CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................ .......................................................................... .................................................... .......................... 2 1. DISEÑO DE LEVAS: CONCEPTOS, TIPOS Y PRINCIPIOS DE DISEÑO GEOMÉTRICO DE LEVAS ............................................................... ..................................................................................... ...................... 3 1.1. CONCEPTO .................................. ........................................................... ................................................... ....................................... ............. 3 1.2. CLASIFICACIÓN................................................ ......................................................................... ........................................... .................. 4 1.3. PRINCIPIOS DE DISEÑO GEOMÉTRICO DE LEVAS ................................. ................................. 6 2. DISEÑO DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES SIMPLES Y COMPUESTOS, ENGRANAJES PLANETARIOS................................................. ................................................. 10 REFERENCIAS......................................................................... ................................................................................................... ............................ .. 16
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INTRODUCCIÓN Dentro del contexto del diseño de maquinarias y equipos, existen diversos elementos que
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1. DISEÑO DE LEVAS: CONCEPTOS, TIPOS Y PRINCIPIOS DE DISEÑO GEOMÉTRICO DE LEVAS 1.1. CONCEPTO Es un elemento mecánico que se utiliza para impulsar una componente emparejada conocida como seguidor, para que desarrolle un movimiento especificado por contacto directo. Generalmente, está sujeto a un eje en torno al cual gira. El giro hace que el contorno de la leva toque, empuje o mueva al seguidor, quien produce un movimiento rectilíneo. ( Fig. 1)
Fig ura 1. Leva, tomada de [4]
La utilización de las levas es una de las formas más simples de generar movimientos complejos periódicos con precisión, obteniéndose a un costo razonable. Los mecanismos de leva y seguidor tienen pocas piezas móviles y ocupan espacios muy reducidos. La característica única de una leva es que puede impartir diferentes movimientos a su seguidor. Asimismo, se utilizan para obtener movimientos inusuales o irregulares que sería difícil de conseguir con el uso de otros eslabonamientos. Por otra parte, La forma del contorno de la leva siempre está supeditada al movimiento que se necesite en el seguidor , pudiendo aquel adoptar curvas realmente complejas. (Figura 2).
Fig ura 2: Perfiles de Levas , tomada de [4] 3
El mecanismo de leva y seguidor es un dispositivo mecánico extremadamente útil, sin el cual las tareas del diseñador de máquinas serían más difícil de llevar a cabo. Es frecuentemente utilizado en toda clase de maquinaria por su versatilidad y flexibilidad.
1.2. CLASIFICACIÓN Las levas pueden tener diferentes clasificaciones según sus distintas configuraciones:
Según la forma: a) Leva de placa (Disco o radial). Son el tipo de levas más simples y comunes. Este tipo de leva se moldea sobre un disco o una placa. La distancia radial a partir del centro varia a lo largo de la circunferencia de la leva. Si se hace que un seguidor se mueva sobre el extremo exterior, se proporciona al seguidor un movimiento radial. b) Leva cilíndrica o de tambor. Esta clase de leva se moldea sobre un cilindro. El cilindro posee una abertura con emplazamiento variable a lo largo d e su eje de giro. Colocando un seguidor que se mueve en la ranura, se da un movimiento al seguidor a los largo del eje de rotación. c) Leva lineal. Este tipo de leva se moldea sobre un bloque de traslación. Con este tipo de levas se proporciona al seguidor un movimiento perpendicular al plano de traslación.
Fig ura 3: Tipos de leva según su forma , tomada de [3]
Los mecanismos leva-seguidor también pueden clasificarse según la forma básica del pasador en:
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a)
b)
c)
d)
Fig ura 4. Tipos de seguidores, tomada de [1]
a) Seguidor excéntrico de cuña con movimiento alternativo: Es la forma más simple, pero el extremo puntiagudo produce altos esfuerzos de contacto y se desgasta rápidamente. En consecuencia, este tipo de seguidor se utiliza raras veces. b) Seguidor de movimiento alternativo y de cara plana: Este tipo de seguidor se utiliza con un movimiento abrupto de la leva sin que se atas que. Entonces, este tipo de seguidor es útil cuando se requieren movimientos rápidos. No obstante, cualquier deflexión o desalineación del seguidor causa grandes esfuerzos superficiales. Asimismo, las fuerzas de fricción son mayores que las del seguidor de rodillo debido al intenso contacto de deslizamiento entre la leva y el seguidor. c) Seguidor oscilante de rodillo: Es el más comúnmente usado ya que a fricción y los esfuerzos de contacto son menores que los seguidores de cuña. Sin embargo, estos se pueden atascar durante un deslazamiento abrupto de la leva. d) Seguidor oscilante de zapata curva: Se utiliza con movimiento abrupto de la leva sin que esta se atasque. El radio de la cara compensa la deflexión o la desalineación, Las fuerzas de ficción son mayores que en el seguidor de rodillo. Otra manera dentro de la cual se puede clasificar los sistemas levas-seguidores es de acuerdo con el movimiento de salida característico, permitido entre el seguidor y el marco de referencia:
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a) Movimiento Alternativo (Traslación)
b) Movimiento Oscilante
Fig ura 5. Tipos de Levas según movimiento , tomada de [1]
Otra de las clasificaciones va de acuerdo al tipo de cierre de junta, ya sea cierre de fuerza, requiere que se aplique una fuerza externa a la junta para mantener los dos eslabones, leva y seguidor, en contacto físico; o cierre de forma, cierra la junta por geometría. También se hace mención de la clasificación por el tipo de restricciones del movimiento, sea posición crítica o movimiento de trayectoria crítica. La posición crítica extrema se refiere al caso en que las especificaciones de diseño definen las posiciones inicial y final del seguidor (es decir, posiciones extremas), pero no especifican ninguna restricción en el movimiento entre las posiciones extremas. Y Movimiento de trayectoria crítica es un problema más restringido que el de posición crítica extrema porque el movimiento y/o una o más de sus derivadas, se definen en todas o en una parte del intervalo de movimiento. Asimismo se menciona la clasificación por el tipo de programa de movimiento, subida-bajada (RF, por sus siglas en inglés), subida-bajada-detenimiento (RFD, por sus siglas en inglés), subida-detenimiento-bajada-detenimiento (RDFD, por sus siglas en inglés).
1.3. PRINCIPIOS DE DISEÑO GEOMÉTRICO DE LEVAS Diagrama de Desplazamientos: El movimiento del palpador o rodillo, al recorrer una trayectoria obligada, es prefijado por el tipo de perfil de la leva que se adopte, es decir, la ley del movimiento viene dada por el perfil de la leva. Al representar la ley de desplazamiento gráficamente en un sistema de coordenadas, colocando la variable independiente en el eje de las abscisas y la variable dependiente en el eje de las ordenadas, se obtiene el diagrama de desplazamiento.
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En el diagrama de desplazamientos, se representan el desplazamiento angular o lineal del palpador (eje de ordenadas) en función del desplazamiento angular o lineal de la leva (eje de abscisas).
Fig ura 6. Diagrama de desplazamiento , tomada de [1]
A partir del diagrama de desplazamientos, se determina el perfil de la leva: • Teórico. • Real (Considerando el radio del rodillo).
En un diagrama de desplazamientos se puede identificar una porción de la gráfica conocida corno subida, en donde el movimiento del seguidor es hacia afuera del centro de la leva. La subida máxima se llama elevación. Los periodos durante los cuales el seguidor se encuentra en reposo se conocen corno detenciones y el retorno es el periodo en el que el movimiento del seguidor es hacia el centro de la leva. En el diagrama de desplazamientos deben trazarse curvas de acuerdo entre los recorridos efectuados durante los períodos de subida, detención y retorno. Las curvas seguirán una trayectoria determinada según el movimiento de que se trate (dependiendo de la velocidad de giro de la leva): Movimiento Uniforme: El diagrama de desplazamiento para e ste movimiento es una recta con una pendiente constante. Por consiguiente, en el caso de una velocidad constante de entrada, la velocidad del seguidor también es constante. Movimiento Armónico Simple: La construcción gráfica utiliza un semicírculo que tiene un diámetro igual a la elevación L. El semicírculo y la abscisa se dividen en un número igual de partes, y luego la construcción sigue el camino que se indica mediante las rectas a trazos para el punto 2.
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Fig ura 7. Movimiento Armónico Simple , tomada de [1]
Movimiento Cicloidal: Se puede conseguir un movimiento cicloidal del palpador generando una trayectoria similar a la descrita por un fasor complejo rodante, de radio r = L/2π, donde L es la elevación requerida. Para construir la curva de desplazamiento, se divide la ordenada cero en el mismo número de partes iguales que la abscisa. Sea P el punto generador, coincidente con el punto O, en el inicio. Entonces, cuando el círculo generador ruede verticalmente hacia arriba, a la tangencia con la ordenada, por ejemplo en el punto 2, se traza una línea horizontal por el punto P, en la ordenada correspondiente al punto 2. Permite una velocidad de giro de la leva más que en los casos anteriores.
Fig ura 8: Movimiento Cicloidal , tomada de [1]
Diseño Gráfico de Perfiles de Leva: El diagrama de desplazamiento y su representación gráfica es la base para el diseño de levas por el método gráfico. Para diseñar gráficamente los perfiles de la leva, debe tenerse en cuenta los siguientes conceptos claves:
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Fig ura 9: Trazado del perfil de la leva , tomada de [1]
El punto de trazo es un punto teórico del seguidor; corresponde al punto de un seguidor de cuña ficticio. Se elige en el centro de un seguidor de rodillo o sobre la superficie de un seguidor de cara plana. La curva de paso es el lugar geométrico generado por el punto de trazo conforme el seguidor se mueve en relación con la leva. Para un seguidor de cuña, la curva de paso y la superficie de la leva son idénticas. El círculo primario es el más pequeño que se puede trazar con centro en el eje de rotación de la leva y tangente a la curva de paso. El circulo de base es el círculo más pequeño con c entro sobre el eje de rotación de la leva y tangente a la superficie de ésta. Al construir un perfil de leva se aplica el principio de inversión cinemática, imaginando que la leva es estacionaria y haciendo que el seguidor gire en sentido opuesto a la dirección de rotación de la leva. El círculo primario se divide en un cierto número de segmentos y se asignan números de estación a los límites de dichos segmentos. Dividiendo la abscisa del diagrama de desplazamientos en segmentos correspondientes, se pueden transferir entonces las distancias, por medio de divisores, del diagrama de desplazamientos directamente sobre el trazado de la leva, a fin de localizar las posiciones correspondientes al punto de trazo. Una curva suave que pase por estos puntos es la curva de paso. En el caso de un 9
seguidor de rodillo, simplemente se dibuja el rodillo en su posición apropiada en cada estación y luego se construye el perfil de la leva como una curva suave tangente a todas estas posiciones del rodillo.
Fig ura 10: Trazado de un perfil de leva , tomada de [1]
Dependiendo expresamente del tipo de leva que se desee utilizar. Para cada una de las clasificaciones de las levas se requiere un propio método de construcción para determinar gráficamente el perfil de la leva, a partir del diagrama de desplazamientos. Una vez que se dan unos cuantos parámetros (como por ejemplo, el radio del círculo primario) para determinar el tamaño de la leva, el resto de su forma resulta directamente de las necesidades de movimiento dadas por el diagrama de desplazamientos.
2. DISEÑO DE TRANSMISIONES DE ENGRANAJES SIMPLES Y COMPUESTOS, ENGRANAJES PLANETARIOS Cuando se habla de la transmisión de engranajes simples o compuestos se hace referencia a los denominados trenes de engranajes, aquellos tipos de mecanismos que en función del tipo de combinación utilizado (serie o paralelo) generan que un elemento impulsado de uno de los mecanismos es el impulsor de otro. Antes de entrar a profundizar en lo pedido, considere primero definir algunos conceptos fundamentales. Considere el concepto de Razón de velocidades angulares, el cual describe la cantidad que resulta cuando la velocidad angular de una elemento impulsado se divide entre la velocidad angular del elemento impulsor. Así entonces se tiene la siguiente expresión:
= Ecuación 1 10
Siendo la velocidad del ultimo engranaje (impulsado) del tren y la velocidad del primer engranaje (impulsor) del tren. De la anterior expresión note que n simboliza la velocidad angular, expresada regularmente en revoluciones por minuto o rad/s. Según la ecuación anterior, al despejar para , considere como ejemplo un piñón 1 que impulsa a un engrane 2. La velocidad del engrane impulsado está dado por: Recordando la relación fundamental:
=
= =
Ecuación 2
Donde N es el número de dientes del engranaje, d es el diámetro de paso y n sigue siendo la velocidad angular respectivamente. Resulta entonces que el siguiente análisis:
= → = = Cabe resaltar que es muy importante el sentido de giro de cada engranaje, ya que esto radica en el signo que debe utilizarse en la ecuación. Entonces, por convención, se adopta como positivo el sentido contrario a las manecillas del reloj, y viceversa se considera negativo. Note que todo lo anterior es posible solo si se consideran sistemas de trenes de engranes de ejes paralelos, es decir que no aplica para el tipo de engranajes cónicos, helicoidales cruzados o de gusano. Teniendo claro lo anterior se define un tren de engranes simple como el que solo tiene un engrane en cada eje. Y así, un tren de engran es compuesto es el que tiene dos o más engranes en uno o más ejes. Considere la siguiente figura que representa un tren de engranaje compuesto.
Fig ura 11: Tren de engranaje compuesto, tomada de [1].
Al aplicar el mismo razonamiento anterior en forma de cadena, es posible llegar a la siguiente respuesta:
= 11
Lo anterior quiere decir que el engrane 5 es un engrane loco, es decir, numéricamente su valor de numero de dientes se cancela y así solo tien e la función de cambiar la dirección de rotación del engrane 6. Además se observa que los engranes 2, 4 y 5 son impulsores, en tanto que los 3, 5 y 6 son elementos impulsados. Por último entonces considere que se puede expresar de manera general la siguiente expresión:
ú ó 3 = ú Todos los conceptos anteriores se resumen al diseño de transmisiones de engranajes simples o compuestos, donde los principales problemas se encuentran en el número de dientes de cada engranaje o también la velocidad angular deseada, considere a continuación un ejemplo típico, donde el objetivo es obtener una relación de velocidades determinada. Ejemplo 1. Se desea utilizar un par de engranes en un tren con el fin de obtener un valor del tren de 1/12. Se tiene la restricción de que el número de dientes no debe ser menor que 15 y que la reducción obtenida en el primer par de engranes debe ser aproximadamente el doble de la que se obtiene en el segundo par. A continuación el diagrama del sistema de engranajes compuesto:
Fig ura 12: Tren de engranaje del ejemplo 1, tomada de [1].
El problema presenta un tren de engranes invertido, el cual el primero y último engrane están sobre el mismo eje. Esta configuración da lugar a la un sistema compacto y se usa en aplicaciones tales como reductores de velocidad, relojes y herramientas para máquina, entre otros. Analizando la anterior figura se tiene entones que
= = Donde N2/N3 es la
relación de velocidades (valor de tren) del primer par y N4/N5 e s el del segundo par. El problema pide que el valor de tren del primer par deba ser la mitad del / correspondiente al segundo, por tanto:
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= , =
=
Entonces:
= → = → = √ ≈0.4082
Según el anterior valor se nota que es un valor cercano que puede representar las siguientes fracciones: 7 9 9 De todos, la mejor aproximación es 9, por
, , , ,
, lo cual afirma cual debe ser la relación de los números de = 9
tanto se tiene un
dientes entre 4 y 5 para llegar a la relación pedida. Note que obviamente por error de truncamiento, al reemplazar los valores de N2/N3 y N4/N5, no se genera el valor exacto pedido, pero realmente resulta complicado en la realidad encontrar una solución que vaya acorde con lo que afirma la expresión matemática, aquí se identifica el valor que tiene como ingeniero al momento de diseñar sistemas de engranajes. Continuando, otra clasificación importante de los engranajes es la parte de los engranajes planetarios (también conocidos como epicíclicos), puesto que produce un movimiento epicíclico (que significa sobre el círculo en griego) rodando en torno a la periferia del engrane central. En la figura 3a se muestra un tren de engranes epicíclico simple, junto con la designación simplificada correspondiente, en el que se puede ver la manera en la que se puede transmitir el movimiento del planetaria hacia otro engrane central. El segundo engrane central en este caso es el 5, un engrane interno. En cualquier caso, sea cual fuere el número de planetarios utilizados, solo se puede emplear un soporte o brazo. Este principio se ilustra en la figura 3b, en la que se usan planetarios redundantes.
Fig ura 13: Ejemplos de trenes planetarios, tomada de [1].
Considere la situación presente en la figura 4, se presenta un tren de engranes planetario que consta de un engrane sol 2, un brazo 3, y los engranes planetarios 4 13
y 5. Al aplicar la definición de velocidad angular relativa, es posible escribir que la velocidad del engrane 2 en relación con el brazo viene dado por: además:
=
=
Fig ura 14: Tren planetario, tomada de [1].
Al dividir las anteriores ecuaciones, resulta:
− = La anterior ecuación no = −
es más que una relación de velocidades angulares por esa razón que se le igualó a lo ya conocido “e”. Así, de manera general, se tiene:
= ó 4
Donde es la velocidad del último engrane del tren, engrane del tren y es la velocidad del brazo.
es la velocidad del primer
E jemplo 2. En la figura 5 se presenta un tren planetario invertido. E1 engrane 2 está
sujeto a su eje y es impulsado a 250 rpm en el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj (negativo). Los engranes 4 y 5 son planetarios que están unidos, pero tienen la Libertad de girar, sobre el eje llevado por el brazo. EI engrane 6 es estacionario. Encuéntrese la velocidad y la direcci6n de rotación del brazo.
Fig ura 15: Tren planetario para ejemplo 2, tomada de [1].
Para comenzar debe establecerse un orden, se escoge el engrane 2 como el primero y el 6 será el último. Se tiene que de donde
= = 250 = = 0
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16 = = (20)(16) = (30)(34) 51 − Al despejar para se Al reemplazar en la ecuación 4, se tiene que: = −− llega a: =114,287 rpm.
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REFERENCIAS [1] J. E. Shigley, J. J. Uicker. Teoría de máquinas y mecanismos, primera edición. Bajo el editorial Mc-Graw Hill. Capítulo 9, trenes de mecanismos. [2] R.L. Norton. Diseño de Maquinaria, cuarta edición. Bajo e l editorial Mc-Graw Hill. Capítulo 8, diseño de levas. [3] D.H.Myszka. Máquinas y mecanismos, cuarta edición. Bajo el editorial Pea rson. Capítulo 9, Levas: diseño y análisis cinemático. [4] Leva. Sitio Web < http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/operadores/ope_leva.htm>. [Citado el 28 de noviembre de 2016]. [5] C. Díaz., F. J. Guerra. Ámbito científico-tecnológico I. Bajo el editorial Editex. Capítulo 17, Mecanismos.
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