tengan en el punto z = a ceros de órdenes superiores a 1, para calcular el residuo es cómodo cambiar las funciones
Entonces las funciones (p y ip +1¡) tienen igual número de ceros en la región D. 4 Demostración. A partir de la desigualdad \ 2) la composición ip o /0 es un isomorfismo de Di sobre D2. 2) Sea / un isomorfismo cualquiera de Di sobre D2. Consideremos la composición (p = / o /J"1. Es evidente que G A(D2), f =
VztdD
j
entonces
\
Sea N el número de ceros de la función
arg tp +
Teniendo en cuenta que
J
arg
+ - J J•
< 1, vemos que cuando el
* dD 1¡> punto 2 recorre la frontera 6D, el vector w = 1 + - no puede dar una vuelta alrededor del punto u = 0, ya que el punto w = 1 + H I siempre se mueve dentro del círculo
K = {w£ C: \w - 1| < 1} que no contiene el punto w=0. Por consiguiente, arg ( l + ^ vuelve a tomar su valor inicial al dar una vuelta completa por la frontera dD y A#d
arg ( 1 + — j — 0*
De esta manera, N = — A ^ d arg y, 2tt . es decir, N es el número de ceros de la función
•
El teorema de Rouché tiene numerosas aplicaciones; en particular, se utiliza para determinar el número de ceros de una función.
Utilizando el teorema de Rouché es muy fácil demostrar el teorema fundamental del álgebra:
Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio de grado n Pn(z) = 0^zn + ai zn~l +...
+
+ an
tiene exactamente n ceros en el plano complejo. Demostración. Hagamos donde
Pn{z) =
tp(z) = a0z . El polinomio
\Z\
eligiendo R tan grande que Vz 6 Dkr desigualdad \
se verifique la
1>{z) = a\Zn~l + ... -f an-iz + an. Para ello es suficiente tomar i2 = l + |a1| + |a2| + . . . + |an|. Entonces, por el teorema de Rouché, el número de ceros de las funciones
4 Solución- Hagamos
P{z) = tp{z) + donde
3
tp{z) — —5z , z)
= z5 + 2.
Si \z\ = 1/ entonces 1 ^ ) 1 = 5 > \z5 + 2|, va que
\z5 + 2| ^ \z \ + 2 = 3.
La función
•
4 Solución, a) Hagamos
P{z) -
3125
21
esto es, \
Determinemos para cuántos de ellos el módulo es menor que uno. Para ello hacemos
P(z) = ipx(z) + Mz),
K = {ze
O \z\ < R,
Rez>0},
obtenemos el número N de ceros del polinomio P en el semiplano derecho a partir de la igualdad 1 N = ^ J im ( a r S + A r * ar§ ' Z7T ií—*oo
••¡ w
. v < •• ,-< i v < . : ,,. < í v v . ÍX > í , > < - > í >•> i í í v j , . . , . ; ' » . . í ! ' ,•{<, • < i / U v { W W f > J
donde
T r = (7*, 7 ? ) ' 7a
= j z € G * = Jte",
2Í'
Para valores de R > 0 grandes, A [iR , - í r ] arg P(z) =
- Ay€w
(úf + 12y2 +14) = y5
= A y€[ «, 0 ] arctg ^
+ u
l/5
+ A^eto, -it] arctg 2
2
+ -
+ M
v
arg P{z) =
= Ara arg
+ Ar,
/
+
11-1222\
¡5
J =
= 57T + 0 ( Í T 1 ) . De este modo,
1 N - —(-7T 4- 5tt) = 2. 2x
•
Solución. La ecuación no tiene raíces no negativas. Demostremos que tampoco tiene raíces negativas. En efecto, haciendo z - -x obtenemos la ecuación x4
-
x3
+ 4x2
- 2 x +
3 =
0.
Si O < x ^ 1, la suma de los tres primeros términos y la suma de los dos últimos términos son positivas. Si x > 1, la suma de los dos primeros términos y la de los tres últimos son positivas. Por consiguiente, Vx > 0
x* - x3 + 4a;2 — 2x + 3> 0.
Si hacemos z ~ iy, la ecuación adquiere la forma
y4 - iy3 - 4y1 + liy + 3 = 0. Vemos que las partes real e imaginaria de esta ecuación no se anulan simultáneamente; por consiguiente, la ecuación tampoco tiene raíces imaginarias puras. El número de sus raíces localizadas en el primer cuadrante se calcula mediante la fórmula N = — Um (A i € [ 0 / Í Í ] arg (a;4 + x3 + 4x2 + 2x + 3) +
+ Apeín,o) arg (y4 - iy3 - 4y2 + 2iy + 3) + + A
z=R¿t
arg (z4 + z3 + 4z2 + 2z + 3) ) .
Tenemos: * x e fR] [O,ÍÍ]arg (x4 + x3 + 4a;2 + 2a; + 3)
,0] arg (y4-4y2
+ 3 + i(-y3
+ 2y)) =
-y3 + 2 y = \eWfl] arctg ,4 - 4y2 -f 3' El numerador del argumento de la función arctg se anula para y = y/2ey = 0,ysu. denominador, para y = y/3 e y — 1. Cuando y varía de R a 0, dicha fracción se comporta como sigue: V5 - r + 2y
y4
—
4y2 +
3
O (IT 1 )
-
oo
V2 -
oo
+
0
A partir de esa tabla es fácil ver que A ^ o j arg ( y 4 - 4 y 2 + 3 + i ( = -2tt+ y como A
« g (» 4 +
+ /
= A z=Re « arg-z ( 1 + 0
+ 2» + 3 ) = z 3 -f 4 z 2 + 2 z + 3
¡i
•
resulta (0 - 2tt + 2TT) = 0.
2tt ¿71 Así, la ecuación considerada no tiene raíces en el primer cuadrante. Debido a que sus raíces son pares de raíces conjugadas, tampoco hay raíces en el cuarto cuadrante. Tanto en el segundo como en el tercer cuadrantes hay dos raíces. •
H
4 Solución. Escribamos la ecuación en la forma
(p{z) + ip(z) - 0, donde
9
3aK. 38
(p{z) = Ip{z) =
-wf{z). mmm s a i ® ® ^msmmmmm
i is
Para |z| = 1 se tiene
= 1, ¡ w /( 2 )[ ^ j ^ M , donde M =
max |/(z)|. Vemos que |wj < teorema de Rouché.
•
M
satisface las condiciones del
< Solución. Escribamos la ecuación en la forma
- e~z = 0.
Si z pertenece al semiplano A =
C: Re z > —1},
se cumple la desigualdad I
/
M
lpWI
2
Z
+
3
= 27TT
>
L
En caso de que 2 pertenezca al semiplano D 2 - { z e Q Re ^ > 0 } , se verifica la desigualdad
De este modo, en la frontera del semicírculo Kr = {z€<&
\z\ < R,
Re ^ > 0}
se tiene
¡
iiWI
.
Vi2 > 0.
,
v. * „ . ;
.
^
>•> i > i ,
> ;>
u
< .
§ 2. Conservación de una región. Inversión local de una función analítica 2.1. Principio de conservación de la región Teorema 1. Si una función f es analítica en una región D y no es idéntica a una constante, entonces la imagen de la región D mediante f también es una región. Demostración. Tenemos D
• D*. Demostremos que D*
sobre
es un conjunto abierto conexo. 1) Sean w\ y w2 dos puntos cualesquiera del conjunto D* y sean Z\ una de las preimágenes de w\ y z2 una de las preimágenes de w2 mediante la aplicación f , es decir, f(zi) = wif f{zi) — w2> £ D, z2 6 D. Como la región D es conexa, existe una curva de Jordán 7 C D que une los puntos z\ y z2. tp Sea [a, /3J 7 una parametrización de la curva 7 . Entonces
V¿ e[a,¡3]
Dado que la función / es continua, la composición i> — f0(p, D^p = [a, ¡5] es una parametrización de la curva continua 7* C D* que une los puntos
i¡){a) - (/ o ip) (a) = f{zi) = wu m
= (/ o
f(zo) = w0. Por cuanto D es un conjunto abierto, existe un entorno
Or(z0) = {zeC:
\z- zQ\ < r}
D.
Escojamos r tan pequeño que la adherencia Or(z0) no contenga -puntos de la función / (excepto el punto z0). Tal círculo existe, pues los w>0-puntos de la función analítica / ^ const son aislados. Supongamos que
7 = {zGC: y
\z-zo\=r}
fi = min\f(z) ~ w0|. z€y
Obviamente, f¿> 0, pues de lo contrario, es decir, para ¡jl — 0, la función continua z >• \f(z) - w<¿\, cuyo valor mínimo se alcanza en un conjunto cerrado, se anularía en cierto punto z' G 7 r y esto significaría que en la curva jr hay un wQ -punto de la función /, lo cual entra en contradicción con la elección de 7 r . Demostremos ahora que
K^ = En efecto, sea
\W — w0| < //} C D\
G Kp un punto arbitrario. Tenemos:
f{z) -wi = (f(z) ~ wQ) + (wQ - Wi), además de que \f{z) — i ü q I > /í, |w>i - w0¡ < fi en la curva yr. Según el teorema de Rouché, en el conjunto limitado por yr la función z >-*• f(z) — w\ tiene el mismo número de ceros que la función z >-* f(z) ~ w0. La última tiene al menos un cero en el entorno OT(z0). Por tanto, la función z f—>• f(z) - w\ también tiene en ese entorno al menos un cero, es decir, existe un punto z\ G Or(zQ) tal que /(¿i) = W\, de donde se deduce que w\ G D*. Como G K^ es arbitrario, concluimos que Kp C D*, es decir, D* es un conjunto abierto. De 1) y 2) se deduce que D* es una región. •
Nota 1. Las aplicaciones continuas que dejan invariables los conjuntos abiertos se denominan aplicaciones abiertas* Las aplicaciones abiertas también dejan invariables las regiones- Por consiguiente/ las aplicaciones efectuadas mediante funciones analíticas son abiertas.
• B es interior si para todo punto 6 6 B el conjunto f~l(b) de sus preimágenes (/ _1 (&) C A) no
Nota 2. Se dice que una aplicación abierta
A
f
contiene ningún continuo 2K Es evidente que las transformaciones efectuadas mediante funciones analíticas son interiores, pues V& € B el conjunto / _ 1 {6) se compone solamente de puntos aislados.
2.2. Inversión local de las funciones analíticas Sea w = f(z) una función analítica en el punto z0. Consideremos los dos casos siguientes: a) Supongamos que /'(zo) ^ 0 y J(zo) = wo- Al igual que en el teorema de conservación de la región, escojamos un círculo O (Z ) que pertenece de forma compacta a la región de analiticidad de la función / y no contiene otros w0-puntos de la función / salvo el centro z0. Sea H — min | f(z) wol, > o, T
donde
Q
7 r = {z€ C: |z - z0\ = r} .
Aplicando el teorema de Rouché vemos que todos los valores de la función f en el círculo Or(zo) tienen la misma multiplicidad que w0. Pero la función toma el valor wQ sólo en el punto Zq y, ademas, una sola vez, ya que f'(zQ) ^ 0. De este modo, en el círculo Or (z0) la función / adopta una sola vez todo valor del círculo Kfl = { « i € C \w - w0\ < /¿} . 2'
N. del T. Conjunto compacto y conexo.
En otras palabras, la función / es localmente de una hoja en el punto z 0 . Por tanto, en el círculo K/t está definida la función z = g(w) inversa de la función /: g(wQ) — z0 y (/ og){w) — w. Como f es una función de una hoja, entonces Aw # 0 para Az ^ 0 y en un entorno del punto zQ se tiene
Az Aw
A
1
+
Aw
Aw
m
^ 00.
a7 Consecuentemente, g 6 A{Kti). Sea z = g(w) = z0 + aj(w - w0) + a2(w - w0f +
an
(n)(v>o) ff = n!
2iri
...,
/
dK,
g{w) dw (w - w0)n+1'
¥
Cambiemos de variable tomando z = g(w) (w = Entonces a
n
= - L
2iri J
f
z f
d z
(f(z)-w0)n-«
rr
=
'^
f(z)).
- J - [ 2nin J dz \ (f(z) - wQr
dz —
r,
dz
2nin J J (j(f(z) - w0)n 2-KÍn rr
¡n-1 n! V dzn De este modo,
/
Z-Zp f(z) - W0
rr - (7~7r° r ).
z=g(w) = V
Z-ZQ
(w~wQ)n. (1) 2=Zq
¿ •• ' v
Vi '
Jií^JWJ; J ; > • • w -.M.J: I H i B r
La serie (1) se denomina serie de Lagrange. Veamos una generalización de la fórmula (1). Sea F cierta función analítica en una región que contiene de forma compacta al círculo Or{z$). Hallemos el desarrollo de la función F o g en un entorno del punto Wq . Sea
(Fog)(w)
= F{z0) +
Yfbn(z-z0)n. n=l
Repitiendo las transformaciones anteriores, obtenemos
1
i
F{a(w))
" 2ti
/
(w - t U o ) n + 1
DK,
J_ í 2niJ
F(z)f(z)dz (f(z)-wQ)n+'í
2-KÍU J
r,
1
. dw =
^ ^ dz dz ^V (f(z) ~ WQ
í
~ 2-kíu J
dz =
)n
F(z) dz (f(z) -
w0)n Z-
f{z)
Z0 -
WQ
Z-Zq
Por consiguiente,
(F o g){w) == F(z0) + Z=Zq
La fórmula de Lagrange corresponde al caso F(z) b) Sea ahora
fizo) = fizo)
= ... = f'%0)
f^M
¿ 0 (p > 1).
= o,
lililí
^Éifciiyii^iiin Razonando análogamente, elijamos un círculo Or (z0) que no contenga otros w0-puntos de la función / salvo el centro z0 y tal que V z € Or(zQ) \ {z0} se verifique f(z) ¿ 0. Al igual que antes, tomemos cierto / i > 0 y demostremos que en el círculo Or(zo) la función / toma cualquier valor w 6 K^ tantas veces cuantas veces toma el valor w0 en Or(z0), es decir, p veces. Además, si w ^ wQ, a todo valor w le corresponden p valores diferentes de z, pues para éstos f'(z) 0. En este caso la función / se denomina función de p hojas en el círculo Or{z0). Por tanto, si z e Or(z0), entonces
w = f(z) = w0 + {z- z¿fíp{z),
z —
WQr
donde $ V ( z ) es cierta rama. En un entorno del punto z0 esta rama se puede desarrollar en una serie de Taylor cuyo término independiente es distinto de cero. Por consiguiente, ip'(z0) ^ 0 y, conforme al punto a), en un entorno del cero existe la función z.= inversa de C = Desarrollémosla en serie de Taylor en un entorno del punto ( ~ 0: 00 z~z0 + ajC + ot2(2 + ... = zQ + B=1 Sustituyendo en esta expresión C por (w ~ w0)l^pf obtenemos el desarrollo de la función inversa de / en una serie de potencias generalizada:
z = g{w) = zQ +
" wo)n/p-
(3)
n=l
Se puede comprobar que los coeficientes a n del desarrollo (3) se calculan a partir de las fórmulas w-1 Z~Z Q an = (4) n\\dz^\(f(z)-f(z0))Vp 2=ZQ SÍ:
i• 1 o • ^'r^^iií Ir í. o H .
+
¡ y \ ' « N i & t f i r a 11 i
. ¿ t i ' S U y y f i i :
!; V
: <
*Wy^V'f•
i «
Analizando el desarrollo (3) llegamos a la conclusión de que en el círculo Kfi la función g{w) constituye el elemento de una función analítica completa para la cual el punto w0 es un punto de ramificación de (p — l)-ésimo orden. De los casos a) y b) se deduce la siguiente afirmación.
Teorema 1. La condición f'{z0) ^ 0 es necesaria y suficiente para que la función analítica f sea localmente de una hoja en el punto Zq. Observemos que aunque la función / sea localmente de una hoja en todo punto 2 de la región D, esto no implica, en general, que sea de una hoja en toda la región D. Consideremos, por ejemplo, f(z) — ez. En este caso Vz G C f'{z) = ez 0. Sin embargo, la función z ez no es de una hoja en toda región que contenga al menos un par de puntos Z\ y z2 tales que z\ — z2 — 2nki. Por consiguiente, la condición f'(z) 0 en D es necesaria pero no suficiente para que la función / sea de una hoja en toda la región D.
í
Teorema 2 (principio de uniformidad). Sea f una función
analítica
en una región D y continua en su adherencia D C C; sea dD una curva de Jordán orientada positivamente. Supongamos que D D* y, además, la aplicación de dD en dD* es hiunívoca. Entonces la función f es de una hoja en la región D.
Demostración. Sea «jq 6 D* un punto arbitrario. Determinemos cuántas veces se anula la función 2 (-> f(z) - Wq en la región D. Según el teorema del residuo logarít-
Vp:
"
yi
•
•
j y i u . - X ' , ^ .
illiillllii mico,
IdD
N
F(Z)
-
W0
dz,
(5)
donde N es el número de ceros de la función 2 »- f{z) _ Wq en D. Dado que entre los puntos de las fronteras dD y dD* existe una correspondencia continua y biunívoca, en (5) podemos integrar a lo largo de la curva dD* haciendo el cambio de variable nemos
w
= f{z),
dw = f ( z ) dz. Obte-
/
dD-
P r o b l e m a s resueltos.
« f S -
<
S o l u c i ó n . En este caso
z a z0 ~ a, wQ- 0, f(z) = sen z Según la fórmula de Lagrange (1), A i 1
( x
,
\ /
>
,
>,x J X ^ I X "
\
'
I
i
J
.
I - V
H: Mn
J
?
J .ív;
Solución. Aquí
^ = ^• = 0,
f(z) = ze-ttS,
f(0)¿0,
F(z) = ev*.
Aplicando la fórmula (2), obtenemos
^
bg(w)
1í
n=l
í , (Han)* z=0
x
A
(b + an)""1
n=l El radio de convergencia de la serie de potencias obtenida se calcula a partir de la fórmula de Cauchy—Hadamard: n-l - — n /16 4- an\ lim \ n-»oo V ni
lim íi—K»
e\a
| b + an\l-1¡n
Tomando 6 = a, obtenemos az az
= e
==
z M
g(w) (F o (p){w) = — ™
,
Por tanto,
gW
i+5>
n!
n=l
5(w) = « + ^
Jn + ir
a:
1
n=1
„ (n + 1 ) " - 1 ...„ + 1 n=0
,„+1
<4 Solución. Escribamos la ecuación en la forma Z - Zq W = Wq-\
z
f{z) -
Wq
+
ÍZÍ2
_ _
es analítica en el círculo Kr,
f'{*)¿ 0 y f(zo) = wo. Conforme al caso a) considerado al inicio del parágrafo, para todo w e < w G C \w - w0| < M = min
-
Wo|,
M la ecuación w = f(z) tiene una única solución g{w) que pertenece al círculo Kr. Según la fórmula de Lagrange (1), esta» solución se puede representar mediante la suma de la sene g(w) = zo + £ n=l
-
J^M*))
n (w "
v>o)n.
§3. Propiedades de los extremos del módulo de una función analítica m ;
\ / l
3.1. Principio del máximo del módulo de una función analítica Teorema 1 (principio del máximo del módulo, primer enunciado). Sea f
una función analítica en una región D. Si su módulo \f\ alcanza un máximo local en un punto ZQ G D, entonces f = const en D. '4 Demostración. Apliquemos el método de reducción al absurdo. Supongamos que F{zq) = WQ y que / ^ const en D. Sea, además, D
f
>Z>*. Entonces w0 G D* y D* es una
sobre
región. Por consiguiente, existe un círculo
Kft = {we C: \w - w0¡ < ¡i} C D* y un punto wx G K^ tal que |iui| > |wq|. Por tanto, en un entorno del punto z0 existe un punto Z\ tal que f{z\) = W\ y l/(zi)¡ > \f(zo)l Esta desigualdad contradice el hecho de que \f(zo)\ es un máximo local de la función f . La contradicción se debe a la suposición de que f ^ const. Por consiguiente, f{z) = const Vz G D. • Corolario (principio del máximo del módulo, segundo enunciado). Si
una función f es analítica en una región D y continua en la adherencia D, entonces \f\ alcanza su máximo sólo en la frontera dD de la región D. < Demostración. Esta afirmación se deduce del primer enunciado y de las propiedades de las funciones continuas en un compacto. •
i í íf '' " " Ü ' i'1 ' 1 •• Señalemos que para el mínimo del módulo |/| la afirmación análoga al teorema 1 no se cumple. Efectivamente, sea, por ejemplo, f(z) = z,
D/ = ÜT = {z É O \z\< 1}. La función / es analítica y f ^ const, sin embargo alcanza su mínimo \f(z)\ = 0 en el punto z = 0, el cual es un punto interior de la región £>/. La explicación de este hecho es que la función / se anula en su región de analiticidad. Este ejemplo sugiere la siguiente afirmación. Teorema 2 (principio del mínimo). Si f € A{D) y Vz 6 D f{z) ¿ 0,
entonces |/| puede alcanzar un mínimo local en D sólo si f = const. <
D e m o s t r a c i ó n . Es suficiente aplicar el teorema 1 a la función
1 g — j analítica en D, ya que V z £ D f{z) ¿0.
•
3.2. Lema de Schwarz La siguiente afirmación pertenece a Schwarz. L e m a (de Schwarz).
Sea f una función analítica en el círculo
K = {z e G \z\ < 1}, tal que VzeK satisface las condiciones /(O) = 0, \f{z)\ <: 1. Entonces Vz e K se cumplen las desigualdades !/(*)! ^ H
l/(0)| ^ 1.
(1)
Además, si se verifica la igualdad \f'(0)| = 1 o existe al menos un punto z ¿ 0 tal que \f(z)\ = \z¡, entonces V z e K se cumple la igualdad \f(z)\ ~ \z\, es decir, la función f tiene la forma f(z) = eiaz,
« e l
Demostración. Consideremos la función , , f(z)
Z
(fi{z) =
z
La condición /(O) = 0 impUca que
\z\ < p},
donde
p< 1.
De acuerdo con el principio del máximo, máximo en la curva
alcanza su
7 , = {z
1
Por consiguiente, 1 Mz)| < - Vz eür^,.
p
Haciendo tender p a la unidad para un z € üf fijo obtenemos la desigualdad |
a € R
•
La interpretación geométrica del lema de Schwarz es bastante sencilla. Mediante la función w = f(z), todo punto z e K bien se aproxima al origen de coordenadas, bien la transformación es un giro alrededor del origen de coordenadas. En otras palabras, la imagen de toda circunferencia 7 r = {z € C: \z\ = r }
%
n t n
•NÉI
•
V • I s; - : • * ;i
:
bien se encuentra dentro del círculo
K'r = {w e C: M
< r},
bien coincide con la frontera del mismo. El lema de Schwarz admite varias generalizaciones. La más simple de ellas es la siguiente. Sea z — 0 un cero de multiplicidad A de la función /. Entonces considerando la función z
f(z)
— j - obtenemos las desigualdades
|/(¿)KMa
VZEK
y
/<*>( 0) I
I
<1,
(el signo de igualdad es posible si, y sólo si, f(z)
eixzx).
Solución. Cada componente conexa constituye la frontera de cierta región D; la función P es analítica en D y su módulo es constante en la frontera dD. Por tanto, según el principio del máximo, en el interior de D existe al menos un punto z 6 D tal que P(z) = 0. En caso contrario, P{z) = const en D. •
•
<•• I . l - ' i i '
v ;l-^1®! - -s • ^* =tí^l^ 'túw Ai-*! íS v '^i'-trii^
„ Solución. La afirmación se deduce directamente del principio del máximo del módulo.
•
Solución. La función
es analítica en la región
(se
^
^
K,/« = { < e 0
1CI<5}.
^
.
j
s
r
-
s
,
-
singular evitable ( - u j y su muuu u 1 a ei v n Seeún el principio del máximo, \f\alcanza ei cerrado Kx/r. begun ei yi y m i e n t r a s q u e 1/ lo almávimo en la circunferencia d K y R , mientras que u i máximo en w Q d e d u c e que canza en la circunferencia y R . A partir aeiej suplico)
í/ '
K\=P
f»• f-' i
•
t:.
crece estrictamente en el intervalo ( o , I ) . Por consiguiente, M{r) = sup |/(z)l lzl=r
decrece estrictamente e n e l i n t e n ^ ^
10
3«k.38
1
mm:' y+i
- i * * * " -
•<>
< ^ : .í ix: O ' i^í'fiÍífffc
-'¡ói'.i'JiHo
•
Solución. La función
P{z)
es analítica en la región
D = {z € C \z\ > 0} yt por consiguiente, satisface las condiciones del ej. 11 para todo R > 0. • <
S o l u c i ó n . La función z nP{z) satisface las condiciones del
ej. 11 y, por consiguiente, su módulo alcanza un máximo en la circunferencia
7 = {zEC:
14=1}
que es la frontera de Sea
M = max \z~nP{z)\ ^ 1.
M Solución. La función
Entonces, según el ej. 11 tenemos que \z~nP{z)\ = 1, es decir, P(z) = z B , o bien
\z"nP(z)\
= {zeC:\z\>
La última desigualdad es imposible.
V(w) = w~nP ( -(« es analítica en el conjunto
1}.
D~{we
•
+
O |tu| > 1}.
Dado que la imagen de la circunferencia 7 = {w € C: M = 1} mediante la aplicación
z — -(w
•f tu
l
)
es el segmento [ - 1 , 1 ] , entonces de las condiciones de partida tenemos que
Vw G7
IvMI ^ Af •
Según la solución del ej. 11, la última desigualdad es válida también para
Vw £D 10*
P^w
+ w1)]
^M\w\n.
,• : ••¡Alífera! fe* .vJai
Sea z0 un punto arbitrario que no pertenece al segmento [ - 1 , 1 ] y sean a, b los semiejes de la elipse que pasa por el punto z0 y tiene sus focos en los puntos ±1. La aplicación w = z + y/z2 - 1
(w(oo) = oo)
es decir, Por consiguiente, la función F, donde sv ^ = F{z)
transforma dicha elipse en la circunferencia
f{z)
,
I I niz) fc=l
J ={w
es analítica en el semiplano G' (se supone que en los puntos
Por tanto,
singulares evitables
zk
(k = l ,n)
la función está definida) y \F(iy)\ < M. Por tanto, según el principio del máximo,
\F{z)\ ^ M V z e G, es decir,
n
í
r?.y *
*? i *
. » <*,*<>*<>'
» <-.<".<. .
^ « í v i A» v ' ^ i /
...
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i \ < t> A 4 « 'X » , , . . . i X*>
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V^ U » v v '' / > i V ^ > • • > V < x ' » , < » - . . . • . V. .
4 Solución. La función
x • < > x < - ¡ - i W 0 < * « V » •< •
A
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i
z ^
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establece un isomorfismo conforme entre el semiplan =
" ,
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x « / ^ < X f t i+A f t V v l y M A x ' < < k.VA.^.d»»*». íXv/.^y/
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Re 2: > 0}
y el círculo unidad
M Solución. La función
K = {w e O \w\ < 1}, /
«fK ^
i:
es analítica en el círculo K = { ( £ € : ¡ C U 1} Y M 0 \ < 1. Haciendo uso de la forma general de los auton, o r f l s m o s d d c f r c u l 0 u n i d a d | d los fórmuia t. 5), llegamos a que la función
P
Para
ÍCKi. f
teniendo en cuenta
/(*) _ — , obtenemos la desigualdad requerida.
•
M W
.........
S o l u c i ó n . La función
z»
F(z) =
B l ^ z l M
JK 4 - /(0)/(z) satisface las condiciones del lema de Schwarz, luego |F'(0)I<1 Pasando al límite cuando * - 0 en la igualdad
M(}{z)-m) obtenemos
i
F(z). = ~ (
M
,
-
_
m m )
M f ( 0 ) z= jp'(0)(Aí2 - |/(0)|2), de donde, teniendo en cuenta la desigualdad \F'm < 1 llegamos a la desigualdad requerida. • ^ ' MI
iliipip^
«4 Solución. Sean P(z) = zQ{z) y E una elipse de semiejes a = \/2, 6 = 1 y focos Entonces V z € E (v. ej. 14) se verifica la desigualdad Aplicando el lema de Schwarz a la función
P(z) M( 1 + V2)n+l' obtenemos la estimación
\P{z)\ = \zQ(z)\ < M( 1 + V2)n+l\z\.
•
§4. Principio de compacidad. Funcionales definidos sobre familias de funciones analíticas 4.1. Familias uniformemente acotadas y equicontinuas Asociemos al concepto de continuidad uniforme de una función / el concepto de equicontinuidad de una familia. Expongamos los razonamientos que sugieren la introducción de este último concepto. Una función /: € —» C también puede considerarse como una función /: M2 —> C si se toma z = x -f iy = (x, y). Sea Z = Df y sean Z\, Z2 las proyecciones primera y segunda del conjunto Z. Denotemos mediante Z\{x), Z2{y) sus
W5' •'!•'i- ..: secciones mediante a: e y (v.p.1.7, cap. 1, t.5). Hagamos corresponder a la función / dos familias de funciones de R en C:
(h rx)xtZ\ /
{ f j,y )y£Z2 *
donde
Dhx = ^(a), ^/z, =
fi,x(y) = /(*, y) V y € (1)
hy{x) = /<*, y) V * e
( }
Suele decirse que la función fífX se obtiene de / fijando la primera variable x, y la función /2,y, fijando la segunda variable y. De la definición se deduce que si la función /: C —* C es uniformemente continua, todas las funciones de las familias (fiiX)x€Zu {f2,y)yez2 son uniformemente continuas. Dicho de otro modo, la continuidad uniforme de una función respecto al conjunto de variables implica la continuidad uniforme respecto a cada una de ellas por separado. Existen, sin embargo, funciones que siendo discontinuas respecto al conjunto de variables, son uniformemente continuas respecto a cada variable por separado, como lo demuestran los ejemplos siguientes: E j e m p l o 1. Sea
xy
}{?, y) =
si
M^
ifi ^ 1 y
+f2 ^
si x1 + y1 - 0. 4
Solución. Tenemos entonces:
Z =
Zi =
{-1,1]2,
¿2 =
Zi(x) = z2(y)
= [-i, 1] v (x e [-1, i],
.íf 6 [-1,1]). Si x ^ 0, la función f\/X es racional en el segmento [ - 1 , 1 ] . De acuerdo con el teorema de Cantor la función es uniformemente continua. La función f2iV también posee esa propiedad para
; >..; i • i
*i
tf
-A
todo y e [-1,1]\{0}. Si a; = 0 ó y = 0, las funciones fifi y ftfl son iguales a cero y uniformemente continuas. De este modo, la función / es uniformemente continua respecto a cada una de las variables por separado. Sin embargo, la función /: € —+ C es discontinua respecto al conjunto de variables en el punto cero. En efecto lim n n-»oo i
n
_ _ i " 2
lim n n—>oo 4_
n
l
Por consiguiente, el conjunto £7/(0) de los límites parciales de la función / en el punto cero contiene más de un elemento, luego lim f(z) no existe, • z—>0 E j e m p l o 2. Sea / una función arbitraria definida en la circunferencia unidad
7 = { z e C : \z\ = 1}. <
Solución. En este caso
n = r 2 = [-i,i], r\(*) = { iMy) ~ v 1 2/2/ v i ~ 2/2}Para todo valor de x € Ti, el conjunto Ti (a) tiene a lo sumo dos puntos. El conjunto V2 (y) también posee esa propiedad V y € r 2 . Así pues, las familias de funciones (fi¿) y ifxy) se componen de funciones uniformemente continuas. Como la función / es arbitraria, la misma puede ser discontinua en todo punto de la circunferencia 7 . • _
La búsqueda de a las familias (f\ix)x£zx uniforme de la función conduce al concepto de
f
/
2
las condiciones que al ser impuestas y {h,y)yez2 aseguren la continuidad f respecto al conjunto de variables, equicontinuidad.
X. Sea 9Jt un conjunto de funciones / : € — • € . Se dice que este conjunto es equicontinuo s i V e > 0 3 ¿ > 0 : Definición
V(/ e rn, z' e Df, z" e i?/) (I*' -
< S) => |/(«') - /(*")| < e.
Dado un conjunto A, la familia de funciones (/«)«€A es equicontinua si lo es el conjunto 99? = {/„: a £ A}. En particular, se puede hablar de la equicontinuidad de una sucesión (/„) de funciones /„: C —• C. El término "equicontinuidad" se explica por el hecho de que la elección de 6 en la definición 1 depende sólo de e y puede utilizarse para argumentar la continuidad uniforme de toda función / 6 V31. Definición
2. Un conjunto VJl de funciones /: C —» C definidas en
una región D se denomina uniformemente acotado en el interior de D, si para todo compacto K (§ D existe una constante M ~ M(K) tal que
V(/ eSW, z £K) \f(z)\ Se dice que una familia de funciones ( f a ) a e A es uniformemente acotada en el interior de D si 9JÍ = {/ a : a £ A} es un conjunto uniformemente acotado en el interior de D. D e f i n i c i ó n 3.
Un conjunto 9JÍ de funciones /: C
C
definidas en
una región D se denomina equicontinuo en el interior de D, si V e > 0 y para todo compacto K d D 3 6 = 6(s, K):
V(/€9H,
z'€K,
Z
£K)
{\z'-z"\<ó)^\f{z')-f{z")\
|
•
! !.!! , .
'!
j>U\t
•¡yfj'.V!'
Si un conjunto W defunciones /: C - C analíticas en una región D es uniformemente acotado en el interior de D, entonces es
Teorema.
cquicontinuo en el interior de D.
__
Sea K m D^ Denotemos mediante 2p la distancia entre los conjuntos K y QD, es decir,
M Demostración.
2p =
inf
p{z, O-
Es evidente que p > 0, ya que K y dD son conjuntos cerrados disjuntos. Consideremos el conjunto
que a veces se denomina p-inflación del conjunto K. Es obvio que Kip) D y, por consiguiente, existe una constante
M(K{p))
tal que ,V(* e
, / € 0R) \f(z)\ ^ M. Sean
z' y z" dos p u n t o s arbitrarios de K para los cuales \z'-z"\
Kp = {ze
C:
entonces para todo z e Kp
\z-z'\
_ ^ 2M. La función C = círculo Kp en el círculo unidad
~
transforma el
= K € €: |(| < 1}.
ffi
Analicemos la función
(/<*' - K) ~ f {*'))> 0(0 = ; ^ 2M g(0) g € 5(0) - 0, \g{Q\ < 1. Esta función satisface las condiciones del lema de Schwarz, luego
vce^i
IÍKOKICL
mtíám
o bien 2—W M
~ po - /(*')I
la
>< = -(*-
A
Si tomamos
entonces
v/ean
4.2. Principio de compacidad Definición. Un conjunto 9JI de funciones /: C -+ C definidas en
una región D se denomina compacto en D si de cada una de las sucesiones (/„) de este conjunto se puede extraer una subsucesión (fnk) uniformemente convergente en cualquier compacto K
Si un conjunto SUt de funciones analíticas en una región D es uniformemente acotado en el interior de D, entonces es compacto en D. T e o r e m a (principio de compacidad de Monte!).
1) Demostremos primero que si la sucesión (fn) converge en todo punto de un subconjunto E C D denso en D, entonces converge uniformemente en todo compacto K <§ D (recordemos que un conjunto C Z se denomina denso en el conjunto Z si todo elemento z 6 Z es un punto adherente del conjunto Z0). Elijamos un e > 0 y sea K <é D. Según el teorema del p. 4.1, el conjunto de funciones 9H es equicontinuo en el interior de la región D, por lo cual la región D se puede dividir mediante rectas paralelas a los ejes coordenados en cuadrados tan pequeños que para todos Demostración.
'
-
••••
z 6 K y z" e K pertenecientes a un mismo cuadrado y V/ e se verifique la desigualdad O) Un número finito de tales cuadrados recubre completamente el conjunto K . Supongamos que este número es igual a p. Debido a que el conjunto E es denso en D, todo cuadrado anteriormente indicado contiene un punto Zf¡ (fe = V p ) . Dado que la sucesión de funciones (/„) converge en el conjunto E, existe un n£ G N tal que
V (m > ne, n>n£,
k-l,p)
se verifica la desigualdad
| fm(zk)-fn{zk)\
< 3.
(2)
Sea z E K un punto perteneciente al fc-ésimo cuadrado en donde está fijado el punto Zk G E. Para m > nc y n> n£ tenemos entonces
|Sm{z) - fn(z)|
^ | fm(z) ~ f (z )\ m
k
+ | fm(zk) ~ fn(zh)\ +
+ \fn{zk) - fn{z)\ < | + | + |= De este modo,
lifm ~ fn\\ = SUP| fm(z) - fn(z)\ ^ C zeK
V (m > n€f
n> nc),
es decir, la sucesión (/„) es uniformemente fundamental en el conjunto K y fn =3. 2) Ahora demostremos que a partir de toda sucesión (/„) de funciones del conjunto SDÍ se puede extraer una subsucesión (/ n J convergente en todo punto de un subconjunto E denso en el conjunto D. Sea E el conjunto de puntos z € K cuyas partes reales e imaginarias son racionales, E = {zf-; k € N}. Consideremos la sucesión [fn{z\))- Dado
que esta sucesión es acotada, por ei teorema de Bolzano— Weierstrass, de ella podemos extraer una subsucesión convergente (fn¡.(zi))- Sea fnk{z) = fki{z). Consideremos la sucesión (fk 1(^2))- Esta última también es acotada y de ella se puede extraer una sucesión convergente {fnki{zi))- Sea fnk\ — fk2De la sucesión {fkii^)) se puede extraer una subsucesión convergente (fnk2Íz$)), etc. Continuando este procedimiento obtenemos la sucesión de sucesiones {fki{z)), Ukiiz)), Escojamos ahora la sucesión diagonal ¡\\{z), f22{z),.... Esta sucesión converge en todo punto del conjunto E. En efecto, cualquiera que sea el punto zp 6 E, todos los términos de la sucesión ( f n n ( z ) ) a partir de fpp(z) fueron elegidos de la sucesión (f np ) convergente en el punto zp. En virtud de que 2) => 1), el principio de compacidad queda demostrado. •
4.3. Funcionales definidos en conjuntos de funciones Definición 1. Sea 9H un conjunto de funciones /: C —• C definidas
en una región D. La aplicación 90Í - i C se denomina funcional.
/ 6
El funcional I pone en correspondencia a cada función un número complejo /(/).
continuo en un elemento fo £ si para toda sucesión (/„) de funciones del conjunto 9EJ?, uniformemente convergente a la función f0 en todo compacto K
lim !(/„) =/(/o).00
|
Sea, por ejemplo, 9JÍ el conjunto de todas las funciones analíticas en la región D. Definamos /(/) como sigue: =
p\
>
siendo a 6 i? un punto fijo. Demostremos que este funcional es continuo. Sea (/„) una sucesión de funciones del conjunto 9JI uniformemente convergente a la función f0 en todo compacto K
K
=
Jr = {z e
C:
\z - a\ = r}
C
D.
En este caso V e > 0 Sn£
e N: V ( n ^ ne,
z 6 7r)
I / « ( * ) - /o(*)l < e>
Aplicando la desigualdad de Cauchy para los coeficientes de una serie de potencias (v. fórmula (6), p. 1.7, cap. 2, t. 6), obtenemos
i
lo que significa la continuidad del funcional I . Definición 3. Un conjunto compacto de funciones se denomina secuencialmente compacto si el límite de toda sucesión (/„) de funciones de 9DT uniformemente convergente en todo compacto K
Dicho de otro modo, el conjunto 9Jt de funciones /: C —» C es secuencialmente compacto si de toda sucesión (/„) de funciones de 2Jt se puede extraer una subsucesión (/,u) uniformemente convergente en todo compacto K <1 D a una función de 9)1. Como ejemplo de un conjunto de funciones secuencialmente compacto puede servir el conjunto de funciones analíticas uniformemente acotadas en una región D.
Sea I un funcional definido en un conjunto secuencialmente compacto 9JI de funciones f: C C. Si I es continuo en 9J?, entonces su módulo [7(/)| alcanza el supremo, es decir, existe una función /0 € 9JÍ tal que Teorema.
v/ea»|j(/)|^|j(/0)|. Hagamos a = sup \I(f)\. Sea (sn) una su/€5W cesión infinitésima de números positivos. Según la propiedad del supremo V n 6 N 3 /„ € Wl tal que Demostración.
\I{fn)\ ^ ol,
de donde lim \I{fn)\ = a. De este modo, existe una sucen—>00 sión (/„) de funciones del conjunto Wl tal que lim j I ( f n ) \ - a . ra—» oo
Por cuanto el conjunto 931 es secuencialmente compacto, existe una subsucesión (f n¡í ) uniformemente convergente en todo conjunto K <§ D a una función f0 € En virtud de la continuidad del funcional I , se tiene Hm |I(/BJ| Wo)\ = <*, k—>oo
de donde se deduce que a < oo y v/ e m
|/(/)| < |/(/0)|.
4.4. Teorema de Hurwitz La siguiente afirmación pertenece a A. Hurwitz (1859—1919).
Sea (/„) una sucesión de funciones analíticas en una región D que converge uniformemente en todo compacto K <é D a una función f £ const. Si f(z0) = O, z0 G D, entonces, para todo círculo T e o r e m a (de Hurwitz).
Kr = {z€ G \z - zQ\
D e m o s t r a c i ó n . Según el teorema de Weierstrass / G
A(D).
Dado que / ^ 0, existe un entorno reducido del punto
z0 Op(z0) = {ze€: en el cual / son aislados). Sea
0 < ¡z - z0\ < p} C D
0 (pues los ceros de las funciones analíticas
fi = min 1/(2)1, p
p > 0,
donde
7p = {z G €: \z - zQ\ ~ p}. En virtud de que f n ^ f e n la región D, existe n^ G N: V (n ^ n^ z 6 7„) | /„(*) - f(z)| < p
De acuerdo con el teorema de Rouché, las funciones / y /„ tienen en el interior de "fp un número igual de ceros. Como / tiene al menos un cero, entonces para n ^ n(i todas las funciones fn también tienen ceros en el interior de jp. •
Corolario. Si una sucesión de funciones (/„) analíticas y de una hoja en una región D converge uniformemente en todo compacto K
gn{z) = fn(z) - fn{z2), y el círculo
Kr = {z G
\z-
Zi\ <
r ^ \zi - z21. i
1 1 3a K .
38
r},
Iplll Tenemos: lim gn(z) = f(z) - f(z2) = g(z),
n~*oo
g(Zl) = 0,
de donde, según el teorema de Hurwitz, a partir de cierto número n todas las funciones gn también se anulan en el círculo Kr. Esto contradice el hecho de que las funciones /„ son de una hoja. •
§ 5. Existencia y unicidad de las transformaciones conformes 5.1. Isomorfismos y automorfismos conformes Dadas dos regiones D\ y D2, se denomina isomorfismo conforme de D\ sobre D2 a una transformación conforme / de Di sobre D2r se dice que las regiones Di y D2 son conformemente isomorfas. Un isomorfismo conforme de una región sobre sí misma se denomina automorfismo conforme. El conjunto de automorfismos de una región arbitraria D forma un grupo que se denomina grupo de automorfismos de esta región y se denota mediante el símbolo A(D). La ley de composición en este grupo es la composición
la unidad es la transformación idéntica e: z —> z y el elemento inverso de
Nota. Para simplificar la terminología, omitiremos con frecuencia la palabra
"conforme" de la expresión "isomorfismo (automorfismo) conforme".
llilfc
Teorema. Sea D{
sobre
D2 cierto isomorfismo. Entonces el conjunto de
todos los isomorfismos de Di sobre D2 se define mediante lafortnula f = (p o f b, donde
5.2. Ejemplos de automorfismos 1) D = C. Sea
para
ZQ # oo
-
V Az + B, para z0 = oo. De esta manera, el conjunto de todas las transformaciones homográficas forma un grupo de automorfismos C. 2) D = € . Razonando análogamente obtenemos que el grupo A(C) está formado por el conjunto de todas las funciones lineales enteras
¡¡líBl
tr-
Analicemos la composición f — Á o
/(o) = o.
Por consiguiente, / satisface las condiciones del lema de Schwarz y V z E K se tiene l/(*)l ^ H (1) Consideremos la transformación inversa f~\w) = z Ésta también satisface las condiciones del lema de Schwarz y, por tanto, |/ \W)\ ^ \w\, o bien * P
~ e * es Unción lineal simple y
^ * e S homográfico » por tanto, es de la forma (v. formula (5), p. 1.3, cap. 3 , 1 5 )
w= e
1 — az'
dw < b a 6 1, a = arg dz Así, los automorfismos del círculo unidad K dependen de tres parámetros reales: de dos coordenadas del punto a y de a. a¡
Demostremos ahora que variando estos parámetros se puede hallar un único automorfismo A 6 A(K) que satisfaga las condiciones de normalización A(a) = b,
arg A'(a) = a,
(3)
donde a y b son dos puntos fijos arbitrarios de K, y a es un número real arbitrario. En efecto, sean p{z) y v{w) dos automorfismos del círculo K :
fi(z) =
z- a 1 — za'
v(w) =
w—b 1 — bw
Consideremos la composición A = v A(a) = 6,
"I
0/4. Tenemos:
=
arg A\a) ~ arg /í'(a) - arg v(b) ~ a - 0 = a. De este modo, hemos construido un automorfismo del círculo unidad A = v"1 o que verifica las condiciones (3). Consideremos la composición f = v o Ai o /x"1, donde Ai es otro automorfismo del círculo K que satisface las mismas condiciones- Evidentemente, /(0) = 0, arg /'(O) = arg v\b) + arg Ai (a) - arg y!{a) = = 0 + a - a = 0. Por consiguiente, A^O) = 0, arg Ai (0) = 0; entonces, conforme al lema de Schwarz, / = e es una transformación idéntica, es decir, —1 —1 e = i/ o Ai o p, Ai — v o p = X.
5.3. Existencia y unicidad de los isomorfismos de las regiones isomorfas al círculo unidad Subrayemos el hecho siguiente: debido a que el grupo de automorfismos de un círculo unidad depende de tres parámetros reales, el grupo de automorfismos de toda región D isomorfa al círculo unidad también depende de tres parámetros reales. El siguiente teorema establece la existencia y la unicidad de los isomorfismos de las regiones isomorfas al círculo unidad.
Teorema. Si dos regiones Di y D2 son isomorfas al círculo unidad K, el conjunto de isomorfismos de D\ sobre D2 depende de tres para-
metros reales. En particular, existe una única aplicación Dx j .. . . normalizada del modo siguiente:
f{zo) = w0/
D2 sobre
arg f'(z0) = 0,
0)
donde z0 G Dx y w0 e D2 son puntos arbitrarios y 6 GR es un número arbitrario. Demostración. Sean D\
h • K y D2
sobre
J
h > K dos aplicacio-
sobre
r
nes. La aplicación fo = f2 0 f i es un isomorfismo conforme de D\ sobre D2. Según el teorema del p. 5.1, el conjunto de todas las aplicaciones de Dx sobre D2 está dado por la fórmula
/ =
Mzo) = a, f2(w0) = b,
arg/i'(zo) = 0i,
(2)
arg/2(«>o) = 02, y sea A un automorfismo del círculo K normalizado de la manera siguiente: A (a) = b, argA'(a) = 0 + 0 2 - 0 , ,
(3)
(como ya sabemos, tal automorfismo se determina de un modo unívoco). Analicemos el isomorfismo / = /2~1oAO/1
de D: sobre D2. Tenemos:
f{z0) =
arg ?{ZQ) = ~ arg F2{W o) + arg X\a) + arg /{(*<,) = = -02 +
0
+
-
+ 01 =
Con esto queda demostrada la existencia de un isomorfismo de Di sobre D2 que satisface las condiciones de normalización (1). Demostremos ahora su unicidad. Supongamos que existe otro isomorfismo Di
D2
que verifica las condiciones (1). Entonces
0
° /í*
del
círculo
p(b) = b, arg
^'(6) = arg y/(tüo) + arg /2(w0) - arg f2{w0) = 0,
de donde se deduce que p - e y, por consiguiente, y? = e, es decir, fog~l = e,o bien 5 = /. •
5.4. Teorema de existencia Naturalmente, surge la siguiente pregunta: ¿qué regiones son conformemente isomorfas al círculo unidad y, por tanto, conformemente isomorfas entre sí? La respuesta se contiene en el teorema siguiente. T e o r e m a (de Riemann). Toda región simplemente conexa cuya frontera
• . >, 3 ;Y
'•3
%
k i
y.
*
íiV *>
í
'A
H
* • <
*
consta de más de un punto es conformemente isomorfa al círculo unidad K = {z € C \z\ < 1}.
l^mmmrn^Nota 1. La condición impuesta a la frontera de la región es importante. Por ejemplo, el plano complejo ampliado no se puede transformar conformemente en un círculo; es más, el plano C no es ni siquiera homeomorfo al círculo K (pues la esfera no es homeomorfa al círculo). Si eliminamos un punto del plano C, podemos transformarlo mediante una aplicación homográfica en C, pero no es posible transformar conformemente C en el círculo K. En efecto, si tal aplicación existiera, ella sería entera y su valor absoluto estaría acotado por la unidad; pero de acuerdo con el teorema de Liouville toda función de este tipo es igual a una constante.
Nota 2. Si la frontera de una región simplemente conexa contiene más de un punto, entonces, por ser conexa, contiene necesariamente un conjunto infinito de puntos. Demostración. 1) Demostremos que en la región D existe al menos una función analítica de una hoja cuyo valor absoluto *
está acotado por la unidad. Tomemos dos puntos a E dD y b 6 dD, a ^b. Analicemos la función analítica completa
z- a Esta función tiene dos ramas uniformes z en la región D, ya que
z - a z-b
(z) y ^
JO 1 oo
En todo punto z £ D los valores de dichas ramas se diferencian en el signo. Demostremos que cada una de estas funciones es de una hoja en D. Supongamos lo contrario. Sea
(A: = 1,2).
Entonces
z\ - a
z2 — a
Dado que la función homográfica es de una hoja, (1) implica que z\ — z2. I M« ¡ S S I I w l P i s a í s« kSn " »> <*k v X X >X' *
'
II
• s v • •i; f, il; ^ $
té:ífe
«¡üíSIíT jO
Vi Sean dos aplicaciones D —-• Dx y D r sobre
r2 sobre
D2. De-
mostremos que Di y D2 no tienen puntos comunes. Supongamos lo contrario, que Dx y D2 tienen puntos comunes. Esto significa que hay un par de puntos Zi y z2 de D para los cuales (pi{zx) = y2{z2). De esta igualdad se deduce (1) y de (1), la igualdad z2 = zi, es decir,
(pi(zi) = ¥>2(*i)« Teniendo en cuenta que
^ = 1,2)
que son imposibles ya que V z G D y?*(z) ?¿0. Sea
Kp = {w£ C: |w - w0| < p} C í>2 un círculo en el que la función cpi no toma valores, es decir, Vz G Di
\
-tüol ^ />•
Entonces la función
z
»-»
g{z) - ——p
es analítica y de una hoja en D, y si
V z g d
|
2) Sea dJl el conjunto de todas las funciones analíticas, de una hoja en la región D y acotadas en valor absoluto por la unidad. Este conjunto no es vacío, ya que g G 9Jt, y por el principio de compacidad, es compacto en D. Fijemos un punto a G D. Denotemos mediante üBTi aquella parte de 9H compuesta de todas las funciones / G OJt para las cuales |/'(a)l ^ l
consecuencia de que g es de una hoja). Demostremos que el conjunto es secuencialmente compacto- Sea (/„) una sucesión de funciones de SDÍi uniformemente convergente en todo compacto K
V n € N | / » | > \g'(a)\, entonces |/¿(a)| ^ |g'(a)\. Además, según el corolario del teorema de Hurwitz, f0 ~ const o bien f0 es de una hoja en D. El caso /o = const se excluye debido a la última desigualdad. Por consiguiente, /o 6 . Consideremos el funcional /(/) = f'{a) definido en SDTi. Dado que I es continuo en la familia secuencialmente compacta 9J?i de funciones (v. sec. 4), su módulo alcanza el supremo, es decir, existe una función h € tal que V / € 90ti se verifica la desigualdad | / » | ^ |V(a)¡.
Demostremos que h(á) — 0. Supongamos lo contrario, es decir, que h{a) 0. Entonces
h(z) - h(a) z i * H{z) = = € OTi 1 - h{a)h(z)
lo cual contradice el carácter extremo de h. 3) Demostremos que D • K. Supongamos lo con1 sobre
trarío, o sea, que h(z) no toma en D ningún valor b G K. Como h{a) = 0, entonces b ^ 0. Obviamente, la función h 1 tampoco toma en D el valor b* — ya que \b*\ > 1. De este modo, podemos separar en D la rama uniforme
I h(z) - b V 1 - bh{z)' h f + x + r i • í í » X Í X
'
vi
Denotémosla mediante # b ) . Es evidente que tanto i>{z) como l
a
f
u
n
c
i
ó
_
n
a
z
)
-
m
i-Wmz)'
pertenecen al conjunto W. Un cálculo directo proporciona h'(z) (1 ~ l&l2)
=
(1 =
(l-#£)#*))
de donde
«'(a) -
W
fe» - Ma)l 2
Por consiguiente, * € %
y
f 2
(1 " W 2 )
27=6(1
- \b\)
> |fc'(a)|. La última desi-
gualdad contradice el carácter extremo de la función h.
Corolario. Dos regiones
simplemente
más de un punto, son conformemente
conexas
cuyas fronteras
isomorfas
una a otra.
•
contienen
§ 6. Correspondencia de las fronteras y principio de simetría en el caso de transformaciones conformes 6.1. Teorema de correspondencia de las fronteras i
4i
El teorema de Riemann no dice nada sobre la correspondencia de las fronteras mediante una transformación conforme ni sobre el comportamiento de la aplicación en la
frontera de la región. La respuesta se da en la afirmación siguiente. Teorema (de Carathéodory). Si las fronteras de dos regiones D y D*
son curvas de Jordán, entonces Ja transformación conforme D —^ Df sobre
se puede prolongar en la frontera de la región í? obteniendo un homeomorfísmo de las adherencias D y D*. Omitiremos la demostración. Sólo hagamos notar que las condiciones impuestas a las fronteras de las regiones son esenciales. Se pueden presentar ejemplos en los que el teorema deja de ser válido si las fronteras no son curvas de Jordán. Existen otros resultados más concretos referentes al comportamiento en las fronteras de las transformaciones conformes de las regiones con fronteras de Jordán si las curvas verifican condiciones complementarias. Citemos dos de tales resultados 3) . 1) Resultado de Schwarz. Si las fronteras de dos' re-
giones D y Df son curvas de Jordán analíticas, la transformación conforme D —Df sobre
se prolonga en
una función analítica en D. 2) Resultado de Lindelóf, Si las fronteras de D y D*
son curvas de Jordán suaves y f es una transformación conforme de D sobre D\ entonces arg f(z) se prolonga en una función continua en D, con la particularidad de que V £ e dD arg /'(£) = 0f - 9, donde 0 y 0* son los ^ Remitimos al lector interesado en el comportamiento de las transformaciones conformes en la frontera de una región a los libros siguientes: Carathéodory C , Transformación conforme; Goínzin G.M., Teoría geométrica de las funciones de variable compleja, M—L., 1967 (en ruso).
» 4 » * l
" V í * ^
V*
^ M>| í:Ü ÍH5 trWiílíiífJi l¿í i? í 1
ángulos de inclinación de las tangentes a las curvas dD y dD' en ¡os puntos £ y /((), respectivamente. En el caso de las transformaciones conformes de regiones limitadas por curvas de Jordán, para determinar una transformación conforme de un modo unívoco hay que especificar la correspondencia de tres pares de puntos frontera. A saber, sean a, b y c tres puntos arbitrarios de la frontera dD y sean a', b' y c' tres puntos arbitrarios de OD' elegidos de forma tal que las fronteras se recorren en un mismo sentido respecto a las regiones D y D'. Entonces existe un isomorfismo D
j f
sobre
D' que satisface las condiciones
f(á) = d, f(b) = b',
(1)
fie) = c. En efecto, sean D
sobre
K, D'
sobre
K, siendo
K = {ze C \z\ < 1}. Según el teorema de correspondencia dejas fronteras, /i es un homeomorfismo de las adherencias D_y K, y f2 es un homeomorfismo de las adherencias D' y K. Supongamos que
/ 2 (a')-a',
f2{b') = &,
M ¿ ) = V-
Existe un único automorfismo A: K K del círculo unidad K que verifica las condiciones siguientes: A(a) = a , A(j9) -
¡3',
A(7) =
V-
La transformación / = f2l o A o fx es, evidentemente, un isomorfismo conforme de D sobre D' que satisface las condiciones (1). Supongamos ahora que además de / existe otro isomorfismo D nes (1):
sobre
D' que también verifica las condicio-
g{á) - a', m
=
g(c) Obviamente,
•1
b', >
c.
es un automorfismo de la región D2
-1
fi(a') = a, M/3') =
Mi) = 7 • Vemos que \i es la transformación idéntica e. La forma explícita de la transformación fi implica entonces que
6.2. Principio de simetría El teorema que enunciaremos a continuación extiende a las transformaciones conformes el uso del principio de simetría de Riemann—Schwarz de prolongación analítica de las funciones.
\ •;•'), . •
,
i;
';
i, x y . < y . ; •• > ••• < < • > * : ^ j v
s
C! A ; .
> * i H '.i ' V l l . ' P
: i
!
s
> s
.
>¿ TT > « x ? • O
T e o r e m a . Sean Di y D2 dos regiones cuyas fronteras son curvas de
Jordán. Supongamos que dDi contiene un arco de circunferencia ji, y dD2, un arco de circunferencia y2. Sea D* la región simétrica a Di respecto a 71 y D2 la región simétrica a D2 respecto a 72. Entonces, si la función f transforma conformemente Di sobre D2 y 71 ^^ 72, ella admite una prolongación analítica en D{ y la función resultante transforma conformemente la región Di U 71 U D{ sobre D2 U 72 U D ¡ . Se supone que Di n Df = 0 y D2 fl Di = 0. <4 Demostración. Sin pérdida de generalidad se puede considerar que 7 j y 72 son segmentos del eje real, y Di, D2 son dos regiones del semiplano superior (fig. 7), pues esto siempre se
Fig. 7
puede conseguir mediante una transformación homográfica. Sea Di
f
• D2. Según el teorema de correspondencia de
sobre
las fronteras, la función / es continua en la adherencia Di y establece un homeomorfismo de D\ sobre D2. Según las condiciones de partida, / es continua en 7 y toma valores reales en 7. De acuerdo con el principio de simetría de Riemann—Schwarz, la función / se prolonga analíticamente en D\ según la fórmula f(z) — f{z), y esto significa que la función resultante transforma conformemente Di U 7 j U D* sobre D2 U 72 U D\. •
y
n.'-'í ? > i r -
- i : s • • v•' ^íTK-p-g
'
}'• • 3
l t ]
•••''•.''
- . ' " v f y '
S* && /
'.• I ' 1 ' . ' " i { . ' [ y . ' i i . i n í Y ^ Y Y i ^
i v
Problemas resueltos
7* i
Solucion. Según el principio de simetría, el problema se reduce a la construcción de la transformación conforme de la región ^ f _^ _ , , _ 27T "I ¿n - \z e C: 1 < \z\ < oo, 0 < arg z < —
l n (fig. 9) en sí misma de forma tal que las semirrectas r0 = {z e C: \z\ ^ a, arg z = 0}
••••i
•
;;
G,
,2jt/n O'
Fig. 9
2?r
-{ se conviertan en las semirrectas
z€ G \z\ ^ a, arg z
TQ~ {zeC: Vi = \zeC:
\z\>\, arg 2 = 0} M > 1 , argz =
2TC
respectivamente. La transformación buscada es la composicion de las transformaciones Wi =
Z ' ,
w2 = ~(wi + wíl), w2 W3 = "T / í (a n/2 + « - n / 2 ) W4 = W= 12 3¿K.
+ 2/n w4'
.
\Jw\-\,
I :.
, r
Entonces, (tt»/2 + a -»/2) ~Vn
x '
+
11
i
•
-
^
z~n/2
La función tt>i transforma el sector considerado en el semiplano superior del que se ha eliminado un semicírculo; la función W2 (función de Zhukovskí) transforma el semiplano superior con el semicírculo eliminado en el semiplano superior, y los puntos A\ y A2 se convierten en los puntos (an//2 -f oT"/2). La función w3 transforma el semiplano superior en el semiplano superior de modo que los puntos ± - ( a n ^ 2 + a~n/'2) se convierten en los puntos ±1. La función (aplicación inversa de la función de Zhukovski) transforma el semiplano superior en el semiplano superior del que se ha eliminado un semicírculo unidad. Finalmente, la función w transforma el semiplano superior con el semicírculo unidad eliminado en el sector G\. •
A Solución. Según el principio de simetría, el problema se reduce a la construcción de la transformación conforme de la mitad superior de la región dada en el primer cuadrante, de forma tal que la semirrecta (-oo, eos a) se transforme en el semieje imaginario positivo. Dicha transformación es el resultado de la composición de las transformaciones
s .
-<
« v .
mmm y;; ^
VA
^
>
Wl = z + W2
=
2
_
(e~iawy)^
1/
1\
= - I lü2 H I 2V ^2/ W =
V ® 3 -
i
=
e~ia(z
V2
2(ir-a) _
+ Vz - l 2
y
2
-l
2(3f-a)
•i
El factor
no juega ningún papel pues para k > 0
la aplicación w' = kw transforma el semiplano superior en sí mismo.
•
§ 7. Transformación conforme de polígonos. Integral de Christoffel—Schwarz 7.1. Transformación del semiplano superior en un polígono Supongamos que se requiere transformar el semiplano superior del plano z en el interior de cierto polígono M i s C que se encuentra en el plano w (fig. 10). De acuerdo con el teorema de Riemann tal transformación existe y, según el teorema de correspondencia de las fronteras, si las fronteras son curvas de Jordán, dicha aplicación es un homeomorfismo entre las regiones cerradas. A los vértices Ai, A2,..., An del polígono les corresponderán ciertos puntos a i , a 2 , . . . , a n del eje real. Sin pérdida de generalidad se puede considerar que V k = T/ñ se tiene que ak eC (en caso contrario, mediante 12 3aK. 38
mÉmm
Fig. 10
un automorfismo del semiplano superior se puede conseguir que el punto del infinito no corresponda a ningún vértice del polígono). Sea w — f{z) la función buscada. Ésta transforma el segmento [ai, a 2 ] en el segmento [Ai, A2]. Según el principio de simetría, la función se prolonga a través de [ai, a2] en el semiplano inferior, y la función prolongada establece una correspondencia entre el semiplano inferior y el polígono simétrico al dado respecto a la recta que pasa por los puntos Ai y A2. De la misma manera se pueden construir prolongaciones analíticas a través de otros segmentos (a*, a fc+1 ]. De esta manera, la función analítica completa definida por f no tiene puntos singulares en el semiplano inferior ni en todos los puntos del eje real salvo, tal vez, el conjunto {ak; k = l,n}. Por consiguiente, ak (fc = 1, n ) son puntos singulares posibles de la función analítica completa /. Denotemos mediante aX7r, a 2 i r , . . . , anTT los valores de los ángulos interiores del polígono. Tenemos: TI
ak
=
71
- 2'
0<
< 2.
Consideremos f(z) en un semientorno superior del punto La función (su rama apropiada)
z~w(z)=(f(z)-Aty/a>e-i*>°>
V • S < ^ S*
' '
•<-<
•
. .
> v w
A».».», w a
y^
x«> *
i
'
®
w— ak7i
Fig. 11
transforma el semientorno del punto ak en el semientorno del origen de coordenadas de forma tal que el segmento frontera del eje real también se convierte en el segmento frontera del eje real (fig. 11). Por consiguiente, según el principio de simetría, UJ{Z) se prolonga en el entorno completo del punto ak y la función obtenida transforma biunívocamente el entorno del punto ak en el entorno del origen de coordenadas. De este modo, w es una función analítica en el punto ak y oj'(ak) / 0. Escribamos su desarrollo de Taylor en un entorno del punto ak:
(,(2) = (e-"(f(z)
- Ak))Uai
=
= C\{z - ak) + C2(z - ak)2 + ... = = (z - ak)Ü(z), Q(ak) = C:=
o/(a&) ¿ 0,
e~^(f(z) - Ak) = (z~ akr(Ü(z))Qk
=
~{z~ ak)
m
Ak + {z~ ak)akipx{z),
f'(z)
<*k(z ~
(z) + (z -• ak)a"tp\(z) =
(z - a^""'1 (ak
(ak - 1 )(z-
$(afc)^0,
ak)a*-2
r\z) m
(z - ak)ak~2((
$(z)'
A partir de las expresiones obtenidas vemos que el f"
punto ak es un polo de la función ~ y s u residuo en este punto es a k - 1. Consideremos la función
f"(z)
"
- 1
m
Esta función es entera y lim *(z) = 0. En efecto, el desarrollo de la función / en un entorno del punto del infinito tiene la forma oo
syfl
w
E n=l -E
+ 1)C„ -n+2
0
nCn
cuando
z ^ oo.
n-l
E fc=i z - a 9 ¥
~1
0
k
cuando
z
oo.
Según el teorema de Liouville, tf = 0. Por consiV
Y ^ ak - 1 __
h
z
~ * " dz a
ln /'(*),
ln f{z)
= ¿ ( a f c - 1) ln {z - ak) + ln Cx k-1 m
=
w
hxC1]J(z~akr-\ 9
W
«t-i
-
f(z)=Ci z
m
= c
f II(C - ak)ak~x d( + C2.
x
(1)
n
La igualdad (1) se denomina fórmula de Chrístoffel— Schwarz y la integral en su segundo miembro se conoce como integral de Chrístoffel—Schwarz. Veamos cómo cambia la fórmula de Chrístoffel— Schwarz si la preimagen de uno de los vértices del polígono, por ejemplo, del vértice An, es el punto del infinito. Con este fin, construyamos el siguiente automorfismo del semiplano superior del plano z: 1 1 , z — an . Zl _ Entonces
fi(zi) = a» -1/zi í ¿l
Í
I Í «
k=1 n
-
d
< +
ak-1
=
dCl & +c2
\
l/an
(en la integral efectuamos el cambio de variable £ — an — —). si Tras una serie de transformaciones evidentes de la expresión
tmmmm í ^ i ^ p ^ p i p
subintegral, hallamos zt
1/a.
»
Jfc—1 Ofc-l
/ri( /
dCi + C£ =
a*
(2)
n « .
donde a¡. -
-- son las imágenes de los puntos ak en el
plano z\. Nótese que el factor £
"-¿«fc-2
no está presente en
n
la fórmula (2) debido a que n - ^ afc - 2 = 0. Señalemos, fc—1 además, que si en la penúltima integral de (2) tomamos el límite inferior de integración igual a cero en vez de — , sólo varía la constante C 2 . Cambiando z\ por 2 y fx{Zl) por f(z), obtenemos la fórmula i n-l
/fi XS^iI
d( + C2.
(3)
Las integrales de las fórmulas (1) y (3) se denominan,
respectivamente, integrales de Christoffel—Schwarz de primera y segunda especie. La diferencia entre ellas es evidente: aunque n
en ambos casos ^ ak = n - 2, en la fórmula (3) el factor jfcs=l (C — o-n)0""1 no figura en la expresión subintegral. Las fórmulas (1) y (3) se han obtenido suponiendo conocidos los puntos ak. Sin embargo, habitualmente en los
•fe
problemas de transformaciones conformes de este tipo se conocen sólo los vértices Ak del polígono, mientras que los puntos ak se desconocen. Según el p. 6.1, tres de estos puntos se pueden elegir arbitrariamente, mientras que los demás ak, conjuntamente con Ci y C2f han de determinarse a partir de las condiciones del problema. Este hecho constituye el obstáculo principal al utilizar en la práctica la fórmula de Chrístoffel—Schwarz. Existen varios métodos para determinar los puntos ofc y C¡. La constante C2 se halla fijando uno de los vértices del polígono. Para determinar las constantes ak y C\, a veces se pueden utilizar las longitudes conocidas de los lados del polígono: «t+i
Akt Ak+i | = J \f'(x)\ dx
(k ~ 1, n - 1).
Sin embargo, esto no siempre se puede llevar a la práctica. Señalemos que también existen métodos de aproximación para determinar las constantes ak y C\.
7.2. Caso de un polígono con vértices en el punto del infinito Dado un n-ágono, supongamos que uno de sus vértices, por ejemplo, Akt se encuentra en el punto del infinito (fig. 12). Sean A'k y Ak dos puntos arbitrarios de las semirrectas Ak_iAk y AkAk+i, respectivamente. Al unirlos mediante un segmento de recta obtendremos un (n + l)-ágono. La transformación del semiplano superior en este polígono tiene la forma
z
f(z) = C1 J(C~
a>i)aí
x (C -
l . . . (C - ci'kf'k~l x
. . . (C - a n f«~ l
+ C2,
(1)
N :
.
.*
donde «fc7r y a¿V son los valores de los ángulos en Jos vértices A'k y mientras que a'k y a j son los puntos del eje Ox correspondientes a dichos vértices.
i*
k~i
A,
w
Mk7i\ \a
Wlt
k+i
o
Al
Fig. 12
Supongamos que el segmento A'kA'l se aleja paralelamente hasta el infinito. Esto conduce a que los puntos a!k y ak se fusionen en un solo punto ak correspondiente al vértice Ak. Denotemos mediante -a k -k el ángulo entre las semirrectas Ak-\Ak y Ak+iAt en el punto final triángulo A'kA*kAk obtenemos i a^'k -f» ak" - a k - 1, es decir, a k + a'i - 2 =
Considerando el
- 1,
y la fórmula (1) adopta la forma ya conocida de la fórmula (1), p.7.1.
im^-Mm-MiM^ i. i
Es evidente que esos mismos razonamientos son aplicables si el polígono tiene varios vértices en el punto del infinito. De este modo, la fórmula (1), p. 7.1, se cumple también para los polígonos que tienen uno o varios vértices en el punto del infinito, con la única particularidad de que el ángulo entre dos semirrectas con vértice en el punto del infinito se determina como el ángulo (tomado con signo negativo) en el punto final de su intersección. Señalemos que para esta definición del ángulo en el punto del infinito se sigue cumpliendo la igualdad n fc-i
<*k = « - 2
para la suma de los ángulos del polígono.
7.3. Aplicación del semiplano superior en el exterior de un polígono En este caso los razonamientos son análogos a los del p. 7.1. La función f tiene ahora un polo de primer orden en cierto punto a del semiplano superior; la función
tiene, además J
de los polos simples {a*; k = l,n}, dos polos simples en los puntos a, a con residuos iguales a - 2 . De este modo,
r(£) = f'{z)
y - Q ^ l _ _2
z-ak
2 ^
z-a
z-a
de donde m
- c / 1 I c e - •»)»" o fc_1
_
fl
*
_ -y + ¿v : :;iíffff
•BiÜB
(2)
bíiívUi
©
® —(O + iü)
ü)+iü)
X X X X X X X X X
X X X X X X
1o
"
-- -'
' •
s
-
.
Fig. 13 Aquí a k n son los valores de los ángulos exteriores del polígono y n
Y]ak^n-\r
2,
fc=i donde ak son los puntos del eje real correspondientes a los vértices del polígono.
7.4. Aplicación del semiplano superior en un rectángulo Transformemos el semiplano superior en un rectángulo P con vértices en los puntos ±u> y ±uj + icoi (fig. 13). Apliquemos el principio de simetría. Sea f una función que transforma el primer cuadrante en la mitad derecha del polígono P de forma tal que el semieje imaginario se convierte en el segmento [0,iwi] del eje imaginario. Haciendo corresponder los tres pares de puntos frontera siguientes oo
tUi
.»•>r..;'
definimos la función f unívocamente. Al vértice u) + 1 del rectángulo le corresponde cierto punto — > 1 ( & < 1 ) , ht donde k es una incógnita. Según el principio de simetría, la función f se prolonga en el segundo cuadrante y la función resultante (también la denotaremos mediante /) aplica el semiplano superior en todo el rectángulo de forma tal que /(-1) = -w,
'
- í
=
~U)
+
ÍÜJ\
La función / se obtiene aplicando la fórmula de Chrístoffel— Schwarz. Tenemos: l <*k = ~ (k = 1 , 4 ) ,
Z
dC, • (1) 2 2 2 - C ) (1 - k £ ) La fórmula (1) contiene dos parámetros incógnitos C y k. Elijamos la rama de la raíz correspondiente a V i = 1. Entonces, teniendo en cuenta que f'(z) | Q = C obtenemos que C > 0, pues la aplicación no cambia el sentido positivo del eje real. Antes de seguir, hagamos un breve paréntesis; consideremos la función Z
F(z
>k)
=í
d( \1 - C2) (1 " * 2 C 2 )
(2)
donde 0 < k < 1 se supone conocido. La función F(z, k) se define mediante la integral elíptica de primera especie, siendo k su módulo. Los razonamientos anteriores implican que F{z, k) efectúa una transformación conforme del semiplano superior
iSlÉiÉIII;.;' en un rectángulo de lados 2u>0 y w'0, donde
f
u>0
dC
es la integral elíptica completa de primera especie
módulo k, y
i/k U)Q
-f M'O ÍUJ =
J _
d( Cn2) (1 - * 2 < 2 )
1 }k
d(
= U>0 + i
•J
(C - 1 ) (i - fc2c2)'
Por consiguiente, 1/A 4 =
de
/
Cambiando de variable según las fórmulas
obtenemos
1
dr
«5=/
r 2 ) (1 - ft V ) = *<*i).
Así pues, la integral elíptica de primera especie transforma el semiplano superior en un rectángulo de lados 2K(k) y K{k[). Volvamos al caso analizado. Tenemos:
m
i
d( ( w
2
)
(i
donde k y C son los lados desconocidos del rectángulo2üj y lo se conocen.
Haciendo uso de las fórmulas anteriores, obtenemos
u> = CK(k), (J = CK(k'). Estas dos igualdades constituyen un sistema de ecuaciones trascendentes respecto a C y k. Para resolverlo se puede utilizar las tablas de integrales elípticas de primera especie. En efecto, sea
_ u_ _
K{k)
Para este valor de r determinamos K(k) a partir de las tablas
U) y después hallamos C = -——-. J K(k)
7.5. El seno elíptico y sus dos períodos Como se demostró anteriormente, la integral elíptica de primera especie z = F(w, k) realiza una transformación conforme del semiplano superior
G+ = {w 6 O Im w > 0} en un rectángulo P0 con vértices ±K y ±K + iK\ de forma 1 tal que los puntos ± 1 y ± - del eje real se convierten en los vértices del rectángulo. La función inversa de la integra) elíptica de primera especie se denomina seno elíptico y se denota w — sn (z, k). El seno elíptico es una función analítica en el rectángulo P 0 y lo transforma en el semiplano superior!
G+ = {w £ C: Imiu > 0}.
I
En virtud del homeomorfismo de las regiones cerradas, la funj ción sn transforma el segmento [K, K + iK\\ en el segmente! 1, -
. Aplicando a esa función el principio de simetría, prol Je I longuémosla analíticamente en el rectángulo P\ simétrico a /I respecto al segmento [K, K + iK\]. La función prolongadl
M
I t í l ' ^ rr e m ° S
mediame
">
i
M
*
-
.
e,
G- ~{w €C: Imw < 0} (fig-14). La función resultante también satisface el principio
©
£2
®
P[ 'Z
Sil z
p'Zi
O
1
siu
1
i Jfc
Fig. 14
de simetría y, según este principio, puede prolongarse analíticamente en el rectángulo P2 simétrico a Px respecto al segmento [3K,3K + iK\] y vuelve a transformar P2 en el semiplano superior. En este caso, sn (z + 4K) = sn z
Vz e P 0 .
(1)
Hablando con más detalle, la igualdad (1) significa que el punto z\, simétrico a z respecto al segmento [K, K + iK\ ], se transforma en el punto sn z, mientras que el punto z2 = z + 4 K , simétrico a z\ respecto al segmento [3K, 3 K + iK{[, se transforma nuevamente en el punto sn Análogamente, se puede prolongar la función sn z en el rectángulo P{ simétrico a PQ respecto al segmento [~K + iK\, K + iK\], sólo que la función prolongada tendrá un polo de primer orden en el punto iK\. La función sn prolongada transforma P¡ en el semiplano inferior y se puede prolongar analíticamente en el rectángulo P2 simétrico a P[ respecto al segmento [~K + i2Kx,K + i2K\], y vuelve a
mmmmmm
transformar P¡ en el semiplano superior. Al igual que antes, obtenemos que
sn (z + 2iKi) = sn z
Vz €
(2)
Siguiendo el procedimiento descrito, podemos prolongar el seno elíptico en todo el plano C, obteniendo así una función meromorfa con polos de primer orden en los puntos iKi -I- 4Km + 2iK\n ( m y n son números enteros arbitrarios). Las fórmulas (1) y (2) se verifican, evidentemente, para todo punto z € C. Esto quiere decir que la función sn tiene dos períodos independientes Ti = 4K y T2 — 2iK\, y para todos m y n enteros es válida la igualdad
sn (z + 4 K m + 2iKxn) - sn z.
(3)
Introduzcamos ahora el concepto de función elíptica. Toda función meromorfa doblemente periódica para la cual el cociente de sus períodos es un número estrictamente complejo (con la parte imaginaria distinta de cero), se denomina función elíptica. El análisis anterior muestra que sn z es una función elíptica. La igualdad (3) significa que la función sn z es invariable respecto al grupo de transformaciones lineales
z h H 4 K m + 2iK\n
(m G Z, n € Z).
Las funciones invariables respecto a cierto grupo de transformaciones homográficas se denominan funciones automorfas
7.6. Aplicación de un círculo unidad en un polígono Determinemos ahora la forma general de la transformación conforme de un círculo unidad en un polígono. Para ello, Existe una teoría bien desarrollada de estas funciones. Véase, por ejemplo, el libro de Ford L. R-, Funciones automorfas. 4)
mm'm:,::. \L>>'l . .
.
transformemos primeramente el círculo unidad en el semiplano superior y después utilicemos la fórmula (1) del p. 7.1. La aplicación del semiplano superior { z e C : Im 2 > 0} en el círculo
K = {zt e c
NO}
tiene la forma z - b
Z\ =
-
z-b
Im b > 0,
(1)
de donde se obtiene la aplicación de K en G+:
z =
bzi - b
(2)
zi-l
Sustituyendo (2) en la fórmula (1), p. 7.1, obtenemos = m
= f
bzi -
= Mzi) =
bzt-b
/
n«
n k=1
a*)"*" 1 ¿C + C 2
Tomando en la expresión subintegral ( = — , hallamos Ci - 1 Qjt-l
/(*i) = Ci
dCl (Ci
n
- (b - «,)) »>-' n ( C , fc=l
Bill
l) 1
~<*L d(i (Ci - 1 ) :
+ C2.
En virtud de que mci-i)1-"'
V
.
W
(pues n -
ak - 2 — 0), obtenemos &=i
fiW
- Cj j f [ ( ( b - akKi b/b ^
ak))ak~1 d^ + C2
1
1
afc - fr
ak~b
6/5 =c¡ /
d(i + C2 =
n « , - «
dCi + c 2 ,
(3)
donde los puntos aj. de la circunferencia unidad son las imágenes de los puntos ak. Nótese que si cambiamos el límite de integración inferior en la integral (3), tomándolo igual a cero, variará sólo la constante C 2/ mientras que la forma general de la fórmula (3) no se alterará: Zl
/i(*i)
n
= c [ j n(Ci 0
a'fcf-^Ci + C 2 .
(4)
6=1
Cambiando z\ por z, a'k por ak y f i por / en la fórmula (4), obtenemos la forma general de la transformación conforme del círculo
K = {z
€ G
¡z¡ <
1}
en un polígono: /(*) = Ci [ fl
j
del círculo unidad en el triángulo OA\A2 (fig. 15), de forma tal que f { l ) = Alf
/(O) = 0,
/(e*'£)=A2.
Es obvio que
ke^l L
J
-jU[0,A2].
sobre
Según el principio de simetría, la función / se prolonga analíticamente en el sector
S=
< z e C: \z\< 1, — < arg z< — \, [ n n J
y la función prolongada (también denotada mediante /) transforma S' en el triángulo OA2A$. Razonando de modo análogo, prolongamos / en todo el círculo unidad. La prolongación de la función / es una función analítica en el círculo unidad K = {ze O
•lllillÉM
\z\<
1},
-V-'
i ir
Fig. 15
la cual efectúa una transformación conforme de K en todo el polígono de forma tal que
es decir, los puntos é « = a k son las preimágenes de los vértices del polígono. Como n ak. = na = n - 2, k=i 2 entonces ak — a ~ 1 y n f l i t - a k r ~ x = { C ~ l)- 2 / n , k~ 1
n
pues a* son las raíces de n-ésimo grado de la unidad y H ( c - <*) = c n - 1 . k=1
De acuerdo con la fórmula (5), 2
f{z)=c
y (i - c n )- 2/n o
i La constante C se determina a partir de la condición i
/(l) = C
/
C V 2 / " dC = A v \
de donde
C . \.V
>N»* . ,<
S
,
vv
% f(l - C")~2/n < o Realizando el cambio de variables ( n — t y teniendo en cuenta que 1
d( =
n
obtenemos i J { i - CT2/" o
i
1
di,
- 2 f n
rc J
dt •JJÁ
„
-Bi-, 1 n \n donde B es la función beta de Euler. Finalmente, 1
m-
«/ = /(z) =
nA\ B ( —, 1 \n
J (i - er2,n ) o n/
de.
Nota. Haciendo rotar el plano z en un ángulo a alrededor del origen de
coordenadas podemos conseguir que la preimagen del vértice A1 sea cualquier punto dado em de la circunferencia unidad.
<4 Solución. Sea w — f{z) la función que aplica conformemente el primer cuadrante en el triángulo ABC, de forma lal que /(O) - A, f( 1) - B, /(oo) = C.
Utilizando la fórmula (2), p. 73, y aplicando un isomorfismo homográfico del plano z, obtenemos sin dificultad la fórmula de la aplicación del interior del círculo unidad en te
:ii ••
| ¿ x
.
k i. '
r
;
•
.
i(..
f.
Conforme al principio de correspondencia de las fronteras, la preimagen de AC es el semieje imaginario z = iy (y > 0). Según el principio de simetría, la función / se prolonga analíticamente en todo el semiplano superior y la prolongación obtenida aplica conformemente el semiplano superior en un rombo, con la particularidad de que /(—1) = D. Según la fórmula (3), p. 7.1, tenemos
lr\i-era La constante c se determina a partir de la condición 1 /(l)
= d = c | c " - I ( i - c 2 ) " adC,
de donde
c í a A - ,
\ l-a),
2d
, 1 —a Finalmente, 2d
f e - ' i i - e r d(.
u i
\<
s
> .!
, ^ > . *t . v .v
'
>4
¿^ ^^
¿<;
t^v^rf? i
<
<
r uaj
Solución, Apliquemos la fórmula (3), p. 7.1, tomando aj = —1, a 2 = 1, 03 — oo, 3 1 «i = 2 ' a 2 = 2Tenemos: 1/2
1 +C
w = /(z) = Ci
<*C + dz,
1-C
w(l) = C2 = - i i +C
«,(-1) = ¿ = C3
M
dC-¿ =
i-c
-Ci7T -
=
1/2
=
Ci =
7T
i +C v
J
1
, 1/2
M-c
d(-i
=
1 - z2 - arcsen z).
V
v
•
4 > . V/ • • • v •~ , » > > . . . » • » •
v » . . . : ~ >. » »
^
Tí
• x
. Á .'
v v . i v / w /
,
O
»::<
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Á »».v:.
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:
shpAVÍ.Í/y
í h ; - :- . .. . ^. .. :
•rtwémmmk WÉMmk * Á
>, Á ¿ X >, Y s A . > ¿ f Y t f f t ' f W j Ü k l t o t
>x< >
X
®
2=M
O'
Fig. 17 <4 Solución» La región del plano w es un triángulo con dos vértices .4] y en el punto del infinito (fig. 17) y ángulos ot\7f, oliTí, ot37r, donde
ai = 0,
o¿z = 2,
c*3 = —1.
a\ = 0 ,
a>2 = —1,
a3 = oo
Tomando y aplicando la fórmula de Christoffel—Schwarz, obtenemos
(l + C) d( + iv =
m
= C\ (z + 1 + ln z -
ítt)
+ iir.
(1)
Para determinar C\ razonamos del modo siguiente. Por una parte, si z recorre la semicircunferencia
7 r = {z
E
C: \z\ — T, O < arg 2 < 7r}
en el sentido de las agujas del reloj, el incremento de la función w, definida por la fórmula (1), es igual a -iirC\ +0(r). Por otra parte, a partir de la figura 17 vemos que tras dicho recorrido el punto correspondiente w pasa de la semirrecta AIA 2 a la semirrecta A2A3. Por consiguiente, el incremento de la función Aw se diferencia poco de -iw, luego C\ = 1. Finalmente, w = f(z) = 2; + 1 + \nz. •
Fig. 18
Solución. Es conveniente introducir un plano auxiliar ( . l ,a función w =
smmsm
plano w. Transformando luego el plano ( en el semiplano superior G+, obtenemos
w = -z2 4-1 + 2 ln z - iir.
tf•
.
•
•
*
La forma de la función / sügiere que la región buscada es un cuadrilátero con dos vértices en el punto del infinito: Ai a\ = 0 , ct\ — 0, A\ = oo; Solución.
a2 — a, a3 - b, oo,
a2
-, 2 <*3 = 0, =
«4 =
A2 = 0; A3
= oo;
3
r-
Se pide hallar A4. Analicemos la derivada f'(z) en el intervalo (a2, a 3 ). Tenemos:
/'(*)=-
1
z(z — b)vz - a
f'(z) < 0
Vze(a2/a3),
es decir, arg f'(z) = ir; por tanto, la imagen del intervalo (a2/ <2,3) es el semieje real negativo. Tomando en consideración 1 que ct2 — —, la imagen del intervalo {d\, a2) es el semieje imaginario negativo. Ahora es evidente que el vértice pertenece al tercer cuadrante y la región buscada tiene la forma representada en la figura 19.
: : <>
:>
• *
v . ^ : ' . . w
.
..
w
©
©
Ai
-
0 0
A Fig. 19
Para hallar h\, analicemos el incremento de la íun ción Aw cuando z recorre la semicircunferencia 1t
= [ z e C: z = retlp, 0 < tp < ?r}.
Tenemos:
Aw
d(
+ 0(r)
Por consiguiente, h
b\/a
b\/a
+ 0(r),
= (7r/7rr)>
De igual manera determina
mos h2, examinando el incremento de la función w cuando recorre la semicircunferencia con centro en el punto b. Tone mos:
bVb Si b = 2a, entonces h\ =
h2.
«v» va >a\U<
< ^ >S
»^
• .
y
^
>-\<>rf>. i
v> a
• ' ,<
.
<,,. ,/<,,
«<<•>;< » » «< » » » » • . v V< y <>• ^ < : : \ -»>-»>>»>>.$>., > v ; % . >•>>><+,> a • •
•
L!í)5 Solución. Sea 7r(l + A) el ángulo obtuso de la estrella. Entoi ees su ángulo agudo es igual a ir í 1 - A
m ¿ <
f .
I
,
\ X ^ ¿ i * í^ ?> i: V i -
:
' i :
< • s
l ' J w <•<<•• w w J í
;
: v* >:J w
x :s
• v :> > * • • \ >
<
principio de simetría podemos suponer que las preimágenes de los vértices de los ángulos agudos son las raíces de n-ésim o grado de la unidad, mientras que las preimágenes de los vértices de los ángulos obtusos son las raíces de n-ésimo grado de - 1 . Aplicando la fórmula de Chrístoffel—Schwarz obtenemos
w = f{z) = C La
m
constante =
Av
C
í
se
(i + C")A<*C (1 _ obtiene
a
0 < A< 1 partir
de
la
n
.
condición
•
Solución.
La función buscada se determina mediante la
fórmula (1) del problema anterior tomando
«fc = 1 + -/
n
:t & E B*8 X *
1
í^r
/i<¿i)-
z\
7T
1 dC
n sen —
e n 2z sen —
n
n
k=l
n
e
Efectuando el cambio de variables £ — — y teniendo en cuenta la igualdad
Zq " 1.
e tt
muía (5), p.7.6, y haciendo el cambio de variable z = — , el
/l\
1,
2 ni €«
C =
Solución. La función buscada se obtiene utilizando la fór-
n
C2 =
La constante C[ se determina de la igualdad Ai -
,
cual transforma el círculo unidad en su exterior:
' = Ak,
Ci
-¿0, ¿ni (e
2/n
L
d0
2 2 / " / (sen
n ak = « + 2, ¡fc=i
Ejercicios
llevamos la fórmula anterior a la forma »
w = fi (zx) = C\í / n « i r fc=i
dCl r vM-l ak) + CÍ
1. Demostrar que en el círculo (1)
= .>
1» m "Jfe-
la ecuación ze
x~z
|z| < 1}
= 1 tiene una sola raíz para A > 1 y que dicha raíz es real
2. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación e* - 4z n + 1 = O ( n e N ) en el círculo
iT = { z € C |s| <1}?
3. Demostrar que para a > e la ecuación e*
=
(n g N)
tiene n raíces en el círculo
|z| <1}.
= ¿Cuántas raíces tiene la ecuación z
ti
+ a0¿
7
J
+ OLXZ + A2 =
*
0,
<
en el círculo
K = {zeC: si \a0\ > |ai| + \a2\ + 1 (n € N)?
\z\<\)
•?
5. Demostrar que la ecuación
+ az + 6 = 0 (a > 0, b > 0)
7T
tiene en el primer cuadrante una única raíz cuyo argumento es mayor que —. 6. Demostrar que la ecuación (z - 1)ez = z — 2 no tiene soluciones con parte real negativa, 7. Demostrar que la ecuación F(z) = b, donde n
F{x) = T T r - ^ - ' ti 4 " tiene n raíces en el círculo
< 2 Vfc = l7ñ
y
|&| < 2~n
K = {z gG \z\ < 2}. 8. Sea * = #{«;) una función definida mediante la ecuación
tu = e-**(ez -1),
a g N,
5(0)
= 0,
Hallar su desarrollo en serie de potencias de w y su radio de convergencia R. 9. Sea una función / ^ const- Demostrar que dentro de la región limitada por una línea de nivel del módulo de / (\f(z)\ = const) y contenida de modo compacto a la región de analiticidad de / , existe al menos un cero de esa función. 10. Demostrar que si P(z) es un polinomio de grado n y
\P(z)\$M\íz€K entonces
= {zeO
NK1},
V¿ g IT' = {z g C \z\ ^ 1} \P(z)\ ^ M\z\n.
. ^
*
s
•
vi
>x >
11. Sea P(z) un polinomio de grado n y sean E\f E2 dos elipses confoca les do semiejes
y «2/ f>2fai< a2f &i < b2),
respectivamente. Sea, además,
M1 = max \P(z)l M2 = max z£Ei ZCE2 Demostrar que
Mi (fli +
M2 " (a2 + b2)n'
>
12. Supongamos una función / analítica en el círculo
Kr = {z€ C \Z\ < R} satisface la desigualdad \f{z)\ ^ M para \z\ = R y se anula en ciertos punto %2/ •
•
*
/
de este círculo. Demostrar la desigualdad
i
/
^
ñ
i
i
^
13. Sea f una función analítica en el círculo
KR^{zeC:
\z\ ^ R}, se cumple la desigualdad \f(z)\ ^ M. Sea /(O) ~ 0.
y tal que V z € KR , y
M
•
Demostrar que [ / (0)| ^ — , donde el signo de igualdad es posible sólo para la función
f(z) = Meiifi--) ti
—oo < ai < a2 < ... < an < +oo, n
0 < ak < 1 (k ~ T~ñ),
t¿=i
=
Demostrar que toda rama de la función n
m
Ifc=1n « - *k)" - dC k 1
a
perteneciente al semiplano G> = {z e G Imz > 0}, es de una hoja en y transforma conformemente dicho semiplano en un n-ágono convexo finito.
<.
i
' '' \ ; i.\ >:i
>
:l
®
® Capítulo 1
maíKfliWíi
D
.n+l
a) res f(z) ~
*k
—
15. Hallar la imagen del círculo unidad
K =
€ G |z| < 1}
mediante la aplicación z
z u>(z)
/
(1 + Cn)A dC
, «/(O) > 0, _ Qny/n+A
1 < A< 1 -
n
16. Transformar el semiplano superior en la región representada en la figura 20 (el arco AC es una semicircunferencia) si w(A — ai, B = oo, C = 0) —• z(0,1, oo). 17. Transformar el semiplano superior G+ = {z 6 C: Imz > 0} en la región del plano tu representada en la figura 21, bajo la condición
w(A = -h, B — oo, C - h, D = oo)
z(-1,0,1, oo).
C
+
n
1 7r)
J
(k = 0 7 ^ 1 )y; res/(,) = ( ?' S ! n * J< oo [ - 1 , si n = 1. b) res f(z) = (-1) B+1 <5 B +1 ; res /(z) = (-l)"c^ + 1 ;
Fig. 21
Fig. 20
n
, donde zk = exp ( ¿ 2 f c
1
O O
c) res f(z) = 0; 00 d) res f(z) = 0; OO 1 e) res f(z) = -; res f(z) = -i e oo f) res f(z) = e6 -eb-e\ e°. 00
1 --; e
4
4
a) res /(z) = ~¿sh2; res/(z) = - - ¿ ( e + 2e" 1 );
-í
9
i/2
9
'
4
b) res f(z) = — - ; res f(z) = 0. —n.
jr/2
.Ufara
a) 2(1 -e~ l )itv, b) c) 10 a) b) c)
0; 0. -2wi si Ln (z - 2)|z=1 = -7r¿, y 0 para las demás ramas; 0 para todas las ramas; 0 si V ^ U i = 1/ y -47rze si Vz\z=i - - 1 .
11 a) 0; 2 b) - x ( l + 2i).
,'MtéM
V
y
¿
i
•
!.
z(2n - z)
- - w + l ^ ñ í ^ i -
ra—1 16. a) D = {z G C: |z| < e" 1 }; b) C.
2. n.
4.
2.
a . 9(w) = Y, n=l
* = K«- i r V ' i . 2tt
1 5 . Es un polígono regular tipo estrella de ángulos 7r
A?r y 7r + Aít,
con centro en el origen de coordenadas y con uno de los vértices de los ángulos del primer tipo en el punto
n;(l) = 2
_2
A - A
1\
V
nj
r {
2
7
r
/ I + A\ V
V
—— 2
7T
ir(l + A ) sen — 2
J
•
sen —
n
16. w —
17. w =
a
1 /
donde C ^ ~
2t
7T V 1 "
2h
t1
z1 - 1 4- arcsen - 1.
z/
Y+l)'
l +¿
,
=
V
~z
índice de materias A
aplicación abierta 133 interior 133 automorfismo conforme 162
c
Carathéodory, teorema 172 Cauchy, teorema 8 condiciones suficientes de convergencia uniforme del producto infinito 56 conjunto de funciones, compacto 156 , equicontinuo 154 , secuencialmente compacto 159 , uniformemente acotado 154 — equicontinuo 154
Ch Christoffel—Schwarz, fórmula 183 —, integral 183 — de primera especie 184 —, — de segunda especie 184
E
trascendente 34 — meromorfa 34, 64 en una región 38 funcional 158 — continuo en un elemento 158
G
género del producto infinito 62 grupo de automorfismos 162
H Hurwitz, teorema 160
l integral de Christoffel—Schwarz 183 de primera especie 184 de segunda especie 184 — elíptica completa de primera especie 190 de primera especie 189 p-inflación 155 isomorfismo conforme 162
J
Euler, función beta 198
Jordán, lema 74
F
L
fórmula de Christoffel—Schwarz 183 función automorfa 193 — beta de Euler 198 — de género finito 62 — de p hojas 136 — elíptica 193 — entera 33 de género infinito 62
Lagrange, serie 135 lema de Jordán 74 — de Schwarz 142 Lindelóf, resultado 173
M
Mittag-Leffler, teorema 36 Montel, principio de compacidad 156
.
í - .
Kife
o
orden de una función entera 63
p Poincaré, teorema 63 principio de compacidad de Montel 156 — de uniformidad 137 — del argumento 121, 122 — del mínimo 142 — del máximo del módulo (primer enunciado) 141 — del máximo del módulo (segundo enunciado) 141 producto infinito 51 absolutamente convergente 53 convergente 51 puntualmente 56 uniformemente 56 de Weierstrass 59 divergente 51
R regiones conformemente isomorfas 162 residuo de una función analítica en un punto singular aislado 4 en el punto del infinito 7 — logarítmico de una función 120 resultado de Lindelof 173 — de Schwarz 172 Riemann, teorema 167 Rouché, teorema 122
Schwarz, lema 142 resultado 172 Schwarz—Christoffel, fórmula 183 —, integral 183 — de primera especie 184 —, — de segunda especie 184 seno elíptico 191 serie de Lagrange 135 — de funciones meromoífas, convergente 36 , uniformemente convergente 36
teorema de Carathéodory 172 — de Cauchy 8 — de convergencia del producto infinito y de la serie numérica correspondiente 52 — de Hurwitz 160 — de Mittag-Leffler 36 — de Poincaré 63 — de Riemann 167 — de Rouché 122 — de Weierstrass 59 — fundamental del álgebra 124
valor del producto infinito 51
w
Weierstrass, producto infinito 59 —, teorema 59
índice Prólogo a "Variable compleja"
Capítulo 1
Residuos. Aplicaciones de los residuos . . § 1. Definición de residuo. Teorema fundamental § 3. Productos infinitos
33 50
§4. Aplicación de los residuos al cálculo de integrales y de sumas de series
72
§ 2. Funciones enteras y meromorfas
Capítulo 2
Aspectos generales de la teoría geométrica de las funciones analíticas
117
§ 1. Principio del argumento. Teorema de Rouché § 2. Conservación de una región. Inversión local de una función analítica
131
§ 3. Propiedades de los extremos del módulo de una función analítica
141
§ 4. Principio de compacidad. Funcionales definidos sobre familias de funciones analíticas
151 § 5. Existencia y unicidad de las transformaciones conformes . . 162 § 6. Correspondencia de las fronteras y principio de simetría en el caso de transformaciones conformes
171
§ 7. Transformación conforme de polígonos. Integral de Chrístoffel—Schwarz
179
Respuestas
211
índice de materias
213