Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC Departamento de Engenharia Civil
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I Apostila de exercícios
Professor Roberaldo Carvalho de Souza, P.h.D P .h.D Monitoras: Manuella Suellen Vieira Galindo Marianna Luna Sousa Rivetti
Maceió-AL 2009
Parte I: Estática dos fluidos 1. Propriedades dos fluidos 1.1 Exercícios resolvidos 1º- Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 kg/m³. Calcule: a) A viscosidade cinemática em unidades S.I. b) A viscosidade dinâmica em unidades CGS. Solução:
a) b)
2º- A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI. Solução:
2
No MK*S:
No SI:
No CGS:
3º A viscosidade dinâmica de um óleo é 5x10 -4 kgf.s/m² e o peso específico relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas MK*S, SI e CGS (g=10m/s²; γ H2O=1000 kgf/m³). Solução:
No MK*S e no SI:
No CGS:
3
4º O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m²/s. Se g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas MK*S e SI. Solução:
No SI:
No MK*S:
5º São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo ( υ=0,1 St; ρ=830 kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
Solução:
Obs: υ=0,1 St= 10-5 m²/s
4
6º Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30º, sobre uma fina película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm?
Solução:
De acordo com a 2ª Lei de Newton: Fr=m.a . Onde a= Assim: Px -
= m.
20.sen 30º -
= 0, pois a velocidade é constante, ou seja,
=0
= 10 N/m² Sabemos que: 7º Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parábola tem seu vértice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para y= 10cm. Adotar centepoises.
5
Solução:
Obs.: 400 centepoises= 4 poises= 4 dina.s/cm² Como o perfil de velocidade é parabólico:
•
V(y)= a1+ a2y + a3 y² Condições de contorno:
•
1ª V
y=yo
2ª V
y=0 =
3ª
=Vmáx = 2,5 m/s
y=yo
a1+ a2y0 + a3 y0²=2,5
0 a1=0 =0
a2 + 2y0 a3=0
Assim: a2y0 + a3 y0²=2,5 Para y0= 10 cm= 0,1m a2 + 2y0 a3=0 a3= -250; •
•
0,1 a2 + 0,01 a3=2,5 a2 + 0,2 a3=0
a2=50
Perfil parabólico obtido: V(y)= 50 y – 250 y² Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m: = 50-250y= 25
•
Tensão de cisalhamento: 6
8º Uma pequena esfera sólida com 4,02 mm de diâmetro e uma densidade relativa de 0,91 é colocada em repouso num recipiente contendo um líquido cuja densidade relativa é de 0,8. Sabendo que a esfera está submetida à força gravitacional (calculada através do produto da massa pela aceleração da gravidade), ao empuxo (que é representado pelo peso do volume deslocado = fluido Volume da esfera) e a força de arrasto (representada pelo produto do coeficiente de arrasto vezes a área frontal de contato entre o sólido e o fluido vezes a metade do produto do peso específico do fluido e o quadrado da velocidade, no caso de uma esfera: A frontal= e , Fa = Cd. Afrontal. fluido. ). Calcule o tempo mínimo decorrido para a esfera atingir a velocidade terminal. Solução:
Figura ilustrativa:
w = m.g
Diagrama de Corpo Livre:
E=
•
w= esfera. Volume. g w= *. H2O .Volume. g
Volume E= fluido.
fluido. •
Fa=
Cd.
Afront
fluido.
Fa=
.
.
fluido.
Fa= •
Sabemos que: Fr=m.a w- Fa- E =
esfera. Volume.
7
esfera.
.g-
-
fluido.
=
esfera.
.
=g-
•
Sendo a= g -
, e b=
= a – bV
teremos: V = Vmáx (1- e-bt)
•
•
•
•
Adotando V=99%Vmáx: s
9º- Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina película de óleo de espessura h mm em um plano inclinado de um ângulo θ. Determine uma expressão para o comprimento do plano em função da velocidade máxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no óleo = c y 1/3, onde c é uma constante determinada pela condição de contorno da velocidade máxima no óleo ser igual à velocidade do bloco e y é a distância do plano no óleo, 0 y h.
8
Solução: •
Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e outro associado ao bloco.
•
Diagrama de corpo livre:
•
Sabemos que: •
Fr= w.senθ - Fa
•
•
a=
•
Logo: •
•
Fr=m.a
- Fa = -
(÷m)
•
Condição de contorno: Se y=h: V(y) = Vbloco=
= c y1/3 V(y) =
9
•
•
Note que: Voltando para a expressão obtida ao analisar a força resultante teremos: -
•
e
Seja
, teremos:
integrando teremos:
•
Seja
:
2. Equação Geral da Estática dos Fluidos (1-D) 2.1 Exercícios resolvidos 1 º Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule:
10
a) A pressão efetiva do Gás 2; b) A pressão efetiva do Gás 1, sabendo que o manômetro indica uma pressão de 15000 N/m3 ; c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando a pressão atmosférica local igual a 730 mmHg. Dados: γ óleo = 8000 N/m3 , γ Hg = 133280 N/m3 , γ água = 9800 N/m3 Solução:
a) P1 = Póleo + Pgás e P2 = PHg + Págua P1 = P2 γ óleo . ( h1 + h2 ) + Pgás = γ Hg . h4 + γ água . h3 8000 . (35 . 10 -2) + Pgás = 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 Pgás = 32970 N/m3 b) Pgás 1 = Pgás 2 – Pmanômetro Pgás 1 = 17970 N/m3 c) P2 = PHg + Págua + Patm e P1 = Pgás 2 + Póleo + Pgás 1 PHg + Págua + Patm – Pgás 2 – Póleo = Pgás 1 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 + 0,73 . 133280 – 32970 8000 . 35 . 10 -2 = Pgás 1 Pgás 1 = 97294,4 N/m3 P abs gás 1 = 115265 N/m3
3. Forcas em superfícies planas 3.1 Exercícios resolvidos
11
1 º O tanque mostrado no esquema da figura contém um óleo com massa específica ρ. Determine o módulo da forca resultante exercida pelo óleo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque.
Solução:
2)
2º A figura mostra um esquema de uma janela circular de diâmetro D=2 m, localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf)
12
Solução:
a)
Em coordenadas polares: dA=r.dθ.dr e, considerando D=a temos: z=a/2-r.senθ
b)
Substituindo, Temos , 3º A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf)
13
Solução:
a)
Temos
e
Substituindo,
b)
14
Substituindo, Temos, 4º A figura mostra um esquema de um reservatório com água. A comporta retangular de altura L e largura B está articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constituído de um material com massa específica ρ B, está imerso em água. O cabo possui massa desprezível. Estando a comporta na posição vertical, determine: a) b)
A forca resultante exercida pela água sobre a comporta; O momento de forca, em relação ao ponto O, devido à distribuição de pressões exercida pela água; c) O volume mínimo V do bloco necessário para manter a comporta na posição vertical.
Solução:
a)
15
b)
Deve-se achar zf:
Temos,
Substituindo ,
Temos, Em relação ao ponto O temos a distância D, que é igual a : D=H-zf Calculando o momento,
c)
Temos em relação ao ponto O,
16
Pelo D.C.L:
Sendo,
Então fica assim,
Isolando V,
4. Equação Geral da Estática dos fluidos em 2-D 4.1 Exercícios resolvidos 4.1.1 Movimento Relativo Linear 17
1º Deve-se transportar um aquário que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. Quanto em volume de água você pode deixar no aquário de modo a ficar razoavelmente certo de que não transbordará no transporte?
Solução: •
Equação da superfície livre: dP=0
•
Se não houver transbordamento:
•
Não há transbordamento: Vi=Vf
18
•
Achando a altura da água h: (1) = (2)
sabe-se que Substituindo os valores,
•
Calculando o volume:
4.1.2 Movimento Relativo Circular 1º Um vaso cilíndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com líquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante (ω) em torno do seu eixo central. Após um curto período, não há movimento relativo (o líquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido). Qual o valor de ω (rpm) para não haver transbordamento?
19
Solução: •
Equação da superfície livre:
dP=0
•
Se não houver transbordamento:
Substituindo os valores, •
Não há transbordamento:
(1) Vi=Vf
Substituindo valores,
. 20
•
Achando o valor de ω: (1) = (2)
Parte II: Cinemática e Dinâmica dos Fluidos 5. Equação da continuidade e escoamentos 5.1 Exercícios resolvidos 1º- Considere um campo de escoamento incompressível bidimensional dado pela função corrente (x,y) = ax²-ay², com a=3s-1 e x e y em metros. a) Mostre que o escoamento é irrotacional. b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. c) Qual a vazão que passa entre uma assíntota e a linha de corrente dada por =cte=2? Solução:
a) Um escoamento é irrotacional quando xV=0 21
Sabemos que: •
•
•
x
xV =
=0
-2a+2a=0 0=0
O escoamento é irrotacional.
b) •
•
Logo: c) Sabemos que a vazão é dada pela diferença entre dois psis, ou seja, Q= 1- 2. Se 1= assíntota e 2=2, teremos: Q= 2m³/s. 2º- Demonstre a Equação da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilíndrica plana. Solução:
22
•
Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna +
-
-
+
+
= -
-
-
-
-
-
-
-
= Des rezível
==Obs.:
-
-
-
-
De acordo com a Regra do produto: =
=
+
Logo:
23
+
+
+
+
+
=0
=0
Desta forma, provamos que:
“Equação da continuidade em coordenadas polares” +
=0
3º- Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimensões. Solução:
Devemos lembrar que: • • • •
î r=cos î + sen j = -sen î + cos j î r. î r=1 ; î r . =0 . =1 ; î r x = k
•
= -sen î + cos j=
•
= - cos î - sen j=
De acordo com a Equação da Continuidade:
.
= 0, ou seja:
=0 =0
+
=0 =0 =0 =0
+
=0
De acordo com a Equação da Irrotacionalidade:
= 0, ou seja: 24
x
=0 =0
+
+
=0 =0 , ou seja,
-
=0
4º- Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade é dado por ? Esse escoamento é real? Solução: •
Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. Não dá para dizer se o fluido é compressível ou não, pois não temos informações suficientes. Temos apenas um escoamento plano em duas dimensões.
•
a local=
=0
•
a convectiva= a convectiva= a convectiva=
•
•
Componentes da aceleração: ax= ay= O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0. Tende a zero, pois o escoamento não depende do tempo.
+
=0
25
O escoamento não é real.
5º- Seja . Veja se o escoamento desse fluido é real. Em caso afirmativo, defina a equação de sua trajetória. Solução: •
O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0.
Tende a zero, pois o escoamento não depende do tempo.
+
=0
O escoamento é real.
•
Encontrando a Equação da trajetória:
Equação da trajetória.
26
6º- A superfície matemática do sólido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposição de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geométrica que pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um vento de 20km/h em direção ao monte, pergunta-se:
a) Qual a velocidade do vento na superfície do monte em um ponto verticalmente acima da origem? b) Qual o valor da vazão do escoamento do vento entre duas superfícies que passam pelos pontos de estagnação e (x=50; y=90)? Solução:
a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine é formado pela superposição de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a Equação de Laplace podemos dizer que: ΨU/F = ΨU + ΨF = •
Para Ψ=0:
•
Para θ=π: Logo: 27
Ψ0= •
•
•
•
Para Ψ=0:
Para θ=π/2:
Logo: V= 3,54 î r + 5,56 î θ e V = 6,59 m/s b) Sabemos que: •
x= r cosθ=50 y= r senθ=120
r=130m
•
tgθ=
=1,18 rad
•
•
Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100: Ψ0=
•
Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre dois psis, Q= Ψo - Ψa, sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0. 1112 m³/s
1112 m³/s
Q= Ψo - Ψa= Q= 319 m³/s
28
6. Equação da continuidade e escoamentos (continuação) 1 O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem atrito, incompreensível e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionário, de raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade. Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (ρ*=10-3) atinge 180 km/h; a temperatura externa é 7,0 0C. Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720mm de mercúrio; a pressão atmosférica fora é também de 720 mmHg. A cabana tem um diâmetro de 6,0m e um comprimento de 24m. Determine a força que tende a levantar a cabana das suas fundações. Sabendo que
‘ Solução:
cilindro: r=a
Sendo, D=6m L=24m a=3m 29
h=720mm=720.10-3m Achar P1:
•
P=ρ.g.h P1= ρ*Hg.ρágua.g.h Substituindo os valores, P1=9,6
Pa
V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s •
Achar V2: Vr=0 Vθ=-2.U0.senθ |V|=2.U0.senθ ρ*=10-3 então, ρ=1 kg/m3
•
•
Achar γ: γ= ρ.g γ=9,8 N/m3 Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 V1=U0 P1=9,6
Pa
z2=a.senθ V2=2.U0.senθ P2
Teremos então,
Fica assim,
30
•
Achar Fa:
calculando,
obtém-se, •
Achar Fs:
calculando,
obtém-se,
substituindo os valores,
2 Dado o perfil de velocidade e sabendo que foi medido com tubo de pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule a vazão, sendo a=0,1m e 0≤r≤a. Solução:
31
r=0,3ª
Teremos, Então,
3 Dado um reservatório com uma saída lateral,achar a vazão que sai quando o nível do reservatório não muda.(vazão ideal) Solução: •
Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=z V1=0 P1=Patm
z2=0 V2 P2=Patm
Videal= •
Pela continuidade:
32
4 Um grande reservatório, com 4,0m de altura de água, em forma cilíndrica com diâmetro de 3,2m, possui um pequeno orifício lateralmente na sua base com diâmetro de 6,0 cm. O reservatório encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifício está aberto jorra água a 2,0m de distância do orifício. O coeficiente de contração do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: a)Qual o coeficiente de descarga do reservatório, assumindo que o nível do reservatório não varia por um tempo de 1,5 horas? b)Quanto tempo leva para o nível do reservatório diminua de 1,0m? c)Para o caso do item (b) a idealização do item (a) é válida?
Solução:
H=4m D=3,2m Cc=0,9 t=1,5 horas=5,4 seg d=6cm r=3cm=3.10-2m Ab=área do bocal AR=área do reservatório -considera-se o reservatório cheio
a) Cd=Cv.Cc Cd=Cv.0,9
33
•
achar Cv: temos que
e que
substituindo os valores,temos
•
-então, achar Cd: Cd=Cv.0,9
•
achar Ab:
•
achar AR:
- t>1,5 horas: o nível do reservatório varia, vamos considerar Q0=0
34
Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna 0-
.
=
.
=
Desenvolvendo, Então, (1) •
achar a:
•
achar zeq: -cosiderar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq t=1,01.5,4 t=5,45
seg s
então, utilizando a equação (1)
teremos,
•
Substituindo os valores ,
35
b)Utilizando a equação,
obtemos,
5 Para o escoamento de um fluido com propriedades físicas constantes entre duas placas paralelas fixas, na horizontal, distantes 2ª uma da outra, responda o que se segue assumindo que o escoamento é devido a um gradiente de pressão constante na direção X (dP/dX). a) Para y*=y/a e u=v/U a, mostre que a equação de Navier-Stokes para o problema, depois de assumidas as idealizações de COUETTE,pode ser escrita como: onde B é uma constante que depende do gradiente de pressão,a,Uo e da viscosidade. b) Ache uma expressão adimensional u, levando-se em conta as condições de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manométrica de 20mmHg (ρ*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazão desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U0 é a velocidade medida no tubo de Pitot. Solução:
- Condições:
36
- Analisando equação de NAVIER-STOKES:
como, substituindo temos,
então,
a) Adimensionando: temos,
substituindo, 37
derivando,
derivando novamente,
b) Condições de contorno: 1) U|y*=1=0
2) V|y*=-1=0 38
então,
c)-achar U0: •
manometria:
•
achar :
•
Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 U0 P1
z2=0 V2=0 P2
substituindo os valores,
39
Para y=0 a velocidade é máxima -dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua substituindo em
temos,
-achar Vmáx: como já foi dito Vmáx ocorre quando y=0, então
-achar Q:
substituindo valores, 40
6 Usando o princípio da conservação de energia, determine o sentido do escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual γ=8500 N/m3 e µ=0,05 kg/m.s e ache a vazão deste escoamento em litros por segundos. Dado: PA=20 kPa PB=30 kPa L=40 m D=10 cm Inclinação da tubulação:30
Solução: •
Para analisar o sentido do escoamento é preciso verificar em qual seção há maior energia, então aplicaremos Bernoulli :
-pela equação da continuidade : e 41
então, consideramos ,
-analisando a energia no ponto A:
-analisando a energia no ponto B:
A energia em A é maior que em B, o fluído escoa de A para B. •
Calculando a vazão: -condições:
-analisando equação de NAVIER-STOKES:
como, substituindo temos,
42
então, -condições de contorno: 3) V|r=0=Vmáx c1=0 4) V|r=a=0
então ,
-achar Q:
-achar K:
43
-achar Vmáx:
substituindo os valores,
7º- Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da correia é V o. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir das equações de Navier Stokes. Admita que o escoamento é laminar, unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanete.
Solução:
44
•
Nós só consideraremos o componente na direção y do vetor velocidade porque a formulação do problema estabelece que o escoamento é unidimensional (assim, u=w=0). A equação da . O regime do escoamento é o continuidade indica que
. Nestas condições nós encontramos que permanente e então v= v(x). A aplicação da equação de Navier Stokes na direção x e na . direção z resulta em: e •
Este resultado indica que a pressão não varia em qualquer plano horizontal. Ainda é possível concluir que a pressão no filme é constante e igual a pressão atmosférica porque a pressão na superfície do filme (x=h) é a atmosférica. Nestas condições, a equação do movimento na direção y fica reduzida a:
•
Integrando a equação acima chegaremos a:
•
Condições de contorno:
1ª
x=h=0:
•
A segunda integração da equação,
, fornece:
2ª V x=0=V0: Desta forma:
45
