SOAL DAN JAWABAN PENGOLAHAN SINYAL
Nama
:
AJI SETIAJI
M. FERDY SUPIYADI
Ahmad NAZIR
ANNISA RAMADHANI
v( t )
entukan deret !ourier dari bentuk gelombang deretan pulsa berikut ini.
CONTOH-1:
T
A
−T /2
0
T o
/2 T
Penyelesaian :
2entuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo amplit udo A, perioda T o , lebar pulsa T . ao = an =
=
1 T o
2 T o
T / 2
∫
Adt = − T / 2
T / 2
∫
−
T / 2
At T o
T / 2
= T/ 2
−
AT T o
A cos(nωo t ) dt =
; bn = 0 ; 2 A T o ω o n
T / 2
sin nω o t −T / 2
nπT 2 A nπT A 2 sin sin = T n T πn π o o
ntuk n ', 0, 3, 4. #genap$, an ) an hanya mempunyai nilai untuk n 1, *, 5, 4. #ganjil$. f ( t ) =
AT
=
T o
∞
AT T o
∑
+
n =1, ganjil
∞
+
∑ =
n 1,ganjil
2 A nπ T cos(nωo t ) sin nπ T o 2 A nπ
(− 1)( n
1) / 2
−
cos(nω o t )
n=
CONTOH-2: 6arilah deret !ourier dari bentuk gelombang
persegi di samping ini.
v(t ) A
T t
Penyelesaian:
2entuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, ampli tudo
− A
6arilah transformasi !ourier dari bentuk gelombang pulsa di samping ini. ini.
CONTOH-4:
v (t ) A
Penyelesaian :
/2 −T
0
/2 T
2entuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai nilai antara − T /' /', sedangkan untuk t yang yang lain nilainya nol. leh karena itu /' dan =T /', integrasi yang diminta oleh #13$ cukup dilakukan antara −T /' /' saja. /' dan =T /' F (ω ) =
∫
T / 2
A e
− jω t
dt = −
T / 2
−
= AT
T / 2
A jω
e
− j ωt
− jω T / 2 jωT / 2 A e −e
= −
ω / 2
T / 2
j2
sin(ωT / 2)
ωT / 2
(ita bandingkan transformasi !ourier #13$ F ( ω)
=
∞
∫−∞
f (t ) e −
jω t
dt
dengan koefisien !ourier cn =
a n − jbn
2
=
1 T 0
T 0 / 2
∫
−
T 0 / 2
f (t ) e
jnωn t
−
dt
CONTOH-: >ambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-0. conto h-0. Penyelesaian :
Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum spektrum kontinyu < F # j ω$<. F ( ω)
= AT
sin(ω T / 2)
ωT / 2
F( ω) 25
θ( ω)
90
A / α
+90
o
o
− 90
ω
CONTOH-": 6arilah f # t $ dari F (ω ) = 2 πδ( ω)
Penyelesaian : 1
∞
2πδ ( ω) e 2π ∫− ∞
f (t ) =
=
α+
∫α
−
jωt
d ω =
1
0
2π ∫
0
+
2 πδ( ω) e jωt d ω
−
δ( ω)(1) d ω = 1
CONTOH-#: 6arilah f # t $ dari F ( jω)
= 2 πδ( ω − α )
Penyelesaian : f ( t ) =
1
∞
2 πδ( ω − α) e 2 π ∫−∞
=e
jαt
α+
∫α
−
jωt
d ω =
δ (ω − α ) d ω = e
jαt
1
α
2π ∫α
+
−
ω
2 πδ( ω − α) e j t d ω
CONTOH-$: 6arilah f # t $ dari F ( ω)
=
π A [u ( ω + α ) − u ( ω − α)] α
Penyelesaian : f (t ) =
π A u ( ω + α) − u ( ω − α)] e j ωt d ω [ 2 π −∞ α 1
∫
∞
ω π A A e j t jωt = [1] e d ω = 2π − ∞ α 2 α jt
1
=
∞
∫
A e
2α
α
jα t
−e
− jα t
=
jt
A e
jαt
αt
−e
−α − j αt
j 2
= A
sin(αt )
αt
CONTOH-1%: %engan menggunakan metoda transformasi Caplace carilah transformasi
!ourier dari fungsi-fungsi berikut #anggap α, β E )$. a). f 1 ( t ) = A e − αt u (t ) b). f 2 (t ) = δ(t )
[
]
c) f 3 ( t ) = A e −αt sin β t u (t )
Penyelesaian: a). f 1 (t ) = Ae −αt u (t ) → fungsi kausal dan dapat di - integrasi
→ F ( s) = → F ( ω) =
A s+α 1
→ pole p 1 = − α (di kiri sumbu imag)
jω + α
b). f ( t ) = δ (t ) → fungsi kausal dan dapat di integrasi
F (s ) =
10
=
( s + 3)(s + 4)
→ k 1 =
⇒ F ( s) =
10 s +3
−
k 1 s+3
+
10 s +4
k 2 s+4
= 10 ; k 2 = s= −3
10 s+3
= −10 s=−4
10 s+4
ransformasi balik dari F # ω$ adalah & − 3t − 10 e − f (t ) = 10 e
4t
u (t )
CONTOH-12: 6arilah transformasi !ourier dari v #t $ cosβ t . Penyelesaian:
!ungsi ini adalah non-kausal oleh karena itu metoda transformasi Caplace tidak dapat di terapkan. !ungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.
e jβ t + e − jβ t 1 1 jβ t F[cos β t] = F + F e − j βt = Fe 2 2 2 j t %ari contoh-: kita ketahui bahwa F e ω = 2 πδ( ω − β) "adi F [cosβ t] = πδ( ω − β ) + πδ( ω + β)
[ ]
[
]
Diferensiasi . Sifat ini dinyatakan sebagai berikut F
ersamaan #15$ menyatakan
df ( t ) = j ω F (ω ) dt
#'*$
embalikan suatu fungsi f #t $ adalah mengganti t dengan −t. "ika kita membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula. ransformsi !ourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan kebalikan dari transformasi !ourier fungsi semula. Secara formal hal ini dapat dituliskan sebagai Pembalikan.
Jika F [ f (t ) ] = F (ω)
F [ f ( −t ) ] = F ( −ω)
maka
#'5$
enurut #13$ F[ f ( −t )] =
∞
∫−∞ f (−t ) e
− jωt
→ F[ f (−t )] = F[ f (τ) ] = − =
−∞
∫∞
Misalkan − t = τ
;
dt
f ( τ) e
∞
∫−∞ f (τ) e
jωτ
− jωτ
d τ
d τ = F ( −ω)
Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi !ourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua sisi.
CONTOH-14: 6arilah transformasi !ourier dari fungsi signum dan eksponensial dua sisi
berikut ini. v( t )
1
u(t )
v( t ) e
− u (− t )
0
− α(− t )
1 u(− t )
e
− αt
u(t )
t −1
00
t
Contoh Soal 15
Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.
n
a ). x (n ) cos
3
b). 1, 1, 0, 0
Jawab :
a ). x (n ) cos f o
1 6
n 3
1
cos 2 n 6
N 6
N 4
N 1
c(k )
x (n )
j 2 kn / N x ( n ) e
j 2 kn / 6 x ( n ) e
n 0
n 0
1
cos 2 N 1
x (n )
6
n
1
2
c k e
j2 kn / N
k 0
c1
c5
1
5
2 c 1 6
j2 n / 6
e
2
N 1
1
e
j 2 n
/6
c k e
j2 kn / 6
k 0
c 1
1
c 1
co
2 1
2
c2
c3
c4
0
c1 c5
1
2 c 1 6
c 1
1
c 1
co
2 1
2
c2
c3
c4
0
b). 1, 1, 0, 0
c(k )
c(k )
co
1 2
1 N 1
N
4
N 1
j2 kn / N x ( n ) e
n 0 3
x ( n )e
j2 kn / 4
4 n 0
c1
1 4
(1 j)
1 4
c2
1 e
0
jk / 2
c3
1 4
(1 j)
co
1 2
c1
1 4
(1 j)
c2
0
c3
1 4
(1 j)
Contoh Soal 16
Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini. x (n ) cos
2 3
2
n sin
5
n
Jawab : x (n ) cos
2 3
n sin
j2 ( 5 / 15) n
x (n )
e
x (n )
j
e
2 5
j2 ( 5 / 15) n
2
e
j 2
e
n sin 2
15
j2 ( 3 / 15) n
2 j2 ( 3 / 15) n
n cos 2
5
j2 ( 3 / 15) n
e
e
3 15
n
j2 ( 3 / 15) n
2 j
1 2
j 2 ( 5 / 15) n
e
1 2
e j2 (5 / 15) n
x (n )
j
2
j2 ( 3 / 15) n
e
2
N 1
x (n )
ck e
j2 kn / N
k 0
c
1
5
2
j
e
j2 ( 3 / 15) n
2 14
1
j 2 ( 5 / 15) n
e
2
c k e
j2 kn / 15
k 0
c
j
3
2
c3
j
2
c5
1
1
2
e
j2 ( 5 / 15) n
c k
1/2
c k
90o
- 90o
Contoh Soal 17
Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya adalah :
1, X() 0,
c c
Jawab :
x (n )
1
X()e 2
jn
d
n 0
c
c x (0) d 2 1
c
n 0 x (n )
x (n ) jc n
1 e
e
n
2 j
1
c
e
jn
2 c
jc n
d
sin c n
n
1 1 2 jn
jn
e
c sin c n c n
c c
N
X N ()
n N
sin c n n
e jn
Contoh Soal 18
Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :
0 n L 1
A, x (n ) 0,
Jawab :
n lainnya
X()
L 1
Ae
jn
j L
A
n 0
Ae
1 e
j( / 2 )( L 1)
1 e j
sin(L / 2) sin( / 2)
X()
j( /
Ae
X ( ) A
2 )( L 1)
sin(L / 2) sin( / 2)
sin( L / 2)
( ) X ( )
2
X() e
Respon magnitude
sin( / 2)
j ( )
( L 1)
Respon fasa
A=1 L=5
Spektrum magnituda
Spektrum fasa
Contoh Soal 19
Tentukan transformasi Fourier dari : x (n )
(1)u(n)
Jawab :
X( z ) X()
1 1 z
1
1 1 z
1
z z 1 re j
z z 1
j re 1
(e j / 2 )(e j / 2 ) (e j / 2 )(e j / 2 e j / 2 ) j / 2
e
2 cos( / 2)
2(k 1 / 2)
Contoh Soal 20
Tentukan transformasi Fourier dari : x (n) a
n
Jawab :
x (n ) x1 (n ) x 2 (n)
a n , x1(n) 0,
n 0 n0
a n , x 2 (n) 0,
n0 n0
1 a 1
jn x ( n ) e 1
X1 ()
n
n jn a e
j n ( ae )
n 0
n 0
1 1 ae
j
X 2 ()
x 2 ( n )e
1
jn
a
n
(ae
)
X1 ()
1 ae j
ae
j k
k 1
X()
n
e
jn
n
1 (ae
j
(ae
j n
)
n
j
1 ae j
X 2 ()
1
ae j
ae
j
1
1 ae
)
a2
a
2
j
ae
j
1 ae
j
1 a2 1 2a cos a 2
Contoh Soal 21
Tentukan konvolusi antara x dan x2(n), dengan : antara x1(n) dan x x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1, 1} Jawab :
X1 ()
x (n)e 1
n
jn
1
e
jn
n 1
1 e j e j 1 2 cos
X1 () X 2 () 1 2 cos cos X() X1 ()X 2 () (1 2 cos )
2
cos 4 cos cos 2 1 4 cos cos 2 1 cos 1 4 cos cos 4 2 cos 2 cos cos 2 3 4 cos j
3 2(e
e
j
j 2
) (e
e
j2
)
X()
x ( n )e
jn
n
x (n )
{1 2 3 2 1}
e
j 2
2e
j
j
3 2e
j2
e
Contoh Soal 23
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah : n
1 h (n ) u (n ) 2 Tentukan outputnya bila mendapat input :
x (n ) Ae jn / 2
Jawab : n
1 jn Fh (n ) H() e n 2 H() 1
1 1 2
e j
1 j e n 2
n
1 1 H() 1 j / 2 1 1 e 1 j 2 2
H()
1
1 j y( n )
1
2 5
e
j 2 6, 6 o
Amplituda
2
Fasa
jn
AH()e A
2
e
5
j 2 6, 6o
jn / 2
e
2A 5
e
( n / 2 2 6, 6o )
Frekuensi
x (n )
jn
Ae
H()
1 y( n )
2 3
Ae j
n
1 1 2
e
j
1 1
1 2
2 3
H ( ) H R ( ) jH I ( )
j h ( k ) e
k
h(k )(cos k j sin
k
k )
k
H R ( )
h(k ) cos
H R ( ) H R ( )
k
k
H I ( )
h(k ) sin
k
H I ( ) H I ( )
k
H ( )
2
2
H R ( ) H I ( ) 1
H ( ) ( ) tg
H I ( ) H I ( )
x1 (n) Ae j
n
x2 (n) Ae j
n
y1 (n) A H ( ) e j( ) e j
y2 (n) A H ( ) e j ( ) e j
A H ( ) e
x(n) y (n)
x(n) y (n)
1 2 1
[ x1 (n) x2 (n)]
2 1
j 2
1 j 2
n
1 2
[ Ae j
n
Ae
j ( )
j n
n
e j
n
] A cos n
[ y1 (n) y 2 (n)] A H ( ) cos[ n ( )]
[ x1 (n) x2 (n)]
1 j 2
[ Ae j
n
Ae
j n
] A sin n
[ y1 (n) y2 (n)] A H ( ) sin[ n ( )]
24
25
27.
28
29D . iketahui fungsi f(t) sebagai berikut: f(t) 3
-1
0
t
1
Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah: 1
F ( ) (3)e
1
j t
dt 3 e j t dt
Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
30 Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:
f(x,y) 1
1
y
1
x
Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
31 Apa yang di maksud dengan transformasi fourier jawab: Transformasi Fourier adalah kakas ( tool ) untuk mengubah fungsi dari ranah
waktu/spasial ke ranah frekuensi. Untuk perubahan sebaliknya digunakan Transformasi Fourier Balikan. Intisari dari Transformasi Fourier adalah menguraikan sinyal atau gelombang menjadi sejumlah sinusoida dari berbagai frekuensi, yang jumlahnya ekivalen dengan gelombang asal. 32.
33 Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :
di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π. Penyelesaian :
.
34 Tentukan deret Fourier dari : .
dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5. Penyelesaian :
Periode = 2L ………. L=5
f(x) memenuhi syarat Dirichlet , jadi deret Fourier akan konvergen ke: -
F (x) ; jika x titik kontinu
-
f (x+) + f (x- ) ; jika x titik diskontinu 2 titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) pada interval (-5,5) sehingga :
di x = -5 ; deret akan konvergen ke :
di x = 0 ; deret akan konvergen ke :
di x = 5 ; deret akan konvergen ke : Deret Fourier diatas akan konvergen ke f (x) pada interval -5 ≤ x ≤ 5
35 . Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0
< x < 2 kedalam deret Fourier jika f (x)
Periodik dengan periode 2 .
Penyelesaian :
periode 2L = 2
L=
Penyelesaian :
Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x2 konvergen ke f(x) =
37. Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam :
a. deret sinus setengah jangkauan b. deret cosinus setengah jangkauan
Penyelesaian :
a.
deret sinus setengah jangkauan
Jadi deret sinus:
b.
Deret cosinus setengah jangkauan
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: an = 0
Jawaban
0 xl
0, 39 . Diberikan persamaan f ( x ) 1,
l x 2l
Jawab : Nyatakan f(x) dalam deret Fourier dengan perioda 2l . Pertama kita gambarkan dahulu f(x) dengan perioda
2l
l
-l
cn
1
2 l
2l
e
l
0
in x
l
f ( x)dx.
0
1
l
in x
2l
e
1
e
2l
l
.0.dx
0
1
2 l
2l
e
in x
l
.1.dx
l
2 l
in x l 1 e
3l
2in
e
in
1 in ,
n ganjil
i x 3i x x 5i x l l 1 e e e l 1 f ( x) 2 ... i 1 3 5 i x l i 3 x l i 5 x l 1 e e e ... i 1 3 5 2 e ix e ix 1 e 3ix e 3ix 1 e 5ix e 5ix 1 2 3 5 ... 2i 2i 2i 2 x 3 x 1 5 x 12 sin 13 sin 5 sin .... l l l
40
1, ( ) f x 0, . Nyatakan
0 x 12 1 2
x 1 dalam
Deret Fourier sinus Jawab: Gambarkan dahulu fungsinya, tentukan dahulu dalam interval (o,1) kemudian kembangkan dan buat dia ganjil. Bentuk dalam
bn
l
2
l
f ( x) sin nxdx 2 sin n xdx 1
0
0
1
2 cos n x 2 2 n cos 1 n n 0 n 2 b1
2
b2
,
4 2
,
b3
2 3
,
b4 0,
dst .
Sehingga deret fourier sinusnya adalah;
f ( x)
2 2 sin 2 x 2 sin 3 x sin x 2 3
2 sin 5 x 5
1. Gambar untuk kasus ini adalah
0 -1
-½
½
1
1½
.......
41.
Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan
sebagai : di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π. Penyelesaian :
41. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :
di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π. Penyelesaian :
42. Tentukan deret Fourier dari :
dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5. Penyelesaian :
Periode = 2L ………. L=5
Penyelesaian :
periode 2L = 2
L=
45. Dengan menggunakan hasil dari contoh no. 3, buktikan bahwa :
Penyelesaian :
Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x2 konvergen ke f(x) =
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: Sehingga : an = 0
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: an = 0
bn = 0 Jadi deret cosinus:
46.
47.
49 .
51.
52.
53.
54.
3
j
3
j
1
e
j t
1
e
j
j
e
6 sin( )
Hasil dari transformasi Fourier untuk
= 0 s/d 2
adalah :
Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
56.
Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:
Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
57. Apa yang di maksud dengan transformasi fourier jawab: Transformasi Fourier adalah kakas ( tool ) untuk mengubah fungsi dari ranah
waktu/spasial ke ranah frekuensi. Untuk perubahan sebaliknya digunakan Transformasi Fourier Balikan. Intisari dari Transformasi Fourier adalah menguraikan sinyal atau gelombang menjadi sejumlah sinusoida dari berbagai frekuensi, yang jumlahnya ekivalen dengan gelombang asal.
58.
59.
62.
64.
65.
66.
68.
69. Cari bentuk transfromasi Fourier sinyal dari 10 sin(2π100t) :
70. Cari bentuk transfromasi Fourier sinyal dari 10 cos(2π100t)
71.
73.
75.
76.
77.
79.
Contoh 80:
Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.
Jawab :
Adapun deret Fourier : f(t) = a o
∞
+ ∑ (a n cos nωo t + b n sin nωo t ) n =1
Adapun bentuk persamaan gelombang diatas :
1 → 0 < t < 1 f ( t ) = 0 → 1 < t < 2
ao
=
1 T
T
∫0
f ( t ) dt
1
1
2
= ∫ 1dt + ∫ 0 2 0
1 0 dt = t 2
2 T 2 1 a n = ∫ f ( t ) cos nωo t dt = ∫ 1 cos nπt dt + 0 42 T 0 2 1 4 43 4 ↓ 1 1 sin πt nπ
T 2 2 1 b n = ∫ f ( t ) sin nωo t dt = ∫ 1sin nπt dt + 0 4243 T 0 2 1 ↓ 1 1 − cos nπt nπ 0 n
0
=
1 2
2 π 0 cos n t dt =0 ∫1 1 4 4 244 3 ↓ 0
2 1 π = − 0 sin n t dt (cos nπ − 1) ∫1 1 4 π n 4 244 3 ↓ 0
2 → untuk harga n ganjil [ bn = 1 − (−1) ] = nπ nπ 0 → untuk harga n genap 1
1
Contoh 81:
Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :
Jawab :
Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a = 0 = a dimana 2π 2π π periodenya T = 4 sehingga ω0 = = = , maka : T 4 2 bn
bn
=
4 T
=−
T / 2
∫ f (t) sin nω0 t dt
→
bn
=
0
2 nπ
cos
nπt 2
1
= 0
2 nπ − 1 cos nπ 2
4
∫ 1sin n t dt + ∫ 0 sin n t dt 4 2 2 1 0 2 ∞ 1 nπ nπ f ( t ) = ∑ 1 − cos sin 2 2 π n =1 n 1
π
2
→
maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.
π
Contoh 83 :
Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :
Jawab :
Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an dengan periode T = 4 dan ω 0 = f(t) = 1
2π T
=
2π 4
=
π 2
. Maka :
-1 < t < 1
→
Maka : bn
=
4 T
T / 2
∫ f (t ) sin nω0 t dt 0
→
bn
=
8 n 2π2
sin
nπ 2
−
4 nπ
cos
nπ 2
karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x pada fungsi genap, maka :
8 ( n −1) / 2 − ( 1 ) untuk n = ganjil = 1, 3, 5, ... 2 2 bn = n π 4 (−1) ( n + 2) / 2 untuk n = genap = 2, 4, 6, ... nπ sehingga :
f ( t ) =
∞
∑ n =1
b n sin
nπ 2
t
Contoh 84 :
Rangkaian seperti di bawah ini :
Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk : v s (t) =
1 2
+
2 ∞ 1
sin nπt ∑ π n
Carilah v0(t).
k =1
→ n = 2k − 1
(*)
Jawab :
=
V0
jω n L R + jωn L
Vs
=
j2nπ 5 + j2nπ
Vs
1 1 = ( j2nπ) Vs 5 + j2nπ Vs 5 + j2nπ 1 1 1 1 1 1 = j2nπ → atau : Vs = = = (− j2) = (2∠ − 90°) Vs j2nπ nπ j2 nπ nπ
V0
j2nπ
=
2 s
−
nπ
→ atau : V0
V
°
=
j2nπ 2 ∠ − 90° 5 + j2nπ nπ
2nπ 5
4∠ − tan −1 V0
=
25 + 4n 2 π 2
dan dalam wawasan waktu : V0 ( t ) =
∞
∑
4
k =1 25 + 4n
2 2
π
cos nπt − tan −1
2nπ
→ untuk : n = 2k − 1 5
maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh : V 0( t ) = 0,4981 cos (1πt − 51,49°) + 0,2051 cos (3πt − 75,14°) + 0,1257 cos (5πt − 80,96°)
+ ...Volt dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :
V0
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
ω
Contoh 85:
Rangkaian seperti di bawah ini :
Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian bilamana : i( t ) = 2 + 10 cos( t + 10°) + 6 cos(3t + 35°) A
dan cari pula Vrms.
Jawab :
Impedansi rangkaian :
Z=
1 10 j 2 j 2 ω ω = = 10 = 1 j20ω + 1 1 + j20ω 10 + j2ω ω j 2 10
R.X C R + XC
maka : V
un u
= I.Z = I.
10 1 + j20ω
=
omponen c
10.I 1 + j20ω ω
=
→
I=2A
10.I
= 12
+ (20ω) 2 ∠ tan −1
20ω
: V=
=
1
10.I
− 1 + 400ω 2 ∠ tan 1 20ω
10( 2) 1 + 400(0)
2
−1
∠ tan 20(0)
= 20 v
untuk ω = 1 rad/det, maka : I = 10∠10°
→ dan V =
10(10∠10°) 1 + 400(1)
2
−1
∠ tan 20(1)
=
100∠10° 20∠87,14°
= 5∠ − 77,14°
untuk ω = 3 rad/det, maka : I = 6∠35°
→ dan V =
10(6∠35°)
− 1 + 400(3) ∠ tan 1 20(3) 2
=
60∠35° 60∠89,04°
= 1∠ − 54,04°
sehingga dalam wawasan waktu : v( t ) = 20 + 5 cos( t − 77,14°) + 1 cos(3t − 54,04°) V
Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan : P
= Vdc I dc +
1 ∞
Vn I n cos (θ n - φ n ) ∑ 2 n =1
=
+
1
cos
2
− −
,
+
1 2
cos
,
− −
P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W
cara lain : P=
Vdc 2 R
+
2 1 ∞ Vn
∑ 2
n =1
R
=
20 2 10
+
1 52 2 10
+
1 12 2 10
= 40 + 1,25 + 0,06 = 41,30 W
Contoh 86 :
Suatu tegangan diekspresikan dengan : v( t ) = 1 − 1,414 cos( t + 45°) + 0,8944 cos(2 t + 63,45°) − 0,6345 cos(3t + 71,56°) +
− 0,4851 cos(4t + 78,7°) + ... carilah harga rms dari tegangan ini.
Jawab :
Dengan menggunakan : Frms
2
= a0 +
1 ∞
An 2 ∑ 2 n =1
maka : Vrms
= 12 +
[ (−1,414) 2 + (0,8944) 2 + (−0,6345) 2 + (−0,4851) 2 ] = 1,649 V 2
1
