Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales - Santiago Torrano & D. Herrero Perez

Lecci´ on 1 on

Introducci´ on a la Elasticidad y on Resistencia de Materiales Contenidos 1.1. 1. 1. Mec´ Mec´ anica del S´ anica olido R´ıgido y Mec´ olido anica del S´ anica olido Deolido formable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1. 1.1. 1. S´ olido R´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1. 1.2. 2. S´ olido Deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1. 2. Hip´ Hip´ otesis b´ otesis asicas de la Elasti asicas Elasticid cidad ad y de la Res Resist istenc encia ia de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 3

1.2.1. 1.2 .1. Pe Peque˜ que˜ nos desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2. 1.2.2. 1.2. 1. 2.3. 3. 1. 2. 4 . 1. 2. 5 . 1.2.6. 1.2 .6.

. . . . .

4 4 5 5 6

. . . . y . .

6 6

Peque˜ Peque˜ nas deformaciones . . . . . . . . . . . . Compo Co mport rtam amie ient ntoo el´ el´ a stico asti co y lin linea eall del del ma mate teri rial al Principio de Saintt-V Venant . . . . . . . . . . . Material homogéneo . . . . . . . . . . . . . . Materi Mat erial al is´ otropo . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.7. Problema estático . . . . . . . . . . . 1.2.8. Problema isotermo . . . . . . . . . . . 1.2.9. 1.2 .9. Con Consec secuen uencia ciass de las hip´ hipótesis otesis básicas asicas de la Resistencia de Materiales . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la Elasticidad . . . . . . . . . .

. . . . .

6

1.3. Modelo Mo delo matem´ m atem´ atico para atico p ara el an´ alisi s de S´ alisis olidos Defor olidos Deformamable bl es. Ecua uac cion one es fun und dame men ntales . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2

Apuntes Apun tes de Elast Elasticida icidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales iales

1.1

Mec´ anica del anica del S´ oli do R´ıgi olido ıgido do y Mec´ anic a del S´ anica olido olido Deformable

La Mecánica, anica, que proviene de la palabra mechanica en lat lat´´ın que significa arte de construir una máquina, aquina, es la rama de la f´ısica que estud estudia ia y analiz analizaa el mov movimien imiento to y reposo de los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción on de fuerzas. Las hipótesis otesis básicas asicas de la Mecánica anica de sólidos olidos se enumeran a continuación: on: 1. Se consideran las ecuaciones de la Mec´ anica de Newton olido es un medio continuo 2. El s´ asicas de la Termodin´ amica (conservaci´ 3. Se cumplen las leyes b´ on de la ener on energg´ıa y pr prod oduc ucci´ ción on de ent entro rop p´ıa ıa))

La segunda hipótesis otesis implica que el sólido olido no tiene discontinuidades a nivel microscópico opico como consecuencia de la distribución on molecular de cada material. Es decir, se ignora la existencia de estructuras a nivel microscópico (moleculares, atómicas, omicas, cristalinas o granulares), considerando que el comportamiento a nivel macroscópiopico es indepen independien diente te de tal estruc estructura tura (salv (salvoo a trav trav´és es de relaci relaciones ones experim experimenta entales les que se traducen en la relación on de comportamiento). Esta hipótesis otesis se justifica por las peque˜ nas dimensiones de los constituyentes microscópicos nas opicos (moléculas, eculas, crista cristales les o granos) en compar comparaci´ aci´ on con las dimen on dimensiones siones significativ significativas as del sólido olido (distribución on de los apoyos o de las cargas y dimensiones propias del sólido) y permite trabajar con un espacio continuo y utilizar las herramientas que proporciona el análisis diferencial. 1.1.1

S´ ol ido olid o R´ıg ıgid ido o

Si un sólido olido sometido a un conjunto de fuerzas alcanza el equilibrio sin sufrir modificaciones de su forma original, o dichas modificaciones son despreciables respecto a olid ol ido o R´ıgid ıg ido o. Un S´ su movimiento, se denomina S´ olido R´ıgido se caracteriza por una olido distribuci´ on continua de la materia y por la invariabilidad de las distancias relativas on entre cualesquiera de los puntos que lo constituyen. Las ecuaciones de la estática, de la cinemática atica y de la dinámica amica son suficientes para definir el comportamiento de este tipo de sólidos. olidos.

ol idoo R´ıg olid ıgid idoo Figura 1.1 S´ La Figura 1.1 muestra un sólido olido con una forma genérica erica al a l que se aplica un sistema de fuerzas. Como consecuencia de las fuerzas aplicadas el sólido se traslada y gira sin deformarse, es decir, se comporta como un S´ olid ol ido o R´ ıg ido ıgid o. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

Introducci´ on a la Elasticidad y Resistencia de Materiales on

1.1.2

3

S´ olido Deformable olido

Si un sólido olido sometido a un conjunto de fuerzas alcanza el equilibrio produciéndose endose olido Deformodificaciones en su forma original, debemos adoptar el modelo de S´ mable . Dicho modelo considera una distribuci´ on continua de la materia, as on as´´ı como la variación, on, también en continua, de las distancias entre cualesquiera de los puntos que lo constituyen. Para establecer las ecuaciones generales que gobiernan el comportamiento mecánico anico de los sólidos olidos deformables, deformables, es neces necesario ario comple complement mentar ar las ecuac ecuaciones iones de la estática, atica, cinem cinem´ática atica y dinámica amica con ecuaciones que relacionen las modificaciones de forma del sólido olido con las fuerzas que se producen en el interior del mismo debidas a este cambio de forma.

olido Deforma olido Deformable ble Figura 1.2 S´ La Figura 1.2 muestra un sólido olido con una forma genérica erica al a l que se aplica un sistema fuerzas. Como consecuencia de las fuerzas aplicadas el sólido se traslada, gira y deforma, es decir, se comporta como un S´ olido Deformable .

1.2

Hipotesis o ´tesis b´ asicas de la Elasticidad y de la Resistenasicas cia de Materiales

La cinemática atica y dinámica amica de sólidos olidos deformables queda definida mediante la imposición on de las hipótesis otesis básicas asicas establecidas en el apartado 1.1. Dichas hipótesis otesis dejan el campo de estudio del sólido olido deformable muy abierto, por lo que se suele acotar estableciendo hipótesis otesis adicionales. Una simplificación on al problema general del sólido olido deformable consiste en plantear el comportamiento del mismo como lineal, lo que implicaa asumir implic asum ir tres tr es hipótesis otesis adicio adicionales: nales: nos desplaz desplazamiento amientos s 1. Peque˜

2. Peque˜ nas deformaciones astico y lineal del material 3. Comportamiento el´

1.2. 1. 2.1 1

Peq eque ue˜ n nos ˜ os desplazamientos

nos desplazamientos implica que los desplazamientos del sóliLa hipótesis otesis de peque˜ olido son tan pequeños nos que las ecuaciones de equilibrio pueden plantearse, sin error apreciable, en la posición on inicia inicial. l.

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

4


otesis de pequeños otesis nos desplazamientos Figura 1.3 Hip´ En la Figura 1.3 se muestra un pórtico ortico sometido a dos sistemas de fuerzas y la deformada debida a cada uno de estos sistemas de fuerzas. El comportamiento de la estructura de la Figura 1.3 a) frente al sistema de cargas actuante puede considerarse dentro de la hipótesis otesis de peque˜ p equeños nos desplazamientos. La deformada coincide prácticaacticamente con la configuración on inicial del pórtico. ortico. En la estructura de la Figura 1.3 b) la configuraci´ on deformada de la estructura difiere sustancialmente de la configuración on on inicial. Por tanto, no es correcto plantear las ecuaciones de equilibrio en la configuraci´ on anterior a la aplicación on on del sistema de cargas, ya que los resultados obtenidos no tendr´ıan ıan en cuenta los grandes desplazamientos que ha sufrido la estructura. 1.2. 1. 2.2 2

Peq eque ue˜ n nas ˜ as deformaciones

nas deforma deformaciones ciones supone que las derivadas de los desplaLa hipótesis otesis de peque˜ zamientos son despreciables frente a la unidad, y los productos de derivadas son despreciables frente a las propias derivadas. Esto implica que las deformaciones se expresen como combinación on lineal de las derivadas primeras de los desplazamien∂u j 1 ∂u i tos. Por ejemplo, εij = + , siendo εij la deformaci´ o n, y ui y u j los on, ∂x i 2 ∂x j desplazamientos.



1.2.3



Comportamiento Comportamien to el´ astico y lineal del material astico material

En todo punto de un sólido olido de un determinado material existe una relación on entre las tensiones y las deformaciones en dicho punto al someter al sólido a un sistema cualesquie cuale squiera ra de cargas cargas.. Si el s´ olido recupera su forma inicial al cesar la aplicac olido aplicaci´ ión on astico. Si adem´ de las cargas, se dice que el material tiene un comportamiento el´ as, as, la relación on entre tensiones y deformaciones es lineal, se dice que el material tiene un astico y lineal . comportamiento el´ Las tres hipótesis otesis anteriores son necesarias y suficientes para considerar el s´ olido deformable como elástico olido astico y lineal. Además as de las tres hipótesis otesis anteriores, en el estudio de la Elasti Elasticidad cidad Lineal y de la Resistencia Resistencia de Materi Materiales, ales, se suponen estas otras hip´ otesis: otesis: - Princi Principio pio de Sain Saint-V t-Venan enantt - El materia ma teriall es homog´ h omogéneo eneo - El material material es is´ isótropo otropo (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

Introducci´ on a la Elasticidad y Resistencia de Materiales

5

- El problema es estático - El problema es isotermo 1.2.4

Principio de Saint-Venant

El Principio de Saint-Venant establece que sistemas estáticamente equivalentes producen los mismos efectos. La Figura 1.4 muestra dos placas rectangulares, de idénticas dimensiones, que se encuentran empotradas en un extremo y sometidas a una carga uniformemente distribuida en el otro. En la placa de la Figura 1.4 a), la carga se distribuye uniformemente en la dimensión h1 , mientras que en la placa de la Figura 1.4 b) la carga se distribuye uniformemente sobre la dimensión h2 . En ambos casos la resultante de la distribución de fuerzas aplicadas sobre cada placa es qh 1 . Adem´ as, la distribució n de tensiones normales en la direcció n de la carga se ha representado sobre la superficie de cada placa, mostrando como se transmite la carga hasta el apoyo en cada una de las placas. Para la placa que se muestra en la Figura 1.4 a) podemos observar como la carga se transmite hasta el apoyo de forma uniforme. Sin embargo, en el caso de la placa que se muestra en la Figura 1.4 b), se advierte una alteraci´ on en la distribución de las tensiones normales hasta una cierta distancia de la zona de aplicación de la carga, a partir de la cual la carga se transmite hasta el apoyo de forma uniforme, como en el caso de la placa que se muestra en la Figura 1.4 a). Podemos concluir que la aplicación de la carga en un tramo limitado puede considerarse como una discontinuidad que provoca alteraciones en la transmisi´ on de la carga. No obstante, a una distancia suficientemente alejada de la zona de aplicación, dicha discontinuidad no tiene afecto alguno.

Figura 1.4 Principio de Saint-Venant

1.2.5

Material homog´ eneo

Considerar el material homogéneo significa que todos los puntos del mismo son iguales a efectos de comportamiento mec´ anico. Matem´ aticamente implica que la relación de comportamiento (relación entre tensiones y deformaciones) es similar en cualquier punto del material, y por tanto es independiente de las coordenadas del punto estudiado. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

6

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

1.2.6

Material is´ otropo

Un material isótropo es aquél cuyo comportamiento mecánico es independiente de la direcci´ on considerada. 1.2.7

Problema est´ atico

Un problema es estático si se considera que los efectos de inercia son despreciables. Se considera que esto ocurre cuando las cargas exteriores se aplican lentamente, permanecen invariables con el tiempo, y el sólido tiene impedidos los desplazamientos como sólido r´ıgido que puedan inducir las cargas actuantes. 1.2.8

Problema isotermo

En un problema isotermo no se producen variaciones de la temperatura, o al menos, el efecto de dicha variación es despreciable. 1.2.9

Consecuencias de las hip´ otesis b´ asicas de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales

El conjunto de hipótesis anteriores, implica las siguientes consecuencias: on 1. Principio de Superposici´

2. Existencia y unicidad de la soluci´ on on supone que hay una relación lineal entre la respuesta El Principio de Superposici´ estructural y las cargas actuantes. Esto permite obtener la respuesta de una estructura ante distintas cargas actuando simultáneamente como la suma de la respuesta de la estructura ante cada una de ellas. Este principio se utiliza para resolver problemas con sistemas de cargas muy complejos descomponiendo los estados de cargas en otros más simples, cuya solución es conocida o más fácil de obtener. En la Figura 1.5 se muestra una aplicación del Principio de Superposición.

on Figura 1.5 Principio de Superposici´ La segunda consecuencia establece que siempre existe una solución a cualquier pro´ blema bien definido de mecánica de sólidos, y que está solución es unica .

1.3

Modelo matem´ atico para el an´ alisis de S´ olidos Deformables. Ecuaciones fundamentales

El objetivo inicial del análisis de Sólidos Deformables consiste en establecer la relaci´ on entre las magnitudes estáticas externas (fuerzas) y las magnitudes cinemáticas (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


7

externas (desplazamientos). Para establecer dicha relaci´ on, es necesario conocer que ocurre en el interior del sólido, definiéndose las magnitudes internas . Las magnitudes cinemáticas y estáticas internas se relacionan a trav´ es de la ley que modela el comportamiento del material, la cual es independiente de la geometr´ıa del sólido y de las condiciones de contorno. Las magnitudes estáticas externas se relacionan con las magnitudes estáticas internas a trav´ es de las ecuaciones de equilibrio. Mientras que las magnitudes cinemáticas externas se relacionan con las magnitudes cinemáticas internas a través de las ecuaciones de compatibilidad. De esta manera, se consigue relacionar las acciones externas con los desplazamientos del sólido a trav´ es de las variables internas.

olidos deformables Figura 1.6 Modelo matemático para el análisis de s´ En la Figura 1.6 se muestra esquemáticamente el modelo matemático de análisis. Generalmente, la formulación matemática de este esquema conduce a ecuaciones de gran complejidad cuya solución anal´ıtica es inabordable. Ello hace que la obtención de soluciones exactas quede restringida a sólidos con geometr´ıas y cargas muy concretas.

1.4

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.1

Una barra de sección transversal cil´ındrica de un determinado material ha sido sometida a un ensayo de tracción. En la Tabla 1.1 se indican los valores obtenidos en dicho ensayo. Se pide: 1. Construir la gráfica σ − ε 2. Determinar gr´ aficamente el valor l´ımite de σ a partir del cual el material deja de comportarse linealmente y la deformación correspondiente 3. Determinar gr´ aficamente los valores de σ para ε = 0, 0035, asumiendo que el material se comporta linealmente para ese valor de ε y considerando un comportamiento no lineal del material (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

8


Datos:

on Tabla 1.1 Valores obtenidos del ensayo de tracci´

σ (MPa)

ε ( %)

σ (MPa)

ε ( %)

0,0 15,0 30,0 45,0 60,0 75,0 90,0 105,0

0,00 0,0256 0,0513 0,0769 0,1025 0,1281 0,1538 0,1794

120,0 135,0 150,0 165,0 180,0 180,0 165,0 160,89

0,2067 0,2450 0,2984 0,3748 0,5202 0,6400 0,7732 0,8000

Soluci´ on:

1. Construir la gr´ afica σ − ε Se muestra la gráfica en la Figura 1.7

on-deformaci´ on Figura 1.7 Diagrama tensi´ 2. Determinar gr´ aficamente el valor l´ımite de σ a partir del cual el material deja de comportarse linealmente y la deformación correspondiente La Figura 1.8 muestra el valor l´ımite de σ en el que el material deja de comportarse linealmente 3. Determinar gr´ aficamente los valores de σ para ε = 0, 0035, asumiendo que el material se comporta linealmente para ese valor de ε y considerando un comportamiento no lineal del material (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


9

on gr´ afica del valor l´ımite de σ a partir del cual el material Figura 1.8 Determinaci´ deja de comportarse linealmente y la deformación correspondiente

on gr´ afica de los valores de σ para ε = 0, 00035, asumiendo Figura 1.9 Determinaci´ comportamientos lineal y no lineal del material La Figura 1.9 muestra los valores solicitados

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

10


Ejercicio 1.2

Para la viga en el voladizo que se muestra en la Figura 1.10 a) se conocen los desplazamientos del punto A para los estados de cargas que se muestran en la Figura 1.10 b).

on del Principio de Superposición Figura 1.10 Aplicaci´ Obtener: 1. El desplazamiento vertical del punto A (wA ), aplicando el principio de superposición Soluci´ on:

1. Obtener el desplazamiento vertical del punto A, aplicando el principio de superposición

wA =

50L3 23L4 + 3EI 12EI

Ejercicio 1.3

Para las placas cargadas que se muestran en la Figura 1.11, Determinar: 1. Si los sistemas de cargas aplicados en los extremos de las placas son estáticamente equivalentes



11

on del Principio de Saint-Venant Figura 1.11 Aplicaci´ Soluci´ on:

1. Determinar si los sistemas de cargas aplicados en los extremos de las placas son estáticamente equivalentes Fuerza resultante para el sistema de cargas que se muestra en la Figu5qhe ra 1.11 a): H = 4 Momento resultante para el sistema de cargas que se muestra en la Figura 1.11 a): M =

qh2 e

24

Por lo que s´ı son estáticamente equivalentes.


Lecci´ on 2

Deformaciones Contenidos 2.1. Concepto de deformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2. Deformaci´ o n en el entorno de un punto . . . . . . . . . .

15

2.2.1. Vector deformaci´ o n. Componentes intr´ınsecas . . . . . . . .

19

2.2.2. Deformaciones principales y direcciones principales de deformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Deformaci´ on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22


22

14


2.1

Concepto de deformaci´ on

Las part´ıculas que constituyen cualquier sólido real, bajo la acción de cargas que act´ uan sobre él, var´ıan su posición en el espacio. Por consiguiente, el sólido adopta una configuraci´ on deformada distinta de la inicial.

on Figura 2.1 Concepto de deformaci´ Existe deformació n en un sólido si se produce un desplazamiento relativo entre las part´ıculas que lo constituyen. El desplazamiento de los puntos de un sólido es debido a dos componentes: una componente de movimiento como sólido r´ıgido y otra de deformaci´ on. As´ı pues, el desplazamiento de los puntos de un sólido no implica necesariamente que este se deforme. El rectángulo ABCD de la Figura 2.1 se desplaza hacia otra posición A B C D , pero es idéntico al inicial; es decir, no se ha producido ning´ un acercamiento o separación entre sus part´ıculas, o lo que es lo mismo, no se ha producido ninguna deformaci´ on. Solamente se ha producido un movimiento como cuerpo r´ıgido. Lo mismo ocurre al pasar a la posici´ on A B C D mediante una rotaci´ on como sólido r´ıgido. Finalmente, cuando el rectángulo pasa a la posición A B C D , s´ı que se deforma. Los dos casos más simples de deformaci´ o n son el alargamiento unitario y la deformaci´ on tangencial. Un ejemplo de estos tipos de deformación se muestra en la Figura 2.2. ′

′

′

′

′′

′′′

′′′

′′′

′′

′′

′′

′′′

on: a) alargamiento en la dirección x, b) Figura 2.2 Ejemplos de deformaci´ alargamiento en la dirección y , y c) deformación tangencial pura sin rotación (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

15

Deformaciones

El alargamiento unitario se define como un cambio de longitud por unidad de longitud. Se denomina ε, indicando por medio de un sub´ındice la dirección del alargamiento. Observando las Figuras 2.2 a) y 2.2 b), se deduce que

≃ ∆∆ux

εx

≃ ∆∆vy

, εy

(2.1)

La deformaci´ on tangencial se define como la mitad del decremento del ángulo recto que forman inicialmente dos segmentos infinitamente pequeños. En referencia a la Figura 2.2 c), la expresión de la deformación tangencial es

≃ π2 − ψ = θ1 + θ2   1 1 ∆u ∆v ≃ 2 γ ≃ 2 ∆y + ∆x γ xy

εxy

xy

(2.2)

(2.3)

Cuando ∆x y ∆y tienden a cero, las expresiones (2.1) y (2.3) toman la forma 1 1 ∂u ∂v , εy = , εxy = γ xy = εx = 2 2 ∂x ∂y



∂u ∂v + ∂y ∂x



(2.4)

donde u y v son las componentes del desplazamiento en dirección de los ejes x e y , respectivamente. Para obtener la expresión de la deformación tangencial se han aproximado los ángulos por sus tangentes (hipótesis de pequeños desplazamientos). El factor 21 en la deformaci´ on tangencial se debe a que las componentes de la deformaci´ on son las componentes de un tensor de segundo orden simétrico. De la expresión (2.2) se deduce que la deformación tangencial es positiva si el ángulo pasa a ser agudo.

2.2

Deformaci´ on en el entorno de un punto

En la Figura 2.3 se muestra una viga biapoyada sometida a una carga puntual en su zona central, as´ı como la configuraci´ on deformada de la misma.

on de una viga biapoyada sometida a una carga puntual Figura 2.3 Deformaci´ Se aprecia la distorsión que sufre la malla superpuesta sobre la viga una vez deformada. Los cuadriláteros que forman la malla sufren un alargamiento o acortamiento (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

16


de los lados que los forman y una variación de los ángulos rectos iniciales. Es decir, la posición relativa entre los puntos del s´ olido ha variado, por lo que la viga se ha deformado. Para determinar la deformaci´ on producida se va a trabajar con dos puntos cualesquiera P 0 y P de la viga, muy próximos, unidos por el vector de posición r que se muestra en la Figura 2.4 a). Al deformarse la viga, los puntos pasan, en la configuraci´ on deformada, a las posiciones P 0 y P que se muestran en la Figura 2.4 b). Considerando la hipótesis de peque˜ nos desplazamientos se admite que las configuraciones deformada e indeformada prácticamente coinciden.

−→

′

′

on en el entorno de un punto: a) configuración inicial P 0 - P Figura 2.4 Deformaci´ y b) configuración final P 0′ - P ′

−→ −→

Denominamos vectores desplazamiento de los puntos P 0 y P a u0 y u , respectivamente. Al estar muy próximos ambos puntos, es posible obtener el valor de u utilizando el desarrollo en serie de Taylor en el entorno del punto P 0 como sigue, ∂ u ∂ u ∂ u rx + ry + rz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v = v 0 + rx + ry + rz ∂x ∂y ∂z ∂ w ∂ w ∂ w w = w 0 + rx + ry + r z ∂x ∂y ∂z

−→

u = u 0 +

(2.5)

donde u , v y w son las componentes del desplazamiento en la dirección de los ejes x , y y z , respectivamente.

on del vector r Figura 2.5 Variaci´ Los términos del desarrollo de grado mayor a uno se han despreciado debido a la (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

17

Deformaciones

−→

hipótesis de peque˜ on del vector r que se muestra en nas deformaciones . La variaci´ la Figura 2.5 será:

− −→ −→ → −r = −→u − −u→0

∆r = r

′

(2.6)

Sustituyendo las expresiones (2.5) en (2.6) y desarrollando esta última, se obtiene: ∂u ∂u ∂ u rx + ry + rz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂ v ∆ry = rx + ry + rz ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∆rz = rx + r y + r z ∂x ∂y ∂z

∆rx =

(2.7)

Expresando (2.7) en forma matricial se tiene

            ∆rx ∆ry ∆rz

=

∆r

∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x

            

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z

rx ry rz

(2.8)

r

J

Donde la“matriz”J se denomina tensor gradiente de desplazamientos . Dicho tensor se puede descomponer en un tensor simétrico y otro antisim´ etrico como sigue J = ε + ω ,

(2.9)

siendo ε es el tensor de pequeñas deformaciones, que desarrollando sus componentes se tiene

ε

      y

ω

=

∂u ∂x

1 2

∂u ∂v + ∂y ∂x

1 2

∂u ∂w + ∂z ∂x

  1 2

εx εxy εxz



   1 2

εxy εy εyz

εxz εyz εz

∂u ∂v + ∂y ∂x ∂v ∂y ∂v ∂w + ∂z ∂y

 

=

    1 2

∂u ∂ w + ∂z ∂x

1 2

∂v ∂w + ∂z ∂y ∂w ∂z

    

es el tensor de rotación, que desarrollado tiene de componentes (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(2.10)

18


ω

 −

=

0

ωxy

0

ωxy ωxz

−

     

1 2

0

1 2

∂v ∂x

1 2

∂w ∂x

−

∂ u ∂y

− ∂∂zu



   1 2

yz

−

∂v ∂x

0 ∂w ∂y

=

0

−ω

∂u ∂y

      ωxz ωyz

− ∂∂zv

1 2

∂u ∂z

1 2

∂v ∂z

−

∂ w ∂x

− ∂∂yw 0

    

(2.11)

La expresión (2.8) se puede expresar, en forma matricial, teniendo en cuenta (2.9) como ∆r = (ε + ω) r = u-u 0

(2.12)

que coincide con la expresión (2.6), esta expresada en forma vectorial. La ecuación anterior implica que la variación relativa de la distancia entre dos puntos infinitamente próximos de un sólido elástico se puede expresar sumando a u una componente de deformación y otra componente de giro. En forma matricial, puede expresarse como

−→

u = u 0 + ε r + ω r

(2.13)

−→

En la Figura 2.6 a) los puntos P 0 y P (vector r ) han sufrido una traslación como s´ olido r´ıgido hasta las posiciones P 0 y P respectivamente, definida por el vector u0 . En la Figura 2.6 b) se produce una rotaci´ on como sólido r´ıgido del segmento P 0 P alr rededor del punto P 0 , de valor ω (ω r ) (por la hipótesis de peque˜ nos desplazamientos se aproxima el arco a la tangente). ′

′′

′

′′

−→

′

on en el entorno de un punto: a) traslación y b) giro Figura 2.6 Deformaci´ ′

−→

Finalmente, para pasar a la posición P se produce una deformación del vector r de valor εr (ε r ). En la Figura 2.7 se muestra la descomposición completa de la deformaci´ on en el entorno de un punto. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

19

Deformaciones

on en el entorno de un punto: descomposición Figura 2.7 Deformaci´ 2.2.1

Vector deformaci´ on. Componentes intr´ınsecas

En todo punto de un sólido donde esté definido el tensor de pequeñas deformaciones, para cada dirección r hay asociado un vector deformación εr que se calcula mediante la expresi´ on matricial

−→

−→

r ε

= εr =

 

εx εxy εxz

 

εx εxy εxz

εxy εy εyz

−→

εxz εyz εz

   

   

rx ry rz

(2.14)

−→

Si se utiliza el vector unitario de r , denominado n , se obtiene el vector deformación unitaria εn

−→

n ε

= εn =

εxy εy εyz

εxz εyz εz

l m n

(2.15)

−→

siendo (l,m,n) los cosenos directores (las componentes) del vector n .

Figura 2.8 Componentes intr´ınsecas del vector deformación

La componente intr´ınseca normal, la deformación normal, es la proyección del vector deformación εr sobre n . Se obtiene mediante las expresiones

−→

−→

−→ · −→n

εr = εr

(Vectorialmente)

εr = n T εr = n T εr (Matricialmente)

(2.16)

La Figura 2.8 a) muestra gráficamente esta proyección. La deformaci´ on longitudinal unitaria se calcula mediante la expresión

−→ · −→n

εn = εn

(Vectorialmente)

εn = n T εn = n T εn (Matricialmente) (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(2.17)

20


La componente intr´ınseca tangencial (la deformación tangencial o transversal) ε t se define como la proyección del vector deformación sobre el plano definido por n , tal como se muestra en la Figura 2.8 a). Se calcula mediante las expresiones

−→

−→ · −→t

εt = εr

(Vectorialmente)

(2.18)

εt = t T εr = t T εr (Matricialmente)

La componente intr´ınseca tangecial del vector deformaci´ on tangencial unitaria se calcula mediante las expresiones

−→ · −→t

εt = εn

(Vectorialmente)

(2.19)

εt = t T εt = t T εn (Matricialmente)

−→

−→

siendo t el vector tangente al plano y perpendicular a n . La deformaci´ on tangencial también puede obtenerse vectorialmente, como

→n | |ε | = |−→ εr − εr − t

(2.20)

(2.21)

o en el caso del vector deformación unitaria como

→n | |ε | = |−→ εn − ε − t

n

La deformaci´ on angular φ, que se representa en la Figura 2.8 b), coincide con la deformación tangencial unitaria ε t expresada en radianes. 2.2.2

Deformaciones principales y direcciones principales de deformaci´ on

Al ser el tensor de pequeñas deformaciones sim´ etrico, se puede afirmar que existirán en cada punto del sólido elástico tres direcciones perpendiculares entre s´ı, correspondientes a sendos planos, en los que no hay distorsión o deformaci´ on angular. Es decir, en forma matricial, se verifica n = ε n = ε In

ε

(2.22)

que se puede expresar como [ε

− εI] n = 0

(2.23)

siendo ε el tensor de pequeñas deformaciones, I la matriz identidad y ε el módulo de la deformación longitudinal. Por tanto, εI = ε

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

    =

ε 0 0 0 ε 0 0 0 ε

 

(2.24)

Expresando la ecuaci´ on (2.23) en forma paramétrica se tiene

 

(εx εxy εxz

− ε) l + ε m + ε n = 0 l + ( ε − ε) m + ε n = 0 l + ε m + ( ε − ε) n = 0 xy

xz

y

yz

yz

z


(2.25)

21

Deformaciones

que es un sistema de tres ecuaciones algebraicas homogéneas lineales. Las componentes del vector unitario n son las incógnitas, debiendo estas satisfacer por el carácter unitario del vector normal, la siguiente expresión

−→

l2 + m2 + n2 = 1

(2.26)

−→

siendo (l,m,n) los cosenos directores del vector n . Dichos cosenos directores no pueden ser todos cero, ya que deben satisfacer la ecuación (2.26). Para que un sistema de ecuaciones homogéneas lineales tenga una solución distinta a la trivial, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz de coeficientes sea igual a cero, es decir

 

−

 

εx ε εxy εzx εxy εy ε εyz εzx εyz εz ε

−

−

= 0.

(2.27)

Al desarrollar este determinante se obtiene una ecuación c´ ubica, a la que denominamos ecuaci´ on caracter´ıstica ,

−ε3 + I 1ε2 − I 2ε + I 3 = 0

(2.28)

siendo I 1 = ε x + εy + εz I 2 =

 

εy εyz

εyz εz

I 3 =

 

+

| |= ε

   

εx εxz

εxz εz

εx εxy εzx

εxy εy εyz

 

+

 

εzx εyz εz

εx εxy

εxy εy

 

(2.29)

 

(2.30)

(2.31)

Las ra´ıces εi , siendo i = 1, 2, 3, de la ecuación caracter´ıstica (los valores propios de ε) reciben el nombre de deformaciones principales . Las direcciones de estas deformaciones principales, es decir, los vectores propios de ε, se denominan direcciones a que ε 1 es la ra´ız mayor (algebraicamente) principales de deformaci´ on . Se convendr´ y ε3 la menor. En todo punto interior de un sólido elástico existen, si el determinante del tensor de peque˜ nas deformaciones es distinto de cero, tres direcciones principales ortogonales entre s´ı, que son las direcciones principales de deformación. Los valores de las deformaciones principales son independientes del sistema de referencia adoptado, y son los valores máximos y m´ınimos que pueden adoptar las deformaciones en el entorno del punto considerado. Quiere esto decir que las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica son invariantes. Esto implica que los coeficientes I 1 , I 2 e I 3 de la ecuación caracter´ıstica también son invariantes. A I 1 se le denomina invariante lineal, dilatación c´ ubica o dilatación volumétrica. Se denota por e y representa el incremento de volumen unitario ∆ V que sufre un paralelep´ıpedo elemental de lados dx, dy, dz y de volumen dV = dxdydz . e =

∆V dV

≈ ε1 + ε2 + ε3 ≈ ε + ε + ε x

y

z


(2.32)

22


2.3

Deformaci´ on plana

Si se admite que los desplazamientos en un sólido elástico se producen exclusivamente en un plano, las componentes de los desplazamientos son independientes de la coordenada del eje perpendicular al plano. Se dice entonces que dicho sólido está sometido a deformaci´ on el xy , se on plana . As´ı, considerando como plano de deformaci´ cumple que u = u (x, y ) , v = v (x, y ) , w = 0

(2.33)

Las ecuaciones anteriores, implican que 1 ∂u ∂v εx = , εy = , εxy = 2 ∂x ∂y



∂u ∂v + ∂y ∂x



(2.34)

=0

(2.35)

y 1 ∂w = 0, εxz = εz = 2 ∂z



∂u ∂w + ∂z ∂x



= 0, εyz

1 = 2



∂v ∂w + ∂z ∂y



Por tanto, el tensor de pequeñas deformaciones, para el caso de deformación plana en el plano xy , adopta la forma ε

2.4

=



εx εxy

εxy εy



(2.36)


Ejercicio 2.1

El campo vectorial de desplazamientos en el entorno del punto P de un medio continuo es u = 4xy 10−5 ,

·

v = 3xy 2 10−5 ,

·

siendo las unidades en mil´ımetros.

w = xz 10−5

Se pide: 1. Calcular el tensor de peque˜ nas deformaciones 2. Calcular el tensor de rotaci´ on Soluci´ on:

1. Calcular el tensor de peque˜ nas deformaciones:

ε

=

 

4y 2x + 23 y 2 z2 2x + 23 y2 6xy 0 z 0 x 2

 ·

10

5

−


·

23

Deformaciones

2. Calcular el tensor de rotaci´ on:

ω

=

  −

0

2x

2x + 23 y2

− 23 y2 − z2 0 0

z

2

0 0

  ·

10

5

−

Ejercicio 2.2

Conociéndose el tensor de pequeñas deformaciones ε en el entorno de un punto de un sólido elástico, se pide:

−→

1. Calcular las componentes intr´ınsecas de la deformación del vector r Datos:

ε

=

− − −→k . −→ →

 

−

− 12

8 8 8 12 1 0 2

0 1

 ·

5

−

10

siendo r = i Soluci´ on:

−→

1. Calcular las componentes intr´ınsecas de la deformación del vector r εr =

10 √ · 10 2

εt =

√ 177 · 10 354

5

−

5

−

Ejercicio 2.3

Conociéndose el tensor de pequeñas deformaciones ε en el entorno de un punto de un sólido elástico trabajando a deformaci´ on plana, se pide:

1. Calcular las deformaciones principales 2. Calcular las direcciones principales de deformación Datos: ε

=



120 80

−

−80  · 10

6

−

100


24


Soluci´ on:

1. Calcular las deformaciones principales:

ε1 = ε2 =

√  110 + 10 65 · 10 √  110 − 10 65 · 10

 

6

−

6

−

2. Calcular las direcciones principales de deformación:

n1 = n2 =

 ±  ±

0, 7497 0, 6618

∓0, 6618  ∓0, 7497 

T T


Lecci´ on 3

Tensiones Contenidos 3.1. Concepto de tensi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2. Componentes del vector tensi´ on

. . . . . . . . . . . . . .

27

3.3. Denominaci´ o n de las tensiones. Criterio de signos . . . .

28

3.4. F´ o rmula de Cauchy. El tensor de tensiones . . . . . . . .

28

3.5. Ecuaciones de equilibrio interno

. . . . . . . . . . . . . .

30

3.6. Cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . .

34

3.7. Tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.8. Valores m´ aximos de las componentes intr´ınsecas de la tensi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.9. Tensi´ on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.9.1. Curvas representativas de un estado tensional plano . . . . 3.10. Representaci´ on del estado tensional en el entorno de un punto. C´ırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10.1. Construcción del c´ırculo de Mohr en tensión plana . . . . .

40 41

41

3.10.2. Construcción de los c´ırculos de Mohr de un estado general de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.10.3. Cálculo gráfico de las componentes intr´ınsecas del vector tensi´ on para una dirección dada . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

26

3.1


Concepto de tensi´ on

Al deformarse un sólido bajo la acción de unas cargas, la variación relativa de la distancia entre las part´ıculas que lo constituyen no es indefinida debido a la acci´ on de las fuerzas de atracción intermoleculares, a excepción de que se produzca la rotura del sólido. Sea un sólido en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas exteriores y a fuerzas por unidad de masa como se muestra en la Figura 3.1 a). Mediante un corte imaginario a dicho sólido por una superficie arbitraria, como el que se muestra en la Figura 3.1 b), se aisla un trozo de sólido. En el interior del sólido act´ uan las fuerzas por unidad de masa correspondientes. En el contorno actúan fuerzas por unidad de on de cada una de las superficie que en la superficie de corte corresponden a la acci´ dos partes en que se divide el sólido sobre la otra. Por equilibrio, ambos conjuntos de fuerzas por unidad de superficie han de ser iguales y de sentidos contrarios.

Figura 3.1 Concepto de tensión: a) s´ olido en equilibrio y b) sección de dicho sólido

Estas fuerzas por unidad de superficie no son fuerzas actuantes sobre el exterior del sólido. Son fuerzas internas y resultantes a nivel macroscópico de las fuerzas intermoleculares que se oponen a las separaciones entre mol´ eculas del sólido. No obstante, tanto las fuerzas por unidad de superficie que actúan en el exterior del sólido como estas fuerzas internas, tienen el mismo sentido f´ısico: son fuerzas actuantes por unidad de superficie. Cada una de estas fuerzas recibe el nombre de vector tensión y se denota como t . En el contorno exterior del sólido, la superficie sobre la que actúan las fuerzas exteriores está perfectamente definida en cada punto del mismo (el vector normal al contorno en dicho punto es único) y la tensión es una función de punto t ( x,y,z ). Sin embargo, para caracterizar el vector tensión en un punto interior del sólido es

−→

−→


27

Tensiones

necesario indicar el plano de corte, tangente a dicho punto, utilizado. Este plano queda definido si se conoce su normal n . Es pues una hipótesis aceptable considerar que el vector tensión asociado a un punto interior de un sólido elástico depende del punto considerado y de la normal en tal punto al plano tangente considerado tn (x,y,z, n ). Ya que por un punto pasan infinitos planos, habrá infinitos vectores tensión asociados a un mismo punto. Cabe preguntarse ¿cómo es posible sacar conclusiones sobre el estado tensional en cualquier punto de un sólido, si la magnitud que lo define var´ıa según el plano que se considere? ¿Existe alguna relación que ligue estos infinitos vectores tensión? En el desarrollo del tema se responderán estas cuestiones.

−→

−→

3.2

−→

Componentes del vector tensi´ on

Una descomposición habitual del vector tensió n asociado a un punto de un sólido elástico, referido a un plano de normal n , se realiza mediante la descomposición en sus componentes normal y tangencial, como se muestra en la Figura 3.2 a). La componente normal se denomina tensión normal σ , y la componente tangencial se denomina tensión tangencial τ . Ambas reciben el nombre de componentes intr´ınsecas del vector tensión.

−→

Figura 3.2 Vector tensi´ on. a) Componentes intr´ınsecas normal y tangencial. b)

Componentes globales

−→

−→

La componente intr´ınseca normal σ es la proyección del vector tensión tn sobre n . De forma vectorial, se calcula mediante la expresión

−→ · −→n

σ = tn

(3.1)

y de forma matricial, mediante la expresión σ = n T tn

(3.2)

−→

La componente intr´ınseca tangencial τ es la proyección del vector tensión tn sobre el plano. De forma vectorial, se calcula mediante las expresiones

−→ −→ τ = tn · t

o

−→ − −→

τ = tn

σn


(3.3)

28


−→

siendo t el vector tangente al plano. En forma matricial, τ se calcula mediante la expresi´ on τ = t T tn

(3.4)

Las componentes del vector tensión en un sistema de coordenadas ortogonal, como el que se muestra en la Figura 3.2 b), reciben el nombre de componentes globales del vector tensión.

3.3

Denominaci´ on de las tensiones. Criterio de signos

Se considerará positivo el vector tensión con sentido hacia el exterior del sólido. En la Figura 3.3 a) se muestran las componentes globales de la tensión respecto a seis planos paralelos a los coordenados de un sistema cartesiano de ejes. El vector tensión se descompone en la dirección normal al plano y en dos direcciones perpendiculares entre s´ı, contenidas en el plano como se muestra en la Figura 3.3 b).

Figura 3.3 Vectores tensi´ on: a) direcciones y sentidos positivos, y b) componentes

globales de los vectores tensión Se denotar´ a a la componente normal al plano con σ y vendrá afectada del sub´ındice correspondiente al eje perpendicular al plano. Las componentes tangenciales se denotar´ an con τ y vendrán afectadas de dos sub´ındices. El primero corresponde al eje perpendicular al plano donde está contenida y el segundo al eje al que es paralela. Debido al criterio de tensiones positivas, los valores positivos de las componentes de la tensión en las caras del primer octante (vistas) corresponden a sentidos positivos de los ejes cartesianos y en las caras ocultas a sentidos negativos de dichos ejes.

3.4

F´ ormula de Cauchy. El tensor de tensiones

En el apartado 3.1 se afirmó que en un punto existen infinitos vectores tensión asociados a los infinitos planos que pasan por dicho punto. Surg´ıa la pregunta de si existe alguna relación entre esos infinitos vectores tensión. Tal relación existe y viene dada por la f´ ormula de Cauchy. Para deducir la fórmula de Cauchy, se parte de un tetraedro infinitesimal en el entorno de un punto P . Tres de las caras son paralelas a los planos coordenados y (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

29

Tensiones

se cortan en el punto P , Figura 3.4 a), y la otra cara viene definida por un plano inclinado de normal n , Figura 3.4 b).

−→

Figura 3.4 Tetraedro infinitesimal formado por a) caras paralelas a los planos coordenados y b) un plano de normal n

−→

−→

Si el área de la superficie de normal n comprendida en el primer octante es dA , las áreas de las otras tres superficies que forman el tetraedro serán dAx = dA cos α = dA l dAy

= dA cos β = dA m

dAz

= dA cos γ = dA n

(3.5)

−→

siendo l , m y n los cosenos directores de n .

Figura 3.5 a) Tensiones sobre las caras del tetraedro. b) Vector tensión sobre el plano de normal n

−→

Estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección x , Figuras 3.5 a) y b), se obtiene

−σ dA x

x +

( τ yx ) dAy + ( τ zx ) dAz + tnx dA + bx dV = 0

−

−

(3.6)

donde bx es la componente en x de las fuerzas por unidad de volumen. Sustituyendo las expresiones (3.5) en la ecuación (3.6), se obtiene

−σ dA l + (−τ x

yx ) dAm

+ ( τ zx ) dAn + tnx dA + bx dV = 0

−

(3.7)

Dividiendo por dA y despreciando las fuerzas por unidad de volumen frente a las fuerzas por unidad de superficie, la ecuación de equilibrio de fuerzas en dirección x , es (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

30


σx l + τ yx m + τ zx n = t n x

(3.8)

Planteando el equilibrio de fuerzas en las direcciones y y z , se obtienen las ecuaciones τ xy l + σy m + τ zy n = tn y

τ xz l + τ yz m + σz n = tn z

(3.9) (3.10)

Estas tres ecuaciones se pueden expresar en forma matricial expandida como tn x

      tn y

=

tn z

σx

τ yx

τ zx

τ xy

σy

τ zy

τ xz

τ yz

σz

     l

(3.11)

m n

o bien, en forma matricial compacta tn = σ n

(3.12)

A σ , que contiene los valores de las componentes de las tensiones en cada plano, se le denomina tensor de tensiones. Las expresiones (3.11) y (3.12), indican que el vector tensión tn (tn ) correspondiente a un plano de normal n (n) se obtiene multiplicando el tensor de tensiones por el vector unitario normal a dicho plano. Por consiguiente, el estado tensional en el interior de un sólido es conocido si lo es, en todos sus puntos, el tensor de tensiones.

−→

3.5

−→

Ecuaciones de equilibrio interno

Para su deducción se considerará el equilibrio de un elemento diferencial en el entorno de un punto interior de un sólido elástico, formado por un paralelep´ıpedo infinitesimal cuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Las tensiones que actúan sobre cada una de las caras se muestran en las Figuras 3.6 a) y b). Se admite que las componentes de las tensiones son funciones continuas de las coordenadas del punto en que actúan (hipótesis de medio continuo ) y que sus incrementos se pueden poner en función de las derivadas primeras de las componentes respecto a dichas coordenadas (hipótesis de peque˜ nas deformaciones ). Si en la cara ∂σ x dx. ∂x Sobre el elemento diferencial también actuarán las fuerzas de volumen bx , by y bz .

ua la tensión normal σx , en la cara x = c + dx actuar´ a la tensión σx + x = c act´

Para que el elemento esté en equilibrio deben ser nulos los sumatorios de las proyecciones sobre cada uno de los tres ejes de todas las fuerzas actuantes y los sumatorios de momentos de todas las fuerzas respecto a cada eje.


31

Tensiones

Figura 3.6 Tensiones sobre las caras del paralelep´ıpedo elemental: a) caras vistas

y b) caras ocultas Considerando positivo el sentido de los ejes que se muestra en la Figura 3.7, el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x será:

Figura 3.7 Tensiones que intervienen en el equilibrio de fuerzas en dirección del eje x

  

  

∂σ x σx + dx dydz σx dydz ∂x ∂ τ yx τ yx + dy dxdz τ yx dxdz ∂y ∂τ zx τ zx + dz dxdy τ zx dxdy ∂z

−

− −

  

+ +

(3.13)

+ bx dxdydz = 0

Planteando el equilibrio en las otras dos direcciones, se obtienen las ecuaciones: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

32


     

     

∂σ y σy + dy dxdz ∂y ∂ τ xy τ xy + dx dydz ∂x ∂τ zy τ zy + dz dxdy ∂z

y

− τ

xy dydz

− τ

∂σ z dz dxdy ∂z ∂τ xz τ xz + dx dydz ∂x ∂τ yz τ yz + dy dxdz ∂y σz +

− σ dxdz zy dxdy

− σ dxdy z

− τ

xz dydz

− τ

yz dxdz

     

+ +

(3.14)

+ by dxdydz = 0

+ +

(3.15)

+ bz dxdydz = 0

Dividiendo las expresiones (3.13), (3.14) y (3.15) por dxdydz , queda el sistema de ecuaciones: ∂σ x ∂ τ yx ∂τ zx + + + bx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂ σy ∂τ zy + + + by = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂ τ yz ∂σ z + + + bz = 0 ∂x ∂y ∂z

(3.16)

que son las ecuaciones de equilibrio interno en un paralelep´ıpedo elemental, y relacionan las tensiones con las fuerzas de volumen o de masa. Las condiciones de equilibrio planteadas en (3.13), (3.14) y (3.15) son necesarias pero no suficientes. Para que el paralelep´ıpedo esté en equilibrio estático es necesario que exista equilibrio de momentos. Tomando momentos respecto a un eje paralelo z’ , paralelo al z , que pase (para mayor comodidad) por el centro del paralelep´ıpedo, las componentes que contribuyen al equilibrio de momentos respecto a este eje se muestran en la Figura 3.8. Se debe tener en cuenta que las componentes normales de la tensión se cortan o son coincidentes con el eje z ′ , por lo que no producen momentos. As´ı mismo, tampoco producen momentos las componentes tangenciales de la tensión paralelas o que cortan al eje. Las tres componentes de las fuerzas de volumen, supuestamente localizadas en el centro del paralelep´ıpedo, tambi´ en cortan al eje y no producen momentos. La condición de equilibrio de momentos respecto al eje considerado es, por tanto:

  −

 

∂ τ xy dx + τ xy + τ xy dydz dx dydz 2 2 ∂x ∂τ yx dy dy =0 τ yx dxdz τ yx + dy dxdz 2 2 ∂y dx

−

(3.17)

Tomando momentos respecto a otros dos ejes, paralelos al x e y de referencia, que pasen por el centro del paralelep´ıpedo, se obtienen las ecuaciones de equilibrio (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

33

Tensiones

Figura 3.8 Tensiones que intervienen en el equilibrio de momentos alrededor de un eje perpendicular al plano xy que pasa por el centro del paralelep´ıpedo

  −   −

dy

   

∂ τ yz dy + τ yz + τ yz dxdz dy dxdz 2 2 ∂y ∂ τ zy dz dz =0 τ zy dxdy τ zy + dz dxdy 2 2 ∂z

τ xz dydz τ zx dxdy

dx

2

dz

2

−

(3.18)

∂ τ xz dx dx dydz 2 ∂x ∂ τ zx dz =0 τ zx + dz dxdy 2 ∂z

+ τ xz +

−

(3.19)

Dividiendo las expresiones (3.17), (3.18) y (3.19) por dxdydz , se obtiene τ xy = τ yx ,

τ xz = τ zx ,

τ yz = τ zy

(3.20)

Estas igualdades expresan matemáticamente el Teorema de Reciprocidad de las Tensiones tangenciales: las componentes de las tensiones tangenciales en un punto correspondientes a dos planos perpendiculares, en la direcci´ on normal a la arista de su diedro, son iguales . El sentido de dichas componentes es tal que considerando un

diedro recto, ambas se dirigen hacia la arista o ambas se separan, como se muestra en la Figura 3.9.

Figura 3.9 Sentido de las tensiones tangenciales

A partir de estos resultados se puede afirmar que el tensor de tensiones es sim´ etrico, quedando de la forma (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

34


σ

3.6

=

 

σx τ xy τ xz

τ xy σy τ yz

τ xz τ yz σz

 

(3.21)

Cambio de sistema de referencia

−→

−→

Conocido el tensor de tensiones, el vector tensión tn sobre un plano de normal n viene dado por la fórmula de Cauchy (en notación matricial) tn = σ n

Las componentes del tensor de tensiones están referidas a un sistema de referencia xyz como se muestra en la Figura 3.10 a).

Figura 3.10 a) Componentes de la tensión referidas a un sistema xyz . b) Componentes de la tensión referidas a un sistema x ∗ y ∗ z ∗

Se considerará un nuevo sistema de referencia ortogonal con el mismo origen que el anterior, pero con distinta orientación como se muestra en la Figura 3.10 b). ¿Cuáles ser´ an las componentes del tensor de tensiones en este nuevo sistema? En lo que sigue de apartado se utilizará notaci´ on matricial. Sea σ el tensor de tensiones referido a este nuevo sistema. El vector tensión tn* , correspondiente a un plano cuya orientación viene definida por el vector unitario n * , es ∗

tn* = σ ∗ n*

(3.22)

Los vectores tensión en ambos sistemas, referidos al mismo plano, están relacionados mediante la matriz de rotación de ejes R por la ecuación tn* = R tn

(3.23)

Las filas de la matriz de rotación de ejes son los cosenos de los ángulos formados por cada eje nuevo con los antiguos, medidos en sentido antihorario del antiguo al nuevo sistema, (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

35

Tensiones

R =

 

cos θxx cos θxy cos θxz

cos θyx cos θyy cos θyz

∗

∗

∗

∗

∗

∗

cos θzx cos θzy cos θzz

 

∗

∗

∗

(3.24)

Las componentes de los vectores unitarios en ambos sistemas de referencia están ligadas por la relaci´ on n* = R n

(3.25)

Al ser la matriz de cambio de ejes ortogonal (por pasar de un sistema de coordenadas ortogonal dextrógiro a otro sistema de coordenadas ortogonal dextr´ ogiro), su inversa − 1 T es igual a la traspuesta, R = R . Por tanto, se cumple n = R −1 n* = R T n*

(3.26)

La expresión (3.25), teniendo en cuenta la fórmula de Cauchy y la ecuación (3.26), se expresa como tn* = R tn = R

σ

n = R σ RT n*

(3.27)

Sustituyendo (3.22) en (3.27) σ

∗ n* = R σRTn*

y dividiendo por n*, se obtiene la relación que liga σ

∗

= R

σ

(3.28) σ

y

σ

∗

RT

(3.29)

La ecuación (3.29) permite obtener el tensor de tensiones en cualquier sistema de referencia conocidos el tensor en otro sistema de referencia y la matriz de rotación de ejes entre ambos sistemas.

3.7

Tensiones principales

Mediante la fórmula de Cauchy en forma matricial tn = σ n

conocido el tensor de tensiones σ , se obtiene el vector tensión correspondiente a un determinado plano multiplicando el tensor de tensiones por el vector unitario n normal a dicho plano.

−→

Figura 3.11 Vector tensión coincidente con la normal al plano (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

36


Si la dirección del vector normal y del vector tensión coinciden, Figura 3.11, la componente intr´ınseca tangencial es nula, existiendo solamente componente intr´ınseca normal. En este caso, se verifica, continuando en notación matricial σ

n = σ n = σ In

(3.30)

o bien, pasando al primer miembro [σ

− σI] n = 0

(3.31)

siendo σ el tensor de tensiones, I la matriz identidad y σ el módulo de la tensión normal. Por tanto, σ I = σ

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

   

0 0 σ 0 0 0 σ

σ

=

0

 

(3.32)

La ecuación (3.31) es un sistema de tres ecuaciones algebraicas homogéneas lineales, con los cosenos directores ( l,m,n) como incógnitas. Adem´ as, las incógnitas deben satisfacer, por el carácter unitario del vector normal, la ecuación l2 + m2 + n2 = 1

(3.33)

Desarrollando la ecuación (3.31), se tiene

 

(σx τ xy τ xz

− σ) l + τ m + τ n = 0 l + ( σ − σ ) m + τ n = 0 l + τ m + (σ − σ ) n = 0 xy

xz

y

(3.34)

yz

yz

z

Los tres cosenos directores no pueden ser todos cero, ya que deben satisfacer la ecuaci´ on (3.33). Para que un sistema de ecuaciones homogéneas lineales tenga solución distinta de la trivial, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz de coeficientes sea igual a cero

 

−

σx σ τ xy τ xz

τ xy

τ xz τ yz

−

σy σ τ yz

σz

−σ

 

=0

(3.35)

Al desarrollar este determinante se obtiene una ecuació n c´ ubica, denominada ecuaci´ on caracter´ıstica

−σ3 + I 1σ2 − I 2σ + I 3 = 0

(3.36)

siendo

I 1 I 2

I 3

= σx + σy + σz = =

  | |  σy τ yz

σ

=

τ yz σz σx τ xy τ zx



+



τ xy σy τ yz

σx τ xz τ zx τ yz σz

  

τ xz σz

+



σx τ xy


(3.37) τ xy σy



(3.38) (3.39)

37

Tensiones

Las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica (los valores propios de σ ) reciben el nombre de tensiones principales . Se denominan σi , siendo i = 1,2,3. Las direcciones correspondientes de las tensiones principales (los vectores propios de σ ) reciben el nombre de direcciones principales. Se convendrá que σ 1 es la ra´ız mayor (algebraicamente) y astico existen, si el determinante σ3 la menor. En todo punto interior de un sólido el´ de la matriz de tensiones es distinto de cero, tres direcciones ortogonales entre s´ı, que son las direcciones de las tensiones principales. Los valores de las tensiones principales son independientes del sistema de referencia adoptado, y son los valores máximos y m´ınimos que pueden adoptar las componentes del vector tensi´ on en el entorno del punto considerado. Esto implica que las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica son invariantes. Esta afirmaci´ on responde a la primera de las preguntas planteadas en el u ´ ltimo párrafo del apartado 3.1, concretamente, cómo era posible obtener informaci´ on del estado tensional de un sólido si la magnitud que lo define var´ıa según el plano que se considere. Puesto que las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica (las tensiones principales) no dependen de la elección del sistema de referencia, los coeficientes de dicha ecuación tampoco dependen del sistema de referencia. As´ı pues, las expresiones de I 1 , I 2 e I 3 son escalares invariantes, concretamente, se denominan invariante lineal, invariante cuadrático e invariante c´ ubico, respectivamente.

3.8

Valores m´ aximos de las componentes intr´ınsecas de la tensi´ on

Los valores máximos de las tensiones normales son las tensiones principales y corresponden a planos perpendiculares a las direcciones principales (planos de tensión tangencial nula). Al ordenar las tensiones principales tal que se cumpla que on de tracción (o m´ınima de compresión) corresponde σ1 σ2 σ 3 , la mayor tensi´ al plano principal 1, y la m´ınima tensión de tracción (o m´ axima de compresión) corresponde al plano principal 3.

≥ ≥

Figura 3.12 Normales de los planos de tensión tangencial m´ axima

Los valores máximos de la tensión tangencial corresponden a planos cuyas normales coinciden con las bisectrices de los ángulos rectos que forman las direcciones principales dos a dos, como se muestra en la Figura 3.12. La máxima de todas, de acuerdo con el criterio de ordenación de las tensiones principales adoptado, se produce según (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

38


la bisectriz de las direcciones principales 1 y 3, y su valor es τ ma´x = τ 13 =

σ1

− σ3

2 Los otros valores máximos de las tensiones tangenciales son

− σ2 2 σ3 − σ2 τ 23 = τ 12 =

σ1

2

3.9

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Tensi´ on plana

Un sólido está sometido a tensión plana si todas las componentes de la tensió n se encuentran en un mismo plano. Si el plano considerado es el xy, se verifica que σz = τ xz = τ yz = 0, y el tensor de tensiones es σ

=



σx τ xy

τ xy σy



(3.43)

Mediante la fórmula de Cauchy tn = σ n

es posible conocer las componentes del vector tensió n en un punto P respecto a cualquier plano cuya normal n forme un ángulo θ con el eje x , tal y como se muestra en la Figura 3.13.

−→

Figura 3.13 Componentes intr´ınsecas del vector tensión en un punto respecto a un plano de normal n

−→

La fórmula de Cauchy en forma expandida es

   tn x tn y

=

σx

τ xy

τ xy

σy

   l

m

=

σx

τ xy

τ xy

σy



cos θ sen θ



(3.44)

Las componentes globales del vector tensión son tn x = σ x cos θ + τ xy sen θ tn y = τ xy cos θ + σy sen θ

La componente intr´ınseca normal σ es (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(3.45)

39

Tensiones

σ

= nT tn =



=

cos θ



sen θ

σx cos θ + τ xy sen θ τ xy cos θ + σy sen θ

= σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2 τ xy sen θ cos θ



=

(3.46)

y la componente intr´ınseca tangencial τ τ = tT tn =

= =

 −

sen θ cos θ



σx cos θ + τ xy sen θ τ xy cos θ + σy sen θ

−σ cos θ sen θ + σ cos θ sen θ − τ x

y

xy



=

(3.47)

sen2 θ + τ xy cos2 θ

siendo



t =

cos (90 + θ ) cos θ

T

  − =

sen θ cos θ

Mediante las siguientes relaciones trigonométricas



T

1 + cos 2θ 2 1 cos2 θ sen2 θ = 2 sen2θ = 2 sen θ cos θ cos2 θ =

−

cos2θ = cos2 θ

− sen2 θ

las componentes intr´ınsecas normal y tangencial se pueden expresar como

σ

=

τ =

σx + σy

2

+

− σ −2 σ x

y

σx

− σ

y

2

cos2θ + τ xy sen 2θ

sen2θ + τ xy cos 2θ

(3.48) (3.49)

Dejando a un mismo lado de la igualdad los coeficientes multiplicados por funciones trigonométricas, las ecuaciones (3.48) y (3.49) quedan como

σ

− σ

x +

− σ 2 2 σ −σ τ = − 2 σy

=

σx

y

cos2θ + τ x y sen 2θ

(3.50)

x

y

sen 2θ + τ xy cos 2θ

(3.51)

Si el plano de referencia fuera principal, se verificar´ıa que τ = 0. As´ı, igualando a cero la ecuación (3.51) se obtiene el ángulo θ que forma la dirección principal 1 con el eje x τ xy

tan2θ = σ x

−σ

y

2


(3.52)

40 3.9.1


Curvas representativas de un estado tensional plano

Es posible representar gráficamente algunas caracter´ısticas que definen un estado tensional plano mediante una serie de curvas, algunas de las cuales se definen a continuaci´ on. L´ıneas isost´ aticas

Las l´ıneas isostáticas son las envolventes de las tensiones principales. Hay dos familias de estas curvas, cada una de las cuales corresponde a una de las tensiones principales. Por cada punto pasan dos isostáticas, una de cada familia, que son ortogonales entre s´ı. Las ecuaciones de las isostáticas se obtienen a partir de la ecuación τ xy

tan2θ = σ x

−

2tan θ = σy 1 tan2 θ

−

2

(3.53)

siendo θ el ángulo que forma la dirección principal 1 con la dirección positiva del eje x . Por tanto, se verifica tan θ =

dy dx

(3.54)

Sustituyendo (3.54) en (3.53), se obtiene

  dy dx

2

+

σx σy dy τ xy dx

−

que es una ecuación de segundo grado en dy = dx

− 2τ − σ σx

y

xy

− 1 = 0

(3.55)

dy , cuyas ra´ıces son dx

  ±

σx

−σ

y

2τ xy



2

+1

(3.56)

Las isostáticas son de gran utilidad en el diseño de elementos de hormigón armado, ya que las armaduras de acero que cosen las fisuras que las tracciones originan en el hormig´ on deber´ıan colocarse coincidentes con la familia de isostáticas correspondientes a la tensión principal 1. L´ıneas isobaras

Las l´ıneas isobaras unen puntos de igual valor de las tensiones principales correspondientes a cada familia de isostáticas. Las expresiones anal´ıticas son

σ1 = σ2 =

σx + σy

2 σx + σy

2

    −

+

σx

−σ

y

2

σx

−σ

y

2

 

2 2 = k + τ xy 1

(3.57)

2 = k + τ xy 2

(3.58)

2


41

Tensiones

L´ıneas de m´ axima tensi´ on cortante

Son las envolventes de las direcciones para las que la tensión tangencial es máxima en cada punto. Forman dos familias de curvas ortogonales que cortan a 45 o a las isostáticas. Las ecuaciones de estas curvas se obtienen a partir de la ecuación tan2θ =

− σ 2τ − σ

=

tan θ =

dy dx

x

y

xy

2tan θ 1 tan2 θ

−

como

(3.59)

Sustituyendo esta expresión en (3.59), se obtiene 2

 − dy dx

4τ xy σx

−

que es una ecuación de segundo grado en dy 2τ xy = dx σx σy

−

3.10

dy σy dx

− 1 = 0

(3.60)

dy , cuyas ra´ıces son dx

  ±

2τ xy σx

−σ

y



2

+1

(3.61)

Representaci´ on del estado tensional en el entorno de un punto. C´ırculos de Mohr

Los c´ırculos de Mohr permiten de forma gráfica resolver problemas de tensión plana y de estados generales de tensiones. 3.10.1

Construcci´ on del c´ırculo de Mohr en tensi´ on plana

Se utilizará el siguiente criterio: una componente normal o tangencial de tensión será positiva siempre que actúe sobre la cara positiva del elemento en la dirección positiva de los ejes (en la dirección negativa de los ejes sobre la cara negativa del elemento). El c´ırculo de Mohr se construye sobre un sistema de ejes de abscisa σ y de ordenada τ , como se muestra en la Figura 3.14. Para su trazado, se siguen los siguientes pasos: 1. Se representan los puntos A (σx , 0), B (σy , 0), C X (σx , τ xy )



σx + σy

2



, 0 y

2. Se traza la l´ınea C X . Esta es la l´ınea de referencia correspondiente a un plano en el cuerpo elástico cuya normal es la dirección x positiva. 3. Con centro en C y radio R = C X se traza una circunferencia


42


Figura 3.14 Construcci´ on del c´ırculo de Mohr Soluci´ on gr´ afica para tensiones sobre un plano inclinado

′ Si se conocen las tensiones σx , σ y y τ xy en un sistema xy , las tensiones σx′ , σ y′ y τ xy en cualquier plano inclinado que forme un ángulo θ con la dirección positiva del eje aficamente siguiendo el procedimiento que se muestra en la x , pueden obtenerse gr´ Figura 3.15 como sigue:

Figura 3.15 Soluci´ on gr´ afica para tensiones sobre un plano inclinado

1. Se traza el c´ırculo de Mohr según se ha descrito en el apartado anterior. 2. Para encontrar el punto sobre la circunferencia de Mohr que represente un plano en el cuerpo elástico cuya normal está girada un ańgulo θ (en sentido antihorario) respecto del eje x , hay que girar un ángulo 2θ (en sentido horario) (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

43

Tensiones

a partir de la l´ınea CX . El punto X ′ de intersección de la recta girada con la ′ . circunferencia es el punto buscado, cuyas coordenadas son σx′ , τ xy

 

3. La abscisa del punto D ′ , que está en el extremo opuesto del diámetro que pasa ′ . por X ′ es σy′ , siendo las coordenadas del punto σy′ , τ xy



−



Soluci´ on gr´ afica para el c´ alculo de tensiones y direcciones principales

Figura 3.16 Soluci´ on gr´ afica para el cálculo de tensiones y direcciones principales

La Figura 3.16 muestra un procedimiento sencillo para determinar gráficamente las tensiones y las direcciones principales de un estado tensional conocido. El c´ırculo de Mohr se construye como se indicó anteriormente. Por definición, en los planos principales, la componente intr´ınseca tangencial es nula. Los puntos de intersección del c´ırculo de Mohr con el eje de abscisas son puntos de componente τ = 0. Por tanto, representan el valor de las tensiones principales. La tensión tangencial máxima corresponde al radio del c´ırculo. Para obtener las direcciones principales se dibujan l´ıneas desde el punto X a los puntos σ1 y σ2 . La l´ınea Xσ1 es paralela al plano del cuerpo elástico sobre el que act´ ua la tensión σ 1 , mientras que la l´ınea X σ2 es paralela al plano del cuerpo elástico sobre el que actúa la tensión σ 2 . Téngase en cuenta que θ es el ángulo de inclinación de la normal del plano sobre el que actúa σ 1 , y no la inclinación del plano. 3.10.2

Construcci´ on de los c´ırculos de Mohr de un estado general de tensiones

Para construir los c´ırculos de Mohr de un estado general de tensiones es necesario referir el tensor de tensiones al sistema de ejes principales. Es decir, el tensor de tensiones debe tener la forma (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

44


σ

=

 

σ1

0

0 0

σ2

0 0

0

σ3

 

(3.62)

El método gráfico se muestra en la Figura 3.17 siguiendo estos pasos: 1. Situar en abscisas los puntos A (σ1 , 0), B (σ2 , 0) y C (σ3 , 0). 2. Construir las circunferencias C 1 con centro O1 C 2 con centro O2

y radio

σ1

− σ2 .



σ1 + σ3

2



,0

y radio

σ 1



σ2 + σ3

2



, 0 y radio

− σ3 , y C 3 con centro O3 2



σ2

− σ3 , 2

σ1 + σ2

2

,0



2

Figura 3.17 Construcci´ on de los c´ırculos de Mohr de un estado general de

tensiones Un estado tensional es posible si las componentes intr´ınsecas correspondientes son interiores a C 2 (o caen sobre C 2 ) y exteriores a C 1 y C 3 (o caen sobre C 1 o C 3 ). 3.10.3

C´ alculo gr´ afico de las componentes intr´ınsecas del vector tensi´ on para una direcci´ on dada

Para resolver el problema gráficamente es necesario que tanto el tensor de tensiones como el vector que define la dirección en la que se van a determinar las componentes intr´ınsecas, estén referidos al sistema de ejes principales. Además, dicho vector debe ser unitario. La Figura 3.18 muestra el método gr´ afico, que consiste en los siguientes pasos: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

45

Tensiones

1. Construcci´ on de los c´ırculos de Mohr como se indicó en el apartado anterior (el punto correspondiente a las componentes intr´ınsecas debe ser exterior a las circunferencias primera y tercera, e interior a la segunda, o bien, se hallará en alguna de las tres). 2. Usando los datos de l y n , se trazan por los puntos correspondientes a σ1 y σ3 del eje de abscisas, las rectas inclinadas mostradas en la Figura 3.18, cuyos ángulos con la dirección del eje de ordenadas son, respectivamente α = arc cos l γ = arc cos n

Estas rectas cortan a la circunferencia C 2 en los puntos P y Q 3. Se trazan sendas circunferencias con centros en O1 y O3 , que pasen por Q y P , respectivamente 4. El punto S de intersección de ambas circunferencias es el extremo del vector tensi´ on buscado. Sus proyecciones sobre el sistema σ -τ son las componentes intr´ınsecas

Figura 3.18 Construcci´ on de los c´ırculos de Mohr de un estado general de

tensiones

3.11


Ejercicio 3.1

Conocido el tensor de tensiones en el entorno de un punto de un sólido elástico, se pide: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

46


1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje x y su traza es bisectriz del plano y z 2. Calcular las componentes intr´ınsecas del vector tensión referido al plano definido en el apartado anterior Datos:

σ

=

 −

2 1 1 4 4 0

−4 0 1

siendo MPa las unidades de la tensión σ .

 

Soluci´ on:

1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje x y su traza es bisectriz del plano y z

tn =

√      − √     −   √  tn x tn y tn z

=

5 2 2 2 2 2 2

2. Calcular las componentes intr´ınsecas del vector tensión referido al plano definido en el apartado anterior

σ = 2, 5 MPa τ = 3, 8406 MPa

Ejercicio 3.2

Conocido el tensor de tensiones en un punto de un sólido elástico, se pide calcular: 1. Los planos de tensi´ on normal máxima 2. La normal unitaria del plano libre de tensiones Datos:

σ

=

 

3 1 1 1 0 2 1 2 0

siendo las unidades de la tensión σ MPa.

 


47

Tensiones

Soluci´ on:

1. Los planos de tensi´ on normal máxima

n1 = n2 = n3 =

 ± ± ±   ∓ ± ±   ± ∓  √ 2

6

√ 1

6

√ 1

√ 1

√ 1

√ 1

3

6

3

√ 1

0

T

3

T

√ 1

2

T

2

2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

n =

 ∓

√ 2

6

± √ 1

6

± √ 1

6

T



Ejercicio 3.3

Conocido el tensor de tensiones en un punto de un sólido elástico, se pide 1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejes generado al girar 60◦ los ejes x e y alrededor del eje z , en sentido antihorario, manteniendo este último fijo Datos:

σ

=

  −−

1 1 1

−1 −1 −3 3 3 −3

siendo MPa las unidades de la tensión σ .

 

Soluci´ on:

1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejes generado al girar 60◦ los ejes x e y alrededor del eje z , en sentido antihorario, manteniendo este último fijo

σ

*

=

 √  − √  −  − √

4+ 3 2 1 2 3 2 1+3 3 2

1

− 2√ 3 −1 + 3√ 3 2 √ 23 √ 3+ 3

2 3+ 3 2

√

2

−3

   


Lecci´ on 4

Leyes de comportamiento Contenidos 4.1. Ley general de comportamiento el´ astico-lineal . . . . . .

50

4.2. Relaciones experimentales entre tensiones y deformaciones 51

4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4.

El ensayo de tracción (compresión) . . . . . . Propiedades el´ asticas de los materiales . . . . Modelos de comportamiento de los materiales Otros conceptos fundamentales . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 52 . 54 . 55 . 55

4.3. Ley de Hooke generalizada para materiales homog´ eneos e is´ otropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.4. Ecuaciones de Lam´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59


60

50

4.1


Ley general de comportamiento el´ astico-lineal

Al actuar sobre un sólido una solicitación exterior, las deformaciones que se originan y las tensiones asociadas dependerán de las fuerzas de atracción molecular, es decir, de la estructura cristalina de la materia que constituye el sólido. El caso más general de material es aquél que presenta un comportamiento diferente seg´ un la dirección de aplicaci´ on de las solicitaciones. Estos materiales se denominan anis´ otropos . La relaci´ on entre tensiones y deformaciones se puede expresar en forma matricial compacta como σ

= C ε

(4.1)

y en forma matricial expandida como

σ  σ  σ  τ  τ

x y z

xy xz

τ yz

  c11   c21  =  c31   c41  c 51

c61

c12 c22 c32 c42 c52 c62

c13 c23 c33 c43 c53 c63

c14 c24 c34 c44 c54 c64

c15 c16 c25 c26 c36 35 c45 c46 c55 c56 c65 c66

 ε   ε   ε   γ   γ

x y z

xy xz

γ yz

    

(4.2)

estableciéndose la relación, en forma general, a través de 36 constantes elásticas (cij ). Pero al ser la matriz C simétrica, el número de constantes se reduce a 21. Es más habitual utilizar la relación inversa de la expresión (4.2) (teniendo en cuenta la simetr´ıa de C)

ε  ε  ε  γ 

x y z

xy

γ xz γ yz

  b11   b12  =  b13   b14   b15 b16

b12 b22 b23 b24 b25 b26

b13 b23 b33 b34 b35 b36

b14 b24 b34 b44 b45 b46

b15 b25 b35 b45 b55 b56

b16 b26 b36 b46 b56 b66

 σ   σ   σ   τ 

x y z

xy

τ xz τ yz

    

(4.3)

Desarrollando (4.3) la relaci´ on entre deformaciones y tensiones es εx = b11 σx + b12 σy + b13 σz + b14 τ xy + b15 τ xz + b16 τ yz εy

= b12 σx + b22 σy + b23 σz + b24 τ xy + b25 τ xz + b26 τ yz

εz


γ xy


γ xz


γ yz


(4.4)

En la expresión (4.4) se puede observar el acoplamiento entre los efectos normales y tangenciales. Los materiales ort´ ellos que presentan propiedades diferentes en otropos son aqu´ direcciones perpendiculares entre s´ı. Si se toman como ejes de referencia tales direcciones y se expresa (4.3) en dicho sistema, la relación entre deformaciones y tensiones se establece a trav´ es de 9 constantes elásticas dadas por la ecuación (4.5). (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

51

Leyes de comportamiento

ε  ε  ε  γ 

x y z

xy

γ xz γ yz

  b1   b2  =  b3   0  0 0

b2 b4 b5

b3 b5 b6

0 0 0

0 0 0

0 0 0

b7

0 0

0 0 0 0 b8

0 0 0 0 0

0

b9

 σ   σ   σ   τ 

x y z

xy

τ xz τ yz

    

(4.5)

Desarrollando (4.5), la relación entre deformaciones y tensiones es = b1 σx + b2 σy + b3 σz = b2 σx + b4 σy + b5 σz = b3 σx + b5 σy + b6 σz = b7 τ xy = b8 τ xz = b9 τ yz

εx εy εz γ xy γ xz γ yz

(4.6)

En (4.6) se comprueba el desacoplamiento entre efectos normales y tangenciales. Finalmente, los materiales is´ ellos que presentan las mismas prootropos son aqu´ piedades en cualquier dirección. Quedan caracterizados por 2 constantes elásticas. La expresi´ on (4.2) queda como sigue

ε  ε  ε  γ  γ

x y z

xy xz

γ yz

     =     

b1 −b2 −b2

0 0 0

b2 b1 −b2 −

0 0 0

b2 −b2 b1

0 0 0

0 0 0

b3

−

0 0

0 0 0 0 b3

0 0 0 0 0

0

b3

 σ   σ   σ   τ   τ

x y z

xy xz

τ yz

    

(4.7)

Desarrollando (4.7) se obtiene εx εy εz γ xy γ xz γ yz

= = = = = =

b1 σx − b2 σy − b2 σz −b2 σx + b1 σy − b2 σz −b2 σx − b2 σy + b1 σz b3 τ xy b3 τ xz b3 τ yz

(4.8)

En (4.8) se comprueba que tambi´ en hay desacoplamiento entre los efectos normales y tangenciales en materiales isótropos.

4.2

Relaciones experimentales entre tensiones y deformaciones

En el apartado anterior se expuso que la relación entre deformaciones y tensiones depende de la estructura cristalina de la materia que constituye el sólido. Esto implica que para cada material hay una relación tensión-deformación distinta, cuya determinación se realiza experimentalmente en el laboratorio. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

52


4.2.1

El ensayo de tracci´ on (compresi´ on)

El ensayo de tracción (compresi´ on) es universalmente utilizado para determinar las propiedades mecánicas de los materiales. Se realiza sobre piezas de dimensiones normalizadas, llamadas probetas, a las que se somete a un esfuerzo de tracción (compresi´ on) que aumenta gradualmente hasta la rotura. Sea una probeta cuya secci´ on transversal tiene área S , a la que se le aplica en sus extremos una fuerza F en dirección axial, como se muestra en la Figura 4.1. Esta fuerza causa en el interior del material un estado de tensiones que se supondrá uniforme.

on (compresi´ on). Piezas sometidas a tracción Figura 4.1 Ensayo de tracci´ (compresi´ on) y distribución de tensiones uniforme en la sección transversal A partir de la definició n de tensión, se establece la relació n entre la tensió n en cualquier punto de una sección transversal S de la probeta y la fuerza F mediante la ecuación (4.9). σ =

F S

(4.9)

La probeta, debido al esfuerzo, experimenta un alargamiento (acortamiento) unitario ε en el sentido longitudinal. Aumentando progresivamente la fuerza F , se van obteniendo distintos valores de σ y ε . Representando dichos valores en un sistema de ejes cartesianos de abscisas ε y de ordenadas σ se obtiene el diagrama tensión-deformaci´ on del material ensayado. En la Figura 4.2 se muestra el diagrama tensión-deformaci´ on para un acero dulce. En él se distinguen varios puntos importantes para comprender el comportamiento mec´ anico de un determinado material. El tramo OA tiene un comportamiento elástico-lineal. Las deformaciones producidas por las tensiones desaparecen totalmente cuando cesan las tensiones. Además, hay proporcionalidad entre las tensiones aplicadas y las deformaciones unitarias producidas. Al punto A, l´ımite superior de este tramo le corresponde una tensi´ on σ p que se denomina l´ımite de proporcionalidad . El tramo AB tiene un comportamiento el´ astico. El material se comporta de forma el´ astica pero no hay proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones producidas. La gr´ afica se curva desde A hasta B de forma que se va reduciendo el valor de la pendiente a medida que aumenta la carga. Al punto B , l´ımite superior de este tramo, le corresponde una tensión σe que se denomina l´ımite de elasticidad .



53

on. Diagrama tensión-deformación para un acero dulce Figura 4.2 Ensayo de tracci´ El tramo BC tiene un comportamiento plástico. Si se deja de aplicar la fuerza de tracción, quedan deformaciones residuales permanentes, lo que impide que el material vuelva a recuperar la configuración inicial. Al punto C , al que le corresponde una tensión σ f , se le denomina l´ımite de fluencia . Hasta el punto C los alargamientos son peque˜ nos pero al llegar a él aumentan considerablemente sin necesidad de aumentar la fuerza F . Para cierto tipo de materiales la tensi´ on disminuye hasta un valor determinado por el punto D , que se denomina l´ımite inferior de fluencia (en este caso a C se le denomina l´ımite superior de fluencia ). Los tres valores de la tensión definidos anteriormente son dif´ıciles de distinguir en el ensayo de tracción. Por ello se suele adoptar como l´ımite elástico aquel valor de la tensión que, al descargar la pieza, provoca una deformación unitaria residual de 0,002 (2 por mil). Al seguir aumentando la fuerza sobre la probeta, la curva sigue aumentando hasta su valor máximo en el punto G , al que le corresponde una tensión σmáx que se denomina resistencia a la tracci´ on o tensi´ on de rotura . El tramo DG 1 se denomina de endurecimiento por deformación . Este es un tramo en el que es necesario aumentar la tensión para que aumente la deformación. El comportamiento es no lineal, con valores decrecientes de la pendiente de la curva tensión-deformaci´ on. La rotura se produce unos instantes después, en el punto H . En el tramo GH se observa que se reduce la tensión y el material sufre una gran deformaci´ on. Esto es debido al fenómeno conocido como estricción, que consiste en una gran deformación en una parte pequeña de la probeta, Figura 4.3, reduciéndose rápidamente el área 1

Si en un punto del proceso de carga entre los puntos D y G , el F por ejemplo, se reduce hasta cero la fuerza aplicada, se observa que la descarga de la probeta se produce de acuerdo con una l´ınea F O sensiblemente paralela a la l´ınea de carga inicial OA , quedando una deformaci´ on pl´ astica residual εp . Si se carga de nuevo la probeta, el comportamiento del material hasta el punto F es el´ astico-lineal. Es decir, similar al tramo OA inicial pero con un l´ımite elástico superior. A un material que ha sufrido este proceso se le denomina estirado en fr´ıo. Esta es una forma de cambiar las propiedades mecánicas del material, en este caso aumentar el l´ımite el´ astico. Sin embargo, la resistencia a la tracción no cambia, por lo que los materiales que han sufrido este proceso llegarán a la rotura con una menor deformación pl´ astica. ′


54


de la sección transversal. Al reducirse el área de la sección transversal, la tensión aumenta sin necesidad de aumentar la fuerza axial. La deformación plástica (que se reparte en un principio a lo largo de toda la probeta) se concentra en una pequeña zona, y la probeta se rompe2 .

on. Probeta antes y después de la rotura Figura 4.3 Ensayo de tracci´

4.2.2

Propiedades el´ asticas de los materiales

A partir de los resultados del ensayo de tracción se obtienen dos propiedades que intervienen en el comportamiento el´ astico-lineal de los materiales3 : el m´ odulo de elasticidad longitudinal o m´ odulo de Young (E ) y el coeficiente de Poisson (ν ). El módulo de elasticidad longitudinal es la pendiente de la curva tensión-deformaci´ on en el tramo elástico-lineal OA. Puesto que el tramo (OA) es un tramo lineal, la relación tensión-deformación, en la dirección axial de la probeta, puede ponerse en la forma σ = E ε

(4.10)

Esta expresión constituye la ley de Hooke. El módulo de elasticidad se define como la tensi´ on necesaria para producir una deformaci´ on longitudinal unitaria . Cuanto mayor sea el módulo de elasticidad de un material menores serán las deformaciones que experimente para unas tensiones dadas. El módulo de elasticidad es diferente para cada material y se expresa en las mismas unidades que la tensión. El coeficiente de Poisson es la relación entre la contracción transversal unitaria y el alargamiento longitudinal unitario de la probeta: ν =

contracción transversal unitaria alargamiento longitudinal unitario

2

(4.11)

Para definir la curva tensión deformaci´ on (l´ınea continua), la tensi´ on ha sido determinada dividiendo la fuerza F por el área inicial de la probeta. Sin embargo, el área inicial de la probeta va disminuyendo progresivamente, con lo cual la tensión obtenida por la ecuación (4.9) no es real (en realidad es menor que la real). En la Figura 4.2 se ha dibujado, con l´ınea de trazos, la curva real. Se observa que la probeta rompe a una tensión mayor que la dada por el punto G . No obstante, debido a la dificultad de obtener la gráfica tensión-deformaci´ on real, es habitual utilizar la gráfica de l´ınea continua mostrada en dicha figura, lo cuál est´ a del lado de la seguridad. 3 En el Código T´ ecnico de la Edificaci´ on se dan los valores de las propiedades mecánicas de los materiales m´ as utilizados en Arquitectura. En el Documento Básico SE-A: Seguridad EstructuralAcero, en su apartado 4 se especifican los valores de las propiedades mecánicas de los aceros. En el Documento B´ asico SE-F: Seguridad Estructural-Fábrica, en sus apartado 4 y anejo C, se especifican los valores de las propiedades mecánicas de las construcciones de fábrica. En el Documento Básico SE-M: Seguridad estructural-Madera, en sus apartado 4 y anejos D y E se especifican los valores de las propiedades mecánicas de la madera. Las propiedades mecánicas del hormigón se dan en la EHE. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

55


As´ı, en la dirección perpendicular a la de actuación de la tensión normal σ , aparece una deformaci´ on transversal de valor εt =

νε =

−

σ ν E

−

(4.12)

El coeficiente de Poisson ν , tal como se ha definido, adopta siempre valores positivos. En un material isótropo, su valor es independiente de la dirección de la deformación transversal que se considere. El valor máximo del coeficiente de Poisson es 0,5 4 . La relación entre tensiones y deformaciones para materiales isótropos, ecuaci´ on (4.10), en función de las propiedades elásticas del material, es ν ( σy + σz ) E ν ( σx + σz ) − εy = E ν ( σx + σy ) εz = − E τ xy γ xy = G τ xz γ xz = G τ yz γ yz = G E siendo G el módulo de elasticidad transversal G = εx

=

σx E σy E σz E

−

(4.13)

2 (1 + ν )

4.2.3

Modelos de comportamiento de los materiales

La relación tensión-deformación de los materiales en la zona de comportamiento no lineal suele ser excesivamente complicada para utilizarla en el desarrollo de las diversas teor´ıas que tienen en cuenta el comportamiento no lineal (plasticidad, viscoelasticidad, etc). Por ello, se han elaborado diferentes modelos de comportamiento de materiales. Algunos de estos modelos se muestran en la Figura 4.4.

4.2.4

Otros conceptos fundamentales

La ductilidad es una medida del grado de deformación plástica que un material puede soportar hasta la fractura. Un material que experimenta poca o ninguna deformaci´ on plástica antes de la rotura se dice que tiene un comportamiento fr´ agil . Cuando el material llega a la rotura con una deformación plástica importante se dice que tiene una rotura d´ agil) y no de materiales dúctiles uctil . Se ha habla de rotura dúctil (o fr´ (o fr´ agiles) porque el comportamiento d´ uctil o frágil no depende exclusivamente del 4

En en el tema 2, apartado 2.2.2 , se obtuvo que que la dilatación c´ ubica unitaria de un s´ olido es e = ∆V V = ε x + εy + εz . Sustituyendo la ecuación (4.12) en la expresi´ on de la dilatació n c´ ubica, se obtiene e = ε − νε − νε = (1 − 2ν ) ε. Esta expresión se anula para ν = 0, 5, y como la dilatación c´ ubica unitaria en una pieza sometida a tracci´ on no puede ser negativa, ν tiene que ser inferior a 0,5. El valor ν = 0 corresponde a materiales r´ıgidos transversalmente (no se deforman transversalmente al aplicar una fuerza longitudinal), mientras que el valor ν = 0, 5 corresponde al material más flexible transversalmente, que ser´ıa aquel que no experimenta cambio de volumen al aplicar una fuerza unidimensional. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

56


Figura 4.4 Modelos de comportamiento

material, sino que influyen otras componentes, tales como la temperatura, los estados triples de tensiones, etc. En los materiales met´ alicos hay otros conceptos habituales como resiliencia y tenacidad . Se entiende por resiliencia a la capacidad de un material de absorber energ´ıa elástica cuando se deforma, y de ceder esta energ´ıa cuando se deja de aplicar la acción que causa la deformación. Por tenacidad se entiende la capacidad de un material de absorber energ´ıa antes de la fractura.

4.3

Ley de Hooke generalizada para materiales homog´ eneos e is´ otropos

Sea una barra de sección transversal rectangular sometida en sus caras a fuerzas longitudinales de tracción de valor F que se suponen repartidas uniformemente en la sección. Se consideran los ejes de referencia como principales, tal como se muestra en la Figura 4.5.

on triaxial seg´ un ejes principales Figura 4.5 Prisma sometido a tracci´ (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

57


Considerando exclusivamente la fuerza en la dirección 1, el estado tensional en el sólido es

σ1 σ2

F S 1 = σ3 = 0

=

(4.14)

τ 12 = τ 13 = τ 23 = 0

siendo S 1 el área de la sección normal al eje 1. Para este estado tensional, las deformaciones, Figura 4.6 a), que se producen en el sólido son

ε1

=

ε2

=

ε3

=

A′ D′ − AD AD ′ B C ′ − BC BC ′ A B ′ − AB AB

(4.15)

(4.16)

(4.17)

on triaxial seg´ un ejes principales Figura 4.6 Prisma sometido a tracci´ Los sub´ındices 1, 2 y 3 indican las deformaciones en las direcciones principales. La ecuación (4.15) proporciona el alargamiento unitario en dirección principal 1, mientras que las expresiones (4.16) y (4.17) proporcionan la contracción transversal unitaria seg´ un las direcciones principales 2 y 3, respectivamente. Teniendo en cuenta el tipo de solicitación, la simetr´ıa de la pieza y las hipótesis de isotrop´ıa y homogeneidad del material, se puede afirmar que no existe deformación tangencial o deslizamiento, es decir γ 12 = γ 13 = γ 23 = 0

⇒

τ 12 = τ 13 = τ 23 = 0

(4.18)

Al considerar un comportamiento elástico del material es posible aplicar la ley de Hooke: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

58


σ1 E

ε1

=

ε2

=

−

ε3

=

−

νε 1 νε 1

σ1 ν E σ1 = −ν E

=

(4.19)

−

Si se consideran los efectos de las fuerzas en las direcciones 2 y 3, Figura 4.6 b) y Figura 4.6 c), se llega a expresiones similares a las anteriores, tal y como se muestra en la Tabla 4.1. on seg´ un la fuerza aplicada Tabla 4.1 Componentes de la deformaci´ Deformaciones producidas por

Eje

F (en dirección 1) σ1 E σ1 −ν E σ1 −ν E

1 2 3

F (en dirección 2) σ2 −ν E σ2 E σ2 −ν E

F (en dirección 3) σ3 −ν E σ3 −ν E σ3 E

Al ser lineales las ecuaciones, se pueden superponer los efectos para determinar las deformaciones unitarias totales: ε1

=

σ1 E

−

ν ( σ2 + σ3 ) = E

ε2

=

σ2 E

−

ν ( σ1 + σ3 ) = E

ε3

=

σ3 E

−

ν ( σ1 + σ2 ) = E

1

[ σ1 − ν (σ2 + σ3 )]

E

1

[ σ2 − ν (σ1 + σ3 )]

E

1

(4.20)

[ σ3 − ν (σ1 + σ2 )]

E

Estas ecuaciones constituyen la ley de Hooke generalizada en las direcciones principales. En un sistema de referencia no principal, la ley de Hooke toma la siguiente forma: εx

=

εy

=

εz

=

γ xy

=

γ xz

=

γ yz

=

σx E σy E σz E

−

−

−

ν ( σy + σz ) = E ν ( σx + σz ) = E ν ( σx + σy ) = E τ xy G τ xz G τ yz G

1

[ σx − ν (σy + σz )]

E

1

[ σy

E

1

−

ν (σx + σz )]

[ σz − ν (σx + σy )]

E


(4.21)

59


Las expresiones anteriores constituyen la Ley de Hooke generalizada para materiales homog´ eneos e is´ otropos en ejes cualesquiera , y coinciden con las expresadas en la ecuación (4.13).

4.4

Ecuaciones de Lam´ e

Si las ecuaciones de (4.21), correspondientes a las tensiones normales, se expresan en forma matricial, se obtiene

ε    ε  = E 1  x

1

y

−

εz

ν

−

ν −ν

1

ν −ν −

1

ν

−

 σ   σ  x

y

(4.22)

σz

Expresando las tensiones en función de las deformaciones, invirtiendo la matriz de constantes elásticas, se obtiene

σ   σ  = (1 + ν )E (1 y

σz

1 ν  ν 2ν )

ν

1−ν

ν ν

ν

1 − ν

−

x

−

ν

 ε   ε  x y

(4.23)

εz

Las tensiones tangenciales se pueden expresar en función de las deformaciones tangenciales, ecuación (4.21), como sigue τ xy = Gγ xy τ xz = Gγ xz

(4.24)

τ yz = Gγ yz

Haciendo λ =

νE E , y conociéndose que G = , las ecuaciones (1 + ν ) (1 − 2ν ) 2 (1 + ν )

(4.23) y (4.24) se pueden expresar como σx

= λ e + 2Gεx

σy

= λ e + 2Gεy

σz

= λ e + 2Gεz

τ xy

=

Gγ xy

τ xz

=

Gγ xz

τ yz

=

Gγ yz

(4.25)

siendo e = εx + ε y + εz . Las ecuaciones (4.25) constituyen las llamadas ecuaciones de Lamé , y expresan las tensiones en función de las deformaciones. En caso de tensión plana, las ecuaciones de Lamé se simplifican. Si se traba ja en el plano xy, las ecuaciones son σx

=

E ( εx + νε y ) 1 − ν 2

σy

=

E ( νε x + εy ) 1 − ν 2

τ xy

=

Gγ xy


(4.26)

60


4.5


Ejercicio 4.1

El campo de desplazamientos de los puntos de un sólido elástico viene definido por las funciones: u = x 2 · 10−4 , v = (y 2 + 2x) · 10−4 , w = z 2 · 10−4

(x , y y z se expresan en mm)

Determinar, para el punto P (1, 0, 2), cuyas coordenadas están expresadas en mm: 1. El tensor de pequeñas deformaciones 2. El tensor de tensiones Datos:

E = 210 GPa , ν = 0, 3 Soluci´ on:

1. El tensor de pequeñas deformaciones

ε

2 =  1

1 0 0 0 0 0 4

 

·

4

−

10

2. El tensor de tensiones

σ

 105 =  16, 154 0

16, 154 0 72, 692 0 0 137, 308

  ( MPa)

Ejercicio 4.2

El sólido elástico de la Figura 4.7, se encuentra sometido a un estado de tensiones uniforme de componentes σ x , σy y σ z . Determinar: 1. Lo que medir´ıan sendas galgas colocadas en las direcciones O E y GE 2. La variaci´ on de volumen del sólido Datos:

σx =

3 MPa , σy = 2 MPa , σz = 2MPa

−

E = 210 GPa , ν = 0, 35



61

astico sometido a un estado de tensiones uniforme Figura 4.7 Solido el´ Soluci´ on:

1. Lo que medir´ıan sendas galgas colocadas en las direcciones OE y GE

εOE = 5, 404 · 10−6 εGE = −3, 920 · 10−7

2. La variaci´ on de volumen del sólido

∆V = 0, 000084 m3

Ejercicio 4.3

En una placa en la que se desconocen sus propiedades mecánicas, se han colocado dos galgas extensométricas, como se muestra en la Figura 4.8. Aplicando a la placa unas tensiones normales uniformes de tracción σ x y σ y , se miden unas deformaciones εx y εy .

etricas colo cadas en una placa sometida a tracción Figura 4.8 Galgas extensom´


62


Se pide: 1. Determinar el coeficiente de Poisson ν , y el módulo de elasticidad longitudinal E del material. 2. Si las galgas hubieran sido dispuestas en roseta como se muestra en la figura de la derecha, ¿Qué lecturas de εa , εb y εc habr´ıamos tenido? Datos:

σx

= 30 MPa , σy = 15 MPa

εx = 550 · 10−6 , εy = 100 · 10−6

Soluci´ on:

1. Determinar el coeficiente de Poisson ν , y el módulo de elasticidad longitudinal E del material.

E = 45000 MPa ν = 0, 35

2. Si las galgas hubieran sido dispuestas en roseta como se muestra en la figura de la derecha, ¿Qué lecturas de εa , εb y εc habr´ıamos tenido?.

εa = 550 · 10−6 εb = 212, 5 · 10−6 εc = 212, 5 · 10−6


Lecci´ on 5

Criterios de plasticidad y de rotura Contenidos 5.1. Criterio de plasticidad para materiales sujetos a un estado triaxial de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.2. Criterio de plasticidad de Von Mises . . . . . . . . . . . .

65

5.3. Criterio de plasticidad de Tresca . . . . . . . . . . . . . .

66

5.4. Comparaci´ on de los Criterios de plasticidad de Von Mises y de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.5. Fallo de las estructuras. Factor de seguridad para el dise˜ n o 69 5.6. Criterio de rotura de la m´ axima componente de la tensi´ on normal para materiales fr´ agiles, is´ o tropos y con comportamiento el´ astico y lineal . . . . . . . . . . . . . .

71

5.7. Criterio de rotura de Mohr para materiales fr´ agiles su jetos a un estado plano de tensiones . . . . . . . . . . . .

71


74

64

5.1


Criterio de plasticidad para materiales sujetos a un estado triaxial de tensiones

En cada punto de un sólido sometido a acciones exteriores existe un estado tensional, y por consiguiente, un estado de deformaciones. Cuando las acciones exteriores no superan un determinado umbral, el sólido recupera su forma original cuando cesan dichas acciones. La deformación del sólido es reversible. No hay pérdida de energ´ıa durante el proceso de carga y descarga del sólido. En este caso se dice que el sólido tiene un comportamiento elástico. Cuando las acciones exteriores superan un determinado umbral, la deformació n del sólido tiene una parte irreversible. Se dice que el sólido se ha deformado plásticamente. La deformación del s´ olido tiene una componente elástica (reversible) y una componente plástica (irreversible). El estado de tracción pura que se asocia a todos los puntos de una probeta sometida a un ensayo de tracción no es más que uno de los infinitos estados tensionales a que puede estar sometido un punto de un sólido. Surge inmediatamente la necesidad de definir los l´ımites de comportamiento elástico para un caso general de estado de tensiones. Para ello se han desarrollado diversos criterios de plasticidad . El criterio de plasticidad para un material con comportamiento plástico ideal, se puede expresar matem´ aticamente como f (σx , σy , σz , τ xy , τ xz , τ yz , σe ) = 0

(5.1)

Si el material es isótropo, los valores de la función de plastificación son independientes del sistema de referencia utilizado. Por tanto, para materiales isótropos, con comportamiento plástico ideal, la funci´ on de plastificación puede expresarse en función de las tensiones principales como f ( σ1 , σ2 , σ3 , σe ) = 0

on para un material isótropo con Figura 5.1 Superficie de plastificaci´ comportamiento pl´ astico ideal (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(5.2)

65

Criterios de Plasticidad y de Rotura

El criterio de plasticidad puede representarse por una superficie cerrada, que debe ser convexa y, en el caso de materiales isótropos, cil´ındrica. La Figura 5.1 muestra como su directriz pasa por el origen del sistema de referencia principal. Además, si se admite que la presión hidrost´ atica no produce plastificación, la direcció n de la directriz de la superficie de plastificación es 1 − → 1 −→ −→n = √ 1 −→ i1 + √ i2 + √ i3 3

3

3

(5.3)

La geometr´ıa de la sección transversal de la superficie de plastificación depende del criterio de plastificaci´ on que se considere. El estado tensional de cualquier punto de un sólido con un comportamiento plástico ideal corresponde a un punto sobre la superficie de plastificaci´ on.

5.2

Criterio de plasticidad de Von Mises

En 1913, Von Mises propuso como criterio de plastificación que esta se alcanza cuando las componentes de la tensión, en un punto del sólido, satisfacen la relación 1 (σ1 σ2 )2 + (σ2 6 o bien, en ejes no principales



1 (σx 6



2

−σ ) y

− σ3)2 + (σ3 − σ1)2

−

+ (σy

2

−σ ) z

+ (σz

−σ

x

2

 ) +6

2

=

k 2

2

(5.4)

2

τ xy + τ yz + τ xz

 =

k 2

(5.5)

siendo k2 una constante a determinar mediante el ensayo de tracción del material. As´ı, si el l´ımite elástico obtenido en el ensayo de tracción es σe , verificándose que σ1 = σ e y σ2 = σ 3 = 0, k2 es, sustituyendo en (5.4) 2

k =

σe2

3

(5.6)

Sustituyendo k2 en las expresiones de Von Mises en ejes principales, queda

 1  2

(σ1

2

− σ2)

+ (σ2

2

− σ3)

+ (σ3

− σ1

 ) = 2

σ e

(5.7)

y en ejes no principales,

 1  2

(σx

2

−σ ) y

+ ( σy

2

−σ ) z

+ (σz

−σ

x

2

 ) +6

τ 2

xy

+ τ 2

yz

+ τ 2

xz

 =

σ e

(5.8)

Es decir, las ra´ıces de las expresiones anteriores constituyen la tensión equivalente de Von Mises σVM =

 1  2

(σ1

2

− σ2)

+ (σ2

2

− σ3)

+ (σ3

− σ1

o bien, (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

 ) 2

(5.9)

66


σVM =

 1  2

(σx

2

−σ ) y

+ (σy

2

−σ ) z

+ ( σz

−σ

x

2

 ) +6

τ 2

xy

+ τ 2

yz

+ τ 2

xz

 (5.10)

En el caso de tensión on plana, el criterio de Von Mises se simplifica. En el sistema de ejes principales, la tensión on equivalente de Von Mises es σVM =

y en el sistema de ejes no principales σVM



σ12 + σ22

 = + σx2

σy2

− σ1σ2

− σ σ + 3 τ 2 x y

xy

(5.11)

(5.12)

Si σ = σ e , el estado tensional correspondiente se encuentra sobre la superficie de plastificación. on. Si σ < σe , el estado tensional correspondiente es elástico. astico. El criterio de Von Mises representado en el espacio de las tensiones principales, es una superficie cil cil´´ındrica de longitud infinita y de sección on transversal circular, tal como se muestra en la Figura 5.2. Por tanto, este criterio cumple que la superficie de plastificación on es convexa. VM

VM

on Figura 5.2 Criterio de Von Mises: superficie de plastificación El criterio de Von Mises se suele adoptar cuando se utilizan materiales metálicos.

5.3

Criter Cri terio io de de plast plastici icidad dad de Tres Tresca ca

En 1868, Tresca propuso que la plastificación on se alcanz alcanzaa cuando la tensi´ on tangencial on m´ axima, en un punto de un sólido, axima, olido , alcanza alca nza un valor igual igua l a la mitad del l´ımite ımite el´ e lástico astico obtenido en el ensayo de tracción on del material. Por este motivo, este criterio tambi´ en en axima tensi´ on tangencial . se conoce como criterio de m´ En un ensayo de tracción on se verifica que σ1 = 0 y σ2 = σ 3 = 0, siendo la tensión on σ1 tangencial m´ axima τ m´ axima , como se muestra en la Figura 5.3 a). max a ´x = 2




67


on tangencial máxima on axima en un ensayo de tracción. on. b) Tensión on Figura 5.3 a) Tensi´ tangencial m´ axima en un estado general de tensiones axima Para un estado triaxial de tensiones, siendo las tensiones principales σ1 > σ2 > σ1

on tangencial máxima on axima es τ m´ σ3 , la tensi´ m´ ax = ax

− σ3 , tal com comoo se mues muestra tra en en la

2 Figura 5.3 5 .3 b). En este caso, el criterio de Tresca establece que existe plastificación on si (σ1

− σ3)2 − σ2 = 0

(5.13)

e

o lo que es lo mismo, σe = σ 1

− σ3

(5.14)

on Figura 5.4 Criterio de Tresca: superficie de plastificación Si no se conoce el orden de las tensiones principales, el criterio de Tresca propone que existe plastificación on si se verifica

(

σ1

2

− σ2) − σ

2

e

 (

σ2

2

− σ3) − σ

2

e

 (

σ3

2

− σ1) − σ


2

e

=0

(5.15)

68


Es decir, se producirá plastificación on si se verifica

|σ 1 − σ 2 | ≥ |σ 2 − σ 3 | ≥ |σ 3 − σ 1 | ≥

σe

(5.16)

σe

(5.17)

σe

(5.18)

Al representar el criterio de Tresca en el espacio de las tensiones principales, este adquiere una superficie de sección on transversal hexagonal de longitud infinita, como se muestra en la Figura 5.4. Por tanto, este criterio cumple que la superficie de plastificación on es convexa.

5.4 5. 4

Compar Comp arac aci´ i´ on de los Criterios de plasticidad de Von on Mises y de Tresca

En la Figura 5.5 se muestran ambos criterios representados en el espacio de tensiones principales.

on de los criterios de Von Mises y de Tresca en el espacio de on Figura 5.5 Comparaci´ tensiones principales La función on de plastificación on correspondiente al criterio de Von Mises es no lineal, mientras que la correspondiente al criterio de Tresca es lineal por tramos. Los resultados obtenidos con los dos criterios son muy parecidos. Esto se puede comprobar para un estado plano de tensiones definido por

 =  0

σ1

σ

0

0 σ2

0

0 0 0

 

En este caso, el criterio de Von Mises se reduce a σ12

− σ1σ2 + σ22 = σ 2 e


(5.19)

69


Que corresponde a la expresión on de una elipse en el plano σ 1 , σ2 , con los ejes mayor y menor inclinados 45 respecto a los ejes σ1 y σ2 , respectivamente, como se muestra en la Figura 5.6. ◦

on de los criterios de Von Mises y de Tresca para un estado on Figura 5.6 Comparaci´ plano de tensiones El criterio de Tresca depende de la ordenación o n de σ1 y σ2 . As´ı, si σ1 > σ2 > 0, el criterio de Tresca se reduce a σ1 = σ e

(5.20)

(5.21)

En el caso que σ2 > σ1 > 0, el criterio de Tresca es σ2 = σ e

Finalmente, si σ1 > 0 > σ2 , el criterio de Tresca es σ1

− σ2 = σ

e

(5.22)

En la Figura 5.6 se puede comprobar que las mayores divergencias entre ambos criterios ocurren para σ1 = σ2 . En este caso, el criterio de Von Mises establece σe como tensión on equivalente σ = , mientras que el criterio de Tresca establece 3 σe σ = . La m´ axima discrepancia entre ambos criterios es aproximadamente de un axima 2 15%.

−

VM

√

T

5.5

Fall allo o de las estruc estructur turas. as. Fact Factor or de seguri seguridad dad para para el dise˜ no no

La resistencia de una estructura es la capacidad de esta de soportar y transmitir cargas sin fallar. Debido a las incertidumbres existentes en el diseño de una estructura, esta se dise˜ na con una resistencia mayor que la requerida. La relación entre la na resistencia de diseño no y la requerida se conoce como factor de seguridad , γ : = γ =

resistencia de diseño no >1 resistencia requerida


(5.23)

70


A continuación, se enumeran algunos de los criterios que deben tenerse en cuenta para la determinación del factor de seguridad de una estructura: - El tipo (estáticas, dinámicas, c´ıclicas) y magnitud de las cargas que está previsto act´ uen sobre la estructura a lo largo de su vida útil. - La calidad prevista de la construcción. - La calidad de los materiales empleados en la construcción de la estructura. - Los efectos producidos por las condiciones medioambientales. - La naturaleza del fallo previsto. El fallo gradual permite reforzar la estructura antes de su colapso. - Las consecuencias del fallo. Si las consecuencias son catastróficas es necesario incrementar el factor de seguridad. - El coste del incremento del factor de seguridad. - Los efectos de las simplificaciones utilizadas en el cálculo de la estructura. El factor de seguridad se aplica de las siguientes formas: Las cargas de diseño se obtienen multiplicando las máximas cargas previstas por un factor de seguridad. Cargas de dise˜ no = γ

× Máximas cargas previstas.

La tensió n máxima de trabajo (en régimen el´ astico) del material se obtiene dividiendo el l´ımite elástico por un factor de seguridad. L´ımite elástico Tensión de trabajo en régimen el´ astico = . γ

La tensión máxima de trabajo (en rotura) del material se obtiene dividiendo la tensión u ´ ltima por un factor de seguridad. Tensión u ´ ltima Tensión u ´ ltima de trabajo = . γ

Los elementos estructurales que conforman una estructura se diseñan de forma que actuando sobre ellos las máximas cargas previstas durante su vida útil, la máxima tensi´ on en cualquiera de sus puntos no supere la obtenida aplicando el criterio de plasticidad o de rotura que se haya decidido utilizar. Los modos más habituales de fallo de una estructura son: - Fallo de la estructura debido a una excesiva deformación elástica o viscoelástica de uno o más de los elementos que la constituyen. - Fallo de estructuras realizadas con materiales d´ uctiles debido a la inicialización del proceso de plastificación - Fallo de estructuras realizadas con materiales d´ uctiles debido al colapso plástico - Fallo de la estructura por inestabilidad el´ astica o pl´ astica de alguno de sus elementos - Fallo de la estructura por rotura repentina de alguno de sus elementos (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


5.6

71

Criterio de rotura de la m´ axima componente de la tensi´ on normal para materiales fr´ agiles, is´ otropos y con comportamiento el´ astico y lineal

Este criterio considera que un sólido hecho de un material frágil rompe cuando el máximo valor absoluto de la componente normal de la tensión, en cualesquiera de los puntos del sólido, es igual a la tensión u ´ ltima alcanzada en el ensayo de tracción del material. Esto implica que la respuesta de un material sometido a compresión uniaxial es la misma que a tracción uniaxial. En la Figura 5.7 se representa este criterio en el espacio de tensiones principales. Se observa que este criterio supone una superficie de plastificación definida por un cubo, cuyos lados tienen una dimensión del doble de la tensión u ´ ltima del material en tracción o compresión uniaxial.

on normal para Figura 5.7 Criterio de rotura de la máxima componente de la tensi´ materiales fr´ agiles: superficie de rotura

5.7

Criterio de rotura de Mohr para materiales fr´ agiles sujetos a un estado plano de tensiones

El criterio de rotura de la máxima componente de la tensión normal es válido para materiales con el mismo comportamiento en tracción y compresión uniaxial. Sin embargo, hay materiales como el hormig´ on, la fundición, las rocas, los suelos, cuyos comportamientos en tracci´ on y en compresión uniaxial, son diferentes . Otto Mohr propuso un criterio de rotura para estos materiales, válido para estados planos de tensiones. Este criterio precisa de realizar diferentes ensayos mecánicos en el material en estudio. Sea un material frágil sometido a un estado plano de tensiones. En la Figura 5.8 a) se muestra la gráfica tensión-deformación correspondiente al ensayo de tracció n de una probeta de dicho material. En la Figura 5.8 b) se muestran los c´ırculos de Mohr correspondientes a los estados de tensiones definidos por los puntos A, B y U del diagrama tensi´ on-deformaci´ on. La probeta se considera segura para niveles de fuerzas que causen tensiones inferiores a σ 1A o σ 1B . La probeta fallará cuando la fuerza cause tensiones que alcancen el valor correspondiente a la tensión σ u . En la Figura 5.8 b) se comprueba como los c´ırculos de Mohr correspondientes a estados tensionales seguros son interiores al c´ırculo de Mohr correspondiente al estado u ´ ltimo de tensiones. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

72


olido sometido a tracción Figura 5.8 C´ırculos de Mohr para los puntos de un s´ uniaxial Sea ahora un sólido hecho de un material frágil del que se conocen las tensiones últimas en tracción y compresión uniaxial. En la Figura 5.9 a) se muestran los c´ırculos de Mohr correspondientes a estos estados. El s´ olido está sujeto a cargas que inducen estados planos de tensiones cuyas tensiones principales son σ 1 y σ 2 , ambas de tracción o de compresión. Seg´ un establece Mohr, el sólido bajo el estado de cargas supuesto es seguro cuando los c´ırculos de Mohr correspondientes a los distintos estados tensionales de cada punto del sólido, son interiores a los c´ırculos de Mohr correspondientes a los estados u ´ ltimos en tracción o compresi´ on. Si alguna de las tensiones principales es igual a la tensión u ´ ltima del material en tracción o compresión uniaxial, es inseguro.

Figura 5.9 Estados tensionales seguros e inseguros de acuerdo con el criterio de

rotura de Mohr En la Figura 5.9 a) se muestran los c´ırculos de Mohr para estados tensionales seguros y no seguros, de acuerdo con el criterio de Morh. En la Figura 5.9 b) se muestra, en el plano de las tensiones principales, el criterio de Mohr para el sólido considerado. Para utilizar el criterio de Mohr, es necesario realizar diferentes ensayos bajo diferentes estados de carga y construir los c´ırculo de Mohr correspondientes a los estados u ´ ltimos de tensiones. Por ejemplo, realizando ensayos de compresión uniaxial, torsi´ on pura y tracción uniaxial en un material, se pueden construir los c´ırculos de (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


73

Mohr correspondientes a los estados últimos de tensiones dados por estos ensayos, as´ı como trazar la envolvente de dichos c´ırculos, tal como se muestra en la Figura 5.10 a). Seg´ un el criterio de rotura de Mohr, un sólido hecho del mismo material que la probeta ensayada, sometido a un estado plano de tensiones, es seguro si el c´ırculo de Morh correspondiente a cualquier estado tensional posible en el sólido es interior a la envolvente definida anteriormente. En la Figura 5.10 b) se muestra el criterio en el espacio de tensiones principales.

Figura 5.10 Envolvente de fallo para un estado plano de tensiones de acuerdo con

el criterio de rotura de Mohr Si para un determinado material solamente se dispone de los c´ırculos de Mohr correspondientes a los estados u ´ ltimos tensionales de tracción y compresión uniaxial, como se muestra en la Figura 5.11 a), la envolvente de Mohr puede aproximarse por rectas tangentes a dichos c´ırculos. El correspondiente criterio de rotura en el plano de tensiones principales se muestra en la Figura 5.11 b).

Figura 5.11 Envolvente de fallo simplificada para un estado plano de tensiones de

acuerdo con el criterio de rotura de Mohr Por tanto, el criterio de rotura de Mohr puede enunciarse como sigue: un sólido (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

74


sometido a un estado plano de tensiones rompe cuando las cargas actuantes alcanzan un valor tal que el punto representativo del estado tensional correspondiente caiga sobre el contorno definido por ABCDEFA de los criterios de rotura mostrados en la Figura 5.10 b) y en la Figura 5.11 b). Para materiales cuyas propiedades en tracción y compresión uniaxial sean las mismas, la geometr´ıa del criterio de Mohr es similar a la dada por el criterio de Tresca. En la mayor´ıa de los materiales cohesivos, como el hormigón, suelos o rocas, el criterio de rotura depende de la presión hidrost´ atica. De forma que un incremento en la presión hidrost´ atica de compresi´ on produce un incremento en la capacidad del material de resistir las tensiones solicitadas sin romper. Es decir, se admite que la existencia de una presión hidrost´ atica actuando sobre dichos materiales no provoca rotura de los mismos.

5.8


Ejercicio 5.1

En un nudo de la estructura que se muestra en la Figura 5.12 se han colocado unas galgas en roseta con la estructura descargada.

on de galgas colocadas en un nudo Figura 5.12 Disposici´ Cargada la estructura, se han obtenido los valores εa , εb y εc . Determinar en el punto en estudio: 1. La tensión equivalente de Von-Mises 2. El coeficiente de seguridad Datos:

σe

= 260 MPa

εa = 520 10

6

, εb = 360 10 E = 210 GPa , ν = 0, 3

·

−

·

6

−

, εc =

−80 · 10


−

6

75

Criterios de Plasticidad y de Rotura Soluci´ on:

1. La tensión equivalente de Von-Mises

σV M = 191, 2 MPa

2. El coeficiente de seguridad

n = 1, 36

Ejercicio 5.2

El tensor de tensiones en un punto P de un sólido elástico es: σ

=

 100 50

50 170

−



Comprobar si dicho punto está plastificado seg´ un los criterios: 1. De Von-Mises 2. De Tresca Datos:

E = 210 GPa , σe = 260 MPa Soluci´ on:

1. Comprobar si dicho punto est´ a plastificado seg´ un el criterio de Von-Mises.

σV M = 251, 794 MPa

⇒

σV M < σe

por tanto, no hay plastificación. 2. Comprobar si dicho punto est´ a plastificado seg´ un el criterio de Tresca.

σT = 287, 924 MPa

⇒

σT > σe

por tanto, hay plastificación.


Lecci´ on 6

El modelo de barras: c´ alculo de esfuerzos Contenidos 6.1. Definici´ on de barra prism´ atica . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Tipos de uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 78

6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

. . . . .

81 82 85 88 88


90

Estructuras isost´ aticas y estructuras Definici´ on de esfuerzos (solicitaci´ on) Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . Leyes de esfuerzos . . . . . . . . . . . Diagramas de esfuerzos . . . . . . . .

hiperest´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

78

6.1


Definici´ on de barra prism´ atica

Se define barra prismática o pieza prismática como el volumen engendrado por el movimiento de una sección plana A (que puede tener huecos en su interior) al recorrer su centro de gravedad G una curva plana que se denomina directriz o eje de la pieza, manteniéndose la sección A normal a la directriz y permaneciendo durante el movimiento uno de sus ejes (que no tiene por qu´ e ser de simetr´ıa), en el plano de la directriz. La sección A puede variar de tamaño de una forma suave durante su movimiento a lo largo de la directriz. Además, se supondrá que los radios de curvatura de la directriz en los distintos puntos son muy grandes comparados con cualquier dimensi´ o n de la sección. Es decir, solo se consideran piezas de pequeña curvatura. No obstante, lo más habitual es la utilización de barras prismáticas de directriz recta, como la que se muestra en la Figura 6.1.

Figura 6.1 Definición de barra prismática

6.2

Tipos de uniones

Cualquier punto de una sección transversal de una barra prismática, en el espacio, tiene seis grados de libertad: tres posibles desplazamientos ( u, v y w) en las direcciones de los ejes coordenados, y tres posibles giros ( θx , θ y y θz ) alrededor de dichos ejes. Las barras que componen las estructuras están unidas entre s´ı o al suelo mediante ligaduras que coartan algunas o todas las posibilidades de movimiento de los extremos de las barras. En las ligaduras se desarrollan unas fuerzas (reacciones) que impiden tales movimientos. El sistema de fuerzas constituido por las fuerzas aplicadas directamente sobre la estructura y las reacciones debe estar en equilibrio, por lo que debe verificarse, si la estructura es espacial, que

 F = 0  F = 0  F = 0  M = 0  M = 0  M = 0 x

y

z

x

y

z

(6.1)

Si la estructura es plana (por ejemplo, est´ a contenida en el plano XZ ), se verifica que (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

79

El modelo de barras: c´ alculo de esfuerzos

 F = 0  F = 0  M = 0 x

z

y

(6.2)

En este u ´ ltimo caso, cada punto tiene tres grados de libertad: dos desplazamientos (u , w ) en las direcciones de los ejes x y z respectivamente y un giro ( θy ) alrededor del eje y .

Figura 6.2 Barra prism´ atica sometida a carga puntual Sea la barra AB de la Figura 6.2 a), con sección transversal simétrica respecto al eje z . Está sometida a una carga P contenida en el plano XZ . Para facilitar la representaci´ on gr´ afica se trabajar´ a con la directriz de la barra, tal como se muestra en la Figura 6.2 b).

Figura 6.3 Movimiento como sólido r´ıgido de la barra Al actuar la fuerza P , la barra se moverá libremente en el plano con un movimiento compuesto de traslació n y rotación. Si se introduce una ligadura en el punto A, tal que permita el giro de la barra alrededor de dicho punto pero impida cualquier traslación (se considera que no hay rozamiento en la rótula), la barra, como sólido r´ıgido, solo podrá girar alrededor de A. El punto B describe un arco de radio AB que se muestra en la Figura 6.3 a). Al considerar la hipótesis de pequeños desplazamientos, se puede asumir que el desplazamiento del punto B es vertical. Los movimientos horizontal y vertical del punto A est´ an impedidos por la ligadura dispuesta, que introduce las fuerzas (reacciones) RAx y RAz que se muestran en la Figura 6.3 b). Si se introduce una ligadura en B que impida su movimiento vertical, como se muestra en la Figura 6.4 a), se evita el giro alrededor de A y el movimiento como sólido libre de la barra. El movimiento vertical del punto B está impedido por la ligadura mencionada, que introduce la fuerza (reacción) RBz que se muestra en la Figura 6.4 b). (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

80


Figura 6.4 Reacciones en la barra AB que impiden el movimiento como sólido libre Para las estructuras planas, los tipos de apoyos (ligaduras) más comunes se resumen en la Figura 6.5.

Figura 6.5 Apoyos más habituales Los extremos de las barras unidos a cada uno de estos apoyos tienen impedidos algunos grados de libertad, seg´ un el tipo de apoyo. Esto implica la aparició n de unas reacciones que deben considerarse como fuerzas exteriores actuantes sobre la (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


81

estructura, aunque no se conozca su valor a priori. Las articulaciones en los apoyos se considerarán sin rozamiento. ovil permite el giro alrededor de la articulació n y el desEl apoyo articulado m´ plazamiento en la dirección del terreno donde se apoya.

El apoyo articulado fijo permite el giro alrededor de la articulación e impide los movimientos en el plano donde se sitúa. El apoyo empotrado impide los desplazamientos en el plano y el giro. El apoyo deslizadera impide el desplazamiento en dirección perpendicular al terreno donde se sitúa y el giro. asticos permiten un desplazamiento (giro) en la dirección del muelle Los apoyos el´ inversamente proporcional a la rigidez de este.

6.3

Estructuras isost´ aticas y estructuras hiperest´ aticas

El conjunto de cargas que act´ uan sobre una estructura queda completamente definido si se conocen las fuerzas directamente aplicadas sobre ella, y las reacciones en las ligaduras (normalmente desconocidas). Para establecer el equilibrio de fuerzas sobre la estructura, además de las ecuaciones (6.1) en el caso espacial, o (6.2) en el caso plano, si la estructura tiene rótulas, se plantea por cada rótula una ecuación adicional. Una r´ otula divide a la estructura en dos partes e impide la transmisión de momentos entre estas. Por tanto, ha de verificarse que el sumatorio de momentos respecto a la r´ otula de todas las fuerzas y momentos actuando a un lado u otro de la rótula debe ser nulo. El grado de hiperestaticidad (ha ) de una estructura se define como el número de ecuaciones adicionales (además de las de equilibrio y las que ofrecen las rótulas) necesarias para calcular las reacciones en las ligaduras. Si el n´ umero de reacciones desconocidas en las ligaduras coincide con el número de ecuaciones de equilibrio de la estructura ( ha = 0), se dice que la estructura es isostática. La Figura 6.6 muestra dos estructuras en las que se tienen suficientes ecuaciones de equilibrio y de rótulas para determinar las reacciones en los apoyos.

Figura 6.6 Estructuras isostáticas Si el n´ umero de reacciones desconocidas es superior al de ecuaciones ( ha > 0), se dice que la estructura es hiperestática. La Figura 6.7 muestra un ejemplo en el que es necesario buscar ecuaciones adicionales a las de equilibrio y a las que ofrecen las rótulas para determinar las reacciones. Estas ecuaciones adicionales pueden plantearse en términos de desplazamientos conocidos. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

82


Figura 6.7 Estructura hiperestática

6.4

Definici´ on de esfuerzos (solicitaci´ on)

Sea la barra biapoyada que se muestra en la Figura 6.8. La barra presenta simetr´ıa respecto al plano XZ . La carga vertical P está contenida en dicho plano XZ , siendo los ejes y y z de la sección los ejes principales de inercia.

Figura 6.8 Viga biapoyada sometida a carga puntual La carga P se transmite a los apoyos generándose en éstos las reacciones R1 y R2 , que también estarán contenidas en el plano XZ , como se muestra en la Figura 6.9 a), donde se ha dibujado solo la directriz de la barra. Aislando un trozo de barra e imponiendo su equilibrio, deben actuar sobre la sección de corte una fuerza vertical que equilibre la reacción y un momento, el cual es necesario para el equilibrio de momentos, como se muestra en la Figura 6.9 b). El momento se produce alrededor del eje y , y la fuerza vertical R1 está contenida en el plano XZ .

Figura 6.9 a) Reacciones. b) Fuerzas de equilibrio sobre una sección arbitraria La transmisión de una parte (R1 ) de la carga P desde su punto de aplicación hasta el apoyo izquierdo, se realiza al desarrollar el material un estado tensional estáticamente equivalente a una fuerza y a un momento en cada sección. En este caso concreto, la fuerza vertical es la resultante de la distribución de tensiones tangenciales τ xz en el (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

83


a´rea de la secci´ on, y el momento está causado por las tensiones normales σx , como se muestra en las Figuras 6.10 a) y b).

Figura 6.10 a) Estado tensional. b) Fuerzas equivalentes al estado tensional en la sección A partir de este ejemplo sencillo se pueden definir los esfuerzos como las fuerzas y los momentos est´ aticamente equivalentes a la distribuci´ on de vectores tensi´ on que debe desarrollar el material en los puntos de cada secci´ on para transmitir las cargas exteriores .

Figura 6.11 Tensiones sobre un elemento diferencial de una sección de área A de una barra prismática En el caso más general, la sección de una barra estará sometida a un estado tensional similar al que se muestra en la Figura 6.11, estáticamente equivalente a seis esfuerzos: un esfuerzo axil, dos esfuerzos cortantes, un momento torsor y dos momentos flectores. El esfuerzo axil N x (x) se define como la fuerza resultante de integrar las tensiones normales σx (x , y , z) en el área de la sección: N x (x) =



σx (x , y , z) dA

(6.3)

A

Los esfuerzos cortantes V y (x) y V z (x) se definen como las fuerzas resultantes de integrar las tensiones tangenciales τ xy (x , y , z) y τ xz (x , y , z ), respectivamente, en el área de la sección:

 V (x) = τ (x , y , z) dA  y

xy

(6.4)

(6.5)

A

V z (x) =

τ xz (x , y , z ) dA

A


84


Se considerará que el axil y los cortantes son positivos cuando, actuando en una secci´ on de normal positiva, llevan la dirección positiva de los ejes, o cuando en una cara de normal negativa llevan el sentido contrario. En la figura 6.12 se muestran los esfuerzos axil y cortantes sobre una sección de una barra prismática.

Figura 6.12 Esfuerzos axil y cortantes en direcciones y y z Los momentos flectores M y (x) y M z (x) resultan de integrar en el área de la sección los momentos que producen las fuerzas normales σx (x , y , z ) dA respecto a los ejes y y z , respectivamente:

 M (x) = z σ (x , y , z) dA  y

x

(6.6)

(6.7)

A

M z (x) =

y σx (x , y , z) dA

A

M y (x) se considerar´ a positivo si lleva el sentido positivo del eje y . M z (x) se considerará positivo si lleva el sentido negativo del eje z . Por u ´ ltimo, el momento torsor M x (x) es el resultante de integrar en el área de la sección los momentos que originan las fuerzas tangenciales τ xy (x , y , z) dA y τ xz (x , y , z) dA respecto al eje x : M x (x) =



(y τ xz (x , y , z) − z τ xy (x , y , z )) dA

(6.8)

A

El sentido positivo es el del eje x . En la Figura 6.13 a) y en la Figura 6.13 b) se muestran dos formas de representar los momentos flectores y torsor. En la representación de la Figura 6.13 b) se utiliza el vector con doble flecha para indicar el sentido del momento de acuerdo a la regla de la mano derecha , como se muestra en la Figura 6.13 c). Según el criterio adoptado, valores positivos de M y (x) y M z (x) implica que ambos momentos producen tracciones en el primer cuadrante. De las ecuaciones (6.3) a (6.8), se deduce que los esfuerzos son función, exclusivamente, de la coordenada x que se considere. Es decir, se ha pasado de un modelo tridimensional, planteado en elasticidad, a un modelo de barra que es unidimensional. Se admitir´ a que cualquier esfuerzo es constante en toda la sección. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


85

Figura 6.13 Momentos torsor y flectores alrededor de los ejes y y z

6.5

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio interno del modelo de barras se obtienen planteando el equilibrio de fuerzas y momentos que actúan sobre una rebanada diferencial de la barra.

Figura 6.14 Esfuerzos y fuerzas actuantes sobre una rebanada En la Figura 6.14 se muestra una rebanada diferencial de longitud d x y todas las (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

86


cargas y esfuerzos que la solicitan. En la secci´ on frontal de la rebanada diferencial que se muestra en las Figuras 6.14 a) y b), act´ uan los esfuerzos N x (x), V y (x), V z (x), M x (x), M y (x) y M z (x), que son estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones en dicha sección. En la sección dorsal de la rebanada diferencial act´ uan esos mismos esfuerzos incrementados una cantidad diferencial, N x (x) + d N x (x), V y (x) + d V y (x), V z (x) + d V z (x), M x (x) + dM x (x), M y (x) + dM y (x) y M z (x) + dM z (x). Finalmente, hay aplicadas unas cargas q x (x), q y (x) y q z (x), que se muestran en la Figura 6.14 c), y unos momentos g x (x), g y (x) y g z (x), ambos tipos de cargas repartidas uniformemente sobre la longitud dx (los momentos distribuidos uniformemente no se han representado). Imponiendo el equilibrio de fuerzas y momentos en la rebanada diferencial, al igual que se hace en elasticidad con las tensiones a nivel de punto, se obtienen las seis ecuaciones de equilibrio interno. El equilibrio de fuerzas en la dirección x es N x (x) + d N x (x) − N x (x) + q x (x) dx = 0

(6.9)

obteniéndose que dN x (x) + q x (x) = 0 dx Los equilibrios de fuerzas en las direcciones y y z son

(6.10)

V y (x) + d V y (x) − V y (x) + q y (x) dx = 0

(6.11)

V z (x) + d V z (x) − V z (x) + q z (x) dx = 0

(6.12)

obteniéndose que dV y (x) + q y (x) = 0 dx dV z (x) + q z (x) = 0 dx

(6.13) (6.14)

Por u ´ltimo, se establecerán los equilibrios de momentos. El equilibrio de momentos alrededor del eje x es M x (x) + d M x (x) − M x (x) + gx (x) dx = 0

(6.15)

despejando se obtiene dM x (x) + gx (x) = 0 dx Los equilibrios de momentos alrededor de los ejes y y z son dx =0 2 dx M z (x) + d M z (x) − M z (x) − V y (x) dx + gz (x) dx + q y (x) dx =0 2 M y (x) + d M y (x) − M y (x) − V z (x) dx + gy (x) dx + q z (x) dx

Despreciando el infinitésimo de orden superior dx2 , se obtiene

 


(6.16)

(6.17) (6.18)


dM y (x) − V z (x) + gy (x) = 0 dx dM z (x) − V y (x) + gz (x) = 0 dx

87

(6.19) (6.20)

Si se considera que la sección es sim´ etrica respecto al plano XZ , y que todas las cargas act´ uan sobre dicho plano, se puede pasar al modelo plano de rebanada que se muestra en la Figura 6.15.

Figura 6.15 Equilibrio de una rebanada considerando todas las cargas actuando en el plano XZ Estableciendo el equilibrio entre fuerzas y esfuerzos, las ecuaciones de equilibrio interno son: dN x (x) + q x (x) = 0 (6.21) dx dV z (x) + q z (x) = 0 (6.22) dx dM y (x) (6.23) − V z (x) = 0 dx De la expresión (6.21) se deduce que en cualquier tramo de una viga con q x = 0, el esfuerzo axil N x (x) es constante. De las ecuaciones (6.22) y (6.23) se deduce que en cualquier tramo de una viga con q z = 0, el esfuerzo cortante V z (x) es constante y M y (x) var´ıa linealmente. De las ecuaciones (6.22) y (6.23) se deduce que en tramos de una viga con q z  = 0, el esfuerzo cortante V z (x) y el momento flector M y (x) var´ıan con leyes continuas de primer y segundo grado, respectivamente, si q z es constante. Estas leyes ser´ıan de segundo y tercer grado, respectivamente, si q z variara linealmente. De la ecuació n (6.23) se deduce que si en un tramo V z (x) = 0 , M y (x) es constante. Si V z (x) es distinto de cero, M y (x) existe y es variable. De la expresió n (6.23) se deduce que para las secciones en que el esfuerzo cortante se anula, el momento flector se hace máximo. No puede ser m´ınimo porque la derivada segunda de M y (x) es negativa, ya que (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

88

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales q z (x) = −

dV z (x) dx

(6.24)

y teniendo en cuenta (6.23), se obtiene dV z (x) d dM y (x) d2 M y (x) = − = − q z (x) = − dx dx dx dx2

6.6

(6.25)

Leyes de esfuerzos

Al considerar el modelo unidimensional de barras, los esfuerzos sobre cada sección son exclusivamente función de la coordenada x y constantes en toda la sección. Por tanto, dando los cortes adecuados en la barra de forma que se consideren todas las cargas actuantes y la distribución de las mismas sobre esta y planteando las ecuaciones de equilibrio entre esfuerzos y cargas en cada sección de corte, se obtendrá n las ecuaciones de variación de los esfuerzos a lo largo de toda la barra en función de la coordenada x . Estas ecuaciones se denominan leyes de esfuerzos . En la Figura 6.16 se muestran los cortes que hay que dar en la estructura representada para que queden perfectamente determinadas las leyes de esfuerzos en toda ella.

Figura 6.16 Secciones a estudiar para el cálculo de esfuerzos en la barra Para esta estructura, teniendo en cuenta las solicitaciones actuantes, son necesarios cuatro cortes. Los esfuerzos calculados en la sección de abscisa x son válidos para todo el tramo comprendido entre el apoyo A y la carga P 1 , ambos extremos incluidos. En la sección de abscisa x los esfuerzos calculados son válidos para el tramo comprendido entre los puntos de aplicació n de P 1 y P 2 , ambos incluidos. Los esfuerzos calculados en la sección de abscisa x son válidos para el tramo comprendido entre el punto de aplicación de P 2 y el comienzo de la carga distribuida q . Finalmente, los esfuerzos calculados en la sección de abscisa x son válidos para el tramo comprendido entre el punto de comienzo de la carga distribuida y el apoyo B . De esta forma, las leyes de esfuerzos quedan perfectamente definidas para cualquier sección de la barra. Las leyes de esfuerzos son funciones continuas, salvo en los puntos donde actúan cargas o momentos puntuales. I

II

III

IV

6.7

Diagramas de esfuerzos

La representación gr´ afica de las leyes de esfuerzos permite visualizar aquellas secciones más solicitadas, las cuales serán las más cr´ıticas para comprobar a resistencia y deformación. Esta representación gr´ afica recibe el nombre de diagramas de esfuerzos . La construcción de los diagramas de esfuerzos no es más que la representación gráfica de las ecuaciones de las leyes de esfuerzos. El eje de abscisas representa la (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez


89

coordenada x de cada una de las posibles secciones de la barra. En ordenadas se representan los esfuerzos. A modo ilustrativo, en la Figura 6.17 se muestran los diagramas de esfuerzos de la estructura de la Figura 6.16.

Figura 6.17 Diagramas de esfuerzos El signo de los esfuerzos se determina a partir del criterio de esfuerzos positivos a ambos lados de una rebanada elemental, mostrado en la Figura 6.18 a). Para que el sentido de los esfuerzos quede perfectamente definido es necesario utilizar el s´ımbolo correspondiente de entre los indicados en la Figura 6.18 b).

Figura 6.18 Criterio de signos a ambos lados de la rebanada diferencial y s´ımbolos y signo de los esfuerzos Trazar los diagramas por encima o por debajo del eje x no da información sobre el (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

90


signo de los esfuerzos sino van acompañados del correspondiente s´ımbolo, que es el que indica cómo act´ ua el esfuerzo sobre la sección.

6.8


Ejercicio 6.1 Para la estructura de la Figura 6.19,

Figura 6.19 Estructura sometida a cargas uniformes Se pide: 1. Calcular las reacciones en los apoyos 2. Calcular las expresiones de las leyes de esfuerzos 3. Dibujar los diagramas de esfuerzos, acotando los valores m´ aximos y m´ınimos de los esfuerzos y las coordenadas de los puntos en que se producen Datos: L = 4m

= 5 · 103 kN/m , E = 210 GPa q = 20 kN

k

Soluci´ on: 1. Calcular las reacciones en los apoyos

RAz = 36, 667 kN RBz = 43, 333 kN RCx = − 20 kN


91


2. Calcular las expresiones de las leyes de esfuerzos Tabla 6.1 Leyes de esfuerzos

Tramo

N x

V z

M y

AB BC DC

0 0 0

−20x + 36, 667

−10x2 + 36, 667x

0 5x2

-13,333 −1, 667x3

3. Dibujar los diagramas de esfuerzos, acotando los valores m´ aximos y m´ınimos de los esfuerzos y las coordenadas de los puntos en que se producen

Figura 6.20 Diagramas de esfuerzos de una estructura sometida a cargas uniformes


Lecci´ on 7

Distribuci´ on de tensiones normales en r´ egimen el´ astico Conceptos fundamentales Contenidos 7.1. Expresi´ on general de la distribuci´ on de tensiones normales 94 7.2. Eje neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

7.3. Representaci´ on gr´ afica plana de la distribuci´ on de tensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97


100

94

7.1


Expresi´ on general de la distribuci´ on de tensiones normales

Sea una sección transversal de una barra prismática sometida a una fuerza N aplicada en su centro de gravedad en sentido positivo del eje x y a sendos momentos flectores seg´ un los ejes y y z que se muestran en la Figura 7.1 a). Se considera positivo el momento seg´ un el eje y si lleva la dirección del eje, y el momento según el eje z si lleva la dirección contraria al eje, es decir, si ambos momentos producen tracciones en el primer cuadrante. El origen de coordenadas coincide con el centro de gravedad de la sección.

on transversal de una barra prismática sometida a Figura 7.1 a) Secci´ solicitaciones normales b) Distribución de tensiones normales sobre un elemento diferencial de la sección Se supondrá que las solicitaciones sobre la sección producen un estado tensional caracterizado por σx (x , y , z)  =0 σy (x , y , z) = σ z (x , y , z) = 0 τ xy (x , y , z) = τ xz (x , y , z) = τ yz (x , y , z) = 0

Las ecuaciones de equilibrio interno, desarrolladas en el tema 3 apartado 3.5, ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + bx ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + by ∂x ∂y ∂z ∂τ yz ∂τ xz ∂σ z + + + bz ∂x ∂y ∂z

= 0 = 0 = 0, ∂σ x

se reducen (despreciando las fuerzas de volumen) a = 0; lo que implica que ∂x la distribución de tensiones normales en una sección a una distancia x del origen (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

95

El esfuerzo axil

considerado, es solamente funció n de y y z . Además, es posible demostrar a trav´ es de las ecuaciones de compatibilidad en tensiones o ecuaciones de Beltrami-Michell , que la distribución de tensiones σx (x , y , z) debe ser lineal en y y z . Es decir, σx (x , y , z ) = Ay + Bz + C

(7.1)

Para que el sistema de fuerzas resultante de la distribuci´ on de tensiones σ x (x , y , z) y las fuerzas y momentos aplicados sobre la sección sean estáticamente equivalentes, es necesario y suficiente que se verifique la igualdad de resultantes de ambos sistemas y la igualdad de momentos de ambos sistemas respecto al mismo punto. La igualdad de resultantes de ambos sistemas implica que N ( x) =



S

=

            

σx (x , y , z) dS =

(Ay + Bz + C ) dS =

S

y d S +B

A

S

z d S +C

S

Qz

(7.2)

dS

S

Qy

S

siendo Qy y Qz los momentos estáticos de la secci´ o n respecto a los ejes y y z , respectivamente, y S el área de la sección. Al coincidir el origen de coordenadas y el centro de gravedad de la sección, se verifica que Qy = Q z = 0, por lo que la expresi´ on (7.2) queda reducida a N ( x) = C S , es decir, la constante C de la ecuación (7.1) es C =

N (x) S

(7.3)

La igualdad de momentos implica que

   

− → − → M y (x) j − M z (x) k =

→ − − → r × [σx (x , y , z) dS ] i

=

S

=

S

=



→ − → − j k y z

− → i

0 σx (x , y , z) dS

− → z σx (x , y , z ) dS j −

S



0

 

0

=

− → y σx (x , y , z ) dS k

S

(7.4)

Identificando componentes se obtiene que

M y (x) =

 

z σx (x , y , z) dS

(7.5)

y σx (x , y , z) dS

(7.6)

S

M z (x) =

S

Sustituyendo (7.1) en (7.5) y (7.6) (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

96


  

M y (x) =

z (Ay + Bz + C ) dS

=



=

S

=

z

S

N ( x) Ay + Bz + S

                           

= A

z 2 dS +

z y d S +B

S

S

I yz

M z (x) =

dS

N ( x) S

(7.7)

z d S

S

I y

Qy

y (Ay + Bz + C ) dS

=

S

=

y

Ay + Bz +

S

y 2 dS +B

= A

S

N ( x) S

y z d S +

S

I z

dS

N ( x) S

=

(7.8)

y d S

S

I yz

Qz

siendo I y el momento de inercia de la sección respecto al eje y ; I z el momento de inercia de la sección respecto al eje z e I yz el producto de inercia de la sección respecto a los ejes y y z . Los momentos estáticos Qy y Qz son nulos por estar referidos al centro de gravedad de la sección. Los coeficientes A y B de la ecuación (7.1) se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (7.7) y (7.8)



A I yz + B I y = M y (x) A I z + B I yz = M z (x)

(7.9)

obteniéndose A =

M z (x) I y − M y (x) I yz 2 I y I z − I yz

y

B =

M y (x) I z − M z (x) I yz 2 I y I z − I yz

Sustituyendo las expresiones de A , B y C en (7.1), la expresión de la tensión normal es σx (x , y , z ) =

M z (x) I y − M y (x) I yz M y (x) I z − M z (x) I yz N (x) y z (7.10) + + 2 2 S I y I z − I yz I y I z − I yz

o bien σx (x , y , z) =

N ( x) I z z − I yz y I y y − I yz z M x M z (x) + ( ) + y 2 2 S I y I z − I yz I y I z − I yz

(7.11)

La formulaci´ on anterior (y las que se deriven de esta en los siguientes apartados) es v´ alida tanto para secciones macizas como de pared delgada. Se consideran perfiles de pared delgada aquellos cuya sección transversal tenga espesores de pared ( t ) que sean como máximo la décima parte de la menor dimensión caracter´ıstica (h,b > 10 t). El resto son perfiles de sección maciza. En la Figura 7.2 se muestra la distribución de tensiones normales sobre una secci´ on sometida a esfuerzo axil y momentos flectores según los ejes y y z . (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

97

El esfuerzo axil

on de tensiones normales sobre una sección de una barra Figura 7.2 Distribuci´ prismática sometida a solicitaciones normales

7.2

Eje neutro

on con tensi´ on Se define eje neutro como el lugar geométrico de los puntos de la secci´ normal nula . Por tanto, se verifica N ( x) I z z − I yz y I y y − I yz z M x M z (x) = 0 + ( ) + y 2 2 S I y I z − I yz I y I z − I yz

(7.12)

o si los ejes son principales de inercia ( I yz = 0), M y (x) N (x) M z (x) + z + y=0 S I y I z

(7.13)

Si el eje neutro corta a la sección, este la divide en dos zonas, una estará traccionada y la otra comprimida. Si el eje neutro no corta a la sección, toda la sección estará comprimida o traccionada, en función del valor de los esfuerzos que la solicitan. En la Figura 7.3 se muestra el eje neutro correspondiente a una sección sometida a esfuerzo axil y a momentos flectores según los ejes y y z .

Figura 7.3 Eje neutro correspondiente a una sección sometida a esfuerzo axil y a momentos flectores seg´ un los ejes y y z

7.3

Representaci´ on gr´ afica plana de la distribuci´ on de tensiones normales

Se suele utilizar una representaci´ on plana (sobre el propio plano de la sección) de la distribución de tensiones normales. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

98


on plana de la distribución de tensiones normales Figura 7.4 Representaci´ En la Figura 7.4 se muestra la proyección de la distribución de tensiones en una secci´ on, sobre un plano perpendicular al eje neutro. Posteriormente, dicho plano se abate sobre el plano de la sección, obteniéndose la representaci´ on buscada. El procedimiento de construcción es el que sigue: 1. Se traza el eje neutro sobre la sección, como se muestra en la Figura 7.5

on plana de la distribución de σx (x , y , z). Paso 1 Figura 7.5 Representaci´ 2. Se localizan los puntos más y menos traccionados en la sección, es decir, los vértices más alejados del eje neutro a un lado y otro de este, como se muestra en la Figura 7.6

on plana de la distribución de σx (x , y , z). Paso 2 Figura 7.6 Representaci´ 3. Por cualquier punto del plano que contiene a la sección, se traza una perpendicular al eje neutro como la que se muestra en la Figura 7.7


99

El esfuerzo axil

on plana de la distribución de σx (x , y , z). Paso 3 Figura 7.7 Representaci´ 4. Se trazan sendas paralelas al eje neutro que pasen por los puntos determinados en el apartado anterior, las cuales deben cortar a la l´ınea perpendicular al eje neutro trazada en el punto 2, como se muestra en la Figura 7.8

on plana de la distribución de σx (x , y , z). Paso 4 Figura 7.8 Representaci´ 5. Se eval´ uan las tensiones en los puntos más traccionados (menos comprimidos) y menos traccionados (más comprimidos) 6. Con origen en la intersección de las l´ıneas perpendicular y paralelas al eje neutro, se trazan sobre las paralelas sendos segmentos proporcionales a las tensiones obtenidas en el apartado anterior y se unen los extremos, como se muestra en la Figura 7.9

on plana de la distribución de σx (x , y , z). Paso 6 Figura 7.9 Representaci´


100


7.4


Ejercicio 7.1

La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones normales de la sección hexagonal mostrada en la Figura 7.10 es: σx (y, z ) = −21, 858 + 0, 266y − 0, 309z

(Fuerzas en N y longitudes en mm)

on hexagonal sometida a flexocompresión desviada Figura 7.10 Secci´ Obtener: 1. La ecuación del eje neutro 2. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribución de tensiones normales Datos:

h = 300 mm , bw = 230 mm , be = 80 mm Soluci´ on:

1. La ecuación del eje neutro

y = 82, 173 + 1, 162z mm

2. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribución de tensiones normales


101

El esfuerzo axil

on hexagonal sometida a flexocompresión desviada. Distribuci´ on Figura 7.11 Secci´ de tensiones normales

Ejercicio 7.2

La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones normales de la sección en doble T mostrada en la Figura 7.12 es: σx (y, z ) = −3, 879 + 0, 679y


on en doble T sometida a flexión compuesta Figura 7.12 Secci´ Obtener: 1. La ecuación del eje neutro 2. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribución de tensiones normales Datos:

h = 300 mm , b = 300 mm , tf = 19 mm , tw = 11 mm Soluci´ on:

1. La ecuación del eje neutro y = 5, 713 mm (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

102



on compuesta. Distribución de Figura 7.13 Sección en doble T sometida a flexi´ tensiones normales


Lecci´ on 8

El esfuerzo axil Contenidos 8.1. Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos axiles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

8.2. Deformaciones el´ asticas y desplazamientos debidos a u n axil centrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

8.3. Sistemas hiperest´ a ticos sometidos a esfuerzo axil . . . .

107

8.4. Cargas t´ ermicas y faltas de ajuste . . . . . . . . . . . . .

109

8.4.1. Cargas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.4.2. Falta de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

104

8.1


Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos axiles

Una barra prism´ atica trabaja a esfuerzo axil, de tracción o compresión, cuando al deformarse desarrolla en cada sección normal a la directriz de la barra (sección recta), tensiones estáticamente equivalentes a un esfuerzo axil. Esto implica que los esfuerzos cortantes y los momentos flectores y torsor son nulos. Por tanto, la distribución de tensiones normales, dada por (7.11), queda como σx (x,y,z ) =

N ( x) S

(8.1)

En este tipo de solicitación el eje neutro nunca corta a la sección. Se ha comprobado experimentalmente que en una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil, cualquier sección transversal recta y plana, sigue siendo recta y plana tras la deformaci´ on. Es decir, todos los puntos de una sección tienen la misma deformación. Si la sección es homogénea, la distribución de tensiones es uniforme en toda la sección. El tensor de tensiones en cualquier punto de la sección, es

σ =  0

x

σ

0

0 0 0 0 0 0

 

(8.2)

En la Figura 8.1 se representa la distribución de tensiones correspondiente.

on sometida Figura 8.1 Distribución uniforme de tensiones en una secci´ exclusivamente a esfuerzo axil En una barra con sección transversal constante sometida a un esfuerzo axil constante, todos y cada uno de los puntos de cualquier secci´ on transversal de la barra, y todas y cada una de las secciones (por tanto todos los puntos de la barra) tendrán la misma tensión. Si la sección y/o el esfuerzo axil no son constantes, la distribuci´ on de tensiones será uniforme en cada sección, pero variar´ a su valor de una sección a otra. Un ejemplo ser´ıa un cable colgado que resiste la acción de su propio peso.


105

El esfuerzo axil

Figura 8.2 Esfuerzos y tensiones en una sección inclinada respecto a la directriz,

de una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil El estado tensional en cualquier punto de una sección que no sea recta, como la que se muestra en la Figura 8.2 a), se obtiene descomponiendo la fuerza axil actuante en una componente normal y otra tangencial al plano considerado, como se muestra en la Figura 8.2 b). Las tensiones correspondientes se obtienen al dividir dichas componentes por el área S de la secció n inclinada, tal y como se muestra en la Figura 8.2 c). En la Figura 8.3 se muestra el c´ırculo de Mohr que representa un estado tensional de tracción uniaxial. Se comprueba que dependiendo del plano considerado, pueden existir tensiones tangenciales. La máxima tensión tangencial (τ ma´x en la figura) corresponde al plano que forma 45 con la directriz de la pieza. ◦

on uniaxial Figura 8.3 C´ırculo de Mohr para un estado de tracci´

8.2

Deformaciones el´ asticas y desplazamientos debidos a un axil centrado

Para el estudio de las deformaciones en una barra prismática cargada axialmente se hará uso de la ley de Hooke generalizada. Si la sección está sometida exclusivamente a un esfuerzo axil en dirección del eje x , se verifica que σy = σ z = τ xy = τ xz = τ yz = 0. Las ecuaciones de la ley de Hooke (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

106


εx

=

εy

=

εz

=

γ xy

=

γ xz

=

γ yz

=

σx − E σy − E σz − E τ xy G τ xz G τ yz G

ν ( σy + σz ) = E ν ( σx + σz ) = E ν ( σx + σy ) = E

1

[ σx − ν (σy + σz )]

E

1

[ σy − ν (σx + σz )]

E

1

[ σz

E

− ν (σx + σy )]

se reducen a σx E

εx

=

εy

= εz = −

(8.3)

ν σx E

(8.4)

Es decir, además de la deformación longitudinal unitaria en la dirección de aplicación de la carga, ecuación (8.3), se producen deformaciones transversales, ecuación(8.4). Teniendo en cuenta que la distribución de tensiones normales en una sección sometida exclusivamente a esfuerzo axil es σx =

N S

(8.5)

sustituyendo (8.5) en (8.3), el alargamiento unitario en la dirección de aplicación de la carga es εx =

N ES

(8.6)

El alargamiento unitario expresado como una variación del alargamiento longitudinal es εx =

du dx

(8.7)

Igualando (8.6) y (8.7), se obtiene du N = (8.8) dx ES El desplazamiento u de una sección de abscisa x , seg´ un se muestra en la Figura 8.4, se obtiene a partir de la integración de la ecuación (8.8): x

u =

 0

N dx ES


(8.9)

107

El esfuerzo axil

Figura 8.4 Alargamiento de una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil

El incremento de longitud de la barra se obtiene a partir de la ecuación (8.9): L

∆L =

 0

N NL dx = ES ES

(8.10)

La expresión (8.10) es v´ alida en el caso de área y carga constantes. Si la barra está sometida a fuerzas axiles diferentes en varias secciones, o si la sección transversal o el módulo de elasticidad cambian a lo largo de la barra, la ecuación (8.10) se aplica a cada uno de los n tramos de la barra donde las magnitudes se˜ naladas anteriormente sean constantes. El incremento de longitud de la barra se obtiene mediante la suma del desplazamiento de cada tramo. n

 N L ∆L = i

i=1

8.3

i

E i S i

(8.11)

Sistemas hiperest´ aticos sometidos a esfuerzo axil

La forma de abordar este tipo de problemas hiperestáticos es planteando las ecuaciones de equilibrio y tantas ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos como grado de hiperestaticidad de la estructura. La barra de la Figura 8.5 a), de un material de módulo de elasticidad longitudinal E , est´ a constituida por dos tramos de igual longitud, con secciones transversales circulares de diámetros diferentes. Está empotrada en ambos extremos. En el centro de gravedad de la sección com´ un a ambos tramos act´ ua una carga axial P .

atica hiperest´ atica sometida a axil. b) Reacciones Figura 8.5 a) Barra prism´ En los empotramientos A y B , al estar la barra trabajando únicamente a esfuerzo axil, solo habrá reacciones horizontales, como se muestra en la Figura 8.5 b). La u ńica ecuación de la estática que puede plantearse es (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

108


 F = 0, x

RAx + P + RBx = 0

(8.12)

Se tienen dos incógnitas (RAx y RBx ) y una ecuación (8.12); por tanto, el grado de hiperestaticidad es uno. Es necesaria una ecuación adicional. La disposició n de los apoyos impide que la longitud de la barra var´ıe, por lo que puede plantearse como ecuaci´ on adicional la ecuación de compatibilidad ∆L = ∆LAC + ∆LCB = 0

(8.13)

Para resolver el sistema formado por (8.12) y (8.13) es necesario expresar esta u ´ ltima en función de las incógnitas hiperestáticas. La ecuación ∆L =

NL ES

(8.14)

expresa el alargamiento en una barra sometida a esfuerzo axil en función del axil (N ), el á rea (S ) y el módulo de elasticidad longitudinal del material ( E ). En la Figura 8.6 se muestran los sólidos libres de cada uno de los tramos para el cálculo de los esfuerzos axiles.

olido libre del tramo AC . b) Sólido libre del tramo CB Figura 8.6 a) S´ Los esfuerzos axiles son Tramo AC : 0 ≤ x ≤ L

N x (x) = −RAx

(8.15)

Tramo CB : L ≤ x ≤ 2L

N x (x) = − (RAx + P )

(8.16)

Sustituyendo (8.15) y (8.16) en (8.14) y el resultado en (8.13), se obtiene ∆L =

(RAx + P ) L N xAC L N xCB L RAx L + =− =0 − ES AC ES CB ES AC ES CB

(8.17)

De (8.17) se obtiene RAx , RAx = −

P S AC S AC + S CB

(8.18)

Sustituyendo (8.18) en (8.12) se obtiene RBx , RBx = −

P S CB S AC + S CB


(8.19)

109

El esfuerzo axil

Conocidas las reacciones en los apoyos, las leyes de esfuerzos axiles y la variación de longitud de cada tramo se obtienen sustituyendo las reacciones en las ecuaciones (8.14), (8.15) y (8.16).

8.4

Cargas t´ ermicas y faltas de ajuste

Además de las cargas externas, existen otras causas que provocan tensiones y deformaciones en las estructuras. En este apartado se estudian dos de ellas: Las cargas térmicas La falta de ajuste 8.4.1

Cargas t´ ermicas

Los cambios de temperatura pueden provocar un cambio en las dimensiones de una barra prism´ atica. Un aumento de temperatura provoca una dilataci´ on del material y un descenso de la temperatura, una contracción. Esta dilatación (contracci´ on) está relacionada con el incremento de temperatura a través de la relación lineal ∆L = α L ∆T

(8.20)

on térmica . siendo α una propiedad del material denominada coeficiente de dilataci´ Sus unidades se miden en deformación unitaria por grado de temperatura. ∆T es el incremento (decremento) de temperatura que sufre la barra. Un sólido no sujeto a ligaduras, al aplicarle una carga térmica, se deforma sin que exista tensión en alg´ un punto del mismo. En una estructura isostática tampoco se producen tensiones por la acción de cargas térmicas, aunque s´ı deformaciones. Finalmente, una estructura hiperestática, puede o no desarrollar tensiones debidas a una carga t´ ermica dependiendo de la geometr´ıa de la misma y del tipo de carga térmica.

8.4.2

Falta de ajuste

Si alguna barra de una estructura se construye con una longitud distinta a la especificada, bien intencionadamente o por fallo en su fabricación, al acoplarla a la estructura, la geometr´ıa de esta es diferente a la dise˜ nada. Si la estructura es isostática, la falta de ajuste de una o varias barras no causan deformaciones ni tensiones. Si la barra AC de la estructura de la Figura 8.7 a) tiene mayor longitud que la especificada, al montarla, el punto C descenderá de su posición inicial a la C’ , pero no se producirá ning´ un estado tensional en la estructura por esta falta de ajuste. Por el contrario, si la estructura es hiperestática, para el montaje de las barras con falta de ajuste es necesario que se deformen otras barras, lo que origina un estado tensional. Si la barra AD de la estructura de la Figura 8.7 b) tiene mayor longitud que la especificada, para que su montaje sea posible, las barras BD y CD deben alargarse y acortarse, respectivamente, para poder ajustarse con la AD . En el montaje, las tres barras sufrir´ an deformaciones y en consecuencia estar´ an tensionadas al pasar el punto D a la posición D’ . (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

110


atica con falta de ajuste. b) Estructura Figura 8.7 a) Estructura isost´ hiperestática con falta de ajuste

8.5


Ejercicio 8.1

Para la pieza de la Figura 8.8 construida en acero

on Figura 8.8 Barra cil´ındrica escalonada sometida a tracci´ Obtener: 1. Las tensiones en cualquier punto de las secciones A-A y B-B 2. El alargamiento total experimentado por la barra 3. Los diámetros finales de las secciones transversales A-A y B-B Datos:

P = 50 kN ∅AA

= 40 mm ,

∅BB

= 20 mm

E = 200 GPa , ν = 0, 3 Soluci´ on:

1. Las tensiones en cualquier punto de las secciones A-A y B-B

σAA = 39, 789 MPa σBB = 159, 155 MPa (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

111

El esfuerzo axil

2. El alargamiento total experimentado por la barra

∆L = 0, 388 mm 3. Los diámetros finales de las secciones transversales A-A y B-B

∅AAfinal

= 39, 9976 mm

∅BB final

= 19, 9952 mm

Ejercicio 8.2

En la estructura de la Figura 8.9 todas las barras tienen área A y son de un material de módulo de elasticidad E . La barra horizontal se considera infinitamente r´ıgida.

on Figura 8.9 Barra cil´ındrica escalonada sometida a tracci´ Determinar: 1. Los esfuerzos en las barras 1, 2 y 3 Soluci´ on:

1. Los esfuerzos en las barras 1, 2 y 3

N 1 =

7P P P , N 2 = , N 3 = 12 3 12

Ejercicio 8.3

El tubo metálico cuadrado de la Figura 8.10, de longitud L, lado a y espesor t , se encuentra empotrado en sus dos extremos, trabajando a una temperatura de T ( C ). Se admite que a esta temperatura el estado tensional en el tubo es despreciable. Se le aplica un incremento de temperatura ∆T . ◦


112


on Figura 8.10 Barra cil´ındrica escalonada sometida a tracci´ Obtener: 1. La distribución de tensiones en cualquier sección transversal de la pieza 2. Las reacciones en los empotramientos Datos:

L = 2 m , a = 40 mm , t = 2 mm E = 210 GPa , ∆T = 20o C , α = 12 · 10

−

6

m/m/o C

Soluci´ on:

1. La distribución de tensiones en cualquier sección transversal de la pieza

σx = 50, 4 MPa

2. Las reacciones en los empotramientos

RAx = R Bx = 15, 32 kN


Lecci´ on 9

Flexi´ on pura y flexi´ on desviada Contenidos 9.1. Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a momentos flectores . . . . . . . . . . . . . . . .

114

9.2. Flexi´ on pura

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

9.4. Flexi´ on desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

9.5. M´ odulo resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119


119

9.3. Ley de Navier

114

9.1


Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a momentos flectores

Una barra trabaja a flexi´ on cuando está sometida a un estado de cargas tal que al deformarse origina tensiones estáticamente equivalentes en cada secció n a un momento flector. Haciendo nulo el t´ ermino correspondiente a las tensiones debidas al axil en la ecuación (7.10) (primer término del miembro derecho de la ecuaci´ on), la distribuci´ on de tensiones es σx (x,y,z ) =

I z z − I yz y I y y − I yz z M y (x) + M z (x) 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

(9.1)

De la ecuación anterior se deduce que para este tipo de solicitación el eje neutro siempre corta a la sección y pasa por el centro de gravedad de la misma. Las tensiones normales debidas a momentos flectores exclusivamente, solo pueden existir en secciones de tramos de barras prismáticas sometidas a momentos flectores constantes; en caso contrario, los esfuerzos cortantes no ser´ıan nulos de acuerdo con las ecuaciones de equilibrio dM y (x) dx

−

V z (x) = 0

dM z (x) + V y (x) = 0, dx

deducidas en el Tema 6 (en las cuales se han despreciado los momentos repartidos uniformemente).

Figura 9.1 a) Viga sometida a tensiones normales, debidas exclusivamente a

flexión, en todas sus secciones. b) Viga sometida a tensiones normales, debidas exclusivamente a flexión, en su tramo central La viga de la Figura 9.1 a) está sometida exclusivamente a flexión en toda su longitud; sin embargo, la viga de la Figura 9.1 b) solo está sometida exclusivamente a flexión en el tramo comprendido entre las dos cargas, ya que en los otros dos tramos existe esfuerzo cortante. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

115

Flexi´ on pura y flexi´ on desviada

9.2

Flexi´ on pura

Si el momento flector es uniaxial se dice que la flexión es pura. Las distribuciones de tensiones normales para el momento actuando seg´ u n el eje y o el eje z son, respectivamente

σx (x,y,z ) =

I z z − I yz y M y (x) 2 I y I z − I yz

(9.2)

σx (x,y,z ) =

I y y − I yz z M z (x) 2 I y I z − I yz

(9.3)

Si los ejes de referencia son principales de inercia, I yz = 0, y las expresiones (9.2) y (9.3), se transforman en

σx (x,y,z ) =

M y (x) z I y

(9.4)

σx (x , y , z) =

M z (x) y I z

(9.5)

En la Figura 9.2 a) y en la Figura 9.2 b) se representan las distribuciones de tensiones normales para los casos de flexión pura seg´ un los ejes y y z , respectivamente.

on y distribución de tensiones debidas a flexión pura seg´ un Figura 9.2 Solicitaci´ los eje y (a) y z (b)


116


9.3

Ley de Navier

Sea una barra prism´ atica con sección transversal simétrica sometida a dos momentos iguales y de signo contrario en sus extremos, considerándose que actúan solamente en el plano de simetr´ıa (XZ ), tal como se muestra en la Figura 9.3.

atica sometida a flexión pura de sección transversal Figura 9.3 Barra prism´ simétrica Se considerarán dos hipótesis de partida: Linealidad entre tensiones y deformaciones (ley de Hooke) Las secciones rectas y planas antes de la deformación, siguen siendo rectas y planas después de la deformación (hipótesis de Euler-Bernoulli) Debido a la acción de los momentos flectores la viga flecta en el plano XZ . Las secciones transversales permanecen rectas y planas aunque giran respecto de s´ı mismas. Las fibras de la cara inferior de la barra se alargan (se traccionan) y las de la cara superior se acortan (se comprimen). La superficie comprendida entre las dos superficies extremas, cuyas fibras ni se alargan ni se acortan, se denomina superficie neutra . La Figura 9.4 a) muestra gr´ aficamente la superficie neutra de una barra sometida a flexi´ on pura.

on de superficie neutra. b) Definición de fibra neutra y eje Figura 9.4 a) Definici´ neutro La intersección de dicha superficie con el plano de simetr´ıa de la barra se denomina fibra neutra . La intersección de la superficie neutra con cualquier sección transversal se denomina eje neutro. La Figura 9.4 b) muestra gráficamente la fibra neutra y el eje neutro de una barra sometida a acciones exteriores. Se estudiar´ a una rebanada nmpq de la barra, de longitud d x . La fibra neutra se representa por la l´ınea AB que se muestra en la Figura 9.5 a). Las secciones transversales nm y pq permanecen rectas y planas, tal como se muestra en la Figura 9.5 b). (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

117


atica sometida a flexión pura. a) Sin Figura 9.5 Rebanada de una barra prism´ deformar. b) Deformada Las trazas de los planos que contienen las secciones transversales mn y pq en la barra deformada forman un ańgulo dθ y se cortan en el punto O , que es el centro de curvatura de las fibras de la rebanada. El radio de curvatura ρ (referido a la fibra neutra) permanece constante durante la deformación. Además, la distancia dx entre las dos secciones mn y pq permanece invariable en la fibra neutra, verificándose dx = ρ dθ

(9.6)

El resto de las fibras longitudinales comprendidas entre los dos planos tendrán deformaciones lineales al alargarse o acortarse. La fibra ef , antes de la deformación, tiene una longitud d x . Tras la deformación, que se muestra en la Figura 9.5 b), su longitud es ef = (ρ + z ) dθ = (ρ + z )

d x ρ

z ρ

= dx + dx

(9.7)

y su deformación longitudinal unitaria z ρ

dx + dx − dx εef =

dx

=

z ρ

(9.8)

De acuerdo con la ley de Hooke, dicha deformación se puede expresar en función de la tensión sobre la fibra y del módulo de elasticidad longitudinal como: εef =

σx (x,y,z ) E


(9.9)

118


Igualando las expresiones (9.8) y (9.9) se obtiene la Ley de Navier: σx (x,y,z ) z = E ρ

⇒

σx (x,y,z ) =

E z ρ

(9.10)

En una secci´ on sometida a flexi´ on pura, los m´ odulos de las tensiones actuantes sobre las distintas fibras son directamente proporcionales a sus distancias al eje neutro.

Teniendo en cuenta (9.4) y (9.5), la ley de Navier puede expresarse como 1 ρ

1 ρ

=

M y (x) EI y

(9.11)

=

M z (x) EI z

(9.12)

dependiendo de si el momento actúa seg´ un el eje y o el z .

9.4

Flexi´ on desviada

Si el momento flector se puede descomponer en las direcciones de los ejes y y z , la secci´ on está sometida a flexión desviada. La expresión de la distribución de tensiones normales es la vista en (9.1) σx (x,y,z ) =

I z z − I yz y I y y − I yz z ( ) + M x M z (x) y 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

La Figura 9.6 muestra la distribución de tensiones normales en una sección sometida a flexión desviada.

on de flexión desviada. b) Distribución de tensiones Figura 9.6 a) Solicitaci´ debidas a la flexión desviada Si los ejes son principales de inercia σx (x,y,z ) =

M y (x) z M z (x) y + I y I z


(9.13)

119


9.5

M´ odulo resistente

Para una sección cualquiera, sometida a la acción de un momento flector M aplicado en su centro de gravedad, se define el módulo resistente W P , asociado a un punto P de la secci´ on, como el cociente entre el momento de inercia de la sección respecto al eje neutro (I en ) y la m´ınima distancia (h ) del punto P a dicho eje, tal como se muestra en la Figura 9.7 a). W p =

I en h

(9.14)

Figura 9.7 Concepto de módulo resistente

Si el momento flector act´ ua en la direcció n de uno de los ejes de la sección, como se muestra en la Figura 9.5 b), las ecuaciones (9.4) y (9.5) se pueden reescribir en función de los módulos resistentes de los puntos más y menos traccionados, como σxtracción =

M M = I en W pt ht

σxcompresión =

M M = I en W pc hc

(9.15)

De las expresiones anteriores se deduce que aquellos puntos de la sección con menor módulo resistente asociado (los m´ as alejados del eje neutro) ser´ an los que estarán sometidos a mayor tensión normal.

9.6


Ejercicio 9.1

La sección transversal de la viga en doble T que se muestra en la Figura 9.8, está sometida a un momento flector M y de 90 kN·m. Obtener: 1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I y , I z G

G

2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones normales 3. La ecuación del eje neutro 4. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribución de tensiones normales (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

120


on llena en doble T sometida a flexión pura Figura 9.8 Secci´ Soluci´ on:

1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I y , I z G

G

S = 110 · 103 mm2 I yG = 3491, 67 · 106 mm4 I zG = 1091, 67 · 106 mm4

2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones normales

σx (y, z ) = 0, 0258z



z = 0


on llena en doble T sometida a flexión pura. Distribución de Figura 9.9 Secci´ tensiones normales


121

Flexi´ on pura y flexi´ on desviada Ejercicio 9.2

La sección transversal de una viga en T está sometida a un momento flector seg´ un se muestra la Figura 9.10.

on llena en T sometida a flexión desviada Figura 9.10 Secci´ Obtener: 1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I y , I z G

G

2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones normales 3. La ecuación del eje neutro 4. La representaci´ on gr´ afica del eje neutro y de la distribución de tensiones normales Datos:

h = 130 mm , b = 200 mm , hf = 30 mm , bw = 40 mm M = 15 kN·m Soluci´ on:


S = 100 · 102 mm2 I yG = 1392, 3 · 104 mm4 I zG = 2053, 3 · 104 mm4

2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones normales

σx (y, z ) = 0, 365y + 0 , 934z



G

122



y =

2, 559z

−


on llena en T sometida a flexión desviada. Distribución de Figura 9.11 Secci´ tensiones normales


Lecci´ on 10

Flexi´ on simple Contenidos 10.1. Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.2. Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos cortantes en barras de secci´ on maciza124 10.3. Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos cortantes en barras de pared delgada 128

10.3.1. Secciones abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 10.3.2. Secciones cerradas unicelulares . . . . . . . . . . . . . . . . 130 10.4. Centro de esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . .

131


133

124

10.1


Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos cortantes

La flexión incluye generalmente tensiones tangenciales estáticamente equivalentes a alg´ un esfuerzo cortante (V y (x) y/o V z (x)), seg´ un se deduce de las ecuaciones de equilibrio dM y (x) dx

− V z (x)

= 0,

dM z (x) + V y (x) = 0 dx

en las que se han despreciado los momentos repartidos uniformemente.

on pura y flexión simple en tramos diferentes Figura 10.1 Viga sometida a flexi´ La viga de la Figura 10.1 está sometida a flexi´ on pura en el tramo comprendido entre las dos cargas (donde la ley de flectores es constante), y a flexión más cortante en los otros dos tramos (donde la ley de flectores es variable). A la solicitación de flexión m´ as cortante se le denomina flexión simple.

10.2

Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos cortantes en barras de secci´ on maciza

Si en una rebanada diferencial de una barra prismática, como la de la Figura 10.2, existe un esfuerzo cortante, constante en ambas caras, es porque existe una variación lineal del momento flector entre estas: dM y (x) = V z (x) = k dx

⇒

M y (x) = kx

En el desarrollo que sigue se considerarán secciones simétricas respecto del eje z , con las cargas actuando en el plano de simetr´ıa XZ . El eje y pasa por el centro de gravedad de la sección y, junto con el z , son los ejes principales de inercia. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

125

Flexi´ on simple

Figura 10.2 Rebanada diferencial de un tramo de viga sometido a flexión simple

La distribución de tensiones normales en ambas caras de la rebanada se muestra en la Figura 10.3 a). La rebanada ha de estar en equilibrio, y cualquier trozo de ella, tambi´ en. Sea un trozo de rebanada con su cara inferior a una altura z sobre el eje neutro, con ancho b(z ) a dicha altura y área S’ de la sección transversal, tal como se muestra en la Figura 10.3 b).

on de tensiones normales a ambos lados de una rebanada Figura 10.3 Distribuci´ diferencial de un tramo de viga sometida a flexión simple Estableciendo el equilibrio de fuerzas en el trozo de rebanada diferencial, como se muestra en la Figura 10.4

Figura 10.4 Equilibrio de un trozo de la rebanada diferencial de un tramo de viga

sometida a flexión simple se obtiene (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

126




σx1 (x , y , z) dS + τ zx (x,y,z ) b(z ) d x −

S ′



σx2 (x,y,z ) dS = 0

(10.1)

S ′

Las tensiones normales están producidas solo por el momento flector, por lo que se pueden sustituir por la expresión (9.4), obteniéndose



S ′

M y (x) z d S + τ zx (x,y,z ) b(z ) d x − I y



S ′

M y (x) + d M y (x) z d S = 0 I y

(10.2)

Operando, se obtiene dM y (x) I y



z d S − τ zx (x,y,z ) b(z ) d x = 0

(10.3)

S ′

y despejando τ zx (x , y , z) 1 dM y (x) τ zx (x,y,z ) = dx b(z )I y



z d S

(10.4)

S ′

La integral representa el momento está tico del área S’ respecto al eje y , que se denotar´ a por Qy (z ). Teniendo en cuenta que la derivada del momento flector respecto a x es el esfuerzo cortante, (10.4) toma la forma τ zx (x , y , z) =

Qy (z )V z ( x) b(z )I y

(10.5)

A la vista de la Figura 10.4 a) y de la Figura 10.4 b), las tensiones calculadas son las contenidas en el plano de separación de los trozos de la rebanada diferencial, es decir, las tensiones rasantes . De acuerdo con el principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales, las tensiones tangenciales en las caras de la rebanada diferencial con normal el eje x , son las tensiones rasantes, como se muestra en la Figura 10.5.

Figura 10.5 Tensiones tangenciales en las caras de la rebanada diferencial

Por tanto, τ xz (x , y , z) =

Qy (z )V z ( x) b(z )I y

(10.6)

Las secciones transversales de las barras sometidas a un esfuerzo cortante no se mantienen planas tras la deformación. Al ser variable, en general, la distribución de tensiones tangenciales sobre la sección, también var´ıa la deformaci´ on angular. Esto se traduce en un alabeo de la sección transversal, como se muestra en la Figura 10.6. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

127

Flexi´ on simple

on simple Figura 10.6 Alabeo de secciones sometidas a flexi´ Este alabeo no afecta de forma importante a las deformaciones longitudinales, por lo que para el cálculo de las tensiones debidas a flexión simple se utilizan las expresiones deducidas en los apartados anteriores. En general, si los ejes de la sección no son principales de inercia y existen esfuerzos cortantes en las direcciones de los ejes y y z simultáneamente, se puede demostrar que las expresiones de las distribuciones de tensiones tangenciales son τ xy (x , y , z) =

1 = b(y )





(10.7)



(10.8)

Qz (y ) I y − Qy ( y) I yz Qy (y ) I z − Qz ( y) I yz ( ) + V x V z ( x) y 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz τ xz ( x,y,z ) =

1 = b(z )



Qz (z ) I y − Qy (z ) I yz Qy ( z ) I z − Qz ( z ) I yz ( ) + V x V z (x) y 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

Si los ejes son principales de inercia, las expresiones anteriores se simplifican:

 

 

1 Qy ( y) Qz (y) τ xy (x,y,z ) = V y (x) + V z ( x) b(y ) I z I y 1 Qy (z ) Qz ( z ) τ xz ( x,y,z ) = V y ( x) + V z ( x) b(z ) I z I y

(10.9)

(10.10)

Las expresiones de los momentos estáticos Qy (y), Qy (z ), Qz (y ) y Qz (z ), que aparecen en las ecuaciones anteriores son Qy (y ) = S zg

(10.11)

Qy (z ) = S zg

(10.12)

Qz ( z ) = S yg

(10.13)

Qz (y ) = S yg

(10.14)

El sub´ındice en la denominación del momento estático indica el eje respecto al cual se calcula. Entre paréntesis se señala la coordenada con la que var´ıa el a´rea del elemento cuyo momento estático se desea calcular. Si la sección presenta simetr´ıa respecto del eje y , se verifica que Q y (y ) = 0; y si la sección presenta simetr´ıa respecto del eje z , se verifica que Qz (z ) = 0. Obviamente, si la sección presenta doble simetr´ıa, ambos momentos estáticos serán nulos. En la Figura 10.7 se muestra gr´ aficamente el significado de estos momentos estáticos. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

128


Figura 10.7 a) Qy ( y). b) Qy (z ). c) Qz ( z ). d) Qz ( y)

10.3

Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos cortantes en barras de pared delgada

10.3.1

Secciones abiertas

Sea una barra con sección transversal arbitraria, como la que se muestra en la Figura 10.8 a), que cumple las condiciones de pared delgada. Los ejes y y z son principales de inercia.

atica de sección transversal abierta de pared delgada Figura 10.8 Barra prism´ (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

129

Flexi´ on simple

Se supondrá que el sistema de cargas es tal que provoca únicamente flexió n en el plano XZ , siendo el eje y el eje neutro. La tensión normal en cualquier punto de la barra ser´ a σx (x, s) =

M y (x) z I y

(10.15)

siendo s una coordenada curvil´ınea que se mide sobre la l´ınea media del perfil (l´ınea de trazos fina en la Figura 10.8) a partir del origen escogido. Se estudiará un elemento de volumen diferencial, abcd , con uno de sus lados, el ab, coincidente con el borde de la sección. El otro lado tiene longitud s , medida a lo largo de la l´ınea media de la sección, como se muestra en la Figura 10.8 b). Al igual que ocurr´ıa en las secciones macizas, la variaci´ on del momento flector a un lado y otro del volumen considerado implica tensiones diferentes a ambos lados, como se puede ver en la Figura 10.8 c) por lo que son necesarias las tensiones tangenciales para conseguir el equilibrio. El equilibrio del volumen diferencial considerado implica que s

τ xs (x, s) t (s) dx +



s

σx2 d S −

0

 0

σx1 d S = 0

(10.16)

siendo t (s) el espesor del volumen diferencial (que puede variar con s ). Sustituyendo (10.15) en (10.16), se obtiene M y2 (x) s M y1 (x) s τ xs (x, s) t (s) dx + z d S − z d S I y I y 0 0





(10.17)

(10.18)

y despejando la tensión tangencial se llega a la expresión dM y (x) 1 τ xs (x, s) = − dx I y t(s)

s

s V z ( x) z d S = − z d S I y t(s) 0 0





donde se ha tenido en cuenta que la variación del momento flector respecto a x , es el esfuerzo cortante. La integral que aparece en (10.18) es el momento estático del trozo de sección transversal de longitud s , respecto al eje y . La ecuación (10.18) adopta una forma similar a la (10.6) obtenida para el caso de secciones macizas τ xs (x, s) = −

V z (x) Qy (s) I y t (s)

(10.19)

A diferencia de la distribución de tensiones en perfiles de sección maciza, en perfiles de pared delgada la tensión tangencial se supone constante en el espesor. Las tensiones tangenciales están dirigidas a lo largo de la l´ınea media de la sección transversal y act´ uan paralelas a los bordes de la secci´ on. Se define el flujo de tensiones en cualquier punto de la sección transversal como q xs (x, s) = τ xs (x, s) t (s) = −

V z ( x) Qy ( s) I y

(10.20)

Al ser V z e I y constantes, el flujo de tensiones es directamente proporcional a Q y (s). En los extremos de las alas de la sección, Qy (s) es cero, por lo que el flujo de tensiones también es cero. El valor máximo del flujo de tensiones, que var´ıa de forma continua (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

130


de un extremo a otro de la sección, se obtiene en el eje neutro, donde Qy (s) es m´ aximo. Si existen simultáneamente cortantes en las direcciones de los ejes y y z , la expresi´ on 10.20 se transforma en τ xs (x, s) = −

V y (x) Qz (s) V z (x) Qy (s) − I z t (s) I y t (s)

(10.21)

Si los ejes no son principales de inercia, la distribución de tensiones tangenciales es τ xs (x, s) =

1 = t (s)





V y (x) I y − V z (x) I yz V z ( x) I z − V y (x) I yz − − ( ) Q s Qy (s) z 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

(10.22)

siendo el flujo de tensiones q xs (x, s) =

=− 10.3.2

V y ( x) I y − V z (x) I yz V z (x) I z − V y ( x) I yz − ( ) Q s Qy (s) z 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

(10.23)

Secciones cerradas unicelulares

El flujo de tensiones tangenciales viene dado por la expresión q V (x, s) = q V (x, 0) + q VA ( x, s)

(10.24)

siendo q VA on estuviera abierta en s = 0 (la elección del ( x, s) el flujo en s si la secci´ origen de coordenada s es arbitraria)

q VA ( x, s) = −

V y (x) I y − V z ( x) I yz V z (x) I z − V y (x) I yz − ( ) Q s Qy (s) z 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

(10.25)

El cálculo de q VA o anteriormente. Para determinar ( x, s) es directo, como se indic´ q V (x, 0) se puede demostrar que la expresión es S

S q V A ( x, s) q VA ( x, s) ds ds − − ( ) ( ) t s t s 0 0 = q V (x, 0) = S S 1 ds t (0) 0 t (0)

 



(10.26)

En la Figura 10.9 se muestra una barra de sección transversal cerrada, unicelular. De la expresión (10.26) se deduce que para calcular la distribución de tensiones tangenciales estáticamente equivalentes a los esfuerzos cortantes que actúan en una sección cerrada de pared delgada, hay que definir en primer lugar el origen de coordenada curvil´ınea s y suponer que el perfil está abierto en dicho origen. Despu´ es se calcula on (10.25) y finalmente, tras deducir q V (x, 0) usando q V A ( x, s) aplicando la ecuaci´ la ecuación (10.26), se puede determinar el flujo de tensiones q V (x, s) utilizando la expresi´ on (10.24). (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

131

Flexi´ on simple

atica de secci´ on transversal cerrada, unicelular Figura 10.9 Barra prism´

10.4

Centro de esfuerzos cortantes

Si la distribución de tensiones tangenciales sobre una sección es estáticamente equivalente al esfuerzo cortante, debe verificarse la igualdad de resultante y de momentos respecto a cualquier punto del sistema formado por el esfuerzo cortante y la resultante de la distribución de tensiones tangenciales. La igualdad de la resultante se verifica siempre que la distribución de tensiones tangenciales se haya calculado correctamente. Sin embargo, en el desarrollo realizado para el cálculo de estas no se ha tenido en cuenta el punto de actuación de la carga (cortante).

Figura 10.10 Concepto de centro de esfuerzos cortantes

En la Figura 10.10 a) se ha considerado la carga P actuando en el centro de gravedad de la sección. La pieza se torsiona a la vez que flecta. Esta torsión es debida a que no existe equivalencia entre el momento que produce el esfuerzo cortante respecto a cualquier punto de la sección y el momento que produce la distribución de tensiones tangenciales. No obstante, existe un punto de aplicación del esfuerzo cortante que hace que se verifique dicha equivalencia. Este punto se denomina centro de esfuerzos cortantes . En la Figura 10.10 b) se muestra como al situar la carga P en el centro (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

132


de esfuerzos cortantes, C , la viga sólo flecta en el plano XZ . De lo comentado anteriormente se deducen la siguientes consecuencias: Para que una barra prism´ atica sometida a la acción de una carga transversal on sin torsión, es necesario que dicha carga pase por el centro P trabaje a flexi´ de esfuerzos cortantes de la secció n en la que actúa. En caso contrario, se producirán en la sección adem´ as de tensiones tangenciales debidas a la carga P , tensiones tangenciales debidas a la acción del momento torsor M x (x) = P a, siendo a la distancia desde el centro de esfuerzos cortantes al punto donde se ha aplicado P , como se muestra en la Figura 10.11.

on debida a la no aplicación de la carga en el centro de Figura 10.11 Torsi´ esfuerzos cortantes

El centro de esfuerzos cortantes será un punto tal que, el momento de las fuerzas a que dan lugar las tensiones tangenciales respecto de él, sea nulo. Esto es evidente ya que, si sobre ese punto se aplica una carga P , el momento de esta fuerza respecto de dicho punto es nulo y ambos sistemas ser´ıan equivalentes. Esta propiedad permite determinar inmediatamente la posición del centro de esfuerzos cortantes en secciones ramificadas que concurran en un punto: como todas las tensiones tangenciales pasan por dicho punto, sus momentos respecto de dicho punto son nulos, y este será el centro de esfuerzos cortantes, como se muestra en la Figura 10.12.

Figura 10.12 Centro de esfuerzos cortantes en secciones ramificadas

Si una secci´ on tiene un eje de simetr´ıa, sobre él se encontrará el centro de esfuerzos cortantes. Si una sección tiene dos ejes de simetr´ıa, la intersección será el centro de esfuerzos cortantes.


133

Flexi´ on simple

10.5


Ejercicio 10.1

La sección transversal de una viga en T está sometida a un esfuerzo cortante V z , seg´ un se muestra en la Figura 10.13.

on llena en T sometida a esfuerzo cortante Figura 10.13 Secci´ Obtener: 1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I yG , I zG 2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones tangenciales 3. La representaci´ on gr´ afica de la distribución de tensiones tangenciales Datos:

h = 130 mm , b = 200 mm , eala = 30 mm , ealma = 40 mm V z

= 40 kN

Soluci´ on:

1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I yG , I zG S = 100 · 102 mm2 I yG = 1392, 3 · 104 mm4 I zG = 2053, 3 · 104 mm4

2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones tangenciales Utilizando como unidades de fuerza N y de longitud mm

τ xz (z ) =

 11 397122 ,

− 0, 0014388z 2

2, 41871 − 0, 0014388z

2

(eala − zG ≤ z ≤ h − zG ) (−zG ≤ z ≤ eala − zG )


134


  7 482 + 0 07482  0 06906 ( )=  0 06906   7 482 0 07482 − ,

,

− ,

τ xy y

, ,

 2 0 

ealma

y

y

− ,

y

≤y≤

≤y≤

ealma

y

2



−

b

2

 2  2 0 b

ealma

≤y≤

≤y≤−

ealma

2



3. La representaci´ on gr´ afica de la distribución de tensiones tangenciales

on llena en T sometida a esfuerzo cortante. Distribución de Figura 10.14 Secci´ tensiones tangenciales

Ejercicio 10.2

La sección transversal que se muestra en la Figura 10.15 está sometida a un esfuerzo cortante V z .

on de pared delgada en doble T asimétrica sometida a esfuerzo Figura 10.15 Secci´ cortante


135

Flexi´ on simple

Obtener: 1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I yG , I zG 2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones tangenciales 3. La representaci´ on gr´ afica de la distribución de tensiones tangenciales Datos: h = 220 mm , b1 = 50 mm , b2 = 150 mm , e1 = 9 mm , e2 = 6 mm V z

= 350 kN

Soluci´ on:

1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I yG , I zG S = 4812 · 102 mm2 I yG = 442, 144 · 105 mm4 I zG = 142, 705 · 105 mm4

2. La expresión anal´ıtica de la distribución de tensiones tangenciales

 0 835   0 835 250 540 + 0 835 ( )=  0 835   0 835

τ xs s

,

s1

(Ala superior - lado derecho)

,

s3

(Ala superior - lado izquierdo)

,

,

s2 − 0, 00396s22 (Alma)

− ,

s4

(Ala inferior -lado derecho)

− ,

s6

(Ala inferior -lado izquierdo)

3. La representaci´ on gr´ afica de la distribución de tensiones tangenciales


136


on de pared delgada en doble T asimétrica sometida a esfuerzo Figura 10.16 Secci´ cortante. Distribuci´ on de tensiones tangenciales debidas a un cortante según z Ejercicio 10.3

Para la secci´ on que se muestra en la Figura 10.15, determinar: 1. El centro de esfuerzos cortantes Soluci´ on:

1. Obtener el centro de esfuerzos cortantes

on de pared delgada en doble T asimétrica sometida a esfuerzo Figura 10.17 Secci´ cortante. Centro de esfuerzos cortantes


Lecci´ o n 11

Flexi´ on compuesta y flexi´ on compuesta desviada Contenidos 11.1. Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a la combinaci´ on de esfuerzos axiles y momentos flectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

11.2. Flexi´ on compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

11.3. Flexi´ on compuesta desviada . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

11.4. N´ ucleo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

11.5. Secciones sin zona de tracci´ on . . . . . . . . . . . . . . . .

142


143

138


11.1

Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a la combinaci´ on de esfuerzos axiles y momentos flectores

Una barra trabaja a flexi´ on compuesta cuando está sometida a un estado de cargas tal que al deformarse se originan tensiones estáticamente equivalentes en cada sección a un esfuerzo axil y a un momento flector ( M y (x) o M z (x)). Trabaja a flexión compuesta desviada si junto al axil actúan sendos momentos flectores ( M y (x) y M z (x)). En estos casos el eje neutro no pasa por el centro de gravedad, pudiendo localizarse dentro o fuera de la sección, dependiendo de los valores de las solicitaciones.

11.2

Flexi´ on compuesta

Las distribuciones de tensiones normales para el momento actuando según el eje y o el eje z son, respectivamente σx (x,y,z ) =

I z z − I yz y N ( x) + M y ( x) 2 S I y I z − I yz

(11.1)

σx (x,y,z ) =

I y y − I yz z N ( x) + M z ( x) 2 S I y I z − I yz

(11.2)

En la Figura 11.1 se muestra la distribución de tensiones en una sección sometida a flexi´ on compuesta seg´ un el eje y .

on de tensiones en una sección sometida a flexión Figura 11.1 Distribuci´ compuesta seg´ un el eje y Si los ejes son principales de inercia, las expresiones 11.1 y 11.2 se simplifican: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

139

Flexi´ on compuesta y flexión compuesta desviada

11.3

σx (x,y,z ) =

N ( x) M y (x) + z S I y

(11.3)

σx (x,y,z ) =

N ( x) M z ( x) + y S I z

(11.4)

Flexi´ on compuesta desviada

Si junto al axil actúan sendos momentos M y (x) y M z (x), la distribución de tensiones normales es

σx (x,y,z ) =

I z z − I yz y I y y − I yz z N ( x) + ( ) + M x M z ( x) y 2 2 S I y I z − I yz I y I z − I yz

(11.5)

Si los ejes son principales de inercia, I yz = 0, por tanto σx (x , y , z) =

N ( x) M y ( x) M z (x) + z + y S I y I z

(11.6)

En la Figura 11.2 se muestra la distribución de tensiones resultante de sumar las tensiones debidas a un axil y las tensiones debidas a sendos momentos M y (x) y M z ( x).

on de tensiones en una sección sometida a una solicitación Figura 11.2 Distribuci´ de flexión compuesta desviada


140

11.4


N´ ucleo central

Existen materiales que trabajan muy bien a compresión y tienen un mal comportamiento a tracción, lo que los hace ideales para su uso en elementos estructurales que trabajen fundamentalmente a compresión. No obstante, las cargas axiles siempre act´ uan con cierta excentricidad. Por tanto, interesa delimitar la zona de la secci´ on transversal en la que la acci´ on de un axil de compresi´ on no provoca tracciones . Esta zona se denomina n´ ucleo central . Ya se ha comentado anteriormente que el eje neutro en flexión compuesta o flexión compuesta desviada no pasa por el centro de gravedad de la sección. Esto implica que la sección y el eje neutro pueden intersecarse o no. Si la sección y el eje neutro se cortan, este dividirá a la sección en dos partes: una trabajará a tracción y otra a compresi´ on. Si la sección y el eje neutro no se intersecan, toda la sección trabajar´ aa tracci´ on o a compresión seg´ un el sentido del axil. Teniendo en cuenta esto, se puede definir el n´ ucleo central de una sección como el lugar geométrico de los puntos en los que la aplicaci´ on de un axil de compresi´ on implica l´ıneas neutras tangentes al contorno de la secci´ on sin intersecarla . Las l´ıneas L1 y L2 de la sección de la Figura 11.3 se corresponden con los ejes neutros al aplicar un axil en los puntos 1 y 2, respectivamente. La l´ınea L3 corres-

ponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 3; en los tres casos, toda la secci´ on estar´ıa comprimida o traccionada dependiendo del sentido del axil. La l´ınea L4 corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 4; en este caso se producen tracciones y compresiones en la sección.

ucleo central Figura 11.3 Concepto de n´ En una sección sometida a flexión compuesta desviada, como se muestra en la Figura 11.4, los momentos pueden expresarse en función del esfuerzo axil y sus excentricidades como M z ( x) = N ( x) ey

(11.7)

M y (x) = N ( x) ez

Sustituyendo (11.7) en (11.5) y reordenando, se obtiene σx (x,y,z ) = N ( x)

1

ey I y − ez I yz ez I z − ey I yz + + y z 2 2 S I y I z − I yz I y I z − I yz




(11.8)

141

Flexi´ on compuesta y flexión on on compuesta desviada

siendo la ecuación on del eje neutro 1 S

+

ey I y − ez I yz ez I z − ey I yz yz yz + y z=0 2 2 I y I z − I yz I y I z − I yz

(11.9)

entricamente sobre una sección entricamente on Figura 11.4 Axil actuando exc´ El proceso para la determinación on del contorno del n´ ucleo central consiste en tomar ucleo como eje neutro las tangentes al contorno de la sección on (de ecuación on ay + bz + 1 = 0) e identificar coeficientes con la ecuación on (11.9). Se puede comprobar que las coordenadas (ey , ez ) de un axil de compresión on al que corresponde un determinado eje neutro, son ey = ez =

1

( a I z + b I yz yz )

S

1

(11.10)

( a I yz yz + b I y )

S

Si los ejes y y z son principales de inercia, las ecuaciones (11.10) se simplifican a I z = a i2z S b I y = b i2y ez = S

ey =

(11.11)

siendo i y e i z los radios de giro de la sección on respecto a los eje y y z , respectivamente respectivamente:: iy =



I y S

iz =



I z S

(11.12)

Para definir el contorno del n´ ucleo central, es necesario estudiar las tangentes a la ucleo sección o n en un número umero suficiente de puntos. Si la sección esta formada por tramos rectil´ıneos, ıneos, la obtenc obtenci´ ión on del con contorno torno se puede simplificar. simplificar. Para ello se har´ a uso de la siguiente propiedad: si la l´ınea ınea neutra corr correspo espondiente ndiente a un axil aplicad aplicado o con A B excentricidad eA punto o de co coor ordena denadas das eB y y ez pasa por el punt y , ez , se cumple que B la l´ınea ınea neutr neutra a corr correspo espondiente ndiente al axil aplica aplicado do en eB por el pu punto nto de y y ez pasa por A coordenadas eA y , ez . En la Figura 11.5, L1 , L2 , L3 , L4 y L5 son los ejes neutros correspondientes a la









aplicación on de un axil en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. Haciendo uso de la propiedad propied ad mencionada en el p´ arrafo anterior, arrafo anterior, se puede afirmar que en la secci´ on de la on (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

142


Figura 11.5, el segmento 12 contiene los puntos del n´ ucleo central correspondientes a ucleo los ejes neutros que giran alrededor de O . Esto es, como L 1 pasa por O , el eje neutro de O pasar´ a por 1 y como L 2 pasa por O , el eje neutro de O pasar´ a por 2. Por tanto, el segmento 12 es parte de la l´ınea neutra correspondiente al axil aplicado en O . De acuerdo con la propiedad citada anteriormente, mientras el axil recorra el segmento 12 las l´ıneas neutr neutras as girar girar´ ań alrededor de O desde L1 hasta L2 . Por este motivo, en an las secci secciones ones con el cont contorno orno defini definido do por tramos rectil´ rectil´ıneos ıneos,, el cont contorno orno del núcleo ucleo puede ser calculado uniendo mediante rectas los puntos de aplicación del axil de compresión on a los que corresponden los ejes neutros que son tangentes al contorno de la sección on sin inte intersecar rsecarla. la.

on del núcleo on ucleo central Figura 11.5 Determinaci´

11.5 11 .5

Secc Se ccio ione ness sin sin zona zona de de trac tracci ci´ ´ on on

Hay materiales cuya resistencia a tracción on es tan pequeña na que no es considerada en los cálculos. alculos. Para el caso de elementos construidos con estos materiales y que van a estar sometidos a un axil excéntrico, entrico, es necesario conocer cono cer la posición on del eje neutro que separa la zona de la sección que trabaja (zona comprimida) de la que no trabaja (zona traccionada).

on Figura 11.6 Secciones sin zona de tracción Sea una sección on genérica, erica, con eje de simetr´ıa ıa coincid coincidente ente con el eje z . Se supondrá que el esfuerzo axil N act´ ua en el punto C , sobre el eje de simetr´ıa, ua ıa, a una distancia a del borde y fuera del núcleo ucleo central, como se muestra en la Figura 11.6. La sección on está somet so metida ida a flexi´ fl exión on comp c ompuest uestaa seg´ se gún un el eje y . Por tanto, el eje neutro es perpendicular al eje z . Como se ha visto en apartados anteriores, las tensiones (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

143

Flexi´ on compuesta y flexión on on compuesta desviada

normales son proporcionales a su distancia al eje neutro. As As´´ı, un elemento diferencial dS , a una distancia z del eje neutro, tendrá como tensión on σ = k kz z. Para determinar la distancia del punto de actuación on del axil al eje neutro, zc , se establecen las condiciones de equilibrio de fuerzas y de momentos. As´ı, ı, la resultante de las tensiones que actúan uan en la zona activa (sombreada en la figura) ha de ser igual al esfuerzo axil N ( ( x): ( x) = N (



= σx d S =

S



= k k z d S =

S



= k Qen z d S =

(11.13)

S

siendo Qen el momento estático atico de la zona comprimida respecto al eje neutro. Adem´ as ha de verificarse que el momento de la resultante de las tensiones de as compresión on respecto al eje neutro ha de ser igual al momento del axil respecto a dicho eje. ( x) zc = N (



S

= z σx d S =



= k k z 2 dS =

S



= k I en z 2 dS = en

(11.14)

S

siendo I en en el momento de inercia de la zona comprimida respecto al eje neutro. Dividiendo (11.14) por (11.13) se obtiene zc zc =

I en en Qen

(11.15)

Los valores de Qen e I en o n de la incógnita on ognita zc . Por tanto, resolviendo la en son funci´ ecuación on resultante, se determina la posición o n del eje neutro referida al punto de aplicación on del axil.

11.6 11. 6

Ejer Ej erci cici cios os pr prop opue uest stos os

Ejercicio 11.1

La sección on transversal transversal de la viga en T que se mue muestra stra en la Figura 11.7, está sometida a flexión on compue compuesta sta desviad desviada. a.

on en T sometida a flexión on on compue compuesta sta desvi desviada ada Figura 11.7 Secci´ Obtener: 1. Las propiedades propiedades est´ estáticas aticas de la sección: on: área area S e inercias principales I y , I z G


G

144


2. La expresión on anal´ıtica ıtica de la distri distribuci´ bución on de tensiones normales 3. La ecuación on del eje neutro 4. La representa representaci´ ci´ on gr´ on afica de la distribución afica on de tensiones normales Datos:

mm , eala = 10 mm , ealma = 7 mm h = 90 mm , b = 82 mm kN··m , M z = 30 kN kN··m N = −300 kN , M y = 50 kN

Soluci´ on: on:

1. Las propiedades propiedades est´ estáticas aticas de la sección: on: área area S e inercias principales I y , I z G

G

= 1380 mm2 S = 979 · 10 103 mm4 I yG = 979 · 462 · 10 103 mm4 I zG = 462 · 2. La expresión on anal´ıtica ıtica de la distri distribuci´ bución on de tensiones normales 10, 869 + 4, 329y + 1 , 021z σx (y, z ) = − −10

(Fuerzas (F uerzas en N y longitude longitudess en mm)

3. La ecuación on del eje neutro 511 − 0, 236z y = 2, 511 − 0 4. La representac representaci´ i´ on gráfica on afica del eje neutro y de la distribución on de tensiones normales

on en T sometida a flexión on on compuesta desviada. Distribución on de Figura 11.8 Secci´ tensiones normales


145

Flexi´ on compuesta y flexión on on compuesta desviada Ejercicio 11.2

Para la sección on transversal de la Figura 11.9

on romboid on romboidal al Figura 11.9 Secci´ Obtener: 1. Las propiedades propiedades est´ estáticas aticas de la sección: on: área area S e inercias principales I y , I z G

G

2. El n´ ucleo central de la sección ucleo on Soluci´ on: on:

1. Las propiedades propiedades est´ estáticas aticas de la sección: on: área area S e inercias principales I y , I z G

= S = I yG = I zG =

h2

2 h4

48

2. El n´ ucleo central de la sección ucleo on Coordenadas ordenadas de los vértices ertices del núcleo ucleo central de la sección on Tabla 11.1 Co Vértice 1 2 3 4

Coordenadas ey

ez

h

h

12

12

h

−

12 h

−

12

h

12

h

12

h

−

12 h

−

12


G

146


on romboidal. N´ on ucleo central ucleo Figura 11.10 Secci´ Ejercicio 11.3

En la Figura 11.11 se muestra una sección on transversal rectangular, sometida a un axil de compresión on exc´ e xcéntrico. entrico. Se admitir a dmitir´á que qu e la resiste resistencia ncia del materi material al a tracci´ tr acción on es nula.

on rectangular sometida a un axil de compresión on on exc exc´éntri ent rico co Figura 11.11 Secci´ Obtener: 1. La distan distancia cia d del del punto C de de aplicación on del axil a la cara superior de la sección 3 para que esta esté compri c omprimida mida del canto h 4 Soluci´ on: on:

1. La distan distancia cia d del del punto C de de aplicación on del axil a la cara superior de la sección 3 para que esta esté compri c omprimida mida del canto h 4 d =

h

4


Lecci´ on 12 on

Flexi´ on pl´ astica Contenidos 12.1. 12. 1. Mode Modela lado do del del compor comporta tamie mien nto del del mater material ial . . . . . . . .

148 14 8

12.2. Plastificaci´ on de la secci´ on on en flexi´ on on pura . . . . . . . .

148

12.2.1. Momento plástico . . . . . . . . . . 12.2.2. Módulo odulo pl´ astico . . . . . . . . . . . . 12.2.3. Factor de forma . . . . . . . . . . . 12.2 12 .2.4 .4.. Eje Eje neu neutr troo en en sec secci cion ones es pl plas asti tific ficad adas as

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . 15 1 51 . . . 15 1 51 . . . 152 . . . 15 1522

12.2.5. Diagrama momento-curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 12.3. Plastificaci´ on de la secci´ on on en flexi´ on o n com on ompu pues esta ta . . . . .

154 15 4

12.3.1. Plastificación on de la sección on en flexión on compuesta: Plastificaci´ on parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 12.3.2. Plastificación on de la sección on en flexión on compuesta: Plastificaci´ on total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 12.4. Plastificaci´ on en secciones sometidas a flexi´ on o n si on simp mple le . .

156 15 6

12.5. Formaci´ o n de r´ on o tulas otul as pl pl´ ´ a stic asti cas . . . . . . . . . . . . . . . .

158 15 8

12. 2.6 6. Ejercicios pr prop opu uestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 16 0

148


12.1 12. 1

Modelado Model ado del com comporta portamie mient nto o del del mater material ial

El comportamiento de los aceros de bajo contenido en carbono puede modelarse mediante media nte el diagrama tensi´ on-deformaci´ on-deformaci´ on de la Figura 12.1 a), que se conoce como on comportamiento e on-deformaci´ on-deformaci´ on on elast lastopl´ oplástico asti co perfecto , o mediante el diagrama tensi´ de la Figura 12.1 b) en el que se considera el endurecimiento por deformación.

asticos del acero. a) Comportamiento asticos Figura 12.1 Diagramas elastopl´ elastopl´ astico perfecto b) Comportam astico Comportamien iento to elasto elastopl´ pl´ astico con endurecimiento astico Ambos modelos de comportami comportamient entoo suponen que los l´ımites de proporcio proporcionalidad nalidad,, elástico astico y de fluencia coinciden. El modelo elastopl´ astico perfecto supone que la tensión on de fluencia del material se mantiene constante para cualquier deformación superior a la l a del l´ımite elástico. astico. El elastopl´ astico con endurecimiento admite un aumento de la resis resistencia tencia a partir de deformaciones deformaciones k εe siendo k del orden de 10 a 15. En ambos modelos se admiten a dmiten idénticos enticos comportamientos compor tamientos en tracción on y compresión, on, tanto paraa el l´ımi par ımite te elástico astico como para el módulo odulo de elasti elasticidad. cidad.

12.2 12 .2

Plas Pl asti tific ficac aci´ i´ on de la secci´ on on en flexi´ on on pura on

En la Figura 12.2 se mue muestran stran una secc secci´ ión on bisim bisim´étrica etrica somet sometida ida a un momen momento to flector seg´ un el eje y , y los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones un longit lon gitudi udinal nales es y ten tensio siones nes norm normale aless corr correspo espondi ndien entes tes.. En nin ninguna guna de la fibr fibras as se ha alcanzado la deformación on del l´ımite elástico astico y en consecuencia las tensiones en cualquier punto de la sección on están an por debajo del l´ımite elástico astico del material.

on de deformaciones y de tensiones en on Figura 12.2 Diagramas de distribuci´ régim eg imen en el el´ a´stico astico Las distribuciones de tensiones y deformaciones son lineales, respondiendo a las ecuaciones (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

149

Flexi´ on pl´ astica

σx (y, z ) = ε (z ) =

M z I y

(12.1)

σx (y, z ) M = z = χz E EI y

(12.2)

siendo E el módulo de elasticidad longitudinal y χ la curvatura de la sección. Considerando una rebanada diferencial de un elemento estructural, la curvatura χ de la secció n es el ángulo que se inclina una cara de la rebanada respecto de la otra, dividido por la distancia que las separa. Si se consideran dos secciones separadas una unidad de longitud, la curvatura es χ =

ε (z ) z

(12.3)

Si el momento flector se va incrementando, la tensión y la deformación en cada fibra de la sección aumentan. Habr´ a un valor de M para el que la deformación en las fibra extremas (las más tensionadas) coincida con la deformación en el l´ımite elástico, ε e , correspondiéndoles la tensión del l´ımite elástico, σe . En la Figura 12.3 se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales.

on de deformaciones y de tensiones en Figura 12.3 Diagramas de distribuci´ régimen el´ astico con las fibras extremas alcanzando el l´ımite elástico Si se sigue incrementando el momento flector, se llegará a un estado tal que las fibras extremas de la sección habr´ an superado la deformación correspondiente al l´ımite elástico junto con parte de las contiguas, trabajando todas ellas a una misma tensión σe . En la Figura 12.4 se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes.

on de deformaciones y de tensiones en Figura 12.4 Diagramas de distribuci´ régimen elastoplástico (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

150


Si se sigue incrementando M , habr´ a una extensa zona de la sección donde todas las fibras superen la deformación correspondiente al l´ımite elástico y por tanto trabajen a la tensión del l´ımite elástico, como se muestra en la Figura 12.5.

on de deformaciones y de tensiones en Figura 12.5 Diagramas de distribuci´ régimen elastoplástico. Gran parte de la sección plastificada La deformaci´ on en el l´ımite elástico para un acero es función del tipo de acero, estando acotada entre εe = 0, 00112 para un acero con σe = 235 MPa y εe = 0, 00169 para un acero con σe = 355 MPa. Considerando una deformación longitudinal unitaria en rotura para el acero de on εrot = 0, 01, cuando en la fibra más tensionada de la sección se alcance la deformaci´ correspondiente a la rotura, la zona de la secci´ on traba jando en régimen elástico, que se muestra en la Figura 12.6, será z0 z1 z1 = = εrot εe εl´ım

(12.4)

es decir, la zona elástica tiene una extensión como máximo el doble de z1 (en el caso de que la sea sección sim´ etrica respecto al eje neutro), siendo z1 z1 =

εe z0 εrot

(12.5)

on de deformaciones y de tensiones en Figura 12.6 Diagramas de distribuci´ régimen elastoplástico. Fibras más tensionadas con la deformación en rotura As´ı, para un acero con εe = 0, 00169, la zona trabajando en régimen elástico será, como m´ aximo, 2 × z1 = 2 ×

0, 00169 z0 = 0, 338 z0 0, 01

(12.6)

De la ecuación (12.6) se deduce que dicha zona es muy pequeña en relación con la zona plastificada. Por este motivo se acepta la distribución de tensiones mostrada en la Figura 12.7, en la que toda la sección está totalmente plastificada. Dicha distribución corresponde al caso, teórico, de curvatura infinita de la sección. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

151


on de deformaciones y de tensiones en Figura 12.7 Diagramas de distribuci´ régimen pl´ astico 12.2.1

Momento pl´ astico

El momento que produce el estado tensional mostrado en la Figura 12.7 recibe el nombre de momento plástico (M p ). Al ser dicho momento estáticamente equivalente al momento producido por la distribuci´ on de tensiones normales, ha de cumplirse que zt

M p =



z σx (x,y,z ) b d z

(12.7)

zc

siendo z t y zc las alturas, en valor absoluto, de las zonas traccionada y comprimida, respectivamente y b el ancho de la sección. Al ser σx (y, z ) = σ e en la zona traccionada y σx (x,y,z ) = −σe en la zona comprimida, sustituyendo en (12.7) se obtiene zt

M p =



0

zt

z σx (x,y,z ) b d z = σ e





z b d z + σe

0

zc

z b d z

(12.8)

zc

Las integrales corresponden a los momentos está ticos de las áreas traccionada y comprimida de la sección respecto al eje neutro. Por tanto, (12.8) se puede reescribir (considerando los valores absolutos de Qy y Qy ) como t

c

M p = σ e [Qyt ( z ) + Qyc ( z )]

12.2.2

(12.9)

M´ odulo pl´ astico

En el apartado 9.5, se dio el concepto de módulo resistente y se expresó la tensión en un punto en función del módulo resistente asociado a dicho punto como σx (y, z ) =

M M = I en W h

(12.10)

siendo h la m´ınima distancia del punto al eje neutro. El momento el´ astico M e , a partir de la ecuación (12.10), puede expresarse como M e = σ e W

(12.11)

Comparando las ecuaciones (12.9) y (12.11), el momento plástico puede ser expresado en la forma M p = σ e W p (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(12.12)

152


siendo W p el m´ on odulo pl´ astico de la secci´ W p = Q yt ( z ) + Qyc ( z )

12.2.3

(12.13)

Factor de forma

La relación entre los momentos plástico (M p ) y elástico (M e ) da una idea de la mayor resistencia de la sección cuando trabaja en régimen pl´ astico. λ =

M p W p = M e W

(12.14)

Esta relación se denomina factor de forma y se denota con la letra griega λ . El factor de forma depende exclusivamente de la geometr´ıa de la sección (tanto W como W p son solamente función de la geometr´ıa de la sección). Cuanto menor sea el factor de forma de una sección, mejor estará dise˜ nada para trabajar a flexi´ on. 12.2.4

Eje neutro en secciones plastificadas

Para determinar la posici´ on del eje neutro en una sección plastificada se van a plantear los equilibrios de fuerzas y de momentos de la sección. Sea una sección sometida a un sistema de cargas contenidas en un mismo plano, tal que producen un momento flector que plastifica la sección.

on de tensiones en una sección asimétrica Figura 12.8 Diagrama de distribuci´ totalmente plastificada En la Figura 12.8 se muestra la distribuci´ on de tensiones correspondientes y la posici´ on del eje neutro. Planteando el equilibrio de fuerzas (las resultantes de la distribuci´ on de tensiones propuesta), se ha de verificar F c = F t

(12.15)

es decir, σe S c = σ e S t

(12.16)

siendo F c , F t , S c y S t las resultantes y las áreas de las zonas comprimida y traccionada, respectivamente. De (12.16) se deduce que las áreas de las zonas comprimida y traccionada son iguales en una sección totalmente plastificada sometida a flexión pura y, obviamente, dichas áreas coinciden con la mitad del área S de la sección. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

153


S c = S t =

S

2

(12.17)

La conclusión expresada en (12.17) implica que el eje neutro, en secciones asimétricas totalmente plastificadas, no pasa por el centro de gravedad de la sección. Planteando el equilibrio de momentos respecto al eje que resulta de la intersección del plano de cargas con la sección, eje del plano de cargas , se obtiene



S t

σe y dS −



σe y dS = 0

(12.18)

S c

Al ser las áreas comprimida y traccionada iguales



S t

y dS =



y dS

(12.19)

S c

siendo las integrales los momentos estáticos de las zonas traccionada y comprimida respecto al eje del plano de cargas con la sección. Por tanto, se concluye que el eje neutro en una sección totalmente plastificada divide a la sección en dos zonas cuyos momentos estáticos respecto al eje del plano de cargas son iguales. Al ser iguales las áreas traccionada y comprimida, los centros de gravedad de ambas zonas se encuentran sobre una misma recta que además es paralela al eje del plano de cargas, como muestra la Figura 12.8. Por consiguiente, si el eje del plano de cargas es de simetr´ıa, el eje neutro de la sección totalmente plastificada será perpendicular al eje del plano de cargas. En la Figura 12.9 se muestra la misma sección, divida en dos áreas iguales pero diferentes a las realizadas en (12.8). Se comprueba que los centros de gravedad de estas áreas no coinciden sobre una misma l´ınea, paralela al eje del plano de cargas, por lo que no se verifica la ecuación (12.19) y el eje neutro mostrado no es posible.

Figura 12.9 Eje neutro no posible en sección asimétrica totalmente plastificada

12.2.5

Diagrama momento-curvatura

El diagrama momento-curvatura de una sección describe el comportamiento resistente de la misma. Al actuar un momento sobre una rebanada diferencial, esta se curva manteniéndose las caras de la misma planas y por tanto, existiendo una distribución también plana (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

154


de deformaciones. Al ir aumentando el momento, se va incrementando la curvatura de la sección. El diagrama momento-curvatura se obtiene representando en un diagrama de abscisa la curvatura y de ordenada el momento, la curvatura obtenida para distintos valores del momento actuante en la sección. Dicho diagrama tiene una parte lineal, de ecuación χ =

M . Sigue una parte no lineal, y finalmente el EI

diagrama acaba en M p con una curvatura infinita (rama asintótica de la gráfica de la Figura 12.10). La curvatura en la parte no lineal se puede obtener mediante la σe expresi´ on χ = . Siendo ze la profundidad de la zona elástica comprimida. ze E

Figura 12.10 Diagrama momento-curvatura

12.3

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta

Se distinguirán dos casos: 1. Plastificaci´ on parcial de la sección 2. Plastificaci´ on total de la sección 12.3.1

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta: Plastificaci´ on parcial

Se trata de obtener la distribución de tensiones y la curvatura en una sección solicitada a flexión compuesta (se entiende que el axil es de compresión), sin que la sección se agote (plastifique totalmente). En la Figura 12.11 se muestran la dos posibilidades: Solo una cabeza de la sección ha plastificado, como se muestra en la Figura 12.11 a). Las inc´ ognitas son ze y σ1 . Las dos cabezas de la sección han plastificado, como se muestra en la Figura 12.11 b). Las incógnitas son z1 y z2 . Para el primer caso, alcanzará antes la plastificación aquella cabeza que según las ecuaciones clásicas de la resistencia de materiales esté más tensionada. Las deformaciones en la sección se obtienen teniendo en cuenta que la inclinación del diagrama de tensiones en la parte elástica es E χ y que ε(z ) = χ z . Dependiendo de la complicación de la sección, para determinar la distribución de tensiones puede ser necesario recurrir a m´ etodos iterativos. Se parte de una distribución que se va corrigiendo hasta conseguir que los valores de N i y M i de la (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

155


on coincidan con los N y M que solicitan a la sección. Hay que tener i -´ esima iteraci´ en cuenta a la hora de establecer los incrementos para iterar, que un incremento en la curvatura produce un aumento en el momento, y que un desplazamiento del eje neutro hacia la zona de tracción, produce un aumento del axil.

on sometida a flexión compuesta seg´ un el eje y . Plastificaci´ on Figura 12.11 Secci´ parcial

12.3.2

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta: Plastificaci´ on total ′

′

Se trata de obtener las parejas de valores M p y N P que agotan la sección dando lugar a una distribución de tensiones como la mostrada en la Figura 12.12.

on sometida a flexión compuesta seg´ un el eje y . Plastificaci´ on Figura 12.12 Secci´ total ′

′

Con las distintas parejas de valores M p y N p que agotan la sección, se construye el diagrama de interacci´ on de la sección, que se muestra en la Figura 12.13 a). Este se genera determinando para distintos valores de profundidad del eje neutro ( zi ), (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

156

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales ′

′

los valores de M p y N p que agotan la sección. Estos valores se representan en un sistema de ejes, de abscisas N p y ordenadas M p . i

i

′

′

on b) Obtención de la carga de Figura 12.13 a) Diagrama de interacci´ agotamiento de una sección a partir del diagrama de interacción En la Figura 12.13 a) se han representado sendos diagramas de interacción correspondientes a una sección bisimétrica y a una sección no bisimétrica. En secciones bisimétricas el valor máximo de M p coincide con M p . En secciones no bisimétricas, el valor máximo de M p es superior al momento plástico de la sección, M p . A partir del diagrama de interacción es posible obtener la carga de agotamiento para una sección. Para ello se traza la recta que pasa por el origen y tiene de pendiente ′

′

M (siendo M y N las solicitaciones sobre la sección). La intersección de dicha recta N

con el diagrama de interacción da el valor de los esfuerzos cr´ıticos, tal y como se muestra en la Figura 12.13 b).

12.4

Plastificaci´ on en secciones sometidas a flexi´ on simple

Sobre una sección sometida a flexión simple act´ uan las tensiones normales que produce el momento flector y las tangenciales que produce el esfuerzo cortante. Por tanto, para estudiar la plastificaci´ on de la sección es necesario tener en cuenta ambos estados tensionales para determinar un estado tensional único que permita determinar si existe plastificación en la sección. Esto implica utilizar alg´ un criterio de plastificación. Tresca estableció en 1872 que la plastificaci´ on en un punto de un elemento estructural se produce cuando la tensi´ on tangencial m´ axima en dicho punto alcanza un valor igual al que se produce cuando se alcanza el valor de la tensi´ on del l´ ımite σe como se muestra en la el´ astico en el ensayo de tracci´ on del material , τ máx =

2 Figura 12.14 a). El criterio de Tresca para un estado de tensiones no principal, seg´ un se deduce de la Figura 12.14 b), es τ máx = R

   = + σx 2

2 = τ xz

σe

(12.20) 2 2 Si se aplica el criterio de Von Mises, la plastificaci´ on de la sección se produce cuando la tensión equivalente de Von Mises, σvm , alcanza el valor del l´ımite elástico σe . σV M =

 + 3 σx2

2 = σ τ xz e


(12.21)

157


on. b) C´ırculo de Mohr Figura 12.14 a) C´ırculo de Mohr para el ensayo de tracci´ para un estado tensional no principal En el caso en que solo existe tensión normal, la plastificación, para cualquiera de los dos criterios anteriores, se produce cuando la tensión normal alcanza el l´ımite elástico. Si solo existe tensión tangencial, seg´ un el criterio de Tresca, la plastificación se produce cuando τ xz =

σe

(12.22) 2 mientras que el criterio de Von Mises establece que la plastificación se produce cuando τ xz =

σe √

3

(12.23)

En el proceso de plastificación de la sección, cuando las fibras extremas alcanzan el l´ımite elástico y plastifican, todas estas fibras están trabajando a la misma tensi´ on a ambos lados de la sección (rebanada diferencial), como se muestra en la Figura 12.15 a) y en la Figura 12.15 b).

Figura 12.15 Rebanada diferencial de un elemento estructural trabajando a

flexión simple. Plastificaci´ on parcial Por tanto, la resultantes de fuerzas a un lado y otro de la sección son iguales, por lo que no aparecen tensiones tangenciales para equilibrarlas ( τ zx = 0). As´ı pues, en plasticidad las tensiones tangenciales se reparten de acuerdo a lo establecido en el apartado 10.2, pero solo sobre la parte de la sección que trabaja en régimen elástico tras aplicar el momento flector M . Es decir, las fibras plastificadas por la flexión no sufren tensión tangencial alguna. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

158


12.5

Formaci´ o n de r´ otulas pl´ asticas

Sea el pórtico biarticulado e hiperestático de la Figura 12.16 sometido a una carga puntual P en el dintel.

ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel Figura 12.16 P´ En la Figura 12.17 se muestra la ley de momentos flectores.

ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Figura 12.17 P´ Diagrama de momentos flectores El momento máximo (M C ) se produce en la sección C donde act´ ua la carga P . En los nudos B y D , los momentos son iguales ( M B = M D ), aunque se siguen nombrando con el sub´ındice indicando la sección donde act´ uan. Si M C es inferior al momento que agota la sección en régimen elástico (M e ) la distribución de deformaciones y de tensiones en la secci´ on en estudio es la mostrada en la Figura 12.17. Al incrementar el valor de P hasta que la sección C se agote en régimen elástico, la ley de momentos flectores y la distribución de tensiones en la sección C son las mostradas en la Figura 12.18. Si se sigue incrementando P , comenzará la plastificación de la sección C , llegando un momento en que toda la secci´ on plastificará; se ha alcanzado la deformación en rotura de la fibra m´ as deformada, form´ andose una rótula pl´ astica. En este momento, (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

159


ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Figura 12.18 P´ Diagrama de momentos flectores y distribución de tensiones en la sección C al alcanzarse σe en dicha sección la estructura inicialmente hiperestática, ha pasado a ser isostática, como se muestra en la Figura 12.19.

on de una rótula pl´ astica en la sección C Figura 12.19 Formaci´ Simult´ aneamente, en las secciones B y D también aumenta el momento llegando estas a agotarse el´ asticamente. Al seguir incrementando el valor de P , seguirá aumentando el momento flector en B y D . En la sección C el momento plástico que agotó la sección se mantiene constante, como muestra la Figura 12.20.


160


ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Figura 12.20 P´ Redistribuci´ on de momentos en B y D Habr´ a un valor de P para el que las secciones extremas B y D se agotan, form´ andose sendas rótulas plásticas, que provocan el colapso de la estructura al transformarse esta en un mecanismo, como muestra la Figura 12.21.

Figura 12.21 Colapso de la estructura por transformación en mecanismo por la

formaci´ on de rótulas plásticas

12.6


Ejercicio 12.1

Para la secci´ on que se muestra en la Figura 12.22 Obtener: 1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I y , I z G

2. Para el eje y : astico a ) El momento el´ astico b ) El momento pl´ (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

G

161

Flexi´ on pl´ astica c ) El factor de forma

on en T invertida. Flexión plástica Figura 12.22 Secci´ Datos:

h = σe

b = 100 mm , ealma = e ala = 10 mm

= 260 MPa

Soluci´ on:


S = 1900 · 103 mm2

I yG = 1800, 044 · 103 mm4 I zG = 840, 833 · 103 mm4

2. Para el eje y : astico: a ) El momento el´ astico: b ) El momento pl´ c ) El factor de forma:

M e = 5, 562 kN·m

M p = 11, 823 kN·m λ = 1, 802

Ejercicio 12.2

Para la secci´ on en la Figura 12.23 Obtener: 1. El diagrama momento-curvatura, considerando la flexi´ on seg´ un el eje y


G

162


on rectangular. Flexi´ on plástica Figura 12.23 Secci´ Soluci´ on:

1. Obtener el diagrama momento-curvatura, considerando la flexi´ on seg´ un el eje y

on rectangular. Diagrama momento-curvatura Figura 12.24 Secci´ Tabla 12.1 Diagrama momento-curvatura. Valores

z

0 h

8

h

4 3h 8 h

2

M M e =

χ

bh2

6 2

σe

13bh σe 64 2 11bh σe 48 2 47bh σe 192 2 M p =

bh

4

σe

2σe

σe hE 8σe σe 3hE 4σe σe hE 8σe σe hE

∞


163

Flexi´ on pl´ astica Ejercicio 12.3

Para la sección de Figura 12.25 sometida a un cortante V z , realizada de un material con l´ımite elástico σe

on rectangular sometida a flexión simple. Flexión plástica Figura 12.25 Secci´ Obtener: 1. El momento est´ aticamente equivalente a la distribución de tensiones en la sección cuando τ xz alcanza la mitad del l´ımite elástico m´ ax

Soluci´ on:

1. El momento est´ aticamente equivalente a la distribución de tensiones en la sección cuando τ xz alcanza la mitad del l´ımite elástico m´ ax

M =

bh2

4

σe −

3V z2 4bσe


Lecci´ on 13

Desplazamientos en flexi´ on Contenidos 13.1. Ecuaci´ o n diferencial de la curva el´ a stica . . . . . . . . . .

166

13.2. Teoremas de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

13.2.1. Primer Teorema de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 13.2.2. Segundo teorema de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 13.3. C´ alculo de desplazamientos por m´ etodos energ´ eticos. Teorema de las Fuerzas Virtuales . . . . . . . . . . . . . .

171

13.4. Trazado aproximado de la deformada de una estructura

172

13.5. Deformaciones debidas a tensiones tangenciales . . . . .

173

13.5.1. Deformación por esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . 173 13.6. Limitaci´ on de las deformaciones seg´ un el CTE . . . . . .

174


174

166

13.1


Ecuaci´ on diferencial de la curva el´ astica

La curva (l´ınea) elástica es la configuración que adopta la directriz de una barra prism´ atica trabajando a flexi´ on. El análisis que se desarrolla a continuación es válido para barras rectas que se deforman elásticamente por cargas contenidas en el plano de simetr´ıa de la sección transversal y aplicadas perpendicularmente al eje x de la barra. El eje x coincide con la directriz de la barra y su sentido positivo es hacia la derecha. El eje z se dispone con sentido positivo hacia abajo. La ecuació n de la curva elástica se denotará por w y es función de x (ver Figura 13.1).

atica. Curva elástica Figura 13.1 Barra prism´ Sean dos secciones muy próximas, a y b, separadas una distancia ds sobre la l´ınea el´ astica. El detalle ampliado se muestra en la Figura 13.2 para mayor claridad. El ángulo que la tangente en a forma con el eje x se denotará con θ . La tangente al punto b forma un ángulo θ + dθ con el eje x . Por tanto, ambas tangentes forman un ángulo dθ.

atica. Obtención de la ecuación de la elástica Figura 13.2 Barra prism´ El arco ds puede expresarse en función del radio de curvatura ρ y del ángulo entre las dos tangentes dθ como ds = ρ dθ siendo la curvatura (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(13.1)

167

Desplazamientos en flexi´ on

1 ρ

=

dθ ds

(13.2)

Considerando la hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede admitir que d s ∼ = d x dw(x) ∼ y θ = tan θ = dx , con lo que la ecuación (13.2) queda como dθ dθ d2 w (x) = = = ds dx dx2 ρ 1

(13.3)

siendo w (x) la función de desplazamientos en dirección z . Sustituyendo en (13.3) las expresiones obtenidas en el apartado 9.3 1 ρ

=

M y (x) EI y

se obtiene d2 w (x) M y (x) = = dx2 ρ EI y 1

(13.4)

Para el sistema de ejes considerado, cuando la curva elástica es cóncava hacia arriba (convexa), la pendiente dwd(xx) es algebraicamente decreciente con x , como se muestra en la Figura 13.3 a), por tanto,

d2 w(x) dx2

es cóncava hacia abajo, la pendiente

es negativa. Del mismo modo, cuando la curva dw(x) dx

se muestra en la Figura 13.3 b), por tanto,

es algebraicamente creciente con x , como d2 w(x) dx2

es positiva.

astica. Criterio de signos Figura 13.3 Curva el´ Seg´ un el criterio de signos adoptado para los esfuerzos en el tema 6, los momentos flectores son positivos cuando producen tracciones en las fibras inferiores de la barra (considerando un sistema de ejes local como el mostrado en la Figura 13.3). Por lo tanto, los momentos positivos disminuyen en el sentido algebraico la curvatura, mientras que los momentos negativos la aumentan. Por consiguiente, la ecuación (13.4), para poder ser aplicada de acuerdo con los criterios considerados debe escribirse como d2 w (x) M y (x) = − dx2 EI y

(13.5)

La ecuación anterior es válida siempre que todos los puntos de la barra presenten un comportamiento el´ astico y las deformaciones sean pequeñas. Debe tenerse presente (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

168


también que en la obtención de dicha ecuación no se han considerado las deformaciones debidas al esfuerzo cortante. Integrando una vez (13.5) se obtiene la ecuación de la pendiente de la curva elástica, e integrando dos veces, se obtiene la curva elástica. En la integración de (13.5) aparecen 2n constantes de integración, siendo n el número de tramos necesarios para la obtención de la ley de flectores. Para determinar estas constantes de integración es necesario considerar las condiciones de contorno de la barra. Si con estas no fuera suficiente, se impondrán condiciones de compatibilidad de desplazamientos y giros en los puntos comunes entre tramos considerados en la barra para el cálculo de la ley de momentos. La ecuación (13.5) puede escribirse de forma alternativa, derivando una vez cada miembro de la ecuación respecto de x d dx





d2 w (x) = dx2

1 dM y (x) − dx EI y

d3 w (x) = −V z (x) EI y dx3

⇒

(13.6)

Derivando de nuevo respecto de x , se obtiene d dx





d3 w (x) = dx3

1 d2 M y (x) − dx2 EI y

d4 w (x) = q z (x) EI y dx4

⇒

(13.7)

(13.6) y (13.7) son las ecuaciones diferenciales de la curva elástica en función del cortante y de la carga aplicada, respectivamente. Si se prescinde de la hipótesis de peque˜ nas deformaciones, no es admisible aproximar la tangente al ángulo, por tanto d w (x) dx Por otro lado, el arco ds puede expresarse en funció n de dx y dw , como θ = arctan

2

2

2

ds = dx + dw (x)

⇒

ds =



dx2

2

+ dw (x)

⇒

ds =



(13.8)

1 + w (x)2 dx (13.9) ′

Habiéndose obtenido la u ´ ltima relación de (13.9) dividiendo ds por dx . Derivando (13.8) se obtiene ′′

dθ w (x) = dx 1 + w (x)2 Sustituyendo (13.9) y (13.10) en (13.2), se obtiene

1

dθ = = ds ρ

dθ



2

=

1 + w (x) (x) dx ′

w′′ (x) 1 + w2



2

=

1 + w (x) ′

(13.10)

w′′ (x)



2

1 + w (x) ′



3

(13.11)

2

Finalmente, sustituyendo (13.11) en (13.4), la ecuación diferencial de la curva elástica para grandes deformaciones M y (x) = EI y

w′′ (x)



2

1 + w (x) ′



3 2


(13.12)

169


13.2

Teoremas de Mohr

13.2.1

Primer Teorema de Mohr

Permite obtener el giro relativo entre dos secciones de una barra prismática. El angulo ´ astica en dos puntos A y B de θAB entre las tangentes a la curva el´ la misma, viene dado por el area ´ del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos, dividida por EI y .

θAB =

1 EI y



B

M y (x) dx

(13.13)

A

Figura 13.4 Primer teorema de Mohr

La demostraci´ on es sencilla. De acuerdo con la ley de Hooke, la tensión en cualquier punto de la sección transversal de la barra es σx = E εx

(13.14)

siendo ε x la deformaci´ on unitaria del punto considerado. La hipótesis de Navier-Bernoulli puede expresarse como εx =

z dθ ds

(13.15)

Sustituyendo (13.15) en (13.14), se obtiene dθ (13.16) ds Teniendo en cuenta que el flector actuante sobre la sección es estáticamente equivalente a la distribución de tensiones sobre la sección, se obtiene σx = E z



dθ M y (x) = σx b z dz = E ds S



b z 2 dz = E I y

S


dθ ds

(13.17)

170


siendo b el ancho de la sección transversal en el punto considerado e I y el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje y . Despejando dθ de (13.17) se obtiene el ángulo diferencial entre dos secciones separadas d s . dθ =

M y (x) ds EI y

(13.18)

Al ser los desplazamientos pequeños, se puede sustituir el arco d s por la distancia horizonal dx ; integrando entre los puntos A y B se obtiene



B

θAB =

A

M y (x) dx EI y

(13.19)

donde la integral representa el área del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos, dividida por EI y . 13.2.2

Segundo teorema de Mohr

La m´ınima distancia desde un punto A de la curva el´ astica hasta la tangente a otro punto B de la curva el´ astica, es igual al momento est´ atico del area ´ del diagrama de momentos flectores respecto del punto A, dividido por EI y

wAB =

1 EI y



B

xM y (x) dx

(13.20)

A

Figura 13.5 Segundo teorema de Mohr

Para demostrar este teorema, se comprueba que la m´ınima distancia dw desde el punto A de la curva elástica a la tangente a la elástica en el punto de abscisa x + dx, que se muestra en la Figura 13.5, es (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

171


dw = x dθ

(13.21)

Aplicando el primer teorema de Mohr e integrando (13.21) entre los puntos A y B se obtiene la distancia m´ınima desde el punto A de la curva elástica a la tangente a la elástica en el punto B . Por la hipótesis de peque˜ nos desplazamientos se aproxima dicha distancia a la medida entre el punto A de la curva elástica y la intersección de la vertical trazada por A con la tangente en B . En aquellos casos en que la ley de momentos flectores sea sencilla, las áreas y momentos estáticos de la misma pueden ser calculados fácilmente sin necesidad de realizar las integrales. Los sentidos de los desplazamientos y giros se pueden obtener a partir de las dos reglas siguientes: Teniendo en cuenta el criterio de signos adoptado para los momentos en una sección de la pieza y asociando estos mismos signos a las áreas de los diagramas de momentos flectores, un área total positiva corresponde a un giro antihorario de la tangente a la elástica en el punto B respecto a la tangente a la elástica en el punto A. Tomando como positivas las distancias que van en el sentido positivo de las abscisas x , un momento estático total positivo supone que el punto A de la elástica est´ a por encima de la tangente a la curva elástica en el punto B .

13.3

C´ alculo de desplazamientos por m´ etodos energ´ eticos. Teorema de las Fuerzas Virtuales

Este teorema solo se va a aplicar a barras esbeltas, con la directriz contenida en el plano XZ , las cargas actuando en dicho plano y cuya sección transversal presenta simetr´ıa respecto al eje z . El Teorema de las Fuerzas Virtuales (TFV) se enuncia de la siguiente forma: la condici´ on necesaria y suficiente para que un campo de desplazamientos ui sea compatible con un campo de deformaciones εij es que se cumpla la igualdad de trabajos ∗ externos e internos, para todo campo de tensiones σij en equilibrio con unas cargas ∗ ∗ exteriores X i y ti

 

 

∗

V

xi ui dV +

S

    

tci ∗ uci dS =

trabajo externo

V

∗ σij εij dV

(13.22)

trabajo interno

Considerando un estado de fuerzas y esfuerzos virtuales en equilibrio, el trabajo virtual complementario realizado por los esfuerzos virtuales al moverse sobre las deformaciones reales (trabajo interno) es

 

(σ )T εdV = ∗

V

=

   L

S

M y∗ (x) N ∗ (x) + z A(x) I y (x)

=

  L

M y∗ (x) N ∗ (x) + z E (x)A(x) E (x)I y (x)



M y∗ (x)M y (x) N ∗ (x)N (x) + z dx E (x)A(x) E (x)I y (x)


 

dA dx =

(13.23)

172

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales ∗

 

∗

∗

Si sobre la barra se aplican fuerzas virtuales ( F xi , F zi ) y/o momentos virtuales M yi en n puntos, el trabajo virtual externo es



V

∗

xi ui dV +



S

n

tci ∗uci dS =



∗ ∗ ∗ F xi ui + F zi wi + M yi θyi

i=1



(13.24)

siendo uxi , wzi los desplazamientos del punto i seg´ un los ejes x y z , y θyi el giro del punto i alrededor del eje y . As´ı pues, la expresión del TFV para una barra esbelta es n

  



∗ ∗ ∗ F xi ui + F zi wi + M yi θyi =

i=1

∗

M y (x)M y (x) N (x)N (x) + z E (x)A(x) E (x)I y (x) ∗

=

L



(13.25) dx

Si la estructura está formada por b barras esbeltas, con fuerzas ( F xi , F zi ) y/o momentos (M yi ) en n puntos, la ecuación (13.25) es n

   



∗ ∗ ∗ F xi ui + F zi wi + M yi θyi =

i=1

b

=

j =1

L

(13.26)



∗

M y (x)M y (x) N (x)N (x) + z dx E (x)A(x) E (x)I y (x) ∗

Si los valores de los esfuerzos y las propiedades de las barras son constantes ( S j = cte , on (13.26) queda en la forma E j = cte , N j = cte , M yj = cte , e I yj = cte ), la ecuaci´ n



b

 

∗ ∗ ∗ F xi uxi + F zi wzi + M yi θyi =

i=1

j =1

N j∗ N j L j E j A j

+

∗ M yj M yj L j

E j I yj



(13.27)

Para la aplicaci´ on de este método, lo u ´ nico que se requiere es que el sistema de cargas que act´ ua sobre la estructura esté en equilibrio. Puede tomarse como estructura virtual la real sin apoyos y sometida a un estado de cargas resultante de equilibrar la carga o momento unitario (aplicada en la sección cuyo desplazamiento o giro se desea calcular) con cargas y/o momentos aplicados en secciones cuyo desplazamiento y/o giro sea conocido en la estructura real y en la dirección de estos.

13.4

Trazado aproximado de la deformada de una estructura

Para el trazado aproximado de la deformada de una estructura sencilla, es necesario conocer los diagramas de momentos flectores de las barras que la componen. Se conoce que un momento positivo tiende a curvar la barra con concavidad en dirección positiva del eje z local. Por el contrario, un momento negativo tiende a curvar la barra con concavidad en dirección negativa del eje z local. Los puntos de momento cero son puntos de inflexión de la deformada de la barra. Por otro lado, también son conocidas las restricciones a los desplazamientos en los puntos donde se sitúan apoyos. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

173

Desplazamientos en flexi´ on on

Con la informaci´ on indicada en el párrafo on arrafo anterior, junto con los valores de los desplazamientos y giros que se conozcan o se hayan calculado, se traza, de forma aproximada, la deformada de una estructura simple.

13.5

Deform Def ormaci acione oness debida debidass a tension tensiones es tange tangenci nciale aless

Las tensiones tangenciales producen un deslizamiento entre las superficies adyacentes. La deformación on unitaria consiste en una distorsión on angular, que para materiales con comportamiento lineal y elástico astico cumple la ley de Hooke. dw (x) τ = (13.28) dx G siendo G el módulo odulo de elasticidad transversal definido en el tema 4, apartado 4.2.2. = γ =

13.5.1 13. 5.1

Defor De formac maci´ i´ on por esfuerzo cortante on

La deformaci´ on de una barra por cortante se produce por el deslizamiento relativo on entre las secciones adyacentes. La suma de todos estos movimientos elementales da la deformada total de la barra.

on por esfuerzo cortante on Figura 13.6 Deformaci´ En la Figura 13.6 a) se muestra que si las dos caras de la rebanada de espesor d x de la viga se despla desplazan zan relati relativ vamen amente te ent entre re s´ı permanec permaneciendo iendo planas planas,, la distors distorsi´ ión on angular γ m es constante a lo largo de la sección. on. Ahora bien, la deformación on angular en cada punto de la sección on es proporcional a la tensión on tangencial en dicho punto. Como la distribución on de tensiones tangenciales no es constante, como se muestra en la Figura 13.6 b), las caras del elemento no permanecen planas sino que se alabean, como se representa en la Figura 13.6 c). Para evaluar las deformaciones de toda la barra se va a considerar el modelo simplificado de deformación on por cortante, representado en la Figura 13.6 a). Se puede escribir w′ (x) =

dw (x) αs V z (x) = γ m = dx GS

(13.29)

donde V es la tensión on tangencial media, obtenida dividiendo el esfuerzo cortante S entre el área area de la sección. on. αs es un coeficiente por el que hay que multiplicar la z


174


tensi´ on media para obtener la tensión on on en el centroide de la sección. El valor de αs depende de la forma de la sección. on. Para calcular la ecuaci´ on de la elástica on astica debida al cortante se integra la ecuación on (13.29)



x

w (x) =

0

αs V z (x) dx GS

(13.30)

Esta deformaci´ on hay que sumarla a la producida por el momento flector para evaluar on la deforma deformaci´ ci´ on total. Si se deriva la ecuación on on (13.29), se obtiene d2 w (x) αs dV z (x) αs q z (x) = =− (13.31) w (x) = 2 dx GS dx GS La ecuación on diferencial de la elástica astica englobando los efectos del flector y cortante queda ′′

′′

w (x) =

13.6 13 .6

M y (x) d2 w (x) = − dx2 EI z

−

αs q z (x) GS

(13.32)

Limi Li mita taci ci´ ´ on de las deformaciones seg´ on un el CTE un

Seg´ un el CTE, cuando se considere la integridad de los elementos constructivos, se un admite que la estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente r´ r´ıgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinación on de carga cargass caract caracter er´´ıstica ısticas, s, considerand consi derandoo solo las deform deformacione acioness que se producen despu´ es de la puesta en obra es del elemento, la flecha relativa es menor que: 1 en pisos con tabiqu tabiques es fr´ agiles (como los de gran formato agiles formato,, rasillo rasillones, nes, o 500 placas)) o pavimentos r´ıgido placas ıgidoss sin juntas 1 en pisos con tabiques ordinarios or dinarios o pavimentos r´ r´ıgidos con juntas 400 1 en el resto de casos 300 La flecha relativa es el descenso máximo aximo de vano respecto al extremo de la pieza que lo tenga menor, dividido por la luz del tramo. En el caso de voladizos se considera como luz el doble del vuelo. Cuando se considere el confort de los usuarios, se admite que la estructura horizontal rizon tal de un piso o cubie cubierta rta es sufici suficient entee r´ıgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinación on de acciones caracter caracter´´ısticas, considerando solamente las la s 1 acciones de corta duración, on, la flecha relativa, es menor que . 350

13.7 13 .7

Ejerc Eje rcic icio ioss pr prop opue uest stos os

Ejercicio 13.1

Para la viga de la Figura 13.7 Obtener, Obtene r, utiliz utilizando ando la ecuac ecuaci´ i´ on diferencial de segundo orden de la curva elástica: on astica: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez erez

175

Desplazamientos en flexi´ on on

otula intermedia y cargas otula Figura 13.7 Viga articulada-empotrada con r´ distribuidas uniformemente 1. Las ecuaciones ecuaciones de la curva curva elástica astica y de giros 2. El desplazamient desplazamientoo vertical del punto B 3. El giro del nudo A 4. La deforma aproximad aproximadaa de la estruc estructura tura Datos:

L = 4m I y

= 5, 5 · 10

4

−

mm4

q = 17 kN/m E = 20 GPa Soluci´ on: on:

1. Las ecuaciones ecuaciones de la curva curva elástica astica y de giros

′

w =

w =

   

1 EI y

1

EI y

1 EI y

1

EI y

 



2, 833x3 − 17x2 + 90, 666 −2, 833x3

 



+ 51x2 − 272x + 362, 666

0, 708x4 − 5, 666x3 + 90, 666x −0, 708x4

0≤x≤L



0≤x≤L

0≤x≤L



+ 17x3 − 136x2 + 362, 666

L ≤ x ≤ 2L

2. El desplazamient desplazamientoo vertical del punto B

w (x = L ) = w B = 0, 0165 m

3. El giro del nudo A

′ = 0, 00824 radiane radianess w′ (x = 0) = w A


176


otula intermedia y cargas otula Figura 13.8 Viga articulada-empotrada con r´ distribuidas uniformemente. Deformada aproximada 4. La deforma aproximad aproximadaa de la estruc estructura tura

Ejercicio 13.2

Para la viga de la Figura 13.9

etricas etricas Figura 13.9 Viga biapoyada con cargas triangulares sim´ Obtener, utilizando los teoremas de Mohr: 1. El desplazamient desplazamientoo vertical del punto B 2. Los giros de los puntos A y C 3. La deforma aproximad aproximadaa de la estruc estructura tura Datos:

L = 4m I y

= 5, 5 · 10

4

−

mm4

q = 15 kN/m E = 20 GPa Soluci´ on: on:

1. El desplazamient desplazamientoo vertical del punto B w (x = L ) = w B = 0, 0071 m

2. Los giros de los puntos A y C ′ = 0, 00444 radiane radianess w′ (x = 0) = w A ′ = −0, 00444 radiane radianess w′ (x = 0) = w C


177


3. La deforma aproximada de la estructura

etricas. Deformada Figura 13.10 Viga biapoyada con cargas triangulares sim´ aproximada

Ejercicio 13.3

Para la viga de la Figura 13.11

otula y carga uniformemente distribuida Figura 13.11 Viga continua con doble r´ Obtener, utilizando el Principio de las Fuerzas Virtuales: 1. Los desplazamientos verticales de los puntos B y C 2. Los giros de los puntos D y E 3. La deforma aproximada de la estructura Datos:

L = 2, 5 m I y

= 5, 5 · 10

4

−

mm4

P = 50 kN , q = 15 kN/m E = 20 GPa Soluci´ on:

1. Los desplazamientos verticales de los puntos B y C

w (x = L ) = w B = 0, 00888 m w (x = 2L) = w C = 0, 01776 m (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

178


2. Los giros de los puntos D y E

′ = −0, 00355 radianes w′ (x = 3L) = w D ′ = 0, 00177 radianes w′ (x = 4L) = w E

3. La deforma aproximada de la estructura

otula y carga uniformemente distribuida. Figura 13.12 Viga continua con doble r´ Deformada aproximada


Lecci´ o n 14

Sistemas hiperest´ aticos Contenidos 14.1. M´ etodo de las fuerzas para el c´ alculo de sistemas hiperest´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

14.2. Sistemas hiperest´ aticos sometidos a flexi´ on . . . . . . . .

181

14.2.1. Aplicació n del Teorema de las Fuerzas Virtuales . . . . . . 181 14.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

180

14.1


M´ etodo de las fuerzas para el c´ alculo de sistemas hiperest´ aticos

Este método es válido para el cálculo de estructuras con hiperestaticidad externa 1 y/o con hiperestaticidad interna2 . Las incógnitas en este método son fuerzas (esfuerzos o reacciones). El m´ etodo consiste en escoger tantas incógnitas hiperest´ aticas como grado de hiperestaticidad presente la estructura. Tales incógnitas son aplicadas como cargas exteriores sobre la estructura inicial, exenta de los grados de libertad que estas incógnitas coaccionaban. De esta forma, la estructura original se transforma en una estructura isostática deatica fundamental . Por tanto, las reacciones y las leyes de nominada estructura isost´ esfuerzos de la estructura isostática fundamental son función de las cargas externas y de las reacciones hiperestáticas. En la estructura hiperestática de la Figura 14.1 a), de grado de hiperestaticidad on horizontal en B como ha = 2, se han escogido el momento en A y la reacci´ inc´ ognitas hiperest´ aticas. La estructura isóstatica fundamental es la mostrada en la Figura 14.1 b).

atica. b) Estructura isostática fundamental Figura 14.1 a) Estructura hiperest´ Debe verificarse que los desplazamientos en los grados de libertad suprimidos de la estructura hiperest´ atica coincidan con los de la estructura isostática fundamental. Esto implica el planteamiento de tantas ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos como incógnitas hiperestáticas. Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de compatibilidad se obtiene el valor de las incógnitas hiperest´ aticas. Desde un punto de vista práctico, es necesario realizar los siguientes pasos para resolver un problema hiperestático: 1. Determinaci´ on del grado de hiperestaticidad, selección de las incógnitas hiperestáticas y obtención la estructura isostática fundamental 2. Obtenci´ on de las leyes de esfuerzos de la estructura isostática fundamental3 3. Planteamiento del sistema de ecuaciones de compatibilidad4 1

La estructura es interiormente isostática pero tiene un número excesivo de condiciones de apoyo. La estructura tiene un número excesivo de barras pero es externamente isostática. 3 Ser´ an funci´ on de las cargas exteriores, de las reacciones y de las incógnitas hiperestáticas. 4 Tantas ecuaciones como grado de hiperestaticidad. Cada una de estas ecuaciones planteará la nulidad (o un valor concreto si el desplazamiento o giro tiene un valor conocido) del grado de libertad liberado en la estructura isostática fundamental. 2


181

Sistemas hiperest´ aticos

4. Obtenci´ on de las incógnitas hiperestática mediante la resolución del sistema de ecuaciones de compatibilidad 5. Resoluci´ on de la estructura original con las reacciones hiperestáticas actuando como cargas exteriores

14.2

Sistemas hiperest´ aticos sometidos a flexi´ on

14.2.1

Aplicaci´ on del Teorema de las Fuerzas Virtuales

El Teorema de las Fuerzas Virtuales es un método potente muy u ´ til para la resolución manual de este tipo de problemas. Para el caso de la estructura hiperestática de la Figura 14.1 a), es necesario plantear junto a la estructura isostática fundamental mostrada en la Figura 14.1 b), dos estructuras virtuales, una por cada uno de los grados de libertad correspondientes a las incógnitas hiperestáticas. En la Figura 14.2 a) y en la Figura 14.2 b) se muestran dichas estructuras.

Figura 14.2 Estructuras virtuales: a) θA . b) uB

Conocidas las leyes de esfuerzos de la estructuras isostática fundamental y de cada una de las virtuales, se plantean las ecuaciones de compatibilidad θA = 0 y uB = 0, utilizando el Principio de las Fuerzas Virtuales 5 . Del sistema formado por las dos ecuaciones de compatibilidad se despejan las incógnitas hiperest´ aticas M Ay y RBx (Figura 14.1 b)). Sustituyendo sus valores en las leyes de esfuerzos y reacciones de la estructura isostática fundamental se obtienen las leyes de esfuerzos y reacciones de la estructura hiperestática inicial.

14.3


Ejercicio 14.1

Para la estructura que se muestra en la Figura 14.3 Obtener: 1. Reacciones en los apoyos 2. La expresi´ on anal´ıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y C-B 5

Normalmente no se consideran las deformaciones debidas a los esfuerzos axiles, p or lo que dicho término queda eliminado de la expresi´ on del Principio de las Fuerzas Virtuales (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

182


atica de dos barras Figura 14.3 Estructura hiperest´ Datos: L =

2m

q =

10 kN/m , M = 80 kN/m

E =

210 GPa

I y =

2770 · 10−8 m4

Soluci´ on:

1. Reacciones en los apoyos RAx = 45, 714 kN (→) RAz = 40 kN (↑) M Ay = 68, 572 kN·m () RCx = 45, 714 kN (←)

2. La expresión anal´ıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y C-B on anal´ıtica de las leyes de esfuerzos Tabla 14.1 Expresi´ Tramo

N x

V z

M y

AB

-45,714 0

40 − 10x -45,714

−5x2 + 40x − 68, 572

CB

45, 714x

Ejercicio 14.2

El apoyo B de la estructura que se muestra en la Figura 14.4, ha sufrido un descenso ∆wB al aplicarle las cargas. Obtener: 1. Reacciones en los apoyos 2. La expresión anal´ıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y B-C (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

183

Sistemas hiperest´ aticos

Figura 14.4 Viga continua con asiento diferencial en un apoyo Datos: L =

2m

q =

10 kN/m , M = 60 kN/m

E =

20 GPa

I y =

180 · 10−6 m4

∆wB = 5 mm

Soluci´ on:

1. Reacciones en los apoyos RAx = 0 kN RAz = 48, 375 kN(↓) RBz = 84, 5 kN (↑) RCz = 23, 875 kN(↑)

2. La expresi´ on anal´ıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y B-C on anal´ıtica de las leyes de esfuerzos Tabla 14.2 Expresi´ Tramo

N x

V z

M y

AB

0 0

-48,375 −10x + 56 , 125

−48, 375x + 60

BC

−5x2 + 56, 125x − 129

Ejercicio 14.3

Para la estructura que se muestra en la Figura 14.5 Obtener: 1. El valor de M para que el desplazamiento vertical del punto C sea nulo 2. Reacciones en los apoyos, teniendo en cuenta el valor de M calculado en el apartado anterior 3. La expresi´ on anal´ıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y B-C


184


atica de dos barras con apoyo elástico Figura 14.5 Estructura hiperest´ Datos:

L = I y

4m

= 8, 36 · 10−5 m4

q =

20 kN/m

E =

210 GPa

k

= 5 · 103 kN/m

Soluci´ on:

1. El valor de M para que el desplazamiento vertical del punto C sea nulo M = 165, 333kN·m

2. Reacciones en los apoyos RAx = 0 kN RAz = 40 kN (↑) M Ay = 58, 667 kN·m () RCz = 0 kN

3. La expresión anal´ıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y B-C on anal´ıtica de las leyes de esfuerzos Tabla 14.3 Expresi´ Tramo

N x

V z

M y

AB

40

0

58,667

BC

0

−2, 5x2 + 40

−0, 833x3 + 40x − 106, 667


Lecci´ on 15

Torsi´ on uniforme Contenidos 15.1. Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a un momento torsor . . . . . . . . . . . . . . . . 186 15.2. Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secci´ on circular. Teor´ıa elemental de la torsi´ on . . . . . . . . . . . .

186

15.3. Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secci´ o n no circular maciza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

15.4. Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secciones transversales cuadradas y rectangulares . . . . . . . . . . . . . 189 15.5. Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secci´ on de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

15.6. Sistemas hiperest´ aticos sometidos a torsi´ o n uniforme . .

193

15.7. Torsi´ on no uniforme en barras prism´ aticas . . . . . . . .

194


195

186

15.1


Distribuci´ on de tensiones tangenciales est´ aticamente equivalentes a un momento torsor

on uniforme cuando el u Una barra prism´ atica trabaja a torsi´ ´ nico esfuerzo presente es un momento torsor, constante a lo largo de toda ella, y el desplazamiento de todos los puntos de la superficie de la barra es libre. Cualquier barra torsionada que no on no uniforme . cumpla alguna de las dos condiciones anteriores trabaja a torsi´

15.2

Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secci´ on circular. Teor´ıa elemental de la torsi´ on

Las barras prismáticas de sección circular son el elemento estructural más com´ un sometido a torsión. Se puede demostrar que debido a la simetr´ıa de la sección transversal, las secciones transversales planas normales al eje de la barra permanecen planas durante la deformación y no sufren distorsión en su propio plano. Esto se aprecia en la Figura 15.1. Se ha trazado una rejilla sobre la barra sin deformar, como se muestra en la Figura 15.1 a). Al deformarse, las secciones transversales circulares permanecen siendo circulares y las l´ıneas longitudinales forman hélices que intersecan a los c´ırculos según ángulos iguales, como se muestra en la Figura 15.1 b).

on de una barra prismática de sección circular sometida a Figura 15.1 Deformaci´ torsión uniforme Sea una rebanada diferencial de la barra, de longitud dx , como se muestra en la Figura 15.2. Se considerar´ a un elemento en la superficie de esta, definido por sus vértices a , b, c y d . Los lados ab y cd son inicialmente paralelos al eje longitudinal. Durante la torsión de la barra, las secciones transversales extremas giran una respecto a la otra un ángulo dφ , de manera que, considerando como referencia la sección extrema de la izquierda, los puntos b y c pasan a la posición b ’ y c ’. Se considera que las longitudes de los lados del elemento, ahora ab ’ y dc ’, no han cambiado. Sin embargo, si se ha producido una deformación angular, de valor bb′ γ ma´x = ab

(15.1)

γ máx viene expresada en radianes. La distancia ab es la longitud de la rebanada diferencial, dx .


187

Torsi´ on uniforme

on pura Figura 15.2 Rebanada diferencial sometida a torsi´ Por otro lado, si r es el radio de la secci´ on transversal, bb ’ puede expresarse como r dφ, y la ecuación (15.1) como r dφ dx

γ máx =

(15.2)

dφ En la ecuación 15.2 es la razón de cambio del ángulo de torsi´ on con respecto a la dx distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Dicha razón se denota con la letra ´ de torsi´ on por unidad de longitud , θ y se denomina angulo θ =

dφ

dx

(15.3)

Sustituyendo en la ecuación (15.2) la (15.3), aquella toma la forma γ máx = r θ

(15.4)

Como los radios en las secciones transversales permanecen rectos y sin deformar durante la torsión, el análisis realizado anteriormente es válido para cualquier elemento sobre la superficie de un cilindro interior de radio r . Por tanto, la deformaci´ on angular tiene la expresión γ = ρθ =

ρ γ ma´x r

(15.5)

La ecuación (15.5) implica que las deformaciones angulares en una barra circular var´ıan linealmente con la distancia radial ρ desde el centro. Es nula en el centro y dφ máxima en la superficie exterior. Esta variación lineal implica que es constante. dx Conocida la deformación, el estado tensional se puede determinar a partir de la relación tensión-deformaci´ on para el material de la barra. Si el material es el´ astico y lineal, la ley de Hooke establece como relación entre la tensión y la deformación tangenciales τ = Gγ

(15.6)

Sustituyendo (15.2) en (15.6), la tensión tangencial m´ axima es τ máx = Gr

dφ dx


(15.7)

188


que al igual que las deformaciones, tiene una distribución lineal y es nula en el centro y máximo en la superficie, como se muestra en la Figura 15.3.

on de tensiones en una sección circular de una barra Figura 15.3 Distribuci´ prism´ atica sometida a torsión uniforme El momento torsor resultante de la actuación de la tensión tangencial es M x (x) =



r τ dS = G

S

dφ dx



r2 dS = G

S

dφ dx

I p

(15.8)

El ángulo de torsión, a partir de la ecuación anterior, es φ =



M x (x) dx GI p

(15.9)

siendo S el área e I p el momento de inercia polar, de la sección transversal. Por equilibrio, M x (x) es igual en magnitud al momento torsor M t aplicado en el extremo de la sección. Expresando las ecuaciones (15.7), (15.8) y (15.9) en función de la solicitación actuante (M t ), las constantes del material y la geometr´ıa de la barra, e integrando (15.9) a lo largo de la barra, se obtienen las ecuaciones fundamentales de la teor´ıa elemental de la torsión

τ máx

=

θ = φ =

15.3

M t r I p M t GI p M t L GI p

(15.10) (15.11) (15.12)

Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secci´ on no circular maciza

La Figura 15.4 muestra una barra prismática de sección transversal cuadrada sometida a torsión uniforme. Las secciones transversales planas normales al eje de la barra no permanecen planas durante la deformaci´ on (experimentan desplazamientos de alabeo) y sufren distorsión en su propio plano. Esto implica que no es posible establecer una teor´ıa sencilla como la expuesta en el apartado 15.2.


189

Torsi´ on uniforme

on Figura 15.4 Barra prismática de sección transversal cuadrada sometida a torsi´ Saint-Venant obtuvo la solución exacta al problema de torsión no uniforme en piezas prismáticas de forma arbitraria, suponiendo que la deformación es uniforme, y consiste en: una rotaci´ on como sólido r´ıgido de las secciones en su plano, y un alabeo de las secciones fuera de su plano. El problema debe ser formulado haciendo uso del modelo de medio continuo el´ astico. L. Prandtl propuso en 1903 que las tensiones fueran expresadas a partir de una en funci´ funci´ on de tensi´ on Φ (y, z ), llamada tambi´ on de Prandtl , de forma que τ xy (x , y , z) =

∂ Φ (y, z ) ∂z

τ xz (x , y , z) =

−∂ Φ (y, z )

∂y

(15.13)

El problema se reduce a encontrar una función Φ (y, z ) que satisfaga las ecuaciones de compatibilidad y las condiciones de contorno de la torsión uniforme. Esto implica que la función Φ (y, z ) satisfaga la ecuación diferencial ∆Φ (y, z ) =

∂ 2 Φ (y, z ) ∂ 2 Φ (y, z ) + = −2Gθ ∂y 2 ∂z 2

(15.14)

con la condición de contorno de que la función de tensión sea constante a lo largo del contorno de la sección. La resolución anal´ıtica de la torsi´ on uniforme en barras prismáticas de sección no circular de sección maciza mediante el planteamiento del párrafo anterior es, en general, muy compleja. No obstante, se han obtenido distintas expresiones como solución a diferentes tipos de secciones sometidas a torsión.

15.4

Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secciones transversales cuadradas y rectangulares

En la Figura 15.5 se muestran sendas secciones, cuadrada y rectangular, donde se han se˜ nalado los puntos de tensión tangencial máxima.


190


axima en secciones transversales Figura 15.5 Puntos de tensión tangencial m´ cuadradas y rectangulares sometidas a torsión uniforme Las expresiones de los valores de la tensión tangencial máxima y del ángulo girado por unidad de longitud, se indican en la Tabla 15.1. on tangencial m´ axima y ángulo de torsi´ on en secciones cuadradas Tabla 15.1 Tensi´ y rectangulares

Secci´ on Cuadrada

τ máx

θ

4, 81M t

7, 10M t L

a3

a4 G M t Gβab3

M t αab2

Rectangular

En la Tabla 15.2 se dan los valores de los coeficientes α y β , en función de la relación entre el ancho y el canto de la sección rectangular, utilizados en las expresiones de τ ma´x y θ . Tabla 15.2 Valores de α y β para secciones rectangulares

a/b

1

1,5

2

2,5

3

4

6

10

∞

α β

0,208 0,141

0,231 0,229

0,246 0,229

0,256 0,249

0,267 0,263

0,282 0,281

0,299 0,299

0,312 0,312

0,333 0,333

15.5

Torsi´ on uniforme en barras prism´ aticas de secci´ on de pared delgada

En las barras prismáticas de sección de pared delgada sometidas a torsión uniforme, cada sección sufre un giro distinto alrededor del centro de torsión y unos desplazamientos de alabeo iguales en todas las secciones. La sección m´ as elemental es la rectangular estrecha que se muestra en la Figura 15.6. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

191

Torsi´ on uniforme

on rectangular estrecha sometida a torsión Figura 15.6 Secci´ La función de Prandtl para el rectángulo estrecho es



1 Φ (y) = −Gθ y − e2 4 y las distribuciones de tensiones son τ xy

2



∂ Φ (y ) =0 ∂z ∂ Φ (y ) = −2Gθy ∂y

(15.15)

= −

τ xz (y ) =

(15.16)

(15.17)

En la Figura 15.7 se muestra la distribución de tensiones τ xz la cual var´ıa linealmente en el espesor. Las tensiones máximas se producen en los puntos más alejados de la l´ınea media del rectángulo (en dicha l´ınea media τ xz es nula).

on de tensiones tangenciales en una sección rectangular Figura 15.7 Distribuci´ estrecha sometida a torsión Se puede demostrar que la constante torsional J , el ángulo girado por unidad de longitud de barra θ y la tensión máxima son J = θ = τ xzmáx

1 3 be 3 3M x (x)

(15.18)

Gbe3 e

∓3M x (x)

2

be2

 =  =

= τ xz y

±


(15.19)

(15.20)

192


Las secciones abiertas se pueden generar mediante secciones rectangulares estrechas, como se muestra en la Figura 15.8.

Figura 15.8 Perfil abierto de pared delgada construido mediante adición de

rectángulos estrechos La constante torsional de cualquier perfil abierto de pared delgada puede ser calculada directamente aplicando la ecuaci´ on (15.18) a cada rectángulo y sumando: n

J

1   = i=1

3

bi e3i

(15.21)

siendo n es el número de rectángulo que forman la sección, bi y ei son, respectivamente, la longitud y el espesor del rectángulo genérico i . Las tensiones tangenciales estáticamente equivalentes al momento torsor en perfiles cerrados de pared delgada se distribuyen de forma distinta a como lo hacen en secciones abiertas. Como el espesor de las paredes es muy pequeño, se puede simplificar el cálculo considerando que la tensión tangencial τ xs es constante en el mismo. En la Figura 15.9 se muestra la distribución de tensiones tangenciales, constante, en un tramo de una sección de un perfil cerrado de pared delgada.

Figura 15.9 Perfil cerrado de pared delgada. Distribución de tensiones

tangenciales Para secciones cerradas de espesor constante, se obtiene: τ xs (x, s) =

M x (x) 2Ωe

(15.22)

siendo Ω el área encerrada por la l´ınea media de la secci´ o n. El ángulo girado por unidad de longitud de la barra se obtiene mediante la expresión: θ =

τ xs (x, s) S M x (x) S = 2GΩ 4GΩ2 e

(15.23)

siendo S la longitud de la l´ınea media de la sección. La constante torsional vale (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

193

Torsi´ on uniforme

J =

15.6

4Ω2 e S

(15.24)

Sistemas hiperest´ aticos sometidos a torsi´ on uniforme

La forma de abordar este tipo de problemas hiperestáticos es planteando las ecuaciones de equilibrio y tantas ecuaciones de compatibilidad de desplamientos 1 como grado de hiperestaticidad de la estructura. La barra de la Figura 15.10 a), de un material de módulo de elasticidad transversal G , está constituida por dos tramos de igual longitud con secciones transversales circulares de diámetros diferentes. Está empotrada en ambos extremos. En el centro de gravedad de la sección com´ un a ambos tramos act´ ua un momento torsor M t .

atica hiperest´ atica sometida a torsión. b) Reacciones Figura 15.10 a) Barra prism´ En los empotramientos A y B , al estar la barra trabajando u ńicamente a torsión, Figura 15.10 b), solo habrá momentos torsores como reacciones. La única ecuación de la estática que puede plantearse es



M x = 0, M Ax + M t + M Bx = 0

(15.25)

Se tienen dos incógnitas (M Ax y M Bx ) y una ecuación (15.25); por tanto, el grado de hiperestaticidad es uno. Es necesaria una ecuación adicional. Esta puede ser la ecuación de compatibilidad de giros, ya que se conoce que es nulo el giro relativo de las secciones empotradas: φB = φ A + φAC + φCB = 0

(15.26)

Para resolver el sistema formado por (15.25) y (15.26) es necesario expresar esta u ´ ltima en función de las incógnitas hiperest´ aticas. La ecuación φ =

M x (x) L GI p

(15.27)

expresa el ángulo de torsió n en una secció n de una barra sometida a torsió n en función del momento torsor (M x (x)), el momento de inercia polar ( I p ) y el módulo de elasticidad transversal del material ( G ). En la Figura 15.11 se muestran los sólidos libres de cada uno de los tramos para el cálculo de los esfuerzos de torsi´ on. 1

Hay que entender aqu´ı desplazamientos como desplazamientos generalizados (desplazamientos y giros), ya que se va a trabajar con giros. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

194


olido libre del tramo AC . b) Sólido libre del tramo CB Figura 15.11 a) S´ Los esfuerzos momentos torsores son Tramo AC : 0 ≤ x ≤ L

M x (x) = −M Ax

(15.28)

Tramo CB : L ≤ x ≤ 2L

M x (x) = − (M Ax + M t )

(15.29)

Sustituyendo (15.28) y (15.29) en (15.27) y el resultado en (15.26), se obtiene

φB = φ A +

(M Ax + M t ) L M xAC L M xCB L M Ax L + =− − =0 GI pAC GI pCB GI pAC GI pCB

(15.30)

Adem´ a s, se conoce que φA = φB = 0. Sustituyendo estos valores en (15.30), se obtiene M Ax L ( M Ax + M t ) L + =0 GI pAC GI pCB

(15.31)

De (15.31) se obtiene M Ax , M Ax = −

M t I pAC I pAC + I pCB

(15.32)

Sustituyendo (15.32) en (15.25) se obtiene M Bx , M Bx = −

M t I pCB I pAC + I pCB

(15.33)

Conocidas las reacciones en los apoyos, las leyes de torsores y el ángulo de torsión de cada tramo se obtienen sustituyendo las reacciones en las ecuaciones (15.28), (15.29) y (15.27).

15.7

Torsi´ on no uniforme en barras prism´ aticas

Si la barra trabaja a torsión no uniforme, el elemento desarrolla además de tensiones tangenciales, tensiones normales que var´ıan a lo largo de la barra, lo que implica tensiones tangenciales similares a las que se producen en flexión. Si las barras trabajando a torsión no uniforme no son propensas a alabear significativamente (las deformaciones longitudinales son pequeñas), se puede utilizar la (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

195

Torsi´ on uniforme

teor´ıa de torsión uniforme. Esta simplificación es posible hacerla en el caso de secciones macizas, secciones delgadas cerradas, tubos y secciones formadas por rectángulos estrechos que se cortan en un único punto (por ejemplo, los angulares y los perfiles en T).

15.8


Ejercicio 15.1

Una barra de 1,25 m de longitud, con sección transversal circular de 50 mm de diámetro, est´ a sometida a un momento torsor M t = 500 N·m. El material tiene un módulo de elasticidad transversal G = 80 GPa. Determinar: 1. La tensión tangencial m´ axima 2. El ángulo total girado Soluci´ on:

1. La tensión tangencial m´ axima

τ máx = 20, 37 MPa

2. El ángulo total girado

φ = 0, 0127 rad

Ejercicio 15.2

La barra biempotrada que se muestra en la Figura 15.12, de sección transversal tubular, con diámetros exteriores ∅AC en el tramo AC y ∅CB en el tramo CB , y espesor e en ambos tramos, está sometida a un momento torsor en C .

on tubular sometida a torsión Figura 15.12 Barra biempotrada escalonada de secci´ Obtener: 1. Las reacciones en los apoyos 2. La tensión tangencial m´ axima en cada uno de los tramos ( AC y C B ) (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

196


Datos:

L = 250 mm , M t I p

= 25 mm ,

∅AC

∅CB

= 15 mm , e = 5 mm

= 15000 N·mm =

π · ∅4

32

G = 80 GPa

Soluci´ on:

1. Las reacciones en los apoyos

M AX = 11590,91 N·mm M BX = 3409, 09 N·mm

2. La tensión tangencial máxima en cada uno de los tramos ( AC y C B )

τ ma´xAC = −4, 34 MPa τ máxCB = 5, 21 MPa

Ejercicio 15.3

Para la secci´ on tubular rectangular abierta que se muestra en la Figura 15.13

on tubular rectangular abierta Figura 15.13 Secci´ Obtener: 1. La constante torsional J (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

197

Torsi´ on uniforme

2. El máximo momento torsor que puede resistir la sección para un valor máximo admisible de la tensión tangencial τ Datos:

h = 100 mm , b = 70 mm , e1 = 2, 7 mm , e2 = 4 mm Soluci´ on:

1. La constante torsional J

J = 4298, 867 mm4

2. El máximo momento torsor que puede resistir la sección para un valor máximo admisible de la tensión tangencial τ

M tmáx = 1074, 71 MPa ( Se considera τ expresada en MPa)


Lecci´ on 16

Pandeo Contenidos 16.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

16.2. Problema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201

16.3. Dependencia entre la carga cr´ıtica y las condiciones de apoyo de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

16.4. Dominio de aplicaci´ o n de la f´ o rmula de Euler . . . . . .

206

16.5. Compresi´ o n exc´ e ntrica de una barra esbelta . . . . . . .

208


209

200


16.1

Estabilidad

Los tres tipos de equilibrio que puede presentar un cuerpo son: equilibrio estable equilibrio indiferente equilibrio inestable Sea una esfera apoyada sobre una superficie c´ oncava, sobre una superficie plana, y sobre una superficie convexa, tal como se muestra en la Figura 16.1. Si la esfera de la Figura 16.1 a) se desplaza una magnitud infinitamente pequeña de su posición de equilibrio inicial, esta retorna a la posición original (equilibrio estable). Si dicho desplazamiento lo realiza la esfera de la Figura 16.1 b), esta conserva su posición de equilibrio (equilibrio indiferente). Por último, al provocar el desplazamiento de la esfera de la Figura 16.1 c), esta se alejará cada vez más de su posición de equilibrio inicial (equilibrio inestable).

Figura 16.1 Tipos de equilibrio. a) Equilibrio estable. b) Equilibrio indiferente c)

Equilibrio inestable Se entiende por estabilidad la propiedad de un sistema estructural de mantener su estado de equilibrio durante el periodo de actuación de las fuerzas exteriores. Si se considera la esfera y la superficie de rodadura anteriores como un sistema estructural, en los casos a y b se dice que el sistema es estable. En el caso c se dice que el sistema es inestable. El an´ alisis de estabilidad de los sistemas elásticos permite establecer aquellos valores de las fuerzas exteriores para los que el equilibrio estable se convierte en inestable. Estas fuerzas reciben el nombre de fuerzas cr´ıticas. Se aclarar´ an estos conceptos con un ejemplo sencillo recogido de la Mecánica Cl´ asica. Sea la barra r´ıgida AB , articulada sobre un apoyo fijo en A y sostenida en posición vertical por un resorte, como se muestra en la Figura 16.2 a). Si se separa el punto B de su posición de equilibrio una longitud BB = z , el resorte ejerce sobre el extremo superior de la barra una fuerza horizontal k z , siendo k la rigidez del resorte. Se estudiará la estabilidad del sistema ba jo la acci´ on de una fuerza vertical P aplicada en B , y dirigida hacia abajo. Para ello se considerará la barra en una posición AB pr´ oxima a la de equilibrio vertical, como se muestra en la Figura 16.2 b). La fuerza P produce un momento P z respecto al punto A, en sentido horario, que tiende a alejar la barra de su posición de equilibrio. Por otro lado, el momento respecto al punto A de la fuerza ejercida por el resorte es k z L, en sentido antihorario, y tiende a devolver a la barra a su posición de equilibrio, como se muestra en la Figura 16.2 c). ′

′


201

Pandeo

Figura 16.2 Tipos de equilibrio. Estudio de la estabilidad del equilibrio de una

barra articulada y mantenida en posición vertical por un resorte As´ı pues, el equilibrio de la barra en la posición vertical es estable si se cumple que kzL > P z

KL > P

(16.1)

Es decir, P debe ser menor a un valor cr´ıtico P cr´ıt = K L. Si se supera dicho valor, el sistema pierde la estabilidad. Cuando P = P cr´ıt , el equilibrio de la barra es indiferente. El caso más simple de pérdida de estabilidad en cuerpos elásticos corresponde a una barra comprimida axialmente, como la que se muestra en la Figura 16.3. Cuando la carga aplicada es lo suficientemente grande, la barra no puede mantener su forma recta y se flexiona, dando lugar a la pérdida de estabilidad.

erdida de la estabilidad de una barra carga axialmente Figura 16.3 P´

16.2

Problema de Euler

El planteamiento que sigue fue hecho por el matemático L. Euler1 en el u ´ ltimo tercio del siglo XVIII. Por este motivo, al hablar de estabilidad de la barra comprimida se emplean las expresiones problema de Euler o estabilidad de la barra según Euler. 1

Euler, L. Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minime Propietate Gandentes, sier solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu acepti . M. Bousquet, Laussane and Geneva, 1774. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

202


En el planteamiento del problema de Euler se consideran las siguientes hipótesis: 1. La barra es esbelta de sección constante y está constituida por un material perfectamente elástico. Se considera que no existe imperfección geométrica alguna. 2. Los ejes y y z , son los principales de inercia. 3. Las tensiones que se generan al comprimir la barra no superan en ningún caso el l´ımite elástico del material. Se consideran pequeñas deformaciones y pequeños desplazamientos. 4. El material está libre de tensiones residuales. 5. Las cargas de compresión P aplicadas en las secciones extremas de la barra resultan de una distribución constante de tensiones normales sobre esas secciones. Esto implica que las cargas están aplicadas exactamente en el centro de gravedad y en la dirección de la directriz de la barra.

Figura 16.4 Estabilidad de la barra de Euler

Se supondrá que, por cierta causa, la barra comprimida de la Figura 16.4 recibi´ o cierta flexión. Se van a analizar las condiciones que hacen posible el equilibrio de la barra con el eje flexionado. Cuando se consideran pequeños desplazamientos, se verifica la ecuación E I y z ′′ = M y (x)

(16.2)

La flexión de la barra ocurre en el plano XZ , por lo tanto I y es el momento de inercia de la sección respecto a un eje perpendicular a dicho plano. El momento flector M y (x) es, en valor absoluto, igual a P z . Se considerar´ a positivo el momento que aumenta la curvatura, luego analizando la l´ınea el´ astica de la viga de la Figura 16.4, se observa que la fuerza de compresión P disminuye, en el sentido algebraico de la palabra, la curvatura. El momento de la fuerza P se orienta de tal manera que, al curvar más la l´ınea elástica, la curvatura se hace más negativa, es decir, disminuye. As´ı pues, E I y z ′′ =

Llamando k 2 =

−M y (x) = −P z

(16.3)

P y sustituyendo esta expresión en la ecuación (16.3), se obtiene EI y z ′′ + k 2 z = 0 (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(16.4)

203

Pandeo

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, de coeficientes constantes (se considera que la inercia es constante) y homogénea. Su ecuación caracter´ıstica es r 2 + k 2 = 0, cuyas ra´ıces son r = k i, siendo su solución general

±

z = C 1 sen (kx) + C 2 cos (kx)

(16.5)

Las constantes C 1 y C 2 se calculan a partir de las condiciones de contorno. x = 0 x = L

⇒ ⇒

z = 0 z = 0

⇒ ⇒

C 2 = 0

(16.6)

C 1 sen (kL) = 0

(16.7)

La ecuación (16.7) tiene dos soluciones posibles: C 1 = 0 ó sen (kL) = 0. Si la primera solución es la correcta, se verifica que C 1 = C 2 = 0; es decir, los desplazamientos z son nulos y la barra queda en la configuraci´ on inicial. En el segundo caso k L = nπ , siendo n un n´ umero entero, arbitrario, mayor que 1. Teniendo en cuenta la expresi´ on 2 de k , se obtiene k2 =

n2 π 2 P = L2 EI y

⇒

P =

n2 π 2 EI y L2

(16.8)

La ecuación anterior implica que para que la barra mantenga la forma curvil´ınea es necesario que la fuerza P tenga unos valores determinados. La fuerza m´ınima, P cr´ıt , no igual a cero, se obtiene cuando n = 1. π 2 EI y P cr´ıt = L2

(16.9)

Esta fuerza se denomina primera carga cr´ıtica o fuerza de Euler. Cuando n = 1, on de la l´ınea elástica (16.5) es k L = π y la ecuaci´ z = C 1 sen

πx L

 

(16.10)

La barra se flexiona seg´ un una semionda sinusoidal cuya amplitud máxima es C 1 . Para cualquier otro valor entero de n , la ecuación de la l´ınea elástica es z = C 1 sen

nπx L

 

(16.11)

Es decir, la l´ınea elástica de la barra se representa por una curva compuesta por n semiondas, como muestra la Figura 16.5, que corresponden a las diferentes configuraciones de equilibrio de la misma.

Figura 16.5 Posibles configuraciones de equilibrio de la barra de Euler

La ecuación (16.11) depende del valor de la constante C 1 , por lo que se podr´ıa pensar en un equilibrio indiferente al ser posibles infinitas configuraciones de equilibrio correspondientes a los distintos valores de C 1 . Sin embargo, se ha admitido en el (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

204


desarrollo realizado la hipótesis de pequeños desplazamientos, lo cual no es admisible cuando la carga es superior a P cr´ıt , ya que las deformaciones aumentarán con gran rapidez (como se comprueba experimentalmente) y no se puede prescindir del término z 2 . En dicho caso hay que utilizar la ecuación diferencial ′

EI y z ′′

(1 + z 2 ) ′

3 2

=

Integrando esta ecuación y sustituyendo x por punto central w

 L

2

√

L 8 = π



P P cr´ıt

−1

−P z

(16.12)

L

2 se obtiene la flecha w

−  1

1 8

P P cr´ıt

−1



L

 2

en el

(16.13)

Observando esta expresión se obtienen las siguientes conclusiones: Si P < P cr´ıt , w L2 resulta imaginaria, lo cual no tiene sentido f´ısico. La configuración recta es la única posible Si P = P cr´ıt , w

   L

2

= 0. La barra tiene una configuración recta

Si P > P cr´ıt , w L2 es real. Es decir, la deformada está definida y el equilibrio solo es posible mediante configuraciones curvas. Como para cada valor de P corresponde una deformada diferente, no hay posiciones de equilibrio indiferente. Si crece P por encima de P cr´ıt , la flecha aumenta muy rápidamente.

astico con Figura 16.6 Curvas carga-desplazamiento. Rama A: Pilar ideal el´ peque˜ nos desplazamientos. Rama B : Pilar ideal elástico con grandes desplazamientos La rama B de la gráfica de la Figura 16.6 se observa como al alcanzar el pilar la carga cr´ıtica, se requiere una carga creciente para producir un aumento del desplazamiento. En la misma figura se ha representado el desplazamiento considerando pequeños desplazamientos (rama A), donde se observa que el desplazamiento no está definido a partir de la carga cr´ıtica.

16.3

Dependencia entre la carga cr´ıtica y las condiciones de apoyo de la barra

Generalmente, los extremos de la barra se apoyan de alguna de las formas representadas en la Figura 16.7. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

205

Pandeo

Figura 16.7 Dependencia entre la carga cr´ıtica y las condiciones de apoyo de la

barra En la barra biarticulada analizada para la deducció n de la fórmula de Euler, se demostr´ o que la flexión de esta durante el pandeo ocurre según una semionda de sinusoide, obteniéndose la expresión de la fuerza cr´ıtica indicada en la ecuación (16.9). Se llamar´ a al problema de Euler caso fundamental . Es posible utilizar la solución obtenida para el caso fundamental para otras condiciones de apoyo de la barra. As´ı, por ejemplo, si la barra se empotra en un extremo y se deja libre en el otro, la l´ınea elástica de la barra podrá ser transformada en la l´ınea el´ astica de una barra biarticulada como se indica en la Figura 16.8.

on del coeficiente de esbeltez β de una barra empotrada-libre Figura 16.8 Obtenci´ a partir de la barra articulada-articulada Observando dicha figura, se puede concluir que la carga cr´ıtica correspondiente a una barra de longitud L empotrada en un extremo, será igual a la carga cr´ıtica correspondiente al caso fundamental para una barra de longitud 2 L. P cr´ıt =

π 2 EI y

(2L)2

(16.14)

En el caso de una barra biarticulada con un apoyo en mitad de la misma, al perder la estabilidad se flexiona según dos semiondas. Es decir, cada uno de sus vanos pierde (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

206


la estabilidad de la misma forma que el caso fundamental para una barra de longitud L

2

. Por lo tanto, la carga cr´ıtica es P cr´ıt =

π 2 EI y

 L

2

(16.15)

2

Generalizando las ecuaciones obtenidas, se puede determinar una expresión general de la fuerza cr´ıtica para una barra comprimida, y para cualquier tipo de apoyo, como P cr´ıt =

π 2 EI y

(βL )2

(16.16)

β es el coeficiente de esbeltez, que depende de las condiciones de apoyo de la barra. De acuerdo con lo anterior, se denomina longitud de pandeo L k de una pieza sometida

a un esfuerzo normal de compresión a la longitud que deber´ıa tener la pieza del caso fundamental, para tener la misma carga cr´ıtica que la pieza real considerada. La longitud de pandeo viene dada por la expresión Lk = βL. De la ecuación (16.16) se puede concluir que, cuanto menor es β , mayor será la carga cr´ıtica y, por lo tanto, la carga admisible sobre la barra. Por ejemplo, la carga cr´ıtica de la barra empotrada en sus dos extremos es 16 veces mayor que la de la barra empotrada en un extremo y libre en el otro. Por este motivo, all´ı donde resulte posible, se deben empotrar r´ıgidamente los dos extremos de la barra; sin embargo, en la práctica, esto no es siempre posible. Los elementos que sirven de apoyo de los extremos de las barras presentan, siempre, un cierto grado de elasticidad, y esto introduce cierta indeterminación en los cálculos. Por eso, muy a menudo, el cálculo se realiza considerando que los extremos están articulados, lo que va a favor de la seguridad.

16.4

Dominio de aplicaci´ o n de la f´ ormula de Euler

Al deducir la fórmula de Euler, se empleó la ecuación diferencial de la l´ınea elástica que se basa en la ley de Ho oke, la cual es válida mientras no se sobrepase la tensión del l´ımite de proporcionalidad del material (σ p ) hasta un valor que se denominará tensión cr´ıtica (σcr´ıt ), es decir σcr´ıt =

P cr´ıt S

≤ σ p

(16.17)

Esta tensión cr´ıtica es igual a la tensión que se produce en cualquier sección transversal de la barra al actuar la carga cr´ıtica π 2 EI y P cr´ıt = σcr´ıt = S S (βL )2

siendo S el área de la sección transversal de la barra. El radio de giro iy de la sección transversal de una barra es iy = (16.18) puede escribirse en función del radio de giro como (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(16.18)



I y . La ecuación A

207

Pandeo

σcr´ıt =

π 2 E

  βL iy

2

(16.19)

A la magnitud βL , que caracteriza la influencia de las dimensiones de la barra y iy las condiciones de apoyo de sus extremos, se la denomina esbeltez de la barra , es una magnitud adimensional, y se denota por λ. Se pueden reescribir las ecuaciones (16.16) y (16.19) en función de la esbeltez

P cr´ıt

=

σcr´ıt

=

π 2 ES λ2 2 π E λ2

(16.20)

(16.21)

Hasta ahora se ha empleado el momento de inercia correspondiente al eje y de la sección recta, al suponer solo la posibilidad de pandeo en el plano XZ . Sin embargo, si no está impedido el movimiento, la barra puede pandear en cualquier plano. De la ecuación (16.21) se deduce que la barra pandeará en el plano de mayor esbeltez (λmáx ). Si las condiciones de apoyo en ambos planos son iguales, el pandeo se producirá en el plano definido por X y el eje de mayor inercia de la sección recta (alrededor del eje de menor inercia). La validez de la fórmula de Euler planteada en la ecuación (16.17), reescrita en función de la esbeltez máxima, es σcr´ıt =

π 2 E λ2máx

≤ σ p

(16.22)

Despejando la esbeltez de la ecuación (16.22), se obtiene el valor m´ınimo de tener esbeltez de una barra para que se pueda aplicar la fórmula de Euler λm´ın

≥



π 2 E σ p

(16.23)

La curva ABC de la Figura 16.9 representa la ecuación (16.23), y se denomina hipérbola de Euler. Los pilares que pueden ser calculados a pandeo con la teor´ıa de Euler se denominan pilares esbeltos. Los pilares con una esbeltez máxima muy baja, pueden fallar por resistencia antes de que se alcance la tensión cr´ıtica de compresión. Los pilares con este tipo de fallo se denominan pilares cortos. Existe una zona intermedia, en la que el cálculo no se puede realizar por compresión, puesto que la barra es suficientemente larga y mantiene en su comportamiento las particularidades relacionadas con el fenómeno de la p´ erdida de estabilidad, y tampoco se puede aplicar el c´ alculo de la estabilidad según Euler, puesto que en el material de la barra surgen deformaciones plásticas. Son los denominados pilares medios. Para tratar este tipo de pilares se han planteado diversas teor´ıas, aunque no van a ser tratadas en este tema. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

208


Figura 16.9 Hipérbola de Euler

16.5

Compresi´ on exc´ entrica de una barra esbelta

Sea la barra considerada en el caso fundamental sometida a una carga con excentricidad e , como se muestra en la Figura 16.10 a).

on exc´ entrica de una barra esbelta Figura 16.10 Compresi´ Al flexionarse la barra, como se muestra en la Figura 16.10 b), se origina en cada secci´ on de la misma un momento flector de valor M y (x) = P (e + z )

(16.24)

La ecuación diferencial de la curva elástica, considerando pequeños desplazamientos, es E I y z ′′ =

Haciendo k 2 =

−M y (x) = −P (e + z)

(16.25)

P , la ecuación (16.25) queda como EI y z ′′ + k2 z =

−k2e

La solución general de la ecuación (16.26) es (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(16.26)

209

Pandeo

z = C 1 sen (kx) + C 2 cos (kx)

−e

(16.27)

Las constantes C 1 y C 2 se calculan a partir de las condiciones de contorno. x = 0 x = L

⇒ ⇒

z = 0 z = 0

C 2 = e

⇒ ⇒

C 1 sen (kL) + e (cos(kL)

(16.28)

− 1) = 0

(16.29)

De (16.29) se obtiene que

 

cos(kL) 1 L = e tan k C 1 = e sen (kL) 2

−

(16.30)

La ecuación de la curva eslástica es

 

z = e tan k

L

2

sen (kx) + e cos(kx)

−e

(16.31)

El momento flector máximo se produce en la sección de zmáx , y esta se produce en x =

L

2

.

   

zmáx = e tan k

L

2

sen k

L

2

 −

+ e cos k

L

2

 −

e = e sec k

L

2

e

(16.32)

Siendo el momento flector máximo

 

M ymáx = P (e + z ) = P e sec k

L

2

(16.33)

Se observa que el momento flector obtenido es el momento flector de primer orden (P e) multiplicado por el coeficiente sec k L2 . Cuando se alcance la carga cr´ıtica, el valor de la secante se hace infinito

             ∞  

sec k

sec

16.6

L

2

= sec

π 2 EI y L2 L EI y 2

P cr´ıt L EI y 2

= sec

π

2

=

(16.34)

=


Ejercicio 16.1

Un pilar de longitud L y sección rectangular transversal hueca, como se muestra en la Figura 16.11, está empotrado en la base y libre en la cabeza.


210


on rectangular hueca Figura 16.11 Secci´ Se pide: 1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I yG , I zG 2. La clasificación en el pilar en corto, medio o largo 3. En caso de ser largo, determinar la carga cr´ıtica de pandeo utilizando la teor´ıa de Euler 4. La carga cr´ıtica si la cabeza del pilar tiene impedido el desplazamiento en el plazo XZ Datos:

L = 5 m , a = 50 mm , b = 100 mm , t = 10 mm E = 210 GPa , σe = 248 MPa Soluci´ on:

1. Las propiedades estáticas de la sección: área S e inercias principales I yG , I zG S = 2600 mm2 I yG = 861, 667 103 mm4

·

I zG = 2886, 667 103 mm4

·

2. La clasificación en el pilar en corto, medio o largo Se trata de un pilar largo. 3. En caso de ser largo, determinar la carga cr´ıtica de pandeo utilizando la teor´ıa de Euler

P cr´ıt = 17849, 87 N

4. La carga cr´ıtica si la cabeza del pilar tiene impedido el desplazamiento en el plazo XZ

P cr´ıt = 59827, 73 N (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

211

Pandeo Ejercicio 16.2

La Figura 16.12 muestra las secciones transversales de dos pilares, de longitud L, sometidos a una carga de compresión centrada. Ambos están empotrados en la base. El pilar de sección transversal dos IPN en cruz está libre en la cabeza. El pilar de sección transversal dos UPN empresilladas, está articulado en la cabeza.

Figura 16.12 Secciones transversales de pilares

Obtener: 1. Cual de los dos pilares perderá la estabilidad antes y la carga cr´ıtica correspondiente Datos:

L = 5m E = 210 GPa

2 IPN 180

2 UPN 120

S = 55, 3 10−4 m2 I y = 1530 10−8 m4 I z = 1530 10−8 m4

S = 54,8 10−4 m2 I y = 1560 10−8 m4 I z = 1580 10−8 m4

· · ·

· · ·

Soluci´ on:

1. Cual de los dos pilares perderá la estabilidad antes y la carga cr´ıtica correspondiente El pilar en sección transversal 2 IPN 180 en cruz perderá la estabilidad antes. La carga cr´ıtica correspondiente es:

P cr´ıt = 317, 110 kN (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

212


Ejercicio 16.3

Un pilar empotrado en la base y libre en la cabeza, de longitud L, tiene de sección transversal la que se muestra en la Figura 16.13, formada por perfiles laminados soldados, fabricados en acero S275 JR.

Figura 16.13 2 IPN 400 perpendiculares

Obtener: 1. La carga cr´ıtica de pandeo seg´ un Euler 2. La carga de pandeo seg´ un el Código Técnico de la Edificación Datos:

L = 10 m E = 210 GPa , f y = 275 MPa , γ M 1 = 1, 05

2 IPN 400 perpendiculares S = 236 10−4 m2 I y = 30370 10−8 m4 I z = 55700 10−8 m4 iy = 11, 3 10−2 m iz = 15, 4 10−2 m

·

· · · ·

Soluci´ on:

1. La carga cr´ıtica de pandeo seg´ un Euler

P cr´ıt = 1573, 634 kN

2. La carga de pandeo seg´ un el Código Técnico de la Edificación

P CTE = 1174, 38 kN (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Ap´ endice A

Propiedades est´ aticas de ´ areas planas A.1

Momento est´ atico y Centroide

Sea el área plana de la Figura A.1.

´ plana. Centroide Figura A.1 Area El área S de la misma se obtiene mediante la expresión S =



dS

(A.1)

S

siendo dS un elemento diferencial de área, con coordenadas y y z respecto a un sistema de coordenadas arbitrario, con origen en O, como el mostrado en la Figura A.1. Los momentos estáticos del área con respecto a los ejes y y z , se definen como

Qy

=

 

z dS

(A.2)

ydS

(A.3)

S

Qz

=

S

Los momentos estáticos pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la posición de los ejes y y z . Su ecuación de dimensiones es L3 . La obtenci´ on de las coordenadas (yC , zC ) del centroide es inmediata a partir de los momentos estáticos, mediante las expresiones



215

216


yC =

Qz = S

   

y dS

S

(A.4) dS

S

zC =

Qy = S

z dS

S

(A.5) dS

S

Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la posición de los ejes y y z . Si un área es sim´ etrica respecto a un eje, el centro de gravedad debe encontrarse sobre ese eje, como se muestra en la Figura A.2 a), ya que el momento est´ atico de un área respecto a un eje de simetr´ıa es nulo. Si un área tiene dos ejes de simetr´ıa, el centro de gravedad se encuentra en la intersección de ambos ejes, como se muestra en la Figura A.2 b).

Figura A.2 Simetr´ıas y posición del centroide

A menudo, un área se puede descomponer en varias figuras simples. Si se conoce el área S i de cada una de estas figuras y la localizaci´ on de su centroide ( yC , zC ), es posible obviar la integración de las expresiones (A.4) y (A.5), y calcular las coordenadas del centroide mediante las expresiones i

yC = zC =

n i=1 yC i S i n i=1 S i n i=1 zC i S i n i=1 S i

 

i

(A.6) (A.7)

Si una de las figuras simples tuviera un agujero, dicho agujero se considerar´ıa como una parte adicional de área negativa.

A.2 A.2.1

Momentos de inercia y radios de giro Momentos de inercia

Los momentos de inercia I y e I z de un área con respecto a los ejes y y z , respectivamente, se definen como (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

217

Propiedades est´ aticas de ´ areas planas

=

I y

 

z 2 dS

(A.8)

y 2 dS

(A.9)

S

=

I z

S

Los momentos de inercia son cantidades siempre positivas y de dimensiones L4 . El momento polar de inercia J O , o momento respecto a un punto O , como se muestra en la Figura A.3,



Figura A.3 Momento polar de inercia

se obtiene mediante la expresión J O =



r 2 dS =

S

 

y2 + z 2 dS = I z + I y



S

(A.10)

El momento de inercia de una sección compuesta con respecto a cualquier eje es la suma de los momentos de inercia de sus partes respecto a dicho eje. A.2.2

Radios de giro

El radio de giro i de una sección, se define como la ra´ız cuadrada del cociente entre el momento de inercia y el área de la sección. Referidos a unos ejes de referencia an y y z , ser´

iy iz

= =



I y

S I z S

√

(A.11)

(A.12)

El radio de giro es una cantidad siempre positiva y de dimensiones [L]. Aunque el radio de giro no tiene un significado f´ısico obvio, se puede considerar como la distancia (medida desde el eje de referencia) donde deber´ıa concentrarse to do el área para dar el mismo momento de inercia que el área original.

A.3

Producto de inercia

El producto de inercia de una sección respecto a un sistema de ejes perpendiculares y y z , se define como (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

218


I yz =



y z dS

(A.13)

S

Al igual que en los momentos de inercia, la dimensión del producto de inercia es L4 . Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se muestra en la Figura A.4 a), o nulo, como se muestra en la Figura A.4 b).



Figura A.4 a) Producto de inercia: signos. b) Sección simétrica respecto al eje z :

producto de inercia nulo Si todo el área se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia, el producto de inercia es positivo, ya que y y z son siempre positivas. Si todo el área se encuentra en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, ya que la coordenada y es negativa y la z es positiva. Similarmente, si todo el área se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante, tienen signo negativo y positivo, respectivamente. Cuando el área se sit´ u a en más de un cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribución del área dentro de los cuadrantes. Cuando uno de los ejes es de simetr´ıa, los productos de inercia de cada uno de los dos lados en los que se divide la sección se anulan, y por lo tanto, el producto de inercia es nulo. Es decir, el producto de inercia de un área es nulo con respecto a cualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetr´ıa.

A.4

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad de la sección (en el caso del producto de inercia, relaciona el producto de inercia respecto a dos ejes cualesquiera con el producto de inercia respecto a dos ejes paralelos a los anteriores que pasen por el centro de gravedad de la sección). Para la sección mostrada en la Figura A.5, el momento de inercia respecto al eje y es I y =



(z + d1 )2 dS

S


(A.14)

219


Figura A.5 Teorema de Steiner

Desarrollando la ecuación A.14, se obtiene I y =



z 2 dS + 2 d1

S



S

z dS + d21



dS

(A.15)

S

El primer t´ ermino del segundo miembro es el momento de inercia de la secci´ on respecto al eje y que pasa por el centroide del área. El segundo término es el momento estático de la secci´ on respecto al eje yC (dicha integral es nula ya que el momento estático respecto a un eje que pasa por el centroide de la sección es nulo). El tercer término de la integral es el área S de la sección. Por lo tanto la ecuación (A.15) se puede expresar como I y = I yC + S d21

(A.16)

De la misma manera, el momento de inercia respecto al eje z se obtiene mediante la expresión I z = I zC + S d22

(A.17)

El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, para momentos de inercia, se expresa de la siguiente forma: El momento de inercia de un ´ area con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pase por el centro de gravedad del ´ area, m´ as el producto del ´ area y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes .

En el caso del producto de inercia, la expresión (A.14) tomar´ıa la forma I yz =



(z + d1 ) (y + d2 ) dS

(A.18)

S

Desarrollando esta ecuaci´ on, se obtiene I yz =



S

y z dS + d1



S

z dS + d2



y dS + d1 d 2

S



dS

(A.19)

S

El primer término del segundo miembro de la ecuación es el producto de inercia respecto a unos ejes que pasan por el centroide, paralelos a los de referencia. Los términos segundo y tercero son nulos, ya que corresponden a los momentos estáticos del á rea respecto a unos ejes que pasan por el centroide. La integral del último (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

220


término es el área de la sección. Por tanto, la ecuación (A.19) se puede expresar como I yz = I yzC + S d1 d 2

(A.20)

El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, para el producto de inercia, se expresa de la siguiente forma: El producto de inercia de un ´ area con respecto a cualquier par de ejes en su plano es igual al producto de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los anteriores y que pasen por el centroide del ´ area, más el producto del ´ area y las distancias de cada uno de estos ejes que pasan por el centroide, respecto a los de referencia .

A.5

Ejes principales y momentos principales de inercia

Los momentos de inercia de un área plana dependen de la posición del origen y de la orientaci´ on de los ejes de referencia. As´ı, para un cierto sistema de referencia, los momentos y producto de inercia var´ıan conforme se giran los ejes alrededor del origen, habiendo unos valores máximos y m´ınimos de los momentos y producto de inercia. Se considerará como tensor de inercia I, respecto a unos ejes cualesquiera I =



I yC I yzC

−

−I yzC I zC



(A.21)

en el que los elementos de la diagonal principal son los momentos de inercia respecto a los ejes de referencia considerados y los elementos fuera de la diagonal principal son los productos de inercia, cambiados de signo, respecto a los mismos ejes de referencia. Los valores propios de este tensor serán los momentos principales de inercia, mientras que los vectores propios asociados a dichos valores propios, serán los cosenos directores de los ejes principales de inercia. Resolviendo la ecuación caracter´ıstica obtenida del determinante de la ecuación (A.22) se obtienen los momentos de inercia principales I 1 e I 2 .

 − −

I yC I I yzC I yzC I zC I

−

−

 

=0

(A.22)

Para cada valor de I i , la dirección del eje principal asociado se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (A.23) y (A.24)



I yC I yzC

−

−I yzC I zC

  l m

l2 + m2 = 1

(A.23) (A.24)

El producto de inercia referido a los ejes principales de inercia, es nulo. Si lo que se desea es conocer las componentes del tensor de inercia para unos ejes girados un ángulo determinado respecto a los de referencia, se aplicar´ıa la ecuaci´ on de Cauchy In = In (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(A.25)

221


Los momentos principales de inercia tambi´ en se pueden obtener gráficamente mediante el c´ırculo de Mohr. En la Figura A.6 se representa un c´ırculo de Mohr para un tensor de inercia determinado y los valores de los momentos de inercia principales.

Figura A.6 C´ırculo de Mohr para un tensor de inercia

Observando el c´ırculo de Mohr se pueden extraer las expresiones de los momentos de inercia principales y de la dirección de los ejes principales de inercia I 1,2 =

I y + I z

2

  ±

tan2θ =

A.6

I y

− I z 2



2

2 + I yz

2I yz I y

− I z

Ejemplos resueltos

Ejemplo A.1

Para la sección en Z que se muestra en la Figura A.7

on en Z Figura A.7 Secci´ Obtener: (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(A.26) (A.27)

222


1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia 2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide 3. Los ejes y momentos principales de inercia Soluci´ on:

1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia La sección se puede dividir en tres trozos como se muestra en la Figura A.8

on en Z . Descomposición en tres rectángulos Figura A.8 Secci´ cuyas áreas parciales y total son

× 0, 1 = 0, 03 m2 S 2 = 0, 1 × 0, 6 = 0, 06 m2 S 3 = 0, 3 × 0, 1 = 0, 03 m2 S 1 = 0, 3

S = S 1 + S 2 + S 3 = 0, 12 m2

El centroide de la sección se calcula a partir de las expresiones (A.6) y (A.7). Considerando las distancias que se muestran en la Figura A.8, las coordenadas del centroide son

yC =

0, 55 y1 S 1 + y2 S 2 + y3 S 3 = S

× 0, 03 + 0, 35 × 0, 06 + 0, 15 × 0, 03 0, 12

= 0, 35 m

zC =

0, 05 z1 S 1 + z2 S 2 + z3 S 3 = S

× 0, 03 + 0, 3 × 0, 06 + 0, 55 × 0, 03 0, 12

= 0, 30 m (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

223


2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8), (A.9), (A.16) y (A.17). Al comienzo, se calculan los momentos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejes que pasan por el centroide de la sección y son paralelos a los considerados inicialmente). Respecto los ejes y y z locales, los momentos de inercia son

I yC 1 =

0, 3

× 0, 13 = 25 · 10−6 m4

12 0, 1 0, 63 = 18 10−4 m4 I yC 2 = 12 0, 3 0, 13 = 25 10−6 m4 I yC 3 = 12

×

·

×

·

I zC 1 =

0, 1

× 0, 33 = 225 · 10−6 m4

12 0, 6 0, 13 = 50 10−6 m4 I zC 2 = 12 0, 1 0, 33 = 225 10−6 m4 I zC 3 = 12

× ×

·

·

Aplicando Steiner se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto a los ejes yC y zC .

I yC = I yC 1 + S 1 d z12 + I yC 2 + S 2 d z22 + I yC 3 + S 3 d z32 I zC = I zC 1 + S 1 d y12 + I zC 2 + S 2 d y22 + I zC 3 + S 3 d y32

Las distancias dyi y dzi se muestran en las Figuras A.9 a) y A.9 b), respectivamente.

on en Z . Distancias para el cálculo de los momentos y producto Figura A.9 Secci´ de inercia Sustituyendo valores numéricos, se obtiene

· × (−0, 25)2 + 18 · 10−4 + 0, 06 × 02+ 25 · 10−6 + 0, 03 × 0, 252 = 56 · 10−4 m4

I yC = 25 10−6 + 0, 03


224


· × 0, 202 + 50 · 10−6 + 0, 06 × 02+ 225 · 10−6 + 0, 03 × (−0, 20)2 = 29 · 10−4 m4

I zC = 225 10−6 + 0, 03

Para obtener el producto de inercia se utiliza la ecuaci´ on (A.20). Los productos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedad de cada uno de ellos son nulos, precisamente por estar referidos a dichos ejes.

I yz = S 1 d y1 d z1 + S 2 d y2 d z2 + S 3 d y3 d z3

Sustituyendo valores numéricos, se obtiene

I yz = 0, 03

× (−0, 25) × 0, 20 + 0, 03 × 0, 25 × (−0, 20) = −30 · 10−4 m4

Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones (A.11) y (A.12). Sustituyendo los valores ya conocidos de área e inercias, se obtiene

iy = iz =

√

56 10−4 = 0, 216 m 0, 12

·

√

29 10−4 = 0, 155 m 0, 12

·

3. Los ejes y momentos principales de inercia El tensor de inercia es

I =



56 10−4 30 10−4 30 10−4 29 10−4

· ·

· ·



Resolviendo el determinante

 

56 10−4 I 30 10−4 =0 30 10−4 29 10−4 I

I 2

− 0, 0085I + 724 · 10−8 = 0

·

−

·

·

·

 

−

se obtiene la ecuación caracter´ıstica

cuyas ra´ıces son los momentos principales de inercia: I 1 = 75 10−4 m4 , I 2 = 10 10−4 m4

·

·


225


C´ alculo de la direcci´ on principal correspondiente al momento principal de inercia I = I 1



56 10−4 75 10−4 30 10−4 30 10−4 29 10−4 75 10−4

·

− · ·

· − ·

·

    l m

=

0 0

Desarrollando la expresión anterior se obtiene el sistema lineal y homogéneo de ecuaciones, y teniendo en cuenta la condición

l2 + m2 = 1

se obtiene la dirección del eje principal 1

n1 =

 ±

0, 8398

±0, 5430



T




56 10−4 10 10−4 30 10−4 30 10−4 29 10−4 10 10−4

·

− · ·

· − ·

·

    l m

=

0 0

Desarrollando la expresión anterior se obtiene el sistema lineal y homogéneo de ecuaciones, y teniendo en cuenta la condición

l2 + m2 = 1


n2 =

 ∓

0, 5430

±0, 8398



T

En la Figura A.10 se muestran los ejes principales de inercia de la sección.


226


on en Z . Ejes principales de inercia Figura A.10 Secci´ Ejemplo A.2

Para la sección en L asimétrica que se muestra en la Figura A.11

on en L asimétrica Figura A.11 Secci´ Obtener: 1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia 2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide 3. Anal´ıtica y gr´ aficamente los ejes y momentos principales de inercia Datos:

a = 400 mm , b = 300 mm , c = 200 mm Soluci´ on:

1. Obtener las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia La sección se puede dividir en dos trozos, como se muestra en la Figura A.12, cuyas áreas parciales y total son (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

227


on en L asimétrica. Descomposición en dos rectángulos Figura A.12 Secci´

× 0, 3 = 0, 21 m2 S 2 = 0, 2 × 0, 3 = 0, 06 m2 S 1 = 0, 7

S = S 1 + S 2 = 0, 27 m2

El centroide de la sección se calcula a partir de las expresiones (A.6) y (A.7). Considerando las distancias que se muestran en la Figura A.12, las coordenadas del centroide son 0, 35 y1 S 1 + y2 S 2 = S 0, 35 z1 S 1 + z2 S 2 = zC = S

yC =

× 0, 21 + 0, 1 × 0, 06 = 0, 294 m ×

0, 27 0, 21 + 0, 55 0, 27

× 0, 06 = 0, 394 m

2. Obtener los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8), (A.9), (A.16) y (A.17). Al comienzo, se calculan los momentos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejes que pasan por el centroide de la sección y son paralelos a los que se consideran inicialmente). Respecto los ejes y y z locales, los momentos de inercia son

I yC 1 =

0, 3

× 0, 73 = 85, 75 · 10−4 m4

12 0, 2 0, 33 = 45 10−5 m4 I yC 2 = 12

×

·

I zC 1 =

0, 7

× 0, 33 = 15, 75 · 10−4 m4

12 0, 3 0 , 2 3 = 2 10−4 m4 I zC 2 = 12

×

·

Aplicando Steiner, se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto a los ejes yC y zC . I yC = I yC 1 + S 1 d z12 + I yC 2 + S 2 d z22 I zC = I zC 1 + S 1 d y12 + I zC 2 + S 2 d y22 (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

228


Las distancias dyi y dzi se muestran en la Figura A.13).

on en L asimétrica. Distancias para el cálculo de los momentos Figura A.13 Secci´ y producto de inercia Sustituyendo valores numéricos, se obtiene

I yC = 85, 75 10−4 + 0, 21

·

= 108, 92 10−4 m4

·

I zC = 15, 75 10−4 + 0, 21

· = 46, 92 · 10−4 m4

× (−0, 044)2 + 45 · 10−5 + 0, 06 × 0, 1562 × 0, 0562 + 2 · 10−4 + 0, 06 × (−0, 194)2

Para obtener el producto de inercia se utilizará la ecuación A.20. Los productos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedad de cada uno de ellos son nulos, precisamente por estar referidos a dichos ejes.

I yz = S 1 d y1 d z1 + S 2 d y2 d z2

Sustituyendo valores numéricos, se obtiene

I yz = 0, 21

× 0, 056 × (−0, 044) + 0, 06 × (−0, 194) × 0, 156 = −23, 33 · 10−4 m4

Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones A.11 y A.12. Sustituyendo los valores ya conocidos de área e inercias, se obtiene

iy = iz =

 

108, 92 10−4 = 0, 2 m 0, 27

·

46, 92 10−4 = 0, 132 m 0, 27

·


229


3. Obtener anal´ıtica y gráficamente los ejes y momentos principales de inercia Los ejes y momentos principales de inercia El tensor de inercia es

I =



108, 92 10−4 23, 33 10−4 23, 33 10−4 46, 92 10−4

· ·

· ·



Resolviendo el determinante

 

108, 92 10−4 I 23, 33 10−4 =0 23, 33 10−4 46, 92 10−4 I

I 2

− 0, 0156I + 45 , 66 · 10−6 = 0

·

−

·

·

·

 

−

se obtiene la ecuación caracter´ıstica

cuyas ra´ıces son los momentos principales de inercia:

I 1 = 116, 72 10−4 m4 , I 2 = 39, 12 10−4 m4

·

·




(108, 92 116, 72) 10−4 23, 33 10−4 23, 33 10−4 (46, 92 116, 72) 10−4

−

·

·

−

·

·

    l m

=

0 0

Desarrollando la expresión anterior se obtiene el sistema lineal y homogéneo de ecuaciones y teniendo en cuenta la condición

l2 + m2 = 1


n1 =

 ±

0, 9484

±0, 3170



T


230

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales C´ alculo de la direcci´ on principal correspondiente al momento principal de inercia I = I 2



(108, 92 39, 12) 10−4 23, 33 10−4 23, 33 10−4 (46, 92 39, 12) 10−4

−

·

·

−

·

·

    l m

=

0 0

Desarrollando la expresión anterior se obtiene el sistema lineal y homogéneo de ecuaciones y teniendo en cuenta la condición l2 + m2 = 1


n2 =

 ∓

0, 3170

±0, 9484



T

En la Figura A.14 se muestran los ejes principales de inercia de la sección.

on en L asimétrica. Ejes principales de inercia Figura A.14 Secci´ En la Figura A.15 se muestra la solución gr´ afica.

on en L asimétrica. Momentos principales de inercia: solución Figura A.15 Secci´ gráfica


Ap´ endice B

Dimensionado y comprobaci´ on de secciones El Código Técnico de la Edificación (CTE), en el Documento Básico-Seguridad Estructural Acero (DB-SE-A Acero), hace una clasificación de las secciones atendiendo a su capacidad de deformación y de desarrollo de resistencia plástica al ser solicitadas por un momento flector. En las cuatro clases de secciones 1 admite como método para la determinación de la resistencia de las secciones el método elástico (con alguna restricción en el caso de secciones esbeltas). Por este motivo, se va a desarrollar el procedimiento de dimensionado utilizando el método el´ astico para los distintos tipos de solicitaciones normales vistas en este tema. No obstante, el CTE especifica que la opción de utilizar criterios de comprobación y dise˜ no basados en distribuciones elásticas de tensiones, es admisible siempre que en ning´ un punto de la sección2 , las tensiones de cálculo, combinadas conforme al criterio de plastificación de Von Mises, superen la resistencia de cálculo.

B.1 B.1.1

Resistencia de las secciones a tracci´ on o compresi´ on Dimensionado N Ed ≤ N pl,Rd = A · f yd

⇒

A≥

N Ed f yd

Siendo: N Ed :

Axil de cálculo

N pl,Rd :

Resistencia plástica de la sección

A :

´ Area de la sección

f yd =

1 2

f y : Resistencia de c´ alculo del material γ M 0

f y :

Tensión del l´ımite elástico del material

γ M 0 :

Coeficiente parcial de seguridad del material (1,05)

Pl´ astica, Compacta, Semicompacta y Esbelta. En la secci´ on clase 4 hay que considerar el ´ area eficaz

231

(B.1)

232


En términos de resistencia, la ecuación anterior se expresa como N Ed ≤1 N pl,Rd

B.1.2

(B.2)

Comprobaci´ on N Ed σx,d = A



si σx,d ≤ f yd perfil válido si σx,d > f yd perfil no v´ alido

Siendo: on en cualquier punto de la sección σx,d : Tensi´

B.2 B.2.1

Resistencia de las secciones a flexi´ on pura Dimensionado M Ed ≤ M el,Rd = W el · f yd

⇒

W el ≥

M Ed f yd

(B.3)

En términos de resistencia, la ecuación anterior se expresa como M Ed ≤1 M el,Rd

(B.4)

Siendo: M Ed :

Momento flector de c´ alculo

astico de la sección M el,Rd : Momento el´ W el :

B.2.2

Módulo resistente de la sección correspondiente al eje de flexión

Comprobaci´ on M Ed σx,d = E el

B.3

B.3.1



si σx,d ≤ f yd perfil v´ alido si σx,d > f yd perfil no v´ alido

Resistencia de las secciones a flexi´ on compuesta seg´ un el eje y Dimensionado

En términos de resistencia debe verificarse M y,Ed N Ed + ≤1 N pl,Rd M el,Rdy

Siendo:

M y,Ed :

Momento flector de c´ alculo seg´ un el eje y

astico de la sección seg´ un el eje y M el,Rdy : Momento el´ (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(B.5)

233

Dimensionado y comprobaci´ on de secciones Procedimiento de dimensionado

1. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el esfuerzo axil A≥

N Ed f yd

(B.6)

2. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el momento flector W y,el ≥

M y,Ed f yd

(B.7)

3. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con el área e inercia según y que le corresponda, se realiza la comprobaci´ on σx,Ed =

M y,Ed N Ed + z ≤ f yd A I y

(B.8)

(B.9)

Si la sección presenta simetr´ıa respecto del eje y , σx,Ed =

M y,Ed N Ed ≤ f yd + A W y,el

Siendo:

B.3.2

I y :

Momento de inercia de la secci´ on correspondiente al eje y

W y,el :

Módulo resistente de la sección correspondiente al eje y

z:

Coordenada z de cualquier punto de la sección

Comprobaci´ on

N Ed M y,Ed + σx,Ed = A W y,el

B.4

B.4.1




Resistencia de las secciones a flexi´ on compuesta seg´ un el eje z Dimensionado

En términos de resistencia debe verificarse M z,Ed N Ed ≤1 + N pl,Rd M el,Rdz

Siendo: M z,Ed :

Momento flector de c´ alculo seg´ un el eje z

astico de la sección seg´ un el eje z M el,Rdz : Momento el´ (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(B.10)

234


Procedimiento de dimensionado


N Ed f yd

(B.11)

2. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el momento flector W z,el ≥

M z,Ed f yd

(B.12)

3. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con el área e inercia seg´ un z que le corresponda, se realiza la comprobación M z,Ed N Ed + y ≤ f yd A I z

σx,Ed =

(B.13)

(B.14)

Si la sección presenta simetr´ıa respecto del eje z , σx,Ed =

N Ed M z,Ed ≤ f yd + A W z,el

Siendo:

B.4.2

I z :

Momento de inercia de la secci´ on correspondiente al eje z

W z,el :

Módulo resistente de la sección correspondiente al eje z

y:

Coordenada y de cualquier punto de la sección

Comprobaci´ on

M z,Ed N Ed + σx,Ed = A W z,el

B.5 B.5.1




Resistencia de las secciones a flexi´ on desviada Dimensionado

En términos de resistencia debe verificarse M y,Ed M z,Ed ≤1 + M el,Rdy M el,Rdz

(B.15)


1. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el momento flector seg´ un y W y,el ≥

M y,Ed f yd


(B.16)

235

Dimensionado y comprobaci´ on de secciones

2. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el momento flector según z W z,el ≥

M z,Ed f yd

(B.17)

3. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con las inercias según y y z que le corresponda, se realiza la comprobaci´ on σx,Ed =

M y,Ed M z,Ed z + y ≤ f yd I y I z

(B.18)

Si la sección presenta simetr´ıa respecto de los ejes y y z , σx,Ed =

B.5.2

B.6.1

(B.19)

Comprobaci´ on

M y,Ed M z,Ed + σx,Ed = W y,el W z,el

B.6

M y,Ed M z,Ed ≤ f yd + W y,el W z,el



si σx,d ≤ f yd perfil válido si σx,d > f yd perfil no válido

Resistencia de las secciones a flexi´ on compuesta desviada Dimensionado

En términos de resistencia debe verificarse M y,Ed M z,Ed N Ed ≤1 + + N pl,Rd M el,Rdy M el,Rdz

(B.20)



N Ed f yd

(B.21)

2. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el momento flector seg´ un y W y,el ≥

M y,Ed f yd

(B.22)

3. Obtenci´ on del perfil m´ınimo necesario para resistir el momento flector según z W z,el ≥

M z,Ed f yd


(B.23)

236


4. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con el área y las inercias según y y z que le corresponda, se realiza la comprobación σx,Ed =

M y,Ed M z,Ed N Ed + z + y ≤ f yd A I y I z

(B.24)

Si la sección presenta simetr´ıa respecto de los ejes y yz , σx,Ed =

B.6.2

M z,Ed N Ed M y,Ed + + ≤ f yd A W y,el W z,el

(B.25)

Comprobaci´ on

N Ed M y,Ed M z,Ed + + σx,Ed = A W y,el W z,el

B.7



si σx,d ≤ f yd perfil v´ alido si σx,d > f yd perfil no v´ alido

Dimensionado a pandeo

El CTE especifica que la capacidad a pandeo por flexión, en compresión centrada, de una barra de sección constante, puede tomarse como N b,Rd = χ · A · f yd

(B.26)

Siendo: χ:

Coeficiente de reducción por pandeo

f yd : Resistencia de calculo del acero, tomandof yd =

fy = 1, 1 γ M 1

En términos de resistencia debe verificarse N Ed ≤1 N b,Rd

(B.27)

Para barras de sección constante y axil constante, se denomina esbeltez reducida a la relación entre la resistencia plástica de la secció n de cálculo y la compresión cr´ıtica por pandeo, de valor

  

λ = N cr =

Siendo: λ:

A · f y N cr

π Lk

(B.28)

2

· E · I

(B.29)

Esbeltez reducida

on cr´ıtica por pandeo N cr : Compresi´ Lk :

Longitud de pandeo de la pieza

E :

Módulo de elasticidad

I :

Momento de inercia del área de la sección para flexión en el plano considerado (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

237


La esbeltez reducida puede expresarse, de forma simplificada como λ =

λ λE

(B.30)

Siendo: λ =

Lk : i

Esbeltez mecánica de la sección correspondiente

i: λE = π

Radio de giro



E : 93, 91 para S235; 86, 81 para S275; 76, 41 para S355 f y

Las esbelteces reducidas según cada uno de los ejes son λy =

λy λE

(B.31)

λz =

λz λE

(B.32)

El coeficiente χ de reducción por pandeo se obtiene mediante la expresión 1

χ = φ+

   φ2 −

λk

2

≤

1

(B.33)

y debe ser menor que la unidad. φ se obtiene mediante la expresión

 

φ = 0, 5 1 + α λk − 0, 2 + λk

Siendo:

2

  

(B.34)

on elástica, que adopta los valores de la Tabla B.3 α : Coeficiente de imperfecci´ en función de la curva de pandeo (vease Tabla B.2). Esta representa la sensibilidad al fenómeno dependiendo del tipo de sección, plano de pandeo y tipo de acero, de acuerdo a la Tabla B.2. Los valores del coeficiente χ se pueden obtener directamente de la Figura B.1 o de la Tabla B.3 en función del coeficiente de imperfección y de la esbeltez reducida. Tabla B.1 Longitud de pandeo de barras canónicas

Condiciones de extremo

biarticulada

biempotrada

Longitud Lk

1,0 L

0,5 L

empotrada articulada

biempotrada desplazable

en m´ ensula

0,7 L

1,0 L

2,0 L


238


on transversal Tabla B.2 Curva de pandeo en función de la secci´

Tipo de acero Eje de pandeo (1)

Tipo de secci´ on

S235 a S355 y z

S450 y

z

Perfiles laminados en I

h/b > 1,2

t ≤ 40 mm

a

b

a0

a0

b

c

a

a

b

c

a

a

t > 100 mm

d

d

c

c

t ≤ 40 mm

b

c

b

c

t > 40 mm

c

d

c

d

c

c

c

c

laminados en caliente

a

a

a0

a0

conformados en frio

c

c

c

c

c

c

c

c

b

b

b

b

c

c

c

c

b

b

b

b

40 mm < t ≤ 100 mm h/b ≤ 1,2

t ≤ 100 mm

Perfiles armados en I

Agrupaci´ on de perfiles laminados soldados

Tubos de chapa simples o agrupados

Perfiles armados en caj´ on(2) soldadura gruesa

a/t > 0, 5

b/t < 30

h/t

w

en otro caso

< 30

Perfiles simples U, T, chapa, redondo macizo

Perfiles L

(1)

Para el significado del eje de pandeo, y los t´ erminos h, b, t , t v´ ease el anejo B del “Documento B´ asico SE-A”, seguridad estructural acero del CTE (2) La variable a se refiere al ancho de banda de garganta de la soldadura w


239


Figura B.1 Curvas de pandeo Tabla B.3 Valores del coeficiente de pandeo ( χ)

Esbeltez reducida

Curva de pandeo a0

a

b

c

d

0,13

0,21

0,34

0,49

0,76

0,30 0,40

1,00 0,99 0,97

1,00 0,98 0,95

1,00 0,96 0,93

1,00 0,95 0,90

1,00 0,92 0,85

0,50 0,60 0,70

0,95 0,93 0,90

0,92 0,89 0,85

0,88 0,84 0,78

0,84 0,79 0,72

0,78 0,71 0,64

0,80 0,90 1,00

0,85 0,80 0,73

0,80 0,73 0,67

0,72 0,66 0,60

0,66 0,60 0,54

0,58 0,52 0,47

1,10 1,20 1,30

0,65 0,57 0,51

0,60 0,53 0,47

0,54 0,48 0,43

0,48 0,43 0,39

0,42 0,38 0,34

1,40 1,50 1,60

0,45 0,40 0,35

0,42 0,37 0,32

0,38 0,34 0,31

0,35 0,31 0,28

0,31 0,28 0,25

1,80 2,00(1) 2,20(1)

0,28 0,23 0,19

0,27 0,22 0,19

0,25 0,21 0,18

0,23 0,20 0,17

0,21 0,18 0,15

2,40(1) 2,70(2) 3,00(2)

0,16 0,13 0,11

0,16 0,13 0,10

0,15 0,12 0,10

0,14 0,12 0,10

0,13 0,11 0,09

Coeficiente (α) de imperfecci´ on ≤ 0,20

(1) (2)

esbeltez intolerable en los elementos principales esbeltez intolerable incluso en elementos de arriostramiento


240


B.8


Ejercicio B.1

Para la estructura que se muestra en la Figura B.2

ortico Figura B.2 Semip´ Se pide: 1. Dimensionar la barra AB , a resistencia, utilizando perfiles HEB 2. Valores m´ aximo y m´ınimo de la tensión normal en la sección más solicitada de la barra AB Datos:

L = 6 m; H = 3 m P = 45 kN; q = 15 kN/m f y = 275 MPa, E = 210 GPa, γ M 1 = 1, 05

Estructura fabricada en acero S275 JR

Soluci´ on:

1. Dimensionar la barra AB , utilizando perfiles HEB El perfil HEB 200 es el m´ınimo perfil que cumple a resistencia. 2. Valores m´ aximo y m´ınimo de la tensión normal en la sección más solicitada de la barra AB

σx,dtracción = 242, 604 MPa σx,dcompresión = −231, 08 MPa (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales - Santiago Torrano & D. Herrero Perez

Recommend Documents