UNIVERSIDADE
DE
SOROCABA
ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA ENGENHARIAS NOME DO(A) ALUNO(A):_____________________________________________________ CURSO:____________________________________________________ TURMA:_______ TURNO:________________ TURNO:_____________ ___
SALA:____________
AVALIAÇÕES: 1ª) Dia____/____/2012 Dia____/____/2012
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2ª) Dia____/____/2012 Dia____/____/2012
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3ª) Dia____/____/2012 Dia____/____/2012
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2º Semestre / 2012 Prof. Sergio Rocha
SUMÁRIO INTRODU ODUÇ O • • • • • •
pág.
O que é Estatística?........................................................................................................................ Ramos da Estatística....................................................................................................................... Usos e abusos da Estatística.......................................................................................................... Análise exploratória dos dados....................................................................................................... Estatística com calculadoras e computadores................................................................................ Arredondamento de dados..............................................................................................................
3 3 4 4 4 5
ESTAT STICA DESCR DESCRITIVA ITIVA • • • • • • •
Variáveis quantitativas e qualitativas............................................................................................... Amostras e populações................................................................................................................... Planejamento de experimentos....................................................................................................... Tabelas estatísticas......................................................................................................................... Tabelas de frequências................................................................................................................... Como construir uma tabela de frequências..................................................................................... Frequências relativas e frequências acumuladas.............................................................................
9 12 12 13 15 15 24
REPRE RE PRESE SENTA NTAÇ Ç O GR FICA FICA DAS DAS VARI VARI VEIS VEIS QUAL QUALIT ITAT ATIVA IVAS S E QUA QUANTI NTITA TATIV TIVAS AS • • • • • • • • •
Gráfico de Colunas.......................................................................................................................... Gráfico de Colunas no EXCEL........................................................................................................ EXCEL........................................................................................................ Diagrama de Pareto........................................................................................................................ Gráfico de Linhas............................................................................................................................ Gráfico de Barras............................................................................................................................ Gráfico Pictórico.............................................................................................................................. Gráfico de Setores........................................................................................................................... Histograma...................................................................................................................................... Polígono de Frequências.................................................................................................................
26 26 27 28 29 29 30 31 32
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL • • • • • • • • • •
Média aritmética simples.................................................................................................................. Média aritmética ponderada............................................................................................................. Média aritmética para dados tabulados........................................................................................... Mediana para dados não tabulados................................................................................................. Mediana para dados tabulados........................................................................................................ Moda para dados não tabulados...................................................................................................... Moda para dados tabulados............................................................................................................. Análise das medidas de tendência central....................................................................................... Separatrizes: quartis, decis e percentis............................................................................................ Separatrizes para dados tabulados..................................................................................................
34 35 36 41 43 46 47 50 51 52
MEDIDA MEDIDAS S DE DISPERS DISPERS O OU VARIABI VARIABILIDA LIDADE DE • • • • • • • • • • • •
Amplitude......................................................................................................................................... Intervalo semiquartil........................................................................................................................ Desvio médio e desvio padrão (para dados não tabulados)............................................................ Variância.......................................................................................................................................... Cálculo do desvio médio e do desvio padrão pelas FÓRMULAS.................................................... FÓRMULAS.................................................... Cálculo da média e do desvio padrão nas CALCULADORAS........................................................ CALCULADORAS ........................................................ Cálculo de medidas usando o EXCEL............................................................................................. EXCEL............................................................................................. Coeficiente de variação de Pearson................................................................................................. Desvio médio e desvio padrão (para dados tabulados)................................................................... MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE ...................................................................................... Assimetria......................................................................................................................................... Curtose.............................................................................................................................................
56 56 57 57 58 62 63 64 67 70 70 71
PROBABILIDADES • • • •
Introdução......................................................................................................................................... Probabilidades simples..................................................................................................................... Regra da Adição e da Multiplicação................................................................................................. Diagrama da Árvore..........................................................................................................................
79 82 82 86
ANÁLI AN ÁLISE SE COMB COMBINA INAT T RIA RIA • • • • • •
Princípio Fundamental da Contagem.............................................................................................. Fatorial............................................................................................................................................ Arranjos simples............................................................................................................................... Permutação simples......................................................................................................................... Combinação simples........................................................................................................................ Combinações complementares........................................................................................................
95 96 96 97 97 99
DISTRIB DISTRIBUIÇ UIÇ ES DISCRETA DISCRETAS S DE PROBABILI PROBABILIDADE DADES S • Distribuição Binomial........................................................................................................................ 101 • Distribuição Hipergeométrica........................................................................................................... 107 • Distribuição de Poisson.................................................................................................................... 113
DISTRIB DISTRIBUIÇ UIÇ O CONTÍNUAS CONTÍNUAS DE PROBABILI PROBABILIDADE DADES S • • • • • •
Distribuição exponencial................................................................................................................... Distribuição uniforme........................................................................................................................ Distribuição normal (ou de Gauss).................................................................................................... O coeficiente z.................................................................................................................................. Como usar a Tabela 1 (Tabela 1 (Tabela do coeficiente z)............................................................................. Aplicações (Distribuição normal)......................................................................................................
114 114 115 116 116 118
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Amostragem...................................................................................................................................... Métodos de amostragem probabilística............................................................................................ Métodos de amostragem não probabilística..................................................................................... Distribuição amostral......................................................................................................................... Intervalos de confiança..................................................................................................................... ESTIMAÇÃO..................................................................................................................................... ESTIMATIVA DE UMA MÉDIA POPULACIONAL ........................................................................... 1º caso: Estimativa caso: Estimativa da média (quando o desvio padrão populacional é conhecido)................. conhecido)....................... ...... Valor do coeficiente z (para intervalos de confiança)....................................................................... Erro de estimação da média............................................................................................................. Erro padrão da média....................................................................................................................... Fator de correção para população finita........................................................................................... Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional conhecido).................... ... Tamanho da amostra (para estimativa da média populacional)....................................................... Tamanho da amostra para população finita...................................................................................... 2º caso: Estimativa caso: Estimativa da média ( quando o desvio padrão populacional é desconhecido).................. Como usar a Tabela 2 (Tabela 2 (Tabela do coeficiente t).............................................................................. Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional desconhecido)................. ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL ............................................................... Estimativa de uma proporção para população finita......................................................................... Tamanho da amostra (para estimativa de uma proporção populacional)................ populacional)................................... ......................... ......
128 128 130 132 132 132 133 133 135 141 141 143 143 146 148 149 149 153 170 172 173
TESTES TESTES DE HIP HIP TESES TESES OU DE DE SIGNIFIC SIGNIFICÂNC ÂNCIA IA • • • • • • • •
Hipóteses estatísticas....................................................................................................................... Níveis de significância....................................................................................................................... Testes unilaterais e bilaterais............................................................................................................ Valor da estatística de teste.............................................................................................................. Testes de hipóteses ou de significância para médias populacionais......................... populacionais......................... ....................... ................. ...... Exemplos e exercícios de testes testes de hipóteses (utilizando o teste bilateral)..................... ................ Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à esquerda)................ Exemplos e exercícios de testes testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à direita).................. ...
181 182 182 184 184 185 195 199
NOÇ ES DE CORR RRE ELA LAÇ Ç O E REGRESS O • • • • • • • •
Correlação e regressão..................................................................................................................... Correlação linear direta, inversa e nula............................................................................................ Correlação não linear........................................................................................................................ Coeficiente de correlação linear simples.......................................................................................... Regressão linear simples.................................................................................................................. Exemplo: correlação linear direta (com gráfico)................................................................................ Exemplo: correlação linear inversa (com gráfico)............................................................................. Aplicações (correlação linear)...........................................................................................................
203 204 204 205 206 207 209 211
TABELA 1 (Distribuição Normal Padronizada): coeficiente z.................................................... 225 TABELA 2 (Distribuição de Student): coeficiente t...................................................................... 226 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................... 227
INTRODUÇÃO O que é Estatística? A palavra estatística é derivada da palavra latina status (que significa “estado “estado”). ”). Os primeiros usos da estatística envolviam compilação de dados e gráficos que descreviam vários aspectos de um estado ou país. A partir de 1662, com a publicação de John Graunt, com a informação estatística sobre nascimentos e mortes, iniciaram-se os estudos sobre taxas de mortalidade, doenças, tamanho de populações, renda, taxa de desemprego etc. Segundo Dugé de Bernonville, a Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. Também, podemos definir a Estatística como um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
R am os d a E st at ís ti ca A Estatística se divide em três ramos: ramos: • Estatística Descritiva • Teoria da Probabilidade • Inferência Estatística
E s t a t ís t i c a D e s c r i t i v a A Estatística Descritiva compreende Descritiva compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas. Ela utiliza números para descrever fatos. Como exemplos, exemplos, citamos: a média industrial, a taxa de desemprego, a durabilidade média de produtos, a média de estudantes etc. Aqui se enquadram as medidas de tendência central ou medidas de posição (média aritmética, mediana e moda) e as medidas de dispersão ou variabilidade (desvio médio e desvio padrão).
T e o r ia d a P r o b a b i l i d a d e A probabilidade é probabilidade é utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório. Fenômeno aleatório: aleatório: é uma situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Por exemplo, exemplo, as condições climáticas, taxa de inflação etc. A teoria da probabilidade está dentro do que é conhecido como um sistema axiomático: começamos com algumas verdades básicas conhecidas e construímos um sistema lógico ao seu redor. Em sua forma mais pura, o sistema não tem valor prático. prático. Sua praticidade vem do conhecimento de como utilizar a teoria para produzir aproximações práticas. Por mais potente que seja, é natural que nenhuma estatística vai convencer alguém que uma determinada conclusão seja verdadeira. Uma aplicação importante da teoria é feita nos testes de diagnósticos. diagnósticos. A incerteza está presente porque, apesar das alegações dos fabricantes, nenhum teste disponível é perfeito. Podemos, por exemplo, exemplo, concluir que cada amostra de sangue cujo sangue cujo resultado seja positivo para o HIV abrigue realmente o vírus? Para responder esta questão, precisamos confiar no comportamento de médio e longo prazo dos testes de diagnósticos. A teoria da probabilidade nos permite quantificar esse comportamento. Outras aplicações: a) Que garantia temos de que todos os paraquedas irão funcionar corretamente quando acionados? b) Que b) Que garantia temos do fabricante de latas em conserva de conserva de que o produto poderá ser consumido dentro da validade especificada? Ele terá o mesmo valor nutritivo? c) Que garantia temos de um fabricante de medicamentos de medicamentos de que o produto poderá ser utilizado dentro da validade especificada? Ele terá o mesmo efeito desejado?
I n f e rê n c ia E s t at í s ti c a Este é o terceiro ramo da Estatística, no qual envolve a formulação de certos julgamentos sobre um todo (população) (amostra aleatória), população) após examinar apenas uma parte dele (amostra aleatória), isto é, tomar decisões com base em dados colhidos de uma amostra. A inferência estatística é estatística é feita por meio de testes de hipóteses, hipóteses, mas como toda inferência, está sujeita a erro. erro. A inferência estatística está baseada na Teoria das Probabilidades. Inferir significa Inferir significa tirar por conclusão; deduzir pelo raciocínio.
Usos e Abusos da Estatística A Estatística tornou-se uma ferramenta tão importante que nos dias de hoje é utilizada praticamente em todos os campos do conhecimento. Como exemplos, exemplos, podemos citar: os fabricantes estão fornecendo melhores produtos a custos menores, através dos controles de qualidade; controle de doenças, poluição atmosférica, mais segurança nas empresas e nas rodovias, maior produção na agricultura etc. Mas, também temos que tomar alguns cuidados para não obter resultados distorcidos, ocasionados por descuido ou ignorância, por objetivos pessoais, por alegações enganosas etc.
A ná li se E xp lo ra tó ri a d os Da do s Ao coletarmos determinados dados em um levantamento, podemos ter um objetivo específico, ou simplesmente, estamos fazendo uma observação para saber o que esses dados nos revelam. É importante saber que devemos relacionar três características dos dados: 1ª) A natureza ou forma da distribuição; 2ª) Um valor representativo (média, mediana, moda); 3ª) Uma medida de variação (desvio médio, desvio padrão). Devemos tomar o cuidado de observar e analisar os dados coletados para evitarmos erros grosseiros que poderão prejudicar as nossas conclusões. Como exemplo, exemplo, se estivermos coletando os salários dos funcionários de determinada categoria de uma empresa, que estão compreendidos numa faixa de R$ 800,00 a R$ 1.500,00, exceto um deles de que foi de R$ 10.000,00, não podemos simplesmente considerar todos esses valores para obtermos as características dessa distribuição; precisamos verificar se esse salário que está muito alto em relação aos demais não foi um erro de digitação, ou seja, o salário real poderia ser de R$ 1.000,00 e foi digitado R$ 10.000,00, e isto irá distorcer totalmente as nossas conclusões a respeito desses salários.
E st at ís ti ca c om C al cu la do ra s e C om pu ta do re s Todos os estudantes de Estatística percebem a importância e facilidade que as calculadoras proporcionam na aprendizagem dos diversos tópicos que são estudados no decorrer do curso. Com o advento do computador, diminuímos, e muito, a árdua tarefa de trabalhar com uma grande quantidade de números. Podemos citar, entre outros, dois softwares que estão no mercado e que muito nos auxiliam: o STATDISK e MINITAB. Mas precisamos tomar alguns cuidados com essa automação, pois ela pode levar um indivíduo sem preparo específico a utilizar técnicas inadequadas para resolver determinado tipo de problema, logo é necessária a compreensão e domínio dos conceitos básicos da Estatística. Estatística.
Cál cul o d e Med id as Antes de iniciar os cálculos para a determinação das medidas necessárias para o desenvolvimento e entendimento dos conceitos em Estatística, o estudante deve familiarizar-se com a sua calculadora calculadora para efetuar os cálculos com mais segurança e rapidez.
ARREDONDAMENTO DE DADOS Critérios para o arredondamento de um dado estatístico De acordo com a Resolução 886/66, da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:
1º caso: Arredondamento por falta Quando o primeiro dígito dos que irão ser eliminados for eliminados for menor ou igual a quatro (isto é, menor do que 5). Exemplo: a) b) c)
Número a arredondar 11,3 11,372 46,84 46,8417 261,761 261,761
Arredondamento para Inteiros Décimos Centésimos
Número arredondado 11 46,8 261,76
2º caso: Arredondamento por excesso Quando o primeiro dígito após aquele que será arredondado for maior ou igual a cinco, cinco, seguido por dígitos maiores que zero: acrescentar uma unidade no algarismo a ser arredondado. Exemplo: a) b) c)
Número a arredondar 32,8 32,827 16,76 16,763 23,425 23,42502
Arredondamento para Inteiros Décimos Centésimos
Número arredondado 33 16,8 23,43
3º caso: Caso particular: números terminados em 5 Quando o número a ser arredondado for:
• uma decimal exata • terminada em cinco (ou for um cinco seguido somente de zeros)
arredondamento mento for feito no dígito imediatamente anterior a • e o arredonda anterior a esse 5 em que o número está terminando procedemos da seguinte forma: 1) NÃO ALTERAR o ALTERAR o valor desse dígito, se o mesmo for PAR PAR.. 2) AUMENTAR em AUMENTAR em uma unidade se esse dígito for ÍMPAR (ou ÍMPAR (ou seja, é o caso geral de arredondamento, pois o dígito posterior ao dígito a ser arredondado é igual a 5). CUIDADO para não utilizar o caso particular nos casos gerais! Exemplos: Arredondar para centésimos: 73,365 73,365 ▬►73,36
(como a 2ª decimal é o algarismo 6, que é par, par, deixar o próprio algarismo 6 algarismo 6 na 2ª decimal)
61,135 61,135 ▬►61,14
(como a 2ª decimal é o algarismo 3, que é ímpar, ímpar, acrescentar uma unidade ao 3, ou seja, a 2ª decimal passará a ser 4)
fazer arredondamentos arredondamentos sucessivos. ATENÇÃO: Não ATENÇÃO: Não devemos NUNCA NUNCA fazer Exemplo: Para arredondar o número 21,74631 para décimos, o número arredondado será 21,7. 21,7. Agora, se alguém arredondar primeiramente para centésimos obterá 21,75, e se arredondar este último para décimos, obterá 21,8, 21,8, e não 21,7, que é o correto.
OUTROS EXEMPLOS DE ARREDONDAMENTOS 2. Arredondar os seguintes números: a) b) c) c) d) e) f) f)
43,269 para décimos................................... décimos................. ..................▬► Resposta: 43,3 Resposta: 43,3 6,83172 para milésimos..................... ......... ▬► Resposta: 6,832 Resposta: 6,832 52,7444... 52,7444... para o décimo mais próximo...... ▬► Resposta: 52,7 Resposta: 52,7 61,823 para a unidade mais próxima.......... ▬► Resposta: 62 Resposta: 62 32,3961 para centésimos.................... ........▬► Resposta: 32,40 Resposta: 32,40 182,71888... 182,71888... para décimos..........................▬► Resposta: 182,7 Resposta: 182,7
3. Arredondar os seguintes números para centésimos: centésimos : a) a) 58,724 58,7248 ≅ 58,72 58,72
(como a 3ª casa decimal é o algarismo 4, que é inferior a 5, devemos manter o algarismo 2 na 2 na 2ª casa decimal)
b) b) 47,236 47,2361 ≅ 47,24 47,24
(como a 3ª casa decimal é o algarismo 6, que é maior ou igual a 5, devemos aumentar o valor do algarismo 3 3 da 2ª casa decimal em uma unidade, unidade, ou seja a 2ª casa decimal passará a ser 4)
c) c) 27,845 27,845 ≅ 27,84 27,84
d) d)
e) e) f) f) g) g) h) h) i) i) j) j) k) k) l) l) m) m) n) n) o) o) p) p) q) q) r) r) s) s) t) t) u) u) v) v) w) w) x) x) y) y) z) z)
(esse é o caso particular de arredondamento, arredondamento, no qual o número termina em 5 e o arredondamento será feito no algarismo 4 que se localiza na casa decimal imediatamente anterior a esse 5: como 4 é par, par, deverá permanecer com o mesmo valor) valor) 71,935 71,935 ≅ 71,94 71,94 (embora esse número termine em cinco e o arredondamento será feito na casa decimal imediatamente anterior; este caso particular de arredondamento recai no caso geral de arredondamento, arredondamento, pois a casa decimal anterior a esse 5 é o algarismo 3, que é ímpar, ímpar, logo devemos acrescentar uma unidade ao 3) 3) 4,785 4,785 ≅ 4,78 4,78 (é o caso particular de arredondamento: como o 8 é par, par, deverá permanecer o mesmo 8) 8) 42,375 42,375 ≅ 42,38 42,38 (é caso particular, particular, mas como antes do 5 aparece o 7, que é ímpar, devemos aplicar o caso geral de arredondamento, ou seja, o 7 será aumentado em uma unidade) 6,785... 6,785... ≅ 6,79 6,79 (NÃO é caso particular, particular, pois como aparece o símbolo de reticências após reticências após o 5, isso significa que esse número continua tendo mais algarismos, algarismos, ou seja, é o caso geral de arredondamento) arredondamento) 17,125 17,125 ≅ 17,12 17,12 (é caso particular de arredondamento: arredondamento: como 2 é par, par, deverá permanecer o mesmo algarismo 2) 17,125... 17,125... ≅ 17,13 17,13 (NÃO é caso particular, particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso significa que esse número continua tendo mais algarismos, algarismos, ou seja, é o caso geral de arredondamento) arredondamento) 17,1255 17,1255 ≅ 17,13 17,13 (NÃO é NÃO é caso particular, particular, pois o arredondamento não será feito no último 5, 5, e sim no penúltimo 5, penúltimo 5, logo é o caso geral de arredondamento) arredondamento) 17,125 17,125000000 ≅ 17,12 17,12 (é caso particular de arredondamento, arredondamento, pois os zeros zeros que aparecem após o 5 não são considerados) considerados) 12,145 ≅ 12,14 (caso particular) 12,14500 ≅ 12,14 (caso particular) 12,1450000000 ≅ 12,14 (caso particular) 12,145... 12,145... ≅ 12,15 (caso geral) 12,14555 ≅ 12,15 (caso geral) 203,315 ≅ 203,32 (caso particular) 73,3655 ≅ 73,37 (caso geral) 61,1255 ≅ 61,13 (caso geral) 67,3972 ≅ 67,40 (caso geral) 39,6725 ≅ 39,67 82,7295 ≅ 82,73 0,785 ≅ 0,78 122,13777... 122,13777... ≅ 122,14 8,68222... 8,68222... ≅ 8,68 1,615... 1,615... ≅ 1,62
A l g ar i s m os s i g n i fi c a ti v o s Os algarismos significativos (ou dígitos significativos) de um número são os algarismos separados dos zeros necessários para a localização da vírgula.
Exemplos 1. Quantidade de algarismos algarismos significativos significativos dos números: números: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) k) l) l) m) n) o)
2,55 tem 3 algarismos significativos 16,875 tem 5 algarismos significativos 8,701 tem 4 algarismos significativos 0,043 tem 2 algarismos significativos 0,0403 tem 3 algarismos significativos 0,0006 tem 1 algarismo significativo 7,62 tem 3 algarismos significativos 7,6200 tem 5 algarismos significativos 43 tem 2 algarismos significativos 43,0 tem 3 algarismos significativos 1,6x10-3 (notação científica) = 0,0016 tem 2 algarismos significativos 1,600x10-3 (notação científica) = 0,001600 tem 4 algarismos significativos 2,8100 tem 5 algarismos significativos 2810000 na notação científica: 2,81X106 tem 3 algarismos significativos 2810000 na notação científica: 2,8100X106 tem 5 algarismos significativos
2. Arredondar os seguintes números: a) b) c) d)
43,341 para 3 algarismos significativos................... significativos............ ....... ▬► Resposta: 43,3 Resposta: 43,3 14,62 para 2 algarismos significativos.............. ....... ▬► Resposta: 15 Resposta: 15 8,27481 para 4 algarismos significativos............. .... ▬► Resposta: 8,275 Resposta: 8,275 0,01953 para 2 algarismos significativos............. .... ▬► Resposta: 0,020 Resposta: 0,020
E X E R C Í C I O S (arredondamento de dados) 1.
Fazer o arredondamento Número a arredondar a) 53,479 b) 26,571 152,9838 c) d) 31,834 e) 65,0921 f) 16,504 g) 27,587 h) 37,6032 i) 44,964 315,500 j) k) 316,500 l) 316,750 m) 316,705 n) 316,735 o) 4,972618 p) 10,739274 q) 81,938372 r) 0,0034186 0,00083724 s)
dos seguintes números: Arredondamento para Inteiros Décimos Centésimos Décimos Centésimos Inteiros Centésimos Centésimos Décimos Inteiros Inteiros Décimos Centésimos Centésimos Milésimos Décimos de milésimos Milésimos Décimos de milésimos Centésimos de milésimos
Número arredondado
Respostas: a) 53; b) 26,6; b) 26,6; c) 152,98; c) 152,98; d) 31,8; d) 31,8; e) 65,09; e) 65,09; f) 17; f) 17; g) 27,59; g) 27,59; h) 37,60; h) 37,60; i) 45,0; i) 45,0; j) 316; j) 316; k) 316; k) 316; l) 316,8; l) 316,8; m) 316,70; m) 316,70; n) 316,74; n) 316,74; o) 4,973; o) 4,973; p) 10,7393; p) 10,7393; q) 81,938; q) 81,938; r) 0,0034; r) 0,0034; s) 0,00084 s) 0,00084
2.
Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: Números para arredondar
a)
12357 (para a dezena mais próxima)
b)
5789 (para a centena mais próxima)
c)
6501 (para o milhar mais próximo)
d)
130,055 (para a unidade mais próxima)
e)
28,65 (para o décimo mais próximo)
f)
28,655 (para o décimo mais próximo)
g)
19,95 (para o décimo mais próximo)
h)
32,505 (para o centésimo mais próximo)
i)
325,455 (para o centésimo mais próximo)
j)
32,505 (para o décimo mais próximo)
k)
32,505 (para a unidade mais próxima)
l)
5,825 (para o centésimo mais próximo)
Respostas
m) 5,825... (para o centésimo mais próximo) n)
2995,00 (para a dezena mais próxima)
o)
265,31 (para a dezena mais próxima)
p)
265,0 (para a dezena mais próxima)
q)
48,85002 (para o décimo mais próximo)
Respostas: a) 12360; a) 12360; b) 5800; b) 5800; c) 7000; c) 7000; d) 130; d) 130; e) 28,6; e) 28,6; f) 28,7; f) 28,7; g) 20,0; g) 20,0; h) 32,50; h) 32,50; i) 325,46; i) 325,46; j) 32,5; j) 32,5; k) 33; k) 33; l) 5,82; l) 5,82; m) 5,83; m) 5,83; n) 3.000; n) 3.000; o) 270; o) 270; p) 260; p) 260; q) 48,9 q) 48,9
3.
Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: Números para arredondar
a)
57,8755 (para quatro dígitos significativos)
b)
24,54 (para três dígitos significativos)
c)
92,445 (para quatro dígitos significativos)
d)
8,875 (para três dígitos significativos)
e)
15,05 (para a primeira decimal)
f)
113,35 (para a primeira decimal)
g)
R$ 63,50 (ao real mais próximo)
h)
R$ 64,50 (ao real mais próximo)
i)
R$ 64,51 (ao real mais próximo)
j)
0,05050 (para um dígito significativo)
k)
0,05150 (para um dígito significativo)
l)
0,05150 (para dois dígitos significativos)
Respostas
m) 0,05049 (para dois dígitos significativos) n)
0,05050 (para dois dígitos significativos)
o)
0,05051 (para dois dígitos significativos)
Respostas: a) 57,88; a) 57,88; b) 24,5; b) 24,5; c) 92,44; c) 92,44; d) 8,88; d) 8,88; e) 15,0; e) 15,0; f) 113,4; f) 113,4; g) R$ g) R$ 64; h) R$ h) R$ 64; i) R$ i) R$ 65; j) 0,05; j) 0,05; k) 0,05; k) 0,05; l) 0,052; l) 0,052; m) 0,050; m) 0,050; n) 0,050; n) 0,050; o) 0,051 o) 0,051
E ST AT ÍS TI CA
D ES CR IT IV A
(1º ramo da Estatística) V AR I ÁV EI S Q U A N T I T A T I V A S E Q UA L I T A T IV AS Ao fazermos um levantamento de um conjunto de dados, a questão inicial é a de como tratar os valores, numéricos ou não, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse. Cada uma das características obtidas, tais como o peso, altura, idade, sexo, número de filhos, religião, salário, nível de educação etc., é denominada de variável . V a r i á v e l a l e a t ó r i a: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso,
que não estão sob o controle do observador. Por exemplo, exemplo, ao jogarmos um dado para o ar, a variável aleatória é o resultado possível nessa jogada, isto é, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas não podemos predizer qual será esse resultado. As variáveis de natureza numéricas são numéricas são denominadas quantitativas , e as não numéricas, numéricas, qualitativas .
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V A R IÁ V E I S Q U AN T I T AT I V A S As variáveis quantitativas podem quantitativas podem ser subdivididas em discretas e discretas e contínuas: contínuas: ( I ) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s d i s c r e t a s: Quando os valores podem ser contados. contados. São as observações que podem ser feitas somente em pontos isolados ao isolados ao longo de uma escala de valores. Exemplos • Número de peças defeituosas encontradas em um lote • Número de residências que possuem energia elétrica • Número de caminhões que chegam, por hora, em um depósito • Quantidade de peças defeituosas produzidas por uma máquina • Número de mudas de árvores plantadas no mês passado em determinada cidade • Quantidade de pessoas que trabalham em determinada obra passageiros (trem, ônibus, avião, navio) • Capacidade máxima de passageiros • Número de alunos numa sala de aula computadores em casa • Número de alunos que possuem computadores • Número de artigos defeituosos produzidos • Número de clientes cadastrados • Número de computadores em um laboratório conveniados de um Plano de Saúde • Número de conveniados • Número de experiências realizadas em um laboratório • Número de jogos empatados
• • • • • • • • • • • •
Número de filhos de um casal Número de funcionários de uma empresa Número de máquinas de uma empresa Número de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro Número de partidas de futebol Número de pessoas por domicílio Número de pessoas que tomaram vacina contra a gripe Número de unidades estocadas de um artigo Quantidade de anúncios publicados em um jornal Quantidade de comprimidos em uma caixa caixa de remédios Quantidade de frutas em uma caixa Quantidade de notas fiscais expedidas em certo dia
(II) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s c o n t í n u a s : Quando se pode tomar qualquer valor de valor de um determinado intervalo intervalo de números reais, ou seja, a variável pode assumir um valor em qualquer ponto fracionário ao fracionário ao longo de um intervalo especificado de valores. Exemplos • Altura média que certo tipo de planta atinge após três meses de seu plantio média de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) • Capacidade média • Comprimento do veículo (ônibus, avião, navio) • Consumo médio de água por residência em certa cidade • Consumo médio de combustível de um automóvel • Diâmetro de um rolamento • Duração média de uma conversa telefônica • Estatura das pessoas • Gasto médio com transporte para se deslocar até o local de trabalho • Idade em meses e dias • Média de clientes atendidos por dia • Número médio de clientes potenciais visitados por vendedores durante o último mês • Número médio de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro • Número médio de pessoas por domicílio em uma grande comunidade • Peso de cada remessa • Peso do conteúdo de um pacote de cereais • Peso médio de um grupo de pessoas • Salário (diário, semanal, mensal) • Tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo médio de atendimento dos pacientes de um hospital • Tempo médio • Tempo médio de efeito de um medicamento • Tempo médio diário que os estudantes gastam com o uso de computadores • Tempo médio para a realização de uma experiência em um laboratório médio para executar um programa de computador • Tempo médio fabricar determinado tipo de peça • Tempo médio para fabricar Observação: Observação: A variável idade, idade, medida em número de anos, anos, pode ser considerada como discreta, discreta, porém, se medida em meses, meses, ou em dias, dias, pode ser considerada contínua. contínua.
V A R IÁ V E I S Q U AL I T A TI V A S As variáveis são qualitativas qualitativas (ou atributos) atributos) quando os possíveis valores que assumem representam atributos e/ou qualidades. São classificadas como ordinais ou ordinais ou nominais: nominais: (III) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s o r d i n a i s: Quando as variáveis têm uma ordenação natural, indicando intensidades crescentes de realização.
