DISEÑO DE UNA LEVA
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Por Javier González Cázares Profesor de Telesecundaria en Zacatecas, México
[email protected] El diseño diseño,, según según Deutch Deutchsma sman n 1 es “el “el meca mecani nism smo o medi median ante te el cual cual una una necesidad es convertida en un plan funcional y significativo”, la leva en sí consti constituy tuye e todo todo un proces proceso o de diseño diseño,, desde formular el plan, hasta su manufactura. El propósito de este artículo se origina de la relación y aplicación de necesidad necesidades es intelectu intelectuales ales básicas básicas (cie (cienc ncia iass de la inge ingeni nier ería ía y matemáticas), como es el diseño de mecanismos útiles en la industria. Una Leva es un mecanismo que impulsa a otro otro elem elemen ento to (seg (segui uido dor) r),, para para que que haga un movimiento específico, por contacto directo. Estos mecanismos se usan en automóviles, máquinas tortilladoras, etc. Las levas son mecanismos muy usados en sistemas mecáni mecánicos cos donde donde palanc palancas, as, engran engranes es y conect conectore oress complican el análisis dinámico, por ejemplo el sistema de válv válvul ula a pued puede e ser ser estu estudi diad ada a por por el méto método do de 2 Rayleigh , donde se reduce el sistema a uno equivalente, las vibraciones dependen de su distribución de masa y rigidez En esta actividad se mencionará el diseño matemático sin demostrar las fórmulas que lo sustentan, tampoco todo el proceso de diseño que involucra el diseño detallado, construcción del prototipo, diseño de producción, etcétera. El lector posteriormente los estudiará al detalle. 1 2
DEUTSCHMAN, Aaron D.; Diseño de máquinas, México, 1987 THOMSON, W; “Teoría de vibraciones”, PHI, México, 1982.
La leva de la figura de la izquierda, se le llama “de placa”, aunque existen otras (de cuña, de tambor y de cara), el método para resolverlas es el mismo para todas3. Se calculará el diagrama de desplazamiento (para darnos una idea de su forma, diseño y comportamiento): donde la abscisa representa el movimiento de entrada (θ, número de revoluciones de la leva) y la ordenada el recorrido del seguidor ( y ).
La ecuación y = y (θ) representa la naturaleza exacta del perfil de la leva, trazado, fabricación y su comportamiento dinámico. Las variables β y L representan el ángulo de la leva y elevación respectivamente. Cuando existe velocidad constante, no se produce movimiento del seguidor, lo que no es útil para el movimiento de la leva, sólo en algunos casos. Los conceptos teóricos son: movimiento armónico simple4 y movimiento cicloidal para la construcción de la gráfica de desplazamiento. Sería interesante que el lector trazara el perfil de la leva, primero a mano en una hoja de papel milimétrico; para ello, un método es haciendo que gire no la leva sino el seguidor para trazar el perfil; primero trazando el círculo de excentricidad, es decir, con el círculo primario se dibuja la línea central del seguidor de cada estación, haciendo tangente al círculo de excentricidad 5. El planteamiento de este trabajo es el que sigue:
3
Además de la clasificación los seguidores se clasifican en: de cuña, de cara plana, de rodillo, de cara esférica (zapata curva) 4 La aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta de la ecuación diferencial 5 Para varios ejemplos de cómo hacerlos recomiendo el libro “Máquinas herramientas y manejo de materiales”, Herman W. Pollack, PHI, México, 1982
1. las fórmulas (originalmente planteadas por H. A. Rothbart) son tomadas del libro de Joseph E. Shigley & John J. Uicker Jr 6 y se dedujeron en forma “clásica” a mano. Y su demostración requerirá de un minucioso estudio, a lo cual invito al lector a hacerlo. 2. si ya existen las fórmulas, es fácil trazar el perfil de una leva, para ello se usará la hoja de cálculo Excel. El diseño de una leva, debe cumplir con: o
o
o
necesidades de movimiento en cada aplicación. Dibujo del diagrama de desplazamiento, velocidad, aceleración en cada “frontera” de los segmentos. Mantener lo más bajo posible los picos de velocidad y aceleración.
Por ejemplo, un motor con velocidad constante de 150 rpm impulsa una leva de placa con seguidor de movimiento alternativo. El seguidor inicia con una detención, acelera hasta una velocidad uniforme de 0.635 m/sg (25 plg/seg), mantiene esta velocidad a lo largo de 0.03175 m (1.25 plg) de subida, desacelera hasta la parte superior de la elevación, retorna y luego queda en detención por 0.067 seg. La elevación máxima es de 0.0762 m (3.0 plg). Determínense las especificaciones completas del diagrama de desplazamiento. Solución: Velocidad de entrada:
ω = 150 rpm = 15.7079633 rad/seg
Pendiente del segmento de velocidad constante:
Si es constante durante el segmento de 49.25 m de subida, la rotación de la leva es:
La rotación durante la detención final: SHIGLEY, Joseph E. & UICKER JR, John J.; “Teoría de máquinas y mecanismos”, Mac Graw Hill, México, 1983 6
Con esta información se forma un esquema de: puntos de arranque, desplazamientos, retorno y detención. En el arranque escogemos la curva de movimiento con características de media subida, por lo que se escoge el movimiento semicicloidal. Ecuaciones para el arranque, segmento
Para el segmento aceleración es cero.
:
, la velocidad es constante, y una pendiente, pero la
En el segmento , se selecciona la curva semicicloidal, pero para mantener la curva un “tirón” lo más suave posible, la curva de subida semiarmónica será:
El segmento
, la curva es de retorno armónico modificado:
Se puede decir que son fórmulas las más apropiadas para este caso
Hagamos un análisis de etapa por etapa:
La velocidad terminal en el segmento que el
, entonces
, el movimiento es semicicloidal, lo
(extremo derecho):
Se deduce que: Igualamos: Despejamos y sustituimos los valores: ………………………..(1) En el punto C, el ángulo θ=0 por lo que
(extremo izquierdo, cuando
inicia), de la fórmula:
En este punto la velocidad 2 es igual a la velocidad 3:
…………………………….(2) Para el punto D, los dos ángulos tienen aceleración, de la ecuación:
Y el ángulo θ=0 (extremo izquierdo)
Igualamos ambas ecuaciones:
Despejamos (y usando la fórmula 2):
(extremo derecho) y el valor de la
; Queda: …………………………(3) También: L1+L2+L3=L4; L1+
+L3= 0.0762
Despejamos aquí: L1+L3= 00762 – 0.03175
L1 + L3 = 0.04445……………………………….(4)
β1+ β 2+ β 3+ β 4+ β 5=2 rad ………….(5)
β1+ β 3+ β 4 = 2 - 0.785 – 1.0524 = 4.4457
Dejaré que usted amable lector resuelva a mano y compruebe este sencillo sistema de ecuaciones:
L1 + L3 = 0.04445 β1+ β3+ β4 = 4.4457 , y sus soluciones son: L1 = 0.0322 m
β1 =
L2 = 0.03175 m
β2 =
L3 =
β3 =
L4 = 0.0762 m
β4 =
L5 = 0 m
β5 =
Con estos datos, podremos graficar la gráfica de Desplazamiento: Abra una nueva hoja Excel: Los siguientes cálculos definirán el perfil de la leva con las características calculadas:
Perfil del segmento Primero ponemos los datos del perfil desde y un ángulo de leva de 91.33°
, con una elevación de 0.0322 m
Luego se tabula desde 0° hasta 91.33°, para que este ángulo se grafique se convierte en radianes en otra columna, en otra se tabula el Perfil 1:
La velocidad para este perfil tiene las características:
Su aceleración:
Perfil del segmento El intervalo del ángulo es desde 91.33° hasta 136.33°, cuidando cambiarlos a radianes, su perfil: tiene la fórmula en la celda: =$K$12*M13-0.0257208592, Esta fórmula se considera como una recta, por lo que no será difícil deducirla por usted: Le recomiendo usar esta:
.. Como su velocidad es constante =$D$105, ya que es el último punto donde se quedó el perfil 1, lo será a lo largo de todo este intervalo. La aceleración ES CERO en todo este segmento.
Perfil del segmento En este segmento, es un caso especial, ya que inicia fuera del origen por lo que se tabula primero desde el ángulo de 136.33° hasta 163.65°, luego se tabula la función tal como esta, desde 0° hasta 27.32°:
La velocidad también se tabula:
La aceleración es:
Perfil del segmento La curva de retorno armónico tiene el perfil:
La velocidad tiene una curva:
La aceleración tiene comportamiento dinámico:
Perfil del segmento El último perfil tiene como valores para la gráfica cero, tanto como para la velocidad como la aceleración:
Terminemos este ejemplo con el perfil real de la leva en una gráfica ( x , y ), usando funciones trigonométricas: El valor del círculo primario es de 0.0254 m de radio. El ángulo es de 0° hasta 360° La proyección en
x,
=$G$10*COS(B13)
La proyección en
y,
=$G$10*SENO(B13)+C13
Para finalizar graficamos nuestro valores usando la gráfica dispersión con líneas suavizadas:
Algo que usted debería explicarse y responder, son los comportamientos en cada segmento: •
¿qué sucede en el segmento
?
•
¿qué sucede en el segmento
?
•
¿qué sucede en el segmento
?
•
¿qué sucede en el segmento
?
•
¿qué sucede en el segmento
?
Recuerde que no tomamos en cuenta la masa del seguidor, que ejercerá una gran fuerza de inercia; las graficas de velocidad y aceleración nos darán una idea de cambios bruscos, también evite que las gráficas sean discontinuas (sin cambios de escalón). Como actividad complementaria, construya el Diagrama de desplazamientos Perfil, Velocidad y Aceleración, de la siguiente leva con seguidor radial oscilante: inicia con 30° con movimiento cicloidal con 150° de rotación de la leva, luego una detención de 30°, retorna con movimiento cicloidal en 120° y detención en el curso 60°. El círculo primario es de 30 mm, la rotación de la leva es en sentido contrario a las manecillas del reloj. CONCLUSIONES
Observamos un ligero cambio en el segmento , esto permite comparar si nuestros cálculos cubren realmente los requerimientos dinámicos del mecanismo o no, una vez así, haremos los cambios, en tiempo real que consideremos necesarios. El estudio del comportamiento dinámico y cinemático por el método computacional, usando Microsoft Excel reduce el tiempo de diseño, resuelve ciclos completos de movimiento presentando gráficas que refuerzan el análisis y síntesis de este mecanismo. Esto permite que las propiedades cinéticas y dinámicas de una leva, se trasladen a propiedades geométricas: movimiento y cambio, ley y resolución del problema. Si partimos de datos reales y luego al interpretarlos, iniciamos un proceso de abstracción de las características secundarias del problema, al usar fórmulas y teoremas generales, obtenemos resultados muy precisos. Es un gran potencial de abstracción para resolver una necesidad práctica, y si usamos como apoyo los métodos computacionales, nos acercaremos a una explicación profunda y correcta. Recordemos que valorar las cantidades variables en la forma más general y evitar que estos métodos informáticos sean sólo un cúmulo de información (incluso hasta distorsionados), además corregir nuestros diseños o bien ajustarlos según las necesidades prácticas y aplicación lo requiera. Como verá amable lector, note que estudiantes de nivel secundaria pueden resolver fácilmente, el diseño de un mecanismo aplicando fórmulas a cualquier circunstancia concreta, la idea es que las matemáticas se aplican en la vida de la física.
