APOSTILA ESTATISTICA - COMPLETA.pdf

UNIVERSIDADE

DE

SOROCABA

ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA ENGENHARIAS NOME DO(A) ALUNO(A):_____________________________________________________ CURSO:____________________________________________________ TURMA:_______ TURNO:________________

SALA:____________

AVALIAÇÕES: 1ª) Dia____/____/2012

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2ª) Dia____/____/2012

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3ª) Dia____/____/2012

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2º Semestre / 2012 Prof. Sergio Rocha

SUMÁRIO pág.

INTRODUÇ O • • • • • •

O que é Estatística?........................................................................................................................ Ramos da Estatística....................................................................................................................... Usos e abusos da Estatística.......................................................................................................... Análise exploratória dos dados....................................................................................................... Estatística com calculadoras e computadores................................................................................ Arredondamento de dados..............................................................................................................

3 3 4 4 4 5

ESTAT STICA DESCRITIVA • Variáveis quantitativas e qualitativas............................................................................................... • Amostras e populações................................................................................................................... • • • • •

Planejamento de experimentos....................................................................................................... Tabelas estatísticas......................................................................................................................... Tabelas de frequências................................................................................................................... Como construir uma tabela de frequências..................................................................................... Frequências relativas e frequências acumuladas.............................................................................

9 12 12 13 15 15 24

REPRESENTAÇ O GR FIC A DAS VARI VEIS Q UALITATIVAS E Q UANTITATIVAS • • • • • • • • •

Gráfico de Colunas.......................................................................................................................... Gráfico de Colunas no EXCEL........................................................................................................ Diagrama de Pareto........................................................................................................................ Gráfico de Linhas............................................................................................................................ Gráfico de Barras............................................................................................................................ Gráfico Pictórico.............................................................................................................................. Gráfico de Setores........................................................................................................................... Histograma...................................................................................................................................... Polígono de Frequências.................................................................................................................

26 26 27 28 29 29 30 31 32

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL • Média aritmética simples.................................................................................................................. • Média aritmética ponderada............................................................................................................. • Média aritmética para dados tabulados...........................................................................................

34 35 36

Mediana para tabulados................................................................................................. Mediana para dados dados não tabulados........................................................................................................ Moda para dados não tabulados...................................................................................................... Moda para dados tabulados............................................................................................................. Análise das medidas de tendência central....................................................................................... Separatrizes: quartis, decis e percentis............................................................................................ Separatrizes para dados tabulados..................................................................................................

41 43 46 47 50 51 52

•• • • • • •

MEDIDAS DE DISPE RS O OU VAR IABILIDADE • • • • • • • • • • • •

Amplitude......................................................................................................................................... Intervalo semiquartil........................................................................................................................ Desvio médio e desvio padrão (para dados não tabulados)............................................................ Variância.......................................................................................................................................... Cálculo do desvio médio e do desvio padrão pelas FÓRMULAS.................................................... Cálculo da média e do desvio padrão nasCALCULADORAS........................................................ Cálculo de medidas usando o EXCEL............................................................................................. Coeficiente de variação de Pearson................................................................................................. Desvio médio e desvio padrão (para dados tabulados)................................................................... MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE...................................................................................... Assimetria......................................................................................................................................... Curtose.............................................................................................................................................

56 56 57 57 58 62 63 64 67 70 70 71

PROBABILIDADES • • • •

Introdução......................................................................................................................................... Probabilidades simples..................................................................................................................... Regra da Adição e da Multiplicação................................................................................................. Diagrama da Árvore..........................................................................................................................

1

79 82 82 86

ANÁLISE COMBINAT RIA • • • • • •

Princípio Fundamental da Contagem.............................................................................................. Fatorial............................................................................................................................................ Arranjos simples............................................................................................................................... Permutação simples......................................................................................................................... Combinação simples........................................................................................................................ Combinações complementares........................................................................................................

95 96 96 97 97 99

DISTRIBUIÇ ES DISC RETAS DE PROBAB ILIDADES • Distribuição Binomial........................................................................................................................ • Distribuição Hipergeométrica........................................................................................................... • Distribuição de Poisson....................................................................................................................

101 107 113

DISTRIBUIÇ O CONTÍN UAS DE PROBA BILIDADES • Distribuição exponencial................................................................................................................... • Distribuição uniforme........................................................................................................................ • Distribuição normal (ou de Gauss)....................................................................................................

114 114 115

•• O coeficiente z.................................................................................................................................. Como usar a Tabela 1 (Tabela do coeficiente z)............................................................................. • Aplicações (Distribuição normal)......................................................................................................

116 116 118

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA • • • • • • • • • • • • • • • •

Amostragem...................................................................................................................................... Métodos de amostragem probabilística............................................................................................ Métodos de amostragem não probabilística..................................................................................... Distribuição amostral......................................................................................................................... Intervalos de confiança..................................................................................................................... ESTIMAÇÃO..................................................................................................................................... ESTIMATIVA DE UMA MÉDIA POPULACIONAL........................................................................... 1º caso: Estimativa da média (quando o desvio padrão populacional é conhecido)....................... Valor do coeficiente z (para intervalos de confiança)....................................................................... Erro de estimação da média............................................................................................................. Erro padrão da média....................................................................................................................... Fator de correção para população finita........................................................................................... Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional conhecido)....................... Tamanho da amostra (para estimativa da média populacional)....................................................... Tamanho da amostra para população finita...................................................................................... 2º caso: Estimativa da média ( quando o desvio padrão populacional é desconhecido)..................

128 128 130 132 132 132 133 133 135 141 141 143 143 146 148 149

•• • • •

Como usarda a Tabela 2 (Tabela do coeficiente t).............................................................................. Estimativa média para população finita (desvio padrão populacional desconhecido)................. ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL............................................................... Estimativa de uma proporção para população finita......................................................................... Tamanho da amostra (para estimativa de uma proporção populacional).........................................

149 153 170 172 173

TESTES DE H IP TESES OU D E SIGN IFICÂNCIA • • • • • • • •

Hipóteses estatísticas....................................................................................................................... Níveis de significância....................................................................................................................... Testes unilaterais e bilaterais............................................................................................................ Valor da estatística de teste.............................................................................................................. Testes de hipóteses ou de significância para médias populacionais................................................ Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste bilateral)..................................... Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à esquerda)................ Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à direita).....................

181 182 182 184 184 185 195 199

NOÇ ES DE CORRELAÇ O E REGRESS O Correlação e regressão..................................................................................................................... Correlação linear direta, inversa e nula............................................................................................ Correlação não linear........................................................................................................................ Coeficiente de correlação linear simples.......................................................................................... Regressão linear simples..................................................................................................................

203 204 204 205 206

correlação linear linear inversa direta (com •• Exemplo: Exemplo: correlação (comgráfico)................................................................................ gráfico)............................................................................. • Aplicações (correlação linear)...........................................................................................................

207 209 211

TABELA 1 (Distribuição Normal Padronizada): coeficiente z.................................................... TABELA 2 (Distribuição de Student): coeficiente t...................................................................... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................................................

225

• • • • •

2

226 227

INTRODUÇÃO O que é Estatística? A palavra estatística é derivada da palavra latina status (que significa “estado ”). Os primeiros usos da estatística envolviam compilação de dados e gráficos que descreviam vários aspectos de um estado ou país. A partir de 1662, com a publicação de John Graunt, com a informação estatística sobre nascimentos e mortes, iniciaram-se os estudos sobre taxas de mortalidade, doenças, tamanho de populações, renda, taxa de desemprego etc. Segundo Dugé de Bernonville, a Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. Também, podemos definir a Estatística como um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.

R am os d a E st at ís ti ca A Estatística se divide em três ramos: • Estatística Descritiva • Teoria da Probabilidade • Inferência Estatística

E s t a t ís t i c a D e s c r i t i v a A Estatística Descritiva compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas. Ela utiliza números para descrever fatos. Como exemplos , citamos: a média industrial, a taxa de desemprego, a durabilidade média de produtos, a média de estudantes etc. Aqui se enquadram as medidas de tendência central ou medidas de posição (média aritmética, mediana e moda) e as medidas de dispersão ou variabilidade (desvio médio e desvio padrão).

T e o r ia d a P r o b a b i l i d a d e A probabilidade é utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório. Fenômeno aleatório: é uma situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Por exemplo , as condições climáticas, taxa de inflação etc. A teoria da probabilidade está dentro do que é conhecido como um sistema axiomático: começamos com algumas verdades básicas conhecidas e construímos um sistema lógico ao seu redor. Em sua forma mais pura, o sistema não tem valor prático. Sua praticidade vem do conhecimento de como utilizar a teoria para produzir aproximações práticas. Por mais potente que seja, é natural que nenhuma estatística vai convencer alguém que uma determinada conclusão seja verdadeira. Uma aplicação importante da teoria é feita nos testes de diagnósticos. A incerteza está presente porque, apesar das alegações dos fabricantes, nenhum teste disponível é perfeito. Podemos, por exemplo , concluir que cada amostra de sangue cujo resultado seja positivo para o HIV abrigue realmente o vírus? Para responder esta questão, precisamos confiar no comportamento de médio e longo prazo dos testes de diagnósticos. A teoria da probabilidade nos permite quantificar esse comportamento. Outras aplicações: a) Que garantia temos de que todos os paraquedas irão funcionar corretamente quando acionados? b) Que garantia temos do fabricante de latas em conserva de que o produto poderá ser consumido dentro da validade especificada? Ele terá o mesmo valor nutritivo? c) Que garantia temos de um fabricante de medicamentos de que o produto poderá ser utilizado dentro da validade especificada? Ele terá o mesmo efeito desejado? 3

I n f e rê n c ia E s t at í s ti c a Este é o terceiro ramo da Estatística, no qual envolve a formulação de certos julgamentos sobre um todo (população ) após examinar apenas uma parte dele (amostra aleatória), isto é, tomar decisões com base em dados colhidos de uma amostra. A inferência estatística é feita por meio de testes de hipóteses , mas como toda inferência, está sujeita a erro. A inferência estatística está baseada na Teoria das Probabilidades. Inferir significa tirar por conclusão; deduzir pelo raciocínio.

Usos e Abusos da Estatística A Estatística tornou-se uma ferramenta tão importante que nos dias de hoje é utilizada praticamente em todos os campos do conhecimento. Como exemplos , podemos citar: os fabricantes estão fornecendo melhores produtos a custos menores, através dos controles de qualidade; controle de doenças, poluição atmosférica, mais segurança nas empresas e nas rodovias, maior produção na agricultura etc. Mas, também temos que tomar alguns cuidados para não obter resultados distorcidos, ocasionados por descuido ou ignorância, por objetivos pessoais, por alegações enganosas etc.

A ná li se E xp lo ra tó ri a d os Da do s Ao coletarmos determinados dados em um levantamento, podemos ter um objetivo específico, ou simplesmente, estamos fazendo uma observação para saber o que esses dados nos revelam. É importante saber que devemos relacionar três características dos dados: 1ª) A natureza ou forma da distribuição; 2ª) Um valor representativo (média, mediana, moda); 3ª) Uma medida de variação (desvio médio, desvio padrão). Devemos tomar o cuidado de observar e analisar os dados coletados para evitarmos erros grosseiros que poderão prejudicar as nossas conclusões. Como exemplo , se estivermos coletando os salários dos funcionários de determinada categoria de uma empresa, que estão compreendidos numa faixa de R$ 800,00 a R$ 1.500,00, exceto um deles de que foi de R$ 10.000,00, não podemos simplesmente considerar todos esses valores para obtermos as características dessa distribuição; precisamos verificar se esse salário que está muito alto em relação aos demais não foi um erro de digitação, ou seja, o salário real poderia ser de R$ 1.000,00 e foi digitado R$ 10.000,00, e isto irá distorcer totalmente as nossas conclusões a respeito desses salários.

E st at ís ti ca c om C al cu la do ra s e C om pu ta do re s Todos os estudantes de Estatística percebem a importância e facilidade que as calculadoras proporcionam na aprendizagem dos diversos tópicos que são estudados no decorrer do curso. Com o advento do computador, diminuímos, e muito, a árdua tarefa de trabalhar com uma grande quantidade de números. Podemos citar, entre outros, dois softwares que estão no mercado e que muito nos auxiliam: o STATDISK e MINITAB. Mas precisamos tomar alguns cuidados com essa automação, pois ela pode levar um indivíduo sem preparo específico a utilizar técnicas inadequadas para resolver determinado tipo de problema, logo é necessária a compreensão e domínio dos conceitos básicos da Estatística .

C á l cu l o d e M e d id as Antes de iniciar os cálculos para a determinação das medidas necessárias para o desenvolvimento e entendimento dos conceitos em Estatística, o estudante deve familiarizar-se com a sua calculadora para efetuar os cálculos com mais segurança e rapidez. 4

ARREDONDAMENTO DE DADOS Critérios para o arredondamento de um dado estatístico De acordo com a Resolução 886/66, da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:

1º caso: Arredondamento por falta Quando o primeiro dígito dos que irão ser eliminados for menor ou igual a quatro (isto é, menor do que 5). Exemplo: a) b) c)

Número a arredondar Arredondamento para 11,372 Inteiros 46,8417 Décimos 261,761 Centésimos 261,76

Número arredondado 11 46,8

2º caso: Arredondamento por excesso Quando o primeiro dígito após aquele que será arredondado for maior ou igual a cinco, seguido por dígitos maiores que zero: acrescentar uma unidade no algarismo a ser arredondado. Exemplo: a) b) c)

Número a arredondar 32,827 16,763 23,42502

Arredondamento para Inteiros Décimos Centésimos

Número arredondado 33 16,8 23,43

3º caso: Caso particular: números terminados em 5 Quando o número a ser arredondado for:

• uma decimal exata • terminada em cinco (ou for um cinco seguido somente de zeros) • e o arredondamento for feito no dígito imediatamente anterior a esse 5 em que o

número está terminando procedemos da seguinte forma: 1) NÃO ALTERAR o valor desse dígito, se o mesmo for PAR. 2) AUMENTAR em uma unidade se esse dígito for ÍMPAR (ou seja, é o caso geral de arredondamento, pois o dígito posterior ao dígito a ser arredondado é igual a 5). CUIDADO para não utilizar o caso particular nos casos gerais! Exemplos: Arredondar para centésimos: 73,365 ▬►73,36

(como a 2ª decimal é o algarismo 6, que é par, deixar o próprio algarismo 6 na 2ª decimal)

61,135 ▬►61,14

(como a 2ª decimal é o algarismo 3, que é ímpar, acrescentar uma unidade ao 3, ou seja, a 2ª decimal passará a ser 4)

ATENÇÃO: Não devemos NUNCA fazer arredondamentos sucessivos. Exemplo: Para arredondar o número 21,74631 para décimos, o número arredondado será 21,7. Agora, se alguém arredondar primeiramente para centésimos obterá 21,75, e se arredondar este último para décimos, obterá 21,8, e não 21,7, que é o correto. 5

OUTROS EXEMPLOS DE ARREDONDAMENTOS 2. Arredondar os seguintes números: a) b) c) d) e) f)

43,269 para décimos................................... ▬► Resposta: 43,3 6,83172 para milésimos.............................. ▬► Resposta: 6,832 52,7444... para o décimo mais próximo...... ▬► Resposta: 52,7 61,823 para a unidade mais próxima.......... ▬► Resposta: 62 32,3961 para centésimos............................ ▬► Resposta: 32,40 182,71888... para décimos..........................▬► Resposta: 182,7

3. Arredondar os seguintes números para centésimos: a)

58,7248 ≅ 58,72

(como a 3ª casa decimal é o algarismo 4, que é inferior a 5, devemos manter o

b)

47,2361 ≅ 47,24

(como a 3ª casa decimal é o algarismo 6, que é maior ou igual a 5, devemos aumentar

algarismo 2 na 2ª casa decimal) o valor do algarismo 3 da 2ª casa decimal em uma unidade , ou seja a 2ª casa decimal passará a ser 4) (esse é o caso particular de arredondamento, no qual o número termina em 5 e o arredondamento será feito no algarismo 4 que se localiza na casa decimal imediatamente anterior a esse 5: como 4 é par, deverá permanecer com o mesmo valor) d) 71,935 ≅ 71,94 (embora esse número termine em cinco e o arredondamento será feito na casa decimal imediatamente anterior; este caso particular de arredondamento recai no caso geral de arredondamento, pois a casa decimal anterior a esse 5 é o algarismo 3, que é ímpar, logo devemos acrescentar uma unidade ao 3) e) 4,785 ≅ 4,78 (é o caso particular de arredondamento: como o 8 é par , deverá permanecer o mesmo 8) f) 42,375 ≅ 42,38 (é caso particular, mas como antes do 5 aparece o 7, que é ímpar, devemos aplicar o caso geral de arredondamento, ou seja, o 7 será aumentado em uma unidade) g) 6,785... ≅ 6,79 (NÃO é caso particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso significa que esse número continua tendo mais algarismos , ou seja, é o caso geral de arredondamento) h) 17,125 ≅ 17,12 (é caso particular de arredondamento: como 2 é par, deverá permanecer o mesmo algarismo 2) i) 17,125... ≅ 17,13 (NÃO é caso particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso significa que esse número continua tendo mais algarismos , ou seja, é o caso geral de arredondamento) j) 17,1255 ≅ 17,13 (NÃO é caso particular, pois o arredondamento não será feito no último 5 , e sim no penúltimo 5, logo é o caso geral de arredondamento) k) 17,125000000 ≅ 17,12 (é caso particular de arredondamento, pois os zeros que aparecem após o 5 não são considerados) l) 12,145 ≅ 12,14 (caso particular) m) 12,14500 ≅ 12,14 (caso particular) n) 12,1450000000 ≅ 12,14 (caso particular) o) 12,145... ≅ 12,15 (caso geral) p) 12,14555 ≅ 12,15 (caso geral) q) 203,315 ≅ 203,32 (caso particular) r) 73,3655 ≅ 73,37 (caso geral) s) 61,1255 ≅ 61,13 (caso geral) (caso geral) t) 67,3972 ≅ 67,40 u) 39,6725 ≅ 39,67 v) 82,7295 ≅ 82,73 w) 0,785 ≅ 0,78 x) 122,13777... ≅ 122,14 y) 8,68222... ≅ 8,68 z) 1,615... ≅ 1,62 c)

27,845 ≅ 27,84

6

A l g ar i s m os s i g n i fi c a ti v o s Os algarismos significativos (ou dígitos significativos) de um número são os algarismos separados dos zeros necessários para a localização da vírgula.

Exemplos 1. Quantidade de algarismos significativos dos números: a) b) c) d) e) f)

2,55 tem 3 algarismos significativos 16,875 tem 5 algarismos significativos 8,701 tem 4 algarismos significativos 0,043 tem 2 algarismos significativos 0,0403 tem 3 algarismos significativos 0,0006 tem 1 algarismo significativo

g) h) i) j) k) l) m) n) o)

7,62 temtem 3 algarismos significativos 7,6200 5 algarismos significativos 43 tem 2 algarismos significativos 43,0 tem 3 algarismos significativos 1,6x10-3 (notação científica) = 0,0016 tem 2 algarismos significativos 1,600x10-3 (notação científica) = 0,001600 tem 4 algarismos significativos 2,8100 tem 5 algarismos significativos 2810000 na notação científica: 2,81X10 6 tem 3 algarismos significativos 2810000 na notação científica: 2,8100X10 6 tem 5 algarismos significativos

2. Arredondar os seguintes números: a) b) c) d)

43,341 para 3 algarismos significativos................... 14,62 para 2 algarismos significativos..................... 8,27481 para 4 algarismos significativos................. 0,01953 para 2 algarismos significativos.................

▬► Resposta: 43,3 ▬► Resposta: 15 ▬► Resposta: 8,275 ▬► Resposta: 0,020

1.

Fazer o arredondamento dos seguintes números:

E X E R C Í C I O S (arredondamento de dados)

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

Número a arredondar 53,479 26,571 152,9838 31,834 65,0921 16,504 27,587 37,6032 44,964 315,500 316,500 316,750 316,705 316,735 4,972618

Arredondamento para Inteiros Décimos Centésimos Décimos Centésimos Inteiros Centésimos Centésimos Décimos Inteiros Inteiros Décimos Centésimos Centésimos Milésimos

p) q) r) s)

10,739274 81,938372 0,0034186 0,00083724

Décimos de milésimos Milésimos Décimos de milésimos Centésimos de milésimos

Número arredondado

Respostas: a) 53; b) 26,6; c) 152,98; d) 31,8; e) 65,09; f) 17; g) 27,59; h) 37,60; i) 45,0; j) 316; k) 316; l) 316,8; m) 316,70; n) 316,74; o) 4,973; p) 10,7393; q) 81,938; r) 0,0034; s) 0,00084 7

2.

Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado:

a)

12357 (para a dezena mais próxima)

b)

5789 (para a centena mais próxima)

c)

6501 (para o milhar mais próximo)

d)

130,055 (para a unidade mais próxima)

e)

28,65 (para o décimo mais próximo)

f)


g)


h)

32,505 (para o centésimo mais próximo)

i)


j)


k)

32,505 (para a unidade mais próxima)

l)


Números para arredondar

Respostas

m) 5,825... (para o centésimo mais próximo) n)

2995,00 (para a dezena mais próxima)

o)


p)


q)


Respostas: a) 12360; b) 5800; c) 7000; d) 130; e) 28,6; f) 28,7; g) 20,0; h) 32,50; i) 325,46; j) 32,5; k) 33; l) 5,82; m) 5,83; n) 3.000; o) 270; p) 260; q) 48,9

3.

Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado:

a)

Números para arredondar 57,8755 (para quatro dígitos significativos)

b)

24,54 (para três dígitos significativos)

c)

92,445 (para quatro dígitos significativos)

d)

8,875 (para três dígitos significativos)

e)

15,05 (para a primeira decimal)

f)

113,35 (para a primeira decimal)

g)

R$ 63,50 (ao real mais próximo)

h)


i)


j)

0,05050 (para um dígito significativo)

k)

0,05150 (para um dígito significativo)

l)

0,05150 (para dois dígitos significativos)

Respostas

m) 0,05049 (para dois dígitos significativos) n) 0,05050 (para dois dígitos significativos) o)

0,05051 (para dois dígitos significativos)

Respostas: a) 57,88; b) 24,5; c) 92,44; d) 8,88; e) 15,0; f) 113,4; g) R$ 64; h) R$ 64; i) R$ 65; j) 0,05; k) 0,05; l) 0,052; m) 0,050; n) 0,050; o) 0,051 8

E ST AT ÍS TI CA

D ES CR IT IV A

(1º ramo da Estatística) V AR I ÁV EI S Q U A N T I TA T I VA S E Q UA L I TA T IV AS Ao fazermos um levantamento de um conjunto de dados, a questão inicial é a de como tratar os valores, numéricos ou não, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse. Cada uma das características obtidas, tais como o peso, altura, idade, sexo, número de filhos, religião, salário, nível de educação etc., é denominada de variável. V a r i á v e l a l e a t ó r i a: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso, que não estão sob o controle do observador.

Por exemplo , ao jogarmos um dado para o ar, a variável aleatória é o resultado possível nessa jogada, isto é, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas não podemos predizer qual será esse resultado. As variáveis de natureza numéricas são denominadas quantitativas, e as não numéricas, qualitativas.

V A R IÁ V E I S Q U AN T I T AT I V A S As variáveis quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contínuas : ( I ) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s d i s c r e t a s: Quando os valores podem ser contados. São as observações que podem ser feitas somente em pontos isolados ao longo de uma escala de valores. Exemplos • Número de peças defeituosas encontradas em um lote • Número de residências que possuem energia elétrica • Número de caminhões que chegam, por hora, em um depósito • Quantidade de peças defeituosas produzidas por uma máquina • Número de mudas de árvores plantadas no mês passado em determinada cidade • Quantidade de pessoas que trabalham em determinada obra • Capacidade máxima de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) • Número de alunos numa sala de aula • • • • • • •

alunos que possuemproduzidos computadores em casa Número de artigos defeituosos Número de clientes cadastrados Número de computadores em um laboratório Número de conveniados de um Plano de Saúde Número de experiências realizadas em um laboratório Número de jogos empatados 9

• • • • • • • • • • • •

Número de filhos de um casal Número de funcionários de uma empresa Número de máquinas de uma empresa Número de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro Número de partidas de futebol Número de pessoas por domicílio Número de pessoas que tomaram vacina contra a gripe Número de unidades estocadas de um artigo Quantidade de anúncios publicados em um jornal Quantidade de comprimidos em uma caixa de remédios Quantidade de frutas em uma caixa Quantidade de notas fiscais expedidas em certo dia

(II) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s c o n t í n u a s: Quando se pode tomar qualquer valor de um determinado intervalo de números reais, ou seja, a variável pode assumir um valor em qualquer ponto fracionário ao longo de um intervalo especificado de valores. Exemplos • Altura média que certo tipo de planta atinge após três meses de seu plantio • Capacidade média de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) • Comprimento do veículo (ônibus, avião, navio) • Consumo médio de água por residência em certa cidade • Consumo médio de combustível de um automóvel • Diâmetro de um rolamento • Duração média de uma conversa telefônica • Estatura das pessoas • Gasto médio com transporte para se deslocar até o local de trabalho • Idade em meses e dias • Média de clientes atendidos por dia • Número médio de clientes potenciais visitados por vendedores durante o último mês • Número médio de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro • Número médio de pessoas por domicílio em uma grande comunidade •• • • • • • • • • •

Peso de remessa do cada conteúdo de um pacote de cereais Peso médio de um grupo de pessoas Salário (diário, semanal, mensal) Tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo Tempo médio de atendimento dos pacientes de um hospital Tempo médio de efeito de um medicamento Tempo médio diário que os estudantes gastam com o uso de computadores Tempo médio para a realização de uma experiência em um laboratório Tempo médio para executar um programa de computador Tempo médio para fabricar determinado tipo de peça

Observação: A variável idade, medida em número de anos, pode ser considerada como discreta , porém, se medida em meses , ou em dias, pode ser considerada contínua .

V A R IÁ V E I S Q U AL I T A TI V A S As variáveis são qualitativas (ou atributos ) quando os possíveis valores que assumem representam atributos e/ou qualidades. São classificadas como ordinais ou nominais : (III) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s o r d i n a i s: Quando as variáveis têm uma ordenação natural, indicando intensidades crescentes de realização. 10

Exemplos • Tamanho (pequeno, médio ou grande) • Nível de instrução da pessoa, do aluno, do pai, da mãe (Ensino Fundamental, Médio ou Superior) • Classe social (baixa, média ou alta; ou A, B, C, D, E) • Atuação escolar (fraca, regular, boa ou ótima) • Gravidade de uma doença (leve, moderada, severa) (IV) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s n o m i n a i s: Quando não é possível estabelecer uma ordem natural entre seus valores. Exemplos • Bairro em que reside • Região de procedência • Cor de cabelos (castanho, preto, loiro, ruivo) • Esporte que pratica (futebol, natação etc.) • Estado civil (solteiro, casado etc.) • Estado em que nasceu (São Paulo, Rio de Janeiro, Paraná etc.) • Fumante (sim ou não) • Indicadores de inflação (IPC, dólar oficial etc.) • Nacionalidade (brasileiro ou estrangeiro) • Religião (católico, evangélico, espírita, outra) • Sexo (feminino ou masculino) • Time de futebol (Santos, Fluminense etc.) • Tipo sanguíneo (A, B, AB, O) • Tipos de aplicações em Banco (fundos de investimentos, dólar, poupança etc.) • Turma (A, B ou C) • Verdadeiro ou falso

E X E M P L O S (variáveis quantitativas e qualitativas) 1.

A tabela abaixo envolve todos os tipos de dados mencionados: Variáveis Quantitativas População Funcionários de uma empresa

2.

Discretas Nº de funcionários

Variáveis Quantitativas

Contínuas Tempo de serviço na empresa

Nominais

Ordinais

Homens

Assiduidade

A tabela abaixo corresponde a uma pesquisa realizada com cinco famílias de determinada comunidade: Família

Idade do pai

Grau de instrução do pai

Renda mensal (salário mínimo)

Número de filhos em idade escolar

Região de procedência

1

25

E. Fundam.

Católica

2

33

E. Médio

Africana

Baixa

4

3

Interior

Média

10

2

3

42

E. Médio

Espírita

Capital

Média

12

3

Outro Estado

4

28

Superior

5

38

Nenhum

Nenhuma

Média

16,5

3

Capital

Católica

Baixa

4

4

Outro Estado

Religião

Classe social

Classificando as variáveis da tabela, temos: V a r i á v e l q u a l i t a t i v a: • Qualitativa nominal: Família, Religião, Região de procedência. • Qualitativa ordinal: Grau de instrução do pai, Classe social. V a r i á v e l q u a n t i t a t i v a: • Quantitativa discreta: Idade do pai, Número de filhos. • Quantitativa contínua: Renda mensal. 11

Am os tr as e P op ul açõ es Ao fazermos um levantamento com um grande número de dados, dificilmente temos acesso ao todo, que se chama população ou universo, então consideramos apenas uma parte dessa população, que se chama amostra, e que deve ser aleatória, isto é, todo elemento da população tem a mesma chance que todos os outros elementos da população de pertencer a essa amostra. Por que se usam amostras? Resposta: São poucas as razões, mas muito relevantes: a) Custo e demora dos levantamentos. Exemplo Qual é o peso médio de todos os recém-nascidos vivos no Brasil em determinado ano? b) Populações muito grandes. Exemplo Quantos peixes têm no mar? c) Impossibilidade física de examinar toda a população. Exemplo Como uma fábrica faria para testar todos os fósforos por ela produzidos? d) Comprovado valor científico das informações coletadas por meio de amostras. Exemplo Se um pesquisador quiser estudar os hábitos de consumo de bebidas alcoólicas entre adolescentes de uma grande cidade, o melhor que ele pode fazer é uma avaliação criteriosa de uma amostra, ao invés de obter uma avaliação sumária de toda a população de adolescentes dessa cidade.

P la ne ja me nt o d e E xp er im en to s Para o planejamento de um estudo que possa trazer bons resultados, destacamos: a) Definir claramente a população de interesse. b) Identificar com precisão e clareza as questões a serem respondidas. c) Estabelecer um plano de coleta de dados. d) Efetuar a coleta de dados cuidadosamente. e)

Analisar os dados obtidos, identificar os possíveis erros e tirar as conclusões.

Se os dados amostrais não forem bem coletados de maneira apropriada, eles podem ser de tal modo inúteis que nenhuma manipulação estatística poderá salvá-los.

O rgan iz ação d e Dad os Após a coleta de um conjunto de dados, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse, geralmente fazemos uso de tabelas e gráficos. Dados brutos: São os dados srcinais que ainda não se encontram numericamente organizados. ROL: É uma lista em que os valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. 12

T AB E LA S E S TA TÍ S T IC AS Após o término da coleta dos dados de uma pesquisa, devemos apresentar esses dados em tabela (já usamos algumas anteriormente). Uma tabela é composta de três partes: cabeçalho, corpo e rodapé. Cabeçalho: Corresponde ao título, o qual deve explicar o conteúdo da tabela. No exemplo abaixo, de tabela histórica, o título é: Censo: População brasileira. Corpo: É formado por colunas , nas quais são colocados os dados apurados na pesquisa. No exemplo abaixo, de tabela histórica, são as colunas contendo o ano e as respectivas quantidades de pessoas obtidas em cada um desses anos. Rodapé: Local onde se coloca a fonte dos dados. No exemplo abaixo, de tabela histórica, a fonte é: Censo Demográfico do IBGE. Essa tabela contém os dados da maneira que foram coletados.

T I P O S D E T AB EL AS E S TA T ÍS T I C AS 1. Tabela Histórica Exemplo:

Censo: População brasileira Ano 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2010

Quantidade (em milhões) 30,6 41.2 51,9 70,2 93,1 121.1 146,8 166,1 190,7

Fonte: Censo Demográfico do IBGE

2. Tabela Geográfica Exemplo:

Áreas continentais Área(106 km²) 43,608 30,335 23,434 17,611 13,340 10,498 8,923 1,915

Continente Ásia África América do Norte América do Sul Antártida Europa Oceania América Central

Fonte: Atlas Mundial Folha de São Paulo

3. Tabela Específica Exemplo:

Distribuição da renda na Argentina (2010) Classe Pobres Classe média baixa Classe média alta Ricos

% da renda 8,2 18,7 36,8 36,3

Fonte: Instituto Nacional de Estatística e Censo 13

4. Tabela Mista Área e produção agrícola no Brasil (2009)

Exemplo:

Classe Norte Nordeste Centro-Oeste Sul/Sudeste

Área 3,858 1,549 1,602 1,503

Produção 2,2 6,8 20,0 49,3

Fonte: IBGE; em milhões de km² e de toneladas

5. Tabelas de Dupla Entrada (tabulações cruzadas) Essa tabela contém duas variáveis com dados conjuntos, formando pares de dados.

Exemplos a) A tabela abaixo apresenta as informações de se ter ou não planos de saúde (variável X) de um grupo de 48 pessoas, cujas idades (variável Y) estão subdivididas por faixas etárias, em anos: X / Y Sim Não Total

16 a 25 4 3 7

26 a 35 7 5 12

36 a 45 4 10 14

46 a 55 8 7 15

Total 23 25 48

b) A tabela abaixo apresenta as informações sobre os salários (variável X), em reais, por hora, e o tempo de serviço (variável Y), em anos, de um grupo de funcionários de uma empresa: X / Y <5 5 | 10 10 | 15 ≥ 15 Total

<5 32 17 4 1 54

| 5 10 20 30 7 2 59

10

|15

15 |20 2 14 9 6 31

7 25 13 11 56

≥ 20

1 5 7 5 18

Total 62 91 40 25 218

c) Acidentes ciclísticos registrados em determinada cidade, durante o ano de 2011: Lesão na Uso de Capacete Total Cabeça Sim Não 22 230 252 Sim Não 131 442 573 Total 153 672 825 d) A tabela abaixo mostra um levantamento feito por um hospital para investigar os indivíduos que foram ou não vítimas de infarto agudo do miocárdio e se têm ou não diabetes. Diabetes Sim Não Total

e)

Infarto do Miocárdio Sim Não 46 26 95 121 141 147

Total 72 216 288

Levantamento feito em uma plantação de tulipas (4 cores) para testar a qualidade das mudas: Resultados amostrais Floresceram Não floresceram Total plantado

Branca 180 20 200

Cor Vermelha Amarela 140 70 10 30 150 100 14

Roxa 65 15 80

Total 455 75 530

6. T A B E L A S D E F R E Q U Ê N C I A S Uma tabela de frequências relaciona classes (categorias) de valores, juntamente com contagens (ou frequências) do número de valores que se enquadram em cada classe. Na prática, em uma tabela de frequências o número de classes deve variar de 5 a 20 .

Exemplo A tabela abaixo nos dá os tempos, em anos, de trabalho dos funcionários em determinada empresa:

0a5

Nº de funcionários 18

5 a 10 10 a 15 15 a 20

53 158 65

20 a 25

37

25 a 30

8

Tempo

Como construir uma tabela de frequências Exemplos ❶

A distribuição abaixo fornece os pesos, em kg, de um grupo de 60 pessoas, aleatoriamente escolhidas. Fazer o tabulamento desses dados (isto é , construir uma tabela de frequências).

39 68 75 84

43 68 76 86

45 68 77 88

50 68 77 90

50 68 78 91

53 70 78 95

54 71 78 96

55 72 79 99

58 72 80 106

59 73 81

61 73 81

61 73 82

63 74 82

63 75 82

63 75 83

64 75 84

66 75 84

Solução: Para se construir uma tabela de frequências, um dos procedimentos é feito da seguinte forma :

1º passo: Determinação do número de classes k( ). Como não utilizaremos uma quantidade muito grande de valores no nosso curso, vamos usar SOMENTE a seguinte fórmula prática: k =

N

para determinarmos o número de classes de uma tabela de

frequências. Assim, o número de classes, para um total de 60 valores (pesos das 60 pessoas), é: k

= 60 = 7 ,746 ⇒ k = 8 classes ▬► ATENÇÃO: FAZER O ARREDONDAMENTO NORMALMENTE

Obs.: Há diversos métodos para se determinar o número de classes de uma tabela de frequências. Além da fórmula acima, destacamos: a)

Regra de Sturges: k = 1 + 3,3 ⋅ log N , onde N é o número total de observações.

b)

No livro “The Grouping Data for Graphic Portrayal”, Truman L. Kelley, sugere a seguinte tabela: N

5

10

25

50

100

200

500

1000

k

2

4

6

8

10

12

15

15

15

2º passo: Amplitude (ou intervalo) total (A t): é a diferença entre o maior e o menor valor, isto é, At = 106 – 39 ⇒ At = 67

.

3º passo: Intervalo de classe (i ): i

=

67 8

= 8,375 → i = 9 kg ▬► ATENÇÃO: NÃO FAÇA O ARREDONDAMENTO; PEGUE SEMPRE

O PRÓXIMO INTEIRO

ATENÇÃO Como os pesos da tabela são números inteiros, devemos considerar SEMPRE o PRÓXIMO número inteiro, imediatamente superior a 8,375, mesmo que esse quociente tenha dado como resultado um número inteiro. Procedimento análogo deve ser utilizado quando a menor unidade considerada não for um número inteiro. No exemplo acima, o próximo número inteiro, superior a 8,375, é o 9, portanto, i = 9 , ou seja, NUNCA UTILIZE AQUI A REGRA DO ARREDONDAMENTO.

4º passo: EXCESSO: Para encontrar o excesso, basta multiplicar o número de classes ( k = 8) pelo intervalo de classe (i = 9) e subtrair a amplitude total (A t = 67) para encontrar o excesso que aparecerá na construção dos limites das classes da tabela de frequências, isto é,

8 x 9 – 67 = 72 – 67 =5 ou seja, temos um excesso de 5 unidades, o qual deve ser repartido entre os dois extremos da distribuição, ou seja, o primeiro limite inferior das classes iniciará com 37 (2 unidades antes do 39, que é o menor valor da distribuição) e o último limite superior terminará com 109 (ou seja, 3 unidades após 106, que é o maior valor da distribuição).

5º passo: Construir a tabela de frequências dos pesos dessas 60 pessoas: L

f

37

|

46

3

46

|

55

4

55

|

64

8

64

|

73

11

73

|

82

19

82

|

91

10

91

|

100

4

100

|

109

onde, L = limites das classes: inferior (à esquerda) e superior (à direita) f = frequências absolutas das classes, isto é, quantidade de pessoas em cada uma das faixas de pesos

1 N = 60

N = número total de pessoas 16

Observações: 1) O símbolo | no intervalo 64 | 73 da tabela acima indica que a contagem das pessoas de 64 a 73 kg inclui as de 64 kg e exclui as de 73 kg. 2) Em todas as tabelas de frequências que desenvolveremos em nossas aplicações utilizaremos esse tipo de intervalo ( | ), por ser o mais prático e mais utilizado. 3) Os outros três tipos de intervalos utilizados nas tabelas de frequências são: || ): inclui os a) Intervalo fechado em ambas as extremidades, isto é, fechado à esquerda e fechado à direita ( |

valores que aparecem em cada um dos extremos. Exemplos L 37 46 55 64 73 82 91 100

|| | || | || | || | || | || | || | || |

45 54 63 72 81 90 99 108

f 3 4 8 11 19 10 4 1

ou

L 37 46 55 64 73 82 91 100

|| | || | || | || | || | || | || | || |

45,5 54,5 63,5 72,5 81,5 90,5 99,5 108,5

f 3 4 8 11 19 10 4 1

ou

L 36,5 45,5 54,5 63,5 72,5 81,5 90,5 99,5

|| | || | || | || | || | || | || | || |

45,5 54,5 63,5 72,5 81,5 90,5 99,5 108,5

f 3 4 8 11 19 10 4 1

b) Intervalo aberto em ambas as extremidades (  ): exclui os valores que aparecem em cada um dos extremos. Exemplo: 36,5



L 45,5

f 3

45,5 54,5 63,5 72,5 81,5 90,5 99,5

 

54,5 63,5 72,5 81,5 90,5 99,5 108,5

4 8 11 19 10 4 1

    

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita ( | | ): exclui o valor da esquerda e inclui o valor da direita (é semelhante ao que utilizaremos em todas as nossas aplicações). Exemplo:

L 36 45 54

| |

63 72 81 90 99

||  | |

| | | |

| | | | | |

45 54 63

f 3 4 8

72 81 90 99 108

11 19 10 4 1 17

❷

A distribuição abaixo nos dá o tempo, em minutos, que 55 alunos aleatoriamente selecionados gastaram para desenvolver certa experiência em um laboratório. Fazer o tabulamento desses dados (isto é, construir uma tabela de frequências). 20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 32 32 32 33 34 35 36 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 40 40 41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45 46 48 48 48 48 49 49 50 52 52 54 55 56 60

Solução: Número de classes: k = 55 = 7,416 ⇒ k = 7 classes. Amplitude total: At = 60 – 20 ⇒ At = 40 min .

Intervalo de classe: i =

40

= 5,714 → i = 6 min .

7

Excesso: 7⋅6 – 40 = 42 – 40 = 2 unidades, ou seja, o 1º limite inferior das classes iniciará com 19 (ou seja, 1 unidade antes do 20) e o último limite superior terminará com 61 (ou seja, 1 unidade após o 60). A tabela de frequências dos tempos para a realização dessa experiência pelos 55 alunos é: L 19 25 31 37 43 49 55

| | | | | | |

25 31 37 43 49 55 61

f 2 7 12 16 9 6 3 N = 55

❸ A distribuição abaixo nos dá o tempo, em segundos, que 80 computadores aleatoriamente escolhidos

79

gastaram desde que foram ligados até estarem prontos para uso. Fazer o tabulamento desses dados. 83 65 79 84 80 85 100 75 85 83 85 79 61 93 85

89 79 75 122 73 79 90 81 50 87 74 96 85 79 86 86 68 79 86 83 91 85 136 83 85 55 118 48 91 60 60 87 72 100 96 73 78 84 85 89 Solução: Número de classes: k = 80 = 8,94 ⇒ k = 9 classes Amplitude total: At = 136 – 40 ⇒ At = 96 segundos Intervalo de classe: i = 96 = 10,667 → i = 11 segundos

79 95 76 80

70 71 46 125

79 92 99 85

84 40 79 83

78 77 89 100 63 103 85 90

9

Excesso: 9⋅11 – 96 = 99 – 96 = 3 unidades, ou seja, o 1º limite inferior das classes será igual a 39 (uma unidade antes do menor valor: 40) e o último limite superior será 138 (duas unidades após o maior valor: 136). Tabela de frequências: L Contagem (para obter as frequências absolutas): 39 | 50 ||| 50 | 61 |||| 61 | 72 ||||| | 72 | 83 ||||| ||||| ||||| ||||| ||| 83 94 105 116 127

| | | | |

94 105 116 127 138

||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| || ||||| ||| ||| |

18

39 50 61 72 83 94 105 116 127

RESPOSTA: L | 50 | 61 | 72 | 83 | | | | |

94 105 116 127 138

f 3 4 6 23

32 8 0 3 1 N = 80

E X E R C Í C I O S (tabelas de frequências) Dadas as distribuições abaixo, fazer o tabulamento dos dados (isto é, construir uma tabela de frequências ): 1) Consumo de energia elétrica, em kWh, que 63 residências aleatoriamente selecionadas em um bairro de baixa renda de determinada localidade gastaram durante o mês passado: 60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 76 77 77 77 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 86 87 87 88 89 89 89 89 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 95 96 96 98 98 100 101 101 102 103 103 105 107 108 110 111 113 Solução: Tabela de frequências:

Número de classes (k):

L Amplitude:

f

| |

Intervalo de classe (i):

| | |

Excesso:

| |

1º intervalo de classe: Começar com ______

|

N=

Último intervalo de classe: Terminar com ______

2) Força de ruptura, em libras, por polegada quadrada, para uma amostra de 70 garrafas descartáveis de refrigerante, de 300 ml cada: 53 73 80 93 118

55 75 81 95 120

58 76 81 95 121

60 76 83 97 121

60 76 83 98 124

62 78 84 98 126

65 78 84 100

66 78 84 106

68 78 85 106

19

68 79 85 107

68 80 86 109

69 80 86 109

70 80 86 112

70 80 88 115

72 80 90 116

73 80 93 116

3) Número de chamadas telefônicas recebidas, por hora, em uma central de atendimento, para uma amostra de 40 horas aleatoriamente escolhidas: 72 60 53 64 73 57 59 71 53 68 75 63 68 71 60 63 66 70 58 67 55 64 49 60 70 62 59 58 65 64 69 63 61 82 63 74 68 76 66 59 Obs.: Veja a tabulação que foi feita no exemplo 3 (dos computadores ), cujos dados estão fora de ordem (não precisa colocar os dados em ordem).

4) Quantidade diária de reclamações de clientes recebidas pelo setor de atendimento ao cliente de um fabricante de computadores, durante um período de 45 dias aleatoriamente escolhidos: 81 83 85 85 86 89 90 92 93 95 96 96 98 101 101 101 102 103 103 103 103 104 104 105 106 106 106 106 107 107 108 110 111 112 112 113 114 115 115 115 116 117 118 120 122

20

5)

Número diário de peças defeituosas produzidas por certa máquina: 40 44 47 48 50 53 53 56 58 59 61 61 63 63 67 68 69 69 71 71 71 71 71 72 72 73 73 74 75 75 76 77 77 77 77 77 78 78 80 81 82 86 102 107 112

6) Idades, em anos, de um grupo de pessoas aleatoriamente escolhidas: 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 23 24 25 25 26 28 29 30 30 30 30 32 36 40 46

36 40 48

37 42 49

37 42 50

37 42 50

37 42 50

37 42 53

37 43 56

21

37 43 57

37 43 60

38 44 68

38 45

63 74 88

64 74 89

64 74 91

65 74 95

66 75 99

21 33

21 35

22 36

22 36

39 45

39 45

39 45

39 46

7) Número diário de clientes de um banco atendidos por determinado caixa, durante um período de 52 dias aleatoriamente escolhidos: 45 150 100 125 75 150 55 50 125 75 150 45 50 95 30 80 50 75 60 75 165 50 55 100 70 80 47 90 100 125 170 130 150 50 75 130 125 95 65 15 120 50 60 130 100 65 75 47 100 60 80 70

8) Salários, em reais, dos funcionários de determinada empresa: 350 390 460 470 480 500 500 500 520 650 650 660 680 680 700 700 700 700 780 800 810 820 840 840 850 880 900 950 1000 1050 1100 1380

950 1000 1050 1100 1400

950 1000 1050 1100 1400

950 1000 1050 1100 1440

970 980 980 980 1000 1000 1000 1020 1050 1050 1060 1070 1100 1100 1130 1130 1450 1490 1500 1790

Obs.: Considerar múltiplos de 10 para o intervalo de classe.

22

980 1020 1090 1150

570 700 920

600 730 930

630 730 930

650 750 940

650 750 940

980 1000 1000 1000 1000 1020 1030 1030 1040 1050 1100 1100 1100 1100 1100 1150 1150 1180 1200 1210

9) Número de horas de uso do computador pessoal durante uma semana, por um grupo de pessoas: 0,7 1,0 1,2 1,5 2,1 2,5 2,6 3,0 3,1 3,1 3,3 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,9 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,7 4,8 5,4 5,6 5,7 5,7 5,7 5,9 5,9 6,1 6,1 6,1 6,7 6,8 7,2 7,6 8,8 9,2 9,5 10,3 10,4 10,8 11,1 12,1 12,9 13,7 14,9

Respostas: 1) L f 59 | 66 4 66 | 73 5 73 | 80 9 80 | 87 11 87 | 94 17 94 | 101 6 101 |108 7 108 | 115 4 L

2) 50 60 70 80 90 100 110120 120

L | | | | | | 5 | |

60 70 80 90 100 110

f 3 9 14 20 8 6

130

5

L

3) 48 54 60 66 72 78

L | | | | | |

f 54 3 60 7 66 13 72 11 78 5 84 1 117

4) 81 87 93 99 105 111

L | 87 | 93 | 99 | 105 | 111 | 117 123 4 |

f 5 3 5 10 9 9

5) 36 46 56 66 76 86 96 106

L

f 46 2 56 5 66 11 76 22 86 11 96 5 106 2 116 2

6) 16 22 28

| | |

22 28 34

f 14 7 8

7) 12 35 58

| | |

35 58 81

f 2 12 16

8) 320 470 620

| | |

470 620 770

f 3 8 17

9) 0,5 2,6 4,7

| | |

2,6 4,7 6,8

f 6 20 13

34 40 46 52 58 64

| | | | | |

40 46 52 58 64 70

19 15 7 3 1 1

81 104 127 150

| | | |

104 127 150 173

58 3 6

770 920 1070 1220 1370 1520 1670

| | | | | | |

920 1070 1220 1370 1520 1670 1820

9 40 21 0 7 0 1

6,8 8,9 11,0 13,1

| | | |

8,9 11,0 13,1 15,2

54 3 2

23

L

L | | | | | | | |

Frequências Relativas e Frequências Acumuladas E X E M P L O (frequências absolutas, relativas e acumuladas) Dada a tabela de frequências dos pesos de um grupo de 60 pessoas (1º exemplo de tabulamento): L

f 3 4 8 11 19

37 46 55 64 73

| | | | |

46 55 64 73 82

82 91 100

||  |

91 100 109

10 4 1 N = 60

Determine: a) b) c) d) e)

a frequência absoluta relativa de cada classe (fr); a frequência absoluta percentual de cada classe (fp); a frequência acumulada de cada classe (F); a frequência acumulada relativa de cada classe (Fr); a frequência acumulada percentual de cada classe (Fp).

Solução: a) Para determinar a frequência absoluta relativa de cada classe (fr), basta dividir a frequência absoluta de cada classe pelo total das frequências absolutas dessas classes (N). a) Para determinar a frequência absoluta percentual de cada classe (fp), basta dividir a frequência absoluta de cada classe pelo total das frequências absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100. c) Para determinar a frequência acumulada de uma classe (F), basta somar a frequência absoluta dessa classe com as frequências absolutas das classes anteriores, ou somar a frequência absoluta dessa classe com a frequência acumulada da classe anterior. d) Para determinar a frequência acumulada relativa de uma classe (Fr), basta dividir a frequência acumulada dessa classe pelo total das frequências absolutas (N). e) Para determinar a frequência acumulada percentual de uma classe (Fp), basta dividir a frequência acumulada dessa classe pelo total das frequências absolutas ( N), e multiplicar cada resultado por 100. A seguinte tabela nos dá os resultados pedidos: a) L 37 46 55 64

|

73 82 91 100

| |

| | |

| |

46 55 64 73 82 91 100 109

b)

f 3 4 8 11

fr 0,050 0,067 0,133 0,183

(%) fp 5,0 6,7 13,3 18,3

19 10 4 1 N = 60

0,316 0,167 0,067 0,017 1,000

31,6 16,7 6,7 1,7 100,0 24

c) F

d) F

e)

3 7 15 26

0,050 0,117 0,250 0,433

Fp (%) 5,0 11,7 25,0 43,3

45 55 59 60

0,750 0,917 0,983 1,000

75,0 91,7 98,3 100%

r

E X E R C Í C I O (frequências absolutas, relativas e acumuladas) A tabela de frequências abaixo corresponde às produções médias diárias de um grupo de operários durante certo período: L 50 60 70 80 90

|

100 110 120

| |

| | | |

|

60 70 80 90 100

f 3 9 14 20 8

110 120 130

6 5 5 N = 70

Determine: a) b) c) d) e)

a frequência absoluta relativa de cada classe (fr); a frequência absoluta percentual de cada classe (fp); a frequência acumulada de cada classe (F); a frequência acumulada relativa de cada classe (Fr); a frequência acumulada percentual de cada classe (Fp).

Solução: a) L

f

50 | 60

3

60 | 70

9

70 | 80

14

80 | 90

20

90 | 100

8

100 | 110

6

110 | 120

5

120 | 130

5

fr

b)

c)

(%) fp

F

N = 70

Respostas: a) 0,043; 0,129; 0,200; 0,286; 0,114; 0,086; 0,071; 0,071 b) 4,3; 12,9; 20,0; 28,6; 11,4; 8,6; 7,1; 7,1 c) 3; 12; 26; 46; 54; 60; 65; 70 d) 0,043; 0,171; 0,371; 0,657; 0,771; 0,857; 0,929; 1,000 e) 4,3; 17,1; 37,1; 65,7; 77,1; 85,7; 92,9; 100,0 25

d) F

r

e) Fp (%)

Representação Gráfica das Variáveis Qualitativas e Quantitativas Gráfico é a representação visual do fenômeno, em termos de sua evolução ou das relações entre as variáveis nele envolvidas.

Gráfico de Colunas Exemplo: Construir o gráfico de colunas referente às quantidades de 5 tipos de veículos vendidos durante certo período, em uma grande cidade, conforme tabela abaixo:

Solução:

Veículos Corsa Pálio Uno

Vendas 550 400 1.100

Gol Fóx

1.600 750

Vendas 1600

1100

750 550 400

0

CORSA

PÁLIO

UNO

GOL

FÓX

Tipos de Veículos

IMPORTANTE: A construção de um gráfico requer “prática” e “bom senso”.

Gráfico de Colunas no EXCEL Exemplo: Considerando a mesma tabela anterior, construir o gráfico de colunas no EXCEL. Veículos Corsa Pálio Uno Gol Fóx

Vendas 550 400 1.100 1.600 750

26

D i a gr a ma de Par eto Um diagrama de Pareto é um gráfico em colunas para dados qualitativos, com colunas ordenadas de acordo com as frequências (absolutas ou relativas).

Exemplo A tabela abaixo apresenta uma amostra de 150 componentes localizados incorretamente em um processo de montagem em eletrônica, pelos inspetores de qualidade, e as respectivas causas detectadas. Construir o gráfico de Pareto para esses dados. Legenda

Causas

Quantidade

I

Dimensões incorretas

41

II

Partes danificadas

32

III

Máquina

20

IV

Parte enferrujada

17

V

Fora de ordem

11

VI

Solda desalinhada

9

VI

Pintura danificada

8

VI

Parte errada produzida

4

IX

Pintura da base danificada

3

X

Porosidade na fundição

3

XI

Procedimento impróprio

2

Total

150

Solução: 41

35 30 25 20 15

10 5 0

I

II

III

IV

V

VI 27

VII

VIII

IX

X

XI

GRÁFICO DE LINHAS Exemplos Dadas as tabelas 1 e 2 abaixo, referentes às produções mensais, em milhares, de dois tipos diferentes de peças, construir um gráfico de linhas para cada tabela:

Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

TABELA 1 Quantidade 120 90 165 60 105 120 150 75 30 120 180 135

Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

O gráfico de linhas para os dados da Tabela 1 é:

E o gráfico de linhas para os dados da Tabela 2 é:

28

TABELA 2 Quantidade 1040 1060 1020 1100 1140 1220 1160 1180 1080 1060 1120 1100

Gráfico de Barras Exemplo: Construir o gráfico de barras referente às quantidades de 4 tipos de revistas mais vendidas durante certo período em uma cidade, por uma distribuidora, conforme tabela abaixo: Revistas VEJA ISTO É ÉPOCA GALILEU

Quantidades 600 2.000 1.600 3.000

Solução: Revistas VEJA

ISTO É

ÉPOCA

GALILEU 600

1.600 2.000 Quantidades Vendidas

3.000

G r á f i c o P i c t ó r i c o (Pictograma) Esses gráficos são construídos a partir de figuras. São gráficos muito comuns em jornais e revistas, e têm a finalidade de despertar a atenção das pessoas.

Exemplo: Dada a tabela abaixo, referente às quantidades aproximadas de telefones instalados em todo o território nacional, construir um gráfico pictórico. Anos 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Nº de telefones fixos 10.000.000 20.000.000 40.000.000 70.000.000 80.000.000 100.000.000 130.000.000

Solução: Anos

Número de telefones fixos

1975



1980



1985



1990



1995



2000



2005



LEGENDA

 = 10.000.000

29

G r áf ic o de S et or es O gráfico de setores (disco, circular, pizza), é um diagrama de área. Consiste em repartir um círculo em setores circulares correspondentes às proporções de cada valor.

Exemplo Construir o gráfico de setores referente aos gastos, em milhares de reais, com propaganda nos meios de comunicação de determinada empresa, conforme tabela abaixo:

Veiculação

Valor

Televisão

500

Radio

160

Jornal

320

Outdoor

150

Internet

120

Outros

250

Total

1500

%

%

%

%

% %

30

Histograma

Um histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de frequências.

Exemplo A tabela abaixo apresenta o tempo, em minutos, gasto pelos vendedores de um centro comercial para atendimento de um grupo de clientes aleatoriamente escolhidos. Construir o histograma para os dados dessa tabela. L

f

10

|

20

2

20

|

30

10

30

|

40

13

40

|

50

16

50

|

60

6

60

|

70

8

70

|

80

3

Histograma f 16

13

10

8

6

3 2

0

10

20

30

40

50

60

31

70

80

L

P ol íg ono d e F re qu ênc ia s Um polígono de frequências é um gráfico de linha de uma distribuição de frequências.

Exemplo: A tabela abaixo apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Construir o polígono de frequências para os dados dessa tabela. L 9 15 21 27 33 39 45

| | | | | | |

f 15 21 27 33 39 45 51

7 10 11 28 23 15 10

Solução: L 9 15 21 27 33 39 45

| | | | | | |

x (pontos médios) 6

f 15 21 27 33 39 45 51

7 10 11 28 23 15 10 54

Polígono de Frequências 28 24 20 s a o s s e p e d º N

16 12 8 4 0 0

6

12

18

24

30

Idades (anos)

32

36

42

48

54

E X E R C Í C I O (gráficos) A tabela abaixo apresenta os tempos, em segundos, que uma máquina gastou para produzir cada conjunto de peças e as respectivas quantidades amostrais de conjuntos produzidos nesses tempos. L

28 30 32 34 36 38 40

| | | | | | |

a) Construir o Histograma.

30 32 34 36 38 40 42

f 14 25 32 57 41 19 8

b) Construir o Polígono de Frequências.

33

M ED I DAS DE TE NDÊ NC I A CE NT R AL Estudaremos a seguir as três medidas de tendência central mais utilizadas em Estatística: a média, a mediana e a moda.

M É DI A A RI T MÉ T IC A De um modo geral, a média aritmética é a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas.

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (M) (é a média aritmética para DADOS NÃO TABULADOS ou DADOS NÃO AGRUPADOS) A média aritmética simples é dada por:

=

M

Σx n

onde, ∑ = símbolo do somatório (indica a soma das medidas x) x = medidas (ou observações) n = quantidade de medidas (ou observações)

Exemplos 1. Calcule a média aritmética simples das temperaturas máximas, em graus Celsius, registradas durante 6 dias consecutivos, em determinada localidade: 32, 18, 22, 27, 20 e 38. Solução: M

= Σx ⇒ M = 32 + 18 + 22 + 27 + 20 + 38 = 157 = 26 ,1666 K ⇒ M = 26 ,2 o C 6

n

6

R EG RA D O A RRE DO ND AME NT O

Para as médias, deixar uma casa decimal a mais que os dados srcinais (exceto quando se tratar de valor monetário). Como no exemplo acima os dados srcinais são números inteiros, a média deverá ficar com uma casa decimal.

2. Calcule a média aritmética simples dos pesos de 60 pessoas (1º exemplo de tabulamento dos dados): 39

43

45

50

50

53

54

55

58

59

61

61

63

63

63

64

66

68 75 84

68 76 86

68 77 88

68 77 90

68 78 91

70 78 95

71 78 96

72 79 99

72 80 106

73 81

73 81

73 82

74 82

75 82

75 83

75 84

75 84

Solução: M = Σ x ⇒ M = 4 .357 = 72,6166 K ⇒ M = 72,6 kg n

60

34

.

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

A média aritmética ponderada é dada por: M

=

ΣfX Σf

ou

M=

ΣfX N

onde, ∑ = símbolo do somatório (indica a soma dos produtos de f por X) f = frequência da ocorrência de cada medida de X X = valor de cada medida verificada ∑f = N = soma das frequências (total de medidas ou observações) Exemplos 1. Determinada empresa possui três categorias de salários em seu quadro de 120 empregados, sendo que 30 deles recebem R$ 1.000,00, 50 recebem R$ 1.300,00 e 40 recebem R$ 1.700,00. Determine o salário médio de todos esses empregados. Solução:

Empregados (f) 30 50 40 ∑f = N = 120

Salários (X) 1000,00 1300,00 1700,00

f•X

30000,00 65000,00 68000,00 ∑fX = 163000,00

(total de empregados) M M

= =

ΣfX N

=

(total pago a todos os empregados)

30 ⋅ 1000,00 + 50 ⋅ 1300,00 + 40 ⋅ 1700,00 30 + 50 + 40

30000,00 + 65000,00 + 68000,00

=

163000,00

120

= 1358,333K ⇒ M = 1358,33 , portanto, essa empresa

120

paga um salário médio de R$ 1.358,33 por empregado (ou seja, cada empregado corresponde a um salário de R$ 1.358,33 na folha de pagamento dessa empresa). 2. A prova de um concurso público foi dividida em 5 partes (A, B, C, D e E), sendo que a Parte A tinha peso 2, a Parte B peso 1, a Parte C peso 5, a Parte D peso 4 e a Parte E peso 2. Um candidato obteve as seguintes notas, em uma escala de 0 a 100: Parte A: nota 64; Parte B: nota 71; Parte C: nota 34; Parte D: nota 57 e Parte E: nota 81. Calcule a sua média na prova desse concurso. (Obs.: Arredondar a média para milésimos) Solução:

Parte A B C D E

M

=

Pesos (f) 2 1 5 4 2 ∑f= 14

Notas (X) 64 71 34 57 81

f•X

128 71 170 228 162 ∑fX= 759

2 ⋅ 64 + 1 ⋅ 71 + 5 ⋅ 34 + 4 ⋅ 57 + 2 ⋅ 81 128 + 71 + 170 + 228 + 162 2 +1+ 5 + 4 + 2

=

14 35

=

759 14

= 542142K ⇒ M = 54,214

.

MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS TABULADOS (é a média aritmética para tabelas de frequências)

A média aritmética para dados tabulados é dada por: M =

Σfx N

onde, ∑ = símbolo do somatório (indica a soma dos produtos de f por x) f = frequências absolutas das classes x = pontos médios das classes (isto é, média aritmética dos limites inferior e superior de cada classe) N = número total de medidas (ou observações) Exemplo Determine a média aritmética para os dados da seguinte tabela (1º exemplo de tabulamento dos dados): Pontos médios das classes

L 37 46 55 64 73 82 91 100

M

| | | | | | | |

f

46 55 64 73 82 91 100 109

3 4 8 11 19 10 4 1 N = 60

Σfx 4.380,0 = N = 60 ⇒ M = 73,0 kg

Multiplicar f por x

x

f•x

(37 + 46)/2 = 41,5 (46 + 55)/2 = 50,5 (55 + 64)/2 = 59,5 (64 + 73)/2 = 68,5 (73 + 82)/2 = 77,5 (82 + 91)/2 = 86,5 (91 + 100)/2 = 95,5 (100 + 109)/2 = 104,5

3 • 41,5 = 124,5 4 • 50,5 = 202,0 8 • 59,5 = 476,0 11 • 68,5 = 753,5 19 • 77,5 = 1.472,5 10 • 86,5 = 865,0 4 • 95,5 =382,0 1 • 104,5 = 104,5 ∑fx = 4.380,0

.

Obs.: Os pontos médios das classes podem ser determinados das seguintes formas: 1ª) Somar os limites inferior e superior de cada classe e dividir por 2, como mostra a tabela abaixo. 2ª) Após a determinação do primeiro ponto médio (que é a média aritmética dos limites inferior e superior da primeira classe), somando-se o intervalo de classe a esse primeiro ponto médio encontramos o segundo ponto médio. O terceiro ponto médio é obtido pela soma do segundo ponto médio com o intervalo de classe. Os demais pontos médios são encontrados da mesma forma, como mostra a tabela abaixo. 3ª) Basta somar a metade do valor do intervalo com o limite inferior de cada classe, como mostra a tabela abaixo. Limites das classes L 37 | 46 46 | 55 55 | 64 64 | 73 73 | 82 82 | 91 91 | 100 100 | 109

Formas de se determinar os pontos médios das classes: 1ª forma: 2ª forma: 3ª forma: (37 + 46)/2 = 41,5 (37 + 46)/2 = 41,5 37 + 4,5 = 41,5 (46 + 55)/2 = 50,5 41,5 + 9 = 50,5 46 + 4,5 = 50,5 (55 + 64)/2 = 59,5 50,5 + 9 = 59,5 55 + 4,5 = 59,5 (64 + 73)/2 = 68,5 59,5 + 9 = 68,5 64 + 4,5 = 68,5 (73 + 82)/2 = 77,5 68,5 + 9 = 77,5 73 + 4,5 = 77,5 (82 + 91)/2 = 86,5 77,5 + 9 = 86,5 82 + 4,5 = 86,5 (91 + 100)/2 = 95,5 86,5 + 9 = 95,5 91 + 4,5 = 95,5 (100 + 109)/2 = 104,5 95,5 + 9 = 104,5 100 + 4,5 = 104,5 36

E X E R C Í C I O S (média aritmética) 1. Calcule a média aritmética simples (isto é, média aritmética para dados não tabulados) dos seguintes tempos, em segundos, para carga de um aplicativo, num sistema compartilhado, em 70 observações: 53 73 80 93 118

55 75 81 95 120

58 76 81 95 121

60 76 83 97 121

60 76 83 98 124

62 78 84 98 126

65 78 84 100

66 78 84 106

68 78 85 106

68 79 85 107

68 80 86 109

69 80 86 109

70 80 86 112

70 80 88 115

72 80 90 116

73 80 93 116

2. Durante 7 meses consecutivos, foram registradas as seguintes quantidades máximas de chuva, me mm, em determinada região: 63,2; 49,6; 72,9; 87,3; 58,0; 58,3 e 75,1. Calcule a média aritmética simples dessas quantidades:

3. A tabela abaixo nos dá o número peças produzidas, por operário, num certo período e o respectivo número de operários que produziram cada uma dessas quantidades. Calcule a quantidade média de peças produzidas pelos operários nesse período. Operários

Peças

5

21

2

22

7

25

2

28

4

30

37

4. Calcule a média aritmética ponderada das notas obtidas por um aluno em três provas, sabendo que os pesos 3, 2 e 5 e respectivas notas foram 68, 37 e 83. Prova

Pesos

Notas

A

3

68

B

2

37

C

5

83

5. O Departamento de Água de certa cidade utiliza a tabela abaixo para calcular progressivamente o valor que deverá ser pago, de acordo com cada faixa de consumo da água (por exemplo , se uma pessoa consumir 15 m³, deverá pagar um total de R$ 35,00, correspondente a 10 m³ a R$ 2,00 cada m³ e 5 m³ a R$ 3,00 cada m³): Consumo (em m³) Até 10

Tarifa (em reais, por m³) 2,00

De 11 a 20

3,00

De 21 a 30

5,00

De 31 a 50

6,00

Acima de 50

7,00

a) Quatro pessoas (Antonio, Benedito, Carlos e Débora) compareceram ao escritório do Departamento de Água e disseram que o valor cobrado na sua fatura do mês anterior não estava correto. Se os consumos e respectivos valores constantes nas faturas foram: Antonio: 25 m³ – R$ 75,00 Benedito: 58 m³ – R$ 276,00 Carlos: 42 m³ – R$ 182,00 Débora: 17 m³ – R$ 41,00 Verifique se o valor que cada um terá que pagar está correto. Solução: Antonio: ____________________________________________________________________ Benedito: ___________________________________________________________________ Carlos: _____________________________________________________________________ Débora: ____________________________________________________________________ Resposta: 38

b) Na residência de Edson, foram consumidas mensalmente, nos últimos seis meses, as seguintes quantidades de água, em m³: 38, 71, 14, 29, 43 e 56. Calcule o preço médio, por m³, pago nesse período. Solução: Valor pago no 1º mês:___________________________________________________________________ Valor pago no 2º mês:___________________________________________________________________ Valor pago no 3º mês:___________________________________________________________________ Valor pago no 4º mês:___________________________________________________________________ Valor pago no 5º mês:___________________________________________________________________ Valor pago no 6º mês:___________________________________________________________________ Valor total pago nos 6 meses:__________________________________________ Quantidade de água consumida nesses 6 meses:________________________________________ Preço médio pago, por m³, nesses 6 meses: M = Resposta: 6. A tabela abaixo apresenta as distâncias e respectivas velocidades desenvolvidas por um motorista com seu veículo, em cada um dos quatro trechos de uma viagem de 1.000 km: TRECHOS

A

B

C

D

Distância percorrida (km)

200

100

400

300

Velocidade (km/h)

80

70

60

50

Calcular: a) O tempo aproximado gasto para percorrer cada um desses trechos.

b) O tempo total gasto para realizar essa viagem.

c) A velocidade média desse automóvel nessa viagem.

39

7. A tabela abaixo apresenta alturas, em cm, de um grupo de pessoas. Calcule a média aritmética dessas alturas. L

f

145 | 155

6

155 | 165

11

165 | 175

36

175 | 185

30

185 | 195

19

195 | 205

4

8. A tabela abaixo apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Calcule a média aritmética dessas idades. L

f

16

|

21

14

21

|

26

7

26

|

31

8

31

|

36

19

36

|

41

15

41

|

46

46

|51

51

|

56

1

56

|

61

1

7 3

Respostas: 1.

M

=

6.045

2.

M

=

464,4

500

3.

M

=

4.

M

=

70

7

20 693 10

Carlos – Valor correto: a) 10 ⋅ 2,00 + 10 ⋅ 3,00 + 10 ⋅ 5,00 + 12 ⋅ 6,00 = 172,00 148 + 367 + 32 + 95 + 178 + 262 1.082 M = = = 4,31

5. a) = 86,4

5. b)

251

= 66,34

251

6. a) A: 2,5 h; B: 1,429 h; C: 6,667 h; D: 6 h;

= 25,0

7.

M

=

= 69,3

8.

M

=

18 .590 106 2.427,5 75

= 175,4 = 32,4 40

b) 16,596 h;

c) M =

1.000 16,596

= 60,26 km/h

M E D I A N A (Md ) A mediana ( Md ) é uma medida que se localiza no centro da distribuição. Os dados da distribuição devem estar sempre em ordem crescente ou decrescente.

MEDIANA PARA DADOS NÃO TABULADOS n +1

A posição da mediana em uma distribuição é dada por:

2

Temos dois casos:

1º caso: Quantidade ÍMPAR de valores: a mediana se localiza exatamente no meio da distribuição. Exemplos 1. Determine a mediana para das seguintes idades, em anos: 26, 28, 28, 29, 32, 34 , 37, 37, 40, 43, 47. Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é: n + 1 = 11 + 1 = 6 , então a mediana é o 6º valor dessa 2

2

distribuição, e que corresponde a Md = 34 anos . 2. Determine a mediana para as seguintes notas de um grupo de alunos, obtida em um certo teste: 57, 48, 33, 86, 39, 75, 29, 44 e 49. Solução: Ordenando essas notas, obtemos: 29, 33, 39, 44, 48 , 49, 57, 75, 86. Como a posição da mediana nessa distribuição é:

n +1

2

=

9 +1 2

= 5 , então a mediana é o 5º valor dessa

distribuição, e que corresponde a Md = 48 , ou seja, a mediana das notas desses alunos é igual a 48 pontos. 3. Determine a mediana para os 55 valores do 2º exemplo de tabulamento: 20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 34 35 36 36 36 36 37 37 37 38 38 41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45

32 38 46

32 39 48

32 40 48

33 40 48

48 49 49 50 52 52 54 55 56 60 Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é: n + 1 = 55 + 1 = 28 , então a mediana é o 28º valor 2

2

dessa distribuição, e que corresponde a Md = 39 min .

2º caso: Quantidade PAR de valores: neste caso, consideramos um valor intermediário aos dois valores centrais. Exemplos 1. Determine a mediana para as seguintes medidas: 28, 35, 38, 40, 42 , 43 , 46, 50, 50, 58. Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é:

n +1

2

=

10 + 1 2

= 5,5 , então a mediana está entre o

5º valor (que é o 42) e o 6º valor (que é o 43), ou seja, a mediana é Md = 42,5 (é a média aritmética desses dois valores). Portanto, o peso mediano desse grupo de pessoas é 42,5 kg. 2. Determine a mediana para os dados do 1º exemplo de tabulamento: 39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 68 75 84

68 76 86

68 77 88

68 77 90

68 78 91

70 78 95

71 78 96

72 79 99

72 80 106

73 81

Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é:

73 81 n +1

2

=

73 82 60 + 1 2

63

63

63

64

66

74 82

75 82

75 83

75 84

75 84

= 30,5 , então a mediana está entre o

30º valor (que é o 74) e o 31º valor (que é o 75), logo a mediana é: Md = 74,5 kg . 41

E X E R C Í C I O S (mediana para dados não tabulados) Determine a mediana para as seguintes medidas: 1. Pesos, em kg: 37, 40, 40, 42, 45, 45, 45, 48, 49, 52, 55, 55, 59, 60 e 64.

2. Idades, em anos: 11, 13, 13, 13, 15, 17, 18, 18, 18, 20, 25 e 30.

3. Número diário de clientes atendidos em uma empresa: 26, 15, 37, 12, 45, 34, 52, 29 e 18.

4. Dada a distribuição abaixo, referente aos pesos, em kg, de mediano dessas pessoas. 60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 102 103 103 105 107 108 110 111 113

um grupo de 63 pessoas, Determine o peso 74 86 95

74 87 96

74 75 76 77 77 77 87 88 89 89 89 89 96 98 98 100 101 101

5. Dada a distribuição abaixo, referente ao número diário de peças defeituosas durante um período de 70 dias. Determine a mediana desses dados. 53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 118 120 121 121 124 126

Respostas: 1) Md = 48; 2) Md = 17,5; 3) Md = 29; 4) Md = 88; 5) Md = 82 42

produzidas por certa máquina, 70 80 86 112

70 80 88 115

72 80 90 116

73 80 93 116

MEDIANA PARA DADOS TABULADOS A mediana para dados tabulados é dada por:

Md

= linf

N  − Fant + i ⋅ 2  f med  

     

onde, 50

N

2

= 2 = 25 (lembre-se de que a mediana se localiza no meio de uma distribuição, isto é, considera a metade dos dados da distribuição para o seu cálculo)

i é o intervalo de classe linf é o limite inferior da classe da mediana fmed é a frequência absoluta da classe da mediana Fant é a frequência acumulada da classe anterior a da mediana

Exemplo A tabela a seguir apresenta os pesos, em kg, de um grupo de 50 pessoas. Determine a mediana para esses dados. L 40 50 60 70 80 90 100

| | | | | | |

f 1 3 5 20 11 8 2

50 60 70 80 90 100 110 N

= 50

Solução: Um modo prático de encontrar os dados para substituir na fórmula e encontrar o valor da mediana é dado como segue:

1º passo: Determinar a coluna das frequências acumuladas F.

2º passo: Calcular N (que é a metade dos dados), isto é, N = 50 ⇒ N = 25 2

2

2

43

2

3º passo (é o mais i mportante): Encontrar a classe da mediana. Basta percorrer a coluna F (das frequências acumuladas), a partir da primeira linha, até encontrar o primeiro valor nessa coluna que seja maior ou igual a N = 25 , e que é o 29, e que 2

se encontra na 4ª linha, isto é, a mediana se localiza na 4ª classe, ou seja, o peso mediano procurado está compreendido entre 70 e 80 kg.

4º passo: Assinalar na tabela os valores de: linf , fmed e Fant . L

linf =

f

F

1 3

1 4

40 50

| |

50 60

60

|

70

5

70

|

80

fmed= 20

29

| | |

90 100 110

11 8 2 N = 50

40 48 50

80 90 100

Fant =

9 ←(linha da classe da mediana)

5º passo: Encontrar o valor de i (intervalo de classe), que é i = 10 . 6º passo (último): Substituir os valores encontrados na fórmula da mediana e calcular o seu valor. N   50  −9  −F   ant 2 M d = l inf + i ⋅   ⇒ M d = 70 + 10 ⋅  2  = 70 + 10 ⋅ 16 = 70 + 160 = 70 + 8,0 ⇒ Md = 78,0 kg  fm   20  20 20         ou seja, o peso mediano desse grupo de pessoas é de 78,0 kg.

E X E R C Í C I O S (mediana para dados tabulados) 1. Calcule a mediana para a seguinte tabela (1º exemplo de tabulamento dos dados): L 37 46 55 64

|

73 82 91 100

| |

| | |

| |

46 55 64 73

f 3 4 8 11

82 91 100 109

19 10 4 1 N = 60 44

.

2. Calcule a mediana para a seguinte tabela (2º exemplo de tabulamento dos dados): L f 19 | 25 2 25 | 31 7 31 | 37 12 37 | 43 16 43 | 49 6 49 | 55 8 55 | 61 4 N = 55

3. Calcule a mediana para as estaturas, em cm, de um grupo de pessoas, conforme tabela abaixo: L f 145 | 155 6 155 | 165 11 165 | 175 36 175 | 185 30 185 | 195 19 195 | 205 4

4. Calcule a mediana para a tabela abaixo, correspondente aos tempos, em meses, de vida útil dos tubos de imagem dos monitores de computadores de determinada marca e modelo. L f 38 | 45 1 45 | 52 4 52 | 59 12 59 | 66 22 66 | 73 17 73 | 80 15 80 | 87 6 87 | 94 3

Respostas: 1)

Md

 60  − 26    = 74 ,9  19     

= 73 + 9 ⋅  2

2)

Md

 55   − 21   = 39,4  16     

= 37 + 6 ⋅  2

3)

45

Md

 106  −17   = 175  36     

= 165+10⋅  2

4)

Md

 80   − 39   = 66,4  17     

= 66 + 7 ⋅  2

M O D A (Mo ) A moda ( Mo ) de um conjunto de valores (moda para dados não tabulados) é o valor que mais se repete. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. Exemplos: Determine a moda para cada um dos seguintes conjuntos de números: a) 3, 3, 6, 7, 11, 11, 11, 13, 14, 14, 17, 20.............................................. ▬► Resposta: Mo = 11 (unimodal) b) 6, 7, 11, 14, 15, 18, 19........................................................................ ▬► Resposta: Não tem moda ( amodal) c) 9, 9, 9, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 17, 17, 17, 22, 22, 22.......................... ▬► Resposta: Não tem moda ( amodal) d) 5, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 11, 15...................................................... ▬► Resposta: Mo = 8 e 11 (bimodal) e) Para os 60 valores do 5º exercício de tabulamento (número diário de peças defeituosas produzidas): 40 44 47 48 50 53 53 56 58 59 61 61 63 63 63 64 64 65 66 67 68 69 69 71 71 71 71 71 72 72 73 73 74 74 74 74 74 75 75 75 76 77 77 77 77 77 78 78 80 81 82 86 88 89 91 95 99 102 107 112 Resposta: Mo = 71, 74 e 77 ( trimodal, ou multimodal, ou plurimodal)

E X E R C Í C I O (moda para dados não tabulados) Determinar a moda para os seguintes valores: a) 20, 22, 22, 25, 25, 25, 26, 28, 28, 3 0, 30, 30, 33, 34, 34 e 36

b) 35, 26, 17, 41, 26, 17, 30, 52, 35, 2 8, 26, 23 e 31

c) 19, 27, 38, 44, 12, 29, 37, 28, 30, 17 e 22

d) Para as 75 idades do 18 18 18 23 24 25 36 36 37 40 40 42 46 48 49

6º exercício de tabulamento: 18 19 19 19 20 25 26 28 29 30 37 37 37 37 37 42 42 42 42 43 50 50 50 53 56

20 30 37 43 57

20 30 37 43 60

Respostas: a) Mo = 25 e 30 (bimodal); b) Mo = 26; c) Não tem moda; d) Mo = 37 46

21 30 38 44 68

21 32 38 45

21 33 39 45

21 35 39 45

22 36 39 45

22 36 39 46

MODA PARA DADOS TABULADOS Vimos que, quando os dados não estão tabulados, isto é não estão agrupados, é fácil identificar se a distribuição tem ou não um (ou mais valores) para representar a moda dessa distribuição. Após o agrupamento desses valores (tabulamento), só podemos recorrer a uma estimativa da moda, que pode ser:

1ª estimativa: Moda de PEARSON É dada pela seguinte relação empírica: M o = 3 ⋅ M d − 2 ⋅ M onde, Md = mediana M = média aritmética Exemplo: Determine a moda de Pearson para a seguinte tabela (1º exemplo de tabulamento dos dados): L f 37 | 46 3 46 | 55 4 55 | 64 8 64 | 73 11 73 | 82 19 82 | 91 10 91 | 100 4 100 | 109 1 N = 60 Solução: Conforme calculado anteriormente para essa mesma tabela, a média aritmética é M = 73,0 (ver página 36) e a mediana é Md = 74,9 (ver página 44). Daí, Mo = 3· 74,9 – 2· 73,0 = 224,7 – 146,0, portanto, a moda de Pearson é: Mo = 78,7 .

2ª estimativa: Moda de CZUBER (lê-se: “chúber”) A fórmula para encontrar a moda para dados tabulados pela 2ª estimativa é: Mo

 ∆1   = l inf + i ⋅   ∆1 + ∆ 2 

onde l inf = limite inferior da classe modal (isto é, limite inferior da classe de maior frequência absoluta) i = intervalo de classe ∆ 1 = diferença entre as frequências absolutas da classe modal e da anterior ∆ 2 = diferença entre as frequências absolutas da classe modal e da posterior Exemplo: Determine a moda de Czuber para a seguinte tabela: L f 37 | 46 3 46 | 55 4 55 | 64 8 64 | 73 11 ∆ 1 = 19 – 11 = 8 19 l inf = 73 | 82 ∆ 2 = 19 – 10 = 9 82 91 10 91 100 Mo

| | |

> >

100 109

4 1 N = 60

 ∆1  8   = 73 + 9 ⋅  = linf + i ⋅   = 73 + 4,2 = 77,2 , portanto Mo = 77,2 . 8+9  ∆1 + ∆ 2  47

3ª estimativa: Moda bruta É o ponto médio da classe de maior frequência absoluta . Exemplo: Determine a moda bruta para a seguinte tabela: L f 37 | 46 3 46 | 55 4 55 | 64 8 64 | 73 11 73 | 82 19 82 | 91 10 91 | 100 4 100 | 109 1 N = 60 Solução: Na tabela acima, a 5ª classe é a de maior frequência absoluta, e o seu ponto médio é: Mo

=

linf

+ lsup 2

⇒ Mo =

73 + 82 2

=

155 2

= 77,5 , logo a moda bruta dessa tabela é: Mo = 77,5 .

E X E R C Í C I O S (média, mediana e moda) 1. A tabela abaixo apresenta o número de e-mails diários recebidos em um departamento: L f 35

|

47

47

|

59

9

59

|

71

15

71

|

83

22

83

|

95

27

95

|

107

43

107

|

119

28

119

|

131

11

Calcule: a) Média aritmética

3

d) Moda de Czuber

b) Mediana

c) Moda de Pearson

e) Moda bruta

48

2. A tabela abaixo apresenta os dados correspondentes às idades, em anos, de um grupo de pessoas: L

f

30

|

37

4

37

|

44

7

44

|

51

9

51

|

58

19

58

|

65

34

65

|

72

23

72

|

79

14

79

|

86

5


d) Moda de Czuber

b) Mediana

c) Moda de Pearson

e) Moda bruta

3. A tabela a seguir apresenta as quantidades diárias de clientes atendidos em certo departamento, durante determinado período: L

f

62

|

68

5

68

|

74

13

74

|

80

21

80

|

86

50

86

|

92

67

92

|

98

41

98

|

104

28

104

|

110

10

49


d) Moda de Czuber

b) Mediana

c) Moda de Pearson

e) Moda bruta

____________________________________________________ Respostas: 1. a) M = 92,1; b) Md = 95,8; c) Mo = 103,2; d) Mo = 101,2; e) Mo = 101 2. a) M = 61,0; b) Md = 61,8; c) Mo = 63,4; d) Mo = 62,0; e) Mo = 61,5 3. a) M = 88,4; b) Md = 88,6; c) Mo = 89,0; d) Mo = 88,4; e) Mo = 89

Análise das medidas de tendência central A média, mediana e moda pretendem representar todos os dados e tendem colocar-se no centro, mas são conceitualmente muito distintas: a média é de congregação , a mediana de separação e a moda é de repetição. Então, convém calcular todas em qualquer distribuição e depois indicar qual das três representa melhor o grupo, mas para isso precisamos criticá-las.

Padrão para a crítica Uma medida de tendência central deve satisfazer às seguintes condições: 1ª) ser concreta 2ª) ser objetiva 3ª) de fácil compreensão 4ª) dependente de todos os dados 5ª) independente de dados inconvenientes 6ª) ser estável nas amostras 7ª) com possibilidade de análise Como essas três medidas se comportam ante o padrão? a) A média satisfaz a todos os padrões acima, menos a 5ª condição, mas não por deficiência sua e sim da amostra. b) A mediana não satisfaz a 4ª condição e é deficiente na 6ª e na 7ª. c) A moda não satisfaz a 4ª e nem a 7ª, e é deficiente na 2ª e na 6ª. 50

SEPARATRIZES Separatriz (ou quantil) é a medida de posição que divide uma distribuição em partes iguais . Também se diz que a separatriz realiza um “corte” nos dados, que serve, entre outras coisas, para converter variáveis quantitativas em intervalares, classificar informações socioeconômicas (por exemplo , renda, lucratividade, endividamento etc.), estabelecer quantidades ou porcentagens de itens maiores ou menores que certo referencial etc. Das medidas de posição, destacamos, agora, as quatro separatrizes: (1) a mediana (já estudada), que divide uma distribuição em duas partes iguais, cada uma com 50% dos dados, como mostra o diagrama abaixo: 50%

A

50%

B

Md

(2) os 3 quartis, que dividem uma distribuição em quatro partes iguais, cada uma com 25% dos dados: 25%

A

25%

25%

Q1

25%

Q2

B

Q3

(3) e os 9 decis , que dividem uma distribuição em dez partes iguais, cada uma com 10% dos dados: 10%

A

10%

D1

10%

D2

10%

D3

10%

D4

10%

D5

10%

D6

10%

D7

10%

D8

10%

D9

B

(4) e os 99 centis ou percentis , que dividem uma distribuição em cem partes iguais, cada uma com 1% dos dados:

A

1%

1%

C1

1%

C2

C3

...

... C25

... C50

... C75

Observação: Note que: a) Md = Q2 = D5 = C50 (correspondem a 50% dos dados) b) Q1 = C25 (correspondem a 25% dos dados) c) Q3 = C75 (correspondem a 75% dos dados) 51

1%

1%

1%

C97 C98 C99

B

SEPARATRIZES PARA DADOS TABULADOS O processo para se calcular os 3 quartis, os 9 decis e os 99 centis (ou percentis) nas tabelas de frequências é o mesmo que o da mediana, diferenciando apenas nas partes proporcionais de N (número total de dados). Exemplo: A tabela a seguir apresenta o nível máximo de ruído ocasionado por determinado tipo de equipamento elétrico, verificado em uma amostra de 72 aparelhos que funcionaram durante certo período. L 20 25 30 35

| | | |

25 30 35 40

40 45 50 55 60

| | | | |

45 50 55 60 65

Determine: a) Mediana ( Md ): M

d

F 3 7 13 27

20 12 8 4 1 N = 72

47 59 67 71 72

 72  − 27    ⇒ M d = 40 + 5 ⋅  2  20     

 N − F ant  = l inf + i ⋅  2 f med   

b) 1º quartil (Q1):

f 3 4 6 14

Q1

← linha da classe da mediana

   = 40 + 5 ⋅  36 − 27  = 40 + 5 ⋅ 9 = 40 + 45 = 40 + 2 , 25 ⇒ M d = 42 , 25 20 20   20   

1   ⋅ 72 − 13  −  = 35 + 5 ⋅  18 13  = 35 + 5 ⋅ 5 = 35 + 25 = 35 + 1, 79 ⇒ Q1 = 36 , 79 = 35 + 5 ⋅  4 14 14 14    14     

Interpretação do resultado do 1º quartil: 25% dos aparelhos apresentaram um ruído correspondente a 36,79 unidades ou menos. 3

c) 3º quartil (Q3):

Q3



 ⋅ −  = 45 + 5 ⋅  4 72 47  = 45 + 5. 54 − 47 = 45 + 2,92 ⇒ Q3 = 47 ,92   

12

  

12

d) 1º decil (D 1):

D1

 1 ⋅ 72 − 7    = 30 + 5 ⋅ 7 , 2 − 7 = 30 + 0 ,17 ⇒ D 1 = 30 ,17 = 30 + 5 ⋅  10   6 6    

e) 2º decil (D2):

D2

= 35 + 5 ⋅  10

f) 9º decil (D9):

D9

 2   ⋅ 72 − 13   = 35 + 5 ⋅ 14 , 4 − 13 = 35 + 0,50 ⇒ D 2 = 35 ,50 14 14        9  ⋅ 72 − 59    = 50 + 5 ⋅ 64 ,8 − 59 = 50 + 3 , 625 ⇒ D 9 = 53 , 62  8  8    

= 50 + 5 ⋅  10

 17  ⋅ 72 − 7   12 , 24 − 7  = 30 + 5 ⋅ = 30 + 4 ,37 ⇒ C17 = 34 ,37 6 6      

g) 17º centil (C 17):

C 17

= 30 + 5 ⋅  100

h) 59º centil (C 59):

C 59

= 40 + 5 ⋅  100

i) 4º centil (C4):

C4

 59  ⋅ 72 − 27    = 40 + 5 ⋅ 42 , 48 − 27 = 40 + 3,87 ⇒ C 59 = 43 ,87   20 20    

 4 ⋅ 72 − 0    = 20 + 5 ⋅ 2 ,88 = 20 + 4 ,80 ⇒ C 4 = 24 ,80 = 20 + 5 ⋅  100   3 3    

52

EXERCÍCIOS 1. A tabela a seguir apresenta as idades, em anos, dos funcionários que foram atendidos no ambulatório médico de uma empresa durante certo período: L 20 25 30 35 40 45 50 55 60

| | | | | | | | |

25 30 35 40 45 50 55 60 65

f 5 12 26 32 49 17 10 4 1

Determine: a) Mediana

f) 9º decil

b) 1º quartil

g) 12º centil

c) 3º quartil

h) 83º centil

d) 1º decil

i) 94º centil

e) 4º decil

j) 1º centil

53

2. A tabela a seguir apresenta os pesos, em kg, de um grupo de funcionários: L

f

39

|

46

5

46

|

53

11

53

|

60

23

60

|

67

47

67

|

74

34

74

|

81

18

81

|

88

14

88

|

95

8

Determine: a) Mediana

e) 8º decil

b) 1º quartil

f) 10º centil

c) 3º quartil

g) 21º centil

d) 2º decil

h) 92º centil

54

3. Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas, que deveriam conter 16,50 kg. A pesagem de uma amostra de 40 sacas revelou os resultados representados na seguinte tabela: L

f

14,55

|

15,05

1

15,05

|

15,55

3

15,55

|

16,05

8

16,05

|

16,55

9

16,55

|

17,05

10

17,05

|

17,55

6

17,55

|

18,05

3

Determine: a) Média da distribuição

e) O septuagésimo centil

b) Mediana

f) O terceiro decil

c) Moda pela 1ª estimativa

g) A porcentagem de unidades desse produto entre a mediana e o 75º centil

d) Moda pela 2ª estimativa

h) Intervalo total (Obs.: Ver página seguinte)

Respostas: 1. a) 40,3; b) 34,23; c) 44,29; d) 29,42; e) 38,03; f) 49,82; g) 30,33; h) 46,61; i) 52,82; j) 21,56 2. a) 66,1; b) 60,15; c) 74,0; d) 57,87; e) 77,11; f) 53,0; g) 58,36; h) 85,60 3. a) 16,475; b) 16,494; c) 16,532; d) 16,650; e) 16,900; f) 16,050; g) 25%; h) 3,50 55

MEDI DAS DE DISPERSÃO O U VAR IABILIDADE Observe as três situações seguintes: 1ª) Notas de três alunos obtidas em cinco provas : Aluno A: 50, 50, 50, 50 e 50 Aluno B: 45, 20, 75, 70 e 40 Aluno C: 75, 0, 15, 100 e 60 A média das notas de cada um desses três alunos é igual a 50 pontos, mas nem por isso eles se parecem: enquanto que o aluno A é muito constante, e também um aluno regular no seu desempenho, o aluno C é muito diferente, pois consegue dominar completamente determinado assunto e desconhecer totalmente um outro assunto, e o aluno B tem um desempenho e conhecimento intermediário aos outros dois. 2ª) Produção diária de peças de três operários durante cinco dias: Operário A: 60, 60, 60, 60 e 60 Operário B: 55, 30, 85, 80 e 50 Operário C: 85, 0, 20, 120 e 75 A produção média diária de cada um desses três operários é igual a 60 peças, mas nem por isso eles se parecem: enquanto que o operário A é muito constante no seu desempenho, o operário C é totalmente imprevisível, pois em certo dia não apresenta nenhuma produção e num outro dia qualquer consegue produzir o dobro da média; e o operário B é um intermediário aos outros dois. 3ª) Empacotamento de cinco caixas de bolachas (em gramas) embalados por três máquinas : Máquina A: 500, 500, 500, 500 e 500 Máquina B: 520, 480, 470, 540 e 490 Máquina C: 400, 530, 600, 420 e 550 A quantidade média de bolachas colocadas nessas caixas é igual para todas as máquinas, porém a variabilidade nas quantidades empacotadas por elas é bem diferente. Analisando essas três situações, percebemos, claramente, que, somente a média (ou mesmo a mediana, ou a moda), é insuficiente para nos dizer algo a respeito dos valores obtidos. Precisamos, então, de uma nova medida que possa avaliar essas diferenças: trata-se das medidas de dispersão ou variabilidade que, dentre elas, destacamos: amplitude total, intervalo semiquartil, desvio médio e desvio padrão.

AMPLITUDE Amplitude (ou intervalo) total: é a diferença entre os valores extremos de uma distribuição. Para dados tabulados, é a diferença entre o maior limite superior e o menor limite inferior.

I N T E RV A L O S E M I Q UA R TI L Intervalo semiquartil: é dado por: I S = Q3 − Q1 2

Obs.: Esta medida seria melhor que a amplitude total, pois não depende das medidas dos extremos, porém possui dois defeitos: a) não depende de todas as medidas (somente de duas); b) despreza 50% dos dados. 56

DESVIO MÉDIO e DESVIO PADRÃO (para dados NÃO tabulados) Desvio médio: é a média aritmética (simples) dos desvios absolutos das medidas ( d) em relação à média aritmética (M) dessas medidas (x), isto é, D =

Σd n

onde

Σ (é a letra grega sigma maiúscula) = símbolo do somatório x = medidas d = desvios ou afastamentos das medidas ( x) em relação à média aritmética m =

│ │ = módulo ou valor absoluto n = total de dados

Σx n

, isto é, d = x − m

Obs.: Embora o desvio médio seja uma medida de fácil compreensão, ele não é muito utilizado como medida de dispersão, pois envolve a desvantagem de ignorarmos o sinal dos afastamentos em relação à média aritmética, fato este que impede de usá-lo em fórmulas algébricas. Assim, preferimos outras medidas apresentam propriedades matemáticas mais interessantes, como, por exemplo, o desvio padrão. Uma das aplicações do desvio médio é o controle de inventários.

Desvio padrão: é a média quadrática dos desvios das medidas em relação à média aritmética. Intuitivamente, o desvio padrão mede a variação entre valores, ou seja, mede a variabilidade da distribuição em relação à media. O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada em Estatística , pois indica, de forma mais precisa, o grau de dispersão dos dados em torno da média.

Desvio padrão populacional: Fórmulas: σ

σ

=

Σ d 2 ou

σ

n

Σx 2

=

n

 Σx    n 

2

−

(são equivalentes)

(é a letra grega sigma minúscula ) = símbolo do desvio padrão populacional

Desvio padrão amostral: Fórmulas: s =

Σd 2 ou −1

n

s

n Σx 2

− ( Σx ) 2 n ( n − 1)

=

(são equivalentes)

Observações: 1ª) Como o desvio padrão amostral tende a ser maior que o desvio padrão populacional , BESSEL introduziu no cálculo do desvio padrão amostral o seguinte fator de correção na fórmula do desvio padrão populacional:

n n −1

2ª) Relação empírica entre o desvio médio e o desvio padrão: D = 4 s 5

VARIÂNCIA A variância das medidas x é o quadrado do desvio padrão dessas medidas. 2 A variância populacional é dada por: Var = σ 2 , e a variância amostral é dada por: Var = s . Assim, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

A variância tem grande aplicação quando estudamos as dispersões de duas distribuições, pois o desvio padrão (que utiliza a raiz quadrada) não tem a propriedade aditiva, pois a soma de raízes quadradas não é a raiz quadrada da soma. 57

Cálculo do Desvio Médio e do Desvio Padrão pelas FÓRMULAS E X E M P L O S (Desvio Médio e Desvio Padrão pelas FÓRMULAS) Uma amostra de funcionários de uma empresa, aleatoriamente escolhidos, apresentou as seguintes idades, em anos: 29, 28, 39, 56, 44 e 53. a) Calcule a média aritmética dessas idades. Solução:

x

LEMBRETE:

29 28 39 56

Regra do Arredondamento para a MÉDIA:

44 53 249 m=

Σx n

⇒m=

249 6

Deixar uma casa decimal a mais que os dados srcinais.

⇒ m = 41,5 anos

.

b) Calcule o desvio médio. Solução:

d=x–m 29 – 41,5 = –12,5 28 – 41,5 = –13,5 39 – 41,5 = – 2,5 56 – 41,5 = + 14,5 44 – 41,5 = + 2,5 53 – 41,5 = + 11,5 0

x

29 28 39 56 44 53 249 D

d 57 ,0 ⇒ D = 9,5 anos =Σ ⇒D=

ІdІ

LEMBRETE:

12,5 13,5 2,5 14,5 2,5 11,5 Σ І d І = 57,0

Regra do Arredondamento para o DESVIO MÉDIO: Deixar uma casa decimal a mais que os dados srcinais.

.

6

n

c) Qual a interpretação do valor encontrado na letra b)? Resposta: Espera-se que, em média, haja uma variação de 9,5 anos, para mais ou para menos, das idades desses funcionários em relação à média das idades dos mesmos.

Σd 2 . −1

d) Calcule o desvio padrão amostral, pela fórmula: s = Solução:

s=

29 28 39 56

– 12,5 – 13,5 – 2,5 14,5

d² 156,25 182,25 6,25 210,25

44 53 249

2,5 11,5 0

6,25 132,25 693,50

x

d

n

LEMBRETE: Regra do Arredondamento para o DESVIO PADRÃO: Deixar uma casa decimal a mais no resultado final em relação às que aparecem nos dados srcinais.

Σd 2 693,50 ⇒s= = 138,70 ⇒ s = 11,8 anos n −1 6 −1 58

.

e) Calcule a variância amostral. Solução: A variância (amostral) é o quadrado do desvio padrão (que é o radicando da raiz quadrada do cálculo do desvio padrão amostral s), ou seja, Var = s 2 ⇒ Var =

Σd ² n −1

=

693,50 6 −1

⇒ Var = 138,70

..

E x e mp l o s C o m pl e m en t a re s Com referência ao exemplo anterior (idades dos 6 funcionários), calcule: a) O desvio padrão populacional. Solução: σ

=

Σd 2 n

⇒σ =

693,50 6

= 115,58 ⇒

σ=

10,8 anos

.

b) A variância populacional. Solução: A variância (populacional) é o quadrado do desvio padrão (populacional), ou seja, na fórmula acima (letra a), a variância é o radicando encontrado, o qual corresponde a 115,58, portanto Var(x) = 115,58.

c) O desvio padrão amostral, pela fórmula: s =

nΣx 2

− (Σ x ) 2

n ( n − 1)

Solução:

29 28 39 56 44 53

x² 841 784 1.521 3.136 1.936 2.809

249

11.027

x

s=

s

=

nΣx

2

− (Σ x) 2

n(n − 1)

4161 30

⇒s=

6 ⋅11027 − (249) 6 ⋅ (6 − 1)

= 138,70 ⇒ s = 11,8 anos

2

=

66162 − 62001 6⋅5

.

59

.

E X E R C Í C I O S (desvio médio e desvio padrão pelas FÓRMULAS) 1.

Áreas plantadas de cana de açúcar, em milhões de hectares, em determinada região: Ano

x

2002

8,9

2003

10,3

2004

8,5

2005

11,2

2006

9,4

2007

11,0

2008

13,8

2009

14,6

a) Calcule a média aritmética.

b) Calcule o desvio médio.

c) Interprete o resultado encontrado em b).

d) Calcule o desvio padrão amostral.

e) Calcule a variância amostral.

Respostas: a) 10,96; b) 1,69; c) Em média, há uma variação anual de 1,69 milhão de hectares, para mais ou para menos, em relação à média aritmética das áreas plantadas de cana de açúcar; d) 2,22; e) 4,9341 60

2.

Numa região de grande variação de energia elétrica, foram tomadas 9 medidas aleatoriamente escolhidas, obtendo-se os seguintes valores, em Volts: 126, 104, 118, 97, 133, 122, 89, 127 e 112. x 126 104 118 97 133 122 89 127 112

a) Calcule a média aritmética.

b) Calcule o desvio médio.

c) Interprete o resultado encontrado em b).

d) Calcule o desvio padrão amostral.

e) Calcule a variância amostral.

Respostas: a) 114,2; b) 12,2; c) Em média, há uma variação de 12,2 V, para mais ou para menos, em relação à média aritmética da voltagem de energia elétrica; d) 14,9; e) 221,44 61

Cálculo da Média e do Desvio Padrão nas CALCULADORAS E X E M P L O (média e desvio padrão, para dados NÃO tabulados, nas CALCULADORAS) Calcular, em uma CALCULADORA (científica ou financeira), a média aritmética e o desvio padrão amostral das seguintes idades, em anos, de uma amostra aleatoriamente escolhida de 6 funcionários uma empresa: 29, 28, 39, 56, 44 e 53. Solução: A sequência de teclas dos tipos de calculadoras mais utilizados é a seguinte:

CASIO fx82MS (ou similar) (digitar)

Mode 29 28 39 56 44 53

Calculadoras Científicas (digitar)

(ver no visor)

2 M+ M+ M+ M+ M+ M+

2ndF 29 28 39 56 44 53

→ → → → → → →

Shift

2

1

Shift

2

3

SD 1 2 3 4 5 6 visor: 41,5 (é a média = No aritmética ) = No visor: 11,77796... ≅ 11,8 (é o desvio padrão amostral)

→

(ver no visor)

ON/C STAT → M+ 1 → M+ 2 → M+ 3 → M+ 4 → M+ 5 → M+ 6 → No visor: 41,5 (é a média aritmética ) No visor: 11,77796... ≅ 11,8 (é o desvio padrão amostral)



s

HP 12C (financeira) (digitar)

f 29 28 39 56 44 53

CLX ∑+ ∑+ ∑+ ∑+ ∑+ ∑+

g

0

g

· · · ·

(ponto)

(ver no visor)

1 2 3 4 5 6 No visor: 41,5 (é a média aritmética) No visor: 11,77796... ≅ 11,8 (é o desvio padrão amostral) → → → → → →

Portanto, a média aritmética do comprimento dessas peças é: (amostral) é: s = 11,8 anos

m = 41,5 anos

e o desvio padrão

.

EXERCÍCIO: Dados os seguintes comprimentos, em cm, de 17 peças, aleatoriamente escolhidas, produzidas por certa máquina: 19,3; 19,0; 19,2; 18,4; 18,8; 18,9; 19,7; 18,3; 19,2; 19,4; 18,8; 19,0; 19,6; 18,9; 19,1; 19,5 e 18,9, calcule a média aritmética simples e o desvio padrão amostral dessas medidas, com auxílio de uma CALCULADORA. Resposta: m = 19,06 e s = 0,38 62

Cálculo de medidas usando o EXCEL APLICAÇÕES

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Dadas as seguintes idades, em anos, de um grupo de pessoas: 28, 25, 35, 19, 26, 25, 20, 29, 19, 40, 25 e 16, calcule as seguintes medidas, com auxílio do EXCEL: Média aritmética simples Mediana Moda Amplitude (ou intervalo total) Desvio médio Desvio padrão amostral Variância amostral Desvio padrão populacional Variância amostral

Solução:

P LAN I LH A D O EX CE L (célula) A

(função) f B Idade 28 25 35 19

1 2 3 4 5

C

D

E

⇒ ⇒ ⇒

Respostas: 27,3 25,5 25

⇒

6,0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

6,0 7,8 60,75 7,5 55,69

26 25 20 29 19 40 25 16

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1. 2. 3.

19

4.

Amplitude

20 21 22 23 24 25 26

5. 6. 7. 8. 9.

Desvio médio Desvio padrão amostral Variância amostral Desvio padrão populacional Variância populacional

Média aritmética simples Mediana Moda

No EXCEL: =MÉDIA(B2:B13) =MED(B2:B13) =MODO(B2:B13) =MÁXIMO(B2:B13)MÍNIMO(B2:B13) =DESV. MÉDIO(B2:B13) =DESVPADA(B2:B13) =VARA(B2:B13) =DESVPADP((B2:B13) =VARP(B2:B13)

63

F

G

C o e f i c i e n t e d e V a r i a ç ã o d e P e a r s o n (CV ) (KARL PEARSON: 1857–1936) Trata-se de uma medida relativa de dispersão, a qual é utilizada para fazermos comparações das dispersões das distribuições e que relaciona o desvio padrão com a média aritmética (isto é, o coeficiente de variação representa a porcentagem que é o desvio padrão da média aritmética). O coeficiente de variação populacional é dado por: CV =

σ

M

⋅ 100 , e o amostral é: CV =

s m

⋅ 100 .

Regra empírica para interpretação do coeficiente de variação: • Se CV < 15% ⇒ há baixa dispersão • Se 15% ≤ CV ≤ 30% ⇒ há média dispersão • Se CV > 30% ⇒ há elevada dispersão

Obs.: Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogênea será a distribuição.

E X E M P L O S (coeficiente de variação) 1.

Um fabricante de caixas de papelão fabrica três tipos de caixas para armazenamento de produtos em geral (alimentos, medicamentos, peças, aparelhos, objetos etc.). Foram coletadas aleatoriamente amostras de 100 caixas de cada tipo, para determinar a pressão necessária para romper cada caixa. Os resultados obtidos são os seguintes: Tipo de caixa

A

B

C

Pressão média de ruptura (bária)

150

180

250

Desvio padrão das rupturas (bária)

40

50

60

Determine: a) Qual o coeficiente de variação de pressão de ruptura de cada caixa? Solução: O coeficiente de variação da caixa A é: C VA = s A ⋅ 100 = 40 ⋅ 100 ⇒ C V A = 26 ,67 % 150

mA

O coeficiente de variação da caixa B é: C VB = s B ⋅ 100 = 50 ⋅ 100 ⇒ C V B = 27 ,78 % 180

mB

O coeficiente de variação da caixa C é: CVC =

sC mC

⋅ 100 =

60 250

⋅ 100 ⇒ CV C = 24%

b) Que tipo de caixa apresenta a maior variação relativa na pressão de ruptura? Resposta: É a caixa do tipo B , pois apresenta o maior coeficiente de variação. c) Que tipo de caixa apresenta resultados mais homogêneos? Resposta: É a caixa do tipo C , pois apresenta o menor coeficiente de variação. d) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura? Resposta: É a caixa do tipo A , pois apresenta o menor desvio padrão de ruptura. 64

2. Em uma empresa, uma amostra aleatória dos salários de seus funcionários revelou que o salário médio mensal dos homens é de R$ 2.000,00, com um desvio padrão é de R$ 750,00, e o salário médio das mulheres é de R$ 1.500,00, com desvio padrão de R$ 600,00. a) Calcule o coeficiente de variação dos salários dos homens. Solução: O coeficiente de variação é: CV H

=

s m

⋅ 100 ⇒ CV H =

750,00 2000,00

⋅ 100 ⇒

CV H

= 37 ,5 %

b) Calcule o coeficiente de variação dos salários das mulheres. Solução: O coeficiente de variação é: CV M

=

s m

⋅ 100 ⇒ CV M =

600,00 1500,00

⋅ 100 ⇒

CVM

= 40%

c) Interprete os resultados dos coeficientes de variação encontrados em a) e b). Solução: Os salários das mulheres têm dispersão relativa maior do que os salários dos homens. As duas distribuições apresentam elevada dispersão (variação) nos salários.

E X E R C Í C I O S (coeficiente de variação) 1.

Sucessivas medidas do diâmetro de uma peça, efetuadas com um micrômetro, acusaram média de 2,49 mm e desvio padrão de 0,012 mm; e várias medidas de comprimento natural de uma mola (não distendida)

efetuadas com outro micrômetro acusaram média de 0,75 polegada e desvio padrão de 0,002 polegada. a) Calcule o coeficiente de variação do primeiro micrômetro.

b) Calcule o coeficiente de variação do segundo micrômetro.

c) Qual dos dois micrômetros é relativamente mais preciso?

65

Um disk-pizza recebeu durante certo período uma média de 71,2 pizzas “doces” por semana, com um desvio padrão de 15,4 pizzas, e uma média de 263,4 pizzas “salgadas” por semana, com um desvio padrão de 54,6 pizzas. a) Calcule o coeficiente de variação da pizza “salgada”. 2.

b) Calcule o coeficiente de variação da pizza “doce”.

c) Qual desses dois tipos de pizzas apresentou maior variabilidade na quantidade semanal de pizzas encomendadas?

Uma máquina injetora de polipropileno foi ajustada funcionar nas velocidades 1, 2, 3 e 4 durante uma semana em cada uma dessas velocidades e foram computadas as seguintes quantidades médias, por hora, de peças consideradas boas produzidas (por hora) e os respectivos desvios padrões para cada uma dessas velocidades: 1ª semana (velocidade 1): m 1 = 181 e s 1 = 25 2ª semana (velocidade 2): m 2 = 203 e s 2 = 29 3ª semana (velocidade 3): m 3 = 241 e s 3 = 32 4ª semana (velocidade 4): m 4 = 268 e s 4 = 38 a) Calcule o coeficiente de variação das produções obtidas em cada uma dessas velocidades. 3.

b) Qual dessas quatro velocidades deve ser escolhida por apresentar uma produção de peças boas mais constante?

Respostas: 1. a) CV1 = 0,48%; b) CV2 = 0,27%; c) o segundo micrômetro é mais preciso 2. a) CV1 = 20,73%; b) CV2 = 21,63%; c) a pizza “doce” apresenta maior variação na quantidade de pedidos 3. a) 13,81%, 14,29%; 13,28% e 14,18%; b) Velocidade 3 66

DESVIO MÉDIO e DESVIO PADRÃO (para dados tabulados) DESVIO MÉDIO: é dado por onde

δ

=

D

Σf

δ

N

(é a letra grega delta, minúscula) = desvios ou afastamentos dos pontos médios das classes ( x) em

relação à média aritmética M =

Σ fx N

, isto é,

δ

= x−M

DESVIO PADRÃO: a) Desvio padrão populacional:

σ

b) Desvio padrão amostral: s =

=

Σ fδ

2

ou

N

Σ fδ 2 ou N −1

s

σ

=

Σ fx 2

=

 Σ fx    N 

N [Σ fx]² [−] N (N

2

(são equivalentes)

−

N

Σ fx − 1)

2

(são equivalentes)

E X E M P L O (desvio médio e desvio padrão para dados tabulados) A tabela ao lado apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Calcule: a) Média aritmética b) Desvio médio c) Desvio padrão amostral d) Variância e) Coeficiente de variação

L 8 14 20 26 32 38 44

| | | | | | |

14 20 26 32 38 44 50

f 3 5 8 15 11 6 2

Solução: 8 14 20 26 32 38 44

L

| | | | | | |

14 20 26 32 38 44 50

f 3 5 8 15 11 6 2 N = 50

x 11 17 23 29 35 41 47

f•x 33 85 184 435 385 246 94

δ

-18,2 -12,2 -6,2 -0,2 5,8 11,8 17,8

δ 

f • δ  54,6 61,0 49,6 3,0 63,8 70,8 35,6

18,2 12,2 6,2 0,2 5,8 11,8 17,8

δ² 331,24 148,84 38,44 0,04 33,64 139,24 316,84

Σ f· δ  = 338,4

Σ f x = 1.462 ·

f•δ² 993,72 744,20 307,52 0,60 370,04 835,44 633,68 Σ f δ ² = 3.885,20

a)

Σfx 1.462 Média aritmética: M = = ⇒ M = 29,2 anos

b)

Desvio médio: D =

c)

Σfδ 885,20 = 79,29 ⇒ s = 8,9 anos Desvio padrão amostral: s = N − ²1 = 3.50 −1

d)

Variância: Var(x) = 79,29

e)

Coeficiente de Variação amostral: C V = s ⋅ 100 = 8 ,9 ⋅ 100 ⇒ CV = 30,48%

Σf

.

50

N δ

=

N

338 , 4 50

⇒ D = 6,8 anos

.

.

.

29 , 2

M

67

.

E X E R C Í C I O S (desvio médio e desvio padrão para dados tabulados) 1.

A tabela abaixo apresenta as quantidades de pisos considerados defeituosos, de cada lote de mil unidades, e as respectivas quantidades de lotes observados: L

f

41

|

47

3

47

|

53

11

53

|

59

27

59

|

65

30

65

|

71

54

71

|

77

43

77

|

83

29

83

|

89

8


b) Desvio médio

c) Desvio padrão amostral

d) Variância amostral

e) Coeficiente de variação

Respostas: a) 67,9; b) 7,5; c) 9,5; d) 91,05; e) 13,99% 68

2.

A tabela abaixo apresenta o número diário de clientes atendimentos de certo departamento de um centro comercial durante determinado período: L

f

72

|

81

15

81

|

90

38

90

|

99

57

99

|

108

71

108

|

117

47

117

|

126

27

126

|

135

12


b) Desvio médio


d) Variância amostral

e) Coeficiente de variação

Respostas: a) 102,1; b) 10,9; c) 13,5; d) 182,92; e) 13,22% 69

MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE ASSIMETRIA As medidas de assimetria e curtose são as que completam o estudo da Estatística Descritiva. A assimetria é o grau de deformação de uma curva de frequências, isto é, o desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição. Uma distribuição é simétrica quando M = Md

= Mo .

onde M = média aritmética Md = mediana Mo = moda e a curva de frequências da distribuição tem a seguinte forma:

Quando a distribuição não for simétrica, temos dois casos: a) Assimétrica positiva: é quando a cauda é mais alongada à direita, ou seja, as frequências mais altas se encontram no lado esquerdo da média, e isto ocorre quando Mo < Md distribuição tem a seguinte forma:

< M . A curva de frequências da

b) Assimétrica negativa: é quando a cauda é mais alongada à esquerda, ou seja, as frequências mais altas se encontram no lado direito da média , e isto ocorre quando M < Md distribuição tem a seguinte forma:

< Mo . A curva de frequências da

A medida de assimetria sugerida por Karl Pearson (1857–1936) é dada por:

=

Assimetria amostral : AS

M

− Mo

ou A =

s

S

3(M − M d ) s

onde M = média aritmética Md = mediana σ = desvio padrão populacional s = desvio padrão amostral 70

=

e assimetria populacional : AS

3(M − M d ) σ

CURTOSE A curtose nos dá o grau de achatamento ou alongamento de uma curva de frequências, podendo ser de três tipos: a) Curva ou Distribuição de Frequências MESOCÚRTICA: é a curva de frequências que apresenta um grau de achatamento equivalente ao da curva normal, ou seja,

b) Curva ou Distribuição de Frequências PLATICÚRTICA: é a curva que apresenta um alto grau de achatamento, superior ao da normal, indicando que os dados estão mais dispersos , ou seja, a distribuição é mais heterogênea . A curva é da seguinte forma:

c) Curva ou Distribuição de Frequências LEPTOCÚRTICA: é a curva que apresenta um grau de afilamento, superior ao da normal, indicando que os dados estão mais concentrados , ou seja, a distribuição é mais homogênea . A curva é da seguinte forma:

O coeficiente de curtose é dado por: C =

Q3

− Q1

2 ⋅ (D9 − D1 )

onde, Q1 = 1º quartil Q3 = 3º quartil D1 = 1º decil D9 = 9º decil Se C = 0,263 (valor teórico), então a curva ou distribuição é mesocúrtica C

> 0,263 , então a curva ou distribuição é platicúrtica

C

< 0,263 , então a curva ou distribuição é leptocúrtica 71

E X E M P L O (assimetria e curtose) O setor de manutenção de uma grande empresa de aparelhos eletrônicos registrou, para uma amostra aleatória de telefones celulares de determinado modelo, os tempos, em dias, em que esses aparelhos apresentaram algum tipo de defeito, conforme mostra a tabela abaixo. Calcular as medidas de assimetria e curtose, e construir o gráfico. L

f

0 50 100 150 200

| | | | |

50 100 150 200 250

5 20 34 40 36

250 300 350 400 450 500

| | | | | |

300 350 400 450 500 550

30 25 10 5 3 2

Solução: L

f

F

x

f•x

50 100 150 200 250 300 350 400 450

5 20 34 40 36 30 25 10 5

5 25 59 99 135 165 190 200 205

25 75 125 175 225 275 325 375 425

125 1.500 4.250 7.000 8.100 8.250 8.125 3.750 2.125

δ – 192,6 – 142,6 – 92,6 – 42,6 7,4 57,4 107,4 157,4 207,4

δ² 37.094,76 20.334,76 8.574,76 1.814,76 54,76 3.294,76 11.534,76 24.774,76 43.014,76

f•δ² 185.473,80 406.695,20 291.541,84 72.590,40 1.971,36 98.842,80 288.369,00 247.747,60 215.073,80

450 | | 500 500 550

23 N = 210

208 210

475 525

1.425 1.050

257,4 307,4

66.254,76 94.494,76

198.764,28 188.989,52

0 50 100 150 200 250 300 350 400

| | | | | | | | |

N   210 − 99   − Fant    ⇒ M d = 200 + 50 ⋅  2  = 200 + 8,3 ⇒ Md = 208,3 dias  m med   36         

= l inf + i ⋅  2

a)

Mediana:

b)

Média:

c)

Desvio padrão amostral:

d)

Assimetria:

Md

M

=

Σfx N

AS

=

⇒M =

3 ⋅ (M

45.700 210

s=

−Md ) s

e)

Σfδ² = 2.196.059,60

Σfx = 45.700

⇒ M = 217,6 dias

Σfδ 2 ⇒ s = N −1

⇒ AS =

2.196.059,60 210 − 1

3 ⋅ ( 217,6 − 208,3)

⇒

= 10.507,46 ⇒

AS =

s = 102,5

dias

+ 0,272

102,5

Conclusão: A assimetria é positiva (cauda mais alongada à direita), o que acarreta que os valores estão mais concentrados à esquerda, ou seja, grande parte dos defeitos estão ocorrendo com uma quantidade relativamente pequena de dias de uso. 72

f) 1º Quartil:

Q1

= 140,44 dias

3   ⋅ N − Fant   fmed      

3   ⋅ 210−135  = 250+ 50⋅ 157,5 −135 = 250+ 37,50⇒ ⇒ Q3 = 250+ 50⋅  4 30    30     

Q3

= 287,50 dias

1   ⋅ N − Fant   fmed      

1   ⋅ 210 − 5   = 50 + 50 ⋅  21− 5  = 50 + 40,00 ⇒ ⇒ D1 = 50 + 50 ⋅  10   20  20     

9   ⋅ N − Fant   fmed      

9   ⋅ 210−165  = 300+ 50⋅ 189−165 = 300+ 48,00 ⇒ ⇒ D9 = 300+ 50⋅  10 25    25     

Q3

= linf + i ⋅  4

h) 1º Decil:

1   ⋅ 210− 25 52,5 − 25  = 100+ 50⋅  ⇒ Q1 = 100+ 50⋅  4  = 100+ 40,44 ⇒ 34    34     

= linf + i ⋅  4

g) 3º Quartil:

1   ⋅ N − Fant   f med      

Q1

D1 = linf + i ⋅  10

i) 9º Decil:

D9

= linf + i ⋅  10

j) Curtose:

C

=

Q3

− Q1 − D1 )

2 ⋅ ( D9

⇒C =

287,50 − 140,44 2 ⋅ (348,00 − 90,00)

=

147,06 516,00

⇒

D1

D9

= 90,00 dias

= 348,00 dias

C = 0,285

k) Conclusão: Como a curtose é 0,285 > 0,263 (valor teórico), então a curva é platicúrtica (achatada), ou seja, a distribuição é mais heterogênea , o que acarreta que certa quantidade de aparelhos está apresentando defeito com pouco tempo de uso, outra quantidade está apresentando defeito após algum tempo maior de dias de uso, outra quantidade com um tempo bem maior de dias de uso e outra com um tempo muito maior ainda de dias de uso. l) Gráfico do histograma com a curva de assimetria:

73

E X E R C Í C I O S (assimetria e curtose) 1. A seguinte tabela de frequências apresenta as quantidades de peças consideradas defeituosas produzidas, por dia, por certa máquina, durante determinado período: L

f

42 | 49

3

49 | 56

7

56 | 63

15

63 | 70

26

70 | 77

41

77 | 84 84 | 91

34 20

91 | 98

8

Pede-se: a) Mediana

b) Média aritmética


d) Medida e o tipo de assimetria

e) Interprete o resultado da letra d)

f) 1º quartil

g) 3º quartil

74

h) 1º decil

i) 9º decil

j) Medida e o tipo de curtose

k) Interprete o resultado da letra j)

l) Construa o gráfico (histograma e curva)

Respostas: a) Md = 74,4; b) M = 73,9; c) s= 11,1; d) As = – 0,135 assimetria negativa; e) houve maior concentração de dias com maior quantidade de peças defeituosas produzidas por essa máquina; f) Q1 = 66,63; g) Q3 = 81,84; h) D1 = 58,52; i) D9 = 88,41; j) C = 0,254 curva leptocúrtica; k) os dados são mais homogêneos, ou seja, as quantidades diárias de peças defeituosas, na maioria dos dias, não foi tão dispersa. 75

2.

A seguinte tabela de frequências apresenta os tempos, em segundos, para a realização de um experimento em um laboratório e as respectivas quantidades de ensaios que gastaram esses tempos: L

f

147 | 153

7

153 | 159

9

159 | 165

8

165 | 171

13

171 | 177

11

177 | 183

9

183 | 189

7

189 | 195

9

Pede-se: a) Mediana

b) Média aritmética


d) Medida e o tipo de assimetria

e) Interprete o resultado da letra d)

f) 1º quartil

g) 3º quartil

76

h) 1º decil

i) 9º decil

j) Medida e o tipo de curtose

k) Interprete o resultado da letra j)

l) Construa o gráfico (histograma e curva)

Respostas: a) Md = 170,8; b) M = 171,2; c) s = 13,0; d) As = + 0,092 assimetria positiva; e) os tempos de realização desses experimentos ficaram mais concentrados nos valores mais baixos (isto é, com menor tempo de duração); f) Q1 = 160,69; g) Q 3 = 181,50; h) D1 = 153,20; i) D9 = 190,13; j) C = 0,282 curva platicúrtica; k) os dados são mais heterogêneos, ou seja, os tempos de realização desse experimento foram mais dispersos. 77

E X E R C Í C I O S D E R E V I S Ã O (Estatística Descritiva) Para verificar os problemas de acidentes ocorridos com os veículos das empresas transportadoras em certa rodovia, a polícia rodoviária colocou (sem nenhum aviso) um radar eletrônico em um lugar estratégico, para medir as velocidades dos caminhões do tipo “baú” que transitaram pelo local em determinado dia, durante o período da manhã. A distribuição abaixo nos dá as velocidades, em km/h, dos 75 veículos desse tipo, registradas no período verificado: 89 93 96 98 98 101 102 102 104 105 106 108 109 109 110 110 110 111 111 112 112 113 113 114 114 114 114 114 114 114 115 115 115 116 116 116 116 116 116 116 117 117 117 118 118 118 119 119 119 119 119 119 119 120 120 120 121 121 121 122 122 123 123 124 125 125 126 127 127 127 128 128 129 131 133 Com base nesses dados, pede-se: 1) Média aritmética simples das velocidades (isto é, média para dados não tabulados); 2) Mediana das velocidades, para dados não tabulados; 3) Moda das velocidades, para dados não tabulados; 4) Fazer o tabulamento dessas velocidades (isto é, construir a tabela de frequências); 5) Frequências absolutas relativas da tabela do item 4; 6) Frequências absolutas percentuais da tabela do item 4; 7) Frequências acumuladas da tabela do item 4; 8) Frequências acumuladas relativas da tabela do item 4; 9) Frequências acumuladas percentuais da tabela do item 4; 10) Média aritmética das velocidades, para dados tabulados (ver tabela encontrada no item 4); 11) Por que os resultados dos itens 1 e 10 geralmente são diferentes?; 12) Mediana das velocidades, para dados tabulados; 13) Moda das velocidades, para dados tabulados (1ª estimativa); 14) Moda das velocidades, para dados tabulados (2ª estimativa); 15) 1º quartil (para a tabela do item 4); 16) 3º quartil (para a tabela do item 4); 17) 1º decil (para a tabela do item 4); 18) 2º decil (para a tabela do item 4); 19) 5º decil (para a tabela do item 4); 20) 6º decil (para a tabela do item 4); 21) 9º decil (para a tabela do item 4); 22) 25º centil (para a tabela do item 4); 23) 38º centil (para a tabela do item 4); 24) 91º centil (para a tabela do item 4); 25) 3º centil (para a tabela do item 4); 26) Amplitude das velocidades para dados não tabulados (isto é, para os 75 valores do enunciado) ; 27) Amplitude das velocidades para os dados tabulados (isto é, para os dados da tabela do item 4); 28) Desvio médio das velocidades, para dados não tabulados, somente para os dez primeiros valores da 1ª linha do quadro acima (de 89 a 105); 29) Qual é apadrão interpretação para odas resultado encontrado item não 28?; tabulados, dos sete primeiros valores da última linha do 30) Desvio populacional velocidades, para no dados quadro acima (de 121 a 124); 31) Desvio padrão amostral das velocidades, para dados não tabulados, dos oito últimos valores da última linha do quadro acima (de 127 a 133); 32) Desvio médio das velocidades, para dados tabulados (ver tabela encontrada no item 4); 33) Desvio padrão (amostral) das velocidades, para dados tabulados (ver tabela encontrada no item 4); 34) Variância para os resultados encontrados no item 33; 35) Coeficiente de variação para os resultados do item 33; 36) Qual é a interpretação para o resultado encontrado no item 35?; 37) A medida de assimetria para os dados da tabela encontrada no item 4; 38) O tipo e a interpretação da assimetria encontrada no item 37; 39) A medida de curtose para os dados da tabela encontrada no item 4; 40) O tipo e a interpretação da curtose encontrada no item 39; 41) Construa o Histograma para a tabela encontrada no item 4; 42) Construa o Polígono de Frequências para a tabela encontrada no item 4. Respostas: 1) 115,4 2) 116 3) 114, 116 e 119 10) 116,1 12) 117,2

17) 18) 19) 20) 21) 22)

103,17 110,36 117,2 118,78 126,5 112,07

27) 28) 30) 31) 32) 33)

45 4,0 1,0 2,2 6,4 8,8

L 89 94 99 104 109

| | | | |

4) 94 99 104 109 114

f 2 3 3 4 11

5) fr

6) fp

7) F

0,027 0,040 0,040 0,053 0,147

2,7% 4,0% 4,0% 5,3% 14,7%

2 5 8 12 23

8) Fr 0,027 0,067 0,107 0,160 0,307

9) Fp 2,7% 6,7% 10,7% 16,0% 30,7%

0,307 30,7% 46 13) 117,3 119,4 23) 126,92 115,20 35) 34) 7,58% 78,22 114 | 119 23 0,613 61,3% 14) 24) 119 124 17 0,840 84,0% 0,227 22,7% 63 15) 112,07 25) 94,42 37) – 0,375 124 | 129 9 0,960 96,0% 0,120 12,0% 72 16) 122,01 26) 44 39) 0,213 129 | 134 3 1,000 100% 0,040 4,0% 75 11) No exercício 1, os valores são os dados reais e no exercício 10 não 29) Espera-se que, em média, haja uma variação nas velocidades de 4 km/h, p/ mais ou p/ menos, em relação à v elocidade média 36) O desvio padrão corresponde a 7,58% da média aritmética 38) Assimetria negativa, ou seja, as velocidades estão concentradas nos valores mais baixos 40) Curva leptocúrtica, ou seja, os dados são mais homogêneos, isto é, a maioria das velocidades não é muito dispersa

78

PROBABILIDADES (2º ramo da Estatística)

Introdução

Um pouco de história

A probabilidade é útil para analisar situações que envolvem o acaso. A probabilidade é a base para a inferência estatística (que é a tomada de decisão sob condições de incerteza). Ao comprarmos um bilhete de uma loteria, é impossível prever antecipadamente o resultado, mas podemos estimar as chances matemáticas de ganharmos algum prêmio. O estudo deste tipo de cálculo denomina-se Teoria das Probabilidades, que tem srcem no século XVI, com os chamados jogos de azar (cartas, roletas, dados), tendo esses estudos iniciados com os italianos Cardano (1501–1576) e Galileu Galilei (1564–1642). A pedido de um jogador profissional chamado Chevalier de Méré, feito a Blaise Pascal (1623–1662), para responder a inúmeras dificuldades encontradas por Méré, Pascal iniciou uma longa troca de correspondências com Pierre Fermat (1601–1665), resultando, dessa maneira, mais um ramo da Matemática. O holandês Huygens (1629–1695), tomando conhecimento desses estudos, interessou-se pelo assunto e publicou em 1654 o primeiro livro sobre a teoria das probabilidades, criando, também, o conceito de esperança matemática. Entre outros matemáticos, destacamos: o suiço Jacob Bernouilli (1654–1705), o francês Abrahan de Moivre (1667–1754), Laplace (1749–1827), Bayes, Bertrand, Poincaré, Borel, entre tantos outros. Na Rússia: Tchebycheff, Sabudsky (era oficial da artilharia), Liaponounoff, Markov, Bernstein, Khintchine, Kolmogoroff. Destaquemos, também, o italiano Castelnuovo, os escandinavos Thiele e Charlier, o austríaco Czuber. Em 1729, o filósofo Voltaire ficou rico elaborando esquema para vencer a loteria de Paris (criada para compensar a desvalorização das apólices municipais), pois o valor dos prêmios ultrapassava o preço de todos os bilhetes! A partir de 1850, com os estudos das Leis de Mendell, sobre a Genética, o uso da teoria das probabilidades tornou-se mais abrangente. Nos dias de hoje, a teoria das probabilidades vem ganhando uma crescente importância em todas as áreas do conhecimento, com a constante criação de métodos estatísticos que auxiliam a medir as incertezas. Por exemplo, a decisão de um fabricante de certo produto fazer uma grande campanha para entrar no mercado, a decisão de ativar uma usina nuclear após a análise de um acidente, a decisão de aumentar o limite de velocidade em nossas avenidas e rodovias depois de serem estimadas as probabilidades do aumento de acidentes fatais, a decisão de se colocar no mercado uma determinada vacina após o estudo das probabilidades de sua eficiência etc. 79

Conceitos utilizados em probabilidades (I)

Experimento: É qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações.

(II)

Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.

(III)

Eventos aleatórios: São acontecimentos com resultados imprevisíveis.

(IV)

Evento (E): É uma coleção de resultados de um experimento.

Exemplos 1)

Exemplos de experimento e espaço amostral:

a) b) c) d)

Experimento

Espaço amostral

Jogar uma moeda Selecionar uma peça para inspeção Realizar uma chamada de venda Jogar uma partida de futebol

S = { cara, coroa } S = { defeituosa, não defeituosa } S = { comprar, não comprar } S = { ganhar, perder, empatar }

2)

No arremesso de um dado, qual é a probabilidade de se obter face 3 ou 5? Vamos identificar os conceitos acima nesse exemplo: • Experimento : arremesso do dado • Evento (E): Obter face 3 ou 5 no dado, isto é, E = { 3, 5 }. • Espaço amostral (S): É o conjunto do todos os resultados (faces) possíveis num dado, isto é, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

(V)

Evento simples: É aquele formado por um único elemento do espaço amostral. Exemplo: Se o evento E é o de sair o número 4 no arremesso de um dado, então E = { 4 }.

(VI)

Evento composto: É aquele formado por mais de um elemento do espaço amostral. Exemplo: Se o evento E é: “sair um número menor que 4 no arremesso de um dado”, então o evento é: E = { 1, 2, 3 }

(VII) Evento complementa r: O complemento de um evento A de um espaço amostral S, denotado por Ᾱ, são todos os resultados do espaço amostral que não fazem parte do evento A, ou seja, a sua união é o espaço amostral S, isto é, A∪Ᾱ = S, e sua intersecção é vazia, isto é, A∩ Ᾱ = ∅. Exemplo: Se o evento A é: “obter número maior que 2 no arremesso de um dado”, isto é, A = {3, 4, 5, 6}, então o complemento do evento a é: Ᾱ = { 1, 2 } (VIII) União de dois eventos: A união (ou reunião) de dois eventos A e B, denotada por A ∪B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. Exemplo: Se o evento A é “obter número ímpar no lançamento de um dado”, isto é, A = { 1, 3, 5 }, e o evento B é “obter número maior que 3 no lançamento desse dado”, isto é, B = { 4, 5, 6 }, então a união desses dois eventos é A∪B = { 1, 3, 4, 5, 6 }, ou seja, são os números que estão em A ou em B. (IX)

Intersecção de dois eventos: A Intersecção do evento A com B, denotada por A ∩B, é a ocorrência simultânea de A e B. Exemplo: No exemplo anterior, intersecção dos dois eventos A = { 1, 3, 5 } e B = { 4, 5, 6 } é: A∩B = { 5 }, ou seja, é o número 5, que está em A e ao mesmo tempo em B, pois é o número que é ao mesmo tempo ímpar e maior do que 3. 80

(X)

Eventos equiprováveis: Os eventos e1, e2, e3, ... , en são equiprováveis quando as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos são todas iguais, isto é, p(e 1) = p(e 2) = p(e3) = ... = p(e n). Exemplo: No experimento: “lançamento de um dado”, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 1 As probabilidades desses eventos são: p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 6

(XI)

Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos (ou excludentes): Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A ∩B = ∅. Exemplo: No experimento: “lançamento de um dado”, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Considere os seguintes eventos: Evento A: “o número obtido é menor que 3”, isto é, A = { 1, 2 } Evento B: “o número obtido é maior que 4”, isto é, B = { 5, 6 } Evento C: “o número obtido é par”, isto é, C = { 2, 4, 6 } Note que os eventos A e B são mutuamente excludentes, pois não podemos obter um número que seja ao mesmo tempo menor que 3 e maior que 4, mas os eventos A e C não são mutuamente excludentes, pois o número 2 aparece tanto no evento A como no evento C.

(XII) Eventos mutuamente exclusivos e exaustivos: Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos e exaustivos quando não têm elementos em comum, isto é, A ∩B = ∅, e a união é igual ao espaço amostral S, isto é, A∪B = S. Obs.: Se n eventos de um espaço amostral S formam uma partição de S, dizemos que esses eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos. Exemplo: No experimento: “lançamento de um dado”, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Considere os seguintes eventos: Evento A: “o número obtido é par”, isto é, A = { 2, 4, 6 } Evento B: “o número obtido é ímpar”, isto é, B = { 1, 3, 5 } Evento C: “o número obtido é ímpar e maior que 2”, isto é, C = { 3, 5 } Os eventos A e C são mutuamente exclusivos (ou excludentes), pois não têm número em comum (“repetido”); eventos B e C não são mutuamente exclusivos, pois têm os números 3 e 5 em eventos A e os B são mutuamente exclusivos e exaustivos, pois não têm número em comum, istocomum; é, A ∩B e= os ∅, e sua união é o próprio espaço amostral S, isto é, A ∪B = S. (XIII) Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Exemplo: Quando lançamos um dado duas vezes, e queremos obter o número 4 nas duas jogadas, isso é possível, pois podemos obter o número 4 na primeira jogada e novamente o número 4 na segunda, ou seja, a segunda jogada independe do que saiu na primeira jogada. (XIV) Eventos dependentes: Quando o conhecimento da ocorrência de um afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Exemplos a) A retirada de duas cartas sem reposição de um baralho são eventos dependentes, pois as probabilidades associadas com a segunda retirada são dependentes do resultado da primeira retirada, ou seja, a probabilidade de sucesso no segundo evento está condicionada à probabilidade do que ocorreu no primeiro evento. b) Os eventos “conseguir dar partida no seu carro” e “chegar à aula no horário” são dependentes, pois o resultado de dar partida no carro afeta a probabilidade de chegar à aula no horário. c) O fato de sabermos que um aluno que estudou todo o conteúdo de um assunto pode nos dizer algo sobre a probabilidade do resultado de uma prova. d) Uma empresa que investe em publicidade tende a ter um melhor resultado no seu faturamento. e) Um paciente que se submete a um rigoroso tratamento poderá ter um melhor resultado na recuperação de sua saúde. 81

P RO BA BI LI DA DE

S IM PL ES

A probabilidade de ocorrência de um evento ( p) é definida como o quociente do número de casos favoráveis (n) à ocorrência desse evento, pelo número total de resultados possíveis ( N) de ocorrências do mesmo fato, isto é, p =

n N

.

A probabilidade de não ocorrência do mesmo fato é indicada por q. É claro que p + q = 1 (100%). Obs.: De p + q = 1, temos que p = 1 – q ou q = 1 – p .

Regra da Adição Aplica-se a Regra da Adição de dois eventos A e B, que denota-se por P(A ou B), para encontrar a probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B, ou ocorrência de ambos, em uma única prova.

Regra Formal da Adição de dois eventos A e B: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

ou

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

onde P(A e B) = P(A∩B) é a probabilidade dos eventos a e B ocorrerem ao mesmo tempo como resultado de uma prova do experimento. Se A e B são eventos disjuntos (isto é, A∩B = ∅), então

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Regra Formal da Adição de três eventos A, B e C: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩B) – P(A ∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C) onde P(A∩B∩C) é a probabilidade dos eventos A, B e C ocorrerem ao mesmo tempo como resultado de uma prova do experimento.

R eg ra d a M ul ti pl ic aç ão Enquanto que a Regra da Adição é para calcular a probabilidade da união de dois eventos, a Regra da Multiplicação é para calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. Assim, para dois eventos independentes A e B, a probabilidade da ocorrência de A e B é: P(A∩B) = P(A) • P(B) Regra Intuitiva da Multiplicação: Para calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela probabilidade do evento B, mas verifique se a probabilidade deste último leva em consideração a ocorrência prévia do evento A.

REPRESENTAÇÃO DO RESULTADO DE PROBABILIDADE O resultado de uma probabilidade pode ser expresso de três formas: em fração, em número decimal ou em porcentagem .

REGRA DO ARREDONDAMENTO PARA PROBABILIDADE O resultado de uma probabilidade, na forma decimal, deve ser arredondado para três dígitos significativos.

Obs.: Quando o 3º algarismo significativo de uma probabilidade escrita na forma decimal for zero, podemos desprezá-lo. Por exemplo , a probabilidade:

0,100 pode ser representada por 0,10 0,250 pode ser representada por 0,25 0,00370 pode ser representada por 0,0037 82

E X E M P L O S (probabilidades simples) 1. Jogando-se um dado para o ar, determine a probabilidade de se obter um número menor que 3. Solução:

p=

n N

2

=

6

=

1 3

ou 0,333 (33,3%)

2. Num certo final de semana, o Departamento de Trânsito registrou um movimento em determinado trecho de certa rodovia de 12.358 veículos, tendo uma ocorrência de 32 multas por infração de trânsito. Determine a probabilidade de ocorrência de infração de trânsito nesse trecho de rodovia. 32 16 Solução: p= = = 0,00259 (0,259 %) 12358

6179

Observação: A probabilidade do 1º exemplo chama-se Probabilidade Matemática ou Dedutiva ou “a priori”; e a 2ª chama-se Probabilidade Estatística ou Indutiva ou “a posteriori”. 3. Comprando-se 10 números de uma rifa que tem um total de 100 números, qual a probabilidade de se ganhar o prêmio? Solução:

p

=

10 100

=

1 10

= 0,10(10%)

4. Jogando-se um dado para o ar, determine a probabilidade de se obter: a) Número 5. 1 Solução: p = = 0,167 (16,7%) 6

b) Número maior que 2 (isto é, 3, 4, 5 ou 6). Solução:

p=

4 6

=

2 3

= 0,667(66,7%)

5. Uma empresa possui 105 funcionários, sendo 77 homens e 28 mulheres. Escolhendo-se aleatoriamente um desses funcionários para ser homenageado, determine a probabilidade de que seja sorteado um homem. 77 11 Solução: p= = = 0,733(73,3%) 105

15

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES (forma irredutível) Muitos resultados de probabilidade aparecem na forma de uma fração irredutível , a qual é obtida dividindose, simultaneamente, o numerador e o acima, denominador da fração comum) desses números. No exemplo o m.d.c.(105, 77) a= ser 7 . simplificada pelo m.d.c. (máximo divisor Para obter o m.d.c., uma regra bem prática utilizada é a das divisões sucessivas, na qual utilizamos os “restos” de cada uma das divisões como divisor da divisão seguinte até obter o resto 0 (zero); o m.d.c. procurado será o último resto obtido antes do resto zero . No exemplo acima, temos: 1º passo: Dividindo 105 por 77, o resto dessa divisão é 28: resto

⇒

105 77 28 1

resto

⇒

77 21

28 2

⇒

28 7

21 1

2º passo: Dividindo 77 por 28, o resto dessa divisão é 21: 3º passo: Dividindo 28 por 21, o resto dessa divisão é 7: último resto não-nulo

⇑

m.d.c.

4º passo: Dividindo 21 por 7, o resto dessa divisão é 0: ⇒

resto

O quadro–resumo dessas divisões é: denomi-

nume-

nador ⇓

rador ⇓

1º resto ⇓

2º resto ⇓

3º resto ⇓

4º resto (último)

105

77

28

21

7

0

⇑

m.d.c.

Assim, p = 77 = 77 : 7 = 11 = 0,733(73,3%) 105

105 : 7

15

83

⇓

21 0

7 3

6.

Numa caixa tem-se 30 bolas brancas, 15 pretas e 9 azuis. Retirando-se uma bola dessa caixa, determine a probabilidade de que a cor dessa bola:

a)

Seja branca.

Solução:

p

=

30 54

=

30 : 6 54 : 6

=

5 9

= 0,556(55,6%)

Obs.: O m.d.c.(54, 30) = 6. Pela Regra Prática, temos:

54

30

24

6

0

m.d.c. b)

Seja branca ou azul.

Solução:

1º modo: p = 30 + 9 = 39 = 39 : 3 = 13 = 0,722(72,2%) 54

54

54 : 3

18

Obs.: O m.d.c.(54, 39) = 3. Pela Regra Prática, temos:

54

39

15

9

6

3

0

m.d.c. 2º modo: Probabilidade de que a bola seja branca: p1 = 30 54

Probabilidade de que a bola seja azul: p 2 = 9

54

A probabilidade de que a bola seja branca ou azul, é: 30 9 30 + 9 39 13 p = p1 + p 2 = + = = = = 0,722(72,2%) 54

c)

54

54

54

18

Não seja azul.

Solução: 1º modo: A probabilidade as bolas que não sejam azuis, isto é, brancas (30) ou pretas (15), é: 30 + 15 45de que 45 : 9 5 p= = = = = 0,833(83,3%) 54

54

54 : 9

6

2º modo: A probabilidade da bola ser de cor azul é: p = 9 = 0,167 54

Assim, a probabilidade da bola não ser azul (que é a probabilidade complementar) é: 9 54 − 9 45 q =1− p ⇒ q =1− = = = 0,833(83,3%) 54

54

54

ou q = 1 − p = 1 − 0,167 = 0,833(83,3%)

7. Numa sala com 40 alunos, qual a probabilidade de, escolhendo um aluno qualquer, ele ter nascido num sábado? Solução:

p

=

1 7

= 0,143(14,3%)

8. A comissão de formatura de uma classe fez uma rifa com números de 1 a 1.000. Sabendo que os alunos dessa classe compraram todos os números com três algarismos, determine a probabilidade de que o sorteado seja um aluno dessa classe. Solução:

p=

900 1.000

=

9 10

= 0,90(90%) 84

9. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, determine a probabilidade de se obter: a) Um “rei”.

N AI PE S D O B AR AL HO Paus

Espadas

Ouros

Copas

(pretas)

(pretas)

(vermelhas)

(vermelhas)

“REI” (figura)

K♣

“DAMA” (figura)

Q♣ J♣ 10 ♣ 9♣ 8♣ 7♣ 6♣ 5♣ 4♣ 3♣ 2♣ A♣

K♠ Q♠ J♠ 10♠ 9♠ 8♠ 7♠ 6♠ 5♠ 4♠ 3♠ 2♠ A♠

K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 A

K♥ Q♥ J♥ 10♥ 9♥ 8♥ 7♥ 6♥ 5♥ 4♥ 3♥ 2♥ A♥

“VALETE” (figura) (número) (número) (número) (número) (número) (número) (número) (número) (número) “ÁS” (letra)

Solução:

p

=

4 52

=

1 13

= 0,0769(7,69%)

b) Uma carta de “ouros”: p = 13 = 1 = 0,25(25%) 52

4

10. Num sorteio de números de 1 a 100, determine a probabilidade de que o número sorteado: a) Tenha dois algarismos iguais. Solução: O evento é: { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 100 }. A probabilidade é: p = 10 = 1 = 0,10(10%) . 100

10

b) Seja um número de dois algarismos e que os mesmos sejam iguais. Solução: O evento é: { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 }. A probabilidade é: p = 9 = 0,090(9%) . 100

c) Tenha dois algarismos distintos. Solução: Os números que NÃO fazem parte do evento (isto é, que têm apenas um algarismo, ou dois algarismos iguais), são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99 (ou seja, são 18 números que não servem e 82 que fazem parte do evento). Portanto, a probabilidade pedida é: p = 82 = 41 = 0,82(82%) . 100

50

Obs.: O número 100 faz parte do evento, pois é um número que possui dois algarismos distintos: o 0 e o 1. d) Seja um número de dois algarismos e que os mesmos sejam distintos. Solução: Os números que NÃO fazem parte do evento (isto é, que têm apenas um algarismo, ou dois algarismos iguais, ou três algarismos), são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 e 100 (ou seja, são 19 números que não servem e 81 que fazem parte do evento). Portanto, a probabilidade pedida é: p = 81 = 0,81(81%) . 100

85

11. Cada um dos dois jogadores A e B, lança um dado uma só vez. Vence quem tirar o maior número. Se o jogador A tirar o número 2, qual a probabilidade de: a) A ganhar? Solução: Como o jogador A tirou o número 2, o espaço amostral S possui 6 elementos (pares ordenados), ou seja, S = { (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) } O evento é: { (2, 1) }, pois o jogador A somente ganha se o número que ele tirou for maior que o número que o jogador B tirar; como o jogador A tirou o 2, ele só terá uma chance de ganhar, que será se o jogador B tirar o número 1. Logo, a probabilidade é: p = 1 = 0,167 (16,7%) . 6

b) B ganhar? Solução: O evento é: { (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) }, pois o jogador B somente ganha se o número que ele tirar for maior que o número que o jogador A tirou, que foi o 1, portanto o jogador B terá 4 chances, que correspondem aos números 3, 4, 5 ou 6. Logo, a probabilidade é: p = 4 = 2 = 0,667 (66,7%) . 6

3

c) Haver empate? Solução: O evento é: { (2, 2) }, pois se o jogador A tirou o 2, somente haverá empate se o jogador B também tirar o número 2. Portanto, a probabilidade é: p = 1 = 0,167 (16,7%) . 6

12. Jogando ao acaso uma moeda e um dado, qual a probabilidade de ocorrer coroa e número menor que 4.? Solução: A probabilidade de obter coroa em uma moeda é: p = 1 1

2

E a probabilidade de sair número menor que 4 em um dado é: p 2 = 3 6

Como queremos a probabilidade de obter dois acontecimentos distintos e simultâneos, devemos aplicar a Regra da Multiplicação, ou seja, p

= p1 ⋅ p 2 =

1 3

⋅

2 6

=

3 12

=

1 4

= 0, 25(25%)

Obs.: Resolvendo pelo Diagrama da Árvore, temos: MOEDA

C

K

DADO 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Casos POSS VEIS: ( C, 1 ) ( C, 2 ) ( C, 3 ) ( C, 4 ) ( C, 5 ) ( C, 6 ) ( K, 1 ) ( K, 2 ) ( K, 3 ) ( K, 4 ) ( K, 5 ) ( K, 6 ) 86

No diagrama ao lado, temos: Número de casos favoráveis : 3 Número de casos possíveis : 12 Portanto,

p

=

3 12

=

1 4

= 0, 25(25%)

13. Arremessando-se um dado duas vezes sucessivas, qual a probabilidade de sair o número 6 na primeira jogada e não sair na segunda? Solução: 1º modo: O espaço amostral é formado por 36 elementos (pares ordenados): S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) , (6,6) } e o evento é formado por 5 elementos (pares ordenados): { (6,1),

(6,2), (6,3), (6,4), (6,5) }. Logo, a probabilidade é: p = 5 = 0,139(13,9%) . 36

2º modo: Primeiro experimento: “primeiro arremesso do dado”. O espaço amostral é: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e o evento “sair o número 6” é: { 6 }. Logo, a probabilidade de sair o 6 na primeira jogada é: p1 = 1 . 6

Segundo experimento: “segundo arremesso do dado”. O espaço amostral é: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e o evento “não sair o número 6” é: { 1, 2, 3, 4, 5 }. Logo, a probabilidade de não sair o 6 na segunda jogada é: p 2 = 5 . 6

Assim, a probabilidade pedida é: p = p1 ⋅ p 2 = 1 ⋅ 5 = 5 = 0,139 (13,9%) . 6 6

36

14. Numa caixa há 12 bolas, sendo 4 pretas e 8 brancas. Noutra caixa há 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. Tirando ao acaso uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de que a bola retirada da primeira caixa seja preta e a da segunda seja: a) Branca? Solução: A probabilidade de sair bola preta na primeira caixa: p1 = 4 = 1 e a probabilidade de sair bola branca 12

3

na segunda caixa: p 2 = 4 = 2 . Logo, a probabilidade pedida é: p = p1 ⋅ p 2 = 1 ⋅ 2 = 2 = 0,133(13,3%) . 10

5

3 5

15

b) Preta, também? Solução: A probabilidade de sair bola preta na primeira caixa: p1 = 4 = 1 e a probabilidade de sair bola preta 12

3

na segunda caixa: p 2 = 6 = 3 . Portanto, a probabilidade pedida é: p = p1 ⋅ p 2 = 1 ⋅ 3 = 3 = 1 = 0,20(20%) . 10

5

3 5

15

5

15. Arremessando 3 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter duas caras e uma coroa, sendo: a) Pela Regra da Multiplicação. Solução: Considere a s seguintes probabilidades: p1 = probabilidade se sair cara na 1ª moeda ( p1 = 1 ), 2

p2 = probabilidade se sair cara na 2ª moeda ( p 2 =

1 2

) e p3 = probabilidade se sair coroa na 3ª moeda ( p 3 = 1 ). 2

Como as duas caras e uma coroa podem sair de 3 modos diferentes nas três moedas, ou seja, CCK, CKC e KCC, onde C = cara e K = coroa, então, a probabilidade pedida é: p = 3 ⋅ p1 ⋅ p 2

1 1 1

3

2 2 2

8

⋅ p3 = 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ p = = 0,375(37,5%)

b) Pelo Diagrama da Árvore. 1ªmoeda Cara

Coroa

p=

Nº de casos favoráveis Nº de casos possíveis

2ªmoeda Cara

 

 

Coroa

  

Cara

 





Coroa ⇒

p=



3 8

3ªmoeda Cara Coroa Cara Coroa Cara Coroa Cara Coroa

8 casos possíveis: > >

>

= 0,375(37,5%) 87

(C, C, C) (C, C, K) (C, K, C) (C, K, K) (K, C,K)C) (K, C, (K, K, C) (K, K, K)

→ 1º caso favorável → 2º caso favorável

→ 3º caso favorável

E X E R C Í C I O S (probabilidades simples) 1.

Um estudo de 500 voos da American Airlines selecionados aleatoriamente, mostrou que 430 chegaram no horário (com base em dados do Ministério dos Transportes). Qual é a probabilidade estimada de um voo dessa empresa chegar no horário?

2.

Logo após o término de um determinado programa de TV transmitido em rede nacional, o departamento comercial de uma das empresas patrocinadoras do programa fez uma pesquisa com 1.750 telespectadores que assistiram esse programa, e perguntaram se recordavam do nome do novo produto anunciado durante os intervalos comerciais. Sabendo que 1.083 pessoas responderam afirmativamente, determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente e que tenha assistido ao programa, não se recorde do nome desse novo produto.

Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 8 pretas e 4 verdes. Determine a probabilidade dessa bola: a) Não ser preta. b) Não ser verde. c) Ser vermelha.

3.

4. No jogo de “par ou ímpar”, determine a probabilidade de ocorrer par se: a) Não considerar o zero. b) Considerar o zero.

Uma turma de Estatística dos cursos das engenharias é formada por 26 alunos de Engenharia de Produção, 16 de Engenharia Elétrica, 11 de Engenharia Química e 7 de Engenharia Ambiental. Se um desses alunos é sorteado aleatoriamente para participar de uma pesquisa, determine a probabilidade de que esse aluno: a) Seja um estudante de Engenharia de Produção. c) Não seja um estudante de Engenharia Elétrica. 5.

b) Seja um estudante de Engenharia Química ou Ambiental.

Em um estudo sobre o funcionamento de um componente eletrônico em um sistema, suponha que a probabilidade de que esse componente falhe é 20%, e a probabilidade de que ele se deforme, mas não falhe é 35%. Determinar a probabilidade de que esse componente: a) Não falhe em um sistema. c) Funcione perfeitamente bem (isto é, não falhe nem se deforme). 6.

b) Falhe ou se deforme.

88

7.

A tabela abaixo nos dá as porcentagens dos tipos de acidentes e os turnos de trabalhos, registrados por uma empresa no ano passado: Erro humano

Matutino

Condições inseguras 5%

Vespertino

6%

25%

Noturno

2%

30%

Turno

32%

Escolhendo-se aleatoriamente um dos acidentes registrados, determine a probabilidade de que esse acidente tenha ocorrido: a) Durante o turno noturno. d) No turno vespertino ou no turno noturno.

b) Devido a erro humano.

e) No turno matutino e por condições inseguras.

c) Devido a condições inseguras.

f) No turno vespertino e por erro humano.

8. Arremessando-se dois dados para o ar, determine a probabilidade de: a) Obter soma das faces dos dois dados igual a 8. b) Obter soma das faces igual a 7 ou 11.

9.

Lançando-se um dado duas vezes sucessivas, qual a probabilidade de:

a) Sair nº 6 nas duas jogadas.

d) Não segunda. sair nº 6 na primeira jogada e sair nº 6 na

b) Não sair nº 6 em nenhuma jogada.

e) Sair nº 6 em apenas uma das jogadas.

c) Sair nº 6 na primeira jogada e não sair nº 6 na segunda.

f) Sair pelo menos um nº 6 nas duas jogadas.

10. Numa caixa há 12 bolas, sendo 4 pretas e 8 brancas. Noutra caixa há 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. Tirando ao acaso uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de que: a) A bola retirada da primeira caixa seja preta e a da b) A bola tirada da primeira caixa seja preta e da segunda seja branca? segunda também?

89

11. Numa caixa há 20 peças, sendo 12 boas e 8 defeituosas. Noutra caixa há 15 peças, sendo 10 boas e 5 defeituosas. Tirando ao acaso uma peça de cada caixa, qual a probabilidade de que: a) A peça retirada da primeira caixa seja boa e a da e) Ambas sejam boas ou defeituosas? segunda seja defeituosa?

b) A peça tirada da primeira caixa seja defeituosa e a f) A peça da segunda caixa seja defeituosa? da segunda seja boa?

c) Ambas sejam boas?

g) Uma peça seja boa e a outra defeituosa?

d) Ambas sejam defeituosas?

h) Pelo menos uma peça seja boa?

12. Numa caixa há fichas numeradas de 1 a 9 e, em outra, de 11 a 19. Tirando-se uma ficha de cada caixa, qual a probabilidade de que: a) As duas fichas tenham números pares? c) A primeira tenha número par e a segunda ímpar?

b) As duas fichas tenham números ímpares?

d) Uma delas tenha número par e a outra ímpar?

13. Numa caixa há fichas numeradas de 1 a 9. Retirando-se duas fichas, sem reposição, determine a probabilidade de que a segunda ficha sorteada seja ímpar, sabendo que na primeira retirada saiu número par.

14. Temos um baralho comum de 52 cartas de onde serão retiradas duas cartas, sem reposição. Determine as seguintes probabilidades: a) Número par na primeira carta retirada e figura na d) A segunda carta retirada seja um rei sabendo que segunda. na primeira saiu um rei.

b) A primeira carta retirada é preta e a segunda é de copas. e) A primeira carta retirada não é um rei. c) Duas cartas com número maior que 7.

90

15. Peças produzidas por uma máquina são classificadas em três categorias: defeituosas, recuperáveis e perfeitas, com probabilidade de 10%, 20% e 70%, respectivamente. De um grande lote dessas peças, foram sorteadas duas delas e observada sua classificação. Determine a probabilidade de: a) As duas peças serem defeituosas. c) Uma ser recuperável e uma perfeita.

b) Pelo menos uma ser perfeita.

d) Uma ser defeituosa e uma recuperável.

16. Cada caixacaixas de determinado de componente possui 80 unidades. Foi escolhidaA aleatoriamente uma das para testartipo e classificar esses eletrônico componentes quanto à sua durabilidade. tabela abaixo apresenta os resultados obtidos: Durabilidade Muito ruim Abaixo da média Média Acima da média Excelente

Quantidade 8 13 16 23 20

Escolhendo-se aleatoriamente um desses componentes da produção, determine a probabilidade de que esse componente tenha uma durabilidade: a) Acima da média. d) Média ou melhor.

b) Média ou excelente. e) Média ou pior.

c) Abaixo da média ou muito ruim.

17. Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas; outra contém 7 brancas e 5 pretas. Se for retirada uma bola de cada urna, determine a probabilidade de: a) Ambas serem brancas. c) Ambas serem da mesma cor.

b) Ambas serem pretas.

d) Uma ser branca e outra preta.

91

18. Retiram-se duas bolas de uma caixa que contém 2 brancas e 3 pretas. Determine a probabilidade da 1ª bola ser branca e a 2ª preta, sendo: a) Com reposição. b) Sem reposição.

19. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ... , 49, 50. Determine a probabilidade desse número: a) Ser par. d) Terminar em 3.

b) Ser ímpar e menor que 15.

e) Ser divisível por 6 ou por 8.

c) Ser divisível por 5.

f) Ser divisível por 4 e por 6.

20. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 10 e 30. Determine a probabilidade desse número: a) Ser par. c) O número ser divisível por 6 ou por 8.

b) Ser divisível por 5.

d) O número ser divisível por 3 e por 5.

21. Jogando ao acaso um dado e uma moeda, determine a probabilidade de ocorrer: a) Coroa e um número maior que 4. c) Cara e número ímpar.

b) Cara e número diferente de 6.

d) Coroa e número menor ou igual a 2.

22. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, determine a probabilidade de sair: a) Uma carta vermelha. c) Um valete.

b) Uma carta de copas.

d) Uma figura de cor preta.

92

23. A tabela abaixo nos dá a idade e estado civil de uma amostra de 150 funcionários de uma empresa: Estado Civil

Idade (em anos)

Solteiro

Menos de 20

77

8

20 a 40

22

16

Mais de 40

6

21

Casado

Determine a probabilidade de que um funcionário aleatoriamente escolhido: a) Seja casado. d) Seja solteiro e tenha menos de 20 anos.

b) Seja solteiro e tenha idade entre 20 e 40 anos.

e) Tenha 20 anos ou mais.

c) Tenha mais de 40 anos.

f) Tenha menos de 20 anos ou mais de 40.

24. João e Pedro estão disputando um final de torneio de tiro ao alvo. A probabilidade de João acertar o alvo é 1/2 e de Pedro acertar é 3/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido se ambos atirarem no alvo?

25. Sabe-se que um meteorito se encaminha (aleatoriamente) para a Terra. Qual a probabilidade de que uma cidade que tem 36 km² ser atingida por esse meteorito? (A área da superfície da Terra é de, aproximadamente, 518 milhões de km²).

26. Se as probabilidades de que em uma oficina mecânica sejam consertados 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 ou mais carros em qualquer dia de trabalho são, respectivamente, 0,12; 0,19; 0,28; 0,24, 0,10 e 0,07, determine a probabilidade de que nessa oficina serão consertados pelo menos cinco carros em seu próximo dia de trabalho?

27. Em uma empresa que tem um total de 2.627 funcionários, foi feito um levantamento sobre os doadores de sangue e constatou-se que 568 são doadores de sangue. Qual é a probabilidade de que um funcionário dessa empresa aleatoriamente escolhido seja doador de sangue?

93

28. Em um jogo de moedas, o jogador ganha se tirar duas caras consecutivas. Sabe-se que um jogador jogou uma moeda duas vezes e saiu cara em uma das jogadas. Qual é a probabilidade de o jogador ter ganho? (Dica: Construa o Diagrama da Árvore)

29. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 25 anos é de 3/5, e a de sua mulher também estar viva na mesma ocasião é de 2/3. Determine a probabilidade de que, daqui a 25 anos: a) Ambos estejam vivos. c) Somente a mulher esteja viva.

b) Somente o homem esteja vivo.

d) Pelo menos um deles esteja vivo.

30. As probabilidades de três motoristas serem capazes de dirigir até sua casa com segurança, depois de beber, são 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem dirigir até em casa, depois de beber numa festa, determine a probabilidade de: a) todos os três motoristas sofrerem acidentes. b) Pelo menos um dos motoristas dirigir até em casa salvo.

Respostas: 1. 43/50 = 0,86 (86%) 2. 667/1750 = 0,381 (38,1%) 3. a) 5/9 = 0,556 (55,6%); b) 7/9 = 0,778 (77,8%); c) 1/3 = 0,333 (33,3%) 4. a) 1/2 = 0,50 (50%); b) 6/11 = 0,545 (54,5%) 5. a) 13/30 = 0,433 (43,3%); b) 3/10 = 0,30 (30%); c) 11/15 = 0,733 (73,3%) 6. a) 0,80 (80%); b) 0,55 (55%)/;c) 0,45 (45%) 7. a) 32%; b) 87%; c) 13%; d) 63%; e) 5%; f) 25% 8. a) 5/36 = 0,139 (13,9%); b) 2/9 = 0,222 (22,2%) 9. a) 1/36 = 0,0278 (2,78%); b) 25/36 = 0,694 (69,4%); c) 5/36 = 0,139 (13,9%); d) 5/36 = 0,139 (13,9%); e) 5/18 = 0,278 (27,8%); f) 11/36 = 0,306 (30,6%) 10. a) 2/15 = 0,133 (13,3%); b) 1/5 = 0,20 (20%) 11. a) 1/5 = 0,20 (20%); b) 4/15 = 0,267 (26,7%); c) 2/5 = 0,40 (40%); d) 2/15 = 0,133 (13,3%); e) 8/15 = 0,533 (53,3%); f) 1/3 = 0,333 (33,3%); g) 7/15 = 0,467 (46,7%); h) 13/15 = 0,867 (86,7%) 12. a) 16/81 = 0,198 (19,8%); b) 25/81 = 0,309 (30,9%); c) 20/81 = 0,247 (24,7%); d) 40/81 = 0,494 (49,4%) 13. 5/8 = 0,625 (62,5%) 14. a) 20/221 = 0,0905 (9,05%); b) 13/102 = 0,127 (12,7%); c) 11/221 = 0,0498 (4,98%); d) 1/17 = 0,0588 (5,88%); e) 12/13 = 0,923 (92,3%) 15. a) 0,01 (1%); b) 0,91 (91%); c) 0,28 (28%);d) 0,40 (40%) 16. a) 23/80 = 0,288 (28,8%); b) 9/20 = 0,45 (45%); c) 21/80 = 0,262 (26,2%); d) 59/80 = 0,738 (73,8%); e) 37/80 = 0,462 (46,2%) 17. a) 7/20 = 0,350 (35%); b) 1/6 = 0,167 (16,7%); c) 31/60 = 0,517 (51,7%); d) 29/60 = 0,483 (48,3%) 18. a) 6/25 = 0,24 (24%); b) 3/10 = 0,30 (30%) 19. a) 1/2 = 0,50 (50%); b) 7/50 = 0,14 (14%);c) 1/5 = 0,20 (20%); d) 1/10 = 0,10 (10%); e) 6/25 = 0,24 (24%); f) 2/25 = 0,08 (8%) 20. a) 9/19 = 0,474 (47,4%); b) 3/19 = 0,158 (15,8%); c) 4/19 = 0,211 (21,1%); d) 1/19 = 0,0,0526 (5,26%) 21. a) 1/6 = 0,167 (16,7%); b) 5/12 = 0,417 (41,7%); c) 1/4 = 0,25 (25%);d) 1/6 = 0,167 (16,7%) 22. a) 1/2 = 0,50 (50%); b) 1/4 = 0,25 (25%); c) 1/13 = 0,0769 (7,69%); d) 3/26 = 0,115 (11,5%) 23. a) 3/10 = 0,30 (30%); b) 11/75 = 0,147 (14,7%); c) 9/50 = 0,18 (18%);d) 77/150 = 0,513 (51,3%); e) 13/30 = 0,433 (43,3%); f) 83/150 = 0,553 (55,3%) 24. 4/5 = 0,80 (80%) 25. 18/259000000 = 0,0000000695 (0,00000695%) 26. 0,69 (69%) 27. 8/37 = 0,216 (21,6%) 28. 1/3 = 0,333 (33,3%) 29. a) 2/5 = 0,40 (40%); b) 1/5 = 0,20 (20%); c) 4/15 = 0,267 (26,7%); d) 13/15 = 0,867 (86,7%) 30. a) 2/5 = 0,40 (40%); b) 3/5 = 0,60 (60%) 94

A N ÁL I S E C O MB I N AT Ó RI A Para podermos desenvolver o estudo sobre as distribuições de probabilidades, precisamos aplicar os conceitos da Análise Combinatória, que é a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades. Tem por objetivo resolver problemas através de agrupamentos de elementos de um conjunto, sendo um importante instrumento para as ciências aplicadas, como a Engenharia, a Medicina e a Estatística, entre outras.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: n1

é o número de possibilidades da 1ª etapa

n2

é o número de possibilidades da 2ª etapa

⁞ nk

é o número de possibilidades da k-ésima etapa

então, o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é dado pelo produto dos números de possibilidades das etapa, isto é,

n1

•

n2

•

... • nk.

Exemplo: Um homem tem três paletós, quatro camisas e duas gravatas, todos de cores distintas. De quantos modos ele poderá vestir-se em um determinado dia?

Solução: Sendo:

n1

= 3 (número de paletós)

n2

= 4 (número de camisas)

n3

= 2 (número de gravatas), temos, então, o seguinte total ( n) de modos pelos quais esse

homem poderá vestir-se: n1 • n2 • n3 = 3 • 4 • 2 = 24 modos Uma forma de visualizarmos todos esses modos é através do Diagrama da Árvore (ou diagrama sequencial) assim representado:

95

FATORIAL Sendo n um número natural maior que 1, define-se fatorial de n, e indica-se por n! (l ê-se: “n fatorial” ou “fatorial de n”) a expressão: n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ K ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

 0! = 1  1! = 1

Definições especiais:

Exemplos 1) 3! = 3•2•1 = 6 2) 5! = 5•4•3•2•1 = 120 3) 7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5040 4) 10! = 10•9•8•7•6•5•4•3•2•1 = 3628800

AR RAN JO S S IM PL ES Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos de p elementos, todos distintos, que podemos formar com n elementos distintos, sendo p ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela ordem ou natureza de seus elementos. A fórmula é:

An , p

n!

=

Lê-se: “arranjo simples de n elementos tomados p a p”

(n − p)!

Exemplos 1.

Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Solução: São eles:

2.

A5,2

=

5! (5 − 2)!

=

5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!

= 5 ⋅ 4 = 20.

Assim, podemos formar 20 números de 2 algarismos.

1º número 2º número 3º número 4º número 5º número 6º número 7º número 8º número 9º número

12 13 14 15 21 23 24 25 31

11º número 12º número 13º número 14º número 15º número 16º número 17º número 18º número 19º número

34 35 41 42 43 45 51 52 53

10º número

32

20º número

54

Quantos anagramas de 3 letras distintas podemos formar com as letras A, B, C, D, E, F, G e H?

Solução:

A8,3

=

8! (8 − 3)!

=

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 5!

= 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336. 96

Logo, podemos formar 336 anagramas.

P E R M U T AÇ Ã O S I M P L E S Permutação simples de n elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos de cada grupo.

Pn

= n!= n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ K⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

E X E M P L O S (permutação simples) 1. De quantos modos distintos podemos colocar 3 automóveis em uma garagem com capacidade para 3 automóveis? Solução: P3 = 3! = 3· 2· 1 = 6, ou seja, temos 6 modos diferentes de estacionar esses 3 automóveis na garagem. De fato, representando os três automóveis por A, B e C, eles podem ficar dispostos dos seis seguintes modos na garagem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. GARAGEM A B C A C B B A C B C A C A B C B A

1º modo: 2º modo: 3º modo: 4º modo: 5º modo: 6º modo:

2. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra UNISO? Solução: P5 = 5! = 5· 4· 3· 2· 1 = 120 anagramas Deseja-se dispor 5 homens e 4 mulheres em fila, de modo que as mulheres ocupem os lugares pares. Quantos são os modos possíveis? Solução: P = P5· P4 = 5!· 4! = 120· 24 = 2880 modos diferentes 3.

C OM BI NAÇ ÃO S IM PL ES Chama-se combinação simples todos os agrupamentos simples de x elementos que podemos formar com ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro apenas pela natureza

n elementos distintos, sendo x

de seus elementos. A fórmula é:

Obs.:

C n, x

C n, x

n

=   x  

n n! =   =  x  x!⋅(n − x )! onde

n  x   

Lê-se: “combinação simples de n elementos tomados x a x”

é o número binomial de n sobre x

E X E M P L O S (combinações simples) 1. Quantas comissões (combinações simples) de dois alunos que podemos formar com três alunos: Antonio, Benedito e Carla? 3 3 3! 3! 3 ⋅ 2 ⋅1 Solução:   = = = = 3 ⇒   = 3 combinações, ou seja, são 3 comissões que podem ser 2 ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ 2 ! ( 3 2 )! 2 ! 1 ! 2 1 1    2 assim constituídas: 1ª comissão: Antonio e Benedito 2ª comissão: Antonio e Carla 3ª comissão: Benedito e Carla Note que, na 1ª comissão, se trocarmos a ordem dos dois alunos, ela será constituída por Benedito e Antonio, mas essa “nova” comissão continuará sendo a mesma, pois em uma combinação, os agrupamentos se diferem pela natureza e não pela ordem, como ocorre nos arranjos simples. 97

ATENÇÃO NÃO representar o número binomial

2.

3  3   por   : esse traço de fração entre o 3 e o 2 NÃO EXISTE!! 2 2   

Uma lanchonete utiliza as seguintes frutas para preparar os sucos para seus clientes: A (Abacate), B (Banana), L (Laranja), M (Maçã) e P (Pera). Quantos tipos de sucos com três frutas diferentes podem ser preparados nessa lanchonete?

 5 5! 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 Solução: Como   = = = = 10 combinações, então, com essas 5 frutas, a lancho3 3 ! ⋅ ( 5 − 3 )! 3 ! ⋅ 2 ! ( 3 ⋅ 2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 1)   nete pode preparar 10 tipos diferentes de sucos utilizando 3 frutas (diferentes) de cada vez. Esses 10 sucos são: 1º suco: 2º suco: 3º suco: 4º suco: 5º suco: 6º suco: 7º suco: 8º suco: 9º suco: 10º suco:

ABL ABM ABP ALM ALP AMP BLM BLP BMP LMP

(Abacate, Banana e Laranja) (Abacate, Banana e Maçã) (Abacate, Banana e Pera) (Abacate, Laranja e Maçã) (Abacate, Laranja e Pera) (Abacate, Maçã e Pera) (Banana, Laranja e Maçã) (Banana, Laranja e Pera) (Banana, Maçã e Pera) (Laranja, Maçã e Pera)

8 Calcule:    3 Solução:  8 8! 8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 40320 40320  = = = = = = 56 1º modo: 3 3 ! ( 8 3 )! 3 ! 5 ! ( 3 2 1 ) ( 5 4 3 2 1 ) 6 ⋅ 120 720 ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    8 8! 8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 336   = = = = = 56 2º modo: 6  3 3!⋅(8 − 3)! 3!⋅5! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 5! 3.

3º modo (PRÁTICO):

 8  8 ⋅ 7 ⋅ 6 336   = = = 56 6  3 3 ⋅ 2 ⋅ 1

ou

 8 8 ⋅ 7 ⋅ 6   = = 56  3 3 ⋅ 2 ⋅1

Procedimento: Como o valor na parte inferior dos parênteses do número binomial é 3, basta colocar no numerador do cálculo da fração 3 fatores em ordem decrescente, começando pelo número 8, que é o valor que está na parte superior dos parênteses do número binomial, ou seja, colocar o produto: 8·7·6 = 336, e no denominador da fração colocar o 3! = 3 · 2 · 1 = 6 4.

10 Calcule:   4 

Solução: Pelo modo prático, temos: 5.

15 Calcule:   2 

Solução: Pelo modo prático, temos:

10  10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 5040 = = 210   = 4 

4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

24

15 15 ⋅ 14 210   = = = 105 2 ⋅1 2 2  98

6.

6 Calcule:   1 


 5 Calcule:    5


 5 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1   = =1  5 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

12 Calcule:   9 


 6 6   = = 6 1  1

12  = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 12 ⋅ 11⋅ 10 = 220 9  9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 3 ⋅ 2 ⋅1  

12 Calcule:   3 

Solução: Pelo modo prático, temos:

12  12 ⋅ 11 ⋅ 10   = = 220 3 ⋅ 2 ⋅1 3 

C O MB I N AÇ Õ ES C O MP L EM E N T A R E S  n = 12   e   x2 = 3 não é por acaso; eles são chamados de combinações (ou números binomiais) complementares, pois a soma

Obs.: Note que a coincidência nos resultados acima, dos números binomiais:

 n = 12     x1 = 9 

de x1 e x2 é igual a n, isto é, x1 + x2 = 9 + 3 = 12 = n. A fórmula geral é:

Cn,x = Cn, n – x

E X E M P L O S (combinações complementares)

1.

100 Calcule:    98 

Solução:

Como

100  98   

e

100  2   

são iguais, pois são números binomiais complementares,

é bem mais prático calcular o segundo número binomial, ou seja:

100  100  100 ⋅ 99  98  =  2  = 2 ⋅ 1 = 4950    

Obs.: Utilizando a fórmula do número binomial de 100 por 98, temos:

100  100! 100 ⋅ 99 ⋅ 98! 100 ⋅ 99 9900 = = = 4950  98  = 98!⋅(100 − 98)! = 98!⋅2! 2! 2   99

2.

5 Calcule:    0

Solução:

5 5! 5!   = = =1  0  0!⋅(5 − 0)! 1 ⋅ 5!

Pela fórmula do número binomial, temos:

 5   5 Obs.: Note que   =   , pois são números binomiais complementares.  0  5 De um modo geral, temos: a)

n n  0  =  n  = 1 ,    

para todo número natural.

 n n! n! = = 1e De fato,   = 0 ⋅ n − ⋅ n! 0 ! ( 0 )! 1   b)

n   = n , 1 

n n! n! 1   = = = =1 n n ⋅ n − n n ⋅ ⋅1 ! ( )! ! 0 ! 1  

para todo número natural.

n n! n ⋅ (n − 1)! n = = =n De fato,   = ⋅ − ⋅ (n − 1)! 1 1 1 ! ( n 1 )! 1  

E X E R C Í C I O S (combinações simples) Resolver:

9  1.   =  4

8.

 4   =  4

11 2.   = 2 

9.

3   =  0

10  3.   = 3 

16  10.   = 6 

13  4.   = 10 

 40  11.   = 5 

 25  5.   = 4 

 32  12.   =  29 

7 6.   = 6

 80 13.   =  73

8 7.   = 1 

5  14.   =  2,5 

Respostas:

1. 126; 2. 55; 3. 120; 10. 8008; 11. 658008;

4. 286; 5. 12650; 6. 7; 7. 8; 8. 1; 9. 1; 12. 4960; 13. 3176716400; 14. Não é definido 100

D is tr i bu iç õe s d e P ro ba bi li da de s Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de frequências relativas para os resultados de um espaço amostral, e que mostra a proporção das vezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um dos diversos valores. As distribuições de probabilidade se dividem em duas partes iguais: 1ª) Distribuição discreta (ou descontínua) de probabilidades – é quando uma distribuição envolve variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados (variáveis discretas). Destacamos como distribuição discreta de probabilidades: a binomial, a hipergeométrica e a de Poisson . 2ª) Distribuição contínua de probabilidades – é quando uma distribuição envolve variáveis aleatórias que apresentam um grande número de resultados possíveis. Destacamos como distribuição contínua de probabilidades: a distribuição uniforme, a exponencial e a normal (ou de GAUSS).

DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES D IS TR IB UI ÇÃ O B IN OM IA L A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli.

A distribuição binomial é utilizada para eventos COM reposição (ou repetição). Um processo é de Bernoulli quando: a) só existem dois resultados (sucesso e fracasso); b) os eventos são independentes; c) a probabilidade de sucesso é constante de tentativa para tentativa, isto é, o processo é estacionário.

 n  x n− x A fórmula geral da probabilidade binomial é dada por: P( x) =   ⋅ p ⋅ q  x onde, x = número de sucessos, em n tentativas n – x = número de fracassos, em n tentativas p = probabilidade de sucesso em uma tentativa q = probabilidade de fracasso nessa tentativa (lembrete: q = 1 – p)

n   = número de resultados experimentais que fornecem exatamente x sucessos e n ensaios (em  x Matemática, chamamos de combinação ou número binomial)

REGRA DO ARREDONDAMENTO (DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL) O resultado de uma probabilidade, na forma decimal, deve ser arredondado para três dígitos significativos.



E X E M P L O S (distribuição binomial)

1.

Jogando-se 5 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter 3 caras (e 2 coroas).

Solução: 3

n  5  1   1  P( x) =   ⋅ p x ⋅ q n − x ⇒ P ( x = 3) =   ⋅   ⋅   x    3  2   2 

2

 5 5 ⋅ 4 ⋅ 3 Como   = = 10 , temos:  3 3 ⋅ 2 ⋅1 P ( x = 3) = 10 ⋅

2.

1 1 ⋅ 8 4

= 10 = 5 = 0,312 ⇒ P(x = 3) = 0,312 (31,2%) 32

.

16

Numa caixa tem-se 20 peças boas e 6 defeituosas. Retirando-se 6 peças dessa caixa, com reposição, determine a probabilidade de se obter 4 peças boas.

Solução:  6   20  P ( x = 4) =   ⋅    4   26 

4

6 ⋅    26 

2

6 6 6 ⋅ 5 Como   =   = = 15 , temos:  4  2 2 ⋅1 P( x = 4) = 15 ⋅ 0,350128 ⋅ 0,053254 = 0,280 ⇒ P(x = 4) = 0,28 (28%)

.

Observações: a) Para padronizarmos o processo de cálculo, cada um dos fatores intermediários deve ser arredondado para seis casas d ecimais. b) Caso o fator apresente uma grande quantidade de zeros, aumentar a quantidade de casas decimais até que tenhamos dois algarismos significativos. Exemplo: Um fator do tipo: 0,0000003176... deve ser arredondado para 0,00000032 .

3.

Numa caixa tem-se 16 bolas brancas, 10 pretas e 5 azuis. Retirando-se 5 bolas dessa caixa, com reposição, determine a probabilidade de que 3 dessas bolas retiradas sejam branca.

Solução:

 5 5 ⋅ 4 ⋅ 3 Como   = = 10 , temos:  3 3 ⋅ 2 ⋅1 P( x = 3) = 10 ⋅ 0,137491⋅ 0,234131 ⇒ P(x = 3) = 0,322 (32,2%) 102

.

4.

Num determinado processo de fabricação 15% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 7 unidades cada uma.

a) Qual a probabilidade de haver exatamente 4 peças defeituosas em uma caixa qualquer? Solução:

7 P( x = 4) =   ⋅ (0,15 ) (4 ⋅ )0,85 3  4

 7 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 Como   = = 35 , temos:  4 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

Obs.: Quando a informação vem em forma de porcentagem ou de proporção, o evento é COM reposição, ou seja, devemos utilizar a Distribuição Binomial para calcular a probabilidade desejada.

P( x = 4) = 35 ⋅ 0,000506 ⋅ 0,614125 ⇒ P(x = 4) = 0,0109 (1,09%)

.

b) Qual a probabilidade de haver 2 ou menos peças defeituosas em uma caixa qualquer? Solução: Dizer que em uma caixa existem 2 ou menos peças defeituosas, significa dizer que nessa caixa podem existir 2 peças defeituosas, ou apenas uma defeituosa, ou nenhuma defeituosa. Assim sendo, precisamos calcular essas três probabilidades e a probabilidade final será a soma desses três resultados. Essas três probabilidades são: P0 = probabilidade de não haver nenhuma peça defeituosa em uma caixa, isto é: 7 P0 = P( x = 0) =   ⋅ (0,15 ) (0 ⋅ )0,85 7 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0,320577 = 0,321(32,1%) 0 P1 = probabilidade de haver somente uma peça defeituosa em uma caixa, isto é: 7 P( x = 1) =   ⋅ (0,15 ) (1 ⋅ )0,85 6 = 7 ⋅ 0,15 ⋅ 0,377150= 0,396(39,6%) 1  P2 = probabilidade de haver exatamente duas peças defeituosas em uma caixa, isto é:

P( x = 2) =  7  ⋅ (0,15 ) (2  2

⋅ )0,85 5 = 21 ⋅ 0,0225 ⋅ 0,443705 = 0,210(21%)

Logo, a probabilidade de haver duas ou menos peças defeituosas em uma caixa é: P( x ≤ 2) = P( x = 0) + P( x = 1) + P( x = 2) = 0,321 + 0,396 + 0,210 ⇒ P(x ≤ 2) = 0,927 (92,7%)

.

c) Qual a probabilidade de haver mais de uma peça defeituosa em uma caixa? Solução: 1º Modo: Como queremos que haja mais de uma peça defeituosa nessa caixa, isto significa dizer que nessa caixa podem existir 2, ou 3, ou 4, ou 5, ou 6, ou 7 peças defeituosas, logo precisamos calcular as probabilidades desses 6 eventos e somar os resultados, isto é, P( x > 1) = P( x = 2) + P( x = 3) + P( x = 4) + P( x = 5) + P( x = 6) + P( x = 7)

2º Modo: Como o cálculo do 1º modo é bastante trabalhoso, podemos utilizar o evento complementar, pois não queremos que seja retirada uma peça defeituosa ou nenhuma peça defeituosa da caixa. Assim, podemos utilizar as probabilidades Po = 0,321 e P1 = 0,396 calculadas na letra b) e subtrairmos de 1 (100%), ou seja: P( x > 1) = 1 − [ P ( x = 0) + P ( x = 1)] = 1 − P ( x = 0) − P( x = 1) = 1 − 0,321 − 0,396 ⇒ P(x > 1) = 0,283 (28,3%) . 103

E X E R C Í C I O S (distribuição binomial) 1.

Numa caixa tem-se 30 peças boas e 10 defeituosas. Retirando-se sucessivamente 6 peças dessa caixa, com reposição, determine a probabilidade de se obter 4 peças boas.

2. O engenheiro responsável pela segurança de uma empresa afirma que somente 10% de todos os trabalhadores não usam capacetes enquanto trabalham. Determine a probabilidade de que 3 de 4 trabalhadores escolhidos aleatoriamente estejam usando capacetes enquanto trabalham.

3. Jogando-se 10 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter: a) Oito caras. d) Nenhuma cara.

b) Cinco caras.

e) Menos de duas caras.

c) Uma cara.

f) Mais de uma cara.

4. Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinado poluente orgânico. Considere que as amostras sejam independentes com relação à presença do poluente. Determine a probabilidade de que nas próximas 18 amostras exatamente 2 delas contenham o poluente.

104

Uma máquina produziu em lote com 60 peças das quais 10 são defeituosas. Retirando-se, com reposição, uma amostra com 8 peças, determine a probabilidade de se encontrar: a) 2 peças defeituosas. b) 2 ou menos peças defeituosas.

5.

6.

Lançando-se um dado 3 vezes, quais as probabilidades de se obter a face 5 em 2 lançamentos?

7. Admite-se que exista uma impureza de 30% dos poços de certa comunidade rural. Um químico escolheu aleatoriamente dez poços dessa região para serem testados, determine a probabilidade de que: a) Exatamente três poços tenham impurezas. b) Nenhum poço tenha impurezas.

8.

A probabilidade de que um componente resistirá a um teste de choque é de 3/4. Determine a probabilidade de que exatamente dois dos próximos quatro componentes testados sobrevivam.

Uma firma de pedidos pelo correio envia uma carta circular que terá uma taxa de respostas de 8%. Suponha que 20 cartas circulares são endereçadas a uma nova área geográfica como teste de mercado. Supondo que na nova área também é aplicável a taxa de respostas de 8%, determine as probabilidades dos seguintes eventos: a) Ninguém responde. c) Seis pessoas respondem.

9.

b) Duas pessoas respondem.

d) Menos de três pessoas respondem.

105

10. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais encontram-se vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra de cinco contas, determine a probabilidade de cada um dos seguintes eventos usando a fórmula da probabilidade binomial: a) Nenhuma das contas está vencida. c) A maioria das contas está vencida.

b) Exatamente duas contas estão vencidas.

d) Exatamente 20% das contas estão vencidas.

11. Em determinada região industrial, verificou-se que 40% das pessoas que apresentam determinado sintoma devido à poluição ambiental, tiveram uma melhora significativa quando são tratados com certa medicação particular. Escolhendo-se aleatoriamente 20 pacientes que se submeteram a esse tratamento, determine a probabilidade de que 15 deles obtenham sucesso com essa medicação.

12. Um dos jogos disponíveis nas casas lotéricas, é o LOTOGOL, composto por 5 jogos de futebol, com 25 resultados possíveis em cada jogo. Se um apostador fizer um jogo simples (isto é, escolher um único resultado possível para cada jogo), determine a probabilidade dele: a) Acertar os resultados de 3 dos 5 jogos.

c) Acertar os resultados dos 5 jogos.

b) Acertar os resultados de 4 dos 5 jogos.

Respostas: 1. 0,297 (29,7%) 2. 0,292 (29,2%) 3. a) 0,0439 (4,39%); b) 0,246 (24,6%); c) 0,00976 (0,976%); d) 0,000977 (0,0977%); e) 0,0107 (1,07%); f) 0,989 (98,9%) 4. 0,284 (28,4%) 5. a) 0,260 (26%); b) 0,865 (86,5%) 6. 5/72 = 0,0694 (6,94%) 7. a) 0,267 (26,7%); b) 0,0282 (2,82%) 8. 27/128 = 0,211 (21,1%) 9. a) 0,189 (18,9%); b) 0,271 (27,1%); c) 0,00314 (0,314%); d) 0,788 (78,8%) 10. a) 0,168 (16,8%); b) 0,309 (30,9%); c) 0,163 (16,3%); d) 0,360 (36%) 11. 0,00129 (0,129%) 12. a) 1/1695 = 0,00059 (0,059%); b) 1/81380 = 0,0000123 (0,00123%); c) 1/9765625 = 0,000000102 (0,0000102%) 106

D I ST RI B UI ÇÃ O H IP E RG EO M ÉT RI C A A distribuição hipergeométrica é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável para uma população finita e pequena, quando os eventos não são independentes. A distribuição hipergeométrica está estritamente relacionada com a distribuição binomial de probabilidade, sendo que a diferença-chave entre as duas distribuições é que na distribuição hipergeométrica a probabilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio.

A distribuição hipergeométrica é utilizada para eventos SEM reposição (ou repetição). Se a amostra é pequena (inferior a 5% da população), a diferença entre a distribuição binomial e a distribuição hipergeométrica é praticamente insignificante; se a amostra for sem reposição e o tamanho superior a 5% da população, devemos empregar a distribuição hipergeométrica, cuja fórmula para x sucessos (isto é, x = n1 ou x = n2) em n escolhas de um total de N elementos, é do tipo:

 N1   N 2    ⋅    n1   n 2  P ( x) = N   n  onde N = Número total de objetos de um conjunto (população) N1 = Número de objetos do conjunto que têm o atributo A N2 = Número de objetos do conjunto que têm o atributo B n = Nº total de elementos escolhidos do conjunto (amostra) n1 = Nº de elementos escolhidos do conjunto que têm o atributo A n = Nº de elementos escolhidos do conjunto que têm o atributo B 2

    

N

   

n = n1 + n2

= N1 + N 2



A quantidade x de sucessos na fórmula acima corresponde a x = n1 ou x = n2.

Obs.: Uma conveniente “regra de bolso” é que se pode usar a distribuição binomial como uma aproximação da distribuição hipergeométrica quando n < 0,05 ⋅N, isto é, quando o tamanho da amostra ( n) for inferior a 5% do tamanho da população (N).

REGRA DO ARREDONDAMENTO (DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA) O resultado de uma probabilidade, na forma decimal, deve ser arredondado para três dígitos significativos.



E X E M P L O S (distribuição hipergeométrica) 1.

Numa caixa com 10 lâmpadas, 2 são defeituosas. Extraída uma amostra de 4 lâmpadas dessa caixa, sem reposição, determine a probabilidade de obter:

a) 1 lâmpada defeituosa. Solução:

N = 10 (total de lâmpadas existentes na caixa) N1 = 8 (número de lâmpadas boas existentes na caixa) N2 = 2 (número de lâmpadas defeituosas existentes na caixa) n = 4 (total de lâmpadas que vamos retirar da caixa) n1 = 3 (total de lâmpadas boas que queremos retirar da caixa) n2 = 1 (total de lâmpadas defeituosas que queremos retirar da caixa)

 N1   N 2    ⋅    n1   n 2  = P1 = P ( x = 1) = N   n 

8  2 8 ⋅ 7 ⋅ 6 2   ⋅   ⋅  3   1  = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1 = 56 ⋅ 2 = 112 = 0 ,533 ( 53,3 %) 10 9 8 ⋅ ⋅ ⋅7 210 210  10    4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4  

b) Nenhuma lâmpada defeituosa.

Solução:

8   2  8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅5   ⋅   ⋅1  4   0  = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 70 = 0,333 (33,3 %) P0 = P ( x = 0 ) = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 210  10    4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 4 

c) 1 ou menos lâmpada defeituosa. Solução: P( x ≤ 1) = P0 + P1 = 0,333 + 0,533 = 0,866(86,6%) 2. Uma caixa contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Retirando-se 5 peças dessa caixa, sem reposição, determine a probabilidade de obter 3 peças boas. Solução:

N = 60 (total de peças existentes na caixa) N1 = 50 (número de peças boas existentes na caixa) N2 = 10 (número de peças defeituosas existentes na caixa) n = 5 (total de peças que vamos retirar da caixa) n1 = 3 (total de peças boas que queremos retirar da caixa) n2 = 2 (total de peças defeituosas que queremos retirar da caixa)

P( x

 50  10  50 ⋅ 49 ⋅ 48 10 ⋅ 9 ⋅  3  ⋅  2  2 ⋅1 = 19600 ⋅ 45 = 882000 = 0,161(16,1%) = 3) =     = 3 ⋅ 2 ⋅1 60 ⋅ 59 ⋅ 58 ⋅ 57 ⋅ 56 5461512 5461512  60    5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 5  108

3.

Por causa de uma falha na luz elétrica, você está se vestindo no escuro. Você tem, em uma gaveta, três pés de meias pretas e seis vermelhas. Tirando três meias ao acaso dessa gaveta, qual a probabilidade de obter duas pretas?

Solução:

3  6 3⋅ 2 6   ⋅   ⋅  2  1  2 ⋅1 1 18 P ( x = 2) = = = = 0,214(21,4%) 9 ⋅ 8 ⋅ 7 84 9   3 ⋅ 2 ⋅1 3

4.

De um grupo de 40 pessoas que se submeteram a um determinado tratamento inicial, 28 tiveram uma melhora na sua saúde. Escolhendo-se aleatoriamente 7 pessoas desse grupo para uma exame mais minucioso, determine a probabilidade de que 5 delas sejam as pessoas que apresentaram uma melhora nesse tratamento inicial.

Solução:  28   12  28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 12 ⋅ 11   ⋅   ⋅ 5   2  = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 2 ⋅ 1 = 98280 ⋅ 66 = 6486480 = 0,348(34,8%) P ( x = 5) = 40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ 34 18643560 18643560  40    7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 7 

5.

Pequenos motores elétricos são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Sabendo que há 6 motores defeituosos numa caixa, determine a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa.

Solução: P( x ≥ 1) = P( x = 1) + P( x = 2) + P( x = 3) + P( x = 4) + P( x = 5) ou P( x ≥ 1) = 1 − P( x = 0)

Calculando P(x = 0), que é a probabilidade de não haver nenhum motor defeituoso, temos:

P(x

= 0) =

 6   44    ⋅    0 5   50  5 

1⋅

=

44 ⋅ 43 ⋅ 42 ⋅ 41 ⋅ 40 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

50 ⋅ 49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

=

1086008

= 0,513 (51,3 %)

2118760

Portanto, P( x ≥ 1) = 1 − P( x = 0) = 1 − 0,513 = 0,487(48,7%) , que é a probabilidade de haver uma inspeção em todos os motores. 109

E X E R C Í C I O S (distribuição hipergeométrica) 1.

Numa caixa tem-se 30 peças boas e 10 defeituosas. Retirando-se sucessivamente 6 peças dessa caixa, sem reposição, determine a probabilidade de se obter 3 peças defeituosas.

2. Uma batelada contém 36 células de bactérias, das quais 12 não são capazes de replicação celular. Selecionando-se aleatoriamente 3 dessas células, sem reposição, determine a probabilidade de que exatamente uma delas não possa se replicar.

3. Um gerente seleciona aleatoriamente três indivíduos de um grupo de 10 empregados de seu departamento para designá-los para um estudo de classificação salarial. Supondo que quatro dos empregados já tivessem sido designados anteriormente para um projeto similar, determine a probabilidade de que exatamente dois dos três empregados tenham tido experiência anterior (usar a fórmula da distribuição hipergeométrica).

4. Uma máquina produziu em lote com 60 peças das quais 10 são defeituosas. Retirando-se, sem reposição, uma amostra com 8 peças, determine a probabilidade de se encontrar: a) 3 peças defeituosas.

b) Menos de 2 peças defeituosas.

110

5. Sabe-se que de cada 20 clientes de uma empresa, 15 estão satisfeitos com o atendimento oferecido. Se, para uma amostra aleatória de 4 clientes for perguntado sobre a satisfação no atendimento, determine, pela distribuição hipergeométrica, a probabilidade de que estiveram descontentes exatamente 3 clientes.

6.

Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 8 lâmpadas para verificar se estão boas. Sabendo que o fabricante dessas lâmpadas afirma que em uma centena sempre há 5 lâmpadas queimadas, determine a probabilidade de se escolher uma amostra com 3 lâmpadas queimadas.

Em um grupo de 30 pessoas, 4 são canhotas. Escolhendo-se simultaneamente 3 dessas pessoas, determine a probabilidade de que: a) Uma dessas pessoas seja canhota. 7.

b) Nenhuma dessas pessoas seja canhota.

8.

Suponha que 20 livros em um lote de 200 unidades contenham erros de impressão. Adquiridos 3 desses livros, qual a probabilidade de um deles ter erros de impressão?

9. Num laboratório de informática existem 20 computadores, sendo que 3 deles estão com defeito. Se quatro alunos entram no laboratório e cada um escolhe um computador para utilizar, determine a probabilidade de que 2 alunos tenham escolhido computadores com defeito e 2 tenham escolhido sem defeito.

111

10. Determinado órgão do governo suspeita que algumas indústrias violam as regulamentações federais contra poluição, em relação ao despejo de certo tipo de produto. Suponha que, das vinte empresas que estão sob suspeita, três delas estejam violando as regulamentações. Selecionando-se aleatoriamente cinco dessas vinte indústrias para inspeção, determine a probabilidade de que: a) Nenhuma delas esteja violando as regulamentações.

b) Duas delas estejam violando as regulamentações.

11. Um dos jogos disponíveis nas casas lotéricas, é o jogo da MEGA-SENA, que possui 60 números (de 1 a 60). Se um apostador fizer um jogo simples, isto é, escolher somente 6 dos 60 números, determine a probabilidade dele: a) Acertar os 6 números escolhidos.

b) Acertar 5 dos 6 números escolhidos.

c) Acertar apenas 1 dos 6 números escolhidos.

Respostas: 1. 0,127 (12,7%) 2. 0,464 (46,4%) 3. 0,30 (30%) 4. a) 0,0994 (9,94%); b) 0,60 (60%) 5. 0,031 (3,1%) 6. 0,00311 (0,311%) 7. a) 65/203 = 0,32 (32%); b) 130/203 = 0,64 (64%) 8. 0,245 (24,5%) 9. 0,0842 (8,42%) 10. a) 0,399 (39,9%); b) 0,132 (13,2%) 11. a) 1/50.063.860 = 0,000000020 (0,0000020%); b) 81/12.515.965 = 0,00000647 (0,000647%); c) 0,379 (37,9%) 112

Di st ri bui ção de PO ISSO N É semelhante à distribuição binomial, diferenciando apenas no fato de que na distribuição binomial os eventos ocorrem por tentativas ou observações fixas, enquanto que na distribuição de Poisson (lê-se: “poasson”) os eventos ocorrem continuamente . Exemplos: Acidentes por dia, clientes por hora, chamadas telefônicas por minuto, defeitos por cm 2 etc. A fórmula da distribuição de Poisson é dada por: P ( x )

=

e −m ⋅ m x x!

onde • x é o número de ocorrências • o número e é a base dos logaritmos naturais, isto é, e = 2,71828... (constante) • m é a média de ocorrências num certo intervalo Exemplos 1. Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material radioativo. Sabendo que o laboratório admite uma taxa média de 6 ocorrências a cada minuto, determine a probabilidade de que ocorrerá a seguinte emissão de: a) Exatamente 5 partículas em 1 minuto. Solução: P( x

= 5) =

e −6 ⋅ 6 5

5!

=

0,002479 ⋅ 7776 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

=

19,276704 120

= 0,161 ⇒ P(x = 3) = 0,161 (16,1%)

.

b) Exatamente 3 partículas em 10 segundos. Solução: Como a média é de 6 partículas a cada minuto , então a média de partículas a cada 10 segundos, pela REGRA DE TRÊS SIMPLES, é

6( partículas ) → 60 segundos (= 1 min) 6 ⋅ 10 60 ⇒x= = ⇒ x = 1, ou seja, a média é de 1 partícula a  60 60  x( partículas ) → 10 segundos cada 10 segundos P( x

2.

= 3) =

e −1 ⋅ 13

3!

=

0,367879 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅1

=

0,367879 6

= 0,0613 ⇒ P(x = 3) = 0,0613 (6,13%)

.

Determinado tipo de fio condutor de energia apresenta, em média, 3 falhas a cada rolo de 100 m. Qual é a probabilidade de que em um rolo de 50 m aleatoriamente escolhido para inspeção contenha 1 falha.

Solução: Como a média é de 3 falhas a cada 100 m , então a média de falhas a cada 50 m é:

3 falhas → 100m 3 ⋅ 50 150 ⇒x= = ⇒ x = 1,5 , ou seja, a média é de 1,5 falha a cada 50 m  100 100 xfalhas → 50m P( x

= 1) =

e −1,5 ⋅ (1,5)1

1!

=

0, 223130 ⋅ 1,5 1

= 0,335 ⇒ P(x = 1) = 0,335 (33,5%) 113

.

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES É quando uma variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados possíveis. Destacam-se as seguintes distribuições contínuas de probabilidades: • distribuição exponencial • distribuição uniforme • distribuição normal (ou de GAUSS)

D is tr ib ui çã o E xp on en ci al A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num intervalo contínuo. Tem sido amplamente utilizada nas áreas de física, engenharia, computação e biologia, entre outras. Como exemplo , destacamos o tempo entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre chamadas telefônicas, intervalos entre as chegadas de veículos (ônibus, trens ou aviões em um terminal) etc. A distribuição exponencial é aplicada quando estamos interessados com o tempo (ou espaço) até a ocorrência do primeiro evento, quer no tempo entre dois eventos sucessivos, ou quer no decorrido até acontecer o primeiro evento após um ponto aleatoriamente selecionado. Sendo m o número médio de ocorrências no intervalo de interesse, a probabilidade exponencial de que o primeiro evento x ocorrerá dentro do intervalo especificado de tempo ou espaço ( t ), sendo m a média de ocorrências durante um intervalo, é dado por: P( x ≤ t ) = 1 − e

−m

E a probabilidade exponencial de que o primeiro evento x não ocorrerá dentro do intervalo especificado de tempo ou espaço ( t ), é dado por: P( x

> t ) = e −m

Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial, com vida média de 100 horas. Determine a probabilidade de um fusível durar: a) Menos de 100 horas. −1

Solução: P ( x ≤ 100 h ) = 1 − e = 1 − 0,367879 = 0,632121 ≅ 0, 632 ⇒ P ( x ≤ 100 h ) = 0,632 (63,2%) b) Mais de 100 horas. Solução: P ( x > 100 h ) = e −1 = 0,367879 ≅ 0,368 ⇒ P ( x > 100 h) = 0,368(36,8%)

D is tr ib ui çã o U ni f or m e É utilizada quando uma variável aleatória pode assumir qualquer valor de uma escala contínua num intervalo de modo que nenhum valor seja mais provável que outro. a

c

d

b

Assim, dado um intervalo A = [a, b], a probabilidade de ocorrência de um evento x, em um subintervalo S = ]c, d[ de A, é dada por: P ( c ≤ x ≤ d ) =

d

−c

b−a

Observações: a) A probabilidade de qualquer valor particular é zero. b) P ( a ≤ x ≤ b ) = P ( a < x < b ) Exemplo: Se o volume de refrigerante uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual a probabilidade de uma lata aleatoriamente escolhida conter entre 345 ml e 365 ml? Solução: P (345 ≤ x ≤ 365) =

365 − 345 370 − 340

= 0,667(66,7%) 114

D I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A L (ou de GAUSS) Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição continua de probabilidades é a distribuição normal, ou a curva normal, ou a distribuição de Gauss (Karl Friedrich Gauss, 1777–1855), que constitui a base teórica de toda inferência estatística. A função de densidade de probabilidade de uma variável x com distribuição normal é definida pela seguinte equação:

y

= f ( x) =

1 σ

2π

⋅e

1  x−M   2 σ 

2

− 

, com ∞ < x < +∞

onde x e y são as variáveis estatísticas M = média e σ = desvio padrão são os parâmetros de uma distribuição normal π

(pi) = 3,1415... (constante)

e = 2,71828... (base dos logaritmos naturais)

O gráfico de y é do tipo:

Características principais da curva normal 1.

A curva tem um ponto de máximo no eixo dos y (eixo vertical), que corresponde à média, no eixo dos x (eixo horizontal).

2. É simétrica em relação à média. 3. Tem dois pontos de inflexão (isto é, pontos nos quais a curva muda de concavidade), que correspondem a M ± σ.

4. É assintótica em relação ao eixo dos x (eixo horizontal), isto é, a curva não intercepta o eixo dos x. 5. A curva prolonga-se no eixo dos x de – ∞ a + ∞. 6. 7.

A área total sob a curva normal é 100%. A curva normal tem a forma de “sino”. A área total sob a curva a curva normal representa 100% da probabilidade associada à variável. Assim, a

área sob a curva normal, no intervalo [a, b], corresponde à probabilidade de uma variável x estar compreendida entre a e b:

115

O C oe fi ci en te z Quando a variável x é expressa em termos da unidade reduzida: z = y

=

σ

, a equação anterior fica:

1

1 σ

x−M

2π

⋅e

− z2 2

Temos, então, a distribuição normal padronizada, com média 0 (zero), pois a média está à distância 0 (zero) de si mesma. Observação: Nos cálculos de probabilidades através da distribuição normal, usamos a média e o desvio padrão da população , mas, o mais comum é conhecer somente a média e o desvio padrão da amostra . É por isso que as amostras têm que ser obtidas por técnicas de amostragem confiáveis para que sejam consideradas significativas e representem bem a população.

A Tabela 1 indica as proporções de área para vários intervalos de valores para a distribuição de probabilidade normal padronizada, com a fronteira inferior começando sempre na média . Essa tabela elimina o uso da equação normal.

Como usar a Tabela 1 (Tabela z de GAUSS) Exemplos: Na Tabela 1, encontre a probabilidade correspondente ao seguinte valor do coeficiente z: a) z = 1,28 Solução: A figura abaixo mostra a área de probabilidade sob a curva normal, correspondente ao valor de z:

Tabela 1 z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,0 0,1 0,2

0,09

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1,1

1,2

0,08

→

→

→

→

→

→

→

→

0,3997

1,3

Na 1ª coluna da tabela, descendo até a linha 1,2, e percorrendo-a, nessa direção, até a coluna 0,08, encontraremos o valor 0,3997 . Portanto, a área de probabilidade correspondente a z = 1,28 é 0,3997 (39,97%), que representa a região localizada à direita da linha da média no gráfico da curva normal, conforme mostra a figura. 116

b) z = – 0,67 Solução:

O valor negativo de z nos indica a área se localiza à esquerda da linha da média no gráfico da curva normal. Como a curva normal é simétrica em relação à linha da média, a Tabela 1, fornece apenas os valores positivos (isto é, os valores que estão à direita da linha da média). Assim sendo, basta procurar na Tabela 1 o valor de z = + 0,67, cuja área será IGUAL à área de z = – 0,67, e que corresponde a 0,2486 (24,86%). Tabela 1 z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,6

0,07

0,08

0,09

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ →

→

→

→

→

→

→

0,2486

0,7 0,8

E X E R C Í C I O S (valor de z na Tabela 1) 1. Encontre a área de probabilidade (Tabela 1) para os seguintes valores do coeficiente z: a) z = 2,14 b) z = – 0,70

2. Encontre o valor de z (Tabela 1) correspondente às seguintes áreas de probabilidade: a) 38,88% b) 49,5%

Respostas: 1. a) 0,4838 (48,38%); b) 0,2580 (25,80%) 2. a) z = ± 1,22;b) z = ± 2,58 117

A PL I C A Ç Õ E S (distribuição normal)

1. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determine quantos estudantes pesam:

a) Entre 60 e 77,5 kg. Solução: As medidas dos pesos x1 = 60 e x2 = 77,5 correspondem às seguintes unidades reduzidas ( z): z1

z2

= =

x1 − m σ

x2

−m σ

= =

60 − 75,5

= −2,066K ⇒ z1 = −2,07 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,4808 (48,08%)

7,5 77,5 − 75,5 7,5

= 0,266K ⇒ z2 = 0,27 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,1064 (10,64%)

Logo, a área de probabilidade é: 0,4808 + 0,1064 = 0,5872 (58,72%), ou seja, esperamos que 58,72% dos estudantes tenham um peso compreendido entre 60 e 77,5 kg. Portanto, o número esperado de estudantes desse grupo é: 500x0,5872 = 293,6 ≅ 294 estudantes.

b) Entre 81,2e 86 kg. Solução: As medidas dos pesos x1 = 81,2 e x2 = 86 correspondem às seguintes unidades reduzidas ( z): z1

=

x1 − m

z2

=

x2 − m

σ

σ

= =

81,2 − 75,5 7,5 86 − 75,5 7,5

= 0,76 ⇒ z1 = 0,76 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,2764 (27,64%)

= 1,40 ⇒ z2 = 1,40 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,4192 (41,92%)

Logo, a área de probabilidade é: 0,4192 – 0,2764 = 0,1428 (14,28%). Portanto, o número esperado é: 500x0,1428 = 71,4 ≅ 71 estudantes com peso entre 81,2 e 86 kg. 118

c) Entre 68,2 e 72,6 kg. Solução: As medidas dos pesos x1 = 68,2 e x2 = 72,6 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): x − m 68,2 − 75,5 = = −0,9733K ⇒ z1 = −0,97 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,3340 z1 = 1 z2

=

σ

7,5

x2 − m

72,6 − 75,5

σ

=

7,5

= −0,3866K ⇒ z2 = −0,39 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,1517

Logo, a área de probabilidade é: 0,3340 – 0,1517 = 0,1823 (18,23%). Portanto, o número esperado é: 500x0,1823 = 91,15 ≅ 91 estudantes com peso entre 68,2 e 72,6 kg.

d) Acima de 83,7 kg. Solução: A medida do peso x = 83,7 corresponde à seguinte unidade reduzida ( z): z

=

x−m σ

=

83,7 − 75,5 7,5

= 1,0933K ⇒ z = 1,09 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,3621

Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) – 0,3621 = 0,1379. Portanto, o número esperado é: 500x0,1379 = 68,95 ≅ 69 estudantes com peso acima de 83,7 kg.

e) Acima de 69 kg. Solução: A medida do peso x = 69 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): x − m 69 − 75,5 z= = = −0,8666K ⇒ z = −0,87 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,3078 σ

7,5

Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) + 0,3078 = 0,8078. Portanto, o número esperado é: 500x0,8078 = 403,9 ≅ 404 estudantes com peso acima de 69 kg. 119

f) Inferior a 85,6 kg. Solução: A medida do peso x = 85,6 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): x − m 85,6 − 75,5 z= = = 1,3466 K ⇒ z = 1,35 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,4115 σ

7,5

Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) + 0,4115 = 0,9115. Portanto, o número esperado é: 500x0,9115 = 455,75 ≅ 456 estudantes com peso abaixo de 85,6 kg.

g) Abaixo de 71,5 kg. Solução: A medida do peso x = 71,5 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): x − m 71,5 − 75,5 z= = = −0,5333K ⇒ z = −0,53 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,2019 σ

7,5

Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) – 0,2019 = 0,2981. Portanto, o número esperado é: 500x0,2981 = 149,05 ≅ 149 estudantes com peso inferior a 71,5 kg. 2. Um levantamento feito nos EUA revelou que um adulto tem média de 175 cm de altura. Assumindo que o desvio padrão seja de 8 cm, determine: a) A probabilidade de que um adulto aleatoriamente escolhido tenha altura entre 160 cm e 170 cm. Solução: As medidas das alturas x1 = 160 e x2 = 170 correspondem às seguintes unidades reduzidas ( z): z1

=

z2

=

−m

x1

=

σ

x2

−m σ

=

160 − 175 8

170 − 175 8

= −1,875 ⇒ z1 = − 1,88 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,4699 (46,99%). = −0,625 ⇒ z 2 = −0,62 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,2324 (23,24%).

Logo, a área de probabilidade é: 0,4699 – 0,2324 = 0,2375 (23,75%). b) A probabilidade de que um adulto aleatoriamente escolhido tenha altura superior a 185 cm Solução: A medida da altura x = 185 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): z=

x−m σ

=

185−175 8

= 1,25 ⇒ z = 1,25 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,3944 (39,44%).

Logo, a área de probabilidade é: 0,5 – 0,3944 = 0,1056 (10,56%). 120

c) Para os 4% de adultos mais altos, que altura representa? Solução: P = 0,5 (50%) – 0,04 (4%) = 0,46 (46%) ⇒ z = 1,76 ⇒ z = x − m ⇒ 1,76 = x − 175 ⇒ σ

⇒ 1,76 ⋅ 8 = x − 175 ⇒ 14 = x − 175 ⇒ 14 + 175 = x ⇒ x = 189 cm

8

.

Portanto, esperamos que apenas 4% dos adultos tenham uma altura superior a 189 cm. d) Para os 2,5% de adultos mais baixos, que altura representa? Solução: x−m

P = 0,5 (50%) – 0,025 (2,5%) = 0,475 (47,5%) ⇒ z = −1,96 ⇒ z =

⇒ − 1,96 ⋅ 8 = x − 175 ⇒ −16 = x − 175 ⇒ −16 + 175 = x ⇒ x = 159 cm

σ

x − 175

⇒ −1,96 =

8

⇒

.

Portanto, esperamos que apenas 2,5% dos adultos tenham uma altura inferior a 159 cm. 3.

Um fabricante de certo tipo de forno elétrico, sabe, por longa experiência, que o desvio padrão da vida útil de seus fornos é de 250 dias. Uma amostra aleatória de 2.000 fornos apresentou uma vida útil média de 1.000 dias e desvio padrão de 250 dias. Sabendo que o fabricante oferece uma garantia de 1 ano (365 dias), determine:

a) A porcentagem de fornos que espera consertar (ou trocar) durante o período de garantia dado. Solução: A medida da garantia x = 365 dias corresponde à seguinte unidade reduzida ( z): x−m z

=

σ

365 − 1000

=

250

= −2,54 ⇒ z = −2,54 , que corresponde, na Tabela 1, a 0,4945.

Logo, a área de probabilidade é: 0,5 – 0,4945 = 0,0055 (0,55%) , ou seja, o fabricante espera que 0,55% dos fornos apresentem algum tipo de defeito durante o período de garantia. b) O número de fornos dessa amostra que o fabricante espera trocar (ou consertar) durante o período de garantia. Solução: O número esperado de fornos que poderão apresentar algum tipo de defeito é: 2000x0,0055 = 11 fornos, ou seja, o fabricante espera que 11 fornos deverão ser trocados (ou consertados) no período de garantia de 1 ano. c) O número de fornos dessa amostra que o fabricante espera trocar se ele oferecer uma garantia extra (estendida) de mais um ano, ou seja, durante os dois anos de garantia. Solução: z

=

x−m σ

=

730 − 1000 250

= −1,08 ⇒ z = −1,08, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3599, portanto a área de

probabilidade para troca ou conserto do forno é: 0,5 – 0,3599 = 0,1401 (14,01%). Logo, o fabricante espera trocar ou consertar: 2000x0,1401 = 280 fornos dessa amostra de 2.000 fornos. 121

E X E R C Í C I O S (distribuição normal) Os prazos de substituição de aparelhos de TV de determinada marca e modelo têm distribuição normal com média 8,2 anos e desvio padrão de 1,1 ano. Determine a probabilidade de um aparelho de TV selecionado aleatoriamente acusar um tempo de substituição: a) Inferior a 7 anos. 1.

b) Entre 7,6 e 9,1 anos.

c) Superior a 7,3 anos.

d) Entre 8,5 e 9,5 anos.

e) Inferior a 10 anos.

122

f) Entre 6,6 e 7,7 anos.

g) Superior a 9,2 anos.

2.

No exercício 1, se a média de 8,2 anos e o desvio padrão de 1,1 ano tivessem sido obtidos de uma amostra de 600 aparelhos de TV, determine o número esperado de aparelhos dessa amostra com as respectivas probabilidades encontradas nas letras a), c) e d).

3.

No exercício 1, determine o tempo máximo de uso desse aparelhos de TV, no qual apenas 1% deles terão que ser substituídos.

4.

No exercício 1, determine o tempo mínimo de uso desse aparelhos de TV, no qual apenas 2% deles terão a maior durabilidade.

123

5. As máquinas que vendem refrigerantes em latas (ou outros produtos), são fabricadas de modo que seus proprietários possam ajustam os pesos das moedas para tentar rejeitar as moedas falsas. Supondo que as moedas tenham pesos distribuídos normalmente, com média 5,67 g (gramas) e desvio padrão 0,070 g . Determine a probabilidade de que uma dessas máquinas, escolhida aleatoriamente, possa rejeitar moedas verdadeiras que pesem menos de 5,50 g ou mais de 5,80 g.

6. Certo tipo de cimento tem resistência à compressão com média de 5.800 kg/cm² e desvio padrão de 180 kg/cm², segundo uma distribuição normal. Dada uma amostra desse cimento, determine a probabilidade de a resistência: a) Ser inferior a 5.600 kg/cm².

b) Ficar entre 5.600 e 5.950 kg/cm².

Certo tipo de monitor de computador produzido por uma companhia tem uma vida útil média de 1.500 horas, com um desvio padrão de 100 horas. Determine a probabilidade de que um monitor escolhido aleatoriamente tenha vida útil compreendida: a) Entre 1.450 e 1.650 horas. 7.

b) Inferior a 1.620 horas.

124

c) Entre 1.350 e 1.420 horas.

d) Acima de 1.580 horas.

e) Entre 1.550 e 1.700 horas.

f) Abaixo de 1.340 horas.

g) Acima de 1.430 horas.

h) Se a amostra fosse constituída de 400 monitores, qual seria a quantidade esperada de monitores nos itens a), d) e f)?

125

Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determine a quantidade esperada de lâmpadas que durarão: a) Menos de 500 horas. 8.

b) Mais de 700 horas.

c) Entre 516 e 814 horas.

9. Um laboratório verificou que certo composto químico apresentou um tempo médio de reação de 408 segundos. Sabendo que o desvio padrão do tempo de reação desse composto é de 100 segundos, determine o tempo previsto: a) Para que apenas 0,2% dos compostos tenham uma reação mais rápida.

b) Somente 1% dos compostos tenham maior tempo de reação.

126

10. Determinado tipo de cabo de aço suporta um peso médio de 380 kg. Sabendo que o desvio padrão dos pesos que esses cabos suportam é igual a 65 kg, determine: a) O peso no qual somente 3% desses cabos suportarão uma carga superior a esse peso.

b) O peso máximo que apenas 1% dos cabos desse tipo suporta.

11. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa máquina é 0,502 polegada e o desvio padrão e 0,005 polegada. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegada. Admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente, determine: a) A percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina.

b) O número esperado de arruelas boas dessa amostra.

12. Certo tipo de piso cerâmico apresenta uma absorção de água com média 2,5% e desvio padrão 0,6%. Supondo que essa distribuição pode ser considerada normal, determine a probabilidade de que uma unidade desse piso aleatoriamente escolhida tenha absorção de água entre 2% e 3,5%.

Respostas: 1. a) 0,1379 (13,79%); b) 0,5027 (50,27%); c) 0,7939 (79,39%); d) 0,2746 (27,46%); e) 0,9495 (94,95%); f) 0,2529 (25,29%); g) 0,1814 (18,14%) 2. a) 83 aparelhos de TV; c) 476 aparelhos de TV; d) 165 aparelhos de TV 3. 5,6 anos 4. 10,5 anos 5. 0,0389 (3,89%) 6. a) 0,1335 (13,35%); b) 0,6632 (66,32%) 7. a) 0,6247 (62,47%); b) 0,8849 (88,49%); c) 0,1451 (14,51%); d) 0,2119 (21,19%); e) 0,2857 (28,57%); f) 0,0548 (5,48%); g) 0,7580 (75,8%); h) item a): 250 monitores; item d): 85 monitores; item f): 22 monitores 8. a) 1 lâmpada; b) 841 lâmpadas; c) 553 lâmpadas 9. a) 120 s; b) 641 s 10. a) 503 kg; b) 229 kg 11. a) 0,2302 (23,02%); b) 154 arruelas 12. 0,7492 (74,92%) 127

I NF ER ÊN CI A

E ST AT ÍST IC A

(3º ramo da Estatística) O objetivo da Estatística é de conhecer populações por meio das informações amostrais. Para encontrar os parâmetros típicos das populações (média, desvio padrão e proporção), utilizamos os seguintes métodos para realizar inferências (estimativas) a respeito desses parâmetros: o da estimação e os testes de hipóteses, os quais estudaremos a seguir.

AMOSTRAGEM A amostragem é o ato ou processo de seleção ou extração de amostras de uma população. Quando recebemos um copo de um novo tipo de refresco num supermercado e em seguida vamos decidir pela compra do produto, ou então ouvimos alguns trechos das músicas de um novo CD para então decidir se o compramos ou não, estamos, na verdade, fazendo amostragem. A amostragem é parte integrante da vida cotidiana. Como poderíamos obter muita informação sobre outras pessoas a não ser mediante amostragem daquelas que nos cercam? Poderíamos, por exemplo , eventualmente discutir problemas políticos com outros estudantes, para sondar a postura geral dos estudantes em relação às suas opiniões políticas; ou poderíamos tentar determinar como nossos colegas de turmas estão estudando para determinado exame contatando de antemão apenas uns poucos elementos da classe; poderíamos até investir no mercado de ações após constatar que uma pequena amostra de associados ganhou dinheiro em investimentos. A amostragem é probabilística quando cada unidade amostral na população tem uma probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. De outra forma, dizemos que a amostragem é não probabilística . A estatística resume uma característica da amostra; o parâmetro resume uma característica da população.

A finalidade da amostragem é obter uma indicação do valor de um ou mais parâmetros de uma população, tais como a média, o desvio padrão ou a proporção de itens que possuem determinada característica. A probabilidade e a amostragem estão intimamente ligadas formando o fundamento da teoria da amostragem, que é um estudo das relações existentes entre uma população e as amostras dela extraídas.

Métodos de amostragem probabilística Uma amostra aleatória ou probabilística é constituída por n unidades retiradas ao acaso da população, ou seja, por sorteio, o qual pode ser feito com papeizinhos em uma caixa, ou bolas em uma urna, ou por computador, que é muito prático nos dias de hoje. Os métodos para obtenção de uma amostra probabilística são:

(1) Amostragem Aleatória Simples Há vários métodos para se extrair uma amostra de uma população. A maneira mais fácil, e talvez a mais importante, para selecionarmos uma amostra probabilística de uma população é através da amostragem aleatória simples, a qual exige que cada elemento da população tenha a mesma chance de que todos os outros elementos da população de pertencer a essa amostra. 128

Exemplo: Imagine que você quer obter uma amostra de 2% dos 500 pacientes de uma clínica para entrevistá-los sobre a qualidade de atendimento da secretária. Qual seria o procedimento? Solução: 2% de 500 é igual a 10 pacientes. Um modo é escrever o nome de cada um dos 500 pacientes em um pedaço de papel, colocando-os em uma caixa, misturando-os bem, e sortear os 10 pacientes, retirando um de cada vez. Outra forma de obter essa amostra aleatória simples é fazer uma lista desses 500 pacientes numerando-os de 001 a 500 e, em seguida, utilizar uma tabela de números aleatórios (existem várias tabelas desse tipo). Obs.: Esse mesmo exemplo dos 500 pacientes poderia ser o de uma população de: • 500 assinantes de um jornal, para saber qual o assunto de maior interesse • 500 associados de um clube, para saber qual o esporte de sua preferência • 500 funcionários de uma empresa, para saber a opinião sobre a qualidade da refeição etc.

(2) Amostragem Sistemática É semelhante à amostragem aleatória simples. Requer uma lista dos itens da população (finita), escolhendo-se cada k-ésimo item da lista (k = N/n, N = tamanho da população e n = tamanho da amostra), a partir de um primeiro elemento que é obtido por sorteio ou através de uma tabela de números aleatórios. Exemplo: Se você quer entrevistar 2% dos 500 funcionários (isto é, 10 funcionários) de uma empresa para saber sobre a qualidade da refeição servida, você pode dividir 500 por 10, e obter 50. Sorteie um número entre 1 e 50, inclusive. Se der 15, por exemplo, então o 15º funcionário da lista geral será o primeiro a ser entrevistado. Em seguida, some 15 com 50 para obter 65, isto é, o 65º funcionário será o segundo a ser entrevistado. Somando 65 com 50, obtemos 115, ou seja, o 115º funcionário será o próximo entrevistado, e assim por diante. A amostragem sistemática é muito útil quando se trata de amostrar uma população que vai se completando ao longo do ano ou de um período. É o caso de óbitos (por acidentes, por doenças etc.); satisfação dos clientes de uma loja ou de um restaurante, peças produzidas por uma máquina etc. Uma das vantagens desta estratégia é a economia de tempo, no sentido de que a pesquisa pode começar de imediato; outra é que evitamos acessar registros de dados que podem não estar disponíveis, problemas de memória etc.

(3) Amostragem Estratificada É um processo que consiste em dividir uma população em, no mínimo, duas subpopulações (ou estratos) que compartilham das mesmas características (por exemplo, sexo) e, em seguida, extraímos uma amostra (proporcional) de cada estrato. Exemplo: Se um clube tem 1.000 associados, sendo 600 homens e 400 mulheres, e você quer obter uma amostra de 2% desses associados (ou seja, 20 associados) para saber o tipo de esporte de sua preferência, basta sortear 2% dos homens (12 associados) e 2% das mulheres (8 sócias).

(4) Amostragem por Conglomerados Neste caso, a população é dividida em seções (ou conglomerados); em seguida escolhemos algumas dessas seções e, finalmente, tomamos todos os elementos das seções escolhidas . Exemplo: Um dentista de uma cidade quer levantar dados sobre a necessidade de aparelho ortodôntico em crianças de 12 anos. Ele pode, por exemplo, sortear três escolas do ensino fundamental (conglomerados) dessa cidade e examinar todas as crianças com 12 anos dessas escolas. Obs.: Uma diferença entre a amostragem por conglomerados e a amostragem estratificada é que a amostragem por conglomerados utiliza todos os elementos dos conglomerados selecionados, enquanto que a amostragem estratificada utiliza uma amostra de elementos de cada estrato. 129

Métodos de amostragem não probabilística Neste método de amostragem, o pesquisador vai direto aos elementos que possuem a característica que ele quer verificar, eliminando os outros considerados inconvenientes. Por exemplo , uma agência de publicidade, querendo criar uma propaganda de um sabonete da marca X, pode lançar uma pesquisa prévia para detectar o(s) motivo(s) preferencial(is) pela compra desse sabonete, tais como, preço baixo, cor que combina com o banheiro, suavidade refrescante, sabonete usado por artistas etc.). Detectado o motivo principal, a agência de publicidade cria o anúncio em cima dessa ideia, prevendo assim um reforço nas vendas do produto. É claro que essa pesquisa deve ser feita com quem usa esse sabonete, ou seja, os consumidores dessa marca de sabonete é que deverão compor a amostra (quem não usa esse sabonete não saberá opinar).

(1) Amostragem por Julgamento Os elementos são selecionados para a amostra com base no julgamento da pessoa que faz o estudo . Nesse tipo de amostragem podemos usar a lógica, o bom senso ou um julgamento bem fundamentado para selecionar uma amostra que seja representativa de uma população maior. Nessa abordagem, a pessoa mais conhecedora do assunto do estudo seleciona elementos da população que ele(a) sente que sejam os mais representativos da população. Com frequência, esse método é um modo relativamente fácil de selecionar uma amostra, porém, não se presta a qualquer tipo de avaliação estatística formal. Exemplos a)

Se você foi incumbido de entrevistar 30 homens com mais de 50 anos e que recebam mais de 6 e menos de 10 salários mínimos. Então, você deverá julgar, pela aparência da pessoa, se ela se enquadra nas características descritas. Se achar que viu a pessoa certa , deve fazer a abordagem e depois confirmar as características com perguntas. O número de pessoas depende do número delas na população (quotas).

b) Um repórter pode amostrar dois ou três senadores, julgando que eles refletem a opinião geral de todos os senadores. No entanto, a qualidade dos resultados da amostra depende do julgamento da pessoa que seleciona a amostra. Também, neste caso, exige-se grande cuidado ao tirar as conclusões baseadas nas amostras de julgamento usadas para fazer inferências (isto é, tirar conclusões) sobre as populações. c) Para extrair uma amostra por julgamento de revistas que reflitam os valores da classe média, poderíamos, em um nível intuitivo, selecionar Veja, Época, Seleções Reader’s Digest, entre outras, porque os artigos dessas revistas parecem retratar o que a maioria das pessoas de classe média deseja. d)

Voluntários, tais como indivíduos doadores de sangue, ensaios clínicos para teste de novos medicamentos.

130

(2) Amostragem por Conveniência (ou Intencional) Na amostragem por conveniência, os elementos são selecionados para a amostra com base na conveniência do pesquisador. É um método bastante simples e prático, embora destituído de rigor estatístico. Neste método, simplesmente utilizamos resultados que já estão disponíveis, ou seja, são fáceis de se coletar. Exemplos a) A entrevista com conveniência.

transeuntes constitui o exemplo clássico da amostragem não probabilística por

b) Um professor que realiza uma pesquisa em uma universidade pode usar estudantes voluntários para construir uma amostra simplesmente porque eles estão disponíveis e participarão como indivíduos por um pequeno custo ou sem custo algum, ou seja, se um professor está usando alunos de sua classe (são os alunos que estão ao seu alcance) como amostra de toda a universidade está usando uma amostra de conveniência. Por exemplo , se ele quiser fazer uma pesquisa sobre pessoas canhotas. c) Pesquisa com pessoas que moram no mesmo edifício em que o pesquisador mora, ou que façam compras no mesmo supermercado, ou que talvez residam no mesmo bairro. d)

Um inspetor pode amostrar o embarque de laranjas selecionando as laranjas a esmo entre vários engradados. Rotular cada laranja e usar o método de probabilidade de amostragem seria impraticável.

e)

Exemplo prático: Um(a) nutricionista que entrevistar 50 mães de crianças com idade de 3 a 4 anos para conhecer os hábitos alimentares dessas crianças. Como obteria essa amostra?

Solução: Se o(a) nutricionista trabalha em uma escola, para obter essa amostra, provavelmente procurará as mães de crianças matriculadas nessa escola. UM ALERTA: Se uma emissora de TV quiser fazer uma pesquisa com os espectadores que liguem para um número de telefone “0800” para registrar suas opiniões, poderia ser muito conveniente (e talvez até lucrativo), mas essa pesquisa seria autosselecionada e os resultados seriam provavelmente tendenciosos . IMPORTANTE: A recomendação para que os resultados da amostra se aproximem das características da população em estudo, é que sejam utilizados os métodos da amostragem probabilística, pois uma amostragem de excelência não pode ser feita com base em amostragem de conveniência ou de julgamento. Assim, deve-se tomar muito cuidado na interpretação dos resultados quando métodos de amostragem não probabilística são usados. ERRO AMOSTRAL: Um erro amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacional, sendo que tais erros resultam de flutuações amostrais aleatórias. 131

D i st r ib u i çã o a mo s tr a l Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido a variações casuais na amostragem aleatória. Na prática, as distribuições amostrais são deduzidas matematicamente e colocadas à disposição dos analistas sob forma de tabelas e gráficos. Duas das distribuições amostrais mais usadas são a binomial e a normal (de GAUSS). Um fato importante é que a média da distribuição amostral é igual a média populacional.

Exemplo: Este fato ilustra bem o caso: Seja uma população composta de 3 valores (por exemplo , preços de um certo produto): 2, 3 e 7. A distribuição amostral se compõe de todas as amostras possíveis. Considerando todas as amostras de dois valores, as combinações são: 2 e 3, 2 e 7, 3 e 7, cujas médias amostrais são: m1

2 3 5 2 7 9 3 7 10 = + = ⇒ m1 = 2,5 ; m 2 = + = ⇒ m 2 = 4,5 e m3 = + = ⇒ m3 = 5 2

2

2

2

Assim, a média das três médias amostrais é: m = E a média da população é: M =

2+3+ 7 3

=

12 3

m1

+ m 2 + m3 3

=

2 2 2,5 + 4,5 + 5 3

⇒m=4

⇒M =4

Portanto, a média da distribuição amostral (ou valor esperado) = média da população. Observação: Se tivermos uma amostra de 4 elementos, por exemplo , 7, 10, 9 e 6, a média populacional será igual a 8 e a média das médias para todas as amostras com 2 elementos também será igual a 8, o mesmo acontecendo para as amostras com 3 elementos. Verifique!

ESTIMAÇÃO Um dos principais objetivos da inferência estatística consiste em estimar os valores das características da população com base nas características obtidas por meio de amostras (aleatórias). Dois são os principais problemas que a inferência estatística envolve: a estimação e o teste de hipóteses ou teste de significância (será visto mais adiante). A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacionais desconhecidos. Esses parâmetros são: a média, o desvio padrão e a proporção populacional (em porcentagem).

I nt er va lo s d e c on fi an ça Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) está associado a um grau de confiança (ou nível de confiança ou coeficiente de confiança) que é uma medida de nossa certeza de que o intervalo contém o parâmetro populacional. Se tomarmos uma amostra dos preços de certa mercadoria e a média for R$ 45,21, a nossa dúvida é a seguinte: Será que a nossa média (amostral) está muito próxima ou muito afastada da média da população? Como nunca saberemos ao certo, devemos contentar-nos com uma atribuição probabilística dada pelos intervalos de confiança.

T ip os d e e st im a t iv a s a)

Estimativa por pontos – quando é dada por um número único, isto é, por um único parâmetro populacional.

Obs.: A média amostral m é a melhor estimativa pontual da média populacional M. b) Estimativa por intervalos – ocorre quando é dada por dois números, entre os quais pode-se considerar que ele esteja situado. Exemplo: Se afirmarmos que o preço de certa mercadoria é de R$ 80,00, estamos fazendo uma estimativa por pontos. Agora, se dissermos que o preço é de R$ 80,00 ± R$ 5,00, ou seja, que o preço compreendido entre R$ 75,00 e R$ 85,00, temos uma estimativa por intervalo (isto é, dada por dois números). 132

ESTI MATIVA DE UMA MÉDI A POPUL ACIO NAL O método usado para estimar a média de uma população depende de sabermos se o desvio padrão da população é conhecido ou se deve ser estimado nos dados amostrais. Lembremos do fato de que se a amostra aumenta de valores, temos duas consequências: a média amostral se aproxima da média populacional e o desvio padrão da distribuição amostral diminui.

1º Caso: Estimativa da média quando o desvio padrão populacional é CONHECIDO: (A)

Estimativa pontual da média: m (é o próprio valor da média amostral)

(B)

Estimativa intervalar da média:

O intervalo de confiança da média populacional é dado pela fórmula: m± z⋅

σ

(I)

n

onde m = média amostral z = coeficiente de confiança desejado para ∝% (valor dado pela Tabela 1) σ

= desvio padrão populacional (ou estimativa)

n = nº de dados (preços) da amostra, isto é, tamanho da amostra

Intervalo de confiança m− z⋅

m

σ

n

m+ z⋅

σ

n

Assim, por exemplo , para uma confiança de ∝ = 95%, o intervalo de confiança para a verdadeira média populacional (M) será dado por: m ± 1,96 ⋅ intervalo de m − 1,96 ⋅

σ

n

a m + 1,96⋅

σ

n

σ

. Isto significa que 95% das médias amostrais devem estar no

n

,ou seja, esperamos que de cada 100 amostras do mesmo tipo, em 95

amostras as médias caiam dentro desse intervalo, ou seja, só 5% das amostras tenham média fora desse intervalo.

Observação: Devemos empregar este método para amostras com mais de 30 observações. Para 30 ou menos observações, a amostra deve ser considerada normal (ou aproximadamente normal).

133

IMPORTANTE: Para a determinação dos intervalos de confiança das médias populacionais , precisaremos utilizar os valores dos coeficientes z e t os quais são dados pelas Tabelas 1 e 2, respectivamente, empregando-se o conceito do teste bilateral, pelo fato de que a média amostral pode ser maior ou menor do que a média real .

Interpretação do intervalo de confiança: Um intervalo de 95% de confiança para a média nos diz que, a longo prazo, 95% desses intervalos conteriam efetivamente a média populacional M, isto é, de cada 100 intervalos de confiança, 95 deles conteriam a verdadeira média populacional. É errado dizer que há 95% de chance da verdadeira média populacional M estar no intervalo encontrado.

Fatores que influem na amplitude de um intervalo de confiança

Observando a fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, podemos ver que os fatores que influem na amplitude do intervalo são:

a) Coeficiente de confiança (z): Se aumentar o valor de z (correspondente à porcentagem dada por ∝), o intervalo de confiança também aumenta (o z está no numerador). b) Tamanho da amostra (n): Se aumentar o tamanho da amostra, o intervalo de confiança diminui (n está no denominador).

c) Dispersão da população (σ ): Se aumentar o valor de σ (desvio padrão populacional), o intervalo de confiança também aumenta (σ está no numerador).

REGRA DO ARREDONDAMENTO Para os INTERVALOS DE CONFIANÇA usados para estimar a MÉDIA POPULACIONAL, utilizar uma casa decimal a mais das que foram usadas para a média amostral (exceto quando se tratar de valor monetário).

134

Valor do coeficiente z (para intervalos de confiança) EXEMPLO Na Tabela 1, encontre o valor do coeficiente z correspondente ao nível de 98% de confiança para construir um intervalo de confiança para a média populacional. Solução: Para encontrar o valor de z na Tabela 1 correspondente ao nível de confiança desejado

na estimativa de uma média populacional, procedemos da seguinte forma:

Para uma confiança de 98% , devemos procurar na Tabela 1 a área corresponde à meia curva, ou seja, 49% (isto porque a verdadeira média populacional pode localizar-se tanto à esquerda da média amostral como à direita, ou seja, se queremos uma área de 98% de confiança, devemos considerar uma área de 49% à esquerda da média amostral e outra de 49% à direita). Na Tabela 1, uma área de 49% corresponde, em número decimal, com quatro casas decimais, a 0,4900. Como o valor exato desse número decimal não se encontra na Tabela 1, devemos considerar o próximo número superior a esse valor, que é o 0,4901 . Percorrendo a linha em que se localiza este último número, encontramos, na lateral esquerda, o valor 2,3 (na coluna z), e na parte superior da coluna desse número, o valor 0,03, logo o valor procurado de z é: 2,33 (veja o esquema (parte da Tabela 1) e a figura abaixo). z

0,00

0,01

0,02

←

←

←

0,0

2,2 2,2 2,3 2,4

0,03 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 0,4901

0,04

Portanto, os valores críticos de z são: ± 2,33.

EXERCÍCIO Encontre os valores críticos do coeficiente z para construir um intervalo de ∝% de confiança para a média populacional, quando: 90%

a)

∝=

c)

∝ = 95%

99%

b)

∝=

d)

∝ = 80%

Respostas: a) z = ± 1,65; b) z = ± 2,58; c) z = ± 1,96; d) z = ± 1,29 135

E X E M P L O S (de intervalo de confiança usando a Tabela 1) 1. Uma amostra aleatória de 60 unidades de certo produto químico apresentou preço médio, por kg, de R$ 45,21. Determine um intervalo de ∝% de confiança para a média populacional do preço desse produto, sabendo que o desvio padrão populacional é R$ 6,32, sendo:

a) ∝ = 90% Solução: Orientação para a determinação do intervalo de confiança solicitado: • • • • •

(1): Dados (2): Tabela, coeficiente de confiança, e desenho (opcional ) da curva normal (3): Fórmula (4): Calculo dos limites do intervalo de confiança (5): Conclusão

(1) Dados: m = 45,21 (média amostral) n = 60 (tamanho da amostra) σ = 6,32 (desvio padrão populacional)

∝ = 90% (nível de confiança) (2) Tabela e Coeficiente de Confiança: Como o desvio padrão populacional é conhecido, devemos utilizar a Tabela 1 (Tabela z): Para 90% de confiança, o valor de z é: z = 1,65.

(3) Fórmula: Para a determinação do intervalo de confiança desejado, utilizar a fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

(4) Cálculo dos limites do intervalo de confiança: m± z⋅

σ

n

⇒ 45,21 ± 1,65 ⋅

6,32

⇒ 45,21 ± 1,35 ⇒ de (45,21 – 1,35) a (45,21 + 1,35) ⇒ de 43,86 a 46,56.

60

(5) Conclusão (resposta): Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média populacional do preço desse produto, por kg, é de R$ 43,86 a R$ 46,56, isto é, esperamos que 90% das médias amostrais fiquem nesse intervalo de preços. 136

b) ∝ = 95% Solução:

Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 45,21 ± 1,96 ⋅ 6,32 ⇒ 45,21 ± 1,60 ⇒ de 43,61 a 46,81. 60

Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média populacional do preço desse produto, por kg, é de R$ 43,61 a R$ 46,81.

c) ∝ = 99% Solução:

Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 45,21 ± 2,58 ⋅ 6,32 ⇒ 45,21 ± 2,11 ⇒ de 43,10 a 47,32. 60

Resposta: Portanto, o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média populacional do preço desse produto, por kg, é de R$ 43,10 a R$ 47,32. 2.

Uma amostra aleatória de 40 latas de cerveja de uma indústria de bebidas revelou uma quantidade média 347 ml de cerveja inserida nas latas. Admitindo-se que o desvio padrão é de 4 ml, construir um intervalo de

∝% de confiança para a verdadeira quantidade média de cerveja nas latas, sendo: a) ∝ = 95% Solução: Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 347 ± 1,96 ⋅ 4 ⇒ 347 ± 1,2 ⇒ de 345,8 a 348,2 ml. 40

Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira quantidade média de cerveja inserida nas latas é de 345,8 a 348,2 ml (ou seja, a quantidade média de cerveja nas latas é de 347 ml, com um erro de até 1,2 ml, para mais ou para menos). b) ∝ = 99% Solução: Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 347 ± 2,58 ⋅ 4 ⇒ 347 ± 1,6 ⇒ de 345,4 a 348,6 ml. 40

Resposta: Portanto, o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira quantidade média de cerveja inserida nas latas é de 345,4 a 348,6 ml. 137

E X E R C Í C I O S (intervalos de confiança – Tabela 1) 1.

Para m = 26,2 (média amostral); n = 85 (tamanho da amostra) e

σ

= 3,1 (desvio padrão populacional),

encontre os intervalos de ∝% de confiança para a verdadeira média populacional, sendo: a) ∝ = 80%

b) ∝ = 85%

c) ∝ = 95%

d) ∝ = 98%

138

2. As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, apresentaram uma média de 0,824 polegada. Por medições feitas anteriormente, sabe-se que o desvio padrão é de 0,042 polegada. Determine o intervalo de ∝% de confiança para o diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos produzidos por essa máquina, sendo: a) ∝ = 95%

b) ∝ = 99%

3.

Uma amostra aleatória constituída de 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou uma média de 7,38 kg. Sabendo-se que em medidas feitas anteriormente podemos considerar o desvio padrão como sendo 1,24 kg, determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio.

4. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas com vida útil distribuída aproximadamente normal, com desvio padrão de 42 horas. Se uma amostra aleatória de 35 lâmpadas apresentou vida útil média de 810 horas, determine um intervalo de confiança de 94% para a média populacional de todas as lâmpadas produzidas por essa indústria.

139

5. O rendimento de um processo químico está sendo estudado por uma engenheira química. Por experiências prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído e que o desvio padrão é igual a 3. Os últimos cinco dias de operação com esse processo resultaram nos seguintes percentuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. a) Calcule o rendimento médio desse processo nesse período.

b) Encontre o intervalo de 92% de confiança para o verdadeiro rendimento médio desse processo.

6. Um engenheiro civil está analisando a resistência à compressão do concreto. Sabe-se que a resistência do concreto é distribuída normalmente, com variância igual a 1.000 (psi)². Uma amostra aleatória de 12 corposde-prova apresentou uma resistência média à compressão de 3.250 psi. Construir um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira resistência média à compressão do concreto. (Lembrete: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância)

7. Em um estudo sobre a concentração de zinco em certo rio, um engenheiro ambiental tomou uma amostra aleatória desse material em 42 locações diferentes obtendo uma média de 2,5 g/ml (gramas por mililitro). Determine o intervalo de 93% de confiança para a média de concentração de zinco nesse rio. Assuma que o desvio padrão seja 0,3 g/ml.

Respostas: 1. a) 25,77 a 26,63; b) 25,72 a 26,68; c) 25,54 a 26,86; d) 25,42 a 26,98 2. a) 0,8182 a 0,8298 polegada; b) 0,8163 a 0,8317 polegada 3. 6,678 a 8,082 kg 4. 796,6 a 823,4 horas 5. a) 90,48; b) 88,119 a 92,841 6. 3228,7 a 3271,3 psi 7. 2,42 a 2,58 g/ml 140

Erro de estimação da média O erro num intervalo de estimação da média populacional ou margem de erro é a metade da amplitude do intervalo, ou seja, E

= z⋅

σ

n

(II)

que é o máximo do desvio (diferença) entre a média amostral e a verdadeira. E

=z⋅

σ

E

=z⋅

n m−z⋅

σ

n

m

σ

m+ z⋅

n

σ

n

Intervalo de confiança da média

Erro padrão da média O desvio padrão da distribuição amostral de média (chamado de erro padrão da média) é dado por: e

=

σ

n

(III)

onde σ = desvio padrão da população n = tamanho da amostra

E X E M P L O (erro de estimação e erro padrão) O tempo médio de secagem de uma amostra de 25 pinturas de certa marca de tinta látex foi de 4,7 horas. Suponha que as medidas representam uma amostra aleatória de uma população normal. Sabendo que o desvio padrão populacional é de 1,1 hora, determine: a) O tempo médio pontual de secagem dessa tinta. Resposta: O tempo médio pontual é o próprio tempo médio obtido na amostra , ou seja, 4,7 horas. b) O intervalo de 98% de confiança para o verdadeiro tempo médio de secagem dessa tinta. Solução: Dados: m = 4,7 horas (média amostral) σ = 1,1 hora (desvio padrão populacional) n = 25 (número de elementos da amostra) Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 4,7 ± 2,33⋅ 1,1 ⇒ 4,7 ± 0,51⇒ de 4,19 a 5,21 horas. 25

Resposta: Portanto, o intervalo de 98% de confiança para o verdadeiro tempo médio de secagem dessa tinta é de 4,19 a 5,21 horas. c)

o erro máximo de estimação da média populacional ou margem de erro para uma confiança de 90%.

Solução: Pela fórmula (II) E = z ⋅

σ

n

, temos: E = 1,65⋅ 1,1 ⇒ E = 0,36 , portanto, para uma confiança de 90%, o 25

erro de estimação do tempo médio de secagem dessa tinta é igual a 0,36 hora. d) o erro padrão da média do tempo de secagem dessa tinta. Solução: Pela fórmula (III) e =

σ

n

, temos: e = 1,1 ⇒ e = 0,22, portanto, o erro padrão da média é igual a 0,22 hora. 25

141

E X E R C Í C I O (erro de estimação e erro padrão) Certo tipo de máquina automática é usado por uma indústria para encher garrafas plásticas de detergente. Sabe-se que o processo é normalmente distribuído e que o desvio padrão é de 0,15 onça fluida. Selecionando-se aleatoriamente 18 garrafas da máquina, obteve-se volume médio de enchimento de 30,87 onças fluidas. Determine: a) O volume médio pontual de enchimento de detergente nas garrafas feitos por essa máquina.

b) O intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro volume médio de enchimento de detergente nas garrafas feitos por essa máquina.

Resposta: O intervalo de..........% de confiança para o verdadeiro volume médio de detergente nas garrafas é de.................a.................onças. c) Qual a margem de erro da letra b)?

d) O erro máximo de estimação do volume médio de enchimento de detergente nas garrafas da letra b), mas para uma confiança de 99%.

e) o erro padrão do volume médio de enchimento de detergente nas garrafas.

Resposta: a) 30,87 onças; b) 30,801 a 30,939 onças; c) 0,069 onça; d) 0,091 onça; e) 0,035 onça

Obs.: 1 onça = 28,691 g

.

142

Fator de correção para população finita Quando a população é finita e a amostra é superior a 5% da população, devemos aplicar o seguinte fator de correção para população finita para modificar os desvios padrões das fórmulas:

N −n

(IV)

N −1

onde N = número de elementos da população n = número de elementos da amostra

Estimativa da média populacional utilizando o fator de correção finita (quando o desvio padrão populacional é CONHECIDO) Para estimar uma média populacional quando a população é finita

e a amostra é superior a 5% da

população , devemos utilizar a seguinte fórmula (sendo o desvio padrão populacional conhecido):

m± z⋅

σ

⋅

n

N −n N −1

(V)

Erro de estimação da média utilizando o fator de correção finita O erro de estimação da média populacional, quando a população é finita e a amostra é superior a 5%, é dado por:

E = z⋅

σ

⋅

n

N N

−n −1

(VI)

Erro padrão da média utilizando o fator de correção finita O erro padrão da média populacional, quando a população é finita e a amostra é superior a 5%, é dado por:

e=

σ

n

⋅

N N

−n −1

(VII) 143

E X E M P L O S (estimativa da média com fator de correção) 1.

De um lote completo de N rolamentos esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, foi retirada uma amostra aleatória de 200 rolamentos e, em seguida, foram medidos os diâmetros dessas peças, os quais apresentaram a média de 0,824 polegada. Por medições feitas anteriormente, sabe-se que o desvio padrão é de 0,042 polegada. Determine os limites de 90% de confiança, para o verdadeiro diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos desse lote, produzidos por essa máquina, quando:

a) N = 2.000 Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é n ⋅ 100 = 200 ⋅ 100 = 10% > 5% , então 2.000

N

devemos usar o fator de correção finita . Pela fórmula (V) m ± z ⋅ 0,824±1,65⋅

0,042

⋅

200

2.000− 200 2.000−1

σ

⋅

N −n

n

, temos:

N −1

⇒ 0,824± 0,0046⇒ de 0,8194 a 0,8286 polegada.

Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para o verdadeiro diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos desse lote, produzidos por essa máquina, é de 0,8194 a 0,8286 polegada. b) N = 5.000 Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é n ⋅100 = 200 ⋅100 = 4% < 5% , então não N

devemos usar o fator de correção finita . Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅ 0,824

± 1,65 ⋅

0 ,042 200

σ

n

5.000

, temos:

⇒ 0,824 ± 0, 0049 ⇒ de 0,8191 a 0,8289 polegada.

Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para o verdadeiro diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos desse lote, produzidos por essa máquina, é de 0,8191 a 0,8289 polegada. 2.

No exemplo 1. a), determine o erro máximo de estimação da média . σ

Solução: Pela fórmula (VI) E = z ⋅

⋅

n

3.

, temos: E = 1,65 ⋅ 0,042 ⋅ 2.000 − 200 ⇒ E = 0,0046 polegada. 2.000 − 1 200

σ

n

, temos: E = 1,65 ⋅ 0,042 ⇒ E = 0,0049 polegada. 200

No exemplo 1. a), determine o erro padrão da média.

Solução: Pela fórmula (VII) e =

σ

n

5.

N −1

No exemplo 1. b), determine o erro máximo de estimação da média.

Solução: Pela fórmula (II) E = z ⋅ 4.

N −n

⋅

N −n N −1

, temos: e =

0,042 200

⋅

2.000 − 200 2.000 − 1

⇒ e = 0,0028 polegada.

No exemplo 1. b), determine o erro padrão da média .

Solução: Pela fórmula (III) e =

σ

n

, temos: e = 0,042 ⇒ e = 0,0030 polegada. 200

6. Por que os resultados dos exemplos 4 e 5 são diferentes? Resposta: O erro padrão da média encontrado no exemplo 4 é menor que o do exemplo 5, pois no exemplo 4, foi utilizado o fator de correção para obtenção do erro padrão da média, pelo fato de que o tamanho da amostra em relação à população é igual a 10%, que é superior aos 5% estabelecidos em Estatística, enquanto que no exemplo 5, não foi utilizado o fator de correção, pois o tamanho da amostra em relação à população é igual a 4%, que não é superior a 5%. 144

E X E R C Í C I O S (estimativa da média com fator de correção) 1. Uma indústria que tem N empregados deseja verificar o grau de satisfação em relação à qualidade das refeições servidas no refeitório por uma nova empresa recentemente contratada. Para tanto, tomou uma amostra aleatória de 80 empregados aleatoriamente escolhidos e, numa escala de 0 a 10, o grau de satisfação recebeu nota média 6,4. Sabendo que o desvio padrão é de 2,2, construir um intervalo de 90% de confiança para a nota média satisfação de todos os funcionários dessa indústria, sendo: a) N = 1.465

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . b) N = 2.748

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . 2.

No exercício 1. a), determine o erro máximo de estimação da média.

3.

No exercício 1. b), determine o erro máximo de estimação da média .

4.

No exercício 1. a), determine o erro padrão da média.

5.

No exercício 1. b), determine o erro padrão da média.

Respostas: 1. a) 6,01 a 6,79; b) 5,99 a 6,81; 2. 0,39; 3. 0,41; 4. 0,24; 5. 0,25 145

T A M A N H O D A A M O S T R A (n) (para estimativa da média populacional)

Quando desejamos obter uma amostra para estimar uma média populacional, a nossa primeira dúvida é saber o tamanho da amostra, isto é, o valor de n. Recordemos que o erro de estimação da média (fórmula IV ) é dado por: E

= z⋅

σ

n

⇒ n = z⋅

σ

 z ⋅σ    E 

⇒

E

Obs.: Para determinar o tamanho da amostra, utilizar SEMPRE o coeficiente z (Tabela 1)

2

n=

(VIII)

Note que o tamanho da amostra (n) não depende do tamanho da população (N); depende sim destas 3 condições: a) do grau de confiança desejado (z ); b) do desvio padrão populacional (σ ); c) do erro de estimação pretendido ou tolerável (E ).

REGRA DO ARREDONDAMENTO PARA O TAMANHO DA AMOSTRA Para o TAMANHO DA AMOSTRA (n), quando a fórmula não conduz a um número inteiro, considerar sempre o próximo inteiro mais elevado.

E X E M P L O S (tamanho da amostra) 1.

O engenheiro de controle e automação, responsável pela produção de uma indústria, precisa determinar o tempo médio gasto para perfurar cinco orifícios em uma placa de metal. Por experiência prévia, pode-se admitir desvio padrão em torno de 40 s (segundos). Com estimar um erroodetempo estimação 14 s e uma de 95%,umdetermine o tamanho da amostra necessário para médiodeamostral paraconfiança fazer as perfurações necessárias nessas placas. 2

2

 z ⋅σ   1,96 ⋅ 40   , temos: n =   = 31,36 ⇒  E   14 

Solução: Pela fórmula (VIII) n =  2.

n = 32 placas

..

Com os dados históricos sobre a temperatura do pasteurizador de um laticínio, sabe-se que a variância é de aproximadamente 1,8 (°C)². Planeja-se fazer uma amostragem para avaliar o valor médio da temperatura do pasteurizador. Suponha que as observações sejam feitas sob as mesmas condições e de forma independente. Qual deve ser o tamanho de amostra, para garantir um erro máximo de 0,3°C, com um nível de 90% de confiança?

2 2 2 z ⋅σ (1,65)2 ⋅1,8 z ⋅σ  = = 54,45 ⇒ n = 55 observações Solução: Pela fórmula (VIII) n =   , temos: n = 2 E (0,3)2  E 

3.

.

Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de serviço de atendimento a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo deve ser de 35 minutos para um nível de confiança de 95%, sabendo-se que o tempo de atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. É necessário supor a normalidade da população? 2

2

 z ⋅σ   1,96 ⋅ 60   , temos: n =   = 11,2896⇒  E   35 

Solução: Pela fórmula (VIII), temos: n = 

n = 12 observações

Importante: Como n = 12 ≤ 30, é necessário supor que a população tenha distribuição normal. 146

..

E X E R C Í C I O S (tamanho da amostra) 1.

Um analista do departamento pessoal deseja estimar o número médio de horas de treinamento anual para os chefes de uma divisão de uma grande companhia, com um fator de erro de 3 horas (para mais ou para menos) e com ∝% de confiança. Baseado em dados de outras divisões, ele estima o desvio padrão das horas de treinamento em σ = 20 horas. Determine o tamanho mínimo necessário da amostra quando:

a) ∝ = 98%

b) ∝ = 92%

c) ∝ = 90%

2.

Determine o tamanho da amostra de virabrequins de certo tipo de motor necessário para estimar a média de uma dimensão crítica, com um erro máximo de 0,020 mm e uma confiança de 95%, sabendo que o desvio padrão do processo de fabricação é igual a 0,060 mm.

3.

Um engenheiro industrial está interessado em estimar o tempo médio necessário para se montar uma placa de circuito impresso, com uma confiança de 96% e um erro máximo de 0,15 minuto. Qual deve ser o tamanho da amostra, sabendo que o desvio padrão do tempo de montagem é de 0,40 minuto?

Respostas: 1. a) 242 chefes; b) 138 chefes; c) 121 chefes 2. 35 virabrequins 3. 31 placas 147

TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÃO FINITA Quando desejamos obter uma amostra de uma população finita para estimar uma média populacional, o procedimento é idêntico ao utilizado para encontrar a fórmula anterior. Da fórmula (VI) E = z ⋅

σ

⋅

n

N −n N −1

, obtemos

n⋅E z ⋅σ

=

N −n N −1

. Elevando ao quadrado ambos os membros

dessa igualdade, temos: n ⋅ E² z² ⋅σ ²

=

N −n N −1

⇒ n ⋅ E ² ⋅ ( N −1) = ( N − n) ⋅ z ² ⋅σ ² ⇒ n ⋅ ( N −1) ⋅ E 2 = N ⋅ z ² ⋅σ ² − n ⋅ z 2 ⋅σ 2 ⇒

⇒ n ⋅ ( N − 1) ⋅ E 2 + n ⋅ z ² ⋅ σ ² = N ⋅ z ² ⋅ σ ² ⇒ n ⋅[( N − 1) ⋅ E 2 + n ⋅ z 2 ⋅σ 2 ] = N ⋅ z 2 ⋅ σ 2

Logo, n =

N ⋅ z² ⋅ σ ²

(IX)

( N − 1) ⋅ E ² + z ² ⋅ σ ²

onde, N = tamanho da população n = tamanho da amostra z=

grau de confiança desejado

= desvio padrão populacional E = erro de estimação pretendido ou tolerável σ

E X E M P L O (tamanho da amostra para população finita) Ao Porto de Santos chega um caminhão com 5.000 peças para exportação. Dado que o desvio padrão do comprimento dessas peças é de 3 mm, e sabendo que o comprador devolve os lotes fora das especificações, determine o tamanho mínimo da amostra de peças desse caminhão que se deve inspecionar para que, com uma confiança de 95%, se possa conhecer o comprimento médio dessas peças, com um erro inferior a 1 mm. Solução: Dados: N = 5.000 (tamanho da população ) z=

1,96 (grau de 95% de confiança)

= 3 mm (desvio padrão populacional) E = 1 mm (erro de estimação pretendido) σ

Pela fórmula (IX) n =

n=

N ⋅ z² ⋅ σ ² , temos: ( N − 1) ⋅ E ² + z ² ⋅ σ ²

5000 ⋅ (1,96)² ⋅ 3² (5000 − 1) ⋅ 1² + (1,96)² ⋅ 3²

⇒

172872 4999 + 34,5744

=

172872 5033,5744

148

= 34,34 ⇒ n = 35 peças

.

2º Caso: Estimativa da média quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO

INTRODUÇÃO Neste caso, que é o mais comum, substituímos o desvio padrão populacional σ pelo desvio padrão amostral s, que é uma boa aproximação do verdadeiro valor.

Pelo Teorema do Limite Central (ver enunciado abaixo) temos que, quando n > 30 , a distribuição das médias é aproximadamente normal (os coeficientes z são dados pela Tabela 1 ). Porém, se n ≤ 30 (n = número de elementos da amostra), devemos usar a distribuição t (de Student), que é o correto para o desvio padrão amostral s (os coeficientes t são dados pela Tabela 2). NOTA: Student é o pseudônimo de William S. Gosset (1876–1937), funcionário da Cervejaria irlandesa Guinness, no início do século XX, criador da distribuição t. A forma da distribuição t é muito parecida com a normal. A principal diferença entre as duas distribuições é que a distribuição t tem área maior nas caudas (ver figura abaixo).

T e o r e m a do L im i t e C e n t r a l À medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população. Na prática, a distribuição de amostragem da média pode ser considerada como aproximadamente normal sempre que o tamanho da amostra for n > 30.

Como usar a Tabela 2 (Tabela do coeficientet) Para encontrar os valores de t na Tabela 2 (Tabela t de Student), devemos conhecer duas coisas: 1ª) o nível de confiança desejado ( ∝%); 2ª) o número de graus de liberdade (gl = n – 1). 149

E X E M P L O S (valor de t na Tabela 2) Conhecendo-se apenas o desvio padrão amostral (s), determinar os valores críticos de t na Tabela 2 quando: n = 16 (tamanho da amostra) e 90% de confiança.

1.

Solução: Linha da tabela: n – 1 = 16 – 1 = 15 graus de liberdade (ou seja, linha 15 da tabela 2). Coluna da tabela: Como a confiança é de 90%, então a metade da diferença entre 100% e 90% é igual a 5%, e que corresponde à área no extremo de cada cauda da curva, logo devemos utilizar a coluna 0,05 (5%) da Tabela 2. Tabela 2 Graus liberd.

Área na cauda superior 0,10

0,05

1

↓

2

↓

3

↓

0,025

↓ ↓ ↓

14 15

↓ →

1,753

16

Portanto, a área de probabilidade de 5% situada no extremo de cada cauda da curva de probabilidade, corresponde aos seguintes valores críticos: t = ± 1,753 . Obs.: A área de probabilidade pode localizar-se à esquerda (o valor de t é negativo) ou à direita (o valor de t é positivo), de acordo com o nosso interesse. 2.

n = 10 (tamanho da amostra) e 95% de confiança.

Solução: Linha da tabela: n – 1 = 10 – 1 = 9 graus de liberdade (ou seja, linha 9 da tabela 2). Coluna da tabela: é a coluna 0,025 (correspondente a 2,5%), para uma confiança de 95% . Portanto, a área de probabilidade de 2,5% situada no extremo de cada cauda da curva de probabilidade, corresponde aos seguintes valores críticos: t = ± 2,262 . 150

E X E R C Í C I O (valor de t na Tabela 2) Encontre os valores críticos de t (Tabela 2) para a estimativa da média populacional, sendo conhecido o desvio padrão amostral ( s), quando: a) n = 25 e 90% de confiança.

b) n = 8 e 95% de confiança.

c) n = 19 e 80% de confiança.

d) n = 13 e 99,5% de confiança.

e) n = 16 e 99% de confiança.

f) n = 10 e 98% de confiança.

Respostas: a) t = ± 1,711; b) t = ± 2,365; c) t = ± 1,330; d) t = ± 3,428; e) t = ± 2,947; f) t = ± 2,821 151

Estimativa da média populacional (quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO)

1ª fórmula: A estimação da verdadeira média populacional

M, quando o tamanho da amostra é n ≤

30, a

média aritmética amostral é m, o desvio padrão populacional σ é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio padrão amostral s) e a população é normalmente distribuída, devemos usar a Tabela 2 (coeficiente t). A estimação da média será dada por:

s m±t⋅ n

(X)

(quando o desvio padrão populacional é desconhecido e n ≤ 30)

E X E M P L O S (intervalo de confiança usando a Tabela 2) 1.

Uma amostra aleatória constituída de 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou uma média de 7,38 kg e um desvio padrão de 1,24 kg. Determine um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio.

Solução: Como n ≤ 30 e o desvio padrão populacional ( σ ) é desconhecido, isto é, é conhecido o desvio padrão amostral (s), devemos utilizar a Tabela 2 (coeficiente t). Pela fórmula (X) m ± t ⋅

s n

, temos: 7 ,38 ± 2, 201 ⋅ 1, 24 ⇒ 7 ,38 ± 0,788 ⇒ de 6,592 a 8,168 kg. 12

Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio de algodão é de 6,592 a 8,168 kg.

2.

Uma fábrica de lâmpadas testou uma amostra aleatória de 8 lâmpadas, as quais apresentaram um vida útil média de 1.120 horas, com o desvio padrão de 125 horas. Determine um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas.

Solução: Pela fórmula (X) m ± t ⋅

s n

125

, temos: 1.120 ± 1,895 ⋅

de 1.036,3 a 1.203,7 horas.

8 ⇒ 1.120 ± 83,7 ⇒

Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas desse tipo produzidas por essa fábrica é de 1.036,3 e 1.203,7 horas.

152

2ª fórmula: Se o desvio padrão populacional é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio padrão amostral s) e o tamanho da amostra é n > 30, então o valor de t (Tabela 2) pode ser aproximado por z (Tabela 1). Por exemplo , para o grau de confiança de 95%, na Tabela 1 encontramos z = 1,96 e, na Tabela 2, encontramos t = 1,96 (para gl = ∞). Neste caso, devemos utilizar a seguinte fórmula para estimar a média populacional:

m± z⋅

s

(XI)

n

(quando o desvio padrão populacional é desconhecido e n > 30)

E X E M P L O (Intervalo de confiança usando a Tabela 1) Uma amostra aleatória constituída de 40 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou uma média de 7,38 kg e um desvio padrão de 1,24 kg. Determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio. Solução: Como n > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (coeficiente z). Pela fórmula (XI) m ± z ⋅

s n

, temos: 7,38 ± 1,96 ⋅ 1,24 ⇒ 7,38 ± 0,384 ⇒ de 6,996 a 7,764 kg 40

Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio de algodão é de 6,996 a 7,764 kg.

Estimativa da média populacional utilizando o fator de correção finita (quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO) Vimos anteriormente que quando a população (de tamanho N) é finita e a amostra (de tamanho n) é superior a 5% da população, devemos usar o fator de correção finita (fórmula IV). Assim, as fórmulas (X) e (XI) ficarão, respectivamente:

m±t ⋅

s

m± z⋅

s

⋅

n

n

⋅

N −n N −1

N −n N −1

(XII)

(utilizar quando o desvio padrão populacional é desconhecido , n ≤ 30, a população é finita e n é superior a 5% da população)

(XIII)

(utilizar quando o desvio padrão populacional é desconhecido , n > 30, a população é finita e n é superior a 5% da população)

Obs.: Nas fórmulas do erro de estimação da média e do erro padrão da média, também deverá ser utilizado o fator de correção. 153

E X E M P L O S (intervalo de confiança e fator de correção) O setor de compras de uma empresa recebeu um lote completo de 400 unidades de determinado tipo de peça. Para estimar o peso médio de todas as peças adquiridas, foi tomada uma amostra de n unidades, a qual apresentou um peso médio de 243 g, com um desvio padrão de 16 g. Supondo que a distribuição desses pesos é aproximadamente normal, construir um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro peso médio populacional, sendo: a) n = 25 Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é n ⋅ 100 = 25 ⋅ 100 = 6, 25% > 5% , então 400

N

devemos usar o fator de correção finita .

E como n = 25, ou, seja, n ≤ 30, e o desvio padrão é o amostral (s), então devemos utilizar a Tabela 2 (coeficiente t), ou seja, t = 2,064 . Assim, pela fórmula (XII) m ± t ⋅ 243± 2,064⋅

16 25

⋅

400 − 25 400 −1

s n

N −n

⋅

N −1

, temos:

⇒ 243± 6,4 ⇒ de 236,6 a 249,4 gramas.

Resposta: Portanto, o intervalo de confiança do peso médio de todas as peças desse lote é de 236,6 a 249,4 gramas. b) n = 40 Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é n ⋅ 100 = 40 ⋅ 100 = 10% > 5% , então devemos 400

N

usar o fator de correção finita .

E como n = 40, ou, seja, n > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (coeficiente z), ou seja, z = 1,96 . Assim, pela fórmula (XIII) m ± z ⋅ 243 ± 1,96 ⋅

16 40

⋅

400 − 40 400 − 1

s n

⋅

N −n N −1

, temos:

⇒ 243 ± 4,7 ⇒ de 238,3 a 247,7 gramas.

Resposta: Portanto, o intervalo de confiança do peso médio de todas as peças desse lote é de 238,3 a 247,7 gramas. c) n = 10 Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é n ⋅ 100 = 10 ⋅ 100 = 2,5% < 5% , então NÃO N

400

devemos usar o fator de correção finita . E como n = 10, ou, seja, n ≤ 30, e o desvio padrão é o amostral (s), então devemos utilizar a Tabela 2 (coeficiente t), ou seja, t = 2,262 . s 16 Assim, pela fórmula (X) m ± t ⋅ n , temos: 243± 2,262⋅ 10 ⇒ 243±11,4 ⇒ de 231,6 a 254,4 gramas. Resposta:

Portanto, o intervalo de 95% de confiança para o peso médio de todas as peças do produto desse lote é de 231,6 a 254,4 gramas. 154

IMPORTAN TE  Quando usar as Tabelas 1 e 2: 1º Caso: Dados: n > 30 e o desvio padrão é o populacional ( σ ) ▬► Tabela 1 2º Caso: Dados: n ≤ 30 e o desvio padrão é o populacional ( σ ) ▬► Tabela 1 3º Caso: Dados: n > 30 e o desvio padrão é o amostral ( s ) ▬► Tabela 1 4º Caso: Dados: n ≤ 30 e o desvio padrão é o amostral ( s ) ▬► Tabela 2 Obs.: Para n ≤ 30, a distribuição deve ser aproximadamente normal.

 Quando usar o fator de correção finita: Quando a população (N) é finita e a amostra (n) é:

n N

⋅ 100 > 5% , ou seja,

a amostra é superior a 5% da população, devemos usar o fator de correção para população finita.

E X E M P L O S (estimativa da média populacional) 1.

Determine o valor do coeficiente z, para a estimativa da média populacional, para uma confiança de ∝%, sendo:

a) ∝ = 90% Solução: A metade de ∝ = 90% é 45%, ou seja, 0,4500. Na Tabela 1, o valor mais próximo e superior a 0,4500 é 0,4505, cujo valor é z = 1,65. b) ∝ = 96% Solução: A metade de ∝ = 96% é 48%, ou seja, 0,4800. Na Tabela 1, o valor mais próximo e superior a 0,4800 é 0,4803, cujo valor é z = 2,06. c) ∝ = 87,5% Solução: A metade de ∝ = 87,5% é 43,75%, ou seja, 0,4375. Na Tabela 1, o valor mais próximo e superior a 0,4375 é 0,4382, cujo valor é z = 1,54 . 2.

Sendo n = tamanho da amostra, ∝% = nível de confiança desejado e conhecido o desvio padrão amostral (s), determine o valor do coeficiente t nos seguintes casos:

a) n = 14 e ∝ = 90% Solução: Graus de liberdade: n = 14 – 1 = 13 ⇒ ver linha 13 da Tabela 2 Nível de confiança: 90% ⇒ ver coluna 0,05 (5%) da Tabela 2 b) n = 10 e ∝ = 99% Solução: Graus de liberdade: n = 10 – 1 = 9 ⇒ ver linha 9 da Tabela 2 Nível de confiança: 99% ⇒ ver coluna 0,005 (0,5%) da Tabela 2 n = 25 e ∝Graus c)Solução: = 80%de liberdade: n = 25 – 1 = 24 ⇒ ver linha 24 da Tabela 2 Nível de confiança: 80% ⇒ ver coluna 0,10 (10%) da Tabela 2

d) n = 18 e ∝ = 95% Solução: Graus de liberdade: n = 18 – 1 = 17 ⇒ ver linha 17 da Tabela 2 Nível de confiança: 95% ⇒ ver coluna 0,025 (2,5%) da Tabela 2 155

⇒ t = 1,771

⇒ t = 3,250

⇒ t = 1,318

⇒ t = 2,110

Determine um intervalo de ∝% de confiança para a verdadeira média populacional para as seguintes

3.

situações: a) m = 15,0 (média amostral) σ

= 2,0 (desvio padrão populacional)

∝ = 95% (nível de confiança) n = 40 (tamanho da amostra) N = 1.000 (tamanho da população)

Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é conhecido , o coeficiente é o z (Tabela 1), cujo valor para 95% de confiança é z = 1,96 . Fator de Correção: Como a população é finita e n ⋅100 = 40 ⋅100 = 4% < 5% , ou seja, a amostra é inferior 1.000

N

a 5% da população, então não devemos utilizar o fator de correção para população finita. Assim, pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 15,0 ± 1,96 ⋅ 2,0 ⇒ 15,0 ± 0,62 ⇒ de 14,38 a 15,62 . 40

Resposta: O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é de 14,38 a 15,62.

b) m = 15,0 (média amostral) s = 2,0 (desvio padrão amostral)

∝ = 90% (nível de confiança) n = 20 (tamanho da amostra)

N = 350 (tamanho da população)

Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional ( σ ) é desconhecido , isto é, é conhecido o desvio padrão amostral ( s) e a amostra é n = 20 < 30 , o coeficiente é o t (Tabela 2), cujo valor para 90% de confiança é t = 1,729 . Fator de Correção: Como a população é finita e n ⋅ 100 = 20 ⋅ 100 ≅ 5,7% > 5% , ou seja, a amostra é 350

N

superior a 5% da população, então devemos utilizar o fator de correção para população finita.

Pela fórmula (XII) m ± t ⋅

s n

⋅

N −n N −1

, temos: 15,0 ± 1,729 ⋅

2,0 20

⋅

350 − 20 350 − 1

⇒ 15,0 ± 0,75 ⇒ de 14,25 a 15,75 .

Resposta: O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é de 14,25 a 15,75. 156

c) m = 15,0 σ = 2,0 (desvio padrão populacional) ∝ = 99% (nível de confiança) n = 13 (tamanho da amostra) Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é conhecido , o coeficiente é o z (Tabela 1), cujo valor para 99% de confiança é z = 2,58 . Assim, pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 15,0 ± 2,58 ⋅ 2,0 ⇒ 15,0 ± 1,43 ⇒ de 13,57 a 16,43. 13

Resposta: O intervalo de 99% de confiança para a média populacional é de 13,57 a 16,43. d) m = 15,0 (média amostral) s = 2,0 (desvio padrão amostral)

∝ = 98% (nível de confiança)

n = 35 (tamanho da amostra) N = 450 (tamanho da população)

Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional é desconhecido , mas o tamanho da amostra é n = 35 > 30 , então o coeficiente é o z (Tabela 1) , cujo valor para 98% de confiança é z = 2,33 . Fator de Correção: Como a população é finita e n ⋅ 100 = 35 ⋅ 100 ≅ 7,8% > 5% , ou seja, a amostra é 450

N

superior a 5% da população, então devemos utilizar o fator de correção para população finita. s

Pela fórmula (XIII) m ± z ⋅

⋅

n

N −n N −1

, temos: 15,0 ± 2,33 ⋅

2,0 35

⋅

450 − 35 450 − 1

⇒ 15,0 ± 0,76 ⇒ de 14,24 a 15,76.

Resposta: O intervalo de 98% de confiança para a média populacional é de 14,24 a 15,76. 4.

Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas apresentou vida útil média de 1.000 horas e um desvio padrão de 100 horas. Determine um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas.

Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional é desconhecido , e o tamanho da amostra é n = 25 < 30 , então o coeficiente é o t (Tabela 2), cujo valor para 80% de confiança é t = 1,318. s

Pela fórmula (X) m ± t ⋅

n

, temos: 1.000 ± 1,318 ⋅ 100 ⇒ 1.000 ± 26,4 ⇒ de 973,6 a 1.026,4 horas. 25

Resposta: O intervalo de 80% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas é de 973,6 a 1.026,4 h. 5.

Refazer a questão anterior considerando uma confiança de 90%, e que a amostra foi retirada de um lote cujo total era de 400 unidades.

Solução: Coeficiente de confiança: O valor de t para uma confiança de 90% é t = 1,711 . Fator de Correção: Como a população é finita e n ⋅ 100 = 25 ⋅ 100 = 6, 25% > 5% , ou seja, a amostra é N

400

superior a 5% da população, então devemos utilizar o fator de correção para população finita. Pela fórmula (XII) m ± t ⋅ 1.000 ± 1,711⋅

100 25

⋅

s

⋅

n

400 − 25 400 −1

N −n N −1

, temos:

⇒ 1.000± 33,2 ⇒ de 966,8 a 1.033,2 horas.

Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas é de 966,8 a 1.033,2 horas. 157

Uma amostra aleatória de 60 lâmpadas apresentou vida útil média de 1.200 horas. Sabendo-se que em testes feitos anteriormente obteve-se um desvio padrão de 150 horas, determine um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas. Solução: Coeficiente de confiança: Como o tamanho da amostra é n = 60 > 30 , então o coeficiente é o z (Tabela 1), 6.

cujo valor para 90% de confiança é z = 1,65 . Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 1.200 ± 1,65 ⋅ 150 ⇒ 1.200 ± 32,0 ⇒ de 1.168,0 a 1.232,0 horas. 60

Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a vida útil média de todas as lâmpadas é de 1.168,0 a 1.232,0 horas. Uma amostra aleatória de 10 peças apresentou vida útil média de 2.000 horas. Sabendo que o desvio padrão populacional é de 300 horas, construir um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira vida útil média dessas peças. Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional ( σ ) é conhecido, o coeficiente o é z (Tabela 7.

1), que para uma confiança de 98% corresponde a z = 2,33. Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 2.000 ± 2,33⋅ 300 ⇒ 2.000 ± 221,0 ⇒ de 1.779,0 a 2.221,0 horas. 10

Resposta: O intervalo de 98% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as peças é de 1.779,0 a 2.221,0 horas. Refazer a questão anterior considerando uma confiança de 90%, e que a amostra foi retirada de um lote cujo total era de 400 unidades. Solução: Coeficiente de confiança: Para uma confiança de 90%, o valor do coeficiente de confiança é z = 1,65. Fator de Correção: Como a população é finita e n ⋅100 = 10 ⋅100 = 2,5% < 5% , ou seja, a amostra é inferior 8.

N

400

a 5% da população, então não devemos utilizar o fator de correção para população finita. Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 2.000 ± 1,65⋅ 300 ⇒ 2.000 ± 156,5 ⇒ de 1.843,5 a 2.156,5 horas. 10

Resposta: O intervalo de 98% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as peças é de 1.842,5 a 2.157,5 horas. Uma amostra aleatória de 50 componentes eletrônicos apresentou vida útil média de 1.500 horas, com um desvio padrão de 200 horas. Determine um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira vida útil média desses componentes. Solução: Coeficiente de confiança: Como o tamanho da amostra é n = 50 > 30, então o coeficiente é o z (Tabela 1), 9.

cujo valor para 80% de confiança é z = 1,29 . s s 200 Pela fórmula (XI) m ± z ⋅ , temos: m ± z ⋅ ⇒ 1.500± 1,29⋅ ⇒ 1.500± 36,5 ⇒ de 1.463,5 a 1.536,5 horas. n

50

n

Resposta: O intervalo de 80% de confiança para a vida útil média de todos os componentes eletrônicos é de 1.463,5 a 1.536,5 horas. 158

10. Uma amostra aleatória de 100 aparelhos elétricos apresentou vida útil média de 1.600 horas. Sabendo que o desvio padrão populacional é de 200 horas, determine um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média desses aparelhos. Solução: Coeficiente de confiança: Como o tamanho da amostra é n = 100 > 30, então o coeficiente é o z (Tabela 1), cujo valor para 90% de confiança é z = 1,65 . Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 1.600 ± 1,65 ⋅ 200 ⇒ 1.600 ± 33,0 ⇒ de 1.567,0 a 1.633,0 horas. 100

Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a vida útil média de todos os aparelhos elétricos é de 1.567,0 a 1.633,0 horas.

11. Uma amostra aleatória de 15 pneus apresentou vida útil média de 1.000 dias. Sabendo-se que o desvio padrão foi anteriormente estimado em 100 dias, determine um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira vida útil média desses pneus. Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional ( σ ) é conhecido , então o coeficiente é o z (Tabela 1), cujo valor para 99% de confiança é z = 2,58 . Pela fórmula ( I ) m ± z ⋅

σ

n

, temos: 1.000 ± 2,58 ⋅ 100 ⇒ 1.000 ± 66,6 ⇒ de 933,4 a 1.066,6 dias. 15

Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a vida útil média de todos os pneus é de 933,4 a 1.066,6 dias.

12. Uma amostra de 10 peças produzidas por uma máquina apresentou os seguintes comprimentos, em cm: 98,0; 98,4; 98,4; 98,6; 98,0; 98,4; 98,6; 98,4, 99,0 e 98,6 . Construir um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro comprimento médio desse tipo de peça. Solução: Pelas fórmulas, ou com o auxílio de uma calculadora, encontramos um comprimento médio amostral de 98,44 cm, e desvio padrão amostral de 0,30 cm. Como o desvio padrão populacional ( σ) é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio padrão amostral s), e o tamanho da amostra é n = 10 < 30 , então o coeficiente é o t (Tabela 2), cujo valor para 95% de confiança é t = 2,262 .

Pela fórmula (X) m ± t ⋅ s , temos: 98,44 ± 2,262 ⋅ 0,30 ⇒ 98,44 ± 0,21 ⇒ de 98,23 a 98,65 cm. n 10 Resposta: O intervalo de 95% de confiança para o comprimento médio de todas as peças produzidas por essa máquina é de 98,23 a 98,65 cm. 159

E X E R C Í C I O S (estimativa da média populacional) 1.

Determine os valores dos coeficientes z e t, para a estimativa da média populacional, sendo n = tamanho da amostra e ∝% = nível de confiança, nos seguintes casos:

a) n = 11 e ∝ = 90% Solução: Coeficiente z (Tabela 1): Coeficiente t(Tabela 2):

z = ________

Linha: _________ Coluna: _______

b) n = 5 e ∝ = 95% Solução: Coeficiente z (Tabela 1): Coeficiente t(Tabela 2):

Coeficiente t(Tabela 2):

t = ________

⇒

t = ________

⇒

t = ________

z = ________

Linha: _________ Coluna: _______

c) n = 7 e ∝ = 98% Solução: Coeficiente z (Tabela 1):

⇒

z = ________

Linha: _________ Coluna: _______

d) n = 23 e ∝ = 99%

e) n = 16 e ∝ = 80%

f) n = 15 e ∝ = 99,5%

160

Sendo m = média amostral, σ = desvio padrão populacional, s = desvio padrão amostral, N = tamanho da população, n = tamanho da amostra e ∝% = nível de confiança, determine um intervalo de confiança para a verdadeira média populacional para as seguintes situações: a) m = 36,8; s = 5,4; N = 1.000; n = 100 e ∝ = 95% 2.

b) m = 172,83; s = 41,39; n = 21 e ∝ = 99%

c) m = 84,5; σ = 19,2; n = 40 e ∝ = 80%

d) m = 426; σ = 79; n = 15 e ∝ = 90%

e) m = 6,507; s = 1,335; N = 250; n = 10 e ∝ = 95%

161

3. Certa marca de margarina dietética foi analisada por um engenheiro químico para determinar o nível (em porcentagem) de ácidos graxos insaturados. Uma amostra aleatória de seis pacotes resultou média de 16,9 e um desvio padrão de 0,3. Supondo que o nível de ácidos graxos insaturados é normalmente distribuído, determine: a) A estimativa pontual do nível médio de ácidos graxos dessa marca de margarina.

Resposta: O nível médio pontual de ácidos graxos dessa margarina é ....................... b) O intervalo de 90% de confiança para o verdadeiro nível médio de ácidos graxos dessa marca de margarina encontrado em todos os pacotes de margarina.

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para o verdadeiro nível médio de ácidos graxos dessa marca de margarina encontrado em todos os pacotes de margarina é de.................a................... . c) O erro de estimação da média referente à letra b).

d) O erro padrão da média.

4. Uma engenheira ambiental está fazendo um estudo para investigar a contaminação por mercúrio em um determinado tipo de peixe de água doce. Uma amostra aleatória desse tipo de peixe foi selecionada aleatoriamente proveniente de 40 lagos e mediu-se a concentração (em ppm) de mercúrio no tecido muscular, obtendo uma concentração média de mercúrio de 0,5250 e um desvio padrão de 0,3512. Construir um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira concentração média de mercúrio em todos os peixes desse tipo.

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para a verdadeira concentração média de mercúrio em todos os peixes desse tipo é de..................a................... . 162

5. Um engenheiro elétrico de uma indústria eletroeletrônica está analisando a voltagem de saída de certo tipo de transformador. Para tanto tomou uma amostra aleatória de 10 transformadores, aleatoriamente selecionados na linha de produção e verificou que a voltagem média desses transformadores é de 12,08 volts. Sabendo que a variância do processo de fabricação desses transformadores é de 0,7 (volts)², construir um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira voltagem média de todos os transformadores desse tipo produzidos por essa indústria.

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira voltagem média de todos os transformadores desse tipo produzidos por essa indústria é de..................a................. volts. 6. Um engenheiro elétrico de uma indústria eletroeletrônica está analisando a voltagem de saída de certo tipo de transformador. Para tanto tomou uma amostra aleatória de 10 transformadores, aleatoriamente selecionados na linha de produção e verificou que a voltagem média desses transformadores é de 12,08 volts e a variância é de 0,7 (volts)². Construir um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira voltagem média de todos os transformadores desse tipo produzidos por essa indústria, sendo:

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . 7. Um engenheiro de controle e automação de uma indústria fabricante de cadeiras de rodas motorizadas, responsável pela produção de certo tipo de alavanca para a locomoção essas cadeiras, testou uma amostra aleatória de 12 cadeiras para verificar o tempo para completar determinado percurso, obtendo um tempo médio de 32,6 segundos, com um desvio padrão de 3,4 segundos. a) Construir um intervalo de 99,5% de confiança para o verdadeiro tempo médio de percurso que todas as cadeiras motorizadas conseguem fazer com esse tipo de alavanca, sendo:

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para ............................................................................................... .................................................................................................................................................................................... b) Qual é o erro máximo de estimação da média populacional?

163

8. Um engenheiro de computação pretende estudar o tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa. Para tanto, essa tarefa foi colocada para execução por 200 vezes e obteve um tempo médio de 352 segundos e um desvio padrão de 8 segundos. Construir um intervalo de 99% de confiança para o verdadeiro tempo médio para execução dessa tarefa.

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para............................................................................................... ............................................................................................................. . 9. Um grande distribuidor de máquinas automáticas de refrescos planeja estimar o número médio diário de refrescos servidos por todas as suas N máquinas. Para tanto, escolheu aleatoriamente n máquinas desse total e em um dia qualquer, também aleatoriamente escolhido, registrou uma média de 255 refrescos vendidos, com um desvio padrão de 48 refrescos. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o número médio real de refrescos servidos diariamente por qualquer uma das máquinas. a) N = 1.200, n = 50 e ∝ = 80%

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para............................................................................................... ............................................................................................................. . b) N = 350, n = 20 e ∝ = 98%

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para............................................................................................... ............................................................................................................. . 164

10. De um grande lote de latas de peras em compota, foi extraída uma amostra aleatória de 50 latas as quais apresentaram um peso médio de 446,3 g e um desvio padrão de 9,1 g. Com que confiança podemos afirmar que o erro desta estimativa é, no máximo, de 3 g?

11. De um grande lote de latas de peras em compota, foi extraída uma amostra aleatória de n latas as quais apresentaram um peso médio de 446,3 g e um desvio padrão de 8,4 g. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o peso médio de todas as latas produzidas, sendo: a) n = 40 e ∝ = 90%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . b) n = 20 e ∝ = 95%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para ............................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 12. De um grande lote de latas de peras em compota, foi extraída uma amostra aleatória de n latas as quais apresentaram um peso médio de 446,3 g. Através de levantamentos anteriores podemos admitir que o desvio padrão seja de 8,4 g. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o peso médio de todas as latas produzidas, sendo: a) n = 60 e ∝ = 80%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . 165

b) n = 15 e ∝ = 99%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . 13. Uma amostra aleatória de n tambores de um produto químico, extraída de um lote de N desses tambores, apresentou peso médio de 240,8 kg e um desvio padrão de 10,2 kg. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o peso médio de todos os tambores desse lote, sendo: a) N = 600, n = 22 e ∝ = 95%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . b) N = 300, n = 40 e ∝ = 90%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... ..................................................................................................................... . 14. Admite-se que os pesos de todos os tambores que armazenam determinado produto químico produzido por certa indústria apresentam um desvio padrão de 10,2 kg. Uma engenheira química tomou uma amostra aleatória de n tambores desse produto, extraída de um lote de N desses tambores, e obteve um peso médio de 240,8 kg. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o peso médio de todos os tambores desse lote, sendo: a) N = 200, n = 12e ∝ = 98%

166

b) N = 2.000, n = 80 e ∝ = 99%

15. Um químico pesos de de 20 umtambores lote de 200 tambores um de certo químico. Paraengenheiro tanto, retirou dessepretende lote umaexaminar amostra os aleatória e encontrou peso produto médio de 240,8 kg. Sabendo que o desvio padrão dos pesos dos tambores do lote pode ser considerado igual a 10,2 kg, construir um intervalo de 99% de confiança para o peso médio de todos os tambores desse lote.

16. Calcule o tamanho que deve ter uma amostra de pessoas para que se obtenha um intervalo de confiança para a altura média populacional, com um nível de confiança de 99%, e com um erro máximo de estimação de 0,2 dm, sabendo que o desvio padrão pode ser considerado igual a 10,2 cm.

17. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se uma medida média de 5,2 mm. Sabendo que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm, construir um intervalo de 90% de confiança para a média populacional.

167

18. Uma engenheira de computação após fixar certos parâmetros de entrada em um sistema computacional mediu 13 vezes os tempos de execução de um algoritmo, obtendo os seguintes resultados, em minutos: 18, 15, 17, 13, 16, 19, 14, 15, 18, 15, 14, 20 e 17. Construir um intervalo de 99% de confiança para o verdadeiro tempo médio de execução desse algoritmo.

19. Uma amostra aleatória de n refeições, aleatoriamente escolhidas, servidas em um restaurante “por quilo”, acusou peso médio de peso 480 médio g, comdeum desvio padrão de 120 g.porConstruir um intervalo de ∝% de confiançaumpara o verdadeiro todas as refeições servidas esse restaurante, sendo: a) n = 25 e ∝ = 90%

b) n = 50 e ∝ = 99%

20. Uma amostra aleatória de n refeições, aleatoriamente escolhidas, servidas em um restaurante “por quilo”, acusou um peso médio de 450 g. Sabendo que o desvio padrão dos pesos de todas as refeições pode ser considerado como sendo de 100 g, construir um intervalo de ∝% de confiança para o verdadeiro peso médio de todas as refeições servidas por esse restaurante, sendo: a) n = 80 e ∝ = 95%

b) n = 15 e ∝ = 98%

168

21. Uma engenheira de controle de qualidade de uma indústria mediu as espessuras de uma amostra aleatória de n garrafas de vidro de 1 litro, obtendo uma média de 4,35 mm e desvio padrão de 0,09 mm. Construir um intervalo de ∝% de confiança para a verdadeira espessura média de todas as garrafas de vidro produzidas por essa indústria, sendo: a) n = 20 e ∝ = 99%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira espessura média de todas as ......................... ........................................................................................................................................ b) n = 60 e ∝ = 98%

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira espessura média de todas as ......................... ........................................................................................................................................ 22. Um engenheiro civil de uma grande construtora, tomou uma amostra aleatória de 25 azulejos de um grande lote e obteve uma área média de 400 cm² e um desvio padrão de 5 cm². Estime o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira área média de todos os azulejos desse lote.

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira área média de todos os.................................. ........................................................................................................................................ Respostas: 1.a) z = ± 1,65 e t = ± 1,812; b) z = ± 1,96 e t = ± 2,776; c) z = ± 2,33 e t = ± 3,143; d) z = ± 2,58 e t = ± 2,819; e) z = ± 1,29 e t = ± 1,341; f) z = ± 2,81 e t = ± 3,326 2.a) 35,80 a 37,80; b) 147,134 a 198,526; c) 80,58 a 88,42;

11.a) 444,11 a 448,49 g; b) 442,37 a 450,23 g 12.a) 444,90 a 447,70 g; b) 440,70 a 451,90 g 13.a) 236,28 a 245,32 kg; b) 238,32 a 243,28 kg

392,3 a 459,7; e) 5,5521 a 7,4619 16,9; a 17,15; 3.a)d) b) 16,65 c) 0,25; d) 0,12 4. 0,41616 a 0,63384 5. 11,739 a 12,421 V 6. 11,714 a 12,446 V 7.a) 29,17 a 36,03 s; b) 3,43 s 8. 350,5 a 353,5 s 9. a) 246,2 a 263,8 refrescos; b) 228,5 a 281,5 refrescos 10. 98%

14.a) 234,13 a 247,47 235,20 a 246,40 kgkg; b) 237,86 a 243,74 kg 15. 16. 174 pessoas 17. 4,80 a 5,60 mm 18. 14,4 a 18,0 min 19.a) 438,9 a 521,1 g; b) 436,2 a 523,8 g 20.a) 428,1 a 471,9 g; b) 389,8 a 510,2 g 4,292 a 4,408 mm; b) 4,323 a 4,377 mm 22. 379,9 a 402,1 cm²

21. a) 169

ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL Neste capítulo iremos abordar os mesmos três conceitos estudados anteriormente: • Estimativa pontual • Estimativa intervalar (ou intervalo de confiança) • Tamanho da amostra

Notação para as proporções: P = proporção populacional p = proporção amostral de x sucessos em uma amostra de tamanho n, isto é, p =

x n

E s ti m at i va p o nt u al A estimativa amostral p é a melhor estimativa pontual da proporção populacional P.

E st i ma ti v a i n te r va l ar A estimativa intervalar para a proporção populacional P (para grandes amostras) é dada por: p±z⋅

p⋅q n

(XIV)

onde = coeficiente de confiança (Tabela 1)

z

p = probabilidade de ocorrência de um fato

q=1–p

→ q = probabilidade de não ocorrência do mesmo fato

n = tamanho da amostra

Observações: a) As estimativas i ntervalares de P devem ser arredondadas paratrês dígitos si gnificativos. b) Para construirmos os intervalos de confiança para uma proporção populacional, usamos apenas a distribuição z ( a distribuição t não é usada).

Erro de estimativa de uma proporção populacional E = z⋅

p⋅q n

(XV)

170

E X E M P L O S (estimativa de uma proporção populacional) 1. Uma engenheira civil tomou uma amostra aleatória de 120 pisos cerâmicos e verificou que 15 deles apresentaram determinadas imperfeições que inviabilizam o seu uso. Com esses dados, determine: a) A estimativa pontual da proporção populacional de todos os pisos que apresentam alguma imperfeição. Solução: A estimativa pontual de P é: p =

x n

=

15 120

= 0,125 (12,5%)

b) A estimativa intervalar de 95% de confiança para a proporção populacional de todos os pisos que apresentam alguma imperfeição. Solução: Como p = 0,125, então q = 1 – p = 1 – 0,125, logo q = 0,875. A estimativa intervalar de P é dada pela fórmula (XIV) p ± z ⋅ Daí, 0,125 ± 1,96 ⋅

0 ,125 ⋅ 0,875 120

p⋅q n

⇒ 0,125 ± 0, 0592 ⇒ de 0,0658(6,58%) a 0,184 (18,4%).

Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de todos os pisos que apresentam alguma imperfeição é de 0,0658 (6,58%) a 0,184 (18,4%). c) O erro de estimativa da proporção populacional encontrada em b). p⋅q

Solução: O erro de estimativa de P é dado pela fórmula (XV) E = z ⋅ Daí, E = 1,96⋅

0,125⋅ 0,875 120

n

⇒ E = 0,0592 (5,92%).

2. Uma pesquisa feita com uma amostra aleatória de 1.850 eleitores para saber se votariam em determinado candidato, revelou que 1.134 deles responderam afirmativamente. a) Construir um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção das pessoas que pretendem votar nesse candidato no dia da eleição. Solução: A proporção amostral dos eleitores que votam nesse candidato é: p = x = 1134 ⇒ p = 0,613 (61,3%). n

1850

E a proporção amostral dos eleitores que não votam nesse candidato é: q = 1 – p ⇒ q = 0,387 (38,7%). A estimativa intervalar de P é dada pela fórmula (XIV) p ± z ⋅ Daí, 0,613±1,65⋅

0,613⋅ 0,387 1.850

p⋅q n

⇒ 0,613± 0,0187⇒ de 0,594 (59,4%) a 0,632 (63,2%).

Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a proporção populacional de todas as pessoas que pretendem votar nesse candidato no dia da eleição é de 0,594 (59,4%) a 0,632 (63,2%). b) O erro de estimativa da proporção populacional encontrada em a). Solução: O erro de estimativa de P é dado pela fórmula (XV) E = z ⋅ Daí, E = 1,65⋅

0,613⋅ 0,387 1.850

⇒ E = 0,0187 (1,87%). 171

p⋅q n

Estimativa de uma proporção para população finita Sendo p a proporção amostral, n o tamanho da amostra retirada de uma população finita de tamanho N, a estimativa intervalar para a proporção populacional P, com fator de correção para uma população finita, é dada por: p⋅q

p± z⋅

n

⋅

N −n N −1

(XVI)

Erro de estimativa com o fator de correção para população finita E

p⋅q

= z⋅

n

⋅

N −n N −1

(XVII)

E X E M P L O (proporção populacional e fator de correção) Uma indústria possui um total de N máquinas. O engenheiro de produção tomou uma amostra aleatória de n dessas máquinas e constatou que 34 delas tiveram algum tipo de problema durante o mês anterior. a) Construir um intervalo de 95% de confiança para a proporção de todas as máquinas dessa indústria, que apresentaram algum tipo de problema no mês anterior, sendo N = 360 e n = 100. Solução: Para uma confiança de 95%, o valor do coeficiente z é 1,96. A proporção amostral das máquinas que apresentaram algum problema é: p

=

x n

=

34 100

⇒ p= 0,34 (34%) ⇒ q = 1 – p =1 – 0,34⇒ q = 0,66 (66%).

Fator de correção para população finita: Como a amostra é n ⋅ 100 = 100 ⋅ 100 = 27,8% > 5% , então devemos utilizar o fator de correção para N

360

população finita. Assim, pela fórmula (XVI) p ± z ⋅ 0,34 ± 1,96 ⋅

0,34 ⋅ 0,66 100

⋅

360 − 100 360 − 1

p⋅q n

⋅

N −n N −1

, temos:

⇒ 0,34 ± 0,079 ⇒ de 0,261 (26,1%) a 0,419 (41,9%).

Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de todas as máquinas dessa indústria, que apresentaram algum tipo de problema no mês anterior é de 0,261 (26,1%) a 0,419 (41,9%). b) Qual é o erro de estimação da proporção populacional na letra a)? Solução: Na letra a), encontramos: p ± E, ou seja, 0,34 ± 0,079. Logo, o erro de estimação da proporção populacional é: E = 0,079 (7,9%). 172

c) Construir um intervalo de 98% de confiança para a proporção de todas as máquinas dessa indústria, que apresentaram algum tipo de problema no mês anterior, sendo N = 1.500 e n = 60. Solução: Para uma confiança de 98%, o valor do coeficiente z é 2,33. A proporção amostral das máquinas que apresentaram algum problema é: p

=

x n

=

34 60

⇒ p = 0,567 (56,7%) ⇒ q = 1 – p =1 – 0,567 ⇒ q= 0,433 (43,3%).

Fator de correção para população finita: Como a amostra é n ⋅ 100 = 60 ⋅ 100 = 4% < 5% , então NÃO devemos utilizar o fator de correção para 1.500

N

p⋅q

população finita. Assim, pela fórmula (XIV) p ± z ⋅ 0,567 ± 2,33 ⋅

0,567 ⋅ 0,433 60

n , temos:

⇒ 0,567 ± 0,149 ⇒ de 0,418 a 0,716.

Resposta: Portanto, o intervalo de 98% de confiança para a proporção populacional de todas as máquinas dessa indústria que apresentaram algum tipo de problema no mês anterior é de 0,418 (41,8%) a 0,716 (71,6%). d) Qual é o erro de estimação da proporção populacional na letra c)? Solução: Na letra c), encontramos: p ± E, ou seja, 0,567 ± 0,149. Logo, o erro de estimação da proporção populacional é: E = 0,149 (14,9%).

T A M A N H O D A A M O S T R A n( ) (para estimativa de uma proporção populacional) z2 ⋅ p ⋅ q

p⋅q

De E = z ⋅ onde

n= n , obtemos:

E

2

(XVIII)

n = tamanho da amostra z = coeficiente de confiança E = erro amostral p = estimativa da proporção q = complemento de p, isto é, q = 1 – p

REGRA DO ARREDONDAMENTO Quando a fórmula não conduz a um número inteiro, considerar sempre o próximo inteiro mais elevado.

.

Obs.: Quando não se conhece o valor de p, consideramos anterior fica: n =

z

2

⋅ 0,25

p = 0,5 (50%) e q = 0,5 (50%) e a fórmula

(XIX)

E2

Exemplo: Certo tipo de peça é produzido por determinada indústria. Qual o tamanho da amostra que permite estimar a proporção de itens defeituosos, com um erro máximo de 3,2% e uma confiança de 98%, se: a) Em estudo anterior, constatou-se que 4,8% das peças são defeituosas. 2 (2,33) 2 ⋅ 0,048⋅ 0,952 ⋅ ⋅ Solução: Pela fórmula (XVIII) n = z Ep2 q , temos: n = ⇒ n = 243 peças (0,032) 2

.

b) Não se tem qualquer informação que possa sugerir um valor de p. Solução: Pela fórmula (XIX) n =

z

2

⋅ 0,25 E

2

, temos: n =

( 2,33) 2 ⋅ 0,25 (0,032 ) 173

2

= 1.325,42 ⇒

n = 1.326 peças

..

c) Refazer a letra a) para uma confiança de 90%. 2 (1,65) 2 ⋅ 0,048 ⋅ 0,952 Solução: Pela fórmula (XVIII) n = z ⋅ p2 ⋅ q , temos: n = = 121,49 ⇒ n = 122 peças 2

.

(0,032 )

E

d) Refazer a letra b) para uma confiança de 90%. 2 (1,65) 2 ⋅ 0, 25 Solução: Pela fórmula (XIX) n = z ⋅ 02,25 , temos: ⇒ n = = 664,67 ⇒ n = 665 peças 2

.

(0,032 )

E

e) Comparando os resultados anteriores, qual a conclusão que se chega sobre os percentuais de p quanto ao nível de confiança? Resposta: Quanto maior o nível de confiança desejado, maior deverá ser o tamanho da amostra.

Exercício Agora, resolva você: Os engenheiros da Philips desejam estimar a proporção populacional dos aparelhos de som que se avariam durante os três primeiros meses do período de garantia. Admitindo um erro máximo de 4% e uma confiança de 99%, determine o tamanho necessário da amostra, se: a) Em estudo anterior, constatou-se que 12,5% dos aparelhos apresentam defeitos durante esse período.

b) Não se tem qualquer informação que possa sugerir um valor de p.

Respostas: a) 456 aparelhos de som; b) 1.041 aparelhos de som

T am a n h o d a a m o s t r a p a r a p op u la ç ã o f i ni ta O tamanho da amostra para determinar a proporção populacional quando a população é finita é dado por: n=

onde

N ⋅ z2 ⋅ p ⋅ q E

2

⋅ ( N − 1) + z 2 ⋅ p ⋅ q

(XX)

N = tamanho da população n = tamanho da amostra z = coeficiente de confiança E = erro amostral p = estimativa da proporção q = complemento de p, isto é, q = 1 – p

Exemplo: Certa cidade possui um total de 20.000 habitantes. Determine o tamanho da amostra para se estimar a proporção populacional de pessoas que consideram satisfatório o atendimento médico municipal, admitindo que o pesquisador suspeite que 30% acham o atendimento satisfatório, utilizando um nível de 95% de confiança e um erro amostral de 2% (para mais ou para menos). Solução: Pela fórmula (XX) n = n=

N ⋅ z2 ⋅ p ⋅ q E

2

⋅ ( N − 1) + z 2 ⋅ p ⋅ q

2 20000 ⋅ (1,96) ⋅ 0,30 ⋅ 0,70 2 2 (0,02) ⋅ ( 20000 − 1) + (1,96) ⋅ 0,30 ⋅ 0,70

, temos:

= 1832,17 ⇒ n = 1.833 pessoas 174

.

E X E R C Í C I O S (estimativa de uma proporção populacional) Um engenheiro civil tomou uma amostra aleatória de n homens trabalhando num grande projeto de construção a qual revelou que x operários não estavam usando capacetes protetores. a) Qual é a estimativa pontual da proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes, para n = 40 e x = 7? 1.

b) Qual é a estimativa pontual da proporção populacional dos operários que estão usando capacetes, para n = 60 e x = 9?

c) Construa um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes nesse projeto, sendo n = 35 e x = 6.

Resposta: O intervalo de............% de confiança para verdadeira proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes é de.................(..............%) a.................(..............%). d) Qual é o erro de estimativa da proporção populacional encontrada na letra c)?

e) Suponha que há 700 operários trabalhando nesse projeto. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes nesse projeto, sendo n = 45 e x = 4.

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para ............................................................................................. .......................................................................é de.................(..............%) a.................(..............%). f) Converta o intervalo de confiança de percentagens para número de operários do resultado encontrado na letra e).

175

g) Suponha que há 1.200 operários trabalhando nesse projeto. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes nesse projeto, sendo n = 50 e x = 6.

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para ............................................................................................. .........................................................................é de.................(..............%) a.................(..............%). h) Converta o intervalo de confiança de percentagens para número de operários do resultado encontrado na letra g).

i) Qual é o erro associado ao intervalo encontrado na letra e)? E na letra g)?

j) Que significa neste caso o termo “amostra aleatória”?

k) Por que é importante obter uma amostra aleatória?

Determine o tamanho da amostra para uma confiança de 90%, e um erro de estimação igual a 0,025, quando a proporção amostral é igual: a) p = 0,10 2.

b) p = 0,30

176

Determine o tamanho da amostra para uma proporção amostral igual a 0,30, erro de estimação igual a 0,030 e uma confiança de: a) 80% 3.

b) 90%

Determine o tamanho da amostra para uma confiança de 90% e uma proporção amostral de 0,30, quando o erro de estimação é igual a: a) E = 1% 4.

b) E = 2%

5. Uma unidade da Intel produziu um lote de N chips em um certo período. O engenheiro de produção selecionou aleatoriamente n chips para testes e verificou que x unidades desses chips não têm a velocidade de processamento adequada. Construir um intervalo de ∝% de confiança para a verdadeira proporção de chips considerados adequados desse lote, sendo: a) N = 10.000, n = 600, x = 22 e ∝ = 90%.

Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira proporção de todos os chips considerados adequados é de.................(..............%) a.................(..............%). 177

b) N = 50.000, n = 900, x = 85 e ∝ = 95%.

Resposta: O intervalo de.............% de confiança para.............................................................................................. .....................................................................é de.................(..............%) a.................(..............%). 6.

Uma amostra aleatória de 70 capacetes de corredores de motos e automóveis foi submetida a um teste de impacto, sendo reprovados 22 desses capacetes por não oferecerem toda a segurança necessária. Construir um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira proporção dos capacetes que não resistem a um teste de impacto.

7.

Uma repórter de uma revista especializada em informática deseja fazer uma pesquisa para estimar a verdadeira proporção de todos os universitários que possuem computador pessoal, e quer ter 95% de confiança de que seus resultados tenham uma margem de erro de 0,04. Quantos universitários devem ser pesquisados?

8.

Um fabricante de calculadoras eletrônicas está interessado em estimar a fração de unidades defeituosas produzidas. Uma amostra aleatória de 8.500 calculadoras apresentou 21 defeituosas. Determine um intervalo de 94% de confiança para a verdadeira fração de calculadoras defeituosas produzidas por essa indústria.

178

9. Um fabricante de flashes deseja estimar a probabilidade de um flash funcionar. Como se trata de teste destrutivo, ele deseja manter o tamanho da amostra o menor possível. Determine o número de observações que devem ser feitas para estimar a probabilidade, a menos de 0,04, com 98% de confiança, se: a) Ele não tem ideia da porcentagem de flashes defeituosos.

b) Ele crê que a porcentagem de flashes defeituosos não supere 6%.

10. Um engenheiro elétrico de determinada companhia pretende fazer um estudo sobre o funcionamento e qualidade dos medidores residenciais após 5 anos de uso. Uma amostra aleatória de 1.234 domicílios que possuem medidores com mais de 5 anos de uso, revelou que 20 medidores apresentavam algum problema de funcionamento. a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de 99% de confiança para a proporção de todos os medidores que apresentam algum problema de funcionamento após 5 anos de uso.

b) Utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção dos medidores que apresentam algum problema de funcionamento após 5 anos de uso. Admita um nível de confiança de 95% em que a estimativa não apresente erro superior a 0,005.

11. Suponha que o departamento de estradas de rodagem de um Estado queira estimar a proporção de caminhões que transportam mercadorias entre duas cidades, trafegam com excesso de peso, com ao menos 0,95 de probabilidade de seu erro não ser superior a 4%. Qual deve ser o tamanho da amostra, se: a) utilizarmos os resultados de uma pesquisa anterior, a qual apontou que 25% dos caminhões trafegavam com excesso de peso?

b) o departamento não tem qualquer ideia sobre qual seria a verdadeira proporção?

179

12. Um fabricante de pilhas do tipo AA retirou uma amostra aleatória de n pilhas de um lote de 1.800 unidades, as quais foram postas em uso ininterrupto sob as mesmas condições e observou-se que 8 delas tiveram uma duração inferior a 100 horas de uso. Construir um intervalo de 90% de confiança para a proporção de todas as pilhas desse lote que têm duração inferior a 100 horas de uso, sendo: a) n = 120

b) n = 50

Respostas: 1. a) 0,175 (17,5%); b) 0,85 (85%); c) 0,0227 (2,27%) a 0,319 (31,9%); d) 0,148 (14,8%); e) 0,0211 (2,11%) a 0,157 (15,7%); f) de 15 a 110 operários; g) 0,0442 (4,42%) a 0,196 (19,6%); h) de 53 a 235 operários; i) 0,0678 (6,78%) e 0,0758 (7,58%); j) Cada operário tem a mesma chance que todos os outros de ser escolhido para fazer parte da amostra em estudo; k) Para poder usar uma distribuição amostral 2. a) 393; b) 915 3. a) 389; b) 636 4. a) 0,951 5.718;(95,1%) b) 1.430a 0,975 (97,5%); b) 0,887 (88,7%) a 0,925 (92,5%) 5. 6. 0,171 (17,1%) a 0,457 (45,7%) 7. 601 universitários 8. 0,00145 (0,145%) a 0,00349 (0,349%) 9. a) 849 flashes; b) 192 flashes 10. a) 0,00693 (0,693%) a 0,0255 (2,55%); b) 2.450 medidores 11. a) 451 caminhões; b) 601 caminhões 12. a) 0,0304 (3,04%) a 0,103 (10,3%); b) 0,0745 (7,45%) a 0,246 (24,6%) 180

TESTES DE HIPÓTESES OU DE SIGNIFICÂNCIA Tes tes d e si gnificâ ncia par a MÉ DIAS O teste de significância e a estimação são dois ramos principais da inferência estatística (que é a tomada de decisões). Enquanto que o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional (média, desvio padrão), o objetivo dos testes de significância é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é verdadeira, com base na evidência amostral.

H I PÓ T ES E S E S TA TÍ S T IC AS Uma hipótese estatística é uma alegação ou afirmação sobre uma propriedade de uma população. Para desenvolver processos de testes de hipóteses estatísticas, devemos formular duas hipóteses, a saber: Hipótese nula (Ho): é uma afirmação que diz que não há diferença significativa entre os parâmetros da amostra e da população, ou seja, a diferença observada foi devida ao acaso (isto é, a afirmação é verdadeira). Hipótese alternativa (H1): é aceita se H o é rejeitada. Observação: Na construção das hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), utilizamos os seguintes símbolos matemáticos: Símbolo matemático Igual Diferente ≠ < Menor do que Menor ou igual ≤ > Maior do que Maior ou igual ≥

=

Palavra chave nos textos Igual Diferente; não é igual Inferior; menor; abaixo No máximo; não é superior; até Superior; maior; acima No mínimo; não é inferior; pelo menos

Exemplo: Considere a seguinte situação: Inspecionando uma amostra aleatória de 142 automóveis de determinado tipo, verificou-se que eles rodam, sob as mesmas condições, uma média de 11,4 km por litro, do mesmo tipo de combustível. O fabricante garante que esse tipo de automóvel roda uma média de 12,5 km/litro. Com auxílio dos testes de significância, devemos verificar se essa afirmação do fabricante é verdadeira, ou seja, precisamos saber até que ponto podemos considerar essa diferença insignificante (irrelevante). Inicialmente, vamos formular as duas hipóteses estatísticas: Hipótese nula (Ho): M = 12,5 km/litro: Os automóveis rodam uma média de 12,5 km/litro (é a afirmação do fabricante) Hipótese alternativa (H1): M ≠ 12,5 km/litro: Os automóveis não rodam uma média de 12,5 km/litro (é o que queremos comprovar estatisticamente), que é a afirmação que contradiz a hipótese nula. Com auxílio dos testes de significância, devemos verificar se a diferença entre o consumo médio de combustível da amostra de automóveis e de todos os automóveis desse tipo é ou não significativa (relevante), isto é, até que ponto podemos aceitar ou rejeitar a afirmação do fabricante (hipótese nula). 181

N ív ei s d e s ig ni fi câ nc ia O nível de significância de um teste é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, quando ela é verdadeira (também chamada erro Tipo I). Na prática, os níveis de significância mais frequentemente utilizados em testes de hipóteses são os de 5% e 1%, embora possam ser usados outros valores. Assim, se escolhermos o nível de significância de 5%, isto quer dizer que temos cerca de 5 chances em 100 da hipótese nula ser rejeitada quando deveria ser aceita, ou seja, há uma confiança de cerca de 95% de que se tome uma decisão acertada.

T es te s U ni la te ra is e B ila te ra is A hipótese alternativa é usada para indicar qual o aspecto da variação não aleatória que nos interessa.

Há três casos possíveis: (1)

T e s t e b i l a t e r a l (o u b i c a u d a l):

Quando a variação está concentrada em ambas as direções, ou seja, quando a região crítica (ou região de rejeição da hipótese nula) está nos dois extremos da curva de distribuição.

V a l o r C r í ti co d o T e s t e B i l a t er a l Os valores críticos do teste são linhas divisórias das regiões de aceitação e rejeição de uma hipótese nula, os quais são dados pelos coeficientes z e t (Tabelas 1 e 2, respectivamente). A figura abaixo mostra os valores críticos de z (zcrít = ± 1,96), para o teste bilateral e uma confiança de 95%:

E x e m p l o s (t es t e s b i l a t e r a i s) a) Fabricação de calçados, onde os tamanhos podem fugir do padrão. Por exemplo , o nº 40 pode ser maior ou menor que o normalmente encontrado na praça. b) Fabricação de peças que precisam ajustar-se uma a outra. Exemplo: parafuso, porca e engrenagem de câmbio de um carro. c) Consumo médio de combustível de certo tipo de veículo, o qual pode ser maior ou menor que o especificado pela fábrica. d) Tempo de efeito de um composto químico, que pode ser maior ou menor que o estabelecido.

(2) T e s t e u n i l a t e r a l (o u u n i c a u d a l) à e s q u e r d a: Quando a variação está concentrada nos valores abaixo do esperado, ou seja, quando a região crítica (ou região de rejeição da hipótese nula) está no lado esquerdo da curva de distribuição, como mostra a figura (ver tabela z para encontrar o valor crítico): 182

Valor Crítico do Teste Unilateral à Esquerda A figura abaixo mostra o valor crítico de z (zcrít = – 1,65), para o teste unilateral à esquerda e uma confiança de 95%:

E x e m p l o s (t e s t e s u n i l a t e r a i s à e s q u e r d a) a) b) c) d)

Conteúdo mínimo de gordura no leite. Peso liquido (mínimo) de pacotes de determinado produto. Resistência de correias à tensão. Vida útil de um produto tal como especificada no certificado de garantia.

(3) T e s t e u n i l a t e r a l (o u u n i c a u d a l) à d i r e i t a: Quando a variação está concentrada nos valores acima do esperado, ou seja, quando a região crítica (ou região de rejeição da hipótese nula) está no lado direito da curva de distribuição, como mostra a figura (ver tabela z para encontrar o valor crítico):

Valor Crítico do Teste Unilateral à Direita A figura abaixo mostra o valor crítico de z (zcrít = + 1,65 ), para o teste unilateral à direita e uma confiança de 95% :

E x e m p l o s (t e s t e s u n i l a t e r a i s à d i r e i t a) a) Conteúdo máximo de gordura no leite. b) Número de peças defeituosas de certa remessa. c) Poluição atmosférica ocasionada por certa fábrica. d) Radiação emitida por usinas nucleares. Observação: Em todas as nossas aplicações, quando o tamanho da amostra é n ≤ 30 , estaremos admitindo que a referida amostra provém de uma população que tenha aproximadamente a forma de uma distribuição normal. 183

VALOR DA ESTATÍSTICA DE TESTE Uma hipótese nula (Ho) sempre nos diz que uma afirmação é verdadeira, ou seja, que a diferença observada na amostra foi devida ao acaso. Para sabermos se devemos aceitar ou rejeitar essa hipótese nula, vamos transformar a média da amostra (m) em um coeficiente (valor da estatística do teste) e compará-lo com o valor crítico do teste. O valor da estatística de teste é dado pela expressão: m − M , onde e = erro padrão da média (isto é, e

desvio padrão das médias amostrais). Temos, então, três fórmulas para encontrar o valor do teste: 1ª) Quando o desvio padrão é o populacional (σ ), o valor do teste é dado por: z teste = m σ −M

( XXI )

n

2ª) Quando o desvio padrão é o amostral ( s ) e n > 30, o valor do teste é dado por: z teste = m − M

( XXII )

s

n

3ª) E quando o desvio padrão é o amostral ( s ) e n ≤ 30, o valor do teste é dado por: t teste = m − M s

( XXIII )

n

Testes de Hipóteses ou de Significância para MÉDIAS Populacionais Roteiro para aplicar um teste de hipótese 1. Elaborar as hipóteses nula (H o) e alternativa (H 1). 2. Verificar se o teste é unilateral (à esquerda ou à direita) ou bilateral. “Dica”: Observar o símbolo matemático que aparece na hipótese alternativa (H1): a) Se aparecer o símbolo ≠, então o teste é b i l a t e r a l. b) Se aparecer o símbolo <, então o teste é u n i l a t e r a l à e s q u e r d a. c) Se aparecer o símbolo >, então o teste é u n i l a t e r a l à d i r e i t a. Obs.: Para formular a hipótese alternativa (H 1), existem três modos: H1: M ≠ Mo

ou

H1: M < Mo

ou

onde

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

H1: M > Mo

M = média populacional Mo = valor hipotético específico para média populacional Construir uma figura com a curva normal e as regiões de aceitação e rejeição da hipótese nula. Identificar no enunciado da questão se o desvio padrão é amostral (s) ou populacional (σ). Verificar se será utilizada a Tabela 1 (coeficiente z) ou a Tabela 2 (coeficiente t). Encontrar o valor crítico do coeficiente de confiança. Calcular o valor do teste. Verificar se o valor do teste se encontra na região de aceitação ou de rejeição da hipótese nula. Dar a conclusão. 184

Exemplos de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste bilateral) 1. O engenheiro responsável pelo setor de produção de uma empresa afirmou ao gerente financeiro que o tempo médio para produção de determinado tipo de aparelho é igual a 82,8 minutos. O gerente dessa empresa, desejando testar essa afirmação do engenheiro, tomou uma amostra aleatória de 36 aparelhos, e anotou os tempos gastos na sua produção, obtendo um tempo médio de 78,3 minutos, com um desvio padrão de 15,3 minutos. Testar a afirmação do engenheiro responsável pelo setor de produção, ao nível de significância de 5%, contra a alternativa de que o tempo médio de produção desses aparelhos é diferente de 82,8 minutos. Solução: ( I ) Dados: M = 82,8 (média populacional) m = 78,3 (média amostral) s = 15,3 (desvio padrão amostral) n = 36 (tamanho da amostra)

nível de significância de 5% (ou seja, confiança de 95%) (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M = 82,8 minutos (é a afirmação do engenheiro e que será testada) H1: M ≠ 82,8 minutos (é o que o gerente dessa empresa pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n = 36 > 30 , então devemos utilizar a Tabela 1 (z). Como o teste é bilateral, pois a média amostral obtida tanto poderia resultar em um valor menor como um valor maior que a média populacional, então o valor crítico de z, ao nível de significância de 5%, é: z crít

= ± 1,96

(IV) Valor do teste: A nossa hipótese nula (H o) nos diz que essa diferença verificada é devida ao acaso. Para sabermos se devemos aceitar ou rejeitar essa hipótese, vamos transformar a média da amostra no coeficiente z teste e compará-lo com o valor crítico de z (zcrít). Pela fórmula (XXII) z teste = m − M , temos: z = 78,3 − 82,8 ⇒ z teste = − 1,76 teste s

15,3 36

n

(V) Conclusão: Como zteste = – 1,76 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, ou seja, o gerente deve aceitar a afirmação do engenheiro responsável pelo setor de produção de que o tempo médio para produção desses aparelhos é igual a 82,8 minutos, pois a diferença ocorrida entre as médias amostral e populacional é irrelevante (insignificante ), isto é, foi devida ao acaso. 185

2.

A engenheira responsável pelo setor de produção de uma grande indústria afirmou que o tempo médio para montagem de determinado equipamento é igual a 82,8 minutos. O gerente geral dessa empresa, desejando testar essa afirmação da engenheira, escolheu aleatoriamente 25 desses equipamentos na linha de montagem e verificou que o tempo médio gasto foi de 88,1 minutos, com um desvio padrão de 15,3 minutos. Testar a afirmação da engenheira, ao nível de significância de 10%, contra a alternativa de que o tempo médio para montagem desse equipamento não é de 82,8 minutos.

Solução: ( I ) Dados: M = 82,8 (média populacional) m = 88,1 (média amostral) s = 15,3 (desvio padrão amostral) n = 25 (tamanho da amostra)

nível de significância de 10% (ou seja, confiança de 90%) (II) As hipóteses estatísticas são: Ho: M = 82,8 minutos (é a afirmação da engenheira e que será testada) H1: M ≠ 82,8 minutos (é o que o gerente geral pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n = 25 < 30 e o desvio padrão é amostral (s), então devemos utilizar o coeficiente t (Tabela 2). O valor crítico de t, para o teste bilateral, ao nível de significância de 10%, é: t crít = ± 1,711 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXIII) t teste = m − M , temos: t = 88,1 − 82,8 ⇒ t teste = + 1,732 teste s

15,3 25

n

(V) Conclusão: Como tteste = + 1,732 encontra-se na região de rejeição, devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, não devemos aceitar a afirmação da engenheira, portanto o gerente geral não deve aceitar a afirmação da engenheira , logo, o tempo médio para montagem desse equipamento é diferente de 82,8 minutos, pois a diferença ocorrida entre as médias é relevante (significativa ), isto é, não foi devida ao acaso, ou seja, existe algum motivo. 186

3. A rotina de encerramento do expediente diário de uma grande fábrica compreende o resfriamento do maquinário, verificação dos interruptores elétricos e fechamento das grades de segurança, cujos funcionários responsáveis estabeleceram um tempo médio de 40 minutos para execução dessas tarefas. Por observações feitas anteriormente, sabe-se que o desvio padrão do tempo de execução dessas tarefas pode ser aceito como sendo igual a 2,4 minutos. O engenheiro da fábrica, responsável pelo setor, quer saber se o verdadeiro tempo médio para execução dessas tarefas é realmente de 40 minutos. Para tanto, foram computados durante 25 dias, escolhidos aleatoriamente, os tempos para execução dessas tarefas, que acusaram um tempo médio de 42 minutos. Testar, ao nível de significância de 5%, a média estabelecida pelos funcionários, contra a alternativa de que o tempo médio para execução dessas tarefas é diferente de 40 minutos. Solução: ( I ) Dados: M = 40 minutos (média populacional) m = 42 minutos (média amostral) σ

= 2,4 minutos (desvio padrão populacional)

n = 25 (tamanho da amostra)

Nível de significância de 5% (ou seja, confiança de 95%) (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M = 40 minutos (é a afirmação dos funcionários da fábrica e que será testada) H1: M ≠ 40 minutos (é o que o engenheiro da fábrica pretende verificar) (III) Valor crítico: Como o desvio padrão é o populacional (σ ), então devemos utilizar o coeficiente z (Tabela 1). Como o teste é bilateral, pois a média da amostra tanto pode ficar abaixo como acima da média populacional, então o valor crítico de z, ao nível de significância de 5%, é: z crít = ±1,96 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXI) z teste = m − M , temos: z = 42 − 40 ⇒ z teste = +4,17 teste σ

n

2, 4

25

(V) Conclusão: Como zteste = + 4,17 encontra-se na região de rejeição, devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, não devemos aceitar a afirmação dos funcionários da fábrica, portanto o engenheiro responsável pelo setor não deve aceitar a alegação dos funcionários, logo, o tempo médio para encerramento do expediente diário não é de 40 minutos. 187

4. A rotina de encerramento do expediente diário de uma grande fábrica compreende o resfriamento do maquinário, verificação dos interruptores elétricos e fechamento das grades de segurança, cujos funcionários responsáveis estabeleceram um tempo médio de 40 minutos para execução dessas tarefas. A engenheira da fábrica, responsável pelo setor, quer saber se o verdadeiro tempo médio para execução dessas tarefas é realmente de 40 minutos. Para tanto, foram computados durante 25 dias, escolhidos aleatoriamente, os tempos para execução dessas tarefas, que acusaram um tempo médio de 39 minutos, com desvio padrão de 2,4 minutos. Testar, ao nível de significância de 1%, a média estabelecida pelos funcionários, contra a alternativa de que o tempo médio para execução dessas tarefas não é de 40 minutos. Solução: ( I ) Dados: M = 40 minutos (média populacional) m = 39 minutos (média amostral) s = 2,4 minutos (desvio padrão amostral n = 25 (tamanho da amostra)

Nível de significância de 1% (ou seja, confiança de 99%) (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M = 40 minutos (é a afirmação dos funcionários da fábrica e que será testada) H1: M ≠ 40 minutos (é o que a engenheira da fábrica pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n = 25 < 30 e o desvio padrão é o amostral ( s), então devemos utilizar o coeficiente t (Tabela 2). O valor crítico de t, para o teste bilateral, ao nível de significância de 1%, é: t crít = ±2,797 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXIII) t teste = m − M , temos: tteste = 39 − 40 ⇒ t teste = −2,083 s

2, 4

25

n

(V) Conclusão: Como tteste = – 2,083 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, ou seja, devemos aceitar a afirmação dos funcionários da fábrica, portanto, a engenheira da fábrica deve aceitar a afirmação dos funcionários de que o tempo médio para execução dessas tarefas é de 40 minutos. 188

Exercícios de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste bilateral) 1. O engenheiro responsável pela linha de produção suspeita que a quantidade média de flocos de milho colocada nas caixas não está de acordo com a quantidade esperada. Com base em uma amostra aleatória de 50 caixas, obteve-se um peso médio de 684,2 g, com um desvio padrão de 12,1 g. Testar a hipótese nula, ao nível de significância de ∝%, de que o peso médio das caixas de flocos de milho é igual a 680 g, contra a alternativa de que a o peso médio é diferente de 680 g, e diga se o engenheiro deve interferir no processo, quando: a) ∝ = 5% Solução: ( I ) Dados:

(II) Hipóteses estatísticas:

(III) Valor crítico:

(IV) Valor do teste:

(V) Conclusão:

b) ∝ = 1% Solução: ( I ) Dados:




(V) Conclusão:

189

2. Um lote de máquinas com defeitos foi recebido em um departamento de conserto de máquinas. O técnico responsável estimou um tempo médio de 100 minutos para o conserto de cada máquina. Para uma amostra aleatória de 12 máquinas, o tempo médio necessário para o conserto é de 90 minutos, com um desvio padrão de 15 minutos. Testar a afirmação do técnico, ao nível de significância de 10%, contra a alternativa de que o tempo médio de conserto é diferente de 100 minutos, supondo que a distribuição do tempo de conserto é aproximadamente normal.

3. O fabricante de lâmpadas fluorescentes de determinada marca, afirma que a vida útil média dessas lâmpadas é de 1.600 horas. Uma amostra aleatória de 100 lâmpadas apresentou uma vida útil média de 1.570 horas,acom desvio de padrão 120útilhoras. a afirmação do fabricante, nívelquando: de significância de ∝ %, contra alternativa que ade vida médiaTestar dessas lâmpadas não é de 1.600ao horas, a) ∝ = 5%

190

b) ∝ = 1%

O fabricante afirma que o peso médio de seu produto é de 820 g. Uma amostra de n unidades desse produto acusou um peso médio de m gramas, com um desvio padrão de 15 g. Testar a afirmação do fabricante, ao nível de significância de ∝%, contra a alternativa de que o peso médio desse produto é diferente de 820 g, quando: a) m = 814 g, n = 20 e ∝ = 5%. 4.

191

b) m = 830 g, n = 40 e ∝ = 2%.

c) m = 827 g, n = 16 e ∝ = 10%.

192

d) m = 815 g, n = 35 e ∝ = 0,5%.

5. O fabricante afirma que o consumo médio mensal de energia de seu aparelho é de 80 kWh, e o desvio padrão é de 12 kWh. Uma amostra de n aparelhos revelou um consumo médio mensal de m kWh. Testar a afirmação do fabricante, ao nível de significância de ∝%, contra a alternativa de que o consumo médio mensal de energia não é de 80 kWh, quando: a) m = 85 kWh, n = 22 e ∝ = 1%.

193

b) m = 76 kWh, n = 50 e ∝ = 20%.

Respostas: ±

1. a)

1. b) 2. 3. a) 3. b) 4. a)

Ho: M = 680 g H1: M ≠ 680 g

Teste bilateral

zcrít = 1,96 zteste = + 2,45

Ho: M = 680 g

Teste bilateral

zcrít

Teste bilateral

tcrít = ± 1,796

H1: M ≠ 680 g Ho: M = 100 min H1: M ≠ 100 min Ho: M = 1.600 h

4. c)

H1: M ≠ 1.600 h Ho: M = 1.600 h H1: M ≠ 1.600 h

Teste bilateral

zcrít = ± 2,58 zteste = – 2,5

Ho: M = 820 g

Teste bilateral

tcrít = ± 2,093

Teste bilateral

zcrít

Ho: M = 820 g H1: M ≠ 820 g Ho: M = 820 g H1: M ≠ 820 g Ho: M = 820 g

4. d) 5. a)

H1: M ≠ 820 g Ho: M = 80 kWh H1: M≠ 80 kWh

5. b)

tteste = – 2,309 zcrít = ± 1,96

Teste bilateral

H1: M ≠ 820 g 4. b)

= ± 2,58

zteste = + 2,45

Ho: M = 80 kWh H1: M ≠ 80 kWh

Teste bilateral

zteste = – 2,5

tteste = – 1,789

= ± 2,33

zteste = + 4,22 tcrít = ± 1,753 tteste = + 1,867

Teste bilateral

zcrít

Teste bilateral

zcrít

Teste bilateral

zcrít

= ± 2,81

zteste = – 1,97

= ± 2,58

zteste = + 1,95

= ± 1,29

zteste = – 2,36

Conclusão: Rejeição da hipótese nula (H ), ou seja, o engenheiro deve intervir o no processo da linha de produção, pois a diferença verificada não foi devida ao acaso (isto é, existe um motivo), logo, o peso médio de flocos nas caixas é diferente de 680 g. Conclusão :Aceitação da hipótese nula (Ho) , ou seja, o engenheiro não deve intervir no processo da linha de produção (isto é, a diferença verificada foi devida ao acaso), portanto, o peso médio de flocos nas caixas é de 680 g. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), ou seja, a afirmação do técnico deve ser rejeitada, logo, o tempo médio de conserto das máquinas é diferente de 100 min. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), ou seja, a afirmação do fabricante deve ser rejeitada, portanto, a vida útil média das lâmpadas é diferente de 1.600 horas. Conclusão: Aceitação da hipótese nula (Ho), portanto, a afirmação do fabricante deve ser aceita, ou seja, a vida útil média das lâmpadas é de 1.600 h. Conclusão: Aceitação da hipótese nula (Ho), portanto, a afirmação do fabricante deve ser aceita, ou seja, o peso médio de seu produto é de 820 g. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), portanto, a afirmação do fabricante deve ser rejeitada, ou seja, o peso médio de seu produto é diferente de 820 g. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), ou seja, a afirmação do fabricante deve ser rejeitada, portanto, o peso médio de seu produto é diferente de 820 g. Conclusão: Aceitação da hipótese nula (Ho), ou seja, a afirmação do fabricante deve ser aceita, portanto, o peso médio de seu produto é de 820 g. Conclusão: Aceitação da hipótese nula (Ho), portanto, a afirmação do fabricante deve ser aceita, ou seja, o consumo médio mensal de energia é de 80 kWh. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), ou seja, a afirmação do fabricante deve ser rejeitada, portanto, o consumo médio mensal de energia não é de 80 kWh. 194

Exemplos de Testes deHipóteses para a Média (utilizando o teste unilateral à esquerda) O engenheiro de uma fábrica de elevadores pretende adquirir de certo fabricante uma remessa de cabos de aço para determinado tipo de elevador, com a garantia do fabricante de que esses cabos suportam um peso médio de, no mínimo, 600 kg, e que o desvio padrão do processo é de 50 kg. O engenheiro tomou uma amostra aleatória de 12 cabos desse tipo, a qual apresentou uma resistência média de 575 kg. Ao nível de significância de 5%, testar a afirmação do fabricante desses cabos contra a alternativa de que a resistência média desses cabos é inferior a 600 kg, sendo: Solução: ( I ) Dados: M = 600 kg (média populacional) 1.

m = 575 kg (média amostral) σ

= 50 kg (desvio padrão populacional)

n = 12 (tamanho da amostra)

Nível de significância de 0,05 (5%) (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M ≥ 600 kg (é a afirmação do fabricante de cabos de aço e que será testada) H1: M < 600 kg (é o que o engenheiro pretende verificar) (III) Valor crítico: Como o desvio padrão é o populacional (σ ), então devemos utilizar o coeficiente z (Tabela 1). Como o teste é unilateral, pois na hipótese alternativa estamos testando apenas as médias amostrais que se encontram abaixo da média populacional, então o valor crítico de z, ao nível de significância de 5%, é: z crít = −1,65 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXI) z teste = m − M , temos: zteste = 575 − 600 ⇒ z teste = − 1,73 σ

50

12

n

(V) Conclusão: Como zteste = – 1,73 encontra-se na região de rejeição, devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, não devemos aceitar a afirmação do fabricante de cabos de aço, portanto, o engenheiro da fábrica de elevadores não deve aceitar a afirmação do fabricante de cabos de aço de que a resistência média é de, no mínimo, de 600 kg, ou seja, ao que tudo indica, os cabos de aço têm uma resistência média inferior a 600 kg. 2. Qual seria a conclusão do exemplo anterior para um nível de significância de 1%? Resposta: Como valor crítico de z seria zcrít = – 2,33, a conclusão ficaria: Como zteste = – 1,73 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, ou seja, devemos aceitar a afirmação do fabricante de cabos de aço, portanto, o engenheiro da fábrica de elevadores deve aceitar a afirmação do fabricante de cabos de aço de que a resistência média é de, no mínimo, 600 kg. 195

3. O gerente de uma empresa de transporte suspeita da afirmação de um vendedor de pneus de que seu produto tem uma vida útil média de, no mínimo, 56.000 km. Para verificar a afirmação do vendedor, a empresa instala n pneus desse tipo em seus caminhões, obtendo uma vida útil média de 55.126 km, com desvio padrão de 2.696 km. Testar, ao nível de significância de ∝%, a afirmação do vendedor de pneus contra a alternativa de que a vida útil média desses pneus é inferior a 56.000 km. Qual a conclusão do gerente, se: a) n = 40 e ∝ = 1% Solução: ( I ) Dados: M = 56.000 km (média populacional) m = 55.126 km (média amostral) s = 2.696 km (desvio padrão amostral) n = 40 (tamanho da amostra) Nível de significância de 1% (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M ≥ 56.000 km (é a afirmação do vendedor de pneus e que será testada) H1: M < 56.000 km (é o que o gerente da transportadora pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n = 40 > 30 , então devemos utilizar o coeficiente z (Tabela 1). Como o teste é unilateral, pois na hipótese alternativa estamos testando apenas as médias amostrais que se encontram abaixo da média populacional, então o valor crítico de z, ao nível de significância de 1%, é: z crít = − 2,33 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXII) z teste = m − M , temos: z = 55.126 − 56.000 ⇒ z teste = − 2,05 teste s

2.696 40

n

(V) Conclusão: Como zteste = – 2,05 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, ou seja, a diferença ocorrida entre as médias é irrelevante , isto é, foi devida ao acaso, portanto, a suspeita do gerente não é confirmada pelos dados amostrais, logo o gerente dessa empresa deve aceitar a afirmação do vendedor de que a vida útil média dos pneus é de, no mínimo, 56.000 km. Obs.: O fato de o gerente aceitar a hipótese nula é uma decisão dele, e não um problema da estatística. b) n = 25 e ∝ = 10% Solução: ( I ) Dados: M = 56.000 km (média populacional) m = 55.126 km (média amostral) s = 2.696 km (desvio padrão amostral) n = 25 (tamanho da amostra) Nível de significância de 10% (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M ≥ 56.000 km (é a afirmação do vendedor de pneus e que será testada) H1: M < 56.000 km (é o que o gerente da transportadora pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n = 25 < 30 e o desvio padrão é amostral ( s), então devemos utilizar o coeficiente t (Tabela 2) . O valor crítico de t, para o teste é unilateral, ao nível de significância de 10%, é: t crít = −1,318 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXIII) t teste = m − M , temos: t = 55.126 − 56.000 ⇒ t teste = − 1,621 teste s

2.696 25

n

(V) Conclusão: Como t

= – 1,621 encontra-se na região de rejeição, não devemos aceitar a hipótese nula,

teste

ou seja, a diferença ocorrida entre as médias é relevante (isto é, não foi devida ao acaso; existe um motivo), então devemos aceitar a hipótese alternativa, portanto, o gerente da transportadora não deve aceitar a afirmação do vendedor; assim a suspeita do gerente da empresa transportadora é confirmada pelos dados amostrais, de que a vida útil média dos pneus é inferior a 56.000 km. 196

Exercícios de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste unilateral à esquerda) Uma companhia vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo médio de 400 horas, no mínimo. Uma análise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma média de eficiência de 360 horas. a) Teste a alegação da companhia, contra a alternativa que a duração média de eficiência desse repelente é inferior a 400 horas, ao nível de significância de 0,01 (1%), se o desvio padrão amostral é de 60 horas. Solução: ( I ) Dados: 1.




(V) Conclusão:

b) Repita a parte a) sabendo que o desvio padrão populacional é de 50 horas. Solução: ( I ) Dados:



197


(V) Conclusão:

c) Em qual das partes a) e b) é preciso saber que a população é aproximadamente normal? Por que?

2. O fabricante de máquinas empacotadoras afirma que as embalagens empacotadas por suas máquinas fornecem um peso médio líquido de, no mínimo, 174 gramas. Para testar a afirmação do fabricante, o diretor comercial da empresa que pretende adquirir uma dessas máquinas tomou uma amostra aleatória de 22 pacotes embalados por esse tipo de máquina, obtendo um peso médio líquido 171 gramas, com um desvio padrão de 10 gramas. Testar a afirmação do fabricante, a um nível de significância de 5%, contra a alternativa de que o peso médio líquido dos pacotes embalados por essa máquina é inferior a 174 gramas.

Respostas: Ho: M ≥ 400 h Teste unilateral tcrít = – 2,896 1. a) 1 M tteste = – 2,0 H : < 400 h à esquerda Ho: M ≥ 400 h Teste unilateral zcrít = – 2,33; 1. b) à esquerda H1: M < 400 h zteste = – 2,40 1. c) Em ambas, pois o número de observações e inferior a 30. Ho: M ≥ 174 g Teste unilateral tcrít = – 1,721; 2. à esquerda H1: M < 174 g tteste = – 1,408

Conclusão: Aceitação da hipótese nula (H o), ou seja, a afirmação da companhia deve ser aceita, ou seja, o tempo médio de eficiência do repelente é de, no mínimo, 400 h. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (H o), portanto, a afirmação da companhia deve ser rejeitada, ou seja, o tempo médio de eficiência do repelente é inferior a 400 h. Conclusão: Aceitação da hipótese nula (H o), ou seja, a afirmação do fabricante deve ser aceita, ou seja, as embalagens fornecem um peso médio líquido máximo de 174 g. 198

Exemplos de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste unilateral à direita) O engenheiro de uma fábrica de máquinas de refrescos garante que elas são ajustadas de modo a fornecer um conteúdo médio de, no máximo, 340 ml por copo. O gerente de uma rede de lanchonetes comprou um lote dessas máquinas e testou, aleatoriamente, uma dessas máquinas n vezes, e verificou que houve um enchimento médio, por copo, de 350 ml, com um desvio padrão de 20 ml. Preocupado com a segurança do produto pelo fato de conter um volume acima da capacidade recomendada pelos fabricantes dos copos (além de ter prejuízo financeiro ao se colocar um conteúdo maior de refrescos nos copos), esse gerente deseja testar a afirmação do engenheiro, contra a hipótese de que a média de conteúdo, por copo, é superior a 340 ml, utilizando um nível de significância de 5%, sendo: a) n = 9 Solução: ( I ) Dados: M = 340 ml (média populacional) m = 350 ml (média amostral) s = 20 ml (desvio padrão amostral) n = 9 (tamanho da amostra)

Nível de significância de 5% (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M ≤ 340 ml (é a afirmação do engenheiro e que será testada) H1: M > 340 ml (é o que o gerente da rede de lanchonetes pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n = 9 < 30 e o desvio padrão é o amostral ( s) e, então devemos utilizar a Tabela 2 ( t ). Como o teste é unilateral, pois na hipótese alternativa estamos testando apenas as médias amostrais que se encontram acima da média populacional, então o valor crítico de t, para o nível de significância de 5%, e n – 1 = 9 – 1 = 8 graus de liberdade, é: t crít = +1,860 (IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXIII) t teste = m − M , temos: t = 350 − 340 ⇒ t teste = +1,5 teste s

20

9

n

(V)

Conclusão: Como tteste = + 1,5 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, isto é, o gerente da rede de lanchonetes deve aceitar a afirmação do engenheiro da fábrica de que o conteúdo médio fornecido pelas máquinas é de, no máximo, 340 ml por copo, pois a diferença entre as médias é irrelevante, ou seja, foi devida ao acaso.

b) n = 36 Solução: ( I ) Dados: M = 340 ml (média populacional) m = 350 ml (média amostral) s = 20 ml (desvio padrão amostral) n = 36 (tamanho da amostra) Nível de significância de 5% (II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: Ho: M ≤ 340 ml (é a afirmação do engenheiro e que será testada) H1: M > 340 ml (é o que o gerente da rede de lanchonetes pretende verificar) (III) Valor crítico: Como n= 36 > 30 , então devemos utilizar a Tabela 1 (z). O valor crítico de z, para o teste unilateral, ao nível de significância de 5%, é: z crít = + 1,65 199

(IV) Valor do teste: Pela fórmula (XXII) z teste = m − M , temos: z = 350 − 340 ⇒ z teste = +3,0 teste s

20

36

n

(V) Conclusão: Como zteste = + 3,0 encontra-se na região de rejeição, devemos rejeitar a hipótese nula e aceitar a hipótese alternativa de que o conteúdo médio, por copo, é superior a 340 ml, portanto, o gerente da rede de lanchonetes não deve aceitar a afirmação do engenheiro , e assim solicitar imediatamente novo ajuste em seus maquinários para garantir a segurança em seus produtos.

Exercícios de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste unilateral à direita) 1. O fabricante de máquinas empacotadoras afirma que as embalagens empacotadas por suas máquinas fornecem um peso médio líquido de, no máximo, 174 gramas. Para testar a afirmação do fabricante, o diretor comercial da empresa que pretende adquirir uma dessas máquinas tomou uma amostra aleatória de 22 pacotes embalados por esse tipo de máquina, obtendo um peso médio líquido 171 gramas, com um desvio padrão de 10 gramas. Testar a afirmação do fabricante, a um nível de significância de 5%, contra a alternativa de que o peso médio líquido dos pacotes embalados por essa máquina é superior a 174 gramas.

200

2. Determinada reação química de um composto gasta, em média, um tempo máximo de 35 minutos. Com o intuito de retardar o tempo dessa reação, um engenheiro acrescentou certa substância a esse composto e após n experiências com esse novo composto, obteve um tempo médio de 36,5 minutos, com um desvio padrão de 5,1 minutos. Testar, ao um nível de significância de 10%, a alternativa de que o tempo de reação é superior a 35 minutos e diga se a substância foi eficiente para retardar a reação química, sendo: a) n = 40

b) n = 20

201

3. Um fabricante de geladeiras de determinada capacidade afirma que o consumo médio mensal é de, no máximo, 62 quilowatts-hora. Em um recente estudo para verificar o consumo dos diversos tipos de eletrodomésticos, foi incluído esse tipo de geladeira, obtendo, para uma amostra aleatória de 15 casas que possuem esse tipo de geladeiras, um consumo médio mensal de 68 quilowatts-hora, com desvio padrão de 12,7 quilowatts-hora. Testar a afirmação do fabricante, a um nível de significância de ∝%, contra a alternativa de que o consumo médio mensal é superior a 62 quilowatts-hora, sendo: a) ∝= 5%

b) ∝ = 1%

Respostas: Ho: M ≤ 174 g 1. H1: M > 174 g 2. a)

Ho: M ≤ 35 min H1: M > 35 min

2. b)

Ho: M ≤ 35 min H1: M > 35 min

3. a)

Ho: M ≤ 62 kWh H1: M > 62 kWh

3. b)

Ho: M ≤ 62 kWh H1: M > 62 kWh

Teste unilateral à direita Teste unilateral à direita

tcrít = + 1,721;

Teste à unilateral direita Teste unilateral à direita Teste unilateral à direita

tcrít = + 1,328; tteste = + 1,315

tteste = + 1,408

zcrít = + 1,29 zteste =

tcrít

+ 1,86

= – 1,761

tteste = – 1,830 tcrít

= – 2,624

tteste = – 1,830

Conclusão: Aceitação da hipótese nula (H o), portanto, a afirmação do fabricante deve ser aceita, ou seja, as embalagens fornecem um peso médio líquido máximo de 174 g. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), ou seja, a substância adicionada foi eficiente, ou seja, o tempo médio de reação desse composto químico é superior a 35 min. Conclusão:não Aceitação da hipótese (H o), médio portanto, substância adicionada foi eficiente, ou seja,nula o tempo deareação do composto químico é de, no máximo, 35 min. Conclusão: Rejeição da hipótese nula (Ho), portanto, a afirmação do fabricante deve ser rejeitada, ou seja, o consumo médio de energia é superior a 62 quilowatts-hora. Conclusão: Aceitação da hipótese nula (H o) , ou seja, a afirmação do fabricante deve ser aceita, ou seja, o consumo médio de energia é de, no máximo, 62 quilowatts-hora. 202

NOÇÕES DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Os parâmetros são quantidades numéricas que resumem as características de uma distribuição, tais como a média e o desvio padrão. A correlação é um dos métodos paramétricos utilizados em Estatística para estudo dos fenômenos.

C o r r e l a ç ã o: Ao observarmos duas variáveis estatísticas, notamos, às vezes, uma sugestão de uma função entre elas, a qual chamamos de correlação . Para o cálculo de correlação, torna-se necessário elevado número de observações, algumas centenas na maior parte dos casos.

R e g r e s s ã o: A regressão constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática que descreva o relacionamento entre as variáveis. A análise de correlação dá um número que resume o grau de relacionamento entre duas variáveis, e a análise de regressão tem como resultado uma equação matemática que descreve o relacionamento. A correlação e regressão são úteis nas áreas de administração, economia, agricultura, marketing, educação, pesquisa médica etc. Assim, por exemplo, podemos investigar o relacionamento entre: • resistência e dureza de um metal • quantidade de fertilizantes e safra de cereais • adição de álcool à gasolina e consumo por quilômetro rodado • diâmetro das barras de aço e resistência • tempo de construção de imóveis usados e preço de venda • distância de freagem de um carro e velocidade • chuvas e produção de cereais • horas de trabalho e rendimento do trabalho • reclamações de clientes e qualidade do produto • vendas e lucro bruto • quilometragem dos veículos usados e preço de venda • pesos e alturas de pessoas • idade e pressão arterial de pacientes • idades e alturas de pessoas • gastos com publicidade e vendas • nível de instrução e higiene • número de telespectadores de programa de televisão e tipo de programa • preços dos comerciais de TV e horários de exibição • consumo de cigarro e incidência de câncer • idades das casas e valores de aluguéis • notas de Estatística e quantidade de horas de estudos por mês etc. Um alerta: Precisamos tomar alguns cuidados e não sair por aí querendo relacionar qualquer coisa. Por exemplo, não podemos querer relacionar o aumento da produção de automóveis com o aumento do consumo de sorvete... Atenção: O relacionamento entre duas (ou mais) variáveis nem sempre indica uma relação de causa e efeito. Por exemplo , é bem provável que exista uma correlação entre o número de jornais vendidos diariamente nas cidades e o número de habitantes que usam óculos. Será que ler jornais faz mal para a vista? A correlação é simples quando estudamos o grau de relacionamento entre duas variáveis x e y, e é múltipla quando temos mais de duas variáveis. 203

a)

A correlação linear simples de duas variáveis x e y pode ser: Correlação direta (ou positiva) – quando os valores crescentes (ou decrescentes) de x estiverem associados a valores crescentes (ou decrescentes) de y, conforme mostra o diagrama de dispersão: Correlação Linear Positiva

y l e v iá r a V

Variável x

b)

Correlação inversa (ou negativa) – quando os valores crescentes (ou decrescentes) de x estiverem associados a valores decrescentes (ou crescentes) de y, conforme mostra o diagrama de dispersão: Correlação Linear Negativa

y l e v iá r a V

Variável x

c)

Correlação nula – quando não houver relação entre as variáveis x e y, ou seja, as variáveis são independentes , conforme mostra o diagrama de dispersão: Correlação Nula

y l e v iá r a V

Variável x

A correlação é linear (ou do 1º grau) – quando pode ser representada por uma reta. A correlação é não linear quando é representada por uma função parabólica (ou do 2º grau), exponencial, logarítmica, geométrica, inversa etc.: Correlação Não Linear

y l e v á i r a V

Variável x

Neste curso, estudaremos apenas a correlação linear simples, para as variáveis x e y. 204

C O E F I C I E N T E D E C O R R E L A Ç Ã O L I N E A R (r)

O Coeficiente de Correlação Linear é um indicador de força de uma relação linear, ou seja, mede o grau de relacionamento linear entre as variáveis x e y em uma amostra, através da disposição dos pontos (x, y) em torno de uma reta y. A interpretação do Coeficiente de Correlação como medida de intensidade da relação linear entre duas variáveis é puramente matemática, e está isenta de qualquer implicação de causa e efeito. O fato de duas variáveis aumentarem ou diminuírem juntas não implica que uma delas tenha algum efeito direto, ou indireto, sobre a outra, pois ambas podem ser influenciadas por outras variáveis de maneira que dê a uma das variáveis em estudo uma forte correlação entre elas. O Coeficiente de Correlação Linear (r) estabelecido por Karl Pearson (1857–1936), para n pares de pontos (x, y) das duas variáveis, é dado por:

r

=

n ⋅ Σxy − (Σx) ⋅ (Σy )

[ n ⋅ Σx 2 − (Σx) 2 ] ⋅ [ n ⋅ Σy 2 − (Σy ) 2 ]

Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear 1ª) O valor de r está sempre entre – 1 e + 1, isto é, –1 ≤ r ≤ + 1, e é dado em porcentagem. Observação: Se r = – 1 (– 100%) ⇒ correlação máxima negativa r = + 1 (+ 100%) ⇒ correlação máxima positiva r = 0 ⇒ correlação nula (variáveis independentes) r < | ± 0,20 | ⇒ fraca correlação entre as variáveis r > | ± 0,80 | ⇒ forte correlação entre as variáveis 2ª) O valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das variáveis são convertidos para uma escala diferente. Por exemplo , se as medidas de uma variável são dadas em centímetros, e forem convertidas para polegadas, o valor de r não se modificará. 3ª) O valor de r não é afetado pela escolha de x ou y, ou seja, permutando todos os valores de x pelos respectivos valores de y, o valor de r permanecerá inalterado. 4ª) O coeficiente de correlação linear r mede somente a intensidade, ou grau, de relacionamento linear (não serve para medir o grau de relacionamento não linear). Observação: Devemos tomar alguns cuidados ao se estudar o coeficiente de correlação r, pois ele tem algumas limitações, tais como: 205

1. O coeficiente de correlação quantifica somente o grau da relação linear entre duas variáveis, ou seja, se a relação for não linear, o coeficiente r não fornecerá uma medida dessa associação. 2. Se uma distribuição tiver valores atípicos ou pares de observações fora do intervalo de outros pontos, o coeficiente de correlação poderá trazer resultados enganosos. Por exemplo , determinados medicamentos para o tratamento de uma doença têm uma produção e consumo que podem ser previstos num certo intervalo com um bom resultado. Agora, se em um estudo que estiver sendo realizado sobre essas variáveis, e ocorrer um surto dessa doença nesse período, consequentemente o consumo e a produção serão enormes, e se esses valores forem utilizados para determinação do coeficiente de correlação r, o resultado irá interferir nas demais projeções futuras, pois o coeficiente de correlação é altamente sensível a valores extremos. 3.

A correlação estimada nunca dever ser extrapolada para além dos intervalos observados das variáveis.

4.

Uma alta correlação entre duas variáveis não implica que ela própria seja uma relação de causa e efeito.

R EG RE SS ÃO L I NE AR S IM PL ES A regressão linear tem por objetivo fazer previsões dos valores de uma variável, quando são conhecidos os valores da outra variável. O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido como método dos mínimos quadrados, o qual foi proposto por Karl Friedrich Gauss (1777–1855). Assim, a regressão linear é dada pela reta: y

= a + bx

onde, b=

n ⋅ Σxy − (Σx) ⋅ (Σy) n ⋅ Σx 2 − (Σx) 2

(coeficiente angular da reta)

e a=

Σy n

−b⋅

Σx n

(coeficiente linear da reta)

Obs.: A reta resultante apresenta duas características importantes: a)

A soma dos desvios verticais dos pontos em relação à reta é zero.

b) A soma dos quadrados desses desvios é mínima, isto é, nenhuma outra reta daria menor soma de quadrados de tais desvios). 206

E X E M P L O S (correlação e regressão) 1.

a)

A tabela abaixo apresenta as produções diárias (x) de determinado tipo de peça, e os respectivos estoques (y) dessas peças, observados em 6 dias aleatoriamente escolhidos: Produção (x) Estoque (y) 138 29 167 40 204 53 183 36 125 32 190 47 Determine o coeficiente de correlação (r). Solução:

De r =

⇒r=

x 138 167 204 183 125 190 Σx = 1007

y 29 40 53 36 32 47 Σy = 237

xy 4002 6680 10812 6588 4000 8930 Σxy = 41012

n ⋅ Σxy − (Σx) ⋅ (Σy )

[n ⋅ Σx − (Σx) ] ⋅ [n ⋅ Σy − (Σy ) ] 2

2

2

2

x² 19044 27889 41616 33489 15625 36100 Σx² = 173763

, temos: ⇒ r =

246072 − 238659 [1042578 − 1014049] ⋅ [58674 − 56169]

=

y² 841 1600 2809 1296 1024 2209 Σy² = 9779 6 ⋅ 41012 − 1007 ⋅ 237

[6 ⋅173763− (1007) 2 ] ⋅ [6 ⋅ 9779 − (237) 2 ]

+ 7413 28529 ⋅ 2505

Portanto, r = + 0,877 (+ 87,7%) ⇒ forte correlação direta (positiva) b) Interprete o resultado do coeficiente de correlação linear. Resposta: Com base nessa amostra parece haver forte correlação linear entre as produções e os estoques observados nesse período. Como r é positivo, à medida que a produção dessas peças aumenta, também verificamos que há uma tendência no aumento da quantidade de peças no seu estoque; equivalentemente, à medida que a produção diminui, há uma tendência na diminuição do estoque de peças. c)

Qual a produção média diária de peças nesse período? Σx 1007 mx = = ⇒ m x = 167 ,8

Solução:

n

6

d)

Qual o estoque médio diário de peças verificado nesse período? Solução: m y = Σy = 237 ⇒ m y = 39,5 n

6

e) Determine a equação de regressão linear (y = a + bx). Solução: Os coeficientes angular (b) e linear (a) da reta (y = a + bx) são: 7413 n ⋅ Σxy − ( Σx ) ⋅ ( Σy ) ⇒b= ⇒ b = 0,260 (Obs.: deixar 3 casas decimais) b= 2 2 28529 n ⋅ Σ x − (Σ x) Σy 237 1007 Σx a= ⇒a= −b⋅ − 0,260 ⋅ = 39,5 − 43,637 ⇒ a = – 4,137 (Obs.: deixar 3 casas decimais) n

n

6

6

Portanto, a equação de regressão linear (reta ideal) é: y = – 4,137 + 0,260x f)

.

Qual o valor esperado do estoque para uma produção correspondente a 150 unidades?

Solução: O valor esperado de y (estoque) para x = 150 (produção) é: y = – 4,137 + 0,260x ⇒ y = – 4,137 + 0,260•150 = – 4,137 + 39 ⇒ y = 34,9 (Obs.: deixar 1 casa decimal a mais que os valores de y da tabela dada) 207

g)

Construir o gráfico (com o diagrama de dispersão e a reta de regressão).

1ª Parte Escala para os valores de x (produção): Aplicar a Regra de Três Simples sobre a diferença entre o MAIOR e o MENOR valor de x da tabela: Prod. (x) 138 167 204 maior ⇒ 183 menor ⇒ 125 190

cm 2,0 6,4 12 8,8 0 9,9

204 – 125 = 79 138 – 125 = 13

-------------------

12 cm x

⇒

x=

13•12 = 2,0 cm 79

204 – 125 = 79 167 – 125 = 42

-------------------

12 cm x

⇒

x=

42•12 = 6,4 cm 79

204 – 125 = 79 183 – 125 = 58

-------------------

12 cm x

⇒

x=

58•12 = 8,8 cm 79

204 – 125 = 79 190 – 125 = 65

-------------------

12 cm x

⇒

x=

65•12 = 9,9 cm 79

2ª Parte Escala para as coordenadas de dois pontos (quaisquer) da reta de regressão: Sugestão: Escolher o menor valor de x na tabela dada (isto é, x1 = 125) e o maior valor de x (isto é, x2 = 204) e calcular as respectivas ordenadas y1 e y2 utilizando a equação da reta encontrada na letra e). Para x1 = 125 , temos: y1 = – 4,137 + 0,260 •125 ⇒ y1 = 28,4 e para x2 = 204 , temos: y2 = – 4,137 + 0,260•204 ⇒ y2 = 48,9 .

.

3ª Parte Escala para os valores do eixo y (vertical) Aplicar a Regra de Três Simples sobre a diferença entre o MAIOR e o MENOR dos 8 valores de y (são os 6 valores da tabela e as 2 ordenadas y1 e y2 da reta): 29

cm 0,2

53 – 28,4 = 24,6 29 – 28,4 = 0,6

---------------

9 cm x

⇒

x=

40 53 36 32 47 28,4 48,9

4,2 9 2,8 1,3 6,8 0 7,5

53 – 28,4 = 24,6 40 – 28,4 = 11,6

---------------

9 cm x

⇒

x=

53 – 28,4 = 24,6 36 – 28,4 = 7,6

---------------

9 cm x

⇒

x=

11,6•9 = 4,2 cm 24,6 7,6· 9 = 2,8 cm 79

53 – 28,4 = 24,6 32 – 28,4 = 3,6

---------------

9 cm x

⇒

x=

3,6•9 24,6

53 – 28,4 = 24,6 47 – 28,4 = 18,6

---------------

9 cm x

⇒

x=

18,6•9 = 6,8 cm 24,6

53 – 28,4 = 24,6 48,9 – 28,4 = 20,5

---------------

9 cm x

⇒

x=

20,5•9 = 7,5 cm 24,6

Estoque (y)

maior ⇒

menor ⇒

y1 = y2 =

0,6•9 24,6

= 0,2 cm

= 1,3 cm

Portanto, o gráfico com o diagrama de dispersão e a reta de tendência linear é (Obs.: A e scala da figura abaixo não é a mesma que a sugerida acima):

208

A tabela abaixo apresenta as vendas diárias (x) de determinado tipo de produto, e os respectivos estoques (y) desse produto, em unidades, observados em 7 dias aleatoriamente escolhidos:

2.

Venda (x) 79 102 58 72 65 90 107

Determine o coeficiente de correlação (r). Solução: x y xy 79 30 2370 102 12 1224 58 25 1450 72 40 2880 65 67 4355 90 35 3150 107 20 2140 Σx = 573 Σy = 229 Σxy = 17569

a)

De r =

r

Estoque (y) 30 12 25 40 67 35 20

=

b)

n ⋅ Σxy − (Σx ) ⋅ (Σy )

[ n ⋅ Σx 2 − ( Σx ) 2 ] ⋅ [ n ⋅ Σy 2 − ( Σ y ) 2 ] 122983−131217

[342769− 328329] ⋅ [65681− 52441]

=

x² 6241 10404 3364 5184 4225 8100 11449 Σx² = 48967

, temos: r =

− 8234 14440⋅13240

y² 900 144 625 1600 4489 1225 400 Σy² = 9383

7 ⋅17569 − 573 ⋅ 229 [ 7 ⋅ 48967 − (573) 2 ] ⋅ [7 ⋅ 9383 − ( 229 ) 2 ]

⇒ r = – 0,596 (– 59,6%) correlação inversa (negativa)

Interprete o resultado do coeficiente de correlação linear.

Resposta: Com base nessa amostra dizemos que há uma correlação linear entre as vendas e os estoques desse produto observados nesse período. Como r é negativo, à medida que ocorre um aumento nas vendas desse produto, há uma tendência de diminuição no seu estoque; equivalentemente, à medida que as vendas diminuem , isso ocasiona aumento no estoque. c) Determinar a equação de regressão (y = a + bx). Solução: Os coeficientes angular (b) e linear (a) da reta (y = a + bx) são: n ⋅ Σxy − (Σx) ⋅ (Σy ) − 8234 ⇒b= ⇒ b = – 0,570 b= 2 2 n ⋅ Σx − (Σx) 14440 .

a=

Σy n

−b⋅

Σx n

⇒a=

229 7

− ( −0,570) ⋅

573 7

= 32,714 + 46,659 ⇒ a = 79,373

Portanto, a equação de regressão linear é: y = 79,373 – 0,570x

.

.

d) Qual o valor esperado do estoque para um total de vendas igual correspondente a 80 unidades. Solução: O valor esperado de y (estoque) para x = 80 (vendas) é: y = 79,373 – 0,570x ⇒ y = 79,373 – 0,570•80 = 79,373 – 45,6 ⇒ g)

= y 33,8 Construir o gráfico (com o diagrama de dispersão e a reta de regressão). .

1ª Parte Escala para os valores de x (produção): Aplicar a Regra de Três Simples sobre a diferença entre o MAIOR e o MENOR valor de x da tabela: 209

Venda (x) 79 102 menor ⇒ 58 72 65 83 107 maior ⇒

cm 4,7 9,9 0 3,1 1,6 5,6 11

107 – 58 = 49 79 – 58 = 21

-------------------

11 cm x

⇒

x=

21•11 = 4,7 cm 49

107 – 58 = 49 102 – 58 = 44

-------------------

11 cm x

⇒

x=

44•11 = 9,9 cm 49

107 – 58 = 49 72 – 58 = 14

-------------------

11 cm x

⇒

x=

14•11 = 3,1 cm 49

107 – 58 = 49 65 – 58 = 7

-------------------

11 cm x

⇒

x=

7•11 49

107 – 58 = 49 83 – 58 = 25

-------------------

11 cm x

⇒

x=

25•11 = 5,6 cm 49

= 1,6 cm

2ª Parte Escala para as coordenadas de dois pontos (quaisquer) da reta de regressão: Sugestão: Escolher o menor valor de x na tabela dada (isto é, x1 = 58) e o maior valor de x (isto é, x2 = 107) e calcular as respectivas ordenadas y1 e y2 utilizando a equação da reta encontrada na letra e). Para x1 = 58 , temos: y1 = 79,373 – 0,570•58 ⇒ y1 = 46,3 e para x2 = 107 , temos: y2 = 79,373 – 0,570•107 ⇒ y2 = 18,4 .

.

3ª Parte Escala para os valores do eixo y (vertical): Neste caso, aplicar a Regra de Três Simples utilizando o MAIOR valor de y (são 9 valores, sendo 7 da tabela e as 2 ordenadas y1 e y2 da reta): Estoque (y)

maior ⇒

y1 y2

30 12 25 40 67 35 20 46,3 18,4

cm 4,0 1,6 3,4 5,4 9 4,7 2,7 6,2 2,5

67 30

---------

67 12 30 25 67 40 67 35

-----------------

67

-------------------------

20 67 y1 = 46,3 67 y2 = 18,4

-----------------

9 cm x 9 cm x 9 cm x 9 cm x 9 cm x 9 cm x 9 cm x 9 cm x

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

30•9 67 12•9 67 25•9 67 40•9 67 35•9 67

= 4,0 cm = 1,6 cm = 3,4 cm = 5,4 cm = 4,7 cm

20• = 2,7 cm 67 46,3•9 = 6,2 cm x= 67 18,4•9 = 2,5 cm x= 67 x=

⇒ ⇒

Portanto, o gráfico com o diagrama de dispersão e a reta de tendência linear é (Obs.: A e scala da figura abaixo não é a mesma que a sugerida acima):

210

A P L I C A Ç Õ E S (correlação e regressão) 1.

A tabela abaixo apresenta os resultados de um estudo que um engenheiro está realizando sobre o efeito da temperatura (x), em graus Celsius (ºC), de operação do processo sobre o resultado da produção (y) , em porcentagem (%), em determinada máquina: Graus (x)

Produção (y)

139

71

90

13

163

75

132

65

190 148

88 84

180

93

80

20

118

44

171

80

a) Determine o coeficiente de correlação.

b) Interprete o resultado da letra a).

c) Encontre a equação da reta de regressão.

d) Qual o resultado da produção para uma temperatura de 155ºC?

211

e) Construa o gráfico contendo o diagrama de dispersão e a reta de tendência. (Cuidado com o tipo de escala para os valores de x e de y que irá utilizar para construir o gráfico!) Solução:

1ª Parte: Escala para os valores do eixo x (horizontal): Graus (x)

cm

139 90 163 132 maior ⇒

190

148 180 menor ⇒

80 118

171

Tipo de Escala para os valores de x: Aplicar a Regra de Três Simples sobre a diferença entre o maior e o menor valor de x da tabela: 190 – 80 = 110 139 – 80 = 10

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 90 – 80 = 10

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 163 – 80 = 83

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 132 – 80 = 52

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 148 – 80 = 68

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 180 – 80 = 100

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 118 – 80 = 38

-----------------------------

12 cm

190 – 80 = 110 171 – 80 = 91

-----------------------------

12 cm

x

x

x

x

x

x

x

x

⇒x=

59• .......... 110

=

........cm

⇒x=

10• .......... 110

=

........cm

⇒x=

83• .......... 110

=

........cm

⇒x=

52• .......... 110

=

........cm

⇒x=

68• .......... 110

=

........cm

⇒x=

100• .......... 110

⇒x=

38• .......... 110

=

........cm

⇒x=

91• .......... 110

=

........cm

=

.........cm

2ª Parte: Escala para as coordenadas de dois pontos (quaisquer) da reta de regressão: Sugestão: Escolher o menor valor de x na tabela dada (isto é, x1 = 80) e o maior valor de x (isto é, x2 = 190) e calcular as respectivas ordenadas y1 e y2 utilizando a equação da reta encontrada na letra c)., Para x1 = 80 , temos: y1= ________ e para x2 = 190 , temos: y2= ________

________ •80 ⇒ y1 =_______ ________ •190 ⇒ y2 =_______ 212

.

.

3ª Parte: Escala para os valores do eixo y (vertical): Produção (y)

Não se esqueça de usar os 10 valores de y da tabela MAIS os dois valores de y encontrados na equação da reta

Acrescentar os dois valores de y da reta, encontrados na 2ª parte:

cm

71 13 75 65 88 84 93 20 44 80 x1 = 80 (menor) ⇒

y1 =

x2 = 190 (maior) ⇒

y2 =

Tipo de Escala para os valores de y: Aplicar a Regra de Três Simples utilizando o maior valor de y: -------------------------------

cm

cm

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

⇒

x=

•

x

cm

•

x

cm

•

x

cm

•

x

----------------

cm

----------------

x

-------------------------------

x

•

cm

-------------------------------

x=

•

cm

-------------------------------

⇒

•

cm

-------------------------------

x=

x

-------------------------------

⇒

x

-------------------------------

x=

•

cm

-------------------------------

⇒

x

-------------------------------

x=

x

-------------------------------

•

⇒

cm

•

•

x 213

2.

Um técnico realizou um estudo sobre a quantidade de chuvas (x) e de poluição do ar removida (y), o qual produziu os seguintes dados: x y Escala (x) Escala (y) 4,5

121

2,1

141

5,2

118

3,8

132

6,1

114

5,6

118

7,5

108

5,9

116

4,3

126

Coordenadas de 2 pontos da reta: Para x1 =..........(Sugestão: Considerar o menor valor de x na tabela) ⇒ y1 =............⇒ (escala): e para x2 =..........(Sugestão: Considerar o maior valor de x na tabela) ⇒ y2 =...........⇒ (escala): 214




d) Estime a quantidade de partículas removidas quando a quantidade de chuva é de 4,8 unidades.

215

e) Construa o gráfico contendo o diagrama de dispersão e a reta de tendência. Solução: Escala para os valores do eixo x (horizontal):

As coordenadas para dois pontos da reta são: Para x1 =..........(menor valor de x) ⇒ y1 =.......... e para x2 =..........(maior valor de x) ⇒ y2 =.......... Escala para os valores do eixo y (vertical):

216

3.

O alongamento de uma mola é função da carga aplicada. A tabela abaixo apresenta a relação entre a carga aplicada (x), em kg, e o alongamento da mola (y), em cm:

Carga (x) 3,2 2,4 5,5 1,0 4,0 3,5 5,2 6,0 2,0 4,5 1,6

Alongam. (y) 1,8 1,5 2,5 0,4 2,2 1,9 2,4 3,6 1,3 2,3 0,9

Escala (x)

Escala (y)

Coordenadas de 2 pontos da reta: Para x1 =..........(Sugestão: Considerar o menor valor de x na tabela) ⇒ y1 =............⇒ (escala): e para x2 =..........(Sugestão: Considerar o maior valor de x na tabela) ⇒ y2 =...........⇒ (escala):




d) Qual o alongamento esperado de uma mola para uma carga de 4,9 kg?

217



218

A tabela abaixo apresenta um levantamento que uma transportadora fez com seus caminhões, referentes aos pesos das cargas (x), em milhares de quilos, que os mesmos transportaram pelas rodovias do país e da quilometragem média rodada por litro de combustível (y): Pesos (x) Km/l (y) Escala (x) Escala (y) 7,50 4,72 6,88 5,12 5,60 4,92 9,85 3,67 8,75 3,94 10,60 3,40 8,10 4,06 12,70 3,48

4.

7,15 11,40

4,87 3,29

Coordenadas de 2 pontos da reta: Para x1 =..........(Sugestão: Considerar o menor valor de x na tabela) ⇒ y1 =............⇒ (escala): e para x2 =..........(Sugestão: Considerar o maior valor de x na tabela) ⇒ y2 =...........⇒ (escala):




d) Qual a previsão da quilometragem média rodada por litro de combustível para o transporte de uma carga de 8.400 kg? 219



220

5.

A seguinte tabela apresenta um levantamento da cotação do dólar (x) e da quantidade exportada (y) de certo produto:

Cotação (x)

Quantid. (y)

2,16

410

2,31

648

2,09 1,98

788 387

2,07

508

2,20

589

2,18

540

2,42

844

2,25

476

Escala (x)

Escala (y)

Coordenadas de 2 pontos da reta: Para x1 =..........(Sugestão: Considerar o menor valor de x na tabela) ⇒ y1 =............⇒ (escala): e para x2 =..........(Sugestão: Considerar o maior valor de x na tabela) ⇒ y2 =...........⇒ (escala): a) Determine o coeficiente de correlação.



d) Qual a quantidade esperada de exportação desse produto se o dólar estiver cotado a R$ 2,12? 221



222

6.

Um estudo desenvolvido por um engenheiro para verificar o quanto o comprimento de um cabo (x) em metros, da porta serial de microcomputadores influencia na qualidade da transmissão de dados, medidas através do número de falhas em 100.000 lotes de dados transmitidos (taxa de falha por lote). A seguinte tabela mostra os resultados:

Comprimento (x)

Nº de falhas (y)

8

2,7

8

2,4

9

3,1

9

3,8

10

4,1

10 11

4,8 6,2

11 12

5,7 9,8

12

8,7

13

14,1

13

13,1

14

17,3

14

15,4

15

19,7




d) Qual a taxa de falha na transmissão de dados se o comprimento do cabo for 13,5 m?

223

7.

A tabela abaixo apresenta a quantidade de itens descartados na linha de produção da Seção A (x) e na linha de produção da Seção B (y), durante oito dias do mesmo mês (obs.: a quantidade de dados é pequena para evitar muito cálculo): Dias

Nº de itens descartados Seção A (x)

Seção B (y)

1º

2

2

2º

3

2

3º

4

3

4º

4

4

5º

2

3

6º 7º

3 1

2 1

8º

2

3

a) Calcule o coeficiente de correlação.

b) Como você explica esse resultado?

Respostas: 1. a) Σx = 1411; Σy = 633; Σxy = 98208; Σx² = 211383; Σy² = 47245; r = + 0,947 (+ 94,7%): forte correlação direta (positiva); b) O aumento da temperatura do processo implica em um aumento no percentual da produção (equivalentemente, aplicando-se uma temperatura menor no processo, há uma redução no percentual da produção); c) y = – 38,715 + 0,723x; d) 73,4% 2. a) Σx = 45,0; Σy = 1094; Σxy = 5348,2; Σx² = 244,26; Σy² = 133786; r = – 0,979 (– 97,9%): forte correlação inversa (negativa); b) O aumento (ou diminuição) da quantidade de chuva provoca uma diminuição (ou aumento) da poluição do ar removida; c) y = 153,176 – 6,324x; d) 122,8 3. a) Σx = 38,9; Σy = 20,8; Σxy = 87,43; Σx² = 165,35; Σy² = 46,86; r = + 0,959 (+ 95,9%): forte correlação direta (positiva); b) O aumento (ou diminuição) na carga aplicada provoca um aumento (ou diminuição) no alongamento da mola; c) y = 0,126 + 0,499x; d) 2,57 4. a) Σx = 88,53; Σy = 41,47; Σxy = 354,2506; Σx² = 828,8719; Σy² = 176,3867; r = – 0,913 (– 91,3%): forte correlação inversa (negativa); b) O aumento (ou di minuição) no peso da carga transportada acarreta uma diminuição (ou aumento) na quilometragem média rodada por litro de combustível; c) y = 6,679 – 0,286x; d) 4,277 km/litro 5. a) Σx = 19,66; Σy = 5190; Σxy = 11433,70; Σx² = 43,0864; Σy² = 3194214; r = + 0,574 (+ 57,4%) correlação direta (positiva); b) O aumento (ou diminuição) na cotação do dólar provoca um aumento (ou diminuição) na quantidade exportada; c) y = – 925,615 + 687,718x; d) 532,3 6. a) Σx = 169; Σy = 131; Σxy = 1651,7; Σx² = 1975; Σy² = 1614,57; r = + 0,966 (+ 96,6%) forte correlação direta (positiva); b) O aumento (ou diminuição) no comprimento do cabo implica em aumento (ou diminuição) na taxa de falha de dados transmitidos; c) y = – 19,372 + 2,494x; d) 14,3 falhas por lote de dados transmitidos 7. a) Σx = 21; Σy = 20; Σxy = 57; Σx² = 63; Σy² = 56; r = + 0,655 (+ 65,5%): correlação direta (positiva); b) Nas duas linhas de produção ocorre simultaneamente um aumento (ou redução) nos itens descartados 224

Tabela 1

Distribuição Normal Padronizada (z)

Z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,00 0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915

0,01 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950

0,02 0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985

0,03 0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019

0,04 0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,2054

0,05 0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088

0,06 0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123

0,07 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157

0,08 0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190

0,09 0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1

0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821

0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4826

0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830

0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834

0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838

0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4842

0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803 0,4846

0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850

0,2518 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854

0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857

2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8

0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000

0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000

0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000

3,9 ou mais

225

Tabela 2

Distribuição de Student (t) (Área na cauda superior)

Graus de liberdade 1 2 3 4 5

0,10

0,05

0,025

0,01

0,005

0,0025

0,001

0,0005

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365

63,657 9,925 5,841 4,604 4,032

127,320 14,089 7,453 5,598 4,773

318,310 22,327 10,214 7,173 5,893

636,620 31,598 12,924 8,610 6,869

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 infinito

1,440 1,415 1,397 1,383 1,371 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576

4,317 4,029 3,833 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 3,067 3,057 3,047 3,038 3,030 2,971 2,915 2,860 2,807

5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,232 3,160 3,090

5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 3,707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,551 3,460 3,373 3,291

226

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APOSTILA ESTATISTICA - COMPLETA.pdf

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