BAB V ANALISIS DIMENSI DAN KESERUPAAN A. PENDAHULUAN Materi pembelajaran pada bab
ini menguraikan tentang Analisa Dimensi dan
Keserupaan. Materi ini menjelaskan azas keserbasamaan dimensi, persamaan-ipersamaan dasar tak berdimensi, teorema Pi, pembangunan model dan hal-hal yang perlu diperhatikan. Penguasaan materi ini akan membantu mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pada matakuliah lanjutan seperti Disain kapal I, pembuatan model kapal, Tahanan dan Propulsi kapal sehingga dituntut kemampuan menyelesaikan masalah-masalah Mekanika fluida . Untuk mencapai kemampuan mahasiswa yang efektif/efisien akan dirancang proses pembelajaran yang inovatif bernuansa learning. Sasaran pembelajaran pada bab ini , mahasiswa mampu menghitung dan menganalisa dimensi prototype dan mampu memaparkan kesamaan model dan prototype secara selektif. Bentuk pembelajaran dalam bentuk kuliah dibarengi dengan pemberian tugas mandiri dan dipresentasikan, di mana sebagai pendahuluan
mahasiswa perlu dijelaskan
materi
pembelajaran agar sasaran pembelajaran secara keseluruhan tercapai setelah mempelajari matakuliah ini.
B. MATERI PEMBELAJARAN I.
ANALISIS DIMENSI
Pada dasarnya analisis dimensi ialah suatu metode untuk mengurangi jumlah kerumitan variabel eksperimental yang mempengaruhi gejala fisika tertentu, dengan menggunakan semacam teknik peringkasan. Kalau suatu gejala tergantung pada n variabel berdimensi, analisis dimensi akan menyederhanakan soal itu sehingga hanya tergantung pada k variabel tak berdimensi, sedang pengurangannya n – k = 1,2,3 atau 5 tergantung pada kesulitan soalnya. Pada umumnya n – k sama dengan jumlah dimensi yang berbeda (kadang-kadang disebut dimensi pokok, atau utama, atau dasar) yang menguasai soal tersebut. Dalam 90
mekanika fluida, keempat dimensi dasar itu ialah massa M, panjang L, waktu T, dan suhu atau singkatannya suatu sistem MLT. Kadang-kadang dipakai sistem FLT, dengan gaya F sebagai pengganti massa. Meskipun maksudnya untuk mengurangi variable dan mengelompokkan dalam bentuk tak berdimensi, namun analisis dimensi mempunyai beberapa keuntungan sampingan. Yang pertama ialah penghematan waktu dan biaya yang amat banyak. Misalkan kita mengetahui bahwa gaya F pada benda tertentu yang terbenam di dalam aliran fluida hanya akan tergantung pada panjang L benda itu, kecepatan aliran U, rapat fluida dan kekentalan
F f ( L .U . . )
………………………. (5.1)
Pada umumnya diperlukan sekitar 10 titik eksperimental untuk menentukan sebuah kurva. Untuk menentukan pengaruh panjang benda L kita harus melakukan percobaan itu dengan 10 macam panjang. Untuk masing-imasing panjang itu kita akan memerlukan 10 nilai untuk V, 10 nilai untuk dan 10 nilai untuk , sehingga total 10.000 percobaan. Kalau biaya Rp.5000 per percobaan nah anda tahu permasalahannya. Tetapi dengan analisis dimensi kita dapat segera menyederhanakan persm. (5-1) menjadi bentuk yang setara. VL g V L F
2
Atau,
2
C r g Re
……………………………. (5-2)
Artinya, koefisien gaya tak berdimensi F/v2 L2 hanya merupakan fungsi bilangan Reynolds tak berdimensi VL/. Keuntungan sampingan yang kedua dari analisis dimensi ialah cara ini membantu mengarahkan pemikiran dan perencanaan kita, baik mengenai percobaan maupun secara teoritis. Cara ini menunjukkan jalan tak berdimensi untuk menuliskan persamaannya. Analisis dimensi menunjukkan variable-variabel mana yang disingkirkan. Kadang-kadang analisis dimensi akan langsung menolak variabel-variabel itu tidak penting. Akhirnya analisis
91
dimensi sering memberikan pandangan mengenai bentuk hubungan fisika yang sedang kita pelajari. Keuntungan yang ketiga ialah bahwa analisis dimensi memberikan hukum penyekalaan yang dapat mengalihkan data dari model kecil yang murah ke informasi rancang bangun untuk membuat prototype yang besar dan mahal. Kita tidak membangun pesawat udara seharga satu milyard rupiah untuk melihat apakah pesawat itu memiliki gaya bubung yang cukup. Kita mengukur gaya bubung itu pada model yang kecil dengan menggunakan hukum penyekalaan untuk meramalkan gaya bubung pada pesawat udara prototype dengan ukuran sebenarnya. Ada kaidah-kaidah yang akan kita terangkan untuk mencari hukum penyekalaan. Bila hukum penyekalaan itu berlaku, kita katakan ada keserupaan antar model dan prototipe. Dalam kasus persamaan. (5-2) keserupaan tercapai kalau bilangan Reynolds untuk model dan prototipe itu , sebab fungsi g akan membuat koefisien gayanya sama pula. Kalau
Rem = Rcp ,
maka
Cfm = Cfp
……………. (5-3)
Disini indeks m dan p berturut berarti model dan prototipe. Dari defenisi koefisien gaya, ini berarti bahwa Fp Fm
p V p V m m
2
Lp L m
2
………………………………… (5-4)
Bentuk data yang diambil, dengan p Vp Lp/p = mVmLm/m. Persamaan (5-5) adalah hukum penyekalaan. Kalau gaya model diukur pada bilangan Reynolds model, maka ada bilangan Reynolds yang sama gaya prorotipe besarnya sama dengan gaya model dari nisbah rapat kali kuadrat nisbah kecepatan kali kuadrat panjang.
II. ASAS KESEBERSAMAAN
DIMENSI (THE PRINCIPLE OF DIMENSIONAL
HOMOGENEITY) Jika sebuah persamaan sungguh-isungguh menyatakan hubungan yang benar antara variable-variabel dalam suatu proses fisika, persamaan itu dimensinya serbasama artinya setiap suku adiktifnya akan mempunyai dimensi yang sama.
92
Semua persamaan yang diturunkan dari teori mekanika mempunyai bentuk seperti ini. Misalnya, tinjaulah hubungan yang menyatakan pergeseran benda yang jatuh ………………………….. (5-5) Setiap suku dalam persamaan ini berupa pergeseran, atau panjang, dan dimensinya [L]. Persamaan itu secara dimensi serbasama. Perhatikan juga bahwa sebarang perangkat satuan yang konsisten dapat dipakai untuk menghitung suatu hasil. Tinjaulah persamaan Bernoulli untuk aliran tak mampu-mampat ………………………..
(5.6)
Setiap suku, termasuk tetapannya, mempunyai dimensi kecepatan kuadrat, atau (L2T-2). Persamaan itu dimensinya serbasama dan memberikan hasil yang betul untuk sebarang perangkat satuan yang konsisten Persamaan (5.5) dan (5.6) juga melukiskan beberapa faktor lain yang sering muncul dalam analisis kedimensian, yakni variable-variabel berdimensi, tetapan-tetapan berdimensi, dan analisis dimensi Tetapan berdimensi ialah besaran yang benar-benar berubah selama proses itu berlangsung dan akan digrafikkan terhadap satu sama lain untuk menampilkan data. Dalam persamaan. (5.5), variable-variabel itu ialah S, dan T, dalam persamaan (5.6) ialah , V dan z. Semuanya mempunyai dimensi dan semuanya dapat di takdimensikan dalam bentuk teknik analisis dimensi Tetapan berdimensi dapat berubah dari suatu kasus ke kasus lainnya, tetapi nilainya dipertahankan tetap selama proses tertentu. Dalam persamaan. (5.5) tetapan berdimensi itu adalah So, Vo, dan g, sedang dalam persm. (5.6) , g, dan C. Tetapan-tetapan itu semua mempunyai dimensi dan pada dasarnya bisa di takdimensikan, tetapi biasanya mereka dipergunakan untuk membantu mentak-ikan variable-variabel dalam soal itu. Tetapan murni tidak pernah berdimensi, tetapan-tetapan ini muncul dari penggarapan matematis. Dalam Persm.(5-5) dan (5.6) tetapan-tetapan murni itu ialah ½ dan pangkat 2, 93
keduanya timbul dari pengintegralan :
. Tetapan tak berdimensi
yang lazim lainnya ialah dan e. Perhatikan bahwa pengintegralan dan pendiferensialan suatu persamaan dapat mengubah dimensi, tetapi keserbasamaan persamaan itu tidak berubah. Misalnya, integralkan atau diferensialkan persm. (5.5). t
…………………….. (5-7a)
……………………………… (5-7b) Dalam bentuk yang diintergralkan (5.7a) setiap sukunya mempunyai dimensi [LT], sedang bentuk turunannya (5-7b) mempunyai suku-suku berdimensi [LT-i2] Akhirnya, ada beberapa variable fisika yang secara wajar memang tak berdimensi berdasarkan defenisinya. Beberapa contohnya misalnya regangan (perubahan panjang per satuan panjang), nisbah Poisson (nisbah antara regangan lintang dan regangan bujur), dan berat jenis (nisbah antara rapat dan rapat air dalam keadaan standar). Semua sudut adalah tak berdimensi (nisbah antara panjang busur dan jari-jari) dan karena alasan ini sebaiknya dinyatakan dalam radian. Motif dibalik analisis dimensi ialah bahwa setiap persamaan yang dimensinya serbasama dapat ditulis dalam bentuk tak berdimensi yang setara, yang lebih kompak. Urainnya secara rinci dijelaskan di bagian teorema pi. Misalnya persamaan (5-5) ditangani dengan mendefinisikan variable-variabel tak berdimensi …………….. (5-8a)
…………….. (5-8b) Ada dua pantangan dalam operasi seperti persm (5-8). Pertama, jangan mentakdimensikan variable secara terbalik:
94
………………….. (5-9) Kedua, jangan ….. sekali lagi: jangan ….. mencampurkan variable-variabel (S,t) anda dalam satu definisi :
=
……………………………. (5-10)
Ini memang baik dan menarik, tetapi anda akan menghadapi masalah matematika dan masalah penyajian yang menjengkelkan pula. Cara ini kadang-kadang bisa digunakan dalam teknik yang disebut keserupaan tetapi sebaiknya jangan dipakai dalam analisis dimensi. Nah coba definisikan (5-8) dan persamaan. (5-5) +
+
…………………. (5-11a) ………….. (5-11b)
Ini masih mempunyai dimensi panjang, tetapi kalau kita membagi kedua ruas persamaan diatas dan menyendirikan variable takber-i, misalnya S* atau S**,AKD menjamin bahwa semua suku akan menjadi tak berdimensi. Maka bagilah (5-11a) dengan So dan (5-11b)
.
dengan
……………………… (5-12a) =
…………………………. (5-12b)
Persamaan ini keduanya setara dengan satu sama lain dan segala hal setara dengan persamaan (5-5) yang asli. Grafik persamaan-persamaan itu ditunjukkan dalam gambar 5.1. Bentuk yang mana yang anda rasa lebih baik dan lebih efektif ?. Anda diminta menjelaskan pilihan anda dalam soal 5-1
95
Gambar 5.1 : Dua bentuk persamaan benda jatuh (5-5) yang setara dan takberdimensi (a) persamaan (5-12a) dan (b) persamaan (5-12b). Bentuk manakah yang lebih sesuai. Sementara persamaan (5-5) berbentuk ………………………. (5-13) Dan mengandung lima besaran berdimensi, persamaan. (5-12) masing-masing berbentuk = g(
∝=
……………………… (5-14)
Dan hanya mengandung tiga besaran takberdimensi. Parameter biasanya muncul dalam proses-proses yang mempengaruhi gravitasi dan merupakan suatu bentuk bilangan froude (lihat tabel 5-2) Contoh ini sesuai dengan penyataan kita sebelumnya mengenai teknik analisis kedimensian. Fungsi asli yang variabelnya lima disederhanakan menjadi fungsi takberdimensi dengan tiga variabel. Penguranganya, 5 – 3 = 2, harus sama dengan jumlah dimensi (MLT) yang ada dalam soal.periksalah variable-variabelnya …….. (5-15) Seperti yang diharapkan, hanya ada dua dimensi dalam soal ini, yakni {L} dan {T}. Gagasan ini mencapai puncaknya dalam teorema pi. 96
METODE DARAB-PANGKAT Untuk yang terkhir kalinya tinjaulah lagi contoh tadi. Misalkan kita tidak mengetahui apaiapa tentang dinamika dan harus mengerjakan suatu percobaan untuk menemukan hubungan fungsional persamaan (5-14). Karena S adalah panjang, menurut AKD f harus berupa suatu panjang : maka t, So, Vo, dan g harus digabungkan sedemikan rupa sehingga waktunya tersingkir dan yang tinggal hanyalah dimensi panjang.seperti yang ditunjukkan oleh Buckingham, satu-satunya cara untuk mewujudkan hal ini adalah dengan menggabungkan setiap suku dalam j sebagai darab besaran-besaran berpangkat: …………………………. (5-16) Dengan tetapan kesebandingan yang takberdimensi dan a, b, c, dan d ialah pangkat tetap yang masih harus ditentukan. Ditinjau dari dimensinya, persamaan. (5-16) harus berupa panjang (L)b(LT-i1)c(LT-i2)d
………………………… (5-17)
Kalau pangkat panjang dan waktunya kita samakan, kita peroleh dua hubungan aljabar Panjang
1=b+c+d
………………… (5-18a)
Waktu
0 = a – c – 2d
………………… (5-18b)
Karena hanya ada dua persamaan dengan empat anu, sebarang dua di antara a, b, c dan d dapat dinyatakan dalam dua lainnya. Misalnya marilah kita nyatakan c dan d dalam a dan b C = 2 – a – 2b
d=a+b–1
………………………… (5-19)
Persamaan (5-16) menjadi …………………………… (5-20)
97
Tabel 5-1 : Dimensi besaran mekanika fluida Dimensi
Besaran
lambang
{ML T Ɵ}
{PL T Ɵ}
Panjang
L
L
L
Luas
A
L2
L2
Volume
ʋ
L3
L3
Kecepatan
V
LT-1
LT-1
Kelajuan bunyi
a
LT-1
LT-1
Debit
Q
L3T-1
L3T-1
Fluks massa
M
MT-1
FTL-2
ML-1T-1
L2T-1
T-1
FL-1
Tekanan,
P,ɚ
tegangan Laju regangan
ɟ
Sudut
θ
Kecepatan sudut
ῶ
T-1
FL
Kekentalan
ῠ
ML-1T-1
FLT-1
Kekentalan
v
L2T-1
L2T-1
Tegangan muka
Ϯ
MT-2
FL-1
gaya
F
MLT-2
F
Momen gaya
M
ML2T-2
FL
DayA
P
ML2T-3
FLT-1
rapat
ῤ
ML-3
FT3L-5
Suhu
T
Ɵ
Ɵ
L2T -2 Ɵ -1
L2T-3 Ɵ-1
F
kinematik
Jenis bahan
Cῤ
Tahanan termal
k
MLT- 3 Ɵ-1 FT-i-2 Ɵ-1
Koefisien muai
β
Ɵ-1
Ɵ-1
98
III. TAK BERDIMENSIAN PERSAMAAN – PERSAMAAN DASAR DIMENSIONLIZATION OF THE BASIC EQUATIONS)
(NON-
Marilah kita secara singkat menerapkan teknik ini pada persamaan – persamaan kemalaran dan pusa untuk aliran takmampu-mampat yang kekentalannya tetap: Kemalaran:
.V=0
Pusa:
dV
………………………. (5-21)
= g - p + µ2V
dt
…………………… (5-22)
Syarat batas yang lazim untuk kedua persamaan ini ialah Permukaan padat yang tepat: Lubang masuk/keluar:
………………… (5-23)
V=0
diketahui V, p
Permukaan bebas, z = η:
w=
d
p = pa – γ(Rx-1 + Ry-1)
dt
….. (5-24)
Persamaan (5-23, 5-25) mengandung tiga dimensi dasar MLT. Semua variabel p,V, x, y, z, dan t dapat di bilangan tak berdimensikan dengan memakai rapat dan dua tetapan acuanyang bisa menunjukkan ciri khas aliran fluida tertentu: Kecepatan acuan = U
panjang acuan = L
Misalnya U kecepatan lubang masuk atau bagian hulu dan L garis tengah benda yang terbenam di dalam aliarn itu. Sekarang definisikan semua variable yang relevan dan ditandai variable-variabel ini dengan bintang: V* =
V
x* =
U
t* =
tU L
x
y* =
L
p* =
y L
z* =
z L
……… (5-25)
p qz
U
2
99
Semua ini sudah jelas dengan sendirinya, kecuali p. Disini kita dengan seenaknya telah memasukkan pengaruh gravitasi dengan mengendalikan bahwa z ―ke atas‖. Gagasan ini di ilhami oleh persamaan Bernoulli Karena , U, dan L semuanya adalah tatapan, turunan – turunan dalam Persamaan. (5-23) semua dapat di garap dalam bentuk bilangan tak berdimensi dengan koefisien berdimensi. Misalnya, u x
(Uu )
( Lx )
U u
L x
…………………….. (5-26)
Masukkan variable-variabel dari Persamaan. (5-25) kedalam Persamaan. (5-21) dan (5-22) dan bagilah semua sukunya dengan koefisien berdimensi yang utama, seperti ketika kita menangani Persamaan. (5-11). Persamaan gerak takberdimensi yang dihasilkan ialah * . V * = 0
Kemalaran: Pusa:
dV dt
……………………………… (5-26a)
V . p
2
pUL
V
………………………. (5-26b)
Syarat – syarat batas bilangan tak ber-inya ialah V* = 0
Permukaan padat yang tetap: Lubang masuk/keluar:
diketahui V*, p*
Permukaan bebas, z* = η*
w* =
dt
p
Pa
U
2
d
gL U
2
…………………….. (5-27)
z
U L 2
R
1 x
Ry
1
Persamaan – persamaan ini mengungkapkan empat parameter bilangan tak berdimensi, satu dalam persamaan pusa dan tiga dalam syarat batas tekanan di permukaan bebas.
100
1. PARAMETER – PARAMETER (DIMENSIONLESS PARAMETERS)
BILANGAN
TAK
BERDIMENSI
Dalam persamaan kemalaran tidak ada parameter. Persamaan pusa mengandung satu parameter yang pada umumnya di anggap sebagai parameter yang terpenting dalam mekanika fluida yakni: ……………………. (5-28)
Bilangan Reynolds Re =
Nama parameter ini diambil dari Osborne Reynolds (1852-1912), seorang insinyur Inggris yang pertama kali mengusulkannya pada tahun 1883, Bilangan Reynolds selalu penting dengan atau tanpa permukaan bebas, dan hanya dapat diabaikan dalam daerah aliran yang jauh dari tempat yang landai kecepatannya tinggi; jauh dari permukaan padat, semburan, dan riak buritan. Syarat-syarat batas takgesekan dan di lubang masuk/keluar tidak mengandung para meter. Syarat-batas tekanan di permukaan-bebas mempunyai tiga parameter: Bilangan Euler (koefisien tekanan) Eu =
………………… (5-28a)
Ini dinamakan menurut Leonhard Euler(1707 - 1783) dan jarang penting kecuali kala tekanannya turun cukup besar sehingga menyebabkan timbulnya uap (peronggaan) dalam zair. Bilangan Euler sering dinyatakan dalam beda tekanan, Eu = ∆p/p mengandung tekanan uap
. Kalau ∆p
, bilangan Euler itu disebut bilangan peronggaan atau bilangan
kavitasi Ca = Parameter tekanan yang kedua jauh lebih penting: Bilangan Froude Fr =
………………………………. (5-29)
Namanya diambil dari William Froude (1810 - 1879), seorang arsitek angkatan laut Inggris yang bersama dengan putranya, Robert, mengembangkan konsep tangki-tunda model kapal dan mengusulkan kaidah-kaidah keserupaan untuk aliran permukaan-bebas (hambatan kapal, gelombang permukaan, saluran terbuka). Bilangan Froude merupakan pengaruh yang menonjol dalam aliran permukaan-bebas, dan sama sekali tidak penting kalau tak ada permukaan bebas. Parameter permukaan-bebas yang terakhir ialah Bilangan Weber We =
………………………. (5-30) 101
Bilangan ini dinamakan menurut Moritz Weber (1871 - 1951) dari Lembaga Politeknik Berlin, yang mengembangkan hukum-hukum kemiripan dalam bentuk modern. Weber lah yang menamakan Re dan Fr dengan nama Reynolds dan Froude. Bilangan Weber hanya penting kalau nilainya satu atau kurang, dan ini lazimnya terjadi bila kelengkungan permukaannya sepadan dengan kedalaman zat cair, misalnya dalam tetes, aliran kapler riak, dan model hidraulik yang sangat kecil. Kalau We besar, pengaruhnya bisa diabaikan.
2. PARAMETER-PARAMETER PARAMETERS)
MAMPU-MAMPAT
(COMPRESSIBILITY
Dalam aliran gas yang kecepatannya tinggi terjadi perubahan-perubahan yang berarti dalam tekanan, rapat, dan suhu, yang harus saling terkait dalam persamaan keadaan seperti hukum gas sempurna. Perubahan-perubahan termodinamika ini menimbulkan dua parameter bilangan tak berdimensi lagi, yang telah disinggung dalam bab-bab sebelumnya: Bilangan Mach Ma = ……………………… (5-31)
Nisbah bahang-ijenis =
Bilangan Mach dinamakan menurut nama Ernst Mach (1838 - 1916), seorang fisikawan Austria. Pengaruh hanya kecil atau sedang saja, tetapi Ma menimbulkan efek yang kuat pada besaran-ibesaran aliran termampatkan kalau nilainya lebih besar dari sekitar 0,3.
3.
ALIRAN BERALUN (OSCILLATING FLOWS)
Kalau pola alirannya beralun atau bergetar, parameter yang ketujuh masuk melalui syaratbatas di lubang-masuk. Misalnya, aliran di lubang-masuk itu berbentuk u = U cos ωt
…………………………….. (5-32)
Bilangan tak berdimensi persamaan ini menghasilkan =
= cos
……………………………… (5-33)
Argumen fungsi kosinus ini mengandung sebuah parameter baru, yakni Bilangan Strouhal St =
…………………………… (5-34)
Gaya dan momen bilangan tak berdimensi, gesekan, dan pemindahan bahang, dan sebagainya, dalam aliran beralun semacam itu akan merupakan fungsi bilangan Reynolds dan 102
bilangan Strouhal, Parameter ini dinamakan menurut nama seorang fisikawan Jerman yang pada tahun 1878 melakukan percobaan-percobaan dengan kawat yang berdesing bila ditimpa angin, V. Strouhal.
IV. TEOREMA
(THE PI THEOREM)
Pada tahun 1915 E. Buckingham memberikan prosedur alternatif yang sekarang disebut teorem pi Buckingham. Istilah pi diambil dari notasi matematika π, yang berarti darab variable-variabel. Kelompok-kelompok bilangan tak berdimensi yang didapatkan dari teorem itu berupa darab pangkat yang dinyatakan dengan
,
,
, dan sebagainya. Metode ini
memungkinkan kita untuk memperoleh "pi" — "pi" itu secara berurutan, tanpa harus memakai pangkat-pangkat yang bebas. Bagian pertama dari teorema pi menjelaskan tentang pereduksian variabel yang dapat diharapkan: Kalau suatu proses fisika memenuhi AKD dan mengandung n variable berdimensi, proses itu dapat direduksi menjadi hubungan antara k variabel bilangan tak berdimensi saja, atau k buah π. Rcduksinya i = n-k sama dengan jumlah maksimum variable yang tidak membentuk suatu "pi" di antara variable-variabel itu sendiri, dan senantiasa kurang dari, atau sama dengan, jumlah dimensi yang melukiskan variable-variabel tersebut. Tinjaulah kasus kakas pada benda yang terbenam: Persamaan (5-1) mengandung lima variabel L, U, f, p dan µ yang dilukiskan oleh tiga dimensi (MLT). Jadi n = 5 dan j ≤ 3. Karena itu kita bisa menduga bahwa soal ini dapat direduksi menjadi k buah "pi", Kekasaran mudah lepas dari perhatian sebab ia adalah efek geometrik yang kecil, yang tidak tampak dalam persamaan gerak.
103
Tabel 5-2 :Kelompok-kelompok bilangan tak berdimensi dalam Mekanika Fluida Parameter
Defenisi
Nisbah efek kualitatif
Bilangan Reynolds
Paling dalam Setiap hal
Bilangan Mach
Ma =
Aliran termampatkan
Bilangan Froude
Fr =
Aliran permukaan bebas
Bilangan Weber
We =
Aliran permukaan bebas
Ca =
Peronggaan (Kavitasi)
Bilangan Prantl
Pr =
Ilian bahang (konveksi kalor)
Bilangan Eckert
Ec =
Lesapan (Dissipasi)
Nisbah bahang-ijenis
y=
Aliran termampatkan
Bilangan Strouhal
St =
Aliran beralun
Bilangan peronggaan (bilangan Euler)
Aliran bergolak, dinding kasar
Bilangan kekasaran Gr =
Bilangan Grashop
Ilian alam Pemindahan bahang
Nisbah suhu
dengan k = n dimensi / > 5 – 3 = 2. Dan memang inilah yang kita dapatkan: duavariabel takberdimensi,
=
dan
= Re. Barangkali diperlukan lebih banyak "pi" daripada
jumlah minimum ini. Bagian kedua dari teorem itu menunjukkan bagaimana mencari "pi" - "pi" itu satu demi satu: Agar spesifik, misalkan bahwa proses itu melibatkan lima variabel 104
=ƒ(
)
Misalkan ada tiga dimensi (MLT) dan kita mencari-icari dan ternyata memang ϳ = 3. Maka k = 5 - 3 = 2 dan kita mengharapkan, berdasarkan teorem Itu, bahwa hanya ada dua kelompok "pi" saja. Pilihlah tiga variable yang mudah yang tidak membentuk suatu "pi" dan misalkan ini ternyata ialah
dan
. Maka kedua kelompok "pi" itu dibentuk oleh darab pangkat
ketiga variable ini plus satu variable lagi =(
= M°L°T°
Dl sini kita secara sebarang memilih
=(
dan
= M°L°T°
dengan pangkat satu. Dengan menggunakan
pangkat-pangkat berbagai dimensi itu menurut teorem tersebut kita pasti mernperoleh nllaiinilal a, b, dan c yang amung untuk setiap "pi". Dan nilai-inilai ini tak tergantung pada satu sama lain, sebab hanya
yang mengandung
dan
saja yang memuat
. Cara ini amat
rapi bila anda telah terbiasa dengan prosedurnya. Kita akan menunjukkannya dengan beberapa contoh. Lazimnya ada enam langkah: 1.
Daftar dan hitunglah n variabel yang ada dalam soal. Kalau ada variabel yang penting kelewatan, analisis dimensi akan gagal.
2.
Daftar dimensi setiap variabelnya menurut MLTΘ atau FLTΘ. Daftar ini bisa dilihat dalam Tabel 5-1.
3.
Carilah /. Mula-mula tebak saja / sama dengan jumlah dimensi berbeda yang ada, dan carilah / variabel yang tidak membentuk suatu darab "pi". Kalau tak berhasil, kurangi / dengan satu, lalu cari lagi.' Dengan latihan anda akan dapat menemukan dengan cepat.
4.
Pilihlah / variabel yang tidak membentuk suatu darab* "pi". Yakinkan diri anda bahwa anda senang dengan pilihan itu, dan bahwa yang anda pilih itu bersifat umum kalau mungkin, sebab pilihan tersebut akan muncul dalam setiap kelompok "pi". Pilihlah rapat, atau kecepatan, atau panjang. Jangan memilih tegangan muka, misalnya, sebab anda akan membentuk enam parameter bilangan-iWeber yang bebas dan berbeda, dun menjengkelkan rekan-irekan anda.
5.
Tambahkan satu variabel pada / variabel anda dan bentuklah sebuah darab pangkat. Secara aljabar carilah pangkat-ipangkat yang memuat darab itu menjadi bilangan tak berdimensi. Usahakan variabel-variabel keluaran anda (kakas, penurunan tekanan, momen gaya, daya) muncul sebagai pembilang agar grafiknya tampak lebih bagus. Kerjakan ini berturut-turut 105
dengan menambahkan satu variabel baru setiap kali, dan anda akan memperoleh semua n dimensi / = k darab "pi" yang dicari. 6.
Tulislah fungsi bilangan tak berdimensi yang diperoleh dan periksalah hasil itu, apakah semua kolompok "pi" dimensinya bilangan tak berdimensi.
V. PEMBANGUNAN MODEL DAN HAL-HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN (MODELING AND ITS PITFALLS) sampai sekarang kita lelah mempelajari kebersamaan dimensi dan dua metode untuk mengubah hubungan fisika yang serbasama ke bentuk bilangan tak berdimensi, yakni darabpangkat dan teorema pi. Secara matematika ini cukup mudah, tetapi ada kesulitan-kesulitan teknis yang perlu dibahas. Pertama, kita telah begitu saja menganggap bahwa variable-variabel yang mempengaruhi proses itu dapat didaftarkan dan dianalisis. Padahal sebenarnya pemilihan variable-variabel yang penting itu memerlukan pertimbangan yang matang serta pengalaman. Harus diputuskan, misalnya, apakah kekentalan boleh diabaikan. Adakah efek suhu yang penting? Mungkinkah pengaruh muka? Dan bagaimana pula dengan kekasaran permukaan? Setiap kelompok pi yang dipakai menambah usaha dan biaya yang diperlukan. Pertimbangan yang jitu dalam pemilihan variable hanya dapat dicapai melalui latih dimensi S dan kematangan; buku ini memberikan sebagian dari pengalaman yang perlu itu. Setelah variabel-variabel itu dipilih dan analisis dimensinya dikerjakan, diusahakan tercapainya keserupaan antara model yang dicoba dan prototipe yang harus dirancang bangun. Dengan pengujian yang cukup, data dari model itu akan mengungkapkan fungsi takberdimensi yang dicari diantara variabel-variabel. …………………………… (5-35) Lalu persamaan. (5-35) tersedia dalam bentuk daftar, grafis atau analitis, kita lalu dapat memastikan keserupaan yang penuh antara model dan prototipe. Ini dapat dinyatakan begini: Keadaan aliran untuk pengujian model serupa penuh jika semua parameter bilangan tak berdimensi yang penad mempunyai nilai yang bersesuaian untuk model dan prototipenya. Secara matematis hal ini sesuai dengan Persamaan. (5-35). Kalau , seterusnya, Persamaan. (5-35) menjamin bahwa hasil yang dicari
,
,
=
akan sama
dengan lp. Tetapi ini lebih mudah dikatakan daripada dikerjakan. 106
Buku-buku teknik tidak membicarakan keserupaan penuh, melainkan jenis-jenis keserupaan tertentu; yang paling lazim ialah keserupaan geometri, kinematik, dinamik dan termal. Marilah kita meninjaunya satu per satu.
1. KESERUPAAN GEOMETRI (GEOMETRIC SIMILARY) Keserupaan geometri bersangkutan dengan dimensi panjang {L} dan harus dipastikan sebelum pengujian model yang masuk akal dapat berlangsung. Definisi formalnya begini: Sebuah model dan prototipe adalah serupa secara geometri jika dan hanya jika semua ukuran benda dalam ketiga koordinatnya mempunyai nisbah skala-linear yang sama.
Perhatikan bahwa semua skala panjang harus sama. Keadaannya seperti bila anda memotret prototipe dan mengecilkan atau membesarkannya sampai sama besar dengan modelnya. Kalau model itu akan dibuat berukuran sepersepuluhnya prototipe, panjang, lebar dan tingginya masing-masing harus sepersepuluhnya pula. Bukan ini saja; bentuk keseluruhannya harus sepersepuluhnya bentuk prototipe. Secara teknis kita menyebut titiktitiknya yang homolog, artinya mempunyai letak nisbi yang sama. Misalnya hidung prototipe homolog atau berhomologj dengan hidung model, dan ujung sayap kiri prototipe haul log dengan ujung sayap kiri model. Maka syarat keserupaan geometri ialah bahwa semua titik yang homolog mempunyai nisbah skala-linear yang sama. Ini berlaku baik untuk geometri f, luida maupun untuk geometri model: Semua sudut dan semua arah aliran dipertahankan dalam keserupaan geometri Kiblat model dan prototipe terhadap sekelilingnya harus identik.
107
Gambar 5.2 : Keserupaan geometri dalam pengujian model; (a) prototype, (b) model berskala 1/10 Gambar 5.2 melukiskan sebuah prototipe sayap dan model yang skalanya sepersepuluh. Ukuran model itu semuanya sepersepuluh ukuran prototipe, tetapi sudut tempuhnya terhadap aliran bebas itu sama: 10°, bukan 1°. Segala bentuk rinci model itu harus dibuat dengan skala, dan beberapa di antaranya kurang nyata dan kadang-kadang kelewatan: Gambar 5-2 Keserupaan geometri dalam pengujian model: a) prototipe; (b) model 1.
Ruji hidung model harus sepersepuluhnya ruji hidung prototipe.
2.
Kekasaran permukaan model harus sepersepuluh kali lipat.
3.
Jika prototipenya mempunyai kawat penjegal lapisan-batas berukuran 5 mm yang
dipasang 1,5 m di depan ujung haluannya, modelnya harus diberi kawat penjegal yang berukuran 0,5 mm, dipasang 0,15 m di depan ujung haluannya. 4.
Kalau prototipenya dibangun dengan keling-keling yang menonjol, model! harus
mempunyai keling-keling homolog yang menonjol, yang ukurannya sepersepuluhnya. Begitu selanjutnya. Setiap penyimpangan dari
ketentuan rinci ini merupakan
pelanggaran keserupaan geometri dan harus dibenarkan dengan pembandingan secara eksperimental, dengan menunjukkan bahwa perilaku prototipe tidak banyak dipengaruhi oleh perbedaan itu. Model-model yang tampak serupa bentuknya tetapi nyata-nyata melanggar keserupaan geometri janganlah diperbandingkan, kecuali atas risiko anda sendiri. Gambar 5.3 108
melukiskan situasi ini. Bola-bola pada Gambar 5.3a semuanya serupa secara geometri dan bisa diuji dengan harapan besar bahwa hasilnya bagus jika bilangan Reynolds, bilangan Froude, dan sebagainya, cocok. Tetapi lonjong-lonjong atau elipsoid dalam gambar 5.3b hanya kelihatannya saja serupa. Sebenarnya lonjong-lonjong itu mempunyai nisbah skalalinear yang berbeda-beda, dan karenanya tak boleh diperbandingkan secara bernalar, walaupun mereka mempunyai bilangan-bilangan Reynolds, Froude, dan sebagainya, yang sama. Data untuk lonjong-lonjong ini tak akan sama, dan ''membandingkan" mereka mencerminkan pertimbangan teknis yang jelek.
Gambar 5.3 : Keserupaan dan ketakserupaan geometri aliran: (a) serupa (b) takserupa.
2. KESERUPAAN KINEMATIK (KINEMATIC SIMILARITY) Keserupaan kinematik mensyaralkan model dan prototipe untuk mempunyai nisbah skalapanjang dan nisbah skala-waktu yang sama. Hasilnya ialah bahwa nisbah skala kecepatannya akan sama untuk keduanya. Seperti dikatakan oleh Langhaar "Gerak dua sistem adalah, serupa secara kinematis, kalau pertikel-partikel yang homolog terletak di titik-titik yang homolog pada saat-saat yang homolog". Kesetaraan skala-panjang semata-mata menyiratkan keserupaan geometri, tetapi kesekiaan skala-waktu mungkin memerlukan pertimbangan-pertimbangan dinamik lain, seperti kesetaraan bilangan-bilangan Reynolds, Mach, dan sebagainya.
109
Suatu contohnya ialah aliran tanpagesekan tak mampu-mampat tanpa permukaan bebas, seperti di perlihatkan dengan sketsa dalam gambar 5.5a. Aliran-aliran fluida sempurna ini serupa secara kinematis dengan skala panjang dan skala waktu yang saling takgayut, dan tak ada paremeter lain yang di perlukan. Aliran-aliran tanpagesekan yang mempunyai sebuah permukaan bebas, seperti dalam gambar 5-5b, adalah serupa secara kinematis kalau bilangan Froude mereka sama …………………………….. (5-36) Perhatikan bahwa bilangan Froude hanya mengandung dimensi panjang dan waktu, dan keduanya merupakan parameter kinematik murni yang menentukan hubungan antara panjang dan waktu. Dari Persamaan. (5-36), kalau skala panjangnya ialah …………………………………………
(5-37)
Dengan α suatu nisbah bilangan tak berdimensi, skala kecepatannya ialah. …………………………
(5-38)
………………………….
(5-39)
Dan skala waktunya ialah
Hubungan kinematik penyekalaan-Froude ini di lukiskan dalam Gambar 5.5b untuk percobaan dengan model gelombang. Kalau gelombang-gelombang itu di hubungkan oleh skala panjang α, maka periode, kelajuan perambatan, dan kecepatan zarahnya dihubungkan oleh
.
Jika kekentalan, tegangan muka, atau mampu-mampat merupakan faktor yang penting, keserupaan kinematik tergantung pada hasil yang dicapai keserupaan dinamik.
3. KESERUPAAN DINAMIK (DYNAMIC SIMILARITY) Terdapat keserupaan dinamik antara model dan prototipe jika model dan prototipe itu mempunyai nisbah skala panjang, skala waktu, dan skala gaya (atau skala massa) yang sama. Di sini pun, keserupaan gometri merupakan syarat pertama, kalau ini saja tidak di penuhi, jangan lanjutkan percobaan anda. Maka kesempurnaan dinamik terjadi bersamaan dengan keserupaan kinematik kalau gaya model dan gaya prototipe mempunyai nisbah yang tepat. Ini terjadi jika : 110
1. Aliran mampu-mampat: bilangan-bilangan Reynolds dan Mach, dan nisbah bahan jenis model dan prototipe masing-masing sama. 2. Aliran tak mampu-mampat a. Tanpa permukaan bebas : bilangan Reynolds model yang prototipe sama. b. Ada permukaan bebasnya : bilangan-bilangan Reynolds, Froude, dan (kalau perlu) bilangan-bilangan weber dan peronggaan model dan prototipe masing-masing sama. Cara matematika, hukum Newton untuk setiap partikel fliuida menuntut bahwa jumlah gaya tekanan, gaya gravitasi, dan gaya gesekan sama dengan gaya kelembaman yang sebanding dengan percepatan. ……………………………. (5-40) Hukum-hukum keserupaan dinamik yang disenaraikan di atas memastikan bahwa masingmasing gaya ini akan mempunyai nisbah yang sama dan mempunyai arah yang setara Antara model dan prototipe. Gambar 5.5 memperlihatkan suatu contoh berupa aliran melalui pintu air. Segi banyak gaya pada titik-titik homolog mempunyai bentuk yang persis sama jika bilanganbilangan Reynolds dan Froudenya sama (tentu saja dengan mengabaikan tegangan muka dan perongga). Keserupaan kinematik juga di jamin oleh hukum-hukum model ini.
4. PERBEDAAN DALAM PENGUJIAN AIR UDARA (DISCREPANCIES IN WATER AND AIR TESTING) Keserupaan dinamik sempurna yang ditunjukkan dalam gambar 5.5 lebih merupakan impian dari pada kenyataan, sebab kesetaraan sejati bilangan-bilangan Reynolds dan Froude hanya dapat dicapai dengan perubahan-perubahan dramatik dalam sifat-sifat fluida, sedangkan dalam kenyataan kebanyakan pengujian model hanya dilakukan dengan air dan udara, yang merupakan fluida paling murah yang tersedia. Pertama-tama tinjaulah pengujian model hidraulik yang mempunyai permukaan bebas, keserupaan dinamik mensyaratkan bilangan Froude yang setara, Persamaan. (5.36), dan bilangan Reynolds yang setara. ………………… (5-41)
111
Tetapi kecepatan dan panjangnya kedua-duanya terkendali oleh bilangan Froude, Persm. (5-37) dan (5-38). Karena itu, untuk nisbah skala panjang α tertentu, persamaan, (5-51) hanya diperlukan kalau ………………………. (5-42) Misalnya, untuk model berskala 1/10, α = 0,1 dan α3/2 = 0,032. Karena vp pastilah bersangkutan dengan air, kita membutuhkan fluida yang kekentalan kinematiknya hanya 0,032 kalinya kekentalan air untuk mencapai keserupaan dinamik. Mengacu kembali ke tabel 1-3, sadarlah kita bahwa ini tak mungkin : bahwa air raksa pun kekentalan kinematiknya hanya sepersembilan kekentalan kinematik air, dan model hidraulik raksa akan mahal dan membahyakan kesehatan. Dalam praktik air di pakai baik untuk model, maupun untuk prototipe, dan keserupaan bilangan Reynolds (5-41) terpaksa dilanggar. Bilangan Froude diperhatikan tetap nilainya sebab bilangan ini merupakan paremeter yang dominan dalam aliran permukaan bebas. Pada umumnya bilangan Reynolds untuk lairan model terlalu kecil dengan faktor 10 – 100. Seperti diperlihatkan pada gambar 5.6, data dari model dengan bilangan Reynolds yang rendah dipergunakan untuk memperkirakan data prototype dengan bilangan Reynolds tinggi yang di inginkan, dengan cara ekstrapolasi seperti ditunjukkan pada grafik itu, Jelaslah terjadi ketidakpastian dalam pengeksplorasian semacam itu, namun tak ada pilihan lain yang praktis dalam pengujian model hidraulik. Kedua, tinjaulah pengujian model aerodinamik di udara, tanpa permukaan bebas . Paramater yang penting ialah bilangan Reynolds dan bilangan Mach. Persamaan (5-41) harus dipenuhi, ditambahi dengan patokan ke mampu-mampat. ………………………….. (5-43) Kalau Vm/Vp disingkirkan dari (5-55) dab (5-57), diperoleh ………………………… (5-45) Karena prototipenya jelas bekerja di udara, kita memerlukan fluida terowongan angin yang kekentalannya rendah dan di dalamnya kelajuan bunyi tinggi. Hidrogen merupakan satusatunya contoh yang praktis, tetapi jelaslah bahwa gas ini terlalu mahal dan berbahaya. Karena itu terowongan angin pada umumnya beroperasi dengan udara sebagai fluida kerjanya. Dengan mendinginkan dan menekan udara itu Persm. (5-45) makin didekati, tetapi tidak cukup untuk memenuhi penurunan skala panjang sebanyak 1/10 kali, misalnya. Karena 112
itu penyekalaan bilangan Reynolds biasanya juga di langgar dalam pengujian aerodinamik, dan ekstrapolasi seperti dalam gambar 5-6 juga di perlukan disini. Kenyataannya, dengan meningkatnya kelajuan dan ukuran kendaraan, perbedaan antara bilangan Reynolds prototype dan model makin membesar, seperti terlihat dalam gambar 5-7. Lukasiewicz (30) memakai Gambar 5-9 sebagai alasan untuk menginginkan terowongan angin baru yang berkemampuan bilangan Reynolds lebih besar.
CONTOH SOAL : 5.1. Kopapoda adalah binatang tak bertulang belakang yang punggungnya keras, hidup di dalam air dan garis tengah badannya kira-kira 1 mm. Kita ingin mengetahui gaya seret pada kopapoda bila hewan ini bergerak perlahan di air tawar. Sebuah model yang skalanya 100 kali lebih besar dibuat, lalu di uji di dalam gliserin pada kecepatan v = 30cm/s. Gaya yang terukur dengan model ini ialah 1,3 N. Dalam kecepatan yang serupa, berapakah kecepatan dan seretan kopapoda yang sebenarnya di dalam air?. Andaikan
bahwa
persamaan (5-1) berlaku,dan suhunya 20 celcius derajat. Penyelesaian: dari tabel 1.3 besaran-besaran fluida itu adalah: Air (prototipe)
p = 0,001 kg/(m.s)
p = 999 kg/m3
Gliserin (prototipe)
m = 1,5 kg(m.s)
m = 1263 kg/m3
Skala panjangnya ialah Lm = 100 m dan Lp = 1 mm. Kita mempunyai cukup data untuk menghitung bilangan reynolds dan koefisien gaya
Re
m
Ce m
mVmLm m
1263 kg / m 0 ,3 m / s 0 ,1m 25 ,3 1,5 kg /( m .s )
Fm
mV mL m 2
3
2
1,5 N 3
3
(1263 kg / m )( 0 ,3 m / s )( 0 ,1m )
2
1,14
113
Kedua bilangan ini tak berdimensi, seperti anda dapat cek sendiri. Dalam keadaan serupaan bilangan Reynolds prototipe harus sama,dan Persamaan. (5-2) menuntut bahwa koefisien gaya prototipe harus sama pula; Re Re m 25 ,3
999 vp ( 0 , 001 ) 0 , 001
Atau
Vp = 0,0253 m/s = 2,54 cm/s Fp
Cfp Cfm 1,14
Atau
2
999 ( 0 , 025 ) ( 0 , 001 )
2
Fp = 7,31 x 10-7 N 5.2. F daya dorong baling-baling sekrup diketahui tergantung pada diameter d, kecepatan muka v, densitas fluida ρ, putaran per N detik, dan koefisien viskositas μ, dari fluida. Menemukan ekspresi untuk F dalam hal ini jumlah. Penyelesaian: Hubungan umum menjadi F = φ (d, v, ρ, μ), yang dapat diperluas sebagai jumlah yang terbatas seri istilah memberikan F = A ( dmvp
q
Nr
s
) + B (dm’vp’
q’
Nr’
s’
) +......
Dimana A, B, dll Apakah konstanta numerik dan m, p, q, r, s adalah kekuatan yang tidak diketahui. Karena, untuk homogenity dimensi, semua istilah harus dimensi sama, ini dapat dikurangi untuk F = K dmvp
q
Nr
s
(1)
Di mana K adalah sebuah konstanta numerik. Dimensi F variabel dependen dan variabel ondependent d, v, p, N, dan μ adalah [ F’ ] =
[ Force ]
=
[ MLT-2 ]
[d]
=
[ Diameter]
=
[L]
[v]
=
[ Velocity]
=
[ LT-1 ]
[
]
=
[ Mass Density ]
[N]
=
[ Rotational Speed ] =
[ T-1 ]
[
=
[ Dynamic viscosity ] =
[ MLT-1 T-1 ]
]
=
[ ML-3 ]
114
Untuk kenyamanan, ini dapat ditetapkan pada bentuk matriks tabel atau dimensi, di mana kolom disediakan untuk setiap variabel dan kekuatan masing-masing dimensi dasar dalam rumus dimensi adalah intersted dalam baris yang sesuai: F
D
v
N
M
1
0
0
1
0
1
L
1
1
1
-3
0
-1
T
-2
0
-1
0
-1
-1
Mengganti dimensi untuk variabel-variabel dalam (I), [ MLT-2 ] = [ L ]m [ LT-1 ]p [ ML-3 ]q [ T-1 ]r [ MLT-1 T-1 ]s Kekuasaan menyamakan dari [M], [L], [T]: [ M ], 1 = q + s;
(2)
[ L ], 1 = m + p – 3q – s;
(3)
[ T ], -2 = - p – r – s.
(4)
Karena ada lima variabel yang tidak diketahui dan hanya tiga persamaan, adalah mustahil untuk mendapatkan solusi lengkap, tapi tiga tidak diketahui dapat dtermined dalam hal dua yang tersisa. Jika kita memecahkan m, p, dan q, basah mendapatkan q
= 1 – s dari (2)
p
= 2 – r – s dari (3)
m
= 1 – p + 3q + s = 2 + r – s dari (4)
Subtituting nilai-nilai dalam (1), F = K d2+r-sv2-r-s
1-s
Nr
s
Regrouping variabel, F = K v2d2 ( vd/ )-s ( dN/v )r Sejak s dan r tidak diketahui ini dapat ditulis F=
v2d2
( vd/ , dN/v )
(5) 115
Mana φ berarti 'fungsi'. Pada pandangan pertama, ini tampaknya menjadi solusi yang agak memuaskan, (5) menunjukkan bahwa F = C v2d2
(6)
Di mana C adalah konstanta yang akan ditentukan secara eksperimental dan nilai yang tergantung pada nilai-nilai ρvd / μ dan dN / v. 5.3. Sebuah fasilitas penelitian laut menggunakan sebuah baskom penarik untuk menguji model diusulkan konfigurasi lambung kapal. Sebuah bentuk lambung baru menggunakan busur bawah laut bulat diusulkan untuk kapal induk bertenaga nuklir yang panjangnya 300 m panjang. Sebuah model 3-m telah diuji dalam tangki penarik dan ditemukan memiliki kecepatan maksimum lambung dari 1,4 m / s. Berapa kecepatan lambung direncanakan untuk prototipe? Penyelesaian : Dalam studi lambung kapal, tegangan permukaan dan efek kompresibilitas yang tidak signifikan. Oleh karena itu, untuk bentuk geometris yang sama, kesamaan dinamis terjadi ketika m
=
and
p
m
=
p
Pengalaman telah menunjukkan bahwa bilangan Froude adalah signifikan lebih besar dari bilangan Reynolds dalam aplikasi tertentu. Dengan demikian, cairan yang digunakan dalam tangki penarik umumnya air, bilangan Froude saja dipertahankan antara model dan prototipe; dan koreksi empiris yang dibuat untuk mengkompensasi perbedaan yang ada antara bilangan Reynolds. Oleh karena itu kita mengabaikan efek viskos, yang diukur dengan bilangan Reynolds, dan berkonsentrasi dalam pembuatan gelombang karakteristik lambung, seperti diukur dengan bilangan Froude. m
=
p
Karena percepatan gravitasi adalah sama untuk prototipe amd model, kecepatan prototipe diantisipasi menjadi Vp = Vm
1/2
116
atau Vp = 1,4 (10,0) = 14 m/s Sebagai, kecepatan konversi 14 m / s diterjemahkan ke 27,2 knot, di mana 1 knot = 1 mil laut per jam dan 1 mil laut = 6080 m 5.4. Pengujian yang dilakukan dalam terowongan angin pada 1 : 5 dari model pelampung terendam. Jika arus air maksimum yang diharapkan adalah 3 fps, berapa kecepatan udara yang harus digunakan untuk menjamin kesamaan pola aliran? berapa gaya angkat prototype bila gaya angkat model 5,0 1b sesuai? Penyelesaian: Dari tabel udara dan air pada tekanan atmosfer ditemukan bahwa untuk temperatur diasumsikan dari 60 º F Vm / Vp = 1,58 x 10-4 / 1,21 x 10-5 = 13,1. Kemudian, untuk kesetaraan dari angka Reynolds, Vm = Vp
= 3 x 5 x 13,1 = 196 fps
Dengan kesamaan bilangan Euler (karena p = ρV2) =
=
=
x
x 5 = 4,80
Karenanya, Fp = Fm x 4,80 = 5,0 x 4,80 = 24 1b 5.5. Drag dari sebuah kapal dalam air diasumsikan tergantung pada bilangan Reynolds dan bilangan Froude sehingga =f
Diusulkan bahwa model sepersepuluh ukuran kapal skala penuh akan diuji dalam air dan hasilnya digunakan untuk memprediksi kinerja kapal skala penuh. Apakah ini layak? Penyelesaian: Prediksi tes skala penuh dari model tes digunakan untuk menentukan bentuk hukum tarik mensyaratkan bahwa bilangan Reynolds dan Froude model dan prototipe sama. Jadi
117
Re =
=
Fr =
Dan
=
Dari kesamaan bilangan Reynolds ;
=
= 10
Dari kesamaan bilangan Froude
=
½
;
=
Hasil ini bertentangan satu sama lain, dan kita dapat menyimpulkan bahwa pencapaian kesamaan dinamis dalam model dan prototipe tidak mungkin.
C. PENUTUP Diakhir pemberian materi pada bab ini, mahasiswa Mampu menghitung dan menganalisa dimensi prototype serta dapat memaparkan kesamaan model dan prototype kapal secara selektif, dan diberikan penilaian berdasarkan penyelesaian problem set dan penguasaan bentuk kesamaan dengan kriteria penilaian adalah kreativitas dan kedisiplinan.
TUGAS LATIHAN Selesaikanlah tugas dibawah ini, setiap mahasiswa mengerjakan tiga buah latihan dan menganalisa hasil yang dperoleh serta dipresentasikan pada pertemuan berikutnya 5.1.Sebuah pompa Model memiliki impeller dari 6 in Diameter. Ketika berjalan pada 1200 rpm,
pompa
memberikan
2
cfs
terhadap
kepala
16
ft
Sebuah pompa yang serupa diperlukan untuk debit 40 cfs pada 600 rpm. Berapa diameter pompa ini, dan apa kepala itu akan berkembang?
5.2.Sebuah kapal 100 ft panjang. Desain tes tangki penarik dalam air menggunakan model 3ft –panjang. Berapa daya yang diperlukan untuk mendorong prototipe pada kecepatan 20 knot?
118
5.3.Kecepatan bunyi dalam suatu gas, a, tergantung pada tekanan p dan kerapatan ρ. Tunjukkan dengan analisi dimensi bahwa bentuk yang betul haruslah a = (tetapan)(p/ ρ)2 5.4.Seperlima skala model pesawat diuji dalam (a) sebuah terowongan angin, dan (b) sebuah terowongan air. Hitung kecepatan model pada terowongan yang diperlukan untuk sesuai dengan kecepatan penuh skala 100 fps pada permukaan laut?
5.5.Gaya hambatan F sebuah kapal merupakan fungsi panjangnya L, kecepatannya V, percepatan grafitasi g, dan kerapatan ρ serta kekentalan
yang diarunginya. Tulislah
kembali hubungan ini dalam bentuk tak berdimensi ?
5.6.Sebuah rudal diluncurkan kapal selam, 1 m diameter dengan 5 m panjang, yang akan dipelajari di sebuah terowongan air untuk menentukan beban yang bekerja padanya saat peluncuran bawah lautnya. Kecepatan maksimum selama ini bagian awal peluncuran rudal adalah 10 m / s. Hitung kecepatan aliran air terowongan artinya jika model 1 / 20 skala dimanfaatkan dan kesamaan dinamis akan dicapai?
5.7.Sebuah kapal menghela suatu larik sonar yang kira-kira seperti silinder bergaris tengah 1 ft dengan panjang 30 ft, dan sumbunya tegak lurus terhadap arah helaan. Jika kecepatan hela 12 knot. Berapa daya kuda yang dibutuhkan untuk menghela sinder yang terbenam itu dan frekwensi yang dilepaskan oleh silinder tersebut ?
5.8.Prototipe pompa air mempunyai penekan bergaris tengah 2 ft, dan di rancang bangun untuk memompa air dengan debit 12 ft 3/s dengan laju putaran 750 rpm. Sebuah model pompa bergaris tengah 1 ft diuji di udara pada suhu 20 0C dengan kecepatan 1800 rpm, dan ternyata efek bilangan Reynoldsnya dapat diabaikan. Untuk keadaan yang serupa, berapa feet kubik per sekon debit model itu ? kalau untuk menjalankan model pompa itu diperlukan 0,082 Hp, berapa daya kuda yang diperlukan untuk menjalankan prototipenya ? 5.9.Sebuah torpedo 8 m di bawah permukaan laut yang suhu airnya 20 0C mengalami kavitasi pada kelajuan 21 m/s ketika tekanan atmosfir besarnya 101 kPa. Jika efek 119
bilangan Reynolds dan bilangan Froude dapat diabaikan, pada kelajuan berapakah torpedo itu akan mengalami kavitasi bila melaju pada kedalaman 20 m? Pada kedalaman berapakah torpedo itu harus diluncurkan dengan kecepatan 30 m/s untuk menghindari kavitasi ?
5.10. Sebuah kapal prototype panjangnya 400 ft dan mempunyai luas yang tercelup dalam air sebesar 30.000 ft 2. Sebuah model berskala seperdelapanpuluh diuji dalam tangki tunda menurut penyekalaan Froude, pada kecepatan 1, 3, 2, 0 dan 2,7 knot (1 knot = 1,689 ft/s). Seretan gesekan yang terukur pada model pada kecepatan ini berturutturut 0,11; 0,24 dan 0,41 lbf. Berapakah ketiga kecepatan prototipenya? Berapakah taksiran seretan gesekan prototype pada kecepatan-kecepatan ini kalau dimasukkan koreksi untuk perbedaan bilangan Reynolds, yang diperoleh dengan ekstrapolasi ?
DAFTAR PUSTAKA 1. White,F,M., 1996, Fluid Mechanics, Mcgraw-Hill, New York 2. Fogiel, M, 1986, The Fluid Mechanics and Dinamics Problem Solver, REA, New York 3. Munson Bruce, 2002, Fundamental of Fluid Mechanics fourth edition, John Willey and Sons, Inc 4. Fox,W Robert, 1994, Introduction to Fluid Mechanics, Fourth edition, John Willey and Sons, Inc
120
