KESERUPAAN
Matriks sebuah operator linier T:V V bergantung pada basis yang di pilih untuk V, salah satu permasalahan mendatar yang di hadapi dalam aljabar linier adalah memilih sebuah basis ntuk V yang dapat menjadikan matriks untuk T sesederhanan mungkin sebuah matriks diagonal atau matriks segitiga, misalnya dalam subab ini kita akan mengkaji permasalahan ini.
Matriks sederhana untuk operator linier basis standar tidak selalu menghasilkan matriks yang paling sederhana untuk operator linier T:R T:R 2 R 2 yang di definisikan oleh
x x T
1 2
x = − 2 x
1 1
+ +
x 2
4x2
1! "an basis standar B=[e1 ,e2 ] untuk untuk R2, di mana e1
1 # = , e = # 1 2
$erdasarka $erdasarkan n teorema teorema %.4.1, matriks untuk T berkenaaan dengan basis ini adalah matriks standar untuk T , yaitiu,
[ T ] = [ T ] = [ T ( e1 ) B
( )]
T e2
"ari 1! di peroleh
1
1
( ) = T ( e2 ) = − 2 4
T e1
sehingga
1
( T ) = − 2 B
1
4
pg. 1 Keserupaaan
2!
sebagai perbandingan, kita telah menunjukkan pada &ontoh 4 subbab %.4 bah'a jika
1 1 = , u 1 2
u1
2
(!
B
,
= {u
1
, u2 }
Maka matriks untuk T berkenaan dengan basis
adalah matriks diagonal
1
[ T ] = − 2 B
,
1
4
2
4!
ingat kembali dari Rumus )%* +ubbab .- bah'a jika himpunan B u1, u2,…….un] dan B
,
=
u
,
1
,
, u 2 .....u
himpunan
n
} adalah basis/ basis untuk sebuah ruang 0e&tor V, maka
B
matriks transisi dari
,
,
B
ke P
di definisikan oleh rumus
= [ u1, ]
B
[ u ] ,
2
B
....
[u ] ,
n
B
-!
Matriks ini memiliki sifat bah'a untuk setiap 0e&tor 0 pada V
[ ]
P v B
.
= [ v] B !
pg. 2 Keserupaaan
B
,
aitu perkalian dengan memetakan matriks koordinat untuk 0 relati0e terhadap ke matriks koordinat untuk 0 rekatif terhadap B lihat rumus ke 35 subbab .-!. kita telah −1
P
menunjukkan dalam teorema .-.4 bah'a P dapat di balik dan B
B
dari
ke
adalah matriks transisi
,
.
Teorema berikut ini memberikan sudut pandang alternatif yang sangat berguna mengenai matriks transisi6 teorema ini menunjukkan bah'a matriks transisi dari suatu basis B
,
dapat di pandang sebagai matriks sebuah operator identitas.
, TEOREMA B 8.5.1 Jika B dan adalah basis-basis untuk sebuah ruang vector berdimensi terhingga V. dan jika I:V V adalah operator identitas, maka [I] B,B adalah
B
,
matriks transisi dari
ke B
Pengaruh peruahan !asis terhadap "atriks #perator $inier.
+ekarang kita telah siap untuk membahas masalah utama dalam subbab ini. 7a'aban untuk pertanyaan ini dapat di peroleh dengan memperhatikan komposisi dari ketiga operator linier pada V yang di tunjukkan pada gambar %.-.2 di ba'ah ini. I
0
T
T(v)
I
T(v)
v
V $asis B’
pg. 3 Keserupaaan
V
V $asis B
V $asis $
$asis $
B
,
Masalah, misalkan B dan
adalah dua basis untuk sebuah ruang 0e&tor berdimensi
sehingga V , dan misalkan T:V V adalah sebuah operator linier ,hubungan apakah, jika
[T ] memang ada,yang terdapat antara mariks
[T ]
B
B
,
dengan matriks
8
"alam gambar ini, V pertama di petakan ke dirinya sendiri oleh operator identitas,kemudian
[ ]
[ ]
T v
T v
V di petakan ke oleh T , selanjutnya di petakan kedirinya sendiri oleh operator identitas. 9eempat runang 0e&tor yang terlihat di dalam komposisi ini adalah sama ) yaitu V *6 akan tetapi , basis untuk ruang ini berbeda/beda. 9arena 0e&tor a'alnya adalah V dan
[ ]
T v
0e&tor akhirannya adalah
, komposisi ini dapat di katakana sama dengan T ,jelasnya: T = I o T o I
)*
7ika, sebagaimana di ilustrasikan dalam gambar %.-.2. ruang 0e&tor pertama dan ruang 0e&tor B
,
terakhir di tetapkan memiliki basis dan dua ruang 0e&tor di pertengahan di tetapkan memiliki basis B, maka dari rumus )* dan rumus )1-* subbab %.4 ) dengan sedikit penyesuaian pada nama basis/basisnya* kita akan memperoleh
[T ] B , B ,
,
I o T o I] B,B=[I] B,B [T] B,B [I] B,B
)%* B
amun dari teorema %.-.1 kita mengetahui bah'a [I] B,B adalah matriks transisi dari
[ I ] dan sebagai konsekuensinya P
= [ I ]
misalkan
adalah matriks transisi dari B ke −1
P
,
B B
B
,
B B
= [ I ] B
, maka
,
,
ke B
,
. ;leh karena itu, jika
B
, sehingga )<* dapat di tuliskan sebagai
[T ] = P −1 [ T ] B
,
B
P
+ebagai rangkumannya kita dapat menurunkan teorema berikut ini.
Teorema Jika :V- V adalah sebuah operator linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jiika B dan B ! adalah basis-basis untuk V, maka pg. 4 Keserupaaan "#B $ p-%[]B& [10]
!
Peringatan, dalam menerapkan teorema %.-.2. kita mudah lupa apakah P adalah matriks transisi dari B ke B’ )salah* atau darii B ke B’ )benar*. +ebagaimana di tunjukkan dalam gambar %.-.(, akan sangat membantuapabila kita menuliskan )1#* dalam bentuk )<*, dengan tetap mengingat bah'a ketiga subskrip = bagian dalam> adalah sama, dan kedua subskrip bagian luar juga sama. +etelah anda dapat memahami pola yang di tunjkukkan dalam gammbar ini, anda hanya perlu mengingat bah'a P=[I] B,B I adalah nattriks transisi dari B’ ke B dan P 1 =[I] B,B’ adalah in0ersnya. %#N&#' 1 Menggunakan &eore"a (.).2
Misalkan T:R2 R2 di definisikan oleh
x x
1
T
2
x = − 2 x
+ +
1
1
x 2
4 x2
Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis standar B =[ e1 ,e2 ] untuk R 2, kemudian gunakan teorema %.-.2 untuk menentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis B =[ e1 ,e2 ], dimana u
,
1
1 = 1
u
,
2
1 = 2
dan Penne!esaian 9ita telah menunjukkan sebelumnya pada subbab ini lihat)2*! bah'a
1
[T ] = − 2 B
1
4
?ntuk menentukan T! $@ dari )1#*, kita harus menentukan matriks transisi
pg. 5 Keserupaaan
P
= ( T )
" , B
,
=
u
, 1
(u ) ,
B
2
B
)lihat -*, melalui inspeksi U*1 + e1 e2 U*2 + e1 2e2
+ehingga
1 2
1 1 u*1!$
u*1!$
dan
"engan demikian , matriks transisi dari B’ ke B adalah P =
1 1 1 2
Anda daapat menemukan bah'a −1
P
2 −1 = −1 1
+ehingga menurut teorema %.-.2 mtriks untuk T relati0e terhadap B’ adalah −1
[ T ]B = P [T ]B P= '
pg. 6 Keserupaaan
[
2
−1
−1
1
][
1
1
−2
4
][ ] [ ] 1
1
1
2
=
2
0
0
3
