Buku ini tidak untuk dijadikan buku pegangan (referensi), buku ini hanya untuk latihan soal. Buku ini adalah kumpulan soal-soal tutorial, UTS dan UAS yang telah dikumpulkan oleh penyusun. Soal-soal diambil dari buku pegangan sesuai silabus. Jika ada yang salah baik dalam solusi atau pun soal yang ada dalam buku ini silahkan kirimkan foto soal dan solusi yang menurut anda benar. Silakan menghubungi tim Akademik HIMAFI.
Terima kasih,
Akademik HIMAFI
Penyusun : Meiliany Pranolo Φ13019 Fathiyul Fahmi Φ13063
Φ
1
Dengan koordinat silinder, jika
ρ = b (konstan) φ = ω (ω konstan) z = c t (c konstan)
dan a ? maka V
2
Sebuah roda sepeda dibalikan menjadi seperti disamping. Tentukan: (gunakan koordinat bola)
di titik keliling roda a a di posisi tertinggi pada keliling b a roda 3
Tentukan V di ujung bidang miring jika: a Bidang miring licin b Bidang miring kasar dengan koefisien gesekan statis µs dan koefisien gesekan kinetik µk 4
Elektron berada dalam medan listrik dengan persamaan medan listrik tersebut : E = E 0 sin(ωt +ϕ ). Tentukan posisi elektron sebagai fungsi dari waktu!
5
Batang OA berputar sekitar O dan sudutnya diberikan oleh θ = 2t 2 dengan θ dan t masing-masing dinyatakan dalam radian dan sekon. Silinder B meluncur spanjang OA sehingga posisinya dari O dinyatakan oleh r = 60t 2 20t 3 dengan r dalam milimeter. Pada saat t = 1s tentukan :
−
a kecepatan dan percepatan silinder b percepatan silinder relatif terhadap batang. Φ
6
Sebuah balok besi bermassa m bergerak diatas lantai yang dilapisi dengan oli sehingga balok mendapatkan gaya gesekan sebagai berikut: F (v ) = b v ( 32 ) dengan b adalah konstanta. Bila awalnya balok berada di x = 0 dengan kecepatan awal v 0 , tunjukkan bahwa balok tidak dapat menempuh jarak yang lebih
−
1
besar dari
2 2 b m v 0 .
7
Sebuah benda dengan massa 2 kg didorong pada tanjakan yang memiliki gaya gesek F = k v dan kemiringan 37o .Apabila kecepatan awal benda adalah 2 m/s, tentukan: (k =2Ns/m) a berapa jauh benda bergerak se-
−
belum berhenti? b berapa jauh benda akan mundur kembali? 8
Suatu parikel bermassa m bergerak dalam ruang dibawah pengaruh potensial : V ( r ) = k r 4 ; k > 0, dengan r adalah jarak dari titik asal sumbu koordinat ke partikel tersebut. a Tentukan gaya yang bekerja pada partikel ini, periksalah apakah gaya konservatif atau tidak. b Berapakah torka oleh gaya yang diperoleh? Apa pengaruh torka terhadap momentum sudut L? c Tentukan persamaan gerak partikel dan tuliskan pernyataan Energi mekanik sistem ini d Bila lintasan partikel berupa lingkaran berjari-jari a, tentukan besar momentum sudut, energi mekanik dan periode gerak melingkar.
9
Φ
Satelit explore I bermassa 14kg, dengan jarak terjauh ke bumi (apogee) = 2552km, dan jarak terdekat ke bumi(perigee) = 352 km. (R b u m i = 5378km). G = 6,67 10−11 , m b u m i = 6 1024 kg
×
×
a tentukan L, E, T satelit b v di titik belok 10
Tentukan penyebab gerak bandul menurut masing-masing pengamat!
11
Dalam sistem koordinat silender, sebuah partikel bergerak menurut persamaan ρ = b , ϕ = ωt , dan ω adalah konstanta. a Tentukan vektor kecepatan partikel tersebut. b Tentukan vektor percepatan partikel tersebut. c Buktikan bahwa besar vektor percepatan adalah konstan.
12
Sebuah roket bermassa m ditembakkan secara vertikal keatas dengan laju awal v 0 . Roket tersebut dipengaruhi oleh medan gravitasi bumi g dan gaya hambat udara f = mk v , dengan k adalah tetapan gaya dan v adalah kecepatan roket. a Tuliskan persamaan gerak roket b Tentukan kecepatan roket sebagai fungsi waktu. c Tentukan waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian maksi-
−
mum. 13
z ) = Pada sebuah partikel yang bermassa m bekerja gaya F ( x , y , 6x 2 i ˆ + (4x z 2 y ) j ˆ + 2z ˆ k a apakah gaya F konservatif? b Hitunglah kerja yang dilakukan gaya F untuk memindahkan sebuah benda
−
dari titik A(0,0,0) ke titik D(-2,1,4) melalui lintasan garis lurus AB kemudian BC lalu CD dengan titik B(-2,0,0) dan titik C(-2,1,0) Φ
c Hitung torsi terhadap titik asal(0,0,0) yang dialami pada saat benda berada di titik C. 14
Serangga berjalan pada jari-jari roda sepeda (r) dengan v konstan. Tentukan gaya-gaya yang bekerja pada serangga tersebut.
15
Diketahui posisi pada koordinat diam (S) adalah : r = x ˆi + y j ˆ + z ˆ k dan ˆ + z k ˆ . Tentukan posisi pada koordinat yang berputar (S’) adalah : r = x ˆ i + y j hubungan antara
d r d r dengan d t d t .
Partikel jatuh bebas dari ketinggian h.
16
a Hitung horizontal displacement akibat gaya coriolis 2π b Jika h = 100, dan ω = 24jam hitunglah horizontal displacement pada λ = 90o , 30o , 0o 17
Sebuah bola berjari-jari a mengelinding pada sebuah bidang miring seperti pada gambar. Tentukan persamaan gerak bola menggunakan persamaan Lagrange.
18
Terdapat sebuah pesawat atwood dengan massa m 2 > m 1 seperti pada gambar. Jika katrol dianggap sangat ringan sehingga massanya dapat diabaikan, tentukan persamaan geraknya menggunakan persamaan Lagrange.
19
Φ
Terdapat benda yang terikat dengan pegas dan dapat bergerak pada rel seperti pada gambar. Jika rel licin sehingga kotak dapat bergerak bebas, tentukan persamaan geraknya menggunakan persamaan Lagrange.
20
Sebuah bulir air bergerak menuruni jari-jari sepeda. Tentukan persamaan gerak bulir air tersebut menggunakan persamaan Lagrange.
2
− −
−r 1 2 δ2 δ k e 2
21
Diberikan fungsi potensial dua dimensi : V ( r ) = V 0 mana r = x ˆi + y j ˆ dan V 0 , k, δ adalah konstanta, tentukan fungsi gayanya.
22
Sebuah roda berjari-jari b mengelinding pada lantai dengan kecepatan konstan V 0 . Tentukan kecepatan relatif terhadap lantai dari titik tengah roda.
di-
23
Sebuah serangga bermassa m merayap dengan laju tangensial tetap v di tepi suatu piringan datar pada bidang x y seperti pada gambar. Piringan berjari-jari R dan berputar dengan ke = p t z , cepatan sudut ω ˆ p adalah tetapan positif dan t adalah variabel waktu. Jika arah percepatan gravitasi bumi masuk bidanggambar, ditinjau oleh pengamat dalam kerangka noninersial, tentukan : a besar dan arah gaya-gaya nyata pada serangga b besar dan arah gaya-gaya semu pada serangga c persamaan gerak serangga 24 Φ
Dua buah benda bermassa m 1 dan m 2 dihubungkan dengan pegas yang memiliki konstanta k 1 , k 2 , k 3 (lihat gambar). Anggap lantai licin dan kedua massa melakukan osilasi dalam satu dimensi. Jika m 1 = m , m 2 = 5m , k 1 = k , k 2 = 4k dan k 3 = 8k , tentukanlah frekuensi karakteristik osilasi susunan benda. 25
Suatu sistem terdiri dari dua partikel P 1 dan P 2 masing-masing bermassa m 1 dan m 2 yang dihubungkan oleh batang tegar ringan dengan panjang l . Sistem bergerak pada bidang vertikal xz dengan partikel P 1 bebas bergerak sepangjang rel horizontal yang tetap. Jika seluruh gesekan diabaikan dan energi potensial partikel sepanjang sumbu x adalah 0, tentukan dalam koordinat umumnya a energi kinetik dan energi potensial sistem b funsional Lagrange sistem c persamaan gerak sistem dangan menggunakan persamaan Lagrange 26
Sebuah proton bermassa m dan kecepatannya v 0 daam arah horiontal, bertumbukan secara elastik dengan atom Helium bermassa 4m , yang diam. Jika proton meninggalkan titik tumbukan dengan sudut 45 o terhadap garis horizontal, tentukan a kecepatan proton dan atomHelium setelah bertumbukan menggunakan kerangka acuan laboratorium b sudut hamburan proton dlaam kerangka acuan pusat massa
27
Sebuah benda bermassa m yang terikat pada 2 pegas yang terikat di dinding seperti pada gambar. Anggap permukaan lantai licin. Tentukan persamaan gerak benda menggunakan persamaan Lagrange. Φ
28
Sebuah benda bermassa m menuruni bidang miring licin yang dapat bergerak. Anggap permukaan lantai licin sehingga bidang miring dapat bergerak. Tentukan persamaan gerak benda menggunakan persamaan Lagrange. 29
Sebuah massa m menumbuk sebuah dinding licin seperti pada gambar. Bila koefisien restitusi adalah e , tentukan sudut pantulan ϕ , kecepatan akhir v f dan energi yang hilang sebagai fungsi dari kecepatan awal v i dan sudut θ . 30
Dua buah massa yang identik m dihubungkan dengan pegas berkonstanta k seperti pada gambar, lantai licin. Ujung pegas dikaitkan pada titik A di dinding. Anggap kedua massa hanya dapat berosilasi pada satu dimensi arah saja. Tentukan frekuensi normal dari vibrasi ini. 31
Tiga buah massa yang identik m terhubungkan dengan pegas berkonstanta k seperti pada gambar, lantai licin. Ujung pegas dikaitkan pada titik A di dinding. Anggap ketiga massa hanya dapat berosilasi pada satu dimensi saja. Tentukan frekuensi normal dari vibrasi ini. 32
Sebuah kelereng dijatuhkan dari jarak 100 m diatas tanah dari posisi Φ
45o lintang selatan. Tentukan posisi dari tempat kelereng tersebut menumbuk bumi. Anggap gaya sentrifugal sangat kecil sehingga diabaikan. 33
Sebuah peluru ditembakkan dengan membentuk sudut 30o terhadap bidang permukaan bumi dengan besarnya kecepatan awal 500 m /s. Posisi penembakan adalah pada sudut lintang 60 o utara dan peluru diarahkan ke selatan. Tentukan titik dimana peluru tersebut sampai ke tanah. Abaikan gaya sentrifugal.
34
Tentukan persamaan gerak dari sistem pesawat Atwood ganda seperti gambar disamping. Anggap katrol tak bermassa.
35
a Turunkan bahwa percepatan dari sebuahpartikel yang bergerak dalam bidang dua dimensi untuk koordinat polar diberikan oleh ¨ + 2r ˙ θ ˙ )θ ˆ = (r ¨ r θ ˙2 )r ˆ + (r θ a
−
dimana r dan θ adalah variabel. b Seekor semut bergerak pada jari-jari roda yang berputar dengan kecepatan sudut ω = 6πt (rad/menit), dimana t adalah waktu. Posisi semut pada jari jari sepeda terhadap titik pusat roda adalah r = 2t 2 + t (cm). Pada saat t = 2 detik, tentukanlah : 1. kecepatan semut 2. percepatan semut 36
Elektron dengan massa m berada dalam pengaruh gaya F = q E 0 cos(ωt + ϕ ), dimana q adalah muatan elekton dan ω , ϕ , E 0 masing-masing adalah konstanta. Jika pada saat t=0 kecepatannya adalah 0 dan posisinya adalah x =0, tentukanlah kecepatan dan posisinya sebagai fungsi waktu. Φ
37
a Sebuah partikel mengalami osilasi harmonik sederhana (OHS). Saat simpangannya adalah x 1 , kecepatannya adalah v 1 , sedangkan pada saat simpangannya adalah x 2 , kecepatannya adalah v 2 . Menggunakan variabel-variabel tersebut, tentukan frekuensi sudut dan amplitudo OHS tersebut. b Sebuah balok bermassa m dihubungkan dengan pegas dengan konstanta pegas k, berada di atas bidang kasar dengan gaya gesek yang dapat dinyatakan sebagai f g e s e k a n = b v , dimana b adalah konstanta dan v adalah kecepatan. Turunkan persamaan umum gerak osilasi terseut untuk konsisi underdamped .
−
38
a Bumi mengelilingi Matahari di bawah pengaruh gaya sentral. 1. Tunjukkan bahwa lintasan Bumi berada dalam bidang datar 2. Tunjukkan bahwa momentum sudut Bumi adalah kekal b Bumi mengelilingi Matahari dengan jarak terjauh adalah 152,1 juta km dan jarak terdekat adalah 147,1 juta km. Massa Bumi dan Matahari masing-masing adalah 5,97 1024 kg dan 1,989 1030 kg. Jika konstanta gravitasi adalah G = 6,67 10−11 N m 2 k g −2 , 1. Hitunglah esentrisitas Bumi 2. Hitunglah momentum sudut dan energi Bumi 3. Tunjukkan bahwa periode Bumi mengelilingi Matahari adalah 1 tahun
×
×
×
Catatan : abaikan jari-jari Bumi dan Matahari 39
Bila pemampatan bumi pada kutub-kutubnya ikut diperhitungkan, maka fungsi potensial gravitasi bumi menjadi : G M m R 2 V ( r , θ ) = 1 K 3cos2 θ 1 r r dengan G adalah konstanta gravitasi umum, M adalah massa bumi, m adalah massa partikel yang diamati, R adalah jari-jari rata-rata bumi, r adalah jarak dari pusat bumi ke partikel pengamatan, K adalah konstanta dan θ adalah sudut antara sumbu putar bumi dengan vektor pengamatan (lihat gambar di bawah). a Tentukanlah gaya yang bekerja pada partikel pengamatan bermassa m ini.
−
−
−
b Hitunglah kerja yang harus dilakukan untuk membawa partikel bermassa m tersebut dari titik A yang berada pada sumbu putar bumi ke titik B yang berada pada bidang ekuator bumi melalui lintasan 14 lingkaran berjari-jari R0 dari A ke B (lihat gambar).
Φ
c Bila bumi dianggap bulat sempurna, maka fungsi potensial gravitasi adalah seperti yang telah dikenal biasanya : G M m V ( r ) = r tentukanlah kerja yang harus dilakukan dalam pengaruh potensial
−
gravitasi ini untuk membawa partikel bermassa m melalui lintasan yang sama seperti soal nomor b. di atas. 40
Sebuah kelereng bermassa m dapat meluncur tanpa gesekan pada kawat yang berbentuk cycloid (lihat gambar) yang memiliki persamaan parametrik : x = a (θ sin θ ) ; y = a (1 + cos θ ) a Tentukanlah fungsi Lagrangian kel-
−
ereng ini. b Turunkanlah persamaan gerak dari kelereng ini dalam parameter θ .
c Dengan u = cos
θ
, tunjukkan bahwa persamaan berikut : d 2 u g + u = 0 t 2 4a adalah persamaan gerak yang diperoleh pada soal nomor b. d Tunjukkan bahwa kelereng ini berosilasi dengan perioda 2π 2
4a g
Sebuah partikel bergerak menurut persamaan ρ = 2t , ϕ = πt , z = t dalam koordinat silinder.
−
41
a Tuliskan posisi dari partikel itu dalam koordinat kartesian dan silinder b Sketslah lintasan partikel itu sejak t=0 sampai t=4 c Tentukanlah kecepatan partikel itu dalam koordinat silinder 42
( x , y , z ) = Pada sebuah partikel yang bermassa m bekerja gaya F 3x 2 i ˆ + (2x z y ) j ˆ + z ˆ k N.
−
a Periksalah apakah gaya ini adalah gaya konservatif dan tentukanlah energi potensial dari gaya tersebut, jika sekiranya ada. Φ
b Hitunglah kerja yang dilakukan gaya ini untuk memindahkan partikel dari titik A(0,0,0) ke titik B(2,1,3) melalui lintasan garis lurus AC kemudian CD lalu DB dengan titik C(2,0,0) dan titik D(2,1,0). c Hitung pula kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel tersebut dari titik A ke B melalui lintasan yang diberikan oleh persamaan parametrik berikut : x = 2t 2 , y = t , z = 4t 2 t yaitu dari t=0 sampai t=1.
−
43
Sebuah benda terikat pada pegas pada posisi horizontal dan berada dalam suatu medium cair. Benda disimpangkan dan kemudian dilepaskan. Benda mengalami gaya pegas F p = k x dan gaya redaman F f = b v .
−
−
a Tuliskan persamaan gerak benda dan solusinya (x(t)) b Jika benda kemudian juga dikenai gaya luar F (t ) = F 0 sin(ω0 t ) secara horizontal, carilah solusi totalnya. 44
Tinjau sebuah partikel yang berada dibawah pengaruh gaya pusat (sentral) F = k r u r , dengan u r adalah vektor satuan arah radial, r adalah jarak partikel dari titik asal sumbu koordinat dan k adalah konstanta
−
a Carilah energi potensial efektid dan buatlah kurvanya! b dari kurva yang telah dibuat, uraikanlah konsisi (yang berkaitan dengan energi dan posisi partikel) yang harus dipenuhi agar partikel bergerak berputar membentuk sebuah lingkaran! Berapakahkecepatan partikel tersebut (v 0 )dan kemanakah arah kecepatan tersebut? 45
Sebuah partikel bergerak dengan laju v = p t + q (p dan q adalah tetapan dan t adalah waktu) pada lintasan lingkaran berjari-jari b. Dalam koordinat polar, tentukan r (t ), r ˙ (t ), r ¨ (t )
46
Sebuah sistem osilator harmonik satu dimensi dengan massa m = 1 kg, dan konstata pegas k =104 N/m mengalami gaya redaman -0,1v dan gaya penggerak atau gaya paksa F = 10 cos ωt . Satuan gaya yang digunakan adalah newton. a Tuliskanlah persamaan diferensial bagi osilator tersebut b Tentukanlah solusi khususnya c Tentukanlah amplitudo osilasi untuk keadaan resonansi
47
( x , y , z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 )−1 ( x ˆi + Sebuah partikel dipengaruhi gaya F y j ˆ + z ˆk ) dengan x, y, z adalah komponen-komponen posisi partikel dlam koordinat Cartesian. Semua satuan dalam SI. a Periksalah apakah gaya tersebut konservatif Φ
b Tentukanlah sudut antara vektor posisi dan vektor gaya tersebut c Hitunglah usaha atau kerja yang dilakukan gaya tersebut terhadap partikel untuk perpindahan sepanjang lintasan dengan persamaan parametrik x = t 2 , y = t 3 , z = t untuk nilai parameter t dari -1 sampai 2. 48
Sebuah benda bermassa m mengorbit pada bidang xy menurut per = f ( r )r . θ dan r adalah koorsamaan r = θ karena gaya sentral konservatif F dinat sudut dan radial pada sistem koordinat polar dua dimensi. Pada saat t= 0, benda berada pada jarak r 0 dari pusat koordinat dan sedang bergerak dengan laju v 0 . 1. Tentukanlah laju radial benda pada t=0 ( ˙ r 0 = r ˙ (0)) dinyatakan dalam r 0 dan v 0 2. Tentukanlah fungsi f(r) 3. Tentukanlah energi potensial efektif benda sebagai fungsi dari r. Gambarkanlah sketsa grafik energi potensial efektif sebagai fungsi dari r
49
Sebuah benda angkasa dengan massa m = 1000kg dan energi E = +108 J bergerak mendekati Bumi. Andaikan geraknya hanya dipengaruhi oleh medan gravitasi Bumi dan jarak terdekatnya terhadap Bumi adala 109 m, (Massa Bumi M=6 1024 kg, konstanta gravitasi G = 6,67 10−11 N m 2 /k g 2 ).
×
×
a Tentukanlah bentuk orbit dari benda angkasa tersebut dan lajunya dititik terdekat terhadap Bumi b Bila pada saat di posisi terdekat denganBumi benda angkasa tersebut menumbuk benda angkasa lain sehingga jarak orbitnya terhadap Bumi menjadi tetap, tentukalah laju dan energinya pada orbit yang baru. 50
Dua buah partikel non-relativistik yang bermassa sama, m, terlibat dalam peristiwa tumbukan yang hampir head-on (lihat gambar). Misalkan laju masing-masing partikel adalah u (konstan), dan trajektori salah satu partikel membentuk sudut ( θ 0 ) terhadap tra jektori partikel lainnya serta pada saat t=0 terjadi tumbukan di titik origin. a Tentukanlah kecepatan pusat massa sistem ini dalam kerangka koordinat laboratorium Φ
b Tentukanlah posisi pusat massa dari sistem ini dalam kerangka koordinat laboratorium c Jika u=10m/s, θ 0 = 37o dan kecepatan salah satu partikel setelah tumbukan ˆ tentukanlah kecepatan masing-masing partikel setelah tumbukan adalah u i , dalam koordinat laboratorium dan koordinat pusat massa.
−
51
sepanjang Seekor semut merayap keluar dengan kecepatan tetap v (arah jeruji sebuah roda sepeda yang berputar dengan kecepatan sudut tetap ω ω vertikal ke atas). a Tentukanlah Coriolis dan gaya sentrifugal yang dialami oleh semut b Bila antara semut dengan jeruji sepeda terdapat gesekan dengan koefisien gesekan sebesar µ s , tentukanlah jarak yang terjauh yang dapat dijangkau oleh semut terseut sebelum selip
52
Suatu sistem terdiri dari dua buah osilator masing-masing bermassa m diapit oleh pegas bertetapan k dan 2k seperti ditunjukkan oleh gambar. Sistem diberi gangguan sedemikian rupa sehingga berosilasi di sekitar titik setimbangnya dalam arah horizontal. Dengan mengabaikan massa pegas dan seluruh gesekan,
a tuliskan persamaan osilasi masing-masing benda b tentukan frekuensi normal osilasi sistem c tentukan kaitan amplitudo osilasi kedua benda untuk setiap frekuensi normal yang diperoleh dari jawaban soal b. 53
Sebuah partikel bergerak dipengaruhi oleh gaya F = gan k dan a adalah konstanta.
−k x +
a x 3 den-
a Tentukan fungsi potensial V(x), dan tentukan solusi x(t) serta ceritakan sifat solusi ini. b Berikan interpretasi untuk gerak dengan E2 « ka. 54
Suatu pegas yang memiliki konstanta pegas k digantung secara vertikal (anggap pegas tak bermassa). Kemudian pegas dibebani dengan sebuah balok bermassa m, sehingga pegas terenggang dan mencapai kesetimbangan baru. Tentukan solusi umum dari osilasi beban ini.
55 Φ
Tentukan persamaan gerak dari suatu sistem pegas dengan konstanta pegas k yang dikaitkan dengan massa m di atas lantai licin yang didorong dengan gaya F = F 0 sin ωt . 56
Diketahui kedudukan setiap saat partikel A yang bermassa m diny ˆ dan partikel B dengan massa dua kali massa atakan oleh r a (t ) = 2t 2 i ˆ + 3t 3 j , parikel A berada pada posisi r b (t ) = t 2 (i ˆ + 2 j ˆ + ˆk ). Tentukan kecepatan dan percepatan pusat massa sistem pada saat t =2 detik.
57
tral:
= F
u = r 1 =
Terhadap 2 benda bermassa m 1 dan m 2 (m 1 m 2 ) bekerja gaya senK ˆ , dimana K < 0 dan (L = 0). Persamaan umum geraknya adalah : r 2 r
− mL K + A cos(θ − φ), dimana A =
2
2
m K 2m E + 4 L L 2 Persamaan lintasannya berupa irisan konik dengan persamaan e r = r 0 1+1e +cos θ 2
1 2
.
a Tentukanlah potensial effektif V e f f susunan benda tersebut dan sketsalah grafik V e f f = V e f f ( r ) b Tentukanlah r 0 dimana nilai dari V e f f = E bernilai minimum dan tentukalah nilai E tersebut. c Jika faktor eksentrisitas (e ) memenuhi nilai 0 < e < 1, maka orbitnya berupa elips. Dalam hal ini tentukanlah nilai r mi n dan r ma x d Tentukanlah nilai e yang dinyatakan dalam r mi n dan r ma x
Φ
d V Solusi = a d t d b ωφˆ + c ˆk = d t ˆ d φ ω φ d d ϕˆ + b ω = ˙b ωφˆ + b d t d φ d t
1
ˆ r = b ρˆ + c t k
d r = V d t ˆ) d (b ρˆ + c t k = d t d ρˆ d φ ˙ ˆ = b ρ + b + c ˆ k d φ d t ˆ = 0 + b ωφˆ + c k 2
ˆ = b ω2 ρ
−
a Keadaan pada keliling roda : r = b r ˙ = 0 r ¨ = 0
Persamaan ini adalah persamaan umum koordinat bola. Pada titik keliling roda, subtitusikan nilai keadaan yang diketahui.
→ → ˙ = ω1 → θ ¨ =0 θ = ω1 t → θ φ = ω2 t → φ˙ = ω2 → φ¨ = 0
= ( b ω21 a
− − b sin2(ω1 t )ω22)r ˆ ˆ + (−b sin(ω1 t ) cos(ω1 t )ω22 )θ
r = r r ˆ d r d (r r ˆ ) d rˆ ˙ rˆ + r = = r d t d t d t ˙ θ ˆ + r φ˙ sin θ φˆ ˙ r ˆ + r θ = r
= V
+ (2b ω1 ω2 cos(ω1 t ))φˆ
b Pada posisi tertinggi roda, θ = 0, maka (θ = 0) = ( b ω21 )r ˆ + (2b ω1 ω2 )φˆ a
d v = a d t ¨ r θ ˙2 = (r
−
− r sin2 φ˙2 )r ˆ ¨ + 2r ˙ θ ˙ − r sin θ cos θ φ˙2 )θ ˆ + (r θ −
˙ φ˙ cos θ )φˆ ˙ φ˙ sin θ + 2r θ + (r sin θ φ¨ + 2r 3
a Jika mg sin θ konstan, maka F = g sin θ a = m h s = x = sin θ v 2 = v 02 + 2a s = 2g h
v =
b F = mg sin θ µk mg cos θ
− = mg (sin θ − µk cos θ ) konstan
a =
F
m = g (sin θ µk cos θ )
−
2g h
Φ
a > 0 jika : (sin θ µs cos θ ) > 0
−
tan θ µs > 0
−
tan θ > µ s a = 0 jika tan θ < µ s 4
diketahui bahwa F = q E dimana E adalah medan listrik, dan q adalah besar muatan. Maka,
dimana a 0 adalah a ma x . t
F = e E 0 sin(ωt + ϕ )
−
v = v 0 +
F m e E 0 sin(ωt + ϕ ) = m = a 0 sin(ωt + ϕ )
0
a =
a 0
−a 0 sin(ωt + ϕ )d t cos(ωt + ϕ ) 0t
| a 0 a 0 = v 0 + cos(ωt + ϕ ) − cos(ϕ ) ω ω = v 0 +
− −
ω
dapat dilihat bahwa ketika t = 0, v = v 0 = 0, t a 0 a 0 x = x 0 + v 0 + cos(ωt + ϕ ) cos(ϕ ) d t
0
t
= x 0 +
−ω
ω
t
v 0 d t +
0
a 0
0
ω
t
cos(ωt + ϕ )d t
−
0
a 0
ω
cos(ϕ )d t
− ωa 02 sin(ωt + ϕ) + ωa 02 sin(ϕ) − a ω0 t cos(ϕ )
= x 0 + v 0 t
Subtitusikan nilai a 0 =
e E 0 m
− m e E ω02 sin(ωt + ϕ ) + m e E ω02 sin(ϕ) − em E ω0 t cos(ϕ )
x = x 0 + v 0 t
akan lebih memudahkan untuk memakai koordinat polar, maka a Dari soal dapat diketahui :
5
r = r rˆ d r d rˆ ˙ r ˆ + r = r v = d t d t d rˆ d θ ˙ rˆ + r = r d θ d t ˆ v = r ˙ rˆ + r θ θ a =
d v
d t ˙ + r θ ¨ )θ ˆ ¨ r θ ˙2 )r ˆ + (2r ˙ θ = (r
−
r = 60t 2
− 20t 3 r ˙ = 120t − 60t 2 r ¨ = 120 − 120t
θ = 2t 2 ˙ = 4t θ ¨ =4 θ
maka saat t = 1s , r = 40
θ = 2
r ˙ = 60
˙ =4 θ
r ¨ = 0
¨ =4 θ
subtitusikan pada persamaan diΦ
atas, didapat :
b percepatan silinder relatif terhadap batang berarti batang dianggap diam, maka jawabannya adalah komponen r dari a.
ˆ v = 60r ˆ + 160θ ˆ a = 480r ˆ + 640θ
−
6
− d v d x m = −b v d x d t
−m d v = d x b v −m 2 v |v = x |x v x b
3
F (v ) = b v 2 3 2
0
−2m (v − v ) = x − x 0 0 b −2m (v − v ) ∆ x ma x = 0 b 1 2
3 d v m v = b v 2 d x
− m v d v = −b v
mvdv
−b v
−
3 2
mvdv b v
3 2
md v
−b v
7
1 2
3 2
=
1 2
1 2
d x
−
d x
−
1 2
∆ x ma x =
d x
2m v 0 b
F = (mg sin θ + k v )
− d v = −mg sin θ − k v m v d x d v −mg sin θ − k v = d x
x f
m v
v f
d x =
x i
−
− x i = −
x f
1 2
benda berhenti saat kecepatananya menjadi 0, yaitu saat v =0, sehingga 1 2m ∆ x ma x = ( v 02 ) b
= d x =
0
v i v f v i
m v d v mg sin θ k v
−
−
v
−g sin θ −
k m v
d v
a saat berada di titik max, v = 0. Φ
Subtitusikan konstanta agar memudahkan perhitungan(ambil g =10m/ s 2 ). 0
x f =
−
−
2
v d v 6 v
− −
misalkan u = 6+v, maka 6
x f =
8
−
u 6 d u u
= (u 6 ln u ) 68
− −
x f = 2 + 6 ln 8
|
3 4
a V ( r ) = k r 4 karena F =
−∇V maka F = −4k r 3 r .ˆ gaya tersebut konservatif apabila memenuhi ∇× F = 0. Dengan koordinat bola,
∇× F = r ˆ
− θ ˆ + ˆr
∂ ∂ 1 1 F − F ∂ θ r sin θ ϕ ∂ ϕ r θ ∂ ∂ 1 F ϕ − F ∂ r r sin θ ∂ ϕ r ∂ ∂ 1 1 F ϕ − F r ∂ θ r sin θ ∂ ϕ r
karena F hanya mempunyai komponen r
∇× F =
∂ ∂ F r + ˆr ∂ϕ ∂ϕ ∂ 4k r 3 + ˆr ∂ϕ
1 F r r
− − − − − − − ˆ θ
ˆ = θ
∂ 1 − 4k r 3 ∂ ϕ r
∇× F = 0
Gaya tersebut konservatif. b τ = r F , karena F konservatif, maka τ = 0, yang berarti L konstan. c
×
9
a Menentukan nilai a: 2a = Apogee + 2R b u m i + Perigee 2a = 2552 + 2
× 6378 + 352
a = 7830k m Menentukan nilai r mi n dan r ma x : r mi n = 6378 + 352 = 6730k m r ma x = 6378 + 2552 = 8930k m Φ
Menentukan nilai e (eksentrisitas): r ma x r mi n e = = 0,14 r m a x + r m i n
−
Menentukan nilai L: k m b m s a t e l i t F = G = r 2 r 2 k = G m b m s a t e l i t = 5,6 a =
k − 2E
× 1015 N m 2
×
nilai a negatif agar geraknya bounded(terikat) k = 3,6 108 J E = 2a
− × L = ( mk a (1 − e 2 )) −
10
Menentukan nilai T: 1 2 3 2 4π ma = 114,7menit T = k b Menentukan v di titik belok, Apogee L = 6,24 103 m / s v mi n = m r ma x Perigee L = 8,28 103 m / s v m a x = m r m i n
1 2
= 7,8
×
× 1011k g m /s 2
a Pengamat A (non-inersial) Menurut pengamat A, penyebab miringnya bandul adalah gaya fiktif karena kerangka non-inersial (tidak ada a) diagram benda bebas T cos θ = mg T sin θ = F x tan θ =
F x mg
F x = mg tan θ
b Pengamat B (inersial) Menurut pengamat B, penyebab miringnya bandul adalah gerak gerobak (a 0 ). diagram benda bebas
F x = ma
T sin θ = ma 0 T cos θ = mg a 0 tan θ = g a 0 = g tan θ 11
ρ = b , ϕ = ωt
Φ
a ˆ = b ρˆ r = ρ ρ
ˆ˙ ˆ + b ω ˙ϕ ˆ + b ωϕ = ˙b ωϕ
ˆ + ρ ϕ˙ ϕˆ = ρ˙ ρ v
= 0 + 0 + b ω( ω ρˆ )
= b ω2 ρˆ a
ˆ = 0 + b ωϕ
−
c besar vektor percepatan adalah koefisien dari ρˆ , yaitu b ω2 . d ( b ω2 ) = 0 d t maka dapat disimpulkan besar
ˆ = b ωϕ v b
= a
−
−
d v
−
d t
percepatan konstan. 12
|
|− ln |g + k v 0| = −k t ln |g + k v | = ln |g + k v 0 |− k t ln g + k v
a F = ma
−mg − mk v = ma a = −g − k v
b
d v = g k v d t d v = d t g k v
− −
v
v 0
− −
d v = g k v
− −
g + k v = (g + k v 0 )e −k t
∴
c
1 v = [( g + k v 0 )e −k t k v = 0
(g + k v 0 )e −k t = g
e −k t =
t
d t
0
0
t =
0
z ) = 6x 2 i ˆ+(4x z 2 y ) j ˆ+2z ˆk F ( x , y ,
−
a Gaya konservatif adalah gaya yang memenuhi F = 0 ˆ i ˆ j ˆ k ∂ ∂ F = ∂ ∂ x ∂ y ∂ z
∇×
∇×
6x 2
−
4x z 2 y
∴
− (0) j ˆ + (4x )k ˆ
F tidak konservatif
b Untuk memudahkan dihitung usaha pada setiap lintasan dahulu Φ
−
g g + k v 0
1 g ln k g + k v 0
1. lintasan AB, (0,0,0) (-2,0,0) x = x, y = 0, z = 0 dx = dx, dy = 0, dz = 0
→
B
W 1 =
−
F d s
A
2z
= ( 4x )i ˆ
−
g g + k v 0
−k t = ln
− k 1 ln |g + k v ||v v = t = −k t ln |g + k v ||v v 13
− g ]
2
=
0
6x 2 d x +
0 0
+
0
F z d z
0
= 2x 3
|−0 2 = −16 J
F y d y
dx = 0, dy = 0, dz = dz
2. lintasan BC, (-2,0,0) (-2,1,0) x = -2, y = y, z = 0 dx = 0, dy = dy, dz = 0
D
→
W 3 =
W 2 =
2
=
F d s
4
F y d y +
1
(4.
−
W t o t a l = W 1 + W 2 + W 3 = 1 J c pada titik C (-2,1,0) 0 ˆ = 24i ˆ 2 j , F r = 2i ˆ + j ˆ 2.0 2 y )d y + F z d z r τ = F 0 ∴
F x d x
− −
= y 2 10 = 1 J
− | −
3. lintasan CD, (-2,1,0) (-2,1,4) x = -2, y = 1, z = z
−
×
i ˆ = 24
→
−2
−
j ˆ 2
ˆ k 0
1
0
−
ˆ τ = 20k
14
r (r s e r a n g g a ) = x ˆ i , serangga bergerak keluar, serangga berada di kerangka acuan non-inersial. Dengan menggunakan aturan tangan ˆ = ωk kanan, ω
b Gaya Coriolis d r F c o r i o l i s = 2m ω d t ˆ x ˙ ˆ = 2m ωk i
− × − × ˆ = −2m ω ˙ x j
Jadi dapat digambarkan
r = x ˆ i ˙ r = x ˙ ˆ i
0
|
2
0
F x d x +
= z 2 40 = 16 J
2 1
+
1
−2
B
=
F d s
C
C
− −
−
Kalau semut bergerak ke dalam
¨ r = 0 a Gaya sentrifugal. ˆ F s e n t r i f ug a l = m ωk
− × (ωk ˆ × x ˆi ) i ) = −(−m ω2 x ˆ i = m ω2 x ˆ
Φ
2z d z
15
d r d ˆ + z k ˆ ) = ( x ˆ i + y j d t d t ˆ d i ˆ d j ˆ d k ˆ + z ˆ + y ˙ ˆ = x + y ˙ j + z ˙ k i + x d t d t d t d ˆ i d j ˆ d k ˆ ˆ ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ = x i + y j + z k + x + y + z d t d t d t d r d r d i ˆ d j ˆ d k ˆ = + x + y + z d t d t d t d t d t Misal S’ berputar terhadap S dengan kecepatan sudut ω,
=ω v
× r d r × r =ω d t atau dapat dianalogikan : d ˆ i i ˆ =ω d t d j ˆ j ˆ =ω d t d k ˆ k ˆ =ω d t
× × ×
Subtitusikan ke persamaan sebelumnya, d r d r i ˆ ) + y (ω j ˆ ) + z (ω = + x (ω d t d t d r d r r ∴ = +ω d t d t
×
×
× k ˆ )
×
16
Diketahui : v a w a l = 0
ω y = ω cos λ ωz = ω sin λ ωx = 0
Φ
a
b
= v ( z ) = v z v
−
h = 100 = z
−
− × v
a c o ri o l i s = 2ω i ˆ = 0
=
k ˆ
j ˆ
ω cos λ ω sin λ
0
−v
0
= 2( v ω cos λ)i ˆ
− −
subtitusikan v = v 0 +g t karena v 0 = 0, maka v = g t d 2 x = 2ωg t cos λ d t 2 d x = 2ωg t 2 cos λ + v 0 x d t 1 x = 2ωg t 3 cos λ + x 0 3 1 = ωg t 3 cos λ 3 x’ adalah horizontal displacement. 17
1 2
g t 2
2h g subtitusikan t kedalam persamaan horizontal displacement
→ t =
3
1 2h 2 x = ωg cos λ 3 g untuk masing-masing λ:
λ = 30o → x = 1,89cm λ = 0o → x = 2,19cm λ = 90o → x = 0cm
Karena kecepatan awal nol, maka dapat didapati persamaan umum : 1 x = ωg t 3 cos λ 3 1 z = g t 2 2 b Energi Potensial (V)
− x ) sin θ + mg a cos θ
V = mg (l
c Lagrangian (L)
− V
L = T =
a Energi Kinetik (T) 1 1 T = m x ˙2 + I ω2 2 2 1 1 1 mR 2 = m x ˙2 + 2 2 2 1 1 = m x ˙2 + m x ˙2 2 4 3 = m x ˙2 4
3
4
m x ˙2
− mg (l − x ) sin θ − mg a cos θ
d Penyelesaian persamaan grangian: ∂ L d ∂ L =0 ˙ j ˆ ∂ q j ˆ d t ∂ q
V R
2
La-
−
∂ L ∂ L 3 = = m x˙ ˙ 2 ∂ q ˙ j ˆ ∂ x ∂ L ∂ L = = mg sin θ ∂ q j ˆ ∂ x
Φ
d 3 m x˙ mg sin θ = 0 d t 2 3 m x¨ mg sin θ = 0 2 2 ¨ = g sin θ ∴ x 3
−
−
18
c Lagrangian (L)
− V
L = T
1 (m 1 + m 2 ) x ˙2 m 2 g x m 1 g x m 2 g l 2 d Penyelesaian persamaan La-
−
=
−
−
grangian:
d ∂ L ˙ j ˆ d t ∂ q a Energi Kinetik (T) 1 1 T = m 1 x ˙2 + m 2 x ˙2 2 2 1 = (m 1 + m 2 ) x ˙2 2 b Energi Potensial (V )
∂ L ∂ L ˙ = = (m 1 + m 2 ) x ˙ ˙ ∂ q j ∂ x ˆ ∂ L ∂ L = = (m 1 − m 2 )g ∂ q j ˆ ∂ x d d t
− − = m 2 g x − m 1 g x − m 2 g l
a Energi Kinetik (T) 1 T = m x ˙2 2 b Energi Potensial (V ) 1 V = k ( x 2 + a 2 ) 2 c Lagrangian (L) 1 1 L = T V = m x ˙2 k ( x 2 + a 2 ) 2 2 d Penyelesaian persamaan Lagrangian: ∂ L d ∂ L =0 ˙ j ˆ ∂ q j ˆ d t ∂ q
−
−
20
Φ
−
− (m 1 − m 2 )g = 0 m 1 − m 2 ¨ = g x
˙) ((m 1 + m 2 ) x
V = m 1 g ( x ) + m 2 g ( l + x ) 19
∂ L − ∂ q = 0 j ˆ
∴
m 1 + m 2
∂ L ∂ L = = m x˙ ˙ ˙ ∂ q j ∂ x ˆ ∂ L ∂ L = = −k x ∂ q j ˆ ∂ x d d t
(m x˙ )
−−k x = 0
(m x¨ ) + k x = 0 ∴
−k x
¨= x
m xdapatdigantidengan A cos
k m + ϕ
c Lagrangian (L)
− V
L = T 1
1 2 ˙ = m r + m r 2 θ ˙2 mg r sin θ 2 2 d Penyelesaian persamaan La-
−
grangian:
∂ L ∂ L − =0 ˙ j ˆ ∂ q j ˆ d t ∂ q ∂ L ∂ L = = m r˙ ∂ q ˙ j ∂ r ˙ ˆ d
a Energi Kinetik (T) 1 T = m x ˙2 2 1 ˙ θ ˆ )2 ˙ r ˆ + r θ = m (r 2 1 1 = m r ˙2 + m r 2 θ ˙2 2 2 b Energi Potensial (V )
∂ L ∂ L = = m r θ ˙2 − mg sin θ ∂ q j ˆ ∂ r d (m r˙ ) (m r θ ˙2 mg sin θ ) = 0 d t m r¨ m r θ ˙2 + mg sin θ = 0
− −
V = mg r sin θ
21
∴
−
r ¨ = r θ ˙2
− g sin θ
Pertama tuliskan ulang fungsi potensial sebagai fungsi dari x dan y −(x 2 + y 2 ) 1 2 V ( x , y ) = V 0 k δ e δ2 2 dan aplikasikan operator gradien :
−
= F
−∇V ∂ ∂ = − i ˆ + j ˆ ∂ x ∂ y
= k (iˆx + jˆ y )e
− − = −k r e
V ( x , y )
−( x 2 + y 2 ) δ2
r 2
δ2
V 0 tidak muncul pada fungsi gaya, karena nilainya hanya menaikkan atau menurunkan nilai dari fungsi energi potensial.
22
Tentukan sistem koordinat pada roda yang berputar seperti pada gambar. Maka didapati :
r = i ˆ b a = ¨ =r 0
ˆ v = r ˙ = 0
Vektor kecepatan sudut : ω = k ω = k V b 0 Φ
Maka kecepatannya dapat ditentukan :
× (ω × r ) = k ω × (k ω × i ˆ b )
=ω a
V 02 = k (k i ˆ ) b V 02 = k j ˆ b V 02 = ( i ˆ ) b dan arahnya menuju pusat dari roda.
× × ×
−
adalah maka besar dari a
Φ
V 0 2 b
