Geometría Analítica en el Plano Para hacer geometría analítica en el plano consideramos un sistema rectangular de coordenadas, que nos permite identificar los puntos del plano con pares ordenados de
\× \ o
\2 . 2
Distancia entre dos puntos de \ .Si P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos del plano, la distancia entre ellos está dada por:
d ( P1, P2 ) =
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 2
2
Punto medio de un segmento: Si P1 ( x1 , y1 ) y P ( x2 , y2 ) son dos puntos del plano, el punto medio del segmento
PP 1 2
es
x1 + x2
M
2
,
y1 + y2 2
Circunferencias.Definición: La circunferencia con centro en un punto C del plano y de radio r > 0 , es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a C es r. Si el centro es C ( h, k ) , un punto P ( x, y ) pertenece a la circunferencia si y sólo si
d ( P, C ) = r , es decir, si y sólo si
( x − h) + ( y − k ) 2
2
= r2
La ecuación de toda circunferencia es de la forma general:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 donde A, B, C , D y E ∈ \ son reales fijos y A = B ≠ 0 . Recíprocamente, toda ecuación de esta forma general, con A = B ≠ 0 , representa una circunferencia en el plano o una circunferencia degenerada (un punto o el conjunto vacío) 1
Rectas en el plano.Rectas paralelas a los ejes coordenados: Verticales o paralelas al eje y :
x=c
(eje y tiene ecuación
x =0)
Horizontales o paralelas al eje x :
y=c
(eje x tiene ecuación
y =0)
Def.- Si P1 ( x1 , y1 ) y P ( x2 , y2 ) son dos puntos que no están sobre una vertical, se define la pendiente del segmento como la razón:
m=
y2 − y1 x2 − x1
Def.- Dados un número real m y un punto P0 ( x0 , y0 ) del plano, la recta de pendiente m que pasa por el punto P0 es el lugar geométrico del conjunto de todos los puntos P del plano tales que la pendiente del segmento P0 P es constante e igual a m . Ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por P0 :
y − y0 = m ( x − x0 ) Esta ecuación tiene la forma general:
y = mx+b donde m es la pendiente de la recta y b ∈ IR es la coordenada del punto de intersección de l con el eje y . Recíprocamente, la ecuación y = mx + b , representa a la recta de pendiente m e intersección con el eje y igual a b . La forma general para la ecuación de una recta es:
ax+by+c =0 donde
a, b y c ∈\
son fijos y al menos una de las constantes a o b es no nula.
Rectas paralelas.•
Dos rectas verticales son paralelas.
•
Si l1 y l2 , son rectas de pendientes m1 y m2 , respectivamente, entonces: 2
l1 // l2 ⇔ m1 = m2 Rectas perpendiculares.•
Una recta vertical y una horizontal, son perpendiculares.
•
Si l1 y l2 , son rectas de pendientes no nulas, m1 y m2 , respectivamente, entonces:
l1 ⊥ l2 ⇔ m1 ⋅ m2 = −1 Distancia de un punto a una recta.Si l es la recta de ecuación ax + by + c = 0 , y P0 ( x0 , y0 ) es un punto del plano, la distancia de P0 a l está dada por:
d ( P0 , l ) =
a x0 + b y0 + c a 2 + b2
Elipses.Sean F1 , F2 dos puntos del plano y k > 0 un número mayor que la distancia entre estos puntos. La elipse de focos F1 , F2 y eje mayor de longitud k, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a F1 y F2 es k. El punto medio entre los focos es el centro de la elipse. Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor horizontal: Si los focos de la elipse son los puntos F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) con c > 0 y k = 2a es la longitud del eje mayor, con 2a > 2c , es decir a > c , entonces un punto P ( x, y ) del plano pertenece a la elipse si y sólo si
d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a Esta condición se traduce en la ecuación equivalente:
x2 y2 + 2 = 1 , siendo b 2 = a 2 − c 2 , b > 0 , 2 a b que es la ecuación de la elipse. Notemos que de la definición de b , se tiene b < a .
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Para dibujar el gráfico de esta ecuación, consideremos algunas simetrías que puede tener el gráfico de una ecuación. Simetrías del gráfico de una ecuación: El gráfico de una ecuación F ( x, y ) = 0 es simétrico a)
con respecto al eje x si al cambiar y por − y la ecuación no cambia:
∀ ( x, y ) , b)
⇒ F ( x, − y ) = 0
con respecto al eje y si al cambiar x por − x la ecuación no cambia:
∀ ( x, y ) , c)
F ( x, y ) = 0 F ( x, y ) = 0
⇒ F ( − x, y ) = 0
con respecto al origen, si al cambiar x por − x e y por − y la ecuación no cambia:
∀ ( x, y ) ,
F ( x, y ) = 0 ⇒ F ( − x , − y ) = 0
En la ecuación de la elipse notemos que: a)
su gráfico es simétrico con respecto a ambos ejes y al origen del sistema.
b)
si un punto P ( x, y ) está en la elipse, se tiene x ≤ a y y ≤ b .
c)
La recta que pasa por los focos (y el centro) tiene dos puntos de la elipse, que son los
extremos de su eje mayor y se llaman vértices de la elipse. Son los puntos V1 ( − a,0 ) ,V2 ( a,0 ) . d)
el segmento perpendicular al eje mayor levantado en el centro de la elipse y limitado por
dos puntos en la elipse, es su eje menor, y tiene longitud 2b . Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor vertical:
x2 y2 + 2 = 1 con b 2 = a 2 − c 2 2 b a Los focos de esta elipse son los puntos F1 ( 0, −c ) , F2 ( 0, c ) , los vértices V1 ( 0, − a ) ,V2 ( 0, a ) , con a > c > 0 . Gráfico: Traslación paralela de ejes coordenados: Consideremos un nuevo sistema de ejes coordenados en el plano, con igual unidad de longitud que el original y ejes, respectivamente, paralelos. Supongamos que el origen del nuevo sistema es el punto C ( h, k ) (en el sistema original). Si un punto P cualquiera del plano tiene coordenadas
( x, y )
en el sistema antiguo y
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coordenadas
( X ,Y )
en el nuevo sistema, entonces éstas se relacionan por las “ecuaciones de
la traslación”:
X
=
x−h
Y
=
y−k
Elipses con centro en C ( h, k ) y eje mayor paralelo al eje x:
(x − h )
2
a2
(y−k ) +
2
=1
b2
Si la distancia focal = 2c , la longitud del eje mayor = 2a y la longitud del eje menor = 2b , los focos son F1 ( h − c, k ) , F2 ( h + c, k ) ; y los vértices: V1 ( h − a, k ) , V2 ( h + a, k ) . Elipses con centro en C ( h, k ) y eje mayor paralelo al eje y:
(x − h )
2
(y−k ) +
2
=1 a2 Focos F1 ( h, k − c ) , F2 ( h, k + c ) y vértices: V1 ( h, k − a ) , V2 ( h, k + a ) . b2
Forma general de la ecuación de una elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 donde A, B, C , D y E ∈ IR son reales fijos y A ⋅ B > 0 y A ≠ B . Recíprocamente, toda ecuación de esta forma general, con A ⋅ B > 0 y A ≠ B representa una elipse o una elipse degenerada: vacío o bien un punto. Hipérbolas.Sean F1 , F2 dos puntos del plano y k > 0 un número menor que la distancia entre estos puntos. La hipérbola de focos F1 , F2 y eje transverso de longitud k, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a F1 y F2 es k. El punto medio entre los focos es el centro de la hipérbola. La perpendicular al eje transverso levantada en el centro contiene al eje conjugado de la hipérbola.
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Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje transverso horizontal: Si los focos de la hipérbola son los puntos F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) con c > 0 y k = 2a es la longitud del eje transverso, con 0 < a < c , entonces un punto P ( x, y ) pertenece a la hipérbola si y sólo si:
d ( P, F1 ) − d ( P, F2 ) = 2a .
Esta relación se traduce en la ecuación:
x2 y 2 − =1, a 2 b2
b2 = c2 − a 2
siendo
llamada ecuación de la hipérbola. Notemos que entre a y b no existe una relación de orden determinada. La recta que pasa por los focos de la hipérbola (y por el centro) contiene dos puntos de ella que son sus vértices: V1 ( − a,0 ) ,V2 ( a,0 ) . El segmento de recta que los une es el eje transverso de la hipérbola. El segmento de recta perpendicular al eje transverso, levantado en el centro de la hipérbola y de longitud 2b es el eje conjugado de la hipérbola. Si despejamos y en la ecuación de la hipérbola, obtenemos:
y=±
b 2 x − a2 , a
ecuaciones que están definidas para x tal que x ≥ a , siendo los valores de y reales arbitrarios. Por otra parte, vemos que si x es “grande” comparado con a , los puntos de la hipérbola están “cerca” de los puntos de las rectas de ecuación:
b y=± x a que son dos rectas que pasan por el origen, centro de la hipérbola, y que se llaman asíntotas de la hipérbola. Gráfico: Análogamente, si el eje transverso de la hipérbola es vertical, su ecuación es
y 2 x2 − =1 a 2 b2
con
b2 = c2 − a 2
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donde los focos de la hipérbola son los puntos F1 ( 0, −c ) , F2 ( 0, c ) con c > 0 y k = 2a es la longitud del eje transverso, 0 < a < c . Las asíntotas de esta hipérbola son las rectas:
a y=± x b Ecuación de una hipérbola con centro en C ( h, k ) y eje transverso a)
b)
horizontal:
vertical:
( x − h) a2
(y − k) a
2
2
2
(y − k) − b2
( x − h) − b
2
2
= 1 ; asíntotas: y − k = ±
2
= 1;
asíntotas: y − k = ±
b ( x − h) a
a ( x − h) b
En ambos casos 2a es la longitud del eje transverso, 2b la longitud del eje conjugado y 2c la distancia focal. Forma general de la ecuación de una hipérbola con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 donde
A, B, C , D y E ∈ \
son reales fijos y A ⋅ B < 0
Recíprocamente, toda ecuación de esta forma con A ⋅ B < 0 representa una hipérbola o una hipérbola degenerada: unión de dos rectas. Parábolas.Sea F un punto del plano y l una recta que no contiene a F . La parábola de foco F y directriz l , es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. La perpendicular a la directriz bajada desde el foco es un eje de simetría de la parábola que se llama su eje de simetría. El punto medio del segmento perpendicular a la directriz, entre el foco y la directriz es un punto que está en la parábola y se llama su vértice. Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría vertical:
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Sea V ( 0,0 ) el vértice de la parábola y F ( 0, c ) su foco, con c ≠ 0 y por lo tanto su directriz la recta de ecuación y = −c . El eje y su eje de simetría. Un punto P ( x, y ) del plano pertenece a la parábola, si y sólo si:
d ( P, F ) = d ( P, l ) Considerando las coordenadas esta relación equivale a :
x2 y= 4c Gráficos posibles con c > 0 y con c < 0 . Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría horizontal:
y2 x= 4c donde c ≠ 0 es la abscisa del foco, la directriz es la recta x = −c y el eje de simetría es el eje
x. Gráficos posibles con c > 0 y con c < 0 . Ecuación de una parábola con vértice en V ( h, k ) y 2
eje de simetría vertical:
( x − h) y−k =
2
eje de simetría horizontal:
(y − k) x−h=
; eje de simetría es: x = h
4c
4c
; eje de simetría es: y = k
Si c > 0 la parábola se “abre” hacia arriba o hacia la derecha y si c < 0 se “abre” hacia abajo o hacia la izquierda. En ambos casos c es la distancia entre el vértice y el foco de la parábola. La forma general de la ecuación de cualquier parábola con eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados es:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Con A = 0 o bien B = 0 . Recíprocamente, cualquier ecuación de esta forma con A = 0 o bien B = 0 , representa una parábola con eje de simetría horizontal o vertical, o bien, representa una parábola degenerada: vacío, una recta o la unión de dos rectas. 8
