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APLICACIONES DE LOS MÉTODOS M ÉTODOS NUMÉRICOS EN LA INGENIERÍA INGENIERÍA
1. En un proc proces eso o de Inge Ingen nier iería Quím Química, el vapor vapor de agua agua (H2O) se calie calienta nta a temper temperatur aturas as lo suficiente suficientemente mente altas para que una porcin signific significativa ativa del agua se disocie o se rompa en partes para formar o!ígeno (O2) e "idrgeno (H2)# H2O H2 $ % O2 &i se asume que 'sta es la nica reaccin que se lleva a cao, la fraccin molar x molar x de de agua que se disocia se se puede representar por# por # 2 t x ! = 1 − x 2 + x donde# ! * la constante de equilirio de la reaccin, t * * la presin total de la me+cla. &i &i t " " 3 atm atm ! " 0.0#, 0.0#, determine el valor de ! que satisfaga la ecuacin anterior. 2. El des despl pla+ a+am amie ient nto o ( $) $) de una estructura est- definida por la siguiente ecuacin para una oscilacin amortiguada# − %t cos(ω t ) $ = .e donde % " 0.# ω " 3. Estimar el el tiempo tiempo requerido para que el despla+amiento despla+amiento disminu disminuaa a /. realice el c-lculo "asta un error inferior al 0.001. . 3a carga carga total total Q se distri distriu uee en forma forma unifor uniforme me alrede alrededor dor de un conductor conductor con forma forma de anil anillo lo circular con radio a (ver figura). figura). 4na carga & se locali+a a una distancia x distancia x desde desde el centro del anillo. 3a fuer+a e5ercida sore la carga por el anillo est- dada por# &(x 1 ' = /π e 0 2 2 ( x + a ) 2 donde e0 * ).)# ! 10*1+ , + -N m+ /. Encuentre la distancia x distancia x donde donde la fuer+a sea de 1 6, si & ( son # ! 10*# , para para un anillo con un radio de 1.+ cm. 4tilice el m'todo que considere apropiado con un error menor menor al 0.7. cm. 4tilice a x & ( /. 3os ingenieros ingenieros aeroespaciales aeroespaciales algunas veces calculan calculan las traectorias de proectiles proectiles como los co"etes. 4n prolema prolema relacionado relacionado con este tema es el de la traectoria de una pelota lan+ada. 3a traectoria de lan+amiento lan+amiento de una pelota de un 5ugador de 'isol 'isol que se encuentra en primera ase est- definida definida por las coordenadas ( x x $), $), como se presenta en la figura. $
3a traectoria se puedev 0modelar como# θ
0
x
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+
g
+ 1. 2 2v 0 cos θ 0 Encuentre el -ngulo inicial apropiado si v0 " +0 m-s la distancia a la segunda ase es de 0 m. Oserve que el lan+amiento sale de la mano derec"a del 5ugador a una altura de 1. m que el 5ugador de segunda ase recie la pelota a un metro de altura. 7. 4n prolema importante en la ingeniería estructural es determinar las fuer+as reacciones asociadas con una estructura determinada. En la figura siguiente se muestra un e5emplo de tal estructura# $
= x tan θ 0 −
4 1 θ1
' 1
2 +
2
' 3
θ2
θ
' 3 +
3
3as fuer+as ' representan, a sea la tensin o la compresin de los elementos de la estructura. 3as reacciones e!ternas ( 2 + + 3) son fuer+as que caracteri+an cmo interacta la estructura con la superficie de soporte. El apoo en el nodo 2 puede transmitir amas fuer+as, "ori+ontal vertical a la superficie, mientras que el rodillo en el nodo transmite slo fuer+as verticales. 8alcular las fuer+as ' i i, si# 4 " 1000 %g 9 θ 1 " 5067 θ + " 3067 θ 3 " 806. :. ;uc"os de los campos de la ingeniería requieren estimaciones e!actas de la polacin.
etermine el tiempo los valores correspondientes de 4 ut/ 4 st/ cuando la polacin en la ciudad sea 20 maor que la suurana. 3os valores de los par-metros son# 4 u m9x ":# 000 % u " 0.0#-a;o 4 u mín " 100 000 personas, 4 s m9x " 300 000 ersonas 4 0 * 7 000 personas, % s * 0.0:#-a;o. ?. 4n prolema comn dentro de la ingeniería el'ctrica involucra la determinacin de corrientes volta5es en varios puntos en circuitos de resistores. Estos prolemas se resuelven usando las lees para corrientes volta5es de @irc""off. 3a regla para la corriente (o nodo) estalece que la suma algeraica de todas las corrientes que entran aun nodo dee ser cero# ∑ i = 0 , donde todas las corrientes que entran al nodo se consideran de signo positivo.
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3
A
A
A
2
1
1
2
A
/
1
C
:
/
7 A
C
: A
7
:
8onsiderar los siguientes valores# A 1 * 7 o"m9 A 2 * 10 o"m9 A * 7 o"m9 A / * 10 o"m9 A 7 * 17 o"m9 A : * 20 o"m9 C1 * 200 C9 C2 * 0 C. . Dres loques est-n conectados por una cuerda sin peso descansan sore un plano inclinado segn se descrie en la figura. Bplique la segunda le de 6eton a cada cuerpo lire para encontrar la aceleracin a las tensiones T i. 8onsiderar las masas coeficientes de friccin siguientes# m1 * 0 Fg9 m2 * 10 Fg9 m * 70 Fg9 θ1 * 0G9 θ2 * :0G9 µ1 * 0.29 µ2 * 0.79 µ * 0..
M + M 1
θ1
M 3
θ2
. &e sae que la resistencia a la tensin de un pl-stico aumenta como una funcin del tiempo cuando se calienta. &e dispone de los siguientes datos# Tiemo minutos/ 10 1# +0 +# 0 #0 ## 80 :# laci=n 100 +1+ ) 55 +005 8omo ingeniero que traa5a en una compaía de servicios usted dee pronosticar la polacin que "ar- en el ao 2007 2010, para poder anticipar la demanda de energía. Emplee un modelo e!ponencial para "acer esta prediccin (nota# tome el tiempo t " 0 para el ao 12). 4( t ) = 4o e %t donde# 4t/ *
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F * Jactor de proporcionalidad o de crecimiento específico, (1-tiemo) t * Diempo 11. 3a viscosidad cinem-tica del agua, v, est- relacionada con la temperatura en la siguiente forma# Temeratura 6,/ 0 ) 1+ 18 +0 + *+ iscosidad 10 1.:5+3 1.#8:8 1.3): 1.+358 1.118) 1.010# 0.51)8 + cm -s/ a) 4sar interpolacin para predecir v a D * ?.7G8 ) 4se regresin polinomial para a5ustar una par-ola a los datos para reali+ar la misma prediccin. 12. &uponga que la corriente a trav's de un resistor es descrita por la funcin# 2 i (t ) = ( :0 − t ) + ( :0 − t ) sen( t ) la resistencia es una funcin de la corriente# 2
<= 10 i + 2 i
8alcule el volta5e promedio desde t"0 a 80 mediante la regla &impson 1= de segmentos mltiples. 1. El traa5o reali+ado por un o5eto es igual a la fuer+a por la distancia recorrida en la direccin de la fuer+a. 3a velocidad de un o5eto en la direccin de una fuer+a est- dada por# v = / t
0 ≤ t ≤ :
v = 2/ + ( : − t )
: ≤ t ≤ 1/
2
donde v est- en m-s. Emplee la regla trape+oidal de aplicacin mltiple para determinar el traa5o si una fuer+a constante de +00 N se aplica para todo t . 1/. 3a velocidad "acia arria de un co"ete se puede calcular con la siguiente frmula# m 0 v = u ln − g t m & t − 0 donde
v * velocidad "acia arria u * velocidad a la cual se e!pulsa el comustile relativo al co"ete, u " +000 m-s m0 * masa inicial del co"ete en el tiempo t " 0, m0 " 1#0000 %g & * ra+n de consumo de comustile, & " +800 %g-s g * aceleracin "acia aa5o deido a la gravedad (se supone constante e igual a 5.) m-s+). Estimar qu' tan alto volar- el co"ete en 0 segundos, a) 4sando la regla trape+oidal con cuatro segmentos, ) 4sando la regla de &impson 1= con seis segmentos c) 4sando la regla de &impson = con una aplicacin. 17. 3as secciones transversales de ríos canales son requeridos para diferentes tareas en la ingeniería, como ser# pronstico de inundaciones, diseo de reservorios, etc. &i no se dispone de medios electrnicos, el ingeniero dee confiar en mediciones discretas de la profundidad de un determinado canal. 4n e5emplo de una corriente comn con su seccin transversal se muestra en la siguiente figura# r o ? u n d i d a d
Suer?icie del agua
0 1 + 3 # 8 : 0
+
8
)
10
1+
1
18
1)
+0
++
+
@ i s t a n c i a d e s d e l a o r i l l a i & u i e r d a m
+8
+)
30
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#
3os puntos representan uicaciones donde se ancl un ote tom lecturas a diferentes profundidades. a) B5ustar los datos de profundidad para aseme5ar el fondo del canal a una curva paralica. ) Estimar el -rea de la seccin transversal utili+ando la ecuacin encontrada en el punto anterior. c) Estimar el -rea de la seccin transversal utili+ando los datos originales, aplicando la regla de &impson 1=. 1:. 3os ingenieros mec-nicos, así como la maoría de los ingenieros, usan en forma e!tensa la termodin-mica en su traa5o. El siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor específico a presin constante del aire seco c B%C-%g !D en funcin de la temperatura# c
= 0.HH/0 + 1.:?1 × 10 −
/
T + H .?217 × 10 −. T 2
− H .7 × 10 −
11
T
+ 1.H720 × 10 −
1/
T/
>etermine la temperatura que corresponde al calor específico de c * 1.2 B%C-%g !D 1?. 3os datos que se enlistan en la siguiente tala dan mediciones "orarias del flu5o de calor & (cal=cm2=") en la superficie de un colector solar. 8omo ingeniero a cargo, 4d. dee estimar el calor total asorido por un panel colector de 170000 cm2 durante un período de 1/ "oras. El panel tiene una eficiencia de asorcin ea> del /7. El calor total asorido 2 lo proporciona# t
2 = ea>
∫ & A dt 0
donde A * -rea, & * flu5o de calor. t q
0
1
+
3
#
8
:
)
5
10
11
1+
13
1
0.10
1.8+
#.3+
8.+5
:.)0
).)1
).00
).#:
).03
:.0
8.+:
#.#8
3.#
1.00
0.+0
1. 4n ingeniero civil involucrado en la construccin, requiere /00, 710 7:0 metros cicos de arena, de ripio de piedras, respectivamente, para un proecto de construccin. 3a composicin de cada cantera es#
8antera 1 8antera 2 8antera
Brena 7 2 2 0 2 7
Aipio 0 70 20
K8u-ntos metros cicos se dee transportar desde cada cantera para cumplir con las necesidades del ingenieroL 1. 4n proecto de Ingeniería Química requiere que se calcule e!actamente el volumen molal (v) del i!ido de carono del o!ígeno para cominaciones de diferentes condiciones de temperaturas de la presin, de tal forma que se pueda seleccionar una vasi5a apropiada que los contenga. Bsimismo es importante e!aminar qu' tan ien se apega cada gas a la le de los gases ideales comparando los volmenes molales. 3os datos para el i!ido de carono son los siguientes # A * 0.0207/ a * .72 * 0.0/2:? p * 1 atm D * 00 @
(atm . litro) = (mol. @ )
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3as ecuacin aplicada es la de Can der Maals...
a v
2
( v − > ) ,
>e donde se otiene la ecuacin#
? (v) = +
( v − > ) −
Bplicar el m'todo de 6eton Aap"son para determinar el volumen molal v que cumpla dic"a ecuacin. Aesolver el prolema usando el valor inicial de x0 " 10. 20. 4n nuevo centro de diversiones cuesta 10 millones de dlares produce una ganancia de 2 millones. &i la deuda se dee pagar en 10 aos, Ka qu' tasa de inter's dee "acerse el pr'stamoL. El costo actual ( 4 ), el pago anual ( A) la tasa de inter's (i) se relacionan entre sí mediante la siguiente formula#
(1 + i ) n − 1 = n A i (1 + i )
4
&ustituendo datos simplificando resulta lo siguiente#
(1 + i ) 10 − 1 ? (i ) = −7=0 10 i (1 + i ) a) 8alcular el inter's i usando el ;'todo de Niseccin (a * 0.1 * 0.2) ) &e puede aplicar el m'todo de 6eton Aaps"on Ksí o noL Kpor qu'L 21.
