p es integrable en [«, ft], y a par Mr d d ej, 14 se deduce que Jcr] 6 R [a, ft]. Para unapartlci6n arbitraria II del segmento [a, ft] cada segmento far,, contendrii ai menos un punto en el que |ct]- 0, por oonsiguiente, §n(|a|) —0, supf5n(/)} = f |crjdx = 0/ fii} Kola, Del ej. 16 se dcduce quesi f € It [«, ftl, entonces en un conjimfodo medida de Jordan cero los valores d e la funcion / pucderi sustitnirse por valores arbitrnrtos finitos sin que tarabicn la propiedad de integrabilidad y el valor de la integral. 1 7 . Sea / € 6] — • K. funciones continuas. La funcion 0, a ^ip
f lq(»)| dx = f |«| dx = D. Dado que f a(x) dx), u — a h b b fa(f(x) - ip(x)) dx- - / af(x) ndx - . f
^ / |«(a;)|dx, results J a(x) dx a
-
a
Ahora bien, Si supusieramos que / £ R |ffl, ft] mientras que
b R [a, ft]. Demostrar que la igualdad J f' {x)dx
0 se verifica si yi
CJ
solo si f{x) — 0 en todos los puntos de continuklad de la funcion / pertenccientes al segmento [a, ft].
I) I llllt'uitil tit' Kirmann i
7f
•
t
w
4 Nnlmiom Neceaitlttd. Lo ilrnutinnimri. mcdliinlr cl tnclodo de rcduccion aI absurdo, Stw
j\f\x)dx~0, donde / w eonlinim en el punto ( , /(%) 0. De la conLiiuiidad it i\v f rn el punto a?o se deduce que / (x) > 0 on eierto cntorno £(.q, 6). Haciendo tiso do It 1 I'i'opicdad de aditividad d^ la integral tenemos b ttu+d fr «o4-tf f2{x)dx= a
j f2(x)dx+
J f(x)dx+
a
J f(x)dx>
j—d
1&
J
f2(x)dx^c7
X^-d
i Ii Hi'. In c > 0 es uu numero constante. Ast pues, hemos llegado a una con trad icc ion,
b
purslo que
2 r(x) dx = Q.
a lime
Sufidencia. Sea f(x) = 0 en todo punto de contlnuidad. Dado que / E R[ a, b\ t se f2 G R [a7 61. Cualquiera que sea la particion II del segmento [a, todo segmento
1 x, f | j contiene puntos de continuidad de la funcion / (en caso contraiio, para cierta I urlicion II la restriction de la .funcion / a un segmento [xi, seria discontinua en todo iviic segmento y, de acuerdo con el teorema de Lebesgue, se deduciria que / 0/?, [a, b)). For tanto, para cualquier particion II tenemos b
Sn(f2) = 0,
f2dx=
a
}\x) dx = sup{5 n (/ 2 )} - 0. m
•
18, Sea / : [a> b] —> M una funcion acotada y concava en el segmento [af b]. Demostrar |IIC
(I
4 Solucion. La concavidad de la funcion / significa que la funcion - / es convexa, por • •onsiguiente, f £ C[a t 6] (segun el ej. 112 del cap. 2,1.1), De este modo, / € R [a, b]. Utilizando la propiedad de concavidad hallamos
a + b\ 2 I
./<* + £ , b~i\ ^ I \ 2 2 / 2
Integrando respecto a £ dentro de los limites [0,b - a] y efectuando las sustituciones a •[-£=( y b - £ z obtenemos b-a
b-a
(b
0) 0
Al realizar la particion ri ={a 5t = a + i ~ ; ii que A Xi — — y ft-l _ _
0
a
i= n—t
n } y al tomar & = Xi, llegamos
7b
Capilulo 2. Inlcgr.ii ili'liiliiLi Debidoi a la concavidad dc /, tenemos
>=o en consideration que rf(ll) 0 paradesigualdaid tt —* oo y obtendremos pasando al limite par n -* oqTomando en el primer y segundo miembro de la—*ultima b J
M D X
>^
( M +M
(j
) I
AI comparar las.desigualdades (1) y (2) obtendremos las desigualdades requeridas.
•
n ^ Solucion. En primer lugar, apliquemos dos veces la formula de integration por partes (p.1.8) y utilicemos luego la solucion del ej. 4. Obtenemos
Jx
2
sen x dx — —x2 cos x j t); + 2
o
j x cos xdx
~
0
J
- 2^xsen:e | ( J - J
~
2
( f "0
~ *
^ F.jercicios Calcular las integ rates defmidas formando para d(ll) —» 0 :
las sum as integrales Sn ( f ) y pasando a] Ifmite
1. x i— x3, - 3 ^ x < 5. 2. x «-> -Jx, 0 < x ^ 1. 3. x >-* 3 X, 0 < x ^ 7. 4. x >-» cos x, 0 < x < f . 5. x i-->2 + 5x, -3 ^ x ^ 6. Hallar los h'mites siguientfs: 6-» * ( $ Z ? •+ tt^j, 7.lim + ^ +>*• + s ^ ) .
8.
*
+
> ) .
9. lim
Demostrar la integrabilidad de las funciones siguientes: 10- x f* - 2 [£J , 0 < 1.11. [x]^"- 1, 1 ^ x < 10,5, a >0, 12. x i-» , 1 ^ x ^ 40, A >0. 13. x [ar], 2^x^17. 14. x t-* , 0,5 < x ^ 10. 15. Sea f f R [a, &] y f{x) > 0. Designcmosfu = f(a j kSn), SB = Demostrarque Jitn £ U
=
/ f(z)dx,
tim
• • • f,.» ~
/1,1
k
t 2. IoivnuiH V 1 Annu A* rimnrtmniuiirn lip 1 >.hlo
y /(;*;)
[), /'(.r) ^ 0, / ' V ) ' 0 V* i |I
T
|
1 Vmoslnr i|iii'
>:/(M k I 17. S / £
Cr{2) la,
^
I j fir) dr \<>(\) i
&I y it
A. :, // (« ), !« a fe
L
I <2* -
1 ilillnr lim n2 n~+oo n
§ 2. Teoremas y formulas fundamentals del calculo integral
I'ntre los teoremas y formulas mas importantes del calculo integral figurnn: el Ifuivma fundamental del calculo integral/ la formula de Newton—Leibniz, los teoremas del viilur medio, asi como las formulas del cambio de variables y de la integration por partus (ruias dos ultimas se describen en el p. 1*8), 2.1. Integral definida como funcion del limite superior Teorema 1. Si" / G R [a, ft], la funcidn
$ :x
I /(f)df,
a < x < ft,
a
vti amtinua en el segmento [a, ft]. Teorema 2 (teorema fundamental del calculo integral). La funcidn X
< ft,
$ :x
/ fit) dt, a < x a donde f ; [a, ft] —* R, / G R [a, ft], es diferenciable en todo punto x G [a, ft] en el que la funcidn f es continua y, ademdsf ~ /(x). Teorema 3 (formula fundamental del cdlculo integral). Si / G R [a, ft]; el conjunto de puntos de discontinuidad de la funcion f a lo sumo es numerable; F es una primitiva tfdntraria de la funcidn f en el segmento [a, ft], entonces se verifica la formula f(x) dx = F(x) j* = F(b) - F(a), ifite se denomina formula de Newton—Leibniz. 2.2* Teoremas del valor medio Primer teorema del valor medio.
Si f G R [a, ft], g € R [a, ft] y g{x) ^ 0 (o bien
i}(x) ^ 0) \fx G [a, ft], entonces se verifica la formula siguiente f{x)g(x) dx = p, j g{x) dx> m ^ p ^ M :
donde rn— inf {/(#)}, M = sup {/(&)} *
(I)
Si / i (• ' f t j , Iii fttrimilii (I) udopLi
forma II
, J
f(x)g{x)dx
= f{() j
a
g{x)dx,
a
Si / t C [a, fe] y g(x) = 1, tenemos f
f(x)dx f(0(b~a), =
a, 6],
Segun do teorema del valor medio. Si 1) tofuncidn f : [a, 6] —> K »o escreciente en el segmento [a, ft], f(x) > 0 V.x 6 [a, ft" y y £ II [a, b], entonces 1 £ £ fa, 6] to/ que
(4
I f(x)g(x) dx = /(a) j g(x) dx;
2) / nodecrece en f/li ^Ift'
ft],
/(&} ^ 0 V i
I
bu
b f(x)<]{x) dx - f(b) J
g(x) dx;
(5)
3) / es monotomi cn [a, ft] y g 6 R [a, b], entonces 3 ^ € frt, 6] tat que O b
£
f(x)g(x)
dx~f(a)
j g(x)dx
b t- f(b)
j
g(x)dx.
(6)
Las formulas (4)-(6) se conocen por el nombre de formulas de Bonnet, Empleando la formula de Newton—Leibniz calcular las siguientes integrates de Riemann: ivr 2 0 * *= f
* ,
dX
J l + ecosx
,0
•4 Solucion. Con forme aj ej. 130 del cap. 1 la funci6n F :
im
,(2* H- 1), es una primitiva de la funcion x de Newton—Leibniz obtenemos
4- 2kn,
=a; 7r
fcEZ,
, z C- R , 0 < t < 1. Con ta ayuda de la formula
I = F{4ar)~ F(0)= -M=. V1 - £-
•
!i>V looiVLthih y Irirmulft* hmdriitit'iiiafrri j-
dx a2 son2 x -1 b?a ttr '
21. / /
o
•
•
HI
I I I H
I HH
•
•
•
•
I
•^
•
•
•••
I
•
felnlmioii. Transformando el ink'gt'iindo en In lorma L a2 sen2 a; + b2 cos2 x
( a 2 -f 62)(1 4- £ cos 2x)'
liinde t — ^rr^/ y efectuando en la integral el cambio 2a? = tf analogamente al ejemplo Mulcrior obtenemos %
I
dt
I av} - bz
0 1
a
i
+ e cos t ••• •i• 11 i1
2 &\ v T ?
hi
i
ii
i -k L t 1 •+ \e\ S 2
arctg
2tt vT=
2tt
0
7T 2|ab|*
I m|>leando la formula de N ewto n—Le ibni z cal cular las in tegra les de la s fun cio ncs iliscontinuas que citamos a continuation mediante la construction de sus primitivas i*n todo el intervalo de integracion:
f
J
E
fix) (*) dx, , f{x), 1 + f2(x)
(x + iyix 1) ,f? = I-1, 3]\{ {0}U {2}} . x3(x - 2)
4 Solution. La funcion / no esta definida en los puntos x = 0 y x | 1,3]. El integrando puede escribirse en la forma
f{*) 1 + f2(x)
c
(arctg f(x))\
2 del segmento
x£E,
londe la funcion x — i > arctgf{x), x E Ef es una primitiva de la funcion jzji, acotada en conjunto E. Segun la definicion 3 del p. 1.5 tenemos
f J
fix) dx 1 + /2W
E
donde ^(aj)
F(x) dx
y
-i
si x € E,
0 si x = 0 y x — 2. AsC pues, para la primitiva $ de la funcion F enel segmento arctg f(x) si - 1 ^ x < 0, arctg f{x) si 0 < x < 2,
y
lim arctg f(x)
si x -- 0,
lim arctgf(x) + C\
si x = 0,
lim arctgf(x) + Ci
si x = 2,
x—>+Q x
arctg f(x) si 2 < x ^ 3t
1,3] obtenemos
arctgf(x) + C2 xlim ->2+0
si x — 2.
mi
CapHdto',!. Integral tU'llniilii
Por consiguiente, oblctlCliKW arctg C /(« ) si - I ^ x < 0. im < arctg f(x) - x si Q^x<2, [ arctgJ{x) - 2?r si 2 ^ x ^ 3, donde $(0) = §, *(2)
I = $(3) -$(-!)
23
j
•
tia: sen1 x 4-• cos 4 x
A Sol uci on. Tomando cn consideration la igualdad sen 4 x + cos'1 x ~ |(14- £ cos 4a;), dond £ — realizando en la integral el cambio 4a: — I y empleando las soluciones de 1 ejemplos 20 y 21 obtenemos 8 IT
,
=£ I irf^i=e (vf^F
arct8 1* I)+ (Vrrf _
Par], s*
8?rg vT
7
?
_ = 2V2
TT.
31,5 24-
f i 0,5
Solucion. La funcion / : a: 1—> [a-], 0 $ a; < +00, presents discontinuidades de primera
esperie en Ios puntos x = n, n € N. Construyamos su primitiva. Si ]n 1, tenemos f{x) = n - 1; si x 6 n I- 1[, entonces /(a;) - n De este modo, la funcion F„--\ : x >-» (n - l)a; | C'n-\, Cn.% G K, es una primitiva de restriction de la funcidn f al intervalo ]n — 1, n[, y la funcion F„ : x i-» nx i- C„, C„ c B , es una primitiva de la restriction de f al intervalo ]n, n -1 If. A partir de la condicion de continuidad de la primitiva en los puntos a: =s n obtenemos F, t -i{n — 0) = F n {n 1- 0), es decir, (n - l)n + C n _! - n1 hC„, de donde Cn — C,,^ - n, n E N. Suponiendo n = 1.2, ..,, obtenemos C\ —- Co - 1, C'2 = Ci — 2 — Ca — 3, C?, — C'2 — 3 = Co C\ — C3-4 — C 0 - 10, ...,C n = Co-^y 1^, Cu - const. Dado que n = [as], x G [rc,n +1[, resulta que F(x) = x[x] - Mfeltil fc»s la primitiva de la funcion /. De acuerdo con la formula de Newton—Leibniz tenemos T = f (31,5) - F(0,5) = 31,5 • 31 - 31 • 16 = 480,5.
25.
I
J sgn (sen a;) da:, ••llT
•
(i',V JiMnvvutin y frimHiifi* lumhmriilalcH
x < R, en la forma
4 Nthhii i^ n. KcpivstMili'timii Li lu iu ln n / : r i • mj>;
0 t Mdo que
f(x) = / [ ^ J ^ P
aril x
ft
x ( {A;;i; k ( X}.
^t funci6n continua
una primitiva de la funcion acotada continua
F : x t-> arccos {cos x), x
R,
Por consiguientc.
I = F{20) - i^- llv r) - arccos 1 - arccos ( - 1 ) «!••••
Ml
7f\
•
L
4n
2h.
f (-i)w
I
dx.
21
4 Solutio n, Dado que ( - 1 ) ^ = sgn (son irx), x dilution del ejemplo anterior, tenemos
I
40 1 arccos (cos nx) 7T 21
1
entonces tomando en consideration In
(arccos 1 — arccos (—1)) = — 1* •
TT
27* / o
4 Solution. La funcion x ^ [e ], 0 ^ x < H-oo,es discontinua en los puntos xn ^ In n, u 2,3,... . Sea x G ]xn, entonces [eit1 dx nx — -f
GI,
C
n
= const.
I'.ira ar € ]#n+i> ^4-21 tenemos f \e x] dx ^ (n + l)ac -f C n+1,
C n + i ^ const.
Icniendo en cuenta la condition de continuidad de la primitiva de la funcionx 0 < x < +oo, en los puntos obtenemos la relation existence entre Ctt y Crt+ 1: C n + i = C n - ln(n + 1), Suponiendo sucesivamente n =
I)e este modo, JF1 : x^
x
[ex],
n C N.
2 , . . , en la igualdad obtenida hallamos
Cn = C - Inn!, - ln^e®]!), 0 ^
C = const. x < +oo, es la primitiva de la funcion
+00.
Dado que [e2] = 7, tenemos I = F{2) - F{0) - ([e1]® - lnfle 1]!)) 28.
[ea;],
1=1 sgn (sen(ln x)) dx, E = JO, 1]. E
= 14 - In 7L
•
L'apiLuIn 2. Integral doltiiida
So lu ti on . Lit funcion F : jit, I) —• R, donde F(x)
_ ^ sgn (sen{ln »)) 0
si x £ JO, 1], si x = 0,
est a acotada en el segmento [0, 1] y el conjunto X = {^t — e~k*', k € M} de sus puntoi de discontinuidad es numerable. Por consiguiente, F £ 11 [0,1] y segun la definicion 3 de p. 1.5 tenemos
i dx = J
J sgn (sen(ln x'))
F(x)dx.
Dcsignemos F(x) = J .sgn (senQn x)) dx, x > 0. Si e"<* +ilsr < x < e. F(x) = (-lf^m+Ct, donde t=[-^],C t = const. A su vez, si e~lkn)T
Ci + (-1)*"
- eT2* + . -. +
F(x) m <- l) Hf H» -
2(e~
r
lim Ck - C 0 -2 * , ni ) *-> 100 1+ e * De este modo,
1"
-
e
tenemos 'ik+1)wi
2e- (fc+1 >"1
V^ ) , C
- e~2lt + ... + (
k11,
l
j
0
r
- const. Por consiguiente, !
C0, siendo F(0)
+
=
= ~ 1 + C„.
r=F{\)- f{0)
= -1 + 2
1f e
1
-
e
1
=th|.
2
•
1>
29.
1I- = J\x] j jar]Sisen ^
dx.
Solution. Consideraremos F(x) — J[x] sen ~ dx, x ^ 0. Si a; f- ]n — 1, n[, tenemos . n M F(x) - ~(n - cos ^ __ j+. rC„., 1, C„ .i — - const. Si x Q ]n, n + 1[, entonces F(x) = -n^ cos ~ + Cn, C„ — const A partir de la condicion F(n - 0) = F(n f 0) obtenemos _ 6 ot . „ C„ « - cos - — + C t l - i , 7T f) de donde
^ ^ 6, / IT 2% C„ - C 0 + - I cos — + cos " I jr V ft 0
, 717T\ + cos — . 6 f
Por consiguiente, F(x) = --[*] IT
cos ™ + - (cos D K V 1-^(6-0)^0)
~ + cos 2~ + • • • + cos[2]Q O O O/ = ?ir.
*
+ Co,
fi2. li'llI'l'tllllN V tlHlllllltl*t linilhlllU'lllilll'H II ' U "
ML
j x sgn (cos x) dx.
/
J!
A!, Ml integrando es disconlinuo en
4 Holiicion. Examinemos /''(x) j x sj»n (cos;r) dx, x ( \m puntos xfc — | + kir, k C Z, por eso
F(x) - ( -1 )
2
-b Cjt si
a; 6 + fe7Tf ^ + (fc + l)7T
A partir de la condicionF(x& — 0) = F(xk + 0) hallamos Q
7T
C*
(I +.') +
I i.ulo que k
L x 7T
1
+ (-l)
i_1
( | + <* ~ I ) * ) ' + C
tenemos
9
X • 11 • I
C 0 = const
0l
(I") + "<+ ("I) m
I •
2
1 I 7T 2
+
S+f 7T
1
+ c I)
rM
IW consiguiente,
/
F
11
™7T
2
7T 4
F I—
=•4 ("-) + ) *(i*)!- (b) +
9 7T 1 2
4/
93 2 32*"
•• i "i •—i-
Nota. A veces, el calculo del limite de algunas suinas se puede llevar a cabo mediante la li.insformacion de las mismas ensumas integrates de funciones mtegrables. Al pasar al limite pam i i •> oo obtenemos una integral que sc calcula con la ayxtda de la formula de Newton—Leibniz
( aicular:
31.
lim Sn , Sn =
H T-r H n +1 ti + 2 4 Solucion, Al escribir Sn en la forma
H 2rc
S £=:! L ^ fi vcmos que esta expresion es la suma integral inferior de la funcionx i—• i]ue corresponde a la particion II— { Xi = & — xi, entonces l
0 ^ x ^ 1,
i — 07 n } del segmento [0, 1] y a ia eleccion
lim Sn - [ r5^ = 1^(1 + ®)|= 1*2. n—i-oo y 1+ X fO 0
•
I a pill I It)')., Inh'^r.il drflllilikf
K'l 32.
lim SH, Su ii-oci
' ( J i n \V
I -[- + Jl-\ 2 --l ••••!J l I " n V « V » V / » iii S n" = » '£' U y 1 +11 j =JC Aar*, donde /( i) 4 Sol uti on. Dado que L
= vT+S, 0
^ a: < t
1= 1
6 =
=
—
n, Aar
;=
tenemos i
lim 5 It = f V l + ^d x^ |( l + a ) ' n—oo J o o J
33.
=|(2Vf~l)i
•
» 1 lim Snt Sn is sen - V ] — — -r-. n 2 + cos ~ n
Debi doa quesen - = J v ( i ) J y lim O [3 Solucion. "
"
— ^
-J
\n
j
)
/ it=i 2* rI cos — f!
= 0, entonc
7T " 1 — Km — j-. n-tr» n ' 2 4- cos — fc-1
Km u-ico Dado que | p
" ' n-*oo
/( &)
donde /<»)
=
0 € : a ; < IT, &
«
A; = 1, w, Aa^ — j , resulta
*
* 1 f
rfa: + cos a;
(v. ej. 20).
34.
2
•
1 — 0,5 cos a:
t ^Jr
iK + TT
' V3
2TT
•
i- u
)
lim (=1
Solution. Represenfemos
i Sn en la forma
c _ i1 vV' - 2= — " - n Z-r -ii I ~ i-1 in donde = | f ) 2», S^ = ~£ i=l i=i deduce que lim S® = 0, luego
»
_ cP) " 1
A partir de la estimation 0
i lim Sn = lim S™ = f 2X dx ^ ~ 1= J^ Tt—'oo t*—* oo j in 2 o ln2'
< fl? < ^ = j sc
*
[i'l. H'orcmiiH V Irtmttiliia fiiniltinH-nl.tli'M lU'Holver las indetermitwifineH del ll|Mi tiHHvma 2 del p. 1.3:
H.r>
y ^ nlllirmuln la ivgla dc ril6pit.il y el
X
f cos t2 dt i'•IK i*
lim %
0
HO
X
^ Huliu mn, Aplicando la primera regla de l/H6pital y el teorema 2 del p. 1.3/obtenemos X
J cos t2 dt lim
0
d r lim — dx
X
cos t dt
L
lim cost
2
0
lim
x
J0 e2'* dt
4 Nolucion. Aplicando dos veces la segunda regla de L'Hopital hallamos X
im
o
el dt
o
n
e2tl
A (/ dx
dt
o e2x
lim
lim
X
/
2 2e* J e dt
dx
at)
x
x
t
2
x
2 J ef dt o lim 3T-++00
2 lim 3T-++00
iJ 0 *
*
2 lim ae-»+oo 2xex
dx
- 2 lim
1—
x^+oo 2x
0,
•
1
37.
Sea / € C [Q, +oo[ y f(x) —> A para x
+oo. Hallar lim / /(rctf) dx. 0
4 Solucion. A1 realizar en la integral el cambio nx —t obtenemos l
n 1 lim / /(Twc)cte = lim — I f(t)dt = lim y? n, n—>oo k—»oo tl J n^oo J 0 0 ar donde son los valores de la funcion
lim J1—O 'C
lim a;—'-hoc X
f(t) dt o
Si A - 0, resulta que Ve > 0 3 A > 0 ; Vz > A |/(®)|< §, Dado que ia funcion / rata acotada, entonces 3M > 0 : |/(®)|^ M Vat G [0, +oo[.
{.'apfUtlo '.>. Integral tlcllniil.i Sea :r > A. "lenonms j;
*
a
\ J m
=~ f /t
dt
o
d t
/ ( o
d t
-
A partir de las estimationes A dt
obtenemos la estimation
g(a? - A) 2x
v
e 2
X
;|Jmdt
si x > -,vff—. Por consiguiente, iim fpn — A — 0. n—oo Para A£0,se tiene Ve > 0 3 A, > 0 : Var > Aj •=> .4 - e < f{x) < A x > Ai tenemos x Ai s Ai
J fit) dt-^j f(t) dt + J f(t) dt> j f{t) dt y
o
a,
+ (A -
Para
e)(x - Ai).
o
S
Por eso lim I f(t) I—+0O J
dt =
oo.
0
Aplicando la segunda regla dc I/H&pital obtenemos X
X
lim i f f(t)dt= lim
I—+(« X J 0 Por consiguiente, lim
/
[ f(i) dt = lim /(x)= A.
i'-i+oodx J 0
*-t+oo
• Q
X
1
C dt
4 Solu cion. Aplicando la segunda regia de L'Hopital demostraremos que ei limite 2nje' dt lim •• V —j Tenemos 2xfe/dt
lim —— , x •t ~+to e
=
£(2
=
lim I->-K»
xj/'iU)
2 f el~ dt -I 2xe* 0 2xeJ
-J*—, - — = lim -E1 »-»+« dx
hit*
/ h ' di \ (teJ* w \ , 0 Km r - + 1 = Urn -~r°— = lim ( „ _ „, I 1] = 1. r- +1 1') x-
§2. leoivniitfi y ItfinuiLiN hHMliMiiriil.ilt'H
H7
( iilniLir las integrales siguienlrr* iCft)l*4imlo un r»inihin d< fritinula de Newton—L eibniz: 1*1.
/
••
•
•
dx
••
{a: -f l)vx
0
2
I1
| Nnl mio n. Tom and o lyt —77 = £ obt ene mos x
dt
- I - 1, dx —
r
t *x
2
+ l — ^£ —[ + 2, entonces
1 V2
+ l
^ Jt L v In
)+
V2
iable y empleando la
+
III I • 1 11 I |—
f
1 , 9 + 4\/2 In ==—
4
V2
4 7
7
+x
i -i
4 Solucion. En la integral indefinida / l +^x dx, x G E , realicemos el cambio de variable do t , x ^ 0. Obtenemos •u-uerdo con la formulax X
x' r d-X H- x'
x2-l
dt
+ C7
X G E\{0}.
Mil el ej.20 del cap. 1 se demostro que la funcion k arct g s/l
F : xf->
0
londe e(x) — sgn x, es la primitiva de la funcionx ^ Por consiguiente, I = e (l) - £ { - l ) =
l+x
1 X
H
si x — 0, , x ER.
dx.
0,5 1
4 Solucion. Realicemos en la integral el cambio de variable x + - = t. Vemos que a cada 2 < t ^ 2,5 le corresponden dos valores de x, por eso, representemos la integral extend id n al segmento [0,5; 2] como suma de dos integrales extendidas a los segmentos [0,5; 11 y [1,2]:/ = J] +12/ siendo 1 1 dx, I2 e I1 l+x l+x dx. X 0,5 l X
Puesto que en las integrales I\ e I2 se tiene, respectivamente, x = - ^f 4, x frrmr s •
t±/ir:'1 1
2,5 2,5 I = j e
2
23 (
+ v ^ - 4) dt = J
= =
"
4
25
2
= e-\/t2 - 4j2'5 - J
elVt2-4(U
+j cV^-4
1_1 42.
2,'i
e< dVt2 - 4 + J e'y/t^idt
Realizar el cambi o de variable en
^
_ <« = l.Se 2^.
1
la integral 1
= 1
sen ar =
7
1
/(ar) cos 2 rfa; segu n la formula
!
j
0
Solucion. Representemos la integral / en forma de una suma de integrates en los cuatro1 segmentos ffc", (k M)|], k - 0, 3, cn cad a uno de los amies la funcion x i-» sen x, 0 < x ^ 27r, cs monotona. En este caso, en los segmentos [—1, 0]y [0, 1] quedan definidas las funciones invcrsas de las restrict'iones de la funcion seno a los cualro segmentos mencionados. Si ar € [0, tenemos ar — arcsen i, O^i^l. Sixg [|,sr], entonces ar — 7r ~ arcsen t y i decrece de 1 a 0. Si ar e [TT, ffl"] , se tiene x = ir — arcsen t y t decrcce de 0 a - 1 . Si x £ [|tt, 2;r ], se tiene x = 2x -t- arcsen t, - 1 ^ t < 0. De este modo, realizando el cambio de variable obtenemos 1
0
1 -- J /(arcsent)dt+j
(j
-I
•.
0
figc —arcsen t)dt+J /(* —arcsen t) dti J /(2iM arcsen () dt -
1
0
u
1 = j (/(2 TT + arcscn t) - f{v - arcsen t}) dt H J (/{arcsen t) - /(IT - arcsen
dt.
•
Integrando por partes deducir las formulas de recurrencia necesarias para el calculo de las integrales siguientes:
43.
I = J
$en
nxdx.
0 •« Soluc ion . Integraremos por partes tomando sen x dx = dv(x), sen"
1„ — c os X sen"
1
arj + {n — 1) J sen"
0
2
x — u(x). Tenemos
ar cos2 a: da: = >
~ {« - ! ) ( / se n"
-2
x dx - j
sen" x dssj
= (f t - !)(/„ _.;
- /„).
H9
§7. Icoicimm y luniiii ltii htmlmiiriitiilrs A purs, homos obten ido hi tvlacion de in uni'iic iii l
(2k J
l)l! /i
"
ti
Mi n
/n
Con su ayu da iinllanios
7k
f
/H
•"
I
sin
(2k I I)!!
2k |
1
7F
n
cos"
X
dx
0 IT
TV
x
Kijlucion. Haciendo el cambio |
£ obtenemos / cos"xdx ~ f sen"x dx. o o
•
<15.
tg2nx dx
fn o
| Solucion, Integrando la identidad tg a; dx = tg 2 " x d(tg x) - tg
2x dx>
tle'idc 0 hasta ~ obtenemos la formula de recurrencia £T
tg 2 "" 1 X
In it partir de la cual hallamos
n i
n
i=I
1
1
2n — 1 0
Ln-
2n-l n
(-D
;
In - (2k - 1)
+ <- !)" J 0 = (-l)"(/
0
(-D
k-n
2 (n-k) + l
tr
londc 7 = f dx — 0 Introduciendo un nuevo indice de sumacion n — k = m obtenemos finalmente 1 tn M) £
4
(-1)"
I mO 2m+ 1
7T
0
sen x — cos x sen x + cos x
dx.
4 Solucion. Realizando en la integral el cambio de variable j ~ x — t obtenemos 7T TV
tg 2 " +1 f
In=~ n
dt
tg 2"* T + In-1 = 2n o
" -
1
•
1
2n + 1n-1
t'apflulo').. Integral dellnidn limpleando fmcesivamruli' it — ) voces ta formula do ivcurreneia ohtenida tenemos | VIM-I,
donde Jo = / tg tdt /
t 4=lnVl.
= In cos
•
i
47.
7( 2^, 211 ) = J sen2mxcosz"
xdx.
o 4
Solucio n. Haciendo el cambio cos x dx = dv(x), sen 2 "' a; cos2"' 1 x = u(x) y aplicando formula de integration por partes obtenemos la relation de recurrencia T(2m, 2 n) =
7n ~ ^
2m + 2 , 2 n ~ 2).
Apliquemos csta formula n - 1 veces. Entonces, tomando en consideration la solucion ej. 43 obtendremos (2n - l)(2m - 3) . . . 3 • 1 I(2m + 2n, 0) = (2m +1)(2m + 3) .. . (2m + 2 n - 1) (In - 1)1! (2m + 2» - 1)1J k (2n - l)!!(2m - 1)!! jr = ((2m -f l)(2m + 3) .. . (2m + 2n - l))(2m 2n)
I(2m, 2n) =
x(2» )!(2m )! _ ~ 2 m * ,l+l (m + n)!2" i+ n m!»! ~
48.
7r(2»)i(2m)i + n) f
/„ = J a;m(ln a;)" dx, E = ]0,1],
^ Sol ut ion . De acuerdo con la definicion 3 del p. 1.5 tenemos i /„ =j
F(x) dx, o
A
x 6 B, Dado que lim F(x) = 0, la kmc ion F es continu 0, 0. X ~ X-+OB por la derecba en el piuito x ~ 0, por tanto, F € K [0, Ij. Integrando por partes obtenem
donde F(x) ~
xmQnxT,
0
m +1 /
f®M(lnxrldx
=
rn. + 1
Razonando analogamente, para las integrales /„_», J t l -jt,.. - , I\ hallamos
In =
(-!)":
at J (m +1)'» o>
t|2. i coir mas y fornuiliirt luiutiimrnLilrFi
91
i
thiMilr /() — f xm dx M ..I IMiuilnuinte obtenemos u
n\
Niriti. Notese que los ejemplos 49-54 son, en esencia, teoremas que pueden emplearse en el calculo Hi' riiTias integrates y en el analisis de algunas cuestiones de la teoria. 49.
Demostrar que para una funcion continua / ; [ — — > K se tiene
i
i
1) I f(x) dx = 2 I f(x) dx, si la funcion / es par; f o
i
I f(x) dx — 0, si la funcidn / es impan
-t | Nolucion. En virtud de la propiedad de aditividad de la integral, se verifica la igualdad j
i
o
dx — I f(x) dx + / f(x) dx. I
-I
o
Huslituyendo en la primera integralx — —t tenemos
i
i f{x) dx=
-i
(f(x) + f(-x))
dx.
o
!ii / es una funcion par, entonces f{x) + f(-x) — 2 f { x ) , 0 ^ x ^ I, y se obtiene 1). Si / es una funcion impar, entoncesf{x) + /(-ar) = 0, 0 ^ x ^ lr yse obtiene 2). • III •
• •
•
I I•
5 0 . Demostrar que: 1) dentro de todas las primitivas de una funcion par se encuentra una primitiva impar, 2) cualquier primitiva de una funcion impar es funcion par.
4 Solucion. 1) Sea / € R[—l,l] una funcion par. La funcion £
F:x^
f(t)dt + Ci
C ~ const,
o rs una primitiva de la funcion / en el segmento [ - J , J] (el conjunto de puntos de I iscontinuidad de la funcion / a lo sumo es numerable). Consideraremos la integral f f(t) dt y realicemos en la misma el cambio —t — z. o
^
C'ii|iilulo'?. hiti'^iiil ilHiimhi x
6%-x) - J f{z) dz I C. j
'.)
(F(—x) = - F(x)) <=> (C — 0),
Por consiguiente,
*
x
es decir, solo la funcion i)
—t ^ x < I, es impar. 2) Supongamos ahora que / es una funcidn impar en el segmento /
I, i]
x
/(f) dt +C,
J /(») dx - J
const,
C =
o am in em os una primitiva arbilraria de !a funcion / X
Fj(*)
= fmdt
+ Cj
o pertencciente al conjunto
< J /(() dt 4- C >. Tenemos o '
-X
X
X
Fj(-x) - I f(t) dt + Cj = - J f(-z) dz + Cj j f[z) dz + Cj 0
0
Por consiguiente, la funcion Fj es par,
•
5 1 . Demostrar que si / : SE —>*IS es una funcidn continua periodica de periodo entonces O+T T j
f(x) dx — f f(x)
dx,
donde a es un numero real arbitrario. •4
Sol uc ion . Debido a la propiedad do aditividad dt: la integral, tenemos u+7 j
T
f(x)dx
u-i-T
J= f(x)dx+
J
f(x)dx. T
A partir de la condition de periodicidad de la funcion / se deduce que a+T
J
a+T
f(x) dx =
j
f(x - D dx.
T
Al realizar el cambio x — T - t, obtenemos o+r J
(x)
= Fj
0
f(x - T) dx =J
fit) dt.
T|
fjl'. 'trmrmas y formulas liiiitLliiiriihilrM ftu i onsiguiente,
T
(i
v
f(x)dx
- - jf
a
r
f ( xf(*)dz ) dx
h I f(x)
0
/
f(x)dx.
0
-l-I-fTT——PT^^HBWW.
H2.
dx
a •
I I P— I •-
III
II I
II
— I—• •! • ••• I—n
Demostrar que para n impar las funciones X
X
F : x ~ f * s r t « , cos" tdt 0 0 hi ii i periodicas de periodo 2irf y para n par cada una de las mismas es una suma de una In noon lineal y una funcion periodica. I Hnliidon, Llevaremos a cabo la demostracion para la funcion F. Sea n — 2m -f- 1, m £ N, i'i ih >i ices F(x + 2 ) =
/ sen
t dt ^ F{x) + / sen 2™*1
Vm analogfa con la solucion de los ejemplos 51 y 49 tenemos 2?r it
f
sen 2 m + Hdt= / sen 2" 1'1 tdt= x
sen2ra+1 tdt = 0.
i 'unsiguientemente,F(x + 2tt) = F{x)f es decir, F es una funcion periodica de periodo 2?r. Si n — 2m, m £ N, tenemos 2w +2*> -
w + /
• o
M.uto que la funcionx sen x, x 6.R, es de periodo , y su restriction al segmento ", -•] es una funcion par, resulta IT
sen2m a? dx ~ 2 / sen o
Tf
J
ft
2
x dx — 2 I sen
x dar = 4 I sen x dx.
o
o
I \ > r consiguiente, _
TT
m
I sen
2mxdx
2m
= 4 j
C = o
a sen
)!!
2(2^
a? da? =
*
(vease la resolution del ej.43). De este modo, + 2 ) — F(x) = Examinemos la funcion if? : a? F(x) x, i El . Dado que i>{x + 2?r) ~ F(x + 2 ) - ^-(as + 2 ) = + 2x) - Cm - ^-a? = i^z) = ^(a?), entonces V es una funcion de periodo 2it, luego F{x)
=
+ amx,
x e R ,
am -
C
^ ,
vacuum .. nc
ur mua
ts; iliKir, la fuiii'iiin l>' piuxk* ivpnak^nLtrM! imiw sutiui de la funcion JT 2 -periodica ip y. funcion lineal (homoginwi) x H-»
Demostrar quo la funcion X F :x>-+ j
f(t)dt,
a? G R,
Sg donde / es una funcion continua periodica de periodo T, es, en caso general, una su' de una funcion lineal y una funcidn periodica dc periodo T. Sol uri dn. Segun el teorema 2 del p. 2.1, la funcidn F es derivable Va; G ffi yF'(x) = /( Por ser / una funcidn periodica, tenemos F'(t + T) — f(t). Integrando en el segme [a;0, x] hallamos F(x + T) - F(x 0 -I T) - F(xj. Dado que z„+r F(xa +T)= j
f{l) dt
T = j f(t) dt - C,
Zc
C = const,
0
entonces F(x + T) - F(x) - C. Si C = 0, tenemos F(x | 2') =F(x) periodica de periodo T. Si C ^ (J, consideremos la funcidn <1?: x »-> F(x) -
y F es
una funci
x £ \R.
Por sec i ' una funcion periodica de periodo T , resulta que C F(x) = ^(ar) + ax,
x C; !R,
a = —,
es una suma de una funcion periodica y una lineal (homogenea). 54.
Demostrar que si / £ C[0,1], entonces: i T IT
1) J o
•
*
/(sen -j -,) dx = j /{cos x) dx;
*
s"
2) J
a;/(sen x) dx — ~ j
o
o
/(sen x) dx.
f)
Sol uci on. 1) Tomando ~ — x — t obtendremos I o
?
j /(sen x)dx = - J /(cos t} df = j /(cos f)
o 2) Escribamos J xf(ser\x)dx^=
J x/(sen(ir — a:)) dx
o y hagamos el cambio tt - x = f; entonces r J at/(sen x) dx = j(r-1)
Q de donde
/(sen f)
M-x
j
/(sen t)di~ J (/(sen () rff,
IroivilMN V friimulilN hllidfimrMlalrrt
%
*
ft
(i
«
i • fennr
Nfil.i, hlii los ejemplos 55-(\2 Ne i?xarnin.in distinliiM uda dc Insformulas de liuler h i con la ay
clx
^ cos x -I * son
x,
c
1J:
mm do Ins cuales puoden ser cos x - t sen
('rtl< ular (as integrates: 200jt 55-
.1 ••« / V l - cos 2a? dx. i) 200?r
I Nuhuion* Dado que / - V2 / | sen y la funcion ^ | sen E es periodica o ,1. jHTLodo T = , entonces conforme al ej.51 tenemos 3T
I = 200V2 / sen sc da; = 400a/2, 0 5T
x senL . : 1 + COS2 £
f-
W
0
« fioliicion. Dado que I = / 0 x/(s ena ;) dx, donde /(f) =
2 I 2-sen 0
2
2./
a?
l+co s 7T
zar
a partir del ej.54 obtenemos
2
It
4 nr m i
11
i
•
if 0 4 Solucion. Si a - 1, entonces I — J i ^ f S ^ T dx "Irnemos I = §. Si a ^ 1 representemos / en la forma I = ^ f
°
1
J. _ ?
cos
cos
^
St 0
1
2jc—
dx
=
/sen2
(ii - ^
f
donde
£
=
[0'
donde
_
cos
0
cos®
1 , ?
1 V fa. e 2 (l + cos ®) /
I'or consiguiente, I = p j i ^ j (ir - (1 - £
I e2
J1
e2'
_ e =
£" g <1 l + «2'
(apilulo?.. lnh'^iMl di-lnnda l<
1-
f a t'tflJC""
-
7 h
tenemos
'leniendo en cuenta que / = \ para a — 1, obtenemos I
/ I
58. ,-/.
,a| SiIl«* i>1
=
{2 + cos x)(3 + cos x)'
A So luci on . De la identidad 1 = (3 -I- cos x) — (2 4- cos x) se deduce que 2t f _ dx _
donde
2I r
_
1 -|
CO S
X
1
+
djE cos a;'
FT
- 1 g 2 = Puesto que
f)+ ^ 59.
t^])
2tt
= 10,
/ sen x
Solucio •« n. Dado que lim
Km
(~ 1) *
ti
donde f(x) =
n
~—-dx = j
siiEj?,
+ 1 »,
entonces
IT i
sen Ttx / (
2*
m D
m
si x = 0,
I s i x -Jr. Dc las formulas de Euler se deduce que SIT,kx — £ (e'* 1 - e * i r ) , k — l, n, por consiguiente,
twj 2(cos(n - l)x
{
| cos(7i - 3)x h • • ' -Tcn sx )
2(cos(n — 1}» + cos(n — 3)x H
si n es par,
-f cos x) + 1 si n es impar.
filiHiii'Miim y friinmUtt Iiiihliiiiirnljlrs •n
hm.lu que
cos (71
A']:! uh
dx
I)
'
• •
j
'ii
lenemos
•
U
cos(2rc + l)x dx, E COS
i
i
U si 'it. es pa r, 7r si m es impar
/(;r) da;
Ml.
i
/i
sen 'ii x . sen #
0, h
97
I0,ir]\{f}.
# Nnlucion. La funcion x ^ x £ E, alcanza su valor limite para x ilr Li funcion en dicho punto es igual a (— l}"(2n + 1), luego cos(2ra -f cos
y el valor
f(x) dx,
da: o
cos(2n+l}z
si x ^ Ej X ,11 (—I)"(2n + 1) si X 2' De acuerdo con las formulas de Euler tenemos
i mde /(x)
cos(2n-h l)x = ~(ei{2n+1)x ' e 71 f{x) - 2 ]T) (-l) f c 1 cos 2 (n-(k-
cos a; =
1
-[e
l))a>-f-
+ e
)>
Q^x ^t t .
a-l
I >r consiguiente, 7f
n
7T
I
cos 2 (ft - (ft - l))x dx + (-1/V fc=l
(1
0
tl
fc=I
sen 2( a n
(fc - 1))
2 ( « - (ft - 1))
tr + (-l) B *r= ( - l ) V
•
o
K
61.
/
cos nx cos11 a: da?. o
Solucion. Serviendonos de las formulas de Euler tenemos 71 1 { inx , —/nan ix 1 / . » ' nx cos x (e + e ) { e + e j 2»+i 2n+ &=o Ti
n—t
2"
2nkT (ZL^
A— ;0
i2(n—k)x
n
jfe=I
-ilkx
1 2»
72 1 y™^ C* cos 2fta;. 2"
Integrando la expresion obtenida en el segmento [0, ] y tomando en consideration las iuualdades
Capttulo 2. lnlcKi.il del! 11itl.i
•
J cos 2kx dx —0, » obtenemos J — =;.
fc
f, n,
•
7T 62.
I^l^nx^xdx.
0 a Sol uci on . Realicemos en la integral el cambio x — \ +1. Obtenemos W
SR
2
I — sen
1 co$ucos t
J
cos n™
cos" £ sen n£ (ft.
J
IT
JF
Dado que la funcidn t >-+ cos" t sen nt, - | < t ^ tendreinos T
es impar, de acuerdo con el ej.
*
J cos" £ sen ni _ IF
— 0.
Por consiguiente, W 1
7 —senn^ J cos" tcosni _w
dt.
En el ejemplo anterior se demostrd que cos" t cos nt = 7 ~ -f i E T ' 2"
cos
Tomando en consideration las igualdades
j° C
S
1 2kx dx — ~ sen 2 kx - 0 , ft = 1, n, 2 fc •i
hallamos se nn f
63.
f
,
Los po/j'womios t/e Legendre sc definen mediante la fdnnula -JL.^ 2"n!
Demostrar que ( / t
Pm(x)Pn(x)dx=
0
^I S S, I
si in ^ n, m
=n"
fil?. IV'omiutN y fiVutiilfta fiimliiitu'iiliiU's | Noluci6n. Examinomits In Inlegrnl nl^ulciili* |una m • n
f
I
a
2
I)") xm (Ilx.
IWa ealcularla, apliquemos m veces la formula de integraci6n por partes. Obtenemos i / = (-1 y*m\
- 1)«
Jl n m -1 dx ~
= (-a,^
dn-m—1
1 - if -1
0,
0 para k — 0, n — 1. -l Dado que el polinomio P n {x) se diferencia del polinomio ^O®2 — 1)" s61o en un 111< tor constante, y el polinomio es una combination lineal de potencias = 0, 11 partir de (1) se deduce que ilrbido a que
- 1)"
i P„{a:)Pm(;c) dx — 0 si m < n. l I in el caso de que m > n, se tiene, evidentemente,
J Pm(x)xn dx 0r en virtud de que
i l f Pm{x)Pn(x) dx — 0. As! pues, J Pm{x) Pn(x) dx - 0 si m ^ ft. 'i
-t Examinemos ahora la integral
i
I - f
2 i^re - 1 )
P2 (#) da;
l
f
tt , 2
1)" dx.
-^(x
-i
Para calcularla apliquemos n veces la formula de integration por partes. Obtendremos 1
In
22n(n[)
-l
d2n dx2n ((
El coeficiente del termino de mayor orden del polinomio (X
1)" es 1, por tanto,
- 1)" = (2n)l. Consiguientemente, t
T{2ny. (i!) 22
r 2
{x - 1)" dx
» 2(2ti)! f 2 (x -1)" dx 22™(»!)2 0 z
2(2w)i
f
2
0
(en virtud de que la funcidn x >-» (x — 1)", - 1 < x ^ 1, es par). Haciendo en la integral el cambio de variable arcsen x - t y tomando en consideration la solucion delej. 43 hallamos
j
"
2P»)! f 2 2 "(»0 2 J
jsi i.
2(27f.)!(2»)!!__ 2»W{2n +1)!!
_ _ 2_ 2n + 1 '
64. Sea f € H fa, i>] y la fimcion k »->• Fix), a ^ x ^ b, es tal que F (x) = f(x) er] todo punto de [«, 6], a exception de los puntos a y ft y de un numero finito de puntoi intenores c,, i — p, donde F presents discontinued a des de primera especie. Demostrar <.^ue / J
f(x) dx = F(b - 0) - F(a + 0 )- £
(P(d + 0) - F(cf - 0)) .
£=t Sol uci dn. Veamos la funcidn x
{
Fix)
F\ (x), a < x < b, donde
si ar
€ Iq, q+if.,
F(a -\0) si ar - d, i = a, Cp.(1 = ft. JFfa+i - 0 ) si x^Ci + u Sea II una partition arbitraria del segmento [o, ft| que contiene los puntos q , i — I, jt>.Aplicando en cada segmento Jx ; , Xj+j], j » - 1, la formula de incrementos finitos obtendremos n- l 7i-1 n-1 Snif) = ~ *H*jS)= V Fiitj) Axj - E / Axi> xi<$< ®J+ii=o j=0 j=o Por otra parte, la suma 5'n(/) es de la forma p i~--a
p-1
= F(b F(a + F{ct F(cp
F(a +Q)~22(F(c-t
F(a
i=i
»
que / ft- [ M L se tiene
E^fe+o)-^-®)). • i
lim
Sn(f)
= / /(a;) da* = F(a
>
65. I Jet er mina r los signos de las integrates que teoremas del valor medio:
vienen a cont inuatio n, e mple ando ios
a) IJ =
dx, IS
E
=]0, 2?r j,
b) 1 = j
x*2* dx. 2
10
Ihnt'Hlit* V tdiiiiiiIftn Inndamcnt.di'N 4 Solucion.
a) I.a funcion F : jo, ;>/i| > Ik', meiulo si wi
h r H il-
< /'/,
. .i
Ftx)
ih
. I 4'ontinua en el segmento [ 0 , p o r lo cual F € It ]<), 2n\. Es evidente que r• 2ff
0
E
De la propiedad de aditividad de las integrates resulta que 7T
JT
F(x) dx
2x
F(x) dx + J F(x) dx^=7f
0
o
J x + ir 0
(rn la integral J F(x) dx hemos hecho el cambio x - n = t). Al aplicar el primer teorema H[
el valor medio obtendremos
7t
i=mo
FK) ln{a; + vr)
+ 7T
o
7T^ln2 5
10
)
0<£
le donde se deduce que I > 0. b) Escribamos I = I\ + h , donde o
Il
j x3lx dx,
0
- 2
y realicemos el cambio
x*2x dx,
h
t en la integral 2i. Obtendremos
x
J — 2
# 3 sh(#ln2)
o I )e acuerdo con el primer teorema del valor medio, tenemos
1 = 2 sh(£ In 2) / x3dx = 8 sh({ ln2) f
0<£<2
o Por consiguiente, J > 0. 66.
•
Sea f e C [0,+oo[ y 3 lim f(x) = A, A 6 R, Hallar x—* +00 £
Hm i
/ /(i)
J
0 Examinar el caso ft = arct i, 0 < f < +oo.
Ciiptlulo Integral ileHnida
M Soluci rtn. Dado qui; 3 lim J(x) - A, entonces Vt: > 0 :.!B > 0: X—»+«JU
Analizareinos para a: > B la integral
~ J mdt = ±
J
f ii
B
Dado que / 6 R10, B], se verifica / /(f) dt = C, C = const. De acuerdo con el primer o
teorema del valor medio, tenemos i
b ^^x.
ijj(t)di=m(i-f), a
X Estimemos a(s) — ~ f f(t} dt — A\ para x > B. Tenemos D
1
a w = I I f
I< M
M
+ (/ ff )
X
_
Z
M
S
+
*
x. x > 0 !o suficientemente debido a que B < ( ^ Como const, entonces para grande se cumple la desigualdad < y, por tanto, tambien la desigualdad «{ar) < 5, a partir de ia cual se deduce que
Jfa-+0O X Jf(t) dt — A. Si /(£) = arctg t, 0 < t < 4-00, entonces X
= lim — I arct ztdt b *-•+<» x J 2
Estimar el valor de las integrales: 2 Tt
67.
J
f
1 -R O P COS
.
0
< Solu ci on . Representemos I en ta forma I = I\ + /1, donde it
*
/
T =
1
dx
J
f
1 4- 0,5 cos
x'
jl 2
J
1-1 0j! ,5 cos x
Cambiando de variable cn la integral h segun la formula 2JT - x — t Uegamos a que I2 = /1. For consiguiente,
\m
IhitiHiM* y I Oi in II IdM ftimLtmi'tUijIett
7lx
/
dx
4 o
L I 2 vtitP : •
hi funcion / : ar
J0
dt
0 ^ a ^ ir, en el segmento [0, tt ] satisface todas las
1 +2.cos;
t ondiciones del teorema de Legendre de incrementos finitos, en virtud de lb cual tenemos
I = 4(/(7r)-/(0))=4?r/'(£) 1)<,d0
/
1 iue 3< S i ^ n |ir < Y - Designando 0
1 + 2cos 2 I '
0 < £ < 3T
estimacion y < I < 4?r, o bien
1?r T <
( I - f ) : f obtenemos
y
+
M < 1-
100
68. I
Z + 100
o
da?
, 0 ^ x < 100, es monotana, y la funcirtn 4 Solucion. Dado que la funcion x ar+100 i—>- xe 0 ^ x ^ 100, es continua, podemos aplicar a J el segundo teorema del valor nedio (formula (6) del p.22). Obtenemos
i I
W
100
dx + 0,005 j
j o
dx = 0,01 (l
e -t +0,005 (e i* - e -too ), 0 < £ <100 .
£
Como £ = 100 6, 0 < 8 < 1, la integral I adopta la forma
e
donde 0i
-1000
(e
, 0 < » l < 1. • i • • •i •
200jr sen a?
x
dx.
M Sol uci on. La funcion x es monotona, yJ la funcion x sen x, x 7r, continua; por eso, aplicamos la formula del p. Obtenemos IE
-A-
i f sen x dx + ; 1
£
Por consiguiente, 0 < I <
. Designemos 9 — 1 : — , luego I 100ir !!• I •••
senior 7
no
1 - cos £ , 1007T < £ < 200rr, 2007T
sen x dx
2007T
IOOTTJ
200*
2
dx.
• • • | t
P1
0 , O<0<1
I b • I—I- I • !••
•
!()'!
C'tipilillo 'I. Integral di'tinida
•4 Solucit in. Cani bundo de variabl e sogun In formula A J: '
/ obtendremos
2(W!« 2V*
J
y/t
Hadendo uso de la formula (6) del p. 2.2 hallamos
7^
Io 2^ (rah /sen'* + /*"**)= TSSTWe
i
jj 0 < / < Evidentemente,
por eso, I
—
71.
M Sol uci on. En el segmento la, 6], la funcidn x x ' ' cosss, a ^ ar ^
0 < 0 < 1.
•
J*., a ^ x < b, es decrccientey la funcion'
es continua. Por tanto, segun la formula (4) de! p. 2.2 tenemos £ T
I —
fI •Jo. J
I
,
sen £ dx =
- sen a —,
v ia
< § < b.
De la estimation | sen £ — sen a| < 2 se deduce que
i/o
\/a
Al designar 0 = 1 : J j obtenemos \/a 2
7 2 . Demostrar que lim I sen" a: dx = 0. n -oo ./ u
Solu cio n. Fnra la demostracion podriamos emplear e l resnltado de la solution del ej.43. Sin embargo, hagamos uso del primer teorema del valor medio. Representemos ln
J^
j sen" re dx en la forma b *
E
J
3
sen"
-
+
, donde
AR
2
o f-f 0 < s < x es un numero arbitrario fijado de antemano.
sen"
\[)l->
fj j ihtivitMN y Iriimuhin fiiiMlttmnilalcH I'ara todo u (. N rn Viilida lit rut lmmion
itt
t:
dx
2
i "" 2
N
hi* loque sen" a: < sen*
1
F
ar, 0 < x < | - f, tenemos
TT
£
2
2
sen" x dx.
donde o
f11 En virtud de que i j r > 0, la sucesion decreciente (/„ ) esta inferiormente acotada y 3 lim I® = C, n »oc
C > 0.
I'or consiguiente, r j - C + ot nj
i iimde
Ln1
y son sucesiones infinitesimas. De acuerdo con el primer teorema del valor medio tenemos In ^= sen£ „I*2 i,
de donde obtenemos C = i-scnt <•' - const, resulta que C —0. •
0<
< ^
— —,
' es decir, C es una sucesion infinitesiina. Como
n±p
73.
Demostrar la
ieualdad lim / J n
sena? • da; = 0, j? > 0 a;
Soluc ion. La funcion sen x, + es decreciente, y la funcion x ^ a: ^ n -lp, continua en todo segmento [n, n + p], por lo cual, aplicando el segundo Irorema del valor medio (formula (4) del p. 2.2) obtendremos n+j? sen xj
x
w
i I f , cos n cos ^ . ^ dx — — / sen x dx — —, n < t n < n + Pu ! n
n
A partir de la estimation | I n
I.S
N
n
n
^ ~ se deduce que lim In= 0. 71—^OO
•
7 4 . Sean / : [a, fc] —> M y
N)f>
Capttilto 2. Integral dHi niita
*
Sol uei 6n . Integranimiuspor partes la in te rn 11
J f(x)
u(x) —
ft
1
T= (y[x)Jf{t)
dtj
4 * | - J(v'(x)Jf(t)
• dt ) dx
6 ^ = m J f ( x ) dx - (ipib) -
d
0 b
donde a la integral J (^
I H / f(t) dt, a ^ X ^ b, es continua y
(
J =
•
( Para una funcidn f € R [«, 6] el niimero b M{f)=b^~a
J
f(x)dx
a
se denomina valor medio de lafuncion f en el segmento [a, 6J. H Para las funci ones siguien tes hallar sus valores medios en los segmento s in dicados : 75.
p =
£ o< w^ 1 • - e cos
0 < e < 1.
M SoIuc i6 n. Con forme a la definicion de valor medio tenemos d(p M(p) = i J = A ( , 2 m 2tt J 1 - e cos y %%VvT^
arctg
(Ji±l
1-e
ZT^ii
tg
h2
r y >- \ 2ir \ J
+ J
2,1
Dada una elipse, a partir del curso de geometrfa analitica se sabe que s = p = donde a es el semieje grande de la elipse y ft, su semieje pequeno, Ai sustiluir e y p por sus valores, obtendremos M(j>) = 6. • 7 6 . f -.at*-*
se n x sen(i +
•4 Soluci on. Partiendo de la definicion de valor medio de una funcion tenemos M
J sen x sen(ai I - y>) dx = ~ o
j (cosy - cos(2x +
o — =
1 jsent te+tf)
at 2 ^.
* = cos
§2, 'lt>nmiMH y ^rmiilnw hmdrtiiienLileN
107
77. Halla r el valor medio de lit vHodd ml de un cu crp o en cafda li bre cuya vel ocidad Init ial es igual a ity.
4 Solucion. La velocidad de un cuerpo en cafda libre en un instante t se expresa mediante la formula
v{t) = v0 + gt, donde g es la aceleracion de caida libre. De acuerdo con la definicion de velocidad media tenemos T
M(v) = i1 J A(vo +, gt) dt = vo +, 9T
V(T) + vo
2
2
o pucs toq ue f
•
78. La int ensidad de una corriente alte rna varia segun la ley • . % = t0 senf2lTt ^^jT, +\^J>
donde io es la amplitudet es el tiempo, T es el periodo y tp, la fase initial. Hallar el valor medio del cuadrado de la intensidad de la corriente. 4 Solucion- Dado que i 2 = ijj sen 2 ( ¥ + ¥>) = 2 C1 " 2
a;
+ 2
cos
"
« =a
•
0 79.
Sean / £• R [a, ft] y
G R [a> 6]. Demostrar la desigualdad de Cauchy—Buniakovski
f(x)g(x)dx
]
^ I f {x)dx I g (x)dx. a
a
4 Solucion* Dado que / £ R [a, 6] y g E R [a, &], se tiene fgeR la, 6],
/
2
G R [ a, 6],
/
G it [a, &].
Designemos a = J f2(x) dx, j3 = / /(a?)
. .2
+ 5
a
^ ® ^ fc»
a
I<« I 7),
K/ra
( Vipftult?2. Integral delinida 2) Si'a, por tijemplo, 7 > 0. I in este nisn, V/ L IIS O S vtflida Is • desigunldaj
(f(x)
1
<*R.
Por consiguiente, el dtscriminante del Irinomlo cuadrado y=yt2
+ 2 fit + a
- a7 < 0. De este modo, fl2 ^ ay.
•
es no poshivo, es detir, fl
1
8 0 . Sea /
y /{«) = 0. Demostrar la desigualdad
e
ft]
M sj( 6
(3;)da-,
donde M ~ sup {|/(®)(}. I Sol ucid n. Escribiremos la desigualdad de Cauchy—Bunlakovski X
\f>
f(t)g(t)
Para g{t) —f'(l), f{l)
\
J
f2{t) dt
J
g2{l)dt.
\ a
= I, a < I < x, a < x < b, esta desigualdad adopta la forma X
X
(It)dt\,
V
I j & > \f f
\a
de donde obtenemos la desigualdad X
f fa(t) dt Vs ^a ^
|/{af)l>
(se ha tornado en consideraci6n que f{a) = 0). La desigualdad sdlo se refuerza, si en el primer miembro de esta misma se sustituye x = b; en el segundo miembro podemos tomar incluso aque! valor de x t [a, ft] para el cual la funcion continua a; 1—1 \f(x)\, 0. ^ x ^ ft, aleanza su supremo M. Por consiguiente, se verifica la desigualdad e M24.(b-a)
I f i x ) dx.
•
fU'
It)1)
li'ort'HMH y roniMihm Imn Li ni ru U lc s
Hjercirios C.ikular las integralon qui- nl^tirn it iimllnuarJriii mi'diiinLc l.t ooiisUucciun dc las primill vas de los iutcgraiuloN c*n lutlci H iii|oivaJt» tit* inlt'gr.u iony aplicando poster i or menle la formula de Newton—Leibniz:
I'»[),2
|2!i,i:
i dx. IH. / [x\x3dx. 19, / ^dx. 20. / ^ dx. 21. / [a?21
20
J [#] | sen isx \da;. 24, f max(l, x2) dx. [>,23 -10 Calcular las integrates definidas siguientes: 2v® ln5 1 M 3/ 2 ^VF^T dx 26 ' J:if 31 u H v , «x\f[z f/^T x
/
/
4
J
f
2
'"»• J
sen re
At. 31. / [cos (in i )
1
1
•»>• fek"—dx.
S3.J ^ d x .
dz, n € N.
7T
2
35./
34.J f ^ d x .
I 0 0 2 1 5f 2 da; • 38./ (f a :io. / 1-3-jc / bcos 2 dx.^'*37• 39, / sen2n x dx, n € N, 2 2 2 2 J a+ a; {a sen i+6 toH U 0 o u dx,E = [0, vr]\ { § } , «G N. x 7T
J T
•
•
i
i
Resolver las ecuaciones:
a? r ^ _
42 f
5
--
H 6"
a; 2£-f 1 13. Hallar los extre mos absoluto s de la funcion / :x »-•J ^ni
-I ^ x
44. Estudiar los extre mos de la grafic a de la funcion X
/:»•-> J(t- l)(t - If dt, o
xGR,
y hallar los puntos de inflexion. sen a; cos x 45. Demostrar la identidadJ arcsen\/i dt + f arccosVt dt — |, o o n—1 A-l _ (n-lj^-nz'^'+l 46. Demostrar que kx jfc=i i> 47. Calcular el valor medio de la funcion /: x — <2. 48, Hallar el valor media dea paradeellacuaE el valorde medio dela funcionx ^ \nx f 1^ x a la velocidad variation la funcion.
a, sera igual
Comprobar que:
1 49
0,5 ,dx
1
< T^. 50. 0,5 < f
^
n ^ 1- 51. 0,78 < f
Demostrar las igualdades:
52. 10U
=
S3.
Isx bL-fi
100
X J :
dx = 0,005 T
20
<
0,93.
. ...
.> DciiiortU'iii que: I
..
31* ]
I
B
a
o
w
i>
t 59. Determinar el signode la integral1 = f srinx dx. *
2 60. ^Ctiil de las integrates siguiente s es de mayor valor: I\ = J e _ I cosxdx
f e~* cos3 x dx? T I 61.Hallar lim /
6
h
tf 62. Hallar lim / /(x)^, donde a > 0, 6 > 0, / € 6'[0,1|.
§ 3 . Integracion de funciones vectoriales, de funciones de valores complejos y de matrices funcionales 3.1. Integral de Riemann de una funcidn vectorial Sea f : (a, ft] —+ E m una funcion vectorial de componcntes f j , j = 1, m, las cuales, a su vcz, son funciones aeotadas en el segmento [a, 6). Elijamos una particion arbitraria 11 del segmento fa, b\ y fonrtemos, cualquiera que sea la election dc los puntos & € fas, Xi1i], la sum a
n-l Snff>-=££(&)A*i i=0
que denominaremos suma integral de la funcidn vectorial f en el segmento [a, £>].Segun la definicion de operacion de adici6n en el espacio K™, la suma integral Sn(f) tiene la forma S„{f) - (Saifi), siendo Su(fj)
- ^ //($)
d(II) = max A xi . Pongamos
S
n(h),Su(fm)),
las sumas integrales de las funciones f j , j lim S n (f) (J(ri)-Q
(1) = 1, m. Sea
I, si Ve > 0 3 6 > 0 : VII V tf(II) < 6 =>
|Sii(f) - 1| < Dcfin icion . Se deno mina integral definida de una funcion vectorial f en un segmento [a, ft] al limite lim S [( (f ) = I, si este ultimo existe. Si en el segmento [a, ft] para la funcion vectorial f existe integral definida, diremos que dicha funcidn esintegrable segun Riemann en el segmento indicado. Designaremos su
Intcgracitin do liim'toiu
It ill ,
y t\v mairiccH fiinciannles
b
liilq;ra! con el s(mboh> f f{:r) rte. I VHlHnmvmoN incdlanlc f (' l£ [«,
I fI
el conjunto do tod its
Inn lunciones vectoriales f inLrgrubles on ^ Teorema- Una funcidn vectorial f: |fx,b\ R m ex integrable en un segmento [a, ft]
nl y solo si cada una de sus compimentes f j , j — 1? m, es integrable en dicho segmento, Teniendo en cuenta este teorema vemos que paraf(zR [a, ft] se tiene
b
b
f(x) dx = U a
b
b m
*»j [fm{x) dx\
dx, Jf 2{x)dXj.
a
a
a
b Observemos que el cambio de variable en la integral f(sc) se reduce al cambio a 6 ilo variable en cada una de las integrales J fj(x) dx, j = 1, m, puesto que la integraci6n a
tic la funcion vectorial f se reduce a la integracion de m funciones numericas. Si las funciones vectoriales f y g son integrables en [a> 6] junto con sus derivadas f g', entonces se verifican las formulas de integracion por partes de los productos escalar y vectorial de estas funciones
a f(x), g'(»)> dx = (f(x), g(x)} [ - J{f(x), a
s(x)) dx,
(3)
a
b j[t{x\
b g'(x)] dx = [Hz), g(s )] [ - J [f{x)9 g(*)] dx.
a
(4)
a
3.2. Integral de Riemann de una funcidn de valores complejos Definicion* Veamos una funcion / : [a, 6] C, donde f(x)= tt(a?) + Para una particion H arbitraria del segmento [ay 6] y una eleccion cualquiera de los puntos ^ 6 [Xj,Xj+\\, construyamos la suma integral Ti-l n-1 3"0
j=0
b Kntonces /f(x) dx =
lim
lim Sn(/ ) = ( to 5 n («) f lim S d(n)-*o \d{ hhd v nj-o d{
n (v)V
/
De este modo, una funcion de valores complejos / es integrable segun Riemann en un segmento [a, 6] si y solo si it € JR (a, b], € R fa, 6]. En este caso se tiene
f(x) dx = I u(x) dx + i I v(x) dx. a
a
(1)
t'apilulo'?. I nit
111-
rit'li
n iila
Si una luiicicu tie v it lores coinplejas / i-s integrality on uu segmento |«, b], entonce su coin p jqt m}ri jiigada / es lambicn integrable cn ilich osegmen to y el producto f f — \f\ GS una funcidn num erica integrable que satisface la formula u
II J f(x)f(x)dx
= J (u2{x) + v2(x)) dx.
(2;
3.3. Integral de Riemann de una matriz funcional Si x f-t A(x) —(aij{x)), a < x ^ b, es una matriz funcional de dimension n x m. cuyos elementos son funciones acotadas en el segmento [a, b], entonces dicha matriz es un elemento del espacio vectorial fffl sobre el campo !R. En dirho espacio puede ser definida' la suma integral Sn(A) = {5n(«;;}), valida para cualquier particion II. del segmento [a, ft] y cualquier eleccion de los puntos & t fx,-, SCj+i]-Sea
I
Q
supuesto este limite existente. Teorema. 3 lim A'H(J4)
A(x) dx d=f lim Sn{A), 4m- <0
3 lim S'n fej ), £ = 1, n, j = 1, m. Adenitis, se verifica
lim 5 n (jt)= ( lim 5
n (o,j))
•
Vemos que una matriz funcional A(x) es integrable en un segmento [a, 6] si y solo si en dichu segmento son integrables toclos sus elementos Ojj y, en este casor
i-m. m
jwtfw)* b
E>
d a La clase de todas las matrices funcionales A integrables en el segmento [a, b] se designa mediante A r R [a, 6]. 10 81.
Calcular I —J(Vx,
2*) dx considerandola como limite dc una suma integral.
0 < Solucion. Dado que •/x £ 11[0,10j y I1 t R [0,10], rcsulta que 6 A 10,10], Para cualquiera que sea la particion II del segmento [0,10] y la clecridn de los puntos & £ te,asi+i],se tiene I: = ( lim £jt(Vs), lim W D - L I
donde
II II D- O
Sn(2*)), J
n-1 £ n
=
1=0
n-1 V ^ A»(,
S
n(2X )
-
^ i=0
[\[>. Integracion dc hjiuiniiiH vrclorinles, complcjjN y dr matriceN fundonaIi\s
U3
Dividiondo el NCftnienio |0, !()|en n partes i^nali'M y poniendo nbtonemos
i-
i-0
ft
X{
W
ft
r-tt
(I lemos tornado en consideracion que Ax j = ™). —
siendo xn —^
Vi,
n
yn ~ n*. Dado que existe lim —Jf-n+1 - yn~ limn—*oo — (n —+j 1)? - —lim • - ns
n
m
+
I -) *^ i j
3
nitonces segun el teorema de Stoltz existe 20 3
lim Su (Vx) = 105 lim zn = -- /R).
dtflHO ^
10
2»-2«
n^ oo
v
10
0 2" 2 1—
= 2 —:—-- 1 tenemos ln2 1 0
I n virtud de que 5n(2 ) = — *— — y lim — - —^ " -i n^oo n 1 2n — 2io _ 1 lim = i dfliHO In 2 / 20 / 2 lt) 1 y 10> Por consiguiente, I = ( ^3 v -pr - }, • v ' In 2
8 2 . Calcular I
i — j f(x) dx, donde -l 1
1
2: cos a + 1' y/(I - lax + a 2)(l - 2bx + fr2)
0 < a < 7t, |a| < 1, |&| < 1 , ab > 0. I Solucion, Segun la formula (2) del p. 3.1, tenemos i i I
dx
f
dx
x 2 - lx cos aa ++ 1I 55 J /^ ( 1 - 2ax + a2)( 1 - 2fce + 6 2) 7 ' -i -l
por eso, la integracion de la funcion vectorial f en el segmento [ - 1 , 1 ] se reduce al calculo de dos integrates definidas de las funciones numericas correspondientes. Evidentemente, i x - cos a" 1 d(x- cos a) _ 1 / dx 2 2 2 sen a x — 2x cos (x — cos or) -f sen a sen a \ i l —i 1 / „ 1 —cos a . 1 + cos a \ I arctg arctg sen na \ sen a sen a J
/, =
/
CapiUtlo 2, Infi'^nil dillnida
(14 Lin In integral
I
dx
h = - i V^T- 2ax. + a2)(l - 2bx + b2)
donde A = ~ + y/(A —
5
i) —
= - +
/
2v/ai> 7 yU ^ cX B- a: )'
realicemos el cambio de variable aiguient
— x). Obtendremos
S3IVT
/
=
dt
v^Hb J IMIvT
2\/oS
In
t-1 + l
ISHvT iHiv^" =_
J _ in/ 2Vab nV
A - 1)
= — Vab
In 1 + v 3 1 - Va t
Uiego \ 2 sen «
V^
1 - Vaft/
i
83.
Calcular I =
J
(f(x), g{tf))
0
«», - (ta { . + ynv),
, *> -
.
Soluci on. Dado que %{x) = V(«), donde v(s) = (vT + F , e""^*),
f'(a:) = f -1 \ V1 + X z
acuerdo con la formula (3) del p.3.1 obtendremos i i=
J {((x),
(vTT^b^
V (x))dx^
+ +
0 1
a
- f f 1 + —• ~
J dx = V5ln(l + V 5+)
s
1
- 1 -
/
^
Sustituyendo en la ultima integral arctg i = f e integrando por partes hallamos i f I
eaKt*z
J (1 I 0
f f t el I* e' 1 —— - - . j- dx = / e cos tdt — —(cos t + senf) J0 2 ' a V? 2
Asf pucs, I = V^ In (l + y/2 ) -
•
fj I. hitcgracitin J o hnu loiwis vectoriale s, comploj a* y ilv ma hires lu mm na lc s H4.
g(,r)j dx,donde f(tt) - (:/r,
Calcular I -- /
g(rir) ^ (r;*, c
7
I \5
-1 Motucitin. Dadoq ueg(x ) = v'(a?),donde v(:z) = (e* , >,3.1 tenemos l I
fi*)M*)]\lt
^-- ),d eac uer docon la formula (4)
I.
~ f [{'(x)> v{a?)]dx = [f(l), v(l)] - [f (- l) ,v (- l) ] l
i
xe3xdx-|
I
Ii
f
I
J x2e2xdx\ + jf 3 J x2ex dx - | J e3x dx J + -i -i -i t 2
-i
+ k| i f e2xdx —2 f xex dx -
-t
I nit ulando estas integrates y tomando en consideration que 11(1), v(l)] - [f( -l) , v( -l) ] = i
sh 3 - ch 2 ) + j ( 2 c h l - | ch 3) + k(ch 2 - 2 sh 1),
nlilonemos i ( i s h 3 " l c h 3 " ch2+
1
!sh2"f^2)
+
+ j ( | s h 3 - | c h 3 + 2 c h l - 6 s h l + 12e~
3)
+ k (ch2 -
~
sh2 + 4 c h l - 6sh l ) ,
donde i , ) , k son los versores de los ejes de coordenadas correspondientes. jr 85.
•
Calcular I = J z{x) dx, donde z(x) = e^cos 2 x + i sen2 x 0
Nulurion. Al aplicar la formula (1) del p. 3.2 obtendremos TV
IT
1 = K / ^ +cos
dx+1
0 Integrando por partes llegamos a la expresion / - ~(ex (l + cos lx + i{ 1 - cos 2®))
Q+
/0
2(1 - i) j 0
~cos 2x^dx) ex sen 2x dxj
ir
eff- 1 + (1 - 1 ) /
sen 2®
0 J )ndo que
e x sen2a: da: = 1m J e{w%)* dx = W ^ T 0 0 14
mumnc
= Im
f+2^
=
~
1)j
('apilulo % Integral dHinida
] 111
I
c* - 1 4 (i - !)(,:" -
' (3 - 2i),
>
2x 8 6 ,. Demostrar que 1
1 — [ einxe J
dx - ( ° 1 Z7r si9
imz
S! m
Sol uci on. Aplicando la formula de Euler obtenemos e inx e -i m I = cH»-„t)x __co s („ . _ m )x+ Si m = n, se tiene e'^e"'™
1
* in = n.
jg ^ _
TO)j;,
= 1, por consiguiente, J —J
dx — 2%,
o Si m £ n, entonces 2ir 7.1, I
J
cos{?i -• m)x tix + i J sen(« — m)x dx — n
= sen{n -
m ) x \o
+ ® cos(w — m)x|
Calcular I — J Mx) dx, donde
87.
A(x)
«2lM
«22(«) = xl\f]
+x2,
aziix) =
I- l}(a;2 + 2) ' cos a; V2 4- cos 2x'
0 < X < 1.
Sol ucion. De acuerdo con la formula (1) del p. 3.3 tenemos / 1 i j Bii(s;) dx J ay>(x) dx 0 o A(x) dx 1 i / aii (») dx J a-22(x) dx o o y la re solucion del ejemplo se reduce al cSlcido de las cuntro integrates. Integrando la identidad = ~ hallamos
I i
j
an(x) dx - (arctg X• -arctg
arctg - L
o D < ld «
que
= ^
- ^
y j (te |-
tenemos
'H Integrates iinpinpi .iN En virtud de quer*dx
^x
2
d("|\ x?)
I 17 Ix')
!)*/(!
i x}) lonenios
i «2,(s) dx = i f ((1 I- x 2 )i - ( 1 +
"
) d(l +
3/
0
X?
3 .
2,i\
1
3 /.!/=. 3
Tomando en consideration la identidad 2 + cos2a? —3 - 2 sen x hallamos
d(V2 sen a?)
"•220*0dx
~
r fl
1
\\
l
arcsen li/ - sense
=
1
( fl
arcsenU/ W 3
SC"
II
Finalmente obtenemos
1
S (\/2 +
^ arcsen
28
sen 1 • • • • — 11• •
I
lijercicios Calcular las integrales siguientes: l
A3. / i(x) dx, i(x) =
, ^ j ) •64. /
dar,
= (
I'
^ \
cos arisen x x
l
2
(>5. / i
f(a) dx, Afcc)
\ 3?
X V 2
X/
f(zr) = (In2
arctgx)
66. / (f{®), g(a))
- (a3 , In (a? + V T H ? ) ) , g(ac) = (e~*\ l ) .
§4, Integrales impropias 4.1. Integrales impropias de primera y segunda especie Defini cion 1. Sea J = [a, b[ un semintervalo del eje real R, donde bajo el simbolo b puede sobrentenderse tambien +oo, Sea jf r J —* M una funcion integrable en cualquier segmento [a,b*]C J ,
tf Si existe el limite finito lim ff(x) dx, este ultimo se designs mediante el simbolo hi)
a
+0Q
j f(x) dx si b € 3EE/ y mediante el simbolo J f(x) dx si b = 4-oo, y suele decirse que la a
0funcion / es integrable en sentido impropio en J , yel limite lim / b* f(x) dx se denomina b'—>b-{) a integral impropia (o generalizada) de la funcion f en J (de primera especie si ft ~ +oo, y de segunda especie si b £ K). b Definicion 2. Sea J — ft], f : J-+R
y existe el limite finito lim / f(x) dx. a'^a+Qnt
b
Fiste ultimo va a designarse mediante el simboloff(x)
dx si a G M, o mediante el simbolo
i<>
tjftpmim
•
i. Imenia
U mu .i
6
I f(:r) dx at a
—00. V
b-0
Defi nic i6n 3. Si existe el limite lim f fix) dx = f f(x)dx, se dice que 1 6-0 -K» - b-0 V a a integral impropia ff(x) dx o J f(x) dx converge (existe). Si dicho limite no existe (o 4 n a b-11 l-oo infinite), se dice que la integral J fix) dx o J f(x) dx diverge (respcctivamente, diverg a infinito).
b-0 Teorema (criterio de Cauchy). La integral f f(x) dx converge si y solo si a J
fix) dx —• 0
para
xi - > b —0
y
x;
—* f> - 0.
4.2. Convergencia absoluta 6 - 0
6 -0
Definicion 1. Si. la integral / (/(a:)| dx converge, sc dice que la integralf a absolutamente converge. "
f{x)di
b- 0
Sea f : [a. b[ —* ES una funcion no negativa. La convergencia del integral f f(x) da a
conlleva la convergencia absoluta de la misma. Sea f(x)
^ 0 Vx € [ft, 61, f(x) £ 0. Entonces la funclfili 6-0
F : x t-* / f(i) dt, u
a ^ x < b, crece a medida que crece x. La integral / f(x) dx existe si y solo si e! conjuntt < J f(t) dt} esta acotado superiormente en el semintervalo [a, t>|. u M Si f(x) ) 0 V i £ [a, 6[ y la integral J f(x) dx no converge, entonces
J I ( x ) dx = +oo. a
b-0 Si la integral J f(x)dx
converge, sc cscribe
n b-0
J
f(x) dx < oo.
a Definicion 2. Se llama integral condicionalmente propia que converge pcro no converge absolutamente. Notese que si / 6 R [a, b\, entonces se verifica
f(x) dx ~
j a
f(x) dx
J a
convergent
f(x)
=
a 4- 0
j
dx.
a una integral im~
!i 1. InlegraieN iiiipropla*
f M)
4.3. Fropiciludew algebra icas dc las integrals* ImptxiphiH 1) Sea / : [a, b\ • IR. Su po ng an io s q u e Ja mstriccirtn dc la I' uncirtn / a cu al qu ic r rwgm cnto [a, 6'] C [«, sea integ rable segu n Rieman n en dich o segm ent o. Enton ces , la liiiurion a f , a ™ const, tambie n es int egr able en [a, 6'] Va C Jit, x
b-0
Por consiguiente, si 3 / f(x) dx — lim / f(t) dt, se verifica
x-b-0
a
a
6-0
3 j af(x)dx
= a /
f{x)dx. a
a
2) Sean / : > IR y g \ [a,i>[—> M funciones cuyas restricciones a cualquier T nog men to [a> b ] C [ft, b[ son integrables segun Riemann en este segmento. La suma / + g
b-0
1, i mbien goza de la misma propiedady, por consiguiente, si existen las integrales f f (a?)dx
b-0
a
y J g{x) dx, se tiene que
a
x
lim
I (f(t)
+ g(t)) dt = lim / /(f ) dt+ lim f g{t) dt, 0-0 J x—>6—0 J
-*b-0 J a
a
cn virtud de lo cual £••-0
b-Q
J (/(*) + a
b-0
dx =. f f(x)dx + f g(x) dx. a a
De este modo, el conjunto E de todas las funciones / : [a, b[ —> M integrables segun Riemann en todo segmento [at £/] contenido en [a, 6[ para las cuales convergen ft-0 los integrales / f(x) dx, define un espacio vectorial sobre el campo IR, y la aplicaci6n
f i — f f(x) dx del espacio B en E es una forma lineal.
a
4.4. Cambio de variable en la integral impropia y formula de integracion por partes
b-0 1) Sea / : [a,&[
C[a,b[
IR, donde / €
y J f(x)dx < oo. Sea [a,/3[ otro a
intervalo de IR, siendo a. a € IR, mientras que (3 y 6 pueden ser tanto finitos como infinitos. Sea g : [a 5 (3[ —• K una funcion creciente en el semintervalo [a,/?[ cuya derivada (/ es continua en todo este semintervalo, a exception de un numero numerable de puntos y se verifica, ademas,
tf ([a, PI) C [a, 61, g(a) = a, g(p-0)
= b-
0.
Bajo estas condiciones resulta ser lfcita la formula de cambio de variable en la integral impropia
b-0
f{x) dx= a
p-0
/ / g'(u) (
(1)
7) Sc.t /: |
j f(t)9'(t)dt.
= f(x)9(x)-f(a)g(a)-J
f'(t)g(t)dt.
u
(2
a
.
Dado que e! producto /(«) r/(«) esta bien definido, entonces si dos terminoi b — 0 un limite finito, el tercel cualesquiera de los tres en la igualdad (2) tienen para x lermino de esta igualdad tambien tiene limite. b-o t-o Por ejemplo, si existen las integrales f fix) g'(x) dx y f f'(x) g(x) dx, tambidri a (i existe el productofib- 0)g(b - 0).
Si existen la integral f f(x) g'{x) dx y el producto f(b — Q)y(b — 0), tambien existe fl
6-0
la integralf
f'(x)g{x)dx.
a En cada uno de los casos analizados tenemos 6-0
6-0
j mg(x)dx^f(b-0)g(b~0)-f(a)g(a)-
j
(3)
f'{x)g{x)dx.
O
II
La formula (3) se denominaformula impropias.
de integration
por partes de las
integrales
4.5. Caso de un punto singular interior b[, una funcion cuyas res trie done s a cualquier Sea / : [a, ft]\{c} —» IK, donde c & segmento entonces,
C [a, c[ y [^, 6]
C Jc, ft] son integrables segun Riemann. Se cscribe,
b c-0
b
I f{x) dx
fix) +dx, J f(x) dx J
it
a
(1)
c t-0
si existe cada una dt1 las integrales que figuran cn el segundo miembro de (1) y la integral impropia se llama convergente. Si al menos una de dichas integrales no existe, suele decirse que la integral impropia diverge. 4.6. Criterios dc comparaci6n.
Critcrios de Abel y Dirichlet
1) Si / y g son funciones no negativas definidas en un semintervalo [a ,+ oc [ c integrables en cualquicr segmento fa, x] C [a, +oo[, siendof{x) g(x), entonces se tiene
ffit)
dt^
j g{t.) dt,
a^x<
+oo.
u
+:» +00 La convergencia de la integral f gix) dx implica la convergencia de la integralj fix)
dx.
M
I it tn^inl
ImpmpiiiN
121
i A mi vcz, do la divergciujii de la Initial j f(x) dx uc deduce In divergoncia de la integral •I i>
i
/
^ / A > 0. En este caso aJ f(x) dx converge si A < 1 y diverge si A
;r 1
1, Teorema (criteria de Abel), Sean f : [a> +oo[ —+ My g: [a, -f oo[ —> R. Suponganwtt, +oo ademas, que la funcion sea mondtona acotada la integral converja.. Entomeu a -hco integral (x(x) dx tambien converge.
a
Teorema (criterio de Dirichlet). Sea f : [a 7 +oo[ —y M. una funcion cuya primitive X
»-> j f{t) dt, a ^ x < +00, esta acotada. Sea g : [a?+oo[—> M una funcion que tiendv •
monotonamente a cero para x •• > +oo. Entonces, la integral f f{x)g{x) dx converge. a 4.7. Valor principal de una integral impropia divergente +00 Sea / : R - > R y supongamos que la integral div —00 Si la funcion / es integrable segun Riemartn en todo segmento del eje real y si A
existe lim f jl-t+oo J t — r - F W
_
j
integral divergente y se designa mediante +oo v. p. I f(x) dx — lim j f(x) dx. J
A™>+OQ
-oo
b Sea / : [a, b]\{c} —> M, donde c G ]at b[, y supongamos que la integral f f{x) dx a diverja. c-e
Si para cualquier > 0 lo suficientemente pequeno existen las integrales
b
a
y / /(#) dtf y, ademas, existe
c—£
b
l i m J ^ J f(x) dx + J a
c-\-c
b f(x) dxj = v. p.J f(x) dx> a
este ultimo se llamavalor principal en el sentido de Cauchy de la integral divergente,
ftl Calcular las integrales impropias aiguienles: :
j
88 .
-i )
COS
2nx In cos x dx.
-4 Solucion. De acuerdo con la definicion 1 del p.4.'1 tenemos X
j cos 2 nt In cos t dt. J o
I n = lim i-J-0
Apliquemos la formula de inlegraci6n por partes a la integral
ljp(x) - cos 2nt In cos t dt, P
tomandocos2nt dt =• dv, In cos t — u. Obtenemos son 2nt tg t dt
i i n ( » ) — —1 sen 2nt In cos In
v J_ 2n
i In cos X (sen Inxy1
_1 ' 4n ,
t J
cos(2rt - 1 - cos(2n +1 )t dt. cos I
Andlogamente al ej. 60 podemos escribir ti-i COs(2
1)f
cos " 7t
1
—' = 2 yV-l)*lfc=l
cos i
cos 2{n - k)t + (-I)'*"
\
tt^i
Tor consiguiente,
+IfW*
n In cos x 2n(sen 2nx)
-1
-/ n \Zjt=i
>
2(n -
_ 1 sen + (_!)-
ft)
4n 2
2n
Pasando al limite para ® - * | — 0 obtendremos ^-i-ri+s:
4ji
2n
fe
In cos x 7i -l (sen2rcx)
ctgx 2 cos 2nx 2ti z^i-o — 2ra(scn 2?ia;)~
_ _ _ _
4
=
„
23
H'J Inli'HMh'HIniiMiinliiM I
dx " " I x{x I I) , - , (ir I n) 1 oo, entonces de acuerdo con el critcrio 2) i Solucion. Dado quo < I * j ) : . ( . rl n) del p. 4,6, la integral In converge, pucsto que X hOO dx I dt lim ( l - J ) = t — — lim x—i-oo J£ ar-++oo 1 Segun la definicion de integral impropia tenemos l
N J.
1
X
lim
In
dt -3-1) * * * +(<
j 1
[ >escomponiendo la fraction propia nemos
n
1 i(t + l) ... (t + n)
I II •• 11 11
J v —
(i) ^ ii m iy'te) X~ >+ OQ
en una suma de fracciones simples obte
Ak '+
donde Ak
(~i) k kl(n - k)\
(-I)
1
it rt n!
I'or consiguiente, 1 (^(-D'C k=0
. t ln(z + k) + ±(-l)™C* *=0
ln(l + * ) )
1 (i n f l ( x + k)^'
+ E( -l )
k=0
fc=i
fc+1
^ ln(l + k))
Dado que la suma de los coeficientes binomiales C„ que se encuentran en las posiciones pares es igual a la suma de los coeficientes binomiales en las posiciones impares, resulta que ksvh (-1 ye; lim J J ( x + fc)
k=0 luego lim In f [ + &) M)tC * = 0£—'+00 k=Q Asi pues, In- i £ (- l)
fc+1
•
C* ln(l + ft) • ••
!
!
•
1
I1
I I
+00 e
9 0 . Calcular I
m
M Solucion, La funcion
0
—i
L- dx, a > 0, cos #
x G R+\{xk},
= f +
puntos singulares a^.. En virtud de que existe lim f(x) = ( Eft funcidn 1i-> Fit), 0 +00, donde si t^x k , m Fit) t ,r (_ 1 )"'+i(2 m - l) e -°(T+ ) si t = xk>
A ,
fc 6 Z 0 , tiene
es inlegraUle cn cualqnkT segmonto |(),x], x • It. Undo quo ol coiijifiito { x * } tiene inodidu de I.ehesgue ccro, se verifica J
T.
]m«-J
F(t) dt,
por lo cual Im =- lim / F(t) dt. A partir de la solucion del ejemplo 60 results Wl-i e~ al ((-l)™"2
F(t)
1
cos
H
2(m - «)t).
B=1 Por consiguiente, r J
i F{t) dt=(-tr1
-u1
(
+
m-i . '
t
2x ^ r
"=1
0 Dado que e"' t( cos 2(m - Re rc)f =
cos 2(m - Jl)f (if Re = v
2(m - n)t. dt.
J
1
0
resulta
_(- a+i2(m-«))f ;•-„,~r -a + i2(m - n) tar
ji^ot Re -,-— • (cos Tim - n)t + i sen 2(m n)t) a1 +4(jn - nr •
2{m - »))
— ,-at -r (2(m — n) sen 2(m — n)t - a cos 2(m — 7i)f) a- + 4(m - Ji) 2 v ' 0
lu
=
=
: (e~ aK {2{m — n) sen2(m - n)x - a cos 2{m. - 7!.);c) + a). a2 + 4{m - n) 2 De este modo, = lim (<~iy I—+qp\
f-lV'" ~j—
2^ n
=
1
a
\
+ =
91.
j-1 1 - e 1
-.y ( e
_
fw{2(?ri
\ - 7i) sen 2{m - rc}:c - a cos(m - n)x) + a) J —
)
t J L _ + 2a a
V - J ^ L_ ^ a2+ 4(m -
ra)
= b 2
L a
+
2 a
y ^ a- + 4? 2 '
Demostrar la igualdad J f(ax +^) f Aab) dx, donde a > 0 = ~ j f{y0 ii n y & > 0, suponiendo que la integral en el primer miembro converge.
tj'l, Illh'gmll'N llltpHl|tltlM | ftolucitiii. Designernos I
j o
hunk1
f{nw I
12,' i
y iv|inwu(niu)M / rn la forma /
/| I
| i Vi
/It
ii
I
o
x/
da:.
vi
hV.ilizado el cambio de variableax + - — i obtendremos
+00 /l
i —^}J ff f v'*2 - 4a6
1
s +00/ '<«(
_!__! • LLMUJllKi lL
+oo
/
-II ^ II 1
I-
• ^J^^ ^r ^
tut) dt - 4ab
I
Vi1 •
••
£
/ "»(
w,
1 + Vtz-4ab'
I oo
• • • • I • • •• •• I
1
1 2a
f{t)d(Vl^4ab).
J
2 Vab
•
lomando en la integral Vt2 — 4 ab — z tenemos +oo
z2 + 4ab) dz.
I o •
1
•
•
•
•
•••
••••
||
bi
ib
mi
i
+00
92.
Supongamos que la integral j
f{x) dx converge. Comprobar si este hecho nece
a
Siiriamente conlleva quef(x) —> 0 para x
+oo.
I Soluci6n. La respuesta es negativa. Consideraremos, por ejemplo, la integral de Fresnel +oo / = J senx dx. Al hacer en la ultima el cambio x = t obtenemos o
+00
sen t 2
+o
~7t
sent o Vi
Dado que lim
dt ~ Ii
I2j
donde
Ii
sen£
27
+o
Vi
dt.
sen t
L i
Vi
dt
0, entonces I\ existe. La integral I 2 es convergente de acuerdo con X
I 0 para t —> -boo, y la funcion x - > / sen t dt — l cos 1 - cos xf 1 ^ x < esta acotada por el numero 2 Va? £ ]1, +oo[, Por consiguiente, I converge^ aunque la funcion ar sen x , 0 ^ x < +oo, no tiene limite para x —> +oo. el criterio de Dirichlet, puesto que i
+ C O
Examinemos tambien I — f x senx dx y realicemos el cambio x1 = t. Ob0 I oo tendremos la integral convergente I = I f sen t2 dt. Al mismo tiempo, la funcion x
x sen a 4 0 ^ x < H-oo no esta acotada ara x —• -foo Por consieuiente la inte ral 0
isai
Capilulo2, Integral dcllnrd.i
impmpia f f(r) dx bimbi£n puede ser convergent! 1 u ptwar do que In funci6n / no es pi
acotada para x •» (oo.
• +00
93.
Demostrar que si la integral
/ f(x)dx
converge y f es una funcion monotona,
a
entonces se verifica f{x) — o j para
x —* +00,
•4 Sol ucion. Hn virtud de que la integral converge se tiene |/(a:)| —> (} si a; —* -|-oc. En caso contrario, la integral serfa divergente, pues ia funcion /, por ser mon6tona, debe ser de Signo delcrminado para todos los x suficientemente grandes, con lo que la funci6n j m d t , a § 1 < +00, serin no acotada para x -* |-oo. De este modo, |/| ea
una funcion mondtona decreciente. Dado que la integral converge, para esta se cumple el criterio de Cauchy
I Zi
Ve > 0 3 A > a : V«h > A A Vx2 > A
f(x) dx <
£.
I'ijemos un x0 > A arbitrario y para x > x0 consideremos la integral X
J
mdt.
Por ser |/| una funcion decrecicnte se tiene |/(,r)]^ |/(x(])| para x > xg, lucgo z
\f(x)\{x--xu)<
< e . I ,
Dado que lim x0\f(x)\ — 0, de la Ultima desigualdad sc deduce que lim xf{x) I—i+OO ti— decir, f(x) = o ( i ) para x —> +00, > 94.
= 0, es
Hallar la representat ion de la funcion ( de Riemann mediante una integral impropia.
« Sol uci on. En el ej. 21 del cap. 1 se demostro que
Si X > 0 tenemos
1
>H liiU^nildN hii|Hiiplii rt
127
( omprobar la convcrgenclii tin Ium lti1i
J In a? 0 I-:-.
V.
fl Solucion. A partir de la desigualdad Jn x < x — 1, 1 < # < 1, se deduce la desigualdad (In ar) 1 > (x - 1) \ por esq,
f-i
* > hit J X
t-1
x-\ 1
X
2
I'uesto que lim In ~ — +oo, la integral / ^ U! I"~h0 1-1-0 \ on el p. 4.5 la integral Idiverge. •
diverge; por consiguiente, de acuerdo
t
I , / k fe ®* )^ . +o fl Solucion. En un entorno a la derecha del punto ® = 0 compararemos el integrando con la funcion / : a; 0
In(se nz) 1 • ~ : r y/x ar
_ ln(se n#) „ ctg a: lam r " T " - Inn — f — — x-^+o ( J - A) arA~2
A:+l — lim A+i: — ™ 0 ( I - A) igxe ( | - A) x X
lim
x -+ o
2
X
2
i
(puesto que A -f r > 1). Si x —• +0, el orden de crecimiento del integrando es inferior al de la funci6n / Dado que la integral ii
jff
/(*) dx = J
J
converge, entonces de acuerdo con el criterio de comparacion 3) delp.4.6, la integral I converge, •
dx xP\nqx*
97. i
fl Solucion. Realicemos en la integral el cambio de variable In x — i. Obtendremos +00
1=
/ +0
dt
liipiluk) 2. Iiitt^ral di'lltiula
IZfi
Kepnsientenuis 1 en la forma I •• • [\ (-ft, donde
W
Jl-pX
+0
S H -+ +0 la funcion 1
,
tl
l-'JU dt,
l% =
0 < t ^ 1, q > 0, p 6 E , tiene ei mismo orden d«
crcdmiento que la funcion t>-* integral I\ no es impropia. Tor consiguiente, conforme al criterio de comparacibn 3) de! p.4.6 la integral I\ converge si q < 1, y diverge si q $ 1. O—PTF
Si t —* la funcion t ^ 1 < t < hoo, j>> 1, decrece mas rdpido que cualquier funcidn del tipo f w 1 | f < +oo, o: > 1, en virtud de que en este caso Vg £ R se verifies i efl-P>i por consiguiente, la integral J 2 convene para p > 1. Si p ^ 1 , /2 diverge. Asi pues, la integral I converge tan sdlo para q < I y p > 1. •
98 •
"I
sen2 x
(to.
10 •4 Solut io n. Representando 1 en la forma I — I\ f h , donde 1
,
+00
f sen2 x .
-0
f sen" x ,
t
I
vemos que la integral I\ existe, pues 3 lim - n1— = 0. JC-'+O
Ifscribiremos Ii en la forma
Rn virtud de que
+ 0C lim f j = lim In a; — foo y la integral j
dx converge segun
el criterio de Uirichlet, llegamos a la conclusion de qui? la integral fy diverge. As! pues, la integral I diverge. •I oo
99 •
dx '-/; +0 x? + x'i
•4 Solucidn. Para p = q la integral /, evidentemente, diverge. Por lo tanto esfudicmosla para vf 4
IM
!H tnlefiLtiiiuHtii111<«1I«ir * Sea p < q. KepivHt'iilmulu la inh^ralI vi\ U\ Un\\u\ I
dx U'J*
/
11)
/| I tj>f donde
dx xt> I a:'/'
/? 'J*
cxatninemos las integrales y I2 por scpnrndo. Dado que - ^ d ^ F ) y xH p —> 0 para x
+0, el integrando de ii tiene el
mismo orden de crecimiento que la funcionx 0 < x ^ 1, p > 0, luego la integral Vi rxiste si p ^ 0. Por consiguiente, de acuerdo con el criterio de comparacion 3) del p. 4.6, en el caso 1 't msiderado 11 converge si p < 1, y diverge si p ^ 1. Analicemos L , representando el integrando en la forma 1 1 1 ^ x < -j-oo.
XP + X* x4(i + x?-yy
Tiira x —+ +00 se tiene f(x) — O { / por consiguiente, I2 converge para q > 1, y diverge para q ^ 1. Asi pues, si p < q la integral I converge para todos los p < 1 y q > 1. $ip> q, la integral converge, evidentemente, para todop > 1 y todo q < 1. Ambos casos examinados pueden facilmente ser unidos en uno solo: I converge si «iin{p, 9} < 1/ max{j?j 4} > 1. • +00
100.1
J
f
H-0
Pn(x)
dx, donde Pm{x) y
son polinomios primos en tie sf dt
grados m y nf respectivamente. Soluci on, Si en el intervalo ]CL +oo[ el polinomio Pn{%) tiene ceros reales x de acuerdo con el criterio 3) del p. 4.6 la integral diverge, puesto que para x de crecimiento del integrando es igual al de la funcion 1
x
Xj)
x G S(xh 6),
A
X{ f entonces xi el orden
1,
donde S(x^ 6) es un 5-entorno del punto x Si el polinomio Pn{%) no tiene ceros reales en el intervalo ]0, +oo[, entonces para x +00 se verifica — O (^^ r) - Conforme al criterio de comparacion 2) del p. 4.6 la integral I converge si n — m > 1, y diverge si n — m < 1. • Pi Verificar la convergencia absoluta y condicional de las integrales siguientes: - M:
+00 seruc
101. i +0
x
dx.
< Solucion, Representemos I en la forma J = I\ + I 2 f donde 1
+00 sen a:
I +0
x
sen a?
dx> I2
—— .— I
1
x
"LJ-—
dx.
I'!{)
Cilpftulo 2. Integr al (Ic timtl.i lixii mil tenuis Li integral
para 0 < < asj < 1. Dado que 0 < < 1 para 3] x < x?, resulta 0 < I < X2 — y, por 3o tanto, T —> 0 para —* 0, xi —* 0. Por consiguiente, de acuer do con ei criterio de Cauchy Is integral Ii converge. x I Por cuanto = J sen t dt < 2 Vx £ Jl, hoof, y la funcion x M 1 < x < +00, decrece y tiende a cero, la integral T2 converge de acuerdo con el criterio de Dirichlet. De la convergencia de las integrales J j e L se deduce la convergencia de la integral I. A partir de la. desigualdad | sen a:| ^ sen 2 xf valida Va;e iE, de la solucion del ej.98 y del criterio d e coittpararidn 1) del p. 4:6 resulta que la integral
l
*T -
| sen x\ dx
diverge. Por consiguiente, I es absolutamente divergente.
102
/
'sen (x
+1)
•
dx.
ro M Solucion. Sea
+I2+I3+I4donde
I
1
, sen x cos -
1
/ 10
+0" f ssen x cos
1 +0 I
cos x sen -
f cos x sen -
/
ST -* ** h - j — ^ d x , 1 Obten emos Realicemos el cambio \ ~+0 t en las integrales Ji y
cos t sen h =
/
Vemos que las integrales ii , anali'zar las integrales L e integrales 2j e J 3 .
t2-a
I 7,
dt, •
h
-C OO f sen t cos 7 dt. fl-a
-/ -
e I2, Jj son de un mismo tipo. Por eso, es suficiente y extend er autom^ticamen te el nisultado del analisis a las
" extete. Diftui represcntndon es valida sfilo ra paoqudlos valo res del paramet
n para los males la integral I
frl.
Dado que lim fort x I I rxi X
i m p tup
I, entonces 3 X[\ > 1 1 1 - < cos — < 1,
Va; > x{)
in
2
x
cos I
2x ur
<
I
— .
-
•
•f '
y, por eso, i 0 para x -+ +oo y a > 0, La primitiva de la funcion x sen x, 1 ^ x < +00, esta acotada Va; G [1, -f-oo|. De cule modo, si a > 0 la integral I2 converge segun el criterio de Dirichlet. Demostremos que 7*2 diverge para a ^ 0, Sea dado un 0 < £ < 1 arbitrario, oniemosfi = -a y consideraremos un n G N tal que se verifique la desigualdad I 1 'os - > P a r a x ^ \ Aplicando el primer teorema del valor medio a la integral .--ft
j.'i* 1 IK / xr sen x cos x dx, obtendremos la desigualdad 'un
{2n+l)ir
x^ sen x cos -- dx
2fgcos f
X
>^£'1,
2nn ^ £„ ^ (2n + l)ir,
2nw ilr la cual, conforme al criterio de Cauchy se deduce que la integral I2 diverge para a ^ 0, pues \fxQ > 1 3 n G N tal que 2mr > x$. Por consiguiente, converge solo si a y 0. Aplicando razonamientos analogos a la integral 13 vemos que I3 converge tan solo para a > 0, es decir, para a < 2. De este modo, las integrales I2 e I3 convergen simultaneamente si 0 < a < 2. Estudiemos la integral J4 con la ayuda del criterio de Dirichlet Dado que 0 < X sen 1 < P a r a todo x > 1, a + 1 > 0, y la funcion x f cos tdt, 1 x < H-oo, x
1
cKta acotada, entonces la integral 4J es convergente para a + 1 > 0, es decir, para a > — L 'or consiguiente, I\ converge para a < 3, y ambas integrales convergen simultaneamente piira < a < 3. Por cuanto ]—1,3[ fl 10,2[ = ]0,2[, la integral J es convergente para ()
sen x
4xa
lx*
<
sen x cos XX
a
<
1 X
a'
i | Lie se cumplen Va? > 1 lo suficientemente grande, se deduce que I2 es absolutamente convergente si a > 1, y es absolutamente divergente si a < 1. Analogamente, es absolutamente convergente si 2 - a > 1, es decir, si a < 1. Puesto que la intersection de los conjuntos { a G R : a > 1 } y { a G M : a < 1} es el i-onjunto varfo, no existe ningun valor comun de a £ IR para el cual ambas integrales I2 r I3 absolutamente converjan. Asf pues, la integral / absolutamente diverge.. • •••
"M I
+ O O
1= J a;2 cos (e*)dx, 0 4 Solucion. Tomando en la integral ex = t obtenemos
I03,
+
I
0
0
in t cos t dt, t
i ajn'liilo 7. tnli'gi.d ilHiiml.i
I ,H
Al aplicar la segunda ivgln do L'l 1(1 pi till li.illiimus In ( .. In I . . . t „ Mm —7— = 2 lim - • 2 lim - ~ 0. 1—-r-ootf—t-oa 1 1 • HX> t Por consiguiente, —
1 0 para t —>• -00.
Dado que ia funcidn ar *-* J cos tdt- = sen x — sen 1, 1 ^ x < +00, esta acotada, 1 1
integral 1 converge de acuerdo con el criterio de Dirichlet. De la desigualdad cos £j > ^ cos 2 1, valida Vf > 1, se deduce que la integral 1-00 +00 +00 1 ln? 1 1 ! 2 r = fj — t cos2 4M 1\ t dt ~ - fj —' - »dt .+ 2 f / " 1 1 1
cos
^Atdt
diverge, pues / ~ |
1
dt =
lim f In 2 1 d(ln t) - lim | In3 x - +oc , y !a integral X—*-fOO
converge segun el criterio de Dirichlet.
In f
cos 21
dt
>
I® Hallar los lfmites siguientes: 104.
lim/^df. JJ-Mtl "i '
Soh ic idn . Al aplicar el primer teorema del valor medio a la integral J(x) — f 1 obtendremos
Sea x fc ]0, cos
.
donde s > Oesun ntimero arbitrario fijado de antemano. Fntonces
- l ) > por consiguiente f(x) —> f-co para x — +0. Aplicando la segunda regla de L'Hopital tenemos Um — - - lim - licit — = a—H)a: 1 ar-+0 (a: l ) s-^+0 — i -
1-
•
/ 105.
-4
lim
|ni X
Sol uci on. Para cualquier
a
> 0 la integral
converge conforme al criterio de
J
dt
a
J-OO
f c~rdt Dirichlet. Por eso / ^ dt = C, C = const, y lim^ - fl — j — - 0. Tor consiguiente, „ In -
(i'L Integrates impmpiriN
l.>.*
i « . / V * / , u lim -t — -- hm , 1 x In as---Po In 1,
J ij
• i
-i 1 iP
I -i
X
a
X
t
Nf la desigualdadI(x) — f ~
dt ^ e
/
a (ln«
oo
- In a;) se deduce que lim /(a)
t
iC"" - 1 -^
0
x
•ntunces conforme a la segunda regla de L'Hopital obtenemos lim M
^
l i mJ
^ L = ^ 1 ^ = 1.
• • I II I MM ••!•••! •
•^••llll
X
(06.
Demostrar que para
> 0 3 li
dt = v. p. lnf ' +0 1
•
•
•
Solucion. Para cualquier 0 < /< 1 y 0 < £ < 1 existen las integrales I\ -— J
ft
2
™ / iih' Asu vez, l+F a;
I •—'c
1 Para 0 < x < 2 queda valida la descomposicidn ^ —
I T + ^+
— 1), con lo cual x
li X = lim (i n \t -
+
IJ-' + ]n{* - l)|* +£ + £
+ 0((t - i f )
1+e
+
v+0 + 0((« - l) 2 ) j j + e ) - ln(ar - 1) + f +0((x -
l) 2 ),
0 < * ^ 2.
Para x > 2 obtendremos
0
0
2
2 • • •• •
••
+oo 107.
Hallar v. p. / —=—™ r y a:2 - 3x + 2 o
2 ( Solucion. Los ceros reales del trinomio cuadrado y — x — 3x + 2 son a?x= 1 y #2 por consiguiente, -foo
v, /
0
3
dx __ f dx ' ' ' 2 V , P 2 x ~3x + 2 " ' 7 # — 3a; + 2 0
+00
da; - 3a; + 2 3
2,
\ ,I|>MIII I> / . INM'KIITI
lim | r >10 ^
'* -
« f in 1 i B-
• 1f 'i.i i '
III'NIIMA
)
P
'•'•
2] 1 In :X 1 11 w
1 12l;i/ i'l
•]-
iiIn ', -—2 !im * -> I «> I — I
P—HI
= -bx2
+
lim
fin
t-o *
1~ e
+ In
I — /is
+
lim
j— hoc
In
| - In J
x - 1
Ejercicios Calcular las integrates siguientes:
67-
^/^fcr;
+OG
^OC
71. /
ca st a ite , « > 0 .
f
72.
e~axsenbx
dx,
a > U,
-FOC
73. /
^.nSN.
o +00
/
«c - 62 > 0. 75. / I < T " se n 2 " * (fx, a > 0.
<3
76. a) 1- ~ J in sen X dx;
= J In cos a: dx,
b)
u I) Estudiar la convergencia de las integrates siguientes: +QO + 30 I + P- I TTSferj- *>• / Tj^l80. / 0 U 0 0 8L /In sanadx, i) HOC
/
J
85. Jx"c -x
, \
8Z f^^-dx. »
83. /
j^pr-
o
+JC
Kt+'')dx. 86. J T o
84. f x*e~*" dx. o
( i + i) § .
seft
Demostrar las dt?sigualdades: +OO •RK »
- f < I f f f t* < I
-FEE
0 < J e~* dx <
0
89. £ < :/ to.
2
1
0
1
-foe
92. 1- i/
flfoj
< l +£,n>
l.
i i 93. Demostrar que lim f n2x"'\l - x)dx £ / lira » V ~ l ( l - x) dx. a fj 1 NO
94. Demostrar que
si la integral J
f(x) dx
es absolutamente convergente, se ve rifica
o +00
95. Demostrar la ig ualdnd
I XE
lim J f(x) I sen xj (to — § f f(x) dx. o u r" +O
I'
0
II
V
+oc 96. Demostrarque la integral impropiaf sen2 (IT (a- + j ) ) dx es divergente.
2
ffv I'muionoH lie variation *icolad*i
Hallar: jr
2
<>7-
v. p. / rr a r ; , « < « < b. 98. v. P . / U 0
99. v. P . / , 0
para a > I
§ 5. Funciones de var iati on acotada Definicion 1, Sea / : [a, b] —* R; sea II una particion arbitraria del segmento n -1
|«, 6]; sea A/,- - /(®i+i) - /(£;) y sean Vj\(f;a%b) = 2
l^/tl- El numero Vh(/; a, b) se
i=0
denomrna variation de la funcion / respecto a la particion II, y el numero V{f; a) b) sup{F|i(/; a, b)\, donde el supremo se toma respecto a todas las particiones posibles II del (ii} segmento [ a , ft], recibe el nombre de variation total de la funcion / en el segmento [a, b]. Si V(f; a, ft) < oo, se suele decir que / es una funcion de variation acotada. Definicion 2. Sea f : [a, b] —* sea II ima particion arbitraria del segmento
n-1
!«,&]; sea Af* =
— f(a?t-) y sea
Vh(f;a,ft) =
z-0
|Afi|, donde | - | es una norm
euclidea en el espacio R m . El numero F(f; a, 6) — sup{Vn(f; a, ft)}, donde el supremo se toma respecto a tod an {ii} las particiones posibles del segmento [a, ft], se denomina variacion total de la funcirtn vectorial f en el segmento [a, ft]. Si y{f; a, 6) < oo, se dice que la funcion vectorial f es una funcion de variacion acotada. Teorema Sea f : [ a , 6] —> R m . Para que la funcion vectorial f sea una funcidn
de variacion acotada en [ft, ft], es condicion necesaria y suficiente que cada una de sus components f j , j = m, tenga variation acotada en dicho segmento. Teorema 2, Si f : [a, ft] —^• R y g : [a, ft] —* R son funciones de variation acotada en [ a , ft], eitfonces / -f <7 y tambien son funciones de variacion acotada en [a f b]. Corolario. Para las funciones f y g mondtonas crecientes en [a, b], su dtferencia f — g es una funcion de variation acotada en [a, 6J, Teorema 3. Sea f : [a,ft] —> R m una funcidn vectorial de variation acotada, Entonces se verifica: 1) V(f; a f y) - F(f; a> ar) + V(f; y) rf a ^ ar ^ y < 6; 2) toda funcion Vj : a? V(f; a, as) es confinwa en [a, ft] si f G C[a, ft]. Teorema 4, Sea f ; [a } ft] —> M una funcion de variation acotada en Ia } 6]. Entonces, existen las funciones no decretientes p : \a.ft]—• R, q: [a, 6] — R tales que p{a) = q(a) =y Vx E [a, ft] se verifican las igualdades f(x)-f(a)^p(x)-q( V(fx) ; a, - p(x) + q(x).
x),
(I) (2)
Las funciones p y q se denominan, respectivamente,funcidn de variation positiva y funcidn de variation negativa de la funcion /. 108*
Tomando como ejemplo la funcion / : [G,2]
JW ~
f a ; sen |
Q
X
R, donde
si 0 < x ^ 2, Q
si x =
,
KJ 'I II IU J
IR ID '^ RT II
(IVHIIKI.I
(.loniortU'iH- qui*
(2 +
> 1 + I + i -I
Vn(f;0,2)
+ i = C + Inn £,,, I-
,
-- j -+2 . t
(J para
n
SP31 • • * * fi 3>2} +
+ •••
+•
00, C es la constante do
Euler, Por consiguiente, Vj](/; 0,2) —* +00 para n —* 00 y el conjunto {Vu(f; 0, 2) } no esW acotado superiormente.
•
109. Hallar las funciones de variacion positive, de variacion negativa y de variacion total de la funcidn f 3x2 - 2x3, - 2 ^ x < 2. M Sol ut io n. Construyamos primeraraente la funcion a: V(f-r -2, x), - 2 < a; ^ 2, tomando en considerarion que / 6 C ( 1) [-2, 2]. Sea II una particion arbitraria del segmento [ -2, x\, —2 •<_ x < 2, entonces
11-1
w-i
Vn{f; - 2 , x) - ]£|/Css+1> - / M i=0
=
Xi<&<
sni+t,
i=0
(segun (a formula de incrementos finitos de Lagrange). Por consiguiente, V\\(/;-2 , = 5 lt(|/'|), donde Sn(|/'|) es 1111a suma integral de la funcion 1)/'(()], x, en virlud dc lo cual obtenemos -// '(«-/(x) ) rff = +28 1
V(/;-2,a)
si
1) X + 28 \f'{L)\dt={ - f /(f) dt + / /'(t) dt. = f(x) -1 0 X (iI - J f(t) dt + / f'(t) dt - f f'(t) dt ^30 /(x) -1 0 1
A partir de las formulas (1) y (2) tenemos
_
$0,
2
w.-wm-sw p(x) = — -
I {
< x ^ 1,
si 0 si
0 JrSf
1 — — = < /(») 31 0 < jr ^ 1, t si I < x ^ 2,
V(f ; -2, .) - f(x) + /(- 2) -- -—-— —— — =3<
-fix) 1-28 si - 2 ^ x 0, 2828 SIsi0 0^
k>
110. Sea f : [«, !)|- t 1 una funcion de variacion acotada en [a, b\; scan p y q las funciones de variaci6n positiva y de variacion negaliva de la funcion / Sean, ademas, p-t y <71 funciones crecientes en el segmento [«. ft] tales que / - p\ ~ q\. Demostrar que V(p; a, b) < V(pt; a:b),
V(q; a , b) ^ V{ql} a, b).
I Solucion. Segun el teorema 4, las funciones p y q no decrecen en el segmento [a, i ] y p{x) > 0, q(x) 0 Va; £ ]«. b], puesto que p(a) = q(a) = 0.
:v/ Do la formula (2) wr di'dun* que
P(x)
*
tfU0 Ml,
V{f;a,'A)
q(x)< !/(/;
a;),
h| f/(ir)
p(a:)
p(x)
|/(/; rr, :ir)
V (/; tt, a;),
(),
a^®^
(I)
Dado que / = pi — q\ f tenemos
V(f; a, x) = V(p2 - qx; a}x\
a^x^
b.
Para una particion arbitraria II del segmento [a, 6] examinemos la variacion
n-1 i=0
n-1
< i—0 Por tanto, V(f; a, 6) ^ a, 6). Analogamente, V(f; a, 6) ^ V(qi; a } 6). Tcniendo cn cuenta que y q son monotonas y p(a) — q(a) — 0 llegamos a que V(f>; a, ft) =p(b),
V(q; a , ft) = g(ft).
las desigualdades (1) se deducen las desigualdades
V(p; a, b) = p{b) ^ V(f; a , ft) < Vfa; a, ft), a, ft). • V(q; a, ft) = q(b) <. V(f;a, ft) ^ • ii•
11 • •••
••
•
•
11
•
X
g(t) dt;
111. Sea g e ii [a t 61; f(x)
- max{sr(i), 0} y g (t) =
0}.
a
Demostrar que / es una funcion de variacion acotada en [a,b] y que sus funciones de variacion se definen mediante las igualdades X
I g(t)\dt,
V(f; a, x)
p(x)
(t) dt,
g (t) dt.
a
a
&
q(x)
Solucion. Sea H una particion arbitraria del segmento [a, x\, a < x ^ b. De acuerdo con fa definicion de variacion tenemos
Vu ( / ; a, x)
n-1
n-1 \/ii\ Ax h i=0
g(t) dt = ^
donde
inf {#(£)} ^ fa ^
sup {^(0 }-
Por consiguiente/ G ii [a, 6], en virtud de lo cual V(f; a^x) = J
x
a
y como <7 G
[a, ft], tambien
Segun el teorema 4 tenemos
(Yipftuln ').. Integral di'Iiiiitl.i
t*»o 1«<*>
IA*)
0
j \
For consiguiente, X
X
P(x) = I f 5( 0( 1 -I sg n g( t) ) dt ^
ft x
jg+(t)dti
a
x
?<*) - | J9(t){ sgn MO - l )
•
112. Sea / ; [rt, /JJ —• K una funcion de variacion acotada en el segmento fcr, j3\ y sea F : [ft, 6] —» R una funcidn que satisface la condicion de Lipschitz en el segmento [ft, 61; ademas, [a, 6] D / (fa, /?]). Demostrar que la composition F o / es una funcion de variacion acotada en el segmento [a, ft],
M So lut ion . f.a funcion F , satisface la condicion de Lipschitz en el segmento [«, A] si existe un numero L — const ial que V x2 6 [«. ft] j F{x{] - ^(a^)! sj L\x\ ~ x2\Sca II una partition arbitraria del segmento [<*,p\. Tenemos W
n-1 o / ; « , 0) = ]T|f(/(M) i--0
n-1
- *"(/&))
I < lY^\f{tM) i=0
- /((,-)[ = LVa{f; a, 0).
\
De la desigualdad obtenida se deduce que la composicion F o f tiene variacion acotada en el segmento [o, (}]. • ^ Ejercicios : I 01 ! P\ ® 100. Sea / : [a, 6] —> E u m funcion de variation acotada cn el segmento |a, f>] y sea una funcidn mondtona; sea, ademas, [«,6] 3 p([t»,/3[) . Demostrar ejus la composicion f °
F : x >-+ J f(t) dt, a ^ x < b, f e. R l«, i>L es 101. Demostrarque la variacion total dt> la funcidn ij>uala u f \m\ dt.
102. Demostrar que si una funcion x i-+fix), a ^ x ^ b, licue variacidn acotada en el segmento [a, b] y |/(s)| > c > 0 VarG b\, la funcidn x a < x ^ b, tambien « una funcion de variation acotada en el mismo segmento,
103. Cakular: a)
x; 0,2ir); b) V (cosx; 0, 2tt).
104. Calcular las funciones de variation postf-iva, de variacion negativa y funcidn a: i-i [x] — x , 0 ^ x ^ 2,
de variacion total de la
fjfi. Aplh iiihiiMH*H gi'oni^triCtiH de In lnlcgrtil dclinida
l,l()
§6* ApJicacioncs de la integral dcfinida a la resolucion de problemas geometricos 6.1. Longitud dt 1 arco de una curva recti ficable Definicion 1. Llamaremos caminoen a una aplicnrion continua f : [a, ft] > R m , a, 6] C R. Definicion 2. Si la aplicacion continua f : [a? b]—* es biyectiva, el camino se llamaarco, Definicion 3. Se denomina traza de un arco f : [a, ft] —• Mm o de una curva 7 la imagen del segmento [a,b] respecto a la aplicacion f: 7 = {y 6 M m : yj = fj(x)fa^x^b,
j =
1, m},
f(x2) para Def ini cio n 4. Sea f un arco en el espacio Si f(a ) = f(6) y f( ai ) cualquier par de puntos distintos x\y del intervalo ]a, b[f la curva 7 se denomina curva cerrada simple. Definic ion 5. Una curva 7 es rectificable, si la funcion vectorial f tiene variacion ncotada en el segmento [a, 6], Se llamalongitud de la curva 7 a la variacion total V(f; a, ft), Teorema, Si una funcion vectorial f r: [a, 6] Rm es continua en el segmento [a, b\, entonces la curva 7 es rectificable y su longitud I puede calcularse mediante la formula I=
/ \f'(x)\dx}
(I)
a
donde \i'(x)\ =
+ /"(«) +"
-• +
/ »
Consideraremos un caso particular del teorema: cuandorn = 2 y la curva 7 viene dada parametricas
j=
vW) JI V^W
(2)
+ i>a{t) dt
a Si TO — 3, es decir, la curva 7 viene dada mediante las ecuaciones parametricas x = ip(t), y — ip{t)f z — xitff a ^ ' ^ fit Y s e verifican todas las condiciones del teorema, entonces tenemos P
1= J
^(t) + xa(t) dt
Si la curva 7 en IR2 se da en la formafi{x) = x, fcix) = /(#), / : [a, 6]
R, / G
^ ft/ donde
6], la formula (2) se transforma en 1= N I wi i + /« («) d®. a
(4)
Si la curva 7 en M esta determinada en coordenadas polares, es decir, mediante las ecuaciones parametricas
x
/>(»?)cos
y = p(tp) sen
^ tp ^
p:
/> €
pi],
I'll}
t.'iipiiulo
In fornill lit ('') so c.'Mribo
'X.
Iiili-(j,iiil (li'lhtnl.i
j fi
(5)
Pi
Como un caso particular veamos la situation cuando la curva en coordcnadaj polares estii dada en la forma
P =
j
( J)
f{x) dx.
a
Si una funcion continua / : [a, ft] —* R cambia de signo en [a, b], la integral h f f(x) dx es igual a la suma algebraica dc las ire as de los trapecios curvilineos situados a por cncima y por debajo del eje Ox. EI tirea de una flgura plana $ que esta acotada inferiormente por la grafica de una funcion continua /j : [o, b] —> HE, superiormente por la grafica de una funcion continua —> E y por los lados mediante los segmentos de rectas x — a y x — b (fig, 2), se f i '• [«, calcula mediante la formula b
j{hix)-f,ixj)dx.
y>
V
(1
u
b x
Kg X. Definicion 2. Se denomina
C
q
X
%
2.
vector curvilineo a una figura plana limits da por dos
rayos que forman los angulos tp — a y
ApUi .u lonort goomiftricaH do hi Inlrgnil deHnhiu
i
f
t.
Teorema 2. lotto mrlor omnlhteo es una figuttt pinna auulriatfahle tui/ti timt P puede calculate mediante in formula
P = j I fi VP) a
P)
Sea $ una region simplemente conexa de M2 , limitada por una curva cernula ,suave 7 de ecuaciones parametricas x = x(t), y = y(t), h ^t ^ h (una curva 7 se llama suave, si en cada punto t del segmento [t^ tx] las funciones x e y son dcrivables con continuidad y xa{i) + ya(t) £ 0). Supongamos que 3> es una figura plana orientada convexa cuya frontera se rcconv cn el sentido contrario de las $agujas retoj al mediante variar el una parametro t desde{)siguientes: t h
JP = ~ j y(t)x'(t) dt,
hi
<1 p
x{t)y\t)dt,
j •
P
t
| f (x(t)y'(t) - y(t)x'(t)) dt - 2
*0 Si la figura $ no es convexa, mas puede ser dividida mediante rectas paralelas al eje Oy en partes convexas, entonces a cada una de estas partes le pueden aplicarse his formulas (4)—(6). Al sumar los resultados obtenidos, llegaremos de nuevo a las formulas (4)-{6), validas para calcular el area de toda la figura 6*3. Calculo de volumenes de cuerpos Def inicio n. Sea / : [a, 6] R y / € C( [ a, £?]). Se llama cuerpo de revolution T a una figura que se engendra al girar alrededor del ejeOx un trapecio curvilineo limitado por la grafica de la funcion f , los segmentos de rectas x = a, x = b y el segmento [a, h\ del eje Ox. Teorema 1. Todo cuerpo de revolution T es cubicabley su volumen puede calcularse
a partir de la formula
b jV fix, = 1T dx.
(1)
&
Consideraremos un cuerpo T limitado por los pianos x = a y x = b. Supongamos que toda section del cuerpo T por un piano perpendicular al eje Ox en un ptiiilu x £ [a) b], es una figura plana cuadriculable cuya areaP(x) se conoce. Teorema 2. Si el cuerpo T es cubicable y la funcidn P : x ^ ti^xC b, n
integrable en (a, b\, entonces el volumen V del cuerpo T puede calcularse segun la formula / P(x)dx.
(2
C'iljiilillug. Inh'^iit) iMiniil.i
\47
,IH
- {(2, V) € IK 2 : 1/ = 2px, I)
113. 7
x0, p > ()}.
x
< So lu ci on . Apliquemos la formula (4) del p. 6,1 tomando en consideration la simctna del conjunto de puntos {Af(x, y) e K 2 : 0 ^ x < x0, y1 — 2px) respecto a! eje Ox: 2
•Jp -I + (s/2x)
n =
—
n yfp-1 {Vlxf
d(V2x)
= 2j y/p + t* dt = (t\/p + t2 + p ln(f + y/p + t2 ))
0
0
=
r— n
=
V\ In + -
+ —
1
•
yi
114.
1 ^ y < e}.
7 =
M Solucion. Tomemos forma
y como variable de integraci6n. l a formula (4) del p . 6,1 adopta la c
c
1
Por consiguiente,
115.
7 = {(», y) €
: x = a(ah t - t), V ~ «(ch t - 1), 0 ^ t sj T } .
So luc io n. Ha den do uso de la formula (2) del p. 6.1 obtendremos x'(t) = a(ch t -1), xa(t) + ^(i)
= « 2 (s h Z i
y'(t) = a sh t,
ch 2 f - 2 ch t + 1) = 2«' (rh 2< - ch t.) ~ \t .2,71 2a 2 ch *(ch t -1) = ia2ch t s h 2 | = 4a 2 sh 3 | (2 ch2-
Por consiguiente, T
f^i 0
• 1.= % j /(^ch ty~Id(v^h |) = .
0
= V5 af vfch|V
chf
-ln(v5cih|
+ VcKt)j|
o
=
2
- « ( ( c h —Vch2 - l ) - v/2 In —
^
-l).
i
A|Hl('ri4'loiir» gcomelncaH de Li InU^nii drimuia
i
7
1 t*1 • i1 nmy; .|P ' -2 J 4 Solucion. La longitud dc la curva se calcula utili/ando la lormula (5) del p.ft.'l. Sr tiene p sen (p p'(v) (1 + COS if)1 ' 2 2 p sen (p 2p P P + Av)+.P*(V) (1 + COS (p)2 ' (1 + COS ipY (1 + COS tpf 4 COS 6 ^ ' 1 dip d
TT
IT
7f
M
1
•
•
IT
fl"
7T
-N
1
L L
"
•
117.
7
4 Soluci6n. Para calcular la longitud de la curva 7 hagamos uso de la formula (6) del p. 6.1. Obtendremos
I
+ WOO)2 dp 1
2 1
2h) p
+
3
P + 4 •
•••
•
li
1
= 2 + - In 3,
1,
•
118. Demostrar que la longitud de la elipse 71 — {x — a c o s y — b sent, 0 ^ t ^ 27T} es igual a la longitud de una onda de sinusoide 72 ={y ~ c sen —, 0 ^ x ^ 2itb}, donde
c Va2^. 4 Solucion. Designaremos la longitud de la elipse y la de una onda de sinusoide mediante t[ y l2f respectivamente. Tenemos 2?r 2jt 2 a x' (t) + y (t) dt a2 sen2 t + ti2 cos 21 dt h = 0 0 I
2 th 0
Inb
X
1-h 77 COS1 T dx b b2 0 2?r/> X
b2 + (a2 - b1) cos2 f d b
0 (en la integral se ha realizado el cambio
a2 cos2 t + b2 sen2 t dt 0
v uptt iio :>. TI* 1 rj41.1 (Iriiim tf
(lit1 Iuh
l)
1 > hw'l,
I.
I.
( 1HI, son dt* perrodo T ~
>R
I, -. 2 1 \/«2 ^rr1
+ f ^ j f i tdt =2 j
0
va2 sen* i Tb2 co s 2 f dt =
—z
f = 4
J i2^sen2t
+
b2co£tdt.
0
En forma parecida encontramos
= 4 J \/a2 cos21 + b2 sen3 if dt. 0 Cambiando do variable en la ultima integral segun la formula ~ — t = z obtenemos
(2 =
j
V * sen 2
2
i -f ft2 cos2 2 dz = ii .
I Calcular las areas de las fig nras pi anas ! intifadas por las graficas de las funciones siguientes:
119. Sol uci on. La figura plana coirespondiente es una elipse con semiejes x = « y x = b. Utilizando la simctria de los puntos de la elipse respecto a los ejes de coordenados, calcularemos el area P\ en un cuadrante arbilrario. De acuerdo con la formula (1) del p. 6.2 encontramos A /
/
IK2
/Ji = 6 j d \ — -^dx 0
/
2
^
= tib j cos t dt = —ab 0
(se ha reaI izado el cambio de variable j — son t). Tenemos, pues, P — 4 Pi = nab. 120.
•
/la;2 + 2Bxy + Cy ? = -\, A> 0, AC - B2 > 0.
Solu cio n. Resolviendo la ecuacion Ax2 + 2Bxy -f Cy" — 1 — 0 respccto a x obtenemos
I'or consiguienle, jyl ^ Tfj ~ El area buscado se calcula con la ayuda de la formula (2) del p. 6.2, que en el caso considcrado se escribe como sigue o p = j ^ M - x M )
dy,
it
\\u. Apllta< ioncs gcomtflricjN tit1 la Inlcgral dcllnida
'IJ5
donde
By ^ |A
(AC-B
r)yl
Hit
^A
(AC A
A
lS')y>
Asi pues, tenemos
u P
2 A
I
^
-b
(AC -
B2)
B2
t dy
A
Ui
•
•
•••
•
y2 dy
- b 71"
irb ~A
\ J a C - B 2 / cos 2 1 dt
A
••
y= e
x
!
• I
l
lI
! ! •I
i HI
- B2 ™
o (en la integral se ha realizado el cambio de variable arcsen =j? t). 121.
I II
7T VAC - ti}
•
\ sena:|, y — 0, x ^ 0.
-4 Solucion. La grafica de la funcion y : x >—• e~x\ sena?|, 0 ^x < +oo, no corta al eje Ox (que es su asintota para x -+ -boo). Por tanto, el conjunto de puntos del piano xOy limitado por la grafica de la funcion y y el semieje positivo no es una figura cuadriculable en sentido ordinario. Consideraremos el conjunto de las areas siguientes: X
+ I seni| dti x 6 K
P(x) o y pongamos
+00
P
-f
—X
lim P(x)
sen xl dx.
0 Representando P en forma de la suma siguiente
P
l
Ej/
far
-x I
e
n <*+?>* x dx — lim sen x\ dx 71 k—n J • sen x
iE
y cambiando de variable en cada integral segun la formulax —for= t obtenemos n
%
n o cosf 1+e vhm y V e -fear€-t sent +r— ——'
71
—kir n—*oo n ^ oo 2 /c=0 0 fc^O iir ft-s-00 k=0 Como vcmos, el problema del calculo del area de la figura se ha reducido al calculo de la suma de una progresion geometrica decreciente. Asi pues, tenemos
lim
V
sen t dt
P
1+ 2(1 -e" *)
7T
fT
1 e2 + e 2 2 cf-e-f
2
C t h
2
-fl"
lim >
Mf>
(
122. * a{a>s m a, y C. (1.
< Solucion.
I | I sen /), y
•fluln ?.. I ii I c^m! dclinld.i a(wn t
I. ms /,), (i • / - 7n, y p or el segme nto de rcctn
Considerar emos (a figura plana MKNRI' limitada por el desarrollo de la curva y el segmento de recta x -- a, y < Q (fig. 3). El
p —®
— a (1 +11),
sen t — t cos t + 1 s ent
tg cost =
Para calcular el area de la figura MKNRPOM hagamos uso de lo formula (3) del p. 6.2, y luego pasemos, en la integral, de la variable
£
_
c os
+ 1 sen t'
obtenemos dtp —
it / sent - f cost\ _ t2 wtfl*— t cost \4 \cost -I-1 s e n t ) ' 1 +t2 cos fit sun! J
(
For consiguicnte,
MKl f EPOM
Final menteque da
-f p
123.
x —a
cos t,
2ir 2 r ri i *2w2 ± t )t~ ,, 4 3 2 —7-r~ + t2 dt = -ir 3 a .
na2 +
= ^-(4tt
3
+ 3ff). . *•
a sen t y = 2 + sen t '
< Sol uci on. A medida que la variable f crece desde 0 hasta 7r la variable x decrece desde a hasta —a, luego la variable y — toma valores no negativos, creciendo de 0 a ^ cuando t varia entre los limit es [0, y decreciendo de | a 0 cuando t varia entre [ f , ir]. Si t crece de ir a 2 ir, la variable a; crece desde —A hasta a, y en el intervalo ]TT, 2TT[ los valores de la variable y — L2{t) son mayores que los de la variable y = en el intervalo JO , xi ,puest o que se nt < 0 para i € 2 JT[. Por consiguiente, las ecuaciones x —a coat, y = %+sen * describen una curva cerrada con los puntos de rctorno
(a, 0) y (—a, 0). Vemos
que la integral Pi — f y dx es igual al <1rea (tomada con signo negalivo) de la figura 0 2* limitada por la curva Z j( f) y el segmento [—a, a j del eje Ox, y la integral fy —j ydx
-
p
u ours
ome r can ur n um .
^s igual a I diva ill 1 hi lij'imi lim itad a p or la cur va //,.(/) y el si yinen lo lil ar ea bus cad a I* en igual a la si im a al ge br ai ca de y /••:
2*
fm
P = P1 + P2
a
2?r
dx{t)
2-h sent
0
2ir
a sen t
(- a sen t) dt
o
2K 0
IT
dt
2 4- sent
2 + senf
dt
f
J
n
J 2 0
sen31 IIV1—
M
se n
t
dt dt
92 + 8a2
o
2 f sen/
i
<*(tgf)
tg 2 ! + t g | + 1
— It
Consiguientemente, P = Tra2f
= 2tl
|J1
2+sent i £ R, es de periodo 2 , entonces de acuerdo con
--JT
124. x = 2t-t 2,y
2 + sen t
a
2
"IT
dt
Ox,
271
sen i — 2 sen t + 4
Dado que la funcion t el ej. 51 tenemos
| af <*J de l ejV
- 9V
vS
arctg'
2tt
VS
it-(0
•
-t*.
4 Solucion, La curva que define la figura plana en cuestion tiene un punto de autointerseccitin en el srcen de coordenadas, por lo tanto en el ejemplo considerado hay que calcular el area limitada por el lazo de la curva. Como x = y = 0 para t = 0 y t = 2, resulta que 0 ^ t ^ 2. A1 aplicar la formula (6) del p. 6.2 obtendremos
P
1 /(f 4 - 4f 3 + 4f 2 ) dt 2 0
Hall ar las areas de las figuras plana s polares:
125.
7T p 1 - cos If V = 4-*¥> '
p
l/£ 5 2 \5
.4^M" f +
8
j4
o
15
•
limit adas por las curvas dadas en coordenadau
X 2
-4 Solucion. A1 aplicar la formula (3) del p. 6.2, obtenemos TT
P
TT
d(p
P 2
(i — cos tpy TT IR
£
i
4
^ < 4 ^ 2 + 3). 6
••I—
126,
p
p , 0 < e< l + e cos tp
(elipse).
kf
•
M8
(apil ulo' ).. Iitti'fvnil dcll iiid a
< Solur irill. A jitirlii dc lit formula (3) del p. 6.2 y de l.i soli ic ion ilel uj. 131 del cap. i resulta _. VL f
# P_ ( 2 ./ (1 | e cos ~
r
=
2
l+W' ttw*
2Tr r^ + TTlX
11 - £ . x\ ,
. (
2jt
2!r
fl-p2
V' i 127.
p
— y?
sen ^j
2
Solucion. En virtud de que el conjunto de los puntos
(I <
{{
< | } no es una figura plana cuadriculable en sentido ordinario, por lo tanto lim P{e), siendo n—+0
Dado que lim P(e) = i f-t+0 * 128.
lim (c te e —
=
lim
=
lim
P
~ 0, obtenemos
=
>
p = « cos
+ sen
M
€ <1>.
Sol uc ion . Los puntos de la circunfercncia {p — a COS
< | } son simetricos respecto
al eje polar, y el radio de dicha circunferenria es igual a A partir de ia desigualdad « cos ip sen
0
^ ip 4. IE".
Consiguientemente, la figura ^ cs la union del semicfrculo {p ^ a cos
{p sj a(C0S
Designaremos a este ultimo mediante 2
o r
.
.,2
1
Su drea P.* se calcula aplicando la f6rmula o
'
-
— (
~
De este modo, P -
+ T (I ~ 2)
= f ^ "
2 V
*
ctis
^ 2
)
E
« /5T ~ 2 U
_ 1\ 21'
a nu
129.
Hallar el
de
guomc r a s nr
n
*
li^um plana limiliula pore!
jirliilo de la curva
\
Solucion. A medida que p crece de 0 a j , el iinj^tih»
0
O
l
\ J PHV) *P + l f 0 1
P2(V)
P
1/2
P2V(P) dP
4l
'
o
tomada conOrnB el signo p u e s elsumando primer sumando primer es igual al area segmento segundo es igual del al area delmiembro sector OAB tomada condel el f y el" — signo luego 1 l l * f z a * ( isznirp f , \ / P — — — j p cos np dp = — —( p —-— ~ ~ I P sen TTpdp J = j p. sen irp dp — o
130.
0 i° 0 , 1 f l _ COS-JTp 1 1 ( p dp ——1—y sen tt/j\ —I —. — j cos 7T/? 7T ll TT J f. r (ft 7T 0
•
Hallar el area de la figura plana limitada por la curva
at 2 wt 2 r 7 -{(
Solucio n. De la condition p ^ 0 se deduce que t ^ Q. Dado que p — 0 para t — 0 y p 0 para t —* , entonces 0 < t < -boo. Por consiguiente, +O0 p
" \J 0
M =
+00 i f t2dt 27ra' 2 (l + t fa + t f 0
Al integrar utilizando el metodo de Ostrogradski obtendremos
V 4(l-M 2 )( l + i)
4
/ 6L
2
\2
n
8/
V
4/
n
131.
Hallar el drea de la figura limitada por un lazo delfolio de Descartes x3 -f- y3 = 3tt(7;t/.
Solucion, Parametricemos el folio de Descartes tomando y = tx. Entonces obtenemos las ecuaciones parametricas del lazo del folio de Descartes en la forma
ir>(l
Capilulo 2. inte gral dell iilil a
I'ara calc ular el rtitKi, luigamos uso do la formula (fi) del )>.(».% Utnuindti an consideration que (:r,(t)y'(t) y(t)x'(t)) dt « x\i)
dt,
Por consiguiente, 2 2
132.
+ 00 r A At
iJ-
- J f J(ll -^ + Lf»J*
2
-H» rAti • f3^ Jf ( H O o
a -
1
2
t+i^U
7
1°
_ 2
Calcular el area de la figura limitada por la curva cerrada x1 +yA — a2(x2 + y1).
< Solucion. Pasemos a coordenadas polares segun las formulas x — p cos ip,
sen
y~p
Dado que la curva es simelrica respecto a los cjes de coordenadas, tenemos 0 ^
-.
Aplicando las formulas (3) del p.6.2 y teniendo en cuei\ta la solucion del cj.23 obtenemos 2, i
2 J o 133.
sen'1 ip 4- cos 4
2
Calcular el area de la figura limitada por la curva x* + y* — ax?y.
A Sol uc ion . Parametricemo s la curva poniendo y — tx, resulta •"^v+F'
t2
t
v
y las variables x e y se anulan para t = 0, y tienden a cero para t —* oo. Ei conjunto de puntos de la curva 7 = {f®, y ) c: ® 2 T a «
v =
a
y ^ >
1 €
ffi
}
es simetrico respecto al eje Oy. Por consiguiente, la figura plana estS limitada por dos lazos simetricos respecto al eje Oy y situados en el semiplano superior del piano xOy. Por eso, el ilrca buscada es igual al area duplicada de la figura limitada por un solo lazo:
2
0
0
Utilizando la sustitucion y —j es ftidl demostrar que se verifica la igualdad +00
en virtud de la cual tenemos
+00 ,An -m—2
,
p
,
m-
| IX]
r2 dt 4)
rs geonmr can nr n
(i+1 7-
f
J o i
"Hi
t A d i
vr+W
t'lr
m
ft it
1
in i /'U
I iK)
M r "' i '1 "f dt
*
14
I /" dt
I | /a
J ! | lx 4
Dado que ™ / y~r= £ / o o
(conforme a la igualdad ('!)) tenemos 4-oo 8 j T-M 4 o
donde F{t) = ^ arctg ^ Final mente tenemos
+ ^
8
sgn t para M O •TT
r- JL. 8vT
p-
o y F{ 0) = 0 (v.ej,2Q del cap. I)2
8V5
^
(|) Nota, Antes de pasar al calcul o de voltimenes de los cuerpos seg un las formulas (1) y (2) del p. examinemos dos ejemplos en los cuales demostraremos algunas formulas utiles para el calculo
$ = {(#> 2/) € M2 : a < a <
O^y^
/(a?)},
donde / : [a, 6] —> K es una funcion continua en el segmento, es igual a
V=2ir
/
xf(x)dx.
a
Solu tio n. Sea II = {ccq = a, a c i , .. . , 05 tt = b} una partition arbitraria del segmento [a, En cada segmento [a?*,Xi±\], i = 0, n — 1, consideraremos dos rectangulos cuya base es v mismo segmento [x-i, x'i+i] y las alturas son iguales, respectivamente, a nii y Mi, donde '
Ml
|—
m* - mm {/(a ;)},
M%= mkx {f(x)}.
Las uniones de todos los rectangulos de un mismo tipo forman dos fig urn escalonadas, una de las cuales se encuentra inscrita en la figura y la otra, circunscril alrededor de la misma. Al hacer girar estas figuras escalonadas alrededor del eje Oy ^ obtienen dos cuerpos cubicables Ti y T2 compuestos de cortezas cilfridricas, Los volumenes de los cuerpos T\ y J? son iguales, respectivamente, a n-1
VTl =
t^O
ti—1 = £2w t=0
m
' ^
Consideraremos la funci6n
2'KmiXi Ax{.
- Sn(tp) <
+ Xi+1 2
AXi>
Vt> =
2-nxfix), a ^ x
n-1 S 2M {-0
;
Dado que
Ax,.
+
(p £ R [a, J
donde Sn(
if
5u(y?)
Ctpliult) ?.. Integral lirlluiil.i A parti I' lie las des ign ed ad es evideillea n-1 irm> VTl = V lirimXi Ax{ Ji-0 i=0 i=0 n-1 ft—1 KjVti Vr, - y^ ZtMiZi+i AXi i=0
- S\\{tp) + V ^ yrnii Ax},
- S„{ip) - ^ if Mi A®* i*-0
resulta que V% - VTl = Su(v) - £[](¥>) ~%t donde Jn =£
Jr(M{ + «»() Aa;?. Estimando 7„
obtenemos |7„| < 2TTM(6 - a} d{fl) , donde M — max {f(x}}, rf(II) = max Aar;. Teniendo cm cuenta la desigualdad .So (
I <'n'>~° i
1
135. Demostrar que el volumen V de un cuerpo de rcvolucion T engendrado al gtrar la figura $ = {ftp, p) € K 2 : 0 ^ a ^ tp ^ fl sj ir, p = p(
V
p3(ip) sen
J
(1)
M Solucion. Sea II — {
n i v% -
i=0
i= 0
,
44
V i rt ,
n-1 s
V t=a
m
3 <3
H
e
n
Vi + ViVif
A
f-jCi. A|tlU 4i« ioin'N goomolrii'iiM i\v la integral dclinidi Designomos
ipltsen fy -• max (ueny>|, nr\\
nun
VT V H't 11
Vl-^W'.Wtw
y consular
rmas la diferencia de los volumenes
Vr,
Ti — 1
4 3
V—^
^
11
-)sen
diipi / .A(n •
son
2
i=0
I )c. las desigualdades (Mf - mf) sen
sen Ap <
se deduce
n-1 - ^
< ? 3
sen fr
mf sen
A ^ = 5 n (/) ~ 5n(/),
2 =0
2ir (
j p3 ((p) sen d
lim Vt ,= lim Vji d{ n)-»o d(n)~to
•
a
Calcular los volumenes de los cuerpos limitados por las superficies siguientes: 136.
Paraboloide de revolution cuya area de la base es igual a S y la altura es igual a i f .
Solution* Hagamos uso de la formula (2) del p. 6.3. La superficie de todo paraboloide de revolution se describe mediante la ecuacion z — x +y y cualquier section ortogona! del cuerpo por el piano £ — cr 0 < c < H, es un circulo x -\-y ^ c. De este modo, el conjunto de secciones del cuerpo limitado por la superficie z— x +y es el conjunto de circulos de radio z, cuyas areas P{z) son iguales a wz. De acuerdo con la formula (2) del p, 6.3 obtenemos •J
ry
r-p
ry
A
E
V — 7f I z dz o
irH2 2
ya que, segun las condiciones del problema,t t H —S,
137. % + y a
/-j
SH 2 •
1 ^ ^ — -irC.
Solucion. El cuerpo esta limitado por un hiperboloide de una hoja y por los pianos ^ = ±c. Debido a que el cuerpo estudiado es simetricos respecto al piano xOy, resulla suficiente calcular el volumen de la parte del cuerpo que se encuentra en el semiespntio z ^ 0 y luego duplicar el resultado. En toda section ortogona! del cuerpo por el piano z — C\t 0 < c\ < c, se obtienr ^ y2 _ 1. Por eso, el area P(z) de la section transversal del una elipse + .2 \ 2 ( ) (nA+S)
I.rvt
< apitulo'?.. Inte gral ilt'linid. i
cuerpo por <*l piano os igual (conformc ill »'j. I f>) .1 vnh( I I ' j ) . Aplicand o lo formula del p. f>,3 oUlctH'tnu.s e V = 2 J P{z) dz
138.
j ( l + -^j dz ^
- 2tab
•
x1 -f y2 + z2 = a2, x2 + y2 — ax.
1 Solucion . El cuerpo esludiado esta lim itado por una parte de la superfi ne cih'ndnca f por dos partes de la esfera. Es cvidente que el piano xOy divide el cucrpo en dos parte* iguaies. Tor eso, examincmos aquella parte del cuerpo que se encuentra en el scmiespacio^ z S 0, En la seed on de dicha parte del cuerpo por un piano perpendicular al ej e Ox s$ tiene un trapecio curvilfneo cuya area P(x) es
P(X) - 2
I
V(
0 El volumen buscado V sc obtiene aplicando la formula (2) del p. 6.3: a p ( x ) dx.
r-2/
(i Calculemos primeramenle P{a;) realizando en la integral correspondiente el cambio
P{x) aa 2
f
(a2 - X2) c os 2 t dt = (a2 - x2) farcscn . /-M-
+
t —
.
J« \ \a+x a+x/ Sustituyendo la exprcsion obtenida de P(x) en la formula para el calculo del volumen V, hallamos a
,
V = 2 [(a2 J
- a; 2 )(arcsenJ-II \ y 11 + 1
2(7, + 12),
a + x/
donde - x ) arcsen . /a —x da;, V +
I\ — ((a J 0
12 — j (a — x) \fax dx — —a',
J
0
Realicemos en 1\ el cambio de variable x — a tg2
I
»
h = a 3J vKl - tg'V) rf(tgV) = « J (^(tgV 0
V /
* 7
ir
*
^
*
T
' - j (tgV a
-
= *
(tgV +1)
* (f Vfck~ 0*+ § / "^
*
"5
I J
ApllrarinnrK geometrical de Li I I ^ I detlnitla
L
I'innlmente queda
V =
2
t
t
S/4 15 —
+
-
TT 3 -
—
=
-
a
T T
•
.. ' IJ "•^
•
^^
- -
JV
ii
.
j
•
•
••••
Hallar el volumen de un cuerpo limitado por una superficie que se obtiene al girar ht grafica de la funci6nx + (y - b) = a , (a;) ^ a, 0 < a < b, alrededor del eje Ox.
| Solucion. El cuerpo que se obtiene al girar la circuriferencia de radio a con centro en el punto (0,&) tiene dos ejes de simetrfa: el eje Oy y la recta y = 6. Las ecuaciones de las partes superior e inferior de la circunferencia respecto a la rectay — b tienen la forma
y$ b + a2 — x2, yi — b— \/a1 - x2, ja?|^ a, respectivamente. Al aplicar la formula (1) del p. 6.3, obtenemos a v = TTj{yl
a y\) dx = 8?rb J
-
-fl
TT
Va2 - x2 dx = 87ra2b J cos 2 1 dt= 2irV k
0
•
0 »i n
1-
Hallar el volumen de un cuerpo limitado por una superficie engendrada al girar las graficas de las funcionesx = a(t — sen t)r y — a{ 1 — cos i), 0 ^ t ^ 2?r, y y = 0: 1) alrededor del eje Ox; 2) alrededor del eje Oy; 3) alrededor de la recta y — 2a,
4 Solucion. 1) Aplicando la formula (1) del p. 6.3 tendremos
2k2% a y2
V=nj
2TT 3 dx^naJ(l-co$tf
dt^Sva
3
/ sen
X
6
| dt =
2
= 16ira3 J sen6 z dz = 32 ™ 3 J sen6 z dz = 32?ra 3™ *| = 5t tV o o (se ha utilizado la solucion delej, 43). 2) Calculemos el volumen del cuerpo aplicando la formula demostrada en el ej. 134:
2% a
2ir
V = 2?r / xy dx - 2xa 0
3
/ (f - sen t)(l - cos t) dt f / j .
_
_
.
.
w
*
t\
2
0
2 jr
Its sen t( 1- cos i) dt = f —t( l - . cos . . n2tf dtj f= 2ira* J ,v2
lira?3 I1 Jx/-i t)f dt-j± j ±\2 f t( 1 - cos 0
0
2tc
*
lira* I t o
2%
0
- 2 cos t +
dt = 3?ra ftdt 3
=
6irV.
o
(Para la obtencion de este resultado utilizamos las igualdadesJ sen t(l — cos t) dt — o / sent (1 —/r
cos t) 2 dt = 0, f t ( - 2 cos* + 0
dt = 0.)
t'apilulo 2. Inlegr.il
(li* finitl. i
,1) Ptisenuw a un nuevo sistema do mmli'imdas segun tas formulas y\ ~ y «J x\ — x. lil volumen buscado es V -— siendo t /! el volumen tie un .eilindm seccion circular de altura 2ira y de radio de la base igual a 2a; el volumen se calcit mediante la formula a™ i* 3 I ((1 - cos 0 y z = 3T j y\ dx = TTtt
G
2
- 4(1 - cos i) + 4) (1 + cos 0 dt = -K2a.
0
Dado que V", - 87 T V, se obtiene V - 7ir2a?.
•
141. Hallar el volumen de un cuerpo engendrado al girar una figura plana limitada un lazo de la curva 7 = { x — 2t — t2, y = 4f — t3, t € iR} al reded or del: 1) ej e 2) eje Oy.
0
< Sol uci on. 1) Dado que x — y — 0 para t — 0 y para t — 2, entonces 0 ^ < < 2. Al creel el par&metro I de 0 a I, la variable x tambien crece de 0 a 1. Ahora, si t crcce desde hasta 2, la variable 3: decrecera desde 1 hasta 0, luego 3 1 2 2 V = -ir J
y2dx-ir
J
y2 dx = - j r j
y2 dx = 2ttj{t-
1)(1W2 St" + f ) dt =•
1 0 D O 2) Para calcular el volumen, hagamos uso de la formula del cj. 134 y tengamos eflj cuenta los razonamienfajs expresados analizando el caso 1). Obtendremos 2
1
V" = ~2x J xy dx - 2wJxy
2
dx = - -2ir jxydx
— 2
- —2ir J[21 - t )(4t - t?)2{\ -t)dt=
-^105TT.
142. Hallar cl volumen de un cuerpo engendrado a t girar una figura plana limitada p on la grafica de una funcion definida paranietricamente (x2 + y2)2 — a2(x2 — y1): 1} alrededor del eje Ox; 2) alrededor del eje Oy; 3) alrededor dc la recta y = X.
< Sol uc io n. 1) Pasemos a coordenadas polares X = p cos
0
f t f 2 4 I 47Tfl V = - j t / a cos 1 2
-%
cos
' V~
"<~Dr (*1 •-"
rf(cos^>)
=
1 + |T
2) Tomaremos el rayo tp — * como el eje polar del sistema [p\ 0) (fig-6). Tenemos P'(&) - pitp), $ — a = s.
tj(,. Apllriti ioiu'N R ....m«ricai t de l»
«"»•
demoslrnilii in «•! 4 Apluiuemos alumi l.ilon,u l1,1 1 j,.urn essimetrica y qiu- wi. 0 < 0. Hallamos
l*-iii«-.KU» <•>< im-nU. t|iu-I
TT JT
4
V
3
4nd T
sen0| dd
dip
sen I 0
TT
TC
4iral 3
47ra' cos ipdtp^ ^ ^ I (!
f cos^ o
3!! 7T 2
4*a 3
4ira
V
4^2'
3a/2 0
0 * por el eje polar del sistema (p\0) (fig. 7), entonces 3) Tomemos el rayo p - 4
it{0) = p(v)>0 = ¥ "" I*
a
/)
Fig. 7.
Fig. 6.
Tomando en consideracion la simettfa de la figura y la desigualdad sen *
0,segun
la formula del ej. 135 obtendremos IT
0
V
3
/ow
sen0|d0
47ra;
cos5 2
- 5) |
JT
t, entonces
Realicemos en la integral el cambio IT TT
V -
47Trt
sen2 2t sen t dt
8V27Ta 3
o
cos^ t sen^ i ti(sent) o 3
i i „4 lleeamos a la formula F Tras efectuar la sustitucion ? - 1 - « iiegamua +00
J o
(1 + 1A4)3
du 0
u r dli, (1 + u4 )3
(la ultima igualdad resulta de la solucion del ej. 133).
2y
TTft 0 ^ W l , donde
dz.
IW
('ii|>iUik>2. Intc giii l def inid a Integrando por pur Its obtenemos OU
1 8
I
I'OO
3 f
«'2 An 3 f ( I H »4)2 ™ 8
aJ
(1+MY
J
_u du + u4 )2' (1-
jt / n+ffi)' = — P o r consiguiente, / = +
En el ejemplo 133 se demostr6 que V ^
4~•
Ejerckios Calcular la longitud de la curva 7 si: 105. 7 = { ( a , jr) £ K" : y - In x, V 3 ^ x < \/8}.
106. 7 = {(x, y) £ Hi2 : y — rtch ^, 107. 7 — {(»,»/)
€R*;a
108. 7 = {(i,s)eR
!
:«l +
=«?,
110. 7 = {(J, y, z) £
111. 7 - {(?f,y,jj)£i
e :V- -3y
112. 7 - {(1,5,2)6
113.
8'
y/a*-
b^y^a}.
[s| < a } .
109. 7 = {(a;, jf) £ R : : i = a cos 5f, y-a Kn
a > 0}.
fi^J^Hj,
: = a I nZ & t -
sen 5 i, 0 ^ i ^
: x — a. cosi, y - a senf, 2 — bt, 0 < t ^ (&}. )
2xy = 9z t
: jf = a arcsen f, «e>
{(s, VyZ) eSt 3 : x - at, y = VSabt1,
O^z | In £ 0f t
<% J-
z^2bt\
114. Hallar la longitud de la curva definlda por L a ecuacidn \fx + ^fy — -/a, desd e t>l punt o (0, hasta el punto (a,0). 115. La parabola 7 = {(x, y) £ M . 1 : 4 ay — x2, x C 1R} rueda por el eje Ox. Demostrar que su describe una catenaria
7 = {(*, y) G a 3 : y = a ch \ , x £ R } . Hallar ct area dc las fig u raw pi anas limitadas por las gtaficas de las curvas siguientes: 116. La astroide + = < P , 117. La curva a: 4 + y* — a;2 -hji 2 . 118. La podarta dc una elipse (x2 y2)1 = e^x1 + hl\f. 119. Las curvas y2 — del eje Ox.
x2' + y1 —2tix, 2x — y = 4a. Calcula r el area de la parte situada e ndm a
120. El lazo de la estrofo ide (a - x)y2 = (a + w)x2, 121. Tji curva (y — xf — x3 y el segmento correspondiente del eje
Ox.
122. La curv a y ^ J -4- y j \ = 1 y los segmentos correspondien tes de los ejes de coordonadas. 123. La elipse y +- ]£ —1 y la circunfere ncia x2 + y2 — ab. Calcular el area de la parte situada • fuera de la circLinferencia. 124. La curva p = a cos 4
123, La hiperibola equilatcra p2 cos2p — a2,
4 a 2 cos®
^
127. li! laa> de la curva x' -f y7 =
128. Ui curva x2y2 = 4(a: — 1) y una recta que pasa por el punto de inflexion de dicha curva, 129. Calcular el area de un cuadrado curvilfrieo fonnado por las elipses
u^y3.
|i7. ApHianoiu'tf iir lit inU'gml <1iMinuiii Hallar los vnlumviU'N ile low cuorpo.s limilddiwpor Un MUpnUiicN cn^fiulrati.iri af giiar las curvas siguienles: 131).7 = {(#, y) £ E2 : y sun j:, 0 ^ x ^ tt } alrededor del ojr Or., 131. 7- {(x> y) € R2 : (2a - x)y2 = a?3, 0 ^ x < a ^ 2} alivdedor del eje Ox. 132. 7 = y) € K2 : # = a(t - sent), y= a(l - cosi)> ^ 2tt«} alrededor de la rocla y —ftu,{) < k <2, que la corta. (Calcular los volumenes do los dos cuerpos de rcvolu ciim quo se obticnen,) 133. 7 - {(x, y) € R2: y = , x € R} alrededor de su asfntota. (34. Una curva definida por la ecuacio n p3 = a3 cos gira alrededor del eje polar. Determiner el volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar la figura limitada por el lazo situado en el tercer cuadrante. 135. Un segmento del circulo de radio R correspondiente al angulo central a gira 2 alrededor deus cuerda. Hallar el volumen del cuerpo de revoluci6n. 136. Un cubo de aristaa gira alrededor de su diagonal. Determinar el volumen del cuerpo obtenido como resultado de la revolucion de una de las caras del cubo. 137. Dado un cubo de aristaa, determinar el volumen del cuerp o de revolucion engendr ado durante el giro de una de las caras del cubo alrededor de la diagonal de la cara opuesta. 138. Una curva definidamediante laecuaci<5n a;4 ft/4 = 2 axy2 gira alrededor del eje Oy. Determinar el volumen del cuerpo limitado por la superficie de revolucion obtenida. Hallar los volumenes de los cuerpos limitados por las superficies: 139. 5 = {( ^j fj Zj eR 3 :xz-h4y2^8z, x2 + 4y2= 1, z^O}. 140. S - {(ar, y, z) £ E 3 ; y2 - 2p(a - x\ x - % - 0, x - 2% -- 0}. L41. S - {(at, y, z) £ R3 : z2 - (a - x - y)a, x - 0, y - 0, z — 0 } . 142. S = {(xjy, z) € R 3 : z2 b(a x 2 + y2 = ax}. 144. El eje de un ci lindro de seccidn circular recto de radio (un r vaso) forma un angulo a respecto al horizonfce. Elcircular cilindrode esta parcialmente La de parte del fondo cubierta dc agua es un segmento angulo central 2
§ 7. Esquema general de la aplicacion de la integral definida* Ejemplos de mecanica y de fisica 7.1. Funcion aditiva de un intervalo Si a todo segmento [a, conteriido en un segmento dado [a, 6] le corresponds? un cLerto valor de una magnitud geometrica o fisica determirada P{[a, /?]), entoncesP se denomina funcion de segmento. Definicion. Una funcion P ; [a, /?] P{[ a, /?]), [a, f3] C [a, &J, se denomina
aditiva, si
V 7 € R P{ => P([a, /?]) = P([a7 7 1) + P([ 7 , /?]). Teorema- Sea P ; [at/3] w P([a,/3]), [oe,^] C una funcidn ad f a J —> p € Cfa, b], una funcion tal que P([a:o, x]) = p{x - osq) + o(
V• Entonces se verifica la formula /.0 € [a, 6],
P{[a,b])~ fp{x)dx.
(I)
U>()
(.'apilulo
Intcftiitl dt'flttlilil
7.2. Calculo de momentos catittcos, iiintm'nlnn de incrcia y de cUDrdenadai del cent ra de graved ad de curva* y figura* planas Sea {Mj(xj, yj)} un sistema de puntos mafertales de masas rrij, j = 1, ft, que I encucntran en el piano xOy. Las magnitudes n 11 =
m0)>
J*
= ]C
miv)
j=l j=i se denominan, respectivomente, momenta estdtico y
momenta de inertia de este si puntos respecto al eje Ox. Supongamos que una rnasa de densidad lineal /t = 1 esta uniformemente distribuidfl : y — /(a;), a ^ x ^ ft). Ei momento estdtico y e por um curva suave 7 — {(a, y) £ mom en to de inercia de la curva 7 respecto a los ejes de coordenadas se definen del modo siguienle: b 11 Mx = J f(xW\
+ f'(xfdx,
+ f'(xf
l9 = j
Mt = J x^\ +S'{xf
dx,
dx,
Ty = J x2\/l + f'{x}2 dx,
u
(1)1
a
y las coordenadas del centro de gravedad C(£, q) de la curva 7 son: My I '
Af, T '
=
donde J es la longitud de la curva 7. Supongamos que un trapecio curvilfneo homogeneo se encuentra completamente , a un lado del eje Ox. Se denominan momentos estaticos y momentos de inercia de este. trapecio respecto a los ejes Ox y Oy a las magnitudes |
fw
b J
f {x
i>
)d x :
My
=
sgn/(as) J xf(x)dx,
a b =
(4)
e b h = / ®2I/(®)I
/2(®)l/(®)l
(5)
y las coordenadas de su centro dc gravedad C(£, ?}) son: pi
* = •]?»
(6)
donde P es el area del trapecio. Nolcse que el centro de gravedad de una figura homogenen plana que tiene una eje de simetrfa, se encuentra en dicho eje.
143.
Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la figura plana siguiente: 2 2 - {(at, !/ )£ !' : ~ + ^ Ci
JAptl \7 r.ui oiu^ de la inlegml defhddn
ini
I Soluci6n« Al aplicar niuvMivamonte las formulas {'!) y (ft), (ibleiuunoH
n r '
* ,
r
2 ^
r 2
,
^
'
t
^ l
w'2.
1
3
0 U a;2 .
6a2 '
0
-2
«
o __
£. = My :
?ra&
4a = —,
Tab
—,—,
B
K
^
144. Hallar los mementos de inertia
4b
2j a fo 3 i
= -
V = M X: —
(puesto que el area de la figura $ es igual a aft), • RN
ah
1 1
I v
•
—
e I
o
la grafica de la funcion x y- > eje Ox.
y
de un segmento parabolico $ limitado por
0 ^ x ^ 2a, y el segmento correspondiente del
/
Solucion. Segun las formulas (5) tenemos 2a
Ix =
J{2ax
la
ac2)3
-
h J= ^(^x -
das =
0
•
=
0 • •—|| |
^
—L
M^
—
r
l
-
1
-
^
' ••
145i Hallar las coordenadas del centto de gravedad de una semiesfera homogtfnea de radio a.
Soluc ion. El eje Oz es el eje de simetria de la semiesfera T = {(x, y, z) € R 3 : x2 + y + z 2 ^ a 2 , z > 0}, luego el centro de gravedad se encuentra en dicho eje, Cakularemos el momento estatico dM respecto al piano xOy de un cinturon esferico de altura dz cuya base inferior dista z del piano xOy. Para ello, consideraremos aproximadamente dicho cinturon esferico como un cilindro de la misma altura y de base igual a la base inferior del cinturon esferico (es decir, al circulo de radio r — Va2 — z2). Evidentemente, dM es igual a ir(a — z )z dz , luego a 2
M — j z{a 0
-z2)dz
2
2
= ?~.
>7
Dado que el volumen de la semiesfera es ^na , tenemos t
Por consiguiente, C(£, ,
II •!
•
. | .•
•
L
^
* ^
_ 3M __ 3 ~
2 M
0 = (0 ,0 , f a ) .
>
C
L
l
3
~
^
146. Determinar la presion del agua sobre un tabiquevertical en un canal si la seed on del tabique es un semicirculo de radio aT y el diametro de dicho semicirculo se encuentra en la superficie del agua.
Olpl'ltllo '}.. IlltCKt'itldWhtid.i So lu ti on . IJtuigm'iitos mediante ((a:) In longitud tlt< una mrla horizontal Irazada a unfl disinncia x dc A1) (fig. S). Aproximando la franju tiiniprontlidn cntrc los rectos horizonl
Fig. 8.
Segun la formula (1) del 7.1 tenemos a t\/(i1 — x2dx
~
147. Un disco de espesor h, radio r y densidad 6 gira con una velocidad de n revoluciones por segundo. Hallar el trabajo que se necesita para frenarlo.
•4
Solueir'ji. Segun el teorema de la variation de la energia cinetica, el incremento de In energia en un cierto intervalo de tjempu es igual al trabajo realizado por !as fuei'zas aplicadas al cuerpo durante el mismo intervalo dc tiempo T-Tq
= A,
donde T es la energia cinetica en el instante final, YQ es la energia cinetica inicial del cuerpo y A es el trabajo de las fuerzas exteriores. Dado que el cuerpo es absoiutamente sOlido, el trabajo de las fuerzas interiores es 5cero. Dado qui al final del intervalo de tiempo el cuerpo se deliene, entonces T — 0. Consiguientemente, To — —A. Para calcular la energia cinetica, examinemos im cilindro de seccifin circular de radio p, 0 < p ^ r, espesor dp y altura h. Su volumen (con un error del orden de (dp)2) es igual a lit hp dp, y la masa dm es igual a 2n6kp dp {fig. 9). La velocidad lineai v de los puntos del disco que se encuentran a una distnncia p del eje de revolution es igual a up, donde w es la % 9velocidad angular de! disco. Dado que el disco gira con una velocidad de n revoluciones por segundo, tenemos u> = 2k n c" 1 . Por consiguiente, v = 2nnp. La energia cinetica del cilindro de seccion circular es aproximadamente igual a v2 1 dTa = — dm = - w?'p2 dm = vSufhp^ dp. Asi pas s, con forme al csquema general de aplicacion de la integral obtenemos r
To = IT6h
j
r
« V dp
Tor consiguientc, A = —7'o = —iri&n1hrx.
%
4n^Sn h j >
p* dp = X$Sn2tir*.
. vpm none
e n nrrgro
nnuun
1 4 8 , St: sabe i|uf dm cnrgus eloetricas de igual Higno
ivpeleu con una luer/a
,
donde e\ y c2 son low valores de las cargas y r, la dlsiaiu ia mire las mismas. Determinar el trabajo necesario para ace rear la carga — I desdr el inEim'Lo a una dislaneia il de la carga e\. <4 Solucion. El trabajo elemental dA es igual al producto dc? la fuerza por el desplaznmiento elemental y por el coseno del angulo comprendido entre las direcciones de la flier/a y del desplazamiento; dA — F cos a dr (fig. 10). En. el caso estudiado tenemos dA F\ dr cos7r = -Fi dr — dr, puesto que Fi ~ De acuerdo con el esquema general de la aplicacion de la integral, obtenemos R
Pa
oo
rlao
II'
^
R
dr
Fig. 10. W Hjercicios 146. Una placa rectangul ar homogenea de ladosa y fr'se divide en dos partes por una parribola cuyo vertice coincide con uno de los vertices del rectangulo y que pasa por el vertice opueslo a este ultimo, Hallar los centros de gravedad de las partes superior S\e inferior del rectangulo* 147. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de una figura homogenea limitada por In parabola \fx + ^Jy — \fa y los ejes de coordenadas. 148. Hallar el momento estatko respecto al Ox eje de una figura homogenea limitada por Ins graficas de las funciones % y x x2, x £ R. 149. Hallar las coordenadas del centr o de gravedad de unaigura f homogenea limitada por la gnifica y = ax — x4. de la fundtin definida mediante la ecuacion 150. Hallar las coordenadas cartesianasdel centrode gravedad de una figura hom ogenea limitada por la grafica del lazo derecho de la lemniscata de Bernoulli p2 — a2 cos 2(p. 151. Hallar las coor denadas cartesiana s del centro de gravedad de una par te de la espiral logaritmica p = ae v, f < (p ^ 77. 152. Dado un cono cuya base es de radio R y la altura es igual aH, Hallar el momento de in ercin de la superficie lateral del cono respecto a su eje de simetrfa. 153. Hallar la positiondel centro de gravedad de un conohomogeneo. 154. Los radios de las bases de nu cono de section circular recto runcad t o sonR y r, su altura es h y su densidad esfi . ^Cual es el valor de la fuerza gravitatoria con la que actua este cono sobre un punto material de masa rn colocado en su vertice? 155. Una gota de masa inicial M cae bajo la action de la fuerza de la graved ad y se evaporn uniformemente perdiendo en cada segundo una masa m. ^Que trabajo efectua la fuerza de gravedad en el intervalo de tiempo comprendido entre el inicio del movimiento y la evaporacitin total de la gota? Despree iar la resistentiadel aire, 156. Una placa triangul ar de basea — 0,4 m y altura ft = 0,3m gjra alrededor de su base con una velocidad angular constante — . Hallar al energta cinetica de la placa si su espesores d = 0,002m y la placa esta fabricada de un material de densidad fi ~ 2200 3kg/m . 157. Una placa de forma triangular esta sumergida verticalmente en agua de modo que su base se encuentra en la superficie del agua. La base de la placa a yessu altura es ft. a) Calcular la presion del agua sobre cada uno de los lados de la placa. b) ^Como variara la presion si damos la vuelta a la placa de modo que su vertice se encuentre en la superficie del agua y la base sea paralela a la misma?
l.'apilulo'.'.. Integral tlcllniil.i 1!>H. Una Iwrra dc longilud I gir a alr ededor de 11110 de iillji extr
d.unl it n vuoit.is por segu ndo ,
1 In ton IJclurmuiiiL s ion cn el punlo dosujccion ni1m ilcii/.idud lineal dc la barra es igual a a, Ln fiier/a centrd'ugn QUE actda sobte una masa m que MI n HI eve pur una circunfoiendaDC radi 2. con vciodiind angular ui es igual a mru)
159. Baj o la accion de una carga / un alambre de (ongi tud I, tie seccion transversa! S y de modulo de Young E, experi ments un alargamlento A( igual a , Determ inar el alargamien to de este alam bre b ajo la acciiin d e su peso si el alambr e se encuent ra colg ado vertical men to. El pes o especifico del material es igual a / J. 160. BajO una carga de 9,8 H un alambre queda alargadn cn para alargar d alambre en 0,04 m?
0,01 in. i Qu 6 trabajo [ray que realizar
161. ;Q ue trabajo s e debe realizar par a amonton ar arena en tbrma de un cone con radio 1,2m y con altur a 1 m, si la densi dad de la arena es igual a 20 00 ea/it 5? 162. De acuerd o con la ley de Jou le la cantidad de calor desprendida por una corriente continua es i, igual a Rci't, siend o c = 0,24 una consta nte; R, la resistencla; t, cl numero de scgundos e la intensidad de la corriente. Hallar el calor desprendido en el caso de una corriente aiterna i a cos bt. 163. Segun la ley de Ton icelli la velocidad c on la que sale im liqu ids po r un orificio de un recipie nts es y / l y h , donde h es la profundi dad del crifi cio respecto al nivei de la superfic ie del li'quido. Determinar el tiempo requerido para que se vierta todo el agua oonienida cn tin embudo P, la altura es h y el urea conico con el vertice hycia abajo. El cirea dc la base del embudo es del oriticio en el vertice es v. 164. Un dl in di o de radio 0,1 5m y de altura 0,6 m esta lleno de aire a una presion de 9,8 'IQ 1 N/m 2 , ,;Qui5 irabajo hay que realizar para compriiruT isotermicamente el gas hasta que su volumert disminuya cn dos veces? 165. Un punt o material parte del punto (1 ,0 ) y se desplaz a a lo largo del eje Ox de modo que su velocidad es mimericamente igual a su posicion en la abscisa. iDonde se encoritrard el punto 10 s despu£s dc que empiece el mov imiento?
§ 8 . Integral de Stieltjes 8.1. Integral superior e integral inferior de Stieltjes. Criterio de integrabilidod Sean / : J —* IS, J = fa, 6], una fimcion acotada en el segmento J y a : J —)• una funcion no decreciente en dicho segmento. Sea fl = {u = x^ ,x„ = 6} una particion arbitraria del segmento J . Formemos las sumas integrales superior e inferior 71—1
5 H (/, a ) =
71-1
Aai >
i=0
~ X ] m* i-0
•
A( *i>
donde Mi = sup {/{ £)},
"ii
- inf { i p ) } ,
Aa,- = a(Xi
M)
- afc),
y definamos los niimeros siguientes J
/ / d a = inf {5 n (/, a)}, im
f f da = sup {Sn(f, J {II>
tjiie reciben el nombic de integrities dc Stieltjes superior e inferior,
a)),
respectivamente.
JiH. Integral de KllellJeH
10!
J el valor mimm de las integrales superior e inlert
DefiniciAn. Si
n »TH
se llama integral tic Stirltjes de la funcion / respei lo a la I urn'ion a y se designa medianl
f(x) da(x). a
El conjunto de todas las funciones / integrables segun Stieltjes respecto a I.) funcion a en el segmento [a, 6], se designa mediante / E 5,(o:)[ti) 6]. De esta definicion se deduce que para a{re) = x la integral de Stieltjes coincide con la integral de Riemann de la funcion / en el segmento J , caso general, la funcion a puede ser discontinua en 0. La funcion or se llama funcion En integrante. Teorema (criterio de integrabilidad).
f E S(a)[at &]^Ve>03II:0<
Sn(f, ff) - 5 n (/, a) < e.
8,2. Integral de Stieltjes como limite de sumas integrales Sea II una particion arbitraria del segmento Jr d(It) = max Ax^ En cada O^-^n—1 los segmentos [Xj, x ^ ] tomemos un punto arbitrario & y consideremos la suma •
•
Snif, i=0 que se denomina suma integral de Stieltjes. def Se supone lim Snif, = L si
V£>03£>G:VIIA
5 n (/, a) - 1 | <
Teorema.
1) Si para d(Il) -^0 3 lim Sn(/i ot)f entonces f £
&] y
b
hm^Snif, a) = J f(x) da{x); a
b 2) Si / £ £(a )[a ? b], or £ C[a, 6], entonces 3 lim Sji(f, a) = f f(x) da(x). dfliHo l Este teorema proporciona dos definiciones equivalentes de integral de Stieltjes 8*3. Propiedades fundamentals de la integral de Stieltjes Teorema 1. Si: 1) / G S(a)[o, 6], g £ S{a)[a} b], se tiene (/ + g) £ S(a)[a, b], cf £ 5(a)[«, b\ c — const, verificdndose, ademas,
b
b
h
b
b
if + 0)0*0 da(%)= j f{x) da{x) + j g(x) da(x), a
a
a
^Si a es disco ntinua, puede ocurrir que6/
j cf{x) da(x) = c j f(x) da(u:); a
a
aunque lim Su (/, ct)no existe(v«ej.154)
l(rf>
('.ipiluk»i2. I n l i ^ a t tli'flnldd 2) f,ii G S(a)[&, h\, /(:>:) < g(x) Vx CJ , mUmr: ; h
t,
J f(x) da(x }< J <;(*)
a
3) f t 5{a) [o, b] y si c. e ]a,
entonces f € 5(a)[a, c| A / £ 5{a)[c, 6J. Entan«s
c & & J fix) da(x)+ J f{x) da{af) = J f(x) da(x)-r a
c
a
4) / G 5(a)[ a, 6] Jf s i |/{»)| < M Vx £ J , se tiene b | J f(x)da(x) ^ M(a(b) -
a(a));
a
5) / G .5(«])[a, &] y / <~
6], entonces / £
b
S(ai + »2)[« ;
b
J f(x)d(a3 + ac2)(x) =J f(x)da 1(x) a
# se verifica
b + j
a
f{x)da?(x);
a
6) / £ 5(a}[ttj 6] y c es un numero positivo, resuHa que f 6 S(c«)[u, 6] y b
b
j f(x)d(ca(x))=c a
j
f(x)
da(x),
a
Cabe senalar que para la integral de Riemann tambten resulta valida la afirmacion inversa de 3): si f € R [is,c\y f f R [c, b], entonces f G R [ti, ft], Por lo que se refiere a la integral de Stieltjes, notemos que, en ease general, t b la existenrin dc ff(x)da(x)
y ff(x)da(x)
no implica la existencia de ia integral
Jf(x)dc(x). a Teorema 2. Supongamos que f G S{«)[a, 6], A -S fix) ^ B V x £ [o, ft], y
2) 1/| GS(a)[a, ft] y f f(x)
a
exisle In otra integral y, inlands, se verifica la formula b j f(x) dg(x)
b
J
M
df(x).
in/
'iH, integral de Stlelt|tf#i 8.4. Clawes de lu iuio nes in tegra ble s negun SI it'll jert Teorema 1. Si una funcion f
es continua en un uvytmmlo
b\, resulta tftu
f G S(a)[a, 6]. Teorema 2. Si una funcion f es mondtona cn un segmento [a, b] y a C C [a, ft), resulta que f G 5(a )[a, 6] , Teorema 3. Si f G R [a, b] y a satisface la condicion de Lipschitz en [tt, b\, resul que f E 5(a )[a , 6]. Sea h : J R una funcion de variacion acotada en el segmento J " = [a, b] y sea / : J —• R una funci6n arbitraria. Conforme al teorema 4 del § 5 la funcionh pued representarse en J en la forma
h — a - f3t donde a y p son funciones no decrecientes en dicho segmento. Definicion. Tomemos, por definicion,
b
Q
Ia
f(x)dh(x)=
ft
f f(x) da(x) - f f(x) d/3(x), a (t
si / G 5(a)[a, b]f f G S(/3)[a> 6]. En tal caso escribiremos / G 5{ft)[a, £
Teorema 4* Si f G R [a, b], (p E R [a7b], g(x) = yo — const, entonces f G 6] y se verifica
f{x)dg{x)= a
+ f
(p(t)dt, a ^ x C (>, a
/ J{x)
(2)
a
8.5, Calculo de la integral de Stieltjes Teorema. Sea f E C[a, b] y sea g una funcion continua a trozos en [a, b] cuyn
derivada g existe en todo punto de continuidad de la funcidn g y es integrable en dicho segmento. Sean — a, r. 2 x*n — b Ios puntos de discontinuidad de la funcion g y dc derivada gl. En tal caso se verifica la formula b f(x)dg(x)= a
f f(x)g\x)dx + f{a){g(a + ty-g(a)] + jii-1
a
+ m ( m - 9(*> - o)) + 1 ] /(«fc>(®(»i+o) -
k=l
9(4- o))•
o
8.6, Teorema del valor medio y estimacidn de la integral de Stieltjes Teorema 1, Sean f : [a, b] R, m ^ f(x) < M Va; G [a t 6] y / G b). Sn g : [a, b] -* E una funcion no decreciente en [a, b]. Entonces se verifica la formula
f(x)dg{x)^ti{g(b)-g(a)), a
donde m ^ ji < M.
(I
I(>H
('upitnlo 2, Inlcgta l defiuMa (Mnriu.
Hi f ( (J
l>\, enioiicea
I (_ i |
^
J f(x)dg(x) =m(
I
f(x) dg(xj
(3)
donde M — max \f(x)\, V(g; a, b) es la variation total de la funcion g.
149. Supongamos q ue a crece en {a, 6], a ^ x q < b, a es con tinua en el p unto b
fU'o) = 1 y fix) = 0 si x ^ Xq , Demostr ar quef t 5(a)[a,b\ y J f(x) da(x) = a
< Solucidn. A parti r de la contimiidad de la funcion a en el punto xo se deduce qu Vs>03<5>0:Va:E
fa(») - a(ic 0)| <
S(xQ, 6)
Sea II una particion del gm seento [a, 6] tal qrf(ll) ue < 6, Siel punto xq p un segmento [;r,,X(+i] pa ra ciertoi, 0 ^ i Sra— 1, entonces *>it(/, a) = — e, - a(xD) I a(xa) - «{£;)< e, Sn{/, «) = 0. Por consign ient 0 ^ Su(f,
a) - SMJ, a)<£
y / G S(a)[a, 6].
Dado quo A'n(/,a) — Q par a cualquierb partici on IIdel segmento [a, b), ent j f da = sup {Sa(f, J {10
or)} -
f f(x) da(x) = 0. J
•
150. Lis funcionesPj :[—1, TJ JR, j = 1,2,3, cstan def inidas de l modosiguiente: pjix) = 0 six < 0,ftjix)= 1 six > 0, /M0) = 0, fh(0) - 1,ft(0)= Sea / una funcion acotadaenJ—1,1], a) Demostr ar que / G 5(^1)1-1, 1J o /(+0) = /(( )), y se verific a, tambien 1
j mdpmmm. -i
b) Fo rmular y demo strarla pro pos ickin anal oga parafh • c) Demostr ar que / G 1,1]<-> / cs continua en el puntox = 0. d) Sea / continua en elpuntox — (J. Demostrar que i f f(x)dp1(x) - J
i = j f(x) dp -1
i 2(x)
= J f(x) dfUx) - /(fl). -
1
J-jH. Integral deSIU*ll|«*N
M l
f
M Solucion, a) NmVHidud* Si / (- tf(A)I - I, 1ihiUuuvh dr animlo con la propiedad3) di teorema 1 del p. 8.3, i
/ € 5(A) [-1, 0]
A / € S(ft) [0,1] AJ f{x) d(i {(x) 0
1
1
m
1
dftt*) + j f(x) dfli(x) - Jf(x) a a
-l
d/i, (ar),
a
puesto que J f(x) dfli(x) — 0. -l
I
A partir de la existencia de la integral /o f(x) dfii(x) se deduce que V£ > 0 exisle una particion II del segmento [0,1] tal que 0 < SU(f: A) - Silt/, fil) <
Dado que A t e + i ) " A t e ) = 0 -si i ^ 0
#
y Afai) ^ A{®o) ~
1/ entonces
0 Sn if , A ) - 5n(/, A ) = "o < ^ (I) donde es la oscilacion de la funcion / en el segmento [5% Xi] = [0 T x{\. Entonces para toda particion II* tal que d(II*) < d(II) obtenemos la desigualdad Sn*(/, A ) - § n*o < e, de la cual se deduce que la funcion /, segun el criterio de Baire, es continua por la dorecha en el punto x = 0: / (+0) = /(0). Suficiencta, Sea /(+0) — /(0), es decir, la funcion / es continua por la derecha en el punto x = 0, Entonces, Ve > 0 3 6 > 0 tal que en el intervalo ]x 0j x0 + 6[ la oscilacion toj de la funcion / satisface la desigualdadu)j < e. Tomemos una particion arbitraria^n1 del"segm^n^-i 1 i1)1xil13|ucontiatui.cl_DL|nlo x = 0 y para la cual d(II) < 6. Obtendremos 0 ^ 5n(/ 7 A)~ 5n(/ T A ) < E/ P o r consiguiente, / € 5(A) [-1,1]Dado que para cualquier particion II del segmento [—1,1] que contiene el pimlo x — 0 se verifican las desigualdades
/ f{x)dpx{x)^Mu -1 donde m-\ = inf {/ (x )} , M i — su p{ /( x) }, y lim mi — lim tiene
m
dp, (x)-
/(o ).
b) Razonando de una manera analoga obtenemos 1 ademas, / f(x) dA(#) — /(0)-1
(3) M\ — /(0), entonces s<
C 'apituln 2. fntt>gmMM1nM<>
70
») bcu II unti p.irUi'ion arbitraria dol ttegmonlu | I, l| la I que til punto x -- 0 D pertofttw .1 II. Hi 0 1. j . X i )[, se tiene ft, (/,//,) />'« ft) — + ^ f 1 ) > siendo wj la oscilacion de la funcion / 3
n el segmento [aij,0] y w } la oscilacion de la funcion / en el segmento [0, ajj+i]. I or onsiguientc, para
Su(f,(h)-Mf,fH)->G
d{U) - 0 o lim f(x) = /(G),
•s dcrir, la funcion / es continua en el punto a:— 0. Asi pues, (/ £ 5( ft ) [ - 1 , Ij ) ontinua en el punto x — 0 y se verifica, ademas,
{/ es
i
j /(»)4ft(a) -i
= /(0)).
d) Si / es continua en el punto x = 0, todos los casos anleriores se cumplen simult&neamente y, ademas, t J /(x)dfr(x)=J -1
t
i t(x)4(h(x)=J
-i
m m m = f m
>
-1
151. En las condieioncs del problema 150, demostrar que ft € £ ( f t ) f - 1 , 1 ] a pesar de rue lim A*n(ft, ft) no existe. >1( 11} >o iol uci on. La integrabilidad de ia funcion ft respecto a la funcion fij se deduce del caso a) lei ej. 150. Tenemos i /32(x)d.0,(x)-.[32(Q)
= f.
-l Cualquiera que sea la particion II del segmento f 1, 1] y la eleccion arbitraria de os puntos 6 € [a?j,pi+i], i = 0, n — 1, si 0 G [x;, Xj+i\ se verifica r ^• s" ^ o Pi(Xi)) = | 0 ™ £ < 0'
Suifa, ft) =
Por consiguiente, lim Sn ff t , ft) no existe.
•
^nta. L'l ejemplo analizad o muestra que lo condicion
152. Demostrar que
3
/
. n egra e , » w Soludkm. Vernon que K1 loncum integrants x i > |jr| j: r 0 r x - 3, en la difereiuia entiv la funcion no decrut ienlex t--> [re], 0
x d([as] - or) — j x d[xJ
j x dx.
La funcion x *-•> [x], 0 ^ x ^ 3, presenta discontinuidades de primera especie en los puntos x = 1, x ~ 2 y 01=3, mientras que la funcion / : x ^ xf 0 ^ x < 3, es continua en todo punto del segmento [0> 3]. Por lo tanto, conforme a la solucion del ej, 151 obtenemos x d[x] = /(1) + /(2) + /(3) = 6, o
Como / x dx — | finalmente queda o
9
_ as) = 6 - | =
X
3
•
o 153. Supongamos que los puntos pi del segmento [a, 6] son tales que a — po < p} < < * • • < Pn = ft. Sea g : ft] M una funcidn no decreciente en el segmento [a, 6] y constante en todo intervalo pi+i[, i = 0, n - 1. Sea / : [a, b] ~•R, / 6 6]. Calcular
f(x) dg{x) a
I Solucion* Los puntos pi son los puntos de discontinuidad de primera especie de la funcion g. La funcion / es continua en el segmento [a, ft]. Teniendo en cuenta la solucion del ej. 151 podemos afirmar que / e 5{t?)[a7 ft] y se verifica que
f(x) dg{x) - /(po)(fl(pb + 0) - g(p0)) + a
11 n— + £ /fa) (fo(P i +
- S(Pi)) + teiPi) - 0
m{g(a +
0) - g(a)) +
f(pi)(g(pi + 0) - j f a • ••
154.
i rjn-^^^n-i^i—
—
0>) + f(b)(g(b) - g(b - 0))
iH V *
Sea G(x) = k{x) + g(x), a ^ a; < ft, donde h e C(1)[a, 6],ft'(a?)> 0
y sean g y / las funciones definidas en el ejemplo anterior. Calcular
/ dG(xl a
•
•V 1-
Va e [a, ft],
172
('i ip/ lll lo 7. Inlc gi.il
dcl io ida
So lu ti on , 1 lo quo la fni aio n G no decnre on ol Hogmento ]«, b\ (pues, es igual a unci soma do dos ftinciones no docrecientes on diclio s egmen to), on virtud do la lor inula (i ) dul p. tenemos
b
b
I fix) dG(x) a Puesto que
h £
=j
+j f(x) a
a
entonces J bfix) a
, b],
h
f(x) dh(x)
b
—f bfix)h\x) a
dhix)
b
dgix).
luego
tlx,
b
J fix) dG(x) = Jf(x)h'(x)dx
+
f(x)
J
dgix),
b donde J fix) dgix) se calcula mediaiite la formula obterrida en el ejemplo anterior. a 155.
Sea / GC[a,b],
•
p t It [a, ft], pix) ^ 0 V;c fc [«, 6J, Demostrar que b
b
f fix) dP(x) = J a
fix)Vix)dx,
a
x
donde Pix) = ^ p(t) dt,
a^x^b.
i Solucion. Consideraremos particion arbitraria del segmento suraa integral de Stieltjes de una la funcion / rcspccto a lan funcion P: n-I Saif,
=
[a, 6] y formemos la
n-1
/«<)(P(»i+i) i-1.1
- %))
-
/&>
1=0
/ 2
dx>
e
f^.
x
Formaremos ta mbien la sum a integral de Riemann de lo funcion f p integrable en el segmento [c, 6j: B- l 1=0
y examinemos lo diferencin ii--] Snif,P)
-Sa(fp)^Yfm(^J t
vix)dx-p{Si)
De acuerdo con el primer teorema del valor medio tenemos
j
pix) dx =fit AXi,
Wi <)ii
Mi,
, n egra m rmr donde mi -- inf {./>(;rMi )}(
sup
rn
Toiruiulo «
roimidenuirin la estimation
|/(a?)|< Mr a ^ x ^ b, M -•= const, la desigualdad ;'(&)! donde u^ es la oscilacion de la funcitin en el segmento como la inlegrabilidad de l.i funcion llegamos a la conclusion de que Ve > I) I 0: . |.Sn(/, P) - Sii(/p)| ^ M
TL1
A®* <
e
i -A )
para toda particion II que satisface d{II) < 6.
De este modo, 3 lim Sn(/ : P) = lim Sn Por consiguiente, d{nHo d{nH0 a
o o f G S(P) [a, &} y J f(x) dP(x) = J f(x)p(x) dx. a n
156.
a
ku
Calcular / x donde - 2
x+ 2 = ^
2 x2 + 3
si x ^ si - 1 < x < 0> si 0 < x ^ 2.
Solucion. La funcion 5 experimenta saltos iguales a 1 en los puntos x — - \ y x su derivada g* es 1 si < 0 si - 1 < a < 0, 2x si 0 < x ^ 2.
0y
Aplicando la formula (1) del p. 8.5 obtenemos
xdg(x) = j xdx + 2 fx2
^
1 I
IwM ••^ ^ j — | - L
m
2
0 ^
L
H
^
^
r
l
+
0
6
uu
157. Supongamos que en un segmento [a, 6] del eje Ox estan uniformemente distribuidas unas masas. Las masas estan colocadas en los puntos Xj, j — n. Hallar el momento estatico de estas masas respecto al srcen de coordenadas. •••—•
Solucion. Seax a ^ x ^ b, la cantidad de masa en un segmento [a, x] C [a, 6]. Evidentemente, 3>(«)= 0 y la funcion 3? es no decreciente. Sea II una particion arbitraria del segmento [a,6] en n partes. Vemos que en un segmento [a^se^i] se contiene In masa — = A$(a; t). En particular, en el segmento (£c0t 2C1]se contiene la masn $(aci) - $(a) ^ 0 (segun la condicion de que 3>(a) = 0). Considerando que en cada caso la masa se encuentra colocada en el extremo derecho del segmento [a;*, x ^ ] , obtendremos el valor aproximado del momento estatico dM de toda la masa respecto al srcen dc coordenadas it-i dM RS ^ a?i+i A4>(Si) = Sn(x, $),
171
tVipiUllo 2. Iitlc^itil drfinid.i
dtindc ,S'n(x, 'I') CH !,i suma iitlugml de Slielljos tie lit luiu ion x mspecto a la luncion <]>, Pasnndo al limite para 11) —* 0 obtendrt'motf iit formuIn para calcular el momento eshitico M: b
M = [ xd<\>{x).
Si x >-> fi(x) es la densidad lineal de la masa distribuida continuamente,
entonces
*'<*) - m En los puntos Xjf j — I, n, la funcion $ es discontinua y en cada uno de estos puntos su salto e s igual a la masa ni j. Aplicando la formula (1) del p. 8.5 para calcular la integral de Stieltjes obtenemos b
M
— Ixfi{x)
+ ^T ^
dx
{
XjTJlj,
J =1
La formula obtenida muestra que la integral de Stieltjes permite reunir en una formula integral diferentes casos de la distribucion continua y conccntrada de las masas. P) Ejercicios *
T
166. Sea / : x M sen x, tp : x i-» x 2 — 3x + 5,
x ^ |. Calcular J f(x) dip(x). II
sea tp : x w k si
167. Sea /
< x ^
97(G)= 0, k = T~n.
1
Calcular / f[x)d!p(x). 2
168. Sea / •. x ^ x, tp: x [x ], fl ^ ar ^ 5. Calcular 0 J f(x) dip(x). 169. Sea / i t H ^ O ^ ^ l . y sea
1 },
i Calcular
ff(x)d
c i x ^ 1, ysea (x) ~ 1 si * € ] 0,1[, ? (0) =
-2
-1
{
x+2
si — 2 ^ a1 ^ -1,
X
2it j f(x) cos nxdx,
no super* a OM M
0
/1 f(x) sen nx dx
f
a
f(2ir) — /(()). Demostrar
§9* Ca
lc ul o a p r o x i m a d o de lais int egr ale s de fi ni da s
1°. Formula tie los rectangulos. Para una Iwuirtn y{x) C h\; h x-i — a + ih {i - 0,1 ,.. ., n); y{xi) = ^ se verifka la lonmila siguienle:
-
b
b J y(x) dx ~ h (2/0 + Vi + • • • I- y/u i) -I- Un, a
donde R n = ^ ^ y ' i O , a < f < 2°. Formula de los trapecios. Sea y= j/(®) € C
i], entonces
b a
donde ll~n— a ^ adoptamos en el apartado 1°,
7)< & y las demas notaciones son las mismas que
3°. Formula de las parabolas {formula de Simpson ), Sea y = y(x) £ C^ fa, Suponiendo n — 2k se puede obtener la formula de Simpson
b J y(x) dx= | ((^0 + to) +
• + 3/3 + ' • +
+ 2(y
2
+ y* + • • • 4-Vik-2)) + «
a donde
= -
a^C O-
Nota. Si se verifica que
\\z - z\\0^ max
~ z{\ ^ Mhn,
donde Zi es un valor aproximado de la variable calcula do mediante una f6rmula dada, sodice que el error de dicha formula en cierta clase de funciones es de n-esimo (M orden > 0 cs mtn constante independiente de h), De este modo, la f6rmula de los rectangulos tiene error de primer orden en la clase y€ b], la formula de Jos trapecios tiene un error de segundo orden en layclase 6 C^fa, b\f y el error de la formula de las parabolas en la clase y€ 6] es de cuarto orden. A menudo, en vez de la norma || - (|
-I I •
•
™ •
•! •
...^
•
^
la
*
!•
'
1
1.
Ml
'
II
IM
-
"M.^ -Jl l
••
,"
,,,'
,, "
,
—
L -^ "• • • •
158.
Aplicando la formula de los rectangulos (n — 12) calcular aproximadamentt 2?r I — f x sen x dx y comparar el resultado con la solucion exacta, 0 Solucion. Consideraremos una red uniforme con el parametro de la red h ~ en 1 segmento [0, 271*].Entonces Xi (i — 0,1,2,..., 12). De acuerdo con la formula de It rectangulos tenemos
I7(>
Capituk>2 integral iti'llnldft
|| || 1' /' . it \ •> .x ir' . iff / a: sen a; i sen »-•••— > » Hell ; ii ' >-0 7T3 / cos 6a; - sen y i V """36 V
sen Icosf
f
^f2 / (fi son to • sen '2'36 m ~\
J
'
-
y cos y 2 • cos 6a;) sen |
sen
2
j
2 ( 1 1 cos j^TTsen 3f n 2 JF ... ^ 36 I T sen 12
cos bx sen y*\|
sen 2 f
JI n' /\ ^ .V > costxl 1 ' r.^1
— 7T2 11 cos ~ sen g 4- cos -12sen 12 — 72 sen 2 §
sen f|ir)
7T 12
+ \/3) ta
.,2961
(hcmos tornado ir ™3,14; i/3 fs 1,73), El valor exacto de la integral es I = -6,28 .... *
2w =
159.
T
* g
Mediante la formula de los trapecios calcular la integral
i/1 - ^ sen 2 .i; da: (« = 6)
1 - 1
o y estimar el error de la f6rmula. Soluci6n. En el segmento [0, f ] construyamos una reel uniforms; con el parametro de la red h = {a:,- — i f,,-; i — 0 , 1 , 2,3,4, 5 , 6 } . A partir de la formula de los trapecios,
'-zi^+mtiF^i)=u^^tf*^) _ w (2 +V3 24 \ " 2
1 /
y/l4 y/3 + Vl5 V5
*
'
, '
V3V\ v5
_ J J
"
3 142 3 142 • 22 422 S3 ^ g f (3,732 + 3,966 + 3,873+ 3,742 + 3,606 i 3,503) i i - ' » 1,4677. Estimemos el error de la formula dc los trapecios. Para ello, estimemos Evidentcmentc, |i?fl| <
max
En nuestro caso, max^ j ^y^l - i sen2 x ^ j ^ Asi pues, 160.
^ vW bn <
0,002.
•
Con la ayuda de la formula de Simpson calcular la integral i
'-/if?{k-z)-
Rn.
o e n a n < Solucion. Di vidiemlo rl negmento |(), 1| en cuatropti ilc u igunle {hs ') r esgun la i dc Simpson tenemos/re^(Oyu f?A) + 4(z/, 2y})ra•,(,(!I 0,5-13,76471 I2,56-l-•• 0,78539. • r
u o.pmxrm
i. /
*•
\
~
••
^
n = 10 calcular la constante de Catalan 161. Tomando G= I
X
0
^^dx.
< Solucion. Co nstruyamos una red uniforme con el parametro de la ft red~ 0fl {xi i — 0,1, --., 10} y calculemos apro ximad amen teG apli cando la formula de Simps G =
+
+
+ VS + V 7 + V
^
+3/4 +1/6 + Jfe))-
+
Calculando los valores correspondientes con un errordel orden de 10 obtenemos yo 3/io- 0,78540; yQ + y1Q = 1,78540;Vl = 0,99668; y3 - 0,97152; y5 - 0,92730; y7 t/9 = 0,81424; 4(yi+ fje + ys + y? + Sfc) = 4 * 4,58220- 18,32880; y2 = 0,98698; yA y6 = 0,90070; y& = 0,84343; 2(»2 + 3/4 + 2/6 + 2/a) = 2 - 3,68238 = 7,36476. Sustit valores calc ulado s hallamos G « 1.78540 -f 18,32880
+
7,36476
^
=
^
I III) ••
and o la formula4 —Jo=l I+ xz2 ^ calcular el m imero tt con un error de 162. Utiliz l
Solucion. En el ej. 160 ya hemescalculado la integral /^,- mediante la formula 0 Simpson fe— 2. Estimemos elerro r de laformula. Dado que(v. ej. 77 del c / tomando ™
1 r~ 2
'
l + x
entonces
I
rr
^ r sen ((Ti + 1 ) arctg a: j ,
(1 + x^p'
| 'S 4! para x 6 [0,1], por consiguiente,
Comparan d Utilizando el resultado del ej. 16 0 hallamfl* os & 4 * 0,78539= 3,14156. resultado obtenido con el valor de la tabla 7r = 3,1415 ..92 , vemos que las cuatro p cifrasdecimales son correctas. • 163. Calcular I e dx con un error de0,001. o
I7S
' ('apitutn 2. Integral ilfllnid.i
9
< So lu dd n. ('alt ulcnios I LI integral por in Mrmu/n do Simpson. Dado que |(t x )<4) | 22# £ para a: t [0,11, el prtfii metro de la red se elige a partir de la eondid6n (cstimando el error K K-II) de la formula de las parabolas) h* < Oividiendo el segmento [0,1] en 10 partes iguales obtenemos j e'1 dx w rjr ({?/o + Vie) I 4(ifi + ^ + 2/5 + Z/7 + 39) + 2(yz + m + & -f y s)).
/ o "
30
Caleulemos los valores de la funcion e* en los nodos de la red con un error de lO"*'1 (se puede utilizar, por ejempio, la formula de Taylor). Tenemos y0 = 1, i/i0 kj 2,71828, y\ 1,01004, y3 ra 1,09417, y5 ra 1,28733, y7 ~ 1,63230, y9 as 2,24789, y2 Ptf 1,04081, ?/ 4 1,17351, 1 •yt fS 1,43332, ys v 1,89648, ya + yw ftJ 3,71828; 4(>n + y3 -1 y5 + i/7 4 - 7,27173 = 29,08692; 2(yz + ffil) 5,54412 = 11,08824; vj
1 ~ M (3,718Z8
4*1 SCMl 1 29,08692 + 11,08824)
= —
-
1,4631 L
o Asi pues, hemns obtenido un resultado con Ires cifras decimales exactas.
>
l 164.
Calcular (e * - l ) In ^ dx con un error de 10 " 4 . o
< Solucion. Para X —» 0 se tiene (ex - 1) In i —• 0, por tanto la integral de Riemann existe. La cx presion para la derivada del integrando de cuarto orden tiene forma muy compticada, por eso es difieil estimaria. Es mas, ya la derivada primera del integrando no esta acotada en [0, 1). En principio, podemos Utilizar la formulax de Simpson, pero no podemos estimar el error, Por cllo, desarrolkmos la funcion 1 - e en scrie dc potencias de a; segun la formula de Taylor:
donde R(x) —
0 < c < 1. Escribiremos el integrando en la forma ( l - ex) In a:
f(x)=
y designemos mediante f ( x ) ' a funcion , , m =
i
f
t
+
x2 , X* , x* + 120
T
x5 720
x° \
Obviamente, f(x) — tp(x) + R.j(a;), donde Ri{x) — In xR{x). Estimemos li?j(at)| — In .„ para x £ [0,1]. Dado que lim x7 In x = 0; In 1 = 0, la funcion \z\ — \x7 In x\ alcanza X •!)
su maximo absoluto en un punto interior del segmento [0,1[. Derivando z(x) obtenemos z'(x) - x6 + 7 x 6 In a;. Igualando a cero z'(x) vemos que cn cl punto x - e~* la funcion | z{x)\ alcanza su extreme absoluto igual a max ]z(x)\ —
- h "
1 7c
('.ilciilu ..j.K.xii.uuio de In* liilcnrnlfN tlofJ»iUI.»h Como \lt(x)\•
|>'"<
l«
G I".'I, oblenenu,. Li esli.n..n6n |/<*)
JRi (as) | < ~j:fr Do este iiuulo, 1
/(a) -
'te < 77
< 1.0 "
0
funcion
f(x) dx * 0
(p{x) dx = i>{x) In® 0 + J ^ 2 +T 0 0
24 ^ 120 720 7! / 1 1 1 1 , 1 + + + 4 18 96 600 6 • 6! "h 7 • 7! J
donde 2 „4 J> # c ) = - h r + T + ^ + 120 +720 7 < r 2 6 24 120
^
10
Hallamos con un error de 10 1 = 0,250000;
i g= 0,055556;
1 = 0,010417;
^
1
= 0,001667;
^
1
0,00023 i;
l (1 - ex) In x dx w 0,250000 + 0,055556 + 0,010417 + o
+ 0,001667 + 0,000231 = 0,317871 « 0,3179.
•
165.
Calcular la integral de probabilidadesI = j
con un error de 0,001.
e * dx
0 4 Solucion. La integral converge, por eso Vs > 0 3 +00
e
X
> 0 tal que para A * Ax
dx < e.
Si conocemos A\, podemos escribir paraA > A\\ A
I=
+00
e"* a
dx + R,
dondeR =
e
-x
dx.
A
o Tomemos s = 10"3 e intentemos determinar unA apropiado para el cual el segmento M pueda ser de longitud lo suMentemente pequena. Lo mas faal es hacer lo sxgmcnte. sea 1 tal que
^ < e, entonces tambien la integral J e^
dx < e. Por lo tanto,
I Hi)
Cnpflulu 2. i-v>
I)
< fj
InU-gr.il d» Hnlda 1M 1\m >
J
i a ' dx x
A
it 11 ii 11
e
j
dx
v. *' dx = a ? < e,
i+1
donde A < £ < A + 1 (segun el teorema del valor medio). LEI desigualdad ob ten id a equivale a la desigunldad
fl-
t>
Tomando £ =10 " obtenemo s
£ > Vln 1000 ps V^ 90 77 55 ^ 2,628. Por eso, podemos tomar A = 2,6. Se pued e ob tenor una estim ation mas fin a para A. Supongamos que se tiene un A tal que + 00 / j = I e~x dx < e. A
ReaHzando el cambio x2 — t
(da: =
dt
obtenemos
-TOO
-f-OO
J 2A
A1
A partir de condidon la
<
A>
£ hallamos Ae'* >
In A + A2 >In
do donde
A > y* In ™ — In jI. Dado que se debe cumplir A > 2 para e = 10 -i i , en la expresion sob radical podemo s tomar In 2 en vez de In A : A > vVlOOO — 2 in 2 s f ^6,90775 ~ 1,38628 -
i/5, 52147 = 2,35,
De este modo, para, por ejemplo, A ~ 2,-1, podemos estribir +00
0 <
J
e d x
2,4
-
u
J
dx < 1 0 " . 3
o
Ahora el problema se reduce al calculo de la integral
0 con un error de ID -3 . Notemos que en este ejemplo podrtamos proceder de modo igual al problema anterior 164, es detir, aproximar la fund6n e~x mediante un polinomio. No obstante, en virtud de que cl segmento dc integracion es de longitud 2,4 y las potencias de {2,4)" crecen bas [ante rapido, deberiamos calcular m as de 15 term (no s del desarr ollo en serie de Taylor nam enrantizar la credsion neeesaria.
Calculomus la intrgrat / mediante (a I'rtrmula i\v Simpson. I Vlenninemow }/ ' de la funci6n y r . Dado que y^ - 4y (3 \2x* I 4,r 1 ), st? tiene ;f/l)(tf)| ; 4(3 - 12 * 5,76 + 4 • 33,1776), z 6 [0; 2,4], pues V' ^
I y la funcion
- 3 - I2x'?- I 4x A
crece monotonamente para x> De este modo, jy/^O''')) ^ 4-6 6,5 904 ~ 266,3616, 0 < x ^ 2,4. Estimando el error R de la formula de Simpson
obtenemos en el caso considerado ^ 2,4 - 266,3616^4
w 3;5 514 8
^
XoU A partir de la condicion |iZj < 103 hallamos
Para obtener el error deseado podemos tomarh — 0/L Consideremos una red en el segmento [0; 2,4]: = {Xi = 0, li ; i = 0 , 1 , . . . , 24} . Para asegurar la precision exigida, calcularemos los valores del integrando en los nodos de la red con una exactitud de hasta la quinta cifra decimal inclusive. Tenemos -- 1; ~ 0,00315; yx « 0,99005; y2 & 0,96079; y3 as 0,91393; yA a? 0,85214; y5 as 0,77880; fts 0,69768; y7s» 0,61263; » 0,52729; y9 Pa 0,44486; y10 « 0,36788; yn « 0,29820; « 0,23693; jfoj pa 0,18452; « 0,14086; yls w0,10540; w 0,07731; j/i? RJ 0,05558; Pis « 0,03916; « 0,02705; ^o » 0,01832; */2i s» 0,01216; y21 fts 0,00791; 2/23 - 0,00504; + 2/24& 1,00315; •
12
4
11
3/2j_I - 4 ' 4,42822 = 17,71288;
2
12
/ « ^ ( » + 2/24 + 4
Sfej
2 • 3,92627 = 7,85254;
11
4-£2 Ky ) « j-i
y2j-i
j-i
a 0,8856.
Examinemos el valor exacto I = ~ — 0, 8 8 6 2 , ., , asi como el error R ~ I - J 0.0006 = 6 • 10" 4 , Vemos que el error obtenido resulta menor que el error indicado en las condiciones del problems. • • I •
ML
" •
|
• .
~
—
,
,
166. Hallar aproximadamente la longitud de la elipse con ejesa = 10 y b = 6, < Solucion. Las ecuaciones parametricas de la elipse son x = 10 cos f, y = 6sen£, 0 < i < 27T, y la longitud de su arco es 7T
-rr
.
£ = 4
J WL —
L
^
'
1
—
•
I
I.
J
V 100 cos2 £ + 36 sen2 tdt — S / Vl7 + 8 cos 2x dx 0 0
v
uo u ,
nu r
uen m.
('aii/i lien ins l.i [jliteral mrdianlo la formula ill- Simpson, dividicndo Cl segment o [0, |J l*h 6 park's igualea (it ) . Gileuliiremoji kis valorew del integrando en los nodos de la red wh te {ih; t - 0,1 ,2, 3,4 ,5, 6}: ya = 5;
yx = \j17 + 4V 5 ftf ^2 3, 92 8 « 4,892;
i/ 6 =3;
= -v/17
» 4,123;
jf 4 = A/17^"4 =
3,606;
jfa = \ZT7+ 4 = V21as 4,583;
= \/l7 - 4v ^ « ^ 10, 07 2 « 3,174;
+ Jte = 8; 4 (th 4-J/3 + Jf e) ~ 48,756; 2 {jfe + y4) S316,378. Sustituyendo los valores obtenidos cn la formula de las parabolas hallamos J/*s
167.
8 + 48,756 + 16,378) -
v
RJ 51,056.
y
Construir la grafica dc la funcion
—
(0 ^
•
^ 2jt) calculando para ello
jr el valor de la misma en un conjunto de puntos; tomese Ax = —. 0
< Soluci6n. Consideremos la red = = y; funcion en ios nodos de la red son; W
i = 0,1,2,3,4,5,6}. Los valores de la FTR
3
S
sen
0
w
T
sen a ,
1/4
"S
sen J/2 = 0/ »T / sen
da:;
sen Jfe
= 0/ —jjj— dx; sen
/
Asi pucs, el problema se reduce al calculo aproximado de seis integrates. En el segmento [0,2vr] consideremos la red {a;; — 0,1, . , . ,24}; obviamente, los nodos de la red Wh son nodos dt; la red d v Calculemos las integrales mediante la formula de Simpson. Calculando los valores de la funcion de argumento discrete y t = ^ ^ en los nodos de la red Si h obtenemos § 0 = lim ^ ^ = « 0,2618; Lt * i - >0 * f?j fa 0,2590; y 7 = 0,25; y 3 as 0,2359; y 4 « 0,2165; y 5 ftf 0,1932; y b ~ 0,1666; y 7 w 0,1380; & w 0,1083; ft » 0,0785; j/io =0,05; » 0,0235; § 12 - 0; « -0, 0199; ft* » -0,0 337; $15 fa -0,04 71; #i 6 f» -0,0541; jfi/ r; -0,0568; § J S SS -0,0555; y 19 fii -0, 0508; y m & -0,0433; y-u «* -0,033 6; $22 » -0, 0227; y n Sf -0,01 12; jfe 4 = 0. Evidentemente, 1 2 9579 Si W 3 (yo + j?4 + 4(Si + fei + 2fc) = — « 0,9860; 4 3 + & +
3/2
SftJfe-i+
2 £ fct)
=
« 1,6469;
1
!te
I ( m + V12+4J2 ib-1 +
2 y S; i t ) =
R; 1.8523;
.
r no . pmx ma o ue
n
K j2k 4 > . •••' v\u \ * 2-Ji/9-JL i i
V\
rn rrn
/
cy 1 (ya + §20 + 4 3
10
fcfc-1 jt=i
+ 2 Jb I 11
12
|.(»o + m + 4 vik . .
Ste
ii™)
k=r
^ k=i
II F
t:j, I (W 3
, 7212;
4,5247 3
1,5082;
4,2568 3
/ • v j ^ y
1,4189.
Para x £ JO, [ se tiene y\x) > 0, para x £ ]?r, 2 [ se tiene < 0; / ( a ) < 0 si x £ ]0, y [. De y(x) crece este modo, en el decrece; intervaloen]0,7r[ el intervalo elintervalo ]0,yyen[ la funcion y(x) es convexa. La grafica de la funcion estti presentada en la fig, 11, •
<•,.. jiin
.....
^
Fig. 11.
Ejercicios 10
174. Calcular In10 = J ~ utilizando la regla de Simpson para n — 10. Hallar el coefteicnte M i o paso de los logaritmos naturales a los decimates. Comparar el resultado obtenido con el valoi que aparece en las tablas.
F
i
Respuestas Capitulo 1 b1 sen2 x).
2 cos2 a; - 4a?. 2. arctg(# + 2). 3. f arctg (x +. 4. ln(a 11--1 5. ± ln( x 2 +4as+9). 6. tg §, a: ^ 7r+2&7r. 7. ^ arctg(a:2"). 8. ^ In a* jp^1 11
X , IT ^ I .
_ / kir
1
3
tg 3 x,7 o
a: /^ f + fc7i\ 12, sen x + | x. 13. 2 3 16. 5 In x, x > 0. 17. 2\/]nx, x> 1. sen 2x ^ft 2 20. + 1)K
I 14. l+ln2* 15. 18. 3 - tg a? + . x, x~ ^, 2J + Attt. 3 + §a;2 + 3aH I + 22. |lnjo ;
+
lap) ' a
sen3
x £ 0. 19. § .4 , ^ . 3 23. In | a? + 1 + V224. + 2x + x 2\,
\y/{x
I®1,A + [a. ]/-I+( l- I) , +-.. , +it(l -X1 ) 25- H 1 111 In2 i±?2 a
£ 3i—1 2 31. -2~5x 5 15VV+1) ' X' X 35.
Isi
n
36, (~l) (x donde n i)
21
32.
40.
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33.
-00 < x < 1; cc —
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Ic-* 2
„i„r_i . V^ 1\". 26. arl n[® ]+^1„InU (l — re—2
29. | ln 3 (l - x*), \x\ < 1. | arctg
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34
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27.
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1 ^ x < 1; z3
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1)
IT sgn x +00. 2
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+
Vx2—0? (v;rr— > a. a? a+Vax Ac J_ f ft 46. ~{Va1 ~ x2)3 + a1 yftt? ar a 3 lnj x fl4 Vv^^ 1 \x\ < a.47. eSt - ^ ^ < ft. 48. 49. 2 arcsen ££2 ^ +12(® - 2)V4~ = ® XC i C T 1 a^+^+l 2 2 50. In 51* ]n(xVx -hi + Va?4 + x +1)• 53. ill 2 . I* 1 54. X In or 16 X > 0. 6) senx - (x 3 — 6x) cos x, 5 5. {3x 5x2 x1 - arct s^ h x• x sgn(2ir) _ coa(2x) 56. a; ctg x — In | sen x|. 57. 2x cos x + (x2 - 2) sen x. 58. \ 4 8 1 xx _ 3 cosx k. x 3 senx sen x x 59, 4cos 60. 4 m l 4 : + • 61. *x sen 8senx 8 1 § 2 8cos^ x + SH%(! + f) 4 cos x l x 4 2 ~ tg x+ \ tg x+\n | cos x[. 62, x arcsen |+V4 - x1, |a;| 63. 2xz arcsen a? \x\ ^1. 64. f arct g x - f + | ln(l + z 2 ). 65. - i arctg J - ^ In x ^ 0. x\> a. 43*
\x\ > a.
44 ,
rw .
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• ^arctg ^ a? +
f. 67. arctg a; + | arctg+a? 68. a2 + a In a: I 2 a; + 2 sena? cos x + ) . 70. - a; x *, x > 0. 71. xhrx-2x lna: + 2a;y 69. a2+4 (a 2X 2 In & in 3J "I" 27 , a; >0. ar > 0. 72. \ In2 x 74. x ln(a; 4 73. InX a; 5: 1 2 2 2 2 2 Va + a? ) - Va + x . 75. ^ ln(® + Va? - a ) 76. a; ch a;— sh ^, 9 66.
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' ) , ^ 1, 2. 124.
> 0. 126.
+
+
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132.^tg(|-f),^-f
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120. ^
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x > -1.
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±)-±ctg3(x
t
119. | th f - | th3 f .
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f ^ p - jj g^ : x ,6 0,
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3, 2
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^
106. In (" ' " ' ff i f t ) •
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x • y/\ -
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(toda la integral).
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79.
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(3aT |o)« lt x. sir I 2x I \/l • i *
COB x) e x . 83. x arctg x ~ In V l h x 1 - | arctg 2 x. • )utj^n Qt t .4 . x + \
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127.
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arctg ^ X—XZQSZ 130. i*2l\ x sen x4cos z"
m-tg |+In|ts(|
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134. SB*y x >0. 135. -e"* arcsen «* - ln(l + v T ^ e2: ( ) + a:, - 0 0 < x < 0. 136. — arctg e^ - arctg2 (e^) +»,-- ln(l +e*). 137. ]( j l + x|( l +«) + (! - aj)|l-a;|). y/l-xy/i, 138. D^KL Ix] — E In 0 + (1 - D ' * >i11=1
139. - ^ ml
^
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60.
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6 ' = / ( -2 i"(h!)' nun 4o/(i) ). "
44. / mta = /(l ) = - g ; puntos de inflexion: ( 2 , - 1 ) , ( f , - ^ ) . 48. Para a = e.
4r l .
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2.
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62. /(0 )ln |.
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II
63. Q In | *
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|(1 - In 2)
65. (a u a 2 ) , donde = 2 - fin 2 + f + § arctg 2 - \ - J , a (In4)In f + | In |+ f arct g2 - £ + 66. § + ln( l + y/l) - e-" 1 67. ^•Tfc-
69.f(v^-
74.
.
l).
7 0. f(f>-«)(a+3&).
75.
71.^. .
2
-
72.^.
76. /i = J 2 = - f In 2.
77. Converge.
78. Diverge. 79* Diverge, 80. Diverge. 81* Converge. 82, Diverge. 83. Diverge, 84. Converge absolutamente para n > 1; para ni j 1 diverge. 85* Converge. 86. Converge. 97. In t^IEE m 98* 99. 0. 103. a) 4; b) 4, 104. V([t] -t; 0, x) ^
v+ p(x)= [as], = 108* 6a. 109* f ( 2 + 113. x0 + z0.
x, 0 ^ x^ 2. 105. 1 -f | In 110* i 0 Va 2 + b2111. .
114. ^ ln(l +
119* |(40 — 37r)a2,
Vl)+ a.
120*
116* fxa
121* 0,L
2.
122. f .
ash
106, +
112.
117* W2. 123*
126. (7r + \)a2. 127. g .
128. 8 L j l +
-
118. |{a 2 + 62). a rcsen^,
2
area de la figura limitada por un bucle es igual a
107. a In * . + z{). 124. El
2
125. y ln tg
arctg J\ + ^ ) .
+
129. 4a6arctg
130. £ . 131. ln (l - ( | + ab(4a+ 6)) . i(2 k 2 -13fc + 15)v/2Ar - fc2 ). % = ffa 3 ((2fe2 - 6k+5)(
132. Vi = - 6fc + 5)t u - f 0 ) + |(2Jfe2 - 13fe + 15)V2fc - k2 ),
donde f 0 = arccos(l - fc). 133.7r 2 a 3 .
135. 2?ra 3(sen a - a cos a -
136.
137. f ^ .
134. gTra3.
138. i r 2 a 3 ^ .
139.
a 3((2fc 2
140.
- r<).
141.
142. ~a2Vab. 143. ^ ( c ^ -e ~« + 4 j ) . 144. |r 3 ctg a(( 2 + cos V)s en^- 3vc os(^ ). 145. 8(2 - V^)r 3 . 146. ( f , f ) y f). 147. (f , f ) . 148. f + f. 149. 0). 150. 0). 151. ( •-f • de la superficie lateral del cono.
, f • g j f ). 152. donde M e S la masa 153. A una cuarta parte de la altura (partiendo de la
UK
I Iwsii). 156.
Ut' 154. 7nfin}th(1
Jir^TJ?)'
f» 0,41J05J* 157. a)
161. 2264,4JT J. 162.
166. -1.
N|>IH>H|
- f ^+^SP).
167.
•j .
168.£ Vk.169. Jfc^T
ftf
174. in 1® 2,31; M =~
d»ndt* T
» 0,433.
<•< ' *< ' >fMBsfcinli! jjravitatoria.
b) dos vi xm 16 3* — ^ JDJ,
155. '—r
0,785 J 2*VfV. 159. 160. 64- J^24,35JT ILlit. IIIIn£2J.j . 165. 1DJ. £it =—e
158. .
170. -1.
171. -5.
172. f ; f ; ^
Indice Capltulo 1. Integral indefinida Integrates § 1. indefinidas inmediatas
3
§ 2. Integration de funciones racionales
24
§ 3. Integration de funciones irracionales
30
§ 4. Integration de funciones trigonornetricas § 5. Integration de funciones trascendentes
49 55
§ 6. Ejemplos varios de la integration de funciones
58
§7.
61
Integration de funciones vectoriales y de matrices funcionales
Capltulo 2, Integral definida § 1.
Integral de Riemann
g 2* Teoremas y formulas fundamentals del calculo integral
64 77
§ 3. Integration de funciones vectoriales, de funciones de valores complejos y de matrices funcionales
110
§4.
Integrates impropias
117
§5.
Funciones de variation acotada
135
§ 6.
Aplicaciones de la integral definida a la resolution de problemas geornetricos
139
g 7* Esquema general de la aplicacion de la integral definida. Ejerrplos de mecanica y de fxsica
159
§ 8.
Integral de Stieltjes
164
§9.
Calculo aproximado de las integrates definidas
175
Respuestas
185