BÀI TẬP VẬT LÝ THỐNG KÊ Dành cho chuyên nghành V ậ V ật lý K ỹ thu ỹ thuậ ật
TS. Nguyễn Ngọc Tuấn Viện Vật lý K ỹ thuật, ĐHBKHN Ở ĐẦU CHƯƠ NG NG I: MỞ ĐẦ
I.1. Sử dụng các hàm th ế nhiệt động vớ i hệ kín để chứng minh các h ệ thức Maxwell sau: ¶S ¶P a) æç ö÷ = æç ö÷ è ¶V øT è ¶T øV
¶S ¶V b) æç ö÷ = - æç ö÷ è ¶P øT è ¶T ø P
¶T ¶P a) æç ö÷ = - æç ö÷ è ¶V ø S è ¶S øV
¶T ¶V d) æç ö÷ = - æç ö÷ è ¶P ø S è ¶S ø P
đượ c định ngh ĩ a C = I.2. Nhiệt dung của một hệ đượ
dQ
=
TdS
. Ngườ i ta phân biệt nhiệt dung đẳng tích
dT dT 1 æ ¶S ö ệ ệ ố ở ệ . Ký hi u h s n nhi nh i t a C P = T ç = ÷ V è ¶T ø P
æ ¶S ö æ ¶V ö ệ đẳ và nhi t dung ng áp nén ÷ ç T ÷ ; hệ số nén è ¶T øV è ¶ ø P 1 ¶V 1 ¶V đoạn nhiệt k S = - æç ö÷ ; hệ số nén nén đẳng nhiệt k T = - æç ö÷ . Chứng minh các hệ thức sau: V è ¶P ø S V è ¶P øT CV = T ç
a) TdS = CV dT +
a T k T
dV
b) TdS = C P dT - aTVdP c) Sử dụng hai k ết quả trên chứng minh C P - C V =
2 TV a
k T
.
¶ P ö k T ÷ = k . V ¶ è ø S S e) Biểu diễn C P , C V qua T, V, a, k T , k S .
d) C P/ C V = -V k Tæç
I.3. Từ cộng tính c ủa entropi S ( l E , lV , l N ) = l S ( E,V , N ) chứng minh: a) Hệ thức Euler E+ PV PV - TS TS = m N. b) Hệ thức Gibbs-Duhem Ndm = - SdT+ VdP. 2 æ ¶ N ö N k T c) ç ÷ = . m ¶ V è øT ,V
I.4. Hiệu ứ ng ng Joule-Thompson. Ngườ i ta cho khí đi qua một vách xố p. Toàn bộ hệ thống đượ c cách nhi ệt. Khi đó hàm nhiệt H của từng phần của hệ bảo toàn. H ệ quả là nhiệt độ thay đổi. æ ¶V ö ÷ - V ¶T ø P æ ¶T ö è a) Chứng minh h ệ số Joule-Thompson j = ç ÷ = . ¶ P C è ø H P Tç
b) Tìm bi ểu thức của j vớ i khí thực thỏa mãn phươ ng ng trình Van der Waals a ö æ + - b) = RT. P ç 2 ÷( V V ø è
1
CHƯƠ NG II: NHỮ NG CƠ SỞ CỦA VLTK CỔ ĐIỂN II.1. Một hạt chuyển động thẳng trong tr ườ ng lực không đổi sao cho phươ ng của l ực song song v ớ i phươ ng chuyển động. Biết r ằng ở thờ i điểm ban đầu t = 0 hệ có thể ở một trong ba tr ạng thái ứng v ớ i ba điểm pha A( q0 , p 0 ); B( q0 + a, p 0 ); C (q 0 , p 0 + b). Hãy nghiệm lại định lý Liouville trong tr ườ ng hợ p này. Bi ết q 0 , p 0 là tọa độ suy r ộng ban đầu; a, b là các hằng số. II.2. Tìm mật độ tr ạng thái W( E ) của một hạt chuyển động tự do: a) trên một đoạn thẳng chiều dài L. b) trên một hình vuông LxL. c) trong một khối lậ p phươ ng LxLxL. II.3. Định lý Virian. Ký hiệu X là giá tr ị trung bình của một đại lượ ng X . Gọi tọa độ suy r ộng của hệ là q1 , q1 , ..., q3 N và p1 , p1 , ..., p3 . a) Chứng minh qi
¶ H = q . ¶qi
b) Tìm năng lượ ng trung bình c ủa dao tử điều hòa m ột chiều có H =
p2
2m
+
kx2
2
.
c) Tìm năng lượ ng trung bình c ủa dao động tử có thế năng U = ax 4 .
II.4 Chứng minh r ằng tổng thống kê của một hạt có kh ối lượ ng m chuyển động tự do trong thể tích 3/ 2 V (2p mq ) V có dạng Z = . 3 h
II.5. Tìm tổng thống kê của dao động tử có Hamiltonian H ( p, q) =
2
p
2m
+
2
kq
2
.
II.6. Tìm năng lượ ng trung bình c ủa hai hệ ở bài II.4 và II.5. CHƯƠ NG III: NHỮ NG CƠ SỞ CỦA VLTK LƯỢ NG TỬ 1 III.1. Biết phổ năng lượ ng của dao tử điều hòa có d ạng En = hw æç + nö÷ , n= 0,1,2... è2 ø a) Tìm tổng thống kê của dao t ử điều hòa. b) Dựa vào ph ươ ng trình Gibbs-Helmhotz tìm n ăng lượ ng trung bình c ủa dao t ử. c) Chứng minh r ằng trong tr ườ ng hợ p hw = q thì năng lượ ng trung bình tr ở về k ết quả cổ điển, tức là có giá tr ị bằng q .
III.2. Tìm mật độ tr ạng thái c ủa một hạt chuyển động trong hố thế năng cao vô h ạn và có kích th ướ c: a) LxL b) LxLxL r
III.3. Tìm tổng thống kê và năng lượ ng trung bình c ủa một nguyên t ử có mô men t ừ m trong từ r tr ườ ng ngoài H , bi ết r ằng mô men này ch ỉ có thể có hai định h ướ ng: song song cùng chi ều và r song song ng ượ c chiều vớ i H . III.4. Tìm tổng thống kê và n ăng lượ ng trung bình c ủa một hạt chuyển động trong hố thế một chiều cao vô hạn, bề r ộng L. Chỉ xét hai tr ườ ng hợ p giớ i nhiệt độ cao và th ấ p. 2
CHƯƠ NG IV: CƠ SỞ THỐNG KÊ CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰ C HỌC IV.1. Một hệ có thể ở một trong N tr ạng thái b ất k ỳ. Xác suất để hệ ở tr ạng thái th ứ ilà pi (i = 1,2,…,N). Chứng minh r ằng, phân b ố xác suất ứng vớ i cực đại của entropi có d ạng sau p1 = p2 = ... = p N = 1/ N. Tìm giá tr ị của entropi khi đó. IV.2. Một hệ có thể ở một trong bốn tr ạng thái. Ký hi ệu p 1, p2, p 3, p4 là xác su ất để hệ nằm ở tr ạng thái thứ 1, 2, 3, 4 t ươ ng ứng. Các tr ạng thái này không bình đẳng nhau mà phân b ố của chúng lien hệ vớ i nhau p1 + 2 p2 + 2 p3 + p4 = 1 . Tìm phân bố xác suất sao cho entropi c ủa hệ có giá tr ị cực đại, tìm giá tr ị cực đại đó. IV. 3. Phân bố chuẩn (phân bố Gauss) một chiều có dạng p ( x ) = ( 2ps )
-1/2
æ x 2 ö exp ç - 2 ÷ vớ i è 2s ø
-¥ < < +¥ .
a) Chứng minh r ằng giá tr ị trung bình x = 0 . b) Tìm giá tr ị của entropi. c) Chứng minh r ằng giá tr ị trung bình của x2 là x 2 = s 2 .
IV.4. a) Chứng minh hệ thức vớ i hệ ở tr ạng thái cân b ằng nhiệt động S = - k
¶y . ¶q
b) Áp dụng câu a) tính entropi c ủa dao động tử điều hòa l ượ ng tử một chiều.
IV.5. Sắt từ Ising có N nút m ạng, ở mỗi nút mạng spin có th ể có một trong hai định hướ ng , ¯ . Các spin có th ể định hướ ng hoàn toàn ng ẫu nhiên. Gọi ( N ¯ ) là tổng số các spin định h ướ ng lên (xuống). Đại lượ ng R =
- N ¯
N
gọi là thông s ố tr ạng thái của sắt từ.
a) Chứng minh r ằng entropi c ủa sắt từ Ising có d ạng sau ì1 é1 ù 1 é1 ùü S = - kN í (1 + R ) ln ê (1 + R ) ú + (1 - R ) ln ê (1 - R ) ú ý ë2 û 2 ë2 ûþ î2 b) Biết n ăng lượ ng c ủa s ắt t ừ Ising có d ạng E = a( N - N¯ ) , a là hằng số. Tìm nhiệt độ T của hệ như là một hàm của năng lượ ng E.
IV.6. Tìm entropi S(E,V,N) và nhi ệt độ T của khối khí lý tưở ng cổ điển có ch ứa N hạt khí đơ n nguyên tử trong thể tích V vớ i nội năng E không đổi. Biết số hạt N là r ất lớ n. IV.7. Mạng tinh th ể của vật r ắn bao gồm N nút mạng dao động hoàn toàn độc lậ p vớ i nhau. Các nút mạng dao động quanh vị trí cân b ằng vớ i cùng tần số w . Biết nội năng của mạng tinh th ể có giá tr ị E không đổi. Hãy tìm entropi và nhi ệt độ của mạng tinh thể. (Hướ ng dẫn: Hamiltonian c ủa mạng có dạng H = å i
2
pi
2m
+
2 2 mw qi
2
. Bằng cách đổi biến phù hợ p ta đưa về bài IV.6.).
IV. 8. Xét mạng tinh th ể ở bài IV.7 nhưng ở nhiệt độ r ất thấ p, khi đó các dao động bị lượ ng tử hóa. Tìm entropi và nhi ệt độ vớ i năng lượ ng E cố định.
3
