UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA
Engenharia Ambiental Engenharia Civil Engenharia Química
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA (EAMB023); (ECI026); (EQUI 031)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I Organização: Manuella Suellen Vieira Galindo (PET/Eng. Civil) Marianna Luna Sousa Rivetti (Monitora/Eng. Civil) Prof. Roberaldo Carvalho de Souza
Maceió, fevereiro/2010
Esse material corresponde às atividades realizadas durante a monitoria de Fenômenos de Transporte I referente aos semestres 2008.1 e 2008.2. Ele foi elaborado com o objetivo de facilitar a didática entre os alunos e a matéria, através de uma apostila contendo notas de aula e alguns exercícios para uma melhor aprimoramento do conhecimento acerca desta disciplina.
Sumário
1.
PROPRIEDADES DO FLUIDO............................................................................................................. FLUIDO.............................................................................................................1 1
2.
ESTÁTICA DOS FLUÍDOS................................................................................................................. FLUÍDOS.................................................................................................................12 12
3.
CINEMÁTICA DOS FLUÍDOS ........................................................................................................... ...........................................................................................................22 22
4.
DINÂMICA DOS FLUÍDOS............................................................................................................... FLUÍDOS ...............................................................................................................33 33
1. PROPRIEDADES DO FLUIDO
Referencias bibliográfica: 1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edição (1995). Capítulos 1 e 2. 2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulo 1. 3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Capítulos 1 e 2. 4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edição (1982). Capítulo 1. 5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 1. 6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Capítulo 1. 7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, Li vi, LTC (2004). Capítulo 1. 8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Capítulo 1. ♦
MASSA ESPECÍFICA OU DENSIDADE (ABSOLUTA):
- Análise dimensional:
- Unidades: → → → ♦
PESO ESPECÍFICO:
- Análise dimensional: - Unidades: → → → ♦
DENSIDADE RELATIVA:
4
♦
PESO ESPECÍFICO RELATIVO:
♦
VOLUME ESPECÍFICO:
♦
VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINÂMICA:
- Análise dimensional: - Unidades: → → →
♦
VISCOSIDADE CINEMÁTICA:
- Análise dimensional: - Unidades: → → →
♦
MÓDULO DE ELASTICIDADE:
♦
COEFICIENTE DE COMPRESSIBILIDADE
5
1.
Exercícios resolvidos resolvidos
1º. Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 kg/m³. Calcule: viscosidade cinemática em unidades do S.I. b) A viscosidade dinâmica em unidades do CGS. Solução: a)
a) A
b) 2º. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos dos sistemas MK*S, CGS e SI. Solução:
No MK*S:
No SI:
No CGS:
6
3º. A viscosidade dinâmica de um óleo é 5x10 -4 kgf.s/m² e o peso específico relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas MK*S, SI e CGS. (g=10m/s²; γ H 2O=1000 kgf/m³). Solução:
No MK*S e no SI: No CGS:
4º. O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 10 -5 m²/s. Se g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos nos sistemas MK*S e SI. Solução:
No SI:
No MK*S:
5º. São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço es paço entre as placas for υ=0,1 0,1 St; ρ =830 preenchido com óleo ( υ = =830 kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
7
Solução: Obs: υ=0,1 St= 10-5 m²/s
6º Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30º, sobre uma fina película de óleo. A velocidade da placa tem um valor constante de 2 m/s. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm?
Solução: De acordo com a 2ª Lei de Newton: F resultante = m.a . Onde a= Assim: Px -
*Área = m. 20.sen 30º -
Assim,
* 1 2 = 0, pois a velocidade é constante, ou seja,
= 0.
= 10 N/m²
Sabemos que:
7º. Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parábola tem seu vértice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para y= 10cm. Adotar centipoises.
Solução: Obs.: 400 centipoises= 4 poises= 4 dina.s/cm² •
Como o perfil de velocidade é parabólico: V(y)= a1+ a2y + a3 y²
Condições de contorno: 1ª V y=yo =Vmáx = 2,5 m/s •
a1+ a2y0 + a3 y0²=2,5 8
2ª Vy=0 = 0
a1=0
3ª
a2 + 2y0 a3=0
y=yo
=0
Assim: a2y0 + a3 y0²=2,5. Para y0= 10 cm= 0,1m.
0,1 a2 + 0,01 a3=2,5. Daí,
a3= -250 e a 2=50. •
Perfil parabólico obtido: V(y)= 50 y – 250 y²
•
Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m: = 50-250y y=yo = 25
•
Tensão de cisalhamento:
y=yo=
8º. Uma pequena esfera sólida, com 4,02 mm de diâmetro e uma densidade relativa de 0,91, é colocada em repouso num recipiente contendo um líquido cuja densidade relativa é de 0,8. Sabendo que a esfera está submetida à força gravitacional (calculada através do produto da massa pela aceleração da gravidade), ao empuxo (que é representado pelo peso do volume deslocado = fluido V olume ) e a força de arrasto (representada pelo produto do olume da esfera ) coeficiente de arrasto vezes a área frontal de contato entre o sólido e o fluido vezes a metade do produto do peso específico do fluido e o quadrado da velocidade dividido pela aceleração da gravidade, no caso de uma esfera: A frontal = de número de Reynolds, Fa = C d d . A frontal .
fluido.
e C d d = 24/Re , , onde Re (=
é chamado
). Calcule o tempo mínimo decorrido para
a esfera atingir a velocidade terminal. Solução: Figura ilustrativa:
Diagrama de Corpo Livre:
w = m.g
E=
w= esfera. Volume. g w= *. H2O .Volume. g
E=
fluido. Volume
fluido.
Fa= Cd. Afrontal. Fa=
.
.
fluido. fluido.
Fa=
9
•
Sabemos que: Fr=m.a w- Fa- E = esfera. Volume. esfera.
.g-
-
fluido.
=
esfera.
.
=g•
Sendo a= g -
, e b= = a – bV
Teremos: V = Vmáx (1- e-bt)
•
•
Adotando V=99%Vmáx: s
9º. Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina película de óleo de espessura h mm em um plano inclinado de um ângulo θ . Determine uma expressão para o comprimento do plano em função da velocidade máxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no óleo = c y 1/3 , onde c é uma constante determinada pela condição de contorno da velocidade máxima no óleo ser igual à velocidade do bloco e y é a distância do plano no óleo, 0 y h.
Solução: Note que temos dois problemas problemas distintos: um que envolve um perfil perfil de velocidade e outro associado ao bloco. •
•
Diagrama de corpo livre:
10
Sabemos que: Fr= w.senθ - Fa
• •
•
a=
• •
Logo: •
Fr=m.a
•
- Fa = -
(÷m) -
Condição de contorno: Se y=h:
•
V(y) = V bloco=
= c y1/3
V(y) = Note que: Voltando para a expressão obtida ao analisar a força resultante r esultante teremos:
•
•
e
Seja
.
•
Seja
, teremos:
Assim,
: 11
2. ESTÁTICA DOS FLUÍDOS
Referencias bibliográfica: 1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edição (1995). Capítulos 3. 2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulo 3. 3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Capítulos 4. 4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edição (1982). Capítulo 2. 5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 2. 6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Capítulo 2. 7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, Li vi, LTC (2004). Capítulo 3. 8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Capítulo 2. EQUAÇÃO GERAL DA ESTÁTICA DOS FLUÍDOS (1-D)
•
Líquido em repouso:
Princípio
de
Pascal
P 1 .dA − P 2 .dA − W = 0 W = ρ . g .dA.dz P 1 → P Expansão em série de Taylor
P 2 = P 1 +
dP .Δ z dz
Assim,
PdA − ( P + dP ).dA − ρ . g .dA.dz = 0 dP = − ρ . g .dz
12
APLICAÇÕES: •
FLUÍDO INCOMPRESSÍVEL
FORÇAS EM SUPERFÍCIES PLANAS - Usando
- Outra forma
→
Ponto de aplicação desta força (zf )
•
EQUAÇÃO GERAL DA ESTÁTICA DOS FLUÍDOS (2-D)
♦
APLICAÇÕES: 13
MOVIMENTO RELATIVO LINEAR
Sistema em Repouso
Sistema em Movimento
MOVIMENTO RELATIVO CIRCULAR
2. Exercícios resolvidos resolvidos 1º. Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule: a) A pressão efetiva efetiva do Gás Gás 2; b) A pressão efetiva do Gás 1, sabendo que o manômetro indica uma pressão de 15000 N/m3 ; c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando a pressão atmosférica local igual a 730 mmHg. Dados: γ óleo = 8000 N/m3 , γ Hg = 133280 N/m3 , γ água = 9800 N/m3
14
Solução: a) P1 = Póleo + Pgás e P2 = PHg + Págua P1 = P2 γ óleo . ( h1 + h2 ) + Pgás = γ Hg . h4 + γ água . h3 8000 . (35 . 10 -2) + Pgás = 133280 . 25 . 10 -2 + 9800 . 25 . 10 -2 Pgás = 32970 N/m3 b) Pgás 1 = Pgás 2 – Pmanômetro Pgás 1 = 17970 17970 N/m N/m3 c) P2 = PHg + Págua + Patm e P1 = Pgás 2 + Póleo + Pgás 1 PHg + Págua + Patm – Pgás 2 – Póleo = Pgás 1 133280 . 25 . 10 -2 + 9800 . 25 . 10 -2 + 0,73 . 133280 – 32970 -8000 . 35 . 10 -2 = Pgás 1 Pgás 1 = 97294,4 N/m 97294,4 N/m3 P abs gás 1 = 115265 N/m3 2º. O tanque mostrado no esquema da figura contém um óleo com massa específica ρ. Determine o módulo da força resultante exercida pelo óleo sobre a janela retangular retangular localizada na parede vertical do tanque.
Solução:
, onde
2)
3º. A figura mostra um esquema de uma janela circular de diâmetro D=2 m, localizada na parede vertical vertical de um tanque tanque com água água e aberto aberto para a atmosfera. atmosfera. Determine: Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (z f ) 15
Solução: a) Em coordenadas polares: dA=r.dθ.dr e, considerando considerando D=a temos: z=a/2-r.sen z=a/2-r.sen θ
b)
Substituindo,
Temos ,
16
4º. A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (z f )
Solução: a)
Temos
e
Substituindo,
b)
Substituindo, Temos,
.
17
5º A figura mostra um esquema de um reservatório com água. A comporta retangular de altura L e largura B está articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constituído de um material com massa específica ρ B , está imerso em água. água. O cabo possui massa desprezível desprezível.. Estando a comporta comporta na posição posição vertical, vertical, determine: determine: a) A forca resultante resultante exercida exercida pela pela água sobre a comporta; comporta; b) O momento de forca, em relação ao ponto O, devido à distribuição de pressões exercida pela água; c) O volume mínimo V do bloco necessário para manter a comporta na posição vertical.
Solução: a)
b)
Deve-se achar z f :
Temos,
18
Substituindo, Temos, Em relação ao ponto O temos temos a distância D, que é igual a : D=H-z f Calculando o momento,
c)
Temos em relação ao ponto O,
Pelo Diagrama do Corpo Livre:
Sendo,
Então fica assim,
Isolando V,
19
6º. Deve-se transportar um aquário que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. Quanto em volume de água você pode deixar no aquário de modo a ficar razoavelmente certo de que não transbordará no transporte?
Solução: •
Equação da superfície livre: dP=0
•
Se não houver transbordamento:
•
Não há transbordamento: Vi=Vf
•
Achando a altura da água água h: (1) = (2)
Sabe-se que Substituindo os valores, 20
•
Calculando o volume:
7º. Um vaso cilíndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com líquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante ( ω ) em torno do do seu eixo central. Após um curto período, não há movimento relativo (o líquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido). Qual o valor de ω (rpm) para não haver transbordamento?
Solução: •
Equação da superfície livre:
dP=0
•
Se não houver transbordamento:
21
Substituindo os valores, •
Não há transbordamento:
(1) Vi=Vf
Substituindo valores, .
. Igualando os volumes: •
Achando o valor de ω: Equação (1) = Equação (2). Daí,
3. CINEMÁTICA DOS FLUÍDOS
Referencias bibliográfica: 1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edição (1995). Capítulo 5 e 6. 2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos 9 e 11. 3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Capítulos 9, 10 e 11. 4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edição (1982). Capítulo 7. 5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 3. 6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Capítulo 3. 7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, LTC (2004). Capítulos 4, 5 e 6. 8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Capítulos 4 e 6.
22
♦
OPER OPERAD ADOR OR NA NABL BLA A ( ):
♦
Coordenadas retangulares:
♦
Coordenadas cilíndricas:
♦
OPERADOR LA LAPLAC ACE E(
♦
Coordenadas retangulares:
♦
Coordenadas cilíndricas:
♦
VELOCIDADE:
♦
Coordenadas cartesianas:
♦
Coordenadas polares:
♦
ACELERAÇÃO:
):
- Sistema Euleriano
♦
Coordenadas polares:
♦
VAZÃO
→
Vazão em volume:
V=velocidade A=área →
Vazão em massa:
→
Vazão em peso:
♦
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
- Regime permanente (independe do tempo) 23
- Fluído incompressível (ρ=constante):
→
Velocidade maior nas seções de menor área
♦
Coordenadas cartesianas
♦
Coordenadas polares
♦
EQUAÇÃO DA IRROTACIONALIDADE
♦
Coordenadas cartesianas
♦
Coordenadas polares
♦
EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA:
♦
FUNÇÃO CORRENTE (ψ)
- Satisfaz a equação da continuidade ♦
FUNÇÃO POTENCIAL (φ)
- Satisfaz a equação da irrotacionalidade ♦
RELAÇÕES DE CAUCHY-RIEMMAN
♦
Coordenadas cartesianas
♦
Coordenadas polares
♦
EQUAÇÃO LAPLACE
24
♦ ♦
TIPOS DE ESCOAMENTO
FONTE
- Q = Constante - Vr ≠0 - Vθ=0
♦
VÓRTICE
- circulação é constante - Vθ≠0 - Vr =0 =0
♦
TIPO CANTO
♦
UNIFORME
25
♦
UNIFORME+FONTE
- Ponto de estagnação: velocidade é nula - Equação do semi-corpo de Rankine :
♦
FONTE+SUMIDOURO FONTE+SUMIDOURO
♦
DIPOLO
26
♦
♦
FONTE+SUMIDOURO+UNIFO FONTE+SUMIDOURO+UNIFORME RME
UNIFORME+DIPOLO UNIFORME+DIPOLO (AO REDOR DE UM CILINDRO)
- ψ=0 , r=a -
♦
UNIFORME+DIPOLO+VÓRTICE(CILIN UNIFORME+DIPOLO+VÓRTICE(CILINDRO DRO COM CIRCULAÇÃO)
27
Exercícios resolvidos resolvidos 1º. Considere um campo de escoamento incompressível bidimensional dado pela função corrente (x,y) = ax²-ay², com a=3s -1 e x e y em metros. a) Mostre que o escoamento escoamento é irrotacional. irrotacional. b) Determine o potencial de velocidade velocidade para este este escoamento. escoamento. c) Qual a vazão que passa entre uma assíntota e a linha de corrente dada por =cte=2? Solução: a) Um escoamento é irrotacional quando xV=0 Sabemos que: ;
•
•
xV =
x
= 0.
-2a+2a=0 0=0 O escoamento é irrotacional. b) •
•
; Logo:
=
c) Sabemos que a vazão é dada pela diferença entre dois psis, ou seja, Q= assíntota e
1-
2.
Se
1=
2=2, teremos: Q= 2m³/s.
2º. Demonstre a Equação da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilíndrica plana.
28
Solução:
Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna
•
+
-
-
+
=
-
+
-
-
-
-
-
-
-
= Desprezível
==-
-
-
-
-
Obs.: De acordo com a Regra do produto: produto: = = + Logo: + +
+
+ +
=0 “Equação da continuidade em coordenadas polar”
=0
Desta forma, provamos que:
+
=0
3º. Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimensões.
29
Solução: Devemos lembrar que: • îr =cos =cos î + sen j • = -sen î + cos j • îr . îr =1 =1 ; îr . =0 • . =1 ; îr x = k
•
= -sen î + cos j=
•
= - cos î - sen j=
De acordo com a Equação da Continuidade: .
= 0, ou seja:
=0 =0
+
=0 =0
=0 =0
+
=0
De acordo com a Equação da Irrotacionalidade: x
= 0, ou seja:
=0 =0
+
=0
+
=0, ou seja,
-
=0
4º. Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade é dado por ? Esse escoamento é real ? Solução: Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. Não dá • para dizer se o fluido é compressível ou não, pois não temos informações suficientes. Temos apenas um escoamento plano em duas dimensões. •
a local=
=0
a convectiva= a convectiva= a convectiva= • Componentes da aceleração: aceleração: a x= ay= 30
•
O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma,
deveremos provar que:
+
= 0.
Tende a zero, pois o escoamento não depende do tempo.
O escoamento não é real.
5º. Seja . Veja se o escoamento desse fluido é real. Em caso afirmativo, defina a equação de sua trajetória. Solução: • O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma, deveremos provar que:
+
= 0.
Tende a zero, pois o escoamento
O escoamento é real.
•
Encontrando a Equação da trajetória:
Equação da trajetória. 31
6º. A superfície matemática do sólido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposição de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geométrica que pode ser representada representada como a parte parte superior do do semi-corpo de de Rankine. Para um um vento de 20 km/h em direção ao monte, pergunta-se:
a) Qual a velocidade do vento na superfície do monte em um ponto verticalmente acima da origem? b) Qual o valor da vazão do escoamento do vento entre duas superfícies que passam pelos pontos pontos de estagnação estagnação e (x=50; y=90)? Solução: a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine é formado pela superposição de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a Equação de Laplace podemos dizer que: ΨU/F = ΨU + ΨF = •
Para Ψ=0:
•
Para θ=π:
Logo: Ψ0= •
•
•
Para Ψ=0:
•
Para θ=π/2:
•
32
Logo: V= 3,54 î r + 5,56 îθ e V = 6,59 m/s b)
Sabemos que:
•
x= r cosθ=50 y= r sen θ=120
r=130m
•
tgθ=
=1,18 rad
•
Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100:
•
Ψ0=
Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre dois psis, Q= Ψo Ψa, sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0. •
Q= Ψo - Ψa= Q= 319 m³/s
4. DINÂMICA DOS FLUÍDOS
Referencias bibliográfica: 1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 4a. edição (1995). Capítulos 5 e 8. 2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos 5 e 6. 3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). Capítulos 10 e 12. 4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 7a.edição (1982). Capítulos 3 e 5. 5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 4 e 9. 6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA (2003). Capítulo 5. 7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, Li vi, LTC (2004). Capítulo 5. 8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard Blucher Ltda, (2008). Capítulo 6.
♦
TEOREMA DE BERNOULLI
33
- Conservação de energia - Válido na mesma linha de corrente - Escoamento em regime permanente - Fluído ideal →Viscosidade nula →Fluído incompressível - Usamos para determinar força de arraste (F A) e força de sustentação (F s)
- Aplicações: ♦
TUBO DE VENTURI
- serve para monitorar vazões - para achar o valor da vazão: 1) aplica Bernoulli 2) usa equação da continuidade 3) leitura manométrica ♦
TUBO DE PITOT
- serve para medir o valor da velocidade em um ponto 1) aplica Bernoulli 2) leitura manométrica
34
♦
RESERVATÓRIO IDEAL IDEAL
- Nível do reservatório constante Achar o valor da velocidade de saída: 1.
Aplica Bernoulli
Para achar o valor da vazão de saída: 2.
Aplica equação da continuidade
FLUÍDOS REAIS •
Coeficiente de Descarga:
•
Coeficiente de Velocidade:
•
Coeficiente de Contração:
RESERVATÓRIO • Tempo para o reservatório encher: - Considerar fluído real - Fazer balanço de massa Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna Tempo para o reservatório esvaziar: - Considerar fluído real - Fazer balanço de massa (t (taxa axa que entra=0) 0 - taxa que sai = taxa de variação interna •
35
Tempo para o nível do reservatório permanecer constante : - fluído ideal - fazer balanço de massa (taxa de variação interna=0) - encontra zeq - calcula o tempo para z=0,99zeq, pois tcte>t •
FLUÍDOS VISCOSOS •
EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES:
- Idealizações: 1) escoamento permanente 2) escoamento laminar 3) escoamento completamente desenvolvido 4) fluído incompressível 5) ♦
Problema de COUETTE COUETTE
- Condições: 1) velocidade só tem componente na direção do escoamento e está em função da outra direção. , na direção de x e em função de y 2) →
escoamento só ocorre devido a diferença de pressão e a pressão depende de x. se o escoamento só ocorrer devido a gravidade :
Para resolver o problema aplicamos as idealizações e condições na equação de NAVIERSTOKES e encontramos:
Com as condições de contorno achamos c 1 e c2
36
♦
Problema de HAGEN-POISEUILLE: HAGEN-POISEUILLE:
- Condições: 1) velocidade só tem componente na direção do escoamento e está em função da outra direção. , na direção de z e em função de r 2) →se
escoamento só ocorre devido a diferença de pressão e a pressão depende de z. o escoamento só ocorrer devido a gravidade :
Para resolver o problema aplicamos as idealizações e condições na equação de NAVIERSTOKES e encontramos: Com as condições de contorno achamos c 1 e c2 .
4. Exercícios resolvidos resolvidos 1º. O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem atrito, incompreensível e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionário, de raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade. Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento ( ρ*=10-3 ) atinge 180 km/h; a temperatura externa é 7,0 0C. Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720mm de mercúrio; a pressão atmosférica fora é também de 720 mmHg. A cabana tem um diâmetro de 6,0m e um comprimento de 24m. Determine a força que tende a levantar a cabana das suas fundações. Sabendo que Solução:
37
cilindro: r=a
Sendo, D=6m L=24m a=3m h=720mm =720.10 -3m • Achar P1: P=ρ.g.h P1= ρ*Hg.ρágua.g.h Substituindo os valores, P1=9,6 Pa V1=180 km/h=50m/s e U 0=50m/s Achar V2: • Vr =0 =0 Vθ=-2.U0.senθ |V|=2.U0.senθ ρ*=10-3 então, ρ=1 kg/m3 • Achar γ: γ= ρ.g γ=9,8 N/m3 • Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 V1=U0 P1=9,6 Pa Teremos então,
z2=a.senθ V2=2.U0.senθ P2
Fica assim, •
Achar Fa:
Calculando, Obtém-se, Achar •
Fs:
38
Calculando, Obtém-se,
Substituindo os valores,
2º. Dado o perfil de velocidade
e sabendo que foi medido com tubo de
≤ a. pitot uma velocidade velocidade V=0,3 V=0,3 m/s no ponto ponto r=0,3a, calcule calcule a vazão, vazão, sendo a=0,1m a=0,1m e 0≤ r r≤ a.
Solução:
r=0,3ª
Teremos, Então,
3º. Dado um reservatório com uma saída lateral,achar a vazão que sai quando o nível do reservatório não muda.(vazão ideal) Solução: Aplicando Bernoulli: H1=H2 • z1=z z2=0 V1=0 V2 P1=Patm P2=Patm Videal= 39
•
Pela continuidade:
4º. Um grande reservatório, com 4,0m de altura de água, em forma cilíndrica com diâmetro de 3,2m, possui um pequeno orifício lateralmente na sua base com diâmetro de 6,0 cm. O reservatório encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifício está aberto jorra água a 2,0m de distância do orifício. O coeficiente de contração do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de descarga do reservatório, assumindo que o nível do reservatório não varia por um tempo de 1,5 horas? b) Quanto tempo leva para o nível do reservatório diminua de 1,0m? c) Para o caso do do item (b) a idealização idealização do item (a) é válida? válida? Solução: H=4m; D=3,2m; C c=0,9; t=1,5 horas=5,4 r=3cm=3.10-2m A b=área do bocal; AR =área =área do reservatório -considera-se o reservatório cheio
seg; d=6cm;
a) Cd=Cv.Cc Cd=Cv.0,9 achar Cv: • temos que
e que
substituindo os valores,temos Então, achar Cd: Cd=Cv.0,9 •
•
achar A b:
40
•
achar AR :
- t>1,5 horas: o nível do reservatório reservatório varia, vamos considerar Q0=0
Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna 0-
.
.
= =
Desenvolvendo,
Então, (1) •
achar a:
achar zeq: -considerar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99z eq t=1,01.5,4 seg t=5,45 s Então, utilizando a equação (1) •
Teremos, 41
•
Substituindo os valores,
c)
Utilizando a equação, Obtemos,
4º. Para o escoamento de um fluido com propriedades físicas constantes entre duas placas paralelas fixas, na horizontal, horizontal, distantes 2ª uma da outra, responda o que se segue assumindo que o escoamento é devido a um gradiente de pressão constante na direção X (dP/dX). a) Para y*=y/a e u=v/U a,a, mostre que a equação de Navier-Stokes para o problema, depois de assumidas as idealizações de COUETTE,pode ser escrita como: onde B é uma constante que depende do gradiente de pressão,a,U o e da viscosidade. b) Ache uma expressão adimensional u, levando-se em conta as condições de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manométrica de 20 mmHg ( ρ*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazão desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U 0 é a velocidade medida no tubo de Pitot. Solução: - Condições:
- Analisando equação de NAVIER-STOKES:
Como, Substituindo temos,
42
Então, a)
Adimensionando:
Substituindo,
Derivando,
Derivando novamente,
43
b)
Condições de contorno:
1)
U|y*=1=0
2)
V|y*=-1=0
Então,
c) •
achar U0: manometria:
•
achar
•
Aplicando Bernoulli: H1=H2
:
z1=0 U0 P1
z2=0 V2=0 P2
Substituindo os valores,
44
Para y=0 a velocidade é máxima - dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua Substituindo em
Temos,
•
achar Vmáx: Como já foi dito Vmáx ocorre quando y=0, então
-achar Q:
Substituindo valores,
5º. Usando o princípio da conservação de energia, determine o sentido do escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual γ=8500 N/m3 e μ=0,05 kg/m.s e ache a vazão deste escoamento em litros por segundos.
45
Dado: P A=20 kPa; P B=30 kPa; L=40 m; D=10 cm Inclinação da tubulação: tubulação: 300
Solução: • Para analisar o sentido do escoamento é preciso verificar em qual seção há maior energia, então aplicaremos Bernoulli :
-pela equação da continuidade : e Então, Considerando ,
-analisando a energia no ponto A:
-analisando a energia no ponto B:
A energia em A é maior que que em B, o fluído escoa de A para B. Calculando a vazão: • -condições:
-analisando equação de NAVIER-STOKES:
46
Como, Substituindo temos,
Então, -condições de contorno: V|r=0=Vmáx
3) c1=0 4) V|r=a=0
Então , -achar Q:
-achar K:
-achar Vmáx:
Substituindo os valores,
47
6º. Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da correia é V o. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir das equações de Navier Stokes. Admita que o escoamento é laminar, unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanente.
Solução: Nós só consideraremos o componente na direção y do vetor velocidade porque a formulação do problema estabelece que o escoamento é unidimensional (assim, u=w=0). A equação da continuidade indica que . O regime do escoamento é o permanente e então . Nestas condições nós encontramos que v= v(x). A aplicação da equação de Navier Stokes na direção x e na direção z resulta em:
e
.
Este resultado indica que a pressão não varia em qualquer plano horizontal. Ainda é possível concluir que a pressão no filme é constante e igual a pressão atmosférica porque a pressão na superfície do filme (x=h) é a atmosférica. Nestas condições, a equação do movimento na direção y fica reduzida a:
•
Integrando a equação acima chegaremos a:
•
Condições de contorno: x=h=0:
1ª
A segunda integração da equação,
•
2ª
, fornece:
V x=0=V0: 48
Desta forma: A vazão em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade:
•
A velocidade média do filme pode ser definida como
•
. Assim:
7º. A água escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura abaixo. Dois tubos de Pitot estão em um manômetro diferencial contendo um líquido com ρ*=0,82. Achar u A e u B. Dados: A=3 ft; ft; B=2 ft; ft; g=32,17 ft/s². ft/s².
•
•
49
