BAB 7. APLIKASI INTEGRAL
7.1 Luas Daerah Bidang Datar
= menentukan persamaan sebuah kurva di bidang – misalkan kontinu dan tak-negatife pada interval ≤≤= (seperti dalam gambar 1). Tinjau daerah R yang dibatasi oleh grafik-grafik = , = , = dan = 0. Kita melihat R melihat R sebagai daerah di bawah = , di antara = dan = . luasnya, luasnya, A(R), diberikan diberikan oleh : Daerah di atas sumbu- Misalnya
= ∫
Contoh: Carilah luas daerah di bawah
= – 2 + 2 di antara x = -1 dan = 2. 4
3
di perlihatkan dalam gambar 2. Estimasi wajar untuk luas adalah alas kali rata-rata tinggi, katakanlah 32 = 6. Nilai eksak adalah Penyelesaian : Grafik
= ∫−2 + 2 +2 21 =
+ 4 2 = =5,1
5.1.1. Daerah di Bawah SumbuLuasnya adalah bilangan tak-negatif. Jika grafik
∫ adalah
bawahsumbu- maka
= terletak
di
bilangan negatif, sehingga tidak dapat
menyatakan suatu luas. Namun demikian, bilangan itu tidak lain adalah negatif dari luas daerah yang di batasi oleh
= , = ɑ, = , dan = 0.
Contoh: Carilah luas daerah
2 dan = 3. penyelesaian: Daerah
yang di batasi oleh = /3 – 4, sumbu , =
di perlihatkan pada gambar 3. Estimasi awal kita untuk
luasnya adalah 5(3)= 15. Nilai eksaknya adalah
= ∫− 4 = ∫− +4 =
+4 23 = +12 8 = =16,11
Kita semakin yakin karena kedekatan 6,11 dengan estimasi kita.
5.1.2. Daerah di Antara Dua Kurva Tinjaulah kurva-kurva
= dan = dengan ≤ pada
ɑ ≤ ≤ . Kurva-kurva dan interval itu menentukan daerah yang di perlihatkan
dalam gambar 7. Kita gunakan metode iris, aproksimasikan, integrasikan untuk
– memberikan tinggi yang benar dari irisan tipis tersebut. Walaupun grafig meluas ke bawah sumbu . sebab dalam kasus ini negatif; Jadi mengurangkan dengan mencari luasnya. Yakinlah untuk memperhatikan bahwa
berarti menambahkan dengan bilangan yang positif. Anda dapat memeriksabahwa
– juga memberikan tinggi yang benar, sekalipun dan duaduanya negatif.
Contoh : Carilah luas daerah di antara kurva
= dan = 2 – . 4
2
Penyelesaian : kita mulai dengan mencari titik-titik potong dari dua kurva tersebut.
2 – = , suatu persamaan berderajat empat, yang biasanya sukar dipecahkan. Akan tetapi dalam kasus ini, = 0 dan = 1 Untuk itu, kita perlu menyelesaikan
2
4
adalah penyelesaian yang cukup jelas. Sketsa dearah kita, beserta aproksimasi dan integral yang bersangkutan, di perlihatkan pada gambar 8.
Masih ada satu pekerjaan lagi, yaitu mengitung integral.
∫2 = 10= 1 - - = Contoh : Pengirisan mendatar. Carilah luas daerah di antara parabola
garis
4 – 3 = 4
2 = 4 dan
dari titik-titik ini dapat diperoleh dengan menuliskan persamaan kedua sebagai 4 = 3 + 4 dan kemudian menyamakan kedua persamaan untuk 4. = 3 + 4 – 3 – 4 = 0 – 4 + 1 = 0 = 4,1 Penyelesaian : kita akan memerlukan titik potong dua kurva ini. Koordinat
2
2
5.1.3. Jarak Dan Perpindahan
Pandang suatu benda yang bergerak di sepanjang garis lurus dengan
pada saat . jika ≥ 0, maka∫ memberikan jarak yang ditempuh dalam interval waktu ɑ ≤ ≤ . Namun jika kadang kala negatif kecepatan
(yang berate bahwa benda bergerak dalam arah sebaliknya), maka
= ɑ
Mengukur perpindahan benda, yakni jarak berarah dari tempat berangkat
ɑ ke
. untuk mendapatkan jarak total yang di tempuh benda selama ɑ ≤ ≤ kita harus menghitung∫||, luas daerah di antara kurva kecepatan dan sumbu. Contoh : Sebuah benda berada pada posisi = 3 pada waktu = 0. Kecepatan pada waktu adalah = 5 6 . Dimana posisi benda pada waktu = 2, dan tempat akhir
berapa jauh benda tersebut menjelajah selama waktu ini ? Penyelesaian: perpindahan benda, yaitu perubahan posisi, adalah
∫ = ∫ 5sin6 = cos6 20 = 0 Jadi 2 = 0 0 = 3 + 0 = 3. Benda berada di posisi 3 pada waktu = 2. Jarak total yang di tempuh adalah s(2) = s(0) =
| = |5sin6|
Dalam integrasi ini kita menggunakan sifat simetri (lihatgambar 11).Jadi
⁄ | = 12 5sin6 = 60 6π1 cos6 1⁄06 =
20 ≈6,3662
5.2. Volume Benda putar
Menentukan volume benda putar: 1. Volume benda putar yang terjadijikadaerah yang di batasiolehkurva
=
, sumbu , garis = , dan garis = dapat di putar mengelilingi sumbu .
= 2
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh kurva
),
sumbu , garis
=
= , dan garis = dapat di putar mengelilingi sumbu .
= 2
3. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh kurva
= , = , garis = , dan garis = di putar mengelilingi sumbu . = ∫
= ∫[()2()2]
4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh kurva-kurva
= , = , garis = , dan garis = diputar
mengelilingi sumbu y.
= ∫[()2()2]
= ∫[()2()2]
Contoh : carilah volume benda-pejal yang terbentuk dari pemutaran daerah yang di batasi oleh kurva , sumbu dan garis mengelilingi sumbu (gambar 8).
=
=3
Penyelesaian : di sini kita mengiris secara mendatar, yang mambuat pilihan yang
cocok sebagai variabel intergrasi. Perhatikan bahwa
= ( ) .
2
Karenaitu volume adalah
= setara dengan =
V=
⁄ π =
9 3 9√ 3 ⁄ 5 0 = 5 =11,76
5.3. Aplikasi Pada Pegas Sesuai dengan hukum hooke dalam fisika, gaya
yang di perlukan untuk memperthankan pegas terentang (atau tertekan) sejauh stauan melampaui (atau lebih pendek dari) keadaan alami (gambar 4) di berikan oleh
=
konstanta dan disebut konstanta pegas. adalah positif dan tergantung kepada pegas khusus yang sednag di tinjau. Makin keras pegas itu makin besar . Disini,
Contoh: Apabila panjang almi pegas 0,2 meter dan apabila diperlukan gaya 12
Newton untuk mempertahankannya terentang 0,04 meter, carilah kerja yang dilakukan dalam merentangkan pegas dari keadaan alami menjadi panjang 0,3 meter.
yang di perlukan untuk mempertahankan pegas terentang sejauh inci adalah = . Untuk menghitung konstanta pegas untuk pegas khusus ini, kita catat bahwa 0,04 = 12. Jadi k . 0,04 = 12, = 300, sehingga = 300 Penyelesaian: Menurut hokum Hooke gaya
Ketika pegas berada dalam keadaan panjang alami sebesar dia panjangnya
0,3 meter, = 0,1.
0,2 meter, = 0; ketika
Karena itu, kerja yang dilakukan untuk
meregangkan pegas itu adalah
W
, = 300 =
15020,01 = 1,5 joule
LATIHAN SOAL :
= 6+5 adalah…. Luas daerah yang di batasi oleh kurva = 4 + 4, = , garis = 0 Dan garis = 2 adalah…. Daerah yang di batasi oleh kurva = + 7 dan = 7 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360°. Volume benda yang terjadi sama
1. Luas daerah yang di batasi oleh 2.
3.
dengan…. 4. Daerah yang di batasi oleh kurva
= 2 + 8, = 2, dan = 4 diputar
mengelilingi sumbu Y sejauh 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah…. 5. Luas daerah yang di batasi oleh kurva
= 34 adalah…
= 2, sumbu , = 0 dan
6. Luas daerah yang terletak di antara grafik fungsi untuk
0 ≤ ≤ ialah…
7. Daerah yang di batasi kurva
= dan =
2 = 10,2 = 4 dan = 4 di putar sejauh
360° mengelilingi sumbu . volume benda yang terjadi adalah… 8. Daerah yang di batasi oleh kurva
= 2 + 8, = 1 dan = 4 di putar
mengelilingi sumbu X sejauh 360°. Volume benda yang terjadi adalah… 9. Daerah yang di batasi kurva
= + 7 dan = 7 – 2 = 4 di putar
mengelilingi sumbu X sejauh 360°. Volume benda yang terjadi sama dengan… 10. Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola parabola
= 2,
= 42, dan garis = 4. Volume benda putar yang terjadi bila D
diputar terhadap sumbu Y sejauh 360° adalah…
