AnAlisis MatemAtico II - HEctor Di Caro

HECTOR A. DI CARO LILIANA B. GALLEGO

ANALISIS II MATEMATICO II CON APLICACIONES A LA ECONOMIA

^ E D ic io n e s m n c e H i B U E N O S A I R E S - B O G O T A - C A R A C A S - M E X IC O , D F

I.S.B.N.: 950-537-479-8 Tod os los derechos reservados Hecho el depósito que marca la ley 11.723 M A C C H I G R U P O E D IT O R S.A. 1999 © by E D IC IO N E S M A C C H I Córdoba 2015 - (1120) T e l. y Fax (5 4 -11) 4961-8355 Alsina 1535/37 - (1088) Tel. (54-11)4375-1195 (líneas rotativas) Fax (54-11)4375-1870 Buenos Aires - Argentina http://www.macchi.com E -M a il:in fo@ macchi.com

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E M P R E S A A D H E R ID A A L A C A M A R A A R G E N T IN A D E L L IB R O

PROLOGO C o m o ocurriera con otras publicaciones, las prim eras ideas que llevarían luego a la con creción de este lib ro surgieron en el añ o 1 9 7 5 , ante un p ed id o que m e fuera form ulado p o r mis alum nos y que m e llevaron en ton ces a la publicación de los prim eros apuntes. Tam bién , c o m o lo h e expresado en otras oportunidades, n o sería honesto com enzar este trabajo, sin expresar mi reco n o cim ien to a quienes m e ofrecieron su confianza y a p o y o o contribuyeron d e una u otra m an era — tal v e z sin saberlo— a que este trabajo se concretara. C re o que al dedicarm e, p o r vocación , exclusivam ente a la docencia, he sido útil al gran ausente, qu e es el alum no, p e ro de lo que n o te n g o la m en or duda, es del a p o y o que m e brindó, sobre to d o en m om en to s difíciles d e mi vida, p o r ello quiero devolverle en p arte, con tnis publicaciones, to d o m i agradecim iento La obra es a p rop iad a para los cursos que se dictan en las Facultades de C iencias E conóm icas y destinada especialm en te a los alum nos qu e en los primeros años de estudio se encuentran desorientados p o r la falta de un texto que responda a los program as exigidos. N o d ig o nada n u evo en este libro, sino qu e h e tratado de v o lc a rla experiencia didáctica adquirida a través de largos años d e enseñar la asignatura en las principales universidades del país. F.l contenido se refiere al estudio de las funciones d e más d e una variable, recordando p reviam en te co n cep to s básicos d e g e o m e tría analítica, en dos y tres dim ensiones fe o particular, estudio d e curvas y superficies, con sus gráficos respectivos) indispensables para la represen tación d e las funciones d e dos variables y que el alum no, en gen eral, n o recuerda o d escon o ce.

PROLOGO

VIH

A n tes de c o m en za r cada capitulo con (os tem as esp ecíficos, les recuerdo el misrno tem a para funciones d e una variable, y antes de finalizarlos, el alumno encontrará p rim ero un cuestionario de repaso — que si lo contesta correctam ente significará qu e está elaboran do el con ten id o del texto—

y en segu ndo lugar,

ejercicios de aplicación , con respuestas, sugerencias y soluciones d e los mismos, al final de la obra. A d em á s d e los ejercicios respectivos específicos, el libro con tien e con todo detalle y para cada tem a las aplicaciones econ óm icas respectivas, d eb ien d o destacar que esta parte, tan im portante, ha estado a ca rg o de la p ro feso ra I.u (a n a G

alleg o .

quien ha a p o rta d o un trabajo valiosísim o. El m ism o servirá, adem ás d e la capacita ción de los alum nos en sus respectivas especialidades, al p erfeccion a m ien to de los docentes en dich os tem as. Si esta obra contribuye en algo a la com pren sión d e los tem as tratados, los autores sentirán qu e sus esfuerzos han estado justificados.

H éctor

A. Di

C aro

Indice

1.

F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R I A B L E S

7

1.1

In tro d u cció n ..............................................................................................

7

1.2

C on cep tos básicos de g e o m e tría a n a lític a ..........................................

8

1 .2.1

Espacio euclídiano u-dim ensional ...........................................

9

1 .2 .2

Sistem a coord en a d o lin e a l........................................................

10

1 .2 .3

Sistem a coord en a d o bidim ensionaí o p la n o ........................

10

1 .2 .4

Sistem a co o rd en a d o tridim ensional o en el e s p a c io

11

1.2.5

Estudio d e gráficas en el p ia n o .............................................

17

1.2.6

Estudio d e curvas en el p la n o o esp acio d e dos d im e n s io n e s ......................................

1.3

Estudio de gráficas en el esp acio ............................................

28

1.2.8

Estudio d e superficies en el e s p a c io ......................................

32

Conjuntos puntuales. Entornos. R e c in to s ...........................................

49

Clasificación de p u n to s ..............................................................

53

1.3.1

2.

18

1.2.7

1.4

F u n cion es...............'....................

54

1.5

Subconjunto de variabilidad....................................................................

62

1.6

R epresentaciones gráficas d e c a m p o s escalares................................

69

1.7

Curvas de n i v e l .........................................................................................

83

1.8

Aplicaciones econ óm ica s del c o n c e p to de curvas d e n i v e l

90

1.9

C uestionario d e r e p a s o ...........................................................................

106

1.10 Ejercicios de a p lic a c ió n ...........................................................................

108

L IM IT E S Y C O N T IN U ID A D

113

2.1

Lím ites para funciones de una v a r ia b le ...............................................

113

2.1.1

117

Función continua en un punto ................................................

INDICE

2

2 .2

Lím ites para funciones d e d os variables in d e p e n d ie n te s ...............

2 .3

Lím ite d ob le o s im u ltá n e o ....................................................................

121

2 .4

Lím ites sucesivos o re ite ra d o s ..............................................................

125

2 .5

Lím ites r a d ia le s .......................................................................................

128

6

P rop ied a d es de los lím ite s ..................................................................... 135

2 .7

D efin ición d e C o n tin u id a d ..................................................................... 136

2 .8

P ro p ied a d es d e las funciones c o n tin u a s ..............................................

137

2 .9

2

3.

120

C u estion ario d e r e p a s o ..........................................................................

141

2 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ..........................................................................

142

D E R IV A D A S

147

3 .1

D erivada p ara fu n cion es d e una v a ria b le ...........................................

147

3 .2

D erivadas p a rcia les..................................................................................

149

3 .3

In terpretación g e o m é t r ic a .....................................................................

150

3 .4

Función derivada, cálculo d e derivadas parciales d e p rim er orden aplican do la d e fin ic ió n ............................................................................

151

3 .5

Cálculo d irecto d e derivadas p a r c ia le s ................................................ 154

3 .6

D erivadas parciales d e ord en s u p e r io r ...............................................

3 .7

3 .8

A p lica cio n es econ óm icas: fu nciones m argin ales y elasticidades....

169

3 .7 .1

Estudio d e la función p r o d u c c ió n ............................................

175

3 .7 .2

E je r c ic io s ......................................................................................

179

3 .7 .3

Estudio d e la función d e m a n d a ................................................

181

3 .7 .4

E lasticid ad .....................................................................................

186

3 .7 .5

Ejercicios ......................................................................................

104

T e o r e m a d el valor m e d i o ......................................................................

195

A p lica cio n es e c o n ó m ic a s .........................................................

198

C u estion ario d e r e p a s o ..........................................................................

201

3 .8 .1 3 .9

163

3 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ........................................................................... 202

4.

D IF E R E N C IA L

4 .1

209

In tro d u c c ió n .............................................................................................

209

4 .2

Funciones diferenciabíes. D iferen cia t o t a l .........................................

215

4 .3

S ign ificad o g e o m é tric o d e la d ife re n c ia l.............................................

216

4 .4

R ecta norm al a una s u p e r fic ie .............................................................. 218

4 .5

C álcu lo ap lican d o d ife re n c ia le s ............................................................. 219

3

INDICE

4 .6

5.

A p licacion es econ óm ica s del co n c e p to de diferencia t o t a l

226

4.6.1

Sustitución de factores en la p ro d u c c ió n .......................

226

4 .6 .2

Sustitución de b ien es en la función u tilidad..................

228

4 .7

D iferenciales su cesivas............................................................................

233

4 .8

C u estionario d e r e p a s o .........................................................................

235

4 .9

Ejercicios d e a p lic a c ió n .......................................................................... 235

F U N C IO N E S C O M P U E S T A S , IM P L IC IT A S Y H O M O G E N E A S

239

5 .1

Funciones c o m p u esta s...........................................................................

239

5 .2

Derivadas d e funciones c o m p u e s ta s ...................................................

242

5 .2 .1

D erivadas d e funciones com puestas de una variable in d e p e n d ie n te ............................................................................... 242

5 .2 .2

D erivadas de funciones com puestas de varias variables in d e p e n d ie n te s ............................................................................

5 .2 .3

246

O tro s ejercicios de a p lic a c ió n ................................................... 247

5 .3

Funciones im p líc ita s ...............................................................................

253

5 .4

Derivada d e funciones im p lícita s........................................................

255

5.4.1

E jem plos d e funciones econ óm ica s definidas en form a im p líc ita ......................................................................................... 2 5 9

5 .5

Ecuación del p la n o tangente cuando la su perficie está expresada en form a im p líc ita .................................................................................... 262

5 .6

Funciones h o m o g é n e a s .........................................................................

5 .7

T e o re m a de E u le r ................................................................................... 267

5 .8

5 .9

Funciones e c o n ó m ica s h o m o g é n e a s .................................................. 5 .8 .1

Funciones d e utilidad h o m o g é n e a s ...............................

269

5 .8 .2

Funciones d e produ cción h o m o g é n e a s .........................

272

C uestionario de r e p a s o ..........................................................................

264

269

278

5 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ........................................................................... 279

6.

F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C L A U R IN P A R A F U N C IO N E S D E D O S V A R IA B L E S

285

6.1

Introducción .............................................................................................

285

6 .2

Fórmula d e T a y lo r y M a c Laurin para funciones d e una variable .. 287

6 .3

Fórmulas d e T a y lo r y M ac Laurin para funciones d e d os variables..

6 .4

291

A plicacion es e c o n ó m ica s d e la fórm ula de T a y lo r y M ac Laurin para funciones d e d os v a r ia b le s

................................................

306

4

7.

INDICE

6 .5

C u estionario d e r e p a s o ........................................................................

6 .6

Ejercicios d e a p lic a c ió n ......................................................................... 3 1 0

EXTREM O S

313

7.1

In tro d u c c ió n ............................................................................................ 313

7 .2

E xtrem os para funciones de una va ria b le...........................................

7 .3

E xtrem os para funciones de dos variab les .......................................... 317

7 .4

7 .5

A plicacion es e c o n ó m ic a s ..................................................................... 7 .4 .1

Discrim inación d e p r e c io s .......................................................

7 .4 .2

Prob lem a d e una em presa de producción m ú ltip le

Extrem os c o n d ic io n a d o s ...................................................................... 7 .5 .1

7 .6

314

337 337 341 343

M éto d o d e L a g r a n g e ................................................................ 3 4 4

A p lica cion es econ óm icas de extrem os ligados o vin c u la d o s

355

7 .6 .1

C om binación de costo m ínim o con nivel de producción fijo

7 .6 .2

M axim ización del producto con co sto f i j o ............................ 3 5 8

7 .6 .3

355

M axim ización del ben eficio para un nivel d e ven tas d a d o .. 361

7 .6 .4

M axim ¡ 2ación d e la utilidad con renta f i j a ............................ 362

7 .6 .5

M inim ización d e los gastos del consum idor con utilidad fija . 366

7 .6 .6

M axim ización del ingreso en producción conjunta con una cantidad d e Insumo f i j o ............................................................

8.

310

368

7 .7

C uestionario de r e p a s o .........................................................................

372

7 .8

Ejercicios de a p lic a c ió n .....................................................

372

IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : IN T E G R A L E S D O B L E S

379

8.1

Introducción ............................................................................................ 379

8 .2

Integral d e fin id a .....................................................................................

380

8 .2 .1

P rop ied a d es de la integral definida .......................................

382

8 .2 .2

T e o re m a del valor m ed io del cálculo in te g r a l...................... 383

8 .2 .3

L a función área c o m o función p rim itiv a ............................... 383

8 .2 .4

Cálculo d e la integral definida m ediante la p r im itiv a

8 .2 .5

Integrales con límites in fin ito s ................................................

384 385

8 .3

A plicacion es d e la integral d e fin id a .................................................... 386

8 .4

Integrales ite r a d a s .................................................................................. 400

8 .5

Integrales d o b le s ....................................................................................

404

8 .5 .1

Interpretación g e o m é tr ic a ........................................................ 407

8 .5 .2

P rop ied ad es d e la integral d o b le ............................................. 409

8 .5 .3

R educción de la integral doble a integrales ite r a d a s

410

5

INDICE

9.

8 .6

Aplicacion es de las integrales d o b le s ..................................................

411

8 .7

Cuestionario de r e p a s o ..........................................................................

425

8 .8

Ejercicios de a p lic a c ió n ..........................................................................

426

IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : C A M B IO D E V A R IA B L E S

429

9.1

In tro d u cció n .............................................................................................

429

9 .2

C am bio de variables en las integrales d o b le s ....................................

432

9 3

Integrales trip le s ....................................................................................... 4 3 7 9.3 .1

P rop ied ad es de las Integrales trip le s .......................................

441

9 .4

Reducción de integrales triples a integrales ite ra d a s .....................

9 .5

A plicacion es de las integrales trip le s .................................................... 4 4 3

442

9 .6

C am bio de variables en las integrales m ú ltiples.................................

9 .7

Cuestionario d e r e p a s o ........................................................................... 4 5 2

9 .8

Ejercicios d e a p lic a c ió n ..........................................................................

450

452

1 0 . E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E P R IM E R ORDEN

455

10.1 In tro d u cció n .............................................................................................

455

1 0.2 Ecuaciones diferenciales. D efin icion es y fu n d a m en tos..................... 4 5 6 10.2.1 Existencia y unicidad d e s o lu c io n e s ....................................... 1 0.3 Ecuaciones diferenciales de p rim er o r d e n ..................................... 10.3.1

459 462

Ecuaciones diferenciales con variables s e p a ra b le s

462

1 0.3.2 Ecuaciones h o m o g é n e a s .........................................................

473

1 0.3.3 Ecuaciones diferenciales lin e a le s ........................................... 1 0 .3 .4 Ecuación de B ern o u lli..............................................................

478 487

1 0 .3 .5 Ecuaciones diferenciales e x a c ta s ...........................................

489

1 0.4 Cuestionario d e r e p a s o ........................................................................... 4 9 4 1 0.5 Ejercicios d e a p lic a c ió n ........................................................................... 4 9 4

1 1 . E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E SEGUNDO O RD EN

11.1 Introducción. T e o re m a d e e x is te n c ia ...................................................

501

501

11.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducidles a ecuaciones d e prim er o r d e n .......................................................................................

502

11.2.1

502

Ecuaciones d on d e falta la variable d e p e n d ie n te ................

1 1 .2 .2 Ecuaciones en las que falta la variable in d e p e n d ie n te

504

INDICE

6 1 1 .3

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficien tes c o n s ta n te s .......................................................................................... 505

1 1 4 Ecuaciones diferenciales lineales h om o gén ea s de segundo orden con coeficien tes co n s ta n te s .................................................................. 506 1 1.5 Ecuaciones diferenciales lineales n o h om ogén eas (com pletas) de

A.

segundo orden con coeficien tes con stan tes......................................

514

1 1.6 C uestionario de r e p a s o .........................................................................

523

1 1.7 Ejercicios de a p lic a c ió n ........................................................................

524

R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S A L O S E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S

527

A. 1

C apitu lo

1 ............................................................................................

527

A .2

C apítu lo

2 ............................................................................................ 536

A .3

C apítu lo

3 ............................................................................................

A .4

Capítulo

4 ............................................................................................ 545

A .5

Capítulo

5 ...........................................................................................

.6

Capítulo

6

A .7

Capítulo

7 ............................................................................................

548

.8

Capítulo

8

549

A .9

Capitulo

A A

541 546

............................................................................................ 548 ............................................................................................

9 ............................................................................................

550

A . 10 Capítulo 1 0 ...............................................................................................

551

A . 11 C apitu lo 11 ...............................................................................................

555

B IB L IO G R A F IA

557

C a p ítu lo 1

F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LES 1.1

In t r o d u c c ió n E l conocimiento del cálenlo infinitesimal os requisito previo indis

pensable para acometer el estudio de casi cualquier rama ele la matemá tica superior John Yon Neumann, uno do los matemáticos más n otab le de este siglo en su obra “ The M ath en m h cia rí’ ha escrito: *'E1 c á lc u lo h a s id o el p r im e r lo g r o d e la m a te m á tic a m o d e r n a y r e s u lta d ifíc il e x a g e r a r su im p o rta n c ia . C r e o q u e d e fin e d o fo r m a m ás in e q u ív o c a q u e cu alqu ier o t r a c o sa el c o m ie n z o d e la m a te m á tic a a ctu a l; el a n á lis is m a te m á tic o , q u e es su d e s a r r o llo ló g ic o , cons t it u y e t o d a v ía e l m á x im o a v a n c e té c n ic o r e a liz a d o en e l c a m in o d e l p e n s a m ie n to r ig u r o s o " L a mayoría de las cuestiones teóricas del cálculo infinitesimal pueden expresarse cu términos geométricos, de modo que el cfílenle y la (¡Cómairia constituyen una unidad cuyo estudio es indispensable. E l estudio de 1¿ls funciones entre números variables

limitó en

el curso de Análisis M atem ático I, al caso de una variable independiente: explíci t.ámente V -■ f ( x )

'1-1]

o, en form a im plícita F (* ,í, ) «

0

' 1 .2 ;

Am pliarem os esta 1i mi f ación definiendo funciones entre unías variables. P o r simplicidad nos referiremos ai caso de dos variables indo-

8

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

pondLccUcs (se ttat.au ow L.4): explícitamente - =

(1.3)

y)

o, en form a implícita

(1.4) Sin embargo, haremos la generalización correspondiente en aqnoj)o
1.2

C o n c e p to s básicos de g e o m etría analítica

E sp a c io s ™chicos Todo conjunto no vacío de elementes llamados punios, entre los cuales se ha definido la función distancia, constituye un espacio ruélvic/i. D istaocm de. un punto X a otro Y es un número ic a i uu ne gativo, que denota*omos con |X — Y\ y que goza de las siguientes proptodades: bY - Y\ = 0

(1.5)

X r

i x - v í + í x ■ z\ > ¡ y - z\ L a d is ta n c ia d e X a

Y os la m is m a q u e d e Y

a X , e s d e c ir , só lo d e p e n d e

d o l p a r d o p u n t o s y n o d o s u o rd e n , luego: \ X -Y \ = \ Y -X \

(1.7)

9

1.2 Conceptos b á sico s de geometría analítica

1.2. t

Espacio aw'li&iunn rt-riimeTisioncl Se. llama n-upla a una sucesión de n números.

Si con R n in

dinamos el conjunto de todo* los puntos de un espacio i\■dimensional, con í renuencia resultará conveniente representar un punto de R * por una sola letra tal como X. O sea llamamos pim ío X en este espacio a i.oda n-upla ordenada de números reales X = {X i,X 2, . . . ..Tn) Dos n-uplas ordenadas X -

(r.u x 2.. . • • ,3 * )

y

y =* (y) ./;/■>,... ; yn)

coinciden si y sólo si

*1

= V i; -T*» = ]Í2\ ■• • ; S-n - Vn

(1.8)

Se llama distancia en el i di ana entre dos puntos X = ( x \, X'2 , . . . ; x n) núincro real \y - X| = |

=

. yn) o simplemente distancia, al

- i t f ~ + fe:. - X»)1 +

. -TlVn - x n)*\

(U ))

El espacio asi definido se llam a espo o o cudtdinno n- d?traer** siono}. Puede demostrarse que este espacio es un espado métrico

La

expresión anterior de distaría a coincido para ti = 2 y n — 3 con la que (v¡ obtiene para la distancia cuclidiana entre dos puntos en el plano ( R 2) y en el espacio ( R 3) respectivamente (ver expresiones (1.11) y (1.12)) mediante aplicación del teorema de Pitágoras. Así como desistíamos un punto do. un espacio de n-dimensiones por una 7i-ado ordenado. o u-npla de números i cales, para designar uri punto de un espacio de dos dimensiones ( R 2) emplearemos un por ordonodo o dupla de números reales (a*, y) (donde x es la primera componente c* y os la segunda componente) y para designar un punto de un espacio de tras dimensiones ( R 3) emplearemos una leiam. orden ado de mi meros reales. Consideremos los distintos sistemas de coordenadas*

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

10

1.2.2

Sistema coordenado lineal

Sabemos qne lo» números reales pueden representarse gráficamente p o r los puntos de una línea recta.

A I

-2

-|/2 - L

. I

7/3 B l

P

.............................................................................................................................

- 1 0

1

2

3

4

x

F ig u r a 1 En el esquema (figura 1) al establecerse una correspondencia biunívoca entre puntos de un recta y los números reales se obtiene un sistemo, coordenado y en este caso com o todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llam a coordenado lineal o sistema unidimen sion a l El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se indica P ( x ) .

Análogamente: A (-2); B (3 ); etc.

La

distancia entre dos puntos A (a ) y B (b ) se denota con |AB| y es igual a la expresión : \ A B \ ~ \ b -a \

(1.10)

En el ejemplo |3B| = | 3 - ( - 2 ) | = 5 1.2.3

Sistema coordenado bidim.ensional o plano

E l sistem a anterior no nos perm ite representar puntos de un plano, para ello cuusiduramos el esquema (figura 2 )

1.2 C onceptos b á sicos de geometría analítica

11

donde a cada punto corresponde un pm ordenado, (primeva componente: abeisa; segunda componente: ordenada) de coordenadas y cada par or denado de numeras se identifica con un punto, llam ado gráfica del par ordenado. Éste sisterna rectangular de coordenados en el plano establece una correspondencia biunívoea entre cada punto del plano y un par or denado de números reales. Si como en la figura 2 un punto P en el plano tiene coordenadas (a, 6), indicamos este hecho escribiendo P (a , 6); en la misma figura con sideramos el punto Q (4,-1). Dados dos puntos P\ (íó , y\) y (x -¿, ) corno se ve en la figura 3, aplicando el teorema de Pitágoras, la distancia entre dichos puntas puede cal culiarse por medio de la siguiente fórmula: l ^ i ^ l “ y / fa - * i

1.2.4

)2 +

(V2 * V i)2

( 1 -1 1 )

Sistema coordenado triá im en jiorw ! o en el espacio Los sistemas anteriores no nos perm iten representar puntos del

espacio, para ello utilizaremos el sistema de coordenadas rectangulares en el espacio que consiste

12


Figura 4

(figura 4 ) cu referir cada punto a tres píanos mutuamente perpendicu lares que se cortan en el punto 0 , origen del sistema (pues para localizar un punto en el espacio necesitamos otra dimensión, que denominaremos Z o eje de cotas, además de las dos dimensiones del sistema coordenado plajio, llamados X c Y . Estos tres planos (coordenados) se cortan por pares, determinando tres ejes coordenados, uno vertical (el Z ) y dos horizontales ( X e Y ). En la práctica es suficiente trazar los ejes coordenados, como en la figura 5. E l eje X so lia trazado formando un ángulo de 135° con c\ *je Y , pero representa una recta perpendicular al plano Y Z , que es el plano de la página.

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

13

P ara medir distancias sobre los ejes Y y 7 n nn form a paralela a )u»s mismos se utiliza la eseaJa com pleta mientras qnc las distancias medi das a lo largo del eje X paralelamente al mismo se acortan, generalmente hasta alrededor de siete décimas (y/2¡2) de la escala com pleta. E sta dis minución en la escala do representación sobre el eje X paralelamente a él se realiza para aumentar el efecto de profundidad en la perspectiva.

D ado un punto P cualquiera del espacio determinamos su posi ción haciendo pasar por P planos paralelas a los coordenados, que cortan a los ejes X , Y y Z en los puntos A , B y C respectivamente (figura

6 ).

14

C ap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

¿, ■i gura

6

c

/ z

o

y

B

/ Estos planos, junto con los coordenados forman un paralelepípedo re d orectainrular. Las distancias de P a las planos coordenados están dadas por las longitudes O A . O B y O C , números reales que llamamos respectiva m ente x, y, 7. y que constituyen las coordenadas de P ;la s indicamos por P (x < 2/, -)■ Observamos que un sistemo, de coordenadas rectangulares en el espacio establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del espacio y una terna ordenada de numeras reales. E \ jercirio l t Indicar las coordenadas do Ion puntos A , B. C, D. O y P de la figura 6 . Solución. Las coordenadas pedidas son: A (x,0 .0 ); B(0,v.0); C(O,0,z); D (x.y,0)j 0 (0 ,0 ,0 ) y P (x,y,z). E je r c ic io 2: Trazar los puntos

—i ) y

—3,4).

Solución. C om o se indica en la figura 7, para trazar el punto P>. asig namos a x y a y los valores 3 y 4 respectivamente, obteniendo el punto D sobre el plano horizontal X Y . P o r dicho punto y perpendicular al plano horizontal X Y . P o r dicho punto y perpendicular al plano mencionado, llevam os el valor —i . obteniendo P\.


15

Análogamente, para trazar P 2 los valores —2 y —3 determinan E. P o r éste, perpendicular al plano horizontal llevamos 4 *mi dad es. obte niendo p 2 Dados dos puntos P \ {x \ ,y \, zx) y P¿(x-¿,y 2 > S) para hallar la distancia entre ios mismos

del espacio (figura

construimos un paralelepípedo cuyas caras sean paralelas a los planos coordenados y en el que los puntos P\ y P 2 sean vértices opuestos A (x-¿1y i, Z j) y B ( x 2 ,U 2 >z\)

eligen com o en la figura, resulta

¡P,.4| = \x2 - X i i ; \AB\ = \y2 — y il; \BP¿\ = |r2 - z-¡\;

Si

16


A E l triángulo P i A B tiene un ángulo recto en A y el triángulo A P i B P i uu ángulo recto en B. P o r lo t.tinto

\P7 a \2 + |A B \ 2 = I K s l 2; l ^ s f + \ m \ 2 = p y ^ l 2;

0 \T \R

\ 2

sea = *

|7 \ A

|2

+

\ m

\ 2

=

( * J

-

X i)

3

+

( j f t

—

V i)

2

+

( i s

-

Luego la fórmula de la distancia pedida es \ p j\ f =

- * i )2 +

(!/2 -

!/iT2 + t e -

*1 j*

( 1 .12 )

L u g a r g e o m é t r ic o o c o n ju n to d e p u n tos: Hemos insto que existe una correspondencia biimívoca entre los puntos del plano (o del espacio de tres dimensiones) y los pares ordenados de ni uñeros reales (las ternas ordenadas de números reales), llamados co ordenadas del punto. Nos interesa encontrar ahora una correspondencia similar, entre elementos geométricos como curvas del plano o superficies del espacio, y elementos algebraicos com o ecuaciones en dos y tres variables respectivamente. Llamamos iugar^geom.éfjico o con ju n to de puntos a todos los puntos del plano (o del espacio) que verifiquen una o varias propiedades geométricas y sólo a ellos. O sea, si un punto del plano (o del espacio) no verifica dichas propiedades no pertenece al conjunto de puntos. Para indicar que “C es d conjunto de puntos del plano de coor denadas x ,y que cumplen cierta propiedad p" escribimos C = { P ( x , 2/) tales que cumplen p }. Análogamente, en R ? la notación es C = { P { x , y , z ) t.aies que cumplen p } indica que “ C es el conjunto de puntos del espacio de coor denadas x, y, z que cumplen la propiedad p” A continuación desarrollaremos el concepto de curva en el plano com o un subconjunto de puntos dei plano y también obtendremos los conceptos de curva alabeada y superficie com o subconj untos de puntos del espacio.

1.2 C onceptos b á sico s úe geometría analítica

1.2.5

17

Estudio de gr áficos en el plano

Un conjunto de pares ordenados tiene una gráfica que consiste en el conjunto formado por las gráficas de los pares ordenados individúalas. E je r c ic io 3

IV azar la gráfica del conjunto {(x,t/ )/ 0 < r < 4; 1 < y < 3} Solución. La gráfica la coastituye el rectángulo sombreado (figtira 0).

Si se tiene una ecuación (o inecuación) en dos variables x e y, es decir F ( x , y ) = 0 o F ( x , y ) < 0, se dice que el par (a , fe) es solución de la misma si al reemplazar x por a e y por b la ecuación (o inecuación) resulta -verdadera. P o r ejemplo, (3,4) es una solución de la ecuación x ¿ + y ¿ = 25 puesto que 3” + 4 2 = 25 es una ecuación verdadera. En cambio (2,1) no os una solución puesto que la ecuación 22 4- \¿ = 25 es falsa. E l conjunto S de todas las soluciones de una ecuación en dos variables es llamado conjunto solución o gráfica de la ecuación. Dado un conjunte? S de puntos en el plano coordenado se de nomina uecnación do S” a la expresión — 0 , ta l que el conjunto de todas las soluciones de esta ecuación constituye el conjunto S.

18

1.2.6


Estudio de cuinos en elpln.no o espacio de dos dimensiones. Conviene recordar las siguientes gráficas en el plano .representadas

por: 1). Ecuaciones de p rim e r grado: Lo. Recta. L a ecuación general de la recta es A x H- B y 4- C = 0

(1.13)

con A , B y C constantes cualesquiera, siempre que A y B no sean si multáneamente nulas. L a form a sim étrica es (ver figura 10), con p y q distintos de cero

(1.14) Siendo p el valor de a b a sa donde la recta corta al eje x y q el valor de ordenada correspondiente a la intersección con el eje y.

L a form a explícita es y = mx + q

(1.15)

siendo m la pendiente (recordar que m = tg
19


Com o caso particular, si q *= 0, la ecuación es y = 77?,T (la recta pasa por el origen de coordenadas)(figura

(1.16)

1 1 ).

L a ecuación de la recta que pasa por un punto P i ( i y . y-.) y tiene pendiente m, es V -V \= m (x -x i)

11.17)

Variando la pendiente, la anterior es la ecuación del haz de rectas (figura

12 )

que pasa por P*.

D ado un punto perteneciente a un plano, el conjunto de todas las rectas incluidas en ese plano que pasan por el ¡junto se denominan haz de rectas que pasan por dicho punto, en consecuencia su ecuación responde a la expresión (1.17) donde la pendiente m es variable. Y

X

O F igu ra 12

20

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

O tros casos particulares rasult.an cuando en (1.13), una o más constantes son nulas. A sí, si C = 0, la recta pasa por el origen. Si A — 0, resulta, reemplazando C V = ~

B

o sea, y = e tc, que podemos indicar V= k

(1.18)

la recta es horizontal, es decir paralela al eje X (figura 13).

Y

y = k

r

k X

0 Figura 13

Además, si A = C = 0, resulta k = 0, o sea

í/ = 0

(1.19)

que es la ecuación del eje X. Análogamente, si B = 0, la recta es vertical, es decir ( 1 .20) es la ecuación de la recta paralela al eje Y (figura 14)

21

1 2 Conceptos b á sico s de geometría analítica

Y

r h

0

X

Figura 14 Si B = C = O, resulta h = 0, o sea x = 0

( 1 .2 1 )

que es la ecuación del eje Y . 2)

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado en dos variables se pueden escribir en la form a general A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y -+ F = 0

(1 2 2 )

en donde todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los tres primeros,distintas de cero. Las valores relativos de los coeficientes determinan el tip o de curva representada por la ecuación. Las más uti lizadas en nuestro estudio son las cónicas: a) L a circunferencia. Una circunferencia es el lugar de los puntos de un plano situados a una distancia dada r (radio) de un punto fijo C (centro). Designando por P { x , y ) un punto cualquiera de la curva (figura 15), es \CP\ = r , o sea, según (1.11) y / {x -h y + ( y - k y = r

(1.23)

(.x - h Y + (y - k f = r 2

(1.24)

o bien

22

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R ÍA S V A R IA B L E S

qu e es la ecuación, en Coima ordinaria, do \a circunferencia de centro C (k , k ) y radio r.

P (x .y ) Figura 15

O

Si el cent ro coincide con el origen (figura 16) >por ser h = k = 0, se reduce a x 2 + y2 = r 2 ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Desarrollando (1.24) obtenemos la form a general de la ecuación x ¿ H- y2 H- D x + E y + F = 0 O sea, si (1.22) representa una circunferencia A = C y B = 0.

(1.25)

23


E je r c ic io 4: ¿Cuál es el lugar de los puntos P ( x , y ) cuyas coordenadas satis facen la inecuación (x - h )2 + (y - k )2 < r 2? Solución: Com o el primer m iem bro de esta inecuación os el cuadrado de la distancia \CP\ entre el punto (h , k ) y cualquier punto ( x tf/); entonces la expresión establece que la distancia \CP\ debe ser menor que el valor r; es decir que dicha ecuación se satisface para todos los puntos cuya distancia al punto (h ,k ) sea menor que r. (|CP| < r ). Dichas puntos pertenecen al círculo de centro (h^k) y radio r excepto las que pertenecen a la circunferencia borde (por ello represen tam os en línea punteada la curva borde o frontera).

Y

^

\

/P /

I

\ /

\

\

/

Figura 17

N O T A : Si la inecuación es: (x — h)~ + (y — k )2 < r 2 su gráfica corresponde a to d o el círculo de centro en (h , k ) y radio r incluida la circunferencía borde. b)

Lo. pm'ííbola. Una parábola es el lugar de los puntos del plano

que equidistan de un punto F , llam ado foco y de una recta denominada directriz ambos incluidos en el mismo plano. Entonces designado por P ( x ty ) un punto cualquiera de la curva (figura 18), debe cumplirse |FP| = |FA|*

24


P o r la fórm ula de la distancia (1.11)

y '1 7 ^ 1 =

1^

+

11

Igualando estas dos expresiones, elevando al cuadrado y simplificando, resulta y1 =

2 px

( 1 .20)

que es l a ecuación de l a parábola de vértice en el origen y eje X L a ecuación general de la parábola cuyo eje es par al et o (o coincide con) el eje X es de i a forma y2 + D x -f- E y + F = 0

(1.27j

O seaf si la expresión ( 1 .22 ) representa una parábola como la mencionada, entonces A — f í = 0. Análogamente,

si el vértice está en el origen y su eje coincide

con el eje Y (figura 19), la ecuación de la parábola es


25

c) L a elipse. Una elipse es el lugar geom étrico de los puntos P [ x , y ) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F j y llamados focos, es constante.

(figura

Si designamos p o r (2 a ) a la suma |F 1 (P| + \P¿P\ de las distancias entonces las coordenadas de P deben satisfacer la ecuación

20 ),

Z ( x + c ) - + T ,2 + ^ { x - c f + y2 = 2 a

(1.29)

Para simplificar esta expresión, transponemos el segundo radical al segundo miembro de la ecuación, elevamos al cuadrado y reducimos términos semejantes (1.30)

26


Volviendo a elevar al cuadrado y simplificando, se obtiene

a2

o } - c2

P u e r to qu e la sum a |/*\P| H-

¿N

= 1

\£'¿P\ — '2<> ______

(1.31)

d e dos lados del

n

tr iá n g u l o F 3 F e s m a y o r q u e oí t.c ie e r la d o |F , F j = 2 o. resulto. 2 > 2 c, en c o n s e c u e n c ia 4a- > Acr => a 2 > c2 =? ci¿ -- c~ > O E n to n c e s «al se r

a - — c2 p o s itiv o , n a r n o s ‘b ’ o sea:

s u r a íz c u a d r a d a e s ro a l y p o d f b a .

b ¡= \ / b 2 — c 2

taloi* q u e d e n o m i

Reemplazando en (1.31) obtenemos

quo oh la ecuación canónica de la elipse (con centro en ni origen y ejes coi ncirlont.es con los ejes en ordenados), donde o y b son los semiejes mayor y m eh or respectivamente (ver figura

20 ).

L a ecuación general de la elipse cor. ejes paralelos a les coorde nados es A ? - -f C y L + D x + E y + F = 0

(1.33)

con )«i condición do que si <*r Ja expresión (1.22) j(presenta una elipse corno la m encionarla,A y C deben tener el mismo signo v B — 0 .

dj La hipérbola tin a hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(:r,?y) cuya diícrcncia do distancias a dos puntos fijos P\ y P¿ (fo co s ) os constante

Si la constante es igual a 2a (ver figura 21) se tiene la condición

v / U - c V + J V 2 - - f í x + c y + If- =

2a


v

bisum

27

21

x

a Siguiendo un razonamiento análogo al efectuado en la elipse, •*> obtiene

Esta expresión parece exactamente igual que la obtenida pava la elipse, pero ahora a 2 — c2 es negativo, ya que la diferencia de los dos lados del triángulo fq F-¿P es menor que el tercero: 2u < 2c. Así. en este caso, c2 — ar es positivo y su raíz cuadrarla real y positiva la dosignarc(1.34) obtenemos

que es la ecuación canónica de la hipérbola, donde a v b son los ejes transverso y conjugado, respectivamente (ver figura 2 1 ). I.a ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los coordenados es A r

4- C y 2 *h D x

4* E y 4* F = 0

(1.3b)

con la condicióu de que si la expresión ( 1 .22 ) representa una hipérbola com o la m en cion ada^ Y C deben tener signos opuestos y B — 0. Com o caso particular, si a = b, la hipérbola se llama hipérbola equilátera y la ecuación (1.36) tom a la form a más sencilla ícon eje transverso coincidcntc con el eje X ) (1.37;

28

/


2 .7

Estucho do gráficos e n el espacio

Repasaremos las principales gráficas y las ecuaciones respectivas on el espacio, haciendo algunas consideraciones previas. Angulos y cosenos directores.

Si consideramos dos recias no

copian ares decimos que se cruzau. LI ai riamos ángulo de dos rectas que se cruzan al formado por otras dos rectas cualesquiera que se cortan, de m odo tal que estas últimas rectas tienen el mismo sentido y son paralelas a las anteriores. L a dirección de una recta cualquiera r en el espacio {ver figura

22 )

se determina por los ángulos que form a con los ejes coordenados.

Si r 110 pasa por el ongen, trazamos r ’ por O, paralela a r y del mismo sentirlo. Los ángulos a. fi v 7 formados por r ’ v las partes positivas de X , Y y Z se llaman ángulos duve lores de la recta dirigida r.

En lugar cío dichos ángulos, con frecuencia emplearemos los cosenos de los mismos. Estos cosenos (c o s (a ), cos(.tf), cos(*,)) se llaman t co s e ros directores de r. Si de la recta conocemos dos puntos P i(x 1 . ¿n, ~i) y P ¿ (x 2, y¿, z-¿) y hacemos pasar por ellas planos paralelos a los coordenados (ver figura 23) estos planos forman un paralelepípedo recto rectangular que tiene a P\ P¿ por diagonal y a ¡\ V\, P\ Vi y P\ por aristas.

29


Teniendo en cuenta que í ’iV'i = A iA ? — x ¿ — x-i

~P\ V'i — B \ B 2

=

= i/:» -

Vi

= Z. - Z:

resultan de los triángulos

F ig u r a 2 3 a )

que c o s e •=

x2S\P2

(1.38; (1.39)


30

eos 7 = ^

# r\ l 2

(1-40)

re spect. ivamenl c . Números directores. Si consideramos números que sean propor cionales a los cosenos directores, reciben el nombre de números direc tores. Una recta dirigida tiene un número infinito de numeras direc tores. pero solamente tiene un conjunto de cosenos directores. Si a. b y c son números directores de una recta, los indicaremos [a, b, r] debiendo cumplirse que

cosa

b eos/?

C eos 7

(1.41)

Si en (1.88) multiplicamos las cosenos directores por PiP-¿ ve mos que una terna de números directores de la recta que pasa por P : t e i , yi , - i ) y

, y-¿, z2) es [x 2 - x t i y2 -

2/1,22

Angulo form ado p o r dos rectos. ríe pcrpendiculo.ri.dnd. Dadas dos rectas

77

- îl

(1.42)

C ondiciones de paraleh.sm.0 y

y r 2 cuyos ángulos directores son a 1? /3|,

7i

y c\¿, 0 2 > 72 respectivamente y considerando un punto cualquiera de i ' i . para hallar el ángulo 0 que las mismas forman (fig 24) proyectamos sobre r 2 la poligonal O R Q P ) , así como su resultante O P j, obteniendo QP\ eos 0 — O R c v s c t 2 -b R Q eos 02 + Q P i eos 71 pero ( j R = O P ¡ cü sa L R Q — OP\ eos 0i Q T \ = O P ¡ c os7 X

31


reemplazando, resulta

O P \ eos 9 = O P \ eos a i eos

-f

ü f \ e o s ¡3i c o s / b •¥ O P \ e o s -; eos

o sea eos 9

=2 eos a i

eos a¿ + eos fi\ eos &¿ + e o s l eos --2

(1 -43J

Si, como caso parí icular, las rectas son paralelas v están dirigidas en el mismo sentido, sus correspondientes ángulos directores síin iguales. Entonces eos a i ^ c o sa * eos 0 ! = eos 1% eos 7 j = cos->* luego cIj

jh

£i_

bn

C2

(1 44!

siendo (1.44) la comb a ón de pomlelis7no de dos •nieta.s. En cambio, si son perpendiculares, 9 = 90" por Jo tanto eos'? = 0. Según (1.43) eos e¡i eos 02 + eos (3i eos 02 + eos -)\ eos y¿ = 0 luego fi) a2 +

¿162

+ cxc2 = 0

que es la condición de perpendicularidad de dos redas.

(1-45)

32

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA D L E S

cS'

I&tiid ?o de sapcí/t'ac.s o * e i e sp a c io

77/ p/er?o Vim os que en geometría analítica del plano, considerando un per do ejes coordenados, podernos hacer corrresponder o cada ecuación c v dos va nebíes F (x .y )-^ 0

(1.46)

?/ = / ( * )

(1.-17)

o en fo n na explícita

una lín m plan o que constituye la gráfica de aquella ecuación. También vim os que. recíprocamente, considerada una línea plana definida geomé trica monto, so puedo encontrar una ecuación, (1 4fi} o (1.47). veiiíioada solamente por las coordenadas de todos los pumos do la línea. Análogamente, en geometría analítica de) espacio, dada una ¿cuaoóv- en tres m m i f o

n ^ v,

2)

* o

(1.48)

o, en form a explícita z = C (T -,y )

(1.49)

<4 l u g a r

g e o m é tric o d e to d o s lo s p u n t o s y s o la m e n te d e lo s p u n to s , c u y a s c o o r d e n a d a s s a tis f a c e n (3 48 ) y ( 1 . 40 ), c o n s titu y o u n a . m p v rfi(.in q u e es l a g r á fic a d e la e c u a c ió n d a d a . R e c íp r o c a m e n te , d a d a e n el e sp a c io u n a s u p e r f ic ie d e fin a ;a cm f o r m a g e o m c t r i a n p u e d e h a lla rs e u n a e x p re sió n a n a l í t i c a ( 1 .48 ) v ( 1 .49 ) c u m p lid a ú n ic a m e n te p o r la s c o o rd e n a d a s de t o d o s lo s p u n to s d e la su p e rfic ie . E s a e x p r e s ió n c o n s titu y e la a c u n o ó n d e l a su p e rfic ie . Comenr.nvemos con la ecuación lineal, estudiando la superficie más simple que es el plano Sea el plano rj que con tiene al punto P ( x \. j-¡ , ¿ i ) y es perpen dicular a la recta n, cuyos números directores son ¡.4, B , C] (fig. 25).

1.2 Conceptas b á sica s de geometría analítica

33

Sea P (z .y > z ) un punto cualquiera .diferente de i l , sobre ex y r la recta que pasa por A y P, y que. por cotisigr liante está contenida en el plano, entonces r y n son perpendiculares entre .sí. Según (1.42) los números directores de r son [x — X\sy — ?/¡, ~ - ~ i ) luego, por (1.45) A ( z - X ]) + J . i ( y - V i ) + C [ Z - 2 i ) = 0

(1.50)

que os la form a ordinaria do la ecuación de un plano que pasa por un punto. Desarrollando (1.5(1) A x + B y -h C z - [Á X j +

*f C-z{ ) — 0 -

D

y reemplazando la expresión constante por el término constante - D , resulta Az + By + Cz +

D-i)

(1.51)

que os la- forrnn. y e n e ro l de la ecuación d tl p lan o . Recíprocamente, puedo demostrarse, que toda ecuación de. la form a (1.51) representa un plano. Luego, toda ecuación lineal de la forma A z -f B y + C z +

D

= 1)


34

en la que por lo menos uno de los tres ooefioient.es (A B, y C ) es dife rente de cero, ropiosonta tin plano, cuyos coeficientes (A . B, C ) son los mimeios directores de .su normal. Observamos que en este espacio, las ecuaciones condenen, en general, tros variables; pero su número puede ser me ñor. pues si uno de los coeficientes es ceio, por ejem plo C de (1.51) es cero, la normal al plano es perpendicular al eje Z y por consiguiente el plano as paralelo a ese eje y perpendicular al plano determinado por los ottos dos. Así Ax + By + D

^0

(1.52)

t\-. la ecuación de un plano tí (lig.26) paralelo al eje 7. y perpendicular al plano X Y .

Comparando (1.52) con (1.13) vemos que mientras en el plano la ecuación lineal en dos variables representa una iect.a, en el espudo, la misma ecuación, representa una superficie, en este caso un plano per pendicular al plano X Y . Si dos de los coeficientes son nulos, por ejemplo B = C = 0, la ecuación (1.52) se reduce a A z + D = t)

(1.53)

en ose caso el plano os paralelo al plano coordenado determinado por las

35

1.2 Conceptos b á sicos de geometría analítica

ejes correspondientes ;i las variables ausentes. De (1.53)

D x = — - = con stan te

O sea, X

T -

(1.54)

¡¡

en el espado es la ecuación de un piano

7

pa: alele al plano Y Z (fig. 27).

Com parando (1.54) con (1.20). vemos que la misma ecuación considerada en el plano representa uno recta paralela ál eje Y (ñ g .llj.

Figura 27

C b m o in d ic a m o s e n l a f ig u ra 2 7 , h e s i a clist.fiiicía e n tre el orig en y e l p u n t o e n q u e e l p la n o corta a l e je X . P o r lo ta n to , si a d e m á s es D = 0, o sea B = C — D = 0, r e s u l ta

x

=0

que es la ecuación del plano Y Z (fig. 28);

(

1.55!

36

Cap. 1 F U N C fO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Fisura

c o n f r o n t a r c o n ( 1 . 21 ). Auuílo ¿am onte en io s d em ás casos y = k

(1.56)

que os la ecuación tic un piano paralelo al X Z. J = 6

(1.57)

Z

(1.58)

quo os la ecuación tlrJ plano X Z . = =

k

que e s la acuna ón de un plano paralelo al X Y . 2=0

(1.59)

que es la ecuación del plano X V .

E c u a c io n e s d e la r e c ta e n e l e s p a c io d e tr e s d im en sion es Dijim os que si un conjunto cíe puntas del espacio satisfacen una condición, .su representación geométrica es una superficie (en particular estudiamos el plano); s¡ satisfacen, en cambio, do* condiciones será una curva en el espacio. Sabemos también que dados dos conjuntos de puntos C\ y C¿, la u n ión de esos dos conjuntos, que indicamos Cx u G t

37


el conjunto de puntos í
lo s

punto* que pertenecen

a C', y a G9> mientras que la intersección que indicamos. c\ n c2 es el conjunto formado por los puntos que pertenecen simultáneamente a C] y a C

q.

Luego, si C\ — { P { x . y . z ) / x = h;

y, z arbitrarios} y

C 2 = { P ( x , y , z ) I z = k] x , y arbitrarios} C\ tiene ecuación x — h — 0, siendo un plano paralelo al Y Z (figura 29). C 2 tiene ecuación z •• k = 0 . siendo un plano paralelo al X Y .

z

Figura 29

X

L a ecuación do G\ U C? es (x - h ){z — k) = 0 y rl conjunto C¡ U C< está constituido por los dos planos. Las ecuaciones de C\ n C 2 c-s el sistema r x - h

= o

{

=0

t - k

y el conjunto C\ n C i es la recta r (figura 29) de jntorscx:dón de los planos {x — h y z = k ) paralela al eje Y .

38


O sea X= k z = k

(1.60)

son las ecuaciones ele una recta paralela al eje Y . Es decir, conside radas separadamente, cada una de las ecuaciones de (1.60) coastituyen la ecuación de un plano; mientras que consideradas simultáneamente, son las ecuaciones de una recta en el espacio de tres dimensiones. Análogamente, resultan x = h y = k

(1.61)

que son las ecuaciones de una recta paralela a) eje Z. y = h. z = k

(1.62)

que son las ecuaciones de una recta paralela al eje X. En particular, resultarán X

sss 0

2 = 0

(1.63)

que son las ecuaciones del eje Y . x =

0

V -

0

(1.64)

que son las ecuaciones del eje Z. V =

0

2

0

=

(1.65)

que son las ecuaciones clel eje X.

O tra s f o í m o s im p o r ta n te s d e las e cu a cio n e s de la re c ta e n el e s p a cio . Sea la recta r(A ,B ,C ] y P i ( x i , f l i i z\) un punto de la misma (figura 30). Luego r es el lugar geom étrico de los puntos P { x , y , z ) tales que los números directores de P \ P , [x — X\.y — y\, z — z^], son propor cionales a A , B, C y el punto P pertenece al lugar.

1 2 C onceptos b á sicos de geometría analítica

39

Llam ando t al factor de proporcionalidad, estas condicionen son x —X i

= At

y-y)

= Bt

z-zi

=Ct

(1.66)

A m edida que t varía, P genera la recta, siendo ( l (Stfí las ecua ciones paramétricas de r. Elim inando en (1.60) el parám etro fc, obtenemos jas ecuaciones de la recta en formn. simétrico.

que es im portante recordar. Solamente dos, de las tres ecuaciones de (1.67), son independientes.

0 tr a 3 s u p e rfic ie s . C u á d ric a s .

Estudiamos la ecuación lineal en tres

variables, o sea el plano. Es muy im portante también el estudio de la ecuación de segundo grado con tres variables: A x 2 -+ B y 2 + C z 7 + D x ij -f B x z ■+ F y z -+ G x + H y 4 i z -f K = 0 (1.68) en donde uno, por lo menos, de los seis coeficientes ÍA . B. C. D, E ? F ) es distinto de cero.

40


Las superficies que representan se llaman caddriais; es (1.68) la ecuación de una cuádrica en form a general Sin hacer un estudio detallado de estas superficies, que com pletaremos con los ejercicios (ver 1 .0 ), mencionaremos las más utilizadas: a) Ia superfino esférica: Una superficie esférica es el lugar geométrico de todos los plintos del espacio cuya distancia a un punto fijo C, llamada centro, es constante. Esa distancia dada se denomina radio de la superficie esférica (r).

Designando por P ( x , y t z) un punto cualquiera de la superficie (figura 31), os \CP\ = r . o sea, según (1-12) [x - h )2 + (y - k )2 + ( z - i ) 2 = r 2

(1-G9)

que es la ecuación, en form a ordinaria, de la superficie esférica de centro C { K ki 0 y radio r. Si el centro coincide con el origen, por ser h = k =

1

=

0

se reduce (1.69) a x 2 + y '¿ JrZ2 = r ¿

(L.70)

41

1.2 C onceptos b á sic o s de geometría analítica

e c u a c i ó n d e l a .st i j

b)

íc *rl

ic j* * c s í m e a

u m

ccn in j

c u

e l o rigen ,

Curídricns con centro.

Se llaman así a las que tienen un centro de simetría, L a ecuación canónica es de la forma o o o * í _ ± g ± - = i o? b2 c2

el

origen

(1-71)

representando las siguientes superficies: 1)

Elipsoide renl: (todos los coeficientes positivos)

i ! o? +

f! -

ti2

+ c2

1

(1.72)

N O T A : ver ejercicio 14 a continuación

2)

Hiperboloide de una hoja:

(dos coeficientes positivos, uno

negativo) por ejemplo: O

b2

'i

c2

u

(1.73)

en esto caso el eje de sim etría es z; en correspondencia con el coeficiente negativo del térm ino en z * .

42


H ip e rb o lo id e

3)

Hiperboloide de dos hojas: (un coeficiente positivo,

dos negativos) por ejemplo: 9 O _ íl + ¿ _ £ l = i a2 fi2 c2

(1.74)

en este caso el e\e de simetría es y, en correspondencia con e¡ coeficiente positivo del término en y¿.

c)

Cuádricnx sin centro: Cuya ecuación es de la forma:

i2

y2

± — ± ¿ r = C Z a2 o2 representando las siguientes superficies:

(1.75)


43

1) Pam boloide elíptico: (los coeficientes del primer miembro positivos) por ejemplo: (1.7G)

0 . ^ 1 ?

la gráfica tiene eje z y com o z >

0

responde al siguiente gráfico:

U n caso particular es el paraboloide circular donde a — b, es decir: >

x¿

— +

'f

y¿

— cz

= k (x * + >S)

(1.77)

(1.78)

L a ecuación V“

z*

k x = 4-r + — F c*

(1.79)

corresponde a un paraboloide elíptico de eje x y la ecuación a:1/ ^ = “T a 2 + T? corresponde a un paraboloide elíptico de eje y. Por ejemplo: y ~ a*2 - f z 2 tiene por gráfica:

(1.80)


44

z Paraboloide elíptico

Y

X

2) tivo ) Por ejemplo:

Pnruboloxit hiperbólico: (un coeficiente positivo y otro nega

I.a gráfica corresponde a una siip oifric simétrica respecto al plano y z (ir — 0 ). Grafio amos z — - r 2 \ y7

La ecuación (1.82) corresponde a un paraboloide hiperbólico simétrico respecto al plano XZ ( y = Ü)


45

Análogam ente pueden determinarse ecuaciones de paraboloides hiperbólicas con otra orientación. d) Superficie-'» ol'iirh'kw -5 Están engendradas por lina recta (genorata iz) que se muevo de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta lija dada y pasa siempre por una curva fija dada (directriz';. Si las generatrices son perpendiculares al plano de su directriz, dicha superficie cilindu ra se llam a reet.a y. en caso contrario, oblicuo U na ecuación do segundo grado que contenga dos variables re presenta en el espacio una superficie cilindrica recta cuyas generatrices son paralelas
c ilin d r o p a r a t iú lio u

\

/

V

-

E jem plo 2: x 1 -t- r 2 =s r - es la ecuación de una superficie cilindrica circular de eje Y {variable ausente.

Cap, 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

46

Su directriz es i a circunferencia x 2 — X Z (y -

— t 2 incluirla en el plano

0) Análogam ente se determinan ecuaciones correspondientes a su

perficies cilindricas parabólicas, elípticas o circulares en distintas posi ciones. Ejem plo 3:

e s la ecuación de una superficie cilindrica cilindrica elíptica ele eje X

(variable ausente).

Su directriz es la elipse

= 1 incluida en el plano y z (x = 0)

N O T A : ver ejercicio 17 a continuación

1.2 Conceptos b ásicos de geometría analítica

47

Análogam ente se determinan ecuaciones currespendientes a su perficies cilindricas paiabúlicas, elípticas o amularas en distintas posi ción as. « ) Superficies cóniois. Están engendradas por una recta (generatriz) que se mueve de tal m anera que pasa siempre por una curva fija (directriz! y por un punt.u fijo (vértice) no contenido en el plano de osa curva. Una ecuación de segundo grado representa una superficie cónica con vértice en el origen, sí y solo si es homogénea un polinomio es ho mogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado) en las tres variables Su ecuación es

(1.83) (siempre que los t.res signos no sean iguales). Ejem plo 1:

íl + £ _ £ i = 0 a2 i

P

c2

as la ecuación de una superficie cónica elíptica do eje Z y vértice en eí origen de coordenadas. Si n = b la superficie córnea es circular con el siguiente gráfico:

48


E jem plo 2:

es Ifi ecuación de una superficie cónica elíptica de eje y y vértice en el origen ele coordenadas.

Z

Y

/v

elíptica de eje Y

N O T A : V er observación en el ejercicio Id a continuación. R e s u m ie n d o : - U n a ecuación con una variable representa: • En la recta: un conjunto de puntos • En el plano: un conjunto de rectas paralelas al eje de la otra variable • En el espacio: un conjunto de planos paralelos al plano opuesto a la variable. Una ecuación con dos variables representa: • En el plano: una curva

1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos

49

• E n el espacio: un conjunto de planos paralelos al eje de la variable ausente (si la ecuación es lineal); o una superficie cilindrica con generatrices paralelas a la variable que falta (si la ecuación es de segundo grado) ■ Una ecuación con tres variables representa en el espacio una superficie

1.3

C o n ju n tos puntuales. E n torn os. R ecin tos

P ara discutir funciones de dos o más variables, necesitamos conceptos asociados con conjuntos de puntos en das o más dimensiones. Recordem os previamente que en el primer curso de Análisis M atem ático hamos trabajado con funciones reales, cuyos dominios son intervalos en el eje X (cada número representado geométricamente por un punto de una recta) y que distinguíamos intervalos que incluyen sus extremas do aquellos que no los incluyen. Si

q

< b, llamamos intervalo abierto )a ,b ( al conjunto de todos

los puntos cuyas abscisas x verifican la condición (figura 34) a < x < b no incluyendo los extremas.

Figura 34 Si a < ó. llamamos intervalo cerrado

[a, /;] al conjunto de todos

los puntos cuyas abscisas x verifican la condición (figura 35) a < x < b incluyendo las extremos.

Figura 35

50

Gap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Análogamente, pueden definirse intervalos semiab'iertos :

K ó ] y |a,6( Si C’o £ R ‘ y S os un número real positivo, llamamos esfera, hiperesfem o bola completa o cerrada, de centro Co y radio 6 al conjunto {le todos ios puntos P tales que su distancia a Ce es < ó. La i adiarem os E (C o ,S ). En las mismas condiciones, llamamos esfera., o bola abierta al conjunto de todos los puntos P tales que su distancia a Cn es <

La

indicaremos E (C n ,6 ). Si Ce € R l la e s fe r a c e rr a d a c e r r a d a e s u n c ír c u lo y si Co € R

ps

3 la

un segm en to . Si Co £ R

2 la

e sfera

esfera c e rr a d a es u n a esfera.

Si un subconjunto de R a está contenido en alguna esfera cerrada 0, el conjunto de todas los puntos de R n tales que \P-Co\<6 sfc llama» gntpTTsu de Cu, con radio 6 y lo representamos con E (C o , S) o E ( C q)\ es decir un entorno de Co está incluido en R n, es un subconjunto de R n que contieno una esfera abierta con centro en Co. Si F es un entorno de Co, llamamos entorv.o y-eAuci.do de Co, al conjunto C. R n que resulta de excluir al punto Co de E. L o indicamos E’'(C o ). O sai,

F ( C 0) = £ (C o ) - { C U En el espacio R

1

el entorno reducido representa geométrica

mente a un intervalo abierto de centro C o(zo) y radio 6 (figura 36): F ( C o ) - { x ¡ \x - x 0\ < 6} excluido Ce».

(1.84)

51

1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos

O Xq - 6

*0

Xq + 5

F igura 36

En R

2 el

entorno reducido representa geométricamente el interior de im

círculo de radio ó> excluido el centro Cí>(ô ■2/o) (figura 37)

E '( C } ) = {(x,?/) / (x - X rt)- + (?; - I f i , ) 2 < ó2}

(1.85)

En R * el entorno reducido representa geométricamente el interior de una esfera de radio 6, excluido e l centro Cofô Vo> io ) (figura 38)

E '(C o ) = { x , y , z f { x - x oy + { y - j/o}2 + ( z - * ) 2 < 62)

l '^ í

9 0 *1 7 5

( 1 .86 )

52


V

v X T a m b ié n d e b e re m o s c o n s i d e r a r e n n u e s tro e s tu d io e n to rn o s c u a d ra d o s (e n R ‘ ) y e n to r n o s c ú b ic o s ( e n R 3 ). e s p e c ia lm e n te lo s p rim e ro s

Entorno cuadrada

d e s e m ia m p lifu d o s e l c o n ju n t o de* p u n t o s (x*, t a l e s que

y)

6 > 0 d e u n p u n to C ofx 'm p o )

í I?; - z a\ < ó {

\y -V o'< £

intervalo

E n e l e s p a d o d e d a s d im e n sio n e s d e fin im o s ta m b ié n a l los e je s d e fin id o p o r los

caira do: a s t o d o r e c tá n g u lo d e la d o s p a ra le lo s a p u n t o s {x,y) ta l e s q u e (f i g u r a 3 9 )

(1 .S 7 ) Y

F ig u ra 39

53

1.3 C o n ju n to s puntuales. Entornos. R e cin to s

el

Suprim iendo el signo igual eu las expresiones autor i o res resolta m torvo lo a b ie rto .

E n general, tratarem os con un subconjunto S — ((: i , y ) de pun tos de B 2} . T a l conjunto divide al plano en dos partes, el conmuto S y los restantes puntos del plano que constituyen el complemen to de S. {.3 1 dosificación de pantos P u n to de ac u m u lo cÁón. U n punto, que puede pertenecer o no a un conjunto S, se dice de ac u m u la c ió n de dicho conjunto, cuando en todo entorno reducido suyo hay algún punto de S.

P es punto de acumulación cíe S

V £ '(P )

3x £

SO E \P )

P lin to in te rio r. U n punto perteneciente a un con ¡unto S, se dice que es h i t e n o r al m ism o, cuando existe un entorno Suyo chic es pune de S; o sea. todos los piuit.os del entorno pertenecen a $.

P es punto in te rio r a S ^ 3 £ ( P j /

E (P )

C

S

P u n to e x te rio r. U n punto se dice que es c ite .n o r a un conjunto S ,si hay al ¿pin entorno suyo que no contiene ningún punto del conjunro; o sea, un punto e xte rior a] conjunto S es punto in te rio r del complemento S. P es exterior a S o 3 E ( P ) / E ( P ) n S = 0

P u n to de. fro n te ro . U n punto se dice de frontera de un conjunto al cual pued^ o n o [ic n e n e c c r,si ¿n todo entorno suyo hay al^nn punto que pertenezca a S y algún punto que no pertenezca a S S

P es frontera

P no es in te rio r )' P no es exterior

P u n to aislad o . Un p unto que pertenece a i si a do,s\ existe algún entorno reducido suyo

a un conjunto S se dice (pie no contieno ningún punto de S.Luego el punto aislado es un ejemplo de punto de frontera. P

es un punto aislado de

S & P C: S

A 3 E * [P )

> E '( P )

OS

-

0

• iron/,e7a hVontera de un conjunto es el cxmjunto formado por sus


54

puntos de frontera, • Contorno. Contorno de un conjunto es el conjunto de los puntos no exteriores que son puntos de acumulación de puntos exteriores aJ conjunto. • Conjunto abierto . Un conjunto S se dice abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores al conjunto, • Conjunto cerro río. Un conjunto se dice cerrado si su complemento es abierto; o también, cuando la frontera del conjunto pertenece al conjunto, en consecuencia todos sus puntos son de acumulación. • Conjuntos conexos. Conjuntos tales como círculos, rectángulos, etc, en que dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una poligonal de un número finito de lados y cuyos puntos pertenecen todos ni conjunto considerado, se dicen corvejos. E n caso contrario se dicen inconexos. • Recmf.o o regv.ón abierto* Es un conjunto conexo cuyos puntos son todos interiore*. • R egión Es un conjunto conexo formado por un recinto y alguno o todos sus puntos frontera, • Región cerrada o recinto cerrado. Es el conjunto formado por los puntos de un recinto más su frontera.

1.4

F u n cion es Según 1a definición de Dirichlet, decimos que “una función es una

correspondencia que asigna a. cada dem onio de un conjunto dado un único eleme 7¡¿o d e otro conjunto (distinto o no do aquél)” . Exigiendo así las condiciones de existencia e unicidad que caracterizan a la relación funcional. Indicando con

’la correspondencia mencionada en la definición

y con A y B los conjuntos dados, podemos escribir / :A -

B

que se lee “/ es una función de A en B ” .

1.4 Funciones

55

A se llama, conjunto de partida o dominio. B se llam a con.junto de llegada. Además, si a € A , el elemento b de B que 1c* corresponde a o. se llam a imagen ele a, que indicamos f (c ) y se lee " f ele n." L a condición de existencia so expresa Vx* 6 A 3 y € B / / ( t ) L a condición de unicidad se expresa V i 6 A y Vi e B . y v t £ B : { f { x ) = yl A / ( i ) =

= *y ¡ =y-¡}

R e p a s o d e funciones d e una variable E jem plo í. Sea A = {19G 4,1065,1966,1967} v B = {150.000,180.000, 130.000,220.000} Si indicamos 1

t\£A

^

i y o o

i sv v 1

9

6

/ 7

/

/

1 5 0

0 0 0

-fc . 1 s n n n n ^ 1 ü u . w U — . il ♦

/

n . n’J 'oJ In J Ji V

2 2 0 . 0 0 0

Figura 40 Se tra ta de una función que a cada año de A , le hace corresponder, por ejemplo, la producción de heladeras en dicho año (ligura 40) Ejem plo 2 Consideremos la venta anual de tractores desde 1980 a 1987: 1980 1981

13.000 17.000

1982

11.000

1983 ■' 12.000 1984

15.000

1985

13.000

1986

9.500

1987

10.000

56


Es preferible* representar las fundones mediante un gráfico carte siano (figura 41).

17000 15000 I3UD0

I (000

O000 1980

S\ 82

53 84 S5 86 87

F ig u ra 4 ]

Se trata rio una función que a cada año, desdo 1980 a 1987, le hac:o corresponder el número de traetor&s producidos anualmente. E n m a te m á tic a ., si b ie n so e m p le a n ta b la s p a r a d e fin ir fu n c io n e s, e s p o s ib le f r o r u im tc tn c n te d e fin ir la s m e d ia n te u n a fó rm u la .

Ejemplo 3: A - {1,2,3} , B « {1,2,3.4.5. ü)

f : A —> B

x

2x\

S e a l a fu n c ió n dada por q u e c a d a e le m e n to d e A se tr a n s f o r m a e n su d u p lo .

T 2 í Figura 42

E s t o q u ie re d ecir

57

1.4 Funciones

Observarnos que el gráfico J\ (figura «12; do la in ación / es c) conjunto de todos los pares ordenados en los que a G A osla como primer dem en to y su imagen com o segundo elemento. O sea .f: -

{ ( a , ! '} / a € A . b = f ( a ) }

E jem plo 4'- Sea la función / : R -*-' T i dada por r -• 2v. Observamos que la fórmula es [a misma, pero ahora d con i unto de partida es el ele ios números reala.*» y también ésto o.s conjunto de llegada. L a representación cartesiana da una idea clara c r la fundón, gráficam ente es una recta que pasa por el origen (figura 43) y cuya pendiente (m — 2). (V er 1.2.6).

L a fórmula x —> 2a: puedo escribirse así: /(.*;) — 2x. quiere decir qic la función transforma cada x en 2 t, por ejemplo, / (3 ) — 6; o también puede escribirse y — 2 z, que quiere decir que si darnos valores a x obten ernos los valores “y ’' del conjunto de llegada. C om o una vez fijado el valor de x queda determinado el valor di* y, se dice que y es la independiente.

dependiente. A x la llamamos va noble

58


E jem plo 5. Considerarnos f :R —> R dada por la siguiente fórmula

í

Una

/ (x )

= f

para x < 2

^ f[x)

—x

para x > 2

función

puede estar dada, como en este ejemplo,por una

combinación de fórmulas.

Quiere decir que para valores de x menores o iguales que 2 em pleamos una fórmula v para x mayor que 2 otra fórmula A sí obtenemos la siguiente tabla de valores y la gráfica respectiva (figura 44).

E jem plo 6 . Sea la función f ( x ) = -3 .

Si com o en este caso no se mencionan ambos conjuntos de par tida y de llegada, supondremos que ambos conjuntos coinciden con el conjunto de los números reales; o sea. estudiarnos funciones de variable reo.1 .

La dada es !a llamada función constante (ver 1.2.8) que a todo número real le asigna un mismo número, en este caso —3. (Fig. 45)

J A Funciones

59

Y

‘2 -1 0 1 0

&

%

y -3 -3 -3 -3 -3 -3

Fisura 45

y = -3

• Observación i . Exchu’mos fiel conjunto de partida los números reates para los cuales la función no está definida. Por ejemplo, el conjunto de partida de la función x

está constituido por todos los números reales menos el 2; o sea R — { 2 } , pues dicha función no está definida para i = 2, ya que no es posible la división por cero.

Efectúe el lector la gráfica asociando a cada número x ^ 2 el numero

x 7^2

• Observación c2 . En los ejemplos de funciones relacionadas con la economía advertimos que: 1. Se trata en general do funciones de valores aisladas. 2. N o se dispone de una fórmula simple que fie fina esos valores. 3. E n general las variables tornan valores no negativos. E n cambio, en matemática aparecen frecuentemente funciones que: 1. Están definidas para todo valor real de modo que su gráfica es "unida” .

60


2. Se dispone de una fórmula que permite hallar los valores de la función Esto no quiere decir que no se den en economía o en mate mática funciones de otro tipo. La m atem ática lia desarrollado métodos profundos e ingeniosos en el análisis de sus problemas; emplearemos esos métodos como auxi liares de las investigaciones econónácas. Los recursos de la matemática y a han dado pruebas de su poten cia cu otros campos ele la actividad humana: física, química, ingeniería. P o r otra parte, las ciencias que se valen de )a matemática plante an también a esta última nuevos problemas, manifestándose nuevamente la interdependencia entre lus distintos campos del conocimiento. Hemos repasado las funciones de una variable independiente, pevo como dijimos (ver L l ) . en economía emplearemos fundones de dos o más xziriabltts; por ello pasamos a considerarlas.

Funciones u cam pos escalares de dos variables Si dado un con junio do partida A , la función F 1c asigna a cada par ordenado do mí metes reales pertenecientes al mismo, un único el emento de otro conjunto do llegada B, se dice que F es una ¡unción o

y.po esadan de dos

ce7

obles

Es decir: dada F : A —•1R / A C R 2 es una función o campo escalar de dos variables si el D o rn F «

A ( condición de existencia) y 1a

imagen correspondiente a cada elemento es única (condición de unión dad). Si por ejemplo' A m

(i.i) ( 0 .2 )

6

61

1.4 Funciones

le corresponde el diagram a de la figura 4G

(1 ,0 > — (1. Ds (ü, 2/

< M3

(3, 3>

F ig u ra 46

— 6

Siguiendo la ñor ación clásica expresamos una función de dos variables mediante la forma

2 =

F{x, y)

donde x c y son las variables independientes, z la variable dependiente y que se lee “ z es función del par ordenado ( 2 , 7/)’'

Entonces la condición dcûôitiiSf pnede expresarse como

\f(x,y)r.A 3 ;

€ R /

F(x,y)

« c

y la condición de unicidad equivale a*

V ( x , 2/ ) r

A y z\

G R ,V

22 s R

:

[F(x,y) *

^ A

F{x. j) =

;2 ^

z} =

s 2]

L a gráfica de la función de! ejemplo antci ior en un sistema carte siano será

1111

conjunto de ternas ordenadas de números reales o sea,

geométricamente, un conjunto de puntos aislado» (figura 47) en el espa cio tridimensional 7?\


62

Observamos que mientras las variables independientes x e y se representan en ol plano X Y , la variable dependiente z se representa sobre eje Z. En (l.fi) efectuamos las representaciones gráficas.

1.5

Subcon ju n to de variabilidad Hemos puntualizado que, para definir una función es preciso in

dicar • El dominio. • El conjunto ck: llegada • L a tabla o la fórmula qun define la transformación. Sin embargo, cuando no se indica expresamente lo contrario, se entiende que ei do m n tio es el subeon junto de pares ordenados ( x , y ) para los cuales está definida la función, o sea que satisfacen a z = F ( x , y ) . A este sub conjunto, que llamaremos snbeonjunto real de variabilidad, se le ha llamado tradicionalmente campo de variación de { x , y ) o campo existencia! de la función, denominación que preferimos evitar porque la palabra campo se emplea actualmente en matemática

7.5 Subconjunto de variabilidad

63

en otro sentido.

E je rc ic io 5. Deterntinar y representar el subcon junto de los pares do número* reales para los cuales eslá definida la función 1 /

- - 9 _ ( l 5 + j,J)

Solución: K1 denominado: debe ser distinto de cero; como en este caso el denominador se anula para x : -f?/2 = 9 (\er (1.2.13)), ésto significa que la función darla está definida para todo punto [x, y) del plano excepto para los puntos de la circunferencia (figura 481 de centro en el origen y radio 3 O sea el sub conjunto pedido es S = { ( x , 2/) € R '/ x 2 + y 2 = 0} solamente se exciuj'on los puntos pertenecientes a la circunferencia.

E je r c ic io 6 D e terminal' y representar el subconjunl o de los pares de números reales para los cuales está definido el campo escalar

34


Solución. Para que 1a raíz sea real. el radicando debe ser no negativo 4 — x 2 — y 2 > 0. En este caso, el radicando será negativo para x 2 Jr y 2 > 4 . Luego la función estará definida para todos las puntas de la ciiciinferencia con centro en el origen y radio 2 y para todas los puntos interiores a la misma (figura 49).

y "

Se excluyen los puntos exteriores al círculo

O sea

S = { ( * , * ) € R 2/ x 2 + y * < 4 } E je rc ic io 7 Determinar y representar el subconjunto real de variabilidad del campo escalar z - ln (l - x 2 - y2) Solución» Para que la función esté definida, debe ser 1 - x 2 - y2 > 0 O sea 1 - x ¿ - y¿ > 0 = » —x 2 - y2 > - 1 =>■ x 2 + y2 < 1 Luego la función está definida para todos las puntos interiores al círculo (figura 50) con centro en el origen y radio 1. O sea: 5 « {{x ,v )€ R 7 ® a+ y a < i}

65

1.5 Subcon¡unto de variabilidad /

F igu ra 50

S e e x c l u y e n lo s p u n t o s p e r t e n e c i e n t e s a la c ir c u n f e r e n c i a x 2 + y 2 « y lo s e x t e r io r e s

a

1

la m is m a

F ^ e rc ic io 8 Determ inar y representar el subcon junto rea) de variabilidad de la función ln (x 2 H- 7/2 — 1) Solución. En este caso la función está definida si se cumplen las dos condi ciones siguientes: 1)

ln (x 2 + y 2 ~ 1) # 0

2)

x 2 + y2 - 1 > 0

P o r la condición 1) ln (x 2 + j 2 - 1)

0 =>■ x 2 H- y 7 - 1 ^ 1 =$■ cr + y2 ^ 2

Significa que la función está definida para todos las puntos ex teriores a la circunferencia con centro en el origen y radio 2.(Fig. 51) P o r la condición 2) x 2 + V2 - 1 > 0 ^ x 2 + y 2 > 1 significa que la función está definida para todos los puntos exteriores a la circunferencia (figura 51) con centro en el origen y radio 1.

66


Luego el conjunto pedido queda determinado por la conjunción de las dos condiciones. O sea: 5 ^ { ( r 5y) € R 2/ x 2 + ?/2 # 2 A x 2 + y2 > 1}

S e e x c lu y e n Io

í p u n io s

p e r t e n e c i e n t e s a la s

c i r c u n f e r e n c i a s x ’ + y 2= 2 y

x 2+ y 2s )

y l o s p u n t o s i n t e r i o r e s a e s t a ú lt im a

E je r c ic io 9 Determinar y representar el subeonjunto real de variabilidad del campo escalar 1 £Í _l ¿ i _ i

9

4

1

Solución. Para que ja raíz sea real, el radicando debe ser n o negativo, p e r o además debe ser distinto de cero para que no se anule el denominador. Luego ** v2 y + t -

i « í > q ^

j

v2 , + Í > 1

Luego la función está definida para todos los puntos exteriores a la elipse (figura 52) con centro en el origen y semiejes 3 y 2.

1.5 Subconjunto de variabilidad

67

S e e x c lu y e n los puntos

O sea: 5 = U i . fy'¡ e R . V ^ - i 7 > ' } E je r c ic io lü Do ten ni mu* y representar el snbconjnnJo real de variabilidad fie la función : = ~ ^ xy (\ -x-y ) S o h ia ó t i .

El radicando debe ser no negativo. El producto xy{ l —T.—y ) > 0 .si 1)

xy > 0 A (1 - x - y) > D

2)

xy < Q A { l - x - y ) < ( )

Debemos estudiar por separado las das condiciones: l) x y > 0 corresponde a ios puntos de los cuadrantes 1 y I I I dol plano X Y (figura 63).


68

1

-

*

-

1/ >

0

=4>

1

-

X

>

¿ / = *•

y <

l -

X

a puntos pertenecientes e inferiores a la recta y ^ 1 — x

L a conjunción de esas dos condiciones es la intersección entre ambas conjuntos;corresponde a la parte sombreada de la figura 53, in cluyendo a los ejes y a la recta.

2) x y ¿ 0 corresponde a los puntos de los cuadrantes I I y I V del plano X Y (figura 54'.

1 - s - y

y =* y > l ~ x

a puntos pertenecientes y superiores a la recta y — 1 — x.

L a intersección de las dos conjuntos corresponde a la parte som breada de la figura 54. incluyendo a los ejes y a la recta

1>6 Representaciones gráficas de campos escalares

69

El subconjunto real de variabilidad lo constituyen los puntos pertenecientes a la unión de los casos (1) y (2) (ver figura 55), o sea S = { ( i , ? / ) e R 2/ ( l - x - y > 0 A x y > 0) V (1 - x - y < 0 A x y < 0 )}

1.6

R e p r e s e n ta c io n e s gráficas d e cam p os escalares A sí como las funciones de una variable se representan cu general

por una curva C R 2 en un gráfico cartesiano bi dimensional, paro, re presentar geométricamente una función de dos variables se necesita un gráfico cartesiano tridimensional donde las ternas (x,y> F ( x , y ) ) repre sentan los pinitos de una superficie F i C. R 3 (figura 56)

70


Como ve i nos en la figura, determinarlo el subcon junto real de variabilidad S de la fundón r = F ( x . y), a nn punto 7u(^0)!A)) de S, corresponde para z un valor F ( t q . y r j ) . Luego ( x e n y o ? - F f c c n l / o ) ) 1 ^ coordenadas rectangulares de un punto del espacio. Si el punto Po (ô- yo) recorre todos los puntas del subcon i unto 3, el conjunto de todos las ter nas ordenadas {io * i/n; -o) que resultan, se llama supo f cié representativa o grnfi.cn de la función dada. E l segmento de recta perpendicular al plano X Y en el punto Pn, extendido hasta la superficie representativa, representa el número f ' N . ’/n)P o r lo tanto, el conjunto de puntos ¿ i = {(^ ü f?/o,-o) C R 1/ (tg,?/o) C S A 2o = ¿'(xo.l/ o)} constituye; la gi aflea b\ do una función de dos variables. Representaremos las superficies más utilizadas.

E je rc ic io 11 Representar la función

2=

-4 z -2 y + 8

(1.88)

1.6 Representaciones gráficas de cam pos escalares

71

Solaciov. E sta superficie resalí a simple de representar, porque igualando a cero (1.S8) obtenemos la ecuación de un plano (ver 1.2). Luego no tenemos más que enconUar la intersección de la superficie con cada uno do los ejes coordenados, (figura 57)

2/ =

0 y

Para hallar la intersección con el eje X. según (1.2) hacemos — 0, i remplazando en (1,83) resulta

2

0

=

=

2

o sea el plano inferseefa al eje X en el punto A (2 ,(),()). Análogamente procedemos con los otros ejes, obteniendo las in tersecciones con el eje Y l:r — 0: r =- 0), resulta y = 4, o sea B (0,4,0) con el eje

Z íx = 0: y = 0). resulta z — 8, o sea C(0,0,8).

Las rectas d e ir.*ere.v?cción rio u n plano con los planos eooi do nados se llaman trazas riel plano. Para hallar la ecuación de la traza .sobre el plano X Y , lineemos (ver 1.2)

2

= 0, obteniendo al reemplazar en (1.88)

2x + y = 4

72


O sea 4

0

que es la recta r

Observemos que mientras

2r + y - 4 = 0 en R 2 es la ecuación de la recta intersección (traza) del plano dado, con el plano X Y ; en R

3

es la ecuación de un plano (ver 1.2) perpendicular

al plano X Y . E n forma similar, se hallan las restantes trazas • sobre el plano X 2

4x + z

=8

y

=0

• sobre el plano Y Z

j

2x + z

\

x

8 =0

-

E je rc ic io 12 Representar la ecuación x ¿ + y 2 -f z 2 = 16 Investigar si es una velación funcional. Solución. Sabemos que la ecuación corresponde a una superficie esférica con centro en el origen y radio 4. Sí bien su gráfica es sencilla, es ventajoso discutir la ecuación do una superficie antes de construirla. Limitaremos, cuando sea necesario, nuestra discusión a los pasos siguientes: 1.

2.

Intersecciones con los $¡es coordenados TYaanR con los ejes coordenados

1.6 Representaciones gráficas de cam pos escalares

73

3. Secciones por planos paralelas a los pianos coordenados. Tales secciones pueden determinarse convenientemente cortando la su perficie con tuia serie de planos paralelos a Jas ejes coordenados, permitiéndonos una buena idea de la forma de la superficie que queremos representar.

E n el caso propuesto, las intersecciones con los ejes son:

eje X: y

__

=

0 , X- = 16

= ±\/Í6 ->

(puntos A y A ’ respectivamente, figura 58)

eje Y : x =

Z

- 0, y 1 = 16 =>

X

= -4

(puntos B y B ’)

eje Z:

x

= V=

0 , -2 = 16 => s = =4

(puntos C y C )

Las trazas resultan :

sobre el plano X Y : i 2 + y 2 = 16, z = 0 (c.imunfprpnría de radio A, perteneciente al plano X Y ).

sobre el plano Y Z : y2 + z 2 = 16, x = 0 (circunferencia perteneciente al plano Y Z )

sobre el plano XZ:

y2 + z 2 =

16.7/ = 0

(circunferencia perteneciente al plano XZ)

Representando estas curvas en la figura 53, obtenemos la gráfica pedida.


74

z Figura 58 C (0. 0, 4) %

\

\

w hü.

0)

/ 1 's | ! \ J b (0.4.0) (0*4/0) 1 0 / i 1 B’K * t 7 7 '•v ' / // *

X

y/

? ( 0 , 0,-4;

L a ecuación de la esfera no es un campo escalar o relación fun cional pues si despejamos z de (1.70) obtenemos dos funciones:

21 = + \ A 2 - ( x 2 +2/2)

= -y/ r2 -

{ x 2 + y '¡ )

(1.89)

(1.90)

1,6 Representaciones gráficas de cam pos escalares

75

no correspondiendo a cada elemento del conjunto de partida un único ele m ento del conjunto de llegada. Es decir que ya no se cumple la condición de unicidad. En la figura 59 hemos representado la serniesfera superior, que resulta al considerar la raíz cuadrada con signo positivo y en la figura 60 la semiesfera inferior que resulta a! considorar la raíz cuadrada con signo negativo. En cada caso, para obtener el subconjunto real de variabilidad debe cumplirse que i 2 + y 2 < 16 Luego, el subconjunto de los pares ordenados de números reales para las cuales están definidas las funciones (1.89) y (1.90), lo constituyen los puntas del plano pertenecientes al círculo x 2 + i/ 2 — 16, o sea de radio 4 (figura 61), incluyendo el borde.

Z

Figura 61

76


E je r c ic io 13. Representar en R 3 las superficies de ecuación a ) 2x -h y = 4 b) ^ = 3 c) x = 0 indicándola naturaleza de cada una y analizar si corresponden a gráficos de un campo escalar.

Solud-ón, a)

2; + y = 4.

Representa en R 3 un plano perpendicular al

plano X Y {figura 62), no representativo de un campo escalar.

Figura 62

B(0,4, 0)

L a traza en el plano X Y es la recta 2x 4- y = 4; z = 0 b) z = 3. Representa el plano paralelo al plano X Y . (figura 63) que pasa por el punto C del eje 2 decot.a3; esrepresentatiyode un cam poescolar.

Figura 63

'z = 3

2(ü, 0, 3)

1.6 Representaciones gráficas de campos escalares

77

c ) x = 0. Representa el plano coordenada Y Z (figura 64). N o corresponde a un campo escalar pues no cumple condiciones de existencia y unicidad-

E je rc ic io 14 A n alizar y representar la superficie de ecuación

16

25

(1.91)

9

Solución. Las intersecciones con los ejes son (ver figura 65). eje X :

A(4,0,0); A * K O ?0)

eje Y :

B(0,5,0); B ’ (0,-5. 0)

eje Z:

C (0,0,3); C ’ (0,0.-3)

Las trazas resultan:

sobre el plano X Y

= 1,

2 — 0,

sobre el plano X Z

— +

= 1, y = 0,

sobre el plano Y Z

& + ^ = l> i = 0,

(elipse)

(elipse)

(elipse)


78

Las seccione* con planos paralelos a los coordenados, también son elipses. Sobre los planos paralelas al plano XZ, obtenemos x2

z2

,

k2

1 6 H” 9 “

25’

V~

A medida que k aumenta a partir de 0, el tamaño de estas sec ciones elípticas disminuye continuamente, hasta que, cuando k = 5 se obtiene un punto

16 "1 9" ~ En la figura 05 hemos obtenido una gráfica adecuada de la su perficie representativa de (1.91) que es un elipsoide, dibujando esquemas de las trazas y de algunas secciones paralelas a uno de los ejes coorde nados. Dicha gráfica no corresponde a un campo escalar.

E je rc ic io 15 Analizar y representar la superficie de ecuación:

4

9

16

Solución. Las intersecciones con los ejes (figura 66) son:

79

1.6 Representaciones grálicas de ca m p os escalares

e.ieX:

A(2,0.0); A ’ (-2,0,0)

eje Y :

B(0,3,0); B ’ (0,-3, 0)

eje Zr

no corta al eje Z

L a sección producida por el plano z = 0, es la elipse con centro en el eje Z y .semiejes 2 y 3. Las secciones producidas por las planos X Z e Y Z son hipérbolas. O sea, las trazas sobre los planas X Y , X Z e Y Z son, respectivamente:

elipse.

hipérbola,

hipérbola,

xl

x T

9

y1

z “ 16

16

2

=

0

1,

v/ = 0

1,

* = 0

Las secciones produ cidaspor planos paralelos al X Y son las elipses

D e estas ecuaciones se deduce que, a medida que k aumenta de valor, estas elipses aumentan de tamaño, como se observa en la figura.

80


L a s s ec cio n e s producida--, pur p la u o s p a ra le lo s a lo s p la n o s c o o r d e n a d o s X Z o Y Y, son las h e r b o l a s

re sp e ctiva rr.en t o. E -.u h e lem en to -' 'O ii suficientes p ava re p r e s e n ta r (fig u r a 6 6 ) la s u p c itic ic .

no es un hipr-rhrJoid': de m ía h o ja , c u d d ric a q u e n o es c erra d a ,

s in o q u e se e x t ie n d e in d efin id am en te. D ic h a g r á fic a n o c o rres p o n d e a un c a m p o e sc a la r

E j e r c i c i o 16

S oluciÓ Ti. E s t a es la e cu a c ión d e u n a c u d d ric a c u la q u e s e h a n s u p rim id o t o d o s lo s t c im in o s d e g r a d o in fe rio r a dos; os h o m o g é n e a e n Les tros v a ria b le s , lu e g o segú n i . 2 rep resen ta u n ^ o n o c u ó d ric v , c o n v é r t ic e e n ol o r ig e n d e c o o rd e n a d a s

i figu ra 67).

D i d ía g rá fic a n o os re p r e s e n ta tiv a

d e u n c a m p o escala r.

Figura 67

Y

p a ra z = (I . y.2 -L ?/2 = 0 c irc u n fe re n c ia p u n to (l a s u p e rfic ie p asa p o r el o r ig e n ).

1 £ Representaciones gráficas de cam pos escalares

para y — G , x ' —

81

por de rectas ( : = t ' / ; = --x constituyen

!a traza sobre el plauu X Z ). para x = 0 , x ¿ H- y 2 — k¿ cita inferencias. Las secciones con planos y

=1 k

ó x = k son hipérbolas.

ObseTvaaóv. Antas de clasificar una superficie como superficie cónica ron vértice en el origen, debemos observar si la ecuación ho mogénea representa una superficie. Así, la ecuación 'f- • ')} - _i_ -- — p es homogénea en r , y, =, pero representa solamente un punto, en el ori gen. E je r c ic io 17: Analizar \ representar las superficies de ecuación: a) x 2 4* y 2 = 9 b ) x- + c - 2 = 0 Solución a)

X" H- y¿ ~ 9 . Las trazas resultan:

sobro el plano X Y x~ 4- y~ = 9, 3 = 0 (circunferencias de radio 3) (figura GS) sobre el plano X Z x* = 9; y — 0 (par de rectas paralelas: ./ = 3; 3' = - 3 ) sobre el plano Y Z y 2 - 9.

x = 1)

(par de rectas paralelas: y =-- 3: y — —3) L a directriz es la circnnfeiencia x 2 4- ?/2 = Q.

2~

0

por este motivo la superficie se dice circuhu.


82

z

Figura 6 8

-3

..

3 Y *

X

Luego, se trata de un dlindro recto circular^ de eje paralelo al de coordenadas Z. b T2 + - - 2 — 0 = ^ 2 = —X2 H- 2 Las intersecciones con los ejes son (figura 69): e ;e X :

¿ (+ V 2 ,0 ,0 );

i4 '(—.v ^ ,0 ,0 )

e je Y :

no hay intersección

e> Z :

V (0,0,2)

Las trazas resultan: sobre el plano X Y x =: y/2, z = 0; x *= - v ^ . (rectas paralelas al eje Y )

s= 0

83

1.7 Curvas de nivel

sobre el plano X Z z 2 = —( z - 2 ) , y = 0 (parábola de eje Z y vértice V (0,0,2)) sobre el plano Y Z

z = 2, x = 0

(rectas paralela al eje Y ) Seccionando con planos paralelos al X Y , obtenemos las rectas (siempre que k < 2 )

Los planos paralelos al XZ, cortan a la superficie en las parábolas x2 = - { z - 2 ) , y = k Los planos paralelos al Y Z , cortan a la superficie en las rectas c

=

2

- / c

2

t

x =

k

Una parte de la superficie aparece en la figura 69. Se trata de un cilindro parabólico, cuyas generatrices son pa ralelas al eje Y v cuyas secciones paralelas al plano X Z son parábolas congruentes.

1.7

Curvas d e nivel

En el análisis considerado para la representación de superficies, hemos visto que un plano corta a una superficie según una curva; la curva ¿lsí obtenida se llama sección piona de la superficie. Luís más interesantes son las secciones horizontales (resultantes de cortar las superficies por planos paralelos al plano X Y ). Tomando diversas secciones horizontales situadas a distintas alturas del plano coordenado X Y y proyectándolas sobre éste íes decir, anulando la coordenada z ) obtendremos una serie de curvas en el plano X Y , las cuales se denominan cutvoj» de nivel de la su perficie. que constituyen otro m étodo para representar geométricamente la función z = F íx . y ) y que interpretadas convenientemente nos perm i tirán analizar numerosas cuestiones. Sirven para representar, por ejem plo, cómo varían x e y, para un valor dado de z, llam ado cota. Además al cambiar las variables independientes el punto (x, y ) se m overá p o r el plano X Y . y este movimiento, en relación con las curvas de nivel, nos indicará cómo varia z (o sea, la altura de las diversas secciones de la

84


superficie) Simbólicamente la cm va de nivel z = k para un campo escalar - = F (.r. y) es el conjunto

c n ;._k =

{(i-,

y)

€ D om i 7 / i 7 (.r,'?/) = A:}

P R O PIE D A D E S : • Las cu ivas de nivel correspondientes a distintos niveles no pueden interceptarse pues se contradice la condición de unicidad de campo escalar. * Para cada cota existe una única curva de nivel E je r c ic io ] 8 Representar mediante curvas de nivel la función z = x 2 H- y 2 analizando el campo de variabilidad de z S c h in r jp .

Las únicas i ntersecciones con los ejes coordenadas están dadas poi el origen (figura 70a).

85

1.7 C urvas de nivel

L as trazan resultan* 2

sobre el plano

XY

s • — y2 = 0,

= 0 (es un punto de origen).

sobre el plano

XZ

x~ = z. j = 0 (parábola de eje Z )

sobre el plano

YZ

y~ = c, x —■U (paral )d a de eje Z )

Los planos z — A: cun /c > 0 cortan a la superficie en las curvas x 2 + y 2 = k, z = k, que constituye, para todos los valores de k > 0 una fam ilia de circunferencias, de radio \/í. Luego, en el espacio, z = x 2 -\-y2 representa un” paraboloide arcular. Si proyectamos las circunferencias de intersección obtenidas, so bre el plano X Y , obtenemos X W

« 1 ,

2 -1

H V' = (>/2)2, z ~ 2

x- +7/- = (v ^ )2, 2 = 3 j*2 4- y2 = 22, z — 4

las curvas de nivel (figura 70.b) que son por consiguiente circunferencias concéntricas en el origen.

86


Es imporíante darse cuenta de la superficie observando las cur vas c\e nivel. Si estudiamos, por ejemplo, las curvas de nivel (fig.71a) obten idas también al proyectar sobre X Y las secciones que resultan al cortar con planos paralelos al X Y , un paraboloide circular, de ecuación

2

= 100- x 2 - y 7

(1.92)

donde z > 0 y por lo tatito x 2 H- ?/2 < 1 0 0 , deberíamos “ver" que di día superficie tiene; concavidad hacia abajo (fig. 71b), contrariamente a la anterior. z = 76.

En esta figura indicamos en particular un corte por el plano

L a correspondiente curva de nivel es la circunferencia t 2 + y 2 = 25 en el plano X Y . Esta es la circunferencia que en la figura 71a lleva la etiqueta 2 = 75.

87

1.7 Curvas de nivel

z Figura 7 \b

7

z = 75

Y

X Esta interpretación es muy útil en distintas aplicaciones

E n la

técnica la función, (1.92) podría representar la temperatura z (en grados centígrados) en cada punt.o de una placa circular en un instante determinado. Si consideráramos las temperaturas de una esfera, aco daríamos un número a cada punto de la superficie esférica. Los puntos con el mismo valor de z constituirían una superficie isoterma. En economía, z podría representar determinada producción y x e y otros factores que intervienen en la misma. Haciendo variar x e y obtendríamos distintos valores para la producción, mientras que ésta permanecería constante a lo largo de una curva de nivel, aunque variaran x e y. M á s a d e la n te v e r e m o s d e m á s a p lic a c io n e s e c o n ó m ic a s d e ciir\
do nivel (ver 1.8) Si seccionamos la superficie ~ = ,x2 + y '2 con planos paralelos al plano X Z obtendremos las parábolas

z — X 1 + k2t y = k

Las proyecciones de estas secciones sobro el plano X Z (figura 72) para un valor fijo de y por ejemplo, formarán un sistem a de curvas de nivel representadas analíticamente por z = i 7,(a*, A*) dando al parámetro k diversos valores.


86

L a curva de la figura 72 representa la sección de la superficie por i-

]. es decir, la parábola z = l + x 2, que en la suposición señalada

nos indica cómo varía el valor de z al variar x para .;/ = i.

E je r c ic io 19 Representar mediante curvas de nivel la función

■> . •) z = x +?/

S o l"j i(U>. Ln el espacio, (ver 1.2) z =

— y~ representa un paraboloide

hiperbólico. Ptira representarlo por medio de las curvas de nivel, seccionamos con ¡danos horizontales z — k. Iue¿o:

z - x - y ¿ ^ k = x- - y

obt «nomos según 1.2 una familia de hipérbolas equiláteras (lig 73).

89

1 J C urvas de nivel

E je r c ic io 20 H a lla r la.-, curva-, d e n ivel d e la fu n c ió n 1

x+y Solución. S e c c io n a n d o c o n p l¡m o * h o riz o n ta le s 1

r -+■ y

_

^

x4 y

^

? _

z — k. 1 _

k

r e s u lta r

olí tenemos una familia de rectas paralelas (lisura 74).

_ k' *'

90

1.8

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R ÍA S V A R IA B L E S

A plicacion es económ icas d e l co n cep to d e curvas d e nivel

Cuando el concepto de curvas de nivel se utiliza para funcione? núeroeconómicas el gráfico de las curvas se reduce al primer cuadrante del plano X Y , ya que las variables intervinient.es en la determinación de las funciones, en la generalidad de los casos, tom an valores positivos o nulas.

I) C U R V A S D E IN D IF E R E N C IA

Consideremos el caso simplificarlo en el que las adquisiciones de un consumidor están limitadas a dos artículos. Su función de utilidad ordinal es u = F ( q \, (fe) donde qx y ^ son las cantidades consumidas de i us productos o bienes

y Q s - Donde el parámetro “ u” aparece como

representativo de un nivel de preferencia o satisfacción de ese consumidor ai distribuir sus gastos entre los dos bienes indicados. Para entender mejor el concepto daremos tin ejemplo: E l sig nificado de la situación en que un consumidor experimente mayor sa tisfacción o utilidad de un automóvil que de un conjunto de vestidos, es que si so le presentase la alternativa de recibir como regalo, o comprar con parte de su renta, un automóvil o un conjunto de vestidos, escogería lo primero. En el caso anteriormente definido donde la adquisición está li mitada a dos artículos, se denomina “curvas de indiferencia’* al conjunto de combinaciones diferentes cíe cantidades Q i y Q i para las cuales él consumidor obtiene el mismo nivel de utilidad, este último represent a la cota k para la función estudiada. Dichas curvas surgen de aplicar el concepto de curvas de nivel a la función utilidad defin ida por u = F ( q \, (fe) donde las curvas están for madas por todas los pares (í/i, q-¿) para los cuales la utilidad es constante, dichos pares representan cada tina de las combinaciones que proporcio nan al consumidor igual grado de satisfacción. Por ejemplo: Soa la función utilidad dada por u = í/i.ffe para u ~

1

la curva de indiferencia es

1

= q\ q¿ =*■
1 / íi

1.8 Aplicaciones económ icas del concepto de cu rva s de nivel

para u =

2

la curva de indiferencia es

=

2

91

/ 71

para u = k la c u m de indiferencia es qn = k / qi La representación geométrica corresponde a las ramas de las hipérbolas equiláteras correspondientes al primer cuadrante, ya que ({i son cantidades no negativas.

71

y

C aracterísticas correspondientes p a ra casos norm ales • Las curvas son decrecientes, pues al aumentar la inversión en algún bien debe disminuir la inversión en el otro para mantener constante la utilidad. • A l aumentar el valor de

11,

las curvas se alejan del origen en di

rección nordeste; el paso de un punto A al B (F igu ra 75) aumen taría el consumo tanto de Q i com o de Q'¿\ por esta razón debe corresponder a B uu lável de utilidad más alto que a A , ya que todo coasumidor tiene mayor satisfacción económica cuando puede aumentar las compras de ambas bienes. • Las curvas son convexas respecto al origen de coordenadas; esta condición restringe la form a de las curvas de indiferencia. • Las curvas no pueden interceptarse ya que para cada combinación (tfi 1
92


de Q i >' Q? que correspondería a 2 niveles de satisfacción o utilidad, y esto es absurdo en el comportamiento de un sólo consumidor. E jercicio s: 1) En el supuesto que un consumidor distribuya parte de su tenia onur ai ticulos de lujo y bienes inmuebles representados por A 3* B respectivamente, si su función utilidad o preferencia está dad «a por n = (a 4- 1 )(M *3 ) donde a es la cantidad invertida en artículos de lujo (A ) 3' h es ja cantidad asignada a bienes inmuebles (13). gvañcar las curvas de indiferencia para los niveles de utilidad 6 , í\ IH considerando que la inversión en artículos de lu jo no puede superar al tercio del valor de preferencia reducido en una unidad. ÍO < n < j - 1) Auíili¿cu si las características corresponden al caso normal. 2) Idem para xc =

a considerando que el tope para la inversión ’l >/h ♦ 1 ot; el bien A es de 3u — 4, grafinar para niveles do preferencia 2. 3 y -i. Analizar sus características.

u—

\ (a - 1)(b d- 2) para

u=

3)

Idem si

4)

Idem si ?/ =■

[n -1- 2 )\/T>+

ó)

Idem si v —

0: b > 0.

í»)

Idem si v =

oh 4 2a para u = 2y 4.

1

2, 3,4 ;(0 <

o< u

para v = 2, 3,4 ; (0 < a< u —

6

-- 2)

1)

: (0 < a <

7; \ erificar que las curvas de indiferencia correspondientes a un con sumidor cuya fundón de utilidad está dada por u = (a - 2)2 + para inversiones del bien A

(b -

3)’2

110 superiores a 2 y del 1 , 4, 6 no cumple

periores a 3 paia valores u = características d d caso normal.

bien B no su con todas las

11} I S O C U A N T A S Con si lloremos un proceso de producción simple, en el que el em presario utiliza 2 Ínstanos variables (A \ y y uno o más insumos fijos para produdr un solo producto Q, la fundón de producción del

1.8 Aplicaciones económicas del concepto de curvas de nivel

93

empresario que cst.aldeop la cantidad do producto, n i función de las can tidades de los insumes variables ( n y x^) está dada por:

q ^ F { x u x 2) esta funeicSn pieducción sp define para valores no negativos de los insumes y del producto.

Se define como a la curva correspondiente «a todas las combinaciones de a*i v .r> que proporciona un mismo nivel de pro

ducción específico k, es decir. F{?.i pxj) = k. Diehas curvas surgen de aplicar el concepto de curvas de nivel

q

<¿)

a l a función de producción definida por — t donde las curvas están Connadas por toda.' las comuinaciones de las cantidades X\ v xo de los insumes X\ y

cue proporcionan un «a misma cantidad de p ro

d u jo . La cota A; de la curva de nivel es la cantidad de producto de la ísoca\anta ves) ¿cctiv a. Sea la función predicción

q = x\. x>¿

pava q — \ la ísoenapta es i = x ],

x 2 —

parn. q — 2 la isocuanta c*« 2 = para

q = P la isocuauta es P = x 2.

^ =7>

77

11

= ->

x-¿ =

-y xi

la representación gconiétriea correspondiente es:


94

C a ra c te rís tic a s d e las cu rvas isocu an tas • Dentro del intervalo relevant.et (ver aclaración), un incremento de ambos insumos dará lugar a un aumento del producto. • Cuanta más distancia existe entre el origen de las coordenadas y la isocuanta, mayor es el producto que representa. • Son convexas al origen. Âclaración: Si el gráfico de las isocuantas abarca secciones de pendiente positiva como en el siguiente ejemplo:

Figura 77 Y el empresario tiene que pagar precios positivos por los insumes, el punto B es preferible al punto A , entonces el empresario racional no operará nunca en la sección de pendiente positiva de una isocuant.a. Las lineas de contorno O C y O D delimitan el área de actuación racional, en dicha área se cumplen las características dadas ant.eriorrr.enre. Las líneas O C y O D se logran uniendo los puntos de las isocuanta que poseen rectas tangentes verticales y horizontales respectivamente E jercicio s: 1) U n empresario fabricante de determinado tip o de dulce estima que la producción está dada por

1.8 Aplicaciones económicas del concepto de cu rva s de nivel

95

done! e ? 3 y x 2 son las cant i dadas de gl ucosa y azúcar, cons i clorados como los dos únicos insumos variables en la producción dol dulce. Graficar las isocu antas correspondientes a los niveles de producción 1, 2 y 3. Analizar sus características. 2) Si la función producción está dada por q = -1 5 - x\ -f- 6 x 1 — 2 I + &X2 gradear las isoenantas correspondientes a niveles do producción

6

1,

y 9. Analizar sus características sólo en el intervalo ro le a n te .

3) Supongamos que una empresa obtiene un producto a partir de trabajo (A ) y de cierto tipo de máquina al que nos referiremos vagamente como capital (B ) si la función producción está dada por q = üb - a. Analizar las características de las isocuantas ejem plificando para q = 1 a q = 2 .

III)

IS Q C Q S T E

Supongamos que un empresario distribuye sus compras entre dos bienes A't y en mercados de competencia perfecta, es clecir a precios unitarios constantes. Su costo total está dado pot C = F ( Xl,x») siendo i 1> X2 las cantidades de los insumos o bienes X\ y X 2 respecti vamente. E l lugar geométrico de las combinaciones de cantidades de insumos que pueden comprarse por un casto total determinado se denom ina línea isoccste’, y resulta de aplicar el concepto de curvas de nivel [jara la función costo total o conjunto dada por C = F { X \ , X 2 ) tom ando C valoras constantes positivos

, fc2,

cotas que expresan el costo

tí)tai determinado por cada empresario en cada nivel d e gasto. L o s pares ( x i , x 2) que [pertenezcan a la misma curva de isocoste representan las combinaciones en las cantidades de cada insumo entre las cuales los em presarios pueden optar.

96


Por ejemplo: Si el costo total de pi aducción está dado por la función lineal C = 5 i ! + 1 0 x 2 + 100 donde 5 y ll) son los precios unitarios respectivos de AA y AA y 100 es cd casto de los insumes fij^s. Hallemos las Líneas de isocoste para valores mayores que

100

.

para C\ = 105 la isocoste es 10 5 = 5 x 3 + 1 0 x :2 + 100 5 = 5 x i + 10x<»

para CL —

110

la isocoste es 110 = 5$! -I-1ÜX2 H 100 10 = 5;ci + 10x2 ’ = Y

para C :5 =

120

+ Y

la isocoste es

120

= 5a*{ + 1 0 x 2 + 100 20 = 5^3 + 10x2

en general para C n = k la isocoste es k = 5x! + 10x2 + 100

(1.93)

k - 100 = 5xi + 10x2 Tl

. 2'2 ~r fc 100 10

Familia de rectas paralelas de pendiente —1/2 con ordenada al origwi ^ i i r 2 y asc:i.s¡i al origen


97

Para establecer la pendiente despajamos x-¿ de la expresión ( i .93) 10;t*2 - k - 100 — 5;ri 5

k - 100 ‘ "1 0

L a pendiente de las líneas de isocos le es igual a la razón de los precios d é lo s mismos con signo negativo\—j ñ ] •

Si traficamos

Características Cuanto mayor es el gasto total que corresponde a una linca isocostc, mayores son los segmentos limitados por las intersecciones con los ejes x¡ y *2 >' P ür 1° tanto, más alejada se encuentra del origen la línea de isocoste.

Ejercicios: 1) U n empresario utiliza para prornoeionar sus productos dos medios do propaganda X ; y X<¿. E l costo conjunto para promoción está dado por C = 2x‘j + 2x¡ Deteriniriar Iris curvas de isocoste para C = 2 ,8 y 18. A n alizar sus características \ generar para C — k.

98


2) Para la producción de etiquetas demarcadoras de cubierta**se con sumen dos insumos A y B siendo a y b las cantidades invertidas en i a compra de los respectivos insumos, hall ai' las curvas de isocoste si la función costo conjunto está dada por C = a 2 'i- 2 ab -b ti2 para valores de costo total iguales a 1. 4, 9,10 y generalizar para cualquier valor C = k. 3) Si un fabricante de tabaco establece su costo total por la función C = a 2 -b 2a62 + 10 siendo a y b Jas cantidades invertidas en 2 insumos necesarios. Gvahear las curvas de iso coste para C = 12, 14,18 y generalizar para cualquier valor de costo conjunto. I V ) A P L IC A C IO N D E C U R V A S D E IN D IF E R E N C IA E N L A M A X IM 1 Z A C IO N D E L A U T IL ID A D Un consumidor desea adquirir aquella combinación de bienes Q i y Qo con

la

que obtenga un nivel de satisfacción más alro pero su renta es

limitada y no puede adquirir una cantidad ilim itada de productos. La ecuación de balance del oomstunidor (restricción que viene impuesta por su balance de caja) está darJa por R = ViQ i + Í¥ i2 donde R es Ja renta y p, y p¿ son los precios de Q i y Q>¿ respecU wunejji e en mercados de competencia perfecta. La cantidad que gasta en el primet producto (pi .fli) más la cantidad que gasta en el segundo (pi.q-¿) es igual a la renta. Supongamos la función de utilidad u = q\.q> ya analizada an teriormente, y que los precias p l y p 2 son respectivamente 2 y 5 unidades monetario.'» y además se sabe que el consumidor tiene p o t renta p a ia el período considerado la suma ele

100

unidades monetarias.

Entonces la ecuación de balance as 100 = 2
99

1.8 Aplicaciones económ icas del concepto de cun/as de nivel

ordenada al origen 29. En esto problema el consumidor desea alcanzar la más alta de las curvas de. indiferencia que tenga, por lo menos, nn punto en común con la recta de balance. Su equilibrio está en el punto E (ver gráfico siguiente), en el cual la recta es tangente a una curva de indiferencia, pues todas las Curvas de Indiferencia de menor ñivo) de utilidad resultan secantes a la recta (la corta en dos puntos) y para niveles de utilidad superior la recta no corta la isocuanta. entonces esc nivel do utilidad no es alcanzadlo con esa renta. Movimientos en ambos sentidos a partir del punto E redundan en una disminución de su nivel de utilidad (ver gráfico) pues por ejemplo, pava el punto A corresponde una isocuanta de menor nivel de utilidad y lo mismo sucede para c) punto B.

Figu ra 79

En el punto óptimo, la pendiente do la recta de balance debe ser igual a la pendiente de la recta tangente a la curva de indiferencia. Para resolver el problema la pendiente de la línea de precios debo ignalaise a Ja pendiente de la recta tangente a la curra de indiferencia por lo tanto considerando q2 como función do. q x en la recta 100 —

H- 5q>

1C0


i\-u;ra

c;

ia

ih — ~ i {¡i

+ 20 • Entonces la pendiente es

curva •-a -•-.o< —

(1 )

k >-resulta 4/•, n> ——derivando M

<ÍQi

_=

k

(21

? *rt:c:nü* la pendiente de la recta tangente a la curva de indifer en vV. ['¿calando ambas peni lien tes (1) y (2 ) obtenemos k

2

- $

—

An A ^ a n ^ n ie si considerarnos

*

{ A)

en función de m on la recta

1 0 0 - 2 ? ! + 5 í/2

*

1•i '/i = * 7} 52 + 50

; . •» ■■•r.dier.te es —§

(U) en la curva qiq-¿ — k resulta (fo = ^ de r i vanelo (a/i

k

d(}<

qh £iü

(4)

l : .¿..ando \?,) \ (4) obtenemos 5

k

~2 = ' 4

{B]

!;• ,.l« expresión es (A ) y (B ) resulta

.

2

,

li

2 k ~ - q 2

i¿ *.A n :.d o

0 ¿ •> 9 ¿ « o _2 r cl: ^ 7 'fí =*•4?í = 25fc <) o n rt 0 y 'i¿ > 0 entonces:

101


Si reemplazamos esta i elación en la ecuación de balance, obtenemos:

100 = 2r/; -h 2 qi despejando r/,

25 entonces

q2 = ? 2 5

= II)

Coneluimos que la cantidades que inaximizan la utilidad son ¡li = 25 y (¡¿ = 10 correspondiendo a U = 250; nivel de satisfacción más alto alcanzadle por un consumidor con tina renta do 1ÜÜ unidades monetarias. E je rc ic io s 1) U n comumídoi cuya icnta mensual os do 300 unidades monetarias deeoa uwto\y; er. *2 disünUw de bienes A y P> siendo los precios de los mismos establos durante ese período en 3 y 4 unidades m o netarias. res]jedivaincnl.fi. Si su función de utilidad esrá dada por v u 2 .b. obtener las cantidades de los bienes A y B que pueden adquirir paia obtener el nivel de satisfacción más alto. gráficamente*

Analizar

2) U n fabricante *1c calzado estima que se producción e.-.tá dada por q V x ’) '2 donde x\ y x>¿ son las cantidades de cuero y suela neccstU ios para la. producción do dctciininado tipo de calzado. K1 costo de los insumes fijos está estimado en 10 unidades monetarias, los precios urinarios para el cuero y la sucia son respectivamente G y 4 unidades monetarias (so consideran estables). Se pide : a) Dar la ecuación
niorí <*f a r •a.';

C raíl car. comprobando i exultado*

206175

206 176

102

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S i

V)

C U R V A S D E T R A N S F O R M A C IO N D E P R O D U C T O S

Considere:ñus el ejemplo más simple, en el que un empresario usa un solo insumo X para la producción de 2 productos Q L y Q->. En este caso la cantidad del insumo x utilizado en la producción es función de las camidades de lo» 2 productos ( qi, q>) y a esa función x — H{c¡\, (¡2 ) se la denomina: F u v a ó n ríe Producción conjunto (para mayor comprensión ver ejemplo 1)

So dono mina curuo ríe transform ación ríe j)rorí.ucLos o de isoinsumo al lugar geométrico de Las combinaciones de las cantidades de cada producto que pueden obtenerse ron una cantidad fija del inhumo. Este concepto resulta de aplicar la definición de curvas de nivel a la función de preducción conjunta H; ya que para una cantidad fija de insumo .r — k exigen infinitas combinaciones de cantidades de los 2 productos obtenibles a parí.i 1 de ese insumo.

Ejemplo ]: Un proceso de producción conjunta os la cría de corderos, donde un solo proceso permite la producción de lana y carne. Supongamos que la función está dada por x = q ] 4 q\ las curvas de transformación son círculos concéntricos ya que o C -. para i.\ = y 2.

la C .T . e-qE = qf 4 q\

para x -2 = 4

la C .T . es 4 = q{ 4 q¿

para x H — k

la C .T . es k — q¡ 4 q]

Si gradearnos oksorvamas que:

103

1.8 Aplicaciones económ icas del concepto de curvas de nivel

Figura 80 cuarto más lejos está la curva del origen, m ayor es la cantidad de insinuó a la que corresponde. \ q ) IS O IN G R E S O Sí el empresario vende susproductos a precio fijo, suinsreso viene dado por la ecuación lineal I —PiQi -I p 2 ty¡ donde p\ y p->son los precios de Q . y Q 2 respectivamente. L a línea do fsoñitjreto so define com o el jugar geométrico de las combinaciones de cantidades de productos que proporcionar) un ingreso determinado. Dicha línea surge de aplicar el eoncepio de curvas de nivel a la función Ingreso Por ejemplo si considerarnos p\ = 3j está dada por / = 4- 2q> para

/

=

G

ja línea de

i$oi7>¿¿rz.'>o

para / = 12 es 1 ~ ^

h-

para / = A es 1 =

-b j %

es

6 =

3 c /.

4

— 2 la función ingreso

2 <[> — ■ 1 =

,Jy +

^

Esta ecuación correspondo a una fam ilia de rectas paralelas de pendiente igual a —3/2. En general la pendiente es { —p\ j ?>:). A medida que nos alejamos del origen el ingreso es mayor.

104

Cap. 1 F U N C IO N E S O E V A R IA S V A R IA B L E S

Apliquemos estos dos conceptos al problema donde un empre sario desea msodmizar el ingreso para una cantidad fija de insumo. Si la producción conjunta está dada por x = 4 + 4 donde los precios de los productos son 20 y 10 \midadas monetarias respectivamente. La función ingreso está dada por / =: 20 ql + 10q¿ Se desea obtener el mayor ingreso posible con 100 unidades del insumo X. Si hallamos la c u rv a d e tr a n s fo r m a c ió n d e p r o d u c t o para x = 100 obtenemos un arco de circunferencia de radio 10. E l problema consiste en encontrar la recta de isoingreso que sea tangente a la curva hallada. Si / = 20<7i +10^2 jtoda recta perteneciente a la fam ilia de curvas de is o ín g re s o es k = 20
k

q i = " T o 92 + I o

1.8 Aplicaciones económ icas del concepto de curvas de nivel

105

Entonces para q> en función de g1? fam ilia de rectas para

en función de

=* —2

= —1

(1 ) es la pendiente de dicha

(3)

ya que si despejamos qx resulta

^

Además: Si 100 = q\ + % ^

Igualando í l i a ( 2}

Igualando {3j a (4) 1 2

^ 100 =* 5q] =4-
¡ m«* = 2 0 ^ + 10V20 3= 223,6 a 224

Si graficamos las curvas de transformación de producto y las rectas de isoingreso, verificamos los resultados obtenidos:

10 6


C u r v a d e t r a n s f o r m a c ió n d e p r o d u e lo p a r a 1 0 0 u n id a d e s del in s u m o X

d e t e rm in a d a

>nr: 1 0 0 = í | i 2+ íp >

R ectas de Koingreso

1= 20q. + lOcp

Fisura 82 E i ingreso máximo se obtiene para q\ = y q2 = >/20i que geométricamente representa al pim to M donde la recta de isoingreso es tangente a la curva de transformación do producto, el ingreso máximo que se obtiene es de aproximadamente 224 unidades monet,arias. Si analizamos el comport.amiento de la función ingreso vemos que para combinaciones donde \^¡Ó y ingreso aumenta (la recta se aleja del origen R\) pero estas cantidades de productos no se pueden producir con 100 unidades dei insumo X púas no satisfacen la orn ación 100 = q{ +
q<> <

Si. en cambio, consideramos combinaciones donde q\ < \/SS y ei i agreso es menor a 224 pues la recta de isoingreso correspon

diente (por ejemplo i?2) ^ acerca al origen aunque para la combinación de productos correspondientes al punto P la cantidad necesaria de in sumo siga siendo 100 unidades.

1.9

C u e s tio n a r io d e rep a so

1. ¿Que os un espacio métrico? 2. ¿Qué se entiendo p o r c5j>acio eudidiano a-dimensional?

1.9 Cuestionario d e rep aso

107

3. ¿Qué es un sistema coordenado? 4. Indique la diferencia entre los sistemas coordenados: unidimen sional. bidimensional y tridimensional. 5. Defina conjunto de puntos. 6. Defina ecuación do un conjunto de puntos y conjunto solución de una ecuación. 7. Indique las ecuaciones y efectúe las gráficas respectivas de las prin cipales curvas en el espacio de dos dimensiones. S. Defina superficie. U. Indique las ecuaciones y efectúe las gráficas respectivas de las prin ■ cipales superficies en el espacio de 3 dimensiones. 10. Indique las ecuaciones de la recta en el espacio de 3 dimensiones. 11. ¿Qué representa una ecuación con: (a ) una variable; (b )

dos variables y (c ) tres variables.

12. Defina: (a) Inténsalos abiertos y cerrados (L ) Esfera o bola cerrada y abierta (c ) Entorno y entorno reducido (en R 1, en R - y en R 3) (d ) Entorno cuadrado (c)

Puntos: de acumulación, de frontera, inferiores y exteriores

(f ) Conjuntos: abiertos, cerrados y conexos (g ) Región. 13. Defina funciones de dos variables. 14. ¿Qué entiende por si ib conjunto de variabilidad*7 15. ¿Cómo representa geométricamente las funciones de dos variables?. 16. ¿Que entiende por curvas de nivel? 17. ¿Qué entiende por curvas de indiferencia0 D ar características del caso normal y ejemplificar.


108

18.

¿Qué entiende por isocuanta, isocostc, curva de transformación de productos y de isoingreso? D ar características del caso normal y ejemplificar.

1.10

E je rc ic io s d e a p lic a c ió n

1) Si F { x , y ) ~ 2x- + 3?/2 - 4 a) Hallar: a t ) F (0 ,0 ); a i) F (2 , —3) bl Verificar que F ( —x, —y) = F ( x , y)

-) s¡

= verificar que

a) F (x ,~ y ) = F (x ,y ) bj F ( l i )

= - F (i,i/ )

3) Si F { x , y , z ) — x y - i 3 + 2r2 - 1 hallar a) F (0 ,0 ,0 ) L¡ F (-1 ,0 .0 ) cj F ( a , y , b) A) F { 1 , - 2 , - 2 ) 4) Determinar los puntos de frontera, interiores y exteriores de los siguientes conjuntos: aj S = { ( x , y ) e B ? / b)

í

= {(

i

,j)

e

x - + i f < 1, y > 0 }

IIV 0 4 } U { ( i , ; / ) e R 2/ *2 + i f < 1} 5) Determinar y representar el subconjunto ele ios pares ordenadas de números reales para los cuales están definidas las siguientes funciones

7.70 Ejercicios de aplicación

109

+ y/iwn(xy) - 3 x + y + zy +

o. I n ^ y ) i

are sen (¡r *f y) 3) • h > /*2 - 9 . I n í l - i 2 )

6)

Indicar la natAiraleza de las gráficas, en R 2 y en R 3, de las sigmenf.es ecuaciones (efectúe ei lector las representaciones respec tivas): a) í/ =

0

b) i - y = 1 c) X7 -r 4?/" = 4 d) x = —5

e) x 2 + y2 » 9 f )

f

-

^

=

2

g) x ? - 4?/ = 0 h) x = - y i) 2y2 =

0

j ) 4x¿ = 16 7) Indicar la naturaleza de las gráficas, en R

2y

en R 3, de las

siguientes ecuaciones (efectúe el lector las representaciones respec tivas j : a) ^ + ^ + ^ = 3

b) i 2 + 4y 2 + 4z2 - 8 = 0 c) j 2 = 4j,s - a-2 d) i

2 + 2,5

-

2z

=

0


110

f) x 2 4 Ay2 4 §z~ — 0 i ) 2 x - ■y 4 z = 4 h)

X' A

.£ + ^

=

1

i) ( . T - 2 )* + ( y - i )2 + U + 3 ) a » 9 i) 2x2 ■

% 2 -4 z 2=6

k) 4x7 ■4 y2 - 4s = 0

1)

x - 4y

m) x 2 -

8)

=

4z

1/2 = 2

Indicar que representan las siguientes inecuaciones: a) ( x - 2)2 + (y + 3)3 < 4 b ) x 2 + y2 +

22

< 9.

Efectúe el lector las representaciones gráficas correspondí entes. 0 ) Representar mediante curvas de nivel las siguientes fundones: a) z = - x 2 +

2y

b ) z = xy

10) U n productor do quesos utiliza como insumo x cantidad de leche en la producción de dos tipas de quesos A y B ( si Is función producción conjunta está dada por x = Aq{ + y d precio de cada tip o de queso es 3 y 4 unidades monetarias respectivamente. Se pide: (a ) D ar la función ingreso total. (l>) Hallar la curva de transformación de producto para 32 toneladas de leche. (c ) D ar el gráfico de las líneas de isoingreso. (d ) D ar el valor de ingreso máxim o obtenible con 32 tonda- das de lecho.

111

/. 10 Ejercicios de aplicación

11) En un proceso de producción simple un empresario utiliza 2 in sumo* X \ y X% para producir un solo producto, la función de producción que establece la cantidad de producto es q = . Si el casto unitario de cada insumo es 3 y 6 respectivamente pava X\ y X 'i y existe un costo fijo de 180 unidades monetarias. (a ) Hallar la función de costo total. (b ) Graficar la curva isocuanta para q = 2 cantidad de producto elaborado. (c ) Graficar líneas de isocoste para k =

6,

12, 15

(d ) Hallar el valor mínimo del costo total para un producto q = 2 -

Capítulo 2 L IM IT E S Y C O N T IN U ID A D 2.1

L im ite s p a ra fu n cio n es d e u n a v a r ia b le Es importante repasar el concepto ele lím ite de una función en un

punto, por funciones de una variable independiente. Ejemplo 1 Considerando la función f ( x ) = x 2, parece que (ver tabla siguiente) “cuando x tiende a 2, f ( x ) tiende a 4” (figura 83), hecho que simbolizamos así lim x 2 = 4 x —> 0

X

1.9

1.99

1.999

2.01

2.1

X ,¿

3.61

3.9601

3.996001

4.0401

4.41

Y 4

Cuando "x" se acerca a 2 ”y se acerca a 4

X Figu ra 83

114

Cap. 2 L ÍM IT E S Y C O N T IN U ID A D

Ejc'npJo 2: Sea la función

1

x- -

x —1 ¿Qué sucede cuando x se acerca a l ? . En cst.e caso la función no está definida para x = l. |X

0.9

0.99

1.9

1.99

1.1 2.1

1.01 2.01

Aunque no podemos dar un valor de la función pava x = 1. parece que (ver tabla anterior) “cuando x tiende a 1 , f { x ) tiende a 2 " . L a iden de lím ite de una función en un punto es la siguiente: una función tendrá lím ite L en un punto xq , si es posible que los valores de la función se acerquen a L tanto como se desee con sólo tomar valores do x próximos a io Definición Decimos que la fundón f ( x ) tiene límite L en el punto xo, punto do acumulación (ver 1.3) del dominio de la función, si para cada número f > 0 arbitrario, existe otro número ó > 0 > tal que para todos las puntos del entorno reducido 0 < |x — xo| < f que pertenecen al dominio de la función, se verifica \ m -L \ <

e

Simbólicamente, se escribe lirri J ( x ) = L Zt» Esto implica que para la determinación del lím ite sólo interesa el comportamiento de la función en un entorno reducido del punto y no en el punto x 0; por esta causa en la definición cío lím ite es necesaria la condición de punto de acumulación del dominio de la función, pues esto asegura la existencia, en cualquier entorno reducido del punto x {), de, por lo menos, un punto de dom inio de la función que consecuentemente admita imagen. lim í

f ( x ) = L * J>

Xu es punto de acumulación del Dom f V e > O E á(r) > 0 / V x : \x e D o m f

Axc

E '{ a ) =í* f ( x ) e E ( L ) J

115

2.1 Límites para funciones de una variable

La expresión métrica de la últim a im plicación es 0 < \x ■ - x Q\ < f =>• |f ( x ) -

equivalente a lo dicho anteriormente.

L\
Gráficam ente (figura 84). cst.o

significa que dentro de la “fa ja horizontal” del plano X Y , comprendida entre y

= l - e

e

y

= L-\ -f

están todos los puntos del trozo de gráfica que corresponde al entorno reducido.

Figura 84 En general el valor de h depende del valor de f y de la gráfica de la función, pues si disminuimos e nos verem os, en general, obliga

dos a aproximarnos más a j D lo que im plica disminuir ó. Adem ás en la mayoría de los casos S, también depende del punto .t*o considerado. Pero por más pequeño que sea r, lo im portante es que exista ó. Tomamos valor absoluto para indicar que podem os considerar puntos a la izquierda o a la derecha de Xo> ° bien por encim a o por de bajo de L. También exigimos que

116

Cap. 2 U M IT E S Y C O N T IN U ID A D

pues cu el cuso de admitir x — :j:0 =

0

tendríamos x = Xy, lo cual

restringiría el concepto de lím ite al caso en el cual la fundón esta definida en el punto considerado. E je r c ic io 22 Aplicando la definición de lím ite verificar que lim x ” = 4 £ •2 Solución. Debemos demostrar que 4 cumple las condiciones exigidas por la definición do límite. Sea f > 0. Debemos probar que existe ó > 0 tal que tí < |:r — 2 1 <

|x2 - 4 ¡ < e.

( 2 .1.)

La primera inecuación equivale a (ver figura 85) • ó < x v sumatulo

2

2

< ó

a cada parte 2 - 6 < x < 2 -r¿ = > 4 - 4b -I ( b ) 2 < x 2 < 4 -h 4b + (ó )- 4b 4- (ó )2 < ar — 4 < 46 + (ó)'2

6

6

Figura 85 Si tomamos S < 1 , podemos sustituir * *45-h$2 por una expresión que sea siempre mcuoi^y 40 + fi2 por otra que sea mayor, o sea -ryb < X2 - 4 <: bó =?* \x2 - 4| < 5b

( 2 .2 )

D e (2.1) y (2.2) se deduce que dado un e positivo cualquiera, deberá tomarse 5b — f

Esto quiere decir que para todo r > 0, bastará

11 7

2 .1 Límites para funciones de una variable

tomar 6 <

por lo tanto, existe el 5 > Ü al que so refiere la definición

de límite, quedando probado que lim x l = 4 í —•; El resulta de» obtenido indica, como puede observarse en la siguien te tabla, que sí lijamos por ejemplo e = 0.02 debemos tomar b < 0.0039 pana que e) valor de la fundón difiera del lím ite menos que 0 ,02 . •

]

o.i;

ó r

n. io 2.1» 4 7»ni

0.1 I 0

0.1 0.013 zn iH

:u í i

4.072; *24

0 7W\

o .w

o v¡i2\m

/M

0 02

1

0 OOáO

0.24 2.24

1 flOul 5.0170 á. 03-1415 0 DI óáRtí |_1.0170

6>

í

l

1 e> i

Como observamos en la misma tal da, si en cambio, por ejemplo ¡jara t = 1 . tomarnos ó > §, el valor de la función difiere del lím ite en 1 O lTfi >

2.J.Í

f.

Furi d óji corit'imin un un punto

L a fi molón y = f ( x ) es continua en

el punto x

= xo si se cumple que:

1. La fundón está definida en el punto x = x^. 2. Existe el

lím ite

de la fundón en dicho punto, o lini f ( x )

sea

y es finito.

3. K! límite de la fundón eri el punto coincide con d valor de la función en el mismo, o sea l i m f ( x ) = f ( x 0) X

►l'o

Ejemplo La fundón } ( x ) = x ¿ es continua en el punto x — 2, pues lim X’ = 4 X -2

y además /(2 ) = 2¿ = 4

118

Cap. 2 L IM IT E S Y C O N T IN U ID A D

C o n tr a e je m p l o E n c a m b io , la fu n ció n

,, v

n o os c o n tin u a e n x =

1.

r2- l

p u es l a fu n c ió n n o e s tá d e fin id a p a r a

x — 1, a

p e s a r d e q u e el

lim

T— 1

1 r 2' — 1

x2 —

=

2

(c o m o v e r e m o s e n el e je r c ic io q u e s ig u e ).

E je r c ic io 23 J u s tific a n d o lo s p asos, c a lc u la r

!im

^

z—1 X

■

1

Solud-óv. C o m o e n un e n r o m o r e d u c id o e s x lím it e n o in te r v ie n e n m ás q u e lo s v a lo r e s d e

i *o « e n la d e fin ic ió n d e i a fu n ció n y

= f ( x ) : po r lo

ta n to , d o s fu n c io n e s q u e s on ig u a la s p a r a l o d o s lo s v a lo re s d e x d is tin to s d e .r

=

j'o , tie n e n e l m is m o lím it e p a r a x —* x q . E n c o n s ec u e n cia , es líc ito , a n te s d e c a lc u la r e l lím it e , h a c e r en

la fu n c ió n t o d a s la s s im p lific a c io n e s co n v en ie n te s. E n e s t e e je r c ic io p r o c e d e m o s así:

]im ^ - 1 ^ |jm ( z - I K t + 1) = ]im 3; + A r —i X

1

r —\

X

=2

x— 1

1

P r im e n ? e fe c tu a m o s u n fo c to r e o a lg e b ra ic o ; lu e g o s im p lific a rn o s p u es est.á e x c lu id o el p u n to x =

1

(s i se a lc a n z a s e el p u n to x =

1

no

p o d r ía s im p lific a r s e pues l a d iv is ió n p o r c e r o n o e s tá d e fin id a ).

x=

A l s im p lific a r o b t e n e m o s ot.ra fu n c ió n

1

c o in c id e c o n la fu n c ió n d a d a (fig u r a s L a fu n c ió n y —

x+

86

(y = x +

1 ), q u e s a lv o en

y 87)

1 es co n tin u a p a ra to d o x.

Luego, como y — :/;+l es continua para

x. =

1. el límite se obtiene

calculando el -ualar de la f u n d ó n en esc punto; o sea, solamente cu estos

2.1 Límites para fundones de una variable

119

casos, d ir e c ta m e n te o b te n e m o s e l lím it e d e u n a fu n c ió n r e e m p la z a n d o la v a ria b le p o r e l v a lo r al cu a l tie n d e .

La fondón y =

no

]ja función y =

continua para x =

2’

1

(ñ g $fi)

+ l (es continua para to d o x )(fig R7)

120


2 .2

L im it e s p a r a fu n c io n e s d e d o s v a r ia b le s in d e p e n d ie n t e s L a relea in tu itiv a d e lún3t.c p a r a fu n c io n e s d o v a r ia s v a r ia b le s , en

e s te c a s o d o s , os l a m is m a q u e h em o s v is t o p a r a fu n c io n e s d o u n a v a ria b le . P a r a s a b e r si u n a fu n c ió n d e d o s v a r ia b le s tie n e lím it e e n un p u n to (:c«), t/r>) n o c o n s id e ra m o s cliclio p u n to , s in o e l c o m p o r t a m ie n t o d e la fu n d ó n en lo s a lr e d e d o re s d e l m is m o (e n t o r n o r e d u c id o ).

S i tos v a

lo re s d e la fu n c ió n cjno o b te n e m o s al d a r a {x ' y a ‘.y* v a lo r e s p r ó x im o s a tfn y es e l

7/0

r e s p e c tiv a m e n te , tie n d e n a u n c ie r t o v a lo r , d ir e m o s q u e é s te

l im it o d e

la

fu n c ió n e n el p u n to

(tfu .v / o ),

a u n q u e la fu n c ió n

t ío

esté

definida e n d ic h o p u n to . L a d ife r e n c ia r a d ic a e n e l h e c h o q u e c u el e s t u d io d e l lím ite, d e fu n cio n e s d e u n a s o la v a r ia b le n o s a c e rc a m o s al p u n to e n f o r m a lin ea l, p o r d e re c h a y p o r iz q u ie rd a , si es p o s ib le , p u es se c o n s id e ra n e n to rn o r e d u c id o s lin ea les ; en c a m b io , p a ra fu n c io n e s d e

2

v a ria b le s , a] ser su

d o m in io b i d im e n s io n a l nos a c e rc a m o s ¿ti p u n to p o r m e d io d e e n to rn o s r e d u c id o s c ir c u ía le s o c u a d ra d o s , e s d e c ir q u e l a a p r o x im a c ió n .se r e a liz a p o r lo s in fin it o s c a m in o s q u e e s tá n in c lu id o s e n el d o m in io d e fu n c ió n y q u e c o n t ie n e n a l p u n to d e d o s c o o rd e n a d a s ,e n el c u a l caJ ctllam os e l lím it e d o b le .

fyrmpío C o n s id e r a n d o la fu n c ió n F ( x , y ) = x y , p a re c e ( v e r ta b la s ig u ie n te ) q u e " c u a n d o (* ,¿ / ) tie n d e n a (1 ,5 ),

F{x,y)

t ie n d e a 5” , h ec h o

que: s im b o liz a m o s así. jim xy = b ( x .v )* * ( 1 ,5)

0 99 4.99

1.1

1 .0 1

0.999

0.999

y

0.9 4.9

5)

5 01

5.001

xy

4.41

4.9401

5.61

5.0601

4.999 4.994001

X

4.995999

P a r a ju s tific a r el r e s u lta d o d e e je r c ic io s r o m o e l d e l e je m p lo , p r e v ia m e n te , c o m o cu e l c a s o d o u n a v a r ia b le , n e c e s ita rn o s c o n o c e r la d e fin ic ió n d e lím it e p a r a fu n cio n e s d e d o s v a r ia b le s , q u e d a m o s a c o n tin u a c ió n .

2.3 Límite doble o simultáneo

2.3

121

L im it e d o b le o sim u ltá n eo

Defin ic ió n : D e c im o s q u e la fu n ció n z — F ( x , y ) tie n e lím it e L e a el p u n to (^ d ^ 'o ): p a n to d e a c u m u la c ió n d e su d o m in io , si p a r a c a d a n ú m e ro ( > Ü

0, que depen de

a r b itra rio , e x is te o tr o n ú m e ro 6 >

do c, [ f (5)| ta l q u e p a ra

to d o s los p u n to s riel e n to rn o re d u cid o ü < ( x - r o ) ' - -t- (y — y o )2 < &

l 'erf> 5 0 , 5 ^ 5 2

q u e p e rte n e c e n a l d o m in io d e F s e v e r ific a que:

\ F (x ,y ) - L \ < t S im b ó lic a m e n te , se escrib e

F(x,y)—L

lún {•J\y} - ( « « . y o )

C e a e ric a raen tu s e d ic e q u e u n a fu n ció n z = F ( x , y ) tie n e lím it e L en el p u n to (:cn, vyo)r p u n to d e acu m u lació n d e l d o m in io d e F ,s i p re fija n d o a r b itr a r ia m e n te un e n to rn o d e c e n tr o L y ra d io € >

0,

re d u c id o d e c e n tr o e n (:iv>,yo)> y r a d io <5 > 0, t a l q u e p e rte n e c ie n te a

e x is te or¿ e n to rn o p a ra

t o d o (i; , y)

E ’{{:ro>Vo)\ ¿| H D o m F el c o r re s p o n d ie n te v a lo r d e F ( z , y ) p e rte n e c e al e n t o r n o E ( L , ( ) . E s d ecir:

F { x , y) -

lirn

L «■

(-e,v) —l*o i!/o)

(■r o m )&> P u n tü tle a c i)m u I ación d e l Doin

a) ó)

Ve

>

0 3 ó *(O

>

O /V fjt^ J K x .v )

G D o m F A f a y ) € E \(x 0¡ yo)> 6}

* * F ( x %y ) <= E ( L , t ) } A p lic a n d o la e x p re s ió n m é tr ic a d e e n to rn o s e o b t ie n e la im p li c a c ió n y a d e n o ta d a

x ,y )

6

D o r n F A 0 < J { x - x Q)

+ (y - y o )7 < Ú =* J F fa q t,) - L\ <

122


Es decir que bajo la condición que (^r>,i/o) sca punto de acu mulación del dom inio cíe F y considerando todas los pantos (.r,?/) que pertenecen a dicho con i unto, debe cumplirse que:

0

< (:r: - X n f + (?/ - V o f < ^ =>

?/) - ¿ f < «f

Insistimos en que /*'(*>?/) no necesita estar definida en (x ^ , 2/o), pero sí en los demás puntos de un entorno de (^ 0 , 7/0 ) (figura 88 ), que en el caso do la definición dada hemos supuesto dicho entorno circular (ver ejercicio 4 y 1.3).

Sí en cambio consideramos en entorno cuadrado de semiamplitud (ver 1.3), se mantiene la defuurjón poro variando el entorno reducido, resultando entonces (figura 89)

6

L a función F ( x , y ) tiene lím ite para ( 1 , 7/) —» (ôil/o), si dado € > 0, se puede hallar nn número 6 > 0 ta i que para todas ías puntos del entorno reducido |r - a o ( < ó

A

se verifica !

F ( x , y ) - L \ < e

\ y - y ¡ ] \ < 6

2.3 Limite doble o simultáneo

123

El limita que liemos definido se llam a doble o simultáneo, pues si nos acercamos al punto (tfo»2/o) por puntos cualesquiera ( í , y ) del entorno reducido siguiendo un camino cualquiera, es decir x o y varían simultánea mente e ¡ndepondiontcmente uno de otro. Tam bién este lím ite se llama cornplexivo. Es conveniente recordar que si una función tiene lim ita en un punto, dicho lím ite es único y que esc valor debe obtenerse cualquiera sea la manera de tender ( t ., y ) hacia ( ; c o , ?/o); <*> ^ que si al tender al punto do dos maneras distintas, obtenemos valores distintas para la función, significa que ésta carece de lím ite doble, entonces decimos que no existe límite.

124


E je r c ic io 24 Aplicando la de/ini clon de lim ite verificar qm? liin

x y *r: 5

Solución Debemos demostrar que 5 cumple las condiciones exigidas por Jo definición de J/mitc. Nuestro problem a consiste en hallar, si es posible, ó > 0 para todo e > 0 tal que se cumpla la definición de lím ite. O sea 0 < |í: — 1J< ó ^ —ó < v — l < S => - S 'h 2 < x —6 + 5 < x < 6 + 5

multiplicando (2 3) y (2.4) 6J — 6 6 -r 5 < x y < Ó2 ■+ 6 ó + 5 => ó'2 ~ G 6 < x y < ó2 + 6 Si tomamos 6 < 1, podemos considerar -•76 < x y — 5 < 76

\xy — 5| < 7ó .

(2.5)

pero, según la definición de: lím ite, debe cumplirse \xy — 5| < t

(2.6)

De (2.5) y (2.6) se deduce que para todo < > 0 deberemos tom ar 76 á e, de. donde 6 < £. Hemos probado que puedo hallarse el ó > 0 bascado, o sea que queda probado que lim xy = 5 («.y j- (i.s ) Si fi i ¿irnos, por ejemplo, t = 0.01 resulta «5 £

S 0-0014

Deberemos tom ar 6 < 0.0013 para que el valor de la función difiera del lím ite menos que 0,01 Se cumple pues tom ando b — 0.0013; resulta

* = 1 + ¿ = 1 + 0.0013 = 1.0013

2.4 Límites sucesivos o reiterados

125

c y = 5 + 6 = 5 + 0.0012 = 5.0013 Luego F [ x , y) — 5.007801 P o r lo tanto fF [ x , y) •• L\ = (5.007B0I - 5 \ = 0.007801 < 0.0í Ten i en 13o en cuenta que no resulta sencillo el cálculo de lím iles aplicando la definición, definiremos otros límites tales como: sucesivos o reiterados y radiales que nos resultarán inuy útiles para dicho estudio. Cuando digamos límite, sin calificativo, entenderemos referirnos al límite doble. En el primer curso de análisis matemático, utilizamos distintos caminos para acercarnos al punto, por derecha e izquierda para ver si existe el límite. Ahora nos acercaremos por distintos caminos: rectas, curvas y así surge cí concepto de los distintos tipos ele lim ites: radiales, paral jóIleos, sucesivos, ote.

2.4

L im ite s su cesivos o re ite ra d o s

listos limites se earacterzan porque en primer lugar se considera una variante fija y se calcula el límite de la función dada para el valor a l c u a l t i e n d e l a otra variable, obteniendo así una nueva función cuya variable es la que so consideró fija, finalmente se calcula el lím ite de esta función para el valor al cual tiende la variable correspondiente. Así, considerando z = F(x*, y), si primero hacemos tender x ha cia x o fijando y y y desperes hacemos tender y hacía yo, obtendremos el límite L ) que simbolizamos. lim V

lim F ( x , y )

Vu

Este límite reiterado presupone (figura 90) que en un cierto en torno reducido de yo en la recta x = Xq, existe la función if(y ) -

lim F ( x , y ) I —*10

126


Y

F ig u r a 9 0

*(y )

F {x ,y ) yo

*p (y )

*0

0

X

Análogamente, si prim ero hacemos tender y hacia yo fijando x, y después hacemos tender x hacia lím ite Xq, obtendremos el lím ite L^, que simbolizamos. lim

r .-’h,

lim F { x , y )

— lim a ( x ) — L 2

Este otro lím ite reiterado presupone (figura 91) que en un cierto ontorno reducido de zo en la recta y = y0> existe la función: o{x) =

lim F ( x , y ) V—Vo

2.4

Lím ites s u c e s iv o s o reiterados

127

E je r c ic io 25 Hallar límites sucesivos de la función F{x,v) =

i- 3 y

2i

+ 6y

en el origen. Solución. Debemos hallar los lím ites sucesivos en el punto 0 (0 ,0 ). Considerando fijos los valores de y (o sea y = constante) obte nemos L ] = lim

!/—*0

x -Z y hm rz—*0 2x + 6y

v -o

2

En este caso (figura 92), siguiendo el cam ino M N O , el valor de la función tiende a (- 1 /2 ).

En cambio, considerando fijos los valores de x (o sea, x = constante) obtenemos Lo ~ lim

x -Z y lim v—o 2.x 4- o y

y x .. 1 1 = lim — = lim - = x —»o 2 x

x — o 2

2

O sea, siguiendo el camino M P O , el valor de la función tiende a \ \ lo que nos indica que según el orden en que se tomen las dos límites, los valoras obtenidos pueden ser distintas.


128

Pica i saínente. la n a discrinúiiackui entro L\ y L 2 fu e la causa ele ciuo, erróneam ente se creyera en el s ig lo pasado, o ríe en el ord en de Las d erivacion es no a lterab a el resultado. E j e r c i c i o 2G H a lla r lim ites sucesivos c)e la función F ( x , t¡)

x y p a ia

Solución

L\ —lim

\j—:>\t-*i

h-¿

= lim

r — 1 \^v *5

( Jim T¡j} y *0

= íirxi

r/

í !im o:y )

= liin

5.r= 5

/

/

x—l

En esto caso, con tra riam en te al an terior, los dos lím ites son iguales.

2.5

L im it e s ra d ia les L la m a m o s así a los lím ites laterales o b ten id o s cu a n d o nos acer

carnos al punto siguiendo una re c ta que pase p o r el punto. S im b ólicam en te los indicarem os: lim rad ial F ( x , y ) = L r

íx.T/)— Si el punto es

?/o): ten d rem os en cuenta la ecu ación d e la

recta que pase p or dicha p u n to (v e r 1.2.7) qu e es

V - yo - m(x - x0) H ocicu d o variar la p en d ien te ni. ob ten d rem o s las in lin itas red.as qu e pasan p o r P (). En particular, si el p u nte es el origen 0 (0 ,0 ), la ecuación es :

y = n LT ya qu e es yo = :iy = 0. (v e r 1.2.6).

E je r c ic io 27: H a lla r lím ites rad íales d e la fuución F ( r , y ) =

Solución:

e n el origen

—5

2.5 Límites radiales

129

Los obtendremos reemplazando la variable // por m.x Eu este CUSO Lr =

—

lim r a d ia l /■'(a;,'??) =

(a.j;)—(ü.o;

v

,. .

lim radia!

lim r a d i a l

(-'iv)• •( 1 oj

x-

3??u: ■ — r =

t

2 'v

..

\ -(v m x

...

1

------ 7-

2 x ~\ by

*(1 lini radial —* (:j¡- ío .O 'i

12( T

- 377?.

= (I „ t e ? al 2 T -T 3 7 Ó =

2 .r (l

—

37n)

- h 3 í??)

‘¿ m ^ o

E n c^ te c a s o el lím it e ra d ia l d e p e n d e d e la p e n d ie n te d e la r e c ia q u e iros a c e rq u e a l o v i¿ e u (fig u r a 9 3 ). S i n o s a c e rc a m o s p o r u n a r e c t a d e p e n d ie n te 1/3, e l lím ite ra d ia l v a ld r á (r e e m p la z a n d o p o r p a ra m = 1, L r — ( - 1 / 4 ) ; p ava m — - L L ,

m

= 1/3) cero:

= - 1 . etc.

E je r c ic io 28 Hallar límites radiales de la función F ( r . y ) = xy para (y. u) - .(1 , 5 ). Soh taó n.

Despejando y, de y - yo = m ( a - - 2:u)

resulta

y

=

m (x -X u)

H-7/o


130

en este caso xq = 1; yo ~ 5, luego y - v i { x — 1) + 5 que reemplazado en la función dada, nos permite obtener L y=

lim (a-. t/> —(1.5>

radial xy = lim radial xímfa; •• 1} + 51 (* lV)~U,S) 1 } 3

=

lim radial 5 = 5 ( s , i / ) - » ( l , 0 )

En e»te caso, contrariamente al anterior, cualquiera sea la recta que nos acerque al punto (1,5), el valor de la fundón siempre tiende a 5. Obstinaciones: El cálculo de los límites reiterados y radiales de una función, nos ayudan en el cálculo del lím ite doble de la misma. Conviene., para ello, tener m uy presente jas .siguientes reglas (que surgen record ¿indo que una función puedo carecer de lím ite y que si lo tiene no puede poseer más de uno): 1. Si existen L . L X, L 2 y L , los cuatros son iguales. O sea “ sf existe?? o] lím ite doble, los reiterados y radiales, los cuatro tienen que ser iguales entro sí"L — L\ — ¿>2 = L r 2. Si existen L ]

y L , puede ocurrir que:

(a ) L x L-¿. por lo tanto (según 1 ) no existe L , o sea “si existen ambos )mútes reiterarlos y son distintos entre sí, entonces no existe el lím ite doble 15 (b ) L\ = L> # L r . no existe T, o sea “si existen y son iguales ambos límites reiterados, pero existen límites radiales diferentes, entonces no existe el lím ite doble 11 (o ) h\ = L 2 = L Tí n o es condición suficiente para la existencia de L , o sea “si existen y son iguales ambos límites reiterados y a la vez iguales a los radiales, esta condición no asegura la existencia del lím ite doble11, pues habría que considerar otros caminos para accicarnos al punto dado, com o sinu soides. parábolas, etc.”

2.5 Límites radiales

3

131

Si existo L, puede ocurrir qne no existan L , o L-¿, o y I? . O ■sea, “puede ocurrir que el lím ite doble exista, sin qne alguno o ninguno de los lím ites reiterados exista” , Consecuencia: puede no existir L (aún existiendo L j y

o L¡ o

y tam poco L x y L¿ ."

Estas observaciones nos indican que pueden presentarse 23 = 8 posibilidades (según qne los límites L t L\ y existan o no) que se re ducen a 6 porque L\ y ¡ n desempeñan papel análogo, ya que las casos existe L t existe L\ y existe L>¿ son, esencialmente el mismo y cada uno se reduce al otro permutando x con y. Ocurre otro tanto si no existe L, existe L\ y no existe

¿2

o n o existe L , no existe L , y existe L 2 -

Observando los ejercicios 24, 26 y 28, vemos que cumplen la ol>servación 1 (ya que en el primero demostramos la existencia de L ). Según el ejercicio 25 y teniendo en cuenta la observación 2a) podemos asegurar que no existe L en e! origen de la función

Los siguientes ejercicios, ejemplifican las observaciones enunciadas. E je r c ic io 29: ¿Existe el lím ite doble en el origen de la función?

2

xy

Justificar la respuesta. Solució n Hallamos límites reiterados L \ - lim

2xy lim -n * —o x 2 + y 2

L?= lim lim x —0 y - 0

2 xy X2

+

y 1

= lim

0

= lim z —.0

0= 0

=

0

La igualdad de los límites reiterados no nos asegura la existencia del lím ite doble. Recurrimos a límites radiales: 2xy L r=

lim radial

i a + i/ a

—

V

, hm radial

( * , * ] —

( o .n )

j j * 7

2mxl

11

4 -

—x

m - x ¿

132


=

.. .. , 2 m. 2ni lim radial-- • —r = — ----(o.o) lH - m J 1 + m-

V , 2mx2 itm r a d ia l^ — — = {*,»/)—(o.o) t (1 -1 - 77? ) Luego, para nt = 1, f,r

1; para

im

— 2, L r = §, etcétera.

Según la observación 2b) no existe L. Observar la diferencia entre el ejercicio 25 y éste. En ambos existe L\ y Lo> pero no existe L. E n el prim ero por ser L\ =£ L i y en este a pesar de cumplirse L ) = L?, pues el lím ite radial depende del valor de de la pendiente iii. E je r c ic io 30 Hallar, si existen, límite doble y lím ites reiterados de la función

F{x,y)

= {x + y) ^sen ^

lim

( x 4- y) f sen [

+ sen Q

en el origen. Solución: L =

(t,ü)

'( 0.01

V

U

4 - sen

(-

=

0

Ví/

7

pues lim

(x + y) = 0

1

sen i —

sen l V

<

2

se trata dol producto do una función acotada por un infinitésimo y su lím ite es coro. L i = lim v -o

en este raso lim (x + y) = y

2'—0

2.5

Lím ites radiales

133

carece de límite; luego L\ no existe. Razonamiento análogo indica que tampoco existe L%. Est e es un ejemplo
y L 2.

E je r c ic io 31. H allar límite doble y límites reiterados de la función

Solución L\ no existe, porque fijado ‘y ' no existe

pues el lim sen ( ¿ ) no existe y en este caso tenernos una constante 'y mi il ti p) icada p or una f i inciói i acotad a a di f eren ci a de;I c j ercic io anterior.

pues lim y = ir-
0

y <

1

pues el seno es una función acotada

Existe L , & pesar de no existir L\ .(Observación 3). E je r c ic io 32. Hallar límite doblo y límites reiterados de la función

en el origen.


134

Soh¿c?ón. Com o es obvio,

110 existe

L; tam poco existen L\ y Lo.

E je rc ic io 33. Hallar lím ite doble y límites reiteradas de la función xy

F ( x , y ) = y sen

x¿ + y ¿

en el oriaen. Solución. N o existen L y ¿ i ; F n cambio L¿ existe y vale:

Los ejercicios 32 y 33 corresponden a las consecuencias de la> obscvaciones.

E je rc ic io 34: Calcular el lím ite de la ftuición

F ( x -y ) ~ { \

p" para

0

( x , y ) = ( 0, 0 )

en el origen. Solución. Podernos hacer: Lm

lim

—

7=

=

=

( B . l O - Í O . O ) + N / a ;2 H-J/2

lim

----- =

( # ^ > - . ( 0 , 0 ) + X/ 1 +

L

= ( í

)2

=0

pues al tender los puntos ( i , y ) hacia ( 0 , 0 ) el denominador es siempre mayor que 1 y el numerador tiende a cero, cualquiera sea la ley de variación del punto

E je rc ic io 35: Calcular el límite, en el origen, de la función F ( T ,.) = { ,J}

J« T Í ' 0

pa» í + para x + y = 0

135

2.6 Propiedades de los límites

Solución. Calculamos primero los lím ites reiterados x - y

L i a lim

lim

L g * lim

lim ^ v —o x -f y

?;-*0 *•••0 x

-f y

= lim (- l) = v

—1

'

= lim v-o

1

=

1

Com o L\ 7^ ¿ 2 , no existe L.

2.6

P r o p ie d a d e s d e los lim ites Las propiedades de los lím ites estudiadas pava funciones de una

variable, siguen teniendo validez para funciones do varias variables. Si llamamos V y L ‘\ los respectivos límites de dos fundones dadas F y F " de dos variables, o sea L' = ,

L

^

/ f 1 ’ !')

I™

F

& y)

* ( * o . y o )

son válidas las siguientes propiedades: lim

[ F ( x , y ) + F "(x ,y )\ = L ' + L"

o sea, “ el lím ite de la suma de funciones, es la snrna de los límites do ellas.'’ •

lim \ F (x ,y )-F " { x ,y )\ = L '-L " (z,j;)*-*(£o.VoJ

o sea, “el lím ite de la diferencia de funciones, es la diferencia de ios lím it e de ellas.” *

lim

¡ P ( r C.ií) . F " ^ 1 l/)) = L 'X "

(x.Jf) -*
o sea, “el lím ite del producto de funciones, es el producto de los límites de ellas,” lim

í - ^ r 4 l = £ r si I "

#0

o sea, “el límite* del cociente de funciones, es el cociente de los límites de dichas funciones, siempre que el lím ite dol denominador sea distinto de cero.”


136

2.7

D efin ición d e C on tin u id a d

Teniendo en cuenta la definición de lím ite y si los espacios métricas a los que pertenecen (x,v/) y z son euclidianos, podemos definir con tinuidad así; decimos que una función F ( x , y ) es continua en un punto ( 7'o, 2/o) perteneciente al dominio de F , si para cada £ > 0 , existe un número ó > 0, tal que para todas los puntos ( x , y ) de! entorno (I < ^ { x - x o f + ( y - 1/oP < 6 s<’ verifica

|í,(a :,y )-í,(x0,jft)| < £ Esta definición significa, geométricamente, que la porción de superficie correspondiente al si ibcon junto de variabilidad determinado por el círculo de cent ro (xq, yo) y radio S se encuentra entre los planos z = F (x ,y )+ e

y

: = F (x < ¡,y o )-e

La definición anterior, es equivalente a la siguiente (m ás sencilla y análoga a la dada para funciones de una variable, ver 2 .1 ): una función F ( x , y ) es continua en el punto (aro, 2/o) , perteneciente a! subcon.junto de variabilidad de la función, si se cumple: 1.

La función está definida en (x 0 ,y o)

3 F ( x q , ijo)

2- Existe el lím ite finito do la fundón en dicho punto, o sea existe litn

F (x , y)

( * i V ) — (=o .Vo )

3. E l lim ito do la función en el punto coincide con el valor de la función en cí mismo, o sea lim

O b s e m a c Í

u t lc s

F ( x , y ) = Flxiu'tto)

:

a) Si (aro»yo) no es punto de acumulación de! dom inio, decirnos que F ( x yy ) es continua en (xo>!/o) si la función está definida en ( x [h yo).

2.8 Propiedades de la s funciones continuas

b)

137

En caso cío no cumplirse los p\mfos 2) o 3), es decir, si no existe lím ite o si existe y no coincide con el valor de la función, decimos que la fundón es discontinuo, en el punto (xd,i/o)*

Ejemplo l : La función F ( x , y ) =

no es continua en el origen, porque

(ver ejercicio 25) no existe el límite para (x , f/) —» ( 0 , 0 ). Ejemplo 2: La fundón F ( x ty ) = xy os continua en el punto (1,5), pues está definida en did io punto; existe el lím ite en el pinito (ver ejercicio 24) y dicho lím ite coincide con el valor de la función en el punto considerado. Ejemplo 3: La fundón F ( x , y ) = estar definida en el mismo.

2.8

no es continua en el origen, p o r no

P rop ied a d es d e las funciones continuas a)

L a suma, diferencia, producto o cociente (con denominador no nulo) di* funciones continuas es otra función continua.

Ij)

Una función es continua en un conjunto si os continua en cada uno de los puntos de d id io conjunto.

Com o consecuencia: todo polinom io en x o. y de cualquier grado, es una función continua en R ? . Ejemplos: F(y;, y ) — 2x 4 + 3 i/2 + xy + x 2 - 3 = 2x - Zy + 4 Toda f u n d ó n raóonal de x o y es continua, excepto en aquellos puntos del plano donde so anula el denominador: Ejemplos: •

— T '- ú no

t'ontinxja en los puntos de las rectas y = x

(figura 94), pues en ellos el denominador vaJc coro

138


F (x ,y ) = a o.

y no es continua en los punto?; ilc las rectas y — i

y — —^ (fig u r a 95).

E je r c ic io 30: ¿P\íetlc calo?il arse diroct.ariíontc

lim

xy

?

(*,v)

¿.Por que 7 i9o/üdÓ7í. Cuando una función es continua, para calcular el lim ito cu un punto, basta hallar el valor de la función en dicho punto (pov definición

2,8 Propiedades de las funciones continuas

139

do continuidad on un punto). Es la im portante conclusión nos per mi lo calcular directamente el lím ite pedido, así: li ni

x j = 1.5 = 5

(confrontar este resultado con los obtenidos en los ejercidos 24. 26 y 28) E je r c ic io 37: ¿En qué puntos no es continua la fundón

Sciincióri: Nu es continua en los puntos de la parábola y- — x, pues cu ellos se anula el denominador (figura 93)

E je r c ic io 38: ¿En que puntos no son continuas las funciones 7

140


Y

Figura 97

X O*

Solución: a) N o es continua en el origen (figura 97). b) N o es contimía para to d o par ordenado ( x , y ) ta l que x < y (figura 98) Comparar con ejem plo (figura 94)

E je r c ic io 39: Determinar si la función < {X' V ) ~ l

/y— +

0

"

para

( * , * , ) # ( 0 , 0)

para (ar,y) = ( 0 , 0 )

141

2.9 Cuestionario de repaso

es continua en el origen. Solución

Como demostramos en el ejercicio 34, existe el lím ite en el

punfo ( 0 ,0 ) de la función dada y vale = 0

Por la definición F (0 ,0 ) = 0; como L = ^ (0 ,0 ), la función es continua E je r c ic io 40: Determinar si la función ^

para

x ^

0

0

para

i =

0

es continua en el origen. Justificar la respuesta. Solución. Si una función P ( x , y ) es continua en un punto (&o»l/o)í tonces las funciones de una variable F ( x o , y ) y F ( x , y o ) son funciones continuas para y = yQ y x = respectivamente pues se satisfacen las condiciones de la definición de continuidad para funciones de una va riable. L a recíproca de esta proposición no es cierta; o sea, si F ( x ¡ y o ) es continua para x = Xo y F ( x o ¡ y ) es continua para y = yo, no surge necesariamente que F ( £ , 2/) sea continua en el punto (xo,i/o)- Es lo que ocurre en este ejercido, ya que F ( 0 , y ) = 0 por la segunda parte ele la definición) y F ( z , 0 ) — 0 (utilizando las dos partes de la definición). Estas dos funciones de una variable son continuas en el origen, pues ambas se reducen a la constante cero. N o distante, la función de dos variables es discontinua en el origen, pues si ambas variables tienden a

0 simultáneamente, no existe lím ite

alguno; pues sí tienden a

0 , siendo

siempre por ejemplo, x 55 y, es constantemente F ( x , y ) = 1, pero si siempre es y = 2x, resulta F ( x , y ) = 2, etcétera.

2.9

C u e s tio n a rio d e rep a so

1. Defina límite doble o simultáneo. 2. ¿Por qué se llama así dicho límite?


142

3. ¿Cuál es el concepto de límites sucesivos o reiterados? 4. ¿Cuál es et concepto de límites radiales? 5. ¿Que casos puede presentarse en el cálculo de lím ite para funciones de dos variables? G. Enuncie las propiedades de los límites. 7. ¿Cuándo decimos que F ( x , y ) es continua en el punto (xo>í/a)?

8.

¿Cóm o se interpreta geométricamente?

9. ¿Cuándo decimos que es discontinua en el punto (*o , 1/ü)? 10. ¿Cuándo decimos que una función es continua en un conjunto'’ 11. ¿En que casos puede calcular el lím ite ele una función en un punto, hallando directamente el valor de la función en dicho punto?

2 .10

E je r c ic io s d e a p lic a c ió n

1. H allar lim ites reiterados y radiales de la función F { * , V) "

U x ^ 2y 7

Pâ

( t ^ ) - . ( 2, -

1)

¿Existe el lím ite doble? 2. Hallar, si existe, r Inri

** • ■■■■■■■■■■■■

(x ,y )-l0 ,0 ) X ¿ + J ¿

3. H allar límites radiales y límite doble, en el origen, de la función F (x ,y )=

4.

Hallar si existe, en el origen, el lím ite doble de las siguientes fun ciones: *)

=

b ) F { x , y ) = 7¿ f y

143

2.1 0 Ejercicios de aplicación

5.

Hallar lím ites reiterados, en el origen, de las siguientes funcionesa) * ’( * ■ ! / ) - ? b ) F { x t y ) = -s¿

G. Investigar si existo e) lím ite doble do las fundones dadas en 5a) y 5b). 7. Calcular, en el origen, los lím ites de las fundones; a) F ( x , y ) =- 'i

1>)

F ( X l y) = ^

-

a lo largo rlc i) y = m x ii) y = x 2 ül) y =

8.

Calcular lím ites reiterados, en el origen, de las siguientes funciones: a) F { x , y ) = * b) F ( x , y ) = ^

^ ^

c) F ( x , y ) = 0. Calcular u)

lim

z y 2 — x - + 2y

(i, v ¡- •(!,«)

b)

lim ± 4 -^ -4 fT.Kl-fO.Ü) *■+!>

1ü. Calcular lím ites reiterados, radiales y doble de las siguientes fun cionas. en los puntos indicados a) U

F (x ,y ) = ~ f i F { * , v ) - £ &3s

para

(x,i/) — (0 ,0 )

para

(* ,y )- (l,4 )

c) F ( x , y ) =

pava

{ x , y ) -> (0 ,0 )

d) F (x , y ) =

para

( x , y ) (2 ,2 )

144


11. Determinar los puntos en que .son continuas las siguientes fun ciones: a) F ( x , y ) = 2x + 3y b ) F { x , y) =sen ( x 2 + y) c) F { t , y ) = + - J x T y d) F ( x yy ) = e ' ' + ** e) F ( x , y ) = co^(xy2) f ) F ( x , y ) = \ n ( x 2 + y 2) S) í ’(*iW ) = í Lf T h) F (x , y ) = ln[cos(x 5 + j r ) l i) F { x , y ) = t g ( x y * ) j ) F ( x , y ) = cotg ( x 1 + y) 12. Estudiar la continuidad en el origen de la función

13.

i-’ +j,-

para

( x , t / ) ^ ( 0,0)

0

para

(x,t/) = ( 0 , 0 )

Determinar cuáles fie las siguientes funciones son continuas y en caso contrario los puntos para los cuales no son continuas a)

F { x , y ) = c~‘

1>) F ( x , y ) =

21 4 ■/*"' + y-

x + if

para

( x . y ) # (0 ,0)

3

para

( x , y ) = (0 ,0 )

x + j/3

para para

( x , y ) ± ( 0 , 0) (x , y ) = (0, 0)

0

para

( x , y ) =¿ ( 0 , 0 )

para

(x, y) = ( 0 , 0 )

x 2 + i f + 134

( 0 , 0)

para

(x ,y )

para

(x , y ) = (0 ,0 )


14.

145

¿Es continua la función? F { x , y ) = escn

+ c o s (z y)

Justificar la respuesta. 15.

Dada la función

Justificando la respuesta, indicar: a) ¿Dónde está definida? b ) ¿Dónde es continua? 16.

Indicar el dominio y el subcon junto de continuidad de las siguientes funciones: a) F { x , y ) = x ~ ' + í/ " 1 b) F ( x , y ) =

1^

V5I

-

c} F ( x , y ) = « n (* ;) d) F { x , y ) = M * e) F ( x , y )

0

— T2-y ? para

í

F (x ,y )

para para

II

e) F ( t iV )

para

0

l

17. Calcular

lim

x 2 — 2x y H- y4

18. Calcular

lim

•\-\Jx1y i,-i)

19. Calcular

lim ( x . y ) - ( O . O ) * ,l+ 2 * í +V °

20. ; Puede calcular

lim ( T , V) - [

sen [lo s ír * + y2)} 0 ,0 )

L

?

' J

21. Indicar el doimuio y el subconjunto ele continuidad de las siguientes funciones:


146

a) í ’ (z.?/.‘ ) = “ + ! + ; b ) F { x , y . z ) 5= x R e n (í) c)

f

{W

) = ^

í

£ £

i

22. Estudiar la continuidad do la función

2

= 35* + V2

23. Las siguientes funciones son continuas en todos los puntos salvo en el origen, en el que no están definidas, ¿Cómo so puede hacer que sean también continuas en dicho punto?, si es posible.

*0 10 24.

f ( - f . y ) = 's ^ r r F (x ,y ) = T f ^ p

¿Cuáles de las siguientes funciones se pueden hacer continuas en el origen? -.1

_2L_tJ L

z- I v-

) á^Tv3 *0 ^

'0 25.

t n

Hallar el conjunto Hs continuidad para las siguientes funciones económicas; just ificar en cada caso. a) Funciones do utilidad: a- 1 ) u - ( ¡ r q¿ h -2 )

a = <7j . ^ + 3/;,

b ) Fhliciones de producción: l >-1 ) (j — x\ :r«¿ — X\ b-2 )

f ¡ ^ ( : r , ) i ( T 2) Í

c) Fhneióri do transformación de productos: x =

2 i/j¿ + <7 »-

C a p ít u lo 3 D E R IV A D A S 3.1

D e r iv a d a p a r a fu n c io n e s d e una v a r ia b le S e a u n a fu n c ió n y — f ( x ) y d e m o s a l a v a r ia b le in d e p e n d ie n te d os

v a lo r e s d is t in t a s x o y xa -fi A s (f i g u r a 9 9 ), la d ife r e n c ia x o -+ A x — X q = A i s e lla m a i n c r e m e n t a d e £o* d e m o d o q u e la a b s c is a d e l s e g u n d o p u n to c o n s id e r a d o es ig u a l a la d e l p r im e r o x q m á s su in c r e m e n to A x .

La

fu n c ió n pa.sa d e l v a lo r /(•£<)) a l v a lo r f ( x o + A x ) , y l a d ife r e n c ia A?/ =

f(x 0+

A r)

- f(zo)

se d e n o m in a in c r e m e n t o d e l a f u n c i ó n c o r r e s p o n d ie n t e a l in c r e m e n to A x d e l a v a r ia b le in d e p e n d ie n te e n Xq.

F ig u r a 99

y * re*)

Cap. 3 D E R IV A D A S

148

A l cociente

&V _ fíro

x A : > : ) - / ( x o)

A.r

A . í:

se Jo doriüinma “cociente* jjjcivm cn tal’’ *varía con A ir. pava lod o valor fijo do H'o> y expresa, ia ‘'variación m edia” de la función correspondiente a la ;Va vi ación1’ A x de la variable x en D rf im c ió n Se llama “dorm ida ele la función f ( x ) en 7*0 ai límite, sí existe, del coc:iento hicicm ental cuando el incremento A :r tiende a cero’1 y i a md/cautos /'(.?<;); luego /t u( y 0)x= J,i)> —&V= v x ' a*, . » A x

y j j j ]/----------(*o + A •r--------) ~ / (i'o ¿— ) J .0 Aa:

Geométricamente la '‘derivada de una función on un punto mide la pendiente o coeficiente angula* ele ia recta tangente a la ciuva en el punto (T at f ( x n ) y \ o sea f(:n ,) = t (f c )

(V ci figura 90)

(3.1)

Conviene vccoulav, además, que para funciones de una variable se demuestra que: “si una fundón o

den va (de en un punto es contmua

en ese punto” ; o sea probar que existe la derivada f ' ( z r i ) im plica probar la continuidad de la función un ese punto. La propiedad recíproca rio es cierta, así por ejemplo, Ja función valor absoluto es continua en X{¡ = 0 y no existe derivada n i dicho punto. F u n c ió n d e r iv a d a Si dada una función t/ — f ( . v ) la derivada puede» calcularse cu un con junio de puntos, obtenemos otra función llamada "fundón derivada1* do la darla cuyo dom inio es e) conjunto d*' puntos, (figura

100 ).

Ejemplo: Dada j : R • * R / f ( r ) ^ z 2> calcular la función derivada

/(:/; + á '¡) - (r + A r }2 ^ ./■* -I 2xA r -f (Ar/2 A y = .r- - 2 f A r -i (A . r ) : -

:/;2 -■= 2 x A x

+ (A .r )2

149

3.2 Derivadas parciales

Are

f '{ x )=

A.r

lim A t - o A.r

üm 2x-\ A?: = 2x ¿ e—n

hio¿o / '( * ) =

3 .'2

2x

D e riv a d a s p a rcia les

A sí como la dn ívad a do una función do una variable puedo describirse como la razón tic cambio del valor de la función respecto a la vailablo i nde p en diento,si consideramos una función de dos vari ¿iblas z = F ( z , y) deberemos tener en cuenta la razón de cambio de ; asociada con cambios en l¡. P o r ejemplo: A c = F ( x -+ A r ; ?/ -f A?/) - F(:r. //) Si este cambio se considera respecto a cada vaiiable separada mente» o sea, si mantenemos constante, por ejemplo, la variable ?/, te ti tilemos una función do una sola variable j: a la cual podemos aplicar la definición de derivada. Si esa existe en un punto A/o(.xo. j/o) (figura 101) la IIanuiremos dem uda pateial de la función c = F{.¡:,y) respecto de x

150


en el pnnto considerado. Definición: Dado un campo escalar de 2 variables z = F ( x , y ) y un punto (xn,?/o) interior a su dominio. Si incrementamos únicamente la variable x en un valor A x manteniendo"?/’ constante en el valor I/o; pasaremos entonces de! punto (.7.0 , 1/n) al punto (xn A z,y n ) (ambos pertenecientes al dominio de i*1); esto trac aparejado nn incremento de la variable de pendiente z que. se obtiene como: F(xn + A x , yo) - F ( x 0i yo) = A z y se denomina incremento parcial de 2 con respecto a x (única variable incrementada). Si a dicho incremento parcial se Jo divide por el incre mento tom ado para x llamado A x , se obtiene el concepto de cociente incrementa! Az Ar

F{:ro + A x tyo) - F ( x Qiyn) Ax

n ^ ( '

Llamaremos derivada parcial de la función F con respecto a x en el punto (xu,i/q) al límite, si existe, del cociente incrementa) cuando el incremento de la variable independiente tiende a coro. F . f o . v o ) = ~i(*o,!/u) = F ( r 0 + A:i:, 7/o) - F ( x a,y,} )

.. " ¿ í 'l o

A í

= 0 F ( xqij u)

~

dx

dF. ~ d x Jw . = ( * » * 0

Análogamente, la derivad* parcial de z respecto de y en el punto será rv/ x K ( r 0^ ) -

F [ x o ;y c + A y ) - F ix o ^ ju ) ^ ----------------

^ (3-3)

So utiliza la misma notación simbólica, permutando x por y. E l aspecto importante -impelíante de la derivación parcial para fruiciones de dos varia?/Jos, es rjifc» de Jas vnriablns índcjjendientns so trata com o .si fuera constante, con el propósito de hallar la derivada parcial respecto de la restante variable independiente.

3.3

I n t e r p r e t a c ió n g e o m é tric a E l significado de las derivadas parciales aparece de una manera

más clara cuando se interpretan goomet.ricamente.

Consideremos la

3.4 Función derivada, cálculo d e derivadas parciales.

151

derivada parcial F a (j:ri,?/o) de una fiinción z = F ( r , y). El hacer y = yo significa confederar el plano 1/ = paso» por M q(xo, Vo) paralelo al X Z (ver 1.2 , oc(37)). En e*c plano (figura 101) está la curva F ( ? . y 0)

(3.4)

que result a de interceptar las supei fieles y = yo y “ = F ( x , y). C om o (3.4) es sólo función de x, la interpretación geométrica, se reduce a la de derivada para funciones de una variable. z

F i g u r a 1 01

Luego la derivada parcial respecto do x en el punto M q(:i;q, j/o)* de z — F (.r,í/) es la pendiente de la rocía tangente (ver 3.3, o e (l) en el punto Qo|¿'o, Vo, F (jr (l) ?/„)] a la curva que resulta ele interceptar z — F (.t, y ) con el plano y = yo (curva C). Interpretación análoga resulta para F ' = l-i'o.yo)

3.4

Fu n ción d eriva d a , cálcu lo d e derivadas parciales de prim er o rd en a p lica n d o la definición C om o on el caso tic funciones de una variable, si la derivada par

cial respecto de x existe en todos los puntos do un conjunto, o sea, si


152

a cada punto (xo-V o) lo hacemos, coi responder el valor respectivo de la do r ivacia parcial F.¡.(:rchí/o), obtenemos una nueva función llamada f u n d ó -n rleri'.'ntla p o r o f d respecto de x . cuyo dominio es ese conjunto de puntos, (en forma análoga respecto de y). Obsejvoción importante. Solamente cuando una función derivada es continua en un determinado punto M o(xo , j/o)i pnede hallarse el valor rio Ja derivada en M o directamente, reemplazando xD e yo en la respec tiva función (ríe lo contrario debo aplicarse la definición). El lector puede verificar que la función F ( x . y ) = ( / t :5 + 7/3 admite demudas parciales cu el origen, aunque sus derivadas no .son continuas en esc punto, uti lizando la definición

Ver ejercicio 52 ( b ) más adelante.

E je r c ic io 41 a) Aplicando la definición, hallar las funciones derivadas par ciales de F [ x . y ) = xy b) Calcular las derivadas parciales de la función anterior en á /ü ( -3 ;4)

Solución a) f)F

,

rjx

Ai

—— =

¿un

¿ í.r + A x , y ) - F h \ y )

.0

— 1----------r—------- " A :c

■=

,

lim

¿ í —o

(z + & x ) y - x t j

r1

A i:

-

x i / + y ¿\ x — x y .. yAz lim — — “ t = hm — = hm y = y A t - .o A :r A1 -0 A x ¿ r —o

(>F _

F ( a, > j 4- A?y) - F (x , ?/) _ A y -0

Ay/

^ A y —o

Tí/ H- X 'A v - X'V ]in i - d - J . ------ ¿ = A j— u A í/

(y 4- A y ) X - x y Aí/

l'A?/ U m — - = h m s = 2* fir - o A y A y —o

h) ch.

.

;

* dz. - j (VÍ0/ . 3/n - ^

ílem os veom]>1¡.izarlo directamente por los valores dados, por ser en cada caso, la función derivada covtinuo en el punto considerado.

3.4 F u n c ió n derivada, cá lcu lo d e d eriva d a s parciales.

153

E je r c ic io 42 Aplicando la definición, hallar la función derivada parcial respecto de x ríe 1a función

2j -

F (x ,y ) = S olu ción :

2( »

dF

y

+ A .x )V

2. r V

-

— = imi - i ---------- ---------------- --pj. ¿ i- o ¿¿a; Iim 2;v3 ( t 3 4- 3x 2 A.7: + 3s(Au;)- -r ( A r f ) - 2 . t V & x—n

Ax f i x V A * 4 6 x i / A s 7 4 2 ¿/2A i 1

.

=

l i m --------------------r--------------------á *-a

~

Ax f\:r?y¿ 4

lim

Xa •()

6x i / " A x

4- 2¿/¿A x *1 -

—

6 x 2?/2

E je r c ic io 43 Aplicando la definición» hallar las derivado* parciales en el punto ( 2, 1 ) de

F { x , y ) = 3 x 2 - Ajyy 4 t/ S olu ción OF .

¿

..

f a

F f x n 4 A x , ¿/o) -

F ( x , ?/u i

“ JiUo------------A i-----------

6F,

F ( 2 + A x , ) ) - F ( 2 . 1)

Sí * ) 2 - 4 ( 2 4 A x i l 4 1 - 32 + 8 - 1 ------------ 1------- i----- -— í----------------------- — 3 (2 4 A

— }im A r-0

Ax 3 (4 + 4 A x 4

A x 3) -

8

- 4A v

- 4

— l i m ---------------------- r 1---------------------A j- n

Ax

12 4 1 2 A x 4 3 A s 2- 4 A x

l i t n ------------------------------=

Análogamente

- 12

Ax

A i-Ü

iim

Aa - 0

(1 2 4 3 A x - 4 ) =

8

—

T 54


c)f_ (h: 3 / 2 2 - 4 .2 ( 1 •[ ¿V/j ,7 'n Jim

J2 -

8

- SA?y + I - A t/■ 1 2-1-8-3

¿¡/—o 3.5

(1 -h A y ) - 1 2 + 8 - 1 A//

■^V

C á lc u lo d ir e c t o dfe d eriva d a s parciales En la pe ¿etica.
F (-i, y) la w como constante v so deiiva respecto de a*. Para calcular F ' se considera fc/j /"(x. y ) la cuino constante y se cloriva respecto de y. Es o ce ir pava calcular directamente las derivadas parciales se pío codo c’iji.jj si fueran íun-, iones de una variable. E je r c ic io *14 C a: ■:!;u* d iroe■rai 1len ro 1as (i inció i ios dei i vadas parti al es propt icstas en los cure icios 1i. 48 y 43: las indicaremos a). L). c) y d ) respecti vamente. Sohi/'lÓ7) Se ata de un producto, aplicamos por lo tanto, la fórmula para lialJ.tr Ja r h ' i u Ja de un ¡ j i i n h u m o defunciones la.v)1 — u' v h- u.v1 E n e s te c;w / F j =

x'.y ^

2 //

= 1

y + x.Ü ^

A n á lo g a m e n te : F ' — :ti y - .r y' = O.y i

b)

Fj ~ /'*

L a s denvadrLS p a r d a l e s e n 3 / q ( - 3 , 4 ) je s u íta n F ;(- 3 ,4 ) = 4 ^ (- 3 .4 ) - - 3

(.■) Dadn F 1 ;■ i/} = ‘¿ i - y • debemos hallar F ' Fc = (r r h f

y :r

15 5

3.5 Cálculo directo de derivadas parciales

D a d a F ( z , y ) = Z z 1 — Axij -r y, d eb em o s h a lla r las d e riv a d a s

d)

p a rc ia le s e n e l p u n to ( 2 , 1 ) F ; rrG z -4 y r> F ;=

1

4/y

12 *

=

^

4 -8

1

^

=----- 7

E je r c ic io 45 E n c o n t r a r la s fu n cio n e s d eriv a d a s p a rc ia le s d e la s fu n d o n e s d e fin í d a s 'p o r

a)

p [ Xi y) = ^

1>)

F

( x ,

ij)

—

r

3¿ l v

-

- z ? y :'

’ ¿ /‘

- 1

+ r - h

4

- 5

. r - 5 -

3

r V

'

4

2 : r y

+

1 0

.:) F ( T , y ) ~ x ' t * - t y ' A + Tr >

d)

F { x , y ) = .‘ i r W - x - ^ + ij

3

.Sofi/caie

f

A)

= 3:/’* - (i/r/y H- 1

h)

2j;i/’ 4 12a--¿,-1 - O . r V

F: = 5 * v

F' c )

F

12 í ; V

+ ;

=

¿

i " 1 7 *

- 2

a

" í¡ V / +

+ 2;y

2 .r

- " 3

= - 4 .«l/3

n

E je r c ic io 46: E i u:cm ir a r la s fu n cio n e s d e riv a d a s p a rc ia le s d e jas fu n d í mes d e fin id a s p o r

a) /•’ (*,? ;) = (3>l y ) 2{ x - y f

1 .)

F(of, ? / ) * ( ! - 2;/}'

c) F K ? / ) = f f ? d )

F ( ? : , ;fy) =

+

v / 3 .i: +

;2

;i


156

<0

(¿ ) : V ^ - r V 2

Sobu n ó v : E l)

Fx =

2 (.r +

<)){.L - y ) 3 + (x -h J/V^r - y )2

2(.t H- //)(.i; - y f H- ( x + i/Y¿(.i - y f { - 1) ~

-F' -

)3 - 3 ( . t h

2(-n+ ;;)(.-■- y

y ')(.r - y ) J

Jj) F,;. - -1(3; - 2//)a ( —2) =

-S{x - 2;/}:>

C]

) (<; + j / ) - l ( . r - ? ; ) r

"

„ __

(x -y V

—I ( x - y ) - l ( x - ?<) _ - x

y~

{j: ■+ !/'r

2y

x + y- r - y _

( r + yV-

- j; - x I-

~

l r + 1/r

‘

íx - r ^

7 __

-

2x

~ ( x + !i) 2

el) Fí r

2 fíx -ry ¿

¡y 1a

,¿y \/'te + v !

<■)

F =

- F ( F + y2) ' ' * ■- r. •J. l ( r s - y2) - 2'"’ (2x ( x 2 + ,/ y -r<

3

{/ J - + V '

\J{x~ + y2)' 2v F! = (^ +

^ ) V3

E je r c ic io 47: Enconi.rai las funciones derivadas parciales ele las funcionas cWmic];is a)

F { x , v ) = F ’! - "

15 7


L) F ( x , y ) = e " í* c.) F { x , y ) =

d)

F (x .y ) = - r . V

e) F ( x , y ) = ¿

+ J C _ c-

5o/'í
3j:2

a) iT' = fi*q - „ F s = e*‘ - H

F ' = - c - ( ' + «i c) / ; = i/.3:V- = F,' = x'J ln x

d)

f;

=

1 .3 * --3 *

F ; =■ -3.-31' ln 3

e) f; = p

=

^

■)-

_ 4

V

(-4 ) -

=2^ -4 + c -

4

V-

í

E je r c ic io 48: Encontrar las funciones derivarla* parciales ríe la* funciones eleRui das por: a) F { z . y ) = .r/y

ln(;n/)

«0 F (x \ i/ ) = ln ( 4 ^ 4 )

0

F ( i , y ) = + v/ lu (3 x - ¡/ I

d ) F ( ¿ , y ) = h-)\\n{xy2)\:' o) y ( z yy ) = [\ nhi(:n ?)]>

- ^ . ' O T E C A d e LA E A n i U T í n DE n i E ' N C ' A 9 E C D V 'j . M C A S ^ • ^ v s o r E m e - r ilo O r , A l i--l';! c O O

i.

^ A L A C iO S -


158

Solución: A

1

— u = y -xy 1 ------

x =

1 — X

1 - —

x

xy

y

l)

FL

2x ( x 2 -r i/2) - í . r - y'2) 1x

y

=

x- -

y-

1

y ^ l r f

2x l ( ^

''

X -

2x 2y‘

fe y -

x *-y *

r.- + y-

v =

(S -n rf

■ 2 iy

_

2 y .2 .r2

F

- 2 y {F + , f ) - ( x ' - y '-)2y

0 .2 y

„ . 'J

_

=

y-

(* 2 - ; / W - | i/ )

V

K

+

A y :r‘

o:' - y'

2 / l n (3x - y ) ' (3:t - y) l

.3

1

2 v/ l n ( t e ~

j y ) '( 3 j : - y )

( -

1)

c) /•"; '

F’ » d)

------ ------t 3 [ln (ír y - j'¿ .— [l n ( :n , 2) ] J

1

7

,J

y¿

*>/

-----t 3 [In ín y -V 2 -5— (ln (x;/2)l 1 ;

2.1:2;

159


1

l

. '•U

E je r c ic io 49: E iicunf.vM ' la s fu n cio n e s d e r iv a d a s p arciales de las funciones d e fin id a s p o r

a) F ( x , y) = {/X?- sen (x y ) b ) F ( x , y ) = fi)s (3 .r 2 -

2y )

c ) F ( x , y) = hi ( s e n ^ ) d ) F ( x , y ) = c o s (3 '/ r

2 ij)-

-

e) F ( x . y ) = a ic tt>

So¡uc>óv:

r*>

^/

o, _•) /s *»

F 3: = - ( x y )

-

-

\

y~ sen (x¡j\

F ‘ = - (xy- )

4

y >j eos

v :>:

x y sení.riy,

/.i y

í

(.tí/ )

eos(j'7y)

10 /•" =

• s e n (3 x 2 - 2í/)6a;

- u : n ( X F - 2 y ) ( -2 )

1

r , — ------ ;-----

Sl,n i_3_,

=

COI,

eos

(

T.

y

F J -'J V

X )1 ~

y ' ' ) ( * - y)'¿

'A ' y-

i ( *■ r . — -------:----- r- eos ' N ~ 1 V -x l sen v-¿ — — col. R '

(// -

"

'

y - x l (x

V

vyp

-X

(■


160

F'r = -s e n (3x-3 - 2j,')3 .2.(3;r - 2y).6x F v = - s c n ( 3 t J - 2 y ) 3 .2.(3.r3 - 2 i/ ).(- 2 )

F' = __ -__ {. X \ ____ L _ ( •-> \ 1 i + m 2 V x l ) *: \ r \ x¡ ) F =

i

v

n \

i

\x J

*: - y

v

a;2+j/2

n J

z~ - r y

E je r c ic io 50: Enoont.rm las funciones derivarlas parciales ele las funciones definidas por

x eos y

a) F ( x , y) = e5' +

b ) F { x , y) - s e n (2x + 3 y )+ a rc tg (x 2y)-i-arcl.g ( x ¡ f ) c) t = F (x ,y ) «

+v/25 - a ;2 - y *

d ) z = F ( x ty ) = x * J e) z = F { x , y ) = : S ' Sotucióv:

a)

F'x

= c1 + jicos?/

F ; = - is c n fa )

1>) .F' = 2 cas ¡ 2 j:+ 3 y )+

2xy

»/

1 + x 4y'¿ 1 +

161


-2 x

= - i7

“y d)

ln z = 3V In x

C

i

:i;

^

'

X

In 3 t

z'v

n

-

x v V*

ln

y

ln x

e) ?/ I - = c J

V x

J-

x

- z\j — Z y 1 \nx =>

2'

J

= x'* 3 y lu x

E je r c ic io 51: Dadas las funciones a) F ( x i y) = + v ' t

3+

1>

+

) F

( i , ^

j/2 ^

encontrar las funciones derivadas parciales y aquellos puntos en los cuales, dichas funciones no i'sUm definirlas. Solución aj

f

; =-

F‘ =

x- -

•y/r- . i r

b ) F ; = i ( r :> H.7y:' ) - ^ 3 x

5

=

+ (/(x 1 + j V

Todas las funciones derivadas parciales no están definidas en el origen.

162


E je r c ic io 52: ¿Existen las derivadas parciales con respecto a x, en el origen, ele las fimeionos dadas en el ejercicio anterior?. Solución. Com o las fi iliciones derivadas no w n continuas en el origen, para txttidiíir h ax isf.cná a de* las derivadas en di d io punto, debomas aplicar la definición.

a )'

J ( D + A * ) * + 0 - JÓ

F's i — lim *i\na)

pero si A x > 0 ^

íitn

=

(. Va ? lim — -—

=

Ax

A r - n

A

t

]a i J — lim —:— A x -»ü

A x,

1

A.r--0

en cambio

si A x < {)= * • lim ár-.O o sea: no existe V J(0 ti) '

b)

F,

'

~ —1

= £ *_ .» =

Ax

A x —o

lim —^ = lim A z —0 A x A l -0

1

-

A x

1

En osfe caso, en cambio, a pesar de no ser continua la función

1.

en el origen, la derivada existe y vnle E je r c ic io 53: Demostrar que si z =scn (

}

resulta z.z'9 + y.z‘y = 0

S o lu c ió n

Z. — COS

t K * + yJ

f (:í: + !/) — {-'e — 7/)l (=• + v)'¿ f r~y\ = eos { ----- \x + y )

■i z f* -v \ I \x + y )

ce/» i

- ( * + !/) - { x ~ v Y (z + vY yz

v

x - y -c o s í — v x 4* y

co. J x - y \ (x + y j

2y [ z + y)'1

2yx [x + y f cm ( x ~ y \ ' \x + y ) -

2yx

(i+ i/ )2

-2 x (* +

2/)2

163

3.6 Derivadas parciales de orden superior

Luego i + y z '^ c .o J x

2x y 4- y

- 2yx

= cas- [ - — y. ] o = a x -!■ y

(x + y y

E je r c ic io 54: Hallar la pendiente de las tangentes a las curvas intersección de la superficie - - 3 i 2 + 4y7 - 4 con los planos que pasan por el punto (I, planos: a) X Z

1, 1)

y son paralelos a los

b) Y Z Solución: a) El plano x — 1, corta a la superficie según la curvas = 4y1 —3; x = 1. La pendiente pedida es; z'v\(í n= Sj/ = O sea tg ip — 8 => tf> — are. t.g 8

8 .1

-

8

b) El plano y = 1, corta a la superficie según la curva z = 3x 2 — 2 L a pendiente pedida es: *5J,UÍ — Gx = O sea t g 0 — C

; y^ 1

6 .1

=

6

^ = a rc t.gfi

3.6

D e r iv a d a s p a rc ia lfís d e o rd o n su p erior

z s=

Hemos visto en 3.2 que dada una función de dos variables definida sobre un conjunto, si admite derivadas parciales en

cada punto de dicho conjunto, quedan definidas sobre el mismo nuevas funciones de x o y, que llamamos fundones derivados pard/rles primeras o de prim er orden respecto de x y respecto de ^ q u e simbólicamente las hemos designado respectivamente así;


164

Si éstas o su vez admiten derivadas primeras estas derivadas parciales se llaman funciones d e m paci ól es segundos o de stgwuJo

077^ 7?. de

la fundón considerada z — F ( x . y).

0 sea, quedan definidas cuatro posibles fundones que consti tuyen las derivadas secundas, pues derivando (3.5^ parcialmente respecto de j’. y de: y, obtenemos respectivamente d_ f d F \ _ d F z dx^dx)

dx

que designamos

= ()x<)x

'dx1

=

(37)

d:r-

x>'

" ry

K

}

{

}

Análogamente d

/ d F \ _ OFl

dy ^ ftc )

~

dy

que designamos O

x

O

d x d y

íj

" Iy

x y

Mientras que derivando parcialmente (3.üi respecto de x y de y ob t.encinos respect i val nci il.e 0

/8F\

OFy

de \ dy )

dx

que designamos <)2F dyd x

(P -= F ;r = <, dydx

(3.9)

si ( 2 f L \ - ¿ FH dy { f)y ) Oy que desigual ñas V F

olF

a’ z

thjfhj

Oy1

dy¿

= ., n

Las derivadas respecto de variables distintas. F f y y F¡JX se suo Ion llamar derivada# mr/tas o cruzadas.

3.6 Derivadas parciales de orden superior

165

En todos los desarrollos que siguen, lo* símbolos r)

íc )F \

d -F

<)ij \ d x )

c)zc){j

= F” = ry ~a>í'

indicarán primevo derivada respecto de .7;, y luego derivada respecto de y. M ientras que. los símbolos: d_ f O F \ _

&¥_

dx\dy)

„

d yd x

1J£ ~'/r-

indicarán prim ero derivarla respecto de y, y luego derivada respecto de x.

E je rc ic io 55: H allar las funciones derivadas parciales segundas de \

x~

7

-

x>'í1 + -ñ -

Solución: r

=

2*

£

4 w,

2x¡j

** ~

í '2-'

— ~

l

2

8

xy

~ T

F" xx F"

= X

8

-

2

1

—

•

a

F" ** "

’

3

= 4

F 1 — — vv ~

4

E je r c ic io 56: H allar las funciones derivadas parciales segundas do t í ) F { x , y ) = 3x l y + y3 + x h f b )F (x ,y ) ^ Solución

7; eos y

- ycosz


166

») F x = 6x y + 2x y F y = 3 x 2 -V . V + 2 x 7y F ; r = 6 y - ! - 2 ;/

F ¿ -6 H -4 X J / F ''r = f e + fe?/ V ; , = 6 ? / + 2/;2

b) F j — eo s ?/ H- ?/sen r --a;ser ¡y - c o s í.

f 1' =

¿ rx = 2/005» X' = - s e n t/+sen 2-

F ”t = —sen ;v -fsen x F “v =-- -a ; eos?;

P e rm u ta c ió n en el ord en de derivación L o s e je r c ic io s a n te rio re s n o s m u estra n q u e en las fu n cio n es c o n s i d era d a s

F " = 1F yx " x xy P e r o é s t o (p u e d e c o m p r o b a r s e q u e es a s í p ava roclos lo s p o lin o m io s ) n o o c u r r o s iem p re . ¿ C u á n d o , i m i i t i e n d e el o rd e n d e d eriv a c ió n , las d e riv a d a s cru z a d a s s o n iguales.?

E n t r e ot.rcfi h a y un te o r e m a d e b id o a\ m a te m á tic o

a le m á n S e b w a r z q u e n o s d a c o n d ic io n e s su ficien tes p a ra in v e r tir e l o rd en d o d e riv a c ió n . S o la m e n te l o e n u n cia rem o s : uS i la s d e riv a d a s p a rc ia le s F ¡.* F ¡ y

F'¿v d e u n a fu n c ió n F ( x . y ) e x is te n en un e n to rn o d e l p u n to { * 0 , 2/0 ) y a d e m á s F ¡!y os ro n lm u n a> ese punto, e n to n ces la o l r a d e r iv a d a m ix ta

F yZt t a m b ié n e x is te e n e l p u n to (a’o.f/a) y en él es i«u a l a F ^ y” . P r á c t ic a m e n t e s ig n ific a q u e si la s d e riv a d a s son c o n tin u a s se p u e d e p e r m u ta r . sin a lr e ra r e l r e s a lla d o , e l o rd en d e las d erivacio n es. S i la s fu n c io n e s d e riv a d a s p a rc ia le s d e s eg u n d o o rd en , a d m ite n d e r iv a d a s p rim e ra s e s ta s d e r iv a d a s p a rc ia le s so lla m a n fu n c io nes denvoda#

p o r t ille s te rc e ra s o de te rce r orden d e z ~ F ( x , y )

3.6

D e riv a d a s p a rcia le s d e ord en superior

167

A n á lo g a m e n te . s i e s p o s ib le , p u e d e n s e g n iw ’ obi e m e n d o la s s u c e siv a s f u n d o n e s d e v ira d a s . E je r c ic io 57: H a lla r l a s f u n d o n e s d e riv a d a s p a r d a le s r c ic e ia s d e

F (i,y) ■- '¿x-y + ii3 + ¿ :>r Solución.

L a s fu n c io n e s d e r iv a d a s p a rc ia le s p rim e ia ^ y s e g u n d a s h a n s id o h a lla d a s (v e r e je rc ic io 5 6 a}): d e riv a n d o c a d a u n a d e la s ú ltim a s con r e s p e c to a

x y a y . r e s p e c tiv a m e n te

ob rcn d rcin u -c

F '" t = 0 ^rxi/ = 6 -f- Ay P*w = 4x ^ = 6 + 4;,

r vxy = F "'

F‘" yv* ~ F"' vvv =

At

1X

4:;: G

E je rc ic io 58: D a d a s la s f u n d o n e s a)

F{x , y) =

b) F {x iy) =

ln

y/x2 - y-

j —

c o m p r o b a r si s e v e rific a la ig u a ld a d d e la s d u rh a d a > c r u z a d a s e n c a d a u n a d e ella s.

Soiud.Ó7>.

a)

F 'y - ^

- v^

x - y ) ~ x n { - 2,j) =

f ; ; = i ( - i ) ( t 2 - y 2 ) ~ 2 { - 2>/} = 2 x y ( i 2 - u 2 y -

F ' = - v ( - l ) ( x J — !/a) 2(2.0 = 2 x y h 2 - y 2 ) ' 2

168


P o r ln t.an fo se n im p le eme

b)

f , r y) -

K

~ -> Á x -r,

y -L

y (r

^

T ”f = F\'.

y)~':

-

L

= ( r - ¿ 0 - ‘-|v/(-l)(.T-?,) -2(-J) F::„ = - [ . v - y ) - - - \

{-y)(-2)(r-

“ - ( i - i O - ' + Í OÍ

ly -y Y -^ y n -y Y --’

y y l( - l ) = í¡

y }- 2

1=

- ) ( :r — y )

lam inen so \oiilira que

2y(x-y

2y(.r -

y)

) 3

'3

— F".

E j e r c i c i o 5 0: D a d a la (u n c ió n

F b r :,,,) =

/

|

0

l * ’ 11,1

' ■

p ara

i. r — (0 .0 )

+

( « : ') )

c o m p r o b a r si so v o r i l i r a la ig u a ld a d do las d eriv a d a s cru za d a s en el origen . S o l l i ci ón. A p lic a n d o la dehiii< ió n so p u e d o d e m e s n a r eme: F ;(0 ,0 j = 0 P a i a
y

0

—

y

- F d l.U j = Ü

- ir , '2* +vJ) D/P'J-v¿)

r ~ —

o

r- - y'

■»

1 ------------------------t t t —

—

r -----------------------------L

=• -y

P a i a ■/: ^ 0

r - • y1 '

+ >r

--'2 v

-h //') - 2J [.!- • /;* i V -r/Pp*

’U J

J y=«

E n to n c e s . a p lic a n d o la c W in iciú n do d e riv a d a p a rc ia l, so d ein n o v i r a la d ln ie n fo :

/; M,(b.0) - - 1

;

F " ( o o.- =

l

3.7 A plicaciones económ icas: funciones marginales.

Es decir Tq'.'/0,0) #

169

F¡!z { 0 ,0 )

En este raso no se cumplen las liip ó tesis del teorema & xSdjwai'7 pues las derhacias riuxad.LS de la función dada no son rom inn a-. er. el oí ¡gen. E j e r c i d o 60:

Dada la fund ón: ^ = lo (:ir f í a l dom inio de la fundón. Solución:

<_

y¿) ¡

2.7

~r

:/* -r y 1

'¿(a*

„ " , r "

demostrar que z ” ,. - V . = 0.

, ’

2y

~{i ' P

h ;r )

+ .V*

-It.'tv

a 3 + .'/-f

„ _ 2 (^ V )

2y.2;y

lítelo

,

J

r

- í- V

4.r-

O ^ + í/2)2 3 .7

-4.V2

_

_0___

_

„ _

2 ( ^ - |. » / ) 2

A p lic a c io n e s e c o n ó m ic a s : fu n c io n e s m a rgín a lo s \ e la s tic id a d e s

Previam ente repasemos coi ico p!.os conocidos V im os en cd prim er cntso. que una supuesta rehudón c-ntie las vai iablcs económicas, como ocurre por ejemplo. con la relación '-arre la demanda v ol precio, puede oxpresatse por medio de una función v mi cu r\'a c d i t o s i >onclionf c* Como en economía, en general, dijim os que se dispone de daros que constituyen la tabla de una función discreta (de puntos aislados) paiu aplicar el concepto de derivada n los pioblt unas ccononueov ae* m i tunos que Ja función y la curca son continuas, o sea. que la función is dom ab le y la curva adm ite tangente en todos sus puntos.

170


Er. economía se utilizan dos t ¡jíos cU¡ conceptas: el c oncepto rnr.rho y el concepto w o u i.-nnl para explicar la variación de una magni tud Y respecto de oí.va magnitud X. El concepto medio expresa la H a d ó » por cociente entre la varia ción Y en un intervalo completo de valores de X. P oí e je m p lo , el costo medio expresa la relación por cociente en tre el costo total de una determinada producción y esta pt odnoción. E l c o n c e p to m a r g in a l se re (ic io a la v a n ación d e Y en el m a rgen , es d e c ir, p a ra c a m b io s m u y p e q u e ñ o s en X , a p a rtir d e u n v a lo r d ad o. E í c o s t o m a r g in a ] si^/n/ica, p o r e je m p lo , el C fim bi» q u e e x p e r im e n t a e] c o s to c u a n d o , en cien o n iv e l d e la p ro d u cc ió n , se a u m e n ta é s ta e n una u n id a d m u y p eq u e ñ a .

E l c o n c e p to m a rgin a l s ólo p o s te s e n tid o c u an d o

se c o n s id e ra com o un lím ite, ai

el incremento d e X a c o t o , o sea

d e b e in te r p r e ta r s e c o m o l a d e r iv a d a d e la fu n ció n qu e re la c io n a a X con

Y. Ejemplificaremos lod o lo dicho E je m p lo 1. Demanda marginal Si disponemos de los siguientes datos {figura 102' D 8500 7500

Precio

F ig u ra 102 • •

Demanda

40

8.500

00

7.r,()0

00

G.000

7U

4.100

80

1.700

6000

¿100

1700

O

•

•

• 1 1 1 .1 ! 40 50 60 70 80

^

3 . 7 Aplicaciones económ icas: funciones marginales.

171

podemos obtener la expresión de una función continua que se ajuste aproximadamente a los válenos de la tabla, tal como

de m odo que podemos suponer que la demanda es continua como en la fk u ra 103.

F ig u r a 10?

En la función dada por la tabla podemos estudiar los cocientes increméntales en cada punto V Ap A».

50

00

80

10

10

-10

50 20

-150

-100

-i 240

-340

En la función D = 10.000 -

100

podernos estudiar el lím ite d d cociente increcnental en cada punto, es decir la derivada

—•V2

172


17(50) - -1 2 5

;

17(60) = -168

¿.Corno interpretamos estos resultados? A sí com o el cociente* incrementa! indica la variación media de la función, la derivada nos da la variación de la función cuando la variable independíente se incrementa en un infinitésimo (ver 4.1). L a derivada de la demanda para un precio po se denomina denv}.nda marginal parapo. E je m p lo 2. Costo marginal Se dispone de (a siguiente tabla de costos Costo fijo 2 000 unidades 3.000 unidades

3 000 dólares i 6.000 dólares 6.900 dólares

Si suponemos que el costo signe un curso parabólico de segundo grado ae pide: a ) Hallar al expresión de la función costo. b ) Determ inar e l costo marginal para 1.500 unidades. e) Determinar el cociente incrementa! de esta función al alimen tar la producción de 1.500 a 1.510 unidades. Solución a)

La fórmula de la función será de la forma C {x )

-hbz-h300Q

P ara determinar a y 5, sabemos que la parábola debe pasar por los puntos (2.000; 6.000) y (3.000; 6.900) lo cual implica qne: a.2ü002 + 6.2000 + 3000 =- 6000 a.

3000“ + 6.3000 + 3000 = 6900

Efectuando operaciones y simplificando, obtenemos el sistema f ‘10000 a

+20 b

=30

| 00000 a

+30 b

= 39

que resuelto nos perm ito obtener

3.7 A plicaciones económ icas: funciones m arginales,

173

Quiere decii que en la hipótesis que la función costo sea una parábola de* 2’ grado su form a será:

b ) Para determinar ci costo marginal paia 15(J0 unidades, derivamos

o sea, C { 1500) - 1,3 dólares c) Determinamos el cociente incrementa! pedido <17(1500) = 5.413 C (1600) = 5.400 lueso A C ^ 5.413 — 5,400 A.7; “

*

,

10

A inpliaremos los conceptos anteriores para fnneiones de 2 o más variables. Darla una función de 2 variables, en economía se disponen de datos que constituyen una función discreta (d e puntos aislados). Para la aplicación del concepto de derivada a problemas económi cos admitim os que la función en estudio es continua; las dprn^dns par ciales se denominan también razones de cambio. C om o ya dijimos anteriormcnl e.,en economía se utilizan dos Tipos do conceptos: 1) E L M E D I O : que es el cociente entre el valor función»! y el valor o nivel de variable independiente correspondiente. Por ejemplo: e l p r o d u c t o m e d io ( P M e ) do X\ (insumo; es el producto total dividido la cantidad de insumo manteniéndose la cantidad de insumo X > fija en valor b:


174

Análogamente se define costo medio como el cociente entre el costo total dividido por el nivel de producción. 2 )E L M A R G I N A L que se interpreta como derivada. Por ejemplo: la productividad marginal ( P M a ) respecto de x j es el lfnii t.c do la razón de cambio del producto total y de las variaciones en la cantidad del mismo insumo X\ (manteniendo la cantidad de insumo X-¿ constante cu oí valor b) = F ( x 1, i )

(3.11)

Análogamente el costo marginal es el lim ite de la razón de cam bio del costo total y de las variaciones en la cantidad dfi uno de los factores que lo determinan (insumo o nivel de producción). Para entender más claramente este concepto daremos un signifi cado preciso y otro aproximado de. derivada \jarcia!. Sitjnifi.c/i'lo preciso: Si nos basarnos en la interpretación geométrica de la derivada parcial corno el coeficiente angular o pendiente de la recta tangente a la curva que resulta do interceptar la superficie funcional con un plano :¡: = o. (constante) o y — b (constante) según se' considero o F*T res pectivamente; entonces podemos decir que la derivada parcial de F respecto de x en el punto (« , ü ) mide la T A S A I N S T A N T A N E A D E L A V A R IA C IO N A B S O L U T A D E z C U A N D O y P E R M A N E C E C O N S T A N T E E N y = h. Sitjn ijiíju lo ay /oximn do \ L a F'T(a ,b ) puede considerarse como la relación entre el valor aproximado del incremento de v, que corresponde a un pequeño cambio on el valor do. x manteniéndose y constante en b. D e esto nj o do esta derivada indica e l efecto que provoca sobre la función z = F ( x , y ) un cambio “ unitario1' en x suponiendo la variable “y ” fija. En este caso la palabra “ unitario'1 se considera como sinónimo de sumamente pequeño o infinitésimo (por ejemplo si estamos considerando millones de toneladas de trigo, el cambio “ unitario” se puede considerar com o la acción rio agregar o quitar una tonelada de trigo).

17 5

3.7 Aplicaciones económ icas: funciones marginales.

A C L A R A C I O N : El valor numérico de la derivada o función marginal depende de la unidad elegida para cada variable. 3 .7.í

A)

E s tu d io da ín / u n c ió n

p r o d u c c ió n

P R O D U C T IV ID A D M A R G IN A L

E je m p lo 1; Con sido remos un proceso de producción simple cu el que un em presario utiliza 2 ¡nsuinos variables X\ y si la función de producción está dada por q = IO jo - x { - f X\X-y a)Encontrar productividades marginales b)Interpretar para las cantidades de insumos j:t = 2 y

= 6.

Solución: a)

r)x¡

— 10 — 2x } + x 2

P - I (,.«) = 1 0 - 4 + 1 . - 1 2 (f.rt

(3.12)

1;) El resultado anterior significa que en un supuesto que la can tidad do insumo pcrm, el límite del cociente entre «1 incremento del producto y el incremento de] insumo X i tiendo a 12. Com o la derivada os positiva se concluye quo: un aumento on la cantidad del insumo X u manteniendo constante trae aparejado un aumento en la producción. Análogamente si disminuimos la cantidad de insumo X ) manteniendo x-> constante disminuir la producción.

u)

{3-13)

b) Esto resultado significa que en e) supuesto que la cantidad de; insumo A'i so m antengo constante en 2, el limito tiende a 2. Como en esto caso también la derivada es positiva se concluye que un aumento en ki cantidad del insumo manteniendo x¡ constante trac aparejado iin aumento de ln producción. En la comparación de los resultarlos se concluye que en el caso particular que las cantidades de insumos X\ y

176


X -2 sean 2 y 6 respectivamente, un cambio pequeño en la cantidad de influirá mucho más en la producción que un cambio pequeño en la can tidad de x-> pues el valor absoluto de es mayor que el de -¿g cu (2 .6 ). E je m p lo 2: La producción de un determinado país en un período estudiado está dada por P = donde P e> la producción total , T es el trabajo y C es el capital. Hallar las productividades marginal as. A nalizar los signos o interpretar. Sohi cióv:

§ £ = 0.75.r * o ^ . c 0-25 §£

n ^ G . Y ^ C 1- 0-73

com o la cantidad do tralhajo y fie capital son variable' positivas, entonces
C«/í2/2 - v - ' t *

A nalizar que sucedo con la ennfidad de triüo producida (P ) si se aplican cantidades crecientes de trabajo a una cantidad fija de tierra. Para ello consideremos l fijo en el valor 1 Ejem plificar para n¿ = 2, w = 3. v: = 4 \ w = 5 para produc tividad marginal iesper(n del trabajo. Solución: ^ = Uwt* - 3 v r l ' r)v¡ relación entre la variación en la producción y la variación en la cantidad

177

3.7 A plicaciones económ icas: funciones m arginales.

de: trabajo J £ (2 ,1 ) = 2 4 - 3 . 4 = 12

H

(3 ,1 ) = 12.3 - 3.0 = 3(1 - 27 = 9 1) = 12.4 ~ 3.16 - 4S - 48 = 0

^

(5 ,1 ) = 12.-5 - 3.25 - 60 - 75 = -15

(1)

(2) (3) (4)

El resultado (1) expresa que para niveles de trabajo re re a nos a 2 un incremento en el número de trabajadores trac aparejado un incre mento en la cantidad de trigo (esto se da en mi nivel inicial donde se fomenta la especialización). E n (2 ) observamos para w = 3 el incremento en el número de trabajadores da lugar a incrementos menores en la cantidad de trigo. En (3 ) se observa que para el nivel tu = 4 el cambio en el mi mero de trabajadores no hace variar la producción. En (4 ) para w = 5 el aumentar el número de trabajadores hará disminuir la producción de trigo pues, al mantener la cantidad fija de tierra: éstos se molestarán entre sí sin que su trabajo redunde en más producción. Entóneos en el raso (4 ) si disminuye el número de traba jadores. rendirán más y aumentará la producción.

E je m p lo 4: D ada la función de producción del ejemplo :$ a ) Calcular la productividad inedia manteniendo f = 1. b )H allar su valor máximo. c )H allar la productividad marginal respecto de \v manteniendo constante t — 1, especializar en el valor máximo obtenido. d )D a r la productividad m edia para el misino valor. o)

Com parar resultados.

Solución: a ) P = (Uc2f - - 7


178

para /. = 1, P M e \ t=\ = 6 w — w¿ = f(w ) b ) P ara hallar valor máximo compruebo que /' = 0 A / " < 0

— 6 — 2u; = 0

f'(w )

f " ( w ) = - 2 < 0, / " (3 ) < 0 = * w = 3

mnx para PM e

c) PM a

dio

= 12wf? - 3w2 t 3

P M a ¡ t= i = l 2‘ w — '¿iv2 P M a ( Z y1) = 12.3 — 3.9 = 36 - 27 = 9 d) P A í e ( 3 , 1) — 6.3.1 - 32.1 = 9 utilizando fórmula (1) c) Se comprueba que lo producfiiñdnt! m&lin y la productividad margino! .se igualan en el punto m.áximo de productividad meiha\ si tal punto existe. E je m p lo 5: Dem ostrar la conclusión anterior en forma genérica. S olución: Sea q = P ( x i tx 2) la función de producción, entonces P M , =

ñ

^

l

Xi

suponemos que x 2 se mantiene constante en el nivel PM e

z2 — 0

= M

(3.14) X\

Para maximi'/ar derivamos (3.14) como cociente: dPM e

x xF X i{ x u b )- F { . * u i> ) ( x x) 2

Igualamos a cero el n u m era d o ra x\F'Xt (x l3 6) - F ( x x, b) = 0 despejarnos b):

3 ,7 Aplicaciones económ icas: funciones marginales.

PM a =

179

(3.1.5) Xl

Igualando (3.14) y (3.15) resulta que en e) punió máximo para la P M e se cumple que P M a — P M e . Análogamente se demuestra que es C M c = C M a en ol punto de mínimo costo medio.

3.7.2 E je rd d o s 1. Si la función costo conjunto para producir las cantidades V y ” de 2 productos está dada por C — xln {5 -f- y)

e “

a) Determ inar los costos marginales b ) Verifica* que el costo m edio respecto de la cantidad x os igual al costo marginal considerando y constante. c) Interpretar la parte b). 2. En la preparación de una pasta dentífrica se utilizan cantidades x 2, x>¿, x¿ de determinados productos. Hallar los costos marginales respecto de cada producto cuando las cantidades son 1, 4 y 3 re spectivamente. Interpretar y comparar, si la función de costo uni tario es C — 20xy + lO ij t 2>— 5 x 3 3. Construir las funciones de productividad media y marginal del in sumo X i correspondiente a la función de producción q — X 1 X2 -

0 , 2 x^

-

0 , 8x 0

a) Considérese X 2 = 10 b ) P ara qué valores serán el P M a y PM c ele

iguales a coro Y

c) P ara qué valoras serán el P M a = P M c ? Qué significa?

R espu estas ejercicios a) C M a x = ln(5 ■+■y ) \ C M a y = ^ b) C M e = c) Q ue el C M a x sea constante (ya que no aparece x ) significa que íú aumentar x en una unidad infinitesimal, el casto au m enta en valor constante = ln (5 H- y) independientemente de la cantidad tom ada para x.

180


1. C t i (1, 4, 3) - 180; C ; 2( l , 4, 2) = 80; C;> = 5 a) P M c x ,= c,= jo = 10 — 0 ,4 *i

b) P M e = 0 1 0 - 0 ,2 .x ! - | 2 = 0 lO x! - O t 2x? - 8 0 = 0 0 ,2 * ? - 1 0 x ! + 8 0 = 0 x^ - 50.x, + 4 0 0 = O X i = 40 ; X'¿ =

2. Si

10

P M a = O =* 10 - 0,4xx = O => 10 = ^ a;, =

y

^ x L = 25

c ) Igualando P M a — P M e 10

-0 ,2 .x !

=

10 -

0 . 4 a;,

- 0 ,2 * ? - 8 0 = 0,4x? x] = ^ x? = 400 =*• X i = 20

3. para Xi = 20 el P M e será máxim o y su valor será Qfl

PMr.{ 2 0 , 1 0 ) = LO - 0 , 2 . 2 0 - ^

= 10 - 4 - 4 = 2

3.7 A plicaciones económ icas: funciones m arginales.

ii.7.3

181

E s tu d io de la f u n c ió n dem anda

D efin ición : D e la observación directa del proceso económico real se concluye que las cantidades de bienes que adquiere un consumidor en un período económico dado dependen, objetivam ente de su ingreso o renta I y los precios de ios bienes p\,p-¿...pn (dados en el mercado correspondiente). Entonces la cantidad demandada de cada bien queda determ inada en función del ingreso y de los precios de todos los bienes. A s í surgen las funciones de demanda del consumidor dadas por: <1¡

= F i{PiJ' 2, - P n J )

<72

=

F i(P i,p 2 ,-P n J j (3.16)

(tn

= F n {P \ .V l,-V n ,I)

donde q x es la cantidad com prada del bien 1; y q-¡ es la cant idad comprada del bien 2 y así sucesivamente. P ara la aplicación del concepto de derivada parcial a dichas funciones y disminuir el grado de com plejidad de estas relaciones funcionales realizaremos distintas supuestos.

1 ®)

supuesto:

Si consideramos que la cantidad demandada del bien i depende del ingreso y de su propio precio px manteniéndose indiferente respecto cíe ios precios de los demás bienes queda determinada la función demanda <7> = F { p > ; I ) om itiendo subíndices estudiaremos la función demanda q = F {p ,I) I)

E n prim er lugar analizaremos el concepto de derivada parcial

do esta función respecto del ingreso, es decir,

182


que expresa el efecto de cambio en la cantidad demandada del bien si se efectúa un cambio infinitesimal en el ingreso, significado que corresponde a] concepto do “ Demanda maiginal respecto del ingreso” , también expre sado como efecto de un cambio” {alimento o disminución) en el ingreso sobre la cantidad demandada, del bien. Ebdst.en 3 posibilidades de reacción: 1. & > 0

2. | f = 0 3. g j < 0 N O T A : Siempre se considera el valor correspondiente a valores de I y precios ya determinados. 1) si > 0 significa que la cantidad demandarla del bien au menta aí aumentar el ingreso o disminuye al disminuir el ingreso, se suele expresar diciendo que la cantidad demandada cambia en la misma di rección del ingreso, en este caso se dice que el bien es normal: que luego, de acuerdo al valor de la elasticidad clasificaremos en necesarios o no necesarios 2) Si

— 0 la cantidad demandada permanece constante aule

un cambio en el ingreso, se dice que el bien es independiente del ingreso o como se verá más adelante que la demanda es inelástica respecto del ingreso. 3)Si G significa que la cantidad demandada del bien dis minuye al aumentar el ingreso o viceversa, se generaliza diciendo que las variables I y q se mueven en sentido contra: ¡o. Esto se explica por el hecho de que conforme aumenta el ingreso del consumidor, este au menta su consumo de bienes de calidad superior (por ejemplo manteca) y disminuye el consumo de ) ñones de calidad inferior (por ejemplo marga rina). D e allí entonces que en este caso el bien se denomina bien inferior. Nota: El análisis del signo es puntual, esto significa que si la derivada parcial se calcula para distintos valores de renta y precio el re sultado varía.

3 .7 Aplicaciones económ icas: funciones marginales.

183

Il)E n segundo lugar anal i cavemos el concepto de derivada par cial de la fundón demanda q = F(p\ I ) respecto del precio (esto significa aceptar que el ingleso so mantiene constanic en un valor determinado). En este caso Ja

o

pono de manifiesto la relación

existente entro el precio del bien y la cantidad de esc bien que el con sumidor está dispuesto a comprar. E l concepto de “ Demanda marginal respecto de su propio pre cio" se expresa como el efecto que trae aparejado un cambio infinitesimal en el precio del bien sobre la cantidad demandada do dicho bien. Existen también 3 posibilidades do reacción: I. IBp a < o

3. ¥ > 0 O jj

La primera (1 ) es la correspondiente a la mayoría de los bienes donde la cantidad demandada aumenta conforma desciende el precio de esc bien o viceversa. En este caso se dice que el bien es B IE N T I P I C O o que es un bien norma) respecto a su propio precio. Pueden existir excepciones a este caso normal, esto se da en los llamados B IE N E S C T F F E N donde se registra d caso (3). Marshall explicó esta clasificación arguyendo un estudio registrado en Irlanda donde la población pobre reaccionaba frente al aumento de parí reduciendo la cantidad demandada de carne y la de; otros bienes caros y compraba mayores cantidades de pan. En consecuencia el pan, pava este ejemplo, es considerado B I E N G IF F E N . Se puede demostrar que nn B IE N G I F F E N es un bien inferior aunque; lo recíproco no es verdadero. O tro ejem plo son los artículos de lujo. E l caso (2 ) tiene com o ejemplo la sal ya cjuc su consumo o can tidad demandada es independiente del precio fijado para este bien. 2o) supuesto: Si deseamos responder la pregunta: Cómo varía la cantidad demandada del bien j con el precio de otro bien (digamos el bien i) deseado por el consumidor, consideremos el caso que la cantidad demandada del bien j depende exclusivamente del precio do otro bien i

184


y (por ejem plo ) rio su propio precio; manteniéndose indiferente respecto del ingreso y do los precios de ios demás bienes. Entonces en (3.16) q,

=

•/>., . p j . - p '„ . r )

* significa que permanecen constantes. O m itiendo subíndices y simplificando la notación:
-

£3 ÍP . , P } ) = * Q ; - D ip--

■ Vi )

Analizaremos el concepto de derivada parcial de esta función Demam la del bien J, respecto del otro bien I; ya que el canálisis de la con es pondo a la segunda parto (II) del primer supuesto. En esto caô la f^

Ó[h

- o

r

17

expresa ol efecto do cambio en el precio del bien i sobre la cantidad de mandada del bien j. significado que corresponde al concepto de “derivada marginal de un bien respecto del precio de otro, llamada también D E M A N D A M A R G I N A L C R U Z A D A ” que- expresa el aumento (o dis minución) de la cartlidad deinaudada del bien J ante un aumento (o disminución) en el precio del bien I. Existen 3 posibilidades de reacción:

>0

n)

ri¡><

^ = úpx

0 1 2

p - < 0 op,

;

(3)

que nos guiarán a la clasificación de artículos sustitutivos, independientes o complementarios respectivamente. • En el cuso (1) los bienes se consideran O

c o m p e t i t iv o s

s u s t it u t o s . s u c e d á n e o s

y son los que satisfarán la misma necesidad, por

3.7 Aplicaciones económ icas: funciones m arginales.

185

ejemplo: café y te; carnes rojas y carnes blancas, manteca y Hun garina, etc.

ív m e n to En este caso una .rlirmimirínn en el precio de un bien genera un aumento o alza en la demanda del otro bien o viceversa. P o r lo tanto

> 0

• E n el caso (2) los bienes se consideran in d e p e n d ie n ir s entre sí pues un cambio en el precio de un bien no modifica la cantidad demandarla de otro bien, por ejemplo: café y sal; azúcar y carne, etc. • E l caso (3 ) corresponde a bienes considerados c o m p l e m e n t a r i o s O cuando SQ consumen conjuntamente para satis facer ciertas necesidades del consumidor, por ejemplo: cafó y azúcar,

com plem en to s

tabaco y pipas, etc. E n esta situación un alza en el precio de un bien trae aparejado una reducción en la cantidad demandada del otro bien y viceversa, por lo tanto

< 0

P ara síntesis y aclaración ver cuadro sinóptico general más adelante. E je m p lo 1: Si para un determinado consumidor la función demanda de un bien en el mercado está dada por D (p , i ) ~ /0 í . ; r 03 donde p es el precio unitario del bien, e l es la renta de ese consumidor. a)H allar domacidas marginales b) Interpretar para p > 0 e I > 0 c) Clasificar el bien económicamente y analizar si responde al com portam iento de la m ayoría de los bienes. Solución: a) b)

f

= 0 , 5 .J - 0 '» p - M

^

= -

0

,

p-' 3

Como, tanto la renta como el precio se consideran positivos,

independientemente de su valor, la demanda marginal respecto de la tonta es positiva ya que, com o en la mayoría de los casos, al aumentar (o dism inuir) la renta, aumenta (o disminuye) la demanda del bien. Y la demanda marginal respecto del precio es negativa, esto significa que

186


al aumentar (o disminuir) el precio, disminuye (o aumenta) la demanda; comportamiento correspondiente a la mayoría de los bienes, c)

Es un bien normal y típico.

E je m p lo 2: En un determinado país la ley de demanda del café responde a - 1 8

0 6

<7i = V\ ' TV donde gi es la cantidad demandada de café, p i es su precio y precio de la veri)a mate.

es el

a) Determinar las demandas marginales b) Interpretar y establecer relación entre los dos artículos Solución Ü'h d p ib)

i o - 2,8 0,6 1:8P, P2

dqi « /v dp2 - 0' * P l

P¿

0,4

Com o los precios se consideran positivos, independientemente

del valor asignado a los precios del café y la yerba; la demanda marginal del café respecto de su precio resulta {como en la mayoría de las casos) negativa, ya que a un aumento en el precio del café corresponde una disminución en la demanda del mismo. En cambio la demanda marginal del café respecto del precio de la yerba mate es positiva ya que en la generalidad de los casos a un aumento en el precio la yerba mate co rresponde un aumento en la cantidad demandada de café, (estos bienes se denominan sustit.ut.ivos). 3 .7 .4

E la s tic id a d

Para continuar el estudio de funciones económicas (p or ejemplo la función demanda) se introduce un nuevo concepto “elasticidad” . Comencemos estudiando funciones de una sola variable y — f{x )\ en este caso para llegar al concepto de derivada se considera primero el cociente de incrementos absolutos y luego se calcula el límite cuando el incremento absoluto de la variable independiente tiende a cero; por lo tanto

3.7 Aplicaciones económ icas; funciones margínales.

187

de esta manera se concluye que el valor de la derivada depende de las unidades de medida utilizadas para las variables. Para que esto último no suceda, surge el concepto de E L A S T IC ID A D , donde se considera el cociente de incrementos relativos cuyos valores son independientes de las unidades do medida utilizadas.

D efin ició n do elasticidad para funciones de una sola varia b le L a elasticidad de la función y ** f ( x ) en un punto x = Xo interior a su dominio, ta i que / (s 0) # 0; se define como el lím ite cuando A x —» 0 (incremento absoluto de variable independiente = A x ) dol cociente en tre el incremento relativo de la función y el incremento relativo de la variable independiente, si es que dicho límite existo. P o r lo tanto la elasticidad da y respecto de x en el punto x-o f <£Q ~-AjJ - f ( l Q)

§<■*> = ¿2 , - ^ S 1— I0

_

gp

/(xo + A j ) - / ( i 0) _

f ( T 0) ¿ - 0

A t

x0 / ( x o ) / ( o )

su valor es independiente de las unidades de medida E n general: Eu Ex

-

..

Um - f A i- o £ 2

x Av hm cix-o y A.r

x y

.

x dv = — rydx

Considerando ahora funciones de dos variables definidas por

2

= F ( x , y ) se pueden definir 2 elasticidades parciales:

1) Elasticidad parcial de z respecto de x : r.s el límite, si existe, cuando A.x —» 0 (incremento absoluto de la variable independiente A x ) del cociente entre el incremento parcial relativo ele la fundón F y el incremento td a tiv o de la variable independiente x. P o r lo tanto:


188

2) de_y nomo:

Análogamente se define la elasticidad pmvwl de z respecto Ez yy — •- hm - r - = —hm Ey ¿ y -ü éx;

A ydz — - = - 75±y—0 A y - Ojj

liÁ valor de ambas el asdeidades os independiente de las unidades ó c medidas utilizadas paui Jas variables. Significado apwdru/uhr. So puedo decir que la elasticidad do “ 5 ” respecto de x indica, aproximadamente, la variación porcentual de la función uzu frenle a un cambio (aumento o disminuciónj de la variable Kix ‘' en un 1%. Análogamente para -§f Este concepto so utiliza en funciones económicas para analizar el grado de respuesta de la variable dependiente frente a un cambio en la variable independiente considerada. N O T A : Coma para h s funciones mi ero económicas en general, las variables intervi ni entos román valores no negativos se demuestra que el signo de las derivadas parciales v las elasticidades parciales coinciden ya que si es

> f) al considerar x > 0 y z > 0 ^-qu e

> 0 entonces

> Q. Análogamente

^ c) —^ > 0 r-> —^ > 0 h-j <)x

En consecuencia se establece: SJgl 10 signo

f)r ll <>V

=

signo

=

signo

r

A p lic a c ió n d el c o n c e p to de e la s ticid a d a la F U N C I O N DEM ANDA

1 ) E la s tic id a d c o n

tv .s jh í c í o

a i in g re s o

L a elasticidad de la demanda de un bien i con respecto al ingreso


189

del consumidor está dada poi la fórmula: Ecu

¿
Ei

(¡l d i

(3 17)

que mido ¡aproximadamente, la variación porcentual de la can tidad do mandada clcl bien i pi ovo cada por una variación del 1 % en el ingreso de dicho consumidor P o r ejem plo si

^ 3 esto so interpreta diciendo que cuando

el ingreso experim enta un aumento del 1 % la cantidad demandada del bien i aumenta ap v o x i 11uvda reo i\t£ un c- %.

2)

E la s t ic id a d d ir e c ta con re s p e c to al p recio

L a elasticidad de la demanda del bien i con respecto a su propio precio pj.se llam a elasticidad ihrecto. con respecto al precio y se define como: E]\

q, dp,

su valor mide, aproxim adámente, la c ria c ió n p orcen mal ele la cantidad demandada deí bien i quo es provocada por una \ariacinn del 1% en su precio pt P o r ejemplo: si

•= —5, entonces se puede decir que la canti

dad demandada del bien i disminuyo, aproximadamente, en 5 % cuando el piceio p, experim enta un aumento del 1 %.

5) E la sticid a d cruzada respecto al precio Llamarnos elasticidad cruzada respecto al precio, a la elasti cidad de la demanda del bien .) respecto al precio del bjen i (i ^ j ) y está dada por:

^

Ep>

-

P ~ ^

<¡, dp,

(3.19)

su valot mide aproximadamente el cambio porcentual en la cantidad de mandada del bien j que resulta de un cambio en 1% cu el precio p, de otro bien deseado por el consumidor.

190


Not.it:

Es conveniente volver a destacar que el signo de la elasticidad está determinado por el signo de la derivada parcial respectiva. £1 valor absoluto que puede tom ar la elasticidad de la demanda nos lleva a distinguir distintos tipos de demanda. Llamamos n. al valor absoluto de la elasticidad de la demanda. Entonces: 1. Si 7 1 > 1 significa que un cambio en la variable considerada como independiente (p or ejemplo precio, ingreso) en 1% provoca un cam bio P R O P O R C I O N A L M E N T E M A Y O R en la cantidad deman dada. Se dice entonces que la demanda es elástica. 2. Si n = I significa que un cambio en la variable independiente en un 1% provoca un cambio P R O P O R C I O N A L M E N T E I G U A L en la cantidad demandada. Se dice que la demanda tiene elasticidad 'Uiúf.ín'i.ti..

3. Si 0 < n < 1 significa que un cambio en la variable independi ente en un 1% provoca un cambio P R O P O R C IO N A L M E N T E M E N O R en la cantidad demandada, la demanda es inelást.ica (pan, azúcar, carne) 4. Si r? — 0 significa que variaciones porcentuales en la variable indepen diente no provocan ningún cambio en la cantidad demandada del bien. So cítce entonces que ia demanda es totalmente inelásticn P o r ejem plo la sal. Resumiendo: | EJasriujriud | Demanda 7!

>

1

0

<

71

71=0

l

n =

1

|

E L A S T IC A <

1

iN E L A S T IC A

|

T O T A L M E N T E IN E L A S T IC A de E L A S T IC ID A D U N IT A R IA

Según este último análisis podemos clasificar a los bienes definidos anteriormente com o normales cnBtENKS

n FíCBSa h i OS

O NO NECESARIOS.

3.7 Aplicaciones económicas: funciones marginales.

191

Anteriorm ente definimos como bienes normales aquello*, que la cantidad demandada aumenta al aumentar el ingreso, o disminuye al disminuir el ingreso es decir que > 0 entonces j j > 0 , B a j o e s ta s co n d icio n e s, se d ic e qu e un b ie n i es n e c e s a r i o si 0 <

p Ues si e l in gre so au m e n ta e n 1 % la d e m a n d a d e b ie n

a u m e n ta r á p r o p o r c io n a lm e n te m en os, (e je m p lo : loch e, p a n , a z ú c a r).

P o r otra parte, el bien i es NO n e c e s a r i o si > 1 pues si el in greso aumenta en 1 % la demanda de! bien aumentará proporcionalmente igual o más (ejem plo: ropa, zapatos, libros). N o está demás recordar que el \tüor de la elasticidad respecto del ingreso depende del valor asignado aJ ingreso, entonces puede ocurrir que un bien sea no necesario para cierto nivel de ingresos y necesario pata otro nivel de ingreso. Condensando todos los conceptas presentados anteriormente po dernos resumir en tm cuadro la C L A S IF IC A C IO N D E B IE N E S según los valores de tas demandas marginales v las elasticidades parciales.

0

N O R M A L N O N E C E S A R IO

0

¿ i;

0

0

N O R M A L N E C E S A R IO

V

Elasticidad

A

Demanda marginal A

bienes

1

§ í> i

% 7>0

V

O V ¿ caj.-i

G TFFE N

<0 0

*15

T IF IC O

# íf 4?

IN F E R IO R .

i£ > o

0

V

S U S T IT U T IV O S

< f f <

C O M P L E M E N T A R IO S

djt

E je m p lo 1: Sean A terneros. B cerdos y C corderos. La demanda de terneras es estudiada según Schultz como la función D a = 63,3 - 1,9p A + 0 ,2pü -f 0, 5pe donde p .4 , p s , pe *>n ^

precios respectivos.

192


a) Hallar las elasticidades parciales de la demanda de terneras respecto al precio de las terneras , el precio del cerdo y el precio del cordero. b ) D ar valor para p a == 10, p$ = 8, p e = 7 c) Interpretar económicamente los resultados d) Clasificar las terneras como bien típico o Giffen e) Clasificar los articulas entre sí como sustitut.ivos o comple mentarios. Solución;

a)

e d a

-I,9 P a

Ep.\

6 3 ,3 - 1, QpA + 0 .2 p e + 0 ,5 p c

EDA

0,2pfl 63,3 -- 1>

E Vb

+ 0, 2p b + 0 ,5pc

Vn t í ü A d a

&PA

Pb d D A d a

dpB

e d a

0,5pc

Pe d D A

Epc

6 3 .3 - - l , 9 p A + 0 ,2 p s -t-0,5pc

D a dpc

b ) § jfc (1 0 ,8 .7 ) = -0 ,0 3 c) Esto significa que si cí precio de ía carne de terneros se incrementa en 1 por 100 y el precio de los cerdos y corderos permanece constante en 8 y 7, la demanda de terneros bajará en aproximadamente 0,03% (es una demanda inelástica). Calculemos la elasticidad respecto de po L ) | ^ ( 1 0 , 8 , 7 ) = n,03 c)

Esto significa cjue si el precio de los cetdos se incrementa en

1 por 100 y el precio de los terneros y corderos permanecen constantes, la demanda de tem eros aumentará en, aproximadamente 0,03%. d ) como

es negativa la carne de ternera es un bien típico.

e) Son bienes snst.it.utivos, por el resultado obtenido en b). Calcúlenlos ahora la elasticidad con respecto a pe

(10,8,7) = 0,07

193


c ) E sto significa que si el precio de los corderos aumenta en I por 100 y los prados de los tem eros y cerdos permanecen constantes, la demanda de terneros aumentará en aproxim adam ente 0.07%. e)

Son bienes o artículos sustituidvos, por el resultado obtenido en b). Com parando los dos últimos resultados

y

se concluye

que en esa población la carne de ternera se sustituye mas por carne de corder o que por carne de cerdo. E je m p lo 2: L a dem anda de bicicletas en Holanda ha sido estimada a partir ele datos que cubren un determinado período como la función: V = 11,2

8 ,6 p - 379

siendo V el consumo total anual de bicicletas, k el índice del poder de com pra y P el precio de las bicicletas. a)Encuentre la elasticidad respecto del ingreso y respecto del precio. b )D a r el valor para k = 100, p = 45 c ) Clasificar el bien. Soh¿ddn

a)

EV

k dv

E k 5" V dh EV

pdv

E V s’ V &p

i ' 1® '

11,2* 11,2 k - 8 , 6p - 379 - 8 ,6 * 11,2 k - 8,6p - 379

45) = -1 ,0 9 .45) = 3,16

c )A n a l i z a n d o (3 .2 0 ): c o m o l a d e m a n d a d e b ic ic le ta s d ec re ce en a p r o x im a d a m e n t e 1 ,0 9 % a l a u m e n ta r s u p re c io en 1 % ; as u n b ie n T IP IC O . E n (3 .2 1 ), e n c a m b io l a d e m a n d a au m e n ta a i a u m e n ta r e l ín d ic e d e p o d e r d e c o m p r a e n 1 % , p o r lo t a n t o es un b ie n NO R M A L; p e r o c o m o

194


|££| > 1, pues 13,161 > 1 se concluye que es un

b ie n

n o r m a i. n o

NECESARIO.

3.7.5 1.

Ejercicios Sea Q la cantidad ele tela coasumida per capita, R el ingreso per capita. P el precio de las telas, t el tiem po y S las exportaciones.

L a demanda de telas está dada por: q = 0 ,7 1 7 + 0S481 íog R - 0,133log P - 0 , 0 0 0 6 7 1 0 $ * + 0,1 \og S a) Hallar la elasticidad según el precio y según el ingreso b ) Analizar el signo y ver si resulta ser un bien típico y normal. 2.

Sean qi y qi las cantidades demandadas de dos bienes Q j y Q 2 res pectivamente y pj y p-2 sus precios unitarios.

Si las funciones

de demanda que vinculan dichos precios para una determinada población son:

a) Hallar las elasticidades directas y cruzadas de ambos bienes. b) D ar su valor para p x = l s

= 1

c ) Clasificar el bien Q u el bien Qo y compararlos. d) Clasificar los bienes entre sí. 3.

Si las funciones de demanda de dos artículos 1 y 2 (siendo las cantidades demandadas qxy q¿ respectevumente y sus precios p xy Pi

están dadas por las funcionas k

donde

k > 0

P iP ¿

Hallar demandas y elasticidades marginales. Clasificar los artículos. 4.

Idem para: qx = a

5. Idem para qx =* acS-

q¿ = bf? 3

con a > 0 y b > 0

r¡ 2 = be?' *P3

3.8 Teorem a del valor medio

195

G. Idem p a r a q\ = a + bpi + cp¿ ;

q-> = d -f c jji + / p a

Est udiar en qué caso las artículos serán complemetarios o sustit.utivos. 7. Idem para: q¡ = ^

3.8

+ cp 2

;

=

+

T e o r e m a d e l v a lo r m edio Para funciones de una variable. Sabemos que si y = f ( x ) es una función continua para a < x < b

y con derivada en todo x, tal que a < x < 6, existe entonces un valor Xa a\ menos entre a y b , tal que (figura 105). m

- m b —a

= / '( * o)

(3.22)

= n x 0){ b -a )

( 3 .23 )

D e (3.22) m

- m

O sea: “E l incremento de una función continua en [a, 6] y derivablc en (a, 6) es igual al incremento de la variable multiplicado por la derivada en un punto intermedio” que constituye el enunciado (leí teo rema del valor m edio o del incremento finito.

196


Siendo f ( b ) — f ( a ) = A y y b - o = A x reemplazando en (3.23) A y = t ' ( x 0)A x

(3.24)

Por ser a < xq < 6. os ?:n = a 4 0A.r. con 0 < 9 < 1, luego , para o = x y b = x - r A x (figura 106). os ,r0 = t -í-O A z , que ñas permite expresar (3.24) mediante la fórmula ele Lagrange: A y = A z /'(j-o -h 9 A j

)

con 0 < 9 < 1

(3.25)

0 (A .r ) significa fracción propia de ( A i )

si 0 = 0. xn = x si 0 = 1, x {) •— r 4 A i Desdo el punto de vista geométrico el teorema del incremento finito expresa que. en las cor.iliciones de la hipótesis, existe tin punto x*(> interior al intervalo tal que la recta tangente a la curva on (io > / (z o )) es paralóla (figura 94) a la recta secante delreriiinuda por (a, / ( « ) ) y (b .fm E y m p lo: Sea / : (0,2] —* R / / (* ) = x 2 Si queremos determinar para que incremento finito, según (3 22) resulta:

xq

ver fique la fórmula del

197

3.6 Teorem a del vafor medio

Para funciones do dos variable*** ño trata de expresar mediante los derivadas F ' y F¿ el incre mento de la función /'‘(a:,?/), cuando incrementamos las variables en A x y A y respectivamente (figura 107). Por definición A z ^ F ( x 0 4 A x :y o - f A y ) - F { r 0;¿/a) Y

x oy

(3 .2 6 )

Figu ra 107

I

> (x D+ yl ¿x1y? + ay)u

+ ax, y0 ax)

y0 + ¿ y

•(%, y0 + 8¿ Ay) i

( ’t.- a ; y- * 8. ax) V „ "0

{x. + AX. Vq) Í ^ + V x , y¿¡

M

0

*0

Í^ + AX

Sumando y restando a la expresión (3.26) el número F(:ro + A x .;y o ) y agrupando convenientemente, obtenemos A ; - [Ffiry 4- A x ; y0 + A y ) - F ( x u + A x ;y 0)\ + 4- [F (x o 4 A x :y (t) - F ( x 0 ;yh)\ E l primer corchete representa el i ncromen fu de la función al pn.sar do N a R. donde x mam ¡m e fijo su valor xr¡ *1* A x actuando siv lamente y com o variable.

El segundo corchete es el incremento de la

función al pasar do M a N, donde y mantiene fijo su valor yn, actuando solamente x como variable. Podemos, entonces, aplicar a cada uno do los corchetes el teo rema del incremento finito para una variable (ver (3.25)), resultando: A c = A x F¿(xa H- 0LA x ; yo) v A y F {,(x 0 4 A x ; y, + 6 -¿Ay)

(3.27)


198

con (O <

< J: 0 < £> < 1).

El incremento Oí; en (x 0; yo) también puedo expresarse según la fórm ela (3.28). siguiendo el camino M í'Ib en eso caso A ; = A x F's (.ra -f 0: A x: j 0 + A y ) 4- A y F ’y(xn¡ yo con

(0

6^1

<

1;

<

0

< 0 -, <

62 A y)

(3.28)

1 ).

O sea : !‘Si una función de dos variables es continua en un con junto y derivable or. si; interior, dadas ríos puntos talos que el rectángulo de lados par a lelos a los ejes cjuc los tiene por vértices apuestos esto incluido en C. el incremento de la función entro olios es igual a la suma do los produel.es do los incrementos de las variables por las re spectivas derivadas parciales de la función, tornadas cu sendor> puntos pertenecientes a dos la des consecutivos de dicho rectángulo1'. E je r c ic io 63; Dada la función 2 = x 2 4* y 2 hallar el incremento A r considerando los valores de la función en los [juntos (1,2) : (1 + A x : 2 + A y ) y expresar dicho incremento m ediante el teorema riel valor medio. S ch :d .Ó 7 i.

Según (3.2b). por definición: A.e = ( l - A , : f -¿- (14- A y ) 2 - ( H

4)

A ; — 1 - 2 A x + A x 2 -t-1 4 4 A y + A y 2 - 5 A ; = ¡2 r A x ) A x + (4 u A y ) A y Según (3.27). por el teorema del valar medio: A ; - A x K f l r f l , A x ; 2) + A y /«; ( H - A x : 2 + 92A y) A .; — A x [2 (l + (9,Ai)J -r A y [2 (2 3 ó'. I

4

02Ay)|

A P U C A C IO N E S E C O N O M IC A S :

E je m p lo : TJn producto! os’ ablcce su función de costo total como c = 3¿-5 + '¿y2

199

3.8 Teorem a del valor medio

siendo 2 e y las caí n id a d a invertidas

011

2 insumes neccâiios.

Si ac

tualmente consumo do* unidades del primer insumo ( r ) y 1 unidad del segundo insumo (y). a ) ObU'jjiu Ja expresión de los valores en los cuales deben calcú lame los costos marginales cara que el incremento del costo total pueda calcularse aplicando el lomema del valor medio.

b ) H.illoz el valor de los puntos i/jlc rm odios en Jos cuales se cal cula 1 1 los costos marginales si A .r = 0 s03 y A y — 0,02 Solución Según ía expresión (3 27) deí teorema del valor mediar

F \o

=

Aa

y-

io

-

*r A r : b -i- A y ) -

F f a , b) —

$i A r . h) 4- ^V~^¡ (a **"

^

^ &V)

siendo 0 < 0, < 1; 0 < b: < 1 E 11 nuestro caso AC*

-= C'\ 2 -r Aa-. 1 4

Ay)

-

C '{ 2, 1)

=

- A :r A (2 - 0- A .r .! ) -f A y ^ (2 + A:r, 1 -I- < 1 Calculemos el primer miembro de esta igualdad: r ;(2 4 A x J + A ;/ - C Í2 .1 ) = 3 (2 + A .r )" 4- 2(1 •]• A y )- - 14

= 12Aa 4- 3 A x 2 i- 4 A y + 2 A y J Calculemos ahora el secundo miembro:

(3.29)

200


Rn to n c o * el segundo m ie m b ro es: A : {12 -t- (10; - 12Aj: I

Ax) + A y

(4 + 40* A r ) *

M, A x 2 h 4 A y + 4 8 2 Ay-

(3.30)

Igualando las expresiones (3.29) y (3.30) por el teorem a del valor medio 12A r + 3 A r - + 4A?y 4- 2A y* = 12A x + 60) A r 2 4- 4A?/ + 402A?y2 3 A j 2 -r 2Ay 2 = 60) A s 2 + 402A í;2 como los puntos intermedios deben resultar independientemente del valor de A x y A y entonces: 3 = C)9i =^0! = 1/2 2 = 402 =* 02 = 1/2 Reemplazando en las expresiones de los puntos intermedios:

Estas son las expresiones de los valores de las cantidades inver tida^ cu cada insumo, donde deben calcularse los costos marginales para que el incremento del costo total puede calcularse aplicando el teorema del valor medio. £.s decir que el incremento del costo total es igual a la suma de los productos de los incrementos en las cantidades d élo s insumes multi plicados por los costos marginales calculados en P\ y P ‘i . respectivamente siendo:

b)

Si A x = 0 (Jl y A y = 0,02 entonces

ñ

-

( 2 + ^ 0 . 0 1 ; l ) = > ^ = (2,005; 1)

= * P 2 = (2.01; 1,01)


201

AJ incrementar la cantidad clcl primer insumo en 0,01 unidades y la cantidad del segundo insumo en 0,02 unidades se produce un incre mento del costo total que puede calcularse: multiplicando el incremento en la cantidad del primer insumo (0,01) por el costo marginal respecto de este insumo calculado en z = 2.005 e y = 1 y sumarle a este resultado el producto riel incremento del segunda insumo (0,02) multiplicado por el costo marginal respecto de este insumo calculado para 2,01 unidades del prim er insumo y 1,01 unidades del segundo insumo. Por lo tanto: A C = C {2 + 0,01.1 + 0,02) - C { 2,1) ~ 0,01 c ; ( 2 ;005: i ) + 0 ,0 2 ^ (2 ,0 1 ; 1,01) Puede verificarse que el incremento total del costo es: 1)

A C - C (2 + 0.01,1 + 0,02) - C (2 ,1) = = 3 (2 ,0 1 )-'+ 2 (1 >02)2 - 14 =

- 3.4.0402 + 2 .1 ,0 4 0 4 - M = 12,1203 + 2,0808 - 14 = 0,2011 2)

C i í P J - C ;(2.005;1) = 6.2,005 = 12,03 C'X{ P ¿ ) ~ C T{ 2 01:1,01) = 4.1,01 - 4 , 0 4

A C = 0?O l C ; ( P i ) + 0 J0 2 C ;fP 2) = 0101.12,n3 + 0,02.4,04 ^ = 0,1203 + Q. 081)3 = 0,2011

3.9

C u estio n ario d e Repaso

1. D ar definiciones de las derivadas parciales en un punto 2. ¿Cuál es la interpretación geométrica de las mismas? 3. ¿Cóm o se define fundones derivadas parciales? 4. ¿Qué condición requiere una función derivada, para poder hallar directamente el valor de las derivadas pardales en un punto? 5. ¿Cóm o se expresan simbólicamente las funciones derivadas p ar ciales segundas? G. ¿Qué se entiende por derivadas mixtas o cruzadas? 7. ¿Qué expresa el teorema de Schwart2?

202


S.

¿.Qué expresa cj concepto medio?

9. ¿Qué expresa el concepto marginal? 10. ¿Cuál es el enunciado doi teorema del valor medio para funciones de 2 variables?

3 .JO 1.

E je rc ic io s d e A p lic a c ió n Aplicando la definición, hallar las funcionas derivadas parciales de las si gin en íes funciones: ai c = 2 ir

• 3xi/ -p 4?/¿

2. Aplicando la definición, hallar las derivadas parciales en los puntos indicados, de las siguientes funciones ai : = 2x h j - x y 2 en Aid (1,2)

2 — x '2 *1

b) el

2

y en A/u(2, - 1 )

— 'Tyjxfi en Mo(0, Ü)

di r

^ en A/n( ! , l )

3. Encontrar directamente las funciones derivadas parciales de las funcionas definidas por: «a)

2

= x 2 + 3xy + y¿

b!'

2

= -4- A :/‘ Z-

r)

2

s= ser, ( f a ) cos{4¿/)

d ;

¿

—

c;

¿

t

y/ 1 +

x 2 -f- y 2 +

5 x 10 —

f ix y 7

=

f j z - ln (r c l. u ), ) g} ; = a r c tg [xy ‘1)-\- arct.g (x 2 y) '1 Calcular las derivadas parciales, en los puntos indicados, ric ías si guíenles funciones:


z = sen (x y ) en A / o (l, 4 )

a)

b} : = e¡

5.

2 03

;

en .V/n(l. 1)

= s e r :2 (. r y )

en A/0 ( f ,1 )

Si expresamos el área de un triángulo por S = ^ci6sen(C7} bailar para a = 20, 6 = 30 y (7 = 3D'1. las vaii ación es de: ¿0 S cor. respecto a a, suponiendo b y C constantes b) S con respecto a C. suponiendo a y b constantes c) S con respecto a a, suponiendo S y C constantes.

6.

Demostrar que si

x

X

resulta

7.

Demostrar que si

resulta x Z + y z ^ 0 3.

Si a.r + ty/)2 + paT+,J^ -h sen(fl v 4- ¿w/) demos1rar ouc: v

9.

¿Existe F ' en ct origen, siendo para

(a\y) =¿ (0 ,0 )

para

(r ,y ) -

En caso afirmativo hallar su valor

(ü.0)

?


204

10.

Dado el elipsoide

calcular la pendiente a la curva, situada en el primer octante de terminada por la intersección del plano y = 0 en el punto xq = 2 . 11. Encontrar las funciones derivadas parciales segundas de las fun ciones dadas en a), b ) y c) de! ejercicio 3). 12. Dadas las funciones

b)

; = ex'J

< 0 ; = N

( i ) ] _1

d) : =

+ y )~ l

e) r = e2* ln(y ) encontrar las funciones derivadas parciales de segundo orden. 13.

Si z =

xy x —y

d e m o s tra r q u e

x 2 z” x + 2 x y z xy + y2 zyy = 0 14 Si 2 z + Zy

demostrar que Zxy

_

zvv

x

15. Si z = e_ í (sen 2: + eos y ) demostrar que •

~ y y

205


16. Com probar que las derivadas parciales de las funciones

y C (x . y) = arctg coinciden. 17. Dadas las siguientes funciones: a) z = ev b ) z = a rc tg(a:i/) encontrar A z en cada una de ellas, dando una expresión por el teorem a del valor medio. 18. Si para un determinado consumidor la fundón demanda de un bien en el mercado está dada por D

( p

; V > '2

donde p es el precio unitario del bien, e I es la renta de ese con sumidor. Se pide a) Hallar las demandas marginales b ) Clasificar el bien económicamente y analizar si responde al c o m p o r t a m ie n to d e la m a y o r ía d e lo s bienes.

19. En un determinado país la ley de demanda d d té responde a

donde qi es la cantidad demandada del té y p i es su precio, mientras es el precio de la yerba mate a) Determinar las demandas marginales b ) Clasificar el té como tipo de bien c) Establecer la relación de sustitutiviclad o complementariedad entre los dos articulas.

206


20. Si la demanda de la carne de ternera para una detenninada pobla ción está dada por D a = 63,3 - 1,9pA + 0 , 2 pB + 0,5pc donde p . \ , P b y p e los precios unitarios de la carne de ternera, cerdo y cordero respectivamente. Se pide a) Hallar las elasticidades pardales de la demanda b) Interpretar geométricamente para pA = 10, pb = 8 y p e “ 7 c) Clasificar la carne de ternero como bien típico o Giffen para esa población. d i Clasificar los artículos entre sí

e)

¿Que sucede en esta población ante un aumento en el precio de la carne de t,emera?¿Es más factible que se sustituya por carne de cordero o de cerdo?

21. Sean q-x y qt las cantidades demandadas de manteca y margarina respectivamente y p x y j >2 sus precios imitaros; si las funciones de demanda que vinculan dichos precios para una determinada población son:

- 1,2

0.2

0,3

<12 = P l

- 0,4

V'2

a) Hallar las elastiddados parciales directas y cruzadas de ambos bienes b) Interpretar económicamente e)

Clasificar el bien manteca y el bien margarina

d ) Clasificar los bienes entre sí 22 Siendo x c y las cantidades demandadas de tornillos y tuercas re spectivamente y p y q los predos unitarios correspondientes, si las funcionas de demanda que vinculan dichos predos para una deter minada población son: S_ v q a)

_

12

vq

Hallar las elasticidades parciales directas y cruzadas de ambos bienes; interpretar económicamente.


207

b ) Hallar las demandas marginales directas para p — 2 y q = 3. Interpretar económicamente. c) ¿La clasificación de los artículos depende de los valores de ios precios p y q? 23. Hallar los pimíos intermedios donde deben calcularse los costos marginales para la función costo conjunto dada por: C = 2 x¿ + 5y para

t

= 3 c y — 1 cuando A x = 0.01, A y = 0,03. si se desea

aplicar el teorema del valor medio en el cálculo del incremento del costo total. 24. La función demanda de un artículo cuyo precio de venta es p : está dada por la expresión A

=

+ 8pij -1- Apips

Calcular aproximadamente aplicando el teorem a del valor medio eí incremento producido en la demanda D\ al pasar del punt o P 0 = (1.5; 1,2; 1,4) al P = (1,51; 1,25; 1,38).

C a p ít u lo 4 D IF E R E N C IA L

4.1

In trodu cción

Para poder ampliar el estudio del teorem a del valor medio y efec tuar sus principales aplicaciones, es necesario recordar algunos conceptos ya estudiados, como i infinitésimos y diferencial de funciones do una variable en un punto In fin ité s im o s f ( x ) es un infinitésimo o infinitamente pequeño para x —* a si y sólo si lim f ( x ) = 0

X

lí

también vale la definición si x —> oo, es decir lim f ( x ) = 0 X - > co

Para decidir si una función / f ( x ) es un infinitésimo es pre ciso que se indique el valor al cual tiende la variable independiente. N o se puede responder a la pregunta ¿eos (o:) es un infinitésimo?. En cambio se j mede afirmar que r o s (r ) es infinitésimo para Por oí xa pane eos (x ) no es infinitésimo para ,?;••• £. pues lim c o s (t) — x -f l

jé

0

Aplicando las propiedades sobre operaciones con límites es fácil probar qi ie: a)

La suma de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo.

210

Cap. 4 D IF E R E N C IA L

b ) El p r o d u c to do in fin ité s im o s es o t r o in fin ité s im o c ) Una constante; por un infinitésimo es otro infinitésimo. Pode mes. además, comparar infinitésimos.

Cuando el límite

para z —> a del cociente de dos infinitésimos f ( x ) y g (x ) es cero, decimos que d infinitésimo /(.?;) es de arrien superior a ft{x). Por ejemplo, f ( x ) — x 2 y g {x ) — x son infinitésimos para x —> 0, pero t? es un infinitésimo de orden superior a x, pues lim — = lim i = 0 y *0 x i —0 En lenguaje vulgar podemos decir que un infinitésimo es de or den superior a otro, si el primero tiende “mucho más rápidamente’1 a cero que el segundo. Cuando el lím ite para x —* a deJ cociente dr das infinitésimas / ( * ) y .9 ( 1 ) es una constante del mismo orden.

110 nula decimos

que esos infinitésimos son

P o r ejemplo, f ( x ) = x 7 y g {x ) — 5 r2 son infinitésimos del mísmô orden para x —> 0, pues x2

1

lim — r =T lim -

se—o b x ¿

a—o 5

1

= -

5

E 11 particular, si la constante vale 1 se dicen c/jiih;alentp.s. En cambio, si f f x 1 as infinitésimo para x *•» a y $ {x ) lo as para x - • b (a 7^ á) aml>os infinitésimos no son comparables. Además, si sabemos que lim f ( x ) = L

x— a

podemos afirmar que, para x —* a es lícito escribir

m

= L+ e

d o n d e c es u n in fin ité s im o , p a r a i - * a ,

(4.1)

211

4 . 1 1ntroducción

D ife r e n c ia l do una fu n c ió n e n u n p u n to Dada una función y = / (x ), un punto

en el cual está definida la

derivada y un incremento A x , se denomina diferencial dy a la expresión dada por la fórmula d y - f ( x t i) A i

(-1.2)

Obsérvese que, para cada punto, la diferencial es función del in cremento (A x ). Ejemplo Dada y = t - , hallar dy para xo — 0,6 para los siguientes valores de A x : - 0 , 3 ; - 0 , 2 ; - 0 , 1 ; 0 ; 0,1; 0,2; 0,3 y' = 2 x =* ?/ (0 ,6 ) = 1,2 lllPS O

A i

-0,3

-0,2

dy

-0,36

-0,24

-0,1 -0,12

0 0

0,1 0,12

0.2

0,3

0,24

0,36

L a intci prefación geométrica de la diferencial se aprecia en la figura 108, ya que ±

= f ( Xü) = tg 4>

O sea. dy = medid a QR> (Obscrvemos que en el caso de la figura dy difiere del incremento A y = Q S , en 6 = R S ). O sea Ay = dy+ 6 Así. en la figura* y(í\ 6) =* 0,30;

y {0 ,9 ) ~ 0,81

A y = 0,45 — med Q S dy = 0,36 = medQJ? O sea : 0,45 - 0,36 + 0,09 =*■ 6 = 0,09 E! término 6 que hay qne agregar a dy para obtener el incre mento A y se llama térm ino compleTnc7 it(i'ri.o clel incremento A y .

212


s o b r e fa c u r v a

En particular, si y = x, resulta dy = 1.A.t = A x pero, siendo ?/ = f ( x ) podemos escribir que dx = A x , lo cual significa que la diferencial do la variable independiente coincide con e\ incremento ríe la misma. P o r esta raxón la fórmula (4.2) puede escribirse dy = / '(x 0)d x

(4.3)

de don de

dy dx

= n * 0)

y en general ^

= / ' ( i ) = * dy = f '{ x ) d x

A la expresión (4.3) también llegamos recordando que

(4-4)

213

4.1 introducción

o también, según (4.1)

donde

e

—►0 cuando A x —* 0. Por tanto A y resulta

A y = A x / ' ( tq ) + e A x

(donde e A x A x —* 0).

es

(4.5}

infinitésimo de orden superior a A x cuando

L a expresión (4.5) es la del incremento de una función en un punto en la cual existe y es finita / '(x o }. E l primer térm ino A i / ' (x 0) suele llamarse “parte principal’1 del incremento, que simbólicamente se indica dy = } ' ( x o) A i que con la indicación hecha resulta

dy = f\ x o )d x

expresión que coincide con (4.3). Cuando A x e s pequeño, d y es aproximadamente igual al incre mento A y . ( & t a afirmación es, ambigua, pues no está definida la palabra “pequeño” ). N o obstante, el siguiente ejem plo nos perm itirá tener una idea de las aplicaciones del concepto de diferencial. Ejem plo Calcular aproximadamente tg 45°30/ . Sabemos que tg 45° = 1. En lugar de calcular el incremento A y de ia función (figura 109) al pasar de 45° a 45°30/, calculamos dy

214


y = tg x dy = f '{ x ) d x dy = sec2 i d x p a ra x = *

dx ^ 3 0 ' = 0,00873 (o b t e n id o d e u n a t a b la d e c o n v e r s ió n d e l s is te m a s e x a g e s im a l al c ir c u la r ). d y = s e c 2 - 0,00873 = 2 . 0,00873 = 0,01746 Luego t g 45°30' *

1 + 0,01746 = 1,01746

(c o r r e c t a h a s ta l a te r c e r a c ifr a d e c im a l).

L a a p r o x im a c ió n d e p e n d e d e l a fu n ció n d a d a , d e l p u n to e le g id o y d e l in c r e m e n to .

L a s r e g la s d a d a s p a r a l a d e r iv a c ió n son la s m is m a s e n e l c á lc u lo c o n d ife re n c ia le s , b a s ta n d o s o la m e n te c a m b ia r d e riv a d a s p o r d ife r e n ciales.

4.2 Funciones diferenciales. Diferencial total

4.2

21 5

F u n cio n es d iferen cía teles. D ife r e n c ia l t o t a l Si las derivadas parciales F x (x o ,y o ) y í ^ ( t o , 2/o) de una función

continua z = F ( x ) y ) y son continuas en un punto (io .!/ o ) es lim F x ( x c + 0 i A x >yo) = F x (x (),y o ) a * —*o ,

A

A1' 1? ,C A , ^ Ay)— (0,0) * Í X [)

+

A X ’ 2 /0 +

^

A !/) =

^

'0

,

I/O )

que podemos escribir F ^ x o + d ^ , y0) - F x ( x o , y 0) = f i =*• F ((x o + 9 i A x , yo) = í^ (s o ,I/ o ) + £ i

(4.6)

F l{ x o + A x ,y 0 + 8 2 A y ) - F K x o .ijo ) = £2 => (Zo + A S , J/0 +

donde

£1

y

£2

&2Al/)

= ^ (lo . T / o ) + Í 2

(4 7)

tienden a cero cuando A x —+ 0 y A?/ —►0.

Reemplazando (4.6) y (4.7) en la expresión del incremento dado por el teorema del valor m edio (ver 3.S). A z = A x [.F '(x o ,I/ o )+ e i] + A y [ i ^ ( x 0, y0) + £_>] es decir, A z = F x ( 1 0 , yo) A x + F y ( x 0, ?/o) A y + donde

£1 A x

+ e2A y

(4.8)

y rg tienden a cero cuando A i —* 0 y A y —» 0. Luego, si la función

2

= F ( x , y ) adm ite derivadas parciales con

tinuas F Í(x o ,y o )y F l(x Q ,y 0), en el punto (x 0, yo), el incremento A c correspondiente a los incrementos arbitrarios A :i v A y está expresado por (4.8), entonces decimos que

2

= F ( x ) y ) es Aifc.renciable. en el punto

(^C)Vo)« Para que una función F (.t,i/ ) sea difcrcnciable en un punto (xu,í/o), es suficiente que F sea continua, derivable y con derivadas par ciales de primer orden continuas en (x o , 2/o)* Los dos primeros términos de (4.8) constituyen la “ parto prin cipar5 de A z .

216


Dada una función z = F ( x , j ) difereneiable, llamamos diferen cio i total, de F (x .y ) a la parte principal del mere mentó A z . que indicamos simbólicamente dz, o sea dz - 1'H t.q, y0) A x •f• Fy (x 0, yo) A y

(4.0)

Si F [ z , y ) — z , es d x = Arr; análogamente si F ( x ) y) — y, es dy = A y . En este caso la expresión (4.9) se indica así:

dz =

dx + t ; { x , y ) dy =

(4.10)

que constituye la expresión analítica de diferencial. O sea: “L a diferencial de mía función de dos variables es igual a la suma de los productos de sus derivadas parciales por los respectivos diferenciales de las variables” . Análogamente si el número de variables es m ayor {v e r 4.10 ejer cicios 2b y 2c)

4 .3

S ig n ific a d o g e o m é t r ic o d e la d ife r e n c ia l

P la n o ta n g e n te

Vim os en 4.1 (figura IOS) que para las funciones de una variable, tom ar la diferencial por ci incremento equivalente a sustituir la curva por su tangente, veremos ahora, para las funciones de dos variables a qué equivale oso, es decir por quién estaremos sustituyendo la superfi cie. Para ello consideremos un punto A'/o[xoj yo j m) = -^(Ôi'l/o)] de una superficie z = F ( x , y ) (figura 110) en donde adm ite derivadas parciales continuas y un punto próximo variable A '/ [x ,y ,; = F { x . y )\ . El incremento A z de la función al pasar de A/o a M , según (4.3) está darlo por A ; = F ' l v * A r + F ; j M .A y + ó(A x> A y )

(4.11)

donde <5(A.x, A y ) — S) A x-\ e 2 A y. Si no consideramos d ( A i , A y ) y siendo los incrementos A z , A y y A z iguales respectivamente a x — y —yo, z —zo (pues x = xo+ A x*; y = yo + A y ; z = zq + A z ), reemplazando cu la anterior resulta

21 7

4.3 Significado geométrico do la diferencial

Figura 110 2 C-

Co = Fs\

{x - x 0) + F y \

(?/ - Vo)

(4. 12 )

Pero la expresión (4.12) es la ecuación de un plano, que por con tener a las rectas tangentes ¿le todas las curvas que pasen por Mn . llama plano tangente. Este plano tiene la particularidad de no tocar a la superficie en otro punto del entorno de A/o, tal como M. En la figura vemos que el plano tangente

pasa por debajo de M a la altura M ” . O sea. la me

dida de jV/niV/p representa el valor de la función en el punto ; ln medida de M 'M el valor de la función en el punto M ':z . E l plano 7r¿ tangente a la superficie en Aío se aparta de ella, de modo que a la altura de M , el plano pasa por M ” . Por tanto M M '" = A z , mientras que M " A I1" = A zv = dz. Es decir : “la diferencial dz es igual al incremento A c ?> medido no hasta la superficie sino hasta su plano tangente” . Entouces, sustituir el incre mento A.r por la diferencial dz. equivale a sustituir la superficie en el entorno de A/o , por su plano tangente en iW¡>. L a diferencia M M " está dada justamente por 5 (A x , A y ) . Eso significa que mientras tenemos en cuenta 6 nos movemos sobre la super-

218


ficie 2 =

m ientras qu e no considerando 6 nos m ovem os sobre el

p lan o ta n g e n te n t , o sea

A z^dz

dz = A z v

-

2o

= i ?í j M ¿ ( x - a í o ) + i rÍJAf¿(2/-Vo)

(siendo zp la tercera coordenada de los puntos del plano tangente).

P o r tanto:

A : = dz + ó

(4.13)

siendo <5 = M M " el término (térm ino complementario del incremento A z ) que hay que agregar a dz para obtener A z .

P o r esto en la expresión (4.12) zt — a A z y porque falta ó (sino a A z^ = dz).

no equivale exactamente

Si consideramos a! punto M 1 muy próximo a M , A x y A y son muy pequeños y A s riera aproximadamente igual a dz, pero, en general, siempre existirá una diferencia. Esta aproximación nos permitirá abreviar mucho los cálculos empleando diferenciales, en lugar d el incremento. (V er ejercicio en 4.5).

4.4

R e c t a n orm al a una su perficie

L a recta normal n en iui punto AÍo(¡fo>2/Oi ¿o) de una superficie z = F ( x , y ) es ia perpendicular trazada al plano tangente a la superficie, por dicho punto (figura 111).

4.5 Cálculo aplicando diferenciales

219

Las ecuaciones de la recta normal podem os deducirlas de la ecuación del plano tangente, ya que recordando las ecuaciones de la recta en form a simétrica (ver capítulo t ), sabemos que si los ejes son rectangulares, los números directores de la normal son los coeficientes de la ecuación del plano tangente. Luego, según (4.12), podemos escribir x

-

xq

__ y -7 jq F v \k

(4.14)

-1

que son las ecuaciones do la recta normal a la superficie

F { x , y ) en

el punto M q .

4.5

C á lcu lo a plican do diferen ciales

E je rc ic io 6 4 Calcular el valor de la fundón z =

para x =

1,0019 e

y = 0,997. Solución^ P ara no efectuar el cálculo directo (que implicaría hallar las potencias tercera y cuarta y luego m ultiplicar los resultados obtenidos) podemos obtener una aproximación aceptable empleando diferenciales. P ara ello, nos conviene elegir un punto M ) ( l . 1), es d e d r un punto cer cano a M (l,0019; 0,997) y hallar el valor de z en el mismo.


220

En este caso lesulta inmediato, que en (1,1) la función vale z = 1314 - 1 Luego calculamos dz = 2^(1,1 )d x + z'y( l , l)d y .

(4.15)

Con raspéete a (1,1) es A x = x — xq = 1,0019 — 1 = 0,0019 y

A y = y - yo = 0,997 - 1 = -0 ,0 0 3 Adem ás es z'x ==3x ¿yA =► *£ (1 ,1 ) = 3 = 4 x 3 i/ ‘ = í - j ; ( L 1 )

=

4:

valores que reemplazados en (4.15), nos perm ite obtener dz = 3(0,0019) + 4 ( - 0 . 003) = -0,0 0 6 3 Este valor nos da aproximadamente la variación de la función al pasar dei punto M o (l, 1) al punto M (1.00l9; 0,997). Luego el valor de la función en M será aproximadamente s (1,0019; 0,997) =* z ( l , 1) + dz £ 1 - 0,0063 = 0,9937 Puede compararse este resultado con el que se obtendría efec tuando el cálculo directo, que es ; = 1,0019a .0,997'1 = 0 ,9 9 2 7

E jercicio 65 Hallar un valor aproximado del arca de un rectángulo de dimen siones 35,02 por 24,97 unidades, utilizando el concepto de diferencial to ta l Solució?L Llamando x o y a los lados del rectángulo, el área es K = xy. Elegim os un punto A'/o(35;25) cercano a A/(35,02; 24,97). Calculamos d K = A " (35; 25) d x + A '' (35; 25) dy Con respecto a (25;35) es A x = 0,02 e A y — —0,03.

(4.15)


Además, K x = ?/;

221

= x. Reem plazando en (4.15)

d K = 25(0,02) + 35 (- 0 ,0 3 ) = -0 ,5 5 Como A" = 35.25 = 875 et área es aproximadamente K + d K = 875 + (- 0 ,5 5 ) = 874,45 unidades de superficie. E je r c ic io 66 Aproximar, medíante diferenciales la variación de longitud que experim éntala lúpotemisa de un triángulo cuyos catetos miden x = 6 crn. e y = S c m cuando el primero se alarga l/4cm. y el segundo se acorta en l/8cm. Solución. Siendo x e y las catetos menor y mayor respectivamente, si llamamos z a la hipotenusa, resulta í

=

+ ^ / x i +7J-

(4.16)

Reemplazando en (4 16)

Para x = fi, y = 8; dx =

dy = —j resulta

L a hipotenusa se alarga aproximadamente 1/20 cm.

222


E je rc ic io 67 Calcular la diferencial total de la fundón

2 = x 3?/ 4- z V + Solución dz = z'adx. + Zydy z'x =

3 x7y + 2 xy 2

(4.17) + y3

s ' = x 3 + 2x2t/ -f 3x?/2 Reemplazando en (4.17) dz = (3x 2y + 2xy 2 + t/3) d z + (x 3 + 2x2t/ + 3z?/2) dy

E je rc ic io 68 Calcular la diferencial total de la función

2

= x l n y — 7/lnx

para los valores x^ - 1; y0 = 1; A x = 0,1; A y Solución

- 0 , 2.s-

l

4 ( 1 , 1 ) = ln7/o —l/o— = 0 z0 1

-i

4 (1 : 1) = ZO — - l l l X o = 1 - 0 — 1 1/0

por tanto d z = ( —1 ) {0 , 1) \ 1(

0 , 2 ) - -0 ,1 - 0 , 2 - - 0 , 3

E je r c ic io 69 Comparar dz y A z , en la función 2 ^ x 2 4* 2z¡/ — Z y 2

Solución. 4 = 2x + 2y ; z’y = 2 x — fi// luego dz = 2 {x 4- y )d x + 2 (x - 3t/)í¿2/ A s = [(x + d x f + 2 (x + (ir)(j/ + dj/) - 3 (y 4- d y )2] - (x 2 + 2xy - Zy2)

4.5 Cálculo aplicando diferencíales

=

2 (z

223

+ y )d x ~ 2 ( x — Zy)dy + ( d x ) 2 h- 2 dxdy — 3 ( ¿ 2/ ) '

O sea, dz. y ¿1* difieren en (<¿r)2 + 2dxdy — 3 (dy ) 2 E je r c ic io 70 Investigar si es diferenciablo en el origen la función F í x 7/) = / ' 51} \

para para

0

= (0 ,0 )

Solución. Si una función F ( x yy ) es diferenciable en un punto, es derivable en dicho punto; en cambio que una función F ( x . y ) admita derivadas parciales en un punto, no im plica que sea diferenciable en dicho punto, ya que además debe ser continua en el punto considerado y sus derivadas parciales deben ser continuas. Esto ocurre con la función dada, pues es derivable, ya que a

T

|£j dx *

= *

* Oz .

(O t-A x)O

i¡m A x-.o

..

üm Ax

Ax

á x -> o

A ¿A Zy

& xq

^

lim A i^ o

0(CH A y ) 0 J + {0-f* A y ) -

— Locn = lim — ^ = hm ----- 4 -----— = lun d y J{ J Ay—o A x Ay-.o Ay A x -n

^ ± c )=0 Ax 0¿y 0+Ay?

. Ay

n

—0

Pero, como vim os en el capitulo 2, a pesar de ser = 0, no existe L , pues su lím ite radial depende de la pendiente m, luego la función no es continua en (0,0). P o r lo tanto no es diferenciablo en el origen.

E jerc ic io 71 D ada la superficie z = x 2 + y 2 hallar en el punto M n (2 ,1, z0) a) L a ecuación del plano tangente b ) Las ecuaciones de la recta normal c) Representar gráficamente. Solución a) Aplicam os la ecuación de plano tangente Zt ”

¿0 —

Sx\('2, 1)

(X

-

2)

+

~y\{2, 1 ) ( y — 1 )

(4. 1 8 )


224

z
: : j (, <1;= 4 A ^

2 y - * z¡,

h .p - 2

reemplazando en (4.1 S) 2-

5 = 4 ( 3 * - 2 ) 4 - 2(?y - í )

r - 5 = A x -p 2 y

-

S - 2

o sea 2

4.r: + 3?/ -

- 5 -0

que es la ecuación dd plano tangente a la superficie: dada

e n M < ,.

1)) Las ecuaciones de la recta norm al, se obtienen reemplazando los valores dados, en ~ — 2i> 'J'c¡ * y — !Ju - T T ** = T i — = — r ~ - i 1^,; 1

, , . s siencl° M ) = (2.1)

O XOH rr - 2 4

"

y - 1

c -•5

2

- l ’

constituyen las ecuaciones en io n tía sim étrica de la recta norm al a la superfino en ?if
225


K n e lid ía fig u r a h em os r e p r e s e n ta d o ad em á s.

el s e c to r d e l p la n o

ta n g e n te d o te r m in a d o p o r sus i n tr is e c c io n e s c o n lo s e jes c o o rd e n a d o s .

E je r c ic io 72 H a lla r la e c u a c ió n d ol p la n o ta n g e n t e

a la superficie;

c — 2n j 1 - r 2 + 6.r - 5?/ en el punto W o (-2 ; - 1 ;

1

14).

S oIu o ó i l - 2 z '^ A x y

. T

- H

2 . - 1) = 12

5 =?• z ' A - 2 . - 1 ) - d

ÍUC'gO z + 1 4 - 1 2 (z + 2 } - r 3 {? / + 1

sea 2 = 12./: + 3¿/ + 13 es la e cu a c ión p o d id a .

226


4.6

A p lica cio n es económ icas del con cep to d e d iferen cia l total

4-6.1

S u s titu c ió n de fa c to re s en la p rod u cció n

Como ya vimos anteriormente: dada una función de producción en la q\ie se utilizan 2 insumos variables X \ y X 2 se define q = ,12) donde q es la cantidad de producto y la cantidad de iasumos re spectivos. E l mapa de curvas de nivel o ISO CUANTAS correspondiente al caso normal donde X i) = k tiene la siguiente forma:

• S o n decrecientes y convexas al origen

• La pendiente de la rect a tangente en un punto a la isocuanta, da la relación en la que debe sustituirse X \ por X 2 (o al revés) para mantener constante el nivel de producción AJ valor de esta pendiente con signo cambiado se le denomina relación técnica de sustitución (RTS) KTS = -^ p -

ax1

Para relacionar este concepto con derivadas parciales, recorde mos la definición de diferencial total para una fundón de 2 variables,

4.6 Aplicaciones económ icas dei concepto de diferencial total

22 7

como el producto de las derivadas parciales por los incrementos o difer enciales respectivos, es decir: siendo z = F { x , y ) dz = d F = F x& x + F ^ y = F Edx + F'vdy

En el caso de la función de producción definida como el diferencial total es

q = F ( x i, X 2 )

d q ^ F z fa i+ F ^ d x t

como dq S ü para el movimiento a lo largo de una isocuanta. (ya que el nivel de producción as constante = » A q = ü). Entonces 0 = F Xld x , + F ^ d x 7

despejando <&'.2 _ ^ d x, F í7

es decir que la relación técnica de sustitución en un punto es igual a la razón entre la P M a respecto de X \ y la P M a respecto de X i en aquel punto. El módulo de la pendiente de la curva tangente a la isocuanta es:

llamada tasa margina] de sustitución (r)

Significado: La tasa marginal de sustitución técnica entre factores (r) indica la cuantía en que debe disminuir (o aumentar) la cantidad empleada del factor productivo X 2 pata compensar un aumento (o disminución) en una unidad" de la cantidad empleada en el factor productivo X \ de tal manera que el nivel de producción permanezca constante.

"en este caso también el aumento o disminución en una unidad esta asimilado al concepto de cambio infinitesimal; se puede denominar unidad infinitesimal

228


E je r c ic io 73: Dada la función producción q — F (r .i.x > i) = 12x\x>¿ — 2x\ - xh donde q es d producto y x 1( ;r-> las cantidades de los insumos, encontrar la tasa marginal de sustitución de x\ por x-> , es decir: en cuánto dis minuirá la cantidad de :/*o para compensar un incremento ele a:¡ en una unidad si el producto sr mantiene constante para las cantidades X'_ = 5 y rm = 8.

Soluc/ón: F M « £^

u

, =*

-

12 X2 - * 4 * 1 : i ^ ( 5 , 8 ) - 9 0 - 2 1 ) = - 7 6

: F ' ; (5,8)=44
Tfidaq -h44í/*2 = 0 -7 6

tasa —

44

(4.19)

= 1.72

Despojando de (1.19)

p a j'l

11

i

72

significa que cuando incrementamos x\ en una unidad infinitesimal, Z'¿ debe disminuir en 1,72. si o] producto se mantiene constante

Jf li.2

S u s t i t u c i ó n de. b ie n e s e n ¡a f u n c i ó n u tilid a d Si la función utilidad de un consumidor está dada por

u = F(V/1sr/2) donde

son las cantidades consumidas de los bienes

Q : y (¿ 2 El mapa de curvas de indiferencia correspondiente al caso normal consiste en curvas crecientes y convexas al origen; la pendiente de la recta tangente a la curva de indiferencia en un punto es —J2 y expresa la relación en la que nn consumidor estará dispuesto a sustituir Q\ por Q-¿ con el fin de mantener un nivel dado do utilidad.

4.6 Aplicaciones económ icas deí concepto de diferencial total

229

Si anteponemos un signo negativo a esta pe noli ente llegamos al concepto de sustitución entre bienes o tasa marginal de susi ilación de hienas (T S B ). que es igual a la razón entro las derivadas parciales de )a función utilidad {o utilidades marginales) ya que si nos movemos en una curva de indiferencia la utilidad es constante entonces A u = 0 estu significa que para incrementos pequeños de q\ y q> el da — 0 por lo tanto si

dn

=0^

da

=

xiqi dq)

+

u ‘^ dq-¿ ~

0

despojando d*Ji

K.

Fi

A l módulo do ia pendiente de la curva de indiferencia se ío de nomina tasa de sustitución rio bienes (s)

E je r c ic io 74: Dada la función utilidad v — 2(¡\ q:¿ a) Hallar las utili< lados marginales interpretar. b) D ar valores para t/j = 3 , = 2 e) D ar la T .S .B o interpretar

230


Solución du dqi

— 2f/2

(4.20)

du

C om o <¡i y Q2 scjxi cantidades positivas, ambas derivadas son pos itivas esto significa en (4.20) que un incremento en la inversión destinada a Q i aumentará el nivel de satisfacción del consumidor (lo que ile\-ará a una curva de indiferencia de orden superior). Análogamente si se aumenta la inversión en Q 2 man teniendo constante ia inversión realizada en Q i, el nivel de utilidad aumentará, interpretación de ^ .

du

(3 .2 ) = 2.23 = 16

d'-ii chi 0 q2

(3 .2 ) = 6.3.22 = 72

Comparando se concluye que, si este consumidor dispuso su in versión de manera tal que — 3 y qo = 2, un aumento en la invevsiói de Q¿ elevará en mayor proporción su nivel de satisfacción ya que £ (3 ,2 ) > £ (3 ,2 ) dq2 dq 2

^ (3 ,2 )

- £ = » ■ »

Esto significa que al incrementar la inversión en Q\ en una unidad infinitesimal, la inversión en Q 2 debe disminuir en aproximada mente 0,22 para mantener el mismo grado de satisfacción o utilidad para ese consumidor. E je r c ic io 75 D ada la función de producción z — 2 a2 ¿A , siendo z la cantidad producida para cantidades a y b de dos factores de producción; a ) hallar la cantidad producida para a = 1 2 y ¿ = 1 5 .

4.6 A plicaciones e con ó m ica s del concepto de diferencial tota!

231

b ) si se aumenta b en una unidad, calcular en forma aproximada la variación de a para que el producto permanezca constante. Solución: a) : = 2.122.153 = 972.000 h ) A z = 0 es la condición para que ¿ no varíe. Consider aremos en form a aproxim ada la diferencial de z. o sea dz =; 0. Resultará dz =

dz da

dz d a + — db 0b

O sea 0 — Aatfda + O&cPdh =* (4.12.3375) da + (6.225.144).1 = G => 162.000dn = -194.000 o sea , _

194.QQQ _ 162.000

”

’

N os indica este resultado, que si b aumenta en una unidad, a deberá disminuir en 1,2 aproximadamente para cine el producto per manezca constante. E je r c ic io 76 D ada la demanda de un bien X: D = 1000 — 3px + 5p,j donde px es ol precio de dicho bien y py es el precio de otro bien Y , hallar a) D en A/0(2 ,4 ) b)

& D , si px aumenta 0,3

c)

E l incremento relativo de D

d)

E l incremento relativo de px

e)

E l incremento relativo de py

y p y aumenta 0,5

232


Solución a) D { p x , PlJ) = D { 2 A ) = m 4 b ) A D es \a variación ele la demanda. En este caso £ > (2 ,3 ; 4 , 5 ) = 1 0 1 5 ,6

por tanto A D “ 1,6 c) Llamamos incremento relativo (o variación relativa) de la de manda al cociente AD D En este caso resultará AD D

. 1,6 = 0 ,0 0 1 5 1014

Ap* = ¥ = n . i 5 px 2 A py

0,5 = - 7 - — 0,125

Py

4

E je r c ic io 77

Aplicando el concepto de diferencial total, calcular aproximada mente el incremento producido en la demanda D ) al pasar del punto P 0 = (1,5; 1,2; 1,4) a P = (1,51; 1,25; 1,38) si Di =

+

8 P2 +

4^2 P.i

Solución d D i = D\rí .A p , + D \ f 2 A V¿ + D 'l p 4 . A j* A p ¡ = 0,01; A p , = 0,05; A p 3 = -0 ,0 2

= _ioo p > ip°

= jo o 1,5 a

3 ’

^ „ J Pu =16P2 + 4w Jm = 1 6 .1 ,2 + 4.1,4 = 19,2 + 5,0 = 24,8 = 4P2 J,,o = 4 , 8 dD , = (-4 4 ,4 4 ).0 ,0 1 + 2 4 ,8 .0 ,0 5 + 4 ,8 . ( - 0 , 02) = = -0 ,4 4 4 + 1,25 - 0 ,0 9 0 = 0,71

4.7 Diferencíales su ce siva s

4.7

233

D iferen cia les sucesivas

Teniendo en cuenta la definición de diferencial (ver 4.2) de z = F{x dz = F' t ( x , y) A x + F'v (x , y) A y vemos que d z dependo do x e y (pues F i ( s , u ) y F ¿ (t , i; ) son funciones de x e y ) y también de los incrementos A x y A y. Si damos a los incrementos valores constantes, d z dependerá solamente de x e y, considerada com o función de es! as variables ]K>drá tener a su vez una diferencial que llamaremos diferencial segunda de z e indicaremos así: d2z, o sea < f z = d (d z) o también c P F = d {dF) En form a análoga indicaremos las diferenciales de orden superior: do tercer orden de cuarto orden

d2z = ¿ (c fs ) dÁz = d{d?z)

de enésimo orden

d nz = d{dn ~ l z )

¿.Cómo calculamos cP

. Teniendo cu cuenta i¡v igualdad de las

derivadas cruzadas pues supone mas cumplidas las Iiii>ótcsis del teorema de Schwartz (ver 2.8) y habiendo supuestos fijos A x resulta:

dx . A y = dy,

< P F {x ,v ) = d { d F ) = d ^ d y . + d

( d F A

^

= fe

( fe ^

+

ñ F

/ \

J

8

^

+ fe

( d F

= I

( f e ‘'h

-i.

+

J

f e d;,/)

dy

Luego d2F = ^ f f e 2 + 2 ~ . f e r f 2 / + ^ f f e 2 óx¿ ó xd y ay2

(4 2 1 ) '

é F = FJt d j? + 2 F '; dx dy + F,;
(4.22)

o también

Según (4.21) la expresióu de la diferencial segunda, puede indi-


234

donde el exponente simbólico (2) indica que después de elevar ai cuadrado debemos reemplazar las potencias y productos por índices de derivación. (O sea el exponente para las derivadas indica el orden de las mismas y ¡jara los incrementos potencias efectivas). Análogamente

= í í ' ^

+

dx2dy+ 3ü

dxdyi+w

d,/

{ m

Y en general, si existen y son continuas las derivadas enésimas, en el punto considerado, resulta

r F = { é it!+ h

T

F

(4

expresión que vale también ¡jara n = 1.

E je rc ic io 78 Dada la función z — x ' y 1 calcular cPz. Solución: dz = ( 4 x h / ) d x + (2x 4 y ) d y Aplicando (4.22) y encontrando ¡as derivadas segundos obtenemos drz = ( I 2 i ? y 2 ) d x 2 + 2(8x3?/) dxdy + (2x4) dy2 E je r c ic io 79 Considerando la función del ejercicio anterior, calcular dzz Solución: d?z = (24x y 2) d x :i + (3.24x 2 y ) d x 2dy + (3.8x3) dxdy 7 -+0 = = (24xy2) dx 3 + (72z 2 y ) dx2dy + (2 4 z3) dxdy 2

E je rc ic io 8 0 D ad a la fundón z =>scn xy, calcular (P z. Solución: dz —• (y cosx y) dx + ( x eos x y ) dy = ( -?;2sen i y ) <¿r2 4- 2(cosan/ — x y sen x y ) dxdy-\+ ( - i 2 sen x y ) dy2

25)


4 .8

235

C u e s tio n a r io d e re p a s o

1. ¿Cuándo se dice que una función es infinitésimo para i - * a ? 2. ¿C óm o se los compara? 3. ¿Cóm o se define diferencial de una función, para funciones de una variable*7 4. ¿C óm o se interpreta geom étricam ente dicha diferencial? 5. ¿Cuáles son las condiciones para que una función de dos variables sea diferenciable? 6. ¿Qué se entiende p o r diferencial total? 7. ¿Cóm o se interpreta geom étricam ente la diferencial de z = F (x ,y )? 8. ¿Cóm o se halla la recta normal en un punto de una superficie? 9. ¿Q ué se entiende p o r relación técnica de sustitución en la pro ducción? 10. ¿Qué se entiende p o r por tasa m arginal de sustitución de bienes? 11. ¿Qué se entiende por increm ento relativo de la demanda? 12. ¿Q ué se entiende por diferenciales sucesivas? 13. ¿Cóm o se determ ina las diferenciales sucesivas?

4 .9

E je rc ic io s d e a p lic a c ió n

1. H allar la diferencial to ta l de las siguientes funciones a ) c = x sy -V 2xy* b) ;= a r c t g (f)

d)

z = el 7 ~ v'

2. Calcular la diferencial to ta l de las siguientes funciones: z ) z = x3 + x h j - , f

b)

u = \n{x 2 + y 2 + z 2 y /'2

C ) 7! =

fi1 * ' '


236

3. Hallar la di forano í al total de la función

*0

2

=

para

= 2: yo = 3: A x = A y = - ( ) , 2.

4. Calcular el incremento y la diferencial do las siguientes fundones para los datos darlos: a)

2

= x l y-\ x = y — 1; A x = 0.01; A y =

-A x

b ) ¿ = x 2 + x y -f y 1] x = 2;y = 2; A x = 0,02: A y = 0.03 c) z = x ln 7/-| y ina:; x = y = 1; A x — 0,01; A y = 0,02 5. D ada la función F (x ,y )

= x 2+ x y

+ if

utilizando la diferencial hallar un valor aproximado de la misma para F ( 2.02; 1,01). G. Hallar la ecuación del piano tangente, cu los puntos indicados, a las gráficas de las siguientes funciones: a) z = x 2 - Ay 1 en M ü( 2 ,1 ,0 ) b ) ~ = í/2 + 9~“ cu Mo(13. - 2 , ] ) c) x 7 + y 2 — Ax- = A en Mq{2, - 2 , zq) 7. H allar las ecuaciones de las rectas normales a las superficies del ejercicio anterior, en los puntos indicados 8. Indicar la naturaleza do las superficies representativas do las fum dones dadas cu 0. y efectuar las representaciones gráficas corre spondientes. incluyendo planos tangentes y rectas normales. 9. Darla la función Ji

.JL

' y2

z2

verificar que ,.5 —fi?, . o ( d -z = — r
2

v

Com probar que dada ia función y —

0 ; di:

= dy —

2 \ , fía* + — ) dxthj + — d y x ) v

— 3

2

~ \n[x H- y ) es para x = 1;

0 ,1 = 0,016

237

4.9 Ejercicios cíe aplicación

11. Dada la fundón ¿ ^ e iy bailar las diferenciales sucesivas (hasta las de orden 3 inclusive) para x = y ** 1, dx — dij — 0,1 12. L a producción de un determinado producto durante un período de estudio, fue determinada por la expresión

p —

(yo ,.16

donde V es la cantidad total producida. L es el trabajo y C el capital a) Encontrar la tasa marginal de sustitución de factores de pro ducción, al sustituir C por L es decir | b ) Interpretar económicamente para L q — Co y comparar con el valor de | ^ l 13. Dada la función utilidad do un determinado consumidor que dis tribuye parto de sus bienes entre inmuebles y obras de arte según:

11 =n ( i

+ 2 ).a

donde i es la cantidad invertidad en bienes inmuebles y a os La cantidad invertida en obras de arte a) Hallar la utilidad marginal para a = 3; i — 2 y a = 4; i = 1. Interpretar y comparar. b ) Dar el valor do la tasa marginal de sustitución de bienes en cada caso e interpretar 14. Sea la función producción dada por q

=

0a

$

b 'S

donde q os la cantidad producida al emplear cantidades a y (> cu dos insumes necesarios (A y B ). Si generalmente se trabaja con G4 unidades do A y 8 de B. ¿Qué variación aproximada debo pro ducirse en la cantidad del insumo B si se aumenta la cantidad cid insumo A en 1 unidad pava que
+ a.b

A a — Ü,5 si a = 4 , 6 = 6

C a p ítu lo 5

F U N C IO N E S C O M P U E S T A S , IM P L IC IT A S Y HOM OGENEAS

5.3

Funciones com pu estas a)

Consideremos una función de variables reales

z = F {x ,y )

(5.1)

pero ahora im poniendo la condición de que x e y n o sean independientes sino funciones de una misma variable t, o sea

s 55 0 (0

7,

;

V = *■(*)

(5.2)

E l resultado de sustituir estas expresiones en (5.1) nos determina com o función de t, q u e podernos Indicar f i f ) . Es decir, la función

z = F [ S (ty , h (t )) = f ( t )

(5.3)

es una función del parám etro t, que llamaremos fu n ció n compuesta de t a través de x e y.

Las relaciones (5.2) podemos considerarlas en e) plano, como las ecuaciones paramétricas de una curva C (figura 115) situada en una región R del plano X Y ? siendo los valores de z dados por (5.3) los valores que tom a

2

= F ( x , y ) en los puntos de C.

240

Cap. 5 F U N C IO N E S C O M P U E S T A S , IM P L IC IT A S Y.

Mcclicmt.fi una ved orientada (figura 110} podemos representar la relación funcional considerada, así x /

\

\

/

f

(Fig. 116)

V E je m p lo 1 La fundón ~ = F {x ,y ) = -jr - 2 x y

(5.4)

es nna función cnmpupfiLa y como dijimos, puede considerarse como función de i: - = / ( 0 = [ ( í + 2) s - 2 ( í - h 2 ) ( í s 1-4)]

(5.5)

Observemos que* v, os función do dos variables, x c y, que son funciones de una único variable independiente t. Podem os hacer las mismas consideraciones si se trata de una fundón de n variables (u,v,...,w ) que son fundones de una única variable independiente t. Así. podemos considerar la función

5 .1 Funciones com puest3S

241

siendo * = ■
( 5-” )

resultando al reemplazar eu (5.G); « = m W ); i (')] = / t t

(C-8)

Las relaciones (5-7) podemos considerarlas en el espacio, como las ecuaciones paramé tricas de una curva C situada en una rc&ión R del e s p a c io X Y Z ; siendo los vab/res de u (lacios por los valores que torna t£ = F [ 3 :,y. z) en los puntas do C. M ediante una red orí exilada (figura 117) podemos representar la relación funcional considerarla, así: x X U

*—

\

(Fig. 117)

y

\ *—

'

/

t

E je m p lo 2: L a función ( v =~

os

también

y. - )

5= x y

+ yz + z x

X

< y ^ -

=

I

— c ' = COs /

(5 9)

una función compuesta, y a que os funcióntresvariables

(:r. y . z ) que son funciones de una única variable independí mi te t.. l>) P odríam os considerar tambión una función de varias variables u = F (x ,y ,z )

(5.10)

las que a su voz fueran fundones de otras variables independientes, do dos. por ejem plo (observar la diferencia con ios casos anteriores). Si suponemos que x, y, z son funciones de los parámetros r, y s, o sea: a- = G ( r , s) ; y - t f ( r , S) ; z = /(r, * )

(5.11)

reem plazando en (5.10) resulta: u = F [ G ( r , s ) ; H ( r , * y , / (r ,* )) - M ( r %s)

(5-12)

242


donde también se llama fu n ción compuesto de r y s a través de x, y y z. O sea u es una fu n c ión de funciones de las variables independientes r y s. N o surge, en este caso, complicación esencial; estaríamos con siderando el comportamiento de la función u de la ecuación (5.10) sobre una superficie S incluida en R. M ediante una red orientada (figuras 118 a) y 118 b )) podemos representar la relación funcional considerada, así:

Figura 118 a)

Figura 1 1 8 b )

E je m p lo 3 La función = eTy

{ x = ' y =

Xní? + S ) a rc tg 7

(5.13) ' ‘

es una función compuesto., ya que z es función de dos variables, x e y, que a su vez sun funciones de dos variables independientes, r y s. 5.2

D eriva cia s d e fu n c io n e s c o m p u esta s

Debemos encontrar fórmulas que nos permitan encontrar las deriva das de las funciones compuestas. 5.2.1

Derivados de funciones compuestos de uno, variable independiente

Si z = í '( x , ¡;) es diferenciablo en M o(xo>yo) y 1 ^ funciones x = g{t) e y = k ( t ) con xo = g{to ) e í/o = />(¿o) son derivables en t = ¿o, entonces la función z dada por 2 = F [ fl( 0 ; M 0 ]

5 .2 Derivadas de iunciones com puestas

243

es derivable en í 0. Para ello recordemos que (ver capítulo 4) si una función

2

= F ( x , y ) es diferendable en el punto (aro, i/o), para A z —» 0, A y —> 0, la diferencia entre el incremento de la función y la diferencial es im infinitésimo de orden superior a cada incremento, o sea

A2n =

A x + |^ J ( x o , ! < . ) A j / - t - = ( A z , A j/)

( 5 . 14 )

(donde A x 0 y Atfo se obtienen incrementando i o en A t ü? ya que xo e yo ^ obtienen para un determ inado valor *&• Si dividim os ambos miembros de (5.14) por A to , resulta A?/ ^ g f A x , A y ) A to

d x ] { x o -yti) A t

d y j{Xu' yo) A t

At

(b í ^

Tom ando lím ite en ambos miembros para A t 0, el segundo miembro tiene lím ite p o r haber supuesto dcrivablcs 2: = g{t) e y = k (t ) y por tanto existentes y finitas sus derivadas p ara fo> y también p o r ser e infinitésimo de orden superior a A t y por ser e de orden superior a A x y a Ay: lim

A

zq

dz ,

..

o A #0 “

A z ftz ,

Ay

A í b / !ilo , W ' a , ! - o A i

T. J ^ t)

e ( A x 0,A v o ) “ “ A T0

Luego, existe derivada finita

y vale dz__dz, dt 0

dx

dx líx° ' m) d t i l = ‘ 0

. dz, dy dyilx," y°) d t UsLÍ,‘

1

j

Si procedemos en form a análoga, en el caso en que z es función diferendable de varias variables (u ,vr ..,w ) que son funciones dcrivnbles de la única variable independiente t, obtendremos la siguiente expresión, que suele llamarse derivada total.:

244

Cap. 5 F U N C IO N E S C O M P U E S T A S , IM P L IC IT A S Y..

(5.17) constituye la regla ele derivación de las funciones compuestas (ob servar la distinción entre derivadas parciales ( § ) y ordinarias ( ^ ) )

E je rc ic io 81 Dada la función del ejem plo 1, o sea: z = F ( x t y) = x ¿ - 2x7/ si .r = t. 4- 2 e y = t* + 4, calcular

en el punto t = 0:

a) Derivándola com o función compuesta. b ) P o r derivación de la función F ( x ( t ) >y ( t ) ) Sofaciój) a) x /

\

2

t \

y V

según (5.17) dz _ d z d x dt.

d z dy

d x dt **" dy dt

en este caso

í

I —

-

1

Í- *

reemplazando ^

= (2 x — 2y) 1 - 2x (3/2) = 2x - 2y - Gxt 2 = = [2(f + 2) - 2( í 3 + 4)]1 - 2{t + 2)312] =

= 21 + 4 - 2t3 - 8 - G/3 - 12í- = 2 í - 4 - 8í3 - 12V Si t = 0, reemplazando resulta í ^ = 0 - 4 — 0 - 0 = —4 dt

5.2 Derivadas de funciones com puestas

b)

245

Reemplazamos valores y derivamos luego: z = (t. + 2) 2 - 2 (t 4- 2) ( í 3 -f 4) = =

*2 +

4f +

4

+ ( _ 2t - 4) ( í 3 + 4) =

= f 2 + 4 í + 4 - 2 í4 -

8í

- 4 f 3 - 16 =

= _ 2 í 4 - 4 f 3 + f 2 - 4í - 12 Por tanto ^ = ai

8í 3 -

12í2 + 2/ - 4

Si t = 0. resulta íd t = - 4 E je r c ic io 82 Dada la función del ejem plo 2, o sea: v. = F ( x , y , z ) = xy + yz + c.r i,\ x = i. 7/ = e-1 y ; = casi» encontrar la expresión du/dfc. i'o/uc?ón i u

/ <-

\ *-

y

\

/

du

dudx*

dt ”

d x dt + Sy dt + 5 ; dt

S u dy

Su if,= v + z

rf;

dx ’

*

flu

^

t

=1

dy

8y ~ X

’

d t~

du , - = ,y + x

;

dz ^ =

C

= (v + z ) l + (x + r ) ( - e - ' ) + (y + x ) ( —sent)


246

— =e dt

1 - f e o s * *»• U - b c o s í ) ( - e " ?) + ( c 1 + t ) ( ~ $ c n t )

^ = e~l + co sí — íe “ f — c o s íe “ ' - e_ í sent — tsent dt dxi — — e _ í (1 - t — c o s í — sen í ) + co sí — t sen t dt K ' 5.2.2

Derivado, de fu ndones compuestos de varias vorw.bles independi entes

Vim os en 5.1.b) que si consideramos una función u = F ( x , y , z ) diferenciablc y x, y, z son funciones derivables do fr ia b le s indepen dientes r y s, existirán y se obtendrán las derivadas du Tt

du y

si

aplicando la misma regla (5.17) (ver 5.2.1) respecto de cada una de las variables independient.es, puesto que para cada una-se supone constante la restante variable. Así, du , Au -7 — = lim —— Qr Ar—o A r manteniendo s constante. En este caso (5.15) (ver 5.2.1) so reemplaza por una expresión semejante, con A r en lugar de A t. Cxiando A? —* 0 (s so mantiene constante) resulta , Ax dx hm -t— = — Ar dr y dos expresiones análogas con y y z en lugar de x. Entonces cuando A r —* 0 se obtiene du _ du dx
dudy

dudz

d x d r + 8 y d r + dz dr

Análogam ente (manteniendo r constante):

,r

.

5.2 Derivadas de fu n d o n e s com puestas

(5.18)

247

y (5.19) constituyen las e g re s io n e s derivadn* de la fundón com

puesta dada. E je r c ic io 83 Dada la fundón del ejem plo 3, o sea: z = eIV si x = ln (r + s) c y —aic t g ; , calcular Solución

y § ;-

dz _

dz dx

dz dy

dx d r d y d r

dr -

7V.

dr

.

e

-

’

dy

1

(}' ±

T + s'

1 1

=

1 1

1 H- 4 .s

,r.y

¿)y

i

,

x

5

5

d- + -S-

reemplazando dz

ye1*

dr

r + s '

x e x'->s

cb

dz dx

ds

d x Os + dy ds

Análogamente

Hallados

y

dz dy

restan dx

i 7* +

^

-

1

3s

/

5

T ) _

1H- 4 1 ^ ;

r

r a + ,s2

reemplazandc> ye** r + s

<%

>5.2.3

r 2 .f ,9->

Otros ejercicios de apiico-ción

E je r c ic io 84 Dada s = \n(x 2 + y2) si x = c ~ l c i/ = d . hallar So/ud o n

dt

x 2 4* y/2 v

'

x * + 1/ - '

'

x 2 + y2

248


E je r c ic io 85 Dada c =

si x = eos f e y = sení, calcular ^ , en t = |

Solución Para t = f se obtiene x = c.os(|) = 0; y =sen ( f ) = 1. Luego dz 2 y { x ¡ + y ¿) - 2 x y . 2 x i tl . ( z 2 + ?,2) 2z - 2 ij/.2y, —r- = — 1 ¿ ^ (- s e n t.) + -i---------- í--------=--------(eos 1.) = * (* * + » * )* ' ' (x * + y '-f K '

=

- y (y~ — x 'i ) , ■^ (r-' +;(/-)

,

2x l x ? - ! / ) , \ ^ (eos 0 ( k 2 +J/2)

O sea

E je r c ic io 86 Dada u = e**1' + z z * si x = } ; y = í'2;

2

= 4t; calcular

So/tíC/on Aplicando (5.17)

%

= ( 3 ^ " + ~3) ( - ¿ ) + 3ze3^ (2 / ) + 3 * ^ ( 4 ) = ( Z .a t _: Wk +i M t 3) ( - I ) + | e » l (2í:) + 48t(4) = = - 3 e :” - G 4 f + 6e3, + 192/ = = 3
E je r c ic io 87 Dada 2 = x 2 + xi/ + y~ si .7: = 2r +

5

e y = r — 25; hallar

o¿ O.i

Solución:

o sea

dz

dz dx

dr

d x d r + dy d r

d z dy

rs

^

= ( 2 x + y) 2 + ( * + 2y)l = 5 x + 4»

249


dz _ dz dx ds

dx

d z dy *** dy Os

o sea = ( 2 i + ?/)l -t- (2 + 2 i j ) ( —2 ) =¡ —3y

^ E je r c ic io 88 D adaz = y

si x 1 + 2y s= t2 y 2x - 3y = í ; hallar ^

.Sotoczon. Aplicam os la fórmula conocida

dz dx Nos falta hallar

dz _ d z dx

d z dy

di

dy dt.

d x dt

= y e " » x —sen x ) ;

y %

Pero ¿cómo encontrarnos estas derivadas?, pues x e y son fun ciones cío t pero no están dadas en form a explícita. Una manera es derivar ambas ecuaciones respecto de t y luego resolver el sistema que resulta (

2 *^ + 2 ^

1

=2i

=1

Aplicando por ejemplo la regla de Cramer. teniendo en cuenta cjíie Jas incógnitas son clx/dt y dy/dt, encontramos 21

2

dx

1

-3

-6/-2

dt

2x

2

-5 x - 4

2

-3

2x

21

dy

2

1

2x - 4 t

dt

2x

2

-6a?- 4

2

-3

250


í l ec mp 1az anc1o r t-siilt.a

E je r c ic io 8 0 -a biondo que la función du demanda do un bien (D ) depende de su precio (/q ) 3' d d precio de un segundo l>;r?5 (/>¿), y está dada pc-r: D

- ^ Pl

6í,

y los precios de ambos hienas evolucionan en el m eicado en función del tiem po según las )r\*es /),=.•?-

y

= 1 -í-

n) Clasificar el primer bien cuya demanda es D como típico o Ciñen. b)

H allar ^

y concluir económicamente para t ^ 2 y t = 10.

t9o/'ncídn: OD

500

f/pi

pf

n

el ptnner bien es típico, su demanda disminuye al aumentar el precio y viceversa dD

O D '¡p\

dt

d]>\ dt

^

O D __

500

(

ri/q -

p\

?

rfPi “3T

, ’

O D djt¿ * dj )2 dt 5/5 _ ¿fea

dP* - ‘¿ i ~dT “ 3

Luego
500. .

. (2

25 1


^ V (ti '

2 2s8,r>>o

f j —

■»>•

i*sro quicio decir que al final de) segundo período la demanda t.iende a au mentar cu propoiclón menor a lo que aumenta a! fin del décimo período. E je r c ic io 80-b La demanda de la cebada de una determinada población fue estimada para un pen o do según la ley 100

,

donde p,: es el precio de la cebada y pri el precio del maíz. Adem ás ia demanda de maíz fue es timarla por la ley; = 100 H- 8/v — Zpr > a) das normales

Indicar sí ambos bienes son típicos, es decir s¡ poseen dem an

I)) Clasificar ambos bienes (S o C ) c) Calcular el ingreso de ua productor do maíz y cebada cuando se fijen los precios del maíz en 20 unidades y de la cebada en 25 unidades. d ) Sabiendo que, / = E m jdn + &c-Vc aplicar derivadas ele función compuesta calcular el ingreso marginal ded productor résped o del precio de la cebada y respecto del precio del maíz; luego verificar aplicando dicha derivada y concluir para pc = 25, pm ^ 20, Solución: , VDt

a¡

-r—

—

100 r-

pz

com o

y

> 0 ^

cIDm — -— = —3 < 0 op,n b ) § j ^ - 2pmcom o > 0 ambos bienes son competitivos. Análogam ente

—8 > 0

dDc ~ —

dp,

,

< 0

bien típico

b ie n t íp ic o

252


c) I - D ,n pm + D CV, D,. D,n

100 / = (1 0 0

+8pc -

’Ó P u t) P m + V c ( ------- + p ; n

\ v*. I = 100p„, -1- 8pcJ),a - 3

-t- 100 + Pc-Pm

Reemplazando esta expresión para los valores pc = 25 y

p,

=

20

obt encinos: J(25,20) = 14900 Si derivamos para luego verificar resultados: 01

dp,

= 100 H- 8pc - 6pm + ZPcPm -

■>[>> = 1 00-l-8 . 2 5 - 6 . 2 0 + 2. 25 = 1180 Up...

ÉL 0 P<:

= fy m + p i

=> ÉL j d pc

.

M) = 8 20 + 202 = 560

<1)

m_ Opc

d i Qpe nmctc

di

dD,

dPc ÍDmi D<1 Pc=cíc + d D c dPc + 0 D m dp(

tomando I = D m .p,„ -j- D ,:.pc con

(5 .2 0 )

5.3 Funciones implícitas

253

Aplicando la fórmula (5.20): É L -r , 2£ = d ' +

* { - ¿ ) +

« p

Reem plazando D c obtenemos*. d i

dpc ~

ion

„

pc + 7 V

ioo

,

e

2

( „

Pe + p - 8 - ^ ' + 8P''1

verificando el segundo resultado calculado en el punto c) . Análogamente: J Ü L -É H J ÍL ^ k d I dD< ftp™ ~ ñpm + <9A* dpm + f í D c dp„, “ D „ t + p m{ - S ‘ ) ~ P e - 2 ¡V reemplazando

CtPm

= 100 + &pc - 3;>m + 2pc.pm = 100 H- 8pc - tipn + 2pc .pm

Verificando el primer resultado del punto c). Com o j j f - y - g j - para pc = 25 y pm — 20 son ambas positivas entonces se concluye que: al incrementarse el precio dc cualquiera de los dos productos, el productor aumenta su ingreso. Adem ás com o ^ J (2 5 ,2 0 ) > ^ ¿ -jia s .a o ) c * t 0 significa que un aumento en el precio del m aíz traerá aparejado mi mayor aumento en el ingreso. Es decir que aí productor le conviene que aumente el precio del maíz ya que su ingreso aumentará en nia\*or cantidad que si aumenta el {necio dc la cebada.

5.3

F u n cio n es im p líc ita s Consideremos la ecuación F ( x ) y) = 0.

punto

2

( x ü , /r>)

Si en tin enlom o de un

que la satisface podemos expresar y como función de x

y — /(ad, decirnos que F ( x , y ) = 0 define en entorno do (ô>!/o) la va riable y corno función im plícita de la variable x.


254

En ose caso, la ti ilición expresada en form a explícita y = J (x ) es definida implícitamente por la ecuación F ( x , y ) = 0 . Análogamente, si en un entorno de un punto (xo>l/o> zo) Que sa_ tisface la ecuación F ( x , y , z ) = 0. podemos expresar z como función de x e y, por lo tanto z = M ( x , y ) , decimos que F ( x , y, z ) ^ 0 define en el entorno de (£o>?/n,so) la variable ables x e y.

2

como función im plícita de las vari

En ose caso, la función expresada en form a explícita z = M ( i . y ) es definida implícitamente por la ecuación F ( x t y. z) = 0 . Por ejemplo, la función im plícita definida por 3x + 2y — 7 = 0

(5.21)

puede llevarse a la form a explícita y = 7 - ^

(5.22J

Estas dos maneras de expresar la misma ecuación corresponden a las formas im plícita y explícita de la ecuación de la recta en e! plano: siendo más conveniente esta última forma, ya que en la primera no pode mos distinguir la variable independiente. E n efecto de (5.21) resulta 7 - 3x V

2~

x

7 -2 y

o también 3 N o siempre es posible obtener la form a explícita, así por ejemplo, la función im plícita definida por x 2 sen y/xy — 2y = 0 no se puede expresar explícitamente. Además, mientras la ecuación

— 0 sólo se satisface para el

par de valores (0,0) , la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no define implícitamente una función de variable real. N o estudiaremos las condiciones de existencia de la función implí cita definida por una ecuación, sino que supondremos su existencia y derivabilidad.

5.4 D erivadas de funciones ¡mpíícrtas

5 .4

255

D e r iv a d a d e fu n c io n e s im p líc ita s Si la ecuación F{£,y) = 0

(5 2 3 )

define una función en irn entorno de un punto (a^. y0) que la satisface y es dtferenciable en ese punto, podem os calcular su derivada en el mismo. Suponiendo que puede despejarse y en función de x, o sea V ~ y (x )> Ia expresión (5.23) puede escribirse (5.24) Para hallar dy/dx, podem os aplicar la fórm ula de derivación de las funciones compuestas, considerando que F es una función de x e y, siendo su vez x e y funciones de x (o sea en este caso x liacc las veces ele t en dicha fórmula). Luego, según (5.17) (ver 5.2) y derivando (5.24) m iem bro a miembro obtenemos

como jff = 1, resulta

K+nt-° de donde <5-25'

(si F'v tuales

O), que tam bién puede escribirse en función de los valores pun

l fy i __ ¿ Ji-a* — (IX

arJíro.yo) dF \

( si l(* 0, í/u) ^ 0), y que constituye la fórm ula para obtener la derivada de funciones im plícitas de una variable independiente y obtener su valor en un punto determinado. E je r c ic io 90 D ada la función

F ( x , y) = x 2 + y7 - 4 — 0

256


hallar ^

y verificar el resultado derivando la función en form a explícita.

Solución. =

2

;

x

Fv = 2 y

luego, según (5.25) dy

2x

x

dx

2y

y

Si transformamos la función dada en explícita: , ;

=

+

x /

r

^

=

(

4 - X 2 ) ' /2

y derivarnos, obtenemos, por supuesto ei mismo resultado

$ - = 1 -( 4 - * V 1/2( - 2 z ) = ---------------- = - dx 2 } +V4 V N o toda función im plícita puede expresar se explícitamente, pero su de rivada puede obtenerse m ediante (5.25) . De allí la im portancia de es (a fórmula de derivación. Para el caso de dos variables independientes, se procede do forma análoga, suponiendo válidas las condiciones mencionadas. Si consideramos F ( x , y) z ) = 0; .suponiendo, además, que z es función de x c y ., z = z ( x , y ) y resultará y, z ( x , ?;)] igual a cero. En esto caso, obtendremos dos derivadas parciales. En efecto, aplicando primero derivación de funciones compuestas respecto de x y derivamos miembro a miembro F { x , y, z) = 0 :

P‘ t

+

F >

T

^

F ‘ ^

=

a

Pero dx/dx = 1, y como y no depende de x, dy/dx = 0, reemplazando

5.4 Derivadas de funciones implícitas

257

E n el pMillo es: ,T „ , ~x (x o ,y o ) -

P x ( x 0 ¡ y0 ,z 0) - F , ( X0ty0tZo)

Aplicando luego derivación de funciones compuestas respecto de y* derivamos miembro a miembro F ( x , y, z ) = 0 h + F ¿ V + F '? ± dy y dy 2 dy A h ora^ = 0 ,y£ = l

o sea 5 z_ % =

F' («ÍT-Ô ).

(5.27)

Puntualmente: ,,

< fco.Ko 1

\

F ' ( i 0 ,!/o , s c )

= -— ^ 7- — ------ { >¿(3.0,2/0.-ío)

E je r c ic io 91 Dada la fundón F 'ix, ?/>z ) = s 2 * 1 + ¿/sen s z — 2 = {) hallar f j y f j , sin obtener la expresión explícita. Solución: P r ^ 2 x z ' + yz cosxz P y = sen x z F l — 2 x l z + x y eos 22 luego, según (5.26)

dx

2xz2 + yz cos x z

z

2x2z 4- x y cas 2 2

x

258


y según (5 27) dz

sen xz

dy

2z * z *f xy eos xz

E je r c ic io 92 Darla la fundón F ( x , y ) = Ax 2 hallar ^

11 — 0

en el punto (1,3), sin obtener la expresión explícita.

Solución K - 8e - 5y K = -5í/ luego dy

F'

8 x • 5y

á¡; = ~ F ' ~

-5 y

dy

7

’

5

E je r c ic io 93 Sin obtener la expresión explícita, hallar x y 4-

y

para

-I- z x — 1 = 0

Solución «£ = - H = _ y ± ± dx F'. y + x dz =

Fl =

x + z

dy

F'

y+ x

E je r c ic io 94 Sin o obtener la expresión explícita, hallar correspondientc a (0,0,0) para: x + y + z = son xyz Solución F { x , y, z) = sen x y z - ( x + y + z ) = Q dz _ <9?: por tanto, en el origen

_ Fí

yz co sjxy z) - 1 x;// cos(.ri/s) - • 1

y

en el punto

259


r)z _ dy

F'y _

£ ~cos( x y z ) - 1

Fí

xyco^xyz) - 1

por tanto, en el origen 8z

-1 -1

5.4.1

= -1

Ejemplos
E je m p lo 1 La ecuación H- 4x 2 H- 5y 2 *- I2x y = 0 corresp on de a la p ro d u cció n d e una em presa, siend o

7

la cantidad p ro

ducida y, x c y las c
O/y — 4.r

2z

z

lü?y - 12s

(rx - 5?y

V

S¡ y = x en la ecuación + 4 . r 4- 5 : r -

1 2 .r = 0

= Y r ‘¿

Sv.r/rdJícyj rio ery;7í ¿7/>? c o

Si la dirección do la empresa resuelvo utili/ar cantir(arles igualen en los insumos necesarios para la producción,esto equivale a doeii que V = 3*.

260


Entonces. la* elasticidades son: Ez

(ix¿ ■4 r2

£r “

7

Ez

-5 ¿ 2

Evy ' ’

z2

2

Reem plazando (5.23) E z _ '2 ar _ 2 E i' "

3a* "" Z

Ez _ l E?/

3

esto significa que al aumentar la cantidad X en un 1% la producción aumentaría en un U,(W%, eu cambio si se incrementa ia cantidad dei in sumo Y en un 1% la producción aumentará 0.33%. E n c o n c h u S 'ió n : si se desea aumentar la cantidad de insnmos es conveniente aumentar la cantidad x pues la producción aumentará en mayor porcentaje ü.0íí%. Si se desea disminuir la cantidad de insumos, y so están utilizando cantidades ignn les para ambos insumos (pues x =* y) os conveniente disminuir la cantidad dol insumo Y pues la producción disminuirá en menor porcentaje 0,33%.

E je m p lo 2 Si una función de producción está dada por x ¿. n . b = 1 donde x es la cantidad producida, a es la cantidad del insumo I y b es la cantidad del insumo II. a) Hallar las productividades marginales utilizando derivada de una función definida implícitamente. b) Verificar despejando x en función de a v 1) (form a explícita) y luego delirando. S()flL‘ >óv


261

Despejando x de la ecuación dada:

Derivando A

—

—- {< lb ) ~ * /2 b =

3

------------------

2

^yrr = ~ 2a

0 (y á V j

p ilC S X

=

—

2 ab\/ab

Realizar o] mismo procedimiento para obtener la otra produc tividad marginal E je m p lo 3 Una función de demanda está dada por D?.p?.p2 = 10 a) Encontrar las elasticidades pardales utilizando derivada de función implícita. b ) Clasificar los bienes I y I I cuyos precios son p\ y p-> Solución: dDx ^ - 3 D \ . y U n ^ _ 3 A dpi com o A

> 0 y pk > 0 ; ¿ A dp2

^

2

'uy\.p].p 2

pt

< 0

-D \ .y \

= _ Dl

.

^ A

2 ¡y¿

'

dpi

2 D'(.p'\.p2

por lo tanto los bienes son complementarios E fh _

V\_ /

3A \

üp;

Di ^

2 pj )

=

_3 2

en consecuencia el bien I es típico, £ A = j W _ t A \

E lh

A

{

2 P2 )

}>or lo tanto son bienes complementarios Como: EDi Ep{

~ f 3 “ ’ 2

=

1 2

Q


262

esto quiere decir que la demanda es elástica respecto de precio de su bien, es decir, que un cambio en su precio del 1% provoca un cambio propoteionalmente mayor en su demanda. Como EDi E j >2 la demanda &s inelástica respecto del bien I I pues un cambio del 1% en el precio del bien I I trae aparejado un cambio proporcionalmente menor en la demanda del bien I.

5.5

E cu ación d e l plan o ta n g en te cuando la superficie está ex presada en fo rm a im p lícita Vim os en 4.3 que la ecuación del plano tangente a la superficie

s = P ( t , y ) en el plano M ofx’o ,l/o>¿o) &s d'

dz - So) + ^ J ( r „ , v o ) ( V - y o )

' -- '-0 =

(5.29)

Si la superficie está expresada en form a implícita, teniendo en cuéntalas fórmulas (5.20) y (5.27) y reemplazando por ejlas d z j d x j (V/¿ y dz/di/jm^ en (5.29) obtenemos F * - z» = - p J w o

F — 10)

siendo M 0 = (*<>, ?/oi ¿o); (con F í \ u 0 m iem bro por F Í \ t\/0 K U

i v - y o) 0), multiplicando miembro a

i z - ~«) = ~ K \wo (x - x o) “ F ^ u . (y - 7/o)

o «»A , la ecuación buscada d d plano tangente es K . \ mo ( z - z n ) + K j \mo { y - y < i ) + K\M<, ( * - *n) = 0

E je r c ic io 95 Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xy* + zx? — xyz + 5 =* 0 en el punto A/0( —1, 1, —2).

(5.30)

263

5.5 E cu a ció n del plano tangente.

Solución P rim ero verificam os si el punto pertenece a la superficie ( —1)13 + (• >2)(—l ) 2 - ( —1)1 ( —2 ) + 5 = - 1 - 2 — 2 + 5 = 0 Calculamos luego las derivadas parciales cíe la función dada, en dicho punt.o F ;= i/ 3+ 2 z x -y =

;

F

'

=

T

F"„ = 3 i y 2 - x z ; K = x ¿-x y -

= F í J, _1i1. _ 2 ) = 2

Aplicando la fórm ula (5.30) obtenemos 7 (* + 1 ) - 5 ( v - 1 H ’ 2 (z + 2 ) = 0 7 * + 7 - 5 j / + 5 + 22 + 4 = 0 7 x - % + 2 2 + 16 = 0

la ecuación del plano tangente. E l punto dado delje pertenecer también a este plano 7 ( - 1) + 16 - 5.1 + 2 ( - 2 ) = - 7 - 5 - 4 + 1 6 = 0 E je r c ic io 96 H allar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta norm al a la superficie X 2 + 3y 2 - Az 2 \ Z x y

10yz I Ax

5c - 22 - 0

en el punto jV/ofl, —2 ,1).

Solución F ; = 2a‘ + 37y + 4; F ; = 6 y + 3 r - 10z;

^ J (1<_ 2>, ) = 0 F ^ J (1, _ 2, ,j = - I D

F . = - S z - lOy - 5;

=7

L a ecuación del plano tangente es

U (x - 1 ) - 1 9 (j/ + 2 ) + 7(z - I ) = 0

264


o sea 19 y - 7 ¿ - \ 45 — 0 Las ecuaciones de \a Tecta normal son

O/w.ruactdn. E n lies ecuación??, de la recta normal, escribimos x — 1 , pues por convención, para indicar en la form a simétrica de las ecuaciones de la recta, que uu denominador es cero, anulamos el numerador. ¿Cuál es la posición de dicha recta en el espacio? (ver Capítulo 1)

5.6

Fu nciones h om ogéneas

Dada uiui función v. = /'’(# , y, 2 ) se dice que es hom.ogénen de giado ip .si cuando multiplicarnos las variables por A , se obtiene, dicha función m ultiplicada por An (para todo A real), o sea. si se cumple que F ( X x , Xy, X z) •- \n F { x , y> z)

1)

T o d a función
(5.32}

Com o esta igualdad debe cumplirse para todo número real A. según la definición; podemos considerar A = X reemplazando en (5.32) resulta F (r,y ) = F siendo g función del cociente * Análogam ente se demuestra que si F es homogénea de grado cero entonces F { x , y ) = M p 2) T o d a función homogénea de gtado n tiene pur derivadas funciones homogéneas de grado n — 1 3 ) E l cociente de dos funciones homogéneas de igual grado es ho mogénea de grado cero.

5.6 Funciones hom ogéneas

265

Ejemplo l l-a función f ( x , j t =) = x 3 - y3 + x y z os homogénea de grado 3, ya que F (A :rr Ay, Xz) = (A * )3 - (A y )3 + ( Ax) ( Ay) (Xz) « = A V

A;V

•} A3* ^ = A3 ( r 3 - y 3 + x y z) = A

*)

Tratándose de funciones polinómicas, de inmediato determinamos si son homogéneas, pues en ose caso todos los monomios deben ser id mismo grado; en el ejem plo anterior todos los monomios son de grado 3. En cambio F (.r ,y , z) = Zx 2 -f 2xy - z no es homogénea, ya que los monomios no son todos del mismo grado y como puede verificarse, ya que 3 A V + 2AxAy -- A : = A (3 r 2A + 2Axy - z ) # XnF ( x , y t z) En particular, una función z = F ( x , y ) es lineal homogénea si se voiifica que F { X x : Xy) = AF ( x , y ) en un punto cualquiera y para todo A real. Las funciones lineales homogéneas gozan de la propiedad que su valor se duplica, triplica, etc., siempre que se dupliquen, tripliquen, etc., simultáneamente los valores de las variables independientes a partir de un punto cualquiera. Ejemplo 2 L a función z = F ( x , y) = 2x 4- 3y es lineal y homogénea, pues 2A?: + 3Ay = A(2x -t- Zy) ~ AF ( x , y) E je r c ic io 97 Determinar si las siguientes funciones son homogéneas y en caso añnnativo indicar el orden :

266


a) F ( x . y ) = 3,¡:4 - x i f + y * b ) F { x , y) ^ 2x2y - 3x-3 + n?y 2 c ) F ( x , y) = eos f; d) F ( r , 7 / ) - ; C t ¡ , ± + s / x l - L y 2

Solución a)

Es homogénea do grado 4. Verificarlo.

I í) N o es homogénea. Verificarlo. c)

En este caso no es inmediata la respuesta, pues la función no es poIinómic;»i. Procedemos así:

F ( X x , X y ) = c o s ^ í = A ° c o s í = A° F ( x , y ) Xj v luego es homogénea fie grado 0. <1) F ( X x . Xy) í= Ax t g

+ \ / ( X x f •• (A y )2 ^

= Xx tg ~ -f y/X¿x ¿ + X ‘- y ¿ = Xy

\r

_______

= A z t g g + v/ ^ ( ^ + ’/ ) =

=

A (x

tg j

+

■/x 2 + y 2 =

= A F ( z 1t/) luego es lineal y homogénea.

267

5 7 Teorem a de Euler

5.7

T e o re m a d e E u ler Si z = F ( x , y , z ) es una función homogénea de grado n, on todo

punto en el que sea diferenciadlo, el teorema do Euler expresa que: 'la suma de los productos de cada variable por las derivadas parciales respectivas es igual al producto de grado de homogeneidad n por la función dada” . O sea x F x {x, y, z ) + y F y{x, y , z ) -1- z F ' { x ty, : ) = r F ( x , y., z) Si F es homogénea, se cumple que F ( \ z 7 v 7 z ) = \nF ( T : y , z )

(5.33)

Llam ando u = Xz

resulta

2

;

v =

Xy

w = Xz

\

(5.34)

= F { u . v. w) función compuesta.

Aplicando la fórmula de derivación de estas funciones y derivando (5.33) m iem bro a miembro, respecto do A, resulta d z da

dz dv

d z dw

du dX + dv dX *** dvj dX

du

dv

v \ ^ P ( ^ IJ:z)

dw

E je r c ic io 98 Com probar el teorem a de Euler para F U , y, z ) = x 3 - y:l + x y : Solución Vim os en el ejem plo L que esta función es homogénea de grado 3

J ^ & r 2 -\-yz

268


F'y = - 3 ii- + xz r 'f

J'. — xy Luego x (3 .r 4- y z ) 4- y ( - Z y 2 4- x z ) 4- z(xtj) = = i‘ r / 1 + x y z — 31/ + 3.yz 4- x y z = 3(a:3 -I- x y z - i f ) = 3F ( x , y, z) Se comprueba el teorem a de Eulcr. E je r c ic io 99 Determ inar si la siguiente fundón es homogénea, en raso afir m ativo indicar el grado y verificar el teorem a de Euler.

2

= y ( x , y) - y 2 ln

x —y

Solución. F (X x ,X y ) = A V

\ x - Xy

X Y

= * V

1" * (* + v ) X {x -y )

ln ¡ L Ü ! ^ \ 2 F ( x , y ) x -y

Fas homogénea de grado 2. Se verifica el teorema de Euler, ya que v f - ' j ( i - y ) - ( ¿ + y)’ ( x - y) 2

i: + y 2 „ h ,£ i± ü +

x -y

* —

'

= Y 1 x + y

.¿

= 2y¿ !n

[x -y )¿

x+y

(£ ^ v ) - ^ + y )(- i) {*-V r

+:^ ■ — +”3 x -y

x +

y ( 2‘ - y ) ¿

x y 2 ( - 2 x y + 2y2) + ? / { 2 x ¿ - 2xy)

x -y

, i 3 l * + */ , ( = 2 y£ ln

x-y

2

x + y

(x + y ) ( x - y ) * 2 } x 2i f + 2 z 7/ + ‘h . \ f -

(x + y ) ( x - y j ¿

2:c
-

5.8 Fu n cio n e s económ icas hom ogéneas

=- 2 y 2 I n

^

+ 7

x -y

269

r?

{x + y) { x-

= V l n ^ + 0

x - y

* =

yy-

=

^ 2 ,/ [n ^ ± l= ,2 F {x ,y ) X

5.8

•• 1/

Fu nciones económ icas hom ogéneas

E n el caso fiel estudio de funciones económicas la definición de homogeneidad sigue siendo válida pero el campo de variabilidad de A que ahora denominaremos t se restringe a los reales positivos (A % R - \ o (/ € H f ) ya que com o hemos visto se consideran las variables no neg ativas.

5.8.1

F u n c io n e s da u iilid o d hom ogéneas

Definición-. U na función de utilidad es homogénea de grado k si y solo si F(íCi,í<72,...,íg „ ) ^ t kF ( q u q2:. siendo k una constante (grado de homogeneidad) y t. cualquier número real positivo tal que (*») pertenezca al dominio de la fundón. E je m p lo 1: A nterior emente vim os la función utilidad U = 2 q i q¡ ahora se pide: a) Decir si es una función de utilidad homogénea y dar ele homogeneidad.

el grado

b ) Com probar el teorem a de Eider. c ) H allar la tasa marginal de sustitución o relación de sustitución entre bienes (U SB ). d ) Dem ostrar que RSB es invariante frente a cambias propor cionales en los niveles de consumo.

270


Solución a) U { q í t,q-2 t} = 2q1 t . q ¡ t ? = t i ( 2 q i q ¡ ) = t ' U ( q u q2) por lo tanto es homogénea de cuarto grado. h ) U ' ¡ = 2 q¡

; í/ ; = ñq i q 2 = q i (2<í2 3) +92(69195) = S í, (7? = 4(29,g^) =

?if7',

= 4 í /(9 i ,9-¿) por lo tanto se verifica el teorema.

d)

Si reemplazamos qi por qtf, y q\ por q\1:

5

5

—

^

se mantiene coast.ante

E je m p lo 2: Sea la función de utilidad U ( q i , <72) = a) Probar que es homogénea de grado 5 b) Verificar teorema de Euler c) D ar la expresión de las utilidades marginales y verificar que son homogéneas de grado 4. d) Hallar la tasa marginal de sustitución y demostrar que es ho mogénea de grado cero, interpretar económicamente. Solución a) y ( 9 i N < f t * ) = 69 ?/2 .9 ^ = i 5 ( 69 ? ^ ) por lo tanto es homogénea de grado 5. b ) calculemos las utilidades marginales: l/ ; =12 91 9 2

;

Reemplazando: 91 (1291

=

4

)+

92(189? 9 ?) = 129?

309 ? q l

=

5 ( 69? 9.?)

4

+ 18 (7? 4

= 5 L7 ( 9 i,

=

92)

con lo cual se verifica el teorema de Euler. C) U ’ x{q i t , q ¡ t ) =

129 ^ 9. ^

= í J( 1 2 9 ^ ) = ^ í / ; ( 9 . , 9 2)

271

5.8 Fu n cio n e s económ icas h om ogéneas

P o r lo tanto t/'A es homogénea de grado 4. = 18(7***<&& = ¿ 4(1 8 íi7 í) = ^ U ^ ( q u q 2) En consecuencia £/''/2 es homogénea de grado 4. vi . = 12,71 *2 = 2fil ¿\ s = Ü 6 l/' 189^ | 3 9i

* . * >

- ! ( |

Demostraremos que es homogénea de grado cero:

por lo tanto la tasa marginal de sustitución o relación de sustitución entre bienes es invariante frente a cambios proporcionales en las cantidades invertidas en ambas bienes; entonces se deduce que si un consumidor es indiferente entre 2 combinaciones de cantidades de bienes de consumo tam bién lo sería entre 2 combinaciones múltiplos del primer par, con igual factor de proporcionalidad si U es homogénea y además: U ( q Í A ,q2A) = U { q i D ,q 2 D) entonces para todo número real positivo t se cumple: U ( t q i A , t.q2A) = U ( t q i a , tq 2 B)

E je m p lo 3 Siendo la función de utilidad U = F ( q \, homogénea de grado k dem ostrar que la tasa marginal de sustitución para el mismo nivel de utilidad o R S B es invariante frente a cambias proporcionales en los niveles de consumo. Solución Si U = F ( q u q2) / F ( í ( 7i , ^ ) = í kF ( (?l, 92) demostraremos que s =

^

(5.35)

es homogénea de grado cero derivando

(5.35), m iem bro a m iem bro respecto de qi obtenemos: *^,(<7 1 .*9 2 ) = ^

, (

7 1 , 92)

272


F ^ ( t q u tq2) = t k

(5.36)

derivando (5.35) respecto de
(5.37)

Si , . ^ , ( 7 1 , 72 ) s{<]1,72 - ^ 7 r ^ ( 7 1 , 72 )

entonces

_

.? (% ,% ) =

^} ,(9 1 *.7 2 0 ^ (9

i

N92Í)

^7i y ^ 2 significan que consideramos cambios proporcionales en los nive les de consumo. Reem plazando lo obtenido en (5.36) y (5.37)

P o r lo tanto: •i (<7i. <72) = ,C-s ( 7 i , 72 ) = s (7i >92) s es homogénea de grado cero. 5.8.2

F u n c io n e s de p r o d u c c ió n hom ogéneas q = F ( x i , x?) es una función de producción homogénea de

grado k si cumple con la condición: F ( t X í , t x a) ^ ^ F { X l , x , ) donde k os ti na constante positiva (grado de homogeneidad) y t es cualquier nú inoro real positivo de m odo tal que pertenezca al dom inio de la función. Esto quiere decir que si las cantidades do ambas insumos aumen tan en un factor t,f el producto aumenta en un factor í fc aquí se define el concepto de P R E N D IM IE N T O A E S C A L A " que describe la reacción del producto ante un aumento proporcional en todos los insumas empleados.


Ev.uncioTcrn.os los d/stwJ.os

273

cm.sos :

• Si el producto aumenta en la misma proporción que las insumos (en nuestro caso corresponde a k = 1) rendimiento es constante. para las combinaciones de insumos que se consideran. • Si el producto aumenta en proporción mayor que los insumos el rendimiento es creciente {h > 1). • Si el producto aumenta en menor proporción que los insumes el i'endimiento es decreciente (0 < k < 1). N O T A : Normalmente se supone que las fundones de producción homogéneas son de grado uno.

P r o p ie d a d e s d e las funciones d e produ cción homogéneas: 1. Si consideramos la propiedad ntimero 2 dada anterioremente para funciones homogéneas concluimos que las productividades margina les de una función homogénea de grado k son funciones homogéneas de grado k — l. 2. Si la función de producción es homogénea de grado 1 entonces sus derivadas son homogéneas de grado cero por la propiedad 1 (ver p á g 263), esto significa que las productividades marginaJes depen den exclusivamente de ia proporción en que se usan los insumos A’ ] y X 2 es decir: son funciones de ^

o de ^

y permanecen

inalterables ante cambios proporcionales en ambos insumos (por sor homogéneas de grado cero). 3. Si estudiamos las isocuantas de una función de producción ho mogénea y calculamos la tasa marginal de sustitución o relación técnica de sustitución (R T S ); ésta resulta sor homogénea de grado coro; es decir que la R T S se mantiene invariante ante cambios pro porcionales cu los niveles de todos los insumas, dependo do la proporción en que se usan los insumos r — f

y no de las

cantidades absolutas. 4. Si la función de producción es homogénea, los puntos de cada isocuanta que tienen igual R T S determinan una recta.

274

5.


Se denomina trayectoria de expansión al lugar geométrico do lo* puntos de cada isocuanta cuya RTS o tasa marginal de sustitución es igual a la razón de los precios de los insumes, es decir:

p =,

Se demuestra que si la función d e producción es homogénea de cualquier grado, su trayectoria de expansión es una línea recta que uno las puntos de cada isocuanta donde se obtiene el mayor pro ducto con un costo determinado.

E je rc ic io 1: Dada la función de producción q = 2x, i , a) Decir si os o no homogénea, indicar grado. L ) ¿Tiene rendimiento a escala constante, decreciente o cre ciente? c) Verificar el teorem a de Eulei. d ) Hallar la tasa marginal de sustitución. e) Demost rar que la RTS es homogénea de grado cero. f ) Hallar la recta que une los puntos de RTS igual a 1. g ) Verificar el punto f) geométricamente; hallando las isocuantas para Qi “ 2, q2 = 4, (& — fj y suponiendo que el precio unitario del primer insumo o.s igual al precio unitario del segundo insumo y concluir econ ómi cainení e. Solución: a) -F (x ( í, x j ) « 2x,/ x j . = t 2 ( 2 x, x . ) = por lo tanto F es homogénea de grado 2.

, x 3)

b) con k > 1 el rendimiento a escala es cTeciente, ya que si por ejemplo: duplico la cantidad de cada insumo (t = 2) el producto total se cu ¿triplica púas: = 22 F ( t 5iI 2 ) = 4 F ( x ¡ , X i )

c ) F I 4 = 2 Xl Veriíicamos el teorema de Euler: x ¡ F £¡ + t 2 F Tj ** X\2t , 2 + z 7 2xi zs4xix-¿ = 2/-’(x, ,£ 2)


275

d) r = ^ ^ ' i' i * ¿ 1' significa que la R T S dependen de la proporción en que se usan los in sumos. Si r (.r1,7:2) = entonces r ( í x i , t a ) = f f ; - í : r(x-i . j;2¡ es decir, V se mantiene invádante ante cambios proporcionales en Jas cantidades de los insumos, 0 ’ ’ = 1 => f f = 1 =*• = T> que representa la bisectriz doí primer cuadrante. g)

<72 = 4 =*• T j = ^ <73 = 6 =-> a:2 = ±

Com o se supone que pxi = pr . — p la icct.a de expansión es : £ L = Pü

P o r lo tanto — E = ¿í¡ ¡> trayectoria de expansión es: 2 '1

1 en consecuencia la ecuación do la

=

X2

Figura 119

276


En el gráfico se observa que las rectas de isocoste resultan tan gentes a cada i so cuanta en el punto que pertenece a la trayectoria de expansión , ya que como los precios unitarios de los insumos son iguales (pr; = p ,3 = p), las rectas de isocoste son: C = p x i + px 2 en consecuencia: v

p

E je r c ic io 2: Una de las funciones de producción homogénea más usada es la función Cobb-Douglas expresada por q — A 'j^

donde 0 < a < 1

a) Verificar que es homogénea de grado uno. b ) Verificar que las productividades marginales son homogéneas de grado cero. c) H allar la tasa marginal de sustitución y expresarla en función de 11 el) Determ inar la trayectoria de expansión que une los puntos de cada i so cuanta doridc se logra ol mayor producto con un costo determi nado. Sol uci ón:

a) F ( t x u t x 2) = A tQa T ' l_a por lo tanto P es homogénea de grado 1. b) r ^ J x u x - , ) = r r A z f - ' , x ¡ - a K , ( * i , :í'2) = ( i K , ('*!,**) =

l-n ~ l 4 " ° * ' • " = *° ¿ a - r ' * > " * - / í , ( * ! . * * )

Por lo tanto F Xy es homogénea de grado cero . F X i ( t z u t x 2)

=

(1

-a ) A z 't t 'x ^ r ”

=

f i r s i ( x x. x 2 )

P o r lo tanto F '„ es homogénea de grado cero.

5.8 Funciones económ icas hom ogéneas

d)si

=

t

277

cociente de los precios de los insumes entonces

^

Pn _

*2

Pxj

(l-a )x i

de donde la ecuaciói) de la trayectoria de expansión es: (1 -

Ct)p£,X i -

< x p XzT 2 =

0

ecuación qne corresponde a nna recta que contiene al origen.

E je r c ic io 3: Utilizando el teorem a de Eulcr para una fundón de producción homogénea de grado k, demostrar qne la suma de las elasticidades de) producto respecto a cada insumo es igual al grado de homogeneidad. Solución: Si q ~ F (z \ >£?) es homogénea de grado k entonces F { x i t , x 3 t) = t hF ( x i , i 2) aplicando el teorem a de Eulcr: ■^\F'r,t { x l , x 2) + x 2 F 1’.ST.i .,T..¡ ) = k - F ( i : , c 2) dividiendo por q — F ( x i , i j ) en ambos miembros y

b l ^ X u X i ) + ^ F ' i _¡ { x u

x 2)

=k

simplificando notación: xi d F

, t 7 dF _

q dx\

q 6 x2

utilizando la definición de elasticidad ))arciah reemplazamos los dos su mandos del primor miembro:

EF Ext Siendo

EF _

+

Ex2

la elasticidad del producto respecto del insumo X ] y

u > la elasticidad d d producto respecto del insumo X-¿ obtenemos:

Wi + V}2 — k

278


E je r c ic io 4: U tilizando ei teorema de Euler para una función de producción homogénea de grado 1, extraer conclusiones acerca de las productivi dades marginales y el producto total. Solución: Si q = F ( x \ , i a ) es homogénea de grado 1 Entonces F ( x : L x2 t) = t } F ( x l t x i) Si aplicamos Euler: + X 2 F IA X U X 1 ) = l.F {x -¡.x i) P o r lo tanto: dF dF x \7 T - + * 2 -5 — = q dx i dx 2 es decir que el producto total (q ) es igual a la suma de las productividades marginales respecto de cada insumo multiplicadas por la cantidad de dicho insumo.

5.9

C u estio n ario d e Repaso

1. ¿Qué se entiende por funciones compuestas? 2. ¿Cóm o so halla las fórmulas de derivación de fundones de una variable independiente y de dos variables independientes? 3. ¿Qué se entiendo por función implícita? 4. D ada una función implícita, ¿siempre es posible obtener la forma explícita? 5. ¿Cóm o se halla la derivada de funciones implícitas? 6. Si se trata de ftindones implícitas de dos variables independientes, ¿por qué las derivadas son pardales? 7. ¿Cómo se halla la ecuación del plano tangente a una superfide dada en form a implícita? 8. ¿Cuándo se d ico que una función es homogénea?

279

5 ,1 0 Ejercicios de aplicación

9.

¿Cuándo una función homogénea es lineal'^.De qué propiedad im portante gozan estas fundones?

10. Enuncie el teorem a de Euler para funciones homogéneas. 11. P o r qué es importante el estudio de funciones de utilidad ho mogéneas? 12. Definir funciones de producción homogénea, rendimiento a escala y enundar propiedades.

5 .10 1.

E je r c ic io s d e A p lic a c ió n D ada la función

z=

2xy \Zz2 4- y 2

.

si x = eos t; y = sen í; hallar ^ en i = 0.

2. Dada la función z = uv si u —senx ; v = cosx. hallar - 4 3. D ada la función z = z h i y + y \ n x si x = er‘ J: y = er ~s} hallar v

y os -

4. D ada la fu ndón z = ln (z 2 4 y2) 4 yfx* 4 y2 si x = eu cosu ; y = eusen v, hallar 5. Dadas las funciones de demanda de dos bienes

D x = 500 - tipx 4 8/>v 2000

A, = — Py

,

+ 4 Pl

(donde px y py son respectivamente los precios de los bienes dados), hallar el ingreso marginal respecto de p£ y pv. 6.

H allar la derivadas de la siguientes funciones implícitas:

a ) F ( x i y ) = x 3 4 y* — 6 x y =

0

b ) F ( x , y) = x * - 2 * V 4 y 3 - Sxy 4 1 = 0

c) F ( x , y ) — e1 sen y 4 ev .sen x - 1 = 0


280

7. Dada la función F ( x , y, z) = sen x y + sen yz 4- sen z x - 1 = 0 hallar

y | j.

8. Hallar

y f j T siendo

a) F ( r , y, s) = a* 4- 3*y -f

- ln z = 0

b ) F ( x ty } z) s= e* cosfo + z) - z « 0 9. Hallar la ecuaciones del plano tangente y do la recta normal a las superficies dadas en el punto indicado en cada caso: a) x * + y2 -f- z ¿ = 14

; en M 0( 1, - 2 , zQ)

b ) a;2 - 3 r 4- 2s2 = 0 ; en M *(2 , - 2 , - 2 ) c) x y - s = 0

; en M 0(3 ,4 ,-1 2 )

10. Analizar si son homogéneas las siguientes funciones y en caso afir m ativo indicar el grado y verificar oí teorema de Euler: a) F ( x > y ) = a r c : t g ( * ) b) c) f ,(.rJ’íy) = tf2cy/r d) f ( x , y , z ) = + ^ 2

f)

f ( W

+^2

)= l«i(£ )

11. Verificar que la función: -F(.r,?/) 5=1 \/l/2 - 4.x- as homogénea de grado 2/3 y verificar el teorema de Euler. 12. Verificar que la función

= V¿ ~ 7JT F ix { ' V) 2y * - \ . 6 i f x - x * es homogénea de grado -1 y verificar el teorema de Euler.

5 .10 Ejercicios de aplicación

281

18. Se estima la producción rio un determimulo pafc para un período de estudio mediante la función: c C = a 2.1^b0M donde lx ' es el producto total, ‘ a’ el trabajo y (b’ el capital fijo. a) Probar si dicha función es homogénea. b) D ar grado de homogeneidad. c) Probar la identidad de Euler d ) Hallar la suma de las elasticidades parciales 14, Siendo p a , p # , p e precios de tres artículos diferentes A. B, C, si las demandas de los insumos están dadas por las funciones r, Da

^Vb - Va ------------

Pe „ hpc - V a - 2pB JJb = --------------------PC

lflpu - Vb D e — --------------

PC

a) Verificar que todas las demandas son homogéneas de grado cero. li) ¿Qué ocurre con cada demanda cuando el precio de cada artículo se incrementa en un 20%.? c) ¿Que sucede si todos los precios decrecen en un 20%° d ) Hallar las cantidades demandadas para pA =

2

— 1;

p e = 10. c)

Hallar las cantidades demandadas si se duplican dichos precios

Lfi. U na función ele producción está dada por 2o b - a 2 - h2 X =

------------- ;------

a+ b

a ) Dem ostrar que es homogénea de grado uno. b ) Verificar teorema de Euler c) Relacionar productividades marginales con producto total.

282


d) o)

Probar que el producto medio depende sólo de la razón entre las cantidades a y l> (homogénea de grado cero) Idem (a) para productividades marginales.

f ) Hallar la tasa marginal de sustitución. lfi. Si se utilizan 'a' hombres en la tala de una plantación de un bosque de % ' heetáieas. se establece que las cantidades de árboles talarlos cu un determinado tiempo es:

x = 2 u 0,fi b0'1' a) Demostrar que exist.cn rendimientos constantes, es dec:ir que la función es homogénea de grado 1. b) Probar teorema ele Euler e interpretar económicamente 37. Decir si las siguientes funciones de utilidad son homogéneas, en caso «afirmativo dar el grado de homogeneidad: a) v = (r/j + 2){()! + 4 } b ) y, = 3r/> q¿

d)

u

=

q\
e) H = 1

-r 2q-¿

4< \

Ú <¡¡

18. Para las funciones de utilidad homogénea u = 2qlq-¿ a) Hallar grado de homogeneidad

b) Compjobav teorema de Eulcr c) Dar expresión de las útil i riadas marginales y demostrar que son homogéneas d) Hallar la tasa margina! de sustitución demostrar que es ho mogénea de grado cero: interpretar económicamente.

10. Idem para: ti — 20.

q'i

qx + q2

D ed r si las siguientes fundones de producción son homogéneas y en caso afirmativo hallar el grado de homogeneidad.

283


a)

q — —15 -

+ fiu i — x 2 ■+* ^,r-

I)) Q = Xi'X'y — c) i} — r^:p*2 d) q = 2x\/'[x l /i

21. Dada la función de producción q = 3r¡:r> homogénea a)

D ar grado de homogeneidad

h) Cías i fia ir c) rendimiento a escala como constante, creciente o decreciente e) Verificar el teorema do Eulcv el) Hallar tasa marginal de sustitución y demostrar que es ho mogénea de grado cero, interpretar económicamente. or,

T

1

<1

2/3

22. Idem para q ~ ¿ t x'

l/ U

x2

23. Idem para q = (.rqa.^j17'1 24. En los ejercicios 21), 22) y 23) hall ai elasticidades parciales y v<>rificar que se suma es igual a) grado de huí nog ene idados 25. Idem para q =- a X\X2 — ó r * - c t * ;

a ju ' > 0

2fi. Idem para q = A x c¡ x 2 1 - 8 a i - C x ¡ :

.4, £ , C > N

C a p ítu lo 6 F Ó R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C -L A U R IN P A R A F U N C I O N E S D E D O S V A R IA R L E S 6 .T

In tr o d u c c ió n

Recordaremos algunos conceptos expuestos en el primer curso cío Análisis M atemático, referentes a la f u n d ó n polinórrua).. de sumo interés por Irus propiedades que presenta un cuanto a su devivabilidad. Dado un polinomio en x, de grado n. con cocficienl.es reales p{x) -

A y 4 A xx 4 A ¿ t *

A 3r

h- .. 4 A nz n

(G R )

nos inteicsan las relaciones existentes entre los coeficientes de p ( x ) y de los n polmomios, no idénticamente nulos que se obtienen al derivar suce sivamente el mismo, pues ello nos permitirá “aproximar" una función derivadle; no polinómica. medíanle el polinomio considerado y un resto T n{ x ) que en general no es exacto pero acotadlo y que nos indicará el error que se comete, en un punto Xq, al reemplazar el valor de f ( x ) por el valor d a p [ x ) en dicho punto S e rá e n to n c e s :

/(?:)

= p ( z ) + T n íx)

(0.2)

Pura determinar p ( x ) , desarrollamos el polinomio (ü .l) en po tencias del binomio ( x — X q ) : pues x . q es un rnímeio real cualquiera y efectuando las divisiones sucesivas obtenemos p(x)

— Co 4 C\ { x * Xo) 4 C-2 ( x — Xo)2 + Ci ( i

— ¡rp )14 .

+ ('n ( x

• xa ) a

(C.3) Los coeficientes los. expresamos en función do. las n derivadas sucesivas de (6.3) V C U ~ E i 4 20'¿ ( t — x o ) 4 3G’;} { x — X(¡)

4 ... 4 u C n ( x — x 3)

286

Cap. 6 F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C -L A U R IN P A R A

; / '(*) = 1.2Cj - 1 .2 .3 a ( x - x 0) + - + » (n - 1 )0 . { * - * « ) " 2 f ' ( x ) = 1 2.3G + .. -i- n(n - l ) ( n - 2 ) C n ( x - x 0) n ~ a

p - ( t ) = ?)(?).- l ) ( n - 2 )...3 .2 . 1C’,¡ Haciendo i = t ,¡ (donde suponemos nxist.cn las n derivadas) en el polinomio y ei. estas derivadas resulta: p (x 0) = Cu p '(x 0) ^ C , p " ( x 0) = l . 2 C ¿ p "'(x 0) = 1 . 2 . 3 C 3

p"'

( . T í, )

=

n .(n

-

l ) ( n .

—

2 ) . . . 3 . 2 .

1C„

O sea Cq

= p (x o )

c ,=

p ‘ (x o)

1!

C2 =

IM

C3 =

P’" ( x n)

C„ =

2! 31 P(n)(xo) 7).!

(donde ti! = 1 2 3.. n). que reemplazados en (6.3} nos determinan

v ( t ) = p(-fc. i -

[x - x 0) +

I r - x o f + ... +

(x - x uf +

(z - at0)n

(6.4)

llamado poliroTmo d* Tnybr de grado n, cuando so oonocon su valor y el de sus n-pHirieras derivadas en un punto lijo xq (figura 120).

6 2 Fórmula de Taylor y de Mac-Laurín para funciones de una.

287

fis u r a 120

Si en particular

xq

= 0 , reemplazando en (6.4), el polinomio

resulta

llamado polinofíno de Mo.c-Lo.ur'^ expresión que permite determinar un polinom io de grado n, cuando so conocen su valor y el de sus n-primeras derivadas en el origen (figura 121).

figura 121 0

5.2

F ó r m u la d e T a y lo r y d e M a c -L a u rin p a ra fu n c io n e s d e una v a ria b le

Los polinomios (6.4) y (G.5) vistos, se Uruvuuv '«vproximo.ut.es y>\\es» si f ( x ) es una función cualquiera en un £ (^ o )i con 11 derivadas sucesivas finitas en x = #n> poden ios aproximarla mediante un polinom io p(.r). de grado n, que coincida con } { x ) en x- — Xq, conjuntamente con sus n-primeras derivadas. Dicho polinomio existe y es único. Considerando, entonces, p { x 0) — f [ x c ) \ j/ '{ z fí) = f " { x 0) ; ximación es: v i*) = f M

[x ,t) =* f ‘ [x o ) ;

/;ínK^‘«») = f^nHx oL entonces el polinomio cíe apro

+ ^ r - i * - * 0) +

^

( * - * 0) 2+ .

(,- - o * ) "

( 6 .6 )

2 88

Cap. 6 F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C -L A U R IN PA RA.

que según (6.4) es ci polinomio ele Taylor correspondiente a f ( x ) en el punto aro, L a función f { x ) , según (6.2), se obtiene agregando a este poli nomio aproximante, un término T n(x ) , llamado resto o término com• plem.entari.Of que (com o puede demostrarse), tiene por expresión

í fij) término que difiere de los demás pues la derivada

no se calcilla en

el punto i o sino en el punto £ (comprendido entre

xq

y x ) lo que exige

la existencia de la derivada ( n + 1 ) en el intervalo ( z c , x ) (figura 122).

Figura 122 r»

i

?

Reemplazando (6 6) y (6.7) en (6.2) obtenemos

m

+r ^

=

^

( s _ s o ) 3 ...+ ^

- * ° )+ ^

(, _ I o r + ^

- ^ ) 2+

(^

r + I (as}

que constituye la fórm ula general de Taylor po.ra funciones de wo. vo.ri.ahle. Considerando el primor término la aproximación es de oiden cero, considerando dos términos la aproximación es lineal (polinomio de primer grado), considerando tres términos la aproximación es cuadrática (polinom io do segundo grado), etc. Si xo = 0. resultará (según (6.5)) y para

£ entre 0 y

x:

( 6, , que constituye [¿fórmula do Mac-Laurin para funciones de una vanable.

6.2 Fórm ulas de Taylor y de Mac-Laurin para funciones de una...

289

Observaciones-. 1)

L o s desarrollos en serie de Taylor y de Mac-Laurin de las fun ciones (6.8) y (6.9), t?jnbién estudiados en el primer curso de Análisis M atemático, representan a dichas funciones únicamente para aquellos valores de x que hagan lim T n(x ) = 0

2) Con respecto al término complementario, llamando h = x ~ x $ (que resulta de considerar z = xq — h) puede escribirse en la siguiente form a debida a Lagrange (teniendo en cuenta que £ ■= x© 4* 0h., donde 0 < 9 < 1):

Luego, la fórmula general de Taylor resulta f{x ) = f{x 0 + h ) = f(io ) +

( 6 . 10 ) Análogamente para la fórmula de Mac-Laurin.

E je r c ic io 104

A plicando la fórmula de Mac-Laurin, desarrollar f(x)

= sen ( x )

Solución- Calculamos las derivadas sucesivas de la fundón y sus valores numéricos para x = 0. f ( x ) = s e n (x ) =» /(O; = 0 f ( x ) = eos ( s )

=?• J' l f l ) =

1

f ' ( x ) — “ Sen ( z ) =< /"(O) = 0

f ”(x) —• - c o s ( r ) =? / ' " ( O ) = - 1

2 90


/ ?1'{x ) = sen( 2 ) ^ / ,ü( 0 ) = 0

repipiendose en grupos cíe a cuatro; reemplazando en ía fórmula ríe MacLaurin (6.9): .r3 , r ' i7 , . ( - i V - ' x 2' - 1 , ( - l ) hsen£ 3, + 5, - 7¡ +•••■*• (2/i.- 1 ) ! (2/i.)! Z

benx — x

Las tablas de trigonometría se calculan por medio de estos de sarrollos en serie. Si queremos calcular, por ejemplo .sen (30°) = 0 , 5 .

E l primer

term ino dei desarrollo nos ría

¥ - ° - 523 Calculando el segundo término obtenemos aproximadamente 0,024; luego con ios dos primeros términos (restando dei primero el segundo) ten dremos aproximadamente sen - = 0 ,4 9 9

6

Agregando términos al desarrollo, obtendremos s e n x con una aproximación cada vez mayor.

E jerc ic io 105 A }; 1ican do la fórmula de Taylor, desarrollar / ( * ) = cen el entorno de Xq — l. Solución. En este caso: / (::) = / '( í ) = / " (x ) = ... = / ' " ' W = e ' por tanto / ( l ) - / '( l ) = / "(!-) = ■■■ = ■T1" 1(1) - f } - c mientras que para el término complementario f " ' + l ) ( x u + eh) = eu v h = e . c ou

6.3 Fórm ulas de T a y lo ry de Mac-Laurin para funciones de d o s...

291

Reemplazando en la fórmula de Taylor (6.10)

teniendo en cuenta que h = x - 1 y además 0 < 6 < 1.

6.3

F ó rm u las de Tfcylor y de M ac-L au rin para funciones de dos variables

Aplicáronlas las considerar ¡oríes hedías a funciones de dos variables. Consideremos una función * = F { x ) y ) que suponemos es rliforenciable hasta orden ( r c + l) en un entorno del punto M oteo» i/o) pertene cíante al subconjunto real de v ia b ilid a d de la misma. Suponemos cono cer el valor de F en M o , las derivadas sucesivas hasta el orden n en dicho punto y la derivada (n + 1} en un entorno de M q Incrementarnos xo y yo en h y k respectivamente, obteniendo el rectángulo (inclmVlo en el entorno de M o ) de vértices opuestas M o y A/¡ (figura 123)

Y

F ig u r a 123

292

Cap. 6 F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C -L A U R IN PARA.

Queremos expresar el valor de la {unción en el punto M i . En lugar de considerar los incrementos sucesivamente, para pasar de A/y a A/i, seguiremos (a recta A I q A / o sea incrementando simultáneamente amóos valores. U n punto cual quiera R perteneciente a A/oA'A, tiene coorde nadas que dependen de la variable t que varía entre 0 y 1: u: = y —

x a 4- ht , , . yo í kt

0<^<1

(6.31) '

(n sea, para t — U corresponde c) putitn M Q y pava t = 1 corresponde el punto A í l ). Reemplazando (6.11) en

2

— F ( z , y ) obtenemos lina función

compuesta do t: 2 « F ( x , y) = F ( r 0 + ht; yo + k t) - /(/.)

(6.12)

a la cual podemos aplicar' la fórmula de Mac-Laurin (6.9) para una variable, para f0 = Ü:

con 0 < 0 < 1. Haciendo 1 — 1 , resulta

/ (^ / (o )+ ®

+ £

y

+ ...+ ^

%

^

®

< « .« >

por (6.12) / ( l ) = F(r.i) + h\ y0 -f k) /(O) = F{xo,Vo) Para caleulai los valore* de las derivadas //(O), /*’ (U ),..., f ' n ' b [0 ) derivamos (6.12), aplicando la regla de derivación de las fun ciones compuestas (ver 5.2.1). f ' ( t ) = F !c ( x o *í* h t ; -yo + kt.) o r/ o £

.

+ Fy{xp -+■ Id ; yo + k t ) . d z ! d{

'

¡T /%

' dy/dt

6.3 Fórm ulas de Taylor y de Mac-Laurin para funciones de dos...

p u rs

m F

^

^

293

* ,<■ n \ í ^ “ :rn * t , y a q,ir¡ p nr (6 .1 1 ) j y = ljQ + kt

y de d o n d e

t =

p a ra

U : / '( O )

=

F L { t q ; / ;o ) h 4

F ¿(:r0 : yo) A =

d / r ( r 0 . 7/u )

Derivando sucesivamente también una función compuesta pues x

x

/

\

K

<

\

/

\

\

/

ry

/

t

y { F ”7 ( z {) 4

/ "(/ .) =

4

v

[ i ^ y f x 'o

H

A / ; vyo *1* A *t) A *¡ F b r (i.*n +

A t ;

7/0 +

A f) A +

Fy^. f x o +

A / ; l/o 4

A ¿) A] A 4

A i ; //o -I- A t ) A ] A

luego para i = 0 y suponiendo F " , = F í 1.^ r ( Q )

=

f ; ; ( x 0 ; V ü ) h 2 + 2 F , ; ( * o ; ¿/o) a a 4 i-j

(

h 'dc

f

;

v

( x , ; y o ) a* -

/*j \ (!¿ i ^

En form a análoga obtenemos las derivadas y diferenciales suce sivas. que en form a abreviada resultan

/ M ( 0 ) = J ^ F ( x n, !)Q) -

(h fi - k ^ j

p n + í ] { e t ) = d [ n f i ) F ( r i:+ e h . 1/D+

= (/,é +fc¿ )

' F ( x a,!to)

0 1 ,-)

=

fi^ +0h^ ’r0k)

con 0 < 0 < 1. R e e m p la z a n d o lo s v a lo re s h alla d os en (6 .1 4 ) o b te n e m o s la fó r m u la tic T a y l o r p a r a fu n c io n e s d e d os varia b les'

29 4

Cap. 6 F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C -L A U R IN P A R A .

y

A

^

\

F ( x 0 + h . i;c> + k) = F ( x 0, y o ) + ( h - ^ + k— \ F { x o , y 0) +

f ( X a ’ ya) + --- + Í . { h ^ + tÍ ¡ ) tB+1)^

+ k^y)

+

F{xo,yo]+

+“ )

<6-15>

con 0 < 0 < 1. O empleando la notación diferencial

F ( x o 4 h ,t/o - * ) = F ( x ¡j , v q ) 4 d F (x o > ?y o ) 4

. d n F ( íC 0 ,?yo)

H--------- ¡-------- !■ ni

( T - 1F ( x q 4 0/í,t/o 4 0A-)

„

"i-------- TTT» (n. 4 1 )!

4

...4

, A

. ,

COn U < P < 1

En el desarrollo (0.14) podemos reemplazar los incrementos h y k por ( x — Xo) y i y - yo), respectivamente, resultando F ( x , y ) aproxi mada por un polinomio en jpotencias de ( x — z o ) y {y — yo) > En particular, si el punto (x o ,y o ) alrededor del cual se hace el das arrollo, es el origen, punto (0,0), donde h . = x y k = y, reemplazando en (6.14), obtenemos la fórmula de Mac-Laurin para funciones de dos Vc\riablos: F(x._ >,> = F { 0,0) +

m

t l + "'+ s

+

m O H

( ' ¿

+T^{4+»£r ”

+ 4

X

' m

»)+

•«*>

con 0 < 0 < 1. Los n primeros términos de (6.15) o de (6.16), una vez desarrolla dos los paréntesis, dan polinomios aproximantes do grado n: P n { h , k ) y

6.3 Fórm ulas d e Taylor y de Mac-Laurin para ¡unciones de dos...

295

p 7i{x>y)- E l error cometido en cada caso al tom ar el polinomio comn valor del primer miembro está dado por el termino complementario W

* ). Podemos extender a funciones de dos variables, una de las ob

servaciones hechas (ver 6.2) para funciones de una variable: cuando los térm inos complementarios T u - i { x . y ) tienden a cero para n —* oo obte nemos los desarrollos en serie de Taylor y en seiie de Mac-Laurin.

E je rc ic io 106 Desarrollar F { X
Snhicwn F { x , y) =

+ 3x 3y - 2 x + y3 ••• 1 =*■ F ( 2, ■ 1) = -1 0

F'x = 3x-a + 6ry - 2 =t- F x {2, - 1) = - 2 í- ; = 3x2 + 3í/2 ^ f ; ( 2 , - 1 ) = 15 F I 'I = e i + 6 y = ? r i 'I ( 2 , - l ) = G

^

= 6a:=s-F;;(2,-l) = 12

f;v

= 6 ^

F "

z

f

; ; í2 . - i ) = -6

= 6 ^ F ' ' ‘i ( 2; -1 ) =

= C

2 ,- i) = 6

= o =* F - J 2, - 1 ) = 0 f v; ; = 6 ^ f ; : . v( 2 , - i ) = 6 Las derivadas de cuarto orden son nulas, por io tanto obt enemos un desarrollo finito (término complementario nulo), por tratarse de una función polinómica.

296


Reemplazando en la fórmula de Taylor. tcsulta F(,r. ?,■; = .r 3 -i-

-2 x + y:>-

1-

= -1Ü + [( x - 2 ) { - 2 ) + ( 1/ + 1)15] + •4

[ ( * ' 2)Jfi - 2 (* - 2){y 4 1)12 4 {y + 1)J(-G )J + [ ( i - 2 r « -h 3 { z - 2 ?

{ y

+ 1)G + 0 +

(y

4 - 1 ) 3 6]

Si se desea se puede expresar en potencias de (a; — 2) o (y -f-1) en form a más reducida realizando las operaciones:

-10

2(:z: - 2) + V y y - 1) ~ 3(j: - • 2)- + 12Í* - 2)f?/+ 1} - 3 ( y + 1)2+ - a

- 2 ,’ 4 - 3 ( i - 2 ) ;ifc + l ) + fe -í l ) 3

E je r c id o 107 Desarrollar la función

por la fórmula do Taylor hasta las derivadas segundas inclusive, en po tencias de Solución

— 1) y (// - 2) Observemos que x - 1 = h y que y - 2 = k , por lo tanto, os

:f'{) — l e yo = 2, equi'.alc cnujucos a efectuar el desarrollo por la fórmula
I-Ir

= r V

^

F ( L 2) - 4

F; = : b y - > U ( i ;2 ) - i 2 U = 2'-''V =="

(1 ,2 ) — 4

= > * £ , (!, 2) « 2 4 F ;„ = (iu ^ u ;a ,2 )= i2

Rm nplazanrlo en 1;¡ fórrruíla de Taylor, resulta

6.3 Fórmulas de Taylor y de Mac-Laurin para funciones de dos...

2- y

2 97

= :4 -f [ 12(x- * l ) + 4 ( ? / - 2 ) ) > r

+ 2 ¡ [24(3: - ¡ ) - + 2.12(3- - 1)0/ - 2 ) t 21,, - 2 )2] |- T., -= 1 i 1 2 (3 - l ) - M ( ? / - 2 ) + 1 2 ( i - l ) 3 + 12(3- l ) [ y — 2) + (y - 2 ) 2 + T 3

E je r c ic io 1Ü8 Desarrollar poi la fórmula de *1ay lar, la función F ( x . y ) = x'J hasta las derivadas torreros inclusive, en el entorno del punto jV/u(1 v2). Solución =>f(l,2) = 1

F{x,y)

=2 C ;

=

3 M r i T = > J ’; ( h 2 )

K * = viv-

=

Ü

^ ^ ( 1,2) = 2

l)^ -2

F ' ^ ^ W - ' + y x ’'

1 I n r =+ F'’t ( l ;2) — 1

F ^ = x n ¿ x

^ F ; j {\: 2 ) = Q

FZ^vku-

1)(?/-2)3V 3 => ^ . ( 1 , 2 ) - 0

F e , = [ y - 1 )3 » - 3 + y x ^ 2 - y ( y - l ) x ' ’ 2 l„rr =+ F ^ y( l , 2) = 3 F Z y = r 'J ’ 1 1 » * -I i » " 1l m + y i 2’ 1 ln* 3 ^ F % v( 1,2) = 0 ^ " s = 3 * l n 3 T =í-

—Ü

neemplazanrlo en la lónnula de Taylor, resulta

3

* ^

1

+

[ 2 ( 3 - 2 ) ]

+

-

[ 2 ( i - 1 ) 2 - t 2 . 1 ( 3

- l ) ( y

2)1

+

-l-gj [3.3(:c - 1? { y - 2j] + 7 ) (;c, ?/) =

- 1 + 2 ( 3

-

1)

-i

(x -

1)*

+

(.x -

1 )(y -

2 ) -I

|( 3

-

I )" ('; -

2) +

7 ,(

3 , y)

298


E je r c ic io 100 D e s a rro lla r la función

F ( x , y ) = ex costy ha.-* a la s d e riv a d a s te rc era s in clu sive, e n e l e n t o r n o d e l p u n t o (0,(J).

Sohi c e n F ( x , y ) = cx c.osi>

F (0 ,0 ) — 1

F z r-, c£ cosy ^ F^{0,0) « 1 f ; = - e i s e n r y ^ F ; ( 0,01 = 0 F " c = ° ! 00*V ^ •F'íxfO, 0) = 1 i 7; ; = - e I senj/

i- " (0 .0 ) = 0

F"

0,0) = - 1

F ; „ - n 1 eos v = > ^ « (0,(1) = 1 i^ , = - e ^ y = > ¿ ^ (0 .0 )= 0

n »» *

c ,c f)s j/ r> i * ,j¡v (0,n) = —i

Reemplazando en la fó rm u la d e M a c - L a u r in , r e s u lta t * O ; - ! J 14- ( i . l + y . O j - f i

~

=

[,t2.1 + 2.XJ/.Ü + iy2( —1)] +

;V ! . l + 3V?y.O I f c ^ - l J + i A o ] + T d x , y ) =

1 +

r r +

I (

= 1+^

2-2 -

T

, f ) + i ( x 3 -3 .T 1 / 2 ) + r , ( l . ! / ) -

" T

E je r c ic io 110 D e s a rro lla r la función

+ ¥

-

í + 7 :' ^ ^

6.3 Fórm ulas de Taylor y de M ac-Laurin para funciones de d o s ...

29 9

hasta, las dom adas segundas inclusivo, en potencias de (x + 1 ) y de (j/ + l). Solución b (T .v) = 4 V

F (- L -1 } - 1

K = ~ ^ y -4= f

;x = o

^ ^ ( - i , - d

^ v = -3 y

= o

=

=

/■;; = { - 3 ) ( - 4 ) i 2 , - ‘ =* F;;y[ - i . - \ ) =

12

Reemplazando en la fórmula ríe Taylor. resulta — = 1 + [(—l ) ( z + 1) + 3 (7 / + 1)1 +

| [0.(2- -i-1)- - ñlx

+

l)(y

+ 1) +

12(y

+ 1r! ]

+ T3( x , y)

« l - ( * + J;-r3(*-*. 1)(y + 1 ) + 6(j/-t I)- +

=

T3{x,y)

E je r c ic io 111 Desarrollar la fundón F (x ,y ) = c ^ hasta las derivadas terceras inclusive, en el entorno del punto (1,1.). Solución F[:r. y) — ex ' y =$■ F ( l , 1) = t 2 ('orno puede verificarse, en este caso, el valor do la fundón en (1,1) es igual a t? que coincide con los valore* que en dicho punto toman las derivadas primeras, segundas y terceras. Luego eF* y = C + [c’2(x — l ) + e2(j/ — 1)] -í+ 1 [c2(x - 1)J + 2 C ( X - l ) ( y - 1) + C ( y - l )'2] +

3 00


+ ! ¡ [e'z( x - l } 3 + 3 C2(x - l ) - ( y - 1} -i- 3¿2(x - !)(?/ - l ) 2 + e2(y - l ) 3] + + T 4(x ,y ) -

((x - 1) + (y -

=

+ J

[ ( i - l f + 2 ( x - l ) ( y - 1) + (y - l ) 2]+

[ ( x - l ) 3 H 3(.r - 1) 2h, - 1) + 3 (* - l ) ( y - l ) 2 + (y - l ) 3] + +T*(x,y)

E je rc ic io 112 Desarrollar la función del ejercicio anterior, mediante la fórmula ele Mac-Laurin, o sea en potencias de x c y. Solución. Es

el

desarrollo anterior en el entorno de (0,0). = ex " J = * F (ü ,0 ) = 1

valor que coincide con los valores que en dicho puni ó l oman las derivadas primeras, segundas y terceras. Luego cT+» =

1 + ( x 4. ¡,) + 1

( z 2 + 2x y + y 1) +

(z '1 - Z x ñ j + Z x if + / ) + T i ( x , y ) =

= l + l * + V} + ^

+ ^

*

T

t (*,V )

E je rc ic io 113 Desarrollar F { x t y) = é * ' mediante la fórmula de Taylor , en el entorno del punto M o (l. 1), hasta las derivadas terceras v hallar aproximadamente su valor para x = 1,1 o y = 1,2. Solución. En este c.lso / , «

k

( *

—

-

X ' o )

[ y — Va)

=

( 1 , 1

-

= {1,2 —

1 )

=

0 ,

1

1)

= 0. 2

6.3 Fórm ulas de Taylo' y de Mac-Laurin para Iunciones de dos...

F { T . , y ) = e ¡ i

^ F ( \ A )

=

301

r.

F'T = V ez “

= ► * !(l , l ) = c

F'v = x e * ' -

= - F ;(l,l) = s

F x x = y 2c ^

^ F ;;{l.l)- e ^ F ' ; ( l , l ) = 2c

- ^ (1 ,1 ) =e f ^

= 2„ ^ t ! , 5T e' ^ / : ; ( 1 , l ) = 3 e

í

= x eI¡' + T ^

y " = rv !/v?/ ,J

-¡- !/-x e1" =*•

:'

(1, 1) = 3c

= > r a iu c ’jyyV1» J/ 1

Luego e1-’1-1-2 = e 4 -(c .0 ,1 + e 0.2, - i- ^ 'e ( 0 , l ) 2 + 2 .2 .e 0,1.0,2 + e (0 , 2 ) 2] +

+ | [ e (0, l ) 3 -I- 3.3.e (0 .1)?0 .2 + 3 3.C.0,1 (0 ,2 )* + c (0 ,2 )*] F T A{ x , y ) = = e [ 0 l l , . 0.2 + ^ U

o lM + 2 f 4 + ! ^

- c ( l , 3748 t r 4ú . ¡ , ) ) s 2 ; 718 (1,3748) ^ 3,7367 V alor por calculadora: 3; 7434214 E je r c ic io 114 Dada la función F { x . y )

=

a rctg

~

X

calcular aproximadamente F [ l . 1; 1.05) emplean do el desarrollo de T a y lor hasta las derivadas segundas inclusive.

3 02


Solución. Desauollamos la función dada en el entorno del punto (1,1) por ser próximo al considerado. Luego F (x ,y ) = a x c t g | ^ F ( l , l ) = 5

1+ tiY 1

\ x /I ^ a u ) = '

K l + ( í )

F ' "

=

„ I,J

'¿xy

o . .2 l ( i¿2i +, ?y2) +. 2y2

( x 2 + y ¡ Y¡ -2 xy

F,J'J

= > ^ (1 ,1 ) = -

(z * + 1 j* )2

( F + 1/2) 2'

p, xyU ’ J

= ^ (1 ,1 ) = -=

Reemplazando F ( i ! j/) » a r Ct.g| = í +

1 f i ( * - J)2 + 2 (z - l ) ( y - 1 )0 + ( - i ) (y - l ) 2 + r 3(x,2/) 2! ¡2 Por lo t anto F (l,l;1 .0 5 ) = a r c t g i ^ = í +

^ 0 ,0 1 -^ .0 ,0 0 2 5

*

j

- ^ o a

+ L a c is )

+ T 3(3:>?/) «

- 0,05 + 0,025 + 0,0025 - 0,000625 + r 3(x, ?y) ^

Ss 0,785398 - 0,05 + 0,025 + 0,0025 - 0,000625 * ^ 0,762273 Valor por calculadora: 0,76214654 en radianes

+

6.3 Fórm ulas de Taylor y de Mac-Laurin para funciones de d o s ...

3 03

E je rc ic io 115 Desarrollar la función F { x , y) = sen ( x + y) hasta las derivadas terceras inclusive, en el entorno del punto M q ( tt/2; tt/2) SohLíhó'n F ( x . y) = sen (.r + y) => F ( tt/2. tt/2) = senu = 0 F x = cosf.r *! y) => i^(7r/2,7r/2) = cos7r ^ —1 F v = c o s (. r + y) => F v{7r/2,7r/2) = - 1 f IX = -SPO (-C + 2/) => ^

(tt/2, tt/2) = 0

= ' sen (x + 1/) =* F " !;(7r/2,7r/2) = 0 =

- s e n ( x + ! / ) = > F " v ( 7 r / 2 s7 r /2 ) =

K L ~ - « « (!+

0

y) = > F ? „ W 2 , t /2) ~ 1

F " ^ = - cos(.r 4- i/) => /X"v (jr/2,7r/2) - 1 f ;",,

- - c o s í j + y ) =>

í

^

= - ^

í V m ( ’ r A ir / 2 ) = l

+

! í ) ^

;", j (7i /2,7t/2) - 1

Reemplazando en la fórmula de Taylor sen (a- + ?/J = 0 + 1.

1

( i - I ) - (y - 1 ) 1 + £ +

l ? + 3(.x - l ? ( o - ¡ ) + 3(a- - ^ + T 4( x , y ) =

^ \3

1

0/ -

| y + (y - 1 )*] +

304


E je r c ic io 116 Desarrollar la fundón del ejercicio anterior en el entorno del punto (0,0). Solución F (x > y ) = s e n ( z - r y ) => F ’(O.O) = 0 F z - cos(3: + y) =* ^ ( 0 , 0 ) = 1 F: j = c o s ( x + p ) - - > F ' ( Q , Q } = 1

F ' ; = - s c n (X - | i / ) ^ F I'I (ü,0) = a = -seu {x + y ) ^ ¿ ^ ( 0 , 0 ) = 0 Fyy — —

( i -|- jy) => F¡¡y (0,0) — 0

F i n = - c ° s ( * + y) =■ F - J Q , Ü) = - 1 F ’’^ = - c o s ( x + y) - > F ^ ( 0.0) = - 1 í ^

= - c m ( z + b ) = ^ ( Q , 0 ) = -1

r ¿ t - - c o s ( * + y) =*• F!j;y( 0,0) == - 1 Reemplazando en la fórmula de Mac-Laurin v sen (.r + y) = ( x + y ) (£ + y f 7!

{s-M yV1

( * + y )b + i —g¡-------

(i + y f 9¡ + J u(a,?yj

E jerc ic io 117 Desarrollar la fundón F { x , y ) = coa {x + y) en el entorno del punto (0.0). Solución F ( x , y) = eos (z -I- y) => F { 0 ,0 ) = 1 F t = -son {x + y) =$■ í^ (0 ,0 ) = 0 f ' = _ s e jl[3 ; + j/) ^ F '( 0 i 0) = ü

6.3 Fórm ulas de T a y lo ry d e Mac-Laurin para funciones de dos...

305

F¿t = - eos (x + y) = > F ¿ X( 0 ,0 ) = --1 F i; = =

cos(x

+ 1; ) ^ F

i;(0

,0 ) = - 1

• « « ( I + !/) = í . F v'y (ü,ü) = - l

¿v£T = sen ( r + » j ) = » F ; ' ¿ x (0 10) = 0 Fir.y — sen

+ í / ) ^ F 1" , ( 0 10 ) = 0 ( x + y ) * F ¿ y(0 ,0 ) = 0

f ' j v ' j = sen u ' + ’/ ) ^ í 7; ; v ( o , ü ) = o J í i „ = ^ + y ) = ! - C „ , ( o ) o) = i (T + y )= > ^ (0 ,0 ) = l ( 2 + ! / ) ^ F ^ ;/(0 ,0 ) = l í-r + y ) =?• F j " yv(0 ,0) = 1 F v \ y > = c<-r' ( i ' + y ) ^ F ^ ( 0 , 0 ) = l Reemplazando en la fórmula de Mac-Laurin eos { a + ?y) = l + 1 ( 0 - 0 ) ^ ( ~ ^ ~ ^ ~ ^ i + | ( 0 + 0 + 0) +

+ i ( x ' ‘ + 4 1 ^ + 6 ^ 4 2 ? / +7/4) + T 5(x-, y ) =

E je r c ic io 118 Verificar que para \ o r e s pequeños de x e ?/ es r s e n y = y A xy Solución. Para ello desarrollamos la fórmula de Taylor hasta el término de segundo grado, por serlo el producto xy F ( x ) y) = exscn y ^ f { 0 , 0 ) = 0 p x = e z* n y

=s> F ^ ( 0 , 0 ) ^ 0

Fy = e! eos y

=> 7^(0, 0) = 1

F^ = e^ny

= * J ^ (0 ,0 ) = 0

306

Cap. 6 F O R M U L A S D E T A Y L O R Y O E M A C -L A U R IN P A R A .

F¿j =

eos y = * i ^ ( 0 , 0 ) = l

lx

F;;,, = - e 's c n y =*• F ^ O , 0 ) = 0 Luego cz9>en y = 0 + 1(0 -i-y) + ^ ( 0 « f 2xy + 0) = y + xy pues no se considera el término complementario.

6.4

A p lic a c io n e s econ óm icas d e la fó r m u la d e T & y lo r y M a c L a u rin p a r a fu n cion es d e d os v a ria b le s Ejemplo í : Una función de producción para la economía en conjunto está

c.dca uor p = 2t ^ c 1' 2 c'r.c-T p es el {>roducto total, t es la cantidad de trabajo, c es la cantidad ct tí.pual aj Desarrollar el polinomio aproximante en un entorno del punto 1100.400 > hasta el término de segundo orden. b ) Si d trabajo so, incrementa en nn 20%> y e\ capital en u n 2,5% hallar el valor aproximado para el producto total.

c) Dar el valor aproximado de la producción si el trab ajo se incTrmonra en un 2% y d capital en un 1%.

a) Po = (100, 400) P ( p „ ) - 2v/Í0Óí v'Í00 = 2.1000.20 = 40000 P ¡ = 3 f M Jp„ = 3\/ÍG5v500 = 3.10.20 = 600 r -,$ c -H K ~ ' U F ,_ 3

"

, X

_ 3 2

1000 - SO 20 - oC1

^

320

“

2

«,

,1 1 .* ,

3VÍOO

310

3

'2 C

2 v^QO

220

4

íc

^

^ VÔO “

“

2 10

6.4 Aplicaciones económ icas de la s fórmulas de Taylor y de.

P" =

3 07

_ L *r-í i -_1 1 2 °9 = 1 2' i ! ‘° ’ 2 8000 16

Entonces 2

c * = 40000 + 600(/ - 100) + 50(c - 400 )+

(í - 10Ü)S3 + 2 .| (f - 100)(c - 400) +

(c -

400)2

T,

b) Si t0 = 100. 20% de te es A t — 20 por lo tanto: (t - 1 0 0 ) = 20 =*• í = 120 Si

= 400. 2,5% de Co es & c = 10 por lo tanto (c - 400) = 10=s>c = 410

P (1 2 0 ,410) = 40000 + 600.20 + 50.10 + 1 ( 202.3 + 1.20.10 - — 102 ¿ \ 2 16 = 40000 + 12000 + 500 + 600 + 150 - 3,125 ^ 53246,87 Si utilizarnos calculadora obtenemos valor real:53234,57 c) to — 100, 2% de t0 es A i = 2 por lo tatito: t = 102 Co = 400, 1% de Cq es A c = 4 p o r \o tant o: c = 404 P (102,404) S 40000 + 600.2 + 50.4 + 1 ^2a.3 + 2 5.2.4 +

=

= 40000 + 1200 + 200 + 6 + 6 - 1 S 41411,5 V alor real: P (1 0 2 ,404) = 2 (102)3 (404) ? = 41411,49G

Ejemplo 2 : Si la función demanda de polenta (1 ) y arroz (2 ) para m ía de terminada población de escasos recursos está dada por:£?i = 10 pi p}/'¿ para precios de la polenta y arroz de 3 y 4 unidades respectivamente.

3 08


a) A nalizar el \*aior aproximado de la demanda para un aumento en el precio de la polenta de 10% y del arroz en un 20%. l\) Analizar los luanes y clasificarlos. Solución Si P (3 .4 ) , D J P ) = i0 .3 .v ^ = 60 P = 10 v p =

= 10. y f i = 20 bien GifTen (no típico) p = y y c - + 7 ,5 bienes competitivos

d7 o , _________ i n _

_

OVi o vi ~ 2V— . p “ ^

= 5 p .- K ^

io _

i

o

r.

+ ’J = 5 - 3 H ) ( v 5 ) 3 = T 1l = " f i

D i = ¡ID + 20 (p, - 3) + 7,5 (p 2 - 4 )+

2 .2 .5 :p : - 3 ){r , - 4) +

(P2 - 4 )5

D i ( 3 , 3 ; 4 , 8 ) S fiO -h 2( JÍ 0. 3) + 7 , 5 ( 0 ; 8 ) + 2 , 5 . 0 , 3 . 0 , 8 -

^ 0 , S2

= 00 + 0 + 6 + 0 , 6 - 0 , 3 = 7 2 , 3 E l valor real es: Di:\ 3; 4,8) = 72 299370

Ejemplo 3: Para la demanda fie un determinado artículo A se estableció la siguiente ley A

= ^

siendo pu el precio de venta de dicho artículo y pb el precio de un artículo sustitutivo; dicha fórmula fue estimada para los valores correspondientes a un entorno de los valares de precias ph = 3 y p « = 2

6.4 Aplicaciones económicas de ¡as fórmulas de Taylor y de...

309

a) Hallar el valor aproximado de la demanda para un aumento de pQ en un 20% y ele p¡, en un 10% (hasta las derivadas de segundo orden) b ) Usando calculadora comparar con el valor real no estimado. Solución 20% Va = IK4 = A p u ; 10% p6 = 0,3 = A?;,; P 0 = (2 ,3 ) =► P = (ci + A z . b + A y ) - {p a -1-A p c> pt + A pb) = (2 ,4 ;3 ,3 )

D (p o ) « ^

Po ~ — 4— - -7 ,5

D r.\r> ~ ry ,

- 15

_ 10,

_10

~ 7 a ' P"' _ T

D (Pa. t¡b) = 15 + ( - 7 , 5 ) A p a -I- 5 A p *+ + 1 [7.5 Ap* + 2 . (- 2 . 5) A ?a A p „ + ü A p'í] + T ; U { 2 , 4; 3.3) 2= 15 + ( - 7 , 5 ) . 0.4 H- 5 .0 ,3 I + 1 [7.5(0 ,4 }2 + 2 .(- 2 ,5 ) (0 ,4 )(0 ,3 )] 4* = 15 - 3 + 1,5 - 0,3 4- 0,0 = 13, S E l valor real obtenido por calculadora es: in 'i o D ( 2,4; 3.3) « - ^ ¿ = 13,75

310

6.5


C uestionario d e repaso

1. ¿Qué so entiende por polinomio de Taylor y de M ac-Laurin? 2. ¿Cómo se obtiene la fórmula de Taylor para funciones de una variable? 3. ¿Qué se entiende por término complementario? 4. ¿Qué particularidad tiene el termino complementario? 5. ¿Qué permite conocer la fórmula de Taylor? G. t Cómo se obtiene la fórmula de Mac-Laurin para funciones de una variable? 7. ¿Cómo se obtiene la fórmula de Taylor para funciones de dos variables? S.

6.6

¿Cómo se obtiene la fórmula de Mac-Laurin para funciones de dos variables7

Ejercicios d e aplicación.

1. Desarrollar la función f ( x ) = e->* m e d ir t e la fon nula, do Mac-Laurin. 2. D ârrollar mediante la fórmula de Mac-Laurin la función f ( x ) = ln (] + i ) con término complementario de quinto orden. 3 Mediante el desarrollo anterior, hallar en form a aproximada ln (l, 2). 4.

Desarrollar la función F (*> v ) = -

V

en el entorno del punto M o (l, 1), hasta las derivadas terceras in clusive.


3U

5. D esanollar aplicando la fórmula de Taylor las siguientes funciones en los puntos indicados a )F (.T fp ) = (5 r + y ) 2 en potencias de (x - f 1) e (y + 1). b )F (x,?/) —

+ xy — y2 en el entorno del punto (1 ; -2).

c ) F ( x , y ) = z zy d JF ^,?/) — 2 r¿ + y"

1 en potencias de x c (y — 1). en potencias de ( z — 1) o y.

6. Desarrollar la función F ( x , y ) = e1 Ln(l + y) en el punto (0. 0). 7. Desarrollar la función F ( z \ y ) = m s(2.r + y ) en el punto (0, 0). 8 Dada la función F { x , y) = x 2e2v calcular aproximarían imite F (1 , 1 ; 0 , 1) empleando el desarrollo de T aylor hasta kw derivadas segundas inclusivo 9.

Desarrollar F ( x i y ) = i 2are t.g?y en el entorno del plinto (1,1) hasta derivadas segundas inclusive.

10.

Si la función de producción de una determ inada empresa fue esti mada por la lev: q = 2.x\, i A

,i

donde x i y 7 ? son las cantidades de insumes variables necesarios para dicha producción. Calcular d valar apravdmada para: a) Xi = 4 ,0 1 ; x> = 9 ,0 2 b ) x : « 3 , 0 0 1 ; x > — 4.003

c) Xi = 4.02: :r2 = 1,1 comparar con lor, valores reales obtenidos por calculadora. 22.

Idem para 36

a) x i = 12,01: x 2 - 3 , 0 2 b) x x = 2 ,0 2 ; x 2 = 1,99 C) X X = 1.2: xo = 1,01

312

Cap. 6 F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C -L A U R J N PA RA.

12. vSi la función de manfla del Lien I está dada por

Vi donde 11.

es el precio de venta unitario del bien I y

de otro bien

Estimar la cantidad demandada para:

a) p i = 4 01; ;>> — 2.02 }h = 2 ,0 0 0 1

b ) p. =

c}

V\ -

2. !•;

Vi = 2 , 0 2

comparar los resultados con los exactos y clasificar los bienes. 13.

Idem para D\ — a) ■pí = 3.01; p2 ^ 0 0 3 b) p, = I 002; p¿ = 2.90 c) p, - 2.1: ]>2 = 3; 2

C a p itu la 7 E X TR E M O S

7.1

In trodu cción Recordemos quedada una función / : [a,b] —* [c.d]. puede suceder

que para t.odo z ¡ s jm b\ y todo Xo $ [a. 6|. si 1) x-i s entonces }\ x A < / (t ¿ )

(figura 124)

2) X) < X 2 - entonces f h : : > f { z ¿ ]

(figura 125)

*/2 v

0

Figura 125 Bn el primer caso decimos que / es “estricta monte creciente” cu el intervalo ¡a.bj y en el segundo caso que j es "estrictamente decre ciente” en el intervalo [a.fcj

314

Cap. 7 E X T R E M O S

Sí en cambiü sucede que, para todo S ie [a ?6] y todo Z'¿s\a, 6], es 1) X) < x.2 , resultando f ( x i ) < f { 2 '¿)

(figura 126)

2) Z) < t o , resultando f ( x \ ) > / (a ^ )

(figura 127)

Figura !26

Figura 127

En el primor caso decimos que / es “ no decreciente” en el inter valo (a, 6) y en el segundo caso de / as “no creciente" en el intervalo [a, 6). Las funciones estrictamente crccicntas, estrictamente decrecientes, no crecientes y no decrecientes se agrupan bajo la denominación corrum dr1funciones monótona*.

7.2

E x trem os para funciones d e una varia b le

También vim os en el primer curso que, dada una función en un intervalo de la recta real R o en una unión de intervalos de R , f ( z o) es un máximo rttlnhva sí y sólo si existo un entorno E ( j o ) incluido en el dominio de la función en el cual se verifique que Vire E { x o) entonces / ( * ) < f ( x o). Cuando ü E ^ o ) C D o m F /Va: : (are £7(:í:o) =* f ( x ) < f ( x o )) decimos que f ( z n ) es máximo en sentido astricto.

7.2 Extremos para funciones de una variable

3 15

Invirtiendo el .signo do la desigualdad en la definición obtenemos la definición de imniino relativo y de mínimo en sentido estricto. Estudiamos también las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos o locales de funciones derivables. Si / ( t q ) es un extremo relativo y } { x ) es derivable en X q la condición necesaria de existencia es que f ' ( z c i ) = 0 (pues si f ' ( x o) > 0 la función crece para el valor xq y si / '(x o ) < 0 la función decrece en zq ), no siendo siempre cierta la recíproca, pues puede anularse la derivada en i o sin que haya extremo en ese punto, com o en los ya conocidos puntos de inflexión. La condición suficiente nos la proporciona el valor relativo de la derivada segunda de la función en el punto: siendo f ( x o ) = 0 y

ü¡

si / " ( xq) < 0, es f ( z o ) máxim o relativo

b)

771LV. 177)0 si f " ( z o ) > 0, os f ( x o) máxim o relativo

en cambio

Geométricamente, si f ( x ) admite extrem o relativo en z

la tan

gente geométrica a la curva representativa de f ( x ) es paralela al eje X en [% ,/ (x o )]. N o d e le confundirse el concepto de extremos relativos con el de extrem os absolutos; ya que, dada una función cuyo dom inio es el inter valo \a,b] se dice que f ( x 0) es un trtáxwo absoluto si y sólo si se verifica que para todo x tal que x pertenece a (a,6¡ es /(:t (>) > / (a ), mientras que / ( x q ) es un m ín im o absoluto si y sólo si se verifica que para lo d o x tal que x e \a,6] es / (zu ) < f { x ) . Si una función es monótona en un intervalo cerrado |a, 6] alean xa sus extremos absolutos en los extremos del intervalo (ver figuras 128 y 129)

316


f (-1) m ín . a b s o lu to f (

1)

m á x . a b s o lu to

f (r c ) m ín . a b s o lu to y

m ín . r e la tiv o

7.3 Exirem os para funciones de d o s variables

7.3

3 17

E x trem os para funciones d e dos variables

Entenderemos a funciones de dos variables las definiciones de ex tremos relativas estudiados para funciones de una variable. Una función z = F ( x , y ) alcanza un m d ñ m c relativo o local en un punto A/o(xo,2/o) de su dominio, si para todo (£,?/) de un entorno de M o se verifica que F { x , y ) < F ( x 0,y0) « • F ( s , y ) ~ F ( x < ¡ , y0) < 0

(7.1)

Entonces: Se dice de zq = F ( x o, j/o) ^s máximo relativo de la función F o que (io , Vo, F(xo> yq) ) es punto máximo relativo. Análogamente, en las mismas condiciones F alcanza un m ínim o relativo o local, si F ( x , y ) > F ( xq , 7/o) <=> F ( x ) y ) - F ( x 0, yo) > 0

(7.2)

sn = F ( x o . 2/0) se denomina mínimo local o también en este caso (x 0, yo i F fi'o i yo)) sc 1lanía punto mínimo local. Veamos las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir se para la existencia de extremos relativos o también llamados libres, en un punto de una función de dos variables. a)

Condiciones necesarias. Dada una función z = F ( x ¡ y) que

admite derivadas parciales en un punto Mo (xo, ?;o) interior a su dominio, para qne la función admita máximo o mínimo relativo en F ( x 0> i/0>, es necesario que Fí(xo-Zfo) = 0

y

F l(x o ,^ ) = 0

(7.3)

o sea: “las derivarlas parciales de la función en ( t o , 2a>) deben ser nu las” ; ya que considerando la función de una variable F (x,i/ q ) = c?(;r) (interceptando la superficie funcional con un plano y = yu constante); si fuera g ' ( x 0) — F'x {z,ya)\I=X0 = F'x {xo,yo) > 0 la función sería creciente en (xo, J/o) y P or consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno habría valores mayores que F ( x o , y o ) a la derecha y menores que F(xo,?/o) & la izquierda. Igual mente si F l ( x o tyo) < 0 la función sería decreciente y tampoco habría

318


allí extremo relativo. Queda como úiáca alternativa que F ¿ (io ,y o ) = 0 . El mismo razonamiento, al interceptar la superficie funcional con un plano x = z 0 (constante), nos conduce a h'(yty) = EJ(eojÍ/o) = 0. Para el caso de una función diferendable, las condiciones (7.3) significan geométricamente que el plano tangente a la snperfide repre sentativa do F ( x , y ) en el punto [xoj2/oi-F*(ô>Vo)¡> paralelo aí piano X Y , o sea horizontal (figura 130) . En efecto, sabemos que el plano tangente a una superficie en tul punto (xo>!/o, =o)> tiene por ecuación s - ZU = F x\«c, ( £ - * o ) + F y\ „ o (y - yo) que se reduce (introduciendo (7.1)) a z -¿o = 0 o sea, z — zo — etc , que es la ecuadón de un plano paralelo al plano X Y (comparar con (1.59), pág-S&J.^é)

L a recíproca de las condiciones (7.1) no siempre es cierta, ya que puede ocurrir que en un punto se verifique (7.1) sin que tenga allí extrem o relativo.

P o r ejemplo, la función z = x 2y3 en el

7.3 Exirem os para funciones de d o s variables

319

punto (.x,.x*o) = (0 ,0 ), satisface las condiciones (7.3) pues ¿ i (0 ,0 ) = 0 y 2 '(0 . 0 ) = 0, admitiendo, a 0, mientras cine com o función de dos variables no admite ni m áxim o ni m ínim o en el origen

Si en nn punto M o ( x ( , tyo) se satisfacen las condiciones (7.3) la función tendrá máxim o relativo si la superficie queda por debajo del plano tangente (figura 130/a), tendrá m ínim o relativo si la superficie se encuentra por encima del plano tangente, (figura 130/b) y no habrá ni máximo ni m ínim o si la superficie atraviesa al plano tangente, en este caso el punto ( 1 0 , yo, F ( x o , y o)) se denomina punto de ensilladura, por ejemplo en la gráfica de z = x 2 — y 1

320


Aclaremos también que una superficie que no esté dada por una ínno ion difetenciablo, puede admitir extrem o relativo en un punto y care cer de plano tangen* e en dicho punto; como ocurre, por ejemplo, con la fondón z = ■t \/x - + y -. Ver gráfico en el capítulo 1. Según lo expresado, para determinar los probables máximo y mínimos de una función z = F ( x i y), comenzaremos por hallar los valores de x c y que anulan las derivadas parcitiles primeras, resolviendo el sistema constituido por las ecuaciones F¿(xQ,yo) = 0 y P v (xo,yo) = 0. Tendremos un cierto número de soluciones (tft, f/i), (22>'f/2)> Js., yn) llamándose a los puntos correspondientes a las mismas, punios CT’/t'COS o estacionarios. En cada uno de ellas la función puede alcanzar o tio r-vt remos relativos Pera saberlo debemos estudiar el comportamiento fie las derivadas segundas, constituyendo las condiciones suficientes. b)

Coi « t i d on es suficien t es.

P ara hallar bis condiciones sufi

cientes consideramos el desarrollo de Taylor (ver 0.3) en el entorno de un punto ciítico, hasl a las derivadas segundas inclusivo: F { v , y ) = F (x o ;?a>)+ +5

+ ^ (z o ,Z / o )] +

+ 2 M F ¿ t ( Xo,y (t) + k * I % ( x a,yoj] + T , ( x , y )

S¡ d punto ( /<0 i Ví\) es un punto crítico, o sea en él se cumplen las con rliciones necesarias pata Inexistencia de extremos relativas (anulación

7.3 Extremos para funciones de d o s variables

321

simultánea de las derivadas parciales), entonces la primera expresión eniré corchetes del desarrollo anterior se anula y pasando al prim er m iem bro F (x o j 2/o) resulta F [ x , y) - F { x 0,yo) = + ^ [ h i F^x { x Q,y0) + 2hkF^'v ( x 0, y o ) + + k 2F ’’y( x 0, y c ) } + T 3( x , y )

(7.4)

Si en F ( x o , y o ) hay im máxim o relativo, según (7.1) debe existtr un entorno de (¡tq, j/o) en el cual la diferencia que figura en el primer miembro de (7.4) será menor o igual que 0 mientras que si hay un m ínim o relativo, dicha diferencia será mayor o igual que 0 en un entorno de ( i o . í/o)• Estudiar el signo de la diferencia que figura en el prim er miem bro equivale a estudiar el signo de la expresión entre corchetes, que figura en el segundo miembro, y a que

1/2

es positivo y T 3 (x, t/) tiene un valor

despreciable para h = z ~ x o y k = y — yo suficientemente pequeños para puntos próximos a (x*oi 2/o)Para simplificar las notaciones indiquemos con: R la expresión h 2 J^'x (¡ro>2/o) +

2 h k F " y {x Q) yQ)

+ iz¿ F¡Jv( x 0l yQ)

A el valor de ^ (z t u f/ n ) B el valor de F ”v (zo,yo) C e) val01 de i ^ ( x o , 2A>) entonces, según (7.4): R = h2 A + 2 h k B + k - C expresión que (para A

7 ^ 0),

podemos escribir así:

h?Á2 -f 2 k k A B + k ? A C ~

A

si completamos el trinomio cuadrado perfecto en el numerador, sumando y restando k2B 2 logramos 0 ( h A + k B ) 2 + k2A C - k 2B 2 . R = ■------------o también

322


E l factor A C — B'2 que indicaremos H ( z n ,y o ), recibe el nombre de hessiano de

en (ojo,í/o)i puede expresarse en form a de deter

minante fvincioii.il y según las notaciones anteriores es

(7.6)

O sea, H (x n ,ij o ) resulta igual al valor de! determinante formado con las derivadas segundas de la función especializadas en (xo> 2/o)« Recordando que, si una función es continua y distinta de cero en un pinito, existe un entorno del mismo en el cual la función conserva el signo que tiene en el punió .se infiere que si las derivadas segundas son continuas en (£o,t/o), H ( x o , y c ) es tam bién función continua y si además es //(x0, r/f>) distinto de cero, existe un entorno de (x Qi ye) en oí cual se conserva el signo de H (x ^ ,y o ). Analizando (7.5), observarnos que el signo de R (por ser (h A + k B ) ‘2 y & siempre positivos), solamente depende de A y de H. Pueden presentarse los siguientes casos: 1)

Si

7/0 )

> 0, el numerador de (7.5) es positivo y el signo de R,

será el signo de A ; cualesquiera sean h y 1c. Por io tanto, si

H ( z o , y o) > 0

A < 0

F ( x Q . y o ) es un máximo relativo

A > ü

F (? o ,

yo)

wi

m ín im o rd a fiv o

(Pues el signo de R coincide con el signo del 1er miembro de (7.4)). Recordemos que A es E"x (.ro, yo)2)

Si Í I ( v o , !Ai) < ü, el signo de R depende de li y de k, por lo tanto no existe entorno en el cual se consen'e el signo de R (y por lo tanto el signo de 7J (x , ?/}). Estas variaciones de signo para distintos valores* de las incrementos, nos indican que si í/(xo, ?yo) < 0, en (x o ,y o ) tío hay máxim o relativo, ni mínimo relativo. Se dice que existe punto de ensilladura en ( x D,i/ o ,F lx o , y c )) cu) el cual el plano tangente atraviesa la superficie funcional.

7.3 Extrem os para funciones cíe d o s varíabíes

3)

323

Si I I ( t q , yo) = 0, estamos en el caso 1i ainado caso dudoso, púas para estudiar la existencia de extrem os habría que analizar los otros términos del desarrollo de Taylor, que implicaría analizar las derivadas de orden superior o estudiar el com portam iento do la función en un entorno del punto.

Observación: N o debemos confundir los extremos relativos es tudiarlos con los extremos absolutos. Se denomina máximo absoluto de una función z = F ( z . y ) en un conjunto S en el cual está definida, a un valor F (r .^ t yo)\ si y sólo si para to d o (ce, y), ( i , y) € 5 = ^ F ( x o, yo) >

v)

o sea el máximo absoluto es un valor tal que, si existe, no es superarlo por ningún otro valor de F en S. A jí dogam ente se define mínimo absoluto a nn valor .F(.ru.i/u) si esto valor no supera a ningún otro valor de la función en un conjunto S C en el dominio do F\ o sea, si para todo (,r. y) { x , y ) C S = > F ( x 0,ya) < F ( x , y ) Análogamente puede definirse m áxim o y mínimo absoluto de una función F en todo su dominio.

E jercicio 119 Hallar los extremos relativos de la función ~ = x * + y2 — 4x + 6y + 25 Solución. Siguiendo los pasos indicados: 1) Hallamos las derivadas parciales, en este caso z

£ ' =

2x - A

< = 2 y + G 2) Las anulamos y como para que exista extrem o deben anularse si multáneamente, resolvemos el sistema que resulta ( 2x-4 = 0 ^ [

2y + G = 0 ^

x = 2 y = -3


324

En esíe c¿Lsu es inmediato que el punto crítico es M )(2 , 3)

Calculamos e) valor del hessiano en dicho punto, para ello - 2 -> z " t {2, - 3 ) = 2 4 'v " 0 ^ 4 ' s( 2 , - a ) = < a ( 2 , - 3 ) = 0

Luego

H (2 ,-3 )= | l

° |— 4 > 0

por consiguiente, ex L íe ex I.remo. Corno, además , 1 - < r (2, - 3 ) = 2 > 0

poi consiguiente, existe mínimo. 2(2. - 3 ) ~ 2- + (

3)- - 4 .2 4 6 ( - 3 ) 4 25 =

= 4 4 9 - 8 - 18 4 2 5 = 38 - 26 = 12 luego el mínimo es o) punto (2. -3, 12) E je r c ic io 120 Hallar los extremos relativos de la función z = x* + i f - 3.r S gÍu ':ujt-. Siguiendo los pasos indicados, encontramos i)

3)


325

y - O L u e g o las d os s olu cio n e s (1 .0 ) y

(-1 .0 ) c o n s titu y e n lo s p u n io s

a ú i c o s J\'h y A P , r e s p e t iv a m e n t e .

3) z"

= i)X

4 , = o

P a r a A/; (1 ,0 )

", C

^ fl.

/ / (]. 0 } — j ^ Com o

/y "1/1/

^ | = 12 > 0 => o x is le e x t r e m o

A — z"r (). 0} r - fí > 4) 2 Í 1 . 0 ) =

q.

~T./

1 -rí)- 3

=

0

existe mínimo e n

F(\, 0 )

2

El punto mínimo os (1. U, -2} Para AI‘¿ ( ~tt (~ 1:0}

1,0)

— ~ íi;

;",(-l,0 ) = 0;

4 (-l,0 ) = 2

no existo extremo, hav punto de ensilladura en (- 1 , 0, F {-1 . 0 )) E j e r c i c i o 121

Hallar los extremos relativos de la función 3zJ - -

—

S olución

l ) 4 = 3 r - 2,/ - 7

2 x y -i- y 1 -

7 x + (>y

326


o sea 3x* — 2y —2x + 2y

=

=* 7 -6

Aplicando la regla de Cramer: -2 2

7 1 -6

V=

3 -2

-2 2

3 -2

7 -6

3 -2

-2 2

1 4 -1 2

2

6 -4

2

- 1 8 + 11

-4

6 -4

2

El punto crítico es A f i ( l , —2). o1! _ '> . W “ /r — 0 * H { 1 ,- 2 ) =

_ _o "* á 3

-2

'2

2

_ O L

= (3 — 4 = 2 > 0

existe extremo

'xx 0 >“ 2) = 3 > 0 => existe m ínim o relativo en F ( 1, - 2 ) 4) ~(1, - 2 ) = —19/2. E l punto mínimo es (1, -2, -19/2) E je r c ic io 122 Hallar los extrem os relativos de la función =- y

+?/ + * V

Solución 1) ; ' = * • * + „ '-’y = ' h l + T 2)

x- + y

=0

(1)

2y + x

—0

(2)

D e (1) y = -x-

(7-7)

7.3 Extrem os para funciones de d o s variables

3 27

Reemplazando en ( 2 ) - 2 x ? H- x = 0, 2x ¿ - x = 0 x ( 2 x - 1) = 0 = Reemplazando estos valores en (7.7), resultan Vi ^=0 ; í/2 = Los puntos críticos son M (0 ,0 ) y 1/2; -1 / 4 ). Observar que son los únicos puntas, cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente (1 ) y (2). 3)

— or

• -ry = 1 • —9 '— ^ > “ yy — ¿ i

para M fO .O ) "* (0 ,0 ) = 0

;

c (0 ,0 ) = 1 ;

< y(0 ,0 ) = 2

Luego 77(0,0) =

0

1

1

2

=

-1 < 0 = *

no existe extremo, hay punto de ensilladura en (0, 0, 0). P ara M * (1/2,

1/4)

rrx (l/ 2 , —1/4) = 1 ; < , (1 / 2 , - 1 / 4 ) = 1 ; < ( 1 / 2 , - 1 / 4 ) ~ 2 Li icgo 77(1/2, —1/4) =

I 1

1 2

= 2 — 1 = 1 > 0 ^ existe extrem o

como z” T, (1/2, —1/4) = 1 > 0 => existe m ínim o relativo en F (l/ 2 . —1/4) 4)

z (l/ 2 ,-l/ 4 ) = - ¿ El punto m ínim o es (1/2, -1/4 , -1/48)

328


E je r c ic io 123 Hallar los extremos relativos de la función F í x , y ) = { x - ? / ) '1 + f a - l ) 4

Solución. F L = 4 (x -v )3 ! ‘l = - 4 ( z -

1/)3, +

4(y - l ) '1

A(x — y ) 3 - A ( x ~ y ) * + 4 ( y - l Y

=0

(1)

= 0

( 2)

De (1) >• - y ) = o

(7.8)

Reemplazando en (2) y - 1 = 0 =* y = 1 Reemplazando en (7.8) 1 = 1 Luego el punto crítico es

1,1)

3) F ';. = i2 ( . x - i / ) 2 Fx “'v

" -I2{x-y)2

F J = 1 2 (X - y ) ' + 1 2 (y -l)En el punto (1,1) ^ ( 1 , 1 ) = : " (1 ,1 ) = < ' (1 , 1 ) = 0 Luego

7 í(l,l) =

0 0

0 o

= 0 ^ - caso dudoso.

Pero en este ejem plo podemos analizar los valores que toma la función en un entorno del punto (1, 1) pues (?: - y )A es siempre > 0 e (?/ — l ) 1 os siempre > 0 entonces: F { x i y) = (x — y) 4 + (y - l ) 4 es

7.3 Extremos para fun dones de d o s variables

329

siempre > O siendo su valor mínimo F ( l , 1) = (1 — l ) 4 -i- (1 ~ l ) ' 1 — 0 en consecuencia en el punto (1, 1, 0) la función tiene un punto mínimo local y a su vez .F (l, 1) — 0 es mínimo absoluto. E je r c ic io 124 Hallar los extremos relativos de la función z = z 4 + y* + x 2 + y* Solución i) 4 = 4a:3 + 2 x = 0 4

= V

+

2y

= 0

4i 3 + 2 e

=0

(1 )

V + 2 y

=0

(2)

D e (l) 24 +

x

= 0 = > i (2 i 2 + 1) = 0

La tínica raíz real es y = 0 .. M q( 0 ,0 ) único punto crítico.

como ¿£x (0 ,0) = 2 > 0 =*• existe m ínim o relativo en F ( 0 , 0). 4)

4 0 ,0 ) = 0

el punto mínimo es (0, 0, 0)

E jercicio 125 Hallar las extrem os relativos de la función

z

4 x 2 - 1(ixy +

y* + 161/2 - 12y + 5

(7.9)

330


z'x = 8 z — 16j/ = O = —16 a; + 3 1/2 + 32 y - 12 = 0

8 x — 16?/

5= 0

(1)

- I 6 x + 3?/2 + 327/ - 12

= 0

(2)

D e (1) &x = 16j/ => —&r = —16?/ ^ —1 6 i = —32?/

(7.10)

Reem plazando en (2) —32y 4- 3y5 + 22y - 12 = 0 =í- 3y2 - 12 y2 = 4 =>• y = ± 2

(7.11)

Reem plazando en (7.10) 16z = ± 6 4 = ^ :r = ± 4 o sea, M i (4 ,2 ) y

4, —2) son los puntos críticos.

3) < ', = 8; P ara

=

< , = 6 y + 32

4,2) < , ( 4 , 2 ) = 8 ; 4 'v (4 ,2) = - 1 6 ; ^ ( 4 , 2 ) = 44

H ( 4 , 2) =

8 -1 6

-1 6 44

= 352 — 256 = 96 > 0 =?■ existe extremo,

como -£ *(4 ,2 ) = 8 > 0 ^ existe m ínim o relativo en F (4 , 2). P a ra M 2( - 4 , - 2 ) z ” x { - 4, - 2 ) = 8 ; z
-1 6

-1 6

20

«

-9 6 < 0

no existe extrem o, hay punto de ensilladura en (-4, -2, F(-4, -2 ))

7.3 Extrem os para fu n d o n e s d e d o s variables

331

4 ) : ( 4 , 2) = M - 128 + 8 + 64 - 24 + 5 = 11 E l punto m ínim o relativo es (4, 2, 11)

E je r c ic io 126 H allar los extrem os relativos de la función = = * • ' + y 1 - 4a - 108y + 1

1)

2) 4 i':i — 4 = 0 => x 3 — 1 = 0

2

= y i

x :i = 1 (raí?, real)

4y:<- 108 = 0=?- y 3 - 2 7 = 0

=> y :l = 27

y = ^57 = 3

(raíz real)

es d único punto crítico

3) = L = 12*'J ; 4 ' v = 0 ; < v = 12y1 < , ( 1 , 3 ) = 12 ; z**V " (1 .3 ) = 0 ; < ' ( 1 , 3 ) = 108

an u o

12

0

0

108

= 1206 > 0

existe extremo.

— 12 > 0 => existe m ínim o relativo en ,F (1 ,3 ) ~ —245

4)

E l punto m ínim o relativo es (1, 3, -245).

332


E je r c ic io 327 Hall;ir las extremos relativas de la función F ( x yy ) = ¡ r + i/ N - — + — Solución 1) 48

_

i5 = o

*■ 3 r ‘ - 4 8 - 0

.T'1 = ] 0 ^ 3: ¡= v T 6 = ± 2

(raíces reales)

3?/ - ¿ | = 0

=* 3r/'5 - 48 = 0

= Hi =* y U v ^ 6 = ± 2

(raíces reales)

Los pinitos críticos son cuatro pues en cada ecuación hay una sola incógnita t v.nhx V a c y en la 2Ha en consecuencia las soluciones se combinan alcato ñámente obteniendo 717,(2,2): M 2( —2,2); 3 )F ^ = fi + ^

M 3(2 , - 2 );

M , ( - 2 ,-2 )

;

Para A fj(2 ,2 )

F ;2 ) = 2 4 ; H { 2, 2) =

F ¿ ( 2 , 2 ) = 0 ; J% (2,2)«24

24

0

0

24

com o F " x ( 2 ,2 ) = 24 > 0 ^

= 570 > 0 ^ existe extremo.

existe mínimo relativo en F ( 2 , 2) = G4.

Para A/2(~ 2 ,2 )

F ;i (-2 ,2 ) = - 2 4 ;

^ (-2 ,2 ) = 0 ;

F " ( - 2 , 2 ) = 24

333


24

O

O

24

= -5 7 6 < O

no existe extrem o, hay punto de ensilladura en (-2. 2, 0) Para A/3( 2 , - 2 ) F '; ( 2 , - 2 ) = 24 ;

F ; y (2, - 2 ) - 0 ;

' 94 H('¿, —2) = ; q

f)

_U 24

F " (2 ; -2 )

•24

= -5 7 0 < 0 ^

no existe extrem o , hay punto de ensilladura en (2, -2, 0) Para M ¡ , ( - 2, - 2 ) F * * ( —2. —2) = - 24 ;

F (- 2 ,2 ) =

-2 4 0

0 -2 4

como 2, —2) = —24 < 0 ^ F ( —2,2) = -0 4 .

(--2, - 2 ) = Ü ;

— 576 > 0

F ^ ( - 2 , - 2 ) = -2 4

existe extremo

existe m áxim o relativo en

4) ; (_2,-2) = S + 8 + ^

+ y

=fi4

E l punto m ínim o relativo es (2, 2, 64). ~ ( - 2 , - 2 ) - - 8 - 8 - ^ - y

= -M

E l punto máxim o relativo es (-2, -2, -64) y existen 2 puntos de ensilladura en ( —2 ,2 .0 ) y (2, —2.0). E je r c ic io 128 Hallar los extrem os relativos de la función í = j-a - l'2xij + 8!j3

334


Soluciúv 1) '

= 3x2 - 12y

s' = -12a; +24.)/ 21 3.r2 -1 2 j/ = 0 —12a: + 24t/2 — 0

-í - i 2 - 4 !/ = 0 = * - i + 2;/3 ^ ()

(1) (2)

D e(l) -

4y = - x 2 =s> y = —

(3)

Reemplazando en ( 2 ) - x 4- 2 | y j ^ = 0 ^ - ; c + ^ =

Q ^ ; r f - l + í - ) = 0 = * x ,i = 0 (7.12)

De

o sea *2*2

(7.13)

Reemplazando los valores do (7.12) y (7.13) en (3 ) obtenemos respectivamente* ?/i = 0 ; y¿ = 1. Los pinitos críticos son M l (0 ,0 ) ; A i* (2 ,1 ) 3)

< x =6z;

< , = -12;

< ',- 4 8 7 /

Paca A L (0 ,0 ) « 0 , 0 )- 0 ;

< ,,(0 ,0 ) = - 1 2 ;

7 í(0 ,0) —

O

-1 2

-1 2

0

< v( 0 , 0 ) - 0

= -1 4 4 < 0=>

no existe extremo, hay punto de ensilladura en (0, 0, 0). Para M-¿{2 , 1)

7.3 Extrem os para !unciones d e d o s variables

^ ,(2 ,1 ) = 12;

z'ry( 2 , 1) == —12 ;

11(2 ,1) — I _ ^ 2 ^

335

="„(2 , J ) = / I S

= 586 — 144 ^ 432 > O =>

existe extremo.

Com o s "t (2, 1} = J2 > O 4)

existe mínimo relativo en F { 2 , 2).

2 (2 ,1 ) =r 8 - 2 4 + 8 - - 8

E l punto mínimo relativo es (2, 1: -8). E je r c ic io 129 Hallar los ex liem os relativos de la función r = j ; 1 + ■>/ - 2x2 + 4x y - 2 y¿

Solución 1) ^ 4x3 ^

- Ax + Ay

- 4?/ + Ax - Ay

2) 4 r * - 4 x + 4?/ 4y 3 -i- 4.x — 4?y

= 0 =5 0

(1) (2)

s:3 - Ax + Ay ?/ + 4 x — 4y

= 0 =0

(8) (4)

Su mando (3 ) y (4) X* + y* = 0

x3 = - y *

= -y

D e (1) x * — 2x — i ) ^ x ( i 2 — 2) = 0 Si x =

0 =í> j.'i

—0

Si x

0 ^ ^:2

— 2 = 0 ^ X ’ —2 ^ 7; = ±\/2

Según

(7 14)y-¡= 0; m = -\/5;

t-

?/3 = -t \/2

(7.14)

336


Las únicas soluciones reales del sistema son A íi{0 ,0 ); que constituyen los puntos críticos. 3)

Para M ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) = - 4; # (0 ,0 ) =

4

z” it(0 ,0 ) = 4 ; 4

-4

)

¿ " / (1 0 ) = - 4

= 16 — 16 = 0 => caso dudoso

(A q u í puede real izai se un estudio similar al del ejercicio 123) P ara M-\ (%/>, - \/2) < ' , ( V 5 , - V § ) = 20; # (v ^

-^ ) =

:;;(A -\ / 2 )= 4 ; 20

4

4

20

< v ( V 5 , - v ^ ) - 20

= 400 - 16 = 384 > 0 =»

existe extremo. Como z "T (x/5, — v/2) = 20 > 0 -> existe mínimo relativo en F(y/2; —V^*) Para A/3( - v f t ^ (-v^ ,/ 2 )^ 2 D ;

< y (-v^ ,v^ )= 4 ;

# ( - v^> v ^ ) =

20 4

4 20

< ?/{ - ^ 2 ,

- 20

= 384 > 0

existe extremo. Com o Z j t ( —s f i . s j i ) = 20 > 0 ^

existe mínimo relativo en

F (¿ 2 -, - A ) . 4) ; ( V 2 , - V 5 ) — 4 + 4 - 4 - 8 - 4 = -8 . Un punto mínimo relativo os (\/2, —^¡2, —8) ; ( - \/2, v/2) = 4 + 4 - 4 — 8 — 4 = —8 E l otro punto mínimo relativo os {-\/2, \¡2t —8)

7.4 Aplicaciones económ icas

337

7.4

A p lica cio n es económ icas

7.4.1

D iscrim in a ción d e precios

Consideremos un oferente de dos artículos I v I I que se com porta mono pólicamente (es decir que considera que sus ventas dependen únicamente de sus propios parámetros de acción y del comportamiento de los consumidores, independientemente de los parámetros de acción de otros oferentes) y tiene como ob jetivo m axlm izar su beneficio y discri minar los precios de salida de cada artículo. El plan de costos de la empresa se resumo en la función

C

= 3 4- 2xí

+

2 t2

siendo x\ y x>¿ la cantidad demandada de cada artículo 1 y I I respccliramente. Supongamos que dicho oferente establece los precios do venta cu función de la cantidad demandada según las leyes do salida-precio dadas por: pi = 12 — X ] ; //> = 20 — 3?>j siendo p\ y salida o venta.

los precios unitarios de

B ajo estas condiciones se desea determinar: a) Las cantidades de los artículos I y I I que corresponden al beneficio total máxim o (cantidades óptimas para cada mercado) b) E l benefic io total máximo c) La relación existente (en la posición de óptim o beneficio) entre los precios y las elasticidades de salida (o demanda) pnra cada artículo.

Sohiri.ón Como hemos definirlo anteriormente el beneficio total se obtiene como la resta entre ei Ingreso y el costo total

b

~ ¡ -

c

El ingreso en la venta de un artículo es ol producto del precio umt.aik) d e venta por la cantidad demandarla. Entonces el ingreso producido por la venta de estos das artículos está darlo por: / = p { X i + p 2x>¿

pot las leyes de salida - precio do este oferente:

j,L = 12 — a'i

p2 — 20 — -lx-2

(7.15)


338

Reem plazando obtenemos: / = (12 — X i )

Xy

I = l2 ‘ xi — x ] +

+ (20 — Zxo)

20x 2 -

*2

3^2

si el costo to ta l está dado por C — 3 4- 2a:1 + 2x-> entonces B = 12:rx - x? 4- 20x 2 - 3x^ - (3 + 2*] 4 2x2) que es la función a maximizar. Para ello hall amas los puntos críticos: B'X} = 12 - 2a'! - 2 = 0 Bx ‘ , = 20 -

6x 2 - 2

= 0

resolviendo xy = 5 ; x 2 = 3 Calculemos el hessiano: -2

H ( X í ,X2) =

0

0 -

6

=

-12

>

0

y

2? "

Tl

= -2 <0

en nuestro ejem plo condiciones 0 y B ” { X) (5 .3 ) < 0 Es decir que las cantidades demandarlas que o p tjiw a n el be neficio son Xj = 5 y x>¿ = 3 cuyas precios de salidas son 7 y 11 respec tivamente, siendo el beneficio total máximo: i? (5 ,3) = 7 . 5 + 1 1 . 3 — C (5 ,3) utilizando la igualdad (? ? ) resulta:

27(5,3) = 35 + 33 - (3 + 2 . 5 + 2 .3 ) = 4'J Conclusión: E l beneficio to ta l máximo (49) se obtiene cuando las cantidades demandadas de los artículos 1 y I I son 5 y 3 respectivamente, cuyos pre cios unitarios de salida so fijan en 7 y 11 unidades monetarias. c)

Calculamos las elasticidades de salida:


339

Despejando de (7.113) resulta:

Xi -

12 - p, ;

A x-i =

df>>

20

v¿

3

3

------

dx. ; ~ -

dp-2

-I

—

3

P o r lo tanto: =

_ ]h

E x2

z i dpi

X\

siendo x x - 5 ; P) - 7 *2 = 3 ; 7>2 = 11

En consecuencia el bien I es típico. Ex i

= 7/.! = 1 , 4

= P2 f ~ 1 X’2 ¿P2 siendo

£2

= 3

2'2

3

= n

En consecuencia el bien I I es típico pues: Ex-¿ =

7¡2

= l,22

Ep-2 en nuestro ejem plo tia >

7?2

pues 1,4 > 1,22 y siendo p\ ~ 7 y

p¿ = 11 esto implica que en la posición de óptim o beneficio se carga el precio más alto en el mercado con menor elasticidad de salida (en nuestro ejem plo el correspondiente al segundo artículo II) C o n r i 'j s t ó n :

“ E l monopolista que discrimina precios carga el precio más alto al morcado con menor elasticidad de salida’1 77l

>

7b¿

=>■ p x

<

p 2

340


E j e r c i c i o 1: U n a c iiip ro s a p r o d u c to r a d e a lu m in io s o p a r a s u s c o m p ra d o re s en d o s m e r c a d o s in c o m u n ic a d o s e n tr e s í d o m o d o t a l q u e x'i e s la c a n tid a d d e a lu m in io d e m a n d a d a p o r e l p r im e r m e r c a d o y :/ e s la c a n t i d a d d e

¿

a lu m in io d e m a n d a d a p o r e l s e c u n d o m e r c a d o , y e l p re c io d e ve u f a d e la to n e l a d a d e a lu m in io s e r á p a r a el p r im e r m e rc a d o y p a r a c) s e c u n d o

pi

m e rc a d o . L a s leyes d e d e m a n d a p a v a e s t a e m p r e s a e s t á n d a d a s p o r

xi - 2 0 - 2 p: (m e r c a d o 1 u = 2 8 - ip-z (m o rc a d o 2 ) d o cosí o s es: C = 2 , 5 -t- G (^ i + x->)

((A ))

-2

S u p la n a ) D is c r im in a r p re c ie n y c a n t i d a d e s p a r a o b te n e r b e n e fic io m á x im o . )>) H a lla r e la s tic id a d e s d o s a l i d a y c o n c lu í i e c o n ó m ic a m e n te . A cln rn c/ Ó 7 i:

D e s p e ja n d o

A)

j>x =

10 — ¿ X ] ;

p-¿ =

7 —•{

^

B't] -

1 0 - .c, - f j

F,'= 7

i r. ,

- (2 ,5 + 0(2, -| ,T2) }

= ()

( x-; ; 2 ',) = { 4 2 )

0 = 0 -1

0

0 a . , ^ ) = -1 < 0 £ ns.lX(4 . 2 ) = i», b

con

p : — 8 . p> — 6 ; Tj.

£ -n Epi ¡ ja r a

—4 y

x¡ dp\

_ P ±t_o) i,

=
»i, = 4

F.i'j

pj

Ep-y

r.2 dp-2

(irj p-¿ X2 K

341


p.na x ] = 4 y

j >2 — ü .b

resulta: 2

Ep> v2

- 12,5

P o r lo tanto:

< '//2 => 8 > f). 5 verificarnos reemplazando por los valore* obtenido-; 4 < 12, 5 ^ 8 > ü. ñ Concivsiór:

se carga el m ayor precio al mercado do m enor elasticidad

7..{-2 P ro b le m a de u n a e m p re s a de p ro d u c c ió n m ú ltip le E je m p lo 1: Consideremos una empresa productora de dos bienes A y B en circunstancias d e competencia perfecta, los picaos se m antienen exógenos (no dependen de la demanda ni elni volum en de venta de otro factor) siendo Ph y p b los precios u nitarios d e cada bien respectivamente y qn y el nivel de producción. Asim ism o suponemos que la fu ación d e costo de la empresa es: c = 2 % 4
Se i lesea Tmcximi/ar el beneficio considerando:

— 12 y

p¡,

= J8

Sotvdón

• C = ?.v/tt + Vb
f \

B\u - pñ - 4(}n - q b r z [ ) =- pn - q * - Aqh ■=ü

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

í

-loi¡

' j
-+Aqh

- p,t

- />,,


342

4 Og ~ Pb
/. ni pn = 12, pb = 18,

15

= 2,

= 4 => B ini« ^ 48 pues

-4

-1

•1

- 4

B'

= ( —4 ) ( —4) — 1 — 15 > 0

(12.18) = - 4 < 0

Ejercicio: Considerando ol mismo enunciado anterior resolver para ol caso do C = 2q\ 4-2(7?

E je m p lo 2: Supongamos una empresa productora de dos bienes en un medio do m cicado monopólieo (los precios no varían con el volumen de venta (producción)) ni con las condiciones de demanda que presentan los dos bienes). Si las funciones do demanda son: qx = 40 " 2pi + p2

q2 = siendo y tu í! vos pues

p-¡

15 4- p i

*- ?>2

los precios do salida de ambos bienes (son bienes susti > 0)

si el costo total esta dado por C = q\ 4 q tq¿ 4 y? rnalunizar el beneficio total dando Ues cantidades y precios qu e lo deíonninan. S o h ia Ó 7 t

Si

q{ =

40 - 2pi 4 2p2

(¡2 =

15 4 pi — j>>

despejando y reemplazando ro-

sulta: Pi =

55 - q\ - q2

P'2 -

70 - q\ - 2q2

Si B = C - I * = q\ (55 • q x - q-¿) 4 q> (70 - q¡

2q2) - (qf 4 q {q2 4
R(
-

4qx = 0

- 70 ' 3í/i - ($q¿

= 0

343

7.5 Extrem os condicionados

resolviendo el sistema: 4 q- + 3r¡2 3(/1+f)(/2

m

8 ,f i -

= 55

= 70

-4

-3

-3

• G

- í ^

— 15 > O y

_ ) -

f,, 23 S' T 23 8, — 1 = - í < O

B'

=-> Beneficio máxim o es S (8 , - y ) — 488-^ — 162.G7 siendo pi = 39.1 i 3 t j ^ — 4 f;. 1 = o 6G7 los precios do salida moximizan o) Beneficio.

7 .5

E x t r e m o s c o n d ic io n a d o s

Los extremos estudiados anteriormente .se denominan relativos o libres do una función - = F { x )V)

(7-1 ti)

con variables x c y independientes, para distinguidos de los ext. i e/nos covd-icionoAos o culo dos para el caso en que las variables estén ligadas por ot.ra condición dada por: ó íj.,? / )— 0

(7 4 7 )

lo que im plica que el punto ( x . y ) adornas de ser un punto del dominio de z, debe pertenecer a la curva ó ( x . y ) = 0. Prim ero tratarem os el caso particular de funciones do 2 vatuxhlcs j

una restricción. En economía sucede con frecuencia que se tienen que determi nar extrem o" de una Luición de 2 variables, Jas cuales no son independi entes sino que están vinculadas entro sí por unacondición auxiliar (por ejem plo:minim izar

ol costo de una producción

fija en un determinado

volumen, m axim izar el beneficio para un nivel de ventas dado, etc) M atem áticam ente se considera uu cam po escalar z — F ( x , y) y otro cam po definido tam bién en el conjunto A. Sea K aquel subconjunto do A en el cual la función '¡>(x.y) es igual a una consígante C = 0 os decir: k = { ( s , ;/)

/

(T,y) C A

y

é (x ,y )

= 0 }

también llamada anteriorm ente curva de nivel para el valor k

ÍJ.


344

E i problema consiste en encontrar un punto ( 2: 1 , í/í) del conjunto I\ (que en el gráfico 131 representamos como una recta) donde la función F { x , y ) (función o b jetivo) alcance un máximo o mínimo pero de modo tal que cumpla con la restricción ai exiliar

~ 0.

F i g u r a 13 1 Las definiciones dadas para máximos y mínimos locales pero ahora restringidles sólo a los puntas del conjunto K , definido anterior mente, ríos llevan a las definiciones de extremos condicionadas. P;ira el cálculo cío dichas extremos existe

1111

criterio debido al

m atem ático Lagrange que se utiliza, en la práctica, para resolver pro blemas de máximos y mínimos condicionados y se basa en la construcción do una función auxiliar llamada función de Lagrange. 7.5. i

Método dti Lnyrnnge D ada una función z — F(n :,y ) con derivadas parciales continuas

y la ecuación é { x , y ) = 0, siendo una función de derivadas parciales continuas y no todas nulas (p or ejemplo <¡>'v ^ 0),|?ára hallar los punios críticos o estaciona! ios do F ( x , y ) que cumplen con la condición ^ ( J;i

y) =

0 se recurre a una función auxiliar L { r , y . X ) = F { x , y ) - \ \4>(x,y)

(7.18)

donde A es nn número real que recibe el nombre do multiplicador de Lagrange.

7.5 Extremos condicionados

345

Luego se hallan los puntos críticos de esta función que serán también puntos críticos de la función restringida. Es decir: Supongamos que exista un punto (x 1} yx) y un número real X* tales que: ■ £ 4 ( z i , Z / i , A * ) = K ( x i , l / i ) + *-’ P'r ( x i
(7.19}

L'v{ x u V u X ) = F¡,(xi,Vi) + A V ^ (i], 2/i)

(7.20)

=0

=0

í/ x fc i- V i.* '* ) =

(7.21)

entonces (j:l , y \) es punto critico de la función restringida donde la misma puede alcanzar un máxim o o m ínim o condicionado. Demostración* Si F y
‘722) además la función F ( x yy ) restringida con la condición (x,y) = 0, puede escribirse F ( x ¡V) = F ( x J ( x ) ) = h(,r )

os decir como

una función compuesta cuva red orientada es

F \ y

->

x

Si admitimos que esta función tiene un extrem o en

x

=

x x

en

tonces, por lo visto en cálculo diferencial de una variable, h '( x i ) = 0. Aplacando la fórmula para derivación de funciones compuestas, e igualando a cero para hallar el valor crítico, obtenemos:

F I (x 1,í/,) + F y( x 1,!,1) / '( i 1) = 0

(7.23)


346

ni reemplazar la igualdad (7.22) en (7.23):

+

-0

(7.24)

Si consideramos A* = — v ; l l ' ' 1

f y i z 1 , 2/ 1

)

(7.25)

A l reemplazar la expresión (7.25) en la igualdad (7.24): (/ )

F ; ( x u V i ) + y4>'x ( z u V i ) = °

A l despejar y agrupar en la expresión (7.25) obtenemos ( 11 )

F v( x u y i ) + \'4fv ( z u y i ) = 0

A su vez el punto ( i i ? V i ) debe satisfacer ia ecuación 4>(xu V l ) = 0

{/ / / )

Llegando así a las tres igualdades del m étodo de Lagrangc que propone igualar a cero las 3 derivadas parciales de (7,19) obteniéndose las ecuaciones (I), ( I I ) y ( I I I ) antedichas. NOTA Algunos autores para la clasificación del extrem o condicionado utilizan el diferencial segundo de una función de dos variables con siderando a X fijo en el valor dicha función es la función de Lagrange. con A paramet rizado. Es decir si: L (T ,y ,\ ’ )--G (x ,y } donde x e y cumplen con ia condición <£(»,!/) = 0 criterio es: 1)

Si

S G i x . y ) > 0 => F ( x , y ) es mínimo condicionado local

2)

Sí

d~G(x. y) < 0 => F ( x , y ) es máximo condicionado local

3 47

7,5 Extremos condicionados

N o siempre resulta sencillo determinar el signo do este diferencial segundo, generalmente para establecerlo hay que clifcmciai* la condición jd eligad u ra o Lien, en muchos casos, las con di dones que el problema impone darán la clasificación del extremo. Exist.eot.ro recurso para la clasificación del extrem o condicionado, para eso definiremos: ffcssio.no oreado (7?): Constituido por el hessiano de la función de Lagrange -G (x > v ) considerando A paramct.iizado y orlado por las derivarlas parciales prime ras de la función y ) y en consecuencia: a- l dsi H (x ,j,\ ) =

a- l ¿¿ í)f.

b7l dxOy

dz

ñíL. ó
M a*

á¿ d\l

0

L 'L L"

r" xv K

°z

(i,.

Se demuestra que si ( x j , J/i) es punto crítico de la función restringida para un valor A ', os decir que auula las tres derivadas prim eras de la función de LagTange L en el punto ( x j , j/l , A *) entonces: \) SI H { x i. ?/i, A *) > O

FlX yij) es máximo condicionado local

2) Si H{X\.y\yA ') < U

F { x , y ) es mínimo condicionado local

Si 71 = ü estamos ante un caso dudoso siendo necesario un es tudio más profundo del problema (en economía este caso no se presenta casi nunca) Análogamente, para encontrar los extrem os de una función de 3 variables F ( x . y. z) bajo la condición tf>{xxy xz) — O, procedcrtnios en la misma forma que si se tratara de encontrar los extremos de la función L ( x , y , s , k ) = F { x , y , z ) + \<¡>{x,y,z) con A constante, que eliminarnos utilizando la ecuación de vínculo.

348

x.


y, Ks

Tem liemos im sistema de cuatro ron aciones con cuat.ro incóg nita: A. f

-

4 =

K. + F* XfV ' v -■■ A'*'y

=

K + aó ;

4

—0 —0

= 0 —0

=

que resuelto nos determinará los valores de que hacen m áxim a o mínima la íunción. E je r c ic io 130 Hallar los extremos de la función F ( x , y ) — x y con la condición

.r + yy — 1'2. Dar

la interpretación geométrica.

Solad/m. .Aphcamo.-. d m é ro d u d e los n m J tip lio a d o res ríe L a g r a n g c

L{xyy, X) = x y Derivando, respecto c\c x, y,

?/d-A x + \

>

l> .=

I

I ¿ = cr -V y - 12

do (1 )

(2) o sea

do

(Ó )

(0).

-h y -

12)

=o —0

(o (2)

= 0

(3)

qu e

?/ = -> x = *A

(4) (5)

x = y

«->)

en (3)

y según

X (x

A, o igualando a coro, obtenemos el sistema

i. vemos

Reemplazan rio

+

H- y - 12 = 0

‘¿y/ = 12

y =

(i

x —0 F (6 ?G) = 6 . (> — 3G

En ci pim ío (í>. G, 3G) hay ext.remo relativo

Hemos aplicado (a

condición nocesuna Pava establecer si se trata de un máximo o de un m ínim o (aunque (!ii este ejemplo es evidente), aplicamos la condición suficiente: corno G [x . y)

=

x y

X ( x -\ y

*-

12)


349

d-C = G "}. dx1 + 2 G ". c/;;d// + G ",

luCtfO = Odi'* + 2.1

i* Od¿T = 2d.rd?/

Diferenciando la condición do ligad» ira

t

(/i -f fi’/y = () - * d.i; = - ( ! ) )

(7)

+ ?y — 12. obtenemos (S)

Reomp la ¿audo (&) cu (7)

(C'C — 2dx(-dx) = -2d:r mnnero cpie será siempre negar ivo. dado que hay nn signo menos dolante cid producto de do* m uñeros positivos. O Sea

0

do donde inferimos que ol punto (fj, ñ, 3fi) os máximo (ver figura 132).

350


Dow!o ol punto de vista geométrico, contrariamente al caso de extremos relativos que valían para cualquier combinación do valores de x o y , en este caso por estar sujetas las variables a la condición x-\-y = 12, los ex Iremos condicionados estarán sobro la roerá x 4 y = 12. Como a d e m á s sabemos que, en el espacio de tres dimensiones x + y —12 — 0 representa la ecuación d e un plano perpendicular al plano X Y . cuya traza sobre el mismo es la recta x + y = 12 (ver capítulo 1, pág 37), trazamos sobre dicha recta el plano, cuya intersección con la superficie rcprc.-^ntativa do la función dada z = xy nos dará una cierta curva C (figura 131) cine como hemos comprobado tendrá un máxim o en el punto (G. 6, 36). E je r c ic io 131 Hallar los valoras de x, y, z que hacen m áxima la función

ron i a ron di ojón x •• y + z = 1, siendo todas las variables positivas. Solvcwj).. En este caso la función a extrem ar es: u = F ( x , y , z ) = x 2i / z e mientras que la condición de vínculo es ¿{XyVtZ) = x -\-y - \ - z - 1 = 0 Luego L ( x , y.

A) = r 2y l i a + X(x + i/ + : •• 1)

Derivando c igualando a c:ero, obtenemos Ix ifz^ + X

= 0

(1 )

L ',=

+ A

= ü

(2)

IL =

Gx'-’ y'1; 5 + X

= 0

{?•)

= 0

(4)

a

-

1 +

7 / + - - '

1


351

Combinando ¡1) y (2), y simplificando - A = 2 x i/ zCl — 4 x ’

=> 4x = 2y

y —2 ‘ x

(J>)

= fo:- ?/ z* -¡> 2z *= tix => z = 3 v

((»)

Combinando (1) y {3 }, y simplificando - A = 2 x y'1

Reemplazando (5 ) y (6) en (4) :v + 2x + ¿ 4x - 1 = 0 =#* 6 x -

1

es decir

^

(7)

Reemplazando (7) en (5) y en ((i) obtenemos, iespocl m ím ente

- 4 4

¡ - 4 4

l.-uegu, los tíos números que hacen máxima la función con la condición x -r y -h z ~ 1, son* l/í>; 1/3 y 1/2. E je r c ic io 132 Calcular c) mínimo de la función ] 4 n = - +

x

siendo x + y +

2

0 -

y

z

= 12. y los valores do x, y,

positivos.

St'hiC;/Ó7>.

Vi - i A ) = -

x

*f

y

1

z

h A ( .r - f y + z — 1 2 )

Derivando e igualando a cero, obtenemos ' L ',=

-y

+ a

L', L'. L\ =

- fx + A x - f y 4-

2

- 12

= 0

(1 )

= 0

(2 )

= 0

(3 )

= 0

(4 )

•¿2y'lzh

352


D c ( l ) y (2) 1 4 A= — = — a*-

y-

j = 2x pues x > 0 A y > 0

(5)

De (1) y (3) 1 9 A = ^ = —¿ =4 z = Z x pues x > 0

A y >0

(6)

Reemplazando (5) y (6 ) en (4) a' 4 2x 4

= 12 = * 6a* = 12 => x = 2

(7)

Reemplazando (7) en (5) y en (6 ) obtenemos, respectivamente y = 4

° St d

1 V ~2

4 4

9

;

2^6

1

3

6

ji~ 2

2 ~ 2 ~

valor mínimo de la función u con la condición x 4 y 4 z = 12 E je r c ic io 133 Hallar tres números positivos cuya suma sea 27 y cuyo producto sea máximo. Solución. u = F { x , y , z) = x.y.z ( x , y . z) = x 4 y 4

2

- 27 = 0

£ (*> V. 4 A) = .T.7/.5 4 A ( i + v + s - 27) Derivando e igualando a coro, obtenemos K

=

K

u. =

¿ i»

j/:

+ A

0

(1)

= 0

(2)

—

xz 4 A xy 4 A 4 v/ 4 2 — 27

(3) (4)

= 0 = 0

D e (1 ) y (2 ) - A = yz = xz

ty = x

(5 )


353

pues z no puede ser cero ya que el producto sería mínimo D e (1 ) v (3) - A = yz = xy •=* z = i

(6)

pues y tampoco puede ser cero Reemplazando (5) y (6) en (4) ! + £ + £ = 27 = * 3 i = 27 =>:/:=:9 S eg ú n ( 6 ) y ( 6 )

x ~ y = z

=5 9

E je r c ic io 134 Hallar las dimensiones de una caja rectangular de capacidad máxima, si su volumen mide 216 cm3. S o lu c ió n .

V = xyz (cm3) = F ( x , y , z)

S v p = 2{zy 4- x z + p z ) - 23.6 cm3 =

i/, 2 )

n/z, y, z ) = xy + x z + yz - 108 cm? = 0 L ( x : y,z. A) = j;í/2 (cm3) + A ( i y + x z + yz - 108 en)?)

¿; = L'. = ¿1 =

j/z + X(y + z) + A (i + í )

= 0 = 0

(!) (2)

3-y + A (x + ij) xy + x z + yz — IOS

= 0 = 0

(35

xz

(4)

De (1) y (2)

xz

vz ~x = i ^

= ^

=i- ^ ! e + ^ = x ^ + ^

xy + ?/z = xy + x z =4- x = y D e (1) y (3)

(5)

354


xy + x : = x z + y : =í- x = ^

(6)

Reemplazando (5) y (6 ) en (4)

x1

a;2 + x 2

108

=

0

=*• 3 i - =

108

Según (5) y (fi)

X = y

=5

z

= 6

Se trata entonces de un cubo de 6 cm de lado y 216 cin? de volumen. E je r c ic io 135 Determinar el plinto del plano 2x - y - 2 : = 16 más próximo al origen. Solución. d = F ( x , y . z) = + > / r 7 + ?/2 + z7

(ver cap 1.(2 ))

(p[x, yyz) = 2x — y - 2z - 16 = 0

L ( x ) y, c, A) = + y / x ‘* + y 2 + s2 4- A (2 i' - ?/ - 2z - 16) ¡J3 -

\

^ +

V/ K- + 1 ,..K 2 ry

»/

^/Tv+'Ws*

V

I/.

-

. * v / í 3 + v 2+ = *

L 'A =

2x

— y -

-

2A

= 0

w

A

=0

(2)

2A

2 z ■-16

=

n

(3)

=ü

(4)

0 y (2 ) y

~ x

\

2^Jx¡

+

y2+ z 2

y/x2 +

y- +

+*'i

7.6 Aplicaciones económ icas üe extremos I¡gados o vinculados

355

(5)

= -v De (1) y (3) \_

“

~x

— ~ " 2 N/S3 + F ~

2^ => x = —-

— ^

(6)

Introduciendo (5 ) y (6 ) en (4)

2j + Í¿ + 2 o:-16 = a ^ ^¿ - 1 6 = 0^> T¿á - 16 •r

O t

C|-p

32 9 Reemplazando (5 ) y (6) 16 a “ ” y

32 ’

c

9

Luego. el punto del plano dado más próxim o al origen os M ( 32/9: -16/9; -32/9). En esta ejeicicio de distancia m áxima o mínima la función a extremar, f ] puede considerarse como la distancia al cuadrado (en este caso f j i , y. z) = x 2 + y2 *f 2 2),esto simplifica los cálculos.

7.6 7 fi. 1

Aplicaciones económ icas d e ex trem o s ligados o vinculados Com binación d e costo m ín im o co n n ivel de producción fijo

E je m p lo l: Si ol objetivo es encontrar bes cauticlndes de factores productivos o insumos que so requieren para producir un de terminado volumen de producto q* de manera tal que el costo incurrido sea el más pequeño posible, se plantea un problema de optimización condicionada donde: si p¡ y p-> son los precias unitarios para los insumas variables X\ y X> donde el costo está dado p oi: C = p iX i + P 2 X 2 + (donde b es od costo de las insumas fijos) y dicha función casto está sujeta a la restricción


356

(siendo F la fundón de producción ) F(.?n, # 2) — q* = 0 es la ecuación condicionante $ (x U X 2 )- 0 P o r lo tanto la función de Lagrange es: L { x i,x a . A) - p i a \ -'cphX't + 6 - X { F ( x \ i x i ) - q "} hallamos los puntos críticos:

F (? i.

12 )

= q'

L* = L'r¿ «

V i-X F L 7 > 2 -A F '5

= 0

(1)

=0

(2)

L'x =

F ^ ,* ? )- q #

=0

(3)

(7-26)

i despejando A de (1) y (2 ) e igualando resulta

(7.27) v*

FL

Analizando la expresión (7.27) sabemos por lo visto anterior mente, que la pendiente de la recta de isocoste es y además en el capítulo 1, sección 8. III notamos que la pendiente cíe una isocuanta es -fr/1 entonces en (7.27) se verifica lo antedicho en los capítulos 1 y 2: que el costo variable total es mínimo sólo cuando la pendiente de una línea de isocoste es igual a la pendiente de una isocuanta (en nuestro ejemplo es cuando (¡ = r/*). Es decir “En una situación de costo mínimo el cociente ele las precios de los factores es igual a la tasa marginal de sustitución s” . Pasemos a las condiciones de segundo orden considerando (7.26) •AF2 tSi

-A F “ I;

F x¡

H = P. multiplicando la última fila por —A y el determinante por —1 / A y apli-

7.6 Aplicaciones económ icas de extremos ligados o vinculados

3 57

cando propiedades de los determinantes: F” 3-1*1

F a" iií F"

= ~A .D

F 1 ii

0

Si el costo es mínimo se demuestra que H < 0 *£=> D > 0 siendo D el determinante hessiano de la función producción orlado con las productividades marginales físicas, que en el caso del costo mínimo e ser positivo, se puede demostrar que esto últim o implica cpie en esa situación la isocuanta q = q ' debe ser extrict.ámente convexa hacia el origen tal como liemos hablado en el capítulo 1. E je m p lo 2: Determinar el costo variable tota] mínimo con el cual se pueden producir 100 pañuelos por semana si la función producción es q = x xx 2 siendo

la cantidad de horas hombre por semana y i 2 la cantidad

de metros cuadrados de tela, sabiendo que el salario es de 8 unidades monetarias la hora hombre y el rn? de tela cuesta 2 unidades monetarias Solución Dadas las condiciones del problema el casto es: C = &Ei •+ 2x2

21^2 = 100

P o r lo t ant o \a función de Lagrangc es: L ( X ] ,£ 2, A) = Sxi -f 2^2 -I- A(xi?;2 - 100) [ l ; , *

8+ *t2

=0

<

2 + A l!

= 0

K

,

-

[ L\=

1,1-2-100

(A ) =?• -

=0

-

si reemplazamos la última igualdad obtenemos:

4T| = 100 =>

-j. ' í

como X[ > 0 Xi = 5

= 25

=

—

:.x -2

= 4 j'i

358


Si X ) — 5 ^

x ¡ = 20 entonces el punto crítico es (5, 20) .

Calculamos el hessiano orlado

11 =

Ü A

A 0 jq

$2 X\ 0

= — A ( — £ 120 ) + x jA x j = 2A.T2 x i

s= 20 en (A )

Si Xi = 5 y

S + > , 2 0 = D - > = - A

= _ |

H ( 5, 2 0 . - | ) - 2. ( - | ) . 5 . 2 0 < 0 En consecuencia la combinación que proporciona el costo mínimo es .7.*i = 5 ; 7.6.2

a*2 = 20 y el valor del costo m ínim o es 80.

M a x ltn iz a c ió n d e l p r o d u c to c o n c o s to fijo

Suponiendo que un empresario utiliza dos insumos variables X i y X 2 en la producción de un sólo artículo y su función de producción está dada por q — F u - : ,X 2 ), sí su costo total de producción viene dado por C = r tXi +7*-2^2 + 6 siendo >*! y r 2 los precios unitarios de X i y X 2 y b es costo do los insumos fijos. Se desea obtener el mayor producto posible con un costo dado en un nivel Cb Y extraer conclusiones. Solución Dadas las condiciones del problema: q

F(3. |, 1 2 ) ^ ta fundón

a extrem ar y Cb ~ >')£) - ' V 2 — 6 = 0 es la ecuación condicionante. Entonces la función de Lagrange es:

L(xi.x- 2, X)

+ X(Cn

- r 2:r2 - í>)

Obtenemos l o puntas críticos: (

L ', : = K , = L\ =

F

- A?']

~ Cu — ' ' ¡ i 1 - •r 2x-¿ — b

=0 = 0 =S=0


A -

3 59

FÍ F í.

7.23) 7*3

F ig u ra 133

Las condicionen de |>rimer gtacJo enunciadas en la igualdad (7.23) estable cen que la razón entre las productividades marginales (o razón técnica de sustitución) debe ser igual a la ra^ón entre sus precios. Por lo visto anteriormente la relación (7.23) se interpreta geomé tricamente como: “L a óptim a combinación da insumos está dada por el punto de tangencia entre la isocuanta y la línea de isocostc pertinente, ya que el primer miembro de (7.28) es el módulo de la pendiente de toda isocuanta y el segundo miembro es el módulo de la pendiente de la recta de isocostc. Las condiciones de 2do grado establecen que t í > 0, en nuestro ejemplo: F " F " •í x.Sl - '* 1 ■* * 1 * 3 F " —¡'2 F X ’j X j 1 Z2*i “ 7*1

-^ * 2

0

Se puede demostrar que su signo está determinado por las características de la función producción.

360


Uf.il izando las ecuaciones (a ) y (6) reemplazamos por — 1 x, c,

f » r 3':X:

p//

pff

r;,

id.

y •r 7

f;

“

X 1

F'rn ’*

X

” -A 2

F"

f u

F,

F " 1 T2Tl

F U

F ,

F ,

F ,

0

0

Sí denominamos D al determinante del segundo miembro en tonces

77 > 0 <-=*■ .D > 0 Es decir que el análisis de! determinante D sirve tanto pava ha llar oí costo mínimo con producción fija o el producto máximo con cosro fijo. Si la función de producción os convexa hacia el origen y es es trictamente decreciente se demuestra que el D > 0; tanto si el producto es máximo como si el costo es mínimo. Entonces “cada punto de tangencia entre la línea isocoste y una isocuanta es a la vez, ja solución do un máxim o y un mínimo condi cionado.” Analizando d gráfico anterior se. concluye que : Si <7 i os el producto máximo que puede obtenerse con un gasto C j , entonces C\ es el costo mínimo con que debe producirse el producto '/iF! lugar geométrico de los puntos de tangencia (O E - ver gráfico anterior) da la trayectoria de expansión de la empresa. El empresario i ación al solamente seleccionará combinaciones de insumes qnc esUm cu la trayectoria de expansión. Esta puede expresarse formalmente como una función implícita: H (z u

x 2}

^0

paia la que se cumplen las condiciones de primero y segundo grado, de rrifbámo y mínimo condicionado. F i = n F 2 ri o cambiando do nomenclatura


siendo < * 1

^r ’

\ ^ = /* 3

7

6.3

361

las prados do los insumos

M axirrú zn ción d el b e n e fic io p a ra un n iv e l d e v en ta s d a d o

E je m p lo 1. Consideremos un oferente que se comporta monojíóliCcimente y discrimina precios en 2 mercados distintos. Si el plan de costos es C = 3 + 2z\ -f 2x* y las funciones de demanda están dadas por pl = 12 - z i ; p> = 20 - 3 t 2. Se desea maximizar su función beneficio, obteniendo un ingreso total de 69 unidades monetarias. S o lu d ó v :

fí - 1 - C = = Xi(12-

Xi )

Z iP i -1 x ¡ p 2 - (3 + 2.r( +

i .ca (2 0 -3 i2 ) -

2x2) =

(3 + ' 2 x i + 2 j -j ) =

F ( x ; ,X 2 )

(7.2 9)

Si el ingreso total es de 69 =*■ l — X\p, +xj?>2 = 69 12.r, - x\ + 2 0 x 2 - 3 x ? - 6 9 = ü ^ (X !.X 2) ^ 0

Por lo tanto la función de Lagrange es: L { x ¡ , x 2 . \ )

=

12t , ~ x ' i + 2 0 i 2 - : ü 4 - 3 - 2 z , - 2 x 2 + A(12.í:i - x ^ + 2 0 x 2 - 3 x 2 - 6 9 ) Hallemos los [juntos

críticos: (1 + A) (1'2 — 2x\) — 2

L'a •=•

(1 + A)(20 — 6 x 2) — 2 (12xj - ‘¿3^ ) + (2 to 2 -3n-a)

=0 -69

=0 =0

(7.30) (B )

despejando A e igualando obtenemos X[ * 3 a * 2 - 4

(7.31)

362


Reemplazando (7.31) en (7.30)

SCte, - 64 - 12*| = 69 => | J

=

33l¿

Si calculamos el H ( x l , X2 , A) = 2(1 + A ) [(20 -

6 x 2) 2 +

3(12 - 2x t ) 21

para ¡r* = 3,17 en (7.31) X\ = 5,51 =*■ A* = 1,04 Entonces: 7í (5, 51; 3,17; 1,04) > 0 =* la combinación función Beneficio.

= 5,51 y xo = 3,17 confiere un máxim o nivel a la

Reemplazando en (7.29) ^

£ ma* = 48,64.

En cambio se puede comprobar que X2 = 3 , 5 hace H < 0 =¥ confiere un m ínim o condicionado a la función beneficio expresada en (7 .2 9 )-* B mjlI = 46.

7.6.4

M a x im i 2 a c ió n d e la u tilid a d c o n r e n ta fija

E je m p lo 1: Un consumidor racional desea adquirir aquella combinación de Q i y Q i con Ia que obtenga el nivel de satisfacción más alto. Sin embargo, su renta es limitada. L a ecuación de balance de este consumidor puede representarse por: V ° = V\<1\

donde

(fijo ) es la renta y p\ y

son los precios de Q\ y

P o r lo tanto la cantidad que gasta en el primer producto es (p i 7 i ) más la cantidad que gasta en el* segundo (p 2 q¿) es igual a su renta (y 0), pues desea invertir tod a su renta, siendu su función utilidad U = F ( q u q2 ) SoluciÓJi.

7.6 Aplicaciones económ icas de extrem os ligados o vinculados

3 63

L a función de Lagrange es: ¿ ( < 7 i,< ? 2 .A ) =

> < ? *) +

A ( t/° - p i q i

-P 2 < fe ).

^ÍVlr7a) Hallamos los puntos críticos: p ; , = i ¿ ;= ^ L'a =

r„ -*P 2 ?/n - P i 'j i

de

íd

, (2 )

= o ( n =0 (2) =0

=>

= a

Esta última igualdad equivale a decir que la razón de las utilidades marginales (tasa de sustitución de bienes) debe) sor igual al cociente de los precias en la situación de m áxima utilidad. L\ =

Vo - Pl<22

= 0

coincide con ia ecuación do balance La condición suficiente para la existencia de un máximo requiere que el Hessiano orlado sea positivo, es decir: T" ^ R i 72 /*"

-i> \

-P 2

-P l -P 2

>0

0

So puede probar que existe relación entro el signo de est.e iicssiano y las características de la función utilidad. E je m p lo 2: El problema resucito en la página 90 puede resolverse ahora, con rnás facilidad utilizando la función de Lagrange. Recordemos: si la fundón do utilidad es n(
364


Solución í T(<]i>Q'2) = q\
2(¡]

H-

= 100 =* (f>[qu <¡2 ) = - 2
L a función de Lagrange es: L ( í h ^ ) A ) = <&<& + A ( 1 0 0 - 2qi -5<& ) Entonces: r ¿ ;,= J [

1

(?a- 2 A = o ^ A = f

;,-

V, =

Sl = Si

r/1 - 5 A = 0 ^ A = ^ 1 0 0 - 2 ( 7 , - - 5 q2 = 0

2

(-4)

r>

Despejando de (7.32) resulta:

Si reemplazamos en (A ):

1 0 0 -2 7 a 100 = 4r/j ^

71

-5 .-7 ! = 0 a

72

= 25 ^

= - .25 = 10 5

os decir que t/j = 2 5 y q¿ = 10 es punto crítico. Pro)jaremos, ahora, que proporciona la utilidad máxima:

H =

L* "V i 7 i TU

U ^71 TII

<72

(i

1 h ,U

x

71 0

1

—2

1 “ 2

0 -5

-5 0

=

10

+

10

- 0 = 20 > 0

í/ ,^ (2 5 s10) = 250 o bien, siendo:

0

(q,,i¡2) -

<7i

c :;,,,= 0 ;

A " (100 -2 (7 , - 2r/2)

= 1 ; G l'

=0

(7.32)

7,6 Aplicaciones económ icas de extremos ligados o vinculados

365

Entonces el diferencial segundo es:
(7.33)

como 2í7i 4 5<72 » 100 diferenciando 2dq) 4

= O

despejando: dq2 ^ —\dq\ reemplazando en (7.38)

E je m p lo 3: Del análisis de la maximizarión de la utilidad con una renta fija pueden deducirse las funciones de demanda ordinaria del consumidor, que clan la cantidad del btctx que éste comprará en función de los precios de todos los bienes y de su renta. Por ejemplo: supongamos que la función utilidad as u = q\q2 y la ecuación del balance i f ' PiQi - P 2Í 2 = 0 se pide hallar la? funciones de demanda de cada bien suponiendo que el consumidor optimice continuamente su conducta (buscar la utilidad máxima).

r i;, = ¿ i; = =

<7:> •- Apt = o =>

a

=

de (1 ) y (2 ) q2 =

(i) f;

(2 )

=>

=0

(7.34)


366

Si reemplazamos la igualdad (7.34) en L\ resulta: y° = P i ? i + P 2 - — P2 Despejando:

_ 91

y° 2pi

por lo tanto

Es decir que: dada la renta del consumidor y los precios de los productos, a partir de las funciones de demanda del consumidor, pueden deducirse las cantidades de cada producto que dicho consiunidor comprará. D e esto se deduce dos importantes propiedades: 1) L a demanda de cualquier producto es una función unívoca de los precios y la renta. 2) Las fundones de demanda, en general, son homogéneas de grado cero, en precios y renta, es decir que: si los precias y renta varían en la mi-una proporción, las cantidades demandadas permanecen invariables, o sea que en términos de renta real el consumidor no se comportará como si fuese más rico (o más pobre) si su renta y las precios se elevan en la m isma proporción. 7.6.5

M in im iz a c ió n d e lo s g a s to s d e l c o n s u m id o r con u tilid a d fija Imaginemos una situación en la que una autoridad pública recauda

impuestos o concede subsidios al consumidor con objeto de mantener inalterada su utilidad después de un cambio de precios. Supongamos que esto se llera a cabo p o r medio de pagas en cuantía fija que dan al consumidor la renta mínima necesaria para al canzar su nivel de utilidad inicial. Si se minimizan los gastos del consumidor sujetos a la condición de que su utilidad permanezca en un nivel fijo u ° se obtienen las fu n cio n e s d e d e m a n d a c o m p e n s a d a del consumidor, que dan las canti dades de bienes que comprará, en función de las precios de las bienes, b ajo (lidias condiciones.

7.6 Aplicaciones económ icas de extrem os ligados o vinculados

3 67

E je m p lo 1: Supongamos que la utilidad está dada por u — q ^ 2 y se debe mantener en un nivel uo y además, su gasto total está dado por M i + M i« Solución Las condiciones del enunciado se pueden ex]presar como: = P i'? i +P292

y

entonces la función de Lagrange es ¿ ( í i . 'f c . A ) = P i ? i +P2g2 + A f r o — <7i<72) <*(*?1.7:1 hallemos los puntos críticos: L ‘q¡ —

Pi-A
(1)

P2 - M i = 0 = ^ A = 2* L'A =

(2)

=>

lio - 9i92 “ 0

de (1 ) y (2)

£. = £ = * «72

= £ £ P¿

(7-35)

reemplazando la expresión (7.35) en la últim a igualdad:

tf« = q i .

/

<7i \

p i—

\

= **

q\ =

P2 J

1*0 P2

. / ----------

V

reemplazando este resultado en (7.35): ¡¡i =

Pi IvoPi _ — --------------= > q 2

P*V

=

fñoP\

V

/ ------------

V

2

Se puede verificar que las funciones de dcman
368


-A

0 •A

—

“ 72 ¡ —q\ : =

0 “ 7i

0

—2A c^q-.

i

como en (7.33) es A = — =í- A > 0 si (¡x > 0 en conseeueiiciu H <

y

q¿ > {]

0.

NO TA: L a forma ele la función de demanda o demanda- compensada y sus propiedades dependen de la función utilidad del consumidor. 7.6.

() M a x im iz a c ió n do) in g re s o e n p ro d u c c ió n c o n ju n ta c o n un a c a n tid a d d e in su m o fijo Si una empresa vende sus productos a precio* fijos (no discrimina

precios según los mercados) entonces su ingreso viene darlo por; ; = pl ql +Pí<7í donde p\ y p-¿ sou los precios unitarios de venta do los artículos produci rlos Q x y Q.¿. cuyas cantidades demandadas son <7, y q2 respectivamente. Supongamos que es un proceso de producción conjunta, ya que con determinado insumo X. el empresario obtiene los artículos Q { y Q-¿. Si la tunción de producción conjunta es: x = M ((/ u 72 ) se desea niaxirnizar el ingreso para un nivel fijo de insumo X en el valor x o y extraer conclusiones geométricas y analíticas. Solución J =r ]))([) H- p ¿<¡2

es la función amaximizar.

M ((/[, (l¿) ~ z*u es la ecuación condicionante Por lo tanto la función de Lagrange os: L (q \ ■q->, A) - p l q [ + p2q-¿ + A ( - M ( q x, q-¿) + Zn) Obtengamos los puntos críticos:

■ '

= e f!= L's =

P . - A W ' , = o = > A = 75Í7

(11

ft-A A / ;= 0 ^ A = ^ -

(21

z l> - H ( q í , q , ) = 0

=>


cfc ( I) y (2)

g

=

RTF

369

(7.36)

En (7.3fí) su estableen quo el beneficio os máximo cuando la razón entro los pícelos do venta es igual a la razón entre las fnneionos ele producción conjunta marginales o relación RTS. geom étricam ente =-^L os la pendiente de la recta de isoingreso (ver página 103) y os la pendiente de la c u n a de transformación de producto; entonces lo. curva de transformación de producto especificada para j'odobe ser I¿ingente a la linca do tsoiugreso (ver página 106).

La condición do segundo grado exige que el hessíano oí lado sea positivo, entonces: - K

T i 'i l

- ‘K

„

- V V •n
M ' i? , i

0

Stj puede demostrar que si la curva do Transformación de Pro ducto os estrictamente decreciente y cóncava al origen entonces, es le Ji


370

os > 0 ; por lo tanto existirá un sólo valor que hará máximo el ingreso con cantidad de insumo fija y un sólo valor de cantidad mínima de insumo que ciará un beneficio fijo. El lugar geométrico do estos puntos de tangencia se denomina tr a y e c t o r ia d e e x p a n s ió n riel p r o d u c to E je m p lo 1 : Si la función do pioduceíón conjunta es n: = qr de venta son de p x = a) :r(> =

20

y p-¿ —

4

^

y los precios

10

Hallar el máximo ingreso si la cantidad de insumo debo sei

100

b } Hallar la cantidad mínima del insumo X que proporciona un ingreso de 1500 unidades monetarias.

Sohiaón F (í/ i,q>) — 207 ) 4- 10
a) <¡l

4

—

1 CK)

es la ecuación condicionante

P o r k> tanto la función do Lagrange: T(r/i, fft. A) — 20(ji 4 1 0 4

A(100 - qf - q¿>)

Hallemos los puntos críticos:

•

U,n —

'2H-'2Xg1 = 0 ^ J 1= ^

L\u =

1 0 - 2 A í;, =

L ‘x =

0

(A )

= > A - ^

(B )

100 - t i \ - ' ! % = 0

< k (A )

y

(B )

? ° = _1{U
7J = |

(j2

2

reemplazando (7.37) en la última ecuación obtenemos:

100 100 - - q ] =■■0

-
tu -

- 20 . VSi) + 10

( I

yj ——

)2

= ü

= VÔ ^ q, = - y

= 25.

= 223,6 ^ 224

(7.37)


371

Y o lfic a r este mismo resellado óblemela ce la página 10G. Probaremos la condición de senundo oí rice: -2 A 0

0 —2A

—2o/, - 2 q¿

-2 q - 1

- 2q-,

0

// =

en ( A ) A — ^

= 8 A q ] 4- 8 A í/j — 8 A (<7? -r o í )

como <¡i > 0. A > 0 en consecuencia, dada la expresión

anterior del hessiano. icsulta H > 0. Con lo cual queda demostrado qnc ol ingreso máxim o es do. aproximadamente. 224 unidades monetarias. b)

X — 7 '\ q i, (i¿ ) ~ <¿\ + (¡o

es la función a extremar.

/ = 20 oí -f 10 (¡2 = 1500 es la ecuación condicionante. P o r lo tanto, la función do Lagrango os:

¿(7i><72,A) = q¡ + q ¡ + A (1 500 - 20í?i

lOífe)

Calculamos los puntos críticos: L'

-

JJt¡i =: L\ =

2qi — 20A = (J =* A — )D 2ri2

10A = 0 = > A - ^

1500 - 20f/¡ - 10(¡¿ - Ü 02 =

0\

(7.38)

Reemplazando (7.38) en la última igualdad, resulta: ]

500 -

2 0 <7i

■

10^

m = » e/o q. = 1500 = 60

=

0 60

= ->

•». -W

Calculemos el hessiano orlado:

77 =

'2

0

-2 0

0 -20

2 - 10

-10 0

= -8 0 0 - 200 =

1000 < 0


372

E n to n c e s , la c a n tid a d m ín im a d e in s in u ó os:

.1. = m 7' + 3ü- ■= 3G0Ü -I SÜO - 4500 con )a c u a l se; o íd ¡e n e un in g re s o d e 1500 u n id a d e s m o n e ta ria s

7 .7

C u e s tio n a r io d o re p a s o

L. ¿Cuáles son las condiciones necesarias y snJicicnt.es para que exis tan extremos relativos en fnuciónos de una variable? 2.

/.Cuál es la diferencia entre oxtiemos u ja iiv o s y absolutos?

‘■i

/.Qué se e n r i é p o r m áxim o o m ínim o m i sumido estrieUr

4 Defina máximo i d a tivo y mínimo relativo en un punto para (iili ciones de ríos variables. 5. En el caso de {unciones de dos variables, indique las condiciones necesarias y suficientes para la existencia ríe extremos. fi. Justifique las condiciones necesarias y suficiente*. 7. , Qué entiende por puntes críticos o cxl remaní es? 8

,.Q u
fi. ¿En qué i .01 imste el m étodo de los multiplicadores de I-agí auge? 10. ¿Cuáles son las principales aplicaciones a la economía de los ex tremos i d a tivos y condicionados? 11. ¿Cuáles son las posiciones del plano tangente u una superficie en un punto que admite máximo, mínimo o que no admite extremos?

7 .8

1.


Dada la 1unción -- - l-i ■' -+ ;/1 - S:i;! - s - r - '¿y + 3 comprobar rpic’ los puntos míticos son A/, (1 ,1 }: M-¿{ I , - 1); W j ( O . l ) y M .i (ib —1); y que el primero oouesponde a un mínimo, el último a un m áxim e y los restantes son puntos de eusilbiduva.

7.8 E/eraciDs óe aplicación

2.

373

Averiguar si la fui id un : - r

•» , i + ij-

admito extremos en algún punto

R n caso afirm ativo indicar la

posición que ocupa. en dicho punto, la superficie representativa de la función con résped o al plano tangente y representar diclui superficie v el plano indicado. 3 Hall ai los extremos relativos (si existenj. o punios de ensilladura, fie !¿v» siguientes fundones: a) e = ’l x 2 h- 2xy -r 5?;2

2:r • 2/; -r 1

b) z = ¡r2 + ?y2 H-n •[ <0 * = d ) ¿ = (;/ - ,j;)- + r 13 e) z = x ¿y + x y 1 - ¡r 0 V Comprobar que las funciones a) c - * * - (y - l ) 2 b ) 2 - 1 + X- - ?/¿ no admiten extremos relativo-., clasificar, si es podble. los puntos n ítíeos hallador. 5. Descomponer d número 50 en tres sumandos positivos x. y. que el producto x'sy ]{'z'2 sea máximo.

7

. tales

fi. Calcular los latios a , d e de uu t.riágulo de p e n m e fio fim. y

áten

máxima. 7. Kntre todos los triángulos rectángulo* de hipotenusa c =

10 cu a

ha)Jar d de área máxima. 8. Hallai la distancia del punto (0, 0, 11 a la recta x — y = : 9 Un oferente se comporta monopólicamente y tiene com o ob jetivo la rruiximización del Bciiofido total: si discrimina precios en tíos

374


mere arlas (nacional o internacional ¡ y las funciones de demandaprecio son pj = 24 — h xi

(mercado extranjero)

p> = 204 — 20^2

(mercado nacional)

Explicar la relación existente (en la posición de óptim o Benefi cio) entre los precios y las elast icidades de salida en cada mercado siendo el costo total: C = 50 + 4 x i + 4^2

Este ejem plo refleja el caso del dumping: donde el oferente vende parte de su producción en el extranjero a un precio mucho más bajo que en el mercado nacional. a) Si la función conjetural de demanda de das artículos indepen dientes son D i = 36 — 3pi y conjunto es:

= 40 — 5/^ y la función costo

C = p i + 2p¡p2 + 3pl Determ inar los precios y cantidades que míodmizan la ganan cia y dar el valor de ganancia máxima. b ) Idem D i = lü - P|; D 2 -• 9 — pr¿; C = p{ + 3p¿. 10. Sea G ( q , p ) la función ganancia dependiente do q, la cantidad de producto y p, la cantidad de dinero invertido en publicidad dada por: G f a p ) — ~
Determ inar la m áxima ganancia si la fu ndón d e producción es: ; = 20 - X- + lOx - 2y2 + 5y donde los precios unitarios de los insumas X e Y son 2 y 1 respectivamente y el precio de venta unitario d d producto z es 5.

7.8 Ejercidos de aplicación

b)

375

Si z es la cantidad del producto y además, x e y son las can tidades de iasumos necesarios, dar las cantidades de insumos que corresponden a la Ganancia m áxim a determinada.

Aclaración: G — I - C\ G = bz

(2 x

ly );

G = 5(20x2 + IQ x - 2y2 + 5 y) - 2

t

- y

11. Las funciones de demanda de dos artículos com petitivos A y B, en un mercado de competencia perfecta, resultan A

= 7 - P i + p2

A

= 6 + P i - 2/>¿

donde pj es el precio de venta del artículo A y p-¿ es el de B. E l casto unitario de producción de ambos artículos es constante en d período de estudio y corresponde a 3 y 2 unidades monetarias respectivamente. H allar los precios y cantidades que confieren el máximo beneficie). Aclaración: B = A p i + A p ¿ — C i A

— C¿D¿

12. U n productor de dos artículos X\ y siguientes leyes de demanda

*1

=12-p i

y

se enfrenta ante las

x2 = 8 - y

la función costo conjunto total es C = 3 ii + x i x 2 +

2 x ¿2

Encontrar el nivel de producción y de precio que maximicen d beneficio. 13. Hallar la adquisición óptim a de bienes por parte de un consumidor: (a) cuya utilidad es de u = q\'s .q>¿ y s n ecuación de balance es: 3?i + 4f7^ = 100 (b ) cuya función de utilidad es u =

+ 1,5 log

igual ecuación de balance 3tft -I- 4c¿> = 100.

-í log c/o con

376


14. Una fábrica produce tres tipos de productos X , Y , Z y su ganan cia por una tonelada de cada producto es de 1 ,2 y 2 unidades monetarias, respectivamente. Cuesta x 2 4- 2y2 + 4 z2 hacer x, y, z tonel ¿idas de estos tras tipas de producto. Si la firm a dispone de 1(SÜQ unidades monetarias (por hora). ¿Cuánto debe elaborar de cada tipo de productos (p or horca) para maximizar la ganancia?

Aclaración: L ( x , í/> s. A ) = x-\-2y + 2z-\-\(x2 + 2 ?/2 + 4r* — 1G00) 15. Construir las funciones de demanda ordinaria y compensarla de Q i a partir de la función utilidad u =? 2 q i (¡2 +

Mi. Si la función de utilidad do un consumidor es ?/ = aq x j y los precios de los bienes son j)\ = l y p> = 3 y su renta igual a 15 unidades monetarias, encontrar las cantidades ¡r¡ y x>¿ que hacen máxima la utilidad. 17. Idem si u — lO i'i H-20 fc2 —AxiX'i y la restricción presupuestaria es: 2 :r3 ^18 18. Una fábrica produce artículos X e Y , la función costo conjunto es C = x 1 4- 2y1 — x y se desea minimizar ol costo y determinar lies cantidades a producir, si el total de artículos debe ser igual a

8.

19. Eu un proceso do producción conjunta se desea lograr el mfcdiiiu Ingreso si los precios de venta de dos artículos producidos X i y X-¿\ son p f = G y p¿ = 3 respectivamente. Sabiondo que la función de producción conjunta es x = 2q\ H- (¡* y que ln cantidad de insumo está fijada eu 400 unidades. 20. Si se conocen las funciones de demanda do dos bienes D { = 100 -

27/1

+ 4;>i

y

D¿ — 200 + 4pL - p ,

y además la demanda total está condicionada por la restricción i D t + 3 D ¿ = 10.000. Se pide hallar los precios correspondientes al ingreso total máximo.

7.S Ejercicios de aplicación

377

21, La relación entre la venta S y las sumas x c y gastadas en 2 medios de propaganda está dada por: 200*

100y

~ 5 + x + 10 + y la ganancia n cU es 1/5 de las ventas, menos el costo de propa ganda. FA presupuesto de propaganda es 25,

D eterm inar cómo

debe repartirse este entre las 2 medios para m axim izar la ganancia neta.

Aclaración: ¿ = | S - ( r + ?/) + X ( x + y — 25)

C a p ít u lo 8 IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : IN T E G R A L E S D O B L E S

8.1

In tro d u cció n En el primer curso de Análisis Matem ático estudiamos cómo puede

hallarse, la función derivada de una función dada y t ambién cóm o dada la función derivada hallar la función primitiva o función / (x ), hallar F ( x ) , ta l que F ¡ s ) = f(x )d x

( 8 .1 )

relación que es equivalente a d F i x ) = J ( x ) dx

(8.2)

L a función primitiva, llamada también integral indefinida, se encontraba así*.

donde el símbolo j (que se lee integral), significa ilF ( x ) es la función cuya diferencial os f ( x ) d i y. Mientras una función derivablc admite una única función deriva da, dada ésta existen infinitas funciones prim itivas pues si F ( x ) es una prim itiva de f ( x ) ) también lo e* F (x ) + CT, donde; C es una constante, ya que

3S0

8.2

Cap. 8 IN T EG RA LES M ULTIPLES: IN T E G R A L E S D O B L E S

In t e g r a l d efin id a

A sí com o la derivación nació ante la necesidad de solucionar el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto es pecificado de ella, el cálculo integral surgió ante la búsqueda del cálculo i.le áreas de cualquier figura plana limitada por una curva o del volumen de cualquier sólido limitado por una superficie curva. Si la función f ( r ) es una función continua en el intervalo ce rrado [a, ¿>¡ (figura 135), recordaremos cómo hallar el área encerrada por la enrva representativa de la función, el eje X y las paralelas al eje Y , trazadas por a y b. Obtenemos una partición del intervalo \u.b\ si lo dividimos en un número finito de subim ervalos, iguales o no, de modo tal que:

Figura 135

Si en un su Linter val o ( irq -* a q _ i ) indicamos con y M t a las extremos in fe rio r y superior da. la función Cn el mismo obtendremos un conjunto de rectángulos que dará para, cada partición un área s (siunas inferiores) T¿

•t =

(8 -5 )

8.2 Integral definida

381

y un área S (suma*, superiores) n

(*,-*_,)

(8.6)

>=1

La suma de los pequeñas rectángulos rayados dará la diferencia de áreas. Considerando como pailición inicial a la definida por los únicos puntos a y ó, las sumas por defecto y por exceso se reducen a mi solo sumando: ¿o — iTi[b - a) Su = A í{b - a) siendo para toda otra partición < ó1< S < S q

(8.7)

Si en pasos sucesivos continuamos la subdivisión de los intervalos y procedemos análogamente, obtendremos nuevas sumas ,s) r s2, . pudiendo am pliar (8.7) ad .Sq

< ... <

S 2 < S i < S < Su

S ¡,

S'¿,

(K S)

que nos Indica que las áreas interiores (do vértices inscriptas en la curva y = f ( x ) ) en las sucesivas figuras crecen, mientras que decrecen las áreas exteriores. Tenem os pues, una clase inferior de núm nos s y una dase su perior do número* S . Cuando la longitud de cada su1¿intervalo tiende a cero y por lo tanto el número un subintervalos tiende a infinito, si las dos sucesiones tienen el mismo límite, definirán un número real como elemento único de separación; número que por definición será c! valor <ír ¡r¡ r/úcgral definida de la función / (jd en e) intervalo A =

que se indica

' ^r)íi./:

(8.ÍI)

Jf. y que nos dará o[ valor del área buscada.. Tornando un punto cualquiera £x en (:rx._) m, < / í í , ) < M

,

resoltará

382

Cap. 8 IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : IN T E G R A L E S D O B L E S

y en lugar do las samas interior y superior de cada partición, podemos con sideral*

n

x :.f(í¡)(z .- i t=i

x í)

En este caso, el valor de la integral definida puede considerarse también ph

n

/ f(x )d z

lim

V ' / (& ) ( x í - i - X i)

(8.10)

Tienen integral definidas las funciones monótonas crecientes y monótonas decrecientes en el intervalo considerarlo y también las fun ciones discontinuas que pueden descomponerse en intervalos en los cuales la función es monótona creciente o decreciente. $.2.1

Propiedades de la integral definida

De la definición (S.10) surgen las siguientes propiedades: 1) J pues

]'(x )(h ; = 0

si. a =

^

j

/ (x )d x = 0

rn(b — a) — M ( b — a ) = 0

2) >t»

pa

f(x )itc = -

/ f(x )d z

si

a>b

3) J

k f ( x ) dx = k j

f ( x ) dx

o sea. un factor constante puede sacarse fuera del signo de integral. 4) rb

rb

rb

i [ / ( * ) + » ( * ) ] < & = [ f ( x ) d x + í g ( x ) dx J
J ( x ) cLe = £

f(x)d E + l

f(x)ih :

383

8.2 Integral definida

$.2.2

Teorema del vofor medio del colado ivtajral Com o según (8.7), todas las sumas $ y S están comprendidas entre

Sn y So, resulta

m {b

-

a) < J

} { x ) dx < M ( b - a)

E xistirá un numero /¿ (m. < // < M ) , llamado valor metlio do f ( x ) en ¡a. 6], tal que

f ( x ) dx = /¿(6 - a)

de donde

( p' U )

P
" { ( x ) dx = ( b - a ) J ( 0

8.2.3

( a < í < b)

(8.12)

La fu n ció n orea como función primitiva Llamamos fu nción área A (x ) (figura 136) al área b ajo la curva

y = f ( x ) , comprendida entre una abscisa fija x = a y una abscisa variable x , o sea

A^

= ja

384


Dando a x un ¿na emento resultará rx -t-A a :

& A ( x ) = A ( x + A r i - >l(.r) =

I

(>x

fx-lAx

- 1 = 1

f(x )d x

Suponiendo f ís \ continua y aplicando (8.12) & A (r .) = A x f ( $ )

i < £ < x 4- A x

donde la razón incrementa! do la función área setú A

^

_ m

Cuando d x — 0. ^ — x ,y como /(a:) es continua A '{ :'} =

li.u ^

A z — Q ¿AX

= lim m ) = J ( x )

que nos indica qno Ja función área es una prim itiva de / (x ), estaljle udo una relación entre la integral definida y la indefinida. 14

Cálculo de lo ir t v jm ! definido, mediante lo. primitiva Según (8.4)

aT

f( x)dx = F( x) + C

8.2 integral definida

385

Pava determinar la constan re C, hacemos x = a, luego, según la propiedad 1) Q= f'(< i)+ C * > C = - F (a )

reemplazando

Para x = b obtenemos la fórmula ■b / (i)c/x = F ( 6 ) - F ( a )

debida a Barrow, que puede escribirse

y que pon ni te cale Hilar la integral definida conociendo una primitiva de F ( x ) , tomando esta entre los límites ti y b.

8.2.5

¡Ttitiymlctí con Ihmtcs infinitos Consideremos una función continua en o) intervalo (o ,o o ) o sea

para torio r > n. Sabemos que j;am todo / > a. existe la integral

que os una función do t que representa el área bajo la curva (figura 1-37) cu d intervalo

386


Si exist.e el límite lim F ( t ) t —* 0 3

o sea el limite del área F ( t ), cuando la ordenada
8.3

f ( x ) dx = îm j

f ( x ) dx

A p lic a c io n e s d e la in te g ra l d e fin id a

E je r c ic io 142 Resolver f2 x * d r Solución. Aplicando la fórmula de Barrow

x.dx. =

E je r c ic io 143 Calcular

x 2dx

V 4

= l ( 4 ‘l — 2 ' ) = 60

(8.13)

8.3 Aplicaciones de la integral definida

3 87

Solución x 2dx =

= Ü -¿(-3)3=9

'- 3

E je rc ic io 144 Calcula.!' I =

3 — 2x + x 2)dx

Solución

1 =

3a — x"

20

= (9-9 + 9 )- ( 3 —1+ ^

3

E je rc ic io 145 Resolver / = jV ^/udu Solución: Si Luego

55

'

,3.2

1=

13/2) = | ( v ^ 4 - ^ )

h

* - v

- T

E jerc ic io 14C Resolver / = j * t'Jt.dt S olución Si ty/t = t . t 1' 2 = t ' l 2 Luego }${ 2* /= -

2

.

I

= f’ ^da

E je rc ic io 147 Calcular Solución: Si Luego

^ = x -3

tí

O

388

Cap. 8 IN T EG RA LES M ULTIPLES: IN T E G R A L E S D O B L E S

E je r c ic io 1*18 Calcular I ^ f : [

+ '¿x -

3 )á v

S o lu c ió n

dr

i

-

'

: r-

-iJ r

E je r c ic io 149 K n c o ijtra t

j ^ |¡?;

11dx

S olu ción x —1

\x - I| Según

la p r o p ie d a d

I

J

—{.r - 1) 5'

1¡ d¡ — I

— j

si x > 1

si : r < l

- - (x -

|.x - ] |d e h- I

] )d x +

-a-iU oU

H -ÍH 1

I = ¡ S olución .

1 |d x

( x —1)d.i =

E je r c ic io 150

Calcular

|a

son x d r

—

389


E je r c ic io 151 C a l c u l a r I — I M u .y d.r

Solución. i = [ rl n r - . r ] ; = ( c i n e •• c ) - ( I nl - 1) - 1

E je r c ic io 152 D a d a la función

calcular

- 2 < x < - 1 .5

(i

si

2

si

3

si

l

si

U< r < 1 1 < x < 2,5

-2

si

2. 5

-1 ,5

<

m

<

< x <

0

4

f i _ (i.:

Solución Com o vemos ru la figura 1‘j8. la función dada os una f u v a ó ; aev cada rectángulo).

w / ilo n a tln (ûos / ir

390


Lnciro

¡

j ^

=

j

6 dx +

*í j

Adx + J

I J

2dx

5 /-

+

I 3 dx+ ./«

( —2) f/:r =

= 4+ 2 | + 3 .1 + 4 .| + (-2)|-12 E je r c ic io 153 Hallar el área A da la reglón b ajo la gráfica de la función

f(x) — y s

de 1 a á

Sohtrió-n. La región cjne aparece en la figura 130, f.ienc el «área:

8.3 Aplicaciones de ¡a integral definida

391

E je r c ic io 154 Hallar el área comprendida entre ei eje X y la parábola y = —x ¿ + 2.r

Solución. La curva dada corta al eje X (hacemos y — 0, v resolvemos la ecuación - : r + 2 r. = Ü) en los puntos X\ = 0; x-i = 2 .(figura 140).

Luego

/I ^ / ¿ ( - x 2 + 2 x ) d r =

+

= - f + 4 = f

E je r c ic io 155 Encontrar el área de la región cnccrr«vda entre la recta i/ = x — 2 V la parábola y — 2j - :r-

Solución. Las gráficas (figura 141) se intevsectan en los puntos cuyas coordenadas son soluciones simultáneas de las dos ecuaciones. Elimi nando y entre estas ecuaciones resulta* x — 2 = 2x - x 2 =*• x 1 - x — 2 = {x — 2 ) (x + 1) — 0 es decir x\ = 2 o x*¿ = -1 . para los cuales yj = 0 c //» = - 3 respectiva mente. Luego los puntos comunes a las dos gráficas son (2.01 y ( —1 , - 3 ) .

392


Com o

botaos. la urálica de y = x — 2 es una recta. L a gráfica

de y ^ 2x — x~ es una parábola cóncava hacia abajo y con vertiere en (1 .1 ). E l área está dada por

/" | ; 2 r —

— (.r - 2)\dx =

- I s

I

¿ ( - 7? •» :r + 2 ) d r -

+ '- y + ic

E je r c ic io 15G HalLu* el áiru cnmpveudidii cutre la parábola :/ - 4 - y2

(i)

y el eje Y . empleando franjas: a) Horizontales. b) Verticales

S o lu aó iL L a paiábola corta al eje X en el punto (4,0) (intersección de (1J con y = 0) y al eje Y en los puntos (0,2) y (0,-2) (intersección de (1) con x — 0). Hallaremos el áien empleando franjas:

8 .3 Aplicaciones de la integral definida

3 93

a) Horizontales (figura 142a). Los límites de int.egnirión son = —2 e ?/2=2. I.a base del rectángulo genérico es A y la altura 4 — y~, por lo tanto el área vale j (4 — y2 ) dy. Teniendo en cuenta qne el área situada por debajo del eje X os igual a la situada por encima de él, resulta:

7

32

I

r»

3

v

2

-2

b) x¡ •= 0 y

Figura 142a

Verticales (figura 142b) Los límites de iiuregración son = 4. La 3ja.se del rectángulo genérico es A x y la altura

2?; - 2 v ^ x, por jo tanto el área vale f * 2^/4 — xdx. Luego

394


E jercicio 157

el eje X.

H allar el área comprendida entro la curva y = —x 3 4- x ¿ H- 2 x

Soluóóv. x3

-x*'i

Para

y

lim ites de integración, resolvemos la ecuación Extrayendo factor común x

hallar los

2 v — 0.

x ( ~ x 2 + x + 2) = 0

obtenemos :i\ ——1, x<¿ 0 y ~ 2, abscisas de los punios en rjuo la corva icpicscnt.at.iva fie la función corta al eje X (figura 143). Y

F igura 143

8,3 Aplicaciones de la integral definida

395

A p lic a n d o la p i o p io d a d a d it iv a ( y a q u e n o s e r ía c o r r e c to in te g ra r e n tre *1 y 2 ), o b te n e m o s

Ai =

J

r°

.-1 > = í

( - í 3 -h x l +

2x)

x ,[ dx =

( ~ x 3 + x x -¡ -2 x ) d x =

A-

- T

-

x3

+ T

2- 4 -

L

+ *■

y 'i . r 2

'

S u m a n d o lo s v a lo re s a b s o lu to » A\ y

i <> e n c o n tia n io s ci á rea po-

d id a 5

A =

b -

3

S

12 '* 3 '

37 12

E je r c ic io 158 H a lla r el á r e a c o m p re n d id a e n t r e la c u r v a y = x :i — 6 r 2 Hy ol e je X.

Solución . E s a n á lo g o el a n te rio r, re s o lv ie n d o l a e c u a c ió n

:c:i

-

( ir 2 +

&: = 0

í:(x ? -

S.T -I

8) = ü

s a b e m o s e n e l a c u iv a c o r t a al e je X e n rq = l), x-j = 2 y :i;¡ — 4 [ftg m a

144). Y

396


In te g ra n d o , o b te n e m o s •>

l =

i '1

i /

(* 3

-

f c r + & r)

dx — Tr'J 1 - 2x3 + 4r* l " = -4

Ijo r c o n s ig u ie n te : A = |4| + |—4| = 8

E je r c ic io 159

y — x~ — 7x + (>

H a lla r el á r e a lim ita d a p o r la p a r á b o l a X y la s recias .?■ = 2 y = (i.

x

So' .c.'Cm.

E l á r e a (v e r fig u ra 345) es Y

I ;igura 145

O

X

A

■i -

-

(X

. +

fí)

(¿ x

f.r,{ =

— ------------ —

o p a r c o n sig u ie n te

,

lx l L

+

l,

50

(r .r

3

e l e je


3 97

E je r c ic io 160 HaDai* c) volumen de una es fe ra de radio 4. Solución, La esfera podemos considerarla engendrada por la circunferencia

x -"> +i ?/2

r-

al girar alrededor del eje X. Por lo tanto

Teniendo en cnenia Que el volumen

es

V = 7¡ f

y2 dx

resulta

V = 7TJ

y2 dx = 7Tj

( t 2 - r 2) dx =

Er. nue^tio caso

,, V = 4 -vt4o o

= 256 ~z~'n o

E je r c ic io 1G1 Resolver x y dx siendo x = (> e o s o

:

y — 2 s e n (p.

Sohtc“óv Conviene expresar x, y y dx en función del parámetro di y de d ó ; escribiendo los nuevas Unúl^s de iuUgtíuión cd Cuando x = Q cosó = 6 .\

=s

6 e o s rp

=

3

(p

—


398

Eu consecuencia J

x y dx = J

(6 eos
(2 sen cp) (— 6

sen 4>) d =

E je r c ic io 162 Encontrar

e~x éz

Solución: F ( t ) = j f e~xdx = [ - e ^

= - e _t + 1

de donde [ h

e~xd x =

iim ( —e- t + 1-100

1)

=

1

E je r c ic io 163 Dada la función de demanda

7; =

2 0 -3 D

representar el gasto efectivo de los consumidores y calcular el excedente* de los consumidores, siendo el precio de mercado 7^ = 8 . Solución. Sabemos que una curva de demanda muestra la cantidad que la gente compraría a un precio determinado. Si po es el precio de mer cado, con Do indicamos las unidades que se venden a dicho precio. L a ganancia que obtiene quien estuviera dispuesto a pagar más que el precio de mercado se 11ai na c7 .cpAe.ntc del consumidor (M arshall). Suponiendo utilidad marginal constante respecto del dinero y que toda la gente tiene la misma función de utilidad, el área medida por

jí

pdD-poD0

(1)


399

puede interpretarse com o la ganancia en utilidad. Es el área b ajo ln curva de demanda menos el ingreso total y constituye el excedente del consumidor. En este caso, si p = 2 0 -Z D

(2)

la cantidad demandada en función del precio es

y representa la cantidad que la gente compraría en el mercado a los dife rentes precios (figura 146). Observamos en la figura que cuanto más alto es el precio, menor es la cantidad demandada. D e (3), para po = 8, resulta D o = 4. Pero en la gráfica vemos que hay gente que estaría dispuesto a pagar tanto como $20 p o r el bien en cuestión. Todos éstos y otros que estarían dispuestas a pagar más que el precio de mercado, po = 8 se benefician p o r que pagar solamente el precio de mercado.

el

hecho de que tienen

Su ganancia monetaria total puede ser extraída por un monopo lista. quien puede practicar la discriminación perfecta, representada por el

área sombreada de la figura 146. D 8

-

7-

F igu ra 146

400


Dicha área es el área bajo la curva de demanda desde 0 hasta Di 1 . monos el producto poMu o sea el rectángulo que representa el gasto efectivo do los consumidores. Luego, ol excedente de los consumidores es, en este caso /“0.1 j

v d D - T* A> =

20 D

p\ / (20 - Z D ) d D - 8 . 4 =

3D-

32 = 56 - 32 ^ 24

-

cantidad que representa los ahorros monetarios del público debido a la existencia de un mercado libre.

8.4

In te g r a le s ite ra d a s

Asi como tratamos el problema de hallar uno función de una sola variable cuya derivada ora conocida, deberemos considerar ahora el pro blema de hallar una función do varias variables, una de cuyas derivadas parciales es conocida. O sea, al proceso de derivación parcial del cálculo diferencial corresponde el proceso de integración parcial del cálculo in tegra!. Si U es una función de dos variables independientes £ e y, sabe mos que U'z halla derivando con respecto «a j*, n den tras y permanece constante. Si cu cambio, se conoce U'r i se puede conocer U integrando con respecto a ,r , mientras y permanece constante. Si, por ejemplo £ /' ~

6x +

2y +

9

in reglando con respecto a x, para y constante, resulta J = 3j;2 + 2xy + 9.r 4- n siendo a la constante de integración. Tero teniendo en cuenta que chi ra rite la integración y permanece constante, entonces cv puede depender de y. P o r lo tanto, la forma más geneial de U y es J =

4- 2xy «V'Or + o<{y)

donde cv(y) denota a una función arbitraria do y.

8.4 Integrales iteradas

401

Si se conoce, en cambio U^x> puede determinarse U mediante integración sucesiva, como podemos apreciar en el siguiente ejemplo. Si UzX =

+ y2

análogamente el caso anterior, puesto que y se con sen *a constante al de terminar esta derivada parcial, también se considera a b/ corno constante en la integración. La primera integración da U's. o sea x.3

r; = y

+ x 2v + x y 2 + a (y )

Integrando nuevamente con respecto a r , mientras y se conserva constante, obtenemos V = ^

+ ^

+ ? f +

x a { y ) , . p {y)

En lugar de relacionar integrales parciales sucesivas con deriva ciones inversas, nos interesan las relaciones entre integraciones parciales sucesivas con integrales definidas, que aparecen frecuentemente. En estos casos escribimos ■b

,

F {x ,y )d y

dx

V| o también f f Ja J v

F (x ,y )d y d x

Fu este caso, el orden dy dx significa que la integración se efectúa primero con raspéelo a p/ (o sea, el signo integral Interior y la diferencial interior van juntas'), considerando ‘i 3como constante. Algunos autores prefieren esta notación

f dx í F ( x , y) dy Ja J vx en furnia análoga [

F { x , y ) dxdy


402

o según la última notación ^

dy j

F (x ,y )d x

Las integrales sucesivas (definidas o indefinidas), de esta forma, se denominan integrales iteradas o reiterados. E je r c ic io 164 Encontrar f0 f { y ) dy

donde f ( y ) = f £ y1sen x y dx

Solución, Debemos integrar

/ / Jo Jo

?/2sen x y dxdy

teniendo presente que la variable de integración es x y que y se considera constante. Luego: rv rv j y 1sen x y dx = y1 j sen x y d x — Jo Jo

f[v )~

-

\X= V _ [-y c .o *z y ]x._l = -y ocsy

+y

entonces ^

f ( v ) dy <= j í

(-t/cosj/2 + y ) dy =

1 1 1 . 1 -s e n y + - y ¿ = - ( 1 - sen 1) ¿i

E je r c ic io 165 Encontrar r\

, x 2 rr.2y3

I I Jo Jx Jxy

xydzdydx

Soludóíi. Una integral iterada puede im plicar cualquier número de variables, correspondiendo la notación a la utilizada para dos variables. Para indicar el orden de integración, conviene insertar símbolos de agrupación:

8.4 Integrales iteradas

fO

{/

\*y

Jx

403

dy ) dx *-■ I i l fO

Jx

dx =

W > 3

1

i.

-

_1_ _ _ 8 _

1 h § o , 1 70" -1 3 5 " 181

70

J_ _ _ 2 _

135 + 18 “

189

E je r c ic io 166 Dada la función de costo total

C ( x ) = i Oí) + 3 r *h 4 x¿ + 5.x3 se

pide a) Hallar el costo marginal. b) Determinar la función de costo total a partir do la de rosto m arginal c) Encontrar la constante de integración, para C (0 ) = 100. Solución a) El costo marginal está dado por C ' ( x ) = 3 + 8x + 15x‘ b) Invirtiendo el proceso y sabiendo que

C (z ) = J c ' { x ) d . x podemos determinar a partir de la función de costo marginal, la función de costo total; o sea

C { x ) = y (3 + 8x + 15x2) dx = Z x 4* 4 :r + 5x l n- C

c ) C (0 ) = 3.0 + 4.0 + 5.0 + C = 100 => C — 100 luego C {x ) -

100 +

Z x

+

4 x 2

+

40 4

8.5

C ap. 8 IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : IN T E G R A L E S D O B L E S

In tegra les dobles

A s í como el problema del área de recintos planos condujo al con cepto de integral simple, el del volum en conduce al concepto de integrales dobles. Estas nos permitirán calcular volúmenes limitados por una su perficie sobre una región R. Consideremos una función de dos variables, z j= F ( x , y ) , con tinua (o con determinadas condiciones para su conjunto de discontinuidad) (ver N O T A más adelante) en el rectángulo R (figura 147) definido por a < x < l> ,

c < y < d

Sub di vi dimos los intervalos (ci, ¿) y (c ,d ) respectivamente así (a, /;), o - x Q < X i < ... <: X i - i <

< ... < x m =

(e, d) : c = 2/0 < yx < ... < i / ^ < ys < ... < y n = d Los su Linter valos no necesitan ser iguales, siendo A x , 6 A yj la longitud de cada uno de ellos A x l = x l — z , -\

para

i = 1. 2, 3,..., m

Ay/j = V j - x j - i

para j = 1, 2, 3

,

n

4 05

8.5 Integrales dobles

Trazando paralelas a los ejes por los puntos de subdivisión, el rectángulo R queda dividido en rectángulos elementales menores, siendo el área de cada uno de ellos A A íj - ( i , - X i - i ) (Vj - X j - i ) = A Xi A Si formamos la suma doble de los productos del área de cada rectángulo parcial por el menor valor que tom a la función en cada recinto elemental que llamaremos m(.T‘ , ?/•), tendremos la suma 5 m,n. m

n

= E E m (;c‘ ; ^ ) A x ‘ A y > » - i 3= i

( fi-14)

Análogamente si multiplicamos el área de cada rectángulo ele mental por el mayor valor que tom a la función en algún punto del mismo (JV/(x’,1 7/t)) y luego realizamos la sumatoria doble obtenemos la suma ^m,n Sm .« =

A z,

A Vj

(8.15)

siendo, por lo tanto S m .n

<

S m ,„

Si afinamos las subdivisiones aumentando el número in y n de intervalos parciales, tendremos una sucesión creciente de números S y una sucesión decreciente de números 3 . Cuando las longitudes de* todos los subintervalos tienden a cero, (o .simplemente cuando el m áxim o A s , tiende a cero y el máximo A t i e n d e a cero), si las dos sucesiones tienen el mismo límite, definirán un número real com o elemento único de se paración, llamado integrol doble de F ( x t y ) sobre el rectángulo R que se indica

j j

F {x ,y )d x d y

(8.16)

y la función .se dice integroble en R. Se llega al mismo límite, si para cada rectángulo elemental se considera el valor de la función en un punto (£4,7b) interior al mismo (figura 147). Tendríamos las sumas Ay,

406


con < £i < Xx

V i -1 < rt i < J ¡ O sea, por definición

F (x ,y )d x ily =

lim ai,

V ' y ^ F ( £ tyt]¡) A i ¿ A y , .o .o

<

(8.17)

t / ^

con a ,_ ! < ^ < a\

2/j-i < Vj < Vi

NO TA: Tam bién puede probarse que si (es decir comprendida entre dos números fijos)

es una fund.ón acotada

m < F ( x yy ) < M

en R y es discontinua en un nlimero finito de puntos o en un conjunto infinito de puntos con la condición que se puedan encerrar en un numero finito de áreas, cuya suma sea arbitrariamente pequeña, es también i n tegrable. Si la región de la función continua F ( x , y ) no es un rectángulo, sino cierta región R\ dol plano {figu ra 148) cuya ftontera es una curva rectificable (es decir, con longitud fin ita), contenida en el rectángulo II, podernos definir en R una función z “ — F ( x , y ) tal que coincida con F ( x , y ) en todos los puntos de f í j , y sea igual a cero en el resto del rectángulo.

407

8.5 Integrales dobles

y

R

O

X

Figura 148

L a fu lición z m es continua en todo R excepto sobre el contorno de /?}, luego es integrable. E n consecuencia, la integral

será definida por definición, la integral de F ( x , y ) , extendida a R\ y la indicaremos

8.5.1

Interpretación {¡wrnétriai. Si z = .F(¿\7y) es positiva o nula V(.t, y ) € /?, entonces )a suma

inferior £ m,n nos cía (por defecto) un volumen dei sólido lim itado por la superficie z = F ( x ¡ y ) , el plano X Y ( z = 0) y la superficie cilindrica cuyas generatrices son paralelas al c¡c Z y cuya directriz es el contorno de TÍ! (figura 140).

408


La .suma superior

nos da \m volumen (p or exceso) del sólido

limitado superiormente por la .superficie representativa de» z = F ( x . y) o inferiormente por d plano x y y lateralmente por las infinitas ted as paralelas al eje; t trazadas por la curva borde del u xiu lo R ;. Como vemos en la figura, la suma de paralelepípedos nos da una aproximación d d volumen, tanto más aproximado cuanto menores sean las bases de los paralelepípedos. Podemos definir el volumen, como d límite» lvicia d cual tienden las sumas (8 .H ) y (R.15). C om o este lin d e os por definición (vci (8.17)). la integral dublé, obtenemos una ínter pro tildón geométrica de esta com o volumen, si la superficie repre sentativa de c — F ( x , y j lio uta su pe nórmente d sólido cuya base está incluida en d plano xy. o sea

V-

j j

F(x, y) dxdi/

(8 . 1 0 )

>1 Si en parí ¡calar la función es contante,

F (

x, •/) = />, representada

pov un plano horizontal da altura \\, resulta de (8.1 S) V = hJJ /p

dxdy

409

8.5 integrales dobles

fórmula que expresa el volumen del cilindro recto ele baso y altura h. 3.5

2

Propiedades de la integral doble

De Indefinición (8.16) resultan las siguientes propiedades (análogas a las vistas para la integral definida): 1) f:F (x .y )d x d y =

kJJ F { x , y ) d x d y

/?,

fí,

[F (x ,y ) + G {x ,y )]d z d y =

JJ F ( x ty) dxdy + JJ (7(.r, y) dx dy &x

n

Z ; Si dividimos R\ mediante una curva rectificable C (figura 150) en dos partes Ro y R :{ cuya intersección es la curva ¿ , entonces re sulta

JJ F ( x , y ) d x d { { = JJ F { z yy)
R3

tu

Figura 150

4j Vale también el teorema del valor medio. Si rn y M son los valores mínimo y máximo (absolutos) ele F ( x , y ) en R\. o.l volumen bajo la superficie está com prendido entre dos

410


cilindros de igual base y alturas m y M. Tendremos la siguiente doble desigualdad entre volúmenes R\™ <

JJ F ( x t y ) d x d y < R i M

s \ e n d o F (z ,y ) > 0

Entonces existirá un número y comprendido entre m y M tal que

J J F ( x , y ) dxdy

(m < //. < A i)

F: E l número /i llam ado valor m.edio de F ( x , y ) en R i es:

{J = 7i¡ J J F (x >y}dxdy p\ 8.5.3

Reducción de la integral doble a integrales iteradas

Para facilitar el cálculo de las integrales dobles, puede demostrarse que pueden transformarse en integrales iteradas. Si R i se expresa como:

Ri

entonces se demuestra que:

n

h3{ x )

i(*)

F { x t y ) dy dx

8.6 Aplicaciones de la s integrales dobles

411

* Si Hj se expresa como:

entonces r f

//

f Q a ( v)

!/) d x d y =

I

/

r

F (¡r, ?/) dx dy

(8.20)

3x{v)

Dicha transformación puede hacerse integrando prim ero con respecto a y y luego con respecto a | , o viceversa. Las integrales dobles también sirven para calcular áreas, pues el área de /?| en el plano X Y es numéricamente igual al volumen de un cilindro de base R\ y altura 1 y p o r lo tanto basta integrar sobre R i la función constante F ( x ) y) = 1, luego según (8.20) el área del recinto será:

A = j j

8.6

dxdy

A p lica cio n es d e las in tegra les dobles

E jercicio 167 H allar el área dei recinto R , indicado en onda caso:

(& .2i)

412


Figura 151

Solución 0 < x < 2

R

0
Cuando se halla el área de un recinto, debe hacerse F ( x , y ) = 1, luego A=-. ¡ JO

[ JO

dy dx =

i

=

í

l.L-/: = [ t ¡ ‘ = 2

JO

b) x2 + y2 = 4

F ig u r a 152 Solución. Si x ¿ +t/2 = 4 = ^ ? / = h- \/4 - x-

8.6 Aplicaciones de las integrales dobles

413

lueuo i?

0 < x < 2 o < y < Vi -x 2

por lo tanto 2

pyJA -X -

dy d x =

A *

—-

f

dx =

\ f T ~ t f 4- 4 arc sen ^ j

f

-J<\ - x - i l x =

=

1

= 2

A 7T

2 ~ n

0*1

Solución. Si

| + | = 1=, , = 4 - 1 .

O ICM

2 4 + 4 are s e n - — 0\/4 — 0 — 4 arelen

414


d z-

j

Adx- j

ÍE 3 2 d)

Solución —1 < x < 1 x2 < y < i

A = j

J

dy dz =

I

( l - x 2) d z =

c) R es el trapecio lim itado por los ejes rdañados y las rectas x -i* y = 1; x 4- y = 2 (figura 155).


415

y Figura 155

R 7

s

x o

X 2\

Solud.ón. E n este caso no puede integrarse en un sólo paso, conviene dividir en dos áreas y sumar

f f 2 * dy dx /c ./ i-.

A¿ ~

Ai =

í 2 f 2' s / I dy dx

[(2 - x ) — (1 - x ) \ dx =

A2 =

I

i*i / l.d x = [x\l = 1

(2 — x ) dx = * - T

A = A 1+ A ¡ = l + l = l Cambiando el orden de integración y considerando diferencia de triángulos, debemos obtener ol mismo resultado; en efecto y 2

Ai -

I

n

r2 -> j

I

dxdy l-V dxdy

416

Cap. 8 IN T E G R A LE S M U LT IPLES: IN T E G R A L E S D O B L E S

Ai =

/ (2 - y ) dy ^

■A> ^

i

= 4 - 5 =2

(1 - y ) dy =

E je r c ic io 168 Calcular ( 3 V + 2y ) d xd y

si R es ol triángulo lim itado por y = G, ?/ = 2x c i/ = £ + 1 So/ucw?.

Figura 156

„ í 0
2

n :?

: (3a:“ + 2y¿) d x d y =

0 J 1/•• 1

r i r ,/2 / [/ (3 x2 -t 2;y2) dx] e/j; = rt) J y -I

«,' .2. I V + 2?/2x| dy = l iV l

o

i V ‘ 8

dy =

I* ?/ - ?/ H- 3?/ - 3?/ + l - 2?/ + 2//2 dy =


i

417

'¿V + 1 I dy

JO

E je r c ic io 169 L a integral d yd x representa el área de una región del plano X Y . Se pide: a) Efectuar la representación gráfica de dicha región. b) Expresar el área medí «ante una integra! doble con el orden de inte gración invertido. c) Calcular el área de ambas maneras. Solución

Y

Figu ra 15 7

b)

Si hacemos variar x entre las límites const.anr.es O y 1, y varía desde la curva y = x~ a la recta y = x. Esto ñas da el área de una faja

4 18


vertical ent re x y x 4* dx> para valores de x desde x = 0 a x = 1.

Si integramos en orden inverso, haciendo primero la integración respecto a x, esta varía desde la recta x — y a la parábola x = ^Jy p a ia com pletar una faja horizontal entre y e y I dy. Estas fajas deben sumarse para todos los valores de y desde y = 0 a y = 1. P o r lo tanto, el área con el orden de integración invertido se expresa mediante A =

dx dy

c) E n el prim er caso,

dx =

•> .T “

T

X ” T

2) dx =

•» i 1 _ I - 1 2 3 “ 6

o

En el segundo caso

E je r c ic io 170 H allar el área del recinto lim itado por las curvas y = x2 ; Solución.

y = x + 2

E l recinto está representado en ia figura 158.

419


ni

"1 < * < 2 x2< y < x + 2

. x ^

Hallamos los puntos intersección P j y P?/=

x + 2

(1)

(2) H- 2 = x 2 =#* x - x 2 = - 2 x\ — 2

:

x2- x ~ 2 = 0

^2 = —1

reemplazando en (1) V i - 4 ; 2/2 = l ^ P l ( 2>4 ) ; A f - U ) E n este caso, ¿qué orclen de integración conviene?. Vemos que para 1 < y < 4. la fajas horizontales se extienden desde la rec ta a la ramo, derecha de ia parábola, mientras que pata 0 < y < 1 van desde la rama izquierda do ésta a la derecha.

D e este modo, la integración

primero respecto a x y luego respecto a y obliga a dividir el recinto en dos partos» con lo que el área se obtendrá sumando -'/v

n

-•/y

dx dy +

r l f'/v / / dx dy Jl

Jy

2

En cambio las fajas ver t i l l e s van siempre desde la parábola com o contorno inferior, a la recta y oí área viene expresada por 2 rx+2 / J dy di:

420

Cap. 8 IN T E G R A L E S M U LTIPLES: IN T E G R A L E S D O B L E S

correspondiendo a la expresión de recinto antedicha (* ). Este orden de integración es más sencillo y es el que debe emplearse, luego:

e,

A = j

\y\ „ dx ~ j

_ ^

X"

{ x + 2 — x ) dx =

+ 4 - | ) - ( ± - 2

2

->.

X h 2 x -----3

+ i ) = ^ + r

= 9

E je r c ic io 171 Calcular oí área del recinto lim itado por las cni*vas y = x~\ y = x (en el prim er cuadrante). Solución. y — O y- i=

x C x'

(1) (2) X, -

0 0

4

II O

(

X3 =

1

En el primer cuadrante resultan los puntos intersección 0 (0 .0 ) v P i ( U ) (figura 150).

R

A =

JJ dy dx => A = J J

0 < i < 1 :j;3/2 < y < X

dy d z ~ J ^ { x — x '^ 2¡ d i =


421

1 _ 2 _ 2

5

2

5 “

i 10

E je r c ic io 172 Hallar el ái'ea del recinto lim itado por las curvas y2 — A — x\ y2 = 4 - Ax. Solucnóit

y¿ = y? =

A -x 4 - 4x

4 • - x = 4 - Ax -=* x = 0 =*• y = ± 2 =*• P a (0, - 2 ); P
-2
R i

' f < .r < 4 - y 2

_•»

A =

I

/ '2 J 1 •V

4- r

- 1+

dxdy=

*; -

/ [ ,..i * ] 'I 7 -2 i /

6

y' dy V - -{ r

1 dy =

422


o

v

—6 -2 + 6 - 2= 8

T E je r c ic io 173

2

Hallar el volumen del sólido lim itado por la superficie = F ( x , y ) = x \y -4-2, el plano X Y , la superficie cilindrica y2 —Ax = O.y

el plano x — 2. Solución. R i es la región que constituye la base inferior del sólido (figura 161).

Y

y1 - 4x = 0

R,

x= 2

Figura 161

z = y2 = y¿ = 4:i: =*• y =

2 4.x =*•?/ —

=-*

P , ( 2 , - V 8 ) ; P 2{ 2 , ^ ) V =

J J

F (x , y

)

d y d r.

=

J J ( x

+

y +

2)

dy d x

=

8 .6 Aplicaciones de la s integrales dobles

423

E je rc ic io 174 Hallar el volum en en el prim er ociante comprendido entre los planos z = 0 (plano X Y ) y z = x + y + 2 c interior al cilindro x 2+ y '¿ = 16. Solución* Segiín la figura 162, debemos integrar z = x -5- y H- 2 según el cuadrante del círculo t 1 + y2 = 16 en el plano X Y .

42 4

Cap. 8 IN T E G R A L E S M U L T IP L E S '. IN T E G R A L E S D O B L E S

0 < £ < 4 Ri

p r

V =

I F ( z )y )d jd x = /<,

f\

i

pi

p'/16-T.2

/

I

D

°

f"J l G — X *

^

0 < y < V16 ^ i 3

{x + y + 2 ) dy dx =

v'lG-x2

r'

{x + y + 2)d y

= 1^ ^ V l 8 '

- ^ (1 6 -

t

dx =

xy + — + 2 y

k2 + 8 - y

¿) * /2 + 8 z -

dx =

+ 2 ^ 1 6 - . ^ dx =

+ x \ / l6 - x 1 + 16arcsen j x

128

-f 8-?r

3 E je r c ic io 175 Com probar cinc el volumen lim itado por el cilindro x 2 + y 2 = A y los planos y -+ z = 4 y 2 = 0 es igual a IGtt, So/uC'dn.

Teniendo en cuenta la figura 1G3 se sugiere integrar z = 4 — y

según el cuadrante del círculo x 2 + 1/2 — 4 en el plano X Y . O sea

425


z Figura 163

y

-2 Ri

<2

—\/4 — x 1 < y < \JA —

8.7

- 2 < y < 2 ______ - ^ 4 - V7 < ¿ <

\/4 “ V2

C u estion ario d e repaso

1. ¿Qué se entiende por función prim itiva? 2. ¿Cómo se expresa el valor de la integral definida? 3. Indique las principales propiedades de la integral definida. 4. ¿Qué se entiende por función arca? 5. Demuestre la relación entre la integral definida y la indefinida.

426


6. ¿Cóm o .se resuelve la integral definida en función de la primitiva? 7. ¿Qué se entiendo por función integrable? 8. ¿ A qué se llam a excedente del consumidor? 9. ¿Qué se entiende por integrales iteradas o reiteradas? 10. Concepto de integral doble. Condiciones de existencia e integrabilidad. 11. ¿Cóm o se interpreta geométricamente la integral doble? 12. Indique las principales propiedades de la integral doble.

8.8

E jercicio s d e aplicación

1. Resolver las siguientes integrales definidas:

(b ) /-?

sen ce da*

( ' ) .fZ T f e (d ) r

^

( e) ¡ U i ^ i dx 2. Encontrar A = 8.

I

\/Z2 — r 2rh:

Encontrar

J

r2ir sen x dx

4. Determ inar el área delim itada por la curva y — i x —x 2 y el eje X. 5. Encontrar el área delim itada por la curva y = x 2 — 7x + 0, el eje X y las rectas x — 2, x = 6. 6. Calcular el área delim itada por la parábola y,¿ = 4x y la recta y = 2x — 4.


4 27

7. Encontrar el área en carada por la* paraljolas y = frr — x'¿ e y = x 1 — 2x. 8. Hallar u, sabiendo que: a) u"jy = x y - y2 b)

= y2 + 1

9. Encontrar los valores de las siguientes integrales a) f i . f o x y dy dii: b) Jo j t * e" ~ I dv dx c ) /o Jo Jo V ' f c < k ) d ~

10. Hallar el área del recinto lim itado por las curvas: a) x = y2 ; x = y b ) z 2 + y * -=4 c) x* H- y 2 — 6*1 ; r 2/3 -I ?/2//3 = 4 en el prim er cuadrante el) 2x = y2 - 1; x = 7/ + 1 e ) í, = (4 — a :- ) - 1/2 ; y =

(4 -

* 2 ) 1/2

11. Encontrar el volum en lim itado por e\ paral;oloidc x l + Ay1 = r; el plano 2 = 0 y los cilindras y2 = z e. y = x ~ . 12. Encontrar el volumen lim itado por el paraljoloi de z 2 4- y2 = i z : el cilindro x 2 + y2 = 8y; y el plano z — 0.

C a p ít u lo 9 IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : C A M B IO D E V A R IA B L E S

9.1

In tr o d u c c ió n Teniendo en cuenta que en algunos casos de integración os con

veniente y en otras además necesario efectuar un cambio de variables, mencionaremos otras sistemas de coordenadas. En el espacio de dos dimensiones, uno de estos sistemas es el de coordenadas polares. L a posición c\e un punto P del plano, que queda determinado por las coordenadas cartesianas x c y (figura 164), puede fijarse de otra manera.

Para ello elegimos una semirrecta O X = e de origen O, a la que llamaremos eje polar. A l origen O lo llamamos P o l o .

43 0

Cap. 9 IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : C A M B IO D E V A R IA B L E S

Hacemos coincidir el polo con el origen O de coordenadas carte siana* y el eje polar con el semieje positivo de abscisas. Elegim os tina unidad de medida, y un sentido de giros en el plano, considerando semíido positivo el sentido inverso al del movimiento de las agujas del reloj, la posición de P queda determinada por cí módulo del vector O P , es decir por el número p = y/x2 + y 2 y por el valor del ángulo que debe girar el eje polar O X alrededor del polo O, en sentido positivo hasta superponerse a la semirrecta de origen O que contiene el vector O P ángulo que llamaremos 4>)E l número /;, por definición es positivo o nulo, no negativo, pues p = \fx2 + y 'K E l argumento ó , es un número comprendido entre 0o y 3fí0° si se adopta el sistema sexagesimal y entre 0 y 27r, si se mide en radianes. Conocidas las coordenadas cart asían as surgen de inmediato las coordenadas cartesianas (ver figura 1G4) en función do las primeras x = pcostf>

; y — p sen ^

(9.1)

En el espacio de tres dimensiones son útiles las coordenadas (a) cilindricas y (b ) esféricas: (a ) Llam arem os coordenadas cilindricas de un punto P del espa cio (figura 1G5) a la tema de números (p, (p} z ) donde 2 es la distancia del punto P al plano X Y , mientras que p y jy son las coordenadas po

431

9 . 1 1ntroducción

lares del punto P \ proyección del punt o P sobro el plano X Y . Para obtener todos los puntos de 1espacio Las coordenadas pueden tom ar las siguientes valores

2 íR

, p

c

y 0 < < 2vr

Las fórmulas de transformación (ver figura 1(55) son

Í

X : = p C O R y = p sen 0

(9.2)

Las coordenadas cilindricas son útiles en el cálculo de volúmenes, particularmente en aquellos problemas en que el sólido considerado posee un eje de simetría. (b ) Llam am os coordenadas esféricas de un punto del espacio (figura 166) a la terna de números (p, Q, es el ángulo que el plano determinado por el eje Z y la semirrecta O P , form a con el plano X Z , es decir el «argumento polar del punto P\

432


Para obtener todos los puntos del espacio las coordenadas esféricas pueden tom ar los siguientes valores: P > 0

0 < z = 0 ? eos#

¿

__

P ero en e\ triángulo rectángulo Z O P :Z P =s Ü P = Ü P sen 8 y O P = p) por lo tanto O P ' = p sen 8; reemplazando en las anteriores, resultan x = p sen 8 eos <¡)

{

V — p sen 9 sen

(9.3)

z = peostf

D.2

C a m b io d e va ria b les en las in tegrales dobles E l cambio de variables puede darse mediante el par de funciones x

=

x (-u , v )

ey

=

y (u , v )

(9.4)

9.2 Cam bio de variables en la s integrales dobles

4 33

que supondremos continuas con respecto a n y v y que pueden inter pretarse como la representación de una región R del plano X Y , en otra región G del plano uv. Puede demostrarse que si el determinante d x

d x

Bu

úv

0(u , v)

llamado jacobio.no, no es igual a cero para ningún valor de u y v. entonces las ecuaciones (9.4) deñnen recíprocamente a u y y com o funciones uni formes de x e y u - u {x,y )

y

v = v(x ,y )

(9.5)

Mientras las fórmulas (9.5) perm iten pasar de x ,y a a,v y dan la transformación inversa de (9.4), ésta indica el paso xi.v a z,y. (9.4) y (9.5) pueden interpretarse com o fórmulas de transfor mación de coordenadas. También puede demostrarse (ver FYankliu: **A treatise on advanced calculas” , pág. 368) que la fórm ula para el paso de las coorde nadas x y a las coordenadas uv en una integral doble, está constituida por la siguiente ecuación

c donde R es el recinto expresado en coordenadas cartesianas y G es el mismo recinto expresado en función de las variables u y y . En particular, si F(x,?/) = 1, para el cálculo do áreas tendremos la siguiente transformación

que es la expresión del área R del plano X Y , m ediante una integral cal culada en función de las nuevas variables ti y y .

434


Si queremos expresar (9.6) en coordenadas polares mediante las fórmulas do transformación

hallarnos el jacobiano dx Dw

0 { r , y) d (P ¡ó)

ójL Op

_

COstf) sen (f>

—p sen ó p eos

= p

(9.7)

/ / F{pcoz: p sc.u (f>)pdpdó

(9.8)

a i, i) v

p o r lo tanto F { x yy) dxdy = u

'c

E je r c ic io 176 C alcu iaf on coordenadas polares el áre^rdel cuarto de círculo z 2 ■+■V2 < ’ ’2 en el primer cuadrante. Solución.

en coordenadas cartesianas 0 < x
y en coordenadas polares:

G | ^

. p sen

t¡>) dtp d p

—

x'¡ l * y - < r -

Consideraiido F ( x , y ) = 1, obtenemos el área pedida rrrf 2 p dtp

dp — / p v!>\rl z

7T 7 '*

2

p dp

7 T ?"

2~2 “ ~ f E je r c ic io 177 Calcular en coordenadas polares J J ^ -i

y3

siendo II:

4 < j:2 *4* y2 < 9.

£p/?xC70tt 0 (x,y ) ’

0 (P )0 )

el gráfico do H es:

Lnego de aplicar la transformación a coordenadas polares R se expresa como G {

§

<~27t

^ su rePresenf ac*()n e*s

figura 167

436


jj

j" J

dp

0

dff) p2 d = 27r

/ 27 — 8 \

38

En este ejem plo y como podemos apreciar en el siguiente obser vam os la ventaja del cambio de variables en estas integrales, al reducir el cálcalo de una integral doble a menor número de pasos o a integrales más simples. E je r c ic io 178 Encontrar utilizando coordenadas cartesianas y confrontar me diante coordenadas polare s, el volumen de cilindro recto truncado v ¿+ y ' < l ú ; 0 < z < 5+j:-hí/, contenido en el primer octante (ejercicio sim ilar al 175). Solución. En coordenadas cartesianas

V =

( 5 H-

X

+ y ) dy dx =

o ./o

5tf + ■ ‘ ■V + - j

5 s/ÍG - -.e- + X V/16 - 15 + Y

- T

dx —

.70

- ( x / 1(1 -;?;J + 16 ate son —) — ^

+ Sx —

dx =

9 3 Integrales triples

437

= | ( 8 i r ) + 3 2 - ^ + | V Í& ¡ =

= 20ff + :B

«

+ «

i)

2 t e + ™

3

3

En coordenadas polares c ^ )

|J| V = j

=

f

0(p,4> ) " P

r*í2 M I p d p ( 5 4- pcosrt *h psen —

( 4 (5p 4 p2 cosd> 4- p2 sen r/>] d p d ó = 70 Jo

J'0 o

AT/'i

p2

p*

p3

~2

' cí

y

fA 6

64

5 y

JO

-r j

,6 4

c o s ^ h-

y

s en fp j íto =

^ .6 4 , 64 40(0 + — sen

64 \

T +T 9.3

/

-

64 \

40 tt

T/2

128

+ X

rtrt

128

=2Ü7r + -

In tegra les trip le s Considerando nna región tridimensional finita lim itada por una

superficie cerrada o por un número finito de superficies, como puede ser la región interior de una esfera o de un cubo, respectivamente, podemos generalizar los conceptos vistos al estudiar las integrales dobles. Sea, pues, una función de tres variables, -u = F ( x , y, z ) continua o con determinadas restricciones en el conjunto de discontinuidad, en el paralelepípedo rectángulo R (figura 168), definido por a < x < b ; c < y < d ; e < z < f

438

Cap. 9 IN T E G R A L E S M ULTIPLES: C A M B IO DE V A R IA B L ES

F ig u r a 168

Eíectnajno* mía subdivisión en cada mío da los intervalos

(c,<í) y

(« . / ) . ( « , 6) :

( c td) : (c j) :

a = xu < x*i < X 2 <

< x ,-t < A

—b

< ••• <

c — 2/0 < y- < y2 < ... < ?/;-i < y/7 < ... < y n = d e = zo < zi < z-¿ < ... < 2fc_ ! < zk < . < z, = f

(9-9)

Los intervalos no necesitan ser ignalp* Llamaremos A x ,, A ^ , Aza. a la longitud de cada subintervalo elemental do (a, b) , (c. d), (? ,/ ), respectivamente, o soa A x , s i , - X,

!

Vj - 1

&V) = V j

A 2* ^ z k - Zk

1

Trazando (llanos paralelos a los planos coordenadas por los pun tos de subdivisión (9.9) el paralelepípedo rectángulo R queda dividido en paralelepípedos rcdoreetangulares elementales menores, siendo el «área de cada uno de ellos:

A r , A í/jA jf =

( x.. -

x

,.

1

)(y3 - - y j - i ) { z k -

zk. 1

)

9.3 Intégralos triples

439

Si formamos la suma triplo do los productos del volumen do cada paralelepípedo elemental por el valor mínimo quo lom a la función en cada uno do ellos que denominaremos

ct) . tendremos para

cada subdivisión las suman

S ti i , t i r —

= Y s Y U Ü 111^ ' ’ yi ’

A Í9 A : 1

(9 10}

Si ahora consi dei amos ol máximo valor que lom a la función en cada paralelepípedo elemental que denominaremos A í ( x ¥ t ry^, z'K) y rea lizamos las sumas anteriores entonces obtenemos S m ,¡ r

S m,tí .r = ^ ^ M [ x l , ?/“ , z * ) Aa-t A//; A ií- ) j = t c-1

(fi .l l)

siendo, por lo tanto ¿5m » r í ¿'m,u,r PÔS P™ clcfillÍCÍÓll VU < M Si afinamos las subdivisiones de m odo tal quo el máximo

Acc, —•* 0. el m áxim o Aj/j —1 • 0 V el máximo A z * —►0, tendremos mía sucesión creciente de números S y una sucesión decreciente de núm ero S. Cuando las longitudes de todos los subintcrvalos tienden a cero, si las dos sucesiones tienen el mismo límite, definirán un número real como elemento único de separación, llamado integro! tyiptr de F ( x , y. z) sobir el paralelepípedo rectorectan guiar 11 que se indica

Se llega al mismo límite, si para cada paralelepípedo se considera el valor de la función en un pnnt.o Ck) interior al mismo (figura lfiS). Tendríam os las sumas

***^

t - i j ~ i k=i

A ~*

con (a:,-i < £ ,

< i \ )

;

(? / j

i < 7/ , <

)

;

(= *.

i < G < ^ )

4 40


o sea, por definición

¡ F ( x , y 1z ) d x d y d a

(o .u ) nv¿» AVj <0 ' ~ l J=1

*.¡«*¿2, -O con

(.1,-1 < £ , < £ , ) ; (f e-1 <7Jj < !/ j) ;

Si b'(:i , y , z ) — 1, como caso particular irsnlt.a

jjj

dxdydz = { b - ü ) { d - c) ( / - o )

que ñus de ten ni na el volumen de R.

H

Si suponemos que la región de la función continua F{x. y z) no es un paralelepípedo rc.ctu, sino una región R i cneevvadn pOT una super ficie cerrada S (figura IGíJ), que satisface, la condidón de que cualquier plano paralelo a los planos coordenados no encontrará a la superficie o la cortará según una curva cerrada rectificable que puede 1educirse aun punto en las dos posiciones extremas y considerando un paralelepípedo R de aristas paralelas a los ejes, que contenga en su interior a la región i? 2 i podernos definir en R cu una función u — F * (.r >y, z) tal que coincida con F ( x . y t z ) en todas los puntos de R¿ y sea Igual a cero en el rosto del paralelepípedo.

441

9.3 Integrales triples

o

Fisura 169

L a función u = F * ( x , y, z ) es continua en todo R excepto snlne el contorno de i?o (o sea, .sobre S ), luego e-s integrable. Enlonces la integral F " ( 3:, y t z) dxdfjdz

.será, por definición, la integral de F ( x , y , z ) extendida a la región R ¿ y la indiciaremos:

JjJ F { x yy , 2 ) dx di/ ^

(9.14)

/V5

SL7 i

P?-oyjí£dí7de.9 d e to.? jn/cv/rfl/es ¿np/ps

Tienen validez para las integrales triplos las propiedades vistas pura integrales simples y dobles. Geométricamente, la integral triple da un valor aproximado do la m a m de un cuerpo de volumen U¿ y de densidad vatiablo de punto a punto y representada por la función F ( x yy , z } ) reemplazando la den sidad inedia de cada paralelepípedo por la densidad en uno de sus puntos.

442

9.4


Rjeducción d e in tegra les trip le s a in tegrales iteradas D ada la región tridimensional finita lim itada por una superficie

cerrada S que denominaremos sólido R j

*1

_____ l

■

2

1

\

/ /

*

K *

‘

i

= G : (x . y)

\

^

2=

3 , (x , y)

0 Y

2

h (x) = y

h ,(x

P ara facilitar el cálculo de las integrales triples, puede demostrar se que pueden transformarse en integrales iteradas:

n

k 3( x )

!<*)

Si ia región J<¿

Í

p C 3( x , y )

I JC ii

F ( x , y , z ) dxdydz X,V)

(9.15) a < x
reduce al paralelepípedo

R(
c < y
se tien e

F(x,y > z) dxdydz =

J j J

F ( x ) y, z ) d x dyd z

(9.16)

9.5 A plicaciones de las integrales triples

9.5

443

A p lic a c io n e s d e las in tegrales trip les

E je rc ic io 179 Expresar mediante tina integral iterada la integral triple

siendo el recinto tridimensional:

a) E l tetraedro lim itado por los planos coordenados y el plano 14 y+ z ^ 1

b ) E l cilindro lim itado p o r la superficie cilindrica x 2 + y2 = a* y los piamos x = 0, y — 0, z — 0, z — x + y en el primer ociante Solución

Z

F igu ra 370

444

Cap. 9 IN T E G R A LE S M U LTIPLES: C A M B IO DE V A R IA BLES

R e a m o p ro y e c c ió n i

Y

del sóhclo

>■ = 0

a) De

la

fi&ura

170 surge que* los lím itrs

de

iutey/anón

ce

la

integral (ver (H.l5j) se obtienen así: a y b son 0 y 1 respectivamente (valores extremos para .?;) respectivamente; h ) ( x ) y /o ( r ) sen 0 y 1 — r respectivamente (valores extremos pava y una vez fijado x i y G i ( j ;.;//) y Gy\:i,!/) son 0 y 1

x - y

(\ alores extremos para z fijados x

e y ). Lúe-o 1 J =

1 1-v

1-T

L

b'ÍXy y, z) dz (hj dx

1j) ilnzonando en form a análoga (fig m a 17L), resulta Z

F igu ra 171

9.5 Aplicaciones do la s integrales triples

445

R e c in t o p t o > c c u ú n

í

X' < ¿7

c*ntoncc*s 7?» 2 Q < // < v a 2 - x) ( > < . : < x -I

Mean

l -

F { x . y. z ) dz dy d r Jn

F j e r a d o 180 Caleultir «1-i

n

I Jo

Sohaón

x y z dz d¡/ d.i:

•1 • .i. / S2 1 -

x y z dz ) dy

JO

f r l x / I X Í - 2' ^ - r \ / f 2 i

[

l- r x i¡{2 -x }2 dy

r y H '2 -z f Jo ^

/

fh - -

V./U

4

*

dr

d r *-

(4 .r - 12r * + 13;r2 - (irí J 4 :r5) í / i

=

446


1 /„ _

4 (

, ~

13 +

6

1\

1 / 26 \

13

4 _ 5 + 6 ) _ 4 ( 120 ) _

240

E je r c ic io 181 Calcular

f 0 < z < 2 /=

x y z dz dy d x

siendo

R% <

0< y < 2 0 < z <2

Solución

1 = 1 I I x y z d z dy dx Jo Jo Jo Com o las integrales son independientes y tienen ios mismos límites do integración, en este caso: 3

1 =

/2 i / xdx Jo

r

X2

Q*

T

0

3 =

2*

=

8

E je r c ic io 182 Calcular el volumen del prism a de base triangular limitado por los planos coordenados y los planos x + 3i/ — 6 ;

Solución.

2 = 4.

9.5 Aplicaciones de ía$ integrales triples

447

Vemos (figura 173), que los lím ites de integración, encontrados por la intersección de los ejes coordenados con los planos x + 3y + 6 (perpendicular al plano X Y ) y z = 4 (paralelo al plano X Y ) son 0 < x < 6 - 3 y

{

0

<2/<2 0 < z < 4

luego, haciendo F(x*, y, z ) = 1, su volumen es

E je r c ic io 183 Calcular la integral de F (® , y, z ) = z extendida a la región R del prim er octante, lim itada por los planas y = 0, s = 0, z + í/ = 2, y 2y + x =* 6, y el cilindro y2 + z2 = 4. S o lu ció n .

448

Cap. 9 IN T E G R A L E S M U LT IPLES: C AM BIO DE V A R IA B L E S

O< y < 2 l - y < x < 6-2? U < z <

Integral cmos primevo con icspceto a

2 . desde* z

\ / ‘l - y 2

= 0 (plano X Y ),

hasta z — \/4 — y - (cilindro) (figura 174); luego con respecto a x %desde x — 2 - y hasta x = G 2y; , y finalmente, de ?/ — 0 hasta y = 2 . O sea rÜ 2iy r \ A - r 1^ / / V<> h y jo /-O—!¿v /

h -v

*22 \ A “ Í V

0

fl dx

Jo

II -

dy =

1 2

l

r

i4. ^

•;i 6 - 2 J2 • y

*6-2¡í

(-i - v l )

dx

dy =

9.5 Aplicaciones de las integrales triples

(6

{ 4( C - 2 j ) -

(24 - Sy -

449

- 2y)y2 - [4(2 - y) - (2 - y )v 2\ } dy =

61/

+ 2y2 -

8+

Ay + 2y2 - V3) d y =

Jet

\ í

(i/'’ - •'IV2 - %

-1

y* 4 iLr - r j f - 2 y ' 2 + 4 3

16) dy =

16 ;/

E je r c ic io 184 Hallar el volumen lim itado por el paraboloide z =

2 ,1-

+ y2 y d

cilindro z = 4 — y1. *Solución. Analizarem os el gráfico en el primer ootunto

L a intersección entre las dos superficies es Igualando 2:r:* + y 2 = 4 - y 2

^

= 2x1 + y ‘ z = i- y

2

•

2 r ¿ + 7 ¡j- — 4 ^ r - + y- - 2

Entonces el recinto proyección os R:

450


0
0 < y < J T ~ x¿

0
es

0 < y < v/^ r F 2-¿ -\-y2 < 2 < 4 • y2

Integraremos primero con respecto a z. desdi' z = 2x7 -f?;2 hasta = 4 •• y2 , luego con respecto a y , desde y — 0 hasta y = y/2 — x - y finalmente con respecto a x , desde x — 0 hasta

= \¡2 (obtenido al

sustituir y — 0 en x 2 + y2 = 2} determinando así la cuarta parte del volum en pedido, pues el sólido está compuesto ele cuatro pailea incluidas en los oct.antus donde z os > 0 cuyos volúmenes son iguales, por eso para calcular el volumen total multiplicando la J f j por el valor 4. r/2

,V 2"

y = 4

dz dy dx = *'2x' --y' 2—

-4

{(4 — ?y2) — (2j-2 + j r 2) } dy

dx =

r'/I = 4 r/l

9.G

C a m b io d e v a ria b le s e n las in te g ra le s m ú ltip les Teniendo en cuenta las fórmulas de pasaje de coordenarlas carte

sianas a esféricas (ver (9.3)), podemos formar, como hicimos en (9.5), el jacobiano, que resultará

J. -

0 ( x sy .z ) 0 { p , ó , 9)

=

)SCI1

(9.17)

451

9.6 Cam bio de variables en las integrales múltiples

y aclomás, teniendo tm cuenta (9.6), el volumen V clet recinto tridim en sional Jl>, como pueden demostrarse, resultará V

^

J 1 1

p - sou 9

dO

(9.18)

dp dn

que se resolverá por tras integraciones sucesivas en el orden que más convenga al caso dado. E je rc ic io ] 85 Calcular el volumen, en el prim er octanto, ch: la esfera x'2 -j- z2 = r 2, utilizando coordenadas esféricas. S olución

0 \

r o

sen 9 d 9

,r dp =

\ JO

nipz dp =

Je

\

i ./O

\-co,9\l'2f ? d p = ^

I

,? d p =

4 52


o sea

9 .7 1. 2

C u e s tio n a r io d o rep a so In d iq u e los n u e v o s s istem a s d e c o o rd e n a d a s in tro d u c id o s . E n c u e n tr e la s fó r m u la s d e p a s a je d e c o o rd e n a d a s p ola res a c a rte sian os

3.

E n c u e n tro la s fó r m u la s d e p a s a je d e c o o rd e n a d a s esférica s a carto-

Manas. ■I. ¿ Q u é s e e n tie n d o p o r ja c o b ia n o o d e te rm in a n te fu n cio n al? 5.

¿ C u á l es la fó r m u la q u e p e r m it e e l c a m b io d e v a ria b le s e n la s in te g r a le s d o b le s ?

(i 7. 8 9.

¿ Q u é se e n tie n d e p o r in te g r a l tr ip le ? E n u n c ie la s p r o p ie d a d e s d o la in te g r a l triple. ¿ C ó m o s e re s u e lv o la in te g ra l tr ip le ? ¿ C u á l os la fó r m u la q u e le p e r m ite e fe c tu a r u n c a m b io d e v a ria b le s e n la s in té g ra lo s tr ip le s 7

9.8 1.

E je r c ic io s cío a p lic a c ió n E x p r e s a r e n e o o rd e n a d as p o la r e s y c a lc u la r las jnl c gra lo s a s í o b t ui lí elas, c a ria u n a d e la s s ig u ie n te s in te g ra le s dobles:

‘'O l n l o '¡J'1'!/ d x n /■\'2k r —2 J

x ¿ dfj dx


2. E n c o n tra r

453

I — jJJ xyzdxdy dz ' <*2

s ie n d o R 2 e l p r im e r octan r.e rio la e s fe r a x 2 + -¡y- -i- z 2 = 9 3. E n c o n t r a r e l v o lu m e n , e n e l p r im e r o c ia n t e , lim it a d o p o r lo s planos

2y H- '¿z — 4.

c o o r d e n a d o s y e l p la n o x - f

4. C a lc u la r e l v o lu m e n d e l t e t r a e d r o lim it a d o p o r los p la n o s c o o rd e

2z =

n a d o s y e l p la n o 6 x 4- 3;v +

18.

5. C a lc u la r el v o lu m e n e n c e rra d o p o r las su p erfic ies ; =_ B - x 2 - y ¿

z — x - + 3y 2

y

6. C a lc u la r ■r/2

./o

r \

r2

I

/

z f ? s o n 0 clzdptW

Vu 7o

7. C a lc u la r

•/■» A-ct «/. I

Hi Jo

sen 2 ó cípd^dO

JO

8. H a lla r e l v o lu m e n i n l c i i o r al c ilin d r o p = 4 e os

lim it a d o su p e

r io r m e n te p o r la e s fe r a p2 - r z 2 = 1G , c in fo iio im e n t e p o r el p lan o

c = 0.

}). V e r ific a r lo s re s u lta d o s in d ic a d o s on

a)

j

j

'

f

=

i

!>) <>

/•) 2 - 2 i ,

I o

Jo

f[-7y/ll-x/'J

/

x dzdxúy =

Jo

í

I

f

’o

Jo

Jo

x d z d y d r .^ U A

4 54


<0 /■?r/2 f\ /

'o

/

n\/TC X' /

( l G - p 2) ^ / 7 : ¿ p c ^ = ^ 7 T

Jo Jü

O

1G. Demost.rav qu e las integrales

4 r

/

'o ./o

/ ■I

'I I

7a rl/ x

f"J4x -i-

/

/

Jo

Jo

/*■!

4

dy-rfj rfr

fV is -T 2 I

7fJ Jir/'lJü representan el m ism o volumen.

d e á : el y

C a p ítu lo lü E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S O R D IN A R IA S D E P R IM E R O R D E N 10.7

I nfcrud ucción

Los matemáticos puros, cu general, so interesar, en la matemática como estructura; en cambio los matemáticos práctico-;, ios ingenieros y los científicos en general se interesan en la aplicación ce ja matemática para ayudar a la comprensión de los fenómenos físicos \ económicos. El asfucr20 del hombre perm itió formular los problemas fí-icos en lenguaje matemático. Estos esfuerzos condujeron a nn nuevo tipa de ecuación que ahora se denomina ecunaón diferencial. Do todas las herramientas proporción a da> por la matemática en la resolución de problemas de ciencia, las ecuaciones diferenciales pro porcionan algo de lo más poderoso. Pero, ¿.qué so entiende por ecuación diferencial'' Definición En general, una ecuación diferencial es una ecu ación q u e con tiene una o más derivadas o diferencial» *.s. Si ostá involucrada mía variable independiente únicamente, Jas derivadas son totales y las diferenciales también son torales; en esc caso a la ecuación se la conoce como ecuación rhfeitnriol onbnorio. En general una ecuación diferencial ordinaria se puede expresar como H { z lV¡V' : y " : .... E ‘ ) = 0 Si en cambio, están involucradas más de una variable indepen diente, existen derivadas parciales; en ese caso a la ecuación se la Dame

4 56

C a p - 10 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S DE.

ecuación diferencial parcial. Constituyen ejemplos fio ecuaciones diferenciales ordinarias, los siguientes* ,) $ = 2 x b) <0 ^ f - 2 g + 3 y - 2 d) { t f

- V - -

e) ( ' / T - 2 ( ! / ' ) 3 + !/ = 0 f ) ei¿/ = (a: - 3y) dx C onstruyen ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales, los siguientes; e) | 7 - ^ = o

n\ ^ ¡) ^

1 0 .2

u _l - 2

>* ... 7J]r «

= ü

E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s .

D e fír u c ió n o s y fu n d a m e n t o s

El orden de una ecuación diferencia) lo da el orden máximo de derivación que figura en la misma. Poi ejemplo, las ecuaciones a), l>). d) y í ) .son de primer orden,

11 üentras

que c) y (?) son de segundo orden.

El grado do. tina ecuación diferencial es el mayor exponento al qu ecst.ii elevada la derivada de mayor orden entre las que figuian en la ecuación, después de transformada la ecuación de modo que no con tenga radicales o denominadores donde figure la variable dependiente o sus derivadas. Por ejemplo, las ecuaciones a ), b). c ), y f ) son de primer grado, niientras que d ) y e) son de segundo grado.

10.2 E cu a cio n e s diferenciales. Definiciones y fundamentos

457

Una ecuación diferencial hneat es aquella en la cual la variable dependiente y cualquiera de sus derivadas aparecen en un grado no mayor que el primero. U na solución de una ecuación diferencial ordinaria en dos va riables es una relación funcional entre las dos variables que satisfagan la ecuación diferencial. Es decir, la solución en lugar de un número o tina expresión algebraica, es una relación funcional que al ser reemplazada junto con sus derivadas sucesivas en la ecuación diferencial la transforma en una identidad. y — f { x ) es solución de la ecuación diferencial ordinaria I I ( x yy yy*, y

" , yv ) = 0 para un intervalo ^ 4 C R ? í>

V x e A I I { x J ( x ) J ' ( x ) J " ( x ) , . . . . , r ( x ) ) = 0. E l problem a de resolver la ecuación diferencial, o sea de hallar la función desconocida, se convierte en un problema de técnica matemática. ¿C óm o hallaremos, por ejemplo, la solución do la ecuación aj° Vemos que en dicho caso debemos encontrar una función y = f ( x ) tal que la pendiente de la tangente a la curva representativa ele la función sea igual al doble de la abscisa del punto, o sea que c*n a = 1. valga 2; en x = 2, valga 4, etc. en a )

dy — 2x dx Integrando miembro a miembro

luego

2 y = 2 ^ - -I- C => y = .I2 -( C

(10.1)

siendo C la constante de integración. U na solución tal com o (10.1) que contiene constantes arbitrarias en número igual al orden de la ecuación (en este caso, una) se llama

458

Cap. 10 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S DE.

solución gcTieral, y consiste

en

la expresión

de

h ija

familia de curvas

cuyas expresiones junto con las de sus derivadas satisfacen la ecuación diferencial. Las soluciones que se obtienen de esta familia dando a las constantes valores particulares se llaman solucione j particulares. En la práctica, una solución particular se obtiene de la solución general por condiciones dadas del problema, que la solución particular ha de satis facer. La expresión de la solución general contiene infinitas soluciones. Así, en el ejemplo tratado, si C — 0, la curva es una parábola, con vértice en el origen y eje Y (figura 176). Si C = 1. la curva es una parábola que corta al eje Y en el punto (0,1), etc.

el punto

Si, en cambio, quisiéramos determinar la solución particular en xq = 1 ; ?/0 — 3, reemplazando en (10.1) 3 - l 2 + C = 1 + C => C' = 3 — 1 = 2

o sea en este caso la solución particular es y — x ¿ -h 2 Y F i g u r a 176 C^ 2

.

'

(' — 1 V - J •'

. -*

•'

.» '

C= 0 •

, . •

♦ / * *

1 X

Para cada valor du C oblen emos. entonces una curva, que cumple con la condición pedida: la Tangente en cada tino de sus puntos es igual al doble de la abscisa del punto. Si en cada punto cid plano trazamos un pequeño segmento in d i líelo en la recta tangente a la curva solución en dicho punto, el conjunto de esos segmentos se llama campo de direcciones de la ecuación diferen cial.

10.2 E cu acio nes diferenciales. Definiciones y fundamentos

459

Las fiiliciones que satisfacen la ecuación diferencial, pero no se obtienen a partir de la solución general por determinación de constantes, con ti tu yon la solución singular do la cv nación diferencial, dichas ecua ciones 110 están contenidas cu la expresión de la solución general. 10.2.1

Existencia y unicidad de soluciones

Hemos supuesto que para cada ecuación diferencial es posible obtener una solución general. Enunciaremos, aceptando su validen, los teoremas de existen c.io. y unicidad* Sea la ecuación diferencial

La función ¡•{:ci y) está definida en alguna región R del plano \x. ?/); por ejemplo, el roer ángulo a < x -ste una nnia¡ solución, y = y (.?:). que satisface la condición inicial /A) Teorema 2. "S i para la ecuación diferencial

%

r,

=

F ^

y

F {x.y)

son continuas en la región R, existe

'

Í)F

y

^

utio

únten función y — / (r ) que

satisface la ecuación diferencial y tom a el valor do ;/■> cuando ;r — Z q ." Ejemplos dt aplicación Expresados en términos matemáticos, muchos problemas físicos, químicos o económicos entre otros, conducen a ecuaciones diferencíalas. Ejemplo í L a lev de 01 un. E — R i , no puede aplicarse directamente a los circuitos que contienen autoinducción, como una bobina. Para un

4 60


circuito en serle, como el de la figura 17.. la forma modificada es la coi i ne i ó n d i fer enci al

£ ,f|

+ R i = F.

(10.2)

donde R indica la resistencia riel mismo en ohmios, L la autoinducción en he arios, la fuerza autom otriz (fem ) en voltios, i la intensidad de amperios y t el tiem po cu segundos. Debemos determinar í en función do ios datos restantes. F i entra 177

o

E jem p lo 2 O tro (’i em plo perteneciente al campo de la ingeniería eléctrica es la ecuación diferencial ^ = -k d /

(10.3)

donde, suponiendo que por efecto de pérdidas, un condensador eléctrico se descarga con una velocidad proporcional a su carga Q, debernos de terminar ésta en función de t. Ejemplo 3 L a segunda ley de la mecánica de Xewlon puede expresarse por medio de una ecuación diferencial F = - £ ( ; n,c ,

(10.4)

donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de masa m y su velocidad v. Ejemplo 4 Determinar el precio de equilibrio entre la oferta y la demanda de un bien es uno de los problemas, que se nos presenta en economía.

10.2 E cu a cio n e s diferenciales. Definiciones y fundamentos

461

Sabemos que la ciernan cía es función del precio, pero éste a su vez es función del tiem po, o sea poden ios considerar la demanda como (unción compuesta D = f[p ( t )} Pero D no sólo depende del precio, sino también de las expecta tivas que existan respecto a la evolución de los precios en el futuro. La variación futura fie los precios está indicada por la derivada, ya que si efectuamos una representación gráfica, si la curva de los precios mues tra poca inclinación (significando que los precios variarán muy poco en un futuro próxim o) la derivada de la función en el punto t considerado tendrá un valor próxim o a cero; mientras que si la curva muestra un cre cim iento muy acelerado (significando que los precios subirán rápidamente) la derivada de la función en el punto t tendrá un valor muy alt.o. Pol lo tanto la demanda, además de ser función del precio (que a su vez (¿t> función del tiem po) es función de la derivada del precio con respecto al tiem po, o sea D = F [ p ( t ) ; p'(*)| L o mismo oen n e con \a oferta 0 - G [ P (í); p '( í ) ] P
+ 10//'

(10.6)

resultará interesante? determinar ol precio en función del tiempo y el pre cio de equilibrio. Debemos, por lo tanto, encontrar el modo do resolver las ecua ciones diferenciales. Solamente consideraremos ecuaciones owhnnria.'i. y de éstas es tudiaremos:

462


I)

Ecuaciones diferenciales de primer orden a)

Con variables separables.

l>) Homogéneas. c) Lineales. d ) Di ferenei al es cxact as, I I ) Ecuaciones diferenciales de segundo orden redi icibles a ecuaciones de prim er orden. IIJ) Ecuaciones diferenciables lineales de según rio orden con coeficientes constantes: a)

Homogéneas.

l>) N o homogéneas o completas.

10.3

E c u a c io n e s d ife re n c ía le s d e p r im e r o rd e n

Una ecuación F ( x , y ^ j ) = 0 que liga a la variable x, la función incógnita ?/, y derivada primera yf, es una ecuación ordinaria de primer orden cu form a implícita; si es posible, despejar y 1 . obtenemos la forma explícita y' = F ( x , y). P a r í resolverla, debemos hallar todas las funciones explícitas y = f ( x ) o implícitas (¡){x, y) — 0 que las satisfagan. Cuando la solución se obtiene mediante primitivas, o por inte grales definidas decimos que la ecuación se resuelve por cuadraturtis. Existen di.st.irii.os tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden, a continuación las nombraremos y daremos el m étodo corre spondiente do resolución. 10.3.1

Ecuacioiiex difareveinfas con variables separables. La ecuación que resolvimos (ver 10.2) os con vari al )l es separables,

pues com o el nombre lo indica conseguimos separar las variables. N o siempre una ecuación de primer orden se puede resolver por este m étodo, por ejemplo, no es posible separar las variables en la ecuación

70.3 E cu acione s diferenciales de primer orden

463

Cuando dada nna ecuación del tipo

el segundo miembro puede expresarse como producto do dos funciones, nna de x y otra de y. ^

= / ( t ) .
es posible separar las variables

s

é

= I{ x ) d x

y obtener, mediante cuadraturas la solución general

' á r / /w* en la forma

(¡>{y) ^ 6 {i} + C

Para todo punto en el cual f ( x ) y q(y) son continuas y además (/{v)

7^ ti.

existirá una única curva integral que pasará por dicho pimío.

E je r c ic io 186 Resolver la ecuación difcicncial (1 + x 2) y3 dx -f (1 + y2) dy = 0 Solución { l + x 2) i f ’ á i = - ( l ^ y 1)d y Separamos las variables

d + ^ ) dx = - ^

t ± r

d y ^ - í ^ - r í " ) dy \v' v)

Integrando miembro a miembro

4 54

Cap. 10 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E

, r ‘

^

1

.

' - y - v ' rhl?/ = c

que es la solución general de la ecuación.

E je r c i c i o 187

Resolver la ecuación diferencial lh L d:r

1 4 V( l •] x :¿):r\í

Solución. . r ) x y (hj — ( l \-y2) dr

(I

( l + ?/“ ) d r - x ( \ -i x - ) a dy = 0 Dividim os j)or obteniendo

■(1 t a-I} ( l + y¡ ) . para x 'parar las variables,

dr

y

x ( l - \ - x 2)

l + y ‘¿

dr

:r 1- d i r

f

1 -t* A-! )^ d i - / j

dv =

y

-

1 -r v?

In.r - ^ l n ( l •» r ’ j -

j

Ü

r d<; - C

1•

I d—

\ ~ C

Í X É L ^ C

J

1 -r

^ ln( 1 + y¿] - C

m ú ltip la a n d o m ic itib iu a m ie m b r o p o r (-2 )

ln (l + * r ) ( l -4-7r ) = 2 \ u r - 2 C P a v a s im p lific a n

en lu g a )

d e -2(1, p od a m os e s c rib ir In c pues

a m b o s son d o s n ú m e ro s le a le s cu a le s q u ie ra , Iney/» l n ( l -I- : r ' D ( í + 7 / 2 )

ln (l

=

h ¡ : Jj l n '

-M ;2) — Inca"

com o el logaritm o es una función inyrctiva, entonces: (1 + ^:2}(1 -t- í/2} — c.r2

10.3 E cu acio ne s diferenciales de primer orden

465

que es la solución general. E j e r c i c i o 188

Hallar la solución tfcncial de la oa melón diferencial

^

+ el í / - c V

la .solución particular que pasa por d punto ble* soluciones sinnulares. Sohdci.ón.

(10.G) )/2: y estudiar posi

dy_ = c V -
V - V integrando m. a ni.

=> - C i = r / - In ^ 1 1 ^ y si C i — • - C y aplicando propiedad del logaritmo C —

*f lll

V : >) - ]

que or* la sobtC/ón ¡¡cvend. Para bailar la solución parí i cu lar

C = t ’ + In

—i i , ¿ = I + In 7 ~2~) ¿

Keoiupla'/ando esk* valor en (10.7). obtenernos 1 -P h i - - t x + \ n — ^ 4 y .s-nli'rión pn:ih.cud’T que pasa por Pq(0, !/-)•

(1 Ü.T} ;

4 66


L a solución general es una familia de curvas de parámetros C. L a solución particular es una curva de la familia en este caso determinada por las coordenadas de un punto P q por el cual nos piden que pase la curva. En cuanto a las soluciones singulares, aparecen en algunos casas, ¿Ululando los denominadores de la ecuación dada y hallando las raíces de las ecuaciones algebraicas que resulten. Obtenidas las posibles soluciones singulares, se debe investigar si verifican la ecuación diferencial, para aceptarlas como tales. E n este caso J 2 ~ V = 0 =>• y ( y -

1) = 0 ^

y¡ -

0 ; y2 = 1

son las soluciones singulares, pues verifican (10.6).

E je rc ic io 189 Hallar la ecuación de las curvas tales que la pendiente de la tan gente on un punto genérico P sea 1/2 de la pendiente de la recta que une el origen con P. Determinar tal as curvas. Solución

O


467

L a tangente a la curva en el punto P tiene pendiente j K pendiente del segmento que une P con 0 es y/x (figura 178)

La

El problema exige que , 12/ V = 7 ,2x que es la ecuación diferencial cuya solución general so pide. P ara hallar la naturaleza de la.s curvas, resolvemos dicha ecuación

^

dx

=

2x

y

— ^ 2 x

=> 2 luí/ = ln x H- ln C

j

f —

y

=

/—

J

x

ln y2 = In C x ^

^ y2 = C x que es una fam ilia de parábolas con vértice en el origen y eje X , como indica la figura 179.

E je r c ic io 190 Hallar la solución general de la ecuación e* c o s y d x -f (1 -+■ex ) son y dy ^ {) y la solución particular que pasa por el origen.

468


Solución eT eos y dx = —(1 4- ex ) sen y dij

1 4- e x

coisy

c Tdx

f seny dy

/

1 + ex

J

eos y

ln (l + r/') = ln eos y + ItiC = In (C c o s y ) => 1 + ea = C eos y que es la solución gencTul. T a ia P0(Q,Q) l + e° = = C c o s O = » 1 + 1 = C .l = ? C - 2 1 + ( f = 2 eos y que es \a solución particular.

E jerc ic io 191 Resolver la siguiente ecuación diferencial sen

d j — yev dy = 0

Solución. Separamos las variables 1

s<*n2x d x = y e y dy

Integramos miembro a miembro

I

scn3a:<¿2 := j /i

Resolviendo las integrales

y c v dy

(10.8)

i\ e l-¿ obtendremos la solución. Luego

10.3 E cu a c io n e s diferenciales de primer orden

=

j sen x dx +

469

I eos2 x ( —sen r ) d.i =

— / sen x dx 4- / eos2 x ¿eos x =

a s ^ C0R3; + ü ^ ± + C 1

(10.9)

h = j y e v dy que puede integrarse por partes, haciendo y ~u ;

dv — ev dy

dy = du ; t> = ev Recordando que

J udv — uv — J vdu resulta l¿ = ye? -

J

evdy = ye” - e* + C ¡

(10.10)

Reem plazando (1 0 9 ) y (10.10) en (10.8), obtenemos

3 / = - cosx +

<5

-h C i = yev - ev «r C 2

Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando las constantes C i j r C¿ en una sola C, obtenemos la

3 — COSCO H- S 2 Í - Í — ycy -f- ey + C = 0 o solución general.

E je rc ic io 192 Resolver la siguiente ecuación diferencial ( e * H-1)(1 - y ) d x - y 2
470


[e 'S * + l ) d r _

-/x

y ¿ dy

~ 1-y

Es, efectivamente, una ecuación diferencial de variables separables. P o r lo tanto, integramos ev x dx ^

f dx

f

y* dy

(i - v )

( 10 .11 )

h ¿ix

dx

h =

~ j r

= 2e/*

( 10 . 12 )

dx

(10.13) J y‘ h

=

dy

—

!/ - 1 Pero y 2 = ('j + v )(ij - 1 ) + 1

Entonces

r

!/ - i

=(» + !)+

1

2/- 1

Luego

fo + l ) +

dy = - ^ - y - \ n ( y - \ ) + C

(10.14)

y -1

Reemplazando (10.12), (10.13) y (10.14) en (10.11) obtenemos la solución general 2e^ +

= - t

_ y _ H y _ l) + C

E je rc ic io 193 Estamos en condiciones de resolver el ejercicio propuesto en el ejem plo 1 (de 10.2); o sea, resolver la ecuación diferencial

L ^ ¡+ R i = E dt

(10.15)

10.3 E cu a cio n e s diferenciales de primer orden

471

suponiendo que E es constante e i =■ 0 cuando t = 0. Solución. P a ra integrar (10.15), separamos las variables Ld i = ( E - R i ) d t L

J

-di = E ~ Ri

dt

(10.16)

Haciendo u= E -R i

(10.17)

resulta du — - R d i d ¡ - ~ R dt de m odo que (10.16) se transforma en

D e (10.17) y de las condiciones iniciales, vemos que u -E -R i tiene el valor

positivo ^ = E para t = 0. P o r consiguiente supondremos

que permanece positivo, o sea JuJ “ u y la integral (10.18) da ~ \ n v = t+ C o bien —= ln (£ - i? i)« / + C H

(10.19)

solución general. P ara hallar la coactante de integración, t.enemas en cuenta las condiciones iniciales t = 0, i = 0, resultando C —

^

E

Reem plazando en (10.19) y efectuando operaciones, obtenemos

4 72


£

ln

Rt

E *• R i

(

10 . 20 )

Vemos que la interinidad de la corriente (pava i > 0) es siempre menor que el valor do régimen

£ y que se aproxima a él as'mi óticamente.

Este valor corresponde a la

corriente que circula»;! por el circuito .si L = 0 (circuito no inductivo) o si ch/dt = 0 (corriente continua, x = cte ) en la ecuación (10.15). En efecto, si L —** 0, entonces para todo t > 0 el ex ponente —( R t ) / L tiende a —co (i i--» B / R en (10.20) Y

i. = V; / R

Figura 180 /

f = H / R í l -c

O

X

fia curva d e b e ser a sintética) La figura 180 representa la gráfica de la intensidad de la corriente en fundón de] tiempo.

10.3 E cu acione s diferenciales de primer orden

473

E je r c ic io 194 También estamos en condiciones de resolver la ecuación diferen cial del ejem plo 2 (ver 10 2). O sea, resolver

f- con la condición inicial t = 0, Q = Qo Solución

ln Q

=

kt. + C

sol u d ón gr nera 1

(10.21)

Para t 0, Q = Qo\ 1riQo = C. Reem plazando en (10.21) ln Q — \nQo — —kt o bien

i = o sea

-kl

Q_ Qo

-kt Q = g 0c’ * Según esta ecuación, Q no

fie

anula nunca. c;> decir, significa que

siempre hay carga remanente. í 0.3.2

Ecun a o v es ho rno# éneas Dada la ecuación {;x 2 + y 2 ) d x + 2x y d y — 0

(10.22)

donde (a r -\-y¿) y (2x7/) son funciones homogéneas (ver 5.fi) del mismo g ia d o do homogeneidad, vemos que no pueden separarse las variables, poro do (10.22) 2xydy

= —(x2 + y2) dz

474

Cap. 10 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S DE..

o sea dy _

x2 + y 2

2xy

dx

D ividiendo numerador y denominador del segundo miembro por x elevada a la mayor potencia que aparece (en est.e caso por ¡r3), obten emos _

1+

dx

(x)

„

. m {.x/

2*

Toda ecuación como la dada, que puede escribirse en la form a 4 - / (1 )

(1 0 ,3 ,

se llam a homogéneo.. Estas ecuaciones, mediante la sustitución v = ^ X

(10.24)

pueden transformarse en ecuaciones con variables separables. Para ello, de (10.24) y = xv derivando respecto de x dii dv -j- = l.v + s — dx dx y (10.23) so transforma en dv t. , e + z - = / (v ) de donde x - = / (,)- „ luego

- J

h

f ( v ) - v

- -

X

(10.25,

v

Hemos conseguido s e r r a r la s v a r ia b le s y se re s u e lv e por c u a d r a tu ra s .


475

Una vez resuelta (10.25). la solución do ln ecuación original se obtiene reemplazando v por y/x. Siguiendo el método indicado resolveremos la ecuación propues ta (10.22), o sea. E je r c ic io 195 Resolver ( x 2 -f y2)d x-\ -2 xyd y = 0 Solución. Consideramos y =

V

V =

XV

— X

luego dy = vdx + xdv reemplazando en la ecuación dada ( z 2 + x 2v2) dx + 2x2v (vd x + xd v ) = 0 a,2( l + v2) d i + 2x~v2dx + 2x*vdu = 0 Dividiendo por x 7 ( r # 0} (1 + t;2) dx + 2t;2dx + 2xvdv “ 0 (1 H- 3 f2) dx -r 2xvdv = 0 D ividiendo por x ( i -r 3v2), a fin de separar las variables

real

3

dx

2vdv

x

1 + 3v2

=

0

Integrando y considerando como constante arbitraria el número In C , obtenemos !na' + ^ l n ( l + 3v2) = i l i i C 31nx -f In (l + 3t>2) = In C i s( l + 3vs ) = C

x3

4 76


x J 4 '¿xy- = C x

( 2: 2 + ¿ i / )

= C

que es la solución general. E je r c ic io J9G Resolver la ecuación ...2 „ 2 dV dV V - ' X d J := X y d¿. Solución i/ d x 4 (a:2 — xy ) dy — 0 Consideran ¡ o y = xi' íV¿/ = vdi 4 xdv s u s titu y e n d o

r v ' d r , 4 (x 2 — x 2i')(V Í 2; 4- xd v ) = 0 x 2r 2

477

sustituyendo v — * obtenemos ^ y — Ccv'x

solución general.

E je r c ic io 197 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial xdy - ydx - \/x2 - y-cir - 0 Solución y = XV dy — vdx ‘ I xdv Sustituyendo z ( v d x 4 x d v ) - x v d x — y/X2 - i - c 2dx = 0 x v d x 4 x? — xvdx — \Zx2{ 1 - V" \dx — 0 Simplificando x 1dv — x \ f l — v2dx = 0 D ividiendo m. a m. por x ( x # 0) xdv — / \ — v¿dx = 0 D ividiendo m. a m. por x\/l — v2. a fin de separar las variables dv

dx

y/\ ~ t'2 ' ' X Integrando * dx

f

dv

ln x = are sen v 4 C ln ?' = are: sen — 4 CJ x

solución

E je r c ic io 198 Resolver la ecuación
(x7 4 xy) dx —x’ dy = 0

g e n e ra l.

4 78


y encontrar la solución particular que pasa por el punto Solución. Dividiendo por x 2 ( x

0).

0)

x 2 + xy

dy

x2

dx

V du 1+ - = -r x dx dv 1 + V = V + X— 7— dx dv

l= X + - r dx dx

— = dv x ln x = v + Ci => C + ln x = v ln O e = ^ X

2/ — x ln (C x )

solución general.

Para hallar la curva integral que pasa por el punto (1,0) debemos determinar la constante C. 0 = 1. In (C .l) = ^ tn C = 0 ^ C = l luego la solución particular que pasa por (1,0) es y * x ln x

10.3.3

Ecuaciones diferenciales lineóles Estas ecuaciones son de la forma ^

+ ? ( * ) ! / =
(10.26)

donde p ( x ) y q (x ) son funcionas continuas que dependen exclusivamente de x. Por ejemplo dy , 1

4 79

10.3 E cu a c io n e s diferenciales de primer orden

es una ecuación diferencial lineal, siendo en este caso

1

pU) =

y

P ara resolverlas consideremos por tratar 1) Cuando q (x ) = 0. En este caso, (10-26) quedará ^ + p (x )2 , = 0

(10.27)

que es una ecuación con variables separables, pues ^ = - p ( x ) dx u Integr ando m. a m. Ini/ - - J p { x ) d i + ln C de donde ij = C e " / p(l1 dz

(10.28)

que es la solución general de la ecuación de la ecuación diferencial lineal con segundo miembro nulo. 2) Cuando q (x ) =* 0. Aplicamos la sustitución de Lagrangc y -u v

(10.20)

Como di/ du dv -r- - - r v + U’rdx dx dx reemplazando en (10.26)

dv + U ~ = Q (X ) Observamos que u es solución particular de (10.27) para C = 1, luego la expresión perteneciente al corchete se anula, quedando dv

, .

480


dv =

V

SOLHUl í 10.25o

dr ~

f

q' f ,
=f

J p'

dv = q(x)c.iv[l),Udx

= j

dr + C

Com o fpnr (10.29j) y = uv, resulta finalmente

y=r

|

j \q { x ) r .l j rfo. + C

(10.30)

que os la solución ¿enoral de (10.26 j. E je r c ic io 1DÜ Res; >)v ;t H- ( s e n x ) y =

I r é ' ' ”' *

Solnaón. F.n este caso es =

sen x

q (x) - 2 x c f " ' x Teniendo cu umnia (10 20}. o sea que la solución es

y =uv nos conviene hallar primero u, luego v y reemplazar r — (

¡ A * ' ) i,j: — f.

1 /r -

) J

I se

xdr —

v{j]djJ
j 2'xcr"'Je-Cl,iTdT-\-C=

— 2 I xdx -\ C — x~ i C

r

481


luego y — i.''""* h ? H* C )

-eluden genera!.

E je r c ic io 200 Resolver + i? dr

x + I

Solución. p(x) q [ x ) = [r + 1 : s = c

/ * ' ! ■ " = c f (2': : ---■ =

=

( ( . . f

r-.,

I I;

_

1)2

(recordar que si In x — ?¿j —> r XI

(tf

1

d_

(x T

luego

// - ( x + l } 9

+ x + CJ

soliu:ion general.

E j e r c i c i o 201

Resolver c u ///

*1

(y/

x r.- i d <: = 0

So/'iU'vcM. Hay que llevarla a la [orina

D ividiendo por dx rn. a m. obtenernos

482


= > 4 + l , = z e^ dx

+ dx

^ x

siendo p{x) = i

;

X

q{x) - e1

= c~ I At'/x = e ~ ]ríX = e,ni * = / ic e.

dx + C = e * ( x - 1 ) + C ’

?/ = uv = i [c* (a? - 1) + C\ = «X

X

^ X

e* + — i

solución general

T

E je r c ic io 202 Hallar la solución general de la ecuación dy

2x

te + W T i y = x y la solución particular que? pasa por el punto P o ( l , 4). Solución = .u _

í

X2 + 1

e - / { 2 x / x , + l)c ix

__

- |n{z J+ l )

_

c ln (í3+ l )

_

' _

T2 4- 1 v =

/ [x (x 2 + 1 )¿t] + C =

/ [(x 3 'h x ) fí:r] -f C =

luego y = uv =

x

*

I j. \

¿

En el punto /?,(!, 4) resulta

+ C )

solución general.

483

10.3 Ecuaciones diferenciales de primer orden

entonces* la solución particular es 1 V"

/ i*1

x2

2-2 + 1 1^4 +

2 +

29 4

Efectuando la división indicada, resulta t 2+ 1

7

V=

x2+ 1

E je r c ic io 203 Resolver dy

^ ~ 6,J = X Solución p (x ) = - 6

;

q(x ) = x

fi" / - W l = e6/ J j = c (’t

„. =

v - J [ x e ~ Bl} d x + C Integramos por partes. Llamemos u = x

;

dv = e~Sxd r

por lo tanto du = dx

;

v = —- c 6

61

luego

= - 5 “ _ f a - ¿ e" fc + c luego y = ih, - e6" ( - i i e X u

61

- ^ c " 8' + C ) =

1

~

9? Ou

* ^ eGx

E je r c ic io 204 Resolver dy

solución general.

4 84


Solución p (x ) — 1

;

q {x ) = 2 4 2x

= c~ I dx = e~x v = J [(2 + 2x) dx] + C =

2 j c7 dx + 2 j x cxdx + C = 2ex + 2(xeT' - c x} = 2cT -I- 2xex - 2ex + C = 2xex + C

y = r x i2:reJ' 4 6') = 2x 4 Ce*

solución sen eral.

E je r c ic io 205 Resolver 1 1 4 y2) d x = (are tg y — x ) dy Solución. Hay que llevarla a la forma ^

+ p { x ) y = q (x )

si os posible. Para ello pasamos dy al primer miembro /, 9\ dx (1 + 1/ ) ^ “ are tg 7/ - x luego pasamos x al ;>riinc?x* miembro y dividimos m. a in. por (1 4 y2), obteniendo dx 1 are tg y
l-t-y¿

ecuación diferencial lineal cu la que las variables aparecen invertidas, siendo 1 , . are t.g v =

;

^

= T +- F

u = f - j r W ¿ v _ c - '/ Í T ^ ) ^ = ( - ^ v = I

[
'* !/

485


avctg;/

arct|

dy + C =

1 + ’/= are t-¿ y .c'"‘ '* * - j

— L j e " ' "> hhj -

r. are t.g y . e',rc lt * - e“rc ts 1 + C h m io = z ¡„ = e - ' 1' Is ¡ '( a v c t . g y . e i,rc ’ s * - e“ ,x

* + C)

£ = are t £ y - ] -{--------------solución general. ° ■' r .irc Tg y « E je r c ic io 205 Resolver dy -p- + cot. g a*/ =* Sen y: fu ¿o/ucrán -P(cr) = c o lg u — e -t

c » t e -e rft;

x

< 2 (x ) =

;

seno:

— £>"* / 7^7* ^ — «** Itiacna: _ ^.Insr

1 sen x

t> =

j [sen o: sen x dx] +

C —

J

[sen 2 o; «¿xj + (7

Para resolver esta integral recordemos que. eos 2a; = eos2 x — seira; eos2 x = 1 — seir r lutígo eos ?.r = I - snn2x - s c n V = i - 2sor¡¿x = 2scj>2x = 1 — eos 2x Por lo tanto sen2* = reem p lazan do en (10.31)

1 — eos 2x ó

(10.31)

486


Luego y = uv ^ —— ( ~ z — \ sen 2x + C \ = senx ^ 2 4 x son 2x — — -----------2sen.r 4scn¿

C . . f----- —* solución general. son 2:

E je r c ic io 207 Encontrar la ley de demanda en un bien i, sabiendo que la de manda marginal de un bien se aproxima a la siguiente ley dD

D

-y— — ~ 7------ 1- P\

dyi

5pi

Solución dD

D

dp\ + 5pl es una ecuación lineal de primor orden, donde

p ír U ^ - r Of>i

— e- i )" U\

y

q(p\) = - p ¡

ln v\' S _ c.}n{pi ,/5} *’ _

® = j [ < ¡ ( p i ) r J , ' ' p' idp' ] dp¡ H C =

=-

J

[ ( - p . ) p ¡ /S] djn + C =

1 { p 'r ^ p ,j + c = - ^ P}‘/ B + c Í^ d p ^ + C -

*

5 - n/E

luego, la ley demanda pedida es

E je r c ic io 208 Hallar el volumen de inversión I, sabiendo que


donde o

487

es la productividad de la inversión y a la propensión marginal

«aí consumo. Solución. En el capítulo 8 resolvimos aplicando el cálculo integral el modelo de la expansión de capital de Domar. Puede también resolverse utilizando la técnica de las ecuaciones diferencia]es. La expresión dada es una ecuación lineal de primer orden donde ía variable dependiente es I. La solí idou se obtiene mediante / = «• .-

J pji

donde c es una constante «arbitraria que puede determinarse teniendo en r.nentA la? condiciones iniciales y P es

P = -a a ) ijrgo a a
= /(o)

cuando t = 0 , será 1(0) _ c*c° - c O sea /(/) = / (0 ).n ™ ‘ que coincide con el resultado obtenido antes. 10.3.4

Ecuo.c.ión de B t in o v lli

Multiplicando ol segundo miembro de la ecuación lineal por obte nemos la ecuación de Bem onlli

488


que m ediano una sustitución conveníanle puede llevarse a la fon na lineal. Para olio dividimos (10.32) por y'\ obteniendo

V n^

+ v ' - np {x ) = q (x )

(10 33)

H a c ie n d o v - y l~n

(1 0 34)

y cíoihundo (10.34) respecto de x, resulta

dx

dx

dx

1 —7¡ '

dx

Reompazando en (10.33) 1

dv

T ^ . T x + v p [ x ) = q [x ) Multiplicando m. a rn. por (1 — //) resulta

l |-¿ + U

-ri)«j> (3 :) = ( i - ,» ) g ( U

(10.35)

o sea nna eniación lineal en t;(x). E je r c ic io 209 Resolver la ecuación diferencial dy

1

X

- - - - -

v; =

. -

1 , y~

X

S o h d ó v . Es una ron ario ti del tipo de Bornoulli p{:r) -= - t

; (¡(x) = - i

v = y '" ' = y 1

y v = 2

y = v~l

La ecuación lineal transformada (según (10.38)) es

: H - i > = - í 4

(10.36)

4 89


o son du

-+

dx

1 - v

x

1 =

-

x

q u e resolvemos con In fó rm u la (1 0 .SO):

V - Í--

lní(J

+ c j =T ~ (.']■ -i- C )

Sesún

-íx v C ) I

= | -| J '¡

X

(x + 6 ') - ‘ = x ' x + C

que es i a solución £ener
Enuncien*.s d/fcren/jales exactos I.a ecuación diferencial P { i . y) dz + Q (x , y) dy = 0

(10.37)

se llama exacta, si su primer miembro es una diferencial total, es decir, si existe una función U ( x . y ) tal que rlC - ~

dr ^ —

dx + Q dy

(10.351

Hallada la fundón U { x ,y ), la ecuación (10.37) toma la forma dD*(x:V; = 0 y tiene la solución U (x ,y ) = C Dada una ecuación de la forma (10.37) se presentan dos proble mas: 1) averiguar si U h .yj existe, o sea reconocer si os exacta, y 2) on caso afirmafi'-o. hallar la función U ( x . y ) . 1) Si la ecuadón es exacta. ileberá cumplirse

490

Cap. 10 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S DE,

Si los funciones d U . dU_ dx ’

dy

8Hi ^

d xd y

son continuas cu un punto existe y ¿‘$x y además las derivadas cruzadas son iguales. De (10.39) 82U _ d P dxdy

dy

’

&U

SQ

dy d x

c)x

de donde dP ^dQ dy

dx

(10.40)

Luego, si esta condición llamada c on d ia ó v da simetría se cumple, constituye la condición necesaria y suficiente para cjue la ecuación sea diferencial exacta. 2) Según lo dicho, esta ecuación provendrá de diferenciar miem bro a miembro la función V ( x yy) — C ; pues como

resultará U {x ,y )= I P (x ,y )d x ^ F (x ,y )+ a (y )

(10.41)

donde fy{y) os constante respecto de x (pues al derivar parcialmente rcsp
Q {x,i))d y = --F {x,y )-\ -< t> (x)

donde <¡>{x) os coas!,ante respecto de y.

(10.42)

491


Como Los primeros miembros de (10.41) y de (10.42) son iguales, los segundos también deben serlo, de modo que IJ (x,y) se obtiene com parando (10.41) con (10.42) y la solución será F ( x , y ) + a ( y ) d (p{x) = C E je r c ic io 210 Resolver la ecuación diferencial (2x 3 d 3y - x 2) dr. d (3a: 4* ?/ - 1 - sen y) chy = 0 ¿ü/uCí'dri P (x , i/) = 2a:3 d 3?/ — x 2 Q (x , y) - 3a' d y - 1 - sen y

dy

=

99.

’ dx

=

1^211

&y

=

29. dx

Como se cumple la condición de simetría, la ecuación dada os diferencial exacta. Para resolverla, hallamos U\x, y) = j

= l^

( 2 z :í + 3 y - x 2) d x =

+ 3 y i - - l i 3 + rv(^)

(10.43)

y

U {x . y) = J (3a: d y - 1 — sen ?y) dy = y* - ^XV + y “ V + cos V + (H X)

( 1 0 .4 4 )

Comparando (10.43) con (10.44). vemos que y2

a i v ) = ~2 - y + cosí/ ;

j \

luego, la solución es x '[ x* v2 3x7/ 4- — - y + —

^..1

4>{x) = — - - J

- y + eos 2/ = C

492


quo es la solución general. E je r c ic io 211 Resolver 2 * - y + (y7 - x ) ^ = 0 dx Solución (2x - y ) dx 4- ( y2 - x ) d y = 0 P (x ..y ) = 2 x - y ap

;

Q ( x , y ) = y'2 - x

9 q _ ,

¡h; '

’ d x~

$ P _d Q ^

d y " dx

Por lo tanto la ecuación es diferencial exacta.

y) = J ( 2* - y )

— * 2 - vx + a (jy)

U(x
» ¿ fo )

Luego, la solución es

_ ,„+ ^ + ^ = c que es i a solución general. E je r c ic io 212 Resolver dy

2 xy

dx

y2 —x2

ó'duddn 2x?y í/x != (v 2 — x 2) dy ^ =? 2xy dx — (y 2 — x 2) dy = 0 = -> 2xy dx + (a-2 - í/2) dy == 0 ~

= 2a: = ~ dx

es diferencial exacta.

í/(r,v /)-2

I

T t j d x = x 2y + n { y )

493


U ( x t y) =

J

( z 2 - y2) dy = x * y - ^

+ (*)

luego, la solí ir ion general es

^ j - L . C E je r c ic io 213 Encontrar la solución general de la ecuación (sen y + y ¡n¿i\ x )d x + ( x eos y — eos i ) dy = 0 y la solución particular que satisface la condición inicial ( tt, tt/2). •Sofrieron ¡9P _ 5Q “7T- = - ñ " = eo s y + sena:

dy

02

L a ecuación dada es exacta.

- J ( s^n i/-f y s e n z )¿ 2 = s s c n y - ?/cos2 + Q'(?y)

£7(2, y ) — J ( 2 eos?/ - eos 2 ) ¿y = z s e n y - y c o s x +
2 sen y

— 7/eos x = O

Si 2/ = j . cuando :c = tt, resulta 7Tsen - — — cos7r = C

luego, la solución particular es

37T 2 scn y -7/COS2 = —

494

10.4


C u estio n ario d e repaso

1. ¿Qué se entiende por ecuación diferencial ordinaria? 2. ¿Qué se entiende por orden de una ecuación diferencial? 3. ¿Cóm o se determina el grado de una ecuación diferencial 4. ¿Qué se entiende por solución de una ecuación diferencial? 5. Indique la diferencia entre las soluciones general, particular y singuiar. 6. Indique las ecuaciones diferenciales de prim er orden que conoce. 7. ¿Cuándo se dice que una ecuación diferencial se resuelve por cuadraturas? 8. ¿Cuándo una ecuación de prim er orden puede resolverse por el m étodo de variables separables? 9. ¿Cómo se resuelve las ecuaciones diferenciales homogéneas? 10. Deduzca la fórmula que perm ite resolver las ecuaciones diferen ciales lineales, con segundo miembro no nulo. 11. ¿Cómo se reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal. 12. ¿Cuálas son las condicionas necesarias y suficientes para que una ecuación diferencial sea exacta.? 13. ¿Cóm o se resuelve las ecuaciones diferenciales exactas?

10.5 1.

E jercicio s d e aplicación Indicar orden y grado, de las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

— 3y = ~ 4 sen z — 2 c o s í

495


2. Expresar la ecuación diferencial de cada una de i as s ig u ie n te fa miliar simplemente infinita de curvas: a) y = i + C e x b) y = C x + 2 C y 3. Verificar que la diferencia] de la fam ilia doblemente infinita de cur var y = aex + b (donde a y b son parámetros) es y' = y". 4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) ( i + y) dx + ( x - f y2) dy = 0 b ) x dy — y d x 4- x*dx = 0 c) (x + y )d y + (x - y )< ¿ t : = 0 d) x(2 y - 3) dx + ( r * + 1) dy = 0 e) £

= < ? -*

f\ ¿a l)

dx

- * + \ A a+y’ y

g) (e1 + ln y + J ) dx 4* ^

+ ln x + sen

dv/ = 0

h) £ + 2í/ = e i) x d y + y d x = sen xdsj)

( ie '/ / x - f 7 /)d x -

k) v/\/2Í2 H-3 d?/ +

id ? /=

0

X y / i - y 2 dx = 0

m ) ( x + v ^ + T ) dx n) o)

dy ^ 0

A2/ = ^ t o * c1 cos?/dx + (1 + er )scn?/ ífy = 0

y la solución particular que pasa por el origen. 5.

Verificar en cada caso, ías soluciones dadas de las siguientes ecua ciones diferenciales:

496


a)

t j

(1

H-

y7) d x

~

(14- x 2) dy

=

0

(variables separables) Solución general:

(1 -f- r 2) ^ + y2) = C y 2

b) (x 3 — yA) dx + x y 2 dy — 0 Solución general:

(homogénea)

yz = C x 3 — x* Lnx3

c) ( x 2 H- yc2y) c h 4- (2x y + x ) e 2y dy = 0 Solución general:

d) x 7dy 4- x y dx = 8x2 eos2 x dx Solución general: e)

= ^

(exacta)

x 3 -f Zxy e2'J = C (lineal)

y = 2xr 4- 2x sen 2x 4- eos 2 r -f C (BernouiUi)

Solución general: y ~ ,[ = -

+ C x " 12

f>. A l estudiar el método economctrico de Phillips se presenta la ecuación diferencial:

resolver esta ecuación crj los siguientes casos: a) .4 ( 0 = k ( d c )

1;) A ( t ) = rn + nt c)

A (0 = A ,c ^

7. Alcalice la ecuación del ejercicio d cuando*. A (/ )= 0

n = 1,

b= l

8. Analice la ecuación del ejercicio 6 cuando:

A {/ ) = 0

a = l«

9. Al estudiar el módulo economctrico de H A ÍtR O D -D C ttlA B . se pre senta la integración de la ecuación:

í

-

Estudiar los siguientes casos:

r

-

*

*


4 97

a) ¿ ( 0 = k ( cte) l>) A ( t ) = A 0cmí

(m. > 0)

<0 A { t ) = A 0eml

(m < 0)

d) .4(t) = A e ’n' + k m

En eJ estadio de modelos de evolución dem o económica H A A V 'E LM O so requiere la solución de la ecuación diferencial: //T lJ ± + a { a - l ) x + ¡ 3 { a - l ) = Q

11. El estudio ele un modelo sobre inversiones de Samuclson requiere la integración de la ecuación del tipo: (Py -p . = -m y ; m > 0 Hallar y(i). 12. Hallar a y como función do x sabiendo que la elasticidad de y respecto de x es una constante cv. 13. Es sabido que )a elasticidad de la demanda cuya ley sea x = m es de la forma (a — bp)\ siendo a y 6 constantes dadas. Demuéstrese, resolviendo la ecuación diferencial, que dicha ley de demanda es x = p xe~'bp+c siendo c una constante arbitraria. 14. Si C es el costo total que corresponde a tina cantidad producida x y se sabe que el costo marginal

es igual siempre al costo medio

( ^ ) : resolver la ecuación diferencial y demostrar que C será en este caso, múltiplo fijo de a;; es decir el costo medio es constante. 15. En el modelo económico de EVANS: se supone que las funciones de oferta y la demanda son lineales y que la variación del previo os proporcional a la diferencia entre la oferta y la demanda. Resolver la ecuación diferencial para encontrar la evolución del prctio al transcurrir c4 tiempo.

498

Cap. 10 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E

l f>. Si la tasa do interés es 100 i % , capitalizadlo continuamente y A I es el monto en cualquier tiem po (principal más el interés acumulado) entonces

resolver la ecuación diferencial obteniendo la evolución del monto con el transcurso dol tiempo, hallando la solución particular para i = 0. 17 I
2jx¡ + 2Aq q2 -\ lfí

Hollar la ley de salida-precio (relación entre el precio y la cantidad demandada), si p — 7,5 cuando q — 4.


499

21. Un estudio do coitos en una determinada empresa reveló que a medida que so ampliaba la empresa, e! costo prom edio mensual (c) de los artículos de oficina estaba relacionado con c:l número de empleados (??) (además del jefe), por medio do la ecuación ^ ~ 2 .:- O , dn

»

Kxprosai la relación entre el costo prom edio mensual y el número de empleados si di d io cosí.o es de 3 unidades monetarias para la misma empresa con un jefe sin empleados. 22. Los costos C ele fabricación y comercialización o t a n relacionados con el número x de productos según la ecuación dC „ , . —:— |- ciC — b + kx dx en donde a, b y k son constantes. H allar C com o función de x sí C = 0 cuando x =* ü.

C a p ít u lo 11

E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E SEG U N D O O RDEN X l.l

In tro d u c c ió n . T e o r e m a d e ex is te n c ia

Ivíientras en las ecuaciones diferenciales de prim er orden solamente aparecen derivadas primeras, en las ecuaciones de segundo orden nece sariamente debe intervenir la derivada segunda de la función incógnita, (ver 10.2) L a expresión general de éstas ni timas es

que por comodidad indicaremos ■?’ (* . y, i í , y " ) = o donde ,

dy

V = S

„ e

v

En este caso, ía solución general va a ser \uia ecuación con das constantes C\ y C 2 , o sea, obtendremos la expresión de una familia doblemente infinita de curvas. Conviene recordar un teorema de existen do. de soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y'1 — F { x , y ) yl), debido a Cauchy, que expresa que, dado un punto (xo,//o) del plano y una pendíenre 2/ ( 10 ) ^ dicho punto, de las doblemente infinitas curvas que componen la solución general, hay tmu sola que pasa por (xo,!/o) y tiene en dicho punto la pendiente prefijada y '(x 0 ), o sea. que con las condi ciones prefijadas arbitrariamente ijq e y'Q , las constantes C i y C 2 quedan

502


u n í i'ocair avie de I o i mi nad as. Luego, nna solución particular solamente puede determinarse, si además del punto por el cual exigimos que pase la curva, fijamos también la pendiente en ese punto (o sea la derivada en dicho punto).

11.2

E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e s e g u n d o o r d e n r e d u c ib le s a e c u a c io n e s d e p r im e r o r d e n

M ediante cambios convenientes de variables, pueden reducirse a ecuaciones de prim er orden, ciertos tipos cío ecuaciones diferenciales do segundo orden. 21.2.1

Ecuaciones donde falto. Ja voriablt dependiente En este caso F (x ,y ,y ',v " ) = o

(ii.i)

F ( x , y ' lV" ) = Ü

(11.2)

1oiría la forma

que se reduce a una deprimer orden por la sustitución j> = ?/, p' — j '\ con lo cual(11.2) se transforma en F fa p rf) = 0 que es de primer orden en p. Si en ésta se puede despejar p com o función de x, P^f{x,C¡)

puede reducirse y a una cuadratura

En estos casos la ecuación de segundo orden se puede resolver en líase a dos integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales de primer orden. E je r c ic io 214

Resolver la ecuación v" + ! / + z = o

11.2 E c u a c io n e s ordinarias d e s e g u n d o orden reducibles.

y hallar la solución particular ral que para ,rn — ü,

503

~ 2 e y(¡ — I.

Solución. Se l.rata do una ecuación de segundo orden, donde falta la variable dependiente y. Para resolverla, la reducimos a una de primer orden, mediante la sustitución ?/ = p{x.y, luego derivando miembro a m iem bro y " = p1. Reemplazando en la ecuación dada, resulta

7/ 4* p +

x —

0

Haciendo p = uv. y teniendo en cuenta la resolución ele las ecuaciones lineales de: primer orden, la resolvemos asi:

d x -f C\

V =

= - X C J -T é

/ —r c v dv -i C\ —

1

^ C\

Por lo tnnto p — x,.v = c ' a \ - x e x -f ex + C i] — *;r +

■ P -V ' = ^ => dy =

= - X + 1 + C \ < -X

(1

- x 4- C\c x ) dx

e integrando J ( l - z + C ie -*)tlx = x solución general, de la ecuación propuesta

1+

r

(1 1 3 }

504

CaD. 11 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E

Para halla) la solución particular para las condiciones iniciales dudas, procedemos así: y ' W — i =■?• (metupla/audo er. ( I I 3)J

t> 1 = 1

0 4 C \ é'n =>

- . 3 = 1 - Ci

C\ - 0

y {0) = 2 (rec'inpla/.ando en (11.4)) ^ 2 = 0 -0

0e° -L C> =>

=> CL - 2 Sustituyendo los valores hallados de las constantes, en
B'jW'.tonc.'i a i las (ftir f/lita bi variable, independiente

Kn este ca-»o la ecuación (11.1) no contiene explícit.amenle la variable

t

. adoptando la forma I ' í i h v ' : v” ) = 0

(11.5)

Conviene ofecluar ahora la sustilución dy

„

, ^

d2y

dp

dp dy

dp ,

dp

di:-

dx

dy dx

d y'1

d\j

con la cual (11 8) tom a la ió im a

cjuc es una ecuación de primer ore Ion en p. A l n ‘solverla obtenemos p en función de ?/, integrando luego, nuevamente, hallamos la solución de

11.3 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

505

01.5). E je r c ic io 215 Resolver la ecuación yy" + y, 3 ~ Q y hallar la solución particular tal que para i o ~

1 , sea

=

1

o //n =

1.

ób/uddn. En este caso, como vimos, hacemos

dx o.

u

dp

v = Reemplazando en la ecuación dada, nos queda dp y-f dy

dv dy - p => - - i = — Jr y

ecuación de primor orden con variables separables. Integrando ■■ i p~2 d p = f ~ => - = I n y 4- C’ i = ^ => J j v v dy -> dx = (Iri y -1- C \) dy Integrando nuevamente, obtenemos la solución general de la ecuación propuesta.

j
+

C \)

±> x - y \ n y - y + C\y H

11.3

E cu a cion es d iferen cia les Linenies d o s e c u n d o o r d e n con c o e fic ie n te s constantes Una ecuación ríe la forma: «
?/n -,) + ... + a ft 7/ - F ( x )

(L1.6)

con üo 7^ ü. lineal respecto a ‘y 1 y a sus derivada*, se llam a ecuación diferencial Ut i m I con coeficientes constantes de orden ?>. siendo

506


o t (i = 0,1,

tales coeficientes y el segundo miembro una función de

variable x. Si F ( x ) = 0, la ecuación se Dama homogénea; en caso contrario se dice no homogérien. o completo.. L a ecuación es lineal incluso si los coeficientes son funciones de x, pero solamente consideraremos el caso en que los coeficientes son constantes y las ecuaciones de segundo orden. Por ejemplo, en la ecuación 2x y ” + 3?/ H- 4x 2y “ cosa: los coeficientes son funciones
+ 4y = 0

los coeficientes son constantes reales.

1 1 .4

E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s lin e a le s h o m o g é n e a s d e s e g u n d o o r d e n c o n c o e fic ie n te s c o n s ta n te s

Según (11.6) estas ecuaciones pueden expresarse así 0(i y " +

?/ +

03

t/ = 0

con cío jé 0 f o también ay" « f b if 4- a j — 0

(11.7)

con a jé 0. Si 2/1 o y 2 son soluciones particulares de (11.7), puede probarse que si el determinante V\

m

entonces V = C\ i/i + C 2 y¿ es la solución general. ¿Cómo resolvemos las ecuaciones del tip o (11.7)?.

/ 7.4 Ecuaciones diferenciales lineales h o m o g é n e a s.

507

Proponemos como solución particular de (11.7) de la forma V = &rx (sustitución de D ’Alem bert), con r nlimero constante. Si es solución debe satisfacerla, luego hallamos las derivadas primera y segunda y' = v e rx

;

y" = r V x

y reemplazamos en (11.7) obteniendo a r2e " + ¿w*erx + cer* = 0 ^ eTX(a 2r 2 + bi' 4- c) = 0 Como la función exponencial erx nunca se anula, y = c ' £ es una solución si r satisface la ecuación cuadrática a2 + br + c = 0 que se llam a ecuacióri. característica asociada a la ecuación diferencial (11.7). Resolviendo la ecuación característica obtendremos dos valores de r: r x y r 2 que son las raíces de la ecuación. Como es una ecuación de segundo grado con coeficientes reales se presentan tres casos según las raíces sean: 1) Reales y distintas. 2 ) R e a le s e iguales,

3) Complejas conjugadas. 1)Raíces reales y distintas:

^ r2

En este caso, por ser V\ = cr,x

e

y2 = er>y

puede probarse que la solución general es combinación lineal de estas soluciones particulares, resultando

?/ = Cx er‘* + C2
(11.8)

50 8

C ap. 11 E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S DE..

solución general. 2)

Raíces reales e iguales: r x = r-¿

E n este caso, la ecuación característica tiene una sola solución (raíz doble) que perm ite obtener la solución particular

Verificaremos que )n = x e riX es también solución particular. Derivando t/¿ = cr,T + H x e TlS v 'i - r j er,a> + n erix + r j x c r i * reem plazando en (11.7)

6 (c riar +

a (2 r ¡ e riX + v\x<>y' x ) +

t i x e * ' * ) + cxeriX =

0

faetoreando e r

11 (2a?*| +

y teniendo en cuenta que

6

)

4 -

i e r‘ *

2 + 6

( a

=

r *

+

0,

pues por ser la raíz doble al

f c r j

+ c) = 0

aplicar la propiedad ele la suma de las raíces de una ecuación cuadrática obtenemos: 2

2aí i + ¿> — 0

a

y que además ar\ + ¿w'i h- c s= 0 pues 7*i es raíz de la ecuación característica; es = x c r,r solución particular que satisface a la ecuación diferencial. Com o V \

—

? r ' z

e

7/2 = s rax

11.4 E cu acio ne s diferenciales lineales hom ogéneas.

509

son dos soluciones particulares linealmcnte independientes, la solución general es y ^ C i € fiX + C 2 XCr*x pues

3)

Vi

V2

l/l

V2

Raíces complejas conjugados:

(11.9) 7^0

= a + b i ; rj = a

— 62

donde

r\ y r 2 son reales. En este caso por ser las soluciones

,/j = e ( « + to .

c

linealmcnte independientes, ya que es

y2 = e ^ V\

V2

v\

vi

yé o, la solución general

= C i e{o+bt)x + C2 e(a- bl)z

( 1 1 .1 0 )

E n las aplicaciones prácticas es conveniente expresarla solución general en form a aparentemente real, utilizando las fórmulas de Euler: ebiX = cas bx + i sen bx e ~ blx = eos bx — i sen bx luego, según ( 1 1 .10 ) v = C l e y = eax [C i (eos bx -i-i sen bx) + C 2 (cas bx — i sen 6x)] ^ p = ea í [(C i + C 2) eos bx + i ( C i — C 2 )senbx\ Haciendo e

i ( C : - C 2) = K 2

(11.11)

solución general resulta y = eax [K iC o sb x-{-K ¿sc n b x\

E jercicio 216 Resolver la ecuación diferencial y " - 3i/ + 2y = 0 y la solución particular que satisface las condiciones */(0) = 0 c 2/'( 0 ) ~ —1.

5 10


Solución. L a ecuación característica de la ecuación diferencial dada es: r 2 — 3r- + 2 = 0 Sus raíces son 3 ± v / S "^ 3 *1 r = ---= -------- =b 2 2

r, = 2 1 r2 = 1

Por ser las raíces reales y distintas, según (11.8) la solución general es K = C , e 2* + C i e r

(11.12)

Para hallar la solución particular formamos el sistema y = C\ e2x + C i e y’ = 2C i e2x + C 2 e* Reemplazamos por las condiciones iniciales dadas: para x = 0, y = 0 e y' = —1, o sea 0 = C i c° + Ca e°

(1)

- 1 = 2 C iC ° 4- C 2 C0

(2)

Resolvemos el sistema. D e (1) Ci + C2 = 0

C\ = —C;

reemplazando en (2) 2 (—0 ¿ ) + C'i = —1 =? =* -

2C 2 +

C 2 = - 1 =*

—C'¿ = —1 ^ C 2 = 1 luego C i = —1

Reemplazando en (11.12), obtenemos i/ = - c 2 x + e *

(11.13)

solución particular que representa Ja curva que satisface a Ja ecuación diferencial dada y pasa por el punto (0 ,0 ) con pendiente igual a -1 en dicho punto.

11.4 E cu a c io n e s diferenciales lineales hom ogéneas.

E je r c ic io 217 R esolver la ecuación diferencial +

+ 02/ = 0

y la solución particular que satisface las condiciones

2/(0 )

=1

e

i/ (0 )= 0

Solución r 2 + 6 r + 9 = 0 = > { T ,S = “ ® \ r2 = -3 por ser las soluciones reales y coincidentes, según (11.9) y = C í e * 31 + C 2xe~Zx es la solución general. Siendo ?/ = —3C i e - 3* - 3C 2 x e ~ 3x + C2 c‘ 31 = = - 3 C : e " 3* + (C 2 - 3C2x ) e - :,t P ara el cálculo de la solución particular, consideramos y = C , c - 3x + C2x e - 3x ,y = - 3 C , e - 31 + ( C 2 - 3C 2x ) e " 3* Según las condiciones iniciales 1 = 0?, _ 0 = —3C i + C 2 => C ) = 1 ; C 2 = 3 luego V — c ~ ix + 3 i c “ Jl

es la solución particular.

E je r c ic io 218 R esolver la ecuación diferencial 2 / "+ 2 5 ^ 0 y dar la solución particular que satisface las condiciones 1/(0) = 1

e

1/(0) = 5

511


512

Solución. r 2 + 25 =* 0 =¥ r — ± 5 i o sea, 7'i —

r -2 = —5i. Las raíces son complejas conjugadas:

a = 0; 6 — 5. Según (11.11) ?/ = * ! eos 5x + K 2 sen bx es la solución general. ?/ = —h\ 5 sen bx + A *2 Seos 5x Para el cálculo de la solución particular, consideramos

{ 7/ =

K\ eos b x j K 2 sen bx

y' = - K xb sen bx + K 2 5cos5x Según las condicionas iniciales í 1—Ki + ü | 5= 0+ ^ luego 7/ = cos5x-ksen bx

1

5.1

' K ’¿ “ 1


E je r c ic io 21.9 Resolver la ecuación diferencial ?/' + 3y' - 10?, - ü y la solución particular que satisface las condiciones 7,(0) = 2

e

t/ (0 )

= -1

Solución. r 2 + 3r — 10 = ü =?• { T' = 2 . | r2 = - 5 las raíces son reídas y distintas, entonces:

y = Ci «2 x + C f e e~5r as la solu ción general.

11.4 E cu a cio n e s diferenciales lineales hom ogéneas.

?/ = *2 C ie21'

513

5C7e

V ^ C \ e ^ + C 2e 51 y1 = 2 C i C lx - 5 C 2e - ,J= 2 = C 1e° + C 2eD - 1 = 2 (7 1 6 °- 5C 2 e°

C\ 4 C 2 = 2 2C i - 5C2 = - 1 En este caso, podemos aplicar la regla de Oramcr, para resolver el sistema 2

1

- 1

*

Ci =

C2 -

_9 = 9 —7

7

2

-5

1 2

2 -1

-5 _ 5

1

1

-7 “ 7

2

-5

Entonces y = j ¿ ¿r' 4 | e ‘ *ñl es solución particular. E je r c ic io 220 Resolver la ecuación diferencial

y" 4 2y' H- 5y — 0 y dar la solución particular que satisface las condiciones i / 0 ) ~ 3 ; 3/(0) = - 5 S o lu c ió n

r 2 + 2r + 5 = 0

n = - i + 2-¿ r2 = - 1 - 2i

las raíces son complejas conjugadas; a — —1 ; 6 = 2. Entonces y —

(K\ cos2x 4 /O2 sen2x) es la solución genera).

y' sr —e~T( K i eos 2j: 4- /fo sen22*) 4 e ~ T( —2 K i sen 22 4 2 i í *2 cos22';

514


( y = e X( K \ eos

2x •\ / < 2

|

eos 'h: + K ¿ sen 2 x) + c X{- '2 I Ú sen 2a: + 2I<2 eos 2.r)

y' =

s e n 2 i)

A 'j = 3 ; Jía = - 1 Entunces y = e ~r (3 eos2a;—sen2x)

1 1.5


E c u a c io n e s d if e r e n c ia le s lin e a le s n o - h o m o g é n e a s (c o m p l e t a s ) d e s e g u n d o o r d e n c o n c o e fic ie n t e s c o n s ta n te s .

Las ecuaciones completas de segundo orden lineales son de la forma a t f *v h>J + q/ = F ( x )

( F ( z ) # 0)

(11.14)

L a ecuación diferencial homogénea correspondiente a la ecuación (1 i . 14) es oy” + V

+ <*j = o

L a solución general de la ecuación completa (11.14), es igual a la suina de la solución general de la ecuación homogénea asociada y de cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. Se demuestra fácilmente la propiedad enunciada. Si yp es una solución particular da (11.14), se verificará ^ ; ; + H + q / p = .F(x)

(n .1 5 )

Si la solución general de (11.14) os y - =Vh- \ Vp (donde Vk indica ía solución general cío la ecuación homogénea asociada a la dada) debe satisfacer (11.14), por lo tanto reemplazando, resulta

“ {l/h + Vp) + '> [ v 'k + Vp) + c blh + Vp) = F { x ) => => (ny'k + W„ + "/ a ) + {ay" + b jp + c¡j,,) = F { x )

11.5 E cu a c io n e s diferenciales lineales no-homogéneas...

515

igualdad que se cumple, porque la suma indicacln en el primor paréntesis es igual a cero por sei solución de la homogénea y la suma indicada en el segundo paréntesis es E '(x ) según (11.15); luego V = Vh + V p

(11.16)

es solución general de (11.14). ¿C óm o debemos proceder para hallar esta solución; o sea para aplicar (11.16)? Prim ero hallamos iju o sea la solución general de la ecuación homogénea asociada a (11.14), que indicaremos of/ú + h h + rryu =- ÍJ P ara encontrar una solución particular y,, de la cenar ión no ho mogénea. si -F (x ) tiene una form a especial, la solución particular puedo hallarse ensayando con una función del mismo tipo de F { t > . c o r n o in dicamos en los ejercicios siguientes. E je r c ic io 221 Resolver la ecuación diferencial i/ "+ 2 i/ - 3 y «6 S o lu d ó v : yti satisface a Vn + 2v'h - tyh = d L a ecuación característica es r " + 2r - 3 - 0 sus rafees son vq =

*3;

= 1, luego H- C¿cT

P ara encontrar una solución particular de la ecuación dada. o)«servemos que y = constante lo será con t.al que —3// = 0. De donde y, = -2

516


es una solución particular. L a solución general de la ecuación completa es V — Vh +!//> = C íe 3* +

—2

E je r c ic io 222 Resolver la ecuación diferencial y " + y1 - 2y — 2x2 — 3a: Solución; Vh satisface a

l/h + l / h ~ 2!A = 0 L a ecuación característica es t

1 + t — 2 =

0

sus raíces son vq = —2; 7*2 = 1, luego

P ara encontrar una solución particular de la ecuación dada, si com o en este caso F ( x ) es un polinom io algebraico la solución particular yv tam bién es u n polinom io algebraico del mismo grado que F ( x ) si en la ecuación diferencial dada figura y, de un grado más si en la ecuación no figura y, pero sí su derivada y/, de dos grados más si en la ecuación no figuran y e y' poro sí figura i/” , etc. E n este caso probamos la solución particular de la forma y¡) = A x 2 + B x + C

Debemos determinar A , B y C; para ello si yv es solución, delje satisfacer a y " + t j - 2y = 2x7 - Zx

luego

= Ax2+ Bx Vp = 2 A x + B

+

C

11,5 E cu a c io n e s diferenciales lineales no-hom ogéneas,

517

v ; = 2a Sustituimos en la ecuación, obteniendo 2 A + 2A l + B - 2 A x 2 - 2 B x - 2 C = 2 i 2 - 3z - 2 A i 2 + (2A - 2 B ) x + (2 4 + B - 2 C ) = 2a;2 - 3a; P ara que los polinomios sean iguales en ambos miembros, debe mos igualar los respectivos coeficientes: - 2 A = 2 =* A = - 1 2 A - 2B «

- 3 =>• - 2 - 2 B = - 3 => B = ^

2,4 + B - 2 C = 0 = > C = H - L ? = J Í 2 4 P o r lo tanto 2

x

2

l/r = - z

ó “

4

L a solución general os y = Vh + y,, = C í e 2x + G ¡ c x - x 2 + | - | E je r c ic io 223 Resolver la ecuación diferencial y " + W + 4?/ = 20c1 y la solución particular que satisface las condiciones 7/(0) = 0 ; 1/(0) =

-

2.

Solución. yh satisface a < + ^ + ^ = 0 r 7 + 5r + 4 = 0 cuyas raíces son

= —4 y

— —1; luego

2/h = C ie 4,r-bC72e x P ara encontrar una solución particular de la ecuación dada, si com o en este caso

F(x)

=

menx

518


es decir una función exponencial, la elu c ió n partir ulnr y? qno piolarnos responde a la expresión yv = ctenz y la incógnita es a. Si se produce una indeterminación probanas con yP = e x e n* Si se repite la i ndot emanación probaron* ?/,, — clr e " 1 et cétera. En osle caso, la solución particular es de 1<*. icnr.a Ve " debemos determinar A pata ello Vn ~ o c x

Reemplazando eri la ecuación, i v

1

H - 5 n c x

4

4c=

o b te n e m o s

ar

=

2

0

/ /

^

•-v i - r { n + f,r* + 4 a ) = 2 0 c * —• -

O

1 í)a

= -• 2 0

^

o

-

2

S C ?l

Vp - 2e*

La solución general es ?/ =" ?A + !//> - C\e_,u + C¿e c - 2'

Pal a hallar la solí uñón particular de la ecuación diferencial darla derivamos y = - 4 C \ e -'* - c 2>i * + i r

11.5 E cu a c io n e s diferenciales lineales no-hom ogéneas.

519

luego r y =

|

y'

\ C o e "* + 2c*

= - 4 C , P / 4*1 - C oe-J 4 2f'J

/

0 = C\ + C * + 2

^

—2 = - 4 C , - C > 4- 2

O sea C'i +
- 4 l7 2 • o ’2 = - 4 -2 -4

1 -1

G

1

1

3

1—1 1

«T

1 -4

-2 -4

12

1

1

3

-4

-1

L a solución particular es y - 2 c"'lr - 4 c '* ,; + 2ez

E je r c ic io 224 Resolver la ecuación diferencial

y" - 4 y ‘ +

4y/ = son ,7 :

S o lu r.ió iK '

Vh saris face

¡1 v " ~ 4/;í, + 4;v;, ~ 0 y2

cuyas mices son i'i =

4

+4=0

= 2; luego V/' =

C \ f i 2,z 4 C 2 : t e a i

P ara oncouUar lina solucicSn particular de la ecuación dada, si com o en este c;cso

F[ x ) =

m.scn

nx

5 20


o F ( x ) — rcosnx o F ( x ) = m s en n x

4

r eos n x

la solución particular que probaremos en los tras caíos es yp — aso¡\Ttx 4 0 eos nx y nuestras incógnitas serán a y 0. Si se produce indeterminación, probamos con íj? = a a; serm x 4 0 x eos rur si se repite la indeterminación probamos con ?/p = a x 1 sen n x 4 0

eos na:

etcétera. En este caso la solución particular es de la forma yf¡ = a sen x 4 P eos x y'v — a eos x — P sen x y'p — —a s e n i — ¿/cosí Reem plazando en la ecuación diferencial - a sen x * 0 c o s í — 4 a ca s x 4 4 a sen x

4

4

40 sen 1 4

4/3eos x = sen x

( —a -h 4/5 -h 4 a ) sen x 4- ( —0 — 4 a + 40) c o s í = sen x p o r lo tanto f - a + 40 4 4 a = 1

f

| - 0 - 4 a 4 4/9 = 0

j

3a 4 4/3 = 1 —4 a

qu e resu elto d a

3

4

4

3/3 = 0

11.5 E cu a c io n e s diferenciales lineales no-hom ogéneas.

521

por lo tanto 3

4

25 sena? + 2 5 casx

Vp =

L a solución general de la ecuación es 3 4 V = Vh + V p = C i t 2x 4- C^xe?1 + — sen x + — cosar E je r c ic io 225 Resolver la ecuación diferencial ?/' - 2y' - '¿y = e2r 4- 3x Solución: Vh satisface a Vh ~ 2Vh ~ 32/h = 0 ^ r 2 - 2r - 3 = ü cuyas raíces son r\ ~ 3

= —1; luego

P a ra encontrar yp, si como en este caso F ( x ) es una combinación Vmeal de los casos anteriores, la solución particular yp que debemos p r o bar, es la combinación lineal de las soluciones que hubiéramos usado si cada uno de los términos de b (cr) figurara individualmente E n este caso, probarnos con y? =

ax

j p ‘ = a +

0 4-

7 e 2*

2 7 e21

4 7 c" 1

Íp =

Reem plazando en la ecuación dada - 2a -

4 7 c2x

- Z a x - 3 0 - 3~fé¿x = c?r + 3j:

o sea (

I {

-3 7

=

1

-

-3 c* = 3 - la

-

3 /3 =

7

=

4

-•> a = - \ 0

->

0 =

§

522


luego

La solución general es V =

V h -I-

Vp = C i e3* + Cn c ~ x

E je r c ic io 226 .Ahora estamos en condiciones de resolver la aplicación económica esbozado en (11.5) (ver 10.2) que enunciamos así: Si las leyes de demanda y oferta de un bien están dadas por las ecuaciones D * 18 - 2p + 2p' + 6 p" y O / = —2 + 8p - 2p/ + lOp" Hallar la función precio en función del tiempo y encontrar el precio de equilibrio. Solución, Suponemos que la demanda es igual a la oferta, entonces (1S - 2p + 2// + 6 p ") - ( - 2 -f Sp - 2p' + 10p") = 0 =» ^ 20 - lOp + Ají - 4p" = 0 => -2 p ' + 5 p - U )^ 0 = * =4* 2p" - 2j f + bp = 10 ecuación diferencial de segundo orden completa. L a ecuación homogénea nos dará la solución, o sea 2/í -

+ 5ph = 0

L a ecuación característica es 2r2 - 2r + 5 = 0 =}• r 2 - r + ~ = 0 cuyas raíces son

523

1 1 6 Cuestionario de repaso

Luego, el precio en funcicSn del tiem po es

P ara determinar ol precio de equilibrio P, hacemos ?/ = p " = o

luego D =

1 8 -2 p

0 / - - 2 + 8p 18 -

1 ] .G

2p

= - 2 4- 8/j => lOp = 20

p - 2

C u es tio n a rio d e repaso

1. D ar dos ejemplos de ecuaciones de segundo orden, reducidles a ecuaciones de prim er orden 2. ¿Qué se entiende por ecuaciones diferenciales lineales de segunde? orden con coeficientes constantes? 3. ¿ Cuándo una ecuación lineal de segundo orden se dice homogénea? 4. ¿Cuándo una ecuación lineal ele segundo oidcn se llama no ho mogénea o completa? 5. ¿C óm o se resuelve las ecuaciones lineales de segundo orden homo géneas con coeficientes constantes?. ¿.Qué casos pueden presen tarse? 6. ¿.Cómo se resuelve las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden completas, con coeficientes constantes? 7. ¿.Cómo determ ina la solución yv de las ultimas ecuaciones men cionadas, cuando el segundo miembro es una función

(a ) polinómica (b ) exponencial (c ) trigonom étrica o que figuren simultáneamente las funciones expresada* precedentemci ítc?

524

11.7



1. Resolver la ecuación

y " + ?/ = 0


y " -f yyf = 0


xy" + y ‘ = 0

4. Resolver las siguientes ecuaciones lineales de segundo orden l i o mogéneas. con coeficient es constantes a) y " + 2y' = 0 b ) y " + 6,/ h- 5y = 0 c ) y " — 2 y ' — 3y = 0 d ) y " + y' - r y = 0 e) y " -| 5i/ 4- 6iy = 0 0 y " - 10iy' + I6y = o g) y” — 2 y '+ 4 y = 0 h) y " — 4y' 4- 4y = 0 0 V " + 2/ — Gty = 0 y la solución particular para y (0 ) = 0; ! / '( 0 ) » 2 . )) 3j/' - 2¡/' -

81/ =

0 y la solución particular para y(Q) = 1;

1/(0) = 1 5. Resolver las siguientes ecuaciones lineales de segundo orden com pletas, con coeficientes constantes: a ) y " -M j' = 0 b ) y " -t y = sen x o)

y " + 2y' + y = r.x

d) y " + 2 y ' + y = e~* e) v " - v = x f ) y " + 4?/ g ) ?/' -t 4 j/' +

fiy - x H 2 = 10

h) y " — 2y' — 3y = 3 x y la solución particular para y(G) = 2/3; 2/'(0) = 3-

11,7 Ejercicios de aplicación

i)

525

v ” + V* — 12y = x y la solución particular para 7/(0) = 1; 2/(0) = 0.

j) y "

+ 2y = 1 + 2x y la solución particular para 7/(0) — - 1 ;

>/(0) = L k ) y " - 3?/ 4 2y — e~x + e3r v la solución particular para 7/(0) = 2/3 ;i/ (0 ) = 4/3. '

A p é n d ic e A R E S P U E S T A S , S U G E R E N C I A S Y S O L U C IO N E S A L O S E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S A .l

C A P IT U L O 1

R e s p u e s ta s a lo s e je r c ic io s s o b r e c u rva s d e in d ife re n c ia 1. A rcos de hipérbola* equiláteras desplazadas 2. Arcos de parábolas 3. Arcos de hipérbolas desplazadas 4. A rcos de curvas con simetría respecto a un eje vertical; que corresponden a La condición dada. 5. A rcos de curvas simétricas respecto al eje y. 6. A rcos de hij)érbolas equiláteras. R e s p u e s ta s a lo s e je r c ic io s s o b r e isocu a n ta * 1. Ramas de hipérbolas 2. A rcas d e circunferencias con centro en {'ó,4) y radio r — 10 - q. 3. Ramas de hipérbolas desplazadas R e s p u e s ta s a lo s e je r c ic io s s o b re is o c o s te 1. Arcos de circunferencias con centro en el origen. 2. Fam ilia de segmentos de rectas paralelas. 3. A rcos de elipses concéntricas.

528 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S

R e s p u e s t a s a lo s e je r c ic io s s o b r e c u r v a s d e in d ife r e n c ia

1. ü = S 0 ;b - 3 O

2. x\ = 5: x -2 — 7 ,5¡ prod.m áxim os G

R e s p u e s t a s a lo s e je r c ic io s p r o p u e s t o s

1)

a) a x)

F (0 ,0 ) = 2(0)2 - r 3 (0 )2 - 4 = - 4

a2)

b)

r ( 2 , - 3 } = 2.2'¿ + 3 ( - 3 ) 2 - 4 = 8 + 2 7 - 4 = 31

/ ■ {- * , - y) = 2{—x)~ +

- 4 =

+ 3;/J - 4 = F ( x , y)

2)

b)

> ■(!/*. 1/2/)» (i)

“

i

J T“ ii * y/2 -t n Z¿ —( . - r - T T = - — -T - - F ( z , y)

3)

«)

F (0 ,0 ,0 ) = ~1

b) F { - 1 ,0 ,0 ) ^ 0 c) F (fl, ?/, 6) = ah - a:< + 2lyl - 1 d) F ( —1,

2, - 2 ) = 4

4} a) La gráfica de este conjunto os el semicírculo siguiente.

529

Capítulo 1

Los puntos c!c frontera de S son aquellas puntos del semicírculo y del eje X entre -1 y *1-1. Si el conjunto ele los puntos de frontera se designa por S , , resulta Si = f ( i , r j ) e R ! / y = + \ A - U )

U {(.t.i/ J c R ’ / y = 0,

-1

< i <

1}

E l conjunto de los puntos interiores de S. que designamos por Sj es el conjunto 5, = ( K j / ) £ R 2 / 0 < y < +

E l conjunto de los puntos exteriores de S, es el conjunto de todos los puntos que no están ni en la región sombreada ni en su frontera. Si este conjunto se designa por Sc y teniendo en cuenta que un punto exterior de S es interior del complemento de S, resulta S c - ^ U S i)' b) St = {(* , y) e R 2 / 0 < x < 2 A y = 0

V

y = 1}

u j ( i . ; i / ) c R 2 / 0 < j/ < 1A i = Ü V a •. 2) 5, Se = { (¡r, y) s c)

=

{ (¿*, y) e R 2 / 0 < x < 2 A 0 < y < 1} / x < 0 V x > 2 } U { ( s , y ) e R 2/ y < 0 V y > 1}

Si = {{x, y ) e K 2 / x* Sx -

= {(* ,* /) ¿ R 2 /

x2 + y ¿

+

y*

=

i v

+

y2

=

4}

s

> l} n { ( i, í /) £ R 2 /

x1 + y 2

<4}

5) a) z no está definida s¡ y — x 2 z está definida para todo pimío del plano X Y que no pertenezca a la parábola y = x?

530 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S .

O sea S ^ { ( z , y ) € B ? i y = x - }

1j)

c)

5 = {(rc.i/U-R.3 / (,r. y) ^ (0 ,0 )}

S = {(x,y) r R 2 / | i | 5¿ \y\]

531

Capítulo 1

<1) S — {0 }, o sea no está definida para ningún par ordenado de números reales. e) Está definida para todo par ordenado do números realas, £ = { ( * , ?y)c‘ R 2}

f ) D ebe cumplirse:


1) y 2 - x 2 - 9 > Ü ^ y 2 - x 2 > 9 =* £ - § í > 1

(recordar que £ — f ? = 1 es la ecuación de una lúj^érbola equilátera de eje transverso coincidente con el eje Y )

2) x y > 0

cuadrante I y I I I sin incluir los ejes.

3) x j í 0 ^ excluir el eje Y ,

Luego S -

g)

{ ( x , y ) e R 2 ¡ y 2 - x ¿ > Q A xy > 0 A z ¿ 0}

Debe cumplirse —I < (a; H- y ) < 1, o sea

- 1 < (rr 4 ?y) =*. ( x 4 ?/) + !/ ) ¿ 1

Luego

S

=

> - l = * y > —i -

y < 1 — a;

{ (a.\ y

) s

R 2 / - 1 < £ 4 ?/ < 1}

.r

$33

534 A P E N D IC E A. R E SP U E ST A S, S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S

O

:í:2 .. 9 > 0 - - . r - > 9

\x\ > 3

(i)

2)

1- x2 > 0 -

1

\x\ < 1

(2)

3)

x ij y- 0 =*■ íexcluir los ejes coordenados)

Pero (1) n

r2<

(2 ) = 0. luego

S = {0 } Y

Figura 189 (>) Prim ero indicamos la a .n a en R 2 y luego la superficie en R 1, en rada caso: a) E l eje X; el plano coordinarlo YZ. b ) R e d a : plano perpendicular al plano X Y . e) Elipse: cilindro elíptico, eje sobre Z. d)

Recta painiela al eje Y: plano paralelo al plano YZ.

o)

Circunferencia; cilindro hiperbólico, eje sobre Z.

f) Hipérbola; cilindro hiperbólico, ojo sobre Z. g) Paral jola de eje Y: cilindro parabólico de eje Z.

535

Capítulo 1

h) Recta; plano paralelo al eje Z. i) El eje X (dos rectas eoinndpntos); el plano X Z {cVw {danos coi n ade nr es). ¡) Dos rectas paralelas al eje V

dos plan:*», paralelos al piano

YZ. 7) a) Superiieio c's/éric'it b) Elipsoide real, e)

Cono.

d ) Paraboloide (.¡rallar, de e',e Z. c) Paraboloide elíptico í ) Un punto (el origen de cooi donad as). g ) Plano. h) Hiperboloide de una hoja. i) Superficie esférica, de radio 3 y centro C (2 ,1,-3). i)

Hiperboloide de dos hojas

k) Paraboloide elíptico 1)

Paraboloide circular,

in) Paral joloide 1ií perl >61¡co. 8) a) Los puntos del círculo de centro C¡2 -3) y indio r — 2, incluyendo los do la circunferencia respectiva. [>) Los puntos de la esfera (interioro* a la supeiík ic¡ esférica) ilr ccnti o coi ne i dente con el origen y radio r = 3 9) Se sugiere repasar un (1.7) los conceptos ueonnuiieos. 10) Efectúe el lector las gráficas con repon dientes, teniendo en cuenta a)

Haciendo z — A, resulta k = / r4 :r^

=> y -

- . r " 4 2?y ^ A*

k

4

=— 2// =4-

x7

— 2 ~ ^ y = 2 ~ T ~ '» =

Se trata de una familia de parábolos.

r 7

"2

,,

+

5 36 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S .

b) A' = xy. Se trata de una familia de hipérbolas equiláteras. k = H * 2 + 1 ) = y ^ y = kx* + k So trata de una fam ilia de parábolas.

a) / = 37) I- A(¡2 b)

1 = 9 ? / 8

d ) ,h n , ^ ~

+

g.J/16

1.37

a) C = 3a-i

ftrs -t 180

b) 2 = A', X-, d) .Y, = 2; A , = 1; Cmm = 102

A .2

C A P IT U L O 2

1) lim a

L\ — lim

3r - y - 7

= lim

x + 2y

- 1-y

v—*•i 2 + 2?/ 1

>/->-! 2(1 + 1/)

2

y— 1

La « 3 L, =

lin,

ij

o:

+

2y

r -F

[2 m (z

— 2 ) •-1 ]

.. 3x' — m x + 2m. - G lim ------------ —---------- = Oi.y} ‘V2 , - i ) x + 2?r?a: — 4 m — 2 l¡,n

z (3 ~ m ) ~ 2( 3 ~ " ' )

( j , v ) — {2 . — i )

—

2. -

31 ~ M * - ^ - !1 ~ 7 „

í.rl V ) - . ( 2 , - i )

=

3 * - ?/ - 7

lim lx,v) - (

{- ¿,

2?n)

-

2 (1 +

(3 - ?n) - ( x -

üm ( i , iy) -

a r(l +

-

\ )

(

1

+

2) _

2?n) (.? ; - 2)

N o existe Iím ile doble, pues /n ^ L-¿.

=

2 m )

3 - jn 1 +

2

m

Capítulo 2

537

2) — lim v- o

lim

, X ' 4 y2

-1

= lim - * . y = 2,-0 v/¿

U = 1 /-;

/<>

no existe L.

3) v *V r x 4;rr lim t “ Jim 7 ;------- -— (a..?,)-*{0,0) X4 + í/*1 (j-.yl - (0 0) ( i + W 5) ^

r Lr -

7 ??' do

existe L.

4) a) N o existe* L. Halle límites radiales b)

N o existe L. Comprobarlo.

5) a) L\ — 0; L-¿ no existe, b)

6)

L x - 1; L 2 = 0 .

a) N o existe, b)

N o existe.

7) a)

1 ) tn. 2 ) ü. 3 ) •[ oo

1.) 1) 0. 2 ) 1.

3)

8

1.

) a) l n = lirn '

0 = 0:

V -*0

b) L: -

±1

0)

0

=

0 ( recordar '

no existe ].■ por no ser único.

existe lím ite finito. c) L i = l 2 - J

— liin X -Q

cinc lim acnoc ^ a) 1

z - 0

r

;

lim oo =-> na r —o

538 A P E N D IC E A. R E SP U E ST A S, S U G E R E N C IA S Y SO L U C IO N E S.

a) L — 23 (coincide con el valor de la función en el punto (1 ,4 ) por sov continua en dicho punto). b ) L — A (factoreai y simplificar)

10 ) a ) L< = j ; L> - 4 ; Lr = b ) L|

¿

—L< — L r = L = 0 (por ser la función continua en (1.4))

c) L )

—0; L ;> — = co ; L v — ± c o ; L no existe.

d) L\

= i 2 =■ L r - L — \

a)

Para todo par ordenado de nú meras reales,

l>)

Para iodo par ordenado de ni «ñeros reales.

c)

Para todo par ordenado (ir. y) tal que x -+ y > 0.

d)

P a ia todo par ordenado de números reales.

(i)

Para todo par ordenado de mí meros realus.

f)

Para todo par ordenado

g)

P a ia rodo par ordenado (a;, y), tal que z - r y

li)

y), excepto el origen.

7= 0 .

Pciia todo par ordenado (x\?/) tal que t'H - 7/2 no es un múltiplo impar de “ /2 (pues e m ir/2 = 0 ), o sea, excepto el conjunto de puntos tales que x 2 + y'2 — n ~ pava ?? = 1,3,5,7, ...(que rcpH'senum una familia de circulas concéntricos ron centro en el uiigen).

i)

Para todo par ordenado do números m il as ( x , y ) tal que

COs(.7;y’j # 0. j) Para todo par ordenado de números reales (a:,?/) t.al que s e n (:J » y) ? U. 12)

Para los punios sobre el eje X (y = 0) F { x ty) = F ( x t0) = 0

La función toma el valor constante 0 en todos los puntos de di cho eje. Luego consideiando F como función de la variable x solamente, F es continua en 1 =

0.

Análogamente, cousicleí ando F como función

Capítulo 2

539

do la variable y solamente, F es continua en y = U. Sin embargo, como función do dos variables, F

110

es continua

e 11 el origen, pues, por ejemplo, en cada punto de la ic c ta y — x (excepto el origen) tiene el valor constante 1/2. Com o en esa recta existen puntos tan próximos al origen como se quiera y F (0 , (1), la función no es continuo, en (0,0). 13) a) Es continua para todo par oí donado (¡r, y) tal que x =¿ 0 e V

t

0-

1>) N o es

continua para todo parordenado ( x , y ) talque x < y.

c) N o es

continua en el origen.

d ) N o es

continua cu el origen.

c)

Es continua para todo par ordenado ( x . y ) de números reales.

f ) Vim os (ejercicio 34) que L — 0 y como FÍO, 0) ^ 0 la función es continua en el origen. g ) Como L

F'(0, 0), la función no es continua en el origen.

14) Toda función compuesta de funciones continuas es continua Luego esta función es continua para todo par ordenado do nlimeros reales, ya que es la suma de dos funciones, cada una de las cuales resulta de com poner una función continua con un polinomio. 15) a) E l cociente :¡:/y está definido para y ^ 0. Suponiendo y ^ ü. F cstaríl definida si x/y no es un múltiplo impar de 7t/2. es decir, si - ^ ^ V

7^ 2

• r ,= 0 ;± l;± 2 ;....

O sea F ( x , y ) está definida cada vez que ( x yy ) no esté ni un la recta y = 0, ni en una de las rectas X 3?T 7T x = - y ; x = — y; x = ~ - y ; r ^

3x

y; ....

b ) Cada vez que F esté definida, será continua, ya que: es com posición de funciones continuas.

540 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S ..

1(>) Las funciones están definidas y son continuas para los valores indi cadas de las variables a) ,t ^ 0

e

b) x > 0

e

V>

0.

c) ! / # 0. d) x 7^ 0 . c) \ x \ i : \v\ f) Para todo par ordenado de numeras reales. s) Para todo par ordenado de números reales. 17) L — F ( —7; 2) = 93 (por ser F continua en todo punto). 18) L a pregunta no tiene sentido. La función está definida si x 2y > 0, es decir, si y > 0. Luego el dominio es el semiplano superior, y el punto ( —1, —1) no es punto de acumulación de dicho conjunto. 19) + co pues la función es mayor que 0 cerca de (0 ,0 ) y su recíproca es un polinom io que se anula en el origen. 20) N o , ya que lo g (x 4 + y2) toma valores negativos de valor absoluto arbitrariamente grande, cuando x 4+ y 2 tiende a 0, y por lo tanto, F ( x , y) tom a todos los valores entre —1 y +1, en cualquier intervalo con punto m edio en el origen. 21) a) b)

x ^ 0 ; y ^ 0 ; ¿ # 0.

2

^ Ü.

c) x + y + z ? 0. 22) Es continua para todo par ordenado de números reales. 23) a ) Hallando

Lr =

son (x + y) .. sen (1 4- m ) x lnn ----- 1------- - = hm------ — 7^ ----- r 1 (o.o) x + y (s.y j-(o .Q ) ( l + m )x y = ma

►1

541

Capítulo 3

Luego, se puede hacer que la función sea continua en todas los puntos definiéndola así: para (x, y ) # (0, 0) para (x, y) = (Ü, 0) b)

Procediendo en forma análoga r

..

t:... XV ... 777 (*,«/ )- (0, 0) x - + y2 14- m 2

dependo de la recta que se elija; luego la función no se puede hacer continua en el origen. 24)

L a función b)

25) a l ) C — R q i R J pues para todas los puntos del eje x (y = 0) y del eje y ( x = 0) la función utilidad es cero, estos puntas son puntos de acumulación del Dominio y además cumplen con la definición de lím ite doble. Como la función es polinómica de 2 variables, continua en todo R 2, en consecuencia por ser sus variables económicas, el conjunto de puntos donde la función es continua es C = R^ r R ¿ a2) C = R j a : R ¿ b l) C -

{ { x L; x 2) / * i > 0 A

x 2 > 0}

b2) C = R ^ a r R Í c)

A .3

C = R ¿aR ¿

C A P IT U L O 3

R e s p u e s ta s e je r c ic io s s o b re a p lica cion es econ ó m icas-sección 3.7.5 'A •

1.

£ 2 Ep

—

-ÍM 3 3 >1

£ £ 1 J

E R

_

D.481 q

= —1,2 B .T .N . no necesario para esa población


= - ( } . 4 B.TjN. n ecta rio para esa población

£21 t o. — 0 . -1 v 4* ^ = 0,3 ’ bienes sustituto vos. a > 0 B .'I. o > U Bs.S. c < 0 B=cC.: / > 0 Bs S. d > n B .T : / < 0 fcte.C R e s p u e s ta s a los ejercicio s p ro p u esto s

Capítulo 3

543

c) z's = 3cos3.c co^4iy

d) '

2'

= -4 s c n 3 :r sen 4/y

4

=

r

- 42r?/c

i-r

4

c) .

61/

1 - x SOr* •/1 I-J*2*'*!/

= ^ " ^ = ,,W

f)

(2 - ¿

-*>rn 2y "x

= -

1+

^

x ‘ y

_ * \ _ . - r*j.*

1+ i ' V 4)

a) f ?j (l. -r,'21 “ 0 - f j ; . ! T / ' ¿ ) = 0 lj) I t l d . ') = :!,r> :

c)

0

ff

>¡ = C~

= + ir ;

;¡= +

ft) | £ = 1 ¡, » CUC = ^ b) #

= 150^

fd i-íi = —¿ W ¿U *2 D) P'. no es continua en el origen pues

. - V (X -I ^ Aplique la definición, comprobará que Pr — 0. 10) ^ — are t g ( —1, G)

11 )

_ o .

a J “ IX ~ Z ’

K\ U)

_ ~t x

-xy

V¡/J

_ )

’

1

_o/l

•»'/ . P

.

0

~ s ",

"

"y r

“

¿

I \ * '

?/' )

1

£x

"V!/ _ ?/k

5 4 4 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S ..

c)

¡%z = - 9 z

3's'T =

; í i'y =

-12cos3xsen 4j/

;

= -1 6 =

12) a\ z a -z —

b) c \ W

llí

.

*3

>

- v-

;

rn -X X

- x r

e)

. 2JLy (x

—

z yx

—

y j9 =

2xy

A\ * " — _ u 7

______ 1__ L zxy

H- y ) 3

xa

„ *xy

•

z" = z" =

4

>> 4 yx

S *

, =

j

* vy

= ( i + ®y)

, 3

’

= 4 e 2* ln y ;

.

y2

4

, =

4 'v

. »

j ,

.

2e * i

y3

;

y%- x* (r * + y ? )

( s + jfj5

—

1

=

-// _ W

*2 2xy (s *+ _ y ’ ):

-

2» .

(x + _ y )i

; z‘‘y = e2* ( - £ )

1G) Se comprueba. Del je verificar que F. = G' =

x 2 - y2

y que f:

=

gl

= x 2 +?/2

17) A pliqu e la definición (ver 3.8) 18) a) D'p = —0 , 2 . 1°s> p ~ 1'2 es negativa Hj

= 0 ,6 . / - ° '4 . p-°>2 es positiva.

b ) Debido al signo de las derivadas parciales el bien es típico y normal. 19) a)
= —1 ,2 p ~ ¿ ¿ .p?¿'* es < 0 ^ el té es un bien típico

lj) '/íp. = 0 , 8 p p ' 2 .pJ0'2es > 0 ^ s o n bienas

sustitutivos

20) 8, 7) = —0,3846por lo tanto confirma que el té es un bien típico. Esto significa que si el precio de la carne de ternero se incrementa a partir de 10 unidades monetarias, en un 1% y el precio de la carne de cerdo y cordero permanece constante en 8 y 7, la demanda de la carne de ternero bajara 0,003% aproximadamente. Es una demanda inelástica.

545

Capítulo 4

•§^•(10, S, 7) = 0,03 > 0 a bienes sustitutivos d) (10f 8, 7) = 0.07 > 0 a bienes sustitutivos d) Comparando las das últimas resultados, se concluye que dicha población tiende a sustituir la carne de ternero en mayor medida por carne de cordero, que por la de cerdo.

21) a)

f£

b> f c

= -0 ,4 = - 1 .2

Significa que si el precio de la manteca aumenta en 1% su de m anda tiende a disminuir en 1,2%. En cambio, si el precio de la marga rina, aumenta en 1% ,su demanda solo disminuye 0,4%.

A .4

C A P IT U L O 4

1) a)

dz = (3'X2 + 2y2) y d x + (x 2 + Gy*)xdy

b)

d)

dz = 2 z (x d x — x d y )

2) a) dz = (3x2 + 2 x j ) dx + ( x 2 - 3j/2) dy b)

s*

c ) du = e IV ' { y z d z + x zdy + x y d z )

3) dz = 0,0707

4) a) A ; = 0,0097980101 ; d i = 0,01 b ) A z = 0,3719 ; dz = 0,37 cj A z = 0,03015;

dz = 0,03

5) 7,14

6)

a) 4x — 8y — z = 0 b ) x + 4y - 18z 4- 13 = 0

546 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S ,

c)

x -y ~ 2 z -2 = 0

1)

a) Paraboloide liiperbólico b) Paiaboloide elíptico c) Hiperboloide de una hoja 11 ) dz = 0 .2c fP= = U. 06e
12) a)

||= 0.5625 = r. Esto significa que al aumentar la cantidad invertida en capital en una unidad infinitesimal, lo invertido en mano de obra debe disminuir en 0,5625 para mantener constante ci procUicto total 1ÚL \J C

•i A

,

. '

' 'I

1 ^ 1 >i L\

-

1 f*n 1 I d * 1(3.2)

14) A b £? -0 ,2 5 15) A b S —1 (la cantidad del insumo B debe disminuir en 16,6%)

A .5

C A P IT U L O 5

1) £ ^ - 0 = 2 2)

= ( » n i ) ' " ' j: ln s c n z (- s e n x ) + cosz(.sen x ) c" * x ~ 1 coso:

Capítulo 5

5)

5 47

L a función de ingreso total, que indicamos 1 es I = D xpx + Dyp,, luego

= - l 2 P t + 12p, + 500 y

1\

__ dx

flr3 —«Ix ir —

~

—4 i 5 y + 3 y * - 3 x C * « f r n i/ * C * cck.

r\ c ) Q ¡ dx d z a y

= 12Px

dr

c * Cus y + c'J s e n

.

ucosxv

" ‘

t.

a )

b )

a)

+

seo» Si

y cera y z A x C " s - z c r > * xt ‘ + ; c ex v :

y eos y z + a 3 dx dz

~

x c oa : z

1 - '2 ; 3 ;

z>v

1 - 2 ;

dz dx

1 + C* * c n (i/ + : )

dz d y

1 f

.

— c * acn t v + - 1 c - a c n ( y + s;

zc, = 3 ; & — 2t/ H- 3s — 14;

b) x + ¿ ‘ y - 2 z = 0: i - 2 = c) 4 x - 3 y + —

4 ^ =

12;

= r - f 12

a ) Es homogénea de grado 0 b ) E s homogénea de grado 0 c) Es homogénea de grado 3 d ) Es lineal y homogénea. E n todos los casos verifique que se cumple d teorem a de Eulev 13)

k - 2 ,4 4

17) a ) No,* b) k = 4 ; c) No; cj) N o ;c ) k = 1 20) a) N o; b ) N o e) k = 2; d ) fe = 1; e) fe = 1 21) Creciente 22) Constante 23) Decreciente

5 48 A P E N D IC E A. R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S .

A .fi

C A P IT U L O

6

2. ln (l + i ) = x ■■^ 3. ln 1,2 ^ 0,2 -

^

¿

^

+ M98 - í m a + 0| QOOOfi^-J-p A 0,18226

4 f = 1 -f- [I (a: - I) + ( - 1 ) ( V - 1)] “6 2 110 4" 2 ( x — l) ( j/ — 1)( —1) + (y - 1)22] + L |3(3 ; -1X2/ - 1 ?2 + (y - l ) 3( - 6 ) ) + TA{x, y ) a)

{bx + y f = 3 6 --0 0 (1 + 1) -12(?y + l ) + 25(.r + l ) 2 + 1 0 (i -l-l)(j/ + l ) + [y + 1)2

\>) i 2 + r y - i f = -5 + 5 (y -'p 2 )+ {x -l)2 + (a :-l)(^ + 2 ) — (j/+2)'2 c) x?y + x ¿y + 1 = 1 + i 2 + x s + j x 2{y - 1) + x z{y - 1) d ) 2.rf + y2 = 2 + 6(,r 5.

1)

+ G(x - l ) 2 4 j/2 + 2{x - l ) 3

G. c u s ( 2 . t + i/ ) =

1 - 2 i 2 --

7. f ( l , 1; 0 ,1 ) s 1 + 0 , 4 +

2xy

-

ír

+ T-¡(x. y)

+

v ) a£ 1,47 + T , ( i lV)

8. .T2arc(.g y = | + [fia r - 1) + ¡ ( y - 1)] + L [ f ( x - 1)2+ 2 ( x - I ) ( ?, - l ) + ( - - i ) ( ;, - l ) 2] + : r , (*,?/) 10— 13) Autocorrcgirse con «1 valor calculado en la compnt adora

A .7

C A P IT U L O

7

2. A dm ite mínimo relativo en el origen.

L a superficie, que es un

paraboloide de rotación, se encuentra por encima del plano tangente. 3. a) Existe mínimo en (-2 / 3 ; 1/3; 0). L) Existe mínimo en (-1 / 2 ; -1/2; -1/2). c) Existe máximo en (0, 0, 3) d) N o existen extremos e) Puntos críticos M \ {Q, 1) y M j(0 , - 1 ) ; extren ios. f)E x iste mínimo en (0, 1 ,0).

no existen

549

Capítulo 8

5. 10, 15 y 25 6. So sugiere aplicar la fórmula de Herón \ / p (p -a )(p -b )tp donde p =

es el perímetro.

c)

Se trata do un triángulo

equilátero de 2 metros do lado. 7. x* — y = 5 y f l c m 8. d = y J T J t 9. Se carga el precio más alt.n en el morcado nacional a) p i = 14; p¿ = 2; n i = J.4; 7?2 = 1,04 b ) P l = 4; p2 - 2; DL = 24; D 2 = 30; G ni,kX = 34 11. a* = 24 / 5; y = G/5; Pro
16.

JO. 5; p2 -

J2>5; - 1 « 12>: x 2 ^ 2; C ^ 04

L ( x , y, z, X) =- x + 2y -r 2 t + A ( r * + 2 y a + 4 ^ - 1 0 0 0 ); x = xy - 20; z = 10; G a n nukX ^ SO (| ;^ ) (- W ; ? U

18. /.(x, *¿/i A) — 21.

A .8 1.

+ 2 y2 - xi/ 4 A (x + ?/ - 8)

x — 25; y * 20

C A P IT U L O 8 a) 10/9 0)

x^/2

°) 2 d)

<0 5

In |


3. |/i| = 4 4. .-1*32/3 5.

a

=

-53/3

( i .4 = 0

7. A = 64/3 8.

a)

u ^ ££- - ¿ 4 y a { x ) + /3(i) b) * = ^

■+■x or(y) + , % )

9. a) 1 b )I(e - U > c )l 10.

n) A = 1/0

L) /I — 4tt c) A ' - * lOr d j A = 1 0 ;' 3 c )y l = | - - v i 11. V = 3/T 12.

A.O

V =% 7 T

C A P IT U L O 9 a) ) T b)

Q

-n u 2 p -d P dB = * £

c) £ l i i : r ? d p Ca * 6 d B = ¿ £ d> l t ' l t " ” P2^ nS dpd9 = | e) / V

/i;ae'''V < f/ > c o S’ 0 < » = ^

Capítulo 10

2- v

551

- j : i r r¿ )i r

4- 3- 2y) * * * ■ » $

3. V = 27 4. Las dos superficies se cortan sobre el cilindro elíptico x ¿ +

V =

5.

r¡

= 4

f \ / ( S ^ ) r * - Tt S ,---------/ dzdtfffa = & t:\/2

2/3

(i. ( 2 - ^ ) 7 : =

A . 10

pdzdpdB =■. ^ ( 3 . t - 4 )

C A P I T U L O 10

1. a ) Segundo orden: primer grado. 1j) Prim er orden: seguido grado, r ) Prim er orden; primer grado, d)

Segundo orden: primer grado.

2. a) Dada y — :v + C'cr (1). el parámetro es C. Derivando ,/ = 1 + C (, ^

c = í!lz i

Jloenipíazarrdo en (1)

y - .r -i- ~ 7 “ (J' ~ x + y - i - * y - y b)

Procediendo análogamente

* + 1

yf = *

3. Se sugiere, que para eliminar una constante en cada paso, se derive das vec:e.s sucesivas, a) ^ 4-x y 4- — = C b ) 2y + ? :

Cx

(exacta) (exacta)

c) 2arc:t.g^ H-ludr- -I y¿) — C

(homogénea)


d ) ( x 2 H- l)(2 v - 3) = C

(variables separables)

e) eE ^ cx 4- C

(fr ia b le s separables)

f ) y2 — 2C x + C ¿

(homogénea)

g) cx

x \ny + y\nz — cosy = C

h) y = e x h-

(lineal)

i) x j / a s C - c o s r

(lineal)

j ) I n z + e- y '* = C

(homogénea)

k) \/2z2 4* 3 - 2^/4 — y2 = C

(variables separables)

]) x 2y = sen r - x eos x + C m ) -y +

(exacta)

f ) ” 1' 3

(Bcrnouilli)

1 + cr = (7 eos?/ Solución general (variables separables) 1 4- c l = 2 eos ?/

10.

(1ineal)

1 — y¿ = C

n) y = ( _ | r ln x + o)

(exacta)

..< —

Solución particular para (0> 0)

>+£

j ]. y ( t ) = A. eos sfrñt + í?. sen v ® 12.

Ey — = a t/X

dy

x

dx

y

= a

por variables separables: dv J

y

-

f dx ' a — j X

lní/ = a l n £ + <:=*• ln?/ = I n z u 4- c \ny - l u x * = c => ln

— = x°

K

=c

J

K .x «

Capítulo 10

55 3

13. Ex —

=

o — Ííp

^ ? - = a -b p dpx

lna' = a. Inp - bp 4- c => lu x — ln/>a =? —bp -+ c e-6P- *

_

r

14.

dx

x ^ J

C

J

x

I n C = Ina: 4* I n k =^> In C = A*. I n i solución general:

C = k.x

derivando resulta 1 ^

= k

que es el costo marginal

P o r lo tanto, el cc*to medio £ = 15.

Si D =

+ ¡3p

;

0/ =

7

— h resulta constante

+ 6p

Además: & = r ( D - O/) E n los casos normales /3 < O para que la recta de demanda sea decreciente y 7 > O para que la recta de oferta sea creciente. Reemplazando O f y D obtenemos la ecuación diferencial: ^

= -:{q + P p - ('t + 6p))

^

- e (p - 6 )p = e (a ~

7)

resolviendo esta ecuación diferencial: dp rr |?(a f

7)

+ e ( 0 - 6)p\ dt

dp s í c t - y )

4-

e ( 0 - 6 ) p

=

dt


, =í + '

ln (£ (n r - 7 ) + £( ^ - ¿ ) p )

, ,

- 7 ) + s (8 - b)p) = e(/5 - A) í + k f(< v -

7

) + 5 ( 8 ~ 5 ) p = ec{3- f)t+K

e‘ íi3 i '>i+k - e l a - - A

— c H¡3-6) ,+ k

V~

£ {B -í)

w [ a

- y

)

“ T0 = 6 )

siendo p° el precio para t = 0 y pc el precio llamado de equilibrio (es decir cuando D — 0 ) al sustituir obtenemos la solución particular: Si £) = O=**rv + /?p = O = * p c = Si / = 0

011

-§ ^ 0

— -P p c

( * ) resulta p¡, = c

1G. A — A,,-;'1 17.

G' = í : - ( A - - G !n ).í!“ rr

^

~ c t ,N

ec. dif. homogénea

C ' = A \ ( C o + l n A r)

19. ^

¡I

ex dif homogénea

c = (8q + r/2) 1/2 si c = 3 para c> =

1

00 <*£___ k_o^? + 2>l ■u' Jv 9-+lfi 21. Ecuación diferencial total exacta Solución particular: <72p - f l2r/2 + 16p - 432 = O 22. Ecuación dif. Bemouilli Solución particular c = 3.cn para c = 3 . n = Q 23.

C' = ^ f M l - e - " * ) + ¿ x

Capítulo 11

A . 11

555

C A P I T U L O 11

1. 2/ = C ie - * + C* 2. y = C 3. y = C\ lu x + C'2 a) y = C\ + l;) 2 / « C i r - - + C j f - 5lí c)

=

d)

= e- 1 -’ [ a \ eos

e)

y

=

sen ( ^ x ) ]

C í e " 21 -I- C .> e- ' ' 1

f) ?y = C l r-'- + C .t6r g) y = ex [A'i eos \ 3 1 -f A o sen \/2 x\ h) y = (C i -rC .r'lc -7 i) 7 / s C l ^ 1 - O " 3* Solución particular: 2/ = " ' f e 21 -I* j ) 2/ = < V " ; 3' - C ,¿e2í: Solución particular: y =

+ -fcc1*

a) y = ^ - X -í C; -I- C’2 C-X 1>) ?/555

eos i -1- A i eosx + /<2 son.?:

c) y = ± e

+ C 2x )

d) y s s c - * (C - C ^ + i * * ) e ) ?/ = C í e 1 -r C S e~ * - a:

f ) y = e " 2r(A i c o s í -r A ¿ s e n r ) + f + £ g ) p = c 2r f K i eos i -r A 2 sen x ) + 2 h) y = C i c ; r G c 3 i - i ^ ¡ Solución partinJar: y = e?T — c ~ x + ^ i) y =

+

Solución particular: y = - 4 e “ ,,x + 3e*r - ^ j)

y =

( ! 7 i C " - x --

C o C 'z

- IX'

1

Solución particular: y = x — 1 k) y = C / T W l + ^ Solución particular: ?/ =

+ ¿

B IB L IO G R A F IA El lector podrá ampliar sus conocimientos y consultar aplicaciones en los textos que se indican a continuación referentes a esta obra.

1.

“A n á lis is C

2.

5.

John.

T o m o s l, lí, y III.

J. R e y

P a s t o r ,P . P i C a lle j a y

a l C á lc u lo y

a l A n á lis is M a t e m á t ic o ” .

E d it o r ia l L im u s a .

T o rn o

llu t la n d .

R . B e n K ric g h .

E d it o r ia l C E C S A .

“ C u r s o d e c á U .u V i m f m it e s ím t v l” . J u l io R e y P a s t o r “C á lc u lo

S u p e r io r ".

E d it o r ia l M e

C ir a w

M u rra y

S p ie g e l.

.S e rie s d e

C o m p e n d io s S c h a u m .

H ill,

fí.

“C á l c u l o

7.

“C n lc u lu s ” . V o lú m e n e s I y II. T o m

8.

“ E le m e n t o s d o C á lc u lo d o P u n c io n e s c o n v a n a s v a ria b le s ” y

avanzado”

A n a lít ic a ” , “L a 9.

II C o u ra n t

M é x ic o .

“ M a t e m á t ic a s U n iv e r s it a r ia s ” . T o m o s I v II. J. B r it t o n L.

•I.

M a t e m á t ic o ”

E d it o r ia l K a p c lu s z .

“In t r o d u c c ió n y

3.

IV o j o .

Juan

W ilf r o d

B la q u ie r .

K a p la n .

E d it o r ia l C E C S A

M . A p ó s to l.

M a r g a r it a

C.

de

SA .

E d it o r ia l R e v e rt e S

C a m p i.

A.

“G e o m e t r í a

E d it o r ia l

C . E . I.

L í n e a R c c r a ’’ .

“A n á l i s i s

M a t e m á t ic o

p a ra

E c o n o m is t a s ",

R .G .D .

A lie n ,

E d it o r ia l

A g u ila r . 10.

"E c o n o m ía

11.

“M a t e m á t ic a s p a ra

M a t e m á t ic a ".

M

S p ie g e l.

E c o n o m is t a s ” . T a ro Y a n m n c .

E d ic io n e s A r ie l S *A .

B a r c e lo n a .

T¿. “ E co n o m ía 13.

M a t e m á t ic a ”

“M a ic m á i.ic a S o k o J n ik o ír .

Id .

R .C .D .

Su p c -n o r p a ra

A lie n .

F ísic o s” .

I.

S o k o ln ic o íT y

E.

E d it o r ia l N jg a r S .R .L .

“P r o b le m a s y e je rc ic io s d e A n á l is is E d it o r ia l M ir

E ditorial A g u ila i.

In g e n ie r o s y

M a t e m á t ic o ” .

B e ra n cn k o v y

o tro s.

557

Bibliografía

15.

“ E c u a c io n e s d if e r e n c ia le s ” . H . R e d d ic k y D . K ib le y .

C o m p a n ía E d it o r ia l

C o n t in e n t a l S .A . ( C E C S A ) . 16.

“P r o b le m a s K ra sn o v

17,

y

de

G

e c u a c io n e s

M a k a rc n k o .

d if e r e n c ia le s

o r d in a r ia s ” .

A .

K is e lio v ,

M .

E d it o r ia l M ir .

“E c u a c io n e s d if e r e n c ia le s ". F r a n k A y r o s .

E d it o r ia l M e G r a w

llill.

S e r ie

Schaum . 18,

“E c u a c io n e s

d if e r c n c i* le s ” . K a j

N io t s e » .

S e r ie

c o m p e n d io s C ie n t íf ic o s ,

E d it o r ia l C F C S A . lü .

“E c u a c io n e s

d if e r e n c ia le s ",

M a x

M o n is

y

O rle y

B ro w n .

E d it o r ia l

A g u ila r . 20.

“M a t e m á t ic a y

E s t a d ís t ic a

p a ra

e c o n o m i s t a s ’' . T i n t n e r - M i l l h a m .

E d i

t o r ia l ín t e r o a m e r íc a n a . 21.

“A n á lis is

M a t e m á t ic o

F o n cu b e rta . 22.

“C á lc u lo H is p a n o

23.

T ru e c o .

M .

C a sp a rri

de

R o d ríg u e z .

J,

d if e r e n c ia l e

in te g ra !".

G r a n v ilie -

S m it h - L o n g le y .

E d it o r ia l

A m e ric a n a

“C a lc u lo

in fin ite sim a l y

C ie n c ia y T é c n ic a 24.

I J 1. S .

E d i t o r ia l E l C o lo q u io .

g e o m e t ría a n a lít ic a ". G . B . T h o m a s .

C o le c c ió n

E d it o r ia l A g u ila r .

“G e o m e t r ía A n a lít ic a " J .R e y P a s to r -L . S a n t a ló y M . B a la n z a l.

E d it o r ia l

K a p c lu s z . 25

“G e o m e t r ía

A n a lít ic a "

C h a r le s L e h m a n » .

E d it o r ia l

H is p a n o

A m e n *

cana, 2G

“T h e

e le m e n t s o f A n a ly t ic

G e o m e try”.

P e rccy

S in íth

y

A rth u r

G a le .

E d it o r ia l M ig a r ¿> .R L. 27.

“G e o m e t r ía

A n a lít ic a "

T e o r ía

y

p r o b le m a s

Josep h

K in d le .

S e r ie

Schaum . 28.

“F o r m a c ió n

m a t e m á t ic a d e l e c o n o m is t a ".

F. T o ra n zo s.

F o n d o d e C u l

t u r a E c o n ó m ic a 2 í).

“' i « o r í » d v l

30.

“ D e m a n d a d»* l o s c o n s u m i d o r e s " .

31.

“C o n c e p t o s m a t e m á t ic o s ú tile s e n m ic r o e c o n o m ía ” . F e r n a n d e z P o l

C o rto ".

F e rn án dea Pol F e rn a n d e z P o l

32.

“ C o n c e p t o s m a io m á t ic o s ú t ile s e n m ic r o c c o n o m ia ” . F e r n a n d e z P o l.

33.

“ E s t i m a U o n a n d d e s íg » c r it ic a fo r m u lt ir e s p o n s e - iio n - lin e a r m o d c ls w jt h n o n - h o m o g e n e u s v a ria n c .c ". D r a p e r

34.

“M a fh e m a t k ju o

35

“ lY íic r o e c o n o m ía .

3G .

“In t r o d u c c ió n

F in a o c ie r e ". B o o n e a u . T e o r ía y A p lic a c io n e s .

F ie rre M a n s f ic M

«a l a E c o n o m í a M a t e m á t i c a ” . B u s h m v

558

37.

Bibliografía

“A p l i c a c i o n e s m a t e m á t i c a * p a r * l a a d m i n i s t r a c i ó n y

e c o n o m ía ” . J a r r e

W ebor 38.

“ M é t o d o s fu n d a m e n t a le s d e E c o n o m í a M a t e m á t ic a .

3 Í)

“In t r o d u c e ¡ ó n

a l In g re s o

N a c io n a l” .

G o n z á le z

A lp h a C h ia n jí

T o jn a s in i.

C u a d e r n illo s

de E d it.E U D E B A ■10

“ S t 'u d c n r 's m a n u a l f o r e c o n o m i c e t h c o r y a n d p r a c t i c a ” . F r e d L a n d

•11

“ A n á l i s i s i n i c r o e c : o n ó m i c o M. V a c i a n

•12

“ T e o r ía m ic r o e c n n ó m ic a ” . H c r d e r s o n - Q u a n t

43.

“T e o r í a y

p r o b le m a s d e m a t e m á t ic a f in it a ” . L ip s c h u t z

S e t e rm in ó de im p r im ir c u el m e s d e J u n io d e 1999, e n l o s t a lle r e s d e, U A M A P r o d u c c ió n G r á f i c a s ( G P G ) , M a r t ín R o d r íg u e z 5 4 5 ( 1 1 5 9 ), B u e n o s A ire s .

AnAlisis MatemAtico II - HEctor Di Caro

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