1
lím
1 x → 2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
4 x 2 + 3 + 2
Finalmente: 2 1 + 1 2
4
1 2
1 + 1 4 + 2
=
2
+ 3 + 2
=
2 = 2 = 1 4 2 2 + 2
99
Cálculo diferencial Capítulo 2 32) lím
x →5
Ejercicio 18
x − 5 x − 5
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím x − 5 = 5 − 5 = 0 x →5 0 5− 5 x − 5 El resultado es una indeterminación, por lo tanto se racionaliza el denominador. lím
x →5
x − 5
x + 5 = x + 5
·
x − 5
lím ( x − 5)( x + 5 ) = 2 2 ( x ) − ( 5 )
x →5
lím ( x − 5)( x + 5 ) = x →5 ( x − 5)(1) lím
x →5
x + 5 1
Finalmente: 5 + 5 = 2 5 1 33) lím
x →1
x + 3 − 2
1 − 3 x − 2
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím
x →1
x + 3 − 2
1 − 3 x − 2
=
1 + 3 − 2
=
1 − 3 − 2
0 0
El resultado del cociente es una indeterminación, por lo tanto se racionaliza el numerador y el denominador. lím
x →1
x + 3 − 2
1 − 3 x − 2
·
x + 3 + 2 x + 3 + 2
·
1 + 3 x − 2 1 + 3 x − 2
=
2
lím
x →1
lím
x →1
lím
x →1
lím
x →1
lím
x →1
lím
x →1
[( x + 3 ) − (2)2](1 + 3 x − 2 ) 2 ( x + 3 + 2)[(1)2 − ( 3 x − 2 ) ] ( x + 3 − 4)(1 + 3 x − 2 )
( x + 3 + 2)[1 − (3 x − 2)] ( x − 1)(1 + 3 x − 2 )
( x + 3 + 2)(1 − 3 x + 2) ( x − 1)(1 + 3 x − 2 )
( x + 3 + 2)(3 − 3 x )
=
=
=
=
( x − 1)(1 + 3 x − 2 )
( x + 3 + 2)(−3)( x − 1)
=
1 + 3 x − 2 −3( x + 3 + 2)
Finalmente: 1 + 3 − 2 −3( 1 + 3 + 2) 100
=
1 + 1 2 1 = =− 6 −3(2 + 2) −12
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
x 2 + 9 − 5
34) lím
x →4
x + 5 − 3
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” x 2 + 9 − 5
lím
x →4
42 + 9 − 5
=
x + 5 − 3
0 0
=
4 + 5 − 3
El resultado del cociente es una indeterminación, ahora se racionaliza el numerador y el denominador. x 2 + 9 − 5
lím
x →4
x 2 + 9 + 5
·
x + 5 − 3
x 2 + 9 + 5
x + 5 + 3
·
x + 5 + 3
=
2
lím
x →4
[( x 2 + 9 ) − (5)2]( x + 5 + 3) 2 ( x 2 + 9 + 5)[( x + 5 ) − (3)2]
lím
( x 2 + 9 − 25)( x + 5 + 3)
lím
( x 2 − 16)( x + 5 + 3)
x →4
x →4
( x 2 + 9 + 5)( x + 5 − 9) ( x 2 + 9 + 5)( x − 4)
=
=
=
x lím ( x − 4)( x + 4) ( + 5 + 3) = 2 ( x + 9 + 5)( x − 4)
x →4
lím ( x + 4) ( x + 5 + 3) x →4 ( x 2 + 9 + 5) Finalmente: (4 + 4) ( 4 + 5 + 3)
=
42 + 9 + 5 (8)(3 + 3) = 5 + 5 (8)(6) 48 24 = = 10 10 5 35) lím
w→0
a − w2 + a2 b − w2 + b2
Se sustituye el valor al cual tiende “ w” lím
w→0
a − w2 + a2 2
2
b− w +b
=
a − (0)2 + a2
=
b − (0)2 + b2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
0 0
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces ahora se racionaliza el numerador y el denominador. lím
w→0
a − w2 + a2 b − w2 + b2
·
a + w2 + a2 a + w2 + a2
b + w2 + b2
·
b + w2 + b2
lím
[(a)2 − ( w2 + a2 )2](b + w2 + b2 ) (a + w2 + a2 )[(b)2 − ( w2 + b2 )2]
lím
[a2 − (w2 + a2)](b + w2 + b2 ) (a + w2 + a2 )[b2 − (w2 + b2)]
w→0
w→0
lím
w→0
(a2 − w2 − a2)(b + w2 + b2 )
(a +
w2 + a2 )(b2 − w2 − b2)
=
=
=
= 101
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
lím
(−w2)(b + w2 + b2 )
lím
b + w2 + b2
(a +
w→0
w→0
=
w2 + a2 )(−w2)
a + w2 + a2
Finalmente: b + 02 + b2
=
a + 02 + a2 b 2b b+b = = a 2a a+a n
n
y − p
36) lím
y→ p
y − p
Se sustituye el valor al cual tiende “ y” n
lím
y→ p
n
n
y − p = y − p
n
p − p 0 = 0 p − p
El resultado del cociente es una indeterminación y se factoriza el denominador.
( y n
lím
( y
y→ p
− p )(1) n
n−2 − p )[ yn−1 + y · p + … + y · pn−2 + pn−1 ]
n
n
n
n
n
n
=
1
lím
y→ p
[ yn−1 + n
yn−2 · p + … + y · pn−2 + pn−1 ]
n
n
n
Finalmente: 1 n
n
n−1
p
n−2
+ p
n
n n− 2 · p + … + p · p + pn−1
1 n
n−1
p
n
n−1
+ p
n
n
+ … + pn−1 + pn−1
=
=
1 n
n pn−1 37) lím
v→0
4 − 2v + v2 − 2 v
Se sustituye el valor al cual tiende “ v” 2
2
0 4 − 2(0) + (0) − 2 = 0 0
4 − 2v + v − 2 = v
lím
v→0
El resultado del cociente es una indeterminación, por consiguiente se racionaliza el numerador. 4 − 2v + v2 − 2 · v
lím
v→0
lím
v→0
lím
v→0
102
(
4 − 2v + v2 + 2 4 − 2v + v2 + 2
2
4 − 2v + v2 ) − (2)2 v[ 4 − 2v + v2 + 2]
4 − 2v + v2 − 4 v[ 4 − 2v + v2 + 2]
=
=
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
v 2 − 2v
lím
v[ 4 − 2v + v2 + 2]
v→0
v(v − 2)
lím
v[ 4 − 2v + v2 + 2]
v→0
=
=
v−2
lím
v→0
4 − 2v + v2 + 2
Finalmente: 0 − 2 4 − 2(0) + (0)2 + 2 −2
=
=
4 + 2 −2
2 + 2
38) lím
x →2
=
1 −2 =− 4 2
x 3 − 7 x + 6 x 3 + x 2 − 4 x − 4
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím
x →2
x 3 − 7 x + 6 3
2
x + x − 4 x − 4
=
0 (2)3 − 7(2) + 6 = 0 (2)3 + (2)2 − 4(2) − 4
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se factoriza. lím ( x − 2)( x − 1)( x + 3) = ( x − 2)( x + 1)( x + 2)
x →2
lím ( x − 1)( x + 3) ( x + 1)( x + 2)
x →2
Finalmente: (2 − 1)(2 + 3) (2 + 1)(2 + 2) =
(1)(5) 5 = (3)(4) 12
x 3 − x 2 − x + 1 39) lím x →−1 x 2 + 4 x + 3 . 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 3 2 3 2 lím x − x − x + 1 = (−1) − (−1) − (−1) + 1 = 0 x →−1 x 2 + 4 x + 3 0 (−1)2 + 4(−1) + 3
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se factoriza el numerador y denominador. ( x − 1)2( x + 1) = x →−1 ( x + 3)( x + 1) lím
( x − 1)2 x →−1 x + 3 lím
Finalmente: (−1 − 1)2 4 = = 2 2 −1 + 3 103
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
x 4 + 2 x 3 − 11 x 2 − 12 x + 36 40) lím x →2 x 3 − 2 x 2 − x + 2
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 4 3 2 4 3 2 lím x + 2 x − 11 x − 12 x + 36 = (2) + 2(2) − 11(2) − 12(2) + 36 = 0 x →2 0 x 3 − 2 x 2 − x + 2 (2)3 − 2(2)2 − (2) + 2
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se factoriza el numerador y denominador. ( x x − 2)2( x + 3)2 = x →2 ( x − 2)( x − 1)( x + 1) lím
x − 2)( x x + 3)2 lím ( x x →2 ( x x − 1)( x x + 1)
Finalmente: (2 − 2)(2 + 3)2 = (2 − 1)(2 + 1) (0)(25) 0 = = 0 (1)(3) 3 x 3 − x 2 − 4 x + 4 x →1 x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12
41) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 3 2 3 2 lím x − x − 4 x + 4 = (1) − (1) − 4(1) + 4 = 0 x →1 x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12 0 (1)3 + 6(1)2 + 5(1) − 12
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se factoriza el numerador y denominador. lím ( x − 2)( x − 1)( x + 2) = ( x − 1)( x + 3)( x + 4)
x →1
x + 2) lím ( x − 2)( x x + 4) ( x + 3)( x
x →1
Finalmente: (1 − 2)(1 + 2) = (1 + 3)(1 + 4) 3 (−1)(3) −3 = =− 20 (4)(5) 20 y3 − 6 y2 + 12 y − 8 42) lím y→2 y4 − 4 y3 + 16 y − 16
Se sustituye el valor al cual tiende “ y” 3 2 3 2 lím y − 6 y + 12 y − 8 = (2) − 6(2) + 12(2) − 8 = 0 y→2 y4 − 4 y3 + 16 y − 16 0 (2)4 − 4(2)3 + 16(2) − 16
El resultado del cociente es una indeterminación, y ahora se factoriza el numerador y denominador. ( y − 2)3(1) = y→2 ( y − 2)3( y y + 2) lím lím
y→2
1 y + 2
Finalmente: 1 1 = 2 + 2 4 104
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2 3
43) lím
x →1
Ejercicio 18
3 x + 5 − 2 x − 1
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 3
lím
x →1
3 x + 5 − 2 = x − 1
3
3(1) + 5 − 2 0 = 0 1 − 1
Se racionaliza el numerador. 3
lím
x →1
lím
x →1
lím
x →1
lím
x →1
(
3
3
3 (3 x + 5)2 + 3 x + 5 (2) + (2)2]
3
(3 x + 5)2 + 3 x + 5 (2) + (2)2] 3
=
3
3 x + 5 ) − (2)3
=
3 3 x − 1)[ (3 x + 5)2 + 2 3 x + 5 + (2)2] ( x
3 x + 5 − 8
=
3 3 ( x − 1)[ (3 x + 5)2 + 2 3 x + 5 + 4]
3( x − 1)
=
( x x − 1)[ (3 x + 5)2 + 2 3 x + 5 + 4] 3
3
3
lím
x →1
[ [
3 x + 5 − 2 · x − 1
3
3 (3 x + 5)2 + 2 3 x + 5 + 4
Finalmente: 3 3
64 + 2 3 8 + 4
=
3 4 + 4 + 4
=
3 1 = 12 4
44) lím
3
x →a
x − 3 a
x 2 − a2
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím
x →a
3
x − 3 a
x 2 − a2
3
=
a −3a 0 = 2 2 0 a − a
El resultado es una indeterminación, por lo tanto se racionaliza el numerador y se factoriza el denominador. denominador. lím
x →a
lím
x →a
lím
x →a
lím
x →a
3
x − 3 a
x 2 − a2
3
·
x 2 + 3 x · a + 3 a2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
=
x 2 + 3 x · a + 3 a2
3
x 3 − 3 a3
3
( x x − a)( x x + a) [ 3 x 2 + 3 x · a + 3 a2 ] x − a)(1) ( x x − a)( x x + a) [ 3 x 2 + 3 x · a + 3 a2 ] ( x
1 ( x + a) [ 3 x 2 + 3 x · a + 3 a2 ]
=
=
=
Finalmente: 1 (a + a) [ a2 + a2 + a2 ] 3
3
3
=
1 2a [3 a2 ] 3
=
1 6a 3 a2 105
Cálculo diferencial Capítulo 2 3
45) lím2 x →
3
Ejercicio 18
9 x 2 + 4 − 2 3 x − 2
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 3 3
lím x →
2 3
2 3
9
9 x 2 + 4 − 2 = 3 x − 2
2
+ 4 − 2 =
3 2 − 2
0 0
3
El resultado es una indeterminación, por lo tanto el numerador se racionaliza. 3
lím x →
2 3
(
lím x →
2 3
2 3
3
(9 x + 4)2 + 2 3 9 x 2 + 4 + (2)2]
3
9 x 2 − 4
2 3
3 3 (3 x − 2)[ (9 x + 4)2 + 2 9 x 2 + 4 + 4]
(3 x − 2)(3 x + 2)
2 x → 3
3 (3 x − 2)[ (9 x + 4)2 + 2 9 x 2 + 4 + 4] 3
(3 x + 2)
lím
2 3
3
(9 x + 4)2 + 2 3 9 x 2 + 4 + 4
=
=
=
=
=
3 2 + 2 3
3
2 3
9
2
4
46) lím
y→2
+ 4
2
=
3
9 x 2 + 4) − (2)3
3 (3 x − 2)[ (9 x + 4)2 + 2 9 x 2 + 4 + 4]
lím
x →
(9 x + 4)2 + 2 3 9 x 2 + 4 + (2)2]
9 x 2 + 4 − 8
lím x →
3
3
3 3 (3 x − 2)[ (9 x + 4)2 + 2 9 x 2 + 4 + 4]
lím x →
[ [
9 x 2 + 4 − 2 · 3 x − 2
= 3
+ 2
9
2 3
2
2 + 2 3
+ 4 + 4
64 + 2 3 8 + 4
=
4 4 + 4 + 4
=
4 1 = 12 3
y3 + 8 − 2 + y y − 2
Se sustituye el valor al cual tiende “ y” lím
4
y→2
4
y3 + 8 − 2 + y = y − 2
0 23 + 8 − 2 + 2 = 0 2 − 2
El resultado del cociente es una indeterminación, por lo tanto se racionaliza el numerador. lím
y→2
4
y3 + 8 − 2 + y · y − 2
y→2
lím
y→2
106
y3 + 8 + 2 + y
4
y3 + 8 + 2 + y
2
2
( y3 + 8 ) − ( 2 + y ) ( y − 2)[ y3 + 8 + 2 + y ] 4
lím
4
4
y3 + 8 − (2 + y) 4 ( y − 2)[ y3 + 8 + 2 + y ]
=
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
Normalmente se racionaliza el numerador. y3 + 8 − (2 + y)
lím
( y − 2)[ y3 + 8 + 2 + y ]
y→2
4
( y3 + 8 )
lím
2
y3 + 8 + (2 + y)
·
− (2 + y)2
4 ( y − 2)[ y3 + 8 + 2 + y ][ y3 + 8 + (2 + y)]
y→2
y3 + 8 − (2 + y)2
lím
4 ( y − 2)[ y3 + 8 + 2 + y ][ y3 + 8 + (2 + y)]
y→2
=
y3 + 8 + (2 + y) =
=
y3 − y2 − 4 y + 4
lím
( y − 2)[ y3 + 8 + 2 + y ][ y3 + 8 + (2 + y)] 4
y→2
Se factoriza el numerador: ( y − 2)( y − 1)( y + 2)
lím
( y − 2)[ y + 8 + 2 + y ][ y3 + 8 + (2 + y)] 4
y→2
3
Finalmente: ( y − 1)( y + 2)
lím
( y
y→2
4
3
+ 8 + 2 + y )[ y3 + 8 + (2 + y)]
(2 − 1)(2 + 2)
(
4
23 + 8 + 2 + 2 )[ 23 + 8 + (2 + 2)]
47) lím
h→0
4
=
=
(1)(4) (2 + 2)(4 + 4)
=
4 1 = 4(8) 8
x + h − 4 x x + h − x
Se sustituye el valor al cual tiende “ h” 4
lím
h→0
4 x + h − x
4
=
x + h − x
x − 4 x
=
x − x
0 0
El cociente es una indeterminación, entonces se racionaliza el numerador. 4
lím
h→0
x + h − 4 x x + h − x
h→0
2
lím
4
4 x + h + x
=
2
=
( x + h − x )(1) ( x + h − x ) ( x + h + ( x )
=
4
4
h→0
x + h + 4 x
( x + h ) − ( x ) ( x + h − x ) ( x + h + ( x ) 4
lím
4
·
4
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
4
4
1
lím
h→0
4
4 x + h + x
Finalmente: 1 4
= 4
x + x
1 4
2 x
107
Cálculo diferencial Capítulo 2 48) lím
x →2
Ejercicio 18 3
x + 7 − 4 x + 19 x − 2
Se sustituye el valor al cual tiene “ x ” lím
x →2
3
x + 7 − 4 x + 19 x − 2
2 + 7 − 3 4(2) + 19
=
2−2
0 0
=
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se racionaliza el numerador. lím
x →2
2
lím
x →2
lím
x →2
·
x + 7 + 3 4 x + 19
( x + 7 ) − (4 x + 19)2 ( x − 2)[ x + 7 + 4 x + 19 ]
=
3
=
3
3
( x + 7) − (4 x + 19)2
lím
x →2
3
x + 7 + 4 x + 19
3
x + 7 − 4 x + 19 x − 2
3 ( x − 2)[ x + 7 + 4 x + 19
]
[( x + 7) − (4 x + 19) ] ( x − 2)[ x + 7 + 4 x + 19 ] 3
=
2
·
3
[( x + 7) [( x + 7)
2
+ ( x + 7) (4 x + 19)2 + (4 x + 19)4 ]
2
+ ( x + 7) (4 x + 19)2 + (4 x + 19)4 ]
3
3
3
=
3
3
lím
x →2
lím
x →2
lím
x →2
3 ( x + 7)3 − ( (4 x + 19)2 )
( x − 2) [ x + 7 + 4 x + 19 3
][( x + 7)2 + ( x + 7)
3
(4 x + 19)2 + (4 x + 19)4 ]
( x 3 + 21 x 2 + 147 x + 343) − (16 x 2 + 152 x + 361) 3 ( x − 2) [ x + 7 + 4 x + 19
][( x + 7)2 + ( x + 7)
3
(4 x + 19)2 + 3 (4 x + 19)4 ]
x 3 + 5 x 2 − 5 x − 18
( x − 2) [ x + 7 + 4 x + 19
][( x + 7)
3
2
3
=
3
2
3
+ ( x + 7) (4 x + 19) + (4 x + 19)
4
]
=
=
Se factoriza el numerador: lím
x →2
lím
x →2
( x − 2) ( x 2 + 7 x + 9) ( x − 2) [ x + 7 +
3
4 x + 19
][( x + 7)2 + ( x + 7)
3
(4 x + 19)2 + 3 (4 x + 19)4 ]
=
x 2 + 7 x + 9
[ x + 7 +
3
4 x + 19
][( x + 7)2 + ( x + 7)
3
(4 x + 19)2 + 3 (4 x + 19)4 ]
Finalmente: (2)2 + 7(2) + 9
[
2 + 7 + 3 4(2) + 19 ][(2 + 7)2 + (2 + 7) 3 (4(2) + 19)2 + 3 (4(2) + 19)4 ]
49) lím
x →2
3
x + 6 − 2
3
x − 1 − 1
=
27 (3 + 3)[(81 + 9(9) + 81]
=
27 6(243)
=
27 1 = 1458 54
Se evalúa el valor al cual tiende “ x ”. lím
x →2
3
x + 6 − 2
3
x − 1 − 1
3
= 3
2 + 6 − 2 2 − 1 − 1
=
0 0
Se racionaliza el numerador y denominador puesto que el resultado del cociente es una indeterminación. 108
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 18
[ [
3
x + 6 − 2
lím
x →2
·
3
x − 1 − 1
3
( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + (2)2] [ 3 ( x − 1)2 + 3 x − 1 + (1)2]
3
( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + (2)2] [ 3 ( x − 1)2 + 3 x − 1 + (1)2]
[( ( x + 6) ) − (2) ] [ ( x − 1) + x − 1 [( x − 1 ) − (1) ] [ ( x + 6) + 2 x + 6 3
3
lím
x →2
3
3
3
3
2
3
3
2
x →2
lím
x →2
3
+ 4]
[( x − 1) − 1] [ ( x + 6) + 2 x + 6 + 4] =
3 3 ( x − 2) [ ( x + 6)2 + 2 x + 6 + 4]
3
=
3
2
3 3 ( x − 2) [ ( x − 1)2 + x − 1 + 1]
3
=
3
3
lím
x →2
+ 1]
[( x + 6) − 8] [ ( x − 1)2 + x − 1 + 1] 3
lím
3
=
( x − 1)2 + 3 x − 1 + 1
( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4
Finalmente: 3
3
1 +31 +1
=
3 4+4+4
=
3 1 = 12 4
3
64 + 2 8 + 4
5
50) lím
x →−1
2 x + 3 − 1 x 5 + 1
Se evalúa el valor al cual tiende “ x ”. 5
lím
x →−1
2 x + 3 − 1 = x 5 + 1
5
2(−1) + 3 − 1 0 = 5 0 (−1) + 1
El resultado del cociente es una indeterminación, entonces se racionaliza el numerador y se factoriza el denominador. 5
lím
x →−1
lím
x →−1
lím
x →−1
lím
x →−1
[ [
2 x + 3 − 1 · x 5 + 1
5
(2 x + 3)4 + 5 (2 x + 3)3 + 5 (2 x + 3)2 + 5 (2 x + 3) + 1]
5
(2 x + 3)4 + (2 x + 3)3 + (2 x + 3)2 + (2 x + 3) + 1] 5
5
( ( x + 1) ( x − x + x − x + 1)[ 4
3
2
5
5
5
=
5
2 x + 3 ) − (1)5
(2 x + 3)4 + (2 x + 3)3 + (2 x + 3)2 + (2 x + 3) + 1] 5
5
=
5
2 x + 3 − 1 5 5 5 ( x + 1) ( x 4 − x 3 + x 2 − x + 1)[ (2 x + 3)4 + (2 x + 3)3 + (2 x + 3)2 + (2 x + 3) + 1]
=
5
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
2( x + 1) 5 5 5 5 ( x + 1) ( x 4 − x 3 + x 2 − x + 1)[ (2 x + 3)4 + (2 x + 3)3 + (2 x + 3)2 + (2 x + 3) + 1]
Finalmente: 2 [(−1)4 − (−1)3 + (−1)2 − (−1) + 1][ 5 1 + 5 1 + 5 1 + 5 1 + 1]
=
2 [1 + 1 + 1 + 1 + 1][1 + 1 + 1 + 1 + 1]
=
2 2 = (5)(5) 25
109
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 19
7 x + 8 1) lím x →∞ 4 x + 3 El numerador y denominador se dividen por “ x ” que es el término con mayor exponente. lím
x →∞
7 x + 8 x x = 4 x 3 + x x
7+ 8
x x →∞ 4+ 3 x
lím
=
7+0 7 = 4 4+0
2 y2 − 3 y + 5 2) lím y→∞ y2 − 5 y + 2 El numerador y denominador se dividen por “ y2” que es el término con mayor exponente. 2 y2 − 3 y2 + 52 y2 y y 2 y − 5 y2 + 22 y2 y y
lím
y→∞
lím
y→∞
=
2 − 3 + 52 y y 1 − 5 + 22 y y
=
2−0+0 2 = = 2 1 1−0+0 3) lím
w→∞
3w2 + 5w − 2 5w3 + 4w2 + 1
El numerador y denominador se dividen por “ w3” que es el término con mayor exponente. 3w2 + 5w3 − 23 3 w w w lím = w→∞ 5w3 w2 4 1 + 3 + 3 w3 w w 3 + 52 − 23 w w w
lím
w→∞
5 + 4 + 13 w w
=
0+0−0 0 = = 0 5 5+0+0 4) lím
h→∞
5h4 − 2h2 + 3 3h3 + 2h2 + h
El numerador y denominador se dividen por “ h4” que es el término con mayor exponente. lím
h→∞
lím
h→∞
2 5h4 − 2h4 + 34 4 h h h = 3h3 + 2h2 + h h4 h4 h4
5 − 22 + 34
h h = 3 2 1 + 2 + 3 h h h
5−0+0 5 No existe límite. = 0 0+0+0 110
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 19
18 x 2 − 3 x + 2 2 x 2 + 5
5) lím
x →∞
El numerador y denominador se dividen por “ x ” que al introducirlo al radical es el término con mayor exponente. 18 x 2 − 3 x + 22 x 2 x 2 x 2 2 x + 5 x 2 x 2
lím
x →∞
18 − 3 + 22 x
lím
x →∞
x
=
18 = 9 = 3 2
=
2 + 52 x
3
6) lím
x 3 − 2 x 2 + 3
x →∞
2 x + 1
El numerador y denominador se dividen por “ x ” que es el término con mayor exponente. 3
lím
x 3 − 2 x 2 + 3 x
x →∞
2 x + 1 x 3
lím
=
x 3 2 x 2 3 − + 3 3 3 x x x
x →∞
=
2 x + 1 x x 3
1− lím
x →∞
2 3 + 3 x x
=
2+ 1
x
3
1 1 = 2 2 3 + 23 − 3 y4 y
7) lím
y→∞
=
9 y − 52 − 3 y 4
4 −3 lím 3 + 2 y − 3 y y→∞ 9 y4 − 5 y−2 − 3
El numerador y denominador se dividen por “ y4” que es el término con mayor exponente. −3 4 3 + 2 y4 − 3 y4 4 y y y
lím
y→∞
9 y4 − 5 y−2 − 3 y4 y4 y4 3 + 27 − 3 y4 y
lím
y→∞
9 − 56 − 34 y
8) lím
x →∞
lím
x →∞
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
=
1 −3 =− 9 3
y
2 x −1 + 3 x −2 = x −2 + 4
2 + 3 x x 2 1 +4 x 2
=
111
Cálculo diferencial Capítulo 2 2 x + 3 x 2
lím
x →∞
1 + 4 x 2 x 2
lím
2 x + 3 1 + 4 x 2
x →∞
Ejercicio 19
=
El numerador y denominador se dividen por “ x 2” que es el término con mayor exponente. 2 x + 2 x lím x →∞ 1 + x 2
lím
x →∞
3 x 2 4 x 2 x 2
2 + 3 x x 2 1 +4 x 2
=
=
0 = 0 4 v2 + 1
9) lím
v→∞
3
v3 − 3
El numerador y denominador se dividen por “ v” que es el término con mayor exponente. v2 + 1 v
lím
v→∞
3
v2 1 + 2 2 v v
lím
v→∞
lím
v→∞
1 v2
=
3 1− 3 v =
1
=
v3 3 − 3 3 v v
1+
1
=
v3 − 3 v
1 = 1 1 h2 + 4 − h2 − 4 h
10) lím
h→∞
El numerador y denominador se dividen por “ h” que es el término con mayor exponente. lím
h→∞
lím
h2 + 4 − h2 − 4 h h h
h2 4 + 2 − 2 h h
h→∞
lím
112
h2 4 − 2 2 h h
1 1+
h→∞
=
4 − h2 1
1−
4 h2
=
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 19
1 − 1 0 = = 0 1 1 11) lím
x →−∞
11 x + 6 4 − 6 x
El numerador y denominador se dividen por “ x ” que es el término con mayor exponente. 11 x + 6 x
lím
x →−∞
lím
x →−∞
4 − 6 x x
=
11 x + 6 x x 6 x 4 − x x
=
11 + 6 lím
x →−∞
11 x =− 4 6 −6 x x
12) lím
2
x →−∞
x − 4
El numerador y denominador se dividen por “ − x ” que es el término con mayor exponente. x − x
lím
x →−∞
−1
lím
x →−∞
x 4 − 2 2 x x
−1
x →−∞
=
1
−1 = −1 1
x →−∞
x →−∞
=
4 1− 2 x
13) lím
lím
=
2
lím
−1
=
x 2 − 4 − x
(3 x − 2)(3 x + 1) = (2 x + 7)( x − 2)
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
9 x 2 − 3 x − 2 2 x 2 + 3 x − 14
El numerador y denominador se dividen por “ x 2” que es el término con mayor exponente. lím
x →−∞
lím
x →−∞
9 x 2 3 x 2 − 2 − 2 x 2 x x
=
2 x 2 3 x 14 + 2 − 2 x 2 x x
9 − 3 − 22
x x 2 + 3 − 142 x x
=
9 2
113
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 19
2 x − 2− x = 2 x + 2− x
14) lím
x →+∞
2 x − 1 x
lím
x →+∞
2 = 2 + 1 x 2 x
lím
22 x − 1 2 x x 22 + 1 2 x
lím
22 x − 1 22 x + 1
x →+∞
x →+∞
=
El numerador y denominador se dividen por “2 2 x ” que es el término con mayor exponente. lím
22 x − 1 22 x 22 x + 1 22 x
lím
22 x − 1 22 x 22 x 22 x + 1 22 x 22 x
x →+∞
x →+∞
=
=
1 − 12 x
lím
x →+∞
2 1 = = 1 1 1 + 12 x 2
x 2 − 5 x + 3
15) lím
x →−∞
x 4 − 2 x 2 − 1
El numerador y denominador se dividen por “ x 2” que es el término con mayor exponente. x 2 − 5 x + 3 x 2
lím
x →−∞
x 2 − 5 x + 32 x 2 x 2 x
lím
x →−∞
=
2 x 2 1 x 4 − − 4 4 4 x x x 1 − 5 + 32 x
lím
x →−∞
1
=
x 4 − 2 x 2 − 1 x 2
x
=
2 1 1− 2 − 4 x x 1 = 1 1
=
1
am x m + … + a1 x + a0
16) lím
x →∞
bn x n + … + b1 x + b0
Si el exponente m = n El numerador y denominador se dividen por “ x n”. an x n
lím
x →∞
n
x bn x n x n
114
+…+ +…+
a1 x n
x b1 x x n
+ +
a0 x n b0 x n
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
lím
an + … +
x →∞
bn + … +
Ejercicio 19 a1
+
n−1
x b1
+
n−1
x
a0 x n
=
b0
an bn
n
x
Si el exponente m < n el numerador y denominador se dividen por “ x n”. am x m + … + a1 x + a0 x n
lím
x →∞
=
bn x n + … + b1 x + b0 x n m
am x
lím
x →∞
n
x bn x n x n
a1 x
+…+
n
x b1 x
+…+
a0
+
x n b0
+
x n
x n
pero como m < n 0 + … + 0 + 0 = 0 = 0 bn bn + … + 0 + 0 Si el exponente m > n el numerador y denominador se dividen por “ x m”. am x m
lím
x →∞
m
x bn x n x m
lím
x →∞
+
m
x
+…+
x
x b1 x
x m a1 x
n
m
m
+…+
am + … + bn x
a1 x
+…+
b1 x m
x
a0
+ +
x m b0
=
x m
a0 x m
+
b0 x m
pero como m > n am + … + 0 + 0
0+…+0+0
=
am
0
ax n + bx m 17) lím x →∞ cx n − dx m
No existe límite.
con n > m
El numerador y denominador se dividen por “ x n” que es el término con mayor exponente. lím
x →∞
ax n + bx m x n x n cx n − dx m x n x n
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
=
m−n lím a + bx x →∞ c − dx m−n
pero lím x m−n → 0, porque n > m, entonces x →∞
m−n a lím a + bx = x →∞ c − dx m−n c n
18) lím
x →∞
ax n + 1 x
El numerador y denominador se dividen por “ x ” que es el término con mayor exponente. 115
Cálculo diferencial Capítulo 2 n
lím
x →∞
n
lím
ax n + 1 x x x
=
ax n + 1 x n
x →∞
=
x x n
lím
ax n 1 + n n x x
x →∞
=
1 n
a+
lím
x →∞
n
Ejercicio 19
1
1 x n
=
n a = a 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
116
Cálculo diferencial Capítulo 2 1) y =
Ejercicio 20
2 x + 3 4 x − 5
Se realiza y = lím f ( x ) entonces: x →∞
2 x + 3 y = lím x →∞ 4 x − 5 2 x + 3 x x 4 x − 5 x x
y = lím
x →∞
2+ 3
x →∞
x 4− 5 x
2 4
y =
y = lím
y =
1 2
Entonces la asíntota horizontal tiene como ecuación: y =
1 2
2 y = 1 2 y − 1 = 0 2) f ( x ) =
1 x
Se realiza y = lím f ( x ) entonces: x →∞
1 y = lím x →∞ x y = 0 3) f ( x ) =
x 2 − 4 5
Se realiza y = lím f ( x ) entonces: x →∞
x 2 − 4 y = lím x →∞ 5 x 2 − 42 2 x x y = lím x →∞ 5 x 2
y = lím
x →∞
y =
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
1 − 42 x 5 x 2
1 No existe límite. Por lo tanto, la curva no tiene asíntotas horizontales. 0
4) y =
x 2 + 3 x
Se realiza y = lím f ( x ) entonces: x →∞
y = lím
x →∞
x 2 + 3 x x x
117
Cálculo diferencial Capítulo 2
y = lím
Ejercicio 20
x 2 3 + 2 2 x x
x →∞
x x
1+ y = lím
x →∞
3 x 2
1
=
± 1 = ±1 1
Las asíntotas horizontales son: y = 1 5) f ( x ) =
y = −1
2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 x 3 − 1
Se realiza y = lím f ( x ) entonces: x →∞
y = lím
x →∞
y = lím
2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 − 13 x 3 x
2 + 3 + 32 + 13 x
x 1 − 13 x
x →∞
y =
x
2 La asíntota horizontal es: y = 2 1
6) y =
ax + b cx − d
Se realiza y = lím f ( x ), por lo tanto: x →∞
ax + b y = lím x →∞ cx − d
y = lím
x →∞
y = lím
x →∞
y =
a c
7) f ( x ) =
ax + b x x cx − d x x
a+ b
x c − d x
Entonces la ecuación de la asíntota horizontal es: y = 2 x + 2
Se realiza y = lím f ( x ), por lo tanto: x →∞
y = lím
x →∞
y = lím
x →∞
y =
2 x + 2 2 x x + 2 x x
0 = 0 La ecuación de la asíntota horizontal es: y = 0 1
118
a ; c
cy − a = 0
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 20
8) xy + 2 x − 1 = 0 xy = 1 − 2 x
y =
1 − 2 x x
Se realiza y = lím f ( x ), entonces: x →∞
1 − 2 x y = lím x →∞ x 1 − 2 x x x x x
y = lím
x →∞
1 −2 x
y = lím
x →∞
1
= −2
La ecuación de la asíntota horizontal es: y = −2 9) f ( x ) = 2 x + 5 Se realiza y = lím f ( x ), entonces: x →∞
2 x + 5 y = lím x →∞ 1 2 x + 5 x x 1 x
y = lím
x →∞
2+ 5
x
y = lím
x →∞
y =
2 0
1 x
No existe límite. Por lo tanto, no existe asíntota horizontal.
10) f ( x ) =
ax n + a1 x n−1 + … + an bx n + b1 x n−1 + … + bn
Se realiza y = lím f ( x ), por lo tanto: x →∞
y = lím
x →∞
y = lím
x →∞
y = lím
ax n + a1 x n−1 + … + an bx n + b1 x n−1 + … + bn n−1 ax n + a1 x + … + an x n x n x n n−1 bx n + b1 x + … + bn x n x n x n
a+
x →∞
b+ y =
a b
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
a1 x b1 x
+…+ +…+
an x n bn x n
La ecuación de la asíntota horizontal es: y =
a ; b
by − a = 0 119
Cálculo diferencial Capítulo 2 1) f ( x ) =
Ejercicio 21
x 2 + x + 1
Y
x + 2
x + 2 = 0 x = −2 Asíntota vertical
y =x –1 x = – 2
2 lím x + x + 1 x →∞ x + 2
lím
X
1 + 1 − 12 x x 1 + 2 x x 2
x →∞
=
1 1+0−0 = ∴ No existe 0 0+0
As. vertical: x = – 2 As. oblicua: y = x – 1
No hay asíntotas horizontales.
f ( x ) = x − 1 +
y = f ( x)
3 x + 2
lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
lím x − 1 +
x →∞
3 − ( x − 1) = x + 2
x →∞
3 = x + 2
lím
3 x
lím
x →∞ x
x
+ 2
=
0 = 0 1
x
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = x − 1
2) f ( x ) =
1 − x 2 x − 3
x − 3 = 0 x = 3 Asíntota vertical 2 lím 1 − x = x →∞ x − 3
1 −1 2 x lím x →∞ 1 − 32 x x
∴ No existe
Por lo tanto no hay asíntotas horizontales. 8 f ( x ) = − x − 3 − x − 3 lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
lím − x − 3 −
x →∞
lím −
x →∞
8 − (− x − 3) = x − 3
8 = x − 3 − 8
lím
x
x →∞ x
− 3 x x
=
0 = 0 1
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = − x − 3 120
As. vertical: x = 3 As. oblicua: y = –x – 3
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 21
4 x 2 − 4 x + 5 2 x − 1
3) f ( x ) =
Y
2 x − 1 = 0 1 x = Asíntota vertical 2 2
lím 4 x − 4 x + 5 = lím x →∞ x →∞ 2 x − 1 4 − 4 + 52 x x lím x →∞ 2 − 1 x x 2
y = 2 x – 1
y = f ( x)
4 x 2 − 4 x + 5 x 2 x 2 x 2 2 x − 12 x 2 x
X As. vertical: x =
=
4 ∴ No existe 0
x =
1
1 2
As. oblicua: y = 2 x – 1
2
Por lo tanto, no hay asíntotas horizontales. 4 2 x − 1
f ( x ) = 2 x − 1 +
lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
4 − (2 x − 1) = 2 x − 1
lím 2 x − 1 +
x →∞
lím
x →∞
4 = 2 x − 1 4 x
lím
x →∞
2− 1 x
= 0
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = 2 x − 1 4) f ( x ) =
x 2 + 2 x + 2
Y
x + 2 = 0 x = −2 Asíntota vertical
lím
x →∞
lím
x →∞
x 2 + 2 x + 2 x 2 x 2 = lím x + 2 x →∞ x + 2 x 2 x 2 2 1+ 2 x 1 = ∴ No existe el límite. 1 2 0 + 2 x x
y = x – 2
2
x = – 2
X
As. vertical: x = – 2 As. oblicua: y = x – 2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Por lo tanto, no existen asíntotas horizontales. 6 f ( x ) = x − 2 + x + 2 lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
lím x − 2 +
x →∞
x →∞
6 = x − 2
lím
6 x
lím
x →∞ x
x
+ 2
6 − ( x − 2) = x − 2
=
0 = 0 1
x
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = x − 2 121
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 21
x 4 x 3 + 1
5) f ( x ) =
Y
3
x + 1 = 0 ( x + 1)( x − x + 1) = 0 x + 1 = 0 x = −1 Asíntota vertical 2 x + x + 1 = 0 No tiene soluciones reales.
y = f ( x)
2
x = lím x →∞ x 3 + 1 x →∞
lím
1
lím
x →∞
x 4 x 4
4
=
1 + 24 x x
x 3 + 14 4 x x
y = x
x = –1
X
1
= As. vertical: x = – 1 As. oblicua: y = x
1 ∴ No existe límite. 0
Por lo tanto, no existen asíntotas horizontales. x
f ( x ) = x −
3
x + 1
lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
lím x −
x →∞
lím −
x →∞
lím
x →∞
x
− ( x ) =
3
x + 1 x
=
3
x + 1 − 12 x
=
1 + 13
0 = 0 1
x
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = x 6) f ( x ) =
Y
x 5
y = f ( x)
x = –1
4
x − 1
y = x
x 4 − 1 = 0 ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1) = 0 x − 1 = 0 x = 1 Asíntota vertical x + 1 = 0 x = −1 Asíntota vertical x 2 + 1 = 0 No tiene soluciones reales. 5
5 lím x = lím x →∞ x 4 − 1 x →∞
1
lím
x →∞
1 − 1 x x 5
=
x x 5 x 4 − 15 x 5 x
1 ∴ No existe límite. 0
Por lo tanto no existen asíntotas horizontales. f ( x ) = x +
x 4
x − 1
lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
lím x +
x →∞
122
x − ( x ) = x − 1 4
X As. vertical: x = 1 x = – 1 As. oblicua: y = x x = 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2 x
lím
x →∞
4
x − 1
=
1 x 3
lím
x →∞
Ejercicio 21
1 − 14 x
=
0 = 0 1
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = x
7) f ( x ) =
x 3 − 3 x 2 + 1 x Y
x = 0 Asíntota vertical 3 2 lím x − 3 x + 1 = x →∞ x
y = x2 –3 x
2 x 3 − 3 x + 13 3 3 x x x x x 3
lím
x →∞
=
1 ∴ No existe límite 0 1 X
En consecuencia, no existen asíntotas horizontales. f ( x ) = x 2 − 3 x +
1 x
As. vertical: x = 0
lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
As. oblicua: y = x 2 – 3 x
x →∞
x = 0
lím x 2 − 3 x + 1 − ( x 2 − 3 x ) = x →∞ x lím
x →∞
1 = 0 x
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = x 2 − 3 x
8) f ( x ) = 3 x 3 − 3 x 2
En esta ecuación no se encuentra un cociente, por lo tanto no existe una asíntota vertical. Pero sí tiene asíntota oblicua.
Y
lím f ( x ) = a x
x →∞
y = f ( x)
lím [ f ( x ) − ax ] = b
x →∞
lím
x →∞
3
x 3 − 3 x 2 = x 3
lím
x →∞
1 X
x 3 3 x 2 − x 3 x 3
=
x x
As. oblicua: y = x – 1 y = x – 1
3
lím
x →∞
3 1− x 1
3
=
1 1
= 1
Por lo tanto, a = 1 123
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 21
Asíntota oblicua: y = ax + b lím
x →∞
[ x 3 − 3 x 2
lím
3
[ x 3 − 3 x 2 3
x →∞
− x ]
1
[
3
3
( x 3 − 3 x 2)2 + x 3 x 3 − 3 x 2 + x 2]
3
( x − 3 x ) + x x − 3 x + x ] 3
2 2
( x 3 − 3 x 2)2 + x 3 x 3 − 3 x 2 + x 2]
3
x
3
( x 3 − 3 x 2)2 + x x x 6
3
3
2
=
2
=
2 − 3 x 2
lím
x →∞
[ [
·
( x 3 − 3 x 2) − x 3
lím
x →∞
− (1)( x )] =
= 2 x 3 − 3 x 2 + x 2 3 x x
=
−3
1+1+1 −3 = −1 3
Por lo tanto la ecuación oblicua es: y = x − 1 9) f ( x ) =
x 5 + 1 x 2 − 1
x 2 − 1 = 0 ( x − 1)( x + 1) = 0 Discontinuidades: x = 1 x = −1 f ( x ) =
Y
y = f ( x) y = x3 + x
( x + 1)( x 4 − x 3 + x 2 − x + 1) ( x + 1)( x − 1)
x + 1 = 0 x − 1 = 0 4
x = −1 Es una discontinuidad removible. x = 1 Asíntota vertical. 3
2
X As. vertical: x = 1 As. oblicua: y = x 3 + x
lím x − x + x − x + 1 = x →∞ x − 1
x = 1
x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 4 x 4 x 4 x 4 x 4 lím x x →∞ x − 1 x 4 x 4
lím
x →∞
1 − 1 + 12 − 13 + 14 x
x x 1 − 1 x 3 x 4
x
=
=
1 ∴ No existe límite. 0
Por lo tanto no hay asíntotas horizontales. 1 f ( x ) = x 3 + x + x − 1 lím [ f ( x ) − (ax + b)] =
x →∞
lím x 3 + x +
x →∞
124
1 − ( x 3 + x ) = x − 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
x →∞
1 = x − 1
lím
1 x
lím
x →∞ x
x
lím
x →∞
− 1
Ejercicio 21
=
x
1 x
1− 1 x
=
0 = 0 1
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es: y = x 3 + x
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
125
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 22
1)
f ( x ) =
x 2
si x < 3
2 x + 5 si x ≥ 3 Los límites laterales son: lím ( x 2) = (3)2 = 9
x →3−
lím (2 x + 5) = 2(3) + 5 = 11
x →3+
Entonces: lím f ( x ) ≠ lím+ f ( x )
x →3−
x →3
9 ≠ 11 Por lo tanto, lím f ( x ) No existe
x →3
2)
g( x ) =
x + 1
si x < −2
x 2 − 5
si −2 ≤ x <1
−6
si x ≥ 1 Los límites laterales son: lím ( x + 1) = (−2 + 1) = −1
x →−2−
lím ( x 2 − 5) = (−2)2 − 5 = −1
x →−2+
Entonces: lím g( x ) = lím + g( x )
x →−2−
x →−2
−1 = −1 Por lo tanto, lím g( x ) = −1
x →−2
Los límites laterales son: lím [(1)2 − 5] = −4
x →1−
lím (−6) = −6
x →1+
Entonces: lím g( x ) ≠ lím+ g( x )
x →1−
x →1
−4 ≠ −6 Por lo tanto, lím g( x ) No existe
x →1
3)
x + 3 h( x ) =
126
1 − 1 x x 2 − 11 3
si x ≤ 1 si 1 < x ≤ 3 si x > 3
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 22
Los límites laterales son: lím x + 3 = 4 = 2
x →1−
lím
x →1+
1 − 1 = 1 − 1 = 0 x
Entonces: lím h( x ) ≠ lím+ h( x )
x →1−
x →1
2 ≠ 0 Por lo tanto, lím h( x ) No existe
x →1
Los límites laterales son: lím
x →3−
1 − 1 = − 2 3 3
2 lím+ (3) − 11 = − 2 x →3 3 3
Entonces: lím h( x ) = lím+ h( x )
x →3−
x →3
− 2 =− 2 3
3
Por lo tanto, lím h( x ) = − 2 3
x →3
4)
f ( x ) =
2 x x − 1
si −1 < x ≤ 2
x 2
si 2 < x < 4
Los límites laterales son: lím 2(2) = 4 = 4 x →2− 2 − 1 1 lím (2)2 = 4
x →2+
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Entonces: lím f ( x ) = lím+ f ( x )
x →2−
x →2
4 = 4 Por lo tanto, lím f ( x ) = 4
x →2
lím
x →−1+
2(−1) −2 = = 1 −1 − 1 −2
lím (4)2 = 16
x →4−
127
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 22
5)
f ( x ) =
x 2 − 4 x − 2
si x ≤ 2
2 x
si 2 < x < 4
x + 5
si x ≥ 4
Los límites laterales son: lím ( x −2)( x + 2) = 4 x →2− x − 2 lím 2(2) = 4
x →2+
Entonces: lím f ( x ) = lím+ f ( x )
x →2−
x →2
4 = 4 Por lo tanto, lím f ( x ) = 4
x →2
Los límites laterales son: lím 2(4) = 8
x →4−
lím
x →4+
4 + 5 = 3
Entonces: lím f ( x ) ≠ lím+ f ( x )
x →4−
x →4
8 ≠ 3 Por lo tanto, lím f ( x ) No existe
x →4
6)
f ( x ) =
x 2 − 3 x − 10 x + 2
si x ≤ −2
3 − 2 x x 2 − 5
si x > −2
Los límites laterales son: lím ( x − 5)( x + 2) = −2 − 5 = −7 x →−2− 1 x + 2 lím + 3 − 2 x = 3 − 2 (−2) = 3 + 4 = 7 = −7 x →−2 x 2 − 5 −1 (−2)2 − 5 4 − 5 Entonces: lím f ( x ) = lím + f ( x )
x →−2−
x →−2
−7 = −7 Por lo tanto, lím f ( x ) = −7
x →−2
128
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 22
7)
sen θ
si θ <
−cos2θ
si θ ≥
h(θ) =
π 2
π 2
Los límites laterales son: lím − sen θ = sen π = 1 2 2
θ→ π
lím + −cos2θ = −cos 2
θ→ π 2
π 2
= −(−1) = 1
Entonces: lím − h(θ) = lím + h(θ) π
θ→ π
θ→
2
2
1 = 1 Por lo tanto, lím h(θ) = 1
θ→ π 2
8)
3e x
g( x ) =
3 + 7 log( x + 1) Los límites laterales son:
si x ≤ 0 si x > 0
lím 3e x = 3e0 = 3
x →0−
lím (3 + 7 log( x + 1)) = 3 + 7 log (1) = 3
x →0+
Entonces: lím g( x ) = lím+ g( x )
x →0−
x →0
3 = 3 Por lo tanto, lím g( x ) = 3
x →0
9)
4 − 3sen x w( x ) =
3cos x + 5 x 1 − log sen 2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
si x < π si x ≥ π
Los límites laterales son: lím
x →π−
4 − 3sen x = 4 − 3sen π = 4 = 2
3cos π + 5 3cos x + 5 = x →π x π 1 − log sen 1 − log sen 2 2 lím+
= −3 + 5 = 2 = 2 1 1 − 0
Entonces: 129
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 22
lím w( x ) = lím+ w( x )
x →π−
x →π
2 = 2 Por lo tanto, lím w( x ) = 2
x →π
10)
f ( x ) =
sen x + cos x 4 − x 2
si x ≤ 0 si x > 0
Los límites laterales son: lím (sen x + cos x ) = sen (0) + cos (0) = 1
x →0−
lím
x →0+
4 − x 2 = 4 − (0)2 = 2
Entonces: lím− f ( x ) ≠ lím+ f ( x )
x →0
x →0
1 ≠ 2 Por lo tanto, lím f ( x ) No existe
x →0
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
130
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 23
cos 3 x 1) lím x →0 x + 3 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím cos 3 x = cos 3(0) = 1 x →0 x + 3 0 + 3 3 2) límπ (sen θ + cos θ) θ→
6
Se sutituye el valor al cual tiende “ θ” lím (sen θ + cos θ) = sen π + cos π θ→ π 6 6 6
= 1 + 2
=
3 2
1+ 3 2
α cos 3) lím 2sen α α→π 2 Se sutituye el valor al cual tiende “ α“ lím 2sen α cos α = 2sen π cos π 2 2
α→π
= 2(1)(−1) = −2 tan2ω − 1 4) lím ω→0 tan2ω + 1 Se sutituye el valor al cual tiende “ ω ” 2 lím tan ω − 1 = −1 = −1 ω→0 tan2ω + 1 1
π cos x π 5) límπ sen x − + x → 4 4 2 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím sen x − π cos x + π = sen π − π cos π + π π 4 4 2 4 2 4 2 3 π = sen π cos 4 4
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
x →
=
2 2
=−
2 1 =− 4 2
−
2 2
131
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 23
4 cos x sen x + cos x
6) lím
x →0
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 4 cos x = sen x + cos x
lím
x →0
4 cos 0 sen 0 + cos 0
=
4(1) 0 + 1
=
4 1
= 4 = 2
tan h sen2h − 1 3 Se sutituye el valor al cual tiende “ h” 7) límπ h→
3 1
tan π tan h 3 = = π 2 h→ sen h − 1 3 sen2 π − 1 lím
3 2
3
2
= − 1
3 1
3 1 = 3 − 1 − 1 4 4
= −4 3
sen x + cos x x → π sen x − cos x 4
8) lím 3
Se sutituye el valor al cual tiende “ x ” sen 3 π + cos 3 π sen x + cos x 4 4 = 3 x → π sen x − cos x 3 sen π − cos 3 π 4 lím
4
=
=
4
2 + − 2 2 2 2 − − 2 2 2
0 2
= 0
sec2ω ω→π 1 − sen2ω
9) lím
Se sutituye el valor al cual tiende “ ω ” sec2ω sec2π (−1)2 = = = 1 = 1 2 2 ω→π 1 − sen2ω 1 − sen π 1 − (0) 1 lím
10) límπ β→
3
sen β − cos β tan β − 3
Se sutituye el valor al cual tiende “ β” lím
β→ π 3
sen β − cos β tan β − 3
sen π − cos π
=
=
132
3
3
tan π − 3 3 3 −1 2
0
=
3 − 1 2 2
3 − 3
No existe el límite.
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
ω 2 ω→0 cos ω − 1
1) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ ω ” (0)2 0 ω 2 0 = = = ω→0 cos ω − 1 cos 0 − 1 1 − 1 0 lím
La indeterminación la vamos a eliminar multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
ω 2 ω→0 cos ω − 1 lím
lím
ω→0
·
cos ω + 1 = cos ω + 1
ω 2 (cos ω + 1) cos2ω − 1
Por identidad trigonométrica: −sen2ω = cos2ω − 1 lím
ω→0
ω 2 (cos ω + 1) −sen2ω
Ahora, lím
ω→0
ω 2 sen2ω
− lím (cos ω + 1) ω→0
Por teorema, lím sen x = lím x = 1 x →0 sen x x
x →0
w ω→0 sen w
lím
2
− lím (cos ω + 1) = (1)2[−(cos 0 + 1)] ω→0
= (1)[−(1 + 1)] = −2 sen 3θ 2) lím θ→0 tan 4θ Se sustituye el valor al cual tiende “ θ” lím sen 3θ = sen 3(0) = sen 0 = 0 θ→0 tan 4θ tan 4(0) tan 0 0 La indeterminación se va a eliminar empleando identidades trigonométricas. lím sen 3θ = sen 4θ cos 4θ
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
θ→0
lím sen 3θ · cos 4θ = sen 4θ
θ→0
lím 12θ sen 3θ · cos 4θ = 12θ sen 4θ
θ→0
lím (4θ)(3) sen 3 θ cos 4θ = (3θ)(4) sen 4 θ
θ→0
3 lím sen 3θ 4 θ→0 3θ
lím · θ→ 0
4θ sen 4θ
lím cos 4θ · θ→ 0
133
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
Por teorema, lím
x →0
sen x x = lím = 1 x 0 → x sen x
Entonces: 3 lím sen 3θ 4 θ→0 3θ
lím · θ→ 0
4θ sen 4θ
lím cos 4θ = · θ→ 0
3 (1)(1) lím cos 4θ θ→0 4
= 3 cos (0) 4
= 3 (1) 4
= 3 4
cos x − 1 3) lím x →0 sen2 x Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím cos x − 1 = cos 0 − 1 = 1 − 1 = 0 sen2 x sen20 0 0
x →0
La indeterminación la vamos a quitar empleando identidades trigonométricas. sen2 x = 1 − cos2 x −sen2 x = cos2 x − 1 lím
x →0
(cos x − 1)(1) (cos x − 1)(1) = − lím 2 x 0 → (cos x − 1)(cos x + 1) −1(cos x − 1)
= − lím
x →0
1 cos x + 1
=−
1 cos 0 + 1
=−
1 1+1
=−
1 2
2sen α − tan 2α
4) lím
α→0
α
Se sustituye el valor al cual tiende “ α” lím 2sen α − tan 2α = 2sen (0) − tan 2(0) = 0 0 0 α La indeterminación se evita empleando identidades trigonométricas. α→0
tan 2α = lím
α→0
134
sen 2α cos 2α
2sen α
α
−
tan 2α
α
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
sen α − lím 2 lím α→0
sen 2α = α→0 α cos 2α
α
sen α sen 2α 2 lím − 2 lím 0 α→0 α→ 2 α α cos 2α sen α sen 2α 2 lím − 2 lím α→0 α→ 0 2α α
lím
1
lím
1
α→0 cos 2α
Por teorema: lím sen x = 1 x
x →0
Entonces: sen α sen 2α 2 lím − 2 lím 0 α→0 α→ 2α α
α→0 cos 2α
= 2(1) − 2(1) = 2 − 2
1 cos 2(0)
1 1
= 2 − 2 = 0 1 − sec v 5) lím v→0 v2 sec v Se sustituye el valor al cual tiende “ v” lím 1 − sec v = 1 − sec 0 = 1 − 1 = 0 (0)2 sec 0 0(1) 0 v2 sec v
v→0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. 1 cos v
1− lím
v→0
v
lím
v→0
2
=
1 cos v
cos v − 1 cos v v2 cos v
=
lím cos v − 1 v2
·
v→0
cos v + 1 = cos v + 1
cos2v − 1 v→0 v2 (cos v + 1)
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
lím
Pero −sen2v = cos2v − 1 −sen2v lím = v→0 v2 (cos v + 1) 2 v − lím sen2
v→0
v
lím
v→0
1 cos v + 1
Por teorema: lím sen x = 1 x
x →0
2 − lím sen2 v
v→0
v
lím
v→0
1 1 = (−1) lím v 0 → cos v + 1 cos v + 1 135
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24 = (−1) = (−1)
1 cos 0 + 1 1 1+1
1 2
=−
sen2θ 6) límπ θ→ tan3θ 2 Se sustituye el valor al cual tiende “ θ” sen2 π sen2θ 2 , pero la tan π no existe. = θ→ π tan3θ 2 2 tan3 π lím
2
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. sen2θ = 3 tan θ 2
lím
θ→ π
sen2θ = sen3θ cos3θ
lím
θ→ π 2
sen2θ · cos3θ sen3θ 2
lím
θ→ π
Se multiplica por θ3 el numerador y denominador.
θ3 sen2θ · cos3θ = π θ→ θ3 sen3θ 2 lím
θ3
lím
θ→ π
sen θ 3
2
lím · θ→ π 2
1
θ
lím · θ→ π 2
sen2θ
θ
2
lím cos3θ · θ→ π 2
Por teorema: lím sen x = lím x = 1 x →0 sen x x
x →0
θ3
lím
θ→ π
sen θ 3
2
lím · θ→ π 2
1
θ
lím · θ→ π 2
sen2θ
θ
2
lím cos3θ = (1)3 · θ→ π 2
= (1)
lím
1
2
θ
θ→ π
1 π
(1) cos
2
= 3
7) lím
2
π
(0) = 0
(cos x − 1)2
x →0
tan x Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 3
lím
x →0
(cos x − 1)2 tan x
3
=
[cos(0) − 1]2 = tan 0
3
(1 − 1)2 = 0 0 0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. 136
lím cos3θ
(1)2
θ→ π 2
π 2
3
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2 3
Ejercicio 24
(cos x − 1)2
lím
x →0
·
tan x 3
lím
x →0
3
(cos x + 1)2
3
(cos x + 1)2
(cos2 x − 1)2 3
tan (cos x + 1)2 3
(−sen2 x )2
lím
x →0
3 tan (cos x + 1)2
3
lím
x →0
sen4 x
3 tan (cos x + 1)2
=
=
=
3 sen x sen x
lím
x →0
sen x 3 (cos x + 1)2 cos x 3 cos x sen x
lím
x →0
3
(cos x + 1)2
=
=
Entonces 3
(cos 0) sen(0) 3
(cos 0 + 1)2
1(0) 3
=
2
(2)
0 3
=
=0
4
cos 2w cos w − sen w 4 Se sustituye el valor al cual tiende “ w” 8) límπ w→
cos 2
cos 2w 4 = = w w cos sen − π π 4 − sen cos 4 4
lím w→
π
π
0 2 − 2 2 2
=
0 0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. cos2w − sen2w = w→ w w cos sen − 4 lím
π
lím (cos w − sen w)(cos w + sen w) = π cos w − sen w 4
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
w→
lím (cos w + sen w) π
w→
4
Finalmente cos
π + sen π = 4
2 + 2 9) lím
x →0
4
2 = 2 2 tan x 1 − sen x − 1 + sen x 137
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” tan x
lím
x →0
1 − sen x − 1 + sen x
tan 0
=
0
=
1 − sen 0 − 1 + sen 0
1 − 1
=
0 0
La indeterminación se elimina racionalizando el denominador. tan x
lím
x →0
1 − sen x − 1 + sen x
1 − sen x + 1 + sen x
·
1 − sen x + 1 + sen x
lím
tan x [ 1 − sen x + 1 + sen x ]
lím
tan x [ 1 − sen x + 1 + sen x ]
(
x →0
x →0
1 − sen x ) − ( 1 + sen x ) 2
2
(1 − sen x ) − (1 + sen x ) sen x cos x
lím
[
1 − sen x + 1 + sen x ]
x →0
−2 sen x
=
=
=
=
1
sen x [ 1 − sen x + 1 + sen x ]
lím
x →0
−2 sen x · cos x
Finalmente 1 − sen x + 1 + sen x
lím
x →0
−2 cos x
=
1 − sen 0 + 1 + sen 0
−2 cos 0
=
1 + 1 1+1 = −2(1) −2
=
10) lím
2 = −1 −2
tan (3 + α) − tan (3 − α) − α) − sen (3 + α)
α→0 sen (3
Se sustituye el valor al cual tiende “ α” lím tan (3 + α) − tan (3 − α) = tan (3 + 0) − tan (3 − 0) = tan 3 − tan 3 = 0 sen (3 − 0) − sen (3 + 0) sen 3 − sen 3 0 − α) − sen (3 + α)
α→0 sen (3
La indeterminación se elimina empleando las identidades trigonométricas. lím
sen (3 + α) − sen (3 − α) cos (3 + α) cos (3 − α)
α→0 sen (3
lím
sen (3 + α)cos(3 − α) − sen (3 − α)cos(3 + α)
α→0 cos (3
α→0 cos (3
α→0
138
=
+ α) cos (3 − α) [(sen 3 cos α − sen α cos 3) − (sen 3 cos α + sen α cos 3)] sen (2α)
α→0 cos (3
lím
− α)cos (3 + α) [sen (3 − α) − sen (3 + α)]
sen [(3 + α) − (3 − α)]
lím
lím
− α) − sen (3 + α)
=
+ α) cos (3 − α) [−2sen α cos 3] 2sen α cos α
−2sen α cos 3 cos (3 + α) cos (3 − α)
=
=
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24 cos α
− lím
α→0 cos 3 cos (3
·
+ α) cos (3 − α)
Finalmente cos 0
=−
cos 3 · cos (3) cos 3 1
=−
cos33
= − sec33 x 2 (a2 − b2) x →0 cos ax − cos bx
11) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” (0)2 (a2 − b2) 0 x 2 (a2 − b2) = = = 0 x →0 cos ax − cos bx cos 0 − cos 0 1 − 1 0 lím
La indeterminación se elimina empleando las identidades trigonométricas. x 2 (a2 − b2)
lím
x →0
−2sen
x →0
− 1 lím 2 x →0
x (a + b)
sen x (a + b) 2
· x lím →0
x (a − b)
sen x (a − b) 2
2 1 x (a + b) 2
sen x (a + b) 2 2
4 lím 2 x →0 sen x (a + b) 2
−
=
2 1 x (a − b)
· x lím →0
1 x (a + b)
−
=
−2sen x (a + b) sen x (a − b) 2 2
− 1 lím 2
=
ax − bx 2
x 2 (a − b)(a + b)
lím
x →0
ax + bx sen 2
2
sen x (a − b) 2
=
1 x (a − b)
· x lím →0
2
sen x (a − b) 2
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
4 4 (1)(1) = − = −2 2 2 (sen x )m x →0 (sen 2 x )m
12) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” (sen x )m (sen 0)m (sen 0)m = = = 0 m m x →0 (sen 2 x )m [sen 2(0)] (sen 0) 0 lím
La indeterminación se elimina empleando las identidades trigonométricas.
139
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
senm x = x →0 (2sen x cos x )m lím
(senm x )(1) = x →0 2m senm x cosm x lím
1 2 cosm x
lím
x →0
m
Por lo tanto, 1 = 2 cosm(0) m
1 1 = m 2 (1) 2 m
π
13) límπ θ→
2
2
− θ tan θ
Se sustituye el valor al cual tiende “ θ”
π − π tan π = 0 tan π , pero tan π no existe. 2
2
2
2
2
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. 0 π π π sen θ − = sen θ cos − sen cos θ 2 2 2
π = −cos θ
sen θ −
2
−sen θ −
π 2
= cos θ
Entonces sen θ = cos θ
lím −1 θ − π 2 2
θ→ π
sen θ
lím −1 θ − π θ→ π 2 2
lím
−sen θ − π 2
θ− π 2
θ→ π
=
2 sen θ − π
2
lím sen θ · θ→ π 2
Por teorema lím
x →0
lím
θ→ π 2
x = 1 sen x
θ− π 2
sen θ − π 2
lím sen θ = (1) · lím sen θ · θ→ π θ→ π 2
2
= sen π = 1 2
140
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
1 1 − tan w sen w
14) lím
w→0
Se sustituye el valor al cual tiende “ w” 1 − 1 = 1 − 1 = 1 − 1 No existe tan w sen w tan 0 sen 0 0 0
lím
w→0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. 1
lím
−
1 = sen w
w→0
sen w cos w
lím
cos w − 1 = sen w sen w
lím
cos w − 1 sen w
w→0
w→0
Se multiplica por el conjugado. lím cos w − 1 sen w
w→0
·
cos w + 1 = cos w + 1
cos2w − 1 w→0 sen w (cos w + 1) lím
Pero cos2w − 1 = −sen2w
−sen2w
lím
w→0
sen w (cos w + 1)
lím
−sen w = cos w + 1
w→0
=
−sen 0 = cos 0 + 1 0 1 + 1
=
0 = 0 2 . 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
141
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
x 3 x →0 2tan x − sen2 x
15) lím
Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” x 3
lím
x →0
2tan x − sen2 x
=
=
(0)3 2tan 0 − sen2(0) 0 0 − 0
=
0 0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. x 3
lím
x →0
2 sen x − 2sen x cos x
=
cos x
x 3
lím
x →0
2sen x − 2sen x cos2 x cos x
=
x 3 cos x = x →0 2sen x (1 − cos2 x )
lím
x 3 cos x = x →0 2sen x (sen 2 x )
lím
3 lím x cos x = x →0 2sen3 x
x 3 · lím cos x = x →0 sen3 x x →0 2
lím
cos x = (1) lím x →0 2 cos 0 = 1 2 2
cos x − 1 16) lím x →0 3 x 3 csc2 x Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím cos x − 1 = cos 0 − 1 , pero csc 0 no existe. x →0 3 x 3 csc2 x 3(0)3 (csc20) La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. lím
x →0
cos x − 1 3 x 3
=
1 sen2 x
2 lím sen x (cos x − 1) = x →0 3 x 3
2 lím sen x (cos x − 1) x →0 3 x 3
142
·
cos x + 1 = cos x + 1
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
2 2 lím sen x (cos x − 1) = x →0 3 x 3 (cos x + 1)
2 2 lím sen x (−sen x ) = x →0 3 x 3 (cos x + 1) 3 lím −sen x · sen x = x →0 3 x 3 (cos x + 1)
3 lím sen x 3 x →0 x
sen x = x →0 3(cos x + 1)
− lím
sen x = 3(cos x + 1)
(1) − lím
x →0
−
·
sen 0 = 0 = 0 = 0 3(cos 0 + 1) 3(2) 6
sen23 x 17) lím x →0 x 2 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 2 2 2 lím sen 3 x = sen 3(0) = sen 0 = 0 x →0 x 2 (0)2 0 0
2 2 lím sen 3 x = lím sen 3 x x →0 x →0 x 2 x
La indeterminación se elimina por el teorema lím sen x = 1 x
x →0
Entonces: lím
x →0
3sen 3 x 3 x
2
=
lím (3)2 sen 3 x x →0 3 x lím (3)2 · lím
x →0
x →0
2
=
sen 3 x 3 x
2
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
=
(3)2(1)2 = (9)(1) = 9 sec 2w − 1 18) lím w→0 w sec 2w Se sustituye el valor al cual tiende “ w” lím sec 2w − 1 = sec 2(0) − 1 = 1 − 1 = 0 w sec 2w 0 0 (0)(sec 2(0))
w→0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. 143
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
lím
1 −1 cos 2w 1 w· cos 2w
lím
1 − cos 2w cos 2w w cos 2w
w→0
w→0
=
=
lím 1 − cos 2w = w
w→0
2 2 2 2 lím (sen w + cos w) − (cos w − sen w) = w→0 w
2 sen2w = w→0 w lím
lím
w→0
2 sen w 1
· wlím →0
sen w = w
lím 2 sen w (1) =
w→0
(2sen 0)(1) = 2(0)(1) = 0 cos mx − cos nx 19) lím x →0 2 x 2 Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” lím cos mx − cos nx = cos m(0) − cos n(0) = cos 0 − cos 0 = 1 − 1 = 0 2 x 2 0 2(0)2 0 0
x →0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. mx + nx sen 2
cos mx − cos nx = −2sen
= −2sen
m+n x sen 2
mx − nx 2
m−n x 2
Entonces: lím cos mx − cos nx = 2 x 2
x →0
−2sen lím
m+n x sen 2
x →0
2 x 2
− m+n lím
2
x →0
m+n 2
x →0
144
4
1
=
m − n sen m + n x sen m − n x 2 2 2
2 2 − m −n
lím
m−n x 2
m − n x 2 2
sen m + n x
· x lím →0
2
m+n x 2
=
sen m − n x
· x lím →0
2
m−n x 2
=
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
Cálculo diferencial Capítulo 2
Ejercicio 24
n2 − m2 (1)(1) = x →0 4
lím
n2 − m2 4
cos 4 x − cos22 x 20) lím x →0 x Se sustituye el valor al cual tiende “ x ” 2 2 2 lím cos 4 x − cos 2 x = cos 4(0) − cos 2(0) = cos 0 − cos 0 = 1 − 1 = 0 x →0 x 0 0 0 0
La indeterminación se elimina empleando identidades trigonométricas. cos22 x − sen22 x − cos22 x = x →0 x lím
2 lím −sen 2 x = x →0 x
2 lím −(sen 2 x ) = x →0 x
2 lím −(2sen x cos x ) = x →0 x
2 2 lím −4sen x cos x = x →0 x
lím sen x x →0 x
· x lím →0
−4sen x cos2 x = 1
(1) −4 lím sen x cos2 x = x →0
(1) [−4 (sen 0) (cos 0)2] = (1)(−4)(0)(1)2 = 0
. 5 1 0 2 , O C I X É M E D N Ó I C A C U D E N O S R A E P
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