ARTUR PAIS Y EDUARDO KAUSEL Fórmulas aproximadas para rigideces dinámicas de bases rígidas Se proponen fórmulas aproximadas para describir la variación con la frecuencia de las rigideces dinámicas de las bases rígidas incrustadas. Estas fórmulas se obtienen ajustando expresiones matemáticas a soluciones numéricas precisas. Debido a los datos restringidos disponibles en la actualidad, solo se analizan las bases incrustadas cilíndricas y rectangulares; esta no es una restricción seria, ya que estas son las formas más comunes utilizadas en la práctica. La parte imaginaria de las rigideces es aproximada, para altas frecuencias, por sus valores asintóticos, que dan excelentes resultados en ese rango. Estos valores asintóticos se calculan suponiendo una teoría de propagación de onda unidimensional simple. Las fórmulas aproximadas proporcionan una buena aproximación de las rigideces de la base y su uso es muy simple. Aunque se supone que el suelo no tiene amortiguamiento interno, puede incorporarse utilizando el Principio de Correspondencia, si así lo desea.
INTRODUCCIÓN El primer paso en el estudio de un problema de interacción suelo-estructura es la evaluación de la matriz de rigidez dinámica de la base. De especial interés es el caso en que el suelo es mucho más suave que la base; se puede suponer entonces que la base mantiene su forma mientras vibra, de modo que seis componentes (tres desplazamientos y tres rotaciones) son suficientes para describir su movimiento. La matriz de rigidez dinámica tiene solo seis columnas y f ilas. Para encontrar las funciones de rigidez dinámica, se debe resolver un problema de valor límite mixto, en el cual los desplazamientos se prescriben en el área de contacto entre la cimentación y el suelo, y las tracciones se desvanecen en la superficie libre del suelo. Dado que este problema es bastante difícil, no es sorprendente que las soluciones analíticas estén disponibles solo para casos muy especiales. Luco et al. 10,11 proporcionan las funciones de cumplimiento para una base de disco en un medio espacio elástico, suponiendo un contacto sin fricción, y para una base de banda unida a un medio espacio elástico. Los cimientos reales, por otro lado, generalmente están incrustados en el suelo y tienen formas abigarradas. Para encontrar las funciones de rigidez dinámica en estos casos; uno debe usar procedimientos numéricos como el elemento finito o los métodos integrales de límite. Mientras vibra, la base genera ondas que irradian a través del suelo una cierta cantidad de energía. Esto introduce algo de amortiguación en el movimiento de la base, que generalmente se conoce como amortiguación de radiación (o geométrica). Para tener en cuenta este fenómeno en soluciones numéricas con elementos finitos, el modelo de suelo debe incluir una vasta región más allá de la base. Sin embargo, una isla de suelo tan grande no es necesaria cuando el modelo incluye límites de transmisión 8,14 que reproducen el comportamiento físico del sistema infinito y que se pueden aplicar directamente en el borde de la base. Sin embargo, estos límites generalmente se basan en idealizaciones idealizaciones del suelo como estratos finitos sostenidos por rocas rígidas de modo que cualquier radiación en el lecho de roca, que puede estar presente en un medio espacio elástico (o en un aluvión muy profundo) se descuida en tales modelos. Para evitar este problema, Day realizó análisis transitorios de elementos finitos para movimientos impulsivos de una base cilíndrica incorporada, obteniendo después la
rigidez dinámica como funciones de la frecuencia realizando una transformación de Fourier de la función de respuesta implícita truncada, es decir, eliminando los reflejos del límite. Sin embargo, este procedimiento no se puede aplicar a los suelos estratificados, ya que no es posible distinguir entre las reflexiones reales en las interfaces de las capas y la reflexión espuria en el límite. Apsel 2, por otro lado, utilizó una formulación de ecuaciones integrales para el mismo problema y encontró un muy buen acuerdo con los resultados de Day (ver Figs 4-13). Debe agregarse que Aspel asumió una pequeña cantidad de amortiguación interna en el suelo, mientras que Day asumió un medio elástico. Con respecto a los cimientos rectangulares, Wong et al) 15 presentaron funciones de cumplimiento para cimentaciones fijas para varias relaciones de longitud a anchura, que se obtuvieron al dividir el área de contacto entre la cimentación y el suelo en subregiones en las que se suponía un esfuerzo constante. Usando el mismo método, Wong y Luco 16 presentaron tablas de funciones de impedancia para cimientos rectangulares planos. Domínguez 4, por otro lado, aplicó la formulación integral de límites para calcular las rigideces de los cimientos empotrados rectangulares, examinando una gran cantidad de relaciones de aspecto en el rango de baja frecuencia. Abascal 1, utilizando un enfoque similar, presentó las rigideces de una base incrustada cuadrada.
Cimientos cilíndricos enterrados a) Rigideces Estáticas Las relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos para un disco rígido unido a un semiespacio elástico homogéneo se investigaron hace mucho tiempo, y se encontraron las siguientes fórmulas explícitas para las rigideces:
Estas fórmulas representan la rigidez estática de un cimentación rígida circular de radio R, siendo G y v el módulo de corte y la relación de Poisson del medio espacio homogéneo.
En cuanto a los cimientos cilíndricos enterrados, las soluciones de forma cerrada no están disponibles, pero se han desarrollado fórmulas aproximadas a partir de soluciones numéricas. Aproximaciones para las rigideces horizontales, oscilantes y de acoplamiento fueron desarrolladas por Elsabee, mientras que el modo vertical y torsional fueron analizados por Kausel y Ushijima. En ambos estudios, se utilizó un programa informático de elementos finitos, y el resultado se corrigió para errores de discretización. Las fórmulas se desarrollaron para una incrustación máxima de una vez y medio el radio de la base. Las soluciones numéricas para las rigideces dinámicas de los cimientos incrustados cilíndricos también fueron preparadas por Aspel y por Day, como se describió anteriormente. Se debe enfatizar una vez más que el primero se calculó con una pequeña cantidad de amortiguamiento interno, mientras que el último es completamente lánguido. Estas soluciones también se utilizan en este documento para derivar las soluciones aproximadas. Extrapolando las curvas en las Figuras 4 a 13, se puede extraer el valor estático de las impedancias (ver Figuras 2 y 3) tomando el promedio del elemento finito y los resultados del elemento de contorno. Las figuras 2 y 3 muestran estas rigideces estáticas 60 en función de la relación de inserción; el rango considerado se extiende desde una cimentación superficial (E / R = 0.0) hasta una cimentación con una incrustación igual al diámetro (E / R = 2.0). Es razonable suponer a continuación que el efecto de la relación de Poisson sobre las rigideces estáticas es el mismo para una base superficial que para una base incrustada; esto equivale a la suposición de que la relación de los dos es independiente de v. En tal caso, se pueden buscar aproximaciones polinomiales para tener en cuenta el empotramiento que depende únicamente de los parámetros de inserción. Para los modos torsional, vertical y horizontal, una aproximación lineal es suficiente, dando menos de 10% de error en comparación con los resultados numéricos. Una ley de potencia con el exponente menor a 1 se ajustaría mejor a los datos, pero por simplicidad, se prefirió la fórmula lineal. Para el modo de balanceo, por otro lado, se eligió un polinomio de tercer grado porque una línea recta daría demasiado error. Esto tiene cierta justificación física si uno recuerda que el momento de inercia de un cilindro sobre un eje horizontal también es un polinomio de tercer grado en E / R. Para el término de acoplamiento, se adoptó la fórmula propuesta por Elsabee. Las aproximaciones resultantes son las siguientes:
Con K ° v. dado por las ecuaciones (1a) hasta (1d). El coeficiente en la aproximación para la rigidez torsional es el mismo que en el trabajo de Kausel et al. 9, mientras que la rigidez vertical se ha modificado un poco para extender su rango de validez.
b) Rigideces dinámicas También se proponen algunas fórmulas simples para describir la variación de las rigideces con la frecuencia de vibración. La dependencia de la frecuencia está dada por un número complejo que multiplica la rigidez estática de la siguiente manera:
Donde Ks designa la rigidez estática apropiada; a o es la frecuencia adimensional a o = ωR / Cs (ω = frecuencia angular del movimiento, R = radio de la base, C s = velocidad de la onda de corte en el suelo); k y c son funciones de a 0, v = índice de Poisson, y E/R = grado de incrustación. Aunque k en los modos vertical y oscilante depende en gran medida del valor de v, para simplificar su influencia no se tiene en cuenta en este documento. Esto implica que para valores de v superiores a 0.4, las fórmulas aproximadas deben usarse con cuidado, especialmente para frecuencias altas. Sin embargo, en el rango de alta frecuencia, la parte imaginaria de la rigidez es mucho más importante que la parte real; por lo tanto, las aproximaciones pueden ser apropiadas para fines de ingeniería. El valor asintótico del coeficiente c se puede encontrar fácilmente al suponer que la base vibratoria genera ondas unidireccionales que se propagan perpendicularmente a la superficie de contacto con el suelo (ver Gazetas y Dobry 7 para más detalles). Denotando este valor por ĉ, viene dada por la fórmula:
Donde T es una matriz de transformación que se utiliza para relacionar los desplazamientos a lo largo de las interfaces suelo-fundación con el movimiento global de la base; y v es la celeridad (velocidad) de las ondas generadas. Esta ecuación es similar a la fórmula que se usaría para calcular el área total o los momentos de inercia
del área de contacto, excepto que se usa un peso (v / C) para tener en cuenta el tipo de ondas generadas. El tipo dominante de ondas será ondas longitudinales (ondas L) si el movimiento es normal a la superficie de contacto, u ondas de corte (ondas S), si el movimiento es tangencial a la superficie. A causa de este hecho, uno puede dividir la ecuación (4) en dos partes, el primero de los cuales tiene en cuenta las ondas S generadas, mientras que el segundo refleja la contribución de las ondas L:
Con α = CL / CS. En este momento surge una pregunta importante sobre los valores apropiados para CL, ya que las condiciones de deformación plana no se mantienen cerca de la base. Como resultado, tiene lugar una dilatación lateral que hace que el valor de C L sea menor que el valor teórico para las ondas P (C P = CS √ ( 2 (1 - v) / (1 - 2 v))). La discrepancia entre CL y C P es particularmente importante para los sólidos incompresibles (v = 0.5), para los cuales la velocidad de la onda P es infinita, mientras que la velocidad de radiación efectiva C L es finita. Para eludir esta dificultad, uno puede aproximar C L = C P y limitar el valor de v usado para derivar C P, (por ejemplo, α= <2.5), o seguir Gazetas y Dobry 7, uno define CL como una velocidad ficticia para longitudinal olas. Con estas aproximaciones permiten calcular los coeficientes de rigidez dinámica para todos los modos de vibración. Los resultados se resumen en la Tabla 1.
Estas fórmulas son similares a las propuestas por Veletsos et al.13 para el caso de una base superficial, y Kausel et al. 9 para una base incrustada. Las Figuras 4-13 muestran una comparación de las fórmulas propuestas con los resultados de Day y Aspel 2, (tomando v = 0.25). Debido a que Apsel asumió una pequeña cantidad de material de amortiguación en el suelo, el término imaginario de la rigidez (Im (K d (ao))) que él informa tiende a infinito a medida que la frecuencia se aproxima a cero; sin embargo, para frecuencias más altas se pueden despreciar la influencia de la amortiguación. Como se puede ver, las fórmulas propuestas coinciden bien con los resultados numéricos, especialmente con la parte imaginaria. Para los modos vertical, horizontal y de acoplamiento, la parte real de las rigideces evidencia discrepancias en el rango de alta frecuencia. Sin embargo, debido a la falta de datos confiables, las aproximaciones mejoradas no están justificadas. El valor de c para la rigidez del balanceo es diferente de cero en el caso estático, en parte porque el centro de coordenadas se eligió para estar en la base en lugar de en el centro de la rigidez. Por lo tanto, un cierto grado de traducción resulta de la rotación.
Formulaciones rectangulares incrustadas a) Rigidez estática de cimentaciones superficiales En el caso de los cimientos rectangulares, la falta de simetría cilíndrica aumenta sustancialmente la dificultad del problema, de modo que no se dispone de resultados analíticos rigurosos, ni siquiera para los cimientos de la superficie. Además, la relación de largo a ancho, L / B (ver Fig. 14), que define la geometría de la base, es otro parámetro que debe tenerse en cuenta. Cuando la base es muy larga, su rigidez en la dirección corta se acerca a la rigidez de una base de banda (problema 2-D). La Tabla 2 muestra las rigideces estáticas de una base cuadrada encontradas por varios autores, pero escaladas por el factor que da la dependencia de la relación de Poisson para cimientos circulares. La suposición subyacente es que la dependencia de la relación de Poisson es la misma para los cimientos rectangulares y circulares. Si esto es cierto, los resultados en la tabla son independientes de la relación de Poisson. A juzgar por los números en las columnas cuatro y cinco en esta tabla, esta suposición parece ser razonable.
Los valores en esta tabla coinciden razonablemente bien, excepto en los modos de balanceo y torsión, donde los resultados de Domínguez parecen demasiado bajos. Los valores elegidos para las rigideces estáticas se muestran en la última columna (basada principalmente en los resultados de Wong y Luco). La rigidez del acoplamiento se ha descuidado porque su valor es pequeño para una cimentación superficial. Las figuras 15 a 19 muestran las rigideces estáticas de las bases rectangulares en términos de la relación de aspecto L / B, y para la relación de Poisson v = 1/3. Estas cifras se basan en los datos presentados por Wong et al 16, Domínguez 4 y Gorbunov-Posanov (de la Ref. 6). El uso de estas cifras condujo a las siguientes aproximaciones (con L / B> =. 1):
El exponente de (L / B) es menor que 1 para los modos vertical y horizontal, igual a 1 para balancearse alrededor del eje longitudinal, y mayor que I para la torsión y para balancearse alrededor de un eje transversal. Estos valores se aproximan a las rigideces de una base de banda a medida que aumenta la relación longitud / anchura. La Tabla 3 muestra una comparación numérica de las rigideces encontradas por Wong et al16 (v = 1/3), Dominguez4 y las fórmulas propuestas, para 1 =
b) Rigidez dinámica de las bases de la superficie Para describir la variación de las rigideces con la frecuencia, los resultados de Wong y Luco 16 se usaron como referencia, ya que están disponibles para un rango razonablemente extendido de frecuencias; sus gráficos se muestran en las Figs. 20 = 33 (línea continua). La forma de estos trazados es bastante irregular, por lo que su aproximación mediante fórmulas simples no es fácil. El uso de análisis de regresión sobre estos datos condujo a las fórmulas de la Tabla 4. Estas fórmulas también se trazan como líneas discontinuas en las Figuras 20-33. Se debe tener cuidado en su uso, ya que las partes reales no son muy confiables, particularmente a altas frecuencias. Las partes imaginarias, por otro lado, son bastante buenas y válidas incluso para frecuencias muy altas. Como en el caso de los cimientos cilíndricos, se ha ignorado la influencia de la relación de Poisson sobre la variación de las rigideces con la frecuencia.
c) Rigidez estática de cimientos rectangulares incrustados Solo se dispone de pocos datos para la rigidez de los cimientos empotrados rectangulares. Domínguez 4 presenta el resultado para cuadrado y rectangular (L / B = 2) bases incrustadas, mientras que Abascal I estudió el caso de una base cuadrada. En ambos trabajos, la máxima profundidad de instalación considerada fue una excavación igual al ancho de la base (E / B = 2).Las Figuras 33-36 presentan el efecto sobre la rigidez causada por el empotramiento. Para los modos torsional, vertical y horizontal de una base cuadrada, los resultados de Dominguez son demasiado altos en comparación con los de Abascal. Esto puede deberse al hecho de que Domínguez no tuvo en cuenta los errores de discretización, mientras que Abascal sí, por lo que los resultados de este último parecen más precisos. Sobre la base de estos datos, proponemos las siguientes fórmulas para las rigideces en función del grado de inserción, y que están representadas, en las figuras 34-36, con líneas discontinuas:
Estas fórmulas concuerdan bien con los resultados de Abascal; como se puede ver, su dependencia del grado de inserción es menor que lineal (exponente de E/B menor que 1), excepto para el balanceo, donde una parábola de segundo grado da una buena concordancia. Por la influencia de la forma de la base, los únicos datos disponibles son de Domínguez; por lo tanto, algunas elecciones intuitivas tuvieron que hacerse. Los valores asintóticos para una base de banda se combinaron tanto para oscilar alrededor de x como para oscilar a lo largo de y. Dado que una base de banda tiene solo dos lados en lugar de cuatro, se pensó que el efecto de la inserción se dividía de manera uniforme entre cada lado. La disminución con la relación (L / B) es tal que el error relativo a los resultados de Domínguez es más o menos constante. Como lo muestra Dominguez, la altura del centro de rigidez es aproximadamente 1/3 de la altura del empotramiento. Debido a su menor importancia, la rigidez del acoplamiento pueden ser tomado simplemente como
Se necesitarían más datos para mejorar la confiabilidad de estas fórmulas aproximadas.
d) Rigidez dinámica de fundaciones incrustadas Domínguez 4 y Abascal 4 presentan solo la variación de la rigidez en el rango de frecuencia baja (a o<1.5 y ao<2.0 respectivamente). Debido a esta falta de datos, se asumirá aquí que la variación de las rigideces con frecuencia es lo mismo para la superficie como para las bases incrustadas. Las fórmulas que describen esta variación se dan en la Tabla 5.Los valores asintóticos del coeficiente c se obtuvieron calculando las inercias geométricas y las áreas, como también se hizo para los cimientos cilíndricos. Los modos de balanceo exhiben un valor distinto de cero en el caso estático, lo que concuerda con los resultados de Abascal. Las rigideces de acoplamiento dinámico se obtuvieron multiplicando las rigideces horizontales por 1/3 de la altura de empotramiento, como se hizo para el caso estático.
Aplicaciones a materiales viscoelásticos Los resultados previos se pueden extender al caso de un semiespacio viscoelástico aplicando el principio de correspondencia de Biot. Este principio establece que es suficiente sustituir los módulos reales del suelo por módulos complejos para dar cuenta de la amortiguación del material. Por lo general, se supone que el valor de la relación de Poisson no depende de la cantidad de amortiguación del material. Para simplificar, se puede suponer que tanto las ondas P como las ondas S tienen la misma cantidad de atenuación. Las celeridades de onda complejas se convierten en:
Donde β representa la cantidad de material que se amortigua en el suelo. Debido a que el valor de β es generalmente pequeño en comparación con la unidad, el módulo de corte complejo se puede escribir como:
La rigidez de la base se convierte en:
Donde:
