analisis sinusoidal

1

Capítulo 8

ANALISIS SINUSOIDAL 8.1. Redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario Se desea desarrollar métodos eficientes para analizar redes sometidas a excitaciones sinusoidales. Nos interesará determinar la solución de la red que solamente depende de las excitaciones sinusoidales. Supongamos que en cierto instante to, instante de referencia, conectamos las excitaciones a la red; la solución contendrá una parte que dependerá del estado inicial, es decir de las condiciones iniciales y otra parte que dependerá de las excitaciones sinusoidales. Después de un lapso de tiempo, todas las variables de la red serán sinusoidales, esto se justificará en 8.2. Esto sucederá cuando los términos que componen la parte transitoria de la respuesta, puedan considerarse que son iguales a cero, dependiendo de la exactitud con que se desee realizar los cálculos. Cuando todas las variables de la red, que forman el conjunto de la solución, se han estacionado en señales estrictamente sinusoidales, diremos que la red se encuentra en estado estacionario. La importancia del estudio de métodos adecuados para tratar redes en régimen sinusoidal se justifica por los siguientes hechos: La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica se efectúa mediante señales sinusoidales. Las señales con formas de ondas complejas pueden ser representadas por sumas de señales sinusoidales, mediante mediante desarrollos en series series de Fourier. Además, si el sistema es lineal, se podrá aplicar superposición; con lo cual podremos determinar la respuesta, para cualquier excitación periódica, si conocemos la respuesta a una excitación sinusoidal. sinusoidal. En la especialidad de Electrónica se presentan a menudo señales con formas de ondas complejas. complejas. Ejemplos típicos son las señales de audio y video, empleadas en la transmisión de información. En este curso, estudiaremos redes sometidas a excitaciones sinusoidales de igual frecuencia angular. Esta restricción no restará generalidad a los métodos que desarrollaremos; ya que mediante la aplicación del teorema de superposición, siempre se podrá descomponer el problema en redes que solamente solamente estén sometidas a sinusoidales, de igual frecuencia angular. angular. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

2

Teoría de Redes Eléctricas

Ej emplo 8.1.

En la Figura 8.1 se muestra una red con dos excitaciones de frecuencias angulares diferentes, y se desea calcular como respuesta el voltaje v. v1=A1cos(

v2=A2cos(

1t)

Red lineal e invariante

2t)

v

Figura 8.1. Red con dos excitaciones. El estudio se puede efectuar analizando, por separado, las redes que se muestran en las Figuras 8.2 y 8.3.

v2=A2cos(


2t)

Figura 8.2. Red con excitación uno igual a cero. v1=A1cos(

1t)


V20

Figura 8.3. Red con excitación dos igual a cero.

Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

V10

Capítulo 8. Análisis sinusoidal

3

Cada una de estas redes está sometida a una excitación sinusoidal solamente, y cada una de ellas podrá ser analizada por los métodos especiales que serán desarrollados en este capítulo. Luego de obtenidas las respuestas individuales, la respuesta total, debido a la propiedad de superposición, será: (8.1)

v V10 V 20

8.2. Propiedades de las señales sinusoidales Denominamos señal sinusoidal a una que tenga uno de los dos siguientes modelos matemáticos. f (t )

F cos( t

)

f (t )

Fsen( t

)

(8.2)

En el capítulo 4, sobre métodos generales de análisis, se vio que las ecuaciones de la red contienen sumas de las variables y además derivadas e integrales de esas variables. Mostraremos a continuación que dichas ecuaciones pueden satisfacerse, si todas las variables son sinusoides de igual frecuencia angular. 8.2.1. D er i vada

La derivada de una señal sinusoidal de frecuencia angular , es una señal sinusoidal de igual frecuencia. Sea: (8.3) f (t ) F sen( t ) Derivando (8.3) se obtiene: df (t ) dt

F cos( t

)

F sen( t

2

)

(8.4)

La derivada de una señal sinusoidal es también una señal sinusoidal, de igual frecuencia angular, pero de distinta amplitud y fase. 8.2.2. 8.2.2. I ntegral

La integral de una señal sinusoidal de frecuencia angular , es una señal sinusoidal de igual frecuencia, pero de diferente amplitud y fase. Integrando, en forma definida, la señal sinusoidal (8.3) se obtiene: t t o

f ( )d


F

cos( t

)

F

27-06-2008

cos( t o

)

(8.5)

4

Teoría de Redes Eléctricas Si se escoge to, con n entero, tal que: to

(2n 1)

(8.6) 2

Se obtiene: t t o

F

f ( )d

cos( t

F sen( t

)

2

)

(8.7)

8.2.3. Sum Suma a de si si nu soidal es

La suma de dos señales sinusoidales, de igual frecuencia angular , es una señal sinusoidal de la misma frecuencia. Sea: f (t )

F1 sen( t )

F2 cos( t )

(8.8)

A partir de la siguiente identidad trigonométrica: f (t )

F sen( t

)

F cos( )sen sen( t ) Fsen Fsen( ) cos( t )

(8.9)

Comparando (8.8) y (8.9), se obtiene el sistema de ecuaciones: F cos( )

F 1

Fsen( )

F 2

(8.10)

Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones y además obteniendo el cuociente de (8.10), se obtiene la solución del sistema: F

F12

F 2 2

(8.11)

F arctg ( 2 ) n F 1

Escogiendo el valor positivo de F, y el valor principal para el ángulo se obtiene: f (t )


F12

F22 sen

t arctg

27-06-2008

F 2 F 1

(8.12)


5

8.2.4. Si Si stemas l in eales e i nvar i ante ant es en en el ti empo

8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales Si observamos las matrices resultantes de los distintos métodos generales de análisis, y aplicamos los conceptos del punto 8.2.1., nos daremos cuenta que si las excitaciones de una red lineal e invariante en el tiempo son señales sinusoidales de igual frecuencia, se tendrá que las incógnitas deberán ser señales sinusoidales de la misma frecuencia angular; ya que en las ecuaciones aparecen sumas, derivadas e integrales de las variables. Entonces en una red en estado estacionario se tendrá: e1=E1cos( t)


r 1=R 1cos( t+ 1)

Figura 8.4. Sistema lineal con excitación real. Para la excitación: e1

(8.13)

E1 cos( t )

la respuesta será: r1

R1 cos( t

1

)

(8.14)

Es importante notar que la respuesta tiene igual frecuencia que la excitación; pero, en general, tendrá distinta fase y amplitud.

8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias Se denomina función exponencial imaginaria a: e(t )

Ee j

t

(8.15)

Donde: j

1

(8.16)

Es conveniente que se asocie a la raíz de menos uno el símbolo j, ya que en ingeniería eléctrica la letra i se emplea para identificar corrientes.


27-06-2008

6


Se desea determinar la respuesta de un sistema lineal e invariante en estado estacionario a una excitación excitación exponencial exponencial imaginaria. imaginaria. Como veremos, esto esto conducirá a un método simplificado para estudiar redes en las condiciones descritas anteriormente. Si al sistema de la Figura 8.4, le aplicamos la excitación e2: e2 (t )

E1 sen( t )

(8.17)

E1 cos( t ) 2

Se tendrá, aplicando la propiedad de invariancia temporal, la siguiente si guiente respuesta: r2 (t )

R1 cos( t

2

(8.18)

1)

Aplicando propiedades de funciones sinusoidales, (8.18) puede escribirse, en forma equivalente según: r2 (t )

(8.19)

R1 sen( t 1 )

Como el sistema es lineal, será homogéneo; y se tendrá, multiplicando (8.17) y (8.19) por j, que se cumple la relación causa-efecto que se ilustra en la Figura 8.5. je2=jE1sen( t)


jr 2=jR 1sen( t+ 1)

Figura 8.5. Sistema lineal con excitación imaginaria. Es decir: para la excitación: je2 (t ) la respuesta será: jr2 (t ). Como el sistema es lineal, será aditivo y por lo tanto puede generarse un estímulo igual a la suma de los estímulos mostrados mostrados en las Figuras 8.4 y 8.5. 8.5. Esto se muestra en la Figura Figura 8.6. e1 + je2


r 1 + jr 2

Figura 8.6. Sistema lineal con excitación compleja.


27-06-2008


7

Se desprende entonces que para la excitación: (e1 (r 1

je2 ) la respuesta del sistema lineal será:

jr 2 )

Recordamos a continuación algunas fórmulas y definiciones relativas a números complejos: e j

cos j

e

j sen

cos e

cos

1

j sen j

e

j

e

j

1 -

(8.20)

2 e

sen

j

2 j

Usaremos el convenio de escribir un punto debajo de una variable que puede adoptar valores que son números complejos. Tenemos entonces que, si la excitación es: E1e j

e(t ) •

t

E1 cos( t )

jE1 sen( t)

e1 (t )

je2 (t )

(8.21)

La respuesta será, aplicando superposición, homogeneidad e invariancia temporal:

r (t )

r1 (t )

jr2 (t )

R1 cos( t

1

)

jR1 sen( t 1 )

(8.22)

La relación (8.22) puede expresarse abreviadamente, según: r (t )

R1e j (

t

1)

R1e j 1 e j

(8.23)

t

Las relaciones (8.21) y (8.23) se ilustran en la Figura 8.7: E1 e j

j 1 j t

t


(R 1 e )e

Figura 8.7. Excitación exponencial compleja. Hemos demostrado que, para una red lineal e invariante, para la excitación: E1e j t , la respuesta será: (R1e j )e j 1


t

27-06-2008

8


Finalmente, llegamos a la importante conclusión: la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo y en estado estacionario, a una función exponencial imaginaria, es un número complejo multiplicado por la misma función exponencial imaginaria. El problema de análisis sinusoidal, del sistema ilustrado en la Figura 8.7, consistirá en calcular R 1 y 1 a partir de E1 y de los datos de la red. Los cálculos podrán ser efectuados sólo con números complejos, sin preocuparse de las funciones temporales; ya que todas las variables tienen su dependencia temporal en el factor común e j t ; el cual puede simplificarse. Una vez efectuados dichos cálculos con números complejos, la respuesta temporal a cualquier señal sinusoidal real, variables medidas con instrumentos, será fácil y simplemente obtenible. Ej emplo 8.2.

Se desea obtener la respuesta a una excitación: E1 cos( t ) . Si ya se ha calculado la relación (8.23), se tendrá sacando parte real a la excitación y a la respuesta de la Figura 8.7: j 1 j t

E1 cos( t)

Re{R 1 e e }


Figura 8.8. Parte real de la respuesta. Donde:

j

Re R1e 1 e j

t

es la parte real del número complejo; empleando (8.20) se

obtiene: Re R1e j 1 e j

t

Re R1e

j ( t

1)

R1 cos( t

1

)

(8.24)

Ej emplo 8.3.

Para la siguiente red determinar v(t) en estado estacionario cuando la excitación e(t) es una señal sinusoidal.


27-06-2008


9 iR R iL

+

iC C

L

e

v

Figura 8.9. Red RLC. Solución: Planteando las ecuaciones de la red: iC

C

dv dt

,v

L

di L

,e dt

v, iR

RiR

iC

(8.25)

iL

Puede obtenerse la ecuación diferencial que describe el voltaje v en función de la excitación e, mediante la eliminación de i R , iC, iL, resulta: R C

d 2

v( t ) R L

d v( t ) d t

v( t ) 2 d t

(8.26)

d e( t ) d t

Ecuación diferencial, de segundo grado, que es lineal e invariante en el tiempo. Para comparar las ventajas de introducir señales complejas, resolveremos el problema empleando primero métodos trigonométricos; luego usaremos los conceptos recién vistos.

Solución empleando funciones trigonométricas Asumiendo que la excitación puede expresarse según: e(t )

(8.27)

E cos( t )

Y que la respuesta v(t) en estado estacionario se representa por: v (t )

V cos(

1t

Transformamos el problema en encontrar: V,

(8.28)

) 1

y , asumiendo conocidos: R, L, C, E,

y

. Reemplazando los valores de v y e, en la ecuación diferencial (8.26), se obtiene: RCV

2 1

cos( 1t

) V


1

sen( 1t

)

VR L

(8.29) cos( 1t

27-06-2008

)

E sen( t

)

10


Empleando fórmulas trigonométricas para expandir senos y cosenos de suma de ángulos en los senos y cosenos de los ángulos: cos(

)

cos( ) cos( ) sen( )sen( )

sen(

)

sen( ) cos( )

(8.30)

cos( ) sen ( )

Resulta: 2

RCV

1

cos(

sen(

V

1

VR

cos(

L

1

t ) cos( ) 1

t ) cos( )

1

t ) cos( )

V

1

VR

sen(

sen(

1

cos(

L

sen ( t ) cos( )

E

2

RCV

1

1

t ) sen ( )

1

t ) sen ( )

(8.31)

t ) sen ( )

cos( t )sen ( )

E

Podemos expresar (8.31) del siguiente modo, factorizando las funciones que dependen del tiempo, según: A cos(

(8.32)

t ) Bsen( 1t ) C cos( t ) Dsen( t )

1

Para que la ecuación (8.31) se cumpla, para todo t, se requiere que: , A

1

Observando (8.32) con

C, B

(8.33)

D

, se tiene que las condiciones (8.33) pueden obtenerse

1

evaluando (8.31) en t 0 ( A C ) y en t

2

(B

D) .

Debe notarse que la frecuencia angular de la respuesta debe ser igual a la frecuencia angular de la excitación y que las dos ecuaciones A C, B D , permiten calcular las dos incógnitas: V y , en función de: R, L, C, E, y . Entonces, para cumplir (8.33) deben cumplirse: 2

R C V R C V

2

cos( )

sin( )

V V

sin( ) cos( )

V R cos( ) L V R sin( ) L

E E

sin( ) cos( )

(8.34) (8.35)

Para obtener una solución numérica, podemos asumir los siguientes datos: R


1, L

1, E

1,

1,

3

27-06-2008

, C 1

(8.36)


11

Valores que al ser reemplazados en las ecuaciones (8.34) y (8.35), permiten obtener el sistema: Vsen( )

sen( ) 3

V cos( )

cos( ) 3

(8.37)

El sistema de ecuaciones (8.37), tiene dos soluciones: V

1,

3

, V

(8.38)

2

1,

3

Es tradicional expresar la respuesta como la solución con amplitud positiva.

Solución empleando funciones exponenciales complejas La excitación (8.27), empleando el operador parte real de un número complejo, puede expresarse según: e(t )

Re Ee j e j

(8.39)

t

La respuesta v(t), en estado estacionario, se representa por: v(t )

Re Ve j e j

(8.40)

t

En la expresión (8.40) se considera que la respuesta tiene igual frecuencia angular que la excitación, de acuerdo al resultado obtenido en 8.2.4.1. La relación causa-efecto, para la excitación (8.27), puede visualizarse en el diagrama de la Figura 8.10. + e(t) = Ecos( t + )

R L

C

v(t) = Vcos( t + )

Figura 8.10. Red RLC. Excitación coseno. Si se tiene la relación estímulo-respuesta anterior, y si la red es lineal e invariante en el tiempo, lo que se cumple para la ecuación diferencial (8.26) que relaciona e con v, se cumple también la relación causa-efecto que se muestra en la Figura 8.11.


27-06-2008

12

Teoría de Redes Eléctricas R

+ e2(t) = Esen( t + )

C

L

v2(t) = Vsen( t + )

Figura 8.11. Red RLC Excitación seno. Aplicando linealidad, se tendrá que cuando la excitación es: e(t )

je2 (t )

(8.41)

v (t )

jv2 ( t)

(8.42)

la respuesta será:

Empleando el operador parte imaginaria, se tiene que: e2 (t )

Im Ee j e j

t

v2 (t )

Im Ve j e j

t

(8.43)

Entonces si la red es lineal, y si se excita con: eC (t )

Re Ee j e j

t

j Im Ee j e j

(8.44)

t

Se tiene que la respuesta de la red lineal e invariante en el tiempo será: vC (t )

Re Ve j e j

t

j Im Ve j e j

(8.45)

t

La relación entre el estímulo complejo y la respuesta compleja se visualiza en la Figura 8.11. +

R

ec(t)

L

C

vc(t)

Figura 8.12. Red RLC. Excitación compleja. La relación (8.44), puede escribirse, según: eC (t )


Ee j e j

t

27-06-2008

(8.46)


13

La relación (8.45) puede escribirse: vC (t ) Ve j e j

(8.47)

t

Reemplazando los valores de vc y ec, en (8.46) y (8.47), en la ecuación diferencial (8.26), se obtiene: R C V e

( j )

2 ( tj)

e

V e

( j )

e

( tj)

V e

j

(8.48)

( j ) ( t j )

e L

R

E e

( j )

e

( tj)

j

Hemos transformado el problema en encontrar: V y , asumiendo conocidos: R, L, C, E, , mediante la relación (8.48). Simplificando la exponencial e V e

( j )

( R C

(

t j)

y

, en (8.48), resulta:

2

L L

Lj

R)

E e

( j )

(8.49) j

La relación (8.49) no depende del tiempo, solo relaciona número complejos. Despejando Ve j , de (8.49), se obtiene: V e

E e

( j )

R C

( j )

2

(8.50)

L j

L

Lj

R

El lado derecho, de (8.50) está en función de los datos (8.36), y puede calcularse empleando operaciones con números complejos, resultando: V e

( j )

= e

( 1/3 j

)

(8.51)

El cual es igual al resultado anterior (8.38). Ej emplo 8.4.

Determinar la corriente i(t) cuando la red, de la Figura 8.13, se encuentra en estado estacionario, y con excitación sinusoidal: e(t ) E cos( t ) .


27-06-2008

14

Teoría de Redes Eléctricas a

i(t)

R vL

e(t)

L

b

Figura 8.13. Red RL en estado estacionario. La relación causa-efecto se ilustra en la Figura 8.14. Red lineal e invariante

e

i

Figura 8.14. La corriente es la respuesta. Si se asume una excitación compleja: e(t )

Ee j

(8.52)

t

La respuesta, que no conocemos, deberá tener la forma: i (t )

I ej

(8.53)

t

La red con variables con variables exponenciales complejas, se muestra en la Figura 8.15. a

i(t)

R

e(t)

vL

L

b Figura 8.15. Red con excitación exponencial compleja.

No confundir, en (8.52), la letra e que simboliza al voltaje, con la letra e que representa la base de los logaritmos naturales. Aplicando el método de las mallas, a la red de la Figura 8.15, se obtiene:


27-06-2008


15 d i (t ) L

E e

R i (t )

dt

(8.54)

j t

Ecuación diferencial no homogénea que deberemos resolver para calcular i(t ) . La respuesta (8.53) debe ser solución de (8.54). Si sustituimos (8.53) en (8.54), se tiene: Lj I e j

t

RIej

t

Ee j

(8.55)

t

Nuevamente la dependencia con la variable tiempo, es común a todos los términos, y puede simplificarse. Lo cual nos permite obtener: I

(8.56)

E R

j L

Tendremos, por (8.53), que: i (t )

E R

ej

j L

(8.57)

t

La excitación dada es la parte real de (8.52), entonces la respuesta buscada, solución del problema, será la parte real de (8.57). i(t )

Re

Ee j R

(8.58)

t

j L

Racionalizando (8.58), y empleando (8.20) se obtiene: i (t )

E R 2

2

L2

Re (cos( t )

j sen( t ))(R

j L)

(8.59)

Sacando parte real a (8.59), se obtiene finalmente: i(t )

E R 2

2 2

L

( R cos( t )

L sen( t ))

(8.60)

Empleando (8.30), la relación (8.60), puede expresarse como una señal sinusoidal, de la siguiente forma:


27-06-2008

16

Teoría de Redes Eléctricas E

i (t ) R

2

2

2

cos( t

)

L

(8.61)

l

tg ( )

R

En el Ejemplo 8.4, se han aplicado los conceptos desarrollados en los puntos 8.2.4.1 y 8.2.4.2. Nótese que la manipulación matemática de las funciones sinusoidales se ha simplificado notablemente al emplear números complejos, en lugar de funciones trigonométricas. A continuación se desarrollará un procedimiento matemático que permitirá una manipulación simple y sistemática de las señales sinusoidales, en redes en estado estacionario.

8.3. Transformación fasorial 8.3.1. Defin ición

Consideremos las funciones temporales que puedan escribirse de la siguiente forma: f (t )

Re e j t F ( )

(8.62)

Nótese que F ( ) es un número complejo que no depende del tiempo. Se define la transformación fasorial P, para todas las funciones que cumplan la relación (8.62), según: P f (t )

F (w)

(8.63)

La expresión (8.63) se lee: la transformada fasorial de f (t ) es F ( ) . La función temporal compleja (8.64), se denomina fasor asociado a f (t ) , y puede representarse según: f (t )

e

j t

F ( )

(8.64)

La transformada fasorial inversa se define según: P


1

F( )

f (t )

27-06-2008

(8.65)


17

La relación (8.65) se lee: la transformada fasorial inversa de F ( ) es f (t ) . Nótese que P opera sobre funciones temporales, y que P-1 opera sobre números complejos que son funciones de .

Ejemplo 8.5. Sea la señal sinusoidal: f (t )

F m cos( t

(8.66)

)

Podemos escribir (8.66) en forma alternativa, según: (8.67)

Re e j t Fm e j

f (t )

Se tiene que f (t ) cumple (8.62) y puede aplicarse transformación fasorial a (8.66). Por lo tanto, aplicando la definición (8.63), podemos escribir: P f (t )

Fm ·e j

F( )

Fm

Fm (cos

j sen )

(8.68)

Aplicando (8.65) a (8.68) obtenemos: P

1

Fme j

Fm cos( t

)

(8.69)

8.3.2. Teoremas

Sean: a y b constantes reales f, f 1 y f 2 funciones que cumplan la relación (8.62).

Teorema 8.1. Homogeneidad P af (t )

(8.70)

aP f (t )

Demostración. Si tenemos el número complejo. z

x

(8.71)

jy

Se tiene, con a real, que: a Re z


a Re x

jy

27-06-2008

ax

(8.72)

18

Teoría de Redes Eléctricas También se tiene que: Re az

Re ax

jay

(8.73)

ax

Entonces de (8.72) y (8.73): a Re z

(8.74)

Re az

De la condición de existencia (8.62) se tiene que si: f (t )

Re e

j t

(8.75)

F ( )

Entonces, de la definición (8.63), se tiene. P f (t )

(8.76)

F ( )

Multiplicando ambos lados de (8.75) por el número real a, se tiene que: af (t )

a Re e

j t

(8.77)

F ( )

Aplicando (8.74), a (8.77), se logra: af (t )

(8.78)

j t

Re e a F ( )

De la definición de transformada fasorial, (8.63) se reconoce que (8.78) implica: P af (t )

(8.79)

a F (w)

Teorema 8.2. Linealidad P af1 (t )

bf 2 (t )

aP f1

(8.80)

bP f 2

Demostración. Si las funciones cumplen la condición de existencia (8.62), se tiene que: a1 f1 t

a2 f2 t

j t

a1 Re F1 e

a2 Re F2 e



Aplicando (8.74) en (8.81), se obtiene: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008



jwt

(8.81)

Capítulo 8. Análisis sinusoidal a1 f1 t

19 j t

Re a1 F1 e

a2 f2 t

Re a2 F2 e



j t

(8.82)



El operador real es lineal, entonces: a1 f1 t

a2 f2 t

Re a1 F1 e

j t

a2 F2 e



j t

(8.83)



Factorizando: a1 f1 t

a2 F2 ) e

Re ( a1 F1

a2 f2 t



j t

(8.84)



Reconociendo en (8.84) la definición de trasformada fasorial (8.63), se logra: P a1 f1 t

a2 f 2 t

a1 F1 a 2 F 2 

(8.85)



Que demuestra (8.80).

Teorema 8.3. Transformada fasorial de la derivada df

P

(8.86)

j F ( )

dt

Demostración. Debido a que los operadores parte real y derivada son lineales, puede intercambiarse el orden en que se aplican, con lo cual se tiene: df

d

dt

dt

df dt

Re e

Re e

j t

j t

F( )

Re

d dt

e

j t

F ( )

(8.87)

j F ( )

Comparando (8.87) con la definición (8.63), se tiene la tesis.

Teorema 8.4. Transformada fasorial de la integral P

t t o

F ( ) f ( )d

j

Demostración: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

(8.88)

20


Debido a que los operadores parte real e integral son lineales, puede intercambiarse el orden en que se aplican, con lo cual se tiene: t

t

Re e j to

f ( )d to

F( ) d e

Re F ( )

Re e

j t

j t

e

j

t

Re

t o

ej

F ( )d

j t o

(8.89)

j

F ( )

Re e

j

j t o

F ( ) j

Escogiendo to como un número negativo bastante grande, y tal que e j

t o

F ( ) sea j

imaginario, se tendrá la tesis. Esta elección de to siempre será posible de efectuar. Ej emplo 8.5.

Para la red de la Figura 8.16, con: e g (t ) Esen( t ) , determinar las corrientes de mallas, en estado estacionario, aplicando la transformación fasorial. eG

R 4

i1

L5

i3

i2 R 6

C2

R 3

Figura 8.16. Red con excitación sinusoidal. Aplicando método de mallas, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones íntegrodiferenciales: ( R4 L5 Di1 R4i1

L5 D )i1

(C2 1 D 1

1 1

C2 D i2

L5 Di2

R4 i3

L5 D

R6 )i2

( R3

R4

e g

C2 1D 1i3 1

1

C2 D )i3

Sean las siguientes trasformadas fasoriales de las variables:


27-06-2008

0 0

(8.90)


21 E g

I1

P eg

P i1 ; I 2

P i2 ;

(8.91)

P i3

I 3

Aplicando transformada fasorial, al sistema (8.90), y empleando (8.91), se obtiene:

R4

j L5

j L5

1 j C 2

j L5

R4

j L5

1 j C 2

R6

1 j C 2

R4

R3

E g





I 2

0



1 j C 2

R4

I 1

(8.92)

0

I 3 

Resulta un sistema algebraico de ecuaciones, que puede ser resuelto por Cramer u otros métodos. Una vez determinadas las transformadas fasoriales de las corrientes: I1 , I 2 , I 3 , se aplica •

•

•

transformación fasorial inversa para obtener: i1 (t ), i2 (t ), i3 (t ) . Ej emplo 8.6.

Dada la siguiente suma de señales sinusoidales: f (t )

2 cos(2t

d

600 ) 4sen(2t)

dt

2sen(2t )

Se desea expresar f (t ) como una sinusoide, del tipo: f (t )

Fm cos(2t

)

Como todas las sinusoides, son de igual frecuencia angular, podemos aplicar transformación fasorial; y luego efectuar cálculos con números complejos. Se logra, aplicando las propiedades: P f (t )

F( )

F ( )

2 cos 600

F ( )

5 (4

2e

j

3

4e

j 2 sen 600 3) j

7, 6

j

2

2 2 je 4(0

2

j )) 2 2 j(0

48,80

En forma gráfica: Leopoldo Silva Bijit

j

27-06-2008

j)

(8.93)

22

Teoría de Redes Eléctricas j Im(F)

F

7,6

5,732

48,8°

Re(F)

5

Figura 8.17. Representación gráfica de

F(

).

Sacando la transformada fasorial inversa de (8.93), se obtiene: f (t )

(8.94)

7,6cos(2t 48,8 )

La transformada fasorial permite efectuar desarrollos analíticos simplificados; sin embargo, su mayor ventaja es que su representación gráfica permitirá desarrollar un método, muy eficiente, para cálculos numéricos en redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario. El método gráfico tiene, además, la ventaja de representar en forma simbólica y resumida las señales de una red en estado estacionario. El análisis del diagrama será utilizado, a menudo, en cursos de ingeniería.

8.4. Representación gráfica de fasores 8.4.1. Defi ni ción de fasor

Se denomina fasor de f(t) a la función temporal compleja

f (t ) .

Donde: f (t)

F( )e j

t

P f (t )

F ( )

Re f (t)

f(t)

(8.95)

Para un tiempo determinado, el fasor será un número complejo que podrá ser representado en un plano complejo. En el eje de abscisas se anotará la parte real del fasor, y en el eje de ordenadas la parte imaginaria; el tiempo se tratará como un parámetro y se indicará en el extremo del vector complejo. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


23

Se tiene: f (0)

(8.96)

F ( )

Es decir, el fasor en el instante cero es la transformada fasorial de f (t ) . Si definimos la transformada fasorial (8.96), en forma polar: F ( )

(8.97)

F m

8.4.2. Representación del fasor en t=0

La Figura 8.18 representa al fasor en el instante cero. Debe notarse: Que el módulo, siempre positivo, del fasor en el instante cero es Fm; y que el identificador F está asociado al número complejo que, en el diagrama, se representa como un vector. jIm(f(t)) F = f(0) Re(f(t))

Figura 8.18. Representación gráfica en t=0. Se ha definido la referencia para medir el ángulo como en la trigonometría. La polaridad asociada al valor del ángulo debe interpretarse como el ángulo definido por la línea radial en que está la flecha (polaridad positiva) menos el ángulo definido por la línea radial en que está el pequeño círculo (polaridad negativa). En el Ejemplo 8.7 se ilustran algunas medidas. Ej emplo 8.7.


27-06-2008

24

Teoría de Redes Eléctricas jIm(f(t))

2 1

Re(f(t))

3

Figura 8.19. Medición de ángulos. Se tienen: 1

45

0

2

0

45

2 3

(8.98)

1

225

360

Si la dirección en que apunta la referencia para el ángulo, coincide con la trigonométrica positiva, el ángulo será positivo; en caso contrario el ángulo tendrá valor negativo. 8.4.3. Repr esentación del f asor en cualqui er i nstante

Para dibujar el fasor, en cualquier instante, debe observarse que la dependencia temporal es únicamente el número complejo e j t ; cuyo módulo es uno y su ángulo es t. Entonces: f (t )

f (0)·1

t

(8.99)

Empleando (8.97) en (8.99), se tiene: f (t )


F m

t

27-06-2008

(8.100)


25 jIm(f(t)) j t

f(t)=Fe

F = f(0) t

Re(f(t)) f(t)

Figura 8.20. Representación del fasor. Es importante notar que la proyección de la punta de f (t ) sobre el eje real, da el valor •

instantáneo de la señal f (t ) asociado al fasor. Entonces si se conoce f (t ) se conocerá f (t ) . •

También es útil considerar que el fasor está girando con frecuencia angular , en contra del reloj; y que su punta describe un círculo, ya que el módulo es constante. Si se observa, desde un punto ubicado sobre el eje imaginario en menos infinito, la proyección del fasor sobre el eje real, se tendrá que ésta será igual a la amplitud instantánea de la señal asociada. También se puede determinar f (t ) en cualquier instante si se conocen: la posición inicial, es decir, su transformada fasorial F ; y la frecuencia angular . 8.4.4. F asor de coseno

Estudiaremos algunas señales características, con miras a obtener un procedimiento sencillo para calcular las transformadas fasoriales de señales sinusoidales. Sea la señal: c(t ) cos( t )

(8.101)

La cual, empleando (8.20), puede expresarse: c(t )


Re e j t ·1

27-06-2008

(8.102)

26

Teoría de Redes Eléctricas Reconocemos entonces que: C 1 es la transformada fasorial de c(t ) , y c(t )

ej

t

es el

fasor asociado a c(t ) . La Figura 8.21 representa al fasor que se ha dibujado en tres instantes; y la Figura 8.22 la señal en el tiempo. jIm(c(t)) j t2

c(t2) = e

j t1

c(t1) = e t1

Re(c(t))

C = c(t=0)

Figura 8.21. Fasor de coseno.

t1 t2 Figura 8.22. Forma de onda de coseno. Para comprender la relación entre el fasor y la forma de onda, debe imaginarse que la proyección sobre el eje real de c da la ordenada, en ese instante, de c(t ) . Es importante concentrarse en el movimiento de la punta de c y al mismo tiempo ver cómo se va generando c(t ) .

Se advierte que los valores que toma c(t ) en determinados instantes pueden leerse en la gráfica de c (t ) .


27-06-2008


27

Los instantes, o los ángulos, en que cos( t ) vale cero, menos uno y más uno, pueden establecerse exactamente, mirando la gráfica de c (t ) . Lo cual da un método nemotécnico para recordar los valores relevantes de la función trigonométrica coseno. Es útil reconocer que c(t ) será mayor que cero para ángulos en el primer y cuarto cuadrante. Resumiendo, las propiedades y valores de la señal cos( t ) pueden asociarse al siguiente símbolo: jIm(c(t)) j t

e t

Re(c(t))

C = c(0)

Figura 8.23. Fasor de coseno. Es decir, a partir de este símbolo uno debiera poder: dibujar la forma de onda, calcular valores característicos, determinar condiciones para que la señal sea positiva o negativa, etc. 8.4.5. F asor de coseno más un ángulo

Sea la señal: f (t )

cos( t

)

(8.103)

Aplicando la definición de la transformada fasorial puede determinarse que: f (t )

e j ·e j

t

(8.104)

La Figura 8.24 representa el fasor, y la Figura 8.25 la forma de onda. Se ha dibujado con =40º.


27-06-2008

28

Teoría de Redes Eléctricas jIm(f(t)) j t

Fe

F = f(0) t

Re(f(t)) s

c

Figura 8.24. Fasor de

cos( t

Figura 8.25. Forma de onda de

).

cos( t

).

Debe notarse que en el instante en que el fasor apunta en la dirección positiva del eje real, la forma de onda pasa por un máximo positivo. En el ejemplo, esto sucede grados antes que t=0, o que t=0º. En la Figura 8.24 el ángulo ha sido medido contra el reloj; es decir, en igual sentido a la dirección de referencia para medir los ángulos, que está dada por t. En la forma de onda la referencia para el ángulo resulta en igual dirección al eje t. Por teoremas de corrimiento de señales, la forma de onda corresponde a un coseno desplazado en grados hacia la derecha; y el fasor F debe desplazarse grados contra el reloj para coincidir con C , la transformada fasorial de coseno. En el diagrama también se advierte que en los instantes en que el fasor apunta en la dirección positiva (o negativa) del eje imaginario, la forma de onda pasa por cero. En el caso que se analiza, a F le faltan para pasar por el eje imaginario, en la Figura 8.24; y la forma de onda pasa por cero después de Leopoldo Silva Bijit

respecto a t igual a cero, o a t=0º.

27-06-2008


29

8.4.6. F asor de coseno menos un ángu lo

Sea la señal f (t ) cos( t

):

jIm(f(t)) j t

Fe t

s

Re(f(t))

c F

Figura 8.26. Transformada fasorial de

cos( t

Figura 8.27. Forma de onda de cos( t

).

).

La señal cos( t ) pasa por cero grados antes del instante t=0. También puede considerarse que la señal puede representarse como un seno corrido hacia la derecha en grados; es decir: sen( t ) , con + =90º. Ambos diagramas, el fasor y la forma de onda, representan la misma información. A partir de un gráfico puede determinarse el otro. El simbolismo de los fasores es sin lugar a dudas una herramienta abstracta adecuada para representar variaciones sinusoidales, y es muy superior a las formas de ondas.


27-06-2008

30


Ejemplo 8.8. En el siguiente ejemplo se representan dos señales f 1 y f 2. F2 F1 30º

s

c

Figura 8.28. Transformadas fasoriales de F 1 y F 2. 0,8cos(wt+30°)

0,5cos(wt+30°+ )

Figura 8.29. Formas de ondas de

F 1 y F 2.

Se tiene que: la transformada fasorial F 2 adelanta, en sentido trigonométrico positivo, en º a F 1 . En las formas de ondas, se suele decir que la señal f 2 adelanta en ( / ) segundos, a la señal f 1. En el tiempo, f 2 pasa primero por cero; luego, instantes después, pasa f 1 por cero. Se produce primero el máximo de f 2 y después el de f 1. Nótese que f 1 y f 2 tienen igual período.

Resumen Para representar gráficamente un fasor, se puede indicar el número complejo F ( ) ; o sea, el fasor en un instante de referencia, usualmente en el tiempo t=0. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


31

Después de este convenio se subentenderá que el fasor está girando con una velocidad angular , en contra del reloj, y que tan sólo se lo ha dibujado con una fotografía instantánea en t=0. Si se tienen variables sinusoidales de igual frecuencia y si se les representa según el convenio anterior, se podrá observar las relaciones entre las fases de las variables, así como también las relaciones entre las magnitudes de las oscilaciones. Una explicación cualitativa de lo que se ha logrado, es la siguiente: se tenía una cantidad de funciones que variaban sinusoidalmente, esto debido a que se las miraba desde una posición fija, esto trae como consecuencia un “alejamiento” del problema y se reflejará en oper aciones matemáticas complicadas; es decir, se trabajará con funciones temporales sinusoidales. Si por el contrario, el observador se “mete dentro del problema” y comienza a moverse con igual frecuencia angular que las señales sinusoidales que desea medir, verá un problema “estático”, y

podrá operar con números complejos, no con señales.

8.5. Procedimiento gráfico 8.5.1 Tr ansfor madas basadas en l a parte r eal

Basándonos en (8.62) se recomienda el siguiente método para trabajar gráficamente. El procedimiento está basado en la identificación de las transformadas fasoriales de sen( t ) y cos( t ) . Una señal sinusoidal f, con representaciones definidas en (8.2), que tenga transformada fasorial, empleando (8.30), siempre podrá representarse según: f (t )

F1 sen( t )

F2 cos( t )

(8.105)

Es decir, como la suma de un seno y un coseno de amplitudes diferentes. Se tiene para las señales coseno y seno respectivamente: c (t ) s (t )

cos( t )

Re e j t

sen( t )

j t

Re e e

·1

(8.106)

j· /2

Las cuales implican que: C 1 S

(8.107)

1 -90º

Las transformadas fasoriales (8.107) se han representado gráficamente en la Figura 8.30. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

32

Teoría de Redes Eléctricas jIm(f)

c

s

Re(f)

Figura 8.30. Transformadas fasoriales de seno y coseno. Las formas de ondas de (8.106) se representan en la Figura 8.31. 90° c(t)=cos( t)

s(t)=sen( t) Figura 8.31. Formas de ondas de seno y coseno. C y S ,

las transformadas fasoriales de coseno y seno de t respectivamente, constituyen

una base. Cualquier función sinusoidal tendrá una transformada fasorial que podrá expresarse en términos de C y S . La transformada fasorial de coseno de sen( t ) .

t adelanta en 90º a la transformada fasorial de

Con las identificaciones anteriores, resultará sencillo determinar el número complejo, o sea, la transformada fasorial, asociado a cualquier función sinusoidal. Ej emplo 8.9.

Determinar las transformadas fasoriales de:


27-06-2008


33 f a (t )

3sen( t 50º )

fb (t )

2 sen( t )

fc (t )

2 cos( t 180º )

f d (t)

(8.108)

3cos( t 210º )

Si se representan las transformadas fasoriales de las señales en (8.108) en la Figura 8.32.

Fb

210º

Fc s

c 50º

Fd

Fa

Figura 8.32. Transformadas fasoriales de (8.108). De la Figura 8.32, pueden calcularse los valores:

C y S

F a

3 -40º

Fb

2j

F c

2 0º

F d

3 210º

2 90º

(8.109)

2

permiten establecer la ubicación de la transformada fasorial, de una función temporal

sinusoidal, en el plano complejo. Por ejemplo, f a adelanta en 50º al seno; o está atrasada en 40º respecto al coseno. Esto permite dibujar la dirección y sentido de F a ; el módulo será 3 veces más grande que el de S . Una vez que, mediante la observación de las relaciones entre las fases y entre las amplitudes, se han ubicado los números complejos, éstos deberán leerse cartesiana o polarmente; según se desee, respecto de los ejes del plano complejo. Nótese que los ejes en que se deben leer los números complejos no coinciden con C y S . Empleando la Figura 8.32 también es posible determinar las transformadas fasoriales inversas. Es así como: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

34

Teoría de Redes Eléctricas f d (t )

3sen( t

60º )

3cos( t 150º )

(8.110)

Ya que F d está 60º atrasado respecto de S , y atrasada en 150º respecto de C . 8.5.2. Tr ansform adas basadas en la parte im aginar ia

En la literatura existen definiciones alternativas a las desarrolladas, por ejemplo se suele definir la transformación fasorial según: f (t )

Im e j t F ( )

P f (t )

(8.111)

F ( )

Lo que llevará al siguiente procedimiento gráfico: jIm(f)

c s

Re(f)

Figura 8.33. Transformación de c y s, basada en (8.111). Esta definición hace coincidir la base ( C

y S )

con las direcciones de los ejes en que se mide

•

F ( ) .

En este caso la visualización de las formas de ondas deberá hacerse observando las proyecciones de los fasores sobre el eje imaginario. 8.5.3. Refer encia coseno ar bitr aria

Este procedimiento es recomendado a las personas ya familiarizadas con los métodos anteriores. Debido a que S está atrasado 90º respecto de C es usual anotar solamente un eje de referencia, generalmente la dirección de

C ,

respecto del cual se efectúan las transformaciones.

Y esta referencia puede dibujarse en cualquier posición sin crear ambigüedades.

Ejemplo 8.10. Dibujar la transformada fasorial de f (t ) 2 sen( t 30º ) . Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


35

En la Figura 8.34 se ha dibujado la referencia coseno con una dirección cualquiera, y sin referencia a los ejes reales e imaginarios de los números complejos. Subentendiendo que la referencia para el seno está 90º atrasada respecto a la del coseno, es simple ubicar a mano alzada la transformada fasorial de f. Referencia coseno

60º

F

Figura 8.34. Referencia coseno. Luego de la Figura 8.34 puede leerse que: F 2 60º

Ejemplo 8.11. Sean f1 (t )

2 sen( t 30º )

f 2 (t )

3cos( t 10º )

(8.112)

Se puede asociar la referencia a f 1(t), con lo cual el diagrama se representa en la Figura 8.35. F2

s

c 30º

70º

F1 referencia

Figura 8.35. Referencia arbitraria. La ventaja de este procedimiento es que el número complejo asociado a la referencia resulta un número real. De la Figura 8.35, pueden leerse los siguientes números complejos asociados a las señales (8.112).


27-06-2008

36

Teoría de Redes Eléctricas F

2 0º

(8.113)

1

F

3 70º

2

Para calcular las transformadas inversas, es conveniente en la Figura 8.35, agregar las transformadas de c y s. Por ejemplo, si en este sistema se tiene F

4 -120º , entonces la señal temporal asociada

3

será: f3 (t )

4 sen( t 30o 120o )

4cos( t )

Este procedimiento corresponde a una definición de la transformada fasorial, en un tiempo arbitrario distinto de cero. La elección de la referencia arbitraria se realiza de tal modo que los cálculos numéricos se vean simplificados.

8.6. Impedancia y admitancia complejas 8.6.1. Defin iciones

Se desea estudiar las relaciones de equilibrio de las componentes de una red, sometida a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario. Observemos una componente pasiva e identifiquemos sus variables terminales con v e i; podemos, en general, expresar: v(t )

Re V e

i (t )

Re I e

j t

(8.114)

j t

Donde: V

P v

I

P i

(8.115)

Se recuerda que las relaciones terminales permiten conocer v, si se conoce i y viceversa. Es conveniente, entonces, tener expresiones que nos permitan conocer V si se conoce I , y viceversa. Se definen, para una componente pasiva: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


37 V( )

Z ( ) I ( )

I ( )

Y ( ) V ( )

(8.116)

Z ( ) se denomina impedancia compleja. El nombre deriva del hecho que a voltaje

constante, a mayor impedancia menor corriente. Multiplicada por la transformada fasorial de la corriente terminal, expresa la transformada fasorial del voltaje terminal. Y ( ) se denomina admitancia compleja de la componente pasiva. Obviamente, para una

componente, se tienen: Y

1 Z

;

1

Z

(8.117)

Y

En un caso general, Z e Y serán números complejos, que podrán expresarse de la siguiente forma: Z ( )

R( )

jX ( )

Y( )

G( )

jB( )

(8.118)

Se definen: Resistencia: R( )

Re Z •

Reactancia: X ( )

Im Z •

Conductancia: G( )

Re Y

(8.119)

•

Susceptancia: B ( )

Im Y •

Nótese que las cantidades recién definidas, son funciones reales de la frecuencia angular. Para una componente pasiva, se cumplen: R ( )

G( ) 2

G ( ) X ( )

B ( ) 2

G ( )


2

B ( )

2

B ( )

27-06-2008

(8.120)

38


Obsérvese que si G es positiva, R es mayor que cero; y que si B es positiva, X es menor que cero.

Ejemplo 8.12. Para una componente se conocen la corriente en el tiempo y su impedancia: i (t )

10 sen(2t 45º ) Z

3

j

(8.121)

2

Determinar v(t). a

i v b

Figura 8.36. Red en estado estacionario, en el tiempo. Solución. Sacando transformada fasorial a la corriente, y considerando que la frecuencia angular es 2, se obtienen: I 10 -45º

P i Z

3

j

(8.122)

2 30º

Entonces, usando (8.116), puede calcularse: V

2 30º

10 -45º

20 -15º

(8.123)

Sacando transformada inversa, resulta: v(t )

P

1

V

20 cos(2t 15º )

La Figura 8.37 muestra el desfase entre las formas de ondas.


27-06-2008

(8.124)


39 15°

v(t)=20cos(2t-15°)

i(t)=10cos(2t-45°)

45°

Figura 8.37. Formas de ondas de v(t) e i(t). La Figura 8.38 muestra las transformadas fasoriales.

c 15º

s

30º

V I

Figura 8.38. Transformadas de V e I. Nótese que, con las referencias elegidas, el ángulo de la impedancia son los grados medidos, en el sentido trigonométrico positivo, desde I hacia V . 8.6.2. I mpedanci as y admitan cias de las componentes elemental es

8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo Para el resistor de la Figura 8.39 se tiene la relación de equilibrio en el tiempo: v R


R iR

27-06-2008

(8.125)

40


iR vR

R

b

Figura 8.39. Resistencia en el tiempo. Sacando transformada fasorial a (8.125), se obtiene: P v R

P RiR

RP iR

(8.126)

En términos de las transformadas fasoriales: V R

(8.127)

R I R

Empleando la definición de impedancia (8.116), se tienen: Z R Y R

R

1 R

(8.128) G

Las Figuras 8.40 y 8.41 ilustran las relaciones en el tiempo y entre las transformadas fasoriales. Se ha supuesto: v R (t )

iR (t)=IR cos( t+ )

VR cos( t )

vR (t)=VR cos( t+ )

Figura 8.40. Formas de ondas de vR e iR . Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

(8.129)


41

VR IR c s

Figura 8.41. Transformadas de V R e I R , en fase. Observaciones: Z R e Y R no dependen de la frecuencia angular. Sus valores son números reales. Las transformadas fasoriales están “en fase”

Los módulos de las transformadas fasoriales del voltaje y la corriente están relacionados por el valor de la resistencia.

8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo Para un inductor se tienen: v L P v L V L

L

di L dt P L

di L

(8.130)

dt

j L I L a

iL vL

L

b

Figura 8.42. Variables en inductor lineal. Por lo tanto, pueden calcularse la impedancia y la admitancia:


27-06-2008

42

Teoría de Redes Eléctricas Z L

j L

jX L j

1

Y L

j L

(8.131)

jB L

L

Los siguientes diagramas ilustran la situación; se ha supuesto: i L

I L sen( t

(8.132)

)

VL

c

90º

s IL

Figura 8.43. Transformadas en cuadratura. 90°

vL(t)=VLcos( t+

iL(t)

Figura 8.44. Corriente adelanta en 90° a la tensión. De acuerdo a la definición (8.119): X L

L

Se denomina reactancia inductiva, y es positiva, su dimensión es [ ]. La susceptancia inductiva es negativa:


27-06-2008

(8.133)


43 (8.134)

1

B L

L

Z L e Y L son cantidades imaginarias, y funciones de .

La corriente I L está “atrasada” en 90º, respecto al voltaje V L La relación entre los módulos, de las transformadas del voltaje y la corriente, es la reactancia inductiva.

8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo Para un condensador se tienen: ic

C

P ic I c

dvc dt C P

dvc

(8.135)

dt

j C V c a

iC vC

C

b

Figura 8.45. Variables en un condensador lineal. Por lo tanto, pueden calcularse la impedancia y la admitancia: Z C Y C X c Bc

1

j

j C

C

(8.136)

j C 1 C C

Las Figuras 8.46 y 8.47 muestran las relaciones en en plano complejo y en el plano del tiempo. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

44

Teoría de Redes Eléctricas Se ha supuesto: vc (t )

(8.137)

VC cos( t )

VC

90º IC s

c

Figura 8.46. Transformada de I C adelanta en 90° a V C

vC(t) iC(t) 90°

Figura 8.47. Corriente adelanta en 90° a la tensión. Observaciones: Xc se denomina reactancia capacitiva, y es menor que cero. La susceptancia capacitiva Bc es positiva. El ángulo de la impedancia es menos 90º. La corriente está “adelantada” en 90º, respecto al voltaje.

La relación entre los módulos, de las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje, es el módulo de la reactancia.


27-06-2008


45

8.6.2.4. Resumen Se advierte que con la definición del concepto de impedancia, las relaciones terminales para las componentes elementales adoptan la misma estructura; es decir: V Z I . La función

Z

es distinta para cada una de las componentes elementales. Se definen Z e Y

sólo para redes pasivas de dos terminales.

8.7. Diagramas para redes sometidas a excitaciones sinusoidales 8.7.1. Símbolos

Nos interesa desarrollar un diagrama simbólico que nos permita analizar con facilidad redes eléctricas, sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario. La representación de impedancias, puede efectuarse mediante un simbolismo análogo al empleado en los diagramas en el plano del tiempo. Asociamos a la ecuación general de equilibrio V Z I , el siguiente diagrama simbólico: a

I Z

V b

Figura 8.48. Impedancia en plano complejo. Para las fuentes independientes, empleamos los siguientes símbolos: a

I V

Vg

b

Figura 8.49. Fuente de tensión en plano complejo. En la Figura 8.49 se ha empleado: P v g (t )


V g .

27-06-2008

(8.138)

46


I Ig

V b

Figura 8.50. Fuente de corriente en plano complejo. En la Figura 8.50 se ha empleado: P i g (t )

(8.139)

I g .

Ejemplo 8.13. Sea la red, de la Figura 8.51, en el dominio del tiempo: i

L v2(t)

eg

i1(t)

C

R

ig

Figura 8.51. Red en el dominio del tiempo. Si las excitaciones, en el tiempo, son: e g

E cos( t );

ig

(8.140)

I sen( t)

Con la simbología definida en 8.7.1, se puede lograr la Figura 8.52 a partir de la Figura 8.51. I

ZL V2

Eg

I1

ZC

ZR Ig

Figura 8.52. Red en el plano complejo. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


47

Donde: E g E 0º I g I -90º j

Z C

C

;

(8.141)

ZL

I 1 P i1 ; V 2 •

•

j L;

Z

R

R

P v2

Diremos que el diagrama, de la Figura 8.52, corresponde a una red en el plano complejo. Es importante no confundir los diagramas simbólicos. Cada uno, tiene sus propios símbolos que representan, en forma gráfica, las relaciones analíticas que describen la conducta de la red eléctrica. No es conveniente dibujar impedancias en una red en el dominio del tiempo; ni tampoco emplear fasores para identificar una variable temporal. 8.7.2. L eyes de inter conexión

Sean ik señales sinusoidales de igual frecuencia si aplicamos L.C.K. a la siguiente conFiguración, en el tiempo: i1(t) i2(t) in(t)

Figura 8.53. Corrientes en el tiempo. Para el conjunto de corte que se muestra en la Figura 8.53, se tiene aplicando LCK: i1 (t ) i2 (t ) ... in (t ) 0

(8.142)

Aplicando transformación fasorial a (8.142), como P es un operador lineal, se tendrá: I1 I 2 ... I n

0

(8.143)

Relación que podrá visualizarse en el diagrama de la red en el plano complejo, que se muestra en la Figura 8.54.


27-06-2008

48

Teoría de Redes Eléctricas I1 I2

In

Figura 8.54. Corrientes en plano complejo. También podrán plantearse L.V.K. para los circuitos de la estructura interconectada, en el plano complejo.

Ejemplo 8.14. Se resuelve el Ejemplo 8.3, empleando diagramas en el plano complejo. El Figura 8.55 representa a la red, de la Figura 8.9, en el plano complejo. Los elementos dinámicos se tratan como impedancias. +

IR

IL

R

E

IC 1/j C

j L

V

Figura 8.55. Diagrama de red con impedancias. A partir del diagrama se pueden plantear las siguientes ecuaciones: I C

j CV,

V

j L I L

E

E ,

V

V

E

R I R V , I R

IL

(8.144) I C

Debe notarse que aplica LVK en forma implícita en la segunda malla. De esta forma el voltaje en la impedancia que representa al inductor es el mismo que el asociado a la impedancia del condensador. Eliminando las corrientes en (8.144) se obtiene: V

E ( j L) R RLC

2

j L

Que es la misma solución obtenida en (8.50). Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

(8.145)


49

8.7.3. Apli cación pr áctica de los diagr amas

La importancia práctica de los diagramas de redes en el plano complejo, es que en ellos pueden aplicarse todos los procedimientos de análisis de redes desarrollados para el dominio del tiempo. Una característica de la teoría de redes es la introducción de diagramas simbólicos que condensan, en forma gráfica, toda la información que se posee acerca de un sistema eléctrico. Permiten ver las ecuaciones de interconexión y las de equilibrio; además, permiten plantear en forma simple las relaciones analíticas que describen el comportamiento de un sistema, formado por la interconexión de subsistemas. Destacamos que en los diagramas de redes en el plano complejo podrán aplicarse los conceptos de equivalencia y los teoremas de Thévenin, Norton y superposición. También deberá notarse que los métodos generales de análisis, aplicados a redes en el plano complejo, darán sistemas de ecuaciones algebraicas; es decir, no aparecerán derivadas y tampoco integrales. Para obtener la solución de una red, deberá tenerse gran dominio en el cálculo numérico con expresiones complejas. Es decir: conversión de forma polar a cartesiana y viceversa; suma, resta, multiplicación y división de números complejos. Esta dificultad de cálculo se ve reducida cuando se emplean calculadoras electrónicas.

8.8. Potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales 8.8.1. Análisis en el domi nio del ti empo

8.8.1.1. Potencia instantánea Se tiene en la Figura 8.56, que: p(t ) v (t )i (t ) es el flujo energético, que ingresa a la red pasiva proveniente del resto de la red. i(t) a v(t)

Red p(t) Pasiva

b

Figura 8.56. Potencia instantánea. Sean: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

50

Teoría de Redes Eléctricas Iˆ cos( t )

i(t ) v(t )

ˆ

V cos( t

(8.146) )

Las variables en (8.146) deben tener igual frecuencia angular. Resulta, para la potencia instantánea: ˆˆ p(t ) VI cos( t

) cos( t

)

(8.147)

Empleando la identidad trigonométrica: cos( x) cos( y )

(cos(x

y ) cos(x

y )) / 2

(8.148)

Aplicando (8.148) a (8.147), se obtiene: ˆˆ VI

p(t )

2

(8.149) cos

cos(2 t 2

)

Empleando la identidad trigonométrica: cos( x

y)

cos( x) cos( y ) sen(x)sen(y )

(8.150)

Aplicando (8.150) a (8.149), se obtiene: ˆˆ VI p(t ) cos cos cos(2 t 2 ) sen sen(2 t 2 ) 2 Se tienen las siguientes formas de ondas:

v(t

i(t)

p(t)

Figura 8.57. Formas de ondas de v, i y p(t). Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

(8.151)


51

Nótese en (8.149) que la potencia instantánea es una constante más una señal sinusoidal, si nusoidal, con una frecuencia angular igual al doble de la l a de las variables voltajes y corrientes corri entes de la red. En la Figura 8.57, se aprecia que en determinados intervalos, la red pasiva devuelve energía al resto de la red; esto ocurre cuando p(t) es menor que cero. Podemos visualizar los procesos energéticos que ocurren en la red pasiva si descomponemos la potencia en (8.151), de la siguiente s iguiente forma: p(t )

poa (t )

(8.152)

poo (t )

De (8.152) y (8.151) pueden definirse: poa (t )

VˆIˆ cos 2

VˆIˆ c os 2

cos(2 t 2 )

(8.153)

ˆˆ

poo (t )

VI sen 2

sen(2 t 2 )

Las formas de ondas de (8.153) ( 8.153) se muestran en la Figura 8.58.

Pac

p(t)

poa(t)

Q

poo(t)

Figura 8.58. 8.58. Potencias oscilantes.

8.8.1.2. Energía utilizable Se denomina a poa, potencia oscilante activa o útil. Siempre es mayor que cero, y describe el flujo de energía que entra a la red pasiva y que se queda dentro de ella. Es la energía que fluye hacia las componentes disipadoras de la red. r ed. Nótese que el suministro de energía activa es oscilante, en ciertos intervalos la energía ingresa rápidamente; en otros lo hace más lentamente. La potencia oscilante activa tiene valor medio distinto de cero, en un período. Integrando en un período, la relación (8.153) se obtiene: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

52


Pac

p oa

ˆˆ VI cos 2

Vef I ef c os

(8.154)

Donde Pac se denomina potencia activa, y se mide en [W], su valor se ilustra en la Figura 8.58.

8.8.1.3. Energía ociosa Se denomina poo a la potencia oscilante ociosa o reactiva. reactiva. Describe el flujo de la energía que entra a la red, y que luego sale de ella. El valor medio de poo, en un período, es cero. Integrando en un período, la relación (8.153) se obtiene: poo

(8.155)

0

Desde un punto de vista energético, diremos que poa califica la energía que se dirige hacia los resistores de la red pasiva; y que p oo califica el intercambio de energías, en forma oscilante, entre las componentes almacenadoras de la red pasiva con el resto de la red. Ej emplo mpl o 8.15.

Si una red pasiva tiene dos resistores, un condensador y un inductor, podremos plantear el siguiente balance energético. poa (t )

2

d poo (t )

2

R1i R1 (t ) R2i R 2 (t ) Li L2 2 dt

2

d

CvC

(8.156)

2

dt

Vaivén reactivo. Se denomina así, al proceso descrito por poo(t). Esto provoca una molestia molestia económica a las compañías generadoras de energía, ya que ellas trabajan para vender energía eléctrica y no para recibirla de vuelta. Lo ideal para ellas, y para cualquiera cualquiera que venda productos, es que la energía que sale puedan considerarla como mercadería vendida; y es malo para ellas recibir de vuelta lo que ya creían vendido. Además, en el viaje viaje de ida y vuelta, en el vaivén, a la planta generadora, se disipará energía en las líneas de transmisión. En el vaivén reactivo perderá efectivamente la compañía generadora, no así el consumidor, esto debido al lugar donde están ubicados los medidores de energía. Por esta razón los vendedores de energía suelen tomar precauciones para evitar el vaivén; miden la potencia reactiva y emplean tarifas diferentes de acuerdo a su valor. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


53

Una cantidad que califica el vaivén reactivo es la amplitud de poo, que se muestra como Q, en la Figura 8.58. Se define la potencia reactiva, según: Q

ˆˆ VI

2

sen

VAR

(8.157)

Vef I ef s en

La unidad MKS de Q, es el Watt. Pero, tradicionalmente, y para diferenciarla de la unidad para la potencia activa, se define como unidad de Q el Volt Ampère R eactivo. eactivo. Nótese que poa y Pac son proporcionales a cos ; y que poo y Q son proporc proporcion ionale aless a sen sen . Pac es un valor medio; Q es la amplitud de poo.

8.8.1.4. Valor efectivo Consideremos los dos casos siguientes: Sea la siguiente red, con una excitación continua:

i1(t)

v

R

Figura 8.59. Red con excitación continua. continua. i1(t) I

t

Figura 8.60. Excitación continua. La potencia disipada en la resistencia es: P

I2 R W

(8.158)

Debido a que la potencia instantánea es una constante, el valor medio toma el valor de esa constante. Sea, ahora, la red siguiente, cuya excitación es sinusoidal: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

54


R

v

i2(t) = Imsen( t)

Figura 8.61. Red con excitación sinusoidal i2(t)=Imsen( t) Im

Figura 8.62. Excitación alterna. La potencia promedio disipada en la resistencia es: p

1

T

T

0

I m 2 R

p(t )dt

T

T 0

I m2 R

2

sen( t) dt

2

2 ef

I R W

(8.159)

Ya que con T=2 : 1

T

T

0

2

sen(2 t / T ) dt

1

(8.160)

2

La integral definida (8.160), toma valor un medio. Comparando (8.158) y (8.159) podemos establecer que el valor efectivo de una corriente sinusoidal, es el valor de la corriente continua que produce el mismo efecto calórico. Se define el valor efectivo, en términos del valor máximo, según: I ef

I ˆ

(8.161)

2

Es tradicional en el análisis de redes sometidas a excitaciones sinusoidales, en estado estacionario, referirse a los valores efectivos de las variables voltaje y corriente. Por ejemplo, se dice “220 volts alternos”, o “220 V c.a.”, sin especi ficar nada más; debe entenderse que se refieren a valores efectivos. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


55

8.8.2. Análisis en el pl ano compl ejo

8.8.2.1. Relaciones básicas Transformando, al plano complejo, la red del punto 8.8.1, resultan: I

I ˆ

P i

V

(8.162) ˆ

P v

V

La red pasiva queda calificada por la impedancia

Z. a

I Z

V b

Figura 8.63. Potencia en plano complejo. De la definición de impedancia: V

(8.163)

Z I

Efectuando el cuociente de (8.162) y comparando con (8.163), se tienen: Z

Z

; Z

ˆ V ˆ

I

;



V



I

(8.164)

Para las transformadas definidas en (8.162) se tienen las formas de ondas que se muestran en la Figura 8.64. v t =Vmcos t+ +

i t =Imcos t+

Figura 8.64. Formas de ondas de v(t) e i(t). Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

56

Teoría de Redes Eléctricas Las transformadas fasoriales se ilustran en la Figura 8.65. V I

c s

Figura 8.65. Transformadas de El ángulo

V

e I.

se mide en sentido contrario al reloj, de I hasta V . Esto debido a que el

módulo de la impedancia se define como un número positivo, y de la definición (8.163), el ángulo del voltaje es la suma de los ángulos de la impedancia y la corriente. Esto se aprecia en la Figura 8.65. Las gráficas anteriores ilustran el caso en que cuadrante.

es positivo y perteneciente al primer

Ej emplo 8.16.

Para una red en el plano complejo se tiene una impedancia con ángulo negativo, si se expresa con valores angulares dentro del primer cuadrante. Se conoce la transformada fasorial del voltaje. Z -30º

Z

V

(8.165)

Z +330º

V ˆ

Determinar las formas de ondas de la corriente y el voltaje, y un diagrama que muestre las transformadas fasoriales. De (8.165) y (8.163) se obtienen: ˆ V cos( t+ )

v (t ) V I

Z

i(t )





V

V Z

Z -30º ˆ V

Z

cos( t+

30º

30º )

Las formas de ondas de (8.166), se representan en la Figura 8.66. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

(8.166)


57 +30° v(t) i(t)

330° 30° Figura 8.66. Formas de onda con negativo. Las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje se muestran en la Figura 8.67. Luego de 330º que v pasa por un máximo lo hace i. Se tiene que i pasa por un máximo 30º antes que v pase por un máximo. I 30º 330º

s

V

c

Figura 8.67. Transformadas en impedancia con negativo. Ej emplo 8.17. *

Para (8.162), determinar el número complejo, en forma cartesiana, asociado al producto Se indica con un asterisco el complejo conjugado de un número complejo. Se tiene: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

V I 2

58

Teoría de Redes Eléctricas VI

*

V

I-

(8.167)

ˆˆ VI

Dividiendo por dos, y expresando en forma cartesiana, y empleando las definiciones (8.154) y (8.157), se obtiene: 1 2

VI

*

ˆˆ VI

2

(8.168)

ˆˆ VI j sen 2

cos

Pac

jQ

Empleando (8.167) en (8.168) se logra: Pac

jQ

(8.168a)

ˆˆ VI

2

Relación que permite determinar la potencia activa y reactiva si se conocen las transformadas fasoriales de v e i.

8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos Debido a que en la práctica se trabaja numéricamente con valores efectivos, puede definirse la siguiente transformación fasorial para las funciones temporales que puedan escribirse según: f (t )

2 F ( ) e j

Re

-1 F ; Pef F

Pef f

t

(8.169) f

El subíndice ef, indica que se trata de transformadas fasoriales con valores efectivos. Comparar con las definiciones del punto 8.3. Ej emplo 8.18.

Determine la transformada fasorial con valores efectivos de las siguientes señales: i(t )

3sen (2 t 30º )

v(t )

2Vef cos( t )

(8.170)

Para la corriente, aplicando (8.169), se tiene: I

3 2

(8.171)

-60º

Para el voltaje, resulta: V


Pef V

Vef 0º

27-06-2008

(8.172)


59

Si hubiéramos aplicado nuestra definición inicial (8.62), nos resultaría para el voltaje: V

P v

(8.173)

2Vef 0º

Para la corriente, empleando (8.62): I

(8.174)

3 -60º

P i

Ej emplo 8.19. *

Determine en forma cartesiana el producto V I , para las relaciones del punto 8.8.2.1; pero, usando transformadas fasoriales con valores efectivos. Resultan: V

Pef v

Vef

I

Pef i

I ef

(8.175)

Entonces, se obtiene: VI

*

Vef I ef

Pac

(8.176)

jQ

Al trabajar con valores efectivos el número complejo ( Pac

jQ ) queda expresado por *

*

V I ; si se emplearan valores máximos, dicho número quedará expresado por

V I 2

.

8.8.2.3. Potencia aparente Se define la potencia aparente como el número complejo:

P

Pac

jQ

(8.177)

En la Figura 8.68 se muestra la dirección de referencia para medir la potencia aparente.


27-06-2008

60

Teoría de Redes Eléctricas I

a

V

P

Red Pasiva

b

Figura 8.68. Potencia aparente. P califica el flujo de potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado

estacionario. El módulo de P , resulta con dimensión Watts, en el sistema MKS. Para efectuar diferencias con la potencia activa y reactiva, el módulo de P se mide en [VA], voltamperes. Representación gráfica en el plano complejo P . jIm(P)

P

jQ Re(P)

Pac

Figura 8.69. Plano complejo

P.

El módulo de P se expresa según: P

Pac2

Q 2 VA

(8.178)

La dirección de referencia, para medir el ángulo , es la trigonométrica positiva. Si

es menor que cero y dentro del cuarto cuadrante, resulta Q con valor negativo.

Ej emplo 8.20.

Sea Z = R + jX una expresión cuyos valores numéricos son conocidos. Determinar la potencia activa y reactiva, en función del valor efectivo de la corriente que fluye a través de la impedancia. Se tiene, trabajando con valores efectivos: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

Capítulo 8. Análisis sinusoidal P

VI

*

61

( Z I ) I

*

ZII

*

2

Z I ef

(R

2

jX ) I ef

(8.179)

Entonces comparando (8.179) con (8.177), se tienen: RI ef2

Pac Q

(8.180)

2 XI ef

8.8.2.4. Factor de potencia Se define el factor de potencia, asociado a un flujo de potencia según: FP

P ac | P |

p.u.

(8.181)

Es una medida de la utilización de un flujo de potencia; nótese que cuando FP = 1 se anula el vaivén reactivo; es decir Q es cero. En el caso desarrollado en el punto 8.8.2, la potencia fluye hacia una carga, o red pasiva. En este caso tenemos que: FP

cos

p.u.

(8.182)

Donde es el ángulo de la impedancia de la red pasiva. El significado de p.u. es: por unidad; algunas veces se especifica el factor de potencia en porcentaje. Ver, además, el punto 8.10. de este capítulo.

8.9. Planos complejos de admitancia e impedancia Para lograr una mejor comprensión de los conceptos de impedancia y admitancia, desarrollaremos su representación gráfica en un plano complejo. La introducción de símbolos permite representar ideas. Los símbolos permiten el recuerdo, ya que aparentemente, la memoria del hombre consiste en el almacenamiento de imágenes. Los publicistas utilizan efectivamente los símbolos, para recordarles a los consumidores que necesitan comprar los productos a los que se hace propaganda.


27-06-2008

62


8.9.1. Ej emplo

Determinar la impedancia y admitancia para las siguientes redes pasivas, que se representan mediante un diagrama en el dominio del tiempo.

Red RC serie

R

C

Figura 8.70. Red RC serie. La impedancia serie se calcula empleando las definiciones (8.128) y (8.136). La admitancia se calcula según (8.116), como el inverso de la impedancia, luego se expresa en forma cartesiana. Se obtienen: Z

R

j

2

1 C

;

Y

C

2

1

2 2

C R

2

j

(R

C

(8.183) )

Se tiene que: X es menor que cero; y B es mayor que cero.

Red RC paralelo

R

C

Figura 8.71. Red RC paralelo. Se obtienen, en forma similar al caso anterior: Z

R

1

2

2

R C

2

(1

j RC );

Y

1 R

j C

En el caso paralelo: X es menor que cero; y B es mayor que cero.


27-06-2008

(8.184)


63

Red RL serie R

L

Figura 8.72. Red RL serie. Se obtienen: Z

j L; Y

R

R R

j L

2

2

; X 2

L

0;

B

0

(8.185)

Red RL paralelo L

R

Figura 8.73. Red RL paralelo. Se obtienen: Y

1 R

j

1 L

;

X

0;

B

(8.186)

0

Red RLC serie R C

L

Figura 8.74. Red RLC serie. Se obtienen: Z

R

j( L

1

); C

X

0 si

L

1 C

En los ejemplos, nótese que X y B son funciones de la frecuencia red pasiva.


27-06-2008

(8.187)

y de los parámetros de la

64


8.9.2. Definiciones

A pesar de que sólo se han analizado algunos casos particulares, daremos las siguientes definiciones, en general: Una impedancia tiene carácter inductivo si X > 0. Una impedancia tiene carácter capacitivo si X < 0. Una admitancia tiene carácter inductivo si B < 0. Una admitancia tiene carácter capacitivo si B > 0.

(8.188)

Gráficamente, en un plano complejo de impedancias: j Im(Z)

Z Z 1

Z 2

Z 3

Z 5

Re(Z)

Z 4

Figura 8.75. Plano complejo de impedancia. De acuerdo a (8.188), con el ángulo de la impedancia, se tienen: Z con carácter inductivo ( > 0º) 1

Z Z Z Z

puramente inductiva ( = 90º)

2

puramente resistiva ( = 0º)

3

4 5

con carácter capacitivo ( < 0º)

puramente capacitiva ( = -90º)

El símbolo Z dentro de un recuadro, en la Figura 8.75, muestra que es una representación en el plano complejo Z . Los siguientes diagramas condensan, más aún, la información de las definiciones anteriores en (8.188):


27-06-2008


65 Z

Figura 8.76. Plano de impedancia. Y

Figura 8.77. Plano de admitancia. Debe observarse que Z representa a una red pasiva, y en ésta debe cumplirse que: P ac

0.

Debido a que la potencia activa es proporcional a cos , según (8.168), se tendrá que el ángulo de la impedancia está limitado al rango: – 90º

90º

(8.189)

Es decir, la resistencia y conductancia de una impedancia o admitancia, respectivamente, serán mayores o iguales a cero. En las Figuras 8.76 y 8.77 se insinúan los tipos de impedancia o admitancia en los ejes y en el primer y cuarto cuadrante, mediante símbolos de componentes elementales.

8.10. Factor de potencia inductivo y capacitivo Antes se definió, en (8.182) que: FP = cos

[p.u.].

En el rango de valores permitidos al ángulo, (8.189), se cumple que: cos = cos(- )


27-06-2008

(8.190)

66

Teoría de Redes Eléctricas Gráficamente:

j Im(Z)

Z Zind ind

Re(Z)

cap

Zcap

Figura 8.78. Tipo de factor de potencia. Las impedancias Z ind y Z cap , en la Figura 8.78, tienen factores de potencia con igual valor numérico. Por esta razón, se suele especificar el carácter del factor de potencia. Con este fin se agrega al valor del factor de potencia su tipo. Por ejemplo: FP=0,8 ind; o bien, FP=0,8 cap. El significado de las abreviaturas es obvio. Ej emplo 8.21.

Veremos algunas ideas adicionales sobre el significado del factor de potencia. La red, de la Figura 8.79, representa a un consumidor ( Z ) conectado a través de líneas de transmisión a una compañía generadora de electricidad. a

I R E

V

Z

b

Figura 8.79. Resistencia en líneas de transmisión. La potencia activa del consumidor está dada por: Pac = VI cos [W]. Si Pac y la tensión V son constantes, al aumentar el ángulo , aumentará la corriente I; o sea, aumentarán las pérdidas de la compañía eléctrica, debido a la disipación en la resistencia de la línea de transmisión. También se producirá una pérdida de regulación del voltaje; V disminuirá, y por lo tanto el consumidor podrá experimentar mal funcionamiento de los equipos eléctricos, debido a la caída de tensión de alimentación. Se ha supuesto que la disminución es despreciable al asumir V constante.


27-06-2008


67

8.11. Teorema de máxima potencia de transferencia Dada una red en el plano complejo: I

Red activa

Red Pasiva

V

Figura 8.80. Teorema de máxima potencia transferida. Se desea determinar la impedancia de la red pasiva, para que ésta consuma la máxima potencia posible, proveniente de la red activa. Aplicando el teorema de Thévenin, a la red activa, resulta la Figura 8.81. a

I ZT ET

V

Z

b

Figura 8.81. Thévenin de la red activa. El problema puede plantearse, en términos de las variables de la Figura 8.81. Dados E T y Z T ¿cuál es el valor de Z, que permite aprovechar más eficientemente a la red activa? Definiendo: E T

E

Z T

RT jX T

Z

R

(8.191)

jX

Resulta: P ac

RE 2

( R

RT )2

(X

X T ) 2

(8.192)

Nótese que Pac es función de R y X. Las condiciones para la máxima potencia, en (8.192) son:


27-06-2008

68

Teoría de Redes Eléctricas P ac

0

X P ac

(8.193) 0

R

Aplicando la primera condición de (8.193) a (8.192), se obtiene: X

X T

(8.194)

0

Aplicando la segunda condición de (8.193) a (8.192), se obtiene: RT

2

R

2

(X

X T )

2

0

(8.195)

Resulta, finalmente, de (8.194) y (8.195): R

(8.196)

RT

X

X T

Z

Z T

que puede plantearse, según: (8.197)

*

La impedancia de la carga debe ser el complejo conjugado de la impedancia Thévenin de la red activa. Existen teoremas similares para casos particulares. Por ejemplo: Si la carga es solamente resistiva, puede verificarse que la condición para máximo flujo de energía de la red activa hacia la resistencia es: R2

RT2

X T 2

(8.198)

8.12. Diagramas fasoriales 8.12.1. I ntr oducción

Se desea desarrollar un procedimiento gráfico para el estudio de redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario. Si se representan las variables de una red mediante sus transformadas fasoriales, los fasores en un tiempo de referencia, se obtendrá el diagrama fasorial asociado a dicha red.


27-06-2008


69

Un diagrama fasorial condensa, en forma gráfica, la información proporcionada por la solución de la red. Es decir, muestra las relaciones entre las fases y entre las amplitudes de las variables de la red. Por un lado, un diagrama fasorial es teórico, ya que permite visualizar el problema, efectuar comparaciones, sacar conclusiones, determinar posibles modificaciones. Este método se emplea en el estudio del comportamiento de la maquinaria eléctrica. Por otro lado, un diagrama fasorial es un procedimiento práctico, ya que siguiendo los pasos del método podrá construirse, con ayuda de compás, transportador y regla, el diagrama fasorial que es la solución de la red. Como se verá luego, la efectiva aplicación de este método requiere habilidad en la manipulación de conceptos geométricos. La construcción de triángulos a partir de determinados datos, problema básico de la geometría plana clásica, puede aplicarse efectivamente en la construcción de los diagramas fasoriales. Una variante comúnmente empleada por las personas no versadas en geometría, es usar diagramas fasoriales construidos a mano alzada, y establecer la solución de la red, en forma analítica, mediante el uso de la trigonometría. 8.12.2. Reglas elemental es par a la constr ucción gr áfica

8.12.2.1. Polígono LVK Cada LVK está asociado a un polígono. Supongamos, por ejemplo, que tenemos tres voltajes, tales que: V 1 V 2 V 3

0

Sus transformadas fasoriales pueden representarse según: V1 V3

V2

Figura 8.82. Transformadas de v1, v2 y v3. Desgraciadamente, esta forma gráfica no permite visualizar que cumplen la LVK. Por esta razón, en los diagramas fasoriales se emplea la siguiente forma:


27-06-2008

70

Teoría de Redes Eléctricas V2

V1 V3

Figura 8.83. LVK en forma gráfica. Nótese que las transformadas fasoriales se consideran como vectores libres; o sea, no fijos al origen. Técnica similar se emplea en los métodos de composición de fuerzas en la mecánica estática. Obsérvese que si se conocen V y V , puede determinarse el voltaje V . 1

2

3

El polígono puede adoptar otras formas. Adviértase que las distintas formas entregan la misma información. V3 V2

V1

Figura 8.84. Polígono LVK alternativo.

8.12.2.2. Polígono LCK Cada LCK está asociada a un polígono de corrientes. La siguiente forma gráfica: I1

I2 I3

I4

Figura 8.85. Polígono LCK. Nos indica que se cumple: I 1

I2

I3

I 4

0

8.12.2.3. Equilibrio gráfico Cada relación de equilibrio establece dos relaciones entre las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje asociados a una componente de dos terminales. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


71

Relación de módulos. El módulo de la impedancia relaciona los módulos del voltaje y de la corriente. Relación de ángulos. El ángulo de la impedancia relaciona el ángulo de I con el ángulo de V , en la componente. Ej emplo 8.22.

Para una componente elemental puramente capacitiva: a

iC vC

C

b

Figura 8.86. Variables en un condensador. Ic VC

Figura 8.87. Diagrama fasorial para el condensador. CV C . Relación de módulos: I C Relación de ángulos: La corriente adelanta en 90º al voltaje.

Nótese que si se conoce V C puede construirse gráficamente la transformada fasorial I c , y viceversa. En las construcciones gráficas conviene escoger escalas adecuadas para las corrientes y para los voltajes. No necesariamente un cm debe representar igual cantidad de amperes y de volts. 8.12.3. Ejemplos

Se verá, a través de ejemplos, las posibilidades del método recién fundamentado. Es conveniente, después de estudiar los distintos ejemplos, releer la introducción.

8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales Determinar vL(t) para la siguiente red:


27-06-2008

72


iL

2

e(t)=2sen(3t)

1/2

vL

b

Figura 8.88. Red RL. Definamos las variables, en el siguiente diagrama, en el plano complejo: IR

Z1

a

IL VR

E

VL

Z2

b

Figura 8.89. Red en plano complejo. Aplicando los valores dados en la Figura 8.88, se obtienen: E Z 1 Z 2

2 -90º

(8.199)

2 3 2

j

Procedimiento. Dibujamos V L . Se escoge como referencia para dibujar los voltajes. VL

Figura 8.90. Inicio del diagrama. Se construye I L mediante la regla de equilibrio. Nótese que los diagramas se han construido a mano alzada, pues aún no se conoce V L .


27-06-2008


73 VL VL/ L

IL

Figura 8.91. Relación de equilibrio del inductor. Mediante LCK, agregamos la corriente en la resistencia al diagrama: VL IL =VL/ L

IL =IR

Figura 8.92. Incorporación de LCK. Mediante regla de equilibrio, para la resistencia, se dibuja V R . V R

en fase con I R .

VL IL=VL/ L VR =IR R

IL =IR

VR

Figura 8.93. Incorporación de equilibrio de la resistencia. Aplicando LVK se dibuja E. VL VL/ L

IL =IR

VR =IR R

E VR

Figura 8.94. Diagrama fasorial completo. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

74


Lo cual completa el diagrama fasorial, realizado a mano alzada. Nótese que, con cierta experiencia, puede dibujarse el diagrama mediante la inspección visual de la red. Esta habilidad se logra solamente después de resolver gran cantidad de problemas siguiendo ordenadamente los pasos del procedimiento.

8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría Una vez planteado el diagrama fasorial de la Figura 8.94, pueden obtenerse ecuaciones, a través de la geometría o trigonometría, para relacionar los ángulos y las amplitudes de la variables. En la Figura 8.95 se ha dibujado la referencia seno coincidente con la dirección de la transformada fasorial de la fuente de tensión. c VL s

VL/ L

VR =IR R

IL =IR

E VR

Figura 8.95. Obtención de relaciones. Del diagrama se desprende que puede calcularse el ángulo , y el módulo de VL. V R

tg

V L

IRR IL

R L

L

4 3

(8.200)

53,130 V L

E cos

2 0, 6

1, 2

Lo cual permite conocer la transformada fasorial del voltaje, y sacando transformación inversa, se obtiene el voltaje en el tiempo, según: v L (t )

1, 2 sen(3t 53,13º )

(8.201)

8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría Observando la Figura 8.94, vemos que para construir el diagrama, desde un punto de vista geométrico, el problema consiste en construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y una relación entre los catetos. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


75

Construcción: 3 C

A 2

4

B

L

Figura 8.96. Construcción geométrica. Con compás, transportador o escuadra se levanta una perpendicular. Luego se miden 3 unidades en un lado y 4 unidades en el otro. Lo cual determina la recta AL. El procedimiento anterior, permite dibujar un ángulo sin transportador. Sobre AL, se mide la hipotenusa. Lo que origina AB, y luego se ubica C, mediante la paralela, al lado de largo 4. Se mide AC, que resulta ser 1,2; y es el módulo del voltaje en el inductor; en ángulo se mide con un transportador. Se ubican las referencias C y S y se obtiene la transformación fasorial inversa.

8.12.3.4. Obtención de relaciones Determinar una relación entre R, L, C y para que la red, de la Figura 8.97, tenga factor de potencia unitario. La traducción de la especificación, de acuerdo a (8.182) es que I debe estar en fase con V , ya que el ángulo de la impedancia que ve el generador, debe tener ángulo cero. I

I1

I2 VL V

E

ZL

ZC VR

ZR

Figura 8.97. Red en plano complejo.


27-06-2008

76


Dibujando el diagrama fasorial, considerando que I y V deben estar en fase, que I1 debe estar atrasada respecto a V (por ser una rama de carácter inductivo), y que V L debe adelantar en 90º a I1, se obtiene: I

V =VC VR

VL I2 I1

Figura 8.98. Diagrama fasorial. Del diagrama se obtienen: sen V R

I 2

V C

I1

V R / R

(8.202)

V cos L

tg

R

Eliminando VR , V y , en (8.202), se obtiene: L C

R

2

( L)

2

(8.203)

Se formulan las ecuaciones de la red en forma escalar, no con números complejos, a partir de la inspección visual del diagrama fasorial.

8.13. Lugares geométricos. Diagramas circulares 8.13.1. I ntr oducción

Se desea encontrar los L.G. de los extremos de las transformadas fasoriales, asociados a las variables de una red sometida a excitación sinusoidal en estado estacionario, cuando alguna componente elemental, R, L o C, es variable. Previo a dicho estudio es necesario desarrollar algunos fundamentos matemáticos que nos serán útiles.


27-06-2008


77

8.13.2. Tr ansform aciones

Se desea encontrar relaciones entre los planos de la impedancia y de la admitancia compleja.

8.13.2.1. Transformación de puntos En la Figura 8.99 se muestran las transformaciones de puntos ubicados sobre los ejes: j Im(Z)

Z

j Im(Y)

Y

jX Re(Z)

Re(Y) 1/R

R

-j/X

Figura 8.99. Transformaciones de puntos sobre los ejes. Para un punto cualquiera, si el ángulo de la impedancia es positivo, el de la admitancia será negativo. El módulo de la admitancia será el recíproco del módulo de la impedancia.

j Im(Z)

j Im(Y)

Z

Y

z Re(Y)

Re(Z) y

Figura 8.100. Transformación de un punto cualquiera. 8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen Se aplica 8.13.2.1. para dos puntos de la recta, según se muestra en la Figura 8.101.


27-06-2008

78

Teoría de Redes Eléctricas j Im(Z)

j Im(Y)

Z z1

Y

z2 Re(Z)

Re(Y) y2 y1

Figura 8.101. Rectas que pasan por el origen.

8.13.2.3. Transformación de una circunferencia Efectuaremos la transformación de un círculo de impedancias en un caso general, como se muestra en la Figura 8.102. j X

Z

r b

R

a

Figura 8.102. Circunferencia en plano Z. De la Figura 8.102, considerando que un punto tiene coordenadas ( R , X ) , se obtiene: ( R a ) 2

b)2

(X

(8.204)

r 2

De la definición de impedancia y admitancia (8.116), considerando que las coordenadas de la admitancia son (G, B) , se tiene: Z

R

G

jX

G2

B2

j

(8.205)

B G2

B2

Eliminando R y X, en función de G y B de (8.205) en (8.204) se obtiene: 2

G G


2

B

2

a

G

2

(8.206)

2

B B

2

b

27-06-2008

2

r


79

Definiendo una circunferencia en el plano (G, B) , con centro en (c, d ) y radio e, se tiene: (G c) 2

( B d )2

(8.207)

e2

Arreglando (8.206) y comparando términos con (8.207), se obtienen: a

c e

a2

b2 r 2

2

d

r 2

(a

2

b

2

(8.208) 2 2

r )

b a2

b2

r 2

Lo que demuestra que (8.206) es efectivamente una circunferencia. La cual se muestra en el plano de admitancias, en la Figura 8.103. j B Y

c G

e -d

Figura 8.103. Circunferencia en plano Y. Para transformar una circunferencia se procede de la siguiente forma: se pasa una recta por el origen y el centro de la circunferencia, se transforman los puntos, según se vio en 8.13.2.2. El procedimiento se ilustra en las Figura 8.104 y 8.105. j X

Z

R

Figura 8.104. Puntos diametralmente opuestos en Z. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

80

Teoría de Redes Eléctricas j B

Y

G

Figura 8.105. Puntos diametralmente opuestos en Y. Se dibuja una recta que pase por el origen y por el centro de la circunferencia en plano complejo de impedancias, Figura 8.104. Luego se aplica 8.13.2.2. Esto puede hacerse, ya que del desarrollo anterior, en 8.13.2.3, se conoce que la transformada de una circunferencia es una circunferencia.

8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen Las rectas pueden consideranse circunferencias con centro en el infinito. Procedimiento: se dibujan 3 puntos sobre la recta, ya que la mínima información para construir una circunferencia son 3 puntos; y luego se transforman los puntos. La Figura 8.106, muestra la transformación de una recta paralela al eje jX, en el plano de impedancias, en una circunferencia en el plano de admitancias.

j X

Z

R

j B

Y

R

G

1/R

Figura 8.106. Transformación de recta paralela a eje jX. La Figura 8.107, muestra la transformación de una recta paralela al eje R, en el plano de admitancias, en una circunferencia en el plano de admitancias. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


81

j X

j B

Z

Y

jX

G

R

-j/X

Figura 8.107. Transformación de recta paralela a eje R. 8.13.3. A pli cacion es

8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de Z e Y para C variable

Y

G

jBC

Figura 8.108. Red RC paralelo. Para la admitancia resulta: Y ( j ) G j C . El lugar geométrico de la admitancia, se muestra en la Figura 8.109, para C variando entre cero e infinito. Se muestra sobre la recta la dirección en que se movería el valor de la susceptancia BC, cuando el condensador aumenta. j B

C

Y

jBC

G

G

Figura 8.109. Admitancia con C variable. El lugar geométrico de la impedancia, cuando se varía el valor del condensador, se muestra en la Figura 8.110. Y se obtiene transformado tres puntos. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

82

Teoría de Redes Eléctricas Z

j X

1/G R

C

Figura 8.110. Impedancia con C variable

8.13.3.2. L.G. para conductancia variable Para la siguiente red RC paralelo, con G variable:

Y

G

jBC

Figura 8.111. Red RC con G variable. Se obtiene, para la admitancia: Y( j )

G

jBC

G

(8.209)

j C

La Figura 8.112, muestra la recta paralela al eje G, con el lugar geométrico de la admitancia de la red de la Figura 8.111. j B

Y

jBC G G

Figura 8.112. Admitancia RC, con G variable. El diagrama para la impedancia, resulta una circunferencia, que se muestra en la Figura 8.113. Cuando la admitancia tiende a infinito, la impedancia tiende a cero. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


83

j X

Z R

G

-j/ C

Figura 8.113. Impedancia RC, con G variable.

8.13.3.3. L.G. de I con R variable Para la siguiente red: I

R

a

E

j L

b

Figura 8.114. Red RL serie. Se escoge E coincidente con la referencia, resulta E una constante real. Entonces el L.G. de I será el L.G. de Y , multiplicado por la constante real, esto debido a (8.210). E I

Z

(8.210)

E Y

Con R variable, se tiene el lugar geométrico de la impedancia, que se muestra en la Figura 8.115. j X

Z

j L R R

Figura 8.115. Impedancia RL, con R variable. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

84

Teoría de Redes Eléctricas Para la admitancia, se obtiene la circunferencia de la Figura 8.116. j B

Y G

R

-j/ L

Figura 8.116. Admitancia RL, con R variable. Finalmente, el L.G. de I resulta: jIm(I)

I

E Re(I)

R -jE/ L

Figura 8.117. L.G. de I con R variable. Ej emplo 8.23.

Para la siguiente red, con: =1; R 1=1; R=1; R 2=3; L=1. L

i

R 1 R e

R 2 C

Figura 8.118. Red en estado estacionario. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


85

Determinar: El L.G. de la impedancia Z vista por el generador. C para I esté en fase con V . R 2 para que exista sólo un valor de C que haga que I y V estén en fase. Para la combinación serie de R y C, se tienen los L.G. de Z e Y de la Figura 8.119. Se muestra la variación para la disminución del valor del condensador. j B

Z

j X

C

C0

Y

R R

1/R

-j/ C

G

C

Figura 8.119. L.G. para C variable. El valor del condensador C0, para un valor de B0 igual al radio de la circunferencia de la admitancia, cumple la relación: C 0

1

(8.211)

2 R

Considerando la conductancia G2, en paralelo con la admitancia de la combinación serie anterior, se logra: Y

j B

C

1/R 2

1/R+1/R 2

G

Figura 8.120. L.G. de admitancia para C variable. El L.G. de la impedancia para el conjunto anterior, resulta:


27-06-2008

86

Teoría de Redes Eléctricas Z

j X

RR 2/(R+R 2)

R 2 R

C

Figura 8.121. L.G. de impedancia para C variable. Finalmente se suma la impedancia serie de la resistencia R 1 con la inductancia L, resultando la Figura 8.122. Dependiendo de los valores numéricos, la circunferencia que muestra la variación del condensador, puede ser tangente, no cortar, o cortar dos veces al eje real. j X

Z

j L C R

R 1

R 1+R 2

R 1+RR 2 /(R+R 2 )

Figura 8.122. L.G. de Z para C variable. Reemplazando los valores numéricos, se logra: Z

j X

j1 C1 1

7/4

C2

C 4

R

Figura 8.123. L.G. de Z para C variable. Existiendo dos valores del condensador C para los cuales la impedancia tiene ángulo cero. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


87

En forma analítica, la impedancia vista por el generador, puede expresarse según: z := R1

1

Lj

1 R2

(8.212)

1 j

R

C

De la cual pueden obtenerse los valores del condensador, que hacen cero la parte imaginaria de la impedancia, resultan: C1 :=

R22

R24

8 L2 R 2

2 (2 L R

2

R2

4 2

R2

2

L2 R22

L R22 L R2

4 L2 R 2 2

2

)

(8.213) C2 :=

R2

2

R2

4

2

2

8 L R 2

2 (2 L R

R2

R2

4 2

2

2

L R2

2

L R22 L R2

2

4 L R 2

2

2

)

Evaluando con los datos numéricos se obtienen: C1 = 0,4101 y C2 = 0,1524

(8.214)

Igualando la reactancia inductiva al radio del círculo se obtiene un solo valor del condensador para tener impedancia de entrada puramente resistiva. De la Figura 8.122, se logra la relación: R2 R

(8.215)

2

R2

2 L

Evaluando, con el resto de los datos, se obtienen: R2 = 2,73205 y C = 0,267955


27-06-2008

(8.216)

88


Problemas resueltos Problema 8.1

Si se define la transformación fasorial de modo que: P{ cos(wt-15º) } = 1/0º determine las transformadas fasoriales de: f 1(t) = 9cos(wt+85º); f 2(t) = 3sen(wt-72º); f 3(t) =- 5sen(wt+34º). Solución. A través de relaciones trigonométricas, debe expresarse: f j(t), j {1,2,3}, como: f j(t)=|A j|cos(wt-15º+ j) y luego, aplicando la definición se llega a: P{ f j(t) } =|A j|/

j

ˆ F j

En nuestro caso: f 1(t) = 9cos(wt+85º) = 9cos(wt-15º+100) f 2(t) = 3sen(wt-72º) = 3cos(wt-72º-90º) = 3cos(wt-15º-147º) f 3(t) =-5sen(wt+34º) = 5cos(wt+34º+90º) = 5cos(wt-15º+139º) F 1 = 9 /100º

F 2 = 3 /-147º

F 3 = 5 /139º

Problema 8.2

Considere la red de la Figura P8.1, con los datos que se señalan: L

R 1

+ e(t)

C

R 2

va

v b

i

Figura P8.1. Datos: e(t) = 200sen(314t) [V]; R 1=5[ ]; L=5/314 [Hy]; R 2=4[ ]; C=1/1256 [F]. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


89

Calcular: i(t), va(t), v b(t). Solución:

Z2

Z1

+

E

Z3

Va

Z4 V b

I

Figura P8.2. Las transformadas fasoriales de los datos: 200 /0º

E Z 1

R1

Z 2

jwL

Z 3

R2

Z 4

1 jwC

Aplicando LVK: E I

V1 V 2 V3 V4

200 /0º 9

Z1 I

200 /0º

j

9, 06 /6,34º

5 /0º j5

5 /90º

4 /0º

Z2 I

j4

Z3 I

4 /-90º

Z4 I

(9

j ) I

22,09 /-6,34º

Va

Z1 I

Z2 I

(Z 1

Z2)I

(5

j 5) 22, 09 /-6,34º

156, 2 /38,66º

Vb

Z3 I

Z4 I

(Z 3

Z4 )I

(4

j 4) 22, 09 /-6,34º

125,0 /-51,34º

Para obtener i(t), va(t) y v b(t) debe notarse que al haber escogido

E

200 /0º

se estableció

automáticamente a sen(314t) como referencia. Por lo tanto: va (t )

156, 2sen(314t 38,66º )

vb (t )

125, 0sen(314t 51, 34º )

i (t )

22, 09sen(314t 6, 34º )

Observaciones: Se puede desarrollar un “álgebra de impedancias” en forma análoga a aquella desarrollada

para resistores. Para este ejemplo se puede aplicar la idea de impedancias en serie para calcular una impedancia equivalente Z e , tal como es “vista” desde los terminales de la fuente. Así: Z

e

Z


1

Z

2

Z

3

Z

4

9 j

9,06 /6,34º

27-06-2008

90

Teoría de Redes Eléctricas y, consecuentemente, I

E/ Z

e

la cual es la misma expresión a la que se había llegado anteriormente. Es también interesante anotar que las ideas de división de tensión y división de corriente se aplican igualmente en el análisis sinusoidal, ahora en términos de las impedancias en vez de las resistencias. En el ejemplo, usando el concepto del divisor de tensión, se llega a: Va

Vb

Z 1

Z 2

Z e Z 3

E

Z 4

Z e

E

Problema 8.3

Calcule el equivalente Norton de la red de la Figura P8.3, entre los terminales a y b, conociendo la red en el plano complejo: I 1 Z 2

2 /0º, 3 /-12º,

Z1

4 2 /45º, I g 2

1 /120º,

+ Ig1

Z1

E g

20 /-30º

Z 3

2 /0º a

Eg Ig2

Z3 b

Z2

Figura P8.3. Solución: La determinación de la red equivalente Norton o Thévenin, no necesita considerar las condiciones iniciales ya que ellas influyen en la respuesta transitoria solamente y el análisis sinusoidal sólo considera la situación estacionaria. Como es fácilmente demostrable, las transformaciones de fuentes también son lícitas en el dominio complejo, por lo que ese será el camino para reducir la red y llegar, por transformaciones equivalentes, a la estructura de una red equivalente Norton. Transformando I g 1 / Z 1 a fuente de tensión y luego reduciendo las dos fuentes de tensión en serie y las dos impedancias en serie se llega a: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


91 a

+ Z4

Eg3 Z3

Ig2

b

Figura P8.4. donde: Z 4

Z1 Z 2

E g 3

Eg

4

I g 1 Z 1

j4

2, 93

17, 3

j 0, 62

j10 8

7, 71 /26º

j8

20, 3 /-62,6º

Finalmente, transformando la fuente de tensión

E

g3

y reduciendo las fuentes de corrientes y

las impedancias en paralelo se llega a: a

Z N

I N

b

Figura P8.5. donde: Z N

I N

Z 3 Z 4 Z 3

15, 42 /26º

Z4

I g 2

8,93 E g 3 Z 4

j 3, 38

15, 42 /26º 9,55 /20,7º

1 /120º

0,5 j 0,87 0, 064

1,61 /5,3º

2,63 /-88,6º j 2,63

0, 436

j1, 76

1,81 /76,1º

Note que el mismo resultado debe obtenerse si en la Figura P8.3, se cortocircuita el par de terminales a-b y se midiese allí la corriente circulante. Problema 8.4

Calcule las corrientes de malla, en estado estacionario, para la red de la Figura P8.6:


27-06-2008

92

Teoría de Redes Eléctricas R 1

+ e(t)

C5

R 4

M23

ia L2

L3

i b

Figura P8.6. Se conocen: e(t )

100cos(2t ) V

R1

5[ ], R2

L2

L3

2[ ]

0,5 Hy ,

0,1 F , R4

C

M 23

0, 4 Hy

4

Solución: Existen dos caminos alternativos: el primero consiste en formular las ecuaciones de mallas en el tiempo y luego transformar fasorialmente esas ecuaciones para calcular I a e I b ; el segundo es llevar simbólicamente la red al dominio fasorial y formular allí las ecuaciones de mallas. Seguiremos el segundo camino, pero previamente revisaremos las relaciones de equilibrio para las inductancias acopladas en el dominio complejo: v1 (t ) v2 (t )

di M 2 dt dt di di M 1 L2 2 dt dt

L1

di1

v1 P

v2

jwL1 I 1 jwM I 1

Se obtiene el siguiente modelo simbólico: R 4

R 1 j M23

+

j

E

L2

j

L3

Ia

Figura P8.7. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

-j/ C5

I b

jwM I 2 jwL2 I 2


93

Reemplazando los valores numéricos: E

100 /0, jwL2

jwM 23

0,8 /90º

jwL3

1 /90º

j0,8,

-

j

j

5 /-90º

wC

-j5

Aplicando método de mallas: E

( R1

0

jwL2 ) I a

jwM 23 I a

jwM 23 I b R4

j

jwL3

wC

I b

Reemplazando valores y expresando matricialmente: 5 j

j 0,8

I a

100

j4

I b

0

j 0,8 4

Calculando la inversa, y efectuando cálculos: 566 /-45º

Se obtiene:

I a

4 j 4

I b

j 0,8

j 0,8 5

j

100

1

29,4 /-33º

0

29,4 /-33º

80 /90º 29,4 /-33º

I a

19, 25 12º

I b

2,72123º

En el dominio del tiempo: ia(t) = 19,25 cos(2t -12º) i b(t) = 2,72 cos(2t + 123º) Problema 8.5

Una impedancia capacitiva

Z

c

Rc

1 jwC

toma 13[KVA] a FP=5/13 desde una fuente de

excitación sinusoidal de 200 [V], valor efectivo. Si se conecta a esta impedancia otra de tipo inductivo, Z L R L jwL , en paralelo con ella, calcule, con los datos que se indican, lo siguiente: a) Z L para que el FP del conjunto de ambas sea máximo y la potencia consumida por ellas sea mínima; b) la corriente, en valor efectivo, que debe entregar la fuente al conjunto de ambas impedancias cuando se cumplen las condiciones establecidas en a). Solución. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

94

Teoría de Redes Eléctricas La situación es la siguiente: I

+ E

IC

IL

ZC

ZL

Figura P8.8. Como se desea trabajar en valores efectivos se definirá la transformación fasorial de la siguiente forma: ˆ F

P Fˆ cos wt P

1

F

2

/0º

2 | F | cos( wt



F )

a) FPmáx =1, por lo que la potencia reactiva total ( QrC+QrL) debe ser cero; o sea, la potencia reactiva en la impedancia inductiva debe ser: Qr L

PapC sen

QrC

PapC sen(arccos(FPC )) 12 KVAR

C

Por otro lado, para que Pact total sea mínima, la potencia consumida por Z L debe ser cero, es decir, R L debe ser cero. Por lo tanto: Z L

jwL

Pap L

E 2

Qr L

wL

wL

(200)2 12000

3, 33

b) Calculamos la corriente total: I

IC

I L

I

(5000

P apC

j 3, 33

PapL

/arccos(5/13)

E j12000

ZL

j12000) / 200

/90º E 25 A

También tenemos para la potencia activa: EI cos

y, dado que cos

PacC

T

T

FP T


PacL

P acC

5000

1 , para cumplir el requisito de máximo, se tiene: 5000 PacT I 2,5 A E cos T 200

27-06-2008


95

Problema 8.6

Determine gráficamente

V , V , V 1

2

3

y V

en la red de la Figura P8.9

4

2

j

-j3

V1

V2

V3

200|_0º

V4

+

I

1

Figura P8.9. Solución: La impedancia total es V y V 1

4

Z

T

3 j2 ,

están en fase con I ;

V

2

lo cual determina la fase de I respecto de la fuente.

adelanta a

I

en 90º y

V

3

atrasa a

I

en 90º.

Además por LVK, se tiene: 200 0°

V1 V 4

V3

V4

Y se cumplen las siguientes relaciones entre los voltajes: V V

1 4

V

2 ; 1

V

3

3 1

2

Con estas relaciones se puede construir el diagrama fasorial, escogiendo la fuente como referencia. I V2 V4 V3

V1

2 3 E

Figura P8.10. Procedimiento: 1. Dibuje E de un largo razonable, con ángulo 0º. 2. Trace un rayo de ángulo = arctg 2/3, obteniendo el LG de I . Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

96


3. Construya el 4. En el

rectángulo con hipotenusa dada ( E ) y un

así obtenido identifique el cateto en fase con

cuadratura con I como:

V

V 2

5. Divida el cateto

V

1

V

4

3

V

V 2

2

como:

I

I V

respecto de 1

V

4

E.

; y aquel en

.

en relación 2:1 para obtener V

6. Tome la mitad del cateto V

dado, el de

3

1

y V

4

.

y cópiela a continuación del mismo para obtener

y V 3 en relación de magnitudes 3/1.

7. Conociendo que 200[V] corresponde a 6 [cm] pueden calcularse proporcionalmente las dimensiones de las transformadas fasoriales. Los ángulos se miden con transportador. E

6cm

ˆ

ˆ

200V dato

V1

ˆ

3, 3cm

ˆ

110V

V2

ˆ

1, 7 cm

ˆ

57V

V3

ˆ

5cm

V4

ˆ

1, 5cm

ˆ

167V ˆ

50V

V 1

110 /33,7º

V 2

57 /125º

V 3

167 /-55º

V 4

50 /33,7º

Problema 8.7

Se tiene la red de la Figura P8.11, sometida a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario: vL

vR1

L

R1

i R2

e3

Figura P8.11 Se dispone de los siguientes datos: L =5/2, C = 1/12, R1 = 10, R2 = 3 Leopoldo Silva Bijit

vC

i2

i1

e1

vR2

27-06-2008

C e2


97

e1(t) = sen(4t – 45°) e2(t) = sen(4t + 135°) e3(t) = -sen(4t – 135°) a) Determinar: i(t) e I 2 b) Determinar la potencia aparente compleja entregada por la fuente de tensión E 2 . •

c) Dibujar un diagrama fasorial, en que se muestren las tensiones en cada uno de los elementos. Solución. Se obtienen las transformadas fasoriales de las fuentes. Luego las impedancias de las componentes, y finalmente se calculan las corrientes. Se obtienen: E 1 1 135 E 2

1 45

E 3

1 45

Z1

R1

Z 2

R 2 1/( j C )

j L

E 1 E 3 I 1

I 2

I I 2

j 4(5 / 2) 10(1

j ) 10 2 45

3 12 / j 4

j)

1 135

Z 1 E 3

10

1 45

10 2 45 E 2

Z 1 I 1

1 45

3

45

1 10

135

3 2 45

2 180

1

10 2 45

10

1 45

3 2 45 1

3(1

2 90

1

3 2 45

3

1 3

45

1 10

135

45

45

13 30

45

Obteniendo la transformada inversa para la corriente, resulta: i(t) = (13/30) cos(4t – 45°) b) Planteando la expresión para la potencia aparente compleja, y reemplazando los valores, se obtiene:


27-06-2008

98

Teoría de Redes Eléctricas E2 ( I 2 ) * P E 2

2

1 2

45

1 3

225

1 6

270

j

0

6

El resultado indica que se tiene potencia reactiva de tipo capacitiva. c) Se obtienen las transformadas fasoriales de los voltajes en cada componente, y luego se dibujan los polígonos LVK y LCK, en la Figura P8.2. E 1 1 135 E 2

1 45

E 3

1 45

5 j 4 I 1 1135 2 V R1 10 I 1 1135 V L

V C

12 j 4

V R 2

I 2

3I 2

1 45

90

1 225

90

1 135

1 135

1 45

1 [V] 0,1 [A]

E2 I1 VL

V R2 VR1 VC

E1 E3

I2

Figura P8.12 Problema 8.8

Se tiene la red de la Figura P8.13, sometida a una excitación sinusoidal y en estado estacionario:


27-06-2008


99 i2

R 1

i

i1

v3 e

C

v1

L v2 v4

R 2

Figura P8.13 a) Con: e(t) = 25 cos(5t + 45°), L = 2, C = 1/5, R1= 1, R2 = 0 Determinar: p1(t), la potencia instantánea en el condensador. b) Con: e(t) = 5 cos( t ), determinar R2 en función de R1, L y C, para que la potencia reactiva entregada por el generador sea cero. c) Con: e(t) = 10 cos( t), L = 1/4, C = 4/73, R1= 10, R2 = 2 Determinar la frecuencia angular para que las transformadas fasoriales de e(t) e i(t) estén en fase. Solución. a) Se calculan las impedancias: z RL

R2

j L

j

z C

(1) (2)

C

zRL || z C

z p

(3)

Para calcular V1 e I1, primero se calcula I, se tiene: (4)

E

I

R1

z p

Luego: V1 I 1

Iz p V 1 z c

Para la transformada de la fuente, se tiene: Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

(5)

100

Teoría de Redes Eléctricas (6)

E 25 45

Reemplazando los valores numéricos en (1), (2), (3) y (4), y empleando (6), se obtienen: I 16, 72 93, 0 I 1

18,58 93, 0

V 1

18,58 3, 0

(7)

Se determinan funciones temporales de v1(t) e i1(t): v1(t) = 18,58 cos( 5t +3,01°) i1(t) = 18,58 cos( 5t +93,01°)

(8)

Se tiene para la potencia instantánea en el condensador: p1(t) = 172,65 cos( 10t + 96,03°) (9) b) Para que la potencia reactiva entregada por el generador sea nula, la impedancia vista por éste debe ser resistiva pura. Entonces la impedancia paralelo del condensador, y de la combinación serie de la inductancia y la resistencia R2 debe ser un número real, sea éste R. (

R

j

) || ( j L C

R2

(10)

De la cual se obtienen, separando parte real e imaginaria, dos ecuaciones: RR2 R2 C

L

(11)

C R (

1

L)

C

Eliminando R, en (11), se obtiene: R2

L

2

C

2

(12)

L

c) Para que las transformadas fasoriales de e(t) e i(t) estén en fase, la impedancia vista por el generador debe ser resistiva. Despejando

de la relación (12), se obtiene:


27-06-2008


101 1

R2 2

LC

L2

Evaluando (13) con los datos, se obtiene:

(13)

=3

Problema 8.9

Se tiene la red de la Figura P8.14, sometida a una excitación sinusoidal y en estado estacionario: L

i

i2 i1

e

C

v1

R

Figura P8.14 Se dispone de los siguientes datos: L = 2, C = 3, R = 10. a) Determinar: i(t) e I 2 cuando e(t) = 25 cos(5t + 45°) b) Con e(t) = 25 cos( t ) determinar , para que E e I estén en fase. •

•

Solución: a) La impedancia vista por la fuente de tensión: Z :=

(1)

1

Lj

1 R

Cj

Reemplazando los valores numéricos, y calculando se obtiene: Z 9,9389,97º

Se tiene la transformada fasorial de la fuente: E 25 45, 0º

(3)

E

25 45º

(4)

Z

9,9389,97º

Puede calcularse la corriente: I


(2)

2, 52 45, 0º

27-06-2008

102


En el dominio del tiempo: i(t )

(5)

2,52cos(5t 45, 0º )

I2 se calcula empleando un divisor de corriente, a partir de I. j I 2

C j

I R

(6)

0,017 154,61º

C

b) Si el ángulo de la impedancia es cero, la tensión y la corriente estarán en fase. Entonces igualando a cero la parte imaginaria de Z, se obtiene una ecuación que permite determinar . Para

positivo, diferente de cero, se obtiene: Im( z )

C

L

1

( C )

R 2 L( R 2C

L)

(7)

2

(8)

0,407

RLC Pr oblema 8.10

Se tienen: e(t) = 10cos(2t + 45°) ; la carga 1, de tipo inductivo, absorbe 10 [W] y 5 [VAR]; la carga 2 absorbe 10 [VAR] con factor de potencia = 0,8 cap.; la potencia activa total entregada por el generador es de 35 [W]; la potencia reactiva de la carga 3, de tipo capacitivo, es de 2[VAR]. I1

I P

P1

I2

I3

P2

P3

Z2

Z3

E Z1

Figura P8.15 Determinar: a) Las impedancias complejas: Z1, Z2 y Z3. b) Las corrientes i(t) e i2(t). c) Las potencias aparentes de las cargas en [VA] d) El factor de potencia visto por el generador. Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008


103

Se requiere plantear ecuaciones sin reemplazar datos, empleando símbolos. Luego especificar los valores de los símbolos anteriores que son datos. Luego discutir cómo pueden calcularse las incógnitas. Para finalmente efectuar los cálculos. Solución: Se tienen las siguientes ecuaciones: E

10 45 ; P1

Pac Z I

Pac1 Pac 2 Pac3; Q EE

; Z1

2 P E ; I1 Z

E Z1

cos 2 Q 2( sen 2

Pac1 Q1 j ; P 2

EE

2 P1 ;I2

;Z2

EE

j ); P3

Q1 Q 2 Q 3; P

; Z 3

2P 2 E E ; I 3 Z2 Z 3

Pac3 Q3 j

Pac

jQ

EE

2P 3

Análisis de las ecuaciones para obtener los valores pedidos: Son datos del problema: Pac1 = 10, Q1 = 5, cos 2 = 0,8, Q2 = -10, Pac = 35, Q3 = -2, con los cuales se pueden calcular: P1, P2, Pac3, Q. Y también: P y P3. Ya calculados P, P1, P2 y P3, pueden obtenerse las impedancias: Z, Z1, Z2 y Z3. Con las impedancias calculadas, pueden determinarse las corrientes: I, I1, I2, e I3. E := 5 2 5 j 2 Pac3 := 11.66666666 Q := -7 P := 35 7 j = 35.693|_-11.310° P1 := 10 5 j = 11.180|_26.565° P2 := 13.33333333 10. j = 16.667|_-36.870° P3 := 11.66666667 2. j = 11.837|_-9.728°

a) Cálculo impedancias: Z := 1.373626374 0.2747252747 j = 1.401|_-11.310° Z1 := 4. 2. j = 4.472|_26.565° Z2 := 2.400000000 1.800000000 j = 3.000|_-36.870° Z3 := 4.163362410 0.713719270 j = 4.224|_-9.728°

b) Cálculo de corrientes: I := 3.959797974 5.939696958 j I1 := 2.121320343 0.7071067810 j I2 := 0.4714045216 3.299831646 j I3 := 1.367073110 1.932758535 j


= 7.139|_56.310° = 2.236|_18.435° = 3.333|_81.870° = 2.367|_54.728° 27-06-2008

104


Expresiones temporales de las corrientes: i(t) = 7,139 cos(2t +56,31°), i2(t) = 3,333 cos(2t +81,87°) c) Valores de las potencies aparentes: Las potencias aparentes en [VA]: Pap1 = 11.180 Pap2 = 16.667 Pap3 = 11.837 d) Determinación del factor de potencia y su tipo. El factor de potencia visto por el generador, es el coseno del ángulo de la impedancia equivalente, es decir: F.P. = cos(11,31°) = 0.9805806757 y su tipo es capacitivo. También puede calcularse como: Re(Z)/ abs(Z). Es el coseno del ángulo medido desde I hacia E F.P.= cos( (ángulo de E) – (ángulo de I)) =cos( 45° - 56,310°) = cos(-11,31°) F.P.= cos( 11,31°) cap. También: F.P. = cos( ángulo de P) = cos(-11,31°) = cos(11,31°) cap. Pr oblema 8.11

Para la red de la Figura P8.16, se tienen: E1 E 0 , E 2 

E

2

I

, Z 1 



Z P2

P1

E2

E1

Figura P8.16 a) Determinar intervalo de valores de 2 para que la fuente E 2 entregue energía activa cuando la impedancia es puramente inductiva. b) Determinar intervalo de valores de 2 para que la fuente E2 se comporte como una carga inductiva cuando la impedancia es puramente capacitiva.


27-06-2008


105

Solución: E

a) Cuando Z es puramente inductiva, se tiene:

= /2 y la expresión para P 2

2

I 

2



resulta: E

P 2

2

(E 0

E

2

)

E 2 (cos

jsen 2 )(1 cos

2

2 Z



E 2 ( j cos

P 2

2

jsen 2 )

2j sen 2 )(1 cos

2

jsen 2 )

2

2



E 2 ( sen 2 )

P ac 2

2

La fuente entrega energía activa cuando Pac2 es negativa, lo cual se cumple en el intervalo 0

180

2

E

b) Cuando Z es puramente capacitiva, se tiene:

= - /2 y la expresión para P 2 

resulta: P 2

E

2

E

2

)

E 2 (cos

Q2 Q2

jsen 2 )(1 cos

2

jsen 2 )

2j

E 2 ( j cos

sen 2 )(1 cos

2

2

jsen 2 )

2



Q2

2

2 Z



P 2

(E 0

E 2 ( cos

2

(1 cos

2

2

) sen

2

)

2 E 2 ( cos

cos

2

2 2

sen

2 2

)

2 E 2 (1 cos

2

)

2

Q2 se comporta como carga inductiva si es mayor que cero. Esto se logra para: 1 cos

2

cos

1

2

0

Lo cual se cumple para todo valor de 2.


27-06-2008

2

I 

2

106


Ejercicios propuestos Ej er cicio 8.1

En un mismo diagrama fasorial dibuje los fasores asociados a sen(2wt+ ) y sen(wt+ ) en diferentes instantes y sabiendo que . Suponga que en ambos casos se ha usado el fasor asociado a coseno como el fasor de referencia. A partir de lo observado, discuta la posibilidad de usar el método fasorial para analizar redes sujetas a excitaciones sinusoidales de diferente frecuencia (sin usar superposición). Ej er cicio 8.2

Dibuje las señales asociadas a las siguientes transformadas fasoriales: F F F

1 2 3

20 /40º 15 / - 130º 30 /290º

Suponga que

F =1 /0

corresponde a

2

sen(wt-30º).

Ej er cicio 8.3

Se tiene que: I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I I I I

1 2 3 5

0 , además:

2 /0º 4 /30º 3 / - 100º 4 /120º

Calcule i4(t) si I 1 corresponde a 2

2 sen(314t+20º).

Use método gráfico y método analítico.


27-06-2008


107

Ej er cicio 8.4

Se tienen: E E E

a b c

200 /0º 200 / - 120º 200 /120º

Determine

V RS, V ST y V TR .

R

+ Ea + Ec

S

Eb

+ T

Figura E8.1. Ej er cicio 8.5

En un condensador de 1/3140[F] circula una corriente de valor 1,5 sen(314t). En un diagrama fasorial las transformadas fasoriales para la corriente, la tensión y la carga. ¿Qué sentido tendría representar, si es posible, la energía almacenada en el mismo diagrama? Ej er cicio 8.6

En una red se conectan en serie un resistor, un inductor y un condensador y el conjunto es ˆ sen wt. Establezca bajo qué condiciones las alimentado por una fuente de tensión igual a E ˆ. tensiones en los elementos pasivos pueden tener una amplitud mayor que E


27-06-2008

108


Ej er cicio 8.7 E

2200 /0º

Z L

2 /0º

Z C

5 /45º

T.I.

ZL

+

ZC

E 10:1

Figura E8.2. Calcule la relación entre las tensiones en Z L y Z C . Calcule la relación entre las potencias disipadas en Z L y Z C Ej er cicio 8.8

Para la siguiente red, con: ig1 = 10 sen t, eg6 = 100 cos(t-25º) R 2 = R 3 = 2, C4 = 1, L5 = 2 eg6

+ ig1

C4

R 2

R 3

L5

Figura E8.3. Calcule las tensiones y las corrientes de la red usando cualquiera de los métodos generales de análisis de redes.


27-06-2008


109

Ej er cicio 8.9

Para la siguiente red, con:

E =380 /0º, Z

1

reactiva pura,

I = 10, V1 = V2 = 380

+ E

Z1

Z2

V1

V2

I

Figura E8.4. Calcular, si es posible: Z 1 , Z 2 , y  de I , V 1 , V 2 Ej er cicio 8.10

En la red del ejercicio 8.9 se sabe que: E = 200 /0º Z Z

1 2

toma 5[KVA] a FP = 0,8 IND es una reactancia capacitiva que toma 8 [KVAR]

Calcule I. Calcule: Z 1 , Z 2 Ej er cicio 8.11

Para la siguiente red, con:

E =400/0º, Z

1

=40 / 1, Z 2 =50 /

La fuente entrega 2,6 [KVA] a FP = 0,9 IND. I

+ E

I1

I2

Z1

Z2

Figura E8.5.


27-06-2008

2

110


Calcule:

I , I , I ,Z , Z 1

2

1

2

.

Ej er cicio 8.12

En la misma red del ejercicio 8.11, se sabe que: E

= 500 /0º

La fuente entrega 100 [KW] a FP = 1 I1 = 20 con Z 1 reactiva pura (cap.) Calcule

I , I , I ,Z , Z 1

2

1

2

.

Ej er cicio 8.13

Para mejorar el FP de una carga

ZL

se le conectan en paralelo capacitores que toman 20

[KVAR]. Se sabe que la potencia aparente del conjunto es 185 [KVA] y el FP total llega a 0,9 CAP. Determine P ap en Z L. Ej er cicio 8.14

Una carga de 2 [KVA] a FP1 = 0,8 IND es conectada en paralelo con otra de 0,5 [KVA]. Si el FP total es 0,9 IND, ¿Cuál es el FP de la segunda carga? Ej er cicio 8.15

En la red del ejercicio 8.11 se sabe que: Z 1 = 15 Z 2 = 8-j2

Pac total = 2 [KW] ¿Cuál es la potencia activa consumida por cada carga? Ej er cicio 8.16

En la red del ejercicio 8.11 se tiene que: Z 1 = R L+jXL Z 2 = R c+jXc

Determine el LG de


I

para C variable.

27-06-2008


111

Ej er cicio 8.17

Para la siguiente red, se tienen: E1 E 0 , E 2 

E2

2

, Z



Asumir E,

2

Z



y Z constantes. I

Z P2

P1

E2

E1

Figura E8.6. a) Determinar relaciones que deben cumplir el ángulo de la impedancia y el valor máximo de la fuente de tensión dos para que ésta entregue potencia activa y reactiva. b) Determinar relaciones que deben cumplir el ángulo de la impedancia y el valor máximo de la fuente de tensión dos para que ésta se comporte como un condensador. Plantear ecuaciones sin reemplazar datos, empleando símbolos. Luego especificar los valores de los símbolos anteriores que son datos. Luego discutir cómo pueden calcularse las incógnitas, a partir de los datos. Para finalmente efectuar los cálculos. Ej er cicio 8.18

L.G. de

I

con R 2 variable. Considerar E como referencia. Analizar los casos: R 1 variable; L

variable; C variable. I I1

E

I2

VR1

ZR1

VR2

ZR2

VL

ZL

VC

ZC

Figura E8.7. L.G. de I con R 2 variable.


27-06-2008

112


Índice general CAPÍTULO 8 ........................................................................................................................... 1 ANALISIS SINUSOIDAL ....................................................................................................... 1 8.1. R EDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO ......... 1 Ejemplo 8.1....................................................................................................................... 2 8.2. PROPIEDADES DE LAS SEÑALES SINUSOIDALES ......................................................... 3 8.2.1. Derivada ................................................................................................................. 3 8.2.2. Integral ................................................................................................................... 3 8.2.3. Suma de sinusoidales.............................................................................................. 4 8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo .......................................................... 5 8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales ................................................................................................ 5 8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias ........................................................................5 Ejemplo 8.2. .......................................................................................................................................... 8 Ejemplo 8.3. .......................................................................................................................................... 8 Solución empleando funciones trigonométricas ...............................................................................9 Solución empleando funciones exponenciales complejas ..............................................................11 Ejemplo 8.4. ........................................................................................................................................13 8.3. TRANSFORMACIÓN FASORIAL.................................................................................. 16 8.3.1. Definición ............................................................................................................. 16 Ejemplo 8.5..............................................................................................................................................17 8.3.2. Teoremas .............................................................................................................. 17 Teorema 8.1. Homogeneidad ..................................................................................................................17 Teorema 8.2. Linealidad ......................................................................................................................... 18 Teorema 8.3. Transformada fasorial de la derivada ................................................................................ 19 Teorema 8.4. Transformada fasorial de la integral..................................................................................19 Ejemplo 8.5..................................................................................................................... 20 Ejemplo 8.6..................................................................................................................... 21 8.4. R EPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FASORES................................................................. 22 8.4.1. Definición de fasor ............................................................................................... 22 8.4.2. Representación del fasor en t=0 .......................................................................... 23 Ejemplo 8.7..................................................................................................................... 23 8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante ................................................... 24 8.4.4. Fasor de coseno .................................................................................................... 25 8.4.5. Fasor de coseno más un ángulo ........................................................................... 27 8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo ....................................................................... 29 Ejemplo 8.8..............................................................................................................................................30 Resumen ..................................................................................................................................................30 8.5. PROCEDIMIENTO GRÁFICO ........................................................................................... 31 8.5.1 Transformadas basadas en la parte real ............................................................... 31 Ejemplo 8.9..................................................................................................................... 32 8.5.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria .................................................. 34 8.5.3. Referencia coseno arbitraria................................................................................ 34 Ejemplo 8.10............................................................................................................................................ 34


27-06-2008


113

Ejemplo 8.11. .......................................................................................................................................... 35 8.6. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJAS ................................................................... 36 8.6.1. Definiciones.......................................................................................................... 36 Ejemplo 8.12. .......................................................................................................................................... 38 8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales .............................. 39 8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo ..................................................................................... 39 8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo .................................................................................... 41 8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo ............................................................................ 43 8.6.2.4. Resumen ....................................................................................................................................45 8.7. DIAGRAMAS PARA REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES..................... 45 8.7.1. Símbolos .............................................................................................................. 45 Ejemplo 8.13. .......................................................................................................................................... 46 8.7.2. Leyes de interconexión ........................................................................................ 47 Ejemplo 8.14. .......................................................................................................................................... 48 8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas ................................................................. 49 8.8. POTENCIA EN REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES............................. 49 8.8.1. Análisis en el dominio del tiempo ....................................................................... 49 8.8.1.1. Potencia instantánea...................................................................................................................49 8.8.1.2. Energía utilizable .......................................................................................................................51 8.8.1.3. Energía ociosa............................................................................................................................52 Ejemplo 8.15....................................................................................................................................... 52 8.8.1.4. Valor efectivo ............................................................................................................................ 53 8.8.2. Análisis en el plano complejo.............................................................................. 55 8.8.2.1. Relaciones básicas ..................................................................................................................... 55 Ejemplo 8.16....................................................................................................................................... 56 Ejemplo 8.17....................................................................................................................................... 57 8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos ......................................................................... 58 Ejemplo 8.18....................................................................................................................................... 58 Ejemplo 8.19....................................................................................................................................... 59 8.8.2.3. Potencia aparente .......................................................................................................................59 Ejemplo 8.20....................................................................................................................................... 60 8.8.2.4. Factor de potencia ...................................................................................................................... 61 8.9. PLANOS COMPLEJOS DE ADMITANCIA E IMPEDANCIA ............................................. 61 8.9.1. Ejemplo ............................................................................................................... 62 Red RC serie............................................................................................................................................ 62 Red RC paralelo ......................................................................................................................................62 Red RL serie ............................................................................................................................................ 63 Red RL paralelo....................................................................................................................................... 63 Red RLC serie ......................................................................................................................................... 63 8.9.2. Definiciones......................................................................................................... 64 8.10. FACTOR DE POTENCIA INDUCTIVO Y CAPACITIVO ..................................................... 65 Ejemplo 8.21. ................................................................................................................. 66 8.11. TEOREMA DE MÁXIMA POTENCIA DE TRANSFERENCIA ............................................. 67 8.12. DIAGRAMAS FASORIALES .......................................................................................... 68 8.12.1. Introducción ...................................................................................................... 68 8.12.2. Reglas elementales para la construcción gráfica .............................................. 69 8.12.2.1. Polígono LVK........................................................................................................................... 69 8.12.2.2. Polígono LCK ........................................................................................................................... 70


27-06-2008

114

Teoría de Redes Eléctricas 8.12.2.3. Equilibrio gráfico ......................................................................................................................70 Ejemplo 8.22. ......................................................................................................................................71 8.12.3. Ejemplos ............................................................................................................ 71 8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales .........................................................................................71 8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría ............................................................................ 74 8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría .................................................................................... 74 8.12.3.4. Obtención de relaciones ........................................................................................................... 75 8.13. LUGARES GEOMÉTRICOS. DIAGRAMAS CIRCULARES ................................................ 76 8.13.1. Introducción ...................................................................................................... 76 8.13.2. Transformaciones .............................................................................................. 77 8.13.2.1. Transformación de puntos.........................................................................................................77 8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen ....................................................................77 8.13.2.3. Transformación de una circunferencia ......................................................................................78 8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen ............................................................... 80 8.13.3. Aplicaciones ...................................................................................................... 81 8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de Z e Y para C variable ...................................................... 81 8.13.3.2. L.G. para conductancia variable ..............................................................................................82 8.13.3.3. L.G. de I con R variable........................................................................................................83 Ejemplo 8.23. ......................................................................................................................................84 PROBLEMAS RESUELTOS..................................................................................................... 88 Problema 8.1 .................................................................................................................. 88 Problema 8.2 .................................................................................................................. 88 Problema 8.3 .................................................................................................................. 90 Problema 8.4 .................................................................................................................. 91 Problema 8.5 .................................................................................................................. 93 Problema 8.6 .................................................................................................................. 95 Problema 8.7 .................................................................................................................. 96 Problema 8.8 .................................................................................................................. 98 Problema 8.9 ................................................................................................................ 101 Problema 8.10 .............................................................................................................. 102 Problema 8.11 .............................................................................................................. 104 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................. 106 Ejercicio 8.1 ................................................................................................................. 106 Ejercicio 8.2 ................................................................................................................. 106 Ejercicio 8.3 ................................................................................................................. 106 Ejercicio 8.4 ................................................................................................................. 107 Ejercicio 8.5 ................................................................................................................. 107 Ejercicio 8.6 ................................................................................................................. 107 Ejercicio 8.7 ................................................................................................................. 108 Ejercicio 8.8 ................................................................................................................. 108 Ejercicio 8.9 ................................................................................................................. 109 Ejercicio 8.10 ............................................................................................................... 109 Ejercicio 8.11 ............................................................................................................... 109 Ejercicio 8.12 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.13 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.14 ............................................................................................................... 110


27-06-2008


115

Ejercicio 8.15 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.16 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.17 ............................................................................................................... 111 Ejercicio 8.18 ............................................................................................................... 111 Í NDICE GENERAL .............................................................................................................. 112

Índice de figuras. Figura 8.1. Red con dos excitaciones. ........................................................................................... 2 Figura 8.2. Red con excitación uno igual a cero. .......................................................................... 2 Figura 8.3. Red con excitación dos igual a cero. ........................................................................... 2 Figura 8.4. Sistema lineal con excitación real. .............................................................................. 5 Figura 8.5. Sistema lineal con excitación imaginaria. ................................................................... 6 Figura 8.6. Sistema lineal con excitación compleja. ..................................................................... 6 Figura 8.7. Excitación exponencial compleja................................................................................ 7 Figura 8.8. Parte real de la respuesta. ............................................................................................ 8 Figura 8.9. Red RLC. .................................................................................................................... 9 Figura 8.10. Red RLC. Excitación coseno. ................................................................................. 11 Figura 8.11. Red RLC Excitación seno. ...................................................................................... 12 Figura 8.12. Red RLC. Excitación compleja............................................................................... 12 Figura 8.13. Red RL en estado estacionario. ............................................................................... 14 Figura 8.14. La corriente es la respuesta. .................................................................................... 14 Figura 8.15. Red con excitación exponencial compleja. ............................................................. 14 Figura 8.16. Red con excitación sinusoidal. ................................................................................ 20 Figura 8.17. Representación gráfica de F ( ). ............................................................................ 22 Figura 8.18. Representación gráfica en t=0. ................................................................................ 23 Figura 8.19. Medición de ángulos. .............................................................................................. 24 Figura 8.20. Representación del fasor. ........................................................................................ 25 Figura 8.21. Fasor de coseno. ...................................................................................................... 26 Figura 8.22. Forma de onda de coseno........................................................................................ 26 Figura 8.23. Fasor de coseno. ...................................................................................................... 27 Figura 8.24. Fasor de cos( t ) . ............................................................................................... 28 Figura 8.25. Forma de onda de cos( t ) . ................................................................................ 28 Figura 8.26. Transformada fasorial de cos( t ) ...................................................................... 29 Figura 8.27. Forma de onda de cos( t ) ................................................................................ 29 Figura 8.28. Transformadas fasoriales de F 1 y F 2. .................................................................. 30 Figura 8.29. Formas de ondas de

F 1 y F 2. ................................................................................. 30

Figura 8.30. Transformadas fasoriales de seno y coseno. ........................................................... 32 Figura 8.31. Formas de ondas de seno y coseno. ........................................................................ 32 Figura 8.32. Transformadas fasoriales de (8.108). ...................................................................... 33 Figura 8.33. Transformación de c y s, basada en (8.111). ........................................................... 34 Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

116


Figura 8.34. Referencia coseno. .................................................................................................. 35 Figura 8.35. Referencia arbitraria. ............................................................................................... 35 Figura 8.36. Red en estado estacionario, en el tiempo. ............................................................... 38 Figura 8.37. Formas de ondas de v(t) e i(t). ................................................................................ 39 Figura 8.38. Transformadas de V e I. .......................................................................................... 39 Figura 8.39. Resistencia en el tiempo. ......................................................................................... 40 Figura 8.40. Formas de ondas de vR e iR ...................................................................................... 40 Figura 8.41. Transformadas de V R e I R , en fase. ...................................................................... 41 Figura 8.42. Variables en inductor lineal. ................................................................................... 41 Figura 8.43. Transformadas en cuadratura. ................................................................................. 42 Figura 8.44. Corriente adelanta en 90° a la tensión. .................................................................... 42 Figura 8.45. Variables en un condensador lineal......................................................................... 43 Figura 8.46. Transformada de I C adelanta en 90° a V C ........................................................... 44 Figura 8.47. Figura 8.48. Figura 8.49. Figura 8.50. Figura 8.51. Figura 8.52. Figura 8.53. Figura 8.54. Figura 8.55. Figura 8.56. Figura 8.57. Figura 8.58. Figura 8.59. Figura 8.60. Figura 8.61. Figura 8.62. Figura 8.63. Figura 8.64. Figura 8.65.

Corriente adelanta en 90° a la tensión. ................................................................... 44 Impedancia en plano complejo............................................................................... 45 Fuente de tensión en plano complejo. .................................................................... 45 Fuente de corriente en plano complejo. ................................................................. 46 Red en el dominio del tiempo. ............................................................................... 46 Red en el plano complejo. ...................................................................................... 46 Corrientes en el tiempo. ......................................................................................... 47 Corrientes en plano complejo................................................................................. 48 Diagrama de red con impedancias. ........................................................................ 48 Potencia instantánea. .............................................................................................. 49 Formas de ondas de v, i y p(t). ............................................................................... 50 Potencias oscilantes................................................................................................ 51 Red con excitación continua. ................................................................................. 53 Excitación continua. ............................................................................................... 53 Red con excitación sinusoidal ................................................................................ 54 Excitación alterna. .................................................................................................. 54 Potencia en plano complejo. .................................................................................. 55 Formas de ondas de v(t) e i(t). ............................................................................... 55 Transformadas de V e I ........................................................................................ 56

Figura 8.66. Figura 8.67. Figura 8.68. Figura 8.69.

Formas de onda con negativo.............................................................................. 57 Transformadas en impedancia con negativo. ...................................................... 57 Potencia aparente. .................................................................................................. 60 Plano complejo P . ................................................................................................. 60

Figura 8.70. Figura 8.71. Figura 8.72. Figura 8.73. Figura 8.74. Figura 8.75. Figura 8.76. Figura 8.77.

Red RC serie. ......................................................................................................... 62 Red RC paralelo. .................................................................................................... 62 Red RL serie........................................................................................................... 63 Red RL paralelo. .................................................................................................... 63 Red RLC serie. ....................................................................................................... 63 Plano complejo de impedancia............................................................................... 64 Plano de impedancia. ............................................................................................. 65 Plano de admitancia. .............................................................................................. 65


27-06-2008


117

Figura 8.78. Tipo de factor de potencia...................................................................................... 66 Figura 8.79. Resistencia en líneas de transmisión. ..................................................................... 66 Figura 8.80. Teorema de máxima potencia transferida. ............................................................. 67 Figura 8.81. Thévenin de la red activa. ...................................................................................... 67 Figura 8.82. Transformadas de v1, v2 y v3. ................................................................................. 69 Figura 8.83. LVK en forma gráfica. ........................................................................................... 70 Figura 8.84. Polígono LVK alternativo. ..................................................................................... 70 Figura 8.85. Polígono LCK. ....................................................................................................... 70 Figura 8.86. Variables en un condensador. ................................................................................ 71 Figura 8.87. Diagrama fasorial para el condensador. ................................................................. 71 Figura 8.88. Red RL. .................................................................................................................. 72 Figura 8.89. Red en plano complejo........................................................................................... 72 Figura 8.90. Inicio del diagrama. ............................................................................................... 72 Figura 8.91. Relación de equilibrio del inductor. ....................................................................... 73 Figura 8.92. Incorporación de LCK. ......................................................................................... 73 Figura 8.93. Incorporación de equilibrio de la resistencia. ........................................................ 73 Figura 8.94. Diagrama fasorial completo. .................................................................................. 73 Figura 8.95. Obtención de relaciones. ........................................................................................ 74 Figura 8.96. Construcción geométrica........................................................................................ 75 Figura 8.97. Red en plano complejo........................................................................................... 75 Figura 8.98. Diagrama fasorial. .................................................................................................. 76 Figura 8.99. Transformaciones de puntos sobre los ejes. ........................................................... 77 Figura 8.100. Transformación de un punto cualquiera. .............................................................. 77 Figura 8.101. Rectas que pasan por el origen. ............................................................................ 78 Figura 8.102. Circunferencia en plano Z. ................................................................................... 78 Figura 8.103. Circunferencia en plano Y. .................................................................................. 79 Figura 8.104. Puntos diametralmente opuestos en Z. ................................................................. 79 Figura 8.105. Puntos diametralmente opuestos en Y. ................................................................ 80 Figura 8.106. Transformación de recta paralela a eje jX............................................................ 80 Figura 8.107. Transformación de recta paralela a eje R. ............................................................ 81 Figura 8.108. Red RC paralelo. .................................................................................................. 81 Figura 8.109. Admitancia con C variable................................................................................... 81 Figura 8.110. Impedancia con C variable................................................................................... 82 Figura 8.111. Red RC con G variable. ....................................................................................... 82 Figura 8.112. Admitancia RC, con G variable. .......................................................................... 82 Figura 8.113. Impedancia RC, con G variable. .......................................................................... 83 Figura 8.114. Red RL serie. ....................................................................................................... 83 Figura 8.115. Impedancia RL, con R variable........................................................................... 83 Figura 8.116. Admitancia RL, con R variable............................................................................ 84 Figura 8.117. L.G. de I con R variable. ...................................................................................... 84 Figura 8.118. Red en estado estacionario. .................................................................................. 84 Figura 8.119. L.G. para C variable. ............................................................................................ 85 Figura 8.120. L.G. de admitancia para C variable. ..................................................................... 85 Figura 8.121. L.G. de impedancia para C variable. .................................................................... 86 Figura 8.122. L.G. de Z para C variable..................................................................................... 86 Figura 8.123. L.G. de Z para C variable..................................................................................... 86 Figura P8.1. ................................................................................................................................. 88 Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

analisis sinusoidal

Recommend Documents