UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS
FACULTAD DE INGENIERÍA
4 SEMESTRE GRUPO “A”
ALEJO REYES GIANNI VALERIE
ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
ARCOS Y CABLES
M.E. PÉREZ CRUZ PEDRO
TUTLAGUTIÉRREZ! CHIAPAS. A "" DE NOVIEMBRE DE "#$%.
Índice Definición de arco………………………………………….……………..2 Antecedentes………………………………………………………………2 Clasificación de arcos…………………………..……………….……….5 Arco Falso…………………………………………..……………..………10 Uso de los arcos……………………………………….…………………11
Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos circulares………………………………………………………..15 Análisis de arcos……………………………………………………..…..16 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos ara!ólicos…………………………………………..………….21 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos el"ticos………………………………………………………...#0 Cur$a del e%e del arco……………………………..…………………….#6 &os Ca!les Definición…………………………………………………...#' &a (istoria De &os Ca!les………………………………………………#) Caracter"sticas de los ca!les………………………………………..…*0 Clasificación de los ca!les……………………………………………. ** Ca!le rectil"neo……………………………………………………………51 Ca!le ara!ólico………………………………………………………….5' Ca!le catenario……………………………………………………….…..6* +i!liograf"a ………………………………………………………………..'0
1
Índice Definición de arco………………………………………….……………..2 Antecedentes………………………………………………………………2 Clasificación de arcos…………………………..……………….……….5 Arco Falso…………………………………………..……………..………10 Uso de los arcos……………………………………….…………………11
Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos circulares………………………………………………………..15 Análisis de arcos……………………………………………………..…..16 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos ara!ólicos…………………………………………..………….21 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos el"ticos………………………………………………………...#0 Cur$a del e%e del arco……………………………..…………………….#6 &os Ca!les Definición…………………………………………………...#' &a (istoria De &os Ca!les………………………………………………#) Caracter"sticas de los ca!les………………………………………..…*0 Clasificación de los ca!les……………………………………………. ** Ca!le rectil"neo……………………………………………………………51 Ca!le ara!ólico………………………………………………………….5' Ca!le catenario……………………………………………………….…..6* +i!liograf"a ………………………………………………………………..'0
1
DEFINICIÓN DE ARCO Un arco es una estructura plana constituida por un elemento curvo de sección transversal despreciable frente a su longitud, y cuya curvatura es pequeña comparada con su sección transversal. Los dos puntos extremos pueden ser sustentados de distintas formas y las cargas exteriores son habitualmente verticales
ANTECEDENTES Históricamente, los arcos eran las únicas formas factibles que podan usarse para erigir grandes estructuras hechas de materiales con resistencia despreciable a la tensión, como son ladrillos y piedras. Los arcos de mampostera hechos con esos materiales se han usado durante miles de años. !l arco arco acar acarttelad eladoo se usó usó ext extensa ensame ment ntee en !gip !giptto anti antigu guoo como como uni unidad dad arquitectónica. "olo se ha encontrado un arco verdadero de origen antiguo, descubierto en una tumba de #ebas alrededor del año $%&& '.(. en ese pas. Los asirios y babilonios usaron tambi)n muy comúnmente el arco acartelado, estos últimos usando arcos puntiagudos de ladrillo en la construcción de sus alcantarillas. !stos existieron ya en $%&& '.(. y posiblemente muchos siglos antes. "e dice que exista una serie de arcos de ladrillo cru*ando el +ufrates en el año &&& '.(. !n general sin embargo, muy poca de estas estructuras antiguas eran arcos verdaderos. -arece ser que el arco verdadero se usó primeramente en un grado apreciable por los etruscos, pueblo de origen asitico que invadió la /talia del norte alrededor de $0&& '.(. '.(. gradua gradualme lmente nte,, en los siguie siguiente ntess $&& años, años, se desarr desarroll ollaro aronn cierta ciertass reglas reglas empricas según las cuales podan construirse arcos verdaderos de algunos tipos. Los ingenieros del /mperio 1omano desarrollaron el arco verdadero a un punto en el que, por % siglos 2desde alrededor de && '.(., qui* hasta && 3.(.4 se construyeron muchos puentes de arcos y acueductos, en todas partes del /mperio. Los e5emplos principales de este periodo son de bloques de piedra cortada, colocados sin mortero. La cada del /mperio 1omano en 6ccidente en 789 3.(. marcó el comien*o de la !dad :egra y la cesación de la mayor parte de la construcción de caminos y puentes 2
en la mayor parte de !uropa. !n $$89 3.(. la construcción del -uente de Londres original se comen*ó; y esta estructura antiest)tica que consista de una serie de arcos de claro pequeño, duró 9 ciclos. !n el siglo
Hermanos del -uente?4 se dedicaron a la reparación de los puentes existentes as como a la construcción de nuevos. !n el siglo
!l franc)s D. @. -onselet 2$8BBA$B984, fue aparentemente el primero en sugerir 2en un artculo publicado en $B%4 que un arco debe considerarse como una barra elstica se ha de aplicarse una teora bsica. Dacques Eresse 2$BA$BB04, franc)s tambi)n, publicó un libro en $B%7 que trataba de la deflexión de barras curvas y en este inclua los efectos tanto de deformaciones axiales como de flexión y demostraba la aplicación de su teora en el diseño de arcos. !n $BB9, (. (ulmann 2$B$A$BB$4 un alemn publicaba su famoso libro sobre esttica grfica, parte del cual est dedicado a la consideración de anlisis de arcos y muros de retención. (ulmann introdu5o el importante concepto del centro elstico que permite el anlisis de arcos no articulados sin usar ecuaciones simultneas. !. FinGler 2$B%%A$BBB4 un alemn, publicaba en $B98 un libro sobre resistencia de materiales sin bien :avier y Eresse haban considerado previamente la deflexión de barras curvas para la cual la relación de $ radio inicial de curvatura al espesor radial de la barra es grande, FinGler discuta el caso en que esta relación es pequeña. (uando esta relación es menor de $&, los errores incurridos al aplicar la teora ordinaria de deflexión generalmente se vuelven importantes. !sto naturalmente, no se encuentra en el diseño de puentes de arco pero se aplica el gancho, eslabones de cadenas y diseños similares. FinGler discuta los problemas de arcos doblemente articulados previamente considerados por Eresse y extenda la teora para incluir arcos no articulados. !n el libro de FinGler se incluan tablas para las diferentes condiciones de cargas para arcos circulares y parabólicos con sección transversal constante. 6tto ohr 2$B07A$I$B4 aportó dos contribuciones importantes a la teora elstica de los arcos. La primera apareció en un artculo publicado en $B8&, en el que ohr presentaba la idea del clculo de la lnea de influencia para la componente de reacción hori*ontal de un arco doblemente articulado como el diagrama de momento flexionante para una viga con5ugada cargada con el diagrama yJ El para el arco. 2!l t)rmino y es la distancia vertical del plano de las articulaciones al e5e del arco en cualquier sección4. ohr obtena este diagrama de momentos por m)todos grficos. "u segunda contribución, que apareció un artculo publicado en $BB$ fue una extensión del concepto del centro elstico 2punto neutro4 que inclua arcos articulados. -rincipalmente como resultado de los traba5os de FinGler y ohr, suplementados por pruebas cuidadosamente controladas y que fueron conducidas por la "ociedad de 4
/ngenieros y 'rquitectos austriacos, la teora elstica fue finalmente aceptada para el anlisis de arcos. (ontribuciones ms recientes a la teora y m)todo del anlisis de arcos son las de '. "trassner en $I8, D. elan y #. Kesteschi en $I0$, y !. orch en $I0%. 'l correr de los siglos con forme me5oraban los m)todos de anlisis y diseño as como materiales y m)todos de construcción, los claros de los nuevos puentes de arcos han ido constantemente en aumento. !l puente de arco carretero ms largo que existe al momento de escribir lo presente, es el puente de ill @an ull, que conecta !staten /sln con Eayonne, :eM Dersey, y tiene un claro de %&7 m !l ferroviario de acero ms grande, con un claro tambi)n de %&0 est sobre la baha "dney, 'ustralia. 'mbos puentes tienen largueros de arrostramiento con dos articulaciones. !l arco de concreto refor*ado ms largo se encuentra en "uecia, y es el "ando 'rch, con un claro de 9& m C el mayor arco =ierroviario existente se encuentra en !sla, !n !spaña con un claro de $I7 m para claros ms cortos es posible anali*ar el arco como una estructura elstica, despreciando los efectos de cambio de forma del e5e del arco que resultan de las deformaciones elsticas; en otras palabras, la deflexión del arco se desprecia. -ara claros cortos los errores resultantes no son significativos. (uando el claro del arco es largo, sin embargo, el ignorar la deflexión elstica, generalmente resulta en sobreesfuer*os significativos y qui*s serios 2!n $I0% fue publicada una teora para la deflexión de arcos por '. =reudenthal. "e puede obtener información adicional en la forma de artculos, en las transacciones de la 'merican "ociety 6f (ivil !nginneers4.
Clasificación de arcos Los arcos pueden clasificarse sobre la base de los materiales de los cuales se construyen. Los ms comunes son acero, completo refor*ado y madera. 3esde el punto de vista de comportamiento estructural, los arcos se clasifican tambi)n como no articulados 2algunas veces designados como fi5os4; doblemente articulados o triplemente articulados. 2!l arco triplemente articulado es determinado y no se considerar en esta discusión4.los arcos se clasifican conveniente y necesariamente en cuanto a la forma y posición estructural de la nervadura.
5
De acuerdo a su geometría
La geometría que guarda el eje de una estructura curva puede ser muy variada, y en ocasiones resulta ser compuesta; pero los arcos más usados son los circulares, parabólicos y elípticos. En los arcos circulares es conveniente elegir un marco de referencia que tenga su origen en el centro del círculo y calcular con las ecuaciones paramétricas la geometría del arco, figura .!.!.!.
= r cos θ y = rsen θ
x
Figura #.1.1.1 Arco circular "uando se presenta un arco parabólico, la mejor ubicación del origen es el vértice de la parábola, uno de los ejes cartesianos debe coincidir con el eje de la parábola y se reali#an los cálculos recordando que la ecuación de la parábola es la que se muestra en la figura .!.!..
Y = −
4h
b
2 x 2
Figura #.1.1.# Arco ara!ólico 6
E$isten otros tipos de arcos menos usados como por ejemplo, el arco carpanel que consiste en tres tra#os circulares, como se ve en la figura .!.!.%.
Figura #.1.1.* Arco caranel
En los arcos elípticos también es conveniente ubicar el origen del sistema de referencia en el centro de la elipse y recurrir a las ecuaciones paramétricas, figura .!.!.&.
x = a cosθ y = bsenθ
Figura #.1.1.2 Arco el"tico El arco catalán se utili#a en #onas bajo escaleras; se logra con dos tra#os circulares como se observa en la figura .!.!.'.
Figura #.1.1.5 Arco catalán 7
(tros tipos de arcos son el equilátero, escar#ano, conopial y )erradura, figura .!.!.*.
a+ rco equilátero
c+ rco conopial
b+ rco escar#ano
d+ rco de )erradura o árabe
Figura #.1.1.6 ,tros tios de arcos manera de resumen se presenta en la figura .!.!.-, los diferentes tipos de arcos que e$isten de acuerdo a su geometría.
8
Clasificación de acuerdo al número de ao!os or sus apoyos los arcos pueden ser/
-imles.0 Es simple aquella estructura curva que posee un apoyo libre y el otro articulado, figura .!.!.1.
Figura #.1.1.) Arco ara!ólico simle
riart"culado .0 Este tipo de arco tiene ambos apoyos articulados y ello obliga por isostaticidad, a poseer una tercera articulación dentro de su eje, figura .!.!.2.
9
Figura #.1.1./ Arco el"tico triarticulado
"uando )ay una estructura curva empotrada en un e$tremo y libre en el otro se tiene un arco en cantilivier, figura .!.!.!3.a. 4esde luego también es posible aunque menos frecuente, que se tengan estructuras curvas isostáticas de otro tipo; prueba de ello es el arco que aparece en la figura .!.!.!3.b compuesto por un arco circular y parabólico, un apoyo empotrado y otro articulado, a la ve# posee dos articulaciones intermedias de tal manera que se cumpla la isostaticidad en la estructura.
a+ rco en cantilivier
b+ rco circular de 5 y parabólico en 54
Figura #.1.1.10 ,tros tios de arcos
Arco Falso 10
Un =also arco o tambi)n llamado a veces arco en m)nsula, arco acartelado o arco maya, es una construcción con forma de arco obtenida a base de colocar a ambos lados de un vano bloques de piedra escalonados de manera uniforme, hasta que se encuentran en un punto medio. La extrusión de un falso arco produce una falsa bóveda.
' diferencia de un NverdaderoN arco, un falso arco no funciona puramente a compresión, que es el tipo de esfuer*o ms adecuado para piedras y ladrillos, por lo que, a pesar de suponer un avance frente al sistema adintelado, su eficiencia es limitada.
Uso de los arcos Las estructuras de arcos soportan cargas principalmente de modo a$ial, una estructura de arco tenderá a tener momentos internos más peque6os que los encontrados en vigas y marcos. El uso del arco denota la b7squeda de una estética que se aleje de la mediocridad general en el dise6o que rige este tipo de estructuras.
Los arcos pueden usarse para cubrir superficies, ya sea colocándolos paralelos, resultando en una superficie en forma de cilindro, o radialmente, dando una superficie de domo. El acero )a permitido la construcción de arcos de grandes luces y muy livianos usando secciones tubulares, para aligerar el consumo de material y aumentar su eficiencia a compresión, con el control de la tendencia al pandeo.
Las formas de arco más comunes en puentes son el semicircular o de medio punto, el de más fácil construcción y menos empuje; y el rebajado, que permite mayor espacio bajo el puente.
Los arcos biempotrados se construyen generalmente en concreto refor#ados y en ca6ones profundos, donde los apoyos pueden soportarse en roca resistente. Los biarticulados son los más comunes, en estos; la reacción )ori#ontal algunas veces se da
11
por el terreno y en otras mediante un elemento interno a tensión, son los denominados arcos atirantados.
Los arcos triarticulados son estructuras isostáticas compuestas que ligadas al sistema tierra por dos articulaciones utili#an una tercera para unir los elementos que la constituyen, se usan com7nmente para solucionar aquellos problemas mecánicos o estructurales que no permiten el empleo de marcos rígidos, en el caso de estructuras de puentes para los cuales se esperan )undimientos diferenciales y en general para todos aquellos problemas que requieren estructuras que tengan posibilidad de aceptar deformaciones de rango peque6o.
ara su construcción, análisis y dise6o, son necesarios las siguientes condiciones/
•
8o deben constituir un mecanismo, es decir no debe e$istir afinidad de velocidad para un punto com7n a los dos elementos del sistema.
GH = 0 •
4ebe ser una estructura isostática, es decir
En la figura .!.&.! se muestran ejemplos de este tipo de arcos/
12
a+ rco triarticulado de madera laminada
b+ uente triarticulado de 9alginatobel, 9ui#a
Figura #.1.2.1 Arcos triarticulados
"omo los arcos son usados ampliamente en la construcción de puentes, seg7n la colocación del tablero del mismo también se clasifican en/
Arco con tablero superior / 9on aquellos en los cuales las cargas se transmiten al arco mediante elementos a compresión, denominados montantes o paráles, figura .!.&.&.a.
Arco con tablero inferior: 9on aquellos en los cuales las cargas son transmitidas al arco mediante elementos a tensión denominados tirantes o tensores, figura .!.&.b.
Los arcos con tablero intermedio: son menos comunes y se presentan en varios arcos en serie en los cuales el tablero se sostiene mediante elementos a compresión cerca de los apoyos y con tensores en la lu# central.
13
a+
rco biarticulado con tablero superior
b+ rco biarticulado con tablero inferior
Figura #.1.2.2 Arcos con ta!lero suerior e inferior
unque los esfuer#os internos preponderantes en los arcos son de compresión, también se presentan momentos flectores por causa de cargas concentradas, generalmente e$céntricas.
La eficiencia del arco para soportar cargas con respecto a las vigas se presenta por la acción de la reacción )ori#ontal en los apoyos, que disminuye los momentos flectores de viga que se presentan en la estructura. Es necesario no confundir los arcos con las vigas curvas, ya que estas tienen reacciones verticales solamente; estáticamente )ablando son arcos aquellas pie#as estructurales que en sus apoyos se producen empujes )ori#ontales cualquiera que sea la carga aplicada. En la figura .!.& se presenta las partes que conforman un arco, el arco origina dos cubiertas características/ la bóveda y la c7pula.
14
•
•
Bóveda: "onstituida por el movimiento de traslación del arco, generalmente recto.
Cúpula: :ovimiento rotatorio del arco, en ella se presentan dos problemas técnicos; asentamiento en tramos cuadrados y empujes oblicuos.
Figura #.1.2 artes ue conforman un arco
Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos circulares
ara el caso de los marcos se definían los intervalos donde tenía vigencia una determinada función, y en tales casos se mantenía la dirección del cortante y de la normal por ser estructuras de eje recto.
BC En el tramo
Q
P del marco de la figura .&.! se observa que los puntos
y
tiene la
BC dirección como la línea de acción de la fuer#a normal, y en dirección perpendicular act7a la fuer#a cortante.
15
Figura #.2.1 arco !iarticulado R En cambio en el arco de la figura .&.&, el punto
tiene una dirección para el cortante
S distinto a la del punto y lo mismo sucede con las direcciones de acción de la fuer#a normal. Esto es propio de la configuración curva de los arcos y por ello se debe definir una función que represente la dirección de la fuer#a normal y de la fuer#a cortante.
Figura #.2.2 Arco simle Análisis de arcos
En primer lugar se fija el sistema de referencia con el origen en el centro de la circunferencia, figura .&., enseguida se fija un punto cualquiera dentro del arco, cuyo θ
radio vector forma un ángulo
con el eje.
16
Figura #.2.# -istema de referencia
En el punto se tra#an dos vectores unitarios/
x = r cosθ
ev y = rsenθ •
ector unitario en la dirección del cortante,
e N •
ector unitario en la dirección de la normal,
Los sentidos de los vectores se )an tomado en el supuesto de entrar por la i#quierda en ___ _
ev dic)a estructura, como
ev
OP lleva la dirección del radio vector
, sus coordenadas son/
= [ cos θ , senθ ]
"omo el vector es unitario se verifica que/
ev
=
cos 2 θ + sen 2θ
=1
17
4e igual forma se tiene que/
e N
e N
= [ − senθ , cos θ ]
= ( − senθ ) 2 + ( cosθ ) 2 = 1
or otro lado, el producto interno de dos vectores permite calcular las proyecciones de uno sobre el otro así/
Pr oy a b
=
a .b a
El vector resultante de todas las fuer#as activas y reactivas a la i#quierda de la sección figura .&.%, es/
R
= − A x , A y − W ( r + x )
Figura #.2.* Análisis de arcos
18
ev )ora bien si se conoce un vector unitario en la dirección del cortante
y se conoce un
R vector resultante
=
Pr oyeV R
ev . R ev
, la proyección del vector será/
= ev . R
ero, por definición, la proyección de todas las fuer#as aplicadas a la i#quierda de la
ev
R sección
sobre la dirección de
V = ev
es la fuer#a cortante, por tanto/
R
.
4e igual forma la fuer#a normal es/
N = eN
R
. Ejemplo numérico
Encontrar los diagramas de los elementos mecánicos del arco circular mostrado en la figura .&.'.
19
Figura #.2.5 Arco circular simle •
Isostaticidad de la estructura
GH = NCR − NEC − NED GH = 0
=3 GL = 3n − NCR NEC = 0 GL = 3( 2 ) − 3 NED = 3 3=3 GL = 3 NCR
De donde la estructura es estáticamente determinada
•
Cálculo de las reacciones
∑ F = 0 x
− B x +
2*3
2 B x = 3 Ton
=0
∑ F = 0 y
A y
+ B y = 0 ........... ecac!"n 3.2.1
20
+ ∑ # B = 0 h 2 * 3 − 3 A y + = 0 3 2 A y
=
h 3
= 1 Ton
9ustituyendo la e$presión anterior en la ecuación .&.!/
B y
= − A y = −1 Ton ( ↓) B y
8ótese que el sentido propuesto para
, no fue el correcto figura .&.*/
Figura #.2.6 Diagrama de cuero li!re
21
$ ara el cálculo de los elementos mecánicos, se considera una carga
•
y
con respecto a la distancia tiene, figura .&.-/
Q h
=
que varia
; de acuerdo al teorema de triángulos semejantes se
$ y
∴$ =
Qy h
=
2 3
y
Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos ara!ólicos
El )ec)o de )aberse utili#ado el arco con tanta frecuencia se debe a que esta estructura trabaja a compresión y el elemento constructivo fundamental que resiste perfectamente este tipo de fuer#a es la piedra, el cual es uno de los materiales más empleados por el )ombre y prueba de ello son las grandes construcciones de la antig=edad.
Las reacciones )ori#ontales en un arco parabólico son menores a las producidas en un arco circular o elíptico, y el análisis para este tipo de arcos es similar al antes descrito, véase el siguiente ejemplo.
22
Ejemplo numérico
"onsidérese el arco en forma parabólica mostrado en la figura ..! sujeto a cargas puntuales, como el arco es simétrico basta calcular una sección de él/
•
"alculo de las reacciones
+ → ∑ F x = 0 − A x = 0
+ ↑ ∑ F y = 0 − 15 − 10 − 10 − 10 − 15 + A y + B y = 0 A y + B y = 60 Ton ........................................ ecac!"n 3.3.1
Figura #.#.1 Arco
ara!ólico
23
+ ∑ # A = 0 − 36 A y + 15( 30 ) + 10( 24) + 10(18) + 10(12 ) + 15( 6 ) = 0 ∴ A y = 30 Ton ⇒ B y = 30 Ton
•
9e toma el origen coordenado en el vértice de la parábola figura ..& y en cuyo caso la ecuación de la curva es/
y = −
4 (60)
y = −
5
36
27
2
x 2
x 2
y
=−
4h b
2
x 2 ,
sustituyendo valores/
Figura #.#.# -istema de referencia La estructura presenta los siguientes intervalos, a saber/
− 18 ≤ x ≤ −12
− 12 ≤ x ≤ −6 ,
0≤ x≤6
y
6 ≤ x ≤ 12 ,
−6≤ x ≤ 0
12 ≤ x ≤ 18 y
24
Los elementos mecánicos entrando por la i#quierda y comen#ando por el momento fle$ionante es como sigue/
•
# − A y ( x + 18)
=0
∴ # = 30( x + 18) # = 30 x + 540
Tramo
− 12 ≤ x ≤ −6
, figura ..%/
# − A y ( x + 18) + 15( x + 12)
=0
∴ # = 30( x + 18) − 15( x + 12) # = 360 + 15 x
−6≤ x ≤ 0 Figura #.#.* ramo
−6 ≤ x ≤ 0 Tramo
, figura ..'
# − A y ( x + 18) + 15(12 + x )
+ 10( 6 + x) = 0 ∴ # = 30( x + 18) − 15(12 + x) − 10( 6 + x) # = 300 + 5 x
25
ara calcular la fuer#a cortante se necesitan el vector unitario en dirección cortante figura ..* y la resultante a la i#quierda de la sección, estos son/
•
Tramo
− 18 ≤ x ≤ −12
, figura ../
= [ − senθ , cosθ ] R = [ 0, A y ] eV
y
=−
5 27
x 2
4e la ecuación de la parábola/
T& θ =
%y %x
La
, es decir/
T& θ = −
10 27
x
Figura #.#.6 3ectores unitarios > seg7n la figura ..- se tiene que/
ev
=
10 x 100 x 2
+ 729
Efectuando
el
V = R .eV
810
=
100 x 2
,
100 x 2 + 729 27
producto
interno
+ 729
26
El cálculo para obtener la fuer#a normal es el siguiente/
•
eV El vector unitario
equivale/
= [ − cosθ ,− senθ ] 27 e N = − , 2 100 x + 729 e N
100 x 2 + 729 10 x
> la resultante es igual a/
R
=
0, A y
Entonces/
N = R .eV , sustituyendo valores/
N =
300 x 100 x 2
+ 729
= [ − senθ 'cos θ ] R = [ 0 '15] eV
ev
=
10 x 100 x 2
+ 729
,
100 x 2 + 729 27
27
Efectuando el producto interno/
V = R .eV
=
405 100 x 2
+ 729
El cálculo para obtener la fuer#a normal es el siguiente/
•
N = R .eV "omo/
= [ − cosθ ,− senθ ] 27 e N = − , 2 100 x + 729 e N
100 x 2 + 729 10 x
Entonces/
N =
150 x 100 x 2
+ 729
= [ − senθ , cos θ ] R = [ 0,5] eV
28
ev
=
10 x
+ 729
100 x 2
,
100 x 2 + 729 27
Efectuando el producto interno/
V = R .eV
•
=
135 100 x 2
+ 729
El cálculo para obtener la fuer#a normal es el siguiente/
N = R .eV "omo/
= [ − cosθ ,− senθ ] 27 e N = − , 2 100 x 729 + e N
100 x 2 + 729 10 x
Entonces/
N =
50 x 100 x 2
+ 729
or simetría en la estructura, los tramos restantes es similar al estudiado solo se invierten los signos/
29
V =
−
N =
−
135 100 x 2
+ 729
50 x 100 x 2
+ 729
V =
−
N =
−
405 100 x 2
+ 729
150 x 100 x 2
+ 729
V =
N =
−
−
810 100 x 2
+ 729
300 x 100 x 2
+ 729
?abulando las ecuaciones para los diferentes intervalos se tiene/
En la figura ..1 se muestran las gráficas de los elementos mecánicos.
30
a+ :omento fle$ionante
b+ @ráfica de la normal
31
c+ @ráfica del cortante
Figura #.#.) 4ráfica de los elementos mecánicos
* Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos el"ticos
9e sabe que un arco triarticulado al momento de sustentar cargas verticales no solo presenta reacciones verticales, sino también reacciones )ori#ontales; estas reacciones evitan el fenómeno de AcoceoB, es decir, la tendencia que un arco presenta de abrirse )acia los lados. ara evitar este fenómeno muc)as veces se recurre a colocar un tensor en sus apoyos figura .%.!, esto impide que el arco se abra.
Figura #.*.1 Fenómeno de coceo 32
"omo ya se dijo, para el caso de un arco parabólico las reacciones )ori#ontales pueden llegar a ser relativamente peque6as, pero en los arcos elípticos pueden ser más importantes, esto puede corroborarse en el siguiente ejemplo.
Ejemplo numérico
"onsidérese a continuación un arco elíptico con sus dos apoyos articulados cuyo claro es mayor que el peralte soportando una carga puntual en la cumbrera, en el cual presenta una articulación más para cumplir con la isostaticidad de la estructura, figura .%.&.
Figura #.*.2 Arco el"tico triarticulado
"omo siempre la meta será dibujar los diagramas de los elementos mecánicos, como primer lugar/
"alculo de las reacciones.
•
Ceali#ando suma de momentos de todo el arco.
33
+ ∑ # A = 0 30C y − 15(5) = 0 C y = 2.5 Ton
Ceali#ando suma de momentos del tramo 5"/
+ ∑ # B = 0 15C y − C ( (10) = 0 C x = 3.75 Ton
•
Ceali#ando suma de fuer#as en y/
+ ↑ ∑ F y = 0 A y + C y = 5 Ton ∴ A y = 2.5 Ton
•
Ceali#ando suma de fuer#as en $/
+ → ∑ F x = 0 A x − C x = 0 ∴ A x = C x = 3.75 Ton
34
Figura #.*.# Cálculo de las reacciones
ara el cálculo de los elementos mecánicos se definen los intervalos/
180º ≥ θ ≥ 90º
0 ≤ y ≤ 10
− 15 ≤ x ≤ 0 ,
;
90º ≥ θ ≥ 0 0 ≤ x ≤ 15 10 ≥ y ≥ 0 ; ;
180º ≥ θ ≥ 90º ara el primer intervalo/
•
0 ≤ y ≤ 10
− 15 ≤ x ≤ 0 ,
;
x = 15 cos θ y = 10 senθ x 2 225
+
y 2 100
=1
9e sabe que/
35
Figura #.*.* ramo 180º ≥ θ ≥ 90º
El momento fle$ionante será/
# = 2.5(15 + x ) − 3.75 y # = 2.5(15 + 15 cosθ ) − 3.75(10 senθ ) # = 37.5 + 37.5 cosθ − 37.5 senθ
ara el cálculo de la fuer#a cortante y la fuer#a normal se obtiene los vectores unitarios correspondientes/
= [ cosθ ' senθ ] e N = [ − sen θ 'cosθ ] eV
> la resultante de todas las fuer#as de la parte i#quierda de la sección considerada será/
R
= [ 3.75,2.5]
36
4el
producto puntual de los vectores se obtiene las ecuaciones/
V = R .eV
= 3.75 cosθ + 2.5 senθ N = R .e N = −3.75 senθ + 2.5 cosθ
•
ara el segundo intervalo/
90º ≥ θ ≥ 0 0 ≤ x ≤ 15 10 ≥ y ≥ 0 ; ;
4e acuerdo con la figura .%.' el momento fle$ionante será/
# = 2.5(15 + x ) − 3.75 y − 5 x # = 2.5(15 + 15 cos θ ) − 3.75(10 senθ ) − 5(15 cosθ ) # = 37.5 + 37.5 cosθ
− 37.5 senθ − 75 cosθ # = 37.5 − 37.5 cosθ − 37.5 senθ
90º ≥ θ ≥ 0
Figura #.*.5 ramo
37
Los vectores unitarios son/
= [ cosθ , senθ ] e N = [ − senθ , cosθ ] eV
La resultante a la i#quierda de la sección será/
= [ 3.75,2.5 − 5] R = [ 3.75,−2.5] R
> las fuer#as cortante y normal son/
V = 3.75 cos θ − 2.5 senθ N = −3.75 senθ
−
2.5 cos θ
θ
9e calcula para diferentes valores de
, empleando las ecuaciones anteriores se tiene/
38
La gráfica de los elementos mecánicos se muestra en la figura .%.*.
a+ :omento fle$ionante
b+ @ráfica de La normal
39
c+ @ráfica del cortante
Figura #.*.6 4ráfica de los elementos mecánicos
Cur"a del e#e del arco !s venta5oso estructuralmente debido a que los momentos internos que resultan de las cargas aplicadas son mucho ms pequeños que los que resultaran si se aplicaran las mismas cargas a una armadura o viga del mismo claro. !sto desde luego, se debe a los momentos negativos que resultan de las fuer*as hori*ontales de los extremos. La fig. $0Aa muestra una viga simple y el diagrama de momentos resultantes de una carga simple concentrada. La fig. $0Ab, muestra un arco con el mismo claro, su5eto a la misma carga y el diagrama de momentos resultante. !s obvio que el momento positivo mximo se reduce grandemente por la acción del arco. 'l mismo tiempo naturalmente, existirn esfuer*os axiales importantes en la nervadura del arco. Los momentos de la nervadura deben ser tan pequeños como sean pequeños como sea posible. !n consecuencia, el e5e central de la nervadura, ya sea sólida o arriostrada debe aproximarse lo ms posible al polgono funicular para carga muerta ms, qui*s alguna o porción de la carga viva. !l polgono funicular se aproxima bastante a un segmento de crculo una curva circular de centros múltiples o una parbola. La economa de un arco cualquiera en particular naturalmente, est su5eta a la influencia en la relación elevaciónJclaro. !n muchos casos esta relación determinada por las condiciones del lugar si la estructura corresponde a un puente; o por claros verticales, si se trata de un hangar, edificio industrial o similar. (uando las condiciones permiten usar la relación elevaciónJclaro ms económica, es probable que esta relación se encuentre &.% a &.0&, aunque algunas consideraciones especiales pueden hacer estos lmites impracticables.
$OS CA%$ES 40
DEFINICIÓN Los cables son talve* el medio ms simple para soportar cargas. !llos se usan para soportar puentes y sistemas de techo, como tirantes en grúas torres de radio de acero y otras estructuras similares, as como en muchas otras aplicaciones. -ara el estudiante, podra ser que el uso ms común fuera los sistemas telef)ricos en cientos de pistas aqu alrededor del mundo. Los cables de acero se fabrican a ba5o costo a partir de alambres de acero de alta resistencia, ofreciendo as,probablemente, la ra*ón ms ba5a de costo a resistencia de cualquier miembro estructural común. -osteriormente, )stos se pueden manipular y montar fcilmente aun en claros muy largos. LA HISTORIA ! LOS "A#L!S. S$ %$sco&oc$ '( )$c*( $& +$ -or -r/$r( $ $' *o/r$ ' & c('$, -$ro %$' *$c*o %$ *($rs$ $&co&r(%o & $$/-'(r %$ c('$ /$'co $& '(s r&(s %$ Po/-$( s$ %$s-r$&%$ +$ $' (r$ %$ r$&(r ('(/r$ -(r( )or/(r cor%o&$s (rro''(r $sos )or/(&%o c('$s, $r( ( co&oc%o *(c$ /s %$ 1.800 (os. S$:& (-&( '( &ro%cc& %$ $s( or( %$ P;'"(& < !%co&$s %$ '( ;&$rs%(% %$ "(&(r(, $&r$ -r&c-os %$' s'o =I= '( (c('%(%, '( &$s(c&, )(rc(c& '(c& %$ 'os c('$s /$'cos *( s%o co&s(&$ -$r/(&$&$, *(s( ''$(r ( o$&$r '( %o&$%(% -(r( c('+$r( %$ '(s (c%(%$s &%sr('$s, or(s -:'c(s %$ co&srcc& %o&%$ $' c('$ $s co&s%$r(%o co/o & $'$/$&o )&%(/$&('. Or(s )$&$s s$('(& +$ $' -r/$r c('$ /$'co %$ '( *sor( )$ %s$(%o $& 1834 -or >'*$'/ A'$r, &$&$ro %$ /&(s -ro-$(ro %$ &( /&( %$ c(r& $& A'$/(&(. A'$r &$& $' -roc$so %$ r$)'(r r$orc$r ('(/r$s %$ *$rro %$ $s$ /o%o co&sr $' -r/$r (&$c$sor %$' c('$ %$ (c$ro, +$ -(s ( r$$/-'((r co& $&((s '(s c(%$&(s +$ $&o&c$s s$ '((& $& '( &%sr( /&$r(. Los c('$s %$ (c$ro $o'co&(ro& /c*o %$s%$ (+$''os co/$&os, -$ro s co&c$-c& sc( s$ s$&%o '( /s/(? & co&&o %$ ('(/r$s r$&%os *$'co%('/$&$ )or/(&%o &( c$r%( /$'c( (-( -(r( r$ssr $s)$ros %$ r(cc& co& (%$c(%(s co&%co&$s %$ )'$@'%(%.
41
Pr$(/$&$, $& A'$/(&(, s$ *((& %$s(rro''(%o c('$s +$ s$ '(ro& $& /&$r( +$ co&ss(& $& r$s s$cco&$s %$ ('(/r$ %$' /s/o (/(o, %$ *$rro )or(%o, +$ s$ $&r$'(((& $&r$ $''os ( /(&o, -(r( *(c$r & )'(/$&o. $s-Bs, r$s o c(ro )'(/$&os /s, s$ $&r$'(((& $&r$ s, -(r( )or/(r $' c('$ %$ (c$ro, / r%/$&(ro. !sos c('$s *$c*os ( /(&o, )$ro& co&oc%os co/o C"('$s A'$rD, %$%o (' o)c(' /&$ro $& '(s /o&((s %$ '(s /&(s %$ -'(( %$ H(r, +$ -ro/oco&(( s so. !sos c('$s &o $r(& / )'$@'$s, -$ro r$s'(ro& s-$ror$s ( '(s c(%$&(s +$ $&%(& ( ro/-$rs$ s& (%$r$&c(. $s()or&(%(/$&$, $' $%oso -roc$so %$ )(rc(r'(s, /-% $' so $& or(s r$(s, ( +$ &&&( $&( & cor(& +$ so-or(r( 'os )'(/$&os $@$ror$s. S$ ((&%o& s so $& 1850. E$&r(s (&o, $& Lo&%r$s, A&%r$F S/*, $@-$r/$&(( (r(s )or/(s %$ (&c'(r 'os (rcos (' /$''$ '(&%o c('$s %$ (c$ro. As, (' (rrs$ $' &$oco %$' )$rroc(rr' #'(cGF('', ' '( Bc&c( %$ '(s c$r%(s %$ c(/o $& $s$ &$oco. A' /s/o $/-o, oro &'Bs, Ro$r $F('', &o '( co&$&$&c( %$ '(r /(+&(r( $& '(r %$' orc%o ( /(&o, +$ )$ -ro(%o co& B@o $& $' &$oco %$' )$rroc(rr', 'o +$ 'os ''$ ( &( %s-( %$ -($&$s $& 1845, /s/o +$ (' )&(' co&%o ( '( )s& %$ (/(s co/-((s, co/o S/* (&% $F('' co&&:(& *(s( '( )$c*(. S/*, -ro&o %$ I&'($rr( co& '( )$r$ %$' oro $& "(')or&(. !' $s'o %$' c('$ %$ $F('', +$ $r( )(rc(%o %$ s$s )'(/$&os, c(%( &o co& s r$s-$c( )r( $& $' &:c'$o o%os r$orc%os *$'co%('/$&$ sor$ & &:c'$o c$&r(', -ro&o %o/& $' /$rc(%o I&'Bs. S& $/(ro, '( /(or co&rc& &'$s( ( '( &%sr(, )$ '( %$( %$ *(c$r 'os )'(/$&os $& &( /+&( co&oc%( co/o r$)'(%or(. !& P$&s'(&(, & ss$/( %$ r(&s-or(c& ( c(/-o r($s(, co&oc%o co/o A''$*$& Por($ RR, (c$-(ro& -ro(r & c('$ %$ (c$ro *$c*o ( /(&o $& 1842, co/o sso ( 'os c('$s %$ c(/o, +$ $&%(& ( -%rrs$ $& -oco /$&os %$ & (o. L( -r$( )$ s(s)(cor( '( co/-(( c(/ ( c('$s %$ ('(/r$. !so (r(o '( ($&c& %$ '( co/-(( Eorrs Tr(&s-or(o& Ss$/ $& $F $rs$ ( /c*(s /(s co/-((s %$ r(&s-or$ %$ c(r&, &c'$&%o ( $'(F(r$ J H%so& "o. $& $F KorG L$** "o. !& P$&s'(&(. !sos c('$s %$ (c$ro, )$ro& &o/r(%os -or $' o-r()o o*& Ro$'&. $ (&+$ B' r$orc( 'os c('$s ( /(&o, co/o A'$r, (%o- '( co&srcc& %$' c('$ $& s$s )'(/$&os /(s $' &:c'$o, co/o S/* $F(''M s& $/(ro, $s(( co&sr%( o('/$&$ %$ ('(/r$, '(&%o & &:c'$o o ('/(, +$ $r( %B&co ( 'os s$s )'(/$&os $@$ror$s, c(%( &o co/-$so %$ 19 ('(/r$s. Ro$'& 'or $' -r/$r ((&c$ $& '( $or( %$ 'os c('$s %$ ('(/r$, (' %(r$s c$&( +$ 'os %$)$cos %$ 'os c('$s %$ s$s )'(/$&os, -o%(& corr$rs$ (' co/&(r ('(/r$s %$ %)$r$&$ %/$ro $& 'os )'(/$&os, -or 'o +$ %s$ '( co&srcc& >(rr&o&, $& r$s
42
(/(os. !/-$(&%o co& & )'(/$&o %$ s$$ ('(/r$s %$ & /s/o (/(o, (' +$ '$ ((% &( c(-( $@$ror %$ 12 ('(/r$s %$ %os (/(os ('$r&(%os. $s-Bs %$ &/$ros(s -r$(s, $&co&r +$ %((& & '$ro /$or s$rco $& ('&(s (-'c(co&$s. A&+$ $' o$o or&(' %$ '( &$&c& $r( cr$(r &( /$or r$%o&%$, 'os &$os )'(/$&os (rro((& $& $)$co co'($r(' %$ /(or s&)c(%o. Por+$ *(( /$&os $s-(co $& 'os *$cos %$&ro %$' /s/o )'(/$&o, $' /(or )(cor %$ ''$&(%o -$r/( ( 'os )'(/$&os *(c$r'os co/o s$ '$s co&oc$, (o $' -r&c-o %$ -o&$r (', %o&%$ c(%( ('(/r$ $& '( c$r( $@$ror $s (c(%o -or %os ('(/r$s $& &( c(-( &$ror, cr$(&%o /$or so-or$ s& $' $)$co %$ cr(/$&os &$ror$s. !s$ -r&c-o %$ -o&$r (', &o )$ oo *(s( '( &ro%cc& %$ '(s /o%$r&(s r$)'(%or(s %$ ('( $'oc%(% ('r$%$%or %$ 1850.
Caracter"sticas de los ca!les
!l cable es la estructura tpica cuya forma es la ms eficiente que se ha construido para soportar fuer*as de tensión, es muy flexible y cambia de forma ba5o la acción de cargas concentradas, no posee rigide* a la flexión, ni resiste fuer*as de compresión. En la naturale#a, la telara6a sirve de ejemplo y muestra las bondades de su comportamiento. Los cables son elementos fle$ibles que tienen diversas aplicaciones en Dngeniería, como elementos estructurales sirven para soportar cargas; se utili#an en algunas estructuras como conductores en las líneas de transmisión eléctrica, puentes, elevadores, estructuras pretensa#as y postensadas, etc., figura '.!.!.
43
Figura 5.1.1 so de los ca!les
or su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se )an convertido en un elemento imprescindible en muc)as obras de ingeniería, por ejemplo; los puentes colgantes no solo los grandes sino también los peque6os construidos para comunicar una vereda con otra en #onas rurales, las garruc)as o poleas, los tensores o contravientos para luminarias y postes, armaduras, etc. or su fle$ibilidad los cables solo resisten fuer#as de tracción tensión+, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuer#os cortantes y de fle$ión se pueden )acer nulos y los esfuer#os de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio por el solo trabajo a tracción del elemento. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. or ejemplo, cables sometidos a cargas uniformes en la proyección )ori#ontal adquieren una forma parabólica figura '.!.&.
44
Figura 5.1.2 Ca!le ara!ólico
Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso que en este caso no es una carga uniforme, forman una curva llamada catenaria; un ejemplo de este 7ltimo caso es el de las redes de energía, figura '.!..
a+ "able recto
b+
"able catenario
Figura 5.1.# ,tros tios de ca!les El cable colgante es el elemento estructural que se usa en los grandes claros, su forma parabólica )a sido prácticamente imbatible y empleada en los puentes de mayor claro, figura '.!.%.
45
Figura 5.1.* Colgantes
uentes
El cable no solo funciona estructuralmente en el plano, sino que se puede usar para cubrir áreas figura '.!.', colocando grupos de cables paralelos, uno junto a otro o usando conjuntos de cables que conformen sistemas de doble curvatura, unos cables con curvatura conve$a y otros perpendiculares con curvatura cóncava; los cables también se usan en sistemas radiales, que permiten cubrir superficies redondas.
a+ ?ec)o de tensado poligonal
b+ ?ec)o tensado en forma de silla de montar
c+ Estadio de Caleig
Figura 5.1.5 Ca!les en tecos
46
El desarrollo tecnológico )a creado los cables de alta resistencia/ los torones de acero galvani#ado, usados con formas estructurales nuevas en los modernos puentes atirantados con cables rectos, conformados por torones paralelos de diámetros peque6os de !'mm, que se anclan individualmente, estos cables de peso reducido son muc)o más fáciles de colocar y reempla#ar que los antiguos cables colgantes en los cuales los procesos de colocación eran muy tediosos y demorados, y su reempla#o prácticamente era imposible figura '.!.*.
Figura 5.1.6 uentes atirantados
En este capítulo, se consideran cables fle$ibles, que no se alargan. "omo son fle$ibles no resisten la fle$ión, y por ello el momento fle$ionante en cualquier sección transversal es nulo. Lo mismo sucede con la fuer#a cortante, de tal manera que el 7nico elemento mecánico que se presenta es la fuer#a normal positiva, o sea la fuerza de tensión.
Clasificación de los ca&les Los cables se clasifican de acuerdo con las solicitaciones que soportan y la geometría que dic)as cargas definen, en/
47
Cables de elementos rectilneos: Este tipo de cables mantiene cargas verticales concentradas en puntos llamados nodos, por ello la conformación geom!trica del mismo es de tipo recto o poligonal" #ara su solución se re$uiere conocer la posición de tres de los nodos al menos una coordenada de todos los demás"
"uando el peso del cable es despreciable en comparación a las cargas concentradas que soporta, se presenta un cable de elementos rectil%neos o de cargas concentradas, figura '.!.!.!.
Figura 5.1.1.1 Ca!les de elementos rectil"neos
ara resolver este tipo de cables basta calcular las reacciones en los apoyos y posteriormente conformar sistemas de fuer#as concurrentes en cada nodo o punto de acción de las cargas y aplicar el &!todo de los 'odos, el cual fue estudiado en el capítulo anterior. Los nodos o puntos de concurrencia deben tener definida alguna de sus coordenadas generalmente la )ori#ontal para que el problema sea determinado, y uno de ellos debe quedar definido en ambas coordenadas.
Cables parabólicos: En estas estructuras la carga se presenta repartida uniformemente seg(n su e)e *orizontal por ello la forma $ue adopta el cable es parabólico, figura +"""-"
48
Figura 5.1.1.2 Ca!le ara!ólico
ara resolver un cable de este tipo se necesita conocer una de las coordenadas de un punto y la posición de los apoyos. ?ambién es necesario conocer la carga
)
L
uniformemente repartida , el claro del mismo y la ubicación de los apoyos, con estos datos es posible calcular la ecuación del cable y la fuerza má.ima que soporta. El sistema de referencia por lo general se ubica en el punto más bajo del cable para facilitar su análisis.
Cables catenarios: El cable $ue mantiene su propio peso de manera uniformemente distribuida seg(n su e)e presenta una defle.ión tipo cadena por ello se denomina cable catenario, figura +"""/"
49
Figura 5.1.1.# Ca!le catenario 9on cables catenarios todas las líneas de conducción del fluido eléctrico o los alambres telefónicos que soportan e$clusivamente su peso.
Cables elpticos: Cuando un cable soporta cargas repartidas en forma uniformemente creciente *acia los e.tremos, alcanza una conformación el%ptica, aun$ue estos tipos de cables son poco usuales, figura +"""0"
Figura 5.1.1.* Ca!le el"tico
An'lisis de ca&les ara el estudio del equilibrio de un cable se debe considerar el quinto principio de la Estática/ 12n cuerpo deformable está en e$uilibrio, si solo si toda porción de !l considerada r%gida se encuentra en tal estado3"
50
Es decir el sistema de fuer#as que obra sobre dic)a porción está en equilibrio porque sus coordenadas vectoriales son nulas. "onsidérese el cable mostrado en la figura '.!.&.!, sujeto a cualquier tipo de carga; los soportes A y 4 sobre los cuales está suspendido el cable que tiene una distribución de ω ( x )
carga
y que act7a verticalmente sobre el mismo plano del cable.
Figura 5.1.2.1 Ca!le su%eto a una carga ar!itraria
∆ s 9e toma como diagrama de cuerpo libre un elemento de longitud
, figura '.!.&.&.
Figura 5.1.2.2 Diagrama de cuero li!re de una sección del ca!le T
T + ∆T
Las fuer#as y tienen componentes )ori#ontales y verticales, formulando las ecuaciones de equilibrio se tiene/
51
∑ F = 0 x
− T cosθ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ ) = 0 T cosθ = (T + ∆T ) cos (θ + ∆θ ) = 0
∑ F = 0 y
− Tsen θ + (T + ∆T ) sen(θ + ∆θ ) − ω ( x) = 0
9e dividen las dos e$presiones por
% (T cos θ ) %x % (Tsen θ ) %x
=0
∆ x
y se toma el límite cuando
∆ x
tiende a cero/
.......................... ecac!"n 5.1.2.1
= ω ( x)
....................... ecac!on 5.1.2.2
ara que la ecuación '.!.&.! se cumpla es necesario que/
T cosθ = cons & *e = H .......... ecac!on 5.1.2.3 4onde 5 representa la componente *orizontal a lo largo del cable. Esto es indicativo ya que en cualquier punto del cable la componente )ori#ontal de la tensión tendrá el mismo valor. Dntegrando la ecuación '.!.&.& se tiene/
Tsen θ = W ( x )%x + C 1
.................... ..... ecac!"n 5.1.2.4
La ecuación '.!.&. al sustituirla en la ecuación '.!.&.%, permite un mejor desarrollo/
52
H cosθ senθ
∫
senθ = W ( x)%x + C 1
cosθ
=
1 H
senθ
∫ W ( x)%x + C
1
= & θ =
cos θ
%y
%y
%x
%x
ero
=
1 H
∫ W ( x)%x + C
1
; sustituyendo se obtiene/
Dntegrando nuevamente/
Y =
Y =
∫ H ∫ W ( x) %x + C %x + C 1
1
1 H
2
∫∫ [ W ( x) %x + C ] %x + C 1
...................... ecac!"n 5.1.2.5
2
La ecuación anterior es la ecuación general de la curva de defle.ión de un cable con
sistema de carga
C 2
C 1
W ( x ) , donde las constantes
y
se determinan en cada caso de
B acuerdo a las condiciones de los soportes y
.
ara calcular la longitud del cable se tiene que/ L
∫
L = %s
%s 2
0
= %x 2 + %y 2
, siendo 4espejando y sustituyendo/
%s
=
(%x 2
+ %y 2 )%x2 %x 2
2
%y = 1 + %x %x
53
L
2
%y L = ∫ 1 + %x %x 0
.......... .......... ..... ecac!"n 5.1.2.6
La ecuación '.!.&.* permite calcular la longitud de un cable desde el punto más bajo del mismo, )asta uno de sus apoyos.
9i a)ora se considera una porción del cable procurando que un e$tremo coincida con la parte más baja del mismo y se toma en cuenta la e$presión '.!.&., se llega a las W
proposiciones siguientes de acuerdo con la figura '.!.&. donde total del cable en el tramo considerado.
representa la carga
Figura 5.1.2.# Diagrama de cuero li!re ω
Las fuer#as T , y 5 mantienen el equilibrio de la porción del cable considerado como cuerpo rígido. La adición vectorial de sus vectores debe ser nula, de la figura '.!.&., se obtiene que/
Tan θ =
%y %x
=
W H
Fue es la ecuación diferencial de todo el cable y de la adición gráfica de los vectores T ,
W y 5 6Teorema de #itágoras7, puede e$presarse la ecuación/
54
T = H 2
+ W 2 =
H 2
+ ( ω x ) 2
............................... ecac!"n 5.1.2.7
Esta e$presión permite calcular la tensión en un punto dado del cable y la relación de la carga total respecto a la carga )ori#ontal que ejerce el cable en su punto más bajo.
Ca!le rectil"neo ara cables sometidos a cargas puntuales, en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable y la forma del cable dependerá de # y de su punto de aplicación, figura '.&.!.
Figura 5.2.1 Ca!le de elementos rectil"neos "omo se e$presó anteriormente, los cables cuando están sometidos a cargas concentradas superiores al peso del mismo, pierden la forma curva y toman formas rectas, semejantes a un polígono.
55
ara el estudio de estos cables se supone que los tramos entre los puntos de aplicación de las cargas son rectos, por lo que la tensión del cable se puede determinar mediante un modelo similar al usado en las armaduras mediante el m!todo de los nudos, la tensión es a$ial y sigue la trayectoria de los cables. La tensión en cada tramo del cable se puede encontrar mediante un simple equilibrio de fuer#as en cada nodo, el cual mediante los vectores puede manejarse de manera sencilla. 9e supone que no e$iste fricción entre el cable y el apoyo cuando se cambia la dirección del cable, como sucede en la parte superior de las torres de los puentes colgantes, y por lo tanto la componente )ori#ontal de la tensión del cable será la misma en todos los puntos del cable. ara determinar la componente )ori#ontal 5 se deben plantear las condiciones de equilibrio de todo el cable entre los apoyos+ y determinar un conjunto de ecuaciones. dicionalmente, se debe )acer un corte en el cable por el sitio donde se cono#can las coordenadas del cable y plantear un diagrama de cuerpo libre y aplicar las ecuaciones del equilibrio; con estas dos ecuaciones se puede obtener la componente )ori#ontal de la tensión en el cable.
!roceso de análisis ara resolver un cable conviene establecer una secuencia de cálculo para S
simplificar su análisis; anali#ando la sección
!
L, h, y! , x! , P !
siguientes datos/
, de la figura '.&.! se obtienen los
= 1 ' 2 ' 3 ' +++ n
, para
.
El aumento o la disminución de los datos )acen que el cable sea *ipostático o *iperestático, respectivamente. Las incógnitas que se presentan son las siguientes/
B
A
8eacciones en los puntos
, es decir las tensiones en las secciones
e.ternas
Tensiones en todos los tramos del cable
9eometr%a del cable
ara determinar la tensión en cada tramo se empie#a por determinar las reacciones, estas comprenden cuatro incógnitas lo cual )ace que el sistema sea estáticamente indeterminado. ara poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición de un punto del cable. 56
( x 2 , y 2 )
P 2
9uponiendo que se conoce la posición de la carga figura '.&.&.
con coordenadas
,
P 2
Figura 5.2.2 !icación de la carga
ACD
Entonces tomando la porción de cable
figura '.&., se tiene/
∑ F = 0 x
∴ T DE cos θ = A x Lo cual indica que la componente )ori#ontal de la tensión en cualquier tramo es constante. 4e la figura '.&.& tomando momentos con respecto al punto 5 se obtiene una
A y
A x relación entre
y
.
En la figura '.&., tomando momentos con respecto al punto 4 se obtiene otra A y
A x
relación entre
y
, que con la anterior se pueden resolver simultáneamente A y
A x
para determinar
y
.
57
Figura 5.2.# orción ACD del ca!le A
By
B x
= − A x
Gna ve# determinadas las reacciones en se obtiene y como quedan completamente las reacciones.
T CDx
, figura '.&.%, se tiene que/
= A x
T CDy
= A y − P 1
> > como/
T& θ 2
=
T CDy T CDx
=
− y1 x2 − x1
y2
y2
x 2 , x 1 > además
y1
y
son conocidos, por tanto se puede determinar la posición vertical
P 1 de la carga
.
Cepitiendo el procedimiento para cualquier otro tramo se obtiene la tensión en ese punto y la posición de la carga concentrada correspondiente.
Figura 5.2.* orción AC del ca!le
E#emlo num(rico: Cesolver el cable de elementos rectilíneos mostrado en la figura '.&.'
58
Figura 5.2.5 Ca!le rectil"neo 17 "álculo de las reacciones
+
∑ #
=0 40 B y − 2 B x − (30 *10) − (50 * 25) = 0 40 B y − 2 B x = 1550 .................................. ecac!"n A
5.2.1
+ ∑ # D = 0 Tra-o DB ( ,ar*e %erecha ) 15 B y − 6 B x = 0 ...................................... ecac!"n
5.2.2
Cesolviendo las ecuaciones '.&.! y '.&.&, se tiene que/
B y B x
= 44.286 .N = 110.71 .N
plicando las ecuaciones del equilibrio/
+ → ∑ F x = 0 − A x + B x = 0 A x = B x = 110.71 .N
+ ↑ ∑ F y = 0 B y + A y − 30 − 50 = 0 B y + A y = 80 ∴ A y = 80 − B y = 35.714 .N
59
!+ "álculo de las tensiones en los nodos, para ello se consideran las fuer#as internas de la figura '.&.*/
Figura 5.2.6 Fuer8as internas
9odo A
+ → ∑ F x = 0 − A x + T AC cosθ 1 = 0 T AC
=
A x cosθ 1
.................... ecac!"n 5.2.3
+ ↑ ∑ F y = 0 A y − T AC senθ 1 = 0 T AC
=
A y senθ 1
.................... ecac!"n 5.2.4
Dgualando las e$presiones '.&. y '.&.%, se tiene/
A x cosθ 1
=
A y senθ 1
⇒ T& θ 1 =
A y A x
∴ θ 1 = 17.879º ⇒ T AC = 116.328 .N ( T ) 9odo C
60
+ → ∑ F x = 0 − 116.328 cosθ 1 + T CD cosθ 2 = 0 T CD
110.710
=
cosθ 2
.................... ecac!"n 5.2.5
+ ↑ ∑ F y = 0 − 30 + 116.328 senθ 1 − T CD senθ 2 = 0 T CD
5.714
=
senθ 2
.................... ecac!"n 5.2.6
Dgualando las e$presiones '.&.' y '.&.*, se tiene/
110.710 cosθ 2
=
5.714 senθ 2
⇒ T& θ 2 =
5.714 110.710
= 0.0516
∴ θ 2 = 2.954º ⇒ T CD = 110.857 .N ( T )
9odo D
+ → ∑ F x = 0 T DB cosθ 3 = 110.857 cosθ 2 = 0 T DB
=
110.7097 cosθ 3
.................... ecac!"n 5.2.7
+ ↑ ∑ F y = 0 − 50 + T DB senθ 3 + 110.857 senθ 2 = 0 T DB
=
44.287 senθ 3
.................... ecac!"n 5.2.8
Dgualando las e$presiones '.&.- y '.&.1, se tiene/
61
110.7097 cosθ 3
=
44.287 senθ 3
⇒ T& θ 3 =
44.287 110.7097
∴ θ 3 = 21.8028º ⇒ T DB = 119.239 .N ( T ) ara comprobar los cálculos, se emplea el nodo 5, en el que las fuer#as deben de coincidir/
9odo +
+ → ∑ F x = 0 B x − T BD cosθ 3 = 0 B x = T BD cosθ 3 = 110.7096 .N
+ ↑ ∑ F y = 0 B y − T BD senθ 3 = 0 B y = T BD senθ 3 = 44.287 .N La figura '.&.-, presenta a manera de resumen los resultados obtenidos/
Figura 5.2.' roiedades geom:tricas y fuer8as en el ca!le
Ca!le ara!ólico
62
"uando un cable soporta cargas distribuidas, estas se pueden considerar como cargas concentradas suficientemente pró$imas, de tal manera que el cable adquirirá una forma curva polígonal con infinito n7mero de lados, figura '..!.
Figura 5.#.1 Ca!le ara!ólico
ω
9ea la carga uniforme a lo largo de la )ori#ontal. ara determinar la forma que adquiere el cable con este tipo de carga se toma una porción de cable desde su ( x, y )
punto más bajo )asta un punto de coordenadas
, figura '..&. La tensión en
T
este punto
será tangente a la curva.
Figura 5.#.2 orción de un ca!le ara!ólico
( x ' y ) ?omando momentos con respecto al punto ω x
2
2
= yH
se tiene que/
y
, despejando a
, se tiene que/
63
y
=
ω x
2
2 H
.............................. ecac!"n 5.3.1
Fue es la ecuación de una parábola con origen en el punto más bajo del cable, T
con esta ecuación es posible determinar el valor de
en dic)o punto al que se le
T 0
denomina del cable.
, para esto es necesario conocer la posición de al menos un punto
"onsiderando el triángulo de fuer#as de la porción del cable desde su punto más bajo, figura '..; se puede determinar la tensión en cualquier punto a saber/ T = ( H 2
1
+ ω 2 x 2 )
2
....................... ecac!"n 5.3.2
Figura 5.#.# riangulo de fuer8as 4e la ecuación '..& se deduce que la má$ima tensión estará en el punto más alto del
T 0 cable y que la mínima tensión estará en el punto más bajo y es
S . La longitud
del
( x, y ) punto más bajo del cable, a un punto de coordenadas '.!.&.* y es/
está dado por la ecuación
1N 2
%y 2 S = ∫ 1 + 0 %x x
%x
"onsiderando la figura '.. y sustituyendo valores se tiene/
ω x 2 %x = ∫ 1 + T o 0 x
1
2
%x .......................... ecac!"n 5.3.3
64
La integral anterior puede resolverse con la serie siguiente/
2 y 2 2 y 4 %x = x 1 + − + ... 3 x 5 x y x < 0.5
y x
Esta serie converge para valores de , generalmente es muc)o menor de 3.' de tal manera que se obtiene una buena apro$imación con los dos primeros términos de la serie. ara llegar a la solución de un cable con carga parabólica, es decir; para obtener sus reacciones, el valor de la tensión en cualquier punto y su geometría general, es necesario conocer la posición de sus apoyos y las coordenadas de cualquier punto de su eje longitudinal o una coordenada cualquiera de su punto inferior. 9eg7n esto se tiene dos casos, cada uno de los cuales se anali#a de diferente forma/
Cuando los datos $ue se tienen son la posición de los apoos un punto intermedio cual$uiera, en este caso el análisis se realiza como si fuera un arco de tres articulaciones, figura +"/"0"
Figura 5.#.* rimer caso; -e conocen la osición de los aoyos y un unto cualuiera ara esté caso particular, los diagramas de cuerpo libre con los cuales se trabajaría seg7n los tramos AC y 4C del cable; planteando y resolviendo un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas. ara la geometría general, en función de la ecuación de la parábola, puede encontrarse la posición de cualquier punto y además, en función de la inclinación de la tangente a dic)o punto, se puede obtener el valor de la tensión para cualquier sección del cable.
65
Cuando los datos $ue se tienen son la posición de los apoos una coordenada de relación entre cual$uiera de estos el punto inferior del cable, figura +"/"+"
Figura 5.#.5 -egundo caso; -e conoces la u!icación de los aoyos y el unto más !a%o l no e$istir cargas con componentes )ori#ontales, la componente )ori#ontal, tanto de las reacciones como de una tensión cualquiera del cable, permanece constante, por tanto/
H = cons & *e
Fue corresponde al valor de la tensión en el punto inferior del cable, ya que la pendiente de la tangente en dic)o punto es nula. or lo tanto, aunque se descono#ca una dimensión de la posición del punto inferior del cable, puede obtenerse con facilidad en la forma siguiente/
El planteamiento de las condiciones analíticas de equilibrio proporciona seis
H = cons *an *e
ecuaciones, una de las cuales, conocido el valor queda independiente en el sistema. Esta permite calcular la dimensión faltante en la posición inferior del cable.
Gna ve# obtenidos los valores de las reacciones, de la fuer#a )ori#ontal en el punto inferior del cable y su geometría general, para calcular la tensión del cable en cualquier punto se aplica la fórmula '.!.&.*, y la ecuación del cable está dado por la ecuación '..!.
Ejemplo numérico:
66
Cesolver el cable parabólico mostrado en la figura '..* sabiendo que la tensión má$ima en el cable es de !*3 H8.
Figura 5.#.6 Ca!le ara!ólico so!re un uente
!+ "álculo de las reacciones
+ ∑ # A = 0 100 B y − (100ω ) * 50 = 0 B y = 50ω
+ → ∑ F x = 0 A x = B x = H
+ ↑ ∑ F y = 0 B y + A y = 100ω A y = 100ω − B y ∴ A y = 50ω y
= 20
&+ 4e la ecuación de la parábola ecuación '..!+ y sustituyendo el valor de se tiene/
67
20 =
ω x
2
2(62.5ω )
=
ω x
2
125ω
⇒ x 2 = 125(20) = 2500 ∴ x = 50 + "onsiderando la porción del cable C4 figura '..-, y )aciendo momentos con respecto al punto C se obtiene/
+ ∑ # C = 0 50 B y − 20 H − ( 50ω ) * 25 = 0 50 B y − 20 H = 1250ω Ss*!*yen%o B y
= 50ω se *!ene ?
50(50ω ) − 20 H = 1250ω H =
1250ω 20
= 62.5ω Figura 5.#.' orción CB del ca!le
"onsiderando la figura '..- y dado que el punto C es el más bajo, se sabe que/
W = 50ω
W , H y T ; sustituyendo los valores de
en la ecuación '.!.&.* y resolviendo para
ω
, se tiene/
T 2
= W 2 + H 2
(160) 2 = (50ω ) 2 + (62.5ω ) 2
= 2500ω 2 + 3906.25ω 2 ω = 1.999 ≈ 2 .N N ∴ H = 124.94 .N = T 0 y W = 100 .N 25600
68
Gsando la e$presión de la curva de defle$ión dado por la ecuación '.!.&.' se obtiene lo siguiente/
Y =
1
∫ [ ∫ W ( x)%x]%x + C x + C 1
H Don%e ?
2
H = 124.94 .N = T 0 W = 2 x 9ustituyendo los valores anteriores/
Y = Y = Y = Y =
1
∫ [∫ 2 x %x]%x + C x + C 1
124.94
2 x 2
1
∫ 2
124.94 1
*
124.94 x 3 374.82
x3 3
2
%x + C 1 x + C 2
+ C 1 x + C 2
+ C 1 x + C 2
S! Y = 0 → x
= 0 ∴ C 2 = 0 S! Y = 20 → x = 50 ∴ C 1 = −6.2699
La ecuación de la curva de defle$ión es/
Y =
x3 374.82
− 6.2699
La longitud del cable se puede determinar usando la ecuación '../
69
2
L
%y L = ∫ 1 + %x %x 0 50
2
2 x %x L = 2 ∫ 1 + 124 . 94 0
La ecuación anterior se puede resolver usando la e$presión siguiente, que está en función de las coordenadas de un punto del cable/
2 y 2 2 y 4 L = x 1 + * − + ... 3 x 5 x L 9ustituyendo los valores y resolviendo para
se obtiene/
2 20 2 2 20 4 L = 2 * 50 1 + * − * 3 50 5 50 ∴ L = 109.6427 -
Ca!le catenario En la realidad pueden combinarse diferentes tipos de cargas formando una combinación geométrica más compleja, pero para su solución, basta aplicar el principio de superposición una ve# resuelta la ecuación diferencial para cada condición de carga. )ora bien, por medio de la estática puede encontrarse la solución de un cable considerando que cualquier punto de él se comporta como una articulación; debido a que el momento fle$ionante en cualquier sección del cable vale cero, esto permite estudiar los cables en forma similar que los arcos de tres articulaciones. "uando un cable es suspendido sin carga, es decir soportando su propio peso, la carga distribuida a lo largo de la )ori#ontal deja de ser uniforme; sin embargo, si el cable es )omogéneo, la carga es uniforme a lo largo de su longitud.
70
La figura '.%.! representa un cable soportando su propio peso y la distribución de la carga a lo largo de la )ori#ontal.
Figura 5.*.1 Ca!le catenario
"omo no se conoce la distribución de la carga a lo largo de la )ori#ontal ni, obviamente el centroide bajo la curva de carga, no se puede utili#ar el mismo método que para un cable parabólico, por tanto el procedimiento de cálculo es diferente. "onsidérese un cable que soporta su propio peso, el cual se toma una porción del mismo entre el punto más bajo que no es el origen de coordenadas+ y un punto de coordenadas
( x, y ) y las fuer#as actuantes como se muestra en la figura '.%.&.
Figura 5.*.2 orción de un ca!le
4e acuerdo con la fórmula general/
T = H 2
+ ω s2 S 2 ............................
ecac!on 5.4.1
71
= H N ω C = "onsidérese que la constante
, sustituyendo se tiene que/
2 H = ω C W = ω S T = ω C , y
+ S 2
La proyección )ori#ontal de una peque6a longitud del cable es/
= %s cos θ =
%x
H T
%s
9ustituyendo 5 y y T por por sus valores/
%x
=
ω C%s ω
C 2
+ S 2
=
%s 1 + ( S N C ) 2
Dntegrando desde )asta F la e$presión anterior/ S
( =
%s
∫ 1 + (S N C )
2
= Csenh −1
0
S C
Lo anterior se puede escribir así/
= Csenh S =
( C
9ustituyendo el valor de "/
S =
H ω
senh
ω (
H
.............................. ... ecac!"n 5.4.2
La igualdad anterior permite conocer la longitud de una catenaria en función de su carga
( ω )
( H ) y de la proyección )ori#ontal de la fuer#a de tensión
.
or otra parte del triángulo de fuer#as de la figura '.%.& se sabe que/
72
Tan Tan θ =
%y %x
ω S
=
=
H
W
∴
H
%y
=
W H
%x
ω S%x ω C
=
%y = senh
S N C = senh( ( N C ) ero ero
=
S C
%x
( C
%x
, entonces/
Dntegrando Dntegrando desde desde # )ast )asta a la x
x
x
( ( y − C = ∫ senh %x = C cos = C cos − 1 C C 0 C 0 0 (
e$presió e$presión n anterio anterior/ r/
y − C = C cos
( C
− C
9ustituyendo el valor de C /
H
Y =
ω
cos
ω (
.......... ............ ecac!"n 5.4.3
H
La ecuación anterior es la de una catenaria con e)e vertical , vertical , elevando ambos miembros de las ecuaciones '.%.& y '.%. al cuadrado y restando una de otra se tiene/
H 2 ω ( ω ( Y − S = 2 cos 2 − senh2 H H ω 2
2
?enien niendo do en cuen cuenta ta la iden identi tida dad d 2 2 cos A − senh A = 1
/
Y
2
− S = 2
H
2
2
ω
= C 2 ...............................
ecac!"n 5.4.4
S 2 4espejando
y sustituyendo este valor en T / 2
2
S
= Y
2
H − ω
T = ω C
2
+ S = ω 2
2 2 H + Y 2 − H ω ω
∴ T = ω Y .................... .....
ecac!"n 5.4.5 73
La rela relaci ción ón ante anteri rior or indi indica ca que que la tens tensió ión, n, en cual cualqu quie ierr punt punto, o, es dire direct ctam amen ente te proporcional a la distancia vertical medida desde el eje $, por tanto la tensión má$ima se tendrá en el punto del cable que posea mayor valor de su ordenada. "uando "uando un cable cable que soporta soporta su propio propio peso está suficien suficienteme temente nte tenso, se puede puede supon suponer er que que la carga carga está está unifo uniforme rmemen mente te distri distribui buida da sobre sobre la )ori# )ori#on onta tal, l, con esta esta cond condic ició ión, n, se pued puede e reem reempl pla# a#ar ar la cate catena nari ria a por por una una pará parábo bola la,, que que simp simpli lifi fica ca notablemente su solución, sin introducir errores significativos. Ejemplo numérico: Gn cable de transmisión pesa 3. lbIft y tiene una tensión má$ima admisible de !'33 lb debe debe tende tenderse rse entre entre dos dos torre torres s que que se encue encuent ntran ran sepa separad rados os &%'3 &%'3 ft en el sentid sentido o )ori#ontal y a las elevaciones de -&33 ft y *'33ft, figura '.%.. 4etermine la longitud mínima necesaria del cable.
4atos/
= 0+32b 4 1* T-3xa%- = 15002b ( = c2aro = 2450 1* L-0n = S = / ω
Figura 5.*.# Ca!le catenario
En primer lugar se obtiene el diagrama de cuerpo libre, figura '.%.%/
74
Figura 5.*.* Diagrama de cuero li!re
∑ F
x
, se determina que las reacciones en los apoyos son iguales en esa
+ → ∑ F x = 0 A x = B x = H
Las ecuaciones que se utili#arán en la solución de este problema son/
Y =
Y 2
H ω
ω x H
cos
− S 2
=
H 2 2
ω
.......... ...............
ecac!"n 5.4.3
................................ ecac!on 5.4.4
T = ω Y ....................................... ecac!"n 5.4.5
Y 4e la ecuación '.%.' se obtiene el valor de
Y =
1500 0.3
/
= 5000 1*
9ustituyendo valores en la ecuación '.%. se tiene/
75
0.3( 2450 ) H 0.3 H 735 5000 = cos 0.3 H H
5000 =
cos
4espejando a < y utili#ando el método numérico de iteración de punto fi)o , v!ase el ane.o 0 y resolviendo para <, se tiene/
1500
H =
735 H
cos
∴ H = 1283.7866 2b 9ustituyendo valores en la ecuación '.%.%/
5000
2
− S = 2
1283.79 2 0.3 2
= 18 312 312.63
= 6 687 687.37 ∴ S = 2 586.056 1* S 2
La flec)a má$ima se obtiene con la siguiente e$presión/
H
y -3x
= Y −
y -3x
= 5000 −
y -3x
= 720.7 1*
ω
1283.7866 0.3
76
