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fcnm
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Fundamento legal subsidios y ayudas para gastos de funeral y matrimonio Glosario de términos subsidios y ayudas para gastos de funeral y matrimonio
IIT Dpto. de Ciencias Físico Matemáticas APUNTES DE CALCULO INTEGRAL (Matemáticas II y Calculo II
del IIT de la UACJ)
Mtro. Mtro. Jesús Estrada Cabral Cd. Juárez Chih. Agosto-Diciembre del del !""
Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
J. %strada C.
IIT de la UACJ
"
PRESENTACION %$ la #erma$e$te b&s'ueda de cada ez más y meores recursos #ara la e$se*a$za y la a#ro#iaci+$ del saber e$ el área del del cálculo i$tegral, se #rese$ta #rese$ta el siguie$te material material 'ue estoy seguro será será de utilidad #ara los maestros y sobre todo alum$os de los casi ei$te gru#os de Matemáticas II yo de Calculo II 'ue cada semestre semestre se #rograma$ #rograma$ e$ el I$stituto I$stituto De I$ge$ier I$ge$ieraa y Tec$olog Tec$ologa a de la U$iersid U$iersidad ad Aut+$oma Aut+$oma De Ciudad Juárez. %l material es #articularme$te &til #ara los me$cio$ados estudia$tes #or'ue se /u$dame$ta e$ el tiem#o dis#o$ible #ara este curso (0! a 1! horas clase), aborda los co$te$idos y sigue el orde$ i$dicado e$ el #rograma y carta descri#tia UACJ #ara estas asig$aturas, si$ embargo es de/i$itio 'ue el material podrá ser de gran utilidad para todo estudiante que esté llevando la materia en cualesquier institución instit ución de educación superior o desee aprender cálculo integral. 2os co$te$idos se #rese$ta$ e$ tres u$idades 'ue salo #e'ue*as aria$tes corres#o$de$ al curso habitual para calculo integral en la mayoría de las instituciones de educación superior 3 %$tre las aria$tes, se e$co$trará u$a secue$cia e$ la 'ue se i$cluye$ #arcialme$te desarrollados los a$tecede$tes básicos #ara cada tema, es tarea del #ro/esor determi$ar la ra#idez co$ la 'ue abordará estos as#ectos3 %$ lo #articular #re/iero au$'ue de ma$era muy /luida retomar estos co$ce#tos básicos. %$ el desarrollo del curso la #ri$ci#al aria$te será la i$siste$te me$ci+$ de 'ue los #roblemas y eercicios so$ el medio #ara desarrollar desarrollar hábitos, habilidades habilidades y co$ocimie$tos y $o la /i$alidad del curso. I$ariabl I$ariableme$ eme$te te al comie$zo comie$zo de cada u$idad u$idad y tambi4$ tambi4$ #ara algu$os algu$os otros temas, temas, el i$icio i$icio es a #artir de alg&$ #roblema de a#licaci+$ a#licaci+$ 'ue muestre al estudia$te estudia$te la utilidad yo $ecesidad de a#ro#iarse de este co$ocimie$to, u$a ez 'ue ca#turamos la ate$ci+$ del estudia$te abordamos la i$dis#e$sable /ase de o#eratiidad o eercitaci+$ co$ m<i#les eem#los y eercicios #er/ectame$te graduados y e$ di/icultad crecie$te sobre resoluci+$ resoluci+$ de i$tegrales y #roblemas de a#licaci+$. a#licaci+$. %l material se #rese$ta e$ /orma com#acta #ara #ermitir 'ue e$ clase el maestro lo desarrolle más am#liame$te, i$cluye las solucio$es a la mayora de los #roblemas. Se recomienda al estudiante anote en el material los datos mínimos necesarios y ampliaciones de clase y enseguida desarrollar en su cuaderno el procedimiento y observaciones observaciones completas . %l orde$ e$ 'ue se #rese #rese$ta $ta cada cada tema tema de/i$e de/i$e claram clarame$t e$tee la secue$c secue$cia ia didáctic didácticaa 'ue se está #ro#o$ie$do, el el maestro deberá desarrollarla desarrollarla seg&$ las las $ecesidades $ecesidades del gru#o y su #ro#ia creatiidad. creatiidad. Cada tema y sobre todo las reglas de i$tegraci+$ 'ue e$ este curso se utiliza$ so$ #reiame$te demostrados, esta obte$ci+$ debe realizarse con la participación de los estudiantes y en la forma más intuitiva posible, hacie$do hacie$do 4$/asis 4$/asis e$ e$ 'ue la ese$cia ese$cia del del curso $o $ecesar $ecesariame$ iame$te te es la resoluci+ resoluci+$$ de i$tegrales. 2as matemá matemátic ticas as y #artic #articula ularme rme$te $te el cálcul cálculoo i$tegr i$tegral, al, so$ u$a herram herramie$ ie$ta ta 'ue #ermit #ermitirá irá al f orma estudia$te com#re$der 'ue las matemáticas no son solo números sino que se constituyen en una forma de ser, de vivir, de actuar. 2as matemáticas $o solo le será$ &tiles al i$ge$iero i$ge$iero y al #ro/esio$ista de toda área de i$estigaci+$, $os so$ &tiles e$ todo ee$to y a todas las #erso$as. %l #e$samie$to 'ue #articularme$te co$ el cálculo se ge$era y 'ue este material #rete$de ace$tuar, $os e$cauza #ara 'ue e$ cada cuestio$amie$to sigamos el #roceso de5 i) 67u4 'uiere$ de mi8 mi8 ii ) 67u4 se re'uiere #ara resoler esto - 'ue de eso te$go yo8 iii) el proceso ineludible para cada problema de integración! "#ómo transformo lo que tengo en lo que se necesita$ %ste #roceso de tres se$cillos se$cillos #asos es lo 'ue co$ este curso de cálculo cálculo i$tegral #rete$der4 lograr #ara cada u$o de mis estudia$tes. estudia$tes.
Mtro. Jesús Estrada Cabral
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I9DIC%
%resentación................ %resentación........................................ ............................................... ............................................................... ........................................&& y ' Carta Descri#tia o/icial...................................................... o/icial........................................................................................ ..................................00 "." %l co$ce#to de i$tegraci+$. i$tegraci+$. (:bte$er la dista$cia recorrida, ecuaci+$ ecuaci+$ de #osici+$ ;reas y ol&me$es básicos
<<<<<<<<<<<<<<<<< "!
(.( %ercicio "." =roblemas " a "1......................................................"> "1......................................................"> #ote$cias....................................................."0 "0 (.& 2a regla básica y ge$eral de las #ote$cias.....................................................
(.& %ercicio ". =roblemas " a 0......................................................"? 0......................................................"? (. 2as /u$cio$es logartmica y e@#o$e$cial.......................... e@#o$e$cial................................................. ............................." ......" (..( Caractersticas de las /u$cio$es logartmica y e@#o$e$cial......." (..( %ercicio ".>." =roblemas " a ?.................................................." ?.................................................." (..& Deriada e i$tegral de las /u$cs. 2ogartmica y %@#o$e$cial....> %@#o$e$cial.... > (.. 2a e@#o$e$cial e$ la modelaci+$ del crecimie$to.....................0 (.* 2a i$tegral del del #roducto o i$tegraci+$ #or #or #artes.........................................? #artes.........................................? %resentación unidad ++ .................................................................................. &.( 2a I$teg. I$teg. Del #roducto3 #roducto3 A$tecede$tes básicos de las trigo$om4tricas...... trigo$om4tricas.... ....>! ..>! &.& :bte$ci+$ de Deriada e I$tegral de trigo$om4tricas........................... trigo$om4tricas..................................>! .......>! &. Casos %s#eciales5 co$ugados y Trigo$om4tricas Trigo$om4tricas obte$idas co$ co$
dv v
....>"
&.* 2as /u$cio$es Trigo$om4tricas I$ersas.......................................... I$ersas........................................................> ..............> :bte$ci+$ de las reglas #ara Deriaci+$-I$tegraci+$ de las T. I$ersas
&. %l caso /actorizaci+$............................................... /actorizaci+$...................................................................... ....................................... ................>B >B &.- %l caso descom#osici+$..................................... descom#osici+$............................................................ ............................................ .....................>0 >0 &. %l caso /actorizaci+$ y descom#osici+$........................ descom#osici+$........................................................ ................................>0 >0 &.' I$tegraci+$ (=or #artes) de las trigo$om4tricas i$ersas...............................>1 %resentación unidad +++ ..................................................................................> .( %l caso V
.& %l caso #ote$cia im#ar....................................... im#ar.............................................................. ...........................................B! ....................B!
I9DIC% Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
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>
. %l caso #ote$cia #ar.................................................. #ar...................................................................................... ....................................B" B" .* 2a /orma Sen n vCos n vdv .............................................. ........................................................................B ..........................B . %l caso á$gulo di/ere$te...................................... di/ere$te............................................................. ..........................................B> ...................B> Seccion ++ ++ /01232S 30 +410567#+24 +410567#+24 .- I$tegraci+$ #or sustituci+$ trigo$om4trica................................. trigo$om4trica........................................................ .................................BB ..........BB . Casos más usuales obte$idos co$ sustituci+$ trigo$om4trica.....................B0 .' %l caso e$ ge$eral de I$tegraci+$ #or sustituci+$ trigo$om4trica...............B? trigo$om4trica............... B? .8 I$tegraci+$ #or descom#osici+$ e$ /actores................................ /actores..................................................B ..................B .(9 %l caso e$ ge$eral de i$tegraci+$ #or descom#osici+$ e$ /actores.............0" .(( I$tegraci+$ #or descom#osici+$ co$ /actores re#etidos.......................... re#etidos..............................0 ....0 .(& %l caso co$ /actores cuadráticos e$ el de$omi$ador...................................0> AM=2IACI AM=2 IACI:9 :9 :2: =AEA AFA9GAD: A9GA D:
=ag 0B
.( I$tegraci+$ #or #artes (%l caso co$ re#etici+$)...........................................0? re#etici+$)........................................... 0? .(* Calculo de área e$tre dos curas..................................... curas............................................................ .............................0 ......0 .( :bte$ci+$ de ol&me$es de s+lidos de reoluci+$............................ reoluci+$......................................1" ..........1"
Carta Descriptia Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
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B
I. Ide!ti"icadores del Pro#ra$a% Carrera% Ingeniería En Mecatrónica Materia% MATEMATICAS II Tipo '( C%rso &&'aller % &&(eminario
C2)C C2)C3) 3) III III C2)C3) I4 EC32CI5E( DIFE6E5C(. I
FI(IC2
III
CBE1 CBE1,, ,,!" !"# # CBE,, CBE1,,7"#
CBE1,"#
III. A!tecede!tes% Co!oci$ie!tos+ Co!oci$ie!tos+ Dominio de 8lgebra9 'rigonometría9 'rigonometría9 :eometría 2nalítica ; Calc%lo Di0erencial a ni/el de preparatoria. C%rso de 2lgebra ; Matemáticas I de primer semestre %ni/ersitario. ,abilidades - destreas+ destreas + bser/ador de patrones de 0ormación ; n%me concept%al ; en el conte?to de problemas. :%sto por la participación colegiada@ :%sto por la e>ercitación ; el traba>o matemático matemático intenso.
I/ Prop*sito% aA Formar Formar pro0esionistas pro0esionistas capacitados capacitados para en el entorno ingenieril9 identi0icar la problemática problemática %e %e se les les pres presen ente te99 asoc asocia iarl rla a a proc proces esos os sist sistem emát átic icos os ; %tili %tili=a =arr s%s s%s abi abilid lidad ades es desarrolladas desarrolladas en la integración para plantear ; aplicar e0icientes prop%estas de sol%ción. bA 2plic 2plicar ar la meto metodo dolo logí gía a de Inte Integr grac ació ión n a prob proble lema mass del del ento entorn rno o inge ingeni nier eril il en Mecatrónica Mecatrónica ; en general para la in/estigación cientí0ica. cA Me>orar Me>orar s%s s%s oport%nid oport%nidades ades de de desarro desarrollo llo en c%rso c%rsoss posterior posteriores es asocia asociados. dos.
/. Ob0etios% Co$pro$isos "or$atios "or$atios e i!"or$atios Co!oci$ie!tos+ Co!oci$ie!tos+ 2sociar a la deri/ada con s% correspondiente correspondiente integral Concepto Concepto de antideri/adaA9 6econocer 6econocer ; aplicar metos9 distancia recorrida9 recorrida9 traba>o9 0%er=a ; en general de patrón cíclico o contin%o.
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0
/I. Co!dicio!es de operaci*! Espacio+ &?& 'ípica &&& Ma%inaria &&& rácticas 2%la+ & Con0erencia 'aller+ &&&& *erramientas )aboratorios & E?perimental oblación 5o. Deseable+ ,M$imo Má?imo+ , Mobiliario+ ?& Mesa banco &&& 6estiradores &&& Mesas tro+ Material ed%cati/o de %so 0rec%ente+ & 6ota0olio &?& ro;ector de acetatos &?&& 4ideo
/II. Co!te!idos - tie$pos esti$ados 35ID2DE( IA C5CE'( E I5'E:62CI5 F35D2ME5'2) IIA I5'E:62CI5 DE '6I:5ME'6IC2( IIIA ME'D( DE I5'E:62CI5 G2M)I2CI5 2 2)IC2CI5E(. En todo el c%rso abrá aplicaciones de la integral.
'otales
'eoría
ráctica
, *6(. *6(. 1 *6(.
, *6(. *6(. 1 *6(.
1, *6(.
1, *6(.
CONTENIDO TEMATICO UNIDAD I% INTEGRACION 2UNDAMENTAL. 1.1 El concepto de Integración a partir de problemas como obtener la ec%ación de posición9 8reas ; /olúmenes básicos %e permitan concl%ir con el teorema 0%ndamental del cálc%lo. 1. )a regla básica ; la regla general de las potencias. 1. El caso especial 9 características ; %tilidad de los logaritmos 1.! btención de la 0órm%la de integración por partes para LnVdv 1.H Deri/ada e integral de las 0%nciones logarítmica ; e?ponencial. UNIDAD II% INTEGRACI3N DE LA 2UNCION TRIGONOMETRICA .1 rigen9 antecedentes básicos ; posibilidad de aplicación de las trigonom%gados9 reciprocas ; d// con trigonom
dv
dv
v
K a
a Kv a v v .# )os casos 0actori=ación ; Ldescomposición en dos partes con las reglas anteriores. .7 Integral de las trigonom
a
dv
dv
v a v .! )os di0erentes casos ; la 0orma en gral. de integr. por descomposición en 0racciones. >.0 El caso en general de Integración por partes. UNIDAD I/ + AMPLIACION A LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL !.18rea entre dos regiones planas . !. 4olúmenes de sólidos en re/ol%ción.
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/III. Metodolo#4a - estrate#ias did)cticas
. Metodolo#4a I!stit+cio!al% aA Elaboración de ensa;os9 monogra0ías e in/estigaciones según el ni/elA cons%ltando 0%entes bibliográ0icas9 emerográ0icas9 ; Lon line. bA Elaboración de reportes de lect%ra de artíc%los act%ales ; rele/antes en leng%a inglesa.
5. Metodolo#4a - estrate#ias reco$e!dadas para el c+rso% 2. E?posiciones && Docente && 2l%mno && E%ipo B. In/estigación && Doc%mental &&& Campo &&& 2plicable C. Disc%sión &&& 'e?tos && roblemas &&& ro;ectos D. ro;ecto && DiseNo &&& E/al%ación :. rácticas && En 2%la &&& LIn sit% *. tro+ Especi0i%e+
&&?& Casos
I6. Criterios de eal+aci*! - acreditaci*! A7 I!stit+cio!ales para la acreditaci*!% ¾ 2creditación mínima de $,O de las clases programadas. ¾ Entrega oport%na de traba>os. ¾ ago de derecos. ¾ Cali0icación ordinaria mínima de 7.,. ermite el e?amen de tít%lo+ &?& (í &&& 5o 87 Eal+aci*! del c+rso% E?ámenes parciales+
6. 8iblio#ra"4a 2A Bibliogra0ía bligatoria+ 2p%ntes de Matemáticas II de Jesús Estrada 32CJA Calc%lo de %na /ariable@+ 2%tor James (tePart 9 Editorial Cengage )earning Editores (.2. Calc%lo+ 2%tor Debora *%ges 9 Mc. :raP *illA BA Bibliogra0ía complementaria ; de apo;o )arson Q *ostetler @ Rill9 (oPSoPsS;9
6I. Obseracio!es - caracter4sticas relea!tes del c+rso 6ea0irmación de los c%rsos de Matemáticas anteriores ; antecedente básico para todas las disciplinas s%bsec%entes.
6II. Per"il deseable del doce!te Maestro del área o materia a0ín. 6III. I!stit+cio!aliaci*!
6evisión por 5
7cademia de /atemáticas . #omité 3e /atemáticas ++ Coord. 5 Mtro. :scar Euiz Ch. Ees#.5 Mtro. Jes&s %strada C.
Je"e del Departa$e!to% M.C. 2ra!cisco L*pe ,er!)!de Elaborado por% M.C. Jesús Estrada C. Feca de elaboración+ Febrero del ,,! 2ec9a de reisi*!% Maro del
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5:;;
Cd. J%áre= Ci. 2gosto del ,11 6E (E 5' 2C I 5 C2)C3) II CBE1,,"#A II' de la 32CJ 5ombre+ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
HE. III) METODOS DE INTEGRACION Y AMPLIACION A LAS APLICACIONES
U9IDAD I5 +410567#+24 >:437/0417<. "." %l Co$ce#to de I$tegral, teorema /u$dame$tal del cálculo, obte$er la dista$cia recorrida, ecuaci+$ de #osici+$, el área y el olume$ de /u$cio$es básicas. ". I$tegral de mo$omios y #oli$omios algebraicos (2a regla básica de i$tegraci+$). ".." I$tegral de #ote$cias algebraicas (2a regla ge$eral de las #ote$cias). ".> %l caso es#ecial
dv v
l$ v c 3 Caractersticas, utilidad, deriaci+$ e i$tegraci+$ de las /u$cio$es
e@#o$e$cial y logartmica. ".B :bte$ci+$ de la /+rmula de i$tegraci+$ #or #artes #ara l$ Vdv y casos básicos. ".0 Caractersticas, utilidad e I$tegraci+$ de /u$ci+$ e@#o$e$cial, a#licaci+$ a #roblemas de crecimie$to.
Bibliogra0ía
A) . :bligatoria 5A#u$tes de Matemáticas II de J. %strada dis#o$ibles e$ UACJ:92I9% ) Calculo de5 ".- 2arso$ Hostetler3 .- D4bora Huges Mc. KraL Hill) C) . com#leme$taria y de a#oyo5 Calculo de Gill, hoLoLsy, A#ostol, 2eithold ,<, otros similares)
Material % C+ader!o >NICO ? l%ma tintas9 )ápi=9 regla9 CALCULADORA CRITERIOS DE E/ALUACI3N i) Tres exámenes parciales ( 70 a 80 % de la evaluación semestral) donde se consideran: a) Examen Teórico (70 a 90 Puntos) b) Asistencia ( 10 a 15 Ps) c) Participaciones en clase Tareas (10 a !0 Ps ii) "n Examen #epartamental (!0 a $0% de la evaluación Semestral)
24I( C)2(IFIC2D Se solicita maestro(a) para impartir la materia de CALCULO INTEGRAL A los estudiantes de Ingeniería !ara lo cual de"er# reunir las siguientes Características$
Anote %ue es lo %ue desea del pro&r en cuanto a$ a) Contenidos ") 'ormacin c) Criterios de Ealuacin del curso del pro&r*
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d) Otros aspectos
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Cd. J%áre= Ci.
2gosto del ,11
35ID2D I+I5'E:62CI5 F35D2ME5'2)
Jec
Introd%cción+ )o más im#orta$te #ara este i$icio de curso es el 'ue cada uno de los participantes tenga absolutamente claro lo que significa la integral 3
I$iciaremos #ues, co$ u$a serie de #roblemas 'ue $os de$ la #auta #ara e$te$der el 'ue y el #ara 'u4 de la i$tegral. (2a am#liaci+$ de estos y otros #roblemas 'ue se erá$ dura$te el curso, se retomará al /i$al del semestre, e$ la u$idad de a#licacio$es). A este $iel u$a #arte de los estudia$tes sabe i$tegrar, sobre todo las i$tegrales /u$dame$tales 'ue #arte$ directame$te de cada u$a de las reglas de deriaci+$, #ero es de/i$itio 'ue muy #ocos alum$os sabe$ lo 'ue realme$te sig$i/ica i$tegrar y me$os a&$ el #asar de la /ase de uso u o#eratia de sim#leme$te saber a#licar u$a regla de i$tegraci+$, a las /ases de descubrimie$to y de usti/icaci+$.
0S1:3+7410S! 9o #ermita$ 'ue el curso aa$ce hasta tener absolutamente claro lo que significa la integral y algu$as de sus #osibles a#licacio$es como área bao la cura, suma de i$/i$itas ca$tidades i$/i$itame$te #e'ue*as o la obte$ci+$ de la #rimitia-origi$al N o N a$tideriada.
E/al%ación+
%$ el e@ame$ te+rico de esta u$idad se #edirá al alum$o 'ue e@#li'ue am#liame$te los di/ere$tes co$ce#tos sobre el sig$i/icado de i$tegrar, esto a #artir de 'ue obte$ga$ y escriba$ el $ombre yo sig$i/icado #ráctico de cada u$a de las com#o$e$tes del teorema /u$dame$tal del cálculo. Deberá obte$er dista$cia recorrida, la ecuaci+$ de #osici+$, el área y ol&me$es bao curas algebraicas básicas, i$cluye$do gra/icaci+$ y casos e$ arias seccio$es. e #edirá 'ue #ueda obte$er la regla básica y la regla ge$eral de las #ote$cias además de resoler i$tegrales sobre los di/ere$tes casos e$ 'ue se a#lica$ estas reglas. Deberá e@#licar 'ue so$ y algu$as i$teresa$tes a#licacio$es de las /u$cio$es logartmica y e@#o$e$cial, además de la obte$ci+$ y a#licaci+$ de las reglas de deriaci+$ e i$tegraci+$ corres#o$die$tes.
() %62?. +4+#+7< Desde u$a altura de ! /t se la$za hacia arriba u$ #royectil, cuya elocidad a los t segu$dos des#u4s del la$zamie$to #udo ser descrita #or F(t) O 1B N >t a) 2a elocidad i$icial V del la$zamie$to es8 b) 2a altura o #osici+$ i$icial S ! del la$zamie$to es8 c) 2a altura a los ", ,> ,B y 0 segu$dos del la$zamie$to es8 !
d) 2a altura má@ima 'ue alca$za el #royectil es8 Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
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e) %$ 'ue tiem#o, co$ 'u4 elocidad y co$ 'u4 aceleraci+$ choca el obeto co$tra el #iso8 Anote sus concl. sobre que es la vel, porque se necesita la integral, etc.. 10/7 (.(! 0< #24#0%12 30 +410567#+24 A) %2 =E:2%MA "."." D% 2A DITA9CIA E%C:EEIDA5 2as tablas " y muestra$ las elocidades (%$ metros #or mi$uto) 'ue u$ age$te de ialidad le registro esta ma*a$a al cami$ar del #ro/esor de matemáticas, hasta su llegada a la e$trada del IIT. TA2A "5 Felocidades crecie$tes5 t (mi$utos) ! B 1 F(t) mmi$ "! 1! ! "!!
(.@ #ompruebe que la distancia caminada por el profesor en los primeros seis minutos es! &9 A d A 99 (B"!m e$ #romedio)
d Min !,P ("!)( ) !m
d MAX !,P (1!)() "! m
TA2A 5 Eegistro total hasta la e$trada al IIT 5 t ! " > B (t) "! >?.0 1! ??.0 !
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&.@ #alcule la distancia promedio caminada por el profesor hasta llegar a la entrada del ++1$! d Min !,"P ("!)(") "! m d MAX !,"P (>?.0)(") >?.0m
ol. =romedio 1>.?0 m
.@ 3espués de resolver el prob. (.(.& de la dist. 6ecorrida, obtenga yBo eCplique ampliamente cómo podríamos calcular de manera eCacta la distancia hasta llegar al salón de clase. Sol. '*(.- m
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=E:2%MA ".". D% DITA9CIA E%C:EEIDA5 2a tabla de alores de u$ obeto 'ue se des#laza a elocidad co$sta$te e$ mmi$ #uede ser descrita media$te la /u$ci+$ vDt) ED )t F D ), #ara ! t B ".- asado e$ la gra/ica com#lete la sig. Tabla y la /u$ci+$ vDt)5 t ! " > B F(t)
&.@ Calcule la dista$cia #romedio recorrida.
>.- %$ la gra/ica a 'ue corres#o$de la dista$cia (B) obte$ida8
De las co$clusio$es obte$idas, gra/i'ue y termi$e el #roblema "."." ?) %62?<0/7 50406716+G5 (A #artir de u$a $ecesidad real, se co$struye$ co$ce#tos mucho más am#lios 'ue la soluci+$ del #roblema origi$al). 2a b&s'ueda #or resoler el siguie$te #roblema es a$tecede$te hist+rico /u$dame$tal #ara la i$e$ci+$ de la i$tegral. %62?<0/75 Calcule el área limitada #or la cordillera y el ro recto e$ el i$teralo desde u$ cierto #u$to a, hasta otro #u$to b. (I$ter#rete el co$te@to hist+rico, dibue e i$te$te resoler) I9T%E=E%TACI:9 Q:EMA2 (Ra co$ el #la$o cartesia$o, muchos siglos des#u4s) Te$emos u$a cura de la 'ue #odemos determi$ar su ecuaci+$ y f ( x) y co$struir su grá/ica. Y =
y f ( x )
x a D b a R 'ueremos saber el área e$tre la cura y el ee S, desde el #u$to a hasta b3 i diidimos la secci+$ 0
e$tre a y b e$ u$a muy gra$de ca$tidad de rectá$gulos de tal ma$era 'ue el a$cho del mismo sea ta$ #e'ue*o (=ara cubrir el total de área bao la cura) como u$ i$/i$it4simo di/ere$cial d@, @ base del rectá$gulo A b h , do$de #odemos calcular el área de u$o de ellos co$ la /+rmula b dx y la altura ariable está dada #or los di/ere$tes alores de y f ( x ) 'ue corres#o$derá a la ecuaci+$ dada u obte$ida. De tal ma$era 'ue A y dx O /(@)d@ 3 si sumamos todas estas áreas5 n
i "
Ai
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i "
b
b
b
y i d@ se tiene A y d@ f ( x)dx F ( x) F (b) F (a) . a
a
a
:bte$dremos el llamado teorema fundamental del cálculo directame$te asociado a los co$ce#tos5 C:9C%=T: K%:M%TEIC:5 2a i$tegral es el área bao la cura CONCEPTO GAL! " #E MA"OES APL$CAC$ONES 5 2a i$tegral es u$a suma de i$/i$itas ca$tidades C:9C%=T: D% :=%EACIV9 I9F%EA5 2a i$tegral es la #rimitia, origi$al o a$tideriada. 0Hemplo (. Calcular el área limitada #or y x , y el ee horizo$tal e$ el i$teralo desde (Eesoler #or al me$os dos /ormas aritm4ticas - geom4tricas y utiliza$do el teorema obte$ido)
a) x ! hasta @ OB b) @ O - hasta @ O B 3
ol 9ote 'ue debe descom#o$er e$ dos sectores hasta obte$er A
Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
J. %strada C.
IIT de la UACJ
1 u
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0Hemplo &.
Calcular el área limitada #or la cura y > x , el ee de las abscisas y las rectas x " , @ oluci+$5 Kra/ica$do la /u$ci+$ (dibue) se obsera la $ecesidad de utilizar el TQC Usá$dolo te$dremos A
"
> x
dx W ( x ) >
"
A () > (") >
A A u
0Hem. . Calcular el área limitada #or la cura y x > " y el ee horizo$tal e$ a) X-",P 3 . %laborar u$ bos'ueo de la /u$ci+$ a) Usa$do A x " dx
b) X-,P
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b)
x B B (-") B A x - ( ") B " B B > ? A (1 ) - - u B B "A Descom#o$er e$ seccio$es #ara obte$er A u
C) VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION
0Hem. *! 7l girar o revolucionar la sección plana de el eem#lo >a) a$terior se obtendrá u$o de los llamados sólidos de revolución, el área de cada rectá$gulo se tra$s/orma e$ #e'ue*as Eeba$adas cil$dricas de olume$ V r % , #or lo 'ue la e@#resi+$ V X f ( x)P dx de/i$e al olume$ de los s+lidos de reoluci+$. A#li'ue la i$tegral #ara calcular el olume$ de la sección plana de el eem#lo >a)
b
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ol. V
0Hem. 5 Demuestre 'ue el olume$ de u$ co$o de radio r y altura h es
Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
J. %strada C.
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IIT de la UACJ
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Jec. Agosto del !""
0Hercicio (.( =roblemas " a "0 #ági$as "> y "B 4217! Todos los eercicios deberá$ ser resueltos e$ /orma desarrollada e$ su cuader$o3 =ara ide$ti/icarlo a$ote /echa, $&mero de eercicio y #ági$a del material e$ 'ue se e$cue$tra. =re#are su cuader$o #ara la materia, i$cluye$do e$ el los datos de la #rese$taci+$ (hoa ). Feri/i'ue $ueame$te yo termi$e los eem#los y eercicios de este im#orta$te #rimer tema. ".-
Desde lo alto de u$ aca$tilado a B!! /t de altura cae u$a #iedra, si sabemos 'ue la elocidad de todo obeto e$ cada libre #ara t e$ segu$dos es V (t ) >t 5 Determi$e la #osici+$ o altura de la #iedra e$ !,",,>,B y 0 seg.3 Calcule como aria la altura y $ueame$te las ariacio$es de la ariaci+$. oluci+$5 (t) O (!) O (") O () O (>)O (B) O (0) O
.-
Desde u$a altura de 1! /t se la$za hacia arriba u$ #royectil co$ motor cuya eloc. t segs des#u4s del la$zamie$to #udo ser descrita #or F(t) O N"1t :bte$er 5 a) Altura Má@ima 'ue alca$za
b) %$ 'ue tiem#o y co$ 'u4 elocidad choca el #royectil co$tra el suelo =ara el tiem#o de cho'ue5
B(t ?t "0) !
>.-
Eeise la obte$ci+$ del TQC, a$ota$do el $ombre y sig$i/icado de cu de sus com#o$e$tes
Calcular el área limitada #or y x " , y el ee horizo$tal e$ el i$teralo desde x Hasta @ O> (Eesoler #or al me$os dos /ormas geom4tricas y utiliza$do el teorema obte$ido)
ol A
Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
J. %strada C.
IIT de la UACJ
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Calcular el área limitada #or la cura
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Calcular el área limitada #or
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y el ee de las abscisas e$ el i$teralo ",
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Com#ruebe 'ue el área limitada #or
y X X B y el
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Cortes5 (@ Y ")(@ N )O !
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.- Com#ruebe 'ue el olume$ ge$erado cua$do el área limitada #or
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y el ee S gira alrededor
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Com#ruebe 'ue la e@#resi+$
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#rob. > del "."." (=ag. "!)3 Dibue la gra/ica y demuestre 'ue la dista$cia e@acta cami$ada #or el #ro/esor hasta llegar a la e$trada del IIT /ue de B" .-9& m
"".- =E: III D% 2A DIT. E%C:EEIDA5 2a tabla muestra las elocidades (%$ metros #or mi$uto) 'ue u$ age$te de ialidad le registr+ al cami$ar de u$ #ro/esor hasta su llegada a la e$trada del IIT. t ! " > B 0 1 ? (t) >!.000 00.000 ?0 . ?. "!! ?. . ?0 00.000 v(t ) "!!
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i)
?osqueHe la grafica y pruebe que está definida por
ii)
"3esde qué dist. Ienía caminando el profr hasta llegar al aula de clase DvDt) E 9)$! '*.&-m
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Halla el área com#re$dida e$tre y O @ > N 1@ Y @ y el ee @.
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%l ol. ge$erado cua$do el área limitada #or y X B X y el ee S gira alrededor ee S es5
Material #ara el curso de Cálculo I$tegral
J. %strada C.
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IIT de la UACJ
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"B.-
Demuestre 'ue el olume$ de u$ co$o tru$cado de dime$sio$es r O radio me$or, E O Eadio mayor V
y altura h es
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Calcule el olume$ 'ue ge$era el área del #roblema ? al reolucio$arse alrededor del ee S
