[Apostila] Transferência de calor e massa

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA

Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte

Santa Cruz do Sul, agosto 2007.

Apostila de Transferência de Calor e Massa

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1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUÇÃO Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de transmissão de calor. O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores. Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental. Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica.. A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio. É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinâmica. Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano.


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1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUÇÃO Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de transmissão de calor. O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores. Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental. Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica.. A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio. É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinâmica. Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano.


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1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura T i, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se subitamente uma das faces à temperatura T f e haverá transporte de calor na direção x (Fig. 1.4)

Fig. 1.4

Imaginando-se que T i e T f sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas para os tempos t 1, t 2, t 3, etc. Desde que se conservem T i e T f , ocorrerá um determinado momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua temperatura com o tempo. Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmissão de calor. Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório , e, quando a temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou d ois regimes de transmissão de calor. permanente ; são esses os dois O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-se denominar regime periódico . É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e


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não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que sai.

1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação . Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, na realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor. O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor, no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo, autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável. Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria.

1.3.1) Transferência de Calor por Condução Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura. Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura q ∂T ≈ A ∂x Quando a constante de proporcionalidade é inserida q = − kA

∂T ∂x

1-1

onde q é a taxa de transferência de calor e ∂T/ ∂ x é o gradiente de temperatura na direção do fluxo de calor. A constante positiva k é chamada condutividade térmica do material, sendo o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princípio da termodinâmica, ou seja, o calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente, como indicado no sistema de coordenadas da Fig. 1-1


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Fig. 1-1 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor

A equação 1-1 é chamada de lei de Fourier da condução de calor, em homenagem ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao tratamento analítico da transferência de calor por condução. É importante observar que a Eq. 1-1 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por metro por grau Celsius [W/(m. oC)] no Sistema Internacional de Unidades (SI). O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida. Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema está em regime permanente, isto é, se a temperatura não varia com o tempo, então o problema é simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a solução nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do sólido varia com o tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido, a situação é mais complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o seguinte balanço de energia pode ser feito:

Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional

Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: Energia conduzida para dentro pela face esquerda:


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q x = − kA

∂T ∂x

Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx ∂T Variação da energia interna: ∆E = ρcA dx ∂τ

Energia conduzida para fora pela face direita:  ∂T ∂ ∂T ∂T   q x +dx = − kA ]x+dx = − A k +   k dx  ∂x  ∂x ∂x  ∂x   onde q& = energia gerada por unidade de volume c = calor específico do material ρ = densidade A combinação das relações acima fornece:  ∂T ∂ ∂T ∂T ∂T   − kA + q& Adx = ρcA dx − A k +   k dx  ∂x ∂τ  ∂x ∂x  ∂x   ∂  ∂T  ∂T ou  k  + q& = ρc ∂x  ∂x  ∂τ

1-2

Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a:

Fig.1.3

q x + q y + q z + q ger = q x +dx + q y+dy + q z +dz + sendo as quantidades de energia dadas por q x = − kdydz

∂T ∂x

dE dτ


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 ∂T ∂ ∂T   q x +dx = − k +   k dx  dydz  ∂x ∂x  ∂x   ∂T q y = − kdxdz ∂y  ∂T ∂  ∂T   q y+dy = − k +  k dydxdz  ∂y ∂y  ∂y   ∂T q z = − kdxdy ∂z ∂T    ∂T ∂ q z+dz = − k +   k dz dxdy  ∂z ∂z  ∂z   q ger = q& dxdydz dE ∂T = ρcdxdydz dτ ∂τ Assim a equação geral tridimensional da condução fica: ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂T  k  +  k  +  k  + q& = ρ c ∂ x  ∂ x  ∂ y  ∂ y  ∂ z  ∂ z  ∂τ

1.3

Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q& 1 ∂T + + + = ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 k α ∂τ

1.4

onde a quantidade α = k/ ρ c é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida. Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no desenvolvimento. Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse prático. - Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor) 2

d T dx 2

=0

1.5

Apostila de Transferência de Calor e Massa -

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Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor ∂ 2T q& + =0 ∂ x 2 k

-

1.6

Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor ∂ 2T ∂ 2T + =0 ∂ x 2 ∂ y 2

1.7

1.3.1.1) Condutividade Térmica A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o cálculo da condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto. O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia através de colisões com moléculas de energia mais baixa. Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius o [W/(m. C)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material. Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta v = kRT ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.) O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma forte influência na troca de energia no processo de colisão. A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma


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região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos. Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até aproximadamente –250oC). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores isolantes. O sistema é evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m. oC).

1.3.2) Transferência de Calor por Convecção É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos. Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e mostrada a sua relação com o processo de condução. Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é T p, e a temperatura do fluido é T ∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa. Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede. Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido; uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante. Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade; conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência de calor na parede é um processo de condução. O efeito global da convecção é expresso através da lei de Newton do resfriamento q = hA(Tp - T∞)

1.8


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Fig. 1-5 transferência de calor por convecção

Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de transferência de calor por convecção , e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro. Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m 2.oC)] no SI. Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade). Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de transferência de energia na região junto à parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à convecção forçada , que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção

1.3.3) Transferência de Calor por Radiação Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica. Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à diferença T 4. Assim q = σA(T14 – T24)

1-9

Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da


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radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade. Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a 4 lei T . Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é proporcional a T 4. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9

Q = Fε FG σA(T14 – T24)

1.10

onde F ε é a função emissividade e F G é a função “fator de forma” geométrico. A determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção.


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2. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL PERMANENTE

EM

REGIME

2.1) INTRODUÇÃO Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados destas simplificações.

2.2) A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta q=−

kA

∆ x

(T 2 − T 1 )

2-1

para condutividade constante. A espessura da parede é ∆ x, e as temperaturas das faces da parede são T 1 e T 2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com alguma relação linear k = k o(1 + β T), a equação resultante para o fluxo de calor é q=−

k o A 

β (T 2 − T 1 ) + (T 2 2 − T 12 )  2 ∆ x  

2.2

Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito T −T T −T T −T q = −k A A 2 1 = −k B A 3 2 = − k c A 4 3 ∆x A ∆x B ∆x c Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por q=

T1 − T4 ∆x A / k A A + ∆x B / k B A + ∆x C / k c A

2-3


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Aqui é conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de Fourier. A taxa de transferência de calor pode ser considerada como um fluxo, a combinação da condutividade térmica, espessura do material, e a área como uma resistência a este fluxo. A temperatura, e a função potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a equação de Fourier pode ser escrita Fluxo de calor =

Diferença de potencial Resistência elétrica

2-4

que é uma relação semelhante à lei de Ohm na teoria de circuitos elétricos.

Fig. 2-1 Transferência de calor unidimensional através de uma parede composta e analogia elétrica

Fig. 2-2 Transferência de calor em série e em paralelo através de uma parede composta e a analogia elétrica.

Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆ x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a lado agem como três resistências térmicas em série.


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A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita ∆T q = total 2-5 R ∑ t onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais. É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a obtenção de uma solução.

2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS Considere um cilindro longo de raio interno r i, raio externo r e, e comprimento L, tal como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura( T i – T e) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada é r .

Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogi a elétrica

Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a anal ogia elétrica

Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é E, portanto a lei de Fourier fica

Ar = 2π rL


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q r = − kA r ou

dT dr

q r = −2πkrL com as condições de contorno

dT dr

2-7

T =T i em r = r i T = T e em r = r e

A solução da Eq. 2-7 é 2π kL(T i − T e ) 2-8 ln(r e r i ) e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a solução é q=

q=

2π L(T 1 − T 4 ) ln (r 2 r 1 ) k A + ln (r 3 r 2 ) k B + ln (r 4 r 3 ) k C

2-9

O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então q=

4πk(Ti − Te ) 1 ri − 1 re

2-10

2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido é dado por kA (T1 − T2 ) = h 2 A(T2 − TB ) q = h 1A(TA − T1 ) = ∆x


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Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana

O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas q=

T A − T B

1 h1 A + ∆ x kA + 1 h2 A

2.11

Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U , definido pela relação q = UA∆T total

2.12

onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferência de calor é 1 U = 1 h1 + ∆ x k + 1 h2 A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e externamente, está representada na Fig. 2-6, onde T A e T B são as temperaturas dos fluidos.

Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa

Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor é dado por


q=

17

1 hi Ai

+

T A − T B ln(r e r i )

2π kL

+

2.13

1 he Ae

de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa. U i =

1 1 hi

U e =

+

Ai ln (r e r i )

2π kL

+

Ai

1

2-14

Ae he

1 Ae 1 Ae ln(r e r i ) 1 + + Ai hi he 2π kL

2-15

2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada em T i, e a superfície externa troca calor com o ambiente a T ∞. Do circuito térmico, o calor transferido vale

Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento

q=

2π L(T i − T ∞ ) ln(r e r i ) 1 +

k

2-16

r e h

Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento r e que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é  1 1  − 2π L(T i − T ∞ ) − 2  dq  kr e hr e  =0= 2 dr  ln(r e r i ) 1   

k

+



r e h 


18

que fornece como resultado r e =

k

2.17

h

A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto aumenta a superfície externa do isolamento.

2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial.

2.7.1) Parede plana com geração de calor Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é d 2T dx

2

+

q& k

=0

2-18

Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto é, T = T p em x =  L 2-19 A solução geral da Eq.2-18 é T = −

q&

2

x + C 1 x + C 2 2k

2-20

Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C 1 deve ser zero. A temperatura do plano médio é denotado por T o; da Eq 2-20 T o = C 2


19

Portanto, a distribuição de temperatura é T − T o = −

q&

x 2 2k

 x  =  T p − T o  L  T − T o

2-21a

2

2-21b

que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio T o pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim, 

2 − kA 

  = q& A2 L dx  x = L 

dT 

onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b: dT 

dx  x = L

2  2 x  ( ) T T = −  p o 2  L  L  x = L

= (T p − T o )

− k (T p − T o )

Então e

T o =

2

= q& L

L q& L2

2k

+ T p

2-22

Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidi mensional com geração de calor

2.7.2) CILINDRO COM GERAÇÃO DE CALOR Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a


20

temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial apropriada pode ser obtida da equação d 2T 1 dT q& 2-23 + + =0 2 r dr

dr

As condições de contorno são

k

em r = R e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície T = T p

q&π R 2 L = − k 2π RL

dT 

dr  r = R

Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se especificar que dT

=0

dr

em r = 0

Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas. A Eq. 2-23 pode ser escrita r

d 2T dr 2

+

dT dr

=

− q&r k

sendo que 2

r

d T 2

dr

+

dT dr

d  dT   r  dr  dr 

=

Portanto a integração fornece r

dT dr

T =

− q&r 2

=

− q&r 2

+ C 1 ln r + C 2

4k Da segunda condição de contorno acima, dT 

dr  r = R

=

e

+ C 1

2k

− q& R

2k

=

− q& R

2k

+

C 1 R

e, portanto C 1 = 0 A solução final para a distribuição de temperatura é T − T p =

ou, na forma adimensional

q&

4k

( R 2 − r 2 )

T − T p

 r  = 1−   T o − T p  R 

onde T o é a temperatura em r = 0 dada por T o =

q& R 2

4k

+ T p

2

2-24


21

3. CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a análise global do sistema ; por ser a temperatura função exclusiva do tempo, a análise é muito simples. Por isso, neste capítulo, principiamos com a análise global de condução transiente de calor. O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia com o tempo e com a posição.

3.1) ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA Considere um sólido de forma arbitrária, volume V , área superficial total A, condutividade térmica k , densidade ρ , calor específico c p, a uma temperatura uniforme T o, que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma temperatura uniforme T ∞. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferência de calor considerado. A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção, com um coeficiente de transferência de calor h. Admite-se que a distribuição de temperatura dentro do sólido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo, isto é, T(t). A equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como

Fig.3.1 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fl uxo transiente de calor

Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da energia interna do sólido de volume V .


22

Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos, obtém-se: dT (t ) 3.1 Ah[T ∞ − T (t )] = ρ c pV dt

ou dT (t ) dT

sujeito à condição inicial

+

Ah

ρ c pV

[T (t ) − T ∞ ] = 0

T(t) = To

em t > 0

3.2

em t > 0

3-3

em t = 0

Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ (t) θ (t)≡ T(t) - T ∞

Então a equação 3-2 torna-se d θ (t )

e onde definimos

+ mθ (t ) = 0 dt θ (t) = T o - T ∞ ≡ θ o m≡

em t = 0

Ah

ρ c pV

3.4

A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ (t), cuja solução geral é dada por 3.5 θ (t) = C e-mt A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θ o. Então, a temperatura do sólido em função do tempo é θ (t ) T (t ) − T ∞ = = e −mt T o − T ∞ θ o

3.6

A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce. Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o aumento da área superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferência de calor provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor específico, ou o volume, haverá diminuição de m.


23

Fig. 3.2 A temperatura adimensional θ(t)/ θo em função do tempo.

Para estabelecer alguns critérios com que a distribuição de temperatura possa ser considerada uniforme no interior do sólido, e com que a análise global do sistema seja aplicável, vamos definir um comprimento característico L s como Ls =

e o número de Biot, Bi, como

V

3.7

A

Bi =

hLs

3.8

k

onde k é a condutividade térmica do sólido. Em sólidos que tenham a forma de placa, ou cilindro longo ou esfera, a distribuição de temperatura dentro do sólido, no estado transiente, em qualquer instante, é uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se Bi =

hLs k s

≤ 0,1

3.9

Discutiremos mais adiante este assunto, que se tornará então mais claro. Aqui, admitiremos que a análise global do sistema é aplicável nas situações em que Bi < 0,1. O significado físico do número de Biot visualiza-se melhor se for escrito na forma Bi =

h k s Ls

que é a razão entre o coeficiente de transferência de convectiva calor na superfície do sólido e a condutância específica do sólido. Portanto, a hipótese de temperatura uniforme no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que o coeficiente de transferência convectiva de calor.

3.2) CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA Na discussão precedente, consideramos uma situação em que todas as fronteiras da região estavam sujeitas a convecção. Este método também se aplica quando parte da fronteira está sujeita a convecção e o restante está sujeito a um certo fluxo de calor, como vamos ilustrar agora. Considere uma placa de espessura L, inicialmente a uma temperatura uniforme T o. Em qualquer instante t > 0, fornece-se calor à placa através de uma de suas superfícies com uma constante de q (W/m2), enquanto se dissipa calor por convecção pela outra superfície,


24

para um ambiente com temperatura uniforme T ∞ com um coeficiente de transferência de calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condições de contorno do problema.

Fig. 3.3 Nomenclatura para análise global do fluxo transiente de calor em uma placa.

Vamos admitir áreas iguais A na transferência de calor em ambas as faces da placa. O balanço de energia, neste caso particular dá Aq + Ah[T ∞ − T (t )] = ρ c p AL

dT (t )

q + h[T ∞ − T (t )] = ρ c p L

com a condição inicial

dt dT (t ) dt

em t = 0

T(t) = T o

em t > 0

3-10a 3-10b

Para conveniência na análise, definimos uma nova temperatura θ (t) θ (t) = T(t) - T ∞

Dessa forma, as Eqs. = 3.10 são escritas d θ (t )

+ mθ (t ) = Q dt θ (t) = T o - T ∞ ≡ θ o

em t > 0

3-11a

em t = 0

3-11b

onde definimos m≡

h

ρ c p L

e

Q≡

q

ρ c p L

A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução particular na forma θ (t) = Ce-mt + θ p

3-12

onde C é a constante de integração. A solução particular θ p é dada por θ p =

Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos

Q m

3-13


25

θ (t ) = Ce −mt +

Q

3-14

m

A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como θ o = C +

Q

3-15

m

Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de calor: θ (t ) = θ o e −mt + (1 − e −mt )

Q

ou

m

θ (t ) = θ o e −mt + (1 − e −mt )

q h

3-16

Para t → ∞ , esta solução simplifica-se em θ (∞ ) =

que é a temperatura estacionária da placa.

Q m

=

q h

3-17

3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado. Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos, com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis , como será descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego. Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme T i. De repente, a t = 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T ∞ e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de fig. 3.4b, é dada por


26

(a) (b) Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa .

∂ 2T 1 ∂T = ∂ x 2 α ∂t ∂T =0 ∂ x ∂T k + hT = hT ∞ ∂ x

T = Ti

em 0 < x < L, e t > 0

3.18a

em x = 0, e t > 0

3.18b

em x = L, e t > 0

3.18c

em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L

3.18d

3.3.1) Equações Adimensionais O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais: T ( x, t ) − T ∞ 3.19a θ = = temperatura adimensional T i − T ∞

X =

x

Bi =

τ =

= coordenada adimensional

L hL

k α t

L2

= número de Biot

= tempo adimensional, ou número de Fourier

3.19b 3.19c 3.19d

Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em ∂ 2θ ∂θ = ∂ X 2 ∂τ ∂θ =0 ∂ X ∂θ + Biθ = 0 ∂ X θ = 1

em 0 < X < 1, e τ > 0

3.20a

em X = 0, e τ > 0

3.20b

em X = 1, e τ > 0

3.20c

em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d O significado físico do tempo adimensional τ , ou número de Fourier, visualiza-se melhor se a equação 3.19d for reordenada na forma


27

taxa de condução de calor ao longo de L no volume α t k (1 / L) L2 L3 , W/ o C 3.21a τ = 2 = = L ρ c p L3 / t taxa de retenção de calor ao longo de L no volume L3 , W/ o C Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier, mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo. O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma coeficient e de transferê ncia de calor na superfície do sólido hL h 3.21b Bi = = = condutância do sólido no k k / L comprimento L Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a condutância do sólido sobre o comprimento característico. Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parâmetros físicos: x, t, L, k, α , h, T ,i T ∞

Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três seguintes parâmetros adimensionais: X, Bi, e τ Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referência rápida.

3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano central T o ou θ (0, τ ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T ∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a


28

análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro da placa com a temperatura do plano central, T o. Se soubermos a temperatura T o, saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa. Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado para que a análise global do sistema fosse aplicável.

Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a convecção em ambas as faces. (a) Temperatura To no plano central x=0; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).


29

A Fig.3.6 Mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional, em vários valores do número de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a quantidade total de energia perdida pela placa até certo tempo t , durante a transferência de calor. A quantidade Qo, definida como Qo = ρ c pV(T i - T ∞ )

3.22

representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente.

Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L.

3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da transferência de calor, semelhantes aos que estão nas Figs 3.5 e 3.6, também podem ser calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera.

3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo Considere a condução de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme T i. Repentinamente, no tempo t = 0, a superfície em r = b é sujeita a convecção, com um coeficiente de transferência de calor h para um ambiente à temperatura T ∞ e mantida assim em t > 0. A formulação matemática deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como 1 ∂  ∂θ  ∂θ em 0 < R < 1, e τ > 0 3.23a  R  = R ∂ R  ∂ R 

∂τ

Apostila de Transferência de Calor e Massa ∂θ =0 ∂ R ∂θ + Biθ = 0 ∂ R θ = 1

30

em R = 0, e τ > 1

3.23b

em R = 1, e τ > 0

3.23c

em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0

3.23d

onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte Bi =

τ = θ = R =

hb

k α t

= número de Biot

= tempo adimensional, ou número de Fourier

3.24b

= temperatura adimensional

3.24c

b2 T (r , t ) − T ∞ T i − T ∞ r b

3.24a

= coordenada radial adimensional

3.24d

O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro T o ou θ (0,τ ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio T o. Por isso, dada T o, as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.


31

Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).

A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t , durante a transferência transiente de calor.


32

Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b 3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme T i e em t > 0, sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h, para um ambiente à temperatura T ∞, o problema da condução transiente de calor é dado na forma adimensional como 1 ∂  2 ∂θ  ∂θ em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a  R = 2 R ∂ R 

∂ R 

∂θ =0 ∂ R ∂θ + Biθ = 0 ∂ R θ=1

∂τ

em R = 0, e τ > 0

3.24b

em R = 1, e τ > 0

3.24c

em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24. A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro T o, ou θ (0,τ ), da esfera em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da esfera e a temperatura no centro T o.


33

Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b. (a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a).

A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente.


Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b

34


35

4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise, simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de calor. Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de calor e revelar as várias correlações na transferência de calor. Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento. A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de temperaturas no campo do escoamento. A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de calor e a força de arraste. As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a análise dos problemas mais simples de transferência de calor. Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e apresentam-se as equações das camadas limites.

4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para


36

modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica .

4.1.1) Camada limite cinética Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido quando o fluido se move em uma região afastada afastada da face da placa; a distâncias suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ (x) (x), medida a partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da velocidade da corrente livre u∞ , isto é, u = 0,99 u∞ . O lugar geométrico destes pontos, onde u = 0,99 u∞ , é a camada limite cinética δ (x) (x). Com o conceito de camada limite cinética assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da camada limite, na região de escoamento potencial , os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são desprezíveis.

Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana

Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de Reynolds . No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é definido por


Re x ≡

37

u ∞ x

(4.1)

ν

onde u∞ = velocidade da corrente livre x = distância à borda frontal ν = viscosidade cinemática do fluido A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor crítico. Depois de este número de Reynolds Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado, na maior parte das finalidades analíticas, como Re x ≡

u∞ x v

≅ 5 x105

(4.2)

Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é sempre turbulenta para Re x ≥ 4x106. Na camada limite turbulenta próxima da parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distância à parede. A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo. Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A velocidade da da corrente livre u∞ ( x) não é constante, mas varia com a distância ao longo da superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta situação particular. A espessura da camada limite δ ( x) cresce com a distância x ao longo da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x, o perfil de velocidade u ( x, y) mostra um ponto de inflexão, isto é, δ u / ∂ y se anula na superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais aplicável.


38

Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo

4.1.2) Coeficiente de arraste e força de arraste Suponha que o perfil de velocidade u ( x, y ) na camada limite seja conhecido. A tensão de cisalhamento τ x que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a partir de sua definição por ∂u ( x, y) τ x = µ ∂ y y = 0

(4.3)

A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendose a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local τ x por unidade de área está relacionada com o coeficiente local de arraste c x pela relação τ x = c x

ρ u ∞2

(4.4)

2

onde ρ é a densidade do fluido e u ∞ é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos: c x =

2ν ∂u ( x, y) u ∞2

∂ y

(4.5) y = o

Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de velocidade u ( x, y ) , na camada limite for conhecido. O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como 1 L Cm = ∫ x =o c x dx L


39 (4.6)

Sabendo o coeficiente médio de arraste C m, podemos calcular a força de arraste F, que está atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula F = wLC m

ρ u ∞2

4.1.3) Camada limite térmica

2

(N)

(4.7)

Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido. Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme T ∞ que escoa sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante T W . Sejam x e y os eixos coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na figura 4.3.

Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria

Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como θ ( x, y) =

T ( x, y ) − T W T ∞ − T W

(4.8)

onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido é igual à temperatura da parede; portanto θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa)

(4.9 a)

A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma T ∞ ; então θ ( x, y) → 1 a medida que y → ∞ (4.9 b)


40

Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição y = δ ( x ) no fluido onde θ ( x, y ) seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde θ ( x, y ) =0,99 é chamado a camada limite térmica δ ( x) . A espessura relativa da camada limite térmica δ t ( x) frente a camada limite cinética δ ( x) depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, δ t ( x) = δ ( x ). A camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1, como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr >1.

4.1.4) Coeficiente de transferência de calor Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida. Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por ∂T ( x, y ) (4.10 a) q ( x) = κ ∂ y

y = 0

onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa: q( x) = h( x)(T ∞ − T W )

(4.10 b)

Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos

[∂T ∂ y ] y = 0

h( x) = k

T ∞ − T W

(4.11 a)

Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional θ ( x, y) como ∂θ ( x, y ) ∂ y y =0

h( x) = k

(4.11 b)

Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional θ ( x, y ) na camada limite térmica. O coeficiente de transferência de calor médio h m sobre a distância x=0 até x=L, ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de hm =

1 L

L

∫ 0 h( x)dx

(4.12)


41

Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio h m, podemos determinar a taxa de transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w. Q = wLhm (T ∞ − T W )

(4.13)

4.1.5) Relação entre c x e h(x) Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana, Cx

2

= 0,332 Re x−1

Nu x =

2

0,332 Pr1 3 Re x1

(4.14 a) 2

(4.14 b)

Definimos o número de Stanton local, Stx, como St x =

h( x)

ρ c pu∞

que pode ser reordenado na forma St x =

h( x ) x / k

Nu x

=

(v / α )(u∞ x / v) Pr Re x Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como St x =

0,332 Pr −2 3 Re x−1

2

(4.14 c)

Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o coeficiente de arraste: St x

Pr 2 / 3 =

Cx

2

(4.15 a)

Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente local de arraste c x ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor. Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como St m

Pr 2 / 3 =

C m

2

(4.15 b)


42

onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de arraste.

4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular.

4.2.1) Camada limite cinética Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig. 4.4.

Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um t ubo circular

O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme u 0 . Quando o fluido entra no tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cinética δ ( z ) cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com a distância ao longo do tubo. Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar. No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por


Re ≡

43

u m D

(4.16)

v

é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta definição u m é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observase ordinariamente escoamento turbulento para Re =

u m D v

> 2300

(4.17)

Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície, das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode ocorrer no domínio 2000
4.2.2) Fator de atrito e perda de carga Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/ dz associado ao escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/ dz sobre o comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/ dz, consideremos um balanço de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5)

Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume

( PA) z − ( PA) z + ∆ z = S∆ zτ w dP

S

π D

4

(4.18 a) τ w D (π / 4) D onde A é a área de seção reta e S é o perímetro. A tensão de cisalhamento τ w na parede está relacionada com o gradiente de velocidade por dz

=−

A

τ w = −

τ = − 2 w


44

∂u ∂u τ w = µ = − µ ∂ y parede ∂r parede

(4.18 b)

uma vez que r= D/2 – y. Então, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos dP dz

=

4µ ∂u

(4.18 c)

D ∂r parede

Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/ dz, pois exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f. dP dz

= − f

ρ u m2

(4.18 d)

2 D

onde um é a velocidade média do escoamento dentro do tubo e ρ é a densidade do fluido. Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtém-se a seguinte expressão para o fator de atrito: 8 µ ∂u f = − (4.18 e) 2 ρ u m ∂r parede

Portanto, dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e). Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2 ≡ ∆P sobre a distância z2 – z1 ≡ L no tubo é determinada pela integração da Eq. (4.18 d):

∫

P2

P1

dP = − f

ou a perda de carga ∆P fica ∆P = f

2 L ρ u m

D

2

ρ u m2

2 D

Z 2

∫

Z 1

dz

N

(4.19 a)

m2

Se M for a vazão, em metros cúbicos por segundo, através do tubo, a potência da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga ∆P se torna Potência da bomba = ( M

m3 s

Potência da bomba = M ∆P

)(∆P N .m s

N m2

)

ouW

(4.19 b)

4.2.3) Camada limite térmica No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, é mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma


45

região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o conceito é possível. Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e axial. Define-se uma temperatura adimensional θ (r , z) como θ (r , z ) =

T (r , z ) − T w ( z ) T m ( z ) − T w ( z )

(4.20a)

onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo Tm(z) = Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z T(r,z) = temperatura local do fluido Evidentemente, θ (r , z ) é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no eixo do tubo. Então visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite térmica paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica δ t ( z) cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do perfil da temperatura adimensional θ (r , z ) muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo do tubo, isto é, θ (r ) =

T (r , z ) − T w ( z ) T m ( z ) − T w ( z )

(4.20 b)

É difícil explicar qualitativamente por que θ (r ) deve ser independente da variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a temperatura adimensional θ (r ) depende somente de r para valores suficientemente grandes de z.

4.2.4) Coeficiente de transferência de calor Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse. Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o fluido e a superfície da parede. Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial, respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por


46 ∂T (r , z ) ∂r parede

q( z ) = − K

(4.21 a)

onde k é a condutividade térmica do fluido. Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade, define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z) q( z ) = h( z )[T m ( z ) − T w ( z )]

(4.21 b)

onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo na posição z Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferência de calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas. Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z). Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos: k ∂T (r , z ) (4.22 a) h( z ) = − Tm( z ) − Tw( z )∂r r = Rparede onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, são determinadas por R

∫ Tm( z ) = 0

u ( r )T ( r , z )2π rdr

R

u (r )T (r , z ) 2π rdr ∫ 0 = u m π R 2

R

∫ 0 u (r )2π rdr

(4.22 b)

T w ( z ) = T ( r , z ) r = Rparede

(4.22 c) A temperatura média do fluido Tm(z) é uma definição baseada no transporte de energia térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção transversal, pois a grandeza " ρ c p ut " representa o fluxo de energia por unidade de área. Num fluido incompressível, de propriedades constantes, o termo ρ c p cancela-se no numerador e no denominador de (4.22 b). A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional θ (r , z ) definida pela Eq. (4.20 a) como ∂θ (r , z ) h( z ) = −k (4.23 a) ∂r

r = Rparede

Na região termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional θ (r ) é independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a


d θ (r ) h = −k dr

47

(4.23 b) r = Rparede

onde θ (r ) é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede. As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida.

4.3) PARÂMETROS ADIMENSIONAIS Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais, como os números de Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado físico destes parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do fluido, ou com a transferência de calor. Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma Re =

u∞ L v

=

u∞2 / L vu∞ / L2

= força de inércia/força viscosa

(4.24 a)

Então, o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa. Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds pequenos, e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes. Lembremo-nos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a transformação do escoamento laminar em turbulento. O número de Prandtl pode ser escrito na forma Pr =

c p µ k

=

v µ ρ = = difusividade molecular do momento/difusividade molecular do k /( ρ c p ) x

calor (4.24 b) Representa, portanto, a importância relativa do transporte de momento e energia no processo de difusão. Nos gases com Pr ≅ 1, a transferência de momento e energia pelo processo de difusão é equilibrada. Nos óleos, Pr > 1 , e daí se vê que a difusão de momento é muito maior do que a difusão de energia; mas, nos metais líquidos, Pr<1, e a situação é inversa. Lembramos que, na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana, a espessura relativa das camadas limite cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl. Considere o número de Nusselt, baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma


Nu =

hL k

=

48 h∆T

k ∆T / L

(4.25 a)

onde ∆ T é a diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e a temperatura dos fluidos. Então o número de Nusselt pode ser interpretado como a razão entre a transferência de calor por convecção e por condução através de uma camada do fluido de espessura L. Com base nesta interpretação, o valor do número de Nusselt igual a zero implica que não há convecção – A transferência de calor se efetua por pura condução. Um valor maior do número de Nusselt implica um aumento de transferência convectiva de calor. O número de Stanton pode ser reordenado como St =

h

ρ c p um

=

h∆T

ρ c p um ∆T

(4.25 b)

onde ∆T é uma diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e o fluido. O numerador representa o fluxo de calor para o fluido, e o denominador representa a capacidade de transferência de calor do escoamento do fluido. O parâmetro adimensional, o número de Eckert, definido como E ≡ u 2 ∞ /(Cp∆T ), surgem freqüentemente em problemas de transferência de calor em alta velocidade. O número de Eckert pode ser reordenado como E =

u ∞2 Cp∆T

=

u ∞2 / Cp

∆T

(4.26)

Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura Aqui, u ∞2 /(2C p ) representa uma elevação ideal de temperatura, se um gás ideal com a velocidade u ∞ fosse reduzido adiabaticamente à velocidade zero. Esta definição implica que, se o número de Eckert for pequeno, os efeitos da geração viscosa da energia devido ao movimento do fluido podem ser desprezados em comparação com as diferenças de temperaturas envolvidas no processo de transferência de calor. Lembramos que o termo da dissipação viscosa de energia, que apareceu na equação da energia, e a grandeza do número de Eckert tornam-se o critério para decidir se os efeitos de dissipação viscosa de energia devem ser considerados na análise da transferência de calor.


49

5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 5.1) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR Os problemas de transferência de calor estacionária e de perda de carga na convecção laminar forçada dentro de um tubo circular, em regiões afastadas da entrada, onde os perfis de velocidades e de temperaturas estão plenamente desenvolvidos, têm grande interesse em numerosas aplicações de engenharia. O fator de atrito e o coeficiente de transferência de calor no escoamento são determinados, respectivamente, a partir do conhecimento da distribuição da velocidade e da distribuição de temperaturas no fluido.

5.1.1) Fator de atrito Considere um fluido incompressível, de propriedades constantes, em uma convecção laminar forçada dentro de um tubo de raio R, na região onde o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido. O fator de atrito no escoamento, no interior de um tubo circular, está relacionado com o gradiente de pressão nas paredes pela Eq. (4.18e) 8 µ du (5.1) f = − 2 ρ u m dr r = R

A distribuição de velocidades u(r) pode ser determinada a partir da solução das equações do movimento. Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, as equações do movimento se reduzem à simples equação escrita na forma: 1 d

(r

r dr

du

)=

dr

1 dP µ dz

em 0 < r < R

(5.2)

sujeita às condições de contorno du/dr = 0 em r = 0 u = 0 em r = R

(5.3a) (5.3b)

A primeira condição de contorno é a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do tubo, e a segunda é a nulidade da velocidade nas paredes. No escoamento laminar estacionário, plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, o gradiente de pressão dP/dz é constante. Então, a solução da Eq. (5.3) dá o perfil das velocidades plenamente desenvolvido u(r). u (r ) = −(

r 1 dP 2 ) R [1 − ( ) 2 ] 4 µ dz R

(5.4)


50

Aqui, a velocidade u(r) é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva dos z, mas o gradiente de pressão dP/dz é uma grandeza negativa. A velocidade média do escoamento um, sobre a seção reta do tubo, é determinada a partir da definição, e fica R 2 dP 1 R 2π ru (r )dr = − (5.5) um = 8 µ dz π R 2 ∫ 0 uma vez que u(r) é dada pela Eq. (5.4). O significado físico da velocidade média u m , implica que a vazão através do tubo é determinada por vazão = (área da seção reta) u m = π R 2 u m Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos u (r ) um

r

= 2[1 − ( ) 2 ] R

(5.6)

Esta relação mostra que o perfil de velocidades u(r)u m na região hidrodinamicamente desenvolvida é parabólico. A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq. (5.4) quando se faz r = 0; 2

R dP

u0 = −

(5.7)

4 µ dz

Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento: u 0 = 2u m

(5.8)

O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na região hidrodinamicamente desenvolvida, é determinado quando se obtém o gradiente da velocidade a partir da Eq. (5.6) du (r ) dr

=−

4u m

r = R

R

=−

8u m D

(5.9)

e se introduz este resultado na Eq. (5.1), f =

64 µ ρ u m D

=

64 Re

(5.10 a)

onde D é o raio interno do tubo e Re = é o número de Reynolds.

ρ u m D u m D = v µ

(5.10 b)


51

Na literatura, o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico. Se f r representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico, ele está relacionado com o fator de atrito definido pela Eq. (5.10 a) por f = 4f r. Isto é, a Eq. (5.10 a), na representação de f r, seria f r = l6/Re, onde Re = ρ u m D / µ . Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação de Hagen-Poiseuille para o fator de atrito em tubos, em virtude dos dados experimentais de Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille.

5.1.2) Coeficiente de transferência de calor. O coeficiente de transferência de calor no escoamento interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, está relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq. (4.23 b) . d θ (r ) (5.11) h = − k dr

r = R

onde θ (r) é definida pela Eq. (4.20b): θ (r ) =

T (r , z ) − T w ( z ) T m ( z ) − T w ( z )

(5.12)

Para determinar h, é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento, o que pode ser estabelecido a partir da solução da equação da energia. . Na região hidrodinamicamente desenvolvida, a equação da energia, no escoamento laminar de um fluido incompreensível, dentro de um tubo circular, com dissipação viscosa da energia desprezível pela equação: ∂T 1 ∂ ∂T ∂ 2T (r ) + u (r ) = α ∂ z r ∂r ∂r ∂ z 2

1

(5.13)

Em geral, esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de temperaturas no escoamento, e sua solução é bastante complicada. Entretanto, na convecção forçada, no interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, com temperatura da parede constante, ou com fluxo de calor na parede constante, pode-se demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial, na Eq. (5.13), reduz-se a uma constante, isto é, ∂T = constante ∂ z

Então, a equação diferencial parcial (5.13) se reduz a uma equação diferencial ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T®, pois o termo ∂ 2T / ∂ z 2 se anula para ∂t / ∂ z constante. Vamos examinar agora o problema da transferência de calor com a condição de contorno, fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede, na convecção forçada, no interior de um tubo circular.

5.1.3) Fluxo de calor constante . Demonstra-se que, na condição de fluxo de calor constante na parede, o gradiente de temperatura na direção do escoamento, em qualquer


52

ponto do fluido, é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido. Isto é, ∂T ( r , z ) dT m( z ) = = constante dz ∂ z

(5.14)

Este resultado implica que, com o fluxo de calor constante na parede, a temperatura média do escoamento Tm(z), na região termicamente desenvolvida, cresce linearmente com a distância z ao longo do tubo. Quando a Eq. (5.14) for introduzida na Eq. (5.13), o termo ∂ 2T / ∂ z 2 se anula para ∂t / ∂ z constante, e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para T(r): dT m( z ) 1 d dT 1 (r ) = u (r ) (5.15) r dr

α

dr

dz

Esta equação escreve-se em termos da temperatura adimensional θ (r), definida pela Eq. (5.12), como 1 d r dr

(r

d θ

)=

dr

1 α

u ( r )

dT m ( z ) dz

[T m( z ) − T w( z )] -1

(5.16 a)

onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.6) r u ( r ) = 2u m [1 − ( ) 2 ] R

(5.16 b)

As Eqs. (5.16 a) e (5.16 b) são combinadas e escritas mais compactamente como d dr

(r

d θ dr

r

) = Ar [1 − ( ) 2 ] em 0 < r < R R

(5.17 a)

onde a constante A é definida por A =

2u m dT m( z ) = constante α [T m ( z ) − T w( z )] dz

(5.17 b)

As condições de contorno para a Eq. (5.17) são d θ dr

= 0 em r = 0

θ = 0 em r = R

(5.18 a) (5.18 b)

A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo, e a segunda resulta da definição de θ dada pela Eq. (5.12), pois θ deve ser zero nas paredes.


53

A Eq. (5.17 a) é semelhante à equação de condução de calor estacionária, em coordenadas cilíndricas, e pode ser integrada facilmente, sujeita às condições de contorno das Eqs. (5.18), para dar  3 1  r  4 1  r  2  θ (r ) = − AR  +   −    16 16  R  4  R   2

(5.19)

A constante desconhecida A que aparece nesta equação pode ser determinada empregandose a definição da temperatura média global do fluido. De acordo com a definição da temperatura média global do fluido, dada pela Eq. (4.22b), escrevemos R

θ (m) =

∫ 0 u(r )θ (r )2π rdr u mπ R

2

(5.20)

onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.16 b), isto é, r 2 u (r ) = 2u m [1 − ( ) ] R

(5.21)

As Eqs. (5.19) e (5.21) são introduzidas na Eq. (5.20) e as integrações são feitas. Obtém-se 11 AR 2 θ m = (5.22 a) 96 Também, a definição de θ (r) dada pela Eq. (5.12) permite-nos escrever θ m =

T m( z ) − T w( z ) T m , ( z ) − T w( z )

=1

(5.22 b)

Igualando (5.22a) e (5.22b), encontramos 2

AR = −

96 11

(5.23)

Introduzindo este resultado de AR 2 na Eq. (5.19), obtemos 4 2 96  3 1  r  1  r   θ (r ) =  +   −    11 16 16  R  4  R  

(5.24)

A Eq. (5.24) é o perfil de temperaturas adimensionais, na convecção forçada, em um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de


54

contorno fluxo de calor constante na parede. Lembramos que este perfil de temperaturas foi empregado para determinar o coeficiente de transferência de calor. Dado o perfil de temperaturas no fluido, o coeficiente de transferência de calor h é obtido imediatamente a partir de sua definição dada pela Eq. (5.11): h=

48 k 11 D

(5.25 a)

ou Nu ≡

hD k

=

48 = 4,364 11

(5.25 b)

onde D é o diâmetro interno do tubo e Nu é o número de Nusselt. O resultado das Eqs. (5.25) representa o coeficiente de transferência de calor, na convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede.

5.1.4) Parede com temperatura constante . O problema de transferência de calor descrito acima, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, também pode ser resolvido com a condição de contorno parede com temperatura constante; mas a análise é mais elaborada e não será apresentada aqui. O resultado é Nu ≡

hD k

= 3,657

(5.26)

que representa o número de Nusselt (ou o coeficiente de transferência de calor) na convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno parede com temperatura constante.

5.1.5) Estimativa das propriedades físicas . Nos resultados dados pelas Eqs. (5.25) e (5.26), a condutividade térmica do fluido k depende da temperatura. Quando a temperatura do fluido varia ao longo do tubo, k pode ser calculada pela temperatura média global do fluido tb, definida como 1 (5.27) T b = (Ti + To) 2 onde Ti = temperatura volumar do fluido na entrada e To = temperatura volumar do fluido na saída.

5.1.6) Média logarítmica e média aritmética das diferenças de temperaturas . A média logarítmica (MLDT) das duas grandezas ∆T 1e∆T 2 é definida como


∆T ln =

55 ∆T 1 − ∆T 2 ln(∆T 1 / ∆T 2 )

(5.28 a)

enquanto a média aritmética (MA) de ∆T 1e∆T 2 é definida como ∆T MA =

1 (∆T + ∆T 2 ) 2 1

(5.28 b)

5.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES RETAS TRANSVERSAIS O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e temperatura estão plenamente desenvolvidos. Se a seção transversal do duto não for circular, então a transferência de calor e o fator de atrito, em muitos casos de interesse prático, podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh, definido como Dh =

4 Ac

(5.29)

P

onde Ac = Área de seção reta transversal do escoamento e P = perímetro molhado. Então, os números de Nusselt e de Reynolds, nestes casos são Nu =

Re =

hD h K u m D h v

(5.30 a) (5.30 b)

5.2.1) Comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica L h e o comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos. O comprimento da entrada hidrodinâmica L h é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir da entrada do duto, necessária para que se atinja uma velocidade máxima correspondente a 99% da grandeza plenamente desenvolvida. O comprimento da entrada térmica L t é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir do começo da seção de transferência de calor, necessária para se atingir um número de Nusselt local Nux igual a 1,05 vez o valor plenamente desenvolvido. Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no n o duto, tanto a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver imediatamente, e Lh e L t são ambos medidos a partir da boca do tubo, como está na Fig. 5.1a. Em algumas situações, a transferência de calor para o fluido começa após uma seção isotérmica acalmante, como está na Fig. 5.1b. Neste caso, L h é medido a partir da entrada do duto, pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a


56

entrada do fluido no duto, mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência de calor, pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência transferência de calor. Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica, no escoamento laminar no interior de condutos, foram dados por vários autores. Apresentamos na Tabela 5.1 o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos de várias seções transversais, baseados na definição mencionada anteriormente. Incluímos nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da parede constante e fluxo de calor constante nas paredes, num escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento. Nesta tabela, Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro. Notamos, na Tabela 5.1, que, numa dada geometria, o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds, enquanto o comprimento da entrada térmica Lt depende do número de Péclét, Pe, que é igual ao produto dos números nú meros de Reynolds e Prandtl. Por isso, líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade têm Lh e Lt com grandezas comparáveis; nos fluidos como os óleos, que têm um número de Prandtl grande, temos Lt>Lh e, nos metais líquidos, que tem um número de Prandtl pequeno, temos Lt
Fig. 5.1 comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica: (a) a transferência de calor se inicia na boca do duto; (b) a transferência de calor se inicia depois de uma seção isotérmica.


57

Tab. 5.1 Comprimento da entrada hidrodinâmica e térmica L h Lt no escoamento laminar no interior de dutos

Os comprimentos da entrada térmica, dados na Tabela 5.1, valem no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e se desenvolvendo termicamente. Como discutiremos mais tarde, em muitos casos os perfis de velocidades e de temperaturas se desenvolvem simultaneamente na região de entrada. Este escoamento é o escoamento com desenvolvimento simultâneo. Os comprimentos da entrada térmica no escoamento com desenvolvimento simultâneo simultâneo também dependem dependem do número de Prandtl. Por exemplo, no escoamento que se desenvolve simultaneamente dentro de um tubo circular, com temperatura constante nas paredes, o comprimento da entrada térmica L t é Lt DPe

= 0,037 com Pr =0,7

que deve ser comparada com Lt DPe

= 0,033.com. Pr → ∞

que corresponde ao número dado na tabela 5.1 para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento. Portanto, L t cresce quando o número de Prandtl diminui e é uma função fraca de número de Prandtl para Pr > 0,07.

5.3 ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS O escoamento turbulento é importante nas aplicações de engenharia, pois aparece na grande maioria dos problemas de escoamento de fluido e transferência transferência de calor encontrados na prática da engenharia.


58

5.3.1) Fator de Atrito e perda de carga Considere um escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, com uma velocidade média de u m através de um tubo circular de diâmetro interno D. A perda de carga ∆P sobre o comprimento L do tubo pode ser determinada segundo a equação: 2 L ρ .u m  N   2 ∆P = f D 2  m 

(5.31)

onde: f = fator de atrito no escoamento. O fator de atrito no escoamento laminar, dentro de um tubo circular, pode ser encontrado por método puramente teórico e demonstrou-se que vale

64 f = . Re

No caso de escoamento turbulento, entretanto um certo empirismo se

introduz em sua dedução, pois se emprega um perfil de velocidades semi-empírico nesta análise.

1

= 2,0 log(Re f ) − 0,8

(5.32 a) f Esta relação concorda com as experiências e é utilizada para determinar o fator de atrito no escoamento turbulento, no interior de canos lisos. A fig. 5.2 mostra a comparação entre a equação (5.32 a) e as experiências de vários pesquisadores; aqui, as experiências de Nikuradse cobrem uma faixa de número de Reynolds até 3,4x106. A equação implícita (5.32 a) é aproximada quase exatamente pela seguinte expressão explícita

f =

(1,82 log Re− 1,64) − 2

(5.32 b)

NiKuradse fez extensas experiências com escoamento turbulento no interior de canos artificialmente rugosos, em uma faixa muito grande de rugosidade relativa

λ

( isto é, a D altura da saliência dividida pelo diâmetro), de cerca de 1/1000 até 1/30. A rugosidade do grão de areia, utilizada nessas experiências, foi adotada como padrão para efeitos de rugosidade. Também foi desenvolvida uma correlação do fator de atrito para o escoamento turbulento no interior de tubos rugosos baseada em experiências feitas com tubos rugosos. A fig. 5.3 mostra uma carta do fator de atrito, originalmente apresentada por Moody para o escoamento turbulento no interior de tubos lisos e rugosos. A curva do tubo liso é baseada na equação T 0.em. y = 0 T ( y) =   T 1 .em. y = L 


Também está incluído nesta figura o fator de atrito f = interior de tubos circulares.

59

64 do escoamento laminar no Re

Fig. 5.2. Lei de atrito no escoamento turbulento dentro de tubos lisos e dados experimentais de vários pesquisadores.

É evidente que, no escoamento laminar, a rugosidade da superfície não tem efeito sobre o fator de atrito; no escoamento turbulento, entretanto, o fator de atrito é um mínimo para o tubo liso. O escoamento laminar está confinado à região Re < 2000. A turbulência transicional ocorre na região 2000104. Nos tubos lisos, foram dadas expressões analíticas mais simples, porém aproximadas, para o fator de atrito na forma f = 0,316Re-0,25 para Re < 2 x 104 f = 0,184Re-0,2 para 2 x 104

Fig. 5.3. Fator de atrito para ser utilizado na relação

60

∆P = f ( L / D )( ρ .U 2 m / 2

para

a perda de carga em um escoamento no interior de tubos circulares. ( De Moody.)

5.4) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Uma vez que a análise de transferência de calor no escoamento turbulento é muito mais elaborada do que no escoamento laminar, foi desenvolvido um grande número de correlações empíricas para determinar o coeficiente de transferência de calor. Apresentaremos algumas destas correlações.

5.4.1) Equação de Colburn. Nu = 0,023 Re0,8 Pr1/ 3

(5.33)

onde Nu = hD/ K, Re = u m D / v, e Pr = ν / α . A equação (5.33) pode ser aplicada quando 0,7 < Pr < 160 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos

5.4.2) Equação de Dittus-Boelter. Nu = 0,023 Re0,8 Pr n

(5.34)

onde n = 0,4 no aquecimento (Tw > Tb) e n = 0,3 no resfriamento (Tw < Tb) do fluido. A faixa de aplicabilidade é a mesma que a da equação de Colburn.

5.4.3) Equação de Sieder e Tate. Nas situações que envolvem grande variações de propriedades: Nu = 0,027 Re0,8 Pr1/ 3 ( µ .b / µ .w ) 0,14

(5.35)

Esta equação é aplicável quando 0,7 < Pr < 16700 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos Todas as propriedades são estimadas na temperatura média global do fluido T b, exceto µ w que é calculado à temperatura da parede.

5.4.4) Equação de Petukhov . As relações que acabamos de apresentar são relativamente simples, mas dão um erro máximo de ± 25% na faixa de 0,67 < Pr < 100 e podem ser aplicadas no escoamento turbulento em dutos lisos. Uma correlação mais precisa, que é também aplicável em dutos


61

rugosos, foi desenvolvida por PetuKhov e colaboradores no Instituto de Altas Temperaturas de Moscou: n Re . Pr f  µ b    N u = X 8  µ w  (5.36) 1 / 2

X = 1,07 + 12,7(Pr

2 / 3

 f  − 1)   8 

n = 0,11 aquecimento com Tw uniforme (Tw > Tb) 0,25 esfriamento com Tw uniforme ( Tw < Tb) 0 fluxo de calor uniforme na parede ou gases As Eqs. (5.36) são aplicáveis no escoamento turbulento plenamente desenvolvido na faixa 104 < Re < 5x106 0,5 < Pr < 200 com erro de 5 a 6% 0,5 < Pr < 2000 com erro de 10% 0,08 < Notamos que

µ w µ b

µ w µ b

< 40

< 1 quando o líquido for aquecido e

µ w µ b

> 1 quando o líquido for

resfriado. Todas as propriedades físicas, exceto µ w , são estimados na temperatura média global. O fator de atrito f , nas equações (5.36), pode ser estimado pelo diagrama de Moody para tubos lisos, ou obtido da carta de Moody (fig. 5.3) para tubos lisos ou rugosos.

5.4.5) Equação de Nusselt . As relações anteriores são aplicáveis no domínio L/D > 60. Nusselt estudou os dados experimentais com L/D de 10 a 100 e concluiu que h, neste domínio, é aproximadamente proporcional a (D/L)1/ 8. Daí substituiu a Eq. (5.35) por 0,8

1 / 3  D 

Nu = 0,036 Re Pr 

  L 

0, 055

em10 <

L D

< 400

(5.37)

onde L é o comprimento medido do princípio da seção de transferência de calor, e as propriedades do fluido são calculadas à temperatura média global do fluido.

5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. O número de Nusselt é determinado teoricamente a partir da solução da equação da energia com o emprego de um perfil apropriado de velocidades no escoamento turbulento. O número de Nusselt resultante, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, foi expresso na forma


62

Nu = 5 + 0,016 Re a Pr b

(5.38)

onde a= 0,88 que é aplicável em

0,24 e 4 + Pr

b = 0,33 + 0,5e-0,6.Pr

0,1 < Pr < 104 104 < Re < 106 L

> 25

D A Eq. (5.38) correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representação mais exata do efeito do número de Prandtl. Pode ser preferida à Eq. (5.37).

5.5) TRANSFERÊNCIA DE CALOR NOS METAIS LÍQUIDOS Os metais líquidos são caracterizados pelo número de Prandtl muito baixo, variando de cerca de 0,02 a 0,003. Por isso, as correlações de transferência de calor das seções anteriores não se aplicam aos metais líquidos, pois sua faixa de validade não se estende a valores tão baixos do número de Prandtl. O Lítio, o Sódio, o Potássio, o Bismuto e o sódio-potássio estão entre os metais comuns de baixo ponto de fusão que são convenientes para a transferência de calor. Há interesse, para a engenharia na transferência de calor em metais líquidos, pois se podem transferir grandes quantidades de calor em altas temperaturas com diferença de temperatura relativamente baixa entre o fluido e a superfície da parede do tubo. As altas taxas de transferência de calor resultam da alta condutividade dos metais líquidos, comparada com a condutividade dos líquidos e gases ordinários. Por isso, são particularmente atraentes como meio de transferência de calor nos reatores nucleares e em muitas outras aplicações em alta temperatura e com elevado fluxo de calor. A principal dificuldade no emprego dos metais líquidos está em seu manuseio. São corrosivos e alguns podem provocar violentas reações quando entram em contato com o ar ou a água. Como se discutiu no Cap. 4, quando Pr<1, como nos metais líquidos, a camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética. Isto implica que o perfil de temperaturas, e, portanto, a transferência de calor nos metais líquidos não é influenciada pela subcamada laminar ou pela viscosidade. Desse modo, nesses casos, espera-se uma dependência bastante fraca entre a transferência de calor e o número de Prandtl. Por isso, a maior parte das correlações empíricas da transferência de calor com metais líquidos foi estabelecida fazendo-se o gráfico do número de Nusselt contra o número de Péclét, Pe = Re.*Pr. Esta situação, discutida inicialmente com referência ao escoamento sobre uma placa plana, também se aplica ao escoamento num tubo circular, como está ilustrado na figura 5.4. Nesta figura os números de Nusselt no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, sujeitos a um fluxo de calor constantes nas paredes, compiladas de várias fontes por Lubarsky e Kaufman, estão plotados contra os números de Péclét. Os dados parecem ter boa correlação, mas há também espalhamento. A explicação está nas dificuldades inerentes às experiências com metais líquidos, especialmente em ter que se tratar com altas temperaturas e diferenças de temperatura muito pequenas. O fato de alguns metais líquidos não molharem a superfície


63

sólidas também é considerado uma possível explicação para alguns valores medidos do número de Nusselt serem mais baixos do que as previsões teóricas. Resumiremos algumas correlações empíricas e teóricas para a transferência de calor nos metais líquidos, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, com fluxo de calor constante nas paredes e também temperatura constante da parede como condição de contorno.

Fig. 5.4. Números de Nusselt medidos no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, circulares, com fluxo de calor constante nas paredes.

5.5.1) Fluxo de calor uniforme nas paredes Lubarsky e Kaufman propuseram

a seguinte relação empírica para calcular o número de Nusselt, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos. Nu = 0,625 Pe 0,4 (5.39) número de Péclét ≡ Pe = Re . Pr para 102 < Pe < 10 4, L/D > 60, e as propriedades são calculadas à temperatura média global do fluido. Skupinski, Tortel e Vautrey , baseados nas experiências de transferência de calor feitas com

misturas de sódio e potássio, recomendaram a seguinte expressão para metais líquidos em escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de tubos lisos: Nu = 4,82 + 0,0185 Pe 0,827

(5.40)

para 3,6 x 10 3 < Re < 9,05 x 10 5, 10 2 < Pe <10 4 e L/D > 60. As propriedades físicas são calculadas à temperatura média global do fluido. A Eq. (5.39) prevê número de Nusselt mais baixo que a Eq. (5.40); é previsão conservadora.


64

5.5.2) Temperatura uniforme nas paredes utilizaram a analogia entre a transferência de momento e a transferência de calor e propuseram a expressão seguinte para metais líquidos em tubos lisos, com temperatura uniforme nas paredes: Seban e Shimazaki

Nu = 5,0 + 0,025 Pe 0,8

(5.41)

para Pe > 100, L/D > 60, e lpropriedades físicas calculadas à temperatura média global do fluido. Também foram desenvolvidas expressões para o número de Nusselt no escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos, sujeitos à condição de contorno temperatura uniforme nas paredes, mediante ajustes empíricos dos resultados das soluções teóricas. Apresentaremos agora os resultados destes ajustes: Sleicher e Tribus :

Azer e Chão:

Nu = 4,8 + 0,015 Pe 0,91 Pr 0,30 Nu = 5,0 + 0,05 Pe 0,77 Pr 0,25

para Pr < 0,05

para Pr < 0,1, Pe < 15000

Notter e Sleicher

Nu = 4,8 + 0,0156 Pe 0,85 Pr 0,08 para 0,004 < Pr <0,1, Re < 500000

(5.42) (5.43) (5.44)

6) CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS 6.1) COEFICIENTE DE TRANSFERËNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO SOBRE UMA PLACA PLANA Vamos considerar agora a transferência de calor para um fluido, ou de um fluido, que escoa sobre uma placa plana. Suponha que a transferência de calor se inicia na borda frontal da placa. Como foi discutido no Cap. 4, as camadas limite cinética e térmica começam a se desenvolver simultaneamente, e sua espessura relativa depende do valor do número de Prandtl. Se a distribuição de temperatura T(x, y) na camada limite for conhecida, o coeficiente de transferência de calor local h(x) pode ser determinado a partir de sua definição, dada na Eq. (4.11 a) como h( x ) = k

[∂T ∂ y ] y = 0 T ∞ − T W

(6.1)

onde T ∞ e Tw, são as temperaturas da corrente livre do fluido e da parede, respectivamente.


65

Apresentaremos primeiro uma análise aproximada da determinação da distribuição de temperaturas na camada limite térmica e, a seguir, o coeficiente de transferência de calor no caso especial em que Pr < 1, isto é, nos metais líquidos. A razão para considerar primeiro os metais líquidos está na simplicidade da análise neste caso particular; além disso, ela nos ajudará a aprofundar a compreensão do papel da camada limite térmica na transferência de calor. O caso de Pr = 1 (gases), que envolve análise mais elaborada, será considerado mais tarde.

6.1.1) Metais líquidos num escoamento laminar O número de Prandtl é muito baixo nos metais líquidos; por isso, a camada limite térmica é muito mais espessa que a camada limite cinética (isto é, δt> δ).

Fig. 6.1 Camadas limites cinética e térmica na transferência de calor em metais líquidos, Pr <1.

A Fig. 6.1 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se desenvolver a partir da borda frontal da placa plana. Sejam T ∞ e u∞ a temperatura e a velocidade do fluido, respectivamente, fora das camadas limites; T w é a temperatura da superfície da placa. Admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes, num escoamento bidimensional, estacionário, com dissipação viscosa de energia desprezível. A equação da energia, que governa a distribuição de temperaturas T(x, y) na camada limite térmica, é obtida pela equação: ∂T ∂T ∂ 2T u +v = α α 2 ∂ x ∂ y ∂ y

(6.2)

Para conveniência de análise, definimos uma temperatura adimensional θ (x, y) como θ ( x, y ) =

T ( x, y) − T w T ∞ − T w

(6.3)

onde θ(x, y) varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada limite térmica. Então, a equação da energia é escrita em termos de θ(x, y) como


66

∂θ ∂θ ∂ 2θ θ θ θ u +v = α α 2 para x > 0 ∂ x ∂ y ∂ y

(6.4)

e as condições de contorno são θ θ = 0 θ θ = 1

em y = 0 em y = δ δ t ( x )

(6.5 a) (6.5 b)

onde as Eqs. (6.5 a) e (6.5 b) dão, respectivamente, a temperatura na superfície da parede igual a Tw, e a temperatura na fronteira da camada limite térmica, com espessura δ δ t ( x ) , igual a T ∞ . A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada, pois as componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético antes que a equação da energia (6.4) possa ser resolvida. Entretanto, uma solução aproximada deste problema, com o método integral, é relativamente simples. Os passos básicos são os seguintes: A equação da energia (6.4) é integrada em relação a y na camada limite térmica, e a componente da velocidade v(x, y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação resultante, chamada a equação integral da energia, é dada por d 

dx 

δ t

∫ 0

u (1 − θ )dy  = α



d θ dy

em.0 ≤ y ≤ δ t

(6.6)

y =0

onde δ t ≡ δ t ( x) u ≡ u( x, y )eθ ≡ θ ( x, y ) . Até aqui, a análise e a Eq. (6.6) são exatas, mas esta equação não pode ser resolvida, pois ela envolve três incógnitas δ δ t ( x ) u ( x, y ), θ ( x, y ) . Por isso, precisamos de relações adicionais. Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolverem-se expressões analíticas simples para u(x, y) e θ θ (x, y) coerentes com a realidade física. Uma vez que a camada limite cinética é muito delgada, a velocidade do escoamento em uma grande porção da camada limite térmica é uniforme e igual a u ∞, como está ilustrado na Fig. 6.1. Por isso, numa primeira aproximação, o perfil de velocidades é tomado como u (x, y) = u ∞ = constante

(6.7)

O perfil de temperaturas θ θ (x, y) pode ser representado como uma aproximação polinomial dentro da camada limite térmica. Suponhamos uma aproximação cúbica para θ θ (x, y), com a forma θ θ (x,y)= c0 +c1(x)y + c2(x)y2 + c3(x)y3 em 0 ≤ y ≤ δ δ t ( x )

(6.8)

e que as quatro condições necessárias para determinar os quatro coeficientes tenham a forma


67

θ θ = 0 em y = 0 θ θ = 1 em y = δ δ t

(6.9 a) (6.9 b)

∂θ θ = 0 em y = δ δ t ∂ y

(6.9 c)

∂ 2θ θ =0 ∂ y 2

em y = 0

(6.9 d)

Notamos que as duas primeiras condições são as condições de contorno, a terceira está baseada na definição da camada limite térmica, e a última é obtida pela estimativa da equação da energia (6.4) em y = 0, observando-se que u = v = 0 na superfície da parede. A aplicação das condições (6.9) à Eq. (6.8) dá o perfil de temperaturas na forma 3

 y  1   y  3  θ θ ( x , y ) =   −   2  δ t  2  δ t   δ  δ

(6.10)

Os perfis de velocidades e de temperaturas, dados pelas Eqs. (6.7) e (6.10), são introduzidos na equação integral da energia (6.6). Obtemos  y    d  δ δ t  3 y 1  3     u 1 dy − + = α α  ∫  ∞ dx  ∫0  2 δ 2δ δ t    δ t 2  δ δ t      3

(6.11)

onde o segundo membro vem da relação [ ∂θ θ / ∂ y ] y = 0 = 3 / ( 2δ δ t ) . Quando se faz a integração em relação a y, a equação diferencial ordinária para a espessura δ δ t da camada limite térmica: 3 d δ δ t 3α α = u∞ 8 dx 2δ δ t ou (6.12) 4α α dx u∞ A integração da Eq. (6.12), com as condições δ δ t = 0 em x = 0, dá a espessura da camada limite térmica como 8α α (6.13 a) x δ δ t 2 = u∞ ou 8α α x (6.13 b) δ δ t = u∞ δ δ t d δ δ t =


68

O gradiente de temperatura na parede, com o perfil cúbico da temperatura, Eq. (6.10), fica ∂θ 3 θ = (6.14) ∂ y y = 0 2δ δ t e o coeficiente de transferência de calor, definido pela Eq. (6.1), escreve-se em termos de θ θ ( x , y ) , como h( x ) = k

∂θ θ ∂ y y = 0

(6.15)

A partir das Eqs. (6.14) e (6.15), temos h( x ) =

3 k 2 δ δ t

(6.16)

Levando δ δ t da Eq. (6.13 b) para a equação (6.16), determina-se o coeficiente de transferência de calor local h(x) como h( x ) =

3 k u∞ 3 k u∞ x v 3 k Re x Pr = = α 2 8 x α x 2 8 α 2 8 x v α

(6.17)

O número de Nusselt local Nu x no escoamento laminar de metais líquidos sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme fica h( x ) x 3 = Re x Pr = 0 . 530 Pe x1 2 k 2 8 u x Re x = ∞ = número de Reynolds local v v Pr = = número de Prandtl

Nu x =

(6.18)

α α

Pe x = Re x Pr =

u∞ x α α

= número local de Péclét

A solução dada pela Eq. (6.18) foi obtida por uma análise aproximada. Este resultado deve ser comparado com a solução exata de Pohlhausen para este problema de transferência de calor, no caso limite Pr → 0, dada por ' Nux = 0,564 Pe x1 / 2 (exato) para Pr → 0 (6.19) Esta equação foi deduzida sob a hipótese de que Pr → 0; na prática, esta hipótese implica que se trata de metais líquidos (isto é, Pr < 0,05). A solução aproximada, dada pela Eq. (6.18), é razoavelmente próxima deste resultado exato. No começo desta análise, estabelecemos que nos metais líquidos a camada limite cinética é muito menor do que a camada limite térmica. Para testar a validade desta


69

afirmação, dividamos a espessura da camada limite cinética δ δ (x), pela espessura da camada limite térmica δ δ t ( x ) , Eq. (6.13 b). Obteremos δ ( x) = δ t ( x)

280 v x u ∞ = 2,692 Pr 13 u ∞ 8α x

Nos metais líquidos, com Pr ≅ 0,01, encontramos δ δ ( x ) = 0 ,164 δ δ t ( x ) o que mostra, nos metais líquidos, ser δ δ (x) < δ δ t (x).

(6.20)

6.1.2) Fluidos ordinários em escoamento laminar Examinaremos agora a determinação do coeficiente de transferência de calor no escoamento laminar de fluidos ordinários, que tem Pr > 1, sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme. Admite-se que um fluido, a uma temperatura T ∞ , flui com a velocidade u ∞ sobre uma placa plana. O eixo x é paralelo à placa, na direção do escoamento, com a origem x = 0 na borda frontal, e o eixo y é perpendicular à placa, no sentido da placa para o fluido. A placa é mantida a uma temperatura T ∞ na região 0 ≤ x ≤ x0 e a uma temperatura uniforme T w, na região x > xo. Isto é, a transferência de calor entre a placa e o fluido não começa até a posição x = x o. A Fig. 6.2 ilustra as camadas limite cinética e térmica na situação física que acabamos de descrever. Ressaltamos que a camada limite cinética é mais espessa do que a camada limite térmica, pois Pr>1; e δ δ (x) começa a se desenvolver na borda frontal da placa, enquanto δ δ t (x) começa a se desenvolver em x = xo, onde principia a seção de transferência de calor. Novamente, admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes num escoamento bidimensional, estacionário, laminar, com dissipação viscosa desprezível. A equação da energia na camada limite é ∂θ ∂θ ∂ 2θ θ θ θ u +v = α α 2 em x > xo ∂ x ∂ y ∂ y

Fig. 6.2 Camadas limite cinética e térmica, num fluido com Pr > 1

e as condições de contorno são

(6.21)


70

θ θ = 0 em y = 0 θ θ = 1 em y = δ t ( x )

(6.22 a) (6.22 b)

onde θ é definido pela Eq. (6.3). Uma vez que a análise exata deste problema de temperatura é bastante complicada, novamente consideremos a solução pelo método integral: 1. A equação da energia energia (6.21) é integrada em relação a y sobre sobre a camada limite limite térmica, e a componente de velocidade v(x,y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação integral da energia é determinada como d  dx 

δ t

∫ 0

u (1 − θ )dy  = α



∂θ em0 ≤ y ≤ δ t ∂ y y =0

(6.23)

que é a mesma Eq. (6.6). Esta equação não pode ser resolvida, pois envolve três incógnitas, δ t ( x), u ( x, y ),θ ( x, y ) . Por isso precisamos de relações adicionais. 2. Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas analíticas de u(x,y) e de θ θ ( x , y ) . Para o perfil de velocidades, u(x,y), escolhemos uma aproximação polinomial cúbica e tomamô-la na forma 3

u( x , y ) 3   y  1   y  =  −   u∞ 2  δ  2  δ   δ  δ

(6.24)

Para o perfil de temperaturas θ θ ( x , y ) , escolhemos um perfil cúbico e imediatamente obtemos a sua expressão pela Eq. (6.10) 3

 y  1   y  3  θ θ ( x , y ) =   −   2  δ t  2  δ t   δ  δ

(6.25)

3. Os perfis de velocidades velocidades e de temperaturas temperaturas dados dados pelas Eqs. (6.24) e (6.25), são levados á equação integral da energia (6.23). Obtemos d  δ δ t u ∫0 dx  ∞ ∫ 

3 3  3 y 1   y    3α α  y    3 y 1  −    1− +    dy  =  δ t 2  δ    2 δ δ t 2  δ t    2δ δ t  δ  δ  2 δ   

(6.26 a)

 3   3α d  δ δ t  9 2 3 4 1 3 3 4 1 α 6    (6.26 b) − + − + − = y y y y y y dy ∫  3 3 3 3 3  2δ  δδ δ dx ∫0  4 2 u δ δ δδ δ δ δ δ δ 4 2 4 4 δ δ δ δ δ t t ∞ t t t    A integração em relação a y é então realizada:  3 δ δ t 2 3 δ δ t 2 3 δ δ t 2 1 δ δ t 4 3 δ δ t 4 δ t 4  d  1 δ 3α α   − + − + − = (6.27) 3 3 3  δ δ δ δ dx  4 4 20 8 20 28 2 u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ t ∞   Agora, uma nova variável ∆ ( x ) é definida como a razão entre a espessura da camada limite térmica e a espessura da camada limite cinética:


∆ ( x ) =

71 δ δ t ( x ) δ δ ( x )

(6.28)

Então, a Eq.(6.27) se torna: d   3α α  3 2 3 4  δ ∆ − ∆  = δ   dx   280  2δ δ∆ u∞  20

(6.29)

Consideraremos agora a situação em que a espessura da camada limite térmica é menor do que a espessura da camada limite cinética δ δ , como está ilustrado na Fig 6.2, para Pr>1. Então, ∆ <1, e na Eq. (6.29), o termo (3/280) ∆4 pode ser desprezado em comparação com (3/20) ∆2 . A Eq. (6.29) é simplificada para d 10α α ( δ δ ∆2 ) = dx u∞

(6.30)

δ δ ∆

Feita a derivação em relação a x, 2δ 2 ∆2

d ∆ dx

+ ∆3δ

d ∆ dx

=

10α u∞

ou 2 2 d ∆ 3 d δ δ 10α α δ + ∆3δ = δ δ 3 dx dx u∞

(6.31)

uma vez que d ∆ 1 d ∆3 ∆ = dx 3 dx 2

A espessura da camada limite cinética δ δ foi determinada como 280 vx δ δ 2 = 13 u∞ e derivando obtemos d δ δ 140 v δ = δ dx 13 u∞

(6.32 a)

(6.32 b)

A substituição das equações (6.32) na equação (6.31) leva a d ∆ 3 3 3 39 α α (6.33) x + ∆ = dx 4 56 v Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em ∆ 3 e sua solução geral é escrita como 13 α α ∆ 3 ( x ) = Cx − 3 4 + (6.34) 14 v


72

A constante de integração C é determinada pela condição de contorno δ δ t = 0 em x = xo, que é equivalente a ∆ ( x ) = 0 em x = xo (6.35) Encontraremos 3   13 − 1    x 0  4  3 ∆ ( x ) = Pr 1 −     14 x     

(6.36)

onde Pr =

v α α

= número de Prandtl

Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa, fazemos x 0 → 0 e a Eq. (6.36) simplifica-se para 1 3

1

1

− − δ δ ( x )   13  ∆ ( x ) = t =   Pr 3 = 0 , 976 Pr 3 δ δ ( x )   14 

(6.37)

Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética, num escoamento laminar sobre uma placa plana, é inversamente proporcional à raiz cúbica do número de Prandtl. A substituição de δ δ ( x ) , da Eq. (6.32 a), na Eq. (6.37) dá a espessura da camada limite térmica como x (6.38) δ δ t ( x ) = 4 , 53 1 2 Re x Pr 1 3 onde u x Re x = ∞ v Na aproximação polinomial cúbica considerada aqui para θ θ ( x , y ) , o coeficiente de transferência de calor local h(x) foi relacionado anteriormente com a espessura da camada limite térmica δ δ t ( x ) , pela Eq. (6.16). h( x ) =

3 k 2 δ δ t ( x )

(6.39)

Introduzindo-se δ δ t ( x ) , da Eq. (6.38), na Eq. (6.39), encontra-se o número de Nusselt local Nux, h( x ) x 1 / 2 com Rex<5*105 (6.40) Nu x = = 0 , 331 Pr 1 / 3 Re x k Esta solução aproximada é notavelmente próxima da solução exata deste problema, dada por Pohlhausen, como


73

Nu x = 0 , 332 Pr 1 / 3 Re x 1 / 2 (exata) com Rex<5*105

(6.41)

Note que a relação de transferência de calor, dada pela Eq. (6.40), foi deduzida por uma análise aproximada com a hipótese δ δ t < δ δ ou Pr>1. Entretanto, a comparação com os resultados exatos mostra que ela é válida no domínio 0,6
(6.42)

Para calcular o coeficiente de transferência de calor a partir das relações acima, recomenda-se que as propriedades do fluido sejam calculadas na média aritmética entre a temperatura da parede T w e a temperatura do escoamento externo T ∞ , isto é, Tf =(1/2)(Tw+ T ∞ ), a chamada temperatura películar. Nas aplicações de engenharia, define-se um coeficiente de transferência de calor médio hm sobre o comprimento da placa, desde x = 0 até x = L, 1 L (6.43) h m = ∫ h( x )dx L ∫0 Notando que hx = x -1/2, encontramos que o coeficiente de transferência de calor médio no escoamento laminar paralelo a uma placa plana, sobre a distância de x = 0 até x = L, é dado por (6.44) h m = 2 h( x ) x = L Então, os números de Nusselt médios, no escoamento laminar paralelo à placa plana, são dados por Nu m = 0 ,664 Pr 1 / 3 Re L1 / 2 (exata)0,6
1 / 3

Re L1 / 2 (exata) Pr → ∞

(6.45 b)

onde hm L u L Re L = ∞ k v e as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.45 b), deduzida para o caso limite Pr → ∞ , é aplicável aos fluidos que têm um número de Prandtl grande, como os óleos.

Nu m =

6.1.3) Escoamento turbutento A transição do escoamento laminar para o turbulento ocorre no domínio dos números de Reynolds entre 2 x 105 e 5 x 105, no escoamento sobre uma placa plana. As correlações da


74

transferência de calor podem ser desenvolvidas no escoamento turbulento sobre uma placa plana utilizando-se as relações entre o coeficiente de transferência de calor e o de arraste dados pela Eq. (6.15a) St x

Pr 2 / 3 =

Cx

(6.46)

2

Por exemplo, se Cx for obtido da equação Cx = 0 ,0592 Re x−0 . 2 encontraremos 2 / 3 St x Pr = 0,0296 Re x−0.2 com.5 x10 5 < Re x < 10 7

(6.47 a)

ou Cx é St x

Pr 2 / 3 = 0,185(log Re x ) −2,584 com.10 7 < Re x < 10 9

(6.47 b)

e todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular. Mais recentemente, Whitaker utilizou os dados experimentais de Zukauskas e Ambrazyavichyus e modificou a expressão de Colburn, para desenvolver a seguinte correlação para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana: Nux = 0,029 Re x0,8 Pr 0, 43

(6.48)

válida de Rex > 2 *105 até 5 *105; todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular. Nas aplicações práticas, há interesse no coeficiente de transferência de calor médio h m na distância 0 ≤ x ≤ L da placa. Quando o escoamento é turbulento, é sempre precedido por uma camada limite laminar na qual a equação que governa a transferência de calor é diferente da que governa o escoamento turbulento. Por isso, a promediação deve ser feita em ambas as regiões, como descreveremos agora. Admita um escoamento laminar na região 0 ≤ x ≤ c e turbulento na região c < x ≤ L. Os coeficientes de transferência de calor locais, nestas duas regiões, são obtidos das Eqs. (6.41) e (6.48), respectivamente, como  k  u x  h = 0,332  ∞   x  v 

1 / 2

l x

Pr 1 / 3 em 0 ≤ x ≤ c (laminar)

0 ,8

 u x    k  h = 0 ,029  ∞  Pr 0 ,43 em c
O coeficiente de transferência de calor médio h m, na região 0 ≤ x ≤ L é definido como L 1  C L t  hm =

 ∫ h x dx + ∫ 0 h x dx  

L  0

 c − 0 , 5 1    u   u∞  0 , 43 L − 0 , 2 + h m = 0 , 332 k  ∞  Pr 1 / 3 ∫ x dx 0 , 029 k Pr x dx    (6.49 a) ∫ ∫ ∫ 0 c L  v v        0 , 5

e o número de Nusselt médio, Num, na região 0 ≤ x ≤ L, é

0 ,8


Nu m =

75 hm L k

(6.49 b)

Depois de feitas a integrações, o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento Laminar e turbulento é Nu m = 0 ,036 Pr 0 , 43 ( Re L0 ,8 − Re c0 ,8 ) + 0 ,664 Pr 1 / 3 Re c0 ,5 (6.50) válida para ReL > Rec, onde ReL = u ∞ L/v e Rec = número de Reynolds crítico para a transição. Evidentemente, o Num, dado pela Eq. (6.50), depende do valor do número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento. O nível da turbulência da corrente livre afeta a transição. Quando há geração elevada da turbulência na corrente livre, a transição para o escoamento turbulento ocorre em um número de Reynolds crítico mais baixo. Entretanto, se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente livre, retarda-se a transição para o escoamento turbulento. Com o número de Reynolds crítico Rec = 2 * 105, a Eq. (6.50) se torna Nu m = 0 ,036 Pr 0 , 43 ( Re L0 ,8 − 17400 ) + 297 Pr 1 / 3

(6.51)

O último termo do segundo membro pode ser aproximado por 297 Pr 1 / 3 ≅ 297 Pr 0 , 43 e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicando-se o segundo membro da expressão resultante por ( µ µ µ µ ∞ / µ µ µ w ) 0 , 25 . Então, obtém-se a seguinte expressão: µ Nu m = 0 ,036 Pr 0 , 43 ( Re L0 ,8 − 9200 ) ( µ µ µ ∞ / µ µ µ w )0 ,25

(6.52)

Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre, exceto µ µ µ w , que é calculado na temperatura da parede. Nos gases, a correção de viscosidade é desprezível, e, neste caso, as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.52) dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta, sobre uma placa plana, com ReL > 2 *105. Foram propostas por Whitaker e usadas para correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar, a água e óleos, cobrindo as seguintes faixas: 2 * 105 < ReL < 5,5 * 106 0,70 < Pr < 380 0,26 < µ µ µ ∞ / µ µ µ < 3,5 A Eq. (6.52) relaciona os dados experimentais razoavelmente bem, quando a turbulência da corrente for pequena. Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre, a Eq. (6.52), sem a constante 9.200, correlaciona os dados razoavelmente bem.

6.2) ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO O escoamento transversal a um cilindro circular isolado é encontrado freqüentemente na prática, mas a determinação dos coeficientes de arraste e de transferência de calor é assunto muito complicado devido à complexidade dos padrões do escoamento em torno de um


76

cilindro. A Fig. 6.3 ilustra as características do escoamento em torno de um cilindro circular, evidentemente, elas dependem do número de Reynolds, definido como u D (6.53) Re = ∞ v onde D é o diâmetro do cilindro e u ∞ é a velocidade da corrente livre. Para um número de Reynolds menor do que 4, aproximadamente, o escoamento não se separa e o campo de velocidades pode ser analisado pela solução das equações do movimento. Para números de Reynolds acima de 4, aproximadamente, os turbilhões começam na região da esteira e a análise da distribuição de velocidades e de temperaturas em torno do cilindro, com Re > 4, torna-se muito complicada.

6.2.1) Coeficiente de arraste Considere um escoamento à velocidade u∞ , transversal a um cilindro circular de diâmetro D, e seja F a força de arraste atuando no comprimento L do cilindro. O coeficiente de arraste cD é definido como ρ ρ ρ ρu ∞2 F = c (6.54) LD D 2

Fig. 6.3 Escoamento em torno de um cilindro circular, em vários números de Reynolds

Aqui, LD representa a área normal ao escoamento. O coeficiente de arraste c D, definido pela Eq. (6.80), é o valor médio do coeficiente de arraste local calculado sobre a circunferência do cilindro. Portanto, dado cD, a força de arraste F atuando sobre o comprimento L do cilindro pode ser calculada de acordo com a Eq. (6.54). A Fig. 6.5 mostra o coeficiente de arraste c D no escoamento transversal a um cilindro isolado. O significado físico da variação de c D com o número de Reynolds é mais bem percebido se examinarmos os resultados da Fig. 6.5 relacionando-os aos esboços da Fig. 6.4. Com Re < 4, o arraste é causado somente pelas forças viscosas, pois a camada limite permanece aderente ao cilindro. Na região 4 < Re < 5.000, formam-se turbilhões na esteira; por isso, o arraste é devido parcialmente às forças viscosas e parcialmente à formação da esteira, isto é, à baixa pressão provocada pela separação do escoamento. Na região 5 x 10 3 < Re < 3,5 x 105, o arraste é provocado predominantemente pelos vórtices muito turbulentos na esteira. A redução repentina do arraste a Re = 3,5 x 10 5 é provocada pela transformação súbita da camada limite em turbulenta, fazendo com que o ponto de separação do escoamento desloque-se para a parte posterior do cilindro, o que reduz a dimensão da esteira, e daí o arraste.


77

Fig.6.4 Coeficiente de arraste no escoamento transversal a um cilindro circular isolado.

6.2.2) Coeficiente de transferência de calor A Fig. 6.6 mostra a correlação de MacAdams para o coeficiente de transferência de calor médio hm, no resfriamento, ou no aquecimento, do ar que flui transversalmente a um cilindro isolado. As propriedades sâo estimadas a ( T ∞ + Tw)/2. Esta correlação não mostra explicitamente a dependência entre os resultados e o número de Prandtl, pois os gases têm um número de Prandtl da ordem da unidade. Por isso, foram desenvolvidas correlações mais elaboradas por diversos pesquisadores, a fim de incluir o número de Prandtl e daí estender a aplicabilidade dos resultados para fluidos que não sejam gases. Whitaker estabeleceu uma correlação entre o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento de gases ou de líquidos, transversal a um cilindro isolado, dada por   µ h D µ µ  Nu m ≡ m = ( 0 , 4 Re 0 , 5 + 0 ,06 Re 2 / 3 ) Pr 0 , 4  ∞  k µ µ w    µ

0 , 25

que concorda com os dados experimentais dentro de ± 25% nas faixas seguintes

(6.55)


78

Fig. 8.5 Número de Nusselt médio para o aquecimento, ou o resfriamento, do ar fluido em torno de um único cilindro circular

40< Re< 105

0.67 < Pr <300

0.25<

µ µ µ ∞ <5.2 µ µ µ w


79

Fig. 8.6 Número de Nusselt no escoamento transversal a um cilindro circular isolado.

onde as propriedades físicas são estimadas na temperatura da corrente livre, exceto µ µ µ w , que é estimada na temperatura da parede. Para os gases, a correção de viscosidade é desprezada, e neste caso, as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. Observamos que a equação 6.55 envolve duas diferentes dependências funcionais entre o número de Nusselt e o número de Reynolds. A dependência funcional Re0,5 caracteriza a contribuição oriunda da camada limite laminar não destacada, e a dependência Re 2/3 caracteriza a contribuição da região da esteira em torno do cilindro. A fig. 6.6 mostra a correlação entre a Eq. (6.55) e os dados experimentais de vários pesquisadores para diferentes fluidos. Uma correlação mais elaborada, porém mais geral, é dada por Churchill e Bernstein para o coeficiente de transferência de calor médio h m no escoamento em torno de um cilindro isolado aplicável para 102 < Re < 107 e Pe = Re.* Pr > 0,2. 4 / 5

5 / 8 0 ,62 Re 1 / 2 Pr 1 / 3    Re   Nu m = 0 , 3 +   1 +  2 / 3 1 / 4 282 . 000   [1 + (0 , 4 / Pr ) ]   

(6.56)

A Eq. (6.56) prevê muitos dados com desvio para menos de cerca de 20% na faixa de 20.000 < Re < 400.000. Por isso, nesta faixa particular do número de Reynolds, recomenda-se a seguinte forma modificada da Eq. (6.56): Nu m = 0 , 3 +

0 ,62 Re 1 / 2 Pr 1 / 3 

[1 + (0 , 4 / Pr ) ]

2 / 3 1 / 4

  Re   1 +  282 . 000    

1 / 2

  

(6.57)

para 20.000 < Re < 400.000. Nas Eqs. (6.56) e (6.57), todas as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. As Eqs. (6.56) e (6.57), foram desenvolvidas fazendo-se a correlação entre os


80

dados experimentais de muitos pesquisadores, incluindo fluidos, como o ar, a água e o sódio líquido, com temperatura constante na parede e também com fluxo de calor constante na parede. Para o domínio do número de Péclét menor do que 0,2, Nakai e Okazaki propuseram a correlação (6.58) Nu m = ( 0 ,8237 − ln Pe 1 / 2 ) −1 com Pe < 0.2 As propriedades devem ser estimadas na temperatura películar.

6.3) ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA ISOLADA As características do escoamento em torno de uma esfera são semelhantes às dos escoamentos apresentados na fig (8.3) no caso de um cilindro isolado. Por isso, a dependência entre o coeficiente de arraste, ou o coeficiente de transferência de calor, e o número de Reynolds deve ter, no caso de uma esfera, a mesma forma que no caso de cilindro único.

6.3.1) Coeficiente de arraste Se F for a força total de arraste devida ao escoamento em torno de uma esfera isolada, o coeficiente médio de arraste c D é definido pela relação F ρ ρ ρ ρu 2∞ = c (6.59) A D 2 onde A é a área frontal (isto é, A = π π D 2 / 4 ) e u ∞ é a velocidade da corrente livre. Notamos que F/A é a força de arraste por unidade de área frontal da esfera.

Fig. 6.7. Coeficiente de arraste no escoamento em torno de uma única esfera.

A fig. 6.7 apresenta o coeficiente médio de arraste c D no escoamento em torno de uma esfera única. A comparação entre as curvas do coeficiente de arraste nas Fig. 6.4 e 6.7, para


81

um cilindro isolado, e para uma esfera isolada respectivamente, revela que as duas curvas tem características gerais semelhantes.

6.3.2) Coeficiente de transferência de calor No escoamento de gases em torno de uma única esfera, M c Adams recomenda a correlação simples h D (6.60) Nu m = m = 0 , 37 Re 0 ,6 para 17 < Re < 70.000 k onde hm é o coeficiente de transferência de calor médio sobre a superfície inteira da esfera. As propriedades estão calculadas em ( T ∞ + T w )/2. Uma correlação mais geral para o escoamento dos gases e de líquidos em torno de uma esfera única foi apresentada por Whitaker na forma   µ µ µ  Nu m = 2 + ( 0 , 4 Re 0 , 5 + 0 ,06 Re 2 / 3 ) Pr 0 , 4  ∞  µ µ w    µ

0 , 25

(6.61)

que é válida nos domínios e as propriedades físicas são estimadas na temperatura de corrente livre, exceto 3,5 < Re < 8 x 104 0,7 < Pr < 380 1<

µ µ µ ∞ < 3,2 µ µ µ w

µ µ µ w que é estimada na temperatura da parede. Com os gases, a correção de viscosidade é

desprezível, e as propriedades físicas são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. 6.61, para uma esfera, e a Eq. 6.55 para um cilindro, tem a mesma dependência funcional entre o número de Nusselt e o número de Reynolds, exceto quanto a constante 2. Na Eq. 6.61. À medida que Re → 0 ( isto é, o escoamento se anula), a Eq 6.61 admite um valor limite Nu = 2, que representa a condução de calor estacionária de uma esfera, a uma temperatura uniforme, para o meio infinito que a rodeia.


82

Fig. 6.8 Número de Nusselt no escoamento em torno de uma esfera única .

A fig. 6.8 mostra a correlação entre a Eq. (6.61) e os dados experimentais para o ar, a água e o óleo. A Eq. 6.61 representa razoavelmente bem os dados.

6.4) ESCOAMENTO ATRAVÉS DE FEIXES DE TUBOS A transferência de calor e a perda de carga característica de feixes de tubos têm numerosas aplicações no projeto de trocadores de calor e de equipamento industrial de transferência de calor. Por exemplo, um tipo comum de trocador de calor consiste num feixe de tubos com um fluido passando dentro dos tubos e outro passando transversalmente em torno dos tubos. Os arranjos de feixes de tubos utilizados mais freqüentemente incluem os arranjos alinhado e alternado, ilustrados na Fig. 6.8 a e b, respectivamente. A geometria dos feixes de tubos é caracterizada pelo passo transversal ST e pelo passo longitudinal SL entre os centros dos tubos; o passo diagonal SD, entre os centros dos tubos, no sentido diagonal, é utilizado muitas vezes no caso do arranjo alternado. Para definir o número de Reynolds no escoamento através de um feixe de tubos, a velocidade do escoamento é baseada na área mínima de escoamento livre disponível para o escoamento, quer a área mínima ocorra entre os tubos em uma linha transversal quer em uma linha diagonal. Então, o número de Reynolds no escoamento num feixe de tubos é definido por DG máx (6.62) Re = µ µ µ

Gmáx = ρumáx = velocidade máxima da vazão mássica (6.63) é a vazão mássica por unidade de área, onde a velocidade do escoamento for máxima, e D é o diâmetro externo do tubo, ρ é a densidade, e umáx é a velocidade máxima baseada na área mínima de escoamento livre disponível no escoamento do fluido. Se u∞ for a velocidade do fluido medida em um ponto do trocador de calor antes de o fluido entrar no feixe de tubos (ou a velocidade do escoamento baseada no escoamento no interior do casco do


83

trocador sem os tubos), então a velocidade máxima do escoamento u máx, no arranjo alinhado da Fig. 8.l0a, é determinada por u máx = u ∞

ST ST − D

= u∞

ST / D ST / D − 1

(6.64)

onde ST é o passo transversal e D é o diâmetro externo do tubo. Evidentemente, no arranjo alinhado, ST -D é a área de escoamento livre mínima entre os tubos adjacentes em uma fila transversal, por unidade de comprimento do tubo.

Fig. 6.9 Definiçãodos passos longitudinal, transversal e diagonal nos arranjos de feixes de tubos alinhados e alternados; (a) arranjo alinhado; (b) arranjo alternado.

No arranjo alternado da Fig. 6.9 b, a área de escoamento livre mínima pode ocorrer entre tubos adjacentes numa fila transversal ou numa linha diagonal. No primeiro caso, determina-se umáx como se ensinou acima; no último caso, faz-se: 1 ST ST / D u máx = u ∞ = u∞ (6.65) 2(S D − D ) 2 S D / D − 1 A velocidade máxima da vazão mássica Gmáx, definida pela Eq. (6.63), também pode ser calculada a partir de M Gmáx = (6.66) A mín onde M = vazão mássica total do escoamento através do feixe, em quilogramas por segundo e Amín= área total mínima de escoamento livre. Os padrões do escoamento através de um feixe de tubos são tão complicados que é virtualmente impossível prever, mediante análise, a transferência de calor e a perda de carga no escoamento através de feixes de tubos. Por isso, o método experimental é a única alternativa, e dispomos de grande riqueza de dados experimentais na literatura. As pesquisas experimentais indicam que nos feixes de tubos com mais do que cerca de N = 10 a 20 filas de tubos na direção do escoamento, com o comprimento do tubo grande em comparação com o diâmetro do tubo, os efeitos da entrada, da saída e das bordas


84

são desprezíveis. Nesses casos, o número de Nusselt do escoamento através do feixe depende dos seguintes parâmetros: Re Pr SL /D T /DS e do arranjo geométrico dos tubos, isto é, se os tubos estão alinhados ou alternados.

7) SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido (ou fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em aplicações de trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático. Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns problemas simples de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja temperatura é T ∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta é T o. Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim

Fig. 7.1 Aleta retangular

Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita + energia perdida por convecção A equação que define o coeficiente de calor por convecção é 7.1 onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja A a área transversal da aleta e P o seu perímetro. q = hA(T p - T ∞ ,)


85

Portanto, as quantidades de energia são Energia entrando pela face esquerda: Energia saindo pela face direita

q x = −kA

q x + dx = − kA

dT 

dT dx

dx  x + dx

 dT d 2T  = −kA + 2 dx  dx dx  

q = hPdx (T − T ∞ ) Energia perdida por convecção A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de energia fica d 2T dx

2

−

hP kA

(T − T ∞ ) = 0

Este resultado é escrito mais compactamente na forma 2

d θ ( x )

onde

dx

2

− m 2θ ( x ) = 0

7.2

m2 = hP/(Ak) θ (x) = T(x) - T ∞ equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal

A Eq. 7.2 é a uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta. Uma vez conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da aleta é facilmente determinado. A Eq. 7.2 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma θ(x) = C1e-mx + C2emx

7.3 onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas no problema da aleta. A solução da Eq. 7.3 é a mais conveniente para utilizar na resolução da equação da aleta 7.2, no caso de uma aleta longa. Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser construídos pela combinação de e-mx e emx , é possível exprimir a solução 2.31 nas seguintes formas alternativas θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x)

7.4a 7.4b

A solução dada pelas Eq. 7.4 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito. A distribuição de temperatura θ (x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq. 7.3 ou da Eq. 7.4, se as constantes de integração C 1 e C 2 forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da aleta e a outra no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é conhecida, isto é θ(0) = To - T∞ = θ o

7.5


86

onde T o é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são possíveis no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes condições: Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente. Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na ponta, e, assim dT/dx = 0 Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua extremidade.

7.1) Aletas longas Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura T ∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a formulação matemática do problema das aletas é d 2θ ( x ) dx

2

− m 2θ ( x ) = 0

θ(x) = To - T∞ ≡ θo θ(x) → 0

em x > 0

7.6a

em x = 0 em x → ∞

7.6b 7.6c

onde m2 = Ph/Ak. A solução é obtida na forma da Eq. 7.3 θ(x) = C1e-mx + C2emx

7.7

A condição de contorno 7.6c exige que C2 = 0, e a aplicação da condição de contorno 7.6b dá C1 = θo. Então, a resolução se torna θ ( x ) T ( x ) − T ∞ = = e −mx 7.8 θ o

T o − T ∞

que é a solução mais simples do problema da aleta. Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equação Q = − Ak

d θ ( x ) 

7.9

dx  x =0

Derivando-se a Eq. 7.8 em função de θ (x) e substituindo o resultado na Eq.7.9, obtém-se Q = Ak θ o m = θ o PhkA

uma vez que m = Ph /(kA)

7.2) Aletas com perda de calor desprezível na ponta

7.10


87

A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais, e a condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é d θ /dx = 0 em x = L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se torna d 2θ ( x ) em 0 ≤ x ≤ L 7.11a − m 2θ ( x ) = 0 2 dx

θ(x) = To - T∞ ≡ θo d θ ( x ) =0 dx

em x = 0

7.11b

em x = L

7.11c

Escolhemos a solução na forma da Eq. 7.4b θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x)

7.12

A razão desta escolha está em que a solução 7.12 tem uma forma na qual uma das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições de contorno. De fato, a condição de contorno (7.11c) exige que C 2 = 0; então, a aplicação da condição de contorno (7.11b) dá C 1 = θ o /cosh mL, e a solução se torna θ ( x ) T ( x ) − T ∞ cosh m( L − x ) = = T o − T ∞ cosh ml θ o

7.13

A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a solução Eq 7.13 na Eq 7.9. Assim, obtemos Q = Akθom tg mL = θ o PhkAtg mL 7.14

7.3) Aletas com convecção na ponta Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a formulação matemática do problema da condução de calor se torna 2

d θ ( x ) 2

− m 2θ ( x ) = 0

dx θ (x) = T o - T ∞ ≡ θ o d θ ( x ) k + heθ ( x ) = 0 dx

em 0 ≤ x ≤ L

7.15a

em x = 0

7.15b

em x = L

7.15c

onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente. A solução é escolhida na forma da Eq. 7.4b


88

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x)

A aplicação das condições de contorno 7.15b e 7.15c, respectivamente, nos dá θo = C1 cosh mL + C2 senh mL e -k C2m + he C1 = 0

7.16 7.17a 7.17b

uma vez que θ ( x ) θ o

=

T ( x) − T ∞

x = L

T o − T ∞

=

cosh m( L − x) + (he / mk ) senhm( L − x) cosh mL + (he / mk ) senhmL

7.18

A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq. 7.9. Então, vem  senhmL + (he / mk ) cosh mL    cosh mL + (he / mk ) senhmL 

q = θ o PhkA 

7.19

7.4) EFICIÊNCIA DA ALETA Na análise precedente, consideramos somente aletas de seção reta uniforme. Em numerosas aplicações, são utilizadas aletas de seção reta variável. A determinação da distribuição de temperatura, e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante complicada, e fica além do objetivo desse curso. Entretanto, a análise de transferência de calor foi realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas, e os resultados foram apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da aleta η definido pela relação entre a transferência real de calor através da aleta e transferência ideal de calor através de uma aleta, se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura T o da base da aleta η =

Qaleta Qideal

7.20

Aqui, Qideal é dado por Qideal = a f hθ o

7.21a onde, a f = área de superfície da aleta h = coeficiente de transferência de calor θ o = T o - T ∞

Portanto, se a eficiência da aleta η for conhecida, a transferência de calor Q através da aleta é denominada pela relação Qaleta = η Qideal = η a f hθ o

7.21b

[Apostila] Transferência de calor e massa

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