Pengolahan Sinyal Digital, Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Pada bab i n i ki t a akan mempel a j a ri pengol a han si n yal di g i t al dengan menekankan pada notasi si n yal dan si s tem di s kri t . Pada bagi a n i n i ki t a akan konsentrasi pada penyel e sai a n permasal a han yang berhubungan dengan representasi si n yal , mani p ul a si sijungayaldi,tsiunjfat-siukkanfat sibahwa nyal, klsisatem sifikyang asi sistem dan sifat-sifat sis (temLTI),dibiskrila tdi. Pada bagi a n i n i b eri i n put maka outputnya akan berl a ku penj u ml a han konvol u si . Penj u ml a han konvol u si dan Si f atsipersamaan fatnya akanbedadiakan diskusidibkahas an, pada begitbab u juingai. sistem diskrit yang dinyatakan dengan linier – time invariant
Sitanda nyal (idinsdeks) krit diyang definmenyatakan isikan sebagaideretan deretanwaktu. bilangan real atau kompl e ks yang di b eri Sel a nj u tnya si n yal di s kri t di n yatakan sebagai fungsi vari a bel i n teger yang di n otasi k an dengan (). Secara umum si n yal dinislakrii tnon()inmerupakan fungsi waktu . Si n yal di s kri t () ti d ak di d efi n i s i k an untuk teger. Sebagai ilustrasi sinyal diskrit () dapat dilihat pada gambar 1.1. −4−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gambar 1.1 Representasi sinyal diskrit () Sinyal diskrit () (A/D)diperoleh dari dengan si n yal anal o g/konti n yu yang di s ampl i n g dengan dengan l a j u sampl i n g 1/, di m ana merupakan peri o de sampl i n g. Sebagai contoh si n yal suara yang mempunyai spektrum 0 – 3400 Hz diperisampl i n g dengan l a j u sampl i n g 8 kHz. Si n yal anal o g () yang disampling dengan o de sampl i n g menghasi l k an si n yal di s kri t () dari si n yal anal o g () sebagai berikut () = () (1.1) analog-to-digital
converter
Bab I - 1 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Secara umum si n yal di s kri t bi s a berni l a i kompl e ks. Dal a m kenyataanya, pada beberapa aplnatural ikasi., Siseperti pada si s tem komuni k asi di g i t al , si n yal di s kri t kompl e ks muncul secara n yal di s kri t kompl e ks dapat di n yatakan dal a m bentuk l a i n yai t u bagi a n real dan bagian imajiner, () = () + (() = { {()} ()} +{ +{()} ()} (1.2) atau dalam bentuk kompleks polar, yaitu dalam magnitud dan fasanya, () = |()| ()|exp[{ exp[{()} ()}] (1.3) Magni t ud si n yal di s kri t dapat di t urunkan dari bagi a n real dan i m aj i n ernya sebagai berikut: (1.4) |()| ()| = {x(n)} + {x(n)} Sedangkan fasa sinyal diskrit dapat diperoleh eroleh dengan menggunakan, {()}= {() (1.5) {() Jinotasi ka ()∗(),merupakan urutan kompl e ks, maka kompl e ks konj u get di n yatakan dengan yang di p erol e h dengan cara mengubah tanda pada bagi a n i m aj i n er dari () atau tanda argumennya apabila dalam bentuk kompleks polar, ∗() = { {()} −{()}=| −{()}= |()| ()|exp[−{ exp[−{()} ()}] (1.6) Ada empat si n yal di s kri t dasar yang bi a sa di g unakan pada pengol a han si n yal di g i t al , disinausoi ntaranya si n yal i m pul s ( ), ) , si n yal , si n yal eksponensi a l dan si n yal da. Sinyal impuls dinotasikan dengan () dan didefinisikan () = 10 =≠ 00 (1.7) Bentuk sinyal impuls dapat dilihat pada gambar 1.2. unit sample
unit step
1
0 Gambar 1.2 Bentuk sinyal impuls Bab I - 2 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Sinyal unit step (satuan tangga) dinotasikan dengan () dan didefinisikan () =10 ≥0 (1.8) <0 ( ) Terdapat hubungan antara si n yal i m pul s dengan si n yal uni t step yai t u = () −(−1). Bentuk sinyal unit step dapat dilihat pada gambar 1.3. 1
0 1
2
3
4
Gambar 1.3 Bentuk sinyal unit step Sinyal eksponensial didefinisikan () = (1.9) sehimerupakan bi l a ngan real atau kompl e k. Dal a m kasus i n i bi s a berupa , dimana merupakan n gga si n yal eksponensi a l menj a di ()= bidanlanagan real . Si n yal () tersebut di n amakan si n yal eksponensi a l kompl e ks dapat dinyatakan dalam bentuk lain () = =+j. Sikomponen nyal eksponensi a l kompl e ks merupakan si n yal si n us dengan komposi s i bagi a n real dan i m aj i n er. Il u strasi si n yal ekponensi a l dengan real dapat dilihat pada gambar 1.4. Pada gambar 1.4 nilai = ½. 1 ()=(1/2) 1/2 1/4 1/8 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
Gambar 1.4 Sinyal eksponensial real dengan = 1/2 Bab I - 3 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Sinyal sinus mempunyai bentuk umum sebagai berikut ()=.cos(+∅) (1.10) Disinmyalana. Si,nyalsi, ndanus merupakan ∅ merupakansinyalampldiistkriudot yang sinyalperi, frekuensi di g i t al dan fasa o di k dengan peri o de 2 sehi n gga ki t a cukup memperhati k an dal a m domai n frekuensi pada i n terval −≤ ≤ atau 0≤ ≤2. Dal(a)m=(+) kasus waktuuntukdiskrisemua t, sinyal.diDiskrimtanaperiodikadalbilaahmemenuhi kondi s i bahwa peri o de si n yal di s kri t (integer). Kondisi ini berlaku untuk sinyal sinus maka .cos(+∅) =.cos(++∅) Sehingga harus memenuhi persyaratan bahwa =2 (1.11) Dikompl manaek(in)teger. Statemen tersebut berl a ku j u ga untuk si n yal eksponensi a l = periodik dengan periode yang memenuhi syarat (1.12) () =() = Sipadanyalperseksponensi a l kompl e ks tersebut hanya berl a ku untuk =2 seperti (1.11) sehingga berlaku persamaan 2 = (1.13) Disatumanaperi/ merupakan bi l a ngan rasi o nal , merupakan j u ml a h si k l u s dal a m o de. Beberapa contoh si n yal di s kri t peri o di k seperti di t unj u kkan pada gambar 1.5.
Bab I - 4 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4 -0.6
-0.8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
12
14
16
(a)Frekuensi digital = 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
2
4
6
8
10
(b)Frekuensi digital =/4 Bab I - 5 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
(c)Frekuensi digital =/5 Pada gambar 5. a terl i h at bahwa bentuk si n yal di s k ri t dal a m satu peri o de ada 2 sampl i n g, sehi n gga si n yal tersebut memi l i k i peri o de = 2, sedangkan pada gambar 5. b terl i h at bahwa bentuk si n yal di s kri t dal a m satu peri o de ada 8 sampl i n g, sehi n gga si n yal tersebut memi l i k i peri o de = 8. Pada gambar 5. c bentuk si n yal di s kri t terdapat 10 sampl i n g dal a m satu peri o de, sehi n gga si n yal tersebut memi l i k i peri o de = 10, sedangkan pada gambar 5. d bentuk si n yal dimemi skriltikterdapat 32 sampl i n g dal a m satu peri o de, sehi n gga si n yal tersebut i periode = 32 dan dalam satu periode memiliki 3 siklus. Jidiksakrisitnyal ()dismerupakan krit () merupakan si n yal peri o di k dengan peri o de dan sinyal si n yal di s kri t peri o di k dengan peri o de , maka sinyal diskrit hasil penjumlahan () = () + () akan selalu periodik dengan periode dasar = gcd(., ) diberlmana gcd( dari ,) artinya dan . Teori ni a ku j u ga untuk perkal i a n dua si n yal peri o di k yai t u si n yal di s kri t () dengan peri o de dan sinyal diskrit () dengan periode , maka sinyal diskrit hasil perkalian () = (). () the greatest common divisor
Bab I - 6 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0
10
20
30
40
50
60
70
(d) Frekuensi digital = 3/16 Gambar 1.5 Bentuk sinyal periodik untuk berbagai frekuensi digital
Bab I - 7 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Tentukan peri o de si n yal di s kri t beri k ut : a.b. (()) =cos(0. 5 ) =cos(0. 7 5) . c.d. (()) = ( ) =cos 0. 5 +cos(0. 7 5) e. () =cos(0.5) .cos(0.75) f. () = .cos() g. () = + Penyelesaian: a. =0.5, maka periode sinyal diskrit sebagai berikut = 2 = 0.25 = 14 Periode dasar sinyal =4 dan terdapat satu siklus dalam satu periode dasar. b. =0.75, maka periode sinyal diskrit sebagai berikut = 2 = 0.275 = 38 Periode dasar sinyal =8 dan terdapat tiga siklus dalam satu periode dasar. c. beri =0.kut25, maka periode sinyal diskrit eksponensial kompleks sebagai = 2 = 0.225 = 18 Peri o de dasar si n yal =8 dan terdapat satu si k l u s dal a m satu peri o de dasar. d. Pada soal tersebut merupakan penj u ml a han dua si n yal peri o di k dengan peri o de =4 dan =8 sehingga periode sinyal dasar sinyal hasil penjumlahan adalah (4).(8)8) = 324 =8 ., ) = gcd(4, = gcd( e. Karena berl a ku j u ga untuk perkal i a n dua si n yal di s kri t maka peri o de dasar hasi l perkal i a n dua si n yal di s kri t peri o di k dengan peri o de =4 dan =8 adalah =8. Bab I - 8 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
f. Pada soal tersebut merupakan perkal i a n dua si n yal peri o di k dengan peri o de =32 dan =34 sehingga periode sinyal dasar hasil perkalian adalah (32).(34)34) = (32)2.(34) =544 = gcd(., ) = gcd(32, g. Pada soal tersebut merupakan perkal i a n dua si n yal peri o di k dengan peri o de =24 dan =36 sehingga periode sinyal dasar hasil perkalian adalah (24).(36)36) = (24)12.(36) =72 ., ) = gcd(24, = gcd( Pada buku i n i beberapa operasi dasar pada pengoal a han si n yal di g i t al di t i n j a u l a gi secara gari s besar, di a ntaranya penj u ml a han dua si n yal di s kri t , perkal i a n dua si n yal diwaktu skrit,(penundaan/del perkalian skalaary).terhadap sinyal diskrit, refleksi (pantulan), dan pergeseran Proses penj u ml a han dua si n yal di s kri t () dan () dilakukan dengan cara menj u ml a hkan l e vel (harga) pada seti a p sampl i n g yang sama. Secara matemati s dapat dituliskan dengan persamaan () =() +() (1.14) Sebagai i l u strasi dapat di l i h at pada gambar 1. 6 . Harga l e vel (0) =1 dijumlahkan dengan harga l e vel (0) =1 hasilnya (0) =2, berikutnya harga level (1) =1/2 disampl jumlianhkan dengan harga l e vel (1) =1/2 hasilnya (1) =1, dan seterusnya sampai g terakhir, hasil penjumlahannya adalah sinyal diskrit (). 1 () 1/2 0 1 2 3 4 5 1 () 1/2 0 1 2 3 4 5
()=()+() 2 3/2 1 1 1/2 0 1 2 3 4 5
Gambar 1.6 Proses penjumlahan dua sinyal diskrit Bab I - 9 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Proses perkal i a n dua si n yal di s kri t () dan () dilakukan dengan cara mengalikan ldengan evel (harga) pada seti a p sampl i n g yang sama. Secara matemati s dapat di t ul i s kan persamaan () =().() (1.15) Sebagai i l u strasi hasi l perkal i a n si n yal di s kri t () dan () yang ada pada gambar 1.1 6hasidapatlnyadili(h0at) =1,padaselgambar 1. 7 . Level (0) =1 dikalikan dengan harga level (0) = a nj u tnya harga l e vel (1) =1/2 dikalikan dengan harga level perkal (1) =1/2 hasilnya (1) =1/4, dan seterusnya sampai sampling terakhir, hasil iannya adalah sinyal diskrit (). ()=().() 1
1
1/4 1/2 1/4 0 1 2 3 4 5
Gambar 1.7 Hasil perkalian dua sinyal diskrit Proses perkal i a n skal a r terhadap si n yal di s kri t () di l a kukan dengan cara mengal i k an lmatemati evel sinyals dapatpadaditulsetiiskanap dengan samplinpersamaan g dengan bilangan pengali (konstanta). Secara ()=.() (1.16) Sebagai i l u strasi konstanta di m i s al k an =1/2 dan hasi l perkal i a n skal a r =1/2 dengan () yang ada pada gambar 1.6 dapat dilihat pada gambar 1.8. Setiap sampling dari sinyal diskrit () dikalikan dengan konstanta =1/2. ()=1/2.() 1/2 1/4 0 1 2 3 4 5
Gambar 1.8 Hasil perkalian skalar dengan sinyal diskrit Bab I - 10 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Proses refl e ksi suatu si n yal di s kri t () adal a h merefl e ksi k an si n yal tersebut dal a m domain waktu terhadap =0. Secara matematis dapat dituliskan dengan persamaan () =(−) (1.17) Sebagai i l u strasi si n yal di s kri t () mengalami proses refleksi menjadi () =(−), maka bentuk sinyal hasil refleksi dapat dilihat pada gambar 1.8. ()=(−) 1 1/2 −5 −4 −3 −2 −1 0
Gambar 1.9 Hasil proses refleksi sinyal diskrit Proses pergeseran waktu di l a kukan dengan menggeser si n yal di s kri t tersebut dal a m domai n waktu sebesar ni l a i penggeser (i n teger). Bi l a ni l a i penggesernya posi t i f maka sidengan nyal tersebut di g eser ke kanan, begi t u sebal i k nya. Secara matemati s dapat di t ul i s kan persamaan () =(−) (1.18) Sebagai i l u strasi si n yal di s kri t () pada gambar 1.6 digeser kekanan sebesar =2 sampl i n g, hasi l n ya dapat di l i h at pada contoh 1. 1 0, arti n ya bahwa si n yal di s kri t () mengalami 2 sampling. delay
()=(−2) 1 1/2 0 1 2 3 4 5 6 7
Gambar 1.10 Hasil proses pergeseran waktu dengan 2 sampling Sisinstem di s kri t merupakan operator matemati k atau transformasi si n yal i n put menj a di yal l a i n (output) sesuai dengan karakteri s ti k atau si f at si s tem tersebut. Notasi si s tem diskrit secara umum adalah [.] seperti ditunjukkan pada gambar 1.11. Sinyal input delay
Bab I - 11 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
() di t ransformasi menj a di output () mel a l u i transformasi [. ] . Sebagai contoh sistem diskrit yang dinyatakan dengan hubungan input-output seperti () =() +0.5(−1) (1.19) Sipadastempersyang(1.memi l i k i persamaan beda yang menyatakan hubungan i n put-ouput seperti 1 9) menunj u kkan bahwa si s tem mempunyai al g ori t ma seperti pada pers (1.sama19),diartitambah nya bahwa output si s tem () tergantung pada si n yal i n put () saat yang dengan setengah kal i output satu sampl i n g sebel u mnya. Sebagai contoh bi(1)la didiitnambah ginkandengan output setengah pada saatkal=1 yai t u (1), maka output di t entukan ol e h i n put i (0). () =[()] () [.] Gambar 1.11 Blok sistem diskrit secara umum Berdasarkan proses yang dapat terj a di pada si s tem di s kri t , maka si s tem di s kri t mempunyai beberapa sifat diantaranya: Siinput stemsaatdikyang atakansamatanpayaitumemori j i k a output si s tem pada saat = tergantung pada = .
( ) Simerupakan stem diskrisisttemmempunyai persamaan hubungan i n put-output =0. 5 . () tanpa memori karena output si s tem pada saat = tergantung pada input saat = . Sioutput stem disisstem krit tergantung () =()pada +0.2(−1) merupakan si s tem dengan memori karena i n put saat yang sama = dan saat satu sampling sebelumnya = −1. Sistem diskrit dikatakan linier jika berlaku sifat superposisi [() +()] =[()] +[()] (1.20) Arti n ya bi l a si s tem di b eri i n put () maka keluarannya () =[()] dan bila sijusmltemahandibkedua eri inputsinyal()inputmakatersebut keluarannya () =[()]. Apabila diberi input () =() +() maka output sistem () =() +(). Secara visual dapat diilustrasikan pada gambar 1.12. Bab I - 12 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
() () =[()] () (()= ) =[()+ () ] [. ] () =() +() () Gambar 1.12. Ilustrasi proses sistem linier Selnola. iArtin sinfatyasuperposi s i , terdapat syarat perl u yai t u bi l a i n putnya nol , maka outputnya bila sistem tidak diberi input maka keluaran sistem tidak ada. Sistema. di(skri) =2+0.2 t dinyatakan()dengan persamaan beda sebagai beri k ut +(−1) ( ) ( ) b. =0. 3 +0. 5 (−1) Apakah sistem tersebut linier? Penyela. ePertama saian: kita beri input nol () =0, dari persamaan sistem soal 1.3.a diperoleh output () =2. Jadi sistem tersebut . b. Pertama ki t a beri i n put nol ()= 0, dari persamaan si s tem soal 1. 3 . b di p erol e h output Si()=0. Sel a nj u tnya ki t a cek dari si f at superposi s i . stem diberi input(()) =0.maka3outputnya () +0.5(−1) Sistem diberi input(()) =0.maka3outputnya () +0.5(−1) () =()}+0. () +5(){ (−1)+ Sistemdib()=0. eri input3{()+ maka outputnya (−1)} () =0.3() +0.(5)=(−1()) +0. 3 () +0.5(−1) +() Jadi sistem pada soal 1.3.b bersifat linier. o
o
o
Sistem diskrit dikatakan
jika berlaku sifat [(−)] =(−) (1.21) Arti n ya si s tem di b eri i n put sama pada saat i n i atau beri k utnya, output si s tem akan tetap, dengan kata lain sistem tidak berubah terhadap waktu. time-invariant
Bab I - 13 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Apakah sistem pada soal 1.3.b mempunyai sifat ? Penyel e sai a n: Secara Simatemati s dapat di j e l a skan sebagai beri k ut: stem diberi input ()=(− ) maka outputnya () =0. 3 () +0.5(−1) () =0. 3 (−)+0.5(− −1) Output sistem(() )=(− ditunda sebesar maka () =(−) sehingga )=0.3(−)+0.5(− −1) Karena ()=(), maka sistem tersebut . Sipadastemsaatdis≤ krit di,kdengan atakan kata kausallainjioutput ka outputsistempadahanya=tergantung hanya tergantung pada input pada i n put saat yang sama atau saat sebel u mnya. Pengerti a n kausal dapat di a rti k an bahwa si s tem kausal , berarti sistem dapat direalisasikan. Apakah sistem diskrit pada soal 1.3.b mempunyai sifat kausal? Penj e l a san: ( ) ( ) Pada si s tem dengan persamaan beda =0. 3 +0. 5 (−1) terlihat bahwa output si s tem hanya tergantung pada i n put saat yang sama dan i n put satu sampl i n g sebel u mnya. Mi s al n ya output si s tem pada (2) tergantung pada i n put (2) dan (1). Jadi sistem tersebut . Siinsputtemterbatas dikatakanmakastabiakanl BIBOmenghasi (boundedlkaninsiput-bounded output) j i k a si s tem di b eri si n yal n yal output yang terbatas. Urutan i n put () terbatas jika mempunyai nilai terbatas positif tetap untuk semua |()|≤ <∞ untuk semua (1.22) Untuk seti a p urutan i n put akan menghasi l k an urutan output dengan ni l a i terbatas positif tetap untuk semua yaitu |()| ≤ <∞ untuk semua (1.23) time-invariant
time-invariant
Bab I - 14 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Sistem diskrit yang mempunyai si f at dan di s ebut si s tem (LTI). Si s tem LTI bi l a di b eri i n put i m pul s () maka outputnya dinamakan respons impuls ℎ() seperti ditunjukkan pada gambar 1.13. () =() () =ℎ() [.] Gambar 1.13 Respons impuls pada sistem LTI Sidinilyalustrasidiskrikant () dapat di n yatakan dengan penj u ml a han deretan i m pul s terdel a y yang pada gambar 1.14 dinyatakan secara matematis sebagai berikut () =⋯+.(+2) +.(+1) +.() +.(−1) +.(−2) +⋯ (1.24) () =⋯+(−1).(+1) +(0).() +(1).(−1) +⋯ (1.25) Secara umum dapat ditulis secara matematis () = ()(−) (1.26) linier
time-invariant
linier
time-invariant
()
−4−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d
f
ℎ
Gambar 1.14 Representasi sinyal diskrit dalam deretan impuls Si=stemyaitu LTI bi()=(−) la diberi input imaka mpuls output terdelaysistem atauLTIdenganadalkata l a i n i m pul s pada saat a h ℎ ()=ℎ(−), dan dapat ditulis ℎ() =ℎ(−) =[(−)] (1.27) Bila sistem LTI diberi input sinyal diskrit () maka output sistem () =[()] = [ ()(−)] = [ ()(−)] (1.28) Bab I - 15 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Koefisien () bernilai konstan maka ()= ()[(−)] = ()ℎ()= ()ℎ(−) (1.29) Persamaan (1. 2 9) di s ebut sebagai penj u ml a han konvol u si , secara matemati s dapat ditulis () = ()ℎ(−) =() ∗ℎ()
(1.30)
Tanda * merupakan operator atau Sistem LTI kausal mempunyai respons i m pul s ℎ()=()+0. 5 ( −1)+(−2) Tentukan ouput si s tem bi l a i n putnya: (−15)(+1 a.b. (()) ==((+2 ) +) +0. +0.5)(−2) +() +0.5( −1) +(−2) Penyelesaian: a. Bentuk sinyal () dan ℎ() sebagai berikut ℎ() 1/2
() 1
1/2 0 1 2 3 4 5
1
0 1 2 3 4 5
()= ()ℎ(−) (0) = ()ℎ(−) =⋯+(−1)ℎ(1) +(0)ℎ(0) +(1)ℎ(−1) +⋯ =(1)(1)=1 (1) = ()ℎ(1−) =⋯+(0)ℎ(1) +(1)ℎ(0) +⋯= (1)(0.5) + (1)(1)
=3/2
Bab I - 16 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
(2)= ()ℎ(2−)=⋯+(0)ℎ(2)+(1)ℎ(1)+(2)ℎ(0)+⋯
(2) = (1)(1) + (1)(0.5) + (0.5)(1) =1+0.5+0.5=2 (3) = ()ℎ(3−) =⋯+(1)ℎ(2) +(2)ℎ(1) +⋯ = (1)(1) + (0.5)(0.5) =5/4 (4) = ()ℎ(4−) =⋯+(2)ℎ(2) +⋯= (0.5)(1) =1/2 (5) =0,(6) =0,dst Bentuk hasil keluaran sistem pada contoh soal 1.6 a. sebagai berikut ()
2
3/2
5/4 1/2
1
0 1 2 3 4 5
b. Bentuk sinyal () dan ℎ() sebagai berikut ()
1
ℎ() 1/2
1
1/2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 () = ()ℎ(−) (−2)= ()ℎ(−2−) =⋯+(−2)ℎ(0) +⋯= (1)(1) =1 Bab I - 17 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
(−1)= ()ℎ(−1−)=⋯+(−2)ℎ(1)+(−1)ℎ(0)+⋯
(−1) = (1)(0.5) + (0.5)(1) =1 (0) = ()ℎ(−) =⋯+(−2)ℎ(2) +(−1)ℎ(1) +(0)ℎ(0) +⋯ (0) = (1)(1) + (0.5)(0.5) + (1)(1)=2.25 (1) = ()ℎ(1−) =(−2)ℎ(3) +(−1)ℎ(2) +(0)ℎ(1) +(1)ℎ(0) (1) =0+ (0.5)(1) + (1)(0.5) + (0.5)(1) =1.5 (2) = ()ℎ(2−) =(−1)ℎ(3) +(0)ℎ(2) +(1)ℎ(1) +(2)ℎ(0) (2) =0+ (1)(1)+(0.5)(0.5)+(1)(1)=2.25 (3)= ()ℎ(3−)=⋯+(0)ℎ(3)+(1)ℎ(2)+(2)ℎ(1)+⋯ (3) =0+ (0.5)(1) + (1)(0.5) =1 (4) = ()ℎ(4−) =⋯+(1)ℎ(3) +(2)ℎ(2) +⋯=0+ (1)(1) =1 (5) = ()ℎ(5−) =0, (6) =0,(7) =0,dst Bentuk hasil keluaran sistem pada contoh soal 1.6.b sebagai berikut () 2.25
1.5 1
−3 −2 −1 0
1
2 3 4 5
Bab I - 18 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Sistem LTI kausal mempunyai respons impuls 1 ℎ() =2 () Tentukan ouput si s tem bi l a i n putnya: a. () = () +0.6(−1) b. () = () {() −(−21)} c.d. (()) =(1/4) =(1/4){(−5) −(−21)} Penyelesaian : a. Karena () si n yal terbatas, maka output si s tem dapat menggunakan si f at-si f at konvol u si yai t u si f at i d enti t as dan si f at konvol u si si n yal () dengan i m pul s tertunda . () = {() +0.6(−1)} ∗ℎ() =ℎ() +0.6ℎ(−1) () = ()+0.6 (−1) ( ) ( ) ( ) 0 =1; 1 =0,5+0,6=1,1; 2 =0, 2 5+0, 3 =0, 5 5 dst b. Karena () dan ℎ() merupakan si n yal dengan deretan tak hi n gga maka penyelesaiannya menggunakan grafik dan rumus konvolusi. ()= ()ℎ(−) Bentuk si n yal () dan ℎ() di u bah dal a m kawasan menj a di () dan ℎ(− ) sesuai dengan rumus konvolusi. Bentuk sinyal () dan h(−) adalah ()
1
ℎ()
(1/4)
0 1 2 3 4 5
1
k
(1/2)
0 1 2 3 4 5
k
Bab I - 19 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
a. Komutati f Secara matematis sifat komutati f () ∗ℎ() =ℎ() ∗() (1.31) b. Asosi a ti f Secara matemati s si f at asosi a ti f {()∗ℎ()}∗ℎ() =()∗{ℎ()∗ℎ()} (1.32) c. DiSecara stributimatemati f s sifat distributif () ∗{ℎ() +ℎ()}=() ∗ℎ() +() ∗ℎ() (1.33) Secara sistem dapat digambarkan pada gambar 1.15. () ℎ() () ℎ() () () a. Sifat komutatif () ℎ() ℎ() () () ℎ()∗ℎ() () b. Sifat asosiatif ℎ() () () ℎ()+ℎ() () () ℎ() c. Sifat distributif Gambar 1. 1 5 Interpretasi si f at konvol u si dari si s tem di s kri t d. Urutan identitas () ∗() =() ∗() =() (1.34) e. Konvolusi impuls terdel(ay)dengan () ∗(−) =(−) (1.35) Bab I - 20 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Berdasarkan respons i m pul s nya, si s tem LTI di k atakan kausal bi l a respons i m pul s ℎ() =0, untuk <0. Berdasarkan respons i m pul s nya, si s tem LTI di k atakan stabi l BIBO bi l a respons impulsnya dapat dijumlahkan secara absolut. = |ℎ()| <∞ (1.33) Output sistem LTI : ()= ()ℎ(−) =()∗ℎ()=ℎ()∗() Kedua sisi kiri dan kanan diabsolutkan |()| = ℎ()(−)≤ |ℎ()(−)| |()|≤ |ℎ()|.|(−)| Bila input terbatas |(−)|≤ <∞ Maka output juga terbatas |()|≤ <∞ Apabila = |ℎ()| <∞
(1.34) (1.35) (1.36)
(1.37)
Bab I - 21 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
SiSelstem (LTI) dapat di k arakteri s asi dengan respons i m pul s ℎ(). a i n i t u, si s tem LTI yang memi l i k i i n put () dan output () j u ga dapat diberikarakteri s asi dengan persamaan beda koefi s i e n konstan l i n i e r orde ke- sebagai kut (1. 3 8) (−) = (−) Jika sistem tersebut kausal maka kita dapat menyusun persamaan (1.38) menjadi (1.39) () =− (−) + (−) Output si s tem saat ke di t entukan ol e h i n put saat ke , i n put saat sebel u mnya − 1,−2,…,− dan output saat sebelumnya −1,−2,…,−. Sistem diskrit LTI dinyatakan dengan persamaan beda sebagai berikut : () −0.5(−1) =() ( ) Diasumsi k an =0, u ntuk semua <0 a.b. Berapa orde si s tem LTI tersebut. Tentukan respons impuls sistem ℎ(). Penyelesaian : a. Berdasarkan persamaan beda pada soal terl i h at bahwa =1, maka termasuk orde ke-1 b. Eval u asi untuk ()=() maka output si s tem Ditulis kembal i in(put) =0.sistem5(adal −1ah) i+() m pul s , maka ( ) ( ) ( ) ( )( ) =0, 0 =0. 5 −1 + 0 = 0. 5 0 +1=1=(0.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =1, 1 =0. 5 0 + 1 = 0. 5 . 1 +0=(0.5) ( ) ( ) ( ) ( ) =2, 2 =0. 5 1 +(2)= 0. 5 . 0. 5 +0=(0.5) =3, (3) =0.5(2) +(3)= (0.5). (0.5) +0=(0.5) () =(0.55)),() ()=(0. untuk ≥0 linear time-invariant
Bab I - 22 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
Sidurasi stem respons diskrit iLTImpuldapat di k arakteri s asi dengan respons i m pul s ℎ(). Berdasarkan s atau dengan kata l a i n berdasarkan banyaknya sampl i n g respons impuls sistem, maka sistem LTI dapat dikelompokkan menjadi 2 macam: Merupakan sistem diskrit yang mempunyai durasi respons impuls tak terbatas. Sistem diskrit dengan respons impuls ℎ() = () () 1
(1/4)
1/4 (1/4) 0 1 2 3 4 5 6
Apakah sistem tersebut IIR? Penyel e sai a n: Respons impul s mempunyai harga dari =0 sampai =∞ maka sistem tersebut tergolong IIR. Merupakan sistem diskrit yang mempunyai durasi respons impuls terbatas. ( ) Sistem diskrit dengan respons impuls ℎ = {() −(−101)}. Penyel e sai a n: Pada contoh tersebut respons i m pul s berdurasi terbatas dari =0 sampai = 100, sehingga disebut sebagai sistem FIR. Sipersamaan stem diskribedat dengan i n put () dan output () di k arakteri s asi dengan koefi s i e n konstan l i n i e r ()=()+0. 3 (−1)−0. 5 (−2)+1. 5 (−3)−0. 7 5(−4) Apakah sistem tersebut FIR? ( ) Apabi l a si s tem di b eri i n put i m pul s =() maka output si s tem ( ) ( ) ( ) ( ) Sehi()ngga=ℎ()= +0. 3 −1 −0. 5 −2 +1. 5 −3 −0. 7 5(−4) terl i h at respons i m pul s berdurasi terbatas dari =0 sampai =4, sehingga disebut sebagai sistem FIR. Bab I - 23 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
1. Sinyal diskrit () berikut () 1
1/2 1/4 0 1 2 3 4
Sketsaa. sin(yal−2()) setelah mengalami proses: d. (−+2) e. (−−2) b. (+2) f. (2) c. (−) 2. Tentukan peri o de si n yal beri k ut a. ()=2 Sin( ) b. () =3cos(0.055) c. ()=2sin(0.05)+3 sin(0.12) d. () =2sin(0.05) cos(0.05) 3. Sistemdi(skri) =t dengan i n put () dan output () mempunyai persamaan beda ( ) ( ) −0. 3 −1 +0. 8 (−2) Buktikan bahwa sistem diskrit tersebut mempunyai sifat dan . 4. Tentukan konvol u si dari dua si n yal di s kri t beri k ut: ( ) ( ) ℎ(()) = −2 −2 −4 +3(−6) =2(+3) +() +2(−2) +(−3) {() −(−11)} ( ) 5. Sia.stemApakah LTI mempunyai respons i m pul s ℎ =(0. 2 5) si s tem tersebut kausal ? Jel a skan. b.c. Apakah si s tem stabi l BIBO? Jel a skan. Tentukan output sistem bila inputnya (i) () = () (ii) () = (−6) (ii ) () = {(−6) −(−56)} linear
time invariant
Bab I - 24 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
6. Interkoneksi 3 sistem diskrit digambarkan seperti gambar dibawah.
() =uruhan. (−2),ℎ() =(),dan ℎ() =(−2), Tentukan respons Jiimkapulsℎkesel 7. Sistem diskritmempunyai persamaan beda koefi s i e n konstan l i n i e r ( ) ( ) ( ) ( ) −0. 5 −1 = +0. 4 −1 +0. 2 (−2) ) =0, siuntuk Diasumsia. kanOrde(berapa <0. s tem di s kri t tersebut. b.c. Tent u kan respons i m puls pada =0;1;2;3;4;5 Tentukan respons unit step pada =0;1;2;3;4;5 8. Siberistemkut LTI dinyatakan dengan persamaan beda koefisien konstan linier sebagai ( ) ( ) ( ) =. −1 + Tentukan nilai agar sistem diskrit tersebut stabil. 9. Sistem diskrit mempunyai persamaan beda koefi s i e n konstan l i n i e r ( ) ( ) ( ) −0. 3 −1 = ( ) Dia. asumsi k an =0, untuk <0. Tentukan respons i m pul s si s tem tersebut. b.c. Apakah si s tem tersebut stabi l BIBO? Jelaskan. Apakah sistem tersebut FIR atau IIR? Jelaskan.
Bab I - 25 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit
================================================== − = 1− ,≠1 ) sicosn(( + =sincos+cossin +) =coscos−sinsin ( ) 2coscos=cos + +cos(−) 2cossin=sin( +)−sin(−) ( ) 2sincos=sin + +sin(−) 2sinsin=cos( −) −cos(+) sin2=2sincos + =1
Bab I - 26 Penulis: SUWADI – Jurusan Teknik Elektro ITS
