201 2012
Apuntes de Simple Economía Economía Matemática [Escriba Apunteseldesubtítulo Simple Economía del documento] UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA AUTÓNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Ciencias Económicas Departamento de Economía UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Económicas Departamento de Economía
Wilfredo WilfredoAlejandro Alejandro Diaz Diaz Cruz Cruz
[email protected] [email protected]
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Económicas Departamento de Economía
Apuntes de Economía Matemática1 CE 186 Requisitos:
DET –390MétodosCuantitativos CE –084MicroeconomíaII
Wilfredo A. Díaz Cruz
[email protected]
1
Este documento es exclusivo para uso académico, no ha sido sujeto a revisión y en su mayor parte es una adaptación en español de los textos citados en la bibliografía.
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Económicas Departamento de Economía
Apuntes de Economía Matemática1 CE 186 Requisitos:
DET –390MétodosCuantitativos CE –084MicroeconomíaII
Wilfredo A. Díaz Cruz
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1
Este documento es exclusivo para uso académico, no ha sido sujeto a revisión y en su mayor parte es una adaptación en español de los textos citados en la bibliografía.
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Contenido Introducción ..................................................................................................................................... 4 Parte I: Cálculo y Optimización Estática ........................................................................................... 5 1.
Fundamentos de Cálculo ...................................................................................................... 5 Tipos de funciones y derivación ................................................................................................ 5
El número e ............................................................................................................................ 11 Propiedades de las exponenciales ......................................................................................... 13 Propiedades de los logaritmos ............................................................................................... 14 Aplicaciones Aplicacio nes de exp y log .............................. ................................... .................. ................................... ................................... ..................... 14 Calculando derivadas: reglas .................................................................................................. 16 2.
Algebra Lineal (Matrices). .................................................................................................. 19
Operaciones con matrices. ..................................................................................................... 20 Reglas del algebra de matrices. .............................................................................................. 21 Determinante de una matriz .................................................................................................. 22
Inversa de una Matriz ............................................................................................................. 25 Solución de Sistemas Lineales ................................................................................................ 25 3.
Cálculo con múltiples variables .......................................................................................... 27
Interpretación Interpr etación económica de la derivada parcial................................ parcial............... ................................... .................................. ................ 27 Gradientes (vectores) ............................................................................................................. 29 Definición de una Matriz ........................................................................................................ 31 4.
Optimización ...................................................................................................................... 33
Aplicaciones Económicas ....................................................................................................... 34 Optimización con restricciones de igualdad: La aplicación del lagrangeano ................. ......................... ........ 35 Optimización con restricciones de desigualdad ..................................................................... 37 El significado del multiplicador de lagrange........................................................................... 39 Teoremas de la envolvente .................................................................................................... 39 Funciones Homogéneas y Homotéticas. ................................................................................ 40 Parte II: Análisis de sistemas Dinámicos y Optimización Dinámica .................. ........................... ................... ................... ........... 45 1.
Introducción........................................................................................................................ 45
2
2.
Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencias ....................................................... 45
3.
Ecuaciones Diferenciales .................................................................................................... 46
Orden de la ecuación ............................................................................................................. 47 Comportamiento del sistema dinámico uniecuacional.......................................................... uniecuacional.......................................................... 49 Sistemas dinámicos uniecuacionales Homogéneos y no homogéneos ................ ......................... ................. ........ 50 Solución general de ecuaciones diferenciales diferenciales no homogéneas.................. ........................... .................. .................. .........51 Algunas Particularidades de las ecuaciones diferenciales ...................... ............................... .................. .................. ............ ... 53 4.
Ecuaciones en Diferencias .................................................................................................. 56
Orden de la ecuación ............................................................................................................. 57 Comportamiento del sistema dinámico uniecuacional.......................................................... uniecuacional.......................................................... 58 Sistemas dinámicos uniecuacionales Homogéneos y no homogéneos ................ ......................... ................. ........ 59 Solución general de ecuaciones en diferencias no homogéneas............. homogéneas...................... .................. .................. ............ ... 60 Algunas Particularidades P articularidades de las ecuaciones en diferencias ............... ........................ ................... ................... ................ .......62 Solución particular de ecuaciones en diferencias y diferenciales.................. ........................... ................... .............. .... 65 5.
Oscilaciones ........................................................................................................................ 67
Oscilaciones en ecuaciones diferenciales. ............................................................................. 67 Oscilaciones en ecuaciones en diferencias. ........................................................................... 68 6.
Sistemas lineales lineales dinámicos multiecuacionales multiecuacionales ................................................................ 70
Análisis de Sistemas Dinámicos diferenciales y en diferencias Multiecuacionales. Multiecuacionales.............. ............. 71 Cálculo de la matriz de transición. ......................................................................................... 73 7.
Optimización Dinámica ...................................................................................................... 78
Calculo de Variaciones ........................................................................................................... 79 La ecuación de Euler ............................................................................................................... 79
3
Introducción
Después de haber pasado gran parte de mi vida como estudiante y un menor tiempo como docente, es normal que la perspectiva que uno puede formarse sobre el proceso de enseñanza cambie; en la medida que la experiencia adquirida en las trincheras de ambos francos se combinen, con la esperanza de mejorar el proceso mismo, enriqueciéndose con las críticas del alumnado, así como las manifestadas por el cuerpo docente. Al final del día no creo que exista ningún proceso o sistema educativo perfecto, sin embargo, la experiencia alumno-docente puede servir para mejorar los resultados en tiempo y forma, respecto a la transmisión y construcción de conocimiento; tomando esta idea en cuenta, he intentado aplicarla de la forma más sencilla y simple a la hora de impartir el curso de economía matemática, aunque como era predecible, en el proceso de implementación surgen obstáculos. Creo que el mayor impedimento que he enfrentado en el aula de clases ha sido el lenguaje, porque en el afán de mantener una cátedra universitaria con el mejor nivel técnico, las formalidades de la gramática de las matemáticas generan que el entendimiento entre el alumno y docente no sea el más adecuado, por lo tanto decidí, como docente facilitador de conocimiento, que una opción que podría ser factible era elaborar un apunte personalizado para el curso, que permitiera mediante un lenguaje básico, esclarecer al alumno los maravillosos e interesantes temas que se tratan en la aplicación de la matemática y de la economía en conjunto. Presento a los alumnos, y a los demás interesados, el apunte de economía matemática, el cual es una recopilación de los libros citados como mínimos en la bibliografía de un curso de economía matemática, desplegados de una forma más amigable, conteniendo 7 capítulos que van desde la introducción al cálculo hasta la optimización dinámica, cada uno complementado con ejemplos aplicados en programación para el software MATLAB ®, con el objetivo primordial de auxiliar a los alumnos o aquellos lectores que tengan la misma dedicación por el estudio de la economía, como por la demostración matemática de la misma.
4
Parte I: Cálculo y Optimización Estática “En los últimos 40 años la matemáti ca ha emergido como el lenguaje de la economía, hoy en día los economistas ven a las matemáticas como una herramienta invaluable”.
1.
Fundamentos de Cálculo
Esta primera parte del curso consiste en un breve repaso de conceptos elementales de cálculo.
Tipos de funciones y derivación
En economía haremos uso de gran parte de las funciones que se estudian en los cursos medios y avanzados de matemáticas. Una función no es más que un “mapeo” o una “transformación” de variables, por lo tanto estas variables tienen relaciones de dependencia o independencia entre sí. Las funciones pueden en primer lugar clasificarse por el número d e variables explicativas que la conforman, pueden ser univariables o multivariables, por ejemplo:
Una función univariable es una relación del siguiente tipo Y=f(X), donde la
variable “Y” depende únicamente de la variable “X”.
Una función multivariable es una relación del siguiente tipo Y=f(X,Z,R…..N),
donde la variable “Y” depende de múltiples variables.
La segunda clasificación de las funciones es de acuerdo a su forma funcional, a continuación si listan las principales:
i.
Polinomios
Como se observa un polinomio es un arreglo de parámetros (en este caso constantes) a´s y de una variable X, que puede tener “n” exponentes. A partir de esta forma general de polinomio se pueden obtener muchas funciones ya estudiadas en cursos anteriores de matemáticas. 1) 2) 3) 4)
Función constante Función Lineal Función Cuadrática Función Cúbica
A continuación se presentan ejemplos gráficos de las funciones anteriores:
5
Función cuadrática y=bx2
Función lineal y=a+bx 300
30 250
25 200
20 Y 150
Y
15 100
10 50
5 0
0 0
1
2
3
4
5 X
6
7
8
9
-10
10
-8
-6
-4
-2
8
10
Función cúbica y=bx 2+ cx 3 2500 2000 1500 1000 500 Y
0 -500 -1000 -1500 -10
ii.
-8
-6
-4
-2
0 X
2
4
Racionales
Se definen como el ratio entre dos polinomios, por ejemplo:
6
6
0 X
2
4
6
8
10
Función racional y=a/x 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Y
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
iii.
-8
-6
-4
-2
0 X
2
4
6
8
10
Trigonométricas
Sirven para la resolución de problemas de ángulos o frecuencias. (Usadas para casos especiales en economía, como ser la modelación de ciclos). Ejemplo
Función trigonometrica y=sen(X)
1
0.5
Y
0
-0.5
-1 -10
iv.
-8
-6
-4
-2
0 X
2
4
6
8
10
Exponenciales y Logarítmicas
Función Exponencial: En muchos modelos económicos, la función que intuitivamente modela el crecimiento de una variable económica o financiera a través del tiempo es una función exponencial, que tiene generalmente como variable independiente t (tiempo), por ejemplo Y=2 t. Estas funciones aparecen de forma “natural”, por ejemplo, en modelos de dinero ahorrado con intereses en un período determinado. En el caso de Y=2t El número 2 se le llama base. Veamos gráficamente algunas funciones exponenciales con bases mayores a 1.
7
Función exponencial y=bx 8
7
6
5 Y
4
3
2
1 0
0.5
1
1.5
2
2.5 X
3
3.5
4
4.5
5
¿Qué sucede si la base es menor a uno? Gráficamente sucede: Función exponencial y=bx 0.8 0.7 0.6 0.5
Y
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5 X
6
7
8
9
10
En otras palabras la base determina si la función exponencial será creciente o decreciente, y que tan rápido o lento será su crecimiento. ¿Qué sucede con bases negativas? Las bases negativas no están permitidas en las funciones exponenciales.
Funciones: Programación en MATLAB %%Funciones y gráficos en matlab %Funciones simbólicas %% Función lineal syms X % el comando syms permite trabajar con variables simbólicas Y= sym(2 +3*X)
8
ezplot(Y,[0 10])%ezplot permite graficar funciones que contienen términos simbólicos title('Función lineal y=a+bx') % title permite colocar títulos a los gráficos xlabel('X')% xlabel permite describir el eje de las X ylabel('Y')% ylabel permite describir el eje de las Y %% Función cuadrática syms X
Y= sym(3*X^2) ezplot(Y,[-10 10]) title('Función cuadrática y=bx^2') xlabel('X') ylabel('Y')
%% Función cúbica syms X
Y= sym(3*X^2+2*X^3) ezplot(Y,[-10 10]) title('Función cúbica y=bx^2+ cx^3') xlabel('X') ylabel('Y') %% Función racional syms X
Y= sym(1/X) ezplot(Y,[-10 10]) title('Función racional y=a/x') xlabel('X') ylabel('Y') %% Función trigonométrica syms X
Y= sym(sin(X)) ezplot(Y,[-10 10]) title('Función trigonometrica y=sen(X)')
9
xlabel('X') ylabel('Y') %% función exponencial syms X
Y1= sym(3^X) Y2= sym(6^X) Y3= sym(1.5^X) ezplot(Y1,[0 5]) hold on ezplot(Y2,[0 5]) hold on ezplot(Y3,[0 5]) title('Función exponencial y=b^x') xlabel('X') ylabel('Y') %% Y= sym(0.5^X) ezplot(Y,[0 10]) title('Función exponencial y=b^x') xlabel('X') ylabel('Y')
10
El número e Es un número irracional muy utilizado en economía y finanzas, juega un papel fundamental en el estudio económico, como el número π en geometría. ¿Cómo nace el número “e” ? nace de una simple observación; suponga el crecimiento de un depósito de dinero en una cuenta de ahorro, la cual brinda un interés determinado, este ejemplo tan simple puede servir para obtener el número e de manera sencilla. Supongamos que usted desea realizar una inversión a futuro, depositando un monto de dinero “A” durante un plazo determinado, ganando intereses capitalizables en sub periodos determinados. Digamos que la tasa de interés es “r” , capitalizable anualmente.
Entonces el monto que usted esperaría tener en un año, sería igual A + rA = A(1+r). En dos años usted estaría ganando A(1+r)(1+r)=A(1+r) 2 Digamos que usted tuviese el monto A invertido durante “ t” a ños, entonces al final del año t usted tendría A(1+r) t de dinero ahorrado. Ahora suponga que el banco capitaliza los intereses trimestralmente, es decir 4 veces por año. Esto cambiaría la forma en que se calculan los montos anuales. Digamos en un año usted ganaría
. En “t” años usted ganaría
.
De forma general usted podría escribir este proceso como:
Donde “n” indica el período de capitalización, y “t” el número de años.
Ahora, supongamos que tenemos r=1, A=1 y t=1, es decir:
11
Probemos distintos periodos de capitalización “n”
N 1 2 4 10 100 1000 10,000 100,000
2.00 2.25 2.4414 2.59374 2.704814 2.7169239 2.7181459 2.71826854
¿Cómo podemos interpretar la tabla anterior? Que al hacer tender n al infinito,
converge a 2.7182… este es el número e
Escrito formalmente:
Las funciones que utilizan el número e, se llaman comúnmente exponenciales, expresadas como exp(x)
¿Cómo expresar un interés “r” de forma exponencial? es decir utilizando “e”. Usamos un pequeño truco, hacemos uso de una variable auxiliar “m”, luego suponemos que r/n =1/m y que n= mr.
12
Esto se interpretaría como un interés que es capitalizado infinitamente durante un año, generalmente a este tipo de interpretación se le llama “tiempo continuo”,
Si quisiéramos tener el interés capitalizable de forma “continua” durante “t” años,
tendríamos
Función Logarítmica: No es más que la función inversa de la exponencial.
Es decir si tenemos
se podría escribir como logaritmo de la siguiente manera
Gráficamente comparamos una función exponencial, una lineal y una logarítmica. x
funciones y =10 | y=x | log(x) y=10x
10 9 8
y=x
7 6 y
5 4 3 2
y=log(x)
1 0 0
1
2
3
4
5 x
6
7
8
9
También funciona para los logaritmos de base e (o naturales):
Propiedades de las exponenciales
13
10
Propiedades de los logaritmos
0
Aplicaciones2 de exp y log Resolución de ecuaciones
Solucione para x aplicando logaritmos
Solucione para “r” aplicando logaritmo
Función de producción e identificación de elasticidades
Una función Cobb-Douglas Y=Ak αL1-α, identifique las elasticidades con logaritmos. Elasticidad del producto (Y) respecto al capital (K):
En este caso α es la elasticidad del producto respecto al capital.
2
Solucione las aplicaciones.
14
Valor presente
Comparar cantidad de dinero en diferentes puntos de tiempo B=Aert Derivadas y reglas de derivación
¿Cómo se podría definir una derivada? Se podría conceptualizar como una simple razón de cambio; para comprender mejor este concepto, analicemos una función lineal:
Si
, siendo
pendiente,
la pendiente de la función; revisando el concepto de la
, esta definición determina a la pendiente como una razón de
cambio. Por lo tanto indica el cambio de Y cuando cambia X, también se podría interpretar como el cambio marginal de Y cuando cambia X. ¿Qué sucede en funciones no lineales? ¿Cómo se interpreta una derivada? En el caso no lineal la derivada también representa la pendiente de una línea tangente en un punto de una función no lineal, es decir representa una razón de cambio en un punto
dado ( ) , Gráficamente
Otras funciones y sus gráficos: Programación en MATLAB %% Graficando otras funciones syms x y1=sym(10^x) y2=sym(x) y3=sym(log10(x)) ezplot(y1,[0 ,10]) hold on ezplot(y3,[0 ,10]) hold on ezplot(y2,[0, 10]) title('funciones y=10^x | y=x xlabel('x') ylabel('y')
| log(x)')
15
str1 = {'y=10^x'}; str2= {'y=x '}; str3 = {'y=log(x)'}; text(7,2,str3) %sirve para agregar texto a los gráficos. text(7,8,str2) text(2,10,str1) %% Graficando una función cuadrática y su punto máximo. syms x y1= sym(1+2*x-2*x^2) a=diff(y1,x) solve(diff(y1,x)) ezplot(y1,[0,4]) hold on str1 = {'máximo=0.5,1.5'}; text(0.5,2,str1)
Calculando derivadas: reglas Suponga que k es una constante arbitraria y que “f” y “ g” son funciones diferenciables
1) 2)
3) 4) 5) 6)
Ejercicios: a) b) c) d) e)
16
f) g) Más ejercicios en: http://www.derivadas.es/2009/12/12/ejercicios-de-derivadas-2/ http://www.vitutor.com/fun/4/b_a.html
Dependiendo si una función es diferenciable o no, y de su forma gráfica se pueden clasificar en: Diferenciables: se dice que una función es diferenciable, si es posible obtener en todos los puntos de su dominio una derivada. De forma más intuitiva, podemos decir que las derivadas pueden obtenerse de aquellas funciones que tienen curvas “suaves”. Una
||
función no diferenciable, por ejemplo, serían aquellas que tienen curvas con “puntas”,
como la función de valor absoluto , no existe para esta función una línea tangente para el punto (0,0). Para interpretarlo mejor observemos el siguiente gráfico. abs(x) 4 3.5 3 2.5 y
2 1.5 1 0.5 0 -4
-3
-2
-1
0 x
1
2
3
4
Continuas: Desde un punto de vista geométrico, una función continua tiene un gráfico que no tiene quiebres, es decir, se puede dibujar sin separar el lápiz. En todo caso la característica de continuidad es más general que la de diferenciabilidad, porque toda función diferenciable es continua, pero no toda función continua es diferenciable. Retomemos la función de valor absoluto, es una función continua por que se puede dibujar sin ningún tipo de interrupción o corte, pero no es diferenciable. Función continua pero no diferenciable.
|| || 17
abs(x) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -4
no se puede diferenciar en 0,0!!! -3
-2
-1
0 x
1
2
3
4
Función no continua y no diferenciable.
Derivación en MATLAB %% Se utiliza el comando diff syms
x
y=sym(x^2) d1=diff(y) pretty(d1) %este comando sirve para mejorar el formato de presentación
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2. Algebra Lineal (Matrices). Los sistemas lineales están compuestos por ecuaciones univariables o multivariables. Hay varios motivos para iniciar con modelos de ecuaciones lineales. Primero porque son las ecuaciones más elementales, y por lo tanto el álgebra lineal es una de las más simples ramas de la matemática. Se aplicarán en muchos casos técnicas que se aprenden en educación secundaria. Segundo, Los sistemas lineales tienen otra gran ventaja, es que usualmente ofrecen soluciones exactas. Una de las aplicaciones más didácticas de modelos lineales en economía, es el modelo IS-LM. A modo de ejemplo pensemos en un sistema de ecuaciones lineales como:
Podríamos resolverlo por distintos métodos, pero para este curso nos interesa resolverlo mediante el uso de matrices. ¿Qué es una matriz? Es un arreglo ordenado de objetos, elementos etc.. Se conforma de filas y columnas, por ejemplo
Esta es una matriz de “j” columnas e “i” filas, otra forma de llamarla es matriz i x j.
Las matrices que tienen mismo número de filas que de columnas se llaman matrices cuadradas3, por ejemplo:
3
Este tipo de matrices son las más usadas en economía.
19
La primera matriz es una 2X2, es decir dos filas y dos columnas. La segunda matriz es una 3x3, es decir tres filas y tres columnas.
Operaciones con matrices. Adición:
Ejemplo:
La adición de matrices únicamente se puede llevar acabo entre matrices que tienen el mismo tamaño.
Multiplicación matriz por escalar:
Se multiplica el escalar “K” por cada uno de los elementos de la matriz.
20
Multiplicación matriz por matriz:
Dos o más matrices se pueden multiplicar si y solo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. Ejemplo:
Para este caso se multiplica una matriz 1 x m por una matriz m x 1, el resultado será un escalar (1x1). Otro ejemplo:
* +
Para este caso se multiplica una matriz 3x2 por una 2x2. El resultado es una matriz 3x2 En resumen:
Reglas del algebra de matrices. Supongamos tres matrices A, B y C:
Ley asociativa
Ley conmutativa
Ley distributiva
21
Trasponer una matriz
No es más que cambiar las filas por las columnas de una misma matriz. Supongamos una matriz A:
La matriz traspuesta A T es igual a:
Propiedades de la traspuesta:
Determinante de una matriz
El determinante no es más que un número único que se obtiene de operar los elementos que conforman una matriz. El determinante de una matriz es posible cuando se trabaja con matrices cuadradas, es decir, tienen el mismo número de filas que de columnas, y estas matrices son no singulares. Las matrices cuadradas singulares son aquellas cuyo determinante es igual a cero. Vale decir que el determinante se obtiene inductivamente, esto significa que la definición del determinante para una matriz 1x1 se utiliza para obtener el determinante de una matriz 2x2, la definición del determinante de una matriz 2x2 se utiliza para obtener el determinante de una matriz 3x3 y así sucesivamente. 22
La definición de este proceso inductivo se podría plantear de la siguiente manera: e scalar es igual a: Supongamos un escalar “a”, el determinante de este escalar
El determinante de un escalar es el mismo escalar.
Para una matriz A 2x2 =
el determinante se define como:
para que sea una matriz cuadrada no singular el resultado
debe ser distinto de cero.
¿Por qué es un proceso inductivo? Porque en la definición del determinante de una matriz 2x2, se utiliza la definición de un determinante de un escalar. Como se muestra a continuación:
Esto significa que implícitamente trabajamos con submatrices al calcular un determinante, en el caso de una matriz 2x2, si nosotros eliminamos una fila y una columna, la submatriz resultante es un escalar. Al quitar una fila y una columna de una matriz 3x3, la submatriz resultante es una 2X2, y así sucesivamente. En otras palabras el proceso inductivo implica siempre calcular el determinante de un escalar, no importando el tamaño. Para representar este proceso inductivo se utilizarán 2 conceptos, el “menor” y el “cofactor ”. ”.
Supongamos una matriz A que es de tamaño nxn, supongamos que al quitar la fila i y la columna j resulta una matriz A(i,j). El menor será igual a det(A(ij)), esto significa que el menor es igual al determinante de la submatriz resultante resultante de quitar la fila i y la columna j Menor = Mij= det(A(ij)) 23
i+j
El cofactor se define como (-1) det(A(i,j)), esto significa que el cofactor es igual al
menor multiplicado por -1 elevado a un exponente conformado por la suma de la i fila y la j columna eliminados. Cofactor=Cij=(-1)i+jdet(A(i,j)) Siguiendo con esta explicación,a continuación se presenta la obtención del determinante de una matriz 3x3. Ejemplo 1 (forma general):
Ejemplo 2 (aplicación forma general)
Como se observa el determinante se obtuvo utilizando la primera pr imera fila; por lo tanto los números 1, 3 y 5 son muy importantes para el resultado final; estos números serán multiplicados multiplicados por los cofactores obtenidos C(1,1), C(1,2) y C(1,3) respectivamente.
24
Inversa de una Matriz La inversa de una matriz es una aplicación del determinante. La inversa de una matriz -1 “A” es igual a inv(A) = A . Cuando se multiplica la matriz por su inversa se obtiene la matriz identidad, es decir A*A-1 = I, donde I es igual a la matriz identidad 4. ¿Cómo se calcula una matriz inversa? se aplica la siguiente fórmula:
La matriz adjunta no es más que la matriz de cofactores aplicándole una traspuesta.
Respecto a esta explicación, resulta obvio que la inversa de una matriz existe si y sólo si, la matriz posee determinante. determinante . Es decir, únicamente las matrices no singulares poseen inversa.
Solución de Sistemas Lineales Retomando el tema de los modelos lineales, ahora es posible resolverlos aplicando las reglas y operaciones de algebra matricial.
Supongamos:
Resolución del modelo:
Primer paso, ordenar el modelo en forma matricial
c
4
A
b
Es una matriz cuya diagonal principal está conformada de unos, el resto de elementos son ceros.
25
Segundo paso, resolver el modelo para las variables x, y, z Para resolver el modelo es necesario calcular la matriz inversa de A 5.
Matrices: Programación en MATLAB %% matrices A=[ 1 2; 3 4] % planteamiento de una matriz det(A) % determinante de una matriz inv(A)% inv(A)% inversa de una matriz A*inv(A)% A*inv(A)% mutiplicación de una matriz
%% solución de un sistema de ecuaciones %tenemos el siguiente sistema de ecuaciones %x-0.6y-5z=100 %-0.3x-0.5y+2z=37 %0.25x-2y-4z=40 %escrito matricialmente syms x y z a=[100;37;40] A=[1 -0.6 -5; -0.3 -0.5 2; 0.25 -2 -4] b=[x,y,z] %deseamos resolver para b, es decir encontrar los valores de x, y , z %necesitamos la inversa de A multiplicada por a b=inv(A)*a %para verificar x=262.33 y=-68.605 z=40.698
5
En algebra matricial generalmente se utilizan para notación letras minúsculas para representar vectores y letras mayúsculas para representar matrices.
26
x-0.6*y-5*z -0.3*x-0.5*y+2*z 0.25*x-2*y-4*z
3.
Cálculo con múltiples variables
Cuando se trabaja con funciones multivariables, se aplican las mismas reglas que se han planteado bajo el marco de cálculo diferencial, sin embargo existe una pequeña discrepancia en terminología, y es que cuando se aplican derivadas a funciones multivariables se le llama derivación parcial . Lo anterior se aplica cuando en el estudio de funciones tomamos el acercamiento más simple, el cual consiste en mantener una variable constante mientras la otra se le permite cambiar, de aquí proviene el nombre de derivada parcial. La nomenclatura cambia un poco, supongamos una función f=f(x,y), entonces la derivada parcial se puede expresar como:
También se puede expresar como:
Más allá del simple cálculo de derivadas parciales, lo más importante es su interpretación.
Interpretación económica de la derivada parcial Producto Marginal
La derivada parcial tiene varias interpretaciones económicas, una de las principales es “producto marginal”.
En una ecuación de múltiples variables, digamos una función de producción, Q=F(K,L), donde Q representa el producto y K como L representan los factores de producción.
27
La derivada parcial
Indica el cambio que tiene el producto respecto a un cambio en la cantidad de K (capital), manteniendo L (trabajo) fijo o constante. Por lo tanto,
.
Esta derivada parcial recibe el nombre de producto marginal del capital (para este caso en particular).
Supongamos una función Cobb-Douglas Q
Suponga que K=1000 y L= 300, ¿Cuánto es el producto? Si aumenta K a 1800, ¿cuánto cambia el producto?, ¿Cuánto es el producto marginal? ¿Cómo es este producto marginal a medida aumenta K?
Elasticidad
Supongamos ahora una función de demanda de un producto,
Esta demanda depende del precio del mismo bien ( , así como del precio del otro bien (complementario o sustituto ) y del ingreso de las personas. Si el precio del bien aumenta (P 1) la demanda del bien cambiara por:
En general se esperaría que esta derivada parcial tuviese signo negativo, debido a la ley de la demanda. Sin embargo esta medida no es óptima para medir la sensibilidad que tiene este bien respecto a su precio, para ello se utiliza la elasticidad. La elasticidad no es más que un ratio de cambios porcentuales, de la cantidad y del precio, como se presenta a continuación:
28
Dónde:
Este tipo de la elasticidad es llamada la elasticidad precio de la demanda. ¿Cómo se obtendría la elasticidad cruzada y la del ingreso utilizando derivadas parciales?
Gradientes (vectores) Podríamos representar la derivada de la función Y= F(X 1……..Xn) como una matriz fila, o mejor dicho un vector fila:
Varias veces este vector se escribe como columna, y es llamado gradiente. A partir de la definición de gradiente es posible encontrar dos conceptos importantes que se utilizan en matemáticas y en economía. Primero definiremos el Jacobiano, determinado como la matriz de primeras derivadas (primeras derivadas parciales). Ejemplo Supongamos un mundo que posee dos bienes, que tienen las siguientes funciones de demanda:
Manejando cada función de manera independiente podríamos construir un Jacobiano de la siguiente forma 29
Primero obteniendo la derivada total de cada función:
( )
Segundo, reescribir en notación matricial:
La interpretación de este Jacobiano es: el cambio en la demanda de ambos bienes dependerá del cambio de alguna o todas las variables de su función de demanda, que en este caso serían precios e ingreso. El segundo concepto es la Matriz Hessiana, que se determina como una matriz formada por las segundas derivadas (parciales). Veamos un ejemplo, tomemos la siguiente función de producción: Las primeras derivadas
Las segundas derivadas:
30
Debe notarse que para esta función que posee dos variables (K,L), se obtienen cuatro segundas derivadas, esto nos puede dar la pauta que para una función de n variables, se pueden obtener
n2
segundas derivadas.
Al rearreglar estas segundas derivadas en un matriz, se obtiene el Hessiano o Matriz Hessiana.
( )
Una observación muy importante es que las segundas derivadas cruzadas, serán siempre iguales, por ejemplo llama el teorema de Young.
son iguales en este ejercicio, a esto se le
Definición de una Matriz En esta sección se describirá de una forma simple la definición de una matriz cuadrada.
Para la definición de una matriz utilizaremos los conceptos aprendidos en algebra matricial, específicamente sobre los determinantes de una matriz. Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n x n, esta matriz posee una sub matriz A(i,j) de k x k, formada de eliminar, i filas y j columnas. Esta submatriz resultante se le llama Principal. El determinante de esta sub matriz se le llama menor principal.
Por ejemplo, una matriz 3x3:
Tenemos el menor principal de tercer orden, que es el det(A).
31
Luego quitemos la 3ra fila y columna, nos queda una submatriz igual a:
El menor principal de segundo orden es el det(A 33)
Luego si eliminamos la 2da fila y columna, nos queda :
Este representa el menor principal de primer orden. De forma general una matriz n x n, tendrá n menores principales, y estos se obtendrán a partir de las submatrices que se obtengan de eliminar siempre las últimas filas y columnas. Respecto a lo anterior, la definición de una matriz consiste únicamente en seguir las siguientes reglas simples: a) Una matriz A, será definida positiva si y sólo si todos sus menores principales son positivos. b) Una matriz A, será definida negativa, si y sólo si sus menores principales alternan signos es decir: |A 1|<0 |A2|>0 |A3|<0 etc. Cada menor principal de k orden deberá tener el mismo signo que (-1) k c) Si existe una matriz A cuyos menores principales sean distintos a cero, pero que no siguen las dos reglas antes mencionadas, entonces la matriz es indefinida. ¿Qué sucede si hay menores principales iguales a cero? Hablaremos de matrices semidefinidas positivas o semidefinidas negativas, aplicando las siguientes reglas: d) Una matriz es semidefinida positiva si todos sus menores principales son mayores o iguales a cero. e) Una matriz es definida negativa si todos sus menores principales impares son iguales o menores a cero, y todos sus menores principales pares son mayores o iguales a cero. 32
f) Si no se cumplen las dos reglas mencionadas con anterioridad, la matriz es indefinida.
4.
Optimización
Desde que la optimización juega una rol importante en la teoría económica, esta sección tratará sobre las técnicas y los criterios más utilizados en optimización estática. Es importante mencionar que la definición de un máximo y un mínimo para una función de múltiples variables son las mismas que para una función de una sola variable. Es decir los criterios de primera y segunda derivada se utilizan en ambos casos. a.
Condiciones de primer orden (Primera derivada)
La condición de primer orden para un punto x*, es la derivada de esa función y evaluada en cero, f´(x*)=0, eso quiere decir que x* es un punto crítico de f. Para que x* sea un punto crítico, debe ser parte del dominio de la función. En resumen, el criterio de la primera derivada o la condición de primer orden únicamente es útil para identificar un punto crítico, pero aún no podemos determinar si es un punto máximo o mínimo. b.
Condiciones de segundo orden (segunda derivada)
Para determinar si un punto crítico es un mínimo o un máximo, necesitamos la segunda derivada de f. La condición de segundo orden para un punto crítico x* de una función f, indica que un máximo es definido como tal cuando la segunda derivada f´´(x*) es negativa o igual a cero, se define como un mínimo cuando la segunda derivada es positiva o igual a cero. El criterio de la segunda derivada es a veces poco efectivo cuando el resultado es cero o cuando existen máximos o mínimos locales; lo más adecuado es realizar un análisis de la concavidad de toda la función. ¿Qué sucede con funciones de múltiples variables? , para este caso se utiliza la matriz Hessiana; si esta matriz es definida o semidefinida negativa, entonces los puntos críticos son máximos; si la matriz Hessiana es definida o semidefinida positiva, los puntos críticos son mínimos. ¿Qué sucede si encontramos puntos de silla (saddlepath) .?
33
Estas condiciones de segundo orden son suficientes y necesarias, siendo complementarias para las condiciones de concavidad, que permiten encontrar máximos o mínimos globales.
Aplicaciones Económicas Maximización de ganancias
Uno de los ejemplos más simples se refiere al estudio del proceso de maximización de ganancias de una firma. Suponga que esta firma use
n inputs o factores para producir
un producto particular. Digamos que Y=G(x) es la función de producción, “P” es el
precio de venta del producto, entonces la función de ingresos de la firma es R(x)=PG(x). Si C(x) representa el costo total para producir el bien, entonces la función de ganancia sería igual a: π(x)= R(x) –C(x)
Ahora lo que deseamos maximizar es esta función, haremos uso de las condiciones de primer y segundo orden. Condición de primer orden
(Interprete el significado económico de cada elemento) Condición de segundo orden
Para obtener la condición de segundo orden podríamos obtener la matriz Hessiana, como este es un problema de maximización, necesitaríamos que fuese definida o semidefinida negativa. También podríamos calcular únicamente la segunda derivada de la función π(x) y esperar que fuese negativa. Existen otras aplicaciones igual de importantes que utilizan los mismos principios, como ser los monopolios discriminadores o la aplicación de mínimos cuadrados en econometría.
34
Optimización con restricciones de igualdad: La aplicación del lagrangeano La Economía es definida frecuentemente como el estudio del uso óptimo de los recursos escasos. La palabra óptimo indica que nos enfrentamos a problemas de optimización, mientras que la palabra escaso implica que la optimización debe realizarse bajo ciertas limitaciones o restricciones.
El problema de optimización clásico se plantea entonces de la siguiente forma:
Donde f es la función objetivo, y g es la restricción (pueden ser varias restricciones). Un ejemplo de la aplicación de este proceso, es la solución de un problema de maximización de utilidad:
Donde las X’ indican los bienes que consume un individuo, la s P’ indican los precios de
los bienes que consume el individuo y la variable individuo.
indica el presupuesto o ingreso del
Note que en las restricciones aparece el signo ≤, esto puede indicar una restricción con desigualdad o con igualdad. Para iniciar con el proceso de solución de problemas de optimización trabajaremos con restricciones con igualdad es decir:
Una forma muy común para solucionar este problema de optimización es la aplicación de la función Lagrangeano, que es una simple reorganización del problema para una solución más directa y sencilla.
35
El Lagrangeano se puede escribir de la siguiente forma:
Como se observa se han unido las dos funciones, la función objetivo y la restricción, a través del uso de una variable auxiliar, “μ”, llamado también el multiplicador lagrangeano. Se llama así porque multiplica a la restricción. El proceso de solución de un problema de Maximización a través de la aplicación del Lagrangeano es realmente mágico, cuando queremos maximizar una función en un problema con restricciones, sencillamente resolvemos para los puntos críticos, utilizando los criterios de primera y segunda derivada, sin embargo, la introducción del multiplicador de lagrange en la restricción, permite transformar un problema de dos variables (en un caso) , a un problema donde tenemos que encontrar los puntos críticos de una función L(X 1,X2,µ), con una variable más, haciendo que el problema de optimización no tenga restricción . La reducción de este problema requiere la inclusión de la nueva variable artificial μ. Esta variable, tiene gran significado económico que se discutirá en páginas posteriores. Aplicando el Lagrangeano, el problema se resolvería de la siguiente forma:
Luego, se resuelven las condiciones de primer orden (CPO)
Para fines de esta sección se realizarán varios ejemplos en la clase presencial.
Optimización con Matlab 6 syms x y Px Py mu U=50*x^(2/3)*y^(1/3) %función de utilidad I=x*Px+y*Py %restricción presupuestaria
6
Ejercicio resuelto de Tarea número 1, segundo semestre 2011, elaborada por Ela Díaz.
36
%Datos Iniciales I=45000 Px=100 Py=300 L=50*x^(2/3)*y^(1/3)+mu*[I-x*Px-y*Py] % planteamiento lagreangeano %Condiciones de Primer Orden (CPO): Lx=diff(L,x) %derivada de L respecto a x Ly=diff(L,y) %derivada de L respecto a y LLambda=diff(L,mu) %derivada de L respecto a mu %Despejando para mu: a=solve(Lx,Lambda) b=solve(Ly,Lambda) c=a-b %Despejando para x: y1=solve(c,y) E=45000-100*x-300*y1 x=solve(E,x) %Resolviendo para y: y=0.1666*x
Optimización con restricciones de desigualdad En la sección anterior se trabajó únicamente con restricciones definidas por igualdades como ser:
Para encontrar el máximo o el mínimo de una función bajo este tipo de restricciones, se construía el Lagrangeano, sin embargo la mayoría de las restricciones en los problemas de optimización que se presentan en economía tienen restricciones definidas como desigualdades como ser:
37
Desafortunadamente el método para encontrar un máximo o un mínimo en problemas con restricciones de desigualdades es un poco más complicado. Las condiciones de primer orden implican igualdades y desigualdades lo que conlleva a investigar un número de casos. El caso básico de restricciones con desigualdades se plantea de la siguiente forma:
La forma de solucionar este tipo de problemas sigue el siguiente proceso: Primero, plantear el lagrangeano:
Segundo, se plantean las siguientes condiciones:
Donde :
Al plantear estas condiciones es necesario especificar cuando las restricciones son activas o pasivas. Una forma muy útil de abordar estos problemas es aplicar la metodología Karush-KuhnTucker (KKT), que es plantear todas las posibilidades y realizar un proceso de prueba y error, satisfaciendo con las restricciones. En el ejemplo anterior tenemos 2 restricciones y 3 variables (x, y, λ), aplicando una fórmula simpe, que sería:
Para este ejemplo de las variables X, Y y λ, Por metodología KKT, se tendrían los siguientes casos:
38
X
Y
λ
+
+
+
+
+
0
+
0
+
+
0
0
0
+
+
0
+
0
0
0
+
0
0
0
* el s igno + indica valores ma yores a cero
Se presentan las 8 distintas combinaciones que se pueden dar para este ejemplo. Existen casos donde pueden existir múltiples restricciones con desigualdades. Se desarrollaran varios ejemplos en clases.
El significado del multiplicador de lagrange El multiplicador representa cual es el valor máximo que está dispuesta a pagar una persona o una empresa, para aumentar el consumo de una unidad más de un bien, o producir una unidad más de un bien, por esta razón el multiplicador es llamado valor interno o valor imputado, o más frecuentemente es llamado el precio sombra.
Teoremas de la envolvente Los teoremas de la envolvente son casos especiales que describen como el valor óptimo de una función objetivo en un problema de optimización cambia cuando varía algún parámetro de la función objetivo o de la restricción. Los teoremas más generales tratan sobre problemas de optimización con restricciones en donde existen parámetros en la función objetivo así como en las restricciones. Por ejemplo, supongamos un cambio en la restricción, por ejemplo
√
La solución para este problema cuando a=1 es
, el teorema de la
envolvente nos dice que si a cambia digamos de 1 a 1.1, el valor óptimo de f cambiaria aproximadamente por:
39
√ √
Verifique este cálculo resolviendo para ambos casos.
Funciones Homogéneas y Homotéticas . Las funciones homogéneas surgen naturalmente en la economía; las funciones de ganancias y de costos que son derivadas de funciones de producción, y las funciones de demanda derivadas de funciones de utilidad son automáticamente homogéneas en modelos económicos estándar. Los estudiantes deberían estar familiarizados con las funciones homogéneas desde los cursos elementales de álgebra. Por ejemplo un monomio y = aX k, es una función homogénea de grado k. Otro polinomio como Y=X 3 + 3X2 no es homogéneo. Una función con múltiples variables, digamos z=Y 3W4F5, es homogénea de grado 3 + 4+5 = 12. El grado de Homogeneidad en este caso será igual a la suma de los exponentes de las variables. La suma de monomios de un mismo orden k es una función homogénea de grado k, la suma de monomios de diferentes orden no es una función homogénea. Ejemplo, Supongamos el siguiente polinomio: 3XY + 4X2-6X4Y-2 ¿Cómo obtenemos el grado de Homogeneidad? Utilizamos una variable auxiliar, digamos t, y rescribimos el polinomio de la siguiente forma: 3(tX)(tY) + 4(tX) 2-6(tX)4(tY)-2 Despejando para t, obtenemos t 2, el exponente de esta variable auxiliar indica el grado de homogeneidad del polinomio. La homogeneidad se podría especificar como una propiedad cardinal, no ordinal. Sin embargo en economía necesitamos la propiedad ordinal en las funciones, cuando hablamos de funciones Homotéticas estamos imponiendo esta propiedad, es decir una función que es homotética tiene que presentar propiedades ordinales. La definición de una función Homotética, es una transformación monótona de una función que puede ser homogénea o no homogénea, que mantiene el mismo dominio.
40
Ejemplo: Imaginemos una función Y=AK αL1-α Una transformación monótona sería LnY = LnA + αLnK + 1 -αLnL
Dado que se mantiene una función homogénea y que tiene propiedades ordinales y cardinales la función es también homotética.
5.
Ejercicios primera parte del curso
a) Publicidad y ganancias: Una compañía vende por $5 cada artículo que produce y gasta A dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por: X=2000(1-e-kA) En donde k=0.001. Determine el valor de A que maximiza la ganancia. b) Máxima utilidad e impuesto sobre la renta: Las funciones de costo y de demanda de una empresa son: C(X)=10 + 28x-5x2+x3/3 P=2750-5x Cada unidad que produce se grava con 222 de impuesto, que el fabricante añade a su costo. Determine el nivel de producción para maximizar la ganancia con y sin impuesto. c) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones : 2x – y + 3z= -3 x + y + z= 2 3x + 2y –z= 8 d) Defina la siguiente matriz
* +
e) Existe un individuo que tiene la siguiente función de utilidad: U=50X2/3 Y1/3
41
El individuo posee un ingreso de $45,000. El precio de X es $100 c/u y el precio de Y es igual a $300 c/u. Mediante el método de multiplicador de Lagrange resuelva. Debe ser muy estricto en el planteamiento del problema, incluyendo las condiciones de primer orden. f) Obtenga la condición de primer orden y segundo orden de la función F=0.5lnP+0.5lnQ. Recuerde que para el caso multivariable las condiciones de primer y segundo orden se pueden representar por el jacobiano y el hessiano. Demuestre que está maximizando. g) Obtenga la elasticidad precio, cruzada y del ingreso de la siguientes funciones, realice comentarios sobre los resultados si es posible realizarlos:
}
h) Demuestre que si la función que desea maximizar es lineal digamos U=X + Y, usted escogerá consumir todo su ingreso respecto a un solo bien. Suponga que la restricción presupuestaria es 50=3X+5Y, Obtenga la cantidad del bien que maximiza la utilidad. i)
j)
obtenga las marshalianas (ordinarias) y la función de Utilidad Indirecta.
ecuaciones
de
demanda
, obtenga las cantidades de X y Y que maximizan
la utilidad.
k) Modelo IS-LM: Suponga un modelo simple, con una economía cerrada, donde la IS está definida por Y = C+ I +G, donde “Y” define al Producto. C= bY , donde “b” es la
propensión marginal a consumir. I= F – ar , donde “F” es una inversión “fija” que se realiza anualmente, y “a” es la eficiencia del capital. La inversión es inversa respecto a la tasa de interés “r”. G = Go , esto significa que el gasto gubernamental es una
variable exógena (decisión de política económica) Suponga que el gobierno cobra impuestos “T”, por lo tanto realice los cambios necesarios para incluirlos en el modelo.
42
Escriba la función IS. La LM, está determinada en el mercado de dinero, Ms = Md, donde Md es la demanda de dinero y Ms la oferta de dinero. Ms es una variable exógena, ya que es determinada por el Banco Central (decisión de política económica). Por otro lado Md se puede dividir como Md= Mt +Me, donde Mt es la demanda por transacción y Me es la demanda por especulación. Mt= mY, donde “m” indica la proporción de dinero
que se debe tener para realizar transacciones. Me= Mo – hr, ya que la demanda de dinero por especulación es inversa respecto a la tasa de interés “r” ( y directa
respecto al precio de los bonos), se plantea de esta forma simple. Mo es un saldo constante de demanda por especulación. Escriba la función LM. Teniendo ahora el modelo completo IS-LM, encuentre una solución de equilibrio para a “Y” y “r” . ¿Qué sucede si se aumenta el gasto de gobierno? ¿Qué sucede si
aumenta la oferta monetaria?. Suponga que a, h, m, T y b son parámetros fijos. Obtenga como es el efecto de Go, Ms y T sobre el ingreso y sobre la tasa de interés. l) Rubidio fue a una fiesta donde bebió 90 ml de whisky, el cual tiene 45% de alcohol, por lo que Rubidio tomo 32.4 gramos de alcohol. Rubidio pesa 80 kgs., por lo que su nivel de alcohol en la sangre es de 0.40 mg/ml. Él sabe que al parar de tomar el nivel de alcohol decrece en (0.18)t, donde t es el tiempo en horas. ¿Cuánto tiempo deberá esperar Rubidio antes de que pueda conducir legalmente su automóvil? (suponga que el nivel legal para conducir es una razón de 0.08 mg/ml) m) Suponga el modelo de consumo de Irving Fisher (Macroeconomía I), que plantea que un individuo se enfrenta a consumir hoy y a consumir mañana. Por lo tanto su consumo de hoy es igual a C1 y su consumo de mañana es igual a C2. Su ingreso de hoy es igual a Y1 y su ingreso de mañana es Y2. Usted sabe que su ahorro hoy es igual a S= Y1 –C1. Usted también sabe que su consumo de mañana es igual a C2 = (1+r)S + Y2, donde r es una tasa de interés que se le brinda por su ahorro. Plantee el problema de maximización intertemporal suponiendo una función de utilidad igual a U= C1C2 (Pista: el truco para resolver este problema es plantear la 43
restricción presupuestaria). Encuentre la condición de optimalidad. Dibuje la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia
n) Evelio Encarnación Paredes tiene la siguiente función de Utilidad U= LnX + 2Y, y enfrenta una restricción presupuestaria M=P1X+P2Y, donde M es el ingreso y P son los precios. Obtenga las demandas de ambos bienes (Marshalianas). Si aumenta el precio de ambos bienes en 5%, ¿Qué sucederá con la demanda del X y con la demanda del bien Y? Obtenga la utilidad indirecta Obtenga las demandas hicksianas (si es posible).
o) Existe una empresa que produce unidad Q de producto. Este producto es elaborado de la siguiente forma Q=AKαLβ. La empresa enfrenta un precio w por utilizar el
factor de producción L, y un precio r por el factor de producción K. w=60 r=20 , α=3/7 β=5/7. El precio del producto es 20.
Estime la demanda de K y L de la empresa en función de la cantidad producida Q. Con estas demandas obtenidas en el inciso anterior encuentre el costo total de la empresa en función de la cantidad producida. Obtenga el Costo marginal. Escriba la expresión que determina la oferta del producto Q de la empresa.
p) Suponga una función Cobb-Douglas. y L=Trabajo.
; Donde Y= producto, K= Capital
Demuestre que para esta función los factores tienen rendimientos marginales decrecientes (Condiciones de INADA). ¿Qué grado de Homogeneidad presenta esta función?. Obtenga el producto marginal del Capital y el producto marginal del Trabajo. Plantee la matriz Hessiana y determine la definición de la misma.
44
Parte II: Análisis de sistemas Dinámicos y Optimización Dinámica 1. Introducción La simplificación de la realidad a través de modelos matemáticos brinda la misma enseñanza a un economista, como un juguete a un niño. Si bien es cierto un modelo jamás podrá capturar la complejidad de la realidad, es cierto también que nos ayudará a establecer generalidades, también nos permite desarrollar nuestra intuición sobre posibles comportamientos de diferentes variables. Un niño con un auto de juguete no comprenderá la complejidad que implica un auto real, pero por lo menos sabrá caracterizar un auto, sabrá que tiene ruedas, puertas, ventanas, asientos….. También puede intuir su funcionamiento, y como una velocidad rápida o lenta puede afectar al auto de juguete, por ejemplo podría deducir que un auto que se conduce a una velocidad alta puede recibir mayor daño al chocar, que si este se desplaza a una velocidad menor. La estilización de la economía con la aplicación de matemática más compleja ha permitido mejorar los “juguetes” de los economistas, con el fin de poder explicar mejor la realidad.
La pregunta que surge es ¿Por qué estudiar sistemas dinámicos?; La palabra dinámica, determina movimiento o cambio, por lo tanto los sistemas dinámicos, podrán definirse como conjuntos de variables que van cambiando a través del tiempo. Es irreal pensar que un mercado, por ejemplo, tendrá un único equilibrio en una ventana de tiempo, debido a que múltiples factores pueden afectar este equilibrio en distintos momentos, lo que genera una senda de puntos de equilibrio, esto en contraste al análisis estático que realizamos en la primera parte del curso. La importancia de los sistemas dinámicos es fundamental para el análisis de variables a través del tiempo, y como estas pueden verse afectadas por eventos externos, modificando su trayectoria. Esta segunda parte del curso pretende brindar una óptica general del know how sobre sistemas dinámicos, y como estos pueden brindar información valiosa para análisis, principalmente para lograr optimizar variables en el tiempo.
2. Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencias Para estudiar sistemas dinámicos es relevante iniciar con el análisis de ecuaciones univariables diferenciales y en diferencia, ya que a través de estas podemos entender el comportamiento de una determinada variable(s) en un intervalo de tiempo determinado. Las ecuaciones diferenciales , son aquellas que muestran los cambios infinitesimales de una
variable, es decir pueden mostrar las variaciones en el infinito de una variable en un lapso tiempo, debido a esta interpretación también se les llama ecuaciones en tiempo continuo (ver la determinación y aplicación del número e) 45
Por ejemplo: X’(t) = aX(t) +b Las ecuaciones en diferencias, son aquellas que muestran los cambios de una variable en
períodos de tiempo representados por números enteros, por ello es que estas ecuaciones son asociadas al tiempo discreto. Por ejemplo: X(k+1)=aX(k) +b Ambos tipos de ecuaciones son equivalentes, sin embargo poseen características únicas que permiten que los resultados que otorguen sean muy distintos entre ellas.
Las características claves que se deben identificar de estas ecuaciones son: El orden de la ecuación Si es homogénea o no homogénea Trayectoria (divergente, convergente o marginalmente estable) La presencia de Oscilaciones.
A continuación se extenderá la discusión sobre el análisis dinámico de este tipo de ecuaciones.
3. Ecuaciones Diferenciales Para iniciar nuestro análisis de ecuaciones diferenciales, trabajaremos con sistemas dinámicos uniecuacionales.
Podríamos definir lo siguiente:
Este planteamiento muestra que una ecuación diferencial permite cuantificar el cambio infinitesimal de una variable en un intervalo de tiempo; en este caso la variable X cambia debido a una tasa de crecimiento a que determina su comportamiento.
Indica la derivada respecto al tiempo de la variable X, lo que implica que existe dinámica en el tiempo. 46
El valor del parámetro a es fundamental para determinar el comportamiento de la variable X. Veamos de forma iterativa cómo se determina el comportamiento de X: X(1) = aX(0) donde X(0), es el valor inicial de X, y a es la tasa de crecimiento X(2)=aX(1)=a(aX(0)) X(3)=aX(2)=a(a(aX(0)) Si hacemos tender esto al infinito (t al infinito), podríamos reescribir esta ecuación de manera más sencilla:
……….
Como se puede observar, partimos de una ecuación diferencial para obtener una solución general que determina el comportamiento de la variable X . El proceso matemático para encontrar una solución general dependerá de identificar las siguientes características de una ecuación diferencial:
El orden de la ecuación Ecuación homogénea Ecuación no homogénea
Orden de la ecuación Las ecuaciones diferenciales (así como las ecuaciones en diferencias), pueden clasificarse por el orden al que pertenecen, una clasificación muy similar a la de los polinomios, por ejemplo: X’(t) = aX(t) ecuación diferencial de primer orden X’’(t) = aX´(t) + bX(t) ecuación diferencial de segundo orden X’’’ (t) = aX´’(t) + bX’(t)+ cX(t) ecuación diferencial de tercer orden …….. y así sucesivamente
¿Por qué es importante conocer el orden de una ecuación? Para encontrar la solución general de una ecuación diferencial se debe construir un polinomio característico, con el objetivo de encontrar las raíces (eigen valores) que determinan el comportamiento de la
47
ecuación diferencial, para ello es fundamental conocer el orden de una ecuación diferencial. Ejemplo 1; X’’(t) = αX’(t) + βX(t) es una ecuación diferencial de segundo orden
Si planteamos el polinomio característico X’’(t) -αX’(t) -βX(t)=0 2
λ - α λ –β polinomio característico
aplicando la fórmula cuadrática:
A partir de la fórmula cuadrática se pueden obtener dos raíces características (eigen valores), λ1 y λ2, que permitirán determinar el comportamiento de este sistema diferencial uniecuacional y obtener la respuesta general.
El planteamiento de la respuesta general es el siguiente:
Donde C1 y C2 son constantes, y como se puede observar λ1 y λ2 se convierten en las tasas que afectan a la variable X en el tiempo. ejemplo 2; X’(t) = αX(t) es una ecuación diferencial de primer orden
Si planteamos el polinomio característico X’(t) -αX(t)=0 λ - α =0 polinomio característico
por lo tanto λ = α 48
El planteamiento de la respuesta general es el siguiente:
Donde C1 es una constante, y como se puede observar λ corresponde a la tasa que afecta a la variable X en el tiempo. En relación a los dos ejemplos anteriores, se puede deducir que el orden de la ecuación determinará el orden del polinomio característico, por lo tanto también determinará el número de raíces características (eigen valores) que tendrá la ecuación diferencial a resolverse. La respuesta general se deduce a partir de las raíces encontradas, la cuales se plantean como tasas en tiempo continuo y acompañadas siempre de una constante.
Comportamiento del sistema dinámico uniecuacional Un sistema dinámico, en este caso diferencial, podrá presentar tres trayectorias:
Divergencia Convergencia Estabilidad marginal
Estas trayectorias estarán determinadas por el valor de las raíces características (eigen valores). A continuación se presentan cada una de las trayectorias clasificada por los valores de λ que se obtengan:
Valor de λ
Trayectoria
λ<0 λ>0 λ=0
Convergencia Divergencia Marginalmente Estable
¿Cómo podríamos intuir estos resultados? Supongamos que resolveremos una ecuación diferencial de primer orden, que nos entrega la siguiente solución general:
Si aplicamos límite cuando el tiempo (t) tiende al infinito, interpretaremos más fácilmente los resultados: Para λ<0
49
Para λ>0
Para λ=0
Sistemas dinámicos uniecuacionales Homogéneos y no homogéneos Los sistemas dinámicos pueden clasificarse como homogéneos o no homogéneos, dependiendo de la especificación de la ecuación (diferencial en este caso). Una ecuación diferencial puede plantearse como una relación de dependencia de una misma variable como ser: X’’(t) = αX’(t) + βX(t), en este caso la ecuación diferencial de segundo orden depende
únicamente de sí misma. Cuando encontramos este tipo de especificación la llamamos sistema dinámico o ecuación diferencial homogénea. La segunda forma para plantear una ecuación diferencial es cuando esta depende de una variable y de algún elemento exógeno, que puede ser una constante en el caso más simple o ser una función que dependa del tiempo en los casos más complejos. X’’(t) = αX’(t) + βX(t) + b, en este caso la ecuación diferencial de segundo orden depende
además de la variable X, también de un término b, que es independiente de X, por lo tanto es no homogénea.
El término b puede tener alguna de las siguientes formas: b= una constante (no depende del tiempo), por ejemplo : X’’(t) = αX’(t) + βX(t) + 2 b(t)= una tasa exponencial, por ejemplo:
b(t)= puede ser una tendencia temporal, por ejemplo:
b(t)= puede ser una tendencia temporal y una tasa exponencial, por ejemplo:
50
Solución general de ecuaciones diferenciales no homogéneas A continuación se presenta una tabla 7 con las soluciones de la parte no homogénea de una ecuación diferencial.
Diferentes especificaciones de b m
Solución no homogénea
m-1
b(t) =bmt + bm-1t
(Amtm+ Am-1tm-1+……+Ao)
+…..+bo
b(t)= bmeattm+ bm-1eattm-1+…..+b oeat
(Amtm+ Am-1tm-1+……+Ao) eat (Amtm+ Am-1tm-1+……+Ao) eatcos bt +
b(t)= (bmeattm+ bm-1eattm-1+…..+boeat)sen bt
(Cmtm+ Cm-1tm-1+……+Co) eatsen bt (Amtm+ Am-1tm-1+……+Ao) eatcos bt +
b(t)= (bmeattm+ bm-1eattm-1+…..+boeat)cos bt
(Cmtm+ Cm-1tm-1+……+Co) eatsen bt
Ejemplo 1
Ecuación diferencial de primer orden no homogénea
Solución General
X(t) = Solución parte homogénea + Solución parte no homogénea Solución parte homogénea
Polinomio característico
Solución
Solución parte no homogénea
7
Tabla obtenida del libro de Introducción al análisis de sistemas de dinámicos de Edwards G. 2da edición Ediciones Universidad Católica de Chile.
51
Agrupamos los términos que son similares
Simplificamos
Los términos en paréntesis deben ser cero por lo tanto solo se debe despejar para A 0, A1 y A2 Resultados
Solución General
Como se observa, el proceso de resolución para una ecuación no homogénea es más complejo Ejemplo 2
, Ecuación diferencial de primer orden no homogénea
Solución General
52
X(t) = Solución parte homogénea + Solución parte no homogénea Solución parte homogénea
Polinomio característico
Solución
Solución parte no homogénea
Despejamos para A 0
Solución General
Algunas Particularidades de las ecuaciones diferenciales Después de estudiar el comportamiento y solución de las ecuaciones diferenciales es necesario centrar nuestra atención en ciertas particularidades que debemos considerar al trabajar con estas ecuaciones. Raíces características iguales
Existe la probabilidad al resolver una ecuación diferencial de obtener raíces características iguales, ¿Qué problemas acarrea este resultado? Por construcción, las 53
raíces características de una ecuación diferencial deben ser únicas, por lo tanto al enfrentar un caso en que las ecuaciones características sean iguales es necesario realizar una transformación. Ejemplo 1 X’’(t)=-4X’(t) - 4X(t), ecuación diferencial de segundo orden homogénea.
Por deducción sabemos que esta ecuación tendrá dos raíces características 2 λ +4λ +4=0
λ1=λ2=2
Respuesta general
Esta respuesta debe ser transformada para cumplir con el teorema de existencialidad y unicidad, en términos sencillos, que cada raíz sea única. La transformación consiste en incluir una tendencia t n, donde n indica el exponente al que deberá ser elevada la tendencia para diferenciar las raíces características; en relación al caso anterior la solución general final sería:
Que sucede si tenemos múltiples raíces características iguales
La solución general final sería:
Es importante mencionar que esta situación se puede dar en ecuaciones homogéneas como en no homogéneas. Solucione y deduzca la solución general de: 2t
X’’(t)=4X’(t) + 4X(t) + e , ecuación diferencial de segundo orden no homogénea. Existencia de equilibrio
Un sistema dinámico puede presentar un equilibrio o ninguno, esto dependerá de las características de la ecuación (diferencial) que se esté analizando. 54
La Existencia de equilibrio dependerá de dos condiciones: 1. La ecuación debe presentar una trayectoria convergente, eso significa que todos las raíces características deben ser menores a cero ( λ<0) 2. El equilibrio debe de existir. Para el caso de una ecuación homogénea el equilibrio siempre será igual a cero. Para las ecuaciones no homogéneas el equilibrio dependerá de la especificación de la parte no homogénea de la ecuación. Ejemplo 1
El equilibrio de esta ecuación se obtiene suponiendo que la variación de la variable X es igual a cero en equilibrio. Por lo tanto 0=-5Xe +4, donde Xe representa el valor de equilibrio Xe = 0.8 Encontrando las raíces características del problema λ=-5, valor que cumple con la condición de convergencia.
Ejemplo 2
En este caso no existe convergencia ni equilibrio, debido a que la parte no homogénea ( crecerá a través del tiempo. En el caso de que un sistema dinámico diverja, la tasa a la que crecerá será igual a la raíz característica positiva mayor que se obtenga del análisis. Demostración
X’’(t)=3X’(t) + 4X(t), ecuación diferencial de segundo orden homogénea
La solución general será igual a:
Si derivamos y aplicamos límite al infinito respecto al tiempo
55
La suposición de esperar que el sistema dinámico creciera a la raíz característica mayor queda corroborada.
4. Ecuaciones en Diferencias El análisis de las ecuaciones en diferencias es similar al de ecuaciones diferenciales. Podríamos definir lo siguiente:
Este planteamiento muestra que una ecuación en diferencias es una relación que incluye una variable que se afectada por una o más tasas de crecimiento (a,b…z), a través de un período de tiempo. Siempre y cuando el período este determinado por números enteros, por ello es que este tipo de ecuación es relacionado con las tasas de crecimiento en tiempo discreto. En forma iterativa se determina el comportamiento de X de la siguiente manera: X(k+1)=aX(k) X(1) = aX(0) donde X(0), es el valor inicial de X, y a es la tasa de crecimiento X(2)=aX(1)=a(aX(0)) X(3)=aX(2)=a(a(aX(0)) Si hacemos tender esto al infinito (k al infinito), podríamos reescribir esta ecuación de manera más sencilla:
……….
Como se puede observar, partimos de una ecuación en diferencias para obtener una solución general que determina el comportamiento de la variable X . El proceso matemático para encontrar una solución general dependerá, al igual que en el caso de ecuaciones diferenciales, de identificar las siguientes características:
56
El orden de la ecuación Ecuación homogénea Ecuación no homogénea
Orden de la ecuación Las ecuaciones en diferencias también pueden clasificarse por el orden al que pertenecen, muy similares a los polinomios y a las ecuaciones diferenciales, como se muestra a continuación: X(k+1) = aX(k) ecuación diferencial de primer orden X(k+2) = aX(k+1) + bX(k) ecuación diferencial de segundo orden X(k+3) = aX(k+2) + bX(k+1)+ cX(k) ecuación diferencial de tercer orden …….. y así sucesivamente
Para encontrar la solución general se debe construir un polinomio característico, a partir del cual se obtienen las raíces características (eigen valores), el número de raíces dependerá del orden de la ecuación. Ejemplo X(k+2) = αX(k+1) + βX(k) es una ecuación diferencial de segundo orden Si planteamos el polinomio característico X(k+2) -αX(k+1) -βX(k)=0 2 λ - α λ –β polinomio característico
Aplicando la fórmula cuadrática:
A partir de la fórmula cuadrática se pueden obtener dos raíces características (eigen valores), λ1 y λ2, que permitirán determinar el comportamiento de este sistema diferencial uniecuacional y obtener la respuesta general.
57
El planteamiento de la respuesta general es el siguiente:
Donde C1 y C2 son constantes, y como se puede observar λ1 y λ2 se convierten en las tasas que afectan a la variable X en el tiempo. Se deduce que el orden de la ecuación determinará el orden del polinomio característico, por lo tanto también determinará el número de raíces características (eigen valores) que tendrá la ecuación diferencial a resolverse. La respuesta general se deduce a partir de las raíces encontradas, la cuales se plantean como tasas en tiempos discretos y acompañados siempre de una constante.
Comportamiento del sistema dinámico uniecuacional Un sistema dinámico en tiempo discreto, podrá presentar tres trayectorias:
Divergencia Convergencia Estabilidad marginal
Estas trayectorias estarán determinadas por el valor de las raíces características (eigen valores). A continuación se presentan cada una de las trayectorias clasificada por los valores de λ que se obtengan:
Valor de λ
Trayectoria
|λ|< 1 |λ|>1 λ=1
Convergencia Divergencia Marginalmente Estable
Supongamos que resolveremos una ecuación en diferencias de primer orden, que nos entrega la siguiente solución general:
Si aplicamos límite cuando el tiempo (k) tiende al infinito, interpretaremos más fácilmente los resultados: Para |λ|< 1
Para |λ|>1 58
Para λ=1
Sistemas dinámicos uniecuacionales Homogéneos y no homogéneos Una ecuación en diferencias puede plantearse como una relación de dependencia de una misma variable como ser: X(k+2) = αX(k+1) + βX(k), en este caso la ecuación en diferencias de segundo orden depende únicamente de sí misma. Cuando encontramos este tipo de especificación la llamamos sistema dinámico o ecuación en diferencias homogénea. La segunda forma para plantear una ecuación en diferencias es cuando esta depende de una variable y de algún elemento exógeno, que puede ser una constante en el caso más simple o ser una función que dependa del tiempo en los casos más complejos. X(k+2) = αX(k+1) + βX(k)+ b, en este caso la ecuación en diferencias de segundo orden depende además de la variable X, también de un término b, que es independiente de X, por lo tanto es no homogénea. El término b puede tener alguna de las siguientes formas: b= una constante (no depende del tiempo), por ejemplo: X(k+2) = αX(k+1) + βX(k)+ 2
b(k)= una tasa, por ejemplo:
b(k)= puede ser una tendencia temporal, por ejemplo:
b(k)= puede ser una tendencia temporal y una tasa, por ejemplo:
59
Solución general de ecuaciones en diferencias no homogéneas A continuación se presenta una tabla 8 con las soluciones de la parte no homogénea de una ecuación en diferencias.
Diferentes especificaciones de b b(k) =ba
Solución no homogénea
k
Aak
b(k)= sen(bk) ó cos(bk)
Asen(bk) +Bcos(bk)
b(k)= bKn
Ao +A1K + A2K2+….+AnKn
b(k)= bKnak
ak(Ao +A1K + A2K2+….+AnKn)
Ejemplo 1
Ecuación diferencial de primer orden no homogénea
Solución General
X(K) = Solución parte homogénea + Solución parte no homogénea Solución parte homogénea
Polinomio característico
Solución
Solución parte no homogénea
8
Tabla obtenida del libro de Introducción al análisis de sistemas de dinámicos de Edwards G. 2da edición Ediciones Universidad Católica de Chile.
60
Agrupamos los términos que son similares
Simplificamos
Los términos en paréntesis deben ser cero por lo tanto solo se debe despejar para A 0, A1 y A2 Resultados
Solución General
Como se observa, el proceso de resolución para una ecuación no homogénea es más complejo y es distinto al de una ecuación diferencial. Ejemplo 2
, Ecuación en diferencias de primer orden no homogénea
Solución General
X(t) = Solución parte homogénea + Solución parte no homogénea
61
Solución parte homogénea
Polinomio característico
Solución
Solución parte no homogénea
Despejamos para A 0
Solución General
Algunas Particularidades de las ecuaciones en diferencias Después de estudiar el comportamiento y solución de las ecuaciones en diferencias es importante denotar ciertas particularidades que enfrentaremos al trabajar con este tipo de ecuaciones. Raíces características iguales
Similar que en el caso de las ecuaciones diferenciales, existe la posibilidad de encontrar raíces características iguales al solucionar ecuaciones en diferencias, lo que genera inconsistencia con el teorema de existencia y unicidad, el cual indica que cada raíz característica debe ser única. Paras solucionar esta situación se aplica una transformación a la solución general. 62
Ejemplo 1 X(k+2)=-4X(k+1) - 4X(k), ecuación diferencial de segundo orden homogénea. Por deducción sabemos que esta ecuación tendrá dos raíces características 2
λ +4λ + 4=0 λ1=λ2=2
Respuesta general
Esta respuesta debe ser transformada para cumplir con el teorema de existencialidad y unicidad. La transformación será incluir una tendencia K n, donde n indica el exponente al que deberá ser elevada la tendencia para que las raíces características sean únicas (distintas entre si); en relación al caso anterior la solución general final sería:
Que sucede si tenemos múltiples raíces características iguales
La solución general final sería:
Es importante mencionar que esta situación se puede dar en ecuaciones homogéneas como en no homogéneas. Solucione y deduzca la solución general de: X(k+2)=4X(k+1) - 4X(k) + (2) k, ecuación diferencial de segundo orden no homogénea. Existencia de equilibrio
Las ecuaciones en diferencias pueden presentar un equilibrio o ninguno, esto dependerá de las características de la ecuación que se esté analizando. La Existencia de equilibrio de penderá de dos condiciones:
63
1. La ecuación debe presentar una trayectoria convergente, eso significa que todos las raíces características deben ser menores a uno (| λ|<1) en valor absoluto. 2. El equilibrio debe de existir. Para el caso de una ecuación homogénea el equilibrio siempre será igual a cero. Para las ecuaciones no homogéneas el equilibrio dependerá de la especificación de la parte no homogénea de la ecuación. Ejemplo 1
El equilibrio de esta ecuación se obtiene suponiendo que la variable X no cambia en el tiempo. Por lo tanto Xe-0.25Xe= 4, donde Xe representa el valor de equilibrio Xe = 5.3 Encontrando las raíces características del problema λ=0.25, valor que cumple con la condición de convergencia.
Ejemplo 2
En este caso no existe convergencia ni equilibrio, debido a que la parte no homogénea crecerá a través del tiempo. En el caso de que un sistema dinámico diverja, la tasa a la que crecerá será igual a la raíz característica mayor en valor absoluto que se obtenga del análisis. Demostración
X (K+2)=3X(K+1) + 4X(K), ecuación diferencial de segundo orden homogénea La solución general será igual a:
Si aumentamos en un período la respuesta general y aplicamos límite al infinito respecto al tiempo 64
La suposición de esperar que el sistema dinámico creciera a la raíz característica mayor queda corroborada. Raíces características negativas
Las ecuaciones en diferencias al presentar raíces características negativas presentarán trayectorias que tendrán un comportamiento alternante. Por ejemplo
λ=-0.5
Esta ecuación presentará una trayectoria que alterna y que al mismo tiempo converge como se muestra en el gráfico.
Insertar gráfico
Solución particular de ecuaciones en diferencias y diferenciales Hasta ahora se han presentado las soluciones generales para ecuaciones en diferencias y diferenciales, sin embargo los valores iniciales con los cuales se establecen los puntos de partida de una trayectoria determinada, permiten obtener soluciones particulares. Ejemplo
La solución general es:
Si partimos de que X(0) = 10 La solución particular sería: 65
Es importante mencionar que el orden de la ecuación determinará cuantas condiciones iniciales se necesitan para encontrar una respuesta particular. En este caso, por ser una ecuación en diferencias de primer orden no homogénea, solo se necesita una condición inicial, para el caso de una ecuación de segundo orden, se necesitaran dos condiciones iniciales y así sucesivamente. Ecuaciones en diferencias en Matlab %% sistemas dinámicos %supongamos una variable X que se mueve a través del tiempo. X=zeros(10,1) X(1,1)=5 a=1.5 for k=1:10 X(k+1,1)=a*X(k,1) %estamos suponiendo una ecuación en diferencias de primer orden homogénea end K=1:max(size(X)) plot(K,X) hold on plot (K(1,6),X(6,1),'r*') %% solucionar sistemas de orden mayor % digamos que tenemos algo como X(k+n)= aX(k+n-1) ........dX(k) % ¿cómo obtenemos los valores propios? %escribimos el polinomio característico como un vector fila por ejemplo % X(k+2)= 3X(k+1)+ 6X(k) P=[1 -3 -6] VP=roots(P)
66
5. Oscilaciones Al solucionar ecuaciones diferenciales y en diferencia, de orden mayor o igual a dos, podemos encontrarnos con soluciones que presentan raíces características que contienen números imaginarios. Al trabajar con números imaginarios surge un nuevo planteamiento de las soluciones generales o particulares de las ecuaciones, utilizando para ello, funciones de seno y coseno, esto permite que las trayectorias observadas presenten oscilaciones. Las oscilaciones se caracterizan por ser movimientos sinuosos que presentan una amplitud y un ciclo de variación. Estas oscilaciones pueden mostrar comportamientos divergentes convergentes o marginalmente estables. En economía, la representación de oscilaciones, son muy útiles para imitar algunas variables macroeconómicas, como ser el ciclo de la producción. El análisis de oscilaciones es distinto para ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencias, sin embargo sus resultados son equivalentes.
Oscilaciones en ecuaciones diferenciales. Analicemos la siguiente ecuación:
√ Polinomio característico
Raíces características
Como se puede observar, las raíces contienen una parte real
√
y una parte imaginaria
Por lo tanto podríamos caracterizar este tipo de respuesta como:
, donde μ es la parte real y ω representa la parte imaginaria.
Se podría plantear la respuesta utilizando esta nomenclatura:
67
√
√
Sin embargo esta repuesta presenta el inconveniente de incluir números imaginarios. Este inconveniente se puede solucionar, reescribiendo la respuesta en términos de senos y cosenos9. La forma más simple de replantear la respuesta general es aplicar la siguiente estructura:
Recordando la estructura planteada anteriormente, sólo es necesario sustituir los valores:
√ √ Esta sería la respuesta general para la ecuación diferencial que se planteó al inicio. Los ciclos los obtenemos con la siguiente fórmula:
Es muy importante mencionar que se debe trabajar con radianes.
Oscilaciones en ecuaciones en diferencias. Analicemos la siguiente ecuación:
√ Polinomio característico
Raíces características
9
Se utiliza una expansión de Taylor para demostrar el uso de senos y cosenos, ver demostración en el libro Introducción al análisis de sistemas de dinámicos de Edwards G. 2da edición Ediciones Universidad Católica de Chile. 68
Como se puede observar, las raíces contienen una parte real
√
y una parte imaginaria
Por lo tanto podríamos caracterizar este tipo de respuesta como:
√ √
, donde a es la parte real y b representa la parte imaginaria.
Se podría plantear la respuesta utilizando esta nomenclatura:
Sin embargo, al igual que en el caso de ecuaciones diferenciales, esta repuesta presenta el inconveniente de incluir números imaginarios. Este inconveniente se puede solucionar, reescribiendo la respuesta en términos de senos y cosenos. La forma más simple de replantear la respuesta general es aplicar la siguiente estructura:
Donde
√ r
Para este caso particular r=4 θ=0.7227 Por lo tanto la respuesta general en términos de senos y cosenos sería:
El ciclo estará dado por la siguiente fórmula: Es importante trabajar siempre en radianes.
69
Oscilaciones en Matlab %% sistemas dinámicos %supongamos una variable X que se mueve a través del tiempo. X=zeros(10,1)
6. Sistemas lineales dinámicos multiecuacionales A continuación trabajaremos con sistemas de ecuaciones con múltiples variables, estos sistemas pueden contener ecuaciones en diferencias o ecuaciones diferenciales. No importando que tipo de ecuaciones contenga el sistema dinámico, siempre presentarán una estructura similar, constituida por las siguientes partes:
Una matriz A, llamada matriz del sistema, que contiene las variables (X i) conocidas como variables de estado. Un vector w, llamado vector de entrada o vector de control. Este vector está determinado por variables exógenas, algunas no son controlables, son determinadas por el medio ambiente, otras son plenamente controlables con la evolución del sistema.
Las estructuras que esperamos observar son: En ecuaciones diferenciales
En ecuaciones en diferencias
Con mayor detalle estarían especificadas de la siguiente manera:
70
En ecuaciones en diferenciales
A
X’
X
w
En ecuaciones en diferencias
X(k+1)
A
X(k)
w
Si el vector W es igual a cero, estaríamos definiendo el sistema dinámico multiecuacional como homogéneo, en cambio se w es distinto de cero, estaríamos definiendo el sistema dinámico multiecuacional como no homogéneo, esto es válido para sistemas diferenciales y en diferencias.
Análisis de Sistemas Dinámicos diferenciales y en diferencias Multiecuacionales. Más importante que encontrar una solución general o particular para los sistemas dinámicos, es mucho más importante caracterizarlos, es decir determinar su trayectoria y si poseen equilibrio o no. El objetivo principal es obtener la matriz de transición, φ(t,l), esta matriz en un sistema diferencial dinámico homogéneo, sirve para encontrar la respuesta general del sistema, por ejemplo, en un sistema diferencial sería:
La matriz de transición es equivalente a sistema dinámico de la siguiente forma: |
, esto permite plantear el
Donde D, es una matriz diagonal formada por las raíces características del sistema:
71
M representa a la matriz modal, esta matriz se construye a partir de los vectores característicos que están asociados a cada una de las raíces características. Al trabajar con sistemas dinámicos, cada raíz característica está asociada con un vector característico.
V representa el vector característico que va de 1 hasta n, correspondiente al número de raíces características n En un sistema en diferencias sería igual a:
La matriz de transición φ es equivalente a
, permitiendo plantear:
D es nuevamente la matriz diagonal formada por las raíces características del sistema:
M es la matriz modal, construida con los vectores característicos.
V representa el vector característico que va de 1 hasta n, correspondiente al número de raíces características n.
72
Al igual que en los sistemas uniecuacionales, el comportamiento divergente o convergente dependerá de los valores de las raíces características. Para los sistemas diferenciales, si todos las raíces características son menores a cero el sistema converge. Si existe por lo menos una raíz característica que sea igual o mayor a cero el sistema diverge. Para los sistemas en diferencias, si todas las raíces características son menores a uno en valor absoluto, el sistema converge. Si por lo menos existe una raíz característica que sea mayor o igual a uno en valor absoluto, el sistema diverge. Por lo tanto si el sistema no presenta convergencia no es necesario calcular el equilibrio porque nunca se llegará a él.
Cálculo de la matriz de transición. Supongamos el siguiente sistema:
* +
Es un sistema en diferencias homogéneo. El primer paso es obtener la matriz diagonal. Para ello es necesario construir el polinomio característico, en este caso de segundo orden (debido a que la matriz es 2x2). Para encontrar el polinomio característico realizamos el siguiente planteamiento:
* +* +* +
A partir de esta nueva matriz se obtiene el determinante:
Al solucionar el polinomio característico tenemos λ1=5 λ2=-2
es decir:
El sistema diverge, y crecerá conforme a la raíz característica mayor 5. La matriz diagonal D t es igual a:
El segundo paso es obtener la matriz modal. Para construir la matriz modal debemos encontrar los vectores propios: 73
El número de vectores propios es igual al número del número de raíces características, cada raíz característica tiene asociado un vector característico. El planteamiento para obtener un vector propio es el siguiente:
* + * +* + * + Si resolvemos para V1 y V2 , obtenemos el siguiente vector propio asociado a la raíz característica 5:
*+*+
El mismo proceso seguimos para obtener el segundo vector propio:
* + * +* + * + Si resolvemos para V1 y V2 , obtenemos el siguiente vector propio asociado a la raíz característica -2:
*+*+ A través de los vectores propios obtenidos se construye la modal:
* + 74
Recordando que la matriz de transición será igual a:
Calcule el mismo ejercicio en tiempo continuo.
Sistemas matriciales dinámicos en Matlab %% sistemas dinámicos %supongamos una variable X que se mueve a través del tiempo. X=zeros(10,1)
6.
Ejercicios Segunda parte del curso
a) Maximice xyz S.a. x+y+z < x,y,z>0 a) Plantee las condiciones de primer orden y de holgura complementaria b) Defina con el método de KKT (Karush-Kunh-Tucker) el número de casos (elabore la caja de casos). c) Maximice únicamente para el caso que usted considera que es correcto. b) En un aula de una escuela primaria, hay tres niños, Floridalma, Ciriaco y Benito. Cada uno de los tres tiene 50 lempiras, con este dinero deben comprar lápiz y papel, el precio del lápiz es L. 5.00 y él del papel es L. 0.50. A Floridalma, lo único que le importa es tener ambos bienes y maximizar su utilidad respecto a su presupuesto. A Ciriaco le da lo mismo tener un bien u otro, ya que los utilizará para tirárselos a sus compañeros, por lo tanto el solo desearía obtener la máxima utilidad posible con su presupuesto independientemente del bien que tenga. Por otra parte, Benito le interesa tener una proporción fija de lápiz y papel, solo así maximiza su utilidad, Benito por cada lápiz necesita 3 hojas de papel.
Intuitivamente establezca como serían las funciones de utilidad para cada uno de los niños. Escoja un niño para maximizar su utilidad, tiene que plantear el problema y encontrar la cantidad de lápices y papel que maximizan su utilidad. Trabaje con restricciones de desigualdad.
75
c) Encuentre la ecuación original que tiene como respuesta lo siguiente:
*pista: recuerde el tipo de ecuación, el orden y si es homogénea o no homogénea. d) Usted es recién graduado de economía, y por haber terminado con excelencia académica logra obtener una buena oportunidad de trabajo. Usted como buen economista, ha planificado un plan para comprarse un automóvil. Debido a que usted recuerda sus clases de teoría microeconómica y macroeconómica, recuerda que el ahorro es muy importante y que a medida usted tenga más ingreso, tendrá que ahorrar más. Usted decidió ahorrar en una cuenta bancaria que le brinda un interés de 8% anual capitalizable mensualmente. El contrato de trabajo con que inicio, establece un sueldo inicial de L. 20 mil al mes, y que ira creciendo 5% cada año. Usted ha decidido ahorrar un 30% de su sueldo de forma mensual. Su ahorro inicial es de L. 2 mil lempiras. Plantee la ecuación en diferencias que le permita calcular su ahorro y encuentre su ahorro en 5 años.
e) Un amigo suyo le dice que tiene los primeros 4 números de un total de 6, de una combinación de una caja de seguridad que contiene US$ 4 millones, sabe que la combinación es 1, 5, 13, 41 …. Sin embargo no sabe cuáles son los otros 2 dígitos. Usted decide ayudarlo por un 10% de lo que él logre sacar de la bóveda. ¿cuáles son los dos números que le faltan?, usted considero que sería más fácil utilizar una ecuación en diferencias. f)
Demuestre que la solución de la ecuación diferencial X”(t)=0, es X(t) =At +B, donde A y B son constantes.
g) Demuestre que la tasa de crecimiento de largo plazo de la siguiente ecuación en diferencias es 2.
h) La ley de newton de enfriamiento dice que el cambio de temperatura de un cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo que se enfría (o calienta) y al temperatura del medio ambiente. Suponga en primer lugar que un cuerpo (agua) se enfría en diez minutos, desde una temperatura de 80 grados a una de 29.43 grados en un medio ambiente de 0 grados. 76
Determine la función de temperatura del agua en función del tiempo ¿Cuánto será la temperatura del agua en X(8), es decir en 8 minutos. i)
Suponga que hay una ecuación diferencial homogénea que genera oscilaciones con ciclos de 8, y estos ciclos no divergen ni convergen, podrían definirse como marginalmente estables. a) Encuentre la respuesta general en términos de senos y cosenos. b) Encuentre la ecuación original.
j)
Usted tiene el siguiente modelo de oferta y demanda de dos bienes, el bien 1 y el bien dos, donde Qd es la cantidad demanda y Qs es la cantidad ofrecida:
a. Plantee el modelo matricial en diferencias. b. Encuentre la matriz Ak c. ¿Existe equilibrio en este mercado? ¿Se llega a él? k) Suponga la siguiente ecuación diferencial X’’(t) +aX’(t) + 4X(t)=0
Determine para que valores de “a” se dan los casos en que oscile y diverja, oscile y converja,
no oscile y diverja y no oscile y converja. l)
constante); si
m)
Función de producción tipo CES (Elasticidad de sustitución como sería el grado de homogeneidad.
es una función Cobb-Douglas, determine el grado de homogeneidad, en este caso de que dependería que esta función tuviese rendimientos constantes, crecientes y decrecientes. ,
n) Encuentre la ecuación diferencial que tiene como solución:
Identifique como se comporta esta ecuación (diverge, converge, marginalmente estable) Determine el orden de la ecuación y el tipo de ecuación 77
Nota:
Cuál sería el punto de equilibrio de esta ecuación, ¿se logra este equilibrio? Encuentre la ecuación original de este sistema.
Si no puede obtener números, puede dejar expresado el resultado con variables.
o) Suponga una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes, de segundo orden no homogénea, cuya entrada es igual a una constante que genera la secuencia de números: 2,3,11,28,70,171……
Encuentre la ecuación de diferencias. Encuentre la solución de dicha ecuación.
7. Optimización Dinámica La optimización dinámica se basa en el mismo principio que la optimización estática, la búsqueda de situaciones eficientes desde el punto de vista matemático y económico; la diferencia principal es que si bien es cierto la optimización estática reside en encontrar un punto eficiente en un momento dado, la optimización dinámica pretende encontrar una única trayectoria eficiente en el tiempo; por ejemplo, En la explotación de madera, ¿cuantos árboles se deben talar para mantener un nivel de ganancia deseado, y al mismo tiempo mantener una cantidad de árboles que sea sostenible en el tiempo?. Las técnicas más utilizadas en optimización dinámica son: cálculo de variaciones, control óptimo y la programación dinámica.
La optimización dinámica inicia con el planteamiento de un problema, donde se tienen una función objetivo que se desea maximizar o minimizar, sujeta a restricciones o limitaciones. Este problema de optimización generalmente constará de dos tipos de variables; una variable de control, la que los agentes pueden elegir con fin optimizar su función objetivo y la variable de estado, la cual responde a las decisión que tomen los agentes respecto a la variable de control, por lo tanto los agentes no la controlan directamente. Cuando el agente se encuentra con problemas de optimización dinámica, escogerá a través de la variable de control, el “mejor” camino o senda, que le otorgue mayores
beneficios o minimice sus costos; en este documento se discutirán tres técnicas que se utilizan para determinar la mejor senda. 78
Calculo de Variaciones John Bernoulli fue uno de los pioneros en la aplicación y desarrollo de la técnica del cálculo de variación que datan desde los años 1600. La aplicación económica de esta técnica se da mucho tiempo después, a principios del siglo XX. El planteamiento del problema de optimización en la técnica de cálculo de variaciones consiste en:
∫
Es necesario que la función X, sea diferenciable de primer y segundo orden, y deben existir las derivadas de primer y segundo orden de la función X(t), que depende del tiempo. Se busca en este problema la trayectoria de la variable X que maximiza a la función V[X]. La solución de este problema necesitará el planteamiento de las condiciones de primer orden y segundo orden.
La ecuación de Euler Para solucionar este problema, primero se plantearán las condiciones de primer orden, para ello se desarrollará la ecuación de Euler. La ecuación de Euler se basa en el mismo principio que se utilizaba en la optimización estática, en la cual se debía encontrar una punto crítico X*, a través de la utilización de la primera derivada igualada a cero. Para la aplicación del cálculo de variaciones, la condición de primer orden deberá satisfacer:
A esta condición se le conoce como la ecuación de Euler. Si se desarrolla esta ecuación se podría obtener:
79
O expresado también como:
Con esta segunda expresión es fácil de observar que obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden, no homogénea, la cual puede ser resuelta si conocemos dos condiciones, en este caso la inicial X(0) = X 0 y X(T) =XT . Ejemplo
∫
Condición de primer orden (ecuación de Euler):
80
El resultado es una ecuación diferencial de segundo orden, no homogénea. La forma más sencilla de encontrar la solución general es integrar esta función respecto al tiempo. Primer paso
∫ ∫ ∫∫
Tenemos ahora la respuesta general:
Para encontrar la respuesta particular sustituimos las condiciones iniciales y finales:
La respuesta particular será:
Al enfrentar problemas de cálculo de variaciones existen infinitas posibilidades de ejercicios que podríamos enfrentar; sin embargo se han identificado 4 casos especiales que pueden ser útiles para ahorrar tiempo y simplificar los procesos de solución.
81
Caso especial 1: si la función objetivo f, está planteada como f(t,X ’)
En este caso sabemos que la ecuación de Euler se desarrollaría como:
Por lo tanto podríamos simplificar la aplicación de la ecuación de Euler, únicamente planteando:
Caso especial 2: si la función objetivo f, está planteada como f(X’), en este caso
debemos recordar que la ecuación de Euler se puede plantear también como:
Entonces, al resolver:
Por lo tanto existen dos posibilidades: 1. Que X’’ sea igual a cero, 2. Que
cero.
Si X’’=0, la solución será una ecuación lineal.
Si
=0 la solución dependerá de cómo este especificada X’’ en la función f.
82
sea igual a
Caso especial 3: si la función objetivo f, está planteada como f(X), en este caso el
problema no puede solucionarse debido a que:
No es una ecuación diferencial.
si la , donde representa una tasa. Caso
especial
4:
función objetivo f, está planteada como representa un factor de descuento, por lo que ω
Si resolvemos este caso, la ecuación de Euler resultaría:
Esto es igual a:
El cálculo de variaciones tiene múltiples aplicaciones que van desde maximización de ganancias, explotación de recursos, crecimiento poblacional etc. Condición de transversalidad Pueden existir casos en los cuales no existen valores iniciales ni finales para determinar la senda óptima de una variable; para abordar ese tipo de casos es importante utilizar una condición de transversalidad. La condición de transversalidad se puede expresar como:
83
Donde y del tiempo.
, indican variaciones en la variable de estado en el tiempo y variaciones
Diferentes casos de la condición de transversalidad
Cuando el tiempo es fijo, es decir que condición de transversalidad quedando:
, desaparece el segundo término de la
Para este caso se debe determinar la senda óptima y valor terminal de Xt. Por ejemplo:
∫
Recordando la condición de transversalidad:
Se podría simplificar quedando:
La ecuación de Euler queda:
Que simplificando es:
84
En este caso especial trabajamos con una constante arbitraria
Integrando, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
Para obtener b y c se evalúa lo siguiente:
Por lo tanto c=4
Para obtener b, evaluamos la condición de transversalidad:
Por lo que b=0
Cuando valor terminal de la variable de estado es fijo , es decir que el primer término de la condición de transversalidad quedando:
Para este caso se debe determinar valor final del tiempo T. Por ejemplo:
∫
Recordando la condición de transversalidad:
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, desaparece
Se podría simplificar quedando:
La ecuación de Euler queda:
Que simplificando es:
Se obtiene la misma ecuación diferencial que en el caso anterior:
Para obtener b y c se evalúa lo siguiente:
Por lo tanto c=4
Para obtener b, evaluamos la condición de transversalidad:
[ ] 86
Se evalúa
* +
en T, y se obtiene:
Finalmente para obtener el valor de T, se evalúa en:
Por lo que T=1 (T pudo ser 1 o -1, pero no tiene sentido trabajar con tiempo negativo) Para encontrar b, se evalúa nuevamente la expresión en el tiempo terminal t=1:
Por lo que b=0
Control Óptimo El cálculo de variaciones tiene múltiples aplicaciones que van desde maximización de ganancias, explotación de recursos, crecimiento poblacional
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