(®, y, C) = 0 es necesario, primeramente, obtener su ecuación diferencial. Sea F(x, y, y') — 0 la ecuación diferencial de la familia dada. Entonces la ecuación
^ I i
Solución. Sea oj(í) la velocidad angular del disco. De acuerdo con la ley de conservación del momento angular, tenemos
I I dH -!J-Í4 U 4 L 4 - " cL5 > 9 V+- "tr+í -! - " A " ' a - • A í f -ft^+SÍ l3n A "-4"-4! 4' í í¡ H J + ¥ » - í r 4 - 4 - - > - ' - L ¿ <í w -! i-i.: - i j : <- 4 - * í *í"4o *j4 i- J-^ - | * J— * J * - <-*aCa
du dt
M,
(1)
Problema?
II
l^iiíSíSSffií'É^iií
donde I es el momento de inercia del disco, M es el momento de las fuerzas que actúan sobre el disco. Según las condiciones de partida M = k0u (k 0 — const); entonces la ecuación (1) toma la forma dtú k(¡ - = ku>, k = j . Su solución es w = u>oekt, donde w se mide en revoluciones por minuto y el tiempo, en minutos. Teniendo en cuenta la condición inicial — 100, se tiene que 60 = 100efc, de donde ek = 0,6. De este modo, la dependencia requerida es íí> = 100 (0,6/ rev/min.
•
•4 Solución. Sea Q(t) la cantidad de agua (medida en gramos) evaporada durante el tiempo t. Entonces, de acuerdo con las condiciones de partida la velocidad de evaporación es dQ -¿=k(qi-q),
(1)
donde k es el coeficiente de proporcionalidad. Hallemos el valor de q. Es evidente que Qi = (V - rrto • 1 0 - 6 ) qo es la cantidad de gramos de vapor que había en la habitación y Qi = (V - m 0 • 10 - 6 ) q0 + Q es la cantidad de gramos de vapor contenida en la habitación en el instante í. Es obvio que
la cantidad Ch está uniformemente distribuida en el volumen V2 = V - m0 • 10" 6 + Q • 1(T6 (la presencia del factor 10"° se debe a que un gramo de agua ocupa aproximadamente un volumen igual a un centímetro cúbico). Por tanto,
Qi v>
q
(V - m0lCr6) q0 + Q V - 10^6(mo + Q)
Si V 10 6(m0 + Q), entonces de (2) se obtiene una fórmula tnás simple para q:
_ Vqo + Q _
Q—
y
, Q
^
+
y
(3)
*
Sustituyendo (3) en (1), obtenemos la ecuación diferencial
dQ dt
k
flo
cuya solución es
Q(t) = V(qi-q(>)
+
Ce-kt/v.
Puesto que Q(0) = 0, entonces C V{<1\ - 9o)- De este modo, la cantidad de agua que queda en el recipiente en el instante t está dada por la fórmula mi(t) = «lo - Vfo - f o ) ( l - c ~ k t / V ) FTAFLLI • • •
•
I
Solución. Sean M(l.) y if(') Li \mm y la velocidad en M(l)v(l) es el instante t, respívlÍvmnttuU,1 I í i i U h u v h k{l.) la cantidad i\c iiinvimicnlu iM t Si ú h la ley de conservación de la nmlULitl ili* nutvimirnlo Iriicmos que
k{l
I Ai)
k(t]
AVf
0)
Problemas- q uo coftd.uccn'a.
donde p es el impulso de las fuerzas externas que actúan, en el transcurso del intervalo de tiempo Ai desde t hasta t + At. En el caso dado, este impulso es generado por la expulsión de los productos de la combustión, cuya velocidad absoluta es c - v(t) (siendo c la velocidad relativa de esos productos respecto al cohete). Puesto que se quema una masa M(t) - M{t + Ai), entonces Ap = (c - v(t))(M(t) - M(t + Ai)).
(2)
Sustituyendo (2) en (1), obtenemos M(t + At)v(t + At) - M(t)v(t) = (c - v{t))(M(t) - M(t + Ai)), o bien MAv + cAM + o(Av) = 0. Dividiendo por Av y haciendo tender Av —» 0, llegamos a la ecuación diferencial dM M + c—— = 0, dv cuya solución es ^ ( í ) - c l n J - + co. M(t)
(3)
La constante co se determina a partir de la condición inicial v(í)| ¡ _ 0 = 0, es decir, de que en el momento inicial (o, lo que es lo mismo, para M(t) = M) la velocidad v es igual a cero. Por tanto, de la ecuación (3) resulta que co = ~ c l n — . Por M consiguiente, M v = c ln — — = c ln M(t)
M M-x
donde x es la masa de combustible que se quemó. Si se quema todo el combustible, es decir, x = M - ra, entonces el cohete tendrá la velocidad M v = cln —. ra Ésta es la fórmula de Tsiolkovski.
• ¡i-'.íflKH'ssmss^Sffl'ssmw
§ 3. Ecuaciones homogéneas y ecuaciones reducibles a homogéneas 3.1. Ecuaciones homogéneas Tocia ecuación de la forma
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,
(1)
donde las funciones M y N son continuas en un dominio D C M y homogéneas de un mismo grado, se denomina n
ecuación diferencial homogénea; Recordemos que una función i¡? es una función homogénea de grado m (siendo ra un número real) si V t e (a, tí)
1>{tx,ty) = tm1>(x,y), (x,y) e D. Con ayuda del cambio de variable y = x • U(x) la ecuación (1) se reduce a una ecuación de variables separables x y U.
3.2, Ejemplo de ecuación reducible a una ecuación homogénea
3,3. Ecuación homogénea generalizada Se dice que (1) es una ecuación diferencial homogénea generalizada si existe tal constante a que, después del cambio de variable y = za, la ecuación se reduce a una homogénea. Resolver las ecuaciones:
Solución. Aquí las funciones M(x,y) — y + \/x2 - y2 (I®! ^ Ij/I) y N(x,y) = —x son homogéneas de grado m = 1, pues M(tx, ty) = ty + ^t2{x2~y2)
=
= t(y + sjx2 - y2) = tM(x, y) para t ^ 0 (es decir, a = 0, b = +oo) y N(tx, ty) = -tx = tN(x, y) para todo t. Por consiguiente, la función dada es homogénea. Realizando el cambio de variable y = xu, obtenemos dy = x du + u dx, y la ecuación toma la forma (xu + |x| v i - u2) dx - x(x du + u dx) = 0.
(1)
Es evidente que x = 0 satisface la ecuación original. Por tanto, asumiendo x 0 en (1), obtenemos sgn x v i —m2 dx — x du = 0. Separando las variables e integrando, hallamos dx
du
Ñ ~~ y/T^Ü?' y sgn x ln x : arcsen — b C. x Teniendo en cuenta que u = ± 1 (esto es, y — ±x) también son soluciones déla ecuación original, escribamos definitivamente todas las soluciones: y sgn x ln |a:| - arcsen — b C, y = ±x, x 0. •
. ..
•
...
: 'i i•-^- •. :A ^: , j , •
-l I
Hablando con rigor, la solución \ f - y -0 = 0 para todo valor de y.
Nota.
x =
I 1 h» • I
0 se obtiene suponiendo que
2
rri-
A Solución. Si escribimos esta ecuación en la forma
x dy - y ( 1 + ln — I dx — 0 (x >0,
y > 0),
y y (l + ln x N(x, y) — x son homogéneas y del mismo grado m = 1. Por tanto, empleando el cambio de variable
descubrimos que las funciones M(x,y)
y
«K Uj
dy =: x du + u dx, obtenemos
x du — u ln u dx = 0. Separando las variables e integrando, hallamos ln x — ln | ln u\ = ln C o bien
(u ^ 1),
xe c%
Observemos que la solución y — xf correspondiente al valor 1, pertenece a la familia de curvas integrales para u C = 0. •
M Solución. En el ejemplo dado se pide hallar la curva que satisface la ecuación diferencial y que pasa por el punto M. Hallemos todas las soluciones de la ecuación. Haciendo el cambio de variable y = xu, obtenemos
u dx + x (tr — 1) du = 0,
Bcuacioiuw' homogdiwtÍH y
Do aquí, p.ira u ^ 0, separando las variables e integrando, hallamos fu2- 1 f dx / —5— du + / — = ln C, ó J u J x ln \ux\ + —-r = InC, 2 u¿ o bien x2 + 2y2 ln — = 0. (D C A la familia de curvas integrales obtenidas añadimos, ademas, la curva y = 0. Tomando en (1) x = 1, y = 1 llegamos a que C = e1/2. Por consiguiente, la ecuación de la curva buscada 2 2 2 es x + y (h\y - l ) = 0. •
Solución. En este caso es cómodo hacer el cambio de variable x = uy. Entonces dx = udy + ydu, udy + y(ueu + 1) du = 0. Separando las variables, obtenemos la ecuación dy (ueu + 1) du
— +-
y u x y cuya solución es ln |x| + e ^ = C.
= 0, •
Solución. Es evidente que xy ^ 0. Para eludir las soluciones triviales x = 0 e y = 0, asumimos que xy > 0. Realizando el cambio de variable y = ux (u > 0), tenemos dy = u dx + x du, 2{y/u sgn x - u) dx - x du = 0. Si x > 0, después de separar las variables x y u (u ^ I), hallamos du f dxdx _ 11 ff J V ~ 2 j y/u - U •Hi^'.iíHws'^-í-uínwiisn
In a;
ln |l - Vu\ + lnC,
o bien
C.
x 1
xj en (1), obtenemos
Si x < O, haciendo a?
2[y/ñ + u) dx i + x\ du = 0. Separando las variables e integrando, tenemos C,
«i o bien
C
x
Reuniendo las dos respuestas (para x > 0 y para x < 0) en una, finalmente podemos escribir la solución de la ecuación dada en la forma
x
sfxy — C.
Señalemos que la solución y = x (u = 1) satisface la ecuación (2) para x > 0 (C = 0), mientras que la solución y = 0 no la satisface. Así pues, todas las soluciones de la ecuación dada se expresan por la fórmula (2) con la adición de y = 0. La solución x = 0 se puede incluir en (2) sólo formalmente, ya que la diferencial d(x — -y/xy) no existe para x = 0, • "••ii
'.• i 1 .
< Solución» Mediante el cambio de variable y — xu, (u > 0, x ^ 0) la ecuación dada se lleva a la forma
xu t
í¿(cos ln u - 1).
Asumiendo que ln u ^ 2á;7t (u ^ e2k7C, k G Z), obtenemos
dx x
MM
o
du u(cos lnu - 1)' ¿Z(ln u) H-^fl"
eos ln u — 1
ctg (ln y/u),
licuaciones hómo$ni!»iN y o<
o bien ln {Cx) = ctg ln
Asimismo, es fácil comprobar que para todo k £ Z la función 0, también es solución de la ecuación y = xe2*1*, x dada. •
<4 Solución, Esta ecuación es de la forma (2), p. 3.2. En el caso dado a t = 6 , £»i = 1, a2 = 4, b2 = 1, afa - o,2bi = 2 ^ 0 . Por consiguiente, para reducirla a una ecuación homogénea utilizamos el cambio de variable x = u + a, y = v + ¡3. De este modo, obtenemos dx — du, dy = dv, [6u + v + 6a + j3 - 1) du + {4u + v + 4a + ¡3 - 2) dv = 0. La ecuación diferencial obtenida se reduce a una ecuación homogénea haciendo 6a + /3 - 1 = 0, 4a + ¡3 - 2 = 0.
1
La solución de este sistema de ecuaciones es a = - - , ¡3 = 4.
1 De esta manera, mediante los cambios de variable x = u — -, y = v + 4 la ecuación original se reduce a una homogénea: (6 u + v)du + (4 u + v)dv = 0. Utilicemos ahora el cambio ya conocido: u = du = v + £ dv. Tenemos (6£ + l)v d£ + (6£2 + 5£ + 1 )dv = 0. Separando las variables e integrando, obtenemos (£ ^ -1/2,
e * -i/3) 6£ + 1 dí + — =s 0, + 5£ +1 v
6£2
6Í + 1
1
-f ln v
Jn C,
o bien 2 3f (2f + l) 2 = C—
1
v
Regresando a las variables x e y, finalmente hallamos
(2x + y-3)2
y-5-
{3x +
Las soluciones 2x + y — 3 — 0
1\ 2/
• 5 y 3 x + y r- - 0
y
*
2
= — - ) se pueden incluir en la familia de curvas integrales obtenidas para C = 0 y C ~ oo, respectivamente.
• •II I
• " l * I ••
WV" 1 "
4 Solución, Por cuanto las rectas 5x — 7y + l = 0 y x + y-1 — 0 no son parálelas (aib2 — ü2h i=- 0)/ empleamos el cambio de variable •
x
u + a,
y = v + p, donde las constantes a y fi satisfacen el sistema de ecuaciones
5a — 7p + 1 — 0, a + ¡3-1 = 0.
1 Resolviendo este sistema, obtenemos a — (5 — . Efectuando 2 1 1 los cambios de variable x = u v + llegamos a ]a y 2 ecuación diferencial
(5u — 7v) dv + {% + v) du — 0, Al igual que en el ejemplo anterior, realicemos el cambio de variable u = Entonces,
du ~ v d£ + £ dv,
(£2 + 6£ - 7) d v
'*>(£•!•
= 0.
licuaciones- luHnpgéiMH y. ucuacio^lijed,
Separando las variables e integrando, obtenemos
/ ^ln
« + 1) < £ - ! ) « +7)
d í + In(|w|C) = 0/
l|+^ln|£ + 7| + ln|t;C| = 0,
de donde (í - 1)(£ + 7 ) V = C, o bien (;X - y)(x + 7y — 4f = C.
•
M Solución. Puesto que las rectas 2x+y+l = 0 y 4x+2y-3 — 0 son paralelas (aií^ — a2&i = 0)/ no podemos recurrir al cambio de variable empleado en los ejemplos anteriores. Sin embargo, como los coeficientes de las variables x ey son proporcionales, entonces podemos tomar z = 2 x + y , obteniendo de este modo dy = dz - 2 dx y 5(z - 1) dx - (2x -3)dz = 0. Integrando esta ecuación y regresando a la variable y, obtenemos 2x + y - 1 = Ce2y~x. •
Solución. Mediante el cambio de variable x = u+3, y = reducimos esta ecuación a la ecuación homogénea dv
v2
—
=
2-
du (u + v)2 Empleando otro cambio de variable v = ecuación diferencial de variables separables d£ Udu
v-2
^
obtenemos la
2j2 (l+O2
, :•
mm
Integrando, hallamos
du + u
£2 + 2£ + 1 ln
+ 2 arctg £ = C.
Después de regresar a las variables x e y obtenemos , ^ -2 arctg6 i/ + 2 = Ce a-3,
Solución* Mediante el cambio de variable x = t¿ - 3, y = v + 3, la ecuación dada se reduce a la ecuación homogénea
dv du
\ /
— + 1 ] ln
u+v u
u+v u
la cual, a su vez, se reduce con ayuda del cambio de variable a una ecuación de variables separables: v— ( « * ' + € + l)ln <1 + 0 = 1 + 6 « í ' ln (1 + f) = (1 + í)(l - ln (1 + 0 ) . Separando las variables en la última ecuación e integrando, hallamos
du u
ln(l + C)df (1 + 0 ( 1 - ln (1 + O)
ln C,
o bien ln |u| + ln (1 + O + ln |1 - ln (1 + 01 = ln C. de donde, regresando a las variables x o y, obtenemos iln
x+y
x+3
= 11 iI
C
x | y
Ecuaciones^
'i^TÍ^Vr.v1»'"-'1'1''
Nota. Para resolver la ecuación (2), p. 3.2, se utiliza también el cambio de variable _ + b^y + Ci a2x + b2y + c 2 ' el cual reduce directamente esta ecuación a una ecuación de variables separables. En el ejemplo que acabamos de analizar podemos hacer uso del cambio indicado, obteniendo la ecuación (z + (x + 3 )z') ln z = z, y+ x donde z — . Separando las variables e integrando, finalmente hallamos x +3 ln + 3| + ln z + ln |1 - ln z\ - ln C, o, lo que es lo mismo, > x+y = 1 + C ln x -f 3 x+y
-4 Solución. Esta ecuación se reduce a una ecuación homogénea con ayuda del cambio de variable x = u - 1, y = v - 2: dv v v — 2u = ~ + tg . du u u Al igual que en los ejemplos anteriores, el cambio de variable v = u£(u) proporciona «í' = t g ( í - 2 ) . Separando las variables e integrando, obtenemos du tg(Í-2)
=
V
lnju| - l n | s e n ( í - 2 ) | = l n C . Regresando a las variables iniciales, finalmente obtenemos
Señalemos que las soluciones x + l = 0(tt = 0 ) y
y — 2x
= kn, x+1 k € Z, (tg (£ - 2) = 0) pertenecen a la familia obtenida de curvas integrales para C = 0 y C = oo, respectivamente. •
s
tifér?ñ0ales; dié ¡primer orden
!
i • <.1 . ' '"i1 ! ., L . X • • .i • >•-i • • f : 1J j J r. '-I
Ь
^¡írídS^iflíSíSÍKííli 5* JDC.
liV
M Solución. Esta ecuación no es homogénea; sin embargo, utilizando el cambio de variable y = (z(x))a, vemos que la ecuación
a**" V
(
dz
la
+ x ) dx
se reduce a una ecuación homogénea si tomamos a = 2. Haciendo z = xu en (1), obtenemos
(u
lux du.
l)2dx
Separando las variables e integrando, hallamos ln lar +
1
u
C,
1
o bien ln x + i »ii ii|
x y-x
C.
•
.i 1 . I . rt
'14 li1 II
Nota. En el caso analizado obtuvimos la solución para y ^ 0, por cuanto O
?
y = z ^ 0. De forma análoga se puede demostrar que para y — —z ^ 0 la familia de soluciones también se expresa mediante la fórmula (2). La solución y ™ x2 pertenece a esa familia de curvas integrales para C = oo. •••f^W
< Solución, Hagamos el cambio de variable y — za; entonces 2a«V"V
z3ct+xz°,
2ax2za~1 dz-(zSa+xza)
dx ~ 0
Vemos que las funciones 2ax 2 z a y z + xza son homogé neas si, y sólo si, se cumple la condición a + l = 3a = a! + l / 1 es decir, si a = - . D e esta manera, asumiendo que y ^ 0 utilizamos el cambio de variable y = la ecuación original adquiere la forma n
después de lo cual
x dz - (z + x)z dx = 0.
licuaciones homofliüni'iiN y ecuaciones
Con ayuda del cambio de variable z — xu{x), esta ecuación se transforma on la ecuación de variables separables x du - u2 dx — 0. Integrando, .obtenemos 1 u o bien
+ ln]z| = C,
x
-f ln \x\ = C. y2 La solución y = 0 pertenece a la familia de soluciones obtenida para C = oo. • Nota 1. En el ejemplo que acabamos de analizar, así como en muchos otros, incluimos las soluciones "perdidas" en la familia de curvas integrales para valores singulares de C . Sin embargo, tal situación no es más que una consecuencia de la forma de escritura de la solución. Expliquemos lo dicho utilizando el último ejemplo. Tenemos: £ + y2 ln |a;| = Cy2,
C
(x + y2 ln |z|) = y 2 ,
Ci (x + y2 ln |¡e|) = y2, 1 Tomando C\ — 0 en la última fórmula, hallamos y = 0.
Nota 2. El cambio de variable y = — a/z (para y ^ 0) conduce al mismo resultado.
< Solución. Empleando el cambio de variable y = za, obtenemos la ecuación za dx + x(2xza
+ 1 )otza~1 dz = 0. .f&m
Puesto que las funciones za y axza~l (2xz a + l ) son homogéneas y del mismo grado para a = — 1, entonces la ecuación dada se reduce a una ecuación homogénea con ayuda del 1 cambio de variable y — -. Asimismo, la ecuación examinada
z
se puede reducir directamente a una ecuación de variables separables si se utiliza el cambio de variable y =
u(x)
(en el caso general hay que emplear el cambio de variable
y = xau(x)). De esta manera, llegamos a la ecuación
2u dx + x(2u +1) du = 0, de donde
dx x ln
x u
+
1
2u
du u
—
+
du lu1'
ln C.
es decir,
2 xy o bien
1
lnC\y\'
2e-l/*i, =
a
Nótese que la fórmula (2) no contiene las soluciones x = 0 e y = 0, mientras que la fórmula (1) incluye la solución x = 0 (para C = oo). En cuanto a la solución y = 0, no es difícil demostrar que no existe ninguna transformación de las fórmulas (1) ó (2) que permita incluir dicha solución en la familia de soluciones obtenida. •
< Solución. En este ejemplo se analiza una ecuación homogénea generalizada de grado dos, es decir, a = 2. Por consiguiente, con ayuda del cambio de variable y = x u(x)
(u ^ 0) la ecuación se reduce directamente a la ecuación de variables separables 2x du
4\/u) dx =
(x ^
Integrando esta ecuación, resulta 1 o bien (x-2
„ =
x-'Wii.
x ~4
Si x < 0, en lugar de la ecuación (1) obtenemos la ecuación 2x du + dx = 0, la cual, después de ser integrada, nos conduce al mismo resultado obtenido para la ecuación (1). •
Solución. Haciendo y = za, obtenemos la ecuación 2(\/x4z2a
+ l - x2za)
dx - axV-1
dz = 0.
Vemos que los factores de las diferenciales son funciones homogéneas de un mismo grado sólo para a — —2. De esta u{x) manera, el cambio de variable y = — t - reduce la ecuación xL inicial a la ecuación de variables separables 2\Ju2 + 1 dx - x du = 0, de donde hallamos x2 = C(u+
y/ví +
l),
o bien x2 = C(x2y+
Vl+zV)-
•
•4 Solución. De acuerdo con las condiciones de partida, \OK\ = \KM\ (fig. 16). Por tanto.
a-2(3
M(x, y)
V
tg a
2tg/? l-tg2/5
Como lg/3
y X
Fig. 16
entonces tg a
2 xy
2" y Teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada, finalmente resulta 2 xy y X y2" La ecuación diferencial obtenida es homogénea. Para resolverla utilicemos el cambio de variable y — xu(x), el cual proporciona
x
" " p . - 1 1 . i.
t
2u
+u =l-«2 dx .X
1 - u2 du. u + u3
Integrando, hallamos
x 1 (u + l) = c. u Regresando a las variables x e y, obtenemos
x2 + y2
Cy.
•
lfcuixiohes'-hoiribfitó
M Solución. En la figura 17 vemos que ios triángulos ONM y OML son congruentes, pues según las condiciones de partida |OJV| = \OL\ y, además, la hipotenusa OM es común a ambos triángulos. Por consiguiente, los ángulos MOL y MON son igua7T les. Como KON ~ a, enton2 ees MOL — + a ) . A partir del triángulo OLM, obtenemos 7T a 1 + tg a/2 y ^ = ft § x 4 + í l = l-tga/2' a y —x . Finalmente, utilizando la fórmude donde te — = b 2 y+ x 2 tg (a/2) la trigonométrica tg a = y el hecho de que l-tg2(a/2) tg a = y', obtenemos la ecuación diferencial 2
2
, y -x y = —z—• 2 xy Mediante el cambio de variable y = xu(x), esta ecuación se reduce a la ecuación de variables separables dx 2u du — + - 5 — 7 = 0, x vr + 1 cuya solución es ln \x\ + ln {u + 1) = ln C, o bien
2 . 2 ~ x +y = Cx.
Si
.h.rruM
..w
J _
>" J : " i . • ,• ; "J! 1- ^.l'+i-j.;.1 j.d>
íEs! J
_•
^ A L W
í '
. I _
vi ^i •L
h - í n i í > ; . • . • . - . : • . . , . • . .. <.f
Solución. A partir de la figura 18, hallamos |JVL| = |0M|
|OiV| M(x,
2
- V® 2 + V1'
X.
i y/x2 + y1 — x yy Esta ecuación diferencial es homogénea. Para reducirla a una ecuación de variables separables hacemos el cambio de variable y = xu(x). Si x > 0, tenemos du
dx X
tg a,
Entonces
y)
Fig. 18
UUiUlIU
y
11 mi •
ii.i
y/u1 + 1 - 1 » u 2 ' du VüFTl-1
u
+ C.
Integrando, resulta
x(l — z) = C, donde vV + L De este modo, la familia de curvas integrales buscada tiene la forma ir \J xl + y2 = C. Dejamos el caso x < 0 a cargo del lector. • =
1TI JPi*
I Solución. Según las condiciones de partida, los triángulos KMN y OLN tienen áreas iguales (fig. 19); por tanto, los triángulos KOP y PML también tienen áreas iguales. Puesto que los últimos son, además, semejantes, entonces ellos son congruentes. Por consiguiente, \OP\ = \PM\. A partir de la ecuación de la tangente Y — y = y'(X - x), donde X e Y son las coordenadas de un punto de la tangente, se deduce que \PO\ = y-
N
x
Fig. 19
y'x.
La longitud del segmento PM es |PAT| = y/x2 + y'2x2. De este modo, obtenemos la ecuación diferencial homogénea ! Ix)\1=x 2 +y . >2x ,2 (y-y o bien y2 - lyy'x - x2 = 0. Mediante el cambio de variable y = xu(x), esta ecuación se reduce a la ecuación de variables separables u + luu'x +
1-0,
de donde, integrando, hallamos x(l + u) = 2 C, o bien {x-C)2
+ y2 = C2.
Ésta es la ecuación de la curva buscada.
•
M Solución* Efectuando el cambio de variable indicado, obtenemos
mzm~lz
— axa + bzm^
(ra ^ 0),
(1)
de donde se deduce que si a y b no son nulos, entonces para que la ecuación (1) sea homogénea es necesario y suficiente que se cumplan las igualdades
m - 1 = a = m(3, i
De la segunda igualdad obtenemos
Sustituyendo ra en la primera igualdad, llegamos a la relación buscada: 1 1 _ •¿•Ni
I• iI
/3
^F'^B
^
^ ^
a
< Solución. Efectuando un desplazamiento paralelo
x
u + a,
y - v + P, del sistema de coordenadas, reducimos la ecuación inicial a la forma (au + bv) du + fav — bu) dv — 0. Es conveniente pasar a las coordenadas polares tomando u — p eos tp, v — p sen
ap
bp,
Ifcuaciones.hompgó^
de donde hallamos = Ce^^ De esta manera, hemos obtenido la familia de espirales logarítmicas buscada, •
Nota. Si a = 6 = 0, se obtiene una familia de rectas. Lo mismo resulta en caso de que a = 0, 6 ^ 0 . Para b = 0, a ^ 0 obtenemos una familia de circunferencias. Estos resultados son casos particulares que se obtienen directamente de la ecuación dada.
Solución. En la figura 20, vemos que OMN = NMS, es decir, el ángulo de incidencia del rayo OM es igual al ángulo de reflexión del rayo MS. Supongamos que la dirección de los rayos M S reflejados es paralela al eje Ox. Entonces, a partir de las condiciones señaladas obtenemos a + /5 =
ir
KMO = a.
Por consiguiente, el triánFig. 20 gulo KMO es isósceles, esto es, \KO\ = \OM\. Evidentemente, \OM\ = \fx2 + y2. Hallamos la longitud del segmento KO calculando la abscisa del punto de intersección de la tangente con el eje Ox. A partir de la ecuación de la tangente a la curva buscada Y=y
+
y'(X-x),
donde X, Y son las coordenadas de un punto de la tangente, hallamos la abscisa requerida: V_ X-x y'
Entonces \KO\ = -X. diferencial
De este modo, tenemos la ecuación
™ - x = \/x2 + y2. y Esta ecuación es homogénea. Empleando el cambio de variable y = xu(x)f tras una serie de cálculos sencillos obtenemos la solución
y2 - 2Cx -C2 = 0, que describe una familia de parábolas {C ^ 0).
•
< Solución, Emplearemos el método de reducción al absurdo. ecuación Supongamos que /(fco) = fco, < 1/ y
v
tiene una solución que es tangente a la recta
y = kgX en el origen de coordenadas. Entonces, en un entorno del origen de coordenadas dicha solución tiene la forma y ( x )
=
ÍCqX
+
X 5 { X )
0 cuando x 0. Sustituyendo (1) en la donde 8{x) ecuación inicial llegamos a la ecuación
¿o + xti + 6 = /(fc0 + S(x)) = f(h) + fVtim o bien
x6' = AS + o(6),
+ 0(61
de donde 6 ~
g '
siendo A = /'(feo) - 1. o{6) Despreciando ——- (pues tiende a cero cuando x —• 0), 6 podemos escribir xS' — ~ A, o de donde hallamos ó « C\x\A. De la última fórmula se infiere que si C ^ 0, entonces 6 no tiende a cero cuando x --» 0 (puesto que A < 0). Así pues, hemos llegado a una contradicción. De este modo, la afirmación 1) es cierta. 2) En este caso no aparece contradicción alguna, ya que A > 0 y 6 —> 0 cuando x —• 0 para todo C. • Nota. Hablando conrigor,ninguna de las soluciones en los casos analizados es tangente a la recta y = k0x en el origen de coordenadas sin que admitamos tácitamente que — x
x=D
~ lim —. z-0 x
4 Solución. Sean x{t) e y{t) las cantidades no evaporadas de los líquidos en el instante t. Entonces x(t + At) e y(t + At) son las cantidades de los líquidos no convertidas en vapor en el instante t + Ai. Por consiguiente, durante el tiempo Ai se evaporan las siguientes cantidades de cada líquido: x{l) - x(t + At)
e
y(t) - y{t + At). •gS^W-iWIWWWMMMi
Según las condiciones de partida,
x(t + Ai) - x{t)
x(txy
u
donde fc es el coeficiente de proporcionalidad, t\ £ (t, t + Ai). Asumiendo que las funciones a? e y son diferenciabas, a partir de (1) y pasando al limité cuando At —• 0, obtenemos la ecuación diferencial
dy dx
—
—
,y K x
~
—
.
Integrando esta ecuación hallamos la dependencia buscada
y-Cxk.
>
§4, Ecuaciones lineales y ecuaciones reducibles a lineales 4.1. Ecuaciones lineales de primer orden Toda ecuación de la forma :I Ii11n i 1Sj* i11j i jjm1 1i i i i111 ¡ i 1 Uirs 1I i 1 n í 1I1 1111m I T l i •i.j'V i i1 1 \ I Í SI I -¡ir É i 11 1 IIi i1 ¡g I 1 s mi 1 I I1Ém 1 A 1i i vi & 1 1I II1 1 I I 1 i'ZA ¡||| i ¡ ¡ §§| 1 se denomina ecuación diferencial lineal de primer orden. El método de resolución de esta ecuación más conocido es el método de variación de la constante, cuya idea consiste en lo siguiente. En primer lugar, se busca la solución general de la ecuación homogénea
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asociada a la ecuación (1). Después, la constante arbitraria C que figura en la solución general de la ecuación (2) se considera una función diferenciable de la variable x, es decir, C = C(x), La función C(x) se determina a partir de la ecuación diferencial de variables separables que se obtiene como resultado de la sustitución de la solución general de la ecuación (2) en la ecuación (1).
4.2. Cambio de papeles entre la función y el argumento Señalemos que algunas ecuaciones se reducen a lineales si en ellas intercambiamos los papeles de la función y el argumento.
4.3. Ecuaciones reducibles a ecuaciones lineales
^fiySfüil áén se
í T O »
•mm Haciendo f(y) = z(x) en (3), obtenemos f'(y)y' -
z{x),
lo cual conduce a la ecuación lineal z + P(x)z = Q(x). En la ecuación (4) es conveniente hacer el cambio de variable e~ny = z(x), de donde —nu i —ne
í
y —z,
z' - - +P(x)z = Q(x) 0). n La ecuación (5) se conoce como ecuación de Bernoulli. Ésta se reduce a una ecuación lineal con ayuda del cambio de variable z(x) = yl~m {se supone que m ya que en estos dos casos la ecuación es de por sí lineal).
4.4. Ecuación de Minding—Darboux La ecuación de Minding—Darboux
(las funciones M y J V son homogéneas de grado ra, mientras que R es una función homogénea de grado n) se reduce mediante el cambio de variable y = ux(u) primero a una ecuación de Bernoulli, la cual, a su vez, se reduce por el método conocido a una ecuación lineal. Resolver las ecuaciones:
Solucion. En primer lugar, hallemos la solucu la ecuación homogénea asociada
y + y tg x = o. Separando las variables e integrando, hallamos
a)
y — C eos x.
La fórmula (1) es la solución general de la ecuación homogé* nea, donde C es una constante arbitraria. Para obtener todas las soluciones de la ecuación lineal no homogénea, consideramos C como una función de x, es decir, C — C(x) y exigimos que la función y = C(x) eos x satisfaga la ecuación original dada:
C* eos x — C sen x + C eos x tg x = sec xt o bien C'
1
. De aquí hallamos que C(x) — tg x + eos ¿x donde Co es una constante arbitraria nueva. Sustituyendo la expresión de C(x) en (1), finalmente obtenemos
y = sen X + CQ eos x. • • i^wm
•
wmmemam Nota. En lo sucesivo designaremos la nueva constante arbitraria con la misma letra C. De esta manera, en el ejemplo anterior y — sena; -I- C cosa; es la solución general de Ja ecuación lineal no homogénea, donde C es una constante.
4 Solución. Resolvamos primero la ecuación homogénea asociada (2x + l)y' = 2y. Su solución general es y — C(2x + 1). Empleando el método de variación de la constante, obtenemos (C'(2x +1) + 2C)(2x + 1) = ix + 2C{2x + 1), o bien (2x 4-1 PYj = 4x, de donde hallamos x dx
1
/ Así pues, la solución de la ecuación planteada es y = (2x + l)(ln |2x +1| + C) + 1.
•
4 Solución. Asumiendo que dx ^ 0 (para eludir la solución trivial x — 0), escribimos la ecuación en la forma I
X
xy - xy = e . La ecuación homogénea asociada xy' - xy = 0 tiene la solución general y = Cex. Aplicando el método de variación de la constante, obtenemos x(C + C')ex - xCex = e 1 ,
1
de donde C*
x
, luego C = ln \x\ + Cq. De este modo,
todas las soluciones de la ecuación lineal no homogénea están dadas por las fórmulas
y
X
on\x + C);
x
0.
•
•—i • • • •• i. !• — u ••! ••
icvcvifil
Í
• :
JtíXíIíXíí f W • ' J ^ f C f^ztrX'ritritr^KlrKO-K.cfxcrxa 5Í?
•4 Solución. La ecuación examinada no es lineal respecto a la variable y, pero sí lo es respecto a x. Por eso, es apropiado considerar x como una función de y. Asumiendo que dy ^ 0 (y = 0 es una solución trivial), tenemos
x+y
dx y dy dx
La ecuación homogénea asociada x = y— tiene la solución y
general x = Cy. Aplicando el método de variación de la constante, obtenemos sucesivamente
Cy + y2 = y(C'y + C),
C' =
C = y + C0.
Por consiguiente, todas las soluciones de la ecuación están dadas por las fórmulas
x = Cy + y ,
y = 0.
•
(1)
Nota. Volviendo a escribir la primera fórmula de (1) en la forma
y
X- y C
y tomando C = oo, obtenemos la solución y — 0. De esta manera, si admitimos que la constante C puede tomar valores singulares, podemos no escribir explícitamente la solución y = 0. Tomando a? = 1, y — 1, en (1) hallamos que C = 0, con !o que obtenemos la solución particular x = y1.
V.UJLYJLVJLUXWJLW *JLf 4 ULW AUAUÍ LV LVJ W ^ J•At U r t r t. Ctr c r c r • JOO-Í6-íixuoso lnllHOrxOKOíixtxOlrtlí cvif 1 K 1
r
:
wmmmm
'fícuaciÓí-Yijti:] í ne^loH y^épyi^eijn^di^^'Vtí^
:m¡M
4 Solución. La ecuación planteada es lineal respecto a x y, puesto que dy
=
dx
1 dx/dy'
se puede escribir en la forma 2ey — x = x.
(1)
La solución de la ecuación lineal homogénea x' + x = 0 es (2)
x = Ce"y.
Considerando C = C(y) y sustituyendo (2) en (1), obtenemos sucesivamente 2ey - Ce~y = C'e~y -
Ce~v,
C1 = 2e2
•
4 Solución. Esta ecuación es lineal respecto a la variable x, por eso la representamos en la forma x - x ctg y = sen2 y. Aplicando el método de variación de la constante, obtenemos x(y) = C(y) sen y, donde = - eos y + const.
•
< Solución, La ecuación propuesta es de la forma Í3),.r>, 4.3, Por eso, el cambio de variable ln y — z(x) produce
I
Él y dx'
z x)z = x[e ~2x +
e^2).
La ecuación resultante es lineal respecto a z> Utilizando el método de variación de la constante, hallamos
z(x) =
C(x)eT~lx
donde
C(x)
x e ;
(
+ e ) dx + C q .
De este modo, la solución general de la ecuación inicial es 1 ¿ -2x 1 ln y = e 2 • mnm
• w I M-
Solución. Esta ecuación es de la forma (3) examinada en el p. 4.3. Por consiguiente, el cambio de variable z(x) = s/y2 + 1 conduce a la ecuación /
2:' + z = X + 1.
Aplicando el método de variación de la constante, hallamos
C{x)e
—X
donde
C(x) = ex(x2 -2x + 3) +C0. Así, v V +1 es la solución requerida.
a: •
2a? + 3 + Ce -X
< Solución. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por ex, obtenemos una ecuación de la forma (4), p.4.3: dy
-1 = exey. dx Vemos ahora que es apropiado hacer el cambio de variable z(x) = e~y, a partir del cual obtenemos sucesivamente z'(x) ~e~vy{x), i xy -evz - 1 = e e , -z'-z
= ex.
La ecuación obtenida es lineal respecto a z. Su solución es 1 z = Ce
1
- -ex.
De este modo, la solución general de la
ecuación inicial es Ce~x -
-ex 2
4 Solución. Transformado esta ecuación en + 1= -eJ • e \ dx obtenemos una ecuación de la forma (4), p. 4.3, lo que sugiere el cambio de variable z(x) — e~3y. De este modo, obtenemos z'(x) = -3e~3y, z'
+ 1 =
z
ex# z
z-z—e, cuya solución es z(x) = Cex + xex.
La solución general de la ecuación diferencial examinada es Íln«7
y 1*1 I
x)-¡
+
•
II
Solución. La ecuación dada es de la forma (3), p.4.3, puesto que
d dx
V (ln y):
y
dy dx
Por tanto, haciendo el cambio de variable z{x) obtenemos la ecuación lineal /
Z
+ ac + 1
1.
Su solución general es
z = —(as + 1)v + C 2 as + 1 La solución general de la ecuación inicial es (j o i - \J (ln yf = -(x +1) + 3 2 a; + 1 |
•
irtW
Solución. Considerando que x ^ — 1, dividimos los dos miembros de la ecuación por x + 1, lo que conduce a la ecuación de Bernoulli y
— —y X +
r
1 rs
Dividamos ambos miembros de esta ecuación por y y hagamos luego el cambio de variable y~l = z(x). Obtenemos y- 2 y/f z{x)
t x+1
L
Vi - • ••' -i • .-s*,, -..i' mí^H if, t<^nrnmmmim Ecuaelpneií Jinealoe y.;ecuacion|S|rrt^|
lina
La ecuación lineal obtenida se resuelve por el método de variación de la constante. Tenemos: z~C(x)(2r
+ 1),
donde
C{x) = ln \x + 1| + C«.
Concluyendo, la solución de la ecuación no lineal dada es V
1 =
(x + l)(ln ¡a; + 1| + C)'
M Solución. Utilizando el cambio de variable x2 = u(y), llegamos a la ecuación lineal de primer orden 1 du ,y -y— + u = -(y¿ + 1 . 2 dy C(y) Su solución general tiene la forma u = ——, donde y2 C(y) = ~y2(j
+ l)
+ const.
Así pues, las soluciones de la ecuación inicial son yi + lx2y2 + 2 y1 = C.
•
M Solución. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por dx ^ 0 {la solución x = 0 es trivial), obtenemos la ecuación de Bernoulli 2x3
di
+
(®3-3a?2)f
= -y3-
Considerando que y ^ 0 {evidentemente, la solución y = 0 es trivial), dividimos los dos miembros de la ecuación por — j/1 resfW «gMWMUW
1 y hacemos el cambio de variable y nemos
z(x)* Entonces obte-
22/'
z(x\
3
V X
3 /
(x3 - 3x)z
Z
= L
Resolviendo esta ecuación lineal, hallamos
z = C{x)x donde
e x,
—x
C(x)
Ahora podemos escribir todas las soluciones de la ecuación diferencial examinada:
Cy2ex - y2 - x3 = 0;
x = 0;
y = 0.
•
^ Solución. Multiplicando los dos miembros de esta ecuación por y y haciendo el cambio de variable y = u(x), obtenemos la ecuación lineal n
x
ut
x
1
u = x.
0)
Buscamos la solución en la forma u = f(x)w(x). Sustituyendo u y u' en (1), hallamos
xf x
1
W + vff = X.
Las funciones / y tu se obtienen a partir de las ecuaciones
xf X
1
0,
De la primera ecuación resulta que
w f = x.
y de la segunda ecuación se deduce que tu = ¿ V I ® 2 - I I sgn {x2 - 1) + C0. Por consiguiente, u = \x2 - 1| sgn (x2 - l ) + Cy/\x2 - l.| = = x2-l + CvV~l|, de donde = «2 - 1 + Cy/\x2 - 1|.
•
•4 Solución. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por y' 0 (y = 0 es una solución evidente) y considerando x como una función de y, obtenemos la ecuación de Bernoulli 2y
dx dy
3
x ~ —x sen y.
Mediante el cambio de variable x~2 = z(y) reducimos esta ecuación a la ecuación lineal yz + z = sen y, cuya solución general es z =
C
eos y
. De este modo, el y y conjunto de soluciones de la ecuación diferencial dada es V = 0;
1 C — = 2 x y
eos y y
,
o bien y + x2 eos y — Cx2 = 0.
• '...•^asíttMMOB*
M Solución. Transformemos la ecuación dada en la forma
((x + l) 2 + (y - 1 f - 2) d(x + 1) + d(y - 1)
0.
Haciendo los cambios de variable x + 1 = u, (y — 1) llegamos a la ecuación lineal
dv u
112
v,
.
Su solución general es v — Ce~u — u + 2u. Así pues, las soluciones de la ecuación inicial están dadas mediante la familia siguiente: —X x YU U+y Y 2 y — Ce •
M Solución. La ecuación dada se transforma en una ecuación de Bernoulli mediante el cambio de variable ey — z(x): , 2
z H—z x
Su solución general tiene la forma z(x)
1
x(\ + Cx)
. Con-
siguientemente, la solución general de la ecuación inicial es
y = - ln (x + Cx2),
•
<4 Solución. Derivando los dos miembros de la ecuación, obtenemos la ecuación lineal
y = y +i, cuya solución general es y = Cex — 1. A partir de la condición inicial evidente j/(0) = 1, hallamos C — 2, Por consiguiente, y = 2ex — 1 es la solución de la ecuación planteada. • 5 x o xxv lox < : .. x o x í x firxlj < » O X
O SOO >
- Y S -
^
•
• •
^ ^^ ^ .CVí^**»11 LiTL UA I ¿i ® V-"" ír- "fí
i
M Solución. Derivando dos veces ambos miembros de la ecuación dada, obtenemos £
J
y(t) dt = 2 + y{x),
y(x) = y'(x),
o de donde hallamos j/(0) = —2 e y(x) = Cex. De ia condición inicial se deduce que C — 2. Así, la función y[x) = —2c1 es la solución de la ecuación planteada. •
< Solución. Ésta es una ecuación de Minding—Darboux. En este caso, las funciones M(x, y) — y y N(x, y) = x son homogéneas y de grado 1. La función R(x, y) = y2 también es homogénea y su grado es 2. Por ello, el cambio de variable y = tta:(tt) nos conduce a ux dx + x(u dx + x du) + u2x2 (a:(u dx + x du) - ux dx) = 0, o bien 2u dx + x (l + x2u2) du = 0; x = 0. (1) Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida por du. Entonces resulta la ecuación de Bernoulli 2u
|-i = -u x . du Mediante el cambio de variable x~2 — z, reducimos la ecuación de Bernoulli a la ecuación lineal l 2 uz — z — u . No es difícil comprobar que su solución general es z = u2 + Cu. Regresando a las variables x e y, finalmente obtenemos y2 + Cxy - 1 = 0. Las soluciones x = 0 e y = 0 son casos particulares de la fórmula general para C = oo. •
< Solución. Escribiendo esta ecuación en la forma 0 y$ dy + [x2y + y 3 ) dx + x(x dy - y dx) = 0, vemos que es una ecuación de Minding—Darboux. Por tanto, hagamos el mismo cambio que utilizamos antes y = ux. Tenemos:
x 3 (u + tt3) dx + x du = 0, o bien
du + dx = 0; u{ 1 + u2) u
x=0;
De aquí se infiere que
u ~ 0,
Escribiendo la +1 solución en términos de las variables iniciales, resulta
y
Ce
1 rr
Vu2
c V ^
x-
+ y 2 ); •
x = 0. ii
yi
«4 Solución. Ésta es una ecuación de Minding—Darboux, pues puede ser representada en la forma
y x dx + x dy + ay(y dx — x dy) = 0. Haciendo el cambio de variable y = ux(u)y obtenemos la ecuación diferencial lineal
dx x + du u(u +1)
a u + 1'
cuya solución se obtiene mediante el método de variación de la constante. La ecuación homogénea asociada tiene la solución
u+1 X
Mí
u
c.
Considerando C = C(u) como una función incógnita de u, obtenemos la ecuación diferencial dC du
( = a\
1 + l
(« + 1)
que tiene por solución C{u) = a ln (C0(w + 1)) +
u+ 1
Co - const. Sustituyendo la expresión de C{u) en (1) y teniendo en cuenta y que u = —, escribimos la solución general en la forma 2/ X ?¿gzl) = Ce
Solución. La ecuación dada es una ecuación de Minding— Darboux. Para cerciorarnos de ello, escribámosla de la manera siguiente: {ixy — x2y - y3) dx — (x2 + y2 - »3 - xy2) dy — - 2xy dx - (x2 + y2) dy - (x2 + y2) (y dx - x dy). Haciendo y — ux{u), llegamos a la ecuación de variables separables siguiente: (u - u 3 ) dx + x ( l + u2) (a; -1)
du - 0,
de la cual se deduce que x —1 x
u 1-
=
(j
u2
Por consiguiente, en las variables "antiguas" tenemos y(x-l)=C(x2-y2).
•
I ^
•
•
J
•
—
L
'• _ ^ 1 •
U Resolver los problemas siguientes:
<4 Solución, De la ecuación
Y-y
= y'(X - x)
de la tangente a la curva buscada en el punto M{x,y), donde X e Y son las coordenadas de un punto de la tangente, se infiere que la abscisa del punto de intersección y de la tangente con el eje Ox es igual a x -,De este modo,
y
según las condiciones de partida tenemos la ecuación
o bien
y
x
y_ y'
dx dy
x
ky,
ky.
Todas las soluciones de la ecuación tienen la forma
x
y(C-k]n\y\).
•
•4 Solución. De la ecuación de la tangente (v. ej. 91) hallamos la longitud del segmento OK: \OK\ — y - xy' (fig. 21). Sea S el área del trapecio KONM. Tenemos:
S . <_ . _ .
\KO\ + \MN ¡
Y
r EcuaciünosjJInoaltítí.yecua.cíot^ iEt»! ¿ M i De acuerdo con las condiciones de partida, S = 3a2; luego
2 1/
3a = -(y - xy
+y)x.
M(x, y) a
Kp
al respecto a y: i 0 xy -2y
y,
=
O
6a z
N
x
Su solución general es y =
x
Fig. 21
2a x
YCx .
•
Solución. Según las condiciones de partida (fig. 22), tenemos \NL\ + ^(\ON\2 + \MN\2). Veamos el triángulo MNL y hallemos la longitud del cateto NL. Tenemos |iVX| = yy'. De este modo, la ecuación diferencial de las curvas buscadas es
Fig. 22
2 yy' = x2 + y2 Haciendo el cambio de variable y2 — u, llegamos a Ja ecuación lineal u' - u = x2, cuya integración proporciona u — Ce* — • x2-2x—2. Finalmente, obtenemos y2 ~ Ce*-x2-2x-2. nivj*M
-4 Solución. Sean Q%(t) y Qi{t), respectivamente, las cantidades de sal (en kilogramos) en el primer y segundo tanques en cierto instante t desde el inicio del transvase. Entonces 5
al segundo en el intervalo de tiempo desde i hasta i + Ai, mientras que M
5Q2(t12)M es la cantidad de sal que se derrama 100 .
del segundo tanque en ese mismo intervalo de tiempo, donde 6 (i, t + Ai), ¿i2 € (£, t )- At). Por consiguiente,
Q2{t -1- Ai)
Qi(t) H
100
Ai
5Q2(t12)
XWW
Ai
es la cantidad de sal en el segundo tanque en el instante t + At, y 5Qi(¿n) Ai Qi(t + Ai) = Qi(í)
es la cantidad de la sal en el primer tanque en ese mismo instante. Pasando al límite en (2) cuando Ai —> 0, obtenemos la ecuación diferencial
dQi dt
0,05(21,
de donde después de integrar hallamos Q\ — Ce -ojost asumiendo que el tiempo i se mide en minutos. Puesto que Qi(O) = 10, entonces C = 10. Así, tenemos que Q i = lOe—0,05< (3) Pasando al límite en (1) cuando Ai —• 0 y teniendo en cuenta (3), se obtiene dQ2 -0,05í 0,05 Q2 + 0,5 e
dt
*
>* !
títífíi.
Resolviendo esta ecuación lineal, obtenemos Qi(t) = (0,51 + C)e~O05t. Puesto que en el momento inicial Q?.(0) = 0, entonces C — 0. Finalmente, hallamos Q2(t) =
0,5te~W5i.
Haciendo un análisis de la función Q2, vemos que ésta alcanza su valor máximo para t — 20 min, donde 10
Q2(20) = — « 3,68 kg. e
•
Solución. Sean P(t) y Q(t) las cantidades respectivas de radio y radón no desintegrados en el momento t desde el inicio de la desintegración. Entonces, P{t) - P{t + At) es la cantidad de radio desintegrado en el intervalo de tiempo desde t hasta t + At, mientras que Q{t + At) — Q(t) es la cantidad de radón formado durante ese mismo intervalo de tiempo. Según las condiciones de partida, tenemos las ecuaciones P{t) - P(t + At) = P(t„) • 0,00044Ai, Q(t + At) - Q(t) = P{tn)
• 0,00043Aí - Q{tn)7QAt,
(1) (2)
donde tn E {t,t + At), tlz € {t,t + At). Pasando al límite cuando Ai —> 0 (dividiendo previamente por Ai los dos miembros de las ecuaciones (1) y (2)), obtenemos las ecuaciones diferenciales dP — = -0,00044P(¿), (3)
dQ dt
0,00043P(í) - 70Q(t)
(4)
La solución de la ecuación (3) es
P(t) = x0e
-0,000441
(5)
Sustituyendo (5) en (4) e integrando, hallamos Ce~ 7 0 t +
Q(t)
,
0,000441
0
69,99956 Teniendo en cuenta la condición inicial Q(0) — 0, determina 0,00043x0 mos la constante C ~ —• •• . Finalmente tenemos 69,99956 0,0004330 ,„-0,00044í -70¿
Q{t)
69-99956
(
—0,00044£
Examinando la función /(f)
que f(t) alcanza su máximo para t 0,17 años
62 días.
—70í
, hallamos 1 70 ln 69,99956 0,00044
•
•
*
Solución. Para toda ecuación diferencial lineal de primer orden
y + P(x)y = Q{x) su solución general tiene la forma y
=
( C
+
ol{x))B{x),
-i donde a(x-) = f (x) dx, p(x) = e~fmdx Según las condiciones de partida, haciendo uso de (1) tenemos
2/i (3) = (Cj + a(x))/3(x), yz(x) = (C2 + a(x))(3(x),
donde C\§Ci son las constantes correspondientes a las soluciones y\fy2t respectivamente. Ahora, utilizando las igualdades (2), expresamos las funciones afj3 mediante y\,y2, X^jJ-li-.
vA.rY^ii^ii^isíKgiegwMswi
riciiacjoiiUÉi 11 nOükíH; y
obteniendo de este modo a(s) = .
a/
í/i í®) - ¡fe(a) C\ — C2
(Ci ± C2),
Ciikix) - c2yi(x) y\{x)-yi{x)
Finalmente, sustituyendo las expresiones de a(x) y p{x) en (1), hallamos y
1 C i - c2
((C, ~C)y2(x)
+ (C-
c2)yi(x))
=
- y2(x) + C(y2(x) - yi(x)), siendo C —
C2-C —- una constante arbitraria. C\ - C2
•
:
m
M Solución. La solución general de esta ecuación se expresa mediante Ja fórmula y = C tg x -
1 eos x
de la cual se deduce que lim y(x) x—>r/2
lim x-tr/2
( C tg x \
1
COSX
es finito (igual a cero) sólo para C — 1. Por consiguiente, y = tg a; — sec x es la solución requerida. • mi
I • r • i i _ i •r a _
•
*
*
•
*
s'SsM';^
M Solución. La solución general de la ecuación dada se expresa mediante la fórmula C
y (d(|í|) = sgn t dt,
y
i
+
o-l m
Ma
\
t
\
m).
0), o bien
C X
b
a
+ -a +
1
«-i e(í)|í|
a
x
(1)
donde e(f) —* 0 cuando f —v 0 de acuerdo con las condiciones del ejercicio. Según la estimación 1
x
a
1
a-1 e(t)\t\ d(\t\)<
sup
a o
O, x
O,
a partir de (1) se deduce que lim y existe, está acotado sólo x—>0
para C — 0 y es igual a requerida tiene la forma
y
i
x
fe
a
De este modo, la solución
nw i
a
ú-i
d(\t\) •
o "p1• i • •
' i {J. i H -V.:. 1 Í K 4 K 4 1 - i 1- ' i
Ecuaciones lineales y (f.cuacione^xejulijj,
M Solución. Es evidente que, observando la condición f(x) —> b cuando x 0, la solución general de la ecuación analizada se puede escribir en la forma y = \x\-a (c
=
a
+ J
+
(
C +
/(s)M"1
d(M))
=
/
Si la integral f s(x)\x\a~y d(|x|) está acotada, entonces paro b todo C se tiene, evidentemente, que lim y(x) — -. Si la oi-ÍO a integral no está acotada cuando x —» 0, entonces aplicamos la regla de L'Hópital, obteniendo
I •>
l:™ lim
x-*o
e^M-1 .—¡
|x|a
d{\x\) = lim z—o
e{x)\xri ;—; a 1— = 0. a\x\
De esta manera, para todos los valores de C se tiene que b lim y{x) . • a
M Solución. La solución general de la ecuación dada es t
x(¿) = Ce"1 + e'1 J f{r)eT dr. —oo
(1)
Tal representación es posible debido a que la integral impropia
t f(r)eT dr —00
converge en virtud de la estimación
t
f(r)eT dr £ Mé 00 De la desigualdad (2) se deduce además, que la función
t t
f(r)er
f
dr
está acotada por el número M para todo t E {-oo, H-oo). De esta manera, la condición necesaria (y suficiente) para que la función x sea acotada es C = 0. La solución requerida tiene la forma í
i
x(t)
f(T)er
dr.
(3)
00 Ahora bien, supongamos que V T £ ( - O O , + O O ) / ( T + T ) = / ( T ) , donde T > 0. Entonces, a partir de (3) hallamos
t
x(t)
f(T
+ T)er dr
-00 ¿+T
{t+T)
f(ri)eTl
= x{t + T)f
—oo donde Tj = r 4- T, Por consiguiente, x es una función periódica, • Nota» La condición de que / sea continua no es necesaria. Dejamos a cargo del lector determinar la clase de funciones / para las cuales se cumple la afirmación anterior. III
I i• •
I I m
I ^m
•• • I I ^m
I
I
I
VG^uacipÁoti, Ityfiíbléi.-g e c u á á Q P j i ^ ^ i ^ j p
—
H
< Solución. Partimos de la solución general de la ecuación dada: e'*2 d^j .
y = xe*1 (c + J
(1)
En virtud de la convergencia de la integral impropia r -i 2 J e dt, la suma entre paréntesis de (1) se puede re-oo presentar en la forma X
/
C+ / e
1
dx~C1
+
J
e~<2 dt,
donde Ci es cierta constante. (La igualdad (2) se comprueba fácilmente mediante diferenciación.) De este modo, todas las soluciones de la ecuación examinada se expresan mediante la fórmula
I X
y = xe*
Ci +
(3)
Sea x —> +oo. Entonces, a partir de (3) se deduce que y está acotada cuando x —• +oo sólo si se cumple la condición +oo
Ci
dt = —Vñ.
La última condición resulta suficiente para que lim y tamx->+oo bién sea finito. Efectivamente, según la regla de L'Hopitnl tenemos jf e~l2 dt-Vñ .. —ot lim _2 = i-^+oo x e x
lim +oo -(x~2
+2)e~x
Para concluir, escribamos la solución requerida: X
X
e * dt — Vñ
xe
y
oo
x2-t2 dt.
x
•
+00 ••i
d
4 Solución. En vista de la convergencia de la integral impropia +00
exp { — t — sen t eos t} sen t dt, X
la solución general de la ecuación dada se escribe en la forma
y — C exp {aí + sen x eos j?) +oo exp { — t + x - sen t eos i + sen x eos a?} sen t dt,
(i)
X
Puesto que, evidentemente, la función exp {x + sen x eos x} no es periódica y la función +00 j
exp { — í + üf ~ sen icos t -f sen x eos a;} sení dt
X +oo J e x P { ~ s ~ s e n s c o s Cs + 2%)} sen(£ + s) ds, o es periódica con período 2ir (esto se deduce de la identidad +00
3/1 (a)
j
exp{
¿i + {x 4- 2ir) — sen t\ cos
»4-2ít + sen(a? + 2ír) cos (a; 4- 27r)} sen ti dt\
= yi(x + 2?r),
I1WI
;Écu¡ac^
donde ti ~ ¿+27r), entonces la función y es periódica tan sólo para C = 0. Tomando C = 0 en (1), obtenemos la solución periódica y = yi(x). •
Solución. Haciendo uso de la solución general x(t) = (c
+
J f(t) exp { / a(t) dt}
dt^j
exp { - / a(t) dt]
de la ecuación dada, de las condiciones de partida, y aplicando la regla de L'Hópital, obtenemos C + J lim x(t) = lim í^+oo í^+00
f(t)exp{J
a(t)dt}
dt
exp { f a(t) dt}
f(t) exp { / a(t) dt} — lim ¡rr- = 0. *+oo a ( í ) e x p { J a(t)dt\ Nótese que la continuidad de las funciones a y / garantiza la diferenciabilidad de las integrales correspondientes. La condición a(t) ^ C > 0 se utiliza dos veces: J
cuando t. —* +oo.
a(t) dt
•
ci
<4 Solución* Sea ío = 0. Entonces la solución general de la ecuación planteada se puede escribir en la forma siguiente: x
x(t)
x exp j - j a{r) dr} .
(1)
Teniendo en cuenta las condiciones de partida, de (1) hallamos ®o(*)= [b+
f f (r) exp { }
x
At
x e x p 1 - 1 a(r) dr > ,
xí(t)
(2)
X
x exp< - / a(r) dr >
t
(3)
Restando miembro a miembro de (2) la igualdad (3), obtene mos la estimación
\x0(t)~x!(í)| ^ \b-bl\exp\~fa(r)dr} L
o
+ }
Ecuaciones d ifercnclalpé; e x a c t á ^ ^ l ®
i
+
f\f(T)-fi{T)\exp{-Ja(Qdt}dT.
(4)
Dado que \b-h\
< 6,
\f(r)-Mr)\<6, exP
1 L
-
/ a ( T ) df \ ^ o '
e~ct, -C(í-r)
T
a partir de (4) resulta la estimación \x0(t)-Xl{t)\^6
(e-ct
+ ~(l-e
c i
) ) <6
(l +
De este modo, si para un e > 0 dado elegimos ó — entonces para t ^ 0 se cumple la desigualdad
• eC l +
C
|zo(¿) - Xi(t)\ < £, la cual significa, por definición, que la solución ( ) es estable respecto a las perturbaciones de acción constante. •
§5. Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante 5.1. Ecuación diferencial exacta Toda ecuación de la forma
se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función í>, es decir, M(x, y) dx -f N(x, y) dy = d(x, y).
" r J i - ' í í í ^ l í -fe;?* * «Tí
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n • m • rih'J •1 .v ^ •. *fii »i
M
*JZ A u ^ j x ! "J
* i ^
a •••••. • •
dN dx'
8M dy
Teorema. Si las funciones M, N, ——, —— son continuas en cierta
dN dM dx es necesaria y suficiente para que la expresión M dx + N dy sea la diferencial total de la función ry
región simplemente conexa D C l , entonces la condición
Además, para la función
se tiene
X
y) dt + /
y)
N(x0,t)dt.
(3)
yo
El punto (xq, yo) se escoge de forma tal que los segmentos [xQ/ x], [jfo, y] pertenezcan a la región D. La función $ también se puede representar en la forma
<¡>(x, y)
M{t, y0) dt + %o
í) dL ya
Todas las soluciones de la ecuación (1) están contenidas en la integral general y) = C.
5.2. Factor integrante Se llama factor integrante de la ecuación (1) toda función
/i = ¡i{x, y) ^ 0 que, al ser multiplicada por el primer miembro de (1), éste se transforma en una diferencial total-
Teorema 1* Si las funciones M y N son continuas y tienen derivadas
parciales continuas, entonces el factor integrante existe si M + NZ¿ 0 (condición suficiente).
Teorema 2. Sea p,\)(x, y) un factor integrante de una ecuación de la forma (1) y sea uQ(x, y) la integral de dicha ecuación, correspondiente a este factor integrante, es decir, }ÍQ{M dx + N dy) — duQ.
Entonces [i = }ÍQ{X, y)
M2 dx + N2 dy = 0,
supongamos que se conocen sus integrales generales y factores integrantes u^{x,y) = Clf fii(x,y) y u2(x,y) = Cz, pL2{x, y), respectivamente. Entonces, en virtud del teorema 2, las funciones = y MÍ = ^2^2(^2) son factores integrantes de la primera y segunda ecuaciones, respectivamente. Si se logra escoger las funciones
(5)
es, evidentemente, la función (i = /¿() = ^2^2(^2)-
5.3. Ecuación diferencial para el factor integrante Si se sabe que p, = donde w = w(cc, y) es una función diferenciable conocida, entonces el factor integrante fi satisface la ecuación diferencial /du> \
du>\du
_ /0M
M
dx
dy)
du
\ 9y
dN\ dx /
'
Hallar las integrales generales de las ecuaciones siguien tes:
M Solución. Puesto que en el conjunto 00
D
< X
< +00
se cumple la igualdad
d (a;3 + y ln y - y - 2xy) dy
(x ln y - x1 + cos y)
ln y - 2x, entonces el primer miembro de la ecuación examinada es la diferencial total de cierta función Utilizando la fórmula (3), p.5.1, obtenemos que
y e + , ,„ , - , - 2ty)
y)
yo
= -- + xy{\rv y - 1) - yx2 + sen y- sen y0. De este modo, la integral general de la ecuación dada se escribe en la forma 4 2 • x + 4a;^(ln y — 1) - 4x y + 4 sen y = C. Hl^i
II 1 . 1 1^1 VI
^ ^FH'F
Solución. Dado que para \y\ > \x\ se cumple la identidad
a dx y {y
x y y / í F - X2 3/2 X
)
, 1
e
-
r
entonces la ecuación dada es una ecuación diferencial exacta. Aplicando la fórmula (3), p. 5.1, obtenemos x . v 1 dt + Jtdt = $(ar,í/)= / í + yo 1/2 = ~{x
2\
X
1 9
+ y ) + arcsen - -
-y0,
y la integral general de la ecuación analizada es x2 + y2 + 2 arcsen — • y — C. K Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes con ayuda de factores integrantes de la forma fi = / !" ), o bien fJ- = /(y):
y i 4 Solución. Tomando (v = x, M = 1 + y N = —i—r-en ¿ x x x la fórmula (6), p..5.3, obtenemos \x
x¿ J ax
\xA
x3/
dpi
2 ¡i
x \x
x¿ /
o bien dx x ' de donde hallamos que ¡x = x2 (C = 1). Vemos pues que la elección de la función CJ resultó apropiada. Multiplicando ambos miembros de la ecuación dada por x2, obtenemos la ecuación diferencial exacta (x2 + y) dx + (x + 2y) dy - 0. Aplicando la fórmula (3), p. 5.2, hallamos la integral general x3 + 3 xy + 3y2 = C.
•
Solución, Hagamos w = x, M = y2(x-3y) en la fórmula (6), p.5.3. Tenemos: (1 - 3xy
9 du )— ax 1 du p.^i PÍ.
= 2y(x
-
y JV = l-3z?/ :
3y)¡t,
2y(x - 3y)
mvmwi
/i cía;
1 — 3xy2
de donde vemos que ¡j, no puede depender sólo de x, pues el primer miembro de la última igualdad es una función sólo de xt mientras que el segundo miembro es una función de x e y (las variables x e y son independientes). Probemos entonces el factor co — y. Tenemos:
dfi -y (x - 3y)— = 2y(x - 3y)fi, dy 2
/
d¡JL '
y
T y
=
Integrando la última ecuación hallamos fi — y (C = 1). Multiplicando los dos miembros de la ecuación inicial por jT 2 , llegamos a la ecuación diferencial exacta siguiente: (as - 3y) dx + (y
—
3íc)
dy = 0.
Haciendo uso de la fórmula (3), p.5.2, obtenemos su integral general:
x2y - 6xy —2 — Cy
(y ^ 0).
Obsérvese que la división de la ecuación inicial por y condujo a la pérdida de la solución y = 0; por eso, la integral general de la ecuación examinada es x y - 6xy - 2 £ Cy
(y = 0
para
C = oo).
•
(U Integrar las siguientes ecuaciones con ayuda de un factor integrante de la forma (X = ¡J,(x + y) o bien fj, — ¡j.(x — y):
•4 Solución. Sea /i = /i(x — y). Entonces tomando en la fórmula (6), p. 5.3, w = x - y, obtenemos (2y3 + 3xy2 + x2 - x3 + (2x3 + 3x2y + y2 - y3)) ^ = dw = (6x2-6y2+
2y-2x)ii.
Reuniendo términos semejantes (y3 -x3
+ x2 + y2 + 3xy(x + y)) ^ = 2(3x2 -3y2+ dw Es evidente que la expresión 2{3x2 -3y2 y3
x2
+
p.
y~x)
+ + + 3xy(x + y) no es una función de (x ~ y); por tanto, buscaremos la función /x en la forma ¡i ~ ¡i{x + y). Análogamente obtenemos (2y3 + 3xy2 + x2-x3~
x2
y-x)
y2
(2x3 + 3x2y + y2~ y3)) ^ = (6x2 ~6y2 + 2y
= -2x)n.
Factorizamos: dfi (3 {y - x){y2 + xy + x2) - ( y - x)(x + y) + 3xy(y - x)) — = = (y-x)(2-6(x
+ y))fi,
de donde hallamos du (3(ar + yf - {x + y)) £ = (2 - 6(x + y)) /*, o bien (3u>2 - w)n' = 2(1 - 3w)n, wfi' + 2fi = 0.
Resolviendo esta última ecuación obtenemos 1 1 0C = 1).
u
(x + y)
Multiplicando la ecuación inicial por el factor integrante - , llegamos a una ecuación diferencial exacta. Su
(x + yY
integral general tiene la forma
y
X
2t + 3t2y + y 1
• •• ••• •• i • 11
o de donde
V
(t + y)
dt +
2tdt-
const
(y0 ^ 0),
a;3 + y3 + xy = C(x + y), x es un caso particular de la Nótese que la solución y integral general para C = oo. • •Fl"hn Hbh
Solución. Busquemos el factor integrante en la forma fi — fi(x + y). Tomando en la fórmula (6), p. 5.3, u = x + y, obtenemos
a-y+
ay x
x
\ dfi / da)
o bien ((a - x)x — y(x - a))fi ~ (x —
(x + y)ii +/é = 0, (¿H* + ¡i — 0. Al integrar la última ecuación resulta que u i (x + y)-i (C = 1). 0 De esta manera, multiplicando por el factor integrante reducimos la ecuación dada a la forma
ay x(x + y)
dx +
a dy = 0. x+y
1
x+y
Integrándola, obtenemos y í f I dt + a I
J
dt
J x+t
Zo
= const
(a;0 ^ 0),
y de aquí,
x
= C.
>
Resolver las siguientes ecuaciones considerando que el factor integrante tienela forma fi=fi(xy), fi~fi(x2+y2), 2 2 o bien ¡i = fi(x — y ):
Solución. Probemos el factor /# = p{xy), fórmula (6), p.5.3, w = xy. Tenemos: {(x2 + y)y - (1 - y)x2)
=
tomando en la 2x)li,
o bien
dfi (2yx + y - x2) — + 3xa = 0. v ' dw 3x Es evidente que ¿ j n o s e puede expresar en 2 yx + y — x términos de xy, luego el factor integral en la forma elegida no existe. Hagamos w = x2 + y2. Entonces obtenemos de donde
((x2 + y)
Y´ T OX T y)2xy)
2(x2 + y2)fi
^
=
-3xfi,
+3¡i = 0,
2 io[i + 3¡x = 0. Integrando la última ecuación hallamos que (C=l). Así pues, la multiplicación por el factor (x2 + y2)"3^2 transforma la ecuación inicial en la ecuación diferencial exacta ®2 + y a +, , - 0. n dy dx 3/2 3/2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y )
Integrándola, obtenemos X
y
t{ 1 - y) dt $ yl)
o
3/2
d(|y|)
+
\y\2
yo
const
(yo # 0)/
o bien (1-3/)
1
1
1
lyl
y/x2 -f y2
M
y , I
M
C,
i-y \/xz +y2
c.
•
JL"LI il. h V
Solución. Supongamos que w = xy. Utilizando la fórmula (6), p. 5.3, obtenemos 2 3 ( (2aT»
/nJ 2 (2x y
x)y-
\__\dfi
du
A-JJL X ixy(
y2)v,
o bien
{xyfii
+
= 0,
íü/J! + 2¡x = 0, de donde hallamos 0
1
1
c¿>
(C = 1). Multiplicando la
ecuación original por el factor integrante —
1
x+y
la misma a la ecuación diferencial exacta 1 1
2x
x 2y
dx + \2y
xy
j reducimos
dy = 0,
Aplicando la fórmula (3), p. 5.1, hallamos la integral general de la ecuación examinada
y
X
1
21 i Por consiguiente,
t 2y
dt +
1 t 2t - — \ dt = const,
i
xy(x2 + y2) + 1 = Cxy, í tr* tks-t1 j - ^ í
i
•
• MÉ&MMmmss Resolver las ecuaciones citadas a continuación haciendo un cambio de variable o hallando un factor integrante apropiado:
Solución. Escribiendo esta ecuación en la forma (;x2 + y2) dx + 1 d(x2 + y2)
=0
y haciendo x2 + y2 = u, obtenemos u dx + - du = 0. Integrando esta ecuación, hallamos u =
Ce~2x,
o, lo que es lo mismo, (x2 + y2)e2*
= C.
•
Solución. Escribiendo esta ecuación en la forma dx +
y dx — x dy ^ = 0 x2 -i- y
y teniendo en cuenta que
y dx — x dy ( x \ — = d\ arctg — I, obte2 2 x +y V yj
nemos d^x + arctg —^ = 0, de donde hallamos la integral general de la ecuación dada x x + arctg - = C. y
•
M Solución. Escribimos la ecuación dada en la forma
dy2 v t t ? de donde \/l +y2 — xy + C.
=
^
•
. a . ' . • '.ir .i '.-i iVfM~n—r —n—ra
L J ^ ^ — l
mm Solución. Por analogía con los ejemplos anteriores, tenemos
(xy?(xy)' = x, 2U*
xy = u,
i (ti 3 )' xf ; 3 de donde resulta la integral general de la ecuación dada U
X,
=
t
uá
=
3 ^ 4- C, 2
-x
o bien
2x3y3 - 3x2 = C.
•
^ Solución. Considerando x ^ 0, y ^ 0 (las soluciones as = 0 c i/ = 0 son triviales), transformamos la ecuación dada en la forma
y(y dx — x dy) — x dy ~ 0, de donde
Designando
y dx — x dy x y x
x dy ~ 0 y
u, tendremos
du H
dy — 0. u
De esta manera, hemos obtenido una ecuación de variables separables. Integrándola, obtenemos u +2y~
C,
o bien y2 + 2x2y = Cx2. La solución x = 0 se obtiene de la última fórmula para C — oo, y la solución y = 0 para C = 0, así que hemos obtenido la integral general de la ecuación original. •
Solución. Transformemos sucesivamente esta ecuación de la forma siguiente: ydx+
d ( l n - ) =0,
x x dx H— d y i i - d(x2) + - d(ln u) = 0, y donde u = —. Tendremos entonces
iVj +tf=1 1
/
du
de donde hallamos x2
1
2
u
= const,
resultando finalmente x2y -2x
= 2Cy.
Solución. Mediante el cambio de variable ln y = u obtenemos la ecuación
(x + 3u) dx - xdu = 0.
(i)
Busquemos el factor integrante de dicha ecuación en la forma f i = fi(x). Entonces tendremos
du
(fi(x2 + 3u)) + ^-ipx) = 0, dx
de donde resulta que 4 f i + x\¿ = 0. Integrando la ecuación obtenida, hallamos uno de los factores integrantes \i = x-4 Dividiendo ambos miembros de la ecuación (1) por x (a? 0), llegamos a la ecuación diferencial exacta 1
x
+
3u
dx
x
du x
0,
cuya integral general es
X l
y
dt
¥
i
dt ti3
const,
o bien
x 4- ln y = Cx .
•
Solución. Haciendo el cambio de variable xy
u 1 y = —, dy = 4 —(x du — udx). X
obtenemos
X Sustituyendo y y dy en la ecuación inicial, hallamos
u2 xdu- udx = 0, — dx + (u + tg tí) X x de donde
u tg u dx = (u + tg u)x du.
Integrando la última ecuación, encontramos x — Cu sen u, o bien y sen xy = C.
•
< Solución. _ Dividiendo ambos miembros de la ecuación por y, obtenemos la ecuación diferencial exacta (x + y) dx +
+ ^
dy = 0.
Su integral general es x2 + 2xy + ln y2 = C. Señalemos que al dividir por y se perdió la solución trivial y — 0. • Nota. La integral obtenida se puede representar en la forma siguiente: ln y2 = ln C — x2 — 2xy, de donde y2 exp {x 2 + 2xy} = C, siendo C una nueva constante. Ahora es fácil cerciorarse de que la solución y = 0 está contenida en la última fórmula de la solución general para C = 0.
M Solución. Transformando la ecuación inicial de la manera siguiente: {y2 + \){ydx + x dy) -x2 ydx + xdy x2y2 d(xy) __
dy — 0,
dy y2(y2
+1)
dy
(xy)2 ~ y2(y2 + 1)' du tf
dy =
y2(y2
+1)'
= 0,
donde u = xy, la reducimos a una ecuación de variables separables. La solución general de la última ecuación es
du u
1
1
y2
y2 +1
dy + C,
es decir, x - y
xy2
+ arctg y = C. •
•
•
•
umk í Ullvl J. y-.
SÍ» Solución* Transformando sucesivamente la ecuación dada, obtenemos
(x 2 4- 2x) dx + (y dx - x dy) + 3x2y dy = 0, 0 di
x
+ lnx
(x*0),
0.
Integrando la última ecuación, hallamos
y 3 2 ~ + xV = Cx 2 Añadimos a esta solución general la solución "perdida x +
inx
//
-4 Solución. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por x y y haciendo el cambio de variable — — u, obtenemos la
x
ecuación diferencial
du ~2xtgu
dx,
• Bcuaelpncs •diforénc^fti^e^fi^p
la cual se integra fácilmente. Tenemos: d(sen u) dfsen /
f
= 2 / x dx + ln C, J y x sen — = Ce x
— senw
de donde
M Solución. Con ayuda de los cambios de variable e x = u, •u — zy, la ecuación analizada se reduce a las ecuaciones siguientes: - d u + ( - - l ) dy = 0, » \y ) 2 y dz + z dy = 0. La última ecuación tiene la integral general ln |y| - ye~x -C; y ~ 0.
•
< Solución. Transformemos la ecuación de la manera siguiente: x{y dx - x dy) = y(x2 + y2) dy, y dx - x dy — x2A ,+ y¿2
-
d
( {a
K t
y\ *x)
y ~x áy>
=
y =
z
d V
-
Hagamos y — xu; entonces -d(arctg u) = u dy, du u{ 1 + u2)
dy. ¡SiS r¡ ifffiMMtM
Integrando la última ecuación, resulta
(1 + u2)Ce~\
u o bien
y ,2y 2 x -(- y
C.
•
•pwi
Solución. Para resolver la ecuación analizada procedamos de una forma análoga al ejemplo anterior. Tenemos:
(ix2y - l) d(xy) = y dx, (x2y - 1)
dx x
d(xy) xy
Haciendo el cambio de variable xy — u, obtenemos
du (xu — 1) u
dx x
lo que es lo mismo.
dx 2' X
1\ du X u
u 1 Tomando — = v, resulta
x
(u + v)
du u
dv = 0,
o, lo que es lo mismo,
u du + v du — u dv = 0, Dividiendo ambos miembros de la ecuación por u2 e integrando, hallamos
du u
Así pues, x y ln Cxy
d
f v \u
0,
ln u
v u
1.
•
const
EcHacIqnQS d I (prendaos.
M Solución. Escribamos la ecuación para el factor integrante H = p(w)\
(
dw , o \ dw \ da + y)—jJl = xy - x)~ - {x2-j?
y + 2)p.
Ahora no es difícil cerciorarse de que el factor integrante tiene la forma fi = fi(x): x(2y - 1 ) ^ = 2(-2y + 1 )fi, dx xfi' + 2fi — 0. Integrando la última ecuación, obtenemos que fj, = x~2. Multiplicando ambos miembros de la ecuación inicial por /i, resulta la ecuación diferencial exacta (l - ^ + \ x¿ xl}
dx + ( - - - ) dy = 0, \x x J
cuya integral general es x2 + y2 - y = Cx.
•
M Solución. De la ecuación ( r 2 [x(xy-
\ 1) -
/ 7 , - (2x2y +
dw \ da 2 ) ^ = (x2y %
para el factor integrante, concluimos que éste tiene la forma fi = fi(w), donde w = xy. Tenemos:
(2
2
\ dfZ 2 — = (x y + 2)fi, dw o bien u/i'+fi ~ 0. De la última ecuación hallamos ¡i = = {xyY 1 . Dividiendo los dos miembros de la ecuación inicial por xy (x / 0, y / 0), obtenemos la ecuación diferencial exacta ^2xy + ^ dx + (x2 - ^ dy = 0. xy~l~2xy-l)
:Bi9HHHi
Integrando, hallamos
x
ar(l + ¡ 0 + l n
c.
y
Es evidente que x — 0 e y — 0 también son soluciones de la ecuación examinada. •
< Solución. Apliquemos el método de descomposición en dos partes. Para ello consideremos las ecuaciones
xy dx - x dy = 0, y 3 dx + x 2 y dy = 0 y busquemos el factor integrante para cada una de ellas. No es difícil ver que el factor integrante para la primera ecuación es
1 xy
y x
y su integral general es ui(x,y)~ — = C i ,
— ~¿ -
mientras que para la segunda ecuación (12 =
xy
U2{x,y) =
%+ y
1
x y
y
= C2- Según el método de descomposi-
ción en dos partes, el factor integrante // para la ecuación completa satisface la ecuación 1 xy
xA y5 de donde
Vi
y
1
X
y¿
\x + y xy
\% + y
Supongamos que ipi{z) — z . Entonces
x +
1
(1 + y/x)
y)2
1
H(x, y) x
. Por consiguiente,
1
y (1 + yfa)
1
+ y)
1
r
xy \x + y 1
(1 + a)2 Ϊ I..
1"
. Multiplicando ambos
miembros de ln ecuación original por ¡i{x, y), obtenemos la ecuación diferencial exacta x2(y - 1) x + y dx + dy = 0. (x + y)2 y(x + yY Escojamos a;D = 0, j/o = 1 e n I a fórmula (3), p. 5.1. Obtendremos entonces la integral general en la forma X
t + y2 (t + yf
dt = C,
\x + y x(y -1) = c. + ln x+ y y La ecuación examinada tiene, además, las soluciones triviales x = 0 e y — 0, las cuales son casos particulares de la integral general para C = 0 y C = oo, respectivamente. •
I Solución. La ecuación integral para el factor integrante
(
dw , 2 2 \dw\ dfi x s e n 2 y — — [x - s e n y) — I ™ = - 2 sen2y • /x (1)
sugiere que éste tiene la forma ¡JL — fi(x). A partir de (1) se deduce que xfi + 2/i = 0, de donde = x"2. Dividiendo la ecuación original por 2 x (x ^ 0) e integrándola después, obtenemos 1 1 y - y sen 2tdt + J dt = const,
o
x0 ^ 0,
i0
de donde resulta que sen2 y + x2 = Cx. También se tiene la solución particular x = 0. • ^mmmmm
M Solución. La ecuación diferencial para el factor integrante
du) dü)\ du, 21nx-l)—-2y—]-f ax oy / au)
xQny +
/i(3 + ln^ + 21n x)
admite la solución u> — ln x + 2 ln y. Efectivamente, en este casó fi' -f- fi = 0, de donde —LJ 1 1 xy 2 Dividiendo la ecuación original por xy (x ^ 0, y ^ 0), resulta la ecuación diferencial exacta 2 1 , — dx (ln y + 2 ln x — 1) dy — 0,
xy
y2
cuya integral general es
y) o bien
2
dt
yJ i
t
v
lní- 1
i
\s\x2y
C.
V •I
II
I I I I • II • I II IIIIB
I I II I II •
I HW
Solución. Haciendo x +1 ecuación dada a la forma
dt = const,
t1
• HUUUUI
u, sen y
v, reducimos la
(u — v) du + u dv = 0y la cual, para u ^ 0, se puede escribir como sigue:
du u dv — v du — + ; u u es decir,
di lnu + v u
v u
0, 0.
Entonces, ln u -f— = const. Por consiguiente,
(x1 +1) ln (x2 + l ) + sen y = C(x2 + l ) .
•
'SlSiiiiiS •4 Solución. De la ecuación para el factor integrante
se deduce que se puede elegir w — xy. De este modo, obtenemos que u>fi' + /x — 0, de donde _ 1 _
1
w
xy
^
Multiplicando la ecuación inicial por ¡i(x, y), obtenemos la ecuación diferencial exacta xy2 + — ] dx + (x2y ~ ~ j dy = 0. xj \ y) Su integral general es y)=
I \t+--j)
dt+
/
(
x 1
~ j 1
dt
-const'
o bien y -*V x1 La solución y = 0 es un caso particular de la integral general para C — 0. •
M Solución. Apliquemos el método de descomposición de la ecuación en dos partes: x2 dx + xy dy = 0
Ϊ
x dy — y dx = 0.
El factor integrante de la primera ecuación es fi\ = — y su x integral general es u\(x, y) = x2 + y2 — C\. Para la segunda Irí^ümHWIHBRai
1 y ecuación ¡ii — —r y v>2(x, y) = — = C^. Conforme al método ¿
x
x
mencionado, el factor integrante para la ecuación completa tiene la forma i / 2 + y 2\ i í -y \ , ¡l - ~(pi{X ) = ~(p (1) 2
X
*
XL
1
\X
donde
J* Hagamos
1
(x > 0).
•fl ff .—M' I . .— i
I
Por consiguiente, (pifa) = —•
1
1 . De este modo, [i(x, y) = v i + a2
(x > 0), Multiplicando la ecuación original por
x\/x2 + y2 fi(Xj y), obtendremos la ecuación diferencial exacta x2 — y xy/x2
y+1 dx + — dy — 0. + y2 \/x2 + y2
La integral general de esta ecuación es
x o bien x
_
c
Vemos que la solución particular x = 0 se obtiene para C = 0. Directamente se comprueba que el factor integrante ii{x, y) sirve también para x < 0. • ^ J J U U . V J L M J L M J . M J
W
'
.
y j>xotepyipxo roí • i .
muí® •4 Solución. De manera análoga al ejemplo anterior, escribamos dos ecuaciones 2 y (y dx — 2x dy) = 0 x (x dy - 2y dx) = 0, cuyos factores integrantes e integrales generales son, respectivamente: 1 «i = t xyá X 1
u2 =
x2 —
x^y y El factor integrante de la ecuación completa se determina mediante la fórmula
1 v. 1^1=^(7].
xy*
\x
de donde se obtiene que
y 2\ X
y2 ar
fx2
Haciendo ahora el cambio de variable y2 = xu, obtenemos «
fx3'2
(x > 0, u > 0).
Observamos que el segundo miembro de la última igualdad es función sólo de u si elegimos y>i{ti) = o:4^3. De este modo, (p^u) = tyü = ?/ 2/ V 1/3 , V(x,y) =
x-i¡3y-7/3-
Multiplicando ambos miembros de la ecuación inicial por fi(x, y), llegamos a la ecuación diferencial exacta (x-i/3y2/3+2x5'Y4/3)
1/3,^1/3 ,8/3, -7/3S dx-{2x-Vyi/3+xs/y7/3) dy = 0.
1 en la última fórmula del p. 5,1, Tomando 1/ yo obtenemos la integral general requerida X
t
<5(®, y)
4/3
+ 2í5/3) dt
1
y
.7T &'( & xmt~7/i)
dt
I I l^l'
const,
i
z3 - iy2 = C^/oy*, o bien ^1/3
4/3
C.
ar
Las soluciones particulares x = 0 e y
C = 0.
0 se obtienen para
•
«4 Solución. Busquemos el factor integrante con ayuda del método de descomposición de la ecuación dada en dos partes:
(6x — 2y) dx - x dy = 0; (5 y - 8xy) dy - 2y dx = 0, No es difícil establecer que los factores integrantes y las integrales generales de dichas ecuaciones son, respectivamente 01 = x,
02 = y;
Ui = 2x 3 - x if = C\r
«2
2fl4a? - y5
Ci.
Según el método indicado, el factor integrante de la ecuación completa satisface la ecuación
0
xipi{2 x
x2y) - y2(p2(2yAx - y5),
, glSlililiili de donde y2 <¡>i(2x3 - x2y) - —
y5).
Tomando y2 = ux, obtenemos
o bien y?i(a¡) =
u
donde 2 y6
y5
Vr
U¿
Sea ahora
1
1 = — ( u uVa
> 0).
Por consiguiente, 1 Vi (") = -7=/ fi(x, y) =
37 >/2a!:3
- x^y
1
) * y).
V2^y
Obsérvese que si 2x < y, podemos hallar H(x, y) -
1 Vy=2x
análogamente. En ambos casos, después de integrar la ecuación diferencial exacta y tras una serie de simplificaciones obtenemos la respuesta x-y)(x-y2f=C.
•
M Solución. Es razonable escribir esta ecuación en la forma
xdx + xdl y ) - d
i
1
=0
y2 2
y hacer el cambio de variable — = u, obteniendo
xdx + {x - 2u) du =; 0. El factor integrante para esta ecuación satisface la ecuación GX
OLÜ? GD
{X-2u)dx-Xd¿)d¿
=
~fl-
Al elegir ío — x — u se obtiene la ecuación 2u)(i''+ fi = 0. - ?4) 2- Multiplicando Por consiguiente, /¿ — M - 1 ^ 2 = ambos miembros de la ecuación inicial oor u, lleeamos a la ecuación
xdx Y/\X
-
+ U\
x — 2u YJ\X
-
du = 0,
U
cuyo primer miembro es la diferencial total de cierta función Escogiendo xG ^ 0f u$ = 0, obtenemos la integral general de la ecuación en la forma X
• ftdt f y &(x,u)= I —t=+ / J y/W\ 0J Xq
,
x-2t VF^I
dt = const.
Efectuando la integración y regresando a las variables x e y, obtenemos la integral general de la ecuación inicial en la forma
sgn (2x - y2) ^\2x-y2\(x
+ y2) = C,
o bien
(2 x-y2)(x
+ y2)2^C.
•
< Solución. Para cada una de las ecuaciones y3 dx - 2xy2 dy = 0,
2x2 dy = 0
1 x = — r , U[ = —;
hallamos, respectivamente,
1 = —, ar
u2 = J/> De este modo, el factor integrante de la ecuación original satisface la ecuación 1 ( x \ 1 /* = —3V1 "oL J = - ñ ^ f e ) \y J ar Si escogemos .
• De esta
- , y la ecuación diferencial x ¿y
^dx x2
+ l f - - - } dy = 0 \y xj
es exacta. Escribiendo su integral general en la forma x
y
*
i
hallamos la solución general y2 = Ceyl/X.
•
Solución. Consideremos la ecuación (y - x) dy -f y dx = 0. Su factor integrante es — y~2 y su integral general es x v-i = yex¡v. Para la segunda ecuación x d ) — 0 tenemos,
1
respectivamente, ¡12
x
y
x
y
método de descomposición, 1 x vi b
. De acuerdo con el
1 -
y Tomando
f x t
f
r
x
y
(^
x
dx+ 1 ™ ' V^
y 1)
X
.JX
y
y3
ex¡y dy
0.
Su integración nos da
y
X
t/y 1 o
t y
dt 4-
y +y o bien
y y2 + y
dt ~ const
Cye
X
x ¡y
Pi'J • F11
(yQ ^ 0),
x
•
c.
O
n
^ Solución, La ecuación 6xy dy - 3y dx — 0 tiene el factor
1
y2
integrante 0i = -—^5 y la integral u^ = — . L a ecuación 3 xy
x
1
n
x dy+xydx = 0 tiene, respectivamente, 02
x2y
De este modo, conforme al método de descomposición en dos partes, el factor integrante de la ecuación inicial se busca en la forma 1
3 xy
(y2\ x
1
x-y
/
^
mmmmmMS
, 2 x y —-tpi — ) = tpiíxy). Tomando 3y \x ) 1 2 1 fy \ y 1 resulta
de donde se obtiene
dx - (é- + - ) dy = 0, x¿ xJ \ x y cuya integral general es *<*.v) =
+
i i Efectuando la integración, finalmente obtenemos e3yL¡xxy
= C.
•
§6. Ecuación de Euler—Riccati 6.1. Ecuación de Euler—Riccati. Ecuación especial de Riccati Toda ecuación de la forma
se conoce como ecuación de Eider—Riccati. Si tomamos P(x) = bxa, Q(x) = 0, R{x) = -a, donde a,b,a son constantes, entonces la ecuación (1) adquiere la forma dy , 2 . » -—h ay = ox + dx Esta es la denominada ecuación especial de Riccati. La ecuación de Euler—Riccati no se integra, en general, en cuadraturas. En cuanto a la ecuación especial de Riccati, ésta se reduce a una ecuación integrable en cuadraturas solamente cuando 4 A; , donde k es entero ó oo. Si la igualdad a =
a
4fc 1-2 k
se cumple para k > O, entonces en (2) efectuamos
u x au' X
el cambio de variable y
du dx Haciendo después u =
-=• -í
1 , con lo cual hallamos ax bx a+2
1 obtenemos v
dv + bxa+2v2 dx
ax - 2
Finalmente, el cambio de variable xa+ = z conduce a la ecuación 6 dv a — (o+4)/{ar-i-3) *
y
dz
+
a +3
v
a +3
z
Estas transformaciones se efectúan hasta llegar a una ecuación de variables separables. 4k Si la igualdad a se cumple para k < 0, 1 -2fc hay que realizar las transformaciones señaladas en el orden inverso.
6.2* Ecuación canónica de Euler—Riccati La ecuación
se denomina ecuación canónica de Euler—Riccati. Si la función R de (1) tiene derivada de segundo orden, entonces los cambios de variable
y = ct{x)zf z — U + p(x)
(4)
transforman (1) en su forma canónica. A veces la representación (3) permite determinar sin muchas dificultades las soluciones particulares de la ecuación (1). Si se conoce una solución particular yj (x) de la ecuación (1), entonces la ecuación de Euler—Riccati se reduce a una ecuación lineal mediante el cambio de variable y = y\ H—.
Para las ecuaciones citadas a continuación, hallar una solución particular y obtener con su ayuda todas las soluciones:
Solución. Busquemos la solución particular en la forma a 2/1 (x) = —, donde a — const. Al sustituir y\ en la ecuación x dada obtenemos -a + a + a2 = 4, luego
a = ± 2. 2 1 Eligiendo a = 2 y haciendo el cambio de variable y — — + - , llegamos a la ecuación lineal x 2 z' — 5 xz — x2 = 0, c 2» cuya integral es 2 = Cx - —. Por consiguiente, _ 2
4_ Cx 5
^ x - x es la solución general de la ecuación inicial. La solución 2 particular y\ — — se obtiene de la general para C = 00. • x
•4 Solución. Busquemos la solución particular /( ) en la forma y\(x) = ax + b. Sustituyendo esta expresión en la ecuación inicial, obtenemos la siguiente identidad respecto a x: ax - (2x + l)(ax + b) + (ax -I- bf =
-x2,
de la cual resulta que 2ab-2b = 0; a = 1; -b+b2 = 0. El sistema de ecuaciones obtenido tiene dos soluciones: a = b = 1, o bien a = 1, 6 = 0. Sea a = 1, 6 = 0. Entonces la solución
f
^
" ' v.
:
" J
••
•
Í^^ ÍÍl1^ f^J ^ Í "i :1
f 1 u t¡ ii ;• f*. ^I -.I i í ,¡ J :J :'•• • .i^i- -•- '- ' . híi • • , i í ' " í L . ^ - i ' . • r Í •; i ' . • • ' í • •" ' • j-uji.
l . U. l j ¡ i I. • ym-
• •.,
I-!.
particular os f/i(£c) = x. Con ayuda del cambio de variable 1 y = x H— obtenemos la ecuación lineal
i x
(2x + l)[ £ + H +
^
X
1
,
o bien
xz +z — 1 = 0. Integrando esta última ecuación, hallamos z
y= x + ^
x x+C —
.
-
J
-
M
—
^
1H
C , luego x
•
^
Solución. Si se tiene una solución particular de la ecuación de Euler—Riccati y\{x), su solución general tiene, entonces, la forma 1 y = ¡h (ar) +
z{x)'
donde z(x) la solución general de la ecuación lineal de primer orden correspondiente. Puesto que la solución general de la última ecuación se expresa mediante dos funciones, o sea, z(x) = a(x) + Cf3(x), la solución general de la ecuación de Euler—Riccati toma la forma í y = »i(®) +
tr(s) + Cp(x)
Sean yi{x) e yz{x) dos soluciones particulares de la ecuación analizada. Entonces de (1) obtenemos que 1
V2 = Vi + a + C\P' 1 Vi = Vi + a + Ci&'
donde las constantes C\ y C2 corresponden a las soluciones yi(x) e y$(x) {C\ ^ Resolviendo el sistema de ecuaciones (2) respecto a a y y sustituyendo sus valores en (1),
obtenemos - Vi) + Cyi(V3 ~ Vi)
y =
^
,
2/3 - 2/i + C{y3 - y2) ί
donde C =
C-Cj C1-C2
es una constante arbitraria.
•
Resolver las siguientes ecuaciones:
Solución. Ésta es una ecuación especial de Riccati. Como a = - 4 , entonces k = 1 (es entero). Por consiguiente, la ecuación examinada se puede reducir a una ecuación integrable en cuadraturas. Haciendo el cambio de variable u 1 , -T + (a- n y llegamos a la ecuación ux2 + u2 =2. Separando las variables e integrando, hallamos
2V2
ln
V2. + • V2
+ - = ln C. x
Finalmente, V2 + x(xy-l)^/x V2 + x(l-
_
xy)
Solución. La ecuación examinada también es una ecuación especial de Riccati. Puesto que k = 3, tenemos que repetir tres veces las transformaciones señaladas en el p. 6.1. Haciendo u 1 y = —z , obtenemos ¿ x x du u2 -w=
1
Los cambios de variable u
X
v
3/5
z proporcionan
nuevamente una ecuación especial de Riccati:
dv dz
10
4-
5
2
-z
&
-8/3
3
Repitiendo esos mismos cambios de variable, obtenemos
dv i dz\
5Vi
1
donde z\ — z1'3, v
io*r4,
2
—
3 . 4- — * Haciendo una vez mas los
lOz
V\Z
mismos cambios, llegamos finalmente a la ecuación
dv2 dz zJ,
donde z2
vx
lOtf 1
v2 zi
5,
1 — . Resolviendo la última
5z\
ecuación, hallamos 1
v2=~=tg(5V2
z2 + C).
Regresando a las variables x e y, finalmente obtenemos
y-x
. ^ ( s
_i I _¿ 5-0,3ar5)ctg(5\/2a: s + C ) 0,3a; 5 -1,2 1 _] 2 0,3\/2®5clg(5v^a: 5 + c ) - 0 , 0 6 s 5 + i i
. — — N I - . .
4 ; por consiguiente, k 1+ 3 Consideremos por el momento la ecuación dada como el resultado de una serie de transformaciones semejantes a las de los ejemplos anteriores. De este modo tenemos (v, p. 6.1)
^ Solución. En este caso ai
b .u.
<* + 3
1,
a a +3
1,
a +4
4
a +3
3'
íiiiiiÉisiiiiia de donde resulta que a = 0, a = b ~ 3. Vemos que en la ecuación y' + 3y2 = 3 (1) las variables se cambiaron conforme a las fórmulas u 1 1 3 y = — + —, u = -, x ~z, x¿ 3x V lo que condujo a la ecuación
dv
+ v2 ~ z_4/3, dz la cual es precisamente la ecuación a resolver. Así pues, intentemos resolver la ecuación (1). Tenemos:
1+ *Vfa = c, i-y
o bien v(*V3_3z2/3)+3 Puesto que en la ecuación inicial la función se denota mediante y y su argumento mediante x, entonces la respuesta final es y(xV3 -3xW)
+3
-4 Solución. Ésta es una ecuación especial de Riccati con k = - 2 . Por consiguiente, se deben efectuar dos transformaciones inversas antes de que se pueda integrar en cuadraturas. En las ecuaciones a +4 8 = 2, = -1, a +3 a+ 3 ' a+ 3 5' vemos que la ecuación inicial fue obtenida como resultado de la transformación de la ecuación 2/i + yZ/i
— x
•¿¡Mlllill—MWMUI
u + 3 u lOxx xi —i
mediante las fórmulas y\
1
y
5/3
X
X.
j
A su vez, podemos considerar que la ecuación (1) se obtuvo a partir de la ecuación
dx2 con ayuda de los cambios de variable
Vi
v
1
X2
Sx2
1
V
X2 = Xi>
Vi
Resolviendo la ecuación (2), obtenemos V2tg (5Vlx2 + C).
yi
Regresando a las variables x e y, resulta
yx 3/5 (50 x 2 / 5
3) - 1 0
tg (5\/2a:1/5 + C)
s V L ^ i o + sy3/5) ii'^jhii • i
Ь Ь Ь
Ь Ь Ь Ь
Solución. Observemos que la ecuación especial de Riccati (2) (v. p. 6,1) se transforma mediante los cambios de variable u ff+2 = 4t en1la ecuación *> y — —f x
x
t
du ~dt
u + a +2
a U' a+2
b t a +2
(a
¿-2),
a)
o bien
tu +lu + mu
nt ,
Cambiemos de variable en la ecuación inicial haciendo x y denotemos y mediante u:
t
du ~dt
5
-u 2
u 2.
t 21
ЬW
(3)
Comparando (1) con (3) hallamos que 8 a — —, 5
1 a = —, 5
1 b = -. 5
De este modo, hemos establecido una relación entre la ecuación inicial y la ecuación especial de Riccati (3). Dado 8 4 A; que a = — = - — — para k 7 - 2 , entonces la primera 5 1 2k ecuación se integra en cuadraturas y su integral general se puede obtener aplicando el método de transformaciones utilizado anteriormente. Sin embargo, expondremos ahora otro método para la integración de la ecuación (2). La idea consiste en lo 1 siguiente. Si mn 0 y / - - , entonces la ecuación (2) se puede transformar de dos maneras distintas: 1) empleando el cambio de variable u = p =
1+1 n
t p+ v
, donde
, obtenemos tv' + (/ + \)v + nv2 = mt;
q =
t 2) mediante el cambio de variable u = q + - , donde v l , reducimos la ecuación (2) a la forma n tv + (í - \)v + nv2 — mt.
En caso de que m = 0 ó n — 0, la ecuación (2) se transforma en una ecuación lineal o en una ecuación de Bernoulli, respectivamente. 1 Si l — - - , la ecuación se puede representar en la forma + m
=
(4)
después de lo cual se integra en cuadraturas. De aquí se deduce que de los métodos que acabamos de enumerar el i ntFftaa^JwrawWtoawww
más apropiado es aquel que nos conduzca a la ecuación (4). 1 En general, eso es posible si, y sólo si, l = u + - , donde w es un número entero. 5 1 En el ejemplo que analizamos l = — , ra — — , 2 2 1 n = u) = — 3; por consiguiente, elegimos el primer método:
t v—3
u
Para esta ecuación l variable v
3 v2 -•y + h/2 2 3 _ 1 -. m 72 = 2 2
t nos da w+1 fw '
t
1
w2 2
1
u;
2
t 2
1 - . El cambio de
2
t 2
En la última ecuación l — —1, así que ella se reduce a la
2
ecuación
^ . v í v i i / ^ 2 wy 2 2 \ tu cuya solución general es w = Vt ctg (—\/í + C) a las variables x e y, finalmente obtenemos
y
X2 3'
V X
V
w
w+1 x ctg (C - x).
•
I-W¥I—
M Solución- Por analogía con el ejemplo anterior, mediante el cambio de variable x = t reducimos la ecuación dada a la forma t f 3 y2 ty y+ 2 st^y^W^W^^
f;:
wmmamm !
-!flIül IIÜü
Puesto que l — - > 0, para la integración de la ecuación obtenida aplicaremos el segundo método indicado en el ej. 149. Tenemos: t , u u2 t V= - 3 + -, tu + - + — = - . u 2 2 2 Utilizando una vez más la misma transformación, obtenemos t + -, v
u=-l
, v v2 t tv - - + — = -. 2 2 2
La última ecuación se puede escribir en la forma
de donde hallamos v th (x(Vt+ + C) C). - 1 De este modo, la Vtx cth solución general yde= la- 3ecuación inicial es +
M Solución. Haciendo x2^ = t, obtenemos t
* l - t _ í = t. dt 2V 2 2
9 Puesto que i — - - , haremos las siguientes transformaciones: y -
y
t v-1
,
t v = ——, w+ 5 w -
= K
t x-3 - ± ip + 1'
tv
,
7 2
vH
, 5 tw--w-~• 2 ík'
, 3
2
v2 2 wz 2
KH
x2
2
=
t —; 2 t =-; 2
t = —;
2
u ' - l - t . ^ t y 2 2 2'
I I I • I
A Ti H
I
-I *i^ Wí*
^
• N
•
I
R
I^H
I «J" i J V M^M
• IJ
•
•
1
L
1
• '
•
•
• • • • •
primer orden •
I •
I •
I
H
• I
R
•
IB
• •
I
c> • I'*,
^" "
*j
ÍVÍ, t f l t i A; /«i f\ h-ftsYJ
J y,1
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:
• I
• I
,
•
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• •
WV( rt^ id rJ A: r.' í ^ í •. Í«i
. .• r i , •.! 1 • 1
:i
|
J ./. •i
: .•..•'.
De la última ecuación se obtiene i¡) = Vi ctg(C - VÍ). Dejamos a cargo del lector escribir la solución en función de las variables x e y. •
M Solución. El cambio de variable x — t proporciona
t
5 3 2 dy ^ u —y H—yy dt 2 2
t 2
5
Dado que l = - > 0, aplicaremos el segundo método indicado en el ei. 149. Tenemos:
t
5
V
3'
v
t w
3,
w
t H
y
dv 3 v2 lTt+ 2V+2 dw w 3 t 1 Y -w dt 2 2
1
t
X ~ +H 2 2
dx ~d¡
3' Escribamos la última ecuación en la forma
+
1
3
2
2
3
-t, 2
t 2' 3
2
t
Revolviendo la ecuación anterior, obtenemos x = V3í x x cth (V^í + C). El regreso a las variables í dificultad. •
e j no representa ninguna
•4 Solución. Llevemos la ecuación a la forma canónica. Con ayuda del cambio de variable y — a(x)z, hacemos que el
•ucuaclonos l^j^^m^mBm
coeficiente de z sea igual a uno. Tenemos: z'A + GLZ + — az + xa2z2 = —, (!) x x 1 de donde a(x) = —. Por consiguiente, a partir de (1) obtenex mos ' i ^
i
2
1
z -\—z + z — 1. X
Busquemos ahora un cambio de variable z = u + ¡3(x) tal que al transformar la última ecuación, la primera potencia de la función buscada u no figure en la ecuación resultante. Tenemos: 2 u' + (3' + - ( t i + /?) + u2 + 2 u/3 + /32 = 1. x 1 Haciendo ahora (3(x) = — , obtenemos la ecuación canónica x de Euler—Riccati u + ti2 = 1, cuya solución general es u = th (x + C). De este modo, la solución general de la ecuación inicial es 1 / 1 y = - [ th(® + C)~
§7. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada 7.1. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada Toda ecuación de la forma F{x, y, y') — 0, donde F es una función conocida, se denomina ecuación no resuelta respecto a la derivada. Si la función F es un polinomio de orden n respecto a la derivada, entonces se dice que F = 0 es una ecuación im^^mmmimm
diferencial de primer orden y grado n, Su forma general es n
k
fc-0 donde pk son funciones conocidas. Resolviendo la ecuación (1) respecto a y!, resulta
y = hiv, y)
-. / 0+
Supongamos que las integrales generales de (2) son
(k = 1 ,n).
Entonces la integral general de la ecuación (1) es
(
(3)
7.2. Integral general de la ecuación F(yf) = 0 La integral general de la ecuación F(y') = 0 tiene la forma y—c
y—c x
se puede considerar como una función arbitraria de x con valores pertenecientes a esas mismas partes.
7.3. Representación de la solución en forma paramétrica. Resolución de ecuaciones incompletas Dada una ecuación de la forma
F{x,y,y') = Q, vamos a suponer que existen ciertas funciones
x-cp{u,
v),
y = ip{u, v),
y = g(u, v)t
tales que
F((p{u, v), ip(u, v), g{% v)) = 0
ggÉSun respecto a los parámetros u y v pertenecientes a cierta región de sus dominios. Entonces, puesto que dy = y' dx, obtenemos dtp
di¡>
(d
dfp
de donde dv
= f(u, v). (4) du Si v = a(u, C) es la solución general de la ecuación (4), entonces la solución general de la ecuación inicial se escribe en forma paramétrica del modo siguiente: x — (p(u, a(u, y
=
Cj),
tp(u, a(u, C)).
(5)
Las ecuaciones incompletas F(x,y')
= 0,
F(y,y') = 0
se reducen a cuadraturas (es decir, a ecuaciones integrables en cuadraturas) siempre que se puedan resolver respecto a x ó y, respectivamente. Si, por ejemplo, x =
dy = pdx = p
de donde y = / pip'(p) dp + C. Procedemos de un modo análogo en el caso en que la ecuación F(y, y') — 0 puede ser resuelta respecto a y. Hallar las integrales generales de las siguientes ecuaciones:
M Solución. Resolviendo esta ecuación de segundo grado respecto a la derivada, obtenemos dos ecuaciones diferenciales de primer orden: y = 2x - 3y
e
y = x + y.
Como ambas ecuaciones son lineales, sus soluciones generales se obtienen fácilmente: - 3 X
1e V C
R
7
7
**
U
+ 3® - Q
>-1
X
y = Qe'
e
x — 1.
La integral general de la ecuación original se puede escribir en la forma (3), p. 7.1:
2 2 y--x + - l e3$
•
^ Solución. Una solución evidente de esta ecuación es y1 = ai. Las soluciones restantes se obtienen de la ecuación de segundo grado y + xy - {x + y)y = 0:
y - y
y
e
Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales obtenidas tienen son
y
x 2
~f~ Ci,
y = C2ex, y = c3e
— X
x + 1.
De este modo, la integral general de la ecuación original es
x2 2
(ye~x- c2) ((y+x - l)ex - C 3 ) - 0.
•
< Solución. La solución evidente y' = sen x permite hallar sin dificultad las dos soluciones restantes de la ecuación inicial:
y1
= y
e
y1
1 senx
Ecuación?.* ;nó
Resolviendo las ecuaciones diferenciales obtenidas, hallamos y = - eos x + C\, y=
C2ex,
y = ln
ct8
x ^ + C3.
Por consiguiente, la integral general de la ecuación dada es (y + cosx-
Cx) (ye~* - C2) ^ - ln |ctg 11 - C 3 j = 0 .
•
Resolver las siguientes ecuaciones:
-4 Solución. Resolvamos esta ecuación respecto a y. a , y = —5-7 -xy¿ xy
0)
Introduzcamos un nuevo parámetro p según la fórmula y' = p. Entonces a partir de (1) obtenemos a xPy = —r~ ¿ xp
W
Expresemos x mediante p utilizando la igualdad dy = p dx. Diferenciando (2) y teniendo en cuenta la igualdad señalada, obtenemos 2a pdx = -^-dx xóp
a H—Tr^dp - xdp - p dx, x¿p¿
de donde
i:: '
o bien a 2P , . \( \\ dp + —dx ] = 0. — x ) \ X x2p2
Evidentemente, la última ecuación tiene las soluciones
C
x
V\p\
Al sustituirlas en la ecuación (2) hallamos
y-
e y=
sgnp - Cy/\p
De este modo, hemos obtenido todas las soluciones en forma paramétrica, Eliminando el parámetro pt las podemos escribir del modo siguiente: 4a a c x — —T e y — -{—. y¿ c x I
II
I I I
III I
II
I •••! • III IIIII II I ••••!•! • !••
•lililí
• I II
lililí
M Solución, Haciendo y' = p y resolviendo la ecuación respecto a y, obtenemos
ixp 4x2 - 9p2'
y
Diferenciando (1) y teniendo en cuenta que
dy — p dx, hallamos
p dx = 4
(12x*p - 27XY - Spx*) dx + (4x5 + 9 p V ) dp (4 X
9p2)
o bien 3
3
9p dx = 4x dp (asumimos que 4a?2 + 9p1 ^ 0). De la última ecuación deducimos
4x2 - 9p2 = 4Cx2p2>
fm^mmmwmmm De este modo, a partir de (1) finalmente resulta que y2 = Cx2 + ~C2.
•
< Solución. En este caso resulta cómodo resolver la ecuación respecto a x: ,2
(1)
r y Haciendo en (1) y' = p y diferenciando la expresión obtenida, resulta dy 2p dp dx = — = — P r
4p2 dy = r
dy V
H
y dp r-, V
de donde 2 dy-V-dp) v
) \p
+
r
A partir de esta ecuación, hallamos P ~ Cy2
V =
~V\
3 A/' 2
Sustituyendo y — p en (1), obtenemos 2 x = C2
1 Cy
J
=0.
-4 Solución. La ecuación examinada está resuelta respecto a x; por tanto, se puede introducir inmediatamente el parámetro p = y'm Entonces x = psenp y sólo queda expresar y en función de p. Utilizando la igualdad dy =pdx, hallamos dy = p d(p sen p) = p(sen p + p eos p) dp, de donde, integrando, obtenemos
y — p2 senp + p eos y — senp + C> Así pues, tenemos la solución general en forma paramétrica 2 x = psenp, y = p senp + p eos y — senp + C. •
<4 Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, introducimos el parámetro yr = p. Entonces y = (2 +p)y/l - p. Dado que 1 dx = - dy y dy = d ((2 + p)V 1 - p) y entonces
p
2y 1 _ P Integrando esta última ecuación, hallamos que x=3\/l-p+C> Eliminando el parámetro p de las expresiones de x e y, obtenemos la solución general de la ecuación examinada:
y^x
+C
1 ,
27
3 (x + C)\
•
-- j " i • i i ^
<4 Solución. Tomando y1 = tx(t), donde t es un parámetro, hallamos 31
x(t) y
T+&' 311 i + Í3'
l i i i i l f i SW SG ÍlH *fR^ ' S'M Iww
31¿ dx. Puesto que
De la última igualdad resulta que dy —
1 + í3 1-2t3 i2(l - 2t3) , dx = 3 ^ dt, entonces dy — 9 — dt. IntegranJ b (1 + í 3 ) 2 (1 + t 3 ) 3 do, obtenemos la solución general de la ecuación original: 3 4Í3+1
^
•4 Solución. Sean a¡t (k = 1,5) las raíces de la ecuación a5 - 8a4 + 9a3 - 7a2 + 6a + 1 = 0. Tenemos entonces y' = a*,. y, por consiguiente, y = a¡.x + C, o bien
y-c
= ojt- Puesto
que a k son raíces de la ecuación señalada, se debe cumplir la igualdad
la cual constituye la integral general de la ecuación inicial.
•
< Solución. Hagamos y' — a^, donde a* son las raíces de la ecuación a = 10 sen a. Entonces y — + C, y la integral general de la ecuación diferencial tiene la forma y - C = 10a; sen
y-C x
.
•
M Solución* La ecuación dada se cumqle.qara .toda,sJas.?¿ Por tanto, hagamos y! =
V
dx + C
De este modo,
es la solución de la ecuación dada.
•
Solución. Esta ecuación posee la solución evidente y = x,
x2 + C« Además, se tienen otras soluciones, 2
es decir, y
las cuales representaremos en forma paramétrica. Con este objetivo, hagamos y* = x . Entonces obtenemos
x
tm-Dt
y> = tw-1)
¿
{t
1)t
de donde resulta
dy = t
t/(t~
i) dx ~t m-1) d{tm~l))
¿(f+D/(í-i)
lnt
t-1
dt.
t
Integrando la última relación, hallamos
t (f+i)/(í-i)
y • •
P
•
dt + C. t- 1
lní
t •
11 •
• • •
•
Solución. Resolviendo la ecuación respecto a x y haciendo y y —p, obtenemos x = - lnp. Como dy = pdx, entonces P
(
y
\
y
y
- ln p ) ) = -P dp + ln p dy P
P ln p dp,
o bien y ( l - l n p ) [ dy - ^dp ] =0. De la última ecuación hallamos p = e y p = Cy. De este modo, la solución de la ecuación dada tiene la forma y x — e Cx — ln Cy.
Solución. Haciendo y' = p y despejando x, hallamos x—
yp -1 ,3
_ y _ J^ p p3
Utilizando la igualdad dy = pdx, dy =pd[
y \p
a partir de (1) obtenemos
i i r - dy
r)
y p
dp-\
3dp p
T-,
De la ecuación (2) se deduce que p — C e y = ~ . A 1 sustituir T estos valores en (1), finalmente hallamos - 1 - 1 . X~
C
C3
27x2 = 4 y3.
12 mm
< Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y' obtenemos dos ecuaciones diferenciales
t y y
t
x 2/tg 2
y ctg
X
2 Sus soluciones correspondientes tienen la forma
y
y
a eos
C sen
x 2 a; • •
2 •• . A
M Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y1 y designando y2 = u, obtenemos 4 (u
— xu) =ua
Haciendo v? = p y resolviendo la última ecuación respecto a u, hallamos
xp +
ta
P
2/3
2 Dado que du — p dx, diferenciando los dos miembros de la igualdad (1), llegamos a la ecuación
p dx = d ( xp +
P 2
2/3
-1/3
xdp+pdx
+ ^[™
o bien 1/3
dp- 0
dp,
H
' . E c u a c i g n o a no. reeaéjt
De aquí hallamos p = C, o bien p = —
3.
Sustituyendo
los valores de p en (1), finalmente obtenemos y¿ - 2Cx + C 5
2
2/3
1 "
27 x1'
< Solución. Introduciendo el parámetro y' = p y resolviendo la ecuación respecto a y, obtenemos bp_2 y = xp — 1-3 p Diferenciando ambos miembros de la igualdad (1) y teniendo en cuenta que dy = p dx, obtenemos pdx — d (xp
—— ¡ = x dp+pdx 1-3 p
o bien x—
5p(2 - 3p)
^ ^ (1-3pf
P
dp = 0.
(1 - 3p)2 A partir de esta ecuación, hallamos P= C
(2) (1 - 3p)2 ' Sustituyendo (2) en (1) obtenemos las soluciones de la ecuación inicial: 5C 2 y = Cx- ——, (3) 1-3C' 5pL 5f>(2 - 3p) (4) x — — y (1-3pf * ( 1 - 3 pf Nótese que las soluciones (4) no se pueden obtener de la familia de curvas integrales (3) para ningún valor de C. •
< Solución. Haciendo yr = p y diferenciando ambos miembros de la igualdad y = px — p , obtenemos n
pdx = d(xp - p) — x dp +pdx -2p dp, o bien
(x - 2p) dp = 0. x
De aquí hallamos p — C y p
2 soluciones de la ecuación original son
y=
De este modo, las
Cx-C
e
x
y
4
.^.r'.-r'.wr'.ir'.ysv-.vV.v-'-ííí: J i.l^ _i~lfc. i É l i l i ' * 0 . ta", ti
Solución. Introduciendo el parámetro y* = p y diferenciando los dos miembros de la ecuación, llegamos a la fórmula siguiente:
pdx = d(2xp - 4p ) = = 2e dp + 2p dx — 8p dpf o bien
2xdp
+ pdx — 8p dp = 0.
Escribiendo la ecuación obtenida en la forma
dx p— +2x = 8p, dp podemos considerarla lineal respecto a x = x (p). Su solución general es
x
C p¿
8 3
'ficunclontís
De este modo, ln solución general de la ecuación original es C 8 ® = ~2 + ñP>
V
y
4„2
-V
2C
3 Además, se tiene la solución y = 0, que no pertenece a la solución general para ningún C. • En los ejemplos que siguen a continuación se analizan la ecuación de Lagrange y la ecuación de Clairaut, cuyas formas respectivas son V =
(
+ ip(y').
< Solución. Por analogía con el ejemplo anterior, tenemos y' = p> y = xp2 - 2p3, pdx = d(xp2 -
2p3),
o bien p((p - 1) dx + 2(x ~ 3p) dp) = 0. De la última igualdad se deduce que p = 1, p = 0, así como dx (p - 1) 1-2» — 3p. Ai integrar la ecuación lineal obtenida, dp resulta
Así pues, todas las soluciones de la ecuación dada están dadas por las fórmulas y -͑ ͬ͡ x
y = x͑ ͑ͣͬ͞
C = 7 7Ñ2 + 2P + l> (p - i r
Cp2 y= 7 (p - l)
, +p •
>
M Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y y haciendo t p, obtenemos y 1 y — xp + 24
2p
Teniendo en cuenta que dy = pdx miembros de (1), hallamos 1
p dx = d ( xp + 2p
y diferenciando ambos
xdp + p dx
1
p dp,
o bien 1
p
x
dp = 0,
1 de donde resulta que p = C y x = p
Sustituyendo estos
valores en (1), finalmente obtenemos
8y3 = 27x2
y = Cx +
1
2C2
< Solución. De la ecuación
Y = y + y(x)(X - x) de la tangente a la curva en el punto M(x, y), donde X, Y son las coordenadas de los puntos de la recta tangente, se deduce que la abscisa del punto de intersección de la tangente con el eje Ox es igual a
xt
x
1 í/'7
rtmmmmBam y la ordenada del punto de intersección de la tangente con el eje Oy es igual a yt — y — xy'. Según las condiciones de partida \xtyi\ — 4a 2 , o bien xtyt = ±4a 2 . Por tanto, obtenemos la ecuación diferencial ^x - ^
(y - xy) - ±4a 2 ,
0)
es decir (xy' - y)2 ± 4a 2 y' = 0. Haciendo y' — p y diferenciando, hallamos 2(xp - y)(x dp + pdx - p dx) ± 4a dp — 0, o bien (x2p - xy ± 2a 2 ) dp = 0. 1 / . 2a 2 Por consiguiente, p = C, así como p = — \y ± x \ x Sustituyendo los valores de p en la ecuación (xp - y)2 ± 4ap = 0, obtenemos las soluciones y= ±
a2
(Cx - y)2 ± ia2C = 0. a2 No es difícil comprobar que la curva y = ± — es la . x envolvente de la familia de rectas (Cx ->y) ±Aa2C — 0, cada una de las cuales forma con los ejes coordenados un triángulo como el indicado en las condiciones de partida. Omitiendo M
estas soluciones triviales, obtenemos la solución del problema planteado:
a1 y = ±—. x
•
Solución. Utilizando las notaciones del ejemplo anterior, según las condiciones de partida tenemos i
Xt+
i
1
Vi
mwfirm
, P
1JI
o bien
a 1 y 1. + (¡xy' - y)' (y ~ zyft\2 ) Resolviendo la última ecuación respecto a y, y hacienr do y = p, hallamos y = xp s v í + r -
Diferenciemos ambos miembros de la ecuación (1), Teniendo en cuenta que dy = p dx, obtenemos la ecuación diferencial
x i
V
dp = 0,
de la cual sigue que p = C, así como x — =F
P
Sustituyendo los valores de p y x en (1), resulta
y
±i v/l+P
y
Cx± Vl + C*
Omitiendo el caso trivial y = Cx ± y/1 + C2, la solución del problema planteado es
x2 + y2 = 1.
I Solución. De la ecuación de la normal Y = y — —¡(X - x) y X
se obtiene que \OP\ = ?/H—, y \OQ\ = x + yy' (fíg. 23). De acuerdo con las condiciones de partida, \PQ\ = V[OP\2 + \OQ\2 = 2, por tanto, x\2 y + -y J/ + (® + yy'f =4Haciendo en la última ecuación y' — p y resolviéndola respecto a y, hallamos x 2 2/ = ± —. P V I +p2 Diferenciando la igualdad (1), obtenemos ( x 2 — ,, dy — v dx = d\ — ± —; V P y / í T f J p
d
x
X dp
=
r r
dx
T2p{\
,
+ p 2)
—3/1 3/2
dp,
v
o bien (p + ^
dx = ^
=F 2p{\ + p2)
3/2)
dp.
La última ecuación es lineal respecto a x y tiene la solución general Cp p
I
Así pues, la solución general en forma paramétrica está dada por las fórmulas (1) y (2). Tomando en (1) x = y — 0, obtenemos p = oo. Entonces de (2) se deduce que C = 0. De este modo, la curva de ecuaciones paramétricas
x
P (p2 + 1 ? ! 1 '
y
2 / +1 (p2 +1) 3 ' 2
(P > 0),
(3)
satisface las condiciones de partida. Es evidente que si en (3) cambiamos de lugar xey obtenemos otra curva de ecuaciones
x
2p2 +1 (p2 + 1 f i 1 '
y
p (p2 -f 1)3/2
(P> 0),
(4)
la cual también es solución del problema planteado, pues desde el punto de vista geométrico las variables x e y son equivalentes. Es evidente que si en (4) cambiamos el parámetro p 1 por p - {p > 0), obtenemos la misma curva, pero con otra parametrización;
x
p{ 2 + p1) ( ^ + 1)3/2'
y
p
i
in
• ii
(p 2 +1) 3 ' 2
ip> 0).
t. I • •. •
Solución* Según las condiciones de partida \KA\-\LB\ = a2 (a = const) (fig.24). Sea \AO\ = \OB\ — b. Entonces, sustituyendo en la ecuación de la tangente
_
- C^Jfcytetojioii n o 1 1 ^ s i i á | s a a ™
las coordenadas X u Y por las coordenadas del punto A(-b, 0), obtenemos \KA\ =
| by' ~ y + xy' \ V i + y'2
Análogamente, hallamos -by'
\LB\ =
- y + xy'\
V i + y'z De este modo, tenemos | by - y + xy'\ • | - by' -y
+ xy' \ = az( 1
de donde
+y'2),
y¡
(xy - y)2 - by'2 - ±a2{\ + y'1). Denotando b2±a2 — m, ±a2 = n y resolviendo la última ecuación respecto a y, podemos escribir y = xy' ± \Jmy'2 + n.
MJF-
4
k /
(1)
A
Haciendo en (1) y' = p y diferenciando, obtendremos mp
x±
ymp2
+ n
B
X
Fig.24
dp = 0,
de donde mp x = =\Jmp2 + n
y
p — C
De este modo, excluyendo la solución trivial p = C, obtenemos la solución buscada en forma paramétrica x —^ y -
±
mp sj mp2 + n n \Jrnp2 + n
Eliminando el parámetro p, finalmente obtenemos
nx 2 + rny2 = mn. Es evidente que, en dependencia de los signos de m y n, estas curvas pueden ser elipses o hipérbolas. • •__—
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
•• i n — ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
• • ir " ii i
§ 8. Existencia y unicidad de las soluciones 8,1, Existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy. Teoremas de Picard, de Peano y de Osgood Teorema (de Picard). Dado el problema de Cauchy
dy — = f(x, y),
y(x0) = yo,
(l)
si la función f es continua en el rectángulo R = {(#, y) € I&2: \X — XQ\ ^ \y ~ í/ol í &} y satisface en este rectángulo la condición de Lipschitz respecto a la variable y, es decir, V (x E [-a + xQ, a + ®0])/ V {yu y2 € [ - 6 + y0/ b + j/0l) 3 L > 0: \f(x, yi) - f(x, y2)\ ^ L\yx - y2\ (L = const),
entonces en el segmento x0 — d^x
b ^ xq + d, donde d = min | a, —
M = max \f(x, y)\, existe una única solución del problema (1), a la cual convergen uniformemente (cuando n —* oo) las aproximaciones yn determinadas por las fórmulas X
y{x0) = y0, •
•
•
j/„+i(x) = y0 + / f(t, yn(t)) dt,
n £ Z0. ••
•j
•
•
(3)
Teorema (de Peano). Si en el problema de Cauchy (1) la función / es continua en II, entonces en el segmento señalado existe al menos una solución y =
Teorema (de Osgood). Si: 1) la función LO — uj{t) es continua para t ^ 0, w(0) = 0, y para t > 0, w(t) > 0; 2? dt
2) f —
= +oo; o «(0 3) I f(x, yi) - f(x, y2)\ < u>(\yi - y21) en R, entonces en el rectángulo R existe a lo sumo una solución del problema (1).
8.2. Existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy para una ecuación no resuelta respecto a la derivada Teorema. Si en un entorno cerrado del punto (.x0/ yo, y'0) la función F = F(x, y, y') satisface las siguientes condiciones: 1) F es continua respecto a sus argumentos x, y, y'; dF 2) la derivada parcial existe y es diferente de cero; dF 3) la derivada parcial —— existe y está acotada en valor absoluto: Oy 8F dy entonces en el segmento suficientemente pequeño, ecuación F(x, y, y') = 0 y tal que y'(xo) = y'0, F(x o, y0, y¡¡) = 0.
^N
(N = const);
[cco — e,Xo + ¿\> donde £ > 0 es un número existe una solución única y = y(x) de la que satisface la condición inicial y(x0) = yo, donde y'0 es una raíz real de la ecuación
-I • ^••'P—11" ••
•
— ' —
*
11 I • •
I1
8-3. Prolongación de la solución del problema de Cauchy Frecuentemente, la solución del problema de Cauchy existe no sólo en el segmento indicado en los teoremas de Picard y Peano, sino también en un segmento mayor. Si las condiciones del teorema de Picard se cumplen en una región cerrada, entonces la solución del problema (1) se puede prolongar en la frontera de dicha región. Si la función / es continua en la franja 11= {(#, a
(4)
donde
Lema {de Bihari). Si se cumple Ja desigualdad X
y(x) < C + / v{t)g{y{t)) di,
xo^x^a,
(5)
donde C = const > 0, las funciones y = y{x), v == son continuas y no negativas, la función g = g(y) es continua, no negativa y no decreciente y, además, g(y) > 0 para y > 0, entonces y(x)^G -i1 G(C)+ / v(t)dt
,
aro
donde G(u)
fu dt J Wr t¿Ü
U0 > 0,
(7) X
para aquellos x G [XQ,Q) para los cuales la función G(C) + / v(t) dt «o pertenece al dominio de la función G .
8.4. Existencia y unicidad de la solución del problema vectorial de Cauchy Supongamos ahora que y y f del problema (1) son vectores, es decir, y = (ylt y2,..., yn), f = (fu f2, • • •, f»). Entonces el problema (1) se escribe como sigue: y[ = fi(xryi,ij2,... y'i =
Mx>
,yn),
yi> 2/2/ • • • / yn), 3
y'n - fn{x,y\,yi,--2/1 (®o) = 2/10/
2/2(®o) — 2/20/
,yn), •••/
yn(xo) = y„0-
Si se cumplen las condiciones expuestas én el p. 8.1, modificadas apropiadamente, el problema (8) posee una solución única. En el caso considerado, por continuidad de la función vectorial / se entiende la continuidad de sus componentes f\, h, • • •, fn> y la condición de Lipschitz se extiende a cada una de las funciones /,• para todas las variables y^. Los valores absolutos \y\, |/| se sustituyen por las longitudes de los vectores correspondientes. El siguiente problema se reduce al problema (8). Hallar una función y = y(x) (y el entorno del punto £o) que satisfaga la ecuación y{n) = f(x,y,y'
y ^ )
(9)
y las condiciones iniciales »(®o) = yo, 2/W = y í
(1Q)
2/(-Vo) = r t 1 ] . Si la función / y sus derivadas parciales de primer orden respecto a y,y',..., t/" -1 * son continuas en cierta región D que contiene el punto (x 0 , 2/0/ y'o, • • • / í/o""^) / entonc el problema (9)-(10) tiene una solución única en un entorno suficientemente pequeño de Xq contenido totalmente en D. Si hacemos y = yu y' = y2, ..., 2/("-1> = 2ln, en lugar de i i a i m i
luílxfeO-
£•»•• •:•••••
(9)-(10) obtendremos el sistema r
Vi - ¡fe
i Vi - y3
(íi) i Vn-\ — y»/ y'n = f{v,yi,yi,--
,Vn)
con Jas condiciones iniciales ?/i o) = ya
¡fe(®o) - yo i
4
>
•
{"-D
yn (®o) = yo
-W. i
M Solución. Utilicemos las fórmulas (3), p. 8.1. a) En este caso x 0 = 0, yo = 0, yo(í) z=y0 — Qf
yl{i))dt,
yn+i{x)
n € Zq.
Tomando en esta fórmula n = 0, obtenemos la primera aproximación *
y
X
yl(t)) dt
yi(x)
tdt
x 2
Haciendo 71. -- I en (!), hallamos x
y2(x) = f (i - y¡(t)) dt = o x
o b) Puesto que y{0) = 1, entonces yo{t) = 1, x() — 0, luego X
1/»+I(®) = 1 + J
di.
0 Tomando en esta fórmula n = 0, obtenemos
yl{x) = l + J (1 + e - ) dt = \ + 2x. 1 1
o Para n = 1, hallamos X
y2(x) = 1 + J(l + 2t + e ) dt = 21
^ + » + a:2 + ^
•4 Solución, a) El sistema de ecuaciones integrales equivalente al sistema de ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas tiene la forma X
p(®) = l + J(2t + z(t))dt,
X
z(x) = / y(í) df.
1 Las aproximaciones sucesivas se obtienen a partir de las fórmulas de recurrencia siguientes X
y„n(x)
= 1 + / (21 + Zn(t)) dt,
i
1 donde z${t) = 0, tfo(í) = 1, ft G Zq. Estas fórmulas se deducen de la fórmula (3)/ p. 8.1, considerando y y / como vectores de coordenadas (y, z) y (2f + z{i), j/(f)), respectivamente. Tomando n = 0 y n = 1 en (1), obtenemos sucesivamente X
yi(x)
= 1+
(21 + z0(í)) dt = x\
X tifa) = / yo{í) dt = s ~ i; £
I /
1
{21 + «i(Q) dt = - - X +
£ «2Í®>
/
3
2 ^ -
2 ,1 1 / 3 / r di -1). i
b) Análogamente, t
xn+l{t) = l+
/
o
yn(T)dT,
Jto+l(i) = 2 + J
X2n(T)dT.
O Tomando aquí n = 0 y n = l , hallamos sucesivamente
Xi(t)
t
=1+J
t
y 0 (r)
o
dr = l + J 2 dr = 1 + o
t
t
yi(t) = 2 + J xl{T) dr =2 + J dr = 2 o
o
J yx(T) dr = t
X2(t)
= 1+
t
o
+ J(2 + T)dT
o
f2
— l +
2t+—,
t y2(t)
1
= 2+ J
t = 2 + y ( 1 4- 2 r ) 2 dr
x\{T)dT
o
=
o
= 2 + t + 2t2 +
-t3.
3 c) De forma análoga al p. 8.4, reducimos la ecuación de segundo orden examinada a dos ecuaciones de primer orden, haciendo y = y e y' = z. Obtenemos z = 2 y - z2,
y' =
2/(0) =
1,
2(0) =
Utilizando las fórmulas de recurrencia X
Zn+1(3)
= J(2yn(t)
- Z2n(t))
dt,
o x
yn+i(x) = 1 + J Zn{t) dt, o
n 6 1Q,
0.
=
para z$(l) = O e ya(í) = 1, hallamos X
2yo(t) - zl{t)) dt = 2x,
Z\ (x)
o
x
3/i(s) = 14-/
z<¿t) dt = o X
z2(x)
2 - At1) dt = 2x
2yi(t) - *?(«)) di o
o
x
4 3
x3,
¡E
9i(a) = l + /
O
•
Solución, a) Utilicemos el teorema de existencia expuesto en el p.8.1. En el caso dado tenemos
=
0,
f(x, y) = x +
La función / es continua en todo rectángulo
R={(x,y)£R2:
\x\i£a, \y\ 4 *>}
'•m
y satisface en el mismo la condición de Lipschitz, pues ln derivada df , 2 t - = 3 y dy está acotada por el número 3b2. Por consiguiente, en el segmento [~d,d], donde d = minf a, — j, V
M — max I f(x, y)\ — a -]- fr3,
M j
(x,y)eR
existe una solución única del problema dado. Hallemos el número d = minf a,
-r ]. a + J Evidentemente, si la solución existe y es única en algún segmento I , entonces también existe en todo segmento menor contenido en I . Por tanto, trataremos de hallar, naturalmente, un segmento I lo más grande posible, es decir, el b max min I a, . Puesto que la función ip(a) = a crece ) V a+ b para a ^ 0, mientras que la función g(á) ~ decrece,
V
( b \ entonces el max min a, -z ) se alcanza para t(>(a) = g(a), \ a + b5) es decir, para a + lr Derivando el segundo miembro de (1) respecto a b, hallamos a 3 que el máximo de a se alcanza para b = - , y su valor se calcula sin dificultad haciendo a — 2b3 en (1). Por tanto,
De esta manera, se puede garantizar que en el segmento -0,66 ^ x ^ 0,66 la solución del problema dado existe y es única. .wsasmmmmm
No obstante, utilizando el lema de Bihari (v. p. 8.3) se puede indicar un segmento mayor donde existe la solución. Efectivamente, en nuestro caso tenemos X
X
y(x) = f ( t + y3(t)) dt = j
+ í y\t) dt
o
o
X
2
ll/(a)l < y + j l2/(*)l3 dt, o
0 ¿ x ^ a,
a es decir, C = —, v(x) = 1, g{y) = y , Por tanto, o
G(u) «o
dt
1/1
1
í3
2 \ul
u2
i
u ^ «o > 0/ 1
Un
G (í) = X o
'
Por consiguiente, X G" 1 í G(C) + j v(t) d t ) =
c
o
11/(1)1
.
^
c
>/l - 2C2x
para a; e
2C 2
1 , De la ecuación a = —— hallamos que max a = v 2 ~ 1,15 zo j
/
-
mmmmmm Sustituyendo ahora en la ecuación inicial x por -x ( i > 0) y siguiendo los mismos pasos, obtenemos la desigualdad
la cual muestra que la solución del problema dado existe también para -VI ^ x ^ 0. Así pues, la existencia y unicidad de la solución del problema considerado se puede garantizar en el segmento -1,15 ^ x ^ 1,15. b) Para resolver este problema, apliquemos el teorema de Picard. En el caso considerado tenemos XQ =
&}
y su derivada parcial respecto a y está acotada en R d
¡
A
/ 4 5 4 4
df dy
entonces existe una solución única en el segmento b - 4 ^ d / 6 # M donde M ~ max |2y2 - x\ ^ 2(1 + bf + 1 + a. (x,y)€Ji Al igual que en el caso anterior, los valores de los parámetros a y b se hallan a partir de las condiciones a —
d /
a+ 1
b
db \ 2(1 + ?>)2 + a + 1
= 0.
(2)
Por consiguiente,
a =
1
...
4(1 + 6)'
2b2 — 3
4(1 + b)'
De la última igualdad se tiene que b > \/3/2 > 1,2, luego 1
a <
= 0,1 L
4(1 +1,2) No obstante, la estimación para d se puede mejorar considerando que a < 1. Entonces M = 2(1 + 6)2 - 1 + a, y de las igualdades análogas a (2), hallamos 1
a =
4(1 + by
26i2 — 1 = —;
1
1
77 < —, 4(1 + 6) 4
o bien
Por consiguiente, 1
a = ——> 4(1 + b)
1
4(1 + y/5/8)
a* 0,13.
De este modo, la solución del problema existe y es única al menos en el segmento 0,87 ^ x < 1,13. Utilizando el lema de Bihari se puede señalar un segmento mayor donde se cumplen las condiciones de existencia y unicidad de la solución. Efectivamente, representando el problema dado en la forma X
y(x) i obtenemos la siguiente estimación para su solución X
|tr(®)| < C + í2 Iy(t)\2dt, 1 2 i<:®¿x
2
C — - max 3 - x
de la cual, según el lema citado, se deduce la desigualdad l2/(x)| ^C?- 1 (G(C) + 2(x - l ) ) ,
(3)
donde f dt 1 1 G(u) = / 77 = ¿ J t u0 u
, (u ^ «o > 0),
«fl
G-1(í)= 1
-
UQ
t
De este modo, a partir de (3) se obtiene la estimación C 1 - 2C(x - 1)' de la cual se infiere que la solución del problema considerado 1 existe en el segmento l ^ z ^ — + 1.EI valor de X definido 1 por X — — + 1, se halla de la ecuación r 2C 1 . 21 — — = max [ 3 - z 2 | . A
_ 1
(4)
A partir de (4) resulta que X = 1,5, es decir, la existencia y unicidad de la solución está garantizada en el segmento 1 ^ x ^ 1,5. Ahora analicemos la posibilidad de prolongar la solución a la izquierda del punto x = \. Con este objetivo, hagamos x = 1 - t (t ^ 0) y utilicemos una vez más el lema de Bihari. Tras una serie de cálculos análogos a los anteriores, llegamos a la estimación MOI < donde t2 C = max 1 + t 2 0 De este modo, obtenemos la ecuación ,
1
2,
— = max |2 + 2Í - í |, T
0
< 1 < T
de la cual se tiene que 0,33 < T < 0,41. Así pues, podemos garantizar la existencia y unicidad de la solución del problema b) en el segmento 0,67 ^ a? ^ 1,5. c) Para resolver este problema, apliquemos el teorema de Picard, cuyas condiciones se cumplen en el rectángulo R, y después hallemos •
b
d = min [ a, —
o + l + e6
A partir de las ecuaciones b a a + l + eb'
9
b
0
U H l r m r ^ ^
d&Vo + l + e J 2
obtenemos a = a = de donde hallamos que a ^ 0,2. Por consiguiente, en el segmento 0,8 ^ t ^ 1,2 la solución existe y es única. Utilicemos ahora el lema de Bihari. A partir de la ecuación integral e~b,
t x{s)
x(t) = l (it2
ds,
t>1
del problema dado, se deduce la estimación
t n o. f J*(*)\ i
TM
1 1
C — - max t2 - 1 2
1
\
~ 1)
Puesto que u G(ti)
ds
e - " 0 - e~"
«0
u> uo > 0, entonces
G~\y)
l n ( -«0
G(C) = e~"° - e~c
v)> (C > «o),
Aplicando el lomo, llegamos a la estimación |z(í)| ^ - ln (e~"u -
+ e~c - t + l ) =
= - ln {e~c - t + 1), de donde 1 ^ t < e~c + 1 . De este modo, el mayor segmento posible donde la solución existe a la derecha del punto t ~ 1 se determina a partir de la ecuación T2 - 1 = - 2 ln (T - 1) (1 < T < 2), de donde resulta que T > 1,5. Para aclarar si es posible prolongar la solución a la izquierda del punto t = 1, hacemos t = 1 - T (0 ^ r ^ T(I) y volvemos a aplicar el lema de Bihari. Obtenemos: \X(T)\
^ - L N ( E -
C
- R ) ,
donde C = max
•r2 T ~ 2 ~
T
El valor máximo posible de r 0 se halla de la ecuación T0 = e~c o, lo que es lo mismo, C - - ln r 0
(0 <
T0 <
1).
Dado que c
T
rf 2'
entonces y - r 0 = ln r 0 , de donde resulta r0 > 0,6. Así pues, concluimos que la solución existe y es única en el segmento 0,4 ^ x ^ 1,5.
d) Para resolver este problema, apliquemos el teorema de Picard al sistema de ecuaciones diferenciales. En el caso dado ¿o — XQ = 1 e yo = 2. Las funciones f\(í, x, y) — y y fi{tfy) = son continuas en la región
S}^Ut,x,y)e78?:
|i| < a, \/(x - l)2 + (y - 2f ^ b
y en ella sus derivadas parciales están acotadas »/l
fl/l
n
,
ox
oy
df2
df2
dx
2Xf
dy
= 0.
Por consiguiente, en el segmento -h ^ t ^ h, donde
h = min ^a,
,
max y j f ¡ +
M -
existe una solución única del problema analizado. Puesto que
M = max ^/x^+yi
^ V0- + &)4 + (2 + &)4 ^ V2{2 + b f ,
entonces a partir de las condiciones a
b - A M ^ V2{2 + bf'
d f b db V (2 + 6)2 -
0
hallamos que b- 2
y
2
2
M(2)
>/34 + 44
a ^ —— =
. > 0,1.
Por consiguiente, existe y es única. en el segmento — 0,1 ^ í ^ 0,1 la solución Si aplicamos el lema de Bihari obtendremos el segmen1 1 to - - ^ t ^ —, Efectivamente, de las ecuaciones integrales J J del problema analizado resulta que
I
¡(oí <
i+y
i^i2
o
i
\y(t)U2 + J \x{s)\2ds, o 7" 787" i
m
+ \y(t)\ < 3 + J ( ¡ x ( s ) | 2 + |í/(5)|2) ds < o i
sí 3 +
J{\x(s)\ + \y(s)\)2 d o
o bien u 2 (s) da, o donde
u = \x\ + \y\.
Según el lema de Bihari, tenemos
G
f ds 1 = J/ T = ¿ V0 s vn
G-\t)
=
1 V
'
1 - v0 t
u < G - 1 (G(3) + í)
3 1-3Í'
luego 0 ^ t < - . D e forma análoga determinamos el intervalo
3
a la izquierda del punto t — 0 en el cual se puede prolongar la solución: — < t < 0. 3
• S'aEííiWaiíül
Solución, De acuerdo con la fórmula (3), p.8.1, tenemos yo = 0, X
01 (fc)
J { t - yl) dt o x
y2(x) = I
X
2'
r \
x£
47
2
[t~-)dt
o z
x•
20'
lfa(*)= / I * " ( T T ™ ^ 2 20 o £2
X5
+
X8
X11
2 20 160 4400 Estimemos el error de la aproximación obtenida. Es fácil establecer que la solución del problema dado existe y es 1 1 única en el segmento — -3-= ^ x ^ por esa razón, las y4 +.1á> aproximaciones sucesivas
X Vn+l(a) = yo + f/ m
dt
(1)
convergen uniformemente en este segmento a la solución de la ecuación integral X
= ! » + /¡ /n( 'i , 9(1» dt.
(2)
Restando miembro a miembro de (1) la igualdad (2) para X ^ XO y estimando las diferencias correspondientes para
•MMM
mmmmmm
n € ZQ,
obtenemos
Iy(x) -y0\^ m
J \f(t,y(t))\ di = J \m\ dt, X(¡ Xq = \f(t,y(t))\, X
Iy(x) - yx(x)\ ^ J | f(t, y(t)) - f(t, y0)\ dt ^ XQ
X-Í
x
dx i J
J Xo
x
ip(t) dt = L J (x ~ u)ip(u) du,
X0
xo
X \y{x) - ¡,n(a:)| ^ J | f(t, y{t)) - f(t, yn^(t))\ dt <
Ln f — I (x - u)nip(u) du, (3) ni J Xo donde L es la constante de Lipschitz para la función f respecto a la variable y en el rectángulo R={(x,y) € K2: En el problema dado
-¿ol
^ a, \y-yo\
b}.
L ^ max \2y(x)\ = 2||y||, (x,y)€R
Tp(u)= Ju-y 2 (w)| ^ M + IMf, n = 3,
x0 =
por eso, a partir de (3) obtenemos la estimación Wy-ytW^llM3
f(x-u?{u
+ \\y\\2) du
0,5
^ 3 112/11 I(0,5-w)3(tt-|-||?/|j2) du =
(0/i + lly||2)-
•wm
(4)
Nos queda por estimar ||/ j || en el segmento #^0,5, r 1 1~ r el cual está contenido en el segmento L v4 Vi^ Aplicando el lema de Bihari, determinamos que
C \y\ ^ — 1 -Cx
(v. ej\ 182), donde C =
x2
max — = 0,125, 2
0,125 ^ 0,134, Teniendo en cuenta la l u e g ° I ' » " < T - 0,125*0,5 estimación (4), finalmente obtenemos -5
\\y - Itell ^ 0,6 • 10
•
< Solución*
a) La función f(xy y) = 2xy + y es continua 0/ = 2(x + y) en todo el plano xOy y su derivada parcial —
dy
está acotada en toda región finita D de este plano. Por consiguiente, según el teorema de Picard, por todo punto (x0, yo) £ D pasa una curva integral única de la ecuación a). b) La función f(x, y) — 2 + tyy — 2x es continua df \ —2/3 1 V(£, y) E R , pero su derivada parcial — — -(y — 2x) 1 dy 3 está acotada sólo si y ^ 2x. Por consiguiente, según el GS teorema de Picard, por todos los puntos (#0,j/o) € ^ que 2/0 ^ 2XQ pasa una única curva integral de la ecuación b). c) Utilicemos el teorema del v. p. 8,2. La función F(x, y, y') - (x - 2)y' - y/y x satisface las condiciones siguientes: 1) F es continua para y ^ 0; 2) la derivada UU¿VJLU.1A U X U X U X LUJLMJ M ' MJ ^ U • ' • • ' "l'l Af I 1 líi 1l iI lf í " • " X O X I * C *±< OXC »»•< Ü-
< j"
0I>' parcial — — x - 2 -fi ü para x -fc 2; 3) la derivada parcial
,
d F 1 , « ^ Vy~x — — — esta acotada para y ^ e > 0; 4) y — dy 2^y x-2 1 es la única raíz real de la ecuación F(x, y, y ) = ü. l'or consiguiente, por todo punto (XQ, yo) del plano xOy, donde XQ 2, yo ^ £ > 0, pasa una única curva integral de la ecuación c). ir d) Es evidente que para y ^ — 4- kir, k 6 Z , el primer
miembro de la ecuación es continuo y la derivada parcial respecto a y está acotada. Por consiguiente, según el teorema de Picard, por todo punto del plano xOy, salvo las rechín 7T y = — + kn, pasa una curva integral única de la ecuación analizada.
•
Nota. Si la función f que figura en el problema de Cauchy es tal que su df derivada parcial — está acotada en el rectángulo R, entonces la función dy automáticamente satisface la condición de Lipschitz.
Solución. Para todos los valores no negativos de a la función f(x,y) ~ |j/|a es continua, luego la ecuación tiene ^f solución. Si y 0, la derivada parcial — = a.\y\a~x sgn y dy existe y está acotada en cada región finita del plano xOy. Consiguientemente, aplicando el teorema de Picard vemos que si y ^ 0, entonces para todo valor de a existe una única curva integral que pasa por un punto dado. Si y = 0, pero a ^ 1, entonces la función / satisface la condición de Lipschitz M ^ i r M ^ N
(aquí y2 = 0). m m m
Por tanto, del teorema de Picard se deduce que la unicidad de la solución también se garantiza en este caso. Queda por comprobar el caso cuando 0 < a < l e j / = 0. Sea M{xo, 0) un punto cualquiera en el eje Ox. Es evidente que la curva integral y ~ 0 pasa por este punto. Sin embargo, por ese punto también pasa la curva lí/l1""
1—a
sgn y - x - x0,
la cual satisface la ecuación analizada» Por tanto, para 0 < a < 1 la unicidad de las soluciones de la ecuación dada se infringe en los puntos (a?, 0) 6 R , • rj
i •mi*"
-4 Solución. Según la condición señalada, si la función continua / 0, entonces la solución de la ecuación existe y es única. Si f(y) = 0 para cierto y = C — const, entonces la cuestión de la unicidad de la solución se resuelve investigando
dy Si ésta la convergencia de la integral impropia J? ——. yo /u^ diverge, entonces y = C es una solución particular. En el caso contrario, por todo punto de la curva y — C pasan otras curvas integrales. En el caso a), tenemos C — 1 y C = 0. La función f(y) — (y - 1 ) v T e s continua para y ^ 0. En virtud de que las integrales impropias 4HK H- ÍT * J i f ¡YrtYí I +K H!y.I «S + K +rt+rt^W r . ^ ^ - < > :: « T R T Y
•
:
-
"I
•
/
yo
(!/ -
^7-7= 1 W
(Vo > 0 ;
u dy
(0
/
yo
dy arccos y
(-1 <
y0 < 1)
converge, pues ICOS yV arccos
= ° ( ~ 7 f = ) \\y/\ y J \—- V y''
cuando
y —> 1 — 0.
Por consiguiente, por todo punto (x, y), donde - 1 ^ y < 1, pasa una única curva integral, mientras que por todo punto de la recta y = 1 pasa un número arbitrario de curvas integrales. En el caso c), C = 0 y C ~ 1. Dado que la integral impropia 0 f
-00 f dt
dy
yo
inyo
converge, y la integral impropia 1 f yi>
dy
o f dt ln yo
diverge, entonces por todo punto del semiplano superior, salvo la recta y ~ 0, pasa una única curva integral. Proponemos al lector ilustrar geométricamente los casos analizados. • IUKMHMNMMÍ
<4 Solución. Utilicemos el material teórico del p. 8.4. En el caso a) tenemos
f(x, y, y) = tg y + tyx. La función / y sus derivadas parciales
Bf dy
ir :
cos 2t/
y
a/
n0
~ dy' -
7T son continuas para y i=- — -\rkir, k e Z.Por consiguiente, en un entorno suficientemente pequeño de cada punto (XQ, Vor 3/ó)/ 7r donde jf0 ^ — + fcir, existe una única curva integral que pasa por ese punto. b) La función
y + Vv
k
y sus derivadas parciales
df dy
1 x+l
1 2y/y(x +1)'
df = 0 dy'
—
son continuas en x ^ —l e y > 0. Por consiguiente, por todo punto (xo, yo, y'o), donde / —1 e yo > pasa una única curva integral. c) Dado que la función 1
/(z,y,y,y") = - ( / - vv' y
)
........
y sus derivadas parciales IT = — dy
-
y2 _
df
vV"®)/
_
dy"
1 1 y
son continnas para y 0 e y' x, entonces por todo punto («o, 3/0/ 2/ó/2/o)/ donde t/0 0 e # ®o, pasa una única curva integral de la ecuación = y ~(í/" - v V - ® ) • d) En virtud de que las funciones A(t,
2/) = y3 + ln (í + 1),
hit, x,y) = x
l/V^t
y sus derivadas parciales dh dx dh
=
_ 0,
5/1
dy ¥ v ~ i
=
®2
df2
, 2 3y ,
=
_
1
'
3z sf{y - ¿)2
son continuas para x 0, ¿ > - 1 , y t, entonces por todo punto (í0, x0, yo), donde t0 > - 1 , 2/0 ^ ¿0/ ®o 0/ pasa una solución única ?/(£))• Obsérvese que en el caso de un sistema de ecuaciones de la forma dx
-7 = I\, dt
dy
-7- = h, dt
etcétera ,
la solución es un vector de coordenadas x(t),
y(t),
Hiriera
•
Solución,
a) Dado que la función
f(x, y) = x + y2 y su derivada parcial 0/ 2 T dy- = v son continuas en cualquier región finita del plano xOy, entonces, de acuerdo con el teorema de Picard, por todo punto (a?0/ yo) pasa una única curva integral de la ecuación yr — x 4- y2. Es decir, los gráficos de dos de sus soluciones no pueden cortarse en ningún punto. b) En virtud de la continuidad de la función
f(z, y) = x + y2 y de sus derivadas parciales
df ~ = 2y, dy
df rt — = 0, dy
por todo punto (xq, yo, yó) pasa una curva integral única. Esto, sin embargo, no excluye la posibilidad de que por cierto punto {XQ, yo) pasen dos curvas integrales distintas cuyas tangentes poseen pendientes diferentes, es decir, los gráficos de dos soluciones en el punto (xq, yo) pueden cortarse. Este hecho se puede verificar directamente diferenciando dos veces la ecuación dada, teniendo en cuenta que y(xo) = yo* Tenemos:
X3 f y{x) = — + y0x 6
X
2 3 X^X f XQ i 2/ — + yo ~ yo^o + — + (x - t)y (í) dt
2
3
Es evidente que toda curva y(x) pasa por el punto (zq, yo), pero cada una tiene en ese punto su "propia" tangente de pendiente y¿. • t A UJK U
A
U
A.
o xt C
... >
C Í ^ Í
I - ^ U
A O F L " .
J
-
J.J
} -
C
Lí Í^C^DC • c^yjn
*
C
X
*J X J L
. J . V J
Zvjl^jC^
K J K J J L J
V
- .
^UÍ . .
• r i.
Solución, a) Dos curvas integrales diferentes no pueden ser tangentes en ningún punto ( x 0 / y 0 ) en virtud del teorema de existencia y unicidad de la solución (v. ej.l88a). b) El hecho de que dos curvas integrales di fu rentes sean tangentes en un punto [xq, yo, y$) significa que por dicho punto pasan dos curvas integrales de la ecuación y" — x | y2, Esto último es imposible en virtud del teorema de existencia y unicidad de la solución (v. ej. 188 b). c) A partir del teorema de unicidad de la solución se deduce que en un entorno de cada punto (ajg, yo, y'o, y'¿) existe una única curva integral de la ecuación y'" — x + y2. Este teorema también garantiza la existencia de una solución única en un entorno del punto (xq, 92 < 2 2/oi) • P° r consiguiente, lo gráficos de dos soluciones que pasen por los puntos señalados tienen una tangente común. •
Solución. Sea n — 1. Tenemos y'(0) = (x + y2) |í=() = /(O) = 1^2. Por consiguiente, si ra — 1, la ecuación no tiene ninguna solución que cumpla las condiciones iniciales señaladas. Sea n = 2. Dado que tanto la función f{x, y, y') = x + y2 como sus derivadas parciales df
„
df
n
son continuas en un entorno del punto (0,1,2), según el // 2 teorema de existencia (v. p. 8.4) el problema y = x + y , 3/(0) ~ 1 , y\0) = 2 tiene una solución única en un entorno suficientemente pequeño del punto (0,1,2), Sea ahora n = 3. En virtud del teorema de unicidad (v. p. 8.4) el problema y9" = x + y2, y(0) = 1, y'(0) = 2 e ytf(0) es arbitrario, tiene una solución única en un entorno del punto (0,1,2, ¡/'(O)). Por consiguiente, en un entorno suficientemente pequeño del punto (0,1,2) se tiene un conjunto uniparamétrico de soluciones del problema
ym ^x + y2,
»(0) = 1,
í/(ü)-2.
•
Solución. Sea n = 1, Entonces, en virtud de la continuidad
df ,
f
de las funciones / y f —— ] x el problema y = f(x, y), = 2/0 tiene solución única en un entorno suficientemente pequeño del punto (xq, yo). Además, si t/(#o) — tg a, es decir, tg ol = f (xo, yo)/ entonces el problema tiene solución única. Si tg a ^ f(xo, yo), entonces el problema no tiene solución ti Sea n — 2. Entonces el problema y / f o y)> 2/0/ 2/'(#o) — t g e n vista de la continuidad de o)
df df dy dy1 entorno suficientemente pequeño del punto (xq, yo, tg a). Finalmente, si n ^ 3, entonces el problema — f{xry), y(x0) ~ y0, y\x0) - tgá, tiene un conjunto infinito de soluciones, ya que el problema y^ = f(xfy)j y(x$) = yaIJ . y'(xo) = tg a, y"(x0) vZ * . v, y{nlí\xo) = y{rl) tiene solución única en un entorno suficientemente pequeño del punto las funciones /, — , — - = 0, tiene solución única en un
(^0/ Z/(i/ tg y')',..., y í " 1 ' ) . En otras palabras, en virtud de la e l problema arbitrariedad de los números j/Q, y'¿',..., j/n> = j/(®0) = y0/ y'{x0) = t g a (n ^ 3) tiene un conjunto (n — 2)-paramétrico de soluciones. La última conclusión se puede hacer y respecto al ejemplo anterior para n > 3. •
•4 Solución. En el punto (0,0) tenemos 3/1 (0) = 3/2(0), v/í(0) — y'iiO), y"{0) = y'¡{0), y'i(0) = 0), yí v (0) - 0, 3¿v(0) = 24, v es decir, y| {0) ^ 3/2''(0). Observamos que n no puede ser igual a 1, dado que por el punto (0,0) pasan dos soluciones diferentes, mientras que el teorema de unicidad (v. p. 8.4) afirma que por todo punto del plano xOy pasa sólo una solución. También m ^ 2, pues en caso contrario, según el teorema señalado, por el punto (0, y{0), y'(0)) pasaría sólo una curva integral. Por la misma causa Sea n — 5. Entonces el problema yv — f(x, y), 3/(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) = y"\0) - yIV(0) - 0, puede tener la solución 3/1 = x, y el problema yw = f{x, y), y(0) — 0, y'(0) = 1, y"(0) = y"'(0) = 0, y lv (0) = 24, la solución 3/2 = x + xi. La explicación del resultado obtenido consLste en que en el espacio de las variables (a?, y, y', y" y'", ylv) las curvas y\ e 3/2 no coinciden en ningún punto, es decir, pueden ser soluciones de la misma ecuación yv = f(x, y) (nótese que aquí df df df df df las fundones /, —, — , ^ son contmuas). Las curvas señaladas tampoco coinciden en ningún punto para el espacio de variables (z, y, y', y", y'", ylv, yv, . . . ) ; por tanto,
para n > 5 también pueden ser soluciones de jr^ — j(x, y). Los ejemplos triviales son: y ~ 0, y — 0. •
^ Solución. Restando miembro a miembro la identidad y\ = f ( x * ¡teí®)) de la identidad y[ = f[x, y-[(x)) e introduciendo la función u, donde u(x) — yi(x) — y2(x) {x ^ XQ), resulta el problema
u(x) = / (x, y2{x) + u{x)) - f (x, y2(x)), u(xQ) = 0,
X
^
Xq,
el cual tiene la solución evidente u(x) = 0. Demostremos que no existen otras soluciones. Apliquemos el método de reducción al absurdo. Supongamos que existe cierto x > x$ para el cual u > 0. Entonces, en virtud de la continuidad tales de la función uf existen dos números Si ^ 0 y e2 > que u(x) > 0 para x$ ^ xq + €\ < x ^ x0 + e 2 f y, además, disminuyendo S\ siempre se puede tener u(xq + £j) = 0. Integrando en (1), obtenemos X
u(x)
(f(t, yi(t) + «(i)) - f(t, y2(t))) dt,
x g ixo+e-[/x0
+ £ 2l
Por cuanto u(t) ^ 0 para i 6 [x$ + €\,x], entonces, como la función /(f, y) no crece al crecer yy tiene lugar la desigualdad
f(t,y2(t) + u(t))-f(t,y2(t))^0.
(3)
Tomando en consideración (3), a partir de (2) hallamos que u(x) ^ 0 para x £ (a?o +^1/^0 + ^2]- De esta manera, llegamos a una contradicción de la cual se deduce que la función u no puede ser positiva para ningún x > x0. Análogamente se establece que u no puede ser negativa. Por consiguiente, u(x) = 0 para todas las x ^ Xq. •
¿Cuántas "derivadas tienen las soluciones de, la,él BKwrmnontflc-.orfi i KiefciMKUfc, UXV£ntOPlÓ! Orjge"* Ei::^:»»^' árl«lttl!!ffí.:! i.itH í' -^Wlwsv»»W ' *-v
I w M UVlSas» i BBBMg&iV-' Solución. Apliquemos el teorema de diferenciabilidad de las dy soluciones de la ecuación — = f(x, y) en un entorno del dx punto (aip, yo). En este teorema se afirma que si la función / tiene derivadas parciales continuas hasta de fc-ésimo orden inclusive en un entorno del punto (xq, y^), entonces la solución de la ecuación señalada, con la condición inicial y(xQ) — ;Í/M, tiene derivadas continuas de (k + l)-ésimo orden inclusivo. Esta misma afirmación se cumple en caso de que f sea una función vectorial. a) Tenemos f(x, y) = x + y 9f
dx d2f
7/3
7
— = -yy dy 3 7
28
dy2
9
4/3
,
1/3
28 -2/3 d2f */ 0, 3 dxdy dy 27' Vemos que la función f es dos veces diferenciable con continuidad en cierto entorno del origen de coordenadas. Por consiguiente, conforme al teorema citado anteriormente, en un entorno del origen de coordenadas el problema y' ~ x -f y7^,
y(0) = 0 tiene una solución y = y{x) tres veces diferenciable con continuidad. b) Por cuanto la función
f(x,y) = x\x\>y2 tiene derivadas parciales continuas
df , , — =2® , ax
df -= oy
-ly,
y no tiene derivada de segundo orden en un entorno del origen
df dx
de coordenadas (debido a que la función — = 2|a?| no es diferenciable para x = 0), entonces la solución y = y(x) del •
.
.
ñ
problema y = x\x\ — y , y{0) = 0 es dos veces diferenciable con continuidad. c) Como la función
f{x,y, y1) = \x3\ + y5/3, tiene derivadas parciales continuas
df 5 2/3 — —y ! 7y dy 3*
df _ —ü dy1
en un entorno del origen de coordenadas, entonces, por el teorema de existencia del p. 8.4, el problema y" = \x3\ + y 5 ' 3 , y(0) = 0 tiene una única solución continua y — y{x) en ese entorno. Sustituyendo y{x) en la ecuación dada obtenemos la identidad
yXx) = \xz\+y5t\x), de la cual se deduce que la función ylf es continua. Diferenciando esta identidad, hallamos
ym{x) = 3x2 sgn z + \ym{x)y\x),
(1)
o
yw(x) = 4 4 ™y-V\x)y%)
5-y2i\x)y"{x),
Por cuanto el segundo miembro de la ecuación (1) es continuo en un entorno del origen de coordenadas y el segundo miembro de la ecuación (2) es discontinuo para y — 0, se puede garantizar la existencia de la derivada continua de tercer orden de la solución del problema analizado.
líxlsloncia y unici MimMlMM l i l i » d) En virtud d e que
y
IV
I
1/3
4
= v - ^
V
y =y
//
>
4
- g®
—2/3
',
concluimos que el problema y'" = y — xtyx, y(0) = y'(0) = í/"(0) = 0 tiene una solución y(x) cuatro veces diferenciable con continuidad en un entorno del origen de coordenadas. e) Las funciones f\(t,x,y) = t + y, h{t,x,y) = x+l2\l\ son continuas y tienen derivadas parciales continuas dt
'
dfi
dx , ,
'
df2
ax
dy
<^2 dt2
=
' ,. ''
1
'
9/2
dt f f i dt2
dy
dx2
dtdx
d2f2 dtdx
=
h dy2
d2
= 0
'
d1h dtdy
=
d2h dxdy
=
d2h dydt
=
dydx
'
=
dy2
dx2
en un entorno del punto (tg, xq, yo), donde to = xo = yo = 0. Por esta razón, el sistema de ecuación dado tiene una solución (x(t), y(t)) tres veces diferenciable con continuidad en ese entorno, f) En este caso, las funciones h{t,x,y)
=
y2+Vti,
f2{t,x,y) = son continuas en un entorno del punto (0,0,0). Sin embargo, dado que la derivada =
dx
lx-v 3
3
es discontinua en dicho punto, se puede garantizar solamente la diferenciabilidad con continuidad de las soluciones x(t), y{t) del sistema de ecuaciones dado. •
Solución,
a) Sea a < 0, Entonces y ^ 0, y la solución
y — (1 — a)1/(1-fly/(1"a) (x > 0) de la ecuación dada no puede prolongarse a la izquierda. Sea a > 1. Entonces la solución
y = (a - 1
- x)W~a)
no se puede prolongar a la derecha del punto x = C debido a que la recta x = C es asíntota de esta solución. Si a = 0, entonces la ecuación y* = 1, donde y ^ 0, también tiene soluciones de la forma
y = x + C (x ¿
-C)
que no pueden ser prolongadas. Para a = 1, todas las soluciones de la ecuación y' = \y\ están dadas por las fórmulas y = \C\ex y y = — |C|e~®, Es evidente que cada una de ellas se prolonga en el intervalo infinito -oo < x < -foo. Finalmente, si 0 < a < 1, todas las soluciones tienen la forma
y = (1 - a)l!(l-a\x
- C)1/{1^a\
(x ^ O,
(1 - a),/cl"fl>(C - x)1/{1-a\ (x < C), y = 0. y Es fácil ver que la primera solución es una prolongación de la segunda. De esta manera, si 0 < a ^ 1, todas las soluciones de la ecuación analizada se pueden prolongar en todo el eje Ox. b) La función
/(*, y) =
x\a
{y + ex)
y su derivada parcial
^
=2 ay(y2 + ex)a
1
Lxistcncia y unic- J * -
son continuas en todo entorno del origen de coordenadas. Por esta razón, conforme al teorema de existencia, por cada punto de ese entorno pasa una sola curva integral. Sin embargo, no para todo valor de a todas las curvas integrales tienen como dominio todo el eje Ox. Para a > - , conforme a ln estimación
y'= (y2 + ex)a > (y2)a = \v\2a < * > o ) y al ejemplo anterior, llegamos a la conclusión de que ninguna solución de la ecuación y' ~ (y 2 + e K ) es prolongable a la derecha (las soluciones obligatoriamente tendrán asíntotas verticales). 1 Sea a ^ - y x ^ 0. Entonces (y2 +
eX)a
^ {y2 + e*)1^2 ^ M + ex^2,
Por tanto, se cumple la fórmula (4), p. 8.3, lo cual significa que cada solución de la ecuación se puede prolongar en el 1 semiintervalo 0 ^ x < +oo. Si 0 ^ a ^ - , las soluciones también se pueden prolongar a la izquierda de cero, ya que para x ^ 0
y es aplicable la afirmación del p. 8.3. Para x ^ 0 y a ^ 0, tenemos la estimación /
2
.
Z\
(y + e )
Q
^
211
^ e ,
de la cual, según la afirmación mencionada, se deduce que todas las soluciones de la ecuación pueden ser prolongadas a la izquierda de cero también para a ^ 0. De esta manera, 1 tenemos que si a ^ entonces para la ecuación dada cada solución que exista en un entorno del origen de coordenadas se puede prolongar en el intervalo infinito tanto a la izquierda como a la derecha de cero, es decir, la solución puede sor prolongada en todo el eje Ox. rmmmmm
c) Evidentemente, para a ^ 1 no toda solución puede ser prolongada en todo el eje Ox ya que y ^ 0. Para a < 1 tenemos que *
Iy\a~l + {{*W)2Y
- +00
cuando y —> 0, lo cual implica que las curvas integrales se aproximan al eje Ox formando un ángulo recto con éste y no están definidas para y = 0; para a = 1 el segundo miembro de la ecuación no está definido en el punto (x, 0). Si a > 1, el segundo miembro de la ecuación es continuo y, por consiguiente, la ecuación tiene solución en un entorno de cualquier punto del plano xOy. Es evidente que cada solución y{x) tal que ^ 1 es prolongable en todo el eje Ox. Por eso consideraremos que existen tales valores de x para los cuales es justa la 3 desigualdad |j/(íe)| > 1. Entonces, para 1 < a ^ - tenemos la estimación
= \y\2a/3 (\x\2a+\y\a/3~í) < lí/|2fl/3(b|2fl+l) « M ( W * + l ) . En virtud de la afirmación del p, 8.3 y de la última desigualdad 3 concluimos que si 1 < a ^ entonces cada solución de la ecuación puede prolongarse en todo el eje Ox.
3
Si a = - + e (e > 0), para \x\ > 1 tenemos la estimación
y* =
+
3 Por consiguiente, para a > - y
>
> 1 las soluciones de
la ecuación dada crecen más rápido que las soluciones de la ecuación y = vista en el ejemplo a). Por tanto, no pueden ser prolongadas. d) Ya que para todo a y en todo el espacio de variables {x, y, z) los segundos miembros del sistema de ecuaciones dado y sus derivadas parciales son continuos respecto a y y z, entonces en un entorno de cualquier punto de ese espacio existe una solución única del sistema de ecuaciones dado.
Sea a ^ 0. Entonces para y + z ) 2 sc cumple la siguiente estimación para la suma de los cuadrados de los segundos miembros de las ecuaciones (y2 + z2 11# y2 z2)''9 +
20
#
' ' 9
+ r 2 ^ 4 - a r - 4 a + r2 = r 2 ( l + 4 - " r - 4 "
2 ),
donde r2 = y2 + z2. De la expresión anterior, para - 4 a - 2 ^ 0, es decir, para a ^ - - , se obtiene que |/| = ]/(r>
#
+ 2)-2a + y'(l + z')3a : ' ;
Respetando la afirmación del p. 8.3 y considerando Ja esli1 mación obtenida, concluimos que para — - ^ a ^ 0 todas las soluciones del sistema pueden prolongarse en todo el eje Ox. Sea a > 0. Entonces, a partir de la primera ecuación sistema podemos obtener la estimación
/
\y\ < bol +
dx {y2 + z2 + 2 )a
x¡¡
X
< tabl +
1/dx = \yo\ + \x- xü\,
Xo donde (xq, yo) es un punto arbitrario. Como vemos, la solución y(x) es prolongable en todo el eje Ox. Basándonos en la última estimación, para a ^ - el segundo miembro de la segunda ecuación se estima del modo siguiente: (1 + z2Y [ < |j,| (1 + z2Yn
< (|j,o| +
- 30|)()z| + n
de donde, por la afirmación del p. 8.3, tenemos que si 1 0 < a ^ - , las soluciones del sistema se pueden prolongar en todo el intervalo —oo < x < +oo.
\ Sea a < - - . Entonces y' ^ \y\ • Por consiguiente, las soluciones de la ecuación
(y2 + z2 + l)
y=
—A
para a < — - no se pueden prolongar, pues crecen más rápido
t
2
que las soluciones de la ecuación y = \y\' , las cuales tienen asíntotas (v, ej.a)), 1 Sea a > Entonces, como ya vimos, todas las soluciones y{x) pueden ser prolongadas en todo el eje Ox. Tomemos la curva y = y{x) con la condición inicial j/{0) = 0. En virtud de que y* > 0, la función y = y(x) crece (o sea, es positiva para x > 0); por tanto, X
y(t) dt
+oo
(1)
o cuando x —• +oo, Integrando la segunda ecuación del sistema, obtenemos X
2 ¿O (i+
a = Í
dt
(z
X ^ 0).
0
0
Dado que -f-oo
di (i+er converge, de aquí y de (1) se obtiene que x X\ cuando z —* +oo (x\ < +oo), es decir, la recta x = x\ es asíntota de la solución z = z(x). Finalmente, partiendo de los resultados obtenidos, , , 1 llegamos a la conclusión de que sólo para [a| ^ - todas las soluciones del sistema pueden prolongarse en el intervalo - 0 0 < X < +00. • , •J
•
lixls(encmí|ím)|giiSiW'!
lifiiflSBlP fel96., :Dadas las sigu'
Solución. Tanto las funciones /i(x, y) = x3 - y3,
f2(x, y)-xy
+ e
como sus derivadas parciales respectivas dh
=
_
Dy
dh
2 V
'
dy
x —e
son continuas; por eso, según el teorema de existencia del p. 8.1, por todo punto del plano xOy pasa una curva integral suave (una curva para cada ecuación). Demostremos que todas las curvas pueden ser prolongadas en la semirrecta [a¡o,+oc). a) La recta y = x divide el plano xOy en dos partes. En la parte izquierda todas las soluciones y(x) decrecen dado que y'(x) < 0, mientras que en la parte derecha las soluciones crecen en virtud de que y'{x) > 0. Además, ninguna curva integral puede salir del semiplano derecho debido a que, para esto, tendría que cortar la recta y = x, en la cual y' = 0. Por consiguiente, en el semiplano x > y ninguna curva tiene asíntotas, o sea, es prolongable en la semirrecta [XQ, +OO). Cambiando en la ecuación inicial x por —x, obtenemos la ecuación 3 . 3 x +y , y de donde, integrando, hallamos dt
xo
Ha
yo
(x > x0,
dt
y^ y0/
α͑ ͑͜
Ϗ
ͤ
x0 + y0> 0).
Dado que la integral de la derecha converge cuando y —> H-oo, +oo, donde x\ > XQ. Por tanto, entonces x —• x\ cuando y
1
V
-1 ••» S í i J •! I-s ; r • ¡ í ¡ í-i ki A i -í vA
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1
".VJL : . : . . . : . . . ' . :
ninguna solución de la ecuación y' = s 3 es prolongable en la semirrecta (—oo, Xq]. b) Por cuanto y1 = 0 para xy + e~y = 0, la curva 1 x = divide el plano xOy en tres regiones, en cada
yeV una de las cuales las soluciones bien crecen, bien decrecen. Investiguemos este hecho de forma más detallada. Tomemos un punto cualquiera (x^yo) en la región determinada por las desigualdades xy + e~y <0, x < 0. Como en esta región yf < 0, entonces la ordenada de la curva que pasa por el punto (XQ, y§) decrece y alcanza el valor mínimo en la curva xy 4- e™y = 0 (x < 0). Al cruzar la curva xy + e~y — 0, la curva integral entra en la región donde y1 > 0. En ese caso la ordenada de la curva integral crece; sin embargo, en virtud de la estimación
\xy + e-y\^\x\y + l,
(y ^
y de la afirmación del p. 8.3, deducimos que la curva integral analizada no tiene asíntotas, es decir, es prolongable a la derecha para x > 0. Tomemos ahora un punto arbitrario (xQ/y0) en la región donde xy + e™y > 0. Dado que en esta región y' > 0, entonces la solución y = y{x), y(x0) = y0 crece. Si la curva entra en el semiplano superior, entonces la solución, como vimos, puede ser prolongada a la derecha. Si la curva entra en la región xy + e~y < 0, y < 0, entonces, como la derivada es negativa, la solución y — y(x) decrecerá. Gracias a la forma de esta región (toda recta vertical atraviesa la frontera de la región en dos puntos) ninguna curva integral puede salir de ella, lo cual implica que no puede ser prolongada para x > 0. Mostremos ahora que la ecuación tiene soluciones que no pueden prolongarse en la semirrecta (-oo, x$]t Cambiando x por —x e y por —y en la ecuación, obtenemos
y1 = xy + ey ^ ey> Por cuanto la ecuación y1 = ey tiene soluciones no prolongables para x > 0, entonces la ecuación obtenida, cuyas soluciones crecen aún más rápido para x > 0, también tiene soluciones no prolongables. •
A Solución. Restando miembro a miembro los problemas diferenciales R yo,
y' = /(«, y), z = K(x)z,
z{x0) = y0/
el segundo de los cuales es auxiliar, obtenemos el problema u(a?0) = 0,
u ~ Q(x) + P(x)u, donde u(x) - y(x) - z(x), Q(x) =
f(x,z(x))-K(x)z(x),
mientras que f(x,y{x))
P(x) =
-
f(x,z{x))
y{x) - z{x)
puede representarse en la forma P(x) =
df{x,y) dy
y=í(*) siendo £(x) una función cuyo gráfico se encuentra entre los gráficos de y(x) y z(x). La solución del problema obtenido es X
u{x) = j
j
Q(t) exp f P(s) d s } dt,
de donde, en virtud de las condiciones iniciales, se deduce que X
|tt(s)l < J IQ(í)l exp{/ K(s) ds}dt = $(x). aro
•^üi!l!HNtü|lt»MMiMi
Para x ^ x$f la función K es continua. Por tanto, la solución z = z(x) existe y es continua, y la función Q es continua. Consiguientemente, también es continuo el integrando de la última integral, la cual, a su vez, también es continua. En resumen, para todo x ^ XQ
z(x) — $(x)
y(x) ^ z(x) + §{x),
de donde, como consecuencia de la continuidad local de la función y — y(x), se infiere su existencia y continuidad. •
<4 Solución. Multiplicando escalarmente ambos miembros de la ecuación por la función vectorial y y(x) y denotando | = u(x), obtenemos
v! = 2y-f < 2K(x)u,
u > b\
de donde
ur ^ 2K(x), u C í u u0H[SM K{t) dt\f o, finalmente, X XQ
Dado que la función K es continua para x ^ la función $ también es continua para x ^ XQ. Por consiguiente, la función |y| es prolongable en la semirrecta [XQ, +00). •
Nota. De ia desigualdad |j/] .<".
§9. Soluciones singulares 9.1. Solución singular. Curva discriminante La solución y =
,
) - 0,
dF(x, y, y') x ' y ' =0, dy'
(1)
se denomina curva discriminante de la ecuación diferencial F(x, y, y') = 0. Una rama de la curva discriminante que satisface la ecuación diferencial anterior es una solución singular si en todo punto existen otras soluciones tangentes a ella. De forma análoga investigamos el lugar geométrico i>(x, y) = o de los puntos que satisfacen las condiciones F(x, y,y) = v,
dF(x, y, y') dy
no es acotada.
9.2. Envolvente como solución singular La familia de curvas integrales <&(x, y,C) = 0 de la ecuación F{x, y, y') = 0 puede tener la envolvente y =
ecuaciones
y, C) = 0, y, C) _ dC ~
(2)
Generalmente, la curva discriminante de la familia y,C) = 0 satisface el sistema (2), Para separar de la curva discriminante una parte compuesta de puntos singulares se puede utilizar el hecho de que en una curva no compuesta de puntos singulares se cumple * ; + i ax
i
o)
La parte restante de la curva discriminante puede ser una envolvente. En particular, si esa parte no pertenece a la familia analizada de curvas integrales, entonces con toda seguridad es envolvente. En los problemas siguientes, hallar todas las soluciones de las ecuaciones dadas y determinar las soluciones singulares en caso de que existan:
/
-2
J
< Solución* La función F( x, y, y) — y -y es diferenciable con continuidad; por tanto, si la ecuación dada tiene una solución singular, ésta satisface el sistema (1), p.9.1: y 0, 2y — 0, del cual obtenemos y — 0 después de excluir y\ La curva y = 0 es una solución de la ecuación analizada; sin embargo, por ahora no se puede afirmar que es singular. Hallemos las soluciones restantes de la ecuación. Tenemos que y1 — ±y, de donde, integrando, hallamos y = C\ex y también y = C2e_a\ Ahora podemos constatar que ninguna de las curvas integrales de las dos familias obtenidas es tangente a la curva y = 0 (excepto ella misma). Por consiguiente, la solución y = 0 no es singular. • — •
•
.-•••
.ii"
. _• *
—i.
•4 Solución. Haciendo x + y = u(x) y resolviendo la ecuación respecto a la derivada, obtenemos u' = 3U2/\ de donde u = (x + C f , o bien y = (x + Cf - x. Del sistema de ecuaciones <5>{x,y, C) = x + y - {x + Cf = 0, &:.. C)2 = obtenemos que y — -a; es la curva discriminante de la familia de curvas integrales. Dado que en la curva discriminante
y esta curva no pertenece a la familia, obtenemos que la solución y — -x es singular.
•4 Solución. Resolvemos la ecuación respecto a la derivada: y' = ±2vV (1 - y) Integramos las ecuaciones obtenidas: dy x + C, 2vV(i - y)
/
I
dt
x + C, sen2 t donde y = sen2 t {0 < t < 7r/2). Tomando en consideración la solución evidente y — 1, finalmente obtenemos
A partir de las ecuaciones $ = y{\ + + C)2) / ^ ( y ( l + (x + C ) 2 ) - l ) = 0
hallamos la curva discriminante y = 1. Dado que en la curva discriminante /^ \ 2 2 1 0 • k • 1 rt^h ib
dx
y la curva y = 1 no pertenece a la familia (1), obtenemos que y = 1 es la envolvente de esa familia y, por tanto, es una solución singular de la ecuación diferencial dadaSi utilizamos el sistema (1), p. 9.1 para determinar la curva discriminante, entonces, además de la curva y = 1, podemos obtener la solución y = 0. Sin embargo, como se ve de (1), ninguna solución de la familia es tangente a la solución y = 0 (excepto, naturalmente, la solución y = 0 que se obtiene de (1) para C = oo). De esta manera, la solución y — 0 no es singular. •
Solución. Resolviendo la ecuación respecto a la derivada, obtenemos las ecuaciones diferenciales
y = 2/; Integrándolas, hallamos
y
i
1
y-C^i
y=~(x
±y/y. + C2y-,
2/ = 0
De las ecuaciones
$ = 4y - (x + C2)
0,
-2(x + C2) = 0 se obtiene que y — 0 es la curva discriminante. Como la condición
dx
+
16^0
se cumple en la curva discriminante y la curva y ^ 0 no pertenece a la familia y, C) = 0, concluimos que y = 0 es 1 ¿ la envolvente de la familia y = ~(x+C2) y ™ 0 es una solución singular. ni r~
•
y, por consiguiente,
M Solución. Tenemos:
("'I-
=
de donde
M
13 y - 21 dy = x + C, vT~J
o bien
y2(l
-y)~{x
+ Cf = 0.
Además se tiene la solución evidente y = 1. De las ecuaciones $ = y2( 1 - y) - (x + Cf = 0, -2(x + C) = 0 sigue que y2( 1 - y) = 0 de donde y = 0 ó y = 1. Dado que y = 0 no es solución y en la curva y — 1, la cual evidentemente no pertenece a la familia $(2;, y, C) = ü, se cumple la condición a $ \ dx)
2
+
_
j
\dy)
obtenemos que y = 1 es una solución singular.
•
4 Solución, Haciendo el cambio de variable y/y = z, obtenemos la ecuación diferencial lineal 2z - xz + 1 = 0. Integrándola, hallamos z = -(Cx)e*/2. 2 La solución general de la ecuación original tiene la forma y=\(C-xfex.
(1)
En el proceso de integración se perdió la solución y = 0.
df dy
1 2^y
Dado que la derivada —— ~ x — - — no está acotada para 1
y
y = 0 (f(x, y) — xy — ^/y es el segundo miembro de la ecuación diferencial analizada y' = f(x, y)), la solución y = 0 puede ser singular. De las ecuaciones
1
, X
„
-— = -(C - x)ex = 0, dC 2 ' también se obtiene que la curva y — 0 puede ser singular. Dado que en dicha curva d$\2
dx J
2
+ 1— 1 = 1^0
\dy
y la propia curva no pertenece a la familia (1), entonces conforme al p. 9.2 la solución y = 0 es singular. •
<4 Solución. Sea y > 0. Separando las variables e integrando, resulta < #
C + ( 1- a) / (p(x) dx
y
d
Como la derivada —
no está acotada para y = 0,
entonces, conforme al teorema de existencia y unicidad, para la ecuación y' = f(x, y) la solución y — 0 puede ser singular. De las ecuaciones 1/(1 - a )
(p
<9$
ac
y
C + (1 - a) /
0,
a/(l-a) C + (1 - a) /
0,
118» «i.-j hallamos que y = 0 es la curva discriminante de la familia (J). En virtud de la condición
la cual se cumple en la curva discriminante, y de que y — 0 no pertenece a la familia (1), concluimos que y = 0 es la envolvente de la familia (1), es decir, y = 0 es una solución singular. Para y < 0 obtenemos de un modo análogo otra familia de curvas integrales de la cual la curva y ~ 0 también es la envolvente. •
< Solución. Suponiendo y — z(x)ip(x), obtenemos la ecuación diferencial ip(x) ip\i¡>\a donde la función es continua. Por tanto (v. cj. 205), V la solución z — 1 es singular y la función y = i¡>(x) es una solución singular de la ecuación original. •
Solución* Haciendo el cambio de variable y = z{x)ij){x) obtenemos la ecuación diferencial
p{x)\z2-\
' =
D
donde
es una función continua. Tomando ahora z — 1 + e{x) en la última ecuación, donde e(x) > 0, e integrando la ecuación obtenida, hallamos *
€(x) =
-a)
\ l/d-«)
J p(t) f 1 +
dt + c\
ÍBq
x 6 (a, b), xQ E (a, 6), Es evidente que en el intervalo (a, 6) la función e = 0 también satisface la ecuación €* = j3£ a (2+€) a . Mostremos que en todo punto XQ € {&, b) las funciones £ y e = 0 tienen una tangente común. De (1) tenemos
e(xQ) =
C m ~ a\
e'(x0) = C«/{1-a)j3(x0)(2 + s(x0 ))*.
En el punto de tangencia con abscisa XQ se deben cumplir las condiciones (3) £(x0) - 0, £'(aro) = 0. De (2) y (3) se tiene que C — 0. De esta manera, toda función determinada por la ecuación
£{X) -
/
í 2a (l
f
-a) j m
/
( i +
£(t) \°í \ ~y) dt]
Xq
es idéntica a cero en (a,fe).Esto quiere decir que la solución e = 0 es singular, es decir, la solución y ~ ip(x) es singular para la ecuación diferencial dada. Análogamente se demuestra que y = -i¡>(x) también es una solución singular. • ir - iii • ^fc
JIISÍíflÍHWH*^' i +{ +^ ++J ++*í 3J ** 3«• --J •
19 Hallar las soluciones singulares sin integrar la ecuación:
Solución. Resolviendo la ecuación respecto a la derivada, obtenemos xy ± |a:| yy1 + x2 - b (i) y x2 — b Si > b, entonces por todo punto del plano xOy pasa una solución única de cada una de las ecuaciones diferenciales (1), puesto que, en ese caso, sus segundos miembros son continuos y tienen derivadas parciales continuas respecto a y. Sea |x| < b. Entonces, en la curva x2 + y2 = b se infringen las condiciones de continuidad. Sin embargo, solamente en virtud de la suficiencia de dichas condiciones (suficiencia para la existencia de una solución única) no se puede afirmar que la curva señalada sea una solución singular. Utilicemos los resultados obtenidos en el ej.207. Aquí las funciones ip(x) = ±- z x
aj
y
1>'(z) = -
i son continuas para |x| < b, a = - ; por consiguiente, las soluciones y = ±ip(x) — ±Vb ~ x2 son singulares para cada una de las ecuaciones (1), es decir, la curva x2 + y2 = b es realmente singular. •
•4 Solución. Aquí F{x, y, y') = y-
2xy - y'2,
la derivada parcial DF_ ~dy
= 1
está acotada, y de las ecuaciones
F = y — Ixy - ya = 0 8F
2x - 2y = 0
dy'
se deduce que solamente la función y x puede ser una solución singular. Sin embargo, como se puede comprobar, y = -x2 no es una solución de la ecuación y, por tanto, no existen soluciones singulares. • —rh
Solucion. Resolviendo la ecuación respecto a la derivada, ob tenemos
y
t
±
Haciendo u
yH
t
1
16 (x v
±Ví
Vi + X 4
+ 4x ), hallamos
+ x2Vü,
u > 0.
Dado que las funciones ± v l + ? son continuas, entonces, se1 gún el ej. 205, la solución u = 0 es singular y y (x*+4x2) es una solución singular de la ecuación original
16
•
Solución. Haciendo y — 2u y resolviendo la ecuación obtenida respecto a u*, hallamos
u
t
1 -u ± — \Jul — a2x2.
X
X
u > 0.
\ M iiisnHMifflnga Apliquemos los resultados del ej.207. En el caso analizado
fM ip(x)
=
1
{x) =
±1_
x'
1 son funciones continuas para x ^ 0, y a = - . Por consiguiente, u = ±ax (x 0) son soluciones singulares. Entonces 2 y = 2|ox| es una solución singular de la ecuación original para x ^ 0. •
A Solución. Excluyendo y' de las ecuaciones F = x + yy' - ay'2 dF — =y-2ay dy'
,
- 0,
= 0,
hallamos la curva y2 + 4ax = 0, la cual, como se puede comprobar directamente, no es singular, ya que las funciones y = ±2\/-a¿ no son soluciones de la ecuación diferencial dada. •
A Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y', obtenemos y' = i, e
x i y = —,y
y¿ o y
o.
Dado que los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales obtenidas y sus derivadas parciales respecto a y son discontinuas sólo para y = 0, y que la función y = 0 no es una solución singular de la ecuación dada, podemos concluir que la ecuación planteada no tiene soluciones singulares. •
Solución. Escribiendo la ecuación en la forma
F(x, y,y) = 0, donde
F(x, y, y') = V - 4y2 - (l + xz)y'\ y excluyendo y' del sistema de ecuaciones
F{x, y, y') = 0,
~ O
= 2y' (l + a;2) = 0, ^
obtenemos la ecuación y — y = 0, la cual contiene las soluciones í/ = 0 e y = l d e l a ecuación diferencial inicial. Comprobemos si dichas soluciones son singulares. Resolviendo la ecuación dada respecto a la derivada obtenemos que
, 2yV^T y — —>
(i)
Por cuanto el segundo miembro de la ecuación (1) existe para y ^ 1 y y = 0, entonces y — 0 es una solución aislada. Nota. La solución y = (p(x) se denomina solución aislada si en cierto entorno suyo no existen otras curvas integrales. rj-
1—rw—
Haciendo y — 1 + c{x) en (1), donde 0 ^ ciando la función £ 3 ' 2 (íc), podemos escribir
£
(
í C
1
^
^ T i T " Ü T 7 7 T " "
l
"
J i
-
L
.
< l , y despre-
1
± v 1 + a?2 La ecuación aproximada (2) tiene la solución e(x) = 0, la cual, como se deduce del ej.205, es singular. Entonces para la ecuación (1) la solución y == 1 también es singular. •
•4 Solución, a) Dado que la función y,C) = y- Cx2 + C2 es diferenciable con continuidad, conforme al p. 9.2 la curva discriminante de la familia de curvas integrales y - Cx2 -I- C2 = 0 satisface el sistema de ecuaciones
$ = y - Cx2 + C2 - 0, de donde, excluyendo el parámetro C, hallamos y =
x —.
Hemos obtenido la forma explícita de la curva discriminante. Por cuanto en la curva discriminante -2 Cx = - x ,
dx
— = 1, 8y
d$\2
6
+
y la curva y =
—
4 no pertenece a la familia dada, entonces esta última es y
X
envolvente, es decir, y — — es una solución singular de la ecuación diferencial planteada, b) Análogamente, $ = xy - Cy + C2 = 0,
y
— de
= -yy + 2C - 0,
de donde C — —. La ecuación para la curva discriminante y2 - 4xy = 0 se descompone en dos: y = 4x e y — 0. En la
primera curva
dx y en la segunda /d$\2
2
Dado que la curva y — Ax no pertenece a la familia y, C) = 0 para ningún C, entonces, según el p. 9.2, dicha curva es una solución singular de la ecuación diferencial correspondiente. La segunda curva y = 0 (x ^ 0) pertenece a la familia señalada; por tanto, aún no podemos determinar si esta solución es singular o no. Para resolver el problema, representemos las curvas de esta familia (para x ^ C) en la forma c2
'=cr?
(1)
Dado que y(x0) ^ 0 para C ^ 0, las curvas déla familia (1) no son tangentes a la curva y = 0 (x ^ 0), lo que por definición significa que dicha curva no es una solución singular. c) Excluyendo el parámetro C de las ecuaciones
*(s, y,C) = y- C\x - C)1 = 0, — = 2C(x - C)(2C -x) = 0, obtenemos dos ramas de la curva discriminante: ¡£ 4
y
16
y = o. Como la primera rama no pertenece a la familia dada y en ella d$\2 ax J
fd$\2 \ay J
+
1=
1
a6 + t16t * 0,
concluimos que dicha rama es envolvente. La segunda rama pertenece a la familia dada; por esa razón, a pesar de que
~
— 1
O, no podemos afirmar que la misma también sea
envolvente. Comprobemos las condiciones de tangencia de la curva y = 0 con las demás curvas de la familia. Sea XQ una abscisa arbitraria. Entonces de la condición de tangencia se infiere que se deben cumplir las igualdades y'(x0) =
2C2(X0
- C )
=
0,
y(x0) = C2(xo - C)2 = 0,
C £ 0.
Es fácil ver que estas igualdades se cumplen para C — x 0 . Por consiguiente, por todo punto (XQ, 0) pasan por lo menos dos curvas: y — 0 y y = XQ(X - xo)2, las cuales tienen en dicho punto una tangente común. Por tanto, la curva y — 0 es envolvente. •
§10. Problemas de trayectorias 10.1. Trayectorias isógonas y ortogonales Las líneas que cortan todas las curvas de una familia de curvas planas bajo un mismo ángulo '{> se llaman trayectorias isógonas 7r a dicha familia. En particular, en caso de que
(
y' — m\
* > v 1> +~ — ;) = my'J
0)
donde m = tg
F{X'y'~^)=°
(2)
es la ecuación de las trayectorias ortogonales. Integrando la ecuación (1) o la ecuación (2), obtenemos la. familia de trayectorias isógonas o la familia de trayectorias ortogonales, respectivamente. Sea í>(/?, 9, C) = 0 una familia de curvas dada en un sistema de coordenadas polares p, B, y sea F{p, 0, p) = 0 la ecuación diferencial de dicha familia. Entonces las trayectorias isógonas [
&
p - mp
mientras que las trayectorias ortogonales se hallan integrando la ecuación 0.
(4)
10,2, Evoluta y evolvente El lugar geométrico de los centros de curvatura de los puntos de cierta curva T se denomina evoluta K de dicha curva. La curva Y respecto a su evoluta K se denomina evolvente. La propiedad fundamental que relaciona las curvas K y Y consiste en que la tangente a la evoluta es a su vez la normal a la evolvente. De esta manera, conociendo la evoluta podemos hallar la familia de evolventes considerándolas como trayectorias ortogonales a la familia de tangentes a la evoluta dada. Sean £ = r¡ — r}(t) las ecuaciones paramétricas de la evoluta. Utilizando la propiedad mencionada anteriormente se pueden determinar las ecuaciones paramétricas de la familia de evolventes x — x(t, C), y = y{t, C) a partir del sistema de ecuaciones diferenciales
,
{
1
~~dy/dx y = r¡ + {x-Or}¡. %
dx
Resolviendo la primera ecuación del sistema y sustituyendo en la segunda la expresión de x obtenida, hallamos las ecuaciones paramétricas de la evolvente. A UU U^JLM <_M LMJ 4.U • U • '
eseaií^ifciiesKíxíc; jWfeo» JwDCWDCWy* j r ir t, j ; í IV4 J 4 JÍ 5
S
p
x
C I ^ C W DCW D C ^ Í
¿ A * / "
« x a o x o shcfli
• I
J+l + 4 } 4 - » £ 4 - -
F t f S ^ e S Í V E S I Í l l l í J i jii ? i
H Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de líneas:
Solución. Según el p. 10.1, primeramente es necesario obtener la ecuación diferencial de la familia dada y, a) = y — ax". Tenemos: $(x, y, a) — 0,
— = y - aax ox
= 0.
Excluyendo el parámetro a, hallamos la ecuación xy' - ay = 0. , 1 Sustituyendo en ésta y
por — - , obtenemos la ecuación
diferencial de las trayectorias ortogonales -,+ay
= 0.
(I)
V La integral general de la ecuación (1) es x2 + ay2 - C.
(2)
Si a < 0, la familia inicial de hipérbolas es ortogonal a la familia de hipérbolas (2); si a > 0, la familia de parábolas es ortogonal a la familia correspondiente de elipses; finalmente, si a = 0, la familia de rectas horizontales es ortogonal a la familia de rectas verticales. •
Solución. Excluyendo el parámetro a del sistema (2a - x)y2 - x3 = 0, -y2 + 2(2a - x)yy' - 3x2 = 0, obtenemos la ecuación diferencial de la familia dada: 2y'x3 - 3x2y - y3 = 0.
A esta ecuación le corresponde la ecuación de las trayectorias ortogonales
2x3 + (3x2y + y*)y =0> Esta ecuación es homogénea. Su integral general es
3u + u3
f dx du-i- I — = ln C, x t¿4 + 3u2 + 2 donde
u— y X
o bien
(®Z + y2)2 = C(2x2 + y 2 ).
Solución. De forma análoga al ejemplo anterior,
x2 + y — 2 ax = 0, t 2a?+ 2 yy - 2a = 0,
de donde 2xyy +x —y¿ = 0. Sustituyendo en esta ecuación y 1 por — - obtenemos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales
x )y* +2xy == 0. (y Esta ecuación es homogénea. Haciendo y — xu{x), obtenemos 2
dx x
—
+
u 1 du = 0. u3 +u -
La integral general de esta ecuación es
x(u
+ C u ,
o bien
x2 + y2^Cy. 1
V •di.
•
•4 Solución. La exclusión del parámetro a de las ecuaciones y2 - 2p(x - o) = 0, 2yy' -2p
= 0
con la sustitución simultánea de y' por — - , nos lleva a la y ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales y + yy - 0. Integrándola, hallamos y =
Ce*¡*.
Así, la familia original de parábolas es ortogonal a una familia de funciones exponenciales. • Hallarlas familias de trayectorias isógonas a las siguientes líneas:
•4 Solución. La ecuación diferencial de las líneas dadas tiene la forma 1 - y' - 2x = 0, de donde, utilizando la ecuación (1), p. 10.1, (m = 1), obtenemos la ecuación diferencial de las trayectorias isógonas 1-
y'-1 y' +1
2x = 0,
o bien 1 - x - xy' = 0, Integrando la última ecuación, hallamos las trayectorias buscadas y = ln Cx - x. •
j: • • •
r?
er
. :r• . , • r f
•
.üi.nl
J
= "
• • -L •
.
••
i-
' i
t
y 1 en la ecua-4 Solución, Cambiando la derivada y por y1 +1 -
2
2
t
r
/
ción diferencial x — y +2xyy según (1), p. 10,1, obtenemos
= 0 de la familia dada,
y(x2 — y+ 2 xy) + x —y2 - 2 xy = 0. Integrando esta ecuación diferencial homogénea, hallamos 1
u + u1 — u
donde
y
u
X
por consiguiente,
x + y2 = C(x - y) ••. i •••
• •
•
•
-4 Solución. Si en la ecuación diferencial x + yy* ~ 0 de la y - tga familia sustituimos yf por (a tt/2), obtenemos 1 + y' tg a la ecuación diferencial
y
ym — x xm + y •-
-ib
m
tga
de las trayectorias isógonas. Pasando a las coordenadas polares x = pcosO, y — psenfl, obtenemos la ecuación p* + mp — 0, de donde
/>= Ce
~m$
•
J
A Solución. Eliminando el parámetro a de las ecuaciones p = —a sen 0,
p — a( 1 + eos 9),
obtenemos la ecuación diferencial de la familia dada: p sen e + (1 + eos 0)p - 0, de donde, según la fórmula (4), p. 10.1, hallamos la ecuación diferencial p sen 0 - (1 + eos 6)p — 0 de las trayectorias ortogonales, la cual puede escribirse en la forma 1 + eos 0 _ p' sen 0 p Integrando esta ecuación, hallamos la familia buscada P = F
C
sen
2 9 -, 2
o bien p = C(1 -cos6>).
A Solución. Cambiando la derivada p por diferencial
•
P2
P
en la ecuación
1 sen 26 de la familia, obtenemos, conforme a (4), p. 10.1, la ecuación diferencial p + p3 sen 26 = 0 de las trayectorias ortogonales a la familia dada. Separando las variables e integrando, hallamos las trayectorias buscadas: PP
=
1
< Solución. Seguimos el mismo esquema utilizado en el ejemplo anterior. Primero obtenemos la ecuación diferencial
t
P
ptgie f
familia dada. Sustituyendo o oor o
p* + mp p — mp
donde
7r m = tgar (a ^ —), según (3), p.4.1, obtenemos la ecuación diferencial de las trayectorias isógonas
p'( 1 + m tg 2$) = p{tg 29 -m), o bien
0,
t
P'
tg (29 - a). P Integrando esta última ecuación, hallamos la familia de trayectorias ortogonales P
C a/| eos (26» - a)\ ••
•
,1. •
< Solución. La ecuación diferencial de la familia analizada tiene la forma
p( 1 + eos 9)+ p sen 8 — 0, Cambiando en la misma p por p
p + mp (ra = tg a), obtep — mp1
nemos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales p(l
+ eos 0 - m sen 0) + p(m + m eos 6 + sen 9) — 0,
o bien
m eos 9/2 + sen 0/2 eos 0/2 -m sen 9/2 N+H
P
Integrando esta ecuación, hallamos ln p ~ 2 ln cos o
6 2
6 m sen - 4-lnCi, 2
6 p — C cos [ - + a }.
•
Solución. Cambiando la derivada p' por la expresión p' + mp p (m = tg o:) en la ecuación diferencial p -
mp'
p' cos 6 + p sen 0 = 0 de la familia dada, hallamos, según la fórmula (3), p. ÍO.'L, lo ecuación diferencial de la trayectorias isógonas: ¿_
P
=
tg « + tg Of
1 - tg oí tg ^
= - t g ( 0 + a).
Integrando esta ecuación, obtenemos la familia buscada p - C e os (9 + a ) . Es evidente que si a = 0 la familia obtenida coincide con la familia dada en las condiciones del problema. • Hallar las evolventes de las siguientes líneas:
Solución. Escribamos las ecuaciones paramétricas de la catenaria: r¡ — a ch t. i — at, 2) El uso del término catenaria se debe a que, al suspender por loa extremos una cadena pesada, ésta toma la forma de la curva considerada.
¡ü turcasKMMOna
drf
Después de calcular la derivada r¡¿
sh t utilicemos
la primera de las ecuaciones (5), p. 10.2. Resulta que
= a dt, drj = a sh i dt, dt}
t nt
sh t
d£
dx dy
La segunda ecuación de (5) adopta la forma
y = a ch t + sh t(x - ai).
Diferenciando ambos miembros de (2) y sustituyendo la expresión de dy en (1), obtenemos sh t
dx (x — at) ch t dt + sh t dx
o bien a? sh f + ch f
dx ~dt
at senf.
Aplicando el método de variación de la constante a la ecuación lineal obtenida, hallamos C x = a(t- thí) + (3) ch t Sustituyendo la expresión de x en (2), obtenemos
y
Csht + a ch t
(4)
I I •!
Las ecuaciones paramétricas de la familia de evolventes de la catenaria tienen la forma (3), (4). • i «i
Solución. Siguiendo el esquema del ejemplo anterior, obtenemos
di — at cos t,
dr] = at sen t,
dt] di
— — tg i,
y = a(sen t~t
cos t) + tg t(x ~ a(cos t + t sen f)),
dy — tg t dx H
1
—{x — a(cos t + t sen t)) dt, cos ¿t dx 1 ' 4 tg t dx H —(x — a(cos t + t sen t)) dt cos H dx — + X tg t = a sen f (1 + t tg í).
tg í =
Integrando por el método de variación de la constante la ecuación lineal obtenida, hallamos at x = C cos t + — (2 sen t — t cos t). Entonces, at2 , y = -at cos t + [ C — — ] sen t. Éstas son las ecuaciones paramétricas de la familia de evolventes buscadas. •
Solución, De forma análoga al ejemplo anterior, tenemos d£ — a(l - cos t) dt,
dr¡ = a sen tdt,
dy t — = ctg - ,
t t/ y = a( 1 - cos í) + ctg -(x - a(t - sen í)) = 2a + ctg -(x t (x — at) dy = (dx - a dt) ctg - Y — dt, 2 2sen ¿ t/2 t Ctg
2
dx = { d X
'
a d t )
Ctg
t (x - at) dt' 2 ~
at),
Después de algunas transformaciones no muy complejas obtenemos la ecuación diferencial lineal
dx dt
x t ctg 2 2
a
-(sen t - t) ctg
t
cuya integral general es
x
t C sen - + alt + sen f). 2
Entonces y = a(l - cos
t {
t
+ ctg - I C sen - 4- a(t + sen t) — a(t ~ sen t)
t C cos - + a(3 + cos f).
•
i m*~ • • " " "
Solución. Dado que 3a cos 2t sen t dt, di entonces
di] = 3a sen2 t cos t dt,
dr\ x — a cos
y — a sen t-tgt( dy = a cos í dt
a; di
tg í
cos 2f
tg <
i
111 ¡i 11111•i • i
i
x dt
tg t dx cos H De la última igualdad obtenemos la ecuación diferencial lineal acos t dt
dx + x tg t — a cos t tg f. ~dt Su solución general tiene la forma
x
a 2
j
C eos t A— cosí sen f.
Nos queda por hallar y. Sustituyendo la expresión de x en la ecuación de y, resulta 3 i <1 2 T y = a sen i — tg t1 C eos t + - eos t sen t — a eos' t = -C sen t + a eos 2t sen t + - sen 3 t. 2 De esta manera, hemos obtenido las ecuaciones paramétricas de las evolventes buscadas: a 2 x = C eos t + - eos t sen t, y = -C sen t + - sen t (l + cos 2 í).
< Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos d£ = - 6 1 2 dt , dt)
df] = 61 dt,
1
2
1 t
{ h
2 t
y = 3t — - {x + 2 í 3 ) ,
dy = dr]
dx )
d t
~ T ' dx
1 ~ 1
dx dt
~ '
(x/t2
+ 21) dt - • 212
X
t{t2
t2 + 1'
Aplicando el método de variación de la constante a la ecuación diferencial lineal obtenida, hallamos x = 21+
Ct , VfTT
Para encontrar y sustituimos la expresión de x en la segunda ecuación del sistema (5), p. 10.2: 1/
O
C¿
n
y = 3t2 - - \2t + - = = + 2¿3 = t2 - 2 t \ VFTí )
C
VF+í'
Así, las ecuaciones paramétricas de las evolventes de la curva dada son
x = 21+
Ct
,
VFTí
y = t22- 2-
C VFTÍ -T-
•
• I
R
II
• I
Ejercicios Hallar las soluciones de los problemas siguientes: OQ
1. y' =
2
x f sen i J ~rdtr
*y
3.
(as1/(2n+1> - x^2"-»),
y{0) =
o
h
y dx + (yxy - yfx ) dy =
4. ar í/ — cos2y —1 = 0,
x ^ 0,
0,
y(l) = 1.
í/(+oo)=-7í\
+ 00
5. (*> + !)„' = 2*„. — / o
di =
' X' iJ
/ „<*> convele. o J/(l) = 1/ k = const
Integrar las ecuaciones:
-
f
y ,
8
2xv
íc ¿c H- y y' = — I sen # tg —. a? x 9, (2ar - 4y + 6) da? + (a? + y - 3) dy = 0 10. (as -b y + 4) y' = 2a? + 3y — 5. 2 11. -zyy' = a/s6 - y4 -f y1.
Hallar las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy:
2x + 8y - 3 dy + ex+4y+5 dx = 0, y( / + x+Ay 13. (®V - y) - (®V " 2 « V + 6»)flfy= 0, y(l) = 1. T 14. (x - y*) dx + i/'2 (x*/2 - y1'2) dy = 0, y{l) = 1. 12. sen
15. xy' = y eos ln - , x
y(l)=e* / 2 .
Transformar, de ser necesario, las siguientes ecuaciones a ecuaciones lineales e integrarlas:
16. y = x(y' - x eos x). 17. j/ + y senx = sen x. 18. (xy + ex) dx — x dy — Q. ^ 3x — y2 + y1 +2y — exy2. 21. xy'-2x 2 v /y = 4y. Para las ecuaciones siguientes, construir las soluciones generales en forma de Cauchy:
1 + x2 23. y' + í + a;2) senx = cosx. 24. y' + y tg x = eos x. 25. y'+ - = x. x Resolver los problemas diferenciales siguientes:
dy h iy = x(ln x - 1), 26. x ln x dx 3
27.
+
y
=
(x3 + I f '
y(é) = 2 — 5i. + X
/
y(x) dx
<
28. y' = (3x'V + y5) (xy4 +2x 5 y)~\
y(l) = 1.
Integrar las siguientes ecuaciones de Riccati:
•> 1 29. 2y = xy + y — -¿ — 3. x , y y2 30. y' = - - — + x. x x
00.
1
31. yf -2xy + y2 = 5 - x2,
I y(x)dx = o
1.
22
32. xy' -y2 + (2x + 1 )y = x2 + 2x, j (x — y)2 dx = 1.
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
33. (1 + y2 sen 2x) dx - 2y cos 2x dy = 0, 34. 3x 2 {1 + ln y) dx = í 2y - ^ Y dy. 35.
\ (x2 -f 1) cos y +22 dx + -—dy + + \ sen y j cos 2y — 1 f x
= 0.
Integrar las ecuaciones siguientes mediante factores integrantes:
36. xy2(xyf + 1) = 1. 37. {x1 + 3 ln y) y dx = x dy. 38. (x2 +2x + y) dx - (x- 3x2y) dy = 0. 39. (x2 -y) dx + x(y + 1 )dy = 0, Hallar los puntos singulares, las curvas y las soluciones singulares posibles:
40. y1 = Jy. 41* y1 - ffi. 42. yf = V» + L 43, y' = 2 s/ay. 44. y' = l ( V y + x l l 6 Wy). Resolver las ecuaciones siguientes reduciéndolas a ecuaciones diferenciales: X
X
J(xo
t)t2
tfm
+ ^ f(5x - 6t)y(t) dt + 2x = o
+
Respuestas Introducción
» - * ( £ ? ) =°*3¿ 2.
y1
= ey .
& + {yy"+yl2)x-w'
+ 1 = / x - y arctg 1 5• y = y - x arctg
= +
+ x y-
y arctg z — x{x2 + + t/(x2 + y 2 )' eos y sen y _z ¿ - e z eos y z' y' t
6"
7
y _xarctgz
8. y V ( z - 1)(2S -
x2)
,
2
y x' _ n = 0.
+ (2* - ñy"(y _
i
t
l
( /
+ + yy")
- 2y)(y - x) = 0, + 1 = 0.
Capítulo 1 1. 2t/ + x z - 2 x = C. 2. y = x s e n x + cosx. &+ 2 2 9 / +
4. y = 2ir + arctg ( l - ^
.
+ / + 6 . y = xV~k)/k.
wwmfflm
y y 7 . ln + 1 Ix X 8- sen
y
X
2
dx = C.
x
Ce sen x
x 9 . (y - 2xf = C(y — x — 1 )2.
10
l-v/5
C \x - y + 308 +
x - 30 4- V^íx + 17)|
1 1 . arcsen
y
3 ln (Cx 3 ), |x f3/>'+ sen
3
2
12. x sen
du
íí
3
2
4g5+u
2t - 1 - 6¿
13. l n x
i ii i i i
í(5í3 - í + 1)
i
y/x 1 4 . lna;
di.
u*!l - u*
- dw. u ar+1 _tt(jr/2)+l+ y* _ J u-ku.
i
15. lna: = ctg
i,
y
1
- ln ~ 2 x 16. jí = x(c + senx).
1 7 . « = 1 + Ce cas x 1 8 . y = e'(C + lnx),
x = 0.
19. x = Cy*+y¿, y = 0. 20. y(ex+Ce2x)=l,y=0. + u = x 4 l n 2 C x , y = + X
22. y = y0e"(Xo)-u(*) + J
eu{t)-umt
dt>
u{x)
, „ 1, , 2 1 2» - 1 - l n l + a; + - l n x - x + 1 H—~ arete B 3 6 V5 v^ 1
+17)|
2 3 . y == Vo exp j - J u(t)
4-
y =
,, 25.
S
26.
=
í—^— + x -
\ COS
exp j - / «(£) c ^ j cos t dt,
Xo
sen t
24.
J
XQ
COS X .
X(¡
. z2 y l + y .
Xoí
_ „tlnlnz y=e +oo
27. y
-7
t2
(¿3 - 1 ) dt. (t* +1) 2
28. y = x4/3. 2 9 . y = -x - x~l + e~*2/4 (
1+
Ce2x
-
dxJ
1
3 1 . y = a ; + 2 + 4 (ce 42 - l ) 3 2 . yt = ar + l, y2 = x + 2{2 3 3 . x - y2 cos2x
J
^
e± 1
3xyl.
— C.
3 4 . x5 ~y2 + x3ln\y\ = C. x2 + l 3 5 . Ax + = C. sen y 3 6 . 2 x V - 3x2 = C. 3 7 . (z 2 + ln y)x~3
= C, x = Q. 3 v 3 8 . x + 2\n\x\ + -y2 - - = C, x = 0. 2 x
z-1 •
4041. 42. 43. 44-
y = 0 es una solución singular. y = 0 es una solución singular. y == 0 es una curva singular. (0, 0) es un punto singular. (0, 0) es un punto singular.
índice de materias A astroide 240
B Bernoulli, ecuación 81 Bihari, lema 174
c catenaria 237 Cauchy, problema 5 —, — solución general 5 —, — solución particular 5 cicloide 239 Clairaut, ecuación 165 condición de Lipschitz 172 curva discriminante 215
— especial de Riccati 139 — no resuelta respecto a la derivada 151 Euler—Riccati, ecuación 139 —, — canónica 140 evoluta 230 evolvente 230
F factor integrante 110 fórmula de Tsiolkovski 57 función homogénea de grado m 58 H hipérbola degenerada 33
L D Darboux—Minding, ecuación 82
E ecuación de Bernoulli 81 — de Clairaut 165 — de Euler—Riccati 139 canónica 140 — de Lagrange 165 — de Minding—Darboux 82 — diferencial de primer orden y grado 151 de variables separables 18 exacta 109 homogénea 58 generalizada 59 lineal de primer orden 80 ordinaria derc-ésimoorden 4
n
Lagrange, ecuación 165 lema de Bihari 174 Lipschitz, condición 172 M método de descomposición de ln ecuación en dos partes 111 — de variación de la constante 80 Minding—Darboux, ecuación 82 O orden de una ecuación 4 Osgood, teorema 173
P Peano, teorema 173 Picard, teorema 172 problema de Cauchy 5
í§mbb
particular del problema de Cauchy 5
Riccati, ecuación especial 139 Riccati—Euler, — 139 —, — canónica 140
singular 215
S
solución 4 — aislada 226 — general del problema de Cauchy 5
•. -V'MZmM-íh^.
, Ui t O C\
É
á ? O$ £I
• teorema de Osgood 173 — de Peano 173 ™ de Picard 172 trayectorias isógonas 229 — ortogonales 229 Tsiolkovski, fórmula 57
índice Prólogo a "Ecuaciones diferenciales" Introducción
3 4
Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden §1. Ecuaciones de variables separables § 2. Problemas geométricos y físicos que conducen a ecuaciones de variables separables § 3. Ecuaciones homogéneas y ecuaciones reducibles a homogéneas §4. Ecuaciones lineales y ecuaciones reducibles a lineales §5. Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante §6. Ecuación de Euler—Riccati § 7. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada §8. Existencia y unicidad de las soluciones §9. Soluciones singulares § 10. Problemas de trayectorias
18 18 27 58 80 109 139 151 172 215 229
Respuestas
245
índice de materias
249