Aplicacion de Areas y Volumenes de Solido de Revolucion

Sólido de revolución r evolución Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rot ar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un Rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Método del disco. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:  Volumen del disco =

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica. Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , partición, y que da un volumen volumen aproximado del sólido es ,

la suma de Riemann asociada a la

Fórmula del volumen por discos Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene

que:

si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar

EJEMPLO 1: La región entre la curva y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen.

TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:

Región que rota alrededor del eje x

EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es

decir:

LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron Región que rota alrededor del eje x dados en el enunciado del ejemplo: 0≤ x ≤ 25 . FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:

Por tanto el volumen del sólido es

Área de una superficie de revolución Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área.

Cuando

sea positiva y tenga derivada continua, definimos al area superficial de la superficie

obtenida al hacer girar la curva

en torno al eje x

Con la notacion de Leibniz para derivadas la ecuacion se transforma en:

Si la curva se describe con la ecuación

la ecuación se convierte

Se puede resumir de forma simbolica, Rotacion en torno eje x

Rotacion en torno eje y

Donde

se refiere a :

ó

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

=> Entonces:

Hacemos las respectivas sustituciones: y

Simplificamos;

Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:

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